Algebra Pamer Catolica

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 ÁLGEBRA 

POLINOMIOS: OPERACIONES BÁSICAS, VALOR NUMÉRICO Y CAMBIO DE VARIABLE CNIII2X1

DESARROLLO DEL TEMA

3. M(z) ≡ z3 + 4z2 – 2z + 3  Variable: .................... ....................... ... Grado: ................. .......................... ......... C.P: ................. .............................. ............. TI: ................. ................................ ...............

Notación Polinómica Permite diferenciar constantes de variables. Se tiene:

P(x;y) = 5z2 x2y4  Variabless  Variable Coef Co efic icie ient ntee

 A.

4. P(x) ≡ 7x5 + 9x6 – 6x3 + x – 3 + 4x2  Variable: .................... ....................... ... Grado: ................. .......................... ......... C.P: ................. .............................. ............. TI: ................. ................................ ...............

Part Pa rtee Li Lite tera rall

Polinomio

Es aquel conjunto de números y letras relacionados entre sí por las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o una combinación de ellas en un número limitado de veces, con la condición de que los exponentes de las variables deben de ser naturales.

B.

Es aquel valor que se obtiene al reemplazar las variables por constantes.

Polinomio con una variable

Ejemplos:

Sea: P(x) = a0xn+a1xn–1+a2xn–2+...+an–1x+an ; a0 ≠ 0

Sean los polinomios: J(x) = 5x + 1 L(x) = x + 6 S(x – 1) = x2 + 3x – 1 R(x + 2) = x3 – 2x2 + 7x – 4

Donde: x: variable n: grado (n ∈ ) a0: coeficiente principal (a0 ≠ 0) an: término independiente

Halle cada uno de los siguientes casos: 1. J(3) = 2. S(1) = 3. R(2) = 4. J(L(2)) = 5. S(R(0)) = 6. J(m+2) = 7. L(7x – 5) = 8. J(L(x)) = 9. S(L(x)) = 10. L(S(x) + 10)=

Ejemplos:

1. P(x) ≡ 3x + 7  Variable:: .......................  Variable ....................... Grado: ................ .......................... .......... C.P: ............... .............................. ............... TI: ................ ................................ ................ 2. F(x) ≡ 2x – 3 + 4x2  Variable:: .......................  Variable ....................... Grado: ................ .......................... .......... C.P: ............... .............................. ............... TI: ................ ................................ ................

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Valor numérico

C.

Valores numéricos notables

Si P(x) es un polinomio, se cumple:

1

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P(0) = Término independiente P(1) = Suma de coeficientes

Ejemplos:

Halle la suma de coeficientes y el término independiente en cada uno de los siguientes casos: 1. J(y) = y3 – 5y + 11y4 – 9 + y2 T.I. .......................................... ∑ coef. .....................................

Ejemplo:

P(x) ≡ 3x2 – 5x + 16 Término independiente = P(0) = 0 – 0 + 16 = 16 Suma de coeficientes = P(1) = 3 – 5 + 16 = 14 Sea el polinomio en "x": P(x) ≡ ax2 + bx + c i) P(1) = a(1)2 + b(1) + c Y P(1) = a + b + c

2. Sea L(2x – 4) = 4x + 17 T.I. .......................................... ∑ coef. ..................................... 3. Sea:   S(x) = (x – 1)45 + (x)10 + (x + 1)1 – 7(3x + 1) T.I. .......................................... ∑coef. .....................................

∑Coef. ∴P(1)

= ∑Coef. de P(x)

ii) P(0) = a(0)2 + b(0) + c Y P(0) = c

4. Sea:   R(x + 4) = (x + 3)75 + (x + 5)100 + 9(3x + 1) T.I. .......................................... ∑coef. .....................................

T.I. ∴ P(0) = T.I. de P(x) PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

Problema 2

Dividir: 4x4 – 3x3 + x2 – 5x + 7 x2 – x – 4 Halle el resto.  A. –7x + 9 B. 12x + 79

C. 7x – 19 D. 17x + 79

Resolución

1 1 4

4

4

–3  4 1 1

1 –5 7 16  1 4 18 18 72 18 17 79

r(x) = 17x + 79 Respuesta: D. 17x + 79

Si: A(x + 3) = x2 – x + 1 B(x – 2) = 3x2 Halle el resto de dividir A(x) + B(x) entre (x – 1).  A. 18 C. 38 B. 34 D. 40 Resolución

T. resto x – 1 = 0 ⇒ x = 1 Resto = A(1) + B(1) = 7 + 27 = 34 Respuesta: B. 34

Resolución

Recordando: D(x) = d(x) . q(x) + r(x) → inexacta D(x) – r(x) = d(x) + q(x) → exacta ax4 + bx3 + 2x2 – 4x + 8 x2 – x + 1 Se invierte el orden de los coeficientes y se aplica Horner. 1 8 –4 2 b a 1

8

 –1

4

Problema 3

Halle (a + b) en la división: ax4 + bx3 + 2x2 – x + 3 x2 – x + 1 si el resto es r(x) = 3x – 5.  A. –2 C. 2 B. 0 D. 4

8

4

–8 4 –4  –2 –2

2

–2

–5

3

b – 6 = 3 → b = 9 a + b = 2 a + 2 = –5 a = –7 Respuesta: C. 2

EJERCICIOS DE CLASE

Nivel I 1. Halla el cociente de:

6x4 + 7x3 – 7x2 + 5x – 2 3x2 – x + 1

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 A. B. C. D.

2x2 – 3x – 2 2x2 + 3x + 2 2x2 – 3x + 2 2x2 + 3x – 2

2. Halla el residuo de:

2

 A. B. C. D.

6x5 – x3 + 9x2 + 2x – 8 2x3 + 3 + x x2 + 4x – 2 3x2 – 2 4x – 2  –2

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3. Si Q(x) y R(x) son respectivamente

el cociente y residuo de la división de (12x5  – 2) entre (4x3  + 3). Calcula 3Q(x) + R(x).  A.  –2 C.  –24x – 6 2 B. 18x  – 2 D. 9x2 – 2 4. Efectúa la siguiente división

x3 – 2x2 + 3 y da x–1 respuesta el residuo.  A. 0 C. 2 B. 1 D. 3

bx4+(4ab+a)x3+(4a2+b2)x2+4a+2 bx + a b ≠ 0 la suma de coeficientes del cociente es 0 y el resto es –2. Halla el valor de a + b.  A. 6 C. 4 B. 5 D. 3

como

5. Halla la suma de coeficientes del

cociente de la siguiente división x4 – x3 – 2 . x+1  A.  –2 C. 0 B.  –1 D. 1 6. Halla a, si la división x5 – x4 – 2x3

+ 2x2 + x – a entre x2 + 2x + 1 es exacta.  A.  –2 C. 0 B.  –1 D. 1 Nivel II 7.  Al dividir el polinomio:

2x4 – 8x3 + mx2 + 3x – 2 entre 2x – 6 se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 3/2. Hallar "m".  A. 2 C. 6 B. 4 D. 8 8. Calcula el valor de a + b; si

x5 + ax + b es divisible por (x – 1)2.  A.  –1 C. 1 B. 0 D. 2

9. En la siguiente división exacta

5x4 + 7x3 – 3x2 + mx + n 5x2 – 3x – 2 Calcula el valor de m – n.  A  –5 C.  –2 B. 1 D. 3

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10. En la división

11. Halla el valor de a, si al dividir

el polinomio 3y2 + ay + 9 entre y + 2 se obtiene el mismo resto de dividir 2y3 + 3y + 3 entre el mismo binomio.  A. 15 C. 8 B. 3 D. 20 12. Al dividir P(x) = (2a + b)x3 –

(a + 2b)x2 + (a +b)x – (a – b) entre x – 1, se obtuvo por resto 40. Calcula el valor de a + b.  A. 10 C. 30 B. 20 D. 40 13. Dados los polinomios

P(x + 1) = x3 – 3x2 + x + 4 Q(x) = 3x2 – 2x +1 Calcula el resto de la siguiente división P(x) + Q(x – 1). x–1  A.  –252 C. 76 B. 41 D. 5 14. Si P(x) = x2 – 2x +1; Q(x) =2x + 1, halla

el resto que resulta de dividir [P(x – 1)][Q(x + 1)] entre (x – 2).  A. 2 C. 12 B. 3 D. 0 15. Miguel recibe un préstamo de

(x5 + x2 + 2)soles y luego hace un negocio donde gana (x4 + x) soles. Si quiere invertir lo obtenido en el préstamo más ganado en el negocio, en partes iguales, en (x2 + x + 1) acciones de la bolsa de valores de Lima, ¿cuántos

3

soles invertirá en cada acción de la bolsa de Lima?  A. x3 – x + 2 B. x3 + x + 2 C. x2 + x + 2 D. x3 – 2x + 2 16. Se sabe que la Presión (P) se

calcula como el cociente exacto de la Fuerza (F) aplicada sobre la superficie, entre el Área (A) de la superficie a la que se aplica la fuerza. De lo anterior, determina la expresión más simple que representa la presión ejercida sobre una plataforma de superficie  A(t) = 35t2 – 15t + 35 u2, sabiendo que se ejerce sobre ella una fuerza F(t) = 700t4 – 1000t3 + 1700t2.  A. P(t) = 2t2 – 2t + 2 B. P(t) = 20t2 – 20t + 20 C. P(t) = 2t2 + 2t + 2 D. P(t) = 20t2 + 20t + 20 Nivel III 17. Si el residuo de la división

x4 + b x3 + a x2 + (b + a) a 2 ax + b es 5 y además se cumple que la relación entre a y b es 2a2 + 2ab + b2 = ka encuentra el valor de k.  A. 8 C. 12 B. 10 D. 14

18. Al dividir P(x) entre (x + 2),

se obtiene 8 como residuo, si se divide P(x) entre (x + 1) se obtiene 13 como residuo. Halla el residuo que se obtiene que se obtiene P(x) entre (x2 + 3x + 2).  A. 8x + 9 C. 2x + 10 B. 5x + 18 D. 3x + 8

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