Algebra Lineal

ALGEBRA LINEAL INTRODUCCION DE LA ASIGNATURA Esta materia introduce al conocimientos básicos de la Teoría de Conjuntos y de las principales estructuras algebraicas, al mismo tiempo nos familiariza con el lenguaje matemático simbólico y las técnicas más comunes de demostración. Además, se desarrollan los fundamentos de la existencia de bases y en el paralelismo existente entre aplicaciones lineales y matrices. Por último, se aplica esta teoría a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y se estudian los determinantes determinantes con sus diversas aplicaciones. OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA Introducir al alumno a los espacios vectoriales, transformaciones transformaciones lineales y sus principales aplicaciones. CONTENIDO PROGRAMATICO TEMAS Y SUBTEMAS UNIDAD I: ITEORIA DE CONJUNTOS 1.1. El lenguaje de la teoría de conjuntos. 1.1.1. Relaciones de pertenencia e inclusión 1.1.2. Subconjuntos. 1.2. Operaciones de conjuntos. 1.2.1. Unión e intersección de conjuntos. 1.2.2. Conjuntos complementarios complementarios y particiones de un conjunto. 1.3. Relaciones de equivalencia. 1.3.1. Clases de equivalencia. 1.3.2. Aplicaciones entre conjuntos. 1.3.3. Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. 1.3.4. Aplicaciones inversas. 1.4. Teoría elemental de grupos. 1.4.1. Grupo simétrico. 1.4.2. Los números enteros. 1.4.3. La estructura de anillo, anillos íntegros. 1.5. La estructura de cuerpo. 1.5.1. Cuerpos finitos. 1.5.2. El pequeño teorema de Fermat. 1.5.3. El cuerpo de los números reales. UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1. Espacios vectoriales. 2.1.1. Campos. 2.1.3. Subespacios vectoriales. 2.2. Combinaciones lineales. 2.2.1. Subespacios generados. 2.3. Dependencia e independencia lineal. 2.3.1. Bases y dimensión. Teorema de existencia de base. 2.3.2. Equicardinalidad de las bases de un espacio vectorial. 2.4. Sistemas de coordenadas. 2.4.1. Coordenadas de un vector respecto de una base. 2.5. El teorema de completación de bases. 2.5.1. La relación de Grassmann. Grassmann. UNIDAD 3: TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICCES 3.1. Transformaciones lineales. 3.1.1. El espacio de las transformaciones lineales. 3.1.2. Suma y multiplicación por escalar de las transformaciones. Producto Producto de transformaciones transformaciones lineales. 3.1.3. El espacio nulo y su imagen, inversos. 3.2. Matrices. 3.2.1. Matriz de una aplicación lineal en bases fijas. Adición y multiplicación por escalar de matrices. 3.2.2. Multiplicación de matrices, matrices elementales y matrices inversas.

3.3. Fórmula de cambio de bases. 3.3.1. Rango de una matriz, el teorema del rango. 3.4. Transformaciones lineales y matrices. 3.4.1. La transformación lineal asociada a una matriz. 3.4.2. La matriz asociada a una transformación lineal. 3.5. Espacios isomorfos, isomorfismos entre el espacio de matrices y el de transformaciones lineales. 3.5.1. Transformaciones lineales inyectivas y suprayectivas. UNIDAD 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PRODUCTO ESCALAR Y DETERMINANTE. 4.1. Sistemas, soluciones, matrices y matriz aumentada. 4.1.1. Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales. 4.1.2. Consistencia, inconsistencia y homogeneidad del sistema de ecuaciones. 4.1.3. Matriz cuadrada, inversa y transpuesta. 4.2. Criterios de existencia de soluciones. 4.2.1. El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. 4.2.2. Vectores en . Combinaciones lineales: Dependencia e Independencia lineal. Transformaciones lineales: matriz asociada. 4.2.3. Solución de un sistema lineal mediante la matriz inversa. 4.3. Determinantes. 4.3.1. Definición de determinantes, menor y cofactor. 4.3.2. Propiedades de los determinantes. 4.3.3. Regla de Cramer. 4.3.4. Resolución de sistemas. 4.4. Producto escalar. 4.4.1. Productos escalares y hermitianos. 4.4.2. Ortogonalidad, productos positivos, normas y ángulos. 4.4.3. Bases ortogonales. Aplicaciones a los sistemas de ecuaciones. 4.5. Transformaciones simétricas. 4.5.1. Definición y propiedades elementales de valores y vectores propios. 4.5.2. Polinomio característico. 4.5.3. Existencia de valores propios reales de transformaciones simétricas. SUGERENCIAS DE ESTUDIO las definiciones del tema en problemas reales relacionados con la ingeniería en que se imparta esta materia, con el objetivo incrementar el interés y la creatividad del estudiante. *En cada unidad iniciar con un proceso de investigación de los temas a tratar. * Proponer una lista de problemas del tema. * Los problemas, en caso posible, seran resueltos con algún software BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Antón Howard. Elementary Linear Algebra. Octava dición. Ed. Antón Textbooks Inc., 2002. Friedberg, Insel y Spence. Linear Algebra. Prentice-Hall Pearson, 3a ed., New Jersey, USA, 1997. Luis, E. Algeba Lineal, Algebra Multilineal y K- Teoría Algebraica Clásica. Addison-Wesley Iberoamericana, 1990. Rincón, H. Algebra Lineal. Las prensas de ciencias, 2002. Lay, D. Algebra Lineal y sus Aplicaciones, Prentice-Hall Pearson, México, 2001. http://wikipedia.org/ http://mit.ocw.universia.net/18.06/f02/ http://www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/info.html BIBLIOGRAFÍA Y SITIOS WEB COMPLEMENTARIOS http://wikipedia.org/ http://mit.ocw.universia.net/18.06/f02/ http://www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/info.html

1.1. El lenguaje de la teoría de conjuntos. 1.1.1. Relaciones de pertenencia e inclusión 1.1.2. Subconjuntos. 1.2. Operaciones de conjuntos. 1.2.1. Unión e intersección de conjuntos. 1.2.2. Conjuntos complementarios y particiones de un conjunto. 1.3. Relaciones de equivalencia. 1.3.1. Clases de equivalencia. 1.3.2. Aplicaciones entre conjuntos. 1.3.3. Aplicaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. 1.3.4. Aplicaciones inversas. 1.4. Teoría elemental de grupos. 1.4.1. Grupo simétrico. 1.4.2. Los números enteros. 1.4.3. La estructura de anillo, anillos íntegros. 1.5. La estructura de cuerpo. 1.5.1. Cuerpos finitos. 1.5.2. El pequeño teorema de Fermat. 1.5.3. El cuerpo de los números reales.