Algebra Liniara

Contents Chapter 1. Spa¸tiul vectorilor liberi 1. Vectori liberi 2. Opera¸tii cu vectori liberi 3. Coliniaritate ¸si coplanaritate 4. Produse cu vectori liberi 5. Probleme

3 3 5 8 15 22

Chapter 2. Spa¸tii vectoriale 1. De…ni¸tia unui spa¸tiu vectorial. Exemple 2. Subspa¸tii vectoriale. Opera¸tii cu subspa¸tii vectoriale 3. Combina¸tii liniare. Sisteme de generatori. Dependen¸ta¼ ¸si independen¸ta¼ liniar¼ a 4. Baz¼ a. Dimensiune 5. Dimensiunea unui subspa¸tiu vectorial 6. Rangul unui sistem de vectori ¸si rangul matricei sale. Sisteme de ecua¸tii liniare 7. Matricea de trecere de la o baz¼ a la alta. Schimbarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei 8. Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecua¸tii algebrice liniare 9. Probleme

27 27 28

Chapter 3. Aplica¸tii liniare 1. Aplica¸tii liniare. Izomor…sme de spa¸tii vectoriale 2. Nucleu ¸si imagine 3. Matricea asociat¼ a unei aplica¸tii liniare 4. Matrice ¸si aplica¸tii liniare 5. Transformarea matricei unei aplica¸tii liniare la schimbarea bazelor 6. Probleme Chapter 4. Valori ¸si vectori proprii. Forma canonic¼ a a unui endomor…sm 1. Valori ¸si vectori proprii ai unui endomor…sm 2. Polinom caracteristic. Polinoame de matrice ¸si de endomor…sm. Teorema Hamilton-Cayley 3. Diagonalizarea matricelor 4. Forma canonic¼ a Jordan 5. Probleme 1

31 33 36 37 42 44 49 53 53 55 58 60 62 64 67 67 70 72 76 80

2

CONTENTS

Chapter 5. Spa¸tii euclidiene. Endomor…sme pe spa¸tii euclidiene 1. Spa¸tii euclidiene 2. Ortogonalitate. Baze ortonormate 3. Complementul ortogonal al unui subspa¸tiu 4. Transform¼ ari liniare autoadjuncte 5. Transform¼ ari liniare ortogonale 6. Probleme

83 83 86 90 91 93 95

Chapter 6. Forme biliniare. Forme p¼ atratice 1. Forme biliniare. Matrice asociat¼ a. Rangul unei forme biliniare 2. Forme p¼ atratice. Reducerea la forma canonic¼ a 3. Legea de iner¸tie a formelor p¼ atratice 4. Reducerea simultan¼ a la forma canonic¼ a a dou¼ a forme p¼ atratice 5. Probleme

99 99 101 109 110 112

Chapter 7. Elemente de calcul tensorial 1. Dualul unui spa¸tiu vectorial 2. Aplica¸tii multiliniare. Forme multiliniare 3. Tensori. Coordonatele unui tensor într-o baz¼ a 4. Opera¸tii cu tensori 5. Transformarea coe…cien¸tilor unui tensor la schimbarea bazei 6. Probleme

115 115 118 119 120 122 124

CHAPTER 1

Spa¸ tiul vectorilor liberi Calculul vectorial este o crea¸tie matematic¼ a, care î¸si a‡a¼ originea în …zic¼ a (mecanic¼ a). În acest capitol prezent¼ am opera¸tiile cu vectori care constituie algebra vectorial¼ a. Vectorii sunt entit¼ a¸ti matematice introduse pentru a reprezenta m¼ arimi mecanice ca: for¸ta, viteza, accelera¸tia etc. 1. Vectori liberi Fie S spa¸tiul geometriei elementare de…nit cu axiomele lui Euclid (numit ¸si spa¸tiul …zic sau spa¸tiul intuitiv ). Spa¸tiul S este tocmai spa¸tiul în care tr¼ aim ¸si este conceput ca o mul¸time de puncte. Dreptele, planele sunt submul¸timi ale lui S. Punctul, dreapta, planul ¸si spa¸tiul S sunt no¸tiuni primare legate prin anumite axiome, cunoscute din geometria elementar¼ a. În geometrie, vectorii sunt segmente orientate, iar în …zic¼ a acele m¼ arimi reprezentabile geometric prin segmente orientate. Astfel for¸ta aplicat¼ a într-un punct al unui sistem material este un vector legat. DEFINITIE. ¸ O pereche ordonat¼ a de puncte (A; B) 2 S S se nume¸ste segment ! orientat sau vector legat ¸si se noteaz¼ a AB (…g. 1.1). Punctul A se nume¸ste origine, iar punctul B extremitate. Dac¼ a A 6= B, dreapta determinat¼ a de punctele A ¸si B ! ! se nume¸ste dreapta suport a vectorului AB. Vectorul legat AA se nume¸ste vector legat nul, dreapta sa suport …ind nedeterminat¼ a. ! ! Vectorii lega¸ti AB ¸si BA se numesc opu¸ si ¸si sunt distinc¸ti dac¼ a A 6= B. ! ! DEFINITIE. ¸ Doi vectori lega¸ti nenuli AB ¸si CD au aceea¸ si direc¸tie dac¼ a dreptele lor suport sunt paralele sau coincid. ! Un vector legat nenul AB determin¼ a unic dreapta AB ¸si un sens de parcurs pe aceast¼ a dreapt¼ a: sensul de la A la B.

Fig. 1.1 3

4

1. SPA TIUL ¸ VECTORILOR LIBERI

! DEFINITIE. ¸ Fie punctele necoliniare A; B; C; D. Vectorii lega¸ti nenuli AB ¸si ! CD au aceea¸ si orientare (acela¸ si sens) dac¼ a au aceea¸si direc¸tie ¸si dac¼ a punctele B ¸si D se a‡a¼ de aceea¸si parte a dreptei determinat¼ a de A ¸si C (…g. 1.2). Dac¼ a ! ! A; B; C; D sunt coliniare, consider¼ am punctele E; F 2 = AB astfel încât AB ¸si EF au ! ! ! ! acela¸si sens. Spunem c¼ a AB ¸si CD au acela¸ si sens dac¼ a CD ¸si EF au acela¸si sens. Doi vectori lega¸ti care au aceea¸si direc¸tie, dar nu au aceea¸si orientare, se spune c¼ a au orient¼ari opuse (sensuri opuse).

Fig. 1.2

Fig. 1.3

! DEFINITIE. ¸ Se nume¸ste norma (lungimea sau modulul ) unui vector legat AB, distan¸ta dintre punctele A ¸si B (relativ la o unitate de m¼ asur¼ a …xat¼ a) ¸si se noteaz¼ a ! kABk. Evident lungimea vectorului legat nul este egal¼ a cu zero. ! ! OBSERVATIE. ¸ Vectorii lega¸ti AB ¸si CD sunt egali dac¼ a ¸si numai dac¼ aA C ¸si B D. ! ! DEFINITIE. ¸ Doi vectori lega¸ti nenuli AB ¸si CD se numesc echipolen¸ti (vom ! ! nota AB CD) dac¼ a au acela¸si sens ¸si aceea¸si lungime (…g.1.3). Vom admite c¼ a to¸ti vectorii lega¸ti nuli sunt echipolen¸ti. Este clar c¼ a: ! ! ! ! a) AB CD () AC BD; ! ! b) AB CD () ABDC este paralelogram; ! ! c) AB CD () [AD] ¸si [BC] au acela¸si mijloc. EXEMPLU. În patrulaterul ABCD, …e I, J, K, L, M , N mijloacele segmentelor [AB], [BC], [CD], [DA], [AC], respectiv [BD]. Deoarece IJ ¸si LK sunt linii ! ! mijlocii în triunghiurile ABC respectiv ACD, rezult¼ a c¼ a IJkLK ¸si kIJk = kLKk = ! ! 1 ! kACk. Cum J ¸si K se a‡a¼ în acela¸si semiplan, IJ ¸si LK au acela¸si sens. În 2 ! ! ! ! ! ! consecin¸ta¼ IJ LK. Similar se arat¼ a c¼ a N L JM ¸si LM N J. Rela¸tia de echipolen¸ta¼ în mul¸timea vectorilor lega¸ti are acelea¸si propriet¼ a¸ti ca ¸si rela¸tia de egalitate a numerelor ¸si anume: ! ! 1) AB AB; (re‡exivitate) ! ! ! ! 2) AB CD ) CD AB; (simetrie) ! ! ! ! ! ! 3) AB CD ¸si CD EF ) AB EF . (tranzitivitate)

2. OPERA TII ¸ CU VECTORI LIBERI

5

Aceste propriet¼ a¸ti rezult¼ a din de…ni¸tia echipolen¸tei. De exemplu, 3) este consecin¸ta¼ a tranzitivit¼ a¸tii paralelismului ¸si a egalit¼ a¸tii numerelor reale. Fiind dat un vector legat, exist¼ a o in…nitate de vectori lega¸ti echipolen¸ti cu acesta. DEFINITIE. ¸ Se nume¸ste vector liber mul¸timea tuturor vectorilor lega¸ti echipolen¸ti cu un vector legat dat. ! Vom nota vectorii liberi cu litere latine mici cu s¼ ageat¼ a: ! a ; b ; ::: ! ! ! ! Fie AB un vector legat. Consider¼ am vectorul liber ! a =fCD; CD ABg. ! ! Orice vector legat din a se nume¸ste reprezentant al vectorului liber a . Normal ar ! ! … s¼ a scriem AB 2 ! a , îns¼ a cum se obi¸snuie¸ste (prin abuz) vom scrie AB = ! a. ! Vectorul liber determinat de to¸ti vectorii lega¸ti nuli îl vom nota cu 0 ¸si se va numi vectorul nul.

Vom nota cu V3 mul¸timea vectorilor liberi din spa¸tiul S. DEFINITIE. ¸ Fie ! a 2 V3 . Prin direc¸tie, sens ¸si lungime ale vectorului liber ! a vom în¸telege direc¸tia, sensul respectiv lungimea comune tuturor vectorilor lega¸ti din ! a. Pentru orice vector liber ! a 2 V3 vom nota cu k! a k norma sau lungimea lui ! a, ! ! care coincide deci cu norma oric¼ arui reprezentant al s¼ au. Dac¼ a a = AB, atunci ! ! vectorul liber determinat de BA îl vom nota cu ! a , deci BA = ! a.

! ! DEFINITIE. ¸ Doi vectori liberi ! a ¸si b sunt egali ¸si vom scrie ! a = b dac¼ a reprezentan¸tii lor sunt echipolen¸ti sau, echivalent, dac¼ a au acela¸si sens ¸si aceea¸si lungime. DEFINITIE. ¸ Un vector liber cu lungimea unu se nume¸ste versor. DEFINITIE. ¸ Doi sau mai mul¸ti vectori liberi nenuli care au aceea¸si direc¸tie se numesc vectori coliniari. Trei sau mai mul¸ti vectori liberi nenuli care au reprezen! tan¸tii paraleli cu acela¸si plan se numesc vectori coplanari.Vectorul nul 0 având ! direc¸tia nedeterminat¼ a, se consider¼ a coliniar cu orice vector liber.Vectorul nul 0 este coplanar cu orice doi vectori liberi nenuli. OBSERVATIE. ¸ Fie O 2 S un punct …xat, numit origine. Pentru orice ! a 2 V3 ! ! exist¼ a un singur punct M astfel încât OM = a . În acest fel se stabile¸ste o bijec¸tie între V3 ¸si spa¸tiul …zic S în care am …xat originea O.

2. Opera¸ tii cu vectori liberi Fie, deci, V3 mul¸timea tuturor vectorilor liberi din S3 . Mul¸timea V3 se poate organiza ca un grup aditiv comutativ, de…nind adunarea prin regula triunghiului sau a paralelogramului. ! ! ! ! DEFINITIE. ¸ Fie ! a ; b 2 V3 ¸si OA 2 ! a ; AB 2 b . Vectorul liber ! c de ! ! ! reprezentant OB (…g. 2.1) se nume¸ste vectorul sum¼a al vectorilor a ¸si b ¸si se ! ! ! ! noteaz¼ a! c =! a + b sau în reprezentan¸ti OB = OA + AB. ! ! Este evident c¼ a vectorii ! a ; b ;! c =! a + b sunt coplanari. Regula cuprins¼ a în aceast¼ a de…ni¸tie se nume¸ste regula triunghiului.

6

1. SPA TIUL ¸ VECTORILOR LIBERI

Fig. 2.1 ! OBSERVATII. ¸ 1) Vectorul liber sum¼ a ! c = ! a + b nu depinde de alegerea ! ! punctului O, deci de…ni¸tia este ”corect¼ a”. A¸sadar dac¼ a CD 2 ! a ; C 6= O ¸si DE 2 ! ! ! b , atunci CE este echipolent cu OB. ! ! ! ! ! 2) Dac¼ a OA 2 a ¸si OB 2 b , atunci vectorul liber ! c = OC, unde OC este ! diagonala paralelogramului OACB , este, evident, vectorul sum¼ a! c =! a + b (…g. 2.2), iar regula respectiv¼ a se nume¸ste regula paralelogramului. Aceast¼ a regul¼ a se ! ! poate aplica numai dac¼ a vectorii a ¸si b nu sunt coliniari. Men¸tion¼ am c¼ a cele dou¼ a reguli pot … extinse la suma unui num¼ ar oarecare de vectori liberi.

Fig. 2.2 3) Experien¸ta arat¼ a c¼ a ac¸tiunea a dou¼ a for¸te în acela¸si punct poate … înlocuit¼ a cu ac¸tiunea unei singure for¸te reprezentat¼ a de diagonala paralelogramului constituit cu cele dou¼ a for¸te (vectori). A¸sadar, regula paralelogramului î¸si are originea în ! mecanic¼ a, compunerea for¸telor f¼ acându-se dup¼ a aceast¼ a regul¼ a: OC este rezultanta ! ! for¸telor OA ¸si OB. PROPOZITIA ¸ 2.1. (V3 ; +) este un grup comutativ.Mai precis au loc: 1) 2) 3) 4)

! ! ! ! a + b = b +! a ; 8! a ; b 2 V3 ; (comutativitate) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ( a + b ) + c = a + ( b + c ); a ; b ; c 2 V3 ; (asociativitate) ! ! 9 0 2 V3 astfel încât ! a + 0 =! a ; 8! a 2 V3 ; ! ! ! 8 a 2 V3 9 a 2 V3 astfel încât ! a +( ! a)= 0:

Demonstra¸tie. Comutativitatea este asigurat¼ a de regula paralelogramului. S¼ a ! ! ! ! justi…c¼ am acum asociativitatea. Fie ! a; b; ! c 2 V3 , cu OA 2 ! a ; AB 2 b ; ! ! ! ! ! BC 2 ! c (…g. 2.3). Atunci (! a + b)+! c are ca reprezentant pe OC = OB + BC, ! ! ! ! unde OB 2 ! a + b , iar vectorul ! a +(b +! c ) are ca reprezentant pe OC = ! ! ! ! ! ! ! = OA + AC, unde AC 2 b + c . Deci (! a + b)+! c =! a +(b +! c ), deoarece ! ! au acela¸si reprezentant OC. Elementul neutru este vectorul nul 0 . Pentru orice ! a 2 V3 , vectorul ! a este simetricul (opusul) vectorului ! a.

2. OPERA TII ¸ CU VECTORI LIBERI

7

Fig. 2.3

OBSERVATIE ¸ . Existen¸ ta opusului unui vector permite de…nirea sc¼aderii a doi ! ! ! ! vectori liberi ! a ; b prin ! a b = a + ( b ). În continuare, vom introduce o lege de compozi¸tie extern¼ a: : R numit¼ a înmul¸tirea unui vector liber cu un num¼ar real (scalar) astfel:

V3 ! V3

DEFINITIE ¸ . Fie 2 R ¸ si ! a 2 V3 . Prin vectorul liber ! a în¸telegem un vector liber determinat astfel: a) k ! a k = j j k! a k; b) dac¼ a ! a 6= 0 ¸si > 0 atunci ! a ¸si ! a au acela¸si sens, iar dac¼ a < 0 au ! ! ! sensuri opuse; când = 0 sau a = 0 , atunci ! a = 0. PROPOZITIA ¸ 2.2. În V3 , înmul¸tirea cu scalari a vectorilor liberi are urm¼atoarele propriet¼at¸i: 5) 1 ! a =! a ; 8! a 2 V3 ; ! 6) ( a ) = ( )! a ; 8 ; 2 R; 8! a 2 V3 ; ! ! 7) ( + ) a = a + ! a ; 8 ; 2 R; 8! a 2 V3 ; ! ! ! ! ! ! 8) ( a + b ) = a + b ; 8 2 R; 8 a ; b 2 V3 . Demonstra¸tie. Propunem 5) ¸si 6) ca exerci¸tiu. 7) A¸sadar, …e ; 2 R ¸si ! a 2 V3 . Vom ar¼ ata c¼ a ( + )! a = ! a + ! a . Distingem mai multe cazuri. a) Dac¼ a > 0, atunci vectorii ( + )! a ¸si ! a + ! a au acela¸si sens cu ! ! a dac¼ a ; > 0 ¸si sens contrar lui a dac¼ a ; < 0. Totodat¼ a j + j = j j + j j. Atunci k ! a + ! ak = k ! ak+k ! a k = j j k! a k + j j k! a k = (j j + j j)k! ak = = j + j k! a k = k( + )! a k. b) Dac¼ a > 0; < 0 ¸si + < 0, atunci ! a+ ! a = ! a +[ + ( + )]! a = ! ! ! ! = a a + ( + ) a = ( + ) a , conform a). Similar se trateaz¼ a celelalte cazuri.

8

1. SPA TIUL ¸ VECTORILOR LIBERI

Fig. 2.4 ! ! ! ! ! ! 8) Fie > 0 ¸si OA; OB; OC; OD reprezentan¸ti ai vectorilor ! a; b; ! a + b; ! (! a + b ) (…g. 2.4). Dac¼ a ED k OB, E 2 OA ¸si F D k OA, F 2 OB, din teorema ! ! ! ! fundamental¼ a a asem¼ an¼ arii rezult¼ a kOEk = kOAk . Similar kOF k = kOBk. În ! ! ! ! ! ! ! consecin¸ta¼ OE = OA; OF = OB. Din OD = OE + OF rezult¼ a 8). Dac¼ a 0 dac¼ a M 2 AB [AB].

0 dac¼ aM 2

PROPOZITIA ¸ 3.7. Dac¼a A; B 2 S; A 6= B s¸i punctul M 2 AB împarte [AB] în raportul , atunci 1 ! rM = (r! r! A B ): 1 ! ! ! ! ! ! ! ! Demonstra¸tie. Deoarece OA = OM + M A = OM + M B ¸si M B = OB OM , ! ! ! rezult¼ a OA = (1 ) OM + OB, adic¼ a tocmai rela¸tia din enun¸t. COROLAR 3.7.1. Dac¼a M (x; y; z) împarte segmentul [AB] în raportul A(xA ; yA ; zA ); B(xB ; yB ; zB ), atunci x=

1 1

(xA

xB ) ; y =

1 1

(yA

yB ); z =

În particular, dac¼a M este mijlocul lui [AB], atunci

1 1 =

(zA

s¸i

zB ) :

1 s¸i deci

1 1 1 (xA + xB ) ; y = (yA + yB ); z = (zA + zB ) : 2 2 2 PROBLEME REZOLVATE 1) Fie G centrul de greutate al unui triunghi ABC ! ! ! 1 ! ¸si O un punct oarecare din spa¸tiu. S¼ a se arate c¼ a OG = (OA + OB + OC). 3 ! ! ! ! 1 ! Solu¸tie. Dac¼ a AD este median¼ a, DB = DC, deci OD = (OB + OC). 2 ! ! ! ! 1 ! De asemenea din GA = 2GD ob¸tinem OG = (OA + 2OD); de unde rezult¼ a 3 a…rma¸tia. x=

2) Fie n puncte materiale M1 , M2 , :::, Mn , de mase m1 , m2 , :::, mn , respectiv. S¼ a se arate c¼ a exist¼ a un punct G unic determinat astfel încât ! ! ! ! (3.3) m1 GM1 + m2 GM2 + ::: + mn GMn = 0 : Dac¼ a M este un punct oarecare, atunci ! ! ! ! (3.4) m1 GM1 + m2 GM2 + ::: + mn GMn = (m1 + m2 + ::: + mn ) M G: Solu¸tie. Punctul G, dac¼ a exist¼ a, este unic. Într-adev¼ ar, dac¼ a G1 ar … un alt punct ce satisface ! ! ! ! m1 G1 M1 + m2 G1 M2 + ::: + mn G1 Mn = 0 ; ! ! ! atunci, scazând din (3.3) ¸si ¸tinând seama c¼ a G1 Mi GMi = G1 G, 1 i n, ! ! rezult¼ a c¼ a (m1 + m2 + ::: + mn ) G1 G = 0 . Cum m1 + m2 + ::: + mn 6= 0, ob¸tinem c¼ a G1 = G.

3. COLINIARITATE S ¸ I COPLANARITATE

13

! În ceea ce prive¸ste existen¸ta punctului G, …e O un punct …xat. Cum GMi = ! ! = OMi OG, 1 i n, rezult¼ a c¼ a OG =

! ! ! 1 (m1 OM1 + m2 OM2 + ::: + mn OMn ): m1 + m2 + ::: + mn

Punctul O …ind …x, iar punctele Mi ¸si numerele reale mi ; 1 i n …ind date, rezult¼ a c¼ a punctul G este bine determinat prin rela¸tia de mai sus. Rela¸tia (3.4) se ! ! ! ob¸tine folosind faptul c¼ a M Mi = M G + GMi , 1 i n, ¸si (3.3). DEFINITIE ¸ . Punctul G dat de rela¸ tia (3.3) se nume¸ste baricentrul (centrul de greutate) sistemului de puncte (M1 , M2 , :::, Mn ) relativ la sistemul de ponderi (m1 , m2 , :::, mn ). Dac¼ a m1 = m2 = ::: = mn 6= 0, se spune c¼ a sistemul de puncte este omogen, iar punctul G se nume¸ste izobaricentrul sistemului de puncte. S¼ a remarc¼ am c¼ a: a) punctul G r¼ amâne acela¸si când ponderile se înmul¸tesc cu un acela¸si num¼ ar real nenul; b) baricentrul nu depinde de ordinea punctelor Mi ; c) baricentrul nu se schimb¼ a dac¼ a se înlocuiesc r puncte (r < n) prin baricentrul lor având ca pondere suma nenul¼ a a ponderilor acestor puncte; ! ! ! d) dac¼ a (O; i ; j ; k ) este un reper cartezian ortogonal în spa¸tiu ¸si Mi (xi ; yi ; zi ), 1 i n, G(xG ; yG ; zG ), atunci n P

mi xi

xG = i=1 n P

i=1

; mi

n P

mi yi

yG = i=1 n P

i=1

; mi

m i zi zG = i=1 : n P mi

Dac¼ a sistemul de puncte este omogen, atunci xG = zG

n P

i=1

n n 1 P 1 P xi , yG = yi , n i=1 n i=1 =

n 1 P zi . Pentru n = 2 ob¸tinem mijlocul segmentului [M1 M2 ], iar pentru n = 3; n i=1 G este centrul de greutate al triunghiului M1 M2 M3 . ! Fie AB un vector legat ¸si d S o dreapt¼ a. Prin A ¸si B ducem planele P1 respectiv P2 , perpendiculare pe d. Not¼ am C = d \ P1 ; D = d \ P2 .

=

! DEFINITIE ¸ . Vectorul legat CD construit mai sus se nume¸ ste proiec¸tia ortogo! nal¼a a vectorului legat AB pe dreapta d. ! ! Dac¼ a AB ? d, atunci CD = 0 . ! ! ! ! Dac¼ a EF AB ¸si GH este proiec¸tia ortogonal¼ a a lui EF pe dreapta d, atunci ! ! este evident c¼ a GH CD. Putem, deci, de…ni proiec¸tia ortogonal¼a a unui vector liber ! a 2 V3 pe o dreapt¼ a ca …ind proiec¸tia ortogonal¼ a a unui reprezentant oarecare ! al vectorului. Dac¼ a d0 kd atunci proiec¸tiile ortogonale ale unui vector legat AB pe d0 respectiv d sunt vectori lega¸ti echipolen¸ti. Putem vorbi deci de proiec¸tia ortogonal¼a ! ! a unui vector liber ! a pe un alt vector liber nenul b , pe care o not¼ am ! a (este b un vector liber!).

14

1. SPA TIUL ¸ VECTORILOR LIBERI

! ! ! ! ! DEFINITIE ¸ . Fie ! a ; b 2 V3 nf 0 g ¸si OA 2 ! a ; OB 2 b . Num¼ arul real ' 2 [0; ] ! ! ce reprezint¼ a unghiul dintre dreptele suport ale vectorilor OA ¸si OB se nume¸ste ! unghiul dintre vectorii ! a ¸si b . Evident, de…ni¸tia nu depinde de alegerea punctului O. ! DEFINITIE ¸ . Dac¼ a unghiul ' = , atunci vectorii ! a ¸si b se numesc vectori 2 ortogonali. ! Prin conven¸tie, se accept¼ a c¼ a vectorul nul 0 este ortogonal pe orice vector. ! ! Dac¼ a u este un versor al vectorului ! a , atunci exist¼ a 2 R astfel încât b ! ! ! ! ! a = u . Este clar c¼ a dac¼ a unghiul dintre a ¸si b este ', atunci = = b ! k a k cos ' ¸si c¼ a > 0, dac¼ a ' 2 [0; ), < 0 dac¼ a ' 2 ( ; ] ¸si = 0 dac¼ a'= . 2 2 2 ! ! ! DEFINITIE ¸ . Fie a ; b 2 V3 nf 0 g, ' 2 [0; ] unghiul dintre ei. Num¼ arul real ! k! a k cos ', notat pr! a se nume¸ s te m¼ a rimea algebric¼ a a proiec¸ t iei ortogonale a b ! ! ! ! vectorului a pe vectorul b . Deci pr! a = k a k cos ' (…g.3.4). b

Fig. 3.4 ! OA0 = k! a k cos ' = pr! a: b

PROPOZITIA ¸ 3.8. M¼arimea algebric¼a a proiec¸tiei ortogonale are urm¼atoarele propriet¼at¸i: ! ! ! ! ! ! ! ! 1) pr! c a + pr! c b ; 8 a ; b ; c 2 V3 nf 0 g. c ( a + b ) = pr! ! ! ! 2) pr! ( ! a ) = pr! a ; 8 2 R; ! a ; b 2 V3 nf 0 g. b b Demonstra¸tia nu prezint¼ a di…cult¼ a¸ti.Vom justi…ca, de exemplu, 1). ! ! ! ! ! Fie OA 2 ! a ; AB 2 b ¸si OB 2 ! a + b (…g. 3.5). Atunci ! ! pr! ! a = O0 A0 ; pr! b = A0 B 0 ; pr! (! a + b ) = O0 B 0 : c

c

c

A…rma¸tia rezult¼ a deoarece O0 B 0 = O0 A0 + A0 B 0 .

Fig. 3.5

4. PRODUSE CU VECTORI LIBERI

15

4. Produse cu vectori liberi ! ! 4.1. Produsul scalar a doi vectori liberi. Fie ! a ; b 2 V3 nf 0 g ¸si ' 2 [0; ] ! unghiul dintre ! a ¸si b : ! DEFINITIE ¸ . Se nume¸ ste produs scalar al vectorilor ! a ; b 2 V3 num¼ arul real ! ! notat a b , de…nit prin: ( ! ! ! ! k! a k k b k cos ' , dac¼ a! a ; b 2 V3 nf 0 g ! a b = ! ! ! . 0 , dac¼ a! a = 0 sau b = 0 ! ! Evident ! a b > 0 dac¼ a ' 2 [0; ), ! a b < 0 dac¼ a ' 2 ( ; ]. 2 2 OBSERVATIE ¸ . No¸ tiunea de produs scalar î¸si are originea în …zic¼ a. Este cunos! cut c¼ a lucrul mecanic efectuat de o for¸ta¼ F care ac¸tioneaz¼ a asupra unui punct ! ! ! ! ! material care se deplaseaz¼ a cu vectorul d este L = F d = k F kk d k cos ', unde ! ! ' este unghiul dintre F ¸si d . PROPOZITIA ¸ 4.1. Produsul scalar al vectorilor liberi are urm¼atoarele propriet¼at¸i: ! ! ! 1) ! a b = b ! a ; 8! a ; b 2 V3 (comutativitate); ! ! ! ! 2) (! a b)=( ! a) b =! a ( b ); 8! a ; b 2 V3 ; 2 R; ! ! ! 3) ! a (b +! c)=! a b +! a ! c ; 8! a ; b ;! c 2 V3 (distributivitatea fa¸t¼a de adunarea vectorilor); ! ! ! 4) ! a ! a > 0; 8! a 2 V3 nf 0 g; a ! a = 0 () ! a = 0; ! ! 5) ! a s¸i b sunt ortogonali () ! a b = 0; ! ! ! ! ! ! ! 6) dac¼a ! a = a1 i + a2 j + a3 k ; b = b1 i + b2 j + b3 k , atunci: ! ! a b =a b +a b +a b ; 1 1

2 2

3 3

(expresia analitica a produsului scalar ) ! a ! a = a2 + a2 + a2 = k! a k2 ; 1

2

3

! ! 7) dac¼a ! a ; b 2 V3 nf 0 g, atunci: ! ! a b a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 p cos ' = ; ! =p 2 ! a1 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 kak kbk

8) dac¼a A; B 2 S3 s¸i A(x1 ; y1 ; z1 ); B(x2 ; y2 ; z2 ), atunci distan¸ta dintre punctele A s¸i B, notat¼a d (A; B) este dat¼a de: q ! 2 2 d (A; B) = kABk = (x2 x1 ) + (y2 y1 )2 + (z2 z1 ) : ! ! Demonstra¸tie. Fie ! a ; b 2 V3 nf 0 g. Atunci avem: ! ! ! ! 1) b ! a = k b k k! a k cos( ') = k! a k k b k cos ' = ! a b. 2) Pentru > 0 ob¸tinem: ! ! ! ! (! a b ) = k! a k k b k cos ' = k ! a k k b k cos ' = ( ! a) b; iar pentru < 0: ! (! a b)= (

! ! )k! a k k b k cos ' = k ! a k k b k cos( ! deoarece unghiul dintre ! a ¸si b este ', dac¼ a < 0.

! ') = ( ! a) b;

16

1. SPA TIUL ¸ VECTORILOR LIBERI

Analog se ob¸tine ultima egalitate. ! ! ! ! 3) Se observ¼ a c¼ a! a b = k b k pr! a = k! a k pr! a b . Atunci: b ! ! ! ! ! ! ! ! ! a (b +! c ) = k! a k pr! b+ a ( b + c ) = k a k(pr! a b + pr! a c ) = a ! ! + a c (propozi¸tia 3.5). ! 4) ! a ! a = k! a k2 cos 0 = k! a k2 > 0; 8! a 2 V3 nf 0 g; ! a ! a = 0 () ! ! ! k a k = 0 () a = 0 . ! ! ! 5) Dac¼ a! a ¸si b 2 V3 nf 0 g sunt ortogonali, atunci ' = , deci ! a b = 0. 2 ! ! ! Reciproc, dac¼ a! a b = 0, atunci sau k! a k = 0 (! a = 0 ), sau b = 0 sau cos ' = 0, ! deci ' = 2 [0; ], adic¼ a! a ¸si b sunt ortogonali. 2 ! ! ! ! ! ! ! ! 6) Folosind 5) rezult¼ a i j = 0; j k = 0; k i = 0. În plus, i i = ! ! ! 2 ! ! = k i k = 1; j j = 1; k k = 1. Expresia analitic¼ a se ob¸tine atunci folosind 1),2),3). ! ! 7) Tinem ¸ seama de cele de mai sus ¸si de cos ' = ! a b =(k! a k k b k). 8) Folosim (6). ! PROBLEME REZOLVATE. 1) Fie ! a =! u 3! v; b = ! u + 2! v ; k! u k = 3; p ! ! ! a se calculeze: k v k = 2; ( ) = ; …ind unghiul dintre u ¸si v : S¼ 4 ! ! a) a b ; ! b) lungimile diagonalelor paralelogramului construit pe vectorii ! a ¸si b ¸si unghiul dintre ele. ! Solu¸tie. a) Cum ! u ! v = 3, rezult¼ a c¼ a! a b = 6. b) Diagonalele parale! ! ! ! ! ! logramului sunt d1 = ! a + b ; d2 = ! a b , deci d1 = ! v ; d2 = 2! u 5! v : Atunci p p ! ! ! ! ! ! ! ! 2 kd1 k = k v k = 2; kd2 k = (2 u 5 v )(2 u 5 v ) = 26: În consecin¸ta¼ kd2 k = 26. !! d1 : d2 2 cos = ! ! = p . 13 k d1 k k d2 k 2) Fie A; B; C; D patru puncte în spa¸tiu. S¼ a se demonstreze egalitatea lui Euler : ! ! ! ! ! ! AB CD + BC AD + AC DB = 0: ! Solu¸tie. Dac¼ a O este un punct din spa¸tiu, egalitatea rezult¼ a folosind AB = ! OB ! OA etc. Din aceast¼ a egalitate ob¸tinem: a) În triunghiul ABC, …e H punctul de intersec¸tie a dou¼ a în¼ al¸timi, …e ele AH ¸si BH. Aplicând egalitatea lui Euler punctelor A; B; C; H, rezult¼ a c¼ a ¸si CH este în¼ al¸time. Astfel se demonstreaz¼ a vectorial concuren¸ta în¼ al¸timilor într-un triunghi. b) Dac¼ a într-un tetraedru exist¼ a dou¼ a perechi de muchii opuse perpendiculare, atunci ¸si cea de a treia pereche de muchii opuse este format¼ a din muchii perpendiculare. 3) Se dau punctele A (2; 1; 3), B(3; 3; 1), C(4; 2; 2). S¼ a se calculeze perimetrul, aria triunghiului ABC ¸si lungimea în¼ al¸timii din B. p p p p ! ! ! Solu¸tie. Cum kABk = 21, kACk = 14, kBCk = 3, perimetrul este 21+ p p ! ! ! ! ! ! + 14 + 3. Dar 4S 2 = kABk2 kACk2 sin2 A = kABk2 kACk2 kABk2 kACk2

4. PRODUSE CU VECTORI LIBERI

q ! ! 1 cos2 A, deci S = kABk2 kACk2 2 p 2S 19 hb = = ! = p . 7 kACk

! ! (AB AC)2 . Calculând ob¸tinem S =

17

p

38 , 2

! 4.2. Produsul vectorial a doi vectori liberi. Fie ! a ; b 2 V3 ¸si ' 2 [0; ] ! ! ! a! a ; b 2 V3 nf 0 g. unghiul dintre ! a ¸si b dac¼

! DEFINITIE ¸ . Se nume¸ ste produs vectorial al vectorilor ! a ¸si b ¸si se noteaz¼ a ! ! a b , vectorul: ! a

! b =

(

! k! a k k b k sin ' ! e , dac¼ a! a ¸si ! ! 0 , dac¼ a a ¸si

! b sunt necoliniari ; ! b sunt coliniari

unde ! e este un versor perpendicular pe planul determinat de reprezentan¸tii lui ! a ! ¸si b având aceea¸si origine ¸si orientat dup¼ a ”regula burghiului”¸si anume în sensul ! de înaintare a unui burghiu când ! a se rote¸ste c¼ atre b printr-un unghi minim (…g. 4.1).

Fig. 4.1 ! OBSERVATIE ¸ . Efectul de rotire pe care îl produce o for¸ ta¼ F se m¼ asoar¼ a prin ! momentul for¸tei. Dac¼ a O este un punct …xat ¸si P punctul de aplica¸tie al for¸tei F , ! ! momentul este prin de…ni¸tie vectorul OP F . Punctul O se mai nume¸ste ¸si polul momentului. PROPOZITIA ¸ 4.2. Produsul vectorial are propriet¼at¸ile: ! ! ! ! 1) ! a b = (b a ); 8! a ; b 2 V3 ; (anticomutativitate) ! ! ! ! ! ! ! 2) ( a b)= a b = a b ; 8 2 R; ! a ; b 2 V3 ; ! ! ! ! 3) (! a + b) ! c =! a ! c + b c , 8! a ; b ;! c 2 V3 ; (distributivitate fa¸t¼a de adunarea vectorilor) ! 4) ! a ! a = 0 ; 8! a 2 V3 ; ! ! ! ! ! ! 2 5) k a b k = k a k2 k b k2 (! a b )2 ; 8! a ; b 2 V3 ; (identitatea lui Lagrange)

18

1. SPA TIUL ¸ VECTORILOR LIBERI

! ! ! ! ! ! ! 6) Dac¼a ! a = a1 i + a2 j + a3 k , b = b1 i + b2 j + b3 k , atunci ! ! ! ! ! a b = (a2 b3 a3 b2 ) i + (a3 b1 a1 b3 ) j + (a1 b2 a2 b1 ) k = ! ! ! i j k = a1 a2 a3 ; b 1 b2 b 3 (expresia analitic¼a a produsului vectorial) ! 7) k! a b k este aria paralelogramului construit pe suporturile reprezentan¸tilor ! lui ! a s¸i b având aceea¸ si origine. Aria unui triunghi ABC este dat¼a de ! 1 ! A ABC = kAB ACk: 2 Demonstra¸tie. ! ! 1) Dac¼ a! a ; b 2 V3 nf 0 g, atunci: ! b

! ! ! ! a = k b kk! a k sin( ')! e = k! a kk b k sin '! e = ! a b: ! ! ! ! ! ! ! 2) Dac¼ a > 0 ¸si a ; b 2 V3 nf 0 g, atunci ^( a ; b ) = ^( a ; b ), deci: (! a

! ! ! b ) = k! a kk b k sin ' ! e =k ! a kk b k sin '! e =( ! a)

! b:

Celelalte cazuri se trateaz¼ a analog. ! ! ! ! ! ! ! ! ! 3) Fie OA 2 a; OB 2 b ; OC 2 c ; OD 2 d = a + b (…g. 4.2) ¸si un plan perpendicular pe OC în O. Fie A0 ; B 0 ; D0 proiec¸tiile ortogonale ale punctelor A; ! B respectiv D pe planul . Evident OA0 D0 B 0 este un paralelogram. Fie OA00 = = ! ! ! ! ! ! ! ! ! OA0 OC; OB 00 = OB 0 OC; OD00 = OD0 OC. Dac¼ a ' este unghiul dintre OA ¸si ! ! ! ! ! OC, atunci kOA0 k = kOAk sin ' ¸si cum unghiul dintre OA0 ¸si OC este 900 , rezult¼ a !0 !0 ! ! ! ! ! ! ! ! c¼ a OA OC = OA OC . Similar ob¸tinem OB OC = OB OC; OD OC = ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! OD0 OC . Dar kOA00 k = kOA0 k kOCk; OA00 ?OC; OA00 ?OA0 . Rezult¼ a c¼ a OA00 !0 se ob¸tine rotind vectorul OA în planul cu un unghi de 900 . Analog se ob¸tin ! ! OB 00 , OD00 . A¸sadar OA00 D00 B 00 se ob¸tine rotind paralelogramul OA0 D0 B 0 cu 900 , ! ! ! deci este un paralelogram. În concluzie OD00 = OA00 + OB 00 sau, folosind rela¸tiile ! ! ! ! ! ! ! ! anterioare, OD OC = OA OC + OB OC, adic¼ a (! a+b) ! c =! a ! c+b ! c.

Fig. 4.2

4. PRODUSE CU VECTORI LIBERI

19

4) Folosim de…ni¸tia. 5) Deoarece sin2 ' = 1 cos2 ', rezult¼ a ! ! ! ! k! a b k2 = k! a k2 k b k2 k! a k2 k b k2 cos2 ' = k! a k2 k b k2

! (! a b )2 : ! ! ! ! ! ! ! = j i; j k = i = k j; ! ! ! ! j = k k = 0 . Determinantul se va

! ! ! 6) Se ¸tine seama c¼ a i j = k ! ! ! ! ! ! ! ! k i = j = i k ¸si i i = j dezvolta dup¼ a elementele primei linii. ! ! ! 7) Dac¼ a OA = ! a ; OB = b , atunci aria paralelogramului este ! ! ! ! kOAk kOBk sin ' = k! a k k b k sin ' = k! a b k. (…g. 4.3)

Fig. 4.3 OBSERVATIE ¸ . Din proprietatea 3 rezult¼ a c¼ a dac¼ a într-un punct P sunt aplicate mai multe for¸te, atunci momentul rezultantei este egal cu suma momentelor for¸telor (Varignon). PROBLEME REZOLVATE. 1) S¼ a se calculeze aria paralelogramului construit p ! ! ! ! ! ! pe vectorii v1 = a + 3 b , v2 = 2! a b , ¸stiind c¼ a k! a k = 3, k b k = 4 ¸si ! ^(! a; b)= . 3 ! ! ! ! v1 ! v2 = 7 b a . Aria paraleloSolu¸tie. k! a b k = k! a kk b k sin = 6, ! ! ! 3 ! ! gramului este k v1 v2 k = 7k b a k = 42.

2) Fie A ( 1; 1; 0), B (2; 1; 3), C (4; 2; 2). S¼ a se calculeze aria triunghiului ABC. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Solu¸tie. AB = 3 i 2 j + 3 k , AC = 5 i + j + 2 k , AB AC = 7 i + ! ! +9 j + 13 k . Atunci ! 1 ! 1p A4ABC = kAB ACk = 299: 2 2 4.3. Produsul mixt a trei vectori liberi. DEFINITIE ¸ . Se nume¸ ste produs ! ! ! ! ! ! mixt al vectorilor a ; b ; c 2 V3 , num¼ arul real, notat ( a ; b ; c ), care este egal cu ! ! produsul scalar al vectorilor ! a ¸si b c: ! ! ! (! a ; b ;! c)=! a (b c) PROPOZITIA ¸ 4.3. Produsul mixt are urm¼atoarele propriet¼at¸i: 1) Dac¼a ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! a = a1 i + a2 j + a3 k ; b = b1 i + b2 j + b3 k ; ! c = c1 i + c2 j + c3 k ; atunci (4.1)

! (! a ; b ;! c)=

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

:

(expresia analitic¼a a produsului mixt a trei vectori liberi);

20

1. SPA TIUL ¸ VECTORILOR LIBERI

! ! ! ! ! (! a ; b ;! c ) = ( b ;! c ;! a ) = (! c ;! a ; b ); (! a ; b ;! c ) = (! a ;! c ; b ); ! ! (! a ; b ;! c ) = 0 dac¼a s¸i numai dac¼a ! a ; b ;! c sunt coplanari; ! (! a ; b ;! c ) este volumul paralelipipedului oblic construit pe suporturile reprezen! c considera¸ti cu origine comun¼a; tan¸tilor vectorilor ! a ; b ;! ! ! ! 5) (! u +! v ; b ;! c ) = (! u; b ;! c ) + (! v ; b ;! c ). 2) 3) 4)

Demonstra¸tie. 1) Se folosesc expresiile analitice ale produsului scalar ¸si ale produsului vectorial. 2) Se utilizeaz¼ a propriet¼ a¸tile determinan¸tilor. 3) Produsul mixt este nul dac¼ a ¸si numai dac¼ a o linie a determinantului din (4.1) este combina¸tie liniar¼ a de celelalte dou¼ a, ceea ce este echivalent cu faptul c¼ a unul dintre vectori este combina¸tie liniar¼ a a celorlal¸ti doi, adic¼ a sunt coplanari. 4) Dac¼ a ! ! ! ! ! ! OA 2 ! a ; OB 2 b ; OC 2 ! c ; OD 2 b

! ! c ; ' = ^(! a; b

! c );

atunci considerând ca baz¼ a paralelogramul OBCM (…g. 4.4) ¸si cum OA0 este în¼ al¸timea paralelipipedului relativ la aceast¼ a baz¼ a, rezult¼ a: ! V =kb

! ! c k OA0 = k b

! ! c kk! a k jcos 'j = (! a ; b ;! c) :

5) Se folosesc propriet¼ a¸tile determinan¸tilor.

Fig. 4.4 PROBLEME REZOLVATE. 1) S¼ a se determine volumul paralelipipedului con! struit pe vectorii ! a =! u + 2! v , b = 5! u 4! v + 3! w, ! c =! u +! v ! w , ¸stiind c¼ a p p ! ! ! ! ! ! k u k = 2 2, k v k = 3, k w k = 2, ^( v ; w ) = , iar unghiul dintre vectorul u ¸si 3 planul determinat de vectorii ! v ¸si ! w este . 4 ! ! Solu¸tie. (! a ; b ;! c ) = 17(! u;! v ;! w ); (! u;! v ;! w) = ! u (! v w ) = k! uk ! ! ! ! ! ! kv w k cos = 6, deoarece k v w k = k v kk w k sin = 3. Atunci volumul 4 3 este V = 17 3 = 51. 2) S¼ a se determine volumul V ¸si în¼ al¸timea h din D ale tetraedrului ABCD, dac¼ a A (1; 5; 4), B (0; 3; 1), C (2; 4; 3), D (1; 0; 1).

4. PRODUSE CU VECTORI LIBERI

! Solu¸tie. AB =

! ! i +2j

! ! ! ! 3 k , AC = i + 9 j

! ! ! ! ! ! ! (AB; AC; AD) = 13, AB AC = 25 i 4j p 762 13 . Aria 4ABC este , deci h = p 2 762

! 11 k . V =

21

! ! ! k , AD = 5 j ! ! ! (AB; AC; AD) 6

! 3k, =

13 . 6

! 4.4. Dublul produs vectorial. DEFINITIE ¸ . Dac¼ a ! a ; b ;! c 2 V3 , vectorul ! ! ! ! a (b c ) se nume¸ste dublul produs vectorial al vectorilor ! a ; b ;! c. ! ! ! PROPOZITIA ¸ 4.4. Dublul produs vectorial d = ! a (b c ) este un vector ! ! coplanar cu vectorii b s¸i c s¸i ! d =

! ! b c : ! ! ! a b a ! c

! ! ! ! ! ! Demonstra¸tie. Din de…ni¸tie d ?! a; d?b ! c . Dar ¸si b ? b ! c;! c? b ! c, ! ! deci d este coplanar cu b ¸si ! c . Egalitatea din enun¸t se demonstreaz¼ a folosind expresiile analitice ale produsului vectorial ¸si ale produsului scalar. OBSERVATIE ¸ . Deoarece produsul vectorial nu este asociativ, este obligatorie e-xisten¸ta parantezelor în expresia dublului produs vectorial. Spre exemplu, dac¼ a ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! a = i + j ; b = j + k ; c = k + i ; atunci a (b c ) = i + j ; iar ! ! ! (! a b) ! c = i + k: ! ! PROPOZITIA ¸ 4.5. Dac¼a ! a ; b ;! c ; d 2 V3 , atunci (! a

! ! b) (c

Demonstra¸tie. Fie ! v = ! c produsului scalar, rezult¼ a: (! a

! d)=

! ! a ! c ! a d ! ! ! ! : b c b d

! d . Folosind propriet¼ a¸tile produsului mixt ¸si

! ! ! ! ! ! b ) v = (! v ! a ) b = ((! c d) ! a ) b = [(! a ! c)d ! ! ! ! ! ! (! a d )! c ] b = (! a ! c )( b d ) (! a d )( b ! c ):

! DEFINITIE ¸ . Dac¼ a! a ; b ;! c 2 V3 , num¼ arul real: ! ! a ! a ! a b ! a ! c ! ! ! ! ! ! b a b b b c ! ! c ! a ! c b ! c ! c se nume¸ste determinantul Gram al celor trei vectori. ! PROPOZITIA ¸ 4.6. Vectorii ! a ; b ;! c sunt coplanari dac¼a s¸i numai dac¼a determinantul lor Gram este nul. ! Demonstra¸tie. Folosind expresiile analitice ale vectorilor ! a ; b ;! c se arat¼ a c¼ a ! determinantul Gram este egal cu (! a ; b ;! c )2 .

22

1. SPA TIUL ¸ VECTORILOR LIBERI

5. Probleme 1. Fie ABC un triunghi ¸si M un punct variabil. S¼ a se arate c¼ a vectorul ! ! ! M A + 2M B 3M C este constant. 2. Dac¼ a O este punctul de intersec¸tie al diagonalelor paralelogramului ABCD, ! ! ! ! ! iar M un punct oarecare, atunci M A + M B + M C + M D = 4M O. 3. Fie AB ¸si CD dou¼ a coarde perpendiculare în cercul de centru O ¸si I punctul ! ! ! ! ! lor de intersec¸tie. S¼ a se arate c¼ a IA + IB + IC + ID = 4IO. 4. S¼ a se arate c¼ a G este centrul de greutate al unui triunghi ABC, dac¼ a ¸si ! ! ! ! numai dac¼ a GA + GB + GC = 0 . În plus, dac¼ a M; N; P sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC, atunci triunghiurile M N P ¸si ABC au acela¸si centru de greutate. 5. Fie Ai , 1

i

6 mijloacele laturilor unui hexagon convex. S¼ a se arate c¼ a:

a) se poate construi un triunghi cu segmentele [A1 A2 ], [A3 A4 ], [A5 A6 ]; b) triunghiurile A1 A3 A5 ¸si A2 A4 A6 au acela¸si centru de greutate. 3 de B. Dac¼ a M este un punct 6. Punctul C se a‡a¼ pe segmentul [AB] la 5! ! ! ! ! oarecare, s¼ a se exprime M C în func¸tie de a = M A ¸si b = M B. 7. Dac¼ a punctele A1 , B1 , C1 împart segmentele [BC], [CA], [AB] respectiv în acela¸si raport , s¼ a se arate c¼ a segmentele [AA1 ], [BB1 ], [CC1 ] pot … laturile unui triunghi. 8. Dac¼ a AD este bisectoarea unghiului A a triunghiului ABC, D 2 (BC), iar ! br! B + crC b, c sunt lungimile laturilor [BC] ¸si [AB] ; atuncir! . D = b+c 9. Dac¼ a a; b; c sunt lungimile laturilor [BC], [CA], respectiv [AB] ale unui triunghi ABC, iar I centrul cercului înscris în triunghiul ABC, atunci are loc ar! + br! + cr! = (a + b + c) ! r : A

B

C

I

10. S¼ a se demonstreze c¼ a cele trei drepte care unesc mijloacele muchiilor opuse ale unui tetraedru ¸si cele patru drepte care unesc …ecare vârf cu centrul de greutate al fe¸tei opuse sunt concurente. 11. Fie A ¸si B dou¼ a puncte distincte. Determina¸ti mul¸timea punctelor M ! ! pentru care exist¼ a t 2 R astfel încât r! M = trA + (1 + t) rB . Caz particular t 2 [0; 1]. 12. Punctele C1 , A1 , B1 împart laturile [AB], [BC] respectiv [CA] în rapoartele , , respectiv . Punctele A1 , B1 , C1 sunt coliniare dac¼ a ¸si numai dac¼ a =1 (teorema lui Menelaus). 13. Se dau punctele A (2; 3; 4), B (3; 2; 1), C (0; 1; 2). S¼ a se determine un punct D astfel încât ABCD s¼ a …e paralelogram. 14. a) S¼ a se arate c¼ a punctele A (1; 5; 2), B (9; 1; 22), C ( 3; 8; 14) sunt coliniare; b) Pentru ce valoare a lui punctele A, B ¸si D ( 7; 11; 2 + 12 ) sunt coliniare? c) Punctele A, B ¸si E ( 7; 5 2 ; 2 + 12 ) pot … coliniare?

5. PROBLEM E

23

! ! ! ! ! 15. S¼ a se determine astfel încât vectorii ! a = i +2j +4k, b = i + ! ! ! ! ! ! +( 1) j + (6 ) k, c = 2i j + ( + 4) k s¼ a …e coplanari. Pentru ! ! 20 ! s¼ a se descompun¼ a vectorul a dup¼ a direc¸tiile lui b ¸si c . = 9 16. Fie ! m, ! n, ! p trei vectori necoplanari. a) Sunt coplanari vectorii ! u = ! m+! n +! p, ! v = ! m + 2! n 3! p, ! w = ! ! ! = m +4n +9p? b) S¼ a se descompun¼ a vectorul ! a = 2! m + 7! n + 21! p dup¼ a direc¸tiile vectorilor ! ! ! u , v , w. ! ! ! 17. Fie ! a , b vectori nenuli. S¼ a se arate c¼ a vectorii ! a + b ¸si ! a b sunt ! ortogonali dac¼ a ¸si numai dac¼ a k! a k = k b k. ! ! 18. S¼ a se arate c¼ a vectorii ! u = (! a b) ! c (! a ! c ) b ¸si ! a sunt ortogonali. ! ! 19. Dac¼ a u ¸si v sunt doi versori ortogonali, atunci vectorii ! a = ! u ! v ¸si ! ! ! b = u + v sunt ortogonali.

! ! 2 20. S¼ a se interpreteze geometric egalitatea k! a + b k2 = k! a b k = k! a k2 + ! 2 +k b k . ! ! 2 ! 21. S¼ a se arate c¼ a k! a + b k2 + k! a b k = 2(k! a k2 + k b k2 ). Interpretare geometric¼ a. 22. Dac¼ a G este baricentrul sistemului de puncte materiale (M1 ; M2 ; :::; Mn ) re-lativ la sistemul de ponderi (m1 ; m2 ; :::; mn ), iar M un punct arbitrar, s¼ a se arate n n n P P ! 2 ! 2P ! 2 c¼ a mi kM Mi k = kM Gk mi + mi kGMi k (Stewart). i=1

i=1

i=1

! ! 23. S¼ a se calculeze rezultanta for¸telor F1 = 2! m + 3! n +! p , F2 = ! m 3! n , dac¼ a ! ! ! ! k mk = 1, k p k = 2, ]( m; p ) = . 3 ! ! ! ! 24. Dac¼ a k a k = k b k = k! c k = 1 ¸si ! a + b +! c = 0 , s¼ a se calculeze ! ! ! a b + b! c +! a! c. p 25. Fie vectorii ! m ¸si ! n , unde k! mk = 2, k! n k = 2, ](! m; ! n ) = . S¼ a se 4 ! determine astfel ca vectorii ! a = 2! m 3! n ¸si b = ! m+! n s¼ a …e ortogonali. ! ! ! 26. Pentru ce valoare a lui , vectorii ! u = i +2j +( 1) k , ! v = ! ! ! =2i j + 3 k sunt ortogonali? ! ! ! ! 27. Fie vectorii ! u = 2! a b , v = 3! a + 2 b , unde k! a k = 3, k b k = 4, ! iar ! a ¸si b sunt ortogonali. S¼ a se calculeze lungimile diagonalelor paralelogramului construit pe vectorii ! u ¸si ! v ¸si unghiul dintre ele.

28. Se dau punctele A (1; 1; 1), B (2; 1; 1), C (0; 2; 4). S¼ a se calculeze perime-trul ¸si unghiurile triunghiului ABC: 29. Se dau punctele A (12; 4; 3), B (3; 12; 4), C (2; 3; 4). S¼ a se arate c¼ a: a) triunghiul AOB este isoscel; b) triunghiul AOC este dreptunghic; c) s¼ a se calculeze perimetrul triunghiului ABC.

24

1. SPA TIUL ¸ VECTORILOR LIBERI

30. S¼ a se determine un vector de norm¼ a 26 situat în planul xOy, care s¼ a …e ! ! ! perpendicular pe vectorul ! a = 12 i + 5 j 7k. ! ! ! ! ! ! ! 31. Se consider¼ a vectorii ! a = 2 i +5 j 7 k , b = i + j + k . S¼ a se calculeze ! ! ! ! unghiul dintre vectorii a ¸si b , precum ¸si pr! b. a b 32. S¼ a se determine un versor al bisectoarei unghiului C al triunghiului ABC, unde A (0; 1; 1), B ( 1; 1; 2), C (1; 2; 3). 33. S¼ a se arate c¼ a punctele A ( 4; 0; 1), B (0; 1; 1), C (4; 4; 0), D (4; 6; 1) sunt coplanari. S¼ a se calculeze aria patrulaterului ABCD. ! ! ! 34. S¼ a se calculeze (! a + b) (b a ). Interpretare geometric¼ a. ! 35. S¼ a se arate c¼ a în orice triunghi ABC are loc AB ! ! = CA AB.

! ! BC = BC

! CA =

36. S¼ a se calculeze aria ¸si lungimile diagonalelor paralelogramului construit pe ! ! ! ! vectorii ! u =! a 2b,! v = 2! a + 3 b , ¸stiind c¼ a k! a k = 4, k b k = 5, ](! a; b)= . 3 ! ! ! 37. S¼ a se calculeze aria paralelogramului construit pe vectorii a = i + 2 j ! ! ! ! ! k, b =2i j + k . S¼ a se determine un versor perpendicular pe cei doi vectori. 38. Fie vectorii necoliniari ! u ¸si ! v . Pentru ce valoare a lui vectorii ! a = ! ! ! ! ! = u 2 v , b = 2 u + v sunt coliniari? 39. Se dau punctele A ( 1; 2; 0), B (1; 1; 1), C (2; 3; 4). S¼ a se calculeze aria triunghiului ABC ¸si lungimea în¼ al¸timii din C pe AB. ! ! ! ! ! ! ! 40. Fie vectorii ! a = i j + k , b = i + 2 j + k . S¼ a se determine un ! ! ! ! vector v astfel încât v a = b. ! 41. S¼ a se determine volumul paralelipipedului construit pe vectorii ! a, b, ! c, ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! unde a = m + 2 n + p , b = 2 m + 3 n + 3 p , c = 3 m + 7 n + p , unde k mk = 1, p p k! n k = 2 2, k! p k = 2 3, ](! n;! p ) = , iar unghiul dintre vectorul ! m ¸si planul 3 determinat de vectorii ! n ¸si ! p are m¼ asura . 4 ! ! ! ! ! ! 42. S¼ a se arate c¼ a vectorii m = a + 2 b + ! c, ! n = ! a + b c, p = ! =! a + 3 b + 3! c sunt coplanari. ! ! ! ! ! ! ! ! 43. S¼ a se arate c¼ a vectorii ! a = i + j + k, b = i + j +2k, ! c = i+ ! ! ! ! ! a se descompun¼ a vectorul ! v = 6 i + 9 j + 14 k +2 j + 3 k nu sunt coplanari. S¼ ! dup¼ a direc¸tiile vectorilor ! a, b, ! c. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 44. Se dau vectorii ! a = 2 i + j 3 k , b = 3 i +2 j 5 k , ! c == i j +k. Se cere: ! a) volumul paralelipipedului construit pe vectorii ! a, b, ! c; ! b) lungimea în¼ al¸timii paralelipipedului pe baza determinat¼ a de ! a ¸si b . 45. Se dau punctele A (3; 1; 4), B (5; 2; 1), C (1; 1; 6), D (1; 2; 3). S¼ a se calculeze volumul tetraedrului ABCD ¸si lungimea în¼ al¸timii din B pe planul ACDa acestui tetraedru.

5. PROBLEM E

25

46. S¼ a se determine astfel încât volumul paralelipipedului construit pe vectorii ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! a =2i 3j + k, b = i + j 2k, ! c = i + 2 j s¼ a …e 10. ! ! ! ! 47. S¼ a se determine astfel încât vectorii ! a = i + j 4k, b = ( 1) ! ! ! ! ! ! j + k, c = i +4j 2 k s¼ a …e coplanari. Pentru = 2 s¼ a se descompun¼ a! a ! ! dup¼ a direc¸tiile vectorilor b ¸si c . ! ! ! ! 48. S¼ a se arate c¼ a! a (b c)+ b (! c a)+! c (! a ! ! ! ! ! 49. S¼ a se arate c¼ a (! a b; b c ;! c a ) = (! a ; b ;! c )2 .

! ! b)= 0.

CHAPTER 2

Spa¸ tii vectoriale No¸tiunea de spa¸tiu vectorial este una din no¸tiunile cele mai importante în matematic¼ a ¸si în aplica¸tiile acesteia în alte ¸stiin¸te. În …zic¼ a ¸si în ¸stiin¸tele inginere¸sti, spa¸tiile vectoriale constituie un aparat indispensabil pentru a reprezenta anumite m¼ arimi: for¸te, viteze, starea unui sistem în mecanica cuantic¼ a etc. 1. De…ni¸ tia unui spa¸ tiu vectorial. Exemple În cele ce urmeaz¼ a vom nota cu K, …e corpul numerelor complexe (C), …e corpul numerelor reale (R). DEFINITIE. ¸ O mul¸time nevid¼ a V se nume¸ste spa¸tiu vectorial (sau liniar ) peste corpul K dac¼ a este înzestrat¼ a cu dou¼ a legi de compozi¸tie: una intern¼a, notat¼ a aditiv, (x; y) ! x + y (deci o aplica¸tie a produsului cartezian V V în V ) ¸si una extern¼a, notat¼ a multiplicativ ( ; x) ! x (deci o aplica¸tie a produsului cartezian K V în V ), cu urm¼ atoarele propriet¼ a¸ti: 1) x + y = y + x; 8x; y 2 V ; 2) (x + y) + z = x + (y + z); 8x; y; z 2 V ; 3) exist¼ a un element 0V astfel încât x + 0V = x; 8x 2 V ; 0 0 4) pentru orice x 2 V exist¼ a un element x 2 V astfel încât x + x = 0V ; 5) 1 x = x; 8x 2 V ; 6) ( x) = ( )x; 8 ; 2 K; 8x 2 V ; 7) ( + )x = x + x; 8 ; 2 K; 8x 2 V ; 8) (x + y) = x + y; 8 2 K; 8x; y 2 V . Adesea, în loc de spa¸tiu vectorial peste corpul K vom spune, simplu, K-spa¸tiu vectorial. Când K = R, V se nume¸ste spa¸tiu vectorial real, iar când K = C, V se nume¸ste spa¸tiu vectorial complex. Elementele lui V se numesc vectori, iar cele din K se numesc scalari. Vom nota, în general, vectorii cu litere latine, iar scalarii prin litere grece¸sti. Propriet¼ a¸tile 1)-4) spun c¼ a (V; +) este grup comutativ. Vectorul 0V din 3) este unic ¸si se nume¸ste vector nul al spa¸tiului V . De asemenea, pentru orice x 2 V , 0 elementul x care intervine în 4) este unic, se nume¸ste opusul lui x ¸si se noteaz¼ a x. Suma dintre vectorul x ¸si opusul vectorului y se noteaz¼ a x y ¸si se nume¸ste diferen¸ta dintre x ¸si y. PROPOZITIA ¸ 1.1. (Reguli de calcul într-un spa¸tiu vectorial). a) (x y) = x y; 8x; y 2 V; 8 2 K; b) 0V = 0V ; 8 2 K; c) ( )x = x x; 8x 2 V; 8 ; 2 K; d) 0 x = 0V ; 8x 2 V ; e) ( ) x = ( x) = ( x) ; 8x 2 V; 8 2 K; 27

28

2. SPA TII ¸ VECTORIALE

f) dac¼a x 2 V s¸i

2 K, atunci

x = 0V ()

= 0 sau x = 0V .

Demonstra¸tie. a) (x y) + y = [(x y) + y] = x: b) În a) se ia x = y. c) ( )x + x = [( ) + ]x = x. d) În c) se ia = . e) x + ( x) = (x x) = 0V = 0V . x + ( ) x = [ + ( )]x = =( ) x = 0 x = 0V . f) Conform b) ¸si d), 0V = 0 x = 0V . Reciproc, dac¼ a 1 1 1 x = 0V ¸si 6= 0, atunci exist¼ a (K …ind corp), deci ( x) = 0V = 0V . 1 1 Dar ( x) = = x = 1 x = x, deci x = 0V . EXEMPLE. 1) Mul¸timea vectorilor liberi din spa¸tiu sau din plan, notat¼ a V3 respectiv V2 (cap.1), este un R-spa¸tiu vectorial în raport cu adunarea vectorilor liberi ¸si înmul¸tirea cu un scalar a unui vector liber(prop. 2.1, 2.2, cap. 1). 2) Fie n 2 N ¸si K n = K K ::: K = (x1 ; x2 ; :::; xn ) ; xi 2 K; i = 1; n . Dac¼ a x = (x1 ; :::; xn ) 2 K n ; y = (y1 ; :::; yn ) 2 K n ¸si 2 K, de…nim: x + y = (x1 + y1 ; :::; xn + yn );

x = ( x1 ; :::; xn ) :

2

De exemplu, în R , (2; 3) + (0; 3) = (2; 0); ( 5)(1; 2) = ( 5; 10). De asemenea, în R3 , (1; 2; 2) + ( 2; 0; 1) = ( 1; 2; 1); 3(1; 2; 0) = (3; 6; 0). Înzestrat cu cele dou¼ a legi de compozi¸tie K n este un K-spa¸tiu vectorial. Vectorul nul este 0 = (0; 0; :::; 0), iar opusul vectorului x = (x1 ; :::; xn ) este vectorul x = ( x1 ; :::; xn ). Propriet¼ a¸tile 1)-8) se veri…c¼ a imediat. Astfel se poate organiza Rn ca R-spa¸tiu n vectorial, iar C ca C-spa¸tiu vectorial. Elementele lui K n se numesc vectori (linie) n-dimensionali, iar K n se nume¸ste spa¸tiu aritmetic cu n dimensiuni. În particular Rn se nume¸ste spa¸tiu aritmetic real cu n dimensiuni. În unele aplica¸tii este avantajos s¼ a d¼ am vectorii lui K n sub form¼ a de coloane 0 1 x1 B x2 C B C C x=B B : C ; xi 2 K; i = 1; n: @ : A xn

În acest caz K n va … numit spa¸tiul vectorilor coloan¼a n-dimensionali. 3) Mul¸timea matricelor cu m linii ¸si n coloane cu coe…cien¸tii în K, notat¼ a Mm;n (K), poate … înzestrat¼ a cu o structur¼ a de K-spa¸tiu vectorial, cele dou¼ a opera¸tii …ind adunarea matricelor ¸si înmul¸tirea cu un scalar a unei matrice. 4) Fie R [X] mul¸timea polinoamelor în nedeterminata X cu coe…cien¸ti în R. În raport cu adunarea polinoamelor ¸si înmul¸tirea unui polinom cu un scalar, R [X] este un R-spa¸tiu vectorial. 5) Fie M o mul¸time oarecare, V un K-spa¸tiu vectorial ¸si F (M; V ) = ff ; f : M ! V g: Dac¼ a f; g 2 F (M; V ) ¸si 2 K, de…nim (f + g) (x) = f (x) + g (x) ; 8x 2 M; ( f ) (x) = f (x) ; 8x 2 M:

Se veri…c¼ a u¸sor c¼ a F (M; V ) înzestrat cu cele dou¼ a legi de compozi¸tie este un K-spa¸tiu vectorial. 2. Subspa¸ tii vectoriale. Opera¸ tii cu subspa¸ tii vectoriale DEFINITIE. ¸ Fie V un K-spa¸tiu vectorial. O submul¸time nevid¼ a S nume¸ste subspa¸tiu vectorial dac¼ a: 1) x; y 2 S ) x + y 2 S; 2) x 2 S; 2 K ) x 2 S.

V se

2. SUBSPA TII ¸ VECTORIALE. OPERA TII ¸ CU SUBSPA TII ¸ VECTORIALE

29

Mul¸timea S înzestrat¼ a cu legile induse de (x; y) ! x + y ¸si (x; y) ! x este un K-spa¸tiu vectorial. PROPOZITIA ¸ 2.1. (Criteriul subspa¸tiului). S () 8x; y 2 S s¸i ; 2 K ) x + y 2 S.

V este subspa¸tiu vectorial

EXEMPLE. 1) Mul¸timea f0V g este un subspa¸tiu vectorial al lui V numit subspa¸tiu nul, iar V se nume¸ste subspa¸tiu total. f0V g este cel mai mic (fa¸ta¼ de incluziune) subspa¸tiu posibil al lui V , iar V cel mai mare subspa¸tiu posibil al lui V . Cele dou¼ a subspa¸tii se numesc improprii sau triviale. Orice subspa¸tiu diferit de aceste dou¼ a subspa¸tii se nume¸ste subspa¸tiu propriu. 2) În K n consider¼ am, pentru orice 1 i n, mul¸timile Si = fx 2 K n ; x = (x1 ; :::; xi

1 ; 0K ; xi+1 ; :::; xn )g :

Se veri…c¼ a u¸sor c¼ a Si este subspa¸tiu vectorial al lui K n , pentru orice indice i; 1 i n. Mai general, …e m 2 N; m n. Submul¸timea S K n format¼ a din to¸ti vectorii ce au pe m componente …xate elementul 0K , este un subspa¸tiu vectorial al lui K n . 3) Fie n 2 N . Mul¸timea Rn [X] a polinoamelor în nedeterminata X, cu coe…cien¸ti în R, de grad n, este un subspa¸tiu vectorial al lui R [X]. Într-adev¼ ar, dac¼ a f; g 2 Rn [X] ¸si ; 2 R, atunci grad( f + g) max(grad f; grad g), deci Rn [X] este un subspa¸tiu vectorial al lui R [X]. 4) Fie a; b 2 R, a < b. Submul¸timea C([a; b]; R) F([a; b]; R), C([a; b]; R) = = ff : [a; b] ! R; f continu¼ ag este un subspa¸tiu vectorial al lui F([a; b]; R). PROPOZITIA ¸ 2.2. Dac¼a V1 s¸i V2 sunt dou¼a subspa¸tii vectoriale ale lui V , atunci V1 \ V2 este un subspa¸tiu vectorial al lui V . Demonstra¸tie. De remarcat c¼ a V1 \V2 6= , deoarece 0V 2 V1 \V2 . De asemenea dac¼ a x; y 2 V1 \ V2 , atunci x; y 2 Vi ; i = 1; 2, deci x + y 2 Vi ; i = 1; 2; 8 ; 2 K, deoarece Vi sunt subspa¸tii vectoriale. În consecin¸ta¼, x + y 2 V1 \ V2 . OBSERVATIE ¸ . În general, orice intersec¸ tie de subspa¸tii vectoriale este un subspa¸tiu vectorial. Fie acum M o submul¸time a unui K-spa¸tiu vectorial V . Exist¼ a subspa¸tii vectoriale ale lui V care con¸tin submul¸timea M (spre exemplu V însu¸si). Intersec¸tia acestor subspa¸tii vectoriale este cel mai mic subspa¸tiu vectorial (în raport cu incluziunea) care con¸tine M . DEFINITIE ¸ . Se nume¸ ste subspa¸tiu vectorial generat de M ¸si se noteaz¼ a Sp (M ) intersec¸tia tuturor subspa¸tiilor vectoriale ale lui V care con¸tin M . Mul¸timea M se nume¸ste sistem de generatori pentru Sp (M ). Prin conven¸tie, vom considera c¼ a Sp ( ) = f0V g. DEFINITIE ¸ . Dac¼ a V1 , V2 sunt dou¼ a subspa¸tii vectoriale ale lui V , de…nim suma subspa¸tiilor V1 ¸si V2 , notat¼ a V1 + V2 , ca …ind: V1 + V2 = fx 2 V ; x = x1 + x2 ; x1 2 V1 ; x2 2 V2 g: Analog se poate de…ni: V1 + V2 + ::: + Vn = fx 2 V ; x = x1 + ::: + xn ; xi 2 Vi ; i = 1; ng: OBSERVATIE ¸ . În general, reuniunea a dou¼ a subspa¸tii vectoriale ale unui spa¸tiu vectorial nu este subspa¸tiu vectorial. De exemplu, mul¸timile V1 = f(x; 0) ;

30

2. SPA TII ¸ VECTORIALE

x 2 Rg R2 ; V2 = f(0; y); y 2 Rg R2 sunt subspa¸tii vectoriale ale lui R2 ; dar reuniunea lor nu este subspa¸tiu vectorial al lui R2 , deoarece (1; 0) 2 V1 ¸si (0; 1) 2 V2 , dar (1; 0) + (0; 1) = (1; 1) 2 = V1 [ V2 . Dac¼ a V1 V2 sau V2 V1 atunci V1 [ V2 este subspa¸tiu vectorial al lui V ¸si în acest caz V1 [ V2 = V2 respectiv V1 [ V 2 = V 1 . PROPOZITIA ¸ 2.3. Dac¼a V1 ; V2 sunt subspa¸tii vectoriale ale lui V , atunci: a) V1 + V2 este subspa¸tiu vectorial al lui V ; b) V1 + V2 = Sp (V1 [ V2 ). Demonstra¸tie. a) Este clar c¼ a 0V 2 V1 + V2 , deci V1 + V2 6= . Fie acum x; y 2 V1 + V2 . Atunci x = x1 + x2 , y = y1 + y2 cu x1 ; y1 2 V1 ¸si x2 ; y2 2 V2 . Dac¼ a ; 2 K atunci x + y = ( x1 + y1 ) + ( x2 + y2 ). Cum V1 ; V2 sunt subspa¸tii vectoriale, rezult¼ a c¼ a xi + yi 2 Vi ; i = 1; 2, deci x + y 2 V1 + V2 . În consecin¸ta¼ V1 + V2 este un subspa¸tiu vectorial. b) Vom ar¼ ata mai întâi c¼ a V1 +V2 Sp (V1 [ V2 ). Fie x 2 V1 +V2 ¸si S un spa¸tiu vectorial ce con¸tine V1 [ V2 . Atunci x = x1 + x2 cu x1 2 V1 ; x2 2 V2 . În consecin¸ta¼ xi 2 S; i = 1; 2 deci x 2 S. A¸sadar x este în intersec¸tia tuturor subspa¸tiilor care con¸tin V1 [ V2 , adic¼ a x 2 Sp (V1 [ V2 ). S¼ a ar¼ at¼ am acum incluziunea invers¼ a, Sp (V1 [ V2 ) V1 + V2 . Conform a), V1 + V2 este un subspa¸tiu vectorial. A…rma¸tia rezult¼ a dac¼ a ar¼ at¼ am V1 [ V2 V1 + V2 . Aceasta este imediat¼ a, deoarece dac¼ a x1 2 V1 , atunci x1 = x1 + 0V 2 V1 + V2 , adic¼ a V1 V1 + V2 . Similar V2 V1 + V2 , deci V1 [ V2 V1 + V2 . OBSERVATIE ¸ . Dac¼ a x 2 V1 + V2 , atunci x = x1 + x2 cu xi 2 Vi , i = 1; 2. Nu înseamn¼ a c¼ a vectorii x1 ; x2 sunt unici (Construi¸ti un exemplu!). Suntem deci condu¸si la examinarea condi¸tiilor în care descompunerea este unic¼ a. DEFINITIE ¸ . Suma subspa¸ tiilor vectoriale V1 ¸si V2 se nume¸ste direct¼a ¸si se noteaz¼ a V1 V2 , dac¼ a orice vector x 2 V1 + V2 se scrie în mod unic sub forma x = x1 + x2 , cu xi 2 Vi ; i = 1; 2. Mai general, suma subspa¸tiilor vectoriale V1 ; :::; Vn este direct¼a ¸si se noteaz¼ a V1 ::: Vn , dac¼ a orice x 2 V1 + ::: + Vn se scrie în mod unic sub forma x = x1 + x2 + ::: + xn , cu xi 2 Vi , 8i = 1; n. PROPOZITIA ¸ 2.4. Fie V1 ; V2 subspa¸tii vectoriale ale unui spa¸tiu vectorial V . Urm¼atoarele a…rma¸tii sunt echivalente: a) Suma V1 + V2 este direct¼a; b) V1 \ V2 = f0V g. Demonstra¸tie. a))b) Fie y 2 V1 \ V2 . Atunci 0V = 0V + 0V 2 V1 + V2 ¸si 0V = y + ( y). Cum suma este direct¼ a, scrierea …ind unic¼ a, rezult¼ a y = 0V , deci V1 \ V2 = f0V g. 0 0 0 0 0 b))a) Dac¼ a x = x1 + x2 , x = x1 + x2 , cu xi ; xi 2 Vi , i = 1; 2 atunci x1 x1 = 0 0 0 0 x2 x2 . Dar x1 x1 2 V1 , x2 x2 2 V2 , iar V1 \ V2 = f0V g, deci x1 x1 = 0 0 0 x2 x2 = 0V . În consecin¸ta¼ x1 = x1 ¸si x2 = x2 , deci scrierea este unic¼ a. DEFINITIE ¸ . Se spune c¼ a dou¼ a subspa¸tii vectoriale V1 , V2 ale unui subspa¸tiu vectorial V sunt suplementare în V , dac¼ a V = V1 V2 . EXEMPLE. 1) Fie V1 = f(x; 0) ; x 2 Rg, V2 = f(0; x) ; x 2 Rg, V3 = f(x; x) ; x 2 Rg. V1 ; V2 ; V3 sunt subspa¸tii vectoriale ale lui R2 . Atunci R2 = V1 V2 = = V1 V3 = V2 V3 . Vom ar¼ ata, de exemplu, c¼ a R2 = V1 V3 . Fie x; y 2 R2 . Atunci

¼ S ¼ LINIAR31 ¼ 3. COM BINA TII ¸ LINIARE. SISTEM E DE GENERATORI. DEPENDEN T ¸A ¸ I INDEPENDEN T ¸A A

(x; y) = (x y; 0) + (y; y), deci (x; y) 2 V1 + V3 . Fie acum (x; y) 2 V1 \ V3 . Cum (x; y) 2 V1 , rezult¼ a y = 0, iar din (x; y) 2 V3 , rezult¼ a x = y = 0, deci (x; y) = (0; 0). 2) Fie D R, o mul¸time simetric¼ a fa¸ta¼ de origine (adic¼ a x 2 D ) x 2 D), V = F (D; R) (ex. 5, §1), V1 mul¸timea func¸tiilor pare din V ¸si V2 mul¸timea func¸tiilor impare din V . Atunci V1 ¸si V2 sunt subspa¸tii vectoriale suplementare în V . Întradev¼ ar, orice func¸tie f se scrie în mod unic sub forma f (x) = h (x) + g (x), unde f (x) f ( x) f (x) + f ( x) h (x) = 2 V1 ¸si g (x) = 2 V2 . 2 2 3. Combina¸ tii liniare. Sisteme de generatori. Dependen¸ ta si ¼¸ independen¸ ta a ¼ liniar¼ Fie V un K-spa¸tiu vectorial. Orice parte …nit¼ a a lui V se nume¸ste sistem de vectori sau familie …nit¼a de vectori din V . DEFINITIE ¸ . Fie fx1 ; :::; xn g un sistem …nit de n vectori din V . Se nume¸ ste combina¸tie liniar¼a a vectorilor x1 ; :::; xn orice vector x 2 V , de forma x = 1 x1 + +::: + n xn , unde 1 ; 2 ; :::; n 2 K ¸si se numesc coe…cien¸tii combina¸tiei liniare. EXEMPLU. În Rn (n

2), consider¼ am vectorii

e1 = (1; 0; :::; 0) ; e2 = (0; 1; 0; :::; 0) ; :::; en = (0; :::; 0; 1) : Orice vector x = (x1 ; :::; xn ) 2 Rn este combina¸tie liniar¼ a de e1 ; e2 ; :::; en , deoarece (x1 ; :::; xn ) = (x1 ; 0; :::; 0) + (0; x2 ; 0; :::; 0) + ::: + (0; :::; xn ) = = x1 e1 + x2 e2 + ::: + xn en : În particular pentru n = 2, e1 = (1; 0); e2 = (0; 1) ¸si (2; 3) = 2e1 Fie acum o submul¸time nevid¼ aM

3e2:

V.

DEFINITIE. ¸ Se nume¸ste combina¸tie liniar¼a a vectorilor din M , orice vector x 2 V cu proprietatea urm¼ atoare: exist¼ a n 2 N , o familie …nit¼ a de vectori fx1 ; :::; xn g M ¸si scalarii 1 ; 2 ; :::; n 2 K astfel încât x = 1 x1 + ::: + n xn . TEOREMA 3.1. Fie V un K-spa¸tiu vectorial s¸i M o submul¸time nevid¼a a lui V . Atunci subspa¸tiul vectorial generat de M coincide cu mul¸timea tuturor combina¸tiilor liniare ale vectorilor din M . 0

Demonstra¸tie. Fie M mul¸timea combina¸tiilor liniare ale vectorilor din M . 0 Vom ar¼ ata mai întâi c¼ a M este subspa¸tiu vectorial al lui V care con¸tine M , deci 0 0 0 Sp (M ) M . Dac¼ a x 2 M , atunci 0V = x x 2 M , deci M 6= . Fie acum 0 x = 1 x1 + ::: + n xn ; y = 1 y1 + ::: + m ym doi vectori din M ¸si ; 2 K. Atunci x + y = x1 + ::: + tie n xn + 1 y1 + ::: + m ym este o combina¸ 0 liniar¼ a a vectorilor x1 ; :::; xn ; y1 ; :::; ym din M , deci x + y 2 M ¸si, în consecin¸ta¼, 0 0 M este subspa¸tiu vectorial al lui V . În plus M M , deoarece pentru orice 0 x 2 M; x = 1 x 2 M . Pentru incluziunea invers¼ a, s¼ a remarc¼ am c¼ a dac¼ a S este un subspa¸tiu vectorial al lui V ce con¸tine M , atunci S con¸tine mul¸timea combina¸tiilor 0 0 liniare ale vectorilor din M , deci M S. Prin urmare M Sp (M ). COROLAR 3.1.1. Fie V un K-spa¸tiu vectorial s¸i x1 ; :::; xn 2 V . Subspa¸tiul vectorial generat de fx1 ; :::; xn g este mul¸timea combina¸tiilor liniare cu vectorii x1 ; x2 ; :::; xn .

32

2. SPA TII ¸ VECTORIALE

În particular, pentru orice vector nenul x 2 V , subspa¸tiul generat de fxg este mul¸timea f x; 2 Kg numit¼ a dreapta vectorial¼a generat¼a de x. De asemenea, dac¼ a x 6= 0V ¸si y 2 f x; 2 Kg, subspa¸tiul generat de vectorii x; y 2 V este mul¸timea f x + y; ; 2 Kg numit¼ a plan vectorial generat de x s¸i y. DEFINITIE ¸ . Se spune c¼ a vectorii x1 ; :::; xn din V formeaz¼ a un sistem de generatori pentru V , dac¼ a subspa¸tiul vectorial generat de fx1 ; :::; xn g coincide cu V , adic¼ a pentru orice x 2 V exist¼ a 1 ; :::; n 2 K astfel ca x = 1 x1 + ::: + n xn .

EXEMPLE. 1) În Rn [X], vectorii 1; X; :::; X n constituie un sistem de generatori. 2) În R3 , vectorii v1 = (1; 1; 1) ; v2 = (0; 1; 1) ; v3 = (0; 0; 1) formeaz¼ a un sistem de generatori. Într-adev¼ ar, …e x 2 R3 ; x = (x1 ; x2 ; x3 ). Trebuie s¼ a ar¼ at¼ am c¼ a putem determina 1 ; 2 ; 3 astfel încât x = 1 v1 + 2 v2 + 3 v3 . Aceast¼ a rela¸tie se mai scrie (x1 ; x2 ; x3 ) = ( 1 ; 1 + 2 ; 1 + 2 + 3 ), de unde 1 = x1 ; 1 + 2 = = x2 ; 1 + 2 + 3 = x3 . Rezult¼ a 1 = x1 ; 2 = x2 x2 ; 3 = x3 x2 , deci v1 ; v2 ; v3 formeaz¼ a un sistem de generatori în R3 . DEFINITIE ¸ . Vom spune c¼ a vectorii x1 ; :::; xn din V sunt liniar independen¸ti (sau c¼ a familia fx1 ; :::; xn g este liber¼a ) dac¼ a din 1 x1 + ::: + n xn = 0V rezult¼ a = = ::: = = 0. Vom spune c¼ a vectorii x ; :::; x din V sunt liniar 1 2 n 1 n dependen¸ti (sau c¼ a familia fx1 ; :::; xn g este legat¼a ) dac¼ a exist¼ a scalarii 1 ; :::; n nu to¸ti nuli astfel încât 1 x1 + ::: + n xn = 0V . O familie in…nit¼ a de vectori din V se nume¸ste liniar independent¼a sau liber¼a dac¼ a orice submul¸time …nit¼ a a sa este liniar independent¼ a. OBSERVATII ¸ . 1) Orice subfamilie a unei familii libere este o familie liber¼ a. 2) Elementele unei familii libere sunt nenule. 3) Orice suprafamilie a unei familii legate este o familie legat¼ a. EXEMPLE. 1) În Rn [X], familia f1; X; :::; X n g este liniar independent¼ a, deoarece orice polinom nul are to¸ti coe…cien¸tii nuli. 2) În Rn , vectorii e1 = (1; 0; :::; 0) ; e2 = (0; 1; 0; :::; 0) ; :::; en = (0; :::; 0; 1) sunt liniar independen¸ti, deoarece din 1 e1 + ::: + n en = 0 se ob¸tine 1 = ::: = n = 0. 3) În R3 , vectorii x1 = (1; 0; 0) ; x2 = (0; 1; 1) ; x3 = (1; 1; 1) sunt liniar dependen¸ti deoarece x1 + x2 x3 = 0. 4) În Mm;n (R), matricele Eij ; i = 1; m; j = 1; n date de 0 1 0 ::: 0 ::: 0 B ::: ::: ::: ::: ::: C B C C Eij = B B 0 ::: 1 ::: 0 C ! i @ ::: ::: ::: ::: ::: A 0 ::: 0 ::: 0 # j

sunt liniar independente. 5) În R3 , vectorii v1 = (1; 1; 1) ; v2 = (0; 1; 1) ; v3 = (0; 0; 1) sunt liniar independen¸ti. Într-adev¼ ar, dac¼ a 1 ; 2 ; 3 2 R satisfac 1 v2 + 2 v2 + 3 v3 = (0; 0; 0), atunci 1 = 0; 1 + 2 = 0; 1 + 2 + 3 = 0, de unde 1 = 2 = 3 = 0. PROPOZITIA ¸ 3.1. Fie V un K-spa¸tiu vectorial s¸i x1 ; :::; xn vectori în V . Pentru ca familia fx1 ; :::; xn g s¼a …e legat¼a este necesar s¸i su…cient ca unul dintre vectorii xi s¼a …e combina¸tie liniar¼a de ceilal¸ti.

¼ DIM ENSIUNE 4. BAZ A.

33

Demonstra¸tie. Dac¼ a familia fx1 ; :::; xn g este legat¼ a, atunci exist¼ a scalarii 1 ; :::; n nu to¸ti nuli astfel ca 1 x1 + ::: + n xn = 0V . Dac¼ a, de exemplu, 1 6= 0, 1 1 atunci x1 = tie liniar¼ a de x2 ; :::; xn : 2 x2 ::: n xn , deci xi este combina¸ 1 1 Reciproc, dac¼ a, de exemplu, x1 = 2 x2 + ::: + n xn , 2 ; :::; n 2 K, atunci 1 x1 + ( 2 ) x2 + ::: + ( n ) xn = 0V , ceea ce arat¼ a c¼ a familia fx1 ; x2 ; :::; xn g este legat¼ a, deoarece coe…cientul lui x1 este 1, deci nenul. 4. Baz¼ a. Dimensiune Familiile de vectori care sunt simultan sisteme de generatori ¸si familii libere vor juca un rol fundamental în ceea ce urmeaz¼ a. DEFINITIE. ¸ Fie V un K-spa¸tiu vectorial. Se spune c¼ a familia fe1 ; :::; en g de vectori din V este o baz¼a în V dac¼ a vectorii e1 ; :::; en sunt liniar independen¸ti ¸si genereaz¼ a V. TEOREMA 4.1. Familia F = fe1 ; :::; en g este baz¼a în V dac¼a s¸i numai dac¼a orice vector x 2 V se exprim¼a în mod unic ca o combina¸tie liniar¼a de vectorii e1 ; :::; en . Demonstra¸tie. Necesitatea. Familia F …ind baz¼ a în V , exist¼ a 1 ; :::; n 2 K astfel încât x = 1 e1 + ::: + n en . Dac¼ a ar exista 1 ; :::; n 2 K astfel ca x = 1 )e1 +:::+( n n )en = 0V . Familia fe1 ; :::; en g …ind 1 e1 +:::+ n en , atunci ( 1 liber¼ a, rezult¼ a 1 a 1 = 1 ; :::; n = n , 1 = 2 2 = ::: = n n = 0, adic¼ deci scrierea lui x ca o combina¸tie liniar¼ a de e1 ; e2 ; :::; en este unic¼ a. Su…cien¸ta. Cum orice vector x 2 V se scrie în mod unic ca o combina¸tie liniar¼ a de e1 ; e2 ; :::; en , rezult¼ a c¼ a familia fe1 ; :::; en g genereaz¼ a V . Fie acum 1 ; :::; n 2 K astfel încât 1 e1 +:::+ n en = 0V . Cum 0 e1 +:::+0 en = 0V ¸si scrierea elementului nul este unic¼ a, rezult¼ a 1 = 2 = ::: = n = 0, adic¼ a familia fe1 ; :::; en g este liber¼ a, deci este baz¼ a în V . DEFINITIE ¸ . Fie V un K-spa¸ tiu vectorial ¸si B = fe1 ; :::; en g o baz¼ a în V . Atunci pentru orice x 2 V exist¼ a o familie unic¼ a de scalari din K, f 1 ; :::; n g astfel încât x = 1 e1 + ::: + n en . Scalarii 1 ; :::; n se numesc coordonatele sau componentele lui x în raport cu baza B : Este evident¼ a TEOREMA 4.2. Dac¼a B = fe1 ; :::; en g este baz¼a în V s¸i x = x1 e1 + ::: + xn en , y = y1 e1 + ::: + yn en , atunci x + y = (x1 + y1 )e1 + ::: + (xn + yn )en ;

x = x1 e1 + ::: + xn en ;

2 K:

x = x1 e1 + ::: + xn en ; 2 K: COMENTARIU. Teorema scoate în eviden¸ta¼ importan¸ta no¸tiunii de baz¼ a. Opera¸tiile de…nite în mod abstract într-un spa¸tiu vectorial devin opera¸tii uzuale cu numere ¸si anume cu coordonatele vectorilor relativ la acea baz¼ a: DEFINITIE ¸ . Spunem c¼ a spa¸tiul vectorial V este de dimensiune n sau n-dimensional ¸si se noteaz¼ a dim K V = n dac¼ a exist¼ a în V n vectori liniar independen¸ti ¸si orice n + 1 vectori sunt liniar dependen¸ti. În acest caz spa¸tiul se nume¸ste …nitdimensional. Spa¸tiul vectorial care con¸tine o familie liber¼ a in…nit¼ a se nume¸ste in…nit-dimensional. Deoarece orice sistem de n + 1 vectori este legat rezult¼ a c¼ a toate sistemele de vectori care con¸tin mai mult de n vectori este legat. În consecin¸ta¼ dimensiunea

34

2. SPA TII ¸ VECTORIALE

unui spa¸tiu vectorial este num¼ arul maxim de vectori liniar independen¸ti din acest spa¸tiu vectorial. TEOREMA 4.3. Într-un spa¸tiu vectorial V de dimensiune n exist¼a o baz¼a format¼a din n vectori; mai mult, orice sistem de n vectori liniar independen¸ti din V constituie o baz¼a a lui V . Demonstra¸tie. Cum V este de dimensiune n, exist¼ a un sistem de vectori liniar independen¸ti, S = fe1 ; e2 ; :::; en g. Vom ar¼ ata c¼ a S este sistem de generatori, deci baz¼ a a lui V . Fie x 2 V . Vectorii x; e1 ; e2 ; :::; en sunt liniar dependen¸ti, deci exist¼ a ; 1 ; 2 ; :::; n 2 K, nu to¸ti nuli astfel încât x + 1 e1 + ::: + n en = 0V . Atunci 6= 0, deoarece în caz contrar, S ar … liniar dependent. În consecin¸ta¼ 1 x= ( 1 e1 + ::: + n en ), deci S este sistem de generatori. TEOREMA 4.4. Dac¼a B = fe1 ; :::; en g este baz¼a în V , atunci dimK V = n. Demonstra¸tie. Evident în V exist¼ a n vectori liniar independen¸ti. Fie S = = fx1 ; :::; xn ; xn+1 g un sistem format din n + 1 vectori. Presupunem prin absurd c¼ a S este liber. Atunci x1 = 1 e1 + 2 e2 + ::: + n en . Cum x1 6= 0V rezult¼ a c¼ a ti nuli. Renumerotând eventual elementele lui B, putem 1 ; 2 ; :::; n nu sunt to¸ presupune c¼ a 1 6= 0. În consecin¸ta¼ putem scrie e1 = 1 x1 + 2 e2 + ::: + n en . Cum x2 = 1 e1 + 2 e2 + ::: + n en , ¸tinând seama de expresia lui e1 rezult¼ a c¼ a x2 = 1 x1 + 2 e2 + ::: + n en . Dac¼ a 2 = 3 = ::: = n = 0, atunci x2 = 1 x1 , deci vectorii x1 , x2 sunt liniar dependen¸ti, ceea ce contrazice ipoteza c¼ a S este liber. Renumerotând convenabil elementele lui B, putem presupune c¼ a 2 6= 0. Atunci din expresia lui x2 rezult¼ a c¼ a e2 = 1 x1 + 2 x2 + 3 e3+ ::: + n en , x3 = = 1 x1 + 2 x2 + 3 e3+ ::: + n en . Procedând din aproape în aproape, ob¸tinem c¼ a xn+1 = 1 x1 + 2 x2 + ::: + n xn , ceea ce contrazice ipoteza c¼ a S este liber. A¸sadar S este liniar dependent, deci dimK V = n. TEOREMA 4.5. (Teorema bazei incomplete) Fie V un spa¸tiu vectorial de dimensiune n. Pentru orice parte liber¼a S = fx1 ; :::; xp g din V , p < n, exist¼a vectorii xp+1 ; :::; xn 2 V astfel încât fx1 ; :::; xp ; xp+1 ; :::; xn g s¼a …e baz¼a în V . 0

0

0

Demonstra¸tie. Fie V = Sp(S): Atunci dimV = p < n, V 6= V . A¸sadar 0 0 V V 6= ¸si nu con¸tine 0V . Orice x 2 V V formeaz¼ a împreun¼ a cu S un sistem liber. Într-adev¼ ar, dac¼ a S [ fxg ar … legat, ar exista 1 ; 2 ; :::; p ; 2 K nu to¸ti nuli astfel încât 1 x1 + ::: + p xp + x = 0V . Dac¼ a = 0, ar rezulta c¼ a S este legat, 0 1 deci 6= 0. Atunci x = ( 1 x1 + ::: + p xp ), adic¼ a x 2 V , ceea ce contrazice 0 0 faptul c¼ a x 2 V V . Not¼ am xp+1 = x, deci S = fx1 ; :::; xp ; xp+1 g este liber. Fie 00 0 00 V = Sp(S ), dimV = p + 1. Dac¼ a p + 1 < n se repet¼ a procedeul de mai sus. 00 0 Alegem xp+2 2 V V ¸si sistemul S [ fxp+2 g este liber etc. Ob¸tinem astfel din aproape în aproape un sistem liber B = fx1 ; :::; xn g care conform teoremei 4.3 este baz¼ a în V . EXEMPLE. 1) În V3 orice trei vectori necoplanari formeaz¼ a o baz¼ a (teorema ! ! ! 3.6, prop. 3.5, cap. 1). În particular f i ; j ; k g este o baz¼ a, numit¼ a baza canonic¼a a lui V3 . Deci dimV3 = 3: Similar în V2 orice doi vectori liberi necoli-niari formeaz¼ a o baz¼ a, deci dimV2 = 2: În V1 orice vector nenul este baz¼ a, deci dimV1 =1: 2) În Rn (n 2) vectorii e1 = (1; 0; :::; 0), e2 = (0; 1; 0; :::; 0) ; :::; en = (0; :::; 0; 1) formeaz¼ a o baz¼ a, deci dimR Rn = n. Cum pentru orice x 2 Rn ; x = (x1 ; x2 ; :::; xn ) avem x = x1 e1 + ::: + xn en , rezult¼ a c¼ a coordonatele în baza canonic¼ a a unui

¼ DIM ENSIUNE 4. BAZ A.

35

vector x 2 Rn coincid cu componentele acestuia. De aceea baza fe1 ; :::; en g se nume¸ste baza canonic¼a a lui Rn . S¼ a observ¼ am c¼ a coordonatele unui vector difer¼ a de la o baz¼ a la alta. De exemplu, în R3 , coordonatele vectorului x = (2; 1; 3) în baz¼ a canonic¼ a sunt 2; 1; 3, coincizând cu componentele lui x. Pe de alt¼ a parte, vectorii v1 = (1; 1; 1) ; v2 = (0; 1; 1) ; v3 = (0; 0; 1) formeaz¼ a, de asemenea, o baz¼ a a lui R3 . Coordonatele lui x = (2; 1; 3) în baza v1 ; v2 ; v3 sunt 2; 1; 2, pentru c¼ a x = 2v1 v2 + 2v3 . 3) În Rn [X], polinoamele 1; X; :::; X n formeaz¼ a o baz¼ a, numit¼ a baza canonic¼a a i lui Rn [X]. De asemenea, pentru orice a 2 R , polinoamele pi = (X a) , 0 i n formeaz¼ a o baz¼ a a lui V , deci dimR Rn [X] = n+1. Vom ar¼ ata aceasta pentru n = 3. Fie 0 ; 1 ; 2 ; 3 astfel încât 0

1+

(X

1

a) +

2

(X

2

a) +

3

3

(X

a) = 0:

2 Rezult¼ a c¼ a 3 = 0, 2 3 3 a = 0, 1 2 2 a + 3 3 a2 = 0, 0 1a + 2a 3 3 a = 0, de unde 0 = 1 = 3 = 0, deci polinoamele p0 ; p1 ; p2 ; p3 sunt liniar independente. S¼ a ar¼ at¼ am c¼ a aceste polinoame formeaz¼ a un sistem de generatori pentru R3 [X]. Fie f 2 R3 [X]. Trebuie s¼ a ar¼ at¼ am c¼ a exist¼ a 0 ; 1 ; 2 ; 3 astfel încât 2 3 f = 0 1 + 1 (X a) + 2 (X a) + 3 (X a) :

Derivând formal, ob¸tinem succesiv: 2

Df = 1 + 2 2 (X a) + 3 3 (X a) ; D2 f = 2! 2 + 2 3 3 (X a) ; D3 f = 3! 3 :

0

Luând în egalit¼ a¸tile de mai sus valoarea polinomului în punctul a, ob¸tinem 1 1 1 = f (a) ; 1 = Df (a) ; 2 = D2 f (a) ; 3 = D3 f (a), deci: 1! 2! 3! 1 1 1 2 3 f = f (a) + Df (a) (X a) + D3 f (a) (X a) + D3 f (a) (X a) : 1! 2! 3! În general, în Rn [X], pentru orice a 2 R , polinoamele 1; X

a; (X

2

n

a) ; :::; (X

a) ;

formeaz¼ a o baz¼ a ¸si coordonatele unui polinom f 2 Rn [X] în aceast¼ a baz¼ a sunt: f (a) ;

1 1 1 Df (a) ; D2 f (a) ; :::; Dn f (a) ; 1! 2! n!

deci f = f (a) +

1 Df (a) (X 1!

a) +

1 2 D f (a) (X 2!

4) În Mm;n (R), matricele Eij ; i = 1; m, 0 0 ::: 0 B ::: ::: ::: B Eij = B B 0 ::: 1 @ ::: ::: ::: 0 ::: 0 # j

2

a) + ::: +

1 n D f (a) (X n!

j = 1; n, 1 ::: 0 ::: ::: C C ::: 0 C C!i ::: ::: A ; ::: 0

n

a) :

36

2. SPA TII ¸ VECTORIALE

formeaz¼ a o baz¼ a, numit¼ a baza canonic¼a a lui Mm;n (R).În concluzie dimMm;n (R) = = mn: 5) În spa¸tiul vectorial C((a; b); R), func¸tiile 1; t; t2 ; :::; tk sunt liniar independente. Cum aceasta se întâmpl¼ a pentru orice k, rezult¼ a c¼ a acest spa¸tiu vectorial este in…nit dimensional. OBSERVATIE ¸ . Dimensiunea unui spa¸ tiu vectorial depinde de corpul de baz¼ a. Astfel dimC (C) = 1, dar dimR (C) = 2. Mai general, orice C-spa¸tiu vecto-rial de dimensiune n este un R-spa¸tiu vectorial de dimensiune 2n. Este su…cient s¼ a remarc¼ am c¼ a dac¼ a fe1 ; :::; en g este baz¼ a într-un C-spa¸tiu vectorial, atunci fe1 ; :::; en ; ie1 ; :::; ien g este baz¼ a în acel spa¸tiu considerat ca R-spa¸tiu vectorial. 5. Dimensiunea unui subspa¸ tiu vectorial Subspa¸tiul nul f0V g nu con¸tine nici un sistem liber. De aceea dimensiunea acestuia se consider¼ a egal¼ a cu zero. TEOREMA 5.1. Fie V un K-spa¸tiu vectorial de dimensiune n s¸i S un subspa¸tiu vectorial al lui V . Atunci: a) dimK (S) = dimK (V ) dac¼a s¸i numai dac¼a V = S; b) dac¼a S este subspa¸tiu propriu al lui V , atunci dimK (S) < dimK (V ); c) S admite un suplement S1 s¸i avem: dimK (V ) = dimK (S) + dimK (S1 ) : Demonstra¸tie. a) Fie n = dimK (S) = dimK (V ) ¸si B S o baz¼ a cu n elemente. Cum B V , conform teoremei 4.3, rezult¼ a c¼ a B este baz¼ a în V . Atunci orice element din V este combina¸tie liniar¼ a de elemente din B S, deci este în S. În concluzie S = V . b) Fie p = dimK (S), n = dimK (V ). Dac¼ a p > n, deoarece S V , rezult¼ a c¼ a ar exista în V un sistem liber cu p vectori, dep¼ a¸sind dimensiunea lui V , ceea ce nu se poate. Cum S este subspa¸tiu propriu al lui V , ¸tinând seama de a), rezult¼ a c¼ a p < n. c) Fie fx1 ; :::; xp g o baz¼ a a lui S. Cum V este de dimensiune n, exist¼ an p vectori xp+1 ; :::; xn astfel ca fx1 ; :::; xp ; xp+1 ; :::; xn g este o baz¼ a în V (teorema 4.5). Familia fxp+1 ; :::; xn g …ind liber¼ a, S1 = Sp(fxp+1 ; :::; xn g) este de dimensiune n p. Pe de alt¼ a parte, orice vector x 2 V se scrie în mod unic sub forma x=

1 x1

+ ::: +

p xp

+

p+1 xp+1

+ ::: +

n xn

= y + z;

unde y = 1 x1 + ::: + p xp 2 S ¸si z = p+1 xp+1 + ::: + V = S S1 ¸si dimK (V ) = dimK (S) + dimK (S1 ).

n xn

2 S1 , ceea ce arat¼ a c¼ a

TEOREMA 5.2. (Grassmann) Dac¼a S1 s¸i S2 sunt subspa¸tii vectoriale …nit dimensionale ale lui V , atunci dimK (S1 + S2 ) = dimK (S1 ) + dimK (S2 ) 0

dimK (S1 \ S2 ) :

Demonstra¸tie. Fie B = fe1 ; :::; ek g o baz¼ a în S1 \ S2 S1 . O complet¼ am pân¼ a la o baz¼ a a lui S1 , …e aceasta B 00 = fe1 ; :::; ek ; f1 ; :::; fl g, respectiv pân¼ a la o baz¼ a B 000 = fe1 ; :::; ek ; g1 ; :::; gm g a lui S2 . Deci presupunem c¼ a dimK (S1 \ S2 ) = = k; dimK (S1 ) = k + l; dimK (S2 ) = k + m. Dac¼ a ar¼ at¼ am c¼ a sistemul de vectori din V , B = fe1 ; :::; ek ; f1 ; :::; fl ; g1 ; :::; gm g formeaz¼ a o baz¼ a a subspa¸tiului S1 + S2 demonstra¸tia este încheiat¼ a, deoarece dimK (S1 + S2 ) = k + l + m ¸si identitatea din enun¸t este satisf¼ acut¼ a.

6. RANGUL UNUI SISTEM DE VECTORI S ¸ I RANGUL M ATRICEI SALE. SISTEM E DE ECUA TII ¸ LINIARE 37

Vom ar¼ ata mai întâi c¼ a B este liniar independent¼ a. Fie ; :::; k ; 1 ; :::; l ; 1 ; :::; k 2 K astfel ca k X

(5.1)

i ei

i=1

s gs

s=1

S1 \ S2 . În consecin¸ta¼ exist¼ a se mai scrie

m P

s=1 1 l P

j=1

= ::: = j fj

s gs

+

j fj +

(

m X

s gs

= 0V :

s=1

2 S2 , atunci din (5.1) rezult¼ a x 2 S1 , deci x 2 1 ; :::; h ) eh

k

2 K astfel ca

m P

s=1

s gs

=

k P

eh ;care

h

h=1

= 0V . Deoarece B 000 este baz¼ a în S2 , rezult¼ a

h=1

= 0 ¸si

m

k P

l X j=1

m P

Dac¼ a not¼ am x =

+

1

= ::: =

k

= 0. Atunci (5.1) se mai scrie

k P

i ei

+

i=1

= 0V ¸si cum B 00 este baz¼ a în S1 , rezult¼ a

1

= ::: =

k

= 0 ¸si

1

= ::: =

= l = 0. A¸sadar to¸ti scalarii din (5.1) sunt nuli, deci B este liniar independent¼ a. Vom ar¼ ata acum c¼ a B este un sistem de generatori pentru S1 + S2 . Fie deci k l P P x 2 S1 + S2 ; x = x1 + x2 cu x1 2 S1 ; x2 2 S2 . Atunci x1 = i ei + j fj i=1

¸si x2 =

k P

i=1

i ei

consecin¸ta¼ x =

+

k P

i=1

m P

s gs ,

00

deoarece B ; B

000

j=1

sunt baze în S1 , respectiv S2 . În

s=1

(

i

+

i )ei

+

l P

j=1

j fj

+

m P

s gs

¸si teorema este demonstrat¼ a.

s=1

COROLAR 5.2.1. Fie S1 ; S2 subspa¸tii vectoriale …nit dimensionale ale lui V . Dac¼a suma S1 + S2 este direct¼a, atunci dimK (S1

S2 ) = dimK (S1 ) + dimK (S2 ) :

Demonstra¸tie. Se ¸tine seama c¼ a S1 \ S2 = f0V g. 6. Rangul unui sistem de vectori ¸ si rangul matricei sale. Sisteme de ecua¸ tii liniare DEFINITIE. ¸ Fie V un K-spa¸tiu vectorial ¸si S = fx1 ; :::; xm g un sistem de vectori din V . Se nume¸ste rangul sistemului S dimensiunea subspa¸tiului generat de S. Evident, dimensiunea subspa¸tiului generat de un sistem S V este egal¼ a cu num¼ arul maxim de vectori liniar independen¸ti con¸tinu¸ti în S. n P Dac¼ a B = fe1 ; :::; en g este baz¼ a în V , atunci xj = aij ei ; 8j = 1; m. i=1

DEFINITIE ¸ . Matricea A = (aij ), de tip n m, format¼ a cu coordonatele vectorilor xj (unic determinate), pe coloane, se nume¸ste matricea sistemului S în raport cu baza B. TEOREMA 6.1. (teorema rangului). Rangul unui sistem de vectori S = fx1 ; :::; xm g din V este egal cu rangul matricei sale în raport cu o baz¼a arbitrar¼a B = fe1 ; :::; en g din V .

38

2. SPA TII ¸ VECTORIALE

Demonstra¸tie. Fie A = (aij ) matricea sistemului S în raport cu baza B. Reamintim c¼ a rangul unei matrice A, nenul¼ a, este un întreg r; 0 < r min (m; n), cu proprietatea c¼ a exist¼ a un minor nenul al lui A de ordin r, iar to¸ti minorii de ordin r + 1, dac¼ a exist¼ a, sunt nuli. S¼ a presupunem c¼ a rangA = r. Deoarece rangul unei matrice nu se schimb¼ a dac¼ a se permut¼ a liniile sau coloanele între ele, putem presupune c¼ a urm¼ atorul determinant este nenul:

D=

a11 a21 ::: ar1

a12 a22 ::: ar2

::: ::: ::: :::

a1r a2r ::: arr

:

Dac¼ a vectorii x1 ; :::; xr ar … liniar dependen¸ti, atunci un vector ar … combina¸tie liniar¼ a de ceilal¸ti, deci una dintre coloanele minorului D este combina¸tie liniar¼ a de celelalte. Atunci D = 0, ceea ce nu este posibil. În consecin¸ta¼, vectorii x1 ; :::; xr sunt liniar independen¸ti. Vom ar¼ ata acum c¼ a Sp (fx1 ; :::; xr g) = Sp (fx1 ; :::; xm g). Dac¼ a r < m, este su…cient s¼ a ar¼ at¼ am c¼ a Sp (fx1 ; :::; xm g) Sp (fx1 ; :::; xr g). Cum rangul lui A este r, pentru …ecare j > r, urm¼ atorii determinan¸ti sunt nuli:

i

=

a11 ::: ar1 ai1

::: a1r ::: ::: ::: arr ::: air

a1j ::: arj aij

; i = 1; n:

Dezvoltând dup¼ a ultima linie, ob¸tinem: ci1 ai1 + ::: + cir air + D aij = 0, unde prin cil ; l = 1; r, am notat complemen¸tii algebrici ai elementelor de pe ultima linie. Cum D 6= 0, rezult¼ a aij = 1 ai1 + ::: + r air ; i = 1; n; unde k = D 1 cik , k = 1; r, nu depind de i, ci numai de elementele primelor r linii, deci r¼ amân …xe când i = 1; n. Prin urmare pentru j > r, avem xj = deci Sp (fx1 ; :::; xm g)

1 x1

+ ::: +

r xr ;

Sp (fx1 ; :::; xr g). În concluzie rangA = rangS.

OBSERVATIE ¸ . Din demonstra¸ tia teoremei, rezult¼ a c¼ a rangul unei matrice este egal cu num¼ arul maxim de coloane liniar independente. Cum rangul unei matrice coincide cu rangul matricei transpuse, rezult¼ a c¼ a rangul unei matrice este egal cu num¼ arul maxim de linii liniar independente. DEFINITIE. ¸ O matrice p¼ atratic¼ a A se nume¸ste singular¼a dac¼ a det A = 0 ¸si nesingular¼a în caz contrar. COROLAR 6.1.1. O matrice p¼atratic¼a este nesingular¼a dac¼a s¸i numai dac¼a toate liniile sau toate coloanele sunt liniar independente. Pentru determinarea rangului unei matrice se pot folosi transform¼ ari elementare. DEFINITIE. ¸ Se numesc transform¼ari elementare ale unei matrice urm¼ atoarele opera¸tii: - schimbarea a dou¼ a linii (coloane) între ele; - înmul¸tirea tuturor elementelor unei linii (coloane) cu acela¸si factor nenul; - adunarea la elementele unei linii (coloane) a elementelor corespunz¼ atoare ale altei linii (coloane).

6. RANGUL UNUI SISTEM DE VECTORI S ¸ I RANGUL M ATRICEI SALE. SISTEM E DE ECUA TII ¸ LINIARE 39

Tinând ¸ seama c¼ a aceste transform¼ ari elementare nu afecteaz¼ a proprietatea unui determinant de a … nul sau nenul, rezult¼ a c¼ a rangul unei matrice nu se modi…c¼ a dac¼ a asupra matricei se efectueaz¼ a transform¼ ari elementare. În practic¼ a, pentru determinarea rangului unei matrice, proced¼ am astfel: se efectueaz¼ a transform¼ ari elementare asupra matricei pân¼ a când toate elementele devin nule cu excep¸tia unor elemente de pe diagonala principal¼ a care devin 1. Rangul unei matrice este num¼ arul elementelor 1 de pe diagonala principal¼ a. EXEMPLU. S¼ a determin¼ am rangul matricei 0 2 4 3 B 1 2 1 A=B @ 3 1 5 1 5 2

1 5 2 C C: 3 A 8

Avem succesiv 1 0 1 2 4 3 5 1 9 5 13 L4 ! L4 + L1 B 1 2 1 2 C L1 ! L1 + L4 B 7 3 10 C B C L2 ! L2 + L4 ! B 0 C @ 3 1 5 3 A @ 0 16 11 27 A L3 ! L3 + 3L4 ! 1 5 2 8 1 5 2 8 1 1 0 0 1 9 5 13 1 0 0 0 C ! C 9C 2 2 1 B 0 7 3 10 C B 0 7 3 10 C C C B !B @ 0 16 11 27 A C3 ! C3 5C1 ! @ 0 16 11 27 A ! C4 ! C4 13C1 0 14 7 21 0 14 7 21 1 0 1 0 0 0 L2 ! L2 =7 B 0 1 3=7 10=7 C C3 ! C3 3=7C2 L3 ! L3 16L2 C !B @ 0 0 29=7 29=7 A C4 ! C4 10=7C2 ! L4 ! L4 14L2 ! 0 0 1 1 ! 0

0

1 B 0 ! B @ 0 0 !

0 1 0 0

C4 ! C4 !

0 0 29=7 1 C3

1 0 1 0 L3 ! 7=29L3 B 0 0 C C ! L4 ! L4 L3 ! B @ 0 29=7 A ! 0 1 1 0 1 0 0 0 B 0 1 0 0 C C !B @ 0 0 1 0 A; 0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 C C! 1 A 0

deci rangA = 3 (În …ecare caz s-au men¸tionat opera¸tiile indicate: nota¸tia L1 ! L1 + L4 înseamn¼ a linia 1 se înlocuie¸ste cu suma liniilor 1 ¸si 4 etc.). În continuare vom utiliza teorema rangului în studiul sistemelor de ecua¸tii liniare. Fie deci sistemul de ecua¸tii liniare: 8 a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = b1 > > < a21 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = b2 (6.1) ; :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: > > : am1 x1 + am2 x2 + ::: + amn xn = bm unde aij 2 R, i = 1; m, j = 1; n, bi 2 R, i = 1; m.

40

2. SPA TII ¸ VECTORIALE

Reamintim c¼ a un sistem ordonat de numere reale ( 1 ; 2 ; :::; n ) se nume¸ste solu¸tie a sistemului (6.1), dac¼ a înlocuind necunoscutele x1 ; x2 ; :::; xn respectiv prin aceste numere, toate ecua¸tiile acestui sistem sunt veri…cate, adic¼ a: n X

aij

j

= bi ; i = 1; m:

J=1

Dac¼ a admite cel pu¸tin o solu¸tie, sistemul se nume¸ste compatibil, iar dac¼ a nu admite nici o solu¸tie sistemul se nume¸ste incompatibil. Dac¼ a sistemul (6.1) admite o singur¼ a solu¸tie, sistemul se nume¸ste compatibil determinat, iar dac¼ a admite mai multe solu¸tii sistemul se nume¸ste compatibil nedeterminat. S¼ a remarc¼ am c¼ a sistemul se scrie sub forma Ax = b, unde 0 1 0 1 x1 b1 0 1 B x2 C B b2 C a11 a12 ::: a1n B C B C B a21 C B C B C a22 ::: a2n C B : C;b = B : C A=B ; x = B C B C @ ::: A ::: ::: ::: ::: B : C B : C @ A @ am1 am2 ::: amn : : A xn bm Matricea

0

a11 B a21 e=B A @ ::: am1

a12 a22 ::: ::: am2

::: ::: ::: :::

a1n a2n ::: amn

se nume¸ste matricea extins¼a a sistemului (6.1). Dac¼ a r = rangA ¸si a11 ::: a1r ::: ::: Dr = ::: ar1 ::: arr

1 b1 b2 C C ::: A bm

6= 0

atunci Dr se nume¸ste determinant principal al sistemului (6.1), necunoscutele x1 ; :::; xr se numesc necunoscute principale, iar xr+1 ; :::; xn dac¼ a n > r se numesc necunoscute secundare. Primele r ecua¸tii se numesc ecua¸tii principale, celelalte (dac¼ a r < m) se numesc ecua¸tii secundare. Dac¼ a r < m, pentru orice j > r, determinantul de forma a11 ::: a1r b1 ::: ::: ::: ::: ar1 ::: arr br aj1 ::: aj bj se nume¸ste determinant caracteristic al sistemului (6). Deci num¼ arul determinan¸tilor caracteristici este egal cu num¼ arul ecua¸tiilor secundare. TEOREMA 6.2. (Kronecker-Capelli) Condi¸tia necesar¼a s¸i su…cient¼a ca sistemul e (6.1) s¼a …e compatibil este ca rangA = rang A.

a ai matricei A. Demonstra¸tie. ”)” Not¼ am cu aj ; j = 1; n, vectorii coloan¼ Sistemul …ind compatibil exist¼ a 1 ; :::; n astfel încât: 1 1a

A¸sadar b 2 Sp e = rang A.

a1 ; :::; an

+ ::: +

n na

= b:

¸si din teorema rangului rezult¼ a c¼ a rangA =

6. RANGUL UNUI SISTEM DE VECTORI S ¸ I RANGUL M ATRICEI SALE. SISTEM E DE ECUA TII ¸ LINIARE 41

e atunci b 2 Sp a1 ; :::; an , deci exist¼ ”(” Dac¼ a rangA = rang A, a 1 ; :::; n 1 astfel încât b = 1 a + ::: + n an , deci sistemul ( 1 ; :::; n ) este solu¸tie a sistemului (6). COROLAR 6.2.1. Sistemul (6.1) este compatibil determinat dac¼a s¸i numai dac¼a e = n. rangA = rang A

Demonstra¸tie. Conform teoremei Kronecker-Capelli, prima egalitate este echivalent¼ a cu existen¸ta a cel pu¸tin o solu¸tie. Deoarece rangA = n, înseamn¼ a c¼ a, coloanele matricei A sunt liniar independente, deci b are o singur¼ a exprimare ca o combina¸tie liniar¼ a de coloanele matricei A, adic¼ a sistemul (6.1) este compatibil dee terminat. Reciproc, dac¼ a sistemul (6.1) are o singur¼ a solu¸tie atunci rangA = rang A (teorema 6.2), iar b are o singur¼ a exprimare ca combina¸tie liniar¼ a de coloanele matrin P j cei A, deci acestea sunt liniar independente (dac¼ a ti j a = 0 cu j ; j = 1; n nu to¸ j=1

nuli ¸si dac¼ a 1 ; :::; n este o solu¸tie a sistemului (6.1) atunci ¸si ar … o solu¸tie diferit¼ a de prima, ceea ce nu este posibil).

1+

+

1 ; :::;

n+ n

TEOREMA 6.3. (Rouché). Dac¼a rangA = r < m, atunci sistemul (6.1) este compatibil dac¼a s¸i numai dac¼a to¸ti determinan¸tii caracteristici sunt nuli. Demonstra¸tie. Dac¼ a sistemul este compatibil, conform teoremei Kroneckere = r. Cum orice determinant caracteristic este un deCapelli, rangA = rang A e deci este nul. Reciproc, dac¼ terminant de ordin r + 1 din A, a to¸ti determinan¸tii e = r, deci sistemul este compatibil. caracteristici sunt nuli, atunci rangA = rang A În continuare vom studia mul¸timea solu¸tiilor unui sistem omogen de ecua¸tii liniare. Fie deci sistemul Ax = 0, unde 0 este vectorul coloan¼ a cu m elemente, toate nule. Evident, sistemul este compatibil, deoarece admite solu¸tia cu toate elementele egale cu zero (aceast¼ a solu¸tie se mai nume¸ste solu¸tie banal¼a ). Din corolarul 6.2.1 ob¸tinem: COROLAR 6.3.1. Sistemul Ax = 0 are numai solu¸tia banal¼a dac¼a s¸i numai dac¼a rangA = n. În particular, dac¼a A este matrice p¼atratic¼a, sistemul are solu¸tie unic¼a dac¼a s¸i numai dac¼a matricea A este nesingular¼a. TEOREMA 6.4. Fie S mul¸timea solu¸tiilor sistemului Ax = 0. Dac¼a rangA = = r, atunci S este un subspa¸tiu vectorial de dimensiune n r. Demonstra¸tie. Este clar c¼ a S este un subspa¸tiu vectorial al lui Rn . Vom c¼ auta o baz¼ a a acestui spa¸tiu format¼ a din n r elemente. Pentru aceasta putem presupune c¼ a primele r coloane ale matricei A sunt liniar independente, ceea ce se poate r P j i realiza printr-o permutare a indicilor. Atunci pentru j > r, avem aj = ia . i=1

Consider¼ am vectorii yj = ( j1 ; :::; jr ; 0; :::; 0; 1; :::; 0), unde -1 se a‡a¼ pe locul j > r. Evident yj 2 S ¸si sunt liniar independen¸ti. Dac¼ a ar¼ at¼ am c¼ a ei genereaz¼ a S, teorema este demonstrat¼ a. Fie z = ( 1 ; :::; n ) o solu¸tie a sistemului Ax = 0. n P Atunci z 0 = z + si el o solu¸tie a sistemului. În plus, dac¼ a j yj este evident ¸ j=r+1

0

z =(

0 1 ; :::;

0 n ),

atunci

0 j

= 0 pentru j > r, deci

r P

j=1

0 j ja

= 0 ¸si deoarece vectorii

42

2. SPA TII ¸ VECTORIALE

a1 ; :::; ar sunt liniar independen¸ti, deducem c¼ a n P ¸si deci z = j yj .

0 j

= 0, j = 1; r. În consecin¸ta¼ z 0 = 0

j=r+1

DEFINITIE. ¸ O baz¼ a a subspa¸tiului vectorial S se nume¸ste sistem fundamental de solu¸tii al sistemului Ax = 0. TEOREMA 6.5. Presupunem c¼a sistemul Ax = b este compatibil. Dac¼a x 2 Rn este o solu¸tie a acestui sistem, atunci x 2 Rn este solu¸tie a sistemului Ax = b, nPr dac¼a s¸i numai dac¼a exist¼a 1 ; :::; n r 2 R astfel încât x = x + i yi , unde i=1

y1 ; :::; yn

r

este un sistem fundamental de solu¸tii al sistemului Ax = 0.

Demonstra¸tie. Dac¼ a x ¸si x sunt solu¸tii ale sistemului Ax = b, atunci A (x x) = = 0, deci x x 2 S, S …ind mul¸timea solu¸tiilor sistemului omogen. Cum y1 ; :::; nPr yn r este baz¼ a în S, rezult¼ a c¼ a exist¼ a 1 ; :::; n r astfel încât x x = i yi , i=1

ceea ce trebuia dovedit. Reciproc Ax = Ax +

nPr

i Ayi

= b, deoarece Ayi = 0,

i=1

pentru c¼ a yi 2 S.

7. Matricea de trecere de la o baz¼ a la alta. Schimbarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei Fie V un K-spa¸tiu vectorial de dimensiune n ¸si B = fe1 ; :::; en g, B 0 = fe01 ; :::; dou¼ a baze ale sale. Putem exprima vectorii din baza B 0 în baza B. Pentru a ¸si sunt unici cij 2 K; i = 1; n astfel încât orice vector e0j ; j = 1; n, exist¼ e0n g

e0j

(7.1)

=

n X

0

cij ei ; j = 1; n:

i=1

c11 DEFINITIE ¸ . Matricea C = @ ::: cn1 trecere de la baza B la baza B 0 .

c12 ::: cn2

1 ::: c1n ::: ::: A se nume¸ste matricea de ::: cnn

Se observ¼ a c¼ a pe coloana j se g¼ asesc coordonatele vectorului e0j în baza B. OBSERVATIE ¸ . Rela¸ tiile (7.1) se mai pot scrie 0 0 1 0 e1 e1 B e02 C B e2 B C B B : C B B C = CT B : B : C B : B C B @ : A @ : e0n en

unde C T este transpusa matricei C.

sub forma 1 C C C C; C C A

PROPOZITIA ¸ 7.1. Matricea de trecere de la o baz¼a la alta este inversabil¼a. Demonstra¸tie. Deoarece B 0 este baz¼ a, din orice rela¸tie de forma ¸ seama de (7.1) ob¸tinem + n e0n = 0V rezult¼ a i = 0; i = 1; n. Tinând (

1 c11

+

2 c12

+ ::: +

n c1n ) e1

+ ::: + (

1 cn1

+

2 cn2

+ ::: +

0 1 e1

n cnn ) en

+ :::+

= 0V ;

¼ LA ALTA. SCHIM BAREA COORDONATELOR UNUI VECTOR LA SCHIM BAREA 7. M ATRICEA DE TRECERE DE LA O BAZ A

rela¸tie care are loc dac¼ a ¸si numai dac¼ a i = 0; i = 1; n. Cum ¸si B este baz¼ a, se ob¸tine sistemul omogen 8 < 1 c11 + 2 c12 + ::: + n c1n = 0 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ; : 1 cn1 + 2 cn2 + ::: + n cnn = 0 în necunoscutele 1 ; :::; n , care trebuie s¼ a admit¼ a numai solu¸tia banal¼ a, ceea ce implic¼ a det C 6= 0 (corolar 6.3.1).

PROPOZITIA ¸ 7.2. Dac¼a C este matricea de trecere de la baza B la baza B 0 , 1 atunci C este matricea de trecere de la baza B 0 la baza B. Demonstra¸tie. Fie D matricea de trecere de la baza B 0 la baza B. Vom ar¼ ata c¼ a D = C 1. Tinând ¸ seama de (7.1), putem scrie es = d1s e01 + d2s e02 + ::: + dns e0n ; 8s = 1; n;

deci

es = d1s (c11 e1 + c21 e2 + ::: + cn1 en ) + d2s (c12 e1 + ::: + cn2 e2 ) + +::: + dns (c1n e1 + ::: + cnn en ) ; 8s = 1; n: Aceste egalit¼ a¸ti se mai scriu es = (d1s c11 + d2s c12 + ::: + dns c1n ) e1 + ::: + (d1s cn1 + ::: + dns cnn ) en ; 8s = 1; n: Cum B este baz¼ a în V , rezult¼ a c¼ a n X 1 daca i = j cik dkj = 8i; j = 1; n: 0 daca i 6= j k=1

Prin urmare CD = In , unde In este matricea unitate. Cum C este inversabil¼ a, rezult¼ a D = C 1. n n P P PROPOZITIA ¸ 7.3. Fie x 2 V s¸i x = xi ei ; x = x0j e0j sunt reprezent¼arile i=1

lui x în cele dou¼a baze B s¸i B 0 . Atunci are loc 0 1 0 0 x1 x1 B x2 C B x02 B C B B : C B B C=CB : (7.2) B : C B : B C B @ : A @ : xn x0n

j=1

1 C C C C C C A

C …ind matricea de trecere de la baza B la baza B 0 . Demonstra¸tie. Folosind (7.1) putem scrie x=

n X

x0j e0j =

j=1

Pe de alt¼ a parte x =

n X j=1

n P

n n n X X X x0j ( cij ei ) = ( cij x0j )ei : i=1

i=1

j=1

xi ei ¸si scrierea lui x în baza B …ind unic¼ a, rezult¼ a

i=1

xi =

n X j=1

cij x0j ; 8i = 1; n;

44

2. SPA TII ¸ VECTORIALE

ceea ce este echivalent cu (7.2). EXEMPLU. În R3 , …e baza canonic¼ a B = fe1 ; e2 ; e3 g ¸si vectorul x = (1; 2; 3). S¼ a determin¼ am coordonatele vectorului x în baza B 0 = fe01 ; e02 ; e03 g, unde e01 = = (1; 0; 1) ; e02 = (1; 1; 0) ; e03 = (2; 0; 1). Deoarece e01 = e1 + e3 ; e02 = e1 e2 ; e003 = 2e1 + e3 1 , rezult¼ a c¼ a matricea de trecere de la baza B la baza B 0 este 1 1 2 1 0 A : Totodat¼ C=@ 0 a e1 = e01 + e03 ; e2 = e01 e02 + e03 ; e3 = 2e01 e03 , 1 0 1 0 1 1 1 2 1 0 A: deci matricea de trecere de la baza B 0 la baza B este C 1 = @ 0 1 1 11 0 x01 a @ x02 A = Dac¼ a, în baza B 0 , x = x01 e01 + x02 e02 + x03 e03 , atunci din (7.2) rezult¼ x03 0 1 0 1 1 3 = C 1 @ 2 A = @ 2 A : A¸sadar x = 3e01 2e02 . 3 0 8. Metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecua¸ tii algebrice liniare S¼ a cosider¼ am sistemul de ecua¸tii algebrice liniare: 8 a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = b1 > > < a21 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = b2 : (8.1) :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: > > : am1 x1 + am2 x2 + ::: + amn xn = bm

Metoda este de fapt procedeul de eliminare a necunoscutelor pe care îl descriem în continuare. S¼ a presupunem a11 6= 0; atunci putem elimina prima necunoscut¼ a x1 din ecua¸tiile 2; 3; :::; m, înmul¸tind prima ecua¸tie cu factorii: ai1 mi1 = ; i = 2; m a11 ¸si sc¼ azând-o, respectiv din ecua¸tiile 2; 3; :::; m. Ob¸tinem astfel sistemul echivalent 8 (2) (2) (2) (2) (2) > a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ::: + a1n xn = b1 > > < (2) (2) (2) (2) a22 x2 + a23 x3 + ::: + a2n xn = b2 (8.2) ; > :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: > > : (2) (2) (2) (2) am2 x2 + am3 x3 + ::: + amn xn = bm (1)

(1)

unde dac¼ a aij = aij , i; j = 1; n, bi = bi , i = 1; n, avem 8 (1) > ; dac¼a i 1 < aij (2) 0 ; dac¼a i 2; aij = > : a(1) m a(1) ; dac¼a i 2; i1 1j ij ( (1) bi ; dac¼a i (2) bi = (1) (1) bi mi1 b1 ; dac¼a i

j j 1 : 2

1 ; 2

8. M ETODA LUI GAUSS PENTRU REZOLVAREA SISTEM ELOR DE ECUA TII ¸ ALGEBRICE LINIARE 45

Dac¼ a a11 = 0 schimb¼ am prima ecua¸tie a sistemului cu o alt¼ a ecua¸tie în care coe…cientul lui x1 este nenul. Se observ¼ a c¼ a prima ecua¸tie a sistemului (8.2) coincide (2) cu prima ecua¸tie a sistemului (8.1). Dac¼ a a22 6= 0, atunci, în mod analog, putem elimina necunoscuta x2 din ultimele m 2 ecua¸tii ale sistemului (8.2). Introducând multiplicatorii (2)

mi2 =

ai2

(2)

; i = 3; m;

a22

ob¸tinem sistemul echivalent 8 (3) (3) (3) (3) (3) > a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ::: + a1n xn = b1 > > > (3) (3) (3) (3) > a22 x2 + a23 x3 + ::: + a2n xn = b2 < (3) (3) (3) ; a33 x3 + ::: + a3n xn = b3 > > > :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: > > : (3) (3) (3) am3 x3 + ::: + amn xn = bm

(8.3)

cu coe…cien¸tii ¸si termenii liberi

(3)

aij

8 (2) > < aij 0 = > : a(2) ij (3)

respectiv bi

=

; dac¼a i ; dac¼a i ; dac¼a i

(2) mi2 a2j ( (2) bi (2) (2) bi mi2 b2

2 3; j 3; j ; dac¼a i ; dac¼a i

2 3 2 : 3

(2)

Dac¼ a a22 = 0 schimb¼ am ecua¸tia a doua cu una din ecua¸tiile 3; 4; :::; m în care coe…cientul lui x2 este nenul. Primele dou¼ a ecua¸tii ale sistemului (8.3) coincid cu (1) (2) primele dou¼ a ecua¸tii ale sistemului (8.2). Procedeul continu¼ a. Elementele a11 , a22 , (3) (k) a33 , ::: se numesc elemente pivot. Dac¼ a akk 6= 0, notând cu A(k+1) matricea sistemului echivalent din care au fost elimina¸ti x1 , x2 , :::, xk (adic¼ a matricea sistemului dup¼ a k < m pa¸si), prin b(k+1) vectorul coloan¼ a al termenilor liberi corespunz¼ atori, (k+1) (k+1) (k+1) (k+1) atunci elementele aij ale lui A ¸si bi ale lui b se calculeaz¼ a recursiv prin formulele

(k+1)

aij

8 (k) > < aij 0 = > : a(k) ij ( (k)

bi

=

; dac¼a i ; dac¼a i ; dac¼a i

(k) mik akj (k) bi (k) (k) bi mik bk

k k + 1; j k + 1; j

; dac¼a i ; dac¼a i

k ; k+1

k : k+1

(k)

unde mik =

aik

(k)

akk pasului k, va …

; i = k + 1; m. Prin urmare, matricea sistemului, dup¼ a efectuarea

46

2. SPA TII ¸ VECTORIALE

0

A(k+1)

B B B B B =B B B B B @

(1)

a11 0 0

(1)

a12 (2) a22 0

(1)

::: ::: :::

0 0

b(k+1)

(k)

(1)

a1k (2) a2k ::: (k) akk

a1;k+1 (2) a2;k+1 ::: (k+1)

ak+1;k+1 ::: (k+1) am;k+1 1 (1)

b1 B (2) B b2 B B : B B : B (k) B b k =B B b(k+1) B k+1 B (k+1) B bk+2 B B : B @ : (k+1) bm

(1)

::: a1n (2) ::: a2n ::: ::: (k+1)

::: ak+1;n ::: ::: (k+1) ::: amn

1

C C C C C C; C C C C A

C C C C C C C C C: C C C C C C C A

Dac¼ a akk = 0 ¸si cel pu¸tin unul din elementele de pe coloana k ¸si de pe liniile (k) k + 1; k + 2; :::; m este nenul, …e acesta ark , atunci permut¼ am liniile k ¸si r între ele ¸si continu¼ am eliminarea. Pe parcursul algoritmului pot apare urm¼ atoarele situa¸tii: -coe…cien¸tii unei ecua¸tii devin to¸ti nuli, iar termenul liber corespunz¼ ator este nenul, caz în care sistemul este incompatibil; -coe…cien¸tii unei ecua¸tii sunt to¸ti nuli ¸si termenul liber corespunz¼ ator este nul, atunci ecua¸tia respectiv¼ a este consecin¸ta¼ a celorlaltor (deci inutil¼ a). Dac¼ a m = n ¸si sistemul este compatibil, atunci este compatibil nedeterminat. Dac¼ a m = n ¸si rangul matricei sistemului este n, atunci to¸ti pivo¸tii sunt nenuli. Dup¼ a n 1 pa¸si vom ob¸tine sistemul triunghiurilor echivalent cu sistemul (8.1): 8 (1) (1) (1) (1) > a x1 + a12 x2 +:::+ a1n xn = b1 > > < 11 (2) (2) (2) a22 x2 +:::+ a2n xn = b2 ; > ::: ::: > > : (n) (n) ann xn = bn care se poate rezolva regresiv:

(n)

xn = (8.4) xi =

bn

(n)

ann (i) bi

n P

j=i+1 (i) aii

(i)

aij xj ; i=n

1; :::; 1:

Algoritmul lui Gauss ne permite s¼ a rezolv¼ am simultan p sisteme de ecua¸tii cu aceea¸si matrice A, dar cu termeni liberi diferi¸ti. În acest caz, la …ecare pas opera¸tiile aplicate asupra termenului liber se aplic¼ a tuturor celor p vectori coloan¼ a termeni liberi. Dup¼ a eliminare vom ob¸tine p sisteme triunghiulare. Un caz particular al acestui procedeu este inversarea unei matrice. Într-adev¼ ar, dac¼ a în rela¸tia

8. M ETODA LUI GAUSS PENTRU REZOLVAREA SISTEM ELOR DE ECUA TII ¸ ALGEBRICE LINIARE 47

AA 1 = In , not¼ am A 1 = X, atunci AX = In sau Axj = ej unde xj ¸si ej sunt coloanele j din X respectiv In . Astfel, coloanele matricei A 1 sunt solu¸tiile sistemelor liniare cu termenii liberi respectiv egali cu coloanele matricii unitate. OBSERVATII ¸ . 1) Am v¼ azut mai sus c¼ a este posibil s¼ a …e necesar s¼ a efectu¼ am permut¼ ari de linii când un element pivot este nul. Din motive de stabilitate numeric¼ a, trebuie s¼ a efectu¼ am permut¼ ari de linii nu numai când un element pivot este exact egal cu zero ci ¸si când el este aproape egal cu zero. De asemenea, pentru a preveni ca in‡uen¸ta erorilor de rotunjire s¼ a devin¼ a catastrofal¼ a, este, de obicei, necesar s¼ a alegem elementul pivot, la efectuarea pasului k; astfel: se alege num¼ arul r egal sau cel mai mic num¼ ar întreg pentru care (k)

(k)

ark = max aik k i m

¸si se permut¼ a liniile k ¸si r. Deci, alegem ca pivot, la …ecare pas k, primul element (k) maxim în modul întâlnit sub elementul akk . 2) Dac¼ a m = n, atunci determinantul matricei sistemului (8.1) este egal cu (n) s (1) (2) ( 1) a11 a22 :::ann unde s este num¼ arul total de permut¼ ari de linii efectuate (evident când se aplic¼ a pivotarea). 3) Când m = n, exist¼ a cazuri când pivotarea nu este necesar¼ a ¸si anume când: - matricea sistemului este slab diagonal dominant¼ a; - matricea sistemului este simetric¼ a ¸si pozitiv de…nit¼ a. În încheiere, men¸tion¼ am c¼ a metoda lui Gauss este o metod¼ a direct¼a de rezolvare a sistemelor, adic¼ a dup¼ a un num¼ ar …nit de opera¸tii logice ¸si aritmetice ¸si în ipoteza absen¸tei rotunjirilor, metoda d¼ a solu¸tia exact¼ a a sistemului. EXEMPLE. 1. Fie sistemul 8 2x1 + 5x2 8x3 = 8 > > < 4x1 + 3x2 9x3 = 9 : 2x1 + 3x2 5x3 = 7 > > : x1 + 8x2 7x3 = 12

S¼ a rezolv¼ am sistemul prin metoda lui Gauss. Vom elimina pe rând necunoscutele x1 ; x2 ; x3 . Pentru simplitatea scrierii, opera¸tiile necesare vor … efectuate asupra matricei extinse a sistemului. 0 1 0 1 0 1 2 5 8 8 2 5 8 2 5 8 8 8 B 0 C B 0 7 7 7 7 7 C B 4 3 9 9 C 7 C B C C!B B ! C B B 0 2 3 1 C! 0 0 1 @ 2 3 7 A 5 1 A @ @ A 11 5 5 1 8 7 12 8 0 3 0 0 2 2 2 0 1 2 5 8 8 B 0 7 7 7 C B C: @ 0 0 1 1 A 0 0 0 0 Deci ultima ecua¸tie este consecin¸ta¼ a celorlalte. Sistemul este compatibil determinat. Avem de rezolvat sistemul superior triunghiular 8 8x3 = 8 < 2x1 +5x2 7x2 +7x3 = 7 ; : x3 = 1 care are solu¸tia (3; 2; 1).

48

2. SPA TII ¸ VECTORIALE

2. Aceea¸si problem¼ a, pentru sistemul 8 x1 2x2 + > > < 3x1 x2 2x3 2x + x 2x3 > 1 2 > : x1 + 3x2 2x3

Procedând 0 1 B 3 B @ 2 1

x4 = = x4 = 2x4 =

ca mai sus, ob¸tinem succesiv 1 0 2 0 1 3 1 B 0 1 2 0 1 C C!B @ 0 1 2 1 4 A 3 2 2 7 0 0 1 2 0 1 B 0 5 2 3 B @ 0 0 0 0 0 0 0 0

2 5 5 5 3 10 0 0

3 1 : 4 7

0 2 2 2 1

1 3 3 3

C C: A

1 3 10 C C! 10 A 10

Ultimele dou¼ a ecua¸tii sunt consecin¸ta¼ a primelor dou¼ a. sistemul este compatibil dublu nedeterminat. Sistemul: x1

2x2 + 5x2 2x3

x4 = 3 3x4 = 10

este echivalent cu sistemul ini¸tial ¸si are o in…nitate de solu¸tii: 1 2 3 4 x1 = 1 + x3 + x4 ; x2 = 2 + x3 + x4 ; x3 2 R; x4 2 R: 5 5 5 5

3. Aceea¸si problem¼ a pentru sistemul 8 < 3x1 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2 7x1 4x2 + x3 + 3x4 = 5 : : 5x1 + 7x2 4x3 6x4 = 3 Ob¸tinem succesiv: 0

3 @ 7 5

5 4 7

0

5 2 4 2 B 23 B 1 3 5 A!B 0 3 @ 46 4 6 3 0 3 0 3 5 2 4 23 11 19 B @ 0 3 3 3 0 0 0 0 1

3

Sistemul este incompatibil.

0

2 11 3 22 31 2 1 C A: 3 1

4 19 3 38 3

2 1 3 1 3

1

C C C! A

1 1 0 1 4. S¼ a se calculeze inversa matricei A = @ 0 1 1 A. 1 1 1 Problema se reduce la rezolvarea simultan¼ a a trei sisteme de ecua¸tii cu aceea¸si matrice, iar termenii liberi sunt coloanele matricei unitate I3 . Ob¸tinem succesiv:

9. PROBLEM E

49

1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 A!@ 0 1 1 0 1 0 A! 0 0 1 0 1 0 11 0 1 0 1 0 1 1 0 0 @ 0 1 0 1 0 A. 1 1 1 0 0 0 1 Pentru rezolvarea celor trei sisteme, vom c¼ auta ca prin transform¼ ari elementare asupra liniilor s¼ a ob¸tinem în stânga, matricea unitate. Deci 0 1 1 0 1 1 0 0 L1 + L3 ! L1 @ 0 1 1 0 1 0 A L2 + L3 ! L1 ! 0 0 01 1 1 0 L13 ! L3 1 0 0 0 1 1 @ 0 1 0 1 0 1 A, 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 A: deci A 1 = @ 1 1 1 1 0

1 0 @ 0 1 1 1

1 1 1

9. Probleme ¸si

1. Fie V = (0; 1). S¼ a se arate c¼ a în raport cu opera¸tiile x x = x , 2 R, x 2 V , V devine spa¸tiu vectorial real.

y = xy, x; y 2 V

2. Fie V un K-spa¸tiu vectorial ¸si v 2 V , v 6= 0V . De…nim x y = x + y v; x; y 2 V; x = x + f ( ) v; 2 K; x 2 V: S¼ a se determine f ( ) astfel încât V înzestrat cu cele dou¼ a opera¸tii s¼ a …e spa¸tiu vectorial. 3. S¼ a se precizeze care din urm¼ atoarele submul¸timi ale lui R3 sunt subspa¸tii 3 vectoriale ale lui R ? a) S1 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; x1 + 2x2 3x3 = 0g; b) S2 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; x1 x2 + x3 = = 1g; c) S3 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; jx1 j + jx2 j = 1g; d) S4 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; x21 x2 = 0g; e) S5 = f(x1 ; x2 ; x3 ) ; x1 = 2x2 g. 4. În Mn (R), …e S1 = fA 2 Mn (R) ; AT = Ag, S2 = fA 2 Mn (R) ; AT = = Ag. S¼ a se arate c¼ a S1 ¸si S2 sunt subspa¸tii vectoriale ale lui Mn (R) ¸si Mn (R) = = S1 S2 . S¼ a se g¼ aseasc¼ a dimensiunile acestor subspa¸tii. n P 5. Fie A 2 Mm;n (R), A = (aij ) ¸si S = fx 2 Rn ; aij xj = 0, 1 i mg. S¼ a j=1

se arate c¼ a S este un subspa¸tiu vectorial al lui Rn .

6. Fie V un spa¸tiu vectorial ¸si v1 , v2 , v3 2 V liniar independen¸ti. S¼ a se arate c¼ a ¸si vectorii w1 = v1 + v2 + v3 , w2 = v1 + v2 v3 , w3 = v1 v2 + v3 sunt liniar independen¸ti. 7. S¼ a se arate c¼ a vectorii v1 = (1; 2; 2; 1), v2 = (5; 6; 6; 5), v3 = ( 1; 3; 4; 0), v4 = (0; 4; 3; 1) sunt liniar dependen¸ti. S¼ a se scrie v4 ca o combina¸tie liniar¼ a de v1 , v2 , v3 . 8. S¼ a se arate c¼ a vectorii v1 = (2; 1; 3), v2 = (3; 2; 5), v3 = (1; 1; 1) formeaz¼ a o baz¼ a a lui R3 . S¼ a se determine coordonatele vectorilor x = (4; 4; 9)

50

2. SPA TII ¸ VECTORIALE

¸si y = (6; 2; 7) în aceast¼ a baz¼ a. Aceea¸si problem¼ a pentru vectorii v10 = (1; 2; 1), 0 0 0 0 v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 3; 2), x = (2; 1; 1), y = (1; 1; 0). 9. S¼ a se arate c¼ a vectorii v1 , v2 , v3 , v4 formeaz¼ a o baz¼ a a lui R4 . S¼ a se determine coordonatele vectorului x în raport cu aceast¼ a baz¼ a: a) v1 = (1; 1; 1; 1), v2 = (1; 2; 1; 1), v3 = (1; 1; 2; 1), v4 = (1; 3; 2; 3); x = (1; 4; 2; 5); b) v1 = (1; 0; 0; 1), v2 = (2; 1; 3; 1), v3 = (1; 1; 0; 0), v4 = (0; 1; 1; 1); x = (0; 0; 0; 1). 10. Sunt liniar independente matricele A = 1 1 2 3 2x f3 (x) = e ?

C =

2 5

1 3

, B =

5 2

3 1

? Dar func¸tiile f1 ; f2 ; f3 : R ! R; f1 (x) = ex , f2 (x) = e

, x

,

11. S¼ a se determine dimensiunea ¸si o baz¼ a a subspa¸tiului generat de vectorii: a) v1 = (1; 1; 1), v2 = (1; 2; 3), v3 = (0; 1; 1), v4 = (0; 0; 0); b) v1 = (1; 0; 0; 1), v2 = (2; 1; 1; 0), v3 = (1; 1; 1; 1), v4 = (1; 2; 3; 4), v5 = (0; 1; 2; 3). 12. S¼ a se determine dimensiunile sumei ¸si intersec¸tiei subspa¸tiilor generate: a) u1 = (1; 2; 1), u2 = (3; 4; 2), u3 = (2; 2; 1), respectiv v1 = (0; 1; 1), v2 = (1; 2; 0); b) u1 = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 1; 1; 1), u3 = (1; 3; 1; 3), respectiv v1 = (1; 2; 0; 2), v2 = (1; 2; 1; 2), v3 = (3; 1; 3; 1). 13. S¼ a se completeze sistemul format din vectorii v1 = (2; 1; 3), v2 = (4; 1; 1) la o baz¼ a a lui R3 . 14. S¼ a se arate c¼ a func¸tiile f1 ; f2 ; f3 : R ! R, f1 (t) = t, f2 (t) = t2 + 1, 2 f3 (t) = t + t formeaz¼ a o baz¼ a în spa¸tiul polinoamelor de grad cel mult 2. S¼ a se determine coordonatele func¸tiilor t2 + 2t + 4 respectiv t2 + 3 în raport cu aceast¼ a baz¼ a. 15. S¼ a se g¼ aseasc¼ a o baz¼ a în spa¸tiul vectorial al solu¸tiilor sistemului x1 + x2 x3 = 0, x1 x2 + x4 = 0, x2 + x4 = 0. 16. În spa¸tiul vectorial al func¸tiilor f : R ! R s¼ a se arate c¼ a func¸tiile f1 (t) = = sin t, f2 (t) = cos t, f3 (t) = t sunt liniar independente. 17.0S¼ a se g¼ aseasc¼ a rangul matricelor: 1 0 1 2 3 2 1 3 B 2 C 1 0 C; b) @ 4 2 5 a) B @ 2 1 3 A 2 1 1 1 4 2

1 2 4 1 7 A. 8 2

18. Fie S1 ¸si S2 subspa¸tiile vectoriale ale lui R4 date de: S1 = f(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ; x2 + x3 + x4 = 0g, S2 = f(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ; x1 + x2 = 0, x3 = 2x4 g. S¼ a se g¼ aseasc¼ a dimensiunile ¸si baze ale acestor subspa¸tii, precum ¸si ale subspa¸tiilor S1 \S2 , S1 +S2 . 19. În R2 …e x = 2f1 + f2 , unde f1 = ( 1; 1), f2 = (2; 3). S¼ a se determine coordonatele lui x în baza fg1 ; g2 g, unde g1 = (1; 3), g2 = (3; 8).

20. S¼ a se determine matricea de trecere de la baza B = ff1 ; f2 ; f3 g la baza B 0 = fg1 ; g2 ; g3 g; dac¼ a f1 = (1; 0; 0), f2 = (1; 1; 0), f3 = (1; 1; 1), g1 = (3; 0; 2),

9. PROBLEM E

51

g2 = ( 1; 1; 4), g3 = (3; 5; 2). Cum se schimb¼ a coordonatele unui vector când se trece de la baza B 0 la baza B?

CHAPTER 3

Aplica¸ tii liniare Al¼ aturi de no¸tiunea de spa¸tiu vectorial, no¸tiunea de aplica¸tie liniar¼ a sau de operator liniar are o importan¸ta¼ deosebit¼ a în algebra liniar¼ a ¸si în aplica¸tiile acesteia, ca ”purt¼ ator de informa¸tie liniar¼ a”de la un spa¸tiu vectorial la altul. Vom prezenta acest concept de baz¼ a în cele ce urmeaz¼ a. 1. Aplica¸ tii liniare. Izomor…sme de spa¸ tii vectoriale DEFINITIE ¸ . Fie V , W dou¼ a subspa¸tii vectoriale peste acela¸si corp K. Se nume¸ste aplica¸tie liniar¼a sau operator liniar (sau mor…sm de spa¸tii vectoriale) o func¸tie T : V ! W cu propriet¼ a¸tile: a) T (x + y) = T (x) + T (y); 8x; y 2 V ; (T este aditiv¼a ) b) T ( x) = T (x); 8 2 K; x 2 V . (T este omogen¼a ) Dac¼ a, în plus, T este bijectiv¼ a, atunci T se nume¸ste izomor…sm de spa¸tii vectoriale, iar spa¸tiile V ¸si W se numesc izomorfe ¸si se noteaz¼ a V ' W: Vom folosi de asemenea, nota¸tia T x în loc de T (x), dac¼ a nu este pericol de confuzie. O aplica¸tie liniar¼ a T : V ! V se nume¸ste transformare liniar¼a sau operator liniar al lui V sau endomor…sm al lui V . Se nume¸ste automor…sm al lui V orice endomor…sm bijectiv al lui V . O aplica¸tie liniar¼ a f : V ! K se nume¸ste form¼a liniar¼a pe V sau func¸tional¼a liniar¼a pe V . Vom nota cu L(V; W ) mul¸timea aplica¸tiilor liniare de la V la W ¸si cu L(V ) mul¸timea endomor…smelor lui V . OBSERVATII. ¸ 1) Dac¼ a în condi¸tia a) punem x = 0V , se ob¸tine T (0V ) = 0W . De asemenea, luând = 1 în b), se ob¸tine T ( x) = T x: 2) T : V ! W este liniar¼ a dac¼ a ¸si numai dac¼ a T ( x + y) = T x + T y; 8x; y 2 V; ; 2 K: EXEMPLE. 1) Aplica¸tia : V ! W; (x) = 0W , 8x 2 V; este liniar¼ a ¸si se nume¸ste aplica¸tia nul¼a de la V la W . 2) Aplica¸tia identic¼ a, 1V : V ! V; 1V (x) = x; 8x 2 V este liniar¼ a. Mai mult, este automor…sm al lui V . 3) Fie A 2 Mm;n (R) o matrice …xat¼ a, A = (aij ): Dac¼ a x 2 Rn , x = (x1 ; :::; xn ) ; de…nim: n n n X X X T : Rn ! Rm ; T x = ( a1i xi ; a2i xi ; :::; ami xi ): i=1

i=1

53

i=1

54

3. APLICA TII ¸ LINIARE

T este o aplica¸tie liniar¼ a numit¼ a aplica¸tia liniar¼a asociat¼a matricei A. De exemplu, aplica¸tia T : R3 ! R3 ; T (x1 ; x2 ; x0 3 ) = (2x1 + x 12 ; x1 x3 ; x1 + x2 + 2 1 0 1 A: +x3 ); este aplica¸tia generat¼ a de matricea A = @ 1 0 1 1 1 4) Fie V un K-spa¸tiu vectorial ¸si un element nenul din K. Aplica¸tia T : V ! V; T (x) = x este un automor…sm al lui V ¸si se nume¸ste omotetie de raport : 5) Fie x 2 Rn ; x = (x1 ; :::; xn ) : Pentru orice k, 1 k n, aplica¸tia pk : Rn ! R; pk (x) = xk este o aplica¸tie liniar¼ a numit¼ a proiec¸tie canonic¼a de indice k . 6) Fie c1 ; :::; cn 2 Rn numere …xate; aplica¸tia T : Rn ! R; T (x1 ; :::; xn ) = = c1 x1 + ::: + cn xn este o form¼ a liniar¼ a pe Rn : 7) Fie a; b 2 R; a < b: Aplica¸tia D : C 1 ([a; b]; R) ! C 0 ([a; b]; R); Df = f 0 ; 8f 2 1 C ([a; b]; R) este o aplica¸tie liniar¼ a (numit¼ a operatorul de derivare). De asemenea b R I : C 0 ([a; b]; R) ! R; I(f ) = f (x) dx; 8f 2 C 0 ([a; b]; R) este o func¸tional¼ a liniar¼ a. a

8) În spa¸tiul vectorilor liberi V3 ; consider¼ am baza canonic¼ a f~i; ~j; ~kg: Dac¼ a 3 ~v 2 V3 atunci ~v = v1~i + v2~j + v3~k: Aplica¸tia T : V3 ! R ; T ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) este, evident, un izomor…sm de spa¸tii vectoriale. PROPOZITIA ¸ 1.1. Dac¼a V , W sunt K-spa¸tii vectoriale, atunci L(V; W ) are o structur¼a natural¼a de K-spa¸tiu vectorial. Demonstra¸tie. Fie T; S 2 L(V; W ) ¸si 2 K: De…nim T + S; T : V ! W astfel: (T + S)(x) = T x + Sx; 8x 2 V ¸si ( T )(x) = T x; 8x 2 V . T + S este o aplica¸tie liniar¼ a. Într-adev¼ ar, (T + S)( x + y) = T ( x + y) + S( x + y) = T x + T y + Sx + Sy = = (T x + Sx) + (T y + Sy) = (T + S)(x) + (T + S)(x); 8x; y 2 V; ; Similar,

2 K:

( T )( x + y) = T ( x + y) = ( T x + T y) = ( T x) + ( T y) = = ( T )(x) + ( T )(y); 8 ;

2 K; x; y 2 V:

Se veri…c¼ a u¸sor c¼ a L(V; W ) înzestrat cu cele dou¼ a opera¸tii are o structur¼ a de Kspa¸tiu vectorial. PROPOZITIA ¸ 1.2. Fie Vi ; i = 1; 2; 3; trei K-spa¸tii vectoriale s¸i T 2 L(V1 ; V2 ); S 2 L(V2 ; V3 ): Atunci: a) Aplica¸tia S T este liniar¼a; b) Dac¼a T este izomor…sm, atunci T 1 : V2 ! V1 este un izomor…sm de spa¸tii vectoriale. ;

Demonstra¸tie. a) Din liniaritatea lui T ¸si S, rezult¼ a c¼ a pentru orice x; y 2 V1 ; 2 K avem: (S

T )( x + y) = S(T ( x + y)) = S( T x + T y) = = S(T x) + S(T y) = (S

T )(x) + (S

T )(y):

2. NUCLEU S ¸ I IM AGINE

55

b) Deoarece inversa unei aplica¸tii bijective este bijectiv¼ a, este su…cient s¼ a ar¼ at¼ am c¼ a T 1 este liniar¼ a. Fie x; y 2 V2 ; ; 2 K: Exist¼ a x0 ; y 0 2 V1 astfel încât x = T x0 ; y = T y 0 : Atunci: T

1

( x + y) = T

1

( T x0 + T y 0 ) = T

= x0 + y 0 = T 1

deci T

1

1

x+ T

(T ( x0 + y 0 )) = 1

y;

este liniar¼ a.

TEOREMA 1.3. a) Orice K-spa¸tiu vectorial de dimensiune n este izomorf cu K n: b) Dou¼a K-spa¸tii vectoriale …nit dimensionale V s¸i W sunt izomorfe dac¼a s¸i numai dac¼a dimK (V ) = dimK (W ): Demonstra¸tie. a) Fie fe1 ; :::; en g o baz¼ a în V ¸si x 2 K n ; x = (x1 ; :::; xn ): n De…nim T : K ! V astfel T x = x1 e1 + ::: + xn en : Vom ar¼ ata c¼ a T este un izomor…sm de spa¸tii vectoriale. T este surjectiv¼ a, deoarece, dac¼ a v 2 V atunci exist¼ a ; :::; 2 K astfel încât v = e + ::: + e : Exist¼ a , deci, x = ( ; :::; ) 2 1 n 1 1 n n 1 n K n astfel ca T x = v. De asemenea, T este injectiv¼ a, deoarece dac¼ a x; y 2 K n ; x = (x1 ; :::; xn ); y = (y1 ; :::; yn ) ¸si T x = T y, atunci (x1 y1 )e1 + +::: + (xn yn )en = 0V : Cum sistemul de vectori fe1 ; :::; en g este liniar independent, rezult¼ a x1 = y1 ; :::; xn = yn ; adic¼ a x = y. A¸sadar T este bijectiv¼ a. Vom ar¼ ata acum c¼ a T este liniar¼ a. Fie x; y 2 K n ca mai sus ¸si ; 2 K: Atunci: T ( x + y) = ( x1 + y1 )e1 + ::: + ( xn + yn )en = (x1 e1 + ::: + xn en )+ + (y1 e1 + ::: + yn en ) = T x + T y; deci T este liniar¼ a. În concluzie K n ' V: b) " =) " S¼ a presupunem c¼ a V ' W; deci exist¼ a T : V ! W izomor…sm. Fie B = fe1 ; :::; en g baz¼ a în V . Vom ar¼ ata c¼ a B 0 = fT e1 ; :::; T en g este baz¼ a în W , de unde dimK (V ) = dimK (W ): T …ind surjectiv¼ a, pentru orice y 2 W exist¼ a n n P P x= xi ei 2 V astfel încât y = T x = xi T (ei ) (T …ind liniar¼ a). Atunci B 0 i=1

i=1

este un sistem de generatori în W . Pe de alt¼ a parte, dac¼ a T(

n P

i ei )

= 0W = T 0V : Cum T este injectiv¼ a, rezult¼ a

i=1

n P

i=1 n P

i T ei

= 0W , atunci

i T ei

= 0V ¸si cum

i=1

B este liniar independent¼ a, vom avea 1 = ::: = n = 0: A¸sadar B 0 este liniar independent¼ a ¸si, în consecin¸ta¼, baz¼ a în W . " (= " Dac¼ a dimK (V ) = dimK (W ) = n; conform a), exist¼ a S1 : K n ! V; n S2 : K ! W izomor…sme de spa¸tii vectoriale, Atunci T = S2 S1 1 este un izomor…sm. OBSERVATIE. ¸ Izomor…smul U : V ! K n ; x 2 V; x = x1 e1 + ::: + xn en ; U x = (x1 ; :::; xn ) se nume¸ste izomor…sm canonic. 2. Nucleu ¸ si imagine Fie V , W dou¼ a K-spa¸tii vectoriale ¸si T 2 L(V; W ): TEOREMA 2.1. a) Dac¼a M este subspa¸tiu vectorial al lui V , atunci T (M ) este subspa¸tiu vectorial al lui W ;

56

3. APLICA TII ¸ LINIARE

b) Dac¼a N este subspa¸tiu vectorial al lui W , atunci T T x 2 N g este subspa¸tiu vectorial al lui V .

1

(N ) = fx 2 V ;

Demonstra¸tie. a) Cum 0V 2 M , rezult¼ a T 0V = 0W 2 T (M ), deci T (M ) 6= : Fie acum y; y 0 2 T (M ) ¸si ; 2 K: Exist¼ a x; x0 2 M astfel ca T x = y; T x0 = y 0 : T …ind liniar¼ a, rezult¼ a y + y 0 = T x + T x0 = T ( x + x0 ): Cum M este subspa¸tiu vectorial al lui V , rezult¼ a x + x0 2 M , deci y + y 0 2 T (M ); adic¼ a T (M ) este subspa¸tiu vectorial al lui W . b) 0V 2 T 1 (N ), deoarece 0W 2 N , deci T 1 (N ) 6= : Fie x; y 2 T 1 (N ); ; 2 K: Atunci T x; T y 2 N; deci T ( x + y) = T x + T y 2 N; deoarece N este subspa¸tiu vectorial al lui W . În consecin¸ta¼, x + y 2 T 1 (N ): DEFINITIE ¸ . Subspa¸ tiul vectorial T 1 (0W ) = fx 2 V ; T x = 0V g se nume¸ste nucleul lui T ¸si se noteaz¼ a KerT: De asemenea, subspa¸tiul T (V ) = fy 2 W ; 9x 2 V a:^{: T x = yg se nume¸ste imaginea lui T ¸si se noteaz¼ a Im T: Evident, KerT

V ¸si Im T

W:

TEOREMA 2.2. a) T injectiv¼a () KerT = f0V g: b) T surjectiv¼a () Im T = W: Demonstra¸tie. a)" =) " Fie x 2 KerT; deci T x = 0W = T 0V : Cum T este injectiv¼ a, rezult¼ a x = 0V , deci KerT = f0V g: " (= " Fie x; y 2 V astfel ca T x = T y. Atunci T (x y) = 0V , adic¼ a x y 2 KerT , deci x y = 0V . A¸sadar x = y ¸si T injectiv¼ a. b) rezult¼ a imediat din de…ni¸tia lui Im T: ¼ 2.3. Dac¼ LEMA a dimK V = n s¸i fe1 ; :::; en g este o baz¼a a lui V , atunci fT e1 ; :::; T en g este un sistem de generatori pentru Im T .Acest sistem de generatori va … baz¼a în Im T dac¼a s¸i numai dac¼a T este injectiv¼a.

Demonstra¸tie. Într-adev¼ ar, dac¼ a y 2 Im T , exist¼ a x 2 V astfel ca T x = y: Dar n P x = 1 e1 + ::: + n en ; i 2 K; i = 1; n; deci y = xi T ei , adic¼ a fT e1 ; :::; T en g i=1

este sistem de generatori în Im T . Dac¼ a T este injectiv¼ a ¸si = 0W , atunci T ( 1 e1 + ::: + n en ) = 0W = T (0V ); deci = 0V : Cum fe1 ; :::; en g este liniar independent¼ a, rezult¼ a 1 fT e1 ; :::; T en g este liniar independent¼ a, deci baz¼ a în ImT: Reciproc, presupunem c¼ a fT e1 ; :::; T en g este liniar x 2 KerT , x = 1 e1 + ::: + n en ¸si cum T x = 0W , rezult¼ a = 0W : Cum fT e1 ; :::; T en g este liniar independent¼ a, rezult¼ a x = 0V , adic¼ a T este injectiv¼ a.

1 T e1

+ ::: + n T en = + ::: + n en = = ::: = n = 0, adic¼ a 1 e1

independent¼ a. Fie + ::: + n T en = 1 = ::: = n = 0, deci

1 T e1

OBSERVATIE ¸ . Fie V astfel ca dimK (V ) = n: Cum KerT V , conform teoremelor 2.1 ¸si 5.1, cap. 2, dimK (KerT ) n. Conform teoremelor 2.1 ¸si 4.2, cap. 2, dimK (Im T ) n: Putem deci formula: DEFINITIE ¸ . Presupunem c¼ a dimK (V ) = n: Dac¼ a T este o aplica¸tie liniar¼ a T : V ! W , atunci dimK (KerT ) se nume¸ste defectul lui T ¸si se noteaz¼ a def T: De asemenea, dimK (Im T ) se nume¸ste rangul lui T ¸si se noteaz¼ a rangT:

2. NUCLEU S ¸ I IM AGINE

57

TEOREMA 2.4. (teorema rang-defect) Fie V ,W dou¼a K-spa¸tii vectoriale cu dimK (V ) = n s¸i T 2 L(V; W ): Atunci: dimK (V ) = def T + rangT:

Demonstra¸tie. Fie p = def T; 0 p n; B = fe1 ; :::; en g baz¼ a în KerT , deci T ei = 0; 1 i p: Complet¼ am baza B la o baz¼ a B 0 = fe1 ; :::; ep ; ep+1 ; :::; en g a lui V . Vom demonstra c¼ a B 00 = fT ep+1 ; :::; T en g formeaz¼ a o baz¼ a în Im T . Vom ar¼ ata 00 mai întâi c¼ a B este liniar independent¼ a. Dac¼ a p+1 T ep+1 + ::: + n T en = 0W , rezult¼ a T ( p+1 ep+1 + ::: + n en ) = 0W , deci p+1 ep+1 + ::: + n en 2 KerT: Prin urmare exist¼ a 1 ; :::; p 2 K astfel încât p+1 ep+1 + ::: + n en = 1 e1 + ::: + p ep sau 1 e1 + ::: + p ep + ( p+1 )ep+1 + ::: + ( n )en = 0V : B 0 …ind baz¼ a în V , rezult¼ a 1 = ::: = n = 0, deci B 00 este liniar independent¼ a. S¼ a ar¼ at¼ am acum c¼ a B 00 este sistem de generatori în Im T: Dac¼ a y 2 Im T atunci exist¼ a x 2 V p n P P astfel ca T x = y: Dar x = xi ei unde x = xi ei 2 KerT: T …ind liniar¼ a, rezult¼ a y = Tx =

n P

i=1

i=1

00 a în Im T: Atunci rangT = n i T ei , deci B este baz¼

p=

i=1

= dimK (V )

def T .

COROLAR 2.4.1. Dac¼a V este un K-spa¸tiu vectorial de dimensiune n s¸i T un endomor…sm al lui V , atunci T este injectiv () T este surjectiv. Demonstra¸tie. T este injectiv () KerT = f0V g () def T = 0 () rangT = n () Im T = V () T surjectiv.

EXEMPLU. Fie x 2 R3 ; x = (x1 ; x2 ; x3 ) ¸si T : R3 ! R3 ; T x = (x1 + x2 x3 ; x1 x2 + x3 ; 5x1 x2 + x3 ): Se veri…c¼ a u¸sor c¼ a T este liniar¼ a. Pe de alt¼ a parte x 2 KerT dac¼ a ¸si numai dac¼ a, coordonatele sale veri…c¼ a sistemul liniar x1 + x2 x3 = 0 a a acestui sistem …ind x1 = 0; x2 = t; omogen x1 x2 + x3 = 0 : Solu¸tia general¼ 5x1 x2 + x3 = 0 x3 = t; t 2 R; rezult¼ a c¼ a KerT = fx 2 R3 ; x = t(0; 1; 1); t 2 Rg = Sp(fug); unde u = (0; 1; 1): Atunci def T = 1, o baz¼ a în KerT …ind vectorul u. Conform teoremei 2.3, rezult¼ a c¼ a rangT = 2: Dup¼ a lema de mai sus, T e1 = (1; 1; 5); T e2 = = (1; 1; 1); T e3 = ( 1; 1; 1)(fe1 ; e2 ; e3 g …ind baz¼ a canonic¼ a în R3 ) formeaz¼ a un sistem de generatori pentru Im T: Deci doar doi sunt liniar independen¸ti, de exemplu T e1 ¸si T e2 , ace¸stia constituind o baz¼ a în Im T: COROLAR 2.4.2. Fie V; V 0 ; V 00 trei K-spa¸tii vectoriale …nit dimensionale s¸i S : V ! V 0 ; T : V 0 ! V 00 dou¼a aplica¸tii liniare. Atunci: a) rang(T S) rangT ; b) rang(T S) rangS; c) dac¼a T este izomor…sm, atunci rang(T S) = rangS; d) dac¼a S este izomor…sm, atunci rang(T S) = rangT: Demonstra¸tie. Evident, T S este o aplica¸tie liniar¼ a. a) Deoarece S(V ) rezult¼ a T (S(V )) T (V 0 ): Atunci: rang(T b) Cum KerS rang-defect, rang(T

S) = dimK (T Ker(T

S)(V )

dimK T (V 0 ) = rangT:

S); rezult¼ a def S

S) = dimK (V )

def (T

S)

V 0,

def (T

dimK (V )

S): Conform teoremei def S = rangS:

58

3. APLICA TII ¸ LINIARE

c) Deoarece T este izomor…sm, exist¼ a T 1 : V 00 ! V 0 : Putem scrie S = T 1 (T S): Conform b) rangS rang(T S) rangS: d) Se scrie T = (T S) S 1 : 3. Matricea asociat¼ a unei aplica¸ tii liniare Vom ar¼ ata c¼ a dac¼ a V ¸si W sunt K-spa¸tii vectoriale …nit dimensionale, atunci L(V; W ) este izomorf cu un spa¸tiu de matrice. Fie deci dimK (V ) = n; B = = fe1 ; :::; en g o baz¼ a …xat¼ a în V ¸si dimK (W ) = m; C = ff1 ; :::; fm g o baz¼ a …xat¼ a în W. Dac¼ a T 2 L(V; W ), atunci pentru orice j; 1 j n; T ej 2 W , deci exist¼ a scalarii aij 2 K; 1 i m, unic determina¸ti, (…ind coordonatele vectorilor T ej ; 1 j n, în baza C) astfel ca: (3.1)

T ej =

m X

aij fi ;

j = 1; n:

i=1

DEFINITIE ¸ . Se nume¸ ste matricea lui T în raport cu bazele B s¸i C, matricea AB;C = (a ) de tip (m; n) a c¼ arei coloan¼ a j este constituit¼ a din coordonatele ij T vectorului T ej în raport cu baza C. Dac¼ a V = W ¸si B = C, vom scrie AB;B = AB T T ¸si vom spune c¼ a AB T este matricea endomor…smului T în raport cu baza B. A¸sadar matricea lui T depinde de bazele B ¸si C. Vom omite indicii când nu este pericol de confuzie. Num¼ arul liniilor matricei A ata¸sat¼ a aplica¸tiei liniare T : V ! W este egal cu dimensiunea lui W , iar num¼ arul coloanelor cu dimensiunea lui V . Evident, în cazul unui endomor…sm num¼ arul liniilor coincide cu num¼ arul coloanelor, deci matricea este p¼ atratic¼ a. Vom nota cu Mn (K) mul¸timea matricelor de tip (n; n). EXEMPLE. 1) Fie T : R2 ! R2 ; T (x; y) = ( x; y) (simetria în raport cu originea). Consider¼ am în R2 , baza canonic¼ a e1 = (1; 0); e2 = (0; 1). S¼ a determin¼ am matricea endomor…smului T în baza fe1 ; e2 g. Cum T e1 = e1 ; T e2 = = e2 1 0 rezult¼ a c¼ a matricea lui T în baza fe1 ; e2 g este A = . 0 1 2) În R3 consider¼ am baza canonic¼ a fe1 ; e2 ; e3 g; e1 = (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0); e3 = (0; 0; 1); iar în R1 [X] baza ff1 ; f2 g; f1 = 1; f2 = X. Dac¼ a x = ( 1; 2; 3) 2 2 R3 , de…nim T : R3 ! R1 [X]; T x = 1 + 2 + ( 1 + 2 2 a se determine 3 )X. S¼ matricea lui T în cele dou¼ a baze. Deoarece T e1 = f1 + f2 ; T e2 = f1 + 2f2 ; T e3 = 1 1 0 = f2 , rezult¼ aA= : 1 2 1 3) Fie V un K-spa¸tiu vectorial ¸si fe1 ; :::; en g baza în V . Vom determina matricea aplica¸tiei identice 1V : V ! V; 1V (x) = x; 8x 2 V . Deoarece 1V (ei ) = = ei , 1 i n, rezult¼ a c¼ a matricea lui 1V este matricea unitate: 1 0 1 0 ::: 0 B 0 1 ::: 0 C C: In = B A @ ::: ::: 0 0 ::: 1

¼ 3.1. Fie V ¸ LEMA si W K-spa¸tii vectoriale, fe1 ; :::; en g o baz¼ a în V ¸si fy1 ; :::; yn g un sistem arbitrar de vectori din W . Exist¼ a o unic¼ a aplica¸tie liniar¼ aT :V !W astfel ca T ei = yi ; 1 i n.

¼ UNEI APLICA TII 3. M ATRICEA ASOCIAT A ¸ LINIARE

Demonstra¸tie. Dac¼ a x 2 V , atunci x =

n P

59

xi ei : De…nim T x =

i=1

n P

xi yi . T este

i=1

evident liniar¼ a ¸si T ei = yi ; 1 i n. S¼ a veri…c¼ am unicitatea. Dac¼ aS :V !W este o alt¼ a aplica¸tie liniar¼ a satisf¼ acând Sei = yi ; 1 i n, atunci pentru orice x 2 V avem: n n n X X X Sx = S( xi ei ) = xi Sei = xi yi = T x: i=1

i=1

i=1

Lema 3.1 d¼ a posibilitatea de a de…ni în mod unic o aplica¸tie liniar¼ a punând în eviden¸ta¼ doar valorile sale pe o baz¼ a a domeniului de de…ni¸tie. TEOREMA 3.2. Fie V s¸i W dou¼a K-spa¸tii vectoriale de dimensiune n s¸i respectiv m, B = fe1 ; :::; en g o baz¼a în V , C = ff1 ; :::; fn g o baz¼a în W . Aplica¸tia ' : L(V; W ) ! Mm;n (K) care face s¼a corespund¼a oric¼arui T 2 L(V; W ) matricea AB;C de…nit¼a mai sus este un izomor…sm de spa¸tii vectoriale. T ;

Demonstra¸tie. Vom ar¼ ata mai întâi c¼ a ' este liniar¼ a. Fie S; T 2 L(V; W ) ¸si 2 K. Dac¼ a '(S) = (aij ); '(T ) = (bij ); '( S + T ) = (cij ), atunci: m X

cij fi = ( S + T )(ej ) = Sej + T ej =

i=1

m X

aij fi +

i=1

=

m X

m X

bij fi =

i=1

( aij + bij )fi ; j = 1; n:

i=1

Cum ff1 ; :::; fm g este baz¼ a în W , rezult¼ a cij = aij + bij ; i = 1; n, adic¼ a '( S + T ) = '(S) + '(T ), deci ' este liniar¼ a. c¼ a ' este bijectiv¼ a. Dac¼ a T 2 L(V; W ) ¸si '(T ) = 0, atunci T ej n P dac¼ a x = xi ei 2 V atunci T x = 0W deci T este aplica¸tia nul¼ a.

= 1; m; j = Vom ar¼ ata = 0W , deci În concluzie

i=1

Ker' = f g, deci ' este injectiv¼ a. S¼ a ar¼ at¼ am acum c¼ a ' este surjectiv¼ a. Fie M = (aij ) o matrice de tip (m; n) cu coe…cien¸ti în K. Consider¼ am vectorii yj m P din W , yj = aij fi ; j = 1; n. Conform lemei 3.1 exist¼ a o aplica¸tie liniar¼ a unic¼ a i=1

T : V ! W astfel ca T ej = yj ; j = 1; n, deci astfel ca '(T ) = M . În consecin¸ta¼ ' este surjectiv¼ a ¸si teorema este demonstrat¼ a. COROLAR 3.2.1. Dac¼a dimK (V ) = n; dimK (W ) = m, atunci dimK (L(V; W )) = m n: Demonstra¸tie. Se ¸tine seama de teoremele 3.2 ¸si 1.3. TEOREMA 3.3. În ipotezele teoremei 3.2, …e T 2 L(V; W ) ¸si M = (aij ) man P tricea lui T în raport cu bazele B ¸si C. Atunci dac¼ ax= xi ei 2 V , coordonatele i=1

vectorului y = T x în baza C sunt date de

(3.2)

yi =

n X j=1

aij xj ; i = 1; m:

60

3. APLICA TII ¸ LINIARE

Demonstra¸tie.

Avem:

y = Tx =

n P

xj T ej

=

j=1

=

m P n P ( aij xj )fi , de unde (3.2).

n P

xj (

j=1

m P

aij fi ) =

i=1

i=1 j=1

4. Matrice ¸ si aplica¸ tii liniare Vom de…ni opera¸tiile cu matrice pornind de la opera¸tiile corespunz¼ atoare cu aplica¸tii liniare. Fie deci V , W dou¼ a K-spa¸tii vectoriale, fe1 ; :::; en g baza în V , ff1 ; :::; fm g baza în W ¸si S; T 2 L(V; W ). Fie A ¸si B matricele asociate lui S ¸si T respectiv, în raport cu cele dou¼ a baze, A = (aij ); B = (bij ). Egalitatea matricelor. Dou¼ a aplica¸tii liniare S ¸si T sunt egale dac¼ a ¸si numai dac¼ a S(ej ) = T (ej ); j = 1; n, adic¼ a a1j f1 + a2j f2 + ::: + amj fm = b1j f1 + b2j f2 + ::: + bmj fm : Cum ff1 ; :::; fm g este baz¼ a în W , rezult¼ a c¼ a S = T dac¼ a ¸si numai dac¼ a aij = bij ; i = 1; m; j = 1; n, ceea ce conduce la urm¼ atoarea DEFINITIE ¸ . Dou¼ a matrice A = (aij ); B = (bij ) de tip (m; n) sunt egale dac¼ a aij = bij ; i = 1; m; j = 1; n. Adunarea matricelor. Fie C = (cij ) matricea aplica¸tiei liniare S + T . Avem: (S + T )(ej ) = S(ej ) + T (ej ) =

m X

aij fi +

i=1

m X

bij fi =

j=1

m X

(aij + bij )fi ; j = 1; n:

i=1

În consecin¸ta¼, cij = aij + bij ; i = 1; m; j = 1; n: Putem deci formula urm¼ atoarea DEFINITIE ¸ . Dac¼ a A = (aij ); B = (bij ) sunt dou¼ a matrice de tip (m; n), se nume¸ste suma lui A ¸si B ¸si se noteaz¼ a A + B, matricea de tip (m; n), ale c¼ arei elemente sunt aij + bij ; i = 1; m; j = 1; n: Înmul¸tirea unei matrice cu un scalar. Fie C = (cij ) matricea aplica¸tiei S; m m P P 2 K. Atunci ( S)(ej ) = Sej = aij fi = ( aij )fi ; j = 1; n. Deci i=1

i=1

cij = aij ; i = 1; m; j = 1; n.

DEFINITIE ¸ . Dac¼ a A = (aij ) este o matrice de tip (m; n), produsul dintre scalarul s¸i matricea A este matricea A ob¸tinut¼ a multiplicând toate elementele lui A cu . Produsul a dou¼a matrice. Fie U; V; W trei K-spa¸tii vectoriale B1 = fe1 ; :::; en g, B2 = ff1 ; :::; fm g, B3 = fg1 ; :::; gr g baze ale lui U; V; W respectiv. Fie S 2 L(U; V ), T 2 L(V; W ), A = (aij ); B = (bij ) matricele lui S ¸si T în raport cu bazele date. Vrem s¼ a determin¼ am matricea lui T S în raport cu bazele B1 ¸si B3 . Fie C = (cij ) matricea asociat¼ a lui T S. Atunci: (T

S)(ej ) = T (Sej ) = T (

m X

k=1

akj fk ) =

m X

k=1

akj T fk =

4. M ATRICE S ¸ I APLICA TII ¸ LINIARE

=

m X

k=1

În consecin¸ta¼: (4.1)

61

m r X r X X bik gi ) = ( bik akj )gi ; j = 1; n: akj ( i=1 k=1

i=1

cij =

m X

bik akj ; i = 1; r; j = 1; n:

k=1

DEFINITIE ¸ . Fie A = (aij ) o matrice de tip (m; n) ¸ si B = (bij ) o matrice de tip (r; m). Se nume¸ste produsul dintre B s¸i A ¸si se noteaz¼ a BA, matricea de tip (r; n) al c¼ arei element cij situat la intersec¸tia liniei i cu coloana j este dat de (4.1). S¼ a remarc¼ am c¼ a produsul BA nu este de…nit decât dac¼ a num¼ arul coloanelor lui B este egal cu num¼ arul liniilor lui A. Expresia lui cij se ob¸tine pornind de la linia i a lui B ¸si de la coloana j a lui A. Spunem c¼ a produsul BA se efectueaz¼ a dup¼ a regula ”linii pe coloane”. PROPOZITIA ¸ 4.1. Dac¼a A; B; C sunt matrice astfel încât diferitele produse de mai jos s¼a …e de…nite s¸i 2 K, atunci: a) A(BC) = (AB)C; b) A(B + C) = AB + AC; c) (B + C)A = BA + CA; d) A( B) = ( A)B = (AB). Demonstra¸tie. Propozi¸tia se demonstreaz¼ a utilizând propriet¼ a¸tile binecunoscute ale aplica¸tiilor liniare. Dac¼ a, de exemplu, S : K r ! K s , T : K m ! K r ¸si U : K n ! K m sunt aplica¸tiile liniare ale c¼ aror matrice A; B ¸si C respectiv, în raport cu bazele canonice, atunci matricea lui S (T U ) este A(BC), iar matricea lui (S T ) U este (AB)C: Cum S (T U ) = (S T ) U rezult¼ a A(BC) = (AB)C. Celelalte egalit¼ a¸ti se demonstreaz¼ a asem¼ an¼ ator. OBSERVATIE ¸ . Produsul a dou¼ a matrice nu este comutativ în general. Matrice inversabile. O matrice A 2 Mn (K) este inversabil¼a sau regulat¼a dac¼ a exist¼ a o matrice B 2 Mn (K) astfel încât: AB = BA = In : Matricea B este unic¼ a, se noteaz¼ a cu A 1 ¸si se nume¸ste inversa lui A. TEOREMA 4.2. Fie V un K-spa¸tiu vectorial de dimensiune …nit¼a n, C = = fe1 ; :::; en g o baz¼a în V s¸i T un endomor…sm al lui V . Pentru ca matricea A a endomor…smului T în raport cu baza C s¼a …e inversabil¼a, este necesar s¸i su…cient ca T s¼a …e un automor…sm al lui V . În acest caz matricea lui T 1 în raport cu baza C este A 1 : Demonstra¸tie. ”=)” A …ind inversabil¼ a, exist¼ a B 2 Mn (K) astfel ca AB = = BA = In :Cum aplica¸tia T ! A de la L(V ) la Bn (K) este bijectiv¼ a, …e S aplica¸tia liniar¼ a asociat¼ a lui B. Ea este astfel încât S T = T S = 1V ; deci T este bijectiv¼ a ¸si T 1 = S ¸si matricea asociat¼ a lui T 1 este A 1 : ”(=” Dac¼ a T este bijectiv¼ a, exist¼ a T 1 ¸si T T 1 = T 1 T = 1V , deci 1 dac¼ a B este matricea asociat¼ a lui T ; atunci AB = BA = In : Prin urmare A este inversabil¼ a ¸si A 1 = B: Rangul unei matrice. Are loc: TEOREMA 4.3. Fie V , W dou¼a K-spa¸tii vectoriale având dimensiunile n, respectiv m s¸i T 2 L(V; W ): Dac¼a fe1 ; :::; en g este baz¼a în V , ff1 ; :::; fn g este baz¼a

62

3. APLICA TII ¸ LINIARE

în W , iar A este matricea aplica¸tiei liniare T în raport cu cele dou¼a baze, atunci rangT = rangA: Demonstra¸tie. Deoarece fT e1 ; :::; T en g este sistem de generatori pentru Im T , ¸tinând seama de teorema 7.1, cap. 2, rangT = dimK (Im T ) = rangfT e1 ; :::; T en g = rangA; deoarece coordonatele vectorilor fT e1 ; :::; T en g în baza ff1 ; :::; fn g se g¼ asesc pe coloanele matricei A. COROLAR 4.3.1. O matrice p¼atratic¼a este inversabil¼a dac¼a s¸i numai dac¼a este nesingular¼a. Demonstra¸tie. Fie T endomor…smul care într-o baz¼ a fe1 ; :::; en g a unui K-spa¸tiu vectorial are matricea A. Aplicând corolar 2.4.1 ¸si teoremele 4.2 ¸si 4.3 ob¸tinem: A inversabila () T automorf ism () def T = 0 () () n = rangT = rangA () det A 6= 0: 5. Transformarea matricei unei aplica¸ tii liniare la schimbarea bazelor Fie V , W dou¼ a K-spa¸tii vectoriale având dimensiunile n respectiv m ¸si T 2 2 L(V; W ): Dac¼ a E = fe1 ; :::; en g ¸si F = ff1 ; :::; fn g sunt baze …xate în V respectiv W , iar A = (aij ) este matricea aplica¸tiei liniare T în cele dou¼ a baze atunci m X

T ej =

k=1

akj fk ; 8j = 1; n:

Fie acum E 0 = fe01 ; :::; e0n g ¸si F 0 = ff10 ; :::; fn0 g o nou¼ a pereche de baze …xate în V respectiv W ¸si A0 = (a0ij ) matricea asociat¼ a aplica¸tiei T în noua pereche de baze, deci m X T e0i = a0lj fl0 ; 8i = 1; n: l=1

Vom stabili ce rela¸tie exist¼ a între A ¸si A0 : Fie C = (cij ) matricea de trecere de la baza E la baza E 0 ¸si D = (dij ) matricea de trecere de la baza F la baza F 0 , deci: e0i =

n X

cji ej ; 8i = 1; n;

m X

dkl fk ; 8l = 1; m:

j=1

fl0 =

k=1

Atunci, ob¸tinem pe de o parte T e0i =

n X

cji T ej =

j=1

n X

cji (

j=1

m X

akj fk ) =

m X n X ( akj cji )fk ; i = 1; n;

k=1 j=1

k=1

iar pe de alt¼ a parte, T e0i =

m X l=1

a0li fl0 =

m X l=1

a0li (

m X

dkl fk ) =

k=1

Egalând coordonatele vectorilor

T e0i

m m X X ( dkl a0li )fk ; i = 1; n:

k=1 l=1

în baza F rezult¼ a

5. TRANSFORM AREA M ATRICEI UNEI APLICA TII ¸ LINIARE LA SCHIM BAREA BAZELOR63

m X l=1

dkl a0li =

n X j=1

dkj cji ; 8i = 1; n; k = 1; m:

Aceste rela¸tii mai pot … scrise DA0 = AC. D …ind o matrice de schimbare de baz¼ a este nesingular¼ a deci A0 = D 1 AC; aceast¼ a egalitate reprezentând formula de transformare a matricei unei aplica¸tii T 2 L(V; W ) la schimbarea bazelor. În particular, dac¼ a V =W , iar T 2 L(V ); atunci se lucreaz¼ a cu aceea¸si baz¼ a atât în domeniul de de…ni¸tie cât ¸si în cel de valori. Dac¼ a E = fe1 ; :::; en g este o baz¼ a …xat¼ a în V , iar A = (aij ) este matricea aplica¸tiei liniare T în baza E, avem: T ej =

n X

k=1

akj ek ; 8j = 1; n:

Dac¼ a E 0 = fe01 ; :::; e0n g este o alt¼ a baz¼ a …xat¼ a în V , iar A0 = (a0ij ) este matricea asociat¼ a lui T în baza E 0 , atunci T e0i =

n X l=1

a0lj e0l ; 8i = 1; n:

Dac¼ a C este matricea de trecere de la baza E la baza E 0 , procedând ca mai sus ob¸tinem A0 = C 1 AC aceasta …ind formula de transformare a matricei unui endomor…sm T 2 L(V; W ) la schimbarea bazei. DEFINITIE ¸ . Spunem c¼ a dou¼ a matrice A; B 2 Mn (K) sunt similare sau asemenea dac¼ a exist¼ a o matrice C nesingular¼ a astfel ca B = C 1 AC: Are loc: PROPOZITIA ¸ 5.1. Fie A; B 2 Mn (K). Urm¼atoarele a…rma¸tii sunt echivalente: 1) A s¸i B sunt similare; 2) Exist¼a o aplica¸tie liniar¼a T : V ! V , V …ind un K-spa¸tiu vectorial ndimensional s¸i dou¼a baze E s¸i E 0 în V astfel ca A s¸i B s¼a …e matricele asociate lui T în cele dou¼a baze. Demonstra¸tie. 2)=)1) rezult¼ a din cele de mai sus. 1)=)2) A ¸si B …ind similare, …e C o matrice nesingular¼ a astfel încât CB = AC. Fie E = fe1 ; :::; en g o baz¼ a …xat¼ a în V = K n ¸si T : V ! V unica aplica¸tie liniar¼ a care în baza E are matricea asociat¼ a A. Deci: T ej =

n X

k=1

Fie S : V

akj ek ; 8j = 1; n:

! V aplica¸tia liniar¼ a care în baza E are matricea C, deci: n P Sei = aji ej ; 8i = 1; n: j=1

Conform teoremei 4.2, S este un automor…sm al lui V . Rezult¼ a c¼ a E0 = = 0 fSe1 ; :::; Sen g este o baz¼ a în V . S¼ a not¼ am ei = Sei ; i = 1; n. Vom ar¼ ata c¼ a matricea lui T în baza E 0 este chiar B. Fie deci D = (dij ) matricea lui T în baza E 0 , deci

64

3. APLICA TII ¸ LINIARE

T e0i =

n X j=1

dji e0j =

n X

dji Sej =

j=1

n X

dji (

j=1

Pe de alt¼ a parte:

n X

ckj ek ) =

k=1

n X n X ( ckj dji )ek ; 8i = 1; n:

k=1 j=1

n n n n n X X X X X ( akj cji )ek ; 8i = 1; n: T e0i = T (Sei ) = T ( cji ej ) = cji ( akj ek ) = j=1

j=1

Din unicitatea scrierii vectorilor n X

ckj dji =

j=1

Deci CD = AC sau D = C

n X j=1

1

k=1

T e0i

k=1 j=1

în baza E rezult¼ a

akj cji ; 8k = 1; n; j = 1; n:

AC = B.

3 3 EXEMPLU. 0 Aplica¸tia liniar¼ a E = fe1 ; e2 ; e3 g, 1 a T : R ! R are în baza canonic¼ 1 1 0 a determin¼ am matricea lui T în baza E 0 = = matricea A = @ 0 1 1 A : S¼ 1 0 1 fe01 ; e02 ; e03 g; e01 = (2; 1; 3); e02 = (3; 2; 5); e03 = (1; 1; 1). Matricea de trecere de la baza E la baza E 0 este: 0 1 0 1 2 3 1 3 8 5 2 1 A , iar C 1 = @ 2 5 3 A. C=@ 1 3 5 1 1 1 1

Atunci, dac¼ a A0 este matricea lui T în baza E 0 , rezult¼ a 0 1 12 19 10 11 6 A. A0 = C 1 AC = @ 7 0 0 2 6. Probleme

1. S¼ a se precizeze care din urm¼ atoarele aplica¸tii sunt liniare: 3 3 a) T : R ! R , T x = (x1 + x2 x3 ; x1 + 2x3 ; 2x1 3x2 + 5x3 ); b) T : R3 ! R3 , T x = (x3 ; x1 + 1; x2 1); c) T : R3 ! R3 , T x = (x1 + x2 + 3x3 ; 2x1 + x3 ); d) T : R2 ! R3 , T x = (x1 ; x2 x1 ; 2x1 + 3x2 ); e) T : R3 ! R3 , T x = (x21 ; x1 + x2 ; x23 + 1). Pentru aplica¸tiile liniare s¼ a se determine KerT ¸si ImT . 2. S¼ a se g¼ aseasc¼ a aplica¸tia liniar¼ a T : R3 ! R3 care duce vectorii u1 = (2; 0; 3), u2 = (4; 1; 5), u3 = (3; 1; 2) respectiv în vectorii v1 = (4; 5; 2), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 2; 1) : 3. Fie T : R3 ! R3 , T x = (x1 + x2 + x3 ; x1 x2 + x3 ; 3x1 x2 + 3x3 ). S¼ a se determine rangT , def T ¸si câte o baz¼ a în KerT ¸si ImT . 4. Fie ! a 2 V3 ¸si T : V3 ! V3 , T ! x = (! x ! a )! a . S¼ a se arate c¼ a T este liniar¼ a. ! ! ! ! ! ! ! Dac¼ a a = i + 2 j + 3 k s¼ a se g¼ aseasc¼ a matricele lui T în bazele ( i ; j ; k ) ¸si ! ! ! ! ! ! ! f! v1 ; ! v2 ; ! v3 g, ! v1 = i + k , ! v2 = 2 i k , v3 = i + j .

6. PROBLEM E

65

5. Fie T : R4 ! R3 o aplica¸t0 ie liniar¼ a, a c¼ arei1matrice în raport cu bazele 1 1 1 B 1 0 1 C 4 3 C. S¼ canonice din R respectiv R este B a se g¼ aseasc¼ a o baz¼ a ¸si @ 1 2 3 A 1 1 3 dimensiunea subspa¸tiilor KerT ¸si ImT . 6. Fie T : R3 ! R3 , T x = (x1 2x2 + x3 ; 2x1 + x2 x3 ; x2 3x3 ). S¼ a se calculeze T T ¸si s¼ a se precizeze matricea lui T în baza canonic¼ a a lui R3 . S¼ a se arate c¼ a T este automor…sm, s¼ a se determine T 1 ¸si matricea acestuia în baza canonic¼ a. 7. Fie S : R3 ! R2 , T : R2 ! R4 , S (x1 ; x2 ; x3 ) = (x1 + x2 ; 2x1 x2 + x3 ), T (y1 ; y2 ) = (y1 ; y1 + y2 ; y2 ; y1 y2 ). S¼ a se determine T S ¸si matricele asociate lui S; T ¸si T S în bazele canonice ale spa¸tiilor respective: 8. Fie S; T : R2 ! R2 . Matricea lui S în baza f1 = ( 3; 7), f2 = (1; 2) este 2 1 1 3 , iar matricea lui T în baza g1 = (6; 7), g2 = ( 5; 6) este . 5 3 2 7 S¼ a se determine S, T , S + T , S T , S 1 . 3 a este 0 9. Matricea 1 unui endomor…sm al lui R în raport cu baza canonic¼ 1 1 2 @ 1 0 1 A. Care este matricea endomor…smului în baza f1 = (1; 2; 3), 1 0 1 f2 = (3; 1; 2), f3 = (2; 3; 1)? 3 10. Matricea unui endomor…sm al lui 0 1 R în raport cu baza g1 = (1; 0; 0), g2 = 1 1 1 (1; 1; 0), g3 = (1; 1; 1)este @ 1 0 1 A. Care este matricea acestui endomor…sm 1 2 3 în baza f1 , f2 , f3 de la problema anterioar¼ a?

CHAPTER 4

Valori ¸ si vectori proprii. Forma canonic¼ a a unui endomor…sm În acest capitol ne vom pune problema determin¼ arii unei baze a unui spa¸tiu vectorial V în care matricea unui endomor…sm s¼ a aib¼ a o form¼ a cât mai simpl¼ a: diagonal¼ a. 1. Valori ¸ si vectori proprii ai unui endomor…sm Fie V un K-spa¸tiu vectorial (K = R sau C) ¸si T : V ! V un endomor…sm. DEFINITIE ¸ . Un vector x 2 V; x = 6 0V se nume¸ste vector propriu pentru endomor…smul T , dac¼ a exist¼ a un scalar 2 K astfel încât (1.1)

T x = x:

Scalarul din (1.1) se nume¸ste valoare proprie a endomor…smului T corespunz¼ atoare vectorului propriu x. S

DEFINITIE ¸ . Dac¼ a T : V ! V este un endomor…sm al lui V , un subspa¸tiu V se nume¸ste subspa¸tiu invariant în raport cu T dac¼ a T (S) S.

OBSERVATIE ¸ . Dac¼ a este valoare proprie a endomor…smului T , atunci mul¸timea tuturor vectorilor proprii corespunz¼ atori lui la care ad¼ aug¼ am ¸si vectorul nul, notat¼ a V este un subspa¸tiu vectorial invariant în raport cu T , numit subspa¸tiu propriu asociat valorii proprii . A¸sadar: V = fx 2 V ; T x = xg = fx 2 V ; (T

1V )(x) = 0V g = Ker(T

1V ):

Deci V este subspa¸tiu vectorial (teorema 2.1, cap. 3). Totodat¼ a, V …ind subspa¸tiu, x 2 V implic¼ a T x = x, deci V este subspa¸tiu invariant în raport cu T . Dimensiunea acestui subspa¸tiu vectorial se nume¸ste multiplicitatea geometric¼a a valorii proprii ¸si o vom nota r . Remarc¼ am c¼ a este valoare proprie dac¼ a ¸si numai dac¼ a Ker(T 1V ) 6= f0V g; deci T 1V nu este izomor…sm. TEOREMA 1.1. Fie V un C-spa¸tiu vectorial de dimensiune n. Atunci, orice endomor…sm T 2 L(V ) are cel pu¸tin un vector propriu. Demonstra¸tie. Fie B = fe1 ; :::; en g e o baz¼ a …xat¼ a în V , iar A = (aij ) 2 Mn (C) matricea endomor…smului T în aceast¼ a baz¼ a, adic¼ a: T ei =

n X j=1

aji ej ; 8i = 1; :::; n: 67

¼ A UNUI ENDOM ORFISM 4. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII. FORM A CANONIC A

68

Dac¼ a x 2 V; x = n X i=1

n P

xi ei ; atunci (1.1) revine la

i=1

n X xi ( aji ej ) = j=1

n P

xi T ei =

i=1 n X j=1

n X n X xj ej ; deci ( aji xi

n P

xj ej , sau

j=1

xj )ej = 0V :

j=1 i=1

Cum B este o baz¼ a în V , de aici rezult¼ a

n P

i=1

aji xi = xj ; 8j = 1; :::; n; adic¼ a

(a11 ) x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = 0 a21 x1 + (a22 ) x2 + ::: + a2n xn = 0 : ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: an1 x1 + an2 x2 + ::: + (ann ) xn = 0

(1.2)

Sistemul (1.2) este liniar omogen în necunoscutele x1 ; :::; xn : Vectorul x va … vector propriu pentru endomor…smul T dac¼ a ¸si numai dac¼ a coordonatele sale x1 ; :::; xn constituie o solu¸tie nebanal¼ a a sistemului (1.2). Condi¸tia necesar¼ a ¸si su…cient¼ a ca acest sistem s¼ a admit¼ a solu¸tii nebanale este

(1.3)

det(A

In ) =

a11 a21 ::: an1

a12 a22 ::: an2

::: a1n ::: a2n ::: ::: ::: ann

= 0;

ceea ce reprezint¼ a o ecua¸tie polinomial¼ a de grad n în necunoscuta , cu coe…cien¸ti în C. Conform teoremei fundamentale a algebrei, exist¼ a 0 2 C astfel ca det (A 0 In ) = 0. 0 va … o valoare proprie a endomor…smului T . Introducem 0 în sistemul (1.2) ¸si ob¸tinem o solu¸tie nebanal¼ a (x01 ; :::; x0n ) a acestui sistem. Atunci n P vectorul x0 = x0i ei este vector propriu al endomor…smului T corespunz¼ ator valorii proprii

i=1 0:

Teorema 1.1 indic¼ a un procedeu efectiv de determinare a valorilor proprii ¸si vectorilor proprii pentru un endomor…sm T . EXEMPLE. 1) Fie T : R3 ! R3 endomor…smul dat de T x = (7x1 12x2 + 6x3 , 10x1 19x2 + 10x3 , 12x1 24x2 + 13x3 ), x = (x1 ; x2 ; x3 ). Considerând în R3 baza canonic¼ a, s¼ a se g¼ aseasc¼ a valorile proprii ¸si vectorii proprii ai lui0T . 1 7 12 6 19 10 A. Solu¸tie. Matricea asociat¼ a lui T în baza canonic¼ a este A = @ 10 12 24 13 2 Ecua¸tia (1.3) conduce la ( 1) ( + 1) = 0. Ob¸tinem 1 = 2 = 1, 3 = 1. Pentru 1 = 1, rezolvând sistemul (1.2) ob¸tinem x = (2 ; ; ), , 2 R, subspa¸tiul propriu asociat lui 1 , …ind V 1 = f(2 ; ; ); ; 2 2 Rg. Similar pentru 3 = 1, ob¸tinem V 3 = f(3t; 5t; 6t) ; t 2 Rg. A¸sadar dac¼ a , nu sunt simultan nuli, orice vector propriu corespunz¼ ator lui 1 = 1 este de forma (2; 1; 0) + ( 1; 0; 1), iar dac¼ a t 6= 0; t (3; 5; 6) este un vector propriu corespunz¼ ator lui 3 = 1. 2) Matricea unui endomor…sm de…nit pe un C-spa¸tiu vectorial într-o baz¼ a aleas¼ a 0 1 4 5 7 4 9 A. S¼ este A = @ 1 a se g¼ aseasc¼ a valorile proprii ¸si vectorii proprii. 4 0 5

1. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII AI UNUI ENDOM ORFISM

69

3 Solu¸tie. Procedând ca mai sus ajungem la ecua¸tia + 5 2 17 + 13 = 0, care are r¼ ad¼ acinile 1 = 1, 2 = 2 + 3i, 3 = 2 3i. Vectorii proprii corespunz¼ atori vor … v1 = t (1; 2; 1), v2 = s (3 3i; 5 3i; 4), respectiv v3 = r (3 + 3i; 5 + 3i; 4), cu rst 6= 0.

Valorile proprii ale unui endomor…sm (unei matrice) pot … localizate folosind n P TEOREMA 1.2 (Gerschgorin). Fie A 2 Mn (C), ri = jaij j ; Di = = j=1; j6=i

fz 2 C; jz aii j ri , i = 1; ng. Dac¼a este o valoare proprie a matricei A, atunci n S 2 Di . În particular, când A 2 Mn (R) s¸i 2 R, rezult¼a c¼a i=1

2

n [

[aii

ri ; aii + ri ]

R:

i=1

Demonstra¸tie. Dac¼ a este o valoare proprie ¸si x 6= 0 vectorul propriu coresn P xi ei , atunci din (1.2) ob¸tinem c¼ a punz¼ ator, x = i=1

(1.4)

(

aii ) xi =

n X

aij xj , i = 1; n.

j=1; j6=i

Alegem num¼ arul p; astfel încât jxp j = max fjx1 j ; :::; jxn jg > 0. Din (1.4) ob¸tinem n X japj j jxj j rp . j app j jxp j j=1; j6=i

A¸sadar

2 Dp

n S

Di .

i=1

p 3 2 + 2i EXEMPLE. 1) Dac¼ aA= , r1 = 2 2 = r2 , D1 = fz 2 C; 2 2i 1 p p a este valoare proprie, atunci jz 3j 2 2g, D2 = fz 2 C; jz 1j 2 2g. Dac¼ 2 D1 [ D2 (…g. 1.1).

Fig. 1.1 p p Un pcalcul direct a c¼ ap 1 = 5,p 2 = 1, deci 1;2 2 [3 2 2; 3 + 2 2][ p arat¼ [[1 2 2; 1 + 2 2] = [1 2 2; 3 + 2 2]. 0 1 3 i 0 0 A, r1 = r2 = 1, r3 = 0, D1 = D2 = 2) Dac¼ a A = @ i 3 0 0 4 fz 2 C; jz 3j 1g, D3 = fz 2 C; jz 4j 0g = f4g. Orice valoare proprie se a‡a¼ în D1 [ D2 [ D3 = D1 .

¼ A UNUI ENDOM ORFISM 4. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII. FORM A CANONIC A

70

2. Polinom caracteristic. Polinoame de matrice ¸ si de endomor…sm. Teorema Hamilton-Cayley DEFINITIE ¸ . Dac¼ a A = (aij ) 2 Mn (C) este o matrice dat¼ a, ecua¸tia (1.3) se nume¸ste ecua¸tie caracteristic¼a sau ecua¸tie secular¼a a matricei A. Polinomul de grad n cu coe…cien¸ti în C dat de (2.1)

pA ( ) = det(A

In );

se nume¸ste polinom caracteristic al matricei A. R¼ ad¼ acinile sale le vom numi r¼ad¼acini caracteristice. TEOREMA 2.1. Dou¼a matrice asemenea au acela¸ si polinom caracteristic. Demonstra¸tie. Fie A ¸si B dou¼ a matrice asemenea. Exist¼ a o matrice nesingular¼ a C astfel încât B = C 1 AC. Atunci B In = C 1 A C 1 In C = 1 1 1 = C (A In ) C, deci pB ( ) = det C pA ( ) det C = det C C pA ( ) = = det In pA ( ) = pA ( ) ¸si teorema este demonstrat¼ a. În consecin¸ta¼, dac¼ a se d¼ a un endomor…sm T pe spa¸tiul vectorial V , ecua¸tia (1.3) nu depinde de matricea A, deci de baza aleas¼ a în V , deoarece matricea lui T într-o nou¼ a baz¼ a este C 1 AC, unde C este matricea de schimbare a bazelor ¸si conform teoremei 2.1, ecua¸tia (1.3) r¼ amâne aceea¸si. DEFINITIE ¸ . Se nume¸ ste polinom caracteristic al endomor…smului T ¸si se noteaz¼ a cu pT polinomul pA dat de (2.1), unde A este matricea asociat¼ a lui T într-o baz¼ a oarecare a lui V . Ecua¸tia (1.3) se nume¸ste ecua¸tie caracteristic¼a a endomor…smului T , r¼ ad¼ acinile acestei ecua¸tii numindu-se r¼ad¼acini caracteristice. Mul¸timea r¼ ad¼ acinilor caracteristice ale unui endomor…sm T se nume¸ste spectrul lui T . Spunem c¼ a spectrul lui T este simplu dac¼ a orice r¼ ad¼ acin¼ a caracteristic¼ a 0 este r¼ ad¼ acin¼ a simpl¼ a a polinomului caracteristic. Din demonstra¸tia teoremei 1.1, rezult¼ a c¼ a în cazul unui C-spa¸tiu vectorial toate r¼ ad¼ acinile caracteristice sunt valori proprii. Dac¼ a este vorba de un R-spa¸tiu vectorial, doar acele r¼ ad¼ acini caracteristice care sunt reale sunt valori proprii. În concluzie, trebuie f¼ acut¼ a distinc¸tia între endomor…smele de…nite pe C-spa¸tii vectoriale ¸si cele de…nite pe R-spa¸tii vectoriale. Dac¼ a este o valoare proprie a endomor…smului T , atunci subspa¸tiul propriu V corespunz¼ ator va … constituit din totalitatea vectorilor ale c¼ aror coordonate într-o baz¼ a …xat¼ a, sunt solu¸tii ale sistemului liniar omogen (1.2). OBSERVATII ¸ . 1) Dac¼ a A este matricea endomor…smului T într-o baz¼ a …xat¼ a, iar pA ( ) = ( )n + p1 ( )n 1 + ::: + pn polinomul s¼ au caracteristic, atunci p1 = n P aii = T rA este urma matricei A, iar pn = det A: Se poate ar¼ ata c¼ a, în general, i=1

pentru 1 < r < n, coe…cientul pr este suma minorilor diagonali de ordin r. De exemplu, dac¼ a n = 3, polinomul caracteristic are coe…cien¸tii:

p2 =

a11 a21

p1 = a11 + a22 + a33 = T rA; a22 a11 a13 a12 + + a32 a31 a33 a22 p3 = det A:

a23 a33

;

2) pA (0) = det A; deci matricea A este singular¼ a dac¼ a ¸si numai dac¼ a r¼ ad¼ acin¼ a a polinomului caracteristic.

= 0 este

2. POLINOM CARACTERISTIC. POLINOAM E DE M ATRICE S ¸ I DE ENDOM ORFISM . TEOREM A HAM ILTON-CAYLEY 71 n 0)

DEFINITIE ¸ . Dac¼ a pA ( ) = ( multiplicitate algebric¼a a lui 0 :

0

q( ); q(

0)

6= 0; num¼ arul n

0

se nume¸ste

PROPOZITIA ¸ 2.2. Fie 0 o valoare proprie a endomor…smului T , având multiplicitatea algebric¼ a n 0 ¸si multiplicitatea geometric¼ a r 0 . Atunci r 0 n 0 : Demonstra¸tie. Fie V 0 subspa¸tiul propriu corespunz¼ ator valorii proprii 0 ¸si r 0 = dimK (V 0 ): Dac¼ a B1 = fe1 ; :::; er 0 g este baz¼ a în V 0 , o complet¼ am la o baz¼ a a lui V , B = fe1 ; :::; er 0 ; er 0 +1 ; :::; en g: n P Cum T e1 = 0 e1 ; :::; T er 0 = 0 er 0 ; T ej = akj ek ; j > r 0 , matricea k=1

asociat¼ a lui T în baza B este: 0

B B B A=B B B @

0

0 ::: 0 ::: 0

0 0

::: 0 ::: 0

::: ::: ::: ::: ::: :::

0 0 :::

a1;r 0 +1 a2;r 0 +1 ::: ar 0 ;r 0 +1 ::: an;r 0 +1

0

::: 0

::: a1n ::: a2n ::: ::: ::: ar 0 ;n ::: ::: ::: ann

1

C C C C: C C A

Atunci pA ( ) = det(A In ) = ( 0 )r 0 q( ): Pe de alt¼ a parte, dac¼ a n 0 n este multiplicitatea algebric¼ a avem pA ( ) = ( a 0 ) 0 r( ); cu r( 0 ) 6= 0: Dac¼ q( 0 ) 6= 0; atunci r 0 = n 0 ; iar dac¼ a q( 0 ) = 0; atunci r 0 < n 0 : În concluzie r 0 n 0: Fie V un K-spa¸tiu vectorial de dimensiune n, T 2 L(V ) un endomor…sm având într-o baz¼ a …xat¼ a a spa¸tiului matricea A 2 Mn (K) ¸si f un polinom de grad m cu coe…cien¸ti în K, f = a0 X m + a1 X m 1 + ::: + am ; a0 6= 0: DEFINITIE ¸ . Matricea f (A) = a0 Am +a1 Am 1 +:::+am 1 A+am Im se nume¸ ste polinom de matricea A de…nit de f . Endomor…smul f (T ) = a0 T m + a1 T m 1 + +::: + am 1 T + am 1V (unde T k = T k 1 T = T T k 1 ) se nume¸ste polinom de endomor…smul T de…nit de f . TEOREMA 2.3. (Hamilton-Cayley). Dac¼a pA ( ) = det(A In ) este polinomul caracteristic al endomor…smului T , atunci pA (A) = 0 (deci pA (T ) = 0). Demonstra¸tie. Fie (A In ) adjuncta matricei A In : Fiecare element al acestei matrice este un determinant de ordin n 1. Atunci (A In ) = Bn 1 n 1 + Bn 2 n 2 + ::: + B1 + B0 ; unde Bi 2 Mn (K); i = 0; :::; n 1: Fie acum pA ( ) = det(A In ) = a0 n + a1 n 1 + ::: + an 1 + an , polinomul caracteristic al endomor…smului T . Deoarece (A In )(A In ) = det(A In ) In ; avem: (A

In )(Bn = (a0

1 n

n 1

+ Bn n 1

+ a1

2

n 2

+ ::: + B1 + B0 ) =

+ ::: + an

1

+ an )In ;

sau ( Bn

1)

n

+ (ABn

1

= (an In )

Bn n

2)

n 1

+ ::: + (AB1

+ ::: + (a1 In ) + an In :

B0 ) + AB0 =

72

¼ A UNUI ENDOM ORFISM 4. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII. FORM A CANONIC A

Identi…când dup¼ a puterile lui , rezult¼ a: Bn 1 = an In ABn 1 Bn 2 = an 1 In :::::::::::::::::::::::::::: : AB1 B0 = a1 In AB0 = a0 In Ampli…când, la stânga, respectiv cu An ; An pA (A) = 0:

1

; :::; A; In ¸si adunând se ob¸tine

În baza acestei teoreme, ob¸tinem: COROLAR 2.3.1. Orice polinom de matrice de grad printr-un polinom de grad n 1.

n, poate … exprimat

Demonstra¸tie. Din teorema 2.3 rezult¼ a c¼ a An ; se exprim¼ a în func¸tie de An ; An 1 ; :::; A; In . Atunci, prin recuren¸ta¼, puterile An+m ; m 2 N; se exprim¼ a cu ajutorul puterilor An ; An 1 ; :::; A; In . Dac¼ a

= 0 nu este valoare proprie atunci A este nesingular¼ a. În acest caz are

loc: COROLAR 2.3.2. Dac¼a pA (0) 6= 0, atunci: A

1

=

n 1 0A

+

n 2 1A

+ ::: +

n 1 In ;

i

2 K; i = 0; :::; n

1:

Demonstra¸tie. Din teorema 2.3 se ob¸tine: ( 1)n An + a1 An

1

+ ::: +

Înmul¸tind aceast¼ a rela¸tie cu A A

1

n 1

=

ceea ce trebuia ar¼ atat.

( 1) an

An

1

n In

= 0; unde an = det A 6= 0:

; se ob¸tine: 1

a1 n A an

2

:::

an 1 In ; an

1 2 1 2 3 3 3 A, pA ( ) = EXEMPLU. Dac¼ a A = @ 5 3 2 3 1. 1 0 2 Cum 0 nu este r¼ ad¼ acin¼ a a polinomului caracteristic, A este inversabil¼ a. Conform teoremei Hamilton-Cayley A3 3A2 3A In = On . Înmul¸tind cu A 1 ob¸tinem A20 + 3A + 3In + A 11= On , deci A 1 = A2 3A 3In . Calculând rezult¼ aA 1= 6 2 3 2 4 A. Pe de alt¼ =@ 7 a parte, înmul¸tind rela¸tia A3 = 3A2 3A In 3 1 1 cu A, ob¸tinem A4 = 3A3 3A2 A. Înlocuind A3 , rezult¼ a A4 = 6A2 + 6A + 3In ¸s.a.m.d. 0

3. Diagonalizarea matricelor Fie V un K-spa¸tiu vectorial de dimensiune n, B o baz¼ a …xat¼ a în V , T 2 L(V ) ¸si A matricea lui T în aceast¼ a baz¼ a. DEFINITIE ¸ . Fie A 2 Mn (K). Matricea A este diagonalizabil¼ a dac¼ a exist¼ a o matrice nesingular¼ a C 2 Mn (K) astfel încât D = C 1 AC s¼ a …e o matrice diagonal¼ a (altfel spus, A este asemenea cu o matrice diagonal¼ a). Endomor…smul T 2 L(V )

3. DIAGONALIZAREA M ATRICELOR

73

este diagonalizabil dac¼ a exist¼ a o baz¼ a în V astfel încât matricea lui T în aceast¼ a baz¼ a este diagonal¼ a. Dac¼ a A este o matrice diagonalizabil¼ a, în matricea diagonal¼ a D apar chiar valorile proprii ale lui A: 0 1 0 ::: 0 1 B 0 ::: 0 C 2 C (3.1) D=B @ ::: ::: ::: ::: A 0 0 ::: n

(valorile proprii nu sunt neap¼ arat distincte). Atunci In ) = ( 1)n

pD ( ) = det(D

n Y

(

i)

= pA ( );

i=1

deci polinomul caracteristic se descompune în factori liniari peste corpul K. În concluzie, dac¼ a polinomul caracteristic nu se descompune în factori liniari, matricea nu se diagonalizeaz¼ a. PROPOZITIA ¸ 3.1. Endomor…smul T 2 L(V ) este diagonalizabil dac¼a s¸i numai dac¼a exist¼a în V o baz¼a format¼a din vectori proprii ai lui T . Demonstra¸tie. Dac¼ a T este diagonalizabil, rezult¼ a c¼ a exist¼ a o baz¼ a x1 ; :::; xn în V astfel încât matricea lui T în aceast¼ a baz¼ a are forma (3.1), unde i sunt valorile proprii ale lui T . Rezult¼ a T x1 = 1 x1 ; :::; T xn = n xn ; deci x1 ; :::; xn sunt vectori proprii. Reciproc, dac¼ a vectorii proprii x1 ; :::; xn formeaz¼ a o baz¼ a în V este imediat c¼ a matricea lui T în aceast¼ a baz¼ a are form¼ a diagonal¼ a. TEOREMA 3.2. Dac¼a toate valorile proprii ale lui T sunt distincte dou¼a câte dou¼a, atunci T este diagonalizabil. Demonstra¸tie. Conform propozi¸tiei 3.1 este su…cient s¼ a ar¼ at¼ am c¼ a vectorii proprii corespunz¼ atori unor valori proprii distincte ale lui T sunt liniar independen¸ti. Vom folosi induc¸tia matematic¼ a dup¼ a num¼ arul n al valorilor proprii. Dac¼ a n = 1, vectorul propriu x1 …ind nenul este liniar independent. Presupunem a…rma¸tia adev¼ arat¼ a pentru n valori proprii distincte dou¼ a câte dou¼ a ¸si …e ; :::; 2 K; = 6 8i = 6 j; i; j = 1; :::; n + 1; T x = x ; i = 1; :::; n + 1: Fie 1 n+1 i j i i i ; :::; 2 K astfel încât: 1 n+1 (3.2)

1 x1

+ ::: +

n+1 xn+1

= 0V :

Aplicând T acestei egalit¼ a¸ti ob¸tinem: (3.3)

1 1 x1

Înmul¸tind (3.2) cu 1( 1

n+1

+ ::: +

n+1 n+1 xn+1

= 0V :

¸si sc¼ azând (3.3) ob¸tinem:

n+1 )x1

+ ::: +

n( n

n+1 )xn

= 0V :

Utilizând ipoteza de induc¸tie, rezult¼ a i( i si cum n+1 ) = 0; 8i = 1; :::; n ¸ 6= n+1 ; 8i = 1; :::; n; rezult¼ a i = 0; 8i = 1; :::; n. Introducând în (3.2) rezult¼ a si cum xn+1 6= 0V rezult¼ a n+1 = 0; deci x1 ; :::; xn+1 sunt liniar n+1 xn+1 = 0V ¸ independen¸ti. i

Vom aborda acum cazul în care nu toate r¼ ad¼ acinile polinomului caracteristic sunt simple, deci când:

¼ A UNUI ENDOM ORFISM 4. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII. FORM A CANONIC A

74

pA ( ) = ( 1)n (

n1 1 ) :::(

np p) ;

unde ni

1; n1 + ::: + np = n:

TEOREMA 3.3. (Criteriul general de diagonalizare) Cu nota¸tiile anterioare, dac¼a ri = ni ; 8i = 1; :::; p; atunci endomor…smul T este diagonalizabil. Demonstra¸tie. Cum dimK (V i ) = ni ; exist¼ a vectorii proprii corespunz¼ atori valp S Bi orii proprii i ; ei;1 ; :::; ei;ni care formeaz¼ a o baz¼ a Bi în V i . Vom ar¼ ata c¼ aB = i=1

este baz¼ a a lui V . Dac¼ a i 6= j ; atunci V i \ V j = f0V g: Evident 0V 2 V i \ V j : Dac¼ a x 2 V i \ V j ; T x = i x ¸si T x = j x: Atunci ( i si cum i 6= j ; j )x = 0V ¸ rezult¼ a x = 0V ; deci V i \ V j = f0V g: Cum Bi V i ; rezult¼ a c¼ a Bi \ Bj = ; deci B are exact n elemente. Este su…cient s¼ a ar¼ at¼ am c¼ a vectorii din B sunt liniar independen¸ti (teorema 4.4, cap.2). Consider¼ am scalarii i;j 2 K astfel încât ni ni Pp P P a egalitate se i;j ei;j = 0V : Notând yi = i;j ei;j ; i = 1; :::; p; aceast¼ i=1 j=1

j=1

mai scrie: (3.4)

y1 + ::: + yp = 0V :

Pe de alt¼ a parte T yi =

ni P

i;j T ei;j

=

j=1

ni P

i;j i ei;j

=

j=1

i yi ;

8i = 1; :::; p: Vom

ar¼ ata c¼ a din (3.4) rezult¼ a yi = 0V ; 8i = 1; :::; p: Pentru simplitate, presupunem p = 3, deci: (3.5)

y1 + y 2 + y 3 = 0 V :

Aplicând T ob¸tinem T y1 + T y2 + T y3 = 0V , deci: (3.6)

1 y1

Înmul¸tind (3.5) cu

3

(3.7)

(

+

2 y2

+

3 y3

= 0V :

¸si sc¼ azând din (3.6) se ob¸tine: 1

3 )y1

+(

2

3 )y2

= 0V :

3 ) 1 y1

+(

2

3 ) 2 y2

Aplic¼ am înc¼ a o dat¼ a T: (3.8)

(

1

= 0V :

Înmul¸tind (3.7) cu 2 ¸si sc¼ azând din (3.8), rezult¼ a( 1 3 )( 1 2 )y1 = 0V : Cum 1 6= 2 6= 3 , rezult¼ a y1 = 0V : Înlocuind succesiv în (3.7) ¸si (3.6) ob¸tinem y1 = y2 = 0V : În general yi = 0V ; i = 1; :::; p: Cum Bi este baz¼ a în V i avem a în V . În consecin¸ta¼ i;1 = i;2 = ::: = i;ni = 0; 8i = 1; :::; p; deci B este baz¼ putem scrie T (e1;1 ) = 1 e1;1 = 1 e1;1 + 0 e1;2 + ::: + 0 e1;n1 + ::: + 0 ep;np :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: T (e1;n1 ) = 1 e1;n1 = 0 e1;1 + 0 e1;2 + ::: + 1 e1;n1 + ::: + 0 ep;np : :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: T (e1;1 ) = p ep;np = 0 e1;1 + 0 e1;2 + ::: + 0 e1;n1 + ::: + p ep;np

3. DIAGONALIZAREA M ATRICELOR

75

Atunci, matricea lui T în baza B este 0 B B B B B B B B B B B B B B B B B B @

1

0 ::: 0

0

::: ::: ::: :::

1

::: 0

0 0 :::

1

0

1

0

2

0 ::: 0

::: ::: ::: :::

2

::: 0

0 0 ::: 2 p

0 ::: 0

0

0 p

::: 0

::: ::: ::: :::

0 0 ::: p

C C C C C C C C C C; C C C C C C C C A

deci T este diagonalizabil. OBSERVATII ¸ . 1) Reciproca teoremei 3.3 se demonstreaz¼ a f¼ ar¼ a di…cultate. 2) Teorema 3.2 este o consecin¸ta¼ a teoremei 3.3. EXEMPLE = R3 ¸si T : R3 ! R3 având în baza canonic¼ a a lui R3 , ma0 . 1) Fie V 1 5 3 2 5 3 4 4 A : Polinomul caracteristic este pA ( ) = = 6 4 tricea A = @ 6 4 4 5 4 4 ( 1)( 2)( 3); deci valorile proprii sunt 1 = 1; 2 = 2; 3 = 3: S¼ a determin¼ am vectorii proprii. Vectorul propriu corespunz¼ ator valorii proprii 1 = 1; 8 < 4x1 3x2 + 2x3 = 0 6x1 5x2 + 4x3 = 0 . Notând x3 = t; rezult¼ satisface sistemul a x1 = 2t; : 4x1 4x2 4x3 = 0 x2 = t; t 2 R: Deci: V 1 = f(t; 2t; t); t 2 Rg: Un vector propriu este, de exemplu, v1 = (1; 2; 1): Similar V 2 = f(t; t; 0); t 2 Rg; V 3 = f(t=2; t; t); t 2 Rg: Luând v2 = (1; 1; 0), v3 = (1; 2; 2) ¸si aplicând teorema 3.2, rezult¼ a c¼ a T este diagonalizabil. În baza fv1 ; v2 ; v3 g; matricea lui T este 0

1 @ 0 0

0 2 0

1 0 0 A: 3

2) Fie acum T : R4 ! R4 care în baza canonic¼ a are matricea 0

1 B 0 A=B @ 0 1

0 1 0 0

0 0 1 2

1 1 0 C C: 2 A 5

Polinomul caracteristic este pA ( ) = ( 6)( 1)2 ; deci valorile proprii sunt asim: V 1 = 1 = 0; 2 = 6; 3 = 4 = 1: Procedând ca la exemplul anterior g¼ = f(t; 0; 2t; t); t 2 Rg; V 2 = f(t; 0; 2t; 5t); t 2 Rg; V 3 = f(2 ; ; ; 0); ; 2 2 Rg: Deoarece dimR (V 3 ) = 2, T este diagonalizabil. În baza v1 = (1; 0; 2; 1),

2 4 5

=

76

¼ A UNUI ENDOM ORFISM 4. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII. FORM A CANONIC A

v2 = (1; 0; 2; 5); v3 = (2; 0; 1; 0), v4 = (0; 1; 0; 0); matricea lui T este 0 1 0 0 0 0 B 0 6 0 0 C B C @ 0 0 1 0 A: 0 0 0 1 0 1 1 3 4 7 8 A. În 3) S¼ a cercet¼ am posibilitatea diagonaliz¼ arii matricei A = @ 4 6 7 7 acest caz, pA ( ) = ( + 1)2 ( 3); deci valorile proprii sunt 1 = 2 = 1; 3 = 3: V 1 = f(t; 2t; t); t 2 Rg: Cum dimK (V 1 ) = 1 < 2; matricea A nu este diagonalizabil¼ a. 4. Forma canonic¼ a Jordan DEFINITIE ¸ . Se nume¸ ste celul¼a Jordan de ordin p orice matrice p¼ atratic¼ a de forma 0 1 1 0 ::: 0 0 B 0 1 ::: 0 0 C B C B Jp ( ) = B ::: ::: ::: ::: ::: ::: C C: @ 0 0 0 ::: 1 A 0 0 0 ::: 0 O matrice J are forma canonic¼a Jordan dac¼ a are pe diagonal¼ a celule Jordan, iar restul elementelor sunt nule 0 1 Jp1 ( 1 ) 0 A; Jp2 ( 2 ) J =@ 0 Jpk ( k ) unde 1 ; :::; k nu sunt neap¼ arat distincte. DEFINITIE ¸ . Fie V un spa¸ tiu vectorial …nit-dimensional ¸si T 2 L (V ). Se spune c¼ a T poate … adus la forma canonic¼a Jordan dac¼ a exist¼ a o baz¼ a B a lui V în care matricea lui T are forma canonic¼ a Jordan. În continuare, vom spune, simplu, forma Jordan. S¼ a remarc¼ am c¼ a matricile diagonale sunt cazuri particulare de matrice care au forma Jordan. DEFINITIE ¸ . Un endomor…sm T 2 L (V ) se nume¸ ste nilpotent dac¼ a exist¼ ap2 N astfel încât T p = (aplica¸tia nul¼ a) în L (V ) : În cele ce urmeaz¼ a vom presupune c¼ a V este un C-spa¸tiu vectorial de dimensiune n n1 n, T 2 L (V ) ¸si polinomul caracteristic al lui T este p ( ) = ( 1) ( ::: 1) ni np ( ) , unde n + ::: + n = n. Not¼ a m cu E = Ker (T 1 ) ¸ s i cu V p 1 p i i V i subspa¸tiile proprii corespunz¼ atoare valoriilor proprii i , i = 1; :::; p. OBSERVATIE ¸ . Evident, Ei sunt subspa¸ tii vectoriale ale lui V (teorema 3.2 b)) ¸si V i Ei , i = 1; :::; p. Într-adev¼ ar, dac¼ a ni = 1, atunci V i = Ei . Dac¼ a ni > 1 ni ni 1 ¸si x 2 V i atunci (T [(T i 1V ) (x) = (T i 1V ) i 1V ) (x)] = 0V . Cum V i 6= f0V g, rezult¼ a Ei 6= f0V g. LEMA 4.1. Cu nota¸tiile de mai sus, are loc: 1) Ei , i = 1; :::; p sunt spa¸tii invariante în raport cu T ; 2) V = E1 E2 ::: Ep .

¼ JORDAN 4. FORM A CANONIC A

77

n

i Demonstra¸tie. 1) Fie x 2 Ei , deci (T i 1V ) (x) = 0V . Vom calcula ni ni (T 1V = 1V T , rezult¼ a c¼ a (T T = i 1V ) (T x). Deoarece T i 1V ) ni ni ni = T (T i 1V ) , deci (T i 1V ) (T x) = T ((T i 1V ) (x)) = T 0V = = 0V . A¸sadar, pentru orice x 2 Ei , T x 2 Ei . 2) Trebuie s¼ a demonstr¼ am c¼ a orice x 2 V se scrie în mod unic sub forma x = x1 + ::: + xp , xi 2 Ei , i = 1; :::; p. n n1 np Fie p ( ) = ( 1) ( ::: ( polinomul caracteristic al lui T ¸si 1) p) p Q ni nj ( pi ( ) = ( i ) , qi ( ) = j ) , i = 1; :::; p. Evident, p ( ) = pi ( )

j=1; j6=i

qi ( ). Conform teoremei lui Hamilton - Cayley, p (T ) = , deci pi (T ) qi (T ) = , 8i = 1; :::; p. Dac¼ a x 2 V , atunci pi (T ) (qi (T ) (x)) = 0V , deci qi (T ) (x) 2 Ei , 8i = 1; :::; p. Cum polinoamele q1 ; :::; qp sunt prime între ele, rezult¼ a c¼ a exist¼ a polinoamele h1 ; :::; hp astfel încât q1 h1 + ::: + qp hp = 1. Atunci: h1 (T ) q1 (T ) + ::: + hp (T ) p P qp (T ) = 1V . Rezult¼ ax= (hj (T ) qj (T )) (x), 8x 2 V . Dar yj = qj (T ) (x) 2 j=1

2 Ej ¸si Ej este invariant în raport cu T , deci T yj 2 Ej . În consecin¸ta¼ xj = = hj (T ) (yj ) 2 Ej deci orice x 2 V se scrie x=

p X j=1

xj ; xj 2 Ej ; 8j = 1; :::; p:

S¼ a ar¼ at¼ am acum unicitatea descompunerii. S¼ a presupunem c¼ a x = x01 + ::: + x0p 0 0 cu xj 2 Ej , 8j = 1; :::; p. Notând xj xj = zj , rezult¼ a: (4.1)

z1 + ::: + zp = 0V , zj 2 Ej , j = 1; :::; p.

Vom ar¼ ata c¼ a aceast¼ a egalitate implic¼ a z1 = z2 = ::: = zp = 0V . Dar (4.2)

p1 (T ) (z1 ) = 0V ; 8z1 2 E1 ; q1 (T ) (zk ) = 0V , k = 2; :::; p.

Aplicând q1 (T ) în (4.1), ob¸tinem ¸tinând cont de (4.2): (4.3)

q1 (T ) (z1 ) = 0V ; p1 (T ) (z1 ) = 0V .

Cum polinoamele p1 ; q1 sunt prime între ele, exist¼ a polinoamele f1 , g1 astfel încât f1 p1 + g1 q1 = 1, deci: f1 (T ) p1 (T ) + g1 (T ) q1 (T ) = 1V . Atunci, din (4.3) rezult¼ a z1 = f1 (T ) (p1 (T ) (z1 )) + g1 (T ) (q1 (T ) (z1 )) = 0V : A¸sadar z1 = 0V . Analog se ob¸tine z2 = ::: = zp = 0V . Lema este demonstrat¼ a. LEMA 4.2. Fie V un spa¸tiu vectorial de dimensiune n s¸i T 2 L (V ) un endomor…sm nilpotent. Atunci, exist¼a o baz¼a a lui V în raport cu care matricea asociat¼a lui T are forma: 1 0 0 "1 0 0 ::: 0 0 B 0 0 "2 0 ::: 0 0 C C B C , "k 2 f0; 1g , k = 1; n 1: B ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: (4.4) C B @ 0 0 0 0 ::: 0 "n 1 A 0 0 0 0 ::: 0 0

78

¼ A UNUI ENDOM ORFISM 4. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII. FORM A CANONIC A

Demonstra¸tie. Fie q cel mai mic num¼ ar natural cu proprietatea c¼ a T q = . Au loc incluziunile: 0V KerT KerT 2 ::: KerT q = V: Pentru simplitate vom demonstra lema în cazul q = 3, deci când 0V KerT KerT 2 KerT 3 = V . Având în vedere alegerea lui q, rezult¼ a c¼ a exist¼ a x 2 V, astfel încât T q 1 x 6= 0V , deci incluziunea KerT 2 KerT 3 = V este strict¼ a. 2 Conform teoremei 1.7, KerT admite un suplement, deci dac¼ a B2 este o baz¼ a a lui KerT 2 , exist¼ a x1 ; :::; xk 2 V KerT 2 , astfel încât B = B2 [ fx1 ; :::; xk g este o baz¼ a a lui V , deci V = KerT 2 Sp (fx1 ; :::; xk g). În plus, T x1 ; :::; T xk sunt liniar independen¸ti. Într-adev¼ ar dac¼ a 1 T x1 + ::: + k T xk = 0V , atunci T ( 1 x1 + ::: + k xk ) = 0V , adic¼ a 1 x1 + ::: + k xk 2 KerT KerT 2 . Toto2 dat¼ a 1 x1 + ::: + k xk 2 Sp (fx1 ; :::; xk g) ¸si cum V = KerT Sp (fx1 ; :::; xk g) rezult¼ a 1 x1 + ::: + k xk = 0V . Vectorii x1 ; :::; xk …ind liniar independen¸ti, rezult¼ a 2 = ::: = = 0. În concluzie T x ; :::; T x 2 KerT ¸ s i sunt liniar independen¸ t i. 1 k 1 k S¼ a observ¼ am c¼ a T x1 ; :::; T xk 2 = KerT (dac¼ a T xi 2 KerT , atunci T 2 xi = 0, adic¼ a xi 2 KerT 2 , ceea ce nu se poate), deci incluziunea KerT KerT 2 este strict¼ a. Dac¼ a B1 este o baz¼ a a lui KerT , o complet¼ am la o baz¼ a B2 a lui KerT 2 , luând 2 mai întâi sistemul fT x1 ; :::; T xk g. Deci KerT = KerT S 0 , dimK (S 0 ) k, 0 deoarece S con¸tine k vectori liniar independen¸ti. Dac¼ a dimK (S 0 ) = k, atunci alegem B2 = B1 [ fT x1 ; :::; T xk g, iar dac¼ a dimK (S 0 ) = k + r, r > 0, atunci B2 = B1 [ fT x1 ; :::; T xk ; y1 ; :::; yr g, y1 ; :::; yr 2 KerT 2 nKerT . Procedând ca mai sus, se arat¼ a c¼ a T 2 x1 ; :::; T 2 xk ; T y1 ; :::; T yr 2 KerT ¸si sunt liniar independen¸ti, deci dimK (KerT ) k + r. Dac¼ a dimK (KerT ) = k + r, atunci B1 = = fT 2 x1 ; :::; T 2 xk ; T y1 ; :::; T yr g, iar dac¼ a dimK (KerT ) > k + r, atunci complet¼ am la o baz¼ a a lui KerT , adic¼ a B1 = fT 2 x1 ; :::; T 2 xk ; T y1 ; :::; T yr ; z1 ; :::; zs g; z1 ; :::; zs 2 KerT . Întrucât sumele de subspa¸tii considerate mai sus sunt sume directe, rezult¼ a c¼ a sistemul B = B1 [B2 [fx1 ; :::; xk g este liniar independent ¸si con¸tine dimK (V ) dimK KerT 2 + dimK KerT 2 dimK (KerT ) + +dimK (KerT ) = dimK (V ) = n vectori, deci formeaz¼ a o baz¼ a a lui V . Vom considera vectorii bazei B a¸seza¸ti în ordinea: T 2 x1 ; T x1 ; x1 ; T 2 x2 ; T x2 ; x2 ; :::; T 2 xk ; T xk ; xk ; T y1 ; y1 ; :::; T yr ; yr ; z1 ; :::; zs ¸si îi not¼ am respectiv cu f1 ; f2 ; :::; fn . Tinând ¸ seama c¼ a T f1 = T T 2 x1 = 0V = 0 f1 + ::: + 0 fn T f2 = T 2 x1 = f1 = 1 f1 + ::: + 0 fn ; ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: T fn = T zs = 0V = 0 f1 + ::: + 0 fn rezult¼ a c¼ a matricea endomor…smului nilpotent T are forma din enun¸t. TEOREMA 4.3. Fie V un C-spa¸tiu vectorial de dimensiune n s¸i T : V ! V . Atunci exist¼a o baz¼a B în V astfel încât matricea lui T în aceast¼a baz¼a are forma Jordan. Demonstra¸tie. Polinomul caracteristic al lui T este n

p ( ) = ( 1) (

n1 1)

:::(

np p) ;

cu n1 + ::: + np = n¸si ni

i

6=

j;

i 6= j:

tii invariante Conform lemei 4.1, Ei = Ker (T i 1V ) , i = 1; :::; p sunt subspa¸ în raport cu T ale lui V = E1 ::: Ep . Fie Ti restric¸tia lui T la Ei . Endomor…smul ni Si : Ei ! Ei , de…nit prin Si = Ti i 1Ei este nilpotent, deoarece Si (x) = 0,

¼ JORDAN 4. FORM A CANONIC A

8x 2 Ei . Conform lemei 4.2, exist¼ a o baz¼ a Bi lui Si în baza Bi are forma 0 0 "i;1 0 ::: B 0 0 " ::: i;2 B B ::: ::: ::: ::: B @ 0 0 0 ::: 0 0 0 :::

79

a lui Ei astfel încât matricea asociat¼ a 0 0 0 0 ::: ::: 0 "i;ri 0 0

1

C C C; C A

cu "i;k 2 f0; 1g, k = 1; ri ; ri = dimEi 1: Dar Ti = Si + i 1Ei , deci matricea lui Ti în baza Bi este 0 1 "i;1 0 ::: 0 0 i B 0 "i;2 ::: 0 0 C i B C B ::: ::: ::: ::: ::: ::: C B C: @ 0 0 0 ::: "i;ri A i 0 0 0 ::: 0 i Deoarece V = E1

:::

Ep , B =

p S

Bi este o baz¼ a în V ¸si matricea asociat¼ a

i=1

lui T în baza B are forma Jordan.

EXEMPLE T : R3 ! R3 are în baza canonic¼ a fe1 ; e2 ; e3 g 0 . 1) Endomor…smul 1 1 3 3 6 13 A. S¼ matricea @ 2 a g¼ asim forma canonic¼ a Jordan a acestei matrice. 1 4 8 3 Polinomul caracteristic este p ( ) = ( 1) , deci valorile proprii ale lui T sunt sadar 1 = 2 = 3 = 1: V 1 = f(3t; t; t) ; t 2 Rg, deci dimR (V 1 ) = 1 < 3. A¸ T nu este diagonalizabil. Vom nota S = T 1V . S este nilpotent, deoarece S 3 x = 0; 8x 20R3 . S¼ a vedem dac¼ 1a 3 este exponentul minim. Matricea lui S în baza 0 3 3 7 13 A : Avem Se1 = 2e2 e3 ; Se2 = 3e1 7e2 4e3 ; canonic¼ a este @ 2 1 4 7 Se3 = 3e1 + 13e2 + 7e3 . Atunci S 2 e1 = 2Se2 Se3 = (3; 1; 1); S 2 e2 = (9; 3; 3) ; S 2 e3 = ( 18; 6; 6), deci exponentul minim este 3. Totodat¼ a KerS = V 1 , KerS 2 = f( 3 + 6 ; ; ); ; 2 Rg, deci dimR (KerS) = 1; dimR KerS 2 = 2: Cu procedeul descris în demonstra¸tia lemei 4.2, alegem x1 2 KerS 3 nKerS 2 . Fie x1 = e1 = (1; 0; 0) : Atunci Sx1 = Se1 = 2e2 e3 = (0; 2; 1) 2 KerS 2 nKerS ¸si S 2 x1 = S 2 e1 = (3; 1; 1) 2 KerS. Avem deci baza B = S 2 x1 ; Sx1 ; x1 în R3 , adic¼ a B = ff1 ; f2 ; f3 g unde f1 = (3; 1; 1) ; f2 = (0; 2; 1) ; f3 = (1; 0; 0) ¸si T f1 = 3T e1 + T e2 + T e3 = (3; 1; 1) = f1 , T f2 = 2T e2 T e3 = (3; 1; 0) = f1 + f2 , T f3 = T e1 = (1; 2; 1) = f2 + f3 . Matricea lui T în baza B are deci forma Jordan 1 0 1 1 0 @ 0 1 1 A: 0 0 1 2) Aceea¸si problem¼ a pentru1endomor…smul T : R3 ! R3 , care în baza canoni0 0 1 0 c¼ a, are matricea @ 4 4 0 A. 2 1 2

80

¼ A UNUI ENDOM ORFISM 4. VALORI S ¸ I VECTORI PROPRII. FORM A CANONIC A 3

Polinomul caracteristic este p ( ) = ( 2) , deci valorile proprii ale lui T sunt 1 = 2 = 3 = 2: Cum V 1 = f( ; 2 ; ); ; 2 Rg; dimR (V 1 ) = 2, deci T nu este diagonalizabil. Vom nota S = T 2 1V . S este nilpotent, deoarece S 3 x = 0, 8x 2 R3 : 0 S¼ a vedem dac¼ a 3 este exponentul minim. Matricea 1 2 1 0 lui S în baza canonic¼ a este @ 4 2 0 A. Ca la exemplul anterior, ob¸tinem 2 1 0 S 2 e1 = S 2 e2 = S 2 e3 = 0, deci exponentul minim este 2. A¸sadar KerS 2 = R3 ¸si KerS = V 1 . Alegem x1 2 R3 nKerS; x1 = e1 = (1; 0; 0) : Atunci Sx1 = = ( 2; 4; 2) 2 KerS. În KerS ne mai trebuie un vector liniar independent de acesta. Vom lua y1 = (0; 0; 1) = e3 . Avem deci baza B = fSx1 ; x1 ; y1 g în a B = ff1 ; f2 ; f3 g cu f1 = ( 2; 4; 2) ; f2 = (1; 0; 0) ; f3 = (0; 0; 1) ¸si R3 ; adic¼ T f1 = ( 4; 8; 4) = 2f1 , T f2 = (0; 4; 2) = f1 + 2f2 ; T f3 = (0; 0; 2) = 2f3 . Matricea lui T în baza B are deci forma Jordan 0 1 2 1 0 @ 0 2 0 A: 0 0 2

3 3 3) Aceea¸si problem¼ a pentru 0 1 endomor…smul T : R ! R care, în baza canoni1 3 4 7 8 A. (vezi exemplul 3) din sec¸tiunea anterioar¼ c¼ a, are matricea @ 4 a). Deci 6 7 7 t 1; 3 = 3 ¸si V 1 = f(t; 2t; t) ; t 2 Rg ; V 2 = f( ; t; t); t 2 Rg. Fie 1 = 2 = 2 S1 = T 1V ; S2 = T 3 1V : Avem: E1 = KerS12 = f( ; ; ); ; 2 Rg; E2 = KerS2 = V 2 ; deci R3 = E1 E2 : Vom lua x1 = (1; 1; 0) 2 KerS12 KerS1 ¸si avem S1 x1 = ( 1; 2; 1) 2 KerS1 : Cum dimR (V 1 ) = 1; S1 x1 este su…cient. Am ob¸tinut o baz¼ a B1 = fS1 x1 ; x1 g în E1¸si vom lua ca baz¼ a B2 în E2 , vectorul (1; 2; 2) : Ob¸tinem astfel baza B = ff1 ; f2 ; f3 g în R3 ; f1 = ( 1; 2; 1) ; f2 = = (1; 1; 0) ; f3 = (1; 2; 2) : Atunci T f1 = (1; 2; 1) = f1 ; T f2 = ( 2; 3; 1) = = f1 f2 ; T f3 = (3; 6; 6) = 3f3 . În raport cu baza B matricea lui T are forma Jordan

0

1 @ 0 0

1 1 0

1 0 0 A: 3

5. Probleme 1. S¼ a se g¼ aseasc¼ a valorile ¸si vectorii proprii ai endomor…smelor: a) T : R2 ! R2 , x = (x1 ; x2 ) 2 R2 , T x = (x1 cos x2 sin ; x1 sin + x2 cos ), 2 [0; ]; 2 b) T : R2 ! R2 , x = (x1 ; x2 ) 2 R2 , T x = (x1 + 2x2 ; 2x1 + 4x2 ); c) T : R3 ! R3 , x = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 , T x = (2x1 x2 + 2x3 ; 5x1 3x2 + +3x3 ; x1 2x3 ). 2. S¼ a se g¼ aseasc¼ a valorile ¸si vectorii proprii ai urm¼ atoarelor matrice. Sunt diagonalizabile?

5. PROBLEM E

a) 0 @

1 2 1

3 6 4

0

6 5 2 ; b) @ 3 2 2 0 1 1 0 3 B 0 0 13 A; f) B @ 0 0 8 1 0

2 2 1 1

1 0 3 2 A; c) @ 0 1 0 0 0 0 C C. 0 0 A 0 1

81

0 1 4 4 2 1

1 0 4 0 0 A; d) @ 5 2 6

1 5 2 7 3 A; e) 9 4

3. S¼ a se arate c¼ a urm¼ atoarele matrice sunt diagonalizabile, s¼ a se g¼ aseasc¼ a forma diagonal¼ a ¸si baza formei diagonale. Folosind forma diagonal¼ a s¼ a se calculeze apoi A2002 . 0 1 0 1 1 0 3 1 3 1 1 2 1 A; a) ; b) @ 2 1 2 A; c) @ 3 5 3 2 3 0 1 3 3 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 B 1 B C 1 1 1 C C; e) B 0 0 0 0 C. d) B @ 1 @ 1 0 0 0 A 1 1 1 A 1 1 1 1 0 0 0 1 4. F¼ ar¼ a a calcula valorile proprii s¼ a s determine domeniul plan valorile0proprii ale urm¼ atoarelor matrice: 1 0 1 2 1 1 1 i 1 1 + i 1 1 A; b) 3 a) @ 1 ; c) @ 1 + i 1 i 3 1 0 1 0 i

în care se a‡a¼ 1 0 i A. 1

5. Fie T : C ([0; 2 ]) ! C ([0; 2 ]), T (f ) = g, 2 R g (x) = [1 + sin (x t)] f (t) dt, x 2 [0; 2 ]. S¼ a se determine valorile ¸si 0

vectorii proprii.

6. 0 S¼ a se reduc¼ a la forma a Jordan1 matricele: 1 canonic¼ 0 0 1 3 3 6 6 15 0 6 13 A; b) @ 1 5 5 A; c) @ 4 a) @ 2 4 8 1 2 2 2 1 0 1 1 3 0 3 B 2 6 0 13 C C. d) B @ 0 3 1 3 A 1 4 0 8

1 4 1

1 0 0 A; 2

CHAPTER 5

Spa¸ tii euclidiene. Endomor…sme pe spa¸ tii euclidiene În capitolele precedente am prezentat spa¸tiile vectoriale abstracte, neînzestrate cu o structur¼ a geometric¼ a, ceea ce restrânge domeniul de studiu. În acest capitol, vom introduce no¸tiunea fundamental¼ a de spa¸tiu cu produs scalar, care permite determinarea lungimii vectorilor, a unghiului dintre doi vectori nenuli etc. Astfel metodele geometriei metrice se extind la spa¸tii vectoriale mai generale. 1. Spa¸ tii euclidiene DEFINITIE ¸ . Fie V un R spa¸ tiu vectorial. Se nume¸ste produs scalar real pe V , o aplica¸tie < ; >: V V ! R, cu propriet¼ a¸tile: 1) < x; y >=< y; x >; 8x; y 2 V ; 2) < x + y; z >=< x; z > + < y; z >; 8x; y; z 2 V ; 3) < x; y >= < x; y >; 8 2 R; 8x; y 2 V ; 4) < x; x > 0; 8x 2 V ¸si < x; x >= 0 () x = 0V : Dac¼ a V este un C spa¸tiu vectorial, se nume¸ste produs scalar complex pe V , o aplica¸tie < ; >: V V ! C, cu propriet¼ a¸tile: 1’) < x; y >=< y; x >; 8x; y 2 V ¸si 2), 3), 4) de mai sus. OBSERVATII ¸ . 1) În cazul produsului scalar real, din 1) ¸ si 2) ob¸tinem < x; y + z >=< y + z; x >=< y; x > + < z; x >= =< x + y > + < x; z >; 8x; y; z 2 V; iar în cazul produsului scalar complex, din 1’) ¸si 2) rezult¼ a: < x; y + z >=< y + z; x >= < y; x > + < z; x > = = < y; x > + < z; x > =< x; y > + < x; z >; 8x; y; z 2 V:

A¸sadar, în ambele situa¸tii, se ob¸tine:

< x; y + z >=< x; y > + < x; z >; 8x; y; z 2 V: 2) Dac¼ a V este un R spa¸tiu vectorial, atunci < x; y >=< y; x >=

< y; x >=

< x; y >; 8 2 R; x; y 2 V;

iar dac¼ a este un C spa¸tiu vectorial: =

< x; y >=< y; x >= < y; x > = < y; x >= < x; y >; 8 2 C; x; y 2 V:

3) În ambele cazuri: < 0V ; x >=< x; 0V >= 0; 8x 2 V: DEFINITIE ¸ . Un R spa¸ tiu (C spa¸tiu) vectorial V pe care s-a de…nit un produs scalar real (complex) se nume¸ste prehilbertian real (complex). Dac¼ a V este 83

84

5. SPA TII ¸ EUCLIDIENE. ENDOM ORFISM E PE SPA TII ¸ EUCLIDIENE

…nit dimensional, atunci spa¸tiul prehilbertian V se nume¸ste spa¸tiu euclidian real (complex ). Un spa¸tiu euclidian complex se mai nume¸ste ¸si spa¸tiu unitar. EXEMPLE. 1) Fie V = Rn . Dac¼ a x; y 2 Rn , x = (x1 ; :::; xn ), y = (y1 ; :::; yn ), n P de…nim produsul scalar < x; y >= xi yi . Propriet¼ a¸tile 1)-4) se veri…c¼ a u¸sor i=1

¸tinând seama de propriet¼ a¸tile înmul¸tirii ¸si adun¼ arii numerelor reale. Spa¸tiul Rn cu produsul scalar de…nit mai sus este un ”model” pentru spa¸tiile euclidiene reale. 2) Fie V = Cn . Dac¼ a x; y 2 Cn ; x = (x1 ; :::; xn ); y = (y1 ; :::; yn ); de…nim n P < x; y >= xi yi : Cn înzestrat cu acest produs scalar este ”modelul” spa¸tiului i=1

unitar. 3) Spa¸tiul vectorilor liberi V3 înzestrat cu produsul scalar a doi vectori liberi (cap. 1) este un spa¸tiu euclidian real. 4) Fie V = Mm;n (R). Dac¼ a A; B 2 Mm;n (R); A = (aij ); B = (bij ); de…nim m n P P produsul scalar real < A; B >= T r(AT B) = aij bij : j=1 i=1

5) Fie a; b 2 R; a < b. Dac¼ a f; g 2 C([a; b]; R) de…nim < f; g >=

iar dac¼ a f; g 2 C([a; b]; C), de…nim < f; g >=

Rb

f (t)g(t)dt:

Rb

f (t)g(t)dt;

a

a

În ambele cazuri se ob¸tin produse scalare. Toate produsele scalare de mai sus se numesc produse scalare canonice (uzuale) în spa¸tiile respective. DEFINITIE ¸ . Dac¼ a V este un K spa¸tiu vectorial (K = R; C), aplica¸tia k k : V ! R, cu propriet¼ a¸tile: 1) kxk 0; 8x 2 V ; kxk = 0 () x = 0V ; 2) k xk = j j kxk ; 8 2 K; 8x 2 V ; 3) kx + yk kxk + kyk; 8x; y 2 V , (inegalitatea triunghiului) se nume¸ste norm¼a pe V . Spa¸tiul V pe care s-a de…nit o norm¼ a se nume¸ste spa¸tiu vectorial normat. În continuare, ne vom ocupa de studiul spa¸tiilor cu produs scalar real. PROPOZITIA ¸ 1.1. Fie V un spa¸tiu prehilbertian real. Atunci: p p a) j< x; y >j < x; x > < y; y >; 8x; y 2 V ; (inegalitatea lui Cauchy-Schwarz-Buniakowski) p b) x kxk = < x; x este o norm¼a pe V , numit¼a norm¼a euclidian¼a ; 2 c) kx yk2 + kx + yk2 = 2(kxk + kyk2 ); 8x; y 2 V . (regula paralelogramului) Demonstra¸tie. a) Dac¼ a x; y 2 V sunt liniar dependen¸ti, adic¼ a, de exemplu, y = x; 2 R, atunci j< x; y >j = j< x; x >j = j < x; x >j = j j < x; x >; iar

p

< x; x >

p

< y; y > = j j < x; x >;

deci în acest caz în a) avem egalitate. Dac¼ a y; x sunt liniar independen¸ti (deci x 6= 0V ; y 6= 0V ), din < x + y; x + y >

0; 8 2 R;

1. SPA TII ¸ EUCLIDIENE

85

folosind propriet¼ a¸tile produsului scalar, rezult¼ a < x; x > +2 < x; y > +

2

< y; y >

0; 8 2 R:

Deci, trinomul de gradul doi în trebuie s¼ a ia numai valori nenegative, ceea ce are loc numai dac¼ a discriminantul trinomului este negativ, adic¼ a < x; y >2

< x; x >< y; y >

0;

de unde rezult¼ a

p p j< x; y >j < x; x > < y; y >: b) Trebuie s¼ a veri…c¼ am propriet¼ a¸tile normei. Vom justi…ca inegalitatea triunghiului, celelalte dou¼ a propriet¼ a¸ti …ind evidente. Vom folosi inegalitatea lui Cauchy. Avem 2 kx + yk2 =< x + y; x + y >= kxk + 2 < x; y > +kyk2 2 kxk + 2 kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 ; 8x; y 2 V; adic¼ a kx + yk kxk + kyk; 8x; y 2 V: c) Procedând ca mai sus, rezult¼ a 2

kx + yk2 = kxk + 2 < x; y > +kyk2 ; 2 kx + yk2 = kxk 2 < x; y > +kyk2 :

Adunând cele dou¼ a egalit¼ a¸ti se ob¸tine regula paralelogramului. OBSERVATIE. ¸ Se ¸stie c¼ a orice spa¸tiu vectorial normat V este metric, cu distan¸ta d : V V ! R de…nit¼ a prin rela¸tia d(x; y) = kx yk; 8x; y 2 V . În consecin¸ta¼, orice spa¸tiu prehilbertian este metric, distan¸ta …ind dat¼ a de p d(x; y) = kx yk = < x y; x y >:

DEFINITIE ¸ . Fie E un spa¸ tiu euclidian real. Se nume¸ste unghiul a doi vectori x; y 2 E f0E g, num¼ arul real 2 [0; ] dat de: < x; y > : cos = kxk kyk De…ni¸tia este corect¼ a, deoarece din propozi¸tia 1.1, a), j< x; y >j deci j< x; y >j = (kxk kyk) 1:

kxk kyk,

EXEMPLE. 1) Rn poate … organizat ca spa¸tiu vectorial normat. x; y 2 Rn ; x = (x1 ; :::; xn ); y = (y1 ; :::; yn ); atunci v v u n u n uX uX p 2 t kxk = < x; x > = xi ¸si d(x; y) = kx yk = t (xi yi )2 : i=1

Dac¼ a

i=1

Inegalitatea lui Cauchy-Schwarz-Buniakowski devine: n X

xi yi

i=1

n n X X ( x2i )1=2 ( yi2 )1=2 : i=1

i=1

2) Dac¼ a V = C([a; b]; R) ¸si f; g 2 C([a; b]; R), atunci kf k = tatea lui Cauchy-Schwarz-Buniakowski devine: Zb ( f (t)g(t)dt)2 a

Zb Zb 2 ( f (t)dt)( g 2 (t)dt): a

a

s Rb a

f 2 (t)dt: Inegali-

86

5. SPA TII ¸ EUCLIDIENE. ENDOM ORFISM E PE SPA TII ¸ EUCLIDIENE

2. Ortogonalitate. Baze ortonormate Fie E un spa¸tiu euclidian. DEFINITIE ¸ . Vectorii x; y 2 E se numesc ortogonali dac¼ a ¸si numai dac¼ a < x; y >= 0 ¸si vom nota aceasta x?y. Un sistem fx1 ; :::; xm g de vectori din E se nume¸ste sistem ortogonal dac¼ a pentru orice j = 1; m; i 6= j, avem < xi xj >= 0: Sistemul fx1 ; :::; xm g se nume¸ste sistem ortonormat dac¼ a pentru orice i; j = 1; m; < xi ; xj >=

ij

1; dac¼ ai=j : 0; dac¼ a i 6= j

=

OBSERVATII ¸ . 1) 0E ?x, 8x 2 E. 2) Dac¼ a x?x, atunci x = 0E : 2 3) Dac¼ a x?y, atunci kx + yk2 = kxk + kyk2 :

(teorema lui Pitagora)

PROPOZITIA ¸ 2.1. Orice sistem ortogonal de vectori nenuli dintr-un spa¸tiu euclidian este liniar independent. Demonstra¸tie. Fie S = fx1 ; :::; xm g un sistem ortogonal de vectori nenuli din m P E ¸si 1 ; :::; m 2 K astfel ca i xi = 0E : Pentru orice j = 1; m, avem: i=1

0 =< 0E ; xj >=<

m X

i xi ; xj

>=

i=1

¸si cum xj 6= 0E , rezult¼ a

j

X

i

< xi ; xj >=

j

< xj ; xj >

= 0, deci S este liniar independent.

OBSERVATIE ¸ . Într-un spa¸ tiu euclidian num¼ arul vectorilor dintr-un sistem ortogonal nu poate dep¼ a¸si dimensiunea spa¸tiului. PROPOZITIA ¸ 2.2. Fie S = fx1 ; :::; xm g un sistem ortogonal de vectori nenuli în spa¸tiul euclidian E. Dac¼a x 2 Sp fx1 ; :::; xm g, atunci: (2.1)

x=

m X

i xi ;

cu

i

i=1

=

< x; xi > : < xi ; xi >

Demonstra¸tie. Cum x 2 Sp (fx1 ; :::; xm g), exist¼ a scalarii m P ca x = i xi . Atunci, pentru orice i = 1; m, avem:

1 ; :::;

m

2 K astfel

i=1

< x; xi >=<

m X j=1

j xj ; xi

>=

m X

j

< xj ; xi >=

i

< xi ; xi > :

j=1

Deci are loc (1). DEFINITIE ¸ . Coe…cien¸ tii i ; i = 1; m din rela¸tia (2.1) de mai sus, se numesc coe…cien¸tii Fourier ai vectorului x 2 E în raport cu sistemul ortogonal S. Dac¼ a sistemul S de vectori este ortonormat, atunci coe…cien¸tii Fourier ai vectorului x vor … i =< x; xi >; i = 1; m. Din propozi¸tia 2.1 rezult¼ a: COROLAR 2.1.1. Într-un spa¸tiu euclidian E de dimensiune n, orice sistem ortogonal fe1 ; :::; en g de vectori nenuli din E este o baz¼a a lui E. Putem formula:

2. ORTOGONALITATE. BAZE ORTONORM ATE

87

DEFINITIE ¸ . Se nume¸ ste baz¼a ortogonal¼a a unui spa¸tiu euclidian E, de dimensiune n, orice sistem ortogonal constituit din n vectori nenuli. Se nume¸ste baz¼a ortonormat¼a a lui E orice sistem ortonormat constituit din n vectori. TEOREMA 2.3. În orice spa¸tiu euclidian E exist¼a baze ortonormate. Demonstra¸tie. Pornind de la o baz¼ a fe1 ; :::; en g a lui E, vom construi o nou¼ a baz¼ a, ortogonal¼ a, folosind procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Vom ar¼ ata, de fapt, c¼ a, pornind de la un sistem liniar independent de n vectori, se poate construi un sistem ortogonal tot de n vectori, to¸ti nenuli, da¸ti de: 8 f1 = e1 > > > > f2 = e2 + 21 f1 > > < ::::::::::::::::::::::::: (2.2) ; fi = ei + i1 f1 + ::: + i;i 1 fi 1 > > > > ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: > > : fn = en + n1 f1 + ::: + n;n 1 fn 1 unde pentru orice i = 2; n:

< ei ; fj > ; j = 1; i 1: < fi ; fi > Demonstra¸tia se face prin induc¸tie. Pentru n = 2, pornind de la sistemul liniar independent fe1 ; e2 g, construim sistemul ff1 ; f2 g conform formulelor (2.2) unde 21 se determin¼ a din condi¸tia < f2 ; f1 >= 0, adic¼ a f2 ?f1 . Mai precis, din < f2 ; f1 >=< e2 + 21 f1 ; f1 >=< e2 ; f1 > + 21 < f1 ; f1 >= 0, ob¸tinem 21 = < e2 ; f1 > = < f1 ; f1 >; deoarece < f1 ; f1 >=< e1 ; e1 >6= 0, e1 …ind nenul. În plus f2 6= 0E , c¼ aci dac¼ a am presupune prin absurd c¼ a f2 = 0E , ar rezulta c¼ a sistemul ini¸tial fe1 ; e2 g ar … liniar dependent, ceea ce nu este posibil. Presupunem proprietatea adev¼ arat¼ a pentru k 1 ¸si o demonstr¼ am pentru k. Fie deci fe1 ; :::; ek g sistemul liniar dependent. Prin formulele (2.2) de mai sus, construin un nou sistem de vectori ff1 ; :::; fk g dintre care primii k 1 sunt, conform ipotezei de induc¸tie, ortogonali doi câte doi ¸si nenuli. Vom demonstra c¼ a ¸si scalarii ti astfel încât < fk ; fi >= 0; i = 1; k 1 ¸si fk 6= 0E : k1 ; :::; k;k+1 pot … determina¸ Într-adev¼ ar, avem ipoteza:

(2.3)

(2.4)

ij

=

0 =< fk ; f1 >=< ek ; f1 > + k1 < f1 ; f1 > +::: + k;k ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 0 =< fk ; fk 1 >=< ek ; fk 1 > + k1 < f1 ; fk 1 > + ::: + k;k 1 < fk 1 ; fk

Cum sistemul ff1 ; :::; fk

1g

< fk

1 ; fk

: 1

>

; 1 ; fk 1

>

ti conform (2.3) astfel ca fk ?fi ; i = 1; k k1 ; :::; k;k 1 pot … determina¸ Mai mult fk = 6 0E , c¼ aci dac¼ a prin absurd fk = 0E , atunci: 0E = fk = ek +

k1 f1

>

este presupus ortogonal, rela¸tiile (2.4) se reduc la:

0 =< ek ; f1 > + k1 < f1 ; f1 > ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 0 =< ek ; fk 1 > + k;k 1 < fk

deci

1

+ ::: +

k;k 1 fk 1

= ek +

k1 e1

+

k2 (e2

+::: + k;k 1 (ek 1 + k 1;1 ; f1 + ::: + k 1;k 2 fk În …nal s-ar ob¸tine coe…cien¸tii 1 ; :::; k 1 din K astfel ca: 0E = fk = ek +

1 e1

+ ::: +

k 1 ek 1 ;

+

2 ):

1.

21 f1 )+

88

5. SPA TII ¸ EUCLIDIENE. ENDOM ORFISM E PE SPA TII ¸ EUCLIDIENE

deci sistemul fe1 ; :::; ek g ar … liniar dependent. În concluzie proprietatea este adev¼ arat¼ a pentru orice n natural. A¸sadar, pornind de la o baz¼ a oarecare fe1 ; :::; en g a spa¸tiului euclidian E, vom putea construi o baz¼ a ortogonal¼ a ff1 ; :::; fn g cu ajutorul rela¸tiilor (2.2), (2.3). Din baza ortogonal¼ a astfel construit¼ a, vom putea ob¸tine o baz¼ a ortonormat¼ a a lui E, fg1 ; :::; gn g, normând …ecare vector: (2.5)

gi =

fi ; i = 1; n: kfi k

EXEMPLE. 1) În spa¸tiul euclidian R3 (în raport cu produsul scalar canonic), consider¼ am baza e1 = (1; 2; 2); e2 = ( 1; 0; 1); e3 = (5; 3; 7). S¼ a construim, pornind de la ea, o nou¼ a baz¼ a, ortogonal¼ a, folosind procedeul Gram-Schmidt. A¸sadar f1 = (1; 2; 2), iar f2 = ( 1; 0; 1) + 21 (1; 2; 2); 21 = = < e2 ; f1 > = < f1 ; f1 > : Dar < e2 ; f1 >= 3; < f1 ; f1 >= 9. În consecin¸ta¼ 2 2 1 2 2 1 ; ; ). Fie acum f3 = (5; 3; 7) + 31 (1; 2; 2) + 32 ( ; ; ) f2 = ( 3 3 3 3 3 3 < e3 ; f1 > < e3 ; f2 > unde: 31 = ; 32 = : Cum < e3 ; f1 >= 3; < e3 ; f2 >= < f1 ; f1 > < f2 ; f2 > = 1; < f2 ; f2 >= 1, rezult¼ a f3 = (6; 3; 6). Atunci baza ortonormat¼ a este: g1 =

f1 1 =( ; kf1 k 3

2 2 f2 2 ; ); g2 = =( ; 3 3 kf2 k 3

g3 =

2 f3 =( ; kf3 k 3

1 ; 3

2 ; 3

1 ); 3

2 ): 3

2) Fie P2 (R) spa¸tiul euclidian tridimensional al func¸tiilor polinomiale cu coe…cien¸ti reali de grad 2, cu produsul scalar dat de: < p; q >=

Z1

p(t)q(t)dt;

8p; q 2 P2 (R):

1

Sistemul 1; t; t2 formeaz¼ a o baz¼ a în acest spa¸tiu. Construim, pornind de la ea, o nou¼ a baz¼ a, ortogonal¼ a, folosind procedeul Gram-Schmidt. Fie, deci, e1 = 1; R1 e2 = t; e3 = t2 . Atunci f1 = 1; f2 = t + 21 1: Cum < e2 ; f1 >= t 1dt = 0, 1

2 tinem: 21 = 0, deci f2 = t. Fie acum f3 = t + 31 1 + 32 t. Calculând, ob¸ 1 R 2 R1 2 2 t 1 dt = ; < e3 ; f2 >= < e3 ; f1 >= t t dt = 0; < f1 ; f1 >= 2: A¸sadar 3 1 1 1 1 ; 32 = 0, deci f3 = t2 . Am ob¸tinut baza ortogonal¼ a f1 = 1; f2 = t; 31 = 3 3 1 f3 = t2 . 3 Mai general, dac¼ a Pn (R) este spa¸tiul euclidian al func¸tiilor polinomiale de grad n cu produsul scalar de…nit ca mai sus, atunci pornind de la baza f1; t; :::; tn g, construim prin procedeul de ortogonalizare o nou¼ a baz¼ a:

rezult¼ a

f1; t; t2

1 3 ;t 3

3 t; :::g: 5

2. ORTOGONALITATE. BAZE ORTONORM ATE

89

Polinoamele din baza ortogonal¼ a astfel construit¼ a coincid, abstrac¸tie f¼ acând de un factor multiplicativ, cu polinoamele: k

d k [ t2 1 ] ; k = 0; n; k 2 k! dtk numite polinoame Legendre. Polinoamele Legendre formeaz¼ a deci o baz¼ a ortogonal¼ a în acest spa¸tiu euclidian. Prin normarea vectorilor acestor baze, ob¸tinem o baz¼ a ortonormat¼ a fgk gk=0;n : Dac¼ a q este un polinom arbitrar de grad n, coordonateke c0 ; c1 ; :::; cn 2 R ale lui q în baza fgk gk=0;n , vor … determinate prin rela¸tiile: 1

Z1

ck =< q; gk >=

q(t)gk (t)dt;

k = 0; n:

1

3) Consider¼ am pe intervalul [0; 2 ] sistemul de func¸tii f0 ; f1 ; :::; f2n+1 , unde f0 = 1; f1 (t) = cos t; f2 (t) = sin t; :::; f2n (t) = cos nt; f2n+1 (t) = sin nt. Combina¸tia lor liniar¼ a cu coe…cien¸tii a0 ; a1 ; :::; an ; b1 ; ::; bn 2 R, a0 (2.6) p(t) = + a1 cos t + b1 sin t + ::: + an cos nt + bn sin nt 2 se nume¸ste polinom trigonometric de grad n. Mul¸timea tuturor polinoamelor trigonometrice de grad n, formeaz¼ a un spa¸tiu vectorial de dimensiune 2n + 1. Consider¼ am pe acest spa¸tiu vectorial, produsul scalar: Z2 < p; q >= p(t)q(t)dt: 0

Se veri…c¼ a u¸sor c¼ a, dac¼ a l 6= m, atunci Z2

cos lt cos mtdt = 0;

0

Z2

sin lt cos mtdt = 0;

0

De asemenea

2 R

sin2 ktdt =

0

2 R 0

Z2

sin lt sin mtdt = 0:

0

cos2 kt = ; k 2 N ;

2 R

1dt = 2 .

0

În consecin¸ta¼, func¸tiile: 1 1 1 1 1 p ; p cos t; p sin t; :::; p cos nt; p sin nt; (2.7) 2 formeaz¼ a o baz¼ a ortonormat¼ a în acest spa¸tiu. OBSERVATIE ¸ . Dac¼ a E este un spa¸tiu euclidian real de dimensiune n, iar fe1 ; :::; en g o baz¼ a ortonormat¼ a în E, produsul scalar a doi vectori x; y 2 V; n n P P x= xi ei ; y = yj ej , devine: i=1

j=1

< x; y >=<

n X i=1

xi ei ;

n X

yj ej >=

j=1

n X

xi yj < ei ; ej >=

i;j=1

Similar, într-un spa¸tiu unitar, ob¸tinem: < x; y >= În aceste condi¸tii avem: kxk = (

n P

i=1

n X

xi yi :

i=1

n P

xi yi .

i=1

x2i )1=2 respectiv kxk = (

n P

i=1

2

jxi j )1=2 .

90

5. SPA TII ¸ EUCLIDIENE. ENDOM ORFISM E PE SPA TII ¸ EUCLIDIENE

Reciproc, dac¼ a într-o baz¼ a fe1 ; :::; en g a spa¸tiului euclidian E, produsul scalar n n n P P P a doi vectori x = xi ei ; y = yj ej este dat de rela¸tia < x; y >= xi yi , rezult¼ a i=1

c¼ a < ei ; ej >=

ij

=

j=1

1; 0;

i=1

dac¼ ai=j , deci baza este ortonormat¼ a. dac¼ a i 6= j

PROPOZITIA ¸ 2.4. Fie E un spa¸tiu prehilbertian real sau complex. Dac¼a S = fx1 ; ::; xm g este un sistem ortonormat de vectori din E, x 2 E, iar tii Fourier ai lui x în raport cu sistemul i =< x; xi >; i = 1; m sunt coe…cien¸ S, atunci: m P a) vectorul y = x ti vectorii sistemului S ; i xi este ortogonal pe to¸ b)

m P

i=1

i=1

2 i

2

kxk .

(inegalitatea lui Bessel).

Demonstra¸tie. a) Pentru orice xj 2 S; j = 1; m, ob¸tinem: < y; xj >=< x

m X

i xi ; xj

>=< x; xj >

i=1

m X

i

< xi ; xj >=

j

i=1

< y; y >=< x; x >

2

m X

i

< xi ; x > +

i=1

i ij

= 0:

i=1

b) Din propriet¼ a¸tile produsului scalar, rezult¼ a: 0

m X

m X

i j

< xi ; xj >=

i;j=1 2

= kxk

m X

2 i:

i=1

OBSERVATIE ¸ . Dac¼ a sistemul S din enun¸t este o baz¼ a ortonormat¼ a, inegalitatea lui Bessel devine egalitate. În acest caz i =< x; xi > sunt chiar coordonatele vectorului x în baza S. 3. Complementul ortogonal al unui subspa¸ tiu DEFINITIE ¸ . Fie E un spa¸ tiu euclidian ¸si M un subspa¸tiu vectorial al s¼ au. Vectorul x 2 E este ortogonal pe M , dac¼ a < x; y >= 0; 8y 2 M . Se observ¼ a c¼ a x este ortogonal pe M dac¼ a ¸si numai dac¼ a x este ortogonal pe vectorii unei baze din M . Într-adev¼ ar, dac¼ a fe1 ; :::; en g este o baz¼ a a lui M ¸si m P < x; ei >= 0; 8i = 1; m, atunci pentru orice y 2 M; y = yi ei , avem < x; y >= m P

i=1

yi < x; ei >= 0. Reciproca este evident¼ a.

i=1

DEFINITIE ¸ . Se nume¸ ste complement ortogonal al subspa¸tiului M în E ¸si se noteaz¼ a cu M ? , mul¸timea: M ? = fx 2 E; < x; y >= 0; 8y 2 M g:

Evident 0E 2 M ? , deci M ? 6= .

PROPOZITIA ¸ 3.1. Fie E un spa¸tiu euclidian s¸i M un subspa¸tiu vectorial al s¼au. Atunci: a) M ? este un subspa¸tiu vectorial al lui E; b) E = M M ? .

¼ 4. TRANSFORM ARI LINIARE AUTOADJUNCTE

Demonstra¸tie. a) Fie x; y 2 M ? ¸si ; < x + y; z >=

?

91

2 K. Dac¼ a z 2 M , atunci:

< x; z > + < y; z >= 0;

?

deci x + y 2 M , adic¼ a M este subspa¸tiu vectorial al lui E. b) Vom ar¼ ata c¼ a orice x 2 E se poate scrie sub forma x = x0 + x00 ; cu x0 2 M; x00 2 M ? :

Într-adev¼ ar, dac¼ a S = fe1 ; :::; em g este o baz¼ a ortonormat¼ a a lui M , iar x 2 E, m P 0 atunci x = ta¼, i ei ; i =< x; xi >; i = 1; m, este un vector din M . În consecin¸ i=1

conform propozi¸tiei 2.4, x00 = x x0 este ortogonal pe to¸ti vectorii bazei S, deci este ortogonal pe M . A¸sadar x = x0 + x00 , cu x0 2 M; x00 2 M ? . R¼ amâne s¼ a veri…c¼ am c¼ a M \ M ? = f0E g. Fie deci x 2 M \ M ? . Atunci x 2 M ¸si < x; y >= 0; 8y 2 M ? . Cum x 2 M ? , rezult¼ a < x; x >= 0 ¸si deci x = 0E . 4. Transform¼ ari liniare autoadjuncte Fie E un spa¸tiu euclidian de dimensiune n. TEOREMA 4.1. Dac¼a T 2 L(E), atunci exist¼a un unic operator liniar T E ! E astfel ca: (4.1)

:

< T x; y >=< x; T y >; 8x; y 2 E:

T se nume¸ ste adjunctul operatorului liniar T .

Demonstra¸tie. Fie fe1 ; :::; en g o baz¼ a ortonormat¼ a a lui E ¸si y 2 E. De…nim T : E ! E astfel: n X T y= < T ei ; y > ei : i=1

Evident T 2 L(E). În plus, dac¼ ax=

n P

i=1

xi ei 2 E, atunci conform propozi¸tiei

2.2, xi =< x; ei >; i = 1; n, deci: n n X X < T x; y >=< T ( < x; ei > ei ); y >= < x; ei >< T ei ; y > : i=1

i=1

Totodat¼ a:

< x; T y >=< x;

n X i=1

< T ei ; y > ei >=

n X

< T ei ; y >< x; ei >;

i=1

deci (4.1) este dovedit¼ a. Pentru unicitatea lui T , presupunem c¼ a ar exista S 2 L(E), astfel ca: < T x; y >=< x; Sy >; 8x; y 2 E:

Atunci < x; T y >=< x; Sy >, adic¼ a < x; (T S)(y) >= 0; 8x; y 2 E. Luând x = (T S)(y) în egalitatea anterioar¼ a, ob¸tinem: < (T S)y; (T S)y >= 0, de unde (T S)(y) = 0E , adic¼ a T = S. Teorema este demonstrat¼ a. DEFINITIE ¸ . T 2 L(E) se nume¸ ste transformare autoadjunct¼a (operator autoadjunct) dac¼ a T = T , adic¼ a dac¼ a satisface: (4.2)

< T x; y >=< x; T y >; 8x; y 2 E.

92

5. SPA TII ¸ EUCLIDIENE. ENDOM ORFISM E PE SPA TII ¸ EUCLIDIENE

EXEMPLU. Aplica¸tia identic¼ a 1E ¸si pentru 6= 0, omotetia de raport E ! E; T (x) = x; 8x 2 E sunt transform¼ ari autoadjuncte.

,T :

PROPOZITIA ¸ 4.2. Fie E un spa¸tiu euclidian real s¸i B = fe1 ; :::; en g o baz¼a ortonormat¼a a lui E. Atunci T 2 L(E) este autoadjunct dac¼a s¸i numai dac¼a matricea lui T în baza B este simetric¼a. Demonstra¸tie. " =) " Fie A = (aij ) matricea asociat¼ a lui T în baza B. Atunci n P T ei = aki ek ; i = 1; n. Conform (4.2), < T ei ; ej >=< ei ; T ej >; 8i; j = 1; n, deci

<

n P

k=1

aki ek ; ej >=< ei ;

k=1

n P

akj ek >, adic¼ a

k=1 n X

aki < ek ; ej >=

k=1

n X

akj < ei ; ek > :

k=1

Baza B …ind ortonormat¼ a, rezult¼ a aji = aij , deci matricea A este simetric¼ a. " (= " Dac¼ a matricea A este simetric¼ a, atunci < T ei ; ej >=< ei ; T ej >; 8i; j = 1; n (vezi mai sus). Fie x; y 2 E; n n P P x= xi ei ; y = yj ej . Folosind propriet¼ a¸tile produsului scalar ob¸tinem: i=1

< T x; y >=

j=1

n X n X

< T ei ; ej >=

i=1 j=1

deci T este autoadjunct¼ a.

n X n X i=1 j=1

xi yj < ei ; T ej >=< x; T y >; 8x; y 2 E;

OBSERVATIE ¸ . Dac¼ a E este un spa¸tiu euclidian complex de dimensiune n, procedând ca în propozi¸tia anterioar¼ a, se poate ar¼ ata c¼ a T 2 L(E) este autoadjunct¼ a dac¼ a ¸si numai dac¼ a matricea lui T într-o baz¼ a ortonormat¼ a, A = (aij ) este hermitic¼a, adic¼ a aij = aji , 8i; j = 1; n. PROPOZITIA ¸ 4.3. Fie E un spa¸tiu euclidian (real sau complex) de dimensiune n. Dac¼a T 2 L(E) este transformare autoadjunct¼a atunci: a) valorile proprii ale lui T sunt numere reale; b) la valori proprii distincte corespund vectori proprii ortogonali.

Demonstra¸tie. a) Consider¼ am mai întâi cazul când E este complex. Fie 2 C o valoare proprie a lui T ¸si x 2 E; x 6= 0E vectorul propriu corespunz¼ ator. T …ind autoadjunct¼ a, din < T x; x >=< x; T x >, rezult¼ a < x; x >=< x; x >. Atunci < x; x >= < x; x >, adic¼ a( ) < x; x >= 0, ¸si cum x 6= 0E , rezult¼ a = , adic¼ a 2 R. Dac¼ a E este un spa¸tiu euclidian real de dimensiune n, B o baz¼ a ortonormat¼ a a sa ¸si T 2 L(E) o transformare autoadjunct¼ a, atunci matricea asociat¼ a lui T este simetrica A 2 Mn (R) Mn (C). Considerând, de exemplu, spa¸tiul euclidian e o baz¼ complex Cn ¸si B a ortonormat¼ a a sa, exist¼ a un endomor…sm Te 2 L(Cn ) astfel e s¼ ca matricea lui Te în baza B a …e A. A …ind simetric¼ a, conform observa¸tiei de mai e sus, T este autoadjunct¼ a. Cele dou¼ a endomor…sme T ¸si Te au acela¸si polinom caracteristic. Cum valorile proprii ale lui Te sunt reale, rezult¼ a c¼ a toate r¼ ad¼ acinile acestui polinom caracteristic sunt reale. b) Fie ¸si dou¼ a valori proprii distincte ale lui T ¸si x 6= 0E , y 6= 0E vectorii proprii corespunz¼ atori. Conform a) ; 2 R. T …ind autoadjunct¼ a, din

¼ 5. TRANSFORM ARI LINIARE ORTOGONALE

< T x; y >=< x; T y >, ob¸tinem < x; y >=< x; y >, adic¼ a( Cum 6= , rezult¼ a c¼ a < x; y >= 0, deci x?y.

93

) < x; y >= 0.

¼ 4.4. Dac¼ LEMA a T 2 L(E) este autoadjunct s¸i M E este un subspa¸tiu invariant în raport cu T , atunci s¸i complementul s¼au ortogonal M ? este invariant în raport cu T .

Demonstra¸tie. Fie y 2 M ? , adic¼ a < y; x >= 0; 8x 2 M . Atunci, pentru orice x 2 M; < T y; x >=< y; T x >= 0, deoarece (M …ind invariant) T x 2 M . În consecin¸ta¼ T y 2 M ? , adic¼ a M ? este invariant. TEOREMA 4.5. Fie E un spa¸tiu euclidian de dimensiune n s¸i T 2 L(E) un operator autoadjunct. Atunci exist¼a în E o baz¼a ortonormat¼a B astfel încât T este diagonalizabil în raport cu B (adic¼a matricea A a lui T în baza B este diagonal¼a). Demonstra¸tie. Vom folosi induc¸tia matematic¼ a. A…rma¸tia este evident¼ a pentru n = 1. Presupunem acum c¼ a a…rma¸tia este adev¼ arat¼ a pentru orice spa¸tiu euclidian de dimensiune n 1. Fie 1 2 R o valoare proprie a lui T (conform propozi¸tiei 4.3) ¸si x1 6= 0E , vectorul propriu corespunz¼ ator. Putem presupune kx1 k = 1, în caz contrar înlocuim x1 cu x1 = kx1 k. Consider¼ am M = Sp(fx1 g), care este invariant în raport cu T . Conform lemei 4.4, complementul s¼ au ortogonal, M ? este invariant în raport cu T . Atunci restric¸tia lui T la M ? , T1 = T jM ? : M ? ! M ? este, de asemenea, un operator autoadjunct. Cum dim M ? = n 1, conform ipotezei de induc¸tie exist¼ a o baz¼ a ortonormat¼ a B 0 = fx2 ; :::; xn g în M ? astfel ca matricea lui T1 în aceast¼ a a baz¼ a s¼ a …e diagonal¼ a. Deoarece E = M M ? ¸si < x1 ; xi >= 0; 8i = 2; n, rezult¼ c¼ a B = fx1 ; x2 ; :::; xn g este o baz¼ a ortonormat¼ a în E ¸si matricea lui T în baza B este diagonal¼ a: 0 1 0 0 1 B 0 0 C 2 C: A=B @ A :::: 0 0 n Tinând ¸ seama de propozi¸tia 4.2, ob¸tinem: COROLAR 3.4.1. Orice matrice simetric¼a A este diagonalizabil¼a. 5. Transform¼ ari liniare ortogonale Fie E un spa¸tiu euclidian real. DEFINITIE ¸ . Endomor…smul T 2 L(E) se nume¸ ste transformare ortogonal¼a (operator ortogonal ) dac¼ a transform¼ a orice baz¼ a ortonormat¼ a într-o baz¼ a ortonormat¼ a în E. TEOREMA 5.1. Dac¼a E este un spa¸tiu euclidian de dimensiune n s¸i T 2 2 L(E), urm¼atoarele a…rma¸tii sunt echivalente: a) T este transformare ortogonal¼a; b) T ”p¼astreaz¼a” produsul scalar, adic¼a: (5.1)

< T x; T y > = < x; y >; 8x; y 2 E;

c) dac¼a A este matricea lui T într-o baz¼a ortonormat¼a B, atunci AT = A ( A este transpusa lui A). T

1

94

5. SPA TII ¸ EUCLIDIENE. ENDOM ORFISM E PE SPA TII ¸ EUCLIDIENE

Demonstra¸tie. a) =) b). Dac¼ a fe1 ; :::; en g este o baz¼ a ortonormat¼ a în E, atunci fT e1 ; :::; T en g este o baz¼ a ortonormat¼ a în E, adic¼ a < ei ; ej >= ij = n n P P =< T ei ; T ej >; 8i; j = 1; n. Dac¼ a x; y 2 E; x = xi ei ; yj ej , atunci i=1

< x; y >=

n P n P

xi yj < ei ; ej >=

i=1 j=1

n P

j=1

xi yi . Pe de alt¼ a parte:

i=1

< T x; T y >=

n X n X

xi yj < T ei ; T ej >=

i=1 j=1

n X

xi yi :

i=1

Deci < T x; T y >=< x; y >; 8x; y 2 E. b) =) c). Vom ar¼ ata c¼ a dac¼ a T ”p¼ astreaz¼ a” produsul scalar, atunci T este injectiv¼ a, deci izomor…sm. Fie x 2 KerT , deci T x = 0E . Dar < x; x >= =< T x; T x >= 0. Atunci x = 0E ¸si în consecin¸ta¼ KerT = f0E g, deci T este injectiv. Atunci exist¼ a T 1 : E ! E. Alegând în (5.1) y = T 1 z; 8z 2 E, ob¸tinem 1 < T x; z >=< x; T z >; 8x; z 2 E ¸si deci T 1 = T . Fie B o baz¼ a ortonormat¼ a în E ¸si A matricea ata¸sat¼ a lui T în aceast¼ a baz¼ a, adic¼ a n X T ei = aji ej ; i = 1; n: j=1

Fie C matricea ata¸sat¼ a lui T în baza B, adic¼ a T ek =

n X

clk el ; k = 1; n:

l=1

Atunci: < T ei ; ek >=

n X

aji < ej ; ek >=

j=1

n X

aji

jk

= aki ; i; k = 1; n

j=1

¸si < ei ; T ek >=

n X l=1

clk < ei ; el >

n X

clk

il

= cik ; i; k = 1; n:

l=1

a C = AT . A¸sadar Tinând ¸ seama de (4.1) rezult¼ a cik = aki ; 8i; k = 1; n, adic¼ T 1 matricea ata¸sat¼ a lui T în baza B este A . Cum T = T , rezult¼ a A 1 = AT . c) =) a) Fie B = fe1 ; :::; en g o baz¼ a ortonormat¼ a ¸si A matricea lui T în aceast¼ a baz¼ a. Cum AT = A 1 , rezult¼ a c¼ a exist¼ a T 1 : E ! E astfel ca T 1 = T . Atunci < T ei ; T ej >=< ei ; T (T ej ) >=< ei ; ej >= ij , deci fT e1 ; :::; T en g este o baz¼ a ortonormat¼ a în E, ceea ce înseamn¼ a c¼ a T este ortogonal. COROLAR 5.1.1. Un operator ortogonal p¼astreaz¼a distan¸tele s¸i unghiurile. Demonstra¸tie. Într-adev¼ ar, dac¼ a T este ortogonal, atunci punând în (5.1) y = x, ob¸tinem < x; x >=< T x; T x >, adic¼ a kxk = kT xk ; 8x 2 E. Luând x = u v, cu u; v 2 E, ob¸tinem ku vk = kT (u v)k = kT u T vk, adic¼ a d(u; v) = d(T u; T v); 8u; v 2 E, deci T p¼ astreaz¼ a distan¸tele. Analog, dac¼ a este unghiul < T x; T y > < x; y > dintre vectorii x; y 2 E, atunci cos = = = cos ', unde ' kxk kyk kT xk kT yk este unghiul dintre T x ¸si T y.

6. PROBLEM E

95

EXEMPLU. Rota¸tia plan¼ a T : R2 ! R2 , cu matricea A=

cos sin

sin cos

;

2(

; ];

în baza canonic¼ a (deci ortonormat¼ a) a lui R2 este o transformare ortogonal¼ a, deoarece T 1 A =A . DEFINITIE ¸ . Matricea A 2 Mn (R) se nume¸ ste matrice ortogonal¼a dac¼ a este inversabil¼ a ¸si A 1 = AT . PROPOZITIA ¸ 5.2. Dac¼a A 2 Mn (R) este o matrice ortogonal¼a, atunci det A =

1:

Demonstra¸tie. A …ind ortogonal¼ a, rezult¼ a AT A = A AT = In ¸si cum det A = 2 T det A , rezult¼ a c¼ a (det A) = 1, adic¼ a det A = 1. DEFINITIE ¸ . O matrice ortogonal¼ a cu det A = 1 se nume¸ste matrice de rota¸tie în Rn . În continuare vom determina matricele ortogonale din M2 (R). Dac¼ a A = a b t = ; a; b; c; d 2 R este o matrice ortogonal¼ a, egalitatea A A = I2 c d este echivalent¼ a cu egalit¼ a¸tile a2 + c2 = 1; ab + cd = 0; b2 + d2 = 1. Rezult¼ a c¼ a a; b; c; d 2 [ 1; 1]. Notând a=d = c=b = , ob¸tinem = 1. Cum a 2 [ 1; 1] rezult¼ a c¼ a exist¼ a 2 [ ; ] astfel ca a = cos , deci c2 = sin2 , adic¼ a c = sin . Schimbând eventual în , putem presupune c¼ a c = sin . Pentru = 1, rezult¼ a c¼ a matricea ortogonal¼ a A va avea una din formele: cos sin

sin cos

cos sin

;

sin cos

:

În primul caz, det A = 1. Vom ar¼ ata ulterior c¼ a în acest caz A determin¼ a o rota¸tie de unghi în plan. În ceea ce prive¸ste a doua matrice pentru = 0 sau = , ob¸tinem: (5.2)

A=

1 0

0 1

sau A =

1 0

0 1

cu det A = 1. Vom ar¼ ata ulterior c¼ a matricele de forma (5.2) determin¼ a simetrii în plan. În sfâr¸sit: A=

cos sin

sin cos

=

cos sin

sin cos

1 0

0 1

:

În concluzie, transform¼ arile ortogonale în plan sunt …e rota¸tii, …e simetrii, …e compuneri de rota¸tii cu simetrii. 6. Probleme 1. Folosind produsele scalare canonice din spa¸tiile euclidiene corespunz¼ atoare s¼ a se calculeze produsele scalare ¸si normele vectorilor: a) x = (2; 3), y = ( 6; 4); b) x = (1; 1; 0), y = (1; 1; 2); c) x = (1; 1; 2; 3), y = (1; 0; 2; 4).

96

5. SPA TII ¸ EUCLIDIENE. ENDOM ORFISM E PE SPA TII ¸ EUCLIDIENE

2. Fie x; y 2 R3 , x = (x1 ; x2 ; x3 ), y = (y1 ; y2 ; y3 ) ¸si < x; y >= x1 y1 + +6x2 y2 + 3x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 + x1 y3 + x3 y1 . S¼ a se arate c¼ a < ; > este un produs scalar pe R3 . Dac¼ a x = (1; 1; 0), y = ( 1; 1 2) s¼ a se calculeze < x; y > ¸si normele acestor vectori date de produsul scalar de mai sus. Preciza¸ti dac¼ a < x; y >= 3x2 y2 + 3x3 y3 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 2x1 y3 + 2x3 y1 x2 y3 x3 y2 este un produs scalar pe R3 (justi…care). 3. Fie E un spa¸tiu euclidian de dimensiune n. S¼ a se arate c¼ a vectorii u1 , u2 , :::, un de norm¼ a 1 care satisfac jjui uj jj = 1, 1 i < j n, formeaz¼ a o baz¼ a a lui E. Pe spa¸tiile euclidiene din problemele urm¼ atoare consider¼ am produsele scalare canonice. 4. Fie u1 = (1; 1; 1), u2 = (1; 2; 3), u3 = (5; 4; 1). S¼ a se arate c¼ a vectorii formeaz¼ a o baz¼ a ortogonal¼ a a lui R3 . S¼ a se determine coordonatele vectorului x = (1; 2; 3) în raport cu aceast¼ a baz¼ a. 5. S¼ a se calculeze distan¸ta ¸si unghiul dintre vectorii: a) u = (1; 2; 3; 0), v = (2; 4; 3; 1); b) f (t) = 2t 1, g (t) = t2 + 1 pe C ([0; 1]). 6. S¼ a se ortonormeze sistemele de vectori: a) u1 = (1; 2; 2), u2 = ( 1; 0; 1), u3 = (5; 3; 7); b) v1 = (7; 4; 3; 3), v2 = (1; 1; 6; 0), v3 = (5; 7; 7; 8), v4 = (2; 1; 3; 0). 7. S¼ a se g¼ aseasc¼ a o baz¼ a ortonormat¼ a a subspa¸tiului vectorial generat de vectorii v1 = (1; 2; 2; 1), v2 = (1; 1; 5; 3), v3 = (3; 2; 8; 7). S¼ a se completeze aceast¼ a baz¼ a la o baz¼ a ortonormat¼ a a lui R4 . 8. S¼ a se g¼ aseasc¼ a un vector unitar ortogonal vectorilor v1 = (1; 0; 2; 1), v2 = = (2; 1; 2; 3), v3 = (0; 1; 2; 1). 9. Fie S subspa¸tiul vectorial al solu¸tiilor sistemului omogen 8 +x2 +3x3 x4 = 0 < 2x1 3x1 +2x2 2x4 = 0 : : 3x1 +x2 +9x3 x4 = 0

S¼ a se g¼ aseasc¼ a o baz¼ a ortonormat¼ a în S ¸si S ? .

10. Fie S subspa¸tiul vectorial al lui R4 , generat de vectorii v1 = (2; 1; 1; 1), v2 = (1; 1; 3; 0), v3 = (1; 2; 8; 1). S¼ a se arate c¼ a orice x 2 R4 se poate scrie în mod unic sub forma x = y + z, y 2 S, z 2 S ? . S¼ a se determine y ¸si z când x = (5; 2; 2; 2). 11. Fie T : R3 ! R3 , T x = (11x1 + 2x2 8x3 ; 2x1 + 2x2 + 10x3 ; 8x1 + 10x2 + +5x3 ), x = (x1 ; x2 ; x3 ). S¼ a se g¼ aseasc¼ a o baz¼ a ortonormat¼ a a lui R3 astfel încât matricea lui T în aceast¼ a baz¼ a s¼ a …e diagonal¼ a. 12. a matricea lui T în baza canonic¼ a a lui R3 este 0 Aceea¸si problem¼ 1 a ¸stiind c¼ 17 8 4 4 A. A = @ 8 17 4 4 11

13. S¼ a se arate c¼ a T : R2 ! R2 , T x = (x1 cos x2 sin ; x1 sin + x2 cos ), 2 R, x = (x1 ; x2 ) este o transformare liniar¼ a ortogonal¼ a.

6. PROBLEM E

0

1 14. Este ortogonal¼ a matricea A = @ 1 7

1 3 5

97

1 1 4 A? 2

3 ! R3 un endomor…sm a c¼ arui matrice în baza canonic¼ a este A = 015. Fie T : R 1 3 2 6 1@ 6 3 2 A. S¼ a se arate c¼ a T este o transformare ortogonal¼ a. A…rma¸tia 7 2 6 3 r¼ amâne adev¼ arat¼ a dac¼ a A este matricea lui T într-o baz¼ a oarecare a lui R3 ?

CHAPTER 6

Forme biliniare. Forme p¼ atratice În acest capitol introducem no¸tiunea de form¼ a biliniar¼ a care generalizeaz¼ a no¸tiunea de form¼ a liniar¼ a. Studiul formelor biliniare conduce la no¸tiunea de form¼ a p¼ atratic¼ a, o clas¼ a important¼ a de func¸tii de o variabil¼ a, neliniare. 1. Forme biliniare. Matrice asociat¼ a. Rangul unei forme biliniare Fie V un spa¸tiu vectorial real. DEFINITIE ¸ . Se nume¸ ste form¼a biliniar¼a pe V o aplica¸tie F : V V ! R, cu propriet¼ a¸tile: a) F ( x + y; z) = F (x; z) + F (y; z); 8 ; 2 R; 8x; y; z 2 V ; b) F (x; y + z) = F (x; y) + F (x; z) ; 8 ; 2 R; 8x; y; z 2 V . Formele biliniare de…nite pe spa¸tii in…nit-dimensionale se numesc, de obicei, func¸tionale biliniare. OBSERVATIE ¸ . O form¼ a biliniar¼ a este liniar¼ a în …ecare din cele dou¼ a argumente. Astfel, dac¼ a, de exemplu, …x¼ am x 2 V , atunci aplica¸tia Fx : V ! R; Fx (y) = F (x; y); este o form¼ a liniar¼ a pe V . DEFINITIE ¸ . O form¼ a biliniar¼ a F : V F (x; y) = F (y; x); 8x; y 2 V .

V ! R se nume¸ste simetric¼a dac¼ a

DEFINITIE ¸ . O form¼ a biliniar¼ a simetric¼ a se nume¸ste pozitiv semide…nit¼a dac¼ a F (x; x) 0; 8x 2 V ¸si pozitiv de…nit¼a dac¼ a este pozitiv semide…nit¼ a ¸si, în plus, F (x; x) = 0 ) x = 0V . Dac¼ a F (x; x) 0; 8x 2 V , F se nume¸ste negativ semide…nit¼a, iar dac¼ a, în plus, F (x; x) = 0 ) x = 0V , F se nume¸ste negativ de…nit¼a. EXEMPLE. 1) Fie E un spa¸tiu euclidian real ¸si F : E E ! R; F (x; y) = =< x; y >. Atunci F este o form¼ a biliniar¼ a simetric¼ a, pozitiv de…nit¼ a. 2) Fie a; b 2 R; a < b; V = C([a; b]; R) ¸si K : [a; b] [a; b] ! R continu¼ a. Func¸tia F :V

V ! R; F (f; g) =

Zb Zb a

a

K (s; t) f (s) g (t) dsdt; 8f; g 2 V;

este o func¸tional¼ a biliniar¼ a pe V . 3) Fie D Rn o mul¸time deschis¼ a ¸si f : D ! R o func¸tie de clas¼ a C 2 pe D. Fie a = (a1 ; :::; an ) 2 D un punct arbitrar. Atunci aplica¸tia F : Rn

Rn ! R; F (h; k) =

n X n X i=1 j=1

@2f (a) hi kj ; 8h; k 2 Rn ; @xi @xj

h = (h1 ; :::; hn ) ; k = (k1 ; :::; kn ), este o form¼ a biliniar¼ a simetric¼ a, numit¼ a diferen¸tiala a doua a lui f ¸si se noteaz¼ a cu d2 f (a). 99

¼ 6. FORM E BILINIARE. FORM E P ATRATICE

100

4) Aplica¸tia F : R2 R2 ! R, F ((x1 ; x2 ) ; (y1 ; y2 )) = x1 y2 biliniar¼ a, dar nu este simetric¼ a.

x2 y1 este o form¼ a

Fie acum V un R-spa¸tiu vectorial de dimensiune n, B = fe1 ; :::; en g o baz¼ aa sa ¸si F : V V ! R o form¼ a biliniar¼ a. n n P n n P P P xi yj F (ei ; ej ): Notând yj ej , atunci: F (x; y) = Dac¼ ax= xi ei ; y = j=1

i=1

i=1 j=1

aij = F (ei ; ej ); i; j = 1; n, ob¸tinem

(1.1)

F (x; y) =

n X n X

aij xi yj :

i=1 j=1

Aceast¼ a egalitate arat¼ a c¼ a forma biliniar¼ a F determin¼ a matricea A = (aij ) 2 2 Mn (R) ¸si reciproc, matricea A 2 Mn (R) determin¼ a forma biliniar¼ a F. DEFINITIE ¸ . Fie V un R-spa¸ tiu vectorial, B = fe1 ; :::; en g o baz¼ a în V ¸si F o form¼ a biliniar¼ a pe V . Matricea A = (aij ), unde aij = F (ei ; ej ), i; j = 1; n, se nume¸ste matricea asociat¼a formei biliniare F în baza B. TEOREMA 1.1. Fie V un R-spa¸tiu vectorial de dimensiune n s¸i F o form¼a biliniar¼a pe V. Dac¼a B = fe1 ; :::; en g s¸i B 0 = fe01 ; :::; e0n g sunt dou¼a baze în V , iar C = (cij ) este matricea de trecere de la baza B la baza B 0 , atunci notând cu A = (aij ); D = (dij ), matricele asociate formei biliniare F în bazele B respectiv B 0 , are loc D = C T AC. n P ckj ek , rezult¼ a: Demonstra¸tie. Din e0j = k=1

n n n X n X X X dij = F (e0i ; e0j ) = F ( cli el ; ckj ek ) = cli ckj F (el ; ek ) = l=1

=

n X

cli ckj alk =

l=1

adic¼ a D = C T AC.

k=1

n X l=1

l=1 k=1

cli (

n X

k=1

alk ckj ); 8i; j = 1; n;

EXEMPLU. Fie E un spa¸tiu euclidian real de dimensiune n, B = fe1 ; :::; en g o baz¼ a ortonormat¼ a A lui E ¸si F forma biliniar¼ a dat¼ a de F (x; y) =< x; y >= n n n P P P = xi yi , x = xi ei ; y = yi ei . Atunci aij = F (ei ; ej ) = ij ; i; j = 1; n, deci i=1

i=1

i=1

matricea asociat¼ a formei biliniare F în baza B este matricea unitate. Este u¸sor de stabilit:

PROPOZITIA ¸ 1.2. O form¼a biliniar¼a F de…nit¼a pe V este simetric¼a dac¼a s¸i numai dac¼a matricea sa într-o baz¼a a lui V este simetric¼a. OBSERVATIE ¸ . Dac¼ a A; B 2 Mn (R) ¸si B este inversabil¼ a, atunci rang (AB) = = rangA ¸si rang (BA) = rangA. Într-adev¼ ar, dac¼ a G = fe1 ; :::; en g este o baz¼ a în R-spa¸tiul vectorial V , conform teoremei 3.2, cap. 3, exist¼ a endomor…smele S; T 2 L (V ) astfel ca matricele asociate lui S; T în baza G s¼ a …e A respectiv B. Cum B este inversabil¼ a, rezult¼ a c¼ a T este automor…sm (teorema 4.2, cap. 3). Atunci, rang (S T ) = rangS (corolar 2.4.2, cap. 3), deci rang (AB) = rangA (teorema 4.3, cap. 3). Similar se arat¼ a c¼ a rang (BA) = rang (A).

¼ ¼ 2. FORM E P ATRATICE. REDUCEREA LA FORM A CANONIC A

101

În consecin¸ta¼, dac¼ a F este o form¼ a biliniar¼ a, cum matricea sa se schimb¼ a la schimbarea bazei dup¼ a formula D = C T AC, unde C este inversabil¼ a, rezult¼ a c¼ a rangD = rangA . Deci rangul matricei asociate unei forme biliniare nu depinde de baza aleas¼ a. Putem deci formula urm¼ atoarea DEFINITIE ¸ . Se nume¸ ste rangul formei biliniare F , rangul matricei asociate lui F în orice baz¼ a a spa¸tiului. Forma biliniar¼ a F se nume¸ste nedegenerat¼a sau nesingular¼a dac¼ a rangF = dim V ¸si degenerat¼a dac¼ a rangF < dim V . Deci F este nedegenerat¼ a dac¼ a matricea sa într-o baz¼ a oarecare din V este nesingular¼ a ¸si degenerat¼ a dac¼ a aceast¼ a matrice este singular¼ a. TEOREMA 1.3. Fie E un spa¸tiu euclidian real de dimensiune n s¸i F : E E ! R o form¼a biliniar¼a simetric¼a. Atunci exist¼a o unic¼a transformare liniar¼a autoadjunct¼a T : E ! E astfel ca F (x; y) = < T x; y >; 8x; y 2 E. Demonstra¸tie.

Fie B = fe1 ; :::; en g o baz¼ a ortonormat¼ a a lui E ¸si aij = n P aki ek . Se arat¼ a = F (ei ; ej ); i; j = 1; n. De…nim T : E ! E, prin T ei = k=1

u¸sor c¼ a T este liniar¼ a ¸si cum aij = aji , T este autoadjunct¼ a (propozi¸tia 3.2, cap. n n P P 5). Fie acum x = xi ei ; y = yj ej . Atunci: i=1

< T x; y >=

j=1

n n X X

xi yj < T ei ; ej >=

i=1 j=1

=

n X n X

xi yj (

i=1 j=1

=

n X n X i=1 j=1

n X

aki < ek ; ej >) =

i=1 j=1

xi yj aji =

n X n X i=1 j=1

k=1 n X n X

n X

xi yi <

n X n X

aki ek ; ej >=

k=1

xi yj (

n X

aki

kj )

=

k=1

aij xi yj = F (x; y):

i=1 j=1

Pentru unicitate, dac¼ a S este o transformare autoadjunct¼ a astfel încât F (x; y) = =< Sx; y >; 8x; y 2 E, atunci < (T S) (x) ; y >= 0; 8x; y 2 E. Alegând y = = (T S) (x), rezult¼ a c¼ a k(T S) (x)k = 0; 8x 2 E, adic¼ a kT x Sxk = 0; 8x 2 2 E, deci T x = Sx; 8x 2 E. 2. Forme p¼ atratice. Reducerea la forma canonic¼ a DEFINITIE ¸ . Fie V un R-spa¸ tiu vectorial. O aplica¸tie : V ! R se nume¸ste form¼a p¼atratic¼a pe V dac¼ a exist¼ a o form¼ a biliniar¼ a simetric¼ a F : V V ! R astfel ca (x) = F (x; x) ; 8x 2 V . Forma p¼ atratic¼ a se nume¸ste pozitiv de…nit¼a (negativ de…nit¼a ) dac¼ a forma biliniar¼ a F este pozitiv de…nit¼ a (negativ de…nit¼ a). Forma p¼ atratic¼ a este cu semn nede…nit, dac¼ a exist¼ a x; y 2 V n f0V g, astfel încât (x) > 0 ¸si (y) < 0. Se veri…c¼ a imediat c¼ a F este unic determinat¼ a de . Mai precis, coresponden¸ta F ! este o bijec¸tie între mul¸timea formelor biliniare simetrice pe V ¸si mul¸timea formelor p¼ atratice pe V . Într-adev¼ ar, dac¼ a este o form¼ a p¼ atratic¼ a, atunci forma biliniar¼ a simetric¼ aF din care provine este dat¼ a de: 1 (x) (y)]; 8x; y 2 V: (2.1) F (x; y) = [ (x + y) 2

¼ 6. FORM E BILINIARE. FORM E P ATRATICE

102

F se nume¸ste polara formei p¼ atratice . Fie acum V un R-spa¸tiu vectorial de dimensiune n ¸si B = fe1 ; :::; en g o baz¼ a în V . Dac¼ a : V ! R este o form¼ a p¼ atratic¼ a, iar F : V V ! R polara sa, atunci n P pentru orice x 2 V; x = xi ei , avem: i=1

(2.2)

n n n X n X X X xi ei ; xj ej ) = aij xi xj ; (x) = F (x; x) = F ( i=1

j=1

i=1 j=1

unde aij = F (ei ; ej ); i; j = 1; n. De exemplu, când n = 2 ¸si x = x1 e1 + x2 e2 , avem (x) = a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 . DEFINITIE ¸ . Matricea A = (aij ) asociat¼ a formei biliniare simetrice F se nume¸ste matricea asociat¼a formei p¼atratice . Rangul formei biliniare F îl vom numi rangul formei p¼atratice ¸si coincide, evident, cu rangul matricei lui într-o baz¼ a a lui V . EXEMPLU. Dac¼ a x = (x1 x2 ) 2 R2 ; (x) = x21 + x22 4x1 x2 este o form¼ a 2 p¼ atratic¼ a pe R . Dac¼ a y = (y1 ; y2 ) 2 R2 , atunci polara formei p¼ atratice este F (x; y) = x1 y1 + x2 y2 2x1 y2 2x2 y1 . DEFINITIE ¸ . Fie V un R-spa¸ tiu vectorial de dimensiune n ¸si : V ! R o form¼ a p¼ atratic¼ a. Spunem c¼ a este redus¼a la forma canonic¼a dac¼ a se determin¼ a o baz¼ a B 0 = fe01 ; :::; e0n g în V astfel:

(2.3)

(x) =

02 1 x1

+ ::: +

02 n xn ;

unde x01 ; :::; x0n sunt coordonatele lui x în baza B 0 , iar 1 ; :::; nu to¸ti neap¼ arat nenuli, numi¸ti coe…cien¸tii formei p¼ atratice.

n

sunt scalari din R,

OBSERVATIE ¸ . În aceast¼ a baz¼ a matricea asociat¼ a formei p¼ atratice este o matrice diagonal¼ a. Observ¼ am c¼ a num¼ arul de p¼ atrate cu coe…cien¸tii nenuli din (2.3) coincide cu rangul lui . TEOREMA 2.1. (Metoda lui Gauss). Fie V un R-spa¸tiu vectorial de dimensiune n, : V ! R o form¼a p¼atratic¼a, iar B = fe1 ; :::; en g o baz¼a fa¸t¼a de care n P n P (x) = aij xi xj , matricea A = (aij ) …ind nenul¼a. Atunci exist¼a o baz¼a i=1 j=1

B 0 = fe01 ; :::; e0n g în V în care

se scrie sub forma canonic¼a (2.3).

Demonstra¸tie. Distingem dou¼ a situa¸tii: a) exist¼ a cel pu¸tin un indice i, 1 i n, astfel ca aii 6= 0. b) aii = 0; 8i = 1; n. În acest caz X (x) = 2 aij xi xj : 1 i > > > e0 = c12 e1 + c22 e2 > > < 2 ::::::::::::::::::::::::::::::: (2.5) . e0i = c1i e1 + c2i e2 + ::: + cii ei > > > > ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: > > : 0 en = c1n e1 + c2n e2 + ::: + cnn en

Matricea schimb¼ arii de baz¼ a este triunghiular¼ a, coe…cien¸tii cij 2 R, i; j = 1; n, j i, urmând a … determina¸ti astfel încât în noua baz¼ a B 0 , matricea formei p¼ atratice s¼ a …e diagonal¼ a, pe diagonala principal¼ a g¼ asindu-se chiar coe…cien¸tii cii ; i = 1; n, din rela¸tiile (2.5). Pentru aceasta, dac¼ a F este polara formei p¼ atratice , este su…cient s¼ a cerem F (e0i ; ej ) = 0; pentru orice i; j = 1; n; j < i:

(2.6)

Vom ar¼ ata c¼ a dac¼ a are loc (2.6) atunci F (e0i ; e0j ) = 0, pentru orice i; j = 1; n; i 6= j. Într-adev¼ ar, din (2.5) ¸si (2.6) pentu i 6= j; j < i, avem: F (e0i ; e0j ) = F (e0i ; c1j e1 + ::: + cjj ej ) = c1j F (e0i ; e1 ) + ::: + cjj F (e0i ; ej ) = 0:

Folosind, apoi, simetria formei biliniare F , rezult¼ a c¼ a pentru orice i 6= j, F (e0i ; e0j ) = 0, deci matricea lui în baza B 0 este diagonal¼ a. Vom impune acum condi¸tiile: F (e0i ; ei ) = 1; 8i = 1; n:

(2.7)

Atunci conform (2.6) ¸si (2.7) elementele de pe diagonala principal¼ a vor …: F (e0i ; e0i ) = F (e0i ; c1i e1 + ::: + cii ei ) = = c1i F (e0i ; e1 ) + ::: + ci

0 1;i F (ei ; ei 1 )

+ cii F (e0i ; ei ) = cii :

Vom ar¼ ata acum c¼ a pentru i = 1; n avem: (2.8)

cii =

i 1

i

Din (2.7), pentru i = 1, ob¸tinem c11 F (e1 ; e1 ) = 1, adic¼ a c11 = Fixând i; 2

i

n, din (2.6) ¸si (2.7) ob¸tinem:

F (e0i ; e1 ) = c1i F (e1 ; e1 ) + c2i F (e2 ; e1 ) + ::: + cii (ei ; e1 ) = 0 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: F (e0i ; ei 1 ) = c1i F (e1 ; ei 1 ) + c2i F (e2 ; ei 1 ) + ::: + cii F (ei ; ei F (e0i ; ei ) = c1i F (e1 ; ei ) + c2i F (e2 ; e1 ) + ::: + cii F (ei ; ei ) = 1

1 = a11

1)

=0

0

.

1

:

Folosind faptul c¼ a F (ei ; ej ) = aij precum ¸si simetria lui F , sistemul de mai sus devine 8 c1i a11 + c2i a12 + ::: + cii a1i = 0 > > < ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: (2.9) . c1i ai 1;1 + c2i ai 1;2 + ::: + cii ai 1;i = 0 > > : c1i ai1 + c2i ai2 + ::: + cii aii = 1

¼ ¼ 2. FORM E P ATRATICE. REDUCEREA LA FORM A CANONIC A

107

Determinantul sistemului (2.9) este chiar minorul principal i , care, prin ipotez¼ a, este nenul. Deci sistemul (2.9) este un sistem Cramer. În consecin¸ta¼, avem:

cii =

a11 ::: ai 1;1 ai1

::: ::: ::: :::

a1;i 1 ::: ai 1;i ai;i 1

0 ::: 0 1

1

=

i

În concluzie, matricea formei p¼ atratice 0 0 ::: B 1 0 B B 1 ::: B 0 (2.10) B 2 B ::: ::: ::: B @ 0 0 ::: iar expresia lui

este dat¼ a de (5), unde x =

i 1

:

i

în baza nou construit¼ a B 0 , este: 1 0 C C C 0 C C C ::: C A n 1 n

n P

i=1

x0i e0i .

EXEMPLU. Forma p¼ atratic¼ a : R3 ! R are în baza canonic¼ a B = fe1 ; e2 ; e3 g 2 2 expresia (x) = 5x1 + 6x2 + 4x23 4x1 x2 4x1 x3 , unde x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 . Matricea sa: 0 1 5 2 2 @ 2 6 0 A 2 0 4 are minorii principali: 1

= 5;

2

=

5 2

2 6

= 26;

3

=

5 2 2

Putem pune deja în eviden¸ta¼ forma canonic¼ a a lui

2 6 0

2 0 4

= 80:

, folosind (5):

5 13 1 02 x + x02 + x02 : 5 1 26 2 40 3 S¼ a determin¼ am acum baza formei canonice. Conform (2.5), e01 = c11 e1 ¸si cum 1 F (e01 ; e1 ) = 1, rezult¼ a c11 = . 5 Dar e02 = c12 e1 + c22 e2 . Condi¸tiile F (e02 ; e1 ) = 0; F (e02 ; e2 ) = 1, conduc la sistemul: 5c12 2c22 = 0 . 2c12 + 6c22 = 1 (x) =

1 5 ; c22 = . 13 26 În sfâr¸sit e03 = c13 e1 + c23 e2 + c33 e3 . Condi¸tiile F (e03 ; e1 ) = 0; F (e03 ; e2 ) = 0; 0 F (e3 ; e3 ) = 1, conduc la sistemul 8 < 5c13 2c23 2c33 = 0 2c13 + 6c23 = 0 : : 2c13 + 4c33 = 1 Rezolvând, ob¸tinem c12 =

108

¼ 6. FORM E BILINIARE. FORM E P ATRATICE

3 1 13 1 1 care are solu¸tia c13 = ; c23 = ; c33 = . A¸sadar e01 = e1 ; e02 = e1 + 20 20 40 5 13 5 3 1 13 + e2 ; e03 = e1 + e2 + e3 ; matricea de trecere de la baza canonic¼ a la baza 26 20 20 40 0 0 0 fe1 ; e2 ; e3 g, …ind 0 1 1 1 3 B 5 13 20 C B C 1 C 5 B B 0 C: B 26 20 C @ 13 A 0 0 40 OBSERVATIE ¸ . S¼ a remarc¼ am c¼ a în compara¸tie cu metoda lui Gauss, condi¸tiile pe care trebuie s¼ a le satisfac¼ a matricea unei forme p¼ atratice într-o baz¼ a …xat¼ a, pentru a putea aplica metoda lui Jacobi, sunt mai restrictive. Se poate ar¼ ata totu¸si c¼ a dac¼ a unii minori principali sunt nuli, se poate schimba convenabil baza în V astfel încât to¸ti minorii principali ai matricei formei p¼ atratice s¼ a …e nenuli. TEOREMA 2.3 (metoda valorilor ¸si vectorilor proprii sau metoda transform¼ arilor ortogonale). Fie E un spa¸tiu euclidian real de dimensiune n s¸i : V ! R o form¼a p¼atratic¼a pe E. Atunci exist¼a o baz¼a ortogonal¼a B E astfel încât matricea asociat¼a lui în baza B s¼a …e diagonal¼a (deci are form¼a diagonal¼a). Demonstra¸tie. Fie F polara formei p¼ atratice . Conform teoremei 1.3, exist¼ a o unic¼ a transformare autoadjunct¼ a T : E ! E astfel încât F (x; y) =< T x; y >; 8x; y 2 E. Atunci (x) =< T x; x >; 8x 2 E. T …ind autoadjunct¼ a, rezult¼ a c¼ a exist¼ a o baz¼ a ortonormat¼ a B = fe1 ; :::; en g a lui E, baz¼ a format¼ a din vectori proprii ai lui T corespunz¼ atori valorilor proprii reale 1 ; :::; n . A¸sadar T ei = i ei ; n P 8i = 1; n. Dac¼ ax= xi ei , atunci i=1

(x) =< T x; x >=< =

n P n P

i=1 j=1

adic¼ a

are form¼ a diagonal¼ a.

n P

xi T ei ;

i=1

xi xj <

i ei ; ej

>=

n P

j=1 n P i=1

xj ej >= 2 i xi ;

OBSERVATIE ¸ . Pentru a reduce la forma canonic¼ a o form¼ a p¼ atratic¼ a, prin metoda transform¼ arilor ortogonale, se procedeaz¼ a astfel: - se determin¼ a valorile proprii i ; i = 1; n, ale matricei asociate formei p¼ atratice ¸si subspa¸tiile corespunz¼ atoare V i ; i = 1; n; - în …ecare subspa¸tiu propriu, construim o baz¼ a ortonormat¼ a, folosind procedeul Gram-Schmidt; - se formeaz¼ a matricea C 2 Mn (R), ale c¼ arei colone con¸tin componentele vectorilor proprii determina¸ti mai sus. C este ortogonal¼ a ¸si C T AC este o matrice diagonal¼ a cu valorile proprii pe diagonal¼ a. (A este matricea formei p¼ atratice în baza ortonormat¼ a ini¸tial¼ a); - forma canonic¼ a este (x) = 1 x21 + ::: + n x2n ; x1 ; :::; xn …ind componentele lui x în baza construit¼ a mai sus. EXEMPLU. Pentru forma p¼ atratic¼ a (x) = 5x21 + 6x22 + 4x23 4x1 x2 4x1 x3 s¼ a se determine forma canonic¼ a, folosind metoda transform¼ arilor ortogonale. Valorile

¼ 3. LEGEA DE INER TIE ¸ A FORM ELOR P ATRATICE

109

proprii ale matricei asociate în baza canonic¼ a a lui R3 , sunt 2 = 2; 2 = 5; 3 = 8, 1 2 2 2 1 2 ), iar vectorii proprii corespunz¼ atori sunt v1 = ( ; ; ), v2 = ( ; ; 3 3 3 3 3 3 2 2 1 v3 = ( ; ; ) respectiv (sunt ortogonali ¸si norma¸ti). În baza fv1 ; v2 ; v3 g, 3 3 3 are forma diagonal¼ a (x) = 2x21 + 5x22 + 8x23 , unde x = x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 . OBSERVATIE ¸ . Fie V un R-spa¸ tiu vectorial ¸si : V ! R o form¼ a p¼ atratic¼ a al c¼ arei rang este r; 0 r n. S¼ a presupunem c¼ a a fost determinat¼ a o baz¼ a B = fe01 ; :::; e0n g a lui V în care s¼ a …e redus¼ a la forma canonic¼ a: (x) =

02 1 x1

+ ::: +

02 r xr ;

unde x01 ; :::; x0r sunt coordonatele lui x în baza B, iar coe…cien¸tii sunt nuli. Efectuând schimbarea de coordonate: p xi = j i j x0i ; i = 1; r; xj = x0j ; j = r + 1; n;

j; j

= r + 1; n

expresia lui devine, dup¼ a o eventual¼ a renumerotare a coordonatelor lui x (presupunând i > 0; i = 1; p; i < 0; i = p + 1; r): (2.11)

(x) = x21 + ::: + x2p

x2p+1

:::

x2r

numit¼ a forma normal¼a a formei p¼ atratice. 3. Legea de iner¸ tie a formelor p¼ atratice Analizând exemplele din 6.2 se constat¼ a c¼ a forma canonic¼ a la care este adus¼ ao form¼ a p¼ atratic¼ a, nu are coe…cien¸tii unic determina¸ti, ci ei depind de metoda folosit¼ a. De asemenea, nici baza formei canonice nu este unic determinat¼ a. Totu¸si, num¼ arul coe…cien¸tilor strict pozitivi, respectiv strict negativi, nu se schimb¼ a, indiferent de metoda utilizat¼ a de reducere la forma canonic¼ a. Vom demonstra: TEOREMA 3.1. (legea de iner¸tie). Fie V un R-spa¸tiu vectorial s¸i :V !R o form¼a p¼atratic¼a. Atunci num¼arul termenilor pozitivi s¸i a celor negativi din forma normal¼a a lui nu depinde de alegerea bazei formei normale. a Demonstra¸tie. Fie r rangul lui ¸si B = fe1 ; :::; en g, B 0 = fe01 ; :::; e0n g dou¼ baze în V în care s¼ a aib¼ a, respectiv, formele normale: (3.1)

(x) = x21 + ::: + x2p

x2p+1

:::

x2r

02 (x) = x02 1 + ::: + xq

x02 q+1

:::

x02 r ;

¸si (3.2)

unde x1 ; :::; xn sunt coordonatele lui x în baza B, iar x01 ; :::; x0n sunt coordonatele lui x în baza B 0 . Vom ar¼ ata c¼ a p = q, deci c¼ a num¼ arul de p¼ atrate pozitive este acela¸si, ceea ce atrage faptul c¼ a ¸si num¼ arul de p¼ atrate negative este acela¸si. Presupunem prin absurd c¼ a p > q. Fie S1 = Sp(fe1 ; :::; ep g) ¸si S2 = Sp(fe0q+1 ; :::; e0n g), deci dim S1 = p; dim S2 = n q. Cum S1 + S2 este subspa¸tiu vectorial al lui V , dim (S1 + S2 ) n. Conform teoremei lui Grassmann, dim (S1 \ S2 ) = dim S1 + dim S2 dim (S1 + S2 ) p + n q n > 0. Exist¼ a deci x0 2 S1 \ S2 ; x0 6= 0V . Atunci x0 = x1 e1 + ::: + xp ep (x0 2 S1 ) ¸si (x) = x21 + ::: + x2p > 0 ¸si x0 = x0q+1 e0q+1 + ::: + x0n e0n (x0 2 S2 ). Ob¸tinem: 02 02 (x0 ) = xq+1 ::: xr < 0. Am ajuns la o contradic¸tie, deci inegalitatea p > q nu poate avea loc. Analog se veri…c¼ a ¸si c¼ a inegalitatea q > p nu poate avea loc. Rezult¼ a p = q.

¼ 6. FORM E BILINIARE. FORM E P ATRATICE

110

Teorema urm¼ atoare ne d¼ a posibilitatea s¼ a veri…c¼ am într-un mod foarte simplu dac¼ a o form¼ a p¼ atratic¼ a este pozitiv sau negativ de…nit¼ a. TEOREMA 3.2. (Sylvester) În ipotezele teoremei 2.2, forma p¼atratic¼a este pozitiv de…nit¼a dac¼a s¸i numai dac¼a i > 0; 8i = 1; n, iar este negativ de…nit¼a dac¼a s¸i numai dac¼a i 1 i < 0; 8i = 1; n. Demonstra¸tie. Conform teoremei 2.2 (metoda Jacobi), exist¼ a o baz¼ a B0 = 0 0 = fe1 ; :::; en g a lui V în care: (3.3)

(x) =

0 1

unde x =

n P

i=1

xi e0i . Dac¼ a

:::; x = e0n se ob¸tine Reciproc, dac¼ a

i

i 1 i

x21 +

1 2

n 1

x22 + ::: +

n

x2n

este pozitiv de…nit¼ a, alegând succesiv x = e01 ; x = e02 ; > 0; 8i = 1; n. Cum

a > 0; 8i = 1; n, rezult¼

i 1 i

0

= 1, rezult¼ a

i

> 0; 8i = 1; n.

> 0; 8i = 1; n ¸si deci din (3.3) se

ob¸tine (x) > 0; 8x 6= 0V . Cazul formelor p¼ atratice negativ de…nite se trateaz¼ a similar. 4. Reducerea simultan¼ a la forma canonic¼ a a dou¼ a forme p¼ atratice Fie V un spa¸tiu euclidian real de dimensiune n, ; : V ! R dou¼ a forme p¼ atratice ¸si F ¸si G polarele celor dou¼ a forme p¼ atratice. În anumite probleme de matematic¼ a ¸si …zic¼ a un rol important îl are determinarea unei baze a lui V în raport cu care cele dou¼ a forme p¼ atratice au simultan forma canonic¼ a. O astfel de baz¼ a nu se poate determina totdeauna. Teorema urm¼ atoare precizeaz¼ a când aceast¼ a problem¼ a are solu¸tie. G …ind o form¼ a biliniar¼ a pozitiv de…nit¼ a, rezult¼ a imediat c¼ a (4.1)

< x; y >G = G(x; y);

este un produs scalar pe V . TEOREMA 4.1. Dac¼a este pozitiv de…nit¼a, atunci exist¼a o baz¼a ortonormat¼a (în raport cu < ; >G ) F = ff1 ; f2 ; :::; fn g a lui V astfel încât dac¼a x = 1 f1 + +::: + n fn , avem (4.2)

(x) =

(4.3)

2 1 1

+ ::: +

2 n n;

2 1

+ ::: +

2 n:

(x) =

Demonstra¸tie. Conform teoremei 2.3, exist¼ a o baz¼ a ortonormat¼ a F = ff1 ; f2 ; :::; fn g relativ la produsul scalar dat de (4.1) în raport cu care (x) se scrie sub forma (4.2). În aceea¸si baz¼ a avem (4.4) deci

(x) = G (x; x) =< x; x >G = ¸si

2 1

+ ::: +

2 n;

au forma canonic¼ a în baza F .

În continuare vom indica modul în care se determin¼ a baza F . Fie A = (aij ), B = (bij ) matricele asociate formelor p¼ atratice respectiv în baza ortonormat¼ a

¼ LA FORM A CANONIC A ¼ A DOU A ¼ FORM E P ATRATICE ¼ 4. REDUCEREA SIM ULTAN A 111

E = fe1 ; :::; en g a lui V . Conform teoremei 1.3, exist¼ a transform¼ arile autoadjuncte S; T : V ! V , (4.5)

n X

Sej =

n X

aij ei , T ej =

(4.6)

bij ei ,

i=1

i=1

F (x; y) =< Sx; y > , G(x; y) =< T x; y > :

Matricele formelor p¼ atratice In = C T BC, unde 0

în baza F sunt D = C T AC respectiv

¸si 1

B 0 D=B @ ::: 0

0

1 0 0 C C; ::: A

::: ::: ::: :::

2

::: 0

n

iar C este matricea de trecere de la baza E la baza F . Evident C este o matrice ortogonal¼ a. A¸sadar 1 , 2 , ..., n sunt r¼ ad¼ acinile ecua¸tiei det (D In ) = 0, adic¼ a det(C T AC C T BC) = 0: Aceast¼ a ecua¸tie se mai scrie sub forma det (A B) = = 0: Înlocuind i în sistemul omogen (4.8)

(A

i B) x

= 0;

vom g¼ asi Ker (S tiu construim o baz¼ a ortonori T ). În …ecare astfel de subspa¸ mat¼ a relativ la produsul scalar (4.1). Reuniunea acestor baze este baza c¼ autat¼ a. În n P ax= plus, din (4.8) rezult¼ a Sfj = i T fj ; j = 1; n: Atunci, dac¼ j fj , j=1

(x) = F (x; y) =< Sx; x >= =

n P

j i j

i;j=1

=

n P

i;j=1

< T fj ; fi >=

n P

i;j=1 n P

i;j=1 j i j

i j

< Sfj ; fi >=

j i j G(fj ; fi )

< fj ; fi >G =

n P

i=1

=

2 i i:

EXEMPLU. S¼ a se reduc¼ a simultan la forma canonic¼ a formele p¼ atratice (x) = 10x21 + 2x22 15x23 + 2x1 x2 + 12x1 x3 ; (x) = 3x21 + 4x22 + 5x23 + 4x1 x2 4x1 x3 : S¼ a se g¼ aseasc¼ a baza formelor canonice. Matricele asociate formelor p¼ atratice ¸si sunt 0 1 0 10 1 6 3 2 2 0 A; B = @ 2 4 A=@ 1 6 0 15 2 0

1 2 0 A: 5

Folosind metoda lui Jacobi rezult¼ a u¸sor c¼ a este pozitiv de…nit¼ a. Prin calcul rezult¼ a c¼ a det (A B) = (1 2 ) ( + 3) (4 + 27). În concluzie, formele canonice sunt (x) =

1 2

2 1

3

2 2

27 4

2 3;

(x) =

2 1

+

2 2

+

2 3:

¼ 6. FORM E BILINIARE. FORM E P ATRATICE

112

1 , ob¸tinem x = (0; t; 0) : Pentru t = 1, kxk dat¼ a de produsul scalar 2 1 (4.1) este kxk = 2, deci f1 = (0; ; 0). Dac¼ a = 3, atunci x = (0; 0; t). Luând 2 p 1 27 , x = (10t; 5t; 4t), t = 1, kxk = 5. Ob¸tinem f2 = (0; 0; p ). Pentru = 4 5 5 2 5 p ; p ). deci f3 = ( p ; 30 30 2 30 Pentru

=

5. Probleme 1. S¼ a se arate c¼ a F : R3 R3 ! R, F (x; y) = 2x1 y1 5x1 y2 + 2x2 y1 3x2 y2 3x2 y3 + 4x3 y2 x3 y3 este o form¼ a biliniar¼ a. Care este matricea lui F în baza e1 = (1; 0; 0), e2 = (1; 1; 0), e3 = (1; 1; 1)? Este simetric¼ a forma biliniar¼ a? 2. Pe R2 , …e forma biliniar¼ a F (x; y) = 3x1 y1 + 2x1 y2 x2 y2 . G¼ asi¸ti matricele asociate lui F în bazele e1 = (1; 1), e2 = (1; 0), respectiv e01 = (1; 2), e02 = ( 1; 1). Ce rela¸tie este între cele dou¼ a matrice? 3. Fie F : C ([0; 1])

C ([0; 1]) ! R, F (f; g) =

R1 R1

f (t) g (s) dt ds.

0 0

a) S¼ a se arate c¼ a F este o form¼ a biliniar¼ a; b) S¼ a se determine matricele lui F în bazele e1 = 1, e2 = t, e3 = t2 respectiv 2 f1 = 1, f2 = t 1, f3 = (t 1) . 4. Care este polara formei p¼ atratice +3x2 x3 ?

: R3 ! R,

(x) = x21

x22 + x1 x2 +

5. S¼ a se reduc¼ a la forma canonic¼ a, folosind metoda lui Gauss, urm¼ atoarele forme p¼ atratice de…nite pe R3 sau R4 . S¼ a se speci…ce baza formei canonice. Care din aceste forme p¼ atratice este pozitiv de…nit¼ a? 2 2 2 a) (x) = x1 + x2 + 3x3 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 ; b) (x) = x21 3x23 2x1 x2 + 2x1 x3 6x2 x3 ; c) (x) = x21 + 5x22 4x23 + 2x1 x2 4x1 x3 ; d) (x) = 4x21 + x22 + x23 + 4x1 x2 4x1 x3 3x2 x3 ; e) (x) = 2x21 + 18x22 + 8x23 12x1 x2 + 8x1 x3 27x2 x3 ; f) (x) = x21 + 2x22 + x24 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + 2x1 x4 + 2x2 x3 + 2x2 x4 + 2x3 x4 . 6. S¼ a se reduc¼ a la forma canonic¼ a, folosind metoda lui Jacobi, urm¼ atoarele forme p¼ atratice de…nite pe R3 sau R4 . S¼ a se speci…ce baza formei canonice. Care din aceste forme p¼ atratice este pozitiv de…nit¼ a? a) (x) = x21 2x22 + x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3 + 2x2 x3 ; b) (x) = 3x21 2x22 + 2x23 + 4x1 x2 3x1 x3 x2 x3 ; c) (x) = x21 + x22 + 3x23 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 ; d) (x) = x21 + 4x22 + 6x23 2x1 x2 + 2x2 x3 2x3 x4 ; e) (x) = 3x21 + 2x22 x23 2x24 + 2x1 x2 4x2 x3 + 2x2 x4 . 7. Pentru ce valori ale lui , urm¼ atoarele forme p¼ atratice sunt pozitiv de…nite? 2 2 2 a) (x) = 5x1 + x2 + x3 + 4x1 x2 2x1 x3 2x2 x3 ; b) (x) = 2x21 + x22 + 3x23 + 2 x1 x2 + 2x1 x3 ; c) (x) = 2x21 + 2x22 + x23 + 2 x1 x2 + 6x1 x3 + 2x2 x3 .

5. PROBLEM E

113

8. Folosind metoda transform¼ arilor ortogonale s¼ a se reduc¼ a la forma canonic¼ a urm¼ atoarele forme p¼ atratice. S¼ a se g¼ aseasc¼ a baza formei canonice. a) (x) = 2x21 + x22 4x1 x2 4x2 x3 ; b) (x) = x21 + x22 + x23 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ; c) (x) = 4x1 x2 x23 ; d) (x) = 2x1 x2 + 2x3 x4 ; e) (x) = x21 + x22 + x23 + 5x24 + 2x1 x4 4x3 x4 . 9. Pe R3 se consider¼ a formele p¼ atratice (x) = x21 + 2x22 + 3x23 + 2x1 x2 2x1 x3 , 2 2 a se reduc¼ a simultan la forma canonic¼ a (x) = x1 + 6x3 + 2x1 x2 2x1 x3 + 3x2 x3 . S¼ precizându-se baza formelor canonice.

CHAPTER 7

Elemente de calcul tensorial În acest capitol vom folosi o conven¸tie de sumare propus¼ a de Einstein, care ne va permite s¼ a simpli…c¼ am foarte mult scrierea rela¸tiilor în care intervin sum¼ ari. Mai precis, dac¼ a într-o expresie acela¸si indice intervine de dou¼ a ori, odat¼ a ca indice superior ¸si odat¼ a ca indice inferior, atunci se sumeaz¼ a dup¼ a acest indice, P dac¼ a nu se face vreo men¸tiune special¼ a. Semnul ” ” nu se mai scrie. Indicele de sumare poate … notat cu orice liter¼ a ¸si se nume¸ste indice mut. Spre exemplu, n n P n P P sumele xi y i , ai bj cijk vor … scrise astfel: xi y i , ai bj cijk . În ultima sum¼ a i; j i=1

i=1 j=1

sunt indici mu¸ti, dar k nu este indice mut.

1. Dualul unui spa¸ tiu vectorial Fie K un corp comutativ ¸si V un K-spa¸tiu vectorial. Reamintim (cap. 3) c¼ a prin form¼a liniar¼a (sau func¸tional¼a liniar¼a ) pe V se in¸telege o aplica¸tie liniar¼ a F : V ! K (aici K este considerat ca un K-spa¸tîu vectorial unidimensional). Cum am v¼ azut în capitolul 3, mul¸timea tuturor formelor liniare, pe care o vom nota V , poate … înzestrat¼ a cu o structur¼ a de K-spa¸tiu vectorial în raport cu adunarea ¸si înmul¸tirea cu scalari a formelor liniare. K-spa¸tiul vectorial V se nume¸ ste spa¸tiul dual al spa¸tiului vectorial V . Vom folosi termenul de form¼a liniar¼a daca V este …nit dimensional ¸si de func¸tional¼a liniar¼a, dac¼ a V este in…nit dimensional. EXEMPLE. 1) Func¸tia T : R3 ! R, care asociaz¼ a oric¼ arui vector x = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 scalarul T x = x1 + x2 + 3x3 este o form¼ a liniar¼ a. 2) Func¸tia = : C([a; b]; R) ! R care asociaz¼ a oric¼ arei func¸tii continue Rb f : [a; b] ! R scalarul =(f ) = a f (x) dx; este o func¸tional¼ a liniar¼ a.

OBSERVATII ¸ . Fie V un K-spa¸ tiu vectorial de dimensiune n ¸si …e B = fe1 ; :::; en g o baz¼ a în V . 1) Dac¼ a x = xi ei , atunci f (x) = xi f (ei ), deci o form¼ a liniar¼ a este cunoscut¼ a dac¼ a se cunosc valorile sale pe elementele din baz¼ a. 2) Dac¼ a = f 1 ; :::; n g 2 K n , atunci conform lemei 3.2, cap. 3, exist¼ a o unic¼ a form¼ a liniar¼ a F : V ! K astfel ca F (ei ) = i ; i = 1; n. În consecin¸ta¼ are loc: PROPOZITIA ¸ 1.1. Dac¼a V este un K-spa¸tiu vectorial n-dimensional s¸i B = fe1 ; :::; en g este o baz¼a a sa, atunci pentru orice i, i = 1; n, exist¼a o form¼a liniar¼a unic¼a f i : V ! K astfel ca (1.1)

f i (ej ) =

i j

=

1; dac¼ ai=j : 0; dac¼ a i 6= j 115

116

7. ELEM ENTE DE CALCUL TENSORIAL

Propozi¸tia rezult¼ a imediat din observa¸tia anterioar¼ a, luând pentru …ecare i; i = 1; n, scalarii j = 0 pentru j 6= i ¸si i = 1. În continuare, pornind de la o baz¼ a B = fe1 ; :::; en g a spa¸tiului vectorial V , vom construi o baz¼ a în spa¸tiul dual, care se va numi duala bazei B. Vom folosi conven¸tia de sumare a lui Einstein. TEOREMA 1.2. Fie B = fe1 ; :::; en g o baz¼a a spa¸tiului vectorial V . Sistemul de forme liniare B = f 1 ; :::; f n dat de (1.1) formeaz¼a o baz¼a a spa¸tiului vectorial V , numit¼a duala bazei B. Demonstra¸tie. Sistemul B este liniar independent. Într-adev¼ ar, …e 1 ; :::; n 2 1 n 2 K astfel ca 1 f 1 + ::: + n f n = 0V adic¼ a (x) = 0; 1 f + ::: + n f 8x 2 V . În particular, dac¼ a x = ei , i = 1; n, ob¸tinem 1f

1

+ ::: +

nf

n

(ei ) =

i

= 0;

deci B este liniar independent. Fie acum f 2 V ¸si i = f (ei ) 2 K. Vom ar¼ ata c¼ a f = i f i , deci B este sistem de generatori pentru V , adic¼ a o baz¼ a a lui V . Într-adev¼ ar, dac¼ a x = xj ej 2 V , atunci (x) = i f i (xi ej ) = i xi f i (ej ) = = i xj ij = i xi = xi f (ei ) = f (x) : if

i

Teorema este demonstrat¼ a. OBSERVATII ¸ .1) Din teorema 1.2 rezult¼ a c¼ a dac¼ a dimK V = n, atunci dimK V = n, deci V ' V . 2) Din demonstra¸tia teoremei 1.2, rezult¼ a c¼ a pentru orice form¼ a liniar¼ a f , coordonatele sale în baza dual¼ a B a bazei B sunt i = f (ei ) ; i = 1; n. În cele ce urmeaz¼ a, schimbând baza lui V , vom studia transformarea bazei duale ¸si a coordonatelor unei forme liniare în spa¸tiul dual V . TEOREMA 1.3. Fie V un K-spa¸tiu vectorial de dimensiune n s¸i V dualul s¼a. Fie B = fe1 ; :::; en g s¸i B 0 = fe01 ; :::; e0n g dou¼a baze în V , iar B = f 1 ; :::; f n s¸i B 0 = f 01 ; :::; f 0n bazele duale corespunz¼atoare. Dac¼a C este matricea de trecere 1

de la baza B la baza B 0 , atunci C T este matricea de trecere de la baza B la baza B 0 . În plus, coordonatele unei forme liniare f 2 V se transform¼a dup¼a aceea¸ si lege ca s¸i baza în V . când se trece de la baza B la baza B 0 . Demonstra¸tie. Rela¸tiile de schimbare a bazei în V sunt e0i = cki ek , i = 1; n:

(1.2)

(indicele superior k se refer¼ a la linie, iar cel inferior i la colan¼ a). S¼ a presupunem c¼ a, în dual, trecerea de la baza B la B 0 s-ar face prin rela¸tiile f 0 j = djl f l ; j = 1; n:

(1.3)

(dac¼ a D = (djl ), Dt este matricea de trecere de la baza B la baza B 0 ). Din dualitatea bazelor rezult¼ a f l (ek ) =

l k,

k; l = 1; n;

f 0 j (e0i ) =

l i,

i; j = 1; n:

Din rela¸tiile (1.2)-(1.5), ob¸tinem pentru orice i; j = 1; n j i

= f 0 j (e0i ) = djl f l (cki ek ) = djl cki f l (ek ) = djl cki

l k

= djk cki :

1. DUALUL UNUI SPA TIU ¸ VECTORIAL

117

Aceste rela¸tii stabilesc c¼ a DC = In , deci D = C 1 . Matricea de trecere de la T 1 baza B la baza B 0 în spa¸tiul V este Dt = C 1 = C T . j 0i Fie acum f 2 V ; f = j f = i f , unde j = f (ej ), j = 1; n, i = f (e0i ), i = 1; n. Atunci, din (1.2), rezult¼ a: (1.6)

i

= f (cki ek ) = cki f (ek ) = cki

k,

i = 1; n;

adic¼ a, acela¸si gen de rela¸tie ca la schimbarea bazei în V . În concluzie, din teorema 1.3 rezult¼ a c¼ a, la o schimbare a bazei în V , bazele duale corespunz¼ atoare se transform¼ a dup¼ a aceea¸si lege ca ¸si coordonatele unui vector arbitrar din V transformare ce se va numi contravariant¼a, iar coordonatele unei forme liniare din V se transform¼ a dup¼ a aceea¸si lege ca ¸si baza în V , transformare ce se va numi covariant¼a. Când folosim conven¸tia lui Einstein, coordonatele vectorilor din V , ca ¸si vectorii bazei duale vor avea indicii trecu¸ti superior, pe când coordonatele formelor liniare ¸si vectorii bazei din V vor avea indicii trecu¸ti inferior. Formele liniare se mai numesc ¸si covectori. EXEMPLU. Fie baza canonic¼ a B = fe1 ; :::; en g în R3 . Baza dual¼ a 1 2 3 în spa¸tiul dual (R3 ) satisface (1.1). Dac¼ a x = x1 e1 + x2 e2 + B = f ;f ;f a consider¼ am acum forma +x3 e3 , atunci f 1 (x) = x1 , f 2 (x) = x2 , f 3 (x) = x3 . S¼ liniar¼ a f : R3 ! R, f (x) = x1 + 2x2 + 3x3 . Coordonatele lui f în baza dual¼ a sunt 0 0 0 0 = f (e ) = 1, = f (e ) = 2, = f (e ) = 3. Fie acum baza B = fe ; e 1 1 2 2 3 3 1 2 ; e3 g în R3 , e01 = e1 + e2 e3 , e02 = e1 + e2 + e3 , e03 = e1 e2 + e3 . Matricele de trecere de la baza B la baza B 0 ¸si inversa sunt 1 0 1 1 0 0 1 B 2 2 C 1 1 1 C B 1 1 B C 1 1 1 A; C = B 0 C=@ 1 C: C B 2 2 1 1 1 @ 1 1 A 0 2 2 Atunci, duala bazei B 0 este legat¼ a de B prin rela¸tiile 1 1 1 1 1 1 f10 = f 1 + f 2 ; f20 = f 2 + f 3 ; f30 = f 1 + f 3 : 2 2 2 2 2 2 Coordonatele formei liniare f în noua baz¼ a vor … 1

Similar

2

= f (e01 ) = f (e1 ) + f (e2 ) = f (e02 ) = 4,

3

f (e3 ) =

1

+

2

3

= 0:

= f (e03 ) = 2.

Dualul lui V , notat V = ff : V ! K; f form¼ a liniar¼ ag se nume¸ste bidualul lui V . Conform teoremei 1.2, dimK V = dimK V = dimK V = n, deci V ' V ' V . Mai mult, are loc TEOREMA 1.4. Spa¸tiile V

s¸i V

=:V !V

sunt izomorfe prin aplica¸tia ; =x = Fx ;

unde Fx (f ) = f (x) ; 8f 2 V . Demonstra¸tie. Stabilim mai int¼ ai c¼ a Fx este o form¼ a liniar¼ a pe V ; adic¼ a Fx 2 V . Fie deci f; g 2 V ¸si ; 2 K. Atunci: Fx ( f + g) = ( f + g) (x) = f (x) + g(x) = Fx (f ) + Fx (g).

118

7. ELEM ENTE DE CALCUL TENSORIAL

Vom ar¼ ata acum c¼ a = este liniar¼ a. Fie x; y 2 V ¸si ;

2 K. Atunci:

=( x + y) (f ) = F x+ y (f ) = f ( x + y) = f (x) + f (y) = = Fx (f ) + Fy (f ) = ( Fx + Fy )(f ); 8 f 2 V , deci =( x + y) = =x + =y. Pentru a demonstra c¼ a = este bijectiv¼ a, cum dimK V = dimK V , este su…cient s¼ a arat¼ am c¼ a = este injectiv¼ a. Fie deci x; y 2 V astfel încât =x = =y, adic¼ a Fx = Fy . Atunci, pentru orice f 2 V , avem: (1.7)

f (x) = Fx (f ) = Fy (f ) = f (y).

Dac¼ a B = fe1 ; :::; en g este baz¼ a în V , iar B = f 1 ; :::; f n este baz¼ a dual¼ a ¸si x = xj ej , y = y j ej , luând în (1.7), f = f i , i = 1; n, ob¸tinem: xi = f i (x) = f i (y) = y i ; adic¼ a x = y, deci = este injectiv¼ a. OBSERVATIE ¸ . Prin acest izomor…sm canonic dintre V ¸ si V , vom identi…ca un spa¸tiu vectorial cu bidualul s¼ au. Prin aceast¼ a identi…care, orice vector x 2 V poate … privit ca o form¼ a liniar¼ a pe V ce asociaz¼ a oric¼ arui f 2 V , scalarul f (x). 2. Aplica¸ tii multiliniare. Forme multiliniare DEFINITIE ¸ . Fie V1 ; :::; Vn ; W spa¸ tii vectoriale peste acela¸si corp K. Aplica¸tia F : V1 V2 ::: Vn ! W se nume¸ste multiliniar¼a (n-liniar¼a) dac¼ a pentru orice i, 1 i n, avem: F (x1 ; :::; xi 1 ; x0i + x00i ; xi+1 ; :::; xn ) = F (x1 ; :::; xi 1 ; x0i ; xi+1 ; :::; xn )+ + F (x1 ; :::; xi 1 ; x00i ; xi+1 ; :::; xn ); 8 ; 2 K; x0i ; x00i 2 Vi ; xk 2 Vk ; k 6= i: EXEMPLU. Aplica¸tia F : V3 V3 ! V3 , F (! u;! v)=! u ! v , este o aplica¸tie ! ! ! ! biliniar¼ a antisimetric¼ a (u v = v u ). DEFINITIE ¸ . Fie V1 ; :::; Vn spa¸ tii vectoriale peste corpul K. Se nume¸ste form¼a multiliniar¼a (n-liniar¼a) orice aplica¸tie multiliniar¼ a F : V1 ::: Vn ! K. În aceast¼ a de…ni¸tie K este considerat spa¸tiu vectorial unidimensional peste el însu¸si. EXEMPLE .1) F : V V ! R, F (! u;! v)=! u ! v (deci produsul scalar a doi 3

3

vectori liberi), este o form¼ a biliniar¼ a simetric¼ a. ! 2) F : V3 V3 V3 ! R, F (! u;! v ;! w) = ! u (! v w ) = (! u;! v ;! w ) (deci produsul mixt a trei vectori liberi), este o form¼ a triliniar¼ a.

OBSERVATIE ¸ . Mul¸ timea formelor n-liniare se poate înzestra cu o structur¼ a de K-spa¸tiu vectorial peste K, notându-se cu L (V1 ; :::; Vn ; K). Adunarea formelor n-liniare F; G 2 L (V1 ; :::; Vn ; K) se de…ne¸ste astfel: (F + G) (x1 ; :::; xn ) = F (x1 ; :::; xn ) + G (x1 ; :::; xn ) ; xi 2 Vi ; i = 1; n: Produsul unei forme n-liniare F 2 L (V1 ; :::; Vn ; K) cu un scalar de…ne¸ste prin: ( F ) (x1 ; :::; xn ) = F (x1 ; :::; xn ) ; xi 2 Vi ; i = 1; n: Se veri…c¼ a u¸sor ca F + G ¸si F de…nite mai sus, sunt forme n-liniare.

2 K se

¼ 3. TENSORI. COORDONATELE UNUI TENSOR îNTR-O BAZ A

119

3. Tensori. Coordonatele unui tensor într-o baz¼ a DEFINITIE ¸ . Fie V un spa¸ tiu vectorial peste K, iar V dualul s¼ au. Dac¼ a p; q 2 N, se nume¸ste tensor de p ori covariant s¸i q ori contravariant orice form¼ a multiliniar¼ a t : V V ::: V V V ::: V ! K. | {z } | {z } p ori

q ori

Se spune c¼ a t este tensor de tip (p,q), p numindu-se ordinul de covarian¸t¼a, iar q ordinul de contravarian¸t¼a. Num¼ arul p + q se nume¸ste rangul sau valen¸ta tensorului.

EXEMPLE.1) Orice form¼ a liniar¼ a f 2 V , deci f : V ! K, este un tensor de tip (1; 0). 2) Orice vector x 2 V , privit ca o form¼ a liniar¼ a Fx : V ! K (conform teoremei 1.4) este un tensor de tip (0; 1). 3) Orice scalar 2 K poate … considerat tensor de tip (0; 0).

Vom nota cu Tpq (V ) mul¸timea tuturor tensorilor de p ori covarian¸ti ¸si q ori contravarian¸ti pe spa¸tiul vectorial V . Conform observa¸tiei din sec¸tiunea anterioar¼ a, Tpq (V ) este un K-spa¸tiu vectorial în raport cu adunarea tensorilor ¸si produsul unui tensor cu un scalar. a dual¼ a În continuare, …e B = fe1 ; :::; en g o baz¼ a în V ¸si B = f 1 ; :::; f n baz¼ q 1 în V . Fie t 2 Tp (V ), iar x1 ; :::; xp 2 V , h ; :::; hq 2 V . Atunci xi =

ji i

hl = alkl f kl ; l = 1; q:

eji ; i = 1; p;

(aici ji ¸si kl sunt indici de sumare). Folosind liniaritatea lui t în …ecare argument, avem: (3.1)

t(x1 ; :::; xp ; h1 ; :::; hq ) =

j1 jp 1 ::: p

q 1 k1 ::: kq

t(ej1 ; :::; ejp ; f k1 ; :::; f kq ).

În aceast¼ a rela¸tie apar np+q scalari, pe care-i vom nota ki ;:::;kq j1 ;:::;jp

= t(ej1 ; :::; ejp ; f k1 ; :::; f kq ); ji = 1; n, 8i = 1; p; kl = 1; n, 8l = 1; q

(3.2)

¸si se numesc coe…cien¸tii tensorului t sau componentele tensorului t în baza B …xat¼ a în V . Atunci (3.1) se scrie: (3.3)

t(x1 ; :::; xp ; h1 ; :::; hq ) =

j1 jp 1 ::: p

q 1 k1 ::: kq

k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp

În concluzie, …ec¼ arui tensor t 2 Tpq (V ) i se poate asocia, …xând o baz¼ a în V , un p+q sistem de n scalari unic determina¸ti prin (3.2). Reciproc, se poate demonstra u¸sor PROPOZITIA ¸ 3.1. Fie V un K-spa¸tiu vectorial n-dimensional s¸i p; q 2 N. Fie B = fe1 ; :::; en g o baz¼a în V s¸i B = f 1 ; :::; f n baza dual¼a ei. Dat …ind un sistem de np+q scalari (

k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp );

ji = 1; n; 8i = 1; p; kl = 1; n; 8l = 1; q;

exist¼a un unic tensor t 2 Tpq (V ) astfel ca t(ej1 ; :::; ejp ; f k1 ; :::; f kq ) =

k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp ;

pentru orice j1 ; :::; jp ; k1 ; :::; kq luând independent valori de la 1 la n.

120

7. ELEM ENTE DE CALCUL TENSORIAL

COROLAR 3.1.1. Dac¼ a V este un K-spa¸tiu vectorial de dimensiune n, atunci p+q Tpq (V ) ' K n , deci dimK Tpq (V ) = np+q . Demonstra¸tie. Fie B = fe1 ; :::; en g o baz¼ a …xat¼ a în V , iar B = f 1 ; :::; f n duala sa în V . Izomor…smul c¼ autat este aplica¸tia care asociaz¼ a …ec¼ arui tensor t 2 Tpq (V ), coe…cien¸tii s¼ ai în baza …xat¼ a. Din cele de mai sus, rezult¼ a c¼ a aceast¼ a aplica¸tie este o bijec¸tie. Liniaritatea acestei aplica¸tii se veri…c¼ a u¸sor ¸si o propunem ca exerci¸tiu. EXEMPLE. 1) Formele biliniare pe un spa¸tiu vectorial V n-dimensional sunt tensori dublu covarian¸ti. Spa¸tiul vectorial al acestor tensori, T20 (V ) are dimensiunea n2 . Dac¼ a B = fe1 ; :::; en g o baz¼ a în V ¸si t : V V ! K un tensor dublu covariant oarecare, atunci pentru orice x; y 2 V , x = i ei , y = j ej , avem t(x; y) = i j t(ei ; ej ) = i j ij = t(ei ; ej ); i; j = 1; n;

ij ;

…ind coe…cien¸tii tensorului în baza …xat¼ a. 2) Formele biliniare pe spa¸tiul V sunt tensori dublu contravarian¸ti. Dac¼ a dimK V = n, spa¸tiul vectorial al acestor tensori notat T02 (V ) are dimensiunea n2 . Fie acum B = fe1 ; :::; en g o baz¼ a în V ¸si B = f 1 ; :::; f n duala sa. Dac¼ a t:V V ! K este un tensor dublu contravariant, atunci pentru orice g; h 2 V , g = i j i , h = j f j , avem t(g; h) = i j t f i ; f j = i j ij ;unde ij = f i ; f j , i; j = 1; n sunt coe…cien¸tii tensorului în baza …xat¼ a. 3) Formele biliniare t : V V ! K sunt tensori o data covarian¸ti ¸si o dat¼ a contravarian¸ti. Dac¼ a dimK V = n, spa¸tiul vectorial al acestor tensori, T11 (V ) are dimensiunea n2 . Cu nota¸tiile de mai sus, dac¼ a x = i ei 2 V , h = j f j 2 V , atunci j j i i j j t (x; h) = = tii j t ei ; f j i ;unde i = t ei ; f , i; j = 1; n sunt coe…cien¸ tensorului t în baza …xat¼ a. 4. Opera¸ tii cu tensori Fie V un K-spa¸tiu vectorial n-dimensional, B = fe1 ; :::; en g o baz¼ a în V ¸si B = f 1 ; :::; f n duala sa. Consider¼ am p; q 2 N, t; u 2 Tpq (V ), 2 K. Dac¼ a x1 ; :::; xp 2 V ¸si h1 ; :::; hq 2 V ; atunci suma t + u este un tensor de acela¸si tip ¸si (t + u) (x1 ; :::; xp ; h1 ; :::; hq ) = t(x1 ; :::; xp ; h1 ; :::; hq ) + u(x1 ; :::; xp ; h1 ; :::; hq );

iar produsul unui tensor t cu un scalar 1

este un tensor de acela¸si tip

q

( t) (x1 ; :::; xp ; h ; :::; h ) = t(x1 ; :::; xp ; h1 ; :::; hq ): Se veri…c¼ a u¸sor c¼ a, într-o baz¼ a …xat¼ a, coe…cien¸tii sumei t + u se ob¸tin însumând coe…cien¸tii corespunz¼ atori lui t ¸si u, deci dac¼ a: k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp

= t(ej1 ; :::; ejp ; f k1 ; :::; f kq ); = u(ej1 ; :::; ejp ; f k1 ; :::; f kq );

atunci (t + u) (ej1 ; :::; ejp ; f k1 ; :::; f kq ) =

k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp

k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp :

Similar, coe…cien¸tii produsului unui tensor cu un scalar într-o baz¼ a …xat¼ a, se ob¸tin înmul¸tind coe…cien¸tii tensorului cu scalarul respectiv, deci ( t) (ej1 ; :::; ejp ; f k1 ; :::; f kq ) =

k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp :

4. OPERA TII ¸ CU TENSORI

121

Produsul tensorial a doi tensori. Fie p; q; r; s 2 N ¸si t 2 Tpq (V ), u 2 Trs (V ). Atunci aplica¸tia: t

u:V |

de…nit¼ a prin:

V

{z

:::

V }

p+r ori

V |

V

:::

{z

q+s ori

V ! K; }

(t u) (x1 ; :::; xp ; xp+1 ; :::; xp+r ; h1 ; :::; hq ; hq+1 ; :::; hq+s ) = = t(x1 ; :::; xp ; h1 ; :::; hq ) u(xp+1 ; :::; xp+r ; hq+1 ; :::; hq+s ); pentru orice xi 2 Vi , i = 1; p + r, hj 2 V , j = 1; q + s; este un tensor de ordin (p + r; q + s) numit produsul tensorial al celor doi tensori. Dac¼ a k1 ;:::;kq k1 kq j1 ;:::;jp = t(ej1 ; :::; ejp ; f ; :::; f ); k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp

= u(ej1 ; :::; ejr ; f l1 ; :::; f ls );

atunci: k1 ;:::;kq ;l1 ;:::;ls j1 ;:::;jp ;i1 ;:::;ir

= (t

u) (ej1 ; :::; ejp ; ei1 ; :::; eir f k1 ; :::; f kq ; f l1 ; :::; f ls ) = =

k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp

l1 ;:::;ls i1 ;:::;ir :

q+s u) 2 Tp+r (V ) se ob¸tin efectuând produsele

A¸sadar coe…cien¸tii tensorului (t coe…cien¸tilor celor doi tensori.

EXEMPLU. Fie dimK V = 2; B = fe1 ; e2 g o baz¼ a în V , B = f 1 ; f 2 baza dual¼ a, t 2 T20 (V ), u 2 T01 (V ). Dac¼ a ij = t(ei ; ej ), i; j = 1; 2 sunt coe…cien¸tii lui t k k în baza …xat¼ a, iar = u f , k = 1; 2, coe…cien¸tii lui u, atunci (t u) 2 T21 (V ), coe…cien¸tii s¼ ai …ind: k ij

= (t

u) (ei ; ej ; f k ) = t(ei ; ej )u f k =

ij

k

:

Tpq

Contrac¸tia unui tensor. Fie t 2 (V ) cu p; q > 1. Fix¼ am un indice i, i = 1; p de covarian¸ta¼ ¸si un indice l, l = 1; q de contravarian¸ta¼. Vom construi un tensor t0 2 Tpq 11 (V ), astfel: t0 : V V ::: V V V ::: V ! K, | {z } | {z } p 1 ori

q 1 ori

0

1

l 1

t (x1 ; :::; xi 1 xi+1 ; :::; xp ; h ; :::; h ; hl+1 ; :::; hq ) = = t(x1 ; :::; xi 1 ; es ; xi+1 ; :::; xp ; h1 ; :::; hl 1 ; f s ; hl+1 ; :::; hq );

cu xj 2 V; j = 1; p; j 6= i; hk 2 V ; k = 1; q; k 6= l (în aceast¼ a rela¸tie s este indice de sumare). Coe…cien¸tii tensorului t0 vor … k1 ;:::;kl j1 ;:::;ji

1 ;kl+1 ;:::;kq 1 ;ji+1 ;:::;jp

= t0 (ej1 ; :::; eji 1 ; eji+1 ; :::; ejp ; f k1 ; :::; f kl 1 ; f kl+1 ; :::; f kq ) = =

k1 ;:::;kl j1 ;:::;ji

1 ;s;kl+1 ;:::;kq 1 ;s;ji+1 ;:::;jp

;

k ;:::;k

s …ind indice de sumare, iar j11;:::;jpq coe…cien¸tii lui t în baza …xat¼ a. Vom spune c¼ a am efectuat o contrac¸tie dup¼ a indicele de ordin i de covarian¸ta¼ l ¸si indicele de ordin l de contravarian¸ta¼. Tensorul astfel ob¸tinut se va nota (t)i . EXEMPLE. 1) Fie t 2 T11 (V ) ¸si ji , i; j = 1; n coe…cien¸tii tensorului. Efectuând o contrac¸tie dup¼ a cei doi indici, se ob¸tine un tensor de tip (0; 0) deci un scalar, numit urma tensorului t ¸si se noteaz¼ a Tr t =

i i

=

1 1

+ ::: +

n n:

122

7. ELEM ENTE DE CALCUL TENSORIAL

2) Fie t 2 T21 (V ) ¸si 1 = (t)2 2 T10 (V ) sunt i

k ij ,

i; j; k = 1; n coe…cien¸tii lui t. Coe…cien¸tii lui t0 =

= t0 (ei ) = t(ei ; ej ; f j ) =

j ij

1 i1

=

+

2 i2

+ ::: +

n in :

5. Transformarea coe…cien¸ tilor unui tensor la schimbarea bazei Fie V un K-spa¸tiu vectorial de dimensiune n, B = fe1 ; :::; en g, B 0 = fe01 ; :::; e0n g dou¼ a baze ale lui V ¸si B = f 1 ; :::; f n , B 0 = f 01 ; :::; f 0n bazele duale respective. Fie C = (cji ) matricea de trecere de la baza B la baza B 0 ¸si D = (dji ) inversa ei. Are loc TEOREMA 5.1. Dac¼a coe…cien¸tii tensorului t 2 Tpq (V ) în cele dou¼a baze sunt k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp =

t(e j1 ; :::; e jp ; f k1 ; :::; f kq )

respectiv 0 l1 ;:::;lq i1 ;:::;ip =

0

t(e i1 ; :::; e 0ip ; f 0 l1 ; :::; f 0 lq );

atunci rela¸tia de transformare a coe…cien¸tilor este 0 l1 ;:::;lq i1 ;:::;ip

(5.1)

j

l

= cji11 :::cipp dlk11 :::dkqq

k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp

.

Demonstra¸tie. Folosind formulele de schimbare de baz¼ a (1.2), (1.3), ob¸tinem:

=

0 l1 ;:::;lq 0 0 0 l1 ; :::; f 0 lq ) = i1 ;:::;ip = t(ei1 ; :::; eip ; f l k ;:::;k j jp l q kq j1 l1 k1 t(ci1 ej1 ; :::; cip ejp ; dk1 f ; :::; dkq f ) = cjl11 :::cipp dlk11 :::dkqq j11;:::;jpq :

Am ¸tinut seama de liniaritatea lui t în …ecare argument. OBSERVATIE ¸ . Rela¸ tia (5.1) din enun¸tul teoremei 5.1 este folosit¼ a adesea pentru a prezenta no¸tiunea de tensor, în modul urm¼ ator. Dac¼ a V este un spa¸tiu vectorial n-dimensional, spunem c¼ a am dat un tensor de p ori covariant s¸i q ori contravariant pe V dac¼ a am asociat …ec¼ arei baze B = fe1 ; :::; en g a spa¸tiului V un sistem de np+q scalari: (5.2)

(

k1 ;:::;kq j1 ;:::;jp ),

j1 = 1; n, 8i = 1; p, kl = 1; n, 8l = 1; q,

care la schimbarea bazei în V se transform¼ a dup¼ a legea (5.1). Scalarii (5.2) se numesc coe…cien¸tii tensorului de tip (p; q) considerat în baza B. Aceast¼ a de…ni¸tie este echivalent¼ a cu de…ni¸tia unui tensor, deoarece din propozitia 3.1 rezult¼ a c¼ a da¸ti …ind coe…cien¸tii (5.2) exist¼ a un unic tensor t 2 Tpq (V ) care are ace¸sti coe…cien¸ti în baza …xat¼ a B din V . Reciproca, rezult¼ a din teorema 5.1. EXEMPLE. 1). Fie t : V V ! K, tensorul de tip (1; 1) de…nit prin t (x; f ) = = f (x), 8x 2 V , f 2 V . Consider¼ am în baza B = fe1 ; :::; en g ¸si B = = f 1 ; :::; f n duala sa. Coe…cien¸tii tensorului t în baza B sunt: t ei ; f j = f j (ei ) =

j i

=

1; dac¼ ai=j ; 8i; j = 1; n: 0; dac¼ a i 6= j

Dac¼ a B 0 = fe01 ; :::; e0n g este o alt¼ a baz¼ a în V , iar B 0 = ff 0 1 ; :::; f 0 n g duala sa în V , atunci coe…cien¸tii lui t în noua baz¼ a sunt t(e0k ; f 0 l ) = lk , 8k; l = 1; n . A¸sadar coe…cien¸tii acestui tensor sunt independen¸ti de baza considerat¼ a. Acest tensor mai

5. TRANSFORM AREA COEFICIEN TILOR ¸ UNUI TENSOR LA SCHIM BAREA BAZEI

123

putea … prezentat ca …ind sistemul de n2 scalari, f ji gi;j=1;n ; care la schimbarea bazei spa¸tiului V se transform¼ a dup¼ a legea 0j k j l i = ci dl k ; i; j = 1; n: Dar cum cki djl lk = cki djk = ji , 8i; j = 1; n (D = C 1 ), rezult¼ a 0j j i = i ; 8i; j = 1; n: 1 2 0 2) Fie t 2 T2 (V ) ¸si t = (t)2 , tensorul ob¸tinut prin contrac¸tia

dup¼ a al doilea indice de covarian¸ta¼ ¸si primul indice de contravarian¸ta¼, Cu rela¸tiile de mai sus, …e rs jk

= t(ej ; ek ; f r :f s ); j; k; r; s = 1; n;

respectiv 0 il

= t(e0i ; e0l ; f 0 :f 0 ); i; j; ; coe…cien¸tii lui t în cele dou¼ a baze …xate. De asemenea, …e jr = t0 er ; f j , r; j = 1; n ¸si coe…cien¸tii tensorului contractat. Atunci:

= 1; n; 0p i

= t0 (e0i ; f 0 p ), i; p = 1; n;

0p i

j k p sr = t(e0i ; e0l ; f 0 l ; f 0 p ) = 0illp = cji ckl dls dpr sr jk = ci s dr jk = j p j p 0 j p r k r r = cji dpr sr jk = ci dr t(ej ; ek ; f ; f ) = ci dr t (ej ; f ) = ci dr j ;

ceea ce reprezint¼ a exact legea de transformare a unui tensor o dat¼ a covariant ¸si o dat¼ a contravariant la schimbarea bazei. OBSERVATII ¸ . 1) Dac¼ a x 2 V se scrie x = i ei = 0 i e0i , atunci în capitolul 1, am stabilit: 0i = dij j ; i = 1; n: Aceste rela¸tii reprezint¼ a chiar formulele de transformare ale unui tensor o dat¼ a contravariant. De aceea se mai spune c¼ a x 2 V este vector contravariant. De asemenea, în acest capitol am stabilit c¼ a dac¼ a f 2 V se scrie f = j f j = 0 0i = i f , atunci (vezi (1.6)) 0 i

= cji

j;

i = 1; n;

care reprezint¼ a formulele de transformare ale unui tensor o dat¼ a covariant. De aceea, formele liniare se mai numesc vectori covarian¸ti sau covectori. 2) În capitolul 3 am studiat endomor…smele unui spa¸tiu vectorial. Fie T 2 2 L(V ) ¸si A = (akj ) matricea lui T în baza B, A0 = (a0i l ) matricea lui T în baza B 0 . Leg¼ atura dintre ele este (vezi §5, cap. 3) sau

a0i l ckl = cji akj ; 8i; k = 1; n

a0t s = a0i l sl = a0i l ckl dsk = cji dsk akj ; 8i; s = 1; n; care reprezint¼ a formulele de transformare ale unui tensor o dat¼ a covariant ¸si o dat¼ a contravariant. Cum poate … interpretat acest rezultat? Endomor…smului T îi punem în eviden¸ta în mod unic un tensor t : V V ! K, t (x; f ) = f (T x) ; 8x 2 V; f 2 V . În acest fel, se de…ne¸ste o aplica¸tie ' : L(V ) ! T11 (V ) care este un izomor…sm de spa¸tii vectoriale. Coe…cien¸tii tensorului t astfel de…nit sunt t ei ; f j = f j (T ei ) = f j (aki ek ) = aki f j (ek ) = aki

j k

= aji ; 8i; j = 1; n;

deci chiar elementele matricei lui T în baza B. În acest mod orice endomor…sm T 2 L(V ) poate … privit ca un tensor o dat¼ a covariant ¸si o dat¼ a contravariant (identi…când T cu t prin acest izomor…sm).

124

7. ELEM ENTE DE CALCUL TENSORIAL

6. Probleme 1. Fie f : D 1-covariant.

R3 ! R, f 2 C 1 (D). S¼ a se arate c¼ a gradf este un vector

2. Fie V un R-spa¸tiu vectorial, fe1 ; e2 ; :::; en g baz¼ a în V ¸si a1 , a2 , :::, an 2 R. Dac¼ a x = xi ei , de…nim f (x) = ai xi . S¼ a se arate c¼ a coe…cien¸tii ai aj ai lui f 2 sunt coe…cien¸tii unui tensor de ordinul al doilea. 3. Fie aij componentele unui tensor 2-contravariant. Cum se schimb¼ a matricea acestui tensor la schimbarea bazei? Dar a tensorului de componente aji ? 4. Dac¼ a (aij ) ¸si bij sunt componentele unui tensor simetric respectiv antisimetric, s¼ a se determine tensorul de componente aij bij . 5. Fie tensorul de ordinul al treilea de componente 8 1 2 3 > > 1; dac¼ a permutarea este par¼ a; > > i j k < 1 2 3 "ijk = ; 1; dac¼ a permutarea este impar¼ a; > > i j k > > : 0; dac¼ a cel pu¸tin doi indici sunt egali.

numit tensorul de permutare al lui Ricci. ! ! ! ! ! ! ! ! Dac¼ a ! a, b, ! c 2 V3 , ! a = a1 i + a2 j + a3 k , b = b1 i + b2 j + b3 k , ! ! ! ! ! c = c1 i + c2 j + c3 k , s¼ a se arate c¼ a ! a ; b ;! c = "ijk ai bj ck . 6. Folosim nota¸tiile de la problema 5. Fie tensorul de componente cijk = "ijk . ! ! S¼ a se arate c¼ a vectorul d = ! a b are componentele di = cijk aj bk . 7. Fie t 2 T32 (V ). S¼ a se stabileasc¼ a rela¸tiile de transformare a coordonatelor 1 tensorului (t)2 la schimbarea bazei.