Algebra Lineare e Geometria II Basile-Stramaccia PDF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Autovalori e autovettori

 

 

 Autovettori linearmente indipendenti

N Autovalori distinti allora esiste una base costituita da autovettori di L

 

 

Polinomio caratteristico

 

 

Matrice associata al polinomio  Due matrici simili hanno gli stessi Autovalori 

 

 

Diagonalizzazione 

N Autovalori distinti allora diagonalizzabile 

 

  Teoremi diagonalizzazione

Matrice simile ad una matrice diagonalizzabile 

Radici distinte con relative molteplicitá

 

 

Triangolazione  

Base a ventaglio

V spazio su campo dei complessi allora è triangolabile  

Triangolabile se e solo se esiste un ventaglio  

 

 

Triangolabile se e solo se esiste matrice triangolare superiore

 

 

Prodotti scalari  Prodotto scalare

 

 

Definito positivo

Insieme dei vettori ortogonali

Spazio vettoriale euclideo

 

 

Spazio vettoriale euclideo a base ortogonale

Ortogonalizzazione di GramScmith

Norma

Disuguaglianza di schwarz

Spazio vettoriale euclideo se diverso dal vettoriale nullo allora ha base ortogonale

 

 

 

 

Prodotti hermitiani 

Prodotto hermitiano 

 

 

Complemento ortogonale Disuguaglianza triangolare

 

  Teoremi V euclideo e applicazioni unitarie  Spazio hermitiano o euclideo allora  

L euclideo matrice con base ortonormale unitaria se e solo se A per trasposta uguale In

sottospazio

 Applicazioni unitarie

L unitaria se e solo se il modulo di L uguale modulo di v

 

  V hermitiano e L unitaria 

Spazio hermitiano e applicazione unitaria allora esiste base ortonormale 

 

 

 A matrice unitaria complessa complessa allora esiste matrice diagonale

 Applicazioni simmetriche simmetriche

 

  V euclideo applicazione lineare e base ortonormale allora L simmetrica se e solo se A simmetrica 

Spazio euclideo l applicazione lineare simmetrica allora Autovalori reali

Spazio euclideo L simmetrica allora base ortonormale di V costituita da autovettori

 A reale simmetrica simmetrica allora n autovalori rreali eali 

Matrice simmetrica allora matrice unitaria

 

 

 

 

Forme bilineari 

Forme lineari

Base duale

 

 

Isomorfismo di V in v*

 

 

Forme bilineari 

 

 

Isomorfismo di B V,K in M nxn K

 

 

Forme bilineari simmetriche

F simmetrica se e solo se A simmetrica

 

 

Forme quadratiche

 

  Definizioni per forme quadratiche

Riduzione forma quadratica a forma

Forma quadratica degenere

canonica

Se forma quadratica è definita positiva allora non degenere

 

 

Gruppo definizione

Gruppo commutativo o abeliano

 

 

Proprietà dei gruppi

Gruppo finito, cardinalità, ordine di un gruppo

 

 

Sottogruppo

Condizioni necessarie e su"cienti per sottogruppo

Omomorfismi

Proprietà omomorfismi

 

 

G isomorfo a gruppo simmetrico Sn

 

 

Ordine di un gruppo

Gruppi ciclici

Denotazione gruppo ciclico

 

  Come si scrive un gruppo ciclico

Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico

Classi laterali

Omomorfismo tra gruppi ciclici è ciclico

 

  Laterale sinistro e destro

Insieme quoziente G/H

Ogni sottogruppo di G è un divisore dell’ordine di G

 

 

Sottogruppi normali, gruppo quoziente

Omomorfismo di gruppi Sottogruppo normale

F omomorfismo tra gruppi allora f sottogruppo normale di G

 

  Omomorfismo di tra gruppi allora isomorfi

 Applicazione da G a gruppo quoziente é un omomorfismo suriettivo

Omomorfismo canonico o naturale

Immagine omomorfa

 

 

Campi finiti

 Anello

 

 

Proprietà anello

Condizioni necessarie e su"cienti

Divisori dello zero

 

 

 Anello Zn è un campo campo se e solo se n è primo

Dominio di integrità Campi di Galois

Ogni dominio di integrità finito è un campo

 

 

Struttura del campo di Galois

 

  Sottocampo fondamentale

Caratteristiche di un campo finito

Campo F p è isomorfo a Zp

Caratteristica di un campo

Caratteristica è un numero primo

In F non esistono divisori dello zero

Ordine q e caratteristica p esiste un n tale che q=p alla n

 

 

M divisori di n

Proprietà di un campo finito

Gruppo moltiplicativo ciclico

 Applicazione automorfismo di un campo

 

 

 

 

Teorema di Wilson