Algebra Linear - Placido Andrade

March 5, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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  





































































































 











































































E2



























































 











 













 



















R2

 ∈



























 

























 

 

k k











































 



















































 

 







(1,, 1)   v2   = (1 (1,, 2) v1   = (1 v1   v2   v3

 





































































































































































































































































  u  = 1v1 + ( 1) 1)vv2  + 0v3







 



· · · + a v .









 









 

 















































 

























 





 







 









 









 

 



























































































































 





 













































































 



 











 





 































































































 











































































 





































































 







v1   v2   v3

 





 























































 









v1   = (3, (3, 1)   v2   = (1, (1, 1)   R2











 





















































 ∈ R

































 







 −



















a1 , a2 , . . . , ak

 































































































































 −













 





















































 

















 











 



















































u   = (0, (0, 1) v2  

























 −

u  =  = v  v 1





 





a1 , a2 . . . , ak

 

− −

 







v1 , v2 , v3 v3   = ( 1, 4)   w  = ( 1, 1) w   = v1  + 4v2   + v 3 a1   = 6   a2   = 4   a3   = 1









 

w   =  a 1 v1  +  + a  a2 v2  +





n

n

 ∈ R

v1 , v2 , . . . , vk



 ∈   R

w

 

















 

 

 



 

 











 































 



 

 2

IE

v2

v1

O(0,0) W(3,-1)

















































































w   = (3, (3, 1) = 2v 2v1















































































































































2









 































 

 







O(0, (0, 0)   



























  

























 

3v2

− 





W (3 W (3,, 1) v1   3



 



 



 





























 





































 

v2

 

 







v1





























































 

v1











































 





v1   

 ∈ R 



 

 2

IE

W v1 O





2 

































 

w















 

2

 ∈ R

w 











 





 

 



 







































































































































 

















v1

 















































































































































































E2

 















































w  =  = a  a 1 v1

















































































































 





 







 











































v1

 



















 



































 







 



 

 

 

 

























− 4v2

w  = 3v1

 



















































v1   = (1 (1,, 2)   v2   = (1 (1,, 1)

 































































































































































 











R2

 





























w

 























 



 



 −v2 + v2

w  =

 





 

 − 13 v2

w =

 

 





w   = 0v1 + v2

 



3 













 

 

v1   = 





































2















• •































































  





  

















 













 











 −v2 + v2







 



 

(2, (2, 1, 3)









Rn























i 1











































 

























 

R





 

w

 − 13 v2

w =

 



 





w   = 0v1 + v2

 

β   = v1 , v2 , . . . , vn w Rn

 {

 



































 ∈

 

}























































 



 























































































































































 

 











Rn 







 















 







1

 

















 



























ai s

 



w  =























 









β 







 





 































 











































bi =  a i

 













 









Rn

 























  











































v2   =

( 1, 2, 0)  



Rn

 













































 − 4v2



 











w  = 3v1





n



 









 





 ≤ i ≤ n





 





















 

w   =   a1 v1   +  a 2 v2  +  + a  +  a n vn w   =   b1 v1  +  + b  b2 v2  + + bn vn 



 

···

 · · ·





 

 

 

 











 





 













R

 













n

β 

 

 





n

ai   s

 







 ∈ R





























  w



• •

























1



2



n

























C   = {e , e , . . . , e } n



 









































































































2



1



















































































































































































n

 



















 

























































2































n





































































1 1









R2

 



























































































 ∈













































 

 































n

 

 















 

 





























 











































 

























































































 2 e 4 2











 































C

 







3

























 







  R3























2 4

3,

 





−√  − 

v =

 







































C

n



















 















  Rn

w 



 ∈ 



















···



































 



































































· · · + a e



 



 







 



 





 

n

 ∈   R 















































n n

= (a1 , 0, . . . , 0) + (0, (0, a2 , . . . , 0) +





( w1 , w2 , . . . , w n ) =   w

= (a1 , a2 , . . . , an ).

 







 

=   a1 e1  +  + a  a2 e2  +







 







 









 













































 

Rn  













n

 ∈   R

n n

1

 



 



























w   = (x1 , x2 , . . . , xn )

 

w   = (w1 , w2 , . . . , wn ) w   =  a 1 e1  +  + a  a2 e2  + + an en 

 





































, en   = (0 (0,, 0, . . . , 1) 1),,

√  v   = − 3e −











n n

2 2







 



















· · · + a v

Rn

 

...

 









 







w   =  a 1 v1  +  + a  a2 v2  +

 

Rn

 







 















 























e1   = (1, (1, 0)   e2   = (0 (0,, 1)

 













































































 





















































w   = (2, (2, 2, 4) R3 e1   = (1, (1, 0, 0)   e2   = (0, (0, 1, 0)   e3   = (0 (0,, 0, 1) 2e2 +4 +4ee3 



























w   = 2 e1 



















2





e2   = (0, (0, 1, . . . , 0) 0),,



 

C   = {e , e }









C w  = (x , x , . . . , x ) =  x e  +  + x  x e  + · · · + x e .









 

1

















e1   = (1, (1, 0, . . . , 0) 0),, 



 





















 



 

(0 , 0, . . . , a ) · · · + (0, n







 



 

 



 

























































c)



























 





 







































































































































































 

























































 



















































































 











































































 



R2

 

















 



































Rn

 



n











n n







· · · + x e 













 





 





 

 













 

 

















 

































































































 

 





 



v1

 















































 















 



 

 















































































 

 



















β 

 







w   = (x, y ) w   =  a 1 v2 +  + a  a2 v2 

































2

2



















 

1





 







1

















 −3v  + 2v v   =  v − v

 





















· · · + 0e 0e

u  =

 



  R2







 

























 

























v1   = (1 (1,, 1)   v2   = (1 (1,, 2)

 





































 ∈

























   ∈ R2













 







 













 













 









a1   a2

 







 





 

w   = (x, y )







2

 







}⊂R 











































2

 



β  w  = (x, y )







− y   a   = y − x 











 



















o   = (0, (0, 0, .o. = . , 0) 0e1  + 0e2  +



























 

2













































































 

 {



























 



β   = v1 , v2

 

 





































i   = 1, . . . , n w   = (x1 , x2 , . . . , xn ) w   =  x 1 e1 +  + x  x2 e2  +



1

















− y)v  + (y − x)v

















a1   = 2x

 























































v   = (0, (0, 1) 







 











 

























  































u  = ( 1, 1)

















































 



















 































v2











w   = (2x (2x c)

































b)





ai   =   wi

 





























a)













































































































 





 

R2

 









 

 

(x, y ) =   a1 v1  +  + a  a2 v2 =   a1 (1, (1, 1) + a +  a2 (1 (1,, 2) = (a1 +  + a  a2 , a1 + 2a2 ). 





















































































































































 

  a1   +   a2   =   x  . a1   + 2a2   =   y















































 

 

























 

























































































n







R

 







































































































































a1   a2

 

 

























































































































































































































































 



















































































































































































































































































































































































































































 





























 

 



 











































































































 





 



 





















 

×n

n

 









 





















 

 











 



























×n











n



















































































 

−x

 





 



























.



































































 













































































































































































 

 





 





 



 

 



 











 

















.









 







×2   3×3

2





















 



































a1   = 2x y   a2   =  y

 



 x y





































w

 





















































































 x y

























































 =

































































 =











































































































































































































 





























 















 









[A]   [B ]   [C ]

 































 

















  a1 a2



(1, 1)   v2   = (1, (1, 2) β    v1   = (1,

 











































  a   +   a2 a1   + 2a2





        1 1 1 2







 



n



×

n n  













 

















 {

}

β   = v1 , v2 , . . . , vn

 







[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ].



























  Rn





 

 











 

 



 































 



















 

























 



































v1 [A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]











































































v2 



 

































































v2 





































































































β  β    = v1 , v2

 {

 

























 



















































R2

 

2

} ⊂  R





























































































































































 3 5 1 2









 



 

























w

 

















































 





































































































































































































































































































































































 







































































 





























































 





 



 











 



























2 3

















×

 

























 

 















































































v1

 









 

 





 





























































































v1   v2

 



 



















 





 

 

3











  −2   .

















.







































 





a1   =



















  −19 

















  a2   = 11

 

 























 

 

 

 3 5  = 1. 1 2

































   + a w   =  a 1 v1 +  a2 v2 

 =































det 







.







  3a1   + 5a2   = a1   + 2a2   =



2





 

1





a1   a2

 

  −19 19vv   + 11v 11v

w =

 







 









 

  a1 a2

 3 5 1 2













 

     −  









v1   = (3 (3,, 1)   v2   = (5 (5,, 2) 2 2

 



 







w   = ( 2, 3) a1   a2  

 









[A] = [v1 , v2 ] = 





 























































 















a1   a2  



































































 















































 

 

 











 















































a1 v2  +  + a  a2 v2











 {





n

β   = v1 , v2

 





R

 





























}















 





























 























 









R2

 











w   = (x, y ) a1   a2 



 





 





  a1 a2

(2x w   = (2x

1

    

























































 





















































2







3

3









































β 

 

w   = (x,y,z )   R3 























 











































































































































































































































 





































































 

w =

 













 

.  

 

1

 

















2

 











































R

 

























 



 

1 3















2



















1 2



















3 9



























































w   =  a 1 v1  +  + a  a2 v2  +  + a  a3 v3

 























 

 

a1 a2 a3

2 3 9



,

 −   −   − 





0



x y z 

 =











1







































































 



2







[A] = [v1 , v2 , v3 ] det[[A] det 











 

− 2z )v  + (3x (3x + 5y 5 y − z )v  + (−x + 2y 2 y +  + z   z )v .

 

 



 









0 1 2

 









a1   a2   a3

 







     −  −  −     

w   = (3x (3x + 4y 4y 





1 1 3









3

 



[B ] = [v1 , v2 , v3 ] =







2

1







×3

3

 

 

1

 

v3   = (2, (2, 3, 9)

 



3 y )v − 5y)v  + (−x + 3y β   = {v , v , v } ⊂ R v   = (1 (1,, −1, 3)   v   = (0 (0,, 1, −2)











 =   x y

 3 5 1 2



 







































































































































 





























3











































































































































 



 





 





 



 



 







































































































































































































(2 (2,, 0) 





































































 



























































































































































































































































































































































































 



















































































































 







 





 



 

 

 































R2

 



















  a1

3































3

 





















































w =

 













 

 

0

×3   −   4z    =









 2

 =

a2

1







 







v1   = (2, (2, 4)   v2   = (3 (3,, 1)

 





 −  −































































 



 



































  −4   −1   −1













 























































 

















2 0 3

 =









 

.

β    n 

 









 











Rn

 









 

 





























 





































































































 







 31/ 31/07/ 07/1704  





























































  † 4/01/ 01/1752 

























 

 

a1 a2 a3





 

    

3 0 1







− −

 



2 4 1

R3

w   = (2 (2,, 0, 3) v1   = (2, (2, 4, 1)   v2   = (3 (3,, 1, 1)   v3   = (3 (3,, 0, 1)







 

















2a1   + 3a2 2 4a1   = 0 ,   a2 a1   a2   +   a3   = 3









 











  −     

 







4











 2









 −



















  2a1   + 3a2   = 2  , 4a1   a2   = 0







































 





































































































































































 



















































 





 

 





















































 









n









R

 











































R2

 





 





































































 

















w   =   a1 v1  +  + a  a2 v2 a1   a2 

 {







β  β    = v1 , v2

 





















































(2,, 1)   v2   = (1 (1,, 1) v1   = (2

 

R2

 













 





 







 ∈

















β 

 

  R2

w   = (x, y )

 

 



}

























































































































































R3





















































  a1 a2





















  

































































  





















































































































 













































































































 















































 













 



 





 































2









 

















































































v2   = (1, (1, 0, 1)







































































 























































































 

 



































 





















































































































 

 

 

 {

β   = v1 , v2 , v3

v3   = (0 (0,, 1, 1) 1)..

 











 

 



 



 



 



 























 

− x.

























.



a1   a2

 



 

×3









 







 1   x 1 y



 

v1   = (1, (1, 1, 0) 0),,





 













































 

×3 









  3





3

































×2









  det[v det[v1 , w]   =  y det[vv1 , v2 ] det[









[v1 , w] =

























; 





 







[w, v2 ]   [v1 , w]

 













.

o  = 0v1  + 0v2

 

























a2   =





















 























 



















































 



























































 x   1 y 2

−y













































































































































2



































































1













 x y

 =

[w, v2 ] =









;



















×











n n











 















− y)v + (y − x)v







w   = (2x (2x 





  det[w, det[w, v2 ]   = 2x det[vv1 , v2 ] det[







a1   =











 









 







 1 1 1 2















[v1 , v2 ]

 

[v1 , v2 ] = 













 

 2 1 1 1









     













 

}⊂

 

 



 

















































































































































 



















 

 {

 













}





















































































































a1   =





























































 

x 1 0 y 0 1 z 1 1

















  det[ det[w, v2 , v3 ]





 







β 























 











 





R3

















 

a1 s

























 

;



































 



  

  























 

















 =



















































































Rn

 

 



























}  































 











 



















 



























































 





 

 

.













 









































 

















 









 

 

1 1 x 1 0 y 0 1 z

.

  det[ det[v1 , v2 , w]

a3   =

.

det[[v1 , v2 , v3 ] det







 

3





; [ v1 , v2 , w ] =



;



2









− z )v  + (x − y − z )v 













x y

  det[ det[v1 , w , v2 ]

a2   =

 {

 



1 x 0 1 y 1 0 z 1





det[[v1 , v2 , v3 ] det















; [ v1 , w , v 3 ] =





a3





 

 

β  β    = v1 , v2 , . . . , vn det[vv1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det[















    

0 1 1





 −2



a1 a2

w   = ( y +  + z   z )v1 + ( x +  + y  y

 





Rn

 

















det[[v1 , v2 , v3 ] det 



 





,

w   = (x,y,z ) β    w   =  a 1 v1  +  + a  a2 v2  +  + a  a3 v3 

 

[w, v2 , v3 ] =

0 1 1



1 1 0 1 0 1



 

1 1 0 1 0 1







 

det[v1 , v2 , v3 ] = det[ β   = v1 , v2 , v3  

















































 

[v1 , v2 , v3 ] =









































 

























 

 





Rn

 



































 

n

































 





 

 

 











 















R

 

n 

w   Rn w   =  a 1 v1 +  + a  a2 v2  +





















 ∈

 



















n n







































































































 





 



 





















































































 {







β  β    = v1 , v2 , . . . , vn β   

















 





























 

































R3

 

































w   = (x, y )





 

















} 















































































 

 

  det[ det[v1 , v2 , . . . , w] w]

  , an   =





.

det[[v1 , v2 , . . . , vn ] det



Rn

 





























 

 









 · · ·









,











  n det[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det[v































 







 

 









 

 













































w   = (x,y,z x,y,z))



v1   = (0, (0, 3, 1) v1   = (2, (2, 1, 1) v1   = (1, (1, 1, 2)

 

 



v1   = (1 (1,, 2, 3)   v2   = (0 (0,, 1, 2)

 

 

 













 

































































 



















} ⊂   R2

 {

β  β    = v1 , v2  

 



 







 







v1   = (2, (2, 1)   v2   = (1 (1,, 2)





 











v1   = (3, (3, 1)   v2   = (1 (1,, 2)











 







 





















 



w   = 0v1  + 1v2  + 0v3

 



 





w   = 0v1  + 0v2  + 0v3

 











 − v3 w   = xv 1  + (y − 2x)v2 + (x − 2y + z )v3

 















det[[v1 , v2 , . . . , vn ] det

w   = 3v1  + 0v2

 









v3   = (0 (0,, 0, 1) 















  



















































Rn

 





  det det[[v1 , w , . . . , vn ]

, a2   =

det[[v1 , v2 , . . . , vn ] det 



· · · + a v

  det det[[w, v2 , . . . , vn ]

a1   =



 

 















































 

















v2   = (1 (1,, 1, 2)













































 











β  



v2   = (3 (3,, 2, 1)  















 



 

 





v2   = (2 (2,, 0, 0)

 

v2   = (3 (3,, 1, 2)









 

} ⊂ R3



β 

 

v1   = (1 (1,, 1, 1)







− v1   = (1 (1,, 0)   v2   = (1 (1,, −1)

 









 {







v1   = ( 1, 2)   v2   = (2 (2,, 4)

 

β   = v1 , v2 , v3   





 

v3   = (1 (1,, 1, 1) 

 

 



 



v3   = (0 (0,, 0, 0)





























































 { } ⊂  { }⊂ β   = {v1 , v2 , . . . , vn }

 













v3   = (0, (0, 1, 1)





α  = v1 , v2 R2 β   = v1 , v2 , v3 R3

 







 









 











































vi

 



o

 



























































































































































































 









 

































































































 







  













































 















































































 





 − v2

v3   = 2v1









































 















































  {v1, v2, v3}





















 







































































β 

 





β 

 



  R2



  













 





























































v1   = (1 (1,, 1)

 

































 

  



















 

3a1









α



















































 

β  

β 

 



 











































  −   2a2   = −a2   =









 

 

















β    R2

 







































 

 −

2a1   3a2   +   a3   = 5 a1   + 4a2   = 0 a1   +   a3   = 1

  −

 







  3a1





























5

























 













































R2





a1   + 4a2   = 0

−   −









α =

 







  −   3a2   =

 

α

 

 ∈ {1, 2, 3}

w  = (x, y)







 













vi   i



  2a1 













Rn

 

v2   = (3, (3, 2)   v3   = ( 1, 1)  



 

 



































 



v1   = (3 (3,, 4) v1   = (2 (2,, 2, 2)









 























































































 



 



0 3





































  −   2a2   +   a3   = −a2   +   a3   =





0 0 a3   = 0

 

   







































































































 ≤ j ≤ m

1

 

































 





vij 





































 













 



































































































































 













 















 

















 























 







 

 































































































































































































































































 



































 























































































































































































































































































































































































































































































































 





 







 

 



×

 





























 













































































 

































































 























































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































n m [A] ij 













 













− 



































































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 





 ≤  ≤

(vij )   1  i  n [A] = [vij ] 







 

























 

 



 



 

[A] =

































i

 

























































 

































 



































































 









































































































































































































 











 

 







j

 





























×m

n

 





















 









n

 





















 



























 

m

 











 















ij

 









































  · · ·   vnm











 











 











vn1   vn2 



  · · ·   vim

vi1   vi2





  · · ·   v1 m   · · ·   v2 m

v11   v12 v21   v22

  [A] = [vij ]   [B ] = [wij ] [A] = [B ]   vij   =  w ij   

vij



































































































 

 

[A] = [v1 , v2 , . . . , vm ]. 









































































 





v j









 ∈ Rn



























 j

 













 















[A]

 



































 

 

v j   = (v1 j , v2 j , . . . , vnj ). 































































































































































































































































 







 

































































































































































n

 





























































 





 





×m 



























































 



 

[A] = [vij ]   [B ] = [wij ]

 

 

 

.

λ[A] = [λ vij ] 









  [A] + [B [ B ] = [vij   + wij ]





































[0]









 









×m









n 







 



















 





















































































×m   λ













n











 







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M(n, m)

















 































































































































 



M(n, m) 

























































 

 











 































































 



























































×

























n m   [B ] = [wij ] [C ] = [uij ]   n

 





 

 

























































































 





















































































































































































































  











































































·





 

























 



[A]





















































































































×

m  p

 







[A] = [vij ]   [A] [B ]





 



 









·

 

 











































  −

  2 2

2 2



















 

.

















 





× m   m × p  

































































































2









 











  



 





 

[B ] =









 ·















3 2 0

[B ]  [ [A A] 

 



2 0 2

1 1 4





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3



0 2







2 0

























.













 



3

 

2 6 4

 =





 

   −  · ×      −  −   −      −    − 







1 4

0 3 2 1 2 0





0 0 0 0 0 0



n

 



[A] [B ]

[A] [B ] =





.





 



[A] [B ] =

2 1 2 0





   

 







 

 −  −









· · · + vimwmj . 









[B ] =











 







 



×3   3×2 0 3   −1

3

 





[A] =









·







 

1 1 1 1 1 1







   

[A] =









× p

 





uij   =  v i1 w1 j  + vi2 w2 j  + 



 

6 4 6



[B ]









2

 

,











 



















 

 



 









































































































·













 

 ·

[A]

 































  































































n 





























 























[I d]n

 







eii   = 1   eij   = 0  























































 





































 2 1















































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i = j



 























































































 





















 















 



 















 



 





























 



 

2

 

 0 4 2 2

·

Rn

 























 

  −

 4 6



.

8 12

.

 − 













































 

















[I d] [I d] = [e1 , e2 , . . . , en ]   [I d] = [eij ] 





×











×n

n

 



n m





n





 















 



























 

























































 















[B ]

 

























 

[B ] =









·

































[B ] [A] =









 























 









 

 

























·  

 









[A] [B ] = [B ] [A]

 

 























































 





 −





 











·

4 2











·  







[A] [B ] = [B ] [A]

 











  −  































·









[A] [B ]  

 

















p  =  = n  n

 

















































 







































 



















 







 



 

 

[I d]n   =



 





8 0 4 0



 

























Cn   = {e1, e2, . . . , en}

 









 − 

·















[A] [B ] =















 



·

 



×











n n

[A] =







 



·

·

[A] [B ]   [B ] [A]

 

×

 

 





 

[A]   [B ] [A] [B ]   [B ] [A]   











m  p [B ]  [ [A A]



 















































































































[A] = [vij ]





















 













 



n













·





































0 0



  ···   1   ···   0

0 0 0 0 



   ·· ·· ··    00

1 0 0 1

 































0 1











·

 













[A] [I d] = [A] = [A] [I d],

 



n 







































































 

 















 













































 





cij   ij

 

 























 





















·

[A] [I d]

 





































 

 

n



cij   =

v jk ekj .

k=1









 

e j   = (e1 j , e2 j , . . . , enj ) 











 



eik   =







cij   =   vij [I d] [A] = [A]

















































































 

















 

·

[A] [I d] = [A]

 



































4 2 1



















































2 1 1



































 



































































 



 −    −    −   1 5 1 0 1 0

[D ] =

 



[E ] =   0

 

















0 2 1



















 















 0 2

[G] =

 





[M  M ][ ][P  P ]] = [N ][ N ][P  P ]]

 



















 







[F  F ]] =

 

1



 









 







 











n m [M  M ]] = [N ] N ]













 















 















0 2 1

 









1 3 0





4 2





















1 1 0

 





    −−   −    −   −  −   −  ×

[M  M ]]   [N ] N ] [P  P ]]

 









[C ] =









 

 

[B ] =







 2 [A] = 1















 





 







 











 





























·

 





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  0   i =  k 1   i  =  = k  k









































































































































n

 



































 



























 

 

 



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n

 













































































































































































































 





































 





 

 

D1   det det[[I d] = 1

 

D2   vi   =  v i+1 

D3

 











 

















 









w

 



det[ det[v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vn ] = 0

 

 

n

 ∈ R



















 ∈ R

λ

 





























 

det[[v1 , . . . , vi +λ w , . . . , vn ] =  det det  det[[v1 , . . . , vi , . . . , vn ]+ ]+λdet λdet[[v1 , . . . , w , . . . vn ]. 























































 



















































































































































































































































 



























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 





















































 



1. 











































































































































 



 

 

































 

 

vi

 



[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]

 

vi   =  v j   i =  j









































 



















 

































i+1 , vi , . . . vn ]

  

















 





 

det[ det[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0

 

 

det[ det[v1 , . . . , vi , . . . , v j , . . . , vn ] = 0

 





1







































 





[v1 , v2 , . . . , vn ] 















det[[v1 , . . . , λ vi , . . . , vn ] =  λdet det  λdet[[v1 , . . . . , vi , . . . , vn ]

 







 −det det[[v , . . . v







det[v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vn ] = det[ 

















 





























































 























 







































 









 

































 

 



det[ det[v1 , . . . , vi   +  v i+1 , vi   +  v i+1 , . . . , vn ] = 0 D2   D3 





















 



 

0 =   det[ det[v1 , . . . , vi  +  + v  vi+1 , vi  +  + v  vi+1 , . . . , vn ] 0  =   det[ det[v1 , . . . ,   vi   , v   +  det[[v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vn ] + i   , . . . , vn ] + det    0    det[[v1 , . . . , vi+1 , vi , . . . , vn ] +   det[ det det[v1 , . . . ,   vi   , v   +1   i+1   , . . . , vn ].

λ 

 







 

 













 









































2.   vi   =  o 



 











 































 













vi   = 0v1  + 





























D3

 











 







































+ 0v 0 vi 1  + 0vi+1 +

···





























































 

+ 0v 0 vn .

···







 

det[[v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vn ] = 0 det det det[[v1 , . . . , v1 , vi+1 , . . . , vn ] + 0 det det[[v1 , . . . , v2 , vi+1 , . . . , vn ] + +

··· +

0 det det[[v1 , . . . , vn , vi+1 , . . . , vn ] = 0. 3.



4. 























































 







































 











































w   =  a 1 v1 + a2 v2 + + an−1 vn−1 [A] = [v1 , . . . , vi , . . . , v j , . . . , vn ] 

 

















···

 











































 





D2 





 













 

 

−1 ai vi ] det[[v1 , . . . , vn−1 , vn  + det  + w  w]] =   det[ det[v1 , . . . , vn−1 , vn + Σni=1 =   det[ det[v1 , . . . , vn−1 , vn ] +  det[[v1 ,   . .   . 0, vn−1 , vi ] Σn−1 ai det i=1

=   det[ det[v1 , . . . , vn−1 , vn ]. 



























5.















































































































































































































 

 

det[[v1 , . . . , λ vi , . . . , vn ] =   det[ det det[v1 , . . . , vi  + (λ

1)vv , . . . , v ] − 1) i

n

=   det[ det[v1 , . . . , vi , . . . , vn ] + (λ

− 1) 1)det det[[v , . . . , v , . . . , v ] 1

i

n

=   λdet[ λdet[v1 , . . . , vi , . . . vn ]. 























































 

D3

 

 



 

 



 









vi















(n























































 























 



















[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]  

 





























 













[A]



− 1)





 























[A] [A]  





 



  





















































n 



v11   v12 v21   v22









9

 































  

[A]32   =   















































































































 































































 





















i

  −   · · ·      v         · · ·   v   · · ·      v         · · ·   v  





















1 j

2 j



2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

















            v   nj          

  ···   v

  ···







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

2 3 0 0 1 3 1 1 2



nm







;

[A]33   =











n

 









  













det[[A] =  v 11 det





 



  

































n



 

























×



j

n





− 



 

− − 1) ×

 





 

 

  







[A] ji   j i   (n

 



  





 



 



 







 



























 



 

 

.

 

   

  







 

 2 0 0 3 



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[A]21   =







 

 





 



1m

 









 





  



vn1   vn2





[A]ij

 

;





 







 ∈









vi Rn det[ det[A] = 0

 





 1 3 1 2













                  v   v   v   v   i1      i2    ij    im                                              







 





 

   

[A]11   =









 



[A] =







 × n





 





 



















 























  

[A]ij   =













































 



n2  

1



 3 0 1 2

;

 2 3 0 1

.























× 1   [A] = [v  



11 ]



















 











 











 























































v2   = (v12 , v22 ) 























 











 

































R2

 

























































































































































































  























det



























































3





×3





























































v1   = (v11 , v21 , v31 ), 

















 

R3





















1

 































 















v1   = (v11 , v21 )

 



































det[[v1 , v2 , v3 ] =   det det

































  













−v

21 v12 .











 





















































D1   D2   D3

 



 

2 

2  = 3

×2 



16.. 16

 −















































 

























































v2   = (v12 , v22 , v32 )   v3   = (v13 , v23 , v33 )  





  v22   v23 =   v11 det v32   v33



− 



  v21   v23 v12 det v31   v33









 

 

   −  2 5

 

det[[A]13 det[[A]12 + ( 1)1+3v13det = ( 1)1+1v11 det det[[A]11 + ( 1)1+2v12det



 

 

 = v  =  v 11 v22





v11   v12   v13 v21   v22   v23 v31   v32   v33





×1







 



 

  

 







 × 2

v1   = (2, (2, 5)   v1   = (2 (2,, 3)

 





2

 

[A]12   = [v21 ].

det[[A] =  det det  det[[v1 , v2 ] =  det 



 





  v11   v12 v21   v22





  

 









  







 = ( 1)1+1v11 det det[[A]11  + ( 1)1+2 v12 det det[[A]12 .

[A]11   = [v22 ] 



 









det[[v1 , v2 ] =  det   v11   v12 det v21   v22 



 

  v21   v22 + v13 det v31   v32



.



 



 

 



 









































































3

 

















 ×  3





3

 





3









































































 























































































































 





















 







D1   D2   D3

 































































  





  − 2 3 0 0 1 3 1 1 2

det























  



















































·





















 











M(1 (1,, 1)







































































































































 



























































 

 





 











3

 

 

×3

 

    0 1 1 1

+ 0 det

·















n

 

 

 2









 











































































































 M(n, n) → R



























 

















































 









1+ 1+m m

v1n det det[[A]1n ,   



























































































 



 



 

M(n − 1, n − 1)











 

 













R

 →

· · · + (−1)

  





det : det  : M   M ((n, n)

 

 ≥

[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]

 







det : : det





[A] = [vij ]

 





· − −3·3 =   −11 11..   





= 2 ( 1)









  0 3 1 2

det[[A]12 + det[[A] = ( 1)1+1v11 det det det[[A]11 + ( 1)1+2v12 det 



 



3 det









 − ·  

 1 3   = 2 det 1 2





× 



 

























n

 





































































 

n

−

( 1)1+ j a1 j det det[[A]1 j .

det [A] =

  

 j  j=1 =1















1.) 















 































[I d] = [δ iijj ]

 









































 

δ iijj   =





















 0 1





 















     

 



























i =  j  . i  =  = j  j

 















 

n















 











 



δ iijj































 





 

 













 















































 



[I d]11

 

























 



  

























(n

 



det[[I d] = ( 1) det

( 1)

  

 j  j=2 =2

= 1.











































 











 



























 

























 



























































































 



 

 ∈ {

 













  

































+1

0













 

  



























}









 

 













 







0

0

M

 

  

v1 j   =  v 1,j



(n, n) [A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]   v j   =   v j     j 1, 2, . . . ,  jj0 , j   1 j 0  + 1, . . . n [A] det[[A]1 j   = 0 det   j   =   j0   j   =   j0   + 1 [A]1 j = [A]1   ,j +1 







=   det[ det[I d]n−1 2 .)



1+ j



δ 11 det[[I d]11 + 11 det



0  det[I d] δ    1 j   det[ 1 j   

n 1+1

− 1)

 





















0

 







0

















 























































 







 









+1

 





 





 

0

 

det[A]1 j + ( 1)1+ j +1 v1,j +1 det det[[A]1    det [A] = ( 1)1+ j v1 j det[ ,j +1 0 1+ j     ( 1)1+ j +1 v1 j det[ + = ( 1)    det[A]1 j

− −



0

0



  

0



0

0

0



0

= 0.

 

0

0

  

0

M

  [A] = [v1 , v2 , . . . , vn ] (n, n)   λ 3 .) (w11 , w12 , . . . , w1n ) W ]] = [o1 , . . . , o j −1 , w , o j   Rn [W  oi 









 

































































 























 

0

 







 



























0

  w = +1 , . . . , on ] 



















 











 

 

[B ] = [v1 , v2 , . . . , v j −1 , w , v j j+1 +1 . . . , vn ]. 



































































 











































 





det[C ] =   det[ det[ det[A] + λdet  λdet[[B ]   [C ] = ([A ([A] + λ + λ[[W  W ]) ]) [C ] = [v1 , v2 , . . . , v j  + λ w , . . . , vn ] 













 

0

 

 







 

  [C ]1 j   = [A]ij  +  + λ  λ[[W  W ]]1 j ,   j =  j 0 . [C ]1 j = [A]1 j 

  

  

  

  

0











 

  

0







 

 

  det[ det[C ]1 j   =   det[ det[A]ij   + λdet  λdet[[B ]1 j ,   j =  j 0 . det[[C ]1 j =   det[ det det[A]1 j =  det  det[[B ]1 j 

  

  

  

0

  

  

0

  

0

 























 

 



 





[C ] = [cij ]

 



































































 











 

 

n

( 1)1+ j c1 j det det[[C ]1 j

det[[C ] = det



 j  j=1 =1

  

−  −  −



 + λw  λw1 j )det det[[A]1 j ( 1)1+ j v1 j det [A]1 j   + λ[  λ[B ]1 j + ( 1)1+ j (v1 j  +

=

  

  

 j = j0





0

0

( 1)1+ j v1 j det det[[A]ij  + ( 1)1+ j v1 j  det[  det[A A]1 j

=



  



 j = j0

0



  



 j = j0

  



































  



  −   − 0 1 2 0

det



















 





2 4 1 1









 

























3 1 1 1







0

  





































 

0 3 2 1

 

































σ   :   I n









 →   I 

n

















































































 















































 







 



I n































4

 

4

 

× −1

+ 3 det

2 0

 −





















































































 {







}



























































M(n, n)

 



 





































 







































  























n

 

















vij ei

 



























































i=1











 









n

 

 

v j   = 





















 



n



















 

 



 



n





4 3 1 2 1 1



I n   = 1, 2, . . . , n σ (k) =   ik

 













1 1 3 2 1 2 0 1 1









 −  











[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]

 





 





 





  −7.









  −2 det

=







 =









0



 

n 

0

0

=   det[ det[A] + λdet + λdet[[B ]. 

  

0

( 1)1+ j det det[[B ]1 j  + ( 1)1+ j w1 j det det[[B ]1 j

+ λ

0



































 

 

0

 













 





























































i

 

















 







































































det[[v1 , v2 , . . . , vn ] = det det

i 1 i =1 v e , i 1

i1 n











































































 

 

2

n

det[[ei1 , ei2 , . . . , ein ] in n det

···v

2

2

in =1

[ ei , ei , . . . , e i n ] 1

 



2

1





i 2 ei , . . . , i n n ei v v =1 in =1

1

2

i1 =1 i2 =1





n

vi 1 vi

=



n

    ···  n





 

 n





 

2













































 

det[[ei , ei , . . . , ein ] = 0. det 1













































[e , e , . . . , e ] in i i σ   :   I n   I n σ( j  j)) =  i j 





















2

1

 



















































































































































 











k



















k 







− 

































  



























 



σ σ   =   τ kr 



 

















τ k

1

















































  























 







1

















































































































 k























1

 n





i k + 1   k   













 



 



 











τ k

2

 ◦  ◦ · · · ◦











































1

 









































































τ kr   =  τ l





1













τ l

























 









2

 ◦  ◦ · · · ◦











































































 



 



 

 



























 

 































τ    :  I 

 

k





 I 



 

 

n

n

 →

.

















 







  −1









i  =  = k  k i  =  = k  k +  + 1



k1





 ≤  ≤ −   i∈ / {k, k + 1} 





j

 





det[[eσ(1) , eσ(2) , . . . , eσ(n) ]. σ(n)n det









···v















k2









 



 ◦ · · · ◦ τ   ◦ τ  













 









τ k (i) =









vσ(1)1 vσ(2)2











n







∈S 























 







[eσ(1) , eσ(2) , . . . , eσ(n) ]











σ









det[[v1 , v2 , . . . , vn ] = det







 →

 



2









 

τ ls





























































 



 

 



 







































 























k k 





− −



































































 























 







 







σ σ













 













k2



































































































































 

















































































 









































































 







 





 







































 



 

1

 







 

 















2













=  τ k−1 ◦ · · · ◦ τ k−1 ◦ τ k−1 (σ ) =    ((σ −1 )

























































r

 





r

















































1









 

























n







 →  σI −











































































1

 



 

σ   :   I n  

 



 







kr









 





r   s (σ ) = ( 1)r   k













 ◦ τ   ◦ · · · ◦ τ 











[eσ(1) , eσ(2) , . . . , eσ(n) ]

















 

















































1







σ   =   τ k











 









































r   s

 





























































































































 

 





 





 

 

det[[eσ(1) , eσ(2) , . . . , eσ(n) ] =   det  ((σ ). 



















 

det[v1 , v2 , . . . , vn ] = det[ 

































































































































































































































































































































































































































































































































 







 





 

 



 

[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ] = [vij ]

 









σ (n)n .

n





···v

∈S 

σ 

(σ )vσ(1)1 vσ(2)2







 















n

 

×m

























 

v j   = (v1 j , v2 j , . . . , vnj ). 





































 

[A]







 











 

m

×n















 









[A]t

 



























 

[A]t = [w1 , w2 , . . . , wn ] 







 







[A]t





































[A] =



 



 j

 









 

w j   = (v j j11 , v j j22 , . . . , v jn )   [A]



− √ 2   −3 −1 1 

















0   3 5

π   1 3





 











 

 



 









[A]t =







 

















j

 





− 















 

 √    −  −   2 3 0

 



1 π 1 1 3   3 5

.















 

 













 

























 













 













 



([ ([A A] [B ])t = [B ]t [A]t











[A] = [vij ]   [B ] = [bij ]   btij   =  b ji  





atij   =  a ji



 





 

 

















































 



























=   v j j11 b1i  +  + v  v j j22 b2i 





















































dtij   ([ ([A A] [B ])t

 



 













 













 



 

 











 

 

t t in vnj

 + b  bti2 v2t j  + cij   =   bti1 v1t j  + =   b1i v j j11  +  + b  b2i v j j22



t [A]t = [vij ]   [B ]t = [btij ]   [B ]t [A]t



cij

 



 

· · · + b  + · · · + b  + · · · + v

ni v jn

 jn bni





















 

dtij   =   d ji   d ji  









 

[A] [B ]

 

 

dtij   =   d ji =   v j j11 b1i  +  + v  v j j22 b2i  + 



















cij   =  d tij

 













 



























 





 





[A]

 

[A] = [vij ]

 























































 







 jn bni .

([ ([A A] [B ])t = [B ]t [A]t







det[[A] = det



· · · + v



 





























det[ det[A]t =  det  det[[A]

 

 

 

(σ )aσ(1)1 aσ(2)2 ...aσ(n)n .

σ Sn





σ −1

 











































































aσ(1)1 aσ(2)2 













































































det[[A] = det



















σ   σ(i) =  j

 



 









 









 

aσ(i)i   =  a jσ

−1

( j  j))





















 

 

 

σ(n)n   =  a 1σ

















−1



(1) a2σ









−1



(2)





···a 











−1





(n) .



























 

σ

=



···a







(σ −1 )a1σ

−1

(1) a2σ

−1

(2)

−1

(σ )a1σ(1) a2σ(2)

σ

=   det[ det[A]t .

···a



−1

(n)

···a

nσ nσ((n)

 



 

 



 































































































































































































































 







 



 







 







































































 















































































































































































































































































































[A]









 



























































[A]

 





 j

 

































































 



 

 

 j −1 det[[v1 , . . . , v j −1 , v j , v j j+1 det det[[v j , v1 , . . . , v j −1 , v j j+1 det +1 . . . , vn ] = ( 1) +1 , . . . , vn ].

































































 























[A]   [B ]

 

 































































 









i

 







− 









































 



n

 













 

det ([ ([A A] [B ]) =  det  det[[A] det det[[B ].

·











 

 j

 

























− 

























 















[A]

























 



















 





[A] = [vij ]   [B ] = [bij ]   [C ] = [A] [B ] = [cij ] [C ] = [A] [B ]   j   [B ]  





·





















·

 















 









































































 











 



























 





 

 

 + b c j   =  b 1 j v1  +  b2 j v2  + 

·

 



































· · · + b

nj vn .

 

det ([ ([A A] [B ]) =   det [c1 , c2 , . . . , cn ]

·

=   det

b k1 =1 n





























k2 =1

1





 

2

2

[vk , vk , . . . , vkn ] 2















v

  kn n kn

kn =1

···b

2

kn =1

1

b

v  . . . ,

2

k 2 k

n

k1 =1 k2 =1 

1

k 1 k

bk 1 bk

=



b

v ,

1

     ···  n



n

n

 n

det[[vk1 , vk2 , . . . , vkn ]. kn n det



























 

det[[vk , vk , . . . , vkn ] = 0. det 1

































 



























[vk , vk , . . . , vkn ] 1

2

























2









































































































































 



 

 













 























σ( j  j)) =  k j



































 



σ   :  I n

 

















 → I 

n





det ([ ([A A] [B ]) =

·



































σ



















































n





























 













 













































 



j





































































 

 

det[[vσ(1) , vσ(2) , . . . , vσ(n) ]. σ(n)n det









···b

∈S 







bσ(1)1 bσ(2)2

[vσ(1) , vσ(2) , . . . , vσ(n) ]

 







 







[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ] k

 



















 

















































 

det[[vσ(1) , vσ(2) , . . . , vσ(n) ] =   det  ((σ )det det[[A]. 









































det ([ ([A A] [B ]) =









 



·

σ

∈S 

···b

(σ)bσ(1)1 bσ(2)2

n

σ(n)n

·

=   det[ det[B ] det det[[A]. 







































[B ] =

[C ] =

 







[A] =

 







 

















 



det[[v1 , v2 , . . . , vn ] det  



 























  −   2 4

2 1























  



 

[D ] =



4 0 1





 

[E ] =



v1   = (1 (1,, 2)   v2   = (4 (4,, 5)  





 −−   −      −−   −  3 1 2





2 0 2 1 3 1 1 2 0

1 1 1













  







 

R2















  −  −  −    −  −

1 2 0 1 1 1 1 1 







0 1 2

0 1 0

1 2 2

0

2

3

2 2 0 2

3 1 1 3

0 0 0 4

























.

 

 



 





























det[[w, v ] det







 











R2

 









































































































 





























 











 

det det[[vi , vi ] = 0



 























− det[2 det [2vv − 3w, 4v  + 5w 5 w] 

 





det[v + w, w] det[ det[3 det [3v, v, 4w]

 





 −2

 





det[[v, w] = det

 





 



 







det det[[v1 , v2 ] = 13

















































v1   v2

 

 





 



det[[v1 , v2 + 3w] = det det  det[[v1 , v2 ] + 3det 3 det[[v1 , w]

 





w   = ( 3, 1)   R2

 





− −











 



 

det[2v, det[2 v, w] det[[ v, 4w] det

 



v   w

 

 









 









det[[e1 , e2 ] = 1 det

 





 − 2w, v2] = det  det[[v1 , v2 ] − 2det det[[w, v2 ]

det[[v1 det

 



3 













 

 

v1   =





























































w   = (1, (1, 1, 2)   R3 v1   v2   v3

 























 

 

 

 















[A]   [B ]

 

 





 













 

×

n n 













det ([ ([A A] + [B [ B ]) = det  det[[A] + det det[[B ]



















































































































det





























































 

n 

 

 

1 1 1 a b c a2 b2 c2

 

 = (b























































 













det[[λA det λA]] =  λdet  λdet[[A] det ([ ([A A]n ) = (det [A])n

 









det[[v1 , v2 , v2 ] = 0 det 





 

 





(3 (3,, 1, 1)   R det[[v1 , v1 , v3 ] = 0 det

 





det[[v1 , v2 , v3  + 2w] =  det det  det[[v1 , v2 , v3 ] + 2det 2 det[[v1 , v2 , w]

 











 − w, v3] = 3det det[[v1 , w , v3 ] det[[v1 , v2 , v3 ] − det

 







 







det[[v1 , 3v2 det









 









 











(1, (1, 1, 0)  

 





v3   =

det[[v1 , v2 , v3 ] = 1 det









 

 



v2   =

(0 (0,, 2, 1)   det[[e1 , e2 , e3 ] = 1 det

 



 

− a)()(cc − a)()(cc − b).































 













 





































































[B ]

 





























 













 























[A]

 

n

 































 











 

 

n

 

 











 























 

































 

 

[A] [B ] = [I d] = [B ] [A], 













[I d]

 































  



















 

















































































































































































2

 

  2 1

















 1 0 1  =  = 0 1 2

  1 1















1 1

 







































































 



[A] 

















































 2 1 1 1

2















.

 

1 1

 −  −    

 

  −1

  1 1





  1 1 





































 

 a c b d

[B ] =





 −  −      −     [A] =





 

 2 1 1 1





 

 1 1 1 2

[B ] =



n

 

 

[A] =









 







































 

 

 1 0  = 0 1

  1 1

1 1

·

 a c  = b d

  a +  + b  b a b

·

[I d] = [A] [B ]

c +  + d  d c d

   −  −     − −  − − 

 

 



 

























































































































































 















 

 

  a + b = 1  . a  b = 0 















[B ] 









 



 







 



















































































































[B ]

 































 







 



















·

 





 

 











·

[A] [B ] = [I d] = [A] [B ] [A]−1 





















 



















 

 

 



























n

 



























 

















−1 = [A]

([ ([A A]−1 )

 











 

[A]

 





 



 





[A]   [B ]

 









































































·











[A]

 

 









[A] [B ] 









0=1

 





[A]−1









































 −  −



























 

 

 





·

·







([ ([A A] [B ])−1 = [B ]−1 [A]−1

 



 















































[A]

 











































































 

 

 



 = det 1 =  det  det[[A] det [A]−1 .  det[[I d] =  det [A] [A]−1  = 









1o 2o 

























 



 





























[A]







[A]





















 











































det[[A]   det ([ det ([A A]−1 )

 

















































·









 







 















 

















 































































 









1

 











































































































































 

 

det[[A])−1 det ([ ([A A]−1 ) = (det







 







det[ det[A] = 0



































 

 

det[[A] = 0 det

 













 









n >  3









 









































 





















[A]

 

















 









 

 

 



















 



























































  





































 





















































































 a b

[A] =









































2

 









































 





 

 

.

c d

















































[A]

 





    −  −  −















































































































































[A]

 

ij

 





























































− bc 



















































n

 









 

















 















































 





















b a



















































































 

 









bc) bc) [I d] =  det  det[[A] [I d].







.





























adjj ([ ad  ([A A]) [A]

 

























2

 

































[A] = [vij ]







 



























































 



 

 









det[ det[A]−1 = (det det[[A])−1 .









 



















 









  1 ad([ ad ([A A]) det[[A] det 







 





  0  = (ad 0   ad bc







det[A] = 0 det[

 



 



  ad





[A]−1 = 







[A] ad ad([ ([A A]) = 





  d c

([A ad([ ad A]) = 















 































 







[A]ij



 

 

  

















 

cij   = ( 1)i+ j det det[[A]ij .



 

































 

[A]

 















  

































































 

ad([ ad ([A A]) = [c [cij ]t . 





















  



































































 

































 























  − 1 2 0 1 4 3 1 0 2

[A] = [A]





































 

.





















 

ij



























 

 



 



 

 4 3 [A]11   = 0 2   













































































 











;







  































































 −

  



























































 









  2 0 0 2

  





 

[A]21   =

[A]

 

























 

;







 

    −  −  −  − t

  

 −

  

 − det[[A] =  − 2   det = 0   









=

  

  

  



















8 5 4

  



















4 2 2











6 3 2

 

.

ad([ ad([A A]) [A]

 

 



8 5

 

4 2

6 3

4 2 1 0 2 ad([ ad ([A A]) [A] =  det  det[[A] [I d]

[A] [B ] = [I d] [A]









;

  

  









    −   −   − · −  −  −  −    −    − 

 







det[A]11 det[ det[[A]12   det det det[[A]13 det[[A]21   det det det[[A]22 det[A]23 det[ det[[A]31 det det[A]32   det det[ det[[A]33



















 















 

























[A]

 







 

















 =

2 



































2 0

0 2

0 0

0

0

2

 =

2 [I d],

 

  1 ad [A], det[[A] det

[B ] =







 

1 2 0 1 4 3



 

 1 0 [A]32   = 1 3

 −

ad([ ad ([A A]) =



















 

























 





 



[ B ] [ A ] = [ I d]   1 [A]−1 = det   ad [A] det[[A] 



















 













 























n

 













 

 

ad([ ad ([A A]) [A] =  det  det[[A][ ][II d] = [A] ad ad([ ([A A]) ]).. 

















 





















 

[A] = [vij ]   ad ([ ([A A]) = [c [cij ]   ij ad([ ad ([A A])[ ])[A A] = [dij ]   cij   = ( 1)i+ j det det[[A] ji 









 

 

















dij   =

cik vkj   =







 

 = j i  =  j













































 

−

  

 

n

( 1)k+ j vkj det det[[A]kj .

d jj   = k=1





  



 











  

( 1)i+k vkj det det[[A]ki .

k=1

k=1







n

n



































 

 

 













 



















v j

0



























































  vi

0

 





 













[B ] = [bij ]

 





d jj   =  det  det[[A]

 



















 



1

 



j0 =  i 0

 

 



 















 

























det[[B ] = 0 det

 













det[[B ] = 0, det 













det[A] det[

 





















 











 





































 

















 







































det[ det[A] dij

 





 











 

 

























 

 

bkj   =  v ki . 0

 

  

0





[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]

  





j

 

[B ]kj = [A]kj

 





 ≤ j ≤ n







 







 









0



















0









 

j0

− 























 

n

−

( 1)k+ j bkj det det[[B ]kj

0 =

0

0

  

0

k=1 n

( 1)k+ j vki det det[[A]kj

=



k=1

 n

=

0

0

c j k vki 0

  

0

0

k=1

=   di  j

0 0



























































 







ad([ ad ([A A]) [A] =  det  det[[A] [I d]

 































ad([ ad ([A A]t ) =  ad  ad([ ([A A])t











ad([ ad ([A A])[ ])[A A] = det[A det[A] [I d]

 



 





























































































 

 

[A] ad ad([ ([A A]) = (ad ad([ ([A A])t [A]t )t t

t t

= 0( 0(ad ad([ ([A A] ) [A] ) = (det det[[A]t [I d])t =   det[ det[A] [I d]. 













 



 











[A]















 



 

























det[[A] = 0 det 







































































 





































 

 

 



 

[A]

























 





























 

det[[A])−1 det ([ ([A A]−1 ) = (det

 

 



 















 



  [A]



 



















































 









































































 











 



 

 

1 =  det  det[[I d] =  det [A] [A]−1  =  = det  det[[A] det det[[A]−1 . 



























⇐ 































 















det[[A]   det det det[[A]−1

 



 





























 

det det[[A] = 0

 













































































 











[A][ ][B B ] = [I d] 

















 











 













































 



































1 det[[A]−1 = (det det det[[A])−1













 

































 















 



















































































































 

















[B ] = [A]−1

 























 



A

 













 









  1 ad([ ad ([A A]) det[[A] det





 









[A]   [B ] [A]  

 











[A]−1 = 















































 

































 

n

 











 

[A]

 















 

 

 

1 =  det  det[[I d] =  det  det([ ([B B ] [A]) =  det  det[[B ] det det[[A] 





















 

det[B ] = 0 det[

 









 













[B ]

 















































 

[A] [B ] = [B ]−1 [B ][ ][A A] [B ] = [B ] [B ]−1 = [I d].

     [Id] Id ]



































































































 

































 

[A]





 









 

[A]























 









 





 









[A][ ][B B ] = [I d]

 







[B ]

 

[B ] = [A]−1

 



























  









 

[A]   [B ] [A]   

 

 



































 

















 



[B ] = [A]−1



























 

n 

 

 















 

 1 1 (a) [A] = 1 2























.   (b) [B ] =





 











2 10 3 0 1 3 0 0 2

 

.   (c) [C ] =

 

1 4 5

  −  −   1 2 1

1 8 7

.

 











 











































 



det[[A]   ad det ad([ ([A A])   [A]−1

 

 

 





















































































k

 







 1 1 0 1





[R]   [N ] N ]  

































k

 























 



















 















 



. b ) [B ] =









 

a) [A] =



















3 0 0 





















  



.























 

























 







  c) [C ] =







× n   [R ]

n

 

 

0 0 1 0 2 0

1 1 1 0 1 1 0 0 1 



 

 

[A] =

 

































 −







































  cos t sent sent   cos t



















 



 

.











 

det ([ ([R R]−1 [N ][ N ][R R]) =  det [N  N ]].











































(w1 , w2 , . . . , wn )







































































































































 



 







  























 



























 











 











 



 



β  β    = v1 , v2 , . . . , vn

 {

 



















Rn

 













































 



























2n an   =  w 2

vn1 a1  +  + v  vn2

nn an   =  w n











v11 v21 . .. vn1

  v12     v22   .. .   vn2  



































 









w =

 

w a1 , a2 , . . . , an















 





























 

v21 a1  +  + v  v22 a2  +







+ v1n an   =  w 1



n

} ⊂ R





v11 a1  +  + v  v12 a2  +

a1 , a2 , . . . , an

 





β  + an vn



···





n

 

w   =  a 1 v1 + a2 v2 +   n

 





















n

 















. .. . .. . .. . ..



· · · + v ··· a  + · · · + v 2















v1n v2n ... vnn















   







a1 a2 : an













 











 =





v j   = (v1 j , v2 j , . . . , vnj )

 



,



 







w1 w2 : wn



 



 

.



 

 

 

 



 































ai

 





















[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]

 





































































































 





























































































































 







































 





 

[A]−1

 

 

1

a1 a2 : an

 



































 =

  v12   v22 . ..   vn2



























  . ..   . .. .. .   . ..

v1n v2n . .. vnn

















 



























n











 







































β   = v1 , v2   w   = (x, y ) w  =  = a  a 1 v1  +  + a  a2 v2   

































 {

 













}





































det[[v1 , v2 ] = 0 det

 

 





















  a1





















































 





































































































}





−1

  



















 

















β 

 







 







 x y

 =



 1  1

 x y

+3y   v2 w   =   x−4 y  v1 +   x+3y 4 













  





 

 j



















 

1, . . . , n

 ∈ {





















 



 

 

















 







 

 



R2























 

}

























 



 

 

.











R2 [A]

 

 

























 

 

1 1

 =

a j   = 



···

 





(3,, 1)   v2   = (1 (1,, 1) v1   = (3

 





  a1 a2

 x

 x

1





1

 = 4

y

3

−y

4 x+3y +3y 4

 =

.

 

 











det[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det[ w   =  a 2 v1  +  + a  a2 v2  + + an vn





   −       −    









  3 1

a2





.

 {











 

β  β    = v1 , v2 , . . . , vn

 



 

  3 1 1 1







    



w1 w2 : wn

 



 ∈   R }

 



 

 







 {

 





 







 

det[[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det









Rn







 

 







  

R2

 



































v11 v21 . .. vn1

 

det[[A] = 0 det   w β  β    = v1 , v2 , . . . , vn

 





















































































 

 















































  



































 

  det [v1 , . . . , v j −1 , w , v j j+1 +1 , . . . , vn ]   , det[[A] det



 



w







 

 ∈ R

n 

















 

 























 

























 



β   = v1 , v2 , . . . , vn w   =  a 1 v1 + a2 v2 + + an vn  j0  





 







 





















 {

 











det [v1 , . . . , v j





}

···

 







































−1 , w , v j +1, . . . , vn ]

0









































 























=































k =  j 0

 

 





















 



































det [v1 , . . . , v j −1 , w , v j 0















































































  





























































































 















































···





a1 v1 +  + a  a2 v2 + + an vn w   =  b 1 v1 + b2 w2 + 



























































































1

i

i



 

1

n n













 











































































































 







































 



















 







































 

















 



 

 































 

 













































 

 













w

 







n

 ∈   R















 

 

































































i

























n

n







w =

 





















 



 

n

 

i+1







0

=0









i









}





+1 , . . . , vn

0

i

i

vi

β   = v1 , v2 , . . . , vn

 {



i+1

i 1









i

i

i 1

i













 

i

i 1

det[[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det 



2

i







n n





1

i





1

i



2

2







− b )v  + (a =0 a − b   a −b  a − − b −  a − b v   = − v −···− v− − a −b a −b a −b (a1



  a1 , a2 , . . . , an











ak vk , v j

+1 , . . . , vn ]

2 2







 







w

 

  a   =  b ···+b v ( a − b )v   =  o. (a − b )v  + · · · + (a − b )v  + · · · + (a

 

1











0









=  a j det det[[v1 , . . . , v j . . . , vn ].









−1 , vk , v j +1, . . . , vn ] .

0







{ } w   =  a v  +  + a  a v  + · · · + a v .









 









1 1





+1 , . . . , vn ]

0







k

ak det [v1 , . . . , v j

0

det[[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det

 











−1 ,

0

0







det [v1 , . . . , v j −1 , ak vk , v j

 





k





[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]   w

 









=   det v1 , . . . , v j

0



 



















 

























i



























n

n

i

i













vn . 



 

 







− · · · −   aa −− bb

vi+1













 



Rn























 



 

det[[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det 

























 

 

 

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