Algebra Pamer Completo UNI
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PAMER ALGEBRA UNI...
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Álgebra - Tema 1
ECUACIONES CUADRÁTICAS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Resolver: 3
3
3
2.
3.
4.
Un caballo y un mulo caminan juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga a lo que el mulo le dijo: "¡De qué te quejas: Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble de la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía!". ¿Cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo? A) 7 y 6 B) 7 y 5 C) 5 y 6 D) 5 y 7 E) 8 y 9 Un grupo de abejas; cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre se poso sobre un jazmín, habiendo dejado muy atrás a 8 del enjam9 bre; solo una abeja del mismo enjambre revoloteaba entorno a un loto, atraída por el zumbido de una de sus amigas que cayó imprudentemente en la trampa de la florecilla, de dulce fragancia. ¿Cuántas abejas formaban el enjambre? A) 70 B) 71 C) 72 D) 98 E) 200 La solución de la ecuación: 3 3
A)
a2+3b2 3a2+b2
B)
a2+3b2 a2+b2
C)
a2+b2 3a2+b2
D)
a2+b2 a2–b2
x–1 + x–2 = 2x–3
e indicar el recíproco de una solución. 5 2 A) B) 2 3 1 3 C) – D) – 2 2 2 E) 5
ax+b +
3
ax+b –
3
UNI 2015-II
ax–b ax–b
=
a ; es: b
USANIII2X1T
3a2+b2 E) 2 a +3b2 5.
Una solución de la ecuación: J x – 3N2 x2 – 6x + 10 =K O , es: 2 x +8x + 17 L x + 4P 1 2 3 C) 2 5 E) 2
1 2 3 D) – 2 B) –
El valor de x que satisface la siguiente ecuación: n
x+a +
n
x+a – a(an–1) A) an+1
n
n
7.
C)
a(an+1) an–1
E)
an+1 an–1
x–a x–a
=
a+1 a–1
B)
an + 1 an – 1
D)
an – 1 an + 1
Después de resolver la ecuación: x+1 –1 = x– x+8 ; la solución que se obtiene es: A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 9
8.
La suma de las raíces de la siguiente suma: 3 20 x + 3 = 9, es: x A) 145 C) 216 E) 89
9.
C) 2
3 2 5 D) 2
B)
E) 0 10. Las soluciones de la ecuación:
A)
6.
A) 1
B) 189 D) 125
Al resolver la ecuación: 2x+3 + 4x+1 = 4 su solución es:
1
2x+ 6x2+1 = x + 1; son: A) 0 y 2 C) –1 y 2 E) –1 y 3
B) 1 y 2 D) 1 y 3
11. La solución de la ecuación: x 2 5 + = ; es: x+4 x+4 4 A) 10 C) 12 E) 18
B) 11 D) 15
12. La solución de la ecuación: x + x– 1–x = 1 es: 1 B) 5 16 D) 25
1 A) 4 4 C) 25 25 E) 16
13. La ecuación: x + x–2 = 4 tiene: A) Una raíz real B) Dos raíces reales C) Una raíz imaginaria D) Dos raíces imaginarias E) Tres raíces reales 14. La suma de los valores de K que hacen que la ecuación: (4–K)x2 + 2Kx + 2 = 0; tenga sus raíces iguales es: A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5 15. Si la ecuación x2 + mx + n = 0; m y n son sus raíces; los valores de m y n en este orden son:
ÁLGEBRA | TEMA 1
ECUACIONES CUADRÁTICAS
A) –1 y 2 C) –1 y –2 E) 1 y –3
B) 1 y –2 D) 1 y 2
C) {p}
D) {3p}
19. Resolver: 3
20. Calcular el valor de "x" en:
x+1 – x–1 x–1 x+1 = 0,5 x+1 1– x–1
B) {4} D) {2}
17. Resolver en "x":
A) –0,2
B) –0,5
C) –0,25
D) 0,25
a b a+b + = ax–1 bx–1 (a+b)x–1 2 a+b a+b C) 2 2 E) ab
A)
E) 0,6
2
p x+q(p–q) = (p–q)(3p+4q)+q x
3
3
5 + x + 5 – x = 25 A) {10} B) {15} C) {20} D) {30} E) {5}
18. Hallar el valor de "x" en:
3x–1 2x+1 5x–6 – = 2x2+5x–3 3x2+10x+3 6x2–x–1
2
B) {q}
E) {p+q}
16. Resolver:
A) {6} C) {7} E) {5}
A) {3}
2 a–b a–b D) 2
B)
Respuestas
UNI 2015-II
1.
B
5.
B
9.
C
13. A
17. A
2.
D
6.
C
10. A
14. B
18. A
3.
C
7.
A
11. C
15. B
19. C
4.
A
8.
B
12. D
16. D
20. A
2
ÁLGEBRA | TEMA 1
Álgebra - Tema 2
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
2.
Luego de resolver la ecuación: 1 18x2 – 3x + 2 = 4 6x –x indicar el reciproco de una de sus raíces. A) 6 B) –2 C) 1/6 D) –3 E) 1
6.
Encuentre la suma de cuadrados de los ceros no racionales del polinomio: P(x) ≡ x3 – 8x2 + 23x – 24 A) 41 B) 25 C) 3 D) 16 E) 9
7.
Según el teorema fundamental del álgebra, el polinomio: P(x) ≡ x4 + x3 – [(x2+1)2 – (2x2+x–9)] presenta: A) 4 raíces complejas B) 3 raíces complejas C) 2 raíces imaginarias D) 4 raíces reales E) B y C son correctas
5.
En el siguiente polinomio: R(x) ≡ x3 – 28x + q; proporcione el menor valor de q de tal modo que una de las raíces de R(x) sea el doble de la otra. A) –48 B) –36 C) –12 D) –64 E) –72
UNI 2015-II
Sea el polinomio: P(x) ≡ x3+2x2–4 si P(a) = P(b) = P(c) = 0.
A) x4 – 2x2 + 25
Ja b cN + + O Calcular PK L bc ac abP A) 1 B) –1
C) x4 + 2x2 + 25
C) 2
Señale el producto de raíces reales de:
M(x) ≡ x4 – 10x3 – 19x2 + 480x – 1392 sabiendo que una de sus raíces es: 5 – 2i. A) 16 3
B) –48
C) –16
D) 1392
E) –92 8.
Si las raíces de la ecuación: 4x4 + 3x3 – 2x2 + 3x – 1 = 0 son: r1, r2, r3, r4 entonces el valor de: J1 1 1 1N K + + + O(r1+ r2 + r3 + r4) r r r r L 1 2 3 4P es: A) 8/3
B) 9/4
C) –9/4
D) 1
E) 112/5 9.
B) x4 + 2x2 – 25 D) x4 + x2 + 25 E) x4 + 2x2 + 5
D) –2
E) 4
3.
4. El siguiente polinomio: P(x) ≡ x5 – 3x4 – 6x3 + 10x2 + 21x + 9 presenta: A) 5 raíces diferentes B) 2 raíces de multiplicidad 2 C) 1 raíz de multiplicidad 2 y otra de multiplicidad 3 D) 1 raíz de multiplicidad 4 E) 1 raíz de multiplicidad 5
UOII2X2T
11. Sean: x1, x2 y x3 las raíces de la ecuación: x3 – 2x2 + x + 1 = 0, formar una ecuación cuyas raíces sean Z1 = x1x2; Z2 = x1x3; Z3 = x2x3 A) Z3 – Z + 1 = 0 B) Z3 + Z2 – 2Z = 0 C) Z3 – Z2 – 2Z – 1 = 0 D) Z3 + Z2 + Z – 1 = 0 E) Z3 – Z2 – 2Z + 3 = 0 12. Una raíz de la ecuación: ax3 + bx2 + bx + a = 0 (ab ≠ 0) es x1 = 2, luego ba–1 será A) –2,5 B) –1,5 C) 1,5 D) 0, 6 E) 1 13. El recíproco de una de las raíces de la ecuación: 1 =4 18x2 – 3x + 6x2 – x es: A) 6 C) 1/6 E) 1
B) –2 D) –3
Sabiendo que las raíces de: x3 – bx2 + cx + 2a = 0; abc ≠ 0 son a, b, c, calcular la ecuación cuyas raíces sean: ab, bc y ca. A) x3 + x2 – 3x – 2 = 0 B) x3 – x2 – 4x + 2 = 0 C) x3 + x2 – 4x – 4 = 0 D) x3 – x2 – 2x + 1 = 0 E) x3 + x2 – x – 1 = 0
10. Formar el polinomio de menor grado posible con coeficientes racionales, en la que una de sus raíces sea: 3 + i 2.
1
14. Sean: P(x): el polinomio de menor grado con coeficientes racionales que tiene a 5 y 11 como raíces simples. Q(X): el polinomio de menor grado con coeficientes reales que tiene a 5 y 11 como raíces simples. A) GRAD(P) = GRAD(Q) B) GRAD(P) < GRAD(Q) C) GRAD(Q) < GRAD(P) D) GRAD(P) = 2 E) GRAD(Q) = 4
ÁLGEBRA| TEMA 2
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
15. Si: (2 + i) es una raíz de multiplicidad dos del siguiente polinomio: x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 25 hallar: a + b + c + d, además a, b, c, d ∈ R. A) 17 B) 18 C) 19 D) –18 E) –17
17. Halle las raíces r1. r2, r3, r4 de la ecuación: 4x4 – ax3 + bx2 – cx + 5 = 0 sabiendo que son reales positivos y que: r1 r r r + 2 + 3 + 4 =1 2 4 5 8 indique el valor de: r4 A) 1/2 B) 1/4 C) 5/4 D) 1 E) 2
16. Si: 3 raíces de una ecuación recíproca de sexto grado son {a; b; c} y también son las raíces de una ecuación bicuadrada. Indicar el producto de las otras tres raíces por la cuarta raíz de la ecuación bicuadrada. A) abc B) ab/c C) 1 D) –1 E) F.D.
18. Si: x0 es una raíz de la ecuación: x4 – x3 – 5x2 + 5 = 0 tal que: x0 ≠ 1 x03 hallar el valor de: x0+1 A) 2 C) –5 E) 5
B) 1/5 D) 1/2
19. A partir de la ecuación bicuadrada: x4 – 2(a + b)x2 + (a – b)2 = 0 determinar el valor de la suma de las cuartas potencias de sus raíces. A) ab B) ab 2 C) 8ab D) ab 2 E) 16ab 20. Indicar el intervalo al que debe pertenecer "α" a fin de que: P(x) = x4 – (4α–5)x2 + 3α(α–5) = 0 presente dos raíces reales y dos imaginarias. A) ]0; 5[ B) ]0; 5] C) [0; 5[ D) ]3; 5[ E) ]3; 5]
Respuestas
UNI 2015-II
1.
D
5.
A
9.
C
13. D
17. E
2.
E
6.
A
10. A
14. C
18. E
3.
E
7.
B
11. C
15. D
19. C
4.
C
8.
C
12. B
16. D
20. C
2
ÁLGEBRA | TEMA 2
ÁLGEBRA TEMA 3
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si: x 2; 4 determine el intervalo de:
1;2 C) 1;2 A)
B) D)
UOII2X3T
5. Determine la suma entre el mayor "a" y el
x 1 2
menor "b" de modo que si: 1 x 2 , entonces se cumple que: a x3 2 b
0;1 0;1
0;1
E)
2. Si: x [2;3] determine el menor valor de
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
6. Si x 2;1 determine el intervalo de x2 + 3.
"b" y el mayor valor de "a" de modo que:
1; 4
A)
a x 2 1 b Indicar como respuesta: a + b. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9
C)
3;7
E)
1;7
B)
0; 4
D)
3;7
E) 10 3. Determine el intervalo de: que: 3 x 4 .
1 3 A) ; 3 4
B)
1 1 C) ; 4 3
1 1 D) ; 5 2
E)
7. Siendo: x > 0; y > 0; x > y; z 0 , la desigualdad que no siempre es verdadera es:
1 , sabiendo x 1
1 1 ; 5 4
A)
x 2
z
y z2
B) xz2 > yz2 C)
x y z z
D) x – z > y – z E) x + y > y + z
4. Si: x 1;2 , ¿a qué intervalo pertenece (2x + 5)–1? A)
1 1 ; 9 3
B)
8. Si: x 2; 4 , ¿cuántas números enteros de
1 1 ; 9 3
la forma:
1 C) ;3 9 E)
TEMA 3
D)
1; 4
1 ; 9 3
2x 3 existen? x 3
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1
UNI 2015-II
Á L G E BR A
9. Si: x
F(x)
x2 2
x valor que asume F(x). A) 2 C)
13. Si: x, y, z tal que: determine el menor
x2 + y2 + z2 = 8 determine el mínimo valor de: x3 + y3 + z3.
B) 1
2
D) 2 2
E) 4 2 10. Si: x, y ¿cuál es el máximo valor de "m"
B) 16
C)
D) 8 6
E)
para que se verifique: (x 4 y 4 )(x 2 y 2 ) m(x 3 y 3 )2 ? A) C)
2
B) 1
3
1 D) 2
2
A) 12 3
6
3
8 3
14. Si: x, y, z tal que: x 3 y 3 z3 81 determine el máximo valor de: x + y + z.
E) 2
1 6 11. Si: 1; 8 , determine el intervalo de: 2 x
0; 896
B)
0;196
C)
0; 256
D)
0;1916
E)
0; 986
B) 6
D) 8
E) 9
C) 7
15. Si: x1; x2; x3; x4 son las raíces reales de la ecuación:
25x 2 16 4 A)
A) 5
x4 – 4x3 + ax2 + bx + c = 0 tales que: x18 + x28 + x38 + x48 = 4 Calcular: x1 x 2 x 3 x 4 A) –1
B) 1
C) 3
D) 4
E) 8 12. Determine el intervalo de variación de la ex16. Determine el menor valor de "M" de modo
presión: 2x x , sabiendo que: x 1; 9
que se verifique: A)
1;15
B)
1; 4
C)
1; 15
D)
1;5
E)
1; 5
x 2 6x 5 M; x A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
TEMA 3
2
UNI 2015-II
Á L G E BR A
20. Si x, y tal que x2 + y2 = 1, entonces de:
17. Marcar verdadero (V) o falso (F): I.
x x 1 (x 1)x ; x
II. !x (x 4)2 0
1 T (x y), se afirma: 2
..... ( ) ..... ( )
I. III. 0 x y x xy y A) VVV
B) VVF
D) FVV
E) FVF
T 0; 2
..... ( )
2 2 II. T ; 2 2
C) VFF
2 ; 2 III. T 4
18. Si: x > 0, tal que: F(x) = ex; e 2, 7182 podemos afirmar que:
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) I y II
E) II y III
A) F(x) F(y) F(x y) B) F(x) F(y) F(x y) C)
D)
E)
F(x) F(y) 2 F(x) F(y) 2
xy F 2 xy F 2
F(x) F(y) xy F 2 2
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
ab bc ac c ab a bc b ac
se afirma que:
3 2
A) 2;5
B)
3 C) 0; 2
D) máx
E)
TEMA 3
min
3 2
3 ; 2
3
E B B B C D C C D B
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
A C B E B C D C D B
CLAVES
19. Si a + b + c = 1 y a, b, c sobre:
UNI 2015-II
ÁLGEBRA TEMA 4
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2X4T
1. Dados los conjuntos:
x 8 A (x 1)|2x 1 2
A) 0
B) 1
D) 3
E) 4
C) 2
5. Cantidad de valores enteros "x".
2x 1 B (2x 1)|x 1 3
Columna (A): 3x2 < 2x + 5
Calcular la suma de los elementos de (A B) C .
Columna (B): x2 + 1 < 4x
Indicar como respuesta la suma de sus cifras.
A) A es mayor que B.
A) 6
B) 7
B) A es menor que B.
D) 9
E) 10
C) 8
C) A es igual que B. D) ¡No utilizar esta opción!
2. Determine la suma de los valores enteros
E) No se puede determinar.
positivos que satisfacen la inecuación:
x3 1 x 1
(x 1)(x 3)2 (x 1)2 (x 5)
A) 2
B) 3
D) 5
E) 6
3. Resolver:
3x 2 4x 2
6. Indicar el mayor entero "x" que satisface:
x2 x 9 C) 4
A) 2
B) 1
D) –1
E) –2
7. Si el conjunto solución de la inecuación:
3
(a – 3)x2 + 5x + b + 2 < 0
x 3 A)
;0
C)
E)
C) –3
B)
5; 3
D)
;
3 1 es: ; . Calcular: a + 2b. 2 4
9 4
9 ; 4
A) 1
B) –4
D) 8
E) 0
C) 4
8. Determine el mayor número entero " " que satisface: 2x 2 4x 1 2 ; x
4. Si: 0 < a < b, determine el mayor entero "x" en:
TEMA 4
x
x a b a2 a b2
b
1
A) 3
B) –2
D) 1
E) –1
C) 0
UNI 2015-II
Á L G E BR A
9. Resolver: (2x – 5)(x2 – 4)(2x + 3) < 45 A)
5 1 ; 4 2
B)
1;3
C)
D)
5 1 ; 1;3 2 2
E)
1 5 ; 1; 2 2
5 4
;
1 2
3 4 4 C) x 3 2 E) x 3 A) x
2; 3
B)
x
D) x
4 3 3
4
13. Si: n . Determine el menor valor de x en:
x x x x ... 1 2 3 ... n 2 6 12 n2 n A)
C)
n 1 2
B)
(n 1)2
D)
2
(n 1)2
n2 2
10. Proporcionar un intervalo solución de: x 2 x 1 x 3 x A)
3;
C)
5;0
E)
5;2
1 2
E)
B)
2;1
D)
3; 1
x 2 10x 40 K; x
E) 4
B) 15
D) 17
E) 18
15. Un alambre metálico de 10 de resistencia se paralelo sea R1 la resistencia de una de las partes. ¿Qué rango de valores puede asumir
C) 2
R1, si la resistencia equivalente de la conexión en paralelo no debe de exceder a 1, 6 ? A)
0;2 8;10
B)
0;2 8;10
C)
1;
es: ; a a;b c;3d mostrar el equi-
D)
0;2
valente de: ax b cx d
E)
8;10
12. Si el conjunto solución de la inecuación: 2
2
(x x 2)(x x 6) x 3 1
TEMA 4
C) 16
0
(x 4)2012 (x 5)2011 D) 3
A) 14
corta en dos partes, las cuales se conectan en
(x 2)2005 (x 7)2007 B) 1
2
14. Determine el mayor valor de "K" si:
11. Determine el mayor valor entero de "x" en:
A) 0
(n 1)2
0
2
3 2
9;
15 2
UNI 2015-II
Á L G E BR A
20. Si las raíces del siguiente polinomio:
16. Si: a el menor valor natural de x en:
P(x) x 2 mx 1 son positivas sobre el valor de "m" lo correc-
a2 (x – 1) + a(x – a) – 1 > a – x – a2 A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
to es: A) Es necesario que m < 0.
E) 5
B) Es necesario que m > 0. C) m 2 D) m 2
17. Resolver: (x3 – 6x2 + 11x – 6)4 (x2 – 9)3 (–x3 – 8) < 0 A)
3; 2 1;
B)
3; 2 3;
C)
3; 1 1;
D)
3; 2 2;
E)
; 3 2;3
E) m debe ser entero
18. Determine el total de x enteros que verifican:
4 7 2 x 4 x 7 A) 2
B) 3
D) 7
E) 9
C) 5
1 ax 2 ax 0 2 tiene solo una solución. Determine la suma entre el número de valores que asume "a"
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
con el valor de x. A)
3 2
B) 2
D)
1 4
E) 1
TEMA 4
C)
1 2
3
D D E D B B E E D A
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
D E C B B B B C A D
CLAVES
19. Si la inecuación cuadrática en x:
UNI 2015-II
ÁLGEBRA TEMA 5
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2X5T
1. Cantidad de valores que asume x.
4. Indicar el número de soluciones enteras que presenta la inecuación:
Columna (A): 2x 1 2 x Columna (B):
x x 1 x 2 2
A) A es mayor que B. B) A es menor que B.
x 1 1 x 2 B) 2
C) 3
D) 4
E) Infinitas
C) A es igual que B. D) ¡No utilizar esta opción!
5. Marcar verdadero (V) o falso (F) en cada
E) No se puede determinar.
proposición siguiente:
2. Si "S" es el conjunto solución de la inecuación: 3
A) 1
x 1 5 4 x 0
podemos afirmar que: A) S ; 1 4;
I.
x 1 x
II.
x 1 x
III.
x 3 4 CS ;13
A) VVV
B) FFV
D) FFF
E) VFF
C) VFV
B) El producto de todas sus soluciones es 6. Un intervalo solución de:
no nulo.
x2 x 2 5 x
C) S 0; es:
D) S 1; 4 E)
S 1; 4
2;3
A)
; 2
B)
C)
;6
D) 2
E)
7;
3. La suma entre el mayor entero negativo y el menor entero positivo "x" que verifican la
7. Resolver:
desigualdad:
x 2 3x 3 2x 1
x 4 2x 6 10
1 1 A) x x 2 3 2 C) x x 1 3
es: A) 5
B) –4
C) 1
D) –2
E) 3
TEMA 5
B)
1 3 x x 5 4
D) x
5 x 1 3
E) x < 1
1
UNI 2015-II
Á L G E BR A
8. Determine el conjunto de elementos "x" que
12. Si "S" es el conjunto solución de la inecuación:
no satisfacen la inecuación:
4x x podemos afirmar que:
x
3 x2 2 x Indicar como respuesta el cardinal de dicho
A) S 10;0 B) S 4;
conjunto. A) 1
B) 2
C) 0
D) 3
17 1 2
C) S ;
17 1 17 1 ; D) S 2 2
E) 4
E) S ;0
9. Si: CS a;b b . Calcular ab siendo la inecuación:
13. Sea: A x | 6x 2 4 3 x 4x
3 x 2 6 (x 2 4x 3) 0 A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
10. Al resolver: 2
x 1
2
determine AC. A)
1 ; 2
B)
D)
1 ; 2
E)
1 ; 2
4 1 C) ; 5 2
2
3 x 1 4
la solución se encuentra en el intervalo. A)
2; 3
B)
; 3
C)
2; 2
D)
3;
E)
3; 3
14. Resolver:
x 10 3 x 5 0 A)
3;2
B)
7 15 C) ; 2 4
11. Resolver:
E)
1 x 1
x 1
2 3;2 2
7 D) ; 3 2
7 ; 4 2
15. Determine el mayor valor de " " a partir de: A)
; 2
B)
; 2
C)
; 2
D)
; 1
E)
;2
TEMA 5
x2 8837 x2 1
2
; x
A) 186
B) 187
D) 199
E) 184
C) 188
UNI 2015-II
Á L G E BR A
16. Resolver: 2
5
A)
1;
E)
1
; 1
C)
19. Resolver:
1 x 2 x (2 x) 7 x 1 0 x
1; 3
B)
1; 0
D)
; 1
x 2 1
1
A)
3; 1 1; 3
B)
C)
1; 4 8;7
D)
17. Resolver:
2x x 2 4 x 2
E)
1
; 3
3;3
x 2(x 4) A)
4;
B)
2;
C)
2; 4
D)
2; 4
E)
0;
20. Resolver: x 2 x 1 x x 2
18. Resolver:
A)
0;2
B)
C)
1;
D)
E)
0;1 0;3
5x 1 2x 1 3x 2 Indicar como respuesta la longitud de intervalo del complemento de su conjunto solución. 7 A) 1 B) 6 13 C) 2 D) 6
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 5
3
A D B A E B E A C E
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
A C D D C A A B A C
CLAVES
E) 4
UNI 2015-II
ÁLGEBRA TEMA 6
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2X6T
1. De los conjuntos:
4. El elemento que no pertenece al rango de la
I. H = (2;3),(0;1), (4;2),(5;9)
función F.
II. F = (4;9),(2;9),(7;9),(0;9)
Columna A:
III. G = (2;5),(1;4),(2;7),(0;7)
F: |y F(x)
Son funciones
2x 1 x 4
Columna B:
A) Solo II
B) I y II
C) Solo I
D) I y III
F: |y F(x)
x 2 3x 1
A) A es mayor que B
E) todas
B) A es menor que B 2. Determine a2 + b2 si el conjunto: 2
C) A es igual que B.
F (3;4),(2;a 4b),(2;1), (ab;b )(3;a b)
D) ¡No utilizar esta opción!
es una función.
E) No se puede determinar
A) 26
B) 20
C) 10
D) 13
5. Determine el dominio de la función:
|y F(x) x2 5x
E) 4 A)
;0 5;
B)
;0 5;
C)
;0 5;
D)
;2 5;
E)
;0 2;
3. ¿Qué gráfica no representa a una función?
A)
C)
B)
D)
6. Determine el rango de la función definida así:
F: |y F(x) 2x 2 4x 1; x 2;3 A) 1;31 E)
TEMA 6
1
C)
1;31
E)
1;30
B)
1;31
D)
1;31
UNI 2015-II
Á L G E BR A
7. Determine la suma de los elementos enteros
11. Determine el máximo valor que asume la fun-
del dominio de la función:
ción F, cuya regla de correspondencia es:
12 x x 2 2x 5
F: |y F(x) A) –5
B) –6
D) 10
E) 9
y F(x) x 10 x B) 3,9 C) 2 5 E) 2 10
A) 3 D)
C) 4
10
12. Determine el rango de la función: F: |y F(x) x 5 1 x 5 x
8. Determine el rango de la siguiente función: 2
F: |y F(x) 1 A) ;0 3 C) E)
B)
A)
D)
1 3 ;3
E)
0; ; 4
C)
;0
I.
y x 1
II.
x y 0
III. x 2 y 2 3(2y 3)
3;1
9. Sean F y G dos funciones definidas en Q: tales que: F(1) = G(–1) F(–1) = G(1) B) –1
D) 1
E) 2
B) Solo II
C) Solo III
D) Todas
14. Sea la función F: 1; , tal que F(x) es
Calcular: F(2) + G(3) A) –2
A) Solo I E) II y III
F(x) = ax – 1; G(x) = 3x + b
el número de primos menores o iguales a x. C) 0 Si: G(x)
F( 2)x 2 3F(8) x F(F(F(23)))
Calcular: F(G(4))
10. Con respecto a la función:
A) 0
1 F (x; y)2 |y x x
17 7 E) 3 C)
podemos afirmar que: A) Dom(F) = B) Ran(F) = 0
B) 1 D)
13 5
15. La función F que pasa por todo "x" diferente de 0; 1; –1 que satisface la ecuación.
C) Dom(F) = 0;
1 x F 2 (x) F 64x 1 x
D) Ran(F) = 2;2 E) Ran(F) = 2;2
TEMA 6
B)
13. ¿Cuáles de las ecuaciones definen una función?
1 D) ;4 3
1;6
1;
x 2x 4 x 2 2x 4
es:
2
UNI 2015-II
Á L G E BR A
1
x2 (1 x) 3 A) F(x) 4 1 x 1
x2 (1 x) 3 B) F(x) 2 1 x
A)
1;0
B)
1;1
D)
1;1
E)
1 2 ;1
C)
0;1
19. Un trozo de alambre de 10 m de longitud se
1
corta en dos partes. Con una de las partes
x 2 (1 x) 3 C) F(x) 4 x 1
se forma un cuadrado y con la otra una cir-
1
cuadrado y la longitud de la circunferencia
x2 (1 x) 2 D) F(x) 4 1 x
de modo que la suma de las áreas de las
cunferencia. Determinar el perímetro del
figuras formadas sea mínima.
1
x(1 x) 2 E) F(x) 4 1 x
A)
40 70 40 y B) 7 7
40 10 y 4 4
C)
50 10 y 5 5
60 10 y 6 6
E)
30 10 y 3 3
16. Si F es una función definida por la fórmula
y F(x) x 2 1; x 4; 2 1;1
D)
Determinar el rango de F. A)
1;0
B)
1;0 3
C)
1; 6
D)
1;5 6
E)
20. Determinar Dom(F) Ran(F), si F es la función real de variable cuya fórmula es: 1 y F(x) x 2 1
1;0 3;15
17. Dadas las funciones:
A)
B) {1}
D) {0}
E)
C) {0;1}
1. B 2. A 3. D 4. A 5. A 6. B 7. C 8. B 9. D 10. E
G: |y G(x) 3x 2 6x 1 Determinar el valor del parametro "m", de modo que Ran(F) Ran(G) = [–2; 5] A) –1
B) –2
D) –4
E) –5
C) –3
18. Determinar el dominio de la función:
F: |y F(x)
|x|2x 3 1 1 x2
TEMA 6
3
11. C 12. B 13. E 14. B 15. A 16. E 17. B 18. A 19. B 20. D
CLAVES
2 F: |y F(x) mx 8x 3
UNI 2015-II
ÁLGEBRA TEMA 7
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
UOII2X7T
Hallar el dominio (Df) y el rango (Rf) de la
5.
Hallar el rango de la función:
siguiente función: f = {(2,5); (–1,–3); (2,2a–b);
2.
A) 0; 1
C) {2}
x2 1
4x 2 1
3x 7 8x 2
Es x [a; b] [b; a]. A) 1/2 D) 2/3 3.
B)
5
6.
B) 1 E) 1/6
0; 5
E)
0; 1 5
D) ;
Hallar el rango de la siguiente función:
C) 3/2
2 F(x) x 2x 4 x 2 2x 4
Calcular el rango de:
1
2
f(x) x 4x 1 Sabiendo que: x 2; 4 . A)
15; 35
B)
15; 35
C)
13; 33
D)
13; 33
E)
B)
C) [1; 6]
D) ; 4 3
1
7.
Hallar el rango de:
Hallar el rango de la siguiente función: A) {0}
F(x) 2x 2 3x 2 ; x 7 B) ; 8
C) [–1 ; 2]
D) ; 7
8.
8
C)
; 3
E)
; 0
x x3 x x3 3 B) 3; D) {3;–3}
Hallar el rango de la función: G(x) = x2 – 6x + 3 si x 2;5 .
E)
TEMA 7
E) [–3; 1]
10; 21
1 A) ; 8
1 ; 3 3
A) ; 0 3
F(x) 4.
1 ; 5 1 5
C) Hallar a + b, si el dominio de la fun-ción:
F(x)
2
5x 64
(–1, b–a); (a+b 2 ,a)} Luego indicar: Df Rf . A) {3} B) {–1} D) {5} E) {2; 5}
x2
F(x)
1
UNI 2015-II
Á L G E BR A
9.
A)
6;19
B)
5;10
C)
6;19
D)
6; 6
E)
7;10
9
2
6
E)
1 ; 7 9 13
B)
1
C) ; 9 13
Hallar el rango de la siguiente función:
F(x)
5
A) ; 9 13
9
D) ; 9 13
5 ; 7 9 13
(x 3 4x 2 5x)(x 2 6x 8) x 3 6x 2 3x 10
13. Hallar el rango de:
A)
2; 5 5;
B)
4; 3 3;
C)
4; 6
A)
1;1
D)
4; 5 5;
D)
1; 3 E)
E)
3; 5
F(x) B)
x2 x2 1
0;1
2; 2
C)
2; 3
14. Si:
F {(0; 2), (1; 2), (3; 3 2)}
10. Si:
G {(0; 2), ( 12;1), (4; 3)}
F(x) x 2 x 3
Hallar (F + G)(0).
G(x) (x 2)(x 3) Indicar lo correcto. A) F = G B) F = 2G C) F = 3G D) F + G = 0 E) F G
A) 1
B) 2
C) 3 2
D) 4 2
E) 2 2 15. Dadas las funciones reales:
11. Si:
F(x) x 2 6 x; 3 x 7
F(x) 4 3 x
G(x) 2x 1; 5 x 4 Determinar el rango de la función: (F + G)(x)
G = {(–4;1), (–3;0), (–1;5), (2;–1), (7;4)} Indicar el número de elementos de G/F. A) 3 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5
A)
37 ;11 C) 4
12. Si x [3;5]. Hallar el rango de:
F(x)
TEMA 7
0; 3
E)
2x 1 2x 3
2
B)
5;1
11 ;1 D)
4
0;1
UNI 2015-II
Á L G E BR A
y
16. Hallar el máximo valor que asume la función:
F(x) x 10 x A) 2 5 D) 10
B) 3 E) 2 2
17. Si: F(x) = x2 + x + 1 H(x) = F(x) + F(–x) G(x) = F(x) – F(–x) Luego la función par es: A) G B) H D) Ninguna
(n;k)
C) 2 10
x
Calcular el valor de n k . A) 8 B) 39 C) 10 D) 15 E) 18 C) G H E) F.D.
20. Identifique la gráfica de la función:
G(x) F(x 1) 1 Sabiendo que:
18. De las gráficas:
x ; x 0 F(x) 2 x ; x 0 y
y F(x)
G(x)
A)
x x
y
Donde: F(x) = ax2 + bx + c G(x) = mx2 + nx + p Se dan las siguientes relaciones: I. n2 = 4mp
B)
y C)
II. a b
m
x
n
III. abc = mnp Luego son correctas: A) Solo I B) Solo II D) I y II E) II y III
y C) Solo III D)
19. A continuación se muestran las gráficas de las funciones: F(x) = x2 + 2x – 3 G(x) = x2 – 10x + 21
TEMA 7
x
x
y E)
3
x
UNI 2015-II
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 7
C C D B A B E C D E
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
4
C A B E C A B D C C
CLAVES
Á L G E BR A
UNI 2015-II
ÁLGEBRA TEMA 8
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2X8T
1. Dadas las funciones:
4. De las funciones numéricas expuestas:
x 2 1 F(x) y G(x) = x x 1 ¿cuáles son verdaderas?
H = {(4;6), (7;1), (–2;6), (6;8), (3;10)}
I. F = G
A) {(4;10), (–2;6), (6;8)}
II. Ran(G) – Ran(F) = {1}
B) {(4;12), (–2;6), (6;0)}
III. Dom(G) – Dom(F)
C) {(4;10), (–2;18), (6;8)}
A) Solo II
B) I, II y III
D) {(4;12), (–2;18), (6;0)}
C) I y II
D) II y III
E) {(4;7), (2;1), (0;7)}
G = {(5;4), (4;2), (0;9), (–2;3), (6;0)} efectuar el producto de (H G).
E) Solo III 5. A partir de las funciones: F = {(1;4), (2;3), (3;2), (4;5), (7;–1)}
2. Sean F y G dos funciones iguales tales que: F(x) x 2 G(x) 2x x
G = {(0;2), (1;2), (2;–1), (3;0), (5;2)}
2
determinar la suma de (F2 + 2G).
entonces el Ran(G) puede ser: A)
1;2
B)
C)
3;0
D) ;1
E)
1;
A) {(1;20), (2;5), (3;4)}
;1
B) {(1;20), (2;7), (3;4)} C) {(1;20), (2;5), (3;2)} D) {(1;20), (2;7), (3;2)} E) {(1;7), (2;1), (0;7)}
3. Dadas las funciones F y G, definidas por:
F(x) x a;G(x)
6. Se tienen las funciones numéricas:
1
F = {(3;2), (1;–6), (4;0), (–5;1)}
b x2
G = {(0;4), (3;1), (1;2), (4;–3)}
tal que: F(2) = 2G(0) = 1 entonces es falso
H = {(5;1), (1;2), (4;0), (7;–2)}
que:
Al efectuar ciertas operaciones, resulta la
A) Dom (F G) 1;2 B)
siguiente relación cartesiana:
(F G)(3) No está definido
(F G)2
{(a;b)} H3 según esto, calcular el valor de (a + b).
C) F(1) G(1) 0 D) (F G)(0) No está definido E)
(F G)(2) Existe
TEMA 8
1
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
UNI 2015-II
Á L G E BR A
7. Dados:
10. Consideremos:
F(x) = x2 + 1; 2 x 5 G(x) = 2 x ; –4 < x < 3
x 2 1; x 1 F(x) x 1; x 1 G {(0;3), (1; 4), (2;3)}
Determinar la función de F + G.
(x 1)2 1; 4 x 0 A) (F G)(x) 2 (x 1) 1;0 x 5
encuentre la suma de elementos del rango de:
F2 F G
(x 1)2 ; 2 x 0 B) (F G)(x) (x 1)2 ;0 x 3 (x 1)2 2; 4 x 0 C) (F G)(x) (x 1)2 2;0 x 3
A) 0
F B) 3
D) –6
E) –2
11. Sean F: y G: funciones definidas por:
F(x) x 2 x 2 3x 2; x 0 G(x) 1 x;0 x
2 (x 1) ; 2 x 0 D) (F G)(x) 2 (x 1) ;0 x 5
Si H(x) = F(x) + G(x); Dom(H) 2; 3 . Ha-
(x 2)2 ; 2 x 0 E) (F G)(x) 2 (x 1) ;0 x 5
llar el rango de H. A) 0;5 B) D)
8. Determinar el dominio de 2F – G, si:
F (x; y) 2 / y 4 x
0;6
E)
0; 6 0;6
C) 0;6
12. ¿Cuál de los siguientes diagramas sagitales representa a una función univalente?
1 G (x; y) 2 / y 2 x 4 A) x 2 2 x 4 B)
C) –1
I.
II.
III.
IV.
x 2 2 x 4
C) x 2 2 x 4 D) x 2 2 x 4 E)
x 2 2 x 4
4x 7; x 0 9. Sea: y F(x) 4x 1;0 x 2 2x 3; x 2
A) I, II y III B) Solo III C) Solo I
encuentre F(4t) – F(2t – 1), si t 3 / 4;1. A) 16t + 7
B) 16t – 9
D) 6
E) 16t – 4
TEMA 8
D) Solo II
C) 8
E) II y III
2
UNI 2015-II
Á L G E BR A
13. ¿Cuáles afirmaciones son falsas?
III. x , las funciones reales:
I. Si la gráfica de una función "corta" en un
F(x) x y G(x) xSgnx
solo punto al eje de abscisas, es inyectiva.
son iguales.
II. La gráfica adjunta, no es la de una fun-
IV. Dadas las funciones F; G y H, la primera
ción inyectiva:
es par y las otras impares, luego el producto de (F G3 2H) (G H2 3G) nunca generará una función par.
III. Si F es inyectiva y F() 0 , entonces el único intercepto de la gráfica de F con el eje X, es (; O). A) Solo II B) II y III C) I y III D) I y II E) Solo I
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) I y II 16. ¿Qué alternativa, representa a una función suryectiva (sobreyectiva)?
14. Marque verdadero (V) o falso (F), susten-
A)
B)
C)
D)
tando sus afirmaciones: I.
(x; y)2 / y
x 2 es inyectiva.
3x 2 II. (x; y) 2 / y no es inyectiva. x 1
III. (x;y)2 /y 2011 x3 x es inyectiva. A) FFF
B) FVF
D) VFV
E) VVV
C) VFF E)
15. Muestre la afirmación correcta: I. A partir de las funciones reales:
F(x) 1 x 2 y G(x) x2 1
17. Siendo 1; 3 el dominio de una función suryectiva F, tal que F(x) x 2 4x 3 y
se deduce fácilmente que: F G F G F G
F: 1; 3 m;n m , luego m – n, es:
II. Sean F(x) x 1 y G(x) x 2 4 lue-
F go Dom 1;2 5; . G
TEMA 8
A) –8
B) –16
C) –7
D) –17
E) –9
3
UNI 2015-II
Á L G E BR A
18. La gráfica de F:0;6 4; 4 es:
B)
C) 1;
D) ; 4
E)
nidas por:
I. F es biyectiva.
F(x) x 2 x 2
II. F es biyectiva. III. Si H(x) = F(x) + 4; x 0;6 H es
3x 2; x 0 G(x) 1 x;0 x
inyectiva. E) I y III
C) II y III
Si H(x) = F(x) + G(x); Dom(H) 2;3 . Hallar el rango de H. A) 0;5 B)
19. Sean las funciones F: y G: con regla de correspondencia: F(x) = x2; G(x) 2x . Hallar el rango de la función G – F.
C) 0;6 E) 0;6
1. D 2. A 3. C 4. D 5. B 6. C 7. B 8. E 9. D 10. C
TEMA 8
4
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
D C D D B B B E E D
D)
0; 6
0;6
CLAVES
B) Solo I
D) Solo II
;1
20. Sean: F: y G: funciones defi-
¿Qué afirmaciones son verdaderas?
A) Solo III
1;
A) R
UNI 2015-II
ÁLGEBRA TEMA 9
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2X9T
1. Dados:
Hallar H = FoG.
F = {(2;3), (3;2), (4;4), (5;5), (6;4)} G = {(1;2), (2;3), (3;4), (4;5)}
A) H(x) x 3; x 3;1
Determinar: (G o F)
B) H(x) x 3; x 3;1
A) {(2;5), (3;4), (6;3), (4;1)}
C) H(x) x 3; x 3;1
B) {(2;4), (3;3), (4;5), (6;5)}
D) H(x) x 3; x 3;1
C) {(2;5), (3;2), (6;3), (4;3)} E) No existe
D) {(2;4), (3;4), (4;5), (4;1)} E) {(2;5), (3;3), (4;1)}
5. Sean las funciones: F = {(–1;1), (2;–1), (1;2)}
2. A partir de las funciones:
2
F (x; y) / y 2x 1 G = {(0;3), (1;4), (2;0), (3;8), (–1;1)}
G = {(2;b), (–1;a), (1;2)}
señalar la imagen de (G o F).
A) 0
B) –2
A) {0; 2; 3}
B) {1; 4; 8}
D) –3
E) –4
C) {1; 2; 4}
D) {2; 3; 5}
Si GoF = F – G. Calcular a – b.
E) {0; 1; 3}
6. Dada la función real:
3. Dados: x 1 F(x) ; x 0; 6 x 2
F(x) 3 x 2; x 11 determinar F–1, si existe y su respectivo dominio.
G(x) x2 4x 6; x 0;2
A) F–1(x) = x2 – 9x + 10; 2 x 6
hallar el dominio de (G o F). A) 0;2
B)
C) 0;1
D) 0;1
E)
B) F–1(x) = x2 + 4x – 8; 1 x 5
0;2
C) F–1(x) = x2 – 6x + 11; 3 x 6 D) F–1(x) = x2 + 2x – 12; 0 x 4 E) No admite inversa
0;6
7. Se tiene una función real F, cuya gráfica se
4. Sean las funciones: F(x) 1 x ; G(x) 4 x
TEMA 9
C) –1
muestra a continuación:
2
1
UNI 2015-II
Á L G E BR A
I. G(x1) = G(x2) x1 = x2 ............(1) II. F(w1) = F(w2) w1 = w2 ............(2) III. Haciendo w = G(x) en (2). F(G(x1) = F(G(x2) G(x1 ) G(x2 ) IV. De lo anterior y (1): x1 = x2 F o G es univalente.
Trazar la gráfica de la inversa de dicha función:
A)
B)
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) Todos son correctos 10. Halle la función H tales que: H = (F o G) o (G* o F*)
C)
D)
A) F
B) G
C) F*
D) G*
E) I E) No se puede graficar
11. Sea F la función definida por: x4 7 9 F(x) ; x x 1 2 2 Determine (F – F*)
8. Demuestre que la función irracional:
F (x; y) / y 3 3 2x x 2 ; 1 x 1
A) 0
es o no univalente. Luego, determinar su inversa F–1, si es que existe. A) F
1
B)
C) 2
2
(x) 1 x 6x 5;2 x 6
B) F 1 (x) 1 x 2 6x 5;3 x 6
E)
10 x 1
10 x 1
D) 2
2 x 1
C) F 1 (x) 1 x 2 6x 5;3 x 5 12. Dada la función: D) F 1 (x) 1 x2 6x 5;2 x 5
y F(x) 2x x 1; x 3;99
E) No es univalente en 1;1 .
determine DomF*. 0;
A) 8;208
B)
que en cual de los siguientes pasos se come-
C) 2;
D) 3;
te un error:
E)
9. Para dos funciones univalentes F y G, indi-
TEMA 9
2
6;
UNI 2015-II
Á L G E BR A
13. Sea la función definida por:
16. Demuestre que:
ax 5 F(x) 3x 2b hallar los valores de a y b si se verifica. I.
F (x; y) / y 1 x2 4; x 2 es invertible, luego es cierto que: A) F 1 (x) x2 2x 3; x 2
DomF* {2}
B) F 1 (x) x 2 2x 5; x 1
II. F* F A) a = 3; b = 6
B) a = 9; b = 8
C) a = 6; b = 3
D) a = 1; b = 2
C) F 1 (x) x 2 2x 3; x 1 D) F 1 (x) x2 2x 5; x 2
E) a = 5; b = 7
E) F 1 (x) x2 2x 5; x 1 14. Sea F una función definida mediante: x F(x) x 1
17.
Bosquejar lagráficade F–1, sabiendo que: 1 x; x 1 F(x 1) 2 x 2x 1; x 1
si existe, hallar F* y calcular (F + F*). A)
2x ; x 1 x 1
B)
2x ; x 1 x 1
C)
2x ; 1 x 1 D) x 1
x ; x 1 x 1
E)
2x ; 1 x 1 x 1
A)
B) 15. Consideremos la función: F = {(3;–1), (–1;0), (5;4), (7;2), (0;7), (4;3)} y las afirmaciones: I. F–1 = {(0;–1),(4;5),(–1;3),(7;0),(3;4),(2;7)}
C)
II. No existe la inversa de F. III. F–1 (F(F(0))) = F(0) = 7 IV. x 0Dom(F) se cumple: F –1 (F(F(x 0 ))) F(x 0 )
D)
luego son falsas: A) I, III, IV
B) Solo II
C) II y IV
D) II, III
E) II, III, IV
TEMA 9
E)
3
UNI 2015-II
Á L G E BR A
18. Indicar aproximadamente la gráfica de F*,
20. Dada la función real de variable real:
sabiendo que:
F(x) 3 x 2; x 11
F {(x; y)2 / x y 2y}
Determine F*(x) si es que existe y su respectivo dominio.
A)
A) F * (x) x 2 9x 10; 2 x 6
B)
B) F *(x) x 2 4x 8;1 x 5 C) F *(x) x 2 6x 11;3 x 6 D) F * (x) x 2 2x 12;0 x 4 C)
D)
E) No tiene inversa
E) No existe F* 19. Hallar el dominio de la función inversa de G; donde G(x) = –x2 – 6x – 13 cuyo dominio es 6; 3 . A) 4;13 B)
6; 3
C) 3; 6 D) 13; 4 13; 6 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 9
B B E C C C C C E E
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
4
A A C C A D D C B C
CLAVES
E)
UNI 2015-II
ÁLGEBRA TEMA 10
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2X10T
1. La expresión numérica:
E Log5 (83 4) 2
A) 1 5
B) 1 5 /2
C) 1 5 /2
D)
5
es igual a: A) 22/3
B) 34/3
C) 38/3
D) 43/3
E) 1 5
E) 55/3
6. Si x, y R 1 cumplen: xy.yx = (xy)2 Simpllificar:
2. Si P es una expresión definida por: P Log216 Log
2
8 Log0,5 8
E
entonces al simplificar P se obtiene: A) – 5 C) 0
x x Logy x 1 Log x y 1
B) – 4
A) 1/4
B) 1/2
D) 1
C) 1
D) 3/2
E) 2
E) 5
Loga 25 2, calcular:
7. Si Log5b
3. Si M Log5 Log1/4 1 y N Log1/3 Log2 8 , 256
b J Logb10a Loga Loga 10
entonces la afirmación correcta es: A) M > N
B) M + N < 0
C) M.N > 0
D) M = N
E) M < N
A) –2
B) –1
C) 1/2
D) 1
E) 2
4. Si Log1227 = a; determinar Log616. A) 1/3–a
B) 4/3 + a
C) 3 – a/3 + a
D) 2a/3+a
8. Si Logxy x 5; determine el valor de:
x3 y E Logxy y
E) 4(3–a)/3+a 5. Si se cumple que:
Log3n Log6m Log12 (m n)
A) –19/3
B) –17/3
C) 1/3
D) 17/3
E) 19/3
halle el valor de m/n.
TEMA 10
1
UNI 2015-II
Á L G E BR A
9. Simplificar:
13. Calcular "x" si:
Logx1 x Logx 1x (Logx1x)(Logx1x)
E Log2 3 16 Log8 4 2 Log3 27 3 Log5 5 5 A) 1/6
B) 7/6
C) 1
D) –17/6
A)
E) 1/12
C)
10. Si a y b son las raíces positivas de la ecua-
1 5 2
B) 1
1 5
D) 2
2
E) 1 2
ción: x2 – 3x+ m2 = 0, entonces el valor de: 14. En la siguiente ecuación logáritmica:
E Logmab Logmaa Loggbb Logmba
1 1 Log2x x Log 1 x x x x
es: A) – 6
B) 1/6
C) 2
D) 3
Determine el valor de 2x2.
E) 6
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8 11. Calcular a b si: 15. Resolver la ecuación:
a Loga Log (Logb)2 3(3 Loga)(Logb) b (a,b) 1. A) 10–3
B) 10–2
C) 10
D) 102
5 Logx (Log5 x) 0 B)
C) 55
D) 5–5
E)
E) 103
5
A) 5
5
5
16. Determinar x. 12. Determine el valor de x en:
Log2x
Log2 x Log4 x 3
1 Log x 2 Log8x 2 0 4 6
A) 1
B) 2
A) 512
B) 64
C) 3
D) 4
C) 1/128
D) 1/4
E) 1/512
E) 5
TEMA 10
2
UNI 2015-II
Á L G E BR A
17. Dada la ecuación: 3
LnxLnx LN e4 LnX2e B) e2e
C) e3e E) e5e
D) e4e
B) 24
C) 25
D) 30
E) 48
Determine el producto de sus soluciones. A) ee
A) 20
20. Un accidente automovílistico fue presenciado po 1/10 de los B residentes de un pueblo pequeño. Si:
18. Determine el valor de: E Log2 (x 3)
f(t)
x 1 Si: x 1 Log6 (1 3 ) 1 Log2 3 A) 1/4 B) 1/2 x
corresponde al número de residentes que conocía del accidente t horas después, ¿cuán-
D) 2
tas horas transcurrieron para que la mitad
E) 5/2
de la población se enterará, si el 25% se enteró a las dos horas ?
19. Determine x + y al resolver el sistema:
Logx 225 7 2Logx y Logxy 225 2 x y 50
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 10
A) 2 horas
B) 3 horas
C) 4 horas
D) 6 horas
E) 8 horas
E A A E C E E D D E
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
3
A D C A B E B D D C
CLAVES
C) 1
B 1 cekt
UNI 2015-II
ÁLGEBRA TEMA 11
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2X11T
1. Dados los siguientes enunciados:
4. Halle el rango de la siguiente función:
I. antilog b(Log b x) = Log b(antilog bx),
f(x) Log2 2 x 2 x
x R x x II. Si a b x 0, entonces a = b
III. Si f(x) =ax entonces f es función cre-
1 A) ;1 2
B)
1 3 ; 2 2
3 0; 2
E)
3 ;2 2
D)
ciente a 1
3 C) 1; 2
Son correctas: A) Solo I
B) Solo II
D) I y II
E) Ninguno
C) Solo III
5. Del grafico mostrado: halle el valor de E = abm
2. Determine el dominio de la función f, definida por: f(x)
Ln(x 2 1) Log(3 x )
A) R – < – 1; 1> B) – 2; 2
A) – 3
B) – 2
D) 0
E) 1
C) – 1
C) 3;3 1;2; 2 4 6. Sea f(x) Log Log(14 x 2 5 ) determi-
D) R 1; 2;2;2 E)
3; 1 1;3 2;2
ne el dominio maximal. A) 1;2
3. Indicar el valor de verdad de las siguientes
C)
2;3
E)
1;2 2;3
proposiciones: p: Si f(x) = 8x y g(x) = 10x tal que f(x)>g(x),
B)
1;3 3; 1
D)
entonces x ;0 x
1 q: Si 0 0, el valor del
x 2x 2, x R
área sombreada es:
Indique los valores de verdad de: I. f tiene 3 soluciones II. f tiene una solución en III. f es creciente en ; 2 B) FVV
C) FFV
D) VVF
E) VFF
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 11
E E E C A B D C D B
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
4
E A B B D C C C A E
A) Log 2
B) Log 3
D) Log 5
E) Log 6
C) Log 4
CLAVES
A) FVF
UNI 2015-II
ÁLGEBRA TEMA 12
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2X12T
1. Indicar verdadero (V) o falso, según corres-
4. Sea la función definida por:
ponda: I.
2xa; 2x1 F(x) x 3 ab6;x 1 x 5 1x 1 Si existe Lim F(x). Calcular ab + ba
Lim(4x 3) 11
x 2
II.
Lim (3x 4 3x2 5x 1) 6
x 1
x 1
x 3 27 13 III. Lim x 1 x 3 A) VVV
B) VFV
D) FFV
E) FVF
C) VFF
A) 3
B) 6
D) 12
E) 15
5. Calcular:
2. Indicar verdadero o falso según corresponda: I.
x3 8 12 Lim x 2 x 2
x II. Lim no existe x 0 x
C) VFF
B) – 4
D) – 8
E) –10
C) –6
A) 1 / 2a
B)
D) a / 3
E) 1 / 3a
C) 1/a
a/ 2
7. Calcular el siguiente límite:
3. Sea la función:
x 3 F(x) ;x 3 x 3 0; x 3
1 x x 2 1 Lim x 0 x
indicar lo correcto A) Lim F(x) 1 B)
Lim F(x) 3
C) Lim F(x) 0
Lim F(x) 0
x 3
E)
A) – 2
x a x a ; a Lim x a 2 2 x a
E) VFV
x 3
x 2 2x 8 Lim x 4 x4
6. Calcular:
x2 5x 6 7 III. Lim 2 x 1 x 4x 5 6 A) VVV B) VVF D) FFV
C) 9
D)
x 3
A) 1
B) 1/2
D) 1/4
E) – 1/4
8. Calcular:
Lim
x
x 8
C) – 1/2
3 x2 43 x 4 (x 8)2
Lim F(x) 0
x 0
TEMA 12
1
UNI 2015-II
Á L G E BR A
A) (12)–1
B) 3–7
D) (12)–3
E) (7)–3
C) (12)–2
9. Calcular
A) a
B) b
D) 1
E) 1/abc
14. Calcular m y n de manera que
m x 1 ; m,n Z L Lim x1 n x 1 A) 1
B) 0
C) m/n
D) n/m
3x 4 1 Lim mx 2 nx 2 x x 3x 1 sea igual a 30 A) m 2 n 1
E) m n
B) m 3 n 9
10. Calcular:
C) m 2 n 1
5 x1 3x1 L im x 5 x 3x A) 2
B) 3
C) 5
D) 4
D) m n 2 E) m 3 n 9 15. Hallar el valor de "n" para que:
E) 8
Lim
(x 3)n (4x 7)n2 (3x 4)n1
x
11. Calcular:
3 1 3x 25 x 2 L im x 1 3 5 3 3x 2 x 2 2 A) –2
B) –4
C) 2
D) 1
(9x 2 x 3)n (2x 5)n1
A) 1
B) 3
C) 6
D) 8
1 16. Calcular: Lim 1 x x
12. Proporcione el valor de: k Lim
x
4x 2 3x 6 4x 2 x 3
A) 1/2
B) 0
C) 1
D) 2
8 243
E) 4
E) 4
x
A) 1
B) e
C) 2e
D) e2
E) e3 17. Calcular:
E) –1
x 1 Lim x x 3
13. Calcular: n
Lim an bn cn ;a;b;c ;c a;c b
n
TEMA 12
C) c
x 3
A) e–4
B) e–2
C) e–1
D) e–3
E) 2e–1
2
UNI 2015-II
Á L G E BR A
18. Calcular: ax 4 x ;a Lim x 0 x A) 1
B) 2
C) Ln (a/2)
D) Ln (a/4)
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 1/2 20. Si k x 1 L;L 0 Lim x 0 x 1
E) Ln(a/8) Calcular:
x 1 1 Lim x 0 k x 1 1
19. Calcular:
F(1 h) F(1) L Lim h0 h sabiendo que F(1 2x) 8x 2
B) 1/L
C) L/2
D) 3 L
A B A C C A A A B C
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
3
B A C E D B A D D E
CLAVES
E) 1/2 L
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
TEMA 12
A) L
UNI 2015-II
ÁLGEBRA TEMA 13
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2X13T
1. ¿Cúal es la regla de correspondencia de la
IV. m,n :am an1 m 1 n
sucesión:
9 19 33 1; ; ; ;...? 6 11 18 A)
2n2
2n2 3
E)
2n 1
D)
n2 2
E) FVFV
4n 3
rresponda:
n2 1
I. Toda sucesión oscilante es acotada II. Toda sucesión estrictamente creciente
4n2 1
es acotada inferiormente
n2 2
III. Toda sucesión monótona es acotada
1 2n 2. Si: B /n 1 n decir verdadero n o falso en: I. No es cierto que B no tenga cota supe-
A) FVF
B) FFF
D) VFF
E) VVV
C) FVV
5. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
rior
I. Toda sucesición acotada es convergente
II. B es acotado inferiormente
II. Toda sucesión monótoma y acotada es
III. B tiene menor elemento
convergente
IV. B tiene mayor elemento A) VVVV
B) VVFF
C) VVFV
D) FVVV
III. Existen sucesiones que son decrecientes y crecientes a la vez
E) VFVF 3. Dada la sucesión:
bn 2
I. bn es acotada II. bn es creciente
A) VVV
B) FVV
D) FFF
E) FFV
C) VVF
6. Dadas las sucesiones:
3
an 32;18;8;2;... bn 16; 17; 16; 13;...
n indicar el valor de verdad de las proposiciones:
si existe "k" tal que: ak = bk, hallar "k"
9
III. bn 2 e siempre que n e2
TEMA 13
D) FVVF
C) VFFV
4. Marque verdadero (V) o falso (F) según co-
2
2
C)
B) VVVV
n2 1
B)
n2 1
A) VVVF
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) Hay dos correctas
1
UNI 2015-II
Á L G E BR A
II. 3 ; 5 ; 7 ; 9 ;.... 4 5 6 7
7. Sea la sucesión an en la que damos sus cuatro términos: 1;
9 13 17 ; ; ;... 10 15 20
III. an
2n1 3n1
¿a partir de que lugar, los términos de la
2n 3n e indicar lo correcto:
sucesión son menores que 0,81?
A) II es divergente
A) 20
B) 21
B) Solamente l es convergente
D) 19
E) 22
C) 18
C) III converge a 3 D) I y II son divergente E) II converge a 1
8. ¿A qué valor converge la sucesión:
12 24 44 72 ; ; ; ;... ? 4 7 12 19 A) 323/21
B) 2
D) 8
E) 243/81
9. Dada la sucesión:
12. Se define la sucesión bn 2n2 5n y se tiene la sucesión an 2;7;22;43;70;..., si
C) 4
cn = an/bn, hallar: Lim c n. n
1 3 5 ; ; ;... y sea "L" el 8 11 14
A) 3/2
B) 1/2
D) 1/3
E) 2/3
13. Sean las sucesiones: bn1 bn 4 con b1 5
valor límite de esta sucesión, ¿a partir de que término éste se acerca tanto a "L" que la
c n1 3cn con c1 5
distancia entre ellos es menor que 0,01? A) 130
B) 140
D) 143
E) 144
C) 4/3
C) 142
entonces el valor de: bn/cn para n suficientemente grande, se aproxmia a:
an
1 10. Sea la sucesión an tal que an1 ;a1 , 2 3 ¿a partir de que término se cumple que
A) 4/3
B) – 4/3
D) 0
E) 1
C) 3/4
14. Determinar si la sucesión:
an L 1921 , donde L Lim an ?
A) 5. o
B) 6. o
te, si la sucesión converge, hallar su límite
C) 7. o
D) 8. o
A) Diverge
B) 5/2
D) –5/2
E) 2
n
E) 4. o
C) –2
15. Con respecto a la sucesión:
11. Analiza la convergencia de las siguientes sucesiones: I. 1 ; 1 ; 37 ; 175 ;.... 5 25 125 625
TEMA 13
n2 5n 6 n es convergente o divergen-
2n 1 ; n 2n 1 se afirma:
2
UNI 2015-II
Á L G E BR A
III. La sucesión Pn definida por:
I. No es convergente
1n2
II. Es estrictamente monótona III. Es acotada
IV. La sucesión Fn definida por:
entonces es falsa B) I II E) I III
D) II
C) II III
Fn
diverge n5 2 A) CICC B) ICIC D) IICC
16. La sucesión numérica expuesta:
1 1 1 1 ; ; ; ;... 2 6 24 120 ¿qué no se puede afirmar?
Sn 1;
n I. La sucesión 2 ; es convergente 5
ser oscilante
n II. Sn es divergente n 2
B) La regla de correspondencia de la suce(1)n sión es Sn n! C) Es una función discreta acotada en todo
III. 2011 (1)n2012
su dominio D) La sucesión diverge a ( )
B) VFV
D) VFF
E) FFV
C) VVV
m.Sen(n!) n2 1 entonces Limxn es:
1 , si "k" es el 5n menor entero positivo tal que ak 101 y "L"
esel menor enteropositivotal queaL < 10–2.
A) 1
B) 1/2
D) 0
E)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
C) 7
18. Mostra lo correcto (C) e incorrecto (l) en: I. La sucesión Sn definida por: 2n3 1 Sn diverge 3n2 1 II. La sucesión tn definida por:
TEMA 13
A) VVF
xn
17. Sea la sucesión: an ;an
tn
no es acotada
20. Dada la sucesión:
E) Se cumple: Lim Sn 0
B) 6 E) 9
C) CCCI
E) CIII
19. Marque verdadero (V) o falso (F):
A) Es una sucesión no monótona, esto por
Hallar: k + L A) 5 D) 8
5n2 1
n(6n 1) converge (3n 1)(n 1)
3
C C C A B E B C D D
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
C) 1/4
2 /2 C A D D A D A C D D
CLAVES
A) I
, converge
Pn 2
UNI 2015-II
ÁLGEBRA TEMA 14
EJERCICIOS PROPUESTOS
UOII2X14T
1. ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados
4. Si:
es(son) correcto(s)? I. II.
1
n
k n n
k1
2n1
k (k); n
IV.
k 1
r 1
determine el valor de x
k 2n1 0; n
k n
III.
n
k (2r 1) (n 1)3 x
1
n
k n
k 1
k 2n k 2n; n n
n
k n
k1
A) 0
B) 1
D) n2
E) n3
5. Al resolver el siguiente sistema:
4 (ka b) 10 k 0 4 (ka b) 14 k 1
k 2n 2 k 2n ; n
A) Solo I
B) Solo II
C) n
C) I, II y IV
D) I, II, III, IV E) II y IV
el valor de T = a – b es: 2. Marque verdadero (V) o falso (F): I.
c.a k c a k ; sic cte
II.
(ak bk ) ak bk
n
n
k 1 n1
k 1
D) VFV
D) 6
6. En la expresión siguiente encontrar el valor
n
x 1 ; x 1 III. (x ) x 1 k 0 A) VVF B) FFF k
B) 7
C) 9 E) 8
n
k 1
A) 10
de la constante A n
k
k k 1 3
C) FFV
E) VVV
2n 3 A 3 3n
A) – 1/4
B) 1/2
D) 1/4
E) 3/2
C) – 1/2
3. Determine el valor de la suma finita:
k 4 1 k 3 2 k 1 k k A) 200 – 1/21 B) 2071 – 1/21 20
7. Determine el valor de x en la igualdad
C) 2871– 1/21
100
nx (n 2) 103 n2 n(n 1)(n 2) 202
D) 3000 – 1/31
E) 2801 – 1/21
A) 1/2
B) 99/102
C) 102/99
D) 34/11
E) 3/2
TEMA 14
1
UNI 2015-II
Á L G E BR A
4
B) 1
D) 2
E) 3
3
12. Si la serie:
y además satisface la siguientes condiciones.
1 11 111 1111 S ... a a2 a3 a4
a2 a6 a4 7 a7 2a4 a8 Si: bnn es una sucesión tal que k
3 12 D) 4 6
1 2 E) 6 5
ann /2an1 an an2
bn a1
2 1 3 6 3
5
C) 3/2
9. Sea la sucesión:
n
B)
C) 1 1 6 5
n
A) 3/4
5
1 1 A) 6 5
1 1 1 1 1 8. Si: Sn ... n; 2 6 12 20 n(n 1) Halle Lim S n
Converge a 13/36. Determine el valor de a.
entonces el valor de conver-
A) 18
B) 13
D) 1/3
E) 3/4
C) 10/13
k 1
13. Determine la siguiente suma:
gencia de la sucesión bnn es: A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4 D) 2/5
2n 1
2 2 n1 n (n 1)
E) 1/3
10. Si M y N representan dos cantidades defini-
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
das por: 14. Indique el valor de convergencia de la serie:
M es el valor de convergencia de la serie
S1
A) 1
(1)k1
D) 4/3
4k Entonces la correcta relación entre los valo-
k 2 3k 3
4 3 2 k 1 k 6k 11k 6k B) 1/3 C) 2/3
4 S k k 1 3 N es el valor de convergencia de la serie
E) 2
k 1
15. Determine la suma de los elementos de la
res de M y N es:
siguiente serie:
A) 0 M N 3 /2 B) M = N
1 3x 5x 2 7x 3 9x 4 ... donde 0 < x < 1 1 x 1 A) B) 1 x 1 x
C) M – N < 0
D) 2M < N
E) M = 10 N 11. Calcule la siguiente suma:
C)
k 2
1 1 2 3 n4
TEMA 14
1 x (1 x)2
D)
1 x (1 x)2
E) 1/x
2
UNI 2015-II
Á L G E BR A
16. En un cuadrado de lado x se unen los puntos
A) F(m) – F(n)
medios de los lados y se forma otros cuadra-
B) F(m) – F(n – 1)
dos cuyos puntos medio de sus lados se unen
C) F(m – 1) – F(n)
para formar un nuevo cuadrado y así sucesi-
D) F(m) – F(m – 1)
vamente. Halle el límite de la suma de las
E) F(n) – F(m – 1)
áreas de todos los cuadrados así formados.
3 2 x 2 5 2 D) x 2
A) x2 C) 2x
20. Calcular la suma límite:
B) 2
a b a2 b2 a3 b3 an bn ... .. ab a2b2 a3b3 anbn a b A) a 1 b 1 b a B) a 1 b 1 a b C) b a
S2
E) 3x2 17. Dada la serie numérica:
11 101 1001 1001 ... a a2 a3 a4 donde a > 10. Hallar el valor de "a", si esta
D)
1 serie converge a 1 19
a 1 b 1 a b
E)
a b 1 a 1 b
A) 11
B) 16
C) 20
D) 21
E) 22
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
indefinidamente:
3 5 3 3 S ... 4 42 43 44 A) 15/16
B) 17/15
C) 17/16
D) 19/17
E) 16/19 19. Marque la alternativa que es equivalente a: m
F(k) F(k 1)
D E C E B D D B A E
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
C B A C C C C B B A
CLAVES
18. Calcular la suma límite de la serie prolongada
k n
TEMA 14
3
UNI 2015-II
Álgebra - Tema 15
MATRICES I EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
2.
Dadas las matrices: x2 y z , 0 y+1 z–1
Si la matriz: 3 matriz m n
1 0 2 –1 0 p
a –1 3
B=
b c 1
4 0
2 3
3 2
8.
C) 2
9.
2 1 es triangular superior, luego 2
2 En la matriz escalar b m
0 c n
C) –1
a 0 , p
6.
A) –1 D) –4
UNI 2015-II
A) A+B+C
B) A–3B+C
D) 0
E) A–2B–C
C) –A+3B–C
A) VVV
B) VFV
D) FFF
E) FVF
C) FFV
–1 y Bt = 2 0 5
3 determine x si se sabe 8
que (2x)t + At = 2B. Indique la traza de x. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
–1 2 a 3 , el valor de a + b + c es: c 0 B) –2 E) –5
C) –12
Considerando A, B, C y X matrices del mismo orden tal que 2(x – A) = 3(B – A) – C + X entonces X es igual a:
12. Si A = 6 1
C) 3
Dad la matriz antisimétrica: 0 A= 1 b
B) –15 E) –10
–2 1 , 3 5 2 . Halle P(A; B) e indique la suma de los B = 4 –3 7 elementos de la diagonal de P. A) –33 B) –81 C) 33 D) 81 E) 13
3 –1 2 b . Determine a + b + c. 1 3 B) 2 E) 5
1 3 3 –1 y B= si x = 2A – 3C, luego 2 1 2 4 la traza de x es:
11. Se define P(x, y) ≡ 2x2 – 3xy + y2, A =
Sea dada la matriz simétrica:
A) 1 D) 4
C) –3
10. Determine el valor el verdad de las siguientes proposiciones: I. Si A2×3 y B3×2 → A × B es de 3 × 3 II. Si A3×2 y B3×2 → A × B es de 3 × 2 III. Si A2×4 y B4×3 → A × B es de 2 × 3
la suma de a + b + c + m + n + p es igual a: A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
1 A= a c
B) –2 E) –5
Dados A =
A) –17 D) –13
es triangular inferior y la
a + b + c + m + n + p es: A) 0 B) 1 D) 2 E) –2
5.
Dados 1 a 0 2 A= y B= si A + B = I donde I es la b 3 –1 c matriz identidad, entonces a + b + c es: A) –1 D) –4
Luego min (x + y + z) es igual a: A) 7 B) 3 D) 1 E) 0
4.
7.
Dada la matriz A = (aij)2×3 tal que aij = i + j, luego la suma de elementos de la matriz A es: A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
A=
3.
UONII2X15
13. Dadas las matrices A = 2 –1 y B = x 3 1 y B son conmutables determine 2x + 3y. A) –1 B) 0 C) 2 D) 5 E) 7
C) 4
1
1 si A y 5
ÁLGEBRA| TEMA 15
MATRICES I
14. Dada la matriz M =
0 x
–x halle M1003 0
18. Se define la matriz A = (aij)
A) x1003
1 0
0 1
B) x1003
0 –1
1 0
C) x1003
–1 0
0 –1
D) x1003
0 1
–1 0
E) x1003
1 0
–1 1
100 –100 100 –100
B) –200 –100 –100 –200
C)
200 –100
D)
E)
1 tal que An = 0 0 I. an = cn
C) 614
A)
–100 200
1 A= 0 0
0 2 determine la suma de 0
16. Determine la matriz A18 + A17, si A = 1 –1
–1 1
2i – j, si i ≤ j i + 2j, si i > j
an 1 0
1 1 1
0 1 1
bn + cn , n ∈ y dados los enunciados: 1
II. an+1 – an = 1 III. bn+1 – bn = an IV. bn = n(n – 1) 2 Son correctas:
384 –384 –384 384
A) I, III y IV D) I, II, III y IV
15
3.2 –3.2 –3.215 3.215
B) Solo I E) Solo II
C) II y III
20. A partir del sistema: A + Bt – C = I At – B + 2Ct = 3I 2A + B + C = 5I
0 x–x2 y n ∈ entonces x –x 0 tr(A4n + 4n+1) es igual a: A) 0 B) (x2–x)4n (x2–x+1) 2 4n 2 C) (x –x) (–x +x+1) D) 2(x2–x)4n E) 2(x2–x)
17. Sea la matriz A =
como aij =
y la matriz B = (bij) como bij = i + j – 1, sea C = AB, 3×4 determine C23. A) 11 B) 18 C) 25 D) 32 E) 43 19. Se define la matriz
0 1 15. Dada la matriz A = 0 0 3 0 los elementos de A40. A) 612 B) 613 15 D) 6 E) 616
15
3×3
2
Determine la matriz B. A) I B) 2I D) 3I E) 1/2.I
C) –I
Respuestas
UNI 2015-II
1.
D
5.
C
9.
C
13. A
17. D
2.
B
6.
E
10. C
14. B
18. C
3.
A
7.
C
11. C
15. C
19. D
4.
C
8.
A
12. C
16. E
20. A
2
ÁLGEBRA | TEMA 15
Álgebra - Tema 16
MATRICES II EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
UONII2X16
Si A y B son matrices de orden 2×2. Determine el valor
7.
de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si A2= I entonces A=I III. tr(A.B) = t(A) . tr(B)
2.
B) VVV
D) FVF
E) VFV
C) VVF
–16 a . Indique a + b – c verifica A2= c b
3.
B) –5
D) 16
E) 15
8.
Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 d –c ad–bc –b a
9.
A) FVF
B) VVF
D) FFV
E) VVV
C) FFF
B) A2 E) O
Si A =
1 1 1
B) 3n+1
D) n.3n+1
E) 3n+2
Dadas las matrices C = entonces C10. D11 es: A)
1 10 11 111
D) 1 11 10 1
UNI 2015-II
C) B
1 1
1 11 B) 10 21
D)
1 –d c ad–bc b –a
2 , luego A–1 es: 4
2 –1 B) –3/2 1/2 E)
1 C) 0
0 1
–1 0 0 –1
2 Dada la matriz A = 5
3 halle tr[(AT)–1] 4
A) –8
B) –8/5
D) 8/5
E) 8/7
A) 1/2
B) 3/2
D) 9/2
E) 11/2
11. En
C) n.3n
0 1 y D= 0 1
1 d –b ad–bc –c a
C) –8/7
3 0 ,B= 5 2
1 2
Determine tr[(AB)–1 + 2A–1]
1 1 n 1 1 . Determine la traza de A 1 1
A) 3n
–2 1 3/2 –1/2
B)
2 10. Sean las matrices: A = 0
Si A2=A ; BT=B=I. Determine BT. AB–(BTAB)2 A) A D) B2
1 Dada la matriz A = 3
–2 3/2 D) 1 –1/2
III.(A+B)2 = A2+2AB+B2
6.
E)
A)
II. AB=AC → B = C
5.
1 d –b ab–cd –c a
C) 6
I. (AB)2 = A2B2
4.
C)
Si la matriz antisimétrica A = [aij]2x2
A) –16
b y ad – bc ≠ 0, luego A–1 es: d
d –b A) –c a
II. (mA + nB)T = mAT + nBT; m, n∈ A) FFF
Si A = a c
5 1
4 X= 1
A) –3 D) –6
1 1
12. Dados: A =
1 11 C) 10 111
C) 7/2
1 0 . Halle tr(X) 3 1 B) –4 E) –7
C) –5
0 1 , B = 2 –5, C = –1 –2 1 3 –3 –4 –1 3
que satisfacen la ecuación A × B = C, entonces la traza de X es: A) –7 B) –3 C) 0 D) 2 E) 5
1 11 E) 10 110
1
ÁLGEBRA| TEMA 16
MATRICES II
17. Si: A2 + 5A + 5I = 0, entonces (A+3I)–1 es:
13. Sea A una matriz no singular tal que: A= lAl 3 5
4 determine tr(A–1) 6
A) –9 D) 10
B) 9 E) 11
B) 3 E) 6
C) 4
1 2 3 15. Dada la matriz A = 2 3 4 determine la suma de 3 4 6 los elementos de la tercera columna de A–1 A) 0 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5
E) A+I
1/2 0 0 1 1 , B = 0 1/3 0 0 1/4 1 0
halle tr(A–1 + B–1) A) 13 B) 14 D) 16 E) 17
2 0 1
C) A+2I
1 –1 2 la suma de los elementos de A 0
A) –2
B) –1
D) 1
E) 2
19. Si se cumple: M = tr(M) = 45
a d 0
C) 0
b e 0
c f n
y M2 + 109I = 21M,
determine tr[(M–10I) –1]
16. Se definen las matrices 1 2 1
D) A+3I
1 18. Sea A = 0 0 es:
–2 0 –3 A = 1 –1 1 y dar como respuesta tr(A–1) 2 –3 2
1 A = 0 0
B) A–3I
C) 19/2
14. Determine la inversa de la matriz:
A) –1 D) 5
A) A–2I
A) 14
B) 13
D) 15
E) 16
C) 12
20. Si A = [aij]3x3 es una matriz tal que (I + A)(I – A) = 0, halle la inversa de A2004
C) 15
A) 0
B) 2I
D) A
E) –A
C) I
Respuestas
UNI 2015-II
1.
D
5.
A
9.
C
13. B
17. C
2.
A
6.
C
10. D
14. A
18. A
3.
C
7.
B
11. D
15. A
19. C
4.
E
8.
A
12. A
16. A
20. C
2
ÁLGEBRA | TEMA 16
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