Algebra Superior Teoria General de Los Polinomios

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS

TEORIA GENERAL DE LOS POLINOMIOS Expresión Algebraica: Es un conjunto de símbolos alfanuméricos, relacionados entre sí mediante operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, potenciación y radicación). Ejemplo 1.-

x 4  7 x 2  4 x  11

2.-

5 xp  7 pm mn  5k

Polinomio: Es una expresión algebraica que contiene una sola variable y cuyos exponentes pertenecen al conjunto de los números enteros no negativos, es decir:

n

P  x    ai x i ; donde ai  K y i  Z  Z  Siendo K un campo escalar. i 0

P  x   a0  a1x  a2 x2  a3 x3  ...  an1xn1  an xn

Polinomio Real entero (PREE): Es aquel polinomio cuyos coeficientes pertenecen al conjunto de los números reales, es decir que: P  x  

n

a x i 0

i

i

es real entero si ai  R .

Polinomio Racional entero (PRAE): Es aquel polinomio cuyos coeficientes pertenecen al conjunto de los números TOMAS NAVARRO

19

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS racionales, es decir que: P  x  

n

a x i 0

i

i

es racional entero si

ai  Q .

Término de un polinomio: Es una expresión algebraica cuyas únicas operaciones aritméticas que posee son del 2do y 3er nivel (multiplicación y potenciación). Es decir, que no tiene operaciones como suma y resta. Ejemplo:

5x3 ;

7m5

Grado de un término: Es el exponente que afecta a la variable en el término. Ej.:

x 3 es un término de 3er grado. 6

es un término de cero grado.

Grado de un polinomio: Es el mayor exponente que afecta la variable en el polinomio. Ej.:

P  x   x2  5x3  7 x  4x6 11 es un polinomio de 6to. Grado. P  x   x5  5x4  7 x3  4x2 11x  4 es un polinomio de 5to. Grado.

Término principal de un polinomio: Es el término que define el grado del polinomio y cuyo coeficiente es diferente de cero. Ej.: en los ejemplos anteriores para el primero el término principal es segundo

x5 .

TOMAS NAVARRO

20

4x 6 y para el

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS

Coeficiente principal: Es el coeficiente del término principal del polinomio. Ej.: en los ejemplos anteriores tenemos que los coeficientes principales son: para el primer ejemplo el coeficiente principal es

a6  4 y en segundo ejemplo a5  1 .

Término independiente: Es aquel cuyo grado es igual a cero. Se le llama

a0 .

Axioma sobre el número de término de un polinomio: Todo polinomio de grado " n " posee " n  1" término.

Polinomio completo: Es aquel polinomio cuyos coeficientes son diferentes de cero, es decir, que no tiene coeficiente nulo. O sea P  x  

n

a x i 0

Ej.:

i

i

es completo ssi ai  0 .

P  x   x5  5x4  7 x3  4x2 11x  4 .

Polinomio incompleto: Es aquel polinomio que posee por lo menos un coeficiente nulo que no sea el principal el cual siempre será diferente de cero. O sea P  x  

n

a x i 0

i

i

es incompleto ssi ai  0 .

Polinomio nulo: Es aquel cuyos coeficientes son iguales a cero, es decir, aquel cuyo grado no está TOMAS NAVARRO

21

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS definido.

Polinomios iguales: Dos polinomios son iguales si siendo del mismo grado los coeficientes de los términos n

semejantes son iguales, es decir:

Sean

P  x    ai x i

n

y

i 0

polinomios, decimos que

Q  x    bi x i dos i 0

P  x   Q  x  si y sólo si ai  bi para 0  i  n .

Ej.: Determine el valor de las literales de tal manera que hagan que los polinomios sean iguales.

P  x   4x3  7 x2  8x  6 y tenemos que

P  x   ax3  bx2  cx  d

P  x   Q  x  ssi a  4; b  7; c  8 y d  6 .

Ej.: Determine el valor de las literales para que los polinomios sean iguales si

P  x   x2  7 x  3 y Q  x   A  x  3  B  x 2  x   C . Desarrollando las operaciones en

Q  x  tenemos que:

Q  x   Ax  3 A  Bx 2  Bx  C Q  x   Bx 2   A  B  x   3 A  C  luego tenemos que:

B 1 A B  7

 A  7  B  7 1  8

3 A  C  3  C  3  3 A  3  3 8   21

TOMAS NAVARRO

22

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS A  8  B  1 C  21 

la solución es:

Polinomios opuestos: Dos polinomios son opuestos cuando siendo del mismo grado los coeficientes de los n

términos semejantes sean opuestos. O sea

P  x    ai x i i 0

P  x  y Q  x  son opuestos

polinomios, decimos que

n

y

Q  x    bi x i dos

si y sólo si

i 0

ai  bi

para

0i n.

Valor numérico de un polinomio: Es el valor que toma el polinomio cuando a se la asigna un valor determinado a la variable. O sea P  x  

n

a x i 0

n

i

y

i

x  a , entonces P  a    ai a i es el valor numérico de i 0

P  x .

Ej.: Si

P  x   x3  6x2  12x  6 , hallar el valor numérico para x  2 . Tenemos que:

P  2   2  6  2   12  2   6  8  24  24  6  62 3



2

P  2  62

Cero de un polinomio: Es el valor de la variable que hace que el valor numérico del polinomio sea igual a cero. O sea x  a es un cero del polinomio si TOMAS NAVARRO

P a  0 . 23

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS

Axiomas: 

Todo polinomio de grado " n " posee " n " y sólo " n " ceros.



El cero sólo es cero de un polinomio cuando su término independiente es igual a cero, es decir, cuando carece de término independiente.



El cero es cero de un polinomio tantas veces como el término de menor grado lo indique.



Todo polinomio real entero que posee un cero complejo, también el conjugado de éste será un cero del polinomio.



Todo polinomio racional entero que posee un cero irracional, también el conjugado de éste será un cero del polinomio.

Operaciones con polinomios: Suma de dos polinomios: n

Sean

P  x    ai x i i 0

P  x

y

m

y

Q  x    bi x i ,

decimos

Q  x  será definida por: P  x   Q  x  

polinomio suma será de grado igual al Ej.: Hallar la suma de

que

la

suma

maxn , m

  a  b x ; i

i 0

i

i

donde el

max n, m .

P  x   x5  x2  4x  7 y Q  x   x3  2x2  4x  10 .

Tenemos

que

P  x   Q  x   1  0 x5   0  0 x4   0  1 x3   7  2 x2   4  4 x   7  10 P  x   Q  x   x 5  x3  9 x 2  8 x  3

Producto de un polinomio por un escalar: TOMAS NAVARRO

de

i 0

24

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS Sea P  x  

n

a x i 0

como: hP  x  

h un escalar, se define el producto por un escalar hP  x 

y

n

  ha  x i

i 0

Ej.: Sea

i

i

i

.

P  x   x4  3x3  4x2  6x  8 y h  2 ; hallar hP  x  . hP  x   2P  x   2x4  6x3  8x2  12x 16

Producto entre polinomios: Producto de términos: para multiplicar dos términos, se multiplican los coeficientes y se

 ax bx   abx n

suman los exponentes. O sea Ej.:

3x  4x   12x 2

3

m

nm

.

5

Producto de dos polinomios: Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término del polinomio multiplicador por cada uno de los términos del polinomio multiplicando; siendo el polinomio producto la sumatoria de los productos parciales anteriormente obtenidos y cuyo grado viene dado por la

suma

de

los

n

grados

de

los

polinomios

factores.

Es

decir;

m

P  x    ai x i

y

i 0

Q  x    bi x i

dos polinomios definimos el producto como:

i 0

m n

P  x   Q  x     ai b j  x i  j . i 0 j 0

Ej.: Hallar el producto de

P  x   x2  4x  3 por Q  x   x4  5x3  4x2  7 x  2 .

x 4  5 x3  4 x 2  7 x  2 x2  4 x  3 TOMAS NAVARRO

25

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS x  5x  4 x  7 x  2 x2 6

5

4

3

4x5  20 x 4  16 x3  28 x 2  8 x 3x 4  15 x3  12 x 2  21x  6

x6  x5  13x 4  6 x3  14 x 2  13x  6

 P  x  Q  x   x

Luego

6

 x5  13x4  6x3 14x2  13x  6

División: El cociente entre dos términos: Para dividir dos términos se dividen los coeficientes y se restan los exponentes. Es decir el cociente entre

a axn y bx m seria   x n  m . b

El cociente entre dos polinomios: Sean

n

m

i 0

i 0

P  x    ai x i y Q  x    bi x i donde n  m , se define el cociente entre

P  x  y Q  x  como:

P  x R  x  C  x  donde C  x  es de grado  n  m y Q  x Q  x

R  x  es de grado menor que m . Ej.:

Hallar

el

cociente

y

el

resto

que

resulta

P  x   x6  x5  13x4  6x3 14x2  13x  6 entre Q  x   x2  4x  3 .

TOMAS NAVARRO

26

de

dividir

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS

x2  4x  3

x6  x5 13x4  6x3 14x2 13x  6  x 6  4 x5  3x 4 5x5 16 x4  6 x3 5x5  20 x4  15x3

x 4  5 x3  4 x 2  7 x  2

C  x   x4  5x3  4x2  7 x  2

4x  9x 14x 4 x4 16 x3 12 x2 4

3

2

R  x  0

7 x  26x 13x 7 x3  28x2  21x 2 x2  8x  6 2x2  8x  6 3

2

0

Divisibilidad entre dos polinomios: Un polinomio es divisible entre otro cuando existe un tercer polinomio que al multiplicarlo por el segundo, produce al primer polinomio. Es decir, sean dos polinomios, decimos que tal que

P  x y Q  x

P  x  es divisible por Q  x  si existe un polinomio C  x 

P  x  C  x Q  x .

P  x R  x  C  x  Q  x Q  x C  x  C  x 

P  x  C  x Q  x

si

R  x R  x  0 Q  x Q  x

por tanto tenemos que:

R  x    0 Q  x   0 R  x  0

TOMAS NAVARRO

27

entonces

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS

División sintética: Es aquella que se realiza con los coeficientes de los polinomios sin el uso de las indeterminadas (variables). Para la división sintética es necesario ordenar los polinomios en el mismo orden (descendente generalmente) y utilizarlo en su forma completa. En este curso normalmente usaremos la división sintética para dividir un polinomio cualquiera

P  x  entre un binomio de la forma

 x  a  para la cual Ruffini estableció una

regla.

Regla de Ruffini para la división sintética de un polinomio P  x  entre un binomio de la forma  x  a  . Sea

P  x   a4 x4  a3 x3  a2 x2  a1x  a0

un polinomio cualquiera y

 x  a

un

binomio, entonces el cociente y el resto vienen definidos por:

P  x R  C  x   x  a  x  a

donde

C  x  es de grado 3 y

R es de grado 0 (una

constante). Podemos construir sabiendo su grado de la forma:

C  x   b3 x3  b2 x2  b1x  b0

por

la

definición

sabemos

P  x    x  a  C  x   R , luego sustituyendo tenemos: P  x    x  a   b3 x3  b2 x 2  b1 x  b0   R  b3 x 4  b2 x3  b1 x 2  b0 x  ab3 x 3  ab2 x 2  ab1 x  ab0  R  b3 x 4   b2  ab3  x3   b1  ab2  x 2   b0  ab1  x   R  ab0  Luego por transitividad de la igualdad tenemos que:

TOMAS NAVARRO

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que:

a4  b3

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS  b3  a4

a3  b2  ab3

 b2  a3  ab3

a2  b1  ab2

 b1  a2  ab2

a1  b0  ab1

 b0  a1  ab1

a0  R  ab0

 R  a0  ab0

Podemos concluir diciendo que para dividir un polinomio forma

P  x  entre un binomio de la

 x  a  por la regla de Ruffini se procede de la manera siguiente:

1. Se colocan los coeficientes del polinomio dividendo de manera horizontal y se toma el término independiente del binomio cambiado de signo separado mediante una línea vertical. 2. Se toma el coeficiente principal del polinomio dividendo como coeficiente principal del polinomio cociente. 3. Se obtiene el siguiente coeficiente del polinomio cociente mediante la suma del siguiente coeficiente del polinomio dividendo con el producto del término independiente del binomio cambiado de signo y el coeficiente del cociente obtenido anteriormente. 4. Y así sucesivamente hasta llegar a la última sumatoria la cual representa el resto de la división. Ej.: Hallar el cociente y el resto que resulta de dividir binomio

 x  2 mediante el uso de la regla de Ruffini.

TOMAS NAVARRO

29

P  x   x5  4x4  2x  6 entre el

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS

1 2 1

4

0

0

-2

6

2

12

24

48

92

6

12

24

46

98

C  x   x 4  6 x3  12 x 2  24 x  46 R  98 Ej.: Usando la regla de Ruffini, hallar el resto y el cociente que resulta de dividir el polinomio P  x   x6  7 x5 13x3  18x2  7 x 15 entre el binomio x  3





Ej.: Usando la regla de Ruffini, hallar el resto y el cociente que resulta de dividir el polinomio P  x   x4  2x3  4x2  x  3 entre el binomio 2 x  1





Teorema del Resto: El resto que resulta al dividir un polinomio

P  x  entre un binomio de la forma

 x  a  , será

siempre igual al valor numérico del polinomio que resulta de sustituir la variable por el término independiente del binomio cambiado de signo. Demostración: Sea

P  x  un polinomio y  x  a  el binomio, entonces R  P  a  .

P  x R  C  x   x  a  x  a

por definición

multiplicando ambos miembros por

 x  a  tenemos que:

P  x   x  a C  x  R sustituyendo x  a tenemos que:

P a  a  a C a  R TOMAS NAVARRO

30

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS

P  a    0 C  a   R  R

P  a  R

Ejercicios para desarrollar en clase: 1.- Hallar el valor numérico del polinomio

P  x   x3  5x2  3x  7 para x  2 .

2.- Usando la regla de Ruffini y el teorema del resto, hallar el valor de “k” tal que el resto que resulta de dividir 3.-

P  x   x4  3x2  kx  6 entre

Usando

el

teorema

de

 x  2 sea igual a 7.

resto

hallar

P  x   x5  5x4 10x3 10x2  5x 1 , si se divide entre

el

valor

numérico

de

 x 1 .

Teorema del factor: Si al dividir un polinomio

P  x  entre un binomio de la forma  x  a  , el resto que resulta es

igual a cero, entonces el binomio

 x  a  es un factor de P  x  .

Demostración: Si al dividir

P  x  entre  x  a  y R  0 , entonces

P  x R  C  x   x  a  x  a

por definición

multiplicando ambos miembros por

TOMAS NAVARRO

 x  a  es un factor de P  x  .

 x  a  tenemos que: 31

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS

P  x   x  a C  x  R sustituyendo R  0 por hipótesis tenemos que:

P  x   x  a C  x  0 P  x   x  a C  x por tanto tenemos que:

 x  a  es un factor de P  x  . Teorema reciproco del teorema del factor: Si al dividir un polinomio del polinomio

P  x  entre un binomio de la forma  x  a  , siendo  x  a  un factor

P  x  , entonces el resto de la división tiene que ser igual a cero.

Demostración: Si al dividir

P  x  entre  x  a  y R  0 , entonces

P  x R  C  x   x  a  x  a

por definición

multiplicando ambos miembros por

 x  a  tenemos que:

P  x   x  a C  x  R como

 x  a  es un factor por hipótesis tenemos que:

P  x   x  a C  x por tanto tenemos que:

R0

Ejercicio para hacer en clase: TOMAS NAVARRO

 x  a  es un factor de P  x  .

32

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS 2 1- Pruebe si  x  2  es un factor de P  x   x  5x  6 . 2- Pruebe si

P  x   2x5  11x4 12x3  5x2  22x  8 es divisible entre

3- Hallar el valor de “k” tal que divisible entre

 x  2 .

P  x   2x5  11x4 12x3  25x2  kx  3k  6 sea

 x  2 .

4- Determine el valor de " k " , de modo tal que

P  x  sea divisible entre H  x  ; siendo

P  x   x3   2k  3 x2   6k  2 x  8k  4 y H  x   x  2k

Polinomio mónico: Es aquel polinomio cuyo coeficiente principal es igual a la unidad positiva. (

an  1 ).

Polinomio degradado: Es cociente que resulta de dividir un polinomio

P  x  entre un binomio

 x  a

y cuyo resto

sea igual a cero.

Axiomas: 1- El cero de un polinomio degrado es un cero del polinomio original. 2- Si un valor es un cero de un polinomio y de uno o más de sus polinomios degradados, decimos que es un cero múltiplo del polinomio.

Grado de multiplicidad de un cero de polinomio: Es el número de veces que el valor de una variable es cero del polinomio y será siempre igual al número del polinomio degradado del cual es cero más la unidad. Ejemplo: Pruebe si

 x 1 es

un factor de

P  x   x5  5x4 10x3 10x2  5x 1 y determine el

grado de multiplicidad. TOMAS NAVARRO

33

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS

Máximo común divisor de dos polinomios (MCD): Es el polinomio de mayor grado que divide a ambos polinomios.

Algoritmo de Euclides: Es el proceso iterativo mediante el cual se determina el máximo común divisor entre dos polinomios. La aplicación del algoritmo se realiza de la manera siguiente: Sean

P  x  de grado m y Q  x  de grado n siendo m  n , decimos que el MCD

se obtiene de la manera siguiente: P  x R  x  C1  x   1 Q  x Q  x

 Podemos decir que:

Q  x R  x  C2  x   2 R1  x  R1  x 

 Podemos decir que:

R1  x  R  x  C3  x   3 R2  x  R2  x 

 Podemos decir que:

 MCD  Q  x   R1  x   0   R1  x   k  0  P  x  y Q  x  son primo entre sí  R1  x   un Polinomio  se divide Q  x  entre R1  x 

 MCD  R1  x   R2  x   0   R2  x   k  0  P  x  y Q  x  son primo entre sí  R 2  x   un Polinomio  se divide R1  x  entre R2  x   MCD  R2  x   R3  x   0  R x  k  0  P  x  y Q  x  son primo entre sí    3  R 3  x   un Polinomio  se divide R 2  x  entre R3  x 

y así sucesivamente hasta que: Rn2  x  R  x  Cn  x   n Rn1  x  Rn1  x 

 Podemos decir que:

 MCD  Rn 1  x   Rn  x   0    R x  k  0  P x y Q x son primo entre sí      n 

Propiedades: 1. Sea

P  x  un polinomio y k  0 una constante, entonces P  x  es divisible entre k

.

TOMAS NAVARRO

34

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS 2. Si P  x  es divisible entre R  x  y Q  x  es divisible entre R  x  , entonces: 

P  x   Q  x  es divisible entre R  x  .



P  x  Q  x  es divisible entre R  x  .



kP  x  es divisible entre R  x  .



P  x  es divisible entre kR  x  .

Ejemplos: 1.-

Hallar el MCD de los polinomios

P  x   x3  3x2  3x  1 y

Q  x   x2  3x  2

usando el algoritmo de Euclides si existe. 2.-

Hallar

el

MCD

de

los

polinomios

S  x   2x3 15x2  22x  5

y

M  x   4x2  18x 10 usando el algoritmo de Euclides si existe.

Derivada de un polinomio: Es otro polinomio cuyo grado será igual al grado del polinomio dado disminuido en la unidad y cada término resulta de multiplicar el coeficiente por el exponente de cada término del polinomio y la variable con el exponente disminuido en la unidad. La derivad la representamos como:

d  P  x  dx

 P '  x   P   x  1

Ejemplo:

P  x   x5  4x4  7 x3  2x2  7 x  6 hallar la derivada.

Dado el polinomio

P   x   5x4  16 x3  21x2  4 x  7 1

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TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS

Derivada de orden superior: Es la derivada de un polinomio previamente derivado, es decir, la derivada de una derivada. Ejemplo: Si en el ejemplo anterior hallamos la derivada de

P

2

 x   20x3  48x2  42x  4

P

3

 x   60x2  96x  42

P

4

 x   120x  96

P

5

 x   120

P

6

 x  0

1 P   x  tenemos que:

Esquema de Horner: Es aquel que establece la relación entre las derivadas sucesivas de un polinomio evaluadas en un valor determinado y los restos que resultan de dividir sucesivamente al polinomio entre dicho valor. Es decir, sea

P  x  de grado " n " y x  a , el esquema de Horner nos dice que:

R0  P  a  ; R1 

P   a  P   a  P   a  P   a  ; R2  ; R3  ; …..; Rn  1! 2! 3! n! 1

2

3

n

Ejemplo: Sea

P  x   x4  3x2  4x  6 y x  2 , hallar el valor numérico de P  x  y sus derivadas

sucesivas.

P  x   x4  3x2  4 x  6  P  2    2   3  2   4  2   6  16 12  8  6  6 4

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2

TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS P

1

 x   4x

3

 6x  4

P

1

 2  4  2

3

 6  2   4  32 12  4  24

P

2

 x   12x2  6

 P

2

 2  12  2 

P

3

 x   24x

 P

3

 2  24  2  48

P

4

 x   24

 P

4

2

 6  48  6  42

 2  24

Por Horner tenemos que:

1 2 1 2 1 2 1

0

-3

4

-6

2

4

2

12

2

1

6

6

2

8

18

4

9

24

2

12

6

21

1

R4

8

 R2

 R3  R3 

 R4 

P

P    2  24   24 1! 1 1

 R1  R1 

2

2

 R0  P  2  6

 R0

 R2  P

3

P

2

 2   42  21

2!

2

 2   48  8

3! 2    24  1 4! 24

6

4

Formula de Taylor: Es la expresión que transforma a un polinomio cualquiera en otro expresado como potencia de un binomio de la forma

 x  a  . Es decir, el desarrollo de dicho polinomio alrededor de un

punto determinado. Sea

P  x   a0  a1x  a2 x2  a3 x3  ....  an xn un polinomio cualquiera y " a " un

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TEORÍA GENERAL DE LOS POLINOMIOS valor alrededor del cual se desarrolla dicho polinomio la expresión definida por Taylor es:

P  x  a  P a  

P   a  P   a  P   a  2 3  x  a   x  a  x  a 1! 2! 3! 1

P

4

2

a

4!

 x  a

4

 ..... 

3

P

n

a

n!

 x  a

n

Ejemplo: 1.- Desarrolle el polinomio

P  x   x3  4x2  3x  6 alrededor de 2.

2.- Exprese el polinomio P  x   x4  3x2  5x  6 , potencia del binomio  x 1 .

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