Algebra Moderna- Herstein

11. PruCbcse quc el pentadec4gono rcgular cs constructible.

12. PruCbcsc que cs posiblc trisccar el @lo

de 72".

13. PruCbcrie quc un mdgono regular no es constructible. *14. PruCbcrie quc el poligono regular dc 17 lados es umstructiblc.

Volvcmos a la cxposici6n general. Sea F u n campo y, como usualmente, F[x]el anillo dc 10s polinomios en x sobrc F.

D~PIHICI~H. Si f(x) = a o P + a l P - l + ... +al?-'+ ... + a m - , x + a . cs un polinomio en q x ] , cntonccs la derivada dc f(x), rcpresentada por f'(x), es el polinomio f'(x) = n a o P - l + ( n - l ) a l P - l + ... +(n-i)a#-I-'+

... + o ; - ,

dc F [ x ] .

Dar esta d&ici6n o probar las propicdades b4sim formales dc la derivada en cuanto a polinomios sc refiere, no requicrc el concept0 dc Ilmite. Pcro, como el campo F es arbitrario, podcmos espcrar quc pasen algunas cosas cxtra2las. Por cjemplo, si F a dc caracterletica p 0 la derivada dcl polinomio x' cs pxn-' = 0. As1 pucs, el resultado com6n del d c u l o dc quc un polinomio cuya derivada cs cero dcbc ser una constante, no sigve sicndo vuido. Pcro si la caracterlstica de F c s 0 y sif'(x) = 0 para f ( x ) ~ F [ xcr ] cicrto que f(x) = a € F el problcma 1). Incluso cuando la caractcrlstica dc F cs p # 0 podemos a h describir lor polinomios con derivada a r o ; si f'(x) = 0 entonas f(x) cs un polinomio en xp (vhrie el problcma 2). Probarnor ahora la8 anAlogas dc las rcglas formaks dc difmciaci6n quc tan bien conocemos.

+

case

LEMA 5.5. PWQ ~ l e s q u i e r a f ( x )g, ( x ) € q x ] y ~ l q u i c ~r E F

1) Cf(4 +g(x))' = f'(4 + g ' ( x ) ; 2) (af(x))' = aY(x); J) Cf(x)g(x))' f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

-

Prueba. Las pruebas dc las partcs (1) y (2) son extraordiumiimcnte feciles y se dqan como cjercicio. Para probar la partc (3) n6tcsc quc, & acuerdo w n la8 part- (1) y (2), cs suficicntc probarla en el caso muy espcial A x ) = X I y g ( x ) = xJ dondc tanto i wmo j son positives. Pcro mtonccs f(x)g(x) = x"', dc dondc Cf(x)g(x))' = ( i + j ) x'+'-'; pcro f'(x)g(x) = i 2 - l x J = ~ . + J - I y f(x)g'(x) = jx'xJ-' = jx'+I-'; dc don&, en consrmcnaa, f '(x)g(x)+f(x)gl(x)= (l+j)x'+'-' = Cf(x)g(x))'.

16.

MAS ACERCA OE RAICES

116

Rccutrdcsc que en el c4lculo elemental sc mucstra la cquivalcncia cntrc la cxistencia dc una raiz multiple dc una funci6n y la anulaci6n simultanca de la funci6n y su derivada en un punto dado. lncluso dcntro dc nucstro actual rnarco, en el quc Fcsun carnpo arbitrario, existc una tal intcrrclaci6n.

LEMA 5.6. El polinomio f{x)eF[x] riene una raiz multiple si y sdlo si f(x) y f'(x) rienen un factor comun no rri13ial (es decir, de grado posiriro). Prueba. Antes dc probar el lcha, parecc adecuado quc hagamos obxrvar quc si f(x) y g(x) en fix] ticnen un factor cornin no trivial en K[x], para una K extension dc F, cntonces tienen un factor comun no trivial en F[x]. En efecto, si fucran primos relativos como clcmcntos en FIX],cntonccs podrlan mcontrarsc dos polinomios a(x) y b(x) en F[x] tales quc a(x)f(x)+ b(x)g(x) = 1. Como esta rclaci6n tambitn se vcrifica para cstos elcmmtos vistos como elernmtos dc K[x], deberlan ser tambitn primos rclativos en Kbl. Vamos ahora con el lcma. Dc la observacion quc acabamos dc haccr podcmos suponer, sin pCrdida dc generalidad, quc las ralccs dc f(x) sc cncuentran todas en F (dc otra manera extendemos F hasta K, el c a m p dc descomposici6n dc f(x)). Si f(x) ticnc urn raiz multiple a entones f(x) = (x-a)"q(x) donde m > I. Pcro, como puedc calcularx dc inmediato, ((x-a)")' = m(x-a)"- I , dc dondc, scgun el lcrna 5.5,f'(x) = (x-u)"q'(x) +m(x-a)*- ' q(x) = (x-a)r(x), ya quc rn > I . Pcro csto nos dice quc f(x) y f'(x) ticncn x-a como factor corntin, con lo quc el lcma queda probad0 en una direcci6n. Por otra partc, si f(x) no time ninguna raiz m6ltiplc, cntonccs f(x) = (x-(x-a)..(x-a), dondc las u , son todas distintas (estarnos suponiendo quc f(x) cs m6nico). Pcro cntonccs f'(x) = n

1 (x-a,)

...

I- I

(x-a,) . . . (x-a,) dondc la A detcrmina el ttrmino quc se ha suprimido. Afirrnamos quc ninguna raiz dc f(x) cs una raiz dc/'(x), pucs si/'(ai) = (a,-a,) # 0, ya quc las ralccs son todas distintas. Pcro si f(x) y /'(x)

n

J*I

ticnm un factor comun no trivial, tiencn una raiz comlin, a saber, cualquicr raiz dc cste factor comhn. El resultado ncto es que f(x) y /'(x) no ticncn ningun factor comun no trivial, con lo quc el lcrna ha sido probado en la otra dirccci6n. COROLARH) I . S i f ( x ) ~ F [ x ]es irreducible, enronces : 1 ) Si la caracferlsfiea de Fes 0,f(x) no tiene ralces rntikiple~. 2) Si la caracferlsrica de F es p # 0,f(x) Iiene una ralz mrilfiple sdlo si es & la f o r m f(x) = g(xp). Pruuba. Como f(x) cs irreducible, sus unicos factores en fix] son 1 y f(x). Si f(x) ticnc una ralz multiple, cntonccsf(x) y f'(x) ticnen un factor

228

CAMPOS

- Cap. 6

comun no trivial de acuerdo con el lema, de donde f ( x ) l f ' ( x ) . Pero c o r n el grado de f ' ( x ) es menor que el de f ( x ) , la unica forma posible de que eslo suceda es que f ' ( x ) sea 0. En caracterlstica 0 esto implica que f ( x ) es una constante, que no tiene ninguna ralz: cuando la caracteristica en p # 0, eslo obliga a que f ( x ) = g ( x p ) . Volveremos dentro de un momenlo a discutir las implicaciones del corolario I mas complftamente. Pero antes, para su posterior uso en el capitulo 7 en nuestro tratamiento de campos finitos, probaremos un caso mAs bien particular COROLAR~O 2. Si F eS Un campo de caracfer~sricap # 0, enfonees el polinomio xp" - X E ~ X ]riene, , para n 3 1 , raices disfinfas. Prueba. La derivada de x P " - x es p"xp"- ' - l = - 1, ya que F es de caracteristica p. Por tanto. x p - x y su derivada son ciertamente primos relativos, lo que, segrin el lema, implica que xp"-x no tiene raices multiples.

El corolario 1 no descarta la posibilidad de que en caracterlstica p # 0 un polinomio irreducible pueda tener raices multiples. Para &jar ideas, exhibimos un ejemplo en donde lo dicho es lo que realmente sucede. Sea F, un campo de caracteristica 2 y sea F = F,(x) el campo de las funciones rationales en x sobre F,. Afirmamos que el polinomio 1 ' - x en F[t] es irreducible sobre F y que sus raices son iguales. Para probar la irreducibilidad debemos demostrar que no hay ninguna f u n c i ~ nracional en F o ( x ) cuyo cuadrado sea x ; este es el contenido del problema 4. Para ver que r l - x tiene una raiz mliltiple, notese que su derivada (la derivada es con respecto a 1, pues x estando en F,se considera como una constante) es 21 = 0. Desde luego. el ejemplo anilogo funciona para cualquier caracteristica prima. Ahora que hemos visto que la posibilidad es una realidad, se sefiala una aguda diferencia entre 10s casos de caracteristica 0 y 10s de caracteristica p. La presencia de polinomios irreducibles con raices multiples en el ultimo caso, nos lleva hasla muchas sutilezas tan interesantes como complicadas. Su estudio requiere un tratamiento m b elaborado y sofisticado que preferimos evitar en esre nivel. Por ranto, para el resfo de esre caplfulo conrenimos en que fodos 10s campos que aparecen en el fexro propimenre dicho. son wmpos de ea?acferisrica 0.

D E F I N I C I ~LaNextensidn . Kde Fesunaexlensidn simple de F si K para al@n a en K.

=

F(%).

En caracteristica 0 (o en extensiones propiamenle condicionadas en caracterlstica p # 0; vkase problema 14) todas las extensiones finitas son realizables como extensiones simples. Este resultado es.eI

55,

MAS ACERCA D L RAICLS

227

TEOREMA S.P. Si F es de caracreristico 0 y si o y b son olgebroicor sobre F. enronces exisre un elemento csF(a, 6 ) rolque F(a, b) = F(c). Pruebo. Sean f ( x ) y g(x), de grados m y n, 10s polinomios irreducibles sobre F satisfechos por a y b respectivamente. Sea K una extension de F e n que lanto f ( x ) como g ( x ) se descomponen completamente. Como la caracteristica de F es 0 todas las raices de f ( x ) son distintas. y lo mismo ocurre con las de g(x). Sean las rakes de f ( x ) , a = a,. a,, ..., a. y las de g ( x ) . b = b , , b2. ..., 6,. Si j # I . entonces bj # b , = b. de donde la ecuacidn a,+&, = a , + i b , = o+i.b tiene solarnente una solucion 1en K , a saber,

/.. =-.0 1 - 0 b-b,

Como F es de caracteristica 0 tiene un numero infinito de elementos, de donde resulta que podemos encontrar un elemento y s F tal que a(+ ybj # o+gh para todo i y para toda j # I . Sea c = o+yb; nuestra tesis es que F(c) = F(o. b ) . Como csF(o, b) no hay duda de que F(c) c F(o. 6). Demostraremos que tanro o como b estan en F(c) de lo que se sigue que F(a, b) c F(cJ. Como h satisface al polinomio g ( x ) sobre F, lo satisface tambien mando lo constderamos un polinomio sobre K = F(c). Ademas, si h ( r ) = f(c- yx). entonces h ( x ) s K [ x ] y h ( h ) = f(c-;'b) = f(a) = 0, ya que o = c-76. Luego en una extension de K. h(x), y g ( x ) tienen x-h como factor comun. Aseguramos que x - b es, en realidad, su miximo comljn divisor. Pues si b, # b es otra raiz de g(.O, entonces h(bj) = f(c-yb,) = 0, ya que, por nuestra election de ;,, c - yb, para j # I esquiva todas las raices a j de f(x). Ademas, como (x-b)'.+'g(x), (x-b)' no puede dividir al maximo comun divisor de h ( x ) y g(x). Asi pues, x - b es el maximo comun divisor de h ( x ) y g ( x ) sobre alguna extension de K. Pero entonces rienen un meximo comun divisor no trivial sobre K , que debe ser un divisor de x-b. Como el grado de I - b es I, vemos que el maxim0 comun divisor de g ( x ) y h(x) en K [ x ] es exactamente x-b. Luego x - b ~ K [ x ] . de donde b e K : recordando que K F(c), obtenemos que beF(c). Como a = c-yb, y como b. CEF(C), ~ E cFF(c), tenemos que a ~ F ( c )de , donde F(a, b) c F(c). Las dos relaciones de contention opuestas nos dicen que F(a, b) = F(c).

Un s~mpleargument0 de inducci6n extiende el resultado de dos elemenros a cualquier numero finito, es decir, si a , . .... a, son algebraicor sobre F, entonces hay un elemento c e F ( z , , ...,.z,) tales que F(c) = F ( z , . .... z.). Luego el COROLARIO. Cualquier exrenridn .finira de un compo de caracrerisrica 0 er uno exrensidn simple.

1U1

UMPOS

-

I. Si F es de caracterlslica 0 y f ( x ) c F [ x ] es taI quef'lx) que f ( x ) a e F.

- Cap. 6

= 0, pmCbese

2. Si F es de caracterlstica p # 0 y si f ( x ) e F [ x ] es tal q u e f ' ( x ) = 0, prutbest quc A x ) = g(x7 para a l g h polinomio g ( x ) ~ F [ x ] .

3. PmCbese quc W x ) + g ( x ) ) ' p r a f ( x ) . g(x)eF[xI Y R E F .

-

f ' ( x ) + g ' ( x ) y quc (af(x))' = uf'(x)

4. Prutkse quc no hay ninguna funci6n racional en F(x) tal quc su cuadrado sea x.

5. ComplCtese h inducci6n nccesaria para establecer el corolario al tcorcma 5.p. Un elcmento a en una cxtensi6n K dc F se llama scparablc sobrc F si satisface un polinomio sobrc F quc no tienc ralccs multiples. Una cxtmsi6n K dc F se llama scparablc sobre F si todos SUP elementos son separables sobrc F. Un campo F st llama perfecto ai todas las cxtensiones finitas de F 'son separables. 6. Pruttme que cualquicr campo dc caractcristica 0 es perfecto.

7. a ) Si F cs dc caracterlstica p # 0 mukatrcse que para a , bcF, + b'". ( a + b)" = b ) Si F es de caracterlstica p f 0 y si K es una extension dc F, sea T = { n e K #.SF para algun n ) . PruCbese que Tes un subcampo de K.

8. Si K . 7, F son como en el problema 7(b), p d h c quc cualquier automofimo de K que dcja Ejos todos 10s clementos de F deja tambitn a o s todos 10s elementos de T. *9. Dcmutstrcsc que un carnpo F de caracterlstica p # 0 es perfecto si y 5610 ai para cualquier a e F podernos cncontrar un b e F tal que bp = a.

10. Usando el resultado del problema 9, pruCbtse que cualquicr campo h i t o es perfecto. **11. Si K es unn extensihdc F pru~btdeque el conjunto de elementos en K quc son separables sobrc Fforma un subcampo de K.

+

12. Si F es de caractcristica p 0 y si K es una extcnsih finita de F, pmCbese que dado a c K o d " c f p a r a algun n o podcrnos mcontrnr un entero m tal que a F + F y es separable sobre F.

13. Si K y F son como cn el problema 12, y si n i n d n clcmento que csth en K,per0 no en F, es separable sobre F,p d b e s t que dado ~ E podemos K encontrar un entero n. depcndimte de a, tal quetF.sF.-

10. ELEMENTOS DE U TEORIA DL OALDIS

119

14. Si K es una extensi6n h i t a y separable de F, pruCbese que K es una extensi6n simple de F.

IS. Si uno de lor elementos a o b es separable sobre F, pruCbesc que F(a, b) es una extmsi6n simple de F.

6. ELEMENTOS DE LA TEORh DE CALOlS

Dado un polinomio p(x) en FIX],el anillo de polinornios en x sobre F, asociaremos con p ( x ) un grupo al que llamaremos el grupo de Galois de p(x). Hay una relaci6n muy estrecha entrc la$ raices de un polinornio y su grupo de Galois; en realidad, el grupo de Galois resultark ser uncierto grupo de permutaciones de Ins ralocs del polinornio. Haremos un estudio de estas ideas en esta y las pr6ximas miones. lntroduciremos este grupo por medio del c a m p de descomposici6n de p(x) sobre F, quedando definido d grupo de Galois de p(x) como un cierto grupo de automorfismos de cste c a m p de descomposici6n. Es esta la raz6n de que en tantos de 10s teoremas que vamos ahora a ver nos ocupernos de 10s automor6smos de un campo. Entre 10s rubgrupos del grupo de Galois y 10s subcampos del campo dc descomposici6n, existe una hcrmosa dualidad que expresa el teorema fundamental de la teorla de Galois (tcorema 5.v). De esto derivarcmoa una condicidn para la solubilidad por medio de radicales de las ralces de un polinornio en tkrminos de la estructura algebraica de su grupo de Galois. De esta condici6n derivaremos, a su vez, el cllsico resultado de Abel sobre la no solubilidad por radicales del polinomio general de grado 5. Durante el proceso derivaremos, tambitn, como resultados colaterales, teoremas que, de por sl, son de gran interhs. Uno de ellos sera el teorema fundamental sobre funciones simhtricas. Nuestro enfoque del tema st basa en el tratamiento dado por Artin. RecuCrdese que estamos suponiendo que todos nuestros campos son de caracterlstica 0, de donde resulta que podemos haccr Cy haremos) libre uso del toorema 5.p y su corolario. Por un automorjsmo del campo K entenderemos, como es comln, una aplicaci6n a de K sobre sf mismo tal que a(a+b) ; .a(a)+a(b) y a(&) = a(a)a(b) para (I,beKcualesquiera. Dos automorfismos o y r de Ksedia que son distintos si #(a) Z r(a) para a1 menos un elemento a€K. Comenzamos con el aiguiente

TEOREMA 5 . ~ .Si K es un mmpo y si a , , ..., omson disrintos ouromorfismos de K, enlonces es imposible enconrrar elemenros a , , ..., am,no rectos 0. en K, ralesquea,a,(u)+a,a,(u)+ ... +ama.(u) = Opararodo UEK.

-

Prueba. Supongamos que pudikramos encontrar un conjunto de eiemen10s a , , .... a, en K, no todos ccro, tales que a,a,(u)+ ... +4o,(u) 0

I30

CAMPOS

- Cmp. 6

para todo UEK. Enlonces podriamos encontrar una relacion la1 que tuviera tan pocos terminos como fuera posible; renumerando, si fuera preciso. podemos suponer que esta relacibn minima es donde a,, . ..,a, son todos diferentes de 0. Si m fuera igual a I enlonces a, ol (u) = 0 para todo UEK, lo que nos llevaria a a, = 0, en coptra de lo supuesto. Podemos, pues, suponer que 1)r > I. Como 10s automorfismos son distintos hay un elemento C E K tal que o, (c) # o.(r). Como cue K para todo ueK, la relacion ( I ) debe tambikn verificarse para cu, es decir, a,o, (cu)+a,o,(cu)+ ... +a,o.(cu) =0 para todo UEK. Usando la hipdtesis de que las o son automorfismos de K. esta relacion toma l a forma

Multiplicando la relacion ( I ) por a,(c) y restando el resultado de (2) obtenemos Si hacemos b, = a,(o,(c)-o,(c)) para i = 2, ..., m. entonces 10s b, estanenK,bm=a.(o.(c)-o,(c))#O,yaqueam#O,yom(c)-al(c)#0, aunque b,02 (u)+ ... + b,o,(c) = 0 para todo ucK. Esto produce una relaci611mas corta, en contra de la elcccion quc hicimos: luego el teorema esta probado. DEFINICION. S i C es un grupo de automorfismos de K, entonces el campojjo de Ges e l conjunto de todos 10s elementos aeKtales que o(a) = a para lodo aeG.

N6tese que esta definicibn time sentido, incluso s i G no es un grupo, sino simplemente un conjunto de automorfismos de K. Pero el campo fijo de un conjunto de automorfismos y el del grupo de automorfismos generado por esle conjunto (en el grupo de todos 10s automorfismos de K ) son iguales (problema I), de donde nada perdemos por definir el concept0 solo para grupos de automorfismos. Ademas. unicamente estaremos interesados en 10s campos fijos de grupos de automorfismos. Habiendo llamado en la anterior definicion eampo fijo de C a1 conjunto que alli se define, seria agradable comprobar que la terminologia empleada en este caso es en verdad exacta. Es lo que nos dice el

Prueba. Sean a, b elementos del campo fijo de G. Para todo ofG, tenemos, pues. o(a) = a y a(b) = b. Pero entonccs- o(af b) = o(a)f

5 6.

ELEMEHTOS DE U TEORIA DE GALOIS

231

a(b) = a k b , y dc la misma forma, a(ab) = a(a)a(b) = ab; de donde a+b y ab estiin tambien en el campo fijo de G. Si b # 0,entonces a ( b - ' ) = a(b)- ' = b- ', de donde b- ' tambien se encuentra en el campo fijo de G. Luego hernos verificado que el campo fijo de G es, ciertamente, un subcampo de K. Nos ocuparemos de 10s automorhsmos de un campo que se comportan de una forma determinada sobre un subcampo dado.

DEFINICI~N. Sea K un campo y sea F u n subcampo de K. Entoncn, el grupo de aulomorfrsmos de K relalivos a F, que representaremos por G(K, F), es el conjunto de todos 10s automorfismos de K que dejan fijos todos 10s elementos de F; es decir, el automorfisrno a dc K cstii en G(K, F ) si y 8610 si a(a) = a para todo LIEF. Noes sorprendente, y es muy fhcil de probar, el siguicnte LEMA5.8 G(K, F ) es un svbgrupo del grupo de lodos 10s oulomorfismos de K. Dejamos la pmeba de este lema a1 lector. Una observaci6n : K contiene el campo de 10s ninneros racionales F,, ya que K es de caracteristica 0 y es facil ver que el campo fijo de cualquier grupo dc automofismos de K , siendo un campo, debe contcncr a F,. De aqui quc todo numcro racional permanece fijo en todo automorhsmo de K. Hacemos una pausa para examinar unoscuantos ejemplos de 10s conceptos que acabamos de presentar.

EJEMPLO I . Sea K el campo de 10s n h e r o s complejos y sea F el campo de 10s numeros reales. Calculamos G(K, F). Si a es un automorfismo cualquiera de K, como i' = - 1 , a(i)' = a ( i 2 ) = a ( - 1) = - I , de dondc a(i)+ k i . Si, ademh, a deja fijos a todos 10s reales, entonces para cualquier a+bi donde a y b son reales. a(a+bi) = a(a)+a(b)j = a f bi. Cada una de estas posibilidades, es decir, la aplicaci6n a , (a+ bi) = a+ bi y a , (a+ bi) = a-bi define un automofimo de K ; a , es el automorfismo identidad y a , La conjugation compleja. Asi pues, G(K, F)es un grupo de orden 2. LCuhl es el campo fijo de G(K, F)? Debe, ciertamente, contener a F, Lpero contiene algo miis? Si a + bi estii en el campo fijo de G ( K , F) entonces a+bi = a,(a+ bi) = a - bi de donde b = 0 y a = a+ b i ~ F .En este caso vemos que el campo fijo de G(K, F)es precisamente el mismo F. E J E M P2.~ Sea F, el campo de 10s numeros racionales y sea K = F o ( g ) donde $2 es la ralz cubica real de 2. Todo elemento en K es de la forma a,+a, $?+a,(p)' donde a,, a, y a, son n6meros racionales. Si.0 es un

232

CAMPOS

-

Cap. 6

automorfismo dc K, cntonces a( 5.

Prueba. Si G = S n , segdn el lema 5.1 1, G'" contiene todos 10s ciclos de orden 3 de Sn para todo k . Por tanto, G") # ( e ) para toda k , de donde de acuerdo con el lema 5.10 G no puede ser soluble. lnterrelacionamos ahora la solubilidad por radicales de p ( x ) con la solubilidad como grupo del grupo de Galois de p(x). La misma terminologia es altamente sugestiva de que una tal relacion existe. Pero primero necesitamos un resultado acerca del grupo de Galois de un cierto tipo de polinomio. LEMA5.12. Supongamos que el campo F tenga todas las raices n-himas de la unidad (para un cierto determinado n ) y supongamos que a #O estci en F. Sea 2 - a € F[x]y sea K su campo de descomposicidn sobre F. Entonces:

1) K = F(u), donde u es cualquier raiz de 2 -a. 2) El grupo de Galois de 2 - a sobre F es abeliano. Prueba. Como F contiene a todas las raices n-tsimas de la unidad, contiene t = eZni1";notese que tn= 1 pero tm# I para 0 c m c n. Si u~ K es cualquier raiz de x"-a, entonces u, t u , t 2u, ..., r"- u son todas las raices de 2 - a . Que son raices, es evidente; que son distintas se sigue de que si t i u = t i u con 0 < i cj< n, entonces como u # 0 y (ti-t j ) u = 0, debemos tener ti = ti,lo que es imposible ya que ti-' = 1 con 0

M,,

... > n r y d o n d e n , + n 2 + ... +nr

= dim, V.

Prueba. La prueba sera un poco detallada, de mod0 que a1 hacerla separaremos algunas sus de partes como lemas.

TRANSFORMACIONES LINEALES

290

'

- Cap. 6

Como T n l = 0 pero T n l - # 0, podemos encontrar un vector L'E V O . Asl pues, hay un linico conjunto de enteros n, k n, ... k n, tal que V es la suma directa de subespacios clclicos con respecto a T y de dimensiones n,, n,, ....n,. Es decir. hemos demosrrado que 10s invariantes de T son linicos.

Matricialmente, el argument0 que acabambs de mostrar ha probado que si n, 2 n, 2 ... 2 n, y m, 2 m, 2 ... 2 m,, entonces las matrices

son semejantes solamente si r = s y n, = m, , n, = m,, ...,n, = m,. Hasta el momento hemos probado la mitad mis dificil del TEOREMA 6 . DOS ~ transformaciones Iineales nilpotentes son semejantes si y so'lo si tienen las mismas uariantes.

Prueba. La discusi6n que precede al teorema ha demostrado que si dos transformaciones lineales nilpotentes tienen diferentes invariantes, entonces no pueden ser semejantes, pues sus respectivas matrices

no pueden ser semejantes. Pasemos a comprobar la parte del teorema en la otra diteccibn. Si las dos transformaciones lineales nilpotentes S y T tienen 10s mismos invariantes n, 2 ... 2 n,, pot el teorema 6.1 hay bases v , , ..., u,, y w,, ..., w,, de V tales que la matriz de S en u,, ..., L;, y la de T en w , , ..., wn son, ambas, iguales a

Pero si A es la transformaci6n lineal definida sobre V por u,A = w i , entonces S = A,TA-' (iprudbese!, comphrese con el problema 32 al final de la secci6n 3), de donde S y T son semejhntes. Calculemos un ejemplo. Supongamos que

TRANSFORMACIONES LINEALES - C ~ D 6

2 94

act~iasobre F, con base u , = (1,0, O), u, = (0. 1, 0) y u, = (0,0, 1). Sea L;, = U , ,o2 = U , T = u2 +-u,, o, = U, ; en la base u, , u,, o, la matriz de Tes

de forma que 10s invariantes de T son 2, 1. Si A es la matriz del cambio de base, es decir

un simple calculo muestra que

ATA-' =

%la

o o o .

Una observacion final: 10s invariantes de T determinan una particion de

...

n, la dimension de V. Reciprocamente, una particion de n, n , 2 n,, n , +n, +n, = n, determina 10s invariantes de la transformacion lineal

+ ...

nilpotente

As; pues, el nljmero de clases distintas de semejanza de /as matrices nilpotentes n x n es precisamente p(n), el nljmero de particiones de n.

6. FORMAS CANONICAS. UNA DESCOMPOSlClON DE V : FORMA DE JORDAN

Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre F y sea Tun elemento arbitrario de A,(V.). Supongamos que V , es un subespacio de V invariante bajo T. Por tanto, T induce una transformacion lineal TI sobre V , definida por u T , = uT para toda U E V , . Dado un polinomio cualquiera p ( x ) ~ F [ x ] . afirmamos que la transformacion lineal inducida por q(T) sobre V , es precisamente q(T,). (La prueba de esto se deja como ejercicio.) En par-

16.

FORMAS CANONICAS. U N A DESCOMPOSICION DE V: FORMA DE JORDAN

295

ticular, si q ( T ) = 0, entonces q ( T , ) = 0. Asi pues, T I satisface cualquier polinomio satisfecho por T sobre F. i Q u t podemos decir en la direccion opuesta ? LEMA 6.12. Supongamos que V = V ,@ V, donde V , y V, son subespacios de V inuariantes bajo T. Sean T , y T , las transformaciones lineales inducidas por T sobre V , y V,, respectivamente. Si el polinomio minimo de T I sohre F es p, ( x )mientras que el de T2 es p2 (x),entonces el polinomio minimo pura T sobre F es el minimo comlin mljltiplo de p,(x) y p, (x). Prueba. Si p(x) es el polinomio minimo para T sobre F, como hemos visto antes, tanto p ( T l ) como p(T,) son cero, de donde p , ( x ) ( p ( x ) y p,(x) ( p(x). Pero entonces el minimo comlin multiplo de p, ( x ) y p,(x) debe tambitn dividir a p(x). Por otra parte, si q(x) es el minimo comun multiplo de p, ( x ) y p,(x), consideremos q(T). Para r , E V , , como p, ( x ) q(x),v, q ( T ) = r , q ( T l )= 0; analogamente, para r , E V,, r,q(T) = 0. Dada cualquier r e V, r puede escribirse como r = L:, + v2 donde L?, l V , y L',EV 2 , en consecuencia de lo ) O.Asi pues, q ( T ) = 0 y T cual rq(T) = ( r ,+r,)q(T) = v I q ( T ) + v 2 q ( T = satisface q(x). Combinado con el resultado del primer parrafo, esto nos da el lema.

I

COROLARIO. Si V = V I @... @ V k , donde todo Vi es invariante bajo T y si pi ( x )es polinomio minimo sobre F de T i , la transformacibn lineal inducida por T sobre V i , entonces el polinomio minimo de T sobre F es el minimo comun multiplo de p, ( x ) ,p2 ( x ) ,...,pk (x). Dejamos la prueba del corolario al lector. Sea T E A , ( V ) y supongamos que p(x) en F[x]es el polinomio minimo de T sobre F. Seglin lema 3.21, podemos factorizar p(x) en F[x]en forma linica como p(x) = q , (x)" q2(x)12... qk(x)Ik,donde 10s q,(x) son polinomios irreducibles distintos en Fix] y donde I , , I,, ..., Ik son enteros positivos. Nuestro objetivo es descomponer V en suma directa de subespacios invariantes bajo T tales que sobre cada uno de Cstos la transformaci6n lineal inducida por Ttiene como polinomio minimo una potencia de un polinomio irreducible . Si k = I, V mismo sirve a nuestro propcjsito. Supongamos pues q u e k > 1. Sea V , = { r e v oq, (T)I1= 0}, V, = { V E v vq,(T)12 = 0}, ..., Vk = { V E V rqk(T)Ik= 0). Es una trivialidad que cada Vi es un subespacio de V. AdemPs, Vi es invariante bajo T, pues si U E V i , como T y q,(T) conmutan, ( u ~ ) q , ( T )= " (uqi(T)ll)T = OT = 0 . Por la definicion de Vi esto sitlia a uT en Vi. Sea Ti la transformaci6n lineal inducida por T sobre Vi.

I

1

TEOREMA~.N. Paracadai = 1,2, ..,k,Vi # ( 0 ) y V = V,@V,@ Vk.Elpolinomio minimo de Tl es qi{x)lr.

... @

-

296

TRANSFORMACIONES LINEALES

- Csp. 6

Prueba. Si k = I entonces V = V, y no hay nada que necesite probarse. Supongamos entonces que k > I . Primero necesitamos probar que todo Vi # (0). Con este fin introducimos 10s k polinomios: ~ I ( X )=

4 2 ( ~ ) ' ~ q 3 ( ~ )4r(x)Ik, I'...

Como k > I . li;(x) # p(x). de donde hi(T) # 0. Asi pues, dada i, hay un 1.e V tal que 11. = rlii(T) # 0. Pero u9qi(T)" = r(hi(T)qi(T)'i)= rp(T) = 0. En consecuencia, 1 ~ '# 0 esta en Vi y por tanto Vi # (0). En realidad hemos demostrado un poco mas, a saber, que VIii(T) # (0) esta en V,. Otra observacion acerca de /ii(x) viene ahora a cuento, si Vj para j # i, como qj(x)'j lii(x).rilli( T) = 0. Los polinomios lii(x). /12(x),. .., lik(x)son primos relativos. (ipruebese!) De aqui que segun el lema 3.20 podemos encontrar polinomios a , (x), ..., a,(.u) en F[x] tales que a , (x)h,(x)+ ... +a,(x)h,(x) = I . De donde tenemos. a,(T)Ii,(T)+ ... +&(T)h,(T) = 1, de donde, dado r e v , r = 1.1 = i ( a , (T)li,(T)+... +ak(T)Ilk(T))= ra, ( T ) h , ( T ) +... +rak(T)hk(T). Ahora bien, cada rai(T)Iii(T)esta en VIi,(T), y como hemos probado anteriormente que VIii(T)c V,, hemos demostrado ahora LI como o = I., ... +r, , donde cada r i = [.ai(T)hi(T) esd en Vi. Luego V = V, v2+ ... v,. Debemos ahora verificar que esta suma es una suma directa. Para mostrar esto es suficiente probar que si ui+u2+ ... +uk = 0 con cada uie V,, entonces cada ui ='O. Supongamos, pues, que u, + u, + ... + u, = 0 y que algun ui, digamos u, , no es 0. Multipliquemos esta relacion por h, (T); obtenemos u, h, ( T ) + ... +u,Ii, ( T ) = Oh,(T) = 0. Ademas. ujh,(T) = 0 paraj # 1 yaqueujeVj; laecuacion sereduceasiau,h,(T)= 0. Pero u,q,(T)" = 0 y como 11,(x) y q,(x) son primos relativos, esto implica que u, = 0 (ipruebese!), lo que es, desde luego, incompatible con la hipotesis de que u, # 0. Hasta el momento hemos conseguido probar que v = V,$V,@ ... @V,. Para completar la prueba del teorema debemos todavia probar que el polinomio minimo de Ti sobre Vi es q(x)';. Por la definicion de V,. como Viqi(T)li = 0, qi(Ti)li= 0, de donde la ecuacion minima de Ti debe ser un divisor de qi(x)Ii, luego de la forma q,(x)fi con f i 0 solamente si z = 0.

(A (A

;)

satisface

;)

satisface

302

TRANSFORMACIONES LINEALES

- Cap. 6

12. Encuentrense todas las formas de Jordan posibles para: a ) todas las matrices 8 x 8 que tienen x2(xcomo polinomio minimo: h ) todas las matrices IOx 10 sobre un campo de caracteristica diferente de 2, que tiene x 2 ( x - I)'(x+ I ) 3 como polinomio nlinimo.

13. Pruebese que la matriz n x n

es semejante a

si la caracteristica de F es 0 o si es p y p t n. ;CuBI es la multiplicidad de 0 como raiz caracteristica de A ? Una rnatriz A = (aij) se dice que es una matriz diagonal si a,, = 0 para i # j , es decir, si todas las entradas aparte de las de la diagonal principal son 0. Una matriz, o transformacidn lineal, se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal (tiene una base en la que su matriz es diagonal).

-

*14. Si T esta en A(V) entonces T es diagonalizable (si todas sus raices caracteristicas estan en F) si y solo si siempre que v(T-A)'" = 0, para L'E V y A E F, entonces u(T- A) = 0.

15. Usando el resultado del problema 14, prutbese que si E2 = E entonces E es diagonalizable.

16. Si E2 = E y F Z = F prutbese que son semejantes si y s61o si tienen el mismo rango.

17. Si la multiplicidad de cada una de las raices caracteristicas de T es 1, y si todas las raices caracteristicas de T esthn en F, prukbese que T es diagonalizable sobre F. *18. Si la caracteristica de F es 0 y si TEA (; V) satisface Tm = I , prukbese que si las raices caracteristicas de T estan en F entonces T es diagonalizable. (Sugerencia: usese la forma de Jordan de T.)

17.

FORMAS CANONICAS: FORMA CANONICA RACIONAL

303

*19. Si A , B E F son diagonalizables y si conmutan, pruebese que hay un elemento C EF,, tal que tanto C A C - ' como C B C - ' son diagonales.

20. Pruebese que el resultado del problema 19 es falso si A y B no conmutan.

7. FORMAS CANONICAS:FORMA

CANONICARACIONAL

La forma de Jordan es la mas comunmente usada para probar teoremas acerca de las transformaciones lineales y las matrices. Desgraciadamente tiene un serio inconveniente en 10s requerimientos que impone sobre la localizacion de las raices caracteristicas. Es cierto que si T E A , ( V ) (o AE F,,) no tiene sus raices caracteristicas en F, no tenemos mas que ir a una extension finita K de F en que todas las raices caracteristicas de T se encuentran y luego llevan T a su forma de Jordan sobre K . En realidad, este es un procedimiento operativo estandar; pero prueba resultados en K,, no en F,,. Muy a menudo el resultado en F,, puede deducirse del resultado en K,,, pero hay muchas ocasiones en que despuks que un resultado se ha establecido para AEF,, considerado como un elemento en K,, , no podemos volver de K, para obtener la informaci6n deseada en F,, . Asi pues, necesitamos alguna forma canonica para elementos en A , ( V ) (o en F,,) que no presupongan nada sobre la locaiizacion de las raices caracteristicas de sus elementos, una forma canonica y un conjunto de invariantes creados en A , ( V ) mismo usando solamente sus elementos y operaciones. La forma candnica rational, que describimos a continuacion en el teorema 6.q y su corolario, es una forma canonica de tal tipo. Sea T EA F ( V ) ;por medio de,T nos proponemos hacer de V un modulo sobre F [ x ] ,el anillo de 10s polinomios en x sobre F. Hacemos esto definiendo para cualquier polinomio , f ( x ) en F [ x ] , y cualquier ~ E Vf (, x ) r = l : f ( T ) . Dejamos la verification al lector de que, bajo esta definicion de multiplicacion de elementos de V por elementos de F [ x ] , V se hace un F[x]-modulo. Como V es de dimension finita sobre F, esta finitamente generado sobre F, luego tanto mas sobre F [ x ] que contiene a F. Ademas. F [ x ] es un anillo euclidiano; luego como un modulo finitamente generado sobre F [ x ] , por el teorema 4.j, V es la suma directa de un numero finito de submodulos ciclicos. Por la misma forma en que hemos introducido la estructura de modulo sobre V , cada uno de estos submodulos ciclicos es invariante bajo T ; ademas, hay un elemento m,, en un tal submodulo M, tal que todo elemento m en M es de la forma m = m, f ( T ) para algun f ( x ) ~ F [ x ] . Para determinar la naturaleza de T sobre V sera, por tanto, bastante para nosotros conocer como parece T sobre un subm6dulo ciclico. Es esto precisamente lo que intentamos determinar. Pero efectuemos primero una descomposicion preliminar de -Y, como

TRANSFORMACIONES LINEALES - C ~ D6.

304

hicimos en el teorema 6.n, de acuerdo con la descomposicion del polinomio minimo de T como product0 de polinomios irreducibles. Sea el polinomio minimo p ( x ) de T sobre F , p ( x ) = q , ( x ) " ... q,(x)'* donde 10s q i ( x ) son polinomios irreducibles distintos en F [ x ] y donde cada ei > 0; entonces, como vimos en el teorema 6.n, V = V , @ V,@ ...@ V, donde cada Vi es invariante bajo T y donde el polinomio minimo de T sobre Vi es q,(x)". Para resolver la naturaleza de un subm6dulo ciclico para un Tarbitrario vemos, por esta discusion. que es suficiente establecerla para un Tcuyo polinomio minimo sea una potencia de uno irreducible. Probamos el

LEMA6.1 3. Supongamos que T , en A ,( V ) , tiene como polinomio minimo sobre F el polinomio p ( x ) = y o y x ... yr- x r - xr. Supongamos, ademas, que V como mddulo (de acuerdo con lo antes descrito). es un mddulo ciclico (es decir, es ciclico respecto a T ) . Entonces hay una base de V sobre F tat que, en esta base, la matriz de T es

+ , +

+ ,

'+

Prueba. Como V es ciclico respecto a T , existe un vector r en V tal que todo elemento w en Ves de la forma w = 13f(T) para alglin,f(x) en F [ x ] . Ahora bien, si para algun polinomio s ( x ) en F [ x ] , v s ( T ) = 0,entonces ) l l s ( T ) j ' ( T ) = 0;luego s ( T ) para cualquier w en V, w s ( T ) = ( ~ l f ' ( T ) ) s ( T= aniquila a todo V y, por tan@, s ( T ) = 0. Pero entonces p ( x ) l s ( x ) ya que p ( x ) es el polinomio minimo de T . Esta observacion implica de inmediato que v, vT, c T * , ..., pTr- son linealmente independientes sobre F, pues si asi no fuera, entonces a, r + a , P T + . .. + a r - , v T ' - = 0 con a,, .. ., aren F. Pero entonces u(a, + a , T + . . . + a r - , T r - ') = 0,y de aqui, seglin la anterior discusion, p(x)l (*,+a, x + . .. + a r - , x r - I ) , lo que es imposible ya que p ( x ) es de grado r salvo si a, = a , = .. . = a,-, = 0. Como T' = - yo- y , T - ... I- y r - , T r - I , es inmediato que Tr+', para k >, 0,es una combinacion lineal de I, T , ..., T r - ' y, por tanto, que f ( T ) para cualquier f ( x ) F~[ x ] , es una combinacion lineal de I, T , ..., T r sobre F. Como cualquier w en V es de la forma w = vf(T) tenemos que w es una combinacion lineal de v, 17T, . .., v T r - I . Hemos probado, en 10s liltimos dos parrafos, que 10s elementos u, vT, ..., ' forman una base de V sobre F. En esta base, como puede verificarse de inmediato, la matriz de T es exactamente como afirmibamos.

'

,

'

z l r -

5 7.

306

FORMAS CANONICAS: FORMA CANONICA RACIONAL

D E F I N I C ISi ~ Nf(x) . = yo+ y1 X + entonces la matriz r x r

... +y,-,

xr-' +xr

esth en F[x]

se llama matriz compaiiera de f (x). La representamos por CCf(x)). N6tese que el lema 6.13 dice que si V es ciclico respecto a T y si el polinomio minimo de T en F[x] es p(x), entonces para alguna base de V la matriz de T es C(p(x)). Nbtese, ademis que la rnatriz C(f(x)), para cualquier polinomio mdnico f (x) en F[x], satisface f (x) y tiene a f (x) como su polinomio minimo. (Vbase el problema 4 a1 final de esta seccidn; vbase tarnbibn el problema 29 a1 final de la secci6n 1.) Probamos ahora un importantisimo teorema. TEOREMA 6.~.Si T en A,(V) tiene un polinomio minimo p(x)= q(x)', donde q(x) es un polinomio mdnico irreducible en F[x], entonces puede encontrarse una base de V sobre Fen que la matriz de T sea de la forma

dondee = el > e,

... > e,.

Prueba. Puesto que V como modulo sobre F[x] esta finitarnente generado, y como F[x] es euclidiano, podemos descomponer V como V = V, @ ... @ V, donde.10~Vi son m6dulos ciclicos. Los Vi son, entonces, invariantes bajo T; si Ti es la transformaci6n lineal inducida por T sobre V,, su polinomio minimo debe ser un divisor de p(x) = q(x)', luego de la forma q ( ~ ) Podemos ~. reordenar 10s espacios de forma que el 2 e, 5 ... 2 e,. Ahora bien, q(T)" aniquila a cada Vi, de donde suprime a V, de donde q(T)"= 0. Luego el > e; como el es claramente cuando mas igual a e, tenemos que el = e. Se&n el lema 6.13, como cada Vi es ciclico respecto a T podemos encontrar una base tal que la matriz de la transformaci6n lineal de T, sobre V,

TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6

306

es C(q(x)".) Asi pues, segim el teorema 6.n, podemos encontrar una base d e V tal que la matriz de Ten esta base es

COROLARIO. Si T en A F ( V )tiene el polinomio minimo p(x) = q , (x)" ... qk(x)Iksobre F, donde q , ( x ) ,. .., q k ( x )son polinomios irreducibles distintos en F[x],entonces puede enconrrarse una base de V en la que la marriz de T sea de laforma

donde cada

Prueba. Por el teorema 6.1, V puede ser descompuesto en la suma directa V = V ,$ ... $ V,, donde cada Vi es invariante bajo T y donde el polinomio rninimo de T i , la transforrnacion lineal inducida por T sobre V i , es qi(x)". Usando el lema 6.7 y el teorema anterior, obtenemos el corolario. Si el grado de qi(x) es d,, notese que la suma de todos 10s dieij es n, la dimension de V sobre F. D E F I N I C ILa ~ Nmatriz . de T en el enunciado del corolario anterior se llama forma candnica racional de T. D E F I N I C ILOS ~ N .polinomios q,(x)"', q , (e)'12,..., q, (x)'~",...,q,(x)'*', en F[x]se llaman divisores elementales de T.

..., qk(x)"'"

iUna definition mhs!

5 7.

FORMAS CANONICAS: FORMA CANONICA RACIONAL

307

DEFINICION. Si dimF(V ) = n, entonces el polinomio caracteristico de T, pT(x),es el producto de sus divisores elementales. Podremos identificar el polinomio caracteristico que acabamos de definir con otro polinomio que construiremosexplicitamente en la secci6n 9. El polinomio caracteristicode Tes un polinomio de grado n que se encuentra en F[x]. Tiene muchas propiedades importantes, una de las cuales es la contenida en la siguiente

OBSERVAC~ON. Toda transformacidn lineal T e A F ( V ) satisface a su polinomio caracteristico. Toda raiz caracteristica de T es una raiz de pT(x). Nota 1. La primera parte de la anterior observacion es el enunciado de un teorema muy famoso, el reorema de Cayley-Hamilton. Pero llamarlo asi en la forma en que lo hemos expuesto resultaria un poco abusivo. El meollo del teorema de Cayley-Hamilton es el hecho de que T satisface pT(x) cuando a pT(x) se le da una forma concreta muy particular, fhcilmente construible partiendo de T. Pero incluso en la forma en que aparece, la observacion tiene un contenido bastante interesante, pues como el polinomio caracteristico es un polinomio de grado n, hemos probado que todo elemento de A F ( V )satisface un polinomio de grado n que se encuentra en F[x].Hasta ahora, solo habiamos probado esto (en el teorema 6. k) para transformaciones lineales que tenian todas sus raices caracteristicas en F. Nota 2. Tal como esta formulada, la segunda parte no dice nada, pues siempre que T satisface un polinomio, entonces toda raiz caracteristica de T satisface ese mismo polinomio; asi pues, p T ( x ) no seria nada especial si lo que se enuncia en el teorema fuera todo lo que es valido en 61. Pero la historia real es la siguiente: Toda raiz caracteristica de T es una raiz & pT(x), y reciprocamente, toda raiz de pT(x) es una raiz caracteristica de T ; ademas, la multiplicidad de cualquier raiz de pT(x),como una raiz del polinomio, es igual a su multiplicidad como raiz caructeristica de T. Podriamos probar lo dicho ahora, pero diferimos la prueba hasta mhs tarde, cuando seamos capaces de hacerla de una forma mas natural. Prueba de la observacrdn. Solamente tenemos que demostrar que T satisface a pT(x), pero esto es casi trivial. Como pT(x) es el producto de ql(x)CI1, q 1 ( ~ ) C ..., 1 2 ,qk(x)ckl,..., y como e l l = e , , e l l = e l , ...,ekl = e,, pT(x) es divisible por p(x) = q , (e)"'. . . q,(x)'*, el polinomio minimo de T. Como p ( T ) = 0 se sigue que p T ( T ) = 0. Hemos llamado a1 conjunto de 10s polinomios que aparecen en la forma racional can6nica de T 10s divisores elementales de T. Seria muy conveniente que Cstos determinasen una semejanza en A F ( V ) , pues entonces las clases de semejanza en A F ( V ) estarian en una correspondencia biyejctiva con

308

TRANSFORMACIONES LINEALES

- Cap. 6

conjuntos de polinomios en F[x].Nos proponemos hacer esto, per0 primer0 establecemos un resultado que implica que dos transformaciones lineales tienen 10s mismos divisores elementales. TEOREMA 6.R. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre F y supongamos que $ es un isomorfismo de. espacios uectoriales de V sobre W . Supongamos que S E AF( V) y T E AF ( W )son tales que para cualquier U E V, ( U S $ ) = (r$) T.) Entonces S y T tienen 10s mismos divisores elementales.

Prueba. Comenzamos con un simple chlculo. Si U E V, entonces (vS2)$ = ((cS)S ) $ = ( ( r S ) $ )T = ((c$) T )T = (u$) T 2 . ES claro que continuando anilogo proceso tendremos que (vSm)$= (v$)Tm para cualquier entero m k 0, de donde para cualquier polinomio f ( x ) ~ F [ xy]para cualquier V E V, ( ~ : f ( S ) )= (v*lf( T). Si f ( S ) = 0, entonces ( v $ ) f ( T ) = 0 para cualquier U E V y coma $ transforma V sobre W tendriamos que W f ( T ) = (0). a consecuencia de lo cual f ( T ) = 0. Reciprocamente, si g ( x )F[x] ~ es tal que g ( T ) = 0, entonces para cualquier r e V, (l.g(S)$ = 0 y como JI es un isomorfismo, esto nos dice que [g(S) ='O. Esto desde luego implica que g ( S ) = 0. Asi pues, S y T satisfacen el mismo conjunto de polinomios en F[x],de donde deben tener el mismo polinomio minimo

*

donde q , (x), ...,q k ( x )son polinomios irreducibles distintos en F[x]. Si U es un subespacio de V invariante bajo S, entonces U$ es un subespacio de W invariante bajo T , pues (U$)T = (US)$ c U$, Como U y U$ son isomorfos, el polinomio minimo de S , , la transformation lineal inducida por S sobre U es la misma, de acuerdo con las observaciones anteriores que el polinomio minimo de T I ,la transformacidn lineal inducida spbre U$ por T. Ahora bien, como el polinomio minimo para S sobre V es p(x) = q , (x)" ... q , ( ~ ) ' ~como , hemos visto en el teorema 6.q y su corolario, podemos tomar como el primer divisor elemental de S a1 polinomio 9 , (x)C1 y podemos encontrar un subespacio de V, de V que es invariante bajo S tal que : I ) V = V, @ M donde M es invariante bajo S ; 2) 10s unicos divisores elementales de S , , la transformaci6n lineal inducida sobre V, por S, esq, (x)C1; 3) 10s otros divisores elementales de S son 10s de la transformaci6n lineal S2 inducida por S sobre M.

Combinamos ahora las afirmaciones hechas anteriormente y afirmamos: 1 ) W = W ,8N donde W , = V, $ y N = M$ son invariantes bajo T.

5 7.

309

FORMAS CANONICAS: FORMA CANONICA RACIONAL

2) El unico divisor elemental de T,, la transformacion lineal inducida por T sobre W, es q, (x)" (que es un dirisor elemental de T ya que el polinomio minimo de T es p(x) = q, (x)" ... q,(x)'"). 3) Los otros divisores elementales de T son 10s de la transformaci6n lineal T, inducida por T sobre N.

Como N = M$, M y N son espacios vectoriales isomorfos sobre F bajo el isomorfismo $, inducido por $. Ademas, si U E M entonces (US,)$, = (US)$ = (u$) T = (u$,) T,, de donde S, y T, estan en la misma relacion con respecto a $, que S y T estaban respecto a $. Por induccion sobre la dimension (o repitiendo el argumento) S, y T, tienen 10s mismos divisores elementales. Pero como 10s divisores elementales de S son simplemente q1(x)'' y 10s de S, mientras que 10s de T son simplemente q, (x)" y 10s de T,, S y T deben tener 10s mismos divisores elementales, probando con ello el teorema. El teorema 6.q y su corolario nos dieron la forma canonica racional y 10s divisores elementales. Nos gustaria apurar un poco mas la situacion y ser capaces de afirmar alguna propiedad de unicidad. Es lo que hacemos en el TEOREMA 6.s. LOSelementos S y T en A,( Y) ion semejantes (en A ,( V)) si y sblo si tienen 10s misnlos dirisores elementales. Prueba. Probar esto es sencillo en una direccibn, pues supongamos que S y T tienen 10s mismos divisores elementales. Entonces hay dos bases de Y sobre F tales que la matriz de Sen la primera base es igual a la matriz de T en la segunda (y cada una de ellas igual a la matriz de forma racional canonica). Pero como ya hemos visto varias veces antes, esto implica que S y T son semejantes. Vamos ahora a ir en la otra direccion. Tambien aqui el argumento se asemeja estrechamente al usado en la seccion 5 en la prueba del teorema 6.m. Como alli fuimos muy cuidadosos con todos 10s detalles, creemos que aqui podemos permitirnos ser un poco mas esquemkicos. Observemos primero que en vista del teorema 6.n, podemos limitarnos al caso de la transformacion lineal cuyo polinomio minimo es una potencia de un polinomio irreducible. Asi pues, sin perdida de generalidad podemos suponer que el polinomio minimo de T es q(x)' donde q(x) es irreducible en F [ x ]y de grado d La forma canonica racional nos dice que podemos descomponer Yen la forma V = V , @ ...@ Vr donde 10s subespacios V i son invariantes bajo T y donde la transformacion lineal inducida por 7 sobre V i tiene como matriz C(q(xYi),la matriz compafiera de q(.u)". Suponemos que lo que realmente estamos intentando probar es lo siguiente: si V = U, @U,@ @Us donde 10s Uj son invariantes bajo T y donde la transformacion lined inducida

...

-

TRANSFORMACIONES LINEALES

310

- Cap. 6

por T sobre Uj tiene como matriz C(q(x)/j), f l 2 f22 .. . 2 1;. entonces r = s y e l = f,,el = ,/;, ..,,e, = f,. (Pruebese que la demostracion de esto es equivalente a la demostracion del teorema.) Supongamos entonces que tenemos las dos descomposiciones arriba descritas, V = V, $ . .. $ V, y V = U I Q . .. @U, y que algun ei ff J;. Entonces hay un primer entero m tal que em # ,fm mientras que e, = f,, .. ., em- = f m - , . Podemos suponer que em>.fm. Ahora bien, g(T)Imsuprime Urn,Urn+,, . .., U, ,de donde

,

Pero se puede demostrar que la dimensi6n de uiq(T)/" para i , < m es d(J.- fm) (iprudbese!), de donde

~ , . . $ . . . @ V , ~ ( T ) ~ " 'y como Por otra parte, V ~ ( T3) V,~ q(T)lm@ Viq(T)fmtiene dimension d(ei- fm) para i < m, tenemos que

Como e, = f , , ..., ern-, = f m - , y em>fm esto contradice la igualdad antes probada. Hemos, pues, probado el teorema.

COROLARIO 1 . Supongarnos que las dos matrices A y Ben Fnson semejantes en Kn donde K es una extensia'n de F. Entonces A y B son ya semejantes en Fn. Prueba. Supongamos que A, BEF, son tales que B = C - 'AC con CEK,. Consideramos a Kn como si actuara sobre K'"', el espacio vectorial de n-tuples sobre K. Asi pues, F'"' esth contenido en K'"' y aunque es un espacio vectorial sobre F no es un espacio vectorial sobre K. La imagen de F'"', en K'"', bajo C no necesariamente incidira de nueclo en F'"' per0 en cualquier caso F'"'C es un subconjunto de K'"' que es un espacio cectorial sobre F (pruebese). Sea V el espacio vectorial F'"' sobre F, W el espacio V r$ = LC.Ahora bien, A E A ~(V) y vectorial F'"'C sobre F y para ~ E sea &A,( W ) y para cualquier V, (rA)G = rAC = rCB = ( r $ ) B, de donde las condiciones del teorema 6.r se satisfacen. Asi pues, A y B tienen 10s mismos divisores elementales; de acuerdo con el teorema 6.s, A y B deben ser semejantes en F,. Una palabra de advertencia: el corolario no afirma que si A, BEF, son tales que B = C - ' AC son CEKn entonces C debe necesariamente estar en Fn;esto es falso. Lo que afirma simplemente es que si A, BEF, son tales que B = C - 'AC con CEK,, entonces existe un DEFn(posiblemente diferente a C) tal que B = D- 'AD.

5 7.

FORMAS

CANONICAS: FORMA CANONICA RACIONAL

311

'

Problemas 1. Verifiquese que V se hace un F[x] modulo bajo la definition dada.

2. En la prueba del teorema 6.s proporcionense demostraciones completas de todos 10s puntos en que se sefiala (prukbese).

*3. a) PruCbese que toda raiz del polinomio caracteristico de T es una raiz caracteristica de T. b) PruCbese que la multiplicidad de cualquier raiz de p,(x) es igual a su multiplicidad como una raiz caracteristica de T. 4. Pruebese que para f(x)€F[x], C(f(x)) satisface f(x) y tiene a f(x) como su polinomio minimo. iCual es su polinomio caracteristico?

5. Si F es el campo de 10s numeros racionales, encukntrense todas las formas canonicas racionales posiblzs y todos 10s divisores elementales para: a) Las matrices 6 x 6 en F, que tienen (x- 1) (x2+ 1)' como polinomio minimo. b) Las matrices 15 x 15 en F,, que tienen (x2+ X + 1)' (x3+ 2)' como polinomio minimo. c) Las matrices 10 x 10 en F,, 'que tienen (x2+ 1)' (x3+ 1) como polinomio minimo. 6. a) Si K es una extension de F y si A esta en K,, pruCbese que A puede escribirse como A = 1 , A , + ... + I , A , , donde A , , .., A, estiin en F, y donde A,, ..., 1 , estan en K y son linealmente independientes sobre F. b) Con igual notacion que en la parte (a), pruCbese que si BEF, es tal que AB = 0 entonces A , B = A , B = ... = A,B = 0. c) Si C en F, conmuta con A pruCbese que C conmuta con cada uno de 10s A , , A , , ..., A,.

.

*7,. Si A , , ..., A, esthn en F, y son tales que para ciertos I , , ..., I , en K , una extension de F, 1 , A , + ... + I k A k es invertible en K,, prutbese que si F tiene un nzimero injinito de elemenros podemos encontrar a , , ..., a, en F tales que a , A , + ... + a , A, es invertible en F,,.

*8. Si F es un campojinito, pruCbese que el resultado del problema 7 es falso.

*9: Usando 10s resultados de 10s problemas 6 (a) y 7, pruCbese que si F tiene un numero infinito de elementos entonces siempre que A, BEF, son semejantes en K,,, donde K es una extension de F, entonces son semejantes en F,,. (Esto nos da una prueba, independiente de las formas canonicas del corolario 1 a1 teorema 6.s en el caso particular en que F es un campo infinito.)

-

TRANSFORMACIONES LINEALES

31 2

- Cap. 6

10. Usando chlculos con matrices (pero siguiendo 10s lineamientos marcados en el problema 9), pruebese que si F es el campo de 10s numeros reales y K el de 10s nGmeros complejos, entonces dos elementos en F, que son semejantes en K, son ya semejantes en F,.

8. TRAZA Y TRANSPUESTA Desputs de la dificultosa marcha en las liltimas secciones, la falta de complicaciones del material sobre el que ahora vamos a tratar va a llegarnos como un agiadable respiro. Sea F un 'camp0 y A una matriz en Fn. DEFINICI~ LaNfraza . de A es la suma de 10s elementos de la diagonal principal de A. Representaremos a la traza de A por tr A; si A

=

(zij), entonces

n

Las propiedades fundamentales de la funcion traza estan contenidas en el LEMA 6.14. Para A, BEFnJ. ;.E F.

I ) tr (;.A) = i. tr A; 2) tr (A+B) = tr A+tr B; 3) tr (AB) = tr (BA). Prrreba. Establecer ( I ) y (2) (que aseguran que la traza es una funcional lineal en Fn)es sencillo y se deja como' ejercicio para el lector. Solamente presentamos la prueba de la parte (3) del lema. Si A =

(2,)

y B=

(fiij). entonces ne = (yij) donde

x

'iij =

aspkj Y

k= 1

n

BA = (lrij) donde pi, =

Bikzkj.

k= 1

Asi pues. (AB) = X y i i = i

x i

sumaci6n en la ultima suma, tenemos

; si intercambiamos el orden de

5 8.

TRAZA Y TRANSPUESTA

313

Prueba. Sea B = CA-I; entonces tr (ACA-I) tr (CA-'A) = tr C.

=

tr (AB) = tr (BA)

=

Este corolario es importante por dos razones; primere, nos permitira definir la traza de una transformacidn lineal arbitraria; segundo, nos permitiri encontrar una expresi6n alternativa para la traza de A.

DEFINICI~N. Si TEA(V) entonces tr T, la tram de T, es la traza de m , (T) donde m, (T) es la matriz de Ten una base cualquiera de V. Afirmamos que la definici6n tiene sentido y depende solamente de T y no de cual sea la base de V que se emplee. En efecto, si m , ( T ) y m,(T) son matrices semejantes, entonces, segun el corolario al lema 6.14, ambas tienen la misma traza.

LEMA6.1 5. Si TEA ( V), er1tonce.v tr T es la slrrna de las raices caracteri ticas de T (usando-cada raiz caracteristica tantas 1-eces como su niultiplicid d ) .

d

Prueha.' Podemos suponer que T es una matriz en F, ; si K es el campo de descomposici6n para el polinomio mininio de Tsobre F. entonces en K,, por el teorema 6.p, T puede llevarse a su forma de Jordan, J. J es una matriz sobre cuya diagonal aparecen las raices caracteristicas de T, cada raiz que aparece tantas veces como unidades tiene su multiplicidad. Asi pues, tr J = suma de las raices caracteristicas de T; per0 como J es de la forma ATA-I, tr J = tr T, y esto prueba el lema.

Si T es nilpotente, entonces todas sus raices caracteristicas son 0, de donde, de acuerdo con el lema 6.15, tr T = 0. Pero si T es nilpotente, entonces tambiCn lo son T2, T3, .. luego tr Ti = 0 para todo i 2 1. jY quC podemos decir en la otra direction, es decir, si tr Ti = 0, para i = 1, 2, ...?, jse sigue de ello que T es nilpotente? Con esta generalidad la contestaci6n es no, pues si F es un campo de caracteristica 2, entonces la matriz unidad

..

+

en F2tiene traza 0 (pues I I = 0)al igual que todas sus potencias. per0 es claro que la matriz unidad no es nilpotente. Pero si restringimos la caracteristica de F a 0,el resultado es verdaderamente cierto.

LEMA6.16. Si F es un campo de caracteristica 0 y si TcAF(V ) es fa1 que tr T'= 0 para totlo i 2 I . entonces T es nilpotente.

314

TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6

Prueba. Como TEA,(V), T satisface alglin polinomio minimo p(x) = x"'+a,xm-I+ ... + a r n ;comoTm+z,Tm-I+... +a,-, T+z, = 0, tomando trazas de ambos lados, tenemos tr T m + a , tr T m - ' + ... +a,-, tr T+trz, = 0. Pero por hipotesis, tr Ti = 0 para i 2 I, luego tenemos tr a, = 0; si dim V = n, tr a, = na,, de donde na, = 0. Pero la caracteristica de F es 0; luego n # 0, de donde se sigue que a, = 0. Como el termino constante del polinomio minimo de Tes 0, por el teorema 6.b Tes singular y por tanto 0 es una raiz caracteristica de T. Podemos considerar a T como una matriz en F, y, por tanto, tambikn como una matriz en K,, donde Kes una extension de Fque, a su vez, contiene todas las raices caracceristicas de T. En K,, seglin el teorema 6.j, podemos poner T en forma triangular, y como 0 es una raiz caracteristica de T, podemos realmente llevarla a la forma

donde

es una matriz (n- I) x (n- I) (10s * indican partes en cuyas entradas no estamos interesados). Ahora

de donde 0 = tr Tk = tr TZk.Luego T , es una matriz (n - I ) x (n- I ) con la propiedad de que tr TZk= 0 para todo k 2 1. 0 bien usando induccion sobre n, o repitiendo el argument0 sobre T, que usamos para T, tenemos, como a,, . . ., a, son las raices caracteristicas de T,, que a, = .,. = an = 0. Luego cuando T se pone en forma triangular todas sus entradas en la diagonal principal son 0, lo que implica que T sea nilpotente (prukbese). Este lema, aunque pueda parecer particular, nos servirh en una gran cantidad de casos. Hacemos uso inmediato de CI para probar un resultado usualmente conocido como el lema de Jacobson.

315

5 8. TRAZA Y TRANSPUESTA

LEMA6.17. Si F es de caracteristica 0 y si S y T, de A,(V), son tales que ST- T S conmuta con S, entonces ST- TS es nilpotente. Prueba. Para cualquier k >, I, calculamos (ST-TS)'. Ahora bien, (ST- TS)' = (ST- TS)'- (ST- T S ) = (ST- TS)k- ST-(ST- TS)'- TS. Como ST- TS conmuta con S, el termino (ST- TS)k- ST puede escribirse en la forma S((ST- TSlk- I ) T. Si hacemos B = (ST- TS)k- T vemos que (ST- TS)k = SB- BS; de donde tr ((ST- T S ) k )= tr (SB- BS) = tr (SB)tr (BS) = 0 seglin el lema 6.14. El lema anterior nos dice ahora que ST- T S

'

'

'

'

debe ser nilpotente. La traza nos provee de una funcional lineal sobre Fn (y, por tanto, sobre A,( V)) en F, extremadamente litil. lntroducimos ahora una importante transformaci6n de Fnen si mismo. DEFINICION. Si A = ( a i j ) €Fn,entonces la transpuesta de A, escrita como A', es la matriz A' = ( y i j ) donde y i j = a j i para todas las i y j. La transpuesta de A es la matriz que se obtiene intercambiahdo 10s renglones de A con las columnas de A. Las propiedades formales basicas de la transpuesta, estan contenidas en LEMA6.18. Para cualesquiera A, BEF, , 1 ) (A')' = A ; 2) ( A + B)' = A'+ B ' ; 3 ) (AB)' = B'A'. Prueba. Laspruebas de las partes (I) y (2) son muy sencillas y se dejan como ejercicio para el lector; nos contentamos nosotros con la prueba de la parte (3). Supongamos que A = ( a i j ) y B = ( B i j ) ; entonces AB = (Aij) donde

n

1 ajkPki.

Por tanto, por definition, (AB)' = ( p i j ) , donde p i j = ,Iji =

k=l

Por otra parte, A' = ( y i j ) donde y i j = a j i y B' = ( t i j ) donde n

de donde el elemento (i, j ) de B'A' es

jk

k= 1

n

n

1 t i k y k j = 1 Pkia k= l

t i j =p j i ,

=

1 a,ikPki= k= I

p i j . Es decir, (AB)' = B'A', con lo que hemos verificado la parte (3)del lema.

En la parte (3), si nos fijamos en el caso particular en que A; = B, obtenemos ( A 2 ) ' = (A')'. Continuando obtenemos (Ak)' = (A')k para todo entero positivo k. Cuando A es invertible, entonces ( A - I ) ' = (A_')- l .

.

316

TRANSFORMACIONES LINEALES

- Cap. 6

Existe otra propiedad de la transpuesta, a sab_er, si ;.EF entonces (;.A)' = AA' para toda AEF,,. Ahora bien, si AEF, satisface un polinomio r O A m + a, A m - ' ... +rm= 0, obtenemos ( r o A m +... +rm)' = 0' = 0. Calculando explicitamente ( r oAm ... r,)' usando las propiedades de la transpuesta, obtenemos ao(A ')"+a, (A1)"-' ... +rm= 0, es decir, A' satisface cualquier polinomio sobre F al que satisfaga A. Como A = (A')', por el mismo razonamiento, A satisface cualquier polinomio sobre F a1 que satisfaga A'. En particular, A y A' tiene el mismo polinomio minimo sobre F y, por tanto, tienen las misr?ias raices caracteristicas. Puede demostrarse que todas las raices tienen la misma multiplicidad en A que en A'. Esto es evidente una vez que se establece que A y A' son realmente semejantes (vCase el problema 14).

+

+

+

+

D E F I N I C ILa ~ Nmatriz . A se dice que es una matriz sir~iPtricasi A'

= A.

DEFINIC~ La~ Nmatriz . A se dice que es una matriz antisir?i&trica si A' = -A. 0

Cuando la caracteristica de F es 2, como I = - I. no podemos distinguir entre matrices simetricas y antisimetricas. Para lo q~reresta de esta seccidn, conrenkios de uria rez por todas que la caracteristica de F es dijkrente de 2. Tenemos procedimientos muy sencillos para producir matrices simetricas y matrices antisimetricas. Por ejemplo, si A es una matriz arbitraria, entonces A + A' es simttrica y A - A ' es antisimetrica. Si pensamos que vemos que toda matriz resulta ser la suma de A = f(A+A')+f(A-A'), una matriz simdtrica y otra antisimetrica. Esta descomposici6n es ~inica (vtase el problema 19). Otro metodo de producir matrices simttricas es el que sigue: s i A es una matriz arbitraria, entonces tanto AA' como A'A son simttricas. (N6tese que no tienen porqut ser iguales.) Esth en la naturaleza de todo matemhtico que, una vez que se ha dado un concepto interesante surgido de una situaci6n particular, ha de intentar despojarlo de las particularidades de su origen y emplear las propiedades claves del concepto como medio de hacerlo mhs abstracto. Procedemos a seguir tal camino con la transpuesta. Tomamos, como propiedades formales de mayor interes, aquellas que aparecen en el enunciado del lema 6.18 que afirma que sobre F,, la transpuesta define un antiautomorfismo de period0 2. Nos lleva esto a la siguiente

D E F I N ~ CUna ~~N aplicacion . de F,, en F, se llama adjunta sobre F,, si I ) (A*)* = A; 3) (A+B)* = A*+B*; 3) (AB)* = B*A*; para cualesquiera A, BEFn.

18.

317

TRAZA Y TRANSPUESTA

Notese en que no insistimos en que ().A)* = ;.A* para I EF. En realidad, en algunas de las adjuntas mas interesantes este no es el caso. Pasamos a discutir una tal. Sea F el campo de 10s numeros complejos; para A = ( r i j ) €F,,, sea A* = y i j ) donde y i j = ? i j i , el conjugado complejo de scij. En este caso * suele llanlarse adjunta liermitiana sobre F,,. Dentro de unas pocas secciones haremos u n estudio bastante extensivo de las matrices bajo la adjunta hermitiana. Todo lo que hemos dicho acerca de la transpuesta como, por ejemplo, 10s conceptos de simetria y antisimetria, puede ser aplicado a las adjuntas generales, y hablamos de elementos simetricos bajo * (es decir. de aquellos A tales que A* = A), de elementos antisimetricos bajo *, etc. En 10s ejercicios del final de esta seccion, hay muchos ejemplos y problemas que se refieren a adjuntas en general. Pero ahora, como diversion, juguemos un poco con la adjunta hermitiana. No llamamos a nada de lo que obtenemos un teorema, no porque no se. merezcan tal titulo, sino mas bien porque 10s volveremos a hacer mas tarde (y 10s designaremos entonces propiamente) partiendo de un punto de vista central. Asi pues, supongamos que F es el campo de 10s numeros complejos y que la adjunta * sobre F,, es la adjunta hermitiana. La matriz A se llama hermitiana si A" = A. Primera observacihn: si A # OEF,, entonces tr(AA*)>O. Segunda observacion : Como una consecuencia de la primera observacion, si A, , ..., A,EF,, y si A l A l * + A 2 A 2 * + ... +A,A,* = 0, entonces A, = A, = ... A, = 0. Tercera observacion: Si 1. es una matriz escalar, entonces I* = A. el conjugado complejo de 1.. Supongamos que AE F,, es hermitiana y que el numero complejo %+Pi. donde sc y p son reales e i 2 = - I , es una raiz caracteristica de A. Tenemos, pues, que A - (sc + Pi) no es invertible; pero entonces (A -(sc +Pi)) (A (%-Pi)) = (A -2)' + P 2 no es invertible. Pero si una matriz es singular debe eliminar una matriz distinta de cero (teorema 6.b, corolario 2). Debe P ~0.) Multiplihaber, por tanto, una matriz C # 0 tal que C ( ( A - C X ) ~ + = camos esto a la derecha por C* y obtenemos: C(A - r)' C*

+ P2 CC* = 0.

Sea D = C(A - 9 ) y E = PC. Como A* = Ayr es real, C(A - r ) ' C * = D D * ; como es real, P2CC* = EE*. Luego la ecuacion ( I ) toma la forma D D * + EE* = 0 ; por las observaciones antes hechas esto implica D = 0 y E = 0. Solamente vamos a usar la relacion E = 0. Como 0 = E = PC y como C # 0, debemos tener P = 0. ;Qut es exactamente lo que hemos probado? En realidad, hemos probado el bello e importanre resultado de que si Lrn nlitnero cotnplqjo .; es una raiz caracteristica de una matriz liermitiana. entonces .; debe ser real. Aprovechando las propiedades del campo de 10s

318

TRANSFORMACIONES LINEALES

- Cap. 6

n~imeros complejos se puede, realmente, reformular esto como sigue: Las raices caracteristicas de una matriz hermitiana son, todas, reales. Continuamos con esta vena un poco mAs adelante. Para A E F , , sea B = A A * ; B es una matriz hermitiana. Si el nlimero real a es una raiz caracteristica de B, ipuede a ser un numero real arbitrario o debe estar

restringido de algun modo? Afirmamos que a debe ser no negativo. Pues si a fuera negativo entonces a = - P 2 , donde P es un numero real. Pero entonces B-a = B+P' = AA*+P' no es invertible, de donde hay un C # 0 tat que C ( A A * + P 2 ) = 0. Multiplicando por C * a la derecha y razonando como anteriormente, tenemos p = 0, una contradiccion. Hemos demostrado que cualquier raiz caracteristica real de AA* debe ser no negativa. En realidad, lo de "real" en la anterior afirmacion es supeduo y podriamos decir: para cualquier A E F , todas las raices caracteristicas de AA* son no negativas. Problemas

1. PruCbese que tr ( A + B ) = tr A +tr B y que para AEF, tr (AA) = A tr A. 2. a ) Usando un argument0 basado en la traza pruebese que si la caracteristica de F es 0 entonces es imposible encontrar A, BEF, tales que AB- BA = 1. 6 ) En la parte (a), pruebese que en realidad 1 - ( A B - BA) no puede ser nilpotente. 3. a ) Sea f una funcion definida sobre F,, con valores en F tales que:

1) f ( A + B ) = f ( A ) + f ( B ) , 2 ) f ( W = Af(A), 3 ) f ( A B ) = f(BA), para todo A, BEF,, y para todo AEF. Prutbese que hay un elemento a , ~ F t a lque f ( A ) = a, tr A para todo A en F,. 6 ) Si la caracteristica de F es 0 y si la f de la parte ( a ) satisface la propiedad adicional de que f ( l ) = n, pruibese que f ( A ) = tr A para todo A E F,,. Notese que el problema 3 caracteriza la funci6n "traza". *4. a ) Si el campo F tiene un numero infinito de elementos, pruebese que todo elemento en F, puede escribirse como la suma de

matrices regulares. 6 ) Si F tiene un numero infinito de elementos y sif, definido sobre F, y con sus valores en F, satisface 1) f ( A + B ) = f ( A ) + f ( B ) , 2 ) f ( W = Af(A), 3) f ( B A B - = f(All

18. TRAZA Y TRANSPUESTA

31 9

para toda AEF,, I,EF y todo elemento invertible Ben F,, pruebese que f ( A ) = a, tr A para un ~ , E Fdeterminado y toda AEF,. 5. Pruebese que el lema de Jacobson para elementos A, B en F, si n es menor que la caracteristica de F. 6. a) Si CEF,, definamos la aplicacion dc sobre F, por d,(X) = XC- CX para coda XEF,. Pruebese que dc(XY) = (dc(X))Y+ X(dc(Y)). (;No le recuerda esto al lector la derivada?) 6) Usando la parte (a), pruebese que si AB- BA conmuta con A, entonces para cualquier polinomio q ( x ) ~ F [ x q(A)B], Bq(A) = q'(A) (AB- BA), donde q l ( x )es la derivada de q(x). *7. osese la parte (6) del problema 6 para dar una prueba del lema de Jacobson. (Sugerencia: Sea p(x) el polinomio minimo para A y co~~siderese 0 = p(A)B - Bp(A).) 8. a) Si A es una matriz triangular, pruibese que las entradas sobre la diagonal de A son exactamente todas las raices caracteristicas de A. 6) Si A es triangular y 10s elementos en su diagonal principal son 0, pruibese que A es nilpotente.

9. Para cualquier A, BEF, y LEF prudbese que (A')' = A, (A + B)' = A'+ B' y (IA)' = I A ' .

10. Si A es invertible, prutbese que ( A -

I)'

= (A')-

'.

11. Si A es antisimttrica, prukbese que 10s elementos en su diagonal principal son, todos, cero.

12. Si A y B son matrices simdtricas, prukbese que AB es simdtrica si y solo si AB = BA. 13. Proporci6nese un ejemplo de una A tal que AA' # A'A. *14. DemuCstrese que A y A' son semejantes. 15. Los elementos simktricos en F, forman un espacio vectorial; encuentrese su dimensi6n y exhibase una de sus bases. *16. Denotemos por S el conjunto de 10s elementos simitricos de F,; pruebese que el subanillo de F, generado por S es, todo, F,. *17. Si la caracteristica de F e s 0 y AEF, tiene traza 0 (tr A = 0) pruCbese que hay una CEF, tal que CAC- tiene solamente 0 en su diagonal principal.

'

*18. Si F es de caracteristica 0 y AEF, tiene traza 0, pruCbese que existen B, CEF, tales que A = BC-CB. (Sugerencia: Primer paso, sup6ngase, por el resultado del problema 17, que todos 10s elementos diagonales de A son 0.)

-

TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6

320

19. a) Si * es cualquier adjunto sobre F,, sea S = {A ~ g , A* : = A) y sea K = {AEF,(A* = -A). Prutbese que S + K = F,. b) Si AEF, y A = B + C donde BES y CEK, prutbese que B y C son dnicos y determlnense. 20. a) Si A, BES prutbese que A.B+ BAES. b) Si A, BEK prutbese que AB- BAEK. ~ pruCbese que A B - B A E S ~que AB+BAEK. c) Si A E S BEK 21. Si 4 es un automorfismo del campo F definimos la aplicacion @ sobre F, por: si A = (alj) entonces @(A) = (4(aij)). Prutbese que @(A+B) = @(A)+@(B)y que @(AB) = @(A)@(B)para toda A, BEF,. 22. Si * y @ definen dos adjuntos sobre F,, prutbese que la aplicacion $ : ~ - , ( ~ * ) @ ~ a r a t o d~o~ ~ , , s a t i s f a c e $ ( ~=+$(A)+$(B)y$(AB) B) = $(A) $ (B) para cualesquiera A, BEF, . 23. Si * es un adjunto cualquiera sobre F, y I es una matriz escalar en F,, prutbese que I * debe tambitn ser una matriz escalar. *24. Supongamos que conocemos el siguiente teorema: si $ es un automorfismo de F, (es decir, $ transforma F, sobre tl mismo, de tal mod0 que $(A B) = $(A)+ $(B) y $(AB) = $(A)+ $(B)) tal que $(I) = I para toda matriz escalar I , entonces hay un elemento PEF, tal que $(A) = PA P- para todo A E F, . Basindose en este teorema, prutbese que : si * es un adjunto de F, tal que I* = I para toda matriz escalar I , entonces existe una matriz PEF, tal que A* = PA'P- para to& AEF,. Ademis, P- 'P' debe ser un escalar.

+

'

'

'

25. Si PEF, es tal que P - P' # 0 es un escalar, prutbese que la aplicacion definida por A* = PA'P-' es un adjunto sobre F,. *26. Basindose en el teorema acerca de automorfismo enunciado en el problema 24, prutbese lo siguiente: Si * es un adjunto sobre F, hay un automorfismo 4 de F de period0 2 y un elemento PEF, tales que A* = P(@(A))'P- para todo A EF, (para notacion, vtase el problema 21). Ademas, P, debe satisfacer P - @(P)' es un escalar.

'

'

Los problemas 24 y 26 indican que una adjunta general sobre F, no esti tan alejada de la transpuesta como se habria creldo a primera' vista. **27. Si $ es un automorfismo de F, tal que $(I) = I para todos 10s escalares, prutbese que hay un PEF, tal que $(A) = PAP-' para todo AEF,. En el resto de 10s problemas, F serd el campo de 10s nzimeros complejos y

* la adjunta hermitianu sobre F, .

5 9.

321

DETERMINANTES

28. Si AEF,, pruebese que hay matrices hermitianas 6nicas B y C tales queA = B + ~ c( i 2 = -1). 29. PruCbese que tr A A* > 0 si A # 0. 30. Por calculo direct0 de las entradas de las matrices, pruCbese que si A , A , * + ... + A , A,* = 0, entonces A , = A , = = A, = 0.

...

31. Si A estl en F, y si BAA* = 0, pruebese que BA = 0. 32. Si AEF, es hermitiana y BA' = 0, pruCbese que BA = 0. *33. Si A E F , es hermitiana y si 1, p son dos raices caracteristicas reales distintas de A y si C ( A - 1 ) = 0 y D ( A -p) = 0, pruebese que C D = D C = 0. (Sugerencia: Considtrese primer0 el caso en que C y D son hermitianos y luego apliquese el resultado del problema 31). *34. a ) Suponiendo que todas las raices caracteristicas de la matriz hermitiana A estan en el campo de 10s nirmeros complejos, combinando 10s resultados de 10s problemas 32 y 33, y el hecho

de que las raices deben, por tanto, ser todas reales, y el resultado del corolario del teorema 6.n, pruebese que A puede ser puesta en forma diagonal; es decir, que hay una matriz P tal que PAP-' es diagonal. b) En la parte ( a ) prutbese que P puede escogerse de forma que PP* = 1.

I

35. Sea V, = { A E F , AA* = 1). Prutbese que V, es un grupo bajo la multiplicaci6n de matrices. 36. Si A conmuta con AA* - A*A, pruCbese que AA* = A*A. 9 . DETERMINANTES

La traza define una funci6n importante y irtil del anillo de las matrices F, (y de A , ( V ) ) en F; sus propiedades se relacionan en su mayor parte con las propiedades aditivas de las matrices. lntroduciremos ahora la funcibn, airn mas importante, conocida como el determinante, que transforma F, en F. Sus propiedades eSan estrechamente ligadas con las propiedades multiplicativas de las matrices. Aparte de su efectividad como argument0 para probar teoremas, el determinante es valioso para usos "practicos". Dada una matriz T, podemos construir en ttrminos de determinantes explicitos un polinomio concreto cuyas raices son las raices caracteristicas de T; a~inmas, la multiplicidad de una raiz de este polinomio es igual a su multiplicidad com'o raiz caracteristica de T. En realidad, el polinomio caracteristico de T, definido anteriormente, puede exhibirse como este polinomio determinante explicitamentel

322

TRANSFORMACIONES LINEALES

- Cap. 6

Los determinantes juegan tambitn un papel fundamental en la solucion de sistemas de ecuaciones lineales. Por esta direction es por la que motivaremos su &finici6n. Hay muchas formas de desarrollar la teoria de determinantes, algunas muy elegantes y otras muy aburridas. Nosotros hemos escogido un camino distinto del de cualquiera de estos extremos, pero que para nosotros tiene la ventaja de que podemos alcanzar 10s resultados necesarios para nuestra discusi6n & las transformaciones lineales con la mayor rapidez posible. En lo que sigue, F sera un campo arbitrario, F, el anillo de las matrices n x n sobre F, y F'")el espacio vectorial & n-adas sobre F. Por una matriz entenderemos dcitamente un elemento en F,,.Como es usual, las letras griegas indicarhn elementos de F (salvo advertencia en contra). Consideremos el sistema de ecuaciones

Nos preguntamos: ibajo quC condiciones sobre las a i j podemos resolver para x , y x2 con 8, y 8, dadas cualesquiera? 0, lo que es equivalente, dada la matriz

jcuindo esta matriz transforma F") sobre si mismo? Procediendo como en secundaria, eliminamos x , entre las dos ecuaciones; el criterio de solubilidad resulta, entonces, ser que a , a,, - a 1 2 a 2 , # 0. Pasamos ahora a1 sistema de tres ecuaciones lineales

,

y de nuevo nos preguntamos sobre las condiciones de solubilidad para @, ,P2 y P3 arbitrarias. Eliminando x , entre estas dos a la vez, y luego x2 de las restantes dos ecuaciones, obtenemos como criterio de solubilidad

Usando estos dos como modelo (y con el presentimiento de que psto va a funcionar) daremos el gran salto hasta el caso general y definiremos el determinante de una matriz arbitraria n x n sobre F. Pero fijCmonos antes un poco en la notacion.

19.

DETERMINANTES

323

Sea Snel grupo simktrico de grado n ; considerarnos que 10s elernentos de Sn estan actuando sobre el conjunto {I, 2, ..., n ) . Para aeS,,, a(i) denotara la imagen de i bajo a. (Carnbiarnos la notacion escribiendo la perrnutacion corno si actuara a la izquierda en lugar de. corno previarnente, a la derecha. Lo hacernos para facilitar la escritura de 10s subindices.) El sirnbolo ( - I)" para oeSn indica + I si o es una perrnutacion par, y - 1 . si es una perrnutacion impar. D E F I N I C I ~SiN A . = (oij), entonces el determinante de A, lo que se escribe: det A, es el elernento de F ( - I )Qz,,(l,a2,(,, .. a,,,,,

.

rcS,

Usarernos a veces la notacion a,,

..-

@ ~ n

zn1

...

ann

para el deterrninante de la rnatriz

a,, Notese que el deterrninante de una rnatriz A es la surna (si prescindimos, por el mornento, de 10s signos) de todos 10s productos posibles de entradas de A en 10s que aparezcan uno y solo uno de cada rengl6n y colurnna. En general es una labor pesada desarrollar el deterrninante de una matrizfijtrnonos que hay nada menos que n! tkrrnino;; en la expansi6n-mas para al rnenos un tipo de matriz podernos hacer este desarrollo visualmente, a saber LEMA 6.19. El determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas en la diagonal principal. Prueba. Ser triangular irnplica dos posibilidades, a saber, o todos 10s elernentos por encima de la diagonal principal son 0, o todos 10s elementos por debajo de la diagonal principal son 0. Probarernos aqui el resultado para A de la forrna

TRANSFORMACIONES LINEALES

324

- Cap. 6

e indicaremos el pequefio cambio en el argument0 a emplear para la otra clase de matrices triangulares. Como a,, = 0 salvo si i = 1, en la expansion de det A j la unica contribuci6n no nula viene de aquellos tkrminos donde a(]) = 1. Asi pues, como a es una permutacion, a(2) # 1 ; pero si a(2) > 2, a,,(,, = 0; luego, para obtener una contribucion no nula a det A, a(2) = 2. Continuando de esta forma, debemos tener a(i) = i para todo i, lo que es lo mismo que decir que en la expansion de det A el unico termino distinto de cero se presenta cuando a es el elemento identidad de S,. De aqui que la suma de 10s ri! tdrminos se reduce a exactamente uno solo, a,, a,, ...a,, , que es lo que el teorema afirma. Si A es una triangular inferior comenzamos con el extremo opuesto probando que para una contribuci6n distinta de cero a(n) = n, luego que a(n-1) = n-1,etc. Algunos casos especiales son de interks: 1) Si

es diagonal, det A = All2

... A,.

2) Si

la matriz identidad, entonces det A = 1 3) Si

la matriz escalar, entonces det A = An.

Obskrvese tambiin que si un rengldn o columna de una marriz esrli compuesta solo de ceros, entonces el determinante es 0, pues cada ttrmino del desarrollo del determinante serh un product0 en el que a1 menos uno de 10s factores es 0, de donde cada ttrmino es 0. Dada la matriz A = (a,,) en F, podemos considerar su primera fila L', = (z, l , a,,, .. ., al,) como un vector en F'"), y antilogamente para su segunda fila, u,, y las restantes. Podemos considerar entonces det A como una funcion de 10s n vectores o,, ..., u,. Muchos resultados se pueden enunciar mhs sucintamente en estos ttrmjnos, por lo que a menudo consideraremos det A = d(ul, ..., 0,); en este caso la notacibn siempre se entiende que implica que u1 es el primer rengldn, u, el segundo, y asl sucesivamente, de A. Una observaci6n miis: aunque estamos trabajando sobre un c a m p , podriamos sin la menor dificultad suponer que esthbamos trabajando sobre un anillo conmutativo, except0 en las obvias ocasiones en que dividimos por elementos. Esta observaci6n solamente vendrl a cuento cuando discutamos determinantes de matrices que tengan entradas polinomiales, lo que haremos dentro de poco en esta misma secci6n.

LEMA6.20. S i AEF, y y E F, entonces d(ul , ..., ui- l , yo,, v,+ ... 0,) = yd(u1, ., ui- 1 , ui, U I + 1, .., 0,). N6tese que el lema dice que si todos 10s elementos de un rengl6n de A son multiplicados por un elemento fijo y de F, entonces el determinante de A queda tambitn multiplicado por y. Prueba. Como solamente las entradas de la i-tsima fila han cambiado, el desarrollo de d(u, , ..., v,- , yo,, ui+ , ..., u,) es

,

como esto es igrral a y igual a yd(ul, ..., v,).

1(-1)"

oes,

,

a,,(,,

...

... a,.(.),

es claro que es

Antes de probar el resultado, veamos quC es lo que dice y lo que no dice. No dice que det A+det B = det(A + B); esto es falso como puede verse en el ejemplo

donde det A = det B = 0 mientras que det (A+ B) = 1. Dice que si A y B son matrices iguales en 'todas partes salvo en el i-ksimo renglbn-entonces

TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6

326

la nueva matriz obtenida de A y B usando todos 10s renglones de A except0 el i-esima. y usando como i-esimo renglon la sumz de 10s i-esimos renglones de A y B, tiene un determinante igual a det A +det B. Si

entonces

si

Prltrba. Si c., = ( z , , ,...,z,,) ..... r i = (pi,. ..., pi,,).entonces

=

(ziI,....!xi,,).....I;

=

(z,, ,...,z,,) y

illi

Las propiedades que aparecen en 10s lemas 6.19. 6.20 y 6.2 1. junto con las que aparecen en el pr6ximo lema, puede demostrarse que caracterizan a la funcion determinante (vkase el problema 13 al final de esta seccibn). Asi pues, la propiedad formal exhibida en el siguiente lema es basica en la teorla de determinantes.

LEMA6.22. Si dos renglones de A son igrrales (es decir. si or =us para r # s), entonces det A = 0. Prueba. Sea A = (aij) y supongamos que para ciertos r, s con r # s zrj = aSj para todo j. Consideremos el desarrollo det A =

1 (-

I)"z~,,( l)

Zra(r1

zm(r)... zna(n).

ncS.

En el desarrollo, apareamos 10s tkrminos como sigue: Para aeS, apareamos ... a,,,,, con el termino ( - 1): al,o,l,... a,,,,, el tkrmino ( - l)"z

,,,,,

,,

donde r es la transposicion (u(r), u(s)). Como r es una transposicion y r Z = 1, esto nos &, ciertamente, un aparejamiento. Pero como a,(,, = as,(,,, por hipotesis, y as,(,, = a,,,(,,, tenemos que a,,(,, = a,(,,. Anllogamente, as,(,, = a,,,(,, . Por otra parte, para i # r y i # s, como ru(i) = u(i), ,(xc = air,(i,. Luego 10s tCrminos a,,(,, ...a,,(,, y a,,,(,, ...a,,(,, son iguales. El primer0 aparece con el signo (- 1)" y el segundo con el signo (- 1)'" en la expansion de det A. Como r es una transposici6n y por tanto una permutation impar, ( - I)'" = -(- 1)". Por tanto, en el aparejamiento, 10s tCrminos apareados se cancelan mutuamente en la suma, de donde det A = 0. (La prueba no depende de la caracterlstica de F y es igualmente vhli& incluso en el caso de caracteristica 2.) De acuerdo con 10s resultados hasta ahora obtenidos, podemos determinar el efecto sobre un determinante de una matriz && de una permutacion de sus renglones. LEMA 6.23. El intercambio de dos renglones de A cambia el signo de su determinante. Prueba. Como hay dos renglones iguales, s e g h el lema 6.22, d(u, , ..., 01-1, Ui+uj, UI+I,..., uj-1, 17j+1,..., 0,) = 0. Usando el lema 6.21 varias veces po&mos desarrollar esto para obtener d(v,, ..., v,-, , v,, ..., ~ j - ~ , u..., j , 0,) d(u1, ..., ~ ~ - uj, 1 , ..., ~ j - l , u i , ..-,0,) + d(ul,...,v1-l, u,, ..., uj01, ..., on) d(u1, ..., 0,- uj, ..., ujuj, ..., 0,) = 0. Pero ca& uno de 10s 6ltimos dos ttrminos tiene en tl dos renglones iguales. de donde, seglin el lema 6.22, cada uno es 0. La anterior relacion se reduce entonces a d(v,, ..., v,-, , u,, ..., vj-, , vj, ..., v,) d(vl, ..., vluj, ..., vj- vi, ..., 0,) = 0, que es precisamente lo que el lema afirma. u ~ + u j 9

+

,,

+

,,

,,

+

,,

COROLARIO. Si la matriz B se obtiene de la A mediante una permutacidn de 10s renglones de A, entonces det A = f det B, siendo el signo + 1 si la permutacidn es par, y - 1 si la permutacidn es impar. , Estamos ahora !en position de unir piezas para probar la propiedad algebraica bhsica & la funci6n determinante, a saber, que preserva 10s productos. Como un homomorfismo de la estructura multiplicativa de F, en F el determinante adquirirh ciertas caractedsticas importantes. TEOREMA 6.f. Pura A, BEF, , det (AB) = (det A) (det B). Prueba. Sea A = (a,,) y B = (&); Sean las filas & B 10s vectores u, , u,, ..., u,. Introducimos 10s n vectores w, , ...,w, como sigue:

TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6

328

Consideremos d(w,, ..., w,); desarrollando este determinante y haciendo un uso mliltiple de 10s lemas 6.20 y 6.21, obtenemos

En esta suma mliltiple i, , ..., in van tomando independientemente todos 10s valores desde I hasta n. Pero, si cualesquiera dos i, = is entonces u,, = ui, de donde d(ui,, ..., uic, ..., ui,, ..., urn)= 0 por el lema 6.22. En otras palabras, 10s unicos ttrminos en la suma que pueden dar una contribuci6n distinta de cero son aquellos para 10s que todo 10s i,, i,, ..., in son distintos, es decir, aquellos para 10s que la aplicacion 1

2

(i,

i,

u =

n

-

i,,)

es una permutacion de 1, 2, ..., n. Ademls, cualquier permutacion tal es posible. Observernos finalmente que seglin el corolario del lema 6.23, cuando

es una permutacion, entonces d(uil, u,,, (det B. Tenemos asi

d(wl , --.,4 ) =

1

aeS.

..., u,.)

a,,(,)(-

...,

= (- l ) a d ( ~ I , u,) =

1)' det B

= (det B) (det A).

Deseamos ahora identificar ahora -d(w, , ..., w,) como det (AB). Pero cornow, = a , , u , + ... +a,,u,, tenernos que d(w, , ..., w,) es det C, donde el primer rengl6n de C es w, , la segunda es w, , etc. Pero si desarrollamos w, en tCrminos de coordenadas obtenemos

que es el primer renglon de AB. Analogamente uj, es el segundo renglon de AB, y asi sucesivamente, para el resto de 10s renglones. Luego C = AB. Como det (AB) = det C = d(u7,. .... u.,) = (det A) (det B), hemos probado el teorema. COROLARIOI. Si A es inrerrible entonces det A # 0 y det (A - ) = (det A)-

'

Prueba. Como A A - I = I, d e t ( A A - I ) = det I = I. Luego segun el teorema. I = det (AA - I ) = (det A) (det A - I ) . Esta relacion afirma enI tonces que det A # 0 y det A - = det A

'

COROLARIO 2. Si A es invertible, entonces para toda B, det (ABAdet B.

I)

=

Prueba. Usando el teorema en la forma en que se aplico a (AB)Atenemos det ((AB) A - I ) = det (AB) det ( A - I ) = det A det B det ( A - I ) . Aplicando el corolario I esto se reduce a det B. Luego det ( A B A - I ) = det B.

El corolario 2 nos permite definir el determinante de una transformacion lineal. Pues si TEA( V) y m, ( T ) es la matriz de Ten alguna base de V, para otra base, si m,(T) es la matriz en esta segunda base. entonces. segdn el teorema 6.h, m,(T) = Cm, ( T ) C - I , de donde det (m,(T)) = det (m, ( T ) ) segdn el anterior corolario 2. Es decir. la matriz de Ten cualquier base tiene e l misma determinante. Luego la definicibn: det T = det m, ( T ) es en realidad iridependiente de la base y provee a A ( V ) de una funcion determinante. En uno de 10s primeros problemas, la finalidad del problema era la de probar que A', la matriz transpuesta de la A, es semejante a A. Si esto fuera cierto (y lo es), entonces A' y A de acuerdo con el corolario 2 anterior tendrian el mismo determinante. No es, pues, motivo de asombro que podamos dar una prueba directa de este hecho. LEMA6.24. det A = det A'. Prueba. Sea A = (aij) y A ' = (bij): desde luego,

mientras que

pij

= zji. Ahora bien

-

TRANSFORMACIONES LINEALES

330

,,,,

- Cap. 6

,,,,.

Per0 el tkrrnino ( - I )"z,,,,, . . . a,,,,, es igual a ( - I)'a,,.. . a,,(pruebese). Pero a y a - ' son de la rnisrna paridad, es decir, si a es irnpar, entonces tarnbien lo es a - I , rnientras que si a es par entonces a - es par. Luego

Finalrnente, corno a recorre S,, a det A' = n'

' E S,,

(-

'

recorre tarnbien por ello S,,. Luego

l)n~'zln-~ll,~~~~nn-l,n~

= det A.

A la luz del lema 6.24, el intercambio de 10s renglones y las colurnnas de una matriz no cambia su determinante. Pero entonces 10s lemas 6.20, 6.2 1, 6.22 y 6.23 que son rdlidos para operaciones con renglones de la mafriz, se ~Serificanigualmenfe para las columnas de la mafriz.

Hacernos un uso inrnediato de la observacion para derivar la regla de Cramer para la resoluci6n de un sistema de ecuaciones lineales.

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

llamarnos a A = (a,,) la rnatriz del sistema y a A = det A el deferminanfe del sisfema.

Supongamos que A # 0 ; es decir, que

De acuerdo con el lema 6.20 (en su forma modificada para columnas en lugar de para renglones), a,,

zIIxi

a - V

RIB

xiA =

anl

.-. a,, xi

- - a

an,

Pero corno una consecuencia de 10s lernas 6.21 y 6.22, podemos aiiadir

5 9.

DETERMINANTES

331

cualquier multiplo de una columna a otra sin cambiar el determinante (vtase el problema 5). Anadase a la i-tsima de x i A , x, veces la primera colurnna, x , veces la segunda. .. .. xi veces 1a.j-esima (para todo j # i ) . Asi pues

y usando a,, x ,

+... +a,,xn

=

2,.

vemos finalmente que

Ai

De donde. .rj = -. Esto es A

TEOREMA 6.u. (REGLADE CRAMER). Si es delemiinante A del sistema de ecrracione.~lineales

us dijkrente de cero, entonces la solucidn del sistema ~'ienedada por x i =

Ai A'

rlonde A , es el determinante obtenido de A a1 reemplazar en la i-hima columna par P I , Dz. fin.

....

Ejeniplo. El sistema x,+2xz+3x, = - 5 Ix,+x,+x, x,+x,+x,

tiene determinante

= -7 = 0

TRANSFORMACIONES LINEALES

332

- Cap. 6

de donde

Podemos relacionar la invertibilidad de una matriz (o transformacion lineal) con el valor de su determinante. El determinante nos provee, por tanto, de u n criterio de invertibilidad.

TEOREMA 6.v. A es inrerrible si +v sblo si det A # 0. Prueba. Si A es invertible. hemos visto en el corolario I del teorema 6.t. que det A # 0. Supongamos ahora que el det A # 0 donde A = (zij). Segun la regla de Cramer, podemos resolver el sistema

.

para x , .... x, dando /3,, ..., 3/, arbitrarios. Como una transformacion lineal sobre F'"'. A ' es pues*suprayectiva, en realidad el vector ( P I , . ., 8,)

.

:(

2)

es la imagen bajo A' de -1, ..., - . Por ser suprayectiva, seglin el teorema 6.d, A' es invertible, de donde A es invertible (pru~bese). Podemos ver el teorema 6.v desde un punto de vista alternarivo y probablemente mas interesante. Dada A E F , podemos sumergirla en K, donde K es una extension de F escogida de mod0 tal que en K,, A pueda ser puesta en forma triangular. Hay, por tanto, un BE K, tal que

aqui A , , . . ., A, son todas las raices caracteristicas de A , cada una apareciendo tantas veces como unidades tiene su multiplicidad como raices caracteristicas de A. Asi pues, det A = det ( B A B - I ) = A, A, ... segun el lema 6.19. Pero A es invertible si y solo si ninguna de sus raices caracteristicas es cero;

5 9.

333

DETERMINANTES

pero det A # 0 si y solo si i., i 2... i., # 0, es decir, si ninguna de las raices caracteristicas de A es 0.Luego A es invertible si y solo si det A # 0. Este argument0 alternativo tiene algunas ventajas, pues al efectuarlo probamos realmente un subresultado interesante por si mismo, a saber ,

LEMA 6.25. det A es el producto, contando /as niultiplicidades, de las raices caracteristicas de A.

DEFINICION. Dada AEF,,, la ecuacidn secular de A es el polinomio det ( x - A ) en F [ x ] . Generalmente lo que hemos llamado la ecuacion secular de A se suele llamar polinomio caracteristico de A. Pero hemos definido ya el polinomio caracteristico de A como el producto de sus divisores elementales. Es un hecho (rkase el problenia 8 ) yue el polinomio caracteristico de A es igual a su ecuacidn secular, pero corno nosotros no necesitarnos desarrollar esto

explicitamente en el texto. introducirnos el tCrmino de ecuacion secular. Calculemos un ejemplo. Si

en tonces

de donde d e t ( x - A ) = ( x - 1 ) x - ( - 2 ) ( - 3 ) ecuacion secular de

= x2-x-6.

Asi pues, la

es x 2 - X - 6 . Unas cuantas observaciones acerca de la ecuacibn secular: Si i. es una raiz de det ( x - A), entonces det (I.- A ) = 0;de donde, segun el teorerna 6.v, 1.- A no es invertible. Asi pues, I. es una raiz caracteristica de A. Reciprocamente. si i. es una raiz caracteristica de A, i.- A no es invertible, de donde det (i.- A ) = 0 y. por tanto, i. es una raiz de det ( x - A). Asi pues, el polinomio explicit0 y computable "ecuacion secular de A", nos proporciona un polinonlio cuyas raices son exactamente las raices caracteristicas de A.

Necesitamos subir un escalon mis y probar que una raiz dada entra como una raiz de la ecuacion secular precisamente tantas veces como sa multiplici-

-

TRANSFORMACIONES LINEALES

334

- Cap. 6

dad como raiz caracteristica de A. En efecto, si Ai es la raiz caracteristica cte A con multiplicidad m i , podemos poner A en forma triangular de mod0 que

donde cada Ai aparece en la diagonal mi veces. Pero B(x-A)B-'

= x-BAB-'

=

de modo que det ( x - A ) = det ( B ( x - A ) B - I ) = ( x - i . , ) m l ( x - j . l ) m l. . . ( x - l , ) " * , y, por tanto, cada i.,, cuya multiplicidad como raizcaracteristica de A es m i , es una raiz del polinomio det(x- A ) de multiplicidad exactamente igual a m i . Y hemos probado el TEOREMA 6.w. Las raices caracteristicas de A son las raices, con la multiplicidad correcta, de la ecuacion secular, det ( x - A ) , de A.

Damos termino a esta seccion con el significativo e historic0 teorema de Cayley- Hamilton.

TEOREMA 6.x. Toda A E Fn satis/ace su ecuacion secular. Prueba. Dada cualquier matriz invertible B E K , , donde K es una extension cualquiera de F, A E F y BAB- ' satisfacen 10s mismos polinomios. Ademas, como det ( x - BAB- ' ) = det ( B ( x - A ) B - I ) = det ( x - A ) , BAB- ' y A tienen la misma ecuacion secular. Si podemos demostrar que algun B A B - ' satisface su ecuacion secular, se seguira de ello entonces que A tambien la satisface. Pero podemos escoger K 2 F y B E K , de mod0 que BAB- sea triangular; en tal caso ya vimos bastante antes (teorema 6 . k ) que una matriz triangular satisface su ecuaci6n secular. Luego el teorema queda probado.

1. Si F es el campo de 10s numeros complejos. evaluense 10s siguientes determinantes :

2.

para que caracteristicas de Fson 0 10s siguientes determinantes?

3. Si A es una matriz con entradas enteras tales que A - es tambitn una matriz con entradas enteras, i,c~lSlespueden ser 10s valores de det A ?

TRANSFORMACIONES LINEALES

336

- Cap. 6

4. Prutbese que si se suma el mliltiplo de un rengl6n a otro no se cambia el valor del determinante.

*5. Dada la matriz A = (ajj), sea A i j la matriz obtenida de la A quitando el i-esimo renglon y la ,j-esima columna. Sea M I.J. = ( - 1)"' det Aij. A Mij se le suele llamar cofactor de ail. PruCbese que det A = airMi, + ... +ainM,.

:]

6. a) Si A y B son submatrices ccadradas, prutbese que

det

(

= (det A ) (det B ) .

[ 1)

h ) Generalicese la parte !a) a

det

A2

...

donde cada A ; es una submatriz cuadrada.

7. Si C(f) es la matriz compafiera del polinomio j'(x), prutbese que la ecuacion secular de C(j')esjlx).

8. Usando 10s problemas 6 y 7 prutbese que la ecuacion secular de A es su polinomio caracteristico. (Vtase la secci6.n I ; esto prueba la observacion que antes hicimos de que las raices de p,(x) aparecen con multiplicidades iguales a sus multiplicidades como raices caracteristicas de T.)

9. Usando el problema 8, proporcionese una prueba alternativa del teorema de Cayley-Hamilton. 10. Si F es el campo de 10s numeros rationales, calclilense la ecuacion secular y las raices caracteristicas con sus multiplicidades de

11. Para cada una de las matrices de problema 10, verifiquese, por calculo matricial directo, que satisface su ecuaci6n secular. -

*12. Si el rango de A es r, prukbese que hay una submatriz cuadrada r x r de A de determinante distinto de 0, y si r 0 para r # 0 entonces llamamos a T positka (o positii.amente definida) y escribimos T > 0. Queremos distinguir a estas transformaciones lineales por sus raices caracteristicas. LEMA6.37. La transformacibn lineal hermitiana T es no negatira (positica) si y sdlo si todas sus raices caracteri'sti *asson no negatiras (positiras). Prueba. Supongamos que T 2 0 ; si 1 es una raiz caracteristica de T, entonces uT = l r ? para algun r # 0. Luego 0 < ( r T , r ) = (Au, r ) = 1(c, u); como ( r , u) > 0, se deduce que 12 0. Reciprocamente, si Tes hermitiana con raices caracteristicas no negativas. entonces podemos encontrar una base ortonormal { r , , ..., r,) consistente en vectores caracteristicos de T. Para cada r , , r i T = ,Ii r i , donde l i 2 0. Dado ~ E Vr , = L a i c i de donde cT = x a i r i T = Xi.,.airi. Per0 entonces (vT, v) = ( I l i a i : , , L a i c i ) = Lliaicxi por la ortonormalidad de las r i . Como l i 2 0 y aicxi 2 0, se tiene ( r T . r ) 2 0, de donde T 2 0. Los resultados correspondientes para el caso "positivo" se dejan como ejercicio.

LEMA6.38. T 2 0 si y s61o si T

= AA* para alguna A.

Prueba. Demostramos primer0 que AA* 0. Dado ~ E V(uAA*, , L!) = ( r A , P A ) = 0, de donde AA* 2 0.

348

TRANSFORMACIONES LINEALES

- Cap. 6

Por otra parte. si 7 2 0 podemos encontrar una rnatriz unitaria U tal que-

donde cada ibi es una raiz caracteristica de 7. luego toda i i 2 0.Sea

como cada i i 2 0,cada hermitiana: per0

pies real, luego S hermitiana. Por tanto U*SU es

Hemos representado a 7 en la forrna AA*, donde A = U*SU. Notese que realrnente hernos probado un poco mhs; a saber, si al construir S hubieramos escogido la raiz no negativa para cada l i , entonces S, y U*SU, habria sido no negativa. Luego T 2 0 es el cuadrado de una transformacion lineal no negativa; es decir, toda 7 3 0 tiene una raiz cuadrada no negativa. Esta raiz cuadrada no negativa puede demostrarse que es unica (vease el problema 24). Cerramos esta seccion con una discusion sobre las matrices unirarias y hermitianas sobre el campo real. En este caso, las matrices unitarias se llaman ortogonales, y satisfacen QQ' = I . Las hermitianas son en este caso exactamente simetricas. Afirmamos que una niatriz real simitrica puede llecarse a la ,forma diagonalpor una matriz ort~gonal.Sea A una matriz real simitrica: Podemos considerar a A actuando sobre un espacio real V con product0 interior. Considerada como una matriz compleja, A es hermitiana y por tanto todas sus raices caracteristicas son reales. Si estas son A,, . . ., ik entonces V puede descomponerse en V = V, @ .. . @ V,, donde L : ~ ( A = 0 para r i e Vi. Como en la prueba del teorema 6.33 esto trae como consecuencia obligada riA = i.iri. Usando exactarnente la misma prueba que la que usamos en el lema 6.34, mostrarnos que para vie Vi, L'/E Vj con i # j,

fii

1 10. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS Y NORMALES

349

(i.,, r j ) = 0. Podernos, pues. encontrar una base ortonorrnal de V todos cuyos elernentos Sean vectores caracteristicos de A . El carnhio de bases. de la base ortonorrnal {( 1, 0, . . ., 0). (0. 1 , 0.. . ., 0). . . ., (0, . . .. 0. 1 ) : a esta nueva base se efectua rnediante una rnatriz unitaria real. es deci~.por una ortogonal. Asi pues. A puede llevarse a forrna diagonal por una niatriz ortogonal. probando nuestra afirrnacion. Deterrninar forrnas canonicas para las matrices ortogonales reales sobre el carnpo real es un poco mas cornplicado, tanto en su respuesta corno en su ejecucion. Pasarnos ahora a estudiar este problerna; per0 antes varnos a hacer una observacion general acerca de todas las transforrnaciones unitarias. Si W es un subespacio de V invariante bajo la transforrnacion unitaria 7, ;es cierto que W', el cornplernento ortogonal de W, es tarnbien invariante bajo T? Sea W E W y X E W'; tenernos entonces: (KT. x T ) = ( 1 1 . . x ) = 0: corno W es invariante bajo T y Tes regular, WT = W, de donde xT, para X E W', es ortogonal para todo W. Luego es cierto que ( W 1 ) T cW'. Recuerdese que V = W e W'. Sea Q una rnatriz ortogonal real; entonces T = Q + Q- ' = Q + Q' es sirnetrica, de donde tiene raices caracteristicas reales. Si estas son i., , .. .. i.,, entonces V puede descomponerse en V = V, @ .. . Q V,, donde r , e Vi implica r i T = Airi. Las Vi son mutuamente ortogonales. Afirmamos que cada Vi es invariante bajo Q (pruebese). Luego, para discutir la accion de Q sobre V, es suficiente describirla sobre cada Vi. Sobre V,, corno Air, = r i T = r i ( Q + Q - I ) , multiplicando por Q tenemos L.,(Q~-A,Q + 1 ) = 0. Se presentan dos casos particulares, a saber: Ai = 2 y li = -2 (que pueden, desde luego, no ocurrir). pues entonces r i ( Q + 1)' = 0, lo que nos lleva a ri(Qf I ) = 0. Sobre estos espacios. Q actua corno I o corno - I . Si X i # 2, - 2, entonces Q no tiene ningun vector caracteristico sobre V,, de donde para 17 # OE Vi, L', L'Qson linealmente independientes. El subespacio que generan, W, es invariante bajo Q, ya que r Q 2 = I,,i.Q- 1.. Ahora , bien, V, = W e W' con W' invariante bajo Q. Luego podemos presentar a Vi corno la suma directa de dos subespacios bidimensionales mutuamente ortogonales invariantes bajo Q. Para encontrar formas canonicas de Q sobre V, (de donde sobre V), solamente debemos resolver el problerna para matrices ortogonales reales 2 x 2. Sea Q una matriz ortogonal real 2 x 2 que satisface Q2 -i.Q+ I = 0:

supongamos que Q = 1) a2+p2 = I,

2) y 2 + 6 2 = I ,

3) ay+p6 = 0 ;

. La ortogonalidad de Q implica :

TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6

350

como Q2 - 1 Q + I

=

0.el determinante de Q es I, de donde

Afirmamos que las ecuaciones 1, . .., 4, implican que a = d, B = - y. Como rx2+B2 = I, 191 < 1, de donde podemos' escribir 9 = cos 8 para algun angulo real 8; en estos ttrminos = sen 8. Por tanto, la matriz Q toma la forma

Todos 10s espacios usados en todas nuestras decomposiciones eran mutuamente ortogonales, luego eligiendo bases ortogonales en cada uno de eilos obtenemos una base ortonormal de V. En esta base la matriz de Q es

Como hemos ido de una base ortonormal a otra tambikn ortonormal, y como esto se ha conseguido por una matriz ortogonal, dada una matriz ortogonal real Q podemos encontrar una matriz ortogonal T tal que TQT- ' (= TQT*) es de la forma que acabamo~de describir.

5 10.

TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS Y NORMALES

Problemas

1. Determinese cuales de las siguientes matrices son unitarias, cuales hermitianas. cuales normales.

2. Para aquellas matrices del problema I que sean normales, encuintrense sus raices caracteristicas y llevense a la forma diagonal por una matriz unitaria.

3. Si T es unitaria, prutbese usando tan solo la definicion ( L ~ Tu T , )= (v, u) que T es no singular. 4. Si Q es una matriz ortogonal real. prutbese que det Q =

+I

5. Si Q es una matriz real simitrica que satisface Qk = I para k Z 1, prutbese que Q 2 = 1. 6. Complitese la prueba del lema 6.29 mostrando que (S+ T)* = S* + T* y (AT)* = AT*.

7. Prutbense las propiedades de * en el lema 6.29 haciendo uso de la forma explicita de w = uT* dada en la prueba del lema 6.28. 8. Si T es antihermitiana, pruibese que todas sus raices caracteristicas son imaginarias puras. 9. Si T es una matriz real antisimitrica n x n, prutbese que si n es impar entonces det T = 0.

10. Por un calculo matricial directo, prutbese que una matriz real sirnttrica 2 x 2 puede ser puesta en forrna diagonal por una ortogonal. 11. Cornpldtese la prueba delineada para la parte de equivalencia de matrices del teorema 6.2,.

-

TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6

352

12. Pruebese que una transformacion normal es unitaria si y solo si las raices caracteristicas son todas de valor absoluto igual a I . 13. Si N , , . . .. N, es un numero finito de transforrnaciones normales que conmutan. pruebese que existe una transformacion unitaria T tal que todas las T N , T ' son diagonales. 14. Si N es normal. pruebese que N * = p ( N ) para algun polinomio p ( x ) . 15. Si N es normal y si A N = 0. pruebese que A N * = 0. 16. Pruebese que A es normal si y solo si A conmuta con AA*. 17. Si N es normal pruebese que N = Z L i E i donde E i 2 = E i , Ei* = E i , y las Li son las raices caracteristicas de N . ( A ksta se le llama la resolucibn espectral de N . ) 18. Si N es una transformacion normal sobre V y sif(x) y g ( x ) son dos polinomios primos relatives con coefi~ient~s reales, pruibese que si r f ( N ) = 0 y u , g ( N ) = 0. para r , u. en V , entonces (1:. u1) = 0.

19. Pruebese que una transformacion lineal T sobre V es hermitiana si y solo si ( r T , 1.) es real para todo a € V. 20. Pruebese que T > 0 si y solo si T es hermitiana y tiene todas sus raices caracteristicas positivas. 21. Si A 2 0 y B a 0 y A B = BA, prudbese que A B 2 0. 22. Prukbese que si A negativa rinica.

a 0, entonces

A tiene una raiz cuadrada no

23. Si A 2 0 y ( r A , 11) = 0, prukbese que r A = 0.

a 0 y A* conmuta con la transformacion hermitiana B, entonces A conmuta con B. b) Prutbese la parte ( a ) sin exigir que B sea hermitiano.

24. a ) Si A

25. Sea A = ( a i j )una matriz n x n real simetrica. Sea

A, = ( a 1 1 a,,

... a.a

als)

a,

a) Si A > 0, prutbese que A, > 0 para s = 1. 2, ...,n. b ) Si A > 0, prukbese que det A, > 0 para s = 1, 2, ..., n. c ) Si det A , > O para s = 1, 2, ..., n, prutbese que A >0. d) Si A 2 0, pruebese que A, 2 0 para s = 1, 2, n.

...,

1 11.

363

FORMAS CUADRATICAS REALES

e) Si A 2 0, pruCbese que det A, 2 0 para s = 1, 2, ...,n. j ) Proporcionese un ejemplo de una A tal que det A, 2 0 para toda s = 1,2, ..., n y, sin embargo, A no sea no negativo.

26. Prudbese que cualquier matriz compleja puede ser llevada a la forma triangular por una matriz unitaria.

Cerramos el capitulo con una breve discusi6n sobre formas cuadrhticas sobre el campo de 10s numeros reales. Sea V un espacio real con producto interior y supongamos que A es una transformaci6n lineal (real) simdtrica sobre V. La funci6n valuada en el campo real Q(u) definida sobre V por Q(v) = (vA, v) se llama la jorma cuadratica asociada con A. Si consideramos, c6mo podemos hacer sin p4rdida de generalidad, que A es una matriz simdtrica real n x n, (all) actuando sobre F(") y que el producto interior para (S,, ..., 6,) y (y,, ..., y,) en Fen) es el nlimero real S, y, +S2 y2 ... +Sn y,, para un vector arbitrario v = (x,, ...,xn) en Fen), un simple ciilculo muestra que Q(v) = (vA, v) = a,, x, ... +a,,xn2 + 2 C ailxixl.

+

+

i< j

Por otra parte, dada una funci6n cuadriitica cualquiera en n variables .. . ynnxn2+2C yijxix,, con coeficientes reales y,], es claro

y, , x i 2 +

+

r s'. Sea U el subespacio de F ( " )de todos 10s vectores que tienen las primeras y las ultimas t coordenadas iguales a 0; U es de dimensibn s y'para rr # Oen U,(uL, u) < 0. Sea W el subespacio de F'"' para el que 10s componentes r'+ I, ..., r ' + s son todos 0; sobre W, (wM. 1 ~ 2 ) 0 para cualquier W E W. Como T es invertible, y como W es (n - s')-dimensional, WT es (n -sl)-dimensional. Para U ~ EW, (u~M, u') 2 0; de donde (wTLT', w ) 2 0; es decir, (wTL. uyT) 2 0. Por tanto, sobre WT, (u,TL, 1cT) 2 0 para todos 10s elementos. Ahora bien, dim (WT)+dim (U) = (n-s')+r = n+s-sf > n; luego seglin el corolario a1 lema 4.8, WTn U # 0. Pero esto no tiene sentido, pues si x # OE WTn U , por una parte, estando en U,(xL, x) < 0, mientras que por la otra, estando en WT, (xL. x) 2 0. Luego r = r' y s = s'. El rango r+s, y la signatura r-s, determinan desde luego r y s, y por lo tanto t = (n- r-s), de donde determinan la clase de congruencia.

Problemas 1. Determinense el rango y la signatura de cada una de las siguientes formas cuadriiticas reales:

a)

X,

+'2xI xr + x Z 2 .

6) x , 2 + x , x z + 2 x , x 3 + 2 x 2 2 + 4 ~ 2 ~ 3 + 2 x 3 2 .

8 11.

FORMAS CUADRATICAS REALES

367

2. Si A es una matriz simktrica con entradas complejas, prudbese que podemos encontrar una matriz invertible compleja B tal que

y que r , el rango de A, determina la clase de congruencia de A respecto a la congruencia compleja.

3. Si Fes un campo de caracteristica diferente de 2, dada AEF,, que existe una BE F, tal que BAB' es diagonal.

pmdbese

4. PruCbese que el resultado del problema 3 es falso si la caracteristica de F es 2.

HALMOS, PAUL R. Finite Dimensional Vector Spaces, segunda edici6n. D. Van Nostrand Company, Inc.. Princeton, Nueva Jersey, 1958.

Topicos selectos

EN ESTE liltimo capltulo nos hemos marcado dos objetivos. El primero de ellos es presentar algunos resultados matemfiticos que penetren m8s profundamente que la mayor parte del material que hasta ahora hemos visto, resultados que Sean mas sofrsticados y un poco apartados del desarrollo general que hemos seguido. Nuestro segundo objetivo es escoger resultados de esta clase cuya discusi6n, ademas. haga uso de una gran seccion transversa de ideas y teoremas de 10s anteriormente expuestos en este libro. Con estas tinalidades en mente hemos escogido tres temas como puntos focales de este capitulo. El primero de estos es un teorema famoso probado por Wedderburn en 1905 ("A Theorem on Finite Algebras". Transactions of the- American

360

TOPICOS SELECTOS

- Cap. 7

Mathematical Society, vo1.6 (1905), paginas 349-352) que afirma que un anillo con divisidn que tiene solamente un numero finito de elementos debe ser un campo conmutativo. Daremos dos pruebas de este teorema, totalmente diferentes una de otra. La primera seguira fielmente la prueba original de Wedderburn y usara un argument0 tip0 conteo; se apoyara en gran medida sobre resultados que desarrollamos en el capitulo sobre teoria de grupos. La segunda usara una mezcla de argumentos de la teoria de grupos y de la teoria de campos. y sacarh un gran partido del material que estudiamos en estas dos teorias. La segunda prueba tiene la evidente ventaja de que en su curso de ejecuci6n obtendremos ciertos resultados colaterales que nos permitirhn proceder a la prueba, en el caso de 10s anillos con division, de un ,bell0 teorema debido a Jacobson ("Structure Theory for Algebraic Algebras of Bounded Degree", Annals of Mathematics, vol. 46 (1945). paginas 695-707) que es una generalization de gran alcance del teorema de Wedderburn. Nuestro segundo gran tema es un teorema debido a Frobenius ("Uber lineare Substitutionen und bilinearen Formen", Rerue fiir die reine und angewandte Mathematik, vol. 84 (1877). especialmente las phginas 59-63) que afirma que 10s ~inicosanillos con division algebraicos sobre el campo de todos 10s numeros reales son el campo de 10s numeros reales, el campo de 10s numeros complejos y el anillo con division de 10s cuaternios reales. El teorema sefiala un papel linico para 10s cuaternios y es sorprendente, en cierto modo, que Hamilton 10s descubriera en su forma, podriamos decir, un poco ad hoc. Nuestra prueba del teorema de Frobenius, ahora completamente elemental, es una variacion de un enfoque marcado por Dickson y Albert; empleara resultados de la teoria de polinomios y de la teoria de campos. Nuestro tercer objetivo es el teorema de que todo entero positivo puede representarse como la suma de cuatro cuadrados. Este famoso resultado parece que fue conjeturado ya por el primitivo matemhtico griego Diofantos. Fermat trabaj6 en su demostraci6n sin tixito y anuncio con tristeza su derrota (en un escrito donde el, sin embargo, resolvi6 el teorema de 10s dos cuadrados que nosotros probamos en la secci6n 8 del capitulo 3). Euler abrio grandes brechas que, aprovechadas por Lagrange, permitieron que Cste, en 1770, diera una primera prueba completa. Nuestro enfoque serh completamente distinto del de Lagrange. Tiene sus raices en el trabajo de Adolfo Hurwitz y empleara una generalizaci6n de 10s anillos euclidianos. Usando nuestras tecnicas de teoria de anillos sobre un cierto anillo de cuaternios, el teorema de Lagrange caera como una consecuencia. En nuestra marcha hacia el establecimiento de estos teoremas, cosecharemos muchas ideas y resultados interesantes de por sl. Esto es caracteristico de un buen teorema - su prueba invariablemente conduce a resultados colaterales de casi igual interts.

1. CAMPOS FINITOS

Antes que podamos entrar en una discusion del teorema de Wedderburn y de 10s anillos finitos con division, es esencial que investiguemos la naturaleza de 10s campos que tienen solo un numero finito de elementos. Tales campos se llaman camposfinitos. Es claro que existen campos finitos, pues el anillo Jp de 10s enteros modulo cualquier primo p nos da un ejemplo de tal campo. En esta secci6n determinaremos todos 10s posibles campos finitos y muchas de las importantes propiedades que poseen. Comenzamos con el LEMA 7.1. Sea F un campo finito con q elementos y supongamos que F c K donde K es tambikn un campo finito. Entonces K tiene q" elementos donde n = [ K :4. Prueba. K es un espacio vectorial sobre F y como K es finito es ciertamente de dimension finita como espacio vectorial sobre F. Supongarnos que [K: F ] = n ; entonces K tiene una base de n elementos sobre F. Sea r , , . .., i:, una tal base. Entonces todo elemento en K tiene una representacion linica en la formaa,o,+a,c,+ ... +anondondea,, a ,,..., a, esdn todasen F. Asi pues, el numero de elementos en K es el numero de a, L', + a, V , + ... + anrnque se producen cuando las I,, a,, . .., a,, van tomando valores sobre F. Como cada coeficiente puede tomar q valores, K debe tener q" elementos.

COROLARIO I. Sea F un campofinito; entonces F tiene pmelementos donde el nrimero primo p es la caracteristica de F. Prueba. Como F tiene un numero finito de elementos, el corolario 2 al teorema 2.a, f l = 0 donde f es el numero de elementos de F. Asi pues, F tiene caracteristica p para algljn numero primo p. Por tanto F contiene un campo Fo isomorfo a J p . Como Fo tiene p elementos, F tiene pm elementos donde m = [ F : Fo] segun el lema 7.1.

COROLARIO 2. Si el campo finito F tiene pm elementos, entonces todo a € F satisface a

Pn =

a.

Prueba. Si a = 0, la afirmacion del corolario es trivialmente cierta.

Por otra parte, 10s elementos distintos de cero de F forman un grupo bajo la multiplicaci6n de orden pm- I, luego, segun el corolario 2 al teorema 2.a. aPm-' = I para todo a # 0 en F. Multiplicando esta relacion por a obtenemos aPm= a. De este ljltimo corolario podemos ficilmente pasar al

,

TOPICOS SELECTOS

302

- Cap. 7

LEMA7.2. Si el campo jinito F tiene pm elementos, entonces el polinomb xP"'- x en F [ x ] se ,factoriza en F [ x ] como xP"'- x = ll ( x - A). LEF

Prueba. De acuerdo con el lema 5.2, el polinomio xp"'-x tiene cuando mas pm raices en F. Pero, segun el corolario 2 a1 lema 7.1, conocemos p" de tales raices, a saber, todos 10s elementos de F. Por el corolario al lema 5.1 podemos concluir que xP"'-x = ll ( x - A ) . AEF

COROLARIO. Si el campo F tiene pm elementos, entonces F es el campo de descomposicibn del polinomio xp" - x. Prueba. Por el lema 7.2, xp"'-x se descompone en F. Pero no puede descomponerse en un campo mas pequeiio. porque ese campo tendria que tener todas las raices de este polinomio y, por tanto, tendria que tener al menos pm elementos. De esta manera, F es el campo de descomposicion de

xP"'- X.

Como vimos en el capitulo 5 (teorema 5.j) cualesquiera dos campos de descomposicion sobre un campo dado de un polinomio dado son isomorfos. A la luz del corolario al lema 7.2 podemos enunciar 7.3. Cualesquiera dos campos finitos 9ue tienen el mismo ntimero LEMA de elementos son isomorfos. Prueba. Si estos campos tienen pm elementos, por el anterior corolario ambos son campos de descomposici6n del polinomio x P m - x , sobre J,. luego ambos son isomorfos.

Asi pues, para cualquier entero m y cualquier numero primo p hay, salvo isomorfismo, cuando mas un campo que tienepmelementos. El proposito del proximo lema es demostrar que para cualquier numero primo p y cualquier entero m hay un campo que tiene pm elementos. Cuando hayamos hecho esto, sabremos que hay exactamente un campo con pm elementos, donde p es un primo arbitrario y m entero arbitrario. LEMA 7.4. Para todo numero primo p y todo entero posirivo m exisre un campo con pm elementos. Prueba. Consideremos el polinomio x P m - x en J,[x], el anillo de polinomios en x sobre J,, el campo de 10s enteros mod p. Sea K el campo a a~ } . Los de descomposici6n de este polinomio. En K sea F = { a ~ K l = elementos de F son, pues, las raices de x p - x que, seglin el corolario 2 a1 lema 5.6 son distintas, de donde F tiene pmelementos. Afirmamos ahora que

4 1.

CAMPOS FlNlTOS

363

F es un campo. Si a, b E F, entonces up" = a, bP"' = b, y asi ( ~ b ) ~=" ar" ' bP"' = ab; luego abeF. Ademas, como la caracteristica es p, (a+b)"' = aPmf bPm= a k b , de donde a_+beF. Por consiguiente Fes un subcampo de K y, por tanto, un campo. A1 mostrar que el campo F tiene pm elementos, hemos probado el lema 7.4. Combinando 10s lemas 7.3 y 7.4, tenemos TEOREMA 7.A. Para todo nljmero primo p y todo entero positiro m, hay un campo ljnico 9ue tiene pmelemenros.

Volvamos ahora, por un momento, a la teoria de Ics grupos. El resultado de la teoria de 10s grupos que buscamos, determinarl la estructura de cualquier subgrupo rnultiplicativo finito del grupo de elementos distintos de cero de un campo y, en particular, determinara la estructura multiplicativa de cualquier campo finito. LEMA 7.5. Sea G un grupo abeliano Jinito con la propiedad de que la relacidn x" = e se satisface por, a lo mas. n elementos de G, para todo entero n. Entonces G es un grupo ciclico. Prueba. Si el orden de G es una potencia de algun numero primo y entonces el resultado es muy sencillo. Supongamos, en efecto, que a e G es un elemento cuyo orden es todo lo grande que sea posible; su orden debe ser q' para algun entero r. Los elementos e, a, a', ..., aq'-' nos dan 9' soluciones distintas de la ecuaci6n xqr = e que, por nuestra hipbtesis, implica que estas son todas las soluciones de la ecuaci6n. Ahora bien, si beG, su orden es q" donde s < r , de donde b ' = (bq')q'-' = e. Por la observaci6n anteriormente hecha, esto obliga a que b = a' para algdn i, y por lo tanto G es ciclico. El grupo abeliano finito general G, puede realizarse como G = S,, S,, .. . Sqkdonde las qi son 10s distintos divisores primos de o ( G ) y donde 10s S~ son 10s subgrupos de Sylow de G. Ademas, todo elemento g e G puede escribirse de forma Jinica como g = s, s,. ..s,, donde si€Sqi (vCase la seccidn 7, capitulo 2). Cualquier soluci6n de 2' = e en Sqi es una de x" = e en G , de forma que todo Sqi hereda la hip6tesis que hemos impuesto sobre G. Por las observaciones del primer parrafo de la prueba, cada S,, es un grupo ciclico; sea a i un generador de Sqi Afirmamos que c = a , a,. ..a, es un generador ciclico de G. Para verificar esto, todo lo que tenemos que hacer es probar que o ( G ) divide a m, el orden de c. Como c'" = e, tenemos que a I m a z m... a,"' = e. Por la unicidad de la representation de un elemento de G como un product0 de elementos en las S,,, concluimos que aim = e para ioda i. Luego o ( S q i ) J mpara toda i. Luego o ( G ) = o(Sqi)o(Sq,) ... o(S,,)(m. Pero m ( o ( G ) , luego o ( G ) = m. Lo que prueba que G es ciclico.

.

TOPICOS SELECTOS

364

- Cap. 7

El lema 7.5 tiene una consecuencia importante. 7.6. Sea K un campo y sea G un subgrupo finito del grupo multiLEMA plicatilio de elementos distintos de cero de K. Entonces G es un grupo ciclico. Prueba. Como K es un campo, cualquier polinomio de grado n en K [ x ] tiene cuando mas n raices en K. Luego, en particular, para cualquier entero n. el polinomio i -I tiene cuando mas n raices en K, y tambikn cuando mls, n raices en G, evidentemente. La hipotesis del lema 7.5 se satisface, luego G es ciclico.

Aun cuando la situation de un campo finito es un caso particular tan solo del lema 7.6, es de interks en tantos campos que lo subrayamos enunciandolo corno un TEOREMA 7.8. El grupo multiplicatii~ode elementos distintos de cero de un campo finito es ciclico. Prueba. Sea F un campo finito. Aplicando simplemente el lema 7.6 con F = K y G = grupo de elementos distintos de cero de F, tenemos el resultado.

Concluimos esta seccion usando un argument0 de conteo para probar la existencia de soluciones de ciertas ecuaciones en un carnpo finito. Necesitaremos el resultado en una demostracion del teorerna de Wedderburn. 7.7. Si F es un campofinito y a # 0, /? # 0 son dos elementos de F, LEMA entonces p o d e m encontrar elementos a y b en F tales que I aa2 +/?b2 = 0.

+

Prueba. Si la caracteristica de F es 2, F tiene 2" elementos y cada elernento x en F satisface x2" = X . Asi pues, cada elemento en F es un cuadrado. En particular a- ' = a2 para alguna ae F. Usando esta a y b = 0 tenemos l +aa2 + /?b2 = I +aa- ' +O = 1 + 1 = 0, en donde la liltima igualdad es una consecuencia d.el hecho de que la caracteristica de F es 2. Si la caracteristicade Fes un ndmero impar primop, F tiene p" elernentos. Sea Wa = {I +ax21xeF). iCuhntos elementos hay en W,? Debemos cornprobar cuantas veces I +ax2 = I +ay2, Pero esta relacion obliga a que ax2 = ay2 y, pot tanto, corno a # 0, a que x2 = y 2 . Finalmente, esto nos lleva a que x = fy. Luego para x # 0 tenemos de cada par x y - x un elemento en W , y para x = 0 obtenemos I E W,. Luego W , tiene p"+l elementos. Anhlagamente Wp = { -/?x21 x E F } tiene I + -pR-l =2 2

p"+l elementos. Corno tanto 2

Wa como Wp tiene miis de la mitad de 10s

$ 2 . TEOREMA DE WEDDERBURN SOBRE ANILLOS FlNlTOa CON DIVISION

365

elementos de F deben tener una interseccion no vacia. Sea CE W , n W g. Como C E W,, c = l +aa2 para algun a c F ; como c c W p , c = -/3b2 para algun ~ E F Por . tanto, l + a a 2 = -Bb2, que por transposicion nos da el resultado deseado, I +aa2 +/3b2 = 0. Problemas

1. De acuerdo con el teorema 7.b, 10s elementos distintos de cero de J , forman un grupo ciclico bajo la multiplicaci6n. Cualquier generador de este grupo se llama una raiz primiti~lade p. a ) Encukntrense las raices primitivas de: 17, 23, 3 1. b) ~Cuantasraices primitivas tiene un primo p?

2. Usando el teorema 7b pruebese que x 2 solo si el primo impar p es de la forma 4n+ 1.

=

- 1 mod p es soluble si y

3. Si a es un entero no divisible por el primo impar p pruCbese que x2 = a mod p es soluble para alglin entero x si y solo si a ' ~ - " ' r ~ 1 mod p. (Se llama a esto el criterio de Euler para que a sea un residuo cuadratico mod p.) 4. Usando el resultado del problema 3 determinese si a ) 3 es un cuadrado mod 17. b ) 10 es un cuadrado mod 13.

5. Si el campo F tiene pn elementos prukbese que 10s automorfismos de F forman un grupo ciclico de orden n. 6. Si F es un campo finito, por 10s cuaternios sobre F entenderemos el conjunto de todos 10s a , + a , i + a , j + a , k donde a,, a , , a , , a , € F y donde la suma y la multiplicacion se efectuan como en 10s cuaternios reales (es decir, i2 = j2 = k2 = ijks = - I, etc.). PruCbese que 10s cuaternios sobre un campo finito no forman un anillo con division.

2. TEOREMA D E WEDDERBURN SOBRE ANILLOS FINITOS CON DIVISION En 1905, Wedderburn prob6 el teorema, considerado ahora como clasico, de que un anillo finito con division debia ser un campo conmutativo. Este resultado ha captado la imaginacion de la mayoria de 10s matemhticos, por lo inesperado de su contenido en que dos cosas aparentemente tan ajenas como son el numero de elementos de un cierto sistema algebraic0 y la multiplicacion en ese sistema, aparecen de pronto en una estrecha interrelacion. Aparte de su intrinseca belleza el resultado ha sido muy-importante

TOPICOS SELECTOS - Cap. 7

366

y litil. pues surge en 10s m b variados contextos. Para citar solo un ejemplo;

la unica prueba conocida del hecho puramente geomktrico de que en una geometria finita la configuracion de Desargues implica la de Pappus (para la definicion de estos terminos vCase cualquier buen texto de geometria proyectiva) consiste en reducir el problema geomttrico a uno algebraico, y este problema algebraico tiene una solucion basada en el teorema de Wedderburn. Para 10s algebristas, el teorema de Wedderburn ha' servido como trampolin para saltar a una gran Brea de investigacion, durante algunas decadas, concerniente a la conmutatividad de anillos. TEOREMA 7 . ~ .Un anillo finito con dirisidn es necesariamente un campo

conmutatiro. Primeraprueba. Sea K un anillo finito con division y sea Z = {zEKI zx = xz para todo x e K ) su centro. Si Z tiene q elementos entonces, como en la prueba del lema 7. I, se sigue que K tiene qnelementos. Nuestro objetivo es probar que Z = K, o lo que es equivalente, que n = 1. Si aeK, sea N(a) = {xeKlxa = ax). N(a) claramente contiene a Z, y, como una simple comprobacion revela, N(a) es un subanillo con division de K. Asi pues, N(a) contiene qn'"' elementos para algun entero n(a). Afirmamos que n(a) divide a n. En efecto, 10s elementos distintos de cero de N(a) forman un subgrupo de orden qn'"'- 1 del grupo, bajo la multiplication, de elementos distintos de cero de K, que tiene qn- I elementos. De acuerdo con el teorema de Lagrange (teorema 2.a) q n ( " ) - 1 es un divisor de q n - 1 ; per0 esto obliga a que n(a) sea un divisor d e n (vease el problema I al final de esta seccion). En el grupo de elementos distintos de cero de K tenemos la relacion de conjugacion usada en el capitulo 2, a saber, a es conjugado de b si a = x - bx para algun x # 0 en K. Segun el teorema 2.h el numero de elementos de K conjugados de a es el indice del normalizador de a en el grupo de elementos distintos de cero de

'

qn - 1

K. Por tanto, el numero de conjugados de a en K es -. Aliora bien, qnlo) I a e Z si y solo si n(a) = n, luego, por la ecuacion de clase (vease el corolario al teorema 2.h)

donde la suma es efectuada sobre una a en cada clase conjugada para a no en el centro. El problema se ha reducido a probar que ninguna ecuacion tal como la (I) puede verificarse en 10s enteros. Hasta este punto hemos seguido la prueba del articulo original de Wedderburn con casi absoluta fidelidad. Wedderburn

12.

TEOREMA D E W E D D E R B U R N SOBRE ANILLOS FlNlTOS CON DIVISION

367

prosigue hasta desechar la posibilidad de la ecuacidn ( I ) haciendo uso del siguiente resultado de la teoria de numeros debido a Birkhoff y Vandiver: para n > 1 existe un numero primo que es un divisor de qn- I , pero no es un divisor de ningun qm- l donde m es un divisor propio de n, con las excepciones de 26- 1 = 63 cuyos factores primos ya se presentaron como divisores de 22- I y 2 3 - 1, y n = 2, y 9 un primo de la forma 2'- 1. Si admitimos este resultado, ~comoacabariamos la prueba? Este numero primo seria un divisor del primer miembro de (I) y tambien un divisor de cada ttrmino de la suma que aparece en el segundo miembro pues divide a qn- I , pero no a q"'"' - I ;luego este primo dividiria tambien a q- I dAndonos una contradiccion. El caso 26- 1 se tendria tambikn que desechar, pero esto es sencillo. En el caso n = 2, la otra posibilidad no cubierta por el anterior argumento, no hay ningun subcampo entre Z y K lo que obliga a que Z = K. (iprutbese! Vtase el problema 2.) Pero no queremos aplicar el resultado de Birkhoff y Vandiver sin probarlo y su prueba nos llevaria a una digresion demasiado larga. Buscamos, pues, otro artificio. Nuestra finalidad es encontrar un entero que divida a qn- 1 , para todos 10s divisores n(a) de n, pero que no divida a q - I. Una

p')- 1

vez hecho esto, la ecuacion (I) sera imposible salvo para n = I y, por tanto, el teorema de Wedderburn habra sido probado. El medio que emplearemos con este proposito es la teoria de polinomios ciclot6micos. (Los hemos mencionado en 10s problemas al final de la secci6n 6, capitulo 5.) Consideremos el p'olinomio x" - 1 como elemento de C[x] donde C es el campo de 10s nlimeros complejos. En C[x]

donde este producto se toma sobre todos 10s 1que satisfacen 2 = 1. Un numero complejo 0 se dice que es una raiz primitiva n-ksima de la unidad si 8" = 1 pero 8m # I para cualquier entero positivo m c n. Los numeros complejos que satisfacen x" = 1 forman un subgrupo finito, bajo la multiplicacidn, de 10s numeros complejos, de donde, seglin el teorema 7.b, este grupo es ciclico. Cualquier generador ciclico de este gr'upo debe, entonces, ser una raiz nCsima primitiva de la unidad, de donde sabemos que tales rakes primitivas existen. (Alternativamente, 0 = eZXi'"nos da una raiz primitiva de la unidad.) Sea @,(x) = n(x-0) donde este producto se toma sobre todas las raices n-tsimas primitivas de la unidad. Este polinomio se llama polinomio ciclotdmico. Enumeramos 10s primeros polinomios ciclotornicos: @, (x) = x-l,@,(x) = X + 1,rn3(x) = x 2 + x + I,@.+(x)= x ~ + ~ , @ ~=( xx4)+ x 3 + x 2 + x + 1, Q6(x) = x2-x+ I . Notese que todos ellos son polinomios m6nimos con coeficientes enteros.

TOPlCOS SELECTOS

368

- Cap. 7

Nuestro primer objetivo es probar que, en general, @,(x) es un polinomib m6nico con coeficientes enteros. Reagrupamos la forma factorizada de 3- I como se nos da en (2), y obtenemos

Por induccion, suponemos que ad(x)es un polinomio m6nico con coeficientes enteros para d 1 n, d # n. Luego 2'- l = mn(x)g(x) donde g(x) es un polinomio monico con coeficientes enteros. Por tanto

que, a1 dividirse realmente (o por comparacion de coeficientes), nos dice que mn(x)es un polinomio monico con coeficientes enteros. Afirmarnos ahora que para cualquier divisor d de n, donde d # n,

en el sentido de aue el cociente es un volinomio con coeficientes enteros. Para ver esto observemos primer0 qui xd- I = mk(x), y como todo

n kid

divisor de d es tambitn un divisor de n, reagrupando ttrminos en el segundo miembto de (3) obtenemos xd- 1 sobre el segundo miembro; ademhs, como d < n, xd- l no envuelve a @,(x). Por tanto, Y - 1 = @,(x) (xd- l)f(x) donde f (x) = Qk(x) tiene coeficientes enteros y por tanto

n kin

k +d

on(x)

I= xd- l

en el sentido de que el cociente es un polinomio con 'coeficientes enteros. Y esto establece nuestra afirrnacion. Para cualquier entero t, @,(t) es un entero y, por lo anteriormente dicho, como un entero divide a (tn- l)((td- I). En particular, volviendo a la ecuacion (I),

y @,(q)I (qn- I ) ; luego por (I), @,(q) l(q - 1). Afirmamos, sin embargo., que si n > 1 entonces I@,(q))> q- I . Pues @,(q) = n(q-8) donde 8 toma 10s valores de todas las raices primitivas n-tsimas de la unidad y Jq- 8 ) > q- 1 para todo 8 # 1 una raiz de la unidad (prutbese) de donde IcDn(q)l =

12.

TEOREMA DE WEDDERBURN SOBRE ANILLOS FlNlTOS CON DIVISION

369

IlI(/- 01 > q - I . Es claro entonces que @,(q) no puede dividir a q - I. lo que nos lleva a una contradiccion. Debemos por tanto suponer que n = 1. lo que obliga a admitir el teorema de Wedderburn.

Segundaprueha. Antes de examinar explicitamente 10s anillos finitos con division una vez mhs, probamos algunos lemas preliminares.

7.8. Sea R un anillo y sea a€ R. Sea Ta la aplicacidn de R en si LEMA mismo dejnida por xTa = xu - ux. Entonces

Prueba. iQue es X T , ~ ?xTa2 = (xTa)Ta= (xu-ax)Ta = ( x u - a x ) a a(xa-ax) = xu2 -2axa+a2x. iQui podemos decir acerca de X T , ~ ? xTa3 = ( x T a 2 ) T a= ( x u 2 - 2 a x a + a 2 x ) a - a ( x a 2 - 2 a x a + a 2 x ) = xu33axa2 3a2xa-a3x. Continuando de esta forma o por induction. obtenemos

+

el resultado del lema 7.8. COROLARIO. Si R es un anillo en el que px = 0 para toda XE-R,donde p es un numero primo. entonces xTaPm= xuPn'- apn'x. Prueba. De acuerdo con la f6rmula del lema 7.8, si p = 2, XT,' = x u 2 - a 2 x , ya que 2axa = 0. Asi pues. ,xTa4 = ( x u 2 - a 2 x ) a 2- a 2 ( x a 2 a 2 x ) = xu4-a4x, y asi sucesivamente hasta xTa2".

Sip es u n primo impar. de nuevo, seg~inla formula del lema 7.8.

y como

para i < p , todos 10s tirminos medios desaparecen y nos quedamos con xTaP = xuP-aPx = xTaP. Ahora bien, xTaP2= X(T,,,)~ = xTaP2.y asl sucesivamente por las potencias mhs altas dep.

7.9. Sea D un anillo con dirlisidn de caracteristica p > 0 con cenfro 2, LEMA y sea P = {O, 1, 2, . . ., (p- 1)) el subcampo de Z isomorfo a J,. Sapongarnos

TOPICOS SELECTOS - Cap. 7

370

que a€ D, a $ Z es tal que aP" = a para algrin n 2 I. Entonces existe una x i D tal que I ) xax-' # a . 2) xax- E P(a), el campo obtenidopor la adjuncibn de a a P.

'

Prueba. Definamos la aplicacion Ta de D en si mismo por yTa = ya-ay para todo Y E D. P(a) es un campo finito, ya que a es algebraic0 sobre P y tiene, digamos, pm elementos. Todos ellos satisfacen up" = u. De acuerdo con el corolario al lema 7.8, yTaPm= yap" - up"y = ya-ay = yTa, luego Tap"'= Ta. Ahora bien, si AE P(a), (Ax)Ta= (1x)a-a(1x) =ixa- l a x =A(xa-ax) = i.(xTa),ya que A conmuta con a. Asi pues, la aplicacion A1 de D en si mismo definida por 1I:y +Ay conmuta con Ta para todo AE P(a). Ahora bien, el (u - A ) por el lema 7.2. Como Ta conmufa con polinomio up"'- u =

n

I. E P ( a )

l.I para fodo I E P(a), y como T~~~= T a , tenemos que 0 = T,~"- Ta = Si para todo 1 # 0 en P(a), Ta-11 no aniquila a ningun elemento distinto de cero en D (si y ( T a - i f ) - 0 implica y = 0), como T a ( T a - I ,I ) .. . (Ta- 1,I ) = 0,donde 1., , ..., I, son 10s elementos distintos de cero de P(a), tendriamos, Ta = 0. Es decir, 0 = yTa = ya-ay para todo ED, lo que obligaria a que a e Z en contra de la hipotesis. Luego hay un i. # 0 en P(a) y un x # 0 en D tales que x(Ta-AI) = 0. Escribiendo esto explicitamente, xu-ax-).x = 0;de donde xax- = a+;, esta en P(a) y no es igual a a ya que I # 0. Lo que prueba el lema.

'

COROLARIO. En el lema 7.9, xax-

' = a'

# a para alglin entero i.

Prueba. Sea a de orden s; entonces en el campo P(a) todas las raices del polinomio u" I son I , a, a2. ..., a" ' ya que estas son, todas, raices distintas y son s en total. Como (xax-I)" xu"-' = I, y como xax- ' E P(a),xax- es una raiz en P(a)de u" I , de donde xax- ' = a'. Tenemos ya todas las piezas que necesitabamos para efectuar nuestra segunda prueba del teorema de Wedderburn. Sea D un anillo finito con division y sea Z su centro. Por induccion, podemos suponer que cualquier anillo con division que tenga menos elementos que D es un campo conmutativo. Hagamos notar primer0 que si a, ED son tales que b'a = ab' pero ba # ab, entonces ~ ' E ZEn . efecto, consideremos N(bl) = {xEDIb'x = xb'). N(bl)es un subanillo con division de D; si no fuera D, por nuestra hipotesis de induccion seria conmutativo. Pero tanto a como b se encuentran en N(bl)y no conmutan, luego N(bl)no es conmutativo, luego debe ser todo D. Luego ~ ' E Z .

5 2.

TEOREMA DE W E D D E R B U R N SOBRE ANILLOS FlNlTOS CON DIVISION

371

Todo elemento distinto de cero en D tiene orden finito; luego alguna potencia positiva de el cae en Z . Dado W E Dsea el orden de w relativo a Z el entero positivo minimo m(u1) tal que u."'~""EZ. Escojamos un elemento a en D, per0 no en Z , que tenga el minimo orden relativo a Z posible, y sea tal orden r. A.firmamos que r es un nljmero prirno, pues si r = r , r , con I < r , < r , < r. entonces a'' no esta en Z . per0 (ar')" = a r e Z , luego a" tiene un orden relativo a Z menor que el de a. Por el corolario al lema 7.9, hay un X E D tal que xax- = a' # a ; = x(xax- ' ) x - ' = x a i x - ' = (xax- I ) ' = (ai)' = ai2. Analoluego gamente, tenemos x r - ' ax-"- " - a i i r - " Pero r es un nlimero primo, luego por el pequeiio teorema de Fermat (corolario al teorema 2.a), i r - ' = I +u,r, 1 ) = a' +"or - aaUor= i a donde i.= aUoreZ. Asi pues, de donde Xr - l a = l a x r - I . Como x $ Z , por la naturaleza minima de r , x r - ' E Z . Por la observacion del parrafo anterior, corno xa # ax, x r - ' a # axr-' y por lo tanto I # I . Sea b = x r - ; entonces bab- ' = i a ; por consiguiente, ).'ar = (bab-I)' = b a r b - ' = a', ya que a r e Z . Esta relacion obliga a que ).' = I . Afirmamos que si Y E D, entonces siempre que y r = I ha de tenerse y = 1' para algun i, pues en el campo Z ( y ) hay cuando mas r raices del polinomio ur - I ; 10s elementos I. i., R2, .. ., i r - de Z son todos distintos, ya que 1es del orden primo r y todos ellos constituyen las r raices de u r - 1 en ZQ), en consecuencia de lo cual y = 1'. Como A' = 1. br = Arbr = (Ib)' = ( a - ba)' = a- bra, de donde obtenemos abr = bra. Como a conmuta con br, pero no conmuta con b por la observacion antes hecha, br debe estar en Z . Segun el teorema 7.b, el grupo multiplicative de 10s elementos distintos de cero de Z es ciclico; sea ~ E unZ generador. Entonces a' = yi, b' = y k ; si , j = sr, entonces a' = y", de donde (a\y")' = I ; esto implicaria que a\y" i i , lo que implica ~ E enZ contra de a$ Z . De donde r k j ; anhlogamente r k k . Sea a , = ah y b, = b i ; un calculo direct0 partiendo de ha = ;.ah nos lleva a a , b, = pbla, donde .p = n j k e Z . Como el numero primo r que es el orden de i , no divide ni a j ni a k , i . j k = I , de donde 11 # I. Notese que ur = 1 . Veamos donde estamos. Hemos producido dos elementos a, y 6, tales que : 1) a l r = bIr = XEZ; 2) a , b , = pb, a , . con p # I en Z . 3) pr = 1.

'

'

Calculamos ( a , - ' b , ) ' ; ( a l - ' b , ) 2 = a l - ' b 1 a , - ' b l = a , - ' ( b , a , - ' ) b l = a, -'(pa, - b,)b, = pa,-'bl Si caiculamos ( a , - b , ) ) encontramos que es igual a ~ i "' a , - 3 b l Continuando de esta forma obtenemos (al-' 6,)' = + 2 + . " + ( r -I ) - r blr = +Z+".+(r- I ) = p r i r - " I 2 , Si r es un primo a1 impar, corno pr = I, tenemos p r ' r - ' " 2 = I, de donde (a1-'b,)' = 1. Siendo una solucion de y r = I, a , - 6 , = i' de mod0 que b, = A'a, ; per0

'

).

'.

'

'

.

372

TOPICOS SELECTOS

- Cap. 7

entonces pb, a, = a, b, = b, a , , lo que contradice p # I . Luego si r es in ndmero primo impar, el teorema estP probado. Debemos ahora descartar el caso r = 2. En esta situacion especial tenemosdoselementosa,. b,eD talesquea12= b12= zeZ.a, 6, = jtblal dondep2=Iyp#I.Asipues,p=-Iya,b,= -h,a,#h,a,;como consecuencia, la caracteristica de D no es 2. De acuerdo con el lerna 7.7 podemos encontrar elementos C, qeZ tales que I + i2-zq2 = 0. Consideremos (a, + Cb, + qa, b, 12; al computar esto encontsamos que (a, Cb, +Val b1)2= a ( ] + C2 -zq2) = 0.Estando en un anillo con division esto implica que a,+Cb,+qa,b, = 0; luego 0 # 2aI2 = a , ( a , +jh,+ gal 6,) + (a, + [b, +qal b,)a, = 0. Esta contradiccion termina la prueba y el teorema de Wedderburn queda establecido.

+

Esta segunda prueba tiene la ventaja de que podemos utilizar partes de ella para establecer un resultado notable debido a Jacobson, a saber, TEOREMA 7 . ~ (JACOBSON). . Sea D un anillo con dirisidn tal que para todo a e D existe un entero positiro n(a) > 1, dependiente de a, tal q~rea"'"' = a. Entonces D es un campo conmutatiro. Pruebrr. Si a # 0 esta en D, entonces a" = a y (2a)" = 2a para algunos enteros n, m > I . Sea s = (n- I ) (m- I)+ I; s > 1 y un simple cllculo muestra que a' = a y (241)' = 2a. Pero (247)" = 2"a" ='a, de donde 2'0 = 20 de lo que se obtiene ( 2 L 2 ) a = 0.Asi pues. D tiene caracteristica p > 0. Si P c Z es el campo que tienep elementos (isomorfo a J,), como a es algebraic0 sobre P, P(a) tiene un numero finito de elementos. en realidad pb elementos para alfin entero h. Asi pues. como aeP(a). aph= a. Por tanto, si a $ Z todas las condicionesdel lema 7.9 se satisfacen, de donde existe una b€D tal que

Por el mismo argumento, bPk = b para algun entero k > I . Sea pk

W = {xeDlx = i=1

P"

1 pijaib'

donde pije P}. W es finito y es cerrado

j= I

respecto a la adicion. Por virtud de (1) es tambiCn cerrado respecto a la multiplication (iverifiquese!). Luego W es un anillo finito con division ; por el teorema de Wedderburn es conmutativo. Pero a y b estan ambas en W; por tanto, ab = ba en contra de que a'b = ba. Y esto prueba el teorema. El teorema de Jacobson realmente se verifica para cualquier anillo R que satisfaga 6'"'= a para todo a € R, no solamente para anillos con division. La transicion del caso de anillo con division a1 caso general aunque no

$2.

TEOREMA DE W E D D E R B U R N SOBRE ANTILLOS FlNlTOS CON DIVISION

373

dificil exige la aplicacion del axiorna de election, y discutirlo nos llevarla demasiado lejos.

I. Si t > I es un entero y (tm- I ) 1 (tn- I), pruebese que m In.

2. Si D es un anillo con division, pruebese que su dimensi6n (como espacio vectorial) sobre su centro no puede ser mayor que 2. 3. Pruebese que cualquier subanillo finito de un anillo con divisi6n es un anillo con division. 4. a ) Sea D un anillo con division de caracteristica p # 0 y sea G un subgrupo finito del grupo de elementos distintos de 0 de D bajo la multiplicacion. Pruebese que G es abeliano. (Sugerencia: considerese el subconjunto {XEDl x = ZA,gi, A,€ P, g , G}.) ~ b ) Pruebese en la parte (a) que G es realrnente ciclico. *5. a) Si R es un anillo finito en el que x" = x, para todo XER donde n > I, pruebese que R es conmutativo. b ) Si R es un anillo fihito en el que x 2 = 0 implica que x = 0, pruebese que R es conmutativo. *6. Sea D un anillo con division y supongamos que ED solamente tiene un nurnero finito de conjugados (es decir, solamente un ndmero finito de elernentos x- ' ax). Pruebese que a tiene solamente un conjugado y debe estar en el centro de D.

7. ljsese el resultado del problema 6 para probar que si un polinomio de grado n con coeficientes en el centro de un anillo con divisi6n tiene n + 1 raices en el anillo con division, entonces tiene un numero infinito de rakes en ese anillo con division.

*8. Sea D un anillo con division y K un subanillo con divisi6n de D tal que xKx- ' c K para todo x # 0 de D. Pruebese que o K c Z, el centro de D, o K = D. (Este resultado se conoce como el teorema de Brauer-CartanHua.) *9. Sea D un anillo con division y K un subanillo con division de D. Supongamos que el grupo de elementos distintos de cero de Kes un subgrupo de indice finito en el grupo (bajo la multiplicacion) dk elementos distintos de cero de D. Pruebese que entonces o D es finito o K = D. 10. Si 0 # 1 es una raiz de la unidad y si q es un entero positivo, prudbese que lq-Ot>q-I.

TOPICOS SPLECTOS

374

- Cap. 7

3. TEOREMA DE FROBENIUS

En 1877, Frobenius clasifico todos 10s anillos que tienen el carnpo de 10s numeros reales en su centro y que satisfacen, adernas. una condicion que describiremos posteriorrnente. La finalidad de esta secci6n es presentar este trabajo de Frobenius. En el capitulo 6 sefialamos dos importantes hechos acerca del campo de 10s numeros complejos. Los recordarnos aqui :

HECHO I . Todo polinornio de grado n sobre el campo de 10s numeros complejos tiene todas sus n raices en el campo de 10s nurneros cornplejos. HECHO 2. LOS 6nicos polinornios irreducibles sobre el carnpo de 10s numeros reales son de grado I o 2. DEFINICION. Una algebra con division D se dice que es algebraica sobre un campo F si : I ) Festa contenido en el centro de D; 2) todo a€ D satisface un polinornio no trivial con coeficientes en F.

Si D, corno espacio vectorial, es de dimension finita sobre el campo F que esta contenido en su centro, se puede rnostrar facilrnente que D es algebraico sobre F (vease el problerna 1 al final de esta seccion). Pero puede suceder que D sea algebraico sobre F y, sin embargo, no sea de dimension finita sobre F. Cornenzarnos nuestra discusi6n sobre anillos algebraicos con divisi6n sobre el campo real investigando, en primer lugar. cuhles son 10s algebraicos sobre el carnpo cornplejo. LEMA7.10. Sea C el campo de 10s nljmeros complejos y supongarnos que el anillo con dirisidn D es algebraico sobre C. Entonces D = C.

Prueba. Supongarnos que a€ D. Corno D es algebraico sobre C , an+ ... + a n - , a + a, = 0 para algunas c i , , u2, . .., a, en C . Ahora bien, el polinornio p ( x ) = x"+ci, Y- ' + ... +a,- ,x+cin en C[x]puede, por el hecho I, factorizarse en C [ x ]en un producto de factores lineales; es decir, p ( x ) = ( x - 1 1 )( x - A 2 ) ... (x-I.,) donde A , , I , , ..., A, estan todos en C. Como C esta en el centro de D, todo elemento de C conmuta con a, de donde p(d) = ( a - A , ) ( a - A 2 ) . . . (a-A,). Pero, por hipbtesis, p(a) = 0, luego ( a - A , ) ( a - 1 , ) .. . ( a - I,) = 0. Corno un producto en un anillo con division es solo cero en el caso de que uno de 10s factores, a1 menos, sea cero, concluimos que a - 1 , = 0 para algun k, de donde a = ,Ik,entonces se tiene que a e C . Por tanto, todo elemento de D es de C ; como C c D, se obtiene D = C . z,

a"-

'+

13.

TEOREMA DE FROBENlUS

375

Estamos ahora en posicion de probar el clisico resultado de Frobenius, a saber TEOREMA 7 . (FROBENIUS). ~ Sea D un anillo con divisidn algebraico sobre F, el campo de 10s.ntimeros reales. Entonces D es isomorfo a uno de 10s siguientes: el campo de 10s n~imerosreales, el campo de 10s ntimehos complejos, o el anillo con diuisidn de 10s cuaternios reales. Prueba. La prueba consta de tres partes. En la primera, y mas sencilla, resolvemos la cuestion para el caso conmutativo; en la segunda, suponiendo que D no es conmutativo, construimos una replica de 10s cuaternios reales en D; en la tercera parte mostramos que esta rkplica de 10s cuaternios satisface completamente a D. Supongamos que D # F y que a estl en D, pero no en F. De acuerdo con nuestras hipotesis, a satisface algun polinomio sobre F, de donde alg6n polinomio irreducible sobre F. Si esta ecuacion es lineal, a debe estar en F en contra de lo supuesto. Asi que podemos suponer que a 2-2aa+/l = 0 donde a, BE F. Luego (a - a)2 = a 2- 8; afirmamos que a 2 - /l < 0, pues, de otra forma tendria una raiz cuadrada 6 y tendriamos a-a = +S y, por tanto, a estaria en F. Como a 2- p < 0 se puede escribir como - y 2 donde y E F. En consecuencia (a- a)' =

- y ',

de donde

ar

(.Y ria>'

a # F podemos encontrar reales a, y tales que

I. Asi pues si

=

=

Si D es conmutativo, escojamos a e D, a$ F y sea i =

U E D,

1.

a-a donde a, y en F

Y

se escogen de mod0 que hagan i2 = - 1. Por tanto, D contiene a F(i), un campo isomorfo al campo de 10s numeros complejos. Como D es conmutativo y algebraico sobre F es evidentemente tambien algebraico sobre F(i). Segun el lema 7.10 concluimos que D = F(i). Luego si D es conmutativo entonces es F o F(i). Supongamos, entonces, que D no es conmutativo. Afirmamos que el centro de D debe ser exactamente F. Si asf no fuera, habria un a en el centro que no %ria de F. Pero entonces para algunas a, yeF, .-(I = i Y )

- 1 de

forma que el centro contendria un campo isomorfo al'& ios numeros complejos. Pero, de acuerdo con el lema 7.10, si 10s numeros complejos (o un campo isomorfo a cllos) estuviese en el centro de D entonces D = C, luego D seria conmutativo. Por tanto, Fes el centro de D. a-a i2 = - 1. Como Sea asD, a#F; para algunas a, ~ E Fi ,= -satisface Y i#F, i no esta en el centro de D. Por lo tanto hay un elemento beD tal que

TOPICOS SELECTOS - Cap. 7

376

c = h i - i h # 0.Calcularnos ic+ci; ic+ci = i ( b i - i b ) + ( b i - i h ) i = ihi-i2h h i 2 - i h i = 0. ya que i 2 = - I . Asi pues, ic = - c i ; deducimos de esto que ic2 = - c ( i c ) = - C ( - c i ) = c 2 i , es decir. c 2 conmuta con i. Ahora bien. c satisface alguna ecuacion cuadratica sobre F, c2+Ac+p = 0. Corno c2 y i t conmutan con i. Ac debe tambitn conrnutar con i : es decir. Aci = iAc = Air = - k i , de donde 2Aci = 0, y corno 2ci # 0. tenemos que j. = 0. Luego c2 = - p ; corno c $ F (pues ci = -ic # i c ) podemos decir, corno antes hicirnos, que 11 es positivo y por lo tanto kt = v 2 donde

+

Y E F .Por lo tanto. c 2 =

-

C

\i2;

sea j = -. Entoncesj satisface v

Sea k = ii. Las i, j, k que hernos construido se cornportan corno las de 10s cuaternios. de donde T = {z, + z , i + z2J+ 2, k 1 z, , 2 , , z2 , 2, E F ) forrna un subanillo con division de D isomorfo a 10s cuaternios reales. iHernos construido una rtplica T, del anillo con division de 10s cuaternios reales en D! Nuestro ultimo objetivo es dernostrar que T = D. Si r e D satisface r 2 = - I, sea N ( r ) = { x e D l x r = r x } . N ( r ) es un subanillo con division de D ; adernas, r , y por lo tanto todos 10s *,+a, r , zo , z , E F, estan en el centro de N ( r ) . Segdn el lerna 7.10, de ello se sigue que N ( r ) = { z o+ z , r 1 a,, a , E F . Luego si x r = r x entonces x = a. + a , r para algunas zo a , en F.

.

Supongarnos que u E D, u $ F . Para algunos a,

-

u-a

B E F, u1 = -sat isface B

u12 = I . Afirmamos que wi+iw conrnuta tanto con i corno con w ; para i(uli+iw) = iu3i+i2w = iwi+ w i 2 = (iw+ w i ) i ya que i 2 = - 1. Analogamente. w(lci+iw) = (wi+iw)w. Por la observacibn del phrafo anterior, u'i+iuT = z ; + z ; i = ao+a, W. Si w # T esta ultima relacion implica z , = 0 (pues de otra forma podriamos resolver para w en terminos de i). Luego u>i+iui = Z ~ E F Analogarnente. . wj+jw = P,EF y w k + k w = ~ , E F . Sea

Entonces

14.

CUATERNIOS ENTEROS Y EL TEOREMA DE LOS CUATRO CUADRADOS

377

analogamente zi+,j: = 0 y z k + k z = 0. Afirmamos que estas relaciones obligan a :a ser 0. En efecto. 0 = zk k z = :ij+ ij: = ( z i + iz),j+ i(,jz- ; j ) = i ( j z - z j ) . pues z i + i z = 0. Pero i # 0. y como estamos en un anillo con division de ello se sigue que ,I:-zj = 0. Pero ,j:+zj = 0. Luego 2.1: = 0. y como 2 j # 0, tenemos := 0. Volviendo a la expresicin para z tel1enlos

+

de donde u 9 eT, en contradiccion con ut$ T. Luego, ciertamente, i ~ T. e Como w = -

U-51

, u = /lu1+z y p o l lo tanto,

I I E 7'.

Hemos probado qile cualquier

1) elemento de D esth en T. Como T c D concluimos que D = T ; como T es isomorfo a 10s cuaternios reales tenemos que D es isomorfo al anillo con division de 10s cuaternios reales. Pero esto es. exactamente. el enunciado del teorema. Problemas

1. Si el anillo con division D es de dimension finita como espacio vectorial sobre el campo F contenido en el centro de D, pruebese que D es algebraico sobre F. 2. Proporcionese un ejemplo de un campo K algebraico sobre otro campo F, per0 no finito dimensional sobre F. A es un anillo algebraico sobre un campo F y A no tiene divisores de se que A es un anillo con division.

4. CUATERNlOS ENTEROS Y EL TEOREMA DE LOS CUATRO CUADRADOS En el capitulo 3 consideramos cierta clase particular de dominios enteros. la de 10s dominios euclidianos. Cuando 10s resultados de esta clase de anillos se aplicaban al anillo de 10s enteros gaussianos obteniamos, como una consecuencia, el famoso resultado de Fermat de que todo numero primo de la forma 4n I es la suma de dos cuadrados. Consideraremos ahora un subanillo particular del de 10s cuaternios que en todos 10s aspectos, salvo en el de su falta de conmutatividad. parecera un anillo euclidiano. A causa de ello sera posible caracterizar explicitamente a sus ideales izquierdos. Esta caracterizacion de 10s ideales izquierdos nos llevara rapidamente a una prueba del teorema clasico de Lagrange, de que todo en tero posi tivo es una suma de cuatro cuadrados.

+

-

TOPICOS SELECTOS

378

- Cap. 7

Sea Q el anillo con division de 10s cuaternios reales. Procedemos a introducir una operacion adjunta en Q, *, por la siguiente

+

DEFINICION. Para x = r , r , i + r , j + r 3k en Q, el adjunto de x , al que denotaremos por x*, estl definido por x* = r , - r , i - r 2j- r 3k . LEMA7.1 1 . El adjunlo en Q satisface I ) x** = x

+

2 ) (Sx yy)* = Sx* 4 ) (xy)* = y * x *

+ yy*

para todo x , y en Q y cualesquiera reales S y y. Prueba. Si x = ao+a, i + r 2 j + a 3 k , entonces x* = r , - r , i - r 2 j - r 3 k . luego x** = (x*)* = a,+a, i + r 2 j + r 3 k , lo que prueba ( I ) . Sean x = r o + r ,i + r 2 j + r 3 k y y = Po+ PI i + P 2 j + P 3 k elementos de Q y Sean 6 y y numeros reales arbitrarios. Entonces 6x+ yy = ( 6 r o + yp,) + (Sa, + yP,)i + (Sa, + yP2)j + (Sr, + ~/3,)k, luego, por la definicion de *,

2 r P 2 ) j - (6r3+ rP3)k = (ax+ YY)* = ( r o o + y P o ) - (Sr,+ yP1)i - ( 6 ~ + S(ao-a, i - r 2 j - a 3 k ) y ( p O - p , i - P 2 j - P 3 k ) = ax*+ yy*. LO que es claro que prueba (2). A la luz de (2), para probar (3) es suficiente hacerlo para una base de Q sobre 10s reales. Lo probamos para la base 1, i , j, k . Ahora bien, i j = k , de donde (ij)* = k* = - k = ,ji = ( - j ) ( - i ) = j * i * . Analogamente (ik)* = k * i * , (jk)* = k * j * . Ademas, (i2)* = ( - 1)" = - I = ( i * ) ' , y analogamente para j y k. Como (3) es cierto para 10s elementos de la base y (2) se verifica, (3)

+

es cierto para todas las combinaciones lineales de 10s elementos de la base con coeficientes reales, de donde (3) se verifica para x y y de Q arbitrarios. D E F I N I C ~Si ~ NX E. Q entonces la norma de x , a la que representaremos por N ( x ) , esta definida por N ( x ) = xx*. Notese que si x = ao+a, i + a 2 j + a 3 k , entonces N ( x ) = xx* = (ao+ali+a2j+a3k) (ao-a,i-a2j-a3k) = a o 2 + a , 2 + r 2 2 + a 3 2 ; por tanto, N ( 0 ) = 0 y N ( x ) es un numero real positiro para x # 0 en Q. En particular, para cualquier nimero real r , N ( a ) = a2. Si x # 0, notese I que x - I = -x*. N (a)

LEMA7.12. Para lodo x,

Y E Q,

N(xy) = N(x)N(y).

Prueba. Por la misms definicion de la norma, N ( x y ) = ( x y ) ( x y ) * ; por parte ( 3 ) del lema 7.1 1 , (xy)* = y*x* y por lo tanto N ( x y ) = xyy*x*. Pero yy* = N ( y ) es un numero real y por tanto esta en elsentro de Q; en

§

4.

CUATERNIOS ENTEROS Y EL TEOREMA DE LOS CUATRO CUADRADOS

379

particular debe conmutar con x*. Por consiguiente, N ( x y ) = x ( y y * ) x * = ( x x * ) (YJ*) = N ( x ) N ( y ) .

Como una consecuencia inmediata del lema 7.12 se tiene. LEMA7.13 (IDENTIDAD DE LAGRANGE). Si a,, a I , a 2 , a, y Po, B, , B 2 , /3, son nlinieros reales, entonces (a,

+ a , + a2 + a,

2,

+

+

+

(PO PI P2 8, 2 , = ~ , P ~ - ~+(aoB2-a1 , B ~ ) ~

( ~ o P o - ~ I -a2P2-a3B3)'+(aoB1 PI +~ I B O + P , + a 2 P o + ~ 3 8 1 ) ~+ (ao83+a1 P2-a182+a3BoI2-

Prueha. Hay desde luego una prueba obvia de este resultado, la de efectuar las multiplicaciones en ambos miembros y comparar 10s resultados. Pero una forma mas fhcil de reconstruir el resultado y a1 mismo tiempo probarlo, es observar que el primer miembro es N ( x ) N ( y ) , mientras que el segundo miembro es N ( x y ) con, x = a o + a l i + a 2 j + a 3 k y y = Po+Pl i+ p , j + P , k . De acuerdo con el lema 7.12, N ( x ) N ( y ) = N ( x y ) , luego la identidad de Lagrange.

La identidad de Lagrange nos dice que la suma de cuatro cuadrados por la suma de cuatro cuad~adoses, de nuevo, de una forma muy especifica, la suma de cuatro cuadrados. Un resultado muy impresionante de Adolf Hurwitz dice que si la suma de n cuadrados por la suma de n cuadrados es de nuevo una suma de n cuadrados, donde esta ~iltimasuma tiene terminos bilinealmente calculables partiendo de las otras.dos sumas, entonces n = 1, 2, 4 u 8. Hay, en realidad, una identidad para el product0 de sumas de ocho cuadrados, pero es demasiado largo y complicado para transcribirlo en este lugar. Veamos ahora por que es oportuno introducir el anillo de Hurwitz de cuaternios reales. Sea I = +(I + i+j+ k ) y H = { m o I + m I i + m 2 j + m 3 k ) m o , m , , m,, m, enteros).

LEMA7.14. H es un subanillo de Q. Si X E H , entonces x * H~ y N ( x ) es un enter0 positivo para todo elemento disrinro de cero x de H. Dejamos la prueba del lema 7.14 para el lector. No ofrece dificultad alguna. En cierto modo, H podria parecernos un anillo un poco extraiio, arbitrario. iPor que usar 10s cuaternios ( ? iPor quC no considerar simplemente el anillo mas natural Q, = { m o + m l i + m 2 j + m 3 k lm,, m , , m , , m, enteros? La contestation es que Q, no es suficientemente grande, mientras que H es, segun el lema clave que sigue algo que parece suficiente. Necesitamos este lema por que nos va a permitir caracterizar 10s ideales izquierdos del anillo. Esta posibilidad quiza fue la raz6n por la que Hurwitz se inclin6 a trabajar en H en lugar de en Q,,

. ,

TOPICOS SELECTOS

380

- Cap. 7

LEMA7. I5 (ALGORTIMO DE L A U I V I S I ~ NIZQUIERDA). Sran a ?. h elenienros rlr H cot1 h # 0. Etitonces existeti (lo.\ elrtilrtitos c ?. d m H. tales