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Á L G E B R A
René Jiménez Colegio de Bachilleres
Revisión técnica: Silvia Rascón Corral Instituto Tecnológico de Chihuahua Instituto Tecnológico de Chihuahua plantel II Colegio de Bachilleres plantel 1
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Jiménez, René Álgebra PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008 ISBN: 978-970-26-0708-3 Área: Matemáticas Formato: 19 × 23.5 cm
Páginas: 264
Enrique Quintanar Duarte e-mail:
[email protected] Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos Editor:
PRIMERA EDICIÓN, 2008 D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5° Piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-0708-6 ISBN 13: 978-970-26-0708-3 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 10 09 08 07
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D e d i c a t o r i a
A la memoria del Ing. Jorge Leo q.e.p.d., profesor del Colegio de Bachilleres plantel 1 y Cecytech plantel 6
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C o n t e n i d o
INTRODUCCIÓN UNIDAD 1
UNIDAD 2
VI
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA Introducción al álgebra Problemas aritméticos Números reales Operaciones fundamentales con los números reales. Propiedades Recta numérica Ley de la tricotomía e intervalos Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Valor absoluto y notación científica Razones y proporciones Porcentajes Lenguaje algebraico Sucesiones y series Notación sumatoria Sucesiones aritméticas Sucesiones geométricas POLINOMIOS DE UNA VARIABLE Igualdades Propiedades de las igualdades Exponentes Leyes o reglas de los exponentes Radicales Exponentes racionales Operaciones con polinomios Suma y resta de polinomios
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1 2 2 5 7 11 12 15 16 19 26 31 37 46 48 59 69 70 71 75 79 82 87 91 93
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Contenido
Multiplicación de monomios y polinomios División de polinomios Productos notables Triángulo de Pascal y binomio de Newton Factorización Expresiones fraccionarias
99 104 112 126 136 162
UNIDAD 3
ECUACIONES DE PRIMER GRADO 177 Ecuaciones de primer grado 178 Ecuaciones equivalentes 179 Aplicaciones 188 Ecuaciones con soluciones literales 199 Relación de la ecuación de primer grado con la ecuación lineal 201 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 208 Ecuaciones consistentes, inconsistentes y dependientes 213 Método de sustitución para resolver ecuaciones simultáneas 215 Método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas 224 Aplicaciones 229 Sistema de ecuaciones simultáneas con tres incógnitas 230
UNIDAD 4
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado Resolución de una ecuación cuadrática por factorización Resolución de una ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto Fórmula general para resolver una ecuación cuadrática Graficación de la ecuación cuadrática Raíces reales de una ecuación cuadrática Aplicaciones
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235 236 237 239 242 248 251 254
•
v
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I n t r o d u c c i ó n
El contenido de este libro se diseñó de manera que cumpla con los requisitos de un curso de álgebra elemental, cuidando sobre todo que satisfaga las expectativas del programa de matemáticas I del plan de estudios del bachillerato general. Los contenidos y actividades están organizados en orden creciente de complejidad, de tal forma que desde el punto de vista didáctico-pedagógico no sólo enriquezcan el conocimiento de los estudiantes, sino también contribuyan a su formación. Este trabajo es el producto de varios años de trabajo y de experiencia en el campo docente, especialmente en el área de matemáticas. La obra consta de cuatro unidades, cada una de las cuales comienza con un listado de temas para facilitar la consulta; enseguida se presenta una introducción al tema.A lo largo del libro se recurre continuamente al uso de la inducción y la deducción en el marco de un enfoque constructivista, en donde el alumno es el eje central del proceso educativo. Esto se logra a través de definiciones, situaciones didácticas, procedimientos, notas, reglas y observaciones que se destacan en recuadros. La primera unidad constituye una introducción al álgebra; en ella destacan los números reales, sus propiedades y operaciones básicas, el lenguaje algebraico, las sucesiones y series. En la unidad II se estudian situaciones en donde es necesario conocer las operaciones con polinomios, la clasificación de los mismos, los productos notables, la factorización y la simplificación de fracciones algebraicas. En la unidad III se resuelven problemas en los que se utilizan las propiedades de las igualdades, se aprende a resolver ecuaciones de primer grado y ecuaciones simultáneas con dos y tres incógnitas usando diferentes métodos de solución analíticos; también se presenta una interpretación gráfica. Por último, en la cuarta unidad se resuelven e interpretan, también de manera gráfica y analítica, ecuaciones de segundo grado. De acuerdo con la reforma curricular en la enseñanza de las matemáticas, el presente texto tiene la finalidad esencial del bachillerato de brindar al estudiante una formación integral y una cultura general en la que desarrolle su sentido y amor por las matemáticas. Para ello, no sólo se busca que el estudiante llegue a dominar los contenidos, sino que, con la propuesta de las actividades, se pretende que el estudiante desarrolle valores, actitudes, métodos y habilidades que le permitan sistematizar y formalizar lo aprendido en este curso. Finalmente, deseo expresar mi agradecimiento a todos los que dediquen un poco de tiempo a la lectura y análisis de este material, especialmente a todos mis compañeros, maestros y alumnos, ya que fue escrito pensando en todos ellos. René Jiménez
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U N I D A D
1 I N T R O D U C C I Ó N
A L
Á L G E B R A
Introducción al álgebra
2
Problemas aritméticos
2
Números reales
5
Operaciones fundamentales con los números reales. Propiedades
7
Recta numérica
11
Ley de la tricotomía e intervalos
12
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
15
Valor absoluto y notación científica
16
Razones y proporciones
19
Porcentajes
26
Lenguaje algebraico
31
Sucesiones y series
37
Notación sumatoria
46
Sucesiones aritméticas
48
Sucesiones geométricas
59
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1
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ 2 • UNIDAD 1
I
Introducción al álgebra
N T R O D U C C I Ó N
A L
Á L G E B R A
La palabra álgebra proviene de la expresión árabe ilm al jabr w’ al muqabala, que significa “trasponer y combinar términos semejantes de una ecuación”. El álgebra considera las cantidades numéricas de un modo más general que la aritmética; es decir, estudia las reglas aritméticas de una forma más universal.
a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) + − × ÷ = 〈 〉 ± m
n
r n = rm 1, 3, 7,…, 2 n − 1
a/b
Propósito de la unidad En esta primera parte del curso construiremos un lenguaje algebraico generalizando modelos aritméticos, de razones, proporciones, series y sucesiones mediante la resolución de problemas cotidianos en un ambiente cooperativo, de respeto y de tolerancia.
Para que avances en el estudio del álgebra, resuelve de manera natural cada uno de los siguientes ejercicios.
P
R O B L E M A S
A R I T M É T I C O S
1. Dos hombres realizan un trabajo en 5 días. Cobran por él $600 y uno de ellos
gana $40 diarios. ¿Cuál es salario del otro trabajador?
Respuesta
2. Luis tenía $50 cuando cobró su sueldo semanal de $1,500. Pagó deudas por
$1,650. ¿Cuánto dinero le quedó?
Respuesta
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Problemas aritméticos
2 se puede hallar utilizando el teorema de Pitágoras y dibujando un triángulo rectángulo cuyos lados miden 1, como se muestra en la figura. Halla los puntos que correspondan a 3 y 5 .
3. El punto de una recta numérica correspondiente a
1 0
1
2
2
3
4. El cociente intelectual (CI) de una persona se determina al multiplicar por
100 el cociente entre su edad mental y su edad cronológica. Encuentra la edad mental de una persona de 15 años cuyo CI es de 140.
Respuesta
5. Una persona camina 50 m hacia la derecha desde el punto A; enseguida retro-
cede 30 m en la misma dirección y luego otros 42. ¿A qué distancia y dirección del punto A se encuentra al final de su recorrido?
Respuesta
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•
3
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ 4 • UNIDAD 1
Introducción al álgebra
6. Las aguas cubren el 70.8% (cerca de 361 3 106 km2) de la superficie de la Tie-
rra. Calcula el área total del planeta.
Respuesta
7. En la siguiente figura escribe en el espacio destinado para ello qué tipos de nú-
meros contiene cada bloque.
3, 3, 0, 0.25, 345.23,
2 , 3 5
23, 25, 7, 123 5 4
1.25,
2 5
0.4,
177 55
2 , 3, 5 ,
3.2181818…
…, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,…
5 4
…, 4, 3, 2, 1
1.25,
0
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2 5
0.4,
177 55
3.2181818…
1, 2, 3, 4,…
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Números reales
N
Ú M E R O S
R E A L E S
Números reales. Son todos los números que conocemos en la recta numérica, como
25, 1, 23,
49 , 0, 53
3 , 0.33333…, 25.43, etcétera.
Números naturales. Son los números enteros positivos que utilizamos desde que apren-
dimos a contar de forma intuitiva o natural. 1, 2, 3… Números enteros. Son los números enteros negativos, el cero y los enteros positivos.
…24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4… a , donde a y b son enteros y b b ? 0 es un número racional. Las representaciones decimales de los números racionales pueden ser finitas o no finitas y repetitivas; por ejemplo, realizando la división de los siguientes números tenemos que Números racionales. Un número real de la forma
4 12 177 5 0.8, 5 12, y 5 3.2181818…, 5 1 55 177 en donde los dígitos 1 y 8 en la representación se repiten en forma indefinida; 55 a veces se le representa así: 3.218. 2 < 1.4142 o p < 3.1416, que no son racionales, es decir, no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. No existe número racional alguno tal que a2 5 2, en donde a2 5 a · a; pero sí existe un irracional como 2 , tal que ( 2 )2 5 2. Números irracionales. Son números como
Números primos. Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus únicos factores positivos son 1 y p. Por ejemplo, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… son números primos.
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•
5
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ 6 • UNIDAD 1
Introducción al álgebra Teorema fundamental de la aritmética. Excepto por el orden de los factores, todo entero positivo diferente de 1 se puede expresar como el producto de números primos según una y sólo una forma. Por ejemplo:
12 5 2 · 2 · 3,
100 5 2 · 2 · 5 · 5
Lo que distingue al álgebra de la aritmética es que, en la primera, las cantidades se pueden representar de manera más general, esto es, los números reales se representan arbitrariamente con letras minúsculas, como, a, b, c, x, y, … Si a y b denotan el mismo número real, escribimos a 5 b, que se lee “a es igual a b’’, esto se llama igualdad. Cuando no son iguales se escribe a ? b y se lee “a no es igual a b”. El sistema de números reales está formado por todos los números racionales e irracionales. Cuando se trabaja con cantidades con significados opuestos, como es el caso de los ingresos y las deudas, se acostumbra utilizar el signo negativo (2) para indicar deudas, compromisos de pagos o recorridos a la izquierda de un punto específico y positivo (1) para los ingresos, ganancias o los recorridos a la derecha desde un punto llamado origen. Usamos el cero para referirnos a la ausencia de cantidad, es decir, el punto donde los ingresos y los compromisos de pago son iguales.
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Operaciones fundamentales con los números reales. Propiedades
O
P E R A C I O N E S
N Ú M E R O S
F U N D A M E N T A L E S
R E A L E S
.
P
C O N
•
7
L O S
R O P I E D A D E S
Adición y multiplicación Operación
Propiedad
Generalidad
Significado
Conmutativa
a1b5b1a
El orden es intrascendente cuando dos números se suman.
Asociativa
a 1 (b 1 c) 5 (a 1 b) 1 c
Los números se pueden agrupar indistintamente.
Identidad
a105a
Sumar cero a cualquier cantidad produce la misma cantidad.
Inversa o negativa
a 1 (2a) 5 0
Sumar a una cifra su inverso aditivo da por resultado 0.
Conmutativa
ab 5 ba
Al multiplicar dos números, el orden carece de importancia.
Asociativa
a(bc) 5 (ab)c
La agrupación de los términos en la multiplicación carece de importancia.
Identidad
a?15a
Multiplicar cualquier número por 1 da por resultado el mismo número.
Inversa o Recíproca
a
Adición
Multiplicación
Distributiva
1 51 a
a(b 1 c) 5 ab 1 ac (a 1 b)c 5 ac 1 ac
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Multiplicar un número diferente de 0 por su recíproco multiplicativo da como resultado 1. Multiplicar un número y la suma de dos cifras equivale a multiplicar cada cifra por el número y luego sumar los resultados.
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ 8 • UNIDAD 1
Introducción al álgebra
EJERCICIOS 1. Escribe a la derecha de cada igualdad la propiedad correspondiente.
Igualdad
Propiedad
71y5y17 71057 125 1 (2125) 5 0 x 1 (y 1 3) 5 (x 1 y) 1 3 x(7) 5 7x 1y 5 y x(yz) 5 (xy)z y(1yy) 5 1 (x 1 y)(w 1 z) 5 x(w 1 z) 1 y(w 1 z) 2. Escribe a la izquierda un ejemplo para cada propiedad indicada.
Igualdad
Propiedad Adición conmutativa Multiplicación conmutativa Adición asociativa Adición-identidad Multiplicación-inversa Adición-inversa Multiplicación-asociativa Multiplicación-distributiva Multiplicación-identidad
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Sustracción y división Las operaciones de sustracción (2) y división (4) se definen como sigue. Definición
Significado
a 2 b 5 a 1 (2b) a se llama minuendo b se llama sustraendo El resultado de a 2 b es la resta.
Para restar un número de otro se suma el negativo.
5 2 12 5 5 1 (212)
1 a4b5a? b
Para dividir un número entre otro diferente de cero se multiplica por el recíproco. Como 0 no tiene inverso multiplicativo, ayb no está definida para b 5 0, así que la división por cero no está definida. Es por esta razón por la que los números reales en la división no tienen propiedad de cerradura.
1 74557? 5
5 a ? b21; b ? 0 a se llama numerador b se llama denominador La división de a y b también a suele escribirse ayb, o bien, b y el resultado se llama cociente. Propiedades de los cocientes Propiedad a=c b d
si ad = bc
Ejemplos 1= 3 5 15
porque 1 ⋅ 15 = 3 ⋅ 5
ad = a bd b
3⋅ 4 = 3 2⋅4 2
a = −a = − a −b b b
5 = −5 = − 5 −7 7 7
a + c = a+c b b b
3 + 5 = 3+ 5 = 8 9 9 9 9
a + c = ad + bc b d bd
2 + 3 = 2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 3 = 8 + 15 = 23 5 4 5⋅4 20 20
a ⋅ c = ac b d bd
4 ⋅ 3 = 12 5 7 35
a ÷ c = a ⋅ d = ad b d b c bc
3 ÷ 2 = 3 ⋅ 7 = 21 4 7 4 2 8
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Ejemplos
5 7 ? 521
•
9
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ 10 • U N I D A D 1
Introducción al álgebra
Propiedades de la igualdad Si a 5 b y c es cualquier número real, entonces: 1. a 1 c 5 b 1 c 2. ac 5 bc
El mismo número se puede sumar en ambos lados de una igualdad. El mismo número se puede multiplicar en ambos lados de una igualdad.
Propiedades de los números negativos
Ejemplos
1. 2(2a) 5 a
1. 2(25) 5 5
2. (2a)b 5 2(ab) 5 a(2b)
2. (27)3 5 2(7 ? 3) 5 7(23)
3. (2a)(2b) 5 ab
3. (27)(23) 5 7 ? 3
4. (21)a 5 2a
4. (21)5 5 25
Notación para recíprocos Si a ? 0, entonces su recíproco se escribe 1 5 a21 a Es evidente que si a ? 0, entonces a ? a21 5 a
Ejemplos 1 5 321 3 2 3
−1
5
1 3 5 2 2 3
1 51 a
Productos donde interviene el cero 1. a ? 0 5 0 para todo número real a 2. Si ab 5 0, entonces a 5 0, o bien, b 5 0
Relaciones entre a y 2a 1. Si a es positivo, entonces 2a es negativo 2. Si a es negativo, entonces 2a es positivo.
En la siguiente tabla definimos las posibles relaciones que se pueden dar entre dos números reales a y b. En ella consideramos los símbolos mayor que (.) y menor que (,). Estas relaciones se llaman desigualdades.
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Recta numérica
Notación
Definición
Terminología
a.b
a 2 b es positivo
a es mayor que b
a,b
a 2 b es negativo
a es menor que b
Notación
Definición
Terminología
7.5
porque 7 2 5 es positivo
7 es mayor que 5
EJERCICIO Completa la siguiente tabla.
3,5 10 es menor que 13 porque 5 2 8 es negativo 25 , 22
R
E C T A
N U M É R I C A
Los números reales pueden representarse con puntos en una recta, como la que se muestra abajo, de manera que a cada número real le corresponda un punto (y sólo uno) de la recta y, viceversa, que a cada punto le corresponda un solo número real; esta relación se llama correspondencia biunívoca. La convención es la siguiente: se escoge un punto arbitrario O como origen y se le asigna el número cero, enseguida los reales positivos enteros se marcan a la derecha del origen con longitudes iguales y los negativos de la misma manera a la izquierda del cero. Los números racionales se pueden encontrar haciendo subdivisiones entre estas marcas y los irracionales, como 2 , se encuentran por construcción geométrica. 2.5
215/4
16/3
p
1 24
23
22
21
Números reales negativos
0
1
2
2
3
Números reales positivos
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4
5
6
•
11
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ 12 • U N I D A D 1
Introducción al álgebra
EJERCICIOS 1. Localiza y señala con un punto y una flecha los números 23.1,
5 , 21/4, 24, 3.5
y 1.5 en la siguiente recta numérica.
24
23
22
21
0
1
2
3
4
5
6
2. Un círculo con un radio de 1 gira a lo largo de una recta numérica en dirección po-
sitiva, como se ve en la figura. Con el punto P en el origen, encuentra su posición después de una vuelta. Sugerencia: Recuerda cómo se obtiene el perímetro de una circunferencia. P
P 0
1
2
3
4
5
6
3. Para establecer geométricamente la propiedad distributiva a(b 1 c) 5 ab 1 ac los
griegos dibujaban figuras como la que aparece a continuación. Encuentra el área del rectángulo de dos formas diferentes para probar tal propiedad.
a
b
L
E Y
D E
L A
T R I C O T O M Í A
c
E
I N T E R VA L O S
Ley de la tricotomía Esta ley nos permite comparar u ordenar dos números reales cualesquiera y dice que si a y b son números reales, entonces puede ocurrir exactamente una de las expresiones siguientes a 5 b,
a . b,
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a,b
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Ley de la tricotomía e intervalos
Leyes de los signos Los siguientes resultados se pueden demostrar a partir de las propiedades de productos y cocientes. a 1. Si a y b tienen el mismo signo, entonces el producto ab y el cociente b son positivos. a 2. Si a y b tienen signos opuestos, entonces el producto ab y el cociente b son negativos.
Intervalos Ya que conocemos los signos de desigualdad mayor que (.) y menor que (,), vamos a introducir los símbolos mayor o igual que ($) y menor o igual que (#) para comprender mejor el concepto de intervalo y la ordenación entre dos números reales a y b. Llamaremos intervalo al conjunto de números reales que satisfacen una desigualdad, éstos se indican encerrando entre paréntesis dos números reales a y b, es decir (a, b) y/o corchetes [a, b], donde el inferior, a, y el superior, b, nos señalan el conjunto formado por todos los números de la recta numérica entre estos valores. También puede darse una combinación de paréntesis y corchetes.
EJEMPLOS Intervalo
Notación
Desigualdad
(3, 7)
3,x,7
Números reales mayores o iguales que 24 y menores o iguales a 1
[24, 1]
24 # x # 1
Números reales mayores o iguales que 24 y menores que 1
[24, 1)
24 # x , 1
Números reales entre 3y7
Gráfica (
)
3
7
[
]
24
1
[
)
24
1
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13
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ 14 • U N I D A D 1
Introducción al álgebra
En la tabla se muestran la representación y los usos de los diferentes signos de desigualdad. Intervalo
Notación
Desigualdad
Abierto
(a, b)
a,x,b
Cerrado
[a, b]
a#x#b
Semiabierto por la derecha
[a, b)
a#x,b
Semiabierto por la izquierda
(a, b]
a,x#b
Gráfica (
)
a
b
[
]
a
b
[
)
a
b
(
]
a
b
EJERCICIOS Representa en la recta real cada uno de los siguientes intervalos e indica la notación. Intervalo
Notación
Gráfica
1. 2 # x # 4
26 25 24 23 22 21
0
1
2
3
4
5
6
2. 2 # y # 5
26 25 24 23 22 21
0
1
2
3
4
5
6
3. x , 21
26 25 24 23 22 21
0
1
2
3
4
5
6
4. x . 7/2
26 25 24 23 22 21
0
1
2
3
4
5
6
5. 23 # x # 3
26 25 24 23 22 21
0
1
2
3
4
5
6
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm)
M Y
Á X I M O
C O M Ú N
M Í N I M O
(
D I V I S O R
C O M Ú N
M C D
(
M Ú L T I P L O
)
M C M
)
Resuelve los siguientes problemas. 1. Una señora tiene un retazo de tela de 36 m y otro de 48 m que quiere dividir
en retazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada uno?
2. Un almacenista quiere empacar tres pedidos de frijol de 161, 253 y 207 kg,
respectivamente, en cajas que contengan costales del mismo peso y que éste sea el mayor posible. ¿Cuál será el peso de cada costal y cuántos costales deberá haber en cada caja?
Solución: 9 costales de 23 kg.
Una forma práctica de encontrar la solución a las situaciones anteriores es descomponer primero los números compuestos de cada problema en sus factores primos. Los factores primos de un número se encuentran al dividir el número compuesto entre el menor de sus factores primos y así sucesivamente hasta llegar a la unidad. Por ejemplo, descompongamos 36 y 48 en sus factores primos. 36 18 9 3 1
2 2 3 3
Los factores primos de 36 son 2 ? 2 ? 3 ? 3 5 22 ? 32 5 36
48 24 12 6 3 1
2 2 2 2 3
Los factores primos de 48 son 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 5 24 ? 3 5 48
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15
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ 16 • U N I D A D 1
Introducción al álgebra
Máximo común divisor. Es el número mayor de los divisores enteros comunes a esos números. Por ejemplo, el de 36 y 48 se obtiene de la siguiente manera. Se descomponen los números simultáneamente en sus factores primos y enseguida se buscan los factores que tengan en común los números descompuestos. El producto de éstos es el mcd. 36 18 9 9 9 3 1
48 24 12 6 3 1 1
2 2 2 2 3 3
El mcd de 36 y 48 es 22 ? 3 5 12 y ésta es la solución del primer problema.
Mínimo común múltiplo. Es el menor de los múltiplos enteros comunes a un grupo de números compuestos, es decir, es el número menor que puede ser dividido exactamente por todos esos números. Por ejemplo, el mcm de 36 y 48 se obtiene multiplicando todos los factores primos de ambos. 36 18 9 9 9 3 1
VA
L O R
48 24 12 6 3 1 1
2 2 2 2 3 3 El mcm de 36 y 48 es 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 5 24 ? 32 5 144
A B S O L U T O
Y
N O T A C I Ó N
C I E N T Í F I C A
Valor absoluto El valor absoluto de un número a se indica con el símbolo uau y denota el número de unidades entre el origen y la magnitud de a, sin tomar en cuenta la dirección, y se define como sigue: si a $ 0, entonces uau 5 a si a , 0, entonces uau 5 2a
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Valor absoluto y notación científica
EJEMPLOS 1. u5u 5 5, porque 5 . 0 2. u25u 5 2(25) 5 5, porque 25 , 0 3. u
5 2 5u 5 5 2
4. u
5 2 5u 5 2( 5 2 5), porque
5 , porque 5 2
5 .0 5 25,0
En general, se puede decir que uau 5 u2au para todo número real a. Notación científica Con frecuencia, en ciencias es necesario tratar con cantidades muy grandes o muy pequeñas y comparar magnitudes relativas de números muy grandes y muy pequeños. Para salvar esta situación se utiliza la notación científica, que consiste en usar el símbolo 3 para denotar multiplicación. La distancia que recorre un rayo de luz en un año es de 5 900 000 000 000 millas. Este número se puede escribir en notación científica como 5.9 3 1012, donde el exponente 12 indica que el punto decimal debe recorrerse 12 lugares a la derecha. doce lugares 6447448 5 900 000 000 000 5 5.9 3 1012
La masa de un electrón es 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 924 gr. Esta cantidad se puede representar por el número 9.24 3 10228, donde el número 228 indica que el punto decimal debe recorrerse 28 lugares a la izquierda. veintiocho lugares 6444444447444444448 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 924 5 9.24 3 10228
Notación científica a 5 c 3 10n, donde 1 # c , 10 y n es un entero.
EJEMPLOS 1. 613 5 6.13 ? 102 2. 25 000 000 5 2.5 3 107 3. 0.000 000 000 623 5 6.23 3 10210 4. 5.71 3 102 5 571 5. 3.15 3 105 5 315 000 6. 2.27 3 1028 5 0.000 000 022 7
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Introducción al álgebra
EJERCICIOS 1. Completa la columna que está en blanco en cada una de las siguientes tablas.
Con notación científica
Sin notación científica
6
3.13578 3 10 3.45 3 104 2.324 3 103 3.45 3 1024 4.3 3 10210
Sin notación científica
Con notación científica
57241 3 200 000 000 0.000 000 12 0.023 1 245 000 000 000 000
2. Calcula las siguientes operaciones y expresa el resultado con notación
científica. 3.2 × 10 3 5 1.2 × 10 2 + 1.52 × 10 3
3. Calcula las siguientes operaciones y expresa el resultado con notación
científica. 1.23 3 1024 1
4.5 × 10 3 5
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19
4. Calcula las siguientes operaciones y expresa el resultado con notación
científica. (5.2 3 102) 3 (9.85 3 103) 5
Las pantallas de las calculadoras tienen diferentes formas de presentar la notación exponencial, ya que suprimen el 10. Aquí te presentamos algunas. Por ejemplo, el número 3 045 000 000 000 5 3.045 3 1012 puede aparecer, según la calculadora, como: 3.045 12
R
A Z O N E S
Y
3.045 E 12
3.045 12
P R O P O R C I O N E S
Razones Una cantidad a es igual a 5 y otra b es igual a 7. Si comparas estas dos cantidades, ¿qué podrías decir?
a−b a = a ÷ b = a :b b
La palabra racional se toma del concepto matemático de razón, que significa comparar dos cantidades o dos números. Esta comparación se puede realizar de dos maneras, una por diferencia y otra por división. De manera que para la pregunta anterior puede responderse diciendo que a es a 5 5 < 0.7143 < 71.43%, decimos que a b 7 es aproximadamente el 71.43% del valor de b. Esto se resume en el cuadro siguiente:
menor en dos unidades que b, o bien, si
Razón aritmética a2b Ésta se da cuando la comparación se realiza por medio de una diferencia.
Razón geométrica a 5a4b5a:b b Cuando la comparación es por medio de una división.
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Introducción al álgebra
En una razón, sus términos reciben el nombre de antecedente “a”, el primero y consecuente, “b”, el segundo. En la vida cotidiana las razones como modelos matemáticos son de uso muy frecuente e importante. Veámoslo con los siguientes ejemplos.
EJEMPLOS 1. ¿Qué parte de 50 es 23.5?
Solución Dividiendo 23.5 entre 50 23.5 5 0.47 5 47% 50 2. ¿Entre qué número debemos dividir 30 para que nos dé 60?
Solución Llamemos x al número que deseamos conocer, de manera que 30 5 60 x Luego, si consideramos los recíprocos x 1 5 , 30 60
por lo tanto,
x5
30 1 5 5 0.5 60 2
3. ¿En qué precio debe venderse un artículo que cuesta
140 pesos?
5 de su valor original de 7
Solución Esto significa que debemos multiplicar
5 por 140, 7
( 5 )(140 ) 5 5 140 (140) 5 3 5 5 100 pesos ( 7 )(1) 7 7 1 4. ¿Cuál es la razón de $0.60 a $2?
Solución $2 es igual que 200 centavos, por lo tanto, la razón es 60 3 5 200 10
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EJERCICIOS 1. ¿Qué parte de 69 es
2 ? 3
2. ¿Cuánto pierde de su valor un automóvil que se vende a
que fue de $100,000?
3. Un vendedor tiene que recorrer el primer día las
día
4 de su valor original, 5
4 partes de 105 km y el segundo 7
2 de lo que le resta. ¿Cuánto le falta por recorrer? 3
4. ¿Cuál es el valor de cada ángulo interior de un triángulo cuya razón es de 5:4:3?
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Introducción al álgebra
5. Tres socios se van a repartir $900,000; el primero y el segundo recibirán
del total, respectivamente. ¿Cuánto recibirá el tercero?
6. Luego de cortar
5 1 y 9 3
3 2 y de una tabla de madera, la longitud de ésta ha dis11 7
minuido en 78 centímetros. ¿Cuál era su longitud original?
7. En una escuela preparatoria el número de alumnos respecto del número de
3 . Si el total de estudiantes es de 2,000, ¿cuántos estudiantes 4 mujeres y hombres hay? alumnas es de
8. Las ventas de un combustible A respecto a un combustible B están en la ra-
5 . Si mensualmente se venden 9,000 litros, ¿cuántos se venden de A y 3 cuántos de B? zón
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9. El largo y el ancho de un rectángulo están en la razón 5:4. Si su perímetro es de
100 cm, determina las longitudes del largo y del ancho.
10. Un estudiante contestó correctamente 25 de 30 preguntas en un examen. ¿Cuál
es la razón de respuestas incorrectas al número de respuestas correctas?
Proporciones A la igualdad de dos razones en matemáticas se le llama proporción; por ejemplo, 3 12 5 o, escrito de otra forma, 3:4 5 12:16, y se lee “3 es a 4 como 12 es a 16’’. 4 16 a c 5 , que puede escribirse también b d a : b 5 c : d, los términos a y d se llaman extremos, mientras que b y c son los medios. En general, si tenemos la proporción
extremos
64748 a:b5c:d 678 medios
Una propiedad de las proporciones dice que el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios, es decir: ad 5 bc
EJEMPLOS 1. Encuentra el valor de x en la proporción
4 16 5 3 x
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Introducción al álgebra
Solución Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones, tenemos que 4x 5 (16)(3); por lo tanto, (16 )( 3) 5 12 4
x5
2. Encuentra el valor de x en la proporción
4 x 5 7 14
Solución Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones, tenemos que (4)(14) 5 7x; por lo tanto, x5
( 4 )(14 ) 58 7
EJERCICIOS 1. Resuelve la proporción
7 58 5 14 x
2. Resuelve la proporción
x 58 5 14 100
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3. Un automóvil recorre 100 km con 8 litros de gasolina. ¿Cuántos litros necesita
para recorrer 270 km, que es la distancia de la ciudad de Chihuahua a Ciudad Juárez?
4. Un reloj se atrasa 3 minutos por semana, ¿cuánto se atrasará en un año?
5. Una superficie rectangular tiene 2.5 m de ancho por 5 m de largo. ¿Cuánto debe
variar el largo para que el ancho sea de 2 m sin que la superficie cambie?
6. Si 20 libras de manzanas cuestan 1.80 dólares, ¿cuánto cuestan 28 libras de
manzanas?
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Introducción al álgebra
7. Encuentra el valor de x en la figura. 4 2 4
P
x
O R C E N T A J E S Una de las comparaciones de cantidades más usada en la vida cotidiana es la de los porcentajes. La razón de un número respecto al cien se llama porcentaje, es decir que siempre dividimos por cien. El porcentaje se representa mediante el símbolo %. Ejemplos: a)
40 5 0.40 5 40% 100
se lee cuarenta por ciento.
b)
70 5 0.70 5 70% 100
se lee setenta por ciento.
c)
100 5 1 5 100% 100
se dice cien por ciento.
d)
120 5 1.20 5 120% significa ciento veinte por ciento. 100
A veces es conveniente expresar los porcentajes como un modelo de proporciones.
EJEMPLOS 1. Determina el 20% de 32.
Solución Planteamos la situación así: ( 32 )( 20 ) 32 x 640 5 entonces x 5 5 5 6.4 100 20 100 100 Entonces el 20% de 32 es 6.4.
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Porcentajes 2. ¿De qué número es 45 el 5%?
Solución La proporción será entonces x 45 5 100 5 x5
( 45 )(100 ) 4500 5 5 900 5 5
El 5% de 900 es 45. 3. Determina qué porcentaje de 500 es 75.
Solución Si x es el porcentaje buscado, entonces 500 75 5 100 x x5
( 75 )(100 ) 7500 5 5 15% 500 500
75 representa el 15% de 500. 4. Si 168 es el 120% de una cantidad, ¿de que número estamos hablando?
Solución Planteamos la situación como x 168 5 100 120 x5
(168 )(100 ) 16800 5 5 140 120 120
140 es la cantidad buscada. 5. ¿En cuánto se venderá un artículo que normalmente cuesta $160 y se ofrece en ofer-
ta con un 25% de descuento? Solución Si x es el precio de la oferta, entonces es el 75% de $160. Es decir, 160 x 5 100 75 x5
(160 )( 75 ) 12000 5 5 120 dólares 100 100
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Introducción al álgebra
EJERCICIOS 1. ¿Qué porcentaje de 235 es 47?
2. Escribe 12/5 como porcentaje.
3. ¿378 es el 70% de qué número?
4. ¿352 es el 25% menos de qué número?
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5. Escribe 25.5% como decimal.
6. ¿Qué porcentaje es 135 de 450?
7. ¿Qué porcentaje de 235 es 470?
8. Escribe el 70% de 25.
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Introducción al álgebra
9. Una persona gana $12,000 mensuales. Si logra un aumento del 4.5%, ¿a cuánto
ascenderá su salario?
10. Un jugador de beisbol bateó 320 veces de 500 que estuvo en su turno al bat.
¿Qué porcentaje de bateo logró?
11. Un automóvil nuevo cuesta 13,000 dólares. Si se devalúa 11% anualmente,
¿cuánto vale después de 3 años?
12. El agua tiene una propiedad anormal, cuando se congela aumenta de volumen
en un 9%. Un cubo de hielo contiene 16 cm3, ¿cuál será el volumen de agua cuando se derrita?
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13. Un estudiante de bachillerato contestó correctamente 42 preguntas en un exa-
men de 50. ¿Qué porcentaje de preguntas no contestó o lo hizo incorrectamente?
14. Un terreno tiene un valor inicial de $300,000 y por la plusvalía de su ubicación
su precio se incrementa en un 7% anual. ¿Cuánto vale al término del segundo año de su venta?
L
E N G U A J E
A L G E B R A I C O
Antes de presentar el lenguaje algebraico, es necesario que revisemos cada uno de los siguientes conceptos. Signos del álgebra. En el álgebra existen tres tipos de signos: signos de operación, signos de relación y signos de agrupación. Signos de operación. Son los signos utilizados en las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. Sumar
Restar
Multiplicar
a1b
a2b
a 3 b 5 a ? b 5 (a)(b)
se lee a más b
se lee a menos b
se lee a por b
Dividir
Elevar a potencias
Extraer raíces
a 5a4b b se lee a dividido entre b
am m se llama exponente y se lee a elevado a la m
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n n
a
el signo a se llama radical y se lee la raíz enésima de a
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Introducción al álgebra
Signos de relación. Estos signos indican la relación que hay entre dos cantidades. 5 se lee igual a. Así, por ejemplo, a 5 b significa que a y b son iguales. . se lee mayor que. Si a es mayor que b se escribe a . b. , se lee menor que. Si a es menor que b se escribe a , b. Signos de agrupación. Son símbolos que nos ayudan a indicar de una manera más clara y eficiente la combinación entre las operaciones algebraicas. ( ) Paréntesis ordinario (a 1 b)c. Indica que el resultado de sumar a y b debe multiplicarse por c. [ ] Paréntesis angular o corchete [a 2 b]c. Indica que el resultado de la diferencia entre a y b debe multiplicarse por c. { } Llaves. u u Barras. Notación algebraica Aunque es probable que ya estemos familiarizados con la notación algebraica, vamos a señalar de nuevo que para representar las cantidades en álgebra se utilizan números y letras, a diferencia de la aritmética, que sólo utiliza números. Los números se utilizan para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades. Generalmente las primeras letras del alfabeto, (a, b, c, d…) se usan para representar cantidades conocidas y las últimas letras como u, v, x, y, z, se utilizan para representar cantidades desconocidas. Expresión algebraica Es la consecuencia de la generalización que hace el álgebra al utilizar letras y números, al tiempo que representa las cantidades y las operaciones entre éstas; también suelen llamarse fórmulas algebraicas. EJEMPLOS 2x2,
b 3 h, l 3,
(a 1 b)2,
5x , (x 1 y)(x 2 y), 2 − 4 x , etcétera. x+4
2x2 representa una regla que eleva al cuadrado una cantidad y la multiplica por 2. b 3 h es el producto de dos cantidades. l 3 es el cubo de una cantidad. (a 1 b)2 representa la suma de dos cantidades elevada al cuadrado. (x 1 y)(x 2 y) representa el producto de la suma por la resta de dos cantidades. 2 − 4x • significa restar cuatro veces una cantidad a 2 y luego dividir todo entre la x+4 suma de la cantidad más cuatro.
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Con frecuencia las expresiones algebraicas nos sirven para representar áreas o volúmenes, procesos económicos, comportamientos de la naturaleza, etcétera, como ya estudiaremos más adelante. ab
b2
a2
ab a
b
l
Intereses devengados por un capital. C 5 P(1 1 i )n
x l l
x Área 5 x
2
a
Volumen 5 l
3
b
(a 1
b)2
Término Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios no separados por el signo 1 o por el signo 2. Por ejemplo, x, 2b, 3xy,
5a son términos. 2b
Elementos de un término. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado respecto de una literal. • Signo. Precede y define el sentido del término y puede ser positivo o negativo. • Coeficiente. Es un factor más del término que generalmente va primero en la expresión y con mucha frecuencia es un número. • Parte literal. Es la parte formada por las letras que hay en el término. • Grado respecto a una letra. Es el grado en relación con una letra elegida de antemano.
EJEMPLOS Término
Signo
Coeficiente
Parte literal
Grado
a
positivo
1
a
1
25ax
negativo
5
ax
Uno en relación a x y también a la a
9a5b
positivo
9
a5b
Cinco en relación a a
3x 2y
negativo
3 2
x y
Uno respecto a x
5 3 ax 7
positivo
5 7
ax3
Tres respecto a x
2
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Introducción al álgebra
Clases de términos 3a 3b 5 . 5
•
Término entero. Es el que no tiene denominador literal como 5x,
•
Término fraccionario. Es el que tiene un denominador literal como
•
Término racional. Son términos que no tienen radicales como 5x,
•
Término irracional. Son términos que tienen radicales, como
3x . y
3a 3b 5 . 5
xy ,
5a . 3 2b
EJERCICIOS 1. Escribe el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado respecto a la letra que hayas
elegido. Término
Signo
Coeficiente
Parte literal
Grado
7a2 24a3x 24a2b3 2
3x 4 2 5 3 x 7 2. Escribe 10 términos enteros, 10 fraccionarios, 10 racionales y 10 irracionales.
10 enteros
10 fraccionarios
10 racionales
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10 irracionales
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Con todo lo antes dicho ya debemos estar en condiciones de enunciar expresiones algebraicas de manera verbal o con una representación simbólica; esto es el lenguaje algebraico.
EJERCICIOS Completa los espacios en blanco de las tablas mostradas a continuación Enunciado verbal
Representación simbólica
La suma de tres cantidades diferentes. El triple de un número. Cuatro números consecutivos. El volumen de un cubo. Una persona tiene $x, recibe $500, pero paga $y. ¿Cuánto le queda? La persona que compra x libros a $120 y y lápices a $4.20, ¿cuánto se gasta? El cociente de dos números.
Representación simbólica
Enunciado verbal
xy x3 1 y3 2(a 1 b) 1 2 x 4 a2b 2x 2n
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Introducción al álgebra
Solución Los ejercicios anteriores debieron haberte quedado de la siguiente manera. Enunciado verbal
Representación simbólica
La suma de tres cantidades diferentes.
a 1 b 1 c, x 1 y 1 z, etc.
El triple de un número.
3a, 3x, etc.
Cuatro números consecutivos.
n, n 1 1, n 1 2, n 1 3 V 5 l3
El volumen de un cubo. Una persona tiene $x, recibe $500, pero paga $y. ¿Cuánto le queda?
(x 1 500) 2 y
La persona que compra x libros a $120 y y lápices a $4.20, ¿cuánto se gasta?
120x 1 4.20y a,m, x, etc. b n y
El cociente de dos números.
Representación simbólica xy x3 1 y3 2(a 1 b) 1 2 x 4 a2b
Enunciado verbal La raíz cuadrada del producto de dos números. La suma de los cubos de dos números. El doble de la suma de dos números. La cuarta parte del cuadrado de un número. La diferencia de dos números.
2x
El doble de un número.
2n
Un número par, siendo n un entero o el doble de un número.
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S
U C E S I O N E S
Y
S E R I E S
Fn = Fn −1 + Fn − 2
an = 5 an −1 8
En matemáticas la palabra sucesión tiene prácticamente el mismo significado que en el lenguaje cotidiano. Cuando disponemos de una lista de números escritos en un orden específico lo que estamos obteniendo es una sucesión o progresión numérica. De tal suerte que si llamamos a1 al primer término, a2 al segundo término, a3 al tercer término y en general an al n-ésimo término de la lista, entonces la sucesión la podemos escribir de la siguiente manera a1, a2, a3, …, an. Y como a cada término an le corresponde un número natural n, una sucesión o progresión se define como una regla de dependencia entre los términos de la sucesión y los números naturales. Sucesión. Es una lista de términos dispuestos en un orden específico de forma que quedan determinados por una regla de dependencia definida por el conjunto de los números naturales.
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Introducción al álgebra
Un ejemplo sencillo de una sucesión son los números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … los puntos significan que la sucesión es indefinida y se llama precisamente sucesión infinita. El ejemplo nos muestra que efectivamente se trata de los números impares, pero para mayor exactitud es conveniente especificar un procedimiento para calcular todos y cada uno de los términos de la sucesión. En este caso, an 5 2n 2 1 porque cualquier número natural n multiplicado por 2 al que se resta 1 nos produce un número impar. La sucesión se escribe como sigue: 1,
3,
5,
7,
a1
a2
a3
a4
…,
2n 2 1,
…
an
Observa cómo la fórmula an 5 2n 2 1 nos permite obtener todos los términos de la sucesión. Por ejemplo, los primeros cuatro términos de la sucesión se obtienen así: Si n 5 1, entonces a1 5 2(1) 2 1 5 1 Otra forma de escribir las sucesiones es con la notación funcional:
Si n 5 2, entonces a2 5 2(2) 2 1 5 3
a(n) 5 2n 2 1 De manera que
Si n 5 3, entonces a3 5 2(3) 2 1 5 5
a(1) 5 2(1) 2 1 5 1, a(2) 5 2(2) 2 1 5 3, etcétera.
Si n 5 4, entonces a4 5 2(4) 2 1 5 7 Para calcular el centésimo término de esta sucesión se sustituye n por 100 en la expresión an 5 2n 2 1 a100 5 2(100) 2 1 5 199
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•
39
6
n
Cálculo de los términos de una sucesión EJEMPLOS Calcula los 4 primeros términos y el centésimo término de cada una de las sucesiones siguientes. 1. an 5 2n 2. an 5 n2 2 1 3. an 5
n +1 n
4. an 5 (21)n
Solución n-ésimo término
a1
a2
a3
a4
a100
1. an 5 2n
2
4
6
8
200
2. an 5 n2 2 1
0
3
8
15
9999
2
3 2
4 3
5 4
101 100
21
1
21
1
1
3. an 5
n +1 n
4. an 5 (21)n
En el ejemplo 4 observa cómo se alternan los signos producto de las potencias pares e impares. 1 5. Calcula y grafica los primeros seis términos de la sucesión an 5 n Solución Como los términos de una sucesión dependen de los números naturales, su gráfica se puede trazar a partir de un plano cartesiano. an 5 1,
1 1 1 1 1 1 , , , , , …, , … 2 3 4 5 6 n
an 1
Observa que los puntos de la sucesión no están conectados.
1
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2
3
4
5
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Introducción al álgebra
EJERCICIOS Calcula los primeros 4 términos y el milésimo término de cada sucesión. n-ésimo término
a1
a2
a3
a4
a1000
1. an 5 n 1 1 2. an 5
1 n +1
3. an 5
( −1)n n2
4. an 5 1 1 (21)n 5. an 5 2n 1 3 6. an 5 n2 1 1 7. an 5
1 n2
8. an 5 (21)n11
n n +1
Ahora calcula y grafica los primeros seis términos de la sucesión an 5 an 1
1
2
3
4
21
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5
6
n
( −1)n +1 n
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Cálculo de los términos de una sucesión recursiva Una sucesión recursiva ocurre cuando tenemos definido un primer término de ésta y queremos conocer el siguiente término de la sucesión como consecuencia del término anterior.
EJEMPLOS 1. Calculemos los 5 primeros términos de la sucesión recursiva
an 5 an21 1 2 y a1 5 1. Solución Observa que calcularemos el segundo término a partir del primero, el tercero a partir del segundo, el cuarto a partir del tercero, y así sucesivamente. Como a1 5 1 podemos calcular los demás términos a partir de éste como sigue: a2 5 a1 1 2 5 1 1 2 5 3 a3 5 a2 1 2 5 3 1 2 5 5 a4 5 a3 1 2 5 5 1 2 5 7 a5 5 a4 1 2 5 7 1 2 5 9 a6 5 a5 1 2 5 9 1 2 5 11 Los primeros cinco términos de la sucesión son 1, 3, 5, 7, 9, … Observa que si quisiéramos calcular el vigésimo término tendríamos que conocer el décimonoveno. 2. Sucesión de Fibonacci. Esta sucesión toma su nombre de su descubridor, un mate-
mático italiano del siglo XIII, Fibonacci (1175-1250), que la utilizó para resolver un problema acerca de la cría de conejos. Es importante mencionar que este comportamiento también se presenta en muchas otras aplicaciones de la naturaleza. La sucesión en mención se comporta recursivamente de la siguiente manera: Fn 5 Fn21 1 Fn22 siendo F1 5 1 y F2 5 1, de forma que F3 5 F2 1 F1 5 1 1 1 5 2 F4 5 F3 1 F2 5 2 1 1 5 3 F5 5 F4 1 F3 5 3 1 2 5 5 Es claro que cada término es tan sólo la suma de los dos que le preceden. Por lo tanto, los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
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Introducción al álgebra
A continuación te mostramos dos ejemplos de la naturaleza donde se manifiesta la sucesión de Fibonacci. 21
13
8
3 2 5
5
11 3
8
2
1 34 1
Sucesión de Fibonacci en las ramas de un árbol Espiral de Fibonacci
EJERCICIOS Calcula los primeros 5 términos de cada sucesión definida en forma recursiva. n-ésimo término 1. an 5 7 2 an21 2. an 5
an−1 2
3. an 5
1 an21 4
si a1 5 28
5. an 5 (an21)n21
1 1 + an −1
a2
si a1 5 5
si a1 5 128
4. an 5 2an21 1 1
6. an 5
a1
si a1 5 1 si a1 5 2 si a1 5 1
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a3
a4
a5
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7. Sucesión de Bode. La sucesión de Bode, definida por
a1 5 0.4,
ak 5 0.1(3 ? 2k22 1 4) para valores de k $ 2
es útil en el cálculo de las distancias entre los planetas y el Sol. Estas distancias se miden en unidades astronómicas (UA), con 1 UA 5 93 000 000 millas. Por cierto, el tercer término corresponde a la Tierra. Calcula los primeros cinco términos de la sucesión.
8. Interés compuesto. Se depositan $1,000 en una cuenta que gana 8% de intere-
ses compuestos trimestralmente. El saldo en la cuenta, después de n trimestres, está dado por n 0.08 An 5 1000, 1 + donde n 5 1, 2, 3, … 4 Calcula los cinco primeros términos de la sucesión y encuentra el saldo después de cinco años.
9. Costo de hospitalización. El costo promedio de un día en un hospital, de 1980 a
1987, está dado por el modelo an 5 242.67 1 42.67n
donde
n 5 0, 1, 2, …,7
en donde an es el costo promedio en dólares y n es el año, n 5 0 correspondiente a 1980. Encuentra los siete términos de esta sucesión finita.
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43
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Introducción al álgebra
Determinación del n-ésimo término de una sucesión Determinar patrones de comportamiento es muy importante en matemáticas y a veces no resulta fácil.Vamos ahora a tratar la situación inversa, dada una sucesión de números, intentaremos encontrar una expresión que represente el n-ésimo término de ésta. EJEMPLO
1
Calcula el n-ésimo término de una sucesión cuyos primeros términos son los siguientes: a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, … b) 22, 4, 28, 16, 232, 64, … Solución a) Se observa que los números de esta sucesión son potencias de 2, por lo tanto, la expresión que coincide con este patrón es an 5 2n 5 21, 22, 23, 24, … b) Se observa que los números de esta sucesión son potencias de 2, pero tienen los signos alternados, por lo tanto, la expresión que coincide con este patrón es an 5 (21)n2n Recordemos que para alternar signos es necesario utilizar como factor el término (21)n. EJEMPLO
2
Crecimiento de bacterias. La cantidad de bacterias en cierto cultivo es inicialmente de 500 y el cultivo se duplica todos los días. Encuentra una fórmula para calcular la población bacteriana después de n días y la cantidad de bacterias luego de 1, 2 y 3 días. Solución Llamemos a0 la cantidad de bacterias al iniciar el cultivo, es decir a0 5 500. Por consiguiente, la población de bacterias después de n días es an 5 2an21, luego, el número de bacterias después del primer día será de a1 5 2a0 5 2(500) 5 1000 el segundo día a2 5 2a1 5 2(1000) 5 2000 y el tercero a3 5 2a2 5 2(2000) 5 4000
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EJERCICIOS Calcula una fórmula que nos dé el n-ésimo término de la sucesión cuyos primeros términos son los siguientes. 1. 2, 4, 8, 16, …
an 5
2. 1, 4, 7, 10, …
an 5
3. 1,
4.
3 , 5 , 7 , 9 ,… 4 9 16 25
3 , 4 , 5 , 6 ,… 4 5 6 7
5. 0, 2, 0, 2, 0, 2, …
an 5
an 5 an 5
6. Niveles de cloro. Cuando se agrega cloro al agua de las piscinas, el nivel de éste
no debe ser mayor a 3 ppm (partes por millón). Si esto ocurre, los nadadores sentirán que les arden los ojos e incomodidad en la piel; si el nivel baja a menos de 1 ppm, hay posibilidades de que el agua tome un tono verdoso por la gran cantidad de algas. El cloro debe agregarse al agua a intervalos regulares. Si no se aplica a una piscina en un periodo de 24 horas, alrededor del 20% del cloro se disipará en la atmósfera y el 80% permanecerá en el agua. a) Demuestra que la sucesión recursiva an 5 (0.20)na0 expresa la cantidad de cloro presente después de n días si la alberca tiene a0 ppm de cloro al principio y no vuelve a agregarse más. b) Si al principio la piscina tiene 7 ppm de cloro, elabora una tabla para hallar el primer día en que el nivel del cloro bajará de las 3 ppm. Día ppm
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45
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N
Introducción al álgebra
O T A C I Ó N
S U M A T O R I A
En esta sección veremos que dada una sucesión a1, a2, a3, …, an, la suma de sus términos se puede representar con una notación muy útil y cotidiana en matemáticas que se conoce como notación sigma o sumatoria. El nombre tiene su origen en la letra mayúscula sigma del alfabeto griego ∑ y que corresponde a nuestra letra “s”. Definición de la notación sigma La suma de n términos a1, a2, a3, …, an se denota por n
∑ ak
5 a1 1 a2 1 a3 1 … 1 an
k =1
donde k se llama índice de la suma, ak es el k-ésimo término y los límites inferior y superior de la suma son 1 y n, respectivamente, es decir, el primero y último término de la sumatoria.
EJEMPLO
1
Observa las sumas en la parte izquierda de la tabla y analiza cómo es su representación simbólica con sumatoria en la parte de la derecha. Suma
Notación sumatoria 10
∑k
1. 1 1 2 1 3 1 … 1 10
k =1
10
∑ k2
2. 12 1 22 1 32 1 … 1 102
k =1
10
∑i
3. 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10
i= 5
n
∑ Ak
4. A1 1 A2 1 A3 1 … 1 An
k =1
5.
1 (12 + a ) + 1 ( 2 2 + a ) + 1 ( 32 + a ) +…+ 1 ( n 2 + a ) n n n n
n
∑ 1n ( j 2 + a ) j =1
6
6. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∑2 i=1
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EJEMPLO
2
Calcula las siguientes sumas: 4
a)
5
∑ k2
b)
k =1
10
∑ 1k k=3
c)
∑i = i=5
Solución 4
a)
5
∑ k 2 = 12 + 2 2 + 32 + 4 2 = 30
b)
k =1
47 ∑ 1k = 13 + 41 + 15 = 60
k=3
10
c)
∑ i = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45 i=5
Propiedades de las sumatorias n
1.
n
∑ cak = c ∑ ak k =1
donde c es una constante.
k =1
2.
n
n
n
k =1
k =1
k =1
∑ ( a k ± bk ) = ∑ a k ± ∑ bk
EJERCICIOS 1. Determina la suma indicada.
Notación sumatoria
Suma
3
a)
∑ (2 k − 1) k =1 4
b)
∑ k2 k =1 3
c)
∑ 1k k =1 8
d)
∑ 1 + (−1) j j =1 5
e)
∑ 2 k −1 k =1
100
f)
∑ (−1)k k =1
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Introducción al álgebra
2. Usa la notación sigma para indicar la suma dada en la siguiente tabla:
Suma
Notación sumatoria
a) 1 1 2 1 3 1 … 1 n
b) 2 1 4 1 6 1 … 1 20
c)
a + a + a +…+ a 1+1 1+ 2 1+ 3 1 + 10
d) A1 1 A2 1 A3 1 … 1 An e) 12 1 22 1 32 1 … 1 102
S
U C E S I O N E S
A R I T M É T I C A S
Probablemente la forma más sencilla de generar una sucesión es comenzar con un número a y sumarle una constante d a cada término consecutivo. Sucesión aritmética. Es una sucesión de la forma
a,
a 1 d,
a 1 2d,
a 1 3d,
a 1 4d, …
donde a es el primer término y d es la diferencia común de la sucesión entre dos términos consecutivos. Por lo tanto, el n-ésimo término de una sucesión aritmética se calcula con la expresión an 5 a 1 (n 2 1)d
EJEMPLO
1
Si a 5 2 y d 5 3 calcula los 4 primeros términos y el n-ésimo término de la sucesión aritmética.
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Solución a1 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 (1 2 1)(3) 5 2 a2 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 (2 2 1)(3) 5 5 a3 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 (3 2 1)(3) 5 8 an 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 3(n 2 1)
EJEMPLO
2
Encuentra el n-ésimo término de la sucesión aritmética. 5, 2, 21, 24, 27, … Solución La diferencia común se obtiene restando dos términos consecutivos, por lo tanto, d 5 23 y el n-ésimo término de la sucesión es an 5 5 2 3(n 2 1)
EJEMPLO
3
Encuentra los cinco primeros términos y el 100-ésimo término de la sucesión. 17, 12, … Solución El primer término es 17, por lo tanto, a 5 17 y la diferencia entre dos términos consecutivos es d 5 12 2 17 5 25, luego an 5 17 2 5(n 2 1) a1 5 17 2 5(1 2 1) 5 17 a2 5 17 2 5(2 2 1) 5 12 a3 5 17 2 5(3 2 1) 5 7 a4 5 17 2 5(4 2 1) 5 2 a5 5 17 2 5(5 2 1) 5 23 a100 5 17 2 5(100 2 1) 5 2478 Los primeros seis términos de la sucesión son 17, 12, 7, 2, 23, 28 y el 100-ésimo es 2478.
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Introducción al álgebra
EJEMPLO
4
El undécimo término de una sucesión aritmética es 52 y el decimonoveno es 92. Calcula el 300-ésimo término. Solución Para calcular el n-ésimo término de la sucesión necesitamos conocer a y d de la expresión an 5 a 1 (n 2 1)d. Al sustituir, obtenemos que a11 5 a 1 (11 2 1)d 5 52 entonces a 1 10d 5 52 a19 5 a 1 (19 2 1)d 5 92 entonces a 1 18d 5 92 Resolviendo el sistema de ecuaciones que aparecen en gris tendremos los valores de a y d. − a − 10 d = −52 multiplicando por − 1 a + 18 d = 92 8 d = 40 suumando las dos ecuaciones 40 5 5 y a 5 52 2 10d 5 2. 8 El 300-ésimo término es a300 5 2 1 5(300 2 1) 5 1497. Es pertinente mencionar que es muy probable que el estudiante aún no esté familiarizado con la resolución de ecuaciones como las del ejemplo anterior, por eso la importancia de la mediación que el docente debe asumir. despejando tenemos que d 5
EJERCICIOS Determina la diferencia común, el cuarto término, el 100-ésimo y el n-ésimo de cada sucesión aritmética. Sucesión aritmética
d
1. 2, 5, 8, 11, … 2. 1, 5, 9, 13, … 3. 212, 28, 24, 0, … 4. 25, 26.5, 28, 29.5, … 5. 2, 2 1 s, 2 1 2s, 2 1 3s, …
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a4
a100
an
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6. El duodécimo término de una sucesión aritmética es 32 y el quinto término
es 18. Calcula el 20-ésimo término.
7. El 100-ésimo término de una sucesión aritmética es 98 y la diferencia común
es 2. Calcula los tres primeros términos.
8. El vigésimo término de una sucesión aritmética es 101, y la diferencia común
es 3. Calcula los dos primeros términos.
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51
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Introducción al álgebra
Suma de una sucesión aritmética Reflexiona esta pregunta: ¿cuál es la suma de los números 1, 2, 3,…, 100? Anécdota de Gauss. Cuenta la historia que cuando el célebre matemático C. F. Gauss estaba en la escuela, su profesor planteó esta suma a la clase para mantenerlos ocupados. Gauss dio la respuesta correcta casi de inmediato. Se fijó que los números guardan un patrón de comportamiento y supuso que la suma también, así que hizo el procedimiento siguiente: Dispuso la suma de los números en orden ascendente y después en orden descendente y sumó de la siguiente manera: S = 1 + 2 + 3 +…+ 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 +…+ 3 + 2 + 1 2 S = 1011 + 101 + 101 +…+ 101 + 101 + 101 Es evidente que 10100 5 5050. 2 Naturalmente que este procedimiento puede generalizarse para hallar la suma de los n primeros términos de cualquier sucesión aritmética; así 2S 5 (1 1 100)100 5 (101)100 5 10, 100, por lo tanto, S 5
Sn 5 a 1 (a 1 d) 1 (a 1 2d) 1 (a 1 3d) 1 … 1 an y Sn 5 an 1 (an 2 d) 1 (an 2 2d) 1 (an 2 3d) 1 … 1 a Sumando ambas expresiones tenemos que 2Sn 5 (a 1 an) 1 (a 1 an) 1 (a 1 an) 1 … 1 (a 1 an) Hay n términos idénticos en el lado derecho de esta ecuación, por eso 2Sn 5 n(a 1 an) Sn 5
n (a 1 an) 2
Pero recuerda que an 5 a 1 (n 2 1)d es el n-ésimo término de la sucesión, así que la suma la podemos escribir como Sn 5
n n [a 1 a 1 (n 2 1)d] 5 [2a 1 (n 2 1)d] 2 2
Suma de los n términos de una sucesión aritmética
La suma Sn 5 a 1 (a 1 d) 1 (a 1 2d) 1 (a 1 3d) 1 … 1 an de los n primeros términos de una sucesión aritmética los podemos calcular con cualquiera de las siguientes fórmulas. n n 1. Sn 5 (a 1 an) 2. Sn 5 [2a 1 (n 2 1)d] 2 2
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EJEMPLO
1
Calcula la suma de los primeros 50 números pares. Solución En este caso a 5 2 y d 5 2. El n-ésimo término de esta sucesión es an 5 2n, por lo que a50 5 2(50) 5 100. Por tanto la suma buscada es S50 5
EJEMPLO
n 50 (a 1 a50) 5 (2 1 100) 5 2550 2 2
2
Calcula la suma de los 40 primeros términos de la sucesión aritmética 3, 7, 11, 15, … Solución Para esta sucesión a 5 3 y d 5 4, entonces a40 5 3 1 4(40 2 1) 5 159, luego la suma de los 40 términos de la sucesión es S40 5
EJEMPLO
n 40 (a 1 a40) 5 (3 1 159) 5 3240 2 2
3
Un teatro tiene 50 filas de asientos, y en la primera fila hay 20 butacas, 22 en la segunda, 24 en la tercera y así sucesivamente. Calcula la cantidad total de butacas. Solución La cantidad de asientos forman una sucesión aritmética con a 5 20 y d 5 2. Entonces, utilizando la segunda fórmula, la suma de butacas es S50 5
n 50 [2a 1 (n 2 1)d] 5 [2 ? 20 1 2(50 2 1)] 5 3450 asientos 2 2
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Introducción al álgebra
EJEMPLO
4
El valor inicial de un auto es de 12,500 dólares. Su depreciación anual es de 1,875 dólares. Calcula el valor del auto después de 5 años. Solución El valor de d 5 21875 y el de a 5 12500 2 1875 5 10625, por lo tanto, estamos buscando a5 y éste es a5 5 10625 1 (5 2 1)(21875) 5 3125 dólares. Observa la siguiente tabla para una mejor comprensión. Tiempo Valor
Primer año Segundo año Tercer año $10,625
$8,750
$6,875
Cuarto año
Quinto año
$5,000
$3,125
EJERCICIOS Determina las sumas indicadas en la siguiente tabla. Suma parcial 1. 1 1 5 1 9 1 … 1 401
2. 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11
3. −3 + −
3 + 0 + 3 + 2 +…+ 30 2 2
4. 2 1 4 1 6 1 8 1 … 1 150
5. 0.7 1 2.7 1 4.7 1 … 1 56.7
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Sn = n ( a1 + an ) 2
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6. Se almacenan postes de teléfonos en una pila con 25 postes en la primera fila,
24 en la segunda, y así sucesivamente. Si hay 12 capas, ¿cuántos postes hay en la pila?
7. Una persona recibe una oferta de trabajo con un salario de $30,000 anuales,
y le prometen aumentos anuales de $2,300. Calcula sus ingresos totales en 10 años de trabajo.
$403,500
8. En un cine al aire libre hay lugares para estacionar 20 automóviles en la primera
fila, 22 en la segunda, 24 en la tercera, y así sucesivamente. Si hay 21 filas en ese cine, calcula la cantidad de autos que se pueden estacionar.
9. Un concursante obtendrá 5 premios en efectivo por un total de $5,000 y habrá
una diferencia de $100 entre premios sucesivos. Encuentra el primer premio.
$800
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Introducción al álgebra
10. Un arquitecto diseña un teatro con 15 butacas en la primera fila, 18 en la se-
gunda, 21 en la tercera, etcétera. Si el teatro debe tener 870 lugares, ¿cuántas filas debe haber en el diseño?
11. Cuando un objeto se deja caer libremente desde un globo de aire caliente, cae
16 pies en el primer segundo, 48 pies en el siguiente segundo, 80 en el siguiente y así sucesivamente. Calcula la distancia total que cae el objeto en 6 segundos.
576 pies
Media aritmética La media aritmética (promedio) entre dos cantidades a y b es m5
a+b 2
a
m
b
y es evidente que está a la misma distancia de a que de b, por lo que a, m y b forman una sucesión aritmética. En general, si m1, m2, …, mk están espaciadas a intervalos iguales entre a y b de tal manera que a, m1, m2, …, mk, b forman una sucesión aritmética, se dice entonces que m1, m2, …, mk son las medias aritméticas entre a y b.
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EJEMPLO Intercala 3 medias aritméticas entre 10 y 18. Solución Podemos considerar una sucesión aritmética con los términos a 5 10 y a5 5 18. Por lo tanto, la diferencia común se calcula de la siguiente manera 18 5 10 1 (5 2 1)d despejando tenemos que d 5
18 − 10 52 4
De esta forma, las medias aritméticas son m1 5
a 1 d 5 10 1 2 5 12
m2 5 m1 1 d 5 12 1 2 5 14 m3 5 m2 1 d 5 14 1 2 5 16 EJERCICIOS 1. Intercala 2 medias aritméticas entre 10 y 18.
2. Un doctor desea aumentar la dosis de medicina de 100 mg a 300 mg por día
a un paciente en 5 etapas iguales. ¿Cuántas medias aritméticas debe insertar entre 100 y 300 para administrar la sucesión de dosis diarias y cuánto valen esas medias?
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3. Las ganancias de 3 años de un negocio están en progresión aritmética. El pri-
mer año ganó 12,500 dólares y el tercero 20,500. ¿Cuál fue la ganancia en el segundo año?
16,500 dólares
4. Se desea construir una escalera con nueve peldaños espaciados igualmente de
forma que la distancia entre ellos disminuya de manera uniforme, de 24 pulgadas en la base a 18 pulgadas en la parte superior. Determina las distancias de los siete peldaños intermedios.
a1 5 18
a9 5 24
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S
U C E S I O N E S
G E O M É T R I C A S
Otra técnica muy sencilla para generar una sucesión es iniciar con un número a y multiplicarlo en forma repetida por una constante r que no sea cero. Observa cómo se comportaría la sucesión y cómo se obtiene el n-ésimo término de tal sucesión. a1 5 a a2 5 ar a3 5 (ar)r 5 ar2 a4 5 (ar2)r 5 ar3 O an 5 arn21 Por consiguiente, la sucesión es de la forma a, ar, ar2, ar3, ar4, …, arn21 y se llama sucesión geométrica. Sucesión geométrica. Es una sucesión de la forma
a, ar, ar2, ar3, ar4, …, arn21 donde a es el primer término y r es el factor común de la sucesión entre dos términos consecutivos. Por tanto el n-ésimo término de una sucesión aritmética se calcula con la expresión an 5 arn21
EJEMPLO
1
Si a 5 2 y r 5 3, se forma la sucesión geométrica 2, 2 ? 3, 2 ? 32, 2 ? 33, 2 ? 34, …, an 5 2(3)n21 o bien, 2, 6, 18, 54, 162, …, an 5 2(3)n21 EJEMPLO
2
La sucesión 2, 210, 50, 2250, 1,250, …, an 5 2(25)n21 es geométrica con a 5 2 y r 5 25. Fíjate que el factor común r se obtiene dividiendo un término consecuente entre el antecedente, r 5
−10 50 5 5 25. 2 −10
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59
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Introducción al álgebra
EJEMPLO
3
La sucesión 1,
es geométrica con a 5 1 y r 5
EJEMPLO
1, 1, 1, 1 …, 1 2 2 4 8
n −1
1 . 2
4
Las sucesiones geométricas también se encuentran en la naturaleza. Si una pelota se 2 1 5 de su posición inicial. El 3 3
deja caer desde 2 metros de altura, rebota sólo 2 segundo rebote llega a una altura de
2⋅1 = 2 , y así sucesivamente. Por consiguiente, 3 3 9
la altura hn es la n-ésima altura en el n-ésimo rebote y viene dada por h 2
hn = 2 1 3 3
n −1
= 2 ⋅ n1−1 = 2 ⋅ 1n = 2 1 3 3 3 3
n
1 2 3 2 9
1
EJEMPLO
2
3
t
5
Calcula el octavo término de la sucesión 5, 15, 45. Solución Es claro que a 5 5 y que r 5
15 5 3, de manera que el octavo término de la suce5
sión es a8 5 arn21 5 5(3)7 5 10,935.
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EJERCICIOS Determina si la sucesión es geométrica. Si lo es, calcula la razón. Sucesión
Razón
1. 2, 4, 8, 16, … 2. 2, 6, 8, 36, … 3. 3,
3 , 3 , 3 ,… 2 4 8
4. 27, 29, 3, 21, …
Determina la razón, el quinto y el n-ésimo término de las sucesiones dadas. Sucesión
Razón
a5
an
5. 4, 12, 36, … 6. 16, 8, 4, … 7. 4, 28, 16, 232, … 8. 49, 7, 1, … 9. 1,
2 , 2, 2 2 , …
10. El primer término de una sucesión geométrica es 3 y el tercero es 4. Calcula el
quinto término.
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61
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Introducción al álgebra
11. El primer término de una sucesión geométrica es 8 y el segundo término es 4.
Calcula el quinto término.
R.
12. La razón de una sucesión geométrica es
1 2
2 5 y el cuarto término es . 5 2
Calcula el tercer término.
13. Si el valor de un automóvil es de $120,000 y se deprecia un 10% anualmen-
te, ¿cuál será el valor del auto después de 5 años? Calcula el valor utilizando la fórmula y comprueba tu resultado completando la siguiente tabla. Año
1
2
3
4
5
Valor del automóvil
R. 70,858.8
14. En cierto cultivo, el número de bacterias se duplica cada día. Si hay 1,000 bacte-
rias al final del primer día, ¿cuántas habrá después de 6 días? Calcula el valor utilizando la fórmula y comprueba tu resultado completando la siguiente tabla. Día
1
2
3
Núm. de bacterias
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4
5
6
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15. Una población tiene 200,000 habitantes y crece a razón del 1.2% cada año.
Estima la población en 30 años.
R. 282,660
Suma de una sucesión geométrica Supongamos que te propones ahorrar guardando 1 centavo el primer día, 2 centavos el segundo, 4 el tercero y así sucesivamente. Si continúas duplicando la cantidad guardada durante 30 días, ¿cuánto tendrás al final del mes? Cuando trates de encontrar la respuesta, te darás cuenta que sería útil tener una fórmula que nos permita obtener la suma de todas esas cantidades de una manera más fácil. Para deducir una fórmula que nos permita calcular la suma Sn de los n términos de una sucesión geométrica Sn 5 a 1 ar 1 ar2 1 ar3 1 … 1 arn21 multiplicamos a Sn por r y luego lo restamos de Sn, obteniendo así Sn 5 a 1 ar 1 ar2 1 ar3 1 … 1 arn21 2ar 2 ar2 2 ar3 2 … 2 arn21 2 arn
2rSn 5
2 arn
Sn 2 rSn 5 a 1 Así, Sn(1 2 r) 5 a(1 2 rn) Sn 5
a (1 − r n ) ; 1− r
r?1
Este resultado se resume como sigue: La suma Sn 5 a 1 ar 1 ar2 1 ar3 1 … 1 arn21 de los n primeros términos de una sucesión geométrica es igual a Sn 5
a (1 − r n ) ; 1− r
r?1
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63
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Introducción al álgebra
EJEMPLO
1
Ahora ya podemos calcular de manera muy rápida la cantidad de dinero total guardada al cabo de 30 días si guardas 1 centavo el primer día, 2 el segundo, 4 el tercero y así sucesivamente, usando la fórmula anterior con a 5 1 y n 5 30 se obtiene S30 5
1(1 − 2 30 ) 5 1 073 741 823 centavos 1− 2
por tanto la cantidad total ahorrada es 10,737,418.23 pesos.
EJEMPLO
2
Determina la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica 1, 0.5, 0.25, 0.125, … Solución La suma requerida de esta sucesión con a 5 1 y r 5
Sn 5 1
EJEMPLO
0.5 5 0.5 es 1
1 − ( 0.5 )10 5 1.998047 1 − 0.5
3 5
Calcula la suma
∑ 7(−2 )k k =1
Solución Si desarrollamos los primeros términos de la sumatoria tenemos que 5
∑ 7 (22)k 5 7(22)1 1 7(22)2 1 … 1 7(22)5 k =1
por lo tanto, a 5 7(22)1 5 214 y r 5
Sn 5 214
7 ( −2 )2 5 22, luego la suma pedida es 7 ( −2 )1
1 − ( −2 )5 1 − 32 33 5 214 5 214 ? 5 2154 1+ 2 1 − ( −2 ) 3
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EJEMPLO
4
Un péndulo recorre una distancia de 20 cm en su primera oscilación. Después recorre el 80% de cada una de las oscilaciones anteriores. ¿Cuál es la distancia total recorrida después de 4 oscilaciones? Solución Tenemos que encontrar S4 con a 5 20 y r 5 0.8. S4 5 20
1 − ( 0.8 ) 4 5 59.04 cm 1 − 0.8
EJERCICIOS Calcula la suma de la sucesión geométrica con las condiciones dadas. 1. a 5 5, r 5 2, n 5 6
S6 5 315
2. a 5
2 1 ,r5 ,n54 3 3
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65
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ 66 • U N I D A D 1
Introducción al álgebra
3. a3 5 28, a6 5 224, n 5 6
S6 5 441
4. a2 5 0.12, a5 5 0.00096, n 5 4
10
5.
∑ 3 12
k
k =1
Sn 5 2.997070
5
6.
∑ 7 23
i
i=0
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7. Un péndulo recorre una distancia de 20 cm en su primera oscilación. Después
recorre el 80% de cada una de las oscilaciones anteriores, ¿cuál es la distancia total recorrida después de 7 oscilaciones?
d 5 79.02 cm
8. Una pelota se deja caer desde una altura de 9 pies. Su elasticidad es tal que
siempre rebota y alcanza la tercera parte de la altura desde la que se le dejó caer. ¿Cuál es la distancia total recorrida por la pelota en el instante en que llega al suelo la quinta vez?
9. La figura mostrada representa un árbol genealógico con la generación actual
(tú) y tres generaciones anteriores, con un total de 12 abuelos. Si buscaras tu historia familiar hasta 10 generaciones, ¿cuántos antepasados encontrarías sin contar a tus padres y a ti?
Padre Tú Madre
1020
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ 68 • U N I D A D 1
Introducción al álgebra
Media geométrica Si a y b son dos números reales positivos, un número positivo m se llama media geométrica de a y b si a, m, b forman una sucesión geométrica. Si la razón común es r, entonces r5
m b 5 , o sea m2 5 ab y m 5 a m
ab
vemos que la media geométrica de los números positivos a y b es
EJEMPLO Determina la media geométrica de los números 20 y 45. Solución m5
20 ⋅ 45 5
900 5 30
EJERCICIO Determina la media geométrica de los números 3 y 5.
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ab .
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U N I D A D
2 P O L I N O M I O S
D E
U N A
V A R I A B L E
Igualdades
70
Propiedades de las igualdades
71
Exponentes
75
Leyes o reglas de los exponentes
79
Radicales
82
Exponentes racionales
87
Operaciones con polinomios
91
Suma y resta de polinomios
93
Multiplicación de monomios y polinomios
99
División de polinomios
104
Productos notables
112
Triángulo de Pascal y binomio de Newton
126
Factorización
136
Expresiones fraccionarias
162 69
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•
I
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
G U A L D A D E S
Fíjate en la siguiente expresión y completa la tabla asignando el valor numérico que resulta al sustituir los valores en cada lado de la relación. a(b + c) = a ⋅b + a ⋅ c a
b
c
a(b 1 c)
a?b1b?c
3
5
4
3(5 1 4) 5 27
3 ? 5 1 3 ? 4 5 27
2
6
3
210
22
23
5
8
10
Expresiones como la anterior reciben el nombre de igualdad. Igualdad Es la relación que se establece entre dos cantidades o expresiones algebraicas cuya diferencia es cero. Esta relación se expresa vinculando las cantidades o expresiones algebraicas en cuestión mediante el signo 5, que se lee igual a. Son ejemplos de igualdades: x + 2 = 3− 5x ;
( a + b ) ( a − b ) = a2 − b2 ;
5 k 2 − 3k − 1 = 0
Clasificación de las igualdades. Las igualdades se clasifican como lo muestra el siguiente diagrama.
Identidades Igualdades Ecuaciones
Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor que tomen las variables que entran en ella; para indicar esta relación se utiliza el signo ⬅, que se lee como es idéntico a. Un ejemplo de este tipo de vinculación es la relación con la que iniciamos el tema de este apartado. Otros ejemplos de identidades son x+ y= y+ x;
( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
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Una ecuación es una igualdad en la que también hay una o varias cantidades desconocidas, sólo que en este caso la relación se verifica únicamente para determinados valores de las variables implicadas. Son ejemplos de ecuaciones: 5x − 3 = 2 − x ;
k3 − 8 = 0 ;
3x − 3 = 2 − y 4 − 5x
Las partes o expresiones separadas por el signo 5 en una igualdad reciben el nombre de miembros, mientras que a los números o cantidades relacionadas con los signos 1 o 2 en cada miembro se les llama términos. término R
término R 2 x − 5 = x +
17
2do. miembro
1er. miembro
P
R O P I E D A D E S
D E
L A S
I G U A L D A D E S
En las propiedades siguientes a, b y c son números reales. Propiedad
Igualdad
Significado
Aditiva
a=b
⇒ a+c=b+c
Si a una igualdad se le suma la misma cantidad en ambos miembros, permanece la relación de igualdad.
Sustractiva
a=b
⇒ a−c=b−c
Si a una igualdad se le resta la misma cantidad en ambos miembros, permanece la relación de igualdad.
⇒ a⋅c = b⋅c
Cuando en una igualdad el miembro de la izquierda y el miembro de la derecha se multiplican por la misma cantidad, ésta no se altera.
Multiplicativa
Divisora
Sustitución
a=b
a = b ⇒ a = b; c c
a=b ⇒ b=a
c≠0
Cuando en una igualdad el miembro de la izquierda y el miembro de la derecha se dividen entre la misma cantidad, ésta no se altera. Si a 5 b, entonces a puede sustituir a b en cualquier expresión algebraica dando una expresión equivalente.
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
EJEMPLOS En cada una de las siguientes igualdades determina el valor de la literal destacando el uso de las propiedades de la igualdad. 1.
x+3= 7 x + 3− 3 = 7 − 3
Propiedad sustractiva
x=4 2.
3.
x−3= 7 x − 3+ 3 = 7 + 3 x = 10
Propiedad aditiva
7 − x = 12 7 − 7 − x = 12 − 7 −x = 5
Propiedad sustractiva
−1( − x ) = −1( −5 ) x = −5 4.
Propiedad multiplicativa
2 y − 5 = 15 2 y − 5 + 5 = 15 + 5
Propiedad aditiva
2 y = 20 2 y 20 = 2 2
Propiedad divisora
y = 10 EJERCICIOS Tomando como referencia los ejemplos anteriores calcula el valor de la parte literal de cada una de las siguientes igualdades haciendo uso de las propiedades de las igualdades. 1.
x − 5 = 28
x 5 33
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2.
x+5=2
3.
7 = 3− x
x 5 24
4.
4 x + 5 = 25
5.
3 − 5 x = 28
x 5 25
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
6.
y +5=2 2
7.
−7 = 3 − y
y 5 10
8.
4 u + 5 = 25 5
9.
−7 x = −63
x59
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Exponentes
10. 7 −
3 z = −20 2
11. −7 = −3 − 4 y
y51
12. −7 a − 21 = 0
E
X P O N E N T E S
Escribe el resultado de cada una de las siguientes multiplicaciones
( −3 ) ( −3 ) ( −3 ) ( −3 ) =
a) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 =
b)
c) − ( 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ) =
1 1 1 1 1 d) = 2 2 2 2 2
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75
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
Cuando en un producto se repite varias veces un factor, por lo general se escribe en notación exponencial. Por ejemplo, las multiplicaciones anteriores se pueden escribir de la siguiente manera: a)
5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5 3 = 125
b)
( −3 ) ( −3 ) ( −3 ) ( −3 ) = ( −3 ) 4 = 81 4 − ( 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ) = − ( 3 ) = −81
c)
d)
1 2
1 2
1 2
1 2
Observa la diferencia entre (23)4 y 234. En (23)4 el exponente opera sobre 23 y en 234 opera sobre 3.
5
1 = 1 = 1 2 2 32
En general, considerando las situaciones anteriores podemos definir los exponentes así: Notación exponencial Si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces la n-ésima potencia de a es a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅⋅⋅ a n factores
El número a se conoce como base y n como exponente. EJEMPLOS a)
( −2 ) 5 = ( −2 ) ( −2 ) ( −2 ) ( −2 ) ( −2 ) = −32 2
b) 2 = 2 2 = 4 3 3 3 9 c) d)
−2 5 = − ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ) = −32
( 5 )( 5 ) ( 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ) ( 5 ⋅ 5 ) = ( 5 ) 3
2
5
= 3125
Multiplicación de potencias con la misma base Es fácil concluir que la notación exponencial finalmente es una multiplicación abreviada en donde los factores se repiten n veces. Por eso es que, a partir de su definición, podemos enunciar varias reglas útiles que nos permitan trabajar de manera más rápida y eficiente con los exponentes. Para multiplicar dos potencias de la misma base se procede de la siguiente manera: 34 ⋅ 32 = ( 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ) ( 3 ⋅ 3 ) = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
⋅ 3 ⋅ 3 = 36 = 3 4 + 2
P 4 factores
2 factores
6 factores
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Exponentes
La evidencia nos muestra que para multiplicar dos potencias con la misma base, sumamos sus exponentes. En general, si a es un número real y m y n son dos enteros positivos cualesquiera entonces a m a n = a ⋅ a ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅ ⋅
a⋅a ⋅ ⋅ a = a ⋅
⋅
⋅⋅⋅ ⋅ a = a m+n
m factores
n factores
m + n factores
De manera que hemos demostrado que a m an = a m+n donde m y n son enteros positivos. Cuando m y n son 0 o enteros negativos, entonces se cumple que 2 0 ⋅ 2 3 = 2 0+ 3 = 2 3 pero esto sólo se cumple si 20 5 1. Asimismo debemos tener en cuenta que 2 5 ⋅ 2 −5 = 2 5 + ( −5 ) = 2 0 = 1 Esto es cierto si 2 −5 = 15 . Estas conclusiones nos conducen a la siguiente definición. 2
Exponentes cero y negativos Si a es cualquier número real diferente de cero y n es un entero positivo, entonces a − n = 1n a
a0 = 1
EJEMPLOS
a)
( −3 ) 0 = 1
b) a −1 = 1 a
0
3 c) = 1 5
División de potencias con la misma base Si vamos a dividir dos potencias con la misma base podemos tomar de referencia lo anterior para concluir el patrón de comportamiento; es decir, a m = a m ⋅ 1 = a m ⋅ a − n = a m+( − n ) = a m− n an an
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
Las operaciones nos muestran que para dividir dos potencias con la misma base, restamos sus exponentes a m = a m−n an
EJEMPLOS a)
5 7 = 5 7 − 3 = 5 4 = 625 53
b)
x 9 = x 9−5 = x 4 x5
Elevar una potencia a otra potencia Si m y n son enteros positivos, tenemos que n
( a ) = a ⋅ a ⋅ a ⋅
⋅⋅⋅ ⋅ a = a ⋅ a ⋅ a ⋅
⋅⋅⋅ ⋅ a a ⋅ a a ⋅ a ⋅
⋅⋅⋅ ⋅ a ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ a ⋅ ⋅ a ⋅
⋅⋅⋅ ⋅ a m factores m factores m factores m factores
m n
n factores
= a ⋅
a⋅a ⋅
⋅⋅⋅ ⋅ a = a mn mn factores
Por lo tanto,
(a )
m n
= a mn
Los casos en que m # 0 o n # 0 se prueban con la definición para exponentes negativos.
EJEMPLO a)
(5 )
2 3
= 5 ( 2 )( 3 ) = 5 6 = 15625
b)
(x )
−2 5
= x ( −2 )( 5 ) = x −10 = 110 x
Elevar un producto a una potencia Si m y n son enteros positivos, tenemos que ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ( ab ) = ( a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ a ) ( b ⋅ b ⋅ b ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ b ) = a n b n ( ab ) n = ( ab
)( ab )
n factores
n factores
( ab ) n = a n b n
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n factores
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L
E Y E S
O
R E G L A S
D E
L O S
E X P O N E N T E S
Esta tabla contiene las leyes de los exponentes; es elemental conocerlas para desarrollar mejor nuestro trabajo. Consideramos que a y b son números reales y los exponentes m y n son enteros. Observarás que sólo demostramos hasta la regla 4. Se sugiere que el estudiante demuestre el resto para una mejor comprensión del tema. Ley
Descripción
Ejemplo
a m an = a m+n
Si multiplicamos dos potencias de la misma base se suman los exponentes.
2 3 ⋅ 2 5 = 2 8 = 256
a m = a m−n an
Para dividir dos potencias con la misma base restamos sus exponentes.
x 7 = x 7− 4 = x 3 x4
3.
(a )
Para elevar una potencia a una nueva potencia se multiplican los exponentes.
4.
( ab ) n = a n b n
5.
a = an b bn
1.
2.
m n
= a mn
n
−n
6.
7.
−n
= b a
3 5
n
= b 3⋅5 = b15
Para elevar un producto a una potencia se eleva cada factor a la potencia.
( 2 y )3 = 2 3 y3 = 8 y3
Para elevar un cociente a una potencia eleva tanto el numerador como el denominador a la potencia.
x = x3 = x3 5 5 3 125
3
Para llevar del numerador al denominador o del denominador al numerador un número elevado a una potencia cambia el signo del exponente.
m
a =b b− m an
a b
(b )
Para elevar una fracción a una potencia negativa, invierte la fracción y cambia el signo del exponente.
m m x−n = 1 ⋅ y = y −m n 1 y x xn
a b
−n
−n n n = a − n = 1n ⋅ b = b n b a 1 a
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
Simplificación de expresiones con exponentes Simplifica a)
2
x y3x b) y z
( 3x y )( 2 xy )
2 4
2 3
2
Solución a)
( 3x y )( 2 xy ) = ( 3x y ) 2 x ( y ) = ( 3 x y )(16 x y ) 2 4
2 3
2 3
2 3
4
2 4
4
4 8
= ( 3 )(16 ) x 2 + 4 y 3+ 8
Ley 4 Ley 3 Ley 1 y agrupamiento de términos
= 48 x 6 y11 b)
( )
2
2 3 2 3 x2 x y x = x2 ⋅ y y z y2 z2
Leyes 4 y 5
=
x 2 + 2 y 3⋅2 x 4 y 6 = 2 2 y2 z2 y z
Leyes 1 y 3
=
x 4 y6−2 x 4 y 4 = 2 z2 z
Ley 2 y agrupamiento de términos
EJERCICIOS 1. Calcula las potencias dadas a continuación.
a)
( −4 ) 2 =
d) 1 2
g)
−2
=
3−2 ⋅ 4 5 =
b) −4 2 = e) 1 3 h)
2
( 4 ) −3 =
510 = 54
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c) π 0 = 0
f)
5 ⋅ 3−2 = 7
i)
(3
2
⋅ 35
)
3
=
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2. Simplifica las siguientes expresiones y escríbelas únicamente con exponentes
positivos.
a) x −2 x 8 =
b)
( 4 a )( 5a 3 ) =
(
)
1 x 2 6 x −8 = d) x 4 3
c)
( 6 x )3 =
e)
( 3a b )( 2 a b ) =
f)
( 2 s t ) 41 s 16t
g)
( ab ) 3 ( 2b −6 ) ( 4 a ) 5 =
h)
( 2u v ) ( 3u v )
2
5 6
i)
x5 ( 2x )
k)
( 2 x )3 =
=
( x y ) ( xy ) m)
−4 −3
2 3 4
x2y
o)
( xy z ) (x y z)
q)
(x (x
3 2
3
) z)
yz −2
−5 −2
y
3
=
4
3 4
3
=
−3
p)
xy −2 z −3 x 2 y 3 z −4
r)
2x2y 3 xy 2 z 3 z
4
=
=
c4d 3 d 2 = n) cd 2 c 3
2 3 4
=
−2
( 2 x ) ( 3x ) = (x ) 3 2
l)
3
4
x 5 y −5 = x 7 y −2
j)
2x5
6
3 −1 3
3
x3
−1
3 −1
(
=
)
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−2
=
81
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•
R
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
A D I C A L E S
Ya sabemos lo que el significa 2n cuando n es un entero, pero valdría la pena pregun3
tarse el significado de una expresión como 2 5 , en donde el exponente es un número racional, es decir, no es entero. Para poder responder es necesario conocer y analizar los radicales. El símbolo significa raíz cuadrada positiva de. De manera que, x = a significa que a2 5 x y que a ⱖ 0 Por ejemplo,
Quizás estés pensando que el número 4 tiene dos raíces cuadradas, 2 y 22, pero por convención se sugiere que cuando se desee la raíz cuadrada negativa, se debe escribir − 4 = −2 , ya que la raíz positiva 2 se conoce como la raíz cuadrada principal de 4.
4 = 2 porque 22 5 4 y evidentemente 2 ⱖ 0 Además de las raíces cuadradas existen las raíces cúbicas, las raíces cuartas y, en general, las raíces n-ésimas. La raíz n-ésima de x es el número que, al ser elevado a la n-ésima potencia, nos produce x. Es decir,
Raíz n-ésima Si n es cualquier número entero positivo, entonces la raíz n-ésima principal de x se define como n
x 5a
y significa que
an 5 x
Si n es par, tenemos que considerar que x $ 0 y a $ 0. De acuerdo con la definición anterior 4
16 = 2 porque 24 5 16 y 2 ⱖ 0
3
−27 = −3 porque
( −3 ) 3 = −27
Es muy importante aclarar que las raíces pares de números negativos no están definidas. Por ejemplo, −4 , 4 −16 , 6 −64 etcétera, no están definidas porque no hay ningún número que elevado a una potencia par nos dé un número real negativo.
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Propiedades de las raíces n-ésimas Propiedad
1.
n
ab = n a
2.
n
a = b
3.
m n
4.
n
a n = a si n es impar
5.
n
a n = a si n es par
n
Ejemplos 3
b
n
a n b
3
3
3
27 = ( −2 )( 3 ) = −6
16 = 4 16 = 2 81 4 81 3
4
a = mn a
EJEMPLO
−8 ⋅ 27 = 3 −8
64 = 6 64 = 2
( −3 ) 3 = −3 ;
4
( −3 ) 4
5
45 = 4
= −3 = 3
1
Utiliza las propiedades de las raíces para calcular el valor de cada una de las siguientes expresiones. a)
20 ⋅
3
b)
5
3
32 4
c)
Solución 20 ⋅
a) 3
b)
c)
32 = 4
3
64 =
3
3
6
5 = 20 ⋅ 5 = 100 = 10
Propiedad 1
32 = 3 8 = 2 4
Propiedad 2
64 = 3 8 = 2
Propiedad 3
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6
64
•
83
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
EJEMPLO
2
Simplificación de expresiones algebraicas que contienen radicales. a)
b)
3
x 5 = 3 x 3x 2
4
Factorizando la potencia cúbica más grande
= 3 x3 ⋅ 3 x2
Utilizando la propiedad 1
=x
Utilizando la propiedad 4
3
x2
81x 8 y 4 = 4 81 ⋅ 4 x 8 ⋅ 4 y 4
( )
= 4 34 ⋅ 4 x 2
4
Propiedad 1
⋅y
Propiedad 5
= 3x 2 y
EJERCICIOS 1. Evalúa las siguientes expresiones.
a)
3
4 = 25
c)
e)
−125 =
4
R. 25
R.
2 5
256 =
b)
5
−32 =
d)
5
1 = 32
7 28 =
f) R. 4
g)
3
33 9 =
h)
4
24 4 54 =
R. 3
i)
72 = 2
j) R. 6
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48 = 3
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•
2. Simplifica las siguientes expresiones.
a)
3
x3 =
b)
3
x 3y6 =
R. x
c)
3
x 3y = R.
e)
5
a 6b 7 =
y
5
R. ab ab
g)
3
x 4 y4 =
d) x3
64 x 6 =
2
f)
3
a 2b 3 a 4 b =
h)
4
x 4 y2 z2 =
R. 2x
EJEMPLO
3
Suma y resta de radicales. Para sumar y restar radicales tan sólo se combinan los términos cuyos factores radicales son exactamente los mismos. a)
5 2 + 4 2 − 3 2 = ( 5 + 4 − 3) 2
Propiedad distributiva
=6 2 b) Si x . 0, tenemos que 3
8 x − 3 x 4 = 3 2 3 x − 3 x 3x
= 23 x − x3 x = (2 − x) 3 x c)
80 + 20 = 16 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5
Es importante considerar que a+b ≠ a + b
Propiedad distributiva
Si a 5 16 y b 5 9, es fácil darse cuenta de los siguiente: Factorizando
= 4 5 +2 5
Simplificando
= (4 + 2) 5
Propiedad distributiva
9 + 16 ≠ 9 + 16 porque
=6 5
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9 + 16 = 25 ≠ 3 + 4 5≠7
85
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
d)
3
b 8 + 3 8 b 5 = 3 b 6 b 2 + 3 2 3 b 3b 2
= 3 b6
3
= b2
b 2 + 2b 3 b 2
(
3
b2 + 3 23 b3
= b 2 + 2b
)
3
3
b2
Factorizando Propiedad 1 Sacando raíces
b2
Propiedad distributiva
EJERCICIO Simplifica y reduce las siguientes sumas y restas de radicales.
a) 4 12 + 5 8 − 50 − 7 48 =
b) 4 3 − 5 12 + 2 75 =
R. 5 2 − 20 3
c) 4 12 + 3 8 − 50 − 48 = R.
d) 5 2 + 64 a + 2 32 − 5 4 a = 2 +4 3
e) 5 9 a 2 b − 2 4 ab 2 + a 2 b − 25 ab 2 = f)
3
2 + 3 16 − 3 64 =
R. 16 a b − 9 b a
g) 2 3 54 m 3 − k 3 128 − 3m 3 2 =
h) − 4 x 5 + 4 625 x 9 + 4 81x13 =
R. ( 3m − 4 k ) 3 2
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E
X P O N E N T E S
R A C I O N A L E S 2
Un exponente racional es un exponente fraccionario, por ejemplo, en x 3 es necesario utilizar radicales para expresar el exponente. Con el propósito de encontrar el significado de una expresión como x
1
n
, recordemos las leyes de los exponentes. 1n
n
n
1n n = x n = x1 = x x = x A partir de la definición de raíz n-ésima, tenemos que x
1
n
=nx
Se define un exponente racional como sigue.
Exponentes racionales Si m y n son enteros y n . 0, entonces, para cualquier exponente racional m/n expresado en su forma mas sencilla, definimos x
m
n
=
( x) n
m
= n xm
y significa que vamos a calcular la raíz n-ésima de xm. Si n es par, tenemos que considerar que x $ 0.
De esta definición concluimos que las leyes de los exponentes también son válidas para exponentes racionales.
EJEMPLO
4
Comprendiendo la definición de exponentes racionales: a) 3 b) 8 c) 4
1
2
1
3
= 3
3
= 38 =2
2
=
( 4)
3
= 23 = 8
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
d)
e)
( 64 ) −
1
1
=
3
64
1
=
3
3
1 =1 64 4
−4 = 14 = a 3 3 4 a a 3
1
EJEMPLO
5
Las leyes para los exponentes racionales son las mismas que para los exponentes enteros. 1
2
⋅x
a)
x
b)
a 3a
2
a
5
7
5
1+5 2
= x2
2
=x
2+7−5 3 3
3
= a3
6
=a
2
4
= x3 3
3
c)
(a b )
d)
34 2 x1 y 3
3 4
3
( ) (b ) 3
= a3
2
4
2
3
2
=a
( )b 4 ( 3 2 ) = a 9 2 b 6
3 32
3
=8x
9
34 3 4 x y 4 12 3 1 =2 y x 3 1 x − 2 3 y
4
y
⋅ y4 x
1
2
9+1 2 y 4 −1
= 8x 4 = 8x
11
4 y3
EJEMPLO
6
Los radicales son exponentes fraccionarios. a)
( 2 x )( 5 x ) = 10 x 3
1+1 3
= 10 x 2
= 10 x
1
1 2x 3
3+ 2 6
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= 10 x b)
3
5
6
3
x x = x⋅x
3 =x 2
1
3
1
2
3⋅1 3
= x2
1+ 1 =x 2
1
3
1
= x2
Racionalización de denominadores con radicales Suele ser útil eliminar el radical en el denominador para facilitar las operaciones entre radicales. Esto se logra multiplicando el numerador como el denominador por una expresión apropiada. Este procedimiento se conoce como racionalización.
EJEMPLOS a)
1 = 1 ⋅1 = 1 ⋅ 2 = 2 ; 2 2 2 2 2 Sin el uso de la calculadora resulta más fácil dividir
b)
c)
2 ⋅ 3 x = 2 3 x2 = 2 3 x2 3 2 3 x 3 3 x x x
2 = 3 2 x
5
1 = x2
1 2 que . 2 2
1 ⋅ 5 x3 = 5 2 5 3 x x
5 5
x3 = x5
5
x3 x
d) Cuando el denominador es un binomio se multiplica y se divide por su conjugado. 3+ 2 = 1− 2 =
3+ 2 ⋅ 1+ 2 = 1− 2 1+ 2
( 3 + 2 ) (1 + 2 ) = 3 + 3 (1 − 2 ) (1 + 2 ) (
2 + 2 +2 1− 2
El conjugado de un binomio es otro binomio que difiere solamente en un signo en uno de los términos. Por ejemplo el conjugado de 1− x
)
= 5 + 4 2 = − 5 + 4 2 = −5 − 4 2 −1
es 1+ x
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
EJERCICIOS 1. Simplifica la expresión y elimina cualquier exponente negativo. Supón que todas las
letras indican números positivos.
a) x
2
1 3x 5
R. x
c)
( 4b )
1
13
25 8 b =
2
R. 16 b
e)
(c d )
1 2 3 − 3
3 g) y 4
i)
2
m)
3
=
( 9 st )
9
R.
3
2
(8y ) 2
=
2
3
=
2
( 27 s t ) 3 −4
2
3
R.
(4x y ) 6 8
2 h) a 5
y
16 y 15
x
R.
=
f)
2 6 − 3
=
3
=
2
c 3d
15
15
y
3
( 8a )
2
32 x12
R.
d) 10
1
R.
5
15
=
4 −4 5 2 x y
x6y k) 4 y
3 3 b) −2 a 4 5 a 2 =
=
3t s
25 1
2
=
=
j)
(x
l)
1 3 −12 x 1 y 2 z 6
2
6
−34
y z
a 2 b −3 n) −1 2 x y
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)
3 −4 3 10 − 5
=
−1
=
3
−2 −1 x3 b 1 = a 2 y 3
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2. Racionaliza el denominador.
a)
1 = 6
x5 = 2
c)
e)
g)
1 = x
6 6
R.
R.
3
2x 2
3
R.
x x
5
b)
x = 3y
d)
2 = 3
f)
2
3+ 5 = 3− 5
h)
4
1 = x3
y = x+ y
R. −4 − 15
O
P E R A C I O N E S
C O N
P O L I N O M I O S
Cualquier polinomio es una suma de términos de la forma axk, llamados monomios, donde a es una constante y k es un entero no negativo. Polinomio Es una expresión algebraica que está formada por uno o más monomios.
La forma general de un polinomio de grado n (donde n es un entero no negativo) en la variable x es an x n + an −1 x n −1 +…+ a1 x1 + a0 donde a0, a1, …, an son constantes con an ⫽ 0.
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
Un binomio es la suma de dos monomios, un trinomio es la suma de tres monomios y así sucesivamente. Por ejemplo, 2x2 2 3x 1 4, 2x 1 5 y x4 1 4x3, son polinomios de grado 2, 1 y 4 respectivamente; el primero es un trinomio y los otros dos son binomios. Términos semejantes Cuando dos o más términos tienen la misma parte literal, es decir, cuando tienen las mismas variables afectadas por los mismos exponentes, se llaman términos semejantes.
EJEMPLOS 4a3b3 y 22a3b3 son términos semejantes 2 3xy y − xy son términos semejantes 3 2 p 2 q y −8 p 2 q son términos semejantes Signos de agrupación Estos signos ya se explicaron en un apartado anterior. Ahora es importante recordar que su función es principalmente la de indicar que las operaciones localizadas en su interior son las que se deben efectuar primero y si un signo negativo antecede a una expresión entre paréntesis, entonces cuando eliminamos tales paréntesis todos los términos de adentro cambian de signo. ( ) paréntesis [ ] corchetes { } llaves EJEMPLO Simplifiquemos la siguiente expresión y reduzcamos los términos semejantes. 2 3 2 2 3 3 2 x − 3 xy + 2 y − −2 xy + 3 x + −2 x + 7 xy − 4 y + 3xxy − 2 y
primero
segundo
(
)
tercero
= 2 x 2 − 3 xy + 2 y 3 − −2 xy + 3 x 2 −2 x 2 + 7 xy − 4 y 3 + 3 xy − 2 y 3
conservan el mismo signo porque les precede un +
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= 2 x 2 − 3 xy + 2 y 3 +2 xy − 3 x 2 + 2 x 2 − 7 xy + 4 y 3
cambian de signo porque les precede un
+ 3 xy − 2 y 3 −
= 2 x 2 − 3 xy + 2 y 3 + 2 xy − 3 x 2 + 2 x 2 − 7 xy + 4 y 3 + 3 xy − 2 y 3 = ( 2 − 3 + 2 ) x 2 + ( −3 + 2 − 7 + 3 ) xy + ( 2 + 4 − 2 ) y 3
Agrupando y factorizando
= x 2 − 5 xy + 4 y 3
S
U M A
Y
R E S T A
D E
P O L I N O M I O S
Cuando sumamos y restamos polinomios lo que hacemos es combinar términos semejantes utilizando para ello las propiedades de los números reales que vimos al principio de este curso.
EJEMPLO
1
(
) (
Calcula la suma de a 3 − 6 a 2 + 2 a + 4 + 3a 3 + 5 a 2 − 4 a
)
Solución
( a − 6 a + 2 a + 4 ) + ( 3a + 5 a − 4 a ) = ( a + 3a ) + ( −6 a + 5 a ) + ( 2 a − 4 a ) + 4 3
2
3
3
3
2
= 4 a 3 − a2 − 2a + 4
EJEMPLO
2
2
Agrupando términos semejantes
Combinando términos semejantes
2
Calcula la suma de
2 b 2 + 3 ab − 2 a 2 + 7 ab + 5 b 2 + − 4 a 2 − 8 ab 3 5 7 9 7
Solución 2 b 2 + 3 ab − 2 a 2 + 7 ab + 5 b 2 + − 4 a 2 − 8 ab 3 5 7 7 7
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
= −2 a 2 − 4 a 2 + 3 ab + 7 ab − 8 ab + 2 b 2 + 5 b 2 7 5 7 3 7 = −2 − 4 a 2 + 3 + 7 − 8 ab + 2 + 5 b 2 5 3 7 7 7
Agrupando términos semejantes
Se aíslan los coeficientes fraccionarios
= −14 − 4 a 2 + 21 + 245 − 40 ab + 14 + 15 b 2 21 7 35
Se realizan las operaciones
= − 18 a 2 + 226 ab + 29 b 2 7 35 21
EJERCICIOS Resuelve las siguientes adiciones de polinomios.
1.
( 3x
3
) (
)
− 6 + x − 2 x 2 + x 4 − x 3 + 3x 2 + 2 =
R. x4 1 2x3 1 x2 1 x 2 4
2.
( 2 ab
2
) (
)
− 3a 2 b + 3ab + 4 a 3 + 3a 2 b + 2 ab 2 =
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3.
( ax − ay + az ) + ( −5 ax − 6 az − 7 ay ) + ( 8 az + 9 ay + 4 ax ) =
R. ay 1 3az
4.
( 2 ab − 3a
5.
x 2 − 1 xy + 1 y 2 − 1 xy + − 1 xy − 2 y 2 = 2 3 4 4
2
) (
) (
)
− 5 b 2 + 4 a 2 + 3ab + 2 b 2 + −2 a 2 − b 2 + 3ab =
R. x 2 − xy − 5 y 2 3
6.
1 q 2 − 3 p 2 − 2 pq + 1 q 2 − 1 pq + 1 q 2 + 1 p 2 = 2 4 5 6 4 3 4
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
EJEMPLO
3
(
) (
Calcula la resta de 11a 3 − 12 ab 2 + 10 b 3 − 6 a 3 + 2 a 2 b − 5 ab 2 + 13b 3 Solución
(11a − 12 ab + 10b ) − ( 6 a + 2 a b − 5 ab + 13b ) = (11a − 12 ab + 10 b ) − ( 6 a + 2 a b − 5 ab + 13b )
3
2
3
(
3
2
3
3
minuendo
3
2
2
3
2
3
sustraendo
= 11a − 12 ab + 10 b 3
2
2
3
a − 2 a b + 5 ab − 13b ) ) + ( −6
3
2
2
3
Los signos en el sustraendo cambian
(
) (
) (
) (
= 11a 3 − 6 a 3 + −2 a 2 b + −12 ab 2 + 5 ab 2 + 10 b 3 − 13b 3
)
= 5 a 3 − 2 a 2 b − 7 ab 2 − 3b 3
EJEMPLO Calcula la resta de
4 1 a x − 2 ab y + 1 b y − a x − 2 ab y + 1 b y 3 2 3 4
Solución 1 a x − 2 ab y + 1 b y − a x − 2 ab y + 1 b y 3 2 3 4 = 1 a x − 2 ab y + 1 b y + − a x + 2 ab y − 1 b y 3 2 3 4 = 1 a x − a x + −2 ab y + 2 ab y + 1 b y − 1 b y 3 2 3 4 = 1 − 1 a x + −2 + 2 ab y + 1 − 1 b y 3 2 4 3 = 1 − 3 a x + −6 + 2 ab y + 2 − 1 b y 3 3 4 = − 2 a x − 4 ab y + 1 b y 3 3 4
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)
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EJERCICIOS Resuelve las siguientes sustracciones de polinomios. 1.
( 5a
3
) (
)
− 6a2 + a − 5 − 6a2 + 2a + 1 + 5a 3 =
R. 212a2 2 a 2 6
2.
(2x
3.
( 5 x y − 8 xy
3
2
) (
)
+ 2x − 8x2 + 3 − 4 x4 − 6x2 + 2x − 8 =
2
) (
)
+ y 9 − x 3 − xy 2 + 2 y 9 =
R. 2y9 2 7xy2 1 5x2y 2 x3
4.
1 q 2 − 3 p 2 − 2 pq − 1 q 2 − 1 pq = 2 4 5 6 4
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
Sumas y restas combinadas. Resuelve las siguientes sumas y restas de polinomios. 1.
( 3u
3
) (
) (
)
+ 5 u − 1 + 5 u 3 − 2 u 2 + 8 − −5 u 3 + 6 u 2 + 5 u + 6 =
R. 13u3 2 8u2 1 1
2.
(2x
3.
( 5 a b − 8 ab
3
2
) (
) (
) (
) (
)
+ 2 x − 8 x 2 + 3 + 3x 2 − x 3 + 2 x − 4 x 4 − 6 x 2 + 2 x − 8 =
2
)
+ b 9 − a 3 − ab 2 + 2 b 9 + a 3 − b 9 =
R. 5a2b 2 7ab2 2 2b9
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Multiplicación de monomios y polinomios •
M Y
U L T I P L I C A C I Ó N
D E
M O N O M I O S
P O L I N O M I O S
Multiplicación de monomios La multiplicación de monomios se realiza multiplicando entre sí los coeficientes numéricos y sus partes literales teniendo en cuenta las leyes de los exponentes.
EJEMPLOS a)
( 2 a b )( −3ab ) = 2 ( −3) a
b)
2 xy 2 9 x 3 y 2 = 2 ⋅ 9 x1+ 3 y 2 + 2 = 6 x 4 y 4 3 3 1
2
5
(
2 +1 1+ 5
b
= −6 a 3b 6
)
Multiplicación de polinomios Para obtener el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas es necesario utilizar varias veces la propiedad distributiva.
( a + b ) ( c + d ) = c ( a + b ) + d ( a + b ) = ac + ad + bc + bd Esto equivale a multiplicar cada uno de los términos de un factor por cada uno de los términos del otro factor y al final sumar estos productos.
(a 1 b)(c 1 d) 5 ac 1 ad 1 bc 1 bd
EJEMPLOS a)
( 2 x ) ( 5 xy − 2 ) = 2 x 2
2
( 5 xy ) + 2 x 2 ( −2 )
= 10 x 3 y − 4 x 2 b)
( 2 a − 1) ( 3a − 5 ) = 2 a ( 3a − 5 ) + ( −1) ( 3a − 5 ) = 6 a 2 − 10 a + ( −3a + 5 ) = 6 a 2 − 10 a − 3a + 5 = 6 a 2 − 13a + 5
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99
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
(
) (
(
)
(
)
2 ( x − 3 ) x 3 + x + 2 = 2 x x 3 + x + 2 + ( −3 ) x 3 + x + 2 4 2 3 = 2 x + x + 2 x + −3 x − 3 x − 6 4 3 2 = 2 x − 3 x + x − x − 6
c)
)
= 2 x 4 − 6 x 3 + 2 x 2 − 2 x − 12 EJERCICIOS Obtén el producto de las siguientes multiplicaciones. 1.
( 3x )( 2 x ) = 4
3
R. 6x7
2.
( 5 r ) ( −2 ru )
3.
( 3x y )( 4 x y ) =
2
2
3 5
R. 12x5y6
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4.
( −2 a b )( 4 a b ) =
5.
( xy ) ( 4 x − 3x 2 y + y 2 ) =
2 3
3
R. 4x2y 2 3x3y2 1 y3
6.
7.
(x
3
− 3 x 2 y + 7 xy 2
)( 2 x y ) = 3
2 x 3 y 2 1 x − 3x 2 y 2 + 1 y 2 = 3 9 2
R. 2 x 4 y 2 − 2 x 5 y 4 + 1 x 3 y 4 27 3
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
8.
(2x
2
9.
(x
− xy + y 2
2
)
− 5 y ( 3x + 2 y ) =
) ( 3x − y ) =
R. 3x3 2 4x2y 1 4xy2 2 y3
10.
(a
11.
(4 j
2
− ab + b 2
2
)( a − b ) =
−2j−2
)( j
2
)
− 2 j −1 =
R. 4j 4 2 10j 3 2 2j 2 1 6j 1 2
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12.
3 x2 − 3 x − 2 x − 2 = 2 5 5
13. De la siguiente figura calcula las siguientes áreas:
a) Área del rectángulo mayor b) Área del rectángulo menor c) Área del espacio blanco x
2x
2x 1 1 2x 1 3
14. Calcula el área de la cruz en blanco.
x
x
x
x m
x
x x
x l
15. ¿Cómo se calcularía el volumen de esta figura?
Volumen 5 x12
x
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3x 1 2
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D
•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
I V I S I Ó N
D E
P O L I N O M I O S
Monomio entre monomio Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio, expresando el resultado como una serie de divisiones de monomios.
EJEMPLO
1
División de monomio entre monomio. a)
( 9 a b ) ÷ ( −3ab ) = −93aabb
b)
2 3 − 2 a 3 ÷ − 1 ab 2 = − 5 a = 10 a 2 = 2 a 2 5 5 − 1 ab 2 b2 5b 2 5
2 3
EJEMPLO
2 3
2
2
= −3a 2 −1b 3− 2 = −3ab
2
División de polinomio entre monomio.
(9x y
4 2
=
) (
)
− 6 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4 ÷ 3x 2 y 2 =
9 x 4 y2 − 6 x 3y3 + 4 x 2 y4 3x 2 y 2
9 x 4 y2 6 x 3y3 4 x 2 y4 − + 3x 2 y 2 3x 2 y 2 3x 2 y 2
= 3 x 2 − 2 xy + 4 y 2 3 EJERCICIOS Realiza las siguientes divisiones.
1.
24 x 3 y 4 = −6 xy 2
R. 24x2y2
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2.
x b+ 3 = x b+2
3.
2 x 3y4 = 5 x 5 y2
R.
4.
( 6a
5.
(18 x y
x+2 x
b
4 4
2 y2 5x2
) ÷ ( 3a b ) = x
) (
)
− 13 x 3 y + 5 x 2 y ÷ 3 x 2 y =
5 2 3 13 R. 6 x y − x + 3 3
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
6.
( 20 a b − 5 a
7.
x m y + x m +1 y m + 4 x m − 2 y m −1 = x m y m +1
4
5
) ( )
+ 8 a 7b 2 ÷ 4 a 2 =
R.
8.
1 +x+ 4 ym y x 2 y2
−3u 2 v + 5 uv 5 − 10 v 7 = 5 uv
Polinomio entre polinomio La división entre polinomios se realiza aplicando el algoritmo de la división aritmética. Recordemos este procedimiento con el siguiente ejemplo. cociente dividendo 16
divisor
15
243 215 93 290 3
multiplica el divisor por 1 resta y baja el 3 multiplica el divisor por 6 y resta
residuo
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La división anterior también se puede expresar como 243 = 16 + 3 = 16 + 1 15 15 5 Con la siguiente ilustración vamos a recordar la división larga de un polinomio entre otro polinomio. Primero ordenamos el dividendo y el divisor en forma descendente.
cociente
divisor
6x − 2 x − 4 ) 6 x 2 − 26 x + 12 −6 x 2 + 24 x − 2 x + 12 2x − 8
dividendo
residuo
multiplica el divisor por 6x resta y baja 12 multiplica el divisor por 22 resta
El resultado de la división anterior es 6 x 2 − 26 x + 12 = 6 x − 2 + 4 x−4 x−4 multiplicando por (x 2 4) ambos lados de la igualdad, la división se puede escribir así: 6 x 2 − 26 x + 12 = ( 6 x − 2 ) ( x − 4 ) + 4 y su expresión en forma de polinomios es P(x) 5 q(x)d(x) 1 r(x), donde q(x) es el cociente de la división, d(x) es el divisor de la división y r(x) es el residuo. Esto ilustra un teorema bien conocido: el algoritmo de la división.
Algoritmo de la división Si P(x) y d(x) son polinomios tales que d(x) no es cero y el grado de d(x) es menor o igual que el grado de P(x), entonces existen polinomios únicos q(x) y r(x) tales que P( x) = d ( x) q( x) + r( x) P P P P
dividendo
divisor cociente
residuo
en donde el grado de r(x) es menor que el grado de d(x).
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
El algoritmo de la división también puede escribirse como P(x) r(x) = q( x) + d(x) d(x)
EJERCICIOS Efectúa las siguientes divisiones de polinomios. 1.
(4x
3
)
+ 5 x − 6 ÷ ( 2 x − 3) =
R. 2 x 2 + 3 x + 7 + 15 2x − 3
2.
( 20 a
3.
(x
2
4
) (
)
− 5a 3 + 8a − 3 ÷ 4 a2 − 3 =
)
− y2 ÷ ( x − y ) =
R. x 1 y
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4.
( 5a
3
5.
(x
− 2 x 5 + 6 x 3 − 7 x 2 − 4 x + 6 ÷ x 4 − 3x 2 + 2 =
6
) (
)
− 2 a 2 + 3a − 4 ÷ a 2 − 2 a + 1 =
) (
)
R. x2 2 2x 1 3
División sintética La división sintética es un método abreviado de la división de polinomios, pero únicamente para cuando tenemos divisores de la forma x 2 k. Este método es de gran ayuda para encontrar los factores de un polinomio. Enseguida te presentamos un ejemplo para un polinomio cúbico, pero la técnica la puedes usar en expresiones de grado cuarto o mayor. División sintética Para dividir ax3 1 bx2 1 cx 1 d entre x 2 k utiliza la siguiente técnica, k
a
b
c
d
ka
r
a
residuo
coeficientes del cociente
Forma vertical: suma términos. Forma diagonal: multiplica por k.
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
EJEMPLO
1
Vamos a dividir 6x2 2 26x 1 12 entre x 2 4, la división que resolvimos por el método largo. El divisor x 2 k 5 x 2 4 significa que k 5 4
4
226
6
Coeficientes del divisor
{6
Coeficientes del dividendo
12 }
24
28
22
4
Residuo
Por lo tanto, tenemos que 6 x 2 − 26 x + 12 = 6 x − 2 + 4 x−4 x−4
EJEMPLO
2
Dividir 6x 2 19x 1 16x 2 4 entre x 2 2 3
2
2
6
6
219
16
24
12
214
4
27
2
0
Entonces, tenemos que 6 x 3 − 19 x 2 + 16 x − 4 = 6 x 2 − 7 x + 2 x−2
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EJERCICIOS Efectúa las siguientes divisiones utilizando la división sintética. 1.
( 2a
4
)
− a 3 − 18 a 2 − 7 ÷ ( a + 3 ) =
R. 2 a 3 − 7 a 2 + 3a − 9 + 20 a+3
2.
(8x
5
− 3 x 2 − 1 ÷ ( x − 1) =
)
3.
( 3x
4
− 7 x − 20 ÷ ( x − 2 ) =
)
R. 3 x 3 + 6 x 2 + 12 x + 17 + 14 x−2
4.
(x
3
)
− 2x2 + 9 ÷ ( x + 2 ) =
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P
•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
R O D U C T O S
N O T A B L E S
a a
b
a b
a
a 1 de éstos
a
b
a
a
b b 3 de éstos
b a 3 de éstos
b b 1 de éstos
b
( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Los productos notables son fórmulas para obtener productos de multiplicaciones de una manera más rápida y eficiente, esto se logra al abreviar la aplicación del algoritmo normal estudiado en apartados anteriores. Estas fórmulas son transformaciones algebraicas que con la utilización adecuada de las propiedades de los números reales nos permiten obtener las relaciones que generan los productos correctos para la operación que definen. En esta parte del curso veremos algunas expresiones algebraicas cuyos productos pueden obtenerse a partir de una regla general, sin tener que realizar la multiplicación directa. Estos procesos generales se conocen como productos notables.
Cuadrado de un binomio
Cubo de un binomio
Productos notables
Producto de dos binomios con un término común
Producto de dos binomios conjugados
Binomio de Newton
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Cuadrado de un binomio
b
ab
b2
a
aa2
ab
a
b
Observa la figura de la derecha y fíjate que el área es
( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 Esta interpretación geométrica de elevar un binomio al cuadrado se puede enunciar algebraicamente de la siguiente manera: ab
+
b 2 ( a + b ) 2 = a 2 +
2
a + b al cuadrado
cuadrado del primer término
(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2
Cuadrado del segundo término
Doble del primer término por el segundo
EJEMPLOS Utilización de la regla para elevar un binomio al cuadrado. a)
( x + 3 ) 2 = ( x ) 2 + 2 ( x )( 3 ) + ( 3 ) 2 = x2 + 6x + 9
b)
( 2 a − 3b ) 2 = ( 2 a ) 2 + 2 ( 2 a ) ( −3b ) + ( −3b ) 2 = 4 a 2 − 12 ab + 9 b 2 2
c)
( )
ax − 2 = ax 3
2
( )
+ 2 ax − 2 + − 2 3 3
2
= a2 x − 4 a x + 4 3 9 d)
( x + 2 y − z ) 2 = ( x + 2 y ) − z
2
= ( x + 2y) + 2( x + 2y)(−z) + (−z) 2
2
= x 2 + 4 xy + 4 y 2 − 2 xz − 2 yz + z 2 La regla anterior facilita el cálculo de cuadrados numéricos cuando no tenemos una calculadora. Veamos dos ejemplos.
( 23 ) 2 = ( 20 + 3 ) 2 = ( 20 ) 2 + 2 ( 20 )( 3 ) + ( 3 ) 2 = 400 + 120 + 9 = 529 ( 28 ) 2 = ( 30 − 2 ) 2 = ( 30 ) 2 + 2 ( 30 ) ( −2 ) + ( −2 ) 2 = 900 − 120 + 4 = 784 Los ejemplos nos enseñan que el producto que obtenemos al elevar un binomio al cuadrado está formado por tres términos; el primero y el tercero son el cuadrado de cada uno de los términos del binomio y el segundo es el doble producto de éstos. Un trinomio con estas características se llama trinomio cuadrado perfecto.
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
EJERCICIOS Desarrolla las siguientes expresiones. 1.
( x − 3)2 =
2.
( u + 5 )2 =
3.
( 2 x + 1) 2 =
4.
( 2 a − 3)2 =
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5.
( x + 2 y )2 =
6.
( 3x − 2 y ) 2 =
7.
3a − 3 = 2
8.
(4x
2
2
− 3x
)
2
=
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
9.
( x + 2 y − 3)2 =
10.
( m + 2 r − 3)2 =
Producto de dos binomios conjugados Encuentra el área de la región sombreada en la siguiente figura realizando la operación indicada. A = a(a − b) + b(a − b) = Fíjate en la figura que la multiplicación anterior es equivalente a multiplicar (a 1 b)(a 2 b),
a2b
a(a 2 b)
b(a 2 b)
a b a
b
( a + b ) ( a − b ) = a 2 − ab + ab + b 2 = a 2 − b 2 Los binomios como los anteriores se llaman conjugados porque tienen dos términos que son exactamente iguales y los otros dos difieren sólo en el signo; como viste en las multiplicaciones anteriores, su producto es la diferencia de sus cuadrados. Regla El producto de dos binomios conjugados da como resultado la diferencia de los cuadrados de sus términos. (a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2
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EJEMPLOS Productos de binomios conjugados.
( a + 3 ) ( a − 3 ) = a 2 − 32 = a 2 − 9
a) b) c)
( 2 a + 3b ) ( 2 a − 3b ) = ( 2 a ) 2 − ( 3b ) 2 = 4 a 2 − 9b 2 ( 3x − 5 y ) ( 3x + 5 y ) = ( 3x ) 2 − ( 5 y ) 2 = 9 x 2 − 25 y 2 2
2
d)
1 a x + 2 b y 1 a x − 2 b y = 1 a x − 2 b y = 1 a2 x − 4 b2 y 2 3 3 2 3 2 4 9
e)
( 2 a + 3b − c ) ( 2 a + 3b − c ) = ( 2 a + 3b ) 2 − ( c ) 2 = 4 a 2 + 12 ab + 9b 2 − c 2
EJERCICIOS Desarrolla las siguientes expresiones. 1.
( x − 7)( x + 7) =
2.
( x + 11) ( x − 11) =
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
3.
( u − 5 )( x + 5 ) =
4.
( 3x − 7 ) ( 3x + 7 ) =
5.
( 5 x − 4 ) ( −5 x − 4 ) =
6.
(2x
n
)(
)
− 7 2xn + 7 =
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7.
3a − 3 3a + 3 = 2 2
8.
1 x − 3 1 x + 3 = 2 2
9.
( x + 2 y − 3) ( x + 2 y + 3) =
10.
( 5 m + 2r − 3) ( 5 m + 2r + 3) =
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
Cubo de un binomio Otro producto notable muy útil es el cubo de un binomio, cuya regla se obtiene a partir del desarrollo del algoritmo normal de la multiplicación.
( a + b )3 = ( a + b )2 ( a + b )
(
= a 2 + 2 ab + b 2
)( a + b )
a
= a 3 + a 2 b + 2 a 2 b + 2 ab 2 + ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
b
a a
b
Este producto recibe el nombre de cubo perfecto y su regla es la siguiente.
b
Cubo de un binomio El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primero por el segundo término, más el triple del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
EJEMPLOS Uso de la regla para elevar un binomio al cubo. a)
( 2 a + 3b ) 3 = ( 2 a ) 3 + 3 ( 2 a ) 2 ( 3b ) + 3 ( 2 a )( 3b ) 2 + ( 3b ) 3 = 8 a 3 + 36 a 2 b + 54 ab 2 + 27 b 3
b)
( x − 2 y ) 3 = x 3 + 3x 2 ( −2 y ) + 3x ( −2 y ) 2 + ( −2 y ) 3 = x 3 − 6 x 2 y + 12 xy 2 − 8 y 3 3
c)
( )
2a2 + 1 b = 2a2 2
3
( )
+ 3 2a2
2
( )
2
1 b + 3 2a2 1 b + 1 b 2 2 2
= 8 a 6 + 6 a 4 b + 3 a 2b 2 + 1 b 3 2 8
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3
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EJERCICIOS Desarrolla las siguientes expresiones. 1.
( x + 7 )3 =
2.
( 2u − 5 v ) 3 =
3.
(5x
2
− 4 y4
)
3
=
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
3
4.
3a + 3 = 2
5.
( 0.25 x
2
− 0.05 x
)
3
=
Producto de dos binomios con un término común Calcula el área de cada uno de los siguientes rectángulos.
mn
nx
mx
x2
n
a
n
a
a2
an
m
am
mn
m
x
x
A1 =
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A2 =
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En ambos casos habrás observado que hay un elemento común al sumar las áreas en que están divididos los rectángulos. Es decir, A1 = x 2 + mx + nx + mn = x 2 + ( m + n ) x + mn A2 = a 2 + am + an + mn = a 2 + ( m + n ) a + mn El cálculo de este tipo de productos recibe el nombre de binomios con un término común y su regla es la siguiente. Producto de dos binomios con un término común Cuadrado del común, más la suma de los no comunes por el común más el producto de los no comunes.
( x + m)( x + n) =
2 n ) x +
mn ( m +
x +
Cuadrado del común
Suma de los no comunes por el común
Producto de los no comunes
EJEMPLOS Aplicación de la regla del producto de dos binomios con un término común. a)
( x + 7 ) ( x − 5 ) = x 2 + ( 7 − 5 ) x + ( 7 ) ( −5 ) = x 2 + 2 x − 35
b)
( 2 a + 3 ) ( 2 a − 5 ) = ( 2 a ) 2 + ( 3 − 5 )( 2 a ) + ( 3 ) ( −5 ) = 4 a 2 − 4 a − 15
( )
c) 2 x 3 − 1 2 x 3 + 2 = 2 x 3 2 3
2
( )
+ − 1 + 2 2x3 + − 1 2 = 4 x6 + 1 x3 − 1 2 3 2 3 3 3
EJERCICIOS Desarrolla los siguientes productos. 1.
( x − 3) ( x + 5 ) =
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
2.
(u + 5)(u − 9) =
3.
( 2u + 3) ( x + 2 ) =
4.
( 3x − 7 ) ( 3x + 2 ) =
5.
( 5 x − 4 ) ( 5 x + 3) =
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6.
(2x
7.
3a − 3 3a + 1 = 2 2
8.
1 x − 3 1 x − 2 = 2 2
9.
(x
n
m
)(
)
− 7 2xn + 3 =
)(
)
+ 2 y x m + 3y =
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
10.
T
( 5 m + 2r ) ( 5 m + r ) =
R I Á N G U L O
B I N O M I O
D E
D E
N
P
A S C A L
Y
E W T O N
En este apartado estudiaremos los métodos de Pascal y de Newton como elementos auxiliares para desarrollar diferentes potencias de binomios. Para ello tomaremos las potencias sucesivas del binomio (a 1 b)n, utilizando el algoritmo natural de la multiplicación y los productos notables estudiados hasta aquí. Observa que la cuarta potencia de (a 1 b) se obtiene así: (a 1 b)4 5 (a 1 b)3(a 1 b)
(a 1 b)0 5 1 (a 1 b)1 5 a 1 b (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2 (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 (a 1 b)4 5 a4 1 4a3b 1 6a2b2 1 4ab3 1 b4 (a 1 b)5 5 a5 1 5a4b 1 10a3b2 1 10a2b3 1 5ab4 1 b5 (a 1 b)6 5 a6 1 6a5b 1 15a4b2 1 20a3b3 1 15a2b4 1 6ab5 1 b6
Si analizamos con cuidado el desarrollo de los binomios anteriores encontraremos las siguientes características: • El desarrollo de (a 1 b)n tiene n 1 1 términos. • La suma de los exponentes de a y b en cada término del desarrollo de (a 1 b)n es n. • Los exponentes de a en el desarrollo de (a 1 b)n decrecen término a término de n hasta 0, mientras que los de b crecen en la misma dirección.
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Triángulo de Pascal y binomio de Newton •
El triángulo que llamamos de Pascal se forma a partir de los coeficientes que resultan al desarrollar las potencias de (a 1 b)n.
1 1
1
1
Triángulo de Pascal • •
2
1
El primero y el último número de cada fila son iguales a 1. Todo número de un triángulo que esté situado en medio y debajo de otros dos resulta de la suma de éstos.
127
1 1 1
3
4
5 6
1
3 6
10 15
1 4
1
10 20
5 15
1 6
1
EJEMPLOS Utilización del triángulo de Pascal para el desarrollo de (a 1 b)n. a) Desarrolla (x 1 2y)5 1
Solución
1 1
Para encontrar los coeficientes del binomio, desarrollamos el triángulo de Pascal hasta la fila 6, una más que la indicada por el exponente 5.
( x + 2y)
5
= 1x + 5 x 5
4
( 2 y ) + 10 x ( 2 y ) 3
2
+ 10 x
2
(2y)
3
+ 5 x ( 2 y ) + 1( 2 y ) 4
5
1 1
1 2
3
1
4
5
10
6
= x 5 + 10 x 4 y + 40 x 3 y 2 + 80 x 2 y 3 + 80 xy 4 + 32 y 5
1 3
1 4
10
1 5
1
Coeficientes de la sexta fila
a) Desarrolla (3x 2 2)4 1
Solución 1
Para encontrar los coeficientes del binomio, desarrollamos el triángulo de Pascal hasta la fila 5 una más allá que la indicada por el exponente 4.
( 3x − 2 )
4
= 1( 3x ) + 4 ( 3x ) 4
3
( −2 ) + 6 ( 3x ) ( −2 ) 2
2
+ 4 ( 3 x ) ( −2 ) + ( −2 ) 3
= 81x 4 − 216 x 3 + 216 x 2 + −96 x + 16
EJERCICIOS Utilizando el triángulo de Pascal desarrolla las siguientes expresiones. 1.
(x
2
+3
)
4
=
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4
1 1 1
1 2
3 4
1 3
6
1 4
Coeficientes de la quinta fila
1
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
2.
( 2u − 5 v )6 =
3.
(5x
4.
3a + 3 = 2
5.
(x
2
− 4y
)
5
=
7
n
−h
)
5
=
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Un método más general para desarrollar binomios elevados a una potencia n es el binomio de Newton, o teorema del binomio, que fue demostrado por Isaac Newton en el siglo XVIII y que permite encontrar, además, cualquier término del desarrollo de una potencia. Puesto que no es el propósito de este material demostrar tal teorema, sólo se usará el algoritmo correspondiente. Para poder utilizar la fórmula que describe el comportamiento de los coeficientes al desarrollar el binomio de Newton es necesario explicar la notación factorial. Notación factorial El producto de los n primeros números naturales se representa por n! y se llama n factorial: n! 5 1 ? 2 ? 3 … (n 2 1)n También lo definimos como 0! 5 1.
EJEMPLOS Factorial de un número a) 4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24 b) 7! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 5, 040
Coeficiente binomial Sean n y r enteros no negativos, con r # n. El coeficiente binomial se escribe n r y se define como sigue: n n! r = r !( n − r )!
EJEMPLOS Cálculos de coeficientes binomiales. a)
b)
9 9! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 = 126 4 = 4 !( 9 − 4 )! ( 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ) ( 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ) 40 40! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅⋅⋅ 37 ⋅ 38 ⋅ 39 ⋅ 40 = 9, 880 3 = 3!( 40 − 3 )! (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ) (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅⋅⋅ 37 )
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129
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
EJERCICIOS Evalúa las siguientes expresiones.
1.
6 4 =
R. 15
2.
8 3 =
3.
100 98 =
R. 4,950
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4.
131
10 5 =
3 4
5. = 1 2
R. 18
Ahora ya podemos enunciar el teorema del binomio. Teorema del binomio
( a + b ) n = 0n a n + 1n a n −1b + 2n a n − 2 b 2 +…+ nn− 1 ab n −1 + nn b n
EJEMPLOS Aplicación del teorema del binomio. a)
( x + y ) 4 = 04 x 4 + 14 x 4 −1 y + 24 x 4 − 2 y 2 + 43 xy 4 −1 + 44 y 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4
5 5 5 5 5 5 b) ( 3a + 2 )5 = ( 3a )5 + ( 3a )5 −1 ( 2 ) + ( 3a )5 − 2 ( 2 )2 + ( 3a )5 − 3 ( 2 ) 3 + ( 3a )5 − 4 ( 2 ) 4 + ( 2 )5 2 3 4 0 1 5
(
= 243a 5 + 5 81a 4
) ( 2 ) + 10 ( 27 a ) ( 4 ) + 10 ( 9 a ) ( 8 ) + 5 ( 3a )(16 ) + 32 3
2
= 243a 5 + 810 a 4 + 1080 a 3 + 720 a 2 + 240 a + 32
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
EJERCICIOS Desarrolla las siguientes expresiones utilizando el binomio de Newton. 1.
( x + 3y ) 4 =
2.
( a − 2b ) 7 =
3.
( 2k
3
+ 3h
)
6
=
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4.
( a − b )10 =
5.
(a
6.
( 4 a − b )4 =
7.
( 3x − y ) 6 =
2
− 2b 2
)
3
=
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
Cuando queremos encontrar cualquier término del desarrollo de un binomio, sin determinarlo por completo, utilizamos la siguiente expresión. Término general del desarrollo de un binomio El término que contiene a ar en el desarrollo de (a 1 b)n es n r n−r n − r a b
EJEMPLO Determinación de término del desarrollo de un binomio. Determina el término que contiene a a5 en el desarrollo de (2a 1 b)20. Solución El término que contiene a a5 resulta al desarrollar (2a 1 b)20. Este término es
(
)
5 20 − 5 20 = 20! 32 a 5 b15 = 496,128 a 5 b15 20 − 5 ( 2 a ) b 5!15!
EJERCICIOS Determina el término que se te pide en cada uno de los siguientes binomios. 1. El quinto término de
(a
2
+ y3
)
12
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2. Determina el cuarto término de
(x
2
− 3y
3. Determina el sexto término de ( 3a − 2 b )
)
7
8
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F
•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
A C T O R I Z A C I Ó N
Cuando utilizamos la propiedad distributiva de las expresiones en sentido inverso al desarrollo de la multiplicación o de los productos notables, lo que estamos realizando es un proceso que se llama factorización. Por ejemplo, escribimos FACTORIZACIÓN x2 2 4
5
(x 1 2)(x 2 2)
DESARROLLO
Factor común en un polinomio Compara las multiplicaciones que aparecen a continuación con los factores y observa si puedes descubrir un patrón de comportamiento. Producto
Factores
3 ( x + y ) = 3x + 3y
3x + 3y = 3 ( x + y )
2 a ( x + 3 ) = 2 ax + 6 a
2 ax + 6 a = 2 a ( x + 3 )
Lo que nos enseñan los ejemplos anteriores es que tenemos que encontrar un factor común a todos los términos de la expresión y que para poder factorizar el polinomio es necesario seleccionar el máximo factor común, axn, donde: • •
a es el máximo entero que divide a cada uno de los coeficientes del polinomio y n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.
EJEMPLOS a) Factoriza 6 x 3 + 18 x 2 Solución Aquí tenemos que 6 y 18 tienen como máximo factor común a 6 y, x3 y x2 tienen como máximo factor común a x2, así que escribimos: 6 x 3 + 18 x 2 = 6 x 2 ( x + 3 ) b) Factoriza 6 x 3 y 2 + 8 x 2 y 3 − 2 xy 4
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Verificamos la multiplicación: 6x2(x 1 3) 5 6x3 1 18x2
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•
137
Solución Aquí tenemos que 6, 8 y 2 tienen como máximo factor común a 2, mientras que x3y2, x2y3 y xy4 tienen como máximo factor común a xy2, por lo que escribimos
(
6 x 3 y 2 + 8 x 2 y 3 − 2 xy 4 = 2 xy 2 = 2 xy
2
)( 3x ) + ( 2 xy ) ( 4 xy ) + ( 2 xy )( − y )
( 3x
2
2
2
+ 4 xy − y
2
2
)
EJERCICIOS Factoriza completamente las siguientes expresiones.
1.
9 y − 18 =
2.
−3 y − 18 =
3.
4 a 2 + 32 =
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2
Verificamos la multiplicación: 2xy2(3x2 1 4xy 2 y2) 5 6x3y2 1 8x2y3 2 2xy4
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
4.
3x 3 + 6 x 2 + 9 x =
5.
−3 x 3 − 18 x 6 =
6.
8 x 3 + 4 x 2 − 16 x =
7.
5 x 7 − 15 x 6 + 10 x 3 − 20 x 2 =
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8.
3( x + 4 ) − y ( x + 4 ) =
9.
5( y − 2) − x( y − 2) =
10.
p( x − q) − ( x − q) =
Factorización por agrupación Al parecer, un polinomio como x3 1 2x2 1 3x 1 6 no tiene un factor común, pero si utilizamos la propiedad asociativa y después la distributiva veremos que sí es posible factorizar. He aquí la forma de hacerlo:
(
)
x 3 + 2 x 2 + 3x + 6 = x 3 + 2 x 2 + ( 3x + 6 ) = x 2 ( x + 2 ) + 3( x + 2 )
(
= ( x + 2 ) x2 + 3
)
Propiedad asociativa Factor común en cada binomio Propiedad distributiva con el MFC
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•
139
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
EJEMPLO Factoriza 6 x 2 + 2 xy + −9 xy − 3 y 2
(
) (
6 x 2 + 2 xy + −9 xy − 3 y 2 = 6 x 2 + 2 xy + −9 xy − 3 y 2
)
Propiedad asociativa
= 2 x ( 3x + y ) − 3y ( 3x + y )
Factor común en cada binomio
= ( 3x + y ) ( 2 x − 3y )
Propiedad distributiva con el MFC
EJERCICIOS Factoriza por agrupación. 1.
x3 + 2x2 + x + 2 =
R. (x 1 2)(x2 1 1)
2.
x 3 + 3x 2 + x + 3 =
3.
y 3 − 3y 2 + y − 3 =
R. (y 2 3)(y2 1 1)
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4.
y3 − 5 y2 + y − 5 =
5.
4 a 3 + 6a2 + 2a + 3 =
R. (2a 1 3)(2a2 1 1)
6.
6 x 3 + 3x 2 + 2 x + 1 =
7.
3 x 4 + 12 x 2 + x 2 + 4 =
R. (3x2 1 1)(x2 1 4)
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•
141
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
8.
x2 + 2y − 2x2 − 4 y =
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Ve los dos cuadrados que aparecen abajo y fíjate que, aunque el área está expresada en dos formas diferentes, es exactamente la misma. Producto
Factores
5a
25
a2
5a
5
5
a
a A5
a2
5
A 5 (a 1 5)(a 1 5) 5 (a 1 5)2
1 10a 1 25
El modelo geométrico anterior nos enseña que: a 2 + 10 a + 5 = ( a + 5 )
2
y que la factorización de un trinomio cuadrado perfecto se obtiene de la siguiente manera: Raíz cuadrada de segundo término
Raíz cuadrada de primer término
4x2 2 20x 1 25 5 (2x 2 5)2 Signo del doble producto
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EJEMPLOS Factores de un trinomio cuadrado perfecto
a)
9 x + 12 xy + 4 y = 3 x + 2 y
Raíz de 9 x 2 Raíz de 4 y 2
b)
x 2 − 2 xy 2 + 4 y 4 = x − 2 y 2 2 4
2
2
2
2
EJERCICIOS Factoriza cada trinomio cuadrado perfecto. 1.
x2 − 6x + 9 =
2.
x2 + 4 x + 4 =
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•
143
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
3.
9 y 2 + 42 y + 49 =
4.
144 y 2 + 144 y + 365 =
5.
16 a 2 + 40 a + 25 =
6.
x4 + 2x2 + 1 =
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7.
1 x 4 − 2 x 2 y3 + 4 y6 = 4 5 25
8.
2 4 4 x 2 − 4 xy + y = 25 25 9
Completando un trinomio cuadrado perfecto La expresión x2 1 4x 2 8 evidentemente no es un trinomio cuadrado perfecto pero se puede factorizar parcialmente con tan sólo manipular el cero de la siguiente manera. 2 x 2 + 4 x − 8 = x 2 + 4 x + 2 − 2 2 − 8 2 es la mitad del coeeficiente de 4x. La resta es 0
2 2 − 2 2 − 8 = ( x + 2 ) − 12 =
x 2 + +
4 x
2
Los primeros tres términos son un triinomio cuadrado perfecto
EJEMPLOS Completa un trinomio cuadrado perfecto. a)
2 x 2 + 6 x − 10 = x 2 + 6 x + 3 − 32 − 10 cero
=
x 2 + 6 x
+ 32 − 32 − 10 = ( x + 3 ) − 19
2
Trinomio cuadrado perfecto
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•
145
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
b) x 2 − 3 x + 16 = x 2 − 3 x + 16 + 2 ( 4 ) x − 2 ( 4 ) x
cero
= x − 2 ( 4 ) x + 16 + 2 ( 4 ) x − 3 x
2
Trinomio cuadrado perfecto
= ( x − 4 ) + 5x 2
Observa que en este ejemplo tenemos dos cuadrados perfectos x2 y 16, pero sus raíces respectivas por 2 no nos producen el doble producto que necesitamos, así que tuvimos que utilizar el cero para completar el doble del primero por el segundo. c) 4 y 2 − 12 y − 5 = 4 y 2 − 12 y +
2 3 − 32
−5
El 3 es el número neceesario donde 12 y = 2 ( 3 )( 2 y )
= 4 y 2 − 12 y + 32 − 32 − 5
TCP
= ( 2 y − 3 ) − 14 2
EJERCICIOS Completa cada trinomio cuadrado perfecto y factoriza parcialmente. 1.
x2 − 6x =
R. (x 2 3)2 2 9
2.
4 y 2 − y + 16 =
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3.
36 a 2 + 48 a + 63 =
R. (6a 1 4)2 1 47
4.
a 4 − a + 121 =
Factores de trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c Para encontrar los factores de un trinomio de la forma ax2 1 bx 1 c, con a ⫽ 0, es necesario dividir la situación en dos casos: ax 2 + bx + c
{
cuando a = 1 cuando a ≠ 1
En el primer caso, cuando a 5 1, para factorizar un polinomio cuadrático de la forma x2 1 bx 1 c, es necesario observar que
( x + m)( x + n) =
2 n ) x +
mn ( m +
x +
Producto del comun
Suma de los no comunes por el común
Producto de los no comunes
donde m y n son números tales que (m 1 n) 5 b y mn 5 c.
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•
147
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
EJEMPLOS Factores de x 2 + bx + c por ensayo y error. a) Factoriza x 2 + 7 x + 12 Solución Aquí mn 5 12 y m 1 n 5 7; así que buscamos por ensayo y error factores de 12 cuya suma sea 7. m
1
2
3
n
12
6
4
Suma
13
8
7
Entonces, m 5 3 y n 5 4 son los factores de 12 cuya suma es 7. Por lo tanto, x 2 + 7 x + 12 = ( x + 3 ) ( x + 4 ) b) Factoriza y 2 − 8 y + 15 Solución Aquí, mn 5 15 y m 1 n 5 28; de manera que buscamos por ensayo y error factores de 15 cuya suma sea 28. m
21
23
n
215
25
Suma
216
28
Entonces, m 5 23 y n 5 25 son los factores de 15 cuya suma es 28. Por consiguiente, x 2 − 8 x + 15 = ( x − 3 ) ( x − 5 ) En el segundo caso, cuando a ⫽ 1, para factorizar un polinomio cuadrático de la forma ax2 1 bx 1 c, es necesario encontrar factores de la forma px 1 m y qx 1 n: ax 2 + bx + c = ( px + n ) ( qx + m ) = pqx 2 + ( pn + qm ) x + mn donde p, q, m y n son números tales que pq 5 a, (pn 1 qm) 5 b y mn 5 c.
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EJEMPLOS Factores de ax 2 + bx + c por ensayo y error. a) Factoriza 6 x 2 + 7 x − 5 Solución Aquí pq 5 6, pn 1 qm 5 7 y mn 5 25; entonces, buscamos por ensayo y error los valores anteriores. pq
mn
pn + qm
( 6 )(1)
( −1)( 5 )
( 6 )( 5 ) + (1) ( −1) = 29
( 3 )( 2 )
( 5 ) ( −1)
( 3 ) ( −1) + ( 2 )( 5 ) = 7
Entonces, p 5 3, q 5 2, m 5 5 y n 5 21. Por lo tanto, 6 x 2 + 7 x − 5 = ( 3 x + 5 ) ( 2 x − 1)
EJERCICIOS Factoriza cada una de las siguientes expresiones. 1.
x 2 + 8 x + 15 =
2.
x2 + 9x + 8 =
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•
149
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
3.
y 2 + y − 30 =
4.
y 2 − 13 y + 40 =
5.
a 2 + 11a − 26 =
6.
x4 + 2x2 − 8 =
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Continúa de la misma manera. 7.
x2m − 2xm − 8 =
8.
5 y 2 + 4 y − 12 =
9.
4 a 2 + 12 a + 9 =
10.
4 t 2 − 12 t + 9 =
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•
151
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
11.
2x2 − 7x − 4 =
12.
5t 2 + 7t + 2 =
13.
4 x2 − 4 x − 3 =
Factores de una diferencia de cuadrados Recordemos que el resultado de multiplicar dos binomios conjugados es una diferencia de cuadrados. Así que al factorizar una diferencia de cuadrados, el proceso es inverso, es decir;
( a + b ) ( a − b ) = a2 − b2 entonces a2 − b2 = ( a + b ) ( a − b )
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EJEMPLOS Factoriza una diferencia de cuadrados: a) 4 x 2 − 9 =
(
4 x2 + 9
(
b) 16 a 4 − b 6 = 4 a 2 + b 3 c)
)(
)
4 x 2 − 9 = ( 2 x + 3) ( 2 x − 3)
)( 4 a
2
− b3
)
( x + y ) 2 − y 2 = ( x + y ) + y ( x + y ) − y = x ( x + 2 y )
(
)
d) 6 a 2 − 6 = 6 a 2 − 1 = 6 ( a + 1) ( a − 1)
EJERCICIOS Factoriza cada una de las siguientes expresiones: 1.
25 x 2 − 16 =
2.
−81x 2 + 4 y 2 =
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•
153
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
3.
625 a 2 − 64 =
4.
4 y 2 x − 47 =
5.
( 2 y − 3 ) 2 − 36 =
6.
1− x4 =
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7.
16 b − 36 b 5 =
8.
x3 − x =
Factores de sumas y diferencias de cubos Para factorizar expresiones como a3 1 b3 o a3 2 b3 es necesario recordar la división entre polinomios. Por ejemplo, a 3 + b 3 = a 2 − ab + b 2 a+b por lo tanto,
(
a 3 + b 3 = ( a + b ) a 2 − ab + b 2
)
De la misma manera: a 3 − b 3 = a 2 + ab + b 2 a−b luego
(
a 3 − b 3 = ( a − b ) a 2 + ab + b 2
)
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•
155
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
EJEMPLOS Factoriza sumas y diferencias de cubos. 3 2 2 a) 27 a 3 + 8 = ( 3a ) + 2 3 = ( 3a + 2 ) ( 3a ) − ( 3a )( 2 ) + ( 2 )
(
= ( 3a + 2 ) 9 a 2 − 6 a + 4
)
( ) − 4 = ( x − 4 ) ( x ) + ( x ) ( 4 ) + ( 4 ) = ( x − 4 ) ( x + 4 x + 16 ) 3
b) x 6 − 64 = x 2 2
4
3
2
2 2
2
2
EJERCICIOS Factoriza cada una de las siguientes expresiones. 1.
125 x 3 − 1 =
2.
−81x 3 + y 3 =
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2
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3.
a 3 + 27 =
4.
a 3 − 27 =
5.
x 6 − 64 =
6.
x 6 − y6 =
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•
157
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
Factores de un cubo perfecto Para factorizar un cubo perfecto sólo debemos analizar que el polinomio que deseamos factorizar contenga: el primer término al cubo, el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, el triple producto del primero por el cuadrado del segundo y el cubo del segundo, como se representa a continuación. a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = ( a + b )
3
EJEMPLOS Factores de un cubo perfecto. a) 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 = ( 2 x ) + 3 ( 2 x ) 3
= ( 2 x + 3)
2
( 3 ) + 3 ( 2 x )( 3 ) 2 + ( 3 ) 3
3
( ) + 3( 2 a ) ( −3b ) + 3( 2 a )( −3b ) + ( −3b ) = ( 2 a − 3b )
b) 8 a 6 − 36 a 4 b 3 + 54 a 2 b 6 − 27 b 9 = 2 a 2
2
3
2 2
3 3
EJERCICIOS Factoriza cada una de las siguientes expresiones. 1.
x 3 + 3x 2 + 3x + 1 =
2.
x 3 − 6 a 2 b + 12 ab 2 + 8 b 3 =
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3
2
3 2
3 3
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3.
8 − 27 y 3 − 36 y + 54 y 2 =
4.
64 a 3 − 240 a 2 b + 300 ab 2 − 125 b 3 =
5.
8 x 3 − 36 x 2 + 54 x − 27 =
6.
x 3n + 3x 2 n + 3x + 1 =
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•
159
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
Factorizando completamente una expresión algebraica A veces, al factorizar un polinomio, es posible factorizar de nuevo la expresión resultante, lo cual permite simplificar la expresión. A este proceso de factorizar un polinomio hasta que ya no sea posible continuar se le llama factorización completa.
EJEMPLO Factoriza por completo los siguientes polinomios.
(
a) 2 x 4 − 8 x 2 = 2 x 2 x 2 − 4 = 2x2 ( x + 2 )( x − 2 )
(
( = ab ( a
= ab a 2 + b 2 2
+ b2
)
)( a − b ) )( a + b ) ( a − b ) 2
Factor común 2x2. Factorización de x2 2 4 como (x 1 2)(x 2 2).
a 5 b − ab 5 = ab a 4 − b 4
b)
)
2
Factor común ab. Factorización de a4 2 b4 como (a2 1 b2)(a2 2 b2). Factorización de a2 2 b2 como (a 1 b)(a 2 b).
EJERCICIOS Factoriza totalmente cada una de las siguientes expresiones. 1.
16 x − 36 y 5 =
2.
2 x 3 − 8 xy 5 =
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3.
a16 − 81b 8 =
4.
a4 − 1 =
5.
1 − y4 =
6.
x 2 − 10 x + 25 − 36 y 2 =
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•
161
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E
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
X P R E S I O N E S
F R A C C I O N A R I A S
Cuando tratamos con el cociente de dos expresiones algebraicas, estamos trabajando con una expresión fraccionaria en donde el valor del denominador no es cero. Si el numerador y el denominador de la fracción son polinomios, entonces la fracción se llama expresión racional. Por ejemplo, x3 − 2x + 5 x−3 Fíjate que para que nuestra expresión racional tenga sentido, debemos considerar valores para el denominador donde x ⫽ 3. Simplificación de expresiones fraccionarias Para simplificar expresiones racionales es conveniente que tanto el numerador como el denominador no tengan factores comunes, así que utilizaremos la siguiente propiedad básica:
ac = a bc b EJEMPLOS Simplificación de expresiones racionales.
a)
4 xy 2 3 2 ax + 2 x
2⋅2⋅ x⋅ y
=
2 2 ⋅ x (a + x )
=
2
c)
x + x−6 2
x −4
=
b)
1− a
a + 2a + 1
2y x (a + x )
(x + 3)(x − 2 ) (x + 2)(x − 2)
=
2
2
x+3 (x + 2)
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=
(1 + a )(1 − a ) (a + 1)(a + 1)
=
1− a 1+ a
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EJERCICIOS Simplifica cada una de las siguientes expresiones.
1.
2 a 3b 2 = ab 5
R.
2.
18 a 2 b 3 = 24 a 3b 2 c
3.
2 a 3k 2 = 6 a 5 bk 7
R.
4.
xy = 3 x 2 y − 3 xy 2
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2a2 = b3
1 = 3a 2 bk 5
163
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
5.
−2 xy = 4 x2y + 2x3
−y R. x ( 2 y + x ) =
6.
x 2 − 4 y2 = x 2 + 4 xy + 4 y 2
7.
x 2 − 4 y2 = − x 2 − 4 xy − 4 y 2
x − 2y R. − x − 2 y =
8.
x 2 − 3x + 2 = 2x2 − 4 x + 2
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9.
1− x2 = x3 −1
R.
10.
x2 + x − 6 = x2 − 4
11.
y − y2 = y2 − 1
−x −1 = x2 + x + 1
−y R. y + 1 =
12.
2x3 − x2 − 6x = 2x2 − 7x + 6
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
Multiplicación de expresiones fraccionarias La siguiente propiedad es la que utilizamos para multiplicar fracciones y significa que los numeradores y denominadores se multiplican para finalmente simplificar la fracción. a ⋅ c = ac b d bd EJEMPLOS Multiplica las siguientes expresiones fraccionarias: a)
2 b) 3 x − 3x x − y 3x( x − 1) x − y ⋅ = ⋅ x −1 x x −1 x
2 4 2 2⋅2 × = × 3 6 3 2⋅3 =
4 9
=
3x x − 1 x − y x(x − 1)
= 3x − 3 y EJERCICIOS Simplifica cada una de las siguientes expresiones.
1.
ax 2 ⋅ a 2 b = b2 y x2 y4
2.
x−3 ⋅ x+3 = x2 + 9 x2 − 9
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3.
x2 − x − 6 ⋅ x3 + x2 = x2 + 2x x2 − 2x − 3
4.
x 2 + 7 x + 12 ⋅ x 2 + 5 x + 6 = x 2 + 3x + 2 x 2 + 6 x + 0
División de expresiones fraccionarias Para dividir expresiones fraccionarias, utilizamos la siguiente propiedad de las fracciones: a c ad ÷ = b d bc Esta propiedad en realidad significa que para dividir una fracción entre otra, multiplicamos el inverso del divisor por la fracción del numerador.
EJEMPLOS Divide las siguientes expresiones fraccionarias: a) 12 ÷ 10 = 12 ⋅ 3 15 3 15 ⋅ 10 =
2⋅ 2⋅3 3 (3 ⋅ 5)(2 ⋅ 5)
=
6 25
2
b)
2
2
2
x −x x −1 x − x x + 2x + 1 ⋅ ÷ 2 = x x x + 2x + 1 x2 −1 =
= x +1
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2
x(x − 1) (x + 1) ⋅ x (x + 1)(x − 1)
167
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
EJERCICIOS Simplifica cada una de las siguientes expresiones.
1.
x 3y2 x 2 y2 ÷ 5 = xy 3 x y
2.
4 a 2 − 9 a − 9 ÷ 3a 2 − 7 a − 6 = 8 a 2 − 14 a − 15 6 a 2 − 11a − 10
3.
x2 − x − 6 ÷ x3 + x2 = x2 + 2x x2 − 2x − 3
4.
x 2 + 7 x + 12 ÷ x 2 + 5 x + 6 = x 2 + 3x + 2 x 2 + 6 x + 0
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Suma y resta de expresiones fraccionarias Para sumar y restar expresiones fraccionarias, primero obtenemos un denominador común (máximo común múltiplo) y a continuación utilizamos la siguiente propiedad de las fracciones. a + c = ad + bc b d bd El mínimo común denominador (MCD) se obtiene al factorizar cada denominador y tomar el producto de los diferentes factores, utilizando la potencia más elevada que aparezca en cualquiera de los factores.
EJEMPLOS Suma y resta de expresiones fraccionarias:
a)
2 6
+
3 8
=
(4)(2) + (3)(3) (3)(8)
El MCD de 6 y 8 es (8)(3) 6 3 3 3 1
8 + 9 17 = = 24 24
b)
c)
5 x +1 2x 5 − (x + 1) + 2 x − + = x+2 x+2 x+2 x+2
2 1− x
+
3x x+2
=
5 − x − 1 + 2x x+2
=
x+4 x+2
=
(2 )(x + 2)+ (3 x)(1 − x) (1 − x)(x + 2)
=
2 x + 4 + 3x − 3x (1 − x)(x + 2)
=
4 + 5x − 3x (1 − x )(x + 2)
8 4 2 1 1
2 2 2 3
(23)(3) 5 (8)(3)
El MCD es x 1 2
El MCD es (1 2 x)(x 1 2)
2
2
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169
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
El MCD es (x 2 1)(x 1 1)2
d)
1 2
x −1
−
2x
(x + 1)
2
+
2x + 1 x +1
=
1
−
2x
(x + 1)(x − 1) (x + 1)
=
=
=
=
2
+
2x + 1 x +1
(1)(x + 1)− 2x(x − 1)+ (2 x + 1)(x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1)2 x + 1 − 2 x + 2 x + (2 x + 1)(x − 1) 2
2
(x − 1)(x + 1)2
x + 1 − 2 x 2 + 2 x + 2x 3 − 2 x + x 2 − 1
(x − 1)( x + 1)2
3
2
2x − x + x
( x − 1)(x + 1)2
EJERCICIOS Resuelve cada una de las siguientes sumas y restas. 1.
3 + 2 = x+5 x−3
5x +1 R. ( x + 5 )( x − 3)
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2.
3− x + 2x + 3 = x+5 x+5
3.
3a + 2 b = 2b 5 a
R.
3− a
15 a 2 + 4 b 2 10 ab
+ a = a+3
4.
( a + 3) ( a − 4 )
5.
1 + 1 = x + 3 x2 − 9
x−2 R. ( x + 3)( x − 3)
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
6.
x − 3 = x−3 x−9
7.
1+ 1 + 1 = x x2 x − 2
R.
8.
1 + x = x − 2 x2 − 4
9.
3 − 5 = 2 2 3 a − ( ) 2a − 3
R.
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2x2 − x − 2 x 2 ( x − 2)
18 − 10 a ( 2 a − 3)2
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10.
x 2 + = x2 + x − 2 x2 − 5x + 4
11.
2+ 3 − 4 = x x − 1 x2 − x
5x − 6 R. x ( x − 1)
12.
x − 1 − 2 = x2 − x − 6 x + 2 x − 3
13.
1 1 − = x 2 + 3x + 2 x 2 − 2 x − 3
−5 R. ( x + 1)( x + 2 )( x − 3)
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UNIDAD 2
Polinomios de una variable
Simplificación de una fracción compuesta Una fracción compuesta se caracteriza porque contiene fracciones tanto en el numerador como en el denominador y se resuelve con la siguiente propiedad:
a b = ad c bc d
extremos medios
EJEMPLOS Simplificación de fracciones compuestas:
a +1 2 ab a + ab b = b ⋅ = b b ab ab − b 2 1− 1− a a a
a)
+1
=
+1
=
c)
Obtenemos el mínimo común denominador ab de todas las fracciones dentro de la expresión, y enseguida multiplicamos el numerador y el denominador por este.
b (a − b )
a+b b = b b a− b 1− a a a
b)
a (a + b )
Metodo 1
Método 2 Realizamos las operaciones del numerador y del denominador para obtener una sola fracción y enseguida multiplicamos extremo por extremo y medio por medio.
a (a + b ) b (a − b )
1 1 −1 −1 (x + y )(x − y) x+ y x+ y = ⋅ 2 2 (x + y )(x − y) 1+ 1+ x− y x−y =
x − y − (x + y )(x − y) ( x + y)(x − y) + 2(x + y )
=
( x − y)(1 − x − y) ( x + y)(x − y + 2)
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Multiplicamos y dividimos tanto el numerador como el denominador por el mínimo común denominador (x 1 y)(x 2 y) y luego simplificamos.
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EJERCICIOS Simplifica las siguientes expresiones.
1.
x− y 1 − x2
y x = 1 y2
R. 2xy
y x 1− = 1 +1 x2 1−
2.
1 x+y = 1+ 1 x+y 1−
3.
x + y −1 R. x + y + 1
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175
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•
UNIDAD 2
Polinomios de una variable
4.
x−y x+y − x y = x−y x+y − y x
5.
5 − 2 a −1 a +1 = a + 1 a −1 a +1
R.
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3a + 7 a2 + 2a − 1
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U N I D A D
3 E C U A C I O N E S
D E
P R I M E R
G R A D O
Ecuaciones de primer grado
178
Ecuaciones equivalentes
179
Aplicaciones
188
Ecuaciones con soluciones literales
199
Relación de la ecuación de primer grado con la ecuación lineal
201
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
208
Ecuaciones consistentes, inconsistentes y dependientes
213
Método de sustitución para resolver ecuaciones simultáneas
215
Método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas
224
Aplicaciones
229
Sistema de ecuaciones simultáneas con tres incógnitas
230
177
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E
•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
C U A C I O N E S
D E
P R I M E R
G R A D O
En esta sección resolverás situaciones en las que se aplican las ecuaciones de primer grado con una incógnita, así como sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, mediante métodos algebraicos e interpretación gráfica. Por ejemplo, observa la figura del anuncio en esta página; nos dice que se descuentan $40 del precio original de una lata de impermeabilizante y que ahora su precio es de $79.99. ¿Cuál era el precio anterior p de la lata? 0
$4 DE O NT lata UE ada C c S DE En
Impercool Ahora
$
7999
Impercool
Im
p
er
co
ol
CUBIERTA PROTECTORA
Resultados G ara ntizados Garantizados
NO SE DECOLORA
Solución Evidentemente, puesto que el precio p se rebajó $40, entonces el nuevo precio es p 2 $40. Como el nuevo precio es $79.99, tenemos que p 2 40 5 79.99 Aplicando la propiedad aditiva de las igualdades, sumamos 40 en ambos lados de la igualdad y obtenemos el precio original p: p 2 40 1 40 5 79.99 1 40 p 5 119.99 Por lo tanto, el precio anterior de la lata de impermeabilizante era de $119.99. Por supuesto, éste es un ejemplo muy elemental de la solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, pero es importante que te familiarices con su análisis y su operatividad para que tengas mejores resultados en su aplicación. Una ecuación es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas son iguales. Por ejemplo, en la situación anterior, p 2 40 5 79.99 es una ecuación y, como vimos, su resultado simplemente expresa una relación de igualdad entre dos cantidades fáciles de calcular y que ilustra el modelo de este tipo de relaciones.
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La mayor parte de las ecuaciones que se estudian en álgebra contienen variables, las cuales generalmente son letras que representan cantidades numéricas. En las ecuaciones x(x 2 4) 5 x2 2 4x 2y 1 3 5 7 las letras x y y son variables. En la expresión x(x 2 4) 5 x2 2 4x estamos representando la propiedad distributiva de la multiplicación. Esta expresión es verdadera para cualquier valor de x; en este caso, la ecuación recibe el nombre de identidad. En el caso de 2y 1 3 5 7 existe un solo valor, y 5 2, que hace que la igualdad sea verdadera; este valor se llama solución o raíz de la ecuación.
E
C U A C I O N E S
E Q U I V A L E N T E S
Cuando dos ecuaciones tienen las mismas soluciones, se dice que son equivalentes. Para encontrar su solución, intentamos una equivalencia más sencilla y que contenga la variable sola en uno de los lados del signo de igualdad (5). Además, es indispensable utilizar de forma adecuada las propiedades de la igualdad. Las propiedades de la igualdad, como sabemos, Propiedades de la igualdad: establecen que al resolver una ecuación, deben efectuarse 1. Si a 5 b, entonces a 1 c 5 b 1 c las mismas operaciones en ambos lados de la igualdad. Por ejemplo, al resolver 3x 1 5 5 26, primero tenemos que 2. Si a 5 b, entonces ac 5 bc 1 sumar (25) y luego multiplicar por en ambos lados de 3 la igualdad. 3x 1 5 1 (25) 5 26 1 (25) 3x 5 21
sumamos (25)
1 ⋅ 3 x = 1 ⋅ 21 3 3
multiplicamos por
x57
simplificamos
1 3
Para verificar si la solución es correcta, sustituimos en la ecuación el valor de x 5 7 y la parte izquierda de la igualdad debe ser igual que la de la derecha. x=7 3( 7 ) + 5 = 26 26 = 26 ¡correcto! Ecuaciones lineales La clase más sencilla de ecuaciones son las ecuaciones lineales o de primer grado. Una ecuación lineal es de la forma ax 1 b 5 0; donde a y b representan números reales con a ⫽ 0, y x es la incógnita que hay que definir.
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
EJEMPLO
1
Resuelve la ecuación 2x 2 4 5 5x 1 8. Solución Hay que buscar una ecuación equivalente de manera que en un lado aparezcan los términos en x y en el otro los valores constantes. 2x 2 4 5 5x 1 8 (2x 2 4) 1 4 5 (5x 1 8) 1 4 Suma 4 en ambos lados 2x 5 5x 1 12
Simplifica
2x 2 5x 5 (5x 1 12) 2 5x
Resta 5x en ambos lados
23x 5 12
Simplifica
− 1 ( −3 x ) = (12 ) − 1 3 3
Multiplica por
x 5 24
Simplifica
−1 3
Comprobación Sustituimos x 5 24 en la ecuación original x = −4 2 ( −4 ) − 4 = 5 ( −4 ) + 8 − 12 = −12 ¡verdadero!
EJEMPLO
2
Uso de la propiedad distributiva. Resuelve 5(x 1 2) 5 3(x 1 1) 1 9 5(x 1 2) 5 3(x 1 1) 1 9 5x 1 10 5 3x 1 3 1 9
Propiedad distributiva
5x 1 10 5 3x 1 12
Simplifica
5x 1 10 2 10 5 3x 1 12 2 10
Resta 10 en ambos lados
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5x 5 3x 1 2
Simplifica
5x 2 3x 5 3x 2 3x 1 2
Resta 3x en ambos lados
2x 5 2
Simplifica
2x = 2 2 2
Divide entre 2 en ambos lados
x51
Simplifica
Comprobación x =1 5 (1 + 2 ) = 3(1 + 1) + 9 5 ( 3) = 3( 2 ) + 9 15 = 15 ¡verdaderoo!
EJERCICIOS Resuelve las siguientes ecuaciones. 1. 3x 2 12 5 0
R. x 5 4
2. 25x 2 12 5 27
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
3. 24h 2 2 5 6
R. h 5 22
4. 23x 1 1 5 29
5. 8t 1 4 5 15t 2 10
R. t 5 2
6. 10h 1 15 2 5h 5 25
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Continúa de la misma manera. 7. 3x 1 4 5 x 1 10
R. x 5 3 8. 5x 2 12 5 6x 2 8
9. 4u 2 7 5 6u 1 9
R. u 5 28 10. 6m 1 12 5 3m
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
11. 10 2 3z 5 8 2 6z
R. z = − 2 3
12. 5(x 1 2) 5 3(x 1 3) 5 1
13. u 2 (4 2 2u) 5 7(u 2 1)
R. u = 3 4
14. 5(4 2 3a) 5 7(3 2 4a)
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EJEMPLO
3
El MCD de 4 y 5 es 20. 4 2 1 1
Resuelve 3 + x = 1 4 5 ( 20 ) 3 + ( 20 ) x = 1( 20 ) 4 5
Multiplica por MCD 5 20
15 1 4x 5 20
Simplifica
15 2 15 1 4x 5 20 2 15
Resta 15 en ambos lados
4x 5 5
Simplifica
4x = 5 4 4
Divide entre 4 en ambos lados
x= 5 4
Simplifica
EJEMPLO
185
5 5 5 1
2 2 5 (22)(5) 5 20
Comprobación x= 5 4 3 + x = 3 + 1 ⋅ 5 =1 4 5 4 5 4 ¡verdadero!
4
Reducción a una ecuación lineal. Resuelve
x = 2 x + 1 ; si x ⫽ 21, y x ≠ 3 2 x +1 2x − 3
x = 2x +1 x +1 2x − 3
El MCD es (x 1 1)(2x 2 3)
( x + 1)( 2 x − 3) x = 2 x + 1 ( x + 1)( 2 x − 3) x +1 2x − 3
Multiplica por MCD
(2x 2 3)x 5 (2x 1 1)(x 1 1)
Simplifica
2x2 2 3x 5 2x2 1 3x 1 1
Desarrolla
23x 5 3x 1 1
Resta 2x2 en ambos lados
26x 5 1
Resta 23x en ambos lados
x=−1 6
Divide entre 26 en ambos lados
La comprobación se deja como ejercicio al estudiante.
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
EJERCICIOS Resuelve las siguientes ecuaciones. 1.
3 x + 5 + x + 3 = 12 3 3
R. x 5 7
2.
x − x =1 3 2
3.
u + 1 − 2u − 2 = 3 4 3
R. u 5 25
4.
2k − 1 = k − 4 3 12
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5.
2 = 3 t + 6 t −1
R. t 5 220
6.
4 + 2 = 35 x − 1 x + 1 x2 − 1
7.
1 + 5 = 2 x + 3 x2 − 9 x − 3
R. x 5 24
8.
x − 4 = 2x
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187
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A
•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
P L I C A C I O N E S
Considera el siguiente diagrama como un sistema de acceso a la solución de problemas aplicados. Modelo verbal o gráfico
EJEMPLO
¿Qué conocemos? ¿Qué queremos?
Ecuación algebraica
Solución
1
José tiene un trabajo en donde gana $120,000 anuales, que incluye un bono de $10,000 al final del año. Si recibe un pago quincenal, ¿cuál es el ingreso bruto en cada cheque?
Modelo verbal
¿Qué conocemos?
Ingreso por año 5 24 pagos 1 bono
Ingreso por año 5 $120,000 Bono 5 $10,000 ¿Qué queremos? Cantidad en cada cheque 5 x
Ecuación
Solución
$120,000 5 24x 1 10,000
Utilizando las técnicas usadas en la solución de ecuaciones tenemos que x=
120, 000 − 10, 000 = $4 , 583.33 24
El ingreso por cada cheque es de $4,583.33.
EJEMPLO
2
Roberto invitó al cine a su novia y durante la función compraron tres refrescos del mismo precio y dos bolsas de palomitas de $22 cada una. Si Roberto gastó $100 en total, ¿cuánto costó cada refresco?
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•
Modelo verbal
¿Qué conocemos?
Gasto total 5 2 bolsas de palomitas de $22 cada una 1 3 refrescos
Gasto total 5 $100 Costo de las palomitas 5 (2)($22) 5 $44
189
¿Qué queremos? Precio de cada refresco 5 x
Ecuación
Solución
$100 5 $44 1 3x
Utilizando las técnicas usadas en la solución de ecuaciones, tenemos que x = 100 − 44 = $18.66 3 Cada refresco costó $18.66.
EJEMPLO
3
Silvia invierte $100,000 en dos cuentas diferentes, de forma que en una de ellas le pagan el 6% y en la otra 5% anual de interés simple. Si el interés total es de $5,700 al año, ¿cuánto dinero está invertido en cada una de las cuentas?
Modelo verbal
¿Qué conocemos?
Interés total generado por $100,000 dividido en dos cuentas
Dinero invertido 5 $100,000 Tasa de interés de una cuenta 5 6% Tasa de interés de la otra cuenta 5 5% Interés total recibido 5 $5,700 ¿Qué queremos? Cantidad invertida al 6% 5 x Cantidad invertida al 5% 5 $100,000 2 x
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
Ecuación
Solución
0.06x 1 0.05(100,000 2 x) 5 5,700
0.06x 1 5000 2 0.05x 5 5700 0.01x 1 5000 5 5700 0.01x 5 5700 2 5000 5 700 x = 700 = 70, 000 .01 100,000 2 x 5 100,000 2 70,000 5 30,000 Silvia ha invertido $70,000 al 6% y $30,000 al 5%.
EJEMPLO
4
Un albañil puede hacer una obra en 3 días y otro en 5 días. ¿En cuánto tiempo terminarán la obra juntos?
Modelo verbal
¿Qué conocemos?
Tiempo total de la obra 5 Tiempo empleado por los albañiles trabajando juntos
Tiempo del albañil 1 5 3 días Tiempo del albañil 2 5 5 días ¿Qué queremos? Tiempo total de la obra 5 x
Ecuación
Solución
El ritmo de trabajo de un albañil es 1 x y 3 1 el del otro x , por lo tanto, entre ambos 5 terminan el 100% de la obra en x + x =1 3 5
x + x =1 3 5 5x 1 3x 5 15 x = 15 = 1.875 días 8 El tiempo total para terminar la obra entre ambos albañiles es de 1.875 días.
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EJEMPLO
•
191
5
Un autobús recorre la distancia de Chihuahua a Juárez a una velocidad promedio de 95 km/hr y de regreso viaja a una velocidad promedio de 90 km/hr. Si todo el recorrido tomó 8 horas, ¿cuál es la distancia de Chihuahua a Juárez?
s
Modelo verbal
¿Qué conocemos?
Tiempo total del viaje 5 Tiempo de ida 1 tiempo de regreso
Velocidad promedio de ida 5 95 km/hr Velocidad promedio de regreso 5 90 km/hr Tiempo total del viaje 5 8 hrs ¿Qué queremos? Distancia de Chihuahua a Juárez 5 s
Ecuaciones
Solución
La relación de velocidad es v = s , entonces t s el tiempo t es t = , luego, el tiempo de ida es v t i = s y el de regreso t r = s . Por lo tanto, vi vr s + s =8 95 90
s + s =8 95 90 90s 1 95s 5 68,400 s=
68, 400 = 369.72 ≈ 370 185
La distancia de Chihuahua a Juárez es de 370 km aproximadamente.
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Ecuaciones de primer grado
EJERCICIOS En cada una de las siguientes situaciones completa los datos que faltan en la tabla para encontrar la solución. 1. Dimensiones de un anuncio. Un anuncio tiene impresa su parte central con forma rectangular, que mide 100 por 140 centímetros y está enmarcada con una banda de ancho constante. El perímetro del cartel es 1.5 veces el del área impresa. ¿Cuál es el ancho de la banda, y cuáles son las dimensiones del cartel?
Modelo gráfico
¿Qué conocemos? Perímetro del área impresa 5 2 · 100 1 2 · 140 5 480
ci
o
100 cm
ej
er
ci
Perímetro del cartel 5 1.5 veces el perímetro del área impresa 5 720
az
¿Qué queremos? 140 cm
pr
e
Ancho de la banda 5 x
em
Dimensiones del cartel 5 (100 1 2x)(140 1 2x)
Si
•
H
192
x
Perímetro 5 2(100 1 2x) 1 2(140 1 2x)
x
Ecuación
Solución Ancho de la banda 5 Dimensiones del cartel 5
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2. Altura de un edificio. Se desea calcular la altura de un edificio y, para tal fin, una persona de 1.80 m mide la sombra que proyecta el edificio y ésta resulta ser de 10 m, mientras que su propia sombra es de 1 m. ¿Cuál es la altura h del edificio?
Modelo gráfico
¿Qué conocemos? Sombra del edificio 5 Sombra de la persona 5 Altura de la persona 5
h
¿Qué queremos? Altura del edificio 5
1.80 m 10 m
1m
Ecuación
Solución
Considerando las razones entre triángulos
Altura del edificio 5
h = 1.80 10 1 3. Mezclas y concentraciones. Con el propósito de elaborar oro blanco para las amalgamas dentales, los especialistas mezclan oro puro y platino. Supongamos que se desea elaborar 10 onzas troy de oro blanco para vender a $415 la onza. Si el oro puro cuesta $400 la onza y el platino a $475 la onza. ¿Cuánto de cada uno se debe mezclar? Modelo verbal
¿Qué conocemos?
10 onzas de oro blanco a $415 cada onza debe ser igual a la mezcla de una cantidad de oro puro a $400 por onza + otra cantidad de platino a $475 la onza.
Precio de 10 onzas de oro blanco 5 $415 Precio de una onza de oro puro 5 $400 Precio de una onza de platino 5 $475 ¿Qué queremos? Cantidad necesaria de oro puro 5 x Cantidad necesaria de platino 5 10 2 x
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•
193
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
Ecuación
Solución
Sugerencia: Suma el costo de cada uno de los metales que van a componer la mezcla y el total debe ser $4,150.
4. Saúl revisa su cuenta bancaria; en ella tiene $12,378.00 después de que el banco
le ha abonado sus respectivos intereses del 8%. ¿Cuánto tenía antes de que le depositaran los intereses?
R. 11,461.11
5. La suma de 3 números consecutivos (n, n 1 1, n 1 2) es 156. ¿Cuáles son esos
números?
R. 51, 52 y 53
6. Queremos repartir 300 dólares entre A, B y C, de forma que la parte de B sea
el doble que la de A, y la de C el triple que la de A.
R. A 5 50, B 5 100 y C 5 150
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7. Si un número se multiplica por 5 el resultado es el número aumentado en 20.
¿Cuál es ese número?
R. 5
8. Un ganadero compró el doble de vacas que de bueyes. Por cada vaca pagó
$7,000 y por cada buey, $8,500. Si el importe total de la compra fue de $270,000, ¿cuántas vacas y cuántos bueyes compró?
R. 24 vacas y 12 bueyes
9. La distancia de Miami hasta Tampa es de unas 200 millas. Si un jet vuela a una
velocidad promedio de 400 millas por hora, ¿cuánto tiempo tarda en llegar de Miami hasta Tampa?
R. 0.5 hrs.
10. Una impresora de rayo láser imprime una página de 12 pulgadas en 6 seg.
a) ¿Cuál es la velocidad de impresión? b) ¿Cuánto tardará en imprimir 60 de esas páginas a esa velocidad?
R. a) 2 pulg/seg b) 6 minutos
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195
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UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
11. Un tren de carga sale de la estación a 30 millas por hora. Una hora más tarde,
un tren de pasajeros sale de la misma estación a 60 millas por hora y viaja en la misma dirección. ¿Cuánto tiempo tarda el tren de pasajeros en alcanzar al tren de carga?
R. 1 hr
12. Dos automóviles parten de dos casetas A y B de cobro de una carretera dis-
tantes entre sí 230 km, yendo uno hacia otro. Si uno viaja a una velocidad promedio de 110 km por hora y el otro a 85 km/hr, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que los automóviles se encuentren? Fíjate que los recorridos de los dos automóviles se van a sumar para completar los 230 km. 110 km/h
85 km/h 230 km
A
B
R. t ⬇ 1.18 hrs
13. Durante su carrera en ligas mayores, Hank Aaron conectó 31 cuadrangulares
más que Babe Ruth. Juntos batearon 1,459. ¿Cuántos conectó Babe Ruth?
R. 714
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14. El gerente de una gasolinera compró 60,000 lts de gasolina verde y roja por
$295,360. Suponiendo que el precio de mayoreo para los concesionarios es de $4.89 por litro de gasolina verde y $5.03 por litro de gasolina roja, ¿cuántos litros compró de cada una?
R. 46,000 lts de verde y 14,000 lts de roja
15. Un inversionista invierte $20,000, una parte al 6% y el resto al 8%. Si su interés
anual proveniente de estas dos inversiones suma $1,500, ¿cuánto invirtió a cada tasa?
R. $5,000 al 6% $15,000 al 8%
16. Un hombre tiene una cuenta de ahorros que le paga el 5% de interés anual y
algunos certificados de depósito que le dan 7% anual. El interés total de las inversiones es de $1,100 y la cantidad total de dinero en ambas es de $18,000. ¿Cuánto dinero tiene esta persona en la cuenta de ahorros?
R. $8,000
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UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
17. Una suma de $10,000 se divide y las dos partes se invierten al 5% y al 6%,
respectivamente. Si el interés de la inversión al 5% excede el interés de la inversión al 6% en $60, ¿cuánto se invirtió a cada tasa?
R. $6,000 al 5% $4,000 al 6%
18. ¿Cuántos litros de solución de glicerina al 40% deben mezclarse con 10 lts de
una solución de glicerina al 80% para obtener una solución al 65%? Solución de glicerina
Litros
%
Litros de la concentración
A
x
0.40
0.40x
B
10
0.80
8
Mezcla
x 1 10
0.65
0.65(x 1 10)
R. 6 lts
19. Si el precio del cobre es de 0.65 de dólar por libra y el precio del zinc es de 0.30
dólares, ¿cuántas libras de ambos deben mezclarse para obtener 70 libras de bronce, que se vende a 0.45 dólares por libra?
R. 30 lbs de cobre
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E
C U A C I O N E S
C O N
S O L U C I O N E S
L I T E R A L E S
Existen muchos casos en donde las aplicaciones de las matemáticas y la física utilizan ecuaciones que contienen más de una variable, y la solución de alguna de ellas queda subordinada a las otras. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones literales.
EJEMPLO En la fórmula de la relación de temperaturas Farenheit y Celsius F C = 5 ( F F − 32 ) , 9 encuentra el valor de 8F.
Solución Se desea despejar 8F. F
C = 5 ( F F − 32 ) 9
9 ⋅ F C = ( F F − 32 ) 5
Multiplicamos por el recíproco de
9 ⋅ F C + 32 = ( F F − 32 ) + 32 5
Sumamos 32 en ambos lados
9 ⋅ F C + 32 = F F o bien 5
F
F = 9 ⋅ F C + 32 5
EJERCICIOS Resuelve la ecuación para la variable indicada. 1. R en PV 5 nRT
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5 9
199
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UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
2.
r en S = a 1− r
3. w en P 5 2w 1 2l
4.
x en y = ax + b cx + d
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R
E L A C I Ó N
G R A D O
D E
C O N
L A L A
E C U A C I Ó N E C U A C I Ó N
D E
P R I M E R
L I N E A L
Antes de ocuparnos de la relación entre la ecuación lineal y la ecuación de primer grado, es conveniente extender la utilidad de la correspondencia entre puntos geométricos y números reales, puesto que esta relación nos permite comprender el concepto de lo que es un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas. Sistema coordenado en el plano Es un sistema rectangular, llamado así en honor a su descubridor, René Descartes (15961650). Se trata de un sistema formado por dos ejes que se cortan perpendicularmente y generan cuatro regiones donde a cada punto le corresponde precisamente un par de números reales. A continuación se muestran los elementos que componen este sistema. y II(2,1)
I(1,1) P (x, y)
x
III(2,2)
IV(1,2)
P(x, y) es un punto geométrico, donde (x, y) representan un par de números reales. x se llama abscisa y y se llama ordenada, juntas se llaman coordenadas. I, II, III y IV se llaman cuadrantes y definen los signos de las coordenadas.
EJEMPLOS Localiza los puntos en el plano cartesiano.
(
)
1. Grafica los puntos A − 27 , 2 , C(3.3, 23), P(2, 4) y Q(24, 23) en el plano cartesiano.
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201
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UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
Solución En cada eje ubicamos la coordenada respectiva. Trazamos, a partir de ellas, segmentos paralelos a los ejes; en su intersección se encuentra el punto buscado. y P(2, 4) A(27/2, 2)
x
Q(24, 23)
C(3.3, 23)
2. Indica las coordenadas que corresponden a cada punto de la gráfica de referencia. y
Solución A
A(21, 4) P
B(2, 23) x
P(3, 2) R
R − 7 , −2.5 2
EJERCICIO
B
1
En la gráfica 1 localiza los puntos indicados a la izquierda, y en la gráfica 2 escribe las coordenadas de cada punto correspondiente a las coordenadas señaladas. y
y P(4, 5)
A(
)
Q (24.5, 3.7)
B(
)
C(
)
D(
)
R(24, 24)
C A
x S(3, 24/2)
x B
D
Gráfica 1
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Gráfica 2
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EJERCICIO
203
2
La gráfica muestra la venta de teléfonos personales en millones de unidades para los años 1985 a 1989. Fíjate que en el eje horizontal se indica el año y en el vertical, el número de unidades vendidas. Escribe los siguientes pares ordenados. a) La cantidad de teléfonos vendidos en 1988. b) El año en que las ventas fueron de 7.1 millones unidades. 8 Millones de unidades 6 4 2 85
86
87
88
89
Ano
Ahora que conocemos el sistema de coordenadas en el plano, estamos en condiciones de relacionar la ecuación de primer grado con su lugar geométrico, es decir, con la línea recta. Supongamos que deseamos rentar un automóvil que cuesta $300 por día más $2 por kilómetro recorrido. Entonces, la ecuación para el costo diario y basado en el número x de kilómetros recorridos es la siguiente: y =
2 x
300
+ P
Costo
Costo por km
Renta fija
Esta ecuación nos permite calcular los pares ordenados de la forma (x, y) dependiendo del número de kilómetros recorridos. Grafica los valores de la tabla y une los puntos resultantes. x (km)
0
10
20
30
40
y ($)
300
320
340
360
380
y ($) 400 380 360 340 320 300
10
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20
30
40
x (km)
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
Como te habrás dado cuenta, la gráfica es una línea recta y representa la ecuación de primer grado o ecuación lineal. Su principal característica es que los puntos que la forman guardan entre sí una relación que no cambia; esa relación se llama pendiente y es el coeficiente del término en x cuando la y está despejada, como en este caso. En cursos posteriores de geometría analítica estudiarás la relación constante, llamada pendiente, pero por el momento es conveniente que te fijes que es una razón de cambio de las ordenadas entre las abscisas. Es decir, en nuestro ejemplo el costo de $2 por kilómetro recorrido representa ese valor y significa que cada vez que recorremos un valor en x a la derecha, subimos 2 en y.
2 1
pendiente = 2 = 2 1
2 1
Ecuación de primer grado o ecuación lineal La ecuación de primer grado se puede escribir en la forma Ax 1 By 1 C 5 0 donde A, B y C son constantes (A y B nunca valen cero simultáneamente), x y y son variables y su gráfica es precisamente una línea recta.
EJEMPLO
1
Graficación de líneas rectas. Grafica 3x 1 y 2 6 5 0. Solución Aunque una línea recta tiene un número infinito de puntos, con dos es suficiente para definirla y realizar su trazo. Dos puntos fáciles de encontrar son las intersecciones con los ejes; es decir, cuando x 5 0, encontramos y, y después hacemos y 5 0 y encontramos x, pero evidentemente se puede asignar cualquier valor a x después de despejar y. Despejando y de la ecuación 3x 1 y 2 6 5 0 y 5 23x 1 6 Si x 5 0, entonces y 5 23(0) 1 6 5 6 Si x 5 1, entonces y 5 23(1) 1 6 5 3
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205
y (0, 6)
(1, 3) Raíz
x
Con esto tenemos los dos puntos (0, 6) y (1, 3) para graficar. Otra forma de graficar es que a partir de un punto, por ejemplo (0, 6), avancemos una unidad a la derecha y bajemos 3, porque su pendiente es 23 (coeficiente de x cuando y está despejada). Raíz de la ecuación lineal Por cierto, si te fijas, cuando y 5 0, nuestra ecuación se convierte en 23x 1 6 5 0 y x 5 2. Este valor se llama la raíz de la ecuación o la intercepción con el eje x.
EJEMPLO
2
Graficación de líneas. Grafica 3x 1 2y 2 6 5 0. Solución Despejemos y de la ecuación y encontremos las intercepciones con los ejes. y=− 3x+3 2 Si x 5 0; entonces y = − 3 ( 0 ) + 3 = 3 2
y
(0, 3)
Si y 5 0; entonces 0 = − 3 x + 3 2
Raíz
(2, 0) x
3 x = 3 ; luego x = 3 ⋅ 2 = 2 . 3 2 Las intercepciones son (2, 0) y (0, 3). Observa que a partir del punto (0, 2) cuando avanzamos 2 unidades a la derecha bajamos 3 en el eje y.
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UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
Gráficas de líneas horizontales y verticales que pasan por el origen y
y
y x5k
Ax 1 By 5 0
y5k
x
x
Recta horizontal
Recta vertical
x
Recta que pasa por el origen
EJERCICIOS 1. Grafica una por una las siguientes ecuaciones:
a) 2x 1 y 2 4 5 0
b) 2x 1 5y 5 10
y
c) y 5 3x 2 3
y
x
y
x
x
x
x
x
y
y
y
2. Grafica una por una las siguientes ecuaciones:
a) 2x 1 y 5 0
b) y 5 24
y
c) x = 7 2 y
x
y
x
x
x
x
x
y
y
y
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3. Grafica una por una las siguientes ecuaciones:
a) y 5 22x 1 4
b) 3x 2 6y 5 6
y
c) 23y 5 4x 1 12
y
x
y
x
x
x
x
x
y
y
y
4. De acuerdo con el Departamento de Agricultura de Estados Unidos, el consumo
total diario de grasa g (en gramos) por persona se puede aproximar mediante la ecuación g 5 140 1 t, donde t es la cantidad de años después de 1950. a) ¿Cuál fue el consumo diario de grasa por persona en 1950? b) ¿Cuál es el consumo diario de grasa que se calcula para el año 2000? c) Traza la gráfica de g 5 140 1 t. g 250 200 150 100 50 10
t
20 30 40 50 60
5. De acuerdo con la Asociación de la Industria de la Grabación, el porcentaje
p en dólares estadounidenses de ventas por grabaciones de jazz se puede aproximar mediante p 5 6 2 0.6t, donde t son los años después de 1989. a) Encuentra las intercepciones en t y en p para esta ecuación. b) Grafica la ecuación. p 6 5 4 3 2 1 2
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4
6
8
10 12
t
207
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S
•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
I S T E M A S
C O N
D O S
D E
E C U A C I O N E S
L I N E A L E S
I N C Ó G N I T A S
Si observamos en la gráfica de la derecha, es muy evidente que hay un punto donde las líneas de la oferta y la demanda coinciden. Este punto se llama de intersección y es la solución simultánea de las dos líneas. En este apartado vamos a aprender los métodos gráfico, de eliminación y de sustitución para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, si es que existe la solución. Oferta y demanda de energía 150 130
Miles de millones de DEMANDA barriles de petróleo al día DÉFICIT
110
OFERTA
90 70
Equilibrio 1980
1990 Año
2000
Método gráfico para resolver ecuaciones lineales simultáneamente La solución simultánea de dos ecuaciones con dos variables es un par ordenado de números reales (x, y) que representan un punto común al lugar geométrico de las dos líneas rectas. Por lo tanto, en el método gráfico nos basaremos en la gráfica de las dos ecuaciones lineales para determinar su solución.
EJEMPLO
1
Encuentra de manera gráfica la solución de 2x 2 y 5 0 3x 1 2y 5 14 Solución Primero que nada hay que graficar cada ecuación como lo hicimos en el apartado anterior. Para ello construyamos una tabla como la siguiente:
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y x
y 5 2x
x
3 y52 x17 2
0
0
0
7
1
2
2
4
2x 2 y 5 0
Solución
3x 1 2y 5 14 x
En la gráfica podemos apreciar claramente que el par ordenado que satisface al sistema de ecuaciones es (2, 4). Enseguida tenemos la comprobación. 2(2) 2 4 5 0 3(2) 1 2(4) 5 14
EJEMPLO
2
Encuentra de manera gráfica la solución de x1y54 2y 2 x 5 21 Solución De la misma manera que en el ejemplo anterior construyamos una tabla para graficar las ecuaciones dadas. y y5
y542x
1 1 x2 2 2
x
y542x
x
0
4
1
0
4
0
21
21
Solución x y5
1 1 x2 2 2
Como se observa en la gráfica de estas dos líneas, la solución es (3, 1). ¡Compruébalo!
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209
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
EJERCICIOS Resuelve cada sistema por graficación. 1. x 1 y 5 4
R. (1, 3)
x 2 y 5 22 y
x
y5
x
y5
x
2. x 1 2y 5 0
x 2 y 5 23 y
x
y5
x
y5
x
3. 3x 2 2y 5 6
R. (0, 23)
x 5 y 5 23
y
x
y5
x
y5
x
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas •
4. 2x 2 y 5 22
x 2 2y 5 2
y
x
y5
x
y5
x
5. x 2 2y 5 2
R. (22, 22)
y 5 22
y
x
y5
x
y5
x
6. y 5 3x 1 6
y 5 22x 2 4 y
x
y5
x
y5
x
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211
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
EJEMPLO
3
Encuentra de manera gráfica la solución de x 1 2y 5 4 x 1 2y 5 22 Solución Construyamos una tabla para graficar las ecuaciones dadas. y x
1 y52 x21 2
x
1 y52 x12 2
0
21
0
2
22
0
2
1
x 1 2y 5 4
x 1 2y 5 22
x
Como se aprecia en la gráfica las rectas son paralelas y no se intersecan, por lo tanto, el sistema no tiene solución. Cuando ocurre esto, el sistema se llama inconsistente y las pendientes de la rectas son iguales.
EJEMPLO
4
Encuentra de manera gráfica la solución de 4x 1 2y 5 8 2x 1 y 5 4 Solución Construyamos una tabla para graficar las ecuaciones dadas. y x
y 5 22x 1 4
x
y 5 4 2 2x
0
4
0
4
2
0
2
0
2x 1 y 5 4
x 4x 1 2y 5 8
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Ecuaciones consistentes, inconsistentes y dependientes •
Cuando revisamos los puntos de cada ecuación, lo que vemos es que son los mismos para ambas. ¿Qué significa esto? Significa que las gráficas de cada ecuación lineal coinciden, es decir, son las mismas. De manera que la solución para una es la misma que para la otra. De hecho, hay un número infinito de soluciones. Se dice que un sistema de esta clase es dependiente.
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Como hemos visto hasta aquí, un sistema de ecuaciones puede tener exactamente una solución (cuando las líneas se cruzan); entonces, el sistema se llama consistente. Cuando no tienen solución (las líneas son paralelas), el sistema es inconsistente. Cuando hay un número infinito de soluciones (las líneas se superponen) y el sistema es dependiente. Las siguientes figuras ilustran los tres casos.
Sistema consistente e independiente (una sola solución)
Sistema inconsistente; líneas paralelas (ninguna solución).
Sistema dependiente; las líneas coinciden (número infinito de soluciones).
EJERCICIOS Resuelve cada sistema por graficación. Determina si las rectas son paralelas, si se cortan en un punto o si tienen un número infinito de soluciones. 1. x 1 y 5 3
2x 2 y 5 0 x
y
y5
x
y5
x
R. (1, 2)
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213
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
2. 2x 1 5y 5 15
4x 1 10y 5 20
y
x
y5
x
y5
x
3. x 1 2y 5 7
5x 2 y 5 2
y
x
y5
x
y5
x
R. (1, 3) 4. 2x 2 y 5 22
2x 2 2y 5 24
y
x
y5
x
y5
x
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Método de sustitución para resolver ecuaciones simultáneas •
5. 3x 1 12y 5 2
x 1 4y 5 8
y
x
y5
x
y5
x
R. Líneas paralelas 6. 2x 1 4y 5 8
x 1 2y 5 4
y
x
y5
x
y5
x
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El método de sustitución para resolver ecuaciones simultáneamente es un proceso analítico, más eficiente y más preciso que el gráfico. En el método de sustitución, en una de las ecuaciones se despeja una variable en función de la otra. Enseguida, la variable despejada se sustituye en la otra ecuación para que quede una sola variable y se pueda resolver.
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215
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
EJEMPLO
1
Resuelve por sustitución el sistema 2x + y = 1 3 x + 4 y = 14
Solución Observa el siguiente diagrama para resolver el sistema por sustitución. MÉTODO DE SUSTTITUCIÓN Se selecciona una ecuación
Se despeja una variable
2x + y = 1
Se sustituye y en la otra ecuación y se resuelve.
y = 1− 2x
3 x + 4 (1 − 2 x ) = 14 3 x + 4 − 8 x = 14 −5 x = 10 x = −2
Sustituimos x 5 22 en y = 1− 2x y resolvemos y = 1 − 2 ( −2 ) y=5
La solución de la ecuación es el par ordenado (22, 5). La figura muestra que las gráficas de las ecuaciones son la rectas que se intersecan en ese punto. y
3x 1 4y 5 14
2x 1 y 5 1
EJEMPLO
2
Resuelve por sustitución el sistema x+y=8 2 x − 3 y = −9
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x
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Solución
217
y
Despejamos y de la primera ecuación y582x
x1y58
Ahora sustituimos y en la ecuación 2x 2 3y 5 29 y resolvemos para x 2x 2 3y 5 29
2 x − 3 ( 8 − x ) = −9
y
x
2x 2 24 1 3x 5 29 5x 5 15 x = 15 = 3 5 A continuación sustituimos x 5 3 en y 5 8 2 x y calculamos el valor de y y582355 La solución es el par ordenado (3, 5), y la figura muestra las gráficas de las dos ecuaciones.
EJEMPLO Una persona invirtió $25,000 en dos cuentas bancarias; una de ellas genera el 5% y la otra el 6% de interés simple. Si la persona recibió $1,440 de intereses en un año, ¿qué cantidad invirtió en cada cuenta?
Modelo verbal
¿Qué sabemos?
Inversión de $25,000 divididos en dos cuentas; una al 5% y otra al 6%.
Dinero invertido 5 $25,000 Interés de una cuenta 5 5% Interés de la otra cuenta 5 6% Interés anual generado 5 $1,440 ¿Qué queremos Cantidad invertida al 5% 5 x Cantidad invertida al 6% 5 y
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones x 1 y 5 25,000 0.05x 1 0.06y 5 1,440
Solución y 5 25,000 2 x
Despejando y
0.05x 1 0.06(25,000 2 x) 5 1,440
Sustituyendo y
0.05x 1 1,500 2 0.06x 5 1,440
Simplificando
20.01x 5 260
Simplificando
x = 60 = 6000 0.01
Resolviendo para x
y 5 25,000 2 6,000 5 19,000
Resolviendo para y
Se invirtieron $6,000 al 5% y $19,000 al 6%.
EJERCICIOS Resuelve cada sistema por el método de sustitución. Determina si las rectas son paralelas, si se cortan en un punto o si tienen un número infinito de soluciones. 1. y 5 2x 2 4
22x 5 y 2 4
R. (2, 0)
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2. y 5 2x 1 2
2x 5 y 1 1
3. x 1 y 5 5
3x 1 y 5 9
R. (2, 3)
4. x 1 y 5 5
3x 1 y 5 3
5. y 2 4 5 2x
2x 5 y 2 2
R. Paralelas
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UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
6. y 1 5 5 4x
y 5 4x 1 7
7. x 5 8 2 2y
x 1 2y 5 4
R. Paralelas
8. x 5 4 2 2y
x 2 2y 5 0
9. x 1 2y 5 4
x 5 22y 1 4
R. Número infinito de soluciones
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10. x 1 3y 5 6
x 5 23y 1 6
11. x 5 2y 1 1
y 5 2x 1 1
R. (21, 21)
12. y 5 3x 1 2
x 5 3y 1 2
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UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
Aplicaciones 1. La compañía telefónica A tiene un plan que cuesta $200 al mes más $1 por
cada minuto x de tiempo aire, mientras que la compañía B hace un cargo de $500 mensuales más $0.40 cada minuto x de tiempo aire. ¿En qué momento el costo y es igual en ambas compañías?
R. x 5 500 y 5 700
2. El restaurante T-Bone paga a sus camareros $500 a la semana más las propi-
nas, que promedian $100 por mesa. La Fogata paga $1,000 a la semana pero las propinas promedian sólo $50 por mesa. ¿Cuántas mesas x tendría que atender un mesero de modo que su salario semanal y fuera el mismo en ambos restaurantes?
3. Una compañía de cable hace un cargo de $350 por la instalación inicial más
$200 al mes. Otra cobra $200 por la instalación inicial más $350 al mes. ¿Al final de qué mes el costo será el mismo en las dos compañías?
R. Al final del primer mes
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4. La fórmula para la conversión de grados centígrados 8C en Farenheit 8F es
F = 9 C + 32 5 ¿Cuándo será la temperatura en grados Farenheit la misma que en grados centígrados?
5. La oferta y de cierto producto está dada por la ecuación y 5 3x 1 8, donde x
es el número de días transcurridos. Si la demanda está dada por y 5 4x, ¿en cuantos días la oferta igualará a la demanda?
R. En 8 días
6. Una compañía tiene 12 de sus productos en existencia. Además fabrica 3 más
cada día. Si la demanda del producto es de 7 por día, ¿en cuántos días la oferta igualará a la demanda?
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Hasta aquí hemos resuelto sistemas de ecuaciones con dos variables por los métodos gráfico y de sustitución. Cuando no es deseable o factible utilizar alguno de estos métodos, hay otra opción: el método de eliminación, que también se llama método de suma o resta. Este método resulta conveniente cuando el sistema de ecuaciones tiene una variable con el mismo coeficiente, ya sea que tenga el mismo signo o signo contrario, lo que nos permite sumar ambas ecuaciones y eliminar una de las variables. Aquí te presentamos cómo hacerlo.
EJEMPLO
1
Resuelve el sistema 2x + y = 1 3 x − 2 y = −9
Solución La idea es multiplicar una o ambas ecuaciones por la misma cantidad para que una de las variables se elimine y así nos quede una ecuación con una sola incógnita. Sistema de ecuaciones dado 2x + y = 1 3 x − 2 y = −9
Multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos ambas ecuaciones para eliminar la y 4x + 2y = 2 3 x − 2 y = −9 7 x + 0 = −7 Si resolvemos para x 7 x = − = −1 7
EJEMPLO
2
Un sistema inconsistente. Resuelve el sistema 2 x + 3y = 3 4 x + 6 y = −6
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Escribimos 21 en lugar de x en 2x 1 y 5 1 2 ( −1) + y = 1 y = 1+ 2 y=3
De esta forma la solución del sistema es (21, 3).
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225
Solución En este caso, nos conviene eliminar la x multiplicando la primera ecuación por 22 2x 1 3y 5 3 4x 1 6y 5 26
multiplicamos por 22
24x 2 6y 5 26
se queda como está
4x 1 6y 5 26 0 1 0 5 212
Como vemos, no hay solución, puesto que esto es un absurdo: el sistema es inconsistente.
EJEMPLO
3
Hay casos en que es necesario multiplicar ambas ecuaciones por diferentes números para que los coeficientes de alguna de las variables cambien de signo y sean del mismo valor absoluto. Resolvamos el sistema 2 x + 3y = 3 5 x + 2 y = 13 Solución 1 Multipliquemos ambas ecuaciones por números que nos den coeficientes de forma que una de las variables se pueda eliminar, por ejemplo, la x 2x 1 3y 5 3
multiplicamos por 5
5x 1 2y 5 13
multiplicamos por 22
10x 1 15y 5 15 210x 2 4y 5 226 11y 5 211
Sumamos
y 5 21 Sustituimos 21 en lugar de y en la ecuación 2x 1 3y 5 3
2x 1 3(21) 5 3 2x 2 3 5 3 2x 5 6 x53
De esta manera, la solución del sistema es (3, 21).
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Simplificamos
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
Solución 2 Ahora vamos a eliminar la y 2x 1 3y 5 3 5x 1 2y 5 13
4x 1 6y 5 6
multiplicamos por 2 multiplicamos por 23
215x 2 6y 5 239 211x 5 233
Sumamos
x53 Sustituimos 3 en lugar de x en la ecuación 2x 1 3y 5 3 2(3) 1 3y 5 3 6 1 3y 5 3
Simplificamos
3y 5 3 2 6 y 5 21 De esta manera, la solución del sistema es como antes (3, 21). EJERCICIOS Resuelve con el método de eliminación los siguientes sistemas de ecuaciones y establece si tienen una solución o si son inconsistentes o dependientes. 1. x 1 y 5 3
x 2 y 5 21
R. (1, 2)
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2. x 1 3y 5 6
x 2 3y 5 26
3. 2x 1 y 5 4
4x 1 2y 5 0
R. Paralelas
4. 2x 1 3y 5 6
4x 1 6y 5 2
5. x 2 5y 5 15
x 1 5y 5 5
R. (10, 21)
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227
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
6. x 1 2y 5 2
2x 1 3y 5 210
7. 3x 2 4y 5 10
5x 1 2y 5 34
R. (6, 2)
8. 11x 2 3y 5 25
5x 1 8y 5 2
Escribe en el paréntesis correspondiente la letra que contenga la solución correcta de cada sistema. (
)
x − 2y = 9 −2 x − 3 y = 10
a) (3, 2)
(
) x+y=5 x− y =1
b) (6, 21)
(
) x + 2y = 4 x − 2y = 8
c) (1, 24)
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(
) x+y= 3 x − y = −1
d) (1, 2)
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1. El ancho de un terreno es 70% de su largo, ¿qué dimensiones tiene el terreno,
si su dueño ocupó 280 metros de malla ciclónica?
ancho 5 y
largo 5 x
R. largo < 82.35 m ancho < 57.65 m
2. Si el precio del cobre es de $0.65 la libra y el precio del zinc es de $0.35 la libra,
¿cuántas libras de cobre y zinc deberán mezclarse para fabricar 70 libras de bronce, el cual se vende a $0.45 por libra?
3. Una persona fue al banco a depositar $3,000. El dinero estaba en billetes
de $100 y de $200, y tiene 25 billetes en total. ¿Cuántos billetes de cada denominación tenía esa persona?
R. 20 de $100 5 de $200 4. La diferencia entre dos números es 16. Uno de los números excede al otro en
4. ¿Cuáles son esos números?
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229
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UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
5. María invirtió $25,000, una parte al 7.5% y el restante al 6%. Si el interés anual
de las dos inversiones es de $1,620, ¿cuánto dinero se invirtió a cada tasa?
R. $8,000 al 7.5% $17,000 al 6%
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Hasta ahora hemos estudiado cómo resolver un sistema de ecuaciones con dos variables. Sin embargo, hay aplicaciones en donde es necesario definir sistemas con más de dos variables. En este apartado resolveremos sistemas que contienen tres variables y, para ello, utilizaremos únicamente el método de eliminación.
EJEMPLO Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con tres variables x 2 y 1 3z 5 4 x 1 2y 2 2z 5 10 3x 2 y 1 5z 5 14 Solución Observa con atención el mecanismo de solución a través del siguiente diagrama.
Primero le damos un nombre a cada ecuación (A) x − y + 3z = 4 (B) x + 2 y − 2 z = 10 (C) 3 x − y + 5 z = 14
Seleccionamos una variable para eliminar y así obtener un sistema equivalente, por ejemplo la x. Multipliquemos (A) por 21 y sumemos el resultado con (B) − x + y − 3 z = −4 multiplicando (A) por − 1 x + 2 y − 2 z = 10 ecuación (B) 3 y − 5 z = 6 ecuación (D)
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Ahora multipliquemos (A) por 23 y la sumamos con (C) −3 x + 3 y − 9 z = −12 (A) por − 3 3 x − y + 5 z = 14 (C) 2y − 4z = 2 y − 2z = 1 (E) (E) se obtiene dividiendo entre dos
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El sistema equivalente que estamos buscando es 3y − 5 z = 6 y − 2z = 1
(D) (E)
Multipliquemos la ecuación (E) por 23 y resolvamos para z 3y − 5 z = 6 −3 y + 6 z = −3 z=3
Este nuevo sistema lo podemos resolver por cualquier método que vimos antes
(D) (E)
Sustituimos el valor de z 5 3 en la ecuación (E) y obtenemos y y − 2z = 1 y − 2 ( 3) = 1 sustituyendo y − 6 = 1 simplificando o y=7
Sustituimos los valores de y y de z en la ecuación (A) La solución del sistema es x 5 2, y 5 7 y z 5 3
x − y + 3z = 4 x − 7 + 3( 3) = 4 x−7+9 = 4 x=2
La solución también se expresa como (2, 7, 3)
Comprobación: x 5 2, y 5 7, z 5 3
x − y + 3z = 4 x + 2 y − 2 z = 10 3 x − y + 5 z = 14
(2) − ( 7 ) + 3( 3) = 4 (2) + 2 ( 7 ) − 2 ( 3) = 10 3( 2 ) − ( 7 ) + 5 ( 3) = 14
EJERCICIOS Calcula la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. 1.
x − 2y + z = 1 y + 2z = 5 x + y + 3z = 8
R. (1, 1, 2) Escribe las ecuaciones y dales un nombre
Selecciona dos ecuaciones y elimina una variable para obtener un sistema equivalente
Resuelve las ecuaciones que obtuviste en los dos pasos anteriores
Repite el paso anterior usando la ecuación restante
Sustituye los valores de las 2 variables que ya conoces y obtén el valor de la tercera
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231
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
2.
x + y + 6z = 3 x + y + 3z = 3 x + 2y + 4 z = 7
3.
x+ y+z = 2 x − 2 3y + 2 z = 4 4 x + y − 3z = 1
R. (1, 0, 1)
4.
x+ y+z = 4 − x + 2y + 3z = 17 2x − y = 7
5.
x + 2y − z = −2 x+z=0 2x − y − z = −3
R. (21, 0, 1)
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6.
2y + z = 4 x+y= 4 3 x + 3y − z = 10
7.
a + 2b − c = 9 2a − c = −2 3a + 5 b + 2 c = 22
R. (21, 5, 0)
8.
2a + b = 7 2a − b + c = 6 3a − 2 b + 4 c = 11
9.
2x − 3y − z = 13 − x + 2y − 5 z = 6 5x − y − z = 49
R. (10, 3, 22)
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233
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•
UNIDAD 3
Ecuaciones de primer grado
10. Tres amigos han gastado cierta cantidad de dinero en un restaurante. La suma
del gasto del primero con el segundo es de $20 más que el gasto del tercero; la suma del gasto del primero y del tercero es de $60 más que el del segundo; por último, el segundo y el tercero gastaron juntos $100 más que el primero. ¿Cuánto gastó cada uno?
R. $40, $60, $80
11. Rosa, Martha y María compiten en un torneo en el que deben correr, nadar o
andar en bicicleta determinadas distancias. La rapidez promedio de cada una aparece en la siguiente tabla.
Rosa Martha María
Rapidez promedio (mi/hr) Carrera Natación Ciclismo 10 4 20 7.5 6 15 15 3 40
María llega primero, con un tiempo total de 1.75 horas; Rosa llega en segundo lugar, con un tiempo de 2.5 horas, y Martha llega al último con un tiempo de 3 horas. Calcula la distancia de cada parte de la competencia. R. correr 5 millas, nadar 2 millas y 30 millas en bicicleta
12. En una fábrica hay tres máquinas m1, m2 y m3 para pulir lentes; cuando las
tres máquinas están en operación, se pueden pulir 5,850 lentes en una semana. Cuando están en operación m1 y m2 únicamente, se pueden pulir 4,200 lentes a la semana. En cambio, cuando sólo trabajan m1 y m3, se pulen 3,450 lentes a la semana. ¿Cuántos lentes puede pulir cada máquina en una semana?
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D E
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G R A D O
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado
236
Resolución de una ecuación cuadrática por factorización
237
Resolución de una ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto
239
Fórmula general para resolver una ecuación cuadrática
242
Graficación de la ecuación cuadrática
248
Raíces reales de una ecuación cuadrática
251
Aplicaciones
254
235
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E O
•
UNIDAD 4
Ecuaciones de segundo grado
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S E G U N D O
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En esta sección resolveremos situaciones donde se presenten problemas cuya solución implique ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Para ello, emplearemos métodos algebraicos y analíticos que nos permitirán determinar si las soluciones son reales o imaginarias.
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado Una ecuación cuadrática en x es una ecuación que puede escribirse en su forma estándar como ax2 1 bx 1 c 5 0 en donde a, b y c son números reales con a ⫽ 0.
Clasificación de las ecuaciones de segundo grado Ecuaciones cuadráticas ax2 1 bx 1 c 5 0
Incompletas puras
Incompletas mixtas
Completas
ax2 1 c 5 0
ax2 1 bx 5 0
ax2 1 bx 1 c 5 0
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Resolución de una ecuación cuadrática por factorización •
Propiedad del producto cero ab 5 0
a50
si y sólo si
o
b50
Esta propiedad significa que si podemos factorizar el lado izquierdo de una ecuación, entonces la resolveremos igualando a cero cada uno de los factores.
R
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EJEMPLO
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P O R
E C U A C I Ó N
F A C T O R I Z A C I Ó N
1
Resuelve la ecuación x 2 + 5 x = 24 Solución Sigue los pasos del siguiente diagrama para comprender la solución. Igualamos la ecuación a 0
Factorizamos
x 2 + 5 x − 24 = 0
( x − 3)( x + 8 ) = 0
EJEMPLO
Hacemos cada factor igual a 0 y resolvemos para cada uno de ellos x−3= 0 x1 = 3
x+8= 0 x2 = − 8
2
Resuelve la ecuación 2x2 + 5x = 0 Solución Igualamos la ecuación a 0
Factorizamos
2 x2 + 5 x = 0
x(2 x + 5 ) = 0
Hacemos cada factor igual a 0 y resolvemos para cada uno de ellos x=0
2x + 5 = 0
x1 = 0
x2 = −
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5 2
237
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ 238
•
UNIDAD 4
Ecuaciones de segundo grado
EJEMPLO
3
Resuelve la ecuación x2 − 5 = 0 Solución La ecuación x2 2 5 5 0 se puede factorizar como una diferencia de cuadrados y entonces es fácil encontrar las soluciones. Igualamos la ecuación a 0
Factorizamos
x2 − 5 = 0
( x + 5 )( x − 5 )
Hacemos cada factor igual a 0 y resolvemos para cada uno de ellos x+ 5 = 0 x1 = − 5
x− 5 = 0 x2 = 5
Una ecuación de la forma x2 5 c siempre va a tener las soluciones x = c y x = − c EJERCICIOS Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones factorizando y completando el diagrama. 1. x2 1 x 5 30 Igualamos la ecuación a 0
Factorizamos
Hacemos cada factor igual a 0 y resolvemos para cada uno de ellos
R. x1 5 5, x2 5 26
2. 5y2 2 75y 5 0 Igualamos la ecuación a 0
Factorizamos
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Hacemos cada factor igual a 0 y resolvemos para cada uno de ellos
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Resolución de una ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto •
3. z2 2 z 2 6 5 0 Igualamos la ecuación a 0
Factorizamos
Hacemos cada factor igual a 0 y resolvemos para cada uno de ellos
R. z1 5 3, z2 5 22 4. x2 2 3x 5 0 Igualamos la ecuación a 0
Factorizamos
Hacemos cada factor igual a 0 y resolvemos para cada uno de ellos
Factorizamos
Hacemos cada factor igual a 0 y resolvemos para cada uno de ellos
5. x2 2 4 5 0 Igualamos la ecuación a 0
R. x1 5 2, x2 5 22
R
E S O L U C I Ó N
C U A D R Á T I C A T R I N O M I O
D E
U N A
E C U A C I Ó N
C O M P L E T A N D O
C U A D R A D O
E L
P E R F E C T O
Cuando una ecuación cuadrática no se puede factorizar fácilmente, entonces su solución se calcula utilizando la técnica de completar el cuadrado. Esto significa sumar una constante a una expresión para convertirla en un cuadrado perfecto. Si tenemos la expresión x2 2 4x y queremos un cuadrado perfecto, debemos de sumarle 4, ya que x2 2 4x 1 4 5 (x 2 2)2.
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239
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•
UNIDAD 4
Ecuaciones de segundo grado
En general, a partir de la identidad 2
x 2 + bx + b = x + b 2 2
2
se deduce que para hacer de x2 1 bx un cuadrado perfecto, debemos sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.
Completando el cuadrado perfecto 2
Para hacer de x2 1 bx un cuadrado perfecto, basta con sumarle b . 2 b 2
x Área de la región blanca b x 2 + 2 x = x 2 + bx 2
x
Área de la región negra b 2
b 2
2
b Para completar el cuadrado se agrega un pequeño cuadrado de área 2
EJEMPLO
2
1
Con el método de completar el cuadrado resuelve la ecuación x 2 − 8 x + 13 = 0 Solución Observa con los pasos del siguiente diagrama para que comprendas la solución. Escribe el término numérico a la derecha del signo igual
x 2 − 8 x = −13
Completa el cuadrado sumando el cuadrado de la mitad del coeficiente de x en ambos lados de la ecuación 2
8 8 x 2 − 8 x + = −13 + 2 2 x 2 − 8 x + 16 = −13 + 16 ( x + 4 )2 = 3
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2
Resuelve la ecuación
( x − 4 )2 = 3 x−4 = 3 x=4± 3
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EJEMPLO
2
Con el método de completar el cuadrado resuelve la ecuación 2x2 − 4 x − 5 = 0 Solución Escribe el término numérico a la derecha del signo igual 2x2 − 4 x = 5
Factoriza el coeficiente de x2 para poder completar el cuadrado. 2( x 2 − 2 x ) = 5 2 ( x 2 − 2 x + 12 ) = 5 + (12 )( 2 ) 2 ( x − 1) 2 = 7
Resuelve la ecuación ( x − 1) 2 = x −1 =
7 2 7 2
x = 1±
7 2
EJERCICIOS Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones completando el cuadrado. 1. x2 2 4x 1 2 5 0 Escribe el término numérico a la derecha del signo igual
Factoriza el coeficiente de x2 para poder completar el cuadrado.
Resuelve la ecuación
R. 2 ± 2
2. x2 2 6x 2 9 5 0 Escribe el término numérico a la derecha del signo igual
Factoriza el coeficiente de x2 para poder completar el cuadrado.
Resuelve la ecuación
R. 3
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•
UNIDAD 4
Ecuaciones de segundo grado
3. 2x2 1 8x 1 1 5 0 Factoriza el coeficiente de x2 para poder completar el cuadrado.
Escribe el término numérico a la derecha del signo igual
F
Ó R M U L A
U N A
G E N E R A L
E C U A C I Ó N
P A R A
Resuelve la ecuación
R E S O L V E R
C U A D R Á T I C A
La técnica de completar el trinomio cuadrado perfecto es muy útil porque nos sirve para obtener las raíces o solución de cualquier ecuación cuadrática de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0. ax2 1 bx 1 c 5 0 Primero pasamos la constante c al lado derecho y dividimos ambos lados de la ecuación entre a, para obtener entonces x2 + b x = − c a a 2
b Ahora completamos el cuadrado sumando en ambos lados , que es el cuadrado 2a de la mitad del coeficiente de x 2
x2 + b x + b = − c + b 2a a a 2a
2
2
x + b = − c + b2 2a a 4a2
Cuadrado perfecto
2
x + b = −4 ac + b 2 2a 4a2 x+ b = 2a
Simplificando
−4 ac + b 2 = ± b 2 − 4 ac 2a 4a2
Obteniendo la raíz cuadrada
2 x = − b ± b − 4 ac 2a 2a
Restando
2 x = − b ± b − 4 ac 2a
Simplificando
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b 2a
http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Fórmula general para resolver una ecuación cuadrática •
Ésta es la fórmula general o cuadrática. Fórmula cuadrática Las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática ax2 1 bx 1 c 5 0, donde a ⫽ 0 son 2 x = − b ± b − 4 ac 2a
EJEMPLOS Determina las soluciones de cada ecuación a) 3x2 2 5x 2 1 5 0 Solución Identifica los valores de a, b y c en la ecuación 3x 2 − 5 x − 1 = 0 a = 3, b = −5, c = −1
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática − ( −5 ) ± ( −5 ) 2 − 4 ( 3)(−1) 2 ( 3) 5 ± 37 x= 6 x=
Soluciones 5 ± 37 ≈ 1.8471 6 5 − 37 ≈ − 0. 1805 x2 = 6 x1 =
b) 4x2 1 12x 1 9 5 0 Solución Identifica los valores de a, b y c en la ecuación 4 x 2 + 12 x + 9 = 0 a = 4 , b = 12 , c = 9
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
Soluciones
−12 ± (12 ) 2 − 4 ( 4 )( 9 ) 2(4 ) −12 ± 0 x= 8
−12 3 =− 8 2 En este caso hay una sola solución
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
Soluciones
x=
x=
c) x2 1 2x 1 2 5 0 Solución Identifica los valores de a, b y c en la ecuación 2
x + 2x + 2 = 0 a = 1, b = 2 , c = 2
−2 ± ( 2 ) 4 − 4 (1)( 2 ) x= 2 (1) −2 ± −4 x= 2
−2 ± 2 −1 2 x = −1 ± −1 x=
La solución no existe en los números reales
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UNIDAD 4
Ecuaciones de segundo grado
Como cualquier número real elevado al cuadrado es no negativo, entonces −1 no está definido y, por lo tanto, la ecuación no tiene solución. En estos casos se dice que se trata de una solución imaginaria. Siempre que resolvamos una ecuación cuadrática, ax2 1 bx 1 c 5 0, es conveniente observar bien el término b2 2 4ac , que en matemáticas se llama discriminante, porque como en los tres ejemplos que acabamos de ver, si b2 2 4ac . 0 , existen dos soluciones; si b2 2 4ac 5 0 , hay una sola solución; y si b2 2 4ac , 0 no hay solución en el campo de los números reales y se llama solución imaginaria. En resumen, Discriminante El discriminante de la ecuación cuadrática general ax2 1 bx 1 c 5 0 es D 5 b2 2 4ac y se comporta de la siguiente manera: 1. Si D . 0, la ecuación tiene dos soluciones reales. 2. Si D 5 0, la ecuación tiene una solución real. 3. Si D , 0, la ecuación no tiene solución real.
EJERCICIOS Determina las soluciones reales, si es que las hay en cada ecuación. 1. x2 2 2x 2 8 5 0 Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
Soluciones
R. x1 5 22, x2 5 4 2. 2x2 1 x 2 3 5 0 Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
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Soluciones
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3. x2 1 12x 2 27 5 0 Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
Soluciones
R. x = −6 ± 3 7 4. 8x2 2 6x 2 9 5 0 Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
Soluciones
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
Soluciones
5. 3x2 1 6x 2 5 5 0 Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
R. x = −3 ± 2 6 3 6. x2 2 6x 1 1 5 0 Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
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Soluciones
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•
UNIDAD 4
Ecuaciones de segundo grado
7. 3 1 5x 1 x2 5 0 Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
Soluciones
R. x = −5 ± 13 2 8. u2 5 3(u 2 1) Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
Soluciones
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
Soluciones
x2 − 5x + 1 = 0
9.
Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
R. x =
10.
5 ±1 2
x 2 = 50 x + 100
Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
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Soluciones
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11.
x + 5 = 5 + 28 x − 2 x + 2 x2 − 4
Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
Soluciones
R. x2 5 2
12.
2x +1 +1 = x
Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
Soluciones
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
Soluciones
13. x2 2 6x 1 9 5 0 Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
R. x 5 3
14. x2 2 6x 1 1 5 0 Identifica los valores de a, b y c en la ecuación
Sustituimos a, b y c en la fórmula cuadrática
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Soluciones
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G
•
UNIDAD 4
Ecuaciones de segundo grado
R A F I C A C I Ó N
D E
L A
E C U A C I Ó N
C U A D R Á T I C A
Sin duda habrás observado la trayectoria de un flujo de agua como el de una fuente. ¿Qué forma tiene? Esta trayectoria se conoce como parábola y corresponde a la gráfica de una ecuación cuadrática de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c. Esta ecuación puede graficarse al igual que la línea recta; es decir, asignamos valores a x para encontrar los valores correspondientes de y.
La forma más sencilla de estas ecuaciones es y 5 x2; aquí a 5 1, b 5 0 y c 5 0 y la gráfica la obtenemos a partir de una tabla como la siguiente:
x
y 5 x2
x, y
22
(22)2 5 4
(22, 4)
21
(21)2 5 1
(21, 1)
0
(0)2 5 0
(0, 0)
1
(1)2 5 1
(1, 1)
2
(2)2 5 4
(2, 4)
y 5 x2
Raíz (y 5 0)
Se grafican los puntos (x, y) en el sistema coordenado y se dibuja una curva suave a través de ellos. El resultado es la gráfica de la parábola mostrada en la figura contigua a la tabla. Por cierto, fíjate que tiene una sola raíz real o solución, el punto (0, 0), porque el discriminante vale cero. Ahora marca los puntos dados en la tabla que corresponden a la parábola y 5 2x2 y observa detenidamente lo que ocurre con la gráfica.
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http://estudiantesingcivil.blogspot.mx/ Graficación de la ecuación cuadrática •
x
y 5 2x2
x, y
22
(22)2 5 4
(22, 24)
21
2
(21) 5 1
(21, 21)
0
(0)2 5 0
(0, 0)
1
2
(21) 5 1
(1, 21)
2
(22)2 5 4
(2, 24)
Tu conclusión debe ser que la parábola ahora abre hacia abajo; esto es porque a , 0. Por lo tanto, La gráfica de una ecuación cuadrática de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c es una parábola que 1. Se abre hacia arriba si a . 0. 2. Se abre hacia abajo si a , 0. Vamos a graficar ahora la parábola y 5 x2 1 1, ¿qué ocurrirá? En primer lugar, a . 0, por lo que la parábola abre hacia arriba; en segundo lugar, todos los puntos se desplazarán 1 unidad más arriba que los de y 5 x2, de manera que ni siquiera necesitamos la tabla de tabulación para su trazo, pero para que todo quede más claro, vamos a incluirla. x
y 5 x2 1 1
x, y
22
(22) 1 1 5 5
(22, 5)
21
(21)2 1 1 5 2
(21, 2)
0
(0) 1 1 5 1
(0, 1)
1
(1)2 1 1 5 2
(1, 2)
2
(2) 1 1 5 5
(2, 5)
2
2
2
y 5 x2 1 1
Si resolvemos la parábola y 5 x2 1 1 cuando y 5 0, es evidente que no va a tener solución real, puesto que la gráfica no se cruza con el eje x, es decir, el discriminante debe ser menor que 0. D = b 2 − 4 ac = 0 2 − 4 (1)(1) = −4 Procede de la misma manera que en la gráfica anterior para trazar y 5 2x2 2 2, pero trata de imaginar cómo es la curva antes de que calcules las coordenadas de los puntos.
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249
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•
UNIDAD 4
Ecuaciones de segundo grado
x
y 5 2x2 2 2
(x, y)
¿Tiene solución real 2x2 2 2 5 0? ¿Cuál es el valor del discriminante? Veamos cómo se comporta la gráfica de una parábola como y 5 (x 1 1)2. x
y 5 (x 1 1)2
(x, y)
23
(23 1 1) 5 4
(23, 4)
22
(22 1 1)2 5 1
(22, 1)
21
(21 1 1) 5 0
(21, 0)
0
(0 1 1)2 5 1
(0, 1)
1
(1 1 1) 5 4
(1, 4)
2
2
2
y 5 (x 1 1)2
Raíz (y 5 0)
La gráfica es idéntica a y 5 x2 pero desplazada 1 unidad a la izquierda. Tiene una sola raíz real, x 5 21. Procede de manera semejante para que concluyas cómo se comporta y 5 (x 2 2)2. x
y 5 (x 2 2)2
(x, y)
Con todo esto, ya estamos en condiciones de graficar una parábola cuando su ecuación tiene la forma y 5 (x 2 h)2 1 k, ya que presenta la misma forma que y 5 x2. En la ecuación, h nos dice cuántas unidades está corrida a la derecha o a la izquierda, según sea el signo, y k nos dice cuántas unidades está desplazada hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo de ésta. Veamos un ejemplo.
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Grafica y 5 2(x 2 1)2 1 2 Solución
El 21 indica una unidad corrida a la derecha
y 5 2(x 2 1)2 1 2
y 5 2 (x 2 1)2 1 2 El 2 indica un desplazamiento de 2 unidades hacia arriba
El signo negativo nos dice abre hacia abajo
R
A Í C E S
R E A L E S
D E
U N A
E C U A C I Ó N
C U A D R Á T I C A
La siguiente figura nos ilustra que, cuando una parábola corta dos veces el eje x, tiene dos soluciones reales; cuando lo toca una sola vez, tiene una solución real, y cuando no lo cruza, no tiene solución. y
y
y
Raíces
x
Dos soluciones b2 2 ac . 0
Raíz
x
Una solución b2 2 ac 5 0
x
Ninguna solución b2 2 ac , 0
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•
UNIDAD 4
Ecuaciones de segundo grado
EJERCICIOS Encuentra la gráfica y las soluciones, si es que las hay, en cada una de las siguientes ecuaciones. 1. y 5 2x2
x
y 5 2x2
(x, y)
2. y 5 2x2 1 1
x
y 5 2x2 1 1
(x, y)
3. y 5 22x2 2 2
x
y 5 22x2 2 2
(x, y)
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4. y 5 (x 2 2)2 2 2
x
y5(x22)222
(x, y)
5. y 5 2(x 2 2)2 2 1
x
y52(x22)221
(x, y)
6. y 5 x 1 4x2 1 3
x
y5x214x13
(x, y)
7. y 5 x2 1 2x 2 3
x
y5x212x23
(x, y)
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A
•
UNIDAD 4
Ecuaciones de segundo grado
P L I C A C I O N E S
1. La figura muestra un triángulo rectángulo con catetos que miden 3 y 4 unidades y de hipotenusa h. Calcula el valor de h. Solución Para encontrar la solución es necesario recordar el teorema de Pitágoras: “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. h 2 = 32 + 4 2 h
h 2 = 9 + 16
3
h = 25 2
4
h = 25 = 5 unidades
2. La fórmula para calcular el tiempo de caída de un objeto desde una altura h es h 5 4.9t2 1 v0t. ¿Qué tiempo tarda un objeto que se deja caer desde una altura de 125 metros? Solución Como el objeto se deja caer la velocidad inicial v0 5 0 y la altura h 5 125 metros. Por lo tanto, 125 = 4.9 t 2 + ( 0 ) t = 4.9 t 2 t 2 = 125 ≈ 25 4.9
125 mts
t ≈ 25 ≈ 5
3. Encuentra el número de x artículos que tienen que producirse para encontrar el punto de equilibrio cuando la utilidad U (en miles de dólares) de una compañía está dada por U 5 3x y cuando el costo (también en miles de dólares) es C 5 2x2 2 3x 1 4.
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Solución
COSTO
Para que exista equilibrio U 5 C 3x 5 2x2 2 3x 1 4
UTILIDAD
2x2 2 6x 1 4 5 0
Simplificando
x2 2 3x 1 2 5 0
Dividiendo entre 2
(x 2 1)(x 2 2) 5 0
Factorizando x2150 x1 5 1
x2250 x2 5 2
El equilibrio se da cuando la compañía produzca un millar o dos millares de artículos.
EJERCICIOS Resuelve cada uno de los ejercicios propuestos a continuación. 1. ¿Qué longitud tiene un alambre que se extiende desde la parte superior de un
poste telefónico de 40 pies hasta un punto sobre el suelo a 30 pies del poste?
40 pies
30 pies
2. Encuentra la longitud del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 9 centímetros
menor que su área.
A5P19 l
l
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•
255
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•
UNIDAD 4
Ecuaciones de segundo grado
3. Un objeto se deja caer desde una altura de 320 m. ¿Cuántos segundos tardará
en llegar a la superficie? Véase el ejemplo 2.
4. El cuadrado de cierto número positivo es 4 veces el mismo número más 5.
Encuentra el número.
5. Un objeto se arroja hacia abajo con una velocidad inicial de 3 m por segundo.
¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 8 m?
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6. La utilidad de una compañía está dada por U 5 2x, donde x son las unidades
producidas en miles. Si el costo es de C 5 4x2 2 2x 1 1, ¿cuántas unidades tienen que producirse para que la compañía alcance su punto de equilibrio?
7. Si se invierten P dólares al i% compuesto anual, entonces al final de 2 años la
cantidad se habrá incrementado hasta A 5 P(1 1 i)2. ¿A qué tasa de interés i, $1,000 se incrementarán hasta $1,210 en 2 años?
R. (A 5 1210 y P 5 1000)
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257
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