algebra lineal unad 2016

1. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2, 1) m, (a) ¿qué tan lejos está de la esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?

2,1

0,0 Siendo (2,1) el punto de ubicación de la mosca y describiendo un triangulo rectángulo podemos definir.

X

1

2

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

Aplicando Pitágoras.

22+12= X2

2 ¿ ¿ (¿ 2 +12)= X ¿ √¿

X= 2.236

(a) ¿qué tan lejos está de la esquina del cuarto? X= 2.236 =r

Para la coordenada polar vamos a encontrar el ángulo que se genera

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

Por

trigonometría

tenemos X= rCos θ

Y = rSEn θ

teniendo el valor en X y el valor en Y

procedemos

X= rCos θ

θ=

θ=

cos−1

x r

cos−1 0.8944

θ=

cos−1

2 2.236

θ = 26.56°

Y θ Tan = X

p= (2,1) = (X,Y)

Sabiendo que no conocemos el ángulo y necesitamos el ángulo para determinar la coordenada polar, procedemos a realizar la siguiente formula.

Y θ Tan = X

−1 θ=tan ( 0.5 )

tan θ=

1 2

θ=tan−1

θ=26.56°

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

1 2

P= (2,1)

P= 2.236 26.56

=2i+

1j (b) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares? P= (2,1)

P= 2.236 26.56

=

(r, θ) = (2.236, 26.56°)

N

O

E

N 500m

300m 30°

O

E

N

S O

S

E

300m N 2. Un auto se desplaza 300 m del Norte 30° al Este, luego 500 m del Sur 60° al Este y finalmente 300 Sm al Sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio en forma algebraica y gráfica

ALEDROZA

O

E

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016 S

60°

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

Un auto se desplaza 300 m del Norte

Hallar la distancia y

30° al Este, luego 500 m del Sur 60° al Este y

dirección a la

finalmente 300 m al Sur

que quedo del punto de inicio POR MÉTODO ALGEBRAICO O

en forma

COMPONENTE.

algebraica y gráfica

Coordenadas Polares

Coordenada Rectangular 300 30

NE

A

500 60

SE

B

300 0

S

C

Rx = Ax + Bx + Cx Ry = Ay + By + Cy

R= √ Rx 2+ Ry 2

θ=tan −1

Ry Rx

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

258 i + 150j

250 i + 430j

0 i + 300j

300 500

B C

A 300 30°

60°

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

APLICANDO A PITÁGORAS

Ay = A sin 300 300 Y = 600

Ay= 300 (0.5)

sin 30= 0.5 A y=150

Ax= A cos 30 cos30= 0.866

30 X

Ax=¿

300(0.866)

Ax= 259

Ax = 259 Ay = 150

By = A sin 60 500 Y = 600

0.86 By= 500 (0.866)

60

sin 60 =

By= 430 (-)

Bx=B cos 60 cos60= 0.5

X

Bx = 250 By= 433(-)

Cx= 0

Cy=300 (-)

300

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

Rx = Ax + Bx + Cx Rx = 259 +250 +0 =509 Ry = Ay + By + Cy Ry = 150 – 433 -300 = -583

R= √ Rx 2+ Ry 2

θ=tan −1

Ry Rx

R=773.931

=

√(509)2+(−583)2

tan −1

=

−583 509

=

= 773.931

tan −1 (−1) = -48.876°

-48.876

-45 -48.876 -583 773.931

Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio en forma

509

algebraica y gráfica Distancia = 773.931m Dirección = 48.876 sur este.

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

orige

R = 773.931m A-48.876°

Metodo grafico

B

C

n

583 509

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

3. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las componentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque.

Coordenadas Polares

Coordenada

Rectangular 4.13 225

SO

5.94 - 2.92 i -

A

C

26°

2.92j

5.26 B 225° ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

4.13 A

5.26 0

5.94 26

N

B

NE

5.26 i + 0j

C

5.34 i +

2.60j Halle (a) las componentes de cada desplazamiento

Para A tenemos

Ay = A sin 225

sin 225= -0.707

Ay= 4.13 (-0.707)

A y= - 2.9199

Ax= A cos 225 cos 225= - 0.707

A = 4.13 m AX = - 2.9199 AY = - 2.9199

Ax=¿ 4.13 (-0.707)

Ax= -2.9199

θ = 225 - 2.92 i - 2.92j

4.13 - 2.92 600

225 - 2.92

Para B tenemos B= 5,26 m

Bx = 5.26

BX = 5,26

5.26 i + 0j

BY =0 θ =0 Cy = A sin 26 Para C tenemos C = 5,94 m Cx =5.34

Cy= 5,94 (0.4383)

sin 26 = 0.4383 C y = 2.60

Cx=A cos 26 cos26= 0.8988 ALEDROZA

ALEXIS Cx=¿ PEDROZA UNAD 2016 5,94(0.8988) Cx= 5.34

Cy=2.60 θ =26 5,94 2,60 600

26 5,34

(b) las componentes del desplazamiento resultante

Rx = Ax + Bx + Cx Rx = -2.92 + 5.26 + 5.34 = 7.68 Ry = Ay + By + Cy Ry = -2.92 + 0 + 2.60 = -0.32 7.68 i

- 0.32 j

R= √ Rx 2+ Ry 2

θ=tan −1

Ry Rx

=

=

√(7.68)2+(−0.32)2

tan −1

−0.32 7.68

=

= 7.68 m

tan −1 (−0.04166) = -2.38°

R=7.68 -2.38° (7.68, -2.38°)

7.68 - 0.32 600

-2.38° ALEDROZA 7.68

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

(c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante

7.68 -0.32

7.68

- 2, 38°

Magnitud = 7.68 m Dirección = 2.38° sureste.

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

4. Dados los vectores:

u = -i + 2j -4k w = 2i-3j+k v= -4i+3j+2k Calcular a. u . w, w . v ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

b. u x v , u x w c. (u x w ). V d. Cos ( u, w)

5. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C,

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

Obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.

Bandeja A

Bandeja B

Bandeja A

40 g

160 g

120 g

120 g

150 g

80 g

80 g

120 g

80 g

MATRICIAL MENTE A

B

C 40*50 + 120*80 + 150*100 = 26600

M R CA

ALEDROZA 3X3

160*50 + 120*80 + 80*100 = 25600 ALEXIS PEDROZA UNAD 2016 80*50 + 120*80 + 80*100 = 21600 3X1

40 120 150 160 120 80 80 120 80

50 80 100

=

MATRIX RESULTANTE M R CA

26600 1 25600 1000 21600

=

EN GRAMOS

26.6 25.6 21.6 EN KILOGRAMOS

M = manchego R = roquefort CA = camembert

5.1 Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg.

P M N A B C

F P

2 1 6 2 2 4 1 2 3

2 1 6 2 2 4x 1 2 3

M N

F

1.5 1.8 1 0.8 2 2

3 + 1 + 12 3.6 + 0.8 +12

1.5 1.8 1 0.8 = 3 + 2 + 8 3.6 + 1.6 + 8 2 2 1.5 + 2 + 6 1.8 + 1.6 + 6

=

16 16.4 13 13.2 9.5 9.4

d) Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C).

A B C P M N

2 2 1 1 2 2 6 4 3

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

c) por Gauss Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula A -1= * AdjA Inversa por Gauss Jordán

2 2 1 1 2 2 6 4 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1 F3-1 = f3 – 6f1

F1-1 = f1 – f2 F1

2

2

1

1

0

F2 -1

-2

-2

-0

-1

0

F1-1

0

-1

1

-1

0

1

1 0 −1 1 2 2 6 4 3

0

1 −1 0 0 1 0 0 0 1

-6F1 -6 F3

6

F3-1

0

2

-F1 -1

-0

F2-1

0

2

2

0

1

0

1

-1

1

0

3

-1

2

0

1 2

-6

6

0

4

3

0

0

1

4

9

-6

6

1

1 −1 0 −1 2 0 −6 6 1

1 2 f2

F2-1 = 1

6

1 0 −1 0 2 3 0 4 9

F2-1 = f2 – f1 F2

0

0

1

3 2

−1 2

1

0

f2

1 0 −1 0 2 3 6 4 3

ALEDROZA

1 −1 0 −1 2 0 0 0 1

F2-1

0

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

1

3 2

−1 2 1

0

1 0 −1 3 0 1 2 0 4 9

1 −1 −1 1 2 −4 2 3 3

1 0 −1 3 0 1 2 0 0 1

0 0 1 3

f 3−4 f 2

F3-1 =

-4f2

1 −1 0 −1 1 0 2 −6 6 0

0

-4

-6

2

−4 1

F3

0

4

9

-6

6

0

F3-1

0

0

3

-4

2

1

1 0 −1 3 0 1 2 0 0 3

1 −1 0 −1 1 0 2 −4 2 1

3

F2-1 = f2 – 2 f3

F2

−3 2

0

1

0

0

0

1

3 2 −3 2

−1 1 2

0

2

−1

−1 2

3 2

0

−1 2

f3 F2-1

1 3 f3

F3-1 =

1 3

0

0

1

−4 3

2 3

1 3

1

−4 3

2 3

1 3

f3

F3

-1

0

0

0

1 0 −1 0 1 0 0 0 1

F1-1 = f1 + f3

ALEDROZA

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

1 −1 0 3 −1 0 2 2 −4 2 1 3 3 3

F1 f3

F11

1

0

-1

1

-1

0

0

0

1

−4 3

2 3

1 3

1

0

0

−1 3

−1 3

1 3

−1 3 3 2 −4 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1

−1 3 0 2 3

1 3 −1 2 1 3

Por Gauss Jordan

( | 1 0 0 0 1 0 0 0 1

−1 3 3 2 −4 3

−1 3 0 2 3

1 3 −1 2 1 3

)

ALEDROZA

A=

( )

A-1=

−1 3 3 2 −4 3

2 2 1 1 2 2 6 4 3

Comprobando A * A-1= I

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

−1 3 0 2 3

1 3 −1 2 1 3

A22 =

1∗−1 2∗2 +2∗0+ =1 3 3

A 32 =

6∗−1 3∗2 + 4∗0+ =0 3 3

a 11 a12 a 13 a 21 a22 a 23 a 31 a32 a 33

A13 =

2∗1 2∗−1 1∗1 + + =0 3 2 3

2∗−1 2∗3 1∗−4 + + =¿ 3 2 3

A32 =

1∗1 2∗−1 2∗1 + + =0 3 2 3

A33=

6∗1 4∗−1 3∗1 + + =1 3 2 3

−1 3 2 2 1 3 1 2 2 2 6 4 3 −4 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1

A11 =

−1 3 0 2 3

1 3 −1 2 1 3

=

−2 −4 + 3+ =1 3 3

A21 =

1∗−1 2∗3 2∗−4 + + =¿ 3 2 3

−1 −8 + 3+ =0 3 3

A31 =

A12 =

6∗−1 4∗3 3∗−4 + + =0 3 2 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Se acaba de comprobar que multiplicando la matriz original por la inversa se obtiene la matriz identidad.

2∗−1 1∗2 +2∗0+ =0 3 3

ALEDROZA

a 11 a12 a 13 a 21 a22 a 23 a 31 a32 a 33

ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

Inversa por determinantes.

A=

( ) 2 2 1 1 2 2 6 4 3

A-1 = inversa

1 ⃓ A⃓

= inverso determinante

(A*) t = matriz transpuesta de la adjunta A* = matriz adjunta

1. calculamos el determinante

a 11 a12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a22 a 23 a 21 a 22 a 23 a 31 a32 a 33 a 31 a 32 a 33

a 11 a12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a22 a 23 a 21 a 22 a 23 a 31 a32 a 33 a 31 a 32 a 33

A = (a11 (a22 *a33) + a12 (a23*a31) + a13 (a21*a32)) - a11 (a23*a32) – a12(a21*a33) – a13 (a22*a31)

A=

1 ⃓A ⃓

( ) 2 2 1 1 2 2 6 4 3

2 2 1 1 2 2 6 4 3

=

1 6

2 2 1 1 2 2 6 4 3

(a11 (a22 *a33) + a12 (a23*a31) + a13 (a21*a32))

2. calculamos la matriz adjunta.

(2*2*3) + (2*2*6) + ( 1*1*4) = 12 +24 +4 = 40

El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A

2 2 1 1 2 2 6 4 3

2 2 1 1 2 2 6 4 3

A=

2 2 1 1 2 2 6 4 3

- a11 (a23*a32) – a12 (a21*a33) – a13 (a22*a31) - (2 *2*4) - (2*1*3) – (1*2*6) = -16 – 6 – 12 = - 34

A =

40 -34 = 6

Inverso determinante

cofactores

2 2 1 1 2 2 6 4 3

a11 =

2*3 – 2*4 = 6 -8 = -2

| | 2 2 4 3

=

2 2 1 1 2 2 6 4 3

a12=

| |

−1 2 6 3

=-

a 11 a12 a 13 a 21 a22 a 23 a 31 a32 a 33

(1*3 – 6*2) = -3+12= 9

2 2 1 1 2 2 6 4 3

a13=

| | 1 2 6 4

=

A11 =

|

|

A12 =

|

|

|

|

a 22 a 23 a 32 a 33

1*4 – 6*2 = 4-12 =-8

2 2 1 1 2 2 6 4 3

a21=

| |

−2 1 4 3

=-

(2*3 – 4*1 )= -6+4= -2

A13=

2 2 1 1 2 2 6 4 3

a22=

| | 2 1 6 3

=

2*3 – 1*6 = 6-6 = 0

2 2 1 1 2 2 6 4 3

a23= -

| | 2 2 6 4

=

a31=

| | 2 1 2 2

|

|

A22 =

|

|

A23 =

|

|

A31 =

|

|

a32=

| |

−2 1 1 2

A32 =

|

|

A33 =

|

|

=-

(2*2 – 1*1) = -4+1 = -3

2 2 1 1 2 2 6 4 3

a33=

| | 2 2 1 2

a 12 a13 a 32 a 33 a11 a13 a 31 a 33 a11 a12 a 31 a 32

=

2*2 – 2*1 = 4-2 = 2

2 2 1 1 2 2 6 4 3

a 21 a 22 a 31 a 32

A21 =

-(2*4 – 6*2)= -8+12 = 4

2 2 1 1 2 2 6 4 3

a 21 a 23 a 31 a 33

=

a 12 a 13 a 22 a 23 a11 a 13 a 21 a 23 a11 a 12 a 21 a 22

2*2 – 2*1 = 4-2 = 2

Cofactores

A=

a 11 a12 a 13 a 21 a22 a 23 a 31 a32 a 33

=

A-1 =

1 6

(

−2 9 −8 −2 0 4 2 −3 2

) A-1 =

Adj A =

1 6

a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33

Adj A =

A=

1 ⃓A ⃓

(

−2 −2 2 9 0 −3 −8 4 2

Matriz inversa por determinantes

) A-1 =

(

−2 −2 2 9 0 −3 −8 4 2

( ) ( ) −2 6 9 6 −8 6

−2 6 0 6 4 6

2 6 −3 6 2 6

−1 3 3 2 −4 3

−1 2

1 3 −1 2 1 3

0 2 3

)