Algebra Mayo

“Innova Schools”

 Del cole io a la

Mes: Ma o 2013

ÁLGEBRA. SEMANA Nº 01

NIVEL: SECUNDARIA

CUARTO GRADO

NATURALEZA DE LAS RAICES

Naturaleza de las Raíces Sea:

ax 2



bx  c



0;

a0 ; { a ;b ; c}



R

Sus raíces son: x1  x 

b 



b

x2 

2



4 ac

2a

2

b  4 ac 2a

b

b 

b

2



4 ac

2a

El radicando: 2

b - 4ac

(Discriminante)



Nos da información sobre la naturaleza de las raíces: 1. Si: > 0 las raíces son reales diferentes. 2. Si: = 0 las raíces son reales iguales. 3. Si: < 0 las raíces son complejos conjugados.

Nota: Si   0 entonces las raíces son reales Gráficamente: Toda expresión de segundo grado de la forma: f (x) = ax2 + bx + c tiene como gráfica una parábola. p arábola. Sea: f(x) = ax 2 + bx + c. Las intersecciones i ntersecciones de la gráfica de f (x) con el eje "x" señalan las soluciones de la ecuación f (x)=0

Si: a > 0

Si: a < 0

y

Mínimo valor de f(x)

x 

Mínimo valor de f(x)

 Vértice

  b b 2  4ac    Vértice :   ;  4a     2a

y 

 Vértice

x

“Innova Schools”

 Del cole io a la

Mes: Ma o 2013

Casos:

I. Si:  > 0  a < 0

Si:  > 0  a > 0

y

y

Raíz

x

x

Raíz

Raíz

Raíz

Las raíces son reales y diferentes. (Dos puntos de corte en el eje ‘‘x’’)

II. Si:  = 0  a > 0

Si:  = 0  a < 0

y

Raíz

y x

x

Raíz

Las raíces son reales e iguales (un punto de corte en el eje ‘‘x’’)

III. Si: 0

Si: 0

y

x

x

Las raíces son complejas conjugadas (ningún punto de corte en el eje ‘‘x’’)

TALLER DE APRENDIZAJE PREVIO.

“Innova Schools”

 Del cole io a la

Mes: Ma o 2013

1. La ecuación: 3x2 + 7x - 5 = 0 ; tiene raíces:

5. Determinar el mínimo valor de la expresión: F(x) = x2 + 6x + 10

2. Determinar "k", si: 2x2  - 2x + k - 3 = 0 ; presenta como discriminante a 4.

6. Determinar el máximo valor de la expresión: F(x) = - x2 - 4x + 7

3. Calcular "a", si: x2  + 2x + a - 2 = 0 ; tiene raíces iguales.

4. Indique el mayor valor entero de "p", si: (p - 1)x2 - 4x + 2 = 0 sus raíces son reales y diferentes.

7. Dada la ecuación: ax2 - x + 14 = 0 ; hallar "a", si presenta raíces iguales.

8. Indicar el mínimo valor entero de "a", en: x2  + 2x + a = 0 ; si sus raíces son complejas y conjugadas.

PROBLEMAS PARA LA CLASE.

“Innova Schools”

 Del cole io a la

Mes: Ma o 2013

1. Calcular el mínimo valor de f(x) = x 2   6x + 13 para cualquier valor de x  R. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

2. Determinar el máximo valor de: f(x) = -x 2  + 10x - 2 para todo valor de x R. a) 20 d) 24

b) 21 e) 23

a) a = 6 c) a = 6 e) 6  a  2

a=2

9. Una pelota proyecta verticalmente hacia arriba ‘‘s’’ pies del punto de partida. En el instante ‘‘t’’ (segundos) donde: s = 64t - 16t2, ¿cuál es la altura máxima alcanzada? a) 64 d) 0

c) 22

3. Los lados de un rectángulo son: a ^ 2 - a, hallar el máximo valor que toma el área de la región rectangular.

b) a = 2 d) a = 6

b) 32 e) Infinita

c) 16

10. ¿Para qué valor de ‘‘a’’ la diferencia de raíces de la ecuación: x2 + (a - 2)x + a - 4 = 0 será mínima?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

4. Si dos números reales se diferencian en seis, hallar el mínimo valor que toma el producto de ellos. a) 9 d) 7

b) 7 e) 9

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 9. Determinar el mínimo valor de la expresión: f(x) = x2 + 6x + 13

c) 5

Para todo valor de x

5. Se quiere construir un jardín en forma de sector circular con su perímetro de 30 m. Hallar la mayor superficie que puede tener este jardín. a) 16,25 m2 d) 86,16

10. b) 46,20 e) Ninguna

f ( x )

10 

9

x (12



x)

Siendo ‘‘x’’ el peso ejercido sobre el material. ¿Para qué peso la resistencia es máxima? b) 10 e) 40

7. Dada la función cuadrática: f(x) = (x + a) 2  6a, halle el mínimo valor de f(x) si para x = 2 el valor de f(x) es 8a  21. a) d)

18 24 

b) e)

30 12 

c)

b) 18 e) 0



a



1+

c) 3



R.

c) 9

11. Determinar el valor de m   0 de tal manera que la ecuación: x2  + 2(m2   4m)x + m 4  = 0 tenga sus dos raíces con un mismo valor diferente de cero. b) m = 4 e) m = 2

c) m = 2

12. Si las raíces de la ecuación: ax 2 + bx + c = 0 son reales y diferentes, encontrar la naturaleza de las raíces de: 2a2x2 + 2abx + b 2  2ac = 0

15

4 sea el mínimo valor del trinomio: f(x) = x2

ax.

b) 2 e) 5



8. Hallar el valor o los valores reales de "a" de modo que 

a) 12 d) 27

a) m = 1 d) m = 4

c) 12

R.

Hallar el máximo valor de la expresión: f(x) = x2  6x + 9 para todo valor x

c) 56,25

6. La resistencia de un material de aluminio está dada por la función:

a) 15 d) 6

a) 1 d) 4



a) b) c) d) e)

Complejas conjugadas Imaginarios puros Reales e iguales Reales y diferentes Racionales

TAREA DOMICILIARIA Nº 01.

“Innova Schools”

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Mes: Ma o 2013

1. Relacione:

Tiene raíces iguales.

I. x2 + 6x + 10 = 0 II. 2x2 + 5x - 1 = 0

a) 6 d) 3

III. 4x2 - 4x + 1 = 0 A) Raíces reales y diferentes. B) Raíces reales e iguales. C) Raíces complejas y conjugadas. a) IA - IIB - IIIA c) IC - IIA - IIIB e) IA - IIC - IIIB

b) IB - IIA - IIIC d) IC - IIB - IIIA

2. Dada la ecuación: m n

x2



19 x



n m



b) 13 e) 1

a) 1 d) 7

a) 1

a) 4 d) 3

b) 4 e) 2

b) 11 e) 17

c) 33

Son reales y diferentes. b) 5 e) 8

c) 6

6. Hallar el menor valor entero de ‘‘m’’, para que las raíces de la ecuación: x2 + 5x + m = 0 Sean complejas conjugadas. a) 2 d) 7

b) 3 e) 8



3

3

c)

e) -1

Determinar un valor de "p" para que la ecuación: x2 2x(1 + 3p) + 7(3 + 2p) = 0 tenga una raíz de multiplicidad 2. b) 9/10 e) 3

c) 2

11. Hallar el valor de ‘‘m’’ para el cual la ecuación: x2 + 2(m + 2)x + 9m = 0 tenga raíces iguales. Indique el

5. Indique el mayor valor entero de ‘‘n’’, si las raíces de la ecuación: (n - 2)x2 + 4x + 1 = 0

a) 4 d) 7

2 3

2 3

3

3

c) 3

4. ¿Para qué valor de ‘‘n’’ el discriminante de la ecuación: x2 + 8x + n = 0 es igual a 20? a) 44 d) 22

10.

b)

a) 10/9 d) 2

a 12.

c) 5

2 3

d)

3. Determinar ‘‘m-1’’, si la ecuación: 4x2 - 4mx + m 2 + 3m = 0 presenta como discriminante

b) 3 e) 9

9. ¿Qué valor toma ‘‘m’’ en la ecuación: mx2 (m 1)x + m =0 para que las raíces sean reales e iguales? Indique uno de los valores de "m".

0; m  n  0

c) 15

c) 4

8. Si la ecuación: 4x2 - 8x + 3m = 5 Tiene raíz doble, hallar ‘‘m’’

Hallar su discriminante. a) √ 15 d) √ 13

b) 5 e) 2

c) 6

7. Calcular ‘‘m’’, si la ecuación: 3x2 + 6x + m = 1

mayor valor. a) 4 d) 1

b) 2 e) 3

c) 4

12. ¿Qué se puede afirmar acerca de las raíces de la ecuación: x2 + bx  a = 0? a ^ b R+. a) b) c) d) e)

Son reales diferentes Son reales iguales Son complejas Son imaginarias puras No se puede determinar

13. Dada la ecuación cuadrática de raíces imaginarias: 2x2 - (a + 1)x + (a + 1) = 0 Si a  Z, halle el mínimo valor de ‘‘a’’. a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº

“Innova Schools”

 Del cole io a la

Mes: Ma o 2013 ECUACIONES EXPONENCIALES.

Son ecuaciones trascendentes (No Algebraicas) que se caracterizan por tener a la incógnita formando parte del exponente.

x

x

6 xx



x

x

x

6



x





3 

a

0





a



6

3

Criterios Básicos de solución. 1º Por bases iguales: Sea:

6

x x

3





3

3

9

1

1. Resolver: m

Si:

n

a

 a

m  n

5

2º Por comparación: Se da la misma forma a ambos miembros de la ecuación para identificar partes semejantes.

3

2x



4

2

8 

5 3

x

x



10

10

x





3

2

2x



16

4 

2

2x



5

x



x

8 x

16

4

8

10

Nuevamente bases iguales:

2. x 1

16

Resolución: Buscamos bases iguales:

Ejemplo: 1.

5

x

1 

7

7



x

1 

7

2

2x 4 3 

x 

2

6

3.



2x 4 3

3

2



x

x

x2

5

5

7

x



x

x2



2

5 2

5

5

x 

2x

5



x

x

x

4x



2



4x

4

3

4.

4x



3



3

7 

7

Resolviendo:

Resolución:

2x

Dando la forma: x

x

x

Comparando:

7

7



x



7

7

7

7 

7

7

7

7

7 

7

7

7

7

7



4



12x

5



10x

7



x





9

1 2

7

En forma general se puede deducir: Ejm:

x

Si : x

x

n n 

x

n 

n

TALLER DE APRENDI

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Mes: Ma o 2013

1. Resolver: 5

x

2

7 x 1



5

x

2. Hallar "x", en:

2

3 x  9

xx = 27

6. Resolver: 2x + 2x+1 = 12

32x+5 = 81

7. Resolver: 3. Resolver: x

x 

3

84x+2 = 224

4. Hallar "x": 1 x

7



1 3

8. Resolver: x 3

3



27

72

5. Resolver: PROBLEMAS PARA LA CLASE

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Mes: Ma o 2013

1. Resolver: 2

3

x

2

7



16

9

x

2

8



9

32

x

1





8

Indique la suma de las soluciones. a) 5 3

b) - 2 3

d) 3 2

e) 2 2

a) -5 d) 1/3

2

b) -1/5 e) -1/4

c) 1/5

c) 0 9. Indicar "x", que verifica: 1

1 / 4

xx



2

2. Resolver: a) 1/4 d) 1/64

238+x = 2313 + 235 - 23x Indica la suma de cifras de 3x a) 3 d) 2 5

6x

x



6

n

c) 5

x

a) 2-n d) n

x luego de resolver: 6 6  x 1

a) 2 d) 36

c)

4

10. Indicar el valor de "x" que verifica:

b) 4 e) 6

3. Indicar

b) 1/8 e) 1/256

 1   16   

b) 5 e) 6

c) 3

x



4

n

x

b) 2n+1 e) n/2

c) 2/n

11. Resolver: 9 x3

3



3

4. Hallar ‘‘x’’ en: 4

a) 2 d) 1

2



x 1

1



5

b) 3 e) 5



a) 1 d) 2

5

b) -1/2 e) 1/2

12. Calcular ‘‘x’’

c) -1

 x 3 3x   3   

5. Encontrar "x" en: 26x + 1  + 43x + 1 + 82x + 1  = 3584 a) 2 d) 4/3

b) 3/4 e) 1

c) 1/2

a) 2 d) 5/3

a) 4 d) 100

c) 25

x

b) 8 e) 32

1

x 

9

1 3

c) 3-3

14. Hallar ‘‘x’’ de: x

c) 16

3

c) 5/2

b) 3-2 e) 3-9

7. Hallar "x" en: (2x)x = 232 a) 4 d) 2

x

3

13. Halle "x" de:

a) 3-1 d) 3-6 b) 9 e) 36

2x 5

3

b) 3 e) 3/5

6. Si: 2x + 2x - 1 + 2x - 2 + 2x - 3 + 2x - 4 = 1984 Hallar "x2"

c) -2

a)

2

d)

2



2





x

b) 2 2 2

8. Hallar ‘‘x’’, si: TAREA DOMICILIARIA Nº 02

e)

2

2

2



2

c) 4 2 2 1

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Mes: Ma o 2013

1. Resolver: 7x + 6 = 73x - 4 a) 5 d) 1

b) -5 e) 6

a) 2 d) -1/2 c) 3

2. Resolver: 32x + 3  = 3x2 y dar la mayor solución a) -1 d) 1/3

b) 1 e) 5

c) 3

35x - 8  = 9x+2

10. Hallar el valor de "x" en: x

a)

16

d)

3

e)

b) 4 e) -8

c) 6

a) 12 d) 18

16

8

3

4

3

3

x

b) 13 e) 37

x 3

b) 11 e) -9

c) 9

2x 5 8

2

x

7



b)

d) 2

x

4

2

6

2

x

:

8x

8

2

c)

3





2

; si : x x

1x 1





2 27

9

b) 3/2 e) -1

c) 8/3

a) 81 d) 27

b) 243 e) 2

c) 9

14. Resolver:

6. Resolver: 3

4

3x 5



2

6x 9

x

x

2

4



x

b) 7/6 e) 5/6

x

2

x

2



3

x

x

x

2

2



1

c) -7/6 15. Calcular:

7. Calcular el valor de "x" en: E

x



x 

3

4



xy xy

Si : x



y

 .. . xy.



13 5

9

16. Calcular ‘‘x’’ en: b) 3/2 e) -1/2 5

8. Hallar el valor de

c) 1/3

x , si: x x = 2160

b) 4 e) -1/2

c) 1/2

9. Calcular el valor de x6, si: x

x

6 

12

1 2

1

1

2

8

8 

x 2 2

11

3

3

1

c) 15

2 e indicar

e)

x 1x

1





a) -2 d) 2



13. Calcular:

5. Resolver:

a) 2/3 d) 3/5

48

c)

12. Calcular el valor de ‘‘x’’ en:

a)

a) 6/7 d) 1/6

48 

b)

32x-1 = 34x-6

a) 5/2 d) -2/5

x

3

4. Resolver:

a) 10 d) -11

c) 1/4

11. Resolver: xx+1 = 815 e indicar:

3. Calcular el valor de "x" en:

a) 2 d) 8

b) 1/2 e) -2

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