Algebra Trilce
January 24, 2017 | Author: JohnTaqüire | Category: N/A
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Á
Dpto. Pedagógico TRILCE Derechos de Edición
Asociación Educativa TRILCE
Tercera Edición, 2007. Todos los Derechos Reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, ni en todo ni en parte, ni registrada en, o transmi tida por, un si stema de recuperación de información, en ninguna forma y por ningún medio, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier otro, sin el permiso previo de la editorial.
Álgebra I NTROD UCCI ÓN La palabra Álgebra viene de "ilm al-jabr w'al muqabala" título árabe del libro escrito en el siglo IX por el matemático árabe Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi. Este título se traduce como "Ciencia de la restauración y la reducción".
El álgebra es una rama de las Matemáticas que estudia la forma de resolver las ecuaciones. Por ello, todas las operaciones algebraicas, reglas, fórmulas, definiciones, etc. tienen un sólo objetivo: el cálculo de incógnitas. Una de las características es que utiliza símbolos o letras para representar números. Por ejemplo la letra "x", puede representar el valor de una temperatura, una edad, una velocidad o la medida de un ángulo; pero el Álgebra no estudia estas magnitudes, nos muestra las operaciones en general sin precisar qué tipo de magnitud se está tratando. El Álgebra actual trata con estructuras más complejas que los números y sobre estas estructuras define operaciones similares a las operaciones aritméticas. Esta nueva Álgebra se debe a Evariste Galois.
CONCEPTOS BÁSICOS EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es un conjunto de números y letras relacionados entre sí por los operadores matemáticos de la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y/o radicación, en un número limitado de veces, por ejemplo : 2 3 P(x;y;z) = 5 x 3x y 2yz ; llamada racional entera o polinomio..
F(x ; y) 2x
1 7 ; llamada racional fraccionaria. y 5x H (x; y; z) 2 4 z ; llamada irracional. y
(* ) Magnitud : Todo aquello susceptible a ser medido.
TÉRMINO ALGEBRAICO Es aquella expresión algebraica que no presenta operaciones de adición ni sustracción.
ELEMENTOS D EL TÉRMINO ALGEBRAICO signo exponentes
P(x;y) =
- 7 x5 y 8 coeficiente parte literal
Parte Literal : Está formada por las letras con sus respectivos exponentes que representan ciertas magnitudes, como por ejemplo: 4 3 4 3 P(x;y;z) = 6 x y z ; la parte literal es : x y z
Coeficiente Numérico : Es el número que generalmente se coloca delante de la parte literal, cuando el coeficiente es entero positivo indica el número de veces que se repite como sumando la parte literal, así pues tenemos : y 3 y 3 y 3 ...... y 3 80y 3 80 veces
7
Álgebra
También se puede tener un coeficiente literal , como por ejemplo : P(x) = ax 2 el coeficiente es "a".
TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que presentan la misma parte literal, como por ejemplo :
2y 3 z ;
3 3 y z; 5
7 y3z
RED UCCIÓN D E TÉRMINOS ALGEBRAICOS Las operaciones de adición o sustracción entre términos algebraicos sólo se puede efectuar entre aquellos términos que sean semejantes, para lo cual se calcula la suma o resta de los coeficientes numéricos, permaneciendo invariable la parte literal, veamos algunos ejemplos : Ejemplo :
8
*
9y 3z 6y 3z 15 y 3z
*
2x 4 y 3 4 z 5x 4 y 3 10z 7 x 4 y 3 6 z
TRILCE
C ap ít ulo
LEYES DE EXPONENTES
1
ECUACIONES EXPONENCIALES
POTENCIACIÓN
TEOREMAS
Es la operación matemática que tiene por objetivo encontrar una expresión llamada potencia (p), conociendo previamente otras dos expresiones denominadas base (b) y exponente (n).
1.
b base ; b R b n p ; donde n exp o nente ; n Z p potencia ; p R
Multiplicación : bases iguales.
a m . an a m n
4 2 4 2 x6 Ejemplo : x . x x
2.
D ivisión : bases iguales. am an
Así pues, en 23 = 8 : 2 es la base, 3 es el exponente y 8 es la potencia.
Ejemplo :
x10 x7
am n ; a = 0
x10 7 x 3
DEFINICIONES 1.
3.
Exponente cero ao 1 ; a = 0
o Ejemplo : 5 o 1 ; (3) 1 ;
2.
7 1
(am )n a m.n
Ejemplo : (x 2 )5 x 2 . 5 x 10
o
4.
Multiplicación : exponentes iguales. an bn = (ab)n
Exponente uno Ejemplo :
a1 = a
a3 b3 c3 (abc)3
Ejemplo : 4 4 1
3.
Potencia de potencia.
(x 2 . y 3 )5 (x 2 )5 . (y 3 )5 x10 . y15
Exponente entero positivo 5.
an = a.a.a. ...... . a ; n 2
D ivisión : exponentes iguales. an
"n" veces
b
Ejemplo : 7 3 7 . 7 . 7 343 4.
Ejemplo : 21
1 21
x3
1 n
a
1 ; 2
a b
n
;b= 0
Ejemplo :
Exponente negativo. a n
n
y3
;a= 0
3 2
1 32
1 9
x y
x4 y3
3
4 2 8 (x ) x (y 3 )2 y 6 2
9
Álgebra
RADICACIÓN
TEOREMAS :
Es una de las operaciones matemáticas inversas a la potenciación cuyo objetivo es encontrar una expresión llamada raíz (b), conociend o otras do s expresio nes denominadas radicando (a) e índice (n).
1.
Multiplicación : índices iguales. n
3
Ejemplo : signo radical n Índice ; n Z a b ; donde a Radicando b Raíz; b R
n
2.
1.
a, b R , n Z
a b ab
a b a bn
8 2 8 (2)3
Observación : Debemos tener en cuenta que dentro del conjunto de los números reales no se define a la radicación cuando el índice es par y el radicando negativo, como en los ejemplos : 2004 existe en R.
a
m
m an
Ejemplo :
(8) 3 2
3.
3
8 (2)2 4
*
10
a ; n # impar a | a | ; n # par n
| a| : valor absoluto de "a", significa el valor positivo de "a".
Ejemplo :
3
x3 x ;
3
Ejemplo :
1. 2. 3.
a)
x
a b
n
3 2
a
x
6
m.n
a
x
am b m
an
b ; ab 0 a n
m
am b ; a > 0
mk
a nk ; k Z
x2 | x|
Formando parte de algún exponente Ej. 5x1 125 ;
23 16 x
b)
Como base y exponente a la vez
c)
Afectada por algún operador
2
a R n Z n
x y
Es aquella ecuación donde al menos uno de sus miembros no es una expresión algebraica, así pues tenemos:
Exponente fraccionario. n
a ;b= 0 b
INTROD UCCIÓN A LAS ECUACIONES TRASCEND ENTES
32 no existe en R. 2.
b
PROPIEDAD ES AD ICIONALES
9 3 9 32
4
a. b
Raíz de raíz.
n
Ejemplos :
3
y
n
a
m n
n
n
x
Ejemplo :
3.
n
D ivisión : índices iguales.
n
3
n
x . 3 y 3 xy
n
Así pues : en 64 4 : 3 es el índice, 64 el radicando y 4 la raíz. D EFINICIONES :
a. b
Ej. 2x x 5 ; xx 3
Ej. Logx2 x 1 ; Cos(2x) 0,5
ECUACIÓN EXPONENCIAL : Es la ecuación trascendente que presenta a su incógnita formando parte de algún exponente. 2 Ejemplo : 5 x 1 25
TRILCE Teorema :
a a x y ; a > 0; a = 1 x
Ejemplo : 7
x 1
7
Transformando al segundo miembro se tendrá :
y
5 x
x 1 5 x
x
Ejemplo :
xx 3 3
3
3
33
x
2x = 6 x= 3
O bser vaci ón : Para reso lver algunas ecuacio nes trascendentes, a veces es necesario recurrir al proceso de comparación comúnmente llamado método de analogía, el cual consiste en dar forma a una parte de la igualdad tomando como modelo la otra. Veamos un ejemplo :
x
3
3
3
3 (representa un valor de "x").
Sin embargo, debemos indicar que el método de analogía sólo nos brinda una solución, pudiendo haber otras, sino veamos el siguiente ejemplo : En :
x
x
Pero
2 =
x
4
x
2 se observa que x = 2 4
4 , con lo cual tenemos :
4 de donde : x = 4.
11
Álgebra
EJERCICIOS PROPUESTOS 06. Si el exponente de "x" en :
01. Calcular : A + B; sabiendo que :
A (2
3 )0 (
1 2 ) 6 2
5
0
216
1
a
3
a2
1 2 1 B ( ) 2 ( )4 2 3 1
a) 5 d) 20
b) 10 e) 25
c) 15
2 4 x
.3
8 3x (3 )
d) 3
es 4, entonces el exponente de "x" en :
(x a1 )2 b . b) 2 e) 1
n
a a
.
33
3 2 x
4 b) a
a) a0
18
c) 3
b) 3
37
08. Simplificar : 33 33 3 3
e) 3 24
1 U 16 b) 50 e) 32
1 5
a) 3 d)
e)
3
x x
c) 16
3
5
b) 4 e) 12
f(x)
3 3 x
a) 10 d) 25 c) 6
x
3
x es la unidad. Además :
b) 15 e) 30
c) 20
100 radicales
a)
c) 31
5
x x x ...... x x
f
e) 31 / 2
c) 27
10. Hallar el exponente final de :
x 2 / 3
Calcular : M f(x ) (x ) , para : x = 3. b) 3
3
3
05. Sabiendo que :
12
3
3 3 n3
09. Hallar el valor de " " , si el exponente final de "x" en :
a b a 2b b 6 . 16 . 3 18 a b
d) 31 / 3
3
b) 9
04. Simplificar :
a) 31 / 2
.......
33
"n" radicales 32 4 9
a) 2 d) 8
c) a
e) a1
2 d) a
03. Reducir :
a) 48 d) 64
c) 8
07. Sabiendo que : n 1 0 . Reducir :
2 x 1 3
12
xb
4 d) 16
02. Reducir :
a) 1
a
xb
d)
399
390 1
b)
2100 1
e)
2100 1
299
299 1
3100 1 3100
c)
2100 1 2100
TRILCE 11. Hallar "x" : x
4 .8 a) 1/3 d) 5/3
2
x 1
2 x 1
.16
b) 2/3 e) 4/3
12. Al resolver : 163
2x
19. Resolver :
3x 2
84
2x
a)
5
5
d)
5
5
2
b) 3 e) 6
14. Resolver :
a) 2
d) 0,3
a) -3 d)
1 2
3
5
x
b) 3
c) 0,5
2
x
d) 3 6
7
e)
7
c)
1 7
7
0 2 (11)0 4 5 3
3
b) 1 e) 2
1 3
c) 2
1 4
a) 9
b) 15 e) 18
x
x 4
d) 27 .
8 5
1
c) -1
1 3
b)
1 1 1 1 9 3 9 3
1
c)
3 e) 3
4 x 3 5
6 5
. c) 3 3
e) 3 9
a) 1
b) 33
d) 4
e) 3 24
45x
2y
.52
b) 20 e) 1
x x x13
x 37 x x
1 9
5n 10 n n 1 82
1 x c) 13 a) 2 d) 4
b) 8 e) 16
5
23 y
24. Calcular : x 13
3
23. Reducir :
c) 10
b) 3 2
18. Resolver :
a) 25 d) 50
1
17 d) ( ) 7
9
b) 4
17. Hallar "x", de : x x 9 a) 31
4
5
22. Reducir :
16. Resolver : x x 672 ; e indicar : E a) 12 d) 9
5
77
1( ) b) ( ) 7 7
a) 0 d) -6
e) 6
e)
c)
a) 7
21. Calcular :
c) 2
9 x 2 3 2x 240
3
2
5
b) 1 e) 4
15. Calcular "x", si :
25
1
13. Resolver :
a) 0 d) 3
3
5
e) 5 x
c) 4
x 2 3 x
b)
20. Resolver : x 7
p . q
Indique : p + q.
4
5
x
c) 4/5
se obtiene la fracción irreductible :
a) 2 d) 5
x
2. x
c) 318
3 1
c) 64
13
Álgebra
25. Sabiendo que :
P(x) 5 x
Calcular : N P(5) a) 5 1 / 5 d)
P(5 )
3
x 5
5x
31. Resolver :
c) 51 / 3
e) 5 3
c) 21
34 x. 96 x . 2710 x 814 x b) 5 e) 8
c) 6
32. Resolver :
813
26. Si el exponente de "x" en : a
b) 3 e) 10
a) 4 d) 7
.
b) 51 / 5
5
a) 6 d) 8
5x
x b 1. x c es 5, entonces el exponente de "x" en :
a) 2
274
2x
2x
b) 4
c)
a
ab c
a) 1 d) 4
(x
5 a 1 a
d)
)
b) 2 e) 5
1 4
e) 8
2 4 x 2x
27. Reducir :
a
a) a
n
b)
d) a n 1
a
34. Resolver :
n2
e) a n
a) 0 d) 3
n
n 1
c)
a
n
a
n
a) 1 d) 4
28. Simplificar : 55 55 5 5 5 5
..........
55
5
5
2
33. Resolver :
c) 3
n
1
5 5 n5
7
x
7
b) 1 e) 4
c) 2
4 x 1 48 22x 3 b) 2 e) 5
c) 3
35. Calcular "x", si : 6
5
3
x
5
"n" radicales
a) 5
b) 10
d) 5 5
e)
c) 25
a
(a 1)(a 1) es :
a) 1
b) a
d) a2
e)
b)
d) 3
e)
5
29. Si : aa a 1 , entonces el equivalente reducido de : aa
a) 1
a
c) 1/4
a
1
c) 2
2 1 4
36. Hallar "x" : (2 x )2 232 . a) 4 d) 2
b) 8 e) 32
c)16
37. Hallar "x" en : 30. En la siguiente ecuación : 3
x2
3
x2
3
x 2 .......
3
x2 x k
El miembro de la izquierda consta de "n" radicales. Si :
k
14
80 3n
y x
6
n . Calcular : (n+ x). 2
a) 9 d) 6
515 5 x
5 x 1 5 4
b) 12 e) 10
5 c) 92
TRILCE 38. Hallar "x" de :
44. Reducir :
xx a) 5 1
b) 5 2
d) 5
e) 5
4
E
1
625
5 c) 5 3
5
3
x
6.3 x
a)
7
b)
8
d)
13
e)
15
3x
xx 1
c)
3
x
e)
3
41. Simplificar :
M
9
3
4x
.
x
(0,5)
b) 2
2
a) 2 d)
2
2
b)
2 2
2
2
e) 2
2 2
2 2
2 2
1 x
xx
x
c) x x
8
2 2 8
2 6
c) 2
2
e) 4
47. Si : m + n = 2mn ; reducir :
4m 4n
2m
n
a) 21 d) 2
m
2n c) 23
b) 1 e) -4
48. Calcular :
c) 2
43. Mostrar el equivalente de :
b)
a) 2 2 d) 8
x2
e) 23
. 1 x
e) x
x
M 8
4 x
2
x
b) x 1
2
2x 3 2
d) 22
x
x 1 x 1 x
c) 2,5
2
a) 2
c) x mnp
46. Calcular :
16 . (2n ) 3
e)
12
d)
39
2n 1. 4 2n 1 8 n 2
d)
42. Reducir :
M
11
3
b) 3,5
3
e) x
c) 9
a) 4,5
nx m px x
p
b) 1
a) x 2
m p. nm . pn
45. Efectuar :
64
b) 2
3 3
mx
d) mnp
3x2
40. Resolver :
d)
n
a) 2
39. Resolver :
a)
Sabiendo que :
mm . nn. p p
2 1
33
2
a) 2
b)
d) 8
e)
3
2
3 9 3 3 1 3 3
2 /2
2
39
c) 1/2
2
49. Hallar el valor de :
E c) 4
1 3 3
para : x 2 a) 4 d)
1 4
x 1
x
8x
.
x 1
x
8x
.
x 1
.....
2
b) 16 e)
c)
1 2
1 16
15
Álgebra
55. Hallar "x" de :
50. Simplificar :
2 3 n 2 7 2 7 2 7 ..... 2 7 4 4 2 4 3 n 7 7..... 4 7 7
n . 4 7 3
a)
2
d)
2
b) 2 2 2
e)
2
d)
4
b) 2n
2n
c) -
n e) 2n 1
1 3n
51. Hallar "x" en :
27 27 a) 6 d) -8
x 1
a) -1 d) 2
39
mx
x 2
c) 8
3
a) d)
19 1
2
2
a) -4 d) -2
a 2 3 x 1 ; a 0
2y
n x
3
x 2
1 2
3
x2
1 2
c) 1
xx
xx
n
x , siendo : m x x
a) n
b)
n
d) nn
e)
n
c)
n
n
n
9x 4
76 3
2 3
19 x
8 27
c)
27
4, y 2
xy
a) 1/4 d) 1/2
b) 4 e) 0
x 1
x
x
x
b) 2 e) 1/8
c) 1
59. Hallar "x", en :
0
8
a)
5
d)
6 , el valor de 2 2 es : x
x
x
Calcular : 2x.
c) -4/5
1 4
2 4
x x
2x 2
b)
1 2
e)
2
2;x0 2 2
c)
2
60. Hallar "x" : (x > 0).
1 x 1 x x
y
c) 2 a) 2 d) 2
16
1 2
b) 0 e) 3
x
e) 2
9
2x
9 . 4
b)
2
54. Si :
4
b) 3/5 e) 1 2x 3
x2
58. Si : x R / x 1 ; y además :
a x 1 . a 2 x 1 .
2 3
2 1
Entonces el cociente de las soluciones es :
1 2n
52. Indique "x" en :
53. Resolver :
c) 4 2
57. Calcular "x" en :
b) 7 e) -7
a) 1/5 d) -2/5
2
2
56. Resolver ecuación :
Señale el exponente de 7.
a)
(x 2 )2
x 2
1/ 2
b) 4 5 e) 8
x1 / 2 x
1 / 2 x
c)
5
4
TRILCE
Claves 01.
b
31.
b
02.
c
32.
c
03.
d
33.
c
04.
d
34.
b
05.
d
35.
c
06.
c
36.
c
07.
c
37.
e
08.
a
38.
e
09.
b
39.
b
10.
c
40.
a
11.
e
41.
a
12.
b
42.
d
13.
d
43.
a
14.
c
44.
b
15.
b
45.
d
16.
b
46.
d
17.
c
47.
d
18.
a
48.
a
19.
a
49.
b
20.
c
50.
c
21.
c
51.
d
22.
d
52.
c
23.
a
53.
b
24.
d
54.
b
25.
a
55.
b
26.
a
56.
a
27.
b
57.
c
28.
a
58.
c
29.
b
59.
c
30.
a
60.
c
17
Álgebra
18
TRILCE
C ap ít ulo
2
POLINOM IOS
P(2 7) 2 (2)3 5 (2) 1 16 10 1
NOTACIÓN D E EXPRESIONES ALGEBRAICAS
P(5) 27
Se utiliza para indicar las variables de una expresión. Ejemplos : *
PROPIED AD ES : para un polinomio P(x).
P(x) variable : "x".
"P" de x
*
F(x ; y) variables : x, y.. "F" de xy
*
var iables x ; y ; z Q(x ; y ; z) ax by cz constan tes a ; b ; c "Q " de xyz
VALOR NUMÉRICO (V.N.)
1.
Suma de coeficientes = P(1).
2.
Término independiente = P(0).
CAMBIO D E VARIABLE Así como las variables pueden reemplazarse por números, también pueden ser reemplazadas por otros polinomios, así tenemos: 1.
x por x 7 en P(x).
Es el resultado que se obtiene al reemplazar las vari ables de una expresi ón algebraica po r valo res determinados.
P(x) 2 x 11 x 7
Ejemplo : 1.
2.
D ado : P(x 3) 3x 4
Reemplazando :
D eterminar : P(2x 5) .
D eterminar P(3), si :
Se reemplaza (x + 3) por (2x - 5) previa preparación del polinomio como :
P(x) x3 2x10 .
En este caso, se pide el V.N. de P (x) para : x = 3.
P ( 3 ) 3 3 2 ( 3 ) 10
P(3) = 23 3.
x 7
P(x 7) 2x 25
para : x = 5;
P(5; -2; 3) = 5 2 3 ( 2 )( 3 ) 7 2.
P(x 7) 2 (x 7) 11
D eterminar el V.N. de la siguiente expresión :
P(x ; y ; z) x 2 3yz y = -2; z = 3
D ado : P(x) = 2x+ 11 . Obtener P(x+ 7) Para obtener lo pedido, se reemplaza :
P(x+ 3) = 3(x + 3 - 3)+ 4 Ahora : P(2x-5) = 3(2x-5-3)+ 4 Luego : P(2x-5) = 6x - 20
POLINOMIO
D eterminar P(5), si :
P(x 7) 2x3 5x 1
Es t oda expr esión al gebr ai ca r acional y ent era. C uando ti ene un término se denomina monomio, con dos se denomina binomio, con tres trinomio, etc.
Para este caso, se resuelve la ecuación : x + 7 = 5; de donde : x = -2.
Reco rdemos que en una expresión Algebraica Racional entera :
Al reemplazar :
Ninguna variable está afectada por algún signo radical o exponente fraccionario.
19
Álgebra
Ninguna variable se encuentra en el denominador.
POLINOMIOS ESPECIALES
Ejemplo :
1.
P(x ; y) 3x 7 y 5 polinomio (trinomio). 2
P(x;y;z) = 2 x 2 y z no es polinomio..
Ejemplo :
GRAD O : Es la categoría que se asigna a un polinomio; y depende de los exponentes de sus variables. GRAD OS D E UN MONOMIO : Grado Absoluto : es la suma de los exponentes de sus variables.
Polinomio H omogéneo : cuando sus términos son de igual grado absoluto. P(x ; y) 2x 4 y 3 x 5 y 2 5 x 6 y 7
7
7
Homogéneo de grado 7. 2.
Grado Relativo : es el exponente de la variable en referencia.
Polinomio C ompleto : cuando tiene todos los exponentes de la variable en referencia, desde el mayor hasta el cero incluido. Ejemplo : "x" tiene exponente "1"
Ejemplo : P(x;y) 2a3 x4 y5
P(x; y) 2x y 7x y 3
G. A. = 5 + 4 G.R. (x) = 4
2 4
"x" tiene exponente cero
5y
completo con respecto a "x" .
G.R. (y) = 5
Propiedad : para un polinomio completo P(x).
GRAD O S D E UN PO LI N O MI O D E D O S Ó MÁS TÉRMINOS : Grado Absoluto : es el mayor grado absoluto de uno de sus monomios. Grado Relativo : es el mayor exponente de la variable en referencia.
# términos = Grado + 1 3.
Polinomio O rdenado : es aquel cuyos exponentes de la variable en referencia (ordenatriz) van aumentado (orden creciente) o disminuyendo (orden decreciente). Ejemplo : aumenta
Ejemplo : mayor
P(x;y) 2x y 7x y 3
Grados
4
4 5
9
6x y
6 2
3
6 x y 5 xy 7
9
20
ordenado ascendentemente respecto a "y".
8
G.A. = 9 G.R. (x) = 6 G.R. (y) = 5
POLINOMIOS ID ÉNTICOS Do s polino mio s son id énticos si sus términos semejantes tienen igual coeficiente, así pues : P(x ) ax 3 bx c
Q(x) mx 3 nx p son idénticos, si : a = m; b = n ; c = p.
Propiedad : dos polinomios idénticos tienen el mismo valor numérico para cada sistema de valores asignados a sus variables.
20
P(x; y) 4 x y 4
mayor
POLINOMIO ID ÉNTICAMENTE NULO Es aquel polinomio cuyos térm inos presentan coeficientes iguales a cero, como por ejemplo : P(x) ax 3 bx 2 c
será idénticamente nulo, si : a = 0; b = 0; c = 0.
Propiedad : todo polinomio idénticamente nulo tiene valor numérico igual a cero para cualquier sistema de valores asignados a sus variables.
TRILCE EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Hallar : P[P(3)]. Si : P(x) = 2x - 5. a) 1 d) -1
b) 3 e) 5
08. Dado el polinomio : c) -3
para algún polinomio no constante. Calcular : P(4) P(0) .
b) 10 e) 15
c) 20
03. Sean los polinomios :
P(x) ax b Q (x ) bx a
siendo : (a b) . Además :
P(Q ( x) ) Q (P(x ))
c) 1
04. Dado el polinomio :
P(x ; y) 4mnx 2m3ny5nm
b) 64 e) 2
c) 16
05. Dado el polinomio :
P(x, y) 7 x 2 y m 3 4 x 5 y m 4 3 x 4 y m 5 x 6 y m 2
Si : GR(x) + GR(y) + G.A. = 32. Entoces el valor de "m" es : b) 5 e) 8
c) 6
b) 19 e) 13
c) 17
R(x ; y ; z) x a x 7 y b x 20 z12 b
a
es homogéneo. Calcular : (a b)2 . b) 9 e) 1
Indi que el coefi ci ente pri ncipal, si el térm ino independiente es 72. b) 243 e) 64
c) 624
P(x ) (n 2) x n 9 y (n 3) x n 8 y 2
(n 4) x n 7 y 3 ......
es ordenado y completo. Hallar el número de términos. a) 7 d) 5
b)9 c) 13
c) 11
12. Si :
P(x 2) 6 x 1
Obtener : F(10) . a) 23 d) 21
c) 5
07. Determinar cuál es la suma de los coeficientes "m" y "n", de modo que para cualquier valor de "x", se cumple:
7 x m (x 1) n (x 2) b) 1 e) 2
R(x ) (2x 4 3)m (mx 5 1)5 (2x m x m)3
P(F( x ) ) 12 x 17
06. Si el polinomio :
a) -1 d) 0
P(x ) (2x 1)n nx con "n" impar, si la suma de sus coeficientes aumentado en el duplo de su término independiente resulta 16, entonces "n" es :
11. Si :
Calcular su coeficiente.
a) 16 d) 3
c) 20
09. Sea el polinomio :
a) 1024 d) 512
Si : GA(P) = 10 GR(x) = 7.
a) 4 d) 7
b) 18 e) 28
10. Dado el polinomio : b) a e) ab
a) 5 d) 8
a) 8 d) 14
a) 15 d) 21
Hallar : P(Q(1)) . a) b d) -b
Si : P(x ; y) 0 . Calcular :
a b ab
02. Si se cumple : P(x ) P(x 1) x
a) 9 d) 0
P(x ; y ) (a 4)xy 2 (20 b) x 2 y ax 2 y
c) -2
b) 20 e) 19
c) 22
13. Dada la expresión : P(x) , tal que :
P(x ) P(x 1) P(x 2) , además : P(1) 3 ;
P(2) 4 . Calcular : P(P(P(0))). a) 7 d) 1
b) 4 e) 14
c) 3
21
Álgebra
14. Dado el polinomio :
a5
a 1
7 a
3x 5x 7 P(x ) x Hallar la suma de valores que puede asumir "a". a) 6 d) 18
b) 11 e) 21
c) 13
15. En el polinomio homogéneo : P(x , y, z) (xy )3 a
ba
yb
a b
2 zc
Calcular : a + b + c. a) 3 d) 9
b) 5 e) 15
21. Si :
Donde : f(x 2) 2x 4
g(x 2) 3x 2 6 x 1
Hallar : H(5). a) 62 d) 93 22. Si :
a) 28 d) 31
R(x ) 5 x 2 P(x 1)
b) 9 e) -6
a
R(x ; y) x a 5 y 2 a) 7 d) 6
K [ F(1) F(2) F(3) ... F(99) ]
b) 243 e) 1
F( 5 )
c) 1024
Q(x) x m 10 x m n 5 x p n 6 es completo y ordenado en forma decreciente. b) 2 e) 4
c) 6
19. Si la siguiente expresión matemática se reduce a un polinomio :
P(x, y, z) a x b b x c c x a Hallar el valor de : a - 2c + b. a
b) -2 e) 0
b
c
c) 1
20. Sea "f" una función definida en el conjunto de los núm eros reales tal que veri fi ca las sigui entes propiedades :
f(x y) f(x ) f( y) ; f (1) 2
Calcular : f(1 2...10) . a) 220 d) 55
22
1
a
x a 4 y 4
1
x11a
b) 20 e) 110
b) 8 e) 3
c) 4
24. Si el polinomio :
18. Hallar : m - n + p; si se sabe que el polinomio:
a) -1 d) 2
c) 30
c) -7
17. Si : F(x ) x 3 (x18 125x15 ) 2 (x 5)
a) 8 d) 10
b) 32 e) 26
23. Indique el grado de :
Hallar la suma de coeficientes del polinomio R(x) .
a) 0 d) 23 499
c) 87
El valor de : a + b + c, es :
P(x ) x 2 3x (x 2) q(x )
Hallar :
b) 78 e) 99
P(x) ax 2 b y P(P(x )) 8 x 4 24 x 2 c
c) 7
16. Si se cumple :
a) 11 d) 13
H (x 1) f(x ) g (x )
P(x; y) nx n m y x r 1y my m 5 x 3 es homogéneo y con grado relativo respecto a "y" igual a 3. Hallar el grado relativo de "x". a) 3 d) 9
b) 5 e) 11
c) 7
25. Sean los polinomios :
P(x ) ax 3 bx 2 cx d ; Q(x ) ax 2 d ;
R(x ) ax b .
Si : P(0) 2 ; Q (1) R(2) 1 . Hallar "x", tal que : R(x) 0 . a) -3 d) 1
b) -1 e) 3
c) 0
26. Determinar en cuanto difieren "p" y "q" para que con cualquier valor de "x" se cumpla que :
27 8 x p (x 4) q (2x 3)
a) 7 d) 3
b) 5 e) 2
c) 1
27. Hallar : m . n, si el polinomio es homogéneo.
P(x ; y) x n 3 y7 (x 2 y 2 )4 x m y 4
c) 40 a) 100 d) 140
b) 124 e) 70
c) 144
TRILCE 28. El grado de homogeneidad del polinomio :
P(x ; y) x a y 2 b c x a b y 2 c x a 2c y a 2 b es 6. Calcular el valor de : E = a + b + c. a) 9 d) 3
b) 7 e) 11
34. Dado el monomio :
M (x ; y ) 4 a b x 2 a 3 b y 5 b a se tiene : GA(M) = 10; GR(x) = 7. Señalar su coeficiente.
c) 5 a) 2 d) 16
b) 4 e) 64
c) 8
29. Sea el polinomio :
P(2 x) a0 x 2a1x 2 22 a 2 x 3 ... 25 a5 x 6
Hallar la suma de coeficientes de P(x ) , si su término
independiente es a5 2 y además:
a0 a1 a 2 a 3 a 4 8 ; a0 0
a) 3 d) 2
b) 5 e) 1
c) 7
30. Dados los polinomios : f(x ) a (x 1)(x 2) b (x 2)(x 3) c (x 1)(x 3)
g(x ) x 2 2x 9
c a) x 1 d) 1
b) 0 e) 1/2
c) 1
b) 5 e) 8
c) 6
36. Definimos un polinomio P(x) x R.
P(x ) (x n 2)4 (x n 3)3 2 en el cual el término independiente es 17. Calcular "n". a) 1 d) 5
b) 4 e) 3
c) 2
b) 2 e) 4
c) 6
A(x; y) 7x a 2 y b 3 8 x cy d 1 5 x 2a 3 y b 1 es homogéneo. Hallar "a".
x 1 ; c 1 .
x b) x 1 e) x
a) 8 d) 10
38. Sabiendo que el polinomio :
c) c
a) 0 d) -3
b) 2 e) -4
c) 1
39. Si el polinomio :
32. Si : f(x 2) x 2 1 y h(x 1) 3x 1 , se ti ene que h(f(0)) h(5) es :
a) 82 d) 28
a) 4 d) 7
Q(x) x m 10 x m n 5 x p n 6 es completo y ordenado en forma decreciente.
Determine el valor de : a+ b+ c.
xc 31. Si : f(x ) x 1 f(f(x)) será :
P(x) a(2 x)10 b(3 2x)8 5 Hallar : a + b.
37. Hallar : m - n + p; si se sabe que el polinomio:
Si : f(x) g (x ) ; x R
a) -1 d) 2
35. Si la suma de coeficientes del polinomio P(x) es 13.
b) -17 e) -4
R(x ) (a b 2) x 2 (a c 3) x (b c 5)
se anula para : x = 2001; x = 2002; x = 2003; x = 2004. Hallar : a-b+ c.
c) 193 a) -1 d) 0
b) 2 e) 2001
c) 1
33. Hallar "n", si el grado de :
x xn 3
a) 5/3 d) 56/5
b) 56 e) 5/6
x
40. Sea P(x) un polinomio mónico de grado 3; halle la suma de coeficientes del término cuadrático y lineal, siendo su término independiente igual a 5. Además :
es 5
P(x 1) P(x ) nx 2
c) 56/3
a) 1 d) 3
b) 0 e) 4
c) 2
23
Álgebra
41. Dado un polinomio lineal P(x ) , que presenta resultados mostrados en el cuadro :
x
1
a) 7 d) 5
b) 9 c) 13
48. Dada la función "f", tal que :
2
f
3 x 3 2
P(x ) 4 6 Calcule : P(5) P(0 ) . a) 18 d)14
b) 16 e) 8
Calcular :
c) 12
42. Si : f(x 2 2 x 1) x 3 , entonces f(x 2) es:
c) x 2 x 2 4 e) x 2 x 2 4
f(1) f(1)
b) x 2 2 x 2
d) (x 2 )2 1
b) 7 e) 8
a) 4 d) 10
b) 6 e) 12
50. Siendo : P
1 ax 1
c) 3
7 x 2m n 2 .y m n
es de grado 10 y la diferencia entre los grados relativos a "x" e "y" es 4. c) 14
a) 1 d) -2
b) 2 e) 0
P(x ; y) (a b)x 3 y 2x 4 y 5 18 x 3 y (b a)x 4 y 5
c) -3
51. Si : f(x 1) f(x ) 2x 4 ; y f(0 ) = 2, entonces f(1) f(1) vale : a) 0 d) -2
45. Si el polinomio P(x;y) es idéntiamente nulo. Hallar : ab.
b) 20 e) 80
a 2x 3a 1
1 2
P(x; y) 3x 2 m n 4 .y m n 2 7 x 2 m n 3 y m n 1
a) 10 d) 60
c) 8
Obtener : P
44. Calcular : m - n, si el polinomio :
b) 9 e) 18
c) 10
m
es homogéneo?
a) 6 d) 15
x R
P(x ; y ) (m 3)x 9 m mx m 2 .y 3 y17 2m
P(x ; y) ab x a b y a b b 2 y 4
b) 2 e) Más de 4
2 x 2 18
49. Proporcionar la suma de coeficientes del siguiente trinomio :
43. ¿Para cuántos valores de "b" el polinomio :
a) 1 d) 4
2
a) 11 d) 9
2
2 a) x 2x 2
c) 11
52. Si : f(x x )
b) 2 e) -6 x x 1
xx
c) 6
2x 2
Además : f (x x 1) 3125 .
c) 40
Calcular : P f(x 2) .
46. En el polinomio :
P(x 1) (2x 1)n (x 2)n 128(2x 3) donde "n" es impar, la suma de coeficientes y el término independiente suman 1, luego el valor de "n" es : a) 5 d) 11
b) 7 e) 13
c) 9
47. Si : P( x ) (n 2) x
n9
y (n 3) x
y (n 4 ) x
n 8 2
y ...
n 7 3
es ordenado y completo. Hallar el número de términos.
24
a) 16 d) 14
b) 10 e) 12
c) 18
53. Q(x) es un polinomio que cumple las si guientes condiciones : I. Q(3) = Q(5) = 0 II. Grado mínimo III. Suma de coeficientes 16. Calcular el término independiente de Q(x). a) 18 d) 45
b) 15 e) 32
c) 30
TRILCE 54. Sabiendo que :
P(x; y) (5x 3 y)n 1 5n es tal que la suma de coeficiente es igual al término independiente aumentado en 1024. Hallar "n". a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
55. Si el trinomio :
F(x ) x a b x b c x a c es homogéneo de grado (10), de qué grado es el monomio. a
b
c
S(x ; y ; z) x b . c y a . zc a
a) 7 d) 33
b) 13 e) 30
b
c) 27
56. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo :
P(x ) c(x a x b ) a(x b x c ) b(x a x c ) abc
Si : a b c . a) 6 d) 15
b) 9 e) 18
c) 12
57. El polinomio :
A(x) ax m bx n cx p dx q mp es completo y ordenado, con suma de coeficientes igual a 13. Indicar : a + b + c + d.
58. Si : f(x 1) x 2
Hallar : f x 2 1 , x 0
x
x2 1 a) x c)
e)
1 x
2
1 x
2
x 1 b) 2 x
2
2 2 d) (x x 1)
(x 2 x 1)2
(x 2 x 1)2
59. Sean : P, Q dos polinomios dados por :
P(x) ax 3 bx 2 cx d Q (x ) 2x 3 x 2 3x 1
Si : P(x) Q (x 1) , determinar el valor de : a+ b + c + d a) 0 d) 3
b) 1 e) 5
c) 2
60. Si : R( x 3) x 1 5
Además : R(F 2 x (
9
7)
)
20 x 1
Calcular : F(x) . a) 5 d) 6
b)10 e) 9
c) 8 a) 15x - 9 d) 18x - 29
b) 8x - 129 e) -18x + 129
c) 18x - 129
25
Álgebra
Claves
26
01.
c
31.
c
02.
b
32.
e
03.
c
33.
c
04.
d
34.
c
05.
c
35.
e
06.
b
36.
b
07.
a
37.
c
08.
d
38.
c
09.
c
39.
c
10.
a
40.
a
11.
a
41.
d
12.
e
42.
c
13.
a
43.
c
14.
d
44.
c
15.
c
45.
e
16.
d
46.
c
17.
e
47.
b
18.
c
48.
e
19.
e
49.
d
20.
e
50.
a
21.
d
51.
c
22.
e
52.
a
23.
b
53.
c
24.
b
54.
d
25.
e
55.
c
26.
b
56.
e
27.
c
57.
a
28.
c
58.
e
29.
b
59.
b
30.
c
60.
c
TRILCE
C ap ít ulo
3
PRODUCTOS NOTABLES
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA Es la operación que tiene como objetivo determinar una expresión algebraica llamada producto, dadas otras expresiones algebraicas llamadas multiplicando y multiplicador, la igualdad obtenida es una identidad. Ejemplo : (x+ 2) (2x+ 1) = 2x2 + 5x + 2
multiplicando y multiplicador
identidad
producto
PROD UCTOS NOTABLES O ID ENTIDAD ES ALGEBRAICAS 1.
Binomio al cuadrado
(a b)2 a 2 2ab b2 (a b)2 a 2 2ab b 2
Nota : (a b)2 (b a)2 en general : 2.
(a b)2 m ( b a)2 m ; (m Z)
Identidades de Legendre
(a b)2 (a b)2 2 (a 2 b 2 )
(a b)2 (a b)2 4 ab 3.
D iferencia de cuadrados
4.
Binomio al cubo
(a b)(a b) a 2 b 2
(a b)3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b3
ó
(a b)3 a 3 b3 3ab (a b) Identidad de Cauchy
(a b)3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b3
ó
(a b)3 a3 b 3 3ab (a b) Identidad de Cauchy
5.
Identidades de Steven (x a)(x b) x 2 (a b)x ab
(x a)(x b)(x c) x 3 (a b c) x 2 (ab ac bc) x abc
6.
Suma y diferencia de cubos (a b)(a 2 ab b 2 ) a3 b3
(a b)(a 2 ab b 2 ) a3 b 3
27
Álgebra
7.
Trinomio al cuadrado
8.
Trinomio al cubo
(a b c)2 a 2 b 2 c 2 2ab 2 ac 2 bc
(a b c) 3 a 3 b 3 c 3 3 a 2 b 3 a 2 c 3 b 2 c 3 b 2 a 3 c 2 a 3 c 2 b 6 abc
ó
(a b c)3 a3 b3 c3 3 (a b)(a c)(b c)
IDENTID AD ES AD ICIONALES 1.
Identidad de Argan'd
(a 2n an bm b 2m )(a 2n a n b m b 2 m ) a 4 n a 2 n b 2 m b 4 m * 2.
Caso particular : (x 2 x 1)(x 2 x 1) x 4 x 2 1
Identidades de Lagrange (a 2 b 2 )(x 2 y 2 ) (ax by)2 (ay bx )2
(a 2 b 2 c 2 )(x 2 y 2 z2 ) (ax by cz)2 (ay bx )2 (az cx )2 (bz cy )2
3.
Identidad de Gauss
(a b c)(a 2 b 2 c 2 ab ac bc) a 3 b 3 c 3 3abc
de donde : 1 (a b c) [(a b)2 (b c)2 (c a)2 ] a 3 b 3 c 3 3 abc 2
4.
Otras identidades : (a b c)(ab ac bc) (a b)(a c)(b c) abc
(a b)4 (a b)4 8 ab (a 2 b 2 )
(ab ac bc)2 a 2 b 2 a 2c 2 b 2 c2 2abc (a b c)
Algunas Relaciones Condicionadas : I.
Si : a + b + c = 0 1. 2.
a 2 b 2 c 2 2 (ab ac bc)
a 3 b 3 c3 3abc
3.
a 4 b4 c4
1 2 (a b2 c 2 )2 2
4.
a5 b5 c5 5abc (ab ac bc)
II.
Si : x; y; z R / x 2 y 2 z2 xy yz zx , entonces : x = y = z.
II.
Si : x; y; z R m; n; p Z / x 2m y 2m z2p 0 , entonces : x = 0; y = 0; z = 0.
28
TRILCE EJERCICIOS PROPUESTOS x 3 y 3 20 ; xy 5
01. Si :
Calcular :
08. Si :
1 a a
M (x y)3 15(x y) 15
a) 40 d) 30
b) 35 e) 15
(a b)(a b)(a b ) (b a ) 2
4
b) 2b 2
a) 2a 2 4
4
c) 2a 4
e) 0
a) 6 d) -6
x 2 y 2 16
a) 2 d) 3
1
c) -9
a) 12
b) 13
d)
e) 11
3
c) 728
1 x
3
c) (a 2 )(a 2 ) e) a 2 2
x
2
x 2y
3x 2 y 6y es : 5x 2x y
b) 4 e) 2
V
1 x2
si :
c) 25
c) 5
; si : x
1 a x
b) 3 e) 6
c) 1
13. Calcular :
b) a 2 2
d ) (a 2 )(a 2)
x 2 y 2 x 2y 2y xy 2x x 3y
1 1 4 x y xy
a) 2 d) 4
07. Determine :
1
167
12. Calcular :
b) 36 e) 23
x2
3x 3 y 3
a) 3 d) 6
1 3 ; determinar el valor de : x
E x3 x 2
c)
(x y)2 2 (x 2 y 2) , el valor de : E
b) 240 e) 3
06. Sabiendo que : x
a) (a-2)(a+ 2)
1
y a.b = 3.
Hallar : (x 2 x 2 )(x 3 x 3 )
a) 49 d) 18
2
x 2 y 2 E x y
4
a) 243 d) 120
c)
Calcular :
11. Si :
x
E (m 3 n3 )1
b) 1 e) 4
c) -3
b) -7 e) 10
1
c) 12
x y 167 ; x 0 ; y 0 y x
Entonces (a b)2 es :
a) 6 d) 12
es :
Si : mn = 2 y m+ n = 2 2 .
x 3 y 3 64
b) -4 e) 2
04. Si : a b 5
a3
10. Si :
03. Si : x+ y = 4; calcular :
E
1
b) 6 e) 0
09. Hallar el V.N. de : 2
05. Si : x
3 3 , entonces a
a) 27 d) 4,3758
c) 20
02. Efectuar :
d) 2b
2
3
x 2 x x 5 27
a) x - 3
b) 3
d) -3
e) 3 x 5
3
x 2 x x 5 27
c) x
29
Álgebra
14. Calcular : (a b)(a 2 ab b 2 ) (a b)(a 2 ab b 2 ) 3a 3
a) 4 a 3
3 b) 4 b
d) 2b 3
3 e) b
c) 5a
3
15. La expresión simplificada de :
c) a
6 b
e) a
6b
a
a
b) (a b a b )6
6b
d) a
6 b
6b
a
para : 5 7 ; c 40 2 5
5 3 ; b
b) 10 e) 40
c) 47
x 3 y 3 z3 1 M xy yz zx xyz
18. Si :
b) -1 e) 2
3
a) 3 d) -1
c) -3
a 3 b3 c 3 3
a2 b2 c2 2 Calcular : E
(a b c)(2 ab ac bc) 1 abc b) 3 e) 1
22. Evaluar :
b) 2 e) 1
a + b + c = 15; a 2 b 2 c 2 93
a 3 b 3 c 3 645
a) No se puede determinar. b) 80 c) 70 d) 60 e) 75
c) 2
16 3 . 5 .17. 257 1
a) 2 d) 16
b) 4 e) 32
c) 8
a) 4
b)
c) 2
d) 2 2
e) 4 2
23. Si :
a48 4 2
a b b a
Calcular :
2
R m 2 n2 m 2 n 2
x 3 y 3 z3 3 xyz
c) -2
19. Calcular el producto abc, sabiendo que :
2 b) n
a) 2 d) m
2
c) 1
e) 0
25. Si :
mn n 2 3n m
n
nn nn m n
n
Calcular el valor de :
mn m 2 mn n
a) 1 c) n
30
e) 5 1
24. Si : m 2 n2 m 2 n2 n2 Calcular :
x + y + z= 3 xy + yz + xz = 0
Calcular :
c) 31
b48 42
17. Sabiendo que : x + y + z = 1 Calcular :
a) 1 d) 3
1 d) 6
a) 1/3 d) 1/2
E (a b)2 (a c)2 (b c)2 (a b c)2
a) 0 d) 50
1 b) 2
1 a) 4
6 b
16. Hallar el V.N. de :
a
Calcular : abc, además : F(n) n ; n { 1 , 2 , 3}
21. Sabiendo que :
(a b a b ) (a b a b ) (a4 b 1 a 4 b ) es : a) (ab a b )6
20. Sabiendo que : F(x ) ax bx cx .
2
b) 0 2
e) n - 1
nn n n m n
m 5 n5
m 2 m3 c) m + n
TRILCE 26. Reducir :
K (m 4)3 (m 3)(m 4)(m 5)
a) m 2 d)m+ 4
b) m e) m+ 8
31. Sean "a" y "b" números reales positivos, tales que : 1 a 2 b 2 13 y b.a = 13 () Simplificar la expresión :
27. Determinar el valor numérico de :
y x 1 y 1 x ( )( )( )( ) x y 1 x 1 y
a)
Siendo : x 4 9 2 ; y 3 4 4 a) 1
b) -1
d) -2
e) 2 2
d)
c) 2
5
A a) 2 d) 1
c) 3
29. Si se tiene como suma "s" y producto "p" de dos cantidades x, y, entonces :
x y 2
c)
3 s4 ps(1 s) p 2 2
d)
s4 ps
e)
0,25 s4 ps2 p 2
para : a 3 3 ; b 23 3 2 1
3 2 p 2
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
35. Dado :
M 3 2 (a b)[(a b)2 2ab (a b)2 ] (a b)
[(a b)2 4(a 2 b 2 ) (a b)2 ] Hallar el valor de "M".
2 2 2 2 n a a a ... a 1 2 3 n
a) 2a d) 8 a
Calcular :
(x a1)2 (x a 2 )2 (x a3 )2 ... (x an )2
d) n - 1
c) 3
(a b)[(a b)2 2ba (a b)2 ] 2b3
2 (a1 a 2 a 3 ... a n ) n
a) 0
b) 2 e) 6
34. Hallar el valor numérico de :
30. Sabiendo que :
x
(x 1)3 (y 2)3 (z 3)3 (x 1)(y 2)(z 3)
a) 1 d) 4
s4 2 ps2 3 p 2s p 4
c) 3
33. Si : x + y + z = 6, calcular :
es igual a :
b)
bc ac ab ab ac ab bc ac bc b) 1/2 e) 0
2
(s p)2 (s p)2
a)
2 ( 1)
1
Calcular :
b) 0 e) 2
2
e)
c)
(a b c)2 3 (ab bc ac) ; a, b , c R
a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c2 a 2 b2 M a b c
2
b)
2
32. Si :
28. Si : a + b+ c = 0, reducir :
a) 1 d) -1
x 1 a ba x 13 3 x a b 3a x
c) m+ 3
c) n
b) n
e) (n 1)
2
b) 2b 3
c) -2ab
e) 8 b 3
36. Dado el polinomio :
P(x) (x 2 1)(x 2 x 1)(x 2 x 1)
obtener :
2
a) 0 d) 215
P( 4 15 4 15 ) b) 217 e) 218
c) 216
31
Álgebra
37. El valor numérico de : 3
44. Sabiendo que :
(x y)2 1 (x 1)(y 1)
(x 3 3 x)2 (3x 2 1)2 ;
Calcular :
para : x = 999 es: a) 19 990 d) 999 000 38. Si : n
3
Calcular : a)
b) 991 000 e) 998 000
2 1 3
a) 2 d) -1
1
2 1
R n 3n 2 3
b)
3
d) 2
R
e) 1
2 2 Donde : a b 1
Calcular :
41. Si :
c)
8
e) 5
c) a b c
a 2b 2 (a 2 b 2) 2
e)
3 3 3 3 Hallar : a b (a b ) .
42. Si : b 3 1 0 ;
5 Obtener : 1 b . b4
a) 0 d) 2
c) 5 Calcular :
a) 0 d) 1 c) -1
a) 2 d) 3
32
b) 1 e) -10
x
a b c a 1bc b 1ca c1ab a 3 b 3 c 3 3abc abc
b) 1/3 e) -1
c) 2/3
N a6 b6 2
10
c) -1
d) 3abc
49. Si : a 4 b4 47 ab 1 , reducir :
43. Si se cumple : x 2 x 1 0 , hallar : 31
b) ab+ bc+ ca 2
1 1 1 a b c
b 1
x
2
48. Si :
b) 1 e) -2
c) 1
x x x 1 5abc (a 1 b 1 c1) 1 c2 1 b2 a2 ab ac bc
2
b) 2,5 e) 4,5
x 3 y 3 z3
b) 4 e) 2
a) a+ b+ c
ab (a b) 1
a) 3 d) 4
a) 3 d) -1
(x y z)(xyz)
47. Si : a+ b+ c = 0, hallar el valor de "x".
2x
b) 4
5
c) 18
46. Siendo : x, y, z R, tales que :
M
x 2
8
a 2 b 2c2 (a2 b 2 c2 )
b) 6 e) 3
c) 3
40. Sabiendo que : x 2 23 2x , calcular el valor de :
a) 3
a) 2 d) 4
(ab)4 (ac)4 (bc)4
Calcular :
b) 2 e) 5
E
c) 1/2
x 2 y 2 z2 2 (x 2y 3 z) 14
(x 1)(x 2 x 4 ) ab 1
a) 1 d) 4
y 2 (y 1)
b) 1 e)-1/2
c) 0
2
x 2 (x 1)
a 1 b1 c1 0 , calcular :
45. Si :
39. Si : x 3 a (a 2b) b 2 3 a (a 2b) b2
d)
K
c) 100 000
a) 3 d) 10
b) 14 e) 18
c) 20
TRILCE 50. Hallar el valor de "E" :
E (x y z) 3 z .(x+ y+ z)(x+ y) (x y )
3
3
a) x 3
b) y 3
d) 0
e) z3
a) 13m 3
d)
2x 1 2
x 1 2
c) x + 2
e) 2x - 1
1 1 1 52. Si : (xy 1)(yz 1)(zx 1) 8
Calcular : R (x y z)(x 1 y 1 z1 ) a) 2 d) 4
b) 3 e) 1
3 b) 6 m
d) m 3
Hallar : R H 16,25
b)
a2 b2 c2 3m 2
a 3 b 3 c3 7 m 3 Calcular : S = (a+ b-c)(b+ c-a)(c+ a-b)
c) 3z
51. Si : H (x 5)(x 6)(x 1)(x 2) 196
a) 2x + 1
56. Siendo : a+ b + c= m
57. Si :
a b
3 e) 7 m
a b
1
7
Calcular : R 8
a 8 a b b
a) 2 d) 4
b) 3 e) 1
58. Si se cumple :
x n y n ( ) ( ) 62 y x
c) 2
Entonces el valor numérico de :
1 2
p(4 ) p(10 ) p( 2)
2 2
c) 4 a b
b) ab
4 4
Para : a
a) 2 d) -4
3
3 32 ; 2
A
b
b) 3 e) 5
3
3 3 2 2
xy yz xz xy xz yz z x y
x 3 y 3 z3 4 xyz
(x 3 140) 3
3
x4 1
x11
b) 2 e) 1/3
c) 1/2
60. Si :
abc 5 2
a 1 b 1 c1 5 2
Calcular : a 3 b3 c3 . a) 4 10
c) 5 10
x 2 y 2 z2 xy xz yz 1 b) 1 e) -3
c) 16
a 2 b2 c2 2 5
Donde :
a) 0 d) 3
a) 1 d) 3
c) -3
55. Calcular el V.N. de :
R
xnyn
2 59. Sabiendo que : x 5 x 1 Obtener :
e) a b
E 4 ab (3a 2 b 2 )(a 2 3 b 2 )
xn yn
b) 8 e) 1
2 2
d) 2a b
54. Evaluar :
3
a) 4 d) 2
es equivalente a : a) a b
1
c) 5
53. Si : P(x) ax b x , a6 b6 1 , entonces :
4 4
c) 2m 3
e)
5 2
b) 7 2 10 d)
5 2
c) -1
33
Álgebra
Claves
34
01.
b
31.
c
02.
c
32.
b
03.
a
33.
c
04.
b
34.
c
05.
c
35.
a
06.
c
36.
d
07.
c
37.
e
08.
e
38.
c
09.
c
39.
d
10.
b
40.
d
11.
c
41.
b
12.
d
42.
c
13.
d
43.
c
14.
c
44.
b
15.
d
45.
a
16.
d
46.
c
17.
d
47.
b
18.
a
48.
a
19.
b
49.
e
20.
d
50.
e
21.
b
51.
d
22.
a
52.
b
23.
e
53.
e
24.
a
54.
e
25.
a
55.
e
26.
d
56.
a
27.
e
57.
e
28.
b
58.
d
29.
e
59.
e
30.
b
60.
b
TRILCE
C ap ít ulo
DIVISIÓN ENTRE POLINOM IOS
4
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA COCIENTES NOTABLES
D IVISIÓN D E POLINOMIOS Es la operación que tiene por objetivo determinar un polinomio llamado cociente (q) y otro polinomio denominado resto o residuo (R), conociendo otros dos polinomios llamados dividendo (D) y divisor (d).
Esquema clásico : D R
de donde :
d q
D = dq + R
(Identidad de la División).
Propiedades : Siendo el grado del dividendo mayor o igual que el grado del divisor, con respecto a una variable en particular, es decir : [D]° [d]°. Se cumple : 1.
El grado del cociente es la diferencia entre el grado del dividendo y divisor.
[q]º = [D]º - [d]º 2.
El máximo grado del resto es igual al grado del divisor disminuido en uno. [R] ºmáx= [d]º - 1
MÉTOD OS D E D IVISIÓN Para todos los métodos, el dividendo y divisor deben estar completos (si falta algún término se agrega "cero") y ordenados en forma decreciente. I.
MÉTOD O D E H ORNER Para este método sólo se utilizan coeficientes, colocándolos en el siguiente esquema :
Primer coeficiente del divisor los demás coeficientes del divisor con signo cambiado
d i v i s o r
D I V I D E N D O # lugares = dº
COCIENTE
R E S T O
35
Álgebra
Ejemplo : Dividir :
x 5 4 x 4 6 x 2 6 x 1 4 x 2 4x 2
Colocando según el esquema, los coeficientes del dividendo y divisor :
# lugares = dº = 2
8
4 -2
0 -4
6
12
p or
-6
6
8
-4
por
2
3
2
-1
suma
4
suma
8
suma
4
2
Coeficientes del "q"
8
-4
10
-5
Coeficientes del "R"
sólo se obtienen coeficientes. La variable se agrega de acuerdo al grado . Así tenemos : q° = 5 - 2 = 3 ; Rºmáx = 2 - 1 = 1.
q 2x 3 3x 2 2x 2 R 10x 5 II.
MÉTOD O D E RUFFINI Al igual que en Horner, sólo utilizan coeficientes. Ruffini se aplica únicamente cuando el divisor es de la forma : x + b. Esquema de Ruffini :
-b
D IVID END O COCIEN TE
siempre es un número
R
valor de "x" al igualar el divisor a cero.
Ejemplo :
3x 4 8 x 3 5 x 2 5 x2
Colocando los coeficientes en el esquema de Ruffini : x20
3
2
por
3
8 6
2
5 4
0
5
2
4
1
2
9
coeficientes de "q"
Las variables de "q" se agregan de acuerdo al grado : q° = 4 - 1 = 3.
q 3x 3 2x 2 2x 2 R 9
36
R
TRILCE Observación : si el divisor es ax + b (a 1), luego de realizar la división, los coeficientes del cociente se dividen entre "a".
Ej. :
3x 4 7 x 3 3x 2 x 7 3x 2 3x - 2 = 0 2 3
3
7
3
1
7
2
6
2
2
3
9
3
3
9
1
3
1
1
3
qº = 4 - 1 = 3
q x 3 3x 2 x 1 R 9
TEOREMA D EL RESTO El resto de dividir el polinomio P(x) entre (x-a) es P(a).
Observación : *
Si el divisor no es de primer grado, se calcula alguna expresión según el caso y tal cual, se reemplaza en el dividendo. Ejemplo : Hallar el resto :
x 50 3 x 21 7 x 2 x 1
x + 1 = 0 x = -1
Por T. resto :
Reemplazando en el "D" :
R (1)50 3 (1)21 7 (1) 2 R= 1-3+ 7+ 2 R= 7
Ejemplo : Hallar el resto :
x 20 7 x 5 6 x 4 x 3 1 x2 1
Por T. resto :
x 2 1 0 x 2 1 (no se calcula "x").
Formando " x 2 " en el dividendo :
(x 2 )10 7 (x 2 )2 x 6 (x 2 )2 x 2. x 1
Reemplazando :
x 2 1 R (1)10 7 (1)2 x 6 (1)2 (1) x 1 R = 1 + 7x - 6 + x + 1 R = 8x - 4
37
Álgebra
D IVISIBILID AD ALGEBRAICA Se dice que un polinomio es divisible entre otro, si el resto de dividirlos es cero; es decir : Si en : P(x) f(x) R = 0 Entonces P(x) es divisible entre f(x).
Propiedades : 1.
Si un polinomio es divisible entre otros polinomios por separado, entonces será divisible entre el producto de dichos polinomios, siempre que estos sean primos entre sí, (no deben tener ningún factor en común); es decir : P(x) f(x) R = 0 P(x) g(x) R = 0
Si en :
P(x) f(x) . g(x) R = 0
* 2.
f(x) y g(x) son primos entre sí.
Si un polinomio es divisible entre un producto de varios polinomios, entonces será divisible entre cada uno por separado; es decir : Si en :
P(x) f(x) . g(x) R = 0
P(x) f(x) R 0 P(x) g(x ) R 0
COCIENTES NOTABLES (C.N.) Se llama, así, a los cocientes exactos obtenidos de la división de binomios de la forma :
x n an xa Condiciones :
R 0 n entero y positivo
Propiedades :
1.
En :
2.
Si :
x n an , el número de términos del cociente será "n". xa
x m an x p aq
es un C.N., entonces se cumple que : m p
n q
# tér minos del cociente
FÓRMULAS D E LOS COCIENTES NOTABLES 1er. Caso : n par o impar x n an x a
38
x n-1 x n 2a x n 3a 2 .... a n 1
TRILCE 2do. Caso : n impar x n an xa
3er. Caso : n par
x n an xa
Observación : La forma
x n-1 x n 2 a x n 3a 2 ... an 1
x n-1 x n 2 a x n 3a2 ... a n 1
x n an no genera un C.N. pues R 0. x a
TÉRMINO GENERAL(Tk ) Se llama así a un término cualquiera del C.N. se representa por Tk . La fórmula para obtener el término general en:
x n an xa
es :
Tk x n k ak-1 k lugar de término.. x, a términos del divisor (denominador). n exponentes que se repite en el dividendo..
donde :
Importante : para aplicar la fórmula, la división debe tener la forna de C.N.
Ej.
Calcular el T17 en :
x120 y180 x 2 y3
Solución :
x120 y180 x 2 y3
no tiene forma
x 2 y3 60
60
x 2 y3
tiene forma de C.N.
T17 (x 2 )6017 (y 3 )17 1 T17 x 86 y 48 Observación : la misma fórmula puede aplicarse para los casos :
x n an x n an k 1 y , pero colocando el factor (1) xa x a
así tendremos :
Tk (1)k 1 x n k a k-1
39
Álgebra
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Sea : Q(x) el cociente y R(x ) el residuo de dividir :
6 x 4 7 x 3 4 x 2 10x 3
07. Calcular "n", para que el residuo de la división sea : 3n+ 2. x 3 nx 2 nx n 2 xn2
3x x 2 2
Indicar : Q(x ) R(x ) . a) 2x 2 6 x
a) -2 d) 2
b) 2x 2
d) x 2 6x 2
c) 2x 2 3x 2
e) 2x 2 2
x 4 5x 2 4 x m sea divisible por : x+ 1, el valor de "m" debe ser : a) -8 d) 1
12x 9x x x 3
2
6 x 3 3x 2 1
b) x 2x 1
d) x 2x 1
b) -4 e) 9
c) 2x+ 1
2
e) x 2 2x
P(x ) x 3 10000x 2 10002x 9999
Calcule el valor de : P(10001) . a) -3 d) 0
03. El residuo de dividir :
8 x 5 4 x 3 Ux 2 Nx I
b) -2 e) 1
a) 20 d) 50
b) 30 e) 60
(x 2 3 x 1)4 2 (x 3)5 x x 4
U.N .I . c) 40
c) -1
10. Calcular el residuo de dividir :
2x 3 x 2 3
es : 5 x 2 11x 7 . Calcular :
c) -1
09. Dada la función polinomial :
2
a) -2x+ 1
c) 1
08. Para que la siguiente ecuación :
02. Hallar el residuo de dividir : 5
b) -1 e) 3
a) 88 d) 95
b) 89 e) 98
c) 87
11. Calcular : (A+ B-C), si la siguiente división:
Ax 5 Bx 4 Cx 3 27x 2 19x 5
04. Si la división :
6 x 16x 25 x Ax B es exacta, entonces el 3x 2 2x 1 valor de : N = A+ B, es : 4
a) 5 d) 19
3
b) 9 e) 20
c) 14
05. El residuo de dividir : 3x 3 4 x 2 5x 6 entre 3x + 2 es : a) 0 d) 1
b) 2 e) -1
c) 4
06. Al efectuar la división :
3x 4 2 2x 3 4 x 2 2x 6 3x 2
Indicar el producto de todos los coeficientes del cociente. a) 2 d) 8
40
4 x 3 3x 1
2
b) 4 e) 12
c) 6
es exacta. a) 41 d) 10
b) 21 e) 40
c) 11
12. Señale la relación necesaria de "a", con "c", tal que la división :
2a 2x 5 4 abx 4 2b 2x 3 a 3x 2 a 2x 2a 2 b ax 2 bx c
presente un resto : 4 a 2 x 2c2 a 2c . a) 3a = 2c c) a = c e) 3a = -2c
b) 2a = 3c
d) 3a 2c
TRILCE a) 5 d) 32
13. ¿Para qué valor de "m", la división :
5 x 3 m (x 2 x 1) 5x 2 2x 4
a) 5 d) 8
es exacta?
P(x) x 5 (2 2 2 ) x 4 4 2x 3 5x 3 2
Para : x 2 2 .
d) 13 2
e) 9 2
2+7
c) 7 2
15. El resto obtenido en :
3 x 4 (1 3 ) x 3 2 3 (x 2 1) A 2x x 1 3
b) 6 e) -6
c) 9
16. Calcular el resto de dividir :
d) 62n
7
b) 126n7
7
a) a = c - 1 c) 2a = c - 1 e) a = 2c - 1
b) b = c + 1 d) 2a = c + 1
22. Si en la división :
el cuádruple del resto es igual a nueve veces la suma de coeficientes del cociente. Hallar "a".
(x 3 1)29 x 15 x 5 1 x2 x 1
b) -x e) 0
b) 9 e) 3
x7
c) 3n7
17. Hallar el resto en :
c) 8
8n
x7
9n
x7
10 n
x
n N / n 2003 . a) -n d) 2003
n 77
... " n" sumandos 1
2 b) n
e) - n
c) 0
2
c) x+ 1 24. Calcular la suma de los valores de "a" que hacen al polinomio :
18. Indicar el residuo obtenido al efectuar la división :
mx 3 m 2 nx 3 n 1 px 3 p x2 1 x
a) (m - p)x + m - n c) (n - m)x + p - m e) (m+ 1)x + n - p
2 x a bx c ; sea divisible entre (x 1) .
23. Calcular el resto de la siguiente división :
e) 128n7
a) x d) 1-x
c) -1
21. Hallar la relación entre "b" y "c" para que :
a) 10 d) 6
(x n) x n x 2n
7
b) 1 e) 3
ax a1 (2a 1) x a 2 (3a 2) x a 3 ... (a 2 a 1) ax 1
es 2. ¿Cuánto vale A?
7
x3 1
es 8 x 2 px 5 . Calcule : m + n + p a) 0 d) 2
b)
a) 0
mx 8 nx 6 3x 5 1
c) 7
14. Calcular el valor numérico de :
a) 8 2
c) 16
20. Si el residuo de la división :
b) 6 e) N.A.
a) 18 d) 8
b) 15 e) 64
b) mx - n + p d) (m + p)x - n
19. Si el resto de dividir :
6 x 3 nx 1 x2 1
; es : (-4x+ 1).
P(x) x n ax n 1 ax 1 ; a Z divisible por (x 1)2 .
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
25. Calcular el resto en :
[(x 2 )n 2 2x 2n 1 ] (x 3 2)2n x 2n 1 x2 x 1
a) 0 d) x
b) 1 e) -x
; n Z
c) 1
Calcular : n6 .
41
Álgebra
26. Obtener el término independiente del cociente de :
x18 (x 3 1) 5 x14 3x 4 11 x 1 a) 10 d) 6
b) 8 e) 2
a) 2 d) -2
c) 4
x 7 n x 6 n 3 2 x 5 n 1 3 x 4 n 3 x n 1 x n 2 ... x 1
a) -4 d) -6
entre x 2 ; se obtendrá como resto : 2
b) x + 1 e) 0
(x 1) (x
3
8)
. (x
(x 2 2x 2)
2
2
c) -1
b) x + 1 e) 6
c) 5
35. Un polinomio es dividido en forma separada entre (x-4), (x+ 4) y (x-1); obteniéndose el mismo residuo 5. H allar el residuo que se obtiene al dividir dicho polinomio entre (x 3 x 2 16 x 16 ) .
c) 1
28. Calcular el valor de "n" para que : n
b) -4 e) 0
34. Un polinomio P(x) de tercer grado es divisible por separado entre (x - 2); (x+ 1) y (2x+ 1). Si la suma de sus coeficientes es -30, hallar el cociente de dividir P(x) entre el producto (x-2)(x+ 1)(2x+ 1).
27. Si se divide el resto de la siguiente división:
a) x d) -1
33. El polinomio P(x) es divisible en forma separada entre (x-2), (x+ 4) y (x+ 1). H allar el residuo que deja la división de P(x) entre (x 3 3 x 2 6 x 8) .
8 x 16) 29 x 4 (2 x)4
a) 2 d) 0
b) 5 e) 4
c)10
presente un resto de 11 200. a) 6 d) 3
b) 5 e) 4
36. Un polinomio de tercer grado cuya suma de coeficientes es -76, es dividido en forma separada entre (x+ 1), (x+ 3) y (x-3); obteniéndose el mismo residuo 4. Calcular su término independiente.
c) 2
29. Calcular el residuo que se obtiene al dividir:
(x 9 2x 4 x)(x 2)
a) -31 d) 19
(x 4 2)(x 2)
2 d) 5 x 14 x 8
c) x 2 2x 6
e) 3x 2 12x 6
a) -17 d) -10
30. Deteminar: a+ b+ c, de modo que :
(x 1)5 a(x 1)3 bx c ; es divisible por (x 1) . 3
a) 40/3 d) 184/3
31. Si al dividir :
b) 70/3 e) 52
P(x )
x 2
c) 94/3
. El residuo es 8 y el cociente (x 2 1) ,
hallar : P(4 ) . a) 40 d) 32
b) 42 e) 18
c) 30
32. Si al dividir P(x) entre (x x)(x 3) , se halla por resto 2
(6x + 5), hallar el resto de dividir P(x) entre x - 3. a) 20 d) 12
b) 23 e) 18
c) 2
b) 15 e) -6
c) 12
38. Al dividir un polinomio mónico P(x) de tercer grado
por separado entre (x 2 2x 2) y (x + 1) da el mismo P(x ) resto 8, hallar el resto de dividir : . x 3 a) 24 d) 15
b) 12 e) 17
c) 28
39. Se divide P(x) entre (x+ 1) y (x-1), los restos respectivos son 2 y 4. Hallar el resto de dividir dicho polinomio entre x 2 1 . a) x + 2 d) x + 3
b) x e) -x + 3
c) -2
51 40 40. El polinomio : (x 2) (x 1) 7 .
2 No es divisible entre : x 3x 2 .
Indique su residuo. a) 2x + 1 d) 2x + 4
42
c) -41
37. Si A(x) es un polinomio de segundo grado, tal que al dividirlo entre (x-5) y (x+ 3) en forma separada deja residuo igual a 7. Calcular el residuo de A (x ) (x 1) , si : A(x) (x-4) deja residuo -7.
2 b) 5 x 6 x 8
a) 5x + 4
b) -37 e) 21
b) 2x - 1 e) 2x
c) 2x - 4
TRILCE 41. Si al dividir : P(x) entre (x - b) da como resto "a" ; al dividir P(x) entre (x - a) da como resto "b". Hallar el resto que resulta de dividir :
P(x ) (x a) (x b)
a) x + ab c) -x - a + b e) -x + 2ab
(a b)
b) -x + ab d) -x + a + b
a) 27 d) 512
42. Al dividir el trinomio :
ax 2 bx 2 entre (x-1) y (5x-13) dio como restos -1 y 15, respectivamente. Hallar el valor de : (a - b). a) 13 d) -1
b) 10 e) -13
b) -x e) -x - 1
a) 0 d) x + 3
b) 15
e) x 2 3x 1
a) 3x 2 d) 4 x 2
2 b) x
e) 3x 2
b) 22 e) 56
2 d) x x 1
b) 2
e) 2x 2 x 1
independiente es 60. a) 710 d) 1221
b) 7200 e) N.A.
c) 2x 2
c) 36
c) 2300
50. Al dividir un polinomio S(x) entre (x 3 1) se obtuvo 2
como residuo 3x. Hallar el residuo que origina S (x ) entre (x 2 x 1) .
b) 3x - 3 e) 9x - 9
c) 3x + 3
2 51. Un polinomio P(x) , al ser dividido entre (x 1) , da
como residuo (-x + 1). ¿Cuál será el residuo en?
[ P(x )]7
x2 1
c) x 1
47. Los restos de las divisiones de un polinomio entero en "x" por los binomios (x+ 3), (x - 2), (x - 1) son 16, 11 y 4 respectivamente. Entonces el residuo de la división de dicho polinomio entre x 3 7 x 6 será : a) 1
resto de dividirlo entre (x + 1) es 960 y su término
2
46. Se tiene un polinomio de segundo grado que es divisible entre (x - 1). Se sabe además que su término independiente es -3 y que al dividirlo entre (x + 1) se obtuvo como resto 8. H allar el resto que resulta de dividir el polinomio entre (x - 3). a) 10 d) 48
1 y es divisible entre (x 2 1) y (x + 5). Además el,
a) x + 4 d) 6x - 6
45. Al dividir un polinomio mónico de tercer grado entre (x-2) y (x-4) en forma separada se obtuvo el mismo residuo -8, si su término independiente es 16. Hallar su término cuadrático.
c) 427
grado entre (x + 2), si se anula para : x = 3, x = 2, x =
c) x + 1
44. Los restos de la división de un polinomio entero en "x", por los binom io s x+ 1, x-1 y x-2 son, respectivamente 5, -1, -1. Hallar el resto de la división 2 del polinomio por el producto : (x 1) (x 2) .
b) 501 e) 511
49. Calcular el resto de dividir un polinomio P(x) del sétimo
c) -10
43. Dado el polinomio P(x) , si P(x) - 5 es divisible por (x + 5) y P(x) + 5 es divisible por (x - 5). ¿Cuál es el resto de 2 dividir P(x) entre (x 25) ? a) x d) x - 1
48. Un polinomio P(x) de noveno grado, tiene raíz cúbica exacta, se anula para x = 2 es divisible entre (x + 2), el resto de dividirlo entre (x + 1) es 729, la suma de sus coeficientes es 27. Señala el término independiente de dicho polinomio.
a) x - 1 d) 8(x - 1) 52.
b) 4(x + 1) e) 4(x - 1)
Se sabe que el polinomio F(x)
c) 8(x + 1)
es divisible por (xn - 1).
Si se divide F(x) entre (x-1), se puede afirmar que : a) b) c) d) e)
Es exacta. La suma de los coeficientes del cociente es cero. La suma de los coeficientes del resto es cero. a ó c. Hay 2 correctas.
53. Se tiene un polinomio P(x ) que, al dividirlo entre :
x 5 15x 4 85x 3 225x 2 274 x 120 , se obtiene como resto : 3x - 1 y un cociente Q (x ) . Se pide calcular el resto de dividir P(x ) entre (x - 4), sabiendo que al dividir Q(x) entre (x - 4) se obtuvo como resto 1. a) 11 e) 20
b) -10 e) -11
c) -20
2 c) x 1
43
Álgebra
54. Al dividir P(x) entre (x + a) deja como resto 4bc. Al
60. Si "N" es el número de términos que genera el desarrollo del cociente notable :
x 3 a 1 y 5 a 5
2 2 dividir Q(x) entre (x + a) deja como resto b c . Hallar el resto que se obtiene al dividir :
P 2(x) Q (x )
entre (x + a). Se sabe además que :
2
2
a 2x a 15 a
es divisible entre (x a ) y (x + 3), entonces también
será divisible entre : b) x - 3 e) x - 4
c) x - 5
56. Si endo : P(x ) x 4 x 3 nx n di vi si ble separadamente entre los binomios (x-a), (x-b), (x-c), (x-d), señale el residuo de dividir P(x) entre :
(x a 1 b1 c1 d 1 ) a) 2 d) -1
b) 0 e) -2
c) 1
57. Encontrar el término central de un polinomio de la
x n 1 an 2
a) 3 d) 7
nx (n 1) x 2 (n 2) x 3 ... 2x n1 x n , sabiendo
que el resto que resulta de dividirlo entre (x - 1) es 153. b) 9 x 9
13
7
d) 13x
e) 7 x
c) 12x12
x 30 x m x n y2
58. Si el cociente notable :
b) 21 e) 50
c) 6
2 x m 81 y 2 m
x 27 y 3
genera un cociente notable. H allar el número de términos de dicho cociente notable. a) 6 d) 13
b) 12 e) 27
a)
b)
c)
x15 y 20 x3 y4
y 20 m 25 y 4 m5
a 40 b 28 a10 b7
x 21 1 x3 1
tiene 10 términos,
64. Indicar el C.N. que origina a : c) 25
a) b)
59. Siendo que el C.N.
c)
a m 2 b n 5
m72 m 54 m 36 m18 1
y 8 x 8 y 6 x16 y 4 x 24 y 2 x 32
x 35 x 30 x 25 x 20 x15 x10 x 5 1
65. H allar el vigésimo tercer término del desarrollo del cociente :
a3 b2
x120 y 96 x5 y4
tiene 9 términos en su desarrollo, calcular :
mn
a) 1 d) 5
44
b) 3 e) 7
c) 15
63. Desarrollar los siguientes C.N. :
d)
hallar el valor de (m+ n). a) 23 d) 35
b) 5 e) 9
62. Si la siguiente división :
forma :
a) 10x 10
c) 11
x 5 n3 a5(n 6)
c) 2bc
55. El polinomio : x 2x 15 x x
a) x + a d) x + 5
b) 9 e) 28
61. Hallar el número de términos del desarrollo del C.N. :
b) b 2c2 e) 4 3
Indicar el valor de : "a + N". a) 7 d) 13
P2(x ) es divisible entre Q(x) . a) 4bc d) 16
x 5 y10
Señalar la suma de exponentes. c) 4
a) 91 d) 97
b) 93 e) 99
c) 95
TRILCE 66. Evaluar el quinto término del C.N. obtenido a partir de:
x 36 y12 x y 6
2
8 , para : x 2 e y 26 .
4 a) 2
b) 210
8
d) 2
c) 24
e) 1
x
y
260 n
x 5m y 4 n
a) 6 d) 18
b) 12 e) 24
c) 15
xm yn x7 y 4
genera un C.N.
b) 39 e) 42
x125 y75 x y 5
3
b) 13 e) 16
Sabiendo que el TP x
x120 y 40 x3 y
90 m .
y
Hallar : "m.p".
b) 110 e) 90
c) 132
71. H allar el término central del desarrollo del siguiente cociente notable :
x 6 k 3 y 8 k 3 x y 3
9 15 a) x y 5 9
d) x y
1/ 2 . Hallar : (m n)
b) 2 e) 5
c) 3
75. Qué lugar ocupa el término independiente en el desarrollo del C.N. :
Q(x) a) 6 d) 9
3 5 b) x y
x 3 x 1
b) 7 e) No tiene
c) 8
76. Indicar el lugar que ocupa el término independiente del desarrollo del C.N. :
x 27 x x x 3 x 5
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
77. Calcular "m" para que el término independiente del C.N. :
x 24 m 6 x 6 x 4 mx 1
a) 6 d) 3
sea 81. b) 5 e) 9
c) 4
x 6 x 4
c) xy
12 10
e) x y
(3x 2y)15 y15
6
a) 17 d) 22
b) 18 e) 21
x 9 x
1
c) 19
79. Si el término de lugar 4 contado desde el extremo final del desarrollo del C.N. :
3x y
x 5 p y 2p
Indicar el valor de A(1; -2). b) -37 e) 128
x 27 x 9
78. Hallar el lugar que ocupa el término independiente en el desarrollo de :
5
72. Si : A(x; y) es el término central del desarrollo del C.N.:
a) -128 d) 37
25 m
c) 15
70. Dado el cociente notable :
c) 94
es x 2 . y 20
c) 40
P(x ; y)
a) 72 d) 56
b) 72 e) 111
a) 4 d) 1
69. Determinar el lugar del término que presenta como grado absoluto a 88 en el desarrollo de :
a) 14 d) 17
a) 24 d) 38
x5 y2
Hallar el grado absoluto del sexto término del desarrollo. a) 38 d) 41
es zq w 90 . z2 w 5 Calcular el valor de "n - q".
x 5 n y 2n
es x 345 y 984 .
68. Si : m - n = 27; y
zn w m
74. Si el término central del C.N. :
67. Calcular "mn", si el T24 del C.N. : 325 m
73. El término central del desarrollo del cociente notable :
c) -64
x5 y2
tiene grado absoluto 37.
Indicar el número de términos del desarrollo del C.N.
45
Álgebra
a) 10 d) 15 80. Si : x C.N. :
b) 12 e) 18 66 7 5 r
y
c) 14
83. Simplificar :
E
es el séptimo término del desarrollo del
x p yq
x11 y r Indicar el término de lugar 5 contado a partir del extremo final. a) x
55 49
d) x
44 56
b) x
y
y
c) x
x8 1
xm 1
tiene 4 términos en su desarrollo..
b) 210 1
e) 211 1
d) 211 1
E(x)
x 20 x18 ... x 2 1
10
9
b) -1/3 e) 9
8
x 22 x 20 x18 ... x 2 1
c) x 6 x 3 1
e) x12 x 6 1
c) 1
(x 2 x 1)(x 2 x 1)
x 18
b) x12 x 6 1
d) x10 x 5 1
85. Si :
x 12 x10 x 8 x 6 ... 1) F(x ) x 24 x 20 x16 ... 1
c) 29 1
x x x ... x 1 Hallar : E(-1/3).
46
E
Hallar : F
82. Si :
a) -1/9 d) 3
e) x 42
a) x 6 x 3 1
Calcular : E m9 m8 m7 ... m 1 . a) 210 1
c) x 41
y
e) x y
c) x 36
b) 1
84. Reducir :
x 40
x 38 x 36 x 34 ... x 2 1
a) 0
55 35
5 66
y
81. Si el C.N. :
66 42
x 78 x 76 x 74 ... x 2 1
x11 1 x 1
a) 257 d) 127
2.
b) 511 e) 510
c) 25
1
TRILCE
Claves 01.
b
31.
b
61.
e
02.
c
32.
b
62.
a
03.
c
33.
e
63.
-
04.
d
34.
c
64.
-
05.
a
35.
b
65.
b
06.
b
36.
c
66.
e
07.
a
37.
a
67.
d
08.
a
38.
c
68.
d
09.
b
39.
d
69.
d
10.
c
40.
d
70.
e
11.
c
41.
d
71.
a
12.
c
42.
a
72.
a
13.
d
43.
b
73.
d
14.
c
44.
e
74.
e
15.
d
45.
e
75.
b
16.
b
46.
d
76.
b
17.
d
47.
e
77.
d
18.
c
48.
d
78.
d
19.
e
49.
b
79.
d
20.
b
50.
e
80.
d
21.
b
51.
c
81.
a
22.
b
52.
d
82.
d
23.
a
53.
a
83.
b
24.
b
54.
d
84.
e
25.
a
55.
c
85.
d
26.
e
56.
b
27.
c
57.
b
28.
c
58.
a
29.
d
59.
c
30.
e
60.
e
47
Álgebra
48
TRILCE
C ap ít ulo
5
FACTORIZACIÓN
Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que, al multiplicarlos, se obtenga el polinomio original.
Ejemplo : 1. Factorizar : xy + xz + xw. Solución :
Ejemplo : ya factorizado
x2 y2 (x y)(x y)
se extrae "x"
xy+ xz+ xw "x" factor común
Antes de factorizar factores
Puede notarse que si multiplicamos (x+ y)(x-y) se obtiene x 2 y 2 que viene a ser el polinomio original (la factorización y la multiplicación son procesos inversos).
Factor Primo Es aquel polinomio que no se puede descomponer en otros polinomios. Ejemplo :
x2 y2 no es primo (se puede descomponer).
x2 y2 es primo (no se puede descomponer).
Propiedades : 1.
2.
3.
El número máximo de factores primos que tiene un polinomio está dado por su grado. Así por ejemplo :
polinomio factorizado
2. Factorizar : xy4 y7 z y3 w Solución :
xy 4 y7 z y 3 w y
menor exponente
3
factor común
se extrae "y 3"
tendremos :
y 3 (xy y 4 z w) polinomio factorizado
3. Factorizar : a2 ab ac bc Sol. agrupando :
x3 6x2 12x 6 a los más tiene 3 factores primos.
a 2 ab ac bc
Los polinomios lineales (primer grado) necesariamente son primos.
a(a+ b) + c( b+ a) factor común : a + b
Sólo se pueden factorizar los polinomios no primos.
MÉTOD OS D E FACTORIZACIÓN I.
x(y+ z+ w)
Método del Factor Común Se aplica cuando en todos los términos del polinomio se repite el mismo factor, el que se denomina factor común. Para factorizar, se extrae a cada término del polimonio el factor común, (si éste tuviese diferentes exponentes, se elige el de menor exponente).
se extrae (a+ b)
tendremos : (a+ b)( a+ c) polinomio factorizado
49
Álgebra
II.
Método de las Identidades En este caso, se utilizan las identidades algebraicas (Productos Notales); pero en forma inversa, es decir teniendo el producto se calculan los factores que le dieron origen. Se puede utilizar cualquier Producto Notable estudiado; pero los que se utilizan con más frecuencia los recordamos en el siguiente cuadro :
Producto Notable Diferencia de Cuadrados :
a2 b2
(a+ b)(a-b)
Trinomio Cuadrado Perfecto : a 2 2ab b 2 (TCP)
(a b)2
Suma o Diferencia de Cubos : a3 b3
(a b)(a 2 ab b 2 )
Ejemplo :
Solución :
1. Factorizar : x y 4
Polinomio Factorizado
x 2 10x 9 (x 9)(x 1)
2
Solución :
(x 2 )2 y 2 (x 2 y)(x 2 y)
x
9
x
1
9x x 10x
polinomio factorizado
2.
Factorizar : x2 10x 25
b) Aspa D oble : Se aplica a polinomios de la forma :
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F
Solución :
se obtienen dos factores trinomios.
x 2 2 (x )(5) 5 2 (x 5)2
Regla :
polinomio factorizado
3. Factorizar : a 27 3
Solución :
* Se descomponen en dos factores :
Ax 2 ; Cy 2 ; F * Mediante tres aspas, se comprueban: Bxy, Dx, Ey.
a 3 3 3 (a 3)(a2 3a 9)
Ej.
Factorizar :
10x xy 3y2 16x 14y 8 2
polinomio factorizado
III.
Solución :
Método de las Aspas a) Aspa Simple : Se aplica a trinomios, obteniéndose 2 factores binomios. Regla : se descomponen dos de los términos, en dos factores, luego se calcula la suma del producto en aspa, tal que sea igual al término no descompuesto del trinomio.
Ej.
Factorizar :
x2 10x 9
10x 2 xy 3 y 2 16x 14 y 8 5x
3y 1
2x
2 3
-y
2
-4
Comprobaciones : Aspa 1
-5xy + 6xy = xy
Aspa 2
-12y - 2y = -14y
Aspa 3
4x - 20x = -16x
luego, tendremos : (5x+ 3y+ 2)(2x-y-4)
50
TRILCE c)
Caso B : coeficiente principal 1 posibles ceros :
Aspa D oble Especial Generalmente, se aplica a polinomios de cuarto grado de la forma :
Ax 4 Bx 3 Cx 2 Dx E Se obtienen dos factores trinomios de segundo grado.
Regla para factorizar :
Regla : *
divisores T. independiente divisores coeficient e principal
Se descomponen :
Ax 4 y E, luego se calcula la
a)
suma del producto en aspa. * *
La suma obtenida se resta de Cx 2 .
Se calcula los posibles ceros y se comprueba si alguno anula al polinomio, por ejemplo : Si se anula para :
La diferencia que resulta se descompone en dos
x= 2 (x-2) es factor x = -3 (x+ 3) es factor x = 4/5 (5x-4) es factor
factores para comprobarlos con : Bx 3 y Dx. Ejemplo :
Factorizar : x4 5x3 9x2 14x 6
b)
x 4 5 x 3 9 x 2 14 x 6
Solución :
x2 x2
4x 2
1
3 3
x
2
Comprobación : Aspa 1
Al polinomio dado, se le divide entre el factor o factores binomios obtenidos en el primer paso, el cociente de esta división es el otro factor del polinomio. Ejemplos :
1. Factorizar : x3 6x2 12x 7 Solución : *
2x 2 3 x 2 5x 2
2 que se resta de 9 x 2 , obteniéndose 4 x .
Aspa 2
x 2. 4 x x 2. x 5 x 3
Aspa 3
4x . 2 + x . 3 = 11x
Posibles ceros (coeficiente principal= 1).
1, 2, 3, 6 divisores de 6
* *
Se comprueba que se anula para: x = 1 (x-1) es factor.. Se divide por Ruffini al polinomio entre (x-1) :
(x 2 4 x 3)(x 2 x 2)
IV.
x-1 = 0 1 1 1
Método de los D ivisores Binomios o Evaluación Binómica
-6
12
-7
1
-5
7
-5
7
0
x2 - 5x + 7 factor faltante
Se apli ca a polinom io s de cualqui er grado, generalmente con una sola variable, siempre que tengan por lo menos un factor lineal (primer grado).
*
"Ceros" de un Polinomio
2. Factorizar : 6x3 7x2 6x 1
Son los valores de la variable que anulan el polinomio.
(x 1)(x 2 5x 7)
*
Para obtener los posibles "ceros" de un polinomio, tendremos :
Posibles ceros (coeficiente principal de 1) :
1,
Caso A : coeficiente principal = 1
posibles ceros :
divisores del término independiente
Finalmente tenemos :
(
* * *
1 1 1 , , 2 3 6
Divisores de "1" ) Divisores de "6"
Se comprueba que se anula para: 1/3. Se divide por Ruffini entre : 3x - 1. Finalmente, tenemos :
51
Álgebra 6
7
6 2
3
-1
1 3
-6
1
2
3
-1
9
-3
0
b) Si aparecen exponentes pares trataremos de formar TCP. Ejemplo :
Factorizar : x4 4b4 c8
3
Solución :
2x 2 3 x 1 (factor faltante)
2 2 2 4 2 Tenemos : (x ) (2b c )
tendremos : (3x 1)(2x 3x 1) . 2
IV.
para formar TCP, necesitamos :
2 (x 2 )(2b 2c4 ) 4 x 2b 2c4
Método de los Artificios
Artificio Sumamos y restamos :
En este caso, no existen reglas fijas. Se aplica cuando las reglas anteriores no son fáciles de aplicar ; pero se puede recomendar lo siguiente :
4 x 2 b 2c 4
4 8 2 2 4 2 2 4 x4 4 b c 4 x b c 4 x b c TCP
a) Si dos o más términos se repiten constantemente, se sugiere hacer cambio de variable. Ejemplo :
(x 2 2b 2c4 )2 (2xbc2 )2
2 2 2 4 2 ( x 2 2 b 2 c4 2 xbc )(x 2 b c xbc 2 )
Factorizar :
(a b c 2) (a b c 1) 5 (a b c 1) 2
Hacemos : se elige la letra que se desee menos : a, b, c
reemplazando :
(x 2)2 (x 1) 2 5 (x 1)
x 2 4 x 4 x 2 2x 1 5 x 5
2x 2 11x x(2x 11) como :
c)
Si aparecen exponentes impares, procuramos formar suma o diferencia de cubos. Ejemplo :
Factorizar : x5 x 1
Solución :
a+ b+ c = x
ya factorizad o
2
-
x = a+ b+ c
(a+ b+ c) [ 2(a+ b+ c)-11 ]
Solución : * Como hay exponentes impares, buscamos suma o diferencia de cubos. 5 * Si a " x " le factorizan " x 2 " , aparece " x 3 " .
Artificio : sumamos y restamos x 2 .
x5 x 1 x 2 x 2
x 2 (x 3 1) (x 2 x 1)
x 2 (x 1)(x 2 x 1) (x 2 x 1)
(x 2 x 1)(x 3 x 2 1)
52
TRILCE EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Indicar el número de factores primos de :
P(x; y) x y x y 5 3
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
2 7
a) x + 5 d) x + 4
b) x + 7 e) x - 1
c) x + 3
09. Factorizar :
F(x ; y) x 2 (x y)2 8 xy 2 (x y) 12 y 4 La suma de sus factores primos es :
c) 4
02. Señalar un factor primo, al factorizar :
F(x ; y) x 3 y x 2 y 2 x 2 xy
a) 2x + y d) 4x + 2y
c) x 2
10. Factorizar :
a) y d) x - y
b) xy - 1 e) xy
03. Indicar un término de un factor primo de :
R(x ; y) x 6 x 2 y 2 y 4 xy 3 x 3 y 3
a) xy 2
d) x 2 y
3 b) x y
e) y 3
c) y 4
F(x ; y) x 3 y 2x 2 y 2 xy 3 x 2 2xy y 2 El factor primo que más se repite es : b) xy - 1 e) x - y
c) (x y)2
05. Factorizar :
F(x ; y) (x 2 y 2 )2 (y 2 1)2 Un factor primo es : a) x + y
d) x 2 y
b) x - y
c) x + 1
F(x ; y) (1 xy )2 (x y)2 4 xy Un factor primo es : b) x - y e) 1 - x
c) 2x + y
07. Factorizar :
F(x ) (2x 2 3 x)2 14(2x 2 3 x) 45 Un factor primo es : a) 2x - 1 d) 2x + 1
b) 2x - 3 e) 2x + 3
c) 2x + 5
08. Si el polinomio :
F(x ) x (2m 1)x (m 1) Es factoriable mediane un aspa simple (en los enteros), 2
F(x ) x 3 2x 2 5 x 6 El término independiente de uno de sus factores primos es : a) -1 d) -6
b) -3 e) -2
c) 6
F(x ) x 3 2x 2 5 x 6 La suma de coeficientes de uno de sus factores primos es : a) 1 d) 7
b) 3 e) 9
c) 5
12. Factorizar :
F(x ) 6 x 3 19 x 2 15 x 2 La suma de sus factores primos es : a) 6x - 4 d) 3x + 7
b) 8x - 4 e) 4x - 3
c) 3x + 2
13. Factorizar :
P(x) x 5 21x 3 16x 2 108 x 144 e indicar el factor primo repetido.
e) y - 1
06. Factorizar :
a) x + y d) x - 2y
c) 3x + 3y
11. Factorizar :
04. Factorizar :
a) xy + 1 d) x + y
b) 3x + y e) 2x + 3y
2
a) x - 4 d) x - 2
b) x - 3 e) x + 1
c) x + 3
14. Factorizar :
F(x ) x 2 (x 2 3)2 (3x 2 1)2 La suma de factores primos lineales es : a) 4x + 1 d) 2x + 3
b) 4x + 3 e) 2x - 1
c) 2x
15. Indicar la suma de factores primos de :
2x 4 7x 3(x 3 x 2 1)
a) 5x + 6 d) 4x
b) 4x - 1 e) 5x
c) 3x - 2
además : m Z m 1 . Indicar un factor primo..
53
Álgebra
16. Dar la suma de los factores primos de : x(x - 4)(2x - 11) + 12x - 48 a) 4x + 7 d) 3x + 7
b) 3x - 7 e) 4x + 11
c) 4x - 11
x 5 ax 3 bx 2 abx 3 a 2 bx ab2 3 b) x ax b
d) x ab
e) x ax b
2
3 c) x ax b
3
a 3 (1 b) b 3 (1 a) ab(a b) 2 2 b) a ab b
2 2 2 2 e) a a b b
c) a a b b
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3 e indicar que la suma de los términos lineales de sus factores primos. b) 10x e) 12x
c) 8x
20. Cuántos factores lineales tiene :
x 5 8 x 4 18 x 3 7 x 2 2x 24
a) 5 d) 3
b) 1 e) 4
d) 2a 2 3
e) a 2 1
c) 2a4 1
25. Factorizar :
F(x ) (x 2 x)3 (x 2 x)2 2 (x 2 x)
a) 4 d) -2
b) 0 c) 1 e) Hay dos correctas
a) x - ab c) ab + x e) bx + a
19. Factorizar :
a) 6x d) 20x
b) b3
26. Un factor de : ax 2 bx a 2x ab es :
2 2
c) a + ab + b
Indicar el factor primo de mayor grado.
Indicar el valor numérico de un factor primo, para x = 2.
18. Dar un factor primo de :
a) a + b
F(a ; b) 2a4 b3 15a2b3 27b3
a) b
17. Dar un factor primo de :
a) x 2 ab
24. Factorizar :
b) ax + b d) abx + 1
6 2 27. Uno de los factores de x x 8 x 16 es: 3 b) x 2x 4
3 a) x 4
3 d) x x 4
c) x 2 2x 4
e) x 3 x 4 28. Factorizar :
c) 2
R(x ; y) x 4 3 y 2 (x 2 y 2 ) y 4
Indique la suma de factores primos. 21. Sea :
R(x) 5 (x 2)2(x 7)3(x 2 3)4 (x 6)
Indique el número de factores primos : a) 4 d) 1
b) 3 e) 11
P(x ; y) x8 y 3x7y 2x6y 6x5y b) 2 e) 48
c) 3
F(x ; y) x 3 x 2 x 2y y2 2xy
d) xy x 2 y 2 e) x 2 x y
54
2 2 b) x y y
c) x y 2
2 2 d) 2 (x 2 y )
29. Factorizar :
P(m) m 6 7 m 3 8 Indicar el término lineal de uno de los factores primos cuadráticos. a) 4m d) 8m
23. Indicar un factor primo de :
a) x 2 y
c) 2 (x 2 y 2)
2 2 e) 2 (x xy y )
c) 2
22. Indique el número de factores primos lineales de :
a) 1 d) 4
2 2 b) 2 (x y )
2 2 a) 2 (x 2y )
b) -m e) -4m
c) 3m
30. Al factorizar un polinomio en el conjunto de los números enteros, mediante el procedimiento del aspa simple, se realiza lo siguiente :
8 x 4 bx 2 (2 d )
2x 2
1
2
d
4x
TRILCE Entonces un factor primo del polinomio es: a) 2x - 1 d) 2x + 3
b) 2x + 2 e) 2x + 4
(x 5)( x 7)(x 6)( x 4 ) 504 uno de los factores lineales es :
b) x + 7 e) x - 2
32. Factorizar :
(x 2 x 1)2 34 x (x 1) 179
b) 3(x+ 2) d) 3(2x+ 1)
b) 3x - 1
e) 36x 2 15x 4
c) 2x + 1
P(x) 8 x 28 x 2x 7
a) 4 d) 12
b) 5 e) 14
b) 9 e) 97
c) 8
c) 0
P(x ) x 5 3 x 4 5x 3 15 x 2 4 x 12
Indique el binomio que no es factor. b) x + 2 c) x - 1 e) Todos son factores
37. Determinar el número de factores primos del siguiente polinomio : a) 1 d) 4
a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
c) 5
40. ¿En cuánto disminuye el número de factores primos de: (3x - 1)(x - 3)(2x - 5) (6x + 1); si le restamos 20? b) En 1 c) En 4 e) No varía dicho número
P(m ; n) m (m 2 mn 1) n (n 2 mn 1)
a) m + n e) m 2 n 2 1
P(x ) x 5 x 4 2x 3 2x 2 x 1 b) 2 c) 3 e) 5
b) m - n
d) m 2 mn n 2
42. Un factor de :
2x 2 1 (4 x 3 y 6 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 )
es : 2 a) 1 2 xy y
36. Factorizar :
a) x - 2 d) x + 4
F(n) n7 n 6 2n 4 n 3 n 2 1
2
35. Si se suman algebraicamente, los coeficientes y los términos constantes de los tres factores binomios, en los que puede descomponerse el polinomio : x 4 2x 3 76 x 2 8 x 320 , se obtiene : a) 14 d) 22
39. Hallar el número de términos de un factor primo en Q de :
d) mn + 1
34. Hallar el producto de los coeficientes del factor primo de mayor término independiente del polinomio. 3
c) 1
41. Señale un factor primo de :
A (x ) (12 x 1)(6 x 1)(4 x 1)(3 x 1) 5
d) 3x + 1
b) 11 e) 2
a) En 2 d) En 3
33. Indique un factor primo de :
a) 12x + 1
a) 3 d) 7
c) x + 6
Indique la suma de todos sus factores primos: a) 2(2x+ 3) c) 2(2x+ 1) e) 2(x+ 1)
P(x) x 5 5 x 4 10 x 3 10 x 2 5 x 1
c) 2x + 5
31. Al factorizar :
a) x - 5 d) x + 3
38. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo de :
2 c) x 2xy 1
e) 2xy 2y 2 1
2 2 b) x y 1
2 d) 1 2 xy 2 y
43. Al factorizar :
K 25a4 109a 2 36 uno de sus factores es : a) a + 3 d) 5a - 1
b) 5a - 3 e) 5a + 2
c) a - 3
44. Descomponer en factores :
x 3 y x 2 y 2 x 2 yz yz3 xyz2 xz3 y 2 z2 x 3 z a) b) c) d) e)
(x-z)(z-y)(x+ y)(x+ z) (x-z)(x+ z)(x+ y)(y-z) (x+ z)(x+ y)(y-x)(z-y) (z-x)(y-z)(x-y)(x+ z) N.A.
55
Álgebra
45. Descomponer en dos factores :
(x y)3 3 xy (1 x y) 1
a) b) c) d) e)
(x y 1)(x 2 2xy y 2 x y 1) (x y 1)(x 2 2xy y 2 x y 1) (x y 1)(x 2 xy y 2 x y 1)
(x y 1)(x 2 2xy y 2 x y 3)
(x y 1)(x 2 2xy y 2 x y 3)
46. Factorizar :
(a b)2 (c d)2 2ab(c d )2 2cd(a 2 b 2 )
51. Indique un divisor de :
R(x) x10 1 x 2 (2x 4 1)
2 a) x x 1
b) x 3 x 2 1
2 c) x x 2
d) x 2 x 2
e) x 3 x 2 1
52. Indicar el valor numérico que forma uno de los factores primos de : x 5 (x 2 1)2 ; para : x = -1.
a) -2 d) 1
b) -1 e) 2
c) 0
e indicar la suma de los factores : a) a 2 b 2 c2 d 2
c) a b c d 2
e) a 2 b c d
b) a + 2b + c + 2d
53. Dar la suma de los coeficientes del factor primo de menor grado en :
(x 2 1)7 2 (x 2 1) x 4
2 2 2 2 d) a b c d
a) 71 d) 17
b) 7 c) 8 e) Más de una es correcta
47. Factorizar :
A (x ; y ; z) (x 2 y)3 (y 3 z)3 (3 z y x )3
54. Señale Ud. el término de mayor grado de un factor primo del polinomio :
P(x ) x 7 2x 5 3x 4 3x 2 3x 1
Indique el número de factores primos obtenidos. a) 2 d) 3
b) 4 e) 5
c) 1
a) x
b) x 3
5 d) x
e) x 6
48. Factorizar :
R(x ) (x 1)2 (x 2 2x 9) 5(x 1)(x 2 2x 2) 1
55. Factorice en el campo de los números reales:
P(a) 32 (a 2 5)5 (a 2 9)5 (a 2 1)5
Indicando un factor primo. a) x + 11 d) x + 2
b) x + 18 c) x + 7 e) Hay 2 correctas
49. Factorizar :
x 2 (x 1) y (x y 1)(x y 1) (y 1)2 (1 x)
Indique el número de factores primos. a) 2 d) 4
b) 1 e) 5
56
a) 10 d) 6
b) 12 e) 7
c) 8
56. Factorizar e indicar el número de factores primos racionales :
P(x ) x10 2x 5 x 2 1
a) 1 d) 4
P(x ) x 5 x 4 2x 2 1 ; y dar como respuesta la suma de coeficientes del factor de grado 3.
b) 1 e) 4
Señale el número de factores primos :
c) 3
50. Factorizar el polinomio :
a) 0 d) 3
4 c) x
b) 2 e) 5
c) 3
57. Señale la suma de coeficientes de un factor primo de :
F(x ) x 7 2x 5 2x 3 1
c) 2 a) 8 d) 4
b) 6 e) 3
c) 5
TRILCE 58. El polinomio :
P(x ) (x 1)(x 2 2)(x 3 3) 2 (2x 3 3 x 3)
60. Proporcione uno de los factores primos de:
M(a ; b ; c) abc (a5 b5 c5 )
Luego de factorizarlo toma la forma :
(a5 b5 b5c5 a5c5 ) a 2b 2c2 a4 b 4 c4
Calcular : a + n.
a) a 2 bc
x n (x c)n (x n ax a)
a) -4 d) 3
b) -1 e) 5
c) 4
3 d) a bc
b) a3 bc
c) bc a4
e) a - bc
59. Señale un factor de :
(x 4 3x 2 1)2 (2x 2 3)2
a) x 4 x 2 3
c) x 4 x 2 2
e) x 2 2x 2
2 b) x x 1
d) x 4 2x 2 2
57
Álgebra
Claves
58
01.
b
31.
b
02.
b
32.
c
03.
b
33.
c
04.
d
34.
e
05.
c
35.
b
06.
e
36.
d
07.
e
37.
b
08.
d
38.
e
09.
d
39.
c
10.
e
40.
b
11.
b
41.
b
12.
b
42.
a
13.
d
43.
b
14.
c
44.
b
15.
c
45.
c
16.
b
46.
a
17.
a
47.
d
18.
c
48.
d
19.
b
49.
c
20.
d
50.
d
21.
a
51.
b
22.
c
52.
d
23.
e
53.
b
24.
d
54.
b
25.
e
55.
d
26.
b
56.
c
27.
d
57.
e
28.
d
58.
b
29.
b
59.
d
30.
a
60.
c
TRILCE
C ap ít ulo
6
M CD Y M CM DE POLINOM IOS FRACCIONES ALGEBRAICAS
Regla para calcular el MCM y MCD de Polinomios :
Simplificación de Fracción Algebraica
1. 2.
Para poder simplificar, el numerador y denominador deben estar factorizados para luego cancelar los factores que presenten en común.
3.
Se factorizan los polinomios dados. El MCD estará formado por la multiplicación de todos los factores primos comunes de los polinomios dados, considerados con su menor exponente. El MCM está formado por la multiplicación de factores primos no comunes y comunes, a los polinomios dados, considerados con su mayor exponente.
Ejemplo : Simplificar :
Ejemplo : Hallar el MCD y MCM de los polinomios:
MCD [P(x);Q(x)] x 1 MCM[P(x);Q(x)] (x 1)2(x 1)x (x 2) Propiedad : Dados los polinomios A y B.
MCD ( A , B) . MCM (A , B) A B
FRACCIÓN ALGEBRAICA A Es toda expresión de la forma donde por lo menos B "B" debe ser literal. Ejemplo : *
Son fracciones algebraicas
x 1 2 x3 1 , , x 1 x x2
x 2 32
x 2x 15 2
Factorizando : P(x ) (x 1)2 (x 1)
Q(x) x (x 2)(x 1)
x 2 2x 15
Resolución :
P(x ) x 3 x 2 x 1 Q(x ) x 3 x 2 2x
"
x2 9
x
5
x
3
=
x3 (x 3)(x 3) = (x 5)(x 3) x 5
Operaciones con Fracciones I.
Adición y/o Sustracción : En este caso, es necesario dar común denominador (MCM de los denominadores), salvo que las fracciones sean homo géneas (denom inadores i guales). Así tenemos : A. Fracciones H omogéneas : Ejemplo :
A B C ABC x x x x B. Fracciones H eterogéneas : Ejemplo :
A B C Anp Bmp Cmn m n p mnp C. Regla Práctica (para 2 fracciones):
A C AD BC B D BD
pero :
x 2 , no son fracciones algebraicas 7 5
59
Álgebra
II.
Multiplicación : En este caso, se multiplica numeradores entre sí, de igual manera los denominadores.
Ejemplo : III.
A B
Tr ansfor maci ón de Fr acci ones en Fr acci ones Parciales
C AC D BD
D ivisión de Fracciones : En este caso, se invierte la segunda fracción y luego se ejecuta como una multiplicación. A C A B D B
Importante : generalmente es conveniente simplificar las fracciones antes, y después operar fracciones.
D A D C BC
Este es un proceso inverso a la adición o sustracción de fracciones. Es decir una fracción se transforma en la adición o sustracción de fracciones que le dieron origen, veamos : Ejemplo : *
1 1 2x 2 x 1 x 1 x 1
ó
A B AD C BC D
60
Efectuar :
*
Transformar a fracciones parciales :
2x
x2 1
1 1 x 1 x 1
TRILCE EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Hallar el MCD de los polinomios :
a) a + 1
M (x) (x 6) (x 7) (x 9) 2
3
4
d) (a 1)2
N (x) (x 10) (x 7) (x 6) 3
2
3
2 c) (a 1)
b) a - 1 e) 1
07. Luego de efectuar : a) (x-7)(x+ 6)
b) x + 9
c) x + 10 d) (x 7)2 (x 6)2 e) (x+ 10)(x+ 9)(x+ 6)(x-7)
a) x 2 3 d) 2x + 3
02. Indicar el MCM de los polinomios :
P(x) (x 3)3 (x 6)(x 1)4
F(x ) (x 1)2 (x 3)3
c) d) e)
b) x - 3 e) 2x - 3
08. Efectuar :
x 1
c) x + 3
x 1
4
(x 1)4 (x 3)3 (x 6)
x 1 x 1 x 1 Indicar el cubo del denominador.
(x 1)4 (x 3)3
a) 64 x 3
a) (x-1)(x+ 3)(x+ 6) b)
1 2x x2 1 x2 x el numerador obtenido, es :
(x 1)2 (x 6)2 (x 3)
03. Hallar el MCD de los polinomios :
P(x ; y) x xy 6 y 2
09. La fraccción
2
F(x ; y) x 2 xy 2y 2
a) x + 2y d) x + y
b) x - 3y e) x - y
m
x 1 c) x - 2y
04. El valor numérico del MCD de los polinomios :
F(x ) x 3 x 2 x 1
P(x) x 6x 11x 6 para : x = 4, es : 3
b) 1 e) 4
c) 5
P(x) x 2x 4 x 8
10. Efectuar :
a) 0,25 x 2 d) 0,5x
2x 2
ellos es (a2 1)2 y la división entre el MCD y el MCM
.
b) 0,25x e) 0,625x
c) 0,125x
11. Efectuar :
a) a c) 2
06. Calcular el MCD de dos polinomios, si el producto de es (a 1) .
c) 2
x 1
a
R(x) x 3 6 x 2 12x 8
2
b) 1 e) -3
2
b) 1 e) 4
equivale a :
, entoces ; m - n es igual a :
a) -1 d) -2
Q (x ) x 3 5 x 2 8 x 4
a) 0 d) 3
x 4
3x 2
x 2 3x 4
x
05. ¿Cuántos factores cuadráticos presenta el MCM de los polinomios? 3
n
e) (x 1)3
x2 1 Indicar la octava parte del numerador simplificado.
2
a) 25 d) 3
c) x 3
b) 64
3 d) (x 1)
(x 1)2 (x 3)2 (x 6)
2
d)
1 a b
b
b
a b a2 ab 2 2
b) b
a
e)
b
c) ab
b a
12. Al simplificar :
2 1 1 (ab) obtenemos (ma)(nb) a b ab
Calcular : m 4 n 4 , si : m, n Z.
61
Álgebra
a) 17 d) 626
b) 82 e) 257
c) 2
13. Simplificar las fracciones :
x2 4
a
2
ab
ab
a) a d)
;
b) 2x + 1 e) 2x + 1
14. Simplificando :
1
e) 1
y
c) 1
y
d) 1
x
a) n 2 n d) n
y x
x
b) -5x e) -3x
a) 3x 2 2x 1
c) 120
;
b) 2 x 2 x 3
c) 3x 2 x 3
d) x 2 x 1
x 4 2
Tal que, el MCD (P, Q) = (x-1)(x+ 3), entonces la suma de coeficientes del polinomio MCM (P, Q), es : a) 9 d) 4 23. Efectuar :
ax ay x 2 y 2 ax x 2 xy
e indicar la diferencia de los denominadores.
b) 8 e) 0
x 2 2x 3 2x 2 x 1
c) -8x
18. Simplificar las fracciones :
62
2a 2 3ab 4 b 2
Q(x) x 3 cx d
x x xn n x 2 nx señalar un término en el denominador.
2x 3 2xy 2
ma 2 nab 24 b 2
P(x) x 3 4 x 2 ax b
c) n - 1
x 6x 8
2
x4 y4
c) 11
22. Si : P y Q son dos polinomios factorizables definidos por :
1 n 1
2
a) -7x d) 11x
c
x 1
b) 180 e) 100
e) x 2 x 3
y
b) n - 2 e) 1
17. Simplificar :
B 10 x 3 9 x 2 17x 6
1 n 2 obtenemos en el numerador .
16. Efectuando :
b
x 1
A 2x 4 x 3 3x 2 3 x 9
x ; tenemos : 1 y
x
x
21. Hallar el M.C.D. de los siguientes polinomios :
1
1
2
obtenemos :
b) 7 e) 2
a) 210 d) 144
b)
1
es independiente de sus variables, entonces n 2 m 2 equivale a :
c) ab
a) x - y
x2 1
20. Si la fracción : P(a; b)
15. Simplificando :
1
x3
ax
a) 3 d) 14
e) 1
b
c)
Calcular : a (3b 2 5c 2) .
b) b
a
e) 2x
c) 2x - 1
1
b
d) x
19. Al descomponer
; obtenemos :
b a
b) 4x
x2 x 2
x 2 2x x 2 4 x 4 e indicar la suma de los denominadores. a) 2x - 2 d) 2x + 2
a) 3x
2x x 1 d) 1 a)
b) 2 e) 0
c) 6
x2 4
2x 2 5 x 2
c) x
TRILCE 30. Efectuar :
24. Resolver :
x 1 x 1 x 2 1 f(x ) x 1 x 1 2x 2 2 a) x - 1 d) 1
b) x + 1 e) 0
25. La fracción :
7x 1
1 5x 6x 2
c) x
; se obtuvo sumando las
c) 4
a) 1 d) 3
a) a 2 2b 2 2ab
c) -3
a c , la expresión : b d
ab cd
b) 1 e)
C Hallar : ( A B) .
b) 64 e) 16
S
a) ac d) abc
a) 1 d) 1/3
b) ab e) 2ac
3
b) 2 e) 1/2
1
3
c) bc
c) 3
x 3 ax 2 bx c x 3 bx 2 cx a x 3 cx 2 ax b x 1 x2 x3
se obtiene un polinomio de segundo grado. Indicar la suma de coeficientes de dicho polinomio. c) 10,5
1
1 1
1
1 m
equivale a :
a)
b) 9,5 e) 12,5
a 3 b3 c3 d 3
34. La expresión :
29. Al realizar :
a) 8,5 d) 11,5
abc abd acd bcd
(ab) (bc) 2 (ac) 3abc (a b c) 3
c) 27
33. Si : a + b + c + d = 0. Hallar :
c) -1
28. Si : ab + bc + ac = 0. Calcular :
K
d) a 2 b 2 2ab
A Bx C 2 (2x 2 11x) 13 x 5 x (x 5) 1 (x 5)[ x (x 5) 1]
a) 1 d) 9
ac bd
es :
b) a 2 b 2 2ab
2 2 c) a 2ab 2b
resulta :
d)
a bc abc
a4 4 b4
3
(a c)(b d) ab cd abcd a b cd
a) 0
e)
c) 1
31. La expresión simplificada de :
32. Si :
x y z 1 xy yz xz xyz 3
b) -1 e) 2
27. Conociendo que
abc abc
e) a 2 b 2 ab
26. Sabiendo que : x + y + z = 1. Calcular :
M
b) -1
a 2 2ab 2b 2
b) -20 e) -4
3
(1 ab)(1 ac) (1 ab)(1 bc) (1 ac)(1 bc) (a b)(c a) (b a)(c b) (c a)(b c)
a) 0 d)
B A fracciones : . ; 1 3 x 1 2x Calcular : (A.B). a) 20 d) -5
R
d)
m2 m 1
b)
2m 1 3m 2
e)
m 1 m2
c)
3m 2 2m 1
3m 1 m2
35. Para qué valor de "b" se cumple que :
ab (x 2 y 2 ) xy (a2 b 2 ) ab (x 2 y 2 ) xy (a2 b 2 )
1 ; y 0
63
Álgebra
a) -a d) a
b) 0 e) 2
a (b c)2 b (a c)2 c (a b)2
c) 1
a (b c)2 b (a c)2 c (a b)2
36. Efectuar :
2
Z (
a) 2 d) 0
4 x 2 2xy y 2
8x y3 3
Tomar el valor de 11.
8 xy
8x 3 y
)(1 3
a) 6,5 d) 1,33
2y ) 2x y
P(x) x 3 ax 2 18
c) 1
Q(x) x 3 bx 12 es de segundo grado, encontrar la suma de los factores no comunes.
37. Simplfiicar :
a) x 1
x5 1
x3
1
x2 1
x
x4 1 1 x x
a 2 b 2 M 1 a b1
1
a 1 b1 ; N 2 a b 2
K
d)
(a b) (a b)
b)
(a 2 b 2 ) ab
e)
1
(b 2 a 2 )
c)
ab ba
c) 2x + 3
1
nx 2 1 ny 2 1 nz2 1 (x y)(x z) (y x )(y z) (z y)(z x )
2 a) n
b) n
2 d) 2n
e) 2n
c)
n 2
43. Sabiendo que :
A a
Entonces MN, es igual a :
a)
b) 2x + 2 e) 2x + 5
42. Efectuar :
c) x 3
e) x 5
38. Si :
a) 2x + 1 d) 2x + 4
x3 1
b) x 2
d) x 4
c) 0,3
41. Si el MCD de los polinomios :
b) 3 e) -1
1
b) 7,2 e)
ba
(a 2 b 2 )
B b
b
a
1 a
;
1 1 b
1 b
. Calcular :
1 1 a
A . B
39. Si :
1 a3 Calcular :
1 b3
a 33 b 33 c
a) 1 d) -2
33
1 c3
a 3 b3 c3
b33 c33
b) -1 e) 3
a
33
1
a 33 c33 b33
a b
b)
d)
1 ab
e)
a 2 (b c) b 2 (a c) c 2 (a b) Mabc
Determinar el valor de "M" que hace que la fracción :
b a
c) ab
ab ab
44. Si : ax + by + cz + abcxyz = 0. Calcular :
(ax 1) (by 1) (cz 1) (ax 1)(by 1)(cz 1)
c) 2
40. A partir de la relación :
64
a)
a) 0
b) 1
d) abc
e)
1 abc
c) -1
TRILCE 45. Si se cumple :
a b c abc a 1 b 1 c 1 2 obtener E a partir de :
ab a 1 bc b 1 ac c 1 b1 c 1 a1
E a) 3 d) 9 46. Si :
x
b) 27 e) 81
a b 2
2
2
2
a b
; y
y además :
a 4 b4
(a b ) 2
2 2
c) 1
b c
2
2
2
b c
(b c ) 2
2 2
; z
c a 2
a) 3 d) 9
2
Calcular : S x y z.
c2 a2
a 4 c4
(a c ) 2
2 2
4
c) 7
x 3 y 3 z3 (x y z)3
c) 2
a b c 1 bc ca ab Calcular :
a2 b2 c2 bc ca a b
a) 0 d) 2
b) 1 e) -2
a) 1 d) 4
z 215 214 216
P
c) -3/4
P(x) x x x x d (x a)(x b)(x c) x a x b x c
calcular :
a2 b2 c2 P(a) P(b) P(c) c) 0
c) 3
(a 2 b 2 ) (b 2 c 2 ) (a 2 c 2 ) 2 ab bc ac
Calcular :
48. Si : a, b, c, son números diferentes y :
1 1 1 a bc b ac c ab b) -2 e) -8
y 214 215 216
b) -3/2 e) 2
c) -1
a 3 b3 c 3 4 Hallar :
52. Si :
x 216 215 214
b) -1 e) 2
1 1 1 ; y z z x x y
M
sabiendo que :
a) -2 d) 1
4
abc 1
(x y)3 (y z)3 (z x)3
M
1
(x y)2
b) 16 e) 6
47. Calcular el valor de :
a) 3 d) 3/4
51. Si :
2
b) 5 e) 12
E
1
(z x )2
a) 8 d) 4
2
Calcule : x y z . 2
50. Sabiendo que :
2
b 4 c4
1
(y z)2
49. Si :
a) 1 d) 8
(a b c)6 (a6 b6 c6 ) (ab)3 (bc)3 (ac)3
b) 2 e) 16
c) 4
53. Simplificar : M
a)
d)
1 1 1 2 (p q)3 p 4 q 4 (p q)4
pq pq
pq
p 2q 2
b)
e)
qp
p4q4
pq
1 1 2 3 3 q (p q )5 p
c)
1 1 2 2 q p
qp
p 3q 3
p 2q 2
65
Álgebra
58. Si : x + y + z = 0.
54. Si :
b x a y a b 2 4
2 4
2 2
y
Reducir :
a b x y 1 Calcular : 2
2
2
2
R
b4 x 6 a4 y 6
b 2x 4 a 2y 4 a) 1 d) 1/4
b) 1/2 e) 3/4
c) 3/2
a) 1 d) 3 56. Si :
Reducir :
(b c)
2
b
(c a)
2
c
(a b)
b) 0 e) 2
2
E
c) -1
1 x
k 1
2 k 1
b) -1
d) -x
2 2000
1 x2
2000
e) x
c) x
2000
1 x x2 x 2 n 1 ... 2 3 a x (a x ) (a x ) (a x )2n
(a b)(z x) (b c)(z x) 1 (a c)(x y) (a c)(y z)
1 x x2 x 2 n 1 ... 2 3 a x (a x) (a x ) (a x )2n
(a b)(y z)2 (b c)(x y)2
b) xyz e) N.A.
b) 2 e) 5
a)
a 2x a
b)
a 2x a
d)
a ax
e)
x ax
c) 0
a11 b11 c11 11abc (ab ac bc)
66
2k 1
60. Reducir :
57. Si : a + b + c = 0 Señale la suma de coeficientes de los 4 términos obtenidos al reducir :
a) 1 d) 4
2000
c) abc
Indicando : E 1 1 . a) 1
(a c)(z x)2
a) abc d) 1
b) a+ b+ c e) -abc
59. Reducir :
a b c 0 bc ca ab
a
(ay bx)4 (az by)4 (ax bz)4
a) 1 d) 2abc
55. Sabiendo que :
Hallar :
(ax by)4 (ay bz)4 (az bx )4
c) 3
c)
a a 2x
TRILCE
Claves 01.
d
31.
c
02.
b
32.
e
03.
c
33.
d
04.
d
34.
e
05.
e
35.
b
06.
a
36.
a
07.
e
37.
e
08.
e
38.
e
09.
a
39.
d
10.
b
40.
b
11.
a
41.
e
12.
c
42.
b
13.
d
43.
a
14.
e
44.
c
15.
c
45.
d
16.
d
46.
b
17.
e
47.
c
18.
d
48.
c
19.
e
49.
c
20.
b
50.
a
21.
b
51.
b
22.
e
52.
b
23.
d
53.
b
24.
d
54.
c
25.
b
55.
b
26.
c
56.
b
27.
a
57.
a
28.
a
58.
b
29.
c
59.
c
30.
c
60.
c
67
Álgebra
68
TRILCE
C ap ít ulo
7
TEOREM A DEL BINOM IO
Trata del desarrollo o expansión de : (x a)n para "n" entero y positivo. Previamente estudiaremos algunos conceptos básicos necesarios para este capítulo.
Factorial El factorial de un número "n" (entero y positivo), es el producto de multiplicar todos los números consecutivos desde la unidad hasta el número "n".
Semifactorial Se representa por : N!! y su definición depende, si "N" es par o impar. N 2n (par ) (2n)! ! 2 4 6 ... 2n (2n)! ! 2n (n! )
N 2n 1 (impar ) (2n 1)! ! 1 3 5 ... (2n 1)
Notación n!
(2n 1)! !
factorial de "n" n
2n n!
Observación :
Por definición : n! 1 2 3 ........ n Ej.
(2 n)!
n!! semifactorial de "n". (n!)! factorial de factorial de "n"
(n 2)
* 3! 1 2 3 6
* 6! 1 2 3 4 5 6 720
Ej.
(3!)! = 6! = 72 3!! = 1 3 = 6
D efiniciones :
ANÁLISIS COMBINATORIO
Factorial de cero
0! 1
PERMUTACIONES
Factorial de la unidad
1! 1
Permutar "n" elementos es formar grupos de "n" elementos cada uno, tal que un grupo se diferencia del otro por el orden :
Propiedad
n! (n 1)! n
Ej.
Formando grupos a b c b a c c a b
78!
Ej.
80! 1 2 3 ....... 78 79 80
80! 79! 80
Pemutar : a, b, c (3 elementos)
Número de Permutaciones Se representa por : Pn y se obtiene por la siguiente fórmula:
Pn n!
Igualdad de Factorial : Si :
II.
Si :
# de permutas = 6
79!
80! 78! 79 80
I.
a c b b c a c b a
a! 1 a 0 ó a 1
a! b! a b (a , b 0 , 1)
Ej.
P3 3! 6
69
Álgebra
VARIACIONES
3.
Formar variaciones con "n" elementos tomados de "k" en "k". Es formar grupos de "k" elementos cada uno, de tal manera que un grupo se diferencia del otro en el orden, o en algún elemento. Ej.
C nk C kn 1 C nk 11 4.
Degradación de Combinatorios *
C nk
n n 1 C k 1 k
*
C nk
n k 1 n Ck 1 k
*
C nk
: Formar variaciones con : a, b, c, de 2 en 2.
ab ba
Tendremos :
ac ca
bc cb
# de variaciones = 6
El número de Variaciones se representa por :
V23
Vkn
Fórmula :
Ej.
Suma de Combinatorios
n Vk
(n k)!
Esta fórmula atribuida incorrectamente a Newton nos n permite obtener el desarrollo de (x a) , siendo "n" entero y positivo. (El aporte de Newton fue el desarrollo cuando "n" es negativo y/o fraccionario).
Fórmula :
COMBINACIONES Formar combinaciones con "n" elementos tomados de "k" en "k". Es formar grupos de "k" elementos cada uno, tal que un grupo se diferencia del otro por lo menos en un elemento.
(x a)n C 0n xn C1n xn1a C 2n xn 2 a2 ... Cnn an
Ej.
n Observaciones del desarrollo de (x a)
Tendremos :
ad cd
(x a)4 C 40 x 4 C14 x 3a C 42 x 2a 2 C 43 xa3 C 44 a 4
(x a)4 x 4 4 x 3 a 6x 2a 2 4 xa 3 a4
Ej. Formar combinaciones con : a, b, c, d, de 2 en 2.
ac bd
C nk 1
FÓRMULA D EL TEOREMA D EL BINOMIO
n!
3! 6 (3 2)! 2!
ab bc
n
nk
# de combinaciones = 6
1.
Número Combinatorio
El número de términos del desarrollo, es el exponente del binomio aumentado en uno. Es decir :
# términos = n+ 1
El número d e co mbinacio nes fo rm ad as se denominan número combinatorio, se representa por : C nk
Fórmula :
Ej.
C 42
C nk
n! (n k)! k!
4! 2 6 (4 2)! 2! 2 2
Propiedades del Número Combinatorio 1. 2.
C0n 1
Cnn 1
C n1 n
Combinatorios Complementarios
C nk C nn k
2.
Si el bino mio es homogéneo, el desar rollo será homogéneo del mismo grado.
3.
Si los coefi cientes del bino mio son iguales, los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos, son iguales.
4.
Recordando que la suma de coeficientes se obtiene para x = a = 1, tendremos : C0n C1n C n2 ... C nn 2n
FÓRMULA D EL TÉRMINO GENERAL Se utiliza para obtener un término cualquiera del desarrollo en función del lugar que ocupa. Se representa por :
70
Tk 1
TRILCE n Fórmula : En (x a)
Tk 1 En donde :
C kn
x
II.
(1 x)n
nk k
a
n exponente del binomio k+ 1 lugar del término x, a términos del binomio
Fórmula para : n : negativo y/o fraccionario -1 < x < 1 ; x 0
(1 x )n (n0 ) (1n ) x (n2 ) x 2 (n3 ) x 3 ... III.
Ej.
Número de términos de :
(a1 a 2 a3 .... ak )n n : entero y positivo..
Halle el término de lugar 40 en el desarrollo de:
(x 2 y 3 )60
# de términos
tendremos :
2 60 39 T391 C60 (y 3 )39 39 (x )
42 117 T40 C 60 39 x y
OTRAS D EFINICIONES Y FÓRMULAS
I.
IV.
En : (a1 a 2 a3 .... ak )n
(n k 1)! n! (k 1)! n : entero y positivo..
Coeficiente de a l a 2 a 3 .... ak
n! ! ! ! .... !
Coefi ci ente Binónico : Se representa po r ( n ) ; k
n R ; k Z siendo su desarrollo : (n) k
n (n 1)(n 2)......[ n (k 1)] k!
Observaciones ; n * Si n Z : ( n ) C k k
n * ( )1 0
71
Álgebra
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Reducir :
6!5! M 5!4!
a) 1 c)
0
b) 2
35 6
e)
a) b) c) d) e) c)
35 3
Un Un Un Un Un
número primo. cuadrado perfecto. número impar. número par. múltiplo de 4.
08. Determinar el término de lugar 10 en la expansión de:
1 27 x 5 3x
1 8
12
02. Calcular "x", si :
(3x 4)(3x 4 )! (3x 6)! 72! (3x 5)!(3x 4)!
a) 220x 5
b) 220x 7
6 d) 330x
e) 320x 6
c) 220x 6
09. Para qué valor de "n" en el tercer término del desarrollo a) 12 d) 21 03. Resolver :
a) 3 d) 6
b) 30 e) 18
c) 22
de x :
x!2(x 1)! x x! 23 x!(x 1)! b) 4 e) 7
c) 5
04. Calcular "x" que verifique : x 8
C3 a) 17 d) 23
220
(2x)!
c) 21
2x 1
17
b) 15 e) 20
c) 10
desarrollo de (x 2)n es 80 x k .
b) 7 e) 6
b) 10 e) 13
07. En la suma combinatoria :
n n 1 S 2 2
donde : n N, n 3 .
Al simplificar, se obtiene siempre.
b) 9 e) 7
c) 6
(x 3 2x 2 )13 que tiene como parte literal a x14 .
c) 8
22 x 1 x C C7 x8 8
72
(x 2 0,5x 1 )n el onceavo término es de grado 20.
12. Hallar el lugar que ocupa un término del desarrollo de:
9
06. Determinar "x" que verifica la ecuación :
a) 8 d) 12
c) 7
10. Calcular "n", si en el desarrollo de :
a) 5 d) 10
C x 1
b) 6 e) 18
11. Calcular (n + k), si se sabe que el cuarto término del
b) 18 e) 20
(x! )2
a) 5 d) 9
a) 5 d) 25
05. Resolver :
a) 5 d) 9
de (x 1 2 x17 )n el coeficiente es igual al exponente
a) 9 d) 7
b) 5 e) 2
c) 6
13. Calcular el término independiente del desarrollo de :
(x 2 x 3 )13 5
c) 11
a) 297 d) 354
b) 384 e) 374
c) 286
14. Al desarrollar (5 x 17 y15 )n la suma de todos los exponentes de "x" e "y" es "n" veces la suma d coeficientes, hallar "n". a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
TRILCE 15. El producto de las sumas de coeficientes de los n 1 (4 x 5 y)n 2 es 3n 7 . desarrollos de : (x 6 y 4) ; H alle el número d e térm inos d el d esarro llo 2 n3 . de: (9x y) a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
b) 36 e) 60
c) 30
17. Resolver :
3 . 6 . 9 . .... . (3n 3).(3n) 9 n 12 n! a) 12 d) 8
b) 18 e) 36
c) 24
18. La suma de "n" y el menor valor de "k", que satisfacen las siguientes condiciones :
n 2 = 56 es : k
n! = 720 y a) 8 d) 9
b) 6 e) 7
a) 5to. d) 4to.
a! . b! (3! )2 4
y 2 B (x) 3 x 3 x existe un término cuyos exponentes de "x" é "y" son respectivamente 5 y 8. Halle el número de términos del desarrollo. a) 8 d) 6
b) a = 8, b = 9 d) a = 2, b = 1
c) 2
a) 0,018 d) 0,001
(3x 2 y 3 )12 .
2 33 d) 36 x y
3 2 b) 24 x y 2 e) 12xy
3 2 c) 24 x y
el desarrollo de (x 7 x 7 )7 . b) 35 e) 14
c) 0,084
a) 10 d) 40
b) 20 e) 50
c) 30
6 4 27. En el desarrollo de (2x y)10 , el coeficiente de x y es :
a) 13 380 d) 13 440
b) 13 450 e) 13 455
c) 13 460
28. Indicar el lugar que ocupa el término que sólo depende de "x" :
4 x y 1 4 xy
a) 13 d) 21
100
b) 14 c) 19 e) Es imposible determinarlo.
(x 6 1)4 . (x 4 x 2 1)2n (x 2 1)2n , se obtiene 25 términos. a) 10 d) 20
b) 18 e) 12
c) 8
n 30. Dos términos consecutivos del desarrollo de (x n)
22. Proporcionar el coeficiente del término de grado 7 en
a) 21 d) 70
b) 0,002 e) 0,025
29. Calcular "n", si al desarrollar :
21. Determinar el penúltimo término en el desarrollo de :
2 11 a) 36 x y
c) 9
25. El término independiente de "x", en : 1 9 2 ) es : ( x2 2x 5
(n!1) 1 (n!5) (n!5)
b) 3 e) 5
n
b) 7 e) 10
20. Calcular "n" en la ecuación :
a) 6 d) 4
c) 8vo.
( 2 3 2 )5
c) 11
n!5 22
b) 6to. e) 12vo.
26. Deteminar el término racional en el desarrollo de :
19. Determinar "a" y "b" en la igualdad :
a) a = 7, b = 3 c) a = 4, b = 3 e) a = 5, b= 6
2 1 22 desarrollo de (2x 3x ) ?
24. Si en el desarrollo de :
16. Si : (x + 1)! - x! = 18. El valor de : (x+ 1)! + x! es : a) 24 d) 54
29 23. ¿Qué lugar ocupa el término que contiene x en el
c) 42
tienen igual coeficiente; luego estos términos son : a) b) c) d) e)
Primero y segundo. Segundo y tercero. Tercero y cuarto. Antepenúltimo y penúltimo. Penúltimo y último.
73
Álgebra
x x
31. ¿Cuántos términos irracionales presenta el desarrollo de :
4
3
48
a) 44 d) 42
n
? c) 34
32. Cuántos términos fraccionarios hay en el desarrollo de:
3 3 2x x
a n k
n k
Calcular : 2 n
k 3
c) 24
n 33. El desarrollo de (a b c d e) , posee 14 términos n 1 . Calcular : más que el desarrollo de (a b c d)
b) 10 e) 28
c) 15
34. Calcular : a + b, si :
(30a!. 24 a! )a1 ((b! )! )720 b) 6 e) 9
39. Calcular "n", si n Z
( 2m ) !
b) 3125 e) 7776
1 9
c) 4
en :
n
para que en el desarrollo de dicha potencia dos términos consecutivos del mismo sean independientes de "x" e "y" respectivamente. b) 2 e) 10
c) 3
independiente del desarrollo. a) 219
23 b) 2
d) 225
e) 221
c) 243
41. Hallar el término central del desarrollo de :
B(x ; y) (x 2 y n )2n si dicho término central es de grado "n".
36. Calcular "n+ k", en :
n k 2 n 1 30 C nk 11 C nk C k 1 C13 n 1 b) 44 c) 47 e) Hay 2 correctas
a) 10 x 6 y 9
d) 30 x 6 y 5
b) 20 x 6 y 9 e) 10 x 6 y 4
9 6 c) 11x y
42. L os coeficientes de los términos centrales de los n2 n y (a b) ; n Z ; son entre desarrollos de : (a b) sí como 15 es a 4. Calcular "n".
37. Sabiendo que :
C nm11
mnx
Cm n
mn
C nm11
mnx
Calcular el valor de "m-n", siendo : x 0 . b) 2 e) 3x
c) 4
a) 1 d) 14
b) 2 c) 3 e) Hay dos correctas.
43. Dado los términos semejantes uno del desarrollo de b a b x (x a y b )a y otro de y (x y ) ambos ocupan la
misma posición en cada polinomio. Determinar el valor de :
(a 2 b 2 )2 1 a 2b 2
a) 2 d) 9
74
40. En el desarrollo de : (2 3x 2 )n , el coeficiente de x 24 es 4 veces el coeficiente de x 22 . Calcular el término
c) 7
2m. m! . 1 . 3 . 5 ....( 2 m 1)
a) 1 d) x
n 1 n2 n 2 d) 2
y6 x6 F(x ; y) 4 4 x y
a) 1 d) 5
35. Determinar el valor de "m" en la expresión :
a) 40 d) 50
n 1 n2 n 2 b) 2
e) 2n 1 n 2 n 2
C nn11 .
a) 256 d) 27
n k
c) 2n 1 n 2 n 2
b) 21 e) 27
a) 5 d) 8
n 1 n2 n 2 a) 2
100
a) 6 d) 21
b (a b)n
n k k
k!(nn! k)!
k 0
b) 32 e) 26
a) 18 d) 25
38. Si :
b) 4 e) 12
c) 6
TRILCE 44. Si en el desarrollo de (ax bx ) , los términos de lugares a + 3 y b - 1 equidistan de los extremos; además la suma de todos los coeficientes es 27. Hallar la suma de todos los exponentes de variable "x" en su desarrollo. a
a) 20 d) 14
b n
b) 18 e) 15
45. Calcular :
(a b ) 2
2 2
(ab)2 1
c) 16
; ab 0 .
presentan el mismo grado absoluto. b) 2 e) 8
(xy 7 x 9 y 63)m tenga al menos 1998 términos es:
b 41 e) 44
c) 42
47. Simplificar : 1 (1 x ) (1 x )2 (1 x )3 ... (1 x )n 1
C n2 x
a) 1
C n3 x 2
b)
x 1 d) x
C n4 x 3
x x 1
... C nn x n 1
c) x
n
en el desarrollo de :
(1 2x 3x 4 x ...)n ; (| x | 1) 2
3
d) (1)n C n2n11
c) 1420
52. Determínese el coeficiente del término en x10 del desarrollo de :
(1 3x 2 3x 4 )7
a) 807 d) 15 362
b) 918 e) 1254
c) 19 278
53. Determinar la suma de todos los términos cuyo grado relativo a "x" sea 3 en el desarrollo de :
(1 x y)5
a) (1 20 y)x 3
b) 10(1 y 3 )x 3
c) 5(1 y 2 )x 3
d) 5(y 2 2y)x 3
e) 10(y 1)2 x 3
2 8 54. En el desarrollo de : (x y x ) , determinar los
a) 28; 56 d) 1
c) -420
I.
1 ; si : n = 3k; k Z
0 ; si : n = 3k-1; k Z
III. -1; si : n = 3k+ 1; k Z
n n M x(1 x)n 1 2 x 2 (1 x)n 2 ... 1 2 n n ... k x k (1 x)n k ... n x n k n b) n e) n - x
b) 420 e) 6
55. El coeficiente del término x n en el desarrollo de :
II.
49. Si : n Z , calcular :
a) n + x d) nx
b)105 e) 1480
(1 x x 2 )1 ; es :
b) C32nn11
e) (1)n C32nn 11
a) 1260 d) 120
x10 y m , donde "m" es par no nulo..
48. Determinar el coeficiente de x
c) (1)n C 32nn 1
c) 148
coeficientes de los términos de la forma :
e) -1
a) Cn2n11
b) 342 e) 510
c) 4
46. El mínimo entero "m", tal que :
C1n
a) 215 d) 212
(1 2xy 3x 2 )7 .
2 2 F(x , y ) (ax a 1 by b 1 )ab
a) 40 d) 43
ax 2 y 3 zb .
51. Hallar el coeficiente de x 4 y 2 en el desarrollo de :
Sabiendo que dos términos cualesquiera del desarrollo de :
a) 1 d) 6
50. Calcular : a+ b, si un térmi no d e (x y z)7 es
a) Sólo I d) II y III
b) Sólo II e) Todas
c) Sólo III
c) x
75
Álgebra
56. Determinar el coeficiente del término del desarrollo de (a 4 b c)n (a 2 b c)n en el cual el grado d e (a+ b+ c) excede en 14 unidades al lugar que ocupa y éste es un tercio del valor de "n". a) 200 (13)
6 b) 220 (3 )
c) 210 (3 2 )
d) 230
c) 370 (270 1)
e) 270 (370 1)
2 12 57. Dado el binomio : (x 3 y ) , si un término de su desarrollo es contado desde el final. ¿En qué posición se ubica, si en dicho término el G.R.(y) = 2G.R.(x)?
b) 7 e) 10
68 70 66 70 E 2 [ 370 C70 0 3 C 2 3 C 4 ... 1]
a) 370 (370 1)
e) 110 (3 3 )
a) 6 d) 9
58. Hallar el equivalente numérico de :
c) 8
b) 4 70 (270 1)
d) 270 (270 1)
6 6 59. Al expandir : y x x y
84
, se obtiene un término
cuya parte literal es (xy)n . Calcular "n". a) 42 d) 49
b) 44 e) 88
c) 78
60. Indicar el grado del producto de los términos centrales obtenidos al efectuar : 37 (x 39 39x 38 C 39 ... 39x 1)3 2 x
a) 114 d) 78
76
b) 117 e) 123
c) 58
TRILCE
Claves 01.
c
31.
a
02.
c
32.
d
03.
b
33.
b
04.
c
34.
d
05.
c
35.
c
06.
c
36.
e
07.
b
37.
a
08.
c
38.
d
09.
b
39.
d
10.
d
40.
c
11.
e
41.
b
12.
c
42.
d
13.
c
43.
b
14.
a
44.
b
15.
d
45.
c
16.
c
46.
e
17.
c
47.
a
18.
c
48.
e
19.
c
49.
d
20.
d
50.
d
21.
d
51.
a
22.
b
52.
c
23.
b
53.
e
24.
a
54.
b
25.
c
55.
e
26.
d
56.
b
27.
d
57.
b
28.
d
58.
d
29.
a
59.
d
30.
e
60.
b
77
Álgebra
78
TRILCE
C ap ít ulo
8 RADICACIÓN
RADICACIÓN
*
División. n
Es la operación que tiene como objetivo calcular una expresión llamada raíz, tal que elevada al índice resulte otra expresión llamada radicando o cantidad subradical.
a
n
b
n
a b
Radicales Semejantes
Veamos : n
Si :
A b
bn A
En donde : n
A
radical
A
radicando o cantidad subradical
b
raíz
n
índice signo de radical
Valor Aritmético de un radical
Son aquellos que tienen índices y radicandos iguales. Estos radicales son los únicos en los que se puede efectuar la adición o sustracción. Ejemplos :
*
14 xy ; a 4 xy radicales semejantes. 2
5 4 xy ;
3 2 7 2 10 2
Adición :
Sustracción : 11 3 4 8 3 4 3 3 4
Es aquel valor real, positivo y único, que elevado al índice, reproduce al radicando.
Transformación de radicales dobles en simples
Observación :
I. n
Cuando se tiene A implícitamente nos están pidiendo el valor aritmético.
Primer Método :
Radicales H omogéneos So n aquellos que tienen índi ces iguales. Es im po rtante tener en cuenta que las o peraci ones d e multiplicación y división, sólo se pueden efectuar entre radicales homogéneos.
Son radicales homogéneos. 5
*
2
xy ;
5
5
a;
zw
2
Ac 2
Donde :
c A2 B debe ser racional (
exacta)
Ejemplo : Descomponer : *
5 24
calculemos "c" ; donde : A = 5; B = 24.
c 5 2 24 1
Ejemplo : *
Ac
A B
Debemos tener en cuenta la definición : x2 | x |
A B
Radicales de la forma :
5
2
3 2
5 1 2
5 1 2
Multiplicación. n
a
n
b
n
c
n
abc 79
Álgebra
Reemplazando en () :
Segundo Método Se forma trinomio cuadrado perfecto, recordemos que:
10 108 1 3
3
( a b )2 a b 2 ab
Observación :
Veamos :
El mismo método se utiliza para la forma : A B
3
A B
a b 2 ab ( a b )2 a b (a b)
reemplazando en todas las ecuaciones :
1
A por "A" y
2
RACIONALIZACIÓN
Ejemplo :
*
x por "x".
8 60
5 3 2 53
5 3
1
Es el pro ceso que consi ste en transfo rm ar el denominador irracional de una fracción; en otro que sea racional.
2
Factor racionalizante (F.R.) II.
Radicales de la forma : 3
3
A B
+ A B x y (x Q; y Q ).
Los valores de "x" e "y" y se obtienen resolviendo las siguientes ecuaciones :
4 x 3 A 3Cx ...... (1)
A 2 B racional ( 3
Para racionalizar una fracción bastará con multiplicar sus términos por el factor racionalizante del denominador.
I.
Donde : 3
Propiedad
Casos de Racionalización
x 2 y C ...... (2)
C
Es aquella expresión irracional que, al multiplicarla, por una cierta expresión irracional dada la transforma en racional.
exacta) .
Sugerenci a : co mo "x" es raci onal entero, es recomendable "tantear" con valores enteros de "x", en la ecuación (1).
Racionalización de Expresiones Monomiales En este caso, el factor racionalizante es homogéneo con la expresión para racionalizar, debe cumplirse que luego de la multiplicación los exponentes del radicando deben ser iguales al índice o al menor de sus múltiplos. Ejemplo : Racionalizar el denominador de :
N
Ejemplo : Transformar :
7
3
10 108
tendremos : 3
x 4 y12
tendremos :
10 108 x y ....... ()
como : A = 10; B = 108, entonces :
C
3
10 2 108 2
7
N 7
x
4
y
12
.
7
x3y2 3
x y
2
F. R.
Luego en (1) :
4 x 3 10 3 (2)x
4 x 10 6x se verifica para : x = 1
4+ 3
igual al índice
3
Ahora en (2) :
x 2 y 2 12 y 2 y 3
80
12 + 2 = 14 (menor múltiplo de 7)
N . (F.R.) 7
7 14
x y
N . (F.R.) xy 2
deno min ador
racional
TRILCE II.
Racionalización de Suma o Resta de Radicales con índice 2 o sus potencias En este caso, el factor racionalizante se o btiene utilizando la diferencia de cuadrados. Recordemos : ( A B )( A B ) A B
I V.
Racionalización de Radicales de la forma n
*
*
x y
*
4
x y
4
x y
x y
4
n
n
n
n
... b n 1 a b (n par o impar )
( a b )( a n 1 a n 2 b a n 3 b 2 ... n
n
n
n
n
... b n 1 a b (n impar)
( a b )( a n 1 an 2 b a n 3 b 2 ... n
n
n
n
n
... b n 1 a b (n par) n
FR1 .
n
n
Tendremos :
k
( a b )( a n 1 an 2 b a n 3 b 2 ... n
k
4
n
En este caso, el factor racionalizante se o btiene utilizando cocientes notables, de la siguiente manera :
Ejemplo : Racionalizar el denominador de :
a b
k FR1
x y
Ejemplo : Racionalizar el denominador de :
M
FR 2
k RF1 . x y
7
x y
x y
k FR1 FR2 x y2
Tendremos :
denominador racional
M
7
III. Racionalización de suma o resta de radicales con índice 3 o sus potencias
x 7 b
x 7 b
.
FR
7
x 6 x 5 b x 4 b2 ... b6 7
7
7
M.FR xb
denominador racional
En este caso, el factor racionalizante se o btiene utilizando la suma o diferencia de cubos. Recordemos :
(
3
A
3
B )(
3
A2
3
AB
3
B2 ) A B
Ejemplo : Racionalizar el denominador de :
P
x 3 y Tendremos : FR1 P
x 2 x3 y y 2 3
x 3 y x 2 x 3 y 3 y2 .
P . FR1 x3 y
denominador racional
81
Álgebra
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Efectuar :
08. Reducir :
(2 3 1)(3 3 2) 9 4
02. Calcular :
(3 2 2) (2 2 3) 10 2
a) 4 d) 6
c)
e)
d) xy
e)
E 2
c)
3 1
3
6
16 2 48 c)
b) 3 e) 1
2
R
b)
3 3 2 2 4
d)
4
4
d) 2 2
1
6 2
1
2 2 c) 1
x 7
x 9 2
; para : x = -7.
b)
2
c)
2
2
e) 2
11. Sea :
E
1
2 3 5
( 12 18 30 ) / 12
a)
( 15 18 30 ) / 18 ( 12 18 30 ) / 12
c)
2 2
d)
( 15 18 30 ) / 18 ( 12 15 30 ) / 12
e)
2
12. Si se cumple :
34 3
( 9 4 5 2)2 14 6 5
a) 8 5
b) 5
5 1
e) 3 4 5
c) 7 2 5
6 2 5 x > y > z. Calcule :
a) 1
07. Simplificar : 3
54 3 16 3
82
b) -2 e) -1
2
a)
3
06. Efectuar :
d)
1
8 6
E
b)
e)
xy x
Entonces la expresión racionalizada es :
2 5 3 6 2 8 2 12
c)
c) x - y
09. Efectuar :
7
Calcular :
a)
6
7 + 1
3
05.
x y
x3y2
10. Hallar el verdadero valor de :
04. Efectuar :
a) 6 3 d) 2
b) x
a) 2 d) 0
5 7 . 3 7 7
d) 1
a) 0
31
03. Efectuar :
b) -1
3 3 2
2
b) 7 e) 9
a) - 7
x3y2
c) 6 - 2 3
b) 0 e) -1
a) - 2 3 d) 16
E
250
a) 0
b) 1
d) 5
e)
3
32 18 8
2 2
50 c) 2
d)
x y z ; donde :
(x y)(x z)(y 2z) b) 2
3
e) 2 2
c) 3
1 2
TRILCE 13. Indicar el denominador racionalizado de :
E a) 8 d) 40
b) 20 e) 25
E
3 1
d)
2
b)
3
c) 10
3 2
.
3 1
1
20. Efectuar :
2 1 3 c)
6 1
K
3 9 80
d)
m2 n
e)
21. Efectuar :
Calcular : m + n. a) 15 d) 45
b)
2 2
a
2 1
18. Efectuar :
1 3 a) 2 2 1 3 2 2
c)
5
3
7 2 10
a) 1
b)
5
d) 0
e)
3
3
1
11 2 30 c) 2
a) 7/3 d) 5/9
4 1 6 x 6 y 6 z
b) 7/9 e) 3/7
2
a) 3 d) 6
; b
e) 2 2
2 1
3+ 1
c) 5
4 7
18 6 7 6 2 2 14 a) 1 d) 4
b) 2 e) 7
c) 3
25. Sabiendo que : n Z ; a y
2 1 3 . 1 3 3 1 3 3 1 3 b) 2 2
b) 4 e) 7
24. Indicar el denominador racionalizado de :
2 1
c) 2
c) 5/3
2b 3b 2 x 2
23. Calcular "x", en :
b) 1
e)
c) 5
22. Calcular : x+ y+ z, si :
Calcular : V a3 b ab3 d) 24 2
8 1
2 4
2 1
84 3
7
c) 35
1 2
e)
17. Si :
a) 0
2 2 3 2 3 3 3 1 3 1
E
d)
3 1
b) 25 e) 55
16. Efectuar :
a) 2
2
21 320
b) 3 7
5 2
c)
e) 2 5 3
a) 2
2
5 2
b)
5
d) 1
6
e)
a)
4
15. Si :
d)
B 5 2 ( 4 15 2 3 )
1
35 6 21 10
14. Calcular :
a)
19. Reducir :
1
1 3 c) 2 2
n 1 n! a b
Además : ab = (n-1)!. a) 5 d) 13
b reales que verifican :
Hallar : a + b.
b) 6 e) 8
c) 7
26. Hallar el verdadero valor de :
x 8
E
x 1 3
a) 1/3
b) 1/6
d) 3
e)
; para x = 8. c) 6
1 3
83
Álgebra
33. Racionalizar :
27. Calcular el verdadero valor de :
xy 4 x
M
xy 3y 2 x 2 3
para : x = 3, y = 4.
2
1 2 3 6 la expresión resultante es : 1 2 6 3
a) a) 2 3 d) 3
b) 3 3 e) 4
c) 4 3
E a) 2/3 d) 1/6
3
x 2
x 4 2
x 33
a) 9
b) 33 3
d) 9 3 9
e)
3
; para x = 3. c)
3
9
34. Si al dividir :
P(x )
3 4x
26 2 7 entre
3 7 se obtiene
b) 15 e) 18
c) 29
una expresión de la forma a b donde "a" y "b" son enteros positivos, entonces a 2 b es : a) 9 d) 2
A partir de :
11 2 12
{ , } N
x 5
cuando : x = 5.
a) 1 b) -1/6 e) 1
4
35. Proporcionar el valor de :
3
30. Hallar el verdadero valor de la fracción :
a) 1/6 d) -6
1 2 6 3
; para : x = 8 c) 1/3
x 2 3x
1 2 6 3
e)
29. Hallar el verdadero valor de : 3
1 2 6 3
d)
b) 4/5 e) -1/3
F
1 2 6 3
b) c)
28. Calcular el verdadero valor de :
,
c) 6 d)
3 2 2
b)
3 2 4
e)
2 2 3
4
4
c)
2 3
31. Si se cumple : 36. Racionalizar : 5x 2 2 6x 2 7x 3
ax b cx a
A
de modo que : { a, b, c} N. Calcular : a + b + c. a) d) 7
b) 5 e) 8
a) 1
c) 6
32. Sabiendo que : x x 1 ; x 0 2
Reducir :
E x x
a)
d)
x 2 x 2
b)
e)
2x 2
c)
3
e)
3
25 3 20 3 16 b) 9
3 3 2
d)
5 3 2
3
5 34
37. Indicar el denominador racionalizado de :
F
x 1 2
c)
2 2
a) 1 d) 5
1
1 6 16 6 2000 5 b) 20 e) 8
c) 10
38. ¿Cuál es el denominador que se obtiene al racionalizar:
2 x 2
1
1 2 23 4 3
a) 13 d) 23
84
1
3
b) 17 e) 29
? c) 19
TRILCE 39. Racionalizar el denominador de :
F
44. Hallar : k 3 / 4 , si :
1
5
2 23234 6 24k
8 5 4 1
e indicar la suma de cifras de éste. a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
c) 11
10 1
es equivalente a : .
a) 6 d) 9
donde : 2
b) 7 e) 10
b) 6 e) 16
c) 20
41. Efectuar :
1
3
12 3 18 3
ab 2 E 2b 2 b ( 2 1) a
3
a) 1 3
d)
e)
12 6
3
c)
18 3
a) d)
a a2 1
a a2 1
para : a 4 a 2 6 a) 4 6
b) 2 3
d) 4 3
e) 2 6
a a2 1
a a2 1
c) 3 2
x 15 8 x 1 x 2 x 1
x2 1
b)
x2 1
e)
x
es equivalente a :
x 3 x 2
x 3 x 2
b) d)
d) x - 1
e)
2 5
x 1
c)
8 5
x 3 x2 x 3 x2
e) 1 49. Descomponer en radicales : 4
b)
x 1
2x 5 2 x 2 5 x 6
Siendo : 1 < x < 2.
a) 1
c)
1
c)
x 24 10 x 1 x 8 6 x 1
x 1 2
x x2 1 2
48. La expresión :
a)
43. Reducir : A
x x2 1 2
12 3
42. Calcular :
E
b) 12 c) 11 e) No se puede determinar.
47. Si : x > 1, reducir : 3
18 3
b)
2
se le puede dar forma a b donde : "a" y "b" son enteros positivos. a) 17 d) 19
1
c) 8
46. Hallar : a+ b, si la expresión :
N . Calcular el valor de : " . " .
E
c) 3
4 3 2
10 3 10 1
10 3
a) 8 d) 12
b) 1/2 e) 4
45. Dar la suma de las cuartas potencias de los radicales simples que se obtienen al descomponer :
40. Si la expresión :
R 10
a) 2 d) 1/4
7 48
a)
3 2 2 2
b)
6 6 3 2
c)
6 6 2 5
d)
6 2 2 2
e)
2 3 3 2
85
Álgebra
56. Calcular :
50. Hallar el verdadero valor de :
a 3 a2 3 a 3
H
3
3
a a 6 2
3
1
2 2
...
para : a = 27. a) 2 d) 0
b) 3 e) 1/3
a) 3 d) 1/3
52. Si :
3
x6 2 x2 2
; para : x = 2.
b) 4 e) 3/4
5 x 3 el equivalente de : 2
F
1
a)
d)
3
3 3
3 2
T
...
c) 0,8
33 3
2 1
4 1
1
b)
6
3
e)
3
2
c)
3
3
2 1 { 112 80 2 68 52 2 }
entonces al tranformar a radicales simples se obtiene :
{ a ; b} N / a b . Mostrar un radical simple de : a b 2 a 6b .
a) 1
b)
d) 4
e) 3 2
c) 2
2
59. Si : { x ; y ; z} Q proporcionar el valor de "x+ y+ z", de tal modo que se verifique :
a)
7
b)
d)
2
e) a ó d
c)
5
3 33
54. Si :
a) 0,7
E3
1 32 34 9 9 9
3 3 Calcular : (E 1)
d) 0,7
2 1 3 x 3 y 3 z
b) 0,6
c) 0,6
e) 0,78
60. Calcular el verdadero valor de :
b) 3 e) 2
F(x )
c) 1
x x 1
x2
x2 x 1
para : x = 2.
55. Calcular :
A
86
1
10 4 5
58. Si T es una expresión definida por :
a 4 b 2 a 2 2b
a) 1 d) 2/3
2
d) 2 3
3 2
a) 1/3 d) 8
57. Calcular :
c) 1/4
a) 2 2x 3 3 2 b) 2 2x 3
53. Si :
1
64 3
b) 0,3 e) 0,7
d) 0,9
es :
e)
990 100 99
a) 1
2x 2 6 x 9 2x 1 2 4 x 6
c)
1
2 3 3 2 1
c) 1
51. Calcular el verdadero valor de :
E
(1 3 2 3 4 )3
b) 2 e) 3/2
3
2 1
a) -2 d)
c) 9
11 4
b) 2 2 e)
3 2
c) 4
TRILCE
Claves 01.
d
31.
c
02.
b
32.
d
03.
d
33.
a
04.
d
34.
e
05.
b
35.
d
06.
a
36.
d
07.
c
37.
b
08.
a
38.
d
09.
a
39.
c
10.
d
40.
c
11.
a
41.
e
12.
b
42.
a
13.
c
43.
c
14.
b
44.
a
15.
c
45.
e
16.
c
46.
c
17.
d
47.
a
18.
a
48.
b
19.
d
49.
d
20.
b
50.
a
21.
d
51.
d
22.
b
52.
e
23.
d
53.
e
24.
e
54.
e
25.
a
55.
c
26.
c
56.
b
27.
a
57.
b
28.
c
58.
c
29.
d
59.
d
30.
b
60.
d
87
Álgebra
88
TRILCE
C ap ít ulo
9
NÚM EROS COM PLEJ OS
Cantidades Imaginarias
Ejemplo :
Se obtienen al extraer raíz de índice par a un número negativo. Ejemplo :
2 ;
4
7 ;
4 ; ... etc.
6
D efinición L a unidad imaginaria se obtiene al extraer raíz cuadrada de -1, se representa de la siguiente manera :
1 i también se define como : i 2 1
Potencias de la Unidad Imaginaria
i i 1
i
i
i
Z = a + bi = (a ; b); a, b R
donde :
a = Re(Z) se llama, parte real de Z b = Im(Z) se llama parte imaginaria de Z
CLASIFICACIÓN DE LOS COMPLEJOS Complejos Conjugados (Z) Son aquellos que sólo difieren en el signo de la parte imaginaria. Ejemplo :
Z = 3 + 4 i ; su conjugado es : Z 3 4 i
Z = 5 - 2i ; su opuesto es : Zop 5 2i
Complejos Iguales Son aquellos que tienen partes reales e imaginarias, respectivamente, iguales.
i 4 n k i k ; (n ; k Z)
i
o 1
Ejemplo :
480 i 4(120) 1 Ejemplo : i
10
i4
i4 1
i 4 n 1; n Z
Ejemplo : i
1112
Complejos Opuestos (Zop) Son aquellos que sólo difieren en los signos de la parte real e imaginaria, respectivamente.
Propiedades :
47
i
4 o 110
i 2 1 i 3 i
2.
i
1112 (4 o 1)10
Números Complejos Son aquellos números que tienen la forma :
Unidad Imaginaria
1.
i
1112 910
4(11) 3
3(4) 2
i i 3
i 2 1
O bservación : Es conveniente recordar las siguientes propiedades aritméticas.
(a r)n a r n
(a r)n a r n (n par)
(a r)n a r n (n impar)
Ejemplo : De la igualdad : a + bi = 8 - 11i tenemos : a = 8; b = -11
Complejo Nulo Son aquellos que tienen su parte real e imaginaria, respectivamente, iguales a cero. Si : Luego :
a + bi es nulo a + bi = 0 a = 0; b = 0
Complejo Imaginario Puro Es aquel cuya parte real es igual a cero y su parte imaginaria distinta de cero. Si : a + bi es imaginario puro a = 0
89
Álgebra
Complejo Real Si un complejo es real, entonces su parte imaginaria igual a cero :
Graficar : Z = 5(Cos40° + iSen40°) En el sistema de coordenadas polares :
Si : a + bi es real b = 0
Z (5; 40º)
= 5
Representación de los Complejos I.
Representación Cartesiana o Geométrica En este caso, el complejo está representado de la forma:
40º
O
Z = a + bi
polo
Gráfica del Complejo Cada complejo es un punto en el plano, para ubicarlo se le representa en el llamado plano com plej o, Gaussiano o de Argand, el cual está formado por un eje vertical (eje imaginario) y un eje horizontal (eje real).
eje polar
Relación entre la Representación Cartesiana y Polar Sea el complejo : Z = a+ b i (a, b > 0) Im b
Ejemplo : Origen
Graficar : Z1 = 3 + 4i
Z2 = 5 - 3i
Z Eje real positivo a
Polo
Re Eje polar
En el plano Gaussiano : En la figura sombreada :
Im Eje imaginario
Z1 = (3; 4)
4
5
Re
3
Origen
-3
Eje real
Z2 = (5; -3)
Observación : Cada complejo se representa por un punto en el plano al cual se le llama afijo del complejo.
II.
Representación Polar o Trigonométrica : En este caso, el complejo adopta la forma : Z (Cos i Sen)
Donde : módulo; > 0
argumento; 0 2
Gráfica del Complejo En este caso, se utiliza el sistema de coordenadas polares el cual está formado por un punto fijo llamado polo y una semirecta que parte del polo, llamado eje polar. El módulo ( ) es la distancia del polo al punto que representa el complejo y el argumento () el ángulo positivo medido en sentido antihorario desde el eje polar hasta el radio vector OZ .
90
* * * *
a2 b2 a Cos b Sen ArcTg
b a
a bi Cos ( Sen) i a bi (Cos iSen)
Para transformar de cartesiana a polar se calcula y
. En el caso inverso, se calcula el valor de la función trigonométrica. Aplicación : 1. Transformar : Z = 3 + 4i *
32 4 2 5
*
ArcTg
4 53 3
3 4 i 5 (Cos53 i Sen53) 2. Transformar : Z = 6 (Cos37°+ i Sen37°) Z = 6(Cos37°+ i Sen37°)
Z 6( Z
3 4 i ) 5 5
24 18 i 5 5
TRILCE III. Representación de Euler En este caso, se tiene :
(Cos i Sen) e
i
Se cumple :
expresado en radianes
Ejemplo :
Cos iSen e
Elevando al cuadrado
Asimismo :
a bi (Cos iSen) ei
OPERACIONES CON COMPLEJOS Operaciones en forma cartesiana a) Adición y multiplicación Se utilizan las mismas reglas algebraicas.
9 6i 3i 2i 2 5 4 i
5 a 2 b 2 ; 12 2ab
Resolviendo :
a 3 5 12i 3 2i b 2
a 3 5 12i 3 2i b 2
*
9 6i 3i 2 5 4 i
2 13i
1i i 1i
1i i 1i Operaciones en forma polar *
b) D ivisión Se multiplica el numerador y denominador por el complejo conjugado de este último.
Z
2 3i 3i
2 3i 3 i 6 2i 9i 3i . 3i 3i 9 i2
2
6 7i 3 9 7i 9 7 Z i 9 (1) 10 10 10
c)
Igualando :
* (1 i) = 2i
Resolución :
Z
5 12i a 2 b2 2abi
Observación :
Ejemplo : (3+ i)(3+ 2i) - (5-4i)
Ejemplo :
5 12i
5 12i a bi
i
Siendo : e = 2,71828 .... (base de los logaritmos naturales).
I.
d) Radicación : En general se asume que la raíz adopta la forma (a+ bi) ; luego a y b se hallan por definición de radicación.
a) Multiplicación : En este caso, los módulos se multiplican y los argumentos se suman.
Z1 1(Cos 1 i Sen 1)
Z2 2 (Cos 2 i Sen 2 )
Z1 Z2 1 2 [ Cos(1 2 ) i Sen(1 2 )]
b) D ivisión : En este caso, los módulos se dividen y los argumentos se restan.
Z1 1 (Cos 1 i Sen 1 )
Potenciación : Se utiliza el teorema del binomio. Ejemplo:
(2i 3)2 4 i 2 12i 9
4 12i 9 5 12i
Z2 2 (Cos 2 i Sen2 )
Z1 1 [ Cos (1 2 ) i Sen (1 2 )] Z2 2
91
Álgebra
c)
Potenciación : En este caso, el exponente eleva al módulo y multiplica al argumento.
Ejemplo : Hallar las raíces cúbicas de la unidad.
[ (Cos i Sen)]n n [ Cosn i Sen n]
3
3
d) Radicación : En este caso, se aplica la fórmula de De Moivre. Sea : Z = (Cos + iSen)
n
2 k 2k Z n Cos( ) i Sen( ) n n k = 0, 1, 2, ..... , (n-1)
Nota : observa que
n
1 3 1 0i 3 Cos 0 i Sen0
2 k 0 2 k 1 Cos i Sen 0 3 3
k = 0, 1, 2 k= 0
3
1 = 1
k= 1
3
1 =
k= 2
3
1 3 2 1 = 2 2 i w
z tiene "n" valores.
Raíces cúbicas de la unidad : 1; w; w 2 . donde : *
w3 1
2 * 1 w w 0
92
1 3 i w 2 2
TRILCE EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Calcular :
2 8 12 12 3600 a) 76 d) -44
b) -76 e) 50
02. Reducir :
V
(i 1 )
1
07. Si : (ni12 i13 ) 2i n a 2 bi ; { a ; b ; n} R Calcular :
a)
i 4 i 9 i16
2i i 5
10
i
i
b) 2 e) 4i
15
2 3
d)
c) 3i
Z
(i 1 )
i 28 i 321 i 49 i 50 i17
1921
i
i1932 i1960 i1973 i 2003
1
b) -i e) 1 - 1
(i 1 )
c) 6
2
e) 3
3
a2 bi m ni
2 { a; b; m; n} R; además : i 1
m2
a n2 2
a) 1 d) 4
b mn
b) 2 e) 5
c) 1
J i i 2 i 3 i 4 ... i 2003
3 (n i) 5(n 3i) 3 7 (a 2ai)
Si : n R a R . a) d)
a) 1 d) i
b) 2 e) 2i
c) -1
05. Hallar la suma "A" de números complejos :
A (1 i) (2 i 2 ) (3 i 3 ) (4 i 4 ) ... (4 n i 4 n ) a) n (2n+ 1) c) 0 e) 2n(4n-1)
b) 2n (4n+ 1) d) n(4n+ 1)
3 8
9 4
b) e)
9
c) 9
8 3 4
3 (n i) 5(n 3i) 1 2i es un complejo real. Calcular : "n".
10. Si : n R z
a) -3/8 d) 9/4
b) 9/8 e) 3/4
c) 9
11. Hallar "n", si el número siguiente es imaginario puro :
3 2ni 4 3i
06. Calcular : 12 1011
V i9
16 1415
i13
i17
20 1819
(i 1 ) a) 0 d) 3i
c) 3
09. Calcular "n", si se cumple :
a) i d) -1 04. Reducir :
3
b)
Calcular : 03. Simplificar :
n
c) 44
08. Si :
a) 1 d) 2i
(n 2 a 2 ) ; (i 1)
b
a) -1 d) -4
b) -2 e) -5
c) -3
12. Sabiendo que : b) 1 e) -3i
c) 3
z
a 2i ; es un número real. b 3i
b (a 8) i ; es un núm ero im agi nario puro.. a bi Indique : a - b. w
a) -12 d) 8
b) 10 e) -10
c) 24
93
Álgebra
13. Si : { z1 ; z2} C , calcular :
21. Sean : Z1 ; Z2 C . Reducir :
| z1 z2 | 2 | z1 z2 | 2 Re (z1 . z2 ) Re (z1 . z2 )
5 z z2 2z 3 z2 Im ( 1 ) Im ( 1 ) 3z1 4 z2 3 z1 4 z2 a) -3 d) 3
b) -1 e) 0
a) 1 d) 3
c) 1
14. Si "i" es la unidad imaginaria, al efectuar la siguiente operación :
2 (1 i)16 (1 i)16
a) 0 d) 512 i
b) 1 e) 256
15. Calcular el valor de : a) 1 + i d) -1 + i
c) -1 - i
(5 2i)( 6 i)
b) 2
d) 2 7
e) 14
c)
2
c) 4
Z ((1 i) 4 i)((1 i) 4 i)( 3 i 1)
a) 2 d) 8
13
d) 4 13
94
b) 2 13 e) 5 13
| z| - z = 3 + i . b) 6 (7 24 i)1
c) 7 (6 4 i)1
a) 36 d) 18
1 d) 3(4 3 i)
b) 26 e) 22
W
c) 32
c) 6
c) 3 13
c) 34
25. Indique el módulo de :
(2 2i)(1 3i)
(1 i)( 7 3i)
a) 1
b) 2 3
d) 2 2
e) 2
c)
26. Sabiendo que : m, n, x, y R. Además : m ni x yi Hallar el equivalente de :
20. Hallar el módulo del complejo "Z", si al dividirlo entre 5+ i y al cociente sumarle 2, se obtuvo 3-i. a)
n (2n 5)(1 n) 6
e)
a) 2 (7 12i)1
4
8 (1 i)6 n(1 i) ; n R ; i 1 b) 4 e)10
n (2 n 5) 3
Hallar : K | z w | 2 | z w | 2
18. Determinar el módulo de :
19. Hallar "n".
c)
24. Sean : | z| = 2; | w| = 3.
b) 5 - i e) 4i
b) 8 e) 128
n (n 1) 6
e) 7 (6 28i)1
Z2 | Z | 2 1
a) 2 d) 64
b) n
Indique : z
Determinar : 58
4
d)
n(n 1) 2
1
17. Sea : Z1 2 5i Z2 1 i
a) 3 + i d) 2 - 2i
n Z .
23. Si : z C , resolver :
(7 3i)( 5 3i)
a) 1
22. Indique la parte real de :
a)
2i .
16. Determinar el módulo de :
Z
c) 2
z (1 i)2 (1 2i)2 (1 3i)2 ... (1 ni)2 ;
c) -256
b) 1 - i e) a ó c
b) 1/2 e) 1/3
K a) 6 d) 12
b) 4 e) 10
n2
my 2 y 4 c) 8
2
TRILCE 27. Si : 3 a bi m ni ; { a ; b ; m ; n} R
33. Efectuar :
K
además : i 1 . Calcular :
z1 2 (Cos10 i Sen10)
m3n 3
z2 8 Cis20
b) 1 e) 3
28. Resolver en :
z3 4Cos5 4iSen5
c) -3
a) 4 i d) i/2
C : z2 2 | z| 0
b) 9 e) 2
a) 190° d) 340°
2 i i5i a) 1 + i
b) 1 - i
d)
e)
35. Efectuar :
Z
a) 3 - 4i
d)
5
3 4i
1 Z
6 25
| Z| 5
b) 4 - 3i
e)
5 3
c)
5
3 4i
i
d)
2 Cis 135°
b)
5
37. Si : z
e) 5 Cis 135° 32. Llevar a su forma exponencial :
c)
2
e)
1 3 i 2 2
b)
2 i 4e 3
e) 8 e
2 i 3
a) 2 ei
b) 2 e2i
d) 1 3 i
e) e
c)
2 e2i
2 i 3
38. Reducir :
44 3i
4 i 3
10
Calcular : z3 z3 .
2 2 Cis 135°
d) 8 e
a) d)
5 Cis 233
c)
a)
e) e
(Senx iCosx )4 Senx iCosx es :
b) 5 Cis 233°
4 i 16 e 3
c) e / 2
36. Un número real "x", que satisface la ecuación :
31. Llevar a su forma trigonométrica : z = -3 - 4i a)
4i
b) e / 2
d) e2
c) 240°
1i 2
a) e
30. Hallar "Z", si cumple :
1
b) 250° e) 200°
c) i
1 i 2
c) 1/4
Arg (w1) .
c) 1
29. Efectuar :
2i
b) -1/2 e) 1
34. Sea : w1 Sen 20 i Cos20 , hallar :
z (0,0) . Indique : Re(3z) - Im(z). a) -3 d) -2
z43
sabiendo que :
(m 3 a)(b n 3 )
a) 3 i d) -3 i
z15 z32
c)
L
4 i 4e 3
a) 1 d) -i
b) -1 e) e
i
i
e4 e
i 4
i 4
e4 e
c) i
95
Álgebra
45. Una de las raíces "Doceavas" del complejo Cis 12°; presenta el mayor argumento, indíquelo :
39. Proporcionar un equivalente de : i i . / 4 a) e
b) e / 2
d) e3 / 2
c) e
e) Hay 2 correctas
e
a)
d)
2 4
e)
1 2 3 4 5 ?
c)
4
2
a) b) c) d) e)
Nulo. Real. Imaginario puro. Su módulo es 1. Más de una es correcta.
47. Indique el argumento del complejo :
1 3 w i 2 2
41. Haciendo :
w1
3 1 3 1 ; w2 i i 2 2 2 2
Determinar : w1n w 2n ; n Z ; n = par..
a) 2Cos c) 2Sen e) 2Cos
n 3
b) 2Cos
2n 3
d) 2Sen
n 6
2 n 3
Z { (1 w)(1 w )}
51
a) 3100
b) 0
d) 2101
e) 3101
n 3
b) 2n
d) 3n
e) 16 n
5
Re
Im w
e)
Re
2n 49. Calcular "n" en : (1 w ) 2187 w Siendo "w" una de las raíces cúbicas de la unidad.
a) 1 d) 7
b) 4 e) 8
c) 5
50. Dado s lo s co mplejo s : z1 ; z2 ; z3 Gausseano :
z1
en el plano
Im 15º
c) -1
45º
Re
15º z3
z2
96
d)
Re
Im (1 2 3 4 ) b) 0 e) Sen (36°)
Im
w
w
c)
c) 1
c) 8 n
Re w
50
44. Si : 1 , 2 , 3 , 4 son las cuatro raíces imaginarias de:
a) 1 d) Cos (7°)
b)
Re w
E ( w 1)( w 2 1)(w 3 1)(w 4 1)...( w 6 n 1)
a) 4 n
c) 2 /3
Im
a)
43. Si : "w" es una de las raíces cúbicas de la unidad real, calcular :
1 , calcular :
b) /2 e) /4
Im
{ (1 w )(1 w )} 4
2 3 i
48. Del problema anterior, grafique el complejo:
42. Si : "w" es raíz cúbica de la unidad real, calcular :
5
a) /6 d) -
Im
2
c) 361°
de la unidad. ¿Qué clase de número es :
e (1 i) 4
2 2
b)
2 2
4
b) 321° e) 331°
46. Si : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; son las raíces de 0rden 6
40. Hallar el módulo de "z" que verifica : z
a) 311° d) 391°
TRILCE Indique verdadero (V) o falso (F) : Arg (z1 . z2 ) 340
I.
Im
Re(z1) Im (z2) 0
II.
c)
Arg (z3 ) Arg (z1) 240
III.
a) FVV d) FFF
b) FVF e) FFV
c) VVV
d)
a b
b)
2
ab
a b 2
2ab
a b2 2
a 2 b2 e) 2ab
ab
a 2 b2
Sabiendo que : 1 Cos 2 2 Cos2 b) 1,5 e) 1,8
3 a) e e
b) 1
d) 5 e3
e)
5
z
c) 1,1
2 i
d) 5 / 4
c)
e) 3 / 4
a) 1
n b) (1)
2n d) 2
e) 2 2
e2 i c)
3
e
e
a) ln 5 d) i ln 3
2
c) 2n
n
b) ln 3 e) i ln 2
n
b) 2 e) 6
a) 1000 d) 1005
5 , indique el complejo : ; 2 8 3 . ; 4 8
b) 1009 e) 1006
c) 1004
60. Reducir : (a bw )2 (b aw )2 (a bw 2 )2 (b aw 2 )2 2ab
Si : b > a ; a) a + b d) 2b - a
Im
Im
c) ln 2
1i 1 ( 3 1) ; i 1 1 i 2
si éste es de 4 cifras.
c) 0
3i 5
59. Calcular el mínimo valor natural de "n" que verifica la igualdad :
K 4 4 ()1
z2 zei 3 , donde :
a)
(1 i)3 i
b) e / 4
a) 1
Tg z
55. Dado el complejo : z e3 i , donde :
i3
58. Resolver en C :
54. Si : y , son las raíces cúbicas imaginarias de la unidad, el equivalente de :
a) 1 d) 4
2
(1 w w 2 )(1 w 2 w 4 )(1 w 4 w 8 ) ... 2n factores
z 1 Cos74 i Sen74
53. Hallar el módulo de :
Re
57. Si "w" es una de las raíces cúbicas imaginarias de la unidad, calcular :
52. Hallar el módulo de :
a) 1,7 d) 1,6
Im
w
c)
2
z2
56. Hallar el módulo de :
entonces el valor de Tg es :
2ab
Re z2
e)
a bi ei a bi
2
d)
Re z2
51. Si : a, b y , son números reales y :
a)
Im
w 31 . b) a - b e) 2a - b
c) b - a
z2
z2 Re
b)
Re
97
Álgebra
Claves
98
01.
c
31.
b
02.
b
32.
e
03.
c
33.
d
04.
c
34.
b
05.
b
35.
e
06.
d
36.
c
07.
c
37.
b
08.
c
38.
d
09.
b
39.
e
10.
b
40.
a
11.
b
41.
a
12.
e
42.
e
13.
e
43.
a
14.
e
44.
b
15.
e
45.
e
16.
b
46.
e
17.
d
47.
c
18.
d
48.
d
19.
d
49.
d
20.
b
50.
e
21.
c
51.
c
22.
e
52.
d
23.
d
53.
a
24.
b
54.
c
25.
c
55.
e
26.
b
56.
b
27.
e
57.
d
28.
d
58.
e
29.
a
59.
d
30.
a
60.
c
TRILCE
C ap ít ulo
10
ECUACI ONES DE PRI M ER Y SEGUNDO GRADO
Ecuaciones Son igualdades condicionales, en las que al menos debe existir una letra llamada incógnita :
Manera correcta :
(x 1)(x 1) 5 x4 x 1 única solución
Ejemplo : 2x - 1 = 7 + x Es una ecuación de incógnita "x".
Solución de una ecuación Es el valor o valores de la incógnita que reemplazados en la ecuación, verifican la igualdad. Si la ecuación tiene una sola incógnita a la solución también se le llama raíz.
3.
Si ambos miembros de una ecuación se elevan a un mismo exponente, entonces, se pueden introducir soluciones extrañas. Ejemplo :
Elevando al cuadrado :
x 2 7 x 2 14x 49
Ejemplo : x - 3 = 10 Solución o raíz : x = 13.
x= 3
Si de los dos miembros de una ecuación se simplifican o dividen, factores que contengan a la incógnita, entonces, se perderán soluciones. (Esto se evita, si la expresión simplificada se iguala a cero). Ejemplo : (x+ 1)(x-1) = 7(x - 1) Solución :
La ecuación no tiene solución, es incompatible.
Ecuaciones de Primer Grado Son aquellas ecuaciones que adoptan la forma : ax + b = 0
Solución de la ecuación : En : ax + b = 0
Simplificando : (x-1) x + 1 = 7 x = 6 para no perder una solución : x-1= 0 x= 1 2.
(no verifica la ecuación dada) solución extraña
Observaciones : 1.
x2 7 x 7
Si se multiplica ambos miembros de una ecuación por una expresión que contiene a la incógnita, entonces, se pueden introducir soluciones extrañas. (Esto se evita simplificando previamente).
solución o raíz : x =
b a
D iscusión de la raíz En : ax + b = 0 raíz : x =
Si : a = 0
b = 0 Ec. Indeterminada b 0 Ec. Incompatible
Si : a 0 Ec. Determinada.
Resolver :
x 1 5 x 1 (x-1) pasa a multiplicar : 2
Ejemplo :
Ejemplo :
(x 2 1) 5 (x 1)
Hallar, "a" y "b", si la ecuación :
x 1
b a
Entonces :
Si : a = 0
resolviendo :
x4
(a - 3)x + b = 5, es indeterminada.
no verifica
99
Álgebra
Solución :
x
5b a3
si es indeterminada : 5-b= 0 b= 5 a-3= 0 a= 3
x1 ; 2
2 52 2 2 13 6 6
x1 ; 2
1 13 3
CS {
Ecuación de Segundo Grado (Cuadrática)
1 13 1 13 } ; 3 3
D iscriminante ( ) dada la ecuación cuadrática en "x" : ax 2 bx c 0 ; a 0
Forma General : ax 2 bx c 0
se define como :
b 2 4 ac
donde : x = incógnita, asume dos valores
a ; b ; c R / a 0
*
2 Para la ecuación : 2x 5 x 1 0 su discriminante es :
(5)2 4(2)(1)
Resolución de la Ecuación : 1.
25 8 17
Por Factorización : *
Resolver la ecuación : x x 6 0 2
factorizando :(x-3)(x+ 2) = 0 ahora : x-3 = 0; x+ 2 = 0
Propiedad del D iscriminante : el discriminante de una ecuación cuadrática permite decidir qué clase de raíces presenta; es decir :
despejando : x = 3; x = -2 1.
luego : C.S. = { 3; -2} *
Resolver la ecuación : 4 x 9 0 2
2. 3.
factorizando : (2x+ 3)(2x-3) = 0 ahora : 2x+ 3 = 0; 2x-3 = 0 despejando : x = -3/2; x = 3/2 luego : CS = { -3/2; 3/2} 2.
Si : = 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales.
Si : < 0, la ecuación tiene raíces imaginarias y conjugadas.
Rel aci ón ent r e l as Raí ces y l os C oefi ci ent es ( pr opi edades de l as r aí ces) de una ecuaci ón cuadrática : si x 1 ; x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática en "x".
Por la Fórmula General : Si :
x1 ; x 2
so n las raíces de la ecuació n
ax 2 bx c 0 ; a 0
ax bx c 0 ; a 0 , estas se obtienen a partir de
se cumple :
la relación :
1.
Suma : s x1 x 2
2.
Producto : p x1 . x 2
2
b b 2 4 ac x1 ; 2 2a *
Resolver la ecuación :
3x 2 2x 4 0
observar que : a = 3, b = -2 ; c = -4
x1 ; 2
100
Si : > 0, la ecuación tiene raíces reales y diferentes.
(2) (2)2 4(3)(4) 2(3)
*
b a c a
Para la ecuación :
2x 2 10x 1 0 x1 x 2
10 1 5 ; x1 . x 2 2 2
TRILCE Observación : para determinar la diferencia de las raíces se recomienda utilizar la identidad de Legendre. (x1 x 2 ) (x1 x 2 ) 4 (x1 . x 2 ) 2
2
Casos Particulares : dada la ecuación cuadrática en "x", ax 2 bx c 0 ; a 0 de raíces x 1 ; x 2 , si éstas son :
1.
Simétricas, se cumple : x1 x 2 = 0
2.
Recíprocas, se cumple : x1 . x 2 = 1
Reconstrucción de la Ecuación Cuadrática en "x": siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, respectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se determina según la relación: x 2 sx p 0
Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes : siendo : ax 2 bx c 0
a1 x2 b1 x c1 0 se cumple : a b c a1 b1 c1
Ecuaciones Cuadráticas con una raíz común : Sean : ax 2 bx c 0
al x 2 b1 x c1 0
se cumple : (ab1 a1 b)(bc1 b1c) (ac1 a1 c)2
101
Álgebra
EJERCICIOS PROPUESTOS 01.
Sea la ecuación de incógnita "x". a)
6 m x 3
Si la solución es : x = 49. Hallar el valor de "m". a) 4 d) 13 02.
d)
b) 8 e) 2
c) 5
a) -1 d) -1/17
b) -16 e) -1/9
08.
09.
x 2 (8 x)(x 9) 16(x 9)(x 8) Rpta. : ....................................................
10.
1 1 5x x 3 x 3 Rpta. : ....................................................
IV. 2x x 2 3x 4 Rpta. : ....................................................
11.
b) 2 e) 5
a 1
xb
c) 1
ab ax
c) 12
4
b) e)
1
1 1x
1 2
c)
3 x 1 3
1 5
b 1
xb
; a b
De un juego de 32 cartas, se sacan primero "x" cartas y tres más; luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavía quedan 10 cartas. ¿Cuántas cartas sacó la primera vez? b) 14 e) 10
c) 12
En la actualidad, la edad de Pedro es el doble de edad de Juan más 2 años. Hace 3 años la relación de sus edades era como 3 es a 1. Dentro de 5 años, la suma de las edades de Juan y Pedro será : b) 30 años e) 18 años
c) 26 años
Al resolver la ecuación :
44
x 3 se obtuvo como una de sus soluciones el valor 5, hallar el valor de "a". a) 3 d) 16 12.
b) 4 e) 11
c) 9
Si la ecuación :
(3a 4 )x 2 2ax 2 ax 2 2x 18 Se reduce a una de primer grado en x". Indicar el valor de "x".
a) d)
102
ab
x2 x a
2x 3 x 4 1 x 1 x 1 x 1
Hallar "x" en :
1
a) 36 años d) 20 años
2 indicando, luego : x 1 .
06.
ab
b) 11 e) 15
a) 9 d) 8
III. x 2 6
a) 0 d) 3
2
c) 20
(3x - 1)(x - 8) = (2x + 7) (x - 8) Rpta. : ....................................................
Resolver :
ab
Resolver la ecuación :
d)
b) 24 e) 44
c)
x 2 x 1 3 ; e indicar la suma de
a) 1
Resolver las ecuaciones mostradas :
II.
05.
Resolver :
ax
1 1 x
Tiene infinitas soluciones. Hallar : ab.
I.
e)
2
ab
1
36x - 8 + 4ax + b = 13ax - b + 2
04.
ab
Si la ecuación :
a) 10 d) 32
b)
a) 10 d) 13
(a R)
c) -15/17
xb
cifras de : 3x + 8.
Resolver la ecuación si se reduce al primer grado en "x".
ax2 2x a 5x2 3ax 4 ;
03.
07.
ab
5 2 2 5
b) e)
4 3 3 4
c)
8 3
TRILCE 13.
Calcular : "m.n", si la ecuación :
mx 3
20.
(x 1) 2 es compatible indeterminada. a) 12 d) 54 14.
b) 18 e) 45
17.
22.
(2a 1)x 2 a(x b)(x 5) 7 b(a x ) es 2.
b) x = 2 d) x = 1
x m x n m 2 n2 2 m n mn b) m
d) n
e)
x 3 5x 1 x 2 c) 4 1
e) 5 1
x a
1
x b
a) a + b
b) a - b
d)
e)
a b
1
x a
1
x b
b) 3/2 e) 5/2
c) 1/2
Resolver la ecuación de primer grado en "x" : 2(a 4 x ) ax (3 x 2 4) 2(6 x 3 5)
b) 6 2
e) 22
c) 3 2
¿Para qué valor de "m" la ecuación :
( m 2 5 m 6 )x m m 1 3 m es compatible indeterminada? b) 3 e) -2 ó -3
c) 2 ó 3
Hallar el valor de "n" para que la ecuación :
(n 2 10)x n n 2 7nx n 1 sea incompatible. a) 8 d) 7
c) ab
b) 5 c) 2 e) Dos anteriores son correctos.
ab 27.
El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B, en la proporción de 4 a 3. Cuando B planta "x" rosas en una hora, A planta "x+ 2" rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas? a) 6 d) 24
ax 3 3x 2 ax 2a ab bx bx 2 2x 3 es de primer grado, el valor de "x" es :
a) 2 d) -2 26.
Calcular "x", en :
25.
c) -3
Si la ecuación :
d) 22
b) 21
1
b) 5 e) -2
a) 5 2
Resolver :
d) 11
ax 2 15 x 7 0 tiene una raíz que es igual a -7?
c) n - m
(n m ) 2
3
24.
c) 5/6
¿Qué valor admite "a", si la ecuación :
a) 2 d) -1
Hallar "x", en :
a 3b b 1
b) 2/3 e) 7/8
a) 4 d) -1 23.
c) 132
Una de las soluciones de la ecuación mostrada :
a) 3/4 d) 1/2
2x 4 3 x 2 x 4 , se obtiene : x2 3x 1
a) m + n
b) 142 e) 134
Dar el equivalente de : E
Al resolver la ecuación :
a) 31
19.
21.
Tiene dos soluciones enteras. Tiene tres soluciones negativas. La mayor solución es 4. Tiene una solución fraccionaria. Tiene tres soluciones.
x2 4 4
18.
c) 72
2x 2 (x 3)(x 4) (x 2 9)(x 4) e indicar lo correcto :
a) x = 0 c) E. Incompatible e) x = -2 16.
a) 124 d) 123
Resolver :
a) b) c) d) e) 15.
n
Los 3/4 de un barril más 7 litros son de petróleo y 1/3 menos 20 litros son de agua. ¿Cuántos litros son de petróleo?
b) 8 e) 12
c) 32
Indicar la suma de soluciones de :
x 2 (x 5) a) 5 d) 1
2x
x4
16 (x 5)
b) 9 e) -4
2x
x 4
c) -1
103
Álgebra
28.
Indicar el cociente entre la mayor y menor de las soluciones de : 1
x 3 x 10 2
(x 6)(x 2) x 2 (x 2)(x 6)
a) 5 d) 1
29.
b) 9 e) -6
La ecuación :
35.
1
x 3 x 10
c) -1 36.
30.
b) { 1} e) { }
x 1 2
c) { 2}
2y 2 y 1 y2 1
a) 1 b) 0,1 d) Indeterminado.
32.
c) 3/11
39.
(1 ) (1 ) 1 x a x a
b
b
b) a - b e) ab
b a1 b
d)
c) a
a2
x
a
40.
b a c)
ab 1 b
b
a1
d)
7
1 7
7
e) 49
x 3 x 2
2x 2 2 5
b) 3 e) 5
c) 4
Tres niños se han repartido una bolsa de caramelos, el primero la mitad de los caramelos y uno más, el segundo la tercera parte de lo que quedó y el tercero el resto. ¿Cuántos caramelos hubo en la bolsa? c) 38
Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió 1/2 de lo que le quedaba; repitió lo mismo por tercera y cuarta vez, después de lo cual le quedaron 6 soles. ¿Cuánto dinero tenía al comenzar el juego? b) 84 e) 86
c) 72
Los ahorros de un niño constan de : (P + 1), (3P - 5) y (P + 3) monedas de 5, 10 y 20 centavos, respectivamente. ¿A cuánto ascienden sus ahorros, si al cambiarlo en monedas de 25 centavos, el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 centavos? b) 455 e) 360
c) 345
Se compran cajones de naranjas a 100 soles cada uno; cada cajón contiene 20 kilos, primero se vende la mitad a 20 soles el kg, después la cuarta parte a 15 soles el kg, y por último el resto se remata a 10 soles el kg, ganando 11,250 en total. ¿Cuántos cajones de naranjas se habían comprado? a) 65 d) 50
9x x 3 x b)
3
b
ab
b) e)
1
Resolver :
a) 800 d) 400
Resolver la ecuación :
a)
e)
a) 94 d) 96
Hallar "x" de la ecuación :
a)
d) 20
c) 15
a) 25 b) 32 d) 14 e) No puede ser determinado. 38.
Resolver :
a) a + b d) b
104
5 2
c) 0 e) 2
b) 11/3 e) 6/13
b
34.
37.
x 2 x 3 2x 8 0 x 3 x 4 x5
a
33.
Hallar el valor de "x", en :
a) 7/13 d) 5/13
b) 21
a) 2 d) 1
En la siguiente ecuación, determinar el valor de "y", si: x = 1.
x2 x 2
31.
a) 41
2
tiene como conjunto solución a : a) { 3} d) { -3}
x 3 3x 4 3
Dar como respuesta : 2x + 1.
2
x 1 x 5 2x x 11 2 x 3 x2 x 5x 6
Resolver :
41.
1 1 49
c) 55
Si : " " es una raíz de la ecuación : x 2 x 1
7
c)
b) 70 e) 60
Calcular : a) 5 d) -3
5 8 1
b) -5 e) 1
c) 3
TRILCE 42.
Dada la ecuación indeterminada en "x":
47.
1 b(2x 5) c 3 Calcular el valor numérico de:
Luego de resolver :
4 2 4 5x 6 3x 2 3x 2 2x x 2x 3x 2
a(x 2)
Se afirma : I. El conjunto solución = { 2/3} . II. La ecuación es compatible indeterminada. III. La ecuación es inconsistente.
a3 b 3 c 3 R abc
5 a) 8
3 d) 4
43.
1 b) 3
3
2 e) 3
2
5 c) 2
2
2
a) VVV d) FFF
2
48.
Calcular el valor de "n" a partir de la ecuación incompatible en "x": 1 n(x 1) 7 (4 x 10) n
44.
7 2
49.
c) -2
b)
d) -5/2
e) 5/2
e) R 0 ; 5/2 45.
46.
Resolver la ecuación :
x mab pac x mab nbc pac nbc
Determinar el denominador positivo de dicha raíz.
Presenta solución única en "x". Calcular los valores que adopta "n"
c) R 1/3; 3/2
a) 2 c) mnp e) a + b + c
b) R 0;1/3 d) R 1/3
50.
a (x b) x xb 2 x 2 b 3
b
1a
De la ecuación de primer grado mostrada:
Calcular la suma de posibles valores que adopta "x".
c)
(1 a)
a)
9
e)
d)
(a b)3
7
(n 1 5 x n 5 ) x n(x n 6 1)
b) e)
5
2
c) -2
5
51.
20
2x 2 5 x 17
2x 17 x 15
a) b) c) d) e)
b)
3
a 3b
d)
2
ab
3
b3
(1 a)2 a 3b
(1 a)3
49
Al resolver la ecuación: 2
b) mab + nbc + pac d) 1
Hallar el valor de "x".
a)
4
b) (a+ b) (a-b-c) d) (a+ b) (a-b+ c)
x pac nbc qx q3 mab mab nbc pac
Si la ecuación : nx 15 6 n 5 x 12 5 5 2n 2
3 a) R 2
c) VFV
Sabiendo que: b c b a c Resolver : x x x a c b 3(a c) a b a b ab ac ba bc a) (a+ b) (a+ b-c) c) (a-b) (a+ b-c) e) (a+ b) (-a-b-c)
Dar como respuesta : 1 n 2 . n a) 9/2
b) FFV e) VVF
Hay 2 valores para x. x es par. x es negativo. x es positivo. Hay 2 correctas.
2x 2 17 x 15 2x 2 5 x 17
2
Luego de resolver :
x a x a 4x a 2a x a x a
Señale : x ax a 2
2
a)
25 a 2 16
b)
61 a 2 16
d)
9 a2 16
e)
61 a 2 25
c)
5 a2 4
105
Álgebra
52.
a 2 (ax b) a ax b
a 2 b a) a
a(x 3 a) b ; a b 0
a b 2 b) a
a 2 b d) b
a b c) a
e) 53.
57.
Resolver en "x" :
a) 1480 d) 2380 58.
Si las soluciones de :
(nx 1) (x m) (nx 1) (m x) (mx 1) (n x ) (mx 1) (n x )
son y tales que : < .
54.
b) 2 e) 1
59.
c) -1
Resolver :
(a b)x 2 (a 2 b 2 )x 2abx ab(a b)
(a b)x 2 (a 2 b 2 )x 2abx ab(a b)
a ab a b
a a b ab 2
a) - a d) 55.
b) - b
a b
c) ab
e) a + b
Al resolver la ecuación : 45
se obtiene :
8x 8
45
8x x
45
x 2
2a
b
a 1 c
Indicar el valor de : a + b - c. a) 1 d) 4 56.
b) 2 e) 5
Resolver, para "x" : n 1
( )K
K 1
106
c) 3
1 x
x
a)
n n 1
b)
2n n 1
d)
1 1 n
e)
n n 1
n 1
1
(x 1)
c)
1n n 2n n 1
60.
c) 1400
b) S/. 490 e) S/. 800
c) S/. 575
Una librería tiene, para la venta, un cierto número de libros. Vende primero las 3/5 partes y después le hacen un pedido de los 7/8 de lo que le queda, pero antes de servir este pedido se le inutilizan 240 libros y por lo tanto, enviando todos los libros útiles que le quedan, sólo cubre los 4/5 de la cantidad pedida. ¿Qué cantidad de libros se vendieron? a) 2000 d) 3520
2
b) 1500 e) 2000
Se reparten S/. 3000 entre cuatro personas, de tal manera, que a la primera le corresponda S/. 400 más que a la segunda; a ésta, 3/5 de lo que le corresponde a la tercera, y a ésta S/. 600 más que a la cuarta persona. ¿Cuánto recibió la segunda persona? a) S/. 500 d) S/. 600
2 Hallar : 3 - 2 .
a) -5 d) -3
Un comerciante tenía una determinada suma de dinero. El primer año gastó 100 pesos y aumentó a lo que quedaba un tercio de este resto. Al año siguiente, volvió a gastar 100 pesos y aumentó a la cantidad restante un tercio de ella. El tercer año gastó de nuevo 100 pesos y agregó la tercera parte de lo que quedaba. Si el capital resultante es el doble del inicial. ¿Cuál fue el capital inicial?
b) 3000 e) 2240
c) 1760
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡Oh milagro! cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. H abía transcurrido además una duocécima parte de su vida, cuando de velo cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcur ri ó en un matri mo ni o estéri l. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años el deceso de su hijo. Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte? a) 99 d) 86
b) 95 e) 90
c) 84
TRILCE
Claves 01.
e
31.
b
02.
d
32.
a
03.
c
33.
a
04.
-
34.
c
05.
d
35.
c
06.
d
36.
c
07.
b
37.
b
08.
d
38.
d
09.
a
39.
d
10.
a
40.
d
11.
e
41.
a
12.
c
42.
e
13.
b
43.
b
14.
d
44.
e
15.
d
45.
e
16.
c
46.
c
17.
e
47.
d
18.
c
48.
d
19.
d
49.
d
20.
a
50.
d
21.
b
51.
b
22.
e
52.
e
23.
a
53.
a
24.
d
54.
c
25.
b
55.
c
26.
b
56.
d
27.
e
57.
a
28.
e
58.
d
29.
e
59.
c
30.
c
60.
c
107
Álgebra
108
TRILCE
Capítulo
11
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Teorema Fundamental del Álgebra Toda ecuación polinomial P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio de cualesquiera coeficiente numérico de grado m ayor que la unid ad , ti ene po r lo m enos una raíz generalmente compleja.
Corolario : Toda ecuación polinomial de grado "n" tiene exactamente "n" raíces. *
x 2 x 5 0 tiene 2 raíces
*
tiene 7 raíces
x7 x 1
Teorema de Cardano - Viette : Dada la ecuación polinomial de grado "n", cuya estructura es : a o x n a1x n 1a 2 x n 2 a 3 x n 3 ... a n 0
si sus raíces son :
x1 ; x 2 ; x 3 ; ..... x n
x1x 2 x1x 3 x 2x 3 10 5 2
x 1x 2 x 3 1 1 2 2
Teoremas Adicionales : 1.
Paridad de raíces imaginarias : Sea P(x) = 0 una ecuación polinomial, donde P(x) es un polinomio de coeficientes reales, si una raíz de la ecuación es el número imaginario a+ bi, otra raíz será a-bi.
2.
Paridad de raíces irracionales : Sea P(x) = 0 una ecuación polinomial, donde P(x) es un polinomio de coeficientes racionales, si una raíz de la ecuación es el número irracional : a b / a Q b Q ' , entonces, otra raíz será : a b .
se cumple :
Ecuación de Tercer Grado : (cúbica)
1.
Forma general :
Suma de raíces : x1 x 2 x 3 ... x n
2.
a1 ao
3.
Donde : x = incógnita, asume tres valores :
Suma de productos binarios : x1x 2 x1x 3 x 2x 3 ... x n 1x n
a2 ao
Suma de productos ternarios : x 1x 2 x 3 x 1x 2 x 4 ... x n 2 x n 1x n
a3
ak
2x 5 x 10x 1 0
x1 x 2 x 3 5 2
Si en la forma general se sustituye "x" por x
b , se obtiene 3a
la siguiente ecuación :
x 3 px q 0 .... (2)
cuyo discriminante se denota por D y se define según la relación :
p q D 3 2 3
ao
Veamos un ejemplo para la ecuación : 3
a, b, c d R / a 0
ao
En general, si " sk " representa la suma de los productos de las raíces tomadas de "k" en "k", se cumple :
sk (1)k .
ax 3 bx 2 cx d 0 ... (1)
2
Con lo cual las raíces de (2) se obtienen según :
2
x1 3
q q D 3 D 2 2
109
Álgebra x2 3
q q D .W 3 D .W 2 2 2
Observación : Para resolver una ecuación binomia, se podrá aplicar algún producto notable, cierto criterio de factorización o la radicación de los números complejos.
x3 3
q q D .W 2 3 D .W 2 2
Ecuación Trinomia
3 1 i /i 1 siendo : W 2 2
Observación : Es recomendable utilizar el proceso anterior siempre y cuando la ecuación dada no pueda resolverse por factorización. Ecuación Bicuadrada : Es aquella ecuación polinomial de cuarto grado que presenta la siguiente forma : ax 4 bx 2 c 0
Donde : x = incógnita, asume cuatro valores
a , b c R / a 0
Forma general : ax 2 n bx n c 0 Donde : x = incógnita, asume "2n" valores. nN / n 2 a b c R / a 0 , b 0 c 0
O bservación : Para resolver una ecuación trinomia se recomienda que, en la forma general, se realice el siguiente cambio : x n por "y", con lo cual la ecuación sería :
ay 2 by c 0 Donde los valores de "y" se podrían obtener, según los criterios vistos en la resolución de una ecuación cuadrática, para finalmente resolver la siguiente ecuación binomia : xn y
Teorema del Conjunto Solución Toda ecuación bicuadrada :
ax bx c 0 , donde "m" y "n" son dos raíces no simétricas presenta por conjunto solución. 4
2
CS = { m, -m, n, -n}
Propiedad de las Raíces : Siendo "m" y "n" las raíces no simétricas de la ecuación bicuadrada ax 4 bx 2 c 0 , se cumple :
I.
m 2 n2 b a
II.
c m .n a 2
Ecuación Recíproca : P(x) = 0, será una ecuación recíproca, si P(x) es un polinomio cuyos coeficientes de sus términos equidistantes son iguales. Ejemplos : * * * *
1.
Reconstrucción de la ecuación bicuadrada en "x": Siendo "m" y "n" las raíces no simétricas, tenemos: x 4 (m 2 n 2 ) x 2 m 2 n 2 0
Ecuación Binomia ax n b 0
Donde : x = incógnita, asume "n" valores.
a b R / a 0 b 0
110
x3 4x2 4x 1 0
5 x 4 2x 3 7 x 2 2 x 5 0
4 x 5 3x 4 2x 3 2x 2 3 x 4 0
Propiedades :
2
Forma general :
2x 2 5 x 2 0
En toda ecuación recíproca, se cumple que si : r 0 es una raíz, entonces, otra raíz será
1 . r
2.
Toda ecuación recíproca de grado impar acepta como raíz a 1 ó -1.
3.
Si : P(x) = 0 es una ecuación recíproca de grado "n", se verifica lo siguiente : P(x ) x n . P ( 1 ) x
TRILCE EJERCICIOS PROPUESTOS 01.
Indicar la suma de la mayor raíz positiva con la mayor raíz negativa que se obtiene al resolver :
07.
36x 4 148x 2 16 0 a) 0 d) -11/6 02.
b) 11/6 e) -5/6
c) 5/3
a) | b| + 2a 0 c) | b| 2a 0 e) a + b = 0
de sus raíces : a 2 3 y 5.
x 4 42x 2 280 0
c)
x 4 37 x 2 300 0
e)
x 4 37 x 2 280 0
08.
b) x 4 40 x 2 390 0
Indicar la suma de los cuadrados de los ceros no racionales de la ecuación :
a) 14 d) 5
Indicar la suma de coeficientes de una ecuación bicuadrada de raíces :
09.
Si : x1 = 2 y, x . x . x 32 . 2 3 4
04.
b) 85 e) 44
Calcular
"k"
en
c) 45
la
ecuació n
bi cuad rada.
10.
x 1 x 3 ; (x 2 x 4 ) 1 ( x 1 x 3 )1 12
b) 4 e) 10
05.
06.
c) 2
Determinar la suma de las raíces racionales del polinomio :
P(x ) x 4 x 3 11x 2 x 12
a) 2 d) 1
b) 0 e) 2
11.
c) 1
c)
x 3 31x 2 30x 60 0
e)
x 3 12x 2 15x 30 0
raíces diferentes. raíces de multiplicidad 2. raíz de multiplicidad 2 y otra de multiplicidad 3. raíz de multiplicidad 4. raíz de multiplicidad 5.
b) 5 e) 12
c) 7
Si : 1-i, es raíz de :
x 4 4 x 3 11x 2 14 x 10 0
a) 4 i d) 1 + 2i 12.
presenta :
Construir la ecuación con coeficientes racionales de grado mínimo que tenga como raíces los números : 1; 1 + 2 ; 3i. Dar como respuesta el coeficiente de su término lineal.
entonces, la suma de las otras raíces es :
P(x) x 5 3x 4 6x 3 10x 2 21x 9
5 2 1 1 1
x 3 10x 2 30x 60 0
a) 1 d) 9
El siguiente polinomio :
a) b) c) d) e)
a)
d) 2x 3 62x 20x 2 60 0
2
a) 4 d) 2
c) 10
b) x 3 10x 2 31x 30 0
ax 48x k 0 , si las 4 raíces de la ecuación cumplen con : 4
b) 13 e) 2
Formar la ecuación de menor grado posible con raíces: 2, 5 y 3.
x1 ; x 2 ; x 3 y x 4 .
a) 84 d) 95
b) | b| > | 2a| d) | b| + 2a < 0
x 3 2x 2 7 x 2 0
4 2 d) x 42x 280 0
03.
ax 4 bx 3 bx a 0
tiene dos raíces reales. ¿Qué relación existe entre a y b, sabiendo que : a < 0?
Formar una ecuación bicuadrada que tenga por dos
a)
Si la ecuación :
b) 3 + i e) 4
c) 1 4i
Hallar los valores reales a y b, de modo que : 1-i sea
una raíz de la ecuación x 5 ax 3 b 0 . Indicar su suma. a) 8 d) 10
b) 6 e) 7
c) 9
111
Álgebra 13.
Sean : P(x) : el polinomio de menor grado con coeficientes racionales que tiene a : 3 y 1+ i, como raíces simples. Q(x) : el polinomio de menor grado con coeficientes reales que tiene a : 3 y 1+ i, como raíces simples. Luego, podemos decir : a) b) c) d) e)
14.
Grado Grado Grado Grado Grado
(P) = (P) < (P) > (P) = (Q) =
b) a 2
d) a1 / 3
e) a
2
Si : x1 ; x 2 y x 3 son las raíces de la ecuación :
x 3 7x 5 0 .
Calcular : x12
19.
Dada la ecuación :
Hallar : E
c) a 1
a) 1 d) 4 20.
3 - 2 ; i. Indicar el término cuadrático de dicha ecuación.
16.
c) 2x
21.
x 2 2x 2005 0
a) 4 d) 16 17.
2005 2005
b) 2 e) 32
( )
c) 8
22.
a) VVV d) FVF
112
b) FVV e) VFV
c) VVF
b) 21 e) 27
c) 23
b) 3k 2
c) 0
e) 6
En la ecuación :
x 3 ax 2 ax m ax 2
una raíz es el doble del negativo de la otra, luego, se cumple : a) 2a = -3m
c) 4 a 3 27 m 2
II. Si : x o es una raíz de x 3 x 3 , entonces el es 1. 2x o 1 III. Si P es un polinomio de quinto grado con coeficientes reales que tiene como raíces a "2i" y a "i", entonces, la gráfica de P corta al eje "x" en un punto.
c) 3
x3 x k2 1 0 Calcular el valor de :
d) k
x 3 (m 1)x 2 (3 m 1)x 19 0 , entonces, m = 4.
2x o3 5
x o 4 2x o 6 xo 1
x1 x2 x3
a) 3
Si : x = 1, es una raíz de
valor de : T
2x 3 2 x x 1 x
(a b)3 (b c)3 (c a)3 6abc abc
Señale el valor de verdad de las proposiciones : I.
c) 14
Si, a, b y c; son las raíces de la ecuación :
tiene como conjunto solución { ; } . Calcular :
5 x3
4 x 3 24 x 2 mx 18 0
a) 18 d) 25
2
e) 4 x 2
Si la ecuación :
x 23
Calcular el valor de "m", sabiendo que las raíces de :
absoluto, tal que admita como dos de sus "ceros" :
d) 5x 2
5 x2
b) 2 e) 5
son :
coeficientes racionales enteros y de menor valor
b) 8 x 2
x 22
Donde " x o " es una solución :
Formar la ecuación de menor grado posible con
a) 6x 2
5 x1
b) 7 e) 10
a) 0 d) 21
Si : a1 / 3 a 1 / 3 es una de las raíces de la ecuación x 3 3x c a 0 entonces, el número "c" es igual a: a) 2a
15.
Grado(Q) Grado (Q) Grado (Q) 3 4
18.
b) 3a = -2m
3 2 d) 27a 4 m
e) 3a = 2m 23.
Si dos raíces de la ecuación :
2x 3 4 x 2 (m 2 1)x m 2 0 , suman 3.
Indicar el valor de : m a) 2 d) 1
b) 2 e) 0
5 m c) 1
TRILCE 24.
Si una de las raíces de la ecuación: 2
es la media aritmética de las otras 2. Calcular la suma de las inversas de estas 2 raíces. a) 1/5 d) 4/5 25.
b) 2/5 e) 1
a
d) 2a 1
32.
c) 2 a
e) 2 a
c) 175
Las raíces de :
P(x) x 3 kx 2 92x n están en la relación :
x1 1
x2
Hallar el valor de : k + n.
3 a) q 2 p 0
a) 138 d) 156
3 2 b) q 4 p 0
d) 4 p 3 p 2 0
e) q 4 p 0 3
33.
Dado : F(x ) ax 5 (b ac)x 4 bcx 3 (a bc)x bx 2 ac
a) 2c = a + b b) 2a = b + c d) | b | 2 | a |
e) | a | 2b
a) 1 d) 9
c) 2b = a + c 34.
Si : a, b y c; son raíces de la ecuación : Calcular : a 2 b 2 c2 .
c) 43 35.
x 3 (n 3)x 2 (n 1)x n 2 1 0 Calcular el valor de "n", tal que la expresión:
K
x 22
x 23
a) 2 d) 3
c) 5
b) 5 e) 4
x 3 (m 2) x 2 (m 2 3)x m 3 2 0 de raíces : x1 , x 2 , x 3 . Calcular el valor de "m", de tal manera que la expresión: A x1 x 2 x 3 tenga el máximo valor. 2
2
2
c) 136
c) 1/3
b) 1 e) 4
Calcular, ba, si :
36.
c) 2
5 1 es una raíz de la ecuación : 2
b) 4 e) 7
c) 5
Si dos raíces de la ecuación :
3x 5 Ax 4 Bx 3 Cx 2 Dx 30 0 de coeficientes racionales son : 3
En la ecuación polinomial :
5
¿Cuántas raíces no numéricas presenta la ecuación en "x" ?
a) 3 d) 6
adopte su mínimo valor. Siendo :
x 1 , x 2 , x 3 , raíces de la ecuación.
x3
1 (x 3 1)2
x 7 ax b 0 .
A partir de la ecuación polinomial :
x12
b) 240 e) 102
b) 3 e) 12
a) Ninguna. d) 3
b) 30 e) 2
x 4 (a b)x 3 (ab 1)x 2 (a b)x ab 0
2x 3 6 x 2 7x 1 0
a) 14 d) 5
3
Las raíces de la ecuación : x 3 3 x 1 0 son, a, b, c. Calcular : S = f(a) + f(b) + f(c) Siendo : f(x )
Además : F(c) = 0. Señalar la relación correcta para que las otras raíces sean reales.
30.
b) 165 e) 200
x 3 3 px q 0 ; pq 0 , tenga una raíz doble.
2
29.
x 3 5x 7 0 Calcular el valor de :
Hallar la relación entre "p" y "q", para que la ecuación:
c) p 2 q 3 0
28.
c) 3
Sean : x1 ; x 2 y x 3 ; raíces de la ecuación :
a) 155 d) 180
x 3 4 ax b 2004 0 ; a 0 Además : x 2 x1 x 3 x 2 .
b)
b) 2 e) 5
E x 15 x 52 x 53
Sean x1 ; x 2 y x 3 las raíces de la ecuación:
a) 2004
27.
31.
c) 3/5
Dar como respuesta una de sus raíces.
26.
a) 1 d) 4
3x 18x ax 60 0 (a R) 3
5 ; 1i
Calcular el valor de :
E a)
2
d) 2 2
b)
3
BC AD 2 3 c) 2 3
e) 6
113
Álgebra 37.
Si "P" es un polinomio completo definido por :
P(x ) x 5 ... 15 y la ecuación :
P(x) = 0 tiene a
3
3 y a
5
2 i
43.
como raíces, entonces,
P(x) entre (x 3 3) es : a) x 3x 2
b) x 4 x 6 d) x 2 4 x 5
e) x 2 4 x 5 38.
e) 3x 2 2x 4 0
b) 48 x 3 24 x 1 0 3 d) 4 x 17 x 10 0
b) 11 e) 14
45.
41.
46.
c) 8
Determinar el coeficiente "a", de tal modo que el número (-1) sea una raíz múltiple de orden no inferior a 2 del polinomio.
42.
b) 6 e) 4
114
c) 2
x 3 3ax 2 3(a 2 bc)x a 3 b 3 c 3 3abc 0
b) ab+ c e) abc
c) a+ bc
¿Cuál es la relación que deberá existir entre a, b y c; 5 ax 5 bx c 0 ; cx bx a 0 ; a c , tengan sólo una raíz común?
(a b)2 (b c)2 (c a)2 2 3 (m) (n) 3 2 b) 27 e) 108
2
e) 5
para que las ecuaciones :
Calcular el valor de :
a) 4 d) 12
b)
Indicar una raíz de la ecuación :
a) a+ b+ c d) a+ b-c 48.
a 3 ma n 0 b 3 mb n 0 c3 mc n 0
3
siendo : a, b, c, R .
c) 5
Sabiendo que :
c) 1/3
x 3 2x 2 bx 4 0 el cuadrado de la única raíz positiva es igual a la diferencia de los cuadrados de las otras dos. Señalar dicha raíz.
d) 3 47.
b) 5/6 e) 17/6
En la ecuación polinomial :
a)
f(x ) x 5 ax 2 ax 1
a) 5 d) 6
c) 7,5
Si la ecuación : 6 x 4 x 3 ax 2 bx 2 0 ; adm ite d os raíces imaginarias conjugadas : m+ ni; m-ni; tal que la suma es 3 y dos raíces racionales.
a) 1 d) 1
tenga sólo 2 raíces reales, dar como respuesta el mayor valor entero negativo que asume " ". b) 3 e) 2
b) 9,5 e) 13,5
Calcular la suma de las raíces racionales.
x 4 (1 ) x 2 (2 6) 0
a) 4 d) 1
Calcular la suma de los valores que admite "a", para que la ecuación :
a) 2 d) 2
c) 12
Hallar los valores de " ", para que la ecuación :
c) 1
admita dos soluciones.
¿Qué valor debe asumir "n" para que las raíces de la ecuación : x 4 nx 2 9 0 ; se diferencien en una constante "K" ? a) 10 d) 13
b) 2 e) 0
x 3 (1 a) x 2 (7 2a) x 18 0
2x 3 3x 2 7 x 1 0 en otra cúbica que carezca de término cuadrático.
3 c) 5 x 2x 3 0
40.
44.
Transformar la ecuación cúbica :
3 a) 3x 2x 4 0
39.
a) 2 d) 1
2
c) x 2 4 x 1
5 x 3 3x 2 5 0 ; es { a; b; c} . entonces, el valor de :
ab(a 2b 2 1) bc(b 2c 2 1) ca(c 2a2 1) 5a3 3a 2 abc
la sexta parte del resto de dividir.
2
Si el conjunto solución de la ecuación :
c) 54
5 5 a) (a b) c 5 5 5 b) (a b) c b 0
c) (a b)5 c5 0 5 5 d) (a c) b 0 5 5 e) (a c) b 0
TRILCE 49.
Siendo, además : m + n = m . n = 10.
Si las ecuaciones :
ax 3bx c 0 3
2
a) 0 d) 1
bx 3 3cx d 0
tienen una sola raíz común, calcular : a) 9 d) 32 50.
56.
4 x 4 ax 3 bx 2 cx 5 0 sabiendo que son reales, positivas y que: r1 r2 r3 r4 1 2 4 5 8 Señalar la suma de dichas raíces : b) 17/4 e) 15/4
a) FFF d) VVF 57.
b) 9 e) 36
c) 17
Si : 1 ; 2 ; 3 ; ..... n son las raíces de la ecuación
t (K 2) n
k 1
a) - 1 n
d) 2 - 1 58.
b) 2n - 3
c) 2n + 3
n
e) 2 + 1
Sea la ecuación polinomial :
3x125 2x100 4 x75 2 0 Determinar el valor de : S25 S50 S125
Sean : a y b dos números reales para los cuales, la
ecuación : x 4 ax 3 bx 2 ax 1 0 tiene al menos una solución real. Para todos los pares 2 2 (a; b), encontrar el máximo valor de : (a b ) .
raíces tomadas de "m" en "m".
a) 3/4 d) 1/2
a) 1/3 d) 4/3
b) 4/5 e) 2/3
Si : S es la suma de todas las multiplicaciones de las m
c) 7/8
Indicar la suma de las raíces no imaginarias, de la siguiente ecuación :
59.
x 18 2 x 64 0 6
a)
2
d) 4 2
3
b) 2 2
b) 2 e) Ninguna.
Dada la ecuación :
c) 3
x 5 x 4 x 3 x 2 x 0 Calcular la suma de sus raíces, si dos de ellas son "m" y "n", m n.
c) 8/3
Si el polinomio :
P(x) x 3 ax 2 x 2
es d ivi si ble po r (x+ 2).
ecuación : P(2x 3 2 P(x)) 0 es : a) 0 d) 3
e) 5 2
x 4 2x 1 0
b) 0 e) 7/3
Entonces, el producto de las raíces racionales de la
c) 3 2
¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación?
a) 1 d) 4 55.
c) FVF
x n 2x 2 3x 1 0 Proporcionar un valor de :
Dar como respuesta la suma de raíces.
54.
b) VVV e) FFV
polinomial.
c) 21/4
x1 2x 2 3x 3 4 x 4 48
53.
x15 2x a 0 ; a 0
Se concluye :
x 4 mx 3 nx 2 px 864 0 son reales y positivas; además :
52.
Dada la ecuación :
Si las raíces : x1 , x 2 , x 3 , x 4 , de la siguiente ecuación:
a) 3 d) 25
c) 8
Se afirma : I. Tiene dos raíces reales. II. Tiene raíz negativa. III. No tiene raíces reales.
c) 27
Hallar las raíces r1 , r2 , r3 , y r4 de la ecuación :
a) 19/4 d) 13/4 51.
b) 12 e) 36
(ad 4 bc)3 (ac2 b2d)2
b) 3 e) 2
60.
b) 5 e) 2
c) 2
Sea "P" una función polinomial definid a po r :
P(x) 2x 7 ax 5 bx 3 1 , d ond e "a" entero positivo y "b" entero negativo. Entonces, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones : I. Una raíz de ecuación : P(x) = 0 es 1/3. II. La ecuación P(x) = 0 tiene una sola raíz real. III. Si : x1 x 2 , entonces : P(x ) P(x ) 1 2 a) VFV d) FVF
b) VVV e) FFV
c) VVF
115
Álgebra
Claves
116
01.
a
31.
c
02.
c
32.
a
03.
c
33.
d
04.
a
34.
c
05.
d
35.
c
06.
c
36.
d
07.
d
37.
e
08.
a
38.
d
09.
b
39.
a
10.
d
40.
d
11.
b
41.
c
12.
d
42.
e
13.
c
43.
b
14.
c
44.
a
15.
b
45.
e
16.
d
46.
b
17.
b
47.
e
18.
d
48.
e
19.
b
49.
c
20.
c
50.
a
21.
a
51.
d
22.
c
52.
b
23.
c
53.
c
24.
b
54.
b
25.
c
55.
c
26.
e
56.
c
27.
d
57.
d
28.
e
58.
c
29.
e
59.
c
30.
b
60.
d
TRILCE
C ap ít ulo
12
M ATRICES - DETERM INANTES
MATRICES
Matrices Especiales
D efinición : Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas. Para representar a una matriz, se utiliza letras mayúsculas.
1.
*
2. Ejemplos :
*
*
2 3 1 A 0 1 2
Fila
1 0 3 B 5 1 1 4 2 0
c o l u m n a
3.
A es una matriz de orden 2 3 B es una matriz de orden 3 3
Forma General de una Matriz de "m" filas y "n" Columnas :
a11 a12 a 21 a 22 A a31 a am 2 m1
a13 a1n a 23 a 2n a3 n a mn mn
7
10]
2 4 A 5 7
1 2 3 A 4 2 1
M. Cuadrada : Es aquella matriz, donde el número de filas y el número de columnas son iguales. *
5.
5
M. Rectangular : Es aquella matriz, donde el número de filas y el número de columnas son diferentes. *
4.
[1
M.Columna : Es aquella matriz que tiene una sola columna.
*
Orden de una Matriz Viene dada por la representación m n , donde "m" es el número de filas y "n" el número de columnas de la matriz. Para los ejemplos citados anteriormente, tenemos : * *
M. Fila : Es aquella matriz que tiene una sola fila.
2 4 A 1 7
M. Nula : Es aquella matriz, donde todos sus elementos son iguales a cero. *
*
0 0 0 A 0 0 0
0 0 0 A 0 0 0 0 0 0
Igualdad de Matrices : Donde : aij es el elemento genérico, ubicado en la fila "i", columna "j". En forma abreviada se tendrá :
A [aij ] m n
i = 1, 2, 3, ......, m = 1; m
Dadas las Matrices :
A [aij ] m n B [ bij ]m n
si estas so n iguales, es deci r : A = B, se veri fi can simultáneamente las condiciones :
j = 1, 2, 3, ......, n = 1; n 117
Álgebra I. II.
A y B son de igual orden : m n . L os elementos correspondi entes so n iguales :
A . B [ A11.b11 a12.b 21 a13 b 31 .. a1 n .b n1 ]
aij bij ; i ; j
Operaciones con Matrices I.
se define :
*
Multipliquemos A por B, donde :
2 A [ 2 1 3] B 4 6
Adición : Dadas las matrices de igual orden A [aij ] m n B [ bij ]m n
se define :
A B [ aij ] m n [ bij ] m n [ aij b ij ] m n
*
Hallar la matriz A + B, a partir de :
1 3 2 1 2 5 A B 0 1 2 1 4 3
2 1 3 1 2 5 AB 0 1 2 1 4 3 (2 1) (1 2) (3 5) AB (0 1) (1 4) (2 3)
3 3 8 A B 1 3 5 II.
2 A.B [ 2 1 3] . 4 6
Multiplicación : II.1 Multiplicación de un escalar por una matriz.
Sean : A [ a ] k R , se define: ij m n
K.A K.[ aij ]m n [ K.aij ] m n * Multipliquemos por 2 a la matriz. 2 1 4 2 1 4 A 2 .A 2 . 1 3 2 1 3 2
4 2 8 2A 2 6 4
A . B = [(2).(2)+ (1).(4)+ (3).(6)] A . B = [4+ 4+ 18] A . B = [26] III.3 Multiplicación de las Matrices
Dadas las matrices A y B, existe el producto matricial de A por B denotado por A.B, si se verifica lo siguiente : # de columnas de A = # de filas de B
luego : Am p .Bp
n
C m n
* Veamos un ejemplo :
5 2 1 2 2 A B 1 2 3 3 1
¿Existe A . B?, veamos : A tiene orden 2 2 # col = 2 B tiene orden 2 3 # fil = 2 como : # col de A = # fil de B se afirma que si existe A . B, cuyo orden es de 2 3. 2 1 2 2 5 A .B . 1 1 2 3 3
Ahora se multiplica de forma similar que el caso (II.2). II.2 Multiplicación de una matriz fila por una matriz
columna. Sean : A [a a a .... a ] 11 12 13 1n
b11 b 21 B b 31 b n 1
118
(2).(2) (1).(1) (2).(2) (1).(2) (2)(5) (1)(3) A.B (3)(2) (1).(2) (3)(5) (1)(3) (3).(2) (1)(1)
4 1 4 2 10 3 A.B 6 1 6 2 15 3
3 6 13 A.B 7 4 12
¿Existe B.A?, veamos :
# col de B = 3 y # fil de A = 2 como # col de B # fil de A, se podrá afirmar que B.A no existe.
TRILCE En General : El producto matricial no es conmutativo.
Propiedades :
Teoremas : Sean A, B y C matrices para las cuales se define la adición y/o multiplicación, además al escalar "k".
Siendo A y B matrices, y el escalar "K".
1. 2. 3. 4. 5. 6.
2.
K . (A+ B) = K . A + K . B A+ B= B+ A A . B . C = (A.B).C = A.(B.C) A.(B+ C) = A.B + A.C A.B = 0 no implica A = 0 B = 0 A.B = A.C no implica B = C
Propiedades : Sean las matrices A y B, de modo que existen A.B y B.A.
1.
3. 4.
;n 2
2 1 Hallar A 2 , si : A 1 3
2 1 2 1 A 2 A .A . 1 3 1 3
(2).(2) (1).(3) (2).(1) (1).(1) A2 (3).(2) (1).(3) (3).(1) (1).(1)
4 3 2 1 1 3 2 A A 6 3 3 1 9 2 2
Transpuesta de una Matriz Dada una matriz A, existe su matriz transpuesta denotada por A T y definida como aquella matriz que se obtiene al transformar todas las filas de A en columnas. A [ aij ]m n A T [ a ji ] n m *
Veamos un ejemplo :
2 A 0
(A.B)T B T . A T
a11 a12 a13
a1n
a 21 a 22 a 23
a 2n
a 31 a32 a 33
a3 n
an1 an 2
ann
n n
;n= 1
DS
"n" veces
*
( A T )T A
A
Potenciación : Siendo A una matriz cuadrada y "n" un entero positivo, se define : A An A.A.A. ..... . A
(K. A )T K. A T
Estudio de las Matrices Cuadradas
1. Si : A.B = B.A, se dice que A y B son matrices conmutables. 2. Si : A.B = -B.A se dice a A y B son matrices anticonmutables.
III.
(A B )T A T B T
0 2 1 4 T A 1 1 1 5 4 5
DP
Observaciones : 1. 2. 3.
Toda matriz cuadrada de "n" filas y "n" columnas es de orden "n". La diagonal trazada de izquierda a derecha recibe el nombre de D iagonal Principal (D.P.). La diagonal trazada de derecha a izquierda recibe el nombre de D iagonal Secundaria (D.S.).
Traza de A (Traz(A)) Se denomina así, a la suma de todos los elementos de la diagonal principal. Traz (A) a 11 a 22 a 33 ... ann *
Para la matriz
2 A 1 1
4 7 0 4 5
8
D.P. Traz(A) = (2)+ (8) + (-4) Traz(A) = 6
119
Álgebra Propiedades :
C ar acter íst i cas N ot abl es de al gunas M at r i ces Cuadradas :
Siendo A y B matrices y el escalar "K".
1. 1. 2. 3.
Traz (A+ B) = Traz(A) + Traz(B) Traz (K . A) = K . Traz (A) Traz (A . B) = Traz (B . A)
Matriz Simétrica : Si A es una matriz simétrica, verifica : AT A
Matrices Cuadradas Especiales 2. 1.
M. D iagonal : Es aquella matriz no nula, donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros. Ejemplos :
*
*
2.
5 4 2 A 0 1 7 0 0 4
M. Triangular I nferior : Es aquella matriz donde solamente todos los elementos ubicados encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplo :
*
120
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1
M. triangular Superior : Es aquella matriz donde solamente todos los elementos ubicados debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo :
*
5.
4 0 0 A 0 4 0 0 0 4
M. Identidad (I) : Es aquella matriz escalar donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad. Ejemplo :
*
4.
3 0 0 B 0 5 0 0 0 0
A T -A
3.
3 0 A 1 4 2 1
0 0 8
M at r i z I dempot ent e : Si A es una m atri z idempotente, verifica : A2 A
4.
M. Escalar : Es aquella matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo :
*
3.
2 0 0 A 0 1 0 0 0 3
M at r i z A nt i si mét r i ca : Si A es una m atri z antisimétrica, verifica :
Matriz Involutiva : Si A es una matriz involutiva, verifica : A 2 I ; (matriz identidad )
5.
Matriz Nilpotente : Si A es una matriz nilpotente, verifica : A p 0 ; (matriz nula)
p : índice de nilpotencia.
D ETERMINANTES D efinición : Un determinante es la relación funcional que aplicada a una matriz cuadrada la transforma en un escalar (número real). Si A es una matriz cuadrada, su determinante se denota así : det(A) o | A| . D eterminante de Orden Uno
a b a b A | A| c d c d | A| = a . d - b . c
D eterminante de Orden Tres :
a b c A d e f g h i
TRILCE Teorema : El determinante de una matriz será igual a la suma de los productos obtenidos al multiplicar todos los elementos de una fila (o columna) por sus respectivos cofactores.
Según, la Regla de Sarrus : a
+
b
e
d
e
f
c. e. g
g
h
i
a. e. i
f.h .a
a
b
c
d.h.c
i.b.d
d
e
f
g. b . f
+ = N
Para :
+ = M
Menor Complementario de una Componente El meno r co mplementario d e la com po nente (elemento) aij denotado por M es el determinante de la ij matriz que resulta al eliminar la fila "i" y la columna "j" de la matriz dada. Para :
2 A 5 1
4 3 -2
-1 2 3
M12
1
3
4. 5.
Cofactor de una Componente El cofacto r de la co mponente (elem ento ) aij denotado por A ij , se define de la manera siguiente : A ij (1)i j . M ij
6. 7.
8.
Para :
5 4 2
C13 5
3 2
1.
| AT | | A |
| K . A | K n .| A | ; "n" orden de A. Si dos filas (o columnas) son proporcionales, el determinante será igual a cero. Si todos los elementos de una fila (o columna) son ceros, el determinante será igual a cero. Si se permutan dos filas (o columnas) consecutivas, el determinante cambia de signo. El determinante no varía si a todos los elementos de una fila (o columna) se les aumenta un múltiplo de otra. El determinante de una matriz triangular superior, triangular inferior y diagonal se obtiene multiplicando todos los elementos de la diagonal principal.
D e orden dos : 1 1 a b
1 1 2
| A . B| = | A| . | B|
D eterminante de Vandermonde
el cofactor de la componente a13 es :
C13 3 2
1
1 5
| A | 50
2.
M12 13
A13 (1) .[(1).(3) (2).(1)]
3
(3) .
| A| = 18 - 7 + 39
3.
M13 (1)4 .
1
1 2
| A| = (2)(9) - (1)(7) + (-3)(-13)
1.
M 12 15 2
A13 (1)1 3
2
1.
Propiedades : Dadas las matrices cuadradas A y B, y el escalar "K".
(5).(3) (1).(2)
2 -3 A 1 -1 2 3
5 2
| A | 2.
Observación : Para aplicar el teorema anterior, se recomienda escoger la fila (o columnas) que presente más ceros.
el menor complementario de a12 4 es :
2
1 3 5 2 2 1
con los elementos de la primera fila :
| A| = M - N
5
2 A 1 3
+
2.
ba
D e orden tres :
3
1
1
a
b
a2
b2
1
c (c b)(c a)(b a)
c2
121
Álgebra 3.
D e orden cuatro : 1
1
1
1
a
b
c
d
a2
b2
c2
d2
a3
b3
c3
d3
(d c)(d b)(d a)(c b)(c a)( b a)
D efinición : Una matriz cuadrada A es no singular, si : | A| 0, asimismo, si : | A| = 0, la matriz A será singular.. MATRIZ INVERSA Dada una matriz cuadrada no singular A, si existe una única matriz B cuadrada del mismo orden, tal que : A . B = B . A = I (matriz identidad), entonces, definimos B como matriz inversa de A y lo denotamos por A 1 .
Teorema : Una matriz cuadrada tiene inversa, si y sólo si, es una matriz no singular; en tal caso se dice que la matriz es inversible. Propiedades : Sean A y B matrices cuadradas no singulares y el escalar "K". 1. 2. 3.
A . A 1 A 1. A I
(A . B)1 B 1. A 1
(A 1 )1 A
4.
(K . A)1 K 1. A 1
5.
| A 1 | | A | 1 1 | A|
122
Cálculo de Matrices Inversas 1.
D e orden uno
2.
D e orden dos
A [ a] A 1 [ 1 ] ; a 0 a
a b 1 . d b 1 A A | A | c a c d
Observación : Para matrices de orden mayores o iguales a tres se recomienda utilizar el método de Gauss-Jordan, el cual consiste en construir una matriz ampliada (A I) donde por operaciones elementales debemos encontrar otra matriz ampliada (I B), con lo cual se podrá afirmar que B es la inversa de A, es decir : B A 1 .
TRILCE EJERCICIOS PROPUESTOS 01.
A [ A ij ] 2 3
/
aij ij ; i j
aij i j ; i j
1 4 3 1 3 4 b) 5 1 3 3 4 5
1 3 4 3 4 2
a)
c)
1 3 4 1 4 3 e) 3 4 6 5 1 2
02.
7 0 a) 1 1
Escribir explícitamente la matriz "A".
7 7 d) 3 9
06.
Hallar : A× B.
0 1 2 4
a)
1 1 5 6
d)
a 22 0
Calcular : x + y. 07. a) 5 d) 7 Si :
b) 9 e) 6
a) 4 d) 3
b) -3 e) -2
Calcular : 3B T I .
13 0 a) 4 7
16 5 d) 9 2
05.
Dados :
08.
4 B 5
18 15 e) 9 6
1 2
2 2 1 5 4 0 A 1 2
3 1 9 2 A y B 1 3 0 1
09.
b)
12 0 d) 5 2
5 e) 0
0 1
2 1 2 5 x 2 1 4 0
b) 0 e) 5
c) 1
Hallar la matriz inversa de :
8 2 A 7 2 Señalar la traza de dicha matriz inversa. b) 1 e) 9
c) 2
Luego de resolver la siguiente ecuación :
5 1 2
Si : P(x;y) = 3x - 2y + 2
c)
Hallar la suma de los elementos de "x", tal que :
a) 5 d) 10 10.
3 4 1 0
0 12 0 5
a)
a) -2 d) 3
13 15 c) 3 7
1 1 3 5
c)
e)
Dada la matriz :
6 0 4 2
c) 2
15 13 b) 9 6
Hallar : P(A; B).
1 1 3 6
b)
Calcular : A 2 A .
m n 2p q 3 5 m n p q 1 4
Dada la matriz :
1 1 B 2 3 1 2
c) 8
Hallar : (m - p) + (2n - q).
04.
Dados :
Dada la matriz :
a12 2 a 21
03.
9 1 0 2
1 3 2 A 3 2 4 5x x 2y
c)
e)
d)
4 x 9y A 18 donde se cumple :
7 2 0 1
9 2 3 3
b)
x
3
8
1
1 x
28
indicar su solución : a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
123
Álgebra 11.
16.
Se define la siguiente regla :
a
Hallar el valor de :
b c
P(a, b, c) 2 0 1
E
3 4 1
a
b a
1
1
1
b 0
a
A partir de ella, calcular : P(-2, 0, 1). a) a + b a) 16 d) 21 12.
b) 19 e) 22
c) 20 17.
1 2 x 3
x
0
13.
Si :
b) 2 e) 5
a b c d
a) 4 d) 25
c) 3 18.
b
2c d
a) -2 d) 1
2
x
0
5
x
1
8
2
1
1 b
a) 5 d) 3
x
2 y
c) 0
0
2
1
x
19.
y
0
0
z
3 = 0 z
se pide calcular el valor numérico de : a) 2 d) 5
b) 4 e) 11
x
z 1
124
c) 3
2 3
a
b
4
5 6
c 0
3 a) 6 d) 12
1
b) 13 e) 18
c) -6
Si : ; y son las raíces de la ecuación :
x 3 5x 3 0
Calcular el determinante de :
| A.B | | B|
b) 2 e) 5
1
ac b
| A| a) 1 d) 4
0
c) 6
.
20.
4 2 3 1 A y B 0 3 1 1
Hallar :
3
Además : a + b + c = 18. Calcular :
c) 3
Dadas las matrices :
3
2 x
Si se sabe :
1 2
1 0
0
b) -5 e) -7
Dada la ecuación :
3
c) 16
Indicar el producto de soluciones.
1 d
b) -1 e) 2
b) 9 e) 36
Luego de resolver la siguiente ecuación :
2 2a
15.
x 2 4 x 31 0 Calcular el determinante de :
Hallar el valor de :
14.
" " y " " son las raíces de la ecuación :
1
Indicar la suma de cuadrados de las soluciones. a) 1 d) 4
c) ab
e) a 2 b2
d) ab - 1
Luego de resolver la siguiente ecuación :
x
b) a - b
a) 0 d) 4
b) 1 e) 7
c) -1
TRILCE 21.
A [ a ij ] 3 2 / a ij i 3 j
a)
4 7 b) 5 1 6 7
c)
3 4 a) 2 1 6 7
22.
Sea la matriz :
x 2y A 3 y x 9
donde se cumple :
23.
8
b) 4 e) 7
Si en la matriz :
0 22 13 5
Dar la suma de elementos de P(A) : a) 8 d) 6 27.
c) 5
24.
x.y
xy
2x 3 y A 2x 12
4x y 6
2 3 A 1 2
c) -4
1 B 4
2 3 1 2
14 c) 9
b)
d) 2
e)
28.
4
1 10 0 1
Dada la matriz :
c) 3
3 1 2
Sean las matrices :
x 2y A 3
b) 10 e) 14
Sean las matrices :
1 12 0 7
11 0 12 b) 9 0 7
14 d) 9
1 12 0 8
e) N.A.
1 A 1 1
2 2 2 1 1 0
Hallar la traza de A 2 .
2 y 4 x ; B 3 4 x y
a) 7 d) 4 29.
Hallar : "x.y", si : A = B.
25.
Sean las matrices :
14 a) 9
.
a) 4
a) 6 d) 12
b) -6 e) -8
Hallar : A.B.
Se cumple : a 21 a12 y TRAZ(A) = 6. Calcular :
2 1 0 1
Dada la matriz : A
Además : P(x) x 2 5x 2I .
2x 2x y 7
a 21 a 31 a 22 1 .
TRAZ(A) = 16 Calcular : "x.y". a) 6 d) 3
xy
4 6 9 10
d)
e)
26.
x 3y
b)
0 14 8 24
4 7 c) 5 8 6 9
4 5 6 7 e) 8 9
3 4 d) 4 5 5 6
4 16 5 12
24 32 8 12
Construir la matriz :
c) 3
Hallar la matriz "x", que cumpla:
4 6 2 5 X 1 3 2 1
c) 8
3 7 4 2 A y B 1 2 3 1 Hallar : 3A - 4B.
b) 2 e) 5
Indicar : TRAZ(X). a) 2 d) 10
b) 5 e) -2
c) -17
125
Álgebra 30.
Hallar la matriz inversa de :
c)
1 2
1 1 12 e) 2 13 2
d)
12
2 3 1
1 2
0
F(x, y, z) 0
x
0
1 2 1 3
a 1 b 2
0 0
8
z
ak bk
k 2k
a) 1 d) 4
32.
x
y
0 0
9
z
b) 18 e) 23
5 7 y
5
0 0
z
36.
3
33.
a) 0 d) 4
32
x a) -6 d) 3
37.
c) 32
Calcular :
a) ab d) 4ab 38.
x
x 1 x
bk
x x
x3
b) -5 e) -3
a b ab
b) 1 e) 2ab
c) 0
2
k3
k
1
1
2
k 1
1
0
k2
c) -4 a) 17 d) 20 39.
b) 29 e) 4
c) 6
Calcular el | A| , si :
4 2 8 3 .A 2 1 2 5
a) 3 d) 25
Donde "X" es una matriz cuadrada de orden 2. Hallar : Det(X). 40.
b) 9 e) 36
c) 8
Hallar "x" en :
c) 11
a
a
m
m
m 0
x
b
x
b
e indicar uno de sus valores. a) a d) 1/b
126
2k 3
Si : k N , obtener "3k + 5", sabiendo que :
0
4 1 1 2 .X 0 2 3 7
b) 7 e) 19
k3
c) -1
A partir de la ecuación matricial :
a) 6 d) 8
3
ab ab
Resolver la ecuación :
x 1
ak 3
c) 3
b) 1 e) 7
1
b) 16 e)128
x
34.
b
6 5
4
x 3 4 x 3 0 . Calcular el determinante de :
4a b
Calcular el valor de :
a) 8 d) 64
a
2k
2
Sabiendo que :
2
k2
Si : ; y son las raíces de la ecuación :
c) 24
a b
bk
2
b) 2 e) 6
A partir de ella, calcular : Q(1, 2, 4). a) 16 d) 15
ak 2
Hallar : 2a - b.
0 0
0 4
y
2 : n 2 : n 3 : n 4 : .. cuya razón es k 2 ; se cumple en
(k R ) . Además se tiene el siguiente resultado:
Se define la siguiente función :
x
Sea la progresión geométrica :
ella que la suma de los cuatro primeros es igual a 80.
2
2 1 1 2 b) 1 4 2 3 3
a)
31.
35.
6 4 A 3 3
b ab e) m
c) 1
120
TRILCE 41.
46.
Escribir explícitamente la matriz :
C [cij ] k 23 / cij Máx (i , j)
1 1 1 2 1 2
a)
1 2 3 d) 1 1 3 42.
Sean :
0 A 3
1 2 3 b) 2 2 3 1 1 1 e) 2 2 2
1 2 3 c) 1 2 3
a) 200 d) 130
7 3
x 2 y A x y B
0
4 7 d) 3 0 43.
3 b) 2 2
9 e) 43 4
Si :
5 2 1 2
7 2
b) 140 e) 160
x y A 1 4
3 9 2 c) 4 7 3
a) 6 d) 4
Dada la matriz :
48.
1 2 2 A 1 2 2 1 1 0
45.
b) 2 e) 5
c) 3
1 2 2 1 .A 1 1 3 1
a) 1 d)
b)
1 2
2
3
49.
c) 3
b) 14 e) 11
Dada la matriz :
c) 16
3 0 A 1 2 n
Calcular la suma de elementos de " A ".
50.
a) 3. 2n
b) 5. 2n
d) 2n
e) 5. 3n
c) 2. 3n
Sea :
1 0 a A 0 b 0 ; con : a, b y c, enteros positivos, se 0 c 0 sabe que la segunda columna de :
Hallar la traza de A 1 , si :
1
2y x 9
2 1 2 Si : A y F(x ) x 3 x 2 . 1 2 Hallar la suma de elementos de la diagonal principal de F(A). a) 2 d) 18
c) 6
Hallar la traza de A 2 . a) 1 d) 4
5
b) 5 e) 2
Hallar : (x + y + z).
44.
6
2x y
Traz(A) = a13 a 21 . Calcular "x".
1
b) 13 e) -4
c) 180
donde se cumple :
0 1 2 x 8 2 0 1 y 4 1 1 0 z 6
a) 11 d) 7
48 y 1
21x B 16
Sea la matriz :
3 2 B ,y 9 1
donde "x" es :
4 a) 3 7
12 3 A 1 4
donde se cumple que : A 2 B . Hallar : "xy".
47.
1 2
Sean las matrices :
c) 0
3 B A 2 A T es : 2 . 6
Calcular : a + b + c. a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
e) 4
127
Álgebra 51.
Sea la matriz :
x 2 H x
3 , tal que x > 0 y Det(H) = 4. 1
a) 2; -2; 4 d) 1; 0; -1 56.
2 Luego H es :
1 3 a) 1 1
2 6 d) 2 2
52.
b) 3; 2; 1 e) 3; 2; -2
Si : " " es raíz de la ecuación :
x3 1 0
Hallar el valor de :
16 3 1 4
2 3 4 4
b)
c)
2 1 e) 4 2
1
2 a)
2 0 1 Sea : B A 4 , donde : A 6 4 3 0 3 5
d) 57.
16
d) 2 .10 53.
8
e) 2 .10
Hallar "x", a partir de :
1 x
1
x
x
1 1
1
1 1 x
x2 1
1 1
58.
a b
a)
d)
abc
(a b) 5abc
(a b)
b)
e)
3 3
2c
b
c
x c
abc
(a b)
ab
ab
c)
3 1 B 3 4
59.
b) 2 e) 0
2
x 10
5 abc
(a b)
e) 11 60.
x
1
1
3
0
d) 2 11
c) 4 22
Dada una matriz cuadrada "A", se denomina "valores
x
1
b) 4
a) 2 22
(a b)
c) 1
Resolver :
3
3abc
Sea "A" una matriz definida por :
2a 2a a b c A 2b bca 2b 2c 2c c a b
la ecuación : | A-xI| = 0. Hallar los valores propios de la matriz "A", si : Además :
Además : I matriz identidad.
c) 5
Si : F(x ) x 2 5 x 3 .
a) 4 d) 5
propios de la matriz A", a los números "x" que satisfacen
128
3 x 9
4 b) 3 e) 9
c) 0
2b c
2 2 2 A 1 0 2 1 1 1
7
Encontrar el determinante de F(B I ) , donde :
1
Calcular "x" en :
2a
55.
x
b) -1 e) 2
a
2 5
4
a) 1 d) 7
x2
c) 3
3
Resolver :
a) -2 d) 1 54.
8
1
2 1
e) 0
4 2 c) 2 .10
b) 22.10
2
b) 4 2
Entonces, el determinante de "B" es : a) 2
c) 4; 5; 1
Si : a+ b+ c = 3, entonces el valor del det(A) es : a) 27 d) -9
b) 9 e) -27
c) 0
TRILCE
Claves 01.
b
31.
c
02.
e
32.
b
03.
c
33.
e
04.
c
34.
d
05.
d
35.
c
06.
c
36.
a
07.
d
37.
d
08.
e
38.
a
09.
a
39.
c
10.
a
40.
a
11.
a
41.
b
12.
e
42.
a
13.
e
43.
c
14.
c
44.
a
15.
d
45.
e
16.
b
46.
b
17.
c
47.
d
18.
c
48.
c
19.
c
49.
c
20.
a
50.
d
21.
c
51.
d
22.
c
52.
e
23.
c
53.
d
24.
d
54.
c
25.
e
55.
e
26.
e
56.
e
27.
a
57.
b
28.
a
58.
e
29.
d
59.
c
30.
e
60.
e
129
Álgebra
130
TRILCE
C ap ít ulo
13
SISTEM A DE ECUACIONES
SISTEMAS LINEALES Forma General : Consideremos un sistema lineal de "m" ecuaciones con "n" incógnitas.
..........
a11x1 a12x 2 a13 x 3 .... a1n x n b1 a 21x1 a 22 x 2 a 23 x 3 .... a 2 n x n b 2 an 1 x 1 an 2 x n an 3 x 3 ... a nn x n bn
..........
..........
a11x1 a12 x 2 a13 x 3 ......... a1n x n b1 a 21x1 a 22x 2 a 23 x 3 ......... a 2 n x n b 2 am 1x 1 am 2 x 2 a m 3 x 3 ... a mn x n bn
Resolución de un Sistema lineal según el Método de Cramer : Dado un sistema lineal de "n" ecuaciones con "n" incógnitas :
Donde :
Consideremos :
1.
x1 , x 2 , x 3 , ......... x n son las incógnitas, siendo el
s
conjunto solución de la forma :
CS { (x1 ; x 2 ; x 3 ; ..... x n )}
Observación : Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, existen diversos métodos como por ejemplo : * * * * *
Método Método Método Método Método
de Sustitución. de Reducción. de Igualación. Matricial. de Cramer (Determinantes).
Sistema Lineal H omogéneo : Es aquel donde los términos independientes son nulos (ceros). Ejemplo :
x 2y z 0 ....... (1) 2x y z 0 ....... (2) x 3y 2z 0 ..... (3)
D eterminante del Sistema ( s )
2.
a1n
a11
a12
a13
a n1
an 2
an 3 ann
a 21
a 23 a2 n
a 22
D eterminante de una Incógnita ( i ) Se o btiene a par ti r d el d eterm inante anterio r, reemplazando los elementos de la columna de coeficientes de la incógnita en referencia por los términos independientes.
i
a11
a12
b1 a1n b2 a 2 n
a 21
a 22
a n1
a n 2 b n ann
cada incógnita del sistema se obtendrá, según la relación.
xi
i
s
; i 1; n
Un sistema lineal homogéneo siempre es compatible donde una de sus soluciones es la solución trivial (cada incógnita es igual a cero). Para el ejemplo : Solución trivial = (0; 0; 0). Asimismo, el sistema lineal homogéneo puede tener otras soluciones, las llamadas no triviales.
131
Álgebra Análisis de las Soluciones de un Sistema Lineal D ado el sistema :
Ejemplo :
a11x1 a12x 2 a13 x 3 .... a1n x n b1 a 21x1 a 22 x 2 a 23 x 3 .... a 2 n x n b 2 an 1 x 1 an 2 x 2 an 3 x 3 ... a nn x n bn
Resolver :
..........
2x 5 y 7 ...... (1) 3x 2y 3 ...... (2)
observar que :
s
x
2
5
3 2
7
5
3 2
(2)(2) (3)(5) = -4 - 15 = -19
donde la solución se obtiene a partir de :
(7)(2) (3)(5)
xi
= -14 - 15 = -29
y
x
2 7 3 3
x
s
(2)(3) (3)(7) = 6 - 21 = -15
x 29 19
El sistema tiene solución única, si y sólo si:
2.
El sistema tiene infinitas soluciones, si y sólo si:
3.
El sistema no tiene solución si siendo 0 , existe s
1.
..........
a11x 1 a12 x 2 a13 x 3 .... a1n x n 0 a 21x1 a 22x 2 a23 x 3 .... a 2n x n 0 an 1 x1 a n 2 x 2 a n 3 x 3 ... ann x n 0 si este admite soluciones aparte de la trivial, el determinante del sistema deberá ser nulo, es decir:
a n1
a12
i 0 s 0 .
algún i 0 .
ax by c .... (1) a x b y c .... (2) 1 1 1
Teorema : Dado el sistema lineal homogéneo.
a11
s 0 .
Propiedad Un caso particular de lo visto anteriormente se presenta en el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas :
CS ( 29 ; 15 ) 19 19
a21
s , luego :
1.
y
y 15 y s 19
i
a13
a1n
a22
a 23 a 2n
an 2
a n 3 ann
El sistema será compatible determinado, es decir, tendrá solución única, si se verifica:
a b a1 b1
2.
El sistema será compatible indeterminado, es decir, tendrá infinitas soluciones, si se verifica : a b c a1 b1 c1
0 3.
El sistema será incompatible, es decir no tendrá solución si se verifica :
a b c a1 b1 c1
132
TRILCE Como : x = Ky x = 3y x = y
SISTEMAS NO LINEALES
en (1) con x = 3y : 9 y 2 9 y 2 3 y 2 21
Criterios de Resolución : 1.
21y 2 21 y2 1
Si el sistema está conformado por ecuaciones de diferentes grados se deberá encontrar una nueva ecuación en función de una sola incógnita, para a partir de ésta determinar las soluciones del sistema. Ejemplo :
x = 3 x = -3
Resolver :
Soluciones (3; 1) y (-3; -1)
x y 7 ...... (1) xy 10 ..... (2)
y = 1 y = -1
en (1) con x = y : y 2 3y 2 3y 2 21
7 y 2 21 y2 3
De la ecuación (1) : x = 7 - y Reemplazando en (2) : (7-y)y = 10 Efectuando, tenemos :
y 2 7 y 10 0 (y-5)(y-2) = 0
De donde, obtenemos : y = 5 y = 2
y=
3 y= - 3
x=
3 x= - 3
Si : y = 5 en (2) : x = 2
Sol : (2; 5)
Soluciones : ( 3 ;
Sol : (5; 2) CS = { (2; 5), (5; 2)}
2.
3 ) y ( 3 ; 3 )
CS { (3;1), (3 ; 1), ( 3 ; 3 ), ( 3 ; 3 )}
Si : y = 2 en (2) : x = 5
Si el sistema está formado por ecuaciones, cuya parte literal es homogéneo y de igual grado se recomienda realizar la siguiente sustitución : y = Kx, donde el parámetro "K" se determinará por eliminación de las incógnitas x y.. Una vez encontrado el valor de "K", fácilmente se obtendrá el valor de cada incógnita del sistema. Ejemplo : Resolver :
x 2 3 xy 3 y 2 21 ........ (1) 2 x xy 3 y 2 15 ........ (2)
Hagamos : x = Ky Reemplazando en (1) :
y 2 (K 2 3K 3) 21 Reemplazando en (2) : y 2 (K 2 k 3) 15
Dividiendo m.a-m :
K 2 3K 3 7 5 K2 K 3
De donde, obtenemos : K 2 4 K 3 0 K= 3 K= 1
133
Álgebra EJERCICIOS PROPUESTOS 01.
Dar el valor de "a", si para : (x; y) = (5; y0) el sistema verifica :
07.
(2a 1)x (a 3)y 1 ... (1) (2a 1)x (a 2)y 1... (2)
a) 8 d) 7 02.
b) 9 e) 6
a) 333 d) 331
(a 3)x (a 3)y 2a (b 2)x (b 2)y 2b
08.
tiene solución única, hallar :
3 d) R 2
03.
Hallar :
xy xy
2 b) R 3
a b
.
2 c) R 3
e) R { 0}
04.
, del sistema :
10.
05.
c) 3
b) -1 e) 4
c) 0
3 3 Calcular : x y , si :
xy
3xy
c) 18
Respecto al conjunto :
Tiene 6 elementos. Tiene 4 elementos. Tiene 1 elemento. Es el conjunto vacío. Tiene un número ilimitado de elementos.
H allar el producto de los valores de "x+ y", que resuelve el sistema :
x y
b) 28 e) 0
1 3 5 x y 1 4
4 7 15 x y 1 4
c) 26
se obtiene :
x 2 y 2 13
b) 1 e) 4
b) -156 e) -171
Al resolver el sistema :
4
x 2 | y | 11
134
b) -18 e) 24
a) 112 d) 171 12.
¿Cuántas soluciones tiene?
a) 0 d) 3
xy xy 4
x 2 y 2 113 xy x + y = 43 - xy
, es :
5 xy
06.
Indicar un valor de "xy", al resolver :
a) b) c) d) e) 11.
a) 63 d) 65
c) 34
A= { (x, y)/2x+ 3y - 6= 0; 4x - 3y - 6 = 0; x - 1 = 1; 3y = 2}
x y 20
a) 1 d) 8
b) -12 e) 16
a) 12 d) 20
x y 14 ; x 10
y
Si el sistema : 3x + 5y = 1 2ax - by = 8 tiene infinitas soluciones. Hallar el valor de "a-b".
x y2 9
b) 2 e) 5
x
c) 335
2
Si :
Entonces :
b) 334 e) 925
a) 52 d) -28 09.
3x 2y 9 ... (1) x y 15 11(x y) 135 x ... (2) a) 1 d) 4
x y z 35 2 x y 3z a 1
Además : x, y, z; son proporcionales a los números 4, 2, 5; respectivamente. Hallar el valor de "a".
c) 10
Si el sistema :
3 a) R 2
El sistema :
c) 2
a) b) c) d) e)
x= x= x= x= x=
1, y 2, y 1, y 3, y 2, y
= = = = =
2 1 3 3 3
c) 121
TRILCE 13.
¿Para qué valores de "m" el sistema de ecuaciones : 2x + 7y = m 3x + 5y = 13 tiene soluciones positivas ?
91 26 m 5 3
b)
91 26 m 5 3
91 26 m 5 3 e) 9 < m < 11
d)
91 26 m 5 3
a) c)
14.
20.
a) b) c) d) e) 21.
Resolver el sistema : x 2 12 y y 2 12 x 33
x + y = 23
.... (2)
y ( ). x
a) 3 d) 7 b) -12/5 e) 3/5
c) 7/12
22.
Dado el sistema :
x 2 4 y 2 25 x 2y 7
b) 3/2 e) 3
x es : y c) 2
23.
3x 2 y 5
= = = = =
1, 2, 2, 3, 3,
y= y= y= y= y=
8) y (x = 3, y = 9/2) 3) y (x = 8, y = 9/2) 9/2) y (x = 3, y = 1) 5) y (x = 2, y = 8/3) 2) y (x = 8, y = 19/2)
(n + 3)x + 2ny = 5n - 9 (n + 4)x + (3n - 2)y = 2n + 1 b) -2 e) 2
c) 5
x2 y2 r2 y = r ; para : r > 0 es :
Conjunto unitario. Un conjunto de dos elementos. Un conjunto de tres elementos. Un conjunto de cuatro elementos.
El mínimo valor de "z" que satisface el sistema de ecuaciones :
x 2 y2 z es :
Hallar "n", para que el sistema sea incompatible :
a) -1 d) 1
b) 2 e) 4
x y 12
Resolver :
(x (x (x (x (x
2x y
El conjunto de soluciones del siguiente sistema :
a) b) c) d) e)
x 2 xy 2y 7
18.
Existen cuatro soluciones. Existen tres soluciones. Existen sólo dos soluciones. No existen soluciones enteras. Existe más de cuatro soluciones.
Calcular :
a) b) c) d) e)
c) 8
Si : x, y, z son enteros y no negativos, entonces con respecto a las soluciones del sistema :
Si : n > 0; proporcionando el valor de :
a) 1 d) 8/3
b) 6 e) 12
x 2 2 (y z) se concluye que :
x 2 y 2 144 .... (1)
si : 2y > x, entonces el valor de
17.
a) 4 d) 10
c) 1
Determinar la única solución del sistema:
a) -7/6 d) 5/7 16.
(a 1)x 4 y 10 2x (b 1)y 5
x 3 y 3 z3 3xyz
b) -112 e) 96
y 13 nx
Hallar "a+ b", de modo que el sistema :
posea infinitas soluciones.
Sea la terna (a; b; c) soluci ón d el si stem a de ecuaciones: 7x + 4y - 4z = 7 7y + 5z = 12 11y + 8z = 10 Entonces, la suma (b + c), es igual a : a) -100 d) 80
15.
19.
c) 0
a) 9 d) 72 24.
b) 18 e 144
c) 36
Si :
a b c 2 a b c 0 3a 5 b c 0
Entonces : 2a a) 13 d) 10
2c es igual a : b b) 12 c) 11 e) 9 5
135
Álgebra 25.
Sea "m" un entero, tal que el sistema de ecuaciones : 2x + 3y = 8 mx - y = 37 3x + 8y = m
31.
26.
c) 2
Hallar el valor de "a" para que el sistema tenga solución
32.
única :
b) - 2
d) - 5
e) - 10
Resolver en R el sistema : x + y - z= 1
a) 1 d) 4
y 3 ..... (1) x 2
33.
b) 2 e) 6
b) 3 e) -3
xy ab x y ab
xy ab (a 2 b 2)
c) 4
Entonces, el valor de
¿Para qué valor del parámetro , el sistema en x é y :
x y 1 x y 2
34.
= -1; = 0 d) Únicamente = 1, = -1 e) Sólo cuando = 1
a) 1 d) 5/4
x 2 y 2 16 ......... (1)
y 5 mx ......... (2)
35.
para un cierto valor de "m" admite solución única. Obtener dicho valor de "m". c) 7/4
¿Cuántas soluciones no nulas tiene el sistema : 3xy + 2z = xz + 6y = 2yz + 3x = 0 ?
136
b) 3 e) 6
ax by 1 ; cx 2 dy 2 1 a2 b2 c d
El sistema de segundo grado :
a) 2 d) 5
Si las ecuaciones :
tienen solamente una solución, calcular :
c)
30.
2 d) 2 (a b)
e) a - b
b) Sólo = 0
b) 1/4 e) 1/5
b) (a b)2
c) 2 (a b)2
a) Únicamente = -1
a) 3/4 d) 1/2
2 (x-y) es igual a :
a) (a b)2
es compatible indeterminado?
29.
c) 3
Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
x xy y 9 .... (2) Indicando el menor valor que toma "x".
28.
3
Indicando el número de elementos del conjunto solución real del sistema.
b) a = 2/3 d) a = -2/3
2 Resolver en R el sistema de ecuaciones:
a) 2 d) -2
c)
x 3 y 3 z3 1
a) a = 1 c) a = 4/3 e) a = -1/2
x y
a) - 6
x 2 y 2 z2 1
x 2 y 2 z x y z a
27.
......... ()
Indicando uno de los valores obtenidos para "x" ó "y".
sistema. Hallar el valor de : E m (x 0 y 0 ) b) 1 e) 4
(x + y) (x - y) = 11 ......... () (y + 3) (y - 3) = x
sea compatible. Si : ( x 0 , y 0 ) es la solución de dicho
a) 0 d) 3
Resolver :
c) 4
b) 3/2 e) 4/5
c) 2/3
Indicar "z" al resolver :
x 2y w 5 2x 3 z 7 x y z 2 2x y w 2 a) -1 d) 0
b) 2 e) 8
c) -3
TRILCE 36.
El valor positivo de "x+ y+ z", del sistema : 2x + y + z = xy + yz 2y + x + z = xz + xy 2z + x + y = xz + yz
42.
x 2 y 2 z2 2
37.
a) 2 +
6
b) 2 +
5
d) 2 +
3
e) 2 +
2
c) 2 +
7
43.
b) 3 e) 6
c) 4
Del sistema :
x 2 y 2 xy ab (x+ y)(ax+ by)= 2ab (a + b) un valor que toma "x" es :
Determinar la suma de valores que adopta "k", de tal
44.
x - y - (1 + k) z = 0 admita también soluciones no triviales. b) -2 e) 0
c) 4
b) e)
b
ab
c)
ab
Dado el sistema :
(x 1)2 (y 1)2 (10 x y)2 xy x y 11
Entonces, el valor de : x + y, es :
Hallar : (a+ b), para los cuales las ecuaciones :
a) 5 d) 14
x 3 ax 2 18 0
x 3 bx 12 0 tienen 2 raíces comunes. a) 4 d) 5
ab
d)
2x - ky - 2z = 0
a) 12 d) -9
a
a)
(1 - k) x + y - z = 0
39.
y 2 z2 x z2 x 2 y x 2 y 2 z 1 ?
a) 2 d) 5
manera que el sistema lineal homogéneo :
38.
¿Cuántas soluciones tiene el sistema :
45.
b) 6 e) 16
c) 3
b) 6 e) 10
c) 16
Resolver :
3 x 2y 2x
2x 2 ..... () 3x 2y
4 y 2 1 3 y (x 1) .......... ...... ()
Luego de resolver el sistema : x + y + z = 5 ........ (1)
Indicando el menor valor para "y".
1 1 1 1 ...... (2) x y z 12
a) 1 d) 1/8
b) 1/2 e) 1/16
c) 1/4
xy+ yz+ xz = -2 ..... (3) 46. Señale el menor valor que toma "x". a) 2 d) -2 40.
b) 3 e) -3
y2 3 a) 2 d) 5
y
x2 3
b) 3 e) 6
7
x 3 y3
?
c) 4
Establecer la condición para : a, b, 0, para que : x + y = a > 0 ........ (1)
x 3 y 3 b (x y) ....... (2)
admita soluciones de componentes reales. 2 a) 4 b a 0
c) a 4 b 0 2
e) a 4 b 0
x 2 y xy 70 x xy y 2 105
a) 3 d) 6
¿Cuántas soluciones tiene el sistema :
x
41.
c) 4
Resolver el sistema, y hallar : y - x.
47.
b) 4 e) 7
c) 5
En el sistema, hallar : x y z , donde : x R .
x 2 2xy xz 2 2 xy 2xy yz 4 2 zx 2yz z 6 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
b) 4a + b < 0
2 d) b 4 a 0
137
Álgebra 48.
Resolver :
2 x y
8
4
54.
x 2y 4 ...... ()
xy
(x y) (x 2 y) 2 ...... () 4
2
49.
b) 9 e) 16
c) 30
x xy xy 2 xy 3 15 .......... . ()
55.
x 3 y 3 z3 K tiene solución real?
b) 16/3 e) 7/2
x 2 y 2 z2 2
c) 17/2
Resolviendo el sistema :
x y 2 y x 2 a a2
b) 2 e) 5
a) 2 d) 56.
b) 5 e) 11
57. ab
Determinar : a + b + 2xo +
(xo, yo) es solución del sistema.
58.
c) 2
8
5 x 8 y 44 5 ... (1)
5
16 y 10x 88
a) 11 d) 86
c) 19
b) -3 e) 99
1 2
... (2) c) -90
Encontrar el intervalo de "m" para que el sistema : 2x - 5y = 1 ; mx + 10y = 4 se satisfaga x R ; y R .
Resolver el sistema :
2(1 xy)2 xy
a) m > -4 d) m > 8
Indicar como respuesta : x y y z zx . b) 39 e) 40
1 )
Resolver el sistema y dar "xy".
2x 3y 17
yo, donde :
c) 0 e) 4
(i =
b) 3 e) 5
2x 3 y 17
6a 4 Donde : a - 2b = 3 2a + b = 1.
a) 29 d) 49
3x 2 xy 2y 2 0 ... (1)
a) 4 d) 1
c) 7
(a 2b)x y 4 a 3.b
x 2 y 2 z2 41
Al resolver el sistema :
Hallar : (a b)a , si : a , b , Z .
Dado el sistema :
x + y + z= 9 ; z
7 4
e) Más de una es correcta
5
x = ai y = bi
(x 1) (y 1) (10 x y) xy - x - y = 11
a) 11 d) 3
c)
3
se obtiene una solución de la forma :
2
2 x (2a b)y b
b)
2x 2 3xy y 2 1 ... (2)
c) 3
Resolver y dar el valor de : "x+ y".
a) 3 d) 9
138
c) 6
¿Para qué valor real de "K", el sistema :
a) 8 d) 3/2
2
53.
b) 5 e) 10
x + y + z= 2
a) 1 d) 4
52.
a) 1 d) 8
Indicando la suma del mayor valor de "x" con el menor valor de "y".
Se obtienen para "x" é "y", 2 valores de la forma : 1 [1 (na 1)(na 3)] 2 Hallar "n".
51.
indicando la suma de todos los valores de "x" con todos los valores de "y" obtenidos.
Resolver el sistema :
x 2 x 2y 2 x 2y 4 x 2y 6 85 ..... ()
50.
3 xy ....... () 2
x 3 y 3 9 ....... ()
Indicando (xy), si : x, y R. a) 6 d) 40
Resolver en los reales :
c) 30
b) m < -4 e) m < 8
c) -4 < m < 8
TRILCE 59.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones: x + y + z= 0 (b+ c)x + (a+ c)y + (a+ b)z = 0 bcx+ acy + abz = 1 Entonces, la solución del sistema para : x, y, z, en ese orden con a b, b c, a c, es : a)
1 1 1 ; ; (a b)(a c) (a b)(c b) (a c)( b c)
b) c) d) e)
1 1 1 ; ; (a b)(a c) (a b)(c b) (a c)(b c)
a b c ; ; (a b)(a c) (a b)(c b) (a c)(b c)
a b c ; ; (a b)(a c) (a b)(c b) (a c)(b c)
a ; b ; c (b c) (c a) (a b)
60.
Resolver el sistema adjunto y proporcionar el valor real de "x"; a, b, c R .
x 3 a y 3 b z3 c xyz
siendo :
a)
3
a2 b2 b 2c2 a2c2 2abc(a b c)
2a 2 ab ac bc abc
b)
3
2a 2 ab ac bc 2 (a b c)
c)
3
2a 2 ab ac bc 2 (a b c)
d)
3
e)
3
(a b c)2 ab bc ad
a 2 b 2 c2 ab bc ac
139
Álgebra
Claves
140
01.
c
31.
d
02.
d
32.
b
03.
a
33.
a
04.
e
34.
a
05.
d
35.
c
06.
e
36.
a
07.
b
37.
e
08.
a
38.
c
09.
d
39.
d
10.
c
40.
e
11.
b
41.
a
12.
e
42.
d
13.
d
43.
c
14.
b
44.
a
15.
b
45.
b
16.
b
46.
b
17.
e
47.
a
18.
b
48.
c
19.
b
49.
c
20.
a
50.
b
21.
e
51.
b
22.
b
52.
a
23.
d
53.
b
24.
c
54.
c
25.
a
55.
e
26.
e
56.
d
27.
c
57.
e
28.
e
58.
c
29.
a
59.
c
30.
c
60.
c
TRILCE
C ap ít ulo
14
DESIGUALDADES E INECUACIONES VALOR ABSOLUTO
D ESIGUALD AD ES D efinición Se denomina desigualdad a la comparación que se establece entre dos expresiones reales, mediante los signos de relación > , < ; o .
Teoremas de la D esigualdad 1.
a R : a2 0
2.
a0 1 0 a a0 1 0 a
Ejemplo : Siendo, a y b números reales : a> a< a a
b b b b
a a a a
mayor que b menor que b mayor o igual que b menor o igual que b
3.
a> b c> d a+ c > b+ d
4.
1.
2.
3.
4.
a, b c R / a b b c a c
a , b c R , n Z /
7.
a , b c R , n Z
a , b R c R / a b ac bc
a , b R c R / a b ac bc
Equivalencias Usuales : Siendo a, b, c números reales.
a b c a 2 n 1 b 2n 1 c 2 n 1 a b c a 2 n b 2 n c2 n
Propiedades de la desigualdad
Ley Multiplicativa
4.2.
2.
6.
Ley Aditiva
a, b c R / a b a c b c
a , b c R ; o a , b c R
abc1 1 1 c b a
Ley de Transitividad
4.1.
1.
5.
Ley de Tricotomía
a b R:a b a b a b
a , b , c d R :
a> b c> d a.c > b.d
Observación : A los signos de relación > o < se les da el nombre de signos simples mientras que a o se les denomina signos dobles. Axiomas de la desigualdad
a, b, c d R :
1.
a 0 , c 0 c2 a2
a b c 0 b 2 c2
2.
a 0 : a 1 2 a
3.
a 0 : a 1 2 a
a b a ba b
a b c a bb c
141
Álgebra Propiedad adicional :
1.3.Intervalo mixto (semi abierto o semi cerrado) : Considera sólo a uno de sus extremos para :
Para números reales positivos, tenemos : MP MA MG MH
= = = =
x
Media potencial Media aritmética Media geométrica Media Armónica
a x b x a ; b] a
para :
MP MA MG MH
x a
ak bk a b ab 2 1 1 2 2 a b
2.
para tres números : a, b c; k Z k
Intervalos no acotados : Son todos aquellos donde al menos uno de los extremos no es un número real. 2.1. Intervalo acotado inferiormente :
3 a k b k ck a b c 3 abc 1 1 1 3 3 a b c
x a
Donde : a x x a x a ;
INTERVALOS D efinición Se denomina intervalo al conjunto cuyos elementos son números reales, dicho s elementos se encuentran contenidos entre dos números fijos denominados extremos, a veces los extremos forman parte del intervalo. 1.
x a
Donde : a x x a
b
Donde : a x b x a ; b
Donde : a x b x [a ; b]
También : x (a ; b)
142
x
x
a
a
Donde : x a x a
x ; a]
También : x ] a ; b [
x
Donde : x a x a x ; a
x
1.2.Intervalo cerrado : Se considera a los extremos, se presenta por existencia de algún signo de relación doble. En la recta real, se tendrá :
2.2. Intervalo acotado superiormente :
1.1.Intervalo abierto : No considera a los extremos, se presenta por existencia de algún signo de relación simple. En la recta, se tendrá :
a
x [a ;
Intervalos acotados : Son todos aquellos intervalos cuyos extremos son reales, estos pueden ser :
a
b
a x b x [a ; b
Para dos números : a b; k Z k
b
Observaciones : 1.
Un conjunto se dice que es acotado si y solo si es acotado superiormente e inferiormente a la vez.
2.
Para el conjunto de los números reales R, se tiene :
R ] ; [ ;
Es evidente que y no son números reales.
b
3.
Como los intervalos son conjuntos, con ellos se podrán efectuar todas las operaciones existentes para conjuntos, tales como la unión, intersección, diferencia simétrica, etc.
TRILCE Clases de desigualdad 1.
D esigualdad absoluta : Es aquella que mantiene el sentido de su signo de relación para todo valor de su variable. Vemos un ejemplo : *
2.
Resolución de la inecuación : Se recomienda utilizar el método de los puntos de corte cuya aplicación consiste en los siguientes pasos : 1.
Se trasladan todos los términos al primer miembro, obteniendo siempre una expresión de coeficiente principal positivo.
2.
Se factoriza totalmente a la expresión obtenida.
3.
Se calculan los puntos de corte. Son los valores reales de "x" obtenidos al igualar cada factor primo a cero.
4.
Se ubican, ordenadamente, todos los puntos en la recta real, dichos puntos originan en la recta dos o más zonas.
5.
Se marcan las zonas obtenidas a partir de la derecha alternando los signos "+ " y "-".
x 2 2x 10 0 ; x R
D esigualdad relativa : Es aquella que tiene el sentido de su signo de relación para determinados valores de su variable. Veamos un ejemplo : * 2x 1 x 3 x 2
INECUACIONES D efinición Se denomina inecuación a cualquier desigualdad relativa. Los valores de la variable que verifican la inecuación forman el conjunto solución, el cual se presenta en función de intervalos. 1.
Inecuaciones racionales : 1.1. Inecuaciones de primer grado (lineal) ax b 0
a b R / a 0
1.2. Inecuaciones de segundo grado (cuadrática)
ax 2 bx c 0
a , b c R / a 0 Propiedades
6.
Si el signo de relación es > o , el conjunto solución estará formado por todas las zonas positivas, pero si el signo de relación es < o el conjunto solución lo formarán todas las zonas negativas. Ejemplo : Resolver la inecuación :
x2 x 6
Resolución : De acuerdo con el método de los puntos de corte, procedemos así :
x2 x 6 0
Factorizando : (x+ 3)(x-2) > 0 Hallando puntos : x = -3; x = 2
I. Trinomio siempre positivo Si : ax 2 bx c 0 ; x R ,
En la recta :
2 entonces : a 0 b 4 ac 0
II. Trinomio siempre negativo 2 Si : ax bx c 0 ; x R ,
-3
marcando zonas : +
2 entonces : a 0 b 4 ac 0
1.3.Inecuaciones de grado superior :
a o x n a1x n 1 a 2 x n 2 ... a n 0
ao , a1 , a 2 , .... an R / aº 0
nN / n 3
2
+ -3
2
como el signo de relación es > la solución viene dada por todas las zonas positivas. +
+ -3
2
x ; 3 2 ;
1.4. Inecuaciones fraccionarias :
F(x) 0 ; [ H ]º 1 H (x)
143
Álgebra 2.2. Forma : 2n A B ; n Z
Ejemplo :
9 x 10 2 Resolver : x2
CS A 0 B 0 A B 2 n
Resolución : Procedemos de un modo similar que en el ejemplo anterior : 9 x 10 2 0 x2 7x 6 0 x2 Puntos : 6 7x + 6 = 0 x 7
+
x 1 0 x 1 0 x 2 3x 0
x 1 0 x 1 0 x 2 3x 0
Observación : En una inecuación fraccionaria, si el signo de relación es doble, sólo cerraremos los extremos que provienen del numerador. Ejemplo :
x 1 0 x 1 0 x (x 3) 0
+
-1
x 5 1 x 2 x 12 2
Resolver :
x 1 x 1
S1 : x 1 0 x 1 0 x 1 (x 1)2
- 6 7
x 2 ; 6 7
Ejemplo :
Resolución : De acuerdo con la forma (2.1), se plantea :
+ -2
B 2m CS A 0 B 0 A 2n
Resolver :
x = -2
x+ 2= 0
< 2n B ; m n Z 2.3. Forma : 2 m A >
+
+
+
1
0
3
Intersectando :
Resolución :
x2 5 1 0 2 x x 12
-1
x 7 0 (x 4 )(x 3)
+ -7
+ -3
x [ 7 ; 3 4 ;
4
2.1. Forma : 2n A B ; n Z S1 ( A 0 B 0 A B 2 n )
S2 (A 0 B 0) CS S1 S2
+ 1
-1
Observar que : S [ 1 ; 1 2
1
Finalmente : CS S S 1 2
CS [ 1 ; 3
Inecuaciones I rracionales
se resuelve :
+ -1 Intersectando :
Puntos : { 7 , 4 3}
Ejemplo : Resolver :
x 2 5x
Resolución : De acuerdo con la forma (2.3) se plantea:
x2 05x 0x 2 5x x 2 0 x 5 0 2x 7 0 + 2
144
3
S2 : x 1 0 x 1 0
Observar que: x 2 x 12 (x 4)(x 3)
1
Observar que : S1 [1 ; 3
x 7 0 x 2 x 12
2.
0
+ 5
+ 7 2
TRILCE Ejemplo :
Intersectando :
Resolver : | 5x - 1| = 2 - x 5
CS [ 2 ; 7 2 VALOR ABSOLUTO (V.A.) D efinición Dado el número real "x", la relación funcional denotada por | x| es el valor absoluto de "x", definido de la manera siguiente : x ;x 0 | x| 0 ; x 0 x ; x 0
Según la definición : * | 5| = 5 5> 0 * | -7| = -(-7) -7 < 0 | -7| = 7
Resolución : Se plantea lo siguiente : 2 x 0 (5 x 1 2 5 x 1 x 2)
x 2 0 (6 x 3 4 x 1)
x 2 (x 1 x 1 ) 2 4
x 1 verifica x < 2. 2 x 1 verifica x < 2. 4 1 CS { ; 1 } 2 4
Observar que :
Inecuaciones con Valor Absoluto 1. 2. 3.
| x | b x b x b
| x | b b 0 (b x b) | x | | y | (x y)(x y) 0
Ejemplo :
7 2
2
Teoremas : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
| x| 0; x R
| x | | x | ; x R
2.
Resolución : De acuerdo con la forma (2), se plantea :
5 0 (5 3x 4 5)
| x . y | | x | .| y | ; x y R x | x| ; x y R/ y 0 y | y|
| x 2 | | x| 2 x 2 ; x R | x | x | x | ; x R
| x y | | x | | y | ; x y R
Propiedades : 1.
Resolver : | 3x + 4| < 5
Si : | x+ y| = | x| + | y| ,
entonces : xy 0 Si : | x - y| = | x| + | y| , entonces : xy 0
Ecuaciones con valor absoluto :
| x | b ; b 0 x b x b
R
¿ ? porque es una verdad
Luego, sólo se resuelve : -5 < 3x + 4 < 5 -5 - 4 < 3x < 5 - 4 -9 < 3x < 1
1 3 x 3 ; 1 3
-3 < x <
Ejemplo :
Resolver : x 2 3 | x | 4
Resolución : Se sabe que x 2 | x | 2 . Luego, se tendrá : | x | 2 3 | x | 4
| x |2 3| x | 4 0
(| x | 4) (| x | 1) 0
Ejemplo : Resolver : | 2x-1| = 7
Resolución : Observar que : b = 7 > 0. Luego, tenemos : 2 x 1 7 2 x 1 7 2x 8 2x 6 x 4 x 3
CS { 4 ; 3}
Observa que : | x | 1 0 ; x R En consecuencia :
| x| 4 0
| x| 4
Según la forma (1) : x 4 x 4
x ; 4] [ 4 ; 145
Álgebra EJERCICIOS PROPUESTOS 01.
Resolver las siguientes inecuaciones : I.
x 3
II.
(x 2) x(x 1)
2
x 2 5
Rpta. ...........
IV.
Rpta. ...........
4
V.
3
x 1
52
x 3
3x 2
VI. 0,3 4 x 1 0,3x 2
02.
Resolver :
2
03.
x2
2
x 3
Rpta. ...........
2
b) x > 0
d) x > 4
2 e) x > 5
x4
5
x 1
08.
5
x2
c) x 0
09.
a) 1 ;
2a
c) ;
2a
b b
bx a a
1
b) ; 1
d) 1 ;
2a b
Un vehículo, marchando a 25 km/h recorre un camino
a) 130 km d) 170 km
V. 3 < x < 11 ................. x-1 .............
10.
VI. -9 < x < -5 ................. x-1 .............
Hallar el valor de : P = | x - y| . Donde : x, y son números enteros positivos que satisfacen las siguientes desigualdades :
b) 225 km e) F.D.
c) 175 km
Resolver : I.
Si : x [ 4 ; 2 , indicar el intervalo de variación de : f(x ) 6(x 8)1
II. Si : x 3 ; 5] , indicar el intervalo de variación de:
f( x )
5x 3y 2
2x 6
x 1 III. x 5 ; 4 ] , indicar el intervalo de variación de :
2x y 11 y3
f(x ) x 2 6 x 15
b) 7 e) 0
c) 1
Si : -10 a -5; -2 b -1; 2 c 5, entonces, está comprendido entre :
146
a
¿Cuál es la longitud del camino?
IV. -8 < x < 3 ................. x2 ..............
a) -10 y -1 d) 2 y 20
ax b
más de 4h 35min de marcha.
III. -4 < x < 7 ................. x2 ..............
06.
Resolver :
31min, y cuando llevaba recorridos 60 km le faltaban
3 < x < 5 ................. x2 ..............
a) -1 d) 8
e) K 3
4 3
recorrida la mitad del camino, le faltaba menos de 3h
II. -9 < x < -4 ................. x2 ..............
05.
d) K
c) K 12
1 3
que mide un número entero de km. Cuando llevaba
c) 0
Hallar lo indicado en cada caso : I.
b) K
e)
3x 5 ; si : x 2 ;1] x2
b) 2 e) 6
a) K 6
si : 0 < a < b.
Hallar la suma de los enteros que adopta:
a) 4 d) 1
m 2 n 2 n2 p2 m 2 p2 mn np mp
Luego, es posible afirmar que :
Rpta. ...........
a) x < 0
N
04.
K
Rpta. ...........
III. 3(x 5) 5(x 2)
2
Si : m, n, p R , y además :
Rpta. ...........
2
x 1
07.
b) -10 y 1 e) 1 y 10
c) 2 y 10
11.
Resolver el sistema :
ab c a) -3 < x 4 c) 0 x < 3 e) -2 < x 4
3 3 x 5 (1,5)x 1 2 2 x 2 (0,6)x 6 3 b) -3 x < 4 d) 0 < x 4
TRILCE 12.
x y , si : z x, y, z, son enteros positivos que satisfacen las siguientes desigualdades : Hallar el valor de, E
17.
2x 3 y 5 z 23 2x y 5 z 13 yz1
y4
a) 2/5 d) 1 13.
b) 1/2 e) 2
c 1 a b , bx podemos afirmar que : a b
d) a < c1 <
20.
21.
c) 30
e)
ab
2ab ab
a, b, c, R : a b c 3 abc 1 II. x R x 1 : x 2 x III. a, b, c, R . Si : a b c 12 abc 64 ,
22.
Indicar el valor de verdad de cada una. c) VFF
b)
ab
d)
ab
2ab ab 2ab ab
2ab ab
Sean p, q, r, tres números positivos diferentes, que cumplen : pqr = 1. Entonces, la suma : s = p+ q+ r satisface. b) 3 s < 4 d) s < 3
Sean : a, b R / ab > 1; el menor valor :
a 2 ab b 2 ab 1
; es :
b) 3 e) 9
c) 6
Sea : x > 0; calcular el mínimo valor de la expresión : 4 Kx 2 x 3
a)
3
3
b)
d)
3
2 3
e) 3
2
c)
3
3 2
Resolver el sistema : 3x + y > -4 x - 2y < -7 2x + 3y < 6
a) -2 d) 6
I.
b) VVV e) FFF
ab a
2ab ab
{ x; y} Z. Indicar "xy".
De las siguientes proposiciones :
a) VFV d) FVF
c)
a) 2 d) 8
b) 18 c) 16 e) No es posible
b) 25 e) 40
ab
E
1
Un closet tiene capacidad para 60 trajes, pero, sólo hay cierto número de trajes guardados en él. Si el número de trajes se redujera a la sexta parte se ocuparía menos de la décima parte de su capacidad; pero si se duplicara el número de trajes; más de ocho trajes no podrán ser guardados por falta de espacio. ¿Cuántos trajes hay en dicho closet? a) 20 d) 35
16.
19.
Se sabe que el cuádruplo del número de objetos que hay dentro de un depósito, es tal, que disminuido en 5, no puede exceder de 35 y que el quíntuplo del mismo número de objetos, aumentado en 2 no es menor que 50. Hallar este número. a) 20 d) 10
a)
a) s > 3 c) 0 < s < 3 e) 1 < s < 2
b) b < c < a
a < c< 1 c) b e) a < c < b
15.
18.
Si : a > b > 0; x > 0 con relación a :
a) 1 < c <
14.
c) 0
Para : a > 0 y b > 0. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera?
b) -6 e) 10
c) 3
La suma de los dos números enteros positivos es mayor que 76; su diferencia menor que 10, y si al mayor se le suma el duplo del menor, el resultado no llega a 112. ¿Cuál es el mayor? a) 34 d) 43
b) 38 e) 83
c) 42
147
Álgebra 23.
Si : x, y, z R , hallar el máximo valor de "a" en :
29.
Si : 0 < b < a, Además :
K
x 4 y 4 z4 w 4 a xyzw
a2 b2 ; b(a b) a(a b)
luego, podemos afirmar que : a) 1 d) 24.
b) 2
Cuando nací, papá tenía más de 20 años; hace 10 años el doble de mi edad era mayor que la de él; si tengo menos de 33 años, ¿qué edad tiene él? b) 53 e) 45
d) K
30.
resulta :
c) E
2
31.
Sean : a, b R , tal que : a + b = 1.
27.
b)
2 3
d)
1 6
e)
1 4
c)
x 2 3x 1 0
2x 2 9 x 3 0
2 III. x 5x 8 0 2 IV. x 2x 5 0
33.
Determinar "m+ n", si la inecuación :
x 2 mx n 0 presenta como conjunto solución : x 5 ; 3
S 1 31 31 ... 1 3 2 3 10 6
28.
Resolver cada inecuación de segundo grado :
II.
A qué número entero se aproxima :
a) 14 669 d) 14 999
e) P > 20
2 (x 2 1) 5 x
I.
1 3
b) 14 999 e) 14 899
a) -13 d) -2 34.
x 2 2x 5 E
35.
I.
a) 12 d) 18
II.
c) 14
b) 2 e) 5
c) 3
Resolver cada desigualdad :
Indicar la suma de las cifras de 10 P . b) 13 e) 20
c) -15
Determinar el menor valor de "E", si se cumple :
a) 1 d) 4
Sean : a, b, c; números no negativos, tales que : a+ b+ c = 1, hallar el máximo del producto : 8
b) -17 e) 2
se verifica para todo x R .
c) 14 866
P a5 b3 c 2
III
(x + 1)(x - 3)(x + 4) > 0
(x 1)2 (x 2)3 (x 5)5 0
(x 6)(x 4)2 (x 1)(x 3)2 0
IV. (x 1)(2 x )(x 3) 0
148
c) P > 0
2 2 IV. (x 1) (x 2) 29
2 2 M a b N, a 1 b1 entonces, MN resulta :
1 2
1 2
2 III. x 6x 5 0
Si :
a)
1 a , luego : 4
x 2 12x 35
II.
32.
c) K 0
Resolver cada ecuación cuadrática : I.
b) E n n 1 n2 d) E n 1
e) E n 2 1
b) P >
d) P > 1
2
n n1
e) K 8 1
Si : a > 0 y P (1 a) a) P > 1
S S S ... S a S b S c
a) E n 2
8
b) K 1
c) 52
Si : "S" es la suma de "n" cantidades positivas a, b, c, ......, entonces :
E
26.
a) K 2
e) 8
2
a) 32 d) 54 25.
c) 4
TRILCE 36.
x 4 3 x 3 5x 2 9 x 6 0
Resolver :
43.
x ; 2 3 ;
c)
xR
Hallar : ab + a + b.
e)
x 1; 2
a) -1 d) -7
; a b ;
d) x
Después de resolver : x 3 4 x 2 2x 8 0 Señalar el mayor entero que verifica la desigualdad. a) 0 d) -1
38.
b) 2 e) 1
I.
x 2 4x 3
II.
x
II. III. IV.
a)
; 2 0 ;1]
0
c)
; 2 1 ; 0
e)
x 45.
1 x
Sean las funciones :
f( x ) x 2 5 x 2 m
g(x) 2x 2 13 x m 4 ¿Qué raro?, se observa que al darle cualquier valor a "x" se obtiene que f(x)< g(x), entonces, "m" es :
x 3 2 x 5 3
a) Mayor que 12. c) Está entre -12 y 12. d) Mayor que -12.
x 8 3 x 3 0
46.
x 3 7x
b) [ 3 ; 5]
a) 4 d) 6 47.
x 4 18 7 x 2
2 III. (x 5)(x 3) 4(x 5) 2 2 2 Resolver la inecuación : x (x 3) 4 x (x 3) e indicar un intervalo solución.
c)
3 ;4
e) ; 0
3 2x
3 2x n
b) 0 ; 3
b) 2 e) 10
c) 3
El conjunto :
(x 2 1)(x 2) 0 , es : A x R/ (x 1)(x 1)
x 3 9x
a) 3 ; 3
e) Menor que 12.
se verifique para todo "x" real. c) [5 ; 7]
e) [ 5 ;
b) Menor que -12.
Indicar el menor número "n" entero que permita :
Resolver las inecuaciones :
II.
0
d) ; 2 [ 1 ; 0]
Indicar el intervalo solución de :
I.
(1 x)(x x 2 )
x2 x 2
1
d) ; 5]
42.
Resolver :
c) -6
b) ; 2] [ 3 ; 4
x2 5
a) [ 3 ; 7]
41.
b) -5 e) -8
c) -2
Resolver las inecuaciones : I.
40.
44.
Resolver :
2 III. x
39.
x 1 x 2 x x 3 se obtuvo como solución :
a)
b) x ; 1 2 ;
37.
Al resolver :
a) [ 2 ; 1 1 ; b) [ 2 ; 1 c)
[ 2 ; 1 1 ; 1 1 ;
e)
; 2 1 ;
d) ; 2] 1 ;
d) 3 ; 0
149
Álgebra 48.
¿Para qué valores de "a" en la inecuación cuadrática siguiente, se cumple que para todo x R :
53.
x 2 ax 2 2x 2 2x 2 ?
a) a 6 ; 2
x 2 6 x 8 (x 2 5 x) 0 x 1
a) x
a 1; 3
54.
d) a 15 ; 10
x13 (x 3)16 (x 5)30 (x 3 27)(4 x 16)
x 17x 60 0 x (x 2 8x 5)
b) [ 3 ; S
c)
b) ; 12
c) 12 ; 0
e) { 3} S 55.
Sean : a, b R , con 0 < a < b.
1 2b x b b } 1 2a x a a b) 0 ;
c) a ; 2b
51.
1 2
III. Si :
d) 2a ; 2 b
e) 0 ; 1
x 3 x 3 4 x 2 7x 6 2 ,
b) FVF e) VVV
Resolver :
c) FFV
x x 2 ax 2a 2 a
a) 3a ; 2a
c) 1
b) 2 e) 0
16 x x 1 0 x2
Si : a < 0.
indicar la suma de valores enteros de "x". a) 1 d) 2
3 0; 1 2x 5
x 1 x x 3 x 3
a) FVV d) FFF 56.
Luego de resolver :
Si : x 1 ; 5
II. Si : x [ 0 ; 4
coincide con : a) a ; b
Determinar el valor de verdad de las proposiciones :
I.
Entonces, el conjunto :
A {xR/
S 4 ; 0] 3 ;
d) [ 0 ; 3 S
d) ; 5
e) 5 ; 0
0
a) [ 4 ; 0] S
2
a) 12 ; 5
c) x [2; 4]
entonces, es verdad que :
Determinar en qué conjunto de números negativos debe estar contenido "x", para que : 4
50.
e) x < 1; 7>
Si : "S" es el conjunto solucion de la desigualdad :
e) a 3 ; 6 49.
b) x R
d) x { 2; 4}
b) a 10 ; 7 c)
Resolver :
b) [ a ;
2a ; a a ; 2a ; a 2a ; d) e) ; 3a a ; c)
52.
De la inecuación :
ax 1 x a bx 1 x b
con : a > b > 1. Hallar el conjunto solución. a) b ; 1]
[ 1 ; 1]
d) ; b [ 1 ; e) ; b]
150
Determinar, por extensión, el conjunto :
A { x R / x 2 4 x 2 2x 10}
a) { 1 ; 0 ; 1}
1 b) [ ;1] b c)
57.
c) [ 2 ; 3]
e) 0 ;1
1 [1 ; b
b) 1 ; 0 d) { }
TRILCE 58.
Al resolver :
(2x 1)(x 5 x 1) 0 se obtiene como solución : 2
63.
x R [ m ; n]
59.
Sea :
b) -3 e) 0 6
x 7 (x 5) 0
¿Entre qué valores está :
a)
60.
d) ; 5]
3 7 ; ] 5 5
6 b) 0 ; ] 5
2 d) 1 ; ] 5
6 e) 1 ; ] 5
c) -4
x 1 x
64.
c)
6 c) ; ] 5
S [ 4 ; 1 S [ 5 ; 0
d) S 3 ; 1 0 ; 1 3 e)
d)
7 2
5 2
65.
S 2 ; 2
¿Cuántos valores enteros verifican la inecuación :
3x
x 3 a) 6 d) 4
c) 3
66.
Si :
II. Si :
a) 4 ;
d) 0 ;
III. Si : x < 1, entonces, x 1
b) 7 e) 3
67.
b) 2 ; 4
Resolver :
3x 2 x3
IV. Si : x > 1, entonces, x 2 1
2 V. Si : x 1 , entonces, x < 1
62.
b) 2 e) 5
Resolver las inecuaciones : I. II. III. IV.
c) 2 ;
e) 2 ; 4
2
a) 1 d) 4
c) 5
2x x 2 4 x 2 1 x 2 (x 4 )
x 2 1 , entonces, x > 1
x 1 , entonces, x 2 1
x 13 3 ?
Hallar el intervalo formado por los valores de "x" que satisfacen la siguiente desigualdad :
e) 4
¿Cuántas de las pro po si ci ones sigui entes so n verdaderas? I.
e) [ 5 ;
1 x 1 3x 3 x 3 x entonces :
x R ; f( x ) 0 . Hallar el mínimo valor positivo de :
b)
c) [5 ; 7]
b) S 3 ; 1 0 ; 1 2
2 Dado : f(x ) ax bx c , tal que :
a) 2
b) [ 3 ; 5]
Sea "S" el conjunto solución de :
a)
?
A abc ba
61.
x 3 7x
a) [ 3 ; 7]
Calcular : mn. a) 1 d) -1
Indicar el intervalo solución de :
2
2
e indicar el número de valores enteros que no la verifican. c) 3
a) 12 d) 15 68.
b) 13 e) 16
c) 14
El conjunto solución de la desigualdad :
x 3 2
x 2 4x x 4 x 6 está contenido en :
x 8 3
a) [1; 4]
x 5 3
x 3 0
d) [ 8 ;
b) [ 4 ; 8
e) ; 4]
c) 4 ; 6
151
Álgebra 69.
El conjunto solución obtenido al resolver :
x2 x 1 4 x
75.
70.
b) 6 e) -5
Hallar el intervalo solución de la inecuación :
3 x 4 1 x 0
a) [ 1 ; 1] d) 71.
1 2
b)
;2
4
; 1]
a) 5 d) 8 76.
2x x 2 x 3 Indicar la suma de los extremos finitos del intervalo solución.
Resolver :
2 1
b)
c)
e) 77.
;
2 1 1 2
2
Considerar los 4 pasos para resolver la desigualdad :
1 x 9
b) [13 ;
; 2] [10 ;13]
Paso 1 :
e)
2
Paso 4 : x R , por lo tanto, la solución es todo R.
3x x 2 6 x 8
Entonces, se puede decir que :
a) [ 0 ; 1] [8 ;
a) b) c) d) e)
b) 0 ; 2 4 ;
[ 0 ; 2] [ 4 ;
d) ; 0] [ 4 ;
e) ; 74.
Resolver :
3 73 ] 8
78.
3
x 4 6 x
b) [ 0 ; 64
d) ; 64 e) R 8 ;
152
Todos los pasos son correctos. El primer error se comete en el paso 1. El primer error se comete en el paso 2. El primer error se comete en el paso 3. El único error se comete en el paso 4.
Al resolver :
|
x 2 6| x 2 | x 2 9|
0 , se obtiene un
conjunto solución de la forma:
x 1 Indicar el conjunto no solución. a) R
81 x 2 x 9
81 x 2
x 9 315 0 2 4
Indicar el intervalo solución al resolver :
c)
1
2 2 Paso 2 : 81 x (x 9) Paso 3 : simplificando
d) [ 2 ; 10] [13 ;
73.
;
2 ; 2
a) ; 10] [ 2 ;13]
c)
;
4 2 1 1
d)
c) 1
x 2 8 x 20 13 x 3
2
x
2 1 ; 2
a)
4
72.
c) 7
Resolver :
c) 0 ;1]
Luego de resolver :
b) 2 e) -2
b) 6 e)12
x2 1 x2 x
e) 15 ;1
a) 0 d) -1
x
Indicar cuántos valores enteros la verifican. c) 8
1
32 2x x2
es : a ; b . Indicar : a.b a) 4 d) -3
Resolver :
0 b) 0 ; 64
[ a ; b c ; d] .
Dar como respuesta :
a) 11/5 d) 13/6
(a d ) . (b c)
b) 9/7 e) 12/7
c) 10/3
TRILCE 79.
Al resolver la ecuación :
x 24 x 144 x 12x 36 2
2
x 6x 9 2
86.
80.
b) 3 e) 6
c) 4 87.
2 | x | . (1 x )
(| x 3 | x 1)(| x | 2)
0 es:
a) 2 ; 2 e) 2 ; 1] [1 ; 2
d) 2 ; 1]
e) { }
89.
Indicar el producto de soluciones de la ecuación :
x5 x4
b) 10 e) 5
b) 2 e) Infinitos
2
b) -
3
d)
1 4
e)
4
b) -1
4
e)
6
Resolver :
x2
x 1
x4
Indicar el conjunto solución :
2 3
c) 4
3
91.
2
a)
b) { 2}
4 d) { } 3
4 e) { } 5
b) 8 e) 2
1 c) { } 4
Resolver :
x a) [-4; 4] c) [-3; 3] e) [-4; -3] [3; 4]
Indicar la suma de soluciones obtenidas. c) 9
92.
| 5 | x 3 | | | 4 | x 3 | |
Indicar la suma de estos. c) 5
6
8 x
b) [-2; 2] d) [-4; -2] [2; 4]
Resolver : x
Hallar los valores de "x" en :
b) 0 e) 4
x 2 16
c) -3
x 3 5 x 2 x | 3 x 15 | | 4 x 20 | 0
a) -2 d) 6
c) 0
64 1
Luego de resolver :
a) 7 d) 10
c) 3
Hallar el único valor entero que verifica la ecuación :
d)
Una solución de : | 2x+ 3| = | x - 1| es :
a)
c) 35
x 8 x 7 1
a) 2
90.
b) 8 e) 1
5
Luego de resolver :
Resolver : | 2x + 3| = 6, e indicar la suma de soluciones. a) 0 d) 4
c) { 2 ; 3 }
| x 1| | x 2 x | | x 3 x 2 | | x 4 x 3 | ... | x n 1 x n | 0
d) x [ 2 ; 9
e) x [ 2 ; 7
6x 2 3
¿Para cuántos valores se verifica la ecuación mostrada?
b) x [ 2 ; 3
c) x [ 2 ; 4
85.
d) R
a) 1 d) 4
a) x [ 2 ;1
84.
88.
Resolver :
| x 3| | 4 x | x 1 x 2 x 2 x 1 | x 4 | | 3 x |
83.
b) { 2 ; 3}
a) 7 d) 14
b) [1 ; 2
c) [1 ;1]
82.
a) { 1 ; 2 }
El conjunto solución de la inecuación : 2
81.
x 2 x 3 x 2 5x 4 4
,
se obtiene un conjunto solución de la forma : [a; b]. Hallar : a + b. a) 2 d) 5
Hallar el conjunto solución de la ecuación mostrada :
a) R
b) R
d) [ 2 ; { 5}
1 x
2 c) R - { 0} e) R
153
Álgebra 93.
Resolver :
5
2x 1
94.
a) ;1
b)
d) [ 3 ;
e)
1 11 ; ] 2 7
2
entonces :
;5
c) 3 ;
| mx ab | | x | | m b | | b | | x a | b) R
d) Ro
95.
c) R
e) Ro
Resolver :
e indicar el número de valores enteros de "x". a) 4010 d) 2006 96.
b) 4009 e) 2001
e) 0 ;
x2 | x| 1 x3 1
a) [ 1 ;1
c) ; 6
a) 2 ; 4
b) 0 ; 4
d) 1 ; 4
e) 2 ; 5
103. Resolver :
b) ;
b) Ro
c) [-1; 1]
d) [ 1 ; { 1}
| | x 1| x | x b) [ 0 ; 1
c) 5 ; 0]
e)
d)
e) R - { 1}
7 6
3 4 3 4
1 7 ; 9 6
;
c)
1 7 ; 9 6
e)
3 7 ; 4 6
105. Resolver : 98.
| 2x 3 | | x 8 | 0 | 2x 1| | 7x 8 | Indicando su intervalo solución.
Hallar el máximo de : | x| - | x - 2006| a) -2006 d) 2005
99.
b) 2006 e) 2004
c) 4 ; e) 4 ;
154
c) -2005 a)
4 5
4 5
4 5
; b)
x [ 11 ;1 7 ; 5 ] 5 3
b) x [ 11; 0
Resolver : | 3x - 1| < | 2x - 3| a) ; 2
c) 1 ; 5
104. Resolver : | 3x + 8 | < 9x + 1. a) ;
0
b) 0 < x < 1 d) -1 < x < 0
(x 2)2 | x 2 | 6
d) ; 0]
b) 2 ; 5
Resolver :
a) 5 < x < 10 c) 1 < x < 2 e) -1 < x < 1
a) 1 ; 0]
x 0 | x | 6 e indicar un intervalo solución.
d) 6 ; 97.
c) 4011
Resolver :
a) [ 6 ; 0
| xy 1| y 1006
hallar la variación de "x", si "y" toma su mínimo valor entero.
102. Resolver :
| 2x | | x 2006 | | x 2006 |
b) | y| < x d) | y| x
a) x + | y| < 0 c) | x| | y| > 0 e) | y| | x| < | 101. Al resolver :
Si : a, b, m R. Resolver para "x".
a) R
y
| y | 3 6 27
x2
e indicar un intervalo solución.
1
| x| 3 3 4 2 ,
100. Si :
1
4 5
d) 2 ;
;4 4 5
c)
x [ 11 ;1 7 ; 5 ] 5 3
d) x [ 11; 0 e)
7 ; 5] 4 2
7 ; 5] 5 3
x [1 ; 7 5 ; ] 5 3
TRILCE 113. Dados los conjuntos de números reales :
106. Dados los conjuntos :
A { x R / | x 2 | | x 1| }
B { x R / | x 4 | | x 2 | | x 3 | }
entonces : A B es igual a : a) 1 ; 9
b) 1 ;
d) 1 ;
e) 1 ; 2 2
c) 1 ; 2
107. Al resolver :
x x | x | 1 0 , podemos afirmar : 2
a) x = { -1} c) x > 0
b) x = { 0; 1} d) x < 0
e) x
| x|
x 2006 a) ; 2006 { 0} c) R - { 2006} e) R 109. Resolver :
0
a) R
b) 0 ; 1
d) ; 1
e)
c) 0 ;
1 2
1 ;1 2
114. Dadas las inecuaciones :
| x| y 1 x y 1
Hallar el conjunto de valores de "y", cuando "x" toma su mayor valor entero.
c) ;1
b) ; 2006
d) R { 2006}
| x 4 10 | | x 2 | 2 8 x 2 b) ; 0
a) [ 2 ;
d) ; 1 e) [1 ;
c) 0 ;
| 7 x 1 | | 3 x 1| | 2 4 x |
a) 0 ;1 d) Ro
b) [0; 1]
c) R
| | 2 - x| -3| < 1 a) 2 ; 0
d) 3 ; 0
b) [ 4 ; 6
e) 4 ; 7
d) ; 1 1 ; 2
e) ; 2 2 ; 4 115. Si : | x | 3 , entonces : 1 1 a a6 4x
Luego, de "a", se puede afirmar :
a) a < 1
b) a <
1 2
d) a 1
e) a
1 4
c) [ 2 ; 0
c) a 1
116. Resolver : | x 2 3 | x 2 x
; 3
3
b) ; 3
3
a)
e) R
111. Resolver e indicar un intervalo solución de :
a) [0; 5] d) [-8; 2]
Entonces : S T , es :
b) 1 ; 1
e indicar un intervalo solución.
112. Resolver :
T { q R /| aq b | | a b aq | ; 2b a 0}
a) ; 0
108. Resolver :
110. Resolver :
S { p R / 2p 3 6 p}
2 2
; ;1
c)
; 3 1 ;
e)
3 ;
d) 3 ;
3 2
1;
| | x 1| x 2 | x 2 3 b) [-6; 1] e) [-2; 4]
c) [-8; 4]
155
Álgebra 117. Resolver la desigualdad :
| x 4 | | 2x 6 | 10
119. Dadas las desigualdades : 3
Dar como respuesta la suma entre el mayor valor entero negativo y el menor entero positivo que verifica la desigualdad. a) 5 d) 2
b) 4 e) 3
c) 1
118. Si el conjunto :
A { x R / x 2 1 | x 1| 0} ,
x 2 y 2 2 (x 2) 0
(y 3)| 1 | axy | | 0 ; a 0 Luego, podemos afirmar que "xy" es :
a) Menor que 2. c) Menor que 2. e) Menor que 1. 120. Resolver :
1
entonces, el conjunto R-A está dado por : a)
d) 2 ;1
b) [ 2 ; 2] e) [ 2 ;1]
c) 2 ; 2
b) Menor que 0. d) Menor que 1.
2
e indicar un intervalo solución. a) 1 ; 2]
b) [ 2 ; 1
3 3 d) ; ] e) [ , 2] 2 2
156
1
| x | 1
3 c) [ ; 2
TRILCE
Claves 0 1.
-
31.
-
61.
c
91.
d
0 2.
a
32.
-
62.
-
92.
c
0 3.
b
33.
b
63.
b
93.
d
0 4.
-
34.
d
64.
d
94.
c
0 5.
c
35.
-
65.
a
95.
c
0 6.
e
36.
e
66.
a
96.
d
0 7.
a
37.
e
67.
d
97.
d
0 8.
a
38.
-
68.
b
98.
b
0 9.
c
39.
-
69.
d
99.
d
1 0.
-
40.
a
70.
c
100.
b
1 1.
a
41.
-
71.
a
101.
b
1 2.
e
42.
b
72.
c
102.
b
1 3.
a
43.
d
73.
e
103.
a
1 4.
d
44.
d
74,
d
104.
d
1 5.
d
45.
d
75.
a
105.
a
1 6.
b
46.
a
76,
d
106.
a
1 7.
e
47.
c
77.
b
107.
e
1 8.
a
48.
a
78.
d
108.
a
1 9.
c
49.
a
79.
c
109.
e
2 0.
e
50.
b
80.
b
110.
e
2 1.
b
51.
a
81.
c
111
a
2 2.
d
52.
d
82.
c
112.
e
2 3.
c
53.
d
83.
b
113.
e
2 4.
b
54.
c
84.
b
114.
b
2 5.
b
55.
e
85.
d
115.
d
2 6.
d
56.
b
86.
d
116.
b
2 7.
b
57.
d
87.
d
117.
b
2 8.
d
58.
a
88.
e
118.
d
2 9.
e
59.
e
89.
e
119.
d
3 0.
b
60.
c
90.
e
120.
e
157
Álgebra
158
TRILCE
C ap ít ulo
15 RELACIONES 1 . D efiniciones Previas 1 .1 . Par ordenado : Es un conjunto de dos elementos considerados en un determinado orden. Si los elementos del par ordenado son "a" y "b", al conjunto se le denota por (a; b) y se define de la manera siguiente : (a; b) = { { a} ; { a; b} }
Donde : a = primera componente del par b = segunda componente del par
Propiedades : I. II.
(a; b) (b; a); a b
(a; b) = (c; d) a = c b = d
1 .2 . Producto Cartesiano : Dados los conjuntos no vacíos A y B, el producto cartesiano de A por B (en ese orden), se denota así A B y se define de la siguiente manera : A B { (a; b) / a A b B}
Donde : A = conjunto de partida B = conjunto de llegada
Ejemplo : Dados los conjuntos : A = { 1; 2; 3} B = { -1; 2} Determinar : A B B A
Resolución :
Para , A B , tenemos :
A B { 1; 2 ; 3} { 1; 2}
A B = { (1; -1), (1; 2), (2; -1), (2; 2), (3; -1), (3; 2)} Para B A , tenemos : B A { 1 ; 2} { 1 ; 2; 3}
B A = { (-1; 2), (-1; 2), (-1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3)}
FUNCIONES
Propiedades : I. El producto cartesiano no es conmutativo :
A B B A
II. El número de elementos A B es igual al número de elementos de B A y se obtiene según la fórmula : n (A B) n (B A) n(A ). n(B)
2 . Relación Binaria 2 .1 . D efinición : Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se dice que R es una relación de A en B (en ese orden), si y sólo si, R es un subconjunto de A B , es decir : R AB R { (a ; b) / a B b B a R b}
Donde : a R b, indica la relación que existe entre los componentes "a" y "b".
Ejemplo : Dados los conjuntos : A = { 1; 2; 4} B = { 2; 3} Determinar la relación de R de A en B definida de la manera siguiente :
R { (a ; b) / a A b B a b}
Resolución : Hallar el producto cartesiano de A por B. A B = { 1; 2; 4} { 2; 3}
A B = { (1; 2), (1; 3), (2; 2), (2; 3), (4; 2), (4; 3)} observar que los elementos de R son todos los pares (a; b) A B / a b . Luego, tenemos : R = { (1; 2), (1; 3), (2; 3)}
2 .2 . Relación en A : Dado el conjunto no vacío A, se dice que R es una relación en A, si y solamente si, R A A .
159
Álgebra 2 .3 . Clases de Relación :
Sea R una relación en A ( R A B ), luego R podrá ser :
I. Reflexiva
a A (a ; a) R
II. Simétrica
(a ; b) R (b ; a) R
III. Transitiva
(a ; b) R (b ; c) R (a ; c) R
I V. D e equivalencia Siempre y cuando sea a la vez reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo : Dado el conjunto A = { 1; 2; 3}
FUNCIONES 1 . D efinición : Dada una relación F de A en B (F A B ) , se dice que F es una función de A en B si y sólo si para cada x A existe a lo más un elemento y B , tal que el par (x ; y) F , es decir, que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente.
Ejemplo : ¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones,
R1 { (2 ;1), (0 ; 3), (1 ; 7)}
R2 { (3 ; 0), (4 ; 0) , (5 ;1)}
R3 { (5 ;1),(4; 1),(4; 2)}
son funciones?
Resolución : De acuerdo con la definición, se observa que:
Se define una relación en A de la manera siguiente : R = { (1; 1), (1; 2), (2; 2), (3; 3), (2; 1)}
R2 es función
¿R es una relación de equivalencia?
R3 no es función, ¿por qué?
Resolución : Si R es una relación de equivalencia, deberá ser reflexiva, simétrica y transitiva a la vez. Reflexiva a R (a ; a) R 1 A (1; 1) R 2 A (2; 2) R 3 A (3; 3) R
¡Correcto! ¡Correcto! ¡Correcto!
Evidentemente, R es reflexiva.
Simétrica (a ; b) R (b ; a) R
(1 ; 2) R (2 ;1) R
¡Correcto!
R1 es función
Porque
(4 ; 1) R3 (4 ; 2) R3 ,
siendo
pares
ordenados distintos.
1 .1 . Propiedad Siendo F una función, se verifica lo siguiente : (x ; y) F (x ; z) F y z
2 . D ominio y Rango de una función F 2 .1 . D ominio de F = D om(F) (D F ) denominado también pre imagen, es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenece al conjunto de partida. 2 .2 . Rango de F = Ran(F)
Transitiva (a ; b) R (b ; c) R (a ; c) R
(RF ) denominado también imagen, recorrido o contra dominio, es el conjunto de segundos elementos de la correspondencia que pertenece al conjunto de llegada.
(1 ; 2) R (2 ; 2) R (1 ; 2) R ¡Correcto!
Ejemplo : Dada la relación funcional representada por el diagrama digital.
Evidentemente, R es simétrica. (1 ;1) R (1 ; 2) R (1 ; 2) R ¡Correcto!
(1 ; 2) R (2 ; 1) R (1 ;1) R ¡Correcto!
Evidentemente, R es transitiva. R es una relación de equivalencia.
A
A
1 2 3 4
0 -1 2 4
Determinar la función, indicando su dominio y rango.
160
TRILCE 1 .1 . Teorema Toda recta vertical, trazada a la gráfica de una función, la corta sólo en un punto.
Resolución : Del diagrama, se tiene : F = { (1; 2), (3; 0), (4; 2)}
Fig. (1)
y
F
De donde es evidente que :
DF = { 1; 3; 4} RF = { 2; 0} 2 .3 . Propiedad : Sea F una función de A en B, luego se denota por: F : A B y se cumple lo siguiente : D F A RF B
x
F corresponde a la gráfica de una función. y
Fig. (2)
H
3 . Aplicación 3 .1 . D efinición Dada una función F de A en B, F : A B . Se dice que F es una aplicación, si y sólo si, su dominio es igual al conjunto de partida.
F es aplicación
DF = A
FUNCIÓN REAL D E VARIABLE REAL 1 . D efinición :
Dada una función F de A en B, F : A B , si A y B son subconjuntos de los números reales R, se afirmará que F es una función real de variable real.
F : A B,A R B R Debido a ello, F tendrá una representación gráfica en el plano cartesiano (x.y), la cual viene dada por un conjunto de puntos generados al establecer la relación de correspondencia entre la variable independiente "x" y su imagen la variable dependiente "y", es decir : F { (x ; y) R2 / x D F y F(x)}
la igualdad mostrada : y = F(x) expresa la regla de correspondencia de la función real F.
x
H no corresponde a la gráfica de una función.
1 .2 . Criterios para determinar el dominio y el rango I. Para el D ominio : Se despeja la variable "y", para luego analizar la existencia de su equivalente. II. Para el Rango : Se despeja la variable "x", para luego analizar la existencia de su equivalente. A veces, el rango se determina a partir del dominio.
Observación : Frecuentemente, para determinar dominios y rangos es necesario reconocer la existencia de las expresiones dadas dentro del conjunto de los números reales, así pues, tenemos : Ejemplo : Determinar el dominio y el rango de la función F, donde : * *
A R B 0 B A R A 0
Ejemplo : Determinar el dominio y el rango de la función F, donde :
F : R R / y F(x) 2x 1 x3
161
Álgebra Resolución :
Ejemplo :
De acuerdo con los criterios para el dominio : y 2x 1 x3 y R x 3 0
Dadas las funciones :
x R { 3} DF R { 3}
x 3
y 2x 1 x3 xy - 3y = 2x + 1 xy - 2x = 3y + 1 (y - 2)x = 3y + 1
I. Para F : y x x2
y R x 2 0
x 0 x R { 0}
x R y 2 0
DF R { 0}
y 2
RF R { 2}
1 II. Para G : y x y R x 0
Ejemplo : Determinar el rango de la función, la cual viene dada por : F R R / y F(x ) 2x 3 ; x 5 ;10]
Resolución :
de donde tenemos : 5 x 10 multiplicando por 2 sumando -3
10 2x 20 7 2x 3 17 7 y 17 y 7 ; 17]
observar que : RF 7 ;17]
2 . Igualdad de Funciones 2 .1 . D efinición Dadas las funciones F y G, tal que : F : R R / y F(x )
G : R R / y G(x )
se dice que éstas son iguales : F = G, si y solo si verifican simultáneamente las condiciones :
II. F(x ) G(x ) ; x D F D G
162
x 0 x R { 0}
DG R { 0}
Observar que : D F DG .
II. Regla de correspondencia para F.
Observar que el rango se puede encontrar a partir del dominio, pues con x 5 ;10] bastará deter-minar la extensión de : y = 2x - 3. Veamos : x 5 ;10] Por condición :
I. DF DG
G : R R / y G(x) 1 x ¿son iguales?
De acuerdo con la definición, veamos si se verifican las condiciones :
3y 1 y2
y R { 2}
x x2
Resolución :
para el rango :
x
F : R R / y F(x )
F : y F(x )
x x2
como x 0 : F(x) =
1 x Regla de correspondencia para G. G : y G(x ) 1 x Observar que : F(x) = G(x).
F G son iguales
TRILCE 1 .4 . Función Valor Absoluto
1 . FUNCIONES ESPECIALES 1 .1 . Función Lineal
F : y = F(x) = | x|
F : y = F(x) = mx + b
y
x; x 0 y | x | 0 ; x 0 x ; x 0
F
m = pendiente m = Tg
y
x
F
1 -1
DF R FF R 1 .2 . Función Identidad
1
x
DF R RF [ 0 ; 1 .5 . Función Signo
F : y = F(x) = x F : y = F(x) = Sgn(x)
y F
45º x
1 ; x 0 y Sgn(x) 0 ; x 0 1; x 0 y
DF R FF R 1 .3 . Función Constante
1
F
x -1
F : y = F(x) = k; k R
DF R RF { 1, 0 , 1}
y
1 .6 . Función Escalón Unitario k
F
x
DF R RF { k}
F : y = F(x) = u(x)
0 ; x 0 y u(x) 1 ; x 0 y F
x
DF R RF { 0 ; 1} 163
Álgebra 1 .7 . Función Máximo Entero
1.10. Función Raíz Cuadrada :
F : y F(x) [[ x ]]
F : y F(x)
D efinición : Dado el número real "x", el máximo entero de "x" es la relación funcional denotada por [[ x ]] y definida como el mayor entero menor o igual que "x", veamos algunos ejemplos : *
*
y F
[[ 3 ; 15]] 3 ¿por qué?
Porque 3 3 ;15
x
[[ 4 ]] 4 ¿por qué?
DF [ 0 ; RF [0 ;
Por que 4 4
1.11. Función Raíz Cúbica
Teorema :
F : y F(x) 3 x
[[ x ]] y y x y 1 ; y Z
y
y F
3
F
2
-3 -2
-1
x
1
-1
1
2
3
-2
x
DF R RF R 1.12. Función Inverso Multiplicativo
-3
F : y F(x ) 1 x
DF R RF R 1 .8 . Función Cuadrática Simple :
y F
F : y F(x) x 2
y
x
F
x
D F R RF [ 0 ; 1 .9 . Función Cúbica Simple :
F : y F(x) x
y
3
DF R { 0} RF R { 0} 2 . D ESPLAZAMIENTOS Y GIROS D E LA GRÁFICA D E UNA FUNCIÓN Conociendo la gráfica de la función F, donde: F : y = F(x)
y F
x
DF R RF R 164
x
x
y considerando un número positivo "h", tenemos :
TRILCE 2 .4 . Giro con respecto al eje "y"
2 .1 . D esplazamiento H orizontal
y y
y
F(x+ h)
F(x-h)
x
"h" unidades hacia la izquierda
F(-x)
x
x
"h" unidades hacia la derecha
El eje "y" se comporta como si fuese un espejo.
2 .2 . D esplazamiento Vertical 2 .5 . Giro producido por el valor absoluto y
y
F(x)-h
y
F(x)+ h
| F(x)| x
x
x "h" unidades hacia abajo
"h" unidades hacia arriba
La parte de la gráfica debajo del eje "x", se refleja por encima del mismo.
2 .3 . Giro con respecto al eje "x" y -F(x)
x
El eje "x" se comporta como si fuese un espejo.
165
Álgebra EJERCICIOS PROPUESTOS 01.
Determinar el valor de "m.n", si se cumple que :
06.
¿Cuál o cuáles de las siguientes gráficas representa a una función?
(m+ n; 3) = (9; 2m-n) a) 10 d) 40 02.
b) 20 e) 50
c) 30 x
(I)
B { x Z / x 2 9}
a) 40 d) 25
b) 35 e) 20
c) 30
A = { 1; 2; 3} B = { 2; 4; 6} Determinar por extensión la relación R, de A en B, definida por :
{ (1; { (0; { (1; { (1; { (2;
2), 1), 2), 2), 4),
(2; 4} (2; 4), (3; 5)} (2, 4), (3; 6)} (2; 4), (4; 8)} (1; 6)}
a) Sólo I d) I, III y IV 07.
05.
08.
b) 10 e) 16
c) 12
F = { (2; 6), (3: b), (3; a-b), (d; a)} G = { (4; d+ 1), (4; 6), (; b)} Calcular : F( 2) F(d 2) F(d ) G()
c) 16
a) 2 d) 8 10.
c) Sólo III
b) 4 e) 10
c) 6
Determinar el dominio de la siguiente función :
f(x ) a) [ 5 ; { 2 ; 2} b) 5 ; d) [ 5 ;
166
c) -7
Dadas las funciones :
I. F = { (2; 3), (2; 4), (3; 4)} II. G = { (3; 1), (-1; 4), (4; 3)} III. H = { (-2; 2), (-1; 3), (2; 3), (4; 2)} b) Sólo II e) II y III
b) -6 e) -9
Del problema anterior, dar la suma de elementos del dominio y rango de la función. a) 8 d) 14
09.
¿Cuál o cuáles de los siguientes conjuntos representa a una función?
a) Sólo I d) I y III
c) Sólo I y IV
representa una función.
Calcular el valor de : a+ b+ c+ d+ e+ f+ g. b) 14 e) 20
b) Sólo II y III e) II y IV
F = { (2; 5), (-1; 7); (2; a+ 2b); (3; a-9); (3; 2b)}
Sea el conjunto : A = { 1; 2; 3} y sean las relaciones R, S y T definidas en A; donde R, S y T son reflexiva, simétrica y transitiva, respectivamente; si :
a) 12 d) 18
(IV)
Calcular el valor de "ab", si el conjunto :
a) -5 d) -8
R = { (1; a), (2; 3), (2; b), (3; c)} S = { (1; 3), (e; d)} T = { (1; 2), (2, 3), (f; g}
x
(III)
R = {(x; y) A B/y = 2x} R= R= R= R= R=
y
x
Sean los conjuntos :
a) b) c) d) e)
(II)
y
Calcular el número de elementos que contiene el producto cartesiano A B.
04.
x
Sean los conjuntos :
A { x Z / 12 6 x 18} y
03.
y
y
x 5
x2 4
c) R { 2 ; 2} e) 2 ; 2
TRILCE 11.
Determinar el dominio de la siguiente función :
g(x )
3x 2 5x 1
; 2}
3 5
4
x 3 7x
a) [ 3 ; 7] { 1}
3
d) 3 ; 7 { 1 ;1}
e) R { 1 ;1}
f( x )
4 3x
20.
x5
b) R { 3}
a) R { 3}
14.
3
;
15.
21.
3 x 2
b) [ 3 ; 0
e) ;
co n domi nio en el
a) 14
b)
4 3 2 e) 18
d)
2 3 1 2
5 3 2 2
Determinar el rango de la función F, donde:
F : R R / y F(x ) x 2 4 x 7 ; x 5 ; 4 ]
b) [2; 11]
e) 12 ; 39
c) [3; 39]
Sea la función :
F : R R / y F(x) 16 4 x x 2 ; x [ 8 ; 2
Determinar el rango de dicha función. a) [ 20 ;16
b) 20 ;16]
c) [ 16 ; 20]
c) R { 1}
e) R 6 ;
22.
f(x ) x 2 3
Determinar el rango de la función :
g(x ) x 2 6 x 4
a) ; 5
c) [ 3 ;
d) 16 ; 20
b) [ 5 ;
c) 5 ; 5
d) [ 5 ; 5]
e) ; 5]
Determinar el rango de la función :
f(x ) x 2 31
a) [ 31 ;
d) R17.
b) R e) R { 3}
Hallar el rango de la función :
d) [ 0 ;
16.
e) R { 5}
H (x, y) / y x x 3
a) [ 3 ;
6x x4
d) 12 ; 39]
Indicar el rango de :
a) R { 3} d) R { 0}
Sea : f(x )
a) [12; 39]
c) ; 5 5 ;
4
c) 3 ; 5]
e) [ 3 ; 5 { 2}
c)
Determinar el rango de :
d) [
b) [ 3 ; 5
conjunto Z. Hallar la suma de elementos del rango.
x 1 2
b) [ 3 ; 1 1 ; 7]
c) [ 3 ; 7] { 1 ; 1}
F : R R / y F(x ) 2 x 3 ; x 3 ;11] Deteminar el rango de F(x).
d) Ro
19.
Determinar el dominio de :
Sea la función :
a) 3 ; 5
d) R { 4 ;1}
h(x )
13.
b) R {
3 a) R { 2 ; } 5 3 1 c) R { ; } 2 5 e) R { 2} 12.
4x 1
2x 3
18.
b) ; 31]
d) R { 31}
23. c) R
Determinar el rango de la función F, donde:
F : [ 5 ; 8 [15 ; 30 / y F(x ) 2x 5 a) [10 ; 13
d) [15 ; 30
b) [15 ; 21
e) [ 35 ; 65
Sea la función :
F (x, y) R 2 / y 2 3 x 9
se sabe que su rango es : a ; b] . Hallar : 9b + a. a) 2 d) 0
b) 1 e) 4
c) 3
c) 10 ;13 ]
167
Álgebra 24.
Dada la función :
F(x ) 2x 3x 2 ; x R
30.
donde : Ran(F) [ Calcular "a". a) 6 d) 9 25.
Determinar el rango de la función real de variable real, cuya regla de correspondencia es :
a) [ 1 ; 1]
b) 1 ; 1
e) ; 0 ]
d) [ 0 ;1 ] 26.
a) 2/5 d) 5/3 27.
Luego, calcular : 5 f(5) f(1) f(4 )
2x x2 1
a) 8 d) 2 31.
c) [ 1 ;
b) 2/3 e) 1
x2 1 2x 2 x 2
c) 4
Para la función :
f(x ) x 2 2x 3 | x 10 | | x | ; 2 x 10 .
Tal que : B f (x ) A .
x [ 2 ;10] . Hallar : A + B.
a) 80 d) 106 32.
b) 96 e) 115
G { (x , y) R2 / y 5 x 3 x } b) y [ 0 ; 4]
a) y [ 2 ; 4]
Sea la función : f : R R / f(x ) A
c) y R
A Q , llamada función constante.
c) 103
Hallar el rango de :
c) 5/2
Se sabe que : f (2005) f(1003) 12 .
b) 6 e) -10
"A" es el menor valor real y "B" es el mayor valor real.
Determinar el menor valor que asume la función real de variable real cuya regla de correspondencia es :
y F(x)
; redefina la función en los
; 3 , [ 3 ; 0 y [ 0 ;
c) 8
y F(x )
| 3 t | | t | 3
t intervalos de :
a ; a 1
b) 7 e) 10
Dada la función : f (t )
2
d) y [ 2 2 ; 4]
e) y [ 0 ; 2 2 ]
2
Hallar : E f(k) . 10
33.
Determinar el dominio de la función F, donde : F : R R / y F(x )
k 1
a) 40 d) 20 28.
b) 20 e) 40
a) 0 ;
c) 30
Si : a ; b] es el dominio de la función F, definida por:
F ( 2x 1 ; x) R2 / x 0 ;10 ] 2x 3
d) [ 0 ; 4
34.
29.
35.
| x 3 | x x , e indicar el número de
c) 9
f(x ) x 6 3 x 4 3x 2 12 ; encontrar su dominio, si
c) 2 ; 2
e) 4 ;1 ]
Hallar : f (2 x 1) f (2 x 2 ) . b) 2x - 1 e) 2x
b) 8 e) 11
Sea la función polinomial : f(x ) : R R
a) [1 ;
si : x [1 ; 3 . 2
168
f(x )
su rango es [ 12 ;16 .
x 2 ; x [0 ; 2 f(x ) 2x 1 ; x [ 2 ; 5
a) 14 2 d) x
e) [ 4 ; 4 ]
Hallar el dominio de :
a) Infinitos d) 10
b) 3a + 6b = 10 d) 6a + 46b = 44
Si tenemos :
c) [ 0 ; 4 ]
valores enteros que posee.
entonces, la relación correcta entre los valores de "a" y "b", es : a) a + 3b = 25 c) 6a + 23b = 25 e) 5a + 6b = 36
b) [ 0 ;
3 2 x
c) -4x
b) 16 ;12 d) 1 ; 4
TRILCE 36.
Dada la función :
F(x )
n
an x n ; n N a 0
41.
Dada la gráfica de F(x) :
I. Dom(F) = R; n impar II. Dom(F) = [-a; a] n par
3
III. F(x) = F(-x); n par
-6
-1 0
Indicar el valor de verdad. a) VVV d) FFV 37.
b) VVF e) FFF
x
4
-2 -5
c) VFV
Indicar lo correcto : a) Dom(F) 5 ; 2] 0; 3] b) Ran(F) [ 5 ; 2 0; 3]
¿Qué conjuntos de pares ordenados son funciones?
A { (t 2 3 ; t) / t R}
B { (t 5 ; t) / t R}
c)
Ran(F) 6 ; 1 0; 4]
e)
Ran(F) 2 ; 0
d) Dom(F) 6 ; 1] [ 0; 4
C { (t 1 ; t) / t R} 2
D { (3 t 2 ; t) / t R} a) Sólo B. d) Todos.
y
42.
b) A y B. e) B y D.
Graficar : F(x) = 3x - 2 y
a)
c) Sólo B.
y
b)
x
x
38.
Calcular el rango de la función :
f(x ) 2x x
Si : D F x [1 ; 9] . a) 1 ; 15
40.
y
e)
Determinar el rango de la función :
F(x ) (| x 5 | 1 x) 5 x
d) R
x
x
d) [ 15 ; 1]
e) 0 ; 15 ]
a) [ 0 ;
y
d)
b) 1 ; 15
c) 15 ;1 ]
39.
y
c)
b) 1 ;
e) ; 4 ]
x
c) ; 0 ]
Sea la función lineal : f : R R cuya regla de correspondencia es :
43.
Graficar la función : F(x ) x 3 2 y
a)
f(x ) | ax 2 3ax a 2 | ax 2 ax 3
indicar los valores del parámetro real "a", que definen completamente la función "f". a) a 0 ; 8 / 5 c) a 8 ;1 5 e) a 8 ; 0 5
b) a 1 ; 5 / 3
x
3
d) a R
x -2
e)
y
d)
-3
x
-3
y
c)
y
b)
-2
2
x
y
2 3
x
169
Álgebra 44.
Graficar : F(x) = x 2 y
a)
47. y
b)
x
2
y
c)
48.
y
d)
-2
a) 8 d) -8
x
2
2
x
Hallar el área de la región formada por las gráficas de las funciones F y G, tales que :
a) 6 u2 d) 12
b) 8 e) 16
y
a)
3 x
y
c) y
y
b)
3
x 2 ; si : x 0 Graficar : F(x ) x ; si : x 0 a)
c) 9
Graficar : F(x ) | x 2 3 |
x
-2
c) -2
F(x) = | x5| y G(x) = 3.
49.
45.
b) 2 e) 5
x
y
e)
Luego de graficar : F(x ) x 2 6 x 14 , se obtiene una parábola cuyo vértice está dado por el par ordenado (a; b). Calcular : a + b.
x
y
d)
3
y
b)
x
x -3
x
x
y
e) y
c)
y
d)
x
x
-3
x
50.
Se tiene la gráfica de la función F(x) :
y
e)
y x
x
46.
Graficar : F(x) = | x - 3| + 2. y
a)
y
b)
3
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a : H(x) = F(x-3) + 3 ?
2
2
x
x
-3
y
a)
y
b)
3 x
y
c)
d)
2 -3
-3
y
c)
2 x
3
x
3
y
y
e) x
170
x
-3
x
x
y
d)
3
e)
3
y
x -3
TRILCE 51.
56.
Obtener la pendiente de :
F(x ) Ax B 2
sabiendo que la gráfica F(x) pasa por el punto (8; 38) y por el punto (0; -2). a) -2 d) 5 52.
b) 4 e) 1
G(x) 2x 2 60 x 1500
Encontrar la ganancia máxima. a) 1945 d) 1960
c) 3
Hallar el área de la región formada por las gráficas de las funciones :
La ganancia de cierta compañía está dada por :
57.
f (x ) x 2 2x 3 y g(x ) 5 x 9
g(x ) 2 b 2
e indicar la suma de coordenadas de uno de ellos.
con el eje de las ordenadas. 9 b3 a
u2
d) ab 53.
b) e)
a) 7 d) 16
2a 9b
c)
3
2b3 9a
58.
9 b3
b) 8 e) 20
y
Dadas las funciones :
f(x ) 2x 2 3 x 4
se elige "p", de manera que sus gráficas tengan un único punto en común. Entonces, las coordenadas (x; y) de dicho punto son :
F(x)= x 2 - 4x - 5
a) (0 ; 0) d) (1 ; 3) 59.
6
x
Determinar el área de la región formada por la función: F(x) = -| x| + 4 y el eje de las abscisas. b) 12 e) 32
d) 16 60.
54.
En la función : f (x ) (x a)2 b . El valor de "x" que hace que la función acepte a 7 como mínimo valor, es 7. Hallar "ab". a) 7 d) 49
55.
c) 28
b) 14 e) 0
c) 14
Graficar :
x ; x 1 F(x ) x 2 ; x 1
a)
y
y
b) x
x
c) 49 c)
y
f(x) 2x 2 12x 1 tiene un máximo o un mínimo. ¿Cuál es su valor? b) Un máximo, 19. d) Un mínimo, 3.
y
d)
La función cuadrática :
a) Un mínimo, 19. c) Un máximo, 3. e) Un máximo, 20.
c) (1 ; 3)
b) (1 ; 1) e) (1 ;3)
a) 8 u2
b) 42 e) 24
c) 15
g(x) 7 x 2 3px p
2a
Hallar el área de la región sombreada :
a) 21 u2 d) 14
c) 1955
Hallar los puntos de intersección de las gráficas de :
f(x ) abx b 2 ; ab 0
a)
b) 1950 e) 1965
1
x
e)
1
x
y
x
171
Álgebra 61.
64.
La gráfica de la función : F(x) = x| x| ; es : a)
Hallar el área del triángulo sombreado, si "L" es una
recta cuya pendiente 3). y
y
b)
y
A
(-1; 15)
x x
c)
y
y
d)
x L
x
a) 15 u2 d) 28
x
e)
y
65.
b) 21 e) 32
c) 24
Calcular el área de la región sombreada limitada por las funciones indicadas. y
x
H(x) = 6 - x - 2
62.
G(x) = 4
Las gráficas corresponden a las funciones:
f(x ) x 2 2x g(x )
1 2 x 2 si la máxima longitud vertical "d" se encuentra en la abscisa "a". Calcular "a".
x
a) 24 d) 16
y
g
66. d
63.
Graficar : F(x ) |
c) 48
x 4|
f
a
a) 1 d) 1/3
b) 32 e) 20
x
b) 3/2 e) 3/4
a)
y
y
b)
c) 2/3
Dada la gráfica de F(x) :
c)
y
y
d)
y
x
-4
x
16
4
x
5
-16
x
16
y
2 -7
-2 7
1
e)
x
4
-1 67.
-5
se cumple :
Dom (F) Ran (F) [ a ; b [ c ; d ]
Calcular : a + b + c + d. a) 0 d) 13
172
b) 1 e) 13
c) 3
x
Indicar la gráfica de la función :
F(x ) x x 2
a)
b)
y
x
y
x
TRILCE c)
y
71.
y
d)
Si "h" es una funció n lineal de pendi ente 3 e intersección con el eje "y" igual a 5, hallar la regla de correspondencia de la función g(x), si:
x
x
g(x) - x = h(1) + h(x+ 1) e)
a) g(x) = 4x + 4 c) g(x) = 4x + 12 e) g(x) = 3x + 12
y
x
72. 68.
b) g(x) = 4x + 16 d) g(x) = 3x + 13
En el siguiente gráfico : y
Hallar el área de la región sombreada :
y
F(x)= x 2 - 2x - 3
(2; 0) x
Hallar la ecuación de la parábola si el punto (3, 2)
5
1 pertenece a ella y su rango es el intervalo [ ; . 4
x
2 b) y x 3 x 2
2 a) x 3x 2 y
2 c) y x 3x 2
a) 36 u2 d) 12 69.
b) 18 e) 25
73.
¿Cuál de los siguientes puntos no está en la gráfica?
1 ; 1) 2 e) (2; 2)
d) (1; 1)
F(x) = (x+ 2)(x-2) y G(x) = (2+ x)(2-x)
1 1 c) ( ; ) 2 3
y
b)
a) 21 d) 12 74.
Graficar : F(x) x 2 2mx m 2 . Si : m < 0. a)
Indicar cuántos puntos de la forma (a; b) donde : a y b Z se encuentran dentro de la zona limitada por las funciones :
x x 1
b) (
a) (0; 0)
70.
2 e) 2x 3 x 2 y
c) 24
y
2 d) 2x 3x 2 y
b) 19 e) 17
c) 14
De la gráfica :
y b y
S a x
x
c)
y
d)
Si el área "S" del rectángulo es máxima, hallar dicha área.
y
a) ab
x x
e)
d)
y
75. x
x
ab 3
b)
ab 2
e)
ab 6
c)
ab 4
Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados y el cuarto vértice sobre la recta de ecuación y = 2x + 8. El área máxima que puede tener el rectángulo es igual a : a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
173
Álgebra 76.
Sea f, una función de proporcionalidad, tal que : f(3) + f(7) = 20. Entonces, el valor del producto : f(21/5) f(5) f(7), es : a) 147 d) 1716
77.
b) 1470 e) 1176
79.
Según el gráfico de "f". y
c) 1170
1
f
Dado el gráfico :
x
-2
Indicar el gráfico : H(x) = f(x) 1.
y V
a)
y
b)
y
1
2
x c)
x
x
2
y
-1
d)
y
1 x
2
Donde :
F(x ) x 2 6 x 8
a) 1 u2 d) 4
b) 2 e) 5
x -1
y
e)
Hallar el área de la región sombreada. (V : vértice de la parábola).
78.
2
1 x
c) 3
-2
Si la gráfica adjunta, representa a : y = f(x)
80.
Dada la función "f" cuya regla de correspondencia es f(x ) x 2 2x a . Entonces, podemos afirmar que los gráficos adjuntos corresponden :
1
I.
II.
f
f
2 x
¿Cuál de las gráficas representa a : y = f(x) ? a)
III.
b)
1
-2 -2
2
c)
-2
2 -1
x
-1
1 -1
174
2
d) -2
e)
f
a) b) c) d) e)
El El El El El
gráfico gráfico gráfico gráfico gráfico
II ocurre cuando a > 1. II ocurre cuando a < 1. III ocurre cuando a = 1. I ocurre cuando a < 1. II ocurre cuando a > 1.
x
TRILCE
Claves 0 1.
b
21.
c
41.
d
61.
b
0 2.
c
22.
b
42.
d
62.
c
0 3.
c
23.
c
43.
e
63.
a
0 4.
b
24.
b
44.
d
64.
c
0 5.
e
25.
a
45.
e
65.
b
0 6.
d
26.
a
46.
d
66.
c
0 7.
c
27.
a
47.
c
67.
b
0 8.
d
28.
d
48.
c
68.
b
0 9.
c
29.
c
49.
a
69.
d
1 0.
a
30.
a
50.
c
70.
d
1 1.
c
31.
d
51.
d
71.
b
1 2.
c
32.
d
52.
e
72.
a
1 3.
b
33.
c
53.
a
73.
e
1 4.
c
34.
d
54.
c
74.
c
1 5.
c
35.
c
55.
b
75.
a
1 6.
a
36.
a
56.
b
76.
e
1 7.
b
37.
e
57.
c
77.
a
1 8.
c
38.
d
58.
d
78.
d
1 9.
c
39.
a
59.
d
79.
d
2 0.
c
40
e
60
d
80.
b
175
Álgebra
176
TRILCE
C ap ít ulo
16
LOGARITM OS EN R
Función Exponencial
Función logarítmica
Siendo "b" un número positivo distinto de la unidad.
Siendo "b" un número positivo distinto de la unidad. F : R R / y F(x) Logb x
F : R R / y F(x) exp b (x ) b x Donde :
Donde : D F R RF 0 ;
Análisis de la gráfica
Análisis de la gráfica : 1.
D F 0 ; RF R
F : F(x ) b x ; 0 b 1
1.
F : y F(x) Log b x ; 0 b 1
y
y
1
1 x
x
La función es decreciente. La función es decreciente. 2.
F : y F(x ) b x ; b 1
2.
F : y F(x) Log b x ; b 1
y y
1
1
x
x La función es creciente. La función es creciente.
O bservación : La función exponencial es monótona e inyectiva, por lo último se afirma que dicha función admite inversa.
Observación : La función logarítmica es la inversa de la función exponencial y viceversa. Logaritmo (Log) Se define logaritmo de un número "N" en una base "b" positiva y distinta de la unidad, como el exponente " " que debe afectar a dicha base, para obtener una potencia igual al número dado inicialmente.
177
Álgebra Representación
2.
Log bN ........ (1) Donde Log = N = b = =
M, N 0 ; b 0 ; b 1 Log
b
M Log
b
N Log
M ( ) b N
: Operador de la logaritmación Número propuesto / N > 0 Base del logaritmo / b > 0; b 1 Logaritmo / R.
3.
M 0 ; n R ; b 0 ; b 1 Log
b
M
n
n . Log
b
M
D efinición : b N ...... (2) *
Log2 8 x 2 8
*
Log5 x 2 5 x
4.
Log
x
x3
x 25
Log b N
b Log 5 3
*
5
*
12
3
Log12 (x 4 )
1.
N
2.
3.
b 0 ; b 1
Log b b 1
1.
Log7 (10) ¡No existe en R!
178
2.
M, N 0 ; b 0 ; b 1 M Log
(bn )
(b m ) m n
b 0 ; b 1 ; { m , n} R
b 0 ; b 1 ; n R
b
N Log
Sistema de logaritmos naturales : También llamado sistema de logaritmos neperianos o hiperbó li co s. Aquí, la base es el núm ero inconmensurable "e" cuyo valor aproximado es : 2,7182. Log N LnN ; N 0 e
Propiedades operativas :
b
b 0 ; b 1 ; { m, n} R { 0}
Un sistema de logaritmos se genera al asumir el parámetro "b" un valor determinado, como : b > 0; b 1, es fácil apreciar que existen infinitos sistemas de logaritmos, siendo los usuales los siguientes :
Log b 1 0
Log
n
Sistema de logaritmos
Observación : En R no existe el logaritmo para números negativos.
1.
M
n Log b b n
Propiedades generales :
2.
bn
Log n (m b ) n ( b) m
x 9
b 0 ; b 1
M Log
Log
5 x 4 5
1.
b
Casos especiales :
2
Teorema : Reemplazando (1) en (2).
*
M 0 ; n R { 0} ; b 0 ; b 1
b
(M . N )
Sistema de logaritmos decimales : También llamado sistema de logaritmos vulgares o Briggs, aquí la base es el número 10. Log
10
N LogN ; N 0
TRILCE Propiedad adicional :
Conversión de Sistemas : 1.
a , b , c R / b 1
D e logaritmo natural a decimal LogN 0 , 4343 . LnN ; N 0
2.
D e logaritmo decimal a natural Ln N = 2,3026 . LogN ; N > 0
a *
5
Log7 12
Log bc
12
c
Log ba
Log7 5
Ecuaciones logarítimicas
Cambio de base
Analizaremos cada uno de los casos frecuentes, veamos :
Dado un logaritmo en base "b", se le podrá representar en base "m", según la relación.
Primer caso : se cumple :
Log
b
N
Log
m
Log
Donde : N 0 { m , b} R
N
m
b
{ 1}
Log b x a
x 0 b 0 ; b 1
se plantea : b a x
Log b x Log b y
Segundo caso :
se cumple : x 0 y 0 b 0 ; b 1 se plantea : x = y
*
Log3 12 en base 5, será :
Log3 12
Tercer daso : b x a
Log5 12
se cumple :
Log5 3
se plantea :
Caso especial : { a , b} R { 1}
Log
*
b
a
a
b
1 Log7 18 Log18 7
Regla de la cadena : Verificando la existencia de cada uno de los factores en el conjunto R, se cumple :
Log
*
a . Log c . Log d . Log e Log e b a c d b
Log 2 5 . Log 5 7 . Log 7 8 Log 2 8
Log 2 23 3Log 2 2
3 .1 3
Log b b x Log b a
x . Log b b Log b a
x Log ba
1 Log
a0 b0
Inecuaciones exponentes Analizaremos cada uno de los casos existentes, veamos :
Primer caso : Siendo, 0 < b < 1. bx by x y
bx by x y
Segundo caso : Siendo, b > 1. bx by x y
bx by x y
I necuaciones logarítmicas Analizaremos cada uno de los casos existentes, veamos :
Primer caso : Siendo, 0 < b < 1 x > 0 y > 0
Log b x Log b y x y
Log b x Log b y x y
179
Álgebra Segundo caso :
Antilogaritmo (Antilog)
Log b x Log b y x y
N R b 0 b 1 , se define el logaritmo del número "N" en
Siendo, b 1 x 0 y 0
También llamado exponencial, considerando que :
Log b x Log b y x y
la base "b", de la manera siguiente:
Cologaritmo (Colog)
Anti log
b
N exp
b
N b
Teniendo en cuenta que :
N 0 b 0 , b 1
*
Se define el cologaritmo del número "N" en la base "b", de la manera siguiente :
*
Co log
*
b
N Log
b
N Log
Co log125 25 Log125 25
Log
(5 3 )
2 3
180
1 ( ) b N
exp 3 (2) 32 1 9
Relación entre Operadores :
Teniendo en cuenta que { x; b} R / b 1 ; se cumple : 1.
2
(5 )
Antilog 2 4 24 16
2. 3. 4.
Antilogb (Logb x) x
Antilog b (C o log b x ) x 1
Log b ( Anti logb x ) x
Co log b ( Antilog b x) x
N
TRILCE EJERCICIOS PROPUESTOS 01.
Hallar :
M Log
a) 11 d) 13 02.
2
16 Log
27
9 Log
b) 121/12 e) 10
08. 3 5
25
1 E 2 Log3 5
c) 125/12 a) 2 d) 1/5
Si :
a * b a2 b2
a% b Log 2 (a b)
09.
Calcular : E (5 * 3)
(3 a 2 %2 a 2 )
03.
Calcular :
a) 8a
4 b) a
16 d) a
2 e) 4 a
.
b) 5 e) 1/10
Calcular :
10.
Log (
p2 q2 2
Anti logc Anti loga b ab ; a , b , c R { 1} , E Co logc a Cologc b
a) 0
04.
b) 0 e) 4
b e) a
d)
ab b) ab
1a ab
e)
a 1 ab
a) 0,5 d) 2
12.
b) 7 e) 3
13.
Log 2 45 3 a) 2 d) 1/2
a) 1/2 d) 4
2
Log3 40 2
Log 4 x
b) 3 e) 6
) 36
c) 4
xLog4 + Log (Log3) = Log(Log81)
c) 1
c) 8
a) 6 d) 5
1
Log5 72 1
64 .
b) 2 e) 6
5(3
El valor de "x" que le verifica es :
Si : a 3 b 3 a b ; ab 1 a b 0 , hallar "x", de :
(a b)
Log 4 3
Dada la ecuación :
c) 3/2
b) -1 e) -1/2
Log ab x
c) -5
Resolver :
a) 2 d) 5
Efectuar :
3
b) 1 e) -1/2
7x
Indicar la suma de los 999 primeros términos de la sucesión :
a) 1/2 d) 5
07.
1 3 Log ( 2 x ) 2 Logx Log ( ) 4
ab c) ab
Log (1 1) ; Log (1 1 ) ; Log (1 1 ) ; ..... 2 3
06.
Hallar "x", de :
Si : Log2 = a; Log3 = b, hallar el logaritmo de 5 en base 6 en términos de "a" y "b".
a) 1
05.
c) 7 11.
c) ab
b) ab
d) -ab a) 22 d) 8
c) -2
Si :
) Logp Logq
Calcular : Logq p Log p q 20 .
c) 1/2
b) 2 e) -1/2
reducir :
Si se cumple:
Ln 25 . Ln 3
E Co log6 Anti log 3 (Log 3 12 1)
a) 1/2 d) 1/4 8 c) a
1 1 Log 9 45
14.
b) 1 e) 4
c) 8
Resolver la ecuación :
x Log (1 2x ) x Log5 Log6
Hallar : a) 0 d) 3
x 1
x 1 b) 1 e) 8
c) 2
181
Álgebra 15.
Hallar "x".
Loga x Log bc
a) ab d) a 16.
24.
b) 1 e) 4
c) 2
25.
19.
e) 100 10
10
5 1
a) 1/3 d) 1/9
x(1Log99x )
b) 3/2 e) 1/27
c)
10
e)
5 1
26.
Log 2 x Log 2 x 2 4 2
a) 4 2
b) 4
d) 8
e) 2
1 3 1 3 1 3
(a 3 b 3)
b)
(3 b a 3 )
d)
1 3 1 3
(a 3 b 3) ( 3 b a 3)
(a 3 b 3)
Si : ak
k 1 k
.
66
a) 3 d) 4
c) 2/3
(
x 64
27.
)
b) 2 e) 2,5
c) 3,5
n n Si : Log a bc x ; Log bac y ,
Log c ab zn , para todo n N .
Calcular el valor de :
E
c) 16
1 1 1 1 n n n n n x 1 y 1 z 1
Calcular el logaritmo en base 16 del logaritmo de
a) -1/4 d) 1/2
b) 4 e) -8
a) 2n
28.
Calcular :
a) 9 d) 18
b) 12 e) 13
d)
c) -4
1 9Log8 Log4 3 2 3
182
e) 2
4
2 2 en base 8.
22.
c) abc
b
donde : b 10 7 .
3
Señalar el producto de las tres raíces de : x
21.
10
ac
Calcular : Log ba1 Logb a 2 ... Log ba99 ,
Hallar "x", en :
99
20.
c)
Log c b . Log b a 2c 2
Si : 10a 27 ; 10b 15 , hallar : Log2, en términos
a)
1 Log x Log2 x 1
d)
b)
2
Log ca 1
de "a" y "b".
Hallar la mayor solución :
3
1
d) 1 -2
c) 15
Si : a > b > c > 1, reducir :
a)
= 10
b)
b) 45 e) 9
c) 6
(Log x)
a) 10 10
.
E
Resolver la ecuación :
a) 0 d) 3
59
a) 27 d) 25
9 Log8 x 2Logx 8 9 b) 8 e) 10
Si : a b (Log3 a)(Log3 b) ; a 0 b 0 ,
hallar : E 3
c) ac
Dar la suma de soluciones de :
Co log Antilog x Log Logx
18.
23.
1 Logca
b) bc e) b
a) 10 d) 12 17.
Log b xLogc xLoga c
1 n
e)
n 2
Resolver :
4
c) 15
2 c) n
b) n
Log
y Log ( ) x x y .y x
z
Si : 3Logy = 6Logx = 2Logz, indicar : xyz. a) 4 d) 1
b) 16 e) 0
c) 64
TRILCE 29.
36.
Resolver : Log 5 (Log 4 x ) Log5 x
x a) 1 d) 27 30.
xx
Si
Co log 2 3
b) 243 e) 81
Log (
c) 9
a)
x 10 , calcular :
31.
b) 3 e) 0
38.
Log b x a Log 8 x ab 4 b
b)
ab
2
d)
b
8
e)
ab
8
c)
a
39.
6
10
3
Log 2 6
8
34.
b) 2 e) 5
Log
40. x
x
c) 3 41.
Resolver :
Log x (3 x Indicar : x
Log 5 x
a) 1 d) 4 35.
Log 5 x
Calcular
x
Log 2 x Logx 2
a) 5
5
e)
42.
5
5
2 c) 8
Indicar el producto de todas las soluciones de :
b) -9 e) -171/10
Ln (x 2 8) Ln (2 x )
c) 72
Resolver : x Logx 9 . Indicar la mayor solución : a) 1
b) 1000
d) 100
e) 10
Resolver :
c) 10 9
Log 9
Log (1 x 2 1 ) 0
a)
1 ; 1
c)
; 1 1 ;
Resolver :
Log Log5x c)
5
b) 4 e) 1/2
1
e) { 1 ; 1}
x , si :
b) 7
d) [1; 1]
c) 3
Log 5 x
c) 24
b) ; 1] [1 ;
.
Log7 5Log7
d)
4) 2Log5 x
b) 2 e) 0
a
Indicar una solución de :
a) -76/5 d) 24
El valor de "x" es : a) 1 d) 4
a a
5 a
Log (x 2 8 ) . Log (2 x )
Si : Logx
c)
a
Log 2 x 3
Resolver para "x" :
2
3 a
b) 12 e) 10
a) 1 d) 16
b
10
) Log 2a Loga 2
Log Log(x - 5) + Log2 = Log Log(x + 1)
c) 7
a)
1
x
Dar la suma de soluciones de la ecuación logarítmica:
a) 11 d) 8
b) 6 e) 9
Log 2 3
e)
a
2
33.
b)
a
c) 2
Log 3 9 Log 3 9 2 Log 3 9 3 ... Log 3 9 n Log 3 9 28
32.
37.
Hallar el valor de "n", si :
a) 5 d) 8
2 2
d)
M Log Log x Log Log x LogLog x Log x
a) 4 d) 1
Hallar "x" :
7
Log3 (Log 1 (x 2)) 0 2
a) 2 ; 5
d) 2 ; 4
b) 2 ;
5 2 5 e) 1 ; 2
c) 1 ; 2
183
Álgebra 43.
Resolver :
3 (9 x ) 10(3x ) 3 0
a) x [ 1 ;1]
d) x 0 ; 1
e)
Resolver :
27 x 1 9 x 1 3x 1 3x
a) ; 1]
d) 0 ;1 50.
a) [ 3 ; 2]
Log
b) [ 2 ;
25 x 2
c)
51.
Resolver :
4 x x 2 5 3
a)
x [ 1 ; 5]
c)
x R [ 1 ; 5]
e)
xR
( 2)
b x b6 x ..... (2) 2
48.
Resolver :
a) 1 ;
d) [ 2 ;
184
52. b) x 0 ; 4
d) x 1 ; 1
Log x (x 2 x ) 1
b) [1 ; e) 0 ; 2]
4
) 1
; 4]
[4 ; 11
funció n
cuya
1x 1x
regla
)
1 ab
ab
)
b) F (
a b
1 ab
1a
)
d) F (
ab
ab
)
e) F (
..... (1)
e) x 0 ; 5
11
4 x 11
E = F(a) + F(b)
a > 1; 0 < b < 1, resolver el sistema adjunto :
a) x 1 ; 2
2x 2 4 x 6
Si se d efine una correspondencia es :
a) F (
c) x 2 ; 3
(
Hallar el equivalente de :
Si :
a a
4
[ 2 ; 4] {
c) F ( 3 x 8
c) 1 ; 2]
F(x ) Log (
d) x { 1 ; 5}
x
11
x 2 4 x 5 2
b) x R 1 ; 5
47.
) 1
x 4
} 4 11 d) [ 2 ; 4 ] { } 4 11 e) [ 2 ; { } 4
d) [ 2 ; 3]
e) [ 2 ; 2]
1 2
b) [ 3 ; 3 ]
c) [ 3 ; 2]
x2 x 6
Resolver :
Resolver :
1 5
(
e) 3 ;
a) ; 2] x 2 3
x
b) [ 5 ;
d) [ 1 ; 1]
e) [ 1 ; 2]
46.
a) 1 ; 4]
b) [ 2 ;1]
c) ; 2]
45.
Resolver :
Log
b) x 1 ; 1
c) x R
44.
49.
c) 1 ; 2]
2
1 ab
ab 2 ab
)
)
Obtener el dominio de la función definida por : x 1 )) f (x ) Ln (Ln ( x 1 a) e ;1
c) 1 ; e) 1 ; 1 e
b) ; 1
d) 1 ; 1
de
TRILCE 53.
56.
Indicar la gráfica de :
F(x ) 3 Log 1 x
Hallar la gráfica de : F(x ) | Log 1 (x 2) 3 |
3
2 y
y y
a)
b)
x
3
x
1
y
a)
b) x
0
y
y
y
c) c)
27
27
d)
x
x
0
d) x
0
x
x
0
y
y
e) 0
1
e)
x
x
57.
La gráfica de cierta función exponencial contiene al 3
punto P ( ; 27 ) . 2
Indicar la base y la regla de la función. 54.
Hallar el rango de la función definida por:
a) b = 3; 3 x
f (x ) Log 1 (x 2 16 )
c) [ 2 ;
58.
Obtener la gráfica de : 2 F (x ) e x 1
Si se grafica :
F : R R / y F(x ) Log 4 x
y
H : R R / y H (x ) Log16 x ,
(0; e)
b)
c)
d
y
d)
(0; e) x
1
a) 1/3 d) 2
x
y
c
c
(0; e)
x
y
d
y
a)
se obtiene :
Calcular :
3 1
e) b = 3; 3 x
d) [ 4 ;
e) [ 2 ;
55.
1
b) ; 2]
1
1 2x ;( ) 3 1 d) b ; ( )2 x 9 9
c) b = 9; 9 x
4
a) ; 4 ]
b) b
16
x
(0; e)
x
e)
. b) 1/2 e) 3
c) 1
185
Álgebra 59.
Hallar la gráfica de la función :
y
y
f(x) = | Ln| x| | -1 c) y
a)
-1
y
e)
d)
x
-1
x
64.
H (x ) 4 Ln Ln[ F[F[ F(x 3]]] siendo : F(x) = x - 1. b) x 1
a) x > 0
65.
x
Log 2 3
1 Log 2 2x
Log 3 x Log 2 x 1
b) 0 ; 3
Log 3 2
c) 0 ;
Log 2 3 ( ) 3 2
e) 0 ;
Log 2 3 ( ) 3 3
d) 0 ;
Log 3 3 ( ) 2 2
2 2 x 1) x x Z Resolver : Ln (e e
(0,64)2 Log 2
a) 2 d) 7
x
66.
b) 3 e) 10
c) 5
En la figura adjunta, se muestra la gráfica de una función "f", definida por :
5 x< 1 3 0 < z< 2 32 0 < z < 1/2 5 1 < x < 1/32
f(x ) Log 2 ( x 3) , entonces, el valor de: T = a + b + c + d, es :
f
Si : A y B denotan respectivamente, los conjuntos
y
(a, b)
4
solución de las desigualdades : (I) Ln (x 2 1) Ln (1 x) (II) x 2 1 1 x
c
a) A = B b) A B c) B A d) A B e) A B ; A B ; B A 63.
a) -24 d) 21
Si "f" es una función definida por :
f(x ) | Log 5 (5 x )| 1 , entonces, la figura que mejor
representa la gráfica de "f" es : y
y
a)
186
x
67.
x
b) -22 e) 22
d
x
c) -21
Resolver :
x Log6 xLog5 Log(1 2x ) ... (1) Log ( x 2 4 x 1 3) 0 ... (2)
a) ; 1]
b) -4
indicando como respuesta el cardinal de su conjunto solución.
Resolver :
(1,25)
62.
c) x e
e) x R
d) x ee
Resolver : a) 0 ; 2
Hallar el campo de definición de :
x> 0< x> x> x>
x
-1
e) N.A.
a) b) c) d) e)
4
4
1
y
c)
61.
x
x x
60.
4 y
b)
1
1
d)
y
c) 1 ; 2 5 ]
e) [ 2 5 ; 1
b) ; 2 5 ] d) [ 2 5 ; ]
TRILCE 68.
Resolver :
70.
Si : | 2a2 4 a 3| 3 , resolver :
Log a
Log0,3 x 1 Log0,3 4 x 2 1 e indicar cuántos valores de "x" la verifican. a) 0 d) 3 69.
b) 1 e) Infinitos
c) 2
a) x > 3/2 d) x > 4
x 3x 3 0
b) x 3/2 e) x < 4
c) x 1
Calcular el área de la superficie que describe el complejo "Z" que satisface :
Log
a) 25 u 2 d) 10
| Z | 2 | Z | 1 2 3 2 | Z |
b) 5 e) 12
c) 1,5
187
Álgebra
Claves
188
01.
e
31. 26.
c
51.
b
02.
c
32. 27.
d
52.
b
03.
a
33. 28.
c
53.
d
04.
d
34. 29.
c
54.
b
05.
e
35. 30.
e
55.
d
06.
c
36. 31.
c
56.
a
07.
d
37. 32.
c
57.
c
08.
a
38. 33.
b
58.
a
09.
c
39. 34.
d
59.
b
10.
e
40. 35.
a
60.
c
11.
a
41. 36.
e
61.
d
12.
c
42. 37.
d
62.
b
13.
b
43. 38.
b
63.
d
14.
a
44. 39.
d
64.
c
15.
c
45. 40.
e
65.
a
16.
c
46. 41.
e
66.
b
17.
c
47. 42.
b
67.
b
18.
c
48. 43.
b
68.
c
19.
c
49. 44.
c
69.
a
20.
b
50. 45.
b
70.
d
21.
a
51. 46.
d
22.
b
52. 47.
b
23.
d
53. 48.
d
24.
a
54. 49.
e
25.
b
55. 50.
b
TRILCE
Capítulo
17 Progresión aritmética (P.A.)
PROGRESIONES
3.
Número de términos (n) n
Es aquella sucesión ordenada en la que cada término, excepto el primero, es igual al término anterior aumentado en un valor constante llamado razón de la progresión.
Representación de una P.A.
4.
a1 . a 2 . a3 . ...... . a n
a n a1 r
Términos equidistantes de los extremos ( a x y ay )
a1 . a1 r . a1 2r . ....... . a1 (n 1) r
a1 . ... . a x . ... . a y . ... . an
Donde :
"m" términos
. a1
= Primer término
an
= Término n-ésimo
n
= número de términos
r
= razón de la P.A.
"m" términos
a x a y a1 an
= Inicio de la P.A. = Separación de términos 5.
Término central ( ac ) Siendo "n" impar, la P.A. admite término central.
ac
Clases de P.A. 1.
Si : r > 0, la P.A. es creciente.
2.
Si : r < 0, la P.A. es decreciente.
6.
Si, r = 0, se dice que la progresión aritmética es trivial.
6.2.
2a (n 1) . r Sn 1 .n 2
Medios Aritméticos
Razón (r) r a 2 a1 a 3 a2 .... an an 1
2.
.n
a an Sn 1 2
Dada la siguiente progresión aritmética,
se cumple :
2
6.1.
Propiedades de una P.A.
a1 . a 2 . a 3 . ...... . an 1 a n
a1 a n
Suma de los "n" primeros términos de una P.A. ( Sn )
Observación :
1.
1
Término n-ésimo ( an )
Son los términos de una P.A. comprendido entre sus extremos, veamos un ejemplo :
3 . 7 . 11. 15 . 19 . 23 . 27 . 31 Medios aritméti cos
an a1 (n 1) r
189
Álgebra Interpolación de Medios Aritméticos
Clases de P.G.
Consiste en formar una P.A., para lo cual se debe conocer los términos extremos y el número de medios que se quiere interpolar.
1. 2. 3.
Sea la progresión aritmética :
Propiedades de una P.G.
.......... ... . b a . ..........
Si : q > 1, la PG. es creciente. Si : 0 < q < 1, la P.G. es decreciente. Si : q < 0, la P.G. es oscilante.
Dada la siguiente progresión geométrica,
t1 : t 2 : t 3 : ...... : t n 1 : t n
Medios aritméti cos
Por fórmula :
a n a1 (n 1) r
Reemplazando :
b = a + (m+ 1)r r ba m 1
se cumple : 1.
Razón (q) q
Fórmula cuyo nombre es razón de interpolación.
Progresión armónica (P. H.)
2.
Es aquella sucesión ordenada, donde ninguno de sus términos es cero y los recíprocos de los mismos forman una progresión aritmética.
t2 t1
t3 t2
....
tn
t n 1
Término n-ésimo ( t n ) t n t1 . q n 1
Si la sucesión :
a1 ; a2 ; a3 ; ...... ; an
3.
Número de términos (n) Teniendo en cuenta que t n , t y q son positivos. 1
es una progresión armónica, se verifica lo siguiente:
n
1 . 1 . 1 . ..... . 1 an a1 a 2 a 3 Progresión geométrica (P.G.)
4.
1
t1 : ... : t x : ... : t y : ... : t n "m" términos
"m" términos
t x . t y t1 . t n
Representación de una P.G.
t1 : t 2 : t 3 : ...... : t n
Log (q)
Tér minos equi di st ant es de l os extr emos ( tx y ty )
Es aquella sucesión ordenada en la cual el primer término es diferente de cero y se caracteriza porque cualquier término, excepto el primero, es igual al término anterior multiplicado por un valor constante llamado razón de la progresión.
Log (t n ) Log (t1 )
5.
t1 : t1q : t 2q 2 : ...... : t1 q n 1
Término Central ( t c ), siendo "n" impar, la P.G. admite término central.
t c t1 . t n
Donde :
= Inicio de la progresión. : = Separación de términos. t1
= Primer término.
tn
= Término n-ésimo.
n
= Número de términos.
q
= Razón de la P.G.
190
6.
Suma de los "n" primeros términos de una P.G. (S ) n
qn 1 ; q 1 Sn t1 . q 1
TRILCE 7.
Suma límite ( S
Lím
Interpolación de medios geométricos
)
Para P.G. de infinitos términos, es decir en caso de que n . SLím 8.
t1
1 q
; 1 q 1
Consiste en formar una P.G., para lo cual se debe conocer los términos extremos y el número de medios que se quiere interpolar. Sea la progresión geométrica :
a : .......... .......... .......... . : b
Producto de los "n" primeros términos de una
" m " medios geométri cos
P.G. ( Pn ) Pn (t1 . t n )c
Medios geométricos Son los términos de una P.G. comprendidos entre sus extremos, veamos un ejemplo :
1 : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 Medios geométri cos
Por fórmula :
t n t 1 q n 1
Reemplazando :
b a . q m 1 q m 1 b a
Fórmula cuyo nombre es razón de interpolación.
191
Álgebra EJERCICIOS PROPUESTOS 01.
En la siguiente P.A. :
: ( 7) . 5 . ( 3)
08.
¿Cuál es el valor de " " ? a) 1 d) 7 02.
S
b) -1 e) F.D.
a) 1 d) 2/9 09.
c) 0
Sea la progresión aritmética a.b.c.d. Si la suma de sus términos es "n" y la razón es "2n".
d) 4n 04.
05.
e) n 2
c) 6 n 2
b) 7 e) 12
b) 1412 e) 1914
Sn n (n 8)
07.
b) 35 e) 41
11.
c) 37
b) 10 c) 2 e) No se puede determinar
b) 77 e) 98
c) 19
c) 87
b) 10 y 34 d) 13 y 37
En una progresión aritmética, los elementos de los lugares j, k y (j+ k), son tales, que la suma de los primeros es igual al último menos 1. Si la suma de los primeros es "x", hallar la razón de la progresión.
(x 2) b) ( j k )
(x 1) c) ( j k 1)
(x 2) d) ( j k 1
(x 2) e) ( j k 1) 14.
c) 6
Una progresión aritmética está formada del 4 al 55. La suma de los 6 primeros números es 69, de los 6 siguientes es 177 y la suma de los 6 últimos es 285. El segundo y el décimo término de la progresión será :
Determinar el término central de una progresión aritmética de 7 términos, sabiendo que la suma de los términos de lugar impar es 77 y los de lugar par 56. a) 21 d) 19
192
b) 15 e) 22
x a) ( j k 1)
En una progresión aritmética, el término de lugar A es B y el término de lugar B es A. Calcular el valor de (A+ B), sabiendo que el segundo término de la progresión es el doble de su sexto término. a) 11 d) 3
b) 4 e) 12
a) 7 y 31 c) 10 y 28 e) 8 y 32 13.
c) 7/9
De los tres primeros términos de una progresión aritmética, el término intermedio es 15 y el producto de los mismos es 2415. Entonces, el término del décimo primer lugar es : a) 76 d) 97
12.
b) 1/9 e) 4/9
El quinto término de una P.A. es igual a 19 y el décimo es 39. ¿Cuántos términos hay que tomar para que su suma sea 465? a) 12 d) 32
c) 1705
Determinar el décimo quinto término de una P.A., si la suma de los primeros "n" términos está determinada por :
a) 33 d) 39
10.
c) 9
En la siguiente P.A. : : 10 . ........ . 76 . ........ . 100 el número de términos comprendidos entre 10 y 76 es el triple del número de términos comprendidos entre 76 y 100. ¿Cuál es la suma de los términos de la P.A.? a) 1031 d) 1836
06.
b) 12n
En una P.A. la diferencia de dos términos es 96 y la diferencia de sus respectivos lugares es 8. La razón de la progresión es : a) 5 d) 10
(x y z)3
Dos cuerpos que se encuentran a la distancia de 153 m uno del otro, se mueven al encuentro mutuo, el primero recorre 10 m/s y el segundo recorrió 3 m el primer segundo, en cada segundo siguiente recorre 5 m más que el segundo anterior. ¿Después de cuántos segundos los cuerpos se encuentran? a) 2 s d) 10
Calcular : E a 2 d 2 . a) 3n 2
x 2 (y z) y 2 ( z x ) z2 (x y )
c) 5
Si la suma de los 6 primeros términos de una P.A. es igual a la suma de los 10 primeros términos, calcular la suma de los 16 primeros términos. a) 1 d) 2
03.
b) 3 e) 8
Si : x, y, z; son elementos consecutivos de una progresión aritmética, simplificar :
b) 15 e) 18
c) 25
TRILCE 15.
Indicar las raíces de la ecuación : x 3 px q 0 , si están en progresión aritmética (p 0).
22.
a) -q; 0; q
b) q ; 0 ;
p q; p; p q
d)
Indicar la razón entre "x" e "y", de tal manera que el medio de lugar "r" entre "x" y "2y" sea el mismo que el medio de lugar "r" entre "2x" e "y". Habiendo "n" medios aritméticos interpolados en cada caso.
a) d)
17.
23.
p ; 0; p
e) 16.
a) 1 d) 4
q
p ; 0; p
c)
1
nr r
n r 1
b) e)
n
n r 1
c)
18.
19.
1
n 1 r
25.
a) 8
b)
d) 16
e) 16 2
.
2
b) 3 e) 11
c) 9
c) 8 2
1/ n
c)
1/ m
c) 243
m 1 b) m 1
1 d) mn
1/ m
1/ m
1/ n
El primer término de una sucesión geométrica es igual a x-2, el tercer término es igual a x+ 6, y la media aritmética de los términos primero y tercero es al segundo término de la sucesión como 5 es a 3. Hallar el sexto término de la sucesión y dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 6 d) 24
27.
c) 3/4
a)
m 1 e) n 1 26.
b) 234 e) 5/9
La suma de los términos de una progresión geométrica decreciente de infinitos términos es "m" veces la suma de sus "n" primeros términos. H allar la razón de la progresión geométrica.
m 1 m
b) 6
Hallar la razón de una P.A. cuyo primer término sea la unidad, tal que los términos de lugares : 2, 10 y 34 formen una P.G. b) 1/3 e) 2/3
b) -1/8 c) -1/16 e) No se puede determinar
La diferencia del tercer término con el sexto término de una P.G. es 26, si su cociente es 27. ¿Cuál es el primer término de la P.G.?
m 1 m
La suma de 3 números positivos en P.A. es 18. Si a estos números, se les suma 2, 4 y 11, respectivamente; los nuevos números forman una P.G. ¿Cuál es el mayor de los números primitivos?
a) 2/5 d) 5/7 21.
b) 6 e) 15
S9 n
S5 n S4 n
c) 3
La suma de los 3 primeros términos de una progresión geométrica es igual a 6 y la suma del segundo, tercero y cuarto términos es igual a -3. Calcular el décimo término.
a) 245 d) 1/9
r
Hallar un número tal que al restarle 8, multiplicarlo por 2 y por 4 se obtienen tres resultados que se encuentran en progresión geométrica.
a) 1 d) 9 20.
24.
n r 1
términos de una P.A., calcular el valor de :
b) 2 e) 7
a) -1/2 d) -1/64
Asumiendo que Skn es la suma de las "kn" primeros
a) 3 d) 12
El primer término de una progresión geométrica es igual a (x - 2), el tercer término es igual a (x + 6), y la media aritmética de los términos primero y tercero es al segundo como 5 es a 3. Determinar el valor de "x".
b) 9 e) 23
c) 18
Tres números enteros están en P.G. Si al último término se le resta 32, se forma una P.A.; pero si al segundo término de esta P.A., se le resta 4 se forma una nueva P.G. Según ello, señale la suma de los tres números enteros. a) 50 d) 72
b) 12 e) 60
c) 62
Si se interpolan 5 medios geométricos entre 8 y 5832. ¿Cuál es el quinto término de la progresión total? a) 1944 d) 2916
b) 648 e) 625
c) 729
193
Álgebra 28.
En una P.G., el primer término es "a", la razón "q"; S 4 la suma de las cuartas potencias de los "n" términos de la progresión. Señale el equivalente de :
35.
4 2 : .......... ..... : a : .......... ....... 128 8 " m " medios
S (q 4 1) 4 2 4n a (q 1)
29.
a) 1/2 d) 3
38.
3
7
15 64
31 256
a) 9/2 d) 9/8
3
3 32
...
39.
c) 7/2
2 33
b) 2/9 e) 7/4
3 34
2 35
3 36
b) a1 8 , a4 64 c)
a1 7 , a 4 56
d) a 10 , a 270 1 4 e) a1 8 , a 4 216
c) 7
c) n 2 3
n
a) n
b)
d) n + 1
e) 2n - 3
2
Dados los términos : a m n A y amn B
de una pro gresió n
...
b)
A
A
m
AB e) AB
c)
Bm
En una P.G. de términos positivos, se observa que cada término es igual a la suma de los dos términos siguientes. ¿Cuál es la razón de la progresión?
a) d)
1 2
b)
5 1 2
e)
2 7
c)
2 5
1 5 2
c) 80/81 40.
La suma de los medios geométricos de una serie de 4 términos es 42 y su diferencia 14. Si la razón es mayor que uno, al calcular el primer y cuarto término se obtiene : a) a1 6 , a 4 48
b) 6 e) 9
En una P.A. de "n" términos, la suma de los (n-1) primeros términos es "n" y la suma de los (n-1) últimos términos es " n 2 ". Hallar la razón de dicha progresión.
d)
Calcular el límite de la suma : 2
En una serie geométrica de números naturales de
a)
16
c) 32
geométrica { a n } . Hallar : a m .
c) 60
b) 8/3 e) 4
S
194
c) ab
Calcular el límite de la suma : 4
2.
razón r > 1, r N, la suma de los no primeros términos es 31, ( n o > 3). Si a o es el primer término de la serie.
a) 4 d) 8 37.
b) 200 e) 15
b) 8 e) 64
4
Calcular : a o n o .
.
Se interpolan cuatro medios geométricos entre 160 y 5. Hallar la suma de los dos últimos términos de la progresión geométrica formada.
a) 9/4 d) 6
34.
.c
p q
c) 2
b) 3ab e) 6K
S 1
33.
r p
En una P.G. no oscilante el término de lugar "6a" es 3 K 2 y el término de lugar "4b" es 12, hallar el término de lugar "3a+ 2b".
a) 240 d) 35 32.
.b
b) 1 e) abc
a) 2abK d) 3K 31.
36.
Si los términos de lugar p; q y r de una P.G. son a, b, c, respectivamente, calcular : a
30.
a) 16 d) 4
b) Primer término d) Segundo término
qr
" 2m " medios
Hallar "a", si la razón de la progresión es
1/ 2
a) 1 c) n e) Término central
En la P.G. :
Se deja caer una pelota desde una altura de 90 m, en cada rebote la pelota se eleva 1/3 de la altura, de la cual cayó la última vez. ¿Qué distancia recorre la pelota hasta quedar en reposo? a) 120 m d) 150
41.
b) 180 e) 140
c) 90
Si : 2 + 14 + 26 + 38 + ..... + x = 816, entonces, el valor de "x" es : a) 110 d) 146
b) 122 e) 158
c) 134
TRILCE 42.
A lo largo de un camino había un número impar de piedras a 10 m una de otra. Se quiso juntar éstas en un lugar donde se encontraba la piedra central. El hombre encargado podía llevar una sola piedra. Empezó por uno de los extremos y los trasladaba sucesivamente. Al recoger todas las piedras, el hombre caminó 3 km. ¿Cuántas piedras había en el camino? a) 17 d) 13
43.
b) 41 e) 25
b) 4/3 e) 18
45.
Tn
b) 4 e) 10
1
a2 a2
1
a3 a 4
1
an 1 an
entonces, la expresión simplificada de Tn en términos de "n", a1 y an , es :
c) 1/2 a)
c) 6
La figura representa a una persona en su "skate" que va a recorrer una rampa semicircular de longitud 180 m de A hasta B, en cada viaje (de un extremo a otro), sólo recorre el 70% de lo recorrido en el viaje anterior. Calcular la distancia total que "barrió" con el skate hasta detenerse en el centro de la rampa.
1
a1 a 2
...
c) 29
Entre 2 y 162, entre 3 y 19683 se han interpolado el mismo número de medios geométricos. Calcular la diferencia de las razones, sabiendo que la razón de la primera es 1/3 de la razón de la segunda. a) 2 d) 8
Los números reales a , a2 , .... an , son positivos y 1 están en progresión aritmética de razón "r". Si :
Dados los números, x, y, z, w; se observa que los tres primeros están en P.A. y los tres últimos en P.G. siendo la suma de los extremos 14 y la suma de los medios 12. Hallar "x". a) 3/4 d) 12
44.
47.
48.
a n a1 n 1
c)
n 1 a n a1
e)
n a n a1
d)
n 1 a n a1
1 n a1 an
Si, en una P.G. de cuatro términos se cumple que la suma del primero con el tercero es 117, además, la suma del cuarto con el segundo es 78. Hallar la diferencia entre el cuarto y segundo término. a) -30 d) -36
49.
b)
b) -54 e) -45
c) -81
En una P.A., el ultimo término es "u", la razón es "r" y sus valores se obtienen al resolver el siguiente sistema:
u 3 r 3 335
A a) 200 d) 900 46.
b) 540 e) 1800
c) 600
De una progresión aritmética, se sabe que:
Sn Tn (n 3)(n 1)
Donde : Sn : suma de los "n" primeros términos.
Tn : término general. Si : "n" es impar, indicar el término central. a) n + 1 d) n + 4
ur 2 u 2 r 70 . Si : r > 0. Si la suma de términos es 16, hallar el número de términos.
B
b) n + 2 e) n + 5
a) 9 d) 12 50.
b) 7 e) 5
c) 4
Una persona nació en la segunda mitad del siglo pasado; un año que goza de la propiedad de que las cuatro cifras son tales que las tres diferencias formadas restando la primera cifra de la segunda, la segunda de la tercera y la tercera de la cuarta estén en P.G. ¿Cuántos años cumplirá el 2006? a) 49 d) 57
b) 54 e) 51
c) 56
c) n + 3
195
Álgebra 51.
Dada la siguiente progresión geométrica,
P. G. a : b : c . Calcular :
56.
E a 2 b 2c2 13 13 13 a b c b) a 4 b 4 c4
a) a + b + c
c) a b c 2
2
e) a 3 b3 c3 52.
a) 9 n d) 9
d) a 4 b 3 c 2
2
Entre 2 y 18 se interpolan, en forma separada a b ; c a c y b c términos, formando tres progresiones b a geométricas diferentes. Hallar el producto de las tres razones geométricas obtenidas. Si : a + b + c = n.
57.
En una P.G. de seis términos decrecientes, se cumple que la suma de los términos extremos es 5 a y el producto de los medios es a2 .
b) 3n e) 3
c)
n
3
Del gráfico, hallar la suma de todas las longitudes de las perpendiculares que se proyectan ilimitadamente a partir del punto "P".
Sen 40 . 41
Calcular la razón. a) 5 d)
5
P
3 5 2 3 5
b)
5
3 5 2
d)
5
3 5
48
e) Hay 2 respuestas 53.
Sean : t12 y S el primer término y la suma límite de 1
a) 10 d) 50
una P.G. decreciente.
Si t es el primer término de una nueva P.G. en la cual 1 la razón es la mitad de la razón de la anterior P.G. El equivalente en la razón entre las sumas límites de la primera y la segunda P.G. expresada en términos de t1 y S es : 1 a) t S 1 1
d) 54.
(t1 S1 ) 2
b) S t 1 1
e)
(t1 S1 )
a1 . a 2 . a 3 .... a n
sabiendo, que la suma de sus términos es "S" y que la suma de sus cuadrados es S2 , su razón "r", será : 1
2 t1 a)
Hallar la ecuación de segundo grado, cuyas raíces y el producto de ellas están en progresión geométrica creciente, además, el producto de sus raíces, la suma de ellas y la mayor de las raíces están en progresión aritmética. 2 b) x 6x 8 0 d) x 2 6 x 10 0
Se tiene 2 progresiones, una aritm ética y o tra geométrica, cuyos primeros términos son iguales e igual a la razón común, sabiendo que la suma de los 8 primeros términos de la progresión aritmética es igual a la suma de los i nfinitos términos de la progresión geométrica. Hallar el noveno término de la progresión aritmética. a) 35/41 d) 35/4
196
t12 S1
b) 35/26 e) 35/36
c) 36/35
c) 30
Dada la progresión aritmética creciente :
2
a) x 2 6x 8 0 c) x 2 6x 8 0 e) x 2 6x 8 0 55.
c)
58.
b) 20 e) 60
b)
c)
d)
e)
n S12 S2
n 2 (n 2 1) 12 (n S12 S2 ) n 2 (n 2 1)
2 (n S12 S2 ) n 2 (n 2 1)
24 (n S12 S2 ) n 2 (n 2 1)
6 (n S12 S2 ) n 2 (n 2 1)
TRILCE 59.
60.
Dadas las relaciones :
Loga x . Log b y . Logc z
x : y : z Calcular el valor que debe tomar el logaritmo de "z" en base "x". a) Log c a c)
Loga (a / b)
e)
1 Loga b
Logc (c / b)
b)
Log (a / b) Log(b / c)
d)
1 Loga
Loga b
Si la expresión :
a (b c) x 2 b(c a)xy c(a b)y 2 es un cuadrado perfecto, entonces, a, b, c; se encuentran formando : a) b) c) d) e)
Progresión Progresión Progresión Progresión Progresión
aritmética. geométrica. armónica. hipergeométrica. aritmética de orden superior.
Logc b 1
197
Álgebra
Claves
198
01.
d
31.
a
02.
c
32.
b
03.
a
33.
d
04.
e
34.
c
05.
c
35.
b
06.
c
36.
c
07.
b
37.
a
08.
d
38.
b
09.
c
39.
d
10.
b
40.
b
11.
c
41.
c
12.
a
42.
e
13.
b
43.
d
14.
d
44.
c
15.
c
45.
c
16.
e
46.
b
17.
c
47.
c
18.
d
48.
a
19.
d
49.
c
20.
b
50.
a
21.
b
51.
e
22.
c
52.
b
23.
d
53.
c
24.
c
54.
b
25.
a
55.
e
26.
b
56.
d
27.
c
57.
e
28.
b
58.
b
29.
b
59.
e
30.
e
60.
c
TRILCE
Í ND I CE PRI MER BIMESTRE Capítulo 1 Leyes de Exponentes - Ecuaciones Exponenciales .....................................................................................
9
Capítulo 2 Polinomios
......................................................................................................................................................
19
Capítulo 3 Productos Notables.........................................................................................................................................
27
Capítulo 4 División entre polinomios - Divisibilidad Algebraica - Cocientes Notables ............................................. 35 Capítulo 5 Factorización ...................................................................................................................................................
49
SEGUNDO BIMESTRE Capítulo 6 MCD y MCM de Polinomios - Fracciones Algebraicas .............................................................................
59
Capítulo 7 Teorema del Binomio......................................................................................................................................
69
Capítulo 8 Radicación........................................................................................................................................................
79
Capítulo 9 Números Complejos.......................................................................................................................................
89
Capítulo 10 Ecuaciones de Primer y Segundo Grado........................................................................................................ 99
TERCER BIMESTRE Capítulo 11 Ecuaciones de Grado Superior
...................................................................................................................
109
Capítulo 12 Matrices - Determinantes ...............................................................................................................................
117
Capítulo 13 Sistema de Ecuaciones ..................................................................................................................................
131
Capítulo 14 Desigualdades e Inecuaciones - Valor Absoluto ........................................................................................
141
CUARTO BIM ESTRE Capítulo 15 Funciones .........................................................................................................................................................
159
Capítulo 16 Logaritmos en R...............................................................................................................................................
177
Capítulo 17 Progresiones ....................................................................................................................................................
189
199
Álgebra
200
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