Álgebra Linear- Teoria e Aplicações - Thelmo de Araujo

Thelmo de Araujo

Álgebra Linear: Teoría e Apúbaçô'ea l/çb

DE SBM

1

TEXTOS

UNIVERSITÁRIOS

Thelmo de Araujo

Á[geôm Línea/º; Tcúria e Aplicaçõea

1ª edição 2014 Rio de Janeiro

E“? SEM

'

Álgebra Línea/ª: T(za/"Liz e Aplicaçõed

»

Álgebra Linear: Teoria e Aplicações Copyright © 2014 Thelmo Pontes de Araújo

Direitos reservados pela Sociedade Brasileira de Matemática A reprodução não autorizada desta publicação, no todo ou em parte, constitui violação de direitos autorais. (Lei 9.610/98) Sociedade Brasileira de Matemática Presidente: Marcelo Viana Vice-Presidente: Vanderlei Horita Primeiro Secretário: Ali Tahzibi Segundo Secretário: Luiz Manoel de Figueiredo Terceiro Secretário: Marcela Souza Tesoureiro: Carmen Mathias Editor Executivo Hilário Alencar Assessor Editorial Tiago Costa Rocha Capa Pablo Diego Regino, sobre projeto de Adriana Moreno

Coleção Textos Universitários Comitê Editorial Bernado Lima Djairo de Figueiredo José Cuminato José Espinar Ronaldo Garcia (Editor-chefe) Silvia Lopes

Distribuição e vendas Sociedade Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Sala 109 — Jardim Botânico 22460—320 Rio de Janeiro RJ Telefones: (21) 2529-5073 / 2529-5095 http://www.sbm.org.br/ email:lojavirtual©sbm.org.br ISBN 978-85-8337—025-3 FICHA C'ATALOGRÁFICA PREPARADA PEIA SEÇÃO DE TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO DA BIBLIOTECA PROFESSOR ACHILLE BASSI — ICMC/USP

A663a

Araújo, Thelmo Pontes de Álgebra linear: teoria e aplicações / Thelmo Pontes de Araújo. — Rio de Janeiro: SBM, 2014.

360 p. (Coleção Textos Universitários; 16) ISBN 978-85-8337-025-3 1. Sistemas de equações. 2. Espaços vetoriais. 3. Ortogonalidade. 4. Determinantes. I. Título.

Pam Márcia.

Credo ut intellegam, Intellego ut creditªr

Sumário Prefácio

1 Sistemas de Equações Lineares 1.1 Matrizes e Vetores ......................... 1.2 Sistemas Lineares e o Método de Eliminação de Gauss ..... 1.3 Decomposição LU .......................... 1.4 Eliminação Gaussiana com Pivotamento Parcial ......... 1.5 Aplicação: Método de Gauss—Jordan ...............

1 2 15 29 38 51

2 Espaços Vetoriais 59 2.1 Espaços e Subespaços Vetoriais .................. 59 2.2 Independência Linear, Base e Dimensão .............. 71 2.3 Base Ordenada e Mudança de Base ................ 81 2.4 Os Quatro Subespaços Fundamentais ............... 90 2.5 Subespaços Fundamentais, Sistemas Lineares e Invertibilidade ...................... 103 2.6 Aplicação: Grafos .......................... 108

117 3 Ortogonalidade 3.1 Norma e Produto Interno ...................... 117 3.2 Vetores e Subespaços Ortogonais ................. 129 3.3 Projeções e o Processo de Gram-Schmidt ............. 137 3.4 Decomposição QR ......................... 145 3.5 Aplicação: Mínimos Quadrados .................. 154 4 Determinantes 161 4.1 Determinante de uma Matriz ................... 162 4.2 Propriedades dos Determinantes .................. 169

Sumário

4.3 Aplicações

.............................. 184

5 Autovalores 191 192 5.1 Sistemas Mecânicos 199 5.2 Autovalores e Autovetores 210 5.3 Matrizes Complexas 5.4 Diagonalização ........................... 217 5.5 Teorema Espectral ......................... 225 5.6 Aplicação: Cadeias de Markov ................... 238 5.7 Aplicação: SVD e PCA ....................... 243

......................... ..................... ........................

6 Transformações Lineares 251 6.1 Transformações Lineares ...................... 251 6.2 Dois Subespaços Fundamentais .................. 261 6.3 Representação Matricial de Transformações Lineares ...... 268 276 6.4 Operadores Autoadjuntos 6.5 Aplicação: Transformações Lineares Geométricas ........ 284

.....................

Apêndices

A

MATLABº e GNU Octave

297

B Corpos

303

C Números Complexos

307

Bibliografia

313

Respostas de Exercícios Selecionados

317

Índice Remissivo

343

Prefácio '

E praxe no universo editorial dos livros de Matemática justificar

—

quase

como um pedido de desculpas —— o aparecimento de mais uma obra. Versando ela sobre uma disciplina basica, como Álgebra Linear, a praxe torna-se uma obrigação: há tantos bons livros de Álgebra Linear que um a mais pode parecer desnecessário. Pior ainda, pode ser indesejado. Creio, no entanto, que a existência deste pequeno livro justifica-se por quatro de suas características: ser conciso, possuir nível de abstração adequado, propor aplicações e apresentar decomposições matriciais. Concisão. Durante os anos que venho ensinando Álgebra Linear para alu— nos dos cursos de Matemática (bacharelado e licenciatura), Engenharias e Ci— ência da Computação, adotei livros quer por suas aplicações engenhosas, quer por apresentarem a teoria de forma elegante e completa, ou mesmo por sua grande quantidade de bons exercícios. Entretanto, adotando esses livros, sempre fui forçado a escolher, entre uma dezena ou mais de capítulos, os cinco ou seis que comporiam uma disciplina de 60 ou de 90 horas. Escolhas desse tipo em uma disciplina matematica básica trazem o risco de perder a continuidade de exposição pensada pelo autor, levando os leitores a não mais acompanhar as demonstrações e os exemplos. Percebi, ainda, no Mestrado Acadêmico em Ciência da Computação da UECE, que muitos estudantes de pós—graduação precisavam de uma revisão acelerada dos conteúdos básicos de Algebra Linear. Tal necessidade, possi— velmente compartilhada com alunos das engenharias e das ciências exatas, poderia ser suprida por um livro introdutório mais conciso, porém abrangente 0 suficiente para incluir os conceitos de autovalores e autovetores. Nível de abstração. O Prof. Elon Lages Lima afirma que a “decisão de apre— sentar a Álgebra Linear sob o ponto de vista das transformações lineares, das matrizes ou das formas quadráticos [. . .] e' muitas vezes uma questão de hábito, gosto pessoal ou convicção” [23]. De fato, as abordagens são equivalentes

Prefácio

e ha defensores ferrenhos de cada uma delas apesar de poucºs preferirem as formas quadráticas para um primeiro curso. É de minha convicção, entretanto, que as dificuldades que os estudantes — em geral em seu primeiro 011 segundo semestre na universidade — enfrentam provêm do caráter de novidade e abs— tração da disciplina e poderiam ser reduzidas apresentando—se inicialmente a teoria completa com matrizes. Somente depois, seriam introduz1das as trans—

formações lineares. Aplicações. A ênfase nas matrizes tem a vantagem adicional de possibilitar a aplicação imediata dos conceitos aprendidos em diversas áreas do conheci— mento. Cada capítulo deste livro encerra—se com uma ou mais aplicações, que vão de um método para calculo da inversa de uma matriz até uma técnica de compressão de imagens, além de dicas de aplicações dispersas pelas seções a pretexto de motivação. Os professores podem trabalhar com seus alunos e desenvolver mais ainda as aplicações existentes. Cuidei para que o número dessas aplicações não fosse excessivo, e corressem, assim, o risco de serem esquecidas. Decomposições matriciais. Além das aplicações imediatas, trabalhar com matrizes favorece a introdução de um dos tópicos fundamentais da Álgebra Linear Numérica: as decomposições matriciais. Sem abordar os algoritmos para o cálculo dessas decomposições — o que não é apropriado neste nível —, o livro apresenta as decomposições LU, QR e espectral com mais profundidade e menciona outras, como SVD, LDU e Cholesky. Um conhecido exemplo de instabilidade da eliminação gaussiana sem pi— votamento parcial foi incluído para mostrar ao leitor o cuidado que se deve tomar ao passar do universo da exatidão matemática para o universo dos com— putadores, que trabalham com um conjunto — por maior que seja — finito de

números racionais. Assim, o livro foi concebido pequeno o suficiente para ser coberto por com— pleto em um semestre de 90 horas, ou num de 60 horas, se as demonstrações das Seções 4.2, 6.3 e 6.4 forem omitidas. O número de exercícios foi dimensionado para que o estudante possa fazê—los todos. Optei, diversas vezes, por demonstrações mais simples — usando o produto interno euclidiano, por exemplo —— para que todas possam ser acompanhadas, quer o estudante esteja num curso de Matemática, quer esteja num curso de Engenharia, Computação ou similar. Creio que um curso de Álgebra Linear sem demonstrações dificulta por demais a fixação do conteúdo pelo estudante.

Prefácio

Algumas demonstrações, que costumo chamar de visuais, como as da Pro— posição 3.2, do Teorema 5.2 e do Lema de Schur, são muito favorecidas pela abordagem matricial e reforçam minha convicção da escolha feital. Por fim, deixo as seguintes sugestões de roteiro de estudo e uma visão geral dos conteúdos dos capítulos. Numa disciplina de 90 horas-aula, ou três aulas semanais de uma hora e quarenta minutos, todo o livro pode ser coberto, todas as demonstrações explicadas e todos os exercícios podem ser resolvidos pelo estudante. Algumas seções, em especial as do Capítulo 6, tomarão duas ou mais aulas. O professor disporá ainda de 8 a 10 aulas para exercícios, avaliações e outras atividades. Se a disciplina dispuser somente de 60 horas—aula, ou duas aulas semanais, o professor poderá ainda cobrir todo o livro, mas, provavelmente, terá de abrir mão das demonstrações das Seções 4.2, 6.3 e 6.4. Ao leitor que deseja rever o conteúdo de Álgebra Linear para uso numa pós-graduação, sugiro uma menor ênfase ao Capítulo 4, sobre determinantes, e, dependendo do curso, a Seção 6.3. O Capítulo 1 inicia com uma pequena revisão sobre matrizes e vetores e introduz a maneira como o produto de uma matriz por um vetor deve ser “visualizado” pelo estudante: ela facilitará a compreensão de muitos resultados e não deve ser menOSprezada. Em seguida, o método de eliminação de Gauss com ou sem pivotamento parcial —— e é desenvolvido em suas variantes apresenta-se a decomposição LU. O método de Gauss-Jordan para inversão de matrizes é a aplicação que encerra o capítulo. No Capítulo 2, o leitor entra em contato com a estrutura algébrica estudada pela Álgebra Linear: o espaço vetorial. AS noções de independência linear, espaço gerado, base e dimensão são definidas e os quatro subespaços fundamentais são apresentados. O Teorema Fundamental da Álgebra Linear pode ser, então, enunciado e demonstrado. Apesar deste capítulo contrastar com o primeiro em termos de nível de abstração, ambos são relacionados na Seção 2.5, que mostra a importância de conhecer os espaços vetoriais subjacentes a cada matriz para o real entendimento do sistema linear correspondente. Como aplicação, mostramos que os subespaços fundamentais revelam—se importantes #

1Com este livro praticamente finalizado, tive conhecimento do Linear Algebra Curriculum

Study Group (ou Grupo de Estudo do Currículo de Álgebra Linear), formado por alguns luminares da área, e sua recomendações (ver [6]) Dentre elas, a de que os departamentos de Matemática deveriam considerar seriamente fazer de seus primeiros cursos em Álgebra Linear cursos orientados a matrizes, sem perda do rigor teórico, confirmou minha convicção.

Prefácio

no estudo das propriedades dos grafos. Ortogonalidade é o tema do Capítulo 3: normas e produtos internos Sªº definidos, levando-nos ao conceito de vetores ortogonais. Derivam deste ceito a noção de projeção, o processo de ortonormalização de e a decomposição matricial que dele procede diretamente: a decompOSÍǪº A aplicação que fecha o capítulo, o método dos mínimos quadrados, é das mais importantes, sendo usado em diversas áreas do conhecimento. Além disso, seu desenvolvimento faz uso de tudo que foi exposto até então no livro. Apesar de adiarmos a discussão sobre determinantes até o Capítulo 4, de— vido a seu custo computacional, eles são enfim apresentados. A definição escolhida é da expansão de Laplace, por ser mais facilmente justificada em termos de sistemas lineares e mais acessível aos estudantes do que a definição combinatória. As principais propriedades são demonstradas, bem como a regra de Cramer e o método de inversão de matrizes Via matriz dos cofatores, que São parte das aplicações do capítulo. O Capítulo 5 apresenta um dos conceitos da Álgebra Linear mais frutíferos em aplicações: os autovetores. A motivação, na Seção 5.1 vem de uma intro— dução intuitiva aos sistemas mecânicos. Em seguida, autovalores e autovetores são calculados em três situações diferentes: autovalores distintos; autovalores repetidos, com um conjunto completo de autovetores; e autovalores repetidos, com um conjunto incompleto de autovetores. Varias propriedades das matrizes complexas são demonstradas e a parte teórica do capítulo culmina com o Teorema Espectral. Pela beleza das aplicações, apresentamos duas delas, a primeira sobre cadeias de Markov e a segunda sobre a decomposição de valor singular e sua utilização em compressão de imagens. O último capítulo reapresenta a teoria — até então feita com matrizes — utilizando transformações lineares. As principais definições São dadas nas duas primeiras seções. Na Seção 6.1, mostra-se que as transformações lineares Os dois principais resultados da Seção 6.2 são o formam um espaço Teorema Fundamental da Algebra Linear e as equivalências sobre isomorfismos (similares às equivalências da Seção 2.5). Uma seção inteira é dedicada a demonstrar que toda transformação linear entre espaços de dimensão finita, uma vez escolhidas suas bases, é representada por uma matriz, justificando a opção pelas matrizes no desenvolvimento da teoria. Na Seção 6,4, o Teorema Espectral para operadores autoadjuntos é demonstrado. O capítulo encerra com uma aplicação sobre transformações lineares geométricas.

. c onGram—Sclleldt QR-

vetorial.

Prefácio

TTêS Pequenos apêndices foram adicionados: o primeiro apresenta algumas poucas funções do GNU Octave, com o intuito de estimular o leitor a usar essa ferramenta computacional em seus estudos. O Apêndice B resume-se basicamente a definição de corpo e a exemplos de corpos além de IR e (C. O terceiro e último pretende ser uma pequena revisão de números complexos.

Agradecimentos Agradeço aos editores e aos revisores da Sociedade Brasileira de Matematica que corrigiram tanto a primeira versão, ainda incompleta, do manuscrito quanto esta que chega agora ao público. Varios colegas indicaram livros e exercícios que muito me auxiliaram. En— tre eles, destaco os Professores Marcelo Pinheiro Klein, José Euny Moreira Rodrigues, Gustavo Augusto Lima de Campos e Francisco Luiz Rocha Pimen— tel. As conversas com o Prof. Francisco Pimentel orientaram—me em algumas encruzilhadas do projeto. O incentivo desses e de outros colegas durante todo o processo de criação deste volume foi alento para a inglória missão. A todos eles, meus agradecimentos. Agradeço especialmente ao meu amigo Fernando Antônio Amaral Pimentel, que sugeriu diversas melhorias e corrigiu as versões preliminares deste livro, ajudando—me a imprimir—lhe o rigor que a Matemática exige. Os erros que porventura restaram são de minha autoria. Não ha projeto de longo prazo que se desenvolva e se consolide num lar em desarmonia. Sem o apoio de minha esposa, esta obra não seria possível.

Fortaleza, verão de 2014 THELMO

DE ARAUJO

1 Sistemas de Equações Lineares

Se pudéssemos definir a Álgebra Linear em poucas palavras, diríamos que ela é o estudo das combinações lineares de vetores. O termo vetor evoca, na maioria dos estudantes, as aulas de Física, em especial as de Mecânica. Nelas, um vetor era simbolizado por uma flecha, que indicava, tanto no plano quanto no espaço tridimensional, a direção, o sentido e a magnitude de uma grandeza física, como, por exemplo, força, velocidade, ou aceleração, entre outras. Aqui, entretanto, trabalharemos com uma noção bem mais ampla de vetor — tomando-o como elemento de uma estrutura algébrica denominada espaço vetorial

—, sem porém nos esquecermos dessa intuição original da Física.

No entanto, não iniciaremos nosso estudo com espaços vetoriais, mas com sistemas de equações lineares. Isso, por dois motivos: o primeiro é que uma parcela imensa dos cálculos científicos realizados em computadores resumese em calcular soluções de sistemas lineares. O segundo é a importância do método de Gauss para a resolução de sistemas lineares no desenvolvimento teórico da Álgebra Linear. Centramos, então, este capítulo no método de eliminação de Gauss — também conhecido por eliminação gaussiana — para a resolução de sistemas de equações lineares. Antes de apresenta-lo, revisaremos alguns conceitos sobre matrizes já conhecidos pelos estudantes, introduzindo novas maneiras de ver e trabalhar com matrizes e vetores, além de relembrar algumas matrizes especi— ais. O método de eliminação de Gauss será exposto inicialmente em sua forma mais simples, seguido de sua variante com pivotamento parcial. Por meio deles, seremos apresentados às decomposições matriciais, que consistem na fatoração

Sistemas de Equações Lineares

2

Capítulo 1

de uma matriz em um produto de duas ou mais matrizes. As decomp081— ções matriciais têm importantes aplicações na Álgebra Linear COmPUtªºlºnªl' Neste capítulo, conheceremos a decomposição LU e suas variantes PA = LU e PA : LDU. Ao final deste capítulo — e de todos os outros —, mostraremos uma aphºª' ção dos assuntos estudados: um método de inversão de matrizes denominado método de Gauss-Jordan.

_

1.1

Matrizes e Vetores

Matrizes nada mais são que tabelas de números — ao menos à primelra vista — organizados em linhas (horizontais) e colunas (verticais), podendo ser quadradas:

A:“í], ounão:

B:

C=[ãgí],

2 1 0 -1 1 -1, 2 6 8

D:

—1 0 —10 9 3

Dizemos que m x n (lê-se m por n) são as dimensões de uma matriz quando ela possui m linhas e n colunas. Assim, uma matriz com 3 linhas e 4 colunas é dita de dimensões 3 >< 4. Denotamos as matrizes por letras latinas maiúsculas (A, B etc.) e seus elementos por letras latinas minúsculas, geralmente indexadas para indicar sua posição (alg, ai,—, aug etc.), o primeiro índice re— presentando a linha em que o elemento se encontra e o segundo indicando a coluna. No exemplo acima, (112 = 2 e am : 7 são o segundo elemento da primeira linha e o primeiro elemento da segunda linha, respectivamente, da matriz A. Podemos, ainda, indicar as dimensões de uma matriz A por Amxn. O estudante deve estar familiarizado com as operações de adição e multi— plicação de matrizes e de multiplicação de matriz por escalar, aprendidas no Ensino Médio. Para evitar confusão, reservamos as letras gregas minúsculas (a, 6 etc.) para os escalares. O Apêndice B, sobre corpos, define com exati— dão o Significado de escalar. Por todo o livro, um escalar é um número real ou complexo.

51.1

Matrizes e Vetores

A soma de duas matrizes m >< n A e B é dada por:

A +B =

_ ou

01.21 a?

... .

L aml am2

- -

0,12

aii 6121

_

am

a?"

bn blg bm b22

+

amn bml bm2 042 + 512 — . - a1n + bm G22 + 1722 - — . ªan + b2n

L aml + bml

am2 + bm2

-

º

bzn bmn

º

+ bll + 521

by,

... ...

amn + bmn

'

a multiplicação de um escalar a por A é 0,11

aA = a

091 . aml

0,12 0,22

. amg

...

al,,

(10,11

aan

...

aaln

...

0,2“

Ctagl

(“122

...

GCI/gn

aaml

Ctamg

...

eram,,

.

,

=

am,,

...

,

e o produto AC de A por uma matriz 0 n >< [ é definido por ,. (111

AC =

a21

_ aml :

6112 a22

- — ain - - - azn

C11 021

012 022

.

amn

Cnl

Cn2

...

.

am2 . . .

a11011 + 012021 + ' ' ' + ainCni a21C11 + a22021 + ' ' + a2ncn1

-

---

--.

—--

--

011 021

(1.1)

Cnl

+

+

ªnciz ' ' ' ainCnl aziciz + ' ' ' + a2ncnl )

am1011 + 017712021 + ' ' ' + amncnl

'

º

'

amlcll

+

' ' '

+ amncnl

observando que a matriz resultante da multiplicação de uma matriz m >< n por uma n >< 1 tem dimensões m >< l. O produto AC pode ser escrito de maneira mais Sintética. Se D : AC, então d,,— = aikckj , (1-2)

z

k=1

parai==1, 2, ._., m ej : 1, 2,

..., [, sendo d,, o elemento de D que ocupa a

i-ésima linha e a j—ésima coluna-

Sistemas de Equações Lineares

4

Denotamos, respectivamente, por A2, A3 etc.

05

AAA e assim por diante.

Capítulo 1

PmdumS matricials AAª

Exemplo 1.1. Alguns exemplos numéricos:

A+B=+3 OJ+[512]—[8 —1 0 3

2 1 2 4

2],

1 1 5 5

_

“Aªªlszioi—i 80], 4 2 4 6

212

212

10

18

observando sempre se as dimensões são compatíveis.

|:]

As operações de adição e multiplicação de matrizes, bem como a multiplicação de matriz por escalar, possuem, entre outras, as seguintes propriedades, que deixamos a cargo do leitor demonstrar: a. (AB)C : A(BC);

+ C) = AB + AC; (B + C)A : BA + CA; a(A + B) = aA + GB;

b. A(B

c. d.

para a escalar, A, B e C matrizes com dimensões compatíveis. E vale ressaltar: a multiplicação matricial não é, em geral, comutativa, isto é, AB BA (ver Exercício 1.1.1). Nas aulas de Física, aprendemos que determinadas grandezas necessitam apenas de um número para serem caracterizadas. Um exemplo cotidiano de uma tal grandeza é a temperatura. Se o termômetro indicar 38ºC, a pessoa está com febre. Há, porém, outras grandezas que não podem ser completa— mente caracterizadas apenas por um número. Se dissermos que um objeto tem velocidade de 10 m/s, ficará a dúvida: 10 m/s em que direção? Com qual sentido? Para caracterizar estas grandezas, os físicos usam os vetores, que são entes matemáticos que possuem um comprimento (e.g.: 10 m /S), uma direção (e.g.: leste—oeste) e um sentido (e.g.: de leste para oeste).

#

51.1

Matrizes e Vetores

5

No Ensmo Medio, como sempre representavam grandezas da Física ClásSIça, so prec1savamos de vetores do (plano) R2 ou, no máximo, do (espaço) R . Isto e, os vetores eram representados por duas ou três coordenadas. Por exemplo,

u : (u1,u2) ou v : (u1,u2,u3). Apesar de valorizarmos muito as interpretações físicas dos conceitos matemáticos, usando, sempre que conveniente, exemplos concretos, gostaríamos de, desde já, acostumar o estudante a pensar em vetores de uma maneira mais abstrata: um vetor u & IR" é uma matriz-coluna, isto é, uma matriz n >< 1: “1

U2

11:

un Com isso, a partir de agora e por todo o livro, um vetor é uma matriz-coluna, representado por letras latinas minúsculas em negrito, e. g., u, v, x etc. A transposta de uma matriz A m >< n é a matriz AT n >< m cujas colunas são as linhas de A, assim podemos economizar espaço e escrever um vetor como a transposta de uma matriz-linha:

u=[u1

Un]T ,

U2

o sobrescrito T indicando a transposição da matriz-linha para a matriz-coluna que representa o vetor u. Estabelecida a convenção acima, o produto de uma matriz A m >< n por um vetor x no R" é dado pela equação (1.1), ou seja:

Ax =

_

am

(Em

021

6122

...

---

0,1"

acl

a2n

502

- amn mn 011371 + 6112372 + + ainªín + aznflln 0,211] + (122332 +

aml

am2

'

'

' ''

'' '

Sistemas de Equações Lineares

6

Capítulo 1

Não há nada de errado com a equação (1.3): ela é conhecida pelos estudantes desde o Ensino Médio e é usada para o calculo efetivo dº Prºdªtº AX Entretanto, introduziremos uma maneira diferente (e muito útil) de interpre— tar esse produto. Para tanto, precisamos da seguinte definição provisória e '

que ganhará maior precisão no Capítulo 2. “ª ªeiixniçãowí Úrriiaªcõmbinaçao linear doSwvwetvores Éàé meSmas dimensoes %vl, v2,. . . , v,, é um vetor da forma ;mrwmª"”““-*ª“

WWWWWS“

'

1.

'

011V1 +O£2V2 +"' +anvn7

ªgâuaescalares «324.13.339m

genuxx.

.:.—*

º

.

».er :

.ITI

Podemos agora apresentar a nova maneira de interpretar o produto Ax:

O produto Ax é a combinação linear das colunas de A cujos coeficientes são as coordenadas de x.

Denominando as colunas de A por vetores—coluna do Rm a,,1,a,,2, . . . ,a. ,, (as linhas de A, por sua vez, serão representadas por a“), podemos reescrever o produto (1.3), de matriz por vetor, na forma: '!

an

012

(l21

CL 22

aml

am2

Ax :

_

...

|

| a:,2

|

ª:,n

,,

|

|

|

(L'n

=

_

a

1

331

-

_

ain

%

a 2n

(L'2

L amn

%

51.1

Matrizes e Vetores

7

notando que .as barras verticais, bem como as horizontais em (1.6), são apenas aux1ho Visual para o leitor. E de fundamental importância que o estudante resolva os exercícios propostos sobre produto de matrizes por vetores até se sentir completamente

um

a vontade com a forma (1.4). O hábito de ver o produto de uma matriz por vetor como combinação linear das colunas da matriz facilitará sobrema— neira a compreensão de muitos dos conceitos mais abstratos que trataremos a seguir. Algumas horas “perdidas” com esses cálculos serão compensadas abundantemente num futuro próximo. Umas poucas horas “economizadas” agora poderão dificultar o entendimento de muitos conceitos e diversas demonstrações de Algebra Linear. Um exemplo numérico:

um

Exemplo 1.2. O produto abaixo pode ser calculado fazendo—se a combinação linear das colunas da matriz em questão. Assim:

1 2 3 O 1 1 2 0 1

1 0 —1

1 =1 O 2

2 1 0

+O

3 —1 1 1

=

—2 —1 1

,

como esperado.

!]

Essa forma alternativa de visualizar o produto de matriz por vetor pode ser estendida para o produto de matrizes. Se o produto de uma matriz Amxp por um vetor b 6 RP é o vetor Ab & Rm, então o produto de A por uma matriz Bpxn, cujas n colunas são os vetores b;,1, b:,2, . . . ,b:,,, 6 R7”, é uma matriz m >< n cujas colunas são os vetores Ab:,1, Ab:,2, . . . ,AbW E R”. Graficamente:

AB=A

|

|

b:1 ID:,2 ,

|

b." .,

:

|

|

Abzl Ab;,2 v

|

l

|

Abm l

.

(1.5)

O análogo de ( 1.5) para vetores—linha1 pode ser assim descrito: se multiplicarmos, pela esquerda, um vetor- linha yT E Rm pela matriz Amxp, obteremos um vetor-linha yTA € Rªº . Ou seja, de insistirmOS que sempre consideramos um vetor como um vetor-coluna, ou matriz-coluna, podemos abusar um pouco da linguagem e dizer que um vetor-linha de dimensão m é uma matriz 1 >< m, também chamada de matriz-linha. 1Apesar

Sistemas de Equações Lineares

8

_

_ yTA=[y1

=[y1

ym]

yz

ym]

yz

aii

ÚL12

ªln

am

“22

az"

L[am1

am2

amª]

al,;

—

az _

_

_— ªm -

=yl[_

_]+"'+ym[—

ªi,:

Capítulo 1

“l-

ªm,:

(1-6)

produto de uma matriz mep, cujas linhas são os vetores—linha C1,;,Cg,:, . . . ,em," por uma matriz Apm é uma matriz m >< n, cujas m linhas são os vetores—linha 01,2A,017,A, . . . , cm,,A & R”. Graficamente:

Assim, o

— CI,:

—

c2,:

_

"'

CA =

,

—

— el,;A

__ _ c2,:A _

A=

cm,: _

_ cm,:A

_

Finalizaremos esta seção apresentando algumas matrizes especiais que aparecem em diversas aplicações de Algebra Linear.

Matriz Diagonal A diagonal principal de uma matriz A, com elementos ai,-, é formada pelos elementos ai,-, isto é, pelos elementos au, a22 etc. Uma matriz A é diagonal se todos os elementos fora de sua diagonal principal são nulos, isto é, aij : 0, para i 76 j. Por exemplo: 2 0 0 0 1 0 () 0 4

,

O O 0 0 3 O O 0 O

e

1 0 O O 0 0 3 O O 0 O O 2 O 0

51.1

Matrizes e Vetores

9

MUItaS Vezes, subentende—se que uma matriz diagonal seja também quaO contexto, em geral, indicará se nos referimos a matrizes quadradas ou nao.

drada.

Matriz Triangular A e uma matriz triangular superior se todos os elementos abaixo de sua dlagonal pr1nc1pal sao nulos, isto é, aij = 0, para i > ]" . Por exemplo: .

2 O 3 015 0 0 1

e

Já, se bij : O para i < j, a matriz B é chamada de triangular inferior. São exemplos de matriz triangular inferior:

8 0 O 0 1 0 4 7 9

e

2 0 0 0 O 3 1 O 0 O 4 6 2 0 O

O contexto novamente esclarecerá se nos referimos a matrizes quadradas ou não.

Matriz Simétrica Uma matriz quadrada A é dita simétrica se ai,- : ªqi, isto é, se seus elementos são simétricos em relação à diagonal principal. Também podemos definir uma matriz simétrica mais sinteticamente: A é simétrica se AT : A. São exemplos de matrizes simétricas:

[14], *º 3

731 302 128

e

i1—2i 3 % 1—2i3 7 1 i

Com relação ao terceiro dos exemplos acima, cabe aqui uma observação: as matrizes simétricas de interesse são as reais, pois o caso complexo exige uma pequena alteração na definição para ter aplicações interessantes (ver matriz hermitiana abaixo). Veremos algumas dessas aplicações no Capítulo 5.

Sistemas de Equações Lineares

10

Capítulo 1

Bem menos usada que a matriz simétrica, a matriz antisszmetrica e aquela cuja transposta é igual a sua oposta, isto é, BT = —B. Fica claro que toda matriz antissimétrica possui diagonal principal nula.

O _2 2 0

e

0 3 —1 —3 O 0 1 O 0

são exemplos de matrizes antissimétricas. Um resultado interessante: toda matriz pode ser decomposta na soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica (ver Exercício 1.1.18).

Matriz Hermitiana Uma matriz A é hermitiana, também chamada de auto-adjunta, quando A* = A, sendo A* = (Ã)T = É, a barra representando o complexo con— jugado. O Apêndice C contém uma pequena revisão sobre números comple— xos, mas aqui basta lembrar que o complexo conjugado do número complexo z = a + ib é 3 = a — ib, sendo que a, b 6 R. Assim, um número real é o seu próprio conjugado.

O nome hermitiana é uma homenagem ao matemático francês Charles Her— mite (*1822 — J(1901), já o termo auto-adjunta refere—se ao fato da matriz ser sua própria adjunta, como é chamada a conjugada transposta (ou a transposta . conjugada) de uma matriz. É claro que, para se ter A* = A, os elementos da diagonal principal de A têm de ser números reais. São exemplos de matrizes hermitianas:

[; ª;] .

Jáamatriz

e

3+2i —1—i O 2 3—2i 6 —1+i 2 1

1 i 1—2i i 2i 3 1—2i 3 7 não é hermitiana, apesar de ser simétrica. Definida de forma análoga a matriz antissimétrica, uma matriz anti— hermitiana A é caracterizada pela propriedade A* = —A.

51.1 .

As

Matrizes e Vetores

11

matrizes hermitlanas terão grande importância no estudo das matrizes

diagonahzaveis, Que faremos no Capítulo 5.

EXERCÍCIOS 1.1.1 Mostre, por meio de um exemplo, que o produto matricial não é comutativo. 1.1.2

Se.A é uma matriz m x n, que dimensões deve ter uma matriz B para que ex1sta a soma A + B? Quantas linhas deve ter O para que exista o produto AC? Quantas colunas deve D para que exista o produto DA?

1.1.3 Mostre as seguintes propriedades da adição e multiplicação de matrizes: a. (AB)C = A(BC); b. A(B + C) = AB + AC;

c. (B + C)A = BA + CA; d. a(A + B) = aA + aB;

sendo que A, B e C são matrizes de dimensões compatíveis em cada caso e a é um escalar.

1.1.4 Encontre os produtos xTy e xyT, sendo x=

1 2 1

e

1 —1

y=

3

1.1.5 Considere as matrizes:

A:

3 -1 1 2 2 0 —1 1 1 1 ——1 1

e

B:

eos vetores

2

x=

&.

1 1 4 2 —1 3 0 O 1

1 1 ._1

e

y=

O

1 3

Calcule os produtos Ay e Bx por meio de combinações lineares das colunas das respectivas matrizes.

12

Capítulo 1

Sistemas de Equações Lineares

b. Calcule os produtos xTA e xTB por meio de combinações lineares das linhas das respectivas matrizes. c. Calcule 3A, BA,

B2 e ATB.

1.1.6 Considere ainda as matrizes A e B e vetores x e y do Exercício 1.1.5. Diga em que espaço (R3 ou R4) estão os seguintes vetores: as colunas de A, as linhas de A, as colunas de B, as linhas de B, Ay, Bx, xTA e xTB .

1.1.7 Multiplicação em bloco. Dividindo as matrizes A e B em blocos de

submatrizes, por exemplo,

A=1

A11 A12 A21

B=

311 312 321 322

,

de tal maneira que as dimensões das submatrizes Au, A12, . . . , B22 sejam compatíveis, podemos efetuar a multiplicação de A por B do seguinte modo:

[

+ 141sz1 | 1411312 + A121322 AziBn + A22321 | A21312 + A22322

AB : A11Bu

]

.

Utilizando multiplicação em bloco, calcule o produto AB nos seguintes casos:

_

&.

1201 A=—10 31 14—15

eB=_______

025

_ A:

_2374

1-

l6

b.

123-1 0110

ªê?

_

eB=

$ª?

q

_

3_0_____5_

_143_

1.1.8 Sejam A e B matrizes m x ;D e pxn, respectivamente. Se A possuir uma linha de zeros, mostre que AB também possuirá uma linha de zeros. Enuncie e prove o resultado equivalente para uma coluna de zeros em B.

0 1 0 O]T o vetor do IR" tal que 1 é a i-ésima [O coordenada, e A uma matriz m >< n. Mostre que Ae,- é o vetor que representa a i—ésima coluna de A.

1.1.9 Sejam ei

51.1

Matrizes e Vetores

13

1.1.10 Sejam e,- = [O ... O 1 0 ... 0]T o vetor do Rm tal que 1 é a i-éSÍmª coordenada, e A uma matriz m >< n. Mostre que eiTA é o vetor(—linhª) que representa a i—ésima linha de A. 1.1.11 Mostre as seguintes propriedades das matrizes transpostas:

a. (AT)T : A; c. (A + B)T : AT + BT; sendo que A e B são matrizes de mesma dimensão e a é um escalar.

1.1.12 Sejam A uma matriz m x n e b um vetor do R". Mostre, utilizando a expressão em (1.4), que (Ab)T = bTAT.

1.1.13 Considere as matrizes A, m >< n, e B, n >< p. Mostre que (AB)T = BTAT. 1.1.14 Calcule os produtos AB e BA para as matrizes

B:

DON]

Dl—“OCDGO

GODOUR

MOD

CD

A:

Prove que, se A e B são duas matrizes diagonais de mesmas dimensões n >< n, então AB = BA. 1.1.15 Utilizando as matrizes A e B do exemplo anterior, calcule A3 e B4, isto é, AAA e BBBB. Mostre, utilizando indução finita, que para elevar uma matriz diagonal a uma potência natural, basta elevar cada um de seus ele— mentos da diagonal principal a essa potência.

1.1.16 O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos da diagonal principal de A e é simbolizado por tr(A). Mostre que, se A e B são matrizes n >< n, então tr(A + B) = tr(A) + tr(B).

1.1.17 Demonstre, se a afirmação for verdadeira, ou dê um contraexemplo, se for falsa. a. Se A possuir duas colunas idênticas, então colunas idênticas.

A2

também possuirá duas

b. Se A2 possuir uma coluna de zeros, então A obrigatoriamente possuirá uma coluna de zeros.

14

Sistemas de Equações Lineares

Capítulo 1

c. tr(ATA) = tr(AAT). Sejam A e B matrizes n x n, ambas compostas somente por inteiros positivos. Se os elementos de A forem todos pares, então os elementos de AB e de BA serão todos pares.

e. Se Alc = O para todo k 2 2, então A= 0. f.

SeAB=0,entãoA=00uB=0.

1.1.18 Mostre que toda matriz quadrada pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica. Dica: A = %(A + AT) + %(A — AT). 1.1.19 Dê três exemplos de matrizes hermitianas. Mostre que a diagonal principal de uma matriz hermitiana só pode conter números reais.

1.1.20 Considere uma matriz A m >< n. Mostre que ATA é uma matriz simétrica (real), se A for real, e que A*A é hermitiana, se A for complexa. 1.1.21 Sobre as matrizes hermitianas A e B, demonstre a afirmação se for verda— deira, dê um contraexemplo se falsa. a. A + B é hermitiana. b. aA é hermitiana, para qualquer escalar a.

c. AB é hermitiana.

51.2

Sistemas Lineares e o Método de Eliminação de Gauss

1.2

15

Sistemas Lineares e o Método de Elimina— ção de Gauss

Um sistema de m equações lineares com n incógnitas, expresso por

+ ªizxz + - + amar,, = bl b2 (121531 + (122582 + - - - + a2nxn

“11371

º

'

:

(1.7) am1íB1

+ am2$2 + + amnl'n = bm; ' ' '

pode ser representado em forma matricial por

Ax = b,

(1.8)

sendo

A=

0411 021

_

aml

_

.. .

-

ªm ªan

am2

- —

amn

012 022

-.-

'

,

, x=

331 372

:

xn

e

b=

bl bz :

,

bm

respectivamente, a matriz dos coeficientes, o vetor das incógnitas e o vetor dos termos independentes. Encontrar a solução —— ou o conjunto-solução ou, ainda, a solução geral — do sistema (1.8) é encontrar todos os vetores x 6 R" (ou (C") que (1.8), i.e., todos os vetores x que resolvem (1.7). No caso de sistemas lineares reais ou complexos, há tres poss1b1hdades: ou soluçoes, ou nao possui Sistema possui uma única solução, ou possui ou possivel solução. Nas duas primeiras situações, o ou impossi(determinado ou indeterminado), na última, Ax vel. Para provarmos que um sistema de duas soluções distintas u e v não pode ter um numero finito de soluçoes reais (ou complexas), basta notar que, para a + B = 1, temos

resolvem

simultaneamente asequaçoes infinitas sistema e dito consistente eNd1to.inconsistente equaçoes lineares =Nb com.

o

=ozAu+6Av=ozb+Bb= (a+6)b=b, ou seja existem infinitas soluções na forma au + Bv, pois existem infinitas possibilidades de escolha para a e 6 reais tals que a + B = 1. A(ozu+Bv)

Sistemas de Equações Lineares

16

Capítulo 1

Gostaríamos de classificar, ainda, o sistema de acordo com o valor do vetor dos termos independentes b. DW . ,..., "Ó Sistema dia equações lineares Ax ="b é dito “liomogeneo ªo = 0, sendo 0 = [O DF o vetor nulo. Se b # O, o sistema e dito nar ºiªªenammamaat ,. ,,,,m “as soluções de Ax = O, então qualquer Observemos que, se u e v são

"

«

duas

.?

»

«

combinação linear de u e v também será solução do sistema homogêneo. De

fato, A(au+6v)=aAu+BAv=aO+BO=0. Mas o análogo não ocorre se o sistema for não homogêneo. Assim, se u e v são soluções de Ax = b, com b # O, então A(u+v)=Au+Av=b+b7Éb.

No Ensino Médio, deparamo—nos com diversas técnicas para resolver siste— mas de equações lineares, sendo a substituição e a regra de Cramer as mais conhecidas. Entretanto, não estudamos Álgebra Linear para resolver sistemas 2 >< 2 ou 3 >< 3, e sim para, entre outras coisas, encontrar soluções de sistemas com centenas, milhares ou mesmo milhões de variáveis. Para uma tarefa desse porte, os dois métodos citados são ineficientes, para dizer o mínimo. Necessitamos, pois, em primeiro lugar, de um método sistemático: um conjunto finito de passos não ambíguos que possam ser executados por um computador. Pre— cisamos, portanto, de um método que possa ser escrito em forma algoritmica. Uma vez sendo computacionalmente implementãvel, é necessário que o método seja estável, em algum sentido. Tiefethen e Bau [34] definem, grosso modo, que “um algoritmo é estável se der uma resposta aproximadamente correta a uma pergunta aproximadamente correta”. Não é de nosso interesse, neste livro, estudar estabilidade de algoritmos, o que é mais adequado a um curso de Álgebra Linear Computacional, mas vez ou outra indicaremos quando um algoritmoe estável ou instavel. O método que introduziremos para a resolução de sistemas lineares e o método de eliminação de Gauss, devido ao maior matemático da era moderna, Karl Friedrich Gauss (*1777 - T1855). Em seguida, apresentaremos algumas de suas modificações: o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial e o método de Gauss—Jordan. Iniciaremos com um exemplo extremamente simples, mas que nos ajudará a visualizar o funcionamento do método de eliminação de Gauss.

51,2

Sistemas Lineares e o Método de Eliminação de Gauss

Exemplo 1.3.

17

Consideremos o sistema 2x+4y=8 4w—3y= 5.

(1.9)

Observe que o sistema acima é composto pelas equações de duas retas no plano —— na Figura 1.1.a, a reta contínua representando a primeira equação em (1.9) e a reta tracejada, a segunda. Resolvê—lo é encontrar o ponto de interseção das duas retas (no caso desse ponto existir). Podemos fazer três tipos de operações sobre as linhas desse sistema sem que a sua solução se altere. A primeira delas é a multiplicação de uma das linhas por um número di— ferente de zero. Por exemplo, multiplicando a equação 2x + 43; = 8 por %, obtemos a: + 2y = 4, que representa a mesma reta, não alterando, portanto, a solução do Sistema, nem sua representação gráfica. Na Figura 1.1.a, nada muda.

Figura 1.1: (a) Sistema original (1.9). (b) Sistema escalonado.

A segunda operação é a troca da ordem das duas linhas: trocar duas linhas do sistema claramente não alterara a sua solução. Graficamente, nada se altera na Figura 1.1.a. . , A terceira operação que podemos realizar e a soma de uma linha com um múltiplo de outra linha. Por exemplo, se somarmos —2 vezes a primeira linha, i.ew _43; _ gy : -16, a segunda linha, obtemos Os: —— 113; = —-11. Agora a segunda linha já, não representa a reta 4a: —— By = 5, mas a reta y = 1. No

Sistemas de Equações Lineares

18

Capítulo 1

Sºlução do sistema permanece inalterada, como podemos ver nª Figura 1.1.b. De fato, consideremos as equações

entanto,

&

+ 042122 + - + ama,, = bl , + aznªfn = bz, a21931 + a225172 + (0011 + az1)í131 + + (010,11, + agn)a:,, (abl + bg) , '

all-"171

º

"'

' ' '

:

(1.10) (1-11) (1.12)

oz,

sendo que (1.12) é a segunda equação (1.11) somada com um múltiplo, Ían for 50111930 Sl" da primeira (1.10). Observe que, se 5: = [Lil fig multânea das equações (1.10) e (1.11), então também será solução de (1.12), pois

(aan + a21)ã;1 +

- - + (oral,, + agn)ã:n = a(auãl + + alnãn)+ '

º

' '

+ (a21531 + + aznÍn) abl + bg . 53”? for solução simultânea ' ' '

:

E, reciprocamente, se

x

= [Íl ãJ2 das equações (1.10) e (1.12), então também será solução de (1.11), pois esta pode ser recuperada somando—se —a vezes (1.10) à terceira equação (1.12). Quaisquer das três operações realizadas sobre as equações do sistema podem ser feitas com a matriz que 0 representa, chamada de matriz aumentada do sistema e simbolizada por A, que, no exemplo acima, será: »

A

-

l ll 2

4 8

4

—3 5

,

em cuja primeira coluna constam os coeficientes de a: do sistema (1.9), na segunda coluna estão os coeficientes de y e na terceira, os termos independentes, 1 Multiplicando a primeira linha por 5, depois somando —4 vezes o resultado à segunda linha, e por fim multiplicando a segunda linha por _1_11, obtemos

+31É,?lªliÉiÉlªlÉ-iil—iilªlãiiil'

O sistema correspondente a última das matrizes acima, isto é, w+2y=4, y=1,

(1.13)

51.2

Sistemas Lineares e o Método de Eliminação de Gauss

19

possluiâts mesmas soluções que o sistema inicial (1.9), mas é mais facil de ser

reso vi o,

p01s,

claramente, y = 1 e podemos substituir esse valor na primeira

equaçao para obter a: = 2.

D

Cs tres tlpos de operações apresentadas acima são de fundamental importancra Para o metodo de eliminação de Gauss e, por isso, recebem um nome .

espec1al:

?ºªºlºªºlª-“ÃS ªrrasa"ezemenzangsótfê asinhas ae“ as mai—iz sacª ªº

Í,

í- mªltípliºar uma linha por um escalar não nulo;

,

ii. trocar duas linhas entre si;

, i

isnadwwnªrsmnultl lºdeumªlmhªªumªºutrªlnhª,,iª Chamaremos, neste livro, esta última operação de combinação linear de linhas. No entanto, a rigor todas as operações elementares são combinações lineares de linhas, sendo a primeira trivial e a segunda uma sequência de combinações lineares (ver Exercício 1216 ). Uma observação importante: pela definição acima, permutar caoticamente2 três linhas de uma matriz não é uma operação elementar. Duas ou mais operações elementares acumuladas não constituem, em geral, uma operação elementar. O método de eliminação de Gauss utiliza as operações elementares sobre linhas para transformar um sistema linear dado em um outro equivalente (isto é, com o mesmo conjunto solução), porém mais simples de resolver. Mas como tornar um sistema mais simples de resolver? Usemos outro exemplo numérico para ilustrar o método. Exemplo 1.4. Queremos encontrar a solução do sistema linear

Ax:

1 2 3 1 4 7 —2 2 5

271 932 ctg

=

1 —1 —-7

=b,

(1.14)

2Permutação caótica, em Análise Combinatória, significa que nenhum dos termos perma-

nece em sua posição original. Então, 231 é uma permutação caótica de 123, mas 321 não o !

e.

Sistemas de Equações Lineares

20

Capítulo 1

cuja matriz aumentada correspondente é

1231 Ã=147—1 -225-7 Se olharmos novamente o sistema (1.13), observaremos que o que O tornou mais facil de resolver que o sistema (1.9) foi o fato de termos conseguido eliminar ª variável as da segunda equação. Tentaremos eliminar a variavel 331 das segunda e terceira equações de (1.14), isto é, tentaremos introduzir dois zeros abaixo da entrada ãu = 1 da matriz A. Para isso, devemos multiplicar a primeira linha por —1 e somar o resultado com a segunda linha:

1 2 3 1 1 4 7 —1 —2 2 5 —7

—+

1 1 2 3 0 2 4 —2 —2 2 5 —7

Depois, multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos o resultado a terceira linha: 1 2 3 1 1 2 3 1 O 2 4 ——2 —> O 2 4 —2 —2 2 5 —7 0 6 11 —5

Eliminamos, assim, a variável xl das duas últimas equações. Basta agora eliminarmos a variável 332 da terceira equação, 0 que é feito multiplicando—se a segunda linha por —3 e somando-se o resultado a terceira linha: 1 2 3 1 0 2 4 -2 O 6 11 —5

—>

1 2 3 1 0 2 4 —2 0 0 —1 1

:

Ú.

A matriz aumentada acima corresponde ao sistema linear: Ux =

3 1 2 4 O 2 O O —1

5131 5132

=

[153

1 —2 1

= c,

mesmo conjunto solução que o sistema (1.14), sendo, porém, mais fácil de resolver, pois basta encontrar o valor de 5133 na terceira equação

que possui

0

273=':—1'=—1,

31—2

Sistemas Lineares e o Método de Eliminação de Gauss

21

substituir esse valor na segunda equação

2032 +4(—1) = —2, encontrando o valor de 332:

,, __—2+4_1 _, 2 2_

e, por fim, obter xl por meio da primeira equação: x1=1—2(1)—3(——1)=2, no processo chamado de retrossubstituição. Assim,

x=

5131 132 1133

=

2 1 —1

Acabamos de executar o método de eliminação de Gauss (ou eliminação gaus— siana). E]

O objetivo da eliminação de Gauss é chegar a uma matriz na forma esca— lonada, definida por suas propriedades:

“efinição 1.4. A forma escalonada de propriedades

;

uma matriz deve possuir as seguintes

i. se existirem linhas compostas apenas por zeros, elas devem estar na parte inferior da matriz; .,

* ii. se uma linha não é composta apenas de zeros, o primeiro elemento não nulo desta linha é chamado de pivô; iii. se duas linhas sucessivas possuem pivôs, então o pivô da linha superior deve estar a esquerda do pivô da linha inferior;

,ªº,“iv abaixo decada pivô só devehaver zeros

ª

(

.,._

_

..

acrescentado lista

,.

,

,

.,

.

,, ._aài

O item ii é, de fato, uma definição, mas foi a de propri— edades como um auxílio didatico. É claro que sempre podemos chegar a forma escalonada de uma matriz através de um número finito de operações elementares. Três observações

merecem a atenção do estudante:

Sistemas de Equações Lineares

22

Capítulo 1

. A forma escalonada de uma matriz não é única. No Exemplº 14, pode— ríamos ter, por exemplo,

Ú:

-

1 1 2 3 0 1 2 -1 0 0 1 —1

Alguns autores preferem que os pivôs sejam sempre unitáriºs.

Nem sempre os pivôs estão na diagonal principal da matriz. Por exemplo,

12 3 0 0 1 0 0 0

esta na forma escalonada.

.

Os pivôs estão sempre relacionados com as variáveis do sistema, portanto, na matriz aumentada

1 2 3 1 0011 0007

?

o 7 não é um pivô, pois é apenas um dos termos independentes.

No próximo exemplo, aplicaremos o método de eliminação de Gauss para encontrar a forma escalonada da matriz de um sistema que possui mais incóg— nitas que equações, não havendo, portanto, esperança de obter uma solução única. Exemplo 1.5. Consideremos o sistema homogêneo

1—34-254 __2—6 9—182

AX"

581

333

0 0

x,,

0

sr,—2

2—69—197x4=0=b

—13—42-5-—4

306

Pelo fato do sistema ser homogêneo, não precisamos escrever a matriz aumentada, pois combinar linearmente zeros só resulta em zero. Com quatro

51.2

Sistemas Lineares e o Método de Eliminação de Gauss

23

operações elementares obtemos a sequência

'1—34—254“ *1—34—254' 0013—2—6 2—6 9—182 2—6 9—197_>2—6 9—197"+ ,—1 3—4 2-5 -4_ _-1 3-4 2-5 —4_ '1—34—2541'1-34-254'

_,0013—2—640013—2—64 0013-1—1 _000000

0013-1_1

l—13—42-5_4_ “1—34-254“

0013-2-6

000015=U'

_)

+000000_

Agora, ao executarmos a retrossubstituição, devemos deixar % em função de % ou xõ em função de 5135? J a que, em uma linha não nula de uma matriz esca— lonada, só podemos garantir que o pivô seja diferente de zero — nada podendo dizer sobre os outros elementos da linha —, as variáveis correspondentes aos pivôs merecem destaque. Esse fato nos leva as seguintes definições:

, as variaveis correspondente., ema lmear' .. Wwwrsrswwrrrwrrsr os pivôs da forma escalonada da matriz A são chamadas variáveis básicas.;à e

ª ; aewww“ “Wªrsªw

”sªefiniçãd Í??? m um mae—*

»

sis

.,

.

Massama r

ªkªsª—Zwªmgã É MMM—g,,

w,: , ..

«g— ',

.

Voltando ao exemplo, 5155 deve ser expresso em função de 1106, assim 1135 = —55B6; x3, em função de cv.; e 1106, ou seja, 5123 = —3 (134 — 4x6; e assim por diante. A solução geral é

3$2+141134+371156

xl IEQ

X

=

333

(134

_

'“

372

0104 — 4 (156 —— 3 (1,4

(135

_ 5 176

376

xõ

a

Sistemas de Equações Lineares

24

Capítulo 1

ou, ainda, de forma mais elegante, 5132

x=

233 334 175 1136

= 332

1 O O

+ 374

0

O

_3

—4

1

+ 376

0 O

0 O

()

,

—5 ]—

sendo que $2, 554 e 9136 podem ser escolhidas livremente (daí o nome de variaveis livres) entre os números reais. Na terminologia dos sistemas flsicos, dizemos que o sistema possui 3 graus de liberdade, dados pelas variaveis CE2, an; 6 5136. El o método de eliminação de Gauss com dois sistemas consistentes: um possuindo solução única e outro com iníinitas soluções. Terminaremos esta seção apresentando um exemplo de sistema linear sem solução, isto é, inconsistente. Já exemplificamos

Exemplo 1.6. Consideremos o sistema

Ax:

1 2 3 2 5 7 4 10 14

351 502 5133

=

1 3 7

(1.15)

=b.

Com três operações elementares, obtemos: 1 2 31 2 5 7 3 41014 7

1 2 3 1 1 2 31 ——> 0 1 11 —> O 1 1 1 —> 41014 7 O 2 2 5

1 2 3 1 O 1 1 1 0 0 0 3

A última linha da última matriz representa a equação

0$1+0$2+0$3 =3, que é impossível de resolver, já que a combinação trivial de sul, mg e 333 não pode ser um número diferente de zero. O sistema (1.15) não possui, portanto, solução.

[]

O leitor mais atento deve ter percebido que utilizamos somente uma das operações elementares. As outras, troca de linhas e multiplicação por escalar não nulo, serão apresentadas nas seções seguintes, que mostrarão o por quê de seu uso. Antes, porém, introduziremos a decomposição LU.

51.2

Sistemas Lineares e o Método de Eliminação de Gauss

25

EXERCÍCIOS 1.2.1 Assmale as equações lineares em acl, 172 e 5133, com a e k constantes:

a. x1+3x2—J5x3=1;

d. 2xl+x2+senx3=0;

b. $1+CB1£IZ2—x3=2;

e.

k$1—%$2+k2$3=1;

f.

xâ+$â+$â=1—

c.

k3xl+2x2—x3=sena;

1.2.2 No Exemplo 1.3, desenhe o par de retas correspondentes ao sistema em cada uma das etapas da eliminação gaussiana. 1.2.3 Considere três planos no espaço R3. Descreva as possíveis posições relativas desses planos e indique, em cada caso, se o sistema linear correspondente é inconsistente, se possui solução única ou se possui iníinitas soluções.

1.2.4 Desejamos descobrir qual é a parábola y = amº + ba: + c que passa pelos pontos não alinhados do plano (w1,y1), (332, yz) e (333, 3,13). Escreva o sistema de equações lineares que descreve este problema. Quais são as incógnitas do sistema? Escreva o sistema na forma Ax = b. 1.2.5 Encontre um sistema de duas equações lineares em :B, 3; e geralédaforma: x=1—3t,y=2tez=t+1,Vt€R

8

cuja solução

1.2.6 Encontre, utilizando o método de eliminação de Gauss, & solução do sistema Ax : b, circulando os pivôs na matriz escalonada, sendo: '

CA:-"

3 4

_

_

-2

'1-21

1

3—32

5

8 42 31 4 —8 _20

"12-54 25 127 d'A: 35 178 11 74

8

e

b:

_

º 'º—

31

——6

6 14 16 6

Sistemas de Equações Lineares

26

Capítulo 1

gerªl

1.2.7 Encontre, utilizando o método de eliminação de Gauss, a soluçao do sistema Ax : b, circulando os pivôs na matriz escalonada e 1ndican o as variáveis básicas e livres, sendo:

'1—21 a.A=

2—14 13 —35

2 e

b=

1 bA= —1—1—1 lº 2 2 '

1

8; 10

b:

1 —1 2

b:

0 0 0

1

e

"12—54 c.A=

24—99

e

_12—54

,

1.2.8 Encontre, utilizando o método de eliminação de Gauss, as soluções exata e aproximada (para 3 casas decimais) de cada um dos sistemas

__

“Hau—» [ _ _ _

0,00011

_

5131

1

blª—[09001 1][m2]_[1]—b' 1 1

2

1131

_

1.2.9 Quais são as possíveis formas escalonadas da matriz A?

ºãDªmº"

A:

s ª o — ,O

1.2.10 Encontre uma relação entre a, b e e para que o sistema x+y+2z=a

w+z=b 2w+y+3z=c seja consistente.

51.2

Sistemas Lineares e o Método de Eliminação de Gauss

27

1.2.11 Para que valores de a o sistema abaixo é inconsistente? Possui exatamente uma soluçao? Possui infinitas soluções? m+2y—3z=4 3:13—y+5z=2

4w+y+(a2—14)z=a+2. 1.2.12 Dê um exemplo numérico de um sistema linear 2 >< 2, Ax = b, com duas soluçoes distintas u 76 v, de modo que u + v não seja solução de Ax : b.

1.2.13 Mostre que todo sistema homogêneo possui pelo menos uma solução.

1.2.14 Quando um sistema homogêneo possui mais de uma solução? 1.2.15 Demonstre, se a afirmação for verdadeira, dê um contraexemplo, se falsa. &.

Todo sistema linear com n incógnitas e n equações é consistente.

b. Todo sistema linear com mais incógnitas do que equações possui infinitas soluções.

c. Todo sistema linear com mais equações do que incógnitas é inconsistente. d. Um sistema linear com n equações e n incógnitas possui sempre solução única, a não ser que uma equação seja um múltiplo de outra.

e. Todo sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações possui infinitas soluções.

1.2.16 A operação elementar que troca duas linhas de uma matriz pode ser obtida por uma sequência de operações elementares dos outros dois tipos, i.e., multiplicação de uma linha por um escalar não nulo e combinação linear de duas linhas. Encontre essa sequência.

1.2.17 Considere a matriz

O

A=1 1 Encontre a solução geral de cada um dos sistemas:

Sistemas de Equações Lineares

28 &.

1.2.18

Ax=x.

b. Ax=2x.

Capítulo 1

c. Ax=3x.

Considerando a mesma matriz A do Exercício 1.2.17, mostre que, se A # 1

e >* ?ª 2, o Sistema Ax = Ax possui solução única x = O.

51.3

Decomposição L U

29

1.3 Decomposição LU

Uma decomposição ou fatoração matricial nada mais é que apresentar uma

matriz como um produto de duas ou mais matrizes, de forma análoga à denúmero inteiro em potências de primos. Diversos métodos composição de numéricos em Algebra Linear Computacional não passam de métodos de fatoração matricial. A primeira fatoração matricial que apresentaremos é a decomposição LU, que transforma uma matriz no produto de uma matriz triangular inferior L (do inglês lower) por uma triangular superior U (do inglês upper). Essa fatoração é uma aplicação direta do método de eliminação de Gauss. Antes de podermos apresentar a decomposição LU, precisamos estudar um tipo especial de matriz. A Definição 1.3 nos informa que há três tipos de operações elementares sobre as linhas de uma matriz: a multiplicação de uma linha por um escalar não nulo, a troca de duas linhas e a substituição de uma linha por uma combinação linear dela com outra linha. Veremos agora que cada uma das operações elementares pode ser obtida pela multiplicação por uma matriz especial. De fato, multiplicar a segunda linha da matriz A, abaixo, por um escalar não nulo (no caso, o número 3) pode ser conseguido pela multiplicação matricial

,um

E2(3)A =

1 O O O 3 0 O O 1

1 2 3 1 1 4 7 —1 -—2 2 5 —7

1 2 3 3 12 21 —3 —2 2 5 —7 1

=

A troca da primeira com a segunda linha de A pode ser obtida assim:

PIZA =

O 1 0 1 0 O 0 O 1

1 2 3 1 1 4 7 ——1 —2 2 5 —7

=

1 4 7 ——1 1 2 3 1 ——2 2 5 —-7

Por fim, consideremos a operação elementar de combinar linearmente duas linhas de uma matriz para introduzir um zero na posição (2,1) da primeira das matrizes abaixo. Multiplicamos a primeira linha por —1 e somamos o resultado com a segunda linha, obtendo:

1231 147-1-+ -2 2 5 —7

1231 024-2 —2 2 5 —7

Sistemas de Equações Lineares

30

Capítulo 1

- pode ser conseguido - com a seguinte - multiplicação matricial: O mesmo efelto '

E21(—1)A=

1231 147—1 —225-7

100 —110 001

:

'

”

1231 024—2 —225—7

elemen-

As matrizes E2(3), Pm e E21(—1) acima são exemplos de matrizes tares. A notação utilizada (inspirada em [28]) deixa claro que tipo de operaçao elementar é executada quando se multiplica uma matriz elementar por uma matriz A:

. E,,(a) multiplica a i—ésima linha de A por a 7% 0; . P,,- troca a i-ésima com a j—ésima linha de A; . Ei,-(04) adiciona a vezes a j—ésima linha a i-ésima linha de A. Antes de uma definição formal das matrizes elementares, relembramos o conceito de matriz identidade.

f'efmlçao16Amatrlzidentidade In' >< n tem a seguinte forma

10...0 [=

ou, sinteticamente,

01

0

00.

1

..

Iij=í

.

,

1 SGZ=j, 0 se i # j.

A matriz identidade é o elemento neutro multiplicativo das matrizes (n >< n), assim como o número 1 é o elemento neutro multiplicativo dos númer os reais. Observando que EI= E, definimos:

wefímçao Í7Í A matrizn>< ”Cali, Éefinlçao18. Dada ique A B= B A— [, diremos que B é a matriz inversa de A. Indicaiemos ai deA porA1. ,, É .. .au.

ªversa

,...,—.a

.. Jk:-

,

.::;.;._r

» «..:!

Nem toda matriz quadrada possui inversa, porém, se possuir, diremos que ela é invertível ou não singular — se não for invertível será chamada de singular. E mais, se A possuir uma inversa pela esquerda B (i.e., BA : I) e uma inversa pela direita O (i.e., AG : I), então A"1 = B = C. De fato, se BA=IeAG=l,entãoB=BI=B(AG)=(BA)G=IG=C. O resultado geral a seguir, sobre matrizes inversas, é bastante útil. -. ';:ª-'z'!-'«'."';.' “mirª-';“ "'—'““.ldfr'r'ç/gw,**à?—'N.º1"iã€'—áª:'tif

4f'01'7º7rr

“ªs,“ < 4:

51.3

Decomposição LU &.

35

P24;

c. E42(4)-

b. E3(—3);

1—3'2 Mostre que, se A = LU, então a solução do sistema Ax : b pode ser obtida resolvendo—se por retrossubstituição o sistema U)( : L“1b.

1.3.3 No Exercício 1.3.2, a inversa da matriz L deve ser calculada, o que é com— putacionalmente custoso. Mostre que a solução do sistema Ax = b pode ser obtida resolvendo—se o sistema triangular inferior Ly = b e depois, por retrossubstituição, o sistema triangular superior Ux = y. 1.3.4 Encontre a decomposição LU da matriz A, em cada item abaixo, e a solução (ou soluçoes) do sistema Ax = b, resolvendo os sistemas triangulares Ly = beUx=y.

“.“—21] '

.A= a

34

= e

b

[5]. -2

"1

—21 b.A= 2-14 _3 —32

cA=

8 4

_-8

e

42 31 -20

1 7 5

b=

e

8 3 —6

b=

"12—54 25 d'A“ 35 _1 1

127 178 274

e

b”

'1 —21 2—14 3—35

e.A= '

fA=

1

1

e

1

—1—1—1 2

2

b:

ª

6 14 16 6

2 8 10

1 'º:

“1

2

2

r12—54

0

12—54

0

1.3.5 Mostre que o produto de duas matrizes triangulares inferiores é uma matriz triangular inferior.

Sistemas de Equações Lineares

36

Capítulo 1

1.3.6 Mostre que a inversa de uma matriz triangular inferior, se eXIStlr, e uma, matriz triangular inferior.

1.3.7 Qual é a condição necessária e suficiente para que uma matrlz trlangular seja invertível? Demonstre sua afirmação sem usar o conceito de determinante.

b—“O

I

—il r o [

DO

B:—

HO

1.3.8 Considere as matrizes E21(—1), E31(2) e E32(—3) do Exemplo 1-8- Utili“ zando os elementos fora das diagonais principais dessas matrizes elementares (i.e., os números —1, 2 e —3), montamos a matriz triangular inferior

Calcule L'1 = E32(—3) E31(2) E21(—1) e compare o resultado com a matriz B. Observe que a matriz L—1 não pode ser montada com os elementos de E21(—1), E31(2) e E32(—3).

1.3.9 Considere as matrizes elementares n >< n Eij (m,—j). a. Mostre que

1

Ez—11(m21)E3—11(m31)

E511(mn1) =

O ——m21 1

O O

O

O

—m31

—mn1 0 . . .

1

b. Generalize o resultado acima para o produto _]_

_1

j+1,j(mj+1.j) Ej+2,j(mj+2.j)

_

--- Enj1(mnj)a

para 2 < j < n.

c. Generalize o resultado da equação (1.16), mostrando que

Bill (77121) . . -E;,711_1(mn,n—1) =

1 —m21

0 1

_m31

“Tn/32

---

0 0 0

_mnl

_mn2

...

1

...

51.3

37

Decomposição L U

1.3.10 Quando uma matriz elementar E multiplica pela esquerda uma matriz A (i.e., EA), E atua sobre as linhas de A. Quando a multiplicação é feita pela direita (i.e., AE — também chamada de pós-multiplicação), E atua sobre as colunas de A. Encontre, verificando sua resposta, para cada item, uma matriz 4 >< 4, não obrigatoriamente elementar, que:

”! ? º ª P

multiplica a primeira coluna de uma matriz por 2;

adiciona a primeira linha de uma matriz à sua terceira linha; troca a segunda e a quarta colunas de uma matriz; subtrai a segunda linha de uma matriz de cada uma de suas outras

linhas;

e. substitui a terceira coluna de uma matriz por sua quarta coluna.

1.3.11 Considere a matriz elementar P24 4 >< 4, que troca a segunda e a quarta linhas de uma matriz. Encontre uma sequência de matrizes elementares dos outros dois tipos (i.e., Ei,—(a) e Ei(a)) que realizam o mesmo que P24.

1.3.12 Encontre as soluções do sistema

Ax =

1 2 3 —1 1 —-2 2 1 1

an = b,

332 563

sendo o vetor b igual a:

6 —2 4

a.

,

b.

3 2 1

,

c.

3 3 0

1.3.13 Seja A uma matriz nilpotente, isto é, Aq = O, para algum inteiro positivo q. Mostre que (I —- A) é invertível, encontrando sua inversa. 1.3.14 Considere a matriz J n >< n cujos elementos são todos 1 (um). Mostre que, para

77.

> 1,

__ 1 J (I J) _1= ]-- “_1

_

1.3.15 Sejam A e B duas matrizes 77. x n. Mostre que, se ([ — AB) for invertível, então a inversa de (I —— BA) será dada por

I + B(I — AB)“1A.

Sistemas de Equações Lineares

38

1.4 Eliminação Gaussiana com Parcial

Capítulo 1

Pivotamento

Na Definição 1.3, na Seção 1.2, há três tipos de operações elementar65%, mªil?, nos exemplos e exercícios da seção anterior, utilizamos apenas a combinaçao linear de linhas (i.e., a correspondente a matriz elementar do tipo Eij(ª)) Pªrª encontrar a decomposição LU de uma matriz e resolver os sistemas lineares correspondentes. Quando surge, então, a necessidade de trocar duas linhas ou multiplicar uma linha por uma constante não nula? Os dois exemplos seguintes respondem à primeira dessas perguntas. Mais adiante responderemos à segunda. Exemplo 1.9. Se tentarmos aplicar a eliminação gaussiana ao sistema

[? illíiHãl

um

o algoritmo falhará no primeiro passo, pois haverá uma tentativa de divisão por zero, ja'. que temos um “pivô” nulo (melhor dizendo, um candidato a pivô, já que, por deiinição, um pivô não pode ser nulo). A solução óbvia é trocar a primeira e a segunda linhas para obter o sistema equivalente

1 1 0 ].

131 32

_ _

2 1

que já. está na forma escalonada e cuja solução

,

e x = [1

1]T.

II]

Quando aplicamos o método de eliminação de Gauss com precisão infinita, isto é, quando usamos frações e raízes sem aproximar ou arredondar números, a troca de linhas somente é necessária quando o candidato a pivô é um zero, como no exemplo acima. Em geral, entretanto, resolveremos Sistemas lineares com o uso de computadores, que arredondam e aproximam os números, e as . c01sas podem se comphcar... Vejamos o exemplo a seguir,

_

_

Exemplo 1.10. Aplicando a eliminação gaussiana ao

sistema

Ax=l llllmzlªlilª, 0,00011

x,

(1.18)

51.4

Eliminação

Gaussiana com Pivotamento Parcial

39

obtemos a matriz aumentada

0,0001

1 1 0 —9999 —9998

e calculamos 552 —

99 8 — 9

ngª

9998

—%

N

º

0,99990.

Uma retrossubstituição nos da 1

=

1 1 1 9998 __

0,0001(

“

_ 10000 (9999)) _ 9999

“ LOOOL

e temos, assim, a solução exata do sistema: x = [% %%]T. No entanto, se o valor de 5132 for arredondado para 1, a retrossubstituição nos dará 5131

1

_

0,0001(1 _ 1(1)) _ º,

uma solução (x % [0 1]T) completamente diferente da solução exata. Para corrigir este problema, inspiramo—nos no Exemplo 1.9 e realizamos uma troca de linhas. Isso nos sugere uma modificação no método de Gauss:

Cada candidato a pivô deve ser comparado aos outros candidatos na mesma coluna, escolhendo-se o de maior valor absoluto.

Essa modificação é conhecida como eliminação gaussiana com pivotamento parcial.

De volta ao exemplo numérico, a matriz escalonada aumentada do sistema torna-se, assim, 1 1 2 0 0,9999 0,9998 7

333%

nos dando 5,32 = % 0,99990. Mas agora, se aproximarmos esse valor para 232 % 1 e o substituirmos na primeira equação, obtemos o valor

x1=%(2—1(1))=1,

Sistemas de Equações Lineares

40

perfeitamente aceitável como aproximação, e não mais 5131

Capítulo 1

= 0, encontrado Pªlº

método de eliminação de Gauss sem pivotamento parcial. , um O leitor deve perceber que o número 0,0001 pode ser substituido menor ainda até aproximar-se da precisão da máquina utilizada. Tambem ser claro que tal número não precisa ser dado inicialmente, mas pode prov1r D de outros cálculos previamente executados.

por

deve

0 Exemplo 1.10 é notável. Mas por que uma simples troca de linhas teve resultados tão impressionantes na solução do sistema? Para entender o que aconteceu, voltemos a matriz aumentada escalonada original, antes da troca de linhas:

[

0,0001

l

1 1 0 ——9999 —9998 ' Se multiplicarmos a primeira linha por 1000, obtemos:

|

1 10000 10000 0 —9999 —9998

'

Observemos que o coeficiente de crl é igual a 1, mas o erro de arrendondamento que cometermos na incógnita mg será multiplicado por 10000. Isso foi catas— trófico para o cálculo de 931. O mesmo não ocorre se utilizarmos o pivotamento parcial, pois teremos 1 1 2 0 0,9999 0,9998 , e o erro de arredondamento na incógnita 332 será multiplicado por 1, que é da mesma ordem de grandeza do coeficiente da incógnita crl. O pivotamento parcial consiste em, a cada passo da eliminação gaussiana, efetuar uma troca de linhas da matriz (aumentada, se for o caso) do sistema de forma a escolher como pivô o elemento de maior valor absoluto de cada subcoluna em questão. Dizemos subcoluna, pois os candidatos a pivô devem ser procurados apenas nas linhas nas quais ainda não existem pivôs, isto é, abaixo da diagonal principal. A nomenclatura adotada exige uma observação. Existe uma eliminação gaussiana com pivotamento completo, ou total, na qual a comparação é feita com todos os elementos da submatriz inferior, mas isso torna a eliminação de Gauss computacionalmente mais custosa e pouco acrescenta em termos de estabilidade, não sendo, portanto, muito utilizada.

51.4

Eliminação

Gaussiana com Piuotamento Parcial

41

conhecemos a necessidade de trocar linhas na matriz de um Sistema para resolvê—lo, veremos um exemplo numérico de como encontrar a . Agora que

forma

escalonada de uma matriz usando matrizes elementares.

nao

Para sobrecarregar a notação, as matrizes elementares do tipo E,(oz) e Ei—(a) serao representadas, até o final desta seção, por E, E1, E2, etc. Aqui, interessa—nos somente ressaltar a diferença entre matrizes elementares triangu— lªI'GS (Elª) e Eij(0l)) e não triangulares (P,-j). Exemplo 1.11. Buscaremos, neste exemplo, a decomposição LU da matriz 0 1 5 4 3

© 0 1 ; N C D — VI X

1—rliM

430

A:

Como o candidato a pivô da primeira linha é zero, temos que efetuar uma troca de linhas. O pivotamento parcial pede que o pivô seja o candidato de maior valor absoluto e poderíamos trocar a primeira linha com a segunda, terceira ou quarta linhas. Seguindo a ordem usual do método de eliminação de Gauss, trocaremos a primeira com a segunda linha. Então, 01543 "0100 1000 12345 12389

P12A=0010

,000112497

"12345

_ “

01543 12389 _12497

Prosseguindo com a eliminação gaussiana, obtemos:

E2E1P12A=Eº

:

1000 0100 —1010

12345 01543 12389

000112497 100012345 0100 0010

01543 00044

=100112497

Sistemas de Equações Lineares

42

Capítulo 1

Hl—iO ?xl“—FOD oms -&% 105-.Dx[

E novamente precisamos de uma outra troca de linhas, agora a terceira com a quarta:

“100012345 01543 0100 P34E2E1P12A= 0001 00044 L0010 00152 '12345

01543

“00152—U, _00044 concluindo assim a eliminação gaussiana. Observe, no entanto, que ()

_

_

_

_

P121E11E21P341=

1 1 1

H O C DO H

0 0 1 0

não é uma matriz triangular inferior e, portanto, a matriz A não possui uma decomposição LU.

Todo o problema provém do fato de utilizarmos as matrizes de permutação Pm e P34 para executar as trocas de linhas. Assim, o produto P34E2 não é mais uma matriz triangular inferior. Mas um “golpe de sorte” vem em nosso auxílio, Observemos que o produto

'100051000 _ 1_

0100

P34E2P34—0001

0100 0010

_0010_—1001 71000 _ 0100 ª-1010 _0001

1000 0100 0001 0010

51.4

Eliminação

Gaussiana com Pivotamento Parcial

43

e uma matriz triangular inferior. De maneira análoga, P34E1P3Ç11 também é uma matriz triangular inferior e podemos reescrever o produto P34E2E1P12

como

P34E2E1P12 : (P34E2P321)(P34E1P321)P34P12 : EªEíP34P12, sendo que

Eª P34E2 321 :

Ei P34E1P321

e

:

sao matrizes triangulares inferiores. Assim, o produto de suas inversas é uma matriz triangular inferior:

L = (Ei)"1(Eâ)“1-

Se, por fim, denominarmos P o produto das matrizes de permutação, isto é, P : P34P12 7 obtemos

PA = LU .

Ou seja, a matriz A não possui decomposição LU, mas a matriz PA possui.

|Z]

Referimo—nos à fatoração acima como decomposição PA = LU, ou simples— mente decomposição LU, como anteriormente, já que podemos pensa—la como um caso da decomposição LU em que permutamos previamente algumas linhas da matriz A. Em tempo: cada caso deve ser estudado cuidadosamente e o estudante não deve fazer generalizações indevidas. Se, por exemplo, a eliminação de Gauss em uma matriz A necessitou de três matrizes de permutação P1, P2 e P3 e outras três matrizes elementares E1, E2 e E3 na seguinte ordem

E3P3E2P2E1P1A = U, podemos agrupar as matrizes de permutação da seguinte forma

aaaaaa=ªªmaaa, sendo

EÁ=E3,

Eê=P3E2P3-1

e

Eí=P3P2E1P2_1P3'1.

44

Sistemas de Equações Lineares

Capítulo 1

matrizes

Com um pouco de treino, podemos manipular qualquer arranjo de elementares para conseguir a decomposição PA = LU. Mas como func1ona o “golpe de sorte”? Podemos afirmar que o produto

PijEPi;1

é uma matriz triangular inferior? A resposta é não, nem sempre.

De fato,

P12E21(2)Pf21=

0 1 0

1 0 0

100 0 0 1

210 0 0 1

0 1 0 100 0 0 1

=

1 2 0 010 0 0 1

(1.19) Se o procedimento depender de sorte, não poderemos adota—lo. Mas o fato, que demonstraremos a seguir, é que o produto Fi,-Ekp(a)P,——.1 é uma matriz triangular inferior sempre que a sequência lª,-jEkp(a) provier do método de eliminação de Gauss. A sequência da equação (1.19), por exemplo, nunca ocorre no método de eliminação de Gauss. Para mostrarmos isso, consideremos que, durante uma eliminação gaussiana, a multiplicação de uma matriz intermediária A' pela matriz elementar Ekp(a) seja seguida pela multiplicação por uma matriz lº,-j, com i < j . Sabemos (pela matriz Ekp(a)) que há. um pivô na p—ésima linha matriz A” , assim p < i < j, obrigatoriamente. Ou seja, a p—ésima linha da matriz intermediária A' —— por possuir um pivô — não poderá mais ser objeto de permutação de linhas. Isso posto, podemos enumerar as três situações nas quais P,, e P,? afetam a matriz elementar Ekp(a). Se k = i, a será movido da posição (i,p) para a posição (j, p) pela mul— tiplicação por P,], e permanecerá na posição (j, p) no produto Pª'jEiPm)P.51. Esquematicamente: colunas:

p

i

j

linha i:

a

1

0

Ei (a) = linha 3":

©

©

RE;: (0!

51.4

Eliminação

Gaussiana com Pivotamento Parcial colunas:

p

linha i:

_91_

PijEip(a

3

.

45

i

i

©

©

—..

inha _]:

a

1

colunas:

p

i

j

©

©

linha i:

0

H,E,—,,(a)P,-;1

É ———> linha j:

,

.,

p. 'E-.,.(a)p-1

, a

1

O

sendo que somente os elementos de interesse foram representados.

Se k— j, ou será movido da posição (j, p) para a posição (i, p) pela mul— a)P“-1 . tiplicação por lª,-,, e permanecerá na posição (i, p) no produto P,,E,,,(a =

Esquematicamente: colunas:

p

linha i: Ejp(ª) =

j

1

0 ''

É linha j:

a

colunas:

p

linha i:

a

H,E,-,,(a)

i

©

-

©

i

]“

©

©

BjEij

..

.

—1

RJEJP(a)P"'J linha j :

Sistemas de Equações Lineares

46

PijEjp(ª)Pi;1

colunas:

p

i

j

linha i:

Q

©

©

“>

'

.

.

0

linha j:

Capítulo 1

1

Se k # i e k # j , a posição de a não será afetada nem pela troca de linhas e nem pela posterior troca de colunas. Apenas o 1 da posição (i, i) trocará de lugar com o 1 da posição (j, j ), como nos casos anteriores. Em todos os casos, a matriz P,,Ekp(oz)P,-_-1 será uma matriz (elementar) triangular inferior, como queríamos demonstrar. No caso de uma matriz elementar do tipo E;,(oz), é fácil mostrar que o produto P,,- E,y,(0z)P,-",T1 é ainda uma matriz diagonal e deixamos a demonstração a cargo do leitor. O que foi feito até agora nos mostra, por construção, que qualquer matriz A que não necessite de troca de linhas em seu escalonamento pode ser decomposta na forma A = LU, sendo que L é uma matriz quadrada triangular inferior e U é uma matriz triangular superior com as mesmas dimensões de A. Se houver necessidade de trocar linhas, podemos proceder como no exposto acima e decompor a matriz na forma PA = LU, sendo P uma matriz (produto de matrizes elementares do tipo lª,-,) que troca (várias) linhas de A. Isso é enunciado no teorema abaixo. ..

—“='*"'miª»fTVª'Kªfªfs'ª—ªª'ªªª“'ª-“ªªª“ “ªº?“"ªª“”“-'ª'ªªºf'ªªªªªª"ª'—ª«"'aªªff

*

"

&eor ma 1.3. Ífoda matriz possui ma decompOSIçao ÍU, a menosde trocaª %de linhas. Isto é, qualquer matriz A pode ser decomposta na forma ar":.n;;àrxtwã'ªwª*f

*

"

ºsx—rs*? srin/ªvªzwgewºx

w“? .

'»

.=? “5 7 '-

«**—”*:*-

?Éendo P uma matriz de

.»

's“

iª

PA=LU,

W A M.

zm.»

"*

permutação de linhas, L uma matriz quadrada tridª Éangular inferior com diagonal principal unitaria e U uma matriz triangula ;, ,ªçvxwâwf.

*.? “W

«

ª

»”

»:

-—

.:.-az,. «=:-

”

“"..

.

...s.

«.=.

.»..f

.—

»

1.3.4

E.,

ªgperior comas mssnlas..éilnellsõsã.sie, A#...

«+

Por fim, podemos aplicar a Proposição 1.1 sucessivas vezes para mostrar que ambas as matrizes P e L são invertíveis, já que são produtos de matrizes elementares. Já a invertibilidade da matriz U, no caso de ser uma matriz

51,4

Eliminação

Gaussiana com Piuotamento Parcial

47

quªfhlªdªa dependerá da invertibilidade da matriz A, como nos mostra a pro— p081çao

abaixo.

1”:2:2“'s*353“4“3333333 3533333“ 5513“"'335513383535'“1.0""dadª ...-r sºrª—TWA seramvertwelseesomentese. U fºr.. 1nvertlvel

Qroposição

Demonstração. Se A possuir inversa

Aª, então, como P é invertível,

1 = A“1A = A-1(P—1LU) = (A“lPªLW , i.e., U será invertível, com inversa dada por A'lP'lL. Reciprocamente, se U for invertível e, já que L é invertível, temos que 1 = U-IU = U-1(L-1PA) = (U'1L"1P)A, isto é, A será invertível, com inversa dada por U“1L'1P.

[]

Algumas observações finais: apesar não possuir uma definição formal de estabilidade — o que fugiria do escopo deste livro —, o leitor pode perceber que o pivotamento parcial acrescentou estabilidade ao método de Gauss, no sentido de que encontrou uma resposta aproximadamente correta a uma pergunta aproximadamente correta, ou seja, encontrou uma solução aproximada para uma perturbação (sistema (1.18)) do sistema original (1.17). A estabilidade alcan— çada, entretanto, não é em termos absolutos, isto é, o método de Gauss com pivotamento parcial ainda é instável para algumas matrizes especiais, como exempliiicado no Exercício 1.4.4. No entanto, após várias décadas de cálculos numéricos intensos, a instabilidade explosiva, apresentada nos Exercícios 1.4.3 e 1.4.4, jamais surgiu naturalmente, aparecendo somente em exemplos especialmente escolhidos para provoca-la. Podemos chamar esse fenômeno de estabilidade estatistica do método de eliminação gaussiana com pivotamento parcial, que pode, assim, ser usado sem mais ressalvas. Uma discussão interessante sobre isso pode ser encontrada em [34]. A estabilidade do pivotamento parcial dependerá da matriz em questão e está relacionada ao número de condição da matriz, definido por

o(A) =

MANHA—lll.

Sistemas de Equações Lineares

48

para uma matriz invertível A.

Capítulo 1

Estudaremos a norma de uma matriz (||—AH) no

Capítulo 3. Se considerarmos a norma euclidiana induzida (ver Definlçao 3.5), o número de condição de A será o quociente entre o maior e o menor valor Singular de A (ver Seção 5.7): 01 Un

a(A) = — .

Se o número de condição de uma matriz e muito elevado, dizemos que a matriz é mal condicionada. Não é o objetivo deste livro se aprofundar nesses assuntos, mas mostraremos duas matrizes mal condicionadas nos Exercícios 1.4.3 e 1.4.4. O leitor interessado pode encontrar mais sobre matrizes mal condicionadas em

[10], [34] e [7].

'

EXERCÍCIOS 1.4.1 Encontre, utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial, a solução geral do sistema Ax = b, circulando os pivôs na matriz escalonada e indicando as variáveis básicas e livres em cada caso:

7

1 —2 1

_3 '1

—2 2

1

1

1

_2 '1

1

1

3

14

2 —5 4 c.A= 2 4 4 3 _3 6 —1 8

e

b=

3 9 10

=

1.4.2 Considere dada a decomposição PA = LU de uma matriz A, sendo P I. Explique como encontrar as soluções dos vários sistemas Ax : b, para diferentes vetores b.

1.4.3 Será necessário o uso de uma calculadora. Considere o Sistema

AX=

1

L

L

1

10

1

200

1

sem

_1_. 200

__1__ 3000

1 40000

10

2_2_1 200

200

ml

962 363

=

%% 643

120000

= b.

51,4

Eliminação

Gaussiana com Pivotamento Parcial

49

Resolva o sistema acima utilizando o método de eliminação de Gauss com

pivotamento parcial (observe que não será necessário trocar linhas) e arit—

mética fracionária. Isso o levará à solução exata x = [1 l llT- Agºrª, usando uma calculadora, arredonde as frações para 4 casas decimais. Re— calcule a solução do sistema e veja que, mesmo com pivotamento parcial, a solução aproximada é muito diferente da solução exata. Este fenômeno decorre do fato de a matriz A ser mal condicionada.

1.4.4 Um exemplo conhecido de matriz mal condicionada é a matriz de Hilbert: 1 12,...,n]. liº—i+j—1, parai,]6[, "

"—

Por exemplo, para n = 3, 1

H:

l l 2

3

1 l l 2

3

4

1

1 1 3 4 5 No GNU Octave, pode—se criar matrizes de Hilbert com o comando hilb (N), sendo N a dimensão da matriz. Faça o seguinte experimento usando o GNU Octave: H

x

hilb(10); ones(10,1);

b

H*x;

0

round(10000*b)/10000;

Y = HXc Compare x e y. Apesar do arredondamento do vetor b (i.e., o vetor e) ter sido na quarta casa decimal, a solução do sistema Hy = c (calculada pelo método de Gauss com pivotamento parcial) é muito diferente da solução exata x.

1.4.5 Encontre, utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial, a decomposição P A = L U de 2 1 1 3 A:: 9 9

a c o l h - :. ol a r «

c o a .- =

50

Sistemas de Equações Lineares

Capítulo 1

1.4.6 Supondo que nenhum elemento de A seja nulo, quais são as condiçoes. para que não haja troca de linhas no escalonamento com pivotamento par 0131 dª matriz

A:

a b d e g

c

f

?

h i

Quais são as possíveis formas escalonadas de A? , ' 1.4.7 De um exemplo, com matrizes 4 x 4, em que o produto PijEij (MPU_1 e uma matriz triangular inferior. A

. 1.4.8 De,. um exemplo, com matrizes 4 >< 4, em que o produto é uma matriz triangular inferior.

1.4.9 Mostre que

Fi,-Ei,- (a)P,—,-_1

..

nao

P,? = P,? = Fi,-.

1.4.10 Considere uma matriz P que troca várias linhas, não sendo, portanto, uma matriz elementar. Encontre P—l. 1.4.11 Seja A uma matriz diagonal cujos elementos de sua diagonal principal são A1, A2, . . . , An, nessa ordem. Seja B uma matriz diagonal cujos elementos de sua diagonal principal sejam os mesmo de A, mas em outra ordem. Mostre que B = PAPT, para alguma matriz P que permuta linhas.

1.4.12 Exemplifique os três casos apresentados na explicação do “golpe de sorte” com matrizes elementares 6 >< 6.

51.5

Aplicação: Método de Gauss—Jordan

51

1.5 Aplicação: Método de

Gauss-Jordan

Não há, é claro, aplicação mais usada do método de eliminação de Gauss do que a resolução de sistemas de equações lineares. Entretanto, ele pode ser estendido e, assim, fornecer uma aplicação bastante útil, que veremos a seguir. Como já deve estar claro ao estudante, há diversas formas de escalonar uma matriz e sua forma final depende das trocas de linhas e multiplicação de linhas por escalares não nulos que foram realizadas.Uma vez obtida uma forma escalonada (qualquer que seja ela), podemos encontrar a solução geral de um sistema linear consistente associado pelo processo de retrossubstituição. E claro que a retrossubstituição é trivial se a matriz escalonada for diagonal, !

como, por exemplo, 2 0 4 0 3 —3

,

que nos dá a solução cel = 2 e 232 = —1. No entanto, nem toda retrossubstituição é tão simples e podemos indagar se não existe uma forma escalonada (minima,, isto é, uma matriz escalonada que implique num número mínimo de cálculos na retrossubstituição. Esta forma existe, é única e é chamada de forma escalonada reduzida por linhas.

O método para chegarmos a forma escalonada reduzida por linhas de uma dada matriz é o método de eliminação de Gauss-Jordan, que, resumidamente é uma eliminação gaussiana levada mais adiante, ou seja, além dos passos da eliminação gaussiana, normalizamos todos os pivôs para 1 e, através de combinações lineares entre linhas, introduzimos zeros acima dos pivôs. Essa variação do método de Gauss foi introduzida pelo engenheiro alemão Wilhelm Jordan (*1842 - 11899). Omitiremos a prova da unicidade desta matriz, ilustrando o método com exemplos.

Exemplo 1.12. Consideremos a matriz A do Exemplo 1.5 e sua decomposição

Sistemas de Equações Lineares

52

Capítulo 1

LU:

Como os pivôs já sao unitários, não precisamos multiplicar nenhuma das linhas. No entanto, precisamos introduzir zeros acimas do segundo e terceiro pivos. Assim: N

A

E23(2)E13(—13)E12(—4)U =

—30 —14 3

10

0

"10 —13 0

E23(2)

_

:

'

1 —30 —14

13 28 —6

1 —3 0 —14 13 0 1 3 —2 0 0 1 0

—37

28

ªl

51.5

Aplicação: Método de Gauss-Jordan

53

1—30—140—37

_001

—000 000

'

30 01 00

-

4

5=U7

0

onde Ú é a forma escalonada reduzida por linhas de A. É fácil perceber que a solução geral de um sistema consistente associado, _ O, é expressa por por exemplo, Ax— 122 X

=

xª (134 275 176

= 162

O0 O 0

0

O

].

+ 124

—31 O O

+ 336

já que cada linha não nula só contém uma varável básica ao pivô da linha em questão.

—4O

,

“5

1 —

a correspondente E]

No próximo exemplo procuramos a forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz quadrada A. Exemplo 1.13. Considere as operações elementares sobre a seguinte matriz invertível:

123 12 3 1 2 3 A: 147 —>-———> 02 4 2 O 1 00—1 00—1 —225 123" 100 1 0 —1 —> 012 —> 01 2 —> 012 —> 00 1 00 1_ 00 1

—>

100-

—> 010 =U=I. 001_ E, ªgrupando as matrizes elementares usadas na matriz

E:E23(—2)E13(1)E12(—2)E3(—

1)E2(—1)Esz(—3)E31(2)E21(—1)

Sistemas de Equações Lineares

54

—3 =

— —5

—1 2 —1.

2

——33

Capítulo 1

. D

temosEA=I.

A matriz E é portanto a inversa da matriz A e a aplicação mais útil do método de Gauss—Jordan é o cálculo de inversas. A forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz invertível é sempre a matriz identidade, como nos mostra a proposição abaixo.

_ í'WWWáWSWW' eroposição 1.3.Seja A uma matriz quadrada. Á será”invertível se, esoment”; .,

_WWW

QWNM .

sua forma escalonada reduzidapor linhas for a matriz;identidade X“"

-_v

.

'

ªir.

“...

Demonstração. Suponhamos que A seja n >< n e que sua decomposição LU seja dada por PA = LU. Se a forma escalonada reduzida por linhas de A for a matriz identidade, então A será invertível e sua inversa será dada pelo produto das matrizes elementares usadas para transformar A na matriz identidade. Reciprocamente, se A for invertível, então, pela Proposição 1.2, U será invertível. A matriz escalonada U deverá possuir n pivôs, pois, caso contrário, pelo menos uma das linhas (a última, obrigatoriamente) deveria ser composta apenas por zeros e assim o 1 na posição (n, n) da matriz identidade jamais poderia ser obtido no produto UU —1 = I , que é o produto da n—ésima linha U pela n—ésima coluna de U “1. Mas se U possuir n pivôs, cada coluna de U possuirá um pivô e poderemos usar o método de Gauss-Jordan para transformar cada pivô em 1 e cada elemento acima de um pivô em zero. Isso significa que a forma escalonada reduzida por linhas de U (e portanto de A) será a matriz

identidade.

[:|

Uma forma compacta de encontrar a inversa de uma dada matriz A é escrever, lado a lado, a matriz A e a matriz identidade [ e transformar a matriz A na matriz identidade através de operações elementares sobre linhas. As mesmas operações elementares aplicadas a matriz identidade transformá— la—ão na matriz inversa de A. Isso não passa, é claro, de uma forma sintética do método de Gauss—Jordan.

51.5

Aplicação: Método de Gauss-Jordan

55

Exemplo 1.14. Tomando a matriz do Exemplo 1.13:

123 100 [MH=

ª

147()10 —225()01

12 02

=

3 100 4—110 -10611 201 1 00 12 3 %0 01 100—1 5—31 10-1 2-1 0

=

=

2-3

123

1.00

=

()24_110 =225 0()1

12 3 1 00 02 4-4 10 00-4 5-31 123 10 0 0

=

= 012-33

=

()01-53—1

1130—32-1

=012—%%0=012—%%0= _00

=

3-1 2—1 010 l麗% 2 _001 % 3=1

1—5 ”100 4

0()1-53—1

=[I|A“1],

como esperado.

Enfim surgiu a necessidade de usar as matrizes elementares do tipo E,(a). São essas matrizes que tornarão os pivôs unitários. Como esse tipo de matriz é um caso especial de matriz triangular —— já que uma matriz diagonal é ao mesmo tempo triangular inferior e superior —, não precisamos acrescentar nada ao que aprendemos sobre a decomposição LU. Entretanto, podemos criar uma nova fatoração matricial, a decomposição LDU, que consiste em acrescentar a decomposição LU a normalização dos pivôs. Vejamos um exemplo. Exemplo 1.15. Dada a decomposição LU 12 3 123 100 110 02 4 =Lw 147 = A:

=225

=231

00-1

basta fazer

D:

©()0

1 00

011)

0C)0

001

00 1

10 0 01 0

00(3

.

Sistemas de Equações Lineares

56

Capítulo 1

. . escalonada para obter a matriz diagonal D . A ssim, usando os pivos da matriz 100123 100 110 02 0 A: 012=LDU, 00—1001 —231 '

.

'

abusando um pouco da notação e chamando a nova matriz triangular ainda de U.

superior

E

EXERCÍCIOS 1.5.1 Encontre, se existirem, as inversas das seguintes matrizes, utilizando o metodo de Gauss—Jordan:

ªº

12-54

34

d25127

_21' '

'35178

: 1174

l1-21

1—21 e.2—14

b.2-14.

3—32

_3—35 "111

'

i8 c

42 431

f—1—1—1

_——8—20

_222

1.5.2 Encontre a decomposição de Chales/cy, a partir da decomposição LDU da matriz simétrica real 1 2 4 A = 2 6 10 4 10 21

Isto é, encontre uma matriz triangular superior R tal que A : RTR Nem toda matriz simétrica possui essa decomposição (ver, por exemplo, [10]).

1.5.3 Para a1a2a3a4 # 0, encontre a inversa da matriz

_ D_

O O 0

0 0

0

al

0.2

0 0 O

a;; 0

a40

0

51,5

Aplicação: Método de Gauss—Jordan

57

l — D O G N O C c o .- a w a n > - .A »

1.5.4 Encontre a inversa da matriz A;:

Generalize para uma matriz n >< n.

|_A

1.5.5 Encontre a inversa da matriz

ª —il ã N —.]mtilaD*!IA

* l ª C t — H A i HhI l—HiºIc-ªv n—hoª»iclà*-

|

K]

1 5

Note que todos os elementos da inversa são inteiros. O mesmo ocorre para o análogo n >< n. 1.5.6 Usando operações elementares, prove que ab cd

A=1 # 1

será invertível se, e somente se, ad — bc

[

1.5.7 Utilizando o método de Gauss-Jordan,

0.

encontre a inversa de

R9 : cosô -— send sen 0

cos 0

]

.

ade 1.5.8 Encontre, de duas maneiras diferentes, & invers 0 1 0 0 0 1 0 G2 0 1 0 A= ªs an—l

Sistemas de Equações Lineares

58

Capítulo 1

1.5.9 Mostre que (AT)"1 = (A_1)T-

?

1.5.10 Mostre que, para A e B matrizes n >< n, (I —BA) será invertível se, somente se, (I — AB) for invertível, sendo (I —— BA)”1 = I + B(I — AB)” A. 1.5.11 Demonstre, se a afirmação for verdadeira, dê um contraexemplo, se falsa. Todas as matrizes são quadradas de mesmas dimensões. a. Se B for a matriz que resulta da troca de duas linhas de A e A for invertível, então B será invertível. b. Toda matriz quadrada pode ser expressa como o produto de matrizes elementares.

c. Se AB = 0 e A for invertível, então B = 0. d. O sistema homogêneo Ax = 0 possuirá infinitas soluções se, e somente se, A não for invertível.

e. O sistema não homogêneo Ax = b possuirá infinitas soluções se, e somente se, A não for invertível. 1.5.12 Mostre que, para o sistema Ax = Ax possuir solução não trivial (i.e., x a matriz (A — AI ) não poderá ser invertível.

# 0),

1.5.13 Seja A uma matriz quadrada que possui um único elemento não nulo em cada coluna e em cada linha, que pode ser 1 ou —1. Mostre que existe um inteiro positivo q, tal que Aq = I.

2 Espaços Vetoriais O método de eliminação de Gauss, introduzido no Capítulo 1 para resol— ver sistemas de equações lineares, mostrar-se-á muito mais poderoso, neste capítulo, revelando estruturas abstratas inerentes as matrizes. Os conceitos de espaço e subespaço vetoriais são a chave para a compreensão dessas estruturas. Assim, a primeira seção do presente capítulo apresentará as definições gerais de espaços e subespaços vetoriais. Os conceitos de depen— dência e independência linear, base e dimensão serão introduzidos na Seção 2.2. A partir desses conceitos, usaremos o método de eliminação de Gauss, na Seção 2.4, para revelar de que maneira uma matriz estrutura os espaços vetoriais a ela relacionados: conheceremos então os subespaços fundamentais de uma matriz. Na quinta seção, a estrutura dos subespaços fundamentais de uma matriz revelará propriedades dos sistemas lineares a ela associados, além das condições para a existência de sua inversa. Fecha—se assim um círculo: partindo de um método concreto (eliminação de Gauss) para resolução de sistemas de equações lineares, descobrem-se estruturas abstratas (subespaços fundamentais) da matriz do sistema linear associado e essas estruturas, por sua vez, fornecem informações sobre a resolubilidade do sistema (concreto). Encerra-se o capítulo com uma aplicação dos conceitos apresentados a um exemplo proveniente da Teoria dos Grafos.

2.1

Espaços e Subespaços Vetoriais

O leitor já conhece, da Geometria Analítica, pelo menos dois espaços veto— riais, o R2 e o R3, que contêm os vetores do plano e do espaço, respectivamente. Um espaço vetorial é uma estrutura algébrica e como tal possui propriedades 59

60

Espaços Vetoriais

Capítulo 2

espaço

que a definem. Buscaremos inspiração nos vetores do plano e do que são de simples visualização — para encontrar as prOPFIEdªdes necessarias

+

à definição dessa estrutura. Um espaço vetorial deve conter pelo menos um objeto para ser chamado de vetor, então consideraremos somente conjuntos não vamos. Combinar vetores do R3 que representam grandezas físicas (e.g., velocidade ou força) para encontrar uma resultante é fundamental para aplicações a Fisica. Desejamos, assim, que nossa estrutura possua uma operação, chamada de adição vetorial, que combine dois elementos do espaço vetorial, gerando um outro elemento do espaço — diz-se então que o conjunto é fechado nessa operação. O dobro de uma velocidade v é representado no espaço tridimensional por uma flecha com o dobro do comprimento da que representa a velocidade original, escrevendo—se 2v. Mover-se com a mesma velocidade (em valor absoluto), na mesma direção, mas em sentido oposto é representado pelo vetor —v. Assim, desejamos uma outra operação, denominada multiplicação por escalar, para a qual o conjunto dos vetores também seja fechado. É necessário, portanto, incluir na estrutura um conjunto de escalares: os entes matemáticos que podem ser chamados de escalares são elementos de um corpo. A deHnição de corpo está no Apêndice B, mas neste livro faremos uso somente do corpo dos números reais (R) e do corpo dos números complexos ((C). Estes são os quatro ingredientes de um espaço vetorial: um conjunto não vazio de vetores, um corpo de escalares, uma operação de adição de vetores e uma operação de multiplicação de escalar por vetor. Para ambas as operações acima o conjunto de vetores é fechado, ou seja, a soma de dois vetores do conjunto é um vetor do conjunto e o produto de um escalar por um vetor do conjunto também é um vetor do conjunto. Além disso, algumas propriedades dessas operações são desejadas. A ordem da adição dos vetores bem como a maneira de agrupar diversas adições não importam. Assim, a adição deve ser comutativa e associativa. Para cada vetor v do conjunto, queremos que o vetor oposto (—v) também esteja no conjunto e, assim, deve existir um vetor nulo que represente a soma

v + (=V)Desejamos ainda que, por exemplo, o sêxtuplo de um vetor v seja o dobro do triplo de v (isto é, 6v = 2(3v)); que o dobro da soma u + v seja a adição dos dobros de u e v (ou seja, 2(u + v) = 2u + 2v); e que o quíntuplo de v seja

52,1

Espaços e Subespaços Vetoriais

61

a adição do dobro com o triplo de v (isto é, (2 + 3)v = 5v). Por fim, como um corpo possui sempre um elemento neutro da multiplica— ção (a unidade 1), não desejamos que nenhum vetor seja modificado quando multiplicado pela unidade, ou seja, 1v = v. O acima está resumido na seguinte

exposto w

ÉgDefinição

3

.,

Umespaço vetorial consiste de “'”ª" ““ª ª

“"P"

:(

ºi

mis

«.,».—+»

wvg"1“,

nuªs,, WQ ??.—”DE“;

F.,

Misturaçqóçffç.

,,,-.,],

..,

"as..."...

fm,-,,. ;ºzz-fçr"'.vayfª-v“,v

wxW'i-«n'ab'ra,

2.1.

.É

i. um conjunto não vazio V, cujos elementos são chamados de vetores;

.ia—:-136

E]

*:*LW$'

A

:?:-sv; :$wmª—Ms—i—z

definição:

. s a -;

ii. um corpo IF de escalares;

—

iii. uma operação, chamada adição vetorial, que associa dois vetores u e V em V ao vetor 11 + v em V;

sa-êe.

,.»

.

_

“352

?º a

+

.=

“av.—z»:.,,um

iv. e uma operação, chamada multiplicação por escalar, que associa um escalar or 6 ]F e um vetor u 6 V ao vetor ou em V, ,,

que obedecem às seguintes propriedades,

1. u + v = v

+ 11

Vu,

V, W 63

V e Va,

B e F:

(comutativa);

,

+ (V + W) = (u + v) + W

ª

2.

,

3. existe um (único) vetor 0 em V, chamado de vetor nulo, tal que 11 + 0 = 11 (elemento neutro);

i

;

11

(associativa);

4. existe um (único) vetor ——u em V tal que u + (==u) : 0 Ésimétrico); 5. (07,8)u = a(õu)

(associativa);

6. a(u + v) = au + ozv

(distributiva);

'; f

7. (a + 6)u = au + [311

(distributiva);Í

,

8. lu : u

:

(unidade)

naammaaaaaawwwiawraw_,,..-w..-,w.

—=—«——

,-...--4-»

,em;

;,

&

..aliuq

A unicidade do vetor nulo é evidente, pois, se 0 e 0' forem vetores nulos de um mesmo espaço vetorial, então

0'=0'+0=0+0'=0.

Espaços Vetoriais

62

Capítulo 2

O simétrico de cada vetor u tambéme único (ver Exercício 2.1.8). É claro — e mostraremos a seguir — que os vetores do R3 (e do R2) obedecem a todas as condições da Deiinição 2.1, formando, com a adição vetorial e multiplicação por escalar usuais, um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais. Apesar do R2 e do R3 serem os exemplos mais naturais, podemos formar outros espaços vetoriais com os mais diversos entes matemáticos. Por exemplo, matrizes, polinômios ou funções formam espaços vetoriais e os vetores desses espaços são matrizes, polinômios e funções, respectivamente. Vejamos alguns exemplos instrutivos. Exemplo 2.1. Os pares ordenados de números reais u = (u1,u2) formam um espaço vetorial (R2) com as operações de adição vetorial

u+v=(u1+fvl,u2+'v2)

(2.1)

e multiplicação por escalar au = (au1,'au2)

(2.2)

sobre o corpo dos reais. De fato, Vu,v,w & Rº e Va, B e R:

. u+V = (ul +01, uz +02) 6 R, pois tanto ul +v1 quanto uz +02 são reais; e au : (au1,au2) & R, já que aul, auz 6 R, garantindo o fechamento.

A adição é comutativa, pois u+v=(u1 +?)1,U2+'U2) : ('01 +u1,v2+u2) =V+u, já que a adição no corpo dos reais é comutativa.

A adição também é associativa:

u+(v+w) = (u1,u2)+(vl+w1,fu2+w2) : = (U1+U1+w1,U2+vz+w2)= :

(u1+v1,u2+o2)+(w1,w2) : (u+V)+W,

pois a adição de números reais é associativa.

O vetor nulo é 0 = (0,0), já que

u+0= (U1,U2)+(0,0) = (u1+0,u2+0) : (Tl/1,162) =U.

52.1

Espaços e Subespaços Vetoriais

. O Simetrico do vetor

11 =

63

(u1,u2) é —u = (—U1, _00), Pºis

“+ (——u) : (“1,U2)+ (—u1,——u2) = (ul — u1,u2

—— uz) = (0,0) = O.

(amu = (05114, 045%) = 045%, Bªz) = a(Bu)-

As propriedades distributivas também são obedecidas, pois a(u + v) = a(u1 + fu1,u2 + '02) = (a(U1 + '01), a(uz + W)) = = (aul + aol, omg + owz) = :

(auliauz) +(oz'u1,cwz) = au + av;

bem como

(ª +

mu = ((a + B)u1,(a + B)uz))=(au1 + Bul, au2 + pa,)

:

= (ªªh Guz) + (BU/1367112) = au + Bu.

Por fim, lu = 1(u1,u2) = (111,1, luz) = (u1,u2) = u.

O leitor deve estar atento para diferenciar a adição vetorial — definida para o espaço vetorial em questão —, como, por exemplo, em u+v, e a adição entre números reais, como em ul +u2, por exemplo. No Exemplo 2.6, isso ficará bem claro.

[]

Exemplo 2.2. Os vetores u = [ul uz . . . vetorial com as operações de adição vetorial

u+v=['u,1+'01

'U,2+'Ug

un]T do IR" formam um eSpaço

un+vn]T

e multiplicação por escalar

au = [aul auz

...

T

aun]

sobre o corpo dos reais. A demonstração segue diretamente a do Exemplo 2.1 e é deixada como exercício para o estudante (ver Exercício 2.1.1). []

64

Espaços

Vetoriais

Capítulo 2

Exemplo 2.3. As matrizes reais 2 >< 2 formam um espªçº vetorial com as operações de adição vetorial

[a21+b21 022+b22 [ aan aii

A+B= e multiplicação por escalar

aA =

+ bu

012

+ biz

]

aalg

(10,21

CVG/22

sobre o corpo dos reais. Mostremos algumas propriedades deste espaço vetorial. O vetor nulo é dado pela matriz

W

e a matriz

A=[a11 am].

é a simétrica de

021 022

As demonstrações das propriedades restantes são deixadas como exercício. El Exemplo 2.4. As matrizes reais m >< n formam um espaço vetorial com as operações de adição vetorial

A+B=

au + bn

012

+ 1912

a21+b21

ª22+522

+ bml

am2 + bm2

aml

.

--

aln

+ bln

a2n+b2n

- - - amn + bmn

e multiplicação por escalar ... ...

oral,,

Ota/21

00,12 010,22

ac,/ml

aam2 . . .

aamn

Otan

aA =

aagn

sobre o corpo dos reais. O estudante deve demonstrar essa afirmação seguindo o que foi feito nos Exemplos 2.1 e 2.3 (ver Exercício 2.1.2). Ú

52.1

Espaços e Subespaços Vetoriais

65

Todos os espaços vetoriais acima (vetores do R2 e do R", matrizes reais 2 e m >< 71) podem ser Vistos como agrupamentos de 2, n, 4 e mn números reais, respectivamente. No entanto, a Definição 2.1 abrange casos mais gerais, como veremos nos exemplos a seguir.

> R formam um espaço vetorial

O” + g)(ªº) = f (ª?) + g(x) e multiplicação por escalar

(af)(93) = afã“) sobre o corpo dos reais. De fato,

+ g)(w) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (9 + f)(ív), ou seja, a adição vetorial e comutativa. () vetor nulo (O) é dado pela função (f

identicamente nula (f (x) _=_ O, i.e., f (:c) = 0, Va: E R), pois

(f+0)($) = f(x) +0 = f(r)É importante que o estudante demonstre as outras propriedades (ver Exercício 2.1.3). [:| No Exemplo 2.5, fica bem mais clara a diferença entre as operações de adição e multiplicação por escalar definidas no espaço vetorial e a adição e multiplicação de números reais. O próximo exemplo foi escolhido para tornar essa diferença, digamos, extrema: a adição vetorial será definida como a multiplicação de números reais e a multiplicação por escalar será a potenciação de reais. A confusão é proposital: queremos que o leitor compreenda que as Operações de uma espaço vetorial são definidas e, assim, basta que cumpram ªs propriedades da Definição 2.1. Exemplo 2.6. Consideremos o conjunto dos" números reais positivos as seguintes operações xêyzxy

e

R+ com

k©m=xk

sobre o corpo dos reais. Afirmamos que (R+,R, GB, (8) é um espaço vetorial. De fato,

66

Espaços

Vetoriais

Capítulo 2

O conjunto R+ é fechado para a adição vetorial, pois, se a: e y sao reals

o

positivos,

69 y = xy é um número real positivo. E é fechado também para a multiplicação por escalar, pois, se a E R e a: & R+, então :):

sea>0, 0— sea = 0, mª=———>0, seoz0, 046937: ou seja, oz &) :B & R+.

x—11>0,

. A propriedade comutativa da adição vetorial é provada observando—se que a multiplicação de números reais é comutativa: m$y=xy=ycc=y$x.

. O vetor nulo é o número real positivo 1. De fato, x$1=x1=as.

O estudante deve fazer todo o Exercício 2.1.4 para fixar a ideia do caráter abstrato da definição de espaço vetorial.

[]

É importante, portanto, que o leitor exercite seu poder de abstração e imagine os vetores como pontos no espaço vetorial correspondente. Assim, vetores do R3 são pontos do espaço tridimensional; a matriz identidade 3 X 3 é um ponto no espaço das matrizes 3 >< 3; a função seno é um ponto do espaço vetorial das funções reais contínuas a valores reais e não deve ser confundida com o gráfico da função. Nos espaços vetoriais existem subconjuntos especiais, que são eles próprios espaços vetoriais, merecendo assim um nome especial. ª::r +++» as efiniçao 521. in ”sªubyconjimto nao vamo U do espaço vetorial "V“ê .:,f

“' ubespaço aí

F. ii?

É;

%

.

+“

”ª'—“ªmpere

Mªas?

xvi/';"?

»,

»

+

+++

+

vetorial de V se, para quaisquer u e v em U e qualquer escalar

u+v 6 U e

1.

ii.

(rue

U,

ªim, & sairãº. retinal e a, multírlíc são. ,pºr escªlarsersladas de lá, r

, «mail??» WMM“.

«

;*.ssmaàwMM'imaginem—.

3%me

._

(r,

52.1

Espaços e Subespaços Vetoriais

67

Um subespaço vetorial U, como o definido acima, obedece, de fato, as todas as propriedades da Definição 2.1. Senão vejamos: as propriedades 1, 2, 5, 6, 7 e 8 e as de fechamento das operações de adição vetorial e multiplicação por escalar são facilmente demonstráveis (ver Exercício 2.1.11). Para mostrarmos que o vetor nulo está no subespaço U, basta notar que Ov 6 U, pelo item ii da Deiinição 2.1, e que Ov : 0, para qualquer v 6 U. De fato, v+0v= 1v+0v= (1+O)v= 1v=v. Por fim, se v 6 U, seu simétrico também estará em U, isto é, —V e U, pois (—1)v e U, pelo ítem ii da Definição 2.1, e (—1)v = —v. De fato,

v+ (—1)v : 1v+ (—1)v : (1 + (—1))v : Ov : 0. Exemplo 2.7. Todos os vetores [x a: O]T formam um subespaço vetorial do R3, com as operações usuais e o corpo dos reais. De fato, se u,v E

[[x x 0]T€R3]ea€lR,

u+v=

ul ul

O

+

'U1 '01

'LL1 :

O

+ 171

ul+fo+L O

azul

e

au:

am 0

serão ambos elementos de [[x x 0]T & R3]. Mas os vetores [a: ss 1]T não formam um subespaço vetorial do R3, basnão está nessa forma. tando perceber que o vetor nulo [O O [I

DF

*

A partir de dois subespaços W1 e W2 de um espaço vetorial V podemos formar alguns subespaços interessantes. O primeiro deles é W1 O Wg, que é de fato um subespaço de V, pois, se u, v 6 W1 O W2 e a é um escalar,

u,v€W1

e

u,veW2,

e, como W1 e Wº são subespaços, H+VGW1,

auEW1, u+vGW2

e

aueWz,

A união de subespaços, W1 U Wg, entretanto, não é um subespaço vetorial, geralmente (ver Exercício 2.1.15). Há, porém, maneiras de combinar os vetores de dois subespaços para formar um terceiro:

68

Espaços

Vetoriais

Capítulo 2

;Dêiªi'hiçãó 2.1.2“. 'Smejlaniill/Tãe Wº subespaçosde um esrmço Vetorlai V. %,,junto

(3

“ceiª .

lª'Vi

,

+ % = [w1 + wº

é a soma dos subespaços W, .?

WI

e W;. Se

W'fi

:

: w, &

Fl

W2 : fºi,

o Wg

e ng,

ªª,

j será,?hªmªdº de. ,.89m0_,diir,citae denºtªdº.P,??..,W1. $,%: Pedimos para o estudante demonstrar que W1 + Wz é de fato um subespaço vetorial no Exercício 2.1.15. Uma propriedade importante da soma direta é que cada elemento de WI EBWZ pode ser escrito unicamente como W : wl +w2, sendo wl G W1 e w2 € W2 (ver Exercício 2.1.16). A partir de agora, quando não indicarmos explicitamente o corpo a que se refere o espaço vetorial, deveremos tomar o corpo dos números reais. De maneira análoga, as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar serão as usuais, a menos que definidas explicitamente de outra forma.

EXERCÍCIOS 2.1.1 Mostre que os vetores do IR", no Exemplo 2.2, formam, com as operações ali definidas e o corpo dos reais, um espaço vetorial.

2.1.2 Mostre que as matrizes reais m >< n formam um espaço vetorial considerando-se o corpo dos números reais e as operações definidas no Exemplo 2.4.

2.1.3 Mostre que as funções reais definidas e contínuas em todos os números reais formam, juntamente com O corpo dos reais e as operações definidas no Exemplo 2.5, um espaço vetorial. 2.1.4 Considere o conjunto dos números reais positivos IR+ e defina as seguintes operações e kcc=xk w$y=wy sobre o corpo dos reais. Mostre que RJ,, com as operações acima, é um espaço vetorial. Que número representa o vetor nulo? E o simétrico de $

6

K+?

&&

Espaços e Subespaços Vetoriais

69

2.1.5 Considere V = R2 e defina as seguintes operações

u+V=('U.1+'U1,7J.2+'02) para

u, v

eau=(04u130)v

6 V e qualquer real k. Mostre que

V, com as operações acima,

nao e um espaço vetorial.

2.1.6 Mostre que nem o conjunto das matrizes singulares 2 >< 2, nem o conjunto das matrizes não singulares 2 x 2 formam um subespaço do espaço vetorial das matrizes 2 >< 2.

2.1.7 Seja ”P,, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n, sendo n um inteiro positivo fixo, com a adição de polinômios e a multiplicação por escalar usuais. Pn é um espaço vetorial? Prove sua afirmação. E os polinômios de grau exatamente igual a n'? Por quê? 2.1.8 Demonstre a unicidade do simétrico (—v) de cada vetor v de um espaço vetorial. .

2.1.9 Deolda

.

quals

. . .. . . 2 dos subconjuntos abaixo sao subespaços vetoriais do R .

ªiªwHw—y—mayGRl b. [(w,y)|w+y=0,x,y€R] c. [(w,y)|w—y=1,m,y€R] d. [(ar,y)|a:y=0,sc,yele.

[(x,y)lxº+y2=0,$ay€Rlf. [(x,y)lxº—y2=0,w,y€Rl-

e

2.1.10 Considere uma matriz real A m >< n. Mostre que os vetores x 6 IR“ tais que Ax : O formam um subespaço vetorial do R". Podemos afirmar que os vetores y 6 R” tais que Ay = b 74 0 também formam um subeSpaço vetorial do R"? Por quê?

um espaço vetorial 2.1.11 Mostre ? com detalhes, que um subeSpaço U de . ..V obedece , a todas as propriedades de um espaço vetorial, dadas na Definição 2.1.

2.1.12 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo E Se IF : R ou E“ = (C, mostre ossui um ou infinitos vetores. Você conseguique qualquer subespaço de V p ria conceber um espaço vetoria 1 com exatamente dois vetores? Sobre qual corpo?

70

Espaços

Vetoriais

Capítulo 2

2.1.1?» Seja V o espaço vetorial das matrizes reais n >< n. Mostre que 0 Cºnjunto das matrizes simétricas reais n >< n é um subespaço vetOlflª1 de V-

2.1.14 Seja V o espaço vetorial das matrizes nx n. Dada uma matriz A 6 V, mostre que o conjunto das matrizes que comutam com A, W = fX | AX : XA), e um subespaço vetorial de V. 2.1.15 Sejam &.

W1 e W2

subespaços de um espaço vetorial V.

Mostre que W1 O W2 é um subespaço de V.

b. Dê um contraexemplo para provar que subespaço de V.

c. Mostre que paço de V.

W1 + W2 : [wl + W2 | wl

E

W1

U

W2 nem

W1 e W2

sempre é um

E Wg] é um subes-

d. Mostre que W1 + W2 é o menor subespaço de V que contém W1 U Wg, ou seja, o menor conjunto que contém todos os elementos de W1 U W2 e é um subespaço vetorial.

2.1.16 Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V'. Mostre que cada elemento de W1 63 Wz pode ser escrito unicamente como w : wl + W2, sendo W1 E W1 e W2 E W2.

2.1.17 Dê exemplo de um vetor não nulo u 6 R3 que pode ser decomposto de duas maneiras distintas:

u=v1+W1

e

u=v2+w2,

sendo V1,V2 & V e W1,W2 6 W, com V e W dois subespaços distintos de

R3.

52.2

2.2

Independência

Linear, Base e Dimensão

Independência

71

Linear, Base

e Dimensão

A Definição 1. 1, do capítulo anterior, nos diz o que é uma combinação linear de vetores dO R", considerando os números reais como escalares e as operações usuais do R" de adição vetorial e multiplicação por escalar. Com nosso conhecimento de espaços vetoriais, podemos agora definir combinação linear para um espaço vetorial genérico.

ºeíinlçao23.SejaV um espaçovetorialUmacombinaçaolinear dos vetoreâ ,u,, de V é um vetor da forma : 1,— «7.

%

+.;-

'vÉ

'ª s ,

a1u1+a2u2+---+a,,u,,,

,

:'J

N'

endo 041, . . ,ozn escalares do corpo de V, com as operações de adição vetorial .RhçªEªQrPOIescalardefinidasem VW “nª mult .

.,

Tomemos agora dois vetores u e v em um espaço vetorial V. Se fizermos todas as combinações lineares possíveis com u e v, que tipo de subconjunto de V formaremos? Pela Definição 2.1, é fácil ver que esse subconjunto é um subespaço vetorial de V. De fato, chamando de U 0 subconjunto de todas as combinações lineares dos vetores u e v, se wl e Wg estiverem em U, então existirão escalares 0411, am, 0421 e om tais que Wl : amu

Daí,

+ amv

€

W2 : ()(2111 + 0122V .

(all + 32011 +(a12 + a22)V, que esta em U, e, para qualquer escalar B , W1

+ Wz

:

BW1 : (5041011 + (Bºm)v nome. merece ter seu próprio que também está em U. Essetipodesubespaço

subespaço vetorial gerado pelos vetores de S (ou por S) é o conjunto de todas,%

gas combinações lineares m'

alul

+ dºug + - - + a,,u,, º

u ã m . ó a £ 4 x n, ú « M 3 ; “

“W

lilo vr ioies do S Alternativamente, dizemos que S gera o subespaço U se todos ªgp].

u em Upudersexescritocomo umacombinaçaolineardevetoresemSai

72

Espaços

Vetoriais

Capítulo 2

--

NOTAÇõES. Podemos indicar o subespaço geradº pelos vetores lula - , uni unlpor n. Como [v1,v2, . . . ,vn) é uma base de V, W1,W2,..-,Wm podem ser escritos como combinações lineares de v1, . . . ,vn:

+ 021V2 + W2 = a12V1 + ª22V2 +

WI = a11V1

Wm : almvl

' ' ' ' ' '

+ a2mv2 +

+ anivn + %an

' ' '

+ anmvn -

Para provarmos que W1,W2, . . . ,wm são linearmente dependentes, considere— mos a equação vetorial

Blwl +52W2+"'+5me =O, que, com o uso das equações acima, se torna

(516111 + Bzam + ' ' ' + ªmªm)“ + ' ' ' + (Biani + Bzanz + ' ' ' + Bmanm)vn : 0 .

Mas v1, V2, . . . , v,, são linearmente independentes e, portanto, cada termo entre parênteses deve ser nulo. Ou seja,

+ aimBm = 0 a21,31 + 61/2252 + + aszm = 0 a1151 + &1252 +

' ' '

' ' '

anlBl + “11.262 +

' ' '

+ anmôm : O,

que é um sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações (m > n), tendo, assim, soluções não triviais. Portanto, os vetores w1,w2, . . ,wm são

_

Espaços Vetoriais

76

Capítulo 2

linearmente dependentes, o que contradiz a hipótese deles formarem uma base. Então, m não pode ser maior do que n. (1 Se supusermos m < n, basta reproduzir o exposto ac1ma trocan o m por n e chegaremos a uma nova contradição. Então, só podemos ter m = n.

[]

E agora podemos definir a dimensão de um espaço vetorlal.

ªefiniçao 2.8. A cízmensao de um espaço vetorial de dimensao finita V e ânúmero de vetores de qualquer uma de suas bases. Escreve—se d1m(V) paraª otaradxmensàodel/z

_.

.

,

»

,. _

_

A

Exemplo 2.12. Vejamos alguns exemplos de espaços vetoriais com suas res— pectivas bases e dimensões. A base canônica do R2 é «[[1 DF, [0 HT], então dim(lR2) : 2. O R" tem dimensão n, pois sua base canônica, vista no Exemplo 2.10, possui n vetores. O espaço gerado por um vetor não nulo v tem dimensão 1, já que [v) é uma de suas bases. Por sua vez, o espaço gerado apenas pelo vetor nulo tem dimensão 0 (zero), já que sua base é o conjunto vazio. (1, as, 562, 333] é uma base do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3, portanto este espaço tem dimensão 4. O espaço das matrizes reais 2 >< 2 tem dimensão 4 e uma de suas bases é

ª

llâãllgãlliãlmll-

De posse das definições desta seção, podemos enunciar o resultado que nos possibilita completar a base de um subespaço até conseguir uma base do espaço vetorial em questão.

rãposfçãªoêwímêjá ”W umºsubéêªpaªçó de" um ”"espaço vetõiªfãrfªfff deõimensa ª' — ªmnita, com dim(U) : n e dim(W) : r. Se "'—“ªªª “Gªitª,-vímvzn “'

'

íw1,W2,. . . ,WT) Or

uma base de W, poderemos escolher n — r vetores de U, u,“, u,“,

[W17W27'H3W7'3u7'+17ur+2,...,u")

dumàbªbe de U

,,

.

.

_

,

_ _ , um, , ,

_,;

52.2

Independência

Linear, Base e Dimensão

77

Demonstração. Se W = U, nada há para fazer. Se W Ç U, então podemos escolher um vetor não nulo ur+1 de U que não esteja em W. Assim,

Bl : lW17W27

' ' '

awra 117—4.1]

será um conjunto L.I., pois, se fosse L.D., u,,“ e W. Se n = r + 1, teremos conseguido n vetores L.I., i.e., uma base de U (ver Exercício 2.2.12). Caso contrário, prosseguiremos o raciocínio, tomando ur+2 6 U tal que ur+2 É W e os vetores u,,“ e ur+2 sejam L.I., acrescentando—o à [31 e verificando se

82 : [W17W27

' ' '

vwra IL,-+1, Uri-2]

é uma base de U, e assim sucessivamente. Esses passos não podem se repetir indefinidamente, pois, neste caso, a dimensão de U seria infinita, o que contradiz a hipótese da proposição. []

As dimensões da soma de subespaços e de sua interseção estão relacionadas na proposição seguinte.

Demonstração. Consideremos uma base de W1 O W2:

Bwlnw2 : [WI,WQ, . . . ,Wr] . Pela Proposição 2.1, podemos completar as bases de

BW, : [W1,...,Wr,u1,...,up]

e

W1 e W2 e considerar

BW, : [w1,...,wr,v1,...,vq) .

Os vetores do conjunto

3 : [W17' . .,WT,111,...,up,V1,...,Vq) geram

W1 + Wº. Queremos mostrar que esses vetores são L.I., para isso con-

sideremos

a1w1+...arwr+51u1+"'+ÚpU—p+71V1+"'+'YqVq=O.

(2.3)

Espaços Vetoriais

78

Capítulo 2

Escrevendo

61111 +"'+Bpup : _(a1W1+...aTWT+')/1V1 +...+7qvq), Vªmºs

que

Bim +

+ Bpup

& Wg.

Mas, Blul

+

+ Bpup e um vetor

de

Wl, então é um vetor da interseção WI 0 W2 e podemos escreve-lo como uma combinação linear dos vetores de W1 FW W2, i.e., 51111+"'+Úpup=51W1+"'+õrW7—,

ou ainda,

Blu1+"'+,8pup—õlwl—H'— TW'I'IO'

Percebendo que os vetores ul, . . . , up,w1, . . . ,WT. formam a base BW“ temos = 6, = 0. Isso reduz a equação (2.3) a que 51 == B,, = 51 =

alwl+--—arwr+'YIV1 +"'+'YqVq : O.

Como os vetores acima formam a base BWZ, são L.I., então al = - - - = a, = 71 = :: 'yq : O, ou seja, os vetores de B são, de fato, L.I. e B é uma base de W1 + W2. POI fim, dim(W1 + Wz) + dim(W1 O Wz) = (r + p + q) + r = (T+p)+(r+q) = dim(W1) + dim(W2) , que é o resultado desejado.

|:]

Vimos, então, que um espaço vetorial não trivial de dimensão finita possui infinitas bases. Escolhendo uma dessas bases, poderemos escrever cada vetor desse espaço como uma combinação linear dos vetores da base. Como fazer isso de maneira unívoca será o assunto da próxima seção.

92.2

Independencza

Linear, Base e Dimensão

79

EXERCÍCIOS 2.2.1 Considere R o subespaço (do Rm) gerado pelas n colunas de uma matriz X n. Qual é a condição a ser satisfeita pelo sistema Ax : b, com real b 6 R , para que b pertença a R? Justifique sua resposta.

Amm

2.2.2 Os

[2

ºl = [1 0 Olª”. 82 = [0 1 OF, 83 = [0 0 1]T e w = Vºtº”; 3 0] são claramente L.D. Escreva w como combinação linear de el,

82 e e3. Mostre que e3 não pode ser escrito como combinação linear de el, 82 e W.

2.2.3 Sejam u, v e W vetores de um espaço vetorial V. Os vetores u — v, v — w e w — u são L.I. ou L.D.? 2.2.4 Sejam u, v e w vetores L.I. de um espaço vetorial V. Os vetores 11, e u + v + w são L.I. ou L.D.?

U

+v

2.2.5 Seja U um conjunto finito de vetores L.I. de um espaço vetorial V e seja W um subconjunto próprio não vazio de U. Mostre que os vetores de W são L.I.

2.2.6 Seja U um conjunto finito de vetores de um espaço vetorial V. Mostre que, se existe um subconjunto não vazio de U formado por vetores L.D., então os vetores de U são L.D.

2.2.7 Mostre que, se v1, alvl

v2, . . . , vk são vetores de um espaço vetorial akvk = 0, com oq, ..., ak escalares e ak

+ a2v2 + - - - +

V tais que # 0, então

span[v1, . . . ,vk_1) = span[v1, . . . ,vk]. 2.2.8 Sejam V : (“,sz e W : [WI,W2,W3]* dois conjuntos de vetores L.I. de um espaço vetorial U tais que VU W também é um conjunto de vetores L.I. Mostre que spaan] D span[W] = (0).

2.2.9 Encontre uma base para o espaço das matrizes reais 2 >< 2 (denotado por szz) sobre o corpo dos reais. Qual é a dimensão desse espaço?

2.2.10 Encontre uma base para o espaço das matrizes reais simétricas 2 >< 2. Qual é a dimensão desse espaço? Você conseguiria obter um resultado similar para as matrizes hermitianas sobre o corpo dos números complexos? E sobre o corpo dos números reais? Por que?

Espaços Vetoriais

80

Capítulo 2

2.2.11 Encontre uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 5 (denotado por P5). Qual é a dimensão desse espaço?

2.2.12 Suponha que um espaço vetorial V tenha dimensão finita n. Prove que a. se n vetores de V são L.I., então eles formam uma base de V; b. se n vetores geram V, então eles formam uma base de V.

Note que isso nos garante que, sabendo que dim(V) = n, basta procurarmos por n vetores L.I. ou por n vetores que geram V para determinar uma base de V. 2.2.13 Seja W um subespaço de um espaço vetorial V de dimensão finita. Mostre que dim(W) 5 dim(V), e que dim(W) = dim(V) se, e somente se, W = V. 2.2.14 Seja W = [X | AX = X A] o subespaço das matrizes que comutam com a matriz 2 x 2 A. Encontre uma base para W nos casos em que A for:

[0a]. aO

b.[0b],b76a. 411] aO

10

923

Base Ordenado e Mudança de Base

81

Base Ordenada e Mudança de Base Quando estudamos Geometria Euclidiana, os objetos matemáticos de in—

2.3

teresse estao como que “soltos” no plano: dois triângulos, por exemplo, serão congruentes se possuírem três lados ordenadamente congruentes, não importando a posição de seus vértices no plano. Sendo uma noção relativa, a posição de um objeto no plano necessita de referenciais, como a origem e os eixos coordenados que escolhemos na Geo— metria Analítica. Adotando, por fim, uma unidade de comprimento, podemos realizar todos os cálculos associados a essa disciplina. Nas aulas de Física, vetores do plano ou do espaço são definidos como entes matemáticos que possuem módulo, direção e sentido. Assim, dois vetores são ditos iguais ou equivalentes, se possuírem o mesmo módulo, direção e sentido. Para manipularmos explicitamente vetores, precisamos escrevê—los em termos de suas coordenadas — cuja definição formalizaremos em breve —, que dependem, por suas vez, da escolha de uma origem de eixos coordenados. Assim é feito em Geometria Analítica Vetorial. Mais genericamente, também os vetores que definimos como elementos de um espaço vetorial (ver Definição 2.1) podem ser escritos de diferentes ma— neiras, dependendo da base escolhida para gerar o espaço vetorial ao qual pertencem. Urna analogia poderá ajudar o leitor: assim como Griffin, o Homem Invisível do romance de Hcção científica de H. G. Wells, só era percebido quando vestido com roupas e chapéu, os vetores só podem ser escritos como listas de números quando “vestidos” com coordenadas. As coordenadas — como as roupas do Homem Invisível —— podem ser diferentes para um mesmo vetor, dependendo da base escolhida para gerar o espaço em questão. No Exemplo 2.10, o vetor v do plano foi escrito como

”likid—W

pois o conjunto C = [[1 0]T, [0 HT) fora escolhido para ser uma base do R2. Mas, sendo C um conjunto, a ordem de seus elementos não importa e poderíamos ter escrito

v=l"ãl=—3l?l+ºlâl

Espaços Vetoriais

82

Capítulo 2

Para evitar esse tipo de ambiguidade, definimos:

uma

um

dimensaª numª

espaçovetorial de base Éde Ébefinlçao2. 9. Dizse que finita é uma base ordenada. se os elementos de B são considerados em

”ordem fixa (istoé_,primeiroelementosegundoelementoetc).,.,,,—“WJ No exemplo anterior, consideramos C como uma base ordenada para escrever v = [2 — 3]T. Quando não houver risco de confusão, usaremos indistintamente os termos base e base ordenada. É importante perceber que a representação de um vetor por suas coordenadas prescinde da escolha de eixos coordenados, como na Geometria Analítica, mas necessita somente de uma base ordenada do espaço vetorial em questão, por mais abstrato que este seja. O exemplo a seguir ilustrará isso. Exemplo 2.13. Se B = [u,v] for uma base ordenada de um espaço vetorial V, então escrever W = [2 1]T nesta base significará que

W=2u+1v, não importando que tipo objeto matemático é representado pelos elementos de V. Assim, se V for espaço dos polinômios em t de grau menor ou igual a 1, podemos escolher u = 2 e v = 3 +t para formar uma base ordenada B de V. Então, [W]3 = [—1 1]T significa que1

w : (—1)u + (1)v = (——1)2 + (1)(3 + t) = 1 + t.

Na base ordenada C = [l,t], teremos [W]C : [1 1]T.

[]

A escolha de uma base para um espaço vetorial V é arbitrária, mas uma vez escolhida a base ordenada, cada vetor de V possui uma única representação nesta base ordenada. É o que nos garante a proposição a seguir. »;p; W:?

Éraposrçao 2.3Seja umespaçõvetorial de d'mensaofi'nitawWÉ ibase ordenada de V. Se v E V, então v possuirá uma única representaçao 91

gelaçaoaB

.

.

__

.,

_»_ÉA,. .» ,a.

..,...i

i'a'»ª..k«...,;.=i.n .;

,

_,,_._ ,, u,, ,,

»ummi

'-..

,.

1Os colchetes em torno do vetor indicarão, nesta seção e na Seção 6.3, representado em relação

a base assinalada no subscrito.

':...»

Aªaa"

_

,,

,

“_

que ele está.

52.3

Base Ordenada e Mudança de Base

83

Demonstraçao. supºnhamos que B = [ul, 112, . . . , un) seja uma base ordenada de V, entao ex1stem escalares a,, aº, . . , a,, tais que

V=011u1+0£2112+-º-+a,,u,,, pois B gera V. Suponhamos que v possa ser escrito como

V=Biui+62u2+-—-+Bnun, então

(ªl*Bi)u1+(a2—Bg)u2+--—+(an—B,,)u,,=v—v=0. Mas, como os vetores ul, u2, . ., u,, pertencem a uma base, eles devem ser linearmente independentes e, portanto,

al:/81,

(12:62,

"'a

an=BN7

isto é, as coordenadas de v estão unicamente determinadas uma vez escolhida uma base ordenada para V. |]

Com a Proposição 2.3, podemos formalizar a definição de coordenadas de um vetor, termo que usamos até agora apoiados no conhecimento analógico proveniente de outras disciplinas que o leitor certamente possui.

Éefiúição 2.10. sejam—:B ="4[ui,”ii2,l. ,u,,] uiha'*“15"á”se“orãéf1adá de um eSpaçã Évetorial V de dimensão finita. Se

«»

,

“ : w v n ê 'Q — Í T W

v=a1u1+oz2u2+---+oz,,u,,, _

-í/am,sgaliªM

«< 2, haverá uma matriz de mudança de base de C para B? A resposta a essa pergunta ficará para o Capítulo 6, quando estudarmos os isomorjismos. Voltaremos a discutir bases ordenadas e mudanças de base nos Capítulos 3 e 5 , ao buscarmos bases mais adequadas à compreensão e resolução de certos problemas.

88

Espaços Vetoriais

Capítulo 2

EXERCÍCIOS 2.3.1 Encontre as representações do vetor [V]c = [1 ordenadas do R2:

a.,mHan-

— 2]T nas seguintes bases

º'Bªºflgliãli'

wilílilili-

“FWH-;])

3]T

2.3.2 Encontre as representações do vetor [Vlc = [1 2 ordenadas do R3: a. [31 =

1 1 0

,

1 0 1

,

0 1 1

b.

.

nas seguintes bases

1 0 O

82 =

Encontre ainda a matriz de mudança de base de Bl para

,

1 1 O

,

1 1 1

82.

2.3.3 No Exemplo 2.16, complete as bases B e D para bases ordenadas do encontre a matriz de transição de B para D.

R3

e

2.3.4 Encontre a representação do vetor [VlC = [2 4 O]T pertencente ao subespaço W do R3 em relação à seguinte base ordenada de W:

B=

1 1 0

,

—1 1 O

,

utilizando dois métodos: no primeiro, resolva um sistema de equações como no Exemplo 2.16; no segundo, complete B para uma base de R3 e encontre a matriz de mudança da base canônica C para B.

2.3.5 Encontre a representação do vetor [v]c = [1 i 1]T em relação à base ordenada B = [[1 O OlT, [0 i 0]T, [1 i 1 + HT] do C3 (sobre o corpo (3).

2.3.6 Considere as bases ordenadas do espaço vetorial das matrizes reais 2 >< 2:

esta W all? ãllã ªll

52.3

Base Ordenada e Mudança de Base

.=“,

m allí àHí ill-

Encontre a representação da matriz

na base B.

90

2.4

Espaços Vetoriais

Capítulo 2

Os Quatro Subespaços Fundamentais

Um primeiro curso de Álgebra Linear costuma iniciar, como fizemos, com uma exposição sobre sistemas de equações lineares, apresentandº O método de eliminação de Gauss e suas variações, seguido por uma boa quantidade de exercícios sobre resolução de sistemas. Alguns estudantes ficam, então, com a falsa impressão que o curso não passará de um rol de métodos a serem deco— rados. Mas, tão logo atinjam o capítulo sobre espaços vetoriais, a impressão anterior muda para uma outra, tão errônea e nociva quanto a primeira, a de que o curso se perderá em abstrações desnecessárias —— afinal, quem poderia se interessar por espaços com dimensão maior que 3? Os quatro subespaços que apresentaremos a seguir serão nosso primeiro exemplo da interligação existente entre definições abstratas — como subespaço, independência linear e base — e a resolução de sistemas de equações lineares. Optamos por apresentar cada um dos quatro subespaços fundamentais se— paradamente. A definição de cada subespaço é seguida por um exemplo no qual calculamos uma base e, então, demonstramos uma ou mais proposições que justificam o método de cálculo da base. Nestes exemplos utilizaremos as

mesmas matrizes A e U. Desde do início, representamos os vetores do Rm como vetores-coluna (ou matrizes-coluna m >< 1). Surgirão agora expressões como “as linhas da matriz A formam um subespaço...”, que podem confundir o estudante. Para evitar ambiguidades, o leitor deve fazer sempre a seguinte tradução mental: “a primeira linha da matriz A...” significa “o vetor-coluna cujas entradas correspondem às entradas da primeira linha da matriz A...”. Sem mais demora, apresentamos o primeiro subespaço fundamental.

Atenção para a tradução: O espaço-linha de uma matriz A é o espaço gerado pelos vetores(-coluna) cujas entradas correspondem as entradas das linhas de A. A estranheza inicial causada pela presença da matriz transposta de A na notação de espaço-linha será sanada em breve. Uma observação óbvia é que, se A for uma matriz real m >< n, o espaço—linha de A será um subespaço do IR". Vejamos um exemplo.

52,4

91

Os Quatro Subespaços Fundamentais

Exemplo 2.17. Se

A:

então

R(AT)=span

O 1 2 3 4 O 1 2 4 6 O 0 O 2 4 O 1 2 3 4

,

O

,

1 2 4 6

,

0 0 0 2 4

D

No Exemplo 2.17, vemos claramente que os três vetores que representam as linhas de A são linearmente dependentes, não podendo, portanto, constituir uma base de R(AT). Como então, dada uma matriz A m >< n, obter uma base para ??,(AT)? Utilizaremos a forma escalonada (U) de A, para obter bases para R(AT) e 'R(UT), justificando o procedimento em seguida. Exemplo 2.18. Considerando a decomposição LU de A:

01234

00024

1 0 0 110 O 21

012 3 4 0 0 O 1 2 0 O 0 0 0

=LU,

uma base para o espaço-linha de U é formada pelas primeira e segunda linhas, as que apresentam pivôs. E mais,

base de R(AT ) = base de n(UT) = [[o 1 2 3

nª", [0

0 0 1

215.

Poderíamos ainda ter escrito

basede'R(AT)=[[0 1 2 3 4]T,[0 1 2 4 õlT], que são as linhas correspondentes na matriz

A, pois operações elementares

sobre as linhas de uma matriz não alteram seu espaço-linha. Quando houver trocas de linhas na eliminação gaussiana, a escolha dos vetores da base deve ser feita de acordo com essas trocas, isto é, deve—se escolher as linhas de PA correspondentes às linhas não nulas de U, sendo P a matriz de trocas de linhas D da decomposição PA = LU.

Espaços Vetoriais

92

Vamos

Capítulo 2

as justificativas.

;PTOPOSiçao 2.4. Numa matriz escalonada, as linhas que possuem prOS fo ., www——-w-.;.7,..,

"'máã'í'"""“ªªªf“'r

.

»

www—.»-

.

..

=.

.

,. ..

.

,

«.,, "3.

.,

“3155”

a,

sºªmumªbªbedºssaagelinlgadestamatnz

.?< n com posto(A)— _ 7“, então &.

www:: grass-zw&?“ .?“:ªa,“

da Álgebra L1near)Se (Á fôr

uma

ª'

dim(“R,(A)) = 7";

b. dim(N(AT)) = m —— r;

Demonstração. A demonstração desta parte do Teorema Fundamental da Álgebra Linear é bastante simples. Por definição dim(R(A)) = posto(A) = 7'. Como uma base do espaçocoluna de A é formada pelas colunas de A correspondentes às colunas de sua forma escalonada U que possuem pivôs, então o posto de A é o número de pivôs de U. A dimensão do espaço—linha de A também é dada pelo posto(A), pois to— mamos as linhas de A correspondentes às linhas que possuem pivôs em U para formarmos uma base de R(AT). O número de variáveis básicas do sistema Ax : O é o número de pivôs de U, sendo, portanto, igual ao posto(A). Já o número de variáveis livres do sistemas é o número de colunas de A menos o número de variáveis básicas, i.e., n —— 7". Mas o número de variáveis livres é a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo, que é a dimensão do espaço-nulo de A. Assim, a dimensão do espaço-nulo de A é n — 1".

52.4

101

Os Quatro Subespaços Fundamentais

Até aqui mostramos que a dimensão do espaço—nulo de uma matriz é o número de colunas dessa matriz menos o posto da matriz. Ora, posto(AT) = posto(A), pois o espaço-coluna de AT é o espaço-linha de A. O espaço-nulo esquerdo de A, nada mais é que o espaço-nulo de AT, então, pelo que ja foi demonstrado, a dimensão do espaço-nulo de AT é o número de colunas de AT (isto é, o número de linhas de A), que é m, menos o posto de AT, que é r. Então, dim(N(AT)) = m — r. [3

Por fim, gostaríamos de complementar a observação feita acima. Para uma matriz real A, não só N (A) e R(AT) são subespaços do IR", mas são subespaços complementares, pois “dividem” o R" em duas “partes”. Mais formalmente, o Corolário 2.1 garante que R(A) e N(AT) = nm

e

Assim, pelo Exercício 2.1.16, cada x

R(AT) e N (A) = R" . E R" pode ser decomposto unicamente

na soma de dois vetores: xl pertencente ao espaço—linha de A e x,, do espaço— nulo de A, x = X, + X". De maneira análoga, um vetor y & Rm pode ser unicamente decomposto em y = yc + yne, onde ye € R(A) e y...: 6 N (AT)-

EXERCÍCIOS 2.4.1 Encontre bases para os quatros subespaços fundamentais das matrizes abaixo e bases para os quatros subespaços fundamentais de suas formas escalonadas.

'1—21 a.2—-14 3—22

111 1—1—1 211

c.

2—54 443 6—18

'1—34-254

—12045_3

d'2—69—197

3—72014 2—52461 4—924-47

2—69—182

_1—34-254

2.4.2 Encontre uma matriz real 3 >< 3 cujo espaço—nulo é o eixo 3; e o espaço-coluna é o plano mz.

Espaços

102

Vetoriais

mesmº

Capítulo 2

SUPGSPªÇO 2.4.3 Na Proposição 2.5, mostramos que as linhas A geram 0 que as linhas de U e vice—versa, mas o que garante que as linhas nao de U são vetores linearmente independentes para que possamos toma-las como base de R(UT)? Mostre esse fato.

nulas

2.4.4 Inspirando—se na Proposição 2.7, mostre que as linhas de uma matriz A correspondentes às linhas com pivôs de sua forma escalonada U sao llnearmente independentes.

2.4.5 Dê um contraexemplo para refutar a afirmação “se A e' quadrada, então R(A) = R(AT)”. Quando essa afirmação é verdadeira?

2.4.6 Mostre que uma matriz quadrada será invertível se, e somente se, suas colunas forem vetores linearmente independentes.

2.4.7 Mostre que se AB = 0, então R(B) C N(A). 2.4.8 Mostre que se AB = 0, então 'R(AT) C N(BT). 2.4.9 Se A é uma matriz m x n, com m 5 n, qual a relação entre m, n e posto(A)?

2.4.10 Se A é uma matriz real simétrica, mostre que R(A) = 'R(AT) e N (A) = N (AT). Não manipule notações: use as definições de cada subespaço.

2.4.11 Considere a matriz A do Exemplo 2.18. Decomponha o vetor do R5 [1 — 3 5 19 12]T na soma dos vetores X; & R(AT) e x,, & N(A). 2.4.12 Considere novamente a matriz A do Exemplo 2.18. Decomponha o vetor [—1 9 2]T & R3 na soma dos vetores xc & ??,(A) e xne e N(AT).

52.5

Subespaços

Fundamentais, SistemasLineares e Invertibilidade

103

Subespaços Fundamentais, Sistemas Lineares e Invertibilidade

2.5

É chegada a hora de relacionarmos os quatro subespaços fundamentais de uma matriz com o que aprendemos sobre sistemas de equações lineares. Comecemos por formalizar uma definição já vista no Capítulo 1.

'ªêâiii'çãiãªêâªií' "Sejamà iimwãªrffãt'É—TZÇÉÉWH ebum "G&G? alemanha sistema Ax = b é dito consistente, se existir pelo menos um vetor na, .

-

Hªga

»

.

“nas...“

......

.

.,.

...,-.. ,

.,

_,

“,“,

...:,

(

..«

*.“

luªnª

.,

=M

as,-4134»;

».!"

:'«

»

Com o conhecimento dos subespaços fundamentais, o teorema a seguir é facilmente demonstrado.

_

«,,,-,, eorema 2.3. O Sistema (1_ equaçoes rªfª lineares Ax = b será consrstente se, " asntese, 13. estiver no. ,esnegºfçº,1unesisflz,

“735,3.“ zªg—.» grs.—=»;

.

.

.

«Nonatª—, ;

“*º*“?ªW'r-Yªív'éf

.—, sul».'j«.faa WW,-< n, com posto(A) = n, então o sistema Ax : b será sempre consistente, Vb & Rm.

52.5

Subespaços,

Sistemas Lineares e Invertibilidade

107

2.5.2 Dê um exemplo de duas matrizes 2 x 2 A e B tais que

posto(AB)

< miníposto(A), posto(B)) .

2.5.3 Demonstre o Corolário 2.3. 2.5.4 Seja A uma matriz 3 x 3 invertível. Cada equação linear do sistema Ax = b representa que objeto geométrico? Quais são suas posições relativas? Que objeto geométrico é representado pela solução do sistema? E se b = 0? 2.5.5 Seja A uma matriz 3 >< 3 não invertível. Cada equação linear do sistema Ax = b representa que objeto geométrico? Quais são suas possíveis posições relativas? E se b = O?

108

2.6

Espaços Vetoriais

Capítulo 2

Aplicação: Grafos

Ao contrário do primeiro capítulo, que se resumiu basicamente ao estudo de um método de resolução de sistemas lineares, este segundo capítulo tem—se mostrado bastante teórico, forçando o estudante a diversas abstrações. Não pense o leitor, no entanto, que tais abstrações sejam somente para o deleite dos matemáticos e que não sirvam para a solução de problemas concretos. Nossa intenção nesta seção é mostrar como os quatro subespaços fundamentais fornecem informações essenciais para a compreensão e resolução de uma aplicação da Teoria dos Grafos à Economia. Um grafo é uma estrutura matemática que envolve dois conjuntos finitos de objetos: os vértices ou nós e as arestas, que podem ser orientadas ou não. Não pretendemos fazer aqui uma exposição detalhada dos grafos, mas alguns exemplos de grafos, na Figura 2.1, servirão à intuição do leitor.

(a) orientado

(b) não orientado

(d) árvore

(e) ciclo

(f) circuito

Figura 2.1: Exemplos de grafos.

Consideremos agora o seguinte problema, bastante simplificado, mas que servirá de exemplo: Há cinco cidades —— representadas pelos vértices V], Vg, . . . , V5 do grafo orientado na Figura 2.2 —— que comercializam bens entre si (mas

52.6

Aplicação:

Grafos

109

não obrigatoriamente de forma direta, como pode—se ver pelo grafo). Cadª uma delas deseja manter um determinado nível de bens, representado no vetor b = [bl bg b3 b4 b5]T, o que em Economia se chama demanda. Os bens fluem de uma cidade à outra pelas arestas a1, 0.2, ..., a? e nas quantidades ml, 332, ..., 1137, respectivamente. Os preços, no entanto, variam de cidade para cidade e são representados por p = [pl pg pg 194 p5]T. O problema é determinar, a partir das demandas desejadas, o preço dos bens para que haja equilíbrio, isto é, não faltem e nem sobrem bens.

Figura 2.2: Grafo do comércio de mercadorias entre cinco cidades.

A partir do grafo da Figura 2.2, podemos construir o sistema .É, —1 1

Ax=

o

1 () —-1 o 0 0 0

1 -1 0 0 0 0 o o 0 -1 —1 0 1 0 0 1 —1 0 0 0 1 —1 0 1 0

332

b1

mg

bg

334 % 5136

:

b3 al

=b,

(2.6)

b.,

_x7_ que relaciona as quantidades desejadas de bens em cada vértice com os fluxos desses bens entre as cidades. A matriz A é chamada de matriz de incidência do grafo, sendo que os Vértices são representados pelas linhas de A e as arestas, por suas colunas. Vejamos agora como os subespaços fundamentais de A podem nos ajudar a resolver o problema.

Espaços Vetoriais

110

Capítulo 2

Espaço-nulo esquerdo —— N(AT) Como dim(N(AT)) = 1 (ver Exercício 2.6.2), uma base para (% espáçõ-nulo esquerdo de A pode ser formada pelo vetor v = [1 1 1 1 1l , IStº e,

BN(AT)=([1

1 1 1

117"),

bastando notar que as colunas de A somam zero. Mas o que isso nos diz sobre o problema?

Lembrando da Definição 2.16, o espaço-nulo esquerdo de A é composto dos vetores v, tais que ATV = O. Precisamos, então, saber que tipo de informação AT nos dá. Ora, multiplicar a matriz AT por um vetor (do R5) nos fornece as diferenças, entre cada par de Vértices conectados do grafo, da grandeza expressa por esse vetor. Em nosso problema, se multiplicarmos AT pelo vetor de preços, obteremos o vetor de diferenças de preços entre as cidades: .-

— dl

,.

dz de

“

614 = (1 = ATP =

_

ds de d7 j

Pz _ P1 P2 _ Ps P4 Ps 175 _ p4

_

pi

_

.

(2.7)

— ps

173 _ Pi Ps _ Pz

_

Notemos que adicionar qualquer múltiplo do vetor v = [1 1 1 1 1]T a uma solução de (2.7) resultará numa solução desta equação. De fato, se 1") for uma solução de (2.7),

AT(f)+av)=ATp+ozATv=ATp+0=d, pois, av € N(AT). Interpretando—se economicamente, somente poderemos encontrar preços relativos para as mercadorias. Esse fato tem ainda uma in— terpretação física: em circuitos elétricos, são as diferenças de potencial que interessam e não os potenciais em cada nó do circuito. Antes de abordarmos os outros subespaços, precisamos relacionar os dois sistemas acima, (2.6) e (2.7), pois queremos encontrar p a partir de b. Para isso, necessitamos de uma hipótese adicional. É razoável que o fluxo de bens entre uma cidade e outra seja proporcional à diferença de preços entre elas,

52,6

Aplicação:

Grafos

111

afinal, se a mercadoria na cidade V2 for mais cara que na cidade Vl, então venderá uma quantidade maior de seu bem para a cidade V2. Em notação matricial, essa hipótese de proporcionalidade se torna

Vi

x=Kd, sendo K uma matriz diagonal 7 x 7 com as constantes de proporcionalidade. Assim,

x=Kd=KATp, usando a equação (2.7). Substituindo a expressão acima em (2.6), obtemos

AKATp=b, isto é, podemos obter os preços dos bens para cada conjunto de níveis de demanda desejados pelas cidades. Voltemos aos outros subespaços de A.

Espaço-nulo — N (A) Utilizando o método de Gauss, encontramos uma base para o espaço—nulo de A:

('

BN(A) =[n17 1129 113]: à &

notando ainda que os vetores

_

'

1 —1 1 1 1 0 0J

'

7

_

—1 1 0 0 O 1

0

"

n1+n3=

_

_

J

_0O 1 e

n1+n2=

_

O ') 1 —1

>,

_1

>

- 1_ O 0 0 1 O 1l

'

1 1 1 0_

O 0

1_

,

112

Espaços

poderiam ser vetores de outras bases de N(A).

Vetoriais

Capítulo 2

arestas

Como as colunas de uma matriz de incidência referem—se às do grafo, e como os vetores do espaço-nulo de A representam as combinações colunas de A que resultam no vetor nulo, estes vetores identificam os Circuitos fechados do grafo. O leitor pode verificar que os vetores nl + nz € nl + na

hneares das

também representam circuitos fechados do grafo. A interpretação econômica desse fato é que, se 371 for solução de (2.6), então acrescentar a 5a um múltiplo de um vetor do espaço—nulo de A será o mesmo que acrescentar uma quantidade constante de mercadorias ao fluxo entre cidades num circuito fechado, não alterando, assim, a solução do sistema.

Espaço-coluna —— R(A) Uma base para o espaço-coluna de A pode ser formada, neste exemplo, pelas quatro primeiras colunas de A (ver Exercício 2.6.2). Poderíamos escolher outras colunas, por exemplo, as três primeiras e a quinta coluna, mas não as colunas 2, 3, 4 e 7, pois estas representam um circuito fechado, o que significa que sua soma é o vetor nulo, mostrando que elas são linearmente dependentes. Como dim(R(A)) = 4 < 5, nem todos os níveis de bens desejados pelas cidades levam a um sistema (2.6) consistente. Lembrando que Ux = L“1Ax = Lªb, a condição para que (2.6) seja consistente é

b1+bz+b3+b4+bs=0> ou seja, não pode haver acréscimos ou decréscimos na soma total dos níveis relativos de bens, já que não há entrada (nem saída) de bens no universo que compreende as cinco cidades. Esta condição é conhecida pelos alunos das aulas de Eletricidade e é denominada Lei de Kirchhoff das correntes: num circuito fechado não dissipativo, a soma das correntes nos nós é zero.

Espaço-linha — R(AT) Por fim, chegamos ao espaço-linha de A. Uma base de R(AT) pode ser formada pelas quatro primeiras linhas de A (ver Exercício 2.6.2). Observemos que:

. o espaço—linha de A é o espaço—coluna de AT;

52.6

Aplicação:

Grafos

113 Q

p

. fazer o somatório das diferenças num circuito fechado é calcular an para

ti

E

N(A);

7

mas isso nos dá

an = n"P(ATP) = (nTAT)p = (ANTD = 0, ou seja, o somatório das diferenças de preços no circuito fechado é zero. Completando a analogia com a Eletricidade, essa última condição é conhe— cida como Lei de Kirchhoâr das voltagens: a soma das diferenças de potencial em um circuito fechado é zero. Para concluir, resolvamos o problema com dados numéricos. Com K = I , quais devem ser os preços relativos, se queremos as seguintes demandas:

[b1 b2 b3 b4]T=[8 4 9 3]T? Observando que, uma vez escolhidos bl, bg, b3 e b4, não estamos livres para escolher b5 e que os preços são relativos, então podemos escolher pg, = 0. Se construirmos uma matriz A com as primeiras quatro linhas de A, teremos uma matriz com posto completo 4. Devemos, portanto, resolver o sistema

ÁIÁTs = 6, sendo f) e b vetores de dimensão 4. A solução é

pª": [9 8 11 nº”, ou seja,

pT=[9 8 11 7 0]T.

No próximo capítulo, continuaremos a estudar os espaços vetoriais, estendendo algumas noções geométricas do plano e do espaço tridimensional aos espaços vetoriais genéricos.

Espaços

114

Vetoriais

Capítulo 2

EXERCÍCIOS 2.6.1 Utilizando o método de eliminação de Gauss, encontre a decomposição LU da matriz A na equação (2.6). Encontre ainda Lª.

2.6.2 Encontre bases para os quatro subespaços fundamentais da matriz A da equação (2.6). 2.6.3 De posse das reSpostas dos Exercícios 2.6.1 e 2.6.2, refaça as análises desta seção. 2.6.4 Considere os vetores nl, nº e na da base de N (A) que encontramos no texto. Quais são os vetores do espaço—nulo de A cujos elementos são os números 0, 1 e —1 (ou, em outras palavras, quais são as combinações lineares de n], 112 e 113 cujos elementos são os números 0, 1 e —1)? Mostre que cada um deles sempre leva a um circuito fechado. 2.6.5 Refaça o problema exposto pelas equações (2.6) e (2.7) com os seguintes dados:

8 4

,.

3 e

K=diag([1

2

3

1

4

2

2]),

sendo que diag([v1 '02 . .. %]) é uma matriz diagonal k >< k cujos ele— mentos da diagonal principal são, em ordem, 01, 'Uz, . . . , ok.

2.6.6 Desenhe os grafos correspondentes às seguintes matrizes de incidência:

a

1 0 O 0 —1 O 1 —1 0 O 1 0 O —1

—1 1

b.

—1 1 —1 0 0 1 0 O O —1 1 1 ——1 0 O 1 0 —1 0 0

2.6.7 Encontre uma base para o espaço—nulo de cada uma das matrizes de incidência do Exercício 2.6.6 e verifique quais vetores do espaço-nulo representam os circuitos fechados.

52.6

Aplicação:

Grafos

2.6.8 Calcule a matriz de incidência dos seguintes grafos:

115

3 Ortogonalidade No Capítulo 1, trabalhamos sem muita dificuldade com os vetores do IR" (com n > 3), apesar de não os visualizarmos, pensando—os como extensões dos vetores de R3. Já no Capítulo 2, o conceito de vetor tornou-se mais difícil de intuir, e vimos exemplos de espaços vetoriais cujos elementos eram matrizes e funções. Um dos motivos pelos quais os vetores no capítulo anterior nos parecem tão mais abstratos é que o R3, que serviu de base para estender nossa intuição, traz consigo uma “geometria”: mesmo sem os visualizar (para n > 3), pensamos nos vetores do R" como flechas no espaço, o que nos leva, quase que automaticamente, às noções de comprimento, distância e ângulo. Neste capítulo, estenderemos esses conceitos geométricos aos espaços vetoriais genéricos da Definição 2.1. A ortogonalidade receberá um destaque especial.

Começaremos definindo a norma de um vetor e o produto interno entre dois vetores. Em seguida, introduziremos o conceito de subespaços ortogonais. Projeções poderão, então, ser definidas, e apresentaremos o método de ortonormalização de Gram—Schmidt, que resulta em uma decomposição matricial, a decomposição QR. De posse disso, finalizaremos o capítulo uma poderosa aplicação da Álgebra Linear: o método dos mínimos quadrados.

3.1 Norma e Produto Interno Por todo este livro, procuramos inicialmente introduzir conceitos que sejam mais próximos da intuição do leitor, generalizando-os em seguida. Somente depois de generalizados os conceitos mais intuitivos é que partimos para definições mais abstratas. 117

Ortogonalidade

118

Capítulo 3

Quando falamos dos espaços euclidianos R2 e R3, sempre nos referimos ao comprimento de seus vetores. Entretanto, ainda não definimos um análogo do comprimento de um vetor para vetores genéricos. E claro que tal definição deve corresponder ao comprimento do vetor, quando o espaço vetorial em questão for o R2 ou o R3.

umãfunçaoqué aesoc r; ,eªâniçaogliªl-ima %%%&erííum'espaçovetorialVé cada vetor V E V um número real não negativo ||v||, satisfazendo, par: ªtuaisquer u, V E V e qualquer escalar a, as propriedades: WMSV"VWYF—li'ª,”443%“; ..,... '

“ª“ Z 0, com ||u|| = 0 se, e somente se,

11 =

O;

b-llaull= lalllull Todas as exigências da definição acima são desejáveis para uma função que queira calcular análogos de comprimentos. A primeira exigência é talvez a mais óbvia: normas, como comprimentos, devem ser números reais não negativos e somente o vetor nulo deve ter norma zero. A segunda pede que a norma de um vetor cresça proporcionalmente ao escalar que o multiplica. O terceiro item é a generalização da desigualdade triangular para dimensões maiores que três. Exemplo 3.1. A norma euclidiana do R" é definida por

na=Je+e+m+a. No espaço vetorial das matrizes reais m >< n, podemos definir uma norma pela expressão

“A" =

tr(ATA) .

Mesmo num espaço vetorial de dimensão infinita, como os espaço das fun— ções contínuas f : [a,b] —> R, podemos definir uma norma por

|vn=(Á5aeªm)ª.

e

E relativamente fácil verificarmos que as três expressões no Exemplo 3.1 obedecem à primeira e à segunda exigências da Definição 3.1, mas a desigual— dade triangular é mais difícil de mostrar. E já que nos inspiramos na geometria

53,1

Norma e Produto Interno

119

do R3 para definir a norma como um análogo do comprimento de um vetor no espaço, vejamos se a geometria nos fornece mais alguma intuição. No R3, a desigualdade triangular colapsa numa igualdade se os vetores forem colineares, isto é, se o ângulo entre eles for zero ou 180º. O conceito de ângulo talvez tenha um papel relevante na desigualdade triangular e, assim, procuraremos generalizá-lo para espaços vetoriais genéricos. No espaço tridimensional, o produto escalar relaciona o comprimento de dois vetores u e V com o (cosseno do) ângulo 0 entre eles pela expressão u - v = Hu||||V|| cosd. Vejamos, então, até onde essa intuição nos levará, deixando, por ora, as normas um pouco de lado. Assim, como não nos contentamos em restringir os espaços vetoriais somente ao R", também aqui queremos trabalhar com definições mais amplas e o produto escalar ganhará o nome de produto interno. Inicialmente traba— lharemos apenas com espaços vetoriais reais, mas definimos abaixo o produto interno para espaços vetoriais complexos, e empregamos essa definição para espaços vetoriais reais, observando que ã = a, se oz E R.

;? efinlçããga...? pribdôtbminternoeuriiãfunçadªqifewãssdbiãªã”ewald?par &

Letores u e v de um espaço vetorial V um número (real ou complexo) (u, v) )al que, para quaisquer u, v e W em V e qualquer oz escalar: “' '

a. (u, v) = (v, u), sendo que a barra significa o complexo conjugado;

_

b. (u+v,w) = (u,W) + (WW);

c. (au,v) = ã(u,v);

cºm-)=Qse..esºmerg,t,e,,gg,,v=9

___ly.vim,,0

,

,,.

Duas observações: no caso real, a primeira propriedade se resume a (u, v) = (V, u). No caso complexo, obtemos da primeira e da terceira propriedades, que

= ? v, u> = au, v> . Vejamos agora alguns exemplos.

120

Ortogonalidade

Capítulo 3

Exemplo 3.2. O produto interno mais conhecido é o produtº interno Cªdidiano do R", dado por

(u, v) = ulul + uguz + ' - - + Unvnv que cumpre as exigências da Definição 3.2. Senão vejamos:

(u,v) =u1v1 +---+unvn = u1u1 +---+Unun = (v,u), usando a comutatividade da multiplicação dos números reais. E, pela distributividade da adição e da multiplicação dos reais, obtemos

(u+v,w) = (u1+u1)w1+-H+(un+vn)wn= =ulw1+v1w1 +--—+unwn+vnwn = (mW) + (WW)É fácil ver que

(au,v) = (au1)u1 + - - - + (aun)fvn = a(u1v1 +

- - - + unun) = a(u, v) .

E, por fim,

(v,v) =u1u1+-'-+unun=uf+---+v,2, 20, com a igualdade ocorrendo somente quando ul = - = o,, = 0, isto é, quando D v = O.

-

«

Exemplo 3.3. Podemos introduzir uma pequena modificação no produto interno euclidiano acrescentando-lhe pesos p1,p2, . . . ,pn e definindo o produto interno euclidiana ponderado:



Assim, || É

""

nur,

IIUIIIIVII,

pois as grandezas envolvidas são todas não negativas.

|]

Fazendo uso da desigualdade em (3.2), temos

||u+v||2= (u+v, u+v)= (u,u) + (v,v) + (u,v) + (v,u) = = IIHH2 + ||V|lº+ (uw) + (uw) = Illlll2 + IIVII2 + 2Re() S 5 Ilull2 + IIVIIº + 2|< n, a expressão

HAI! = Vª(ATA), define uma norma. De fato,

IIaAII ==

tr((aA>T"< 3 Consideremos, agora, a matriz 6111 6112 6113 (121 a22 0123 6131 dez ass

A=

Se all # 0, os dois primeiros passos do método de eliminação de Gauss nos fornecem ªm ªm (112 0 0116122 — amam a11a23 0136121 ªu (111 0 (111032 — a12a31 a11a33 _ ª13ª31 *

an

au

0 próximo passo da eliminação gaussiana não usará a primeira linha nem a primeira coluna da matriz acima, restringindo-se apenas a submatriz 2 >< 2

do canto inferior direito — que denominaremos Mu, obtida eliminando—se a primeira linha e a primeira coluna da matriz original. Porém, já sabemos como decidir se haverá dois pivôs nesta submatriz: basta calcularmos det(Mu) de acordo com a equação (4.1). Para que a matriz A possua três pivôs devemos

ter (1.11

det(M11)7É O,

e um pouco de malabarismo algébrico nos dá: a11a22a33 _ a11a23a32

*-

a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32

+

a13a22a31

# 0.

Instamos o leitor a verificar as possibilidades restantes no Exercício 4.1.2. Definimos o determinante de uma matriz 3 >< 3 por: a11a23a32 _ a12a21a33 + a12a23a31+ + a13a21a32 ª13a22a31 .

det(A) = aiiazzass

'-

“

(4.2)

Chegamos ao ponto crucial da indução. Observando atentamente a equação (4.2), podemos reescrevê—la da seguinte forma:

det(A) = au det(Mn) _ 042 det(Mlz) + aia det(Mis), sendo Mlj a submatriz 2 >< 2 obtida pela eliminação da primeira linha e da j—ésima coluna de A, paraj = 1, 2, 3.

541

Determinante de uma Matriz

165

A equação (4.1) pode ser expressa como: det(A) : (1,11 det(Mu) _

0,12 det(M12),

sendo que M11 e M12 são definidos de forma análoga. As matrizes Mi,— serão fundamentais para a deiinição de determinante, por isso estabeleceremos uma terminologia apropriada a seu tratamento.

uma

n n

ea

matriz >< Ã matriz Al,-j submatriz (n ª; efimçao4 1.Seja A .- ) >< (n — l) obtida pela eliminação da i—ésima linha e da j——ésima coluna de A.;f M,,» recebe o nome de determinante menor do elemento aijã fou, mais resumidamente, menor de aí,». O cofator A,, de a,, é definido por ª

! determinante de

X

&

JÁ

_.

gi

Aa=(—1)+ªíiºt(Ma)

...::

M:...i

Por um processo indutivo, somos levados à seguinte definição recursiva de determinante de uma matriz.

amigao 4Ç2ÍÓ *ãéteraaanfeªàéúaaaaa; A axiªldenõtãd'õ'pordetãi É fou por IAI, é o escalar definido recursivamente por '.

_ det(A) —

%

;[

se n = 1, a“, all/111 + am./412 + ' ' ' + alnA1n7 se TL > 17

lª?-941,37 _º 99%»th dedeia

%

É!

.

A Definição 4.2 é conhecida como expansão de Laplace, em homenagem ao matemático francês Pierre Simon Laplace (*1749 — T1827), ou simplesmente expansão em cofatores (em relação à primeira linha).

E muito importante que o leitor

se convença de que a Definição 4. 2 não implica a afirmaçãoa matriz e invertívelss,e e somente se, seu determinante for não nulo” por causa da indução feita acima. A indução sugeriu—nos uma definição de determinante. Provaremos a afirmação acima na próxima seção.

Uma Outra Definição Há uma outra forma bastante comum de definir o determinante de uma matriz: utilizando permutações. Notemos que todos os fatores em (4.2) podem ser escritos como a1_a2_a3_ ,

m u.

(43)

Determinantes

166

Capítulo 4

sendo os espaços em branco preenchidos pelas permutações dOS números 1, 2 e 3. Os sinais dos cofatores são determinados pela paridade dº número de trocas exigidas para obtermos a configuração original a11a22a33. Por exemplo, a11a23a32 precisa de uma troca para se tornar a11a22a33, então o sinal é (—1)1 = —1. Já a12a23a31 precisa de duas trocas para se tornar a11a22a33, então 0 Sinal é (=1)2 = +1. O determinante de uma matriz A n >< n seria então definido pela soma de todos os produtos (—1)qa'1_a2_ . . . a,,_ , sendo que os espaços em branco são preenchidos pelas permutações dos números 1, 2, . . . , n, e q é o número de trocas necessárias para reverter a permutação em questão à forma original allan . . . am,. É claro que a definição acima deve ser equivalente à Definição 4.2, mas não demonstraremos essa equivalência, que, entretanto, é verdadeira. O motivo de escolhermos a expansão de Laplace como definição de determinante é por considera-la de mais fácil implementação computacional e por ela prescindir de manipulações combinatórias.

EXERCÍCIOS 4.1.1 Calcule, usando a definição, os determinantes abaixo.

a._33-25.

12 d.__1_4

3—79 10043. 002

3—11 13 e—2 145

1-1-11 2430

º'321=2' =1327

3_2_34

f

2321 '1—21—2 —6527

4.1.2 Verifique, para os casos abaixo, se a definição de determinante de uma matriz 3 >< 3, dada pela equação (4.2), é consistente com a condição de uma matriz ser invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo.

54.1

Determinante de uma Matriz a.

(111

= 0,

(121

167

# 0,

b- a11=a21=0,a317é0e C.

0.11 = 0.21 = 0,31 = 0.

4.1.3 Dê contraexemplos para mostrar que as afirmações abaixo são falsas. a. Sejam A m >< n e B n >< m, com m # n, então det(AB) = det(BA)b. det(A + B) = det(A) + det(B).

c. det(kA) = kdet(A).

4.1.4 Seja A uma matriz 2 x 2. Mostre que det(A+I) = det(A) + 1 se, e somente se, tr(A) = 0. 4.1.5 Mostre, usando indução matemática e a Definição 4.2, que o determinante de uma matriz triangular inferior é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal da matriz.

4.1.6 Considere o determinante da matriz tridiagonal 1, 1, —1 n >< n

Fn

1 —1 1 1 —1 = 1 1 —1 1

1

Mostre que F,, = "_1 + Fn_2 usando a Definição 4.2. Observe que os determinantes formam a sequência de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 4.1.7 Mostre que o número de operações aritméticas (adição, subtração e multi— plicação) no cálculo do determinante de uma matriz n x n é n >< n! — 1,

4.1.8 Calcule det(A

— AI ) e det(B —— AI ) para

A:)?“

eB=

Quais valores de ). tornam as matrizes A

6 5 0—1

2

=s

10—2

— A1 e B — AI singulares?

Determinantes

168

Capítulo 4

4.1.9 Seja A uma matriz n >< n. Mostre que det(xl - A) é um polinômio mônico Fundamental (i.e., com coeficiente an = 1) de grau n. Então, pelo da Algebra, existem números complexos rl, T2, . . . , rn tais que

Teorema

det(xI — A) = (a; — r1)(:1; — T2) . . . (a: — Tn)Mostre ainda que det(A) = r1r2 . . . Tn4.1.10 É possível que uma matriz cujos elementos são todos inteiros tenha determinante fracionário? Por quê?

54.2

Propriedades dos

4,2

Determinantes

169

Propriedades dos Determinantes

Propusemos, na Seção anterior, a definição recursiva de uma função que relaciona cada matriz quadrada n x n a um escalar. Para os casos n = 1, 2 e 3, a fórmula nos garante que a matriz só será invertível se seu determinante não for nulo. Nosso objetivo nesta seção provar que a afirmação é válida

e

para qualquer número natural n, além de obter diversas outras propriedades dos determinantes que nos facilitem calcula-los e manipula-los. Dentre as diversas propriedades dos determinantes há três que são fundamentais para sua caracterização. Dito de outra maneira, existem três propri— edades que especificam a função determinante, garantindo que ela existe e é única: multilinearidade, antissimetria e o valor da função quando aplicada a matriz identidade. A primeira propriedade nos diz que o determinante é uma função multilinear das linhas de uma matriz, ou seja, é uma função linear de cada linha dessa matriz, quando as outras linhas são mantidas fixas. . ::=—:** nur

fõííºõ'êiçâªõwíírªfªõrdetammante Hepeiidêmlineãrmenteª'd'ãwi-é'sirfia" in a Demonstração. Mostremos inicialmente que a propriedade vale para a primeira linha de uma matriz n >< n. Em símbolos, se

A=

0,11 0,21

... ...

0.1" 0.2"

anl

...

ann

e

bn

, B=

+

C=

1711 ... du ... 0,21 anl

então

...

ain

01"

(121

... ...

0,2"

anl

...

ann

+ bln

az,,

ann

det(C) : det(A) + det(B) .

Atenção: em geral, det(A + B) # det(A) + det(B).

,

1 70

Determinantes

Capítulo 4

E mais, se [€ (1,11

D=

0.21

... ...

k um

a?”

,

ann

anl

então

det(D) : kdet(A) .

Novamente, atentemos que, em geral, det(k A) # k det(A). O caso n = 1 é trivial. Para n > 1, recorremos a equação (4.3)

para

escrever

det(C) : (0.11 + 011)A11 + ' ' ' + (CI/171 + bln)A1n = ai1A11 + ' ' ' + alnAln + b11A11 + ' ' ' + blnAln = det(A) + det(B) , pois os cofatores das respectivas primeiras linhas de A, B e C são iguais. Também podemos escrever, usando (4.3),

det(D) = (k' a11)A11 + ' ' ' +(ka1n)A1n = k (0111411 + ' ' ' + ªan—411») : k det(A) .

Para mostrarmos que o determinante depende linearmente da i—ésima linha da matriz, com i # 1, usaremos indução matemática sobre a ordem da matriz. Para matrizes 2 >< 2, temos trivialmente: 011 012 G21 + b21 022 522

+

+ b —— “( 22 22) a12(a21 + bºl) = a11a22 _ 012a21 + a11b22 — a12b21 =a

a

011 012 6121 022

an Cl12 521 b22

%42

Propriedades dos

Determinantes

171

a12

ªll

k 021 le a” = a11(k a22)

*-

ªi2(k a21)

= k(a11a22 _ ª12a21) =k

011 am 021 6122

Supondo que a afirmação é válida para matrizes (n — 1) >< (n —— 1), tomemos agora au ªm aln (111

A:

ail anl

0,11

C=

ain

anl

an,,

... ...

(lili-bu

, B:

bil anl

e D:

am,

...

-

...

kólil anl

Simbolizando as submatrizes de A, B, C e D por respectivamente, temos

,

an,,

... 0,11

al,,

ami-bin

bin

al,,

kain ...

am,

M$, M,? , M5 e M5,

det(C) = a11011 + - ' + alnCIn = a11(-—1)1+1 det(Mlºl) + - + a1n(—1)1+" det(Mlºn) = a11(—1)1+1(det(ij) + det(MlBl)) + . . . +

--

+ a1n(—1)1+"(det(MÉ.) + det(A/150) = a11A11 + + ainAin + a1iB11 + + ainBin = det(A) + det(B) , poís Má, Mg. e MS. são matrizes (n — 1) >< (n — 1) que diferem somente na º º

'

' ' '

(i = 1)—ésima linha da forma desejada e podemos usar a hipótese de indução Para i > 1 ou o resultado geral já provadº Pªrª 'i = 1-

Determinantes

1 72

Capítulo 4

Analogamente,

det(D) : ª11D11 + ' ' ' + 04an = a11(—1)1+1 det(MfÍ) + - + a1n(—1)1+"det(Mll,7,) = a11(—1)1+1(kdet(ij) + . - + a1n(—1)1+"(kdet(M1/í,)) = k(a11A11 + ' ' ' + a1nA1n) : kdet(A) .

-—

-

E a proposição está demonstrada.

Demonstração. Basta tomarmos k = 0 na matriz D da demonstração da Ú Proposição 4.1 acima.

Antes de provarmos a propriedade de antissimetria, examinaremos os padrões que surgem quando expandimos o determinante de uma matriz A 4 >< 4 duas vezes consecutivas. Precisaremos da seguinte notação:

Mªlº Cl C2

e a matriz menor 2 x

2 de A obtida pela eliminação das linhas ll e lg e das colunas cl e 02 de A. Considerando (11

A=

G2 G3

(14

b. b. bs b. 01

dl

,

02 Cs 64 dg d3 d4

sua expansão em cofatores é

IAI = a1(—1)2|M11| + a2(—1)3|M12| + a3(—1)4|M13| + a4(—1)5|M14| = +a1(bz(—1)1+1IMfãl + b3(—1)1+2|M%â| + b4(—1)1+3|M%Z )+ ª2(bl(—1)1+1|M2112| + b3(—1)1+2|M213| + b4(+1)1+3|M213 )+ + dB(b1(—1)1+1|Mzi12| + bz(—1)1+2|Mi:i| + b4(—1)1+3|MÉÍ|)+ ª4(bl(—1)1+1|Mi12| + bz(—1)1+2|Mi22| + b3(—1)H'3|1V-"4132 ) '

"

"

54.2

173

Propriedades dos Determinantes

= +a1(b2|M1122 — b3iM1132i

+ b4|MiÍ|)+ _ ª2(b1|M1122 _ bsleláºl + MIA/1213 )+ + ºs(bllMiâl _ b2|M2132| + b4|MiÍD+ _ a4(bllM1142 _ b2|M213| + bsleifl),

-'

Ja

. . 12 _ 12 12 — = M2132 M32 M12 e asmm por diante. Mºl, que

padrao:

|A| = +a1(b24

=

Destacando

.

mals

.

alnda

0

bgq. + b4< n.

. Demonstração. Analisaremos inicialmente a permutação das duas primeiras linhas. Consideremos as matrizes 4 >< 4

A:

0,2

(71 61

52 bs 54 Cg

dl d2

(1,3

bl bz

0.4

al

e

03 64 dg d4

B : ai 61

dl

(12

02 dg

bg

04

as

G4 C3 64

d3 d4

Pela observação anterior,

b3|Mi32| + b4|MiÍl)+ b3|M2lãi + b4|MiÍ|)+ + ªsib1|M1lzi|— b2|M2132l + b4lM3icil)+ — a.r(bilMiÍI — blezlÍI + balMsiÍ ) = “b1(a2iM1122|— ª3|M1132| + ª4|MiÍD+

det(A) = +a1(bz|M113 - a2(b1|M1122|

'

'

+b2[a1|M%2º — aslMàâl +a4lMàãl>+

Determinantes

174

Capítulo 4

+03(a1|M1132 _GQIM2132|+a4iMà42D+ + b4(a1|M14' a2|M242| + GSIMIÍI) : —det(B). _”

A igualdade acima deriva exatamente do padrão destacado anteriormente e podemos generalizar o resultado para matrizes n >< n. A demonstração prossegue por indução matemática. Para matrizes 2 >< 2, det(

021

(122

(111

012

an

) = a12ª21 _ a11a22 = _ det( 6121

012

J)

(122

Supondo, como hipótese de indução, o resultado válido para matrizes (n — 1) >< (n — 1), tomamos as matrizes A e B de mesma dimensão n >< n, a última diferindo da primeira pela troca das linhas i e i + 1, com i 2 1, e escrevemos a expansão em cofatores do determinante

det(B) : a11(—1)1+1|M1B1| + . . . + a1n(_1)1+n|MB : —a11(— 1)1+1|M1Al|__..._a1n(_1)1+n|M1/íll = —det(A), já que que os determinantes menores de B são os mesmos que os de A com o sinal invertido, pela hipótese de indução. []

Duas consequências seguem imediatamente. '

.. PSW 4.2”SepermutarmosªSuas in as quaisquer deumamatriz se”

ºr,; S

%* ªiª

===,”me"'x'/v

“.

. Quº“ .

Demonstração. Para permutarmos as linhas i e i+q de uma matriz, precisamos de q trocas de linhas adjacentes para que a i—ésima linha assuma a posição i+q; e depois são necessárias q — 1 trocas de linhas adjacentes para que a (i + q)ésima linha original (agora na posição i+ q — 1) assuma a posição i. Portanto, são necessárias 2 q —— 1 trocas de linhas adjacentes, o que significa somente uma El troca líquida de sinal do determinante. “”Vem:..;renegar;

anamariª

E“ Mi"M”"SWS'êiilfnwanªainz possuirduaslinhas1 mas seu ãe? -;_..'

,;

ie,—.a

“n'

Av,—»....

.

.,

_1_

_

.»;..v;

,:

,

“ºs!“

%w— ”WW

54.2

Propriedades dos

Determinantes

175

Demonstração. Trocando as duas linhas idênticas de um matriz A, o determinante da matriz deve trocar de sinal. Mas a matriz resultante é igual a original, então det(A) : _ det(A) : 0, |] Busquemos agora o determinante da matriz identidade.

ropomça'ªo 4.3. 13 deiermmaii'te dã'iºima iiiãfiiz tfiªanguiar e o pr? enlªtºê.dçâgâªíªgºªªl Qrincipalr . >..

.

A..

,

..:.

11

o

4.1.-

Demonstração. Faremos uso novamente da indução matemática. O caso n = 2 nos dá:

det([

(111

O

021 a22

])

= (111022 :

det([ aôl ]) 0.12 6122

Suponhamos, então, que o determinante de uma matriz triangular (n— 1) >< (n — 1) seja o produto dos elementos de sua diagonal principal e consideremos uma matriz triangular A n >< n. Se A é uma matriz triangular inferior, por definição, temos

det(A) : a11(—1)1+1 det(M11)+ 01412 + ' ' ' + OAln : a11(a22 . . . ann) , pois M11 é uma matriz triangular inferior de ordem (n — 1) >< (n —- 1) e, pela hipótese de indução, seu determinante é o produto dos elementos de sua diagonal principal, i.e., a22 . . .ann. Se A é uma matriz triangular superior, temos

det(A) : a11(—-1)1+1 det(M11)+ a12(—1)1+2 det(M12) =|- . . . +

+ a1n(—1)1+"det(M1n) : a11(a22 . . . ann) + a12(—1)1+20 + = 011022

' ' '

+ a1n(—1)1+"0

- . - ªnn,

pois Mu é uma matriz triangular superior de ordem (n — 1), cujos elementos da diagonal principal são um, a33, ..., am; e ªs matrizes M12, M13, ---, Mln são triangulares superiores cujas diagonais principais possuem um elemento

nulo, a saber, aºl.

D

As duas próximas propriedades seguem imediatamente da Proposição 4.3 acima.

Determinantes

176

Capítulo 4

(ideiª?

morolario4. 4 Q determinante de umamatriz diagonal eoproduto

========o=1===p=v

«:$ ar,-=== it"».

...

.;—

,,

': ,935.—:)ª.. ?»m,

..

,

....

...:::...

*

É“; Eorolario4.5.Q determinante de umamatrizidentidadee1 "Fª" ._,_..,,,. M.,...

A propriedade o determinante do produto é o produto dos determznantes é demonstrada inicialmente no caso especial das matrizes elementares.

Proposiçao4'4Smamatrizelementarquemultiplica uma linha de atrlzPºrunlescalaravía-..Otemª;.determlnanteameia.wzi,51:33:33.“1':«.àM:&%WÉL—MÍ“_ " Demonstração. Uma matriz elementar Ei(a), com 04 # 0, é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são 1, 1, . . . , 1, a, 1, . . . , 1. Basta, D

agora, aplicar o Corolário 4.4. 797,3 n

%wmmavwWQ—h

www “wwwwsemvªawws

“%%,“Wmu'ji':

ArãiíºSl窺iâwmuÉ(aº)fôruma matriz e ementar que muitiplica a

=

t-sima linha de uma matriz A por um escalar

.=

raise)

,...,“.

,

,,

&

# 0, então det(E', (a)A)

.

.* ,»

Demonstração. De fato, temos

det(E,(oz)A) : a det(A) : det(Ez-(a)) det(A) , pelas Proposições 4.1 e 4.4.

|]

.]

Demonstração. Sejam A uma matriz n >< n e B a matriz resultante da adição de um múltiplo da i—ésima linha ã j—ésima linha de A. Isto é, os elementos da j—ésima linha de B são bjk = ajk + aaik >

para k = 1, . . . ,n, então, pela Proposição 4.1, temos que

det(B) = det(A) + adet(C) , sendo C uma matriz idêntica a A exceto pela j—ésima linha. Mas a j—ésima linha de C é idêntica a sua i—ésima linha, então det(C) : 0, pelo Corolário 4,3, e, portanto, det(B) = det(A). []

54.2

Propriedades dos

Determinantes

177

Propomçao47Umamatriz elementarque combina linearmente duas lmhaã de

uma matiiz (ou seja adiciona um múltiplo de uma linha a outra) tem, .uàc...:i«..«.:..m'ww Tui-...

.—,

,.

.=.....

...

.

,.

..

.;

_

.....2. .?

'

ªí

Demonstração. Este tipo de matriz elementar é uma matriz triangular cujas entradas da diagonal principal são todas 1. Pela Proposição 4.3, seu determiEl nante é 1.

Éi'õbbéíçâã ais; SeE,(a) far“ úrhãíúàtfiãêlehiéhtàfqúétàoi'riíáífiãÍifléámíehtâ

ªªªªhnhªsde umª. ===»9119949?(5754944), àdºtáEz-AQD. dºt.(A)1--.ã Demonstração. Pelas Proposições 4.6 e 4.7,

-

det(Eij(a)A) = det(A) = 1 det(A) = det(Eij(a)) det(A).

[]

Éropomçao4.9Í Umamatriz elementarquetroca duas linhasdeumamatinª «.=. —aid.“. .: . xça-m..;.zf_< n. A matriz P é o produto de matrizes elementares que trocam duas linhas de uma matriz, então det(P) = (—1)p, sendo p o número de operações elementares de troca de linhas usadas na de— composição LU. Como não exigimos que os pivôs em U sejam unitários, L é o produto de (inversas) de matrizes elementares que combinam linearmente linhas. Então,

Determinantes

178

Capítulo 4

L é uma matriz triangular inferior cujos elementos da diagonal pr1n01pal são unitários e, portanto, det(L) = 1 .

U é uma matriz triangular superior, daí, det(U) = U11U22 - -

— ”nn,

sendo um, . . . , um, os pivôs de U ou zeros. Disso tudo, concluímos que

det(A) = (_1)p det(U) = (—1)pU11U22 . - - Unn -

Este resultado será usado nas demonstrações das próximas proposições. ,»gwyw w;;

mam,W Mv? ,?

seesomentese,

ropos1çao411ÚmamatrizÁ n> 0, o que significa que a matriz U, da decomposição LU de A, possui pelo menos uma linha de zeros. Pelo Corolário 4.1, det(U) = 0 e, pelo observado acima,

det(A) = (—1)pdet(U) : 0.

Se A não for singular, posto(A) : n, ou seja, U possuirá, n pivôs: um, . . . , um,, que são, por definição, diferentes de zero. Novamente, pela observação acima, det(A): (-—1)pu11u22.. .um, 7ª 0 . []

'roposiçaoZiÍ?“É?;A eÉ”?”rem duasmatrizesn' >< 3 e a matriz elementar P23. Mostre como realizar a mesma troca de linhas utilizando quatro matrizes elementares dos outros tipos, i.e., E-(a) e Eij(5)-

4.2.3 Mostre, sem usar determinantes, que, se B for uma matriz n >< n singular, então, AB também será uma matriz singular, qualquer que seja a matriz A "XTZ.

4.2.4 Qual é a relação entre o determinante de uma matriz (invertível) e o de sua inversa?

182

Determinantes

Capítulo 4

4.2.5 Se P é o produto de matrizes elementares que trocam duas linhas, mostre que P“1 : PT.

4.2.6 Se Q é uma matriz ortogonal, calcule det(Q). 4.2.7 Se P é um projetor, calcule det(P).

4.2.8 Se A é uma matriz antissimétrica, i.e.,

AT = ——A, calcule det(A).

4.2.9 Se A é uma matriz n >< n e 19 é um escalar, calcule det(kA).

4.2.10 Considere a matriz de Vandermonde de ordem 4

V4 _

1 1 1 1

a b c a:

a2 a3 bº b3

c2 03

suª

a'3

Utilizando o Teorema 4.1, mostre que

det(l/Zl) = (b — a)(c — a)(c —— b)(ac — a)(m — b)(a: — c) . 4.2.11 Prove a generalização do item anterior para uma matriz de Vandermonde de ordem n. 4.2.12 Calcule o determinante de cada matriz abaixo.

0003

a0021

'0513' 2114

000. b.0bd

cef

OOOa

C00b6 'chg dhi]

Essas matrizes são chamadas de triangulares reuersas.

4.2.13 Generalize o exemplo anterior para matrizes triangulares reversas de dimen— são n >< n, encontrando uma fórmula para o determinante dessas matrizes.

4.2.14 Mostre que, se os elementos de cada coluna de uma matriz somam zero, então seu determinante é zero. 4.2.15 Usando o resultado do exercício anterior, mostre que se os elementos de cada coluna de uma matriz A somam 1, então det(A — I) = 0_ Isso, porém, não significa que det(A) = 1. Dê um exemplo de uma matriz cujas colunas somam 1 e seu determinante não é 1.

54.2

Propriedades dos Determinantes

183

4.2.16 Mostre que o determinante da matriz

*, -

* -OQ * -O G * -OGD

*-

e zero, quaisquer que sejam os valores dos asteriscos.

4.2.17 Um exemplo de como trabalhar com matrizes em blocos. Considere as matrizes 2 >< 2 A, B, 0 e D. Mostre que

'AB O D

= det(A) det(D).

4.2.18 É possível mostrar que, para as matrizes A, B, C e D de ordem 2 >< 2,

AB = det(A) det(D) — det(C) det(B) , CD

(4.4)

se, e somente se, A, B, C e D comutam. Dê um exemplo não trivial de uma matriz 4 >< 4 tal que (4.4) é válida e outro em que a equação não é válida. 4.2.19 Mostre que det(A*) = det(A).

4.2.20 Mostre que o determinante de uma matriz hermitiana é sempre real.

Determinantes

184

4.3

Capítulo 4

Aplicações

Nesta última seção deste capítulo, apresentaremos três aplicações dos de— terminantes: o cálculo da inversa via matriz dos cofatores, a regra de Cramer (em homenagem ao matemático suíço Gabriel Cramer (*1704 — T1752)) e o cálculo de equações de curvas planas e superfícies.

4.3.1

Cálculo da Inversa de uma Matriz

Se lançarmos um olhar mais atento a expansão em cofatores de uma linha qualquer de uma matriz A: det(A) = ailAil + aiZAiZ + ' '

- + ainAin ,

observaremos que ela não passa do produto interno euclidiano

Aa

(ªi,:aAi,:) = ªi,;Ai,: = [ an Giz T

A»7,2

]

ain

.

Ain entre a i-ésima linha da matriz A e a i-ésima linha da matriz formada pelos cofatores A,,- de A

A12 A21 A22 Al].

Acofator=

:

:

A,,1 A,,2

..

Al'n A,,

_2

>

Am,

chamada de matriz dos cofatores de A. Mas o que acontece se calcularmos o produto interno entre a i—ésima linha da matriz A e a j—ésima linha da matriz Acºfator, para i # j? Ou seja, qual é o valor de

[

(ªi,:,Aj,:> = ªgº./M,; = ail Giz

ai,,

]

Ajl A—

_32

A,,

?

54.3

185

Aplicações

determinante, mas agora de uma matriz B identlca & A, exceto por sua j-ésima linha que é igual à sua i—linha. Assim, Isso contlnua

representando um

(111

diz

ail

ai2

:

:

ail

ai2

...

am

_ an].

an2

' ' '

ann

B:

al,,

_

'

am

...

BH Blz Bil

Bcofator=

e

_

Bh,

Big

—

Bin

...

7

Ajl

Ajg

...

Aj"

_ Bnl

Bn2

...

Bnn

_

já que le = Ajl, . . . , Bjn = Ajn. Portanto, desenvolvendo o determinante de B, que é zero, por sua expansão pela j—ésima linha, obtemos

(a,,,, A,,. ) = a?,Aj, = det(B) = 0. Num exemplo 3 >< 3 para esclarecer: considerando

M=

a b c d e f g h i

e

N=

a b e d e f d e f

,

teremos as respectivas matrizes dos cofatores

Mcofator :

A B C D E F G H 1

O e

Ncofator :

O

0

_G _H +]

G

H

[

Portanto, O=det(N) =dG+eH+fI.

Generalizando: o produto

ailAJ-l + 0421432 + ' ' ' + ainAjn é sempre zero, se i

76 j ,

e igual ao determinante de A, se i = j . Podemos

Determinantes

186

Capítulo 4

escrever isso na forma de um produto de matrizes:

an

6112

ªm

(122

_ anl

(Ing

'

AAZofator

a1n a2n

A11 A21 A12 A22

f

...

am,

Aln A2",

0 det(A) 0 det(A)

_

O

= det(A)

Ann

det(A) 0 0

1 0 . 0 1 .

_

,

0 0

...

O 0

O

,

n2

-

.

:

Ínl

1

.

Atenção para o fato de usarmos a transposta da matriz dos cofatores. Se det(A) # 0, então

1 (mAcofator> _I A T

e assim a inversa de uma matriz (invertível) A é

A

—1

1 __ T _ det(A) Acofator '

(4-5)

Obtemos com a equação (4.5) um outro método para calcularmos a inversa de uma matriz, pois até agora só conhecíamos o método de Gauss—Jordan. A equação (4.5) nos fornece ainda uma “truque” para calcularmos a inversa de uma matriz 2 >< 2 A: basta multiplicarmos pelo inverso do determinante de A, a matriz formada a partir de A, trocando—se os elementos da diagonal principal e invertendo o sinal dos outros dois elementos: —1

A

__

“'

1 det(A)

[

a22 _012 611 “021

l

'

g4.3

187

Aplicações

4.3.2 Regra de Cramer Fazendo uso do Teorema 4.1, somos agora capazes de demonstrar a regra de Cramer, bastante utilizada pelos estudantes no ensino médio. A regra de Cramer é usada para encontrar a solução única x de um sistema n >< n de equações lineares Ax : b e consiste no cálculo de n+1 determinantes: det(A), det(Bl), det(Bz), ..., det(Bn), sendo

Bi :

a11 021 anl

-.— --'

a1,i+1 ª2,i+1 .

--—-.

ami—l bn an,i+1

--

“Li-1 a2,i—1 .

-—

b1 bz .

º

“In

a2n >

ann

para i = 1, 2, . . . ,n. Como podemos ver na expressão acima, cada matriz B, nada mais é do que a matriz A com a i-ésima coluna substituída pelo vetor b. Calculemos o determinante de cada B,- expandido em cofatores pela i—ésima coluna:

det(31)

det(Bg)

—

- (911411 + (921421 + '

011412 + 021422 +

' '

' ' '

+ bnAnl + bnAnz

_ blAln + b2A2n + + bnAnn

det(Bn)

' ' '

'

__

An A21 A12 A22

_ Al,, :

AZ,,

...

...

Anl

(91

An2

bz

Ann

b,,

_

Aªfatorb

= det(A)A'1b :

det(A)x.

Então, a solução x é calculada assim: _ det(Bi) xt — det(A)

,

pªrªi=1,2,...,n. d A frequência com que usamos a regra de Cramer no ensino médio não eve ser confundida com eficácia, pois, nessa etapa da vida do estudante, os

188

Determinantes

Capítulo 4

sistemas lineares são de pequenas dimensões, 3 X 3, 4 X 4, 110 mais das vezes. Em sistemas maiores, devemos usar o método de eliminação de Gauss (com pivotamento parcial), pois o número de operações aritméticas nele é da ordem de mª, enquanto que, na regra de Cramer, esse número é da ordem de n!. Para ter uma ideia da diferença entre essas ordens de grandeza, o leitor pode comparar 1003 com 100!.

4.3.3

Curvas e Superfícies

Determinar a equação geral de uma curva plana ou de uma superfície no espaço que passa por um conjunto de pontos conhecidos é resolver um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os coeficientes da equação da curva ou da superfície. Há., porém, uma alternativa para derivarmos a equação geral diretamente: basta usarmos o fato de que um sistema homogêneo só possui soluções não triviais se o determinante da matriz correspondente ao sistema

for zero. Por exemplo, consideremos a reta que passa pelos pontos distintos (why/1) e (372, yz) do plano. A equação da reta é sexlyêxg, ou se 331 = 1132 .

y=azt+b, a'

= b,

Podemos unificar a forma de apresentação das equações acima escrevendo clx+02y+03

= O,

para qualquer ponto (a:, g) do plano pertencente à reta. Devemos determinar cl, 02 e 03 a partir dos pontos conhecidos da reta, (acl, yl) e (1132, yz). Se (13, y) for um ponto da reta, teremos as equações

1

01

AC =

581 yl 5172 312

].

Cg

1

03

o

y

3:

H

ou ainda

O

6130 +02y +03=0, 61$1+02y1+63=0, c1x2+62y2+03 =O,

0

54.3

189

Aplicações

Esse sistema só terá solução não trivial, se 1 det(A): [151 111 1 =D, 502 112 1 3:

y

o que nos dá a equação geral da reta. Claramente, podemos aplicar a técnica acima para calcular a equação geral de qualquer curva plana (ou de qualquer superfície no espaço) para a qual conhecemos o número necessário de pontos que a determinam. Alguns exemplos: Para a equação da circunferência são necessários três pontos, que é dada por: atº + yº sc y 1 mi + yi xl y. 1 37% + 11% 1'2 112 1 rã + 31% me. 313 1 Para a equação de uma cônica (elipse, parábola ou hipérbole) são necessá— rios cinco pontos, sendo dada por:

x y my y 501 581.711 311 331 111 5172 íºzyz yz 372 112 1133 1133113 313 5133 313

H “ —l D

at

324 334314 314 554 214 ªºs «735% % 5135 315

cc 5131 332 503 374

31 111 112 113 314

z Zi 22 Zs 24

l —i u A r ª -

O

aº + y2 + zº 33% + 31% + Z? 113% + y% + Zª 513% + yª + 2% 50,2, + yi + ZÉ

H

Uma aplicação interessante seria, usando medidas reais, descobrir se um cometa possui órbita periódica ou não. Que cônicas estão envolvidas nesses casos? No espaço, podemos encontrar a equação geral de uma esfera, se tivermos quatro pontos, assim:

Determinantes

190

Capítulo 4

EXERCÍCIOS 4.3.1 Utilizando a equação (4.5), encontre, se existirem, as inversas das seguintes matrizes: a.

b.

3 4 1

_2

.

C.

1 —2 1 2 —1 4 3 —3 2

”

4 2 3 1 _8 —2 O

.

e,

1 -2 1 2 —1 4 3 —3 5

_1

d '

.

s

4

_

2 —5 4 2 5 12 7 3 5 17 8 1 1 7 4

4.3.2 Encontre, utilizando a regra de Cramer, a solução do sistema Ax sendo: '

a A=

_ '

b. A _

_

1 —2 1 2 —1 4 3 —3 6

b=

e

1 2 3 4 1 —1 —1 1 1 1 2 2 1

1

e

1 1

2 8 9 b—

:

b,

, 1 2

_1

1

4.3.3 Use o resultado do Exercício 4.1.7 para mostrar que o número de operações aritméticas para resolver um sistema 71 >< n utilizando a regra de Cramer é da ordem de (n + 1)!.

4.3.4 A velocidade de um processador é dada em jlops, do inglês floating-point operations per second, ou operações de ponto Hutuante por segundo. Usando o resultado acima, calcule o tempo necessário para um processador Intel6 Core“ i7, cuja velocidade é de aproximadamente 100 Gflops (ou 1011 fiops), calcular a solução de um sistema 20 x 20 utilizando a regra de Cramer.

4.3.5 Encontre, usando determinantes, as equações da circunferência e da esfera que contêm, respectivamente, os pontos:

(110), (—11—2) e (31 _2)

e

(_11134), (111,4), (2,0,0) e (3,—1,2).

Encontre os respectivos centros e raios e escreva as equações na forma

(x_cl)2+(y_62)2+ (Z—C3)2 =r2,

5 Autovalores Em 7 de novembro de 1940, após quatro meses de uso, a ponte do estreito de Tacoma, no estado americano de Washington, entrou em colapso sob a ação dos ventos. Um vídeo, que pode ser encontrado na internet sob o título de Tacoma Narrows Bridge, mostra a ponte oscilando, torcendo-se e contorcendo—se a cada nova rajada de vento. A causa do desastre: ventos periódicos sopraram com uma frequência próxima a frequência natural de oscilação da estrutura. Encontrar a frequência natural de oscilação de uma estrutura requer o cálculo dos autovalores de uma matriz, sendo uma excelente maneira de intro— duzir os conceitos de autovalor e autovetor. Infelizmente, isso requer noções mínimas de equações diferenciais, na maioria das vezes ainda muito distantes do horizonte de estudos de um aluno em seu primeiro contato com a Álgebra Linear. Para que a motivação deste capítulo não se restrinja ã álgebra ou seja uma mera curiosidade geométrica, analisaremos problemas envolvendo dois sistemas mecânicos com massas e molas: no primeiro, mais simples, poderemos intuir, a partir de considerações cinemáticas básicas, sua solução, que, uma vez apresentada, poderá ser verificada com o uso de alguns resultados do Cálculo Diferencial. Utilizaremos o que foi aprendido com o sistema mais simples para calcular a frequência natural de oscilação de um segundo sistema massa-mola, mais complexo. Autovalores e autovetores surgirão deste cálculo. (Como não poderemos nos aprofundar na teoria das equações diferenciais, as simplificações serão inevitáveis.) Já motivados, veremos como calcular os autovalores e autovetores de uma matriz (quadrada) e como matrizes e vetores complexos surgem naturalmente desses cálculos. 191

192

Autovalores

Capítulo 5

classe de proble-

O gerenciamento de florestas e rebanhos, modelos de uma mas que envolvem matrizes de transição de estadº, mOStrªrªº

&

Importancra

da diagonalização de matrizes. O capítulo culminará. com a demonstração do Teorema Espectral e com duas belas aplicações de tudo o que aprendemos até então: as cadeias de Markov e Pªrª ª o uso da decomposição de valor singular —— SVD, na sigla em inglês compressão de imagens digitais. “'

5. 1

Sistemas Mecânicos

Consideremos o seguinte sistema mecânico sem atrito constituído de uma massa m e de uma mola com constante de mola k, esquematizado na Figura 5.1.

X 3&

k (fl?I?I?I"IÍIÃIÍIÍIÍIÍIÍIÍIÃIÃI?)

Figura 5.1: Sistema massa-mola.

A posição de repouso do centro de massa de m marca a origem do eixo a:. A massa é então movida a uma posição 330 e impulsionada com velocidade inicial vo. Queremos descobrir a função x(t) que determina o deslocamento da massa m em qualquer instante de tempo t. Para modelar este sistema, usamos a 2“ lei de Newton e a lei de Hooke para molas ideais. Assim, ma = —kx,

(51)

sendo a a aceleração da massa. Para termos uma ideia da solução da equação (5,1), construímos a Tabela 5.1, que mostra o comportamento do deslocamento, da velocidade e da aceleração da massa m, com posição inicial sto > 0 e velocidade inicial nula (110 = O).

55,1

Sistemas Mecânicos

Percurso a;

(m)

de 330

+

&

0

de 0 a sto

de O a —a:0

de —a:0 a O

-

—

+

—

+

+

decrescente

crescente crescente decrescente (em módulo) (em módulo) (em módulo) (em módulo)

— (m/s)

decrescente crescente crescente decrescente (em módulo) (em módulo) (em módulo) (em módulo)

a (m/sº)

crescente decrescente crescente decrescente (em módulo) (em módulo) (em módulo) (em módulo)

1)

Tabela 5.1: Evolução das características de :::, u e a, com 330 > O e vo = 0.

Nossa experiência aponta para uma solução periódica, e a Tabela 5.1 nos sugere que, se o deslocamento for dado por x(t) : 1130 cost, então a velocidade e a aceleração serão, respectivamente,

u(t) = ——:L'0 sent

e

a(t) = —-;t0 cost,

como indicados na Figura 5.2.

x(t)

o(t

a(t

1130

Clio

27r —x0

t

530

27r —.'130

t

27r

t

+30

(8) Figura 5.2: Gráficos do (a) deslocamento x(t); da (b) velocidade o(t); e da (c) aceleração a(t).

Os leitores familiarizados com Física e Cálculo Diferencial sabem que a velocidade o(t) de um corpo é dada pela derivada do deslocamento em relação

Autovalores

194

Capítulo 5

ao tempo, isto é, dt

e a aceleração é a derivada da velocidade, sendo, portanto, a segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo:

do(t) dºa:(t) ' ª(t): dt : dtº Assim, se considerarmos uma solução mais geral para a equação (5.1): x(t) = Acos(wt + (o) , sendo A a amplitude,

to

o(t) =

a(t) =

dit

a frequência e

%

(o

(5.2)

o ângulo de fase, verificamos que

(A cos(wt + (p)) = —wA sen(wt + 90)

(—wA sen(wt + (p)) = —w2A cos(wt + (o) .

Como (5.2) e (5.3) devem obedecer w=

(5.3)

a equação (5.1), obtemos k __ m

>

que é chamada de frequência natural de oscilação do sistema da Figura 5.1. A amplitude A e o ângulo de fase (,O podem ser calculados utilizando—se as condições iniciais x(O) = ato e o(O) : uo (ver Exercício 5.1.4). Veremos agora um dos motivos da importância de determinarmos a frequên— cia natural de oscilação de um sistema mecânico. Consideremos um sistema massa—mola excitado por uma força periódica, como na Figura 5.3. A equação que modela o sistema da Figura 5.3 é

d2x(t) dtº

k

+ %w(t) = Fcos(wft) .

Se considerarmos uma solução de (5.4) da forma x(t) = Acos(wt + 90) +

gcoswft) ,

(5.4)

55,1

195

Sistemas Mecãnicos

(iiilllllilíllllili) %

//////////

X

X“

k

Figura 5.3: Sistema massa—mola com excitação periódica.

veremos que to = (1%, ou seja, a mesma frequência natural do sistema não excitado, e que B = wº — Lojª., para w # wf. Assim, F

2 x(t) : Acos(wt + < 2. Por fim, notemos que xl e Rxl não são ortogonais, pois (x1,Rx1) = xíRxl = 2i 0 (ver Exercício 3.1.12). Assim, a matriz R é uma matriz D de rotação dos vetores do Rº, mas não do (Cº.

#

55,3

211

Matrizes Complexas

Não podemos, portanto, adiar mais o estudo das matrizes complexas, visto que o corpo dos números complexos surge naturalmente do cálculo das raízes de polinômios característicos. Não nos ateremos muito a matrizes complexas genéricas, mas a dois tipos especiais, descritos a seguir. Já apresentamos, no Capítulo 1, as matrizes hermitianas, isto é, as matrizes que são iguais às suas adjuntas:

A=A*=T=

_É

vez, é uma matriz ortogonal.

El

Nas próximas seções, as matrizes hermitianas terão um papel muito importante, no qual as matrizes simétricas reais serão um caso especial e estarão associadas a matrizes ortogonais. Será útil definir uma extensão das matrizes ortogonais para o caso complexo, completando, assim, a analogia.

,eÍinlçao 5.4Umamatrizquadrada compleanÉiÍjãÉÉo únãºêâªâõªª—lâêtóre , ,, ,.... .. çlramadamamã,ªnytime,,

Exteriormaisw

,

,,

Como as matrizes ortogonais, as unitárias possuem uma propriedade fundamental.

Égoposrçao5.5Useraumamatrizunitar1,_,,se,esomenteU U ªrª-1577“

ça“: “Wª *»

Demonstração. A demonstração é análoga a da Proposição 3.2 sobre matrizes ortogonais e é deixada como exercício para o leitor.

[|

Uma outra propriedade das matrizes ortogonais também vale para as ma— trizes unitárias:

Qroposªiçâo56Matrizesunitãrias preservamoprodutointernoe a normª

!

— (x y) ger Ei,/mmm, Isto é, se U e unitária. e x e y vetores, então (Ux, Uy)—

É

ai #

214

Capítulo 5

Autovalores

Demonstração. De fato,

(Ux, Uy) = (Ux)*Uy = x*U*Uy = x*U'lUy = x*y = (x,y)

WX, Ux> = « = IIXH,

||le! = usando a igualdade anterior.

D

Os autovalores de uma matriz unitária não são necessariamente reais, como os de uma matriz hermitiana, mas a proposição a seguir nos mostra que todos eles têm módulo unitário. «mw-» ;;zng=£o—=f,wn

“».“ 135; ,: mm;—,ª“;

rs,-,., .

ªjfõbos1çao É????Í'odo 'ãUthÃÍO? dãªhina Éãtr'iãºuhitãria tem Va oria Iso u & .nêtáúº; ._Isto,é,,ge-à,é um, autºvalorss umªmªtrlzumtarlaUªentªºeLÃl= -= (ªz,—%..ªri

,

Demonstração. Se x é o autovetor de U associado ao autovalor A, então

IIXII = HUXII = IIÃXII = IÃIIIXII, logo |A| = 1, já que x não pode ser o vetor nulo.

[|

Se calcularmos os autovetores da matriz unitária U, apresentada no final do Exemplo 5.7, obteremos

A1 % 0,44570 + 0,89518i

e

A2

%

0,94815 — 0,31783i,

que têm módulos unitários.

Há, ainda, um resultado análogo ao da Proposição 5.4, que obtivemos para as matrizes hermitianas. Wªrsªwswwªª-MWWÉQQWW *wswsMWªNw/swwâwmmwfwgeWWªWWWÉWMMªW rw . “,“?sªsm assocrados ma m fiz '. 'autOVe “um “uma OI'GS “aria,” .8 ao rop081 *

:,”:

&

»

a auto

'“

iii-resudistimgssãg .Q,r,t9g%ãis. ,,

Demonstração. Sejam xl e x2 autovetores da matriz unitária U associados aos autovalores A1 A2, respectivamente. Como, pela Proposição 5.6,

#

= < n, basta termos n autovetores linearmente independentes para formarmos uma matriz invertível S, que diagonallza A. Isso é provado no teorema a seguir.

eorema 5.2. Seuma matriz A n>< n, as multiplicidades geométricas de seus autovalores devem somar n. Na próxima seção, apresentaremos um teorema que garantirá a diagona— lização de uma determinada classe de matrizes. Esta classe é visualmente identificável e é de extrema importância para os sistemas físicos e econômicos, para citar apenas os mais conhecidos.

EXERCÍCIOS 5.4.1 Calcule, quando possível, a decomposição espectral das matrizes abaixo, indicando a multiplicidade geométrica de cada autovalor.

[_3 j;].

[; f,]. b.

0 5 —6 3 —4 0 3 —3 —1

.

d.

15 —42 —6 4 _11 —2 8 —24 —1

5.4.2 Mostre que a similaridade é uma relação de equivalência, i.e., que A é similar a A; que, se A for similar a B, então B será similar a A; e que, se A for similar a B e B for similar a O', então A será similar a O.

5.4.3 Mostre que, se

A-lml» 11

então A será similar a 5.4.4 Considere, para k

=

Alº, para qualquer inteiro positivo k.

0, as matrizes

_ T—[O A] A k

e

J—[O A]" A

1

Mostre que, se uma matriz A 2 >< 2 for similar a T, então será Similar a J. 5.4.5 Seja A uma matriz diagonalizável e S a matriz que a diagonaliza. Mostre que

(S“1)T diagonaliza AT.

55,4

223

Diagonalização

5.4.6 Seja A uma matriz diagonal cujos elementos de sua diagonal principal são Ãl, Ãz, . . . , An, nessa ordem. Seja B uma matriz diagonal cujos elementos de sua diagonal principal sejam os mesmo de A, mas em outra ordem. Mostre que A eB são similares.

5.4.7 Mostre que, se A e B forem similares, então A2 e B2 também serão. 5.4.8 Considere N uma matriz triangular superior n >< n e tal que sua diagonal pr1nc1pal é composta somente de zeros. Mostre que existe um inteiro q tal que N º = 0. Esse é um exemplo de matriz nilpotente. 5.4.9 Mostre que toda matriz quadrada pode ser decomposta na soma de uma matriz triangular inferior com uma matriz triangular superior nilpotente.

5.4.10 Seja A uma matriz 2 x 2 tal que A2 = —I. Mostre que A é similar à matriz

,, [ , , ] _

0 —-1

.

Note que a matriz acima tem propriedades análogas às da unidade imagi— nária i, isto é, A2 = —I, A3 = —A, A4 = I. 5.4.11 Mostre que, se A for um autovalor de A, então A + 1 será valor de A + I e, portanto, A nunca será similar a A + I. 54.12 Se todos os autovalores de uma matriz diagonalizável forem iguais a 1 ou a —1, mostre que que A"1 = A.

5.4.13 Considere a matriz

T:

1 b a 0 ——1 c 0 —1 O

Mostre que T2 = I se, e somente se, e = 0. b. Se T2 = [, mostre que é sempre possível encontrar dois autovetores linearmente independentes associados ao autovalor A = —-1. Isso prova que T é sempre diagonalizável. c. Se T2 = [, quais os pOSSÍVeiS valores de posto(T —I) e de posto(T+ I)? &.

5.4.14 Demonstre, se a afirmação for verdadeira, dê um contraexemplo se falsa. &.

Se A for uma matriz n >< n com um único autovalor A e A for diago— nalizável, então A = A].

Autovalores

224

Capítulo 5

b. Uma matriz nilpotente não nula não é diagonalizável.

c. Se uma matriz 4 >< 4 tiver POSt0(A — AI ) = 1, então A d. Se uma matriz 4 >< 4 tiver POSt0(A — AI ) = 2, então A

um autovalor A com multiplicidade 3 e será diagonalizável. um autovalor A com multiplicidade 3 e será diagonalizável.

5.4.15 A exponencial de um número real oz pode ser expressa como uma série infinita a

e Podemos

1 2 1 3 =1+a+—2,a +——3,a +...

definir a exponencial de uma matriz A

pela série infinita

eA— 1+A+lA2+—1—A3+ ' 3! 2! _

' '

Manipulando as duas expressões acima, mostre que, se A, com autovalores A1, A2, . . . , An, for diagonalizável pela matriz S, então e)“1

eA = s

eÃz

_

s-l . An

55.5

225

Teorema Espectral

5.5 Teorema Espectral Na Seção 5.4, vimos a importância da diagonalização de matrizes. Noutras seções, porém, verificamos que nem toda matriz quadrada pode ser diagona— lizada —— como no Exemplo 5.5. Existirá então uma relação de similaridade interessante e válida para qualquer matriz quadrada? Ou seja, para cada ma— triz quadrada A, haverá uma matriz especial T e uma matriz invertível S tais que A = STS“1? A resposta é positiva, mas teremos que nos contentar com uma matriz T que não é, obrigatoriamente, diagonal: uma perda, sem dúvida. Mostraremos, entretanto, que T deve ser, na pior das hipóteses, triangular (superior). E, melhor ainda, podemos garantir que a matriz invertível S seja unitária (ou ortogonal, no caso real), o que torna o cálculo de sua inversa trivial. Como já Visto, números complexos aparecem naturalmente quando busca— mos raízes de polinômios, assim, as demonstrações que seguem trabalharão sempre com matrizes unitárias e hermitianas, que englobam o caso real de matrizes ortogonais e simétricas, respectivamente. O resultado seguinte nos garante que toda matriz quadrada é similar a uma matriz triangular superior T por meio de uma matriz unitária-U (ou, no caso real, uma matriz ortogonal Q). Este resultado é conhecido como Lema de Scliar. Para demonstra—lo precisaremos do seguinte argumento, assegurado pela Proposição 2.1 e pelo processo de Gram—Schmidt: a partir de qualquer vetor não nulo v 6 (C", podemos conseguir uma base ortonormal do espaço (C". ParaISSO, basta normalizar V e obter uma base ortonormal de (span[v))

Vamos, então, ao lema.

&ema5.1(Lema deSchur)DadaumamatrizquadradaA,pode-seencontra? uma matriz unitária U (ou ortogonal Q, no caso real) e uma matriz T triangular:

,

Ésuperior tais que

. aí x b é s º g ª “ — ál

=

A= UTU*

Ali”l—m disso, T possui os mesmos autovalores de A, que estão na diagonal. ;;.piim ipal de T. ªÉ Em outras palavras, qualquer matriz quadrada é unitariamente (ou orto=“ É ªnualmente no real) similar matriz triangularsuperior .., L......“

caso

mmgwd

=.

nu./nim.

...e L..—:=

a uma Lu...-;:

Demonstração. A prova utiliza indução matemática sobre a dimensão da ma— triz A, Deveríamos começar mostrando que o lema é verdadeiro para uma

226

Autovalores

Capítulo 5

matriz 2 x 2 (primeiro passo da indução), mas, para que o leitor compreenda melhor a demonstração, iniciaremos com uma matriz A 4 >< 4. A possui pelo menos um autovalor A1 e um autovetor (não nulo, portanto) associado x linearmente independente, que pode ser normalizado dividindo-o por sua norma. Chamemos esse vetor unitário de xl. Podemos escolher três ve— tores para completar uma base do C4 e ortonormalizá—la usando Gram-Schmidt (começando por xl, para não altera-lo). Formemos a matriz unitária U1 como esses quatro vetores ortonormais, observando que Axl = Alxl representa a igualdade das primeiras colunas em |

AU=A 1

x

1

|

* * * *

* * * *

* * * *

|

=

Ax

1 1

|

* * * *

* * * *

* * * *

=U

1

A1 * 0 * O * 0 *

* * * *

* * * *

,

ou, escrevendo de outra forma,

A1 * 0 * U_1AU= 1 1 0 * 0 *

* * * *

* * * *

7

com * representando sempre entradas cujos valores não nos interessam, por não interferirem na demonstração. Consideremos agora a submatriz 3 >< 3 do canto inferior direito na matriz Uf 1AU1 acima, chamando—a de A2:

A1***

Ul—IAUl

:

0 0 O

A2

Essa submatriz A2 é 3 >< 3 e possui pelo menos um autovalor A2 e um autovetor unitário associado X2. Podemos tomar xz e completar uma base do (C3 , ortonormalizando—a. Usando esses vetores ortonormais como colunas, montamos uma matriz unitária Mg 3 >< 3. Agora, fazemos

1000

U2=

1000

0|**__0 0x2** 0 0 0|** _-

M2

55,5

227

Teorema Espectral

U2 e uma matriz 4 >< 4 unitária, pois suas colunas são ortonormais, e, utilizando multiplicação em blocos, como ensinado no Exercício 1.1.7, obtemos ”A1 * * * (

1

1)

2

0 O -Ã1 _ O — O _ O —1 0 _ _ 0 _0

A2

_

1 0

0 0

O x2 0 |

* * * *

* * * | A2X2 * * * * | *

| x2

|

A1 * * * 0 A2 * * 0 O * * 0 O * *

0 0

O

* * * * * *

Portanto,

A1 * * * 00 A ** ** _ _ U21(U11AU1)U2=

02

O

O

* *

A submatriz A3 2 >< 2 no canto inferior direito da matriz

A1 * * * O A * * U2'1(U1“1AU1)U2 = 0

02

0

0

A

3

possui, pelo menos, um autovalor A3 e um autovetor unitário associado x3. Repete-se o processo, completando uma base do (Cº, usando Gram—Schmidt para torná—la uma base ortonormal, montando uma matriz 2 >< 2 unitária M3

e fazendo

U3 :

i — . C O D G ºt— *O

0 O O 0

Ms

Autovalores

228

Capítulo 5

U3 também é unitária e temos

O

*

».

O

UBTI(U2_1U1—1AU1U2)U3 =

O produto U = U1U2U3 é uma matriz unitária, pois

* -X

U "1 = (UleUe-l = UãlUílUfl = U;“UJUI = (U1U2U3)* = U*. Portanto, A = UTU “1 = UTU *, onde U é unitária, T é triangular superior e, pela Proposição 5.9, A e T possuem os mesmos autovalores, que estão na diagonal principal de T (ver Exercício 5.5.1). Vamos agora provar o Lema de Schur para uma matriz A qualquer. A hipótese de indução é que uma matriz A2 (n — 1) >< (n — 1) pode ser decomposta no produto A2= Ú2T2Ú2, sendo T2 uma triangular superior e (72 uma matriz unitária. Dada uma matriz A n >< n, encontramos um seu autovalor A1 com autovetor associado normalizado xl. Completamos uma base do (C" para formar as colunas da matriz unitária Ul. Assim, teremos

AU1=A

X1

_

_ _

* A1 * 0 *

* * *

|

=U1

.

.

: O

:

.

|

*

.

=

.

=

*

A1 *

*

*.

Ã1X1

*

O

A2 0

Pela hipótese de indução, A2= Ú2T2Ú2. Utilizando a matriz Úg, podemos construir uma matriz unitária (ver Exercício 5.5. 6) U2 n x 77. assim:

1 O

U2=

.

O =

.

(5.13)

55,5

229

Teorema Espectral

Então, usando multiplicação em bloco,

PAI * (UflAU1)U2=

(.)

º

A2

'

: 0

L0 0

'1 O _ 0 .

U2

=

,

A1 O

_ 0— UT

O Úg

10 ou seja,

O1

10

*

: 0

Tg

_

_

2

,

UílUflAUlUg = T.

Como U1 e U2 são unitárias, U = U1U2 será unitária, e teremos A = UTU * , finalizando a indução matemática.

[:|

O Lema de Schur garante, então, a similaridade de qualquer matriz qua— drada com uma matriz triangular, mas ainda queremos um resultado que nos assegure a diagonalização unitária (ou ortogonal) de uma matriz. Isso é pos— sível em uma classe ampla de matrizes, chamadas de matrizes normais, mas estas não apresentam muitas aplicações práticas. Por outro lado, uma outra classe de matrizes é de fundamental importância para a Estatística e podemos mostrar que essas matrizes são diagonalizáveis. Vamos a elas. De maneira bastante informal, consideremos um experimento de jogar dois dados não viciados e anotar os resultados. Uma variável aleatória é, grosso modo, uma função que relaciona os resultados de um experimento probabilístico (como jogar dados) com um subconjunto dos números reais. Assim, Xl pode ser a variável aleatória que relaciona a face do primeiro dado que cair para cima com os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Analogamente, relacionamos a variável aleatória X2 com o resultado do segundo dado. Mas podemos, ainda, criar a seguinte variável aleatória: Yg relaciona a soma dos resultados dos dois dados. O valor esperado, ou média, de uma variável aleatória (discreta) é a média dos valores possíveis da variável (cc,) ponderada por suas respectivas probabi-

230

Autovalores

Capítulo 5

lidades (p(a:,-)): “(X) = Ele = EMC“), sendo que i percorre todos os possíveis resultados do experimento. Por exemplo:

E[X1]=1>< n e A1, ..., A,, forem os elementos da diagonal principal de A, teremos:

0

|

AU : All- 1

...

|

|

All:,"

AULA

:

...

|

AnU;,n

:

UA,

, um seus o que signiiica que A1, ..., A,, são os autovalores de A e u,,l, respectivos autovetores associados. Se A for uma matriz simétrica real (sendo, portanto, unitária), seus autovalores serão reais, pelo que já foi provado acima. Os autovetores associados serão encontrados resolvendo-se sistemas lineares reais, sendo, assim, vetores reais. Como as colunas de U são os autovetores de A e U é unitária, então El U = Q é ortogonal. Um outro importante resultado de Álgebra Linear que pode ser demonstrado usando-se o Lema de Schur é o Teorema de Cayley-Hamilton —— em homenagem aos matemáticos Arthur Cayley (*1821 — J[1895) e William Rowan Hamilton (*1805 — T1865). ?Á㪺QÉD/XyWAMWWVQMW

= eorema

swfwwsm

wºrm

WWWW W

5.4 (”ªlle-orema de Ílâey—Éamilton*l—. »

L

,

_Ír

;“:ístico de uma matriz A n >< n. Então

&

M.,.

%%

W,

һl

Á'

,.:

...,xf;

,

;_

,,

*

Demonstração. Os autovalores de A são A1, A2, ..., An, consideradas suas multiplicidades. O polinômio característico de A pode ser escrito como

pA(:c) = (a: —— A1)(x — A2) . . . (cc — An)

.

Assim, pA(A) = (A—Ã1[)(A—ÃQI)W.(A—Ãnl)

Considerando a decomposição A

:

U TU *, assegurada pelo Lema de Schur,

55,5

233

Teorema Espectml

podemos escrever

“(A) = (UTU* — A1I)(UTU* — Agr) . . . (UTU* _ A,,I) : (UTU* — A1U1U*z)(UTU* _ A2U1U*) . . . (UTU* _ A,,UIU*) = U (T — A11)U*U(T _ A2I)U* . . . U(T _ A,,I)U* = U(T — A11)(T — Agl) . . . (T _ A,,I)U*.

Como os elementos da diagonal principal de T são A1, A2, . . . , An, então cada fator (T — Ai]) é uma matriz triangular superior cujo elemento da posição (i, i) é zero. Mas, pelo resultado obtido no Exercício 5.5.9, 0 produto dessas matriz é a matriz nula. Portanto, pA(A) = UOU* : 0. [___l

A bem da completude, gostaríamos de finalizar esta seção com uma de— finição e um teorema que identificam quais são as matrizes que possuem um conjunto completo de autovetores ortonormais, ou seja, quais são, exatamente, as matrizes que são ortogonalmente (ou unitariamente) diagonalizáveis.

Eenmçãoã 7 Úmamatriz quadradªs N é chamada normalse comuta co ªlla ªdiªntªr; isto,. “êtª, sse, N N .NªfN

=

'

rbposíçao510SeN?oruma matriz normalentao wwe «ew-"??;

IINXH = “N”“Xll, “râgaualsuer. ºs. 6. Rªlº? Cí): ..

.

_

Demonstração. Basta escrever

||Nx||2= (Nx, NX): (Nx)*Nx : x*N*Nx : x*NN*x : —*N*x = = ||N*x||º.

u

?mnomçao5.11SeA,foruma matriz normal triangularentaoÃserãªíuã ª?” »:

EMU/4 diagonal

_

,

,

.,

l

W.,

,

'

wªy,».

-

234

Capítulo 5

Autovalores

Demonstração. Suponhamos que A seja uma matriz n >< n triangular n e tomemos el, 82, . . . , e,, os vetores da base canonica do IR . Entao, A

º

superlor

'ª'

”1431“2 =|ª11]2 + |0«21|2 + - - - + [anllº =|a11|2 + O + - - - + 0 = Ianlº. Por outro lado,

“Neill2 = |ªn|2 + |a12|2 + - . — + |a1n|2 .

Portanto, pela Proposição 5.10,

a12=a13=---=a1n=0. Raciocinando agora com ez e usando os valores recém calculados, chegamos a23=a24=-—-=a2n=0_ E assim sucessivamente, até concluirmos que A é diagonal.

EI

eõrefríªaw55 ÚmÉÉfiatrrzquadradaseraunitariãíiiefiºtºãªdªiagõnaliiããâ" “ª” É»“E,%?Çç

111913139 Sg, for, _Hºlfênªlz

& ._

Demonstração. Se A for uma matriz unitariamente diagonalizável, então A = UAU *, daí AA* = UAU*(UAU*)* = UAU*UA*U* = UAA*U* = = UA*AU* = UA*U*UAU* = (UAU*)*UAU* = A*A. Reciprocamente, pelo Lema de Schur, A = UTU *, para alguma matriz triangular superior T e alguma matriz unitária U. Assim,

TT* = U*AU(U*AU)* = U*AUU*A*U = U*AA*U = U: = U*A*AU = U*A*UU*AU = (U*AU)*U*AU = T*T

então T é normal. Pela Proposição 5.11, T será diagonal e, portanto, A será diagonalizável.

[]

Conseguimos assim estabelecer quais matrizes são unitariamente diagonalizáveis. Uma outra linha de investigação seria buscar uma forma mínima que as matrizes triangulares do Lema de Schur podem assumir. Isso nos levaria às formas canônicas de Jordan de uma matriz, que foge do escopo deste livro.

55.5

Teorema Espectml

235

EXERCÍCIOS 5.5.1 Mostre que os autovalores de uma matriz diagonal são os elementos de sua dlagonal principal.

5.5.2 Calcule uma forma de Schur da matriz 5—1

A—[. sl,

seguindo os passos descritos na demonstração do Lema de Schur, i.e., en— contre um autovalor e seu autovetor unitário associado; monte uma matriz unitária U1 com esse autovetor, completando uma base do R2; e assim por diante.

5.5.3 Calcule uma forma de Schur para cada uma das matrizes abaixo. a

1 7 1 —1 5 —1 6 O O

2 —1 9 1 —3 4 1 —2 3

b

c

3 2 1 2 3 1 1 1 4

5.5.4 Considere as matrizes

A=

2 O 5 0 2 3 O O 1

e

P =.

O 1 0 1 O 0 O O 1

Mostre que A é uma forma de Schur dela mesma. Calcule PAPT e mostre que este produto também é uma forma de Schur de A. Isso mostra que a forma de Schur de uma matriz não é necessariamente única.

5.5.5 Considere A uma matriz simétrica real 3 x 3 cujos autovalores são 1, 2 e 3, e 1 _1

—1 1

Xi :

e

X2 =

—2 —1

. respectivamente a 1 e a 2. Encontre o autovetor

os autovetores associados associado a 3 e a matriz A.

X

5.5.6 Mostre que a matriz Uz delinida na equação (5.13) é, de fato, unitária,

236

Autovalores

5.5.7 Mostre que uma matriz 2 >< 2 ou

A1 O 0 A2

Capítulo 5

é similar a A 1 0 A

a ºu

'

5.5.8 Mostre que o determinante de uma matriz n >< n é dado pelo produto de seus autovalores. 5.5.9 Considere a sequência de matrizes n >< n triangulares superiores T1, T2, . . . , Tn, tais que o elemento da posição (75, i) da matriz T, é zero. Mostre, usando indução matemática, que

T1T2...Tn : 0, sendo 0 a matriz nula n >< n.

5.5.10 Mostre que as matrizes hermitianas são normais. 5.5.11 Seja A uma matriz triangular superior que não é diagonal. Mostre que A não é normal.

5.5.12 Mostre que, se A for hermitiana, então a matriz (A + iI)(A — “')—1 será unitária. 5.5.13 Seja A uma matriz hermitiana n >< n cujos autovalores são A1, A2, . . .,

An.

Mostre que (A—A1])(A— Agl)...(A— A.,!) = 0. 5.5.14 Mostre que toda matriz normal A pode ser decomposta como A = B + iC , sendo que B e C são hermitianas e comutam.

5.5.15 Mostre que a matriz

T:

1 —1 0 0 O —1 0 0 —1

é diagonalizável, mas não é uma matriz normal. Encontre a decomposição espectral de T. Isso viola o Teorema 5.5? Por quê?

5.5.16 Mostre que a matriz

A“[1—i 1

é normal, mas

AAT # ATA.

1+i 2

]

55,5

Teorema Espectml

237

5517 Uma matriz hermitiana A é dita positiva definida se x*Ax > 0, parª qual— quer vetor não nulo x. Mostre que todos os autovalores de uma matriz positiva definida são positivos.

5.5.18 Uma matriz hermitiana A é dita positiva semidejím'da se x*Ax Z 0, Pªrª qualquer vetor não nulo x. Mostre que todos os autovalores de uma matriz positiva definida são não negativos. 5.5.19 Mostre que o determinante de uma matriz positiva definida é positivo e que o determinante de uma matriz positiva semideiinida é não negativo.

238

5.6

Autovalores

Capítulo 5

Aplicação: Cadeias de Markov

Sabendo agora da importância da diagonalização de matrizes e munidos das ferramentas teóricas apropriadas, podemos atacar dois problemas praticos cujas modelagem e resolução envolvem um conhecimento razoável de Algebra Linear. A primeira aplicação refere-se às matrizes de Markov; a segunda, exposta na Seção 5.7, trata da análise e compressão de imagens digitais. Locadoras de veículos trabalham sempre com diversas lojas espalhadas por uma determinada região de forma que seus clientes possam alugar um carro em uma loja e depois devolvê—lo em outra. Suponhamos que uma locadora de veículos tenha três lojas, indexadas pelos números 1, 2 e 3, para atendimento de seus clientes e que seu gerente tenha observado as frequências históricas com que os carros retirados na loja j foram devolvidos na loja z' diariamente — para simplificar, consideramos que todos os carros são devolvidos no final do dia. Ele pode, com isso, formar uma matriz de transição de estado de Markov, M, na qual o elemento mij representa a probabilidade de um carro alugado na loja j ser devolvido à loja i: alugado na loja

1 devolvido 1 2 à 3 loja

2

3

0,8 0,1 0,3 0,1 0,7 0,1 0,1 0,2 0,6

= M.

(5.15)

A observação fundamental é que, em uma matriz de transição de Markov, as probabilidades (não negativas) em cada coluna devem somar 1. Suponhamos que há, inicialmente, yíº) carros na loja 1, yáº) carros na loja 2 e yâº) carros na loja 3, (ou y(º) = [yím ygº) yâº)]T, em forma vetorial). Aplicar, então, a matriz M ao vetor y(º) signiíica encontrar a quantidade mais provável de carros em cada loja ao final de um período (no fim do dia, por exemplo), utilizando as probabilidades da matriz M. Iniciaríamos o período seguinte com essa nova distribuição de carros nas lojas — o estado no período

55.6

239

Aplicação: Cadeias de Markov

seguinte —— que podemos escrever em forma vetorial como yª). Assim:

y“) = Myª”, y(2) : My“) : Mºym) ,

yUc) : My(k_1) : . . . : Mky(0) . A essa sequência de estados dá—se o nome de cadeia de Markov, em homenagem ao matemático russo Andrey Markov (*1856 — J[1922). Mas, o que acontecerá com o vetor yº“) no longo prazo? Olhando para a matriz M em (5.15), a tarefa de calcular M parece—nos intimidadora. No entanto, se M for diagonalizável, existirão uma matriz S invertível e uma matriz A diagonal tais que M = SAS—1 e, então,

'“

M'º = (SAS—Wº = SAs-ISAs-l . . . SAS—1 = SA'ºs-l e, como A é diagonal, N“ é extremamente fácil de calcular, bastando elevar a

k—ésima potência todas as entradas da diagonal principal de A. Como M não é simétrica, não podemos garantir sua diagonalização pelo Teorema Espectral. Mas, calculemos os autovalores de M: Ã1=1,

Ã2=0,6

e

Ã3=0,5,

com autovetores associados x1, x2 e x3, respectivamente. Pelo Exercício 4.2.15, já sabíamos que M possuía um autovalor unitário, mas agora temos que os três autovalores são distintos, o que garante a diagonalização de M, pelo Corolário 5.1. Então, podemos escrever:

ya) : Mky : SMS—ly“) = sms-Iwº”) = SA'ºb, sendo b = S—1y(º). Desenvolvendo um pouco mais, obtemos:

ya) : SA'ºb :

|

|

|

bl b2

|

|

|

53

xfx, ,V2ºx2 A'gx3

= bI/fol

+ b2,x'5x2 + ng'gxg.

A medida que o número de períodos k aumenta, teremos, no limite, k: — MAI—aw 1= .

k__

ew

k:

ºv Jaws-º, k_

Autovalores

240

Capítulo 5

significando que o autovetor xl é dominante sobre os outros, os quals se tornam mais e mais irrelevantes. Fazendo os cálculos, um possível valor para XI e

2/4 0,50 1/4 = 0,25 1/4 0,25

x.:

,

que indica o percentual dos carros em cada loja. Uma das propriedades mais importantes de uma matriz de transição de Markov é que um, e somente um, de seus autovetores é sempre 1 e os outros são sempre menores, em valor absoluto, do que 1. Isso significa que, se começarmos com a quantidade correta de carros em cada loja — o que corresponde componentes (normalizadas como acima) do autovetor associado ao autovalor 1 —, essa quantidade tende a não se alterar, se repetirmos o processo muitas

as

vezes. De fato, Mxl = Alxl = 1x1 = xl. Por fim, sabemos como alocar os 100 carros da locadora: 50 carros na loja 1, 25 carros na loja 2 e 25 carros na loja 3. É difícil imaginarmos a solução de um problema similar envolvendo 1000 lojas sem um conhecimento razoável de Álgebra Linear. Uma última indagação pode ainda ser feita pelo leitor: o que acontece com o número de total de carros no autovetor x2, associado ao autovalor Az— — 0, 6? Ou seja, haveria, neste caso, um decréscimo no número total de carros? A resposta encontra—se, logo abaixo, no Teorema de Perron—Frobenius, mas, para uma melhor compreensão, recomendamos que o estudante faça o Exercício 5. 6. 3, calculando os autovetores xz e x3. Encerramos a seção com 0 enunciado do Teorema de Perron-Frobenius, observando que para uma matriz de transição de Markov comportar-se como a matriz M do exemplo estudado acima, ela deve ser irredutível: .=..... nW>< r, r >< (n r) (n :) "nf—;,rlme, (n; r) respectwamente. Caso contrario,A é dita azvedatwcl =—

><

=

55.6

Aplicação:

Cadeias de Markov

241

Exemplo 5.10. As matrizes

lãªl

são redutíveis. J a as matrizes

0 1 2 0 são irredutíveis.

|:]

É fácil ver que a matriz M em (5.15) é irredutível (ver Exercício 5.6.1).

georema 5.6 (Perron—Frobenius) lementos são não negativos.

a. A possui um autovalor real positivo

É

b.

A1

uma matriz n > V) é umaêâ orrespondência que associa a cada vetor em U um vetor em V (em símbolosê .u 6 U, Tu = v e V) tal que “»

,;

”

a. T(u+v)=Tu+Tve

..

'TWJRÚT

“"ºuªSºlªºfªeV *

Sm

Kananga; escalª—r S

““'"ª'º'kªfª'ªªªº

-

'

.:.-M. kiwi-n'... LLRWAÍ

IF-

an..-...

tânia._m.as

.—

“ . á m â t íé z x a n r ã ê . a

*

b. T(au) = CeTu ,

Devemos ter muita atenção quando trabalhamos com espaços vetoriais ge— néricos! Na definição acima, a soma u + V refere—se a adição vetorial definida no espaço vetorial U, já a soma Tu + Tv é a adição vetorial definida no espaço vetorial V. De maneira análoga, ou é a multiplicação por escalar no espaço U € QTu é a multiplicação por escalar definida no espaço vetorial V. No teorema a seguir, faremos essas distinções usando símbolos diferentes para as diferentes adições vetoriais e para as diferentes multiplicações por escalar, explicitando—as. Entretanto, evitaremos o uso frequente de símbolos como EB por acreditarmos que eles mais confundem que esclarecem o leitor. Exemplo 6.1. O exemplo, talvez, mais simples de uma transformação linear é a função linear ]” : R ——> R definida por

f(x) =azr, para todo a real e sendo oz um número real fixo. Os espaços de saída e chegada são o espaço vetorial dos números reais e o gráfico é uma reta que passa pela origem. Aproveitando este exemplo, note o leitor que a função f (x) é totalmente

caracterizada pelo número real a, o que serve como uma primeira justificativa para a notação Tu, ao invés de T (u), para uma transformação linear. A escolha dessa notação ficará. clara mais adiante. |:]

Exemplo 6.2. Se A for uma matriz real m >< n, então A definirá uma trans— formação linear que leva os vetores do R” em vetores do Rm pela multiplicação usual de matrizes. De fato, se 11 6 R", então Au € Rm e

A(u+v) : Au+ Av

e

A(au) : aAu,

Transformações Lineares

254

para quaisquer u e v em U e qualquer escalar

Capítulo 6

D

&.

As transformações lineares também são chamadas de aplicações lineares e ganham nomes especiais dependendo de seu contradomínio (espaço de chegada da função). Quando os espaços de saída (domínio) e de chegada (contrado— mínio) são o mesmo, isto é, V = U, a transformação linear é chamada de operador linear. Ainda: quando o espaço de chegada é o conjunto dos números reais ou o dos números complexos ( V, com V = R ou V = (C), a

transformação linear recebe o nome de funcional linear. Para determinarmos uma transformação linear é necessário e suficiente conhecer sua ação numa base do espaço vetorial domínio. E o que nos garante o teorema a seguir.

“Tm, 555535.wwiâóãçããªõêiãiiaiâªâº? Demonstração. Como B é uma base de U, um vetor v unívoca como

e U é escrito de forma

v=a1u1+a2u2+—--+anun. Definimos, então, T : U —> V por

Tv=a1v1+a2V2+—--+anvn. Analogamente,

TW=B1V1+Ú2V2+"'+Ban para

W

= 51111 + ,62112 +

— - — + Bnun. Assim,

T(V + W) : (ªl + 51)“ + (G2 + B2)V2 + '

- - + (a,. + B.,)vn

=a1V1+CVZV2+"'+anvn+BIV1+B2V2+"'+;ann =Tv+TW

T(VV) = 701V1 + 7042V2 + '

-

+ vanvn : 7 V, tal que Su, = v,, para i = 1, 2, . . . ,n. Então,

Sv=a1V1+--—+anvn =TV, para qualquer V & U. Portanto, S = T.

E

Exemplo 6.3. Como qualquer função, uma transformação linear pode ser definida por uma regra. Por exemplo, T : R2 —> R3 pode ser dada por

TíxJ=

a;

x+y

(6.1)

.

2x+y

3;

Mas, como encontrar a

regra da transformação linear se forem fornecidos uma base do espaço domínio e seus respectivos vetores transformados? Tome—

mos os seguintes vetores:

TU1=T[ 1]: 1

1 2 3

Tu2=T[ ]= 1

e

=v1

_1

1 0 1

=V2-

Claramente, ul e 112 formam uma base do R2, então, qualquer vetor u 6 R2 pode ser escrito como

I

| 111 112

u=au1+5u2=

[É]=B[g],

em que B é uma matriz invertível, pois suas colunas são linearmente independentes. Assim,

[g ]

= B-lu.

(6.2)

Por outro lado, como T é uma transformação linear,

Tu=aTu1+BTu2=

|

| V1 V2

[5]: a

| | V1 V2

1

B—U,

Transformações Lineares

256

Capítulo 6

usando (6.2). Em números:

Tu=T[$]= y

1 1 2 0 3 1

“% Vªrªl:

que nos da a regra de definição de

/

—/

y

a;

r+y

,

25r+y

T, como em (6.1).

|]

Como vemos pela Definição 6.1, uma transformação linear preserva a estrutura linear dos espaços vetoriais envolvidos, pois transformar linearmente a adição de dois vetores é somar os vetores parcelas transformados, bem como transformar o múltiplo de um vetor é tomar o múltiplo desse vetor transfor-

mado. Entretanto, a Definição 6.1 leva—nos a um resultado ainda mais pro— fundo: as próprias transformações lineares formam um espaço vetorial. É o que nos garante o teorema a seguir.

Eeorema 6.2SejamÚumespaço vetorialcom adiçãovetor1alGBemultip—I

%cação por escalar ©, sobre o corpo lF, e V um outro espaço vetorial, com adiça gvetorial EE e multiplicação por escalar E], também sobre o corpo lF. Sejam T duas transformações lineares de U em V. Então, a adição vetorial, definida

ÉS

OI“

—- Tu EEI Su, (T + S)(u)—

uma transformação linear de U em V, também aT, definida por

(aT)(u) = a E! Tu,

,

uma transformação linear de U em V. Além disso, o conjunto das transforf m ações lineares de U em V, com adição vetorial e multiplicação por escala efímdaaàglma formam,,um espaçosretºrnassem.,9 gggpº IF ªª”; ,

_

g,,ãàÁv—gw_

*

«"'

Demonstração. Como

(T+S)(u€Bv)=T(u€Bv)EBS(u€Bv)=TuEETvEElSuEElSV= = (T+S)(u)EB(T+S)(v) e

(T+S)(a©u) =T(oz©u)EElS(a©u) =aElTuEEaE]Tu=aEl(T+S)(u),

56.1 para

Transformações quaisquer

Lineares

.

257

u e v em U e qualquer escalar a, então T + S é uma transfor—

mação linear. De maneira análoga,

(GT)(u€BV)=aEIT(u€BV)=ozEl(TuEETv) = = a E] Tu 83 a [3 Tu = (aT)(u) EB (aT)(V)

(aT)(B©u)=aE]T(B©u)=aEl(Bl3Tu)=aBl3(Tu)= =BB(0£|3TH)=BÉJ(0£T)(H), para quaisquer u e v em U e quaisquer escalares

&

e

B, então aT é uma

transformação linear. Para provarmos que as transformações lineares de U em V formam um es— paço vetorial, com as operações definidas acima, precisamos mostrar cada uma das propriedades da Deiinição 2.1. Acabamos de demonstrar as propriedades de fechamento e deixamos as demais a cargo do estudante (ver Exercício 6.1.3), lembrando que a transformação linear nula é aquela que leva qualquer vetor de U no vetor nulo de V. E]

No teorema acima, como já havíamos dito, explicitamos as três adições vetoriais: u 69 v, definida em U; Tu EEI Tv, definida em V; e T + S, definida no espaço vetorial das transformações lineares de U em V, bem como as três multiplicações por escalar, uma para cada espaço vetorial. No entanto, para não sobrecarregar a notação, evitaremos símbolos como 69 e 53, confiantes que O leitor interpretará corretamente as operações + e Existe uma notação própria para o espaço vetorial das transformações li— neares de U em V, qual sejª, £(Uã V)- A notação Pªrª 0 espaço Vetºrial dos operadores lineares é simplificada de £(V; V) para £(V). No caso do espaço vetorial dos funcionais lineares, escrevemos U * ao in— vés de £(U;]R) (ou L(U;(C)) e o chamamos de espaço vetorial dual de U, Ou . Simplesmente 0 dual de U. Uma pergunta interessante: se dim(U ) =Nn e dim(V) = m, qual seria a dimensão de g(U; V)? A resposta esta na Seçao 6.3.

Capítulo 6

Transformações Lineares

258

EXERCÍCIOS

w r c o.

6.1.1 J ustificando sua resposta, determine se a função é uma transformação linear. .

T:R3—->R, T(rr,y,z)=w—2y+3z.

.

T:]Rº—HRZ, T(x,y)=(w+1,2y). T : R3 —> R3, T(x,y,z) = (em,ey,ez). T : V —> IR, T(v) = (v, u), para u e V fixo e V real com produto

. .

interno.

e. T : M,,> IR, T(A) = det(A).

6.1.2 Encontre uma fórmula para a transformação linear T a partir das imagens dos vetores da base [ul, . . . ,un].

'1 a.T(

0 )=

L0 -

c.T(

1 2 2

,

0 T(1)= 0

—2 7 1

1

5 —1

2

8

,

aw “mas. ])= T([ ])= 1

-1

3 0 5

,

T(

0 0 )= 1

3 0 1

d. T(l) = 0, T(zr) = 1, T(xº) : 2:13, T(w3) = 35132.

6.1.3 Conclua a demonstração do Teorema 6.2 mostrando que o conjunto das transformações lineares de U em V, com adição vetorial e multiplicação por escalar definidas acima, formam um espaço vetorial sobre o corpo E 6.1.4 Um conjunto C é dito convexo se, para quaisquer u, v e C, au+ (1 —— a)v & C, com 0 5 a 5 1. Mostre que, se T : U —> V é uma transformação linear e C é um conjunto convexo em U, então TC é um conjunto convexo em V. 6.1.5 Demonstre, se a afirmação for verdadeira, dê um contraexemplo, se falsa. Seja T : U ——> V uma transformação linear entre espaços de dimensão finita.

Se Tx = O, então x = 0. b. Se Tx = 0 somente quando x = O, então dim(U) = dim(V). &.

56.1

Transformações Lineares

259

c. Se W e uma combinação linear de binaçao linear de Tul, .. ., Tun

ul, . .

., un, ent㺠TW é uma com-

6.1.6 Sºjª T : U —> V uma transformação linear. Mostre que, se Tul, ..., Tun E V sao linearmente independentes, então ul, ..., un 6 U também 0 sao. De um contraexemplo mostrando que a recíproca não é verdadeira.

6.1.7 Seja T : U —> U um operador linear. Mostre que, se Tul, ..., Tun 6 V geram U, então ul, ..., u,, e U também geram U. Dê um contraexemplo mostrando que a recíproca não é verdadeira.

6.1.8 Sejam T, R : U —> V duas transformações lineares e [ul, . . . , un) uma base de U. Mostre que, se Tu,- : Rui, para i = 1,...,n, então TW = RW, VW 6 U. 6.1.9 Seja T : V —> V um operador linear, com dim(V) = n finita e, para algum

xGV, T"x=0

Mostre que

e

Tm-lxso.

x, Tx, Tºx, ..., T"“1x

formam uma base de V.

6.1.10 Sejam T : U ——> V e S : U —> V duas transformações lineares entre espaços vetoriais com produtos internos, tais que (Tu, V) = (511, V) para todo

11 6

,

U e todo V E V. Mostre que T = S.

6.1.11 Seja T ; V —-> V uma função sobre um espaço vetorial com produto interno tal que

(Tu,Tv) = (u,v), Vu,v

& V.

Mostre que T é um operador linear —— chamado de ortogonal.

6.1.12 Seja T um operador linear sobre um espaço vetorial V, de dimensão finita n, dotado de produto interno e com norma proveniente deste produto interno. Mostre que as afirmações abaixo são equivalentes: a. T é ortogonal. b. ||Tv|| = ||v||, para todo v

e V.

260

Transformações Lineares

Capítulo 6

c. Se [v1,v2, . . . ,vn) é uma base ortonormal de V, então também o é

[Tv1,TV2, . . . ,Tvn]. 6.1.13 Seja V um espaço vetorial com produto interno sobre o corpo R. &.

Fixe v 6 V e defina uma função

(pv

: V —> R

pºr

(IOV(u) : (ua V) , para todo u

e V. Mostre que (pv é um funcional linear para cada v.

b. Defina T : V —> V* por

TV : (pv para todo v 6 V. Mostre que T é uma transformação linear. )

(6-3)

562

261

Dois Subespaços Fundamentais

6.2 Dois Subespaços Fundamentais Na Seção 2.4, quatro subespaços vetoriais foram associados a cada matriz m >< n: o espaço—linha, o espaço—coluna, o espaço—nulo e o espaço—nulo esquerdo. O espaço-linha e o espaço—nulo esquerdo são, respectivamente, o espaço-coluna e o eSpaço-nulo da transposta (ou adjunta, no caso complexo) da matriz em questão. Também as transformações lineares possuem subespaços fundamen— tais associados: o núcleo e a imagem. ..

's

_“.w

e

ª”..—,,me“apague we...?

efimçao6VÉWSejaTWÚWÃHVurriãªtfaiisformaçao inear. imagem .um-«.-

”"= %mmm—...?»

subconjunto de V formado pelos vetores Tu, para todos os vetores u 6

denotadoporWRÇT) ,

,. fn-

«&:'Ela-”*.“. “as

a.

...ªs-.a

,

— ..

me

,

;»

ªgi-&'

..

”wk

«na. ”...,?

U,

»..

Claramente, R(T) é um subespaço vetorial de V, pois, se u e v forem vetores de U e a for um escalar, então Tu+Tv=T(u+v) =€ V, pois Tu E V e Tv E V e V é um espaço vetorial. Também

aTu = T(au) =€ V.

,Éeiirifção6“; .Seja TWÚà -

:x.

« wra».

mw»

wauv

:

» Vªz:

“mr

mas“

,,

,'

xr

<

”formaçao inear ubconjunto formado pelos vetores 11 6U , tais que Tu— O, e é denotado po 1 uma

[

,

_—

Mais que um subconjunto, N (T) é um subespaço vetorial de U, já que, se u e v forem vetores de U e a for um escalar, então T(u+v)=Tu+Tv=0, T(au) = aTu = aO = 0. As notações usadas para o núcleo e para a imagem de uma transformação linear São as mesmas que as usadas para 0 espaço-nulo e para o espaço—coluna de uma matriz, respectivamente. Isso é óbvio no caso de considerarmos uma matriz que representa uma transformação linear, como no Exemplo 6.2. A justificativa geral será. apresentada nª Seção 6-3-

262

Transformações Lineares

Capítulo 6

Para completar a analogia, as dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita são chamadas de nulidade e posto, respectivamente. Sendo funções, as transformações lineares também podem ser classificadas de acordo com os conceitos de sobrejetividade, injetividade e bijetividade.

'efmção

. —«

gravadª

.Sçw—ªvy-

5,3

uma transformaçwOTQHdear ,

,,

%WÁÍWÍSIZQIHOS que

"ªª

ªi"

*

“

'

"ªr“

*

"

“

-'

' »

ªnsasawmu'ª—

»

'—

'

_

.

5;an

[_

wwe-amº

”TT

Wªªâª

6

,»

soir—ey «,

“em.mw.ex&.sssammàmsrmmwswusssnm

gfiãiçªwâqgnw, mãwtfãnsfãrriiãwçãõlinear T TT —-> V é injefwa(.; ªse-gsmmsia-MWMwama—mwwtM&WLCL MJ,)! com“fav TV sem. ..re, __ue «ªrmaram.ªu—6a. ma ezsomo linea TÉ %Veª cÉama: . Aírmªmgay .

..

*

Ҽ

í efiniçao

A

,

transformaçãã%%

,?WW???

dwir,-air,

,

U ,.V ...São ditos.,aomqrfga Vejamos alguns exemplos. Exemplo 6.4. Consideremos as transformações lineares TA, sentadas, respectivamente, pelas matrizes

ol:

lª?—[023] 1 1 1

º

O“

repre—

* —P O

CDP—'O

A_[0

1 0

TB e T0

O operador linear TA : R2 —> R2 não é nem injetivo, pois

TAlíl=Alil=lãl=Alãl=TAlãlª

e nem sobrejetivo, já que [1 1]T & R(A) (ver Exercício 6.2.2). A transformação TB : R3 —-+ R2 não é injetiva, pois

TB

1 —3 2

=B

1 —3 2

=[O]=B O

—2 6 —4

=TB

—2 6 —4

mas é sobrejetiva. De fato, para qualquer vetor v 6 R2, podemos encontrar pelo menos um vetor u do R3 tal que TBu = v, i.e., Bu = v, pois B tem posto completo (ver Exercício 6.2.3 e, também, o Corolário 2.2).

562

263

Dºis Subespaços Fundamentais

e injetiva.

Por fim, a transformação TC

De fato, tornando u

#W

6

R2,

teremos

0 O 1 0 0 ].

Tcuz

[11,1]: u

º

ul

#

11,2

0

O O 1 0 0

wl

102

].

=

0

[lezTOW. w

º

Mas não é sobrejetiva, considerando que TC : Rº —> R3, pois, por exemplo, [1 1 117" $ R(TC). []

a podemos apresentar o primeiro resultado interessante:

a primeira parte do Teorema Fundamental da Algebra Linear para transformações lineares, também conhecido por teorema do núcleo e da imagem. J

€*

;.u. “x“:;:...“,-«Bzawww(??;%%%&»?Wãaw“,

eorema 6.3 (TeoremaEmdanidiitãldaÁlgebra Linear). Seja T: U ——>

ma transformação linear entre dois espaços de dimensão finita, com d1m( U ) .

Então,

-

——n taninºs/tºlª“)diquil +&me

*

,

_,

_

,

;º ª ª

Demonstração. Consideremos a base

BN : [11131127

' ' '

, Hk]BR : (v17v2) ' - - yv'r)

do núcleo de T. Se posto(T) : 0, então T é a transformação nula e o teorema está provado. , un em U, tais que Caso contrário, existem vetores uk“,

[1117 1,12,

' ' '

auka uk+19 ' ' ' inn)

é uma base de U. Temos que provar que

BR : [Tuk+1, . . . ,Tun] é uma base de R(T) É fácil mostrar que os vetores Tu1,Tu2,---,Tuk,Tuk+1,-—-,Tun geram = Tuk = O, então —- Tuz = R(T) (ver Exercício 6.2.7). Como Tu1

264

Transformações Lineares

Capítulo 6

Tuk+1, . . . , Tun também geram ??,(T). Agora só falta mostrar que estes vetores são linearmente independentes.

Consideremos

ak+1Tuk+1 + ak+2TUk+2 + 0

' ' '

+ anTun : 07

(6'4)

que equivale a

T(ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + "' + ªnun) : O'

--

= ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ' + anun € N(T) e pode, portanto, ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base

Isso significa que o vetor

BN:

W

ak+1uk+1 + ' º ' + anun : 51111 + ' ' ' + Bkuk'

Reescrevendo a última equação, obtemos

—51111 _

' ' '

— (Bkuk + ak+1uk+1 + ' ' ' + anun : O,

61 =

= B,, = ak+1 = = a,, = 0, pois os vetores acima formam uma base de U. Retornando a equação (6.4), fica provado que BR é uma base de R(T), e o teorema está demonstrado. El que só pode valer se

Insistindo ainda no fato de transformações lineares serem funções, podemos definir a composição de transformações lineares, que também será uma transformação linear.

?WTãÉÉformaçoe Íinea

ª"

É

ntão, ST: U——> W, definida por

(ST)u = S(Tu) ,

Demonstração. Tomemos u, v e U e a escalar, então

(ST)(u+v) = S(T(u+v)) = S(Tu+Tv) = S(Tu)+S(Tv) = (ST)u+(ST)v (ST)(au) = S(T(au)) = S(aeTu) = aS(Tu) = a(ST)u,

;

56.2

Dois Subespaços Fundamentais

265

que prova a proposição.

[|

Se definirmos o operador identidade —— simbolizando—o por I — como aquele que leva um vetor nele mesmo (isto é, lu : u), poderemos definir a transformação linear inversa.

Éeânição 6—7- Sêjia'T If U —% V (aplicação S : V —> C. tal

uma

transformação-linear. Se existir

que

uma? ª

É

|

TSIÍV

€

STZTU,

%

ãsendo [U e IV os respectivos operadores identidade de U e V, dizermos que le É invertível (ou não singular) e que S é sua inversa, simbolizando-a porTflj Uma transformação linear que não possuir inversa é dita singular ou, simplesmente, não invertível. E fácil mostrar que T_l, se existir, é uma transformação linear. De fato, se u1,u2 E V, podemos escrever vl

=Tu1

e

V2=Tu2-

Assim, T_lvl = T_1(Tu1) = (T“lT)u1 = Iul = ul e T_1v2 = uz, analoga— mente. Portanto,

T—1(V1 + Vg) : T_1(TU1 + THQ) : T_1(T(u1 + Hz)) = : (T—IT)(111 + 112) = 111 + 112 : T_1V1 + T—1V2 e

T_1(aV1) = T_1(aTu1) = T“1(T(ozu1)) = (T_lT)(ozu1) = aul : (XT—lvl, O que mostra que T“1 é uma transformação linear. Lembrando que, pela Definição 6.6, dois espaços são isomorfos se existir um isomorfismo entre eles, encerramos esta seção com as seguintes equivalências. ETéoz—éma 6,4, 'Séjàíh Ué Vespaços vetoriais defdi'm'enSão finitaws'obªrªewõmesmã $corpo. As seguintes afirmações são equivalentes: ?,5,

,%

E

&.

w t _ . l m é £ n b ª u , í A' M

Existe uma transformação linear T : U —> V invertível.

i

-

u gl w n a r h m z ª

;. «

....,“..»,__»*...,_a...w.=..2.x;.—..-.nªda..—“um

?.-

.

;

.

É

”um-...“

(

aºdmúU) i.?lieíVl...

<

b- U e V são espaços vetoriais isomorfos.

Transformações Lineares

266

Capítulo 6

=

(b) Se v e V, então T'lv = u 6 RCF—1) C U' Mas Demonstração. (a) v = TT'lv = Tu E 'R(T), logo V E 'R(T). Portanto, V C R(T)(C V), i.e., T é sobrejetiva. Se Tu = TW, então u = T_lTu = T'lTW = W. Portanto, T é injetiva. (b) (a) Se T for um isomorfismo, para cada v E V, existirá um único vetor u 6 U, tal que Tu : v. Consideremos a função S : V ——> U que leva cada V E V neste único vetor u que satisfaz Tu : v. Claramente,

=

(ST)u : S(Tu) = S(v) = 11 (TS)V = T(Sv) = T(u) = v, isto é, S = T“1. E, pela observação que antecede o teorema, S é uma transformação linear. (b) => (0) Se U e V forem isomorfos, existirá um isomorfismo T : U —> V. Por T ser um isomorfismo, T será sobrejetiva, i.e., dim(V) = posto(T). Mas, pelo Teorema Fundamental da Álgebra Linear, posto(T) = dim(U) (0) => (b) Se U e V forem espaços vetoriais de mesma dimensão finita n sobre o mesmo corpo de escalares lF, então, pelo Teorema 6.5 (que será demonstrado na próxima seção), U e V são ambos isomorfos a ]F". Assim, existem isomorfismos R : U —> IF" e S : ]F" —> V. Claramente, a transformação E linear composta SR é um isomorfismo (ver Exercício 6.2.6).

EXERCÍCIOS 6.2.1 Dê exemplos de transformações lineares que são injetivas, mas não sobreje— tivas; sobrejetivas, mas não injetivas; e isomorfismos. 6.2.2 Mostre que [1 1]T $ R(TA), sendo TA a transformação linear representada pela matriz A do Exemplo 6.4.

6.2.3 Encontre a solução geral do sistema Bu = v, para v e R2, mostrando assim que a transformação linear TB do Exemplo 6.4 é sobrejetiva. 6.2.4 Demonstre, se a afirmação for verdadeira, dê um contraexemplo, se falsa. Seja T : U —> V uma transformação linear entre espaços de dimensão finita. &.

Se U = V e 'R(T) ÇN(T), então T= 0.

Dois Subespaços Fundamentais

.º-

.º

9"

56.2

267

Se T for injetiva, então dim(U ) É dim(V). Se dim(U) g dim(V), então T será injetiva. Se T for sobrejetiva, então dim(V) É dim(U).

e. Se dim(V) 5 dim(U), então T será sobrejetiva. f. Se U : V, então N(T) Ç N(T2).

6.2.5 Complete a demonstração do Teorema 6.3, mostrando que os vetores Tul, Tug, ..., Tuk, Tui,“, ..., Tun geram 'R.(T).

6.2.6 Mostre que a composição de isomorfismos é um isomorfismo. 6.2.7 Seja T um operador linear em um espaço vetorial V, no qual o operador identidade é I. Mostre que N(T) g

na - T)

e

R(T) g NU - T).

6.2.8 Seja T um operador linear em R3, tal que

Tv1 =v1, Tv2 =v1 +v2 e TV3 =v1 +V2+V3, sendo que V1, V2 e V3 formam uma base do R3. Mostre que T é invertível e calcule T”1 .

6.2.9 Seja T um operador linear num espaço vetorial de dimensão finita V e seja W um subespaço de V invariante sob T (isto é, T (W) (_: W). Mostre que, se existir o operador inverso T_l, então T(W) = W = T“1(W).

6.2.10 Seja T um operador linear sobre um espaço de dimensão finita V. Mostre que existe um inteiro positivo q, tal que

V = R(Tª) EBN(Tq) .

6.2.11 Mostre que a transformação linear T, definida pela equação (6.3), no Exercício 6.1.13, é bijetiva. Encontre uma base para o espaço V*.

268

6.3

Transformações Lineares

Capítulo 6

Representação Matricial de Transformações Lineares

Nas seções anteriores, vimos definições e resultados sobre transformações lineares muito semelhantes àqueles sobre matrizes. Na verdade, são mais do que simples semelhanças: uma matriz m >< n é a representação de uma transformação linear entre espaços de dimensão finita, escolhidas suas respectivas bases. Provar isso é o objetivo desta seção. Se U é um espaço vetorial de dimensão finita n, podemos escolher uma base ordenada B = [ul, . . . ,un] e qualquer vetor u 6 U poderá ser escrito como u=a1u1+"'+anuna para escalares al, . . . ,an, e essa representação é única, como vimos na Propo— sição 2.3. Além disso, se

u=a1u1+---+anun

e

v=61u1+---+Bnun,

com u 7ª v, não podemos ter al = 51 e az = 62 e . . . e a,, = BT,, caso contrário, chegaríamos a contradição

Oaéu—v=(al—Bl)u1+...(an—Bn)un=0u1+---+Oun=0. Podemos afirmar, portanto, que, uma vez escolhida uma base ordenada B de um espaço n—dimensional U, qualquer vetor de U pode ser representado pela n—upla (041, . . . ,a“) por meio de uma correspondência injetiva. E mais, como U é um espaço vetorial, todas as n—uplas formadas por escalares do corpo IF (ou seja, o F") correspondem à representação de um vetor de U na base ordenada B. A correspondência é, então, sobrejetiva em F". Falta pouco para demonstrarmos o teorema abaixo. ,,_ _ ,., vmwar— ªwrwgq; _ _ . «,,-,,, ,. _ ; W ,.. _, , eorema 63. ”Todo espaço vetoriaTÉe dimensao mta n, sôbre o corpo l' Somorfo a IF", isto é, ao espaço formado pelas n—uplas de escalares do corp ,

. ,,

5:39:51,va '.»4i»qu—=;»_an'$'l''», r v mªu“ ', _,

,

»,

-."

,

'

,

1

,

..

,

_

Demonstração. Tomemos uma base ordenada de U, 8 = [ul, . . . ,un]. Defi— nimos uma relação T : U ——> IF" da seguinte maneira: se 11 e U, u pode ser escrito de forma unívoca como u=a1u1+"'+anuna

56.3

Representação Matricial de Transformações Lineares

269

e fazemos Tu : [ªi . . . CMT. Claramente, T é uma transformação linear e, pelas observaçao acima, T é injetiva e sobrejetiva, i.e., um isomorfismo. [|

Uma observação importante: apesar de espaços vetoriais isomorfos não se— rem idênticos, podemos conhecer propriedades de um deles estudando o outro. A ênfase que demos aos vetores do IR" nos capítulos anteriores está assim justificada, devendo ficar claro, porém, que o estudo dos vetores abstratos tem a vantagem de prescindir da escolha de bases. Consideremos, agora, dois espaços vetoriais de dimensão finita U e V, com as respectivas bases ordenadas BU = [ul, . . . , u,,] e BV = (Vl, . . . ,vm), e uma transformação linear T : U —> V, que leva um vetor u 6 U em um vetor Tu = v 6 V. O vetor u pode ser representado univocamente por

u=a1u1+---+anun. O vetor Tu, por estar em V, pode ser escrito, também univocamente, como

Tu=Blv1+-'-+Bmvm. Aplicando-se a transformação linear T a cada um dos vetores da base BU, obtemos vetores de V, que podem ser escritos como combinações lineares dos vetores da base BV, também de maneira unívoca:

Tul = a11V1 + az1V2 + ' ' ' + amivm,

Tu2 = 012V1 + a22V2 + ' ' ' + am2vm ,

Tun : alnvl + a2nv2 + ' ' ' + amnvm Daí,

- - - + anun) - - - + anTun

Tu = T(a1u1 + = alTul +

-

---

a1(a11V1 + ' ' ' + amlvm) + ' + an(a1nvi + + am,,vm) : (alª/11 + ' ' ' + analn)vl + ' ' ' +(a1am1 + ' ' ' + anamn)Vm . º

Mas, como Tu = v = Blvl + - - - + Bme e VI, . . . ,vm são vetores linear-

270

Dansformações Lineares

Capítulo 6

mente independentes, temos, obrigatoriamente

51 = a1a11+ &26112 + 52 = a1a21 + a2a22 +

' ' ' ' ' '

Bm = alaml + azamz +

'

+ analnv + ªnazn,

- - + anamn-

As igualdades acima envolvem somente escalares, que podem ser postos na forma de matriz e vetores (do F” e do F”) assim:

51 52

an

6112

a21

(122

Bm

aml

am2

----.

0211

041 062

- - - amn

an

aln

Como a representação de todos os vetores é unívoca, a matriz (chamemo—la de A) acima é única, isto é, conhecendo—se duas bases ordenadas de U e V e como a transformação linear T : U —> V atua em cada um dos vetores da base ordenada de U, podemos saber como T atua em qualquer vetor u 6 U usando—se a matriz A. Isso está formalizado no teorema a seguir.

FTeoremaêãÉejarn" UeV espaçosª” vet'orí'aíS'º'de dlmensãofinita,co im(U ) = n e dim(V) = m, ambos sobre o corpo IF , e com respectivas ba—xª gªses ordenadas BU e BV. Para cada transformação linear T : U —> V, existe"? g uma matriz A m >< n sobre o corpo IF, tal que ;;;»; «ar“:

,

*"

WF

[TUJBV = Afu13U=

_)“,

gªí'sendo que os subscritos dos colchetes informam em que base o vetor esta re—t—Á oresentado. Mais ainda, o espaço vetorial das transformações £(U ; V) sobra.; Í corpo IF, com as bases ordenadas acima, é isomorfo ao espaço das matrizes㪠k

a_n

a—út.—li£.uu—NÉ.ÃZ—'

'

A

-

'

"“"

-*

"a

&»

—

Demonstração. No exposto acima, construímos a matriz desejada e, pelo fato das representações dos vetores serem unívocas, a função dada pela matriz é bijetiva. Falta somente mostrar que essa função é linear, para termos um isomorfismo.

56,3

Representação Matricial de Transformações Lineares

Para transformações lineares T,S E £(U ; V), com [Tulev [Suhgv = E [11]Em e qualquer escalar a E lF, temos:

:

Mªiª;

e

[(T + S)u+l3v : [Tu + 511ti : [Tuti + [811ti = : A[u]BU + B[u]5U = (A + B)[u]BU , pelo que já foi provado e pela linearidade das transformações lineares e das matrizes. De maneira análoga,

[(aT)u]Bv = [a(TunBV =

anna, anna,, :

:

(aroma,, .

E]

Uma segunda observação importante: por causa do isomorfismo entre o espaço das transformações lineares (entre espaços de dimensão finita) e as matrizes, pudemos desenvolver, nos capítulos precedentes, toda a teoria da Álgebra Linear deste livro usando somente matrizes e vetores (do IR" ou do (C"). No entanto, o leitor não deve menosprezar o poder da generalização obtida com as transformações lineares e esperamos que este capítulo dê os subsídios necessários a futuros estudos de Álgebra Linear. Dito isso, podemos, agora, responder à pergunta posta na Seção 6.1 sobre a dimensão de [,(U; V). Se dim(U) = n e dim(V) = m, ambas finitas, então £(U ; V) possuirá a mesma dimensão do espaço das matrizes m >< n, isto é, mn, já que esses espaços são isomorfos (ver Exercício 6.3.8). Exemplo 6.5. Considerando

vetores de uma base do R2, v1=

2 6 1

e v2=

O —2 1

vetores de uma base do R3 e a transformação linear T : R2 ——> Tu1 = v1 e Tu2 = vz, podemos escrever:

A

|| 111 112 =

II

V1 V2

R3,

tal que

Capítulo 6

Transformações Lineares

272

A matriz que representa T em relação a essas bases é, então, dada por: 1 1 2 4 1 O

A=

=

2 0 6 —2 1 1

[

1 1 1 —1

]

—1

.

O que devemos fazer quando a matriz [ul u2] não for quadrada, não D possuindo, portanto, inversa? Ver Exercício 6.3.3 . Findamos a seção com um resultado bastante interessante e que nos será útil em breve. Fªªªzf'ªªfªªã㺓 “s'ªbfª'aªªª gsm ºuça.; ” “““ T : +?” —> V»,rim operadOrªªTine r,. ;;]:ffhm êspaço Wªngª ª-Í'OpOSlçaê) 6.2. Sejã EV de dimensão finita n. Então, existem escalares A e n e um vetor não nula “Pººr“

«

,

f' *

,

“'“—Wª.

?“

”__—,,,.“

ªtéVitªisqueen,.(TtàQvufàQz ºu, (17? "“ATÍ' uf)v=0

,

“%*“??ng

»

Demonstração. No caso de T ser o operador nulo, a demonstração é trivial, pois A = O e (T — AI)v = 0, para qualquer V E V. Suponhamos, então, que T não seja o operador nulo. Como a composição de operadores lineares é um operador linear, se T E £(V), então ], T, T2, . . . , T"2 estarão todos em £(V). E mais, são linearmente dependentes, já que dim(£(V)) = nº. Assim, existem escalares BO, ..., 67,2, não todos nulos (isto é, alguns podem ser nulos, mas não todos), tais que

601 + BiT + BzTº + - - — + anT"? = 0 .

(6.5) Na equação acima, existe um coeficiente B;, não nulo correspondente à maior potência (ou seja, os coeficientes correspondentes às potências maiores que 19 são nulos). Então, podemos formar o polinômio de grau k:

—-—

P(ª?) = Bkw'º + [fk-153“ + + 61:13 + 60 . Melhor ainda, como Bk # O, podemos dividir todos os coeficientes por B;, e formar o polinômio mônico1 não constante p(a:) = wk

+ ak_1xk_1 + - — - + ala: + ao .

(6.6)

Neste ponto é conveniente dividir a demonstração em duas partes: na pri— meira consideramos que o espaço vetorial V é definido sobre o corpo dos nú— meros complexos; na segunda, sobre os reais. 1Polinômio mônico é aquele cujo coeficiente correspondente ao termo com maior expoente é unitário.

56.3

Representação Matricial de Transformações Lineares

273

Corpo (C. O Teorema Fundamental da Álgebra garante que o polinômio em (6.6) pode ser decomposto como o produto de polinômios mônicos de grau 1:

ptr) = (CE—al)(x—a2)...(a:—ak),

(6.7)

sendo al, . . . , ak as raízes complexas de (6.6). Usando a decomposição acima na equação (6.5), obtemos p(T) = (T—a11)(T—a21)...(T—akl) = O, o 0 representando o operador nulo, e, portanto, pelo menos um dos fatores não pode ser um operador invertível. Então, existe um vetor não nulo v 6 V, tal que (6.8) (T —— Al)v = O, para algum A

e (C.

Corpo R. Se os coeficientes do polinômio em (6.6) são todos reais, o Teorema Fundamental da Álgebra assegura também a existência de k raízes (contadas as multiplicidades) e que as complexas vêm em pares conjugados. Assim, a decomposição em (6.7) ainda vale e podemos agrupar os pares complexos conjugados assim:

(ª?

"

(717 + Z'Zj))(ªº _ (r,— _ Wªi)) = 902 — (2rj)sc + (rf. + z?) .

Adaptando a decomposição em (6.7), podemos escrever p(T) como o produto de operadores da forma (T — AI ), ou da forma (T2 — AT — ,aI) Como p(T) : 0, um desses fatores deve ser singular e, então, existe um vetor não nulo v e V, tal que (T—Al)v=0 ou (T2-AT—lal)v=0, para A e

,a reais. E está provada a proposição. EXERCÍCIOS

6.3.1 Seja T um operador linear no R3, tal que

Tu1=T

0 ].

1

=

3 2 1

, TU2=T

1 0 1

=

1 1 1

e

Transformações Lineares

274

1

TU3=T

].

=

0

Capítulo 6

1 0 1

Encontre a matriz A que representa T na base [ul, 112, 113)6.3.2 Seja T : R2 —+ R3 uma transformação linear, tal que

Tu1=T[1]= 1

1 2 3

e

Tu2=T[2]= 1

1 1 0

Encontre a matriz A que representa T na base [ul,uz]. 6.3.3 Seja T : R3 —> R2 uma transformação linear, tal que

TU1=T

1 1 1

=[ ] 1 2

e

TU2=T

1 ].

0

=[ ]. 1 1

Encontre todas as matrizes A que representam T numa base que contém ul e U2. 6.3.4 Considere o operador linear T : R2 —> R2 definido por

T

561

932 &.

=

+ 5132 —2:1:1 + 41132 5131

.

Encontre a matriz A que representa T na base canônica do R2.

b. Encontre os autovalores associados v1 e vz.

A1 e A2

de A e seus respectivos autovetores

c. Encontre a matriz A que representa T na base «[v1,v2], formada pelos autovalores encontrados acima.

6.3.5 Seja D o operador derivada sobre o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a n, P,,(az), definido por

Dp(a:)

= D(ao + alan + azwº + - ' - + anw") = a1 + 2a2w + 3a3a'2 + - - + narniª—1 º

&.

Mostre que D é um operador linear.

56.3

Representação Matricial de Transformações Lineares

275

b. Encontre as matrizes que representam D nas seguintes bases:

C= (1,a:,a:2,...,cc"]

e

mn

B=f1,$,%,- n,”! 2

'

6.3.6 Sejam T um operador linear e A sua representação matricial. Mostre que T é um operador ortogonal (ver Exercício 6.1.11) se, e somente se, A é uma matriz ortogonal.

6.3.7 Seja B uma matriz 77. x n. Considere o operador linear T sobre o espaço das matrizes n >< n definido por

TBA=AB—BA. Mostre que, se M é uma representação matricial de TB, então det(M) = 0. 6.3.8 Mostre que, se dois espaços vetoriais de dimensão finita U e V são isomorfos, então dim(U) = dim(V). A recíproca é verdadeira.

276

Transformações Lineares

6.4

Capítulo 6

Operadores Autoadjuntos

Agora que sabemos que toda transformação linear possui uma representa— ção matricial, uma vez escolhidas as bases dos espaços vetoriais envolvidos, queremos estender os resultados dos Capítulos 3 e 5 para operadores lineares. Para isso, precisamos definir um análogo da transposição de matrizes.

wiefinição 68. "Seja TÚ ——>V uma tranSfOrmação linear entre. espaços vetoª griais

%T:* >

seus respectivos produtos internos. A transformação linear V —> L é tal que (Tu, v) = (u, T*V), (om

.o... ,

ai»,—.—w»«. u......“— _...w

_.

...-.É

r.

'

:Í'.AHEF>Wúm _

Quaisquerque sejamu 6 U e v E _V...

adjunta;

* wu A...

WH._L,$M-..w-i..?:4.i_.m1sv—__,_L..a_

f.,..._.,...,.,..,_,.,,.,,.—a ..,

“,—fâ

,. . w;,

sa...—.

, .

Vale observar que o primeiro produto interno é o definido em V e o segundo, em U. A existência da transformação linear adjunta T* é garantida pelo resultado obtido no Exercício 61.13 (e seu análogo para o corpo dos nú— meros complexos), bastando considerar, naquele exercício, o funcional linear T*v = gov, com lã

Luma transformação linear entre espaços vetoriais, com seus respectivos produ—+

gªtos internos, e T*: V —> U sua adjunta. Então,

%.

ã.

&

_

(MTM: N Provemos inicialmente que (R(T*))+ C N (T)

_ (T»=NçT> (iz

._

,

,.

,

Demonstração. Tomemos u 6 (R(T*))+. Como T*Tu & R(T*), então

||Tu||2= (Tu, Tu)= (u,T*Tu) = 0.

Mas, ||Tu|| = O significa que Tu = O, ou seja, u 6 N(T). Agora, provemos a inclusão oposta N (T) C (R(T*))+. Se u 6 N (T), então Tu = 0. Para cada v E R(T*), existe W 6 V tal que T*w = v, logo (u,v) = (u,T*W) = (Tu,w) = (0,w) = O,

m . , at

56.4

277

Operadores Autoadjuntos

e, portanto, N(T) C (R(T*))+. E concluímos que N(T) = (R(T*))+ Para a segunda parte do teorema, basta ver que a adjunta de T* é T.

E

Nosso interesse recai, agora, sobre os operadores lineares T : V ——> V, pois buscaremos os subespaços de V invariantes sob T. Analogamente ã Definição 5.2, um subespaço W de um espaço vetorial V é invariante sob o operador linear T : V —> V se T(W) Ç W. Ou seja, queremos saber quais são os subespaços de V que não são alterados pelo operador linear T. Com esse propósito, definimos:

âºêâhíção 6.9; Seja'ré V “sv 'um Operador linear.” Chama auioiiaióiªãª % o escalar A, tal que

É

Tx = Ax, algum x E V, com x # O. Por sua vez, o vetor x é o autovetor

iªpara ão,.antovalor às...-,.-.,... .._.

»

_.

_,

.

Exemplo 6.6. O operador linear T : linear

_

R2 —> R2

.

associadª . ,,4.,.

que realiza a transformação

possui autovalores A1 = 1 e A2 = 2, com respectivos autovetores associados xl = [1 O]T e xz = [1 1]T. Mas, se considerarmos o operador linear T : R2 ——> R2 (representado pela matriz R do Exemplo 5.6) que gira vetores do plano real em 90º no sentido anti-horário, perceberemos que não existe v 6 R2 não nulo (nem escalar A) que satisfaça Tv = Av. No entanto, qualquer v e R2 obedece a Tºv = —1v, pois, girando um vetor em 180º, obtemos seus oposto (o vetor v é chamado de autovetor generalizado de T, mas esse tópico foge do escopo deste livro). |]

Assim como aprendemos no caso das matrizes, autovetores linearmente independentes formam bases para os subespaços invariantes. Então, se há. somente um autovetor linearmente independente x associado ao autovalor A, o subespaço span[xj é invariante sob T. No caso de haver dois autovetores X1 e xz linearmente independentes associados a A, o subespaço invariante será Spanfxl, xº], e assim por diante. Nossa experiência, adquirida nos capítulos anteriores, torna a próxima pr0_ posição de fácil compreensão.

278

Transformações Lineares

:

Capítulo 6

gªr—oposição» 6.3; Se T V ++" V for um Operador linear, sendo V dª (lunensaá

finita. então )( será um autovalor de T se. e somente ? -— Al for singular. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_

(,)pvrmlol'

HC. 0

hilº“?

...é

._

Demonstração: Se x for um autovetor associado a A, então Tx = )(x, i.e., (T — AI)x = 0. Mas para que x # 0, como exige a Definição 6.9, o operador (T — Al ) não poderá ser injetivo, não podendo ser, a fortiori, invertível. Reciprocamente, se (T — AI ) não for invertível, então, pelo Teorema 6.4, El existirá x # O no N(T), tal que (T — Al)x = O, e, portanto, Tx = Ax. Sabemos da importância da diagonalização de matrizes, mas existiria um conceito de diagonalização similar para operadores lineares? A resposta é sim, porém temos de encontrar uma definição que não faça uso da diagonal da matriz que representa o operador. Lembremos que uma matriz A n >< n é diagonalizavel quando é possível encontrar uma matriz diagonal A e uma matriz invertível S, tais que

A = SAS“1 E mais, as colunas de S são os autovetores (linearmente independentes) de A. Ora, A leva vetores do R” em vetores do próprio R", então encontrar um conjunto completo de autovetores (linearmente independentes) significa achar uma base do R" formada pelos 77. autovetores (linearmente independentes) de A. Se a matriz não for diagonalizável, seus autovetores não formarão uma base do R". Isso nos leva à seguinte definição.

um

um

Éefimçao6. ÍÓ.SejamTV—+V operadorlineareV espaçovetoriaÍ dimensão finita. Diz—se que T é diagonalizável se existir uma base de Vf

de

rmªdªpelºSdutºvetºresdeT

s

. _,

De maneira semelhante aquela quando tratamos com matrizes, temos o seguinte resultado:

x;, de um operador lineaiª T V +) V estiverem asso(iados a autovalores distintos M, M, . . . , A;, (eaw—(«% álvairienteentaoesses autovetores serao linearmente independente.. xª,

,,.

hi,.f

Tropomçao 6.4. Se os autovetoresxl,

...ª»,

56,4

279

Operadores Autoadjuntos

A demonstração também é feita por indução matemática, como na Propo— 31çao 5.1, e e deixada como exercício. Pela Definição 6.10, o corolário abaixo segue trivialmente. oroÍãrro 6.1. “se todos osautovaloresdeumoperadorlmearforem

tªºeleserá,,siiaspnahzável.

arames.

'“

. &..z.......«...

:; (>.. na,

,

..»

.,... .

.._—_ mi- («

-:..

. ..,,

, -.

...,»..m,

“Lt..

. . ;;

-.e,

T..'1ͪt.k.._

“&: aitiãlsé'l;i...=:seí=“si.?“

«VPN-wªi?

No estudo sobre matrizes diagonalizáveis, as matrizes ortogonais e unitá— rias foram de grande utilidade. Não será surpresa se operadores ortogonais e unitários nos ajudarem com a diagonalizações de operadores lineares. Ressaltamos que, a partir de agora, o espaço vetorial sobre o qual o operador linear atua deve possuir um produto interno, pois utilizaremos o conceito de operador adjunto. _,.»—.,.

"-*'t' .W,,—r,,_.;,.-_.

«»

_.iºêili“içtãõi'6í1ÍSeja" 'um'espaço vetorial?cgiriiªpfõdíítºõçifitefnõ. _ near invertível U : V ——> V é chamado de operador unitário se

“ópe'ifàãõg »

à

U-1 = U* .

V eum apagº yetºrialsqbre 9. cºrpo, dºs, reais. Ué ditosrerador .ºrfssgneâ E fácil ver que o operador unitário preserva normas e produtos internos. De fato, para quaisquer v, W 6 V,

(UV, UW) = (v, U*UW) = (V, U_1UW) = (v,w).

Isso estende, imediatamente, as Proposições 5.6, 5.7 e 5.8 sobre matrizes unitárias. Ou seja, os autovalores de um operador unitário têm valor absoluto unitário, e autovetores associados a autovalores distintos de um operador uni— tário são ortogonais. As demonstrações são deixadas para o leitor. Uma observação: se retornar ao Capítulo 5, o leitor perceberá que, em diversas demonstrações, utilizou—se o produto interno euclidiano em passagens como estas da Proposição 5.4: =

= (Ax>*y = x*A*y

=

= (x,

Ay) : ... Diversos resultados sobre transformações lineares análogos àqueles sobre ma— trizes não terão suas demonstrações alteradas em demasia, pois poderemos -.-

escrever:

:

x*Ay

(Tx,y) = (x,T*y) = (x,Ty) =

280

Transformações Lineares

Capítulo 6

_

Esta seção não poderia terminar sem um resultado do porte do Teorema Espectral (Teorema 5.3), então é necessário definir um operador que seja seu próprio adjunto, à semelhança das matrizes hermitianas (ou simétrlcas reais).

iefiniçao612SendcowVum espaçovetorialdedimensao finita dotado. .rodutointerno umoperador linear TV _——+V edito autoadjuntose T_*___-=--T Um resultado importante sobre operadores autoadjuntos é que seus au— tovalores, se existirem, serão números reais. De fato, se T é um operador autoadjunto e Tv = Av, para algum vetor não nulo v e um escalar A, então XllVl|2= _ (Áv,V>=

Para criar uma matriz, separa—se os elementos de cada linha por espaços ou vírgulas (,) e as colunas por pontos e vírgulas (;), envolvendo-os com colchetes ([ ]), e digitamos: A = [1 2;3 4] seguido de um ENTER. A matriz

1 2 aparecerá no terminal. Para transpor uma matriz basta fazer

E = [1 -1;3 11” para obter

3433].

Vetores são criados de maneira análoga: u = [1 2 3] retorna u = 1 2 3

e v = [1 O 2] ' retorna v = 1 O

2

Escalares são simplesmente: c = 3.71 e as constantes mais fundamentais são obtidas com

299

pi

ans = 3.1416 9

ans = 2.7183 ans = O + Ii O símbolo (:) pode ser usado de diversas maneiras, por exemplo: u = [1:10]

criaovetoru=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10].

Já

v = [1:O.2:2]

cria o vetor v = [1.0 1.2 1.4 1.6 Considerando a matriz 1 5 C: 9 13

1.8 2.0]. 2 3 4 6 7 8 10 11 12 14 15 16

,

comando C(: ,2) retornará a segunda coluna da matriz C , assim como o comando C(1, :) retornará sua primeira linha. Podemos, ainda, obter uma submatriz de C fazendo: O

D D

C(2:3,2:4) 6 7 8 10 11 12

As operações aritméticas elementares são realizadas por +, —, * e / , em que as três primeiras são as operações usuais entre escalares ou entre matrizes de dimensões compatíveis. Para potências e raízes usa-se , como, por exemplo, A

A“3 ªns = 37

81

54 118

Notemos que a matriz A ainda esta armazenada na memória até que saiamos dº Programa ou executemos comandos como clear A ou clear all. Todas as operações com matrizes podem ser realizadas elemento por elemento, bastando, para isso, anteceder um ponto a operação. Por exemplo,

MATLABQ

300

e GNU Octave

Apêndice A

A.*B

ans = 1 —3

6 4

A.“3

ans = 1 27

8 64

Algumas matrizes de grande utilidade podem ser facilmente criadas. A matriz identidade 4 >< 4 é criada com o comando eye (4); uma matriz 2 >< 3 de zeros, por zeros(2,3); e uma matriz 5 >< 2 de uns, por ones(5,2). Diversas decomposições matriciais são obtidas com um simples comando. A decomposição LU é realizada por [L U P] = 1u(A)

que retorna as matrizes L, triangular inferior, U, triangular superior, e P, que permuta linhas. Lembremos que, por motivo de estabilidade, a decomposição LU é sempre feita com pivotamento parcial. Já

a decomposição QR é calculada com

[Q R] = qr(A) que realizada a decomposição QR completa, isto é, se A é m >< n, com m 2 n, Q uma ortogonal m >< m e R é uma triangular superior m >< n. Para obter somente os autovalores de uma matriz A, basta executar eig (A), mas se quisermos também os autovetores, devemos fazer

e

[S D] = eig(A)

que retorna a matriz dos autovetores S e a matriz diagonal com os autovalores

D.

Um dos pontos fortes do MATLAB e do GNU Octave é permitir a cons— trução de scripts, que armazenam sequências de comandos num arquivo com extensão .m, que pode ser executado com uma simples chamada. Assim, podemos escrever o seguinte script (0 que ele faz?): 1: = [—2:o.01:2];

x = exp(—t).*cos(2*pi*t); y = expC-t).*sin(2*pi*t); comet(x,y);

301 Scripts não recebem valores, mas apenas executam uma sequência de co— mandos. Se quisermos que o programa receba alguns valores e trabalhe com eles, precisamos criar uma função, ou function. A função a seguir realiza a decomposição LU de uma matriz de uma maneira bastante ingênua, pois não funciona se o candidato a pivô for zero. function [L U] = my1u(A) [m n] = size(A); U = A; 1nvL = eye (m), for _] = 1:n-1 AUX = eye(m), for i = j+1zm AUX(i,j) = —U(i,j)/U(j,j); end invL = AUX*invL; U = AUX*U; end L = inv(invL);

O arquivo deve ter o mesmo nome da função, acrescido da extensão .,m neste caso, mylu. m, e deve ser executado assim: [L U] = my1u(A)

Não pretendemos, nem remotamente, escrever um tutorial do MATLAB ou do GNU Octave. O leitor encontrará diversos tutoriais na internet com uma simples busca. Os exercícios a seguir apresentam algumas peculiaridades do GNU Octave. EXERCÍCIOS A.1 Crie as matrizes

AM “em

e execute A/B e AXB. O que esses comandos realizam?

MATLAB© e GNU Octave

302

Apêndice A

.Au2 Seya A5:

O 1 1 () O 1 0 0 0

Mostre que A3 = 0. Faça expm(A) , que calcula a exponencial de uma matriz, e compare com

1 I+A+5A. 2

.Au3 Saki

Ax=

O 1 1 0 1 1

Encontre a decomposição QR completa de A fazendo [Q RJ= qr(A) En— contre a decomposição QR reduzida de A (isto é, A= QR, com Q 3 >< 2 e R 2 x 2) a partir das matrizes Q e R obtidas. Verifique que A: QR e .A= (QR. A.4 Sejam

14==

1 1 1 0 0 1

e

P'==[ ? à ].

Faça [U S V] = svd(A) e [Q L] = eigCA,*A). Para pôr os autovalores de ATA em ordem decrescente, faça L= P*L*inv(P), e ajuste os autovetores com Q= Q*inv(P). Que relações existem entre V e Q, e entre S e L?

A.5 Execute t = [-2:0.01:2]; x = exp(—t).*cos(2*pi*t); y = expC—t).*sin(2*pi*t); comet(x,y);

e descreva o resultado.

B Corpos Na Definição 2.1, vimos que quatro “ingredientes” são necessários para compor um espaço vetorial: um conjunto não vazio V, cujos elementos são chamados de vetores; um corpo ]F, cujos elementos são chamados de escalares; uma operação de adição de vetores, relacionando dois vetores de V a um vetor também em V; e uma operação de multiplicação por escalar, que relaciona um escalar de IF e um vetor de V a um vetor em V. Durante todo o livro só nos referimos a dois corpos, o corpo dos números reais e o corpo dos números complexos. Ao leitor mais interessado, porém, apresentamos a seguir a definição geral de corpo. Nela podemos verificar que os números reais e os complexos são, de fato, corpos, mas que, além deles, os números racionais Q também formam um corpo. No entanto, os números inteiros Z não são um corpo, já que nem todos os inteiros possuem inversos inteiros.

multiplicativos_ Definição B.1. Um conjunto numérico IF, dotado dasoperações + e,é '>ífai'“";;'< 2

Anjo,] 1 O

a. Mostre que

...4, O]. O ——1

M? = —M1.

b. Escreva a matriz

a —b como combinação linear das matriz

M1 e M,. Calcule det(A).

c. Defina A = aM1 — bMi e mostre que AÃ = det(A)M1. d. Seja

0=lã“íl

Mostre que AC = (aM1+bM,-)(cM1+dM,v) = (ac—bd)M1+(ad+bc)Mz'» e. Calcule a inversa de A.

311 Usando essas matrizes podemos escrever o número complexo a+ bi na forma

ªb “ªa m C.3 Calcule todas as raízes n—ésimas da unidade a seguir, isto é, todos os números complexos w para os casos:

Represente em gráficos as raízes da unidade encontradas. Que figuras for—

mam? C.4 Utilize o exercício anterior para calcular w para os casos:

w2=16, w3=32, w4=16,

e

C.5 Calcule w tal que 11)2 = —4 e z tal que ::3 = —27.

w5=32.

Bibliografia [1] Angel, Edward e Dave Shreiner: Interactive Computer Graphics: A Topdown Approach with Shader-based OpenGL. Addison-Wesley, Boston, 61 edição, 2012.

[2] Anton, Howard e Chris Rorres: Álgebra Linear com Aplicações. Bookman, Porto Alegre, 81 edição, 2001. Tradução de Claus Ivo Doering. [3] Boyce, William E. e Richard C. DiPrima: Equações Diferenciais Elementares 6 Problema de Valores de Contorno. Guanabara, Rio de Janeiro, Bl edição, 1988. Tradução de Antonio Carlos Campos de Carvalho e Carlos Alberto Aragão de Carvalho.

[4] Callioli, Carlos A., Hygino H. Domingues e Roberto C. F. Costa: Álgebra Linear e Aplicações. Atual Editora, São Paulo, 1983. [5] Carlson, David, Charles R. Johnson, David C. Lay e A. Duane Porter (Editors): Linear Algebra Gems: Assets for Undergraduate Mathematics. The Mathematical Association of America, Washington, DC, 2002. [6] Carlson, David, Charles R. Johnson, David O. Lay, A. Duane Porter, Ann Watkins e William Watkins (Editors): Resources for Teaching Linear,— Algebra. The Mathematical Association of America, Washington, DC, 1997.

[7] Demmel,

James

W.: Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Phila—

_

delphia, 1997.

Luc (Editor): On the Teaching of Linear Algebra. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2000.

[8] Dorier,

Jean

[9] Garcia, Arnaldo Leite Pinto: Elementos de Álgebra. IMPA, Rio de Janeiro, 2002.

313

314

Bibliograâa

[10] Golub, Gene H. e Charles F. Van Loan: Matrix Computations. Hopkins, Baltimore, 31 edição, 1996. [11] Gomes,

Johns

Luiz Velho: Computação Gráfica, volume 1. IMPA, Rio de Janeiro, 1998. Jonas e

[12] Guidorizzi, Hamilton Luiz: Um Curso de Cálculo, volume 1. LTC, Rio de Janeiro, 51 edição, 2001.

[13] Halmos, Paul R.: Linear Algebra Problem Book. The Mathematical Asso— ciation of America, Washington, DC, 1995. [14] Hill, Jr., Francis S. e Stephen M. Kelley: Computer Graphics using OpenGL. Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 3l edição, 2007. [15] Hirsch, Morris W. e Stephen Smale: Diferential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press, San Diego, 1974. [16] Hoffman, Kenneth e Ray Kunze: Linear Algebra. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 21 edição, 1971. [17] Kleiner, Israel: A History of Abstract Algebra. Birkhãuser, Boston, 2007.

[18] Knobloch, E.: Determinants. Em Grattan-Guinness, I. (editor): Com— panion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, volume 1, páginas 766—774. Routledge, 1994. [19] Kostrikin, Aleksei I.: Introduction to Algebra. Springer—Verlag, New York, 1982. Translated by Neal Koblitz.

[20] Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley & Sons, New York, 1978. [21] Lax, Peter D.: Linear Algebra.

[22] Leon, Steven

John

Wiley &: Sons,

John

Inc., New York, 1997.

Linear com Aplicações. LTC, Rio de Janeiro, 4l edição, 1998. Tradução de Valéria de Magalhães Iorio. J.: Álgebra

[23] Lima, Elon Lages: Álgebra Linear. IMPA, Rio de Janeiro, 2008. [24] Lima, Elon Lages: Curso de Análise, volume 1. IMPA, Rio de Janeiro, 121 edição, 2009.

Bibliografia

315

[25] Lima, Elon Lages: Espaços Métricas. IMPA, Rio de Janeiro, 4l edição, 2009.

[26] LÍPSChUtZ, Seymour: Linear Algebra. McGraw—Hill, New York, 21 edição, 1991.

[27] Mood, Alexander M., Franklin A. Graybill e Duane C. Boes: Introduction to the Theory of Statistics. McGraw—Hill, New York, Bl edição, 1974.

[28] Noble, Ben e James W. Daniel: Applied Linear Algebra. Prentice—Hall, Englewood Cliffs, NJ, 31 edição, 1988. [29] Royden, H. L.: Real Analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 3l edição, 1988.

[30] Shilov, George E.: Linear Algebra. Dover, New York, 1977. Translated by Richard A. Silverman.

[31] Stillwell, John: Naiue Lie Theory. Springer, New York, 2008.

[32] Strang, Gilbert: The fundamental theorem of linear algebra. American Mathematical Monthly, 9(100):848—855, 1993.

[33] Strang, Gilbert: Linear Algebra and Its Applications. Harcourt, Orlando, Fl, 31 edição, 1998. [34] Trefethen, Lloyd N. e David Bau, III: Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia, 1997.

[35] Zhang, Fuzhen: Linear Algebra: Challenging Problems for Students. Johns Hopkins, Baltimore, 21 edição, 2009.

.

,»

.l»,

_

. ,— »

f

»

.=

3

Ii iL :.

.»

T.

uie.!

a

.: .

7.

i

:

.i

.!

, tol

. nº“

,.

.

Respostas de Ezercicios Selecionados Capítulo 1 — Sistemas de Equações Lineares Seção 1.1 — Matrizes e Vetores

1 2

1147714461“-

1 1

AM] 41],

3 3

4 6

2 B deve ser m x n; C deve ter n linhas; e D deve ter m colunas.

3 a. Suponha A m >< n, B n x p e C p >< q, e use a equação (1.2) para obter:

((AB)C)ir :

XX (AB)ij) —

L ª M'

4xTy=[2]exyT=

;(E ªikbkj>

— ºjt

=1

k=1

— 26% Cjt— k: 1

(z bijjt)

- (A(BC))”. auc ((BC)kr)— 1 —I 3 2 —2 6 1 —1 3

.

5a.Ay=[2 6 4]TeBx=[—2 —2 -1]T. b. xTA=[2 1 3 —1]exTB=[3 0 6]. C.

36 9—3 76—24 3,4:60-3 3,BA=37 40, 11 —11 33-33

3011

5—111

Bº=038,ATB—229 001

148 1-20

:

318

Respostas de Exercícios Selecionados

6 As linhas de A e xTA estão em R4, todos os outros estão em R3.

7 2 9 5 5 7 13 35 15 —1

a.

b.

.

8 Como as linhas de AB são combinações lineares das linhas de B, uma dessas combinações tem todos os coeficientes nulos, portanto AB possui uma linha de zeros.

11

ª- ((ªij)T)T = (ªjz')T = ªn-

12 Escreva A com seus vetores colunas e desenvolva (Ab)T e bTAT como combinações lineares de linhas e colunas, respectivamente. 13 Use o exercício anterior. 14 Basta notar que A vezes a i—ésima coluna de B é igual a b,,- vezes a i—ésima coluna de A, que, por sua vez, é um vetor-coluna formado de zeros e do número ai,-bi,- na i-ésima posição; e fazer o mesmo para BA.

15 Use o mesmo raciocínio do exercício anterior.

16 Pela definição de traço:

tr(A + B)=(a11 + b11)+ ' ' ' + (ann + bnn) = = (0,11 + ' ' ' + ann)+(b11 + ' ' ' + bnn) = tr(A) + tr(B) .

17 a. Verdadeira. Use (1.4). d V

A

_

_

A

(25)B— 2(531

c. Falsa. A =

b. Verdadeira. &

Falsa. A—

[ ]. O 1 0 0

f. Falsa.

19 Deve-se ter ã,? : ai,-.

20 Se A for complexa, (A*A)* = A*(A*)* = A*A, i.e., A*A é hermitiana.

21 Somente (a) é verdadeira: (A + B)* = A* Seção 1.2

+ B* = A + B.

—— Sistemas Lineares e o Método de Eliminação de Gauss

1 Itens a, c e e.

[ g (1 ) ]

319

Respostas de Exercícios SeIecionados

“

yl

x3

]—

C

yg

2 O

4

©

0 0

0

,x=

—1 2

(2)

© d

.

0 0

_

©_

| _ l —i H O

'

c

3 1 0

2

'

1

I

131

><

%% mg

I

3 Três planos interceptando—se em um ponto: solução única. Feixe de 3 planos, ou de 2 com o terceiro coincidente, ou 3 coincidentes: infinitas soluções. Dois (ou 3) paralelOS, ou 3 retas de interseção paralelas: sistema inconsistente.

14/3 4/3

7 a

C.

8

mg

b x=x2

—2 1 0

O

O

1 0000

1903890 %% T e [0 11T'

b

19999

—1 1 O

9998

W

T

'

+13

[1

_

—1 0 1

llT-

10 a + b — c = O. 11 Inconsistente, se a = —4; infinitas soluções, se a = 4; solução única, se —4

”toni—ti

riu-=M ,

»

+

=

a 76 4,

1.

13 Se Ax = O, então x = O é sempre solução.

14 Quando há mais incógnitas do que equações válidas (i.e., diferentes de 0 = 0.) 15 Todas são falsas. Contraexemplos:

3 O 0

1 0 2 1 213

320

Respostas de Exercícios Selecionados

1

1

1

1

1

21

21

0 1 0 1 01 0 1 0 1 03 0 1 0 1 4 0 1 0 1 NF_ 321132 10 01_10_ L1 01 03401 321 1 1_ 12 0 1 2 2 0 1 L 13 1 0 2 210 08 L 1 r _ | 1 425 5 1 4 .1

18 A matriz escalonada do sistema homogêneo (A — AI)x = 0 possui 3 pivôs, se 1 76 A

# 2.

0.1

01

Seção 1.3 — Decomposição LU

__

110 0

11/3

e

_25 _

U

:

X

1

e

U,

U

01

.

%

_

.

_

x

e

/_

_

_ _ /_

0

_ __ 410

_

1

4

,

L =

LL

be.c

d

|_

F

_

__ 01

? h ]- _

,

1

30

/

.

4

1

_

]_

10

1 2 0 1 0 1 0 2 0 1 5 014

g. LU=

[

0 12

rªri-

5 Comece por mostrar que a última coluna do produto é um múltiplo da última coluna da primeira matriz.

321

Respostas de Exercícios Selecionados

7 A condição é que o produto dos elementos da diagonal principal seja diferente de zero.

0.AE=

1ª

[1000

2000 0100

A0010

_

bEA

:

0100

1010A.

0001

_0001

"1000“

'1—100

_0100

0001 0010

º'AE—A

d'EA“

[0100_

0-110

_0—101

A“

"1000"

0100 _ e.AE—A0000

_0011_ 11

1324 = E42(—1)E24(1)E2(—1)E42(1). 1 1 1

12a.x=

-1 5 1

b.x=%

.

'

.

c.x=

-1 2 0

.

13 (I—A)“1 =A+A2+A3+---+Aº-1. 14 Mostre inicialmente que J º : nJ . 15 (I — BA)(I+B(I — AB)'1A) =

:

I+B(—I+ (I — AB)(I — AB)“1)A : I,

Seção 1.4 — Eliminação com Pivotamento Parcial

2 —1

1 a. x =

b. Não há solução.

.

[ —2

17/2

1 0

c. x = 1172

_

0

+

0

_1/2

1

-2

2 Resolve-se inicialmente o sistema triangular inferior Ly : Pb e depois o sistema triangular superior Ux : y, por retrossubstituição.

5 P

0 0 0 1

0 0 1 0

1 0 0 0

0 1 0 0

,

0

0 1 0 3/4 0 1/2 —2/7 1/4 -3/7 1/3 1 1

0 0 1

8 7 5 9 0 7/4 9/4 17/4 0 0 _6/7 _2/7 0 0 0 2/3

322

Respostas de Exercícios Selecionados

6 |a|geq|d|, |g| e [ae - bd] _>_

lah _ bgl.

7 P23E21(3)P32. 8 P12E21(3)P21 .

10

P-l=(P,...P,)-1=Pfl...P,.-1=Pf...P,Í—”=(P,,...P,)T=PT.

11 Basta fazermos para E = Pig-AP,.EI. Notando que os outros elementos permanecem inalterados, temos

Aii = & => (PijA)ii : 0 Aij = 0 —) (Fi,-A),,- = A,Aju,; = 0

(Fi,-A),,- = A, => (P,,A)jj =

_)

º

A,,- = A,-

—)

** ** “>

(3 = PijAPzglhi =,xj, (B = lªs-APslh-j = 0,

(B = P,;jAPãl)“ =(), (3 = PijAPz-Íbj = A,.

P35E32(7)P3—51,P35E52(—1)P3g,1 e P35E42(2)P3"51.

12

Seção 1.5 — Método de

la.—l—IÍ[ d

_1_ '116

1 -4

3

2

Gauss-Jordan

].

há

—1 7 1 2 —8 3 3 —3

_10

42 —156 155 —79 -4 48 -12 —56 —1 4 -10 5 20 -34 8 54

I - il o G

1

e. Não existe inversa.

f. Não existe inversa.

2R=[0 J?]. 1

0

2

4

0

«3

&

3 Note que P23P14D = diag([a1

D“1=diag([i

a;; a4]), logo

—1— -1— — G2 G3 a4

)P23P14=

O Q HI É

4

A

_ 1=

1 ——1 0 0 0 1/2 _1/2 0 0 0 1/3 _1/3 0 0 0 1/4

o

o:

o

OSI»—

oâlv—OSI—:>

al

1

(12

ReSpostas de Exercícios

240 _140 16 _120 1200 —2700 —120 1680 240 —2700 6480 —4200 1680 —4200 2800 _140

5

A4

7

Ela—1 =R—o=[

8

A—1 :

323

Selecionados

send].

cosO — sen9 cosô

1 0 0 1 0 _02 —as 0 1 —an_1

0 0

0 0 0 ...

1

9 (A—1)TAT =(AA“1)T : IT = I. 11 São verdadeiras a, c e d. 12 Se (A — AI ) for invertível, então o sistema homogêneo (AAI)x = 0 possuirá somente a solução trivial, pelo Exercício 1511.

13 Note que todas as potências A2, A3 , . . . possuem a mesma propriedade de A. Como há somente um número finito de matrizes n >< n com essa propriedade, então existem p e r, com p < r, tais que AT = AP. Como as matrizes são invertíveis, Alº—p = ATA—P : APA—P : I.

Capítulo 2 -— Espaços Vetoriais Seção 2.1 — Espaços e Subespaços Vetoriais ' - de x e E' 4 O vetor nulo e' o numero 1 e o Simetrlco I

5 lu = 1(u1,u2) = (1u1,0)

!

)

1

# (U1,U2) = u, se 11,2 # 0.

6 A soma das matrizes singulares

[ 0 00 ] + [ 00 ] 1

1

. , . e uma matriz nao Singular. O ,

conjunto das matrizes não singulares não possui o vetor nulo, que é a matriz de zeros.

7 O vetor nulo, i.e., o polinômio identicamente nulo, não é um polinômio de grau n. 8 Se —v e -—v' são os simétricos de v, então

_v/=-v'+0=——v'+v+(—v)=0+(——v)=_v_

324

Respostas de Exercícios Selecionados

9 São subespaços vetoriais a, b e e.

10 A(u + v) = Au + Av = 0 e A(au) : aAu = O, Vu, v tais que Au = AV = 0 € qualquer escalar &. Já parabgéo, A(u+v) =Au+Av=b+b7éb. 12 V = [O, 1], F = [0,1], com a adição e multiplicação da álgebra booleana.

e W e qualquer escalar a,

14 Para quaisquer X, Y

A(X+Y) = AX+AY = XA+YA= (X+Y)A e A(aX) = aAX = aXA= (aX)A.

+ W2 = w = v1 + vz, com w1,v1 E WI

e W2,V2 E Wz, notando que v1 — w1 e Wl e W2 — V2 6 Wg. Se wl v1, então, como (wl — V1) + (W2 V2) = º, logo v1 — wl : wº — vz € Wz. Então, V1 — wl € W1 O W2 = [O], i.e., v1 = w1,uma contradição. Analogamente se wº vz. Portanto a decomposição é única.

16 Tome wl

#

=

#

17 Considere V o plano

v1=[1 0 0]T,

fez

e W o plano yz e tome

w1=[0 1 2]T,

v2=[1 0 1]T

e

w2=[0 1

115”.

Seção 2.2 — Independência Linear, Base e Dimensão

1 Que o sistema tenha solução, pois as coordenadas de x são os coeficientes da combinação linear que dá b. 2 w : 2e1 + 3e2 + 0e3. Mas, o sistema abaixo é inconsistente: a1e1

+ ageg + a3w :

1 0 2 0 1 3 0 0 0

0

al

em

= e3 .

0 1

=

013

3 L.D., pois 1(u — v) + 1(v — w) + 1(w — u) = O.

4 Reescreva a1(u) + a2(u + v) + a3(u + v + W) = 0, como (011 + G2 + a3)u + (az + a3)v + agw = 0. Se 043 0, então w será uma combinação linear de u e v, contradizendo a hipótese dos vetores u, v e W serem L.I. Portanto, a;; = 0. Analogamente para 042 0 e para al 0. Então, os vetores são L.I.

#

#

#

7 Note que V;, é combinação linear de V1,. . . ,vk_.1. 8 Tome u & span[V] D span[W], então

Mas, a1v1 + 012V2

vetores são L.I.

10

+ a2v2 e u = a3w1 + a4w2 + a5W3.

— agwl — a4wz —— a5W3 = 0 somente se al =

..-,“, 0110 ,

11 = a1v1

= as = 0, pois os 5

ou. 010 Mw

01

00

00

.

-

Respostas de Exercícios

325

Selecionados

10 O subespaço das matrizes reais simétricas 2 >< 2 tem dimensão 3 sobre o corpº dos reais. O espaço das matrizes hermitianas 2 >< 2 tem dimensão 4 sobre IR. O conjuntº das matrizes hermitianas não é um subespaço vetorial do espaço das matrizes complexas 2 X 2, pois não é fechado para a multiplicação por escalar complexo. 11 Base de 'P5 = (1,m,xº,x3,x4,x5], dimensão 6. 12 Faça reductio ad absurdum em ambos os itens. Seção 2.3 — Base ºrdenada e Mudança de Base

1 a. d.

Ma = [-2 317“.

MB, = [0 -1]T.

b.

84 não é uma base do R2.

2 [u]B,=[0 1

.

217", [u]32=[—1 -1

M;; = [3

1 0]T e McªB = %

3]TeMB,_,52=]1 0].

[ t —rª O * — P H O M D Q ] —

MB, = [—1 1/31T-

1 —1 -1 1 1 0

0

3 Há infinitas possibilidades de escolha para B e D, e. g.:

4

c.

D—IB =

3 —4 3 2 0 —1 —11 11 8

, por exemplo.

5[V]B=%[1+i 1+i 1—i]T.

6[A]B=[11]' Seção 2.4 1

— Os Quatro Subespaços Fundamentais

BRW) = [[1 0 0]T, [—2 3 017", [1 2 _ 11/3]T], BRW, = [[1 - 2 117", [0 3 2]T, [0 0 — 11/31T], BNw) = & Elx/(UT) = 9, BR(A) 2111 2 31T, ["2 _ 1 _ 21T? [1 4 21T11 Em”) : [[1 _ 2 nº”, [2 — 1 4]T, [3 — 2 217“), BN(A) = & BN(AT) : ª: b. BRIU) = [[1 0 0]T, [1 2 0]T]', BR(UT) : [[1 ]_ ”T, [O Bmx!) = EMA) = ilº “1 llTl, BN(UT) = [[O 0 HT], 1 llTla BRMT) = [[1 1 1]T, [1 BRM) = [11 1 21T,11 BN(AT) = [1—3 _ 1 ºlTl' &.

'-

"

__ 2 _ 21:11), _ 1 _ 111"), ,

.

326

Respostas de Exercícios Selecionados

º- BR(U)=lll 0 DPJ—5 14 ºlª" [4

-5

llTl,

BR(UT)=([1 2 —5 4]T,[0 0 14 -5]T,[0 0 0 117"), BN=BN(A)=il—2 1 0 01T1,5N(UT)=BN(AT)=Z7 BR(A)=1[1 2 31Ta[_5 4 _11T?[4 3 81T17 BR (1/2) —> (Vê) —+ (V4) ——> (VE,) —> (Vl), (V1)—>(Vz) —> (Vês) —>(V1), %) —+(V3) —>(V4) —+(V7)—+(Vz), (V3)—>(V4) —+ (V5) —> (Ve) —>(Ve,) e (VI)—) (V7)—>(Vís) —>(V1)-

5

p=2[—1[656 734 1085 972 0]T.

6

_

1(1330111

_1

_1—1001

8a

01—100 100—10 0011-1

b

0000

_ 01-100_10 001 “1001 0001—100

Capítulo 3 — ºrtogonalidade Seção 3.1 — Norma 3

9

Produto Interno

a. Região quadrada com vértices em (1,0), (0,1), (—1,0) e (0, —1).

328

Respostas de Exercícios Selecionados

b. Círculo de raio unitário.

e. Região quadrada com vértices em (1,1), (—1, 1), (—1,—1) e (1, _1)d. No GNU 1:

Octave, faça:

= linspace (pi,3*pi) ;

y

x = sign(cos (t)) .*abs(cos (t)) . “(2/3); plot (x,y)

sign(sin(t)) .*abs(sin(t)) .“(2/3);

e. Região elíptica

% + 342 = 1. 2

2

4 Use a desigualdade triangular em “(H + w) + (—(W — V)) ||

“Ançã—mmm) _

5 Note que

W ||Axll ”º“/ªº 8 b.

3711:

—sen:ce lcosa).

Seção 3.4 — Decomposição QR

c.

d.

x/5 f

l/x/ª

0

0 0

4/«5

1/x/5

1/Jãê —3/JE 1/Jã —1/Jãã 3/m 0 6/J3_8

um

[

as

3f

[0

0 0 1 1/«5 0

M

1/x/5

a . gg gg

3].

cê

“% galã

- f

1 0

[& 0 0

1 0

3x/5/2 3x/5 «ãe/2 3J3_8/19 0 x/1—9/19

2 Suponha que não e ponha um dos vetores como combinação linear dos outros, e.g., , a,, = (v1,vn) =O, i.e., v1 = 0, uma v1 = a2V2 +--'+anvn. Mas az =