Algebra Linear - Placido Andrade
March 5, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Algebra Linear - Placido Andrade...
Description
E2
R2
∈
k k
(1,, 1) v2 = (1 (1,, 2) v1 = (1 v1 v2 v3
−
u = 1v1 + ( 1) 1)vv2 + 0v3
· · · + a v .
v1 v2 v3
v1 = (3, (3, 1) v2 = (1, (1, 1) R2
∈ R
−
−
a1 , a2 , . . . , ak
−
−
u = (0, (0, 1) v2
−
−
u = = v v 1
a1 , a2 . . . , ak
− −
v1 , v2 , v3 v3 = ( 1, 4) w = ( 1, 1) w = v1 + 4v2 + v 3 a1 = 6 a2 = 4 a3 = 1
w = a 1 v1 + + a a2 v2 +
n
n
∈ R
v1 , v2 , . . . , vk
∈ R
w
2
IE
v2
v1
O(0,0) W(3,-1)
w = (3, (3, 1) = 2v 2v1
−
2
O(0, (0, 0)
3v2
−
W (3 W (3,, 1) v1 3
−
v2
v1
v1
v1
∈ R
2
IE
W v1 O
2
w
2
∈ R
w
v1
E2
w = = a a 1 v1
v1
− 4v2
w = 3v1
v1 = (1 (1,, 2) v2 = (1 (1,, 1)
R2
w
−v2 + v2
w =
− 13 v2
w =
w = 0v1 + v2
3
v1 =
2
• •
−
−v2 + v2
(2, (2, 1, 3)
Rn
i 1
R
w
− 13 v2
w =
w = 0v1 + v2
β = v1 , v2 , . . . , vn w Rn
{
∈
}
Rn
1
ai s
w =
β
bi = a i
Rn
−
v2 =
( 1, 2, 0)
Rn
− 4v2
w = 3v1
n
≤ i ≤ n
w = a1 v1 + a 2 v2 + + a + a n vn w = b1 v1 + + b b2 v2 + + bn vn
···
· · ·
•
R
n
β
n
ai s
∈ R
w
• •
1
2
n
C = {e , e , . . . , e } n
2
1
n
2
n
1 1
R2
∈
n
2 e 4 2
C
3
R3
2 4
3,
−√ −
v =
C
n
Rn
w
∈
···
· · · + a e
n
∈ R
n n
= (a1 , 0, . . . , 0) + (0, (0, a2 , . . . , 0) +
( w1 , w2 , . . . , w n ) = w
= (a1 , a2 , . . . , an ).
= a1 e1 + + a a2 e2 +
Rn
n
∈ R
n n
1
w = (x1 , x2 , . . . , xn )
w = (w1 , w2 , . . . , wn ) w = a 1 e1 + + a a2 e2 + + an en
, en = (0 (0,, 0, . . . , 1) 1),,
√ v = − 3e −
−
n n
2 2
· · · + a v
Rn
...
w = a 1 v1 + + a a2 v2 +
Rn
e1 = (1, (1, 0) e2 = (0 (0,, 1)
−
w = (2, (2, 2, 4) R3 e1 = (1, (1, 0, 0) e2 = (0, (0, 1, 0) e3 = (0 (0,, 0, 1) 2e2 +4 +4ee3
w = 2 e1
2
e2 = (0, (0, 1, . . . , 0) 0),,
C = {e , e }
C w = (x , x , . . . , x ) = x e + + x x e + · · · + x e .
1
e1 = (1, (1, 0, . . . , 0) 0),,
(0 , 0, . . . , a ) · · · + (0, n
c)
R2
Rn
n
n n
· · · + x e
v1
β
w = (x, y ) w = a 1 v2 + + a a2 v2
2
2
1
1
−3v + 2v v = v − v
· · · + 0e 0e
u =
R2
v1 = (1 (1,, 1) v2 = (1 (1,, 2)
∈
∈ R2
a1 a2
w = (x, y )
2
}⊂R
2
β w = (x, y )
− y a = y − x
o = (0, (0, 0, .o. = . , 0) 0e1 + 0e2 +
2
{
β = v1 , v2
i = 1, . . . , n w = (x1 , x2 , . . . , xn ) w = x 1 e1 + + x x2 e2 +
1
− y)v + (y − x)v
a1 = 2x
−
v = (0, (0, 1)
−
u = ( 1, 1)
v2
w = (2x (2x c)
b)
ai = wi
a)
R2
(x, y ) = a1 v1 + + a a2 v2 = a1 (1, (1, 1) + a + a2 (1 (1,, 2) = (a1 + + a a2 , a1 + 2a2 ).
a1 + a2 = x . a1 + 2a2 = y
n
R
a1 a2
×n
n
×n
n
−x
−
.
.
×2 3×3
2
a1 = 2x y a2 = y
x y
w
x y
=
=
[A] [B ] [C ]
a1 a2
(1, 1) v2 = (1, (1, 2) β v1 = (1,
a + a2 a1 + 2a2
1 1 1 2
n
×
n n
{
}
β = v1 , v2 , . . . , vn
[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ].
Rn
v1 [A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]
v2
v2
β β = v1 , v2
{
R2
2
} ⊂ R
3 5 1 2
w
2 3
×
v1
v1 v2
3
−2 .
.
a1 =
−19
a2 = 11
3 5 = 1. 1 2
+ a w = a 1 v1 + a2 v2
=
det
.
3a1 + 5a2 = a1 + 2a2 =
2
1
a1 a2
−19 19vv + 11v 11v
w =
a1 a2
3 5 1 2
−
v1 = (3 (3,, 1) v2 = (5 (5,, 2) 2 2
−
w = ( 2, 3) a1 a2
[A] = [v1 , v2 ] =
a1 a2
a1 v2 + + a a2 v2
{
n
β = v1 , v2
R
}
R2
w = (x, y ) a1 a2
a1 a2
(2x w = (2x
1
−
2
3
3
β
w = (x,y,z ) R3
w =
.
1
2
R
1 3
2
1 2
3 9
w = a 1 v1 + + a a2 v2 + + a a3 v3
a1 a2 a3
2 3 9
,
− − −
0
x y z
=
1
2
[A] = [v1 , v2 , v3 ] det[[A] det
− 2z )v + (3x (3x + 5y 5 y − z )v + (−x + 2y 2 y + + z z )v .
0 1 2
a1 a2 a3
− − −
w = (3x (3x + 4y 4y
1 1 3
3
[B ] = [v1 , v2 , v3 ] =
2
1
×3
3
1
v3 = (2, (2, 3, 9)
3 y )v − 5y)v + (−x + 3y β = {v , v , v } ⊂ R v = (1 (1,, −1, 3) v = (0 (0,, 1, −2)
= x y
3 5 1 2
3
(2 (2,, 0)
R2
a1
3
3
w =
0
×3 − 4z =
2
=
a2
1
−
v1 = (2, (2, 4) v2 = (3 (3,, 1)
− −
−4 −1 −1
2 0 3
=
.
β n
Rn
31/ 31/07/ 07/1704
† 4/01/ 01/1752
a1 a2 a3
3 0 1
− −
2 4 1
R3
w = (2 (2,, 0, 3) v1 = (2, (2, 4, 1) v2 = (3 (3,, 1, 1) v3 = (3 (3,, 0, 1)
2a1 + 3a2 2 4a1 = 0 , a2 a1 a2 + a3 = 3
−
4
2
−
2a1 + 3a2 = 2 , 4a1 a2 = 0
n
R
R2
w = a1 v1 + + a a2 v2 a1 a2
{
β β = v1 , v2
(2,, 1) v2 = (1 (1,, 1) v1 = (2
R2
∈
β
R2
w = (x, y )
}
R3
a1 a2
2
v2 = (1, (1, 0, 1)
{
β = v1 , v2 , v3
v3 = (0 (0,, 1, 1) 1)..
− x.
.
a1 a2
×3
1 x 1 y
v1 = (1, (1, 1, 0) 0),,
×3
3
3
×2
det[v det[v1 , w] = y det[vv1 , v2 ] det[
[v1 , w] =
;
[w, v2 ] [v1 , w]
.
o = 0v1 + 0v2
a2 =
x 1 y 2
−y
2
1
x y
=
[w, v2 ] =
;
×
n n
− y)v + (y − x)v
w = (2x (2x
det[w, det[w, v2 ] = 2x det[vv1 , v2 ] det[
a1 =
1 1 1 2
[v1 , v2 ]
[v1 , v2 ] =
2 1 1 1
}⊂
{
}
a1 =
x 1 0 y 0 1 z 1 1
det[ det[w, v2 , v3 ]
β
R3
a1 s
;
=
Rn
}
.
1 1 x 1 0 y 0 1 z
.
det[ det[v1 , v2 , w]
a3 =
.
det[[v1 , v2 , v3 ] det
3
; [ v1 , v2 , w ] =
;
2
− z )v + (x − y − z )v
z
x y
det[ det[v1 , w , v2 ]
a2 =
{
1 x 0 1 y 1 0 z 1
det[[v1 , v2 , v3 ] det
−
; [ v1 , w , v 3 ] =
a3
β β = v1 , v2 , . . . , vn det[vv1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det[
0 1 1
−
−2
a1 a2
w = ( y + + z z )v1 + ( x + + y y
Rn
det[[v1 , v2 , v3 ] det
,
w = (x,y,z ) β w = a 1 v1 + + a a2 v2 + + a a3 v3
[w, v2 , v3 ] =
0 1 1
1 1 0 1 0 1
1 1 0 1 0 1
det[v1 , v2 , v3 ] = det[ β = v1 , v2 , v3
[v1 , v2 , v3 ] =
Rn
n
R
n
w Rn w = a 1 v1 + + a a2 v2 +
∈
n n
{
β β = v1 , v2 , . . . , vn β
R3
w = (x, y )
}
det[ det[v1 , v2 , . . . , w] w]
, an =
.
det[[v1 , v2 , . . . , vn ] det
Rn
· · ·
,
n det[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det[v
w = (x,y,z x,y,z))
−
v1 = (0, (0, 3, 1) v1 = (2, (2, 1, 1) v1 = (1, (1, 1, 2)
v1 = (1 (1,, 2, 3) v2 = (0 (0,, 1, 2)
} ⊂ R2
{
β β = v1 , v2
v1 = (2, (2, 1) v2 = (1 (1,, 2)
−
v1 = (3, (3, 1) v2 = (1 (1,, 2)
w = 0v1 + 1v2 + 0v3
w = 0v1 + 0v2 + 0v3
− v3 w = xv 1 + (y − 2x)v2 + (x − 2y + z )v3
det[[v1 , v2 , . . . , vn ] det
w = 3v1 + 0v2
v3 = (0 (0,, 0, 1)
Rn
det det[[v1 , w , . . . , vn ]
, a2 =
det[[v1 , v2 , . . . , vn ] det
· · · + a v
det det[[w, v2 , . . . , vn ]
a1 =
v2 = (1 (1,, 1, 2)
β
−
v2 = (3 (3,, 2, 1)
v2 = (2 (2,, 0, 0)
v2 = (3 (3,, 1, 2)
} ⊂ R3
β
v1 = (1 (1,, 1, 1)
−
− v1 = (1 (1,, 0) v2 = (1 (1,, −1)
−
{
v1 = ( 1, 2) v2 = (2 (2,, 4)
β = v1 , v2 , v3
v3 = (1 (1,, 1, 1)
v3 = (0 (0,, 0, 0)
{ } ⊂ { }⊂ β = {v1 , v2 , . . . , vn }
v3 = (0, (0, 1, 1)
α = v1 , v2 R2 β = v1 , v2 , v3 R3
vi
o
− v2
v3 = 2v1
{v1, v2, v3}
β
β
R2
v1 = (1 (1,, 1)
3a1
α
β
β
− 2a2 = −a2 =
β R2
−
2a1 3a2 + a3 = 5 a1 + 4a2 = 0 a1 + a3 = 1
−
3a1
5
R2
a1 + 4a2 = 0
− −
α =
− 3a2 =
α
∈ {1, 2, 3}
w = (x, y)
vi i
2a1
Rn
v2 = (3, (3, 2) v3 = ( 1, 1)
−
v1 = (3 (3,, 4) v1 = (2 (2,, 2, 2)
0 3
− 2a2 + a3 = −a2 + a3 =
0 0 a3 = 0
≤ j ≤ m
1
vij
×
n m [A] ij
−
≤ ≤
(vij ) 1 i n [A] = [vij ]
[A] =
i
j
×m
n
n
m
ij
· · · vnm
vn1 vn2
· · · vim
vi1 vi2
· · · v1 m · · · v2 m
v11 v12 v21 v22
[A] = [vij ] [B ] = [wij ] [A] = [B ] vij = w ij
vij
[A] = [v1 , v2 , . . . , vm ].
v j
∈ Rn
−
j
[A]
v j = (v1 j , v2 j , . . . , vnj ).
n
×m
[A] = [vij ] [B ] = [wij ]
.
λ[A] = [λ vij ]
[A] + [B [ B ] = [vij + wij ]
[0]
×m
n
×m λ
n
M(n, m)
M(n, m)
×
n m [B ] = [wij ] [C ] = [uij ] n
·
[A]
×
m p
[A] = [vij ] [A] [B ]
·
−
2 2
2 2
−
.
× m m × p
2
[B ] =
·
3 2 0
[B ] [ [A A]
2 0 2
1 1 4
3
0 2
2 0
.
3
2 6 4
=
− · × − − − − −
1 4
0 3 2 1 2 0
0 0 0 0 0 0
n
[A] [B ]
[A] [B ] =
.
[A] [B ] =
2 1 2 0
− −
· · · + vimwmj .
[B ] =
×3 3×2 0 3 −1
3
[A] =
·
1 1 1 1 1 1
[A] =
× p
uij = v i1 w1 j + vi2 w2 j +
6 4 6
[B ]
2
,
·
·
[A]
n
[I d]n
eii = 1 eij = 0
2 1
i = j
2
0 4 2 2
·
Rn
−
4 6
.
8 12
.
−
[I d] [I d] = [e1 , e2 , . . . , en ] [I d] = [eij ]
×
×n
n
n m
n
[B ]
[B ] =
·
[B ] [A] =
·
[A] [B ] = [B ] [A]
−
·
4 2
·
[A] [B ] = [B ] [A]
−
−
·
[A] [B ]
p = = n n
[I d]n =
8 0 4 0
Cn = {e1, e2, . . . , en}
−
·
[A] [B ] =
·
×
n n
[A] =
·
·
[A] [B ] [B ] [A]
×
[A] [B ] [A] [B ] [B ] [A]
m p [B ] [ [A A]
[A] = [vij ]
n
·
0 0
··· 1 ··· 0
0 0 0 0
·· ·· ·· 00
1 0 0 1
0 1
·
[A] [I d] = [A] = [A] [I d],
n
−
cij ij
·
[A] [I d]
n
cij =
v jk ekj .
k=1
e j = (e1 j , e2 j , . . . , enj )
eik =
cij = vij [I d] [A] = [A]
·
[A] [I d] = [A]
4 2 1
2 1 1
− − − 1 5 1 0 1 0
[D ] =
[E ] = 0
0 2 1
0 2
[G] =
[M M ][ ][P P ]] = [N ][ N ][P P ]]
[F F ]] =
1
n m [M M ]] = [N ] N ]
0 2 1
1 3 0
4 2
1 1 0
−− − − − − − ×
[M M ]] [N ] N ] [P P ]]
[C ] =
[B ] =
2 [A] = 1
·
0 i = k 1 i = = k k
n
n
D1 det det[[I d] = 1
D2 vi = v i+1
D3
w
det[ det[v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vn ] = 0
n
∈ R
∈ R
λ
det[[v1 , . . . , vi +λ w , . . . , vn ] = det det det[[v1 , . . . , vi , . . . , vn ]+ ]+λdet λdet[[v1 , . . . , w , . . . vn ].
1.
vi
[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]
vi = v j i = j
i+1 , vi , . . . vn ]
det[ det[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0
det[ det[v1 , . . . , vi , . . . , v j , . . . , vn ] = 0
1
[v1 , v2 , . . . , vn ]
det[[v1 , . . . , λ vi , . . . , vn ] = λdet det λdet[[v1 , . . . . , vi , . . . , vn ]
−det det[[v , . . . v
det[v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vn ] = det[
det[ det[v1 , . . . , vi + v i+1 , vi + v i+1 , . . . , vn ] = 0 D2 D3
0 = det[ det[v1 , . . . , vi + + v vi+1 , vi + + v vi+1 , . . . , vn ] 0 = det[ det[v1 , . . . , vi , v + det[[v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vn ] + i , . . . , vn ] + det 0 det[[v1 , . . . , vi+1 , vi , . . . , vn ] + det[ det det[v1 , . . . , vi , v +1 i+1 , . . . , vn ].
λ
2. vi = o
vi = 0v1 +
D3
+ 0v 0 vi 1 + 0vi+1 +
···
+ 0v 0 vn .
···
−
det[[v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vn ] = 0 det det det[[v1 , . . . , v1 , vi+1 , . . . , vn ] + 0 det det[[v1 , . . . , v2 , vi+1 , . . . , vn ] + +
··· +
0 det det[[v1 , . . . , vn , vi+1 , . . . , vn ] = 0. 3.
4.
w = a 1 v1 + a2 v2 + + an−1 vn−1 [A] = [v1 , . . . , vi , . . . , v j , . . . , vn ]
···
D2
−1 ai vi ] det[[v1 , . . . , vn−1 , vn + det + w w]] = det[ det[v1 , . . . , vn−1 , vn + Σni=1 = det[ det[v1 , . . . , vn−1 , vn ] + det[[v1 , . . . 0, vn−1 , vi ] Σn−1 ai det i=1
= det[ det[v1 , . . . , vn−1 , vn ].
5.
det[[v1 , . . . , λ vi , . . . , vn ] = det[ det det[v1 , . . . , vi + (λ
1)vv , . . . , v ] − 1) i
n
= det[ det[v1 , . . . , vi , . . . , vn ] + (λ
− 1) 1)det det[[v , . . . , v , . . . , v ] 1
i
n
= λdet[ λdet[v1 , . . . , vi , . . . vn ].
D3
vi
(n
[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]
[A]
− 1)
[A] [A]
n
v11 v12 v21 v22
9
[A]32 =
i
− · · · v · · · v · · · v · · · v
1 j
2 j
2m
v nj
··· v
···
2 3 0 0 1 3 1 1 2
nm
;
[A]33 =
n
det[[A] = v 11 det
n
×
j
n
−
− − 1) ×
[A] ji j i (n
.
2 0 0 3
.
[A]21 =
1m
vn1 vn2
[A]ij
;
∈
vi Rn det[ det[A] = 0
1 3 1 2
v v v v i1 i2 ij im
[A]11 =
[A] =
× n
[A]ij =
n2
1
3 0 1 2
;
2 3 0 1
.
× 1 [A] = [v
11 ]
v2 = (v12 , v22 )
R2
det
3
×3
v1 = (v11 , v21 , v31 ),
R3
1
v1 = (v11 , v21 )
det[[v1 , v2 , v3 ] = det det
−v
21 v12 .
D1 D2 D3
2
2 = 3
×2
16.. 16
−
v2 = (v12 , v22 , v32 ) v3 = (v13 , v23 , v33 )
v22 v23 = v11 det v32 v33
−
−
v21 v23 v12 det v31 v33
−
− 2 5
det[[A]13 det[[A]12 + ( 1)1+3v13det = ( 1)1+1v11 det det[[A]11 + ( 1)1+2v12det
= v = v 11 v22
v11 v12 v13 v21 v22 v23 v31 v32 v33
−
×1
−
−
× 2
v1 = (2, (2, 5) v1 = (2 (2,, 3)
2
[A]12 = [v21 ].
det[[A] = det det det[[v1 , v2 ] = det
v11 v12 v21 v22
−
= ( 1)1+1v11 det det[[A]11 + ( 1)1+2 v12 det det[[A]12 .
[A]11 = [v22 ]
det[[v1 , v2 ] = det v11 v12 det v21 v22
v21 v22 + v13 det v31 v32
.
3
× 3
3
3
D1 D2 D3
− 2 3 0 0 1 3 1 1 2
det
·
M(1 (1,, 1)
3
×3
0 1 1 1
+ 0 det
·
−
n
2
−
M(n, n) → R
1+ 1+m m
v1n det det[[A]1n ,
M(n − 1, n − 1)
R
→
· · · + (−1)
det : det : M M ((n, n)
≥
[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]
det : : det
[A] = [vij ]
−
· − −3·3 = −11 11..
= 2 ( 1)
−
0 3 1 2
det[[A]12 + det[[A] = ( 1)1+1v11 det det det[[A]11 + ( 1)1+2v12 det
3 det
− ·
1 3 = 2 det 1 2
×
n
n
−
( 1)1+ j a1 j det det[[A]1 j .
det [A] =
j j=1 =1
1.)
[I d] = [δ iijj ]
δ iijj =
0 1
i = j . i = = j j
n
δ iijj
[I d]11
(n
−
det[[I d] = ( 1) det
( 1)
j j=2 =2
= 1.
∈ {
+1
0
}
−
0
0
M
v1 j = v 1,j
(n, n) [A] = [v1 , v2 , . . . , vn ] v j = v j j 1, 2, . . . , jj0 , j 1 j 0 + 1, . . . n [A] det[[A]1 j = 0 det j = j0 j = j0 + 1 [A]1 j = [A]1 ,j +1
= det[ det[I d]n−1 2 .)
1+ j
−
δ 11 det[[I d]11 + 11 det
0 det[I d] δ 1 j det[ 1 j
n 1+1
− 1)
0
0
+1
0
det[A]1 j + ( 1)1+ j +1 v1,j +1 det det[[A]1 det [A] = ( 1)1+ j v1 j det[ ,j +1 0 1+ j ( 1)1+ j +1 v1 j det[ + = ( 1) det[A]1 j
− −
−
0
0
0
−
0
0
0
0
= 0.
0
0
0
M
[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ] (n, n) λ 3 .) (w11 , w12 , . . . , w1n ) W ]] = [o1 , . . . , o j −1 , w , o j Rn [W oi
0
0
w = +1 , . . . , on ]
[B ] = [v1 , v2 , . . . , v j −1 , w , v j j+1 +1 . . . , vn ].
det[C ] = det[ det[ det[A] + λdet λdet[[B ] [C ] = ([A ([A] + λ + λ[[W W ]) ]) [C ] = [v1 , v2 , . . . , v j + λ w , . . . , vn ]
0
[C ]1 j = [A]ij + + λ λ[[W W ]]1 j , j = j 0 . [C ]1 j = [A]1 j
0
0
det[ det[C ]1 j = det[ det[A]ij + λdet λdet[[B ]1 j , j = j 0 . det[[C ]1 j = det[ det det[A]1 j = det det[[B ]1 j
0
0
0
[C ] = [cij ]
n
( 1)1+ j c1 j det det[[C ]1 j
det[[C ] = det
−
j j=1 =1
− − −
+ λw λw1 j )det det[[A]1 j ( 1)1+ j v1 j det [A]1 j + λ[ λ[B ]1 j + ( 1)1+ j (v1 j +
=
j = j0
−
0
0
( 1)1+ j v1 j det det[[A]ij + ( 1)1+ j v1 j det[ det[A A]1 j
=
−
j = j0
0
−
j = j0
− − 0 1 2 0
det
2 4 1 1
3 1 1 1
0
0 3 2 1
σ : I n
→ I
n
I n
4
4
× −1
+ 3 det
2 0
−
{
}
M(n, n)
n
vij ei
i=1
S
n
v j =
S
n
n
4 3 1 2 1 1
I n = 1, 2, . . . , n σ (k) = ik
1 1 3 2 1 2 0 1 1
−
[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]
−7.
−2 det
=
=
0
n
0
0
= det[ det[A] + λdet + λdet[[B ].
0
( 1)1+ j det det[[B ]1 j + ( 1)1+ j w1 j det det[[B ]1 j
+ λ
0
0
i
det[[v1 , v2 , . . . , vn ] = det det
i 1 i =1 v e , i 1
i1 n
2
n
det[[ei1 , ei2 , . . . , ein ] in n det
···v
2
2
in =1
[ ei , ei , . . . , e i n ] 1
2
1
i 2 ei , . . . , i n n ei v v =1 in =1
1
2
i1 =1 i2 =1
n
vi 1 vi
=
n
··· n
n
2
det[[ei , ei , . . . , ein ] = 0. det 1
[e , e , . . . , e ] in i i σ : I n I n σ( j j)) = i j
2
1
k
k
−
σ σ = τ kr
τ k
1
1
k
1
n
i k + 1 k
τ k
2
◦ ◦ · · · ◦
1
τ kr = τ l
1
τ l
2
◦ ◦ · · · ◦
τ : I
k
I
n
n
→
.
−1
i = = k k i = = k k + + 1
k1
≤ ≤ − i∈ / {k, k + 1}
j
det[[eσ(1) , eσ(2) , . . . , eσ(n) ]. σ(n)n det
···v
k2
◦ · · · ◦ τ ◦ τ
τ k (i) =
vσ(1)1 vσ(2)2
−
n
∈S
[eσ(1) , eσ(2) , . . . , eσ(n) ]
σ
det[[v1 , v2 , . . . , vn ] = det
→
2
τ ls
k k
− −
σ σ
k2
1
2
= τ k−1 ◦ · · · ◦ τ k−1 ◦ τ k−1 (σ ) = ((σ −1 )
r
r
−
1
n
→ σI −
1
σ : I n
−
kr
r s (σ ) = ( 1)r k
◦ τ ◦ · · · ◦ τ
[eσ(1) , eσ(2) , . . . , eσ(n) ]
1
σ = τ k
r s
det[[eσ(1) , eσ(2) , . . . , eσ(n) ] = det ((σ ).
det[v1 , v2 , . . . , vn ] = det[
[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ] = [vij ]
σ (n)n .
n
···v
∈S
σ
(σ )vσ(1)1 vσ(2)2
n
×m
v j = (v1 j , v2 j , . . . , vnj ).
[A]
m
×n
[A]t
[A]t = [w1 , w2 , . . . , wn ]
[A]t
[A] =
j
w j = (v j j11 , v j j22 , . . . , v jn ) [A]
− √ 2 −3 −1 1
0 3 5
π 1 3
[A]t =
j
−
√ − − 2 3 0
1 π 1 1 3 3 5
.
([ ([A A] [B ])t = [B ]t [A]t
[A] = [vij ] [B ] = [bij ] btij = b ji
atij = a ji
= v j j11 b1i + + v v j j22 b2i
dtij ([ ([A A] [B ])t
t t in vnj
+ b bti2 v2t j + cij = bti1 v1t j + = b1i v j j11 + + b b2i v j j22
t [A]t = [vij ] [B ]t = [btij ] [B ]t [A]t
cij
· · · + b + · · · + b + · · · + v
ni v jn
jn bni
dtij = d ji d ji
[A] [B ]
dtij = d ji = v j j11 b1i + + v v j j22 b2i +
cij = d tij
[A]
[A] = [vij ]
jn bni .
([ ([A A] [B ])t = [B ]t [A]t
det[[A] = det
· · · + v
det[ det[A]t = det det[[A]
(σ )aσ(1)1 aσ(2)2 ...aσ(n)n .
σ Sn
∈
σ −1
aσ(1)1 aσ(2)2
det[[A] = det
σ σ(i) = j
aσ(i)i = a jσ
−1
( j j))
σ(n)n = a 1σ
−1
(1) a2σ
−1
(2)
···a
nσ
−1
(n) .
σ
=
···a
(σ −1 )a1σ
−1
(1) a2σ
−1
(2)
−1
(σ )a1σ(1) a2σ(2)
σ
= det[ det[A]t .
···a
nσ
−1
(n)
···a
nσ nσ((n)
[A]
[A]
−
j
j −1 det[[v1 , . . . , v j −1 , v j , v j j+1 det det[[v j , v1 , . . . , v j −1 , v j j+1 det +1 . . . , vn ] = ( 1) +1 , . . . , vn ].
−
[A] [B ]
i
−
n
det ([ ([A A] [B ]) = det det[[A] det det[[B ].
·
j
−
[A]
[A] = [vij ] [B ] = [bij ] [C ] = [A] [B ] = [cij ] [C ] = [A] [B ] j [B ]
·
·
−
+ b c j = b 1 j v1 + b2 j v2 +
·
· · · + b
nj vn .
det ([ ([A A] [B ]) = det [c1 , c2 , . . . , cn ]
·
= det
b k1 =1 n
k2 =1
1
2
2
[vk , vk , . . . , vkn ] 2
v
kn n kn
kn =1
···b
2
kn =1
1
b
v . . . ,
2
k 2 k
n
k1 =1 k2 =1
1
k 1 k
bk 1 bk
=
b
v ,
1
··· n
n
n
n
det[[vk1 , vk2 , . . . , vkn ]. kn n det
det[[vk , vk , . . . , vkn ] = 0. det 1
[vk , vk , . . . , vkn ] 1
2
2
σ( j j)) = k j
σ : I n
→ I
n
det ([ ([A A] [B ]) =
·
σ
n
j
det[[vσ(1) , vσ(2) , . . . , vσ(n) ]. σ(n)n det
···b
∈S
bσ(1)1 bσ(2)2
[vσ(1) , vσ(2) , . . . , vσ(n) ]
[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ] k
−
det[[vσ(1) , vσ(2) , . . . , vσ(n) ] = det ((σ )det det[[A].
det ([ ([A A] [B ]) =
·
σ
∈S
···b
(σ)bσ(1)1 bσ(2)2
n
σ(n)n
·
= det[ det[B ] det det[[A].
[B ] =
[C ] =
[A] =
det[[v1 , v2 , . . . , vn ] det
− 2 4
2 1
−
[D ] =
4 0 1
[E ] =
v1 = (1 (1,, 2) v2 = (4 (4,, 5)
−− − −− − 3 1 2
2 0 2 1 3 1 1 2 0
1 1 1
R2
− − − − −
1 2 0 1 1 1 1 1
0 1 2
0 1 0
1 2 2
0
2
3
2 2 0 2
3 1 1 3
0 0 0 4
.
det[[w, v ] det
R2
det det[[vi , vi ] = 0
− det[2 det [2vv − 3w, 4v + 5w 5 w]
det[v + w, w] det[ det[3 det [3v, v, 4w]
−2
det[[v, w] = det
det det[[v1 , v2 ] = 13
−
v1 v2
det[[v1 , v2 + 3w] = det det det[[v1 , v2 ] + 3det 3 det[[v1 , w]
w = ( 3, 1) R2
− −
det[2v, det[2 v, w] det[[ v, 4w] det
v w
det[[e1 , e2 ] = 1 det
− 2w, v2] = det det[[v1 , v2 ] − 2det det[[w, v2 ]
det[[v1 det
3
v1 =
w = (1, (1, 1, 2) R3 v1 v2 v3
[A] [B ]
×
n n
det ([ ([A A] + [B [ B ]) = det det[[A] + det det[[B ]
det
n
1 1 1 a b c a2 b2 c2
= (b
det[[λA det λA]] = λdet λdet[[A] det ([ ([A A]n ) = (det [A])n
det[[v1 , v2 , v2 ] = 0 det
(3 (3,, 1, 1) R det[[v1 , v1 , v3 ] = 0 det
det[[v1 , v2 , v3 + 2w] = det det det[[v1 , v2 , v3 ] + 2det 2 det[[v1 , v2 , w]
− w, v3] = 3det det[[v1 , w , v3 ] det[[v1 , v2 , v3 ] − det
det[[v1 , 3v2 det
(1, (1, 1, 0)
v3 =
det[[v1 , v2 , v3 ] = 1 det
−
v2 =
(0 (0,, 2, 1) det[[e1 , e2 , e3 ] = 1 det
− a)()(cc − a)()(cc − b).
[B ]
[A]
n
n
[A] [B ] = [I d] = [B ] [A],
[I d]
2
2 1
1 0 1 = = 0 1 2
1 1
−
1 1
[A]
2 1 1 1
2
.
1 1
− −
−1
1 1
−
1 1
a c b d
[B ] =
− − − [A] =
2 1 1 1
1 1 1 2
[B ] =
n
[A] =
1 0 = 0 1
1 1
1 1
·
a c = b d
a + + b b a b
·
[I d] = [A] [B ]
c + + d d c d
− − − − − −
a + b = 1 . a b = 0
[B ]
[B ]
·
·
[A] [B ] = [I d] = [A] [B ] [A]−1
n
−1 = [A]
([ ([A A]−1 )
[A]
[A] [B ]
·
[A]
[A] [B ]
0=1
[A]−1
− −
·
·
([ ([A A] [B ])−1 = [B ]−1 [A]−1
[A]
= det 1 = det det[[A] det [A]−1 . det[[I d] = det [A] [A]−1 =
1o 2o
[A]
[A]
det[[A] det ([ det ([A A]−1 )
·
1
det[[A])−1 det ([ ([A A]−1 ) = (det
det[ det[A] = 0
det[[A] = 0 det
n > 3
[A]
a b
[A] =
2
.
c d
[A]
− − −
[A]
ij
− bc
n
b a
bc) bc) [I d] = det det[[A] [I d].
.
adjj ([ ad ([A A]) [A]
2
[A] = [vij ]
det[ det[A]−1 = (det det[[A])−1 .
1 ad([ ad ([A A]) det[[A] det
−
0 = (ad 0 ad bc
det[A] = 0 det[
ad
[A]−1 =
[A] ad ad([ ([A A]) =
d c
([A ad([ ad A]) =
[A]ij
cij = ( 1)i+ j det det[[A]ij .
−
[A]
ad([ ad ([A A]) = [c [cij ]t .
− 1 2 0 1 4 3 1 0 2
[A] = [A]
.
ij
4 3 [A]11 = 0 2
;
−
2 0 0 2
[A]21 =
[A]
;
− − − − t
−
− det[[A] = − 2 det = 0
=
8 5 4
4 2 2
6 3 2
.
ad([ ad([A A]) [A]
8 5
4 2
6 3
4 2 1 0 2 ad([ ad ([A A]) [A] = det det[[A] [I d]
[A] [B ] = [I d] [A]
;
− − − · − − − − − −
det[A]11 det[ det[[A]12 det det det[[A]13 det[[A]21 det det det[[A]22 det[A]23 det[ det[[A]31 det det[A]32 det det[ det[[A]33
[A]
=
2
2 0
0 2
0 0
0
0
2
=
2 [I d],
1 ad [A], det[[A] det
[B ] =
1 2 0 1 4 3
1 0 [A]32 = 1 3
−
ad([ ad ([A A]) =
[ B ] [ A ] = [ I d] 1 [A]−1 = det ad [A] det[[A]
n
ad([ ad ([A A]) [A] = det det[[A][ ][II d] = [A] ad ad([ ([A A]) ])..
[A] = [vij ] ad ([ ([A A]) = [c [cij ] ij ad([ ad ([A A])[ ])[A A] = [dij ] cij = ( 1)i+ j det det[[A] ji
dij =
cik vkj =
= j i = j
−
−
n
( 1)k+ j vkj det det[[A]kj .
d jj = k=1
−
( 1)i+k vkj det det[[A]ki .
k=1
k=1
n
n
v j
0
vi
0
[B ] = [bij ]
d jj = det det[[A]
1
j0 = i 0
det[[B ] = 0 det
det[[B ] = 0, det
det[A] det[
det[ det[A] dij
bkj = v ki . 0
0
[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]
−
j
[B ]kj = [A]kj
≤ j ≤ n
0
0
j0
−
n
−
( 1)k+ j bkj det det[[B ]kj
0 =
0
0
0
k=1 n
( 1)k+ j vki det det[[A]kj
=
−
k=1
n
=
0
0
c j k vki 0
0
0
k=1
= di j
0 0
ad([ ad ([A A]) [A] = det det[[A] [I d]
ad([ ad ([A A]t ) = ad ad([ ([A A])t
ad([ ad ([A A])[ ])[A A] = det[A det[A] [I d]
[A] ad ad([ ([A A]) = (ad ad([ ([A A])t [A]t )t t
t t
= 0( 0(ad ad([ ([A A] ) [A] ) = (det det[[A]t [I d])t = det[ det[A] [I d].
[A]
det[[A] = 0 det
[A]
det[[A])−1 det ([ ([A A]−1 ) = (det
⇒
[A]
1 = det det[[I d] = det [A] [A]−1 = = det det[[A] det det[[A]−1 .
⇐
det[[A] det det det[[A]−1
det det[[A] = 0
[A][ ][B B ] = [I d]
1 det[[A]−1 = (det det det[[A])−1
[B ] = [A]−1
A
1 ad([ ad ([A A]) det[[A] det
[A] [B ] [A]
[A]−1 =
n
[A]
1 = det det[[I d] = det det([ ([B B ] [A]) = det det[[B ] det det[[A]
det[B ] = 0 det[
[B ]
[A] [B ] = [B ]−1 [B ][ ][A A] [B ] = [B ] [B ]−1 = [I d].
[Id] Id ]
[A]
[A]
[A][ ][B B ] = [I d]
[B ]
[B ] = [A]−1
[A] [B ] [A]
[B ] = [A]−1
n
1 1 (a) [A] = 1 2
. (b) [B ] =
2 10 3 0 1 3 0 0 2
. (c) [C ] =
1 4 5
− − 1 2 1
1 8 7
.
det[[A] ad det ad([ ([A A]) [A]−1
k
1 1 0 1
[R] [N ] N ]
k
. b ) [B ] =
a) [A] =
3 0 0
.
c) [C ] =
× n [R ]
n
0 0 1 0 2 0
1 1 1 0 1 1 0 0 1
[A] =
−
cos t sent sent cos t
.
det ([ ([R R]−1 [N ][ N ][R R]) = det [N N ]].
(w1 , w2 , . . . , wn )
β β = v1 , v2 , . . . , vn
{
Rn
2n an = w 2
vn1 a1 + + v vn2
nn an = w n
v11 v21 . .. vn1
v12 v22 .. . vn2
w =
w a1 , a2 , . . . , an
v21 a1 + + v v22 a2 +
+ v1n an = w 1
n
} ⊂ R
v11 a1 + + v v12 a2 +
a1 , a2 , . . . , an
β + an vn
···
n
w = a 1 v1 + a2 v2 + n
n
. .. . .. . .. . ..
· · · + v ··· a + · · · + v 2
v1n v2n ... vnn
a1 a2 : an
=
v j = (v1 j , v2 j , . . . , vnj )
,
w1 w2 : wn
.
ai
[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ]
[A]−1
1
a1 a2 : an
=
v12 v22 . .. vn2
. .. . .. .. . . ..
v1n v2n . .. vnn
n
β = v1 , v2 w = (x, y ) w = = a a 1 v1 + + a a2 v2
{
}
det[[v1 , v2 ] = 0 det
a1
}
−1
−
β
x y
=
1 1
x y
+3y v2 w = x−4 y v1 + x+3y 4
j
1, . . . , n
∈ {
R2
}
.
R2 [A]
1 1
=
a j =
···
(3,, 1) v2 = (1 (1,, 1) v1 = (3
a1 a2
x
x
1
1
= 4
y
3
−y
4 x+3y +3y 4
=
.
det[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det[ w = a 2 v1 + + a a2 v2 + + an vn
− −
3 1
a2
.
{
−
β β = v1 , v2 , . . . , vn
3 1 1 1
w1 w2 : wn
−
∈ R }
{
det[[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det
Rn
R2
v11 v21 . .. vn1
det[[A] = 0 det w β β = v1 , v2 , . . . , vn
det [v1 , . . . , v j −1 , w , v j j+1 +1 , . . . , vn ] , det[[A] det
w
∈ R
n
β = v1 , v2 , . . . , vn w = a 1 v1 + a2 v2 + + an vn j0
{
det [v1 , . . . , v j
}
···
−1 , w , v j +1, . . . , vn ]
0
=
k = j 0
det [v1 , . . . , v j −1 , w , v j 0
···
a1 v1 + + a a2 v2 + + an vn w = b 1 v1 + b2 w2 +
1
i
i
1
n n
w
n
∈ R
i
n
n
w =
n
i+1
0
=0
i
}
+1 , . . . , vn
0
i
i
vi
β = v1 , v2 , . . . , vn
{
i+1
i 1
i
i
i 1
i
i
i 1
det[[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det
2
i
n n
1
i
1
i
2
2
− b )v + (a =0 a − b a −b a − − b − a − b v = − v −···− v− − a −b a −b a −b (a1
a1 , a2 , . . . , an
ak vk , v j
+1 , . . . , vn ]
2 2
w
a = b ···+b v ( a − b )v = o. (a − b )v + · · · + (a − b )v + · · · + (a
1
0
= a j det det[[v1 , . . . , v j . . . , vn ].
−1 , vk , v j +1, . . . , vn ] .
0
{ } w = a v + + a a v + · · · + a v .
1 1
+1 , . . . , vn ]
0
k
ak det [v1 , . . . , v j
0
det[[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det
−1 ,
0
0
det [v1 , . . . , v j −1 , ak vk , v j
k
[A] = [v1 , v2 , . . . , vn ] w
= det v1 , . . . , v j
0
i
n
n
i
i
vn .
− · · · − aa −− bb
vi+1
Rn
det[[v1 , v2 , . . . , vn ] = 0 det
View more...
Comments
