Álgebra Lineal Minimos Cuadrados Matrices

Álgebra Lineal Método de mínimos cuadrados

Ejemplo: Determinar el polinomio de segundo grado que mejor se ajusta a los datos: A=(-1,2)

B=(0,1)

C=(1,1) C=(1,1)

D=(2,4)

4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

2

El polinomio es de la forma: p(x)=ax +bx+c=y Se obtiene el Sistema de Ecuaciones siguiente:  A : a  b  c

2

1 C :a bc 1  D : 4a  2b  c  4

 B : c

En el método de mínimos cuadrados se trabajan con sistemas incompatibles, por lo que el sistema no tiene solución. Para su solución se resolverá por el método de mínimos cuadrados. 1.

Se construye la matriz de coeficientes.

  1 1   M    0 0  1 1 4 2 

  1  1  1 1

 2 1  Y     1     4

 1 0 1 4  1 0 1 2  T    M     1 1 1 1    

2.

Utilizando: MX=Y

 M MX  M Y  T

3.

T 

Se sustituye:

18 8 6    T   M M   8 6 2    6 2 4   4.

Se despeja

5.

Resolviendo…

19    T   M Y   7   8  

 X  ( M T M ) (M T Y ) 1

1 1  1  4 4 4   1 9 3  1 T   ( M M )    4 20 20    1 3 11     4 20 20 

 

X  ( M T M ) 1 ( M T Y )  1  6.

5

7   10 

Por lo tanto (a,b,c ) están dados de la forma:

 X

7.

2

   1  a   2    b      c   5     7   10 

Obteniendo el polinomio que mejor se ajusta a los puntos dados es:

 p( x)  x  2

2 5

x

7 10