Algebra Lineal Joe García

August 12, 2017 | Author: Danni Dominguez | Category: Matrix (Mathematics), Mathematical Relations, Linear Algebra, Mathematical Objects, Matrix Theory
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matrices, determinantes, etc...

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O BJE T I V O Resolver problemas sobre matrices, utilizando definiciones, propiedades y métodos adecuados para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias aplicadas.

C O N T E NI D O : 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

ALGEBRA DE MATRICES CLASIFICACION DE LAS MATRICES CUADRADAS MATRIZ TRANSPUESTA MATRIZ TRANSPUESTA - CONJUGADA TRAZA DE UNA MATRIZ POTENCIA DE UNA MATRIZ CUESTIONARIO

1.1 A L G E B R A D E M A T RI C ES En esta sección se introduce terminología básica, se define una matriz, matriz identidad y matriz escalar. Se define y establecen las operaciones que se pueden realizar entre matrices, además, enunciaremos las propiedades más importantes. Las matrices se escribirán mediante un solo símbolo, que por lo común serán letras mayúsculas como A, B, C, D, etc. Cuando no se utilicen números específicos para designar los elementos de una matriz, se utilizarán minúsculas de la forma a ij. No existen restricciones sobre el número de filas o columnas que una matriz puede tener. D E F IN I C I O N 1.1.1 Una matriz es una ordenación rectangular de elementos distribuidos en n filas (horizontales) y m columnas (verticales), el elemento que está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna se denota por a ij, siendo este elemento, un número real o complejo. Formalmente lo denotamos como A = (a ij). Una matriz con n filas y m columnas se llama matriz de n x m; la expresión n x m es su orden o forma y lo expresamos como a1m · § a11 a12 ¨ ¸ a a22 a2 m ¸ A ¨ 21 ¨ ¸ ¸ ¨¨ a anm ¸¹ © n1 an 2 En otras palabras, podemos decir que una matriz de n x m definida sobre el conjunto K , es una aplicación a : A x B o K que asocia a cada par (i, j) el número a ij. Los

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MATRICES

elementos horizontales ai1, a i2, ..., aim representan las filas de la matriz y los elementos verticales a1j, a2j, ..., anj representan las columnas. Así, la letra i representa la fila y la j representa la columna. Si n = m la matriz se denomina cuadrada y se dice que tiene orden n. Si una matriz tiene una sola fila, se le llama matriz fila y se la representa por A = (a i1 a i2 ... a im). Si una matriz tiene una sola columna, se le llama matriz columna y se representa por § a1 j · ¨ ¸ ¨ a2 j ¸ A ¨ ¸. ¨ ¸ ¨ a nj ¸ © ¹ En particular, un elemento a ij puede considerarse como una matriz de una fila y una columna. Es conveniente designar a la matriz con letras mayúsculas en correspondencia, si es posible, con la letra minúscula común con la cual se designan sus elementos. A continuación se dan algunos tipos de matrices: §1 0 4· §1· §2 5 7· ¨ ¸ ¨ ¸ A ¨5 6 2¸ ; B ¨ ¸ ; C ¨ 4¸ ; D 1 9 2 © ¹ ¨7 9 1¸ ¨8¸ © ¹ © ¹ siendo A una matriz de 3 x 3, B de 2 x 3, C de 3 x 1 y D de 1 x 3.

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2 9 ,

D E F IN I C I O N 1.1.2 Una matriz cuadrada que tiene el número 1 como elementos de la diagonal principal, y los demás elementos son ceros, se denomina matriz identidad y ­1, si i j se denota como I = (Gij), donde Gij ® , G se denomina delta de ¯0, si i z j Kronecker. Matrices de este tipo se dan a continuación: I2

§1 0· ¨ ¸ ; I3 ©0 1¹

§1 0 0· ¨ ¸ ¨0 1 0¸ ; I4 ¨0 0 1¸ © ¹

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

0 1 0 0

0 0 1 0

0· ¸ 0¸ ; etc. 0¸ ¸ 1¹

D E F IN I C I O N 1.1.3 Una matriz cuadrada que tiene el número D  K diferente de cero, como elementos de la diagonal principal, y los demás elementos son ceros, se denomina matriz escalar y se denota como E = DI. Este tipo de matrices tienen la siguiente forma: 0 0 · §a b §1 0 0· § a 0· §1 0· ¨ ¸ ¨ ¸ E2 ¨ a b 0 ¸ ( a  b) ¨ 0 1 0 ¸ ; etc. ¸ a¨ ¸ ; E3 ¨ 0 ©0 a¹ ©0 1¹ ¨ 0 ¨0 0 1¸ 0 a  b ¸¹ © © ¹ La definición de operaciones entre matrices es lo que determina la utilidad de ellas puesto que una matriz de por sí es solamente un arreglo de números. Veremos que aquellas definiciones que intuitivamente parecen obvias para operar con matrices son también las más útiles. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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A continuación se explican algunas operaciones que se pueden realizar con matrices. Definidas las matrices, podemos comenzar a estudiar su álgebra. Se explicará primero el significado de la afirmación de que dos matrices A y B son iguales. Lo anterior significa que los elementos correspondientes de cada matriz son iguales, es decir a ij = bij para cada i y j. Cuando las matrices son iguales, se escribe A = B. Para que dos matrices sean iguales, el número de filas de A debe ser el mismo que el número de filas de B, y el número de columnas de A debe ser el mismo que el número de columnas de B. D E F IN I C I O N 1.1.4 Dadas A = (a ij), B = (bij), matrices de igual orden. Las matrices A y B se dice son iguales si y sólo si los elementos correspondientes a cada una de estas son iguales. Es decir, dadas las matrices a1 m · b1 m · § a11 a1 2 § b11 b1 2 ¨ ¸ ¨ ¸ a2 m ¸ b2 m ¸ ¨ a21 a2 2 ¨ b21 b2 2 A ¨ ¸ y B =¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ an 1 an 2 ¸ ¨ bn 1 bn 2 ¸ a b n m n m © ¹ © ¹ por definición estas matrices son iguales si y sólo si se cumple que a11 = b11, a12 = b12, ..., anm = bnm. De manera más compacta, se escribe A = B si a ij = bij, para todo i, j  . EJ E M P L O 1.1.1 Sean A y B dos matrices de 2 x 3: § 1 S b · § a  b  1 2  2b  a c · A ¨ ¸¸ . ¸ y B ¨¨ b a  b¹ © a © c  S 3c S  i ¹ ¿Cuando A y B son iguales? SO L U C I O N Las matrices A y B son iguales si cumplen la siguiente identidad: b · § 1 S § a  b  1 2  2b  a c · ¸¸ ¨ ¸ ¨¨ a  b a  b © ¹ ©c  S 3 S i¹ lo cual implica que a ± b + 1 = i, 2 + 2b ± a = S, b = c, a = c + S, - b = 3 y a ± b = S + i. ’ EJ E M P L O 1.1.2 Determine los valores de a, b y c para que las matrices dadas sean iguales § 2 4· § a  2b  c 2 a  c · A ¨ ¸ y B ¨ ¸. a  2b ¹ ©1 6¹ © a 1 SO L U C I O N Para que A y B sean iguales se debe cumplir por definición que sus correspondientes elementos sean iguales, es decir: ­ a  2b  c 2 ­ a  2b  c 2 ­a 0 ° 2a  c 4 ° 2a  c 4 ° ° ° Ÿ ® Ÿ ®b 3 . ’ ® a  1 1 a 0 ° ° ° c 4 ¯ °¯ a  2b 6 °¯ a  2b 6 Se definirá ahora la suma de matrices, que consiste simplemente, como esperará el lector, en sumar los elementos correspondientes. Es decir, la suma C de una matriz A que tenga n filas y m columnas, y una matriz B que tenga n filas y m columnas es ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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una matriz que tiene n filas y m columnas cuyos elementos están dados por cij = a ij + bij, para todo i, j. D E F IN I C I O N 1.1.5 Dadas A = (a ij), B = (bij) y C = (cij), matrices de igual orden. Si se cumple que C = (a ij) + (bij) = (aij + bij) = (c ij), i, j  N a la matriz C se le denomina adición de A y B. Es decir; si a cada par de matrices de orden n x m le hacemos corresponder otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen sumando término a término los correspondientes a dichas matrices, se denomina adición de matrices. Dadas las matrices A y B, detalladamente podemos interpretar la adición de matrices de la siguiente manera: C=A+B b1 m · a1m · § b11 b1 2 § a11 a12 ¸ ¨ ¸ ¨b b2 m ¸ a2 m ¸ ¨ 21 b2 2 ¨ a21 a22 ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ ¨¨ ¸¸ ¨ ¸ anm ¹ ¨ bn 1 bn 2 b © an1 an 2 nm¹ © a1 m  b1 m · § a11  b11 a1 2  b1 2 ¨ ¸ a2 m  b2 m ¸ ¨ a21  b21 a2 2  b2 2 ¨ ¸. ¨ ¸ ¨ an 1  bn 1 an 2  bn 2 an m  bn m ¸¹ © Debemos tener muy en cuenta que la adición de las matrices A y B se puede realizar solamente cuando B tiene el mismo número de filas y el mismo número de columnas que A. De aquí que el orden de la matriz suma es la misma que la de los sumandos. EJ E M P L O 1.1.3 Dadas las matrices § ¨ 1 ¨ A ¨ 5  3i ¨ S ¨ Sen 2 © Determine A + B. SO L U C I O N

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

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· 4i ¸ ¸ S¸ y B ¸ 1 ¸ ¹

S § Tan ¨ 3 4 ¨ ¨ 5 3 ¨ ¨ Cos S i ¨ 2 ©

· ¸ ¸ S ¸ ¸ 3S Tan ¸¸ 4 ¹ 4i

S · · § 3 Tan 4i ¸ 4i ¸ ¨ 4 ¸ ¸ ¨ 6 S¸¨ 5 3 S ¸ ¸ ¸ ¨ S 3S 9 1 ¸ ¨¨ Cos i Tan ¸¸ 2 4 ¹ ¹ © S · 1  (3) 1  Tan 4i  (4i ) ¸ 0 § 2 1  i · 4 ¸ ¨ ¸ (5  3i )  (5) 63 S  S ¸ ¨ 3i 9 (1  i ) S ¸ . ’ ¸ ¨ ¸ S S 3S 1 9i 0 ¹ Sen  Cos 9i 1  Tan ¸¸ © 2 2 4 ¹

§ ¨ 1 ¨ ¨ 5  3i ¨ S ¨ Sen 2 ©

A+B

1

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T E O R E M A 1.1.1 Sean las matrices A = (aij), O = (oij) de igual orden, entonces A + O = O + A = A. D E M OST R A C I O N Sean A, O matrices de igual orden, entonces A + O = (aij) + (oij) = (a ij + oij) = (oij + a ij) = (a ij) = A. T E O R E M A 1.1.2 Si A = (a ij) y B = (bij) son matrices de igual orden, entonces la adición de matrices es conmutativa, es decir, A + B = B + A. D E M OST R A C I O N Sean las matrices A, B de igual orden, entonces: A + B = (a ij) + (bij) = (a ij + bij) = (bij + a ij) = (bij) + (a ij) = B + A. T E O R E M A 1.1.3 Si A = (a ij), B = (bij), C = (c ij) son matrices de igual orden, entonces la adición de matrices es asociativa, es decir, A + (B + C) = (A + B) + C. D E M OST R A C I O N Sean A, B, C matrices de igual orden, entonces: A + (B + C) = (a ij) + (bij) + (cij) = (a ij) + (bij + c ij) = (a ij + bij + c ij) = ( a ij + bij) + (c ij) = (( a ij) + (bij)) + (c ij) = (A + B) + C.  

%  CALCULAR  LA  SUMA  DE  MATRICES   clc;;clear;;   fprintf('\n  SUMA  DE  MATRICES  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  filas  de  las  Matrices  A  y  B:    ');;   col=input('Ingrese  el  numero  de  columnas  de  las  Matrices  A  y  B:    ');;          %Ingreso  de  elementos          fprintf('Matriz  A:\n')                  for  f=1:fil                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  A:(%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('Matriz  B:\n')                  for  f=1:fil                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  B:(%d,%d)',f,c)                                  B(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  B  ES:\n')          B   ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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end          fprintf('  LA  SUMA  C  ES:\n')          C=A+B   end  

La siguiente operación que se considerará es la de multiplicar una matriz por un número. Esta operación recibe el nombre de multiplicación por un escalar. Para multiplicar una matriz A por un número D, simplemente se multiplica cada elemento de A por D. D E F IN I C I O N 1.1.6 Dada A = (a ij) una matriz arbitraria y D un escalar. El producto del escalar D y la matriz A se define como la matriz C = (cij) del mismo orden que A, cuyos elementos se obtienen multiplicando el escalar por cada uno de los elementos de A. Es decir; formalmente se expresa esta operación de la siguiente manera: a1 m · § Da11 Da1 2 Da1 m · § a11 a1 2 ¨ ¸ ¨ ¸ a2 m ¸ ¨ Da21 Da2 2 D a2 m ¸ ¨ a21 a2 2 C = ĮA D ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ an 1 an 2 ¸ ¨ ¸ a D a D a D a nm ¹ © n1 n2 nm ¹ © Cada elemento de A se multiplica por el escalar D. El producto DA es, por consiguiente, otra matriz con n filas y m columnas, si A tiene n filas y m columnas. Es decir, la matriz resultante del producto por un escalar conserva el orden de la matriz original. EJ E M P L O 1.1.4 Dada la matriz A

S § ¨ Tan 4 ¨ ¨ i ¨ ©

Cos

S 4

1 i

· 1 ¸ ¸ y k = 1 + i. S¸ Sen ¸ 4¹

Determine k A. SO L U C I O N

kA

S § ¨ Tan 4 (1  i ) ¨ ¨ i ¨ ©

Cos

S 4

1 i

· 1 ¸ ¸ S Sen ¸¸ 4¹

S S § · ¨ (1  i )Tan 4 (1  i ) Cos 4 (1  i ) 1 ¸ ¨ ¸ S ¨ (1  i )i (1  i )(1  i ) (1  i ) Sen ¸¸ ¨ 4¹ © 1 i § · i 1 ¸ ¨1  i 2 ¨ ¸. ’ ¨ 1 i ¸ ¨ i 1 2 ¸ 2¹ ©

T E O R E M A 1.1.4 Sea A = (a ij) una matriz arbitraria y k un número, entonces k A = A k. D E M OST R A C I O N Sean A una matriz arbitraria y k un número, entonces: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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k A = k(a ij) = (ka ij) = (a ijk) = (a ij)k = A k. EJ E M P L O 1.1.5 Un fabricante de sacos los produce en color negro, azul y rojo para hombres, mujeres y niños. La capacidad de producción en miles en la planta A está dada por la matriz Hombres Mujeres Niños Negro 3 5 6 Azul 2 3 4 Rojo 5 1 3 La producción en la planta B está dada por Hombres Mujeres Niños Negro 2 3 3 Azul 4 2 5 Rojo 1 3 2 a.- Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de sacos en ambas plantas. b.- Si la producción en A se incrementa en un 15% y la de B en un 30%, encuentre la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de saco. SO L U C I O N a.- Para obtener la matriz de producción total, sumamos las matrices que relacionan las plantas A y B: § 3 5 6· § 2 3 3· §5 8 9· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 2 3 4¸  ¨ 4 2 5¸ ¨6 5 9¸ . ¨ 5 1 3¸ ¨ 1 3 2¸ ¨ 6 4 5¸ © ¹ © ¹ © ¹ b.- La nueva matriz de producción total la obtenemos sumando las matrices § 3 5 6· § 2 3 3 · § 6.05 9.65 10.8 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 1.15 A +1.30 B 1.15 ¨ 2 3 4 ¸  1.30 ¨ 4 2 5 ¸ ¨ 7.5 6.05 11.1 ¸ . ’ ¨ 5 1 3¸ ¨ 1 3 2 ¸ ¨ 7.05 5.05 6.05 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ EJ E M P L O 1.1.6 El costo en dólares de comprar un boleto aéreo de la ciudad A a cada una de las cuatro ciudades B, C, D y E, está relacionado en la matriz P = (75 62 35 55). Si la directiva de la aviación civil aprueban un incremento del 12% en las tarifas. Hallar las nuevas tarifas. SO L U C I O N Las nuevas tarifas se obtienen multiplicando la matriz P por 1.12, es decir; 1.12P 1.12 75 62 35 55 84 69, 44 39, 2 61,6 . ’ EJ E M P L O 1.1.7 Una empresa produce tres tamaños de radios en tres modelos diferentes. La producción en miles en su planta A está dada por la matriz Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3 Modelo 1 20 32 25 Modelo 2 15 15 29 Modelo 3 12 27 30 La producción en miles en su planta B está dada por la matriz ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3 Modelo 1 35 42 19 Modelo 2 25 35 25 Modelo 3 12 18 21 a.- Escriba una matriz que represente la producción total de radios en ambas plantas. b.- El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en C, la cual tendrá una vez y cuarto la capacidad de la planta en A. Escriba la matriz que representa la producción en la planta C. c.- ¿Cuál sería la producción total de las tres plantas? SO L U C I O N a.- Para representar la producción total en ambas plantas, debemos sumar ambas matrices § 20 32 25 · § 35 42 19 · § 55 74 44 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 15 15 29 ¸  ¨ 25 35 25 ¸ ¨ 40 50 54 ¸ . ¨ 12 27 30 ¸ ¨ 12 18 21 ¸ ¨ 24 45 51 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ b.- Para encontrar la matriz C, tenemos que multiplicar a la matriz A por 1.25, es decir 40 31.25 · § 20 32 25 · § 25 ¨ ¸ ¨ ¸ 1.25 ¨ 15 15 29 ¸ ¨18.75 18.75 36.25 ¸ . ¨ 12 27 30 ¸ ¨ 15 33.75 37.5 ¸¹ © ¹ © c.- Para representar la producción total de las tres plantas, debemos sumar las matrices A, B y C, es decir: 40 31.25 · § 20 32 25 · § 35 42 19 · § 25 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ A + B + C ¨ 15 15 29 ¸  ¨ 25 35 25 ¸  ¨18.75 18.75 36.25 ¸ ¨ 12 27 30 ¸ ¨ 12 18 21 ¸ ¨ 15 33.75 37.5 ¸¹ © ¹ © ¹ © 114 75.25 · § 80 ¨ ¸ 58.75 68.75 90.25 ¸ . ’ ¨ ¨ 39 78.75 88.5 ¸¹ ©

EJ E M P L O 1.1.8 Una compañía tiene plantas en cuatro provincias, I, II, III y IV, y cuatro bodegas en los lugares P, Q, R y S. El costo en miles de dólares de transportar cada unidad de su producto de una planta a una bodega está dado por la matriz Prov. I Prov. II Prov. III Prov. IV Bodega P 13 12 17 12 Bodega Q 19 17 13 15 Bodega R 8 9 11 13 Bodega S 19 21 9 15 a.- Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en $500 por unidad, ¿cuál es la nueva matriz? b.- Si los costos de transportación se elevan en un 25%, escriba los nuevos costos. SO L U C I O N a.- Obtenemos la nueva matriz, sumándole a la matriz A la matriz de incrementos § 13 12 17 12 · § 0.5 0.5 0.5 0.5 · §13.5 12.5 17.5 12.5 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨19 17 13 15 ¸  ¨ 0.5 0.5 0.5 0.5 ¸ ¨19.5 17.5 13.5 15.5 ¸ . ¨ 8 9 11 13 ¸ ¨ 0.5 0.5 0.5 0.5 ¸ ¨ 8.5 9.5 11.5 13.5 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ©19 21 9 15 ¹ © 0.5 0.5 0.5 0.5 ¹ ©19.5 21.5 9.5 15.5 ¹ b.- Los nuevos datos los obtenemos multiplicando la matriz A por 1.25, es decir ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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15 21.25 15 · § 13 12 17 12 · § 16.25 ¨ ¸ ¨ ¸ 19 17 13 15 ¸ ¨ 23.75 21.25 16.25 18.75 ¸ . ’ 1.25 ¨ ¨ 8 9 11 13 ¸ ¨ 10 11.25 13.75 16.25 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ©19 21 9 15 ¹ © 23.75 26.25 11.25 18.75 ¹

T E O R E M A 1.1.5 Si A = (aij), B = (bij) son matrices de igual orden y k un número, entonces se cumple la ley distributiva respecto a la adición de matricial, es decir, k(A + B) = k A + k B. D E M OST R A C I O N Sean A, B matrices de igual orden y k un número, entonces: k(A + B) = k((a ij) + (bij)) = k(a ij) + bij) = (ka ij + kbij) = (ka ij) + (kbij) = k A + k B. T E O R E M A 1.1.6 Si A = (a ij) es una matriz arbitraria y k, t números, entonces se cumple la ley distributiva con respecto a la adición de escalares, es decir, (k + t)A = k A + t A. D E M OST R A C I O N Sean A una matriz arbitraria y k, t números, entonces: (k + t)A = (k + t)( a ij) = ((k + t) a ij) = (ka ij + ta ij) = (ka ij) + (ta ij) = k A + t A. %  MULTIPLICACION  DE  UN  ESCALAR  Y  UNA  MATRIZ   clc;;clear;;   fprintf('\n  PRODUCTO  POR  UN  ESCALAR  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  filas  de  la  Matriz  A:  ');;   col=input('Ingrese  el  numero  de  columnas  de  la  Matriz  A:  ');;   n=input('Ingrese  el  escalar:    ');;   %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:fil                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end          fprintf('\  LA  MATRIZ  A  ES:  \n')          A   end          fprintf('\  LA  MATRIZ  PRODUCTO  B  ES:  \n')          B=A*n   End    

La matriz opuesta de A puede obtenerse multiplicando la matriz original por el escalar ±1. De acuerdo con esta definición; B = (-1)A, notándose B = -A, lo cual podemos expresarlo detalladamente como a1 m · §  a11  a1 2  a1 m · § a11 a1 2 ¨ ¸ ¨ ¸ a2 m ¸ ¨  a21  a2 2  a2 m ¸ ¨ a21 a2 2 C = A + (- A ) ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ an 1 an 2 an m ¸¹ ¨©  an 1  an 2  an m ¸¹ ©

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§ a11  a11 ¨ ¨ a21  a21 ¨ ¨ ¨ an 1  an 1 ©

a1 2  a1 2 a2 2  a2 2 an 2  an 2

a1 m  a1 m · § 0 0 ¸ a2 m  a2 m ¸ ¨¨ 0 0 ¸ ¨ ¸ ¨ an m  an m ¸¹ © 0 0

0· ¸ 0¸ . ¸ ¸ 0¹

D E F IN I C I O N 1.1.7 Una matriz B = (bij) que, dada una matriz A = (a ij) cumple la ecuación matricial (oij) = (a ij) + (bij), para todo i, j  N recibe el nombre de matriz opuesta o negativa de A. La operación de restar una matriz B de una matriz A se define exactamente como esperará el lector: A ± B es la matriz cuyos elementos son a ij ± bij. Se observa también que la resta puede definirse en términos de operaciones ya definidas, como A ± B = A + (-B). Es decir, para restar dos matrices, restamos sus correspondientes elementos. D E F IN I C I O N 1.1.8 Dadas A = (a ij), B = (bij) y C = (c ij), matrices de igual orden. Si se cumple que C = A - B = (aij) - (bij) = (a ij ± bij) = (c ij), i, j  N a la matriz C se le denomina resta de A y B. Es decir; si a cada par de matrices de orden n x m le hacemos corresponder otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen restando término a término los correspondientes a dichas matrices, se denomina resta de matrices. Dadas las matrices A y B, detalladamente podemos interpretar la resta de matrices de la siguiente manera: C = A-B a1 m · § b11 b1 2 b1 m · § a11 a1 2 ¨ ¸ ¨ ¸ a2 m ¸ ¨ b21 b2 2 b2 m ¸ ¨ a21 a2 2 =¨  ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ an 1 an 2 an m ¸¹ ¨© bn 1 bn 2 bn m ¸¹ © a1 m  b1 m · § a11  b11 a1 2  b1 2 ¨ ¸ a2 m  b2 m ¸ ¨ a21  b21 a2 2  b2 2 ¨ ¸. ¨ ¸ ¨ an 1  bn 1 an 2  bn 2 an m  bn m ¸¹ © Debemos tener muy en cuenta, como lo hicimos para la adición, que la resta de las matrices A y B se puede realizar solamente cuando tienen el mismo orden. De aquí que el orden de la matriz obtenida de la resta es la misma que la de A y B. E J E M P L O 1.1.9 Dadas las matrices § 13 5 12 · § -6 11 3 · ¨ ¸ y B =¨ ¸. ©17 6 8 ¹ ©15 2 1 ¹ Determine la matriz M tal que A - 2M = 3B. SO L U C I O N Como A ± 2M = 3B, entonces: A

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1 2M = A ± 3B Ÿ M = ( A - 3B ) 2 Reemplazando los datos conocidos, obtenemos: 1 § § 13 5 12 · § -6 11 3 · · 1 § § 13 5 12 · § -18 33 9 · · M = ¨¨ ¸ - 3¨ ¸¸ = ¨¨ ¸ -¨ ¸¸ 2 © ©17 6 8 ¹ ©15 2 1 ¹ ¹ 2 © ©17 6 8 ¹ © 45 6 3 ¹ ¹ 1 § 31 28 3 · ¨ ¸. ’ 2 © 28 0 5 ¹

EJ E M P L O 1.1.10 Dadas las matrices A

S § ¨ Sen 4 ¨ ¨  Cos S ¨ 4 ©

S· Cos ¸ 4¸ , S¸ Sen ¸ 4¹

B

S § ¨ Tan 4 ¨ ¨ Sen S ¨ 4 ©

S·  Sen ¸ 4¸ . S ¸ Tan ¸ 4 ¹

Determine A - B. SO L U C I O N A -B

S § ¨ Sen 4 ¨ ¨  Cos S ¨ 4 ©

S· § S S· Cos ¸ ¨ Tan  Sen ¸ 4 ¸¨ 4 4¸ S¸ ¨ S S ¸ Sen ¸ ¨ Sen Tan ¸ 4¹ © 4 4 ¹

§ 2 1 ¨ ¨ 2 ¨ ¨  2 ©

· 2 ¸ ¸. ’ 2 ¸  1¸ 2 ¹

§ 2 ¨ ¨ 2 ¨ 2 ¨ © 2

2· § ¸ ¨ 1 2 ¸¨ 2¸ ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¹ © 2



2· ¸ 2 ¸ ¸ 1 ¸ ¹

EJ E M P L O 1.1.11 Tres máquinas de gaseosas se localizan en un centro comercial. El contenido de estas máquinas se presenta en la siguiente matriz de inventario: Coca - Cola Fanta Sprite Maquina I 65 32 84 Maquina II 92 65 36 Maquina III 45 72 93 Los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que contiene cada máquina. Suponga que la matriz de ventas para el día siguiente es Coca - Cola Fanta Sprite Maquina I 53 25 70 Maquina II 80 60 30 Maquina III 35 65 85 donde los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que vende cada máquina. Hallar la matriz de inventario al final del día. SO L U C I O N La matriz de inventario al final del día se obtiene de la siguiente manera: § 65 32 84 · § 53 25 70 · §12 7 14 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 92 65 36 ¸  ¨ 80 60 30 ¸ ¨12 5 6 ¸ . ¨ 45 72 93 ¸ ¨ 35 65 85 ¸ ¨10 7 8 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ Si cada máquina se recarga con 30 latas de Coca-Cola, 20 latas de Fanta y 15 latas de Sprite, entonces la matriz de inventarios es la siguiente:

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§12 7 14 · § 30 20 15 · § 42 27 29 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨12 5 6 ¸  ¨ 30 20 15 ¸ ¨ 42 25 21 ¸ . ’ ¨10 7 8 ¸ ¨ 30 20 15 ¸ ¨ 40 27 23 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

E J E M P L O 1.1.12 Determínense las matrices P y Q de orden 3 x 2, tales que satisfagan el sistema de §1 3· § -1 0 · ­2 P + 3Q = A ¨ ¸ ¨ ¸ ecuaciones ® , donde A = ¨ 2 4 ¸ y B = ¨ -1 -3 ¸ . P Q = B ¯ ¨1 2¸ ¨ 1 -1 ¸ © ¹ © ¹ SO L U C I O N Multiplicando la segunda ecuación por 2, y sumandole a la primera, obtenemos las matrices P y Q. ­ P = - A - 3B ® ¯ Q = A + 2B Es decir: § 1 3 · § -1 0 · § -1 -3 · § -3 0 · § 2 -3 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ P = - ¨ 2 4 ¸ - 3 ¨ -1 -3 ¸ = ¨ -2 -4 ¸ - ¨ -3 -9 ¸ = ¨ 1 5 ¸ ¨ 1 2 ¸ ¨ 1 -1 ¸ ¨ -1 -2 ¸ ¨ 3 -3 ¸ ¨ -4 1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 1 3 -1 0 1 3 -2 0 -1 3 § · § · § · § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ Q = ¨ 2 4 ¸ + 2 ¨ -1 -3 ¸ = ¨ 2 4 ¸ + ¨ -2 -6 ¸ = ¨ 0 -2 ¸ . ’ ¨1 2¸ ¨ 1 -1 ¸ ¨ 1 2 ¸ ¨ 2 -2 ¸ ¨ 3 0 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ A continuación, dividamos una matriz A en partes mediante un sistema de rectas verticales y horizontales. Estas partes pueden ser consideradas como matrices de órdenes inferiores que forman, interpretadas como elementos, la propia matriz; se denominan bloques o submatrices de la matriz A, mientras que la propia matriz A, dividida de un modo determinado en submatrices, se denomina hipermatriz. Una misma matriz puede ser dividida en submatrices de diferentes maneras. D E F IN I C I O N 1.1.9 Se denomina hipermatriz a una ordenación rectangular de submatrices. Una submatriz derivada de una matriz A es la formada por los elementos que pertenecen simultáneamente a h filas y k columnas de A. La conveniencia de la división en submatrices consiste en que las operaciones principales sobre hipermatrices se realizan formalmente siguiendo las mismas reglas que en el caso de matrices corrientes. En efecto, supongamos una matriz A dividida de algún modo en submatrices: A 1n · § A 11 A 12 ¨ ¸ A A A 22 2n ¸ A ¨ 21 . ¨ ¸ ¨¨ ¸ A mn ¸¹ © A m1 A m 2 Al multiplicar todas las submatrices por un número k multiplicaremos, al mismo tiempo, todos los elementos de la matriz A por k. Por consiguiente k A 1n · § k A 11 k A 12 ¨ ¸ k A k A k A 2n ¸ 22 k A ¨ 21 . ¨ ¸ ¨¨ ¸ k A mn ¸¹ © k A m1 k A m 2 Sea B una matriz dividida en el mismo número de submatrices que la matriz A ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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B1n · § B11 B12 ¨ ¸ B B 22 B 2n ¸ . B ¨ 21 ¨ ¸ ¨¨ ¸ B mn ¸¹ © B m1 B m 2 supongamos, además, que las correspondientes submatrices de las matrices A y B son del mismo número de filas y de columnas respectivamente. Para sumar las matrices A y B hay que sumar sus elementos correspondientes. Pero lo mismo ocurrirá, si sumamos las submatrices correspondientes de estas matrices. Por esto A 12  B12 A 1n  B1n · § A 11  B11 ¨ ¸ A  B A  B A 21 22 22 2n  B 2n ¸ . A + B ¨ 21 ¨ ¸ ¨¨ ¸ A mn  B mn ¸¹ © A m1  B m1 A m 2  B m 2 %  CALCULAR  LA  RESTA  DE  MATRICES   clc;;clear;;   fprintf('\n  RESTA  DE  MATRICES  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  filas  De  las  Matrices  A  y  B:    ');;   col=input('Ingrese  el  numero  de  columnas  De  las  Matrices  A  y  B:    ');;          %Ingreso  de  elementos                  fprintf('Matriz  A:\n')                  for  f=1:fil                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  A:(%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end                  fprintf('Matriz  B:\n')                  for  f=1:fil                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  B:(%d,%d)',f,c)                                  B(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  B  ES:\n')          B   end          fprintf('LA  MATRIZ  DIFERENCIA  C  ES:\n')          C=A-­B   End  

Como podemos ver, resulto fácil definir la igualdad, la multiplicación por un escalar, y la suma de matrices. No es tan obvio, en cambio, cómo debe definirse la multiplicación matricial. En este caso debe abandonarse, el concepto de matriz como simple arreglo de números puesto que esta idea no nos proporciona una guía para una definición propia. Ahora definiremos la operación más complicada de multiplicar dos matrices. D E F IN I C I O N 1.1.10 Dadas A = (a ij) y B = (bij), matrices en las cuales el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Se llama producto de A y B a una matriz C = (c ij) cuyo orden es el número de filas de A y el número de columnas de B, denotada § · C (cij ) ¨ ¦ aik bkj ¸ , para todo i, j  . © k ¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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De la propia definición se deduce que, en general, no es posible multiplicar dos matrices rectangulares, ya que se exige que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda. Por lo tanto la condición necesaria y suficiente para que el producto A B esté definido, es que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B. Para formar los elementos de la primera fila de la matriz A B se han multiplicado ordenadamente los elementos de la primera fila de A con los elementos de cada columna de B y, después se suman los correspondientes productos. Procediendo análogamente con cada una de las demás filas de A, se obtienen los elementos de cada una de las restantes filas de A B. La notación formal se expresa como C = A B y sus elementos se determinan de la siguiente manera: a1 p · § b11 b1 2 b1 m · § a11 a1 2 ¨ ¸¨ ¸ a2 p ¸ ¨ b21 b2 2 b2 m ¸ ¨ a21 a2 2 C = AB ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ an 1 an 2 an p ¸¹ ¨© bp 1 bp 2 bp m ¸¹ © § ¦ a1 k bk 1 ¦ a1 k bk 2 ¦ a1 k bk m ·¸ ¨ k k k ¨ ¸ ¦ a2 k bk m ¸ ¨ ¦ a2 k bk 1 ¦ a2 k bk 2 k k ¨ k ¸. ¨ ¸ ¨ ¸ ¦ an k bk m ¸ ¨ ¦ an k bk 1 ¦ an k bk 2 k k © k ¹ El producto de dos matrices, en términos generales, depende del orden de los factores incluso en el caso en que el conjunto al cuál pertenecen sus elementos es conmutativo. Si se consideran matrices no cuadradas, puede ocurrir incluso que el producto de dos matrices tomadas en un orden tenga sentido y tomadas en el orden contrario, no lo tenga. E J E M P L O 1.1.13 Pruébese que si A es una matriz cuadrada y B = DA + EI, donde D y E son escalares, entonces A B = B A. SO L U C I O N Calculamos el producto matricial A B, previamente reemplazando la identidad de B y obtenemos el resultado requerido: A B = A(DA + EI) = DA 2 + EA I = (DA + EI)A = B A. ’ E J E M P L O 1.1.14 Si § 2 1· § 7 6· ¨ ¸ y B ¨ ¸. © 2 3 ¹ ©9 8¹ Hallar matrices C y D de orden 2, tales que A C = B y D A = B. SO L U C I O N Para determinar matrices C y D, debemos tomar matrices de 2 x 2 cuyos elementos son desconocidos y los establecemos como sigue: 2b  d · § 7 6 · § 2 1·§ a b · § 7 6 · § 2a  c ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 3 ¹© c d ¹ © 9 8 ¹ © 2 a  3c 2b  3d ¹ © 9 8 ¹ A

f ·§ 2 1· § 7 6 · § 2e  2 f  e  3 f · § 7 6 · ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨ ¸ ¨ ¸ h ¹© 2 3 ¹ © 9 8 ¹ © 2 g  2h  g  3h ¹ © 9 8 ¹ De aquí, establecemos los siguientes sistemas de ecuaciones: §e ¨ ©g

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2a  c 7 ½ ¾ c = 8 y d = 7; 2 a  3c 9 ¿

2e  2 f e  3 f

7½ 19 33 y e ¾ f 6¿ 4 4 2 g  2h 9 ½ 2b  d 6 ½ 15 13 25 43 y b ; y g ¾ a ¾ h 2b  3d 8 ¿  g  3h 8 ¿ 2 4 2 4 Solucionados ambos sistemas y obtenemos las matrices pedidas: § 33 19 · § 15 13 · ¨ 4 4 ¸¸ . ’ C ¨ 2 2¸ y D ¨ ¨¨ ¸¸ ¨ 43 25 ¸ ¨ ¸ ©8 7¹ © 4 4 ¹

E J E M P L O 1.1.15 Determine la matriz M de modo que satisfaga la relación § 3 1· § 5 7· M¨ ¸=¨ ¸. © -2 2 ¹ © -5 9 ¹ SO L U C I O N Para resolver este problema, debemos tomar una matriz M de 2 x 2 cuyos elementos son desconocidos y los establecemos de la siguiente manera: § a b ·§ 3 1 · § 5 7 · § 3a  2b a  2b · § 5 7 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨ ¸ ¨ ¸. c d  2 2  5 9 © ¹© ¹ © ¹ © 3c  2d c  2d ¹ © 5 9 ¹ Dos matrices se dice son iguales si sus correspondientes elementos son iguales, por tanto 3a  2b 5 ½ ¾ Ÿ 4a = 12 Ÿ a = 3 y b = 2; a  2b 7 ¿ 3c  2d c  2d

5 ½ ¾ Ÿ 4c = 4 Ÿ c = 1 y d = 4 9 ¿

Por lo tanto §3 2· M =¨ ¸. ’ ©1 4¹

E J E M P L O 1.1.16 Encontrar todas las matrices de orden dos que conmutan con la matriz § CosT SenT · A ¨ ¸. © SenT CosT ¹ SO L U C I O N Multiplicamos a la matriz A por la izquierda y derecha por una matriz 2 x 2 de variables: § a b ·§ CosT SenT · § CosT  SenT ·§ a b · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ © c d ¹© SenT CosT ¹ © SenT CosT ¹© c d ¹ Igualando los elementos de estas matrices, establecemos un sistema de ecuaciones: ­ aCosT  bSenT aCosT  cSenT ­ (b  c ) SenT 0 ° aSenT  bCosT bCosT  dSenT °( a  d ) SenT 0 ° ° Ÿ ® ® cCos T  d S en T a S en T  cCos T ° °( a  d ) SenT 0 °¯ cSenT  dCosT bSenT  dCosT °¯ (b  c ) SenT 0 Si SenT z 0, entonces: b + c = 0 Ÿ b = -c y a - d = 0 Ÿ a = d por lo tanto la matriz buscada es § d c · ¨ ¸ , para todo c, d  R. ’ ©c d ¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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E J E M P L O 1.1.17 Dadas las matrices A, B, ¿en qué condiciones son válidas las siguientes ecuaciones? a.- (A + B)2 = A 2 + 2A B + B 2; b.- (A + B)(A - B) = (A - B)(A + B) = A 2 - B 2. SO L U C I O N a.- (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A A + A B + B A + B B si A B = B A = A 2 + 2A B + B 2. b.- (A + B)(A - B) = A A - A B + B A - B B si A B = B A = A2 - B2 (A - B)(A + B) = A A + A B - B A - BB si A B = B A = A 2 - B 2. ’ EJ E M P L O 1.1.18 Dadas las matrices A, B, C, D, suponga que todas las operaciones están definidas; demuestre entonces, a partir de la definición de multiplicación de matrices, que: (A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = A C + A D + B C + B D. Bajo qué hipótesis están definidas todas las operaciones? SO L U C I O N Realizamos el producto (A + B)(C + D) = A C + A D + B C + BD = (A C + A D) + (B C + B D) = A(C + D) + B(C + D) Las matrices A y B deben ser de orden m x n y las matrices C + D de orden n x p. ’ E J E M P L O 1.1.19 Si A, B, C son tres matrices tales que A C = C A y B C = C B, pruébese que: (A B ± B A)C = C(A B ± B A). SO L U C I O N Tenemos como hipótesis que tanto A y C como B y C son conmutativas para el producto, entonces: (A B ± B A)C = A B C ± B A C = A C B ± B C A = C A B ± C B A = C(A B ± B A). ’ EJ E M P L O 1.1.20 Dadas las matrices §1 0 2· §1 3 0· §6 5 7· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ A ¨ 0 1 1 ¸ , B ¨ 0 4 1 ¸ , C ¨ 2 2 4 ¸ . ¨ 3 3 6¸ ¨ 2 0 2¸ ¨ 2 3 0¸ © ¹ © ¹ © ¹ Muestre que A C = B C, sin embargo, A z B. SO L U C I O N Primero realizamos el producto A C y luego B C: § 1 0 2 ·§ 6 5 7 · §12 11 19 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ A C ¨ 0 1 1 ¸¨ 2 2 4 ¸ ¨ 5 5 10 ¸ ; ¨ 2 0 2 ¸¨ 3 3 6 ¸ ¨18 16 26 ¸ © ¹© ¹ © ¹ § 1 3 0 ·§ 6 5 7 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ 0 4 1¸¨ 2 2 4 ¸ ¨ 2 3 0 ¸¨ 3 3 6 ¸ © ¹© ¹ De esta manera queda demostrado que A C = B C BC

§12 11 19 · ¨ ¸ ¨ 5 5 10 ¸ . ¨18 16 26 ¸ © ¹ sin que A = B. ’

E J E M P L O 1.1.21 Muestre que A y B conmutan si y sólo si A - DI y B - DI conmutan para un cierto escalar unidad. SO L U C I O N Realizamos los productos correspondientes a (A - DI)(B - DI) y (B - DI)(A - DI): (A - DI)(B - DI) = (B - DI)(A - DI) ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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A B - DA I - DIB + D2 II = B A - DB I - DI A + D2 II A B - DA - DB + D2 I 2 = B A - DB - DA + D2 I 2 A B = B A. ’ EJ E M P L O 1.1.22 §a b · Sea A ¨ ¸ una matriz de 2 x 2 con ad ± bc z 0. Encuentre una matriz B tal d¹ ©c que A B = B A = I. SO L U C I O N Realizamos los productos A B = I y B A = I, luego resolvemos los sistemas de ecuaciones lineales generados por cada uno de ellos: ­ ax  bz 1 d c ­ z ° cx  dz 0 °° x ad  bc ; § a b ·§ x y · § 1 0 · ° ad  bc AB ¨ Ÿ ® ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ®  b a c d z u 0 1 ay  bu 0 © ¹© ¹ © ¹ °y ° ; u °¯ °¯ cy  du 1 ad  bc ad  bc ­ ax  cy 1 d ­ x ; °bx  dy 0 ° x y a b 1 0 § ·§ · § · ° ° ad  bc Ÿ Ÿ BA ¨ ® ® ¸¨ ¸ ¨ ¸ b © z u ¹© c d ¹ © 0 1 ¹ °y ° az  cu 0 ; °¯ °¯ bz  du 1 ad  bc Por lo tanto la matriz B tiene la forma siguiente: b · § d ¨ ad  bc ad  bc ¸ ¸. ’ B ¨ a ¸ ¨ c ¨ ¸ © ad  bc ad  bc ¹

z u

c ad  bc . a ad  bc

E J E M P L O 1.1.23 Demuestre que si A B = O y B z O, no existe ninguna matriz C tal que C A = I. SO L U C I O N Si A = O por ser B z O, la no existencia de la matriz C para que C A = I, es obvia. Si A z O y B z O, entonces A z O, C A z C O, C A z O para que C A = I necesariamente la matriz C debe ser la inversa de A, en caso contrario no podemos obtener C A = I. ’ E J E M P L O 1.1.24 Sea A una matriz de n x n. Suponga que A B = B para toda matriz B de n x n. Pruebe que A = I. SO L U C I O N Tenemos que: A B = B Ÿ A B ± B = O Ÿ (A ± I)B = O. Por hipótesis B z O, entonces A ± I = O, de donde A = I. ’ E J E M P L O 1.1.25 Encuentre un ejemplo para probar que existen matrices no cuadradas A y B, tales que A B = I. Específicamente, pruebe que existe una matriz A de m x n y una matriz B de n x m, tales que A B es la matriz identidad de m x m. Demuestre que B A no es la matriz identidad de n x n. Pruebe en general que, si m z n, entonces A B y B A no pueden ser ambas matrices identidad. SO L U C I O N §a b · § 1 3 1· ¨ ¸ Sea A ¨ ¸ y B ¨ c d ¸ , entonces: ©4 2 1 ¹ ¨e f ¸ © ¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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§a b · b  3d  f · § 1 0 · § 1 3 1· ¨ ¸ § a  3c  e ¨ ¸¨ c d ¸ ¨ ¸ ¨ ¸. 4 2 1 4 a  2 c  e 4 b  2d  f ¹ © 0 1 ¹ © ¹¨ e f ¸ © © ¹ Igualando las matrices, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: (1) ­ a  3c  e 1 ­§ a b · ½ (2) °° 4 a  2c  e 0 (1)  (2) ­ 5 a  5c 1 °¨ ¸ 5 a  5c 1 ° Ÿ B c d Ÿ ® ® ®¨ ¾. ¸ (3) °b  3d  f 0 (3)  (4) ¯5b  5d 1 °¨ e f ¸ 5b  5d 1° ¹ ¯© ¿ (4) °¯ 4b  2d  f 1 Como comprobación, podemos escoger la matriz B de la siguiente manera: 3· § 3 ¨ 5  10 ¸ ¨ ¸ § 1 3 1· ¨ 2 1 ¸ §1 0· AB ¨ ¸¨ ¨ ¸. 2 ¸ ©0 1¹ ©4 2 1 ¹¨ 5 ¸ 6 ¸ ¨8 ¨ ¸ 5 ¹ © 5 Con esto queda demostrado que existen matrices no cuadradas, tales que el producto A B es la matriz I. A continuación, vamos a demostrar que el producto B A no es la matriz I: 3· 6 9· § 3 § 3  ¸ ¨ 5  10 ¸ ¨ 5 5 10 ¨ ¸ ¨ ¸ §1 0 0· 2 1 ¸ § 1 3 1· ¨ 8 1 9 ¸ ¨ ¸ ¨ BA ¨  z ¨0 1 0¸ . ’ ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ 4 2 1 5 2 © 5 10 ¹ ¨ 5 ¨ ¸ ¸ ¨© 0 0 1 ¸¹ 6 ¸ ¨8 ¨ 16  12 14 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 5 ¹ 5 5 ¹ © 5 © 5 AB

E J E M P L O 1.1.26 Suponga que la tercera columna de B es la suma de las primeras dos columnas. ¿Qué se puede decir sobre la tercera columna de A B? ¿Por qué? SO L U C I O N La tercera columna de A B es la suma de las primeras dos columnas de A B. He aquí por qué. Denotemos las primeras tres columnas de B por b1, b2, b3. Si b3 = b1 + b2, entonces la tercera columna de A B es A b3 = A b1 + A b2, por una propiedad de la multiplicación de matrices. ’ EJ E M P L O 1.1.27 Un comerciante de radios, tiene 10 radios de tamaño I, 15 de tamaño II y 8 de tamaño III. Los radios de tamaño I se venden a $60 cada uno los de tamaño II en $47 cada uno y los de tamaño III se venden a $40 cada uno. Calcular el precio de venta de su existencia de radios. SO L U C I O N Construimos una matriz A en la cual constan la cantidad de radios de cada uno de los tamaños y, una matriz B de precios por tamaño. Realizamos el producto de A B para obtener el precio de venta de la existencia de radios § 60 · 10 15 8 ¨¨ 47 ¸¸ $1625 . ’ ¨ 40 ¸ © ¹ EJ E M P L O 1.1.28 Una empresa utiliza tres tipos de materias primas P1, P2 y P3 en la elaboración de tres productos Q1, Q2 y Q3. El número de unidades de P1, P2 y P3 usados por cada unidad de Q1 son 4, 3 y 2 respectivamente, por cada unidad de Q2 son 5, 3 y 4, ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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respectivamente, y por cada unidad de Q3 son 2, 5 y 3 respectivamente. Suponga que la empresa produce 28 unidades de Q1, 18 unidades de Q2 y 39 unidades de Q3 a la semana. a.- ¿Cuál es el consumo semanal de materia prima? b.- Si los costos por unidad para P1, P2 y P3 son 60, 52 y 18, respectivamente, ¿cuáles son los costos de las materias primas por unidad de Q1, Q2 y Q3? c.- ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la producción de Q1, Q2 y Q3? SO L U C I O N a.- Para obtener el consumo semanal de la materia prima, construimos la matriz A de unidades por producto y una matriz B de cantidad de materia prima por producto y luego realizamos el producto A B § 4 3 2· ¨ ¸ A B 28 18 39 ¨ 5 3 4 ¸ 280 333 245 . ¨ 2 5 3¸ © ¹ b.- Los costos de materia prima por unidad de cada producto lo calculamos de la siguiente manera: a la matriz B del inciso anterior le multiplicamos la matriz C de costos por unidad para cada tipo de materia prima, es decir § 4 3 2 ·§ 60 · § 432 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ B C ¨ 5 3 4 ¸¨ 52 ¸ ¨ 528 ¸ . ¨ 2 5 3 ¸¨ 18 ¸ ¨ 434 ¸ © ¹© ¹ © ¹ c.- Si sumamos los tres tipos de materia prima, obtenemos la cantidad total gastada a la semana en la producción de los tres productos P1 + P2 + P3 = 280 + 333 + 245 = 858. ’ EJ E M P L O 1.1.29 Demostrar que la igualdad A B ± B A = I es imposible. SO L U C I O N Sea § a11 a12 ... a1n · § b11 b12 ... b1n · ¨ ¸ ¨ ¸ a a ... a b21 b22 ... b2 n ¸ 21 22 2n ¸ A ¨ , B ¨ , ¨ ... ... ¨ ... ... ... ¸ ... ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © an1 an 2 ... an n ¹ © bn1 bn 2 ... bn n ¹ n n § n · ¨ ¦ a1k bk 1 ¦ a1k bk 2 ... ¦ a1k bkn ¸ k 1 k 1 ¨k 1 ¸ ¨ n ¸ n n ¨ ¦ a2 k bk 1 ¦ a2 k bk 2 ... ¦ a2 k bkn ¸ AB ¨k 1 ¸, k 1 k 1 ¨ ¸ ... ... ... ¨ ¸ n n ¨ n ¸ ¨ ¦ ank bk 1 ¦ ank bk 2 ... ¦ ank bkn ¸ ¨ ¸ k 1 k 1 ©k 1 ¹ n n n § · ¨ ¦ b1k a k 1 ¦ b1k a k 2 ... ¦ b1k a kn ¸ k 1 k 1 ¨k 1 ¸ ¨ n ¸ n n ¨ ¦ b2 k a k 1 ¦ b2 k a k 2 ... ¦ b2 k a kn ¸ BA ¨k 1 ¸. k 1 k 1 ¨ ¸ ... ... ... ¨ ¸ n n ¨ n ¸ ¨ ¦ bnk a k 1 ¦ bnk a k 2 ... ¦ bnk a kn ¸ ¨ ¸ k 1 k 1 ©k 1 ¹ Entonces la suma de los elementos diagonales de la matriz A B es igual a ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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n

n

¦¦ aik bki , que es exactamente igual a la suma de los elementos diagonales para la i 1k 1

matriz B A. Por consiguiente, la suma de los elementos diagonales de la matriz A B ± B A es igual a cero, y la igualdad A B ± B A = I es imposible. ’ T E O R E M A 1.1.7 Sean A = (a ij), B = (bij) y C = (c ij), matrices compatibles para el producto, entonces (A B)C = A(B C). D E M OST R A C I O N Sean A, B, C matrices compatibles para el producto y D = B C, entonces para todo i, j natural § m · (d ij ) ¨ ¦ bik ckj ¸ . ©k 1 ¹ Sea E = A D, entonces para todo i, j natural § m · §m § m ·· § m m · (eij ) ¨ ¦ air d rj ¸ ¨ ¦ air ¨ ¦ brk ckj ¸ ¸ ¨ ¦¦ air brk ckj ¸ . ¨ ¸ ©r 1 ¹ ©r 1 ©k 1 ¹¹ © r 1 k 1 ¹ Por otra parte, sea F = A B, entonces para todo i, j natural § m · ( f ij ) ¨ ¦ aik bkj ¸ . ©k 1 ¹ Sea G = F C, entonces para todo i, j natural §m · §m§m · · § m m · ( g ij ) ¨ ¦ f ir crj ¸ ¨ ¦ ¨ ¦ aik bkr ¸ c rj ¸ ¨ ¦¦ aik bkr c rj ¸ . ¨ ¸ ©r 1 ¹ © r 1© k 1 ¹ ¹ © r 1k 1 ¹ Obtenemos E = G y, por tanto (A B)C = A(B C). De este teorema se deduce que el producto de varias matrices dispuestas en un orden determinado no depende de cómo se coloquen los paréntesis. Por esto podemos hablar no sólo sobre el producto de dos matrices, sino también sobre el producto de un número mayor de matrices. T E O R E M A 1.1.8 Sean A = (a ij), B = (bij) y C = (c ij), matrices compatibles para el producto y suma respectivamente, entonces A(B + C) = A B + A C. D E M OST R A C I O N Sea D = B + C, entonces (dij) = (bij + c ij). Si E = A D, entonces § m · (eij ) ¨ ¦ ai k d k j ¸ ©k 1 ¹ § m · ¨ ¦ ( ai k bk j  ai k ck j ) ¸ ©r 1 ¹ § m · § m · ¨ ¦ ai k bk j ¸  ¨ ¦ ai k ck j ¸ ©r 1 ¹ ©r 1 ¹ = AB + A C .

T E O R E M A 1.1.9 Sean A = ( a ij), B = (bij) y C = (c ij), matrices compatibles para la suma y el producto respectivamente, entonces (B + C)A = B A + C A. D E M OST R A C I O N Sea D = B + C, entonces (dij) = (bij + c ij). Si E = D A, entonces ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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§m · §m · § m · § m · (eij ) ¨ ¦ dik akj ¸ ¨ ¦ (bik  cik ) akj ¸ ¨ ¦ bik akj ¸  ¨ ¦ cik akj ¸ ©k 1 ¹ ©r 1 ¹ ©r 1 ¹ ©r 1 ¹

BA + CA .

De las propiedades 1.1.8 y 1.1.9 se desprende directamente la siguiente regla general: para multiplicar una suma de matrices por otra hay que multiplicar cada matriz de la primera suma por cada matriz de la segunda suma y sumar los productos obtenidos. Si las operaciones indicadas en uno de los miembros son posibles, las operaciones indicadas en el otro miembro también son posibles y los resultados obtenidos en ambos miembros coinciden. T E O R E M A 1.1.10 Sean A = (a ij), I = (Gij) matrices cuadradas de igual orden. En las matrices cuadradas es posible definir un elemento neutro respecto del producto matricial, llamado matriz unidad o identidad, representado por I, que cumple A I = I A = A. D E M OST R A C I O N Si D = A I, entonces § m · (d ij ) ¨ ¦ aik Gkj ¸ ( aij G jj ) ( aij ) ©r 1 ¹ Si E = I A, entonces §m · (eij ) ¨ ¦ Gik akj ¸ (Gii aij ) ( aij ) ©r 1 ¹ Por tanto, D = E = A. T E O R E M A 1.1.11 Sean A = (a ij), B = (bij) matrices compatibles para el producto. En general, el producto de dos matrices no es conmutativo, y, por tanto A B z B A. D E M OST R A C I O N Si D = A B, entonces § m · (d ij ) ¨ ¦ aik bkj ¸ ©r 1 ¹ Si E = B A, entonces § m · (eij ) ¨ ¦ bik a kj ¸ ©r 1 ¹ Claramente observamos que D z E y, por tanto, en general el producto de matrices no es conmutativo. EJ E M P L O 1.1.30 Demuestre que A B z B A dadas las matrices A

i· § 2  i 4  3i ¨ ¸, © 7 6  9i 1  i ¹

B

§ 8  4i ¨ 6 ¨ ¨ 3  2i ©

5i · ¸  2i ¸ . 4  5i ¸¹

SO L U C I O N 5i · § 8  4i i ·¨ 6i  4 · § 2  i 4  3i ¸ § 42  21i 6  2i ¸ ¨ ¨ ¸¨ ¸; 7 6  9 i 1  i 97  25 i 27  24i ¹ © ¹ ¨ 3  2i 4  5i ¸ © © ¹ 5i · § 8  4i § 20  35i 38i  1 9  8i · i · ¨ ¨ ¸ § 2  i 4  3i ¸ 2i ¸ ¨ ¸ ¨ 12  8i 42  6i 6i  2 ¸ . ¨ 6 7 6  9 i 1  i ¹ ¨ 32  42i 83i  19 7  4i ¸ ¨ 3  2i 4  5i ¸ © © ¹ © ¹

AB

BA

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Por tanto A B z B A. ’ EJ E M P L O 1.1.31 Dadas las matrices S S· S S· § § ¨ Sen 4 Cos 4 ¸ ¨ Tan 4  Sen 4 ¸ ¸, B ¨ ¸. A ¨ ¨  Cos S Sen S ¸ ¨ Sen S Tan S ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 4 4¹ 4 4 ¹ © © Demuestre que A B = B A. SO L U C I O N Realizamos el producto A B: S S ·§ S S· § ¨ Sen 4 Cos 4 ¸¨ Tan 4  Sen 4 ¸ ¸¨ ¸ AB ¨ ¨  Cos S Sen S ¸¨ Sen S Tan S ¸ ¨ ¸¨ ¸ 4 4 ¹© 4 4 ¹ © § 2 2 ·§ 2· ¨ ¸¨ 1  ¸ 2 ¸¨ 2 ¸ ¨ 2 ¨ ¸ 2 2 ¸¨ 2 1 ¸ ¨ ¸¨ 2 ¹© 2 © 2 ¹ También efectuamos el producto B A: S S ·§ S § ¨ Tan 4  Sen 4 ¸¨ Sen 4 ¸¨ BA ¨ ¨ Sen S Tan S ¸¨  Cos S ¨ ¸¨ 4 4 ¹© 4 ©

§ ¨ 1 ¨ ¨ 2 ¨ © 2 Por tanto A B = B A. ’



2 ·§ 2 ¸¨ 2 ¸¨ 2 ¸¨ 2 1 ¸¨  ¹© 2

2· ¸ 2 ¸ 2¸ ¸ 2 ¹

§ 2 1 ¨ ¨ 2 ¨1 2 ¨ © 2

2 1 · ¸ 2 ¸. 2 1¸ ¸ 2 ¹

S· Cos ¸ 4¸ S¸ Sen ¸ 4¹

§ 2 1 ¨ ¨ 2 ¨1 2 ¨ © 2

2 1 · ¸ 2 ¸ . 2 1 ¸ ¸ 2 ¹

 

%  CALCULAR  LA  MULTIPLICACION  DE  MATRICES   clc;;clear;;   fprintf('\n  PRODUCTO  ENTRE  MATRICES  \n')   fil1=input('Ingrese  el  numero  de  filas  de  la  matriz  A  :    ');;   col1=input('Ingrese  el  numero  de  columnas  de  la  matriz  A:    ');;   fil2=input('Ingrese  el  numero  de  filas  de  la  matriz  B  :    ');;   col2=input('Ingrese  el  numero  de  columnas  de  la  matriz  B:  ');;   if  (col1==fil2)          %Ingreso  de  elementos          fprintf('Matriz  A:\n')                  for  f=1:fil1                          for  c=1:col1                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  A:(%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('Matriz  B:\n')                  for  f=1:fil2                          for  c=1:col2                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  B:(%d,%d)',f,c)                                  B(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')   ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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       A          fprintf('  LA  MATRIZ  B  ES:\n')          B          fprintf('  LA  MATRIZ  PRODUCTO  C  ES:\n')          C=A*B   else          fprintf('\n  Las  dimensiones  no  coinciden\n')   end  

A continuación damos de forma general, la multiplicación de hipermatrices. Consideremos las matrices A1p · § A 11 A 12 B1n · § B11 B12 ¨ ¸ ¨ ¸ A2p ¸ B 2n ¸ ¨ A 21 A 22 ¨ B 21 B 22 A ¨ y . B ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨¨ ¸ ¨ A m1 A m 2 B pn ¸¹ A mp ¸¹ © B p1 B p 2 © divididas en submatrices A ik y B kj de manera que el número de columnas de la submatriz A ik sea igual al número de filas de la submatriz B kj. En estas condiciones las expresiones C ij = A i1 B 1j + A i2 B 2j + ... + A ip B pj tienen sentido. Por tanto § ¦ A 1k B k 1 ¦ A 1k B k 2 ¦ A 1k B km ·¸ ¨ k k k ¨ ¸ ¦ A 2 k B km ¸ ¨ ¦ A 2 k B k1 ¦ A 2 k B k 2 k k A B ¨ k ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¦ A nk B km ¸ ¨ ¦ A nk B k 1 ¦ A nk B k 2 k k © k ¹ es decir, las matrices divididas de manera adecuada en submatrices pueden ser multiplicadas de la forma corriente. D E F IN I C I O N 1.1.11 Si A y B son dos hipermatrices cuyas submatrices son (A ik), (B kj), para todo i, j, k  , respectivamente, la hipermatriz producto C = A B se define como § · C (cij ) ¨ ¦ A ik B kj ¸ , para todo i, j, k  . © k ¹ EJ E M P L O 1.1.32 Determine A B, dadas las matrices §4 3 5 ¨ ¨0 4 6 A ¨1 2 3 ¨ ¨1 2 5 ¨1 0 3 ©

2 3 6 6 5

1· ¸ 8¸ 2¸ y B ¸ 7¸ 1 ¸¹

§0 ¨ ¨1 ¨2 ¨ ¨1 ¨2 ©

3 3 4 4 4

9 6 6 6 8

1· ¸ 3¸ 8¸ . ¸ 3¸ 5 ¸¹

SO L U C I O N El producto A B se establece de la siguiente manera: § A 11B11 + A 1 2 B1 2 A 11B1 2 + A 1 2 B 2 2 · § C11 C12 · AB = ¨ ¸= ¨ A 21B11 + A 2 2 B 21 A 21B1 2 + A 2 2 B 2 2 ¸ ¨© C 21 C 22 ¸¹ © ¹ § 2 4 6· § 4 3 ·§ 0 3 9 · § 5 2 1 · ¨ ¸ C11 ¨ ¸¨ ¸¨ ¸¨1 4 6¸ © 0 4 ¹© 1 3 6 ¹ © 6 3 8 ¹ ¨ 2 4 8 ¸ © ¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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C12

§ 3 21 54 · §14 32 50 · § 17 53 ¨ ¸¨ ¸ ¨ © 4 12 24 ¹ © 31 68 118 ¹ © 35 80 §8· § 4 3 ·§ 1 · § 5 2 1 · ¨ ¸ § 13 · § 51 ·  ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 3¸ ¨ ¸  ¨ ¸ © 0 4 ¹© 3 ¹ © 6 3 8 ¹ ¨ 5 ¸ ©12 ¹ © 97 ¹ © ¹

§1 ¨ C 21 ¨1 ¨1 © §2 ¨ ¨2 ¨0 © C 22

2· §3 ¸§0 3 9· ¨ 2¸¨  ¸ 5 1 3 6 ¹ ¨¨ © ¸ 0¹ ©3 9 21· § 16 44 ¸ ¨ 9 21¸  ¨ 30 72 3 9 ¸¹ ¨© 13 36

6 2 ·§ 2 4 ¸¨ 6 7 ¸¨ 1 4 5 1 ¸¨ ¹© 2 4 70 · § 18 ¸ ¨ 122 ¸ ¨ 32 56 ¸¹ ¨© 13

§1 2 · § 3 6 2 ·§ 8 · ¨ ¸ §1· ¨ ¸¨ ¸ ¨1 2 ¸ ¨ 3 ¸  ¨ 5 6 7 ¸¨ 3 ¸ © ¹ ¨1 0 ¸ ¨ 3 5 1 ¸¨ 5 ¸ © ¹ © ¹© ¹

§ 17 ¨ ¨ 35 A B = ¨ 18 ¨ ¨ 32 ¨ 13 ©

104 · ¸. 142 ¹ § 64 · ¨ ¸. © 109 ¹

6· ¸ 6¸ 8 ¸¹

53 91 · ¸ 81 143 ¸ . 39 65 ¸¹ § 7 · § 52 · § 59 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 7 ¸  ¨ 93 ¸ ¨ 100 ¸ . ¨ 1 ¸ ¨ 44 ¸ ¨ 45 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

53 104 80 142 53 91 81 143 39 65

64 · ¸ 109 ¸ 59 ¸ . ’ ¸ 100 ¸ 45 ¸¹

EJ E M P L O 1.1.33 Dada §O I · A =¨ ¸ ©B O¹ donde las submatrices O, I, B son de k x k. Determine A 2 y A 4. SO L U C I O N Realizamos el producto A A y luego A 2 A 2 y obtenemos los resultados correspondientes: OI + IO · § B § O I ·§ O I · § O + I B A2 = AA = ¨ ¸¨ ¸=¨ ¸=¨ B O B O B O + O B BI + O ¹ © O © ¹© ¹ ©

§B A4 = A2A2 = ¨ ©O

O ·§ B ¸¨ B ¹© O

O · § B2 + O ¸=¨ B ¹ ¨© O B + B O

B O + O B · § B2 ¸=¨ O + B 2 ¸¹ ¨© O

O· ¸; B¹

O· ¸. ’ B 2 ¸¹

Las propiedades entre hipermatrices son las mismas que estudiamos anteriormente.

PR O B L E M AS 1.1.1 Multiplicar las matrices: § 1 2 1 ·§ 2 3 1 ·§ 1 2 1 · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ a.- ¨ 0 1 2 ¸¨ 1 1 0 ¸¨ 0 1 2 ¸ ; ¨ 3 1 1 ¸¨ 1 2 1¸¨ 3 1 1 ¸ © ¹© ¹© ¹ § a b c · §1 a c · ¨ ¸¨ ¸ b.- ¨ c b a ¸ ¨1 b b ¸ . ¨ 1 1 1 ¸ ¨1 c a ¸ © ¹© ¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

1.1.2 Pruebe que si A es una matriz de n x n y B = a A + b I, siendo a, b números reales, entonces A y B son conmutativas. 1.1.3 Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos cubos son iguales a la matriz nula. 1.1.4 Pruebe que las matrices A y B son conmutativas, si y solamente si C = a A + b B y D = c A + d B lo son, donde a, b, c, d son números reales. JOE GARCIA ARCOS

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1.1.5 Dadas las matrices §1· §1· §1· §0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ A ¨ 2¸ , B ¨ 0¸ , C ¨ 4¸ , D ¨0¸ . ¨ 3¸ ¨ 2¸ ¨ 4¸ ¨1¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ a.- Encuentre escalares a y b tales que C = a A + b B; b.- Demuestre que no existen escalares a y b tales que D = a A + b B; c.- Encuentre escalares no nulos a, b, c tales que a A + b B + c C = O.

1.1.14 Demuestre que si A es una matriz de m x n, n > m, entonces existe un vector columna no nulo para el cual A v = O.

1.1.6 Hallar todas las matrices se segundo orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz nula.

1.1.16 Demuestre que si A es una matriz de n x n tal que A v = v para cualquier vector columna, entonces A = I.

1.1.7 Hallar todas siguiente matriz: § 1 2 · a.- ¨ b.¸; ©4 1 ¹

1.1.17 Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz identidad.

§2 d.- ¨ © 1 § 1 g.- ¨ ©3

las matrices conmutativas con la

1· ¸; 1¹

§ 1 2 · ¨ ¸; © 2 1 ¹ §3 4· e.- ¨ ¸; ©5 1¹

§ 1 1· c.- ¨ ¸; © 1 1¹ § 2 3 · f.- ¨ ¸; ©2 4 ¹

4· ¸; 2¹

§ 3 8· h.- ¨ ¸; © 3 1¹

§ 1 4 · i.- ¨ ¸. © 2 8¹

1.1.8 Hallar todas las matrices conmutativas con la siguiente matriz: § 1 1 1· § 0 1 4 · ¨ ¸ ¨ ¸ a.- ¨ 1 1 1 ¸ ; b.- ¨ 3 2 1 ¸ ; ¨ 1 1 1¸ ¨ 1 1 3 ¸ © ¹ © ¹ § 5 1 3· § 4 5 1· ¨ ¸ ¨ ¸ c.- ¨ 2 1 1 ¸ ; d.- ¨ 1 3 0 ¸ ; ¨ 1 1 3 ¸ ¨ 2 0 1¸ © ¹ © ¹ § 1 3 0 · ¨ ¸ e.- ¨ 2 1 3 ¸ ; ¨ 5 2 1¸ © ¹

§ 1 1 7 · ¨ ¸ f.- ¨ 2 3 1 ¸ . ¨1 4 1¸ © ¹

1.1.9 Encuentre matrices A y B de 2 x 2 tales que A B = O pero B A z O. 1.1.10 Hallar todas las matrices de tercer orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz nula. 1.1.11 Hallar todas las matrices de tercer orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz identidad. 1.1.12 Suponga que la última columna de A B es completamente cero pero B misma no tiene ninguna columna de ceros. ¿Qué se puede decir sobre las columnas de A? 1.1.13 Demuestre que si el producto A B es de n x n, entonces el producto B A está definido. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

1.1.15 que A

Encuentre una matriz B tal que A B C = D dado § 3 7· ¨ ¸ ¨ 2 1 ¸ , C ¨ 5 3¸ © ¹

§9 3 5· § 2 5 4· ¨ ¸ ¨ ¸ , D ¨7 2 4¸ . © 9 6 2¹ ¨7 5 0¸ © ¹

1.1.18 Hallar todas las matrices reales de segundo orden, cuyos cubos son iguales a la matriz identidad. 1.1.19 Hallar todas las matrices reales de segundo orden, cuyas cuartas potencias son iguales a la matriz identidad. 1.1.20 Hállese la familia de matrices de la forma § a 0 0· ¨ ¸ A ¨0 b c¸ ¨0 d e¸ © ¹ 2 tales que A = I. 1.1.21 Encontrar una matriz A de 4 x 4 cuyos elementos cumplan la condición siguiente: a.- aij = i ± j; b.- aij = mín{i, j}; c.- a ij = j1+ j; d.- a ij = ~i - j~; ­ 1 si i  j ! 1 ° e.- a ij = máx{i, j}; f.- aij ® . ° ¯1 si i  j d 1 1.1.22 Pruebe con un ejemplo que si B tiene una columna de ceros, entonces A B tiene una columna correspondiente de ceros. 1.1.23 Encuentre una matriz A tal que: §1 2 4 · § 1 2 1· ¨ ¸ ¨ ¸ a.- A 3 ¨ 0 3 1¸ ; b.- A 2 ¨ 3 0 2 ¸ ; ¨ 0 5 1¸ ¨0 0 3 ¸ © ¹ © ¹ § 2 0 0· § 1 2 1· ¨ ¸ ¨ ¸ c.- A 3 ¨ 1 3 2 ¸ ; d.- A 2 ¨ 1 0 2 ¸ . ¨ 1 1 1 ¸ ¨ 1 2 1 ¸ © ¹ © ¹ 1.1.24 Sean A y B matrices tales que el producto A B está definido. Demuestre que si A tiene dos columnas idénticas, entonces las dos columnas correspondientes de A B también son idénticas. JOE GARCIA ARCOS

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1.1.25 Represente como un producto de matrices las siguientes expresiones: a.- x2 + 5y2 ± 4z2 + 2xy ± 4xz; b.- 4x2 + y2 + z2 ± 4xy + 4xz ± 3yz; c.- 2x2 + 18y2 + 8z2 ± 12xy + 8xz ± 27yz; d.- -12x2 ± 3y2 ± 12z2 + 12xy ± 24xz + 8yz; e.- 3x2 + 2y2 ± z2 ± 2u2 + 2xy ± 4yz + 2yu; f.- 4x2 + y2 + 9z2 ± 12xz; g.- 2x2 + 3y2 + 6z2 ± 4xy ± 4xz + 8yz; h.- 3x2 + 10y2 + 25z2 ± 12xy ± 18xz + 40yz; i.- 5x2 + 5y2 + 2z2 + 8xy + 6xz + 6yz; j.- 2x2 + 9y2 + 3z2 + 8xy ± 4xz ± 10yz. 1.1.26 Encuentre una matriz A de orden 2 x 2, tal que A B = I si 3 · §i B ¨ ¸. ©1 1  3i ¹ 1.1.27 Comprobar que las identidades algebraicas (A + B)2 = A 2 + 2A B + B 2 y (A + B)(A ± B) = A 2 ± B 2 no son ciertas para las matrices de 2 x 2: § 1 3 · § 0 1 · A ¨ ¸ y B ¨ ¸ © 4 5¹ © 2 3 ¹ Modificar el segundo miembro de esas identidades para obtener fórmulas válidas para todas las matrices cuadradas A y B. ¿Para qué matrices A y B son válidas las identidades establecidas anteriormente? 1.1.28 Sean A y B matrices de n x n. Demuestre que si todos los elementos de la j-ésima columna de A son nulos entonces todos los elementos de la j-ésima columna de A B son nulos. 1.1.29 Hállese la familia de matrices de la forma § a 0 0· ¨ ¸ A ¨0 b c¸ ¨0 d e¸ © ¹ 2 tales que A = O. 1.1.30 Construya una matriz aleatoria A de 4 x 4 y compruebe si (A + I)(A ± I) = A 2 ± I. La mejor manera de hacer esto es calcular (A + I)(A ± I) ± (A 2 ± I) y verificar que esta diferencia sea la matriz cero. Hágalo para tres matrices al azar. Luego haga la prueba para (A + B)(A ± B) = A 2 ± B 2 procediendo de la misma manera con tres pares de matrices de 4 x 4 al azar. Informe los resultados. 1.1.31 Sea A

§0 0· ¨ ¸ . Demuestre que para toda ma©0 1¹

triz B de 2 x 2 (A B ± A B A)2 = (B A ± A B A)2 = O. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

1.1.32 Encuentre todas conmuten con la matriz §1 ¨ 1 A ¨ ¨0 ¨ ©0

las matrices de 4 x 4 que 1 1 1 0

0 1 1 1

0· ¸ 0¸ . 1¸ ¸ 1¹

1.1.33 La matriz PARA A PARA B PARA C DE A 1.50 1.25 1.05 DE B 0.75 0.50 0.45 DE C 0.35 0.45 0.95 representa la proporción de una población de electores que cambia del partido i al partido j en una elección dada. Es decir, pij (i z j) representa la proporción de la población de electores que cambia del partido i al partido j y pii representa la proporción que permanece leal al partido i de una elección a otra. Encuentre el producto de P con sí misma. ¿Qué representa este producto? 1.1.34 Pruebe con un ejemplo que si A tiene una fila de ceros, entonces A B tiene una fila correspondiente de ceros. 1.1.35 Suponga que se quiere calcular la cantidad de dinero que se tiene al cabo de n años si invertimos $ 250 a un interés compuesto anual del, 4.5, 5, 5.5 %. Si colocamos P dólares durante un año a un interés r, entonces el valor que se tiene al final del año es Capital final = P + rP = (1 + r)P. Encuentre el monto al final del tercero y cuarto años de una inversión de $ 250 al interés de 4.5, 5 y 5.5 %, respectivamente. 1.1.36 El costo en dólares de comprar un boleto aéreo de la ciudad A a cada una de las cuatro ciudades B, C, D y E, está relacionado en la matriz P = (75 62 35 55). Si la directiva de la aviación civil aprueba un incremento del 12% en las tarifas. Hallar las nuevas tarifas. 1.1.37 Suponga que una matriz de n x n satisface la ecuación A 2 ± 2A + I = O. Demuestre que A 3 = 3A - 2I y que A 4 = 4A ± 3I. 1.1.38 Demuestre que si ambos productos A B y B A están definidos, entonces A B y B A son matrices cuadradas. 1.1.39 Tres máquinas de gaseosas se localizan en un centro comercial. El contenido de estas máquinas se presenta en la siguiente matriz de inventario: A B C Maquina I 65 32 84 Maquina II 92 65 36 Maquina III 45 72 93 JOE GARCIA ARCOS

MATRICES

Los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que contiene cada máquina. Suponga que la matriz de ventas para el día siguiente es A B C Maquina I 53 25 70 Maquina II 80 60 30 Maquina III 35 65 85 donde los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que vende cada máquina. Hallar la matriz de inventario al final del día. 1.1.40 Un comerciante de radios, tiene 10 radios de tamaño I, 15 de tamaño II y 8 de tamaño III. Los radios de tamaño I se venden a $60 cada uno los de tamaño II en $47 cada uno y los de tamaño III se venden a $40 cada uno. Calcular el precio de venta de su existencia de radios. 1.1.41 Un fabricante de sacos los produce en color negro, azul y rojo para hombres, mujeres y niños. La capacidad de producción en miles en la planta A está dada por la matriz Hombres Mujeres Niños Negro 3 5 6 Azul 2 3 4 Rojo 5 1 3 La producción en la planta B está dada por Hombres Mujeres Niños Negro 2 3 3 Azul 4 2 5 Rojo 1 3 2 a.- Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de sacos en ambas plantas. b.- Si la producción en A se incrementa en un 15% y la de B en un 30%, encuentre la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de saco. 1.1.42 Sean A y B dos matrices de 3 x 3. Demuestre que la ecuación matricial A B ± B A = I no tiene solución. 1.1.43 Una empresa utiliza tres tipos de materias primas P1, P2 y P3 en la elaboración de tres productos Q1, Q2 y Q3. El número de unidades de P1, P2 y P3 usados por cada unidad de Q1 son 4, 3 y 2 respectivamente, por cada unidad de Q2 son 5, 3 y 4, respectivamente, y por cada unidad de Q3 son 2, 5 y 3 respectivamente. Suponga que la empresa produce 28 unidades de Q1, 18 unidades de Q2 y 39 unidades de Q3 a la semana: a.- ¿Cuál es el consumo semanal de materia prima? b.- Si los costos por unidad para P1, P2 y P3 son 60, 52 y 18, respectivamente, ¿cuáles son los costos de las materias primas por unidad de Q1, Q2 y Q3? ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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c.- ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la producción de Q1, Q2 y Q3? 1.1.44 Sean las matrices § 2 2· § 1 1· §1· A ¨ ¸, B ¨ ¸, C ¨ ¸, © 3 2¹ © 0 1¹ ©0¹ § 3· D 2 1 , E ¨ ¸ . ©1¹ Encuéntrese cada uno de los productos que se piden, y compruébese el resultado mediante la multiplicación directa: § A O ·§ B O · § A B ·§ A O · a.- ¨ ¸¨ ¸ ; b.- ¨ ¸¨ ¸; O B O I © ¹© ¹ © B A ¹© I B ¹ §A c.- ¨ ©D

C ·§ E ¸¨ O ¹© O

I· ¸; D¹

§A ¨ d.- ¨ O ¨O ©

O B O

O ·§ I · ¸¨ ¸ O ¸¨ O ¸ . O ¸¹ ¨© B ¸¹

1.1.45 Utilizando el programa hecho anteriormente, realice el producto por partición entre las matrices 4 5· § 1 1 2 3 ¨ ¸ 3 0 1 3¸ ¨6 2 A ¨ i 1 i 2 9 0 1¸ ¨ ¸ 5 i 2 7¸ ¨6 4 ¨ 4 81 56 92 102 15 ¸ © ¹ y § i 93 67 34 0 0.5 · ¨ ¸ ¨ 1 i 4 8 3 0 ¸ ¨ 8 56 71 23 41 3 ¸ B ¨ ¸. 0 ¸ ¨ 1 1 6 2 9 ¨0 2 1 3 4 5 ¸ ¨¨ ¸ 3 ¸¹ ©6 9 6 2 1 1.1.46 Una fábrica elabora muebles de comedor y sala en dos sitios. La matriz proporciona el costo total de manufactura de cada producto en cada lugar (suponga que solamente hay costos de mano de obra y de material): SITIO1 SITIO 2 COMEDOR 65 45 SALA 50 60 a.- Dado que la mano de obra corresponde a casi 2/5 del costo total, determine la matriz B que proporciona los costos de mano de obra para cada producto en cada sitio. b.- Encuentre la matriz C que da los costos de material para cada producto en cada sitio. 1.1.47 En un ecosistema, ciertas especies proveen de comida a otras. El elemento a ij de la matriz de consumo es igual al número de unidades de la especie j consumidas diariamente por un individuo de la especie i. JOE GARCIA ARCOS

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MATRICES

Construya la matriz ( a ij) para el siguiente ecosistema simple que consiste de tres especies: a.- Cada especie consume en promedio 1 unidad de cada una de las otras especies. b.- La especie 1 consume una unidad de la especie 2; la especie 2 consume ½ unidad de cada una de las especies 1 y 3; la especie 3 consume 2 unidades de la especie 1.

c.- La especie 1 consume 2 unidades de la especie 3; la especie 2 consume 1 unidad de la especie 1; la especie 3 no consume de ninguna de las otras especies.

1.1.48 Cierta empresa cuenta con cuatro fábricas, cada una de ellas produce dos productos: FABRICA 1 FABRICA 2 FABRICA 3 FABRICA 4 PRODUCTO1 125 105 95 80 PRODUCTO 2 55 60 75 60 Determine los niveles de producción que habría si ésta se incrementase en un 25 %. 1.1.49 Un agricultor cosecha dos veces al año, las cuales se distribuyen a cuatro mercados: MERCADO1 MERCADO 2 MERCADO 3 MERCADO 4 COSECHA 1 125 105 95 80 COSECHA 2 55 60 75 60 La ganancia en una unidad del producto i se representa en la matriz B

1.25

3.25 .

Encuentre el producto B A y explique qué representa cada elemento de este producto. 1.1.50 La siguiente tabla, que puede ser vista como una matriz, da el costo en centavos de un kilo de cada uno de los productos en tres supermercados: CARNE PESCADO POLLO PAPAS ARROZ SUPERMERCADO 1 80 35 65 25 25 SUPERMERCADO 2 85 40 70 30 30 SUPERMERCADO 3 75 45 65 35 35 Si se compran 4 kilos de carne, 4 kilos de pescado, 3 kilos de pollo, 10 kilos de papas, 10 kilos de arroz, encuentre el costo total en cada uno de los supermercados. 1.1.51 Una compañía tiene plantas en cuatro provincias, I, II, III y IV, y cuatro bodegas en los lugares P, Q, R y S. El costo en miles de dólares de transportar cada unidad de su producto de una planta a una bodega está dado por la matriz Prov. I Prov. II Prov. III Prov. IV Bodega P 13 12 17 12 Bodega Q 19 17 13 15 Bodega R 8 9 11 13 Bodega S 19 21 9 15 a.- Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en $500 por unidad, ¿cuál es la nueva matriz? b.- Si los costos de transportación se elevan en un 25%, escriba los nuevos costos. 1.1.52 Una empresa produce tres tamaños de radios en tres modelos diferentes. La producción en miles en su planta A está dada por la matriz Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3 Modelo 1 20 32 25 Modelo 2 15 15 29 Modelo 3 12 27 30 ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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MATRICES

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La producción en miles en su planta B está dada por la matriz Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3 Modelo 1 35 42 19 Modelo 2 25 35 25 Modelo 3 12 18 21 a.- Escriba una matriz que represente la producción total de radios en ambas plantas. b.- El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en C, la cual tendrá una vez y cuarto la capacidad de la planta en A. Escriba la matriz que representa la producción en la planta C. c.- ¿Cuál sería la producción total de las tres plantas? 1.1.53 La siguiente tabla da el costo en centavos de un kilo de mariscos en tres diferentes supermercados: CAMARON CONCHA CALAMAR SUPERMERCADO 1 0.95 1.10 0.45 SUPERMERCADO 2 0.90 0.95 0.50 SUPERMERCADO 3 0.93 1.00 0.55 Si un comprador compra 3 kilos de camarón, 2 kilos de concha y 4 kilos de calamar, encuentre el costo total en cada uno de los supermercados.

1.2 C L ASI F I C A C I O N D E L AS M A T RI C ES C U A DR A D AS En esta sección clasificamos y definimos las diversas partes de una matriz cuadrada, se introduce términología básica, enunciamos sus correspondientes propiedades. Las matrices cuadradas, desempeñan un papel muy importante en todos los aspectos del álgebra de matrices. Su estructura requiere un análisis particular, el cual se discutirá a continuación, de modo que no resulte incomprensible el estudio de las operaciones que pueden efectuarse sobre este particular tipo de matrices. D E F IN I C I O N 1.2.1 Sea A una matriz cuadrada de n x n. Dentro de este tipo de matrices, podemos distinguir tres regiones que se definen de la siguiente manera: a.- La diagonal principal, está formada por los elementos a ij para los cuales i = j. b.- El triángulo superior, está formado por los elementos a ij para los cuales i < j. c.- El triángulo inferior, está formado por los elementos a ij para los cuales i > j. Es decir, la diagonal principal de una matriz cuadrada son todos los elementos que se encuentran en la línea que va del vértice superior de la izquierda al inferior de la derecha. La diagonal secundaria la forman los elementos de una matriz que se encuentran en la línea que va del vértice superior derecho al inferior izquierdo. De la definición anterior, podemos distinguir algunas matrices cuya estructura permite una clasificación bien determinada. D E F IN I C I O N 1.2.2 Se dice que una matriz T = (tij) de orden n, es triangular superior (inferior) si existen elementos tij = 0, con i > j (i < j). Este tipo de matrices se determinan, cuando los elementos situados debajo (encima) de la diagonal principal son nulos. Es decir: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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MATRICES

T

T

§ t11 ¨ ¨0 ¨ ¨ ¨0 © § t11 ¨ ¨ t2 1 ¨ ¨ ¨ tn 1 ©

t1 2 t2 2 0 0

t2 2 tn 2

t1 n · ¸ t2 n ¸ ¸ , ti j = 0 si i > j; ¸ t n n ¸¹ 0 · ¸ 0 ¸ ¸ , tij = 0 si i < j. ¸ t n n ¸¹

T E O R E M A 1.2.1 La adición de dos matrices triangulares, ambas superiores o inferiores, es una matriz triangular superior o inferior. D E M OST R A C I O N Sean A = (a ij), con a ij = 0, para todo i > j y B = (bij), con bij = 0, para todo i > j. A + B = (a ij) + (bij) = (a ij + bij) = (cij), con c ij = 0, para todo i > j. Sean A = (a ij), con a ij = 0, para todo i < j y B = (bij), con bij = 0, para todo i < j. A + B = (a ij) + (bij) = (a ij + bij) = (cij), con c ij = 0, para todo i < j. T E O R E M A 1.2.2 El producto de dos matrices triangulares, ambas superiores o inferiores, es una matriz triangular superior o inferior. D E M OST R A C I O N Sean T = (tij) con tij = 0, para todo i > j y T´ = (t´ij) con t´ij = 0, para todo i > j, las matrices triangulares superiores. C = T T´, poseerá el elemento general

cij = ti1t´1j + ti2t´2j «ti nt´n j =

n

¦ ti k t´k j k 1

que en este caso se transforma en cij

n

¦

k t1, k d j

tik t´kj , ya que, de otra manera, algún

sumando se anulará. La suma, pues, sólo estará definida para aquellos valores del índice k que cumplan i d k d j, luego, c ij z 0 si i d j y, c ij = 0 si i > j, por tanto, C es triangular superior. De forma análoga se demuestra cuando son triangulares superior. EJ E M P L O 1.2.1 Sea

a a  3b  c 2 a  b  c · § ¨ ¸ A ¨ a  b  c 1 b a bc ¸ ¨ b  3c ¸ 2 a  2b  c c © ¹ Analice en qué condiciones es la matriz: a.- Triangular superior; b.- Triangular inferior. SO L U C I O N a.- Para que la matriz A sea triangular superior, debe resolverse el siguiente sistema de ecuaciones no homogéneo: ­ a  b  c 1 0 ° ®b  3c 0 °2 a  2b  c 0 ¯ lo cual implica que a ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

5  , b = - 2, c 3



2 . Por tanto la matriz buscada tiene la 3 JOE GARCIA ARCOS

MATRICES

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forma siguiente: § 5 · ¨  3 7 6 ¸ ¨ ¸ A ¨ 0 2 3 ¸ ¨ 2¸ ¨ 0 0  ¸ 3¹ © b.- Para que la matriz A sea triangular inferior, debe resolverse el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo: ­ a  3b  c 0 ° ®2 a  b  c 0 °a bc 0 ¯ lo cual implica que a = b = c = 0. Por tanto la matriz buscada tiene la forma siguiente: § 5 · 0 ¸ ¨ 3 0 ¨ ¸ A ¨ 1 2 0 ¸ . ’ ¨ 2¸ ¨ 0 0  ¸ 3¹ ©

D E F INI C I O N 1.2.3 Se dice que una matriz T de n x n es estrictamente triangular, si es triangular superior (inferior) y además posee la diagonal principal nula. Este tipo de matrices se las puede visualizar a continuación: t1n · § 0 t12 t13 ¨ ¸ t2 n ¸ ¨ 0 0 t2 3 ¸ , t i j = 0 si i t j; T ¨ ¨ ¸ 0 t n 1 n ¸ ¨0 0 ¨ ¸ 0 0 0 ¹ ©0 0 0 0 0· § 0 ¨ ¸ t 0 0 0¸ ¨ 21 ¸ , t = 0 si i d j. T ¨ ¨ ¸ ij 0¸ ¨ t n 11 tn 1 2 t n 13 ¨¨ ¸ tn 2 t n 3 t n n 1 0 ¸¹ © tn 1 EJ E M P L O 1.2.2 Las llamadas matrices de giro de Pauli son §0 1 · § 0 i · §1 0 · S( x ) ¨ ¸ , S( y ) ¨ ¸ , S( z ) ¨ ¸. 0¹ ©1 0¹ ©i © 0  1¹ Demuestre que S(x)S(y) = iS(z), S(y)S(x) = -iS(z), S2(x) = S2(y) = S2(z) = I. SO L U C I O N § 0 1 ·§ 0 i · § i 0 · § 1 0 · S( x)S( y) ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ i¨ ¸ i S( z ) ; © 1 0 ¹© i 0 ¹ © 0 i ¹ © 0 1¹ § 0 i ·§ 0 S( y)S( x) ¨ ¸¨ © i 0 ¹© 1 § 0 1 ·§ 0 1 · S 2 ( x) ¨ ¸¨ ¸ © 1 0 ¹© 1 0 ¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

1 · § i 0 · §1 0 · ¸ ¨ ¸ i ¨ ¸ i S( z ) ; 0¹ © 0 i ¹ © 0 1¹ § 1 0· ¨ ¸ I; ©0 1¹ JOE GARCIA ARCOS

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MATRICES 2 0 · § 0 i ·§ 0 i · § i S2 ( y) ¨ ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¨ © i 0 ¹© i 0 ¹ © 0 i 2 ¸¹ § 1 0 ·§ 1 0 · § 1 0 · S2 ( z ) ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ I. © 0 1¹© 0 1¹ © 0 1 ¹

§1 0· ¨ ¸ I; ©0 1¹

’

EJ E M P L O 1.2.3 Las matrices M(s), N(t) y P(u) están definidas por §s 0 · §1 0 · §1 u · ¸ M (s) ¨ 1 ¸ , N (t ) ¨ ¸ , P (u ) ¨ ¸, ¨¨ 0 t 1 ¸ © ¹ © 0 1¹ s¹ © siendo s z 0. Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que una matriz §a b · A ¨ ¸, d¹ ©c pueda ponerse en la forma M(s)N(t)P(u) es a z 0 y ad ± bc = 1. SO L U C I O N Como A = M(s)N(t)P(u), entonces su · §s 0· §s §a b · ¨ ¸ §1 0 ·§ 1 u · Ÿ § a b · ¨ ¸ 1 ¸¨ t tu 1 ¸ ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¨ ¸ d ¹ ¨¨ 0 d ¹ ¨¨  ¸ ¸ © t 1 ¹© 0 1 ¹ ©c ©c s¹ © ©s s s¹ ­a s ° °b su Ÿ u b si a z 0 ° a ° t ® ° c s Ÿ t ac ° ° d 1 (tu  1) Ÿ d 1 § ac b  1· Ÿ d 1 (cb  1) Ÿ ad  bc 1 °¯ s a ¨© a ¸¹ a Por lo tanto, a z 0 y ad ± bc = 1. ’ D E F IN I C I O N 1.2.4 Se dice que una matriz cuadrada es diagonal si, los triángulos superior e inferior son nulos. Es decir: 0 0 · § d11 ¨ ¸ 0 ¸ ¨ 0 d2 2 D ¨ ¸ , di j = 0 si i < j e i > j. ¨ ¸ ¨ 0 ¸ 0 0 d n n © ¹ Debido a su estructura peculiar, las matrices diagonales también pueden denotarse como Diag(a11, a22, ..., ann), en la cual debe existir algún elemento no nulo.

T E O R E M A 1.2.3 La adición de dos matrices diagonales es una matriz diagonal. D E M OST R A C I O N Sean A = Diag(a11, a22, ..., ann) y B = Diag(b11, b22, ..., bnn), entonces A + B = Diag(a11, a22, ..., ann) + Diag(b11, b22, ..., bnn) = Diag(a11 + b11, a22 + b22, ..., ann + bnn). Lo cual indica que es una matriz diagonal.

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T E O R E M A 1.2.4 El producto de dos matrices diagonales de igual orden es una matriz diagonal. D E M OST R A C I O N Sean A = Diag(a11, a22, ..., ann) y B = Diag(b11, b22, ..., bnn), se tiene entonces que aij = Gijai = Gijaj y bij = Gijbi = Gijbj, por tanto, la matriz producto C = AB tiene como elemento general cij = ai1b1j + ai2b2j «ai kbkj = Gi1G1jaibj + Gi 2G2jaibj «GikGkjaibj = Gijaibj. T E O R E M A 1.2.5 Una matriz diagonal conmuta con todas las matrices diagonales. D E M OST R A C I O N Sea A = Diag(a11, a22, ..., ann) y B = Diag(b11, b22, ..., bnn), matrices diagonales conocidas, mediante el teorema anterior, tenemos que A B = Diag(a1b1, a2b2, ..., anbn). Del mismo modo tenemos que B A = Diag(b1a1, b2a2, ..., bnan). Por tanto A B = B A. D E F INI C I O N 1.2.5 Se dice que una matriz T = (tij) de orden n, es tridiagonal si al menos un elemento de la diagonal principal y la paralela situada por encima y por debajo, es diferente de cero. De forma general, una matriz de este tipo se expresa como

T

§ t11 t1 2 ¨ ¨ t2 1 t2 2 ¨ 0 t 32 ¨ ¨ ¨ ¨ 0 0 ©

0 · ¸ 0 ¸ 0 ¸¸ . ¸ ¸ t n n ¸¹

0

t2 3 t3 3 0

D E F IN I C I O N 1.2.6 Se dice que una matriz T de orden n es banda si existen enteros p y q, 1 < p, q < n, con la propiedad de que tij = 0 siempre que i + p d j o j + q d i. El ancho de banda para una matriz de este tipo se expresa como r = p + q ± 1. La definición de la matriz banda forzó a estas, a concentrar todos sus elementos no nulos alrededor de la diagonal principal, es decir

T

§ t1,1 t1,2 ¨ ¨ t2 1 t2 2 ¨t t ¨ 31 3 2 ¨ 0 t4 2 ¨ ¨ ¨ 0 0 ©

t1,3 0 t2 3 t2 4 t3 3

t3 4

t4 3 t4 4 0

0

0 · ¸ 0 ¸ 0 ¸ ¸. 0 ¸ ¸ ¸ t n n ¸¹

Las matrices tridiagonales son un caso particular de las matrices banda. EJ E M P L O 1.2.4 Sean a y b números tales que a z b. Encuentre todas las matrices A de 2 x 2 tales que § a 0 · § a 0· A¨ ¸ ¨ ¸A . © 0 b¹ © 0 b¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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MATRICES

SO L U C I O N §x ¨ ©z § x y ·§ a ¨ ¸¨ © z u ¹© 0 ­ ax °by ° ® ° az °¯ bu

Haciendo que A

y· ¸ , entonces: u¹ 0· § a ¸ ¨ b¹ © 0 ax ay Ÿ bz Ÿ bu

0 ·§ x y · § ax by · § ax ay · ¸¨ ¸ Ÿ ¨ ¸ ¨ ¸ b ¹© z u ¹ © az bu ¹ © bz bu ¹

( a  b) y 0 Ÿ y 0, si a z b ( a  b) z 0 Ÿ z 0, si a z b

Por tanto A

§ x 0· ¨ ¸. ’ ©0 u¹

EJ E M P L O 1.2.5 Sea D una matriz diagonal de 3 x 3 con los elementos de la diagonal principal distintos de cero. Encuentre una matriz diagonal E tal que D E = E D = I. SO L U C I O N § a 0 0· § x 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ Sean D ¨ 0 b 0 ¸ y E ¨ 0 y 0 ¸ , entonces: ¨0 0 c¸ ¨0 0 z¸ © ¹ © ¹ 1 ­ ° ax 1 Ÿ x a , § a 0 0 ·§ x 0 0 · § 1 0 0 · ° 1 ° ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ , 0 b 0 0 y 0 0 1 0 ®by 1 Ÿ y ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ b ° ¨ 0 0 c ¸¨ 0 0 z ¸ ¨ 0 0 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹ ° 1 ° cz 1 Ÿ z c , ¯ por otro lado tenemos: 1 ­ ° xa 1 Ÿ x a , § x 0 0 ·§ a 0 0 · § 1 0 0 · ° 1 ° ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ , 0 y 0 0 b 0 0 1 0 ® yb 1 Ÿ y ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ b ° ¨ 0 0 z ¸¨ 0 0 c ¸ ¨ 0 0 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹ ° 1 ° zc 1 Ÿ z c , ¯ Por lo tanto, la matriz buscada tiene la forma siguiente: §1 · ¨ a 0 0¸ ¨ ¸ 1 ¨ E ¨0 0 ¸¸ . ’ b ¨ ¸ ¨ 0 0 1¸ ¨ c ¸¹ ©

az0 bz0, cz0

az0 bz0. cz0

EJ E M P L O 1.2.6 Sean D una matriz diagonal y A una matriz arbitraria m x n: a.- Si A D está definida. ¿Cuál es la relación entre A y A D?; b.- Si D A está definida. ¿Cuál es la relación entre A y D A? SO L U C I O N a.- Como A es de m x n, entonces D debe ser de n x n, para que A D esté definida y sea de m x n. Por lo tanto la relación entre las matrices A y A D es que tienen igual orden, es decir son matrices rectangulares de m x n. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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b.- Como A es de m x n, entonces D debe ser de m x m, para que D A esté definida y sea de m x n. Por lo tanto la relación entre las matrices A y D A es que tienen igual orden, es decir son matrices rectangulares de m x n. ’ Siguiendo con las hipermatrices, en el caso de matrices cuadradas resulta necesario, como regla general, dividirlas de manera que las submatrices diagonales también sean cuadradas. Es fácil ver que, divididas dos matrices cuadradas en submatrices de manera que las submatrices diagonales sean cuadradas y que los ordenes de las submatrices diagonales correspondientes coincidan, esta división satisface tanto las condiciones en las que es posible la adición submatriz por submatriz, como las condiciones que son necesarias para poder multiplicarlas como hipermatrices. Además para poder realizar la multiplicación de una hipermatriz por sí misma es necesario y suficiente que todas sus submatrices diagonales sean cuadradas. Toda hipermatriz de tipo § A 11 O « O · ¨ ¸ O A 22 « O ¸ ¨ A= ¨ ¸ ¨¨ ¸ O « A pp ¸¹ © O donde A 11, A 22« A pp son submatrices cuadradas y O son submatrices nulas de dimensiones adecuadas, se llama hipermatriz diagonal. Una hipermatriz cuadrada se denomina hipermatriz triangular si todas sus submatrices en la diagonal principal, es decir, A 11, A 22, ..., A pp son cuadradas y todas las submatrices que se encuentran por un lado de la diagonal principal son nulas. Además podemos decir que si A y B son dos hipermatrices triangulares con los mismos órdenes de las correspondientes submatrices diagonales y los ceros por un lado de la diagonal, su producto A B también será una hipermatriz triangular con los mismos órdenes de las submatrices diagonales y los ceros por el mismo lado de la diagonal.

PR O B L E M AS 1.2.1 Pruebe con un ejemplo que para multiplicar dos hipermatrices cuadradas es suficiente que las submatrices diagonales sean cuadradas, con la particularidad de que los órdenes de las correspondientes submatrices diagonales sean iguales entre sí. 1.2.2 Demuestre que para multiplicar dos hipermatrices cuadradas es suficiente que las submatrices diagonales sean cuadradas, con la particularidad de que los órdenes de las correspondientes submatrices sean iguales entre sí. 1.2.3 Una condición necesaria y suficiente para que la matriz B de orden n conmute con una matriz diagonal A, es que B sea una matriz diagonal. ¿Cómo tiene que ser la matriz diagonal A para que conmute con cualquier matriz B del mismo orden que A? 1.2.4 Sea D una matriz diagonal de 3 x 3 con los elementos de la diagonal principal distintos de cero. Encuentre una matriz diagonal E tal que D E = E D = I. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

1.2.5 Encontrar una matriz diagonal A de 3 x 3 que cumpla lo siguiente: §1 0 0 · §1 0 0· ¸ ¸ 5 ¨ 3 ¨ a.- A ¨ 0 1 0 ¸ ; b.- A ¨ 0 10 0 ¸ ; ¨ 0 0 10 ¸ ¨0 0 1¸ © ¹ © ¹ §10 0 0 · §7 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ c.- A 4 ¨ 0 1 0 ¸ ; d.- A 25 ¨ 0 5 0 ¸ . ¨ 0 0 1¸ ¨ 0 0 3¸ © ¹ © ¹ 1.2.6 Describa el producto A B si A es una matriz diagonal de n x n y B es una matriz de n x n. Si en la matriz diagonal A se tiene que a11 = a22 = ... = ann, ¿cómo cambian los resultados? 1.2.7 Pruebe con un ejemplo que para realizar la multiplicación por bloques de una hipermatriz por sí misma es necesario y suficiente que todas sus submatrices diagonales sean cuadradas. JOE GARCIA ARCOS

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1.2.8 Demuestre que si A y B son dos matrices hipertriangulares con los mismos órdenes de las correspondientes submatrices diagonales y los ceros por un lado de la diagonal, su producto A B también será una matriz hipertriangular con los mismos órdenes de las submatrices diagonales y los ceros por el mismo lado de la diagonal.

1.2.9 Demuestre que si A y B son matrices diagonales de n x n, entonces A B = B A.

1.3 M A T RI Z T R A NSPU EST A En esta sección se introduce la terminología básica y se define la matriz transpuesta, analizamos sus casos particulares si la matriz es cuadrada, enunciamos sus correspondientes propiedades. Sea A cualquier matriz. Considérese la matriz a partir de A intercambiando filas y columnas, de manera que la primera columna de A se convierta en la nueva fila de la nueva matriz, la segunda columna se convierta en la segunda fila, etc. La matriz obtenida a partir de A intercambiando filas y columnas de este modo se denomina transpuesta de la matriz A. D E F I N I C I O N 1.3.1 Sea A = (a ij) una matriz de n x m. Mediante la transposición se obtiene una nueva matriz de m x n, representada por A T = (aji) cuyos elementos se obtienen intercambiando filas por columnas. La transpuesta de una matriz es una aplicación de (n x m) en (m x n), determinada mediante la regla de formación f : (n x m) o (m x n) A o AT (aij) o (a ij)T = (aji), para todo i, j  . Es decir, mediante la transposición se intercambian las filas de la matriz original por sus columnas. A continuación, damos algunas de las propiedades más importantes de la transpuesta de una matriz. T E O R E M A 1.3.1 Para toda matriz A = (a ij), se cumple que (A T)T = A. D E M OST R A C I O N Sea A = (a ij) una matriz cualquiera, entonces (A T)T = ((a ij)T)T = (a ji)T = (a ij) = A. T E O R E M A 1.3.2 Para toda matriz A = (a ij) y para todo número k, se cumple que (k A)T = k A T. D E M OST R A C I O N Sea A = (a ij) una matriz cualquiera y sea k un número, entonces (k A)T = (k(aij))T = (ka ij)T = (ka ji) = k(a ji) = k A T. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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T E O R E M A 1.3.3 Para todo par de matrices A = (a ij) y B = (bij), se cumple que (A + B)T = A T + B T. D E M OST R A C I O N Sean A= (a ij) y B = (bij) matrices de igual orden, entonces: (A + B)T = (a ij + bij)T = (c ij)T = (c ji) = (a ji + bji) = (a ji) + (bji) = A T + B T. T E O R E M A 1.3.4 Para todo par de matrices A = (a ij) y B = (bij), compatibles para el producto, se cumple (A B)T = B T A T. D E M OST R A C I O N Sean A = (a ij) de n x k y B = (bij) de k x m. Entonces A B es de n x m y (A B)T es de m x n. B T es de m x k y A T es de k x n, así que B T A T también es de m x n. Para probar que (A B)T = B T A T, debemos ver que el elemento (i, j) de (A B)T es igual al elemento (i, j) de B T A T. Escribimos A T = (a´ij) y B T = (b´ij). Notemos que a´ij = a ji y b´ij = bji. El elemento (i, j) de B T A T es k

k

k

t 1

t 1

t 1

¦ b´it a´tj ¦ bti a jt ¦ a jt bti y la última suma es exactamente el elemento (j, i) de A B. Pero éste es el elemento (i, j) de (A B)T. Así pues, los elementos (i, j) de B T A T y de (A B)T son lo mismo; por lo tanto, B T A T = (A B)T. EJ E M P L O 1.3.1 Si A conmuta con B, demuestre que A T conmuta con B T. SO L U C I O N Siendo A B = B A, debemos probar que A T B T = B T A T. Es decir: A T B T = (B A)T = (A B)T = B T A T. ’ EJ E M P L O 1.3.2 Suponga que A es n x n y X es n x 1. Demuestre que X T A X es de 1 x 1. Si X = B Y, demuestre que X T A X = Y T(B T A B)Y. SO L U C I O N Conocemos que A es de n x n y X es de n x 1. Entonces X T A X es (1 x n)(n x n)(n x 1) = 1 x 1. Como X = B Y entonces X T A X = (B Y)T A(B Y) = (Y T B T)A(B Y) = Y T(B T A B)Y. ’ %  TRANSPUESTA  DE  UNA  MATRIZ   clc;;clear;;   fprintf('\n  TRANSPUESTA  DE  UNA  MATRIZ  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  filas:  ');;   col=input('Ingrese  el  numero  de  columnas:  ');;          %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:fil                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end   fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end   ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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       fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          B=A.'   end  

D E F IN I C I O N 1.3.2 Una matriz cuadrada A se denomina simétrica, si se cumple que esta matriz es igual a su transpuesta, es decir: A = A T. Es claro que una matriz simétrica debe ser cuadrada; es simétrica con respecto a la diagonal principal, es decir que, una reflexión en la diagonal principal deja a la matriz sin cambio. Una matriz simétrica de n x n no tiene sus n2 elementos arbitrarios puesto que a ij = a ji, ambos uno encima y otro debajo de la diagonal principal.

n2  n . Los elementos 2 de la diagonal son también arbitrarios. Entonces, el número total de elementos n2  n n(n  1) n arbitrarios en una matriz simétrica de n x n es . 2 2 El número de elementos de arriba de la diagonal principal es

EJ E M P L O 1.3.3 Dadas dos matrices simétricas A, B de orden n. ¿Cuándo es el producto A B simétrico? SO L U C I O N Si A = A T y B = B T, entonces A B = (A B)T = B T A T = B A. Por lo tanto el producto A B es simétrico, cuando es conmutativo, es decir A B = B A. ’ T E O R E M A 1.3.5 Para toda matriz cuadrada A, siempre es posible encontrar una matriz simétrica S mediante A + A T. D E M OST R A C I O N Como A es una matriz cuadrada y S = A + A T, entonces debemos probar que ST = S. Es decir ST = (A + A T)T = A T + (A T)T = AT + A = A + AT = S. EJ E M P L O 1.3.4 Si A y B son matrices reales arbitrarias de n x n y A es simétrica, entonces B T A B es simétrica. SO L U C I O N Debemos probar que (B T A B)T = B T A B, conociendo que A = A T: (B T A B)T = B T A T(B T)T = B T A T B = B T A B. ’ EJ E M P L O 1.3.5 Dadas las matrices n x n simétricas A y B, entonces A + B es simétrica. SO L U C I O N Si A = A T y B = B T, entonces debemos probar que (A + B)T = A + B: (A + B)T = A T + B T = A + B. ’ EJ E M P L O 1.3.6 Si A y B son matrices reales arbitrarias de n x n, entonces A B T + B A T es simétrica. SO L U C I O N Debemos probar que (A B T + B A T)T = A B T + B A T. Es decir: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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T T

T T

T T

(A B + B A ) = (A B ) + (B A ) = (B T)T A T + (A T)T B T = B A T + A BT = A B T + B A T. ’ EJ E M P L O 1.3.7 Para cualquier matriz A muestre que los productos A A T y A T A están definidos y son matrices simétricas. SO L U C I O N Si A es n x m, entonces A T es m x n. Por lo tanto A A T es n x n, A T A es m x m y los productos están definidos. Además debemos probar que A A T = (A A T)T y A T A = (A T A)T: (A A T)T = (A T)T A T = A A T y (A T A)T = A T(A T)T = A T A. ’ EJ E M P L O 1.3.8 Dada la matriz

a b a c · § a ¨ ¸ A ¨a b b 2a  b ¸ . ¨bc b  c c ¸¹ © Encuentre una matriz S simétrica. SO L U C I O N Sabemos que S es simétrica si se cumple que S = A + A T. Es decir: a b a c · § a a b b c· § a ¸ ¨ ¸ T ¨ S= A+A b 2a  b ¸  ¨ a  b b bc¸ ¨a b ¨b c b  c c ¸¹ ¨© a  c 2a  b c ¸¹ © 2a a  b  2c · § 2a ¨ ¸ 2b 2 a  2b  c ¸ . ’ ¨ 2a ¨ a  b  2c 2 a  2b  c ¸ 2c © ¹ %  CALCULO  DE  UNA  MATRIZ  SIMETRICA   clc;;clear;;   fprintf('\n  MATRIZ  SIMETRICA  MEDIANTE:  A+At\n')   filcol=input('Ingrese  el  numero  de  filas  y  columnas:  ');;          %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  TRANSPUESTA  B  ES:\n')          B=A.'   end          fprintf('  LA  MATRIZ  SIMETRICA  S  ES:\n')          S=A+A.'   end  

 

%  CALCULO  DE  UNA  MATRIZ  SIMETRICA   clc;;clear;;   fprintf('\n  MATRIZ  SIMETRICA  MEDIANTE:  S=A*At  y  Q=At*A  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  filas:  ');;   col=input('Ingrese  el  numero  de  columnas:  ');;   ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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       %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:fil                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  TRANSPUESTA  B  ES:\n')          B=A.'  

end          fprintf('  LA  MATRIZ  SIMETRICA  S  ES:\n')                  S=A*A.'   end          fprintf('  LA  MATRIZ  SIMETRICA  Q  ES:\n')          Q=A.'*A   end   D E F IN I C I O N 1.3.3 Una matriz cuadrada A se llama antisimétrica, si se cumple que esta matriz es igual al opuesto de la transpuesta, es decir: A = -A T. Una matriz antisimétrica es también una matriz cuadrada, y a ij = - a ji. Luego, los elementos de la diagonal principal son cero, a ii = 0, y el número de elementos n(n  1) arbitrarios en una matriz antisimétrica de n x n es . Los elementos simétricos 2 respecto de la diagonal principal coinciden en una matriz simétrica y son opuestos en una matriz antisimétrica. EJ E M P L O 1.3.9 Sean A y B dos matrices antisimétricas de orden n. Demuestre que A B es antisimétrica si y sólo si B A = -A B. ¿Cuándo es simétrico el producto de dos matrices antisimétricas? SO L U C I O N Como A y B son dos matrices antisimétricas, entonces: A = -A T; B = -B T y B A = A B. Debemos probar que (A B)T = - (A B). (A B)T = B T A T = (- B)(- A) = B A = - (A B). Además, dado A = - A T; B = - B T y A B = - (A B)T. Debemos probar que A B = - B A. A B = - (A B)T = - (B T A T) = - (- B)(- A) = - (B A). T Dado A = - A y B = - B T, debemos encontrar una condición para que (A B)T = A B. (A B)T = B T A T = (- B)(- A) = B A. Por lo tanto, para que el producto de dos matrices antisimétricas sea simétrico es necesario que B A = A B. ’ T E O R E M A 1.3.6 Para toda matriz cuadrada A, siempre es posible encontrar una matriz antisimétrica R mediante A - A T. D E M OST R A C I O N Como A es una matriz cuadrada y R = A - A T, entonces debemos probar que R T = R. Es decir R T = (A - A T)T = A T - (A T)T = AT ± A = - (A - A T) = R. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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T E O R E M A 1.3.7 Una matriz cuadrada A puede expresarse como la adición de una matriz simétrica S y una matriz antisimétrica B. D E M OST R A C I O N Sea S = ½ (A + A T) y B = ½ (A - A T), sumando las matrices S y B, obtenemos: A =S+B = ½ (A + A T) + ½ (A - A T) = ½ A + ½ AT + ½ A - ½ AT = A. EJ E M P L O 1.3.10 Dada la matriz

a b a c · § a ¨ ¸ A = ¨a b b 2a  b ¸ . ¨bc b c c ¸¹ © Encuentre una matriz R antisimétrica. SO L U C I O N Sabemos que R es antisimétrica si se cumple que R = A - A T. Es decir: a b a c · § a a b b c· § a ¨ ¸ ¨ T R A-A b 2a  b ¸  ¨ a  b b b  c ¸¸ ¨a b ¨b c b c c ¸¹ ¨© a  c 2a  b c ¸¹ © 2b a b · § 0 ¨  2 b 0 2 a  c ¸¸ . ’ ¨ ¨  a  b 2 a  c 0 ¸¹ ©

EJ E M P L O 1.3.11 Dada una matriz simétrica A y una matriz antisimétrica B, ambas del mismo orden, demuestre que si A y B conmutan, A B es antisimétrica. SO L U C I O N Si A = A T; B = - B T y A B = B A, entonces debemos probar que (A B)T = A B. (A B)T = B T A T = (- B)(A) = - (B A) = - (A B). ’ EJ E M P L O 1.3.12 Si A y B son matrices antisimétricas, pruebe que A(A B + B A) ± (A B + B A)A es simétrica. SO L U C I O N Sabemos que A T = -A, B T = -B y S = A(A B + B A) ± (A B + B A)A = A 2 B ± B A 2. Por lo tanto, tenemos que mostrar que ST = S; es decir ST = (A 2 B ± B A 2)T = (A 2 B)T ± (B A 2)T = B T(A T)2 ± (A T)2 B T = (-B)(-A)2 ± (-A)2(-B) = -B A 2 + A 2 B = A 2B ± B A 2 = S. De esta manera queda demostrado que A(A B + B A) ± (A B + B A)A es simétrica. EJ E M P L O 1.3.13 Sea A una matriz antisimétrica. Demostrar que A 2n es una matriz simétrica y A 2n+1 es una matriz antisimétrica. SO L U C I O N Por demostrar que A 2n = (A 2n)T, conociendo que A T = -A. n = 1: A 2 = (A 2)T ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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(A 2)T = (A A)T = ((-A T)(-A T))T = (A T A T)T = ((A 2)T)T = A 2. n = k: A = (A 2k)T. Hipótesis inductiva. n = k + 1: A 2k+2 = (A 2k+2)T (A 2k+2)T = (A 2k A 2)T = (A 2)T(A 2k)T = A 2 A 2k = A 2k+2. Por demostrar que A 2n+1 = -(A 2n+1)T, conociendo que A T = -A. n = 1: A 3 = -(A 3)T - (A 3)T = - (A A A)T = - ((-A T)(-A T)(-A T))T = ((A 3)T)T = A 3. 2k+1 n = k: A = -(A 2k+1)T. Hipótesis inductiva. n = k + 1: A 2k+3 = -(A 2k+3)T - (A 2k+3)T = - (A 2k+1 A 2)T = - (A 2)T(A 2k+1)T = - (A A)T(-A 2k+1) = - ((-A T)(-A T)T(-A 2k+1) = - ((A 2)T)T(-A 2k+1) = (-A 2)(-A 2k+1) = A 2k+3. ’ 2k

%  CALCULO  DE  UNA  MATRIZ  ANTISIMETRICA   clc;;clear;;   fprintf('\n  MATRIZ  ANTISIMETRICA  MEDIANTE:  A-­At  \n')   filcol=input('Ingrese  el  numero  de  filas  y  columnas:  ');;          %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  TRANSPUESTA  B  ES:\n')          B=A.'   end          fprintf('  LA  MATRIZ  ANTISIMETRICA  R  ES:\n')          R=A-­A.'   end  

PR O B L E M AS 1.3.1 De ser posible, encuentre matrices de 2 x 2 tales que A T A = A A T.

1.3.6 Comprobar si existe alguna matriz A de 3 x 2 tal que A T A = I.

1.3.2 Si A es una matriz de n x n y X es la matriz de 1 x n, compruebe que

1.3.7 Demuestre que si A T A = A, entonces A es simétrica y A = A 2.

X A XT

n

¦ aii xi2  ¦ aij xi x j . i 1

iz j

1.3.3 Si A A T = I y B B T = I, demuestre que (A B)(A B)T = I. 1.3.4 Demuestre que una matriz simétrica de n x n tiene, n(n  1) en general, elementos distintos y una 2 n(n  1) antisimétrica elementos distintos. 2 1.3.5 Sea A una matriz de n x n. Determine si A es simétrica con la siguiente condición: a.- aij = i2 + j2; b.- a ij = i2 ± j2; c.- a ij = 2i ± 2j; d.- a ij = 2i2 + 2j3. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

1.3.8 Dada la matriz § 2  1 3i  1 4i · ¨ ¸ A ¨ 6  2i 1 3 i ¸ . ¨ ¸ 3 S  S ¹ © 1  6 a.- Exprésese la matriz A como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. b.- Hallar dos matrices simétricas diferentes a la del apartado a). 1.3.9 Encuentre todas las matrices reales A de 3 x 3 para las cuales A T A = O. 1.3.10 Demuestre que si una matriz A de n x n satisface la ecuación A 3 + 4A 2 ± 2A + 7I, entonces A T también la satisface. JOE GARCIA ARCOS

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1.3.11 De ser posible, encuentre todos los valores de a , b y c para los cuales A es simétrica: § 3 3a  b  5c a  4b  2c · ¨ A ¨1 4 a  b  c ¸¸ . ¨1 ¸ 1 5 © ¹

1.3.13 Encuentre matrices antisimétricas A y B de 3 x 3, que satisfagan la condición A B = -B A. 1.3.14 Dadas las matrices § 2 4 6· ¨ ¸ A + B ¨2 3 9¸ , A + AT ¨7 1 7¸ © ¹

1.3.12 Dadas las matrices siguientes: 2  i 3i · § 1 i · § 4 3 ¨ ¸ A ¨ 1 3 0¸, B ¨ ¸, © i 2 1  3i ¹ ¨ 1  i 2  2i 2i ¸ © ¹

B - BT

Hállense A y B.

2 3 · § i 2 · § 1 ¨ ¸ ¨ ¸ C ¨ 4 6¸ , D ¨ 6 8 4i¸. ¨ 3 i ¸ ¨1  3i i i ¸¹ © ¹ © Determine las siguientes operaciones: a.- (3D T ± B T C T)T; b.- B(A ± D)T C; c.- A(B T B ± C C T).

§ 0 0 0· ¨ ¸ ¨0 0 0¸ , ¨ 0 0 0¸ © ¹

§ 0 0 0· ¨ ¸ ¨0 0 0¸ . ¨ 0 0 0¸ © ¹

1.3.15 Si A es una matriz simétrica, demuestre que 2A 2 ± 3ª + I es simétrica.

1.4 M A T RI Z T R A NSPU EST A - C O NJU G A D A En esta sección se introduce la terminología básica y se definen las matrices conjugadas y transpuesta conjugada, analiza mos sus casos particulares si la matriz es cuadrada, enuncia mos sus correspondientes propiedades. D E F IN I C I O N 1.4.1 Mediante la conjugación, una matriz cualquiera A se transforma en una nueva matriz, representada por A , cuyos elementos se construyen mediante la regla f :AoA ( aij ) o ( aij ) ( aij )  i, j  .

Mediante la conjugación se cambian los signos de la parte imaginaria de A. Es decir: Re A = Re A

y Im A = -Im A .

Como casos particulares pueden encontrarse matrices tales que A = A , entonces Im A = 0 , y la matriz A en este caso recibe el nombre de matriz real. Por el contrario, si Re A = 0 , entonces A = A y, a la matriz A se le da el nombre de matriz imaginaria pura. En este último caso la matriz A es expresable como el producto de la unidad imaginaria, considerada como un escalar, por una matriz real. Toda matriz puede ser expresada en la forma A = B + i C, en la cual B y C son matrices reales, e i es la unidad imaginaria. La conjugada de la matriz 5 · § 2 1 i A ¨ ¸ es A 1 4 4  3i ¹ ©

5 · § 2 1 i ¨ ¸. 1 4 4  3i ¹ ©

T E O R E M A 1.4.1 Para toda matriz A = (a ij), se cumple que A = A . D E M OST R A C I O N Si A es una matriz, entonces ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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A = ( aij ) ( aij ) ( a ji )

A.

T E O R E M A 1.4.2 Para toda matriz A = (a ij) y para todo número k, se cumple que ( k A ) k A . D E M OST R A C I O N Dada A una matriz y k un número complejo, entonces ( k A ) ( k ( aij )) ( kaij ) ( k aij ) k ( aij ) k A . T E O R E M A 1.4.3 Para todo par de matrices A = (a ij) y B = (bij) de n x m, se cumple que A+B= A+B . D E M OST R A C I O N Dadas A y B dos matrices compatibles para la suma, entonces A + B = ( aij + bij ) (cij ) (cij ) ( aij  bij ) ( aij )  (bij ) A + B . T E O R E M A 1.4.4 Para todo par de matrices A = (a ik) y B = (bkj) compatibles para el producto, se cumple A B = A B . D E M OST R A C I O N Dadas A y B dos matrices compatibles para el producto, entonces § · § · A B = ¨ ¦ aik bkj ¸ (cij ) (cij ) ¨ ¦ aik bkj ¸ © k ¹ © k ¹

AB .

%  CONJUGADA  DE  UNA  MATRIZ   clc;;clear;;   fprintf('\n  CONJUGADA  DE  UNA  MATRIZ  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  filas:  ');;   col=input('Ingrese  el  numero  de  columnas:  ');;          %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:fil                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  CONJUGADA  B  ES:\n')          B=conj(A)   end  

D E F IN I C I O N 1.4.2 La aplicación sucesiva y de orden indistinto de la conjugación y la transposición sobre una matriz A se representa por A +. La nueva matriz recibe el nombre de matriz conjugada - transpuesta de A y se nota de la siguiente manera: A + = ( A )T = A T .

La transpuesta - conjugada de la matriz A

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5 · § 2 1 i  ¨ ¸ es A 1 4 4  3 i © ¹

1 · § 2 ¨ ¸ 1  i 4 ¸. ¨ ¨ 5 4  3i ¸ © ¹ JOE GARCIA ARCOS

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T E O R E M A 1.4.5 Para toda matriz arbitraria A, se cumple que (A +)+ = A. D E M OST R A C I O N Dada una matriz A arbitraria, entonces ( A + )+ = (( A T ))T

(( A T )T ) = ( A ) = A .

T E O R E M A 1.4.6 Para toda matriz arbitraria A y para todo número k, se cumple que ( k A ) k A  . D E M OST R A C I O N Dada la matriz A arbitraria y k un número complejo, entonces ( k A ) + = ( k A )T = ( k A T ) = k ( A T ) = k A + .

T E O R E M A 1.4.7 Para todo par de matrices A y B de n x m, se cumple que (A + B)+ = A + + B +. D E M OST R A C I O N Dadas A y B dos matrices compatibles para la suma, entonces ( A + B ) + = ( A + B )T = ( A T + B T ) = ( A T ) + ( B T ) = A + + B + .

T E O R E M A 1.4.8 Para todo par de matrices A y B compatibles para el producto, se cumple (A B)+ = B + A +. D E M OST R A C I O N Dadas A y B dos matrices compatibles para la suma, entonces ( A B )+ = ( A B )T = ( B T A T ) = ( B T )( A T ) = B + A + .

EJ E M P L O 1.4.1 Demostrar que si las matrices A y B son conmutables, lo son también las matrices A + y B +. SO L U C I O N Si A B = B A, entonces debemos demostrar que A + B + = B + A +. Es decir: A + B + = (B A)+ = (A B)+ = B + A +. Con lo cual se verifica que A + y B + son conmutables. ’ EJ E M P L O 1.4.2 Demuestre que si A es una matriz compleja y A + A = O, entonces A = O. SO L U C I O N Si A = O, entonces: A + A = A + O Ÿ A + A = O. ’ %  MATRIZ  TRANSPUESTA-­CONJUGADA   clc;;clear;;   fprintf('\n  MATRIZ  TRANSPUESTA-­CONJUGADA  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  filas:  ');;   col=input('Ingrese  el  numero  de  columnas:  ');;          %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:fil                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end   ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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MATRICES

       fprintf('  LA  MATRIZ  CONJUGADA  B  ES:\n')          B=conj(A)   end          fprintf('  LA  MATRIZ  TRANSPUESTA-­CONJUGADA  C  ES:\n')          C=B.'   end  

D E F I N I C I O N 1.4.3 Matrices hermíticas, son las matrices para las cuales la transpuesta conjugada es igual a la matriz original. Es decir: A + = A. A nivel de sus elementos se tiene: ( aij ) ( a ji ) ,  i, j  , luego, ( aii ) ( aii ) ,  i  

y, por tanto, Im aii

0 ,  i  .

E J E M P L O 1.4.3 Si A es una matriz de m x n con elementos complejos, entonces: a.- A A + es hermítica; b.- A + A es hermítica. SO L U C I O N a.- Tenemos que probar que (A A +)+ = A A +. Es decir (A A +)+ = (A +)+ A + = A A +. b.- Tenemos que probar que (A + A)+ = A + A. Es decir (A + A)+ = A +(A +)+ = A + A. ’ E J E M P L O 1.4.4 Dada A arbitraria, demuéstrese: a.- (A A + - A + A) es hermítico; b.- (A A + + A + A) es hermítico. SO L U C I O N a.- Por demostrar que (A A + - A + A) = (A A + - A + A)+. Es decir: (A A + - A + A)+ = (A A +)+ - (A + A)+ = (A +)+ A + - A +(A +)+ = A A + - A + A. b.- Por demostrar que (A A + + A + A) = (A A + + A + A)+. Es decir: (A A + + A + A)+ = (A A +)+ + (A + A)+ = (A +)+ A + + A +(A +)+ = A A + + A + A. ’ E J E M P L O 1.4.5 Toda matriz real y simétrica es hermítica. SO L U C I O N Sea A esta matriz, entonces, A T = A y A = A , luego: A + = ( A )T = A T = A . ’ E J E M P L O 1.4.6 La condición necesaria y suficiente para que el producto de dos matrices hermíticas A y B sea hermítico es que A B = B A. SO L U C I O N Se sabe que A + = A y B + = B, entonces: i.- Supóngase que A B = B A, pero, A B = B A = B + A + = (A B)+ y por lo tanto el producto es hermítico. ii.- Supóngase que A B = (A B)+, entonces: A B = (A B)+ = B + A + = B A y por tanto, A B = B A. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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EJ E M P L O 1.4.7 Sea A = B + i C la descomposición hermítica de una matriz A. Hallar la descomposición hermítica de la matriz A +. SO L U C I O N Para que B + i C sea la descomposición hermítica de la matriz A, entonces, B es real y simétrica, y C es real y antisimétrica. Por tanto, para la descomposición hermítica de A +, las matrices B y C deben cumplir las mismas condiciones y (A +)+ = A. ’ E J E M P L O 1.4.8 Si A es una matriz arbitraria de n x n con elementos complejos, entonces: a.- A + A + es hermítica; b.- A - A + es antihermítica. SO L U C I O N a.- Tenemos que probar que (A + A +)+ = A + A +. (A + A +)+ = A + + (A +)+ = A + + A = A + A +. b.- Tenemos que probar que (A - A +)+ = - (A - A +). (A - A +)+ = A + - (A +)+ = A + - A = - (A - A +). ’ EJ E M P L O 1.4.9 Demuestre que si A es hermítica y A = O, entonces A 2 = O. SO L U C I O N Si A = O, entonces: A + A = A + O Ÿ A + A = O Ÿ A A = O Ÿ A 2 = O. ’ E J E M P L O 1.4.10 Pruébese que toda matriz hermítica A puede escribirse como A = B + i C, siendo B real y simétrica y C real y antisimétrica. SO L U C I O N Debemos probar que A + = A: A + = (B + i C)+ = B + + (i C)+ = B + + i C + = B T - i C T = B ± i(-C) = B + i C = A. ’ %  CALCULO  DE  UNA  MATRIZ  HERMITICA   clc;;clear;;   fprintf('\n  MATRIZ  HERMITICA  MEDIANTE:  H=A+A+\n')   filcol=input('Ingrese  el  numero  de  filas  y  columnas:  ');;          %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  TRANSPUESTA  B  ES:\n')          B=A'   end          fprintf('  LA  MATRIZ  HERMITICA  H  ES:\n')          H=A+A'   end  

 

%  CALCULO  DE  UNA  MATRIZ  HERMITICA   clc;;clear;;   fprintf('\n  MATRIZ  HERMITICA  MEDIANTE:  H=A*A+  y  P=A+*A  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  filas:  ');;   col=input('Ingrese  el  numero  de  columnas:  ');;          %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:fil                          for  c=1:col     ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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MATRICES

                               fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  TRANSPUESTA  B  ES:\n')          B=A'   end          fprintf('  LA  MATRIZ  HERMITICA  H  ES:\n')          H=A*A'   end          fprintf('  LA  MATRIZ  HERMITICA  P  ES:\n')          P=A'*A   end  

D E F IN I C I O N 1.4.4 Matrices antihermíticas, son aquellas para las cuales la transpuesta conjugada es igual al opuesto de la matriz original. Es decir: A + = - A. Sus elementos cumplirán, por tanto, ( aij ) ( a ji ) ,  i, j  , entonces, ( aii ) ( aii ) ,  i  ,

y se cumple Re aii

0 ,  i  .

EJ E M P L O 1.4.11 La condición necesaria y suficiente para que el producto de dos matrices antihermíticas A y B sea hermítico es A B = B A. SO L U C I O N Se sabe que A + = -A y B + = -B, entonces: i.- Sea A B = B A, entonces: A B = B A = (-B)(-A) = B + A + = (A B)+ y por tanto el producto es hermítico. ii.- Sea A B = (A B)+, entonces: A B = (A B)+ = B + A + = (-B)(-A) = B A, y por tanto, A B = B A. ’ EJ E M P L O 1.4.12 Toda matriz compleja se puede escribir como suma de una matriz real y una matriz imaginaria; es decir, si C es compleja, entonces C = A + i B donde A y B son matrices reales. Demuestre que C es hermítica si y sólo si A es simétrica y B es antisimétrica. Pruebe que C es antihermítica si y sólo si A es antisimétrica y B es simétrica. SO L U C I O N a) Ÿ Como C = A + i B con A y B matrices reales, A es simétrica y B es antisimétrica, debemos demostrar que C + = C. Es decir: C + = (A + i B)+ = A + ± i B + = A ± i(-B) = A + i B = C.  Como C = A + i B con A y B matrices reales y C + = C, debemos demostrar que A es simétrica y B es antisimétrica. Es decir: C + = (A + i B)+ = A + ± i B + = A T ± i B T + para que C = C, A debe ser simétrica A T = A y B debe ser antisimétrica B T = -B. b) Ÿ Como C = A + i B con A y B matrices reales, A es antisimétrica y B es simétrica, debemos demostrar que C + = -C. Es decir: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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49 +

+

+

+

C = (A + i B) = A ± i B = (-A) ± i B = -(A + i B) = -C.  Como C = A + i B con A y B matrices reales y C + = -C, debemos demostrar que A es antisimétrica y B es simétrica. Es decir: C + = (A + i B)+ = A + ± i B + = A T ± i B T + para que C = C, A debe ser antisimétrica A T = -A y B debe ser simétrica B T = B. ’ EJ E M P L O 1.4.13 Sean A y B matrices antihermíticas. ¿En qué condiciones es C = m A + n B una matriz antihermítica? SO L U C I O N Debemos probar que C + = -C, bajo ciertas condiciones: C + = (m A + n B ) + = (m A ) + + ( n B ) + + + ­ °m A + n B = -(m A + n B ) = - C , =® + + ° ¯ m A + nB = -(m A + nB ) z - C , Es decir C + = -C si m y n son números reales. ’

si m, n  si m, n 

EJ E M P L O 1.4.14 Exprese la matriz A como suma de una matriz hermítica y una antihermítica. i 1  2i · §2 i ¨ ¸ A = ¨ 1 i 2 2  2i ¸ . ¨ 3 1  i 2  2i ¸ © ¹ SO L U C I O N Una matriz hermítica es S = ½ (A + A +), es decir: ª§ 2  i i 1  2i · § 2  i 1  i 3 ·º 1  2i 4  2i · § 4 1 «¨ ¸ ¨ ¸» 1 ¨ ¸ S 1  i 2 2  2 i   i 2 1  i 1  2 i 4 3  3i ¸ . ¸ ¨ ¸» 2 ¨ 2 «¨¨ ¨ 4  2i 3  3i «© 3 1  i 2  2i ¸¹ ¨©1  2i 2  2i 2  2i ¸¹ » 4 ¸¹ © ¬ ¼ Una matriz antihermítica es R = ½ (A + - A), es decir: ª§ 2  i 1  i 3 · §2 i i 1  2i · º 1 «¨ ¸ ¨ ¸» R i 2 1 i ¸  ¨ 1 i 2 2  2i ¸ » 2 «¨¨ «©1  2i 2  2i 2  2i ¸¹ ¨© 3 1  i 2  2i ¸¹ » ¬ ¼

1 2  2i · § 2i 1¨ ¸ 1 0 1  i ¸ . 2 ¨¨ ¸ © 2  2i 1  i 4i ¹

Comprobación: A = S - R. ª§ 4 1  2i 4  2i · § 2i 1 2  2i · º 1 «¨ ¸ ¨ ¸» A 1  2i 4 3  3i ¸  ¨ 1 0 1  i ¸ » « ¨ 2 ¨ «© 4  2i 3  3i 4 ¸¹ ¨© 2  2i 1  i 4i ¸¹ »¼ ¬

i 1  2i · §2 i ¨ ¸ 2 2  2i ¸ . ¨ 1 i ¨ 3 1  i 2  2i ¸ © ¹

%  CALCULO  DE  UNA  MATRIZ  ANTIHERMITICA   clc;;clear;;   fprintf('\n  MATRIZ  ANTIHERMITICA  MEDIANTE:  A-­A+  \n')   filcol=input('Ingrese  el  numero  de  filas  y  columnas:  ');;          %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  TRANSPUESTA-­CONJUGADA  B  ES:\n')          B=A'   end   ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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       fprintf('  LA  MATRIZ  ANTIHERMITICA  H  ES:\n')          H=A-­A'   end  

D E F I N I C I O N 1.4.5 Una matriz A de n x n para la cual el producto con su transpuesta conjugada es conmutativo, se denomina normal. Es decir: A + A = A A +. EJ E M P L O 1.4.15 Sean D, F y G matrices diagonales de n x n en las que los elementos de las diagonales principales sean respectivamente números reales, imaginarios puros y complejos de módulo 1. Si U es una matriz unitaria n x n, demuéstrese que las matrices U + DU, U + F U y U + G U son respectivamente hermítica, antihermítica y unitaria. SO L U C I O N a.- Como D es una matriz diagonal real y UU + = U + U = I, entonces debemos probar que U + DU es una matriz hermítica. Es decir: (U + DU)+ = U + D +(U +)+ = U + D + U = U + DU; b.- Como F es una matriz diagonal imaginaria y UU + = U + U = I, entonces debemos probar que U + F U es una matriz antihermítica. Es decir: (U + F U)+ = U + F +(U +)+ = U + F + U = U +(-F)U = -(U + F U); c.- Como G es una matriz diagonal compleja de módulo 1 y UU + = U + U = I, entonces debemos probar que U + G U es una matriz unitaria. Es decir: (U + G U)+(U + G U) = U + G +(U +)+U + G U = U + G + UU + G U = U + G + I G U = U + G + G U = U + IU = U + U = I. + + + (U G U)(U G U) = U + G UU + G +(U +)+ = U + G UU + G + U = U + G I G + U = U + G G + U = U + IU = U + U = I. ’ E J E M P L O 1.4.16 Demuestre que una matriz real antisimétrica es normal. SO L U C I O N Para que una matriz sea real y antisimétrica, debe cumplir que A = A y A T = -A. Debemos probar que esta matriz es normal, es decir A A + = A ( A )T = A A T = A (- A ) = - A 2 = (- A ) A = A T A = ( A )T A = A + A . Por tanto se cumple que A A + = A + A y la matriz A es normal. ’ EJ E M P L O 1.4.17 Demuestre que una matriz antihermítica es normal. SO L U C I O N Como A + = -A, hay que demostrar que A + A = A A +. Es decir: A + A = (-A)A = A(-A) = A A +. Con lo cual queda probado que una matriz antihermítica es normal. ’ EJ E M P L O 1.4.18 Sean A y B matrices normales y A B = O. ¿Resulta de esto que B A = O? SO L U C I O N Como A + A - A A + = O, B + B - B B + = O y A B = O, entonces: (A + A - A A +)(B + B - BB +) = O + + A A B B ± A + A B B + ± A A + B + B + A A +B B + = O A + A B B + ± A + A B B + ± A + A BB + + A + A B B + = O + A O B + ± A + O B + ± A + O B + + A + O B + = O Ÿ O = O. Por lo tanto, no es condición que B A = O. ’ EJ E M P L O 1.4.19 Demuestre que si C = A + i B donde A y B son matrices reales y simétricas, entonces C es normal si y sólo si A y B conmutan. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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SO L U C I O N Ÿ Como C = A + i B con A y B son matrices reales y simétricas y C C + = C + C, entonces debemos probar que A B = B A. Es decir: (A + i B)(A + i B)+ = (A + i B)+(A + i B) (A + i B)(A + ± i B +) = (A + ± i B +)(A + i B) (A + i B)(A ± i B) = (A ± i B)(A + i B) A 2 ± i A B + i B A + B2 = A2 + i A B ± iB A + B2 -i A B + i B A = i A B ± i B A Ÿ 2i B A = 2i A B Ÿ A B = B A.  Como C = A + i B con A y B son matrices reales y simétricas y A B = B A, entonces debemos probar que C C + = C + C. Es decir: C C + = (A + i B)(A + i B)+ = (A + i B)(A + ± i B +) = (A + i B)(A ± i B) = A 2 ± i A B + iB A + B2 = A 2 ± iB A + i A B + B2 = (A ± i B)A + (A ± i B)I b = (A ± i B)(A + i B) = (A + ± i B +)(A + i B) = (A + i B)+(A + i B) = C + C. ’ EJ E M P L O 1.4.20 Demostrar que una matriz A es una matriz normal si, y sólo si, las matrices B y C de su descomposición hermítica A = B + i C son conmutables. SO L U C I O N Debemos probar que A + A = A A +. Es decir: A + A = (B + i C)+(B + i C) = (B + - i C +)(B + i C) = B +B + i B + C ± i C + B + C + C = BB + - i B C + + i C B + + C C + = (B + i C)(B + - i C +) = (B + i C)(B + i C)+ = A A +. ’ EJ E M P L O 1.4.21 Sea A = B + i C una matriz normal compleja de n x n. Demostrar que la matriz D real de 2n x 2n § B -C · D=¨ ¸ ©C B ¹ es también normal. SO L U C I O N Si A es una matriz normal, entonces las matrices B y C de la descomposición hermítica A = B + i C son conmutables. Por lo tanto: + § B -C · § B -C · § B C · § B -C · § BB + CC -BC + CB · D+ D = ¨ ¸¨ ¸ ¸ ¨ ¸=¨ ¸=¨ © C B ¹ © C B ¹ ¨© -C B ¸¹ © C B ¹ ¨© -CB + BC CC + BB ¸¹ § B B + C C B C - C B · § B -C · § B C · § B -C ·§ B -C ·+ + =¨ ¸= ¨ ¸= ¸ = DD . ¨ C B - B C C C + B B ¸ ¨© C B ¸¹ ¨ -C B ¸ ¨© C B ¸¨ C B ¹© ¹ © ¹ © ¹ Con esto queda demostrado que D es una matriz normal. ’ E J E M P L O 1.4.22 Sea A una matriz normal y supóngase que conmuta con una cierta matriz B. Demuestre que: a.- A + conmuta con B; b.- A conmuta con B +. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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SO L U C I O N Si una matriz normal conmuta con una matriz B, entonces: a.- (A A +)B = B(A + A) Ÿ A(A + B) = (B A +)A Ÿ A + B = B A + b.- (A A + B)+ = (B A + A)+ Ÿ B +(A A +)+ = (A + A)+ B + Ÿ B + A A + = A + A B + (B + A)A + = A +(A B +) Ÿ B + A = A B +. ’ %  COMPROBACION  DE  UNA  MATRIZ  NORMAL   clc;;clear;;   fprintf('\n  COMPROBACION  DE  UNA  MATRIZ  NORMAL  \n')   filcol=input('Ingrese  el  numero  de  filas  y  columnas:  ');;          %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          B=A'   end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          C=A'*A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          D=A*A'   end          if  (C==D)                  fprintf('\n  LA  MATRIZ  ES  NORMAL')          else                  fprintf('\n  LA  MATRIZ  NO  ES  NORMAL')                  end  

PR O B L E M AS 1.4.1 Demuestre mediante un ejemplo que, si A y B son matrices hermíticas, no necesariamente se cumple que A B sea hermítica. ¿Qué se cumple si A y B son hermíticas y A B = B A?

1.4.6 Sean A y B matrices normales conmutables, A = C + i D, B = E + i F, sus descomposiciones hermíticas. Demuestre que todas las matrices C, D, E y F son conmutables.

1.4.2 Pruebe con un ejemplo, que existe una matriz compleja simétrica que no es normal.

1.4.7 Dar ejemplos que muestren que en el caso general la suma A + B y el producto A B de matrices normales A y B ya no serán matrices normales.

1.4.3 Sea A una matriz antihermítica y A n = I para algún n > 0, demuestre que A 4 = I. 1.4.4 Demuestre: Los elementos de la diagonal principal de una matriz hermítica son reales y que los elementos de la diagonal principal de una matriz antihermítica son imaginarios puros. ¿Qué son los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimétrica? 1.4.5 Demuestre mediante un ejemplo que, si A y B son matrices hermíticas, no necesariamente se cumple que A B sea hermítica. ¿Qué se cumple si A y B son hermíticas y A B = B A? ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

1.4.8 Pruebe con un ejemplo, que hay una matriz compleja antisimétrica que no es normal. 1.4.9 Dada la matriz § 2  1 3i  1 4i · ¨ ¸ A ¨ 6  2i 1 3 i ¸ . ¨ ¸ 3 S  S ¹ © 1  6 a.- Exprésese la matriz A como suma de una matriz hermítica y otra antihermítica. b.- Hallar 3 matrices hermíticas diferentes a la del apartado a). JOE GARCIA ARCOS

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1.5 T R A Z A D E UN A M A T RI Z En esta sección se introduce la terminología básica y se define la traza de una matriz, enunciamos sus correspondientes propiedades. D E F I N I C I O N 1.5.1 Sea una matriz cuadrada A = (a ij). Se define la traza de una matriz A, a la suma de los elementos que componen la diagonal principal, representada por Tr( A )

n

¦ aii .

a11  a22  ...  ann

i 1

T E O R E M A 1.5.1 Para todo par de matrices cuadradas A = (a ij) y B = (bij) de igual orden, entonces Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B). D E M OST R A C I O N Dadas A y B matrices cuadradas compatibles para la suma y A + B = C, entonces Tr( A + B ) = Tr( C )

n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

i 1

¦ (cii ) ¦ ( aii  bii ) ¦ aii  ¦ bii

Tr( A ) + Tr( B ) .

T E O R E M A 1.5.2 Para toda matriz cuadrada A = (a ij) y para todo número k, entonces Tr(k A) = kTr(A). D E M OST R A C I O N Dada A una matriz cuadrada y k un número, entonces n

n

¦ kaii

Tr( k A )

k ¦ aii

i 1

kTr( A ) .

i 1

T E O R E M A 1.5.3 Para toda matriz cuadrada A = (a ij), entonces Tr(A T) = Tr(A). D E M OST R A C I O N Sea A una matriz cuadrada, al transponer esta matriz, podemos observar que la matriz A T conserva el mismo orden de A y, además los elementos de la diagonal principal no varían. Es decir Tr( A T )

n

n

i 1

i 1

¦ aii ¦ a jj

Tr( A ) .

T E O R E M A 1.5.4 Para todo par de matrices cuadradas y compatibles para el producto A = (a ik) y B = (bkj), entonces Tr(A B) = Tr(B A). D E M OST R A C I O N Sean A B = C, B A = D, de modo tal que

cij

n

¦ aik bkj

y

k 1

n

¦ biq aqj

d ij

q 1

Ahora bien n

Tr( A B ) = Tr( C ) = ¦ cii i 1

n

Tr( B A ) = Tr( D ) = ¦ d pp p 1

ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

n

§

n

·

¦ ¨ ¦ aik bki ¸ k 1© k 1

n

§

n

¹

·

¦ ¨¨ ¦ bpq aqp ¸¸ p 1© q 1

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MATRICES

Trabajando con la última serie se intercambia el orden de las sumas y se emplea la conmutatividad en ƒ para obtener n § n · Tr( B A ) = ¦ ¨ ¦ aqp bpq ¸ ¨ ¸ q 1© p 1 ¹ Pero los índices son solamente índices mudos a los que se les puede dar cualquier nombre y eso no altera el valor de la suma. Sea entonces q = i, p = k y se halla n

Tr( B A ) = ¦ aik bki = Tr( A B ) . i 1

EJ E M P L O 1.5.1 Si Tr(A) = 0, pruebe que existen matrices B y C tales que A = B C ± C B. SO L U C I O N Como A = B C ± C B, entonces: Tr(A) = Tr(B C ± C B) = Tr(B C) ± Tr(C B) = Tr(B C) ± Tr(B C) = 0. Con esto se demuestra que existen matrices B y C. ’ EJ E M P L O 1.5.2 Si Tr(A B C) = Tr(C B A) para toda matriz C, pruebe que A B = B A. SO L U C I O N Si A B = B A, entonces A B C = B A C. Haciendo que B A = D, obtenemos: Tr(A B C) = Tr(B A C) = Tr(D C) = Tr(C D) = Tr(C B A). Con esto probamos que las matrices A y B son conmutativas. ’ EJ E M P L O 1.5.3 Sean A y B matrices hermíticas complejas de un mismo orden. Demuestre que la traza de la matriz A B es un número real. SO L U C I O N Dadas las matrices A y B hermíticas complejas de igual orden, entonces Tr( A B ) = Tr( A + B + ) = Tr( B A )+ = Tr( B A )T = Tr( B A ) lo cual indica que Tr(A B) es un número real. ’ E J E M P L O 1.5.4 Dada la matriz A

§1 3· ¨ ¸ , determine una matriz B tal que Tr(A B) = Tr(A)Tr(B). ©5 2¹

SO L U C I O N La matriz B debe tener la misma forma que la matriz A. Es decir §a b· § a  3c b  3d · B =¨ ¸ y AB = ¨ ¸. c d © ¹ © 5a  2c 5b  2d ¹ Por lo tanto Tr(A B) = a + 3c + 5b + 2d, Tr(A) = 3, Tr(B) = a + d. Por tanto a + 5b + 3c + 2d = 3a + 3d Ÿ 2a - 5b ± 3c + d = 0 La familia de matrices que cumple esta condición esta dada por ­ ½ °§ a b · ° S = ®¨ ¸ / 2 a  5b  3c  d 0 ¾ . ’ c d ° ° © ¹ ¯ ¿ %  CALCULO  DE  LA  TRAZA  DE  UNA  MATRIZ   clc;;clear;;   fprintf('\n  TRAZA  DE  UNA  MATRIZ  \n')   filcol=input('Ingrese  el  numero  de  filas  y  columnas:  ');;          %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol   ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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                       for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')                  TrA=trace(A)   end  

PR O B L E M AS 1.5.1 Sean A y B matrices cuadradas de n x n y sean a y b escalares. Demuestre que Tr(a A + b B) = aTr(A) + bTr(B). 1.5.2 Sea A una matriz compleja de n x n. Demuestre que Tr(A + A) t 0, y que la igualdad se verifica si y sólo si A es la matriz nula. 1.5.3 Sea A la matriz de n x n cuyos elementos son a ij = i + j, i, j «n. Calcule la traza de A y demuestre que su valor coincide con la suma de los elementos de su diagonal secundaria.

1.5.4 Sea A = SBS-1, donde §1 1 0· §1 1 ¨ ¸ ¨ B = ¨ 1 2 1 ¸ y S = ¨1 1 ¨ 0 1 3¸ ¨1 0 © ¹ © Encuentre A y verifique que Tr(A) = Tr(B).

0· ¸ 1¸ 1 ¸¹

1.5.5 Demuestre que si A y B son dos matrices complejas, entonces Tr( B + A )

2

d Tr( A + A )Tr( BB + ) .

1.5.6 Demuestre que si A es una matriz de n x n y si Tr(A B) = 0 para todas las matrices B de n x n, entonces A es la matriz nula.

1.6 PO T E N C I A D E UN A M A T RI Z En esta sección se introduce la terminología básica y se define la n-ésima potencia de una matriz, analizamos sus casos particulares, enunciamos sus correspondientes propiedades. D E F I N I C I O N 1.6.1 Sea A una matriz cuadrada y n  . Se define la n-ésima potencia de A como el producto, repetido n veces, de A por sí misma, y se simboliza por A n, Es decir A ˜ A ˜ ... ˜ A = A n . n veces

T E O R E M A 1.6.1 Si dos matrices conmutan sus potencias naturales también conmutan. D E M OST R A C I O N Sean A, B compatibles para el producto y A B = B A. Si se multiplica A B = B A por la izquierda por B n-1, obtenemos que B n-1 = B n A, o, lo que es lo mismo, B n A = B n-1 B A = B n-1 A B = B n-2 B A B = B n-2 A B 2 = ... = A B n, por lo tanto, A B n - B n A = O. Si multiplicamos la ecuación anterior por la izquierda por A m-1, obtendremos que A m-1 B n A = A m B n, o, lo que es lo mismo, A m B n = A m-1 B n A = A m-2 B n A 2 = ... = B n A m, m n por lo tanto, A B - B n A m = O. Esto quiere decir que si las matrices A y B son conmutables, cualesquiera potencias naturales de las mismas también son conmutables. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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EJ E M P L O 1.6.1 Dada la matriz §a 0 ¨ A = ¨0 b ¨c 0 © siendo a, b, c  K. Determine A k para todo k polinomio p(x) = 1 + x5 + x7. SO L U C I O N § a 0 0· n = 1: ¨¨ 0 b 0 ¸¸ ; ¨ c 0 0¸ © ¹

n = 2:

2 0 § a 0 0 · § a 0 0 · §¨ a ¨ ¸¨ ¸ 2 ¨ 0 b 0¸¨ 0 b 0¸ ¨ 0 b ¨ ¨ c 0 0 ¸ ¨ c 0 0 ¸ ¨ ac 0 © ¹© ¹ ©

n = 3:

§ a2 0 ¨ ¨ 0 b2 ¨ ¨ ac 0 ©

0· ¸ 0¸ , 0 ¸¹

 . Calcúlese también p(A) para el

0· ¸ 0¸ ; ¸ 0¸ ¹

0 · § a 0 0 · § a3 0 ¸¨ ¸ ¨ 0 ¸ ¨ 0 b 0 ¸ ¨ 0 b3 ¸ ¨ 0 ¸ ¨© c 0 0 ¸¹ ¨ a 2 c 0 ¹ © A

k

0· ¸ 0¸ ; ¸ 0 ¸¹

§ ak 0 ¨ ¨ 0 bk ¨ k 1 ¨a c 0 ©

0· ¸ 0¸ . ¸ 0 ¸¹

p( A ) I + A 5 + A 7 5 0 § 1 0 0 · §¨ a ¨ ¸ 5 ¨ 0 1 0¸  ¨ 0 b ¨ 0 0 1 ¸ ¨¨ 4 © ¹ ©a c 0

§ 1  a5  a7 0 ¨ 5 ¨ 0 1  b  b7 ¨ 4 ¨ a c (1  a 2 ) 0 ©

0 · § a7 0 ¸ ¨ 0 ¸  ¨ 0 b7 ¸ ¨ 0 ¸¹ ¨© a 6 c 0

0· ¸ 0¸ ¸ 0 ¸¹

0· ¸ 0¸ . ’ ¸ 0 ¸¹

EJ E M P L O 1.6.2

b · 2 ¸ . Calcular A d¹ y probar que existen números p y q, que se calculan en función de a, b, c y d, tales que A 2 ± p A ± q I = O. Indicar en qué casos los coeficientes p y q no son únicos. SO L U C I O N Para encontrar A 2, debemos multiplicar A A: 2 § a b ·§ a b · § a  bc ab  bd · ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨¨ © c d ¹© c d ¹ © ac  cd bc  d 2 ¸¹ § a b ·§ a b · §a b· § 1 0· A 2  p A  qI ¨ ¸¨ ¸  p¨ ¸  q¨ ¸ © c d ¹© c d ¹ ©c d¹ © 0 1¹ Sean a, b, c, d números arbitrarios; se considera la matriz A

§ a 2  bc ab  bd · § pa ¨ ¸ ¨ ac  cd bc  d 2 ¸ ¨© pc © ¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

§a ¨ ©c

pb · § q 0 · ¸¨ ¸ pd ¹ © 0 q ¹ JOE GARCIA ARCOS

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§ a 2  bc  pa  q ab  bd  pb · § 0 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ac  cd  pc bc  d 2  pd  q ¸¹ © 0 0 ¹ ©

(1) ­ a 2  bc  pa  q 0 ° ­ a 2  d 2  p( a  d ) 0 (2) ° ab  bd  pb 0 (1)  (4) ° Ÿ ® ® (3) ° ac  cd  pc 0 (2)  (3) ° ¯(b  c )( a  d )  p(b  c ) 0 (4) °¯bc  d 2  pd  q 0 ­p a  d ° ® bzc . ° azd ¯ Reemplazamos el valor encontrado de p en la primera o cuarta ecuación, y obtenemos que q = bc ± ad. Además p y q no son únicos cuando b z c y a z d. ’

EJ E M P L O 1.6.3 Demostrar que las matrices dadas satisfacen las ecuaciones que se indican: §1 3· 2 a.- A = ¨ ¸ ; A ± 3A + 8I = O;  2 2 © ¹ §a b · 2 A =¨ ¸ ; A ± (a + d)A + (ad ± bc)I = O. c d © ¹ SO L U C I O N § 1 3 ·§ 1 3 · § 1 3 · § 1 0 · a.- ¨ ¸¨ ¸  3¨ ¸  8¨ ¸ © 2 2 ¹© 2 2 ¹ © 2 2 ¹ © 0 1¹ § 5 9 · § 3 9 · § 8 0 · § 0 0 · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸; © 6 2 ¹ © 6 6 ¹ © 0 8 ¹ © 0 0 ¹ § a b ·§ a b · §a b · §1 0 · b.- ¨ ¸¨ ¸  (a  d ) ¨ ¸  ( ad  bc ) ¨ ¸ c d c d c d © ¹© ¹ © ¹ © 0 1¹

b.-

§ a 2  bc ¨ ¨ ac  cd ©

ab  bd · § a 2  ad ¸¨ cb  d 2 ¸¹ ¨© ac  cd

ab  bd · § ad  bc ¸¨ ad  d 2 ¸¹ © 0

0 · § 0 0· ¸ ¨ ¸. ’ ad  bc ¹ © 0 0 ¹

E J E M P L O 1.6.4 Sea la matriz §0 1· ¨ ¸. © 0 0¹ Se considera la familia de matrices de la forma C = a I + b B, donde a, b son escalares reales. Calcúlese C n,  n  Z +. SO L U C I O N §1 0· §0 1· § a b· C a¨ ¸b ¨ ¸ ¨ ¸ ©0 1¹ © 0 0¹ © 0 a ¹ B

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n = 1:

C

n = 2:

C2

n = 3:

C3

§a b· ¨ ¸; ©0 a¹ 2 § a b ·§ a b · § a 2ab · ¨ ¸; ¨ ¸¨ ¸ © 0 a ¹© 0 a ¹ ¨© 0 a 2 ¸¹ § a 2 2 ab · § a b · § a 3 3a 2b · ¨ ¸ ¨ ¸; ¨ 0 a 2 ¸ ¨© 0 a ¸¹ ¨ 0 a 3 ¸¹ © ¹ ©

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n = 4:

C4

§ a3 ¨ ¨0 ©

3a 2 b · § a b · § a 4 ¸¨ ¸ ¨ a 3 ¸¹ © 0 a ¹ ¨© 0

4 a 3b · ¸; a 4 ¸¹

Por tanto Cn

EJ E M P L O 1.6.5 Sea la matriz A, hallar §1 0 1· ¨ ¸ a.- A = ¨ 0 0 0 ¸ ; ¨1 0 1¸ © ¹ SO L U C I O N §1 0 ¨ a.- Como A ¨ 0 0 ¨1 0 © 2

n = 2:

A

n = 3:

A3

§ an ¨ ¨0 ©

A n para todo n  Z +: § 1 1 1· ¨ ¸ b.- A ¨1 1 1¸ ; ¨ 1 1 1¸ © ¹

1· ¸ 0 ¸ , entonces: 1 ¸¹ § 1 0 1 ·§ 1 0 1 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ 0 0 0 ¸¨ 0 0 0 ¸ ¨ 1 0 1 ¸¨ 1 0 1 ¸ © ¹© ¹ § 2 0 2 ·§ 1 0 1 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ 0 0 0 ¸¨ 0 0 0 ¸ ¨ 2 0 2 ¸¨ 1 0 1 ¸ © ¹© ¹

§ 4 0 4 ·§ 1 0 1 · ¸ n = 4: A ¨¨ 0 0 0 ¸¨ ¸¨ 0 0 0 ¸ ¨ 4 0 4 ¸¨ 1 0 1 ¸ © ¹© ¹ Por lo tanto: A n = 2n -1 A. § 1 1 1· ¨ ¸ b.- Como A ¨1 1 1¸ , entonces: ¨ 1 1 1¸ © ¹ 4

2

n = 2:

A

n = 3:

A3

na n 1b · ¸. ’ a n ¸¹

§1 1 1·§1 ¨ ¸¨ ¨1 1 1¸¨1 ¨1 1 1¸¨1 © ¹© § 3 3 3 ·§1 ¨ ¸¨ ¨ 3 3 3 ¸¨1 ¨ 3 3 3 ¸¨1 © ¹©

c.- A

§0 a b· ¨ ¸ ¨0 0 c ¸ . ¨0 0 0¸ © ¹

§ 2 0 2· ¨ ¸ ¨0 0 0¸ 2A ; ¨ 2 0 2¸ © ¹ § 4 0 4· ¨ ¸ 2 ¨0 0 0¸ 4A 2 A ; ¨ 4 0 4¸ © ¹ §8 0 8· ¨ ¸ ¨0 0 0¸ 8A ¨8 0 8¸ © ¹

1 1· § 3 ¸ ¨ 1 1¸ ¨ 3 1 1¸¹ ¨© 3 1 1· § 9 ¸ ¨ 1 1¸ ¨ 9 1 1¸¹ ¨© 9

23 A .

3 3· ¸ 3 3¸ 3 A ; 3 3 ¸¹ 9 9· ¸ 9 9 ¸ 9 A 32 A ; 9 9 ¸¹

§ 9 9 9 ·§1 1 1· § 27 27 27 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 9 9 9 ¸¨1 1 1¸ ¨ 27 27 27 ¸ 27 A ¨ 9 9 9 ¸¨1 1 1¸ ¨ 27 27 27 ¸ © ¹© ¹ © ¹ Por lo tanto: A n = 3n-1 A. §0 a b· ¨ ¸ c.- n = 1: ¨ 0 0 c ¸ ; ¨0 0 0¸ © ¹

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n = 4:

A4

n = 2:

§ 0 a b ·§ 0 a b · ¨ ¸¨ ¸ ¨ 0 0 c ¸¨ 0 0 c ¸ ¨ 0 0 0 ¸¨ 0 0 0 ¸ © ¹© ¹

33 A .

§ 0 0 ac · ¨ ¸ ¨0 0 0 ¸ ; ¨0 0 0 ¸ © ¹ JOE GARCIA ARCOS

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§ 0 0 ac ·§ 0 a b · ¨ ¸¨ ¸ ¨ 0 0 0 ¸¨ 0 0 c ¸ ¨ 0 0 0 ¸¨ 0 0 0 ¸ © ¹© ¹ Por lo tanto: A n = O, n > 2. ’

n = 3:

§0 0 0· ¨ ¸ ¨0 0 0¸ . ¨0 0 0¸ © ¹

EJ E M P L O 1.6.6 Si A es una matriz de 2 x 2 que satisface A 2 ± A + I = O, determine A 3n en términos de A para n  Z +. SO L U C I O N Como A 2 ± A + I = O, entonces, A 2 = A ± I. Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por A sucesivamente, obtenemos: A3 = A2 ± A Ÿ A4 = A3 ± A2 Ÿ A5 = A4 ± A3 Ÿ A6 = A5 ± A4 Por lo tanto A 3n = A 3n-1 ± A 3n-2. ’ E J E M P L O 1.6.7 Sean las matrices A, B, compatibles para el producto, entonces se cumple, para cualquier potencia de B m-1

A B m - B m A = ¦ B k ( A B - B A ) B m- k -1 . k =0

SO L U C I O N Demostraremos la identidad utilizando el proceso de inducción matemática m-1

P(m): A B m - B m A = ¦ B k ( A B - B A ) B m- k -1 . k =0

0

P(1): A B1 - B1 A = ¦ B k ( A B - B A ) B -k k=0

A B ± B A = B 0(A B ± B A)B 0 = I(A B ± B A)I = A B ± B A. n -1

P(n): A B n - B n A = ¦ B k ( A B - B A ) B n- k -1 . k =0

P(n+1):

n

A B n +1 - B n +1 A = ¦ B k ( A B - B A ) B n- k k =0 n-1

= ¦ B k ( A B - B A ) B n- k + B n ( A B - B A ) B 0 k =0

§ n-1 · = ¨ ¦ B k ( A B - B A ) B n- k -1 ¸ B + B n ( A B - B A ) I © k =0 ¹

= ( A Bn - Bn A )B + Bn ( A B - B A ) = AB n+1 - B n AB + B n AB - B n+1 A = A B n+1 - B n+1 A Por lo tanto P(m) es verdadera. ’

E J E M P L O 1.6.8 Sean A y B matrices de n x n tales que A B = B A = O. Demuestre que (A + B)k = A k + B k, para k  . SO L U C I O N Ya que A y B son conmutativas, podemos utilizar el teorema del binomio. Es decir: k k § · ( A + B ) k = ¦ ¨ ¸ A k -i B i i =0 © i ¹ § k · k 0 § k · k -1 1 § k · k -2 2 §k· 0 k ¨ ¸A B  ¨ ¸A B  ¨ ¸A B  « ¨ ¸A B ©0¹ ©1¹ © 2¹ ©k¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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§k · §k · = ¨ ¸ A k B0 + ¨ ¸ A 0B k = A k + B k . ’ ©0¹ ©k¹

E J E M P L O 1.6.9 Dada la matriz, calcular A n siendo n  Z +: § 2 1 · §1 1 · a.- ¨ ¸ ; b.- ¨ ¸. 3  2 © ¹ ©1 0 ¹ SO L U C I O N § 2 1 · § 2 1 ·§ 2 1 · § 1 0 · a.- n = 1: ¨ ¸ ; n = 2: ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸; © 3 2 ¹ © 3 2 ¹© 3 2 ¹ © 0 1 ¹ § 1 0 ·§ 2 1 · § 2 1 · § 2 1 ·§ 2 1 · § 1 0 · n = 3: ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ; n = 4: ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸. © 0 1 ¹© 3 2 ¹ © 3 2 ¹ © 3 2 ¹© 3 2 ¹ © 0 1 ¹ Cuando n es impar A n = A; cuando n es par A n = I. §1 1 · §1 1 ·§1 1 · § 2 1· b.- n = 1: ¨ ¸ ; n = 2: ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸; 1 0 © ¹ ©1 0 ¹©1 0 ¹ © 1 1¹

n = 3: n = 5:

§ 2 1·§1 ¨ ¸¨ © 1 1¹©1 § 5 3 ·§1 ¨ ¸¨ © 3 2 ¹©1

Por lo tanto

1· § 3 ¸ ¨ 0¹ © 2 1· §8 ¸ ¨ 0¹ ©5 a11 : a12 : a21 : a22 :

2· ¸; 1¹

§ 3 2 ·§1 1 · § 5 3 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸; © 2 1 ¹©1 0 ¹ © 3 2 ¹

n = 4:

5· ¸. 3¹

0 An

1 1 1

1 1 1 1 § an ¨ © an 1

2 2 2 2

3 3 3 3

5 5 5

8

an 1 · ¸. ’ an  2 ¹

%  CALCULA  LA  POTENCIA  DE  UNA  MATRIZ   clc;;clear;;   fprintf('\n  POTENCIA  DE  UNA  MATRIZ  \n')   filcol=input('Ingrese  el  numero  de  filas  y  columnas  de  la  Matriz:  ');;   pt=input('Ingrese  la  potencia  a  la  que  va  elevar  la  matriz:    ');;   %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  POTENCIA  DE  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          PotA=A^pt   end  

D E F I N I C I O N 1.6.2 Respecto a las potencias naturales de una matriz definiremos las siguientes matrices: a.- Se conviene en que A 0 = I. b.- Una matriz periódica de periodo n cumple A n = A. Un caso particular lo forman las matrices idempotentes para las cuales A 2 = A. c.- Una matriz es nilpotente de índice n si A n = O. d.- Una matriz es involutoria si A 2 = I.

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E J E M P L O 1.6.10 Encuentre una familia de matrices de 2 x 2 para que cumplan lo siguiente: a.- sean idempotentes; b.- sean nilpotentes de índice 2; c.- sean involutorias. SO L U C I O N a.- Para que una matriz A sea idempotente, debe cumplirse que A 2 = A. Es decir: § a 2  bc ab  bd · § a b · § a b ·§ a b · § a b · ¸ ¨ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨¨ ¸. 2 ¸ © c d ¹© c d ¹ © c d ¹ © ca  dc d  bc ¹ © c d ¹ Debemos resolver el sistema (1) ­ a 2  bc a ° (2) ° ab  bd b ® (3) ° ca  dc c (4) °¯d 2  bc d Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos ­ ad 0 ­a 2  a d 2  d ­( a  d )(1  a  d ) 0 °1  a  d 0 ° ° ° Ÿ ® ab  bd b ® ab  bd b Ÿ ® ° ab  bd b ° ° ca  dc c ca  dc c ¯ ¯ °¯ ca  dc c De donde concluimos que 1 ­ °° a d 2 . ® °b 1 , c z 0 °¯ 4c Por tanto, una posible solución es la matriz §1 1 · ¨ 2 4c ¸ ¸. A ¨ ¨c 1 ¸ ¨ ¸ 2 ¹ © b.- Para que una matriz A sea nilpotente de índice 2, debe cumplirse que A 2 = O. Es decir: § a 2  bc ab  bd · § 0 0 · § a b ·§ a b · § 0 0 · ¸ ¨ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨¨ ¸. 2 ¸ © c d ¹© c d ¹ © 0 0 ¹ © ca  dc d  bc ¹ © 0 0 ¹ Debemos resolver el sistema (1) ­ a 2  bc 0 ° (2) ° ab  bd 0 ® (3) ° ca  dc 0 (4) °¯ d 2  bc 0 Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos ­ ad 0 ­a 2  d 2 0 ­( a  d )( a  d ) 0 ° ad 0 ° ° ° Ÿ ® ® ab  bd 0 Ÿ ® ab  bd 0 ° ab  bd 0 ° ca  dc 0 ° ca  dc 0 ¯ ¯ °¯ ca  dc 0

De donde concluimos que a = d = 0 y si reemplazamos estos valores en las ecuaciones (1) y (4), obtenemos bc = 0, donde b = 0, c z 0 o c = 0, b z 0. Por tanto las matrices buscadas tienen la forma § 0 0· §0 b· A ¨ ¸ y A ¨ ¸. © c 0¹ © 0 0¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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c.- Para que una matriz A sea involutoria, debe cumplirse que A 2 = I. Es decir: § a 2  bc ab  bd · § 1 0 · § a b ·§ a b · § 1 0 · Ÿ . ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ca  dc d 2  bc ¸ ¨© 0 1 ¸¹ © c d ¹© c d ¹ © 0 1 ¹ © ¹ Debemos resolver el sistema (1) ­ a 2  bc 1 ° (2) ° ab  bd 0 ® (3) ° ca  dc 0 (4) °¯ d 2  bc 1 Restando la cuarta ecuación de la primera, obtenemos ­ ad 0 ­a 2  d 2 0 ­( a  d )( a  d ) 0 ° ad 0 ° ° ° Ÿ Ÿ ab  bd 0 ab  bd 0 ® ® ® ° ab  bd 0 ° ca  dc 0 ° ca  dc 0 ¯ ¯ °¯ ca  dc 0 De donde concluimos que a = d = 0 y reemplazando estos valores en las ecuaciones (1) y (4), obtenemos bc = 1 donde tenemos dos alternativas b = 1/c, c z 0 o c = 1/b, b z 0. Por lo tanto dos de las posibles soluciones son § 0 1/ c · § 0 b· A ¨ ¸ y A ¨ ¸. ’ c 0 © ¹ ©1/ b 0 ¹ E J E M P L O 1.6.11 Si A, B, C son matrices cuadradas de igual orden que cumplen lo siguiente: C es nilpotente, índice de nilpotencia 2, B y C son conmutativas y A = B + C. Demuéstrese que, para todo n  Z +, se cumple la ecuación A n+1 = B n(B + (n + 1)C). SO L U C I O N Sabemos que A n+1 = A n A, entonces: A n+1 = (B + C)n+1 = (B + C)n(B + C) = (B n + k B n-1 C + n(n - 1)B n-2 C 2 + ... + C n)(B + C) = (B n + n B n-1 C + C n)(B + C) = B n B + B n C + n B n C + n B n-1 C 2 + C n B + C n+1 = B n+1 + (n + 1)B n C = B n(B + (n + 1)C). ’ E J E M P L O 1.6.12 Si A es nilpotente de índice 2, demuéstrese que A(I ± A)n = A, siendo n  Z +. SO L U C I O N A(I ± A)n = A(I n ± n I n-1 A ± n(n - 1)I n-2 A 2 ± . . . ± A n) = A I n ± n I n-1 A 2 ± . . . ± A n+1 = A ± A n-1 A 2 = A. ’ E J E M P L O 1.6.13 Sea una matriz cuadrada tal que A 2 = A. Demuéstrese que A n = A, para todo n  Z +. SO L U C I O N Probaremos esta proposición utilizando el proceso de inducción matemática. Si A 2 = A, entonces: P(n) : A n = A P(1) : A 1 = A P(k) : A k = A. Verdadero por hipótesis inductiva. P(k + 1) : A k+1 = A A k+1 = A k A = A A = A 2 = A, lo cual es verdadero. Por lo tanto se cumple que A n = A. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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E J E M P L O 1.6.14 Demuéstrese que si A B = A y B A = B, entonces A y B son idempotentes. SO L U C I O N Para que A y B sean idempotentes, debe cumplirse: A 2 = A y B 2 = B. A2 = A A = A B A B = A B B = A B = A 2 B = B B = B A B A = B A A = B A = B. ’ E J E M P L O 1.6.15 Si A es una matriz involutoria, demuéstrese que ½(I + A) y ½(I - A) son matrices idempotentes y que [½(I + A)][½(I - A)] = O. SO L U C I O N [½(I + A)]2 = ¼(I + A)(I + A) = ¼(II + I A + A I + A A) si A 2 = I = ¼(I + 2I A + I) = ¼(2I + 2A) = ½(I + A) es idempotente. [½(I - A)]2 = ¼(I - A)(I - A) = ¼(II - I A - A I + A A) si A 2 = I = ¼(I - 2I A + I) = ¼(2I - 2A) = ½(I - A) es idempotente. [½(I + A)][½(I - A)] = ¼(I + A)(I - A) = ¼(II - I A + A I - A A) si A 2 = I = ¼(I - I) = O. ’ E J E M P L O 1.6.16 Pruébese que la matriz A es involutoria si y sólo si, se cumple que (I - A)(A + I) = O. SO L U C I O N Para que la matriz A sea involutoria es necesario que se cumpla A 2 = I. (I - A)(A + I) = I A + II - A A - A I = A + I 2 ± A 2 - A = I ± I = O. ’ E J E M P L O 1.6.17 Las potencias naturales n t 2 de una matriz idempotente A, satisfacen la ecuación A n = A. SO L U C I O N Siendo A idempotente, se cumple que A n = A, entonces A 3 = A A 2 = A A = A 2 = A. Supóngase que A n = A, entonces A n+1 = A A n = A A = A 2 = A. ’ E J E M P L O 1.6.18 Las potencias de una matriz involutoria A cumplen las ecuaciones a.- A 2n = I,  n  ; b.- A 2n+1 = A,  n  . SO L U C I O N Siendo A una matriz involutoria, debe cumplirse que A 2 = I; entonces: a.- A 2n = (A 2)n = I n = I; b.- A 2n+1 = A A 2n = A I = A. ’ EJ E M P L O 1.6.19 Si A es una matriz idempotente, pruebe que (A B ± A B A)2 = O, para toda matriz B. SO L U C I O N Si A es idempotente, entonces A 2 = A; por lo tanto (A B ± A B A)2 = (A B ± A B A)(A B ± A B A) = ABAB ± ABABA ± ABA AB + ABA ABA = A B A B ± A B A B A ± A B A 2B + A B A 2 B A = ABAB ± ABABA ± ABAB + ABABA = O. ’ EJ E M P L O 1.6.20 Demuestre que para una matriz nilpotente A de índice de nilpotencia p la matriz A + es también nilpotente y posee el mismo índice de nilpotencia. SO L U C I O N Dado que A p = O, entonces tenemos que probar que (A +)p = O. Es decir: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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MATRICES

( A + ) p = A + ˜ A + ˜ ... ˜ A + = ( A ˜ A ˜ ... ˜ A ) + = ( A p ) + = O + = O . ’ p veces

p veces

EJ E M P L O 1.6.21 Demuestre que si A es idempotente, B = 2A ± I es involutoria, si B es involutoria, A = ½(B + I) es idempotente. SO L U C I O N Si A 2 = A, entonces: B 2 = (2A - I)2 = (2A - I)(2A - I) = 4A 2 ± 4A + I = 4A ± 4A + I = I. 2 Si B = I, entonces: 2

1 1 1 1 §1 · A 2 = ¨ ( B + I ) ¸ = ( B 2 + 2 B + I ) = ( I + 2 B + I ) = (2 B + 2 I ) = ( B + I ) = A . 4 4 4 2 ©2 ¹ %  COMPROBACION  DE  UNA  MATRIZ  PERIODICA   clc;;clear;;   fprintf('\n  COMPROBACION  DE  UNA  MATRIZ  PERIODICA  \n')   filcol=input('Ingrese  el  numero  de  filas  y  columnas  de  la  Matriz:  ');;   pt=input('Ingrese  la  potencia  a  la  que  va  elevar  A:    ');;   %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  POTENCIA  ES:\n')          PotA=A^pt   end          if(A  ==PotA)                fprintf('\n  LA  MATRIZ  A  ES  PERIODICA\n')                if(pt==2)                  fprintf('\n  LA  MATRIZ  A  ES  IDEMPOTENTE\n')                          end                  else                fprintf('\n  LA  MATRIZ  A  NO  ES  PERIODICA\n')              end  

 

%  COMPROBACION  DE  UNA  MATRIZ  INVOLUTORIA   clc;;clear;;   fprintf('\n  COMPROBACION  DE  UNA  MATRIZ  INVOLUTORIA  \n')   filcol=input('Ingrese  el  numero  de  filas  y  columnas  de  la  Matriz:  ');;   %pt=input('Ingrese  la  potencia  a  la  que  va  elevar  la  matriz:    ');;   pt=2;;   %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   end          fprintf('  LA  MATRIZ  POTENCIA  ES:\n')          PotA=A^pt   end          I=eye(size(A));;   end   ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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       if(PotA  ==I)                fprintf('\n  LA  MATRIZ  A  ES  INVOLUTORIA\n')        else                fprintf('\n  LA  MATRIZ  A  NO  ES  INVOLUTORIA\n')              end    

 

%  COMPROBACION  DE  UNA  MATRIZ  NILPOTENTE   clc;;clear;;   fprintf('\n  COMPROBACION  DE  UNA  MATRIZ  NILPOTENTE  \n')   filcol=input('Ingrese  el  numero  de  filas  y  columnas  de  la  Matriz:  ');;   pt=input('Ingrese  la  potencia  a  la  que  va  elevar:    ');;   %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                          A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A   End          fprintf('  LA  MATRIZ  POTENCIA  ES:\n')          PotA=A^pt   end          ceros=zeros(size(A));;          if(PotA  ==ceros)                fprintf('\nLA  MATRIZ  A  ES  NILPOTENTE  DE  INDICE  %d\n',pt)        else                fprintf('\nLA  MATRIZ  A  NO  ES  NILPOTENTE\n')              end  

   

PR O B L E M AS

1.6.1 Si A 2 = A, demostrar que (A + I)k = I + (2k ± 1)A. 1.6.2 La ecuación A 2 = I se satisface para cada una de las matrices 2 x 2 §1 0· §1 0 · §1 b · ¸, ¨ ¸ ¨ ¸, ¨ © 0 1 ¹ © c 1¹ © 0 1¹ donde b y c son números reales arbitrarios. Hallar todas las matrices A de 2 x 2, tales que A 2 = I. 1.6.3 Dada la matriz A

§ CosT  SenT · ¨ ¸. © SenT Cos T ¹

Calcular A n siendo n  Z +.

1.6.4 Demuestre que una matriz triangular es nilpotente si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal principal son nulos, y el índice del carácter nilpotente de la matriz triangular no supera su orden. n

+

1.6.5 Sea k z 0, encuentre A , n  Z si kSenT · § CosT ¨ ¸. A ¨¨  1 SenT CosT ¸¸ © k ¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

1.6.6 La matriz A

donde i2 = -1, a

1 (1  2

§a ¨ ©i

i· ¸, b¹

5) y b

1 (1  2

5) , tiene la

propiedad de que A es idempotente. Describir en forma completa todas las matrices A de 2 x 2, con elementos complejos tales que A sea idempotente. 1.6.7 Determine a y b tales que A sea idempotente § 1 0· A ¨ ¸. © a b¹ 1.6.8 Determine condiciones sobre a, b y c de modo que A sea idempotente § a 0· A ¨ ¸. ©b c¹ 1.6.9 Demuestre que A es idempotente sí y sólo si A T es idempotente. 1.6.10 Demostrar que una hipermatriz triangular es nilpotente si, y sólo si, todas sus submatrices en la diagonal principal son nilpotentes. JOE GARCIA ARCOS

MATRICES

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1.6.11 Dada la matriz nS nS · § Sen ¸ ¨ Cos k k ¸ A ¨ n S n S ¨  Sen Cos ¸¸ ¨ k k ¹ © en donde k  Z +, encuentre A m para todo m. ¿A qué es igual la matriz A m cuando m = k?

1.6.17 Demuestre que si A y B son idempotentes y A B = B A, entonces A B es idempotente. 1.6.18 Encuentre una matriz hipertriangular nilpotente de índice 2 tales que sus submatrices en la diagonal principal sean nilpotentes de índice 2. 1.6.19 Si A y B son matrices de 2 x 2. Calcule: a.- (A B ± B A)2; b.- (A B ± B A)n, n > 2.

1.6.12 Demuéstrese que, si A es matriz cuadrada, entonces: a.- A 3 ± I = (A ± I)(A 2 + A + I); b.- A 4 ± I = (A 2 + I)(A + I)(A ± I); c.- 3A 2 ± 2A - I = (3A + I)(A ± I); d.- A k ± I = (A ± I)(A k-1 + A k-2 «+ I).

1.6.20 Si A y B son matrices de n x n tales que A(A B ± B A) = (A B ± B A)A y B(A B ± B A) = (A B ± B A)B. Demuestre que (A B ± B A)3 = O.

1.6.13 Demuestre que si A es nilpotente, entonces A T es nilpotente con el mismo índice.

1.6.21 Encuentre una matriz triangular de 3 x 3, que sea nilpotente de índice 2.

1.6.14 Sean las matrices § 3 2 · § 4 2 · A ¨ ¸, B ¨ ¸, © 15 8 ¹ © 15 7 ¹

1.6.22 Dada p(x): § 1 ¨ a.- A ¨ 1 ¨2 ©

p( x, y) x2  xy  2 y 2 y q( x, y) x2  y 2  2 y  1 : a.- Verifíquese que A y B conmutan. b.- Evalúese p(A, B). c.- Evalúese q(A, B). d.- Demuéstrese que, en general, si A y B son matrices de n x n, y si A y B conmutan, entonces (A + B)2 = A 2 + 2A B + B 2 y A 2 ± B 2 = (A + B)(A ± B) y verifíquese la validez de esas relaciones con las matrices A, B que se han dado. 1.6.15 Sea f ( x) x 2  x  3 , g ( x) x3  2 x  1 , § 3 1· § 1 2 · ¨ ¸, B ¨ ¸ . Evalúese: © 2 0¹ ©3 4 ¹ a.- f(A); b.- f(B); c.- f(I); d.- f(O); e.- g(A); f.- g(B); g.- f(A + B). A

1.6.16 En cada una de las elecciones siguientes de la matriz A, demuéstrese que se puede expresar A como B + C, donde B es idempotente y C es nilpotente (recuérdese que O es idempotente y nilpotente al mismo tiempo): §1 0· § 0 0· a.- A ¨ ¸ ; b.- A ¨ ¸; 0 1 © ¹ ©1 0¹ c.-

e.-

A

§1 0· ¨ ¸; © 0 0¹

A

§1 0 · ¨ ¸; ©1 0 ¹

d.-

f.-

A

A

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§1 ¨ ©1 §1 ¨ ¨0 ¨1 ©

0· ¸; 1¹

0 0· ¸ 1 0¸ . 0 0 ¸¹

la matriz A. Hallar el valor del polinomio

2 1· ¸ 1 3 ¸ , p(x) = 3x2 ± 2x + 2; 1 1 ¸¹ §1 1 1 · ¨ ¸ b.- A ¨1 1 1¸ , p(x) = 2x2 + 3x ± 1; ¨1 1 1¸ © ¹ §1 2 3· ¨ ¸ c.- A ¨ 4 5 6 ¸ , p(x) = x2 ± 5x ± 5; ¨7 8 9¸ © ¹ §1 ¨ d.- A ¨ 2 ¨3 © §1 ¨ e.- A ¨1 ¨1 ©

f.- A

4 7· ¸ 5 8 ¸ , p(x) = 3x2 + 5x ± 5; 6 9 ¸¹ 1 1· ¸ i 1¸ , p(x) = x2 + 3x + 1; 1 i ¸¹

1 · §1  i 1 ¨ ¸ 2 ¨ 1 1  i 1 ¸ , p(x) = x - 3x ± 2. ¨ 1 1 1  i ¸¹ ©

1.6.23 Hallar matrices A y B tales que § 1 2 · § 1 3 · 2 A2 ¨ ¸ y B ¨ ¸. 0  1 © ¹ ©2 5 ¹ 1.6.24 Dada la matriz A

encuentre A n, n  Z +.

§8 4 ¨ ¨4 2 ¨ 4i 2i ©

4i · ¸ 2i ¸ 2 ¸¹

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MATRICES

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1.7 C U EST I O N A RI O Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas, indicar por que lo es: 1.7.1 Si dos productos A B y B A están definidos y A es una matriz de m x n, entonces B es una matriz de m x n. 1.7.2 Una matriz que conmuta para el producto con una matriz diagonal que posee elementos en la diagonal distintos de dos en dos es también una matriz diagonal. 1.7.3 Si una matriz cuadrada A es conmutativa para el producto con todas las matrices cuadradas del mismo orden, ésta es la matriz nula. 1.7.4 Las operaciones sobre las matrices casi triangulares de la misma estructura, superiores o inferiores conducen a matrices casi diagonales de la misma estructura. 1.7.5 Si una matriz A es nilpotente de índice de nilpotencia n, entonces la matriz A es también nilpotente y posee el mismo índice de nilpotencia.

1.7.11 Si A y B son matrices cuadradas de un mismo orden con la particularidad de que A B z B A, entonces Tr(A B) z Tr(B A). 1.7.12 Para que una matriz cuadrada A sea conmutativa con todas las matrices cuadradas del mismo orden, es necesario y suficiente que la matriz A sea escalar. 1.7.13 Las operaciones sobre las matrices casi diagonales de una misma estructura dan matrices casi diagonales de la misma estructura. 1.7.14 Si A es una matriz diagonal y todos los elementos de su diagonal principal se diferencian entre sí, cualquier matriz, conmutativa con A debe ser nula. 1.7.15 Si A es una matriz de 2 x 2 y k un número entero superior a dos, entonces A k = O si, y sólo si, A 2 = O.

1.7.6 Si las matrices A y B son conmutables para el producto, entonces las matrices conjugadas A y B son anticonmutativas.

1.7.16 Si para las matrices A y B ambos productos A B y B A están definidos con la particularidad de que A B = B A, entonces las matrices A y B son cuadradas y no necesariamente tienen el mismo orden.

1.7.7 Una matriz triangular es nilpotente si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal principal son nulos, y el índice de nilpotencia de la matriz triangular no supera su orden.

1.7.17 Si A y B son matrices cuadradas de un mismo orden con la particularidad de que A B z B A, entonces (A - B)2 = A 2 + B 2.

1.7.8 Si A es una matriz normal y conmuta con una cierta matriz B, entonces A conmuta con B.

1.7.18 Para cualquier matriz B con elementos reales o complejos, entonces la matriz A = B B + es antihermítica.

1.7.9 El producto de dos matrices antisimétricas A y B es una matriz antisimétrica si, y sólo si, A B z B A. 1.7.10 Para que una matriz cuadrada A sea conmutativa con todas las matrices diagonales es necesario y suficiente que la propia matriz A sea diagonal.

1.7.19 La suma A + B y el producto A B de matrices normales A y B son matrices normales. 1.7.20 Una matriz normal casi triangular es una matriz casi diagonal.

 

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O BJE T I V O Resolver problemas sobre determinantes, utilizando definiciones, propiedades y métodos adecuados para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias aplicadas.

C O N T E NI D O : 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN METODOS PARA EL DESARROLLO DE UN DETERMINANTE DE ORDEN SUPERIOR PRODUCTO DE DETERMINANTES DETERMINANTES DE VANDERMONDE CUESTIONARIO

2.1 D E T E R M I N A N T ES D E SE G UND O Y T E R C E R O RD E N En esta sección se introduce la terminología básica y se define el determinante de una matriz cuadrada de n-ésimo orden, enunciamos sus propiedades. Es evidente que una regla que asocie a cada matriz un número concreto definirá una función de valores numéricos de las matrices. Una de las funciones con valores numéricos más importante entre las que se definen para las matrices cuadradas es la función determinante. Esta función ha sido objeto de un estudio exhaustivo durante más de 200 años. El hecho más asombroso de la historia de los determinantes es que el concepto de determinante se haya adelantado más o menos 100 años al concepto de matriz. En realidad, hasta principios de este siglo, ambos conceptos se confundían. Si designamos los n primeros elementos del conjunto de los números naturales, existe una permutación ordinaria de dichos elementos que se denomina permutación fundamental o principal, la cual corresponde a la sucesión ordenada y creciente de los números naturales; entonces, la permutación fundamental viene dada por 1 2 3 ... n. Se dice que dos elementos de cualquiera de las n! permutaciones posibles forman inversión cuando se suceden en un orden distinto al que presentan en la permutación fundamental; así, por ejemplo, en la permutación 2 3 1 4, los pares de elementos {2, 1} y {3, 1} forman inversiones. Si todos los pares de elementos forman inversión, es decir, si todos los elementos están colocados en orden contrario al natural, se trata de una permutación inversa, como 4 3 2 1. La clase de una permutación viene dada por la paridad del número total de inversiones que existan entre cada dos elementos de la permutación; así, una permutación es de clase par o de clase impar, según sea par o impar dicho número de inversiones. Al cambiar entre sí de lugar la posición de dos elementos de una permutación se ha originado una transposición.

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DETERMINANTES

T E O R E M A 2.1.1 Si en una permutación arbitraria se efectúa una transposición, la permutación cambia de clase. D E M OST R A C I O N En efecto, si se verifica la transposición entre dos elementos consecutivos se origina un aumento o una disminución en el número total de inversiones de la permutación, según que dicho par de elementos estuvieran o no en el orden natural previamente establecido; por otra parte, no existen más variaciones en el número total de inversiones, ya que tanto los elementos anteriores como los posteriores a los que se transponen siguen teniendo respecto a los elementos del par transpuesto la misma posición relativa que tenían antes de la transposición. Si entre los elementos que se transponen existen otros k elementos intercalados, para intercambiarlos de lugar basta hacer avanzar k + 1 lugares al elemento más retrazado, lo que equivale a efectuar k + 1 transposiciones y, a continuación, debe hacerse retroceder k lugares el elemento más avanzado, lo que representa otras k nuevas transposiciones, con lo que el número total de transposiciones efectuadas asciende a k + 1 + k = 2k + 1, que es un número impar, siendo, por tanto, impar el número de cambios de la permutación original; la permutación debe cambiar de clase. Si en una permutación arbitraria se efectúa una transposición, la permutación cambia de clase. Finalmente, se puede probar fácilmente que es posible obtener las n! permutaciones del conjunto {1, 2, ..., n} a partir de la permutación principal y cambiando, para formar una nueva permutación, dos elementos de la anterior, así: 1 2 3, 1 3 2, 3 1 2, 3 2 1, 2 3 1, 2 1 3, son las 3! = 6 permutaciones de {1, 2, 3}; por tanto, como se cambia de clase al conseguir una nueva permutación, entre las n! permutaciones posibles existen ½ n! de clase par y otras de clase impar. D E F IN I C I O N 2.1.1 Formados todos los productos posibles de n elementos elegidos entre los n2 de la matriz dada, de modo que en cada producto haya un factor de cada fila y uno de cada columna, y anteponiendo a cada producto el signo + o el -, según que las permutaciones que indican las filas y las columnas sean de la misma o distinta clase, el polinomio que tiene como términos todos los productos así formados con sus signos correspondientes, se llama determinante de la matriz dada. Es decir, para el conjunto de las matrices cuadradas de orden n se puede establecer una aplicación inyectiva de forma que a cada matriz A corresponda una función escalar de sus elementos y se representa escribiendo ésta entre barras: Det( A ) = A . D E F I N I C I O N 2.1.2 Se dice que dos determinantes son iguales, si al ser evaluados ambos dan el mismo número. La definición aceptada permite desarrollar cualquier determinante, pero en la práctica no debe utilizarse directamente para los de orden superior a tres. D E F IN I C I O N 2.1.3 El valor del determinante de una matriz a12 · §a A ¨ 11 ¸ © a21 a22 ¹ de 2 x 2 se define mediante la expresión: Det(A) = a11a22 ± a12a21. Un determinante de segundo orden es un número que se calcula a partir de los cuatro elementos de una ordenación cuadrangular. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

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EJ E M P L O 2.1.1 Evaluar el determinante de la siguiente matriz § a 2  ab  b2 a 2  ab  b2 · A ¨¨ ¸¸ . a b a b © ¹ SO L U C I O N Evaluamos el determinante de la matriz A utilizando la correspondiente definición Det(A) = (a2 + ab + b2)(a - b) - (a2 - ab + b2)(a + b) = a3 - a2b + a2b - ab2 + ab2 - b3 - a3 - a2b + a2b + ab2 - ab2 - b3 = - 2b3. ’ EJ E M P L O 2.1.2 Demostrar que, siendo a, b, c y d reales, las raíces de la ecuación a  x c  id 0 c  id b  x serán reales. SO L U C I O N Evaluando el determinante, obtenemos: ' = (a ± x)(b ± x) ± (c + id)(c ± id) = 0 Ÿ ab - ax - bx + x2 - c2 + icd - icd + i2d2 = 0 ab - ax - bx + x2 - c2 - d2 = 0 Ÿ x2 - (a + b)x + (ab - c2 - d2) = 0 Resolvemos esta ecuación cuadrática, resultando: ( a  c ) r ( a  b)2  4( ab  c 2  d 2 ) ( a  c ) r ( a  b) 2  4(c 2  d 2 ) . 2 2 Como (a - b)2 + 4(c2 + d2) t 0, entonces las raíces son reales. ’

x1,2

EJ E M P L O 2.1.3 Dada la matriz § 4 5· ¨ ¸ © 2 1¹ Encuentre de ser posible una matriz B tal que Det(A) = Det(A B). SO L U C I O N §a b· § 4 a  5c 4b  5d · Sea B ¨ ¸ , entonces A B ¨ ¸ . Por lo tanto ©c d¹ © 2 a  c 2b  d ¹ A

Det(A) = -6 y Det(A B) = 6bc ± 6ad Ÿ -6 = 6bc ± 6ad Ÿ ad ± bc = 1. La matriz pedida tiene la forma siguiente: ­ ½ °§ a b · ° B ®¨ ¸ / ad  bc 1¾ . ’ c d ° ° ¹ ¯© ¿ EJ E M P L O 2.1.4 Dada la matriz §1 3· ¨ ¸ © 4 2¹ Encuentre de ser posible una matriz B tal que Det(A + B) = Det(A) + Det(B). SO L U C I O N §a b· §1 a 3  b · Sea B ¨ ¸ , entonces A + B ¨ ¸ . Por lo tanto c d © ¹ ©4 c 2 d ¹ Det(A + B) = (1 + a)(2 + d) ± (3 + b)(4 + c) = 2a - 4b ± 3c + d + ad ± bc ± 10 Det(A) = -10 y Det(B) = ad ± bc. De donde 2a - 4b ± 3c + d + ad ± bc ± 10 = -10 + ad ± bc Ÿ 2a - 4b ± 3c + d = 0. A

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72

DETERMINANTES

La matriz pedida tiene la forma siguiente: ­§ a b · ° B ®¨ ¸ / 2 a  4b  3c  d ° ¯© c d ¹ D E F IN I C I O N 2.1.4 El valor del determinante de una matriz § a11 a12 ¨ A ¨ a21 a22 ¨a © 31 a32

½ ° 0¾ . ’ ° ¿

a13 · ¸ a23 ¸ a33 ¸¹

de 3 x 3, se define de la siguiente manera: Det(A) = a 11a 22a 33 + a 12 a 23a 31 + a 13a 21a 32 ± a 13a 22a 31 ± a 11a 23a 32 ± a 12a 21a 33. Un determinante de tercer orden es un número que se calcula a partir de los elementos de una ordenación cuadrangular de 3 x 3. Obsérvese que el primer término está compuesto por los elementos de la diagonal principal; y cada paralela a ella, con el elemento del vértice opuesto, compone otro término con signo +. Análogamente se deducen los otros tres que llevan signo -, partiendo de la diagonal secundaria. Esta regla muy útil se llama regla de Sarrus. EJ E M P L O 2.1.5 Calcule el determinante

b2  c 2 a.-

b

2

c

2

a2 2

a c c

2

a2 2

b 2

a2 1

2

a b

; 2

b.-

ab ac

ab

ac

2

bc

bc

2

b 1

.

c 1

SO L U C I O N a.- Haciendo uso de la definición correspondiente evaluamos el determinante la matriz: ' = (b2 + c2)(a2 + c2)(a2 + b2) + a2b2c2 + a2b2c2 ± a2c2(a2 + c2) ± b2c2(b2 + c2) ± a2b2(a2 + b2) = (b2a2 + b2c2 + a2c2 + c4)(a2 + b2) + 2a2b2c2 ± a4c2 - a2c4 ± b4c2 - b2c4 ± a4b2 - a2b4 = b2a4 + b4a2 + b2a2c2 + b4c2 + a4c2 + a2b2c2 + c4a2 + c4b2 + 2a2b2c2 ± a4c2 - a2c4 ± 4 2 b c - b2c4 - a4b2 - a2b4 = 4a2b2c2. b.- Haciendo uso de la definición correspondiente evaluamos el determinante la matriz: ' = (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) + a2b2c2 + a2b2c2 ± a2c2(b2 + 1) ± b2c2(a2 + 1) ± a2b2(c2 + 1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = (a b + a + b + 1)(c + 1) + 2a b c ± a b c - a c ± a b c - b c ± a b c - a2b2 = a2b2c2 + a2b2 + a2c2 + a2 + b2c2 + b2 + c2 + 1 ± a2b2c2 - a2c2 ± b2c2 - a2b2 = a2 + b2 + c2 + 1. ’ A continuación enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades mas importantes de los determinantes. T E O R E M A 2.1.2 El valor de un determinante no varía si se sustituye cada elemento por su conjugado, es decir, si se cambian las filas por columnas, y éstas por aquéllas, sin alterar el orden relativo de los elementos de cada una. D E M OST R A C I O N En efecto; todo término del primer determinante está formado por n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna, luego pertenece también al segundo ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

73

determinante. Las dos permutaciones que indican filas (columnas) en el segundo determinante, son las mismas que indican las columnas (filas) en el primero, luego el signo de dicho término en ambos determinantes es + o -, según que ambas permutaciones sean de la misma o distinta clase. Al multiplicar cada elemento de la i-ésima fila o de la j-ésima columna por un número r, Det(A) queda multiplicado por r. Consecuentemente, si cada elemento de una matriz A de orden n x n se multiplica por un número r, entonces Det(A) queda multiplicado por rn. T E O R E M A 2.1.3 Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un mismo número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número. D E M OST R A C I O N Supongamos que bj = ra j, mientras que bk = a k para k z j. Entonces, en particular, b1j = ra1j. Si k z j, B 1k se obtiene a partir de A 1k multiplicando una columna por r y como B 1k y A 1k son matrices (n ± 1) x (n ± 1), tenemos que Det(B 1k) = rDet(A 1k). Por otra parte, B 1j = A 1j y b1k = a1k si k z j. Por tanto, para todo k, B 1kDet(B 1k) = ra1kDet(A 1k). Por tanto, Det( B )

n

¦ (1)k 1 b1k Det( B1k ) k 1

n

¦ (1) k 1 r a1k Det( A1k )

rDet( A ) .

k 1

En el teorema siguiente podemos ver que un intercambio de dos filas o dos columnas es una matriz de orden n x n cambia el signo del determinante. T E O R E M A 2.1.4 Si B se obtiene a partir de A intercambiando dos filas (o dos columnas) adyacentes sin alterar el orden relativo de los elementos de cada una, entonces el valor absoluto del determinante no varía, pero cambia su signo. D E M OST R A C I O N Supongamos que A y B son iguales, excepto que aj = bj+1 y a j+1 = bj. Si k z j y k z j+1, tenemos que b1k = a1k y Det(B 1k) = -Det(A 1k) por la hipótesis de inducción, de modo que (-1)k+1b1kDet(B 1k) = -(-1)k+1a1kDet(A 1k) Por otra parte, b1j = a1 j+1, B 1j = A 1 j+1, de modo que (-1)j+1b1jDet(B 1j) = (-1)j+1a1 j+1Det(A 1 j+1) = -(-1)j+2a1 j+1Det(A 1 j+1). De la misma manera, (-1)j+2b1 j+1Det(B 1 j+1) = -(-1)j+1a1jDet(A 1j). Por tanto, cada término de la expresión para Det(B) es igual al negativo de un término en la expresión para Det(A). Por tanto, Det(B) = -Det(A). T E O R E M A 2.1.5 Si en una matriz cuadrada todos los elementos de una fila (o columna) son cero, el valor de su determinante es cero. D E M OST R A C I O N Cada uno de los productos en que se desarrolla el determinante contiene un elemento de esa fila, así que cada producto es nulo en la hipótesis hecha. De aquí que su suma es cero; es decir Det(A) = 0. T E O R E M A 2.1.6 Si en una matriz cuadrada, los elementos correspondientes de dos filas (o dos columnas) son idénticos, entonces el valor de su determinante es cero. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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74

DETERMINANTES

D E M OST R A C I O N Suponga que a ik = a jk para todo k o que a ik = aij para todo i; si intercambiamos las dos filas o las dos columnas iguales, la matriz A no ha cambiado. Pero el signo del determinante cambia: Det(A) = - Det(A) o Det(A) + Det(A) = 0. El único número real para el cual se satisface la ecuación es Det(A) = 0. T E O R E M A 2.1.7 Un determinante es nulo si los elementos de una fila (o columna) son proporcionales a los términos de una paralela a ella. D E M OST R A C I O N Si los términos de una fila son iguales a los correspondientes de otra, multiplicados por r, separando este número como factor del determinante, queda otro con dos filas idénticas, y, por tanto, es nulo. T E O R E M A 2.1.8 Sean A, B y C matrices iguales, excepto para la columna j, y supóngase que la columna j de C es la suma de las columnas de j de A y B. Entonces Det(C) = Det(A) + Det(B). D E M OST R A C I O N Tenemos que c1j = a1j + b1j y C 1j = A 1j + B 1j. Para k z j, c1k = a1k = b1k y C 1k = A 1k = B 1k, excepto para una columna que es la suma de las columnas correspondientes de A 1k y B 1k. Por tanto, si k z j, Det(C 1k) = Det(A 1k) + Det(B 1k) por hipótesis de inducción. Si k = j tenemos c1kDet(C 1k) = c1kDet(A 1k) + c1kDet(B 1k) = a 1kDet(A 1k) + b1kDet(B 1k) mientras que c1jDet(C 1j) = a 1jDet(C 1j) + b1jDet(C 1j) = a 1jDet(A 1j) + b1jDet(B 1j) Por tanto Det( C )

n

¦ (1)k 1 c1 k Det( C1 k ) k 1 n

n

k 1

k 1

¦ (1)k 1 a1k Det( A1k )  ¦ (1) k 1 b1k Det( B1k ) = Det(A) + Det(B). El teorema siguiente nos da una manera eficiente para calcular el determinante de una matriz grande. T E O R E M A 2.1.9 Si C y A son matrices n x n y C se obtiene de A sumando un múltiplo numérico de una columna a otra, entonces Det(C) = Det(A). D E M OST R A C I O N Supongamos que la matriz C es igual a la matriz A, excepto que c j = a j + ra i. Sea la matriz obtenida de A remplazando a j por ra i. Por el teorema anterior, Det(C) = Det(A) + Det(B). El Det(B) es r veces el determinante de una matriz con dos columnas iguales. Por tanto, Det(B) = 0 y Det(C) = Det(A). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

75

EJ E M P L O 2.1.6 Sin desarrollar el determinante, demostrar la siguiente identidad: 1 a bc ma1 mb1 mc1 a1 b1 c1 a.- na2 nb2 nc2 mnp a2 b2 c2 ; b.- 1 b ac 1 c ab pa3 pb3 pc3 a3 b3 c3

1 a

1 b

a 2 b2

1 c .

c2

SO L U C I O N a.- Extraemos m de la primera fila de la matriz, n de la segunda fila y p de la tercera fila. Es decir a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 m na2 nb2 nc2 mn a2 b2 c2 mnp a2 b2 c2 pa3 pb3 pc3 pa3 pb3 pc3 a3 b3 c3 b.- Multiplicando la primera, segunda y tercera filas por a, b y c, respectivamente, obtenemos

a a2 1 b b2 abc c c2

abc

a a2 1

abc

b b2 1

abc

c

c2 1

intercambiando las columnas 1 y 3, luego la 2 y 3, transponiendo la matriz obtenemos la identidad

a a2 1 b b

2

c

2

c

1 1

1 a2

a

1 a

a2

1 b

2

b

1 b b

1 c

2

c

1 c

2

c2

1 a

1 b

a 2 b2

1 c . ’

c2

EJ E M P L O 2.1.7 Sea A una matriz antisimétrica de n x n. Demuestre que si n es impar, entonces Det(A) = 0. SO L U C I O N Como A = -A T, entonces: Det(A) = Det(-A T) = (-1)nDet(A T) = (-1)nDet(A) = - Det(A) Ÿ 2Det(A) = 0. Luego Det(A) = 0. ’ EJ E M P L O 2.1.8 Sin desarrollar el determinante, demostrar la siguiente identidad: 1 a

a2

a.- 1 b b 2 1 c

c2

1 a 0 (b  a )(c  a ) 0 1 b ; 0 1 c

1 a2

a3

bc

a a2

b.- 1 b 2

b3

ca b b 2 .

1 c2

c3

ab c

c2

SO L U C I O N a.- Restando la fila 1 de la fila 2 y la fila 1 de la fila 3, obtenemos: 1

a

a2

0 b  a b2  a 2 0 ca

c2  a2

extraemos (b ± a) de la segunda fila y (c ± a) de la tercera fila 1 a a2 (b  a )( c  a ) 0 1 b  a 0 1 ca descomponemos el determinante en suma de determinantes con respecto a la tercera ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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76

DETERMINANTES

columna ­ 1 a 0 1 a a2 ½ ° ° (b  a )( c  a ) ® 0 1 b  0 1 a ¾ ° 0 1 c 0 1 a ° ¯ ¿ podemos observar en la expresión que esta entre llaves, que el segundo determinante es cero por tener dos filas iguales, lo cual permite llegar a demostrar la identidad. 1 a 0 (b  a )( c  a ) 0 1 b . 0 1 c b.- A la primera columna del determinante le multiplicamos por abc:

abc a 2

a3

1 abc b 2 abc abc c 2

b3 c3

Extraemos a de la primera fila, b de la segunda fila y c de la tercera fila:

bc a a 2 abc ac b b 2 abc ab c c 2

bc

a a2

ac b b 2 . ’ ab c

c2

EJ E M P L O 2.1.9 Sin desarrollar el determinante, demostrar la siguiente identidad:

a3

1 a

a.- 1 b b3

b.-

0 a b c

(a  b  c) 1 b b2 ;

c3

1 c

a 0 c b

b c 0 a

a2

1 a

c b a 0

1 c

c2

1

1

1

0

2

b2

1 c2

0

a2

1 b2

a2

0

0 1

c

.

SO L U C I O N a.- A la columna 3 le restamos la columna 1 multiplicada por abc 1 a

a 3  abc

1 b b3  abc 1 c

c 3  abc

A la columna 3 le sumamos la columna 2 multiplicada por ac 1 a

a 3  a 2 c  abc

1 b b3  abc  abc 1 c

c 3  ac 2  abc

A la columna 3 le sumamos la columna 2 multiplicada por bc 1 a

a 3  a 2 c  abc  abc

1 b

b3  b 2 c

1 c

c 3  ac 2  abc  bc 2

A la columna 3 le sumamos la columna 2 multiplicada por ab ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

77

1 a

a 3  a 2 c  a 2b

1 b b3  b 2 c  b 2 a 1 c

a 2 (a  b  c)

1 a

1 b b2 ( a  b  c )

c 3  ac 2  bc 2

c 2 (a  b  c)

1 c

Extraemos a + b + c de la tercera columna

a2

1 a

( a  b  c ) 1 b b2 .

c2

1 c

b.- A la segunda fila del determinante se le multiplica por bc, a la tercera fila por ac y a la cuarta fila por ab: 0 a b c 1

abc

0

bc 2

b2 c

0

a2c

a 2 b 2 c 2 abc ac 2

abc ab 2 a 2 b 0 De la primera columna extraemos abc, de la segunda columna a, de la tercera columna b y de la cuarta columna c: 0 1 1 1 0 1 1 1

a 2b2 c 2 1 0 a 2b2 c 2 1 c 2

c2

b2

1

0

c2

b2

0

a2

1 c2

0

a2

1 b2

a2

0

1 b2

a2

0

. ’

EJ E M P L O 2.1.10 Evaluar los siguientes determinantes: 1 a b cd 1 a b c 1 b c da 1 b c a a.; b.. 1 c d a b 1 c a b 1 d a bc 1 2 a  b 2b  c 2c  a SO L U C I O N a.- A la segunda columna columnas: 1 1 1 1

del determinante, le sumamos la tercera y cuarta

a bc d b c d bcd a c d a c d  a b d a b d  a bc a bc Extraemos de la segunda columna a + b + c + d: 1 1 b cd 1 1 c da (a  b  c  d ) 1 1 d a b 1 1 a bc Como existen dos columnas iguales, el determinante es igual a 0. b.- A la primera columna, le sumamos la tercera y cuarta columnas: 1 a bc b c 1 bca c a 1 c  a b a b 1 a  b  c 2b  c 2c  a ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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78

DETERMINANTES

Extraemos de la segunda columna a + b + c : 1 1 b c 1 1 c a . (a  b  c) 1 1 a b 1 1 2b  c 2c  a Como existen dos columnas iguales, el determinante es igual a 0. ’

PR O B L E M AS 2.1.1 Si A y B son matrices triangulares superiores de n x n tales que Det(a A + b B) = aDet(A) + bDet(B) para todo a, b en K , demuestre que Det(A) = Det(B) = 0. 2.1.2 Dado que Det(A) = 81 y B es una matriz igual a A, excepto que la primera y tercera filas fueron intercambiadas una por la otra. ¿Cuál es el valor de Det(B)? 2.1.3 Si Det(A) = 9 y B es una matriz igual a A, excepto que la segunda y tercera filas fueron intercambiadas entre sí. ¿Cuál es el valor de Det(B)? 2.1.4 Sean A y B matrices cuadradas de 4 x 4 tales que Det(A) = -15 y Det(B) = -6. Encuentre Det(A B), Det(A 3), Det(5B); Det(A B)T. 2.1.5 Si A es una matriz simétrica, demuestre que Det(A + B) = Det(A + B T). 2.1.6 Encuentre matrices A y B de 2 x 2 tales que Det(A + B) = Det(A) + Det(B). 2.1.7 Sea A una matriz de 3 x 3 tal que la suma de cada una de sus filas es igual a cero. Encuentre Det(A). 2.1.8 Demuestre que si Det(A) = Det(B) z 0, entonces hay una matriz C tal que Det(C) = 1 y A = C B. 2.1.9 Demuestre que si A es una matriz antisimétrica de n x n, entonces Det(A) = (-1)nDet(A). 2.1.10 Si A es una matriz idempotente, ¿cuáles son los valores posibles de Det(A)? 2.1.11 Sean A y B dos matrices de n x n. Encuentre Det(C) en función de Det(A + B) y Det(A ± B), siendo §A B· C =¨ ¸. ©B A¹ 2.1.12

Si A T B T

§ 1 3 · ¨ ¸ y Det(B) = 3. ¿Cuál es el © 2 4¹

Det(A)? ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

2.1.13 Evaluar los siguientes determinantes: n  2 n 1 n 1 1 1 a.- n  1 n n ; b.- 1 2  a 1 ; n n n 1 1 3 a 1 2 3 c.- 1 a  1 3 ; 1 2 a 1

d.-

e.-

e c b c e a ; b a e

g.-

a b c d b ac d ; b c ad

i.-

2  a2 3 3

2 1

3 5

1 9a

n 1 1 k.- 1 n 1 ; 1 1 n

f.-

;

1 a cd

1 1 a b a ; c c

1 1 n 1 n 1 ; n 1 1

a ek fk

h.-

j.-

2

dg dh b eh ; fg c

1 n n n 2 n ; n n 3

a b b l.- b a b . b b a

2.1.14 Demuestre que la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(a, b) y Q(c, d) está dada por 1 1 1 x a c 0. y b d 2.1.15 Det( A )

§a b· ¨ ¸ , entonces ©c d¹ es el área del paralelogramo con lados

Demuestre

que

si

A

determinados por (a, b) y (c, d). 2.1.16 Evaluar los siguientes determinantes: n 1 0 1 a 0 b ; a.- n  1 a 1 ; b.- 1 1  a 0 1 1  b n2 0 a

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DETERMINANTES

c.-

e.-

79

2n  5 n  1 n n  2 2n  3 n ; n  2 n  1 2n  1

1 n 1 1 d.1 1 n 1 ; 1 1 1 n

a.-

a  b ab 0 1 a  b ab . 0 1 a b § 1 2 4 · ¨ ¸ ¨ 3 1 1¸ evalúe Det(A - OI), donde O ¨5 2 6¸ © ¹

2.1.17 Si A

2.1.23 Sin desarrollar el determinante, demostrar la siguiente identidad:

es un escalar.

b.-

a.-

c.-

c f i

g h a b d e

b.-

d e f a b c ; 3g 3h 3i

i c . f

2.1.20 Use determinantes para encontrar: a.- El área del rectángulo con lados determinados por (4, 3) y (-6, 2). b.- El volumen del paralelepípedo rectangular cuyos lados están determinados por (2, 2, 0), (4, -4, 1) y (2, -2, -16). §B C· 2.1.21 Sea n = p + q y sea A = ¨ ¸ , donde B es ©D E¹ una matriz de p x p y E es una matriz q x q. Demuéstrese que: a.- Si p < q, y si E = O, entonces Det(A) = 0. b.- Si p = q y si C = O, entonces Det(A) = Det(B)Det(E). c.- Si C = O y D = O, de manera que A es suma directa de B y E, entonces Det(A) = Det(B)Det(E).

§ a1 ¨ ¨ b1 ¨c © 1

a3 · ¸ b3 ¸ entonces 2.1.22 Demuestre que si A c3 ¸¹ Det( A ) es el volumen del paralelepípedo cuyos lados están determinados por (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) y (c1, c2, c3). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

a2 b2 c2

a2

0

c2

b2

c2

0

0 1 1 a 2b2 c 2 1 0 1 ; 1 1 0

a4

a9

a16

1

a

a4

a9

a16

a 25

a 36 a

a4

a9 ;

a16

a 25

a 36

a4

a9

a16

a3

c.- 1 b 2

b3

1 c2

c3

a2

1 a

( ab  bc  ca ) 1 b b 2 ;

c2

1 c

d.-

a b a c bc a c a b bc bc ba ac

e.-

a b bc c  a m  n n 1 1 m x y yz zx

f.-

a1 b1 a2 b2 a3 b3

g.-

a b bc a1  b1 b1  c1 a2  b2 b2  c2

16 , encuentre:

a b c d e f ; ag bh ci

a 2 b2

1 a2

2.1.18 Sea A una matriz antisimétrica de orden impar. Demuestre que Det(A) = 0.

a b 2.1.19 Si d e g h

0

1 c b 2( a  b  c ) 1 b b ; 1 b a

a b c 2 m n 1 ; x y z

a1 x  b1 y  c1 a2 x  b2 y  c2 a3 x  b3 y  c3

a1 b1 a2 b2 a3 b3

ca c1  a1 c2  a 2

b b1 b2

c c1 ; c2

h.-

a1  b1 x a1  b1 x c1 a2  b2 x a2  b2 x c2 a3  b3 x a3  b3 x c3

a1 b1 2 x a2 b2 a3 b3

c1 c2 ; c3

i.-

a1  b1 x a1 x  b1 a2  b2 x a2 x  b2 a3  b3 x a3 x  b3

a1 (1  x 2 ) a2 a3

c1 c2 c3

a 2 a1 a2

c1 c2 ; c3

b1 b2 b3

c1 c2 . c3

2.1.24 Sin desarrollar el determinante, demostrar la siguiente identidad:

a2

0

1

2a

2

1

a

a

2

0

0

1

a

a2

1 2a

a.-

0

a

bc b c a ac c b.a b a b

a4

1 0 1 0

2 1 1 1

1 2 1 1

0 1 ; 0 1

0 c b 2 c 0 a . b a 0

2.1.25 Sean A y B matrices de n x n tales que A B = I. Demuestre que Det(A) z 0 y Det(B) z 0. JOE GARCIA ARCOS

80

DETERMINANTES

2.1.26 Evaluar los siguientes determinantes: 1 1 4 3 6 9 5 4 2 a.- 2 2 1 ; b.- 6 3 6 ; c.- 4 2 5 ; 3 3 5 9 9 3 2 5 4 2 1 4 d.- 5 2 3 ; 1 5 5

g.-

1 1 2 3 5 1 ; 5 3 1

e.-

h.-

3 4 3 5 6 5 ; 4 9 3 3 2 1 2 1 2 ; 1 2 3

3 1 2 f.- 2 3 1 ; 1 2 3

i.-

5 2 1 5 4 3 ; 4 2 3

j.-

4 3 5 5 4 3 . 3 5 4

2.1.27 Use determinantes para encontrar: a.- El área del paralelogramo con lados determinados por (2, -4), (1, -3). b.- El volumen del paralelepípedo de lados determinados por (-1, 2, 3), (4, -5, 3) y (4, -1, 2).

2.2 M E T O D OS P A R A E L D ESA RR O L L O D E UN D E T E R M I N A N T E D E O RD E N SUP E RI O R En esta sección se analiza y desarrolla los métodos más importantes para el desarrollo de un determinante de n-ésimo orden. Nos interesa generalizar la noción de determinante a ordenaciones de n x n. En los casos de arreglos de 2 x 2 y 3 x 3 se observa que un determinante es una suma de términos cada uno de los cuales contiene uno y sólo un elemento de cada fila y de cada columna de la ordenación rectangular. Además, el número de elementos de cada término es el mismo que el de fila de la ordenación, es decir, que no hay elementos repetidos. Notamos también una alternación en los signos de los términos. No es fácil evaluar numéricamente un determinante cuando n es grande. La labor de encontrar todas las permutaciones y asignar los signos correspondientes es realmente difícil. Entonces, desarrollaremos métodos para evaluar determinantes, que tiene una enorme importancia teórica, y simplifica el procedimiento. D E F IN I C I O N 2.2.1 El cofactor Det(A ij) del elemento a ij de cualquier matriz cuadrada A es (-1)i+j veces el determinante de la submatriz de A obtenida al omitir la fila i y la columna j. D E F IN I C I O N 2.2.2 Si en una matriz cuadrada de orden n x n se suprimen la fila que ocupa el lugar i y la columna j, se obtiene una matriz cuadrada de orden n ± 1 x n ± 1, cuyo determinante se llama menor complementario del elemento a ij común a la fila y columna suprimidas. Lo designaremos Det(A ij). Si en el desarrollo de un determinante sacamos factor común a ij en todos los términos en que figura, aparece multiplicado por un polinomio que se llama adjunto de a ij. Nos será de mucha utilidad darles nombres a los determinantes de orden n ± 1 x n ± 1, que aparecen en la evaluación de Det( A), paso a paso, por medio del desarrollo por cofactores; los llamaremos los menores complementarios de la matriz A. D E F IN I C I O N 2.2.3 El adjunto de un elemento a ij es igual a su menor complementario, con signo + o -, según que i + j sea par o impar. Por esta razón, el adjunto de a suele llamarse también complemento algebraico, lo designaremos por Det(A ij). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

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I. D ESA RR O L L O PO R L OS E L E M E N T OS D E UN A F I L A O C O LUMNA Si en la definición del determinante de 3 x 3 se saca factor común a los elementos de la primera fila, se tiene Det(A) = a11(a22a33 ± a23a32) + a12(a23a31 ± a21a33) + a13(a21a32 ± a22a31) a a a a a a a11 (1)11 22 23  a12 (1)1 2 21 23   a11 (1)13 21 22 a32 a33 a31 a33 a31 a32 = a11Det(A 11) + a12Det(A 12) + a13Det(A 13) en donde cada Det(A 1i) es el determinante que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna i, afectado de un signo + o ± según que 1 + i sea un número par o impar. Se puede comprobar, para todos los casos posibles, que el determinante de 3 x 3 es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna de la matriz del determinante por sus adjuntos respectivos. Este resultado se puede generalizar al caso de un determinante cualquiera de n x n, sacando también factor común a los elementos de una fila o columna y comprobando que cada uno de ellos multiplica a su correspondiente adjunto, con lo que se consigue el desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna. T E O R E M A 2.2.1 El símbolo Det(A) se llama determinante de la matriz A de n x n y significa la suma de los productos de los elementos de cualquier fila o columna y sus respectivos cofactores; es decir Det(A) = a i1Det(A i1) + a i2Det(A i2 «+ a inDet(A in) o bien Det(A) = a1jDet(A 1j) + a2jDet(A 2j «+ anjDet(A nj). D E M OST R A C I O N La demostración se lleva a cabo por inducción. La proposición es verdadera para un determinante de 2 x 2. Suponiendo que es verdadera para un determinante de n ± 1 x n ± 1, probaremos que es verdadera para un determinante de n x n. Desarróllese Det(A) por la i-ésima fila. Un término típico es este desarrollo es a ikDet(A ik) = (-1)i + k a ikDet(M ik). El menor Det(M ik) de a i k en Det(A) es un determinante de n ± 1 x n ± 1. Por la hipótesis de inducción, puede desarrollarse por cualquier fila. Desarróllese por la fila correspondiente a la j-ésima fila de Det(A). Esta fila contiene los elementos a jr (r z k). Es la (n ± 1)-ésima fila de Det(B ik), porque Det(B ik) no contiene elementos de la i-ésima fila de Det(A) y i < j. Tiene que distinguirse entre dos casos: Caso I. Si r < k, entonces el elemento a jr pertenece a la r-ésima columna de Det(A ik). De aquí que el término que contiene a jr en este desarrollo es a jr(cofactor de a jr en Det(B i k) = (-1)(j - 1) + ra jrDet(B ik jr) donde Det(B ik jr) es el menor de ajr en Det(B ik). Como este menor se obtiene de Det(B ik) eliminando la fila y columna de a jr, se obtiene en Det(A) eliminando el iésima y el j-ésima filas y la k-ésima y r-ésima columnas de Det(A). Introdúzcanse los desarrollos de los Det(B ik) en el de Det(A). Entonces se deduce que los términos de la representación resultante de Det(A) son de la forma (-1)i+k+j+r -1a i k a j rDet(B i k j r) r < k. Caso II. Si r > k, la única diferencia es que entonces a jr pertenece a la (r ± 1)-ésima columna de Det(B ik), porque Det(B ik) no contiene elementos de la k-ésima columna de Det(A) y k < r. Esto produce un signo menos adicional y, por tanto, se obtiene -(-1)i + k + j + r ± 1a i ka j rDet(B i k j r) r > k. De forma análoga se demuestra el desarrollo referente a las columnas.

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DETERMINANTES

En esta forma, Det(A) se define en términos de n determinantes de n ± 1 x n ± 1, cada uno de los cuales, a su vez, se define en términos de n ± 1 determinantes de n ± 2 x n ± 2, y así sucesivamente; finalmente se llega a determinantes de 2 x 2, en los que los cofactores de los elementos son elementos sencillos de Det(A). Además, de la definición se concluye que puede desarrollarse Det(A) por cualquier fila o columna. El método expuesto para el desarrollo de un determinante complica extraordinariamente el proceso de cálculo a medida que aumenta el orden del determinante. %  CALCULO  DEL  DETERMINANTE  DE  UNA  MATRIZ   clc;;clear;;   fprintf('\n  DETERMINANTE  DE  UNA  MATRIZ  \n')   filcol=input('Ingrese  el  numero  de  filas  y  columnas:  ');;          %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          A          DetA=det(A);;          DetA  

 

EJ E M P L O 2.2.1 Evaluar el siguiente determinante: 2 5 1 2 1 0 3 7 1 4 3 2 a.; b.5 9 2 7 3 9 4 6 1 2 3 1

2 8 4 8

8 5 . 7 5

SO L U C I O N a.- Para desarrollar este determinante, elegimos la primera fila, es decir: 7 1 4 3 1 4 3 7 4

' 2(1)11 9 2 7  (5)(1)1 2 5 6 1 2 4

2 7  (1)13 5 9 7  1 2 4 6 2

3 7 1 2(1) 5 9 2 4 6 1 = 2(28 + 42 ± 36 + 48 ± 49 - 18) + 5(-12 ± 28 + 20 ± 32 + 21 + 10) + + (54 + 196 ± 120 + 144 ± 126 ± 70) + 2(27 + 56 + 30 ± 36 ± 36 ± 35) = - 9. b.- Desarrollando el determinante con respecto a la primera fila, obtenemos: 1 4

11

' (1)

2 8 5 3 2 5 3 2 8 1 3 1 4 (1) 9 4 7  (1) 2 3 9 7  ( 1) 8 3 9 4 1 8 5 3 1 5 3 1 8

2 8 5 3 2 5 3 2 8  9 4 7  2 3 9 7 8 3 9 4 1 8 5 3 1 5 3 1 8

= - (-40 ± 56 + 360 + 20 + 112 ± 360) + 2(135 + 42 ± 15 + 135 + 21 + 30) ± - 8(216 + 24 ± 24 + 216 + 12 + 48) = - 36 + 2(348) - 8(492) = - 36 + 696 ± 3936 = - 3276. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

83

EJ E M P L O 2.2.2 Sin desarrollar el determinante, demostrar la siguiente identidad: a b c d 0 1 b c d a 1 c ( a  b  c  d )(b  a  d  c ) c d a b 1 d d a b c 1 a

1 d a b

1 a . b c

SO L U C I O N A la primera columna se le restan la segunda, tercera y cuarta columnas: a bcd b c d a bcd c d a a bcd d a b a bcd a b c Extraemos a + b + c + d de la primera columna: 1 b c d 1 c d a (a  b  c  d ) 1 d a b 1 a b c A la primera fila, se le resta la segunda, se le suma la tercera y se le resta la cuarta filas: 0 bc  d  a c d  a b d  a bc 1 c d a (a  b  c  d ) 1 d a b 1 a b c Extraemos b ± a + d - c de la primera fila: 0 1 1 c ( a  b  c  d )(b  a  d  c ) 1 d 1 a

1 d a b

1 a . ’ b c

T E O R E M A 2.2.2 El valor de un determinante es igual a la suma de los elementos de una fila (columna) cualquier multiplicado por sus adjuntos correspondientes. D E M OST R A C I O N Fijémonos, por ejemplo, en la fila que ocupa el lugar i. En cada término de A hay un elemento de esta fila, y sólo uno; luego podemos clasificar los n! Términos del siguiente modo: todos los que contienen a i1 forman el producto a i1Det(A i1); los que contienen a i2 forman a i2Det(A i2), ..., los que contienen a i n componen a i nDet(A i n), luego: Det(A) = a i1Det(A i1) + a i2Det(A i2 «+ a inDet(A in) =

n

¦ aij Det( A ij ) . j 1

T E O R E M A 2.2.3 La suma de los elementos de una fila (o columna), multiplicados por los adjuntos de los elementos de una paralela a ella, es cero. D E M OST R A C I O N En efecto, la suma a k1Det(A i1) + a k2Det(A i2 « a knDet(A in) en el desarrollo del determinante obtenido poniendo en Det(A), en vez de la fila a k a k2 «a kn, la fila ai1ai2 « a in; este determinante tiene, pues, esta fila idéntica a la que ocupa el lugar k, luego es nulo. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

La aplicación de este teorema, para el desarrollo de Det(A), se simplifica observando que siendo (-1)i+j el signo que lleva el menor complementario de a ij y siendo i constante o j si se desarrolla por los elementos de una columna y tomando j los valores 1, 2, ..., n, este signo es alternativamente + y -. T E O R E M A 2.2.4 Sea A = (a i j) una matriz cuadrada de n x n. Entonces Det(A T) = Det(A). D E M OST R A C I O N Para la demostración de este teorema, utilizaremos el principio de inducción matemática en n. El teorema resulta evidente en el caso de n = 1. Supongamos que sea válido para todas las matrices cuadradas de m x m, con m < n. Puesto que el elemento a ij de A T es aji, tenemos que Det( A T )

n

¦ (1)i  j a ji Det( A Tij ) i 1

Observemos que A Ti j = (A i j)T, y que, en consecuencia resulta Det(A Tij) = Det(A ji)T = Det(A ji) Puesto que A ij es una matriz cuadrada de n ± 1 x n ± 1. Tenemos que cada i = 1, 2, ..., n, que Det( A T )

n

¦ (1)i  j a ji Det( A ji ) i 1

y, al sumar ambos miembros de esta última igualdad para i = 1, 2, ..., n, obtendremos n

n

n

¦ Det( A T ) ¦¦ (1)i  j a ji Det( A Tij ) i 1

i 1 j 1 n

n

¦¦ (1)i  j a ji Det( A ji ) . i 1 j 1

Si intercambiamos el orden de sumación de i y j en el miembro a la derecha de la última fórmula, veremos que

nDet( A T )

n

n

¦¦ (1) j i a ji Det( A ji ) . j 1i 1

Por otra parte, n

¦ (1) j  i a ji Det( A ji ) . i 1

Es el desarrollo de Det(A) por la fila j-ésima, y, en consecuencia n § n · ¦ ¨¨ ¦ (1) j 1 a ji Det( A ji ) ¸¸ nDet( A ) . i 1© j 1 ¹ T Es así como nDet(A ) = nDet(A) y, por lo tanto, Det(A T) = Det(A). EJ E M P L O 2.2.3 Si A es antisimétrica, ¿qué puede decirse acerca de Det(A)? SO L U C I O N Se sabe que una matriz es antisimétrica si A T = -A, por lo que Det(A T) = Det(-A) = (-1)nDet(A). T Por otra parte, Det(A ) = Det(A), así que Det(A) = (-1)nDet(A). Si n es par, no se puede afirmar nada. Sin embargo, si n es impar se tiene Det(A) = Det(A) y, por lo tanto, Det(A) = 0. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

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EJ E M P L O 2.2.4 Dada la expresión 0 a a 0 b d c e

b d 0 f

c e f 0

a

A b B c C



2

calcular A, B y C. SO L U C I O N Eligiendo la primera columna, desarrollamos el determinante a b c a b c 2 1 31 ' ( a )(1) d 0 f  (b)(1) 0 d e  e  f 0 e  f 0

a b ( c )(1)41 0 d e  f

a

A b B c C



c e 0

2

a(- bef + cdf + af2) - b(- be2 + cde + aef) + c(adf - bed + cd2) = ' af(- be + cd + af) - be(- be + cd + af) + cd(af - be + cd) = ' (af - be + cd)2 = ' Ÿ af  be  cd a A  b B  c C A

f Ÿ A = f 2;

B

e Ÿ B = e2;

C

 d Ÿ C = d 2. ’

I I. D ESA RR O L L O G A USSI A N O Los efectos que tienen las operaciones de filas o columnas en el valor del determinante pueden resumirse de la siguiente manera: 1.- El intercambio de dos filas o columnas de una matriz cambia el signo del determinante. 2.- La multiplicación de una fila o columna de una matriz por un escalar tiene el efecto de multiplicar el valor del determinante por ese escalar. 3.- La suma de un múltiplo de una fila o columna a otra no cambia el valor del determinante. T E O R E M A 2.2.5 El determinante de una matriz de la forma triangular o diagonal, es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. D E M OST R A C I O N Sea A una matriz triangular superior. En virtud de que los elementos a21, a31, ..., an1 de la primera columna de A son 0, la definición del determinante de A origina Det(A) = a11Det(A 11). La submatriz A 11 de A es también una matriz triangular superior, pero de n ± 1 x n ± 1. Por consiguiente, merced al principio de inducción Det(A 11) = a 22a 33 ... a nn el producto de sus elementos. Por lo tanto, Det(A) = a 11Det(A11) = a 11a 22 ... a nn el producto de los elementos diagonales de A. Sea A una matriz triangular inferior. En virtud de que los elementos a12, a13, ..., a1n de la primera fila de A son 0, la definición del determinante de A origina Det(A) = a11Det(A 11). La submatriz A 11 de A es también una matriz triangular inferior, pero de n ± 1 x n ± 1. Por consiguiente por inducción, es igual al producto de los elementos diagonales Det(A) = a 11Det(A 11) = a 11a 22 ... a nn. Para el caso de la matriz diagonal, la demostración es análoga. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

E J E M P L O 2.2.5 Evaluar el siguiente determinante: 2 5 1 3 7 1 5 9 2 4 6 1

2 4 . 7 2

SO L U C I O N Mediante el desarrollo gaussiano, llevaremos la matriz a la forma triangular. A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le sumamos 3 veces la primera fila, a la tercera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 5 veces la primera fila, a la cuarta fila le restamos 2 veces la primera fila 2 5 1 2 1 1 0 1 1 14 ˜ ˜ 2 2 0 7 1 4 0 4 1 2 A la tercera fila le sumamos 7 veces la primera fila, a la cuarta fila le sumamos 4 veces la segunda fila 2 5 1 2 1 1 0 1 1 14 ˜ ˜ 2 2 0 0 6 102 0 0 3 54 Extraemos un 6 de la tercera fila y un 3 de la cuarta fila 2 5 1 2 0 1 1 14 1 1 ˜ ˜ 6 ˜3˜ 0 0 1 17 2 2 0 0 1 18 A la cuarta fila le restamos la tercera 2 5 1 2 0 1 1 14 1 1 ˜ ˜ 6 ˜ 3˜ 0 0 1 17 2 2 0 0 0 1

Por lo tanto el determinante buscado es igual a: 1 1 ' ˜ ˜ 6 ˜ 3 ˜ 2 ˜ (1) ˜1 ˜1 9 . ’ 2 2

I II. D ESA RR O L L O C O N R ESP E C T O A UN A F I L A Y UN A C O LUMNA Supongamos que se trata de la primera fila y de la primera columna, pues a este caso se reduce cualquier otro, por transposiciones convenientes. Dado el determinante a11 a12 a1k a1n a21 a22 a2 k a2 n Det( A )

a r1

ar 2

a rk

anr

an1 an 2 ank ann todos los términos en que entra a11 están comprendidos en la expresión a11Det(A 11); ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

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cada uno de los demás contiene uno de los elementos a12, a13, ..., a1k, ..., a1n restantes de la primera fila, y uno de los a21, a31, ..., a r1, ..., an1 de la primera columna. Hallemos todos los términos que Det(C rk) = (-1)(r - 1) + (k - 1)Det(B rk), la expresión (-1)k+r+1a1ka r1Det(B rk) adopta la forma sencilla ±a1ka r1Det(C rk). Por consiguiente contengan el producto a1ka r1. Todos los términos de Det(A) que contienen a1k forman la expresión (-1)1+ka1kDet(A 1k); desarrollemos ahora el menor Det(A 1k) por los elementos de su primera columna a21 ... a r1 ... an1; como el menor complementario de a r1 resulta de suprimir en Det(A) la primera fila, la primera columna, la fila r y la columna k, este menor es también el complementario de a rk en el determinante Det(A 11); y designándolo por Det(B rk), todos los términos del desarrollo de Det(A rk) que contienen el elemento a r1 componen la expresión (-1)ra r1Det(B rk). En resumen, todos los términos de Det(A) que contienen los elementos a1k a r1, forman la expresión (-1)k+r+1a1ka r1Det(B rk) y observando que en el determinante Det(A 11) el adjunto de Det(A rk) es Det(A) = a11Det(A 11) - ¦ a1k ar1Det( C rk ) , donde r = 2, 3, ..., n y k = 2, 3, ..., n.

M E T ODO El desarrollo de un determinante por los elementos de la primera fila y la primera columna, es igual a su elemento común a11 por su menor complementario Det(A 11), menos todos los productos positivos de cada elemento a1k, restante de la primera fila, por cada elemento a11 restante de la primera columna, por el adjunto Det(A 11) del elemento a1k en que se cruzan la columna y la fila encabezadas por ambos elementos. Si la fila y la columna elegidas son las determinadas por el elemento a ij, llevando éste al primer lugar, el determinante obtenido sería (-1)i+jDet(A), luego el desarrollo por la fila i y columna j está dado por la misma regla anterior, cambiando el signo al resultado si es i + j impar. EJ E M P L O 2.2.6 Evaluar los siguientes determinantes: 2 5 0 1 3 5 a.-

7 9 2 4 ; 6 8 0 2 7 5 9 1

1 3 7 1 b.5 9 2 4 6 1

2 4 . 7 2

SO L U C I O N a.- Intercambiamos la primera y tercera filas: 6 8 0 7 9 2  0 1 3 7 5 9

2 4 5 1

Desarrollando el determinante con respecto a la primera fila y primera columna, obtenemos: 9 2 4 3 5 1 3 2 4 11 ' (1) 6 1 3 5  (1) 2 21 56  (1) 2 4114  (1) 4 21 56  9 1 5 9 3 5 5 9 1 (1)4 4114

9 2 1 7

9 2 4 3 5 1 3 2 4 9 2 6 1 3 5  56  14  56  14 9 1 5 9 3 5 1 7 5 9 1

= -6(27 + 50 + 36 ± 60 ± 405 ± 2) + 56(3 ± 45) + 14(9 ± 15) + 56(10 ± 12) + + 14(63 ± 2) = 430. b.- Para desarrollar este determinante, elegimos la primera fila y la primera columna, es decir: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

7 1 4 2 7 9 7 ' (1)11 2 9 2 7  (1)2 2115  (1)231 (3)  1 2 6 2 6 1 2 (1)231 (6) (1)3 4110 (1)4 41 8

9 2 1 4 7 4  (1)3 21 (25)  (1)331 5  6 1 1 2 6 2

7 1 1 4 7 4  (1)4 21 (20)  (1)431 4  6 1 2 7 9 7 7 1 9 2

9 . ’

I V. D ESA RR O L L O PO R M E N O R ES C O MP L E M E N T A RI OS Un nuevo método para el desarrollo de un determinante de n x n es el conocido con el nombre de desarrollo por menores complementarios; dicho método exige elegir k filas o columnas de la matriz y formar determinantes de orden k con todas las posibles matrices cuadradas de orden k que sean submatrices de la de orden k x n que se ha seleccionado; a cada uno de estos determinantes de orden k le corresponde un menor complementario o determinante de la matriz de orden n ± k x n ± k, cuyos elementos no pertenecen a las filas y columnas de la primera matriz cuadrada de orden k, aunque sí a todas las demás filas y columnas de la matriz total de orden n. M E T ODO Si en una matriz de orden n se suprimen varias filas, e igual número de columnas, se obtiene otra matriz de orden inferior, llamada menor de la primera. Para determinar una menor basta dar los números i1, i2, ..., ik que designan las filas que contiene, y los j1, j2, ..., jk que expresan sus columnas. Si en la matriz primera se suprimen las filas de lugares i1, i2, ..., ik y las columnas que ocupan los lugares j1, j2, ..., jk, se obtiene otra menor, llamada complementaria de la anterior. La suma de los órdenes de dos matrices complementarias es evidentemente n. Para hallar la clase de su complemento Det(C) formaremos la suma análoga ¦ r  ¦ t ik 1   in  jk 1   jn

pero ik+1, ..., in designan las filas excluidas por Det(B), es decir, aquellos de los números 1, 2, 3, ..., n, que son distintos de i1, i2, ..., ik; por tanto ¦ i  ¦ r 1 2  3   n y, análogamente

¦ j  ¦t

1 2  3 

n

de donde Luego

¦ i  ¦ j  ¦ r  ¦ t 2 ¦ r  ¦ t tiene la misma paridad que ¦ i  ¦ j , es decir: dos menores

complementarios son de la misma clase. Por otra parte, el menor complementario recibe el nombre de adjunto si va afectado de un signo + o -, según que la suma de los lugares que ocupan cada una de sus filas y cada una de sus columnas en la matriz de orden n sea un número par o impar. O BSE R V A C I O N Se dice que un menor Det(B) es de clase par o impar si la suma de los números de orden de sus filas y columnas:

¦i  ¦ j

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i1  i2  ...  ik  j1  j2  ...  j k JOE GARCIA ARCOS

DETERMINANTES

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es par o impar. D E F IN I C I O N 2.2.4 Se llama adjunto o complemento algebraico de un menor Det(B) al menor complementario de Det(B), con el signo + o -, según que sea de clase par o impar. En particular, si el menor dado se reduce a un solo elemento, tendremos el adjunto definido en el desarrollo de un determinante en suma de varios. O BSE R V A C I O N Un menor de orden k se llama principal, cuando está formado por las k primeras filas y las k primeras columnas. Su adjunto coincide con su menor complementario, puesto que es de clase par igual a 2(1 + 2 + ... + k). T E O R E M A 2.2.6 El producto de un menor por su adjunto forma parte del determinante total. D E M OST R A C I O N Supongamos primero que un menor Det(B) esté formado por las k primeras filas y las k primeras columnas a11 a12 a1k a1 k 1 a1n

a21

a22

a2 k

a2 k 1

a2 n

ak1

ak 2

a kk

a k k 1

a kn

a k 11

a k 1 2

a k 1 k

a k 1 k 1

a k 1 n

an1

an 2

ank

an k 1

ann

entonces es Det(B) de clase par y su adjunto es el menor complementario Det(C). Multiplicando ambos determinantes menores, un término cualquiera del producto será (-1)Ma1 j1a2 j2 ... a k jk(-1)Gak+1 jk+1 ... an jn (1) llamando M al número de inversiones de la permutación j1 j2 ... jk, que indica columnas elegidas en el término de Det(B), y G al número de inversiones que ofrecen los índices de las columnas en Det(C), y como éstos aumentados en k son precisamente jk+1, jk+2, ..., jn, es también G el número de inversiones de esta permutación; por tanto, el número de inversiones de la permutación j1 j2 ... jk jk+1 ... jn es M + G, puesto que j1, j2, ..., jk son todos menor o igual a k, y, por tanto, no forman inversiones con los jk+1, jk+2, ..., jn, los cuales son mayores o iguales a k. Conteniendo, el producto (1) un elemento de cada fila de Det(A), y uno de cada columna, y siendo además su signo (-1)M+G el que le corresponde en el desarrollo de Det(A), dicho producto es un término de este desarrollo. Sin el menor Det(B) no es principal, sino que está formado por las filas r1, r2, ..., rk, y columnas t1, t2, ..., tk, se puede convertirlo en principal, por cambios sucesivos de filas y columnas. Basta permutar la fila r1 con todas sus anteriores que son r1 ± 1, hasta ocupar el primer lugar; la fila r2 con las r2 ± 2 que le preceden, hasta llegar al segundo lugar; ...; la fila rk con las rk ± k que hay desde ella a la fila k. Haciendo lo mismo con las columnas hemos llevado el menor Det(B) al primer lugar, reduciendo este caso al anterior. En el desarrollo del nuevo determinante Det(D), el adjunto del menor principal Det(B) es el menor Det(C), el cual no ha sufrido variación, luego Det(D) = Det(B)Det(C) + ... y como de Det(D) se deduce el Det(A), mediante un número de transposiciones (t1 ± 1) + (t2 ± 2) + ... + (tk ± k) + (r1 ± 1) + (r2 ± 2) + ... + (rk ± k) = ¦ t  ¦ r  2 ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

será

Det(A) = (1)¦ t  ¦ r Det( D) = (1)¦ t  ¦ r Det( B )Det( C )  ... y siendo (1)¦ t  ¦ r Det(C) el adjunto de Det(B), queda demostrado el teorema. A continuación consideramos otra técnica, más general, para desarrollar determinantes conocidas como el método de desarrollo de Laplace, que contempla como caso especial el desarrollo por cofactores. En vez de desarrollar por una sola fila o columna, desarrollamos por varias filas o columnas. El determinante Det(A) se escribe como una suma de términos, cada uno de los cuales es el producto de dos determinantes. T E O R E M A 2.2.7 L AP L A C E Todo determinante es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando todos los menores de orden k que se pueden formar con k filas paralelas, por sus adjuntos respectivos. Todos los términos de estos productos pertenecen al desarrollo de Det(A), en virtud de la segunda propiedad; todos son distintos, pues contienen elementos distintos; falta ver que en Det(A) no hay más términos que éstos. Un término cualquiera de Det(A) puede descomponerse en dos productos, agrupando en uno de los elementos que pertenecen a las k filas elegidas, y en otro los restantes. El primer producto es un término de uno de los menores formados con aquellas k filas, y el segundo producto es un término del complementario, luego ha sido ya obtenido en el producto de estos dos menores. El teorema anterior reduce el desarrollo de un determinante al de otros de orden inferior. Para hacer el desarrollo por los menores de k filas, convendrá elegir aquéllas en que aparezca el mayor número posible de columnas formadas por elementos nulos; pues todo menor en que figure una de estas columnas, es nulo. La segunda propiedad reduce el desarrollo de un determinante al de otros de orden inferior. Para hacer el desarrollo por los menores de k filas, convendrá elegir aquéllas en que aparezca el mayor número posible de columnas formadas por elementos nulos; pues todo menor en que figure una de estas columnas, es nulo. EJ E M P L O 2.2.7 Expresar el menor de m-ésimo orden del producto de dos matrices mediante los menores de los factores. SO L U C I O N El menor formado por los elementos de las filas de índices i1, i2 « im y de las columnas de índices k1, k2 « km, es el determinante del producto de la matriz formada por las filas i1, i2 « im del primer factor, por la matriz formada por las columnas k1, k2« km del segundo. Por ello, éste es igual a la suma de todos los menores posibles de m-ésimo orden formados por las filas de la primer matriz de índices i1, i2«im, multiplicados por los menores correspondientes formados por las columnas de la segunda matriz de índices k1, k2«km. ’ EJ E M P L O 2.2.8 Demostrar que todos los menores principales (diagonales) de la matriz A T A son no negativos. Aquí A es una matriz real y A T es la matriz transpuesta de A. SO L U C I O N El menor diagonal de la matriz A T A es igual a la suma de los cuadrados de todos los menores de la matriz A del mismo orden, formados por los elementos de las columnas que tienen iguales índices que las columnas de la matriz A T A que contienen al menor tomado. Por consiguiente, éste es no negativo. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

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EJ E M P L O 2.2.9 Demostrar que las sumas de todos los menores diagonales de un orden dado k, calculados para las matrices A T A y A A T, son iguales. SO L U C I O N La suma de todos los menores diagonales de orden k de la matriz A T A es igual a la suma de los cuadrados de todos los menores de orden k de la matriz A. También es igual a este mismo número la suma de todos los menores diagonales de orden k de la matriz A A T. ’ EJ E M P L O 2.2.10 Se llama matriz recíproca de una matriz dada A, aquella cuyos elementos son los menores de (n-1)-ésimo orden de la matriz inicial en su disposición natural. Demostrar que la matriz recíproca de la recíproca, es igual a la matriz inicial multiplicada por su determinante elevado a la potencia n - 2. SO L U C I O N Para una matriz singular A el resultado es trivial. Supongamos que A es no singular y sea A T su transpuesta, ' su determinante y A´ la recíproca de A. Entonces A´ = 'C(A T)-1 C, donde

C

§ 1 ¨ 1 ¨ ¨ 1 ¨ ©

· ¸ ¸. ¸ ¸ ¹

Esto se deduce inmediatamente de la regla de la formación de la matriz inversa. Por esto Det(A´) = 'n-1 y (A´)´ = 'n-1 C((A´)T)-1 C = 'n-1'-1A = 'n-2A. ’ EJ E M P L O 2.2.11 Demostrar que el máximo de los valores absolutos de los determinantes de n-ésimo orden, cuyos elementos son reales y no superiores a 1 en valor absoluto, es un número entero divisible por 2n-1. SO L U C I O N Demostremos que todos los elementos de la matriz, para la cual el valor absoluto de su determinante alcanza el valor máximo, son iguales a r1. En efecto, si -1 < a ik < 1, ' t 0 y A ik t 0, entonces, al sustituir a ik por 1, el determinante aumenta, y si ' t 0 y A ik < 0, al sustituir a ik por -1, el determinante aumenta. Si ' < 0, el valor absoluto del determinante aumentará al sustituir a ik por la unidad con el signo contrario al de A ik. Finalmente, si A ik = 0, el valor del determinante no se altera al sustituir a ik por 1 o -1. Sin restringir generalidad se puede considerar que todos los elementos de la primera fila y de la primera columna del determinante máximo son iguales a 1; esto puede conseguirse multiplicando por -1 las filas y columnas. Restemos ahora la primera fila del determinante máximo de todas las demás. Entonces el determinante se reducirá a un determinante de orden n-1 cuyos elementos son todos iguales a 0 ó a -2. Este último es igual a 2n-1N, donde N es un número entero. ’ EJ E M P L O 2.2.12 Evaluar los siguientes determinantes: 5 2 1 3 2 2 1 4 3 5 7 2 1 3 4 4 0 7 0 0 3 4 0 5 0 1 0 2 0 3 a.- 2 3 7 5 3 ; b.- 3 4 5 2 1 ; c.- 3 0 4 0 7 . 2 3 6 4 5 1 5 2 4 3 6 3 2 4 5 3 0 4 0 0 4 6 0 7 0 5 1 2 2 3 SO L U C I O N a.- Desarrollamos el determinante con respecto a la segunda y quinta filas: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

2 3 2 4 7 ' (1) 3 5 3 (16  21)(50  27  24  30  24  45) (5)(2) 3 4 3 4 5 b.- Desarrollamos el determinante con respecto a la tercera y quinta columnas: 4 4 5 3 4 5 2 1 3 3 4 5 43 4 5 23 5 1 ' (1) 1 5 4  (1) 3 4 2  (1) 3 4 5 1 2 3 2 3 4 6 7 4 6 7 4 6 43

10

3 5 7

4 4 5 3 4 5 2 1 3 4 5 4 5 5 1 1 5 4  3 4 2  3 4 5 5 1 2 3 2 3 4 6 7 4 6 7 4 6 7 = (4 ± 25)(140 + 64 + 30 ± 100 ± 96 ± 28) ± (12 ± 10)(84 + 32 + 90 ± 80 ± 36 ± 84) - (15 ± 2)(56 + 20 + 54 ± 48 ± 60 ± 21) = (-21)(10) ± 2(6) ± 13 = - 210 ± 12 ± 13 = - 235. c.- Desarrollamos el determinante con respecto a la segunda y cuarta columnas: 1 2 3 1 2 3 7 1 4 43 2 3 5 3 2 3 23 3 4 ' (1) 3 4 7  (1) 3 4 7  ( 1) 1 2 3 3 4 1 2 1 2 5 2 3 6 3 4 3 4 7 1 2 3 1 2 3 7 1 4 2 3 2 3 3 4  3 4 7  3 4 7  1 2 3 3 4 1 2 1 2 5 2 3 6 3 4 3 4 7 = - (8 ± 9)(12 + 70 + 18 ± 60 ± 14 ± 18) + (4 ± 3)(16 + 84 + 27 ± 72 ± 21 ± 24) - (6 ± 4)(98 + 9 + 16 ± 24 ± 7 ± 84) = -(-1)(8) + 10 ± 2(8) = 8 + 10 ± 16 = 2. ’

EJ E M P L O 2.2.13 Evaluar los siguientes determinantes: 1 2 3 4 5 3 7 6 5 4 3 2 6 5 7 8 4 2 9 7 8 9 4 3 9 8 6 7 0 0 7 4 9 7 0 0 a.; b.. 3 2 4 5 0 0 5 3 6 1 0 0 3 4 0 0 0 0 0 0 5 6 0 0 5 6 0 0 0 0 0 0 6 8 0 0 SO L U C I O N a.- Desarrollamos el determinante con respecto a la quinta y sexta filas: 3 4 5 3 3 4 7 8 4 2 (1) 2  2 5 6 6 7 0 0 4 5 0 0 Desarrollamos el segundo determinante con respecto a la tercera y cuarta columnas: 3 4 5 3 6 7 (1)2 2 5 6 4 2 4 5 Por lo tanto el valor del determinante es: ' = (18 ± 20)(10 ± 12)(30 ± 28) = 8. b.- Desarrollamos el determinante con respecto a la quinta y sexta columnas: 7 4 9 7 3 2 5 3 6 1 (1) 2  2 4 3 0 0 5 6 0 0 6 8 ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

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Desarrollamos el segundo determinante con respecto a la primera y segunda columnas: 3 2 7 4 5 6 (1)2 2 4 3 5 3 6 8 Por lo tanto el valor del determinante es: ' = (9 - 8)(21 ± 20)(40 ± 36) = 4. ’

V. R E G L A D E C H I O Esta regla consiste en conseguir que una de las filas del determinante esté formada por elementos todos ellos nulos, excepto uno, que vale la unidad y se le llama elemento base. De esta forma, al desarrollar dicho determinante por los adjuntos de los elementos de esta fila, se anulan todos los sumandos, a excepción del que corresponde al elemento base, que coincide con su adjunto. De esta manera, el determinante primitivo coincide con el adjunto del elemento base, reduciendo el determinante al cálculo de otro cuyo orden es inferior en una unidad. Para conseguir que los elementos de una fila sean todos nulos, excepto uno, que valga la unidad, se siguen los siguientes pasos: a.- Se mira si algún elemento del determinante vale la unidad. En caso afirmativo se elige una de las dos filas o columnas, que contiene a dicho elemento. En caso negativo, nos fijamos en una fila que contenga el mayor número posible de elementos nulos. Los elementos de esta fila se dividen por uno de ellos; de esta forma se consigue que dicha fila posea un elemento que valga la unidad. Después de efectuada esta operación, el determinante ha quedado dividido por este número, y este resultado, por tanto, tenemos que tenerlo en cuenta al final del proceso que vamos a seguir. También se puede conseguir un elemento, del determinante, que valga uno, restando a una fila otra paralela a ella, siempre que existan dos elementos que ocupen el mismo lugar en ambas filas y que difieran en una unidad. b.- Una vez elegido el elemento base, supongamos que éste sea el elemento a11, los demás elementos de la primera fila o primera columna deben ser nulos. Para ello, a la segunda, tercera, ..., n-ésima columna se le resta la primera columna multiplicada sucesivamente por a12, a13, ..., a in, con lo que el determinante no varía. Exactamente se procedería para conseguir que sean nulos los elementos de la primera columna, pero ahora, tendríamos que cambiar la palabra columna por la de fila y los elementos serán a21, a31, ..., an1. Desarrollamos el determinante que nos resulta, por los adjuntos de los elementos de la primera fila, con lo que se obtiene: Det(A) = 1.Det(A11) + ... + 0.Det(A1n) = Det(A11), como el valor del determinante de A, el adjunto del elemento base, es decir, hemos reducido el problema a calcular el valor de un determinante de orden inferior en una unidad, el cual se obtiene suprimiendo la fila y la columna a la que pertenece el elemento base, anteponiendo los signos más o menos, según que la suma de los índices relativos a dicho elemento sea par o impar. EJ E M P L O 2.2.14 Calcular el valor del determinante 5 4 1 0

3 3 1 2

2 1 2 2

3 1 . 1 3

SO L U C I O N Como elemento base se elige el a31 ya que la columna que contiene a ese elemento es la línea con mayor número de ceros. Restando a la primera fila y a la segunda, la tercera multiplicada por 5 y 4 respectivamente, obtenemos ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

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5 4 1 0

3 3 1 2

2 1 2 2

0 2 8 3 0 1 7 3 1 1 2 1 0 2 2 3

3 1 1 3

2 8 3 1 7 3 2 2 3

Seguimos el proceso anterior explicado para calcular el valor de este determinante de tercer orden, en lugar de aplicar la regla de Sarrus. 2 8 3 2 8 3 0 6 3 6 3 1 7 3  1 7 3  1 7 3 18 . ’ 12 3 2 2 3 2 2 3 0 12 3

PR O B L E M AS 2.2.1 Evalúe los siguientes determinantes: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 3 4 1 23 33 43 a.; b.1 2 0 4 1 25 35 45 1 2 3 0 1 27 37 47 1 2 3 4

c.-

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 3 2 2

2 2 2 4 2

2 2 2 ; 2 5

e.-

2 1 1 1 1

1 3 1 1 1

1 1 4 1 1

1 1 1 5 1

1 1 1 . 1 6

1 1 d.- 1 1 1

2 3 2 2 2

3 3 5 3 3

4 4 4 7 4

5 5 5 ; 5 9

2.2.2 Calcular los determinantes: a a 1 a  2 a  3 a  4 1 b 0 0 0 a.- 0 1 b 0 0 ; 0 0 1 b 0 0 0 0 1 b

a b 0 0 0 0 b c 0 0 b.- 0 0 c  d 0 ; 0 0 0 d e 1 1 1 1 1 e

c.-

a D x a E a T a G bD b E x bT bG . c D c E c T x c G d D d E d T d G x

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5 5 5 ; 5 0

2.2.3 Calcular los determinantes: a b b b b b a b b b a.- b b a b b ; b b b a b b b b b a 1 a b c d 1 ax b c d b.- 1 a b y c d ; 1 a b cz d 1 a b c d u

c.-

1 a ( a  1)

a 2 ( a  1)

a 3 ( a  1)

1 b(b  1)

b 2 (b  1)

b3 (b  1)

c ( c  1)

c 2 ( c  1)

c 3 ( c  1)

1

.

1 d (d  1) d 2 (d  1) d 3 (d  1)

2.2.4 Calcular los determinantes: a b b b b a b b a b b b a.- b b a b b ; b.- b b b b b a b b b b b b a

a 1 c.- 1 0 0 1

e.-

0 1 a 1 0 a 1 1 1 1 1

1

1 2a 2 3 2

3

2

1 1 0 a 0

0 0 1 ; 1 a

2

3

2 1

3 5

b c d 1 a c d 1 c a d 1 ; c d a 1 c d e 1

1 1 d.- 1 1 1

b a b b b

c c a c c

d d d a d

e e e ; e a

.

1 9  a2 JOE GARCIA ARCOS

DETERMINANTES

95

2.2.5 Evalúe los siguientes determinantes: ax 1  ay 1  az 1  au 1  bx by 1  bz 1  bu a.; 1  cx 1  cy cz 1  cu 1  dx 1  dy 1  dz du

b.-

c.-

2.2.8 Evalúe los siguientes determinantes: 3 1 2 5 9 11 10 8 1 8 1 1 5 7 3 1 a.; b.; 4 3 3 9 2 3 5 8 5 1 4 3 5 2 1 3

a  x a  y a  z a u b x b y b z bu ; c  x c  y c  z c u d  x d  y d  z d u 1 a 1 a2

1  a3

1 a4

1  b 1  b2

1  b3

1  b4

1  c2

1  c3

1 c4

1 c

.

c.-

2 1 5 5 1 2 2 4 ; 4 3 8 5 5 1 3 1

e.-

2 1 0 3

4 1 4 1 2 5 ; 0 3 1 2 0 1

g.-

0 1 5 3

3 0 3 2 3 2 1 1

i.-

4i i 2 1

1 d 1 d 2 1 d3 1 d 4

2.2.6 Evalúe los siguientes determinantes:

a.-

1 Cosx

Cos 2 x

Cos3 x

1 Cosy

Cos 2 y Cos3 y

1 Cosz

Cos 2 z

Cos3 z

1 Cosu

Cos 2 u

Cos 3u

;

1 1 b.1 1

Senx Sen 2 x Sen3x Seny Sen 2 y Sen3 y ; Senz Sen 2 z Sen3z Senu Sen 2u Sen3u

1 1 c.1 1

Cosx Cos 2 x Cos3x Cosy Cos 2 y Cos3 y . Cosz Cos 2 z Cos3z Cosu Cos 2u Cos3u

i i 1 k.i2 i 3

2.2.7 Evalúe los siguientes determinantes: 0 a b c d a b a 0 d e a d b a.; b.b  d 0 f a b d c e  f 0 a b c

c.-

e.-

1 a

2

1 b

2

a

3

b

3

a

4

b

4

1 c2

c3

c4

1 d2

d3

d4

a

2

a

1 b

b

2

b3

1 c

c2

c3

1 d

d2

d3

1 a

;

d.-

1 Senx

Sen 2 x Sen3 x

1 Seny

Sen 2 y Sen3 y

1 Senz

Sen 2 z

Sen3 z

1 Senu

Sen 2 u

Sen3u

ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

c c ; c d

.

3

;

4 0 ; 4 2

3 4 2 5 1 8i i 3

i 1 i2 i 3 i4

i 3 d.3 1

4 0 2 3 f.1 2 10 4

h.-

i i ; 2 2i

i2 i 3 i4 i 5

2 3 4 i 2 3 ; 2 i 2 1 2 i 5 6 8 3 ; 3 9 2 12

1 3 2 4 8 1 3 5 4 1 3 2

5 2 ; 0 0

i 1 i 2 1 i j.5 1 6 i

3 i 4 3 i ; 2 i 3 1

i 3 i4 . i 5 i 6

2.2.9 Desarrollar por los elementos de la primera columna y calcular el determinante 2 1 1 a 1 2 1 b . 1 1 2 c 1 1 1 d 2.2.10 Evalúe el siguiente determinante: 1 1 1 0 0 0 2 3 4 0 0 0 3 6 10 0 0 0 . 4 9 14 1 1 1 5 15 24 1 5 9 9 24 38 1 25 81 2.2.11 Calcular el determinante de 4 x 4, cuyos elementos se establecen por las siguientes condiciones: a.- aij = mín(i, j); b.- a ij = máx(i, j); c.- a ij =µ2i - 3jµ. JOE GARCIA ARCOS

96

DETERMINANTES

2.2.12 Evalúe los siguientes determinantes: 1  ax 1  ay 1  az 1  au 1  bx 1  by 1  bz 1  bu a.; 1  cx 1  cy 1  cz 1  cu 1  dx 1  dy 1  dz 1  du

2.2.14 Evalúe el siguiente determinante: 1 1 0 0 0 1 a b 0 0 0 c x u 1 1 1 r b.. y v a b c s

1 a  x ay az a u b  x 1 b  y b  z bu b.; cx c  y 1 c  z c u dx dy d  z 1 d  u

2

2

b

a 2 b2

c2

t

0

0

c2

0

2.2.15 Desarrollar por los elementos de la primera fila y calcular el determinante a 1 1 1 b 0 1 1 . c 1 0 1 d 1 1 0

2.2.13 Evalúense los siguientes determinantes: x x 1 x  2 x  3 0 1 x x2 a.; x 1 0 1 0 0 x3 3

b.-

w

a

1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 c.. 1 1 1 b 1 1 1 1 1 b

1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i

z

i i . 1  i 1  i

2.2.16 Desarrollar por los elementos de la primera fila y calcular el determinante 1 0 1 1 0 1 1 1 . a b c d 1 1 1 0

2.3 PR O DU C T O D E D E T E R M I N A N T ES En esta sección se introduce la terminología básica y se define el producto de determinantes, enunciamos la propiedad más importante para el producto. Una primera aplicación del teorema de Laplace permite transformar un determinante de orden k < n en otro equivalente de orden n prolongando su diagonal principal con elementos unitarios y haciendo nulos los elementos que faltan para completar la matriz de orden n. Pero la aplicación más importante se debe a que permite demostrar que el determinante correspondiente a un producto de dos matrices del mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrices factores. D E F IN I C I O N 2.3.1 El producto de dos determinantes de orden n está dado por la expresión a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n c11 c12 ... c1n a21 a22 ... a2 n b21 b22 ... b2 n c21 c22 ... c2 n ... ... ... ... ... ... ... ... ... an1 an 2 ... ann bn1 bn 2 ... bnn cn1 cn 2 ... cnn designando por c ij el producto de la fila i del primero por la fila j del segundo cij = a i1bj1 + a i2bj2 + . . . + a inbjn. Ahora demostraremos el importante teorema de que el determinante del producto de ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

97

dos matrices cuadradas de n x n es igual al producto de los determinantes de las matrices. Como un teorema sobre determinantes esto significa que el producto de dos determinantes de n x n puede escribirse como un determinante de n x n cuyos elementos se obtienen en la misma forma que los elementos de una matriz producto. T E O R E M A 2.3.1 Sean A y B, matrices cuadradas de orden n. Entonces Det(A B) = Det(A)Det(B). D E M OST R A C I O N En efecto a11 a12 a1n b11 b12 b1n a21 a22 a2n b21 b22 b2n Det(A)Det(B) =

an1 an 2

a11 a21 =

a12 a22

an1 an 2 d11 d12 d 21 d 22

ann bn1 bn 2

a1n a2 n

0 0

bnn 0 0

0 0

ann 0 0 d1n b11 b12 d 2 n b21 b22

0 b1n b2 n

d n1 d n 2 d nn bn1 bn 2 bnn cualesquiera que sean los números d; pues desarrollando este determinante por los menores de las n primeras filas, como todos los menores, excepto el primero, tienen alguna columna de ceros, y, por tanto, son nulos, resulta el producto Det(A)Det(B). Para poder reducir el orden de este determinante, podemos suponer que los dos determinantes dados sean del mismo orden n, si es n > m, pues en caso contrario se puede transformar el de menor orden m en otro de orden n, prolongando su diagonal principal con n ± m elementos 1, y completando con ceros las nuevas filas y columnas. Además, como podemos disponer de los números indeterminados d, tomemos todos ellos iguales a 0, excepto los de la diagonal d11, d22, ..., dnn, que tomaremos iguales a ±1. Finalmente, podemos cambiar las filas por columnas, en el determinante menor Det(B). Resulta así: a11 a12 a1n 0 0 0 a21 a22 a2 n 0 0 0 a11 a12 a1n b11 b12 b1n a21 a22 a2n b21 b22 b2n a an 2 ann 0 0 0 = n1 1 0 0 b11 b12 b1n 0 1 0 b21 b22 b2 n an1 an 2 ann bn1 bn 2 bnn bn1 bn 2 bnn Si, mediante adiciones convencionales de filas o columnas, logramos reducir a 0 los elementos a ij, en vez del cuadro de ceros aparecerá otro de nuevos elementos c ij, y el nuevo determinante de orden 2n será igual al determinante de orden n formado por estas c ij, multiplicado por su complemento algebraico; mas, reduciéndose el menor complementario a su diagonal principal, su valor es (-1)n; tendremos, pues, el producto en forma de determinante de orden n. Esto se logra de la siguiente manera: sumemos a la primera fila las filas n + 1, n + 2, ..., 2n, multiplicadas respectivamente por a11, a12, a1n, y obtenemos como primera la siguiente: 0, 0, ..., 0, a11b11 + ... + a1nb1n, ..., a11bn1 + ... + a1nbnn. 0

ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

0

1

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98

DETERMINANTES

Para simplificar, llamaremos producto de la fila i de Det(A) por la fila j de Det(B), y lo designaremos por c ij, a la suma de los productos de los términos que ocupan iguales lugares en ambas. Es decir: cij = ai1bj1 + a i2bj2 + ... + a inbjn. Con esta notación, la fila obtenida es la siguiente: 0, 0, ..., 0, c11, c12, ..., c1n. Análogamente, sumando a la segunda fila las filas n + 1, n + 2, ..., 2n, multiplicadas por a21, a22, ..., a2n, respectivamente, resulta como nueva fila 0, 0, ..., 0, c21, c22, ..., c2n. Finalmente; sumando a la fila n-ésima las mismas filas n + 1, n + 2, ..., 2n, multiplicadas por an1, an2, ..., ann, respectivamente, resulta 0, 0, ..., 0, cn1, cn2, ..., cnn. El determinante producto se ha transformado en el siguiente: 0 0 0 c11 c12 c1n 0 0 0 c21 c22 c2 n

cn1 cn 2 b11 b21 b12 b22

0 0 1 0 0 1

0 0 0

0

1 b1n

0

b2 n

cnn = bn1 bn 2 bnn (-1)k

c11 c12 c21 c22

c1n 1 0 c2 n 0 1

0 0

cn1 cn 2

cnn

1

0

0

siendo

k = (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + n) + 1 + 2 + ... + n = n(2n + 1), y como el valor del segundo menor es (-1)n, el factor que multiplica al primero es (-1)n+k = (-1)n(n + 1), número que es igual a 1, por ser n y n + 1 dos números consecutivos, y, por tanto, su producto es par. Como el valor de un determinante no altera si se cambian entre sí las filas y las columnas, puede hacerse también el producto por columnas; la fórmula es la misma, designando c ij el producto de la columna i del primero por la columna j del segundo. Finalmente, puede hacerse multiplicando las filas del primero por las columnas del segundo, o inversamente. %  CALCULO  DEL  PRODUCTO  DE  DETERMINANTES   clc;;clear;;   fprintf('\n  PRODUCTO  DE  DETERMINANTES  \n')   filcol=input('Ingrese  el  orden  de  las  matrices  A  y  B:  ');;          %Ingreso  de  elementos          fprintf('Matriz  A:\n')                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                  fprintf('Ingrese  el  elemento  A:(%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('Matriz  B:\n')                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  B:(%d,%d)',f,c)   ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

99

                               B(f,c)=input('  :');;                          end                  end                  A                  B          C=A*B          DetAB=det(A*B)                      DetA=det(A)                      DetB=det(B)                      DetAB  =  det(A)*det(B)    

EJ E M P L O 2.3.1 Para cada una de las proposiciones siguientes relativas a matrices cuadradas, dar una demostración o poner un contraejemplo: a.- Det[(A + B)2] = [Det(A + B)]2; b.- Det[(A + B)2] = Det(A 2 + 2A B + B 2); c.- Det[(A + B)2] = Det(A 2 + B 2). SO L U C I O N a.- Det[(A + B)2] = Det[(A + B)(A + B)] = Det(A + B)Det(A + B) = [Det(A + B)]2. b.- Det[(A + B)2] = Det[(A + B)(A + B)] = Det(A 2 + A B + B A + B 2). Si A B = B A, entonces Det[(A + B)2] = Det(A 2 + 2A B + B 2). c.- Det[(A + B)2] = Det[(A + B)(A + B)] = Det(A 2 + A B + B A + B 2). Si A B = -B A o B A = -A B, entonces Det[(A + B)2] = Det(A 2 + B 2). ’ EJ E M P L O 2.3.2 Multiplicar los determinantes 1 2 3 2 3 1 3 4 2 1 4 3 . 4 5 4 1 5 2

SO L U C I O N Podemos darnos cuenta que hay cuatro formas para multiplicar determinantes, y son las siguientes: 1.- Filas por columnas 1 2 3 2 3 1 7 26 13 3 4 2 1 4 3 12 35 19 50 . 4 5 4 1 5 2 17 52 27 2.- Filas por filas 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 4 2 1 4 3 4 7 13 50 . 4 5 4 1 5 2 3 4 13 3.- Columnas por columnas 1 2 3 2 3 1 9 35 18 3 4 2 1 4 3 13 47 24 50 . 4 5 4 1 5 2 12 37 17 4.- Columnas por filas 1 2 3 2 3 1 3 1 6 3 4 2 1 4 3 3 1 8 50 . ’ 4 5 4 1 5 2 4 7 1 EJ E M P L O 2.3.3 Si A 2 = A, entonces A se llama idempotente. Muestre que si A es idempotente, entonces el determinante de A vale 1 o 0. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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100

DETERMINANTES

SO L U C I O N Como A 2 = A, Det(A 2) = Det(A). Entonces Det(A 2) = Det(A A) = Det(A) Ÿ Det(A)Det(A) = Det(A) [Det(A)]2 ± Det(A) = 0 Ÿ Det(A)[Det(A) ± 1] = 0 Det(A) = 0 y Det(A) ± 1 = 0, Det(A) = 1. ’ EJ E M P L O 2.3.4 ¿Qué puede decirse del determinante de una matriz nilpotente? SO L U C I O N El determinante debe ser cero. Como A n = O, Det(A n) = Det(O). Entonces Det(A n) = Det(A A...A) = 0 Ÿ Det(A)Det(A)...Det(A) = 0 [Det(A)]n = 0 Ÿ Det(A) = 0. ’ EJ E M P L O 2.3.5 Sean A y B matrices de 4 x 4 con Det(A) = 8 y Det(B) = - 1. Determine el valor de: a.- Det(A B); b.- Det(2A B). SO L U C I O N a.- Det(A B) = Det(A)Det(B) = 8(-1) = - 8. b.- Det(2A B) = Det(2A)Det(B) = 24Det(A)Det(B) = (16)(8)(-1) = - 128. ’ EJ E M P L O 2.3.6 Multiplíquense los determinantes 1 1

1

x

x2

1 x2

x

Det( A )

1

a b c b c a . c a b

y Det( B )

Siendo x una raíz cúbica imaginaria de la unidad. SO L U C I O N Multiplicando fila por fila, tenemos: a bc ba Det( A B )

a  bx  cx

2

b  cx  ax

c  a b 2

c  ax  bx 2

a  bx 2  cx b  cx 2  ax c  ax 2  bx Pero

b + cx + ax2 = x2(a + bx + cx2) Ÿ c + ax + bx2 = x2(a + bx + cx2) b + cx2 + ax = x2(a + bx2 + cx) Ÿ c + ax2 + bx = x2(a + bx2 + cx) y, en consecuencia 1

1

1

Det( A B ) ( a  b  c )( a  bx  cx )( a  bx  cx) 1

x

x2

1 x2

x

2

2

Es decir: Det(A B) = Det(A)Det(B) = -(a + b + c)(a + bx + cx2)(a + bx2 + cx)Det(A). Siendo Det(A) un determinante de Vandermonde y, en consecuencia, distinto de cero, puede suprimirse y entonces Det(B) = - (a + b + c)(a + b + cx2)(a + bx2 + cx). ’ EJ E M P L O 2.3.7 Demostrar la siguiente identidad: a a a a 1 1 0 0 a b b b 0 1 1 0 a b c c 0 0 1 1 a b c d 1 1 1 1 ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

2 a (b  a )( c  b)(d  c ) .

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DETERMINANTES

101

SO L U C I O N Multiplicando los dos determinantes de forma normal, filas por columnas, obtenemos: 0 a a 0 a  b a b 0 a  c a  b  c b 0 a  d a  b  d b  c  d c  d Desarrollando este determinante con respecto a la cuarta columna, obtenemos: 0 a a (c  d )  a  b a b a  c a  b  c b A la tercera fila le restamos la segunda fila: 0 a a (c  d )  a  b a b c b c b 0 Extraemos de la tercera fila c - b: 0 a a (c  d )(c  b)  a  b a b 1 1 0 A la segunda fila le restamos la primera fila: 0 a a (c  d )(c  b)  a  b 0 b  a 1 1 0 Extraemos a de la primera fila y b ± a de la segunda fila: 0 1 1 a (b  a )(c  d )(c  b) 1 0 1 1 1 0 Desarrollamos el determinante resultante por la regla de Sarrus y obtenemos el resultado: ' = 2a(b ± a)(c ± b)(d ± c). ’ EJ E M P L O 2.3.8 Calcular el determinante elevándolo al cuadrado a b c d b a d c . c d a b d c b a SO L U C I O N

a b b a c d d c

c d a b

d c b a

2

a b b a c d d c

c d a b

a 2  b2  c 2  d 2 0

d c b a

a b b a c d d c

c d a b

0 2

2

0 2

a b c d

0 0

0 0

d c b a

2

0

0 2

2

0 2

a b c d 0

2

0 2

2

a  b  c2  d 2

= (a2 + b2 + c2 + d2)4. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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102

DETERMINANTES

PR O B L E M AS 2.3.1 Sean A, B, C, D los determinantes de tercer orden que se forman de la matriz §a b c d · ¨ ¸ ¨ a1 b1 c1 d1 ¸ ¨a b c d ¸ 2¹ © 2 2 2 al suprimir la primera, segunda, tercera y cuarta columna, respectivamente. Demostrar que a b c d 0 0 a1 b1 c1 d1 0 0 a2 b2 c2 d 2 0 0 AD - BC . 0 0 a b c d 0 0 a1 b1 c1 d1 0 0 a2 b2 c2 d 2 2.3.2 Multiplicar determinantes: 5 a 1 2 4 b 3 4 a.2 c 2 3 4 d 4 5

a 0 b.5 0

2 b 4 0

y

desarrollar

1 3 2 2 d b 3 1

1 0 0 a 5 2 0 0 0 2 3 c c 1 3 d 0 0 0 d

2 4 a 3

los

siguientes

4 3 ; c 4

3 b . 2 0

2.3.3 Aplicando la regla de multiplicación de las matrices, expresar en forma de un determinante los productos de determinantes: 3 5 4 8 6 3 a.- 1 3 7 4 5 2 ; 1 2 3 3 1 2

b.-

1 2 4 3 9 2 3 0

c.-

1 3 1 2 . 4 6 5 1

4 5 2 1 1 2 3 5 ; 0 2 3 5 7 2 5 4

2.3.4 Calcular el cuadrado del determinante: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 a.; b.; 1 1 1 1 2 0 3 1 1 1 1 1 3 7 1 9

c.-

2 5 8 2 3 2 1 2 7 2 6 4

1 0 . 4 0

2.4 D E T E R M I N A N T E D E V A ND E R M O ND E En esta sección se introduce la terminología básica y se define el determinante de Vandermonde.  

D E F IN I C I O N 2.4.1 Se denomina determinante de Vandermonde o determinante de las diferencias, al formado por las potencias sucesivas de n números distintos: a21, a22, a23, ..., a2 n-2, a2 n-1, a2 n, ordenadas del siguiente modo: 1 1 1 ... 1 1 a21 a22 a23 ... a2 n 1 a2 n V

2 a21 ...

2 a22 ...

2 a23 ...

... a22n 1 ...

n 1 n 1 n 1 a21 a22 a23 ... a2nn11 cuyo desarrollo está dado por V – ( a2 j  a2 i ) .

a22n ... a2nn1

1d i  j d n

Podemos reducir a ceros los elementos de la primera columna, excepto el primero, restando de cada fila la anterior, multiplicada por a21, y obtenemos ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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DETERMINANTES

103

1 0 0

1 a22  a21 a22 ( a22  a21 )

1 a23  a21 a23 ( a23  a21 )

0 ...

2 a22 ( a22

2 a23 ( a23

...

...

0

n2 a22 ( a22

n2 a23 ( a23

 a21 )  a21 )

 a21 )

1 ... a2 n 1  a21 ... ... a2 n 1 ( a2 n 1  a21 ) ...

a22n 1 ( a2 n 1

1 a2 n  a21

a2 n ( a2 n  a21 ) a22n ( a2 n  a21 )

 a21 )

...

...

 a21 ) ... a2nn21 ( a2 n 1  a21 )

a2nn 2 ( a2 n  a21 )

determinante que se reduce a uno de orden n ± 1, el cual, separando los factores comunes, resulta 1 1 1 ... 1 1 a22 a23 a24 ... a2 n 1 a2 n 2 ( a22  a21 )...( a2 n  a21 ) a22 ...

2 a23 ...

2 a24 ...

... a22n 1 ...

a22n ...

n2 n2 n2 a22 a23 a24 ... a2nn21 a2nn 2 y observando que este determinante de orden n - 1 es de la misma forma que el anterior, se le puede aplicar la misma transformación, resultando 1 1 1 ... 1 1 a23 a24 a25 ... a2 n 1 a2 n 2 ( a22  a21 )...( a2 n 1  a22 ) a23 ...

2 a24 ...

2 a25 ...

... a22n 1 ...

a22n ...

n 3 n 3 n 3 a23 a24 a25 ... a2nn31 a2nn3 Con éste, que es de orden n ± 2, se opera de igual modo, y así se sigue hasta llegar a uno de segundo orden 1 1 a2n  a2n 1 . a2n 1 a2n Por consiguiente V ( a22  a21 )( a23  a21 )...( a2n  a2n1 )

–

1d i  j d n

( a2 j  a2 i ) .

%  GENERACION  DE  UN  DETERMINANTE  DE  VANDERMONDE   clc;;clear;;   fprintf('\n  DETERMINANTE  DE  VANDERMONDE  \n')   fil=input('  Ingrese  la  dimension  de  la  columna:    ');;          fprintf('Ingrese  los  elementos  de  la  columna  \n')          %Ingreso  de  elementos                  %for  f=1:col                          for  f=1:fil                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',f)                                  u(f,1)=input('  :');;                          end          fprintf('\n  LA  COLUMNA  ES:\n')          u                  fprintf('  EL  DETERMINANTE  GENERADO  ES:')                  V=vander(u)                  fprintf('  EL  VALOR  DEL  DETERMINANTE  ES:')          DetV=det(V)         ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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104

DETERMINANTES

 

EJ E M P L O 2.4.1 Evaluar los siguientes determinantes y expresar su resultado en factores: 1 a bc a.- 1 b ca ; 1 c ab

b.-

1 a

1 b

a 3 b3

1 c ;

1 bc  ad

c.- 1 ac  bd

c3

1 ab  cd

b2 c 2  a 2 d 2 a 2 c 2  b2 d 2 . a 2b2  c 2 d 2

SO L U C I O N a.- A las filas 2 y 3 le restamos la fila 1: 1 a bc 1 a bc 0 b  a ca  bc 0 b  a c (b  a ) 0 c  a ab  bc 0 c  a b(c  a ) extraemos de la fila 2 el factor (b ± a) y de la tercera fila el factor (c ± a): 1 a bc (b  a )( c  a ) 0 1  c 0 1 b a la fila 3 le restamos la fila 2: 1 a bc (b  a )(c  a ) 0 1 c 0 0 c b podemos observar que mediante este proceso, hemos transformado la matriz original a una matriz equivalente triangular superior, lo cual nos permite aplicar una de las propiedades para encontrar el valor del determinante: ' = (b - a)(c - a)(c - b). b.- En este problema, aplicaremos operaciones elementales entre columnas, es decir, a las columnas 2 y 3 le restamos la columna 1: 1 0 0 1 0 0 a ba ca a ba ca

a 3 b3  a 3 c 3  a 3 a 3 (b  a )(b 2  ab  a 2 ) (c  a )(c 2  ca  a 2 ) a la columna 2 le extraemos (b ± a) y a la tercera columna (c ± a): 1 0 0 (b  a )(c  a ) a 1 0 a 3 b2  ab  a 2 a la columna 3 le restamos la columna 2: 1 0 (b  a )( c  a ) a 1

a 3 b2  ab  a 2 expresamos en factores el elemento a33: 1 0 (b  a )(c  a ) a 1

c 2  ca  a 2 0 0

c 2  ca  a 2  b 2  ab  a 2 0 0

a 3 b2  ab  a 2 (c  b)( a  b  c ) como hemos reducido la matriz original a una matriz triangular inferior, aplicamos la correspondiente propiedad, para obtener el valor del determinante ' = (b - a)(c - a)(c - b)(a + b + c). c.- A la segunda y tercera filas, le restamos la primera: 1

ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

bc  ad

b2 c 2  a 2 d 2

0 ac  bd  bc  ad

a 2 c 2  b2 d 2  b2 c 2  a 2 d 2

0 ab  cd  bc  ad

a 2b 2  c 2 d 2  b 2 c 2  a 2 d 2 JOE GARCIA ARCOS

DETERMINANTES

105

expresamos en factores los elementos de este determinante:

b2 c 2  a 2 d 2

bc  ad

1

0 ( a  b)( c  d ) ( a 2  b 2 )(c 2  d 2 ) 0 (b  d )( a  c ) (b 2  d 2 )( a 2  c 2 )

extraemos (a - b)(c - d) de la segunda fila y (b ± d)(a ± c) de la tercera fila: 1 bc  ad b 2 c 2  a 2 d 2 ( a  b)(c  d )(b  d )( a  c ) 0 1 ( a  b)( c  d ) 0 1 (b  d )( a  c ) a la tercera fila, restamos la segunda: 1 bc  ad ( a  b)(c  d )(b  d )( a  c ) 0 1 0 0

b2 c 2  a 2 d 2 ( a  b)( c  d ) ( a  d )(c  b)

como el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, entonces: ' = (a - d)(c - b)(a - b)(c - d)(b - d)(a - c). ’

PR O B L E M AS 2.4.1 Evaluar los siguientes resultado en factores: a 2 ab b 2 a.- 2 a a  b 2b ; b.1 1 1

c.-

a

2

b

2

c

2

bc e.-

g.-

2

2

2

2

2

2

a  (b  c ) b  (c  a ) c  ( a  b)

a bc a (b  c ) b ac b( a  c ) ; c ab c ( a  b) 1 a

2

d.- 1 b

2

1 c

2

bc ac ; ab

a a3

c  a b b3 ;

determinantes y expresar su

3

b ; c

c3

( x  a )2

( y  a )2

( z  a )2

( x  b) 2

( y  b) 2

( z  b) 2 .

( x  c )2

( y  c )2

( z  c)2

2.4.2 Calcular los determinantes: 1  a 1  a 2 1  a3

a.- 1  b 1  b 2 1  b3 ; 1  c3

1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 b.; 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

1 a ( a  1) a 2 ( a  1)

d.- 1 b(b  1) b 2 (b  1) ; 1 c ( c  1)

3

a b a b b a b a ; a b a b

f.-

a b c

1 c 1 c2

a

3

c.-

a  b ab 0 0 1 a  b ab 0 ; 0 1 a  b ab 0 0 1 a b

e.-

c 2 (c  1)

2a  7 a  2 a 1 a a  3 2a  5 a  1 a ; a  3 a  2 2a  3 a a  3 a  2 a  1 2a  1

1 a b 0 0 1 1  b c 0 f.. 0 1 1  c d 0 0 1 1  d

2.4.3 Evaluar el determinante de Vandermonde: 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c d 2 3 4 5 a.b.. 2 2 2 2 ; a b c d 22 32 42 52

a3

b3

c3

d3

23

33

43

53

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106

DETERMINANTES

2.5 C U EST I O N A RI O Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas, indicar por que lo es: 2.5.1 El valor de un determinante se altera si éste se transpone. 2.5.2 Si en una matriz cuadrada de orden n se intercambian dos columnas, entonces el determinante no varía. 2.5.3 La suma de los productos de los elementos de cualquier columna de un determinante por los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de una paralela es diferente de cero. 2.5.4 Si una matriz A de orden n posee un menor M no nulo de orden r, 1 d r d n-1, tal que todos los menores de orden r + 1 que lo orlan son iguales a cero, entonces el determinante de la matriz A es igual a cero. 2.5.5 Un determinante que contiene dos columnas proporcionales es diferente de cero.

2.5.13 Si en un determinante todos los elementos de una fila, a excepción de uno, son iguales a cero, entonces, el determinante es igual al producto de este elemento diferente de cero por un complemento algebraico. 2.5.14 Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una de sus columnas por los correspondientes complementos algebraicos. 2.5.15 Si una columna del determinante de una matriz cuadrada de orden 3 es una combinación lineal de las demás columnas, entonces el determinante será diferente de cero. 2.5.16 El determinante difiere si a cada columna, excepto la última, se le añade la columna siguiente.

2.5.6 El valor de un determinante no cambia si a todos los elementos de una de sus columnas se suman los elementos correspondientes de la columna.

2.5.17 El determinante no cambia si varía el signo de todos los elementos en los lugares impares; pero si varía el signo de todos los elementos en los lugares pares, el determinante no cambia, siendo del orden par y cambia, siendo del orden impar.

2.5.7 Para que un determinante sea igual a cero es necesario y suficiente que sus columnas sean linealmente independientes.

2.5.18 El determinante no cambia si de cada columna, excepto la última, se restan todas las siguientes columnas.

2.5.8 Si en el determinante de una matriz de orden n, más de n2 ± n elementos son nulos, el determinante es igual a cero.

2.5.19 Si a cada elemento de una de las columnas de una matriz de orden n se le suma el producto del número k por el elemento correspondiente de otra columna, entonces el valor del determinante cambia.

2.5.9 Si en el determinante de una matriz cuadrada de orden n para k + r > n en la intersección de ciertas k filas y r columnas se hallan los elementos nulos, el determinante es igual a cero.

2.5.20 El valor del determinante de una matriz de orden n no cambia si se intercambian las filas y columnas de la matriz.

2.5.10 Si en el determinante de una matriz cuadrada de orden n todos los menores de orden k (k < n) son nulos, entonces los menores de orden superior a k son diferentes del nulo.

2.5.21 Si A y B son matrices cuadradas de diferente orden, entonces el determinante del producto A B es diferente del producto de los determinantes de cada una de las matrices.

2.5.11 Para que un determinante de una matriz cuadrada de orden 2 sea diferente de cero, es necesario y suficiente que sus columnas sean proporcionales.

2.5.22 Si una matriz de orden n tiene un determinante cero después de cualquier número de operaciones elementales sobre las filas, entonces la matriz que resulta tiene determinante cero.

2.5.12 Un determinante es igual a cero si es de orden par y se duplicará, si es de orden impar, si a cada columna, empezando por la segunda, se le añade la columna anterior, sumando al mismo tiempo la primera columna y la última. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

2.5.23 Si una matriz tiene determinante diferente de cero, después de cualquier número de operaciones elementales sobre las filas, entonces la matriz que resulta tiene determinante diferente de cero. JOE GARCIA ARCOS

DETERMINANTES

2.5.24 Si cada elemento de cierta columna del determinante está representado en forma de suma de dos sumandos, el determinante será igual a la suma de dos determinantes, en este caso todas las columnas menos la indicada, quedarán las mismas, y en la columna dicha del primer determinante se encontrarán los primeros sumandos, y en la del segundo, los segundos. 2.5.25 Si a los elementos de una columna del determinante se les añaden los correspondientes elementos de otra columna, multiplicadas por un mismo número, entonces el determinante es diferente. 2.5.26 Un determinante es igual a cero si cada fila, excepto la última, se resta la siguiente fila, y de la última fila se resta la fila inicial.

107

2.5.30 La suma de todos los determinantes de orden n t 2, cada uno de los cuales en cada fila y cada columna tiene un elemento igual a la unidad y todos los demás nulos; es nula y la cantidad de determinantes de este tipo es n!. 2.5.31 Si en un determinante de una matriz cuadrada de orden n, sus filas se escriben en orden inverso, entonces éste se multiplicará por (-1)n(n-1)/2. 2.5.32 Si en un determinante de una matriz cuadrada de orden n cada uno de sus elementos cambia de signo, entonces el determinante se multiplicara por (-1)n. 2.5.33 El determinante de una matriz cuadrada de n x n, cuyos elementos se prefijan por las condiciones a ij = mín( i, j) es igual a cero.

2.5.27 Si todos los elementos de cualquier fila de un determinante son iguales a la unidad, la suma de los cofactores de todos los elementos de éste será igual al propio determinante.

2.5.34 El determinante de una matriz cuadrada de orden n, cuyos elementos se dan por las condiciones a ij = máx( i, j) es igual a (-1)n-1n.

2.5.28 El determinante cuya suma de las filas con números pares es igual a la suma de las filas con números impares, es diferente de cero.

2.5.35 El determinante de una matriz cuadrada de orden n, cuyos elementos se prefijan por las condiciones a ij = | i ± j | es igual a (-1)n-12n-2(n ± 1).

2.5.29 Una matriz cuadrada tiene determinante cero si y sólo si la matriz se puede reducir a una matriz triangular superior con al menos un elemento igual a cero en la diagonal principal.

2.5.36 La suma de los cofactores de todos los elementos del determinante varía si a todos los elementos se les añade un mismo número.

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O BJ E T I V O Resolver problemas sobre matrices equivalentes, rango e inversa mediante la interpretación, expresión y representación en términos de matrices y determinantes utilizando definiciones propiedades y métodos adecuados para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias aplicadas.

C O NT ENID O: 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

MATRICES EQUIVALENTES RANGO DE UNA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ METODOS PARA OBTENER LA INVERSA DE UNA MATRIZ CUESTIONARIO

3.1 M A T R I C ES E Q U I V A L E N T ES En esta sección se introduce la definición de matriz equivalente y enuncia mos sus propiedades mas importantes. En esta sección veremos que cada una de las operaciones de filas puede realizarse en A multiplicando A por la izquierda por una matriz obtenida al efectuar dicha operación a la matriz identidad. Para este fin, definiremos una matriz elemental como cualquier matriz que se obtenga a partir de la matriz identidad mediante una operación elemental de filas, para lo cual utilizaremos el siguiente resultado. Sea A una matriz de n x m. Supongamos que B se obtiene a partir de A mediante una operación elemental de filas. Sea E la matriz elemental obtenida al efectuar las mismas operaciones elementales de filas en la matriz identidad. Entonces B = E A. Esto es, la matriz elemental E obtenida a partir de la matriz identidad mediante una operación elemental de filas realiza la misma operación elemental en A al multiplicarla por la izquierda. E J E M P L O 3.1.1 Dada la matriz A, verifique lo antes mencionado: § 2 4 2· § 3 2 4 5 · ¨ ¸ ¨ ¸ a.- A ¨ 0 1 3 ¸ ; b.- A ¨ 0 3 8 3 ¸ . ¨ 4 1 3 7¸ ¨ 3 4 2¸ © ¹ © ¹ SO L U C I O N a.- Obtengamos B a partir de A intercambiando las filas f2 y f3:

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§ 2 4 2· ¨ ¸ ¨ 3 4 2¸ ¨ 0 1 3¸ © ¹ Efectuamos la misma operación en I de 3 x 3 para obtener: §1 0 0· ¨ ¸ E ¨0 0 1¸ ¨0 1 0¸ © ¹ Ahora verificamos que E efectúa la misma operación de filas en A al multiplicar por la izquierda a la matriz A por E: § 1 0 0 ·§ 2 4 2 · § 2 4 2 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ E A = ¨ 0 0 1 ¸¨ 0 1 3 ¸ = ¨ 3 4 2 ¸ = B . ¨ 0 1 0 ¸¨ 3 4 2 ¸ ¨ 0 1 3 ¸ © ¹© ¹ © ¹ b.- Multiplicamos la tercera fila de A por ±2 para obtener B: 5 · § 3 2 4 ¨ ¸ B ¨0 3 8 3 ¸ ¨ 8 2 6 14 ¸ © ¹ Efectuamos la misma operación en I de 3 x 3 para obtener §1 0 0 · ¨ ¸ E ¨0 1 0 ¸ ¨ 0 0 2 ¸ © ¹ Entonces § 1 0 0 ·§ -3 2 4 5 · § -3 2 4 5 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ E A = ¨ 0 1 0 ¸¨ 0 3 8 3 ¸ = ¨ 0 3 8 3 ¸ = B . ’ ¨ 0 0 -2 ¸¨ 4 1 3 7 ¸ ¨ -8 -2 -6 -14 ¸ © ¹© ¹ © ¹ B

E J E M P L O 3.1.2 Dada la matriz § 3 2 4 5 · ¨ ¸ A ¨ 0 3 8 3¸ ¨ 4 1 3 7¸ © ¹ Multiplique la matriz A por la izquierda por un producto de matrices elementales. SO L U C I O N Intercambiamos las filas f2 y f3: § 3 2 4 5 · ¨ ¸ ¨ 4 1 3 7¸ ¨ 0 3 8 3¸ © ¹ Multiplicamos la segunda fila por 3/4: § 3 2 4 5 · ¨ 3 9 21 ¸ ¨3 4 4 4¸ ¨ 0 3 8 3¸ © ¹ A la segunda fila le sumamos la primera: § 3 2 4 5 · ¨ 25 41 ¸ B ¨ 0 11 4 4 4 ¸ ¨ 0 3 8 3¸ © ¹ Cada operación puede ser realizada mediante una matriz elemental:

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E1

§1 0 0· ¨ ¸ ¨0 0 1¸ , ¨0 1 0¸ © ¹

§1 0 0· ¨ ¸ E 2 = ¨ 0 34 0 ¸ , ¨0 0 1¸ © ¹

E3

§1 0 0· ¨ ¸ ¨1 1 0¸ ¨0 0 1¸ © ¹

Se forma § 1 0 0 ·§ 1 0 0 ·§ 1 0 0 · § 1 0 0 ·§ 1 0 0 · § 1 0 0 · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ E 3 E 2 E1 = ¨ 1 1 0 ¸¨ 0 34 0 ¸¨ 0 0 1 ¸ ¨ 1 34 0 ¸¨ 0 0 1 ¸ ¨ 1 0 34 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸¨ 0 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨ 0 1 0 ¸ ¨ 0 1 0 ¸ © ¹© ¹© ¹ © ¹© ¹ © ¹ Si se multiplica A por la izquierda por este producto de matrices elementales, obtenemos el resultado final de las tres operaciones de filas: § 1 0 0 ·§ -3 2 4 5 · § -3 2 4 5 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ 25 41 ¸ ( E 3 E 2 E1 ) A = ¨ 1 0 34 ¸¨ 0 3 8 3 ¸ = ¨ 0 11 =B. ’ 4 4 4 ¸ ¨ 0 1 0 ¸¨ 4 1 3 7 ¸ ¨ 0 3 8 3 ¸ © ¹© ¹ © ¹

Algunas veces necesitaremos efectuar una sucesión de operaciones de filas en una matriz A. Esto puede hacerse multiplicando A por la izquierda por un producto de matrices elementales. D E F I N I C I O N 3.1.1 Se dice que la matriz A es equivalente por filas a la matriz B si B se obtiene a partir de A mediante una sucesión de operaciones elementales de filas. Esto significa que la matriz B debe ser de la forma E n E n-1 ... E 1 A para matrices elementales E 1, E 2, ..., E n. T E O R E M A 3.1.1 Toda matriz es equivalente por filas a sí misma. D E M OST R A C I O N Observemos que la matriz A siempre puede obtenerse a partir de A mediante una operación elemental de filas. T E O R E M A 3.1.2 Si la matriz A es equivalente por filas a la matriz B entonces B es equivalente por filas a A. D E M OST R A C I O N Se obtiene la matriz B a partir de la matriz A intercambiando las filas i y j de A, obtenemos a A a partir de B intercambiando las filas i y j de B. Si obtenemos la matriz B a partir de la matriz A multiplicando la fila j de A por un número k distinto de cero, obtenemos A a partir de B multiplicando la fila j de B por 1/k. Si obtenemos la matriz B a partir de la matriz A sumando k veces la fila i a la fila j, obtenemos A a partir de B sumando ±k veces la fila i a la fila j de B. En resumen, si obtenemos B a partir de A mediante operaciones elementales de filas, podemos recuperar A a partir de B mediante operaciones elementales de filas del mismo tipo. Ahora supongamos que A es equivalente por filas a B. Entonces B puede obtenerse a partir de A mediante una sucesión de operaciones elementales de filas. Por lo tanto, A se obtiene a partir de B mediante una sucesión de operaciones elementales; así que B es equivalente por filas a A. T E O R E M A 3.1.3 Si la matriz A es equivalente por filas a la matriz B y B es equivalente por filas a la matriz C entonces A es equivalente por filas a C. D E M OST R A C I O N Si la matriz B se obtiene a partir de la matriz A mediante un producto de matrices elementales, y la matriz C se obtiene a partir de B mediante un producto de matrices elementales, hemos obtenido C a partir de A mediante un producto de ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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matrices elementales; por lo tanto, A es equivalente por filas a C. Sea la matriz A de n x m. Si una fila tiene un elemento distinto de cero, el elemento principal de la fila es su primer elemento distinto de cero, leyendo de izquierda a derecha. Una fila que tiene únicamente ceros no tiene elemento principal. Decimos que la matriz A es una matriz reducida si A tiene las siguientes características: 1.- El elemento principal de cada fila distinto de cero es 1. 2.- Si una fila tiene su elemento principal en la columna j, todos los otros elementos de la columna j son cero. 3.- Toda fila que tiene únicamente ceros está debajo de las filas que tienen elementos distintos de cero. 4.- Si el elemento principal de la fila f1 está en la columna c1, el elemento principal de la fila f2 está en la columna c2 y f1 < f2, entonces c1 < c2. Por la segunda característica, si una columna contiene un elemento principal en alguna fila, todos los otros elementos de esa columna son cero. Dicho de otra manera, todos los elementos que están directamente por encima o debajo de cualquier elemento principal son cero. La cuarta característica dice que los elementos principales se mueven hacia abajo y a la derecha conforme se ve la matriz. T E O R E M A 3.1.4 Sea A una matriz de n x m. Entonces A es equivalente por filas a una matriz en forma reducida. D E M OST R A C I O N Si la matriz A está en forma reducida, ya se acaba el proceso. Si no, leyendo de izquierda a derecha la matriz, supongamos que la columna c1 es la primera columna que tiene un elemento distinto de cero. Sea k el primer elemento distinto de cero de esa columna, digamos que aparece en la fila f1. Multiplicamos la fila f1 por 1/k para obtener una matriz B. Por la elección de f1, la columna c1 de B tiene exactamente ceros por encima del 1 en la fila f1. Si cualquier fila debajo de f1 tiene un elemento r distinto de cero en la columna c1 sumamos ± r veces la fila f1 a esa fila. Obteniendo una nueva matriz con un cero donde estaba localizada r en B. La repetición de este proceso da como resultado la matriz C que tiene ceros por encima y debajo de la fila f1 en la columna c1. Ahora intercambiamos las filas 1 y f1 de C para producir la matriz D que tiene como entrada principal 1 en la fila 1 y la columna c1 y todos los demás elementos de esa columna son cero. Además, por la elección de c1, cualquier columna de D a la izquierda de la columna c1 tiene solamente elementos iguales a cero. Finalmente D es equivalente por filas a A ya que llegamos a D por una sucesión de operaciones elementales de filas. Si D es reducida, se acaba el proceso. Si no, repetimos este proceso, pero ahora observando la primera columna, digamos la columna c 2, a la derecha de la columna c1 y que tiene un elemento distinto de cero debajo de la fila 1. Sea f2 la primera fila debajo de la fila 1 que tiene un elemento distinto de cero, digamos s. Dividimos la fila f2 por s para obtener una matriz E con 1 como elemento f2, c2. Si la columna c2 de E tiene un elemento distinto de cero s en una fila por encima o debajo de f2 sumamos ±s veces la fila f2 a esa fila. La repetición de este proceso da una matriz F con ceros en la columna c2 por encima y debajo del elemento 1 en la fila f2. Finalmente, intercambiamos las filas 2 y f2 de F para obtener G. Si la matriz G está en forma reducida, se acaba el proceso. Si no, localizamos la primera columna a la derecha de la columna c2 y que tenga un elemento distinto de cero debajo de la fila f2 y repetimos el proceso que hemos estado utilizando. Como A tiene un número finito de columnas, eventualmente llegamos a una matriz reducida y esta matriz reducida es equivalente por filas a A. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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El proceso de obtener una matriz reducida equivalente por filas a una matriz dada A se llama reducción de A. Observemos que usualmente es posible efectuar distintas sucesiones de operaciones elementales de filas en A para obtener una matriz reducida. Sea A una matriz de n x m. Suponga que se aplica una sucesión S1 de operaciones elementales de filas empezando con la matriz A y obteniendo una matriz reducida B. Suponga que se aplica otra sucesión S2 de operaciones elementales de filas empezando con A y se obtiene una matriz reducida C, entonces B = C. Esto implica que para una matriz A, el resultado final siempre es el mismo no importa cuáles operaciones elementales de filas hayamos usado para llegar a él. Debido a esto, hablaremos de la forma reducida de A en lugar de una forma reducida de A. Denotaremos a la forma reducida de A como A R. E J E M P L O 3.1.3 Reducir la matriz § 3 4 1 · ¨ ¸ A = ¨ 1 2 0¸ . ¨ 2 4 3¸ © ¹

SO L U C I O N Empezamos con la primera columna, que tiene un elemento distinto de cero en la primera fila. A la primera fila le multiplicamos por ±1/3: § 1  43  13 · ¨ ¸ 0 ¸ ¨1 2 ¨¨ 2 4 3 ¸¸ © ¹ A la segunda fila le restamos la primera fila, a la tercera fila le restamos 2 veces la primera fila: § 1  43  13 · ¨ ¸ 1 ¨ 0 103 3 ¸ ¨¨ 20 11 ¸ ¸ 3 ¹ ©0 3 La segunda columna de la última matriz tiene elementos distintos de cero debajo de la primera fila. Como queremos un 1 en esa posición, entonces hacemos las siguientes operaciones. A la segunda fila le multiplicamos por 3/10: § 1  43  13 · ¨ ¸ 1 ¨0 1 10 ¸ ¨¨ 20 11 ¸ ¸ 3 ¹ ©0 3 A la primera fila le sumamos 4/3 veces la segunda fila, a la tercera fila le restamos 20/3 veces la segunda fila: § 1 0  15 · ¨ ¸ ¨ 0 1 101 ¸ ¨¨ ¸¸ ©0 0 3 ¹ La tercera columna de la última matriz tiene elementos distintos de cero debajo de la segunda fila. Como queremos un 1 en esa posición, entonces hacemos las siguientes operaciones. A la tercera fila le multiplicamos por 1/3: § 1 0  15 · ¨ ¸ ¨ 0 1 101 ¸ ¨¨ ¸¸ ©0 0 1 ¹ A la primera fila le sumamos 1/5 veces la tercera fila, a la segunda fila le ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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restamos 1/10 veces la tercera fila: §1 0 0· ¨ ¸ ¨0 1 0¸ . ¨0 0 1¸ © ¹ Esta última matriz es AR, la forma reducida de A. En este caso A R = I. ’

Hemos obtenido A R a partir de A por una sucesión de operaciones elementales de filas. Además, hemos visto que podemos realizar cualquier sucesión de operaciones elementales de filas en A multiplicando a A por la izquierda por un producto de matrices elementales. Esto nos indica que dada una matriz A de n x m. Entonces existen matrices elementales E 1, E 2, ..., E n tales que A R = E n E n-1 ... E 1 A.

PR O B L E M AS 3.1.1 En las siguientes matrices, efectúe la operación elemental de filas indicada en A para obtener la matriz B. Después encuentre la matriz E tal que E A = B: § 1  i 2 3 i · ¨ ¸ a.- A ¨ 2 4 5i 2 ¸ ; multiplicar la tercera fila ¨1  i 2 6 2 ¸ © ¹ por i. § 2i 3 4 · ¨ ¸ 2 6 7¸ b.- A ¨ ; sumar el producto de la tercera ¨ 1 i 3 ¸ ¨ ¸ © 5 8 4¹ fila por ±1 a la primera fila. 3.1.2 En las siguientes matrices, obtenga una matriz B a partir de la matriz A dada efectuando la sucesión de operaciones. Después obtener una matriz C tal que C A = B: 2 3 5 · § i ¨ ¸ 1 6i 7 8 ¸ a.- A ¨ ; intercambiar las filas f2 y ¨1  i 4 6 1  i ¸ ¨ ¸ © i 3 7 4 ¹

f4, sumar i veces la segunda fila a la tercera fila, sumar la primera fila a la tercera fila, multiplicar la segunda fila por i. § 1  2i 3 4 6i · ¨ ¸ b.- A ¨ 7 2 5 4 ¸ ; sumar ± i veces la ¨ i 1  i 3 5 ¸¹ © segunda fila a 7 veces la tercera fila, intercambiar las filas f1 y f3, multiplicar la tercera fila por (1 ± 2 i). c.- Encuentre una matriz elemental E tal que E B = A; d.- Encuentre una matriz elemental E tal que E C = A. 3.1.3 E es la matriz elemental que se obtiene al intercambiar dos filas de I. A es una matriz de n x n: a.- ¿Cómo se relaciona o compara E A con A?; ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

b.- Encuentre E 2. 3.1.4 En las siguientes matrices, determine si la matriz está en forma reducida. Si no lo está, haga una lista de todas las condiciones de la definición que no se cumplen y utilice las operaciones elementales de filas para reducir la matriz: §1 3 0 5· § 1 7 5 3· ¨ ¸ 6 0 3 5¸ ¨ ¸ ¨ a.- A ; b.- A ¨ 0 2 0 1 ¸ ; ¨6 2 1 7¸ ¨ 0 0 3 1¸ ¨ ¸ © ¹ 0 3 1 1 © ¹ c.- A

§0 ¨ ¨0 ¨4 ¨ ©1

2 0 0 5

3· ¸ 2¸ . 3¸ ¸ 2¹

3.1.5 Dadas las matrices A, B y § 1 2 3 · ¨ ¸ A ¨ 0 1 2 ¸, B ¨ 1 2 0 ¸ © ¹

C: § 1 2 0 · ¨ ¸ ¨ 0 1 2 ¸, ¨ 1 2 3 ¸ © ¹

§ 0 4 3 · ¨ ¸ ¨ 0 1 2 ¸. ¨ 1 2 0 ¸ © ¹ a.- Encuentre una matriz elemental E tal que E A = B; b.- Encuentre una matriz elemental E tal que E A = C. C

3.1.6 Dé un ejemplo de dos matrices elementales cuyo producto sea elemental. 3.1.7 Construya E sumando ± 3 veces la fila e de I a la fila 4 y calcule E A. ¿Qué efecto produce en A la multiplicación izquierda por E? ¿Sería cierta la misma conclusión para cualquier matriz de 4 x 4? Encuentre una matriz F tal que la multiplicación izquierda por F transforme de nuevo E en I; esto es, F E = I. JOE GARCIA ARCOS

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3.2 R A N G O D E U N A M A T R I Z En esta sección se introduce la terminología básica y se define el rango de una matriz, enuncia mos sus propiedades mas importantes.  

El determinante de una matriz se relaciona de manera importante con el concepto de rango de una matriz. Para calcular prácticamente el rango de una matriz pueden seguirse distintos procedimientos. Uno de ellos consiste en comprobar con las dos primeras filas si existe algún determinante de 2 x 2 no nulo; si ocurre así, se procede de la misma manera respecto a las tres primeras filas, y de la misma manera hasta agotar el número de filas o encontrar un primer conjunto de menores de k x k que sean nulos en su totalidad; en el primer caso, el rango es igual al número de filas n, y en el segundo, es k ± 1. D E F I N I C I O N 3.2.1 El rango de una matriz A es el orden de la matriz de mayor orden, cuyo determinante es diferente de cero que se puede obtener de A al suprimir filas y/o columnas. Representamos este número por Rang( A). Se dice que A tiene rango 0 si todos sus elementos son cero. Es evidente que el rango de una matriz de m x n cuando más puede ser igual al menor de los números m y n, pero puede ser menor. T E O R E M A 3.2.1 Sea una matriz A de m x n y sea k un número entero positivo. Entonces Rang(A) t k si la matriz A contiene un subdeterminante distinto de cero de orden k. D E M OST R A C I O N Supongamos que Rang(A) t k. Entonces el rango por filas de la matriz A será, por lo menos, k, y así en la matriz A hay k filas linealmente independientes. Numeremos estas filas con f1, f2, ..., fk y sea B la matriz k x n en la que la fila i-ésima sea la fila fi de la matriz A. Entonces, el rango por filas de B ha de ser k y, por lo tanto, Rang(B) = k. De esto se desprende que el rango por columnas de B sea k y que, por lo tanto, B contenga k columnas linealmente independientes. Consideremos la matriz C cuadrada de orden k que conste de esas columnas. Las columnas de C son linealmente independientes y, por lo tanto, Rang(C) = k. Por consiguiente Det(C) z 0. Puesto que C es una submatriz de A, hemos demostrado que A debe contener un subdeterminante de orden k distinto de cero. Una matriz A de m x n (m t n) posee un subdeterminante de n-1 x n-1 no nulo; todos los subdeterminantes de n x n son nulos, entonces todos los subdeterminantes de n x n de la matriz A son iguales a cero y, por consiguiente, el rango de la matriz A es n-1. T E O R E M A 3.2.2 El rango de una matriz A de m x n, será igual a k si hay por lo menos un subdeterminante de A de k x k que sea distinto de cero mientras que todos los demás subdeterminantes de A de k + 1 x k + 1 son cero. D E M OST R A C I O N Si Rang(A) = k, entonces la matriz A contendrá un subdeterminante de k x k distinto de cero. Además, A no puede contener un subdeterminante de k + 1 x k + 1 que sea distinto de cero, pues, de ser así, su rango no podría ser menor que k + 1. EJ E M P L O 3.2.1 Hallar los valores del parámetro k, para que la matriz A tenga rango máximo. ¿Cuánto es el rango para los otros valores de k?

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k 0 0 · 2k · §k 3 § k  2 2k  4 0 ¨ ¸ ¨ ¸ k k  3 0 0 ¸ 0 1 0  k  1¸ a.- ¨ ; b.- ¨ . ¨ k ¨ 2  k  3 k 1  k ¸ k 1 k 1 k 1¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 1 k 1 k 3  k ¹ k  1 0 2k  1¹ © k © 0 SO L U C I O N a.- La matriz A tiene rango máximo si el Det(A) z 0, es decir: k 3 k 0 0 k  3 0 0 k 0 0 k k  3 0 0 ( k  3) k  1 k  1 k  1  k k k  1 k  1 k k 1 k 1 k 1 1 k 1 k 3  k k 1  k 3  k k 1 k 1 k 3  k

36

Como 36 z 0, entonces la matriz tiene rango máximo si k  ƒ. b.- La matriz A tiene rango máximo si el Det(A) z 0, es decir: k  2 2k  4 0 2k k  2 2k  4 2k 0 1 0  k  1 0 1  k  1 k 3 ( k  2) z 0 . 2  k  3 k 1  k 0 k  1 2k  1 0 k  1 0 2k  1 Como k3(k + 2) z 0, entonces k z 0 y k z - 2. Por lo tanto k = - 2: § 0 0 0 4 · § 0 0 0 4 · § 0 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 0 1 0 1 ¸ | ¨ 0 1 0 1 ¸ | ¨ 0 ¨ 2 1 2 1 ¸ ¨ 2 0 2 0 ¸ ¨ 2 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ © 0 1 0 3 ¹ © 0 0 0 4 ¹ © 0 Rang(A) = 3. Cuando k = 0: § 2 4 0 0 · §2 4 0 0 · §2 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 0 1 0 1¸ | ¨ 0 1 0 1¸ | ¨ 0 ¨ 2 3 0 1 ¸ ¨ 0 1 0 1 ¸ ¨ 0 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ © 0 1 0 1 ¹ ©0 1 0 1 ¹ ©0

k  ƒ \ {-2, 0}. Cuando 0 1 0 0 4 1 0 0

0 0 2 0

0· ¸ 1¸ 0¸ ¸ 4¹

0 0· ¸ 0 1¸ 0 0¸ ¸ 0 0¹

Rang(A) = 2. ’ T E O R E M A 3.2.3 El rango de una matriz A de m x n, será igual a k si hay por lo menos un subdeterminante de A de k x k que sea distinto de cero mientras que todos los demás subdeterminantes de A de k + 1 x k + 1 son cero. D E M OST R A C I O N Si Rang(A) = k, entonces la matriz A contendrá un subdeterminante de k x k distinto de cero. Además, A no puede contener un subdeterminante de k + 1 x k + 1 que sea distinto de cero, pues, de ser así, su rango no podría ser menor que k + 1. EJ E M P L O 3.2.2 Calcular el rango de la matriz A

§ 2 1 3 2 4 · ¨ ¸ ¨ 4 2 5 1 7 ¸ . ¨ 2 1 1 8 2 ¸ © ¹

SO L U C I O N Utilizaremos la definición, es decir: 2 4 18 1 7 Como este menor es diferente de cero, procedemos a tomar un menor de mayor ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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orden: 3 2 4 1 2 4 2 2 4 5 1 7 2 1 7 4 1 7 0 1 8 2 1 8 2 2 8 2 Como todos los menores de tercer orden son iguales a cero, entonces concluimos que Rang(A) = 2. ’

D E F IN I C I O N 3.2.2 El número de filas distintas de cero de una matriz A en la forma reducida se denomina rango de la matriz A. Si A es una matriz de n x m, obviamente Rang(A) d n. Además, como A R es una matriz reducida su rango es el número de sus filas distintas de cero; por lo tanto Rang(A) es igual al número de filas de A R no nulas. Sea una matriz A de m x n y sea k un número entero positivo. Entonces Rang(A) t k si la matriz A contiene un subdeterminante distinto de cero de orden k. El rango de una matriz A de m x n, será igual a k si hay por lo menos un subdeterminante de A de k x k que sea distinto de cero mientras que todos los demás subdeterminantes de A de k + 1 x k + 1 son cero. T E O R E M A 3.2.3 Sea A una matriz de n x m. Entonces A es equivalente por filas a una matriz en forma reducida. D E M OST R A C I O N Demostremos que una operación elemental no puede aumentar el rango k de una matriz A. Si A tiene el máximo rango posible, esto es evidente. Sea k menor y considérese cualquier submatriz cuadrada B de A con k + 1 filas. Por definición de rango Det(B) = 0. Sea C la matriz obtenida a partir de B aplicando una operación elemental a A. Si C = B, entonces Det(C) = 0. Sea C = B: a.- Supóngase la operación de intercambio de dos filas de A. Si los dos tienen elementos en B, entonces Det(C) = -Det(B). En caso contrario, C es igual a otra submatriz cuadrada de A con k + 1 filas. De aquí que Det(C) = 0. b.- Bajo la operación elemental de la multiplicación de una fila de A por un número r diferente de cero, se tiene Det(C) = rDet(B) = 0. c.- Bajo la adición de un múltiplo constante de una fila de A a otra fila, la matriz C difiere de la B en una fila, digamos c, de la forma c = b + ra, donde b es la fila correspondiente de B. Así se tiene Det(C) = Det(B) + rDet(D) = rDet(D), donde D, tiene dos filas idénticas, o bien, es una submatriz cuadrada con k + 1 filas de la matriz A. En cualquier caso, Det(D) = 0 y Det(C) = 0. Esto completa la demostración de que una operación elemental no puede aumentar el rango de una matriz A. Vamos a demostrar ahora que una operación elemental no puede disminuir ese rango. Por inversa de una operación elemental se entiende la operación que deshace el efecto de la operación dada. Esa inversa existe y es una operación elemental. De aquí que, si una operación elemental pudiera disminuir el rango, su inversa lo aumentaría, pero esto es imposible por lo que acaba de demostrarse. Este teorema implica que si se desea determinar el rango de una matriz dada, primero puede simplificarse la matriz por medio de operaciones elementales. Más importante, este teorema servirá de base para el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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EJ E M P L O 3.2.3 Hallar los valores del parámetro k, para que la matriz 2k · § k  2 2k  4 0 ¨ ¸ 0  1 0  k  1¸ A =¨ ¨ 2  k  3 k 1  k ¸ ¨ ¸ k  1 0 2k  1¹ © 0 tenga rango máximo. ¿Cuánto es el rango para los otros valores de k? SO L U C I O N La matriz A tiene rango máximo si el Det(A) z 0, es decir: k  2 2k  4 0 2k k  2 2k  4 2k 0 1 0  k  1 =k 0 1  k  1 = k3(k + 2) z 0. 2  k  3 k 1  k 0 k  1 2k  1 0 k  1 0 2k  1 Como k3(k + 2) z 0, entonces k z 0 y k z - 2. Por lo tanto k  ƒ \ {-2, 0}. Cuando k = - 2: § 0 0 0 4 · § 0 0 0 4 · § 0 0 0 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 1 0 1 ¸ | ¨ 0 1 0 1 ¸ | ¨ 0 1 0 1 ¸ Ÿ Rang(A) = 3. ¨ 2 1 2 1 ¸ ¨ 2 0 2 0 ¸ ¨ 2 0 2 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © 0 1 0 3 ¹ © 0 0 0 4 ¹ © 0 0 0 4 ¹ Cuando k = 0: § 2 4 0 0 · §2 4 0 0 · §2 4 0 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 1 0 1¸ | ¨ 0 1 0 1¸ | ¨ 0 1 0 1¸ Ÿ Rang(A) = 2. ’ ¨ 2 3 0 1 ¸ ¨ 0 1 0 1 ¸ ¨ 0 0 0 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © 0 1 0 1 ¹ ©0 1 0 1 ¹ ©0 0 0 0 ¹ T E O R E M A 3.2.4 Sea A una matriz de n x n. Entonces Rang(A) = n si y sólo si A R = I. D E M OST R A C I O N Si A R = I, entonces la matriz A R tiene n filas no nulas; por lo tanto Rang(A) = n. Recíprocamente, supongamos que Rang(A) = n. Entonces A R tiene exactamente n filas no nulas y por lo tanto no tiene filas nulas. Toda fila de A R tiene elemento principal 1. A R tiene cada elemento de la diagonal principal igual a 1. Todos los elementos de la columna c j por encima y debajo de la diagonal principal son nulos. Por lo tanto, A R = I. T E O R E M A 3.2.5 El rango del producto de varias matrices no es superior al rango de cada uno de los factores. D E M OST R A C I O N Sean dadas las matrices A y B, para las cuales tiene sentido el producto A B; emplearemos la notación A B = C. Veamos la definición del producto de matrices, que da la expresión de los elementos de la matriz C. Tomando esta fórmula para un k dado y todos los i posibles, obtenemos que la k-ésima columna de la matriz C representa una suma de todas las columnas de la matriz A, tomadas con ciertos coeficientes. De este modo, queda demostrado que el sistema de columnas de la matriz C se expresa linealmente mediante el sistema de columnas de la matriz A, y, por consiguiente, el rango del primer sistema es menor o igual al rango del segundo sistema; en otras palabras, el rango de la matriz C no es mayor que el rango de la matriz A. Por otra parte, como de la definición, para un i dado y todos los k, se deduce que toda i-ésima fila de la matriz C es combinación lineal de las filas de la ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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matriz B, con razonamientos análogos obtenemos que el rango de C no es mayor que el rango de B. T E O R E M A 3.2.6 El rango de la transpuesta de una matriz es el mismo que el de la matriz dada. D E M OST R A C I O N Sea Rang(A) = k y sea B una submatriz cuadrada de A con k filas y Det(B) z 0. Evidentemente B T es una submatriz de A T. Por lo tanto Det(B T) = Det(B). T De donde Rang(A ) t k. Por otra parte, si A contiene una submatriz cuadrada C de k + 1 filas, entonces, por definición de rango, Det(C) = 0. Como C corresponde a C T en A T y Det(C T) = 0, se concluye que A T no puede contener una submatriz cuadrada de k + 1 filas con un determinante diferente de cero. Como consecuencia, Rang(A T) d k. En conjunto, Rang(A T) = k y se completa la demostración. %  CALCULO  DEL  RANGO  DE  UNA  MATRIZ   clc;;clear;;   fprintf('\nRANGO  DE  UNA  MATRIZ  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  filas  de  la  Matriz  A:  ');;   col=input('Ingrese  el  numero  de  columnas  de  la  Matriz  A:  ');;   %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:fil                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('\nLA  MATRIZ  A  ES:\n')          A                  fprintf('LA  MATRIZ  REDUCIDA  ES:\n')                  R=rref(A)          fprintf('EL  RANGO  DE  LA  MATRIZ  ES:\n')          RangA=rank(R)   end  

EJ E M P L O 3.2.4 Demostrar que la matriz A que posee la propiedad A 2 = I, puede representarse en la forma PBP-1, donde P es una matriz no singular y B es una matriz diagonal cuyos elementos son todos iguales a r1. SO L U C I O N El rango de la matriz (I + A «I ± A) es igual a n. Elijamos de esta matriz una matriz cuadrada no singular P de orden n, y supongamos que sus primeras r columnas pertenecen a la matriz I + A y las demás n ± r columnas pertenecen a la matriz I ± A. Entonces, como (I + A)(I ± A) = O, se tiene § q11 q12 ... q1r 0 0 ... 0 · ¨ ¸ q q22 ... q2 r 0 0 ... 0 ¸ ( I + A ) P ¨ 21 ; ¨ ... ... ... ... ... ... ¸ ¨¨ q ¸¸ © n1 qn 2 ... qnr 0 0 ... 0 ¹ §0 ¨ 0 (I - A )P ¨ ¨ ... ¨¨ ©0

0 ... 0 q1, r 1 0 ... 0 q2, r 1 ... ... ... 0 ... 0 qn, r 1

q1, r  2 ... q1n · ¸ q2, r  2 ... q2 n ¸ . ... ... ¸ ¸ qn, r  2 ... qnn ¸¹

Sumando estas igualdades, resulta

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§ q11 ¨ q21 2P ¨ ¨ ... ¨¨ © qn1

q12 ... q1r q22 ... q2 r ... ... qn 2 ... qnr

q1, r 1 q1, r  2 ... q1n · ¸ q2, r 1 q2, r  2 ... q2 n ¸ . ... ... ... ¸ ¸ qn, r 1 qn, r  2 ... qnn ¸¹

q12 ... q1r q22 ... q2 r ... ... qn 2 ... qnr

q1, r 1 q2, r 1 ... qn, r 1

Restando, se obtiene § q11 ¨ q21 2 AP ¨ ¨ ... ¨¨ © qn1

q1, r  2 q2, r  2 ... qn, r  2

... q1n · ¸ ... q2 n ¸ ... ¸ ¸ ... qnn ¸¹

§1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 1 2P ¨ ¸. 1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨¨ ¸ 1 ¸¹ © Con esto se deduce inmediatamente lo que se quería demostrar. ’

EJ E M P L O 3.2.5 Demostrar que si todos los menores principales de k-ésimo orden de la matriz A T A son iguales a cero, los rangos de las matrices A T A y A son menores que k. Aquí A es una matriz real y A T es la matriz transpuesta de ella. SO L U C I O N Si todos los menores principales de k-ésimo orden de la matriz A T A son iguales a 0, entonces todos los menores de orden k de la matriz A son iguales a 0. Por consiguiente, el rango de la matriz A, y junto con él también el rango de la matriz A T A, es menor que k. ’ EJ E M P L O 3.2.6 Demostrar que el rango del producto de dos matrices cuadradas de orden n no es inferior a r1 + r2 ± n, donde r1 y r2 son los rangos de los factores. SO L U C I O N Sea A = P1 R 1 Q 1, B = P2 R 2 Q 2, donde P1, Q 1, P2, Q 2 son matrices no singulares y R 1, R 2 son matrices que tienen r1 y r2 unidades en la diagonal principal, respectivamente, y los demás elementos son iguales a 0. Entonces A B = P1 R 1 Q 1P2 R 2 Q 2 y el rango de A B es igual al rango de R 1 C R 2, donde C = Q 1P2 es una matriz no singular, la matriz R 1 C R 2 se obtiene de la matriz C sustituyendo todos los elementos de las últimas n ± r1 filas y n ± r2 columnas por ceros. Como la eliminación de una fila o una columna rebaja el rango de la matriz no más que en una unidad, el rango de R 1 C R 2 no es menor que n ± (n ± r1) ± (n ± r2) = r1 + r2 ± n. ’ EJ E M P L O 3.2.7 Demostrar que si A 2 = I, entonces Rang(I + A) + Rang(I ± A) = n, donde n es el orden de la matriz A. SO L U C I O N Sea Rang(I + A) = r1, Rang(I ± A) = r2. Como (I + A) + (I ± A) = 2I, se tiene r1 + r2 t n. Por otra parte, (I + A)(I ± A) = O, por lo cual 0 t r1 + r2 ± n. Por consiguiente, r1 + r2 = n. ’ EJ E M P L O 3.2.8 Sea A una matriz rectangular de elementos complejos y sea A + la matriz transpuesta de la matriz compleja conjugada de A. Demostrar que el determinante de la matriz A + A es un número real no negativo y que este determinante es igual a 0, si y sólo si, ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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el rango de A es menor que el número de columnas. SO L U C I O N El determinante de A + A es igual a la suma de los cuadrados de los módulos de todos los menores de orden m de la matriz A, donde m es el número de columnas de la matriz A. ’

PR O B L E M AS 3.2.1 Demuestre que cualquier matriz de rango r puede representar en forma de una suma de r matrices de rango 1, pero no se puede representar en forma de una suma inferior a r de semejantes matrices. 3.2.2 Demuestre que si el rango de la matriz A es igual a r, el menor d que se encuentra en la intersección de cualesquiera r filas linealmente independientes y r columnas linealmente independientes de esta matriz, es diferente de cero. 3.2.3 Demuestre que el rango de una matriz antisimétrica es un número par. 3.2.4 Encuentre una matriz involutoria de 3 x 3, para la cual Rang(I ± A) + Rang(I + A) = 3. 3.2.5 Calcular el rango de la matriz: 0 116 39 0 · § 75 ¨ ¸ 171 69 402 123 45 ¸ a.- ¨ ; ¨ 301 0 87 417 169 ¸ ¨ ¸ 30 ¹ ©114 46 268 82 §1 ¨ ¨0 b.- ¨ 0 ¨ ¨1 ¨4 © §1 ¨ ¨ 2 c.- ¨ 2 ¨ ¨ 6 ¨ 1 ©

0 1 0 2 5

0 1 4· ¸ 0 2 5¸ 1 3 6 ¸; ¸ 3 14 32 ¸ 6 32 77 ¸¹

2 3 1 1 1 1 0 2 5 8 4 3 0 1 2 7 1 1 1 2

2 · ¸ 2 ¸ 1 ¸ . ¸ 5 ¸ 1 ¸¹

3.2.6 Para cualquier matriz B con elementos reales o complejos todos los menores principales de la matriz A = B B + son no negativos y el rango de A es igual al rango de B. 3.2.7 Dé un ejemplo de matrices A y B del mismo orden tales que cumplan lo siguiente: a.- Rang(A + B) < Rang(A) y Rang(A + B) < Rang(B); b.- Rang(A + B) = Rang(A) y Rang(A + B) = Rang(B); c.- Rang(A + B) > Rang(A) y Rang(A + B) > Rang(B). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

3.2.8 Calcular el rango de la matriz: § 2 1 1 3 4 · ¨ ¸ ¨ 2 1 2 1 2 ¸ ¨ 2 3 1 2 2 ¸ a.- ¨ ¸; ¨ 1 0 1 2 6 ¸ ¨ 1 2 1 1 0 ¸ ¨¨ ¸¸ © 4 1 3 1 8 ¹ § 1 1 2 ¨ ¨ 0 1 1 ¨ 1 0 1 b.- ¨ ¨ 1 1 0 ¨2 0 0 ¨¨ © 1 1 0

0 0 2 0 0 2 0 1 1 1 1 1

§ 0 4 10 1 · ¨ ¸ 4 8 18 7 ¸ c.- ¨ ; ¨10 18 40 17 ¸ ¨ ¸ © 1 7 17 3 ¹

1· ¸ 1¸ 1¸ ¸; 2¸ 1¸ ¸ 2 ¸¹ §1 ¨ ¨ 3 ¨ 2 d.- ¨ ¨ 2 ¨7 ¨¨ © 4

3 6 8 6 9 2 5 8 0 4 6 3 0 1 9 3 8 9

0· ¸ 1¸ 0¸ ¸; 5¸ 3¸ ¸ 1 ¸¹

4 · § 1 1 2 3 ¨ ¸ 0 ¸ ¨ 2 1 1 2 e.- ¨ 1 2 1 1 3 ¸. ¨ ¸ ¨ 1 5 8 5 12 ¸ ¨ 3 7 8 9 13 ¸ © ¹

3.2.9 Demuestre que el rango de la suma de dos matrices no es superior a la suma de los rangos de las matrices que se suman, es decir Rang(A + B) d Rang(A) + Rang(B). 3.2.10 Demuestre que si una matriz está compuesta de m filas y su rango es r, cualesquiera s de sus filas forman una matriz, cuyo rango no es inferior a r + s - m. 3.2.11 Encuentre matrices A y B de 3 x 3 tales que A B = O y Rang(A) + Rang(B) d 3, con la particularidad de que para cualquier matriz dada A puede elegirse la matriz B de manera tal que Rang(A) + Rang(B) = k, donde k es cualquier número entero que satisface la condición Rang(A) d k d 3. JOE GARCIA ARCOS

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3.2.12 Determine el rango de la matriz real dada para los distintos valores del parámetro k  ƒ: § k 2k  1 3 1 · § k 0 1 1· ¨ ¸ ¨ ¸ 1 1 1 1¸ 1 2 0 2¸ a.- ¨ ; b.- ¨ ; ¨0 ¨ 0 3 2 0 ¸ 1 0 1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 5 3 k¹ ©3 ©1 k 3 k ¹ k 1 2 · 1 1 k · §1 § 1 ¨ ¸ ¨ ¸ c.- ¨ 2 1 k 5 ¸ ; d.- ¨ 2 2k 2 ¸; ¨ 1 10 6 1 ¸ ¨3 k 3 3 ¸¹ © ¹ © §1  k 2 k 0 · ¨ ¸ 2 k ¸ ; e.- ¨  k 1  k ¨ 2¸ ¨ 0 ¸  k 1  k © ¹

3.2.13 Demuestre que cualquier matriz A de rango r puede representarse en forma de un producto A = PR Q, donde P y Q son matrices no singulares y R es una matriz rectangular de las mismas dimensiones que A, en cuya diagonal principal los primeros r elementos son iguales a la unidad, mientras que todos los demás elementos son nulos.

§ k 1 2· ¨ ¸ f.- ¨ 2 k 2 ¸ . ¨1 k 1¸ © ¹

3.3 I N V E RSA D E UN A M A T RI Z En esta sección se introduce la terminología básica y se define la inversa de una matriz cuadrada, enunciamos sus propiedades mas importantes.  

El determinante de una matriz se relaciona de manera importante con el concepto de no singularidad de una matriz. D E F I N I C I O N 3.3.1 Sea A una matriz cuadrada de n x n, si existe una matriz B de n x n tal que A B = I se considera que B es una inversa por la derecha de A. Si existe una matriz C de n x n tal que C A = I se dice que C es una inversa por la izquierda de A. D E F I N I C I O N 3.3.2 Sea A una matriz de n x n. Si B es una matriz de n x n tal que A B = I y B A = I, donde I es la matriz identidad de n x n, entonces se dice que la matriz B es una inversa de la matriz A y se representa por B = A -1. Además podemos decir que toda matriz cuadrada A de n x n se denomina singular, si su determinante es igual a cero; en caso contrario, se denomina no singular. T E O R E M A 3.3.1 Si una matriz A de n x n tiene inversa, entonces ella es única. D E M OST R A C I O N Supongamos que B y C son matrices inversas de la matriz cuadrada A. Entonces A B = B A = I y A C = C A = I. Entonces B = B I = B(A C) = (B A)C = I C = C. Con esto demostramos que la inversa de una matriz es única. EJ E M P L O 3.3.1 Sean A y B matrices de n x n tales que A B = I. Demuestre que Det(A) z 0 y Det(B) z 0. SO L U C I O N Suponga que A y B son matrices de n x n tales que A B = I. Entonces, se sabe que Det(A B) = 1. Si Det(A) = 0, entonces se concluye que Det(A B) = Det(A)Det(B) = 0, lo cual es una contradicción. Por consiguiente es posible concluir que Det(A) z 0. Si

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Det(B) = 0, se obtiene una contradicción semejante. ’ EJ E M P L O 3.3.2 Para toda matriz A de n x n, no singular se cumple que 1 . Det( A -1 ) = Det( A ) SO L U C I O N Como A -1 A = I, se concluye que Det(A -1 A) = Det(I). Por consiguiente, se debe tener que Det(A -1)Det(A) = 1. Como Det(A) = 0, la demostración puede completarse dividiendo entre Det(A), es decir 1 . ’ Det( A -1 ) = Det( A ) T E O R E M A 3.3.2 Si A y B son matrices no singulares, entonces: a.- A B es no singular y (A B)-1 = B -1 A -1. b.- A -1 es no singular y (A -1)-1 = A. c.- Para k z 0, k A es no singular y (k A)-1 = k-1 A -1. D E M OST R A C I O N a.- Como A y B son matrices no singulares, existen A -1 y B -1. Ahora calculamos (A B)(B -1 A -1) = A(BB -1)A -1 = A I A -1 = A A -1 = I (B -1 A -1)(A B) = B -1(A -1 A)B = B -1 IB = B -1 B = I -1 -1 Por lo tanto B A es la inversa de A B. b.- De la definición de matriz inversa y la unicidad se sigue que (A -1)-1 = A. c.- Por las propiedades de las matrices, obtenemos (k-1 A -1)(k A) = (k-1k)A -1 A = 1I = I (k A)(k-1 A -1) = (kk-1)A A -1 = 1I = I con lo que podemos decir que (k A)-1 = k-1 A -1. EJ E M P L O 3.3.3 Dadas las matrices A y B de n x n. Demuestre que (A T B T)-1 = (A -1 B -1)T, donde A y B son matrices no singulares. SO L U C I O N Si A y B son matrices no singulares, entonces: (A T B T)(A -1 B -1)T = A T B T(B -1)T(A -1)T = A T B T(B T)-1(A T)-1 = A T(A T)-1 = I (A -1 B -1)T(A T B T) = (B -1)T(A -1)T A T B T = (B T)-1(A T)-1 A T B T = (B T)-1 B T = I y, por tanto (A -1 B -1)T es la inversa de la matriz A T B T. ’ T E O R E M A 3.3.3 Si A = A 1 A 2 ... A n y A 1, A 2, ..., A n son todas matrices no singulares, entonces A es no singular y A -1 = (A 1 A 2 ... A n)-1 = A -1n ... A -12 A -11. D E M OST R A C I O N En el producto (A -11 ... A -12 A -11)(A 1 A 2 ... A n) = A -1n ... A -12 A -11 A 1 A 2 ... A n -1 como A i A i = I, entonces (A -1n ... A -12 A -11)(A 1 A 2 ... A n) = A -1n ... A -12 I A 2 ... A n = A -1n ... A -12 A 2 ... A n = A -1n ... I ... A n = A -1n ... A n « I. Del mismo modo demostramos que (A 1 A 2 ... A n)(A -1n ... A -12 A -11) = A 1 A 2 ... A n A -1n ... A -12 A -11 = A 1 A 2 ... I... A -12 A -11 = A 1 ... A -11 ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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= ... = I. Con lo cual queda demostrado que los dos productos son inversos uno del otro. T E O R E M A 3.3.4 Para toda matriz A de n x n, no singular se cumple que 1 . Det( A -1 ) = Det( A ) D E M OST R A C I O N Como A -1 A = I, se concluye que Det(A -1 A) = Det(I). Por consiguiente, se debe tener que Det(A -1)Det(A) = 1. Como Det(A) = 0, la demostración puede completarse dividiendo entre Det(A), es decir 1 . Det( A -1 ) = Det( A ) EJ E M P L O 3.3.4 Si A y B son matrices de n x n con B no singular, demuestre que Det(A) = Det(B -1 A B). SO L U C I O N Haciendo uso de la propiedad del producto de determinantes, tenemos Det(B -1 A B) = Det(B -1)Det(A)Det(B) = Det(A)Det(B -1)Det(B) 1 = Det(A) Det(B) = Det(A). ’ Det( B ) EJ E M P L O 3.3.5 Demuestre que el rango del producto a la derecha y a la izquierda de una matriz A por una matriz cuadrada no singular B, es igual al rango de la matriz A. SO L U C I O N Sea A B = C. Sabemos que el rango de la matriz C no es mayor que el rango de la matriz A. Por otra parte, multiplicando a la derecha la igualdad A B = C por B -1, llegamos a la igualdad A = C B -1 y, por consiguiente, el rango de A no es mayor que el rango de C. Comparando estos dos resultados obtenemos la coincidencia de los rangos de las matrices A y C. ’ EJ E M P L O 3.3.6 Demuestre que si A es una matriz de rango 1, por lo menos una de las matrices I + A y I ± A es no singular. SO L U C I O N Sea la matriz A con Rang(A) = 1: § a11 a12 ... a1n · ¨ ¸ 0 0 ... 0 ¸ A ¨ . ¨ ... ... ... ¸ ¨ ¸ 0 ... 0 ¹ © 0 Entonces §1  a11 a12 ... a1n · ¨ ¸ 0 1 ... 0 ¸ I+A ¨ . ¨ ... ... ... ¸ ¨ ¸ 0 ... 1 ¹ © 0 Como la matriz I + A es triangular, entonces Det(I + A) = 1 + a11 z 0, por lo tanto la matriz I + A es no singular. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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T E O R E M A 3.3.5 Sean A y B matrices no singulares y conmutativas, entonces: A -m B -n = B -n A -m  m, n  . D E M OST R A C I O N Si A B = B A, entonces A B ± B A = O. Ya que B es no singular, B -1 existe, y, por tanto B -1 A B = A -1 B A = A Además B -1 A B B -1 = A B -1. De la misma manera, puede encontrase que A -1 B = B A -1. De donde deducimos fácilmente que A -m B -n = B -n A -m. T E O R E M A 3.3.6 Sea T una matriz triangular no singular; su inversa es triangular con la misma estructura. D E M OST R A C I O N Sea T triangular inferior; su inversa T -1 cumplirá T T -1 = T -1 T = I ya que I al ser diagonal es triangular inferior, T -1 debe ser, asimismo, triangular inferior. Los elementos de T -1 pueden calcularse con facilidad planteando el sistema asociado al producto T T -1. En efecto se tendrá ¦ tik t 1kj dij k

la suma sólo tendrá sentido para los términos en los cuales i t k t j; luego t

¦ tik t 1kj

k j

d ij .

D E F IN I C I O N 3.3.3 Una matriz A de orden n, se llama ortogonal cuando el producto de la matriz A por su matriz transpuesta A T es la matriz identidad I, es decir A A T = I. E J E M P L O 3.3.7 Demostrar que el determinante de una matriz ortogonal es igual a ± 1. SO L U C I O N Si A es una matriz ortogonal, entonces por definición A T = A -1, por tanto T T T 2 ­ ° A A = I Ÿ Det( A A ) = Det( I ) Ÿ Det( A )Det( A ) = 1 Ÿ [Det( A )] = 1 . ® T T T 2 ° ¯ A A = I Ÿ Det( A A ) = Det( I ) Ÿ Det( A )Det( A ) = 1 Ÿ [Det( A )] = 1 De esto podemos concluir que Det(A) = ± 1. ’ D E F IN I C I O N 3.3.4 Una matriz A de orden n, se llama unitaria cuando el producto de la matriz A por su matriz transpuesta ± conjugada A + es la matriz identidad I, es decir A A + = I. EJ E M P L O 3.3.8 Demuestre que el determinante de una matriz unitaria tiene módulo igual a ± 1. SO L U C I O N Si A es una matriz unitaria, entonces por definición A + = A -1, por tanto ­ A A + = I Ÿ Det( A A + ) = Det( I ) Ÿ Det( A )Det( A + ) = 1 Ÿ Det( A ) 2 = 1 ° . ® + + + 2 ° ¯ A A = I Ÿ Det( A A ) = Det( I ) Ÿ Det( A )Det( A ) = 1 Ÿ Det( A ) = 1 De esto podemos concluir que el módulo del determinante de la matriz A es igual a ± 1. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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EJ E M P L O 3.3.9 Demuestre que la inversa de una matriz es única. SO L U C I O N Supongamos que B y C son matrices inversas de la matriz cuadrada A. Entonces A B = B A = I y A C = C A = I. Entonces B = B I = B(A C) = (B A)C = I C = C. Con esto se demuestra que la inversa de una matriz es única. ’ EJ E M P L O 3.3.10 Si A es una matriz no singular y k z 0 es un escalar, entonces 1 1 ( k A )1 A . k SO L U C I O N Aplicamos las propiedades de la multiplicación escalar. Debido a que §1 · § 1· §1 · §1 · ( k A ) ¨ A 1 ¸ ¨ k ˜ ¸ A A -1 = 1˜ I = I y ¨ A 1 ¸ ( k A ) ¨ ˜ k ¸ A -1 A = 1 ˜ I = I ©k ¹ © k¹ ©k ¹ ©k ¹ 1 1 se concluye que A es la inversa de k A. ’ k EJ E M P L O 3.3.11 Si A y B son matrices no singulares de n x n, entonces A B es no singular y (A B)-1 = B -1 A -1. SO L U C I O N Para demostrar que B -1 A -1 es la inversa de A B, basta demostrar que se ajusta a la definición de matriz inversa. Es decir: -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ­ °( A B )( B A ) = A ( B B ) A = A I A = ( A I ) A = A A = I ® -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ° ¯ ( B A )( A B ) = B ( A A ) B = B I B = B ( I B ) = B B = I de esta manera concluimos que A B es no singular y que su inversa es B -1 A -1. ’ EJ E M P L O 3.3.12 Sean A y B matrices de n x n con B no singular. Dé un ejemplo para el que B -1 A B z A. Luego, demuestre que Det(B -1 A B) = Det(A). SO L U C I O N Haciendo 2· §1 2 · §2 1 · § -27 -49 · -1 § -5 -1 B =¨ ¸, B =¨ ¸, A =¨ ¸ , B AB = ¨ ¸. © 3 5¹ © 3 -1¹ © -1 0 ¹ © 16 29 ¹ Det(B -1 A B) = Det(B -1)Det(A)Det(B) = Det(B -1)Det(B)Det(A) 1 = Det(B)Det(A) = Det(A). ’ Det( B ) EJ E M P L O 3.3.13 Suponga que en una hipermatriz cuadrada §A B· M =¨ ¸ © C D¹ una submatriz A es cuadrada y no singular. Demuestre que el determinante de la matriz M cumple la relación Det(M) = Det(A)Det(D ± C A -1 B). SO L U C I O N Representamos la matriz M bajo la forma de un producto § E O ·§ J K · § A B · M = PQ = ¨ ¸¨ ¸=¨ ¸ © F H ¹© O L ¹ © C D ¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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­ Si J = I Ÿ E I = A Ÿ E = A ­ EJ + O = A ° °E K + O L = B -1 ° AK = B Ÿ K = A B ° Ÿ ® ® ° FJ + H O = C ° FI = C Ÿ F = C °¯ F K + H L = D °Si H = I Ÿ C A -1 B + I L = D Ÿ L = D - C A -1 B ¯ Por tanto A -1 B · § A O ·§ I M =¨ ¨ ¸ ¸ © C I ¹ ¨© O D - C A -1 B ¸¹ donde k es el orden de la matriz A, k + r es el orden de la matriz M. Entonces Det(M) = Det(A I ± O C)Det(I(D ± C A -1 B) ± A -1 B O) = Det(A ± O)Det(D ± C A -1 B ± O) = Det(A)Det(D ± C A -1 B). ’

EJ E M P L O 3.3.14 Si Det(A) y Det(B) son números racionales, qué puede decirse respecto a Det(A B) y a Det(C A C -1) si C es no singular. SO L U C I O N r p Sabemos que Det( A ) = y Det( B ) = , entonces s q p r ps + qr Det( A B ) = Det( A )Det( B ) = + = q s qs es también un número racional. De forma análoga, tenemos 1 Det( C A C -1 ) = Det( C )Det( A )Det( C -1 ) = Det( C )Det( A ) = Det( A ) . Det( C ) Por lo tanto, por las hipótesis también es un número racional. ’ EJ E M P L O 3.3.15 Si A y B son matrices no singulares, muestre que Det(A B A -1 B -1) = 1. SO L U C I O N Dado que A y B son matrices no singulares, se cumple lo siguiente: Det( A B A -1 B -1 ) = Det( A )Det( B )Det( A -1 )Det( B -1 ) 1 1 = Det( A )Det( B ) =1. ’ Det( A ) Det( B ) EJ E M P L O 3.3.16 Si Det(A) = 1, demuestre que pueden encontrarse matrices no singulares B y C tales que A = B C B -1 C -1. SO L U C I O N Asumiendo que B y C son matrices no singulares, entonces se cumple lo siguiente: Det( A ) = Det( B C B -1 C -1 ) = Det( B )Det( C )Det( B -1 )Det( C -1 ) 1 1 = Det( B )Det( C ) = 1. Det( B ) Det( C ) De esta manera demostramos que si se pueden encontrar matrices no singulares B y C. ’

PR O B L E M AS 3.3.1 Encuentre dos matrices no singulares A y B de 3 x 3, para las cuales las matrices A B y B A no son semejantes. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

3.3.2 Demuestre que si una matriz A es no singular, para toda matriz B se cumple que Rang(A B) = Rang(B A) = Rang(B). JOE GARCIA ARCOS

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3.3.3 Encuentre dos matrices no singulares A y B de 3 x 3, para las cuales las matrices A B y B A sean semejantes. 3.3.4 Demuestre que al multiplicar la matriz A a la izquierda o a la derecha por una matriz no singular, su rango no varía. 3.3.5 Sea B una matriz de rango 1, es decir B 2 = k B para un cierto número k. Suponiendo que k z -1 demuestre que 1 ( I + B )-1 = I B. 1+ k 3.3.6 Pruebe que una matriz de n x n es no singular sí y sólo si el único vector columna n x 1 que satisface la ecuación matricial A X = O es X = O. 3.3.7 Demuestre que si A es una matriz invertible, entonces A A T y A T A también son invertibles. 3.3.8 Sea A una matriz no singular tal que todos los elementos de A y A -1 son enteros. Demuestre que Det(A) = r 1. 3.3.9 Sean A y B matrices de 2 x 2 con B no singular. Dé un ejemplo de matrices 2 x 2 para el que B -1 A B z A. Luego, demuestre que Det(P-1 AP) = Det(A). 3.3.10 De ser posible, encuentre los valores de a , b y c para que la matriz dada sea invertible: 3 1· 1 4· §a b § 2a ¨ ¸ ¨ ¸ a.- ¨ 1 a  b c ¸ ; b.- ¨ 2 b  c a ¸ ; ¨ 3 ¨ 1 2 1 ¸¹ 3 1¸¹ © © 4 a  c· § 1 ¨ ¸ c.- ¨ a  c b 0 ¸; ¨ 2 3 1 ¸¹ ©

1 1· §2 ¨ ¸ d.- ¨ 3 a  b  c a ¸ . ¨2 0 c ¸¹ ©

3.3.15 El rango de una matriz no necesariamente cuadrada, no cambia si se le multiplica por una matriz no singular. 3.3.16 Sea A = B C una matriz de n x n de rango 1. Demuestre que existe un número k tal que A 2 = k A. Hallar la expresión del número k por medio de los elementos de matrices B y C. 3.3.17 Demuestre que si A B C = I, entonces B C A = I y C A B = I. 3.3.16 Pruebe que si A y B son matrices de n x n y A B es no8singular, entonces A y B son no singulares. 3.3.19 Sean A y B matrices de n x n tales que A B es singular. Demuestre que A o B es singular. 3.3.20 Pruebe que si A es una matriz de n x n y una fila de A es múltiplo de otra fila de A, entonces A es singular. 3.3.21 Demuestre que si A es una matriz simétrica invertible, entonces A -1 es simétrica. 3.3.22 Por medio de inducción matemática pruebe que, si una matriz cuadrada A es no singular, entonces (A n)-1 = (A -1)n para todo entero positivo n. 3.3.23 Suponga que todas las matrices que aparecen en las ecuaciones siguientes son de n x n. Resuelva para X y Y, estableciendo cuáles matrices se supone que son no singulares: ­X + Y = A ­ X+Y=A a.- ® ; b.- ® ; ¯X-Y=B ¯X + BY = C ­X + AY = B c.- ® ; ¯X + CY = D

­AX + BY = C d.- ® . ¯DX + E Y = F

3.3.11 Suponiendo que las matrices A y B son no singulares, demuestre las siguientes igualdades: a.- (A -1 + B -1)-1 = A(A + B)-1 B; b.- (I + A B)-1 A = A(I + B A)-1; c.- (A + B B T)-1 B = A -1 B(I + B T A -1 B)-1.

3.3.24 Demuestre que B es una inversa izquierda para la matriz A si y sólo si B T es inversa derecha para A T.

3.3.12 De ser posible, encuentre la inversa de la matriz dada: SenT CosT 0· § ¨ ¸ SenT 0¸ . ¨  CosT ¨ SenT  CosT SenT  CosT 1 ¸ © ¹

3.3.26 Si A, B y C son no singulares, ¿cuál es la inversa de A B -1 C? ¿es A 2 no singular? ¿es A + B no singular? Mostrar que A -1(A + B)B -1 = A -1 + B -1.

3.3.13 Encuentre dos matrices no singulares cuya suma sea singular. 3.3.14 Demuestre que si A es nilpotente, entonces A es singular. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

3.3.25 Demuestre que si A 2 = A, entonces A = I o bien A es singular.

3.3.27 Suponga que A es no singular. Explique por qué A T A también es no singular. Luego demuestre que A -1 = (A T A)-1 A T. 3.3.28 Suponga que P es no singular y A = PBP-1. Despeje B en términos de A. 3.3.29 Si A = B y A -1 existe, ¿es necesario que A -1 = B -1? JOE GARCIA ARCOS

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3.3.30 Hallar todos los valores de k que, al multiplicar la matriz no singular A por los mismos, no cambian su determinante.

3.3.38 Suponga que A, B y C son matrices no singulares de orden n. Demuestre que A B C es no singular y que (A B C)-1 = C -1 B -1 A -1.

3.3.31 En cada una de las matrices siguientes, determínense los valores de t para los que la matriz es singular: §1 t · § Sent Cost · a.- ¨ ¸ ; b.- ¨ ¸; © 0 1¹ ©  Cost Sent ¹ §3  t t2 · 1 · §2 t c.- ¨¨ ¸¸ ; d.- ¨ ¸; 2t¹ © 2 1 t ¹ © 4

3.3.39 Suponga que A es una matriz cuadrada con A = -A T y que I - A es no singular, define B como B = (I + A)(I - A)-1. Demuestre que B T B = BB T = I.

§ te t e  t · e.- ¨ ¸ ; f.¨ 2e 2t 2t ¸ © ¹ 2 § Sen t 1 · g.- ¨ ¸. ¨ 1 4 Cos 2 t ¸¹ ©

§ et ¨ ¨ 2e t ©

3e 2t · ¸; 4e 2t ¸¹

3.3.40 Demostrar que una matriz A no singular y una matriz B arbitraria verifican la identidad (A + B)A -1(A ± B) = (A ± B)A -1(A + B). 3.3.41 Las matrices A y B están ligados por la relación A B + A + I = O. Demostrar que A es una matriz no singular y además A -1 = - I ± B. 3.3.42 Sean A, B y A + B tres matrices no singulares. Demuestre que A -1 + B -1 es no singular y que (A -1 + B -1)-1 = A(A + B)-1 B.

3.3.32 Encuentre los valores del parámetro k, para que la matriz §§ k  2· § k  2· § k  2·· ¨¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¸ ¨© k  4¹ © k  3¹ © k  2¹¸ ¨ § k 1 · § k 1· § k 1 · ¸ ¨¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¸ ¨ © k  4 ¹ © k  3¹ © k  2 ¹ ¸ ¨ ¸ ¨§ k · § k · § k ·¸ ¨ ¨ k  4 ¸ ¨ k  3¸ ¨ k  2 ¸ ¸ ¹ © ¹ © ¹¹ ©© Sea no singular. 3.3.33 Si §a b· ¨ ¸ y A z r I, ©c d¹ determine las condiciones sobre los elementos de la matriz, para que A = A -1. A

3.3.43 Dada la matriz A, de ser posible encuentre una matriz B de 2 x 2, tales que (A B)-1 = A -1 B -1: § 1 2· §1 0 · a.- A ¨ ¸ ; b.- A ¨ ¸; © 1 1 ¹ © 0 1¹ c.- A e.- A

§ 1 1· ¨ ¸; © 1 1¹ § 2i 1 · ¨ ¸. © 1 2¹

d.- A

§  i 1· ¨ ¸; © 1 i¹

3.3.44 Sean A = B + i C una matriz compleja de n x n; A -1 = F + i G, la inversa de la matriz A. Demuestre que las matrices reales de orden 2n § B -C · § F -G · ¨ ¸ y ¨ ¸ ©C B ¹ ©G F ¹ son inversas recíprocamente.

§ 1 3 · ¨ ¸ . Hallar una matriz B triangular © 2 4 ¹ superior tal que A B sea ortogonal.

3.3.45 Si C es una matriz no singular, entonces se cumple lo siguiente: a.- Si A C = B C, entonces A = B; b.- Si C A = C B, entonces A = B.

§2 5· ¨ ¸ 3.3.35 Sea A ¨ 1 3 ¸ y sea C ¨2 4¸ © ¹ Compruebe que C A = I. ¿A es no singular?

3.3.46 Sea u un vector unitario en C n. Se define H = I ± 2uu+. Demuestre que H es una matriz unitaria y hermítica de n x n.

3.3.34 Sea A

§1 3 1 · ¨ ¸. ©1 0 1¹

3.3.36 Si A y B son matrices de 2 x 2 y B = C A C , en donde C es de 2 x 2, demuestre que es posible encontrar una matriz D de 2 x 2 tal que B = D A D -1.

3.3.47 De ser posible, encuentre D tal que la matriz § 3 D· A ¨ ¸. © 2 3 ¹ sea su propia inversa.

3.3.37 Demuéstrese que si A es una matriz de n x n, nilpotente de índice k, entonces I ± A es invertible y ( I - A )-1 = I + A + A 2 +... + A k -1 .

3.3.48 Las matrices A y B están ligadas por la relación A B + A + I = O. Demuestre que A es una matriz no singular y además A -1 = - I ± B.

-1

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§B O· 3.3.49 Sea A = ¨ ¸ , donde B y C son matrices ©O C¹ cuadradas. Demuestre que A es no singular sí y sólo si tanto B como C son no singulares.

3.3.59 Sea A una matriz de n x n cuyos todos los elementos son iguales a uno. Demuestre que 1 ( I - A )-1 = I  A. n 1

3.3.50 Suponga que A n = O para alguna n > 1. Encuentre un inverso de I ± A.

3.3.60 Hallar la inversa de una matriz A de k + r: B· §I A =¨ k ¸. © O Ir ¹

3.3.51 Demuestre que si A 2 = A, entonces I ± 2A = (I ± 2A)-1. 3.3.52 Resuelva la ecuación A B = B C para A, suponiendo que A, B y C son matrices cuadradas y que B es no singular. 3.3.53 Demuestre que si una matriz A es no singular, las matrices A + B y I + A -1 B todas son singulares o no singulares. 3.3.54 Use álgebra de matrices para demostrar que si A es una matriz no singular y C satisface A C = I, entonces C = A -1. 3.3.55 Suponga que A B = A C, donde B y C son matrices de n x p y A es no singular. Demuestre que B = C. ¿Es esto cierto en general si A es singular? 3.3.56 Suponga que A, B y C son matrices no singulares de n x n. Construyendo una matriz D tal que (A B C)D = I y D(A B C) = I, demuestre que A B C también es no singular. 3.3.57 Encuentre D tal que la matriz A sea no singular: §3 1 · A ¨ ¸. © D 1¹ 3.3.58 Encuentre la matriz A dado que § 5 2· (3 A )1 ¨ ¸. © 1 3 ¹

3.3.61 Demuestre que si A es triangular superior y no singular y si B A es triangular superior, entonces B es triangular superior. §B O· 3.3.62 Demuéstrese que, si A = ¨ ¸ es matriz no ©C D¹ singular y si B y D son matrices cuadradas, entonces B y D son no singulares, y § B -1 O · A -1 = ¨ ¸. ¨ - D -1 C B -1 D -1 ¸ © ¹

3.3.63 Resuelva la ecuación C -1(A + D)B -1 = I para D, suponiendo que A, B y C son todas matrices no singulares de n x n. 3.3.66 Suponga que A y B son matrices de n x n, B es no singu4ar y A B es no singular. Demuestre que A es no singular. 3.3.65 Suponga (B ± C)A = O, donde B y C son matrices m x n y A es no singular. Demuestre que B = C. 3.3.66 Demuestre que si A, B y C son matrices de n x n y A B C = I, entonces B es no singular y B -1 = C A. 3.3.67 Demuestre que (B A B -1)(B C B -1) = B(A C)B -1 para todas las matrices A, C y B no singular.

3.4 M E T O D OS P A R A O B T E N E R L A I N V E RSA D E UN A M A T RI Z En esta sección se analizan y desarrollan los métodos más importantes para encontrar la inversa de una matriz, se enuncian las propiedades más importantes.  

I. M E T O D O D E L A M A T RI Z A DJUN T A A continuación obtendremos una fórmula para determinar la inversa de una matriz en términos de su determinante y de los cofactores de sus elementos. D E F IN I C I O N 3.4.1 Una matriz Cof(A), cuyos elementos son complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz A de n-ésimo orden, donde el complemento algebraico del elemento a ij está situado en la intersección de

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la j-ésima fila y la i-ésima columna, se define como la matriz de cofactores de la matriz A. EJ E M P L O 3.4.1 Dada la matriz §a 1 1 · ¨ ¸ A = ¨ 1 a 1¸ ¨3 1 b ¸ © ¹

determine la matriz de cofactores. SO L U C I O N Por definición, la matriz de cofactores esta dada de la siguiente manera: § a 1 1 1 1 a ·  ¨ ¸ 3 b 3 1 ¸ ¨ 1 b § ab  1 b  3 1  3a · ¨ 1 1 a 1 a 1¸ ¨ ¸ ¨ ¸  Cof(A) =  = ¨ 1  b ab  3 3  a ¸ . ’ 3 b 3 1¸ ¨ ¨ 1 b ¸ 1  a a  1 a 2  1¹ ¨ ¸ a 1 a 1 ¸ © ¨ 1 1 ¨ a 1  1 1 1 a ¸¹ © D E F IN I C I O N 3.4.2 La transpuesta de la matriz de cofactores Cof(A) de los elementos a ij de la matriz A se denomina matriz adjunta y se denota por Adj(A). T E O R E M A 3.4.1 Si A es una matriz con determinante diferente de cero y Adj(A) es la matriz adjunta, entonces Adj( A ) . A 1 Det( A ) D E M OST R A C I O N Sea Det(A) = 0. Demostraremos por inducción que la matriz A es singular. Si n = 1, entonces Det(A) = 0 implica que A = O. Supongamos que este teorema sea válido para todas las matrices cuadradas de n ± 1 x n ± 1, es decir, que para una matriz de este orden un determinante cero implica singularidad, y supongamos que esto no se verifique para la matriz A, es decir, que A sea no singular a pesar de nuestra hipótesis de que Det(A) = 0. Obtendremos una contradicción. Si Det(A) = 0, entonces A(Adj(A)) = O, y, por lo tanto resultaría A -1 AAdj(A) = O, es decir Adj(A) = O. En otras palabras, todos los menores de la matriz A serían cero. Sea a continuación B la matriz n ± 1 x n ± 1 que consista en las n ± 1 primeras filas de A. Puesto que toda matriz cuadrada de n ± 1 x n ± 1 compuesta por n ± 1 columnas de B tendrá determinante cero, podemos concluir, por la hipótesis de inducción, que cada una de estas matrices cuadradas de n ± 1 x n ± 1 es singular, es decir, que tiene un rango menor que n ± 1. Por lo tanto, no puede haber en B más que n ± 2 columnas linealmente independientes y por tanto, no más de n ± 2 filas linealmente independientes. De esta manera resulta que las filas de B y las filas de A son linealmente dependientes, lo que contradice la suposición de la no singularidad de A. Este teorema propone que el rango de una matriz cuadrada de n x n será n si y sólo si su determinante es distinto de cero. Esto constituye, de hecho, un caso particular de un hecho más general, acerca del que hay un teorema que relaciona el rango con los determinantes. EJ E M P L O 3.4.2 Demuestre que si Det(A) = 1 y todos los elementos de A son enteros, entonces todos los elementos de A -1 también deben ser enteros. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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SO L U C I O N Suponga que Det(A) = 1 y que todos los elementos de A son enteros. Lo anterior implica que todos los elementos de Adj(A) deben ser enteros. Además, como 1 A -1 = ˜ Adj( A ) = Adj( A ) Det( A ) Podemos concluir que todos los elementos de A -1 deben ser enteros. ’ EJ E M P L O 3.4.3 Demuestre que si Det(A) = Det(B) z 0, entonces hay una matriz C tal que Det(C) = 1 y A = C B. SO L U C I O N Suponga que Det(A) = Det(B) z 0. Entonces B es no singular y al hacer C = A B -1, se concluye que A = C B y 1 1 Det( C ) = Det( A B -1 ) = Det( A )Det( B -1 ) = Det( A ) ˜ = Det( A ) ˜ =1. ’ Det( B ) Det( A ) EJ E M P L O 3.4.4 Si A es una matriz antisimétrica, entonces la matriz Adj( A) es simétrica si n es impar, y antisimétrica si n es par. SO L U C I O N Si A es una matriz antisimétrica. Entonces A T = -A, por tanto (A T)-1 = (A -1)T = -A -1 1 De (A T)-1, tenemos que A -1 = ˜ Adj( A ) , entonces Det( A ) 1 1 1 ( A T )-1 = ˜ (Adj( A ))T = ˜ Adj( A ) = (-1) n ˜ ˜ Adj( A ) = - A -1 T Det(A ) Det( A ) Det( A ) 1 pero - A -1 = (-1) ˜ ˜ (Adj( A ))T , igualando las ecuaciones Det( A ) 1 1 ( A T )-1 = (-1)n ˜ ˜ Adj( A ) y - A -1 = (-1) ˜ ˜ (Adj( A ))T Det( A ) Det( A ) obtenemos 1 1 (-1)n ˜ ˜ Adj( A ) = (-1) ˜ ˜ (Adj( A ))T . Det( A ) Det( A ) Si n es par, entonces n = 2p, y (-1)2p-1Adj(A) = (Adj(A))T Ÿ - Adj(A) = (Adj(A))T, por lo tanto, es antisimétrica. Si n es impar, es decir n = 2p + 1, entonces (-1)2p+1-1Adj(A) = (Adj(A))T Ÿ (-1)2pAdj(A) = (Adj(A))T Ÿ Adj(A) = (Adj(A))T por lo tanto, es simétrica. ’ EJ E M P L O 3.4.5 Dada una matriz A no singular de n x n. Suponga que n t 3. Demostrar que Det(Adj(A)) = (Det(A))n-1. SO L U C I O N Suponga que A es una matriz de n x n. Como Adj(A) = A -1Det(A), se concluye que Det(Adj(A)) = Det(A -1Det(A)) = (Det(A))nDet(A -1) 1 = (Det(A))n = (Det(A))n-1. ’ Det( A ) EJ E M P L O 3.4.6 Demuestre que si A es una matriz no singular de n x n, entonces se cumple que Adj(A -1) = (Adj(A))-1. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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SO L U C I O N Suponga que A es una matriz no singular de n x n. Como Adj(A -1) = ADet(A -1) y 1 (Adj( A ))-1 = ( A -1 ˜ Det( A ))-1 = ˜ A = A ˜ Det( A -1 ) Det( A ) se concluye que Adj(A -1) = (Adj(A))-1. ’ EJ E M P L O 3.4.7 Demuestre que si Det(A) = 1, entonces Adj(Adj(A)) = A. SO L U C I O N Como Det(A) z 0, entonces existe la inversa de A, es decir: Adj( A) Ÿ Adj(A) = (Det(A))A -1 = A -1. A -1 = Det( A) Por lo tanto A Adj(Adj( A )) = Adj( A -1 ) = Det( A -1 )( A -1 )-1 = =A. ’ Det( A ) EJ E M P L O 3.4.8 Hallar la inversa de la matriz §1 § 1 2 -1 · ¨ ¨ ¸ a.- A = ¨ 2 5 4 ¸ ; b.- A = ¨ 1 ¨5 ¨ 3 7 4¸ © © ¹ SO L U C I O N a.- Como Det(A) = 1, entonces: § 5 ¨ ¨ 7 ¨ 2 (Cof( A ))T = ¨ ¨ 3 ¨ ¨ 2 ¨ 3 ©

2 -3 · ¸ -2 1¸ . -2 -3 ¸¹

4 4

-

4 4 5 7

2 7

-1 4

1 -1 3 4 -

1 2 3 7

-1 · ¸ 4 ¸ 1 -1 ¸ ¸ 2 4 ¸ ¸ 1 2 ¸ 2 5 ¸¹ 2 5

Por lo tanto, § -8 -15 13 · ¨ ¸ A =¨ 4 7 -6 ¸ . ¨ -1 -1 1¸ © ¹ b.- Como Det(A) = 0, entonces la matriz A es singular, es decir A no admite inversa. -1

I I. OPE R A C I O N ES E L E M E N T A L ES Usando el método de operaciones elementales, los cálculos se realizan convenientemente en la matriz aumentada más grande, formada combinando las matrices. Para la matriz dada A de n-ésimo orden construimos una matriz rectangular (A~I) de dimensión (n x 2n), añadiendo a la derecha de A una matriz unidad. Luego, haciendo uso de las transformaciones elementales sobre las filas, reducimos la matriz (A~I) a la forma (I~B), lo que es siempre posible, si A es regular. En este caso B = A -1. § a11 a12 ... a1n 1 0 ... 0 · ¨ ¸ ¨ a21 a22 ... a2 n 0 1 ... 0 ¸ . ¨ ... ... ... ... ... ... ¸ ¨¨ ¸¸ © an1 an 2 ... ann 0 0 ... 1 ¹ Cuando hacemos las operaciones elementales de filas para reducir a A en el lado ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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derecho de (I |A) también las hacemos en el lado izquierdo. Por lo tanto, hacemos en I exactamente las operaciones elementales de filas utilizadas para reducir a A. Esto produce una matriz C que es un producto de matrices elementales cada una efectuando una de las operaciones utilizadas para reducir a A. Por lo tanto, sea o no A R = I tenemos C A = A R. Cuando A R = I, C debe ser A -1. T E O R E M A 3.7.3 Sea A una matriz de n x n. Entonces A es no singular si y sólo si Rang(A) = n. D E M OST R A C I O N Consideremos la ecuación A B = I, con B una matriz de incógnitas de n x n que queremos resolver. Si A B = I, la columna c j de A B es igual a la columna c j de I, en la que la última matriz columna tiene un 1 en la fila fj y cero en los demás. Por tanto, la columna c j de B se encuentra con el sistema de ecuaciones A X = C, donde la matriz C tiene un 1 en la fila fj. Ahora supongamos que Rang(A) = n. Entonces el sistema A X = C tiene una única solución. Por lo tanto, podemos encontrar una única matriz B tal que A B = I. Es posible demostrar que también B A = I; por lo tanto B es la inversa de A. Recíprocamente, si A es no singular, el sistema A X = C tiene una única solución para j = 1, 2, ..., n, ya que estas soluciones forman las columnas de A -1. De esta forma podemos concluir que Rang(A) = n. %  ENCUENTRA  LA  INVERSA  DE  UNA  MATRIZ   clc;;clear;;   fprintf('\n  INVERSA  DE  UNA  MATRIZ  \n')   fil=input('  INGRESE  EL  NUMERO  DE  FILAS:    ');;          %Ingreso  de  elementos          fprintf('  INGRESE  LA  MATRIZ  \n')                  for  f=1:fil                          for  c=1:fil                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  A:(%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('\n  LA  MATRIZ  A  ES:\n')          A          end                  fprintf('  LA  MATRIZ  IDENTIDAD  ES:\n')                  I=eye(f,c)          end          fprintf('  LA  MATRIZ  AUMENTADA  ES:\n')                  B=[A,I]          end     fprintf('  LA  MATRIZ  REDUCIDA  ES:\n')                  R=rref(B)     end          if  (det(A)==0)                  fprintf('LA  MATRIZ  NO  ADMITE  INVERSA  \n')                  else                  fprintf('  LA  MATRIZ  INVERSA  ES:\n')                  C=A^(-­1)          end  

 

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EJ E M P L O 3.4.9 Sea A una matriz cuadrada no singular: a.- Si se intercambian dos filas de A, ¿en qué es comparable la inversa de la matriz resultante con A -1; b.- Responda a la pregunta del inciso a) si una fila de A se multiplica por un número k distinto de cero; c.- Responder a la pregunta del inciso a) si la i-ésima fila de A se multiplica por un número k y se suma a la j-ésima fila. JOE GARCIA ARCOS

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SO L U C I O N a.- Si B se obtiene de A al intercambiar las filas i y j, entonces B -1 se obtiene de A -1 al intercambiar las columnas i y j. b.- Si B se obtiene de A al multiplicar la fila i por a z 0, entonces B -1 se obtiene de A -1 al multiplicar la columna i por 1/a. c.- Si B se obtiene de A al sumar k veces la fila i a la fila j, entonces B -1 se obtiene de A -1 al restar k veces la columna j de la columna i. ’ EJ E M P L O 3.4.10 Hallar la inversa de la siguiente matriz: § 2 3 4· ¨ ¸ A = ¨8 2 1¸ . ¨ 0 2 4¸ © ¹ SO L U C I O N Comenzaremos el proceso de operaciones elementales, formando la matriz aumentada: §2 3 4 1 0 0· ¨ ¸ 0 1 0¸ ¨8 2 1 ¨0 2 4 0 0 1 ¸¹ © Luego designamos a la primera fila como fila base y a la segunda fila le restamos cuatro veces la fila base: §2 3 4 1 0 0· ¨ ¸ 0  10  15  4 1 0¸ ¨ ¨0 2 4 0 0 1 ¸¹ © Elegimos la segunda fila como fila base y a la primera fila multiplicada por 10, le sumamos 3 veces la fila base; a la tercera fila multiplicada por 5, le sumamos la fila base: § 20 0 5  2 3 0· ¨ ¸ 4 1 0 ¸ ¨ 0 10 15 ¨0 0 5  4 1 5 ¸¹ © Por último elegimos la tercera fila como fila base. A la primera fila le sumamos la fila base; a la segunda fila le sumamos 3 veces la fila base: § 20 0 0 6 4 5· ¨ ¸ 16 4 15 ¸ ¨ 0 10 0 ¨ 0 0 5  4 1 5 ¸¹ © Dividimos la primera fila para 20, la segunda fila para ±10 y la tercera fila para 5: § 3 1 1 ·  ¨ ¸ 10 5 4 ¸ ¨1 0 0 8 2 3 ¸ ¨   ¸ ¨0 1 0 5 5 2 ¨0 0 1 ¸ 4 1 ¨  1¸¸ ¨ 5 5 © ¹ De esta manera obtenemos la matriz inversa: 1 1 · § 3 ¨  10 5 4 ¸¸ ¨ 8 2 3 A 1 ¨¨   ¸¸ . ’ 5 5 2 ¨ ¸ 1 ¨ 4 ¸ 1 ¨ ¸ 5 © 5 ¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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EJ E M P L O 3.4.11 Demuestre que toda matriz elemental es no singular, y la inversa también es una matriz elemental. SO L U C I O N Si E es una matriz elemental, entonces E se obtiene al efectuar algunas operaciones en las filas de I. Sea E 0 la matriz que se obtiene cuando la inversa de esta operación se efectúa en I. Usando el hecho de que las operaciones inversas en las filas cancelan mutuamente su efecto, se concluye que E 0 E = E E 0 = I. Así, la matriz elemental E 0 es la inversa de E. ’

PR O B L E M AS 3.4.1 Si §a b· ¨ ¸ ©c d¹ demuestre que Adj(Adj(A)) = A.

3.4.11 Determine la inversa de la siguiente matriz: § 1 a 0 ·§ 1 0 0 ·§ 1 0 0 · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ 0 1 0 ¸¨ b 1 0 ¸¨ 0 1 0 ¸ . ¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 c ¸ © ¹© ¹© ¹

3.4.2 Demuestre que si A es una matriz de n x n y Det(A) = 0, entonces Det(Adj(A)) = 0.

3.4.12 Demuestre que si A es una matriz de n x n y Det(A) = 0, entonces Det(Adj(A)) = 0.

3.4.3 Si

3.4.13 Demuestre que si A es una matriz cuadrada de n x n, entonces A(Adj(A)) = (Adj(A))A = I Det(A).

A

§ 1 2 · § 4 2· A ¨ ¸ y B ¨ ¸ 3 1 © ¹ © 3 2 ¹ son matrices no singulares, pruebe que Adj(A B) = (Adj(A))(Adj(B)).

3.4.4 Demuestre que si A es una matriz de n x n, entonces Det(Adj(A)) = (Det(A))n-1. 3.4.5 Demuestre que si A es una matriz no singular de n x n (n t 2) entonces Adj(Adj(A)) = A(Det(A))n-2. 3.4.6 Demuestre que una matriz A es no singular, si y sólo si su Adj(A) también es no singular. 3.4.7 Demuestre que si A es singular, entonces Adj(A) es también singular. 3.4.8 Si A es singular, ¿qué puede decir acerca del producto AAdj(A). 3.4.9 Dada la matriz § 1 -i -1 · ¨ ¸ A =¨4 i -3 ¸ . ¨ -i 1+ i -1 ¸ © ¹ a.- Determine el determinante de A. ¿Es A no singular?; b.- Determine Adj(A) y el producto AAdj(A).

3.4.10 Si A es una matriz de n x n con n t 2, demostrar cada una de las propiedades siguientes de su matriz cofactor: a.- Cof(A T) = (Cof(A))T; b.- (Cof(A))T A = (Det(A))I. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

3.4.14 Demuestre que Adj(k A) = kn-1Adj(A). Para cualquier número k y cualquier matriz A de n x n. 3.4.15 Demuestre que si A y B son matrices no singulares, entonces Adj(A B) = Adj(B)Adj(A). 3.4.16 Encuéntrese la inversa de cada una de las matrices siguientes: § 0 1 0 0 0· §1 1 1 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 1 0 0 0 0¸ ¨0 1 1 1 0¸ a.- ¨ 2 3 0 1 0 ¸ ; b.- ¨ 0 0 1 1 1 ¸ ; ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 1 0 0 0 1¸ ¨0 0 0 1 1¸ ¨ 1 1 1 0 0 ¸ ¨0 0 0 0 1¸ © ¹ © ¹ §1 2 3 4 5· ¨ ¸ ¨0 1 2 3 4¸ c.- ¨ 0 0 1 2 3 ¸ . ¨ ¸ ¨0 0 0 1 2¸ ¨0 0 0 0 1¸ © ¹ 3.4.17 Determine la inversa de las siguientes matrices: 3i i · i 1  i · § 0 § 1 ¨ ¸ ¨ i 1  i ¸¸ ; a.- ¨ 2  i i 1  i ¸ ; b.- ¨ i ¨1  i 1  i 1  i ¸ ¨ i 2  i 4  i ¸¹ © ¹ © i 1  i · § 1 ¨ i 1  i ¸¸ . c.- ¨ i ¨1  i 1  i 1  i ¸ © ¹ JOE GARCIA ARCOS

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3.4.18 Demuestre que si A es una matriz singular, entonces A(Adj(A)) = O.

137 T

T

3.4.19 Demuestre que Adj(A ) = (Adj(A)) .

3.5 C U EST I O N A R I O Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas, indicar por que lo es: 3.5.1 Toda matriz de orden n es equivalente por filas a una matriz reducida por filas.

3.5.15 Toda matriz de orden n es equivalente por filas a una matriz escalonada por filas.

3.5.2 Si A y B son dos matrices de orden m x n. Entonces B es equivalente por filas a A si, y sólo si B = P A, donde P es un producto de matrices elementales de m x m.

3.5.16 El producto de dos matrices de orden n es singular si, y sólo si, por lo menos una de las dos matrices es singular.

3.5.3 Una matriz elemental es no singular.

3.5.17 La suma de dos matrices no singulares de orden n puede ser singular y la suma de dos matrices singulares puede ser no singular.

3.5.4 El rango de una matriz varía con las operaciones elementales. 3.5.5 El rango de una matriz es el orden máximo de sus menores iguales a cero. 3.5.6 Si A es una matriz de orden m x n, entonces el rango de las columnas de A no se altera al someter a A a una operación elemental de filas. 3.5.7 Si A es una matriz de orden m x n, entonces el rango por filas y el rango por columnas de A son diferentes. 3.5.8 Sea A una matriz de orden m x n y sea k un entero positivo. Entonces Rang(A) t k si y sólo si A contiene un subdeterminante distinto de cero de orden k. 3.5.9 El rango del producto de varias matrices no es superior al rango de cada una de las matrices que se multiplican. 3.5.10 Una matriz A de n x n que tiene una inversa a la izquierda o a la derecha es no singular. 3.5.11 La inversa de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior. 3.5.12 Si A es una matriz no singular de n x n y si una sucesión de operaciones elementales de fila reduce A a la matriz identidad I, entonces la misma sucesión de operaciones, cuando se aplica a I, da A -1. 3.5.13 La inversa de una matriz casi diagonal regular D es casi diagonal y es también de la misma estructura que D. 3.5.14 La inversa de una matriz ortogonal es unitaria. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

3.5.18 Si A y B son matrices no singulares, entonces A B es una matriz singular. 3.5.19 Si A y B son matrices de orden n y si A es no singular y B es singular, entonces A B y B A son matrices no singulares. 3.5.20 Las matrices unitarias y las matrices hermíticas son normales. 3.5.21 La inversa de una matriz hermítica no singular es hermítica. 3.5.22 B es una inversa izquierda para la matriz A si y sólo si B T es inversa derecha para A T. 3.5.23 B es una inversa derecha para la matriz A si y sólo si B T es una inversa izquierda para A T. 3.5.24 El producto de matrices singulares es no singular. 3.5.25 Una matriz de números enteros tiene una inversa de números enteros cuando, y sólo cuando, la matriz dada tiene determinante diferente de cero. 3.5.26 Para que una matriz cuadrada A sea ortogonal es necesario y suficiente que su determinante sea igual a r 1 y cada uno de sus elementos sea igual a su cofactor, tomado con su signo si Det(A) = 1 y con el signo opuesto, si Det(A) = -1. 3.5.27 Una matriz cuadrada real A de orden n t 3 es ortogonal si cada uno de sus elementos es igual a su cofactor y por lo menos uno de sus elementos es distinto de cero. JOE GARCIA ARCOS

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RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ

3.5.28 La inversa de una matriz A casi triangular superior regular es una matriz casi triangular superior y además es de la misma estructura que A.

3.5.31 La suma de los cuadrados de todos los menores de segundo orden que yacen en dos filas o columnas de una matriz ortogonal, es igual a cero.

3.5.29 Si A tiene una inversa a la izquierda, B, y una inversa a la derecha, C, entonces B z C.

3.5.22 Para que una matriz diagonal de orden n sea ortogonal, es necesario que al menos un elemento de la diagonal sea igual a cero.

3.5.30 Al multiplicar la matriz A a la izquierda o a la derecha por una matriz no singular, su rango no varía.

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O BJE T I V O Resolver problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas mediante la interpretación, expresión y representación en términos de matrices y determinantes utilizando definiciones propiedades y métodos adecuados para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias aplicadas.

C O N T E NI D O : 4.1 4.2 4.3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES METODOS PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CUESTIONARIO

4.1 SIST E M AS D E E C U A C I O N ES L I N E A L ES En esta sección introduciremos terminología básica, estudiaremos los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales y sus formas de soluciones. Enunciaremos y demostraremos las propiedades más importantes. En el curso de Algebra Lineal la solución del sistema A X = B se expresa, corrientemente, según el método de Cramer como una razón de los determinantes. Dichas fórmulas no sirven para la resolución numérica del sistema A X = B, puesto que requieren el cálculo de n + 1 determinantes, lo que, a su vez, exige un gran número de operaciones aritméticas, hasta n!. Si incluso escogemos el mejor método, para el cálculo de un solo determinante se necesitará aproximadamente tanto tiempo que se requiere para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales por los métodos numéricos modernos. Además, hemos de tener en cuenta, que los cálculos según las fórmulas de Cramer conducen con frecuencia a los grandes errores de redondeo. La peculiaridad de la mayoría de los métodos numéricos para A X = B consiste en que se abandona la idea de buscar la matriz inversa. El requisito principal que se levanta ante el método de resolución es el mínimo de operaciones aritméticas suficientes para la búsqueda de una solución aproximada con la precisión prefijada. Los métodos directos permiten obtener, después de un número finito de operaciones, una solución exacta del sistema de ecuaciones lineales, siempre que la información de entrada viene dada con toda la exactitud y los cálculos se realizan sin redondeo. El método iterativo permite hallar la solución aproximada del sistema construyendo una sucesión de aproximaciones, a partir de cierta aproximación inicial. La propia solución aproximada es el resultado de los cálculos obtenido después de haberse realizado un número finito de iteraciones.

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Calcular los conjuntos de valores simultáneos de varias incógnitas, que satisfagan a varias ecuaciones; se dice entonces que estas ecuaciones forman un sistema, y cada conjunto de valores que las satisface a todas se llama una solución. Un sistema sin soluciones, se llama inconsistente; y si tiene infinitas soluciones, se llama indeterminado. D E F I N I C I O N 4.1.1 Una ecuación lineal sobre ƒ en n variables es una expresión de la forma: a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b donde los a i, b son números conocidos y los xi son variables. Los a i se denominan coeficientes de los xi respectivos, y b es el término independiente de la ecuación. Las ecuaciones en dos variables se representan geométricamente por una recta; las tres variables por un plano; para más de tres variables no se tienen representación visual, pero los geómetras le llaman hiperplano. Una solución de la ecuación lineal a 1x1 + a 2x2 + ... + a nxn = b es un conjunto ordenado de n valores k1, k2, ..., kn tales que a1k1 + a2k2 + ... + ankn = b. Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables, es una expresión de la forma ­ a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1 ° a x  a x  ...  a x b ° 21 1 22 2 2n n 2 ® ... ° ° ¯ am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn bm donde los a ij y los bi pertenecen a los números reales. El primer subíndice en los coeficientes indica el número de la ecuación, y el segundo, el número de la variable. Para un sistema de m ecuaciones lineales en n variables xi, i = 1, 2, ..., n, el conjunto solución S es el subconjunto de ƒn definido por S = S1 ˆ S2 ˆ ... ˆ Sm donde Si es el conjunto solución de la i-ésima ecuación, i = 1, 2, ..., m. Si m = n = 2, se tienen dos ecuaciones en las dos incógnitas x e y ­ a11 x  a12 y b1 ® ¯ a21 x  a22 y b2 si se interpretan x, y como coordenadas en el plano xy, entonces cada una de las dos ecuaciones representa una recta y (x, y) es una solución si, y sólo si, el punto P(x, y) se encuentra sobre ambas rectas. De aquí que se tienen tres casos posibles: 1.- ninguna solución si las rectas son paralelas; 2.- precisamente una solución si se interceptan; 3.- un número infinito de soluciones si coinciden. Nos formaremos ciertas ideas de las complicaciones que pueden surgir considerando el caso de tres ecuaciones con tres incógnitas. Cada una de esas ecuaciones representa un plano en el espacio, y el determinante de los coeficientes se anula si: 1.- dos cualesquiera de los tres planos son coincidentes o paralelos. 2.- la recta de intersección de dos de los planos pertenece o es paralela al tercer plano.

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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Toda solución del sistema de ecuaciones corresponde a un punto situado en los tres planos. En los casos 1) y 2) no existe punto alguno que esté en los tres planos, o bien hay infinitos. En particular, hay infinitas soluciones si los tres planos se cortan a lo largo de una misma recta. El conjunto de todas las soluciones a un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de conjunto solución del sistema. Una solución del sistema de ecuaciones lineales ­ a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1 ° a x  a x  ...  a x b ° 21 1 22 2 2n n 2 ® ... ° ° ¯ am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn bm es un conjunto ordenado de n valores k1, k2, ..., kn tales que ­ a11 k1  a12 k 2  ...  a1n k n b1 ° a k  a k  ...  a k b ° 21 1 22 2 2n n 2 ® ... ° ° ¯ am1 k1  am 2 k 2  ...  amn k n bm Para cualesquiera sistemas de ecuaciones lineales, se presentan tres tipos de conjunto solución: 1.- Un conjunto solución que contiene solamente un elemento. Se dice que el sistema tiene solución única y se denomina sistema compatible determinado; 2.- Un conjunto solución que contiene más de un elemento. En este caso se dice que el sistema tiene más de una solución y se denomina sistema compatible indeterminado; 3.- Un conjunto solución vacío. Se dice que el sistema no tiene solución y se denomina sistema incompatible. D E F I N I C I O N 4.1.2 Se llama sistema de m ecuaciones homogéneas y n incógnitas, al sistema ­ a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1 ° a x  a x  ...  a x b ° 21 1 22 2 2n n 2 ® ... ° ° ¯ am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn bm siempre que b1 = b2 = ... = bm = 0, es decir, cuando todos los términos independientes son nulos. Un sistema de este tipo se da a continuación ­ 2x  5 y  z  u 0 ° ® x  7 y  9 z  2u 0 ° x  y  z  5u 0 ¯ D E F I N I C I O N 4.1.3 Se llama sistema de m ecuaciones no homogéneas y n incógnitas, al sistema ­ a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1 ° a x  a x  ...  a x b ° 21 1 22 2 2n n 2 ® ... ° ° ¯ am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn bm siempre que al menos un bi z 0. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de este tipo se da a continuación ­2 x  3 y  z  5u 2 ° ® x  y  z  2u 1 ° x  y  z  5u 0 ¯ D E F IN I C I O N 4.1.4 Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es sobredeterminado si hay más ecuaciones que incógnitas. Se dice que un sistema de ecuaciones lineales está escasamente determinado si hay menos ecuaciones que incógnitas. Los sistemas sobredeterminados suelen ser inconsistentes, pero no lo son siempre. Aunque es posible que los sistemas escasamente determinados sean inconsistentes, en general son consistentes con muchas soluciones. Es posible que un sistema escasamente determinado tenga solución única. D E F IN I C I O N 4.1.5 Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es no susceptible, si errores pequeños en los coeficientes o en el proceso de resolución sólo tienen un efecto pequeño sobre la solución. Y es susceptible, si errores pequeños en los coeficientes o en el proceso de resolución tienen un efecto grande sobre la solución. Para el sistema de ecuaciones no susceptible, la solución está indicada con relativa intensidad por las ecuaciones. Para el sistema de ecuaciones susceptible, la solución está indicada con relativa debilidad por las ecuaciones. Dos ecuaciones lineales en dos incógnitas representan dos rectas. Un sistema tal es susceptible si, y sólo si, el ángulo entre las rectas es pequeño, es decir, si, y sólo si, las rectas son casi paralelas. En efecto, entonces un pequeño cambio en un coeficiente puede provocar un gran desplazamiento del punto de intersección de las rectas. Para sistemas mayores de ecuaciones lineales, la situación es semejante en principio, pero no es posible una interpretación geométrica tan sencilla y no podríamos seguir cada detalle de la situación.

PR O B L E M AS 4.1.1 Sea A una matriz de 3 x 2. Explique por qué la ecuación A X = B no puede ser consistente tiene sólo la solución nula si y sólo si (Q A)X = O sólo tiene la solución nula. 4.1.2 Sean A X = O un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas y Q una matriz invertible de n x n. Demuestre que A X = O solución fija. Demuestre que toda solución del sistema se puede escribir en la forma X = X 1 + X 0, donde X 0 es una solución de A X = O. También demuestre que toda matriz de esta forma es una solución. 4.1.3 Sea A una matriz de 5 x 3 y sean Y un vector en ƒ3 y Z un vector en ƒ5. Suponga que A Y = Z. ¿Qué hecho permite concluir que el sistema A X = 4 Z es consistente? ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

4.1.4 Sea A X = O un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales en n incógnitas que sólo tiene la solución nula. Demuestre que si k es cualquier entero positivo, entonces el sistema A k X = O también tiene sólo la solución nula. 4.1.5 Sea A una matriz de 3 x 4, sean Y 1 y Y 2 vectores en ƒ3 y sea W = Y 1 + Y 2. Suponga que Y 1 = A X 1 y que Y 2 = A X 2 para algunos vectores X 1 y X 2 en ƒ4. ¿Qué hecho permite concluir que el sistema A X = W es consistente? 4.1.6 Sea A X = B cualquier sistema de ecuaciones lineales consistentes, y sea X 1 una para toda B en ƒ3. Generalice el argumento para el caso de una matriz A arbitraria con más filas que columnas. JOE GARCIA ARCOS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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4.2 M E T O D OS P A R A SO L U C I O N A R UN SIST E M A D E E C U A C I O N ES L I N E A L ES En esta sección analizaremos la resolución de un sistema de ecuaciones lineales por diversos métodos, de acuerdo a su estructura. Se enunciarán las propiedades más importantes.

I. E L I M I N A C I O N G A USSI A N A Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a un segundo sistema de ecuaciones lineales, si el primero puede obtenerse a partir del segundo por medio de operaciones elementales. Además los sistemas equivalentes de ecuaciones lineales tienen los mismos conjuntos de soluciones. D E F I N I C I O N 4.2.1 Sea S un sistema lineal de la forma ­ a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1 ° a x  a x  ...  a x b ° 21 1 22 2 2n n 2 ® ... ° ° ¯ am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn bm y sea S´ un sistema lineal de las mismas dimensiones que S ´ ´ ­ a11 x1  a12 x2  ...  a1´ n xn b1´ ° ´ ° a21 x1  a´22 x2  ...  a´2 n xn b2´ ® ... ° ° ´ ´ ´ ´ ¯ am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn bm Los sistemas lineales S y S´ se llaman equivalentes, si ambos son simultáneamente son compatibles y tienen las mismas soluciones. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n variables, se va a estudiar el método de reducción a la forma escalonada, que consiste en la eliminación sucesiva de las variables para reducir el sistema a uno equivalente más simple mediante la aplicación de las operaciones elementales siguientes: T IP O 1. La ecuación E(i) puede multiplicarse por cualquier escalar a diferente de cero y se puede usar la ecuación resultante en lugar de E(i). Notamos esta operación como aE(i) o E(i); T IP O 2. La ecuación E(j) puede multiplicarse por cualquier escalar a, sumarla a la ecuación m-1 ecuaciones restantes y se obtenga el sistema equivalente: ­ a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1 ° (1) (1) (1) ° a22 x2  ...  a2 n xn b2 ® ... ° ° a (1) x  ...  a (1) x b(1) mn n m ¯ m2 2 (1) Al pasar a la ejecución del segundo paso, supongamos que el elemento a22 , llamado elemento principal del segundo paso, es distinto de cero. (En caso contrario, es necesario efectuar la respectiva permutación de las ecuaciones.) ­ a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1 ° (1) (1) (1) (1) ° a22 x2  a23 x3  ...  a 2 n xn b2 ° (2) (2) (2) (2) ® a33 x3  a34 x4  ...  a3n xn b3 ° ... ° ° a (2) x  a (2) x  ...  a (2) x b(2) mn n m m4 4 ¯ m3 3

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Después del paso m-1 llegamos al sistema triangular ­ a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1 ° (1) (1) (1) (1) ° a22 x2  a23 x3  ...  a2 n xn b2 ° (2) (2) (2) (2) ® a33 x3  a34 x4  ...  a3n xn b3 ° ... ° ( n 1) ° amn xn bm( n 1) ¯ La reducción del sistema inicial S a la forma triangular actual finaliza la primera etapa de elaboración de la solución según el método de reducción a la forma escalonada. La segunda etapa, la marcha inversa, consiste en resolver el último sistema triangular. Se realiza del modo siguiente, de la última ecuación se determina xn. De acuerdo con el valor hallado de xn de la ecuación m-1 determinamos xn-1, a continuación, con los valores de xn-1 y xn de la ecuación m-2 hallamos xn-2, etc., el cálculo sucesivo de las incógnitas continúa hasta que se determina x1 de la primera ecuación, aquí termina el proceso de construcción de la solución del sistema S con la ayuda de la resolución del sistema triangular equivalente al primero. Si durante el proceso de reducción se llega a un sistema tal, que una de las ecuaciones del sistema equivalente es de la forma 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = bn, bn z 0, se dice que el sistema inicial es E(i), y usar la ecuación resultante en lugar de E(i). Esta operación la notaremos como E(i) + aE(j) o E(i); T IP O 3. Las ecuaciones E(i) y E(j) se pueden intercambiar, es decir E(i) l E(j). T E O R E M A 4.2.1 Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, si uno se obtiene del otro aplicando una sucesión finita de operaciones elementales. D E M OST R A C I O N Es suficiente demostrar la equivalencia de los sistemas S y S´, obtenido de S, al aplicar una operación elemental. Observemos, que el sistema S se obtiene del sistema S´ también como resultado de una operación elemental; por cuanto estas operaciones son inversibles. En otras palabras, en el caso del tipo 1, cambiando otra vez de lugar a las ecuaciones i y t, regresamos al sistema inicial; análogamente, en el caso del tipo 2, sumando la i-ésima ecuación en S´, la t-ésima ecuación multiplicada por ±r, obtendremos la i-ésima ecuación del sistema S. Demostremos ahora, que cualquier solución k1, k2, ..., kn del sistema S resulta también solución del sistema S´. Si fue realizada una operación elemental del tipo 1, entonces, las propias ecuaciones, en general, no cambiaron. Por eso, los números k1, k2, ..., kn, que antes las satisfacían, las satisfacerán luego de la operación elemental. En el caso de una operación elemental del tipo 2, las ecuaciones, excepto la i-ésima, no se modificaron, y por eso la solución k1, k2, ..., kn satisface a éstas como antes. En virtud de la reversibilidad de las operaciones elementales, las reflexiones realizadas demuestran también que, recíprocamente, cualquier solución del sistema S´ será solución del sistema S. Queda observar, que la incompatibilidad de un sistema proporciona la incompatibilidad del otro. Si en el sistema S se considera que a 11 z 0, para cada i > 1 llamado elemento principal del primer paso (En el caso de que a 11 = 0 cambiamos de lugar las ecuaciones con los números 1 e i, donde a i1 z 0.) se aplican las operaciones elementales de modo que se sustituya la ecuación i -ésima por la ecuación que se obtiene multiplicando la primera por ± a 11 y se sume con la i-ésima, de tal forma que se elimine x1 en las incompatible, y, por tanto, no tiene solución. Si en los sistemas equivalentes se llega a una ecuación de la forma 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0, esta puede eliminarse sin que se afecte la solución del sistema. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Calculemos el número de operaciones que hay que efectuar para obtener la solución del sistema de ecuaciones lineales. Para reducir el sistema de ecuaciones a la forma escalonada, aceptando que m = n, tendremos que realizar n inversiones 1 n2 + (n ± 1)2 + ... + 12 = (2n + 1)(n + 1)n 6 multiplicaciones y (n  1)n(n  1) n(n  1)  (n  1)(n  2)   2 ˜1 3 adiciones. Además, para hallar del sistema reducido las incógnitas habrá que realizar adicionalmente 1 1 + 2 + ... + (n ± 1) = n(n ± 1) 2 multiplicaciones y un número igual de adiciones. Por consiguiente, para resolver el sistema de ecuaciones lineales empleando el método de Gauss, es necesario realizar, en el caso general, n inversiones 1 1 n(n2 + 3n ± 1) | n3 3 3 multiplicaciones y 1 1 n(2n2 + 3n ± 5) | n3 6 3 adiciones. En resumen, este método de reducción se puede aplicar a cualquier sistema de ecuaciones lineales. Debe observarse, además, que el método de reducción es sistemático y que no se reduce a ningún artificio a base de los números particulares que aparecen en las ecuaciones. T E O R E M A 4.2.2 Para la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales es necesario y suficiente que, después de ser reducido a la forma escalonada, en él no se encuentren ecuaciones del tipo 0 = b´i, con b´i z 0. Si esta condición se cumple, entonces, a las incógnitas independientes se les puede dar valores arbitrarios; las incógnitas principales se determinan unívocamente en el sistema de ecuaciones. D E M OST R A C I O N Comencemos con la cuestión de la compatibilidad. Es evidente, que si el sistema ­ a11 x1   a´1 n xn b´1 ° ° a´2 k xk   a´2 n xn b´2 ° a´ x   a´ x b´ 3n n 3 °° 3 t t (1) ® ° ° a´r s xs   a´r n xn b´r ° 0 b´r 1 ° 0 b´m °¯ contiene ecuaciones del tipo 0 = b´i, con b´i z 0, entonces, este sistema es incompatible, puesto que la igualdad 0 = b´i no puede ser satisfecha por ningún valor para las incógnitas. Demostremos, que si en el sistema (1) no hay tales ecuaciones, entonces el sistema es compatible. Y bien, sea b´i = 0 para i > r. Llamaremos incógnitas principales a x1, xk, ..., xs, con las cuales comienzan la primera, segunda, ..., y r-ésima ecuaciones, respectivamente; las restantes incógnitas, si es que las hay, se denominan independientes. Por definición, sólo hay r incógnitas principales. Otorgamos a las incógnitas independientes valores arbitrarios, y los sustituimos en el sistema (1). Entonces, para ks se obtiene una ecuación de tipo axs = b, con a = a´r s z 0, la cual tiene solución única. Sustituyendo el valor obtenido xs = ks en las primeras r ± 1 ecuaciones, y yendo por el sistema (1) de abajo hacia arriba, nos convencemos ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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de que los valores de las incógnitas principales se determinan unívocamente para cualquier valor que se dé a las incógnitas independientes. T E O R E M A 4.2.3 Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única si y sólo si el sistema reducido correspondiente tiene la misma solución. D E M OST R A C I O N De la forma en que reducimos el sistema es claro que si cierto conjunto de números x1, x2, ..., xn satisface el sistema original, cumplen también el sistema reducido. Ahora cambiamos los papeles del sistema original reducido. Si comenzamos con el sistema reducido, el sistema original se puede obtener de éste por alguna combinación de las tres operaciones elementales. Ahora es claro que cualquier solución del sistema reducido también es solución del sistema original. T E O R E M A 4.2.4 El sistema compatible ­ a11 x1  a12 x2   a1n xn b1 ° a x a x  a x b ° 21 1 22 2 2n n 2 ® ° ° ¯ am1 x1  am 2 x2   amn xn bm con n > m es indeterminado. D E M OST R A C I O N Efectivamente, en todo caso r d m, por cuanto en el sistema (1) no hay más ecuaciones que en el sistema dado, las ecuaciones con identidades iguales a cero para ambos miembros, son desechadas. Por eso, la desigualdad n > m lleva a n > r, lo cual significa indeterminación del sistema dado. E J E M P L O 4.2.1 Utilizando eliminación gaussiana, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: ­ x yz 3 ­3x  4 y  6 z 7 ° ° a.- ®2 x  y  4 z 3 ; b.- ®5 x  2 y  4 z 5 . °3x  2 y  z 8 ° x  3 y  5z 3 ¯ ¯ SO L U C I O N a.- Multiplicamos la ecuación 1 por 2 y luego le restamos la fila 2, multiplicamos la fila 1 por 3 y luego restamos la fila 3: ­x  y  z 3 ° ® y  2z 1 ° y  2z 1 ¯ restamos la fila dos a la fila tres: ­x  y  z 3 ° ® y  2z 1 ° 0 0 ¯ podemos observar que 0 = 0, lo cual indica que el sistema es indeterminado, es decir tiene un número infinito de soluciones: z = t, x = 2 ± t, y = 1 + 2 t. b.- Se multiplica la ecuación 1 por 5 y luego le restamos 3 veces la fila 2, y 3 veces la fila 3: ­ 3x  4 y  6 z 7 ° ® 13 y  21z 10 °13 y  21z 2 ¯ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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restamos la fila dos a la fila tres: ­3x  4 y  6 z 7 ° ® 13 y  21z 10 ° 0 2 ¯

podemos observar que 0 = 12, lo cual indica que el sistema es inconsistente. ’ E J E M P L O 4.2.2 Utilizando eliminación gaussiana, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: ­ 2 x  y  3 z  2u 4 ­ x y zu 0 °3 x  3 y  3 z  2u 6 ° x  2 y  3 z  4u 0 ° ° a.- ® ; b.- ® . 3 x  y  z  2 u 6 ° ° x  3 y  6 z  10u 0 °¯ 3 x  y  3 z  u 6 °¯ x  4 y  10 z  20u 0 SO L U C I O N a.- A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila, a la tercera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila, a la cuarta fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila ­2 x  y  3z  2u 4 ° 9 y  3z  2u 0 ° ® °  y  11z  2u 0 °¯  y  3z  8u 0 A la tercera fila le multiplico por ±9 y luego le sumo la segunda fila, a la cuarta fila le multiplico por ±9 y luego le sumo la segunda fila: ­2 x  y  3z  2u 4 ° 9 y  3z  2u 0 ° ® 6z  u 0 ° °¯ 12 z  35u 0 A la cuarta fila le resto 2 veces la tercera fila: ­2 x  y  3z  2u 4 ° 9 y  3z  2u 0 ° ® 6z  u 0 ° °¯ 33u 0 Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución única: x = 2, y = z = u = 0. b.- A la segunda fila le resto la primera fila, a la tercera fila le resto la primera fila, a la cuarta fila le resto la primera fila: ­ x y zu 0 ° y  2 z  3u 0 ° ® ° 2 y  5 z  9u 0 °¯3 y  9 z  19u 0 A la tercera fila le resto 2 veces la segunda fila, a la cuarta fila le resto 3 veces la segunda fila: ­x  y  z  u 0 ° y  2 z  3u 0 ° ® ° z  3u 0 °¯ 3 z  10u 0 ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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A la cuarta fila le resto 3 veces la tercera fila: ­x  y  z  u 0 ° y  2 z  3u 0 ° ® ° z  3u 0 °¯ u 0 Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución única: x = y = z = u = 0. ’ E J E M P L O 4.2.3 Utilizando eliminación gaussiana, solucionar los lineales: ­ x  y  2 z  3u 1 ­ x  2 y  3 z  2u °3 x  y  z  2u 4 ° 2 x  y  2 z  3u ° ° a.- ® ; b.- ® 2 x  3 y  z  u  6 ° ° 3x  2 y  z  2u °¯ x  2 y  3z  u 4 °¯2 x  3 y  2 z  u

siguientes sistemas de ecuaciones 6 ­ x  2 y  3z  4u ° 2 x  y  2 z  3u 8 ° ; c.- ® 4 ° 3 x  2 y  z  2u °¯4 x  3 y  2 z  u 8

5 1 . 1 5

SO L U C I O N a.- A la segunda fila le restamos 3 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos 2 veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos la primera: ­ x  y  2 z  3u 1 °4 y  7 z  11u 7 ° ® ° y  5 z  7u 8 °¯ y  z  4u 5 A la tercera fila le multiplicamos por 4 y luego le sumamos la segunda fila, a la cuarta fila le multiplicamos por 4 y luego le sumamos la segunda fila: ­ x  y  2 z  3u 1 °4 y  7 z  11u 7 ° ® ° 27 z  39u 39 °¯ z  9u 9 A la cuarta fila le multiplicamos por 27 y luego le sumamos la tercera fila: ­ x  y  2 z  3u 1 °4 y  7 z  11u 7 ° ® ° 27 z  39u 39 °¯ u 1 Observamos que el sistema se redujo a la forma triangular, lo cual indica que el sistema tiene solución única: x = y = -1, z = 0, u = 1. b.- A la segunda fila le restamos 2 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos 3 veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos 2 veces la primera fila: ­ x  2 y  3z  2u 6 ° 5 y  8 z  u 4 ° ® ° 2 y  5 z  4u 7 °¯7 y  4 z  5u 20 A la tercera fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos 2 veces la segunda fila, a la cuarta fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 7 veces la segunda fila:

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­ x  2 y  3z  2u 6 ° 5 y  8 z  u 4 ° ® z  2u 3 ° °¯ 2 z  u 4 A la cuarta fila le restamos 2 veces la tercera fila: ­ x  2 y  3z  2u 6 ° 5 y  8 z  u 4 ° ® z  2u 3 ° °¯ 5u 10

Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución única: x = 1, y = 2, z = -12, u = -2. c.- A la segunda fila le restamos 2veces la primera fila, a la tercera fila le restamos 3 veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos 4 veces la primera fila: ­ x  2 y  3z  4u 5 ° 3 y  4 z  5u 9 ° ® ° 2 y  4 z  5u 7 °¯ y  2 z  3u 5 A la tercera fila le multiplicamos por 3 y luego le sumamos la segunda fila multiplicada por 2, a la cuarta fila le multiplicamos por 3 y luego le sumamos la segunda fila: ­ x  2 y  3z  4u 5 ° 3 y  4 z  5u 9 ° ® 4 z  5u 3 ° °¯ z  2u 3 A la cuarta fila le multiplicamos por 4 y luego le restamos la tercera fila: ­ x  2 y  3z  4u 5 ° 3 y  4 z  5u 9 ° ® 4 z  5u 3 ° °¯ u 3 Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución única: x = -2, y = 2, z = -3, u = 3. ’

I I. M E T O D O D E G A USS ± JO RD A N El sistema S de ecuaciones lineales ­ a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1 ° a x  a x  ...  a x b ° 21 1 22 2 2n n 2 ® ... ° ° ¯ am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn bm puede ser escrito en forma matricial como A X = B, donde A es la matriz m x n de coeficientes con elementos a ij, B es un vector columna en ƒm y X es un vector columna en ƒn. Efectuando la multiplicación matricial en la ecuación a1n · § x1 · § b1 · § a11 a12 ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ a2 n ¸ ¨ x2 ¸ ¨ b2 ¸ ¨ a21 a22 ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ amn ¸¹ ¨© xn ¸¹ ¨© bm ¸¹ © am1 am 2 se ve de inmediato que esto es equivalente al sistema S. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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D E F IN I C I O N 4.2.2 En cuanto a la matriz § a11 a12 a1n ¨ a a a 22 2n ¨ 21 ¨ ¨¨ amn © am1 am 2 se denomina matriz aumentada del sistema.

b1 · ¸ b2 ¸ ¸ ¸ bm ¸¹

Consideremos ahora el sistema lineal no homogéneo A X = B, en donde A es de m x n y B es de m x 1 y tiene al menos un elemento distinto de cero. A continuación enunciaremos un teorema, en el cual se basara el método de las operaciones elementales. T E O R E M A 4.2.5 Un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene un número indeterminado de soluciones si n > m. D E M OST R A C I O N Cuando la matriz de coeficientes se ha reducido, la matriz aumentada del sistema reducido tiene una última columna formada únicamente por ceros. Entonces, el sistema tiene una solución, pero puede que no tenga soluciones no nulas. Sin embargo, consideremos los elementos a ii, i = 1, 2, ..., m de la matriz reducida de coeficientes. Estos elementos son 0 ó 1. Suponiendo que akk = 0 para algún k y k es el menor elemento para el cual esto ocurre, la solución se puede escribir en términos de xk y posiblemente de algunas otras variables. Pero tales variables son arbitrarias, y así tomando a xk z 0, tenemos una solución no trivial. Si todos los a ii, i = 1, 2, ..., m, son 1, la última fila de la matriz aumentada del sistema reducido es 0, 0, ..., 0, 1, am m+1, am m+2, ..., am n, 0 y xm = -am m+1xm+1 ± am m+2xm+2 - ... ± am nxn donde xm+1, xm+2, ..., xn son arbitrarias. Tomando xm+1 z 0 lograremos una solución no nula. T E O R E M A 4.2.6 Sea X 1 cualquier solución de A X = B. Entonces X 1 ± X 2 es una solución de A X = O ya que A(X 1 - X 2) = A X 1 - A X 2 = B - B = O. Sea X 3 = X 1 X 2. Entonces X 3 es una solución de A X = O y por supuesto X 1 = X 2 + X 3. D E M OST R A C I O N Supongamos que X 1 y X 2 son soluciones. Entonces A X 1 = B y A X 2 = B, y por sustracción A(X 1 ± X 2) = O. Como quiera que si la ecuación homogénea no tiene soluciones no nulas, entonces X 1 ± X 2 = O y X 1 = X 2. Esto muestra la unicidad. Recíprocamente, suponiendo que X 3 z O es una solución de la ecuación homogénea, es decir A X 3 = O, mientras que X 1 es una solución de A X 1 = B, entonces X 1 + X 3 también es solución, puesto que A(X 1 + X 3) = A X 1 + A X 3 = B + O = B. Esta es una contradicción a la unicidad y completa la demostración. T E O R E M A 4.2.7 Un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con m incógnitas tiene solución trivial si y sólo si la matriz reducida de coeficientes no tiene filas formadas únicamente por ceros. D E M OST R A C I O N Consideremos los elementos a ii, i = 1, 2, ..., m de la matriz reducida de coeficientes. Si a ii = 1 para todo i, la matriz aumentada del sistema reducido es de la forma ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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§1 0 0 0· ¨ ¸ 0 0¸ ¨0 1 ¨ ¸ ¨¨ ¸ 1 0 ¸¹ ©0 0 y la única solución es x1 = x2 = ... = xm = 0, algunos de los a ii son cero si y sólo si la última fila de esta matriz está formada únicamente por ceros. Así, el sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones no nulas si y sólo si la matriz reducida de coeficientes está formada únicamente por ceros.

T E O R E M A 4.2.8 Sea la matriz A de n x n. Entonces el sistema de ecuaciones no homogéneo A X = B tiene solución única si y sólo si el Rang( A) = n. D E M OST R A C I O N Supongamos primero que Rang(A) = n. Entonces A R = I. De donde (A | B)R es de la forma (I | C) para alguna matriz C de n x 1. El sistema I X = C tiene exactamente una solución y esta es la única solución del sistema original. Recíprocamente, supongamos que A X = B tiene exactamente una solución Y. Si A X = O tiene una solución Z entonces Y + Z es una solución de A X = B. Pero entonces Y = Y + Z por la suposición de que A X = B tiene solamente una solución Y. Concluimos que Z = O y, por tanto, A X = O tiene solamente la solución trivial. Por lo tanto Rang(A) = n. Un sistema homogéneo A X = O de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene un número indeterminado de soluciones si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, es decir n > m. Sea X 1 cualquier solución de A X = B. Entonces X 1 ± X 2 es una solución de A X = O ya que A(X 1 - X 2) = A X 1 - A X 2 = B - B = O. Sea X 3 = X 1 - X 2. Entonces X 3 es una solución de A X = O y por supuesto X 1 = X 2 + X 3. Como hemos podido ver, cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones, puede tener muchas soluciones. En efecto, la situación general cuando las soluciones no son únicas, es que ciertas variables se pueden escribir en términos de otras y estas son completamente arbitrarias. Podemos pensar en tales variables como parámetros que pueden variar para generar soluciones. Podremos decir que tenemos la solución general de un sistema si tenemos todas las variables expresadas en términos de ciertos parámetros en tal forma que toda posible solución particular se pueda obtener al asignar valores apropiados a estos parámetros. Podemos ahora esbozar un procedimiento para encontrar la solución general de un sistema lineal no homogéneo A X = B: P ASO 1. Reducir (A~B) para obtener la matriz reducida de la forma (A R~C). Las soluciones de A X = B son las mismas soluciones que las de A R X = C, así que trabajaremos con este sistema reducido; P ASO 2. Si Rang((A~B)) z Rang(A), el sistema no tiene solución y ya terminamos. Si estos dos rangos son iguales continuamos; P ASO 3. Identificamos las incógnitas dependientes. Si la columna j contiene el elemento principal de la fila i, utilizamos la ecuación i para escribir xj en términos de las incógnitas independientes; P ASO 4. Escribimos una matriz columna (x1 x2 «xn)T con cada xj dependiente escrita en términos de las incógnitas independientes y de c i. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Las incógnitas independientes son arbitrarias y se les puede asignar valores cualesquiera; P ASO 5. Para aclarar la estructura de la solución, la escribimos como una suma de matrices columna multiplicadas por las incógnitas independientes (escalares arbitrarios), más una matriz columna que contiene las c i que aparecen en las expresiones para las incógnitas dependientes. Esta matriz columna constante es una solución particular de A R X = C. Ahora tenemos la solución general de A X = B escrita como la solución general de A R X = O más una solución particular de A R X = C, obteniendo la solución general del sistema no homogéneo original. T E O R E M A 4.2.9 Un sistema de ecuaciones lineales A X = B tiene solución única si y sólo si el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz (A | B). D E M OST R A C I O N Reduciendo la matriz de coeficientes usando operaciones elementales sobre las filas podemos lograr el sistema equivalente (I | C) en este caso, y solamente en este caso, el rango de A es igual al rango de la matriz aumentada (A | B). Una solución a un sistema A X = B de m ecuaciones lineales con n incógnitas no tiene solución única si n > m. Un sistema de ecuaciones lineales A X = B tiene solución única si y sólo si el sistema reducido correspondiente tiene la misma solución. Si el sistema de ecuaciones lineales A X = B de m ecuaciones y n incógnitas es consistente, y si r es el rango por filas de la forma escalonada reducida de la matriz aumentada del sistema, entonces: 1.- Si r < n, el sistema tiene un número indeterminado de soluciones. Las soluciones se expresan en base a n ± r variables. 2.- Si r = n, el sistema tiene solución única. 3.- Si m < n, entonces r d m < n, y el sistema tiene un número indeterminado de soluciones. T E O R E M A 4.2.10 Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales algebraicas con m incógnitas tiene un número indeterminado de soluciones si m > n. D E M OST R A C I O N Escribimos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales como A X = O con la matriz A de n x m. Este sistema tiene n ecuaciones y m incógnitas. Si hay más incógnitas que ecuaciones, m > n. Ahora, Rang(A) es el número de filas distintas de cero de A R y no puede ser mayor que n. Como Rang(A) d n, m ± Rang(A) t m ± n > 0. Por lo tanto, existe al menos una incógnita independiente a la que se puede asignar cualquier valor en la solución general y, por tanto, se le pueden dar valores distintos de cero llegando a un número indeterminado de soluciones. Ahora podemos bosquejar ahora un procedimiento para resolver el sistema homogéneo de ecuaciones lineales A X = O: P ASO 1. Reducir A a A R. Como el sistema reducido tiene las mismas soluciones que el sistema original, trabajaremos con el sistema reducido A R X = O; P ASO 2. En el sistema A R X = O, determine si cada incógnita es dependiente o independiente de acuerdo con el siguiente criterio. Si la columna j contiene el elemento principal de cualquier fila de A, llame a xj dependiente; si no es así, xj es independiente; P ASO 3. Exprese cada incógnita dependiente en términos de las independientes, usando las filas de A R. Si, por ejemplo, xj es dependiente porque la columna j contiene el elemento principal de la fila i, podemos resolver para xj en términos de ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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las incógnitas independientes mediante la ecuación i; P ASO 4. Para obtener la solución, a las incógnitas independientes se les puede asignar cualquier valor; las incógnitas dependientes se expresan en términos de las independientes usando el paso 3. T E O R E M A 4.2.11 Si A es una matriz de n x m, el número de escalares arbitrarios en la solución general del sistema homogéneo de ecuaciones lineales A X = O es m ± Rang(A). D E M OST R A C I O N Si la matriz A es de n x m, el número de incógnitas independientes es igual al número total de incógnitas m menos el número de incógnitas dependientes. Pero el número de incógnitas dependientes es el número de filas de A R que tienen entradas principales y, por lo tanto, es igual al número de filas distintas de cero de A R, es decir, el rango de A. T E O R E M A 4.2.12 Una solución de un sistema de ecuaciones lineales A X = B es única si y sólo si el sistema homogéneo de ecuaciones A X = O tiene solución trivial. D E M OST R A C I O N Supongamos que X y Y son soluciones. Entonces A X = B y A Y = B, y por sustracción A(X ± Y) = O. Como quiera que si la ecuación homogénea tiene solución trivial, entonces X ± Y = O y X = Y. Esto muestra la unicidad. Recíprocamente, suponiendo que Z z O es una solución de la ecuación homogénea, es decir A Z = O, mientras que X es una solución de A X = B, entonces X + Z también es solución, puesto que A(X + Z) = A X + A Z = B + O = B. Esta es una contradicción a la unicidad. T E O R E M A 4.2.13 La solución general del sistema no homogéneo de ecuaciones, A X = B, se puede obtener al sumar la solución general del sistema homogéneo A X = O a cualquier solución particular del sistema no homogéneo. D E M OST R A C I O N Supongamos que Z es una solución particular del sistema no homogéneo, entonces A Z = B. Suponiendo que X es cualquier otra solución particular, entonces A X = B y A(X ± Z) = A X ± A Z = B ± B = O. De donde, Y = X ± Z es una solución del sistema de ecuaciones homogéneas y entonces se puede obtener de la solución general del sistema de ecuaciones homogéneas para una elección apropiada de ciertos parámetros. Así, X = Z + Y, y como X es cualquier solución particular, podemos obtener la solución general del sistema no homogéneo al sumar la solución general del sistema homogéneo a una solución particular del sistema no homogéneo. T E O R E M A 4.2.14 Un sistema de n ecuaciones lineales algebraicas homogéneas con n incógnitas tiene un número indeterminado de soluciones si y sólo si el determinante de la matriz de coeficientes es cero. D E M OST R A C I O N Si Det(A) no es cero la matriz A es no singular. Entonces, al multiplicar los dos miembros del sistema A X = O por A -1 obtendremos A -1 A X = O, es decir X = O. Por lo tanto, si Det( A) z 0, entonces X = O será la única solución de A X = O. Supongamos a continuación que el sistema A X = O quede satisfecho por un vector Y distinto de cero. Si k es el rango de A, entonces n ± k tiene que ser, por lo menos, igual a 1. Dicho de otro modo, el rango por filas de A será ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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estrictamente menor que n. Pero A no puede ser no singular, es singular y, por lo tanto, Det(A) = 0. %  RESUELVE  UN  SISTEMA  DE  ECUACIONES   clc;;clear;;   fprintf('\n  SISTEMA  DE  ECUACIONES  AX=B  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  ecuaciones:    ');;   col=input('Ingrese  el  numero  de  incognitas:    ');;          %Ingreso  de  elementos          fprintf('\nIngrese  los  coeficientes  y  terminos  independientes  del  sistema\n')                  for  f=1:fil                  fprintf('\n  Ingrese  los  coeficientes  (%d)\n',  f)                          for  c=1:col                                  fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end                  fprintf('\n  Ingrese  los  coeficientes  de  B  \n')                  %for  f=1:col                          for  c=1:fil                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',f)                                  B(c,1)=input('  :');;                          end          fprintf('\n  LA  MATRIZ  DE  COEFICIENTES  A  ES:\n')          A          end          fprintf('El  VECTOR  B  es:\n')          B          end          fprintf('LA  MATRIZ  REDUCIDA  DE  A  ES:')                  R1=  rref(A);;                  R1                  fprintf('EL  RANGO  DE  LA  MATRIZ  A  ES:')                  RangA=rank(A)          fprintf('\n  LA  MATRIZ  AUMENTADA  ES:  \n',c);;                  C=[A,B];;          C          fprintf('LA  MATRIZ  REDUCIDA  DE  C  ES:')          R2=  rref(C);;          R2          fprintf('EL  RANGO  DE  LA  MATRIZ  AUMENTADA  C  ES:')          RangC=rank(C)          end   end          if  RangC==col                  fprintf('EL  SISTEMA  DE  ECUACIONES  TIENE  SOLUCION  UNICA\n')              end                  if  RangA | -1 | + | 4 |, | -8 | > | 3 | + | 2 | y | -6 | > | -4 | + | 1 | ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Luego, efectivamente, cumple la condición suficiente de convergencia. Las fórmulas de iteración de Jacobi para este sistema serán: ­ ( r 1) 1 (8  x2( r )  4 x3( r ) ) ° x1 7 ° ° ( r 1) 1 (4  3 x1( r )  2 x3( r ) ) ® x2 8 ° ° ( r 1) 1  (3  4 x1( r )  x2( r ) ) ° x3 6 ¯ Comencemos con la aproximación inicial x1(0) x2(0) x3(0) 0 . Entonces, la primera iteración resulta ­ (1) 8 1,143 ° x1 7 ° ° (1) 4 0,5 ® x2 8 ° ° (1) 3  0,5 ° x3 6 ¯ y la segunda 1 ­ x1(2) (8  0,5  2) 1,5 ° 7 ° 1 ° (2) (4  3, 429  1) 0,804 ® x2 8 ° ° (2) 1  (3  4,572  0,5) 1,179 ° x3 6 ¯ Así sucesivamente hasta que se cumpla la condición de paro establecida. En la siguiente tabla se muestran las iteraciones necesarias, que resultan ser diez. ’

r x1 x2 x3

0 0.000 0.000 0.000

1 1,143 0,500 -0,500

 

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2 1,500 0,804 -1,179

3 1,931 0,768 -1,366

4 2,033 0,883 -1,659

5 2,217 0,848 -1,708

6 2,240 0,904 -1,837

7 2,322 0,881 -1,843

8 2,322 0,910 -1,901

9 2,359 0,895 -1,896

10 2,354 0,911 -1,923

EJ E M P L O 4.2.19 Partiendo de 0, 0, 0, demuestre que la iteración de Gauss ± Seidel converge para el sistema siguiente ­2 x  y  z 4 ° ®x  2 y  z 4 °x  y  2z 4 ¯ mientras que la iteración de Jacobi diverge. SO L U C I O N Aplicando el método de Gauss ± Seidel, el sistema de ecuaciones se escribe en la forma: 2 y  z  14 ­ °x 4 °  x  z  10 ° ®y 5 ° °  x  y  20 °z 8 ¯ Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:

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r x y z

0 0.0000 0.0000 0.0000

1 2.0000 1.0000 0.5000

2 1.2500 1.1250 0.8125

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3 1.0310 1.0780 0.9455

4 0.9882 1.0330 0.9893

5 0.9888 1.0100 1.0000

6 0.9950 1.0020 1.0010

7 0.9984 1.0000 1.0000

8 1.0000 1.0000 1.0000

de aquí concluimos que la solución exacta es: x = 1, y = 1, z = 1 Para Aplicar el método de Jacobi, analicemos previamente si la matriz de coeficientes es estrictamente diagonal dominante, ya que es condición suficiente para que el proceso iterativo sea convergente | 2 | > | 1 | + | 1 |, | 2 | > | 1 | + | 1 | y | 2 | > | 1 | + | 1 |. Podemos darnos cuenta que no se cumple la condición de Jacobi, por lo tanto este método diverge. ’ EJ E M P L O 4.2.20 Resulta evidente pensar que la iteración de Gauss ± Seidel es mejor que la iteración de Jacobi. En realidad, los métodos no son comparables. Ilustrar este hecho, demostrando que para el sistema ­ xz 2 ° ® x  y 0 ° x  2 y  3z 0 ¯ la iteración de Jacobi converge, mientras que la iteración de Gauss ± Seidel diverge. SO L U C I O N Analicemos previamente si la matriz de coeficientes es estrictamente diagonal dominante, ya que es condición suficiente para que el proceso iterativo sea convergente | 1 | > | 1 |, | 1 | > | 1 | y | -3 | > | 1 | + | 2 |. Podemos darnos cuenta que no se cumple la condición de Jacobi. Las fórmulas de iteración de Jacobi para este sistema serán: ­ x ( r 1) 2  z ( r ) ° ° y ( r 1) x ( r ) ® ° 1 (r) ° z ( r 1) ( x  2 y( r ) ) 3 ¯ Comencemos con la aproximación inicial x(0) y(0) z (0) 0 En la siguiente tabla se muestran las iteraciones necesarias:

r x y z

0 0.0000 0.0000 0.0000

11 0.8070 0.2229 0.4862

1 2.0000 0.0000 0.0000

12 1.5130 0.8070 0.4176

2 2.0000 2.0000 0.6666

13 1.5820 1.5130 1.0420

 

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3 1.3330 2.0000 2.0000

4 0.0000 1.3330 1.7770

5 0.2229 0.0000 0.8886

6 1.1110 0.2229 0.0743

7 1.9250 1.1110 0.5189

14 0.9580 1.5820 1.5360

15 0.4640 0.9580 1.3740

16 0.6260 0.4640 0.7933

17 1.2060 0.6260 0.5180

18 0.7940 1.2060 0.8193

19 1.1800 0.7940 1.0680

23 1.0190 0.9030 1.0190

24 0.9809 1.0190 0.9416

25 1.0580 0.9809 1.0060

26 0.9940 1.0580 1.0060

27 0.9940 0.994 1.0360

28 0.9640 0.994 0.9940

8 1.4810 1.9250 1.3820 20 0.9320 1.1800 0.9226

9 0.6180 1.4810 1.7770 21 1.0770 0.9320 1.0970

10 0.2229 0.6180 1.1930 22 0.9030 1.0770 0.9803

de aquí concluimos que la solución exacta es: x = 1, y = 1, z = 1 JOE GARCIA ARCOS

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Aplicando el método de Gauss ± Seidel, el sistema de ecuaciones se escribe en la forma: ­ ° x z  2 ° ® y x ° x  2y °z 3 ¯ Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:

r x y z

0 0 0 0

1 2 2 2

2 0 0 0

3 2 2 2

4 0 0 0

... ... ... ...

De aquí concluimos que este método diverge.

PR O B L E M AS 4.2.1 ¿Cuál es la condición para que tres puntos P(a, b), Q (c, d), R(e, f) estén situados en una recta?

4.2.6 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(a, b), Q (c, d).

4.2.2 Una compañía minera trabaja en tres minas, cada una de las cuales produce minerales de tres clases. La primera mina puede producir 4 Tm del mineral A, 3 Tm del B y 5 Tm del C; la segunda mina puede producir 1 Tm de cada uno de los minerales y, la tercera mina, 2 Tm del A, 4 Tm del B y 3 Tm del C, por cada hora de funcionamiento. Cuántas horas se debe trabajar en cada mina para satisfacer los tres pedidos siguientes: A B C P1 19 25 25 P2 13 16 16 P3 8 12 10

4.4.7 Un espía sabe que en un aeropuerto hay es2acionados 60 aviones entre cazas y bombarderos. El agente conoce además que en el aeropuerto se han introducido 200 cohetes para equipar a estos 60 aviones, de manera que cada caza lleva 6 de dichos cohetes y cada bombardero 2. ¿Cuál es el número de cazas y bombarderos que hay en el aeropuerto?

4.2.3 Determinar el valor de k, utilizando el método de Gauss-Jordan, para que el siguiente sistema no tenga solución: ­4 x  2 y  kz 2 ° yz 0 . ® ° 2x  y  z 3 ¯ 4.2.4 Plantear el sistema de ecuaciones lineales que permite obtener el polinomio de tercer grado que es divisible por (x ± 3) y (x + 1) y además tiene resto -3 y -15 al dividir respectivamente por (x ± 2) y (x + 2). 4.2.5 Hallar el polinomio f(t) de tercer grado para el cual f(1) = -2, f(2) = -4, f(3) = -2, f(4) = 10. 4.2.13 Una empresa se dedica a la fabricación de cuatro tipos de jabón. Desde la compra de materias primas hasta la disposición para la distribución se realizan las siguientes fases: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

4.2.8 Escribir la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(2, 1), Q(1, 2), R(0, 1). 4.2.9 ¿Cuál es la condición para que cuatro puntos P(a, b), Q(c, d), R(e, f), S(m, n) estén situados en una circunferencia? 4.2.10 Hallar la ecuación de la curva de segundo orden que pasa por los puntos P(0, 0), Q(1, 0), R(-1, 0), S(1, 1), T(-1, 1). 4.2.11 Hallar la ecuación de la parábola de tercer grado que pasa por los puntos P(1, 0), Q(0, -1), R(-1, -2), S(2, 7). 4.2.12 Formar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos P(1, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(1, 1, 1), S(0, 1, 1). I. Se mezclan los dos tipos de materias primas utilizadas, grasa vegetal y sosa cáustica. II. Se introduce la mezcla obtenida en unos moldes preparados para el efecto. JOE GARCIA ARCOS

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III. Los bloques obtenidos en la fase anterior se cortan y troquelan. IV. Las pastillas así obtenidas se envasan en cajas de cartón de doscientas unidades. Jabón J1 J2 J3 J4

S. mezclado Kg grasa 20 25 40 50

Kg sosa 10 15 20 22

Si se dispone durante una semana de 1970 kg de grasa vegetal, 970 de sosa cáustica, 601 hora/máquina en la sección de moldeados y de 504 horas/máquina en la

Los recursos necesarios para producir los cuatro tipos de jabones, por caja fabricada, vienen dados en la siguiente tabla: S. moldeado Hora / máquina 10 8 10 15

S. troquelado Hora / máquina 3 4 7 20

sección de troquelado, ¿cuántas cajas de jabones de cada tipo se pueden producir, utilizando todos los recursos disponibles, en una semana?

4.2.14 Resolver mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan los siguientes sistemas de ecuaciones: ­ x  3y  z 1 ­ 2x  y  z 8 ­4 x  5 y  6 z 3 ­2 x  y  6 z 3 ° ° ° ° a.- ® 2 x  2 y  z 0 ; b.- ® 5 x  3 y  2 z 3 ; c.- ®8 x  7 y  3 z 9 ; d.- ® x  3 y  2 z 5 ; ° x  y  4z 1 °5 x  6 y  3z 2 °7 x  y  3z 20 °7 x  8 y  9 z 6 ¯ ¯ ¯ ¯ ­ x  5 y  2 z 3 ° f.- ® 2 x  8 y  z 1 ; ° 3x  3 y  5 z 5 ¯ ­2 x  y  5 z 2 ° j.- ® x  8 y  6 z 8 ; ° x  3y  z 5 ¯

­ 2 x  y  3z 1 ° g.- ® x  5 y  2 z 4 ; °3x  5 y  7 z 2 ¯

­7 x  9 y  9 z 0 ° n.- ® x  12 y  5 z 5 ; °3x  7 y  6 z 6 ¯

­ x  5 y  9z 9 ° o.- ®5 x  3 y  3z 0 ; ° x  y  3z 9 ¯

­5 x  10 y  z 5 ° q.- ® x  9 y  3z 1 ; ° 9x  5 y  z 5 ¯

­ 7x  9 y  z 0 ° r.- ® x  9 y  7 z 1 ; °2 x  5 y  7 z 2 ¯

­x  9 y  7z 8 ° s.- ® x  7 y  9 z 1 ; °x  8 y  2z 7 ¯

­ x  9 y  7z ° p.- ® x  8 y  2 z °7 x  7 y  4 z ¯ ­2x  3 y  9z ° t.- ®7 x  7 y  4 z ° 5 x  8 y  3z ¯

­5 x  5 y  7 z 7 ° u.- ®2 x  9 y  2 z 2 ; °9x  5 y  9z 9 ¯

­ x  9 y  7z 7 ° v.- ® 3x  y  9 z 3 ; °5 x  7 y  9 z 5 ¯

­ 6 x  9 y  3z 3 ° w.- ®2 x  4 y  8 z 2 ; °7 x  9 y  5z 3 ¯

­x  9 y  7z 5 ° x.- ® x  7 y  5 z 4 . ° x  9 y  5z 5 ¯

­5 x  3z 4(1  y ) ° e.- ® 2( z  2 x) 8  y ; ° 2 y  3x 14  z ¯ ­ x  y  3z 0 ° i.- ® x  4 y  z 1 ; ° x  7 y  3z 2 ¯ ­5x  5 y  9 z 5 ° m.- ® 7 x  6 y  z 3 ; °2 x  7 y  5 z 0 ¯

­x  9 y  6z 8 ° k.- ® x  5 y  3z 1 ; ° 5x  y  z 7 ¯

­7 x  4 y  3z 3 ° h.- ® 4 x  3 y  z 1 ; °6 x  7 y  3 z 6 ¯ ­ 7x  9 y  z 0 ° l.- ®4 x  6 y  3z 1 ; ° x  7 y  5z 2 ¯ 0 1 ; 2 9 8; 7

4.2.15 Determine de ser posible los valores de a, para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, tenga más de una solución, no tenga solución y encuentre la solución general del sistema en términos de a : ­2 x  3 y  az 1 ­ ax  2 ay  z 2 ­ x  y  ( a  1) z 1 ° ° ° a.- ® ax  y  z 1 ; b.- ® x  y  az a ; c.- ® x  ( a  1) y  z 1 ; ° x  y  az 1 ° 2 x  y  az 1 °( a  1) x  y  z 1 ¯ ¯ ¯ ­( a  1) x  y  z 2 a  3 ° d.- ® ( a  1) x  y  z 1 ; ° 2 x  4 y  az 2 ¯ ­ x  ( a  1) y  z 1 ° g.- ® ax  y  ( a  1) z 1 ; ° x yz a ¯ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

­ x  ay  az 1 ° e.- ® ax  ay  z 1 ; ° ax  y  az 1 ¯ ­( a  1) x  y  az 1 ° x yz a h.- ® ; ° 3x  2 y  az 1 ¯

­ x  ay  z ° f.- ® ax  y  z ° x  y  az ¯ ­ x  3ay  z ° i.- ® x  3 y  z ° x yz ¯

1 a ; 1 0 a ; 1 JOE GARCIA ARCOS

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­4 x  3 y  az ° j.- ® 2 x  3 y  3z ° x  y  az ¯ ­ x  ay  3z ° m.- ® x  y  az ° 2x  y  z ¯

a 1; a 2 3; a

­ ax  ( a  2) y  z ° p.- ® 2 x  ( a  1) y  z ° 3x  ( a  1) y  z ¯ ­( a  2) x  y  z ° s.- ® x  ( a  3) y  z ° x  y  ( a  4) z ¯

1 1; 1 2 3; 4

­2 ax  2 y  3z 1 ° v.- ® x  3ay  z 1 ; ° x  y  4 z 1 ¯

­ x  (2 a  1) y  z 1 ° k.- ®(2 a  1) x  y  z 2 ; ° x  y  (2 a  1) z 3 ¯ ­ ax  y  z 1 ° n.- ® x  a 2 y  z 0 ; ° x  y  az 1 ¯

­ (2 a  1) x  y  z ° l.- ® x  (2 a  2) y  z ° x  y  (2 a  3) z ¯ ­ ( a  1) x  y  z ° o.- ®( a  2) x  y  z ° ( a  3) x  y  z ¯

­ x yz 1 ° q.- ®2 x  y  z 1 ; ° ax  y  z a ¯ ­0.2 ax  0.1y  z 0.2 ° t.- ® 0.1x  0.3 y  z 0.1 ; ° 0.3x  0.4 y  z 0.3 ¯

­3ax  2 y  3z 1 ° r.- ® x  2 ay  3z 1 ; ° x  y  3az 1 ¯ ­ x  3ay  z 2 ° u.- ® 3ax  y  z 1 ; ° x  y  3az 3 ¯

­ x  y  ( a  3) z 1 ° w.- ® x  ( a  3) y  z 1 ; °( a  3) x  y  z 1 ¯

­ x  y  az a 3  a 2 °° x.- ® x  y  z a 2  a . ° x  y  az a °¯

1 1; 1 1 1; 1

4.2.16 Determine de ser posible los valores de a y b, para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, tenga más de una solución, no tenga solución y encuentre la solución general del sistema en términos de a y b: ­ ax  y  z 4 ­ ax  by  z 1 ­bx  ( a  1) y  z 1 ­ (2b  1) x  y  z 1 ° ° ° ° a.- ® x  by  z 3 ; b.- ® x  aby  z b ; c.- ® ax  y  ( a  1) z 1 ; d.- ® x  (2b  1) y  z b ; ° x  2by  z 4 ° x  by  az 1 ° x yz a ° x  y  (2b  1) z 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ­ ax  y  z ° e.- ® x  ay  z ° x  y  az ¯ ­ x  by  az ° i.- ® bx  ay  z ° ax  y  az ¯

b c; d 1 1 ; b

­ x  ay  z ° f.- ®bx  y  z ° x yz ¯ ­ x  3 y  bz ° j.- ® x  by  z ° x yz ¯

b a; 1 0 a ; b

­ x  y  (b  1) z 1 ° g.- ® x  ( a  1) y  z b ; ° (b  1) x  y  z 1 ¯ ­2bx  2 y  3z 1 ° k.- ® x  3ay  z b ; ° x  by  4 z 1 ¯

­ x  (2 a  1) y  z ° h.- ®(2 a  1) x  y  z ° x  y  (2b  1) z ¯ ­ ax  (b  2) y  z ° l.- ® bx  ( a  1) y  z ° 3x  (b  1) y  z ¯

1 b; 3 1 1; 1

­ x  by  az 2 ° m.- ® bx  y  z 3 ; ° 2x  y  z 1 ¯

­bx  3 y  bz b ° n.- ® 2 x  by  3z 1 ; ° x  y  az a ¯

­ (b  1) x  y  z 1 ° o.- ®( a  2) x  y  z b ; ° (b  3) x  y  z 1 ¯

­0.2bx  0.1y  z 0.2 ° p.- ® 0.1x  0.3by  z 0.1 ; °0.3x  0.4 y  az 0.3 ¯

­ bx  y  z 1 ° q.- ® x  a 2 y  z b ; ° x  y  bz 1 ¯

­ ax  y  z b ° r.- ® x  by  z 3 ; ° x  y  az b ¯

­bx  3 y  az 1 ° s.- ® ax  by  z 1 ; ° bx  y  az b ¯

­ x  y  ( a  3) z b ° t.- ® x  (b  3) y  z 1 ; ° ( a  3) x  y  z 1 ¯

­ x yz b ° u.- ®bx  y  z 1 ; ° ax  by  z a ¯

­ x  3ay  az 2 ° v.- ® 3bx  y  z b ; ° x  y  3z 3 ¯

­3ax  2 y  3z b ° w.- ® bx  2 ay  3z 1 ; ° x  y  3bz 1 ¯

­ x  y  z b3  b 2 °° x.- ® x  y  z a 2  a . ° x yz b °¯

4.2.17 Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando un método numérico: ­3.2 x  5.4 y  4.2 z  2.2u 2.6 ­7.9 x  5.6 y  5.7 z  7.2w ° 2.1x  3.2 y  3.1z  1.1u 4.8 °8.5 x  4.8 y  0.8 z  3.5w ° ° a.- ® ; b.- ® 1.2 x  0.4 y  0.8 z  0.8 u 3.6 ° ° 4.3x  4.2 y  3.2 z  9.3w °¯ 4.7 x  10.4 y  9.7 z  9.7u 8.4 °¯ 3.2 x  1.4 y  8.9 z  3.3w ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

6.68 9.95 ; 8.6 1 JOE GARCIA ARCOS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

­ 2.5 x  1.25 y  3.75 z  5u 0.625 ° 4.125 x  2.75 y  5.5 z  4.125u 1.25 ° c.- ® ; ° 8.125 x  4.875 y  3.25 z  1.625u 0.625 °¯5.25 x  5.25 y  1.75 z  3.5u 0, 625 ­2.4 x  0.2 y  0.3 z  1.1u  5.8w 23.84 ° 0.3x  0.1y  1.1z  10.2u  w 38.85 °° e.- ®0.5 x  6.2 y  0.1z  1.5u  1.2w 17.23 . °0.1x  2.1y  5.1z  0.2u  0.3w 6.56 ° ¯° 2.5 x  0.1y  0.2 z  0.3u  0.4w 6.63

183

­3.2 x  5.4 y  4.2 z  2.2u 2.6 ° 2.1x  3.2 y  3.1z  1.1u 4.8 ° d.- ® ; °1.2 x  0.4 y  0.8 z  0.8u 3.6 °¯ 4.7 x  10.4 y  9.7 z  9.7u 8.4

4.2.18 Resolver mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan los siguientes sistemas de ecuaciones: ­ x y z u 2 ­ x y z u 1 ­2 x  y  2 z  u ° x  y  3z  u 1 ° x y  z u 2 ° x  y  3z  3u ° ° ° a.- ® ; b.- ® ; c.- ® x  y  2 z  2 u  1 2 x  y  2 z  u 1 ° ° ° 3x  y  3z  u °¯ 3 x  y  z  u 1 °¯ x  2 y  z  2u 2 °¯ x  y  z  3u ­ 2x  3 y  z  u °3 x  2 y  5 z  u ° d.- ® ° x  3 y  2z  u °¯ x  y  2 z  3u

­ 3x  y  2 z  u ° x  3y  z  u ° g.- ® ° x  y  3z  u °¯ x  y  z  3u

0 1 ; 0 1

1 2 ; 1 1

0 1 ; 0 1

­ x  2 y  z  2u 0 ° x  3y  z  u 1 ° e.- ® ; °3 x  y  z  2u 0 °¯ x  y  2 z  u 1

­ x  y  z  3u ° x  y  3z  u ° f.- ® °x  3y  z  u °¯ 3 x  y  z  u

­ 5 x  y  3z  u 2 ° x  3 y  2 z  u 2 ° h.- ® ; °3x  2 y  z  2u 1 °¯ x  y  2 z  u 1

­2 x  2 y  3z  3u 1 ° 2 x  2 y  z  2u 1 ° i.- ® ; ° x  3 y  2 z  3u 1 °¯  x  3 y  z  2u 1

3 2 ; 1 1

­ x  2 y  3z  u °2 x  3 y  2 z  u ° j.- ® ° x  2 y  3z  u °¯ 2 x  3 y  z  2u

3 1 ; 2 1

­ 4x  3 y  2z  u °5 x  4 y  3 z  u ° k.- ® ° x  4 y  5 z  2u °¯2 x  y  2 z  3u

1 2 ; 1 2

­ 3x  y  3z  u ° 2x  3 y  2z  u ° l.- ® °3 x  2 y  z  3u °¯4 x  3 y  z  3u

­ x  2 y  z  3u ° x  2 y  3z  2u ° m.- ® ° 3x  y  2 z  u °¯ x  y  3z  2u

5 3 ; 1 2

­ x  3 y  z  2u ° x  2 y  2 z  2u ° n.- ® ° x  2 y  3z  u °¯  x  3 y  z  u

1

­ 5 x  3 y  z  2u °4 x  3 y  2 z  2u ° o.- ® ° 3x  2 y  3z  3u °¯ 2 x  y  z  4u

­ 3x  5 y  7 z  u ° x  7 y  5 z  3u ° p.- ® °2 x  7 y  4 z  u °¯ x  5 y  4 z  3u

4 3 ; 2 1

­ x  7 y  5 z  3u 5 °4 x  y  3z  2u 2 ° q.- ® ; ° 5 x  3 y  z  4u 3 °¯ x  6 y  4 z  u 2

­ 7 x  12 y  4 z  3u ° 3x  7 y  5 z  4u ° r.- ® ° 2 x  5 y  12 z  u °¯ x  12 y  15 z  2u

­ 4 x  3 y  z  5u ° x  10 y  z  3u ° t.- ® °4 x  2 y  5 z  u °¯ x  5 y  3z  2u

­3 x  4 y  5 z  u ° x  5 y  6 z  2u ° u.- ® °2 x  4 y  4 z  u °¯ x  5 y  5 z  3u

­2 x  4 y  5 z  6u ° x  3 y  3 z  4u ° s.- ® ° 3x  y  2 z  3u °¯ x  4 y  2 z  5u

1 1 ; 3 2

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1 2 3

5 2 ; 3 1

;

3 1 ; 2 4 1 2 ; 3 4 5 2 ; 3 4

4 1 . 3 2

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4.3 C U EST I O N A RI O Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas, indicar por que lo es: 4.3.1 Si las matrices aumentadas de dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

4.3.4 Si A es una matriz de orden m x n, entonces, para cada B  ƒm, entonces el sistema de ecuaciones A X = B tiene un número indeterminado de soluciones.

4.3.8 Para que un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas tenga soluciones no nulas es necesario y suficiente que el determinante de la matriz de coeficientes sea diferente de cero.

4.3.7 Para que un sistema homogéneo de ecuaciones lineales sea inconsistente, es necesario y suficiente que el rango de la matriz de coeficientes sea menor que el número de variables.

4.3.10 La solución general de un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales es igual a la suma de la solución general del sistema homogéneo asociado y de una solución cualquiera, pero fija, del sistema no homogéneo.

4.3.9 Cualquier combinación lineal de unas soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales será también una solución del mismo.

4.3.6 Para que un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales sea inconsistente, es necesario y suficiente que el rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la matriz aumentada. 4.3.5 Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene un número indeterminado de soluciones si, y sólo si el sistema tiene por lo menos una variable libre.

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4.3.2 Un sistema de ecuaciones lineales es consistente si y sólo si la columna del extremo derecho de la matriz aumentada es una columna pivote. 4.3.3 El sistema de ecuaciones A X = B tiene solución única si y sólo si B es una combinación lineal de las columnas de A.

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O BJ E T I V O Resolver problemas relacionados con los espacios vectoriales reales o complejos, interpretándolos como una estructura algebraica, utilizando matrices, determinantes, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en situaciones reales, propias de la ingeniería.

C O NT ENID O: 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

ESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS VECTORIALES COMBINACIONES LINEALES. SUBESPACIOS GENERADOS INTERSECCION Y SUMA DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL BASE Y DIMENSION VECTOR DE COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE CUESTIONARIO

5.1 ESP A C I OS V E C T O R I A L ES En esta sección se generalizará el concepto de vector. Se enunciará un conjunto de axiomas que, si una clase de objetos hace que se cumplan, permitirá denominar vectores a esos objetos. Los axiomas se elegirán abstrayendo las propiedades más importantes de los vectores en ƒn. El trabajo desarrollado en esta sección es muy útil, ya que proporciona una herra mienta poderosa para extender la representación geométrica a una a mplia variedad de problemas matemáticos importantes en los que de otra forma no se contaría con la intuición geométrica. La resolución de los problemas de cualquier género se reduce, al fin y al cabo, al estudio de ciertos conjuntos y, en primer lugar, al estudio de la estructura de dichos conjuntos. Para estudiar la estructura de conjuntos se emplean los más diversos métodos. Por ejemplo, partiendo de la propiedad característica que poseen los elementos o bien partiendo de las propiedades de las operaciones, si están definidas para los elementos. El último método parece ser de atracción especial debido a su generalidad. Efectivamente, ya hemos visto repetidamente que en los más diversos conjuntos pueden introducirse las más diversas operaciones que, no obstante, poseen propiedades iguales. Será evidente por esta razón que si en la investigación de los conjuntos se obtiene cierto resultado sólo en la base de las propiedades de una operación, este resultado tendrá lugar en todos los conjuntos, donde las operaciones poseen las mismas propiedades. En este caso la naturaleza concreta tanto de los elementos como de las operaciones sobre ellos puede ser completamente diferente.

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ESPACIOS VECTORIALES

Se conoce que en realidad detrás de los vectores están los objetos físicos bien reales. Por esto, la investigación detallada de la estructura de los conjuntos representa interés por lo menos para la física. Hay una tentación, originada por la sencillez de los conjuntos citados, que conduce al deseo de estudiarlos apoyándose sólo en las peculiaridades concretas de los elementos. Sin embargo, no podemos sino observar el hecho de que dichos conjuntos tienen mucho en común, razón por la cual parece racional comenzar su estudio partiendo de ciertas posiciones generales, abrigando esperanza, por lo menos, que tendremos éxito en evitar repeticiones fastidiosas y monótonas al pasar de la investigación de un conjunto a la del otro. No se desarrollaran las diferentes propiedades de los cuerpos abstractos y no trataremos de cuerpo específico alguno que no sea de los números racionales, reales y complejos. Es conveniente y cómodo, por el momento, no especificar la naturaleza exacta del cuerpo de escalares, porque gran parte de los espacios vectoriales es válida para cuerpos arbitrarios. El estudiante que no conoce los cuerpos abstractos no estará en desventaja, pues basta con que piense en K como en uno de los cuerpos que le son familiares. Todo lo que importa es que podamos efectuar las operaciones de adición y sustracción, multiplicación y división, en la forma usual. Más adelante tendremos que restringir a K al cuerpo de los números reales o al cuerpo de los números complejos, para obtener ciertos resultados clásicos; pero se pospondrá ese momento tanto como podamos. En general, usaremos letras minúsculas del alfabeto latino para denotar a los vectores. Una excepción es el vector nulo que se denotará por ‡. D E F I N I C I O N 5.1.1 Sea V un conjunto cualesquiera no vacío de elementos sobre el que están definidas dos operaciones: la adición y la multiplicación por escalares. Por adición se entiende una regla que asocia a cada par de elementos u y v en V un elemento u + v denominado suma de u y v; por multiplicación escalar se entiende una regla que asocia a cada escalar D y cada elemento u en V un elemento Du, denominado múltiplo escalar de u por D. Si los elementos u, v, w en V y los escalares D y E satisfacen los axiomas siguientes, entonces V se denomina espacio vectorial, y sus elementos se denominan vectores: 1.- Si u, v están en V, entonces u + v está en V. 2.- Si u, v están en V, entonces u + v = v + u. 3.- Si u, v, w están en V, entonces u + (v + w) = (u + v) + w. 4.- Existe un único elemento ‡ en V, denominado vector cero de V, tal que se cumple que ‡ + u = u + ‡ = u para todo u en V. 5.- Para todo u en V existe un elemento -u en V, denominado opuesto de u, tal que se cumple u + (-u) = (-u) + u = ‡. 6.- Si D es cualquier escalar y u es cualquier elemento en V, entonces Du está en V. 7.- Si u, v están en V y D es un escalar, entonces D(u + v) = Du + Dv. 8.- Si u está en V y D, E son escalares, entonces (D + E)u = Du + Eu. 9.- Si u está en V y D, E son escalares, entonces D(Eu) = (DE)u. 10.- Si u está en V y 1 es un escalar, 1u = u. Los elementos de cualquier espacio vectorial los llamaremos vectores, a pesar de que según su naturaleza concreta dichos elementos pueden ser bien distintos de los segmentos dirigidos. Las representaciones geométricas, relacionadas con el nombre de vectores, nos ayudaran en aclarar y, con frecuencia, en prever los resultados necesarios, como también en buscar la interpretación geométrica de diferentes hechos la cual no siempre resulta obvia. Cualquier tipo de objeto pueALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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de ser un vector, y es posible que las operaciones de adición y multiplicación escalar no guarden ninguna relación o semejanza con las operaciones vectoriales usuales sobre R n. El único requisito es que se cumplan los axiomas de la definición de espacio vectorial. A continuación damos a conocer algunas propiedades que provienen de la existencia de las operaciones de adición y multiplicación por un número. Conciernen, en lo esencial, a los vectores nulo y opuesto. T E O R E M A 5.1.1 Sean V un espacio vectorial, u un elemento de V y a un escalar, entonces se cumple lo siguiente: 1.- 0u = ‡. 2.- a‡ = ‡. 3.- (-1)u = -u. 4.- Si au = ‡, entonces a = 0 o u = ‡. D E M OST R A C I O N 1.- Se puede escribir 0u + 0u = (0 + 0)u = 0u Por el axioma 5, el vector 0 u tiene un negativo: -0u. Al sumar este negativo a ambos miembros de la última expresión se obtiene (0u + 0u) + (-0u) = 0u + (-0u) o 0u + (0u + (-0u)) = 0u + (-0u) 0u + ‡ = ‡ 0u = ‡ 2.- Ya que a(v + ‡) = av + a‡, entonces a‡ = ‡. 3.- Para probar (-1)u = -u, es necesario demostrar que u + (-1)u = ‡. Para ver esto, obsérvese que u + (-1)u = 1u + (-1)u = (1 + (-1))u = 0u = ‡. 4.- Efectivamente, si la igualdad au = ‡ se realiza, puede haber una de las dos posibilidades: o bien a = 0 o bien a z 0. El caso a = 0 confirma la afirmación. Sea ahora, a z 0. En este caso 1 1 §1 · u 1˜ u ¨ ˜ a ¸ u ( au ) ˜ ‡ = ‡. a a a © ¹ De esta forma, desde el punto de vista de las operaciones de multiplicación, adición y sustracción tienen lugar formalmente todas las reglas de transformaciones equivalentes para las expresiones algebraicas. En algunas aplicaciones, es necesario alterar la definición de espacio vectorial para que los escalares sean números complejos. Entonces se habla de un espacio vectorial complejo. En gran medida, la teoría de los espacios vectoriales reales es igual que la teoría de los espacios vectoriales complejos. En consecuencia, a lo largo del capítulo, se puede reemplazar la expresión espacio vectorial por espacio vectorial complejo. E J E M P L O 5.1.1 Considérese las funciones f : ƒ o ƒ. Dentro del conjunto de todas estas funciones está el subconjunto que consiste en todas las funciones f derivables dos veces que satisfacen a la ecuación diferencial f ´´ + f = 0, donde cada signo de prima indica derivación. Por supuesto, f ´´ es nuevamente una función de ƒ en ƒ. Podemos afirmar que el subconjunto ƒ(ƒ) formado por todas las funciones f que satisfacen la ecuación diferencial, es un espacio vectorial sobre ƒ, donde utilizamos las mismas operaciones de suma y producto por escalares en este subconjunto que en ƒ(ƒ). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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ESPACIOS VECTORIALES

SO L U C I O N Verifíquense los axiomas (1) y (6). Para hacerlo con (1), hemos de demostrar que si las funciones f y g satisfacen ambas la ecuación diferencial, entonces también la satisfará f + g. Pero esto es trivial, puesto que de f ´´ + f = 0 y g´´ + g = 0 obtenemos fácilmente (f + g)´´ + (f + g) = 0. De forma análoga, si D es un número real, entonces de f ´´ + f = 0 se halla que (Df)´´ + (Df) = 0. Por tanto, también es satisfecho el axioma (6). Los otros axiomas automáticamente se cumplen. ’ E J E M P L O 5.1.2 Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales: a.- En (-f; f), los polinomios de grado mayor o igual que 2; b.- En (-f; f), los polinomios que tienen un cero en x = 2. SO L U C I O N a.- Tenemos que analizar el conjunto S = {p(t)  P / p(t) = a2t2 + a3t3 + ... + antn, donde a2, a3, ..., an  ƒ}. A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 están en S. Es decir: (p1 + p2)(t) = p1(t) + p2(t) = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + (b2t2 + b3t3 + ... + bntn) = (a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t3 « an + bn)tn = c2t2 + c3t3 «+ cntn  S. 2.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 = p2 + p1. Es decir: (p1 + p2)(t) = p1(t) + p2(t) = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + (b2t2 + b3t3 + ... + bntn) = (a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t3 « an + bn)tn = (b2 + a2)t2 + (b3 + a3)t3 « bn + an)tn = p2(t) + p1(t) = (p2 + p1)(t). 3.- Si p1, p2, p3 están en S, entonces p1 + (p2 + p3) = (p1 + p2) + p3. Es decir: [p1 + (p2 + p3)](t) = p1(t) + [p2(t) + p3(t)] = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + [(b2 + c2)t2 « bn + cn)tn] = (a2 + b2 + c2)t2 + (a3 + b3 + c3)t3 « an + bn + cn)tn] = [(a2 + b2) + c2]t2 + [(a3 + b3) + c3]t3 «> an + bn) + cn]tn = [(a2 + b2)t2 + (a2 + b2)t2 « an + bn)tn] + (c2t2 + c3t3 + ... + cntn) = [p1(t) + p2(t)] + p3(t) = [(p1 + p2) + p3](t). 4.- Existe un único elemento ‡p en S, denominado vector cero de S, tal que se cumple que ‡p + p = p + ‡p = p para todo p en S. Es decir: (‡p + p)(t) = ‡p(t) + p(t) = (0t2 + 0t3 + ... + 0tn) + (a2t2 + a3t3 + ... + antn) = (0 + a2)t2 + (0 + a3)t3 « an)tn = a2t2 + a3t3 + ... + antn = p(t). 5.- Para todo p en S existe un elemento ±p en S, denominado opuesto de p, tal que se cumple p + (-p) = (-p) + p = ‡p. Es decir: [p + (-p)](t) = p(t) + [-p(t)] = (a 2t2 + a 3t3 + ... + a ntn) + (- a 2t2 - a 3t3 - ... - a ntn) = (a 2 - a 2)t2 + ( a 3 ± a 3)t3 « a n - a n)tn = 0t2 + 0t3 «+ 0tn = ‡p(t). 6.- Si D es cualquier escalar y p es cualquier elemento en S, entonces Dp está en S. Es decir: (Dp)(t) = Dp(t) = D(a2t2 + a3t3 + ... + antn) = (Da2)t2 + (Da3)t3 + ... + (Dan)tn = b2t2 + b3t3 + ... + bntn  S. 7.- Si p1, p2 están en S y D es un escalar, entonces D(p1 + p2) = Dp1 + Dp2. Es decir: [D(p1 + p2)](t) = D[p1(t) + p2(t)] = D[(a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t3 « an + bn)tn] ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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= (Da2 + Db2)t2 + (Da3 + Db3)t3 « Dan + Dbn)tn = (Da2t2 + Da3t3 + ... + Dantn) + (Db2t2 + Db3t3 + ... + Dbntn) = D(a2t2 + a3t3 + ... + antn) + D(b2t2 + b3t3 + ... + bntn) = Dp1(t) + Dp2(t). 8.- Si p está en S y D, E son escalares, entonces (D + E)p = Dp + Ep. Es decir: [(D + E)p](t) = (D + E)p(t) = (D + E)(a2t2 + a3t3 + ... + antn) = (D + E)a2t2 + (D + E)a3t3 + ... + (D + E)antn = (Da2t2 + Da3t3 + ... + Dantn) + (E a2t2 + Ea3t3 + ... + E antn) = D(a2t2 + a3t3 + ... + antn) + E(a2t2 + a3t3 + ... + antn) = Dp(t) + Ep(t). 9.- Si p está en S y D, E son escalares, entonces D(Ep) = (DE)p. Es decir: [D(Ep)](t) = D[E p(t)] = D(E a2t2 + E a3t3 + ... + E antn) = DE a2t2 + DE a3t3 + ... + DE antn = DE(a2t2 + a3t3 + ... + antn) = (DE)p(t). 10.- Si p está en S y 1 es un escalar, 1˜p = p. Es decir: (1˜p)(t) = 1˜p(t) = 1˜(a2t2 + a3t3 + ... + antn) = 1˜a2t2 + 1˜a3t3 + ... + 1˜antn = a2t2 + a3t3 + ... + antn = p(t). Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial. b.- En este caso tenemos que S = {p  „n / p(t) = (t ± 2)q(t), q(t)  „n-1}. A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 están en S. Es decir: p1(t) + p2(t) = (t ± 2)q1(t) + (t ± 2)q2(t) = (t ± 2)(q1(t) + q2(t)) = (t ± 2)h(t)  S. 2.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 = p2 + p1. Es decir: p1(t) + p2(t) = (t ± 2)q1(t) + (t ± 2)q2(t) = (t ± 2)[q1(t) + q2(t)] = (t ± 2) )[q2(t) + q1(t)] = (t ± 2)q2(t) + (t ± 2)q1(t) = p2(t) + p1(t). 3.- Si p1, p2, p3 están en S, entonces p1 + (p2 + p3) = (p1 + p2) + p3. Es decir: p1(t) + [p2(t) + p3(t)] = (t ± 2)q1(t) + [(t ± 2)q2(t) + (t ± 2)q3(t)] = (t ± 2)q1(t) + (t ± 2)q2(t) + (t ± 2)q3(t) = [(t ± 2)q1(t) + (t ± 2)q2(t)] + (t ± 2)q3(t) = [p1(t) + p2(t)] + p3(t). 4.- Existe un único elemento ‡p en S, denominado vector cero de S, tal que se cumple que ‡p + p = p + ‡p = p para todo p en S. Es decir: ‡p(t) + p(t) = ‡p(t) + (t ± 2)q(t) = (t ± 2)q(t) + ‡p(t) = (t ± 2)q(t) = p(t). 5.- Para todo p en S existe un elemento ±p en S, denominado opuesto de p, tal que se cumple p + (-p) = (-p) + p = ‡p. Es decir: p(t) + [-p(t)] = (t ± 2)q(t) + [- (t ± 2)q(t)] = (t ± 2)q(t) - (t ± 2)q(t) = (t ± 2)[q(t) - q(t)] = (t ± 2)‡p(t) = ‡p(t). 6.- Si D es cualquier escalar y p es cualquier elemento en S, entonces Dp está en S. Es decir: Dp(t) = D[(t ± 2)q(t)] = D(t ± 2)q(t) = (t ± 2)h(t)  S. 7.- Si p1, p2 están en S y D es un escalar, entonces D(p1 + p2) = Dp1 + Dp2. Es decir: D[p1(t) + p2(t)] = D[(t ± 2)q1(t) + (t ± 2)q2(t)] = D(t ± 2)q1(t) + D(t ± 2)q2(t) = Dp1(t) + Dp2(t). 8.- Si p está en S y D, E son escalares, entonces (D + E)p = Dp + Ep. Es decir: (D + E)p(t) = (D + E)[(t ± 2)q(t)] = D(t ± 2)q(t) + E(t ± 2)q(t) = Dp(t) + Ep(t). 9.- Si p está en S y D, E son escalares, entonces D(Ep) = (DE)p. Es decir: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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D[Ep(t)] = D[E(t ± 2)q(t)] = DE(t ± 2)q(t) = (DE)(t ± 2)q(t) = (DE)p(t). 10.- Si p está en S y 1 es un escalar, 1˜p = p. Es decir: 1˜p(t) = 1(t ± 2)q(t) = (t ± 2)q(t) = p(t). Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial. ’ EJ E M P L O 5.1.3 Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales: a.- Todas las f en C 2[0; 1] tales que f ´´(x) = x2f(x); b.- Todas las f en C(-1; 1), tales que f es monótona y estrictamente creciente. SO L U C I O N a.- En este caso tenemos que S = {f  F / f ´´(x) = x2f(x)}. A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir: (f1 + f2)´´(x) = f1´´(x) + f2´´(x) = x2f1(x) + x2f2(x) = x2[f1 + f2](x) = x2g(x)  S. 2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir: (f1 + f2)´´(x) = f1´´(x) + f2´´(x) = x2f1(x) + x2f2(x) = x2[f1 + f2](x) = x2[f2 + f1](x) = x2f2(x) + x2f1(x) = (f2 + f1)´´(x). 3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir: [f1 + (f2 + f3)]´´(x) = f1´´(x) + (f2 + f3)´´(x) = x2f1(x) + x2(f2 + f3)(x) = x2f1(x) + x2f2(x) + x2f3(x) = x2(f1 + f2)(x) + x2f3(x) = (f1 + f2)´´(x) + f3´´(x) = [(f1 + f2) + f3]´´(x). 4.- Existe un único elemento ‡ f en S, denominado función cero de F, tal que se cumple que ‡ f + f = f + ‡ f = f para toda f en S. Es decir: [‡ f + f]´´(x) = ‡ f ´´(x) + f ´´(x) = ‡ + x2f(x) = x2f(x) + ‡ = x2f(x) = f ´´(x). 5.- Para todo f en S existe un elemento ±f en S, denominado opuesto de f, tal que se cumple f + (-f) = (-f) + f = ‡ f. Es decir: [f + (-f)]´´(x) = f ´´(x) ± f ´´(x) = x2f(x) - x2f(x) = x2(f ± f)(x) = x2‡f(x) = ‡f ´´(x). 6.- Si D es cualquier escalar y f es cualquier elemento en S, entonces Df está en S. Es decir: (Df)´´(x) = Df ´´(x) = D[x2f(x)] = x2[Df(x)] = x2g(x)  S. 7.- Si f1, f2 están en S y D es un escalar, entonces D(f1 + f2) = Df1 + Df2. Es decir: D(f1 + f2)´´(x) = Df1´´(x) + Df2´´(x) = D[x2f1(x)] + D[x2f2(x)] = Dx2f1(x) + Dx2f2(x) = Df1´´(x) + Df2´´(x). 8.- Si f está en S y D, E son escalares, entonces (D + E)f = Df + E f. Es decir: (D + E)f ´´(t) = (D + E)x2f(x) = Dx2f(x) + Ex2f(x) = Df ´´(x) + Ef ´´(x). 9.- Si f está en S y D, E son escalares, entonces D(E f) = (DE)f. Es decir: D(E f)´´(x) = D[E f ´´(x)] = D[Ex2f(x)] = DEx2f(x) = (DE)x2f(x) = (DE)f ´´(x). 10.- Si f está en S y 1 es un escalar, 1˜f = f. Es decir: 1˜f ´´(x) = 1˜x2f(x) = x2f(x) = f ´´(x). Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial. b.- En este caso tenemos que S = {f  ‚ / f ´(x) > 0}. A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir: (f1 + f2)´(x) = f1´(x) + f2´(x) > 0 + 0 = 0  S. 2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir: (f1 + f2)´(x) = f1´(x) + f2´(x) > 0 + 0 = f2´(x) + f1´ = (f2 + f1)´(x). 3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir: [f1 + (f2 + f3)]´(x) = f1´(x) + (f2 + f3)´(x) > 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0 = (f1 + f2)´(x) + f3´(x) = [(f1 + f2) + f3]´(x). 4.- Existe un único elemento ‡ f en S, denominado función cero de S, tal que se cumple que ‡ f + f = f + ‡ f = f para toda f en S. Es decir: (‡ f + f)´(x) = ‡ f ´(x) + f ´(x). Como la primera derivada de la función nula es igual a cero, entonces la función nula no pertenece al conjunto S. Entonces, S no tiene estructura de espacio vectorial. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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EJ E M P L O 5.1.4 Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales: a.- El conjunto de las funciones diferenciables en [a; b]; b.- El conjunto de todas las funciones con derivada segunda en [0; 1]. SO L U C I O N f ( x  h)  f ( x ) ­ ½ a.- En este caso tenemos que S ® f  F / f ´( x) lim , a d x d b¾ . h o0 h ¯ ¿ A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir: ( f  f )( x  h)  ( f1  f 2 )( x) ( f1  f 2 )´( x) lim 1 2 h o0 h [ f1 ( x  h)  f1 ( x)]  [ f 2 ( x  h)  f 2 ( x)] lim h o0 h f1 ( x  h)  f1 ( x) f ( x  h)  f 2 ( x ) lim  lim 2 h o0 h o 0 h h f1´( x)  f 2 ´( x)  S. 2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir: ( f  f )( x  h)  ( f1  f 2 )( x) ( f1  f 2 )´( x) lim 1 2 h o0 h [ f1 ( x  h)  f1 ( x)]  [ f 2 ( x  h)  f 2 ( x)] lim h o0 h [ f 2 ( x  h)  f 2 ( x)]  [ f1 ( x  h)  f1 ( x)] lim h o0 h ( f 2  f1 )( x  h)  ( f 2  f1 )( x) lim h o0 h ( f 2  f1 )´( x) ( f 2  f1 )´( x) . 3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir: [ f  ( f 2  f 3 )]( x  h)  [ f1  ( f 2  f 3 )]( x) [ f1  ( f 2  f 3 )]´( x) lim 1 h o0 h [ f1 ( x  h)  f1 ( x)]  [( f 2  f 3 )( x  h)  ( f 2  f 3 )( x)] lim h o0 h [ f1 ( x  h)  f1 ( x)]  [ f 2 ( x  h)  f 2 ( x)]  [ f 3 ( x  h)  f 3 ( x)] lim ho0 h [( f1  f 2 )( x  h)  ( f1  f 2 )( x)]  [ f 3 ( x  h)  f 3 ( x)] lim h o0 h [( f1  f 2 )  f 3 ]( x  h)  [( f1  f 2 )  f 3 ]( x) lim h o0 h [( f1  f 2 )  f 3 ]´( x) . 4.- Existe un único elemento ‡ f en S, denominado función cero de S, tal que se cumple que ‡ f + f = f + ‡ f = f para toda f en S. Es decir: (‡ f  f )( x  h)  (‡ f  f )( x) (‡ f  f )´( x) lim h o0 h [‡ f ( x  h)  ‡ f ( x)]  [ f ( x  h)  f ( x)] lim h o0 h ‡ f ( x  h)  ‡ f ( x ) f ( x  h)  f ( x ) lim  lim h o0 h o0 h h 0  f ´( x) f ´( x) . 5.- Para todo f en S existe un elemento ±f en S, denominado opuesto de f, tal que se cumple f + (-f) = (-f) + f = ‡ f. Es decir: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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[ f  ( f )]( x  h)  [ f  ( f )]( x) h ( f  f )( x  h)  ( f  f )( x) lim h o0 h ‡ f ( x  h)  ‡ f ( x ) lim ‡ f ´( x ) h o0 h 6.- Si D es cualquier escalar y f es cualquier elemento en S, entonces Df está en S. Es decir: (Df )( x  h)  (Df )( x) f ( x  h)  f ( x) (Df )´( x) lim D ˜ lim Df ´( x)  S. ho0 ho0 h h 7.- Si f1, f2 están en S y D es un escalar, entonces D(f1 + f2) = Df1 + Df2. Es decir: [D( f1  f 2 )]( x  h)  [D( f1  f 2 )]( x) [D( f1  f 2 )]´( x) lim h o0 h (Df1  Df 2 )( x  h)  (Df1  Df 2 )( x) lim h o0 h D[ f1 ( x  h)  f1 ( x)]  D[ f 2 ( x  h)  f 2 ( x)] lim h o0 h f1 ( x  h)  f1 ( x) f ( x  h)  f 2 ( x ) D ˜ lim  D ˜ lim 2 h o0 h o0 h h Df1´( x)  Df 2 ´( x) . [ f  ( f )]´( x)

lim

h o0

8.- Si f está en S y D, E son escalares, entonces (D + E)f = Df + E f. Es decir: [(D  E) f ]( x  h)  [(D  E) f ]( x) [(D  E) f ]´( x) lim h o0 h (Df  Ef )( x  h)  (Df  E f )( x) lim h o0 h D[ f ( x  h)  f ( x)]  E[ f ( x  h)  f ( x)] lim h o0 h f ( x  h)  f ( x ) f ( x  h)  f ( x ) D ˜ lim  E˜ lim h o0 h o0 h h Df ´( x)  Ef ´( x) . 9.- Si f está en S y D, E son escalares, entonces D(E f) = (DE)f. Es decir: [D(Ef )]( x  h)  [D(E f )]( x) D[(Ef )( x  h)  (Ef )( x)] [D(Ef )]´( x) lim lim ho0 h o 0 h h (Ef )( x  h)  (Ef )( x) f ( x  h)  f ( x) D ˜ lim DE˜ lim (DE) f ´( x) ho0 ho0 h h . 10.- Si f está en S y 1 es un escalar, 1˜f = f. Es decir: (1˜ f )( x  h)  (1 ˜ f )( x) f ( x  h)  f ( x) (1˜ f )´( x) lim lim f ´( x) . h o0 h o0 h h Como se prueban todos los axiomas, entonces S tiene estructura de espacio vectorial. f ´( x  h)  f ´( x) ­ ½ , 0 d x d 1¾ . b.- En este caso tenemos que S ® f  F / f ´´( x) lim h o0 h ¯ ¿ A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir: ( f  f )´( x  h)  ( f1  f 2 )´( x) ( f1  f 2 )´´( x) lim 1 2 h o0 h [ f1´( x  h)  f1´( x)]  [ f 2 ´( x  h)  f 2 ´( x)] lim h o0 h f1´( x  h)  f1´( x) f ´( x  h)  f 2 ´( x) lim  lim 2 f1´´( x)  f 2 ´´( x)  S. ho0 h o 0 h h 2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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( f1  f 2 )´( x  h)  ( f1  f 2 )´( x) h [ f1´( x  h)  f1´( x)]  [ f 2 ´( x  h)  f 2 ´( x)] lim h o0 h [ f 2 ´( x  h)  f 2 ´( x)]  [ f1´( x  h)  f1´( x)] lim h o0 h ( f 2  f1 )´( x  h)  ( f 2  f1 )´( x) lim h o0 h ( f 2  f1 )´´( x) . 3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir: [ f  ( f 2  f 3 )]´( x  h)  [ f1  ( f 2  f 3 )]´( x) [ f1  ( f 2  f 3 )]´´( x) lim 1 h o0 h [ f1´( x  h)  f1´( x)]  [( f 2  f 3 )´( x  h)  ( f 2  f 3 )´( x)] lim h o0 h [ f1´( x  h)  f1´( x)]  [ f 2 ´( x  h)  f 2 ´( x)]  [ f 3´( x  h)  f 3´( x)] lim ho0 h [( f1  f 2 )´( x  h)  ( f1  f 2 )´( x)]  [ f 3´( x  h)  f 3´( x)] lim h o0 h [( f1  f 2 )  f 3 ]´( x  h)  [( f1  f 2 )  f 3 ]´( x) lim [( f1  f 2 )  f 3 ]´´( x) . ho0 h 4.- Existe un único elemento ‡ f en S, denominado función cero de S, tal que se cumple que ‡ f + f = f + ‡ f = f para toda f en S. Es decir: (‡ f  f )´( x  h)  (‡ f  f )´( x) (‡ f  f )´( x) lim h o0 h [‡ f ´( x  h)  ‡ f ´( x)]  [ f ´( x  h)  f ´( x)] lim h o0 h ‡ f ´( x  h)  ‡ f ´( x) f ´( x  h)  f ´( x) lim  lim h o0 h o0 h h 0  f ´´( x) f ´´( x) . 5.- Para todo f en S existe un elemento ±f en S, denominado opuesto de f, tal que se cumple f + (-f) = (-f) + f = ‡ f. Es decir: [ f  ( f )]´( x  h)  [ f  ( f )]´( x) [ f  ( f )]´´( x) lim h o0 h ( f  f )´( x  h)  ( f  f )´( x) lim h o0 h ‡ f ´( x  h)  ‡ f ´( x) lim ‡ f ´´( x ) h o0 h 6.- Si D es cualquier escalar y f es cualquier elemento en S, entonces Df está en S. Es decir: (Df )´( x  h)  (Df )´( x) f ´( x  h)  f ´( x) (Df )´´( x) lim D ˜ lim Df ´´( x)  S. ho0 ho0 h h 7.- Si f1, f2 están en S y D es un escalar, entonces D(f1 + f2) = Df1 + Df2. Es decir: [D( f1  f 2 )]´( x  h)  [D( f1  f 2 )]´( x) [D( f1  f 2 )]´´( x) lim ho0 h (Df1  Df 2 )´( x  h)  (Df1  Df 2 )´( x) lim h o0 h D[ f1´( x  h)  f1´( x)]  D[ f 2 ´( x  h)  f 2 ´( x)] lim h o0 h ( f1  f 2 )´´( x)

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lim

h o0

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f1´( x  h)  f1´( x) f ´( x  h)  f 2 ´( x)  D ˜ lim 2 h o0 h h Df1´´( x)  Df 2 ´´( x) . 8.- Si f está en S y D, E son escalares, entonces (D + E)f = Df + E f. Es decir: [(D  E) f ]´( x  h)  [(D  E) f ]´( x) [(D  E) f ]´´( x) lim h o0 h (Df  Ef )´( x  h)  (Df  Ef )´( x) lim h o0 h D[ f ´( x  h)  f ´( x)]  E[ f ´( x  h)  f ´( x)] lim h o0 h f ´( x  h)  f ´( x) f ´( x  h)  f ´( x) D ˜ lim  E˜ lim h o0 h o0 h h Df ´´( x)  Ef ´´( x) . 9.- Si f está en S y D, E son escalares, entonces D(E f) = (DE)f. Es decir: [D(Ef )]´( x  h)  [D(E f )]´( x) D[(Ef )´( x  h)  (Ef )´( x)] [D(Ef )]´´( x) lim lim h o0 h o 0 h h (Ef )´( x  h)  (Ef )´( x) f ´( x  h)  f ´( x) D ˜ lim DE˜ lim (DE) f ´´( x) ho0 ho0 h h . 10.- Si f está en S y 1 es un escalar, 1˜f = f. Es decir: (1 ˜ f )´( x  h)  (1 ˜ f )´( x) f ´( x  h)  f ´( x) (1˜ f )´´( x) lim lim f ´´( x) . ho0 ho0 h h Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial. ’ D ˜ lim

h o0

EJ E M P L O 5.1.5 Verifique que los conjuntos siguientes de funciones no son espacios vectoriales: a.- El conjunto de todas las funciones f diferenciables en [0; 1] tales que f ´ = f ± 1; b.- El conjunto de todas las funciones f en [0; 2] con la propiedad que x d~f(x)~ en 0 d x d 2; SO L U C I O N a.- En este caso tenemos que S = {f  F / f ´(x) = f(x) - 1, 0 d x d 1}. A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir: (f1 + f2)´(x) = f1´(x) + f2´(x) = [f1(x) ± 1] + [f2(x) ± 1] = (f1 + f2)(x) ± 2  S. Como no se cumple el primer axioma, entonces S no tiene estructura de espacio vectorial. b.- En este caso tenemos que S = {f  F / ~f(x)~ t x, 0 d x d 2}. A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir: ~(f1 + f2)(x)~ = ~f1(x) + f2(x)~ d ~f1(x)~ + ~f2(x)~ = x + x = 2x  S. Como no se cumple el primer axioma, entonces S no tiene estructura de espacio vectorial. ’ EJ E M P L O 5.1.6 Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales: a.- S consiste en todas las soluciones de y´´ - 8xy = 0, con la suma de funciones y la multiplicación de una función por un escalar usuales; b.- V consta de todas las funciones reales y continuas definidas en [0; 1] tales que 1

³ 0 f ( x) dx

0 , con la suma de funciones y la multiplicación de una función por un

escalar usuales. SO L U C I O N a.- En este caso tenemos que S = {y  F / y´´ - 8xy = 0}. A continuación ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si y1, y2 están en S, entonces y1 + y2 están en S. Es decir: (y1 + y2)´´ ± 8x(y1 + y2) = y1´´ + y2´´ ± 8xy1 ± 8xy2 = (y1´´ ± 8xy1) + (y2´´ ± 8xy2) = 0 + 0 = 0  S. 2.- Si y1, y2 están en S, entonces y1 + y2 = y2 + y1. Es decir: (y1 + y2)´´ ± 8x(y1 + y2) = y1´´ + y2´´ ± 8xy1 ± 8xy2 = (y1´´ ± 8xy1) + (y2´´ ± 8xy2) = (y2´´ ± 8xy2) + (y1´´ ± 8xy1) = (y2 + y1)´´ ± 8x(y2 + y1). 3.- Si y1, y2, y3 están en S, entonces y1 + (y2 + y3) = (y1 + y2) + y3. Es decir: [y1 + (y2 + y3)]´´ ± 8x[y1 + (y2 + y3)] = y1´´ + (y2 + y3)´´ ± 8xy1 ± 8x(y2 + y3) = y1´´ + y2´´ + y3´´ ± 8xy1 ± 8xy2 - 8xy3 = (y1 + y2)´´ + y3´´ ± 8x(y1 + y2) ± 8xy3 = [(y1 + y2) + y3)]´´ ± 8x[(y1 + y2) + y3]. 4.- Existe un único elemento ‡y en S, denominado función cero de S, tal que se cumple que ‡y + y = y + ‡y = y para toda y en S. Es decir: (‡y + y)´´(x) ± 8x(‡y + y) = ‡y´´(x) + y´´(x) ± 8x‡y ± 8xy = y´´(x) ± 8xy = 0. 5.- Para todo y en S existe un elemento ±y en S, denominado opuesto de y, tal que se cumple y + (-y) = (-y) + y = ‡y. Es decir: [y + (-y)]´´ ± 8x[y + (-y)] = y ´´ ± y´´ ± 8xy + 8xy = ‡y´´ - 8x‡y = 0. 6.- Si D es cualquier escalar y y es cualquier elemento en S, entonces Dy está en S. Es decir: D(y´´ ± 8xy) = Dy´´ - D8xy = (Dy)´´ - 8x(Dy) = z´´ - 8xz = 0  S. 7.- Si y1, y2 están en S y D es un escalar, entonces D(y1 + y2) = Dy1 + Dy2. Es decir: [D(y1 + y2)]´´ - 8Dx(y1 + y2) = (Dy1 + Dy2)´´ - 8x(Dy1 + Dy2) = Dy1´´ + Dy2´´ - 8Dxy1 - 8Dxy2 = (Dy1´´ - 8Dxy1) + (Dy2´´ - 8Dxy2) = D(y1´´ - 8xy1) + D(y2´´ - 8xy2) 8.- Si y está en S y D, E son escalares, entonces (D + E)y = Dy + E y. Es decir: (D + E)(y´´ - 8xy) = (D + E)y´´ - 8(D + E)xy = Dy´´ + Ey´´ - 8Dxy - 8Exy = (Dy´´ - 8Dxy) + (Ey´´ - 8Exy) = D(y´´ - 8xy) + E(y´´ - 8xy). 9.- Si y está en S y D, E son escalares, entonces D(Ey) = (DE)y. Es decir: D[E(y´´ - 8xy)] = D(Ey´´ - 8Exy) = DEy´´ - 8DExy = (DE)(y´´ - 8xy). 10.- Si y está en S y 1 es un escalar, 1˜y = y. Es decir: 1˜(y´´ - 8xy) = 1˜y´´ - 1˜8xy) = y´´ - 8xy. Como se prueban todos los axiomas, entonces S tiene estructura de espacio vectorial. b.- En este caso tenemos que

V

^f F / ³

1 0

`

f ( x) dx 0, 0 d x d 1 . A

continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en V, entonces f1 + f2 están en V. Es decir: 1

1

1

³ 0 ( f1  f 2 )( x) dx ³ 0 f1 ( x) dx  ³ 0 f 2 ( x) dx

0  0 0  S.

2.- Si f1, f2 están en V, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir: 1

1

1

1

1

³ 0 ( f1  f 2 )( x) dx ³ 0 f1 ( x) dx  ³ 0 f 2 ( x) dx ³ 0 f 2 ( x) dx  ³ 0 f1 ( x) dx

00 0

3.- Si f1, f2, f3 están en V, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir: 1

1

1

1

1

³ 0 [ f1  ( f 2  f3 )]( x) dx ³ 0 f1 ( x) dx  ³ 0 ( f 2  f3 )( x) dx 1

³ 0 f1 ( x) dx  ³ 0 f 2 ( x) dx  ³ 0 f3 ( x) dx 1

1

³ 0 ( f1  f 2 )( x) dx ³ 0 f3 ( x) dx 1

³ 0 [( f1  f 2 )  f3 ]( x) dx . ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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4.- Existe un único elemento ‡ f en V, denominado función cero de V, tal que se cumple que ‡ f + f = f + ‡ f = f para toda f en V. Es decir: 1

³ 0 (‡ f

1

³ 0 ‡ f ( x)

 f )( x) dx

1

1

dx  ³ f ( x) dx

1

³ 0 f ( x) dx  ³ 0 ‡ f ( x)

0

dx 0  0 0

. 5.- Para todo f en V existe un elemento ±f en V, denominado opuesto de f, tal que se cumple f + (-f) = (-f) + f = ‡ f. Es decir: 1

1

1

1

1

³ 0 [ f  ( f )]( x) dx ³ 0 f ( x) dx  ³ 0 ( f )( x) dx ³ 0 f ( x) dx  ³ 0 f ( x) dx

00 0 .

6.- Si D es cualquier escalar y f es cualquier elemento en V, entonces Df está en V. Es decir: 1

1

³ 0 (Df )( x) dx ³ 0 Df ( x) dx

1

D ³ f ( x) dx D ˜ 0 0  S 0

7.- Si f1, f2 están en V y D es un escalar, entonces D(f1 + f2) = Df1 + Df2. Es decir: 1

1

1

1

³ 0 [D( f1  f 2 )]( x) dx ³ 0 (Df1  Df 2 )]( x) dx ³ 0 Df1 ( x) dx  ³ 0 Df 2 ( x) dx 1

1

0

0

D ³ f1 ( x) dx  D ³ f 2 ( x) dx D ˜ 0  D ˜ 0 0

8.- Si f está en V y D, E son escalares, entonces (D + E)f = Df + E f. Es decir: 1

1

1

1

³ 0 [(D  E) f ]( x) dx ³ 0 (Df  Ef )( x) dx ³ 0 Df ( x) dx  ³ 0 Ef ( x) dx 1

1

0

0

D ³ f ( x) dx  E³ f ( x) dx D ˜ 0  E ˜ 0 0

9.- Si f está en V y D, E son escalares, entonces D(E f) = (DE)f. Es decir: 1

³ 0 D(Ef )( x) dx

1

1

1

0

0

0

D ³ (Ef )( x) dx D ³ Ef ( x) dx DE³ f ( x) dx (DE) ˜ 0 0 .

10.- Si f está en V y 1 es un escalar, 1˜f = f. Es decir: 1

³ 0 (1˜ f )( x) dx

1

1˜ ³ f ( x) dx 0

1

³ 0 f ( x) dx

0.

Como se prueban todos los axiomas, entonces S es espacio vectorial. ’

PR O B L E M AS 5.1.1 Demuéstrese que el conjunto compuesto solamente por el número 0 es un espacio vectorial, con las reglas habituales de la adición y la multiplicación de números. 5.1.2 Sea P m el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales y de grado d m. Demuestre que P m es un espacio vectorial, con la suma de polinomios y la multiplicación de un polinomio por un escalar usuales. 5.1.3 V consta de todas las funciones reales y continuas definidas en >0; [email protected] tales que f(1) =1, con la suma de funciones y la multiplicación de una función por un escalar usuales. Muestre que V no es un espacio vectorial. 5.1.4 „m consiste en todos los polinomios con coeficientes reales. Demuestre que „m es un espacio vectorial, con la suma de polinomios y la multiplicación de un polinomio por un escalar usuales. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

5.1.5 Sea n un entero positivo. Sea „n el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales y de grado n, con la suma de polinomios y la multiplicación de un polinomio por un escalar usuales. Demuestre que „n no es un espacio vectorial. ¿Qué condiciones de la definición fallan? 5.1.6 Demuéstrese que cada uno de los conjuntos siguientes de funciones es un espacio vectorial: a.- Todos los polinomios a 0 + a 1x2 « a kx2k que no contienen términos de grado impar. b.- Todas las funciones continuas en >0; [email protected] que tienen un cero en 1. c.- Todas las funciones definidas en >0; [email protected] cuyos límites existen cuando x o 0+. d.- Todas las combinaciones lineales de Cosx, Cos2x, Cos3x, con dominio - f < x < + f. JOE GARCIA ARCOS

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e.- El conjunto de los polinomios reales que tienen a r i como ceros. f.- El conjunto de los polinomios reales que son divisibles entre x2 + x + 1. g.- El conjunto de todas las funciones en >0; [email protected] que valen cero en >2; [email protected] h.- El conjunto de todas las funciones f en >0; [email protected] con derivada tercera en ese intervalo y tales que f ´´´- xf ´ + (Senx)f = 0. i.- El conjunto de todas las funciones que tienen derivada segunda en todos los valores reales y la propiedad de que f ´´(x) = 0. j.- El conjunto de todas las funciones racionales cuyo denominador es x2 + x + 1. k.- El conjunto de todos los polinomios tales que p(0) = p(1). l.- El conjunto de todas las funciones escalonadas en >0; [email protected] 5.1.7 V consiste en todos los ( a , b), donde a y b son números reales. Definimos la suma en V por ( a , b) + (c, d) = (2 a + 2 c, b + d) y definimos la multiplicación por un escalar por § ka kb · k ( a , b) ¨ , ¸ © 2 2¹ ¿Es V un espacio vectorial con estas operaciones? 5.1.8 Determine cuáles de los sistemas son espacios vectoriales: a.- V es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) de números reales. La suma se define como (x, y) + (u, v) = (x + 3u, y ± v), y la multiplicación escalar como D(x, y) = (Dx, Dy). b.- El conjunto V del literal a). La suma definida como (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v), y la multiplicación escalar como D(x, y) = (-Dx, Dy). c.- El conjunto V del literal a). La suma definida como (x, y) + (u, v) = (x ± u, y ± v), y la multiplicación escalar como D(x, y) = (-Dx, -Dy). d.- El conjunto V del literal a). La suma definida como (x, y) + (u, v) = (u, v), y la multiplicación escalar como D(x, y) = (Dx, Dy). 5.1.9 Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos constituye un espacio vectorial: a.- El conjunto de todos los vectores cuya segunda componente es cero; b.- El conjunto de todos los vectores de la forma D( i + 2 j ± k), donde D es un escalar; c.- El conjunto de todos los vectores de la forma D( i ± k) + E j, donde D, E son escalares; d.- El conjunto de todos los números reales; e.- Todas las funciones de la forma f(x) = D Cosx + ESenx, donde D, E son números, con la forma usual de adición y multiplicación por números; ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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f.- El conjunto de todos los polinomios cuadráticos, lineales y constantes en x, con la adición y multiplicación usuales. 5.1.10 De los conjuntos de funciones que se dan a continuación, todas definidas en 0 < x < f, cuáles constituyen una espacio vectorial?: a.- Todas las funciones cuyos límites existen cuando x o f. b.- Todas las funciones cuyos límites existen cuando x o 0+. c.- Todas las funciones con límite 0 cuando x o f. d.- Todas las funciones con límite 0 cuando x o 0+. e.- Todas las funciones con límite f cuando x o f. f.- Todas las funciones con límite - f cuando x o 0+. 5.1.11 Considérense sucesiones infinitas ^sn`, ^tn`« n «FRQODDGLFLyQ\ODPXOWLSOLFDFLyQGHILQLGDV de la siguiente manera: ^sn` + ^tn` = ^sn + tn` y c^sn` = ^csn` a.- Hágase ver que las sucesiones reales convergentes forman un espacio vectorial e interprétese ese espacio vectorial como espacio de funciones. b.- Verifíquese que el conjunto de todas las sucesiones complejas forma un espacio vectorial. ¿Se le puede interpretar como espacio vectorial de funciones? 5.1.12 V consiste en todas las funciones reales y continuas definidas en >0; [email protected] tales que f(1) = 0, con la suma de funciones y la multiplicación de una función por un escalar usuales. Demuestre que V es un espacio vectorial. 5.1.13 En los conjuntos siguientes, investíguese si son espacios vectoriales: a.- Todas las funciones f en >0; [email protected] tales que f ´(x) > 0 en >0; [email protected] b.- Todas las funciones f en >0; [email protected] tales que se puede expresar f como g ± h, donde g y h son monótonas y estrictamente crecientes. c.- Todas las funciones f en >0; [email protected] tales que f ´´(x) = Senx. d.- Todas las funciones f en >0; [email protected] tales que f ´´(x) + Senx f ´(x) = 0. e.- V es el conjunto de todas las matrices de 2 x 2 con componentes reales. La suma es la suma habitual de matrices y la multiplicación escalar está definida por § a b · § Da 0 · D¨ ¸ ¨ ¸. © c d ¹ © 0 Db ¹ f.- El conjunto V del literal e). La suma definida por §a b· § e f · §a b· ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ©c d¹ ©g h¹ ©c d¹ y la multiplicación escalar es la habitual. g.- El conjunto V del literal e). La suma definida como JOE GARCIA ARCOS

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§a b· § e f · § e f · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ©c d¹ ©g h¹ ©g h¹ y la multiplicación escalar definida por § a b · §0 0 · D¨ ¸ ¨ ¸. © c d ¹ © 0 Dd ¹ h.- El conjunto V del literal e). La suma definida por b f · §a b· § e f · § 0 ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¹ ©c d ¹ ©g h ¹ ©c  g y la multiplicación escalar por § a b · § Da Db · D¨ ¸ ¨ ¸. © c d ¹ © Dc Dd ¹

5.1.14 Determine si el conjunto dado, junto con las operaciones indicadas, es un espacio vectorial. En caso negativo, indique que axiomas no se cumplen: a.- El conjunto de todas las matrices singulares de n x n con las operaciones normales; b.- El conjunto de todas las matrices no singulares de n x n con las operaciones normales; c.- El conjunto de todas las matrices diagonales de n x n con las operaciones normales. 5.1.15 Determine si el conjunto dado, junto con las operaciones indicadas, es un espacio vectorial. En caso negativo, indique que axiomas no se cumplen: a.- Todas las funciones escalonadas definidas en [0; 1]; b.- Todas las funciones con período 2S; c.- Todas las f integrable en [0; 1] con

5.1.20 Considérense todas las sucesiones infinitas con índices que empiezan desde 1. Demuéstrese que cada uno de los conjuntos siguientes constituye un espacio vectorial de funciones: a.- Todas las sucesiones infinitas. b.- Todas las sucesiones convergentes. c.- Todas las sucesiones con límite 0. d.- Todas las sucesiones que están acotadas superior e inferiormente. 5.1.21 Verifíquese que los conjuntos siguientes de funciones no son espacios vectoriales: a.- El conjunto de todas las funciones diferenciables en >0; [email protected] cuya derivada es 3x2. b.- El conjunto de todas las funciones diferenciables f en >0; [email protected] tales que f ´ = f ± 1. c.- El conjunto de todas las funciones f en >0; [email protected] con la propiedad de que x d f ( x) en 0 d x d 2. d.- El conjunto de todas las funciones f en >0; [email protected] tales que f(1) = 1.

1

³0 f ( x)dx t 0 ;

d.- Todos los polinomios de Taylor de grado d n para un n fijo (incluyendo el polinomio cero); e.- Todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y´´ + P(x)y´ + Q(x)y = 0, siendo P y Q funciones dadas, continuas para todo x; f.- Todas las sucesiones reales acotadas; g.- Todas las sucesiones reales convergentes; h.- Todas las gentes; i.- Todas las series reales convergentes. 5.1.16 Demuestre que los números reales pueden considerarse como un espacio vectorial sobre los números racionales. 5.1.17 Demuestre que los números complejos se pueden considerar como un espacio vectorial sobre los números reales. 5.1.18 Sean V y W espacios vectoriales. Sea U el conjunto de todos los pares ordenados (v, w), donde v está en V y w está en W. Definamos por analogía con V 2 la adición y la multiplicación por escalares en U. Verifíquense que el sistema que se obtiene es un espacio vectorial. Es habitual denotar a U con el símbolo V x W. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

5.1.19 Demuéstrese que con las reglas habituales de la adición y la multiplicación por escalares, los conjuntos siguientes de funciones son espacios vectoriales: a.- El conjunto de las funciones diferenciables en > a ; [email protected] b.- El conjunto de todas las funciones con derivada segunda en >0; [email protected] c.- El conjunto de las funciones definidas en >0; [email protected] que tienen ceros en 0, 1 y 2.

5.1.22 Demuéstrese que cada uno de los conjuntos siguientes es espacio vectorial de funciones: a.- Todas las funciones f en >0; [email protected] con derivadas continuas de primero, segundo y tercer órdenes. b.- Todas las funciones f en >0; [email protected] con la propiedad de que f ´´ + f = 0. c.- Todas las funciones f en >0; [email protected] tales que f ´´ - 4f = 0. d.- El conjunto de todas las funciones continuas por tramos en >0; [email protected] e.- El conjunto de todas las funciones representables como suma de una serie convergente de potencias ¦ an xn en (-1; 1). 5.1.23 Demuéstrese que cada uno de los conjuntos siguientes de funciones no es un espacio vectorial: a.- Todas las funciones f definidas y no negativas: f(x) t 0 para todo x, en un intervalo dado. b.- Todas las funciones definidas y no continuas en un intervalo dado. c.- Todas las funciones que son continuas en >0; [email protected] y cuyo valor en x = 1 es 1. d.- Todas las funciones definidas que tienen un número finito de ceros en >0; [email protected]

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5.2 SU B ESP A C I OS V E C T O R I A L ES En esta sección se estudiará con detalle los espacios vectoriales que estén contenidos en un espacio vectorial más grande. Se enunciarán y demostrarán sus propiedades.                                                                                                 ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

Con frecuencia, se tiene que un espacio vectorial está contenido en otro, y que la adición y la multiplicación por escalares del primer espacio vectorial se llevan a cabo de manera exactamente igual a la del segundo. Cuando esto es así, se dice que el primer espacio vectorial es subespacio del segundo. En términos generales, para demostrar que un conjunto U con la adición y la multiplicación escalar En términos generales, para demostrar que un forma un espacio vectorial es necesario verificar los 10 axiomas de espacio vectorial. Sin embargo, si U es parte de un conjunto más grande V del que se sabe es un espacio vectorial, entonces no es necesario verificar ciertos axiomas para U porque son heredados de V. D E F I N I C I O N 5.2.1 Un subconjunto U de un espacio vectorial V se denomina subespacio de V si U es un espacio vectorial bajo la adición y la multiplicación escalar definidas sobre V. Es importante tener en cuenta que para que un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial V sea un subespacio, el subconjunto y las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar deben formar un sistema autocontenido. Es decir, cualquier suma o multiplicación por un escalar efectuada con vectores del subconjunto U siempre produce un vector que está en U. Si U es no vacío y cerrado bajo la suma y multiplicación por un escalar, con seguridad constituye un espacio vectorial por derecho propio. Por tanto, se ha llegado a un criterio eficiente para determinar si un subconjunto es un subespacio de un espacio vectorial. T E O R E M A 5.2.1 Si U es un conjunto formado por uno o más vectores de un espacio vectorial V, entonces U es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las condiciones siguientes: 1.- Si u, v son elementos de U, entonces u + v está en U. 2.- Si a es cualquier número y u es un elemento de U, entonces au está en U. D E M OST R A C I O N Si U es un subespacio de V, entonces se cumplen todos los axiomas de espacio vectorial; en particular, se cumplen los axiomas 1 y 6. Pero éstas son precisamente las condiciones 1 y 2. Recíprocamente, supóngase que se cumplen las condiciones 1 y 2. Como estas condiciones son los axiomas 1 y 6 de espacio vectorial, basta demostrar que U satisface los ocho axiomas restantes. Los vectores de U cumplen automáticamente los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10, ya que estos axiomas se cumplen para todos los vectores en V. En consecuencia, para completar la demostración, basta verificar que los axiomas 4 y 5 se cumplen para vectores en U. Sea u cualquier vector de U. Por la condición 2, au está en U para cualquier escalar a. Haciendo a = 0, se concluye que 0u = ‡ está en U, y haciendo a = -1 se concluye que (-1)u = -u está en U. Se dice que un conjunto U formado por uno o más vectores de un espacio vectorial V es cerrado bajo la adición si se cumple la condición 1 del teorema anterior, y cerrado bajo la multiplicación escalar si se cumple la condición 2. Así, de esta manera se establece que U es un subespacio de V si y sólo si U es cerrado bajo la adición y cerrado bajo la multiplicación escalar.

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Si A X = B es un sistema de ecuaciones lineales, entonces todo vector que satisface esta ecuación se denomina vector solución del sistema. El teorema siguiente muestra que los vectores solución de un sistema lineal homogéneo forman un espacio vectorial, que se denomina espacio solución del sistema. T E O R E M A 5.2.2 Si A X = ‡ es un sistema lineal homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas, entonces el conjunto de vectores solución es un subespacio de ƒn. D E M OST R A C I O N Sea U el conjunto de vectores solución. En U existe por lo menos un vector, a saber, ‡. Para probar que U es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar, es necesario demostrar que si X y Y son vectores solución cualesquiera y a es cualquier escalar, entonces X + Y y a X también son vectores solución. Pero si X y Y son vectores solución, entonces A X = ‡ y A Y = ‡. A partir de lo cual se deduce que A(X + Y) = A X + A Y = ‡ + ‡ = ‡ y A( a X) = a A X = a‡ = ‡. Lo cual demuestra que X + Y y a X son vectores solución. Dado un espacio vectorial V, siempre se le puede considerar como subespacio se sí mismo. Por lo tanto, cada espacio vectorial V contiene siempre los subespacios {‡} y V; a estos subespacios se les llama, por lo común, subespacios impropios de V. Un subespacio de V distinto a uno de los subespacios impropios de V se le llama subespacio propio de V. Sea U un subespacio propio de ƒ2. Entonces, U contiene un vector u distinto de cero, y U contiene también a todos los múltiplos escalares de u. Si U contuviera un vector v, que no fuera múltiplo escalar de u, entonces u, v serían linealmente independientes, y U habría de contener a todos los vectores en R 2 de la forma Du + Ev, donde D, E son escalares arbitrarios. Pero así se puede representar todo vector del plano y, en consecuencia, U coincidiría con ƒ2. Por lo tanto, no existe el tal vector v, y U consta de los múltiplos escalares de u. Por consiguiente, cada subespacio propio U de ƒ2 corresponde a una recta que pasa por el origen, en el plano. Sea U un subespacio propio de ƒ3. Entonces, U contiene un vector distinto de cero, u = OQ y, en consecuencia, contiene a todos los múltiplos escalares Du; es decir, a todos los vectores OP, con P en la recta L que pasa por O y por Q. Esto puede ser la totalidad de U. De no ser así, entonces U contiene un vector v = OR, donde R no está en L. En consecuencia, U también contiene a todos los vectores u = OP, de la forma DOQ + EOR. Puesto que D y E toman todos los valores reales, P varía en un plano S que pasa por O. Con esto, tal vez tengamos a todo U. De no ser así, entonces en U hay un vector w = OS, donde S no está en S. En consecuencia, U contiene a todos los vectores u = OP de la forma DOQ + EOR + MOS. Pero, como S no está en S, los puntos P van por todo el espacio tridimensional, y U resulta ser la totalidad de ƒ3. Pero, con esto, U ya no sería subespacio propio de R 3. Por lo tanto, sólo hay dos clases de subespacios propios de ƒ3: los que corresponden a rectas que pasan por O y los que corresponden a planos que pasan por O. También se ve claramente que toda recta que pase por O y todo plano que pasa por O corresponderán a subespacios propios U de ƒ3. EJ E M P L O 5.2.1 El conjunto ‚ de funciones diferenciables f en [0; 1], con la propiedad de que f ´ = Df, es subespacio vectorial. JOE GARCIA ARCOS

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SO L U C I O N Se ve claramente que ‚ contiene a la función cero, de manera que es un conjunto no vacío de funciones en [0; 1]. Si f y g están en ‚, entonces f + g y E f son funciones diferenciables en [0; 1], y (f + g)´ = f ´ + g´ = E f + Eg = E(f + g), (E f)´ = E f ´ = E(Df) = D(E f). En consecuencia, ‚ es cerrado bajo la adición y la multiplicación por escalares. Por lo tanto, es subespacio vectorial. ’ E J E M P L O 5.2.2 Demostrar que el conjunto S = ^A  M(n x n) / A = A T` de las matrices simétricas, forman un subespacio vectorial del espacio de las matrices cuadradas de orden n. SO L U C I O N Sean A = A T, B = B T  S. Entonces para escalares cualesquiera O y M tenemos: (OA + MB)T = (OA)T + (MB)T = OA T + MB T = OA + MB  S. Si además ‡  S, entonces: (OA + MB)T = (O‡ + M‡)T = O‡T + M‡T = O‡ + M‡ = ‡  S. Luego (OA + MB)T  S, y por lo tanto S es un subespacio de M(n x n). ’ EJ E M P L O 5.2.3 Sea el conjunto solución de un sistema no homogéneo A X = B, con las operaciones usuales de adición de matrices y multiplicación por escalares. Demostrar que este conjunto no es un subespacio vectorial. SO L U C I O N Supongamos que Y y Z son soluciones del sistema A X = B; es decir Y, Z  ƒn. Entonces para escalares cualesquiera O y M, tenemos: A(OY + MZ) = A(OY) + A(MZ) = O(A Y) + M(A Z) = OB + MB = (O + M)B z B Como (OY + MZ) no es solución del sistema, entonces no es un subespacio vectorial de ƒn. ’ E J E M P L O 5.2.4 Determine si los siguientes subconjuntos son subespacios de ƒ3. En caso afirmativo, pruébelo, en caso contrario de una razón para la cual no sea un subespacio vectorial: a.- S = {(a, b, c) / a + b ± 3 = 2c}; b.- S = {(a, b, c) / a + b = 4c}; c.- S = {(a, b, c) / a, b, c t 0}; d.- S = {(a, b, c) / a2 + b2 + c2 = 1}. SO L U C I O N a.- Está claro que S es vacío, puesto que el vector (0, 0, 0)  S. Además el vector más general de S es de la forma (-b + 2c + 3, b, c), donde b y c son números reales cualesquiera. Sean los vectores (-x + 2y + 3, x, y) y (-u + 2v + 3, u, v) de S y sea k un número real cualquiera. Entonces: (-x + 2y + 3, x, y) + (-u + 2v + 3, u, v) = (-x ± u + 2y + 2v + 6, x + u, y + v)  S, k(-x + 2y + 3, x, y) = (-kx + 2ky + 3k, kx, ky)  S. Lo que prueba que S no es un subespacio vectorial. b.- Está claro que S es no vacío, puesto que el vector (0, 0, 0)  S. Además el vector más general de S es de la forma (-b + 4c, b, c), donde b y c son números reales cualesquiera. Sean los vectores (-x + 4y, x, y) y (-u + 4v, u, v) de S y sea k un número real cualquiera. Entonces: (-x + 4y, x, y) + (-u + 4v, u, v) = (-x ± u + 4y + 4v, x + u, y + v)  S, k(-x + 4y, x, y) = (-kx + 4ky, kx, ky)  S. Lo que prueba que S es un subespacio vectorial. c.- Está claro que S es no vacío cuando a = b = c = 0, puesto que el vector (0, 0, 0)  S, pero cuando a, b, c > 0, S es vacío puesto que el vector (0, 0, 0)  S. Lo que prueba que S no es un subespacio vectorial. d.- Está claro que S es vacío, puesto que el vector (0, 0, 0)  S. Lo que prueba que S no es un subespacio vectorial. ’ JOE GARCIA ARCOS

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EJ E M P L O 5.2.5 Explique si cada uno de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial „3 son subespacios vectoriales de él: a.- S = {p(x) / a + b = 0`; b.- S = {p(x) / a = b = c = d}; c.- S = {p(x) / a = b = c = 0}; d.- S = {p(x) / p(-1) = p(1) = 0}. SO L U C I O N a.- Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x2 + 0x + 0  S. Como S  „3, entonces p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y como a = b, entonces el polinomio más general de S es de la forma p(x) = bx3 + bx2 + cx + d, donde b, c y d son números reales cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = Dx3 + Dx2 + Ex + M y r(x) = mx3 + mx2 + nx + s de S y sea k un número real cualquiera. Entonces: q(x) + r(x) = (D + m)x3 + (D + m)x2 + (E + n)x + (M + s)  S, kq(x) = k(Dx3 + Dx2 + Ex + M) = kDx3 + kDx2 + kEx + kM  S. Lo que prueba que S es un subespacio vectorial. b.- Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x2 + 0x + 0  S. Como S  „3, entonces p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y como a = b = c = d, entonces el polinomio más general de S es de la forma p(x) = dx3 + dx2 + dx + d, donde d es un número real cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = Dx3 + Dx2 + Dx + D y r(x) = Ex3 + Ex2 + Ex + E de S y sea k un número real cualquiera. Entonces: q(x) + r(x) = (D + E)x3 + (D + E)x2 + (D + E)x + (D + E)  S, kq(x) = k(Dx3 + Dx2 + Dx + D) = kDx3 + kDx2 + kDx + kD  S. Lo que prueba que S es un subespacio vectorial. c.- Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x2 + 0x + 0  S. Como S  „3, entonces p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y como a = b = c = 0, entonces el polinomio más general de S es de la forma p(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + d, donde d es un número real cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + D y r(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + E de S y sea k un número real cualquiera. Entonces: q(x) + r(x) = (0 + 0)x3 + (0 + 0)x2 + (0 + 0)x + (D + E) = 0x3 + 0x2 + 0x + (D + E)  S, 3 kq(x) = k(0x + 0x2 + 0x + D) = 0x3 + 0x2 + 0x + kD  S. Lo que prueba que S es un subespacio vectorial. d.- Como S  „3, entonces p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y p(-1) = - a + b - c + d = 0, p(1) = a + b + c + d = 0. Por lo tanto ­a  b  c  d 0 ® ¯a  b  c  d 0 Resolviendo este sistema, obtenemos lo siguiente: §1 1 1 1 0 · § 1 1 1 1 0 · § 1 1 1 1 0 · § 1 0 1 0 0 · ¸ ¨ ¸|¨ ¸|¨ ¸|¨ ©1 1 1 1 0 ¹ © 0 2 0 2 0 ¹ © 0 1 0 1 0 ¹ © 0 1 0 1 0 ¹ donde a = -c y b = -d. El nuevo conjunto S = {p(x) / a = -c y b = -d}. Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x2 + 0x + 0  S. Además el polinomio más general de S es de la forma p(x) = - cx3 - dx2 + cx + d, donde c y d son números reales cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = - Dx3 - Ex2 + Dx + E y r(x) = - mx3 - nx2 + mx + n de S y sea k un número real cualquiera. Entonces: q(x) + r(x) = - (D + m)x3 ± (E + n)x2 + (D + m)x + (E + n)  S, kq(x) = k(- Dx3 - Ex2 + Dx + E) = - Dkx3 - Ekx2 + Dkx + Ek  S. Lo que prueba que S es un subespacio vectorial. ’ EJ E M P L O 5.2.6 Sea S1 el plano en el espacio ƒ3 dado por la ecuación a + 2b + c = 6. ¿Cuál es la ecuación del plano S2 que pasa por el origen y es paralelo a S1? ¿Son S1 y S2 subespacios de ƒ3? ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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SO L U C I O N Para que el plano S2 pase por el origen y sea paralelo al plano S1 es necesario y suficiente que los coeficientes del plano S2 sean iguales a los de S1 y el término independiente sea igual a cero; es decir S2 : a + 2b + c = 0. El plano S1 = {(a, b, c) / a + 2b + c = 6} no es un subespacio de ƒ3 porque no contiene al elemento nulo (0, 0, 0)  S1. Para S2 = {(a, b, c) / a + 2b + c = 0}, está claro que S2 es no vacío, puesto que el vector (0, 0, 0)  S2. Además el vector más general de S2 es de la forma (-2b ± c, b, c), donde b y c son números reales cualesquiera. Sean los vectores (-2x - y, x, y) y (-2u - v, u, v) de S2 y sea k un número real cualquiera. Entonces: (-2x - y, x, y) + (-2u - v, u, v) = (-2x ± 2u ± y ± v, x + u, y + v)  S; k(-2x - y, x, y) = (-2kx - ky, kx, ky)  S. Lo que prueba que S2 es un subespacio vectorial. ’

PR O B L E M AS 5.2.1 Sea „5 el espacio vectorial y considere el conjunto U de todos los polinomios de la forma (x3 + x)p(x), donde p(x) está en „2. ¿U es un subespacio de „5? 5.2.2 Demuestre que los únicos subespacios de ƒ2 son: 1. el propio ƒ2; 2. el subespacio trivial que consiste únicamente del vector cero (0, 0); 3. cualquier conjunto de vectores (x, y) representados por flechas que están a lo largo de una recta que pase por el origen. Esto es, dada cualquier recta que pase por el origen, todos los vectores de ƒ2 que puedan representarse como vectores a lo largo de esta recta constituyen un subespacio de ƒ2. Además, cualquier subespacio distinto de ƒ2 y del subespacio trivial consiste en vectores a lo largo de una recta que pasa por el origen. 5.2.3 Demuestre que los únicos subespacios de ƒ3 son los siguientes: 1. el propio ƒ3; 2. el subespacio trivial que consiste solamente del vector cero (0, 0, 0); 3. todos los vectores paralelos a una recta dada que pasa por el origen; 4. todos los vectores que están en un plano dado que pasa por el origen. 5.2.4 En cada uno de los subconjuntos siguientes de ƒ4, determínese si el subconjunto es un subespacio: a.- W: todos los u = ( a 1, a 2, a3, a 4) tales que a 1 = a 2. b.- U: todos los u tales que a 1 = a 2 y a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 0. c.- J: todos los u tales que a 1 es racional. d.- K : todos los u tales que a 1 + a 2 + a 3 + a 4 d 0. e.- L: todos los u tales que x1 x22 . f.- M : todos los u tales que, o bien a 1 = a 2, o bien a 3 = a 4. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

g.- N: todos los u tales que a1  a2  a3  a4 z 0 . 5.2.5 Determine cuándo el conjunto S de vectores de ƒn forman un subespacio de ƒn: a.- S consta de todos los vectores de ƒ5 de la forma (x, y, z, x, x); b.- S consta de todos los vectores de ƒ4 de la forma (x, 2x, 3x, y); c.- S consta de todos los vectores de ƒ6 de la forma (x, 0, 0, 1, 0, y); d.- S consta de todos los vectores de ƒ3 de la forma (0, x, y); e.- S consta de todos los vectores de R 4 de la forma (x, y, x + y, x - y); f.- S consta de todos los vectores de ƒ7 con cero en la tercera y quinta componentes; g.- S consta de todos los vectores de ƒ4 con la primera y segunda componentes iguales; h.- S consta de todos los vectores de ƒ4 con la tercera componente igual a 2; i.- S consta de todos los vectores de ƒ7 con la séptima componente igual a la suma de las primeras seis componentes; j.- S consta de todos los vectores de ƒ8 con cero en la primera, segunda y cuarta componentes y la tercera componente igual a la sexta. 5.2.6 Sea U el espacio vectorial de todas las funciones reales f en >-1; [email protected] Determínese si cada uno de los conjuntos siguientes es subespacio de U: a.- U: el conjunto de todas las f tales que f(0) = 0. b.- U: el conjunto de todas las f tales que f(x) = 0 en -1 d x d ½. c.- U: el conjunto de todas las f tales que f es continua en x = ½. d.- U: el conjunto de todas las f tales que f(x) = f(-x) en -1 d x d 1. JOE GARCIA ARCOS

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e.- U: el conjunto de todas las f tales que f es monótona y estrictamente creciente en >-1; [email protected] 5.2.7 Demuéstrese: si a 1« a k son escalares, no todos 0, y si W es el conjunto de todos los (u1« uk) con la propiedad de que a 1u1  «  a kuk = 0, entonces W es subespacio de ƒ k, y W es espacio no trivial si k t 2.

5.2.8 Sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. Hágase ver que, si U es subconjunto de W, entonces U es subespacio de V. 5.2.9 Sea W subespacio de V y sea U subespacio de W. Hágase ver que U es subespacio de V.

5.3 C O M B I N A C I O N ES L I N E A L ES Y SU B ESP A C I OS G E N E R A D OS En esta sección estudiaremos un conjunto de vectores S que genera un espacio vectorial dado si todo vector en este espacio se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de S. En general, puede haber más de una forma de expresar un vector del espacio vectorial como una combinación lineal de vectores en un conjunto generador. Suponga que en el espacio vectorial V, definido sobre un cuerpo real o complejo, se ha elegido un número determinado de vectores arbitrarios u1, u2, ..., uk que no son necesariamente diferentes. Llamaremos a estos vectores sistema de vectores. D E F I N I C I O N 5.3.1 Un sistema de vectores se denominará subsistema del segundo sistema, si el primer sistema sólo contiene ciertos vectores del segundo y no contiene ningún otro vector. Sobre los vectores del sistema dado y los vectores obtenidos de los primeros se realizarán las operaciones de adición y multiplicación por escalares. Está claro que todo vector u de la forma u = a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk donde a 1, a 2, ..., a k son escalares, se obtiene de los vectores del sistema dado u1, u2, ..., uk con ayuda de las operaciones citadas. Más aún, cualquiera que sea el orden en que se realicen estas operaciones, obtendremos solamente los vectores del tipo antes mencionado. D E F I N I C I O N 5.3.2 Un vector u se denomina combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., uk si se puede expresar en la forma u = a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk donde a 1, a 2, ..., a k son escalares. Si k = 1, entonces la ecuación de la definición precedente se reduce a u = a 1u1; es decir, u es una combinación lineal de un solo vector u1 si es un múltiplo escalar de u1. Respecto del vector u suele decirse que se expresa linealmente en términos de los vectores u1, u2, ..., uk. El segundo miembro de la expresión u = a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk se denomina combinación lineal de estos vectores y los números a 1, a 2, ..., a k son los coeficientes de la combinación lineal. EJ E M P L O 5.3.1 Está dado el sistema de polinomios p(t) = 1 - t2, q(t) = 1 + t3, r(t) = t - t3, s(t) = 1 + t + t2 + t3. Hallar las combinaciones lineales de los polinomios de ese sistema: a.- 5p(t) + q(t) ± 4r(t); b.- p(t) + 9q(t) ± 4s(t). Discutir los resultados obtenidos. SO L U C I O N a.- Para la combinación lineal 5p(t) + q(t) - 4 r(t), obtenemos 5(1 - t2) + (1 + t3) ± 4(t - t3) = 6 ± 4t ± 5t2 + 5t3. b.- Para la combinación lineal p(t) + 9q(t) ± 4s(t), obtenemos (1 - t2) + 9(1 + t3) ± 4(1 + t + t2 + t3) = 6 ± 4t - 5t2 + 5t3. Podemos observar que tanto 5p(t) + q(t) - 4 r(t), como p(t) + 9q(t) ± 4s(t) tienen la misma combinación lineal. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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E J E M P L O 5.3.2 a.- Verifíquese que el polinomio p(t) = t2 + 4t - 3 es una combinación lineal de los polinomios q(t) = t2 - 2t + 5, r(t) = 2t2 - 3t, s(t) = t + 3. b.- Verifique si el vector v = (2, -5, 3) se puede expresar como combinación lineal de los vectores v1 = (1, -3, 2), v2 = (2, -4, -1), v3 = (1, -5, 7). SO L U C I O N a.- Según la definición, debemos resolver p(t) = aq(t) + br(t) + cs(t). Es decir t2 + 4t ± 3 = a (t2 - 2t + 5) + b(2t2 ± 3t) + c(t + 3) Agrupando términos semejantes, obtenemos t2 + 4t ± 3 = ( a + 2b)t2 + (-2 a - 3b + c)t + (5 a + 3c) Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos ­ a  2b 1 ­ a 3 ° ° ®2 a  3b  c 4 Ÿ ® b 2 ° 5a  3c 3 °c 4 ¯ ¯ Por lo tanto p(t) = - 3q(t) + 2 r(t) + 4s(t). b.- Según la definición, debemos resolver v = av1 + bv2 + cv3. Es decir (2, -5, 3) = a (1, -3, 2) + b(2, -4, -1) + c(1, -5, 7) Agrupando términos semejantes, obtenemos (2, -5, 3) = ( a + 2b + c, -3 a ± 4b ± 5c, 2a ± b + 7c) Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos ­ a  2b  c 2 ° ®3a  4b  5c 5 . ° 2a  b  7c 3 ¯ Este sistema tiene un número indeterminado de soluciones. Por lo tanto el vector v no se puede expresar como combinación lineal de los vectores v1, v2, v3. ’ EJ E M P L O 5.3.3 Verifique si la matriz A

§ 3 1· ¨ ¸ se puede expresar como combinación lineal de © 1 1¹

§1 1 · § 0 0· §0 2· §0 1· las matrices B ¨ ¸, C ¨ ¸, D ¨ ¸, E ¨ ¸. 1 0 1 1 0  1 © ¹ © ¹ © ¹ ©1 0¹ SO L U C I O N Según la definición, debemos resolver A = a B + b C + c D + d E. Es decir § 3 1· §1 1 · § 0 0 · § 0 2 · §0 1· ¨ ¸ a¨ ¸  b¨ ¸ c¨ ¸d¨ ¸ © 1 1¹ ©1 0 ¹ © 1 1 ¹ © 0 1¹ ©1 0¹ Agrupando términos semejantes, obtenemos a a  2c  d · § 3 1· § ¨ ¸ ¨ ¸ 1  1 a  b  d bc ¹ © ¹ © Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos a 3 ­ ­a 3 ° a  2c  d 1 °b 2 ° ° Ÿ ® ® a  b  d 1 ° ° c 1 °¯ b  c 1 °¯ d 0

Por lo tanto A = 3B - 2C ± D. ’ E J E M P L O 5.3.4 Compruebe que el vector p(t) = t2 + 3t ± 2 se puede expresar como combinación lineal de los vectores q(t) = 3t2 + t - 4, r(t) = 2t ± 5, s(t) = 2t2 ± 2t + 3.

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SO L U C I O N Según la definición, debemos resolver p(t) = aq(t) + br(t) + cs(t). Es decir t2 + 3t ± 2 = a (3t2 + t - 4) + b(2t ± 5) + c(2t2 ± 2t + 3) Agrupando términos semejantes, obtenemos t2 + 3t ± 2 = (3 a + 2c)t2 + ( a + 2b ± 2c)t + (- 4 a - 5b + 3c) Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos ­ 3a  2 c 1 ­ a 13 / 3 13 20 ° ° q (t )  r (t )  6 s (t ) . ’ Ÿ ® b 20 / 3 Ÿ p(t ) ® a  2b  2c 3 3 3 °4 a  5b  3c 2 ° c 6 ¯ ¯  

%  COMPRUEBA  SI  UN  VECTOR  ES  COMBINACION  LINEAL  DE  UN  SISTEMA  DE  VECTORES  S   clc;;clear;;   fprintf('\n  COMBINACION  LINEAL  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  vectores:    ');;   col=input('Ingrese  la  dimension  del  vector:    ');;          %Ingreso  de  elementos          fprintf('\n  Ingrese  los  vectores  del  sistema  S\n')                  for  f=1:fil                  fprintf('\n  Ingrese  el  vector  (%d)\n',  f)                          for  c=1:col                                  fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',c,f)                                  S(c,f)=input('  :');;                          end                  end                  fprintf('\n  El  SISTEMA  DE  VECTORES  S  ES:\n')          S          fprintf('\n  Ingrese  el  vector  u  \n')                  %for  f=1:col                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',c)                                  u(c,1)=input('  :');;                          end          fprintf('El  VECTOR  u  es:\n')          u          end          fprintf('LA  MATRIZ  REDUCIDA  ES:')                  R1=  rref(S);;                  R1                  RangS=rank(S)          fprintf('\n  LA  MATRIZ  AUMENTADA  ES:  \n',c);;                  A=[S,u];;          A          R2=  rref(A);;          R2          RangA=rank(A)          end          if  RangA==col-­1          fprintf('El  vector  u  si  se  expresa  como  combinacion  lineal  de  S\n')                  else                          fprintf('El  vector  u  no  se  puede  expresar  como  combinacion  lineal  de  S\n')                  end  

D E F I N I C I O N 5.3.3 Si S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto de vectores en un espacio vectorial V, entonces el subespacio U de V que consta de todas las combinaciones lineales de los vectores en S se denomina espacio generado por v1, v2, ..., vk, y se dice que los vectores v1, v2, ..., vk generan a U. Para indicar que U es el espacio generado por los vectores del conjunto S. Fijemos el sistema de vectores u1, u2, ..., uk y dejemos que los coeficientes de las ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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combinaciones lineales tomen cualesquiera valores. En este caso quedará definido cierto conjunto de vectores de V. Este conjunto lleva el nombre de subespacio generado de los vectores u1, u2, ..., uk. El interés hacia los subespacios generados se debe a dos circunstancias. En primer lugar, si U es un subespacio de V que contiene a v1, v2, ..., vk, entonces U contiene a todas las combinaciones lineales de esos vectores; es decir, U contiene a Span{v1, v2, ..., vk}. Segundo, podemos decir que Span{v1, v2, ..., vk} es el menor de los subespacios de V que contienen a los vectores v1, v2, ..., vk. Si U es subespacio de V y si S es un subconjunto de V con la propiedad de que Span(S) = U, decimos que S genera a U. Subconjuntos diferentes pueden generar el mismo subespacio U. También podemos hablar del subespacio que genera un subconjunto infinito S de V. En ese caso, Span(S) es el conjunto de todas las combinaciones lineales de todos los subconjuntos finitos de S. T E O R E M A 5.3.1 Si v1, v2, ..., vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces: 1.- El conjunto U de las combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk es subespacio de V; 2.- U es el menor subespacio de V que contiene a v1, v2, ..., vk, en el sentido de que cualquier otro subespacio que contenga a v1, v2, ..., vk debe contener a U. D E M OST R A C I O N 1.- Para demostrar que U es un subespacio de V, es necesario probar que es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar. En U existe por lo menos un vector, a saber, ‡, ya que ‡ = 0v1 + 0v2 + ... + 0vk. Si u y v son vectores en U, entonces u = a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk y v = b1u1 + b2u2 + ... + bkuk donde a 1, a 2, ..., a k, b1, b2, ..., bk son escalares. Por consiguiente, u + v = (a 1 + b1)v1 + ( a 2 + b2)v2 + ... + (a k + bk)vk y, para cualquier escalar a , au = (aa 1)v1 + ( aa 2)v2 + ... + (aa k)vk. Así, u + v y au son combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk, y, en consecuencia, están en U. Por tanto, U es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar. 2.- Cada vector vi es una combinación lineal de v1, v2, ..., vk, ya que es posible escribir vi = 0v1 + 0v2 + ... + 0vk. Por consiguiente, en el subespacio U están todos y cada uno de los vectores v1, v2, ..., vk. Sea W cualquier otro subespacio que contiene a v1, v2, ..., vk. Como W es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar, debe contener todas las combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk. Así, W contiene a cada vector de U. Ahora surgen unas preguntas: ¿En qué condiciones los subespacios generados de dos sistemas diferentes de vectores consisten de los mismos vectores del espacio inicial? ¿Qué número mínimo de vectores define un mismo subespacio vectorial? ¿Será el espacio vectorial inicial un subespacio generado de algunos de sus vectores? Las respuestas a estas preguntas y otras las daremos más adelante. Con este fin emplearemos en gran escala la noción de combinación lineal y, en particular, la propiedad de su transitividad. A saber, si un cierto vector u es una combinación lineal de los vectores v1, v2, ..., vk, y cada uno de ellos, a su turno, es una combinación lineal de los vectores w1, w2, ..., wk, entonces el vector u también puede ser representado como combinación lineal de los vectores w1, w2, ..., wr. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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D E F I N I C I O N 5.3.4 Dos sistemas de vectores S = {v1, v2, ..., vk} y S´ = {w1, w2, ..., wk} de un espacio vectorial V, se dicen equivalentes, cuando ambos engendran el mismo subespacio. Es evidente que, para el conjunto de los sistemas finitos de vectores de un espacio vectorial, la equivalencia recién definida es una relación de equivalencia. De aquí se desprende que si los subespacios generadores de dos sistemas de vectores coinciden, entonces los sistemas son equivalentes. Así pues, los conjuntos generadores no son únicos. T E O R E M A 5.3.2 Si S = {v1, v2, ..., vk} y S´= {w1, w2, ..., wk} son dos conjuntos de vectores en un espacio vectorial V, entonces Span(S) = Span(S´) si y sólo si todo vector en S es una combinación lineal de los vectores en S´ y, recíprocamente, todo vector en S´ es una combinación lineal de los vectores en S. D E M OST R A C I O N Los sistemas S y S´ son equivalentes, es decir, si Span(S) = Span(S´), todo vector de uno de estos subespacios, y en particular los vectores que le engendran pertenecen al otro, es decir, depende linealmente de los vectores que engendran al otro. Recíprocamente, si todos los vectores del sistema S dependen linealmente de los del sistema S´, entonces, todo vector que depende linealmente de los vectores de S también depende linealmente de los de S´, es decir Span(S)  Span(S´), si además, también los vectores de S´ dependen linealmente de los de S, se verificará que Span(S´)  Span(S). E J E M P L O 5.3.5 Determine en caso de existir el subespacio generado por el conjunto de vectores a.- S = {t2 + 3t ± 1, 2t2 + 1, 3t2 + t ± 1}; b.- S = {1- t2, t ± t2, 2 ± t ± t2}. SO L U C I O N a.- Dado at2 + bt + c un elemento de „2, debemos expresar este elemento como combinación lineal de los elementos de S. Es decir at2 + bt + c = O(t2 + 3t ± 1) + M(2t2 + 1) + G(3t2 + t ± 1) Agrupando los términos comunes, obtenemos at2 + bt + c = (O + M + 3G)t2 + (3O + G)t + (- O + M - G) Establecemos el sistema de ecuaciones

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­ O  M  3G a ° ® 3O  G b ° O  M  G c ¯ Resolvemos este sistema, utilizando el método de operaciones elementales § 1 1 3 a · §1 1 3 a · §1 1 3 a · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ | | 0 3 8 3 a  b 3 0 1 b 0 3 8 3 a  b ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 1 1 1 c ¸ ¨ 0 2 2 a  c ¸ ¨ 0 0 10 3a  2b  3c ¸ ¹ ¹ ¹ © © © Como el Rang( A ) = 3, no existe subespacio generado por el conjunto S. b.- Dado at2 + bt + c un elemento de „2, debemos expresar este elemento como combinación lineal de los elementos de S. Es decir at2 + bt + c = O(1 - t2) + M(t - t2) + G(2 ± t - t2). Formamos el determinante de la matriz de coeficientes: 1 0 1 0 1 1 0 . 2 1 1 Como este determinante es igual cero, entonces procedemos a encontrar el subespacio generado: § 1 0 1 a · § 1 0 1 a · § 1 0 1 a · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 1  1 b 0 1  1 b 0 1  1 b | | ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸. ¨ 2 1 1 c ¸ ¨ 0 1 1 2 a  c ¸ ¨ 0 0 0 2 a  b  c ¸ ¹ © ¹ © ¹ © En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma: Span(S) = {( a , b, c)/ 2 a - b ± c = 0}. ’

EJ E M P L O 5.3.6 Hallar el menor subespacio de „3 en el que se encuentran los polinomios: q(t) = 2t3 + 2t2 - 2t, r(t) = t3 + 2t2 - t + 5, s(t) = t3 + 2t2 - 6t - 6. SO L U C I O N Como Oq(t) + Dr(t) + Gs(t) = p(t), entonces O(2t3 + 2t2 - 2t) + D(t3 + 2t2 - t + 5) + G(t3 + 2t2 - 6t - 6) = at3 + bt2 + ct + d § 2 1 1 a · §2 1 1 · a · §2 1 1 a ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a b ¸ ¨ 2 2 2 b ¸ | ¨ 0 1 1 a  b ¸ | ¨ 0 1 1 ¨ 2 1 6 c ¸ ¨ 0 0 5 a  c ¸ ¨ 0 0 5 ac ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © 0 5 6 d ¹ © 0 5 6 d ¹ © 0 0 11 5a  5b  d ¹ §2 1 1 · a ¨ ¸ a b ¨ 0 1 1 ¸ ¨ 0 0 5 ¸ ac ¨¨ ¸¸ © 0 0 0 14 a  25b  11c  5d ¹

Por lo tanto, el subespacio mínimo es Span{q(t), r(t), s(t)` = Span{(a, b, c, d) / 14a - 25b ± 11c + 5d = 0}. ’ E J E M P L O 5.3.7 Demuestre que el menor subespacio de ƒ3 en el que se encuentran los vectores v1 = (1, 0, -1), v2 = (0, 2, -2), v3 = (0, -2, 2) es el plano a + b + c = 0. SO L U C I O N El menor subespacio de ƒ3 que contiene a v1, v2 y v3 es Span(S), donde: Span(S) = Span{(a, b, c) = O(1, 0, -1) + M(0, 2, -2) + G(0, -2, 2) / O, M, G  ƒ} = Span{(a, b, c) = (O, 2D - 2G, -O - 2D + 2G) / O, D, G  ƒ} Se desea describir este subespacio de ƒ3 en otros términos. Obsérvese que de la ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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última expresión para Span(S) se obtiene ­O a ° ® 2D  2G b °O  2D  2G c ¯ que puede interpretarse como un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas O, D, G, el cual se sabe que tiene solución. Al aplicar el método de eliminación Gaussiana a este sistema se obtiene § 1 0 0 a · §1 0 0 a · §1 0 0 a · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ b ¸ | ¨ 0 2 2 b ¸ ¨ 0 2 2 b ¸ | ¨ 0 2 2 ¨ 1 2 2 c ¸¹ ¨© 0 2 2 a  c ¸¹ ¨© 0 0 0 a  b  c ¸¹ © Entonces, el hecho de la existencia de soluciones del sistema es equivalente a que a + b + c = 0. Es decir, el vector v es una combinación lineal de v1, v2 y v3 si, y sólo si a + b + c = 0. Por lo tanto, el subespacio Span{v1, v2, v3} puede ser escrito como: Span{v1, v2, v3} = Span{(a, b, c) / a + b + c = 0}, lo cual es subespacio vectorial de ƒ3 que representa geométricamente un plano que pasa por el origen. ’

E J E M P L O 5.3.8 Demuestre que no existe subespacio propio de ƒ3 en el que se encuentren los vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0). SO L U C I O N Span(S) = Span{( a , b, c) = O(1, 1, 1) + D(1, 1, 0) + G(1, 0, 0) / O, D, G  ƒ} = {(O + D + G, O + D, O) / O, D, G  ƒ} Se desea describir este subespacio de ƒ3 en otros términos. Obsérvese que de la última expresión para Span{v1, v2, v3} se obtiene ­O  D  G a ° ®O D b °O c ¯ que puede interpretarse como un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas O, D, G. Al aplicar el método de eliminación Gaussiana a este sistema se obtiene §1 1 1 a · § 1 1 1 a · § 1 1 0 a  b · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨1 1 0 b ¸ | ¨ 0 0 1 b  a ¸ | ¨ 0 0 1 b  a ¸ ¨1 0 0 c ¸ ¨ 0 1 1 c  a ¸ ¨ 0 1 0 c  b ¸ © ¹ © ¹ © ¹

Podemos ver que no existe condición restrictiva para que el vector v sea combinación lineal de los vectores v1, v2, v3. Por lo tanto no existe subespacio propio de ƒ3. ’ EJ E M P L O 5.3.9 Hallar el menor subespacio del subespacio solución S del sistema homogéneo: ­ a  2b  2c  2d  e 0 ° ® a  2b  c  3d  2e 0 . °2 a  4b  7 c  d  e 0 ¯ SO L U C I O N Resolvemos el sistema de ecuaciones homogéneas: § 1 2 2 2 1 0 · § 1 2 2 2 1 0 · § 1 2 2 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 1 2 1 3 2 0 ¸ | ¨ 0 0 1 1 1 0 ¸ | ¨ 0 0 1 ¨ 2 4 7 1 1 0 ¸ ¨ 0 0 3 3 1 0 ¸ ¨ 0 0 0 © ¹ © ¹ ©

de ecuaciones

2 1 0 · ¸ 1 1 0 ¸ 0 2 0 ¸¹

Por lo tanto, el subespacio mínimo de S es Span(S) = Span{(a, b, c, d, e) / a = - 2b ± 4d, c = - d, e = 0}. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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EJ E M P L O 5.3.10 a.- Demuéstrese que si U es un subconjunto de V, entonces Span(U) es un subespacio de V. b.- Demostrar que Span(U) es el menor subespacio que contiene a U, si W es un subespacio de V y si U  W, entonces Span(U)  W. SO L U C I O N a.- Sabemos por hipótesis que U  V y que U  Span(U). El Span(U) es el subespacio generado por todas las combinaciones lineales de U, si U es subconjunto de V, entonces sus elementos cumplen con los axiomas del espacio vectorial V. Por lo tanto, el subespacio generado por U también cumple dichos axiomas, por lo cual el Span(U) es un subespacio de V. b.- Si U genera un subespacio, éste es el resultado de todas las combinaciones lineales posibles a partir de U, si no se tomaran todas las combinaciones lineales posibles para generar el Span(U), éste no heredaría los axiomas del espacio vectorial, y por tanto solamente sería un conjunto contenido en el espacio vectorial. En consecuencia, Span(U) es el menor subespacio de V que puede contener a U. Además, si el conjunto U está contenido en un subespacio W del espacio vectorial V, este subespacio W contiene al Span(U). En un caso muy particular, W puede ser igual al Span(U), debido a que el Span(U) es el menor subespacio que puede ser generado por el conjunto U en el espacio vectorial V. ’ EJ E M P L O 5.3.11 Describir el subespacio generado por los sistemas de vectores siguientes: a.- S = {(1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1)}; b.- S = {(1, 0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 0)}; c.- S = {(1, 0, 0, 0, -1), (0, 1, 0, 0, -1), (0, 0, 1, 0, -1), (0, 0, 0, 1, -1)}. SO L U C I O N a.- Dado ( a , b, c, d, e) un elemento de ƒ5, debemos expresar este elemento como combinación lineal de los elementos de S. Es decir ( a , b, c, d, e) = D(1, 0, 0, 0, 0) + E(0, 0, 1, 0, 0) + M(0, 0, 0, 0, 1). Formamos la matriz aumentada del sistema generado por la combinación lineal: §1 0 0 a · ¨ ¸ ¨0 0 0 b ¸ ¨0 1 0 c ¸ . ¨ ¸ ¨0 0 0 d ¸ ¨0 0 1 e ¸ ¹ © En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma: Span(S) = {( a , b, c, d, e) / b = d = 0}. b.- Dado ( a , b, c, d, e) un elemento de ƒ5, debemos expresar este elemento como combinación lineal de los elementos de S. Es decir ( a , b, c, d, e) = D(1, 0, 0, 0, 1) + E(0, 1, 0, 1, 0) + M(0, 0, 1, 0, 0). Formamos la matriz aumentada del sistema generado por la combinación lineal: §1 0 0 a · §1 0 0 a · §1 0 0 a · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ b ¸ ¨0 1 0 b ¸ ¨0 1 0 b ¸ ¨0 1 0 ¨0 0 1 c ¸ | ¨0 0 1 c ¸ | ¨0 0 1 c ¸. ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ d ¸ ¨0 0 0 b  d ¸ ¨0 1 0 d ¸ ¨0 1 0 ¨1 0 0 e ¸ ¨0 0 0 a  e¸ ¨0 0 0 a  e ¸ ¹ © ¹ © ¹ © En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma: Span(S) = {( a , b, c, d, e) / b - d = 0, a ± e = 0}. c.- Dado ( a , b, c, d, e) un elemento de ƒ5, debemos expresar este elemento como combinación lineal de los elementos de S. Es decir ( a , b, c, d, e) = D(1, 0, 0, 0, -1) + E(0, 1, 0, 0, -1) + M(0, 0, 1, 0, -1) + ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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+ G(0, 0, 0, 1, -1) Formamos la matriz aumentada del sistema generado por la combinación lineal: § 1 0 0 0 a · §1 0 0 0 a · §1 0 0 0 a · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ b ¸ ¨0 1 0 0 b ¸ ¨ 0 1 0 0 b ¸ ¨0 1 0 0 ¨ 0 0 1 0 c ¸ | ¨0 0 1 0 c ¸ | ¨0 0 1 0 c ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ d ¸ ¨0 0 0 1 d ¸ ¨ 0 0 0 1 d ¸ ¨0 0 0 1 ¨ 1 1 1 1 e ¸ ¨ 0 1 1 1 a  e ¸ ¨ 0 0 1 1 a  b  e ¸ ¹ © ¹ © ¹ © §1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ©

0 1 0 0 0

0 0 a · §1 ¸ ¨ 0 0 b ¸ ¨0 ¸ | ¨0 1 0 c ¸ ¨ 0 1 d ¸ ¨0 0 1 a  b  c  e ¸¹ ¨© 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 a · ¸ 0 b ¸ ¸. 0 c ¸ 1 d ¸ 0 a  b  c  d  e ¸¹

En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma: Span(S) = {( a , b, c, d, e) / a + b + c + d + e = 0}. ’ EJ E M P L O 5.3.12 Demuéstrese que si V es el espacio de las funciones doblemente diferenciables definidas en a d t d b y S es el conjunto de funciones ^Sent, Cost}, entonces Span(S) es el espacio de las funciones que cumplen f ´´ = - f. SO L U C I O N Sabemos que S = {Sent, Cost}. Haciendo la combinación lineal obtenemos f(t) = aSent + bCost derivamos dos veces esta expresión f ´(t) = aCost ± bSent f ´´(t) = - aSent ± bCost = - (aSent + bCost) = - f(t) Por lo tanto concluimos que Span(S) = {f  C 2[ a ; b] / f ´´(t) = - f(t)}. ’

PR O B L E M AS 5.3.1 Pruebe que S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} es una base, demostrando que Span(S) contiene a (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). ¿Por qué basta esto? 5.3.2 Los números reales forman un espacio vectorial sobre los racionales. Demuestre que {1, 2} y {1  2,1  2} generan al mismo subespacio.

5.3.3 Encontrar la ecuación del plano generado por los vectores u = (-1, 4, 5) y v = (6, -3, 2). 5.3.4 Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta generada por el vector u = (5, -1, 4).

5.3.5 Sean S = {(1, 0, -2), (0, 3, 6), (-4, -2, 3)} y u = (4, 1, -4) y sea W = Span(S): a.- ¿Está u en S? ¿Cuántos vectores hay en S?; b.- ¿Está u en W? ¿Cuántos vectores hay en W? c.- Demuestre que (1, 0, -2) está en W. 5.3.6 Determine el menor subespacio de las matrices de 3 x 3 que contenga todas las matrices simétricas y todas las matrices triangulares inferiores. ¿Cuál es el mayor subespacio contenido en ambos subespacios? 5.3.7 Demuestre que los sistemas de vectores S1 = {(1, 6, 4), (2, 4, -1), (-1, 2, 5)} y S2 = {(1, -2, -5), (0, 8, 9)} generan el mismo subespacio de ƒ3.

5.4 I N T E RSE C C I O N Y SU M A D E SU B ESP A C I OS. SU M A D I R E C T A En esta sección se estudiarán los subespacios intersección, suma y suma directa. Con el trabajo aquí realizado se comprenderá mejor la relación que hay entre las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales y las propiedades de su matriz de coeficientes. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Considere el espacio vectorial arbitrario V. Este espacio engendra el conjunto de todos los subespacios suyos, El cual se representa por S. En este conjunto S se pueden definir dos operaciones algebraicas que, a base de unos subespacios, permiten construir otros. D E F IN I C I O N 5.4.1 Se denomina intersección de los subespacios vectoriales U y W, al conjunto de todos los vectores pertenecientes simultáneamente tanto a U como a W. T E O R E M A 5.4.1 Dados un subespacio vectorial S, sobre un cuerpo K, y dos subespacios suyos U y W, demuestre que el conjunto U ˆ W es también un subespacio vectorial de S. D E M OST R A C I O N Si u  U y w  W, se debe verificar, por una parte, que u  U ˆ W y w  U ˆ W, y por otra parte, que u + w  U, u + w  W y u + w  U ˆ W. De la misma manera, se llega a la conclusión u + w  U ˆ W, para todo a  K , que demuestra como U ˆ W es un subespacio vectorial de S. Como el vector nulo de V pertenece a todos sus subespacios, no hay subespacio de intersección vacía. Cuando se diga que dos subespacios U y W son disjuntos, se debe entender que no tienen más elemento en común que el vector cero, es decir, se verifica que U ˆ W = {‡}. Resulta evidente que el subespacio intersección de varios subespacios dados es el más amplio de todos los subespacios contenidos en todos ellos.

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EJ E M P L O 5.4.1 Sean U = {(a, b, c, d) / b ± 2c + d = 0} y W = {(a, b, c, d) / a = d, b = 2c} subespacios de ƒ4. Hallar U ˆ W. SO L U C I O N Tomando las condiciones de los conjuntos U y W, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo: § 0 1 2 1 0 · § 0 1 2 1 0 · ­b  2c  d 0 ¨ ° ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨ 1 0 0 1 0 ¸ | ¨ 1 0 0 1 0 ¸ . ®ad 0 ° b  2c 0 ¨ 0 1 2 0 0 ¸ ¨ 0 0 0 1 0 ¸ ¹ © ¹ ¯ © Por lo tanto U ˆ W = {(a, b, c, d) / a = d = 0, b = 2c}. ’ EJ E M P L O 5.4.2 Sean U = {(1, -1, -1, 0, 0), (1, -2, -2, 0, -3), (1, -1, -2, -2, 1)} y W = {(1, -2, -3, 0, -2), (1, -1, -3, 2, -4), (1, -1, -2, 2, -5)} subespacios de ƒ5. Hallar U ˆ W. SO L U C I O N Primera encontramos los subespacios generados Para U y W: § 1 1 1 a · §1 1 1 a · §1 1 1 a · ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ a b ¸ ¨ 1 2 1 b ¸ ¨ 0 1 0 a  b ¸ ¨ 0 1 0 ¨ 1 2 2 c ¸ | ¨ 0 1 1 a  c ¸ | ¨ 0 0 1 ¸ bc ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ d d ¸ ¨ 0 0 2 ¨ 0 0 2 d ¸ ¨ 0 0 2 ¸ ¸ ¨ 0 0 1 3a  3b  e ¸ ¨ 0 3 1 e ¸ ¨ 0 3 1 e ¹ ¹ ¹ © © ©

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§1 1 ¨ ¨ 0 1 ¨0 0 ¨ ¨0 0 ¨0 0 ©

1 a · ¸ 0 a b ¸ ¸. 1 bc ¸ 0 2b  2c  d ¸ 0 3a  4b  c  e ¸¹

Por lo tanto Span(U) = {(a, b, c, d, e) / 3a + 4b ± c ± e = 0, § 1 1 1 a · §1 1 1 a · §1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 2 1 1 b ¸ ¨ 0 1 1 2 a  b ¸ ¨ 0 ¨ 3 3 2 c ¸ | ¨ 0 0 1 3 a  c ¸ | ¨ 0 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ d ¸ ¨0 ¨ 0 2 2 d ¸ ¨0 2 2 ¨ 2 4 5 e ¸ ¨ 0 2 3 2 a  e ¸ ¨ 0 ¹ © ¹ © © §1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ©

1 1 0 0 0

2b ± 2c + d = 0}. 1 1 a · ¸ 1 1 2a  b ¸ 0 1 3a  c ¸ ¸ 0 0 4 a  2b  d ¸ 0 1 6 a  2b  e ¸¹

1 a · ¸ 1 2a  b ¸ ¸ 1 3a  c ¸ 0 4 a  2b  d ¸ 0 9 a  2b  c  e ¸¹

Por lo tanto Span(W) = {(a, b, c, d, e) / 4a + 2b ± d = 0, 9a + 2b + c ± e = 0}. Luego, para encontrar la intersección entre estos subespacios debemos resolver el sistema de ecuaciones homogéneas, que resulta de las condiciones restrictivas de cada uno de estos subespacios: § 3 4 1 0 1 0 · § 3 4 1 0 1 0 · ­ 3a  4b  c  e 0 ¨ ¸ ¨ ¸ ° 2b  2c  d 0 2 2 1 0 0 ¸ ° ¨ 0 2 2 1 0 0 ¸ | ¨ 0 Ÿ ® ¨ 4 2 0 1 0 0 ¸ ¨ 0 10 4 3 4 0 ¸ °4 a  2b  d 0 ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ °¯ 9 a  2b  c  e 0 © 9 2 1 0 1 0 ¹ © 0 10 4 0 2 0 ¹ § 3 4 1 0 1 0 · § 3 4 1 0 1 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 2 2 1 0 0 ¸ | ¨ 0 2 2 1 0 0 ¸ ¨ 0 0 6 2 4 0 ¸ ¨ 0 0 6 2 4 0 ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © 0 0 6 5 2 0 ¹ © 0 0 0 3 2 0 ¹ Por lo tanto Span(U ˆ W) = {(a, b, c, d, e) / a = -d/2, b = 5d/6, c = 4d/3, e = 3d/2}. ’ EJ E M P L O 5.4.3 El conjunto U de todas las ternas de ƒ3 cuya primera coordenada es 0 es subespacio de ƒ3, como también lo es el conjunto W de todas las ternas (a, b, c) en donde la primera componente es igual a la segunda componente. Demuestre que U ˆ W es subespacio de ƒ3. SO L U C I O N Por el ejemplo anterior, el conjunto U ˆ W es subespacio de ƒ3; U ˆ W consta de todas las termas (0, 0, c) en las que c es arbitrario. ’ Sean U, W subconjuntos, no necesariamente subespacios, de un espacio vectorial V. Denotaremos por U + W el conjunto de todos los vectores v de V que se pueden expresar como suma de un vector de U y de un vector de W. Por lo tanto, v estará en U + W exactamente cuando existan un vector u de U y un vector w en W tales que v = u + w. El conjunto U + W se denomina suma de los conjuntos U y W.

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D E F IN I C I O N 5.4.2 Dados un subespacio vectorial S, sobre un cuerpo K , y dos subespacios suyos U y W, se denominan suma de dichos subespacios, y se representa por U + W, al conjunto de todos los vectores de S que pueden expresarse como suma de un vector de U y otro de W. Obsérvese que, tanto la intersección como la suma de subespacios siempre son conjuntos no vacíos, ya que les pertenece a ciencia cierta el vector nulo del espacio vectorial V. T E O R E M A 5.4.2 Como U + W es subespacio de S, entonces el subespacio U + W contiene tanto a U como a W. Además, si S es también subespacio de V que contenga tanto a U como a W, entonces S también contiene a U + W. Por lo tanto, U + W es el menor de los subespacios de S que contienen tanto a U como a W; es decir, U + W = Span(U ‰ W). Además si U y W son subespacios de S, entonces U + W es un subespacio de S. D E M OST R A C I O N Puesto que ‡  U y ‡  W, el elemento neutro pertenece a la suma, ya que ‡ = ‡ + ‡  U + W. Por otra parte, si suponemos que u1 + w1  U + W y u2 + w2  U + W, debe verificarse que (u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2)  U + W y a(u1 + w1) = au1 + aw1  U + W, cuyas dos condiciones justifican que U + W es un subespacio vectorial de V. Dado que ‡  U, W  U + W. De igual modo, U  U + W. Ya que U + W es un subespacio que contiene a U ‰ W, Span(U ‰ W)  U + W. Para cualquier v  U + W, v se puede escribir en la forma v = u + w donde u  U y w  W. Entonces u  U  Span(U ‰ W) y w  W  Span(U ‰ W). Como Span(U ‰ W) es un subespacio, v = u + w  Span(U + W). De donde U + W = Span(U + W). En ƒ2, supongamos que en U sólo está el vector u = OQ, y sea W el conjunto de todos los vectores OP desde el origen O hasta un punto P situado en el segmento de recta AB. Entonces, U + W consta de todos los vectores OR = OQ + OP, donde Q es fijo y P varía en el segmento AB. En consecuencia, U + W corresponde al segmento de recta CD que se obtiene de AB al trasladar cada punto en el vector u; en particular, AC = u, BD = u. En ƒ3 sean u, v vectores no nulos, ninguno de ellos múltiplo escalar del otro. Supongamos que U es el conjunto de todos los múltiplos escalares de u y que W es el conjunto de todos los múltiplos escalares v. Entonces, U + W consta de todos los vectores au + bv. Aquí, U corresponde a la recta L1 que pasa por O, W a la recta L2 que pasa por O, y U + W a un plano S que también pasa por O y contiene a L1 y a L2. Indiquemos, finalmente, las propiedades siguientes de la suma de subespacios, que se desprenden directamente de la definición: 1.- U + W = W + U; 2.- U + (W + V) = (U + W) + V; 3.- Si U está contenido en un subespacio W, se tiene U + W = W.

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EJ E M P L O 5.4.4 Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V, se define U + W como el conjunto de vectores de V que pueden escribirse como suma de uno de U más otro JOE GARCIA ARCOS

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de W, es decir, U + W = {w  V / w = u + v con u  U y v  W}. Demostrar que U + W es el mínimo subespacio vectorial que contiene a U y a W. SO L U C I O N En efecto, ‡  U + W, pues es ‡ = ‡ + ‡ y ‡  U y ‡  W. Además, si w1 y w2 son de U + W, serán w1 = u1 + v1 y w2 = u2 + v2 donde u1, u2  U y v1, v2  W, y por tanto, será w1 + w2 = (u1 + u2) + (v1 + v2), lo que por ser u1 + u2  U y v1 + v2  W, indica que es w1 + w2  U + W. Por otro lado, si k es un escalar cualquiera y w  U + W, es w = u + v con u  U y v  W, de donde, kw = k(u + v) = ku + kv, y como ku  U y kv  W, es kw  U + W. Consecuentemente, U + W es un subespacio. Además, U + W contiene a U, pues si u  U, es u = u + ‡, y ‡  W; del mismo modo contiene a W, pues si v  W, es v = ‡ + v, y ‡  U. Y por fin, si un subespacio contiene a U y a W, entonces debe contener todas las sumas del tipo u + v donde u  U y v  W, y por tanto, debe contener a U + W, lo que prueba que U + W es el mínimo subespacio que contiene a U y a W. ’ EJ E M P L O 5.4.5 Sean U = {(a, b, c, d) / b ± 2c + d = 0} y W = {(a, b, c, d) / a = d, b = 2c} subespacios de ƒ4. Hallar U + W. SO L U C I O N Los subespacios U y W generan las siguientes bases U = {(1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1)} y W = {(0, 2, 1, 0), (1, 0, 0, 1)} construimos una matriz con los vectores de ambos subespacios, para poder determinar los elementos que contiene el subespacio U + W: §1 0 0 0· §1 0 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 2 1 0¸ ¨0 2 1 0¸ ¨ 0 1 0 1 ¸ | ¨ 0 0 1 2 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 2 1 0¸ ¨0 0 0 0¸ ¨ 1 0 0 1 ¸ ¨ 0 0 0 1 ¸ © ¹ © ¹ Por lo tanto Base(U + W) = {(1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, 0, 1, 2), (0, 0, 0, -1)}. Como Dim(U + W) = 4, entonces U + W = ƒ4. ’ EJ E M P L O 5.4.6 Sean U = {(1, -1, -1, 0, 0), (1, -2, -2, 0, -3), (1, -1, -2, -2, 1)} y W = {(1, -2, -3, 0, -2), (1, -1, -3, 2, -4), (1, -1, -2, 2, -5)} subespacios de ƒ5. Hallar U + W. SO L U C I O N Para encontrar el subespacio U + W, debemos construir una matriz cuyas filas sean los elementos de los conjuntos U y W, y luego procedemos a eliminar filas mediante operaciones elementales. Las filas no nulas formarán la base de U + W: §1 1 1 0 0 · § 1 1 1 0 0 · § 1 1 1 0 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨1 2 2 0 3 ¸ ¨ 0 1 3 0 3 ¸ ¨ 0 1 3 0 3 ¸ ¨1 1 2 2 1 ¸ ¨ 0 0 3 2 1 ¸ ¨ 0 0 3 2 1 ¸ ¨ ¸|¨ ¸ |¨ ¸ ¨1 2 3 0 2 ¸ ¨ 0 1 4 0 2 ¸ ¨ 0 0 1 0 1 ¸ ¨1 1 3 2 4 ¸ ¨ 0 0 4 2 4 ¸ ¨ 0 0 4 2 4 ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ©1 1 2 2 5 ¹ © 0 0 3 2 5 ¹ © 0 0 3 2 5 ¹

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§ 1 1 ¨ ¨0 1 ¨0 0 ¨ ¨0 0 ¨0 0 ¨¨ ©0 0

1 3 3 0 0 0

0 0 · § 1 1 ¸ ¨ 0 3¸ ¨0 1 2 1 ¸ ¨ 0 0 ¸ |¨ 1 1¸ ¨0 0 7 8 ¸ ¨ 0 0 ¸ ¨ 2 3 ¸¹ ¨© 0 0

1 3 3 0 0 0

0 0· ¸ 0 3¸ 2 1 ¸ ¸ 1 1¸ 0 1¸ ¸ 0 0 ¸¹

Por lo tanto: Base(U + W) = {(1, -1, 1, 0, 0), (0, 1, 3, 0, 3), (0, 0, 3, 2, -1), (0, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 0, 1)}. 5 Como Dim(U + W) = 5, entonces U + W = ƒ . ’ EJ E M P L O 5.4.7 Sea W el conjunto de todos los vectores de la forma (r, 2r ± t, r + t, t) de ƒ4, donde r, t son arbitrarios. Sea U el conjunto de todos los vectores de la forma (2 a + 2b, b, b, 3a + 2b), donde a, b son arbitrarios: a.- Compruebe que U + W es el conjunto de todos los vectores de la forma (u + 2w, 2u ± v, u + v, v + 3w); b.- Compruebe que U, W y U + W son subespacios de ƒ4; c.- Encuéntrese U ˆ W. SO L U C I O N a.- Encontramos las bases de W y U respectivamente: (r, 2r ± t, r + t, t) = r(1, 2, 1, 0) + t(0, -1, 1, 1) BaseW = {(1, 2, 1, 0), (0, -1, 1, 1)}, (2a + 2b, b, -b, 3a + 2b) = a(2, 0, 0, 3) + b(2, 1, -1, 2) BaseU = {(2, 0, 0, 3), (2, 1, -1, 2)}. A continuación encontramos una base para el subespacio U + W: §1 2 1 0· §1 2 1 0 · §1 2 1 0· §1 2 1 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 1 1 1 ¸ | ¨ 0 1 1 1 ¸ | ¨ 0 1 1 1 ¸ | ¨ 0 1 1 1 ¸ . ¨ 2 0 0 3 ¸ ¨ 0 4 2 3 ¸ ¨ 0 0 6 1 ¸ ¨ 0 0 6 1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 1 1 2 ¹ © 0 3 3 2 ¹ © 0 0 6 1 ¹ © 0 0 0 0 ¹ De esta manera podemos decir que la base de U + W es: Base(U + W) = {(1, 2, 1, 0), (0, -1, 1, 1), (2, 0, 0, 3)}. Esta base es exactamente la misma que genera el subespacio U + W dada: (u + 2w, 2u ± v, u + v, v + 3w) = u(1, 2, 1, 0) + v(0, -1, 1, 1) + w(2, 0, 0, 3) Base(U + W) = {(1, 2, 1, 0), (0, -1, 1, 1), (2, 0, 0, 3)}. Con esto queda demostrado el inciso a). b.- Por el inciso a), U, W y U + W tienen estructura de subespacio vectorial de ƒ4, por cuanto cada uno de ellos generan su propia base. c.- En el inciso a) nos podemos dar cuenta que en la matriz se anula una fila, por lo tanto la base del subespacio intersección U ˆ W es: Base(U ˆ W) = {(2, 1, -1, 2)}. ’ EJ E M P L O 5.4.8 Hallar U + W y U ˆ W dados los siguientes sistemas: a.- U = {(0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (-2, 0, 1, 1)} y W = {(-1, 3, 2, -1), (1, 1, 0, -1)}. b.- U = {(2, -5, 3, 4), (1, 2, 0, -7), (3, -6, 2, 5)} y W = {(2, 0, -4, 6), (1, 1, 1, 1), (3, 3, 1, 5)}. SO L U C I O N a.- Debemos construir una matriz cuyas filas sean los elementos de los conjuntos U y W, y luego procedemos a eliminar filas mediante operaciones elementales. Las filas no nulas formarán la base de U + W:

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§ 0 1 1 1 · §0 1 1 1 · §0 1 1 1 · §0 1 1 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 1 1 1 2 ¸ ¨ 0 0 1 3 ¸ ¨ 0 0 1 3 ¸ ¨ 0 0 1 3 ¸ ¨ 2 0 1 1 ¸ | ¨ 0 2 1 1 ¸ | ¨ 0 0 1 3 ¸ | ¨ 0 0 0 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 1 3 2 1¸ ¨ 0 4 2 2 ¸ ¨ 0 0 2 6 ¸ ¨ 0 0 0 0 ¸ ¨ 1 1 0 1¸ ¨ 1 1 0 1 ¸ ¨ 1 1 0 1 ¸ ¨ 1 1 0 1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ Por lo tanto: Base(U + W) = {(0, 1, 1, 1), (0, 0, -1, -3), (1, 1, 0, -1)}. Para encontrar el subespacio U + W, debemos hallar el subespacio generado con respecto a la base encontrada: §0 0 1 a · §1 0 1 b · §1 0 1 b · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a ¸ ¨1 0 1 b ¸ | ¨0 0 1 a ¸ | ¨0 0 1 ¨ 1 1 0 c ¸ ¨ 1 1 0 c ¸ ¨ 0 1 1 b  c ¸ ¨¨ ¸ ¨¨ ¸ ¨¨ ¸ © 1 3 1 d ¹ © 1 3 1 d ¹ © 0 3 2 b  d ¹ §1 ¨ ¨0 ¨0 ¨¨ ©0

0 0 1 0

1 b · §1 0 ¸ ¨ 1 a ¸ | ¨0 0 1 b  c ¸ ¨0 1 ¸ ¨ 1 2b  3c  d ¹ ¨© 0 0

1 b · ¸ 1 a ¸. ¸ 1 bc ¸ 0 a  2b  3c  d ¹

Por lo tanto

Span(U + W) = {(a, b, c, d) / a ± 2b + 3c ± d = 0}. Podemos observar que (-2, 0, 1, 1) y (-1, 3, 2, -1) son los vectores que se eliminaron al encontrar la base de U + W, entonces estos elementos forman la base de U ˆ W. Para encontrar el subespacio U ˆ W, debemos hallar el subespacio generado con respecto a la base encontrada: § 2 1 a · § 2 1 a · § 2 1 a · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 3 b 0 3 b 0 3 b ¨ ¸ |¨ ¸|¨ ¸. ¨ 1 2 c ¸ ¨ 0 3 a  2c ¸ ¨ 0 0 a  b  2c ¸ ¨¨ ¸ ¨¨ ¸ ¨¨ ¸ © 1 1 d ¹ © 0 3 a  2d ¹ © 0 0 a  b  2d ¹ Por lo tanto Span(U ˆ W ) = {(a, b, c, d) / a ± b + 2c = 0, a + b + 2d = 0}. b.- Debemos construir una matriz cuyas filas sean los elementos de los conjuntos U y W, y luego procedemos a eliminar filas mediante operaciones elementales. Las filas no nulas formarán la base de U + W: § 2 5 3 4 · § 2 5 3 4 · § 2 5 3 4 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 1 2 0 7 ¸ ¨ 0 3 1 6 ¸ ¨ 0 3 1 6 ¸ ¨ 3 6 2 5 ¸ ¨ 0 3 5 2 ¸ ¨ 0 0 1 1 ¸ ¨ ¸ |¨ ¸ |¨ ¸ ¨ 2 0 4 6 ¸ ¨ 0 5 7 2 ¸ ¨ 0 0 4 9 ¸ ¨ 1 1 1 1 ¸ ¨ 0 7 1 2 ¸ ¨ 0 0 1 9 ¸ ¨¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 5 ¸¹ ¨© 0 21 7 2 ¸¹ ¨© 0 0 0 1 ¸¹ ©3 3 1 § 2 5 3 4 · § 2 5 3 4 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 3 1 6 ¸ ¨ 0 3 1 6 ¸ ¨ 0 0 1 1 ¸ ¨ 0 0 1 1 ¸ ¨ ¸ |¨ ¸ ¨ 0 0 0 1¸ ¨ 0 0 0 1¸ ¨0 0 0 1 ¸ ¨0 0 0 0 ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ©0 0 0 1 ¹ ©0 0 0 0 ¹

Por lo tanto: Base(U + W) = {(2, -5, 3, 4), (0, -3, 1, 6), (0, 0, -1, 1), (0, 0, 0, 1)}. Como Dim(U + W) = 4, entonces el subespacio U + W = ƒ4. Podemos observar que (1, 1, 1, 1) y (3, 3, 1, 5) son los vectores que se eliminaron al encontrar la base de ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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U + W, entonces estos elementos forman la base de U ˆ W. Para encontrar el subespacio U ˆ W, debemos hallar el subespacio generado con respecto a la base encontrada: §1 3 a · § 1 3 a · §1 3 a · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a b ¸ ¨1 3 b ¸ | ¨ 0 0 a  b ¸ | ¨ 0 0 . ¨1 1 c ¸ ¨ 0 2 a  c ¸ ¨ 0 2 ac ¸ ¨¨ ¸ ¨¨ ¸ ¨¨ ¸ ©1 5 d ¹ © 0 2 a  d ¹ © 0 0 2 a  c  d ¹ Por lo tanto Span(U ˆ W ) = {(a, b, c, d) / a ± b = 0, 2a ± c ± d = 0}. ’ D E F IN I C I O N 5.4.3 Sean U y W subconjuntos del espacio vectorial V y sea S el conjunto compuesto por todos los vectores v de V que están en U, en W o en ambos. El conjunto S se llama unión de U y W. La unión la denotamos por ‰, y ponemos S = U ‰ W. Se puede deducir que U + W contiene a U ‰ W, y que es el menor de los subespacios que contienen a U ‰ W. En general, U + W es un conjunto mucho mayor que U ‰ W. Esto sirve para observar que, en contraste con la intersección, la unión de dos subespacios no es necesariamente otro subespacio. Aquellos casos en los cuales U ˆ W = {‡} merecen atención especial. Si U ˆ W = {‡}, se dice que la suma U + W es directa: U + W es una suma directa de U y W. Dados un espacio vectorial V y los subespacios suyos, U y W se dice que su suma, U + W es suma directa, y se representa como U † W, si todo vector de dicha suma puede expresarse de manera única como suma de vectores de los espacios sumandos. Los subespacios U 1, U 2, ..., U n, del espacio vectorial V, son independientes si, y sólo si, la descomposición del vector cero en suma de vectores de dichos subespacios es única. Si en un espacio vectorial V, varios subespacios son independientes, entonces son disjuntos dos a dos. Es muy importante observar que la proposición recíproca, en general, no es cierta; es decir, el sólo hecho de ser unos subespacios disjuntos dos a dos no implica forzosamente que ellos sean independientes. Como consecuencia de esta afirmación, podemos establecer que dos subespacios U y W son independientes si, y sólo si, son disjuntos. T E O R E M A 5.4.3 Demuestre que el espacio vectorial V es la suma directa de los subespacios U y W si y solamente si se verifica que V = U + W y U ˆ W = {‡}. D E M OST R A C I O N Si se acepta que V = U † W, para todo v  V puede expresarse de una sola manera en la forma v = u + w, con u  U y w  W, en cuyo caso particular se verifica que V = U + W. Si suponemos que v  U ˆ W, debe ocurrir que v = v + ‡, en donde v  U y ‡  W; v = ‡ + v, en donde ‡  U y v  W; pero al no ser posible nada más que de una sola forma la descomposición anterior, ha de verificarse que v = ‡ y, por tanto, U ˆ W = {‡}. Recíprocamente, vamos a probar que si se cumplen las condiciones del problema, se trata de una suma directa, lo que exige demostrar que la suma v = u + w es única. Si existe otra posible descomposición, tal como v = u1 + w1, con u1  U y w1  W, se tiene que u + w = u1 + w1, de donde, u ± u1 = w1 - w; pero como u ± u1  U y w1 - w  W y por hipótesis U ˆ W = {‡}, debe ocurrir que u ± u1 = w1 - w = ‡, de donde u = u1 y w = w1. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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T E O R E M A 5.4.4 Los subespacios U 1, U 2, ..., U n, del espacio vectorial V, son independientes si, y sólo si, la descomposición del vector cero en suma de vectores de dichos subespacios es única. D E M OST R A C I O N Para demostrar este teorema basta con cerciorarse de que los subespacios U 1, U 2, ..., U n, son independientes, pues con repetir la demostración un número finito de veces se prueban todos los casos que se pueden presentar. Supóngase que U 1, U 2, ..., U n, no fuesen independientes, es decir, que un cierto vector u de su suma admitiese dos descomposiciones distintas como suma de vectores de los subespacios sumandos u = u1 + u2 + ... + un y u = v1 + v2 + ... + vn, con ui, vi  U i y siendo uj z vj para algunos índices j, entonces, tomando un vector cualquiera u  U 1, el vector v = u1 + u pertenece a la suma U 1 + U 2 + ... + U n y sería expresable, como suma de vectores de U 1, U 2, ..., U n, de dos formas distintas, u = u1 + u2 + ... + un y u = v1 + v2 + ... + vn, lo cual no es posible, pues estos subespacios son independientes; esta imposibilidad obliga a rechazar el supuesto de ser U 1 + U 2 + ... + U n no independientes, es decir, la proposición es verdadera. T E O R E M A 5.4.5 Si en un espacio vectorial V, varios subespacios son independientes, entonces son disjuntos dos a dos. D E M OST R A C I O N Si dos de los subespacios, U i y U j, con i z j, no fuesen disjuntos, es decir, si existe v z ‡ que pertenece a ambos, todo vector u = u1 + u2 + ... + un de la suma podría expresarse también en la forma u = u1 + ... + (ui + v) + ... + (uj + v) + ... + un, como suma de vectores de los subespacios sumandos, distinta de la de partida, lo cual no es posible, ya que dichos subespacios son independientes. Es muy importante observar que la proposición recíproca, en general, no es cierta; es decir, el sólo hecho de ser unos subespacios disjuntos dos a dos no implica forzosamente que ellos sean independientes. Como consecuencia de este teorema, podemos establecer que dos subespacios U y W son independientes si, y sólo si, son disjuntos. EJ E M P L O 5.4.9 Si S1 genera a U y S2 genera a W, entonces S1 ‰ S2 genera a U + W. SO L U C I O N Dado que ‡  U, W  U + W. De igual modo, U  U + W. Ya que U + W es un subespacio que contiene a U ‰ W, Span(U ‰ W)  U + W. Para cualquier u  U + W, u se puede escribir en la forma u = v + w donde v  U y w  W. Entonces v  U  Span(U ‰ W) y w  W  Span(U ‰ W). Como Span(U ‰ W) es un subespacio, u = v + w  Span(U ‰ W). De donde U + W = Span(U ‰ W). La segunda parte de la demostración se deduce ahora directamente. U = Span(S1)  Span(S1 ‰ S2) y W = Span(S2)  Span(S1 ‰ S2), de manera que U ‰ W  Span(S1 ‰ S2)  Span(U ‰ W) y, por lo tanto, Span(U ‰ W) = Span(S1 ‰ S2). ’ EJ E M P L O 5.4.10 Sean U, W y S subespacios de un espacio vectorial V: a.- Pruébese que U + W = Span(U ‰ W), es decir que U + W es el menor subespacio que contiene a U ‰ W. b.- Pruébese que U  S, entonces S ˆ (U + W) = U + (S ˆ W). SO L U C I O N a.- Como U y W están ambos contenidos en U + W se tiene que U ‰ W  U + W. Supongamos que U es un subespacio que contiene a U ‰ W. Para todo elemento u de U + W existen v  U y w  W con u = v + w. El elemento u es una suma de ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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dos elementos de X y por lo tanto pertenece a X. Hemos visto así que U + W  X. Por tanto, todo subespacio X que contiene a U ‰ W contiene a U + W y, en consecuencia, U + W es el menor subespacio que contiene a U ‰ W. b.- Como W  U + W tenemos en cualquier caso que S ˆ W  S ˆ (U + W). Además U  S y U  U + W, de donde U  S ˆ (U + W). Entonces, U ‰ (S ˆ W)  S ˆ (U + W) y por a) U + (S ˆ W)  S ˆ (U + W). Para demostrar la extensión recíproca, consideramos un elemento u  S ˆ (U + W). Entonces u  S y existen v  U y w  W con u = v + w. Como U  S, el elemento w = u ± v  S y por tanto u = v + w, con v  U y w  S ˆ W. Es decir u  U + (S ˆ W). ’ EJ E M P L O 5.4.11 La intersección de dos subespacios diferentes y propios de ƒ2 será siempre el espacio nulo {‡}. SO L U C I O N Esto se ve con facilidad si se recuerda que los espacios propios de ƒ2 correspondían a rectas que pasan por el origen, y que dos rectas diferentes entre sí y que pasan por el origen se interceptan necesariamente sólo en el origen. Por lo tanto, el espacio de la intersección consta solamente del vector cero; es decir la intersección es el espacio nulo {‡}. De forma general, cuando dos subespacios de un espacio vectorial V se interceptan en el espacio cero, decimos que se interceptan sólo trivialmente. ’ EJ E M P L O 5.4.12 Demuestre que si dos subespacios, U y W de un espacio vectorial V tienen la misma dimensión finita y U  W, entonces U = W. SO L U C I O N Existe una base de U que se puede extender hacia una base de W. Pero como DimU = DimW, la base de W no puede tener más elementos que la base de U. Esto significa que una base de U es también una base de W; es decir, U = W. ’ EJ E M P L O 5.4.13 La suma de los subespacios U y W se denomina suma directa y se nota U † W si sólo si todo vector de este subespacio se escribe como suma de uno de U y otro de W de manera única. Demuestre que la suma de los subespacios U y W es directa si y sólo si es U ˆ W = {‡}. SO L U C I O N En efecto, supongamos que la suma de los subespacios U y W es directa y que existe un vector v z ‡ que pertenece a U y a W. Sería entonces ‡ = ‡ + ‡ y ‡ = v + (-v), y por tanto, el vector ‡ se expresaría como suma de uno de U más otro de W cuando menos de dos maneras distintas, contradiciendo el hecho de ser la suma de U y W directa. Luego, el único vector que a la vez es de U y W es el vector ‡. Recíprocamente, sea U ˆ W = {‡}. Si fuese u1 + v1 = u2 + v2, donde u1 y u2 son de U y v1 y v2 son de W, sería el vector u1 + (-u2) de U igual al vector v2 + (-v1) de W, de donde, debe ser u1 = u2 y v1 = v2, lo que prueba que la suma de los subespacios U y W es directa. ’ EJ E M P L O 5.4.14 Si V = U † W y S es un subespacio cualquiera de V tal que U  S, pruebe que S = (S ˆ U) † (S ˆ W). SO L U C I O N Ya que U  S, U + (S ˆ W)  S. Todo u  S ˆ (U + W) se puede escribir en la forma u = v + w donde v  U y w  W. Como U  S, v  S. Así, w  S y u  (S ˆ U) + (S ˆ W) = U + (S ˆ W). De donde, S = S ˆ (U + W) = U + (S ˆ W). Finalmente, es fácil ver que esta última suma es directa. ’

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PR O B L E M AS 5.4.1 Suponga que U 1, U 2 y U 3 son subespacios de V, entonces: a.- Demuéstrese que (U 1 ˆ U 3) + (U 2 ˆ U 3) Ž (U 1 + U 2) ˆ U 3; b.- Dé un ejemplo en ƒ2, de tal forma que se cumpla el inciso anterior.

5.4.4 Sean U = Span{(1, 2, 3, 6), (4, -1, 3, 6), (5, 1, 6, 12)} y W = Span{(1, -1, 1, 1), (2, -1, 4, 5)} subespacios de ƒ4. Encuentre bases para U ˆ W y U + W. Extienda la base de U ˆ W hacia una base de U, y extienda la base de U ˆ W hacia una base de W. De estas bases, obtenga una base de U + W.

5.4.2 Demuéstrese con un ejemplo que si U, W, S son subconjuntos de un espacio vectorial V y si U está contenido en W, entonces U + S está contenido en W + S.

5.4.5 Demuestre con un ejemplo que si U 1, U 2, U 3 son subespacios de V y U 3  U 1, U 3  U 2 entonces U 3  U 1 ˆ U 2.

5.4.3 Descríbanse las intersecciones de los subconjuntos siguientes U, W de C(-f; +f) y determínese si la intersección es un subespacio: a.- U: todas las f tales que f(0) = 0; W: todas las f tales que f(1) = 0. b.- U: todos los polinomios; W: todas las funciones pares. c.- U: todos los polinomios; W: todas las funciones acotadas. d.- U: todas las f que tienen período 3S; W: todas las f que tienen período 2S. e.- U: todas las f con límite 0 cuando x o f; W: todas las f con límite 1 cuando x o f.

5.4.6 Sea U el subespacio de „3 de todos los polinomios tales que p(0) = 0, y sea W el subespacio de todos los polinomios tales que p(1) = 0. Determine una base de U, una base de W y una base de su intersección U ˆ W.

f.- U: todas las f tales que existe

f tales que existe

f

³0

f ( x) dx ; W: todas las

5.4.7 Examínese desde el punto de vista geométrico la clase posible de intersección de dos subespacios no triviales U, W de ƒ3 en cada uno de los casos siguientes: a.- U y W corresponden a rectas que pasan por 0. b.- U corresponde a una recta que pasa por 0, W a un plano que pasa por 0. c.- U y W corresponden a planos que pasan por 0.

0

³f f ( x) dx .

5.5 D E P E N D E N C I A E I N D E P E N D E N C I A L I N E A L En esta sección se estudiarán condiciones en las que cada vector en un espacio vectorial se puede expresar de manera única como una combinación lineal de los vectores generadores. Los conjuntos generadores con esta propiedad son funda mentales en el estudio de los espacios vectoriales.                                     ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

Considere los vectores arbitrarios u1, u2, ..., uk en un espacio vectorial V. Puede ocurrir que uno de ellos se expresa como combinación lineal de los demás. Sea, por ejemplo, el vector u1. Entonces, cada uno de los vectores u1, u2, ..., uk se expresa linealmente en términos de u2, ..., uk. Por esta razón cualquier combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., uk es también una combinación lineal de los vectores u2, ..., uk. Por consiguiente, los subespacios generados por los vectores u1, u2, ..., uk y u2, ..., uk coinciden. Suponga luego que entre los vectores u2, ..., uk hay un vector, por ejemplo, u2 que también se expresa linealmente en términos de los vectores restantes. Al repetir estos razonamientos, llegamos a la conclusión de que ahora cualquier combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., uk es también una combinación lineal de los vectores u3, ..., uk. Continuando este proceso, pasamos, del sistema u1, u2, ..., uk a un sistema de vectores del cual ya no podemos excluir ni uno de los vectores. El subespacio generado del nuevo sistema de vectores coincide con el subespacio generado de los vectores u1, u2, ..., uk. Además, podemos decir que si entre u1, u2, ..., uk hubo aunque un solo vector no nulo, el nuevo sistema de vectores o bien JOE GARCIA ARCOS

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consiste solamente en un vector no nulo o bien ninguno de sus vectores se expresa linealmente en términos de los vectores restantes. Tal sistema de vectores se denomina linealmente independiente. D E F I N I C I O N 5.5.1 Si S = {u1, u2, ..., uk} es un conjunto no vacío de vectores, entonces la ecuación vectorial a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk = ‡ tiene por lo menos una solución, a saber, a 1 = a 2 ... = a k = 0. Si esta es la única solución, entonces S se denomina conjunto linealmente independiente. Si existen otras soluciones, entonces S se denomina conjunto linealmente dependiente. Es evidente que la definición de independencia lineal de un conjunto no tendría sentido si un vector de un conjunto pudiera aparecer un número arbitrario de veces en una relación simple. Sin embargo, si se da un conjunto de vectores, particularizando los vectores de dicho conjunto, resulta inconveniente insistir en que todos los vectores enumerados sean distintos. La expresión linealmente dependiente sugiere que los vectores dependen entre sí de alguna manera. La dependencia y la independencia lineal constituyen las propiedades del sistema de vectores. T E O R E M A 5.5.1 Un conjunto S con dos o más vectores es: 1.- Linealmente dependiente si y sólo si por lo menos uno de los vectores en S puede expresarse como combinación lineal de los demás vectores en S. 2.- Linealmente independiente si y sólo si ningún vector en S se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S. D E M OST R A C I O N 1.- Sea S = {v1, v2, ..., vk} un conjunto con dos o más vectores. Si se supone que S es linealmente dependiente, entonces existen escalares a1, a2, ..., ak, no todos iguales a cero, tales que a 1v1 + a 2v2 + ... + a kvk = ‡. Para ser más específicos, suponga que a 1 z 0. Entonces la expresión anterior se puede volver a escribir como § a · § a · v1 ¨  2 ¸ v2  ...  ¨  k ¸ vk © a1 ¹ © a1 ¹ que expresa a v1 como una combinación lineal de los demás vectores en S. De manera semejante, si a i z 0 en la misma expresión para alguna j = 2, 3, ..., k, entonces vi se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S. Recíprocamente, se supone que por lo menos uno de los vectores en S se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores. En concreto, supóngase que v1 = c1v1 + c2v2 + ... + c kvk de modo que v1 ± c2v2 ± c3v3 - ... ± c kvk = ‡. Se concluye que S es linealmente dependiente, ya que la ecuación a 1v1 + a 2v2 + ... + a kvk = ‡ se satisface por a 1 = 1, a 2 = -c2, a 3 = -c3, ..., a k = -c k que no todos son cero. La demostración para el caso en que algún vector diferente de v1 se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S es semejante. La segunda parte del teorema se demuestra de forma análoga. Si entre los vectores u1, u2, ..., uk no todos son nulo en términos de los vectores citados nulos y si dicho sistema es linealmente dependiente, entonces en éste JOE GARCIA ARCOS

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puede existir un subsistema linealmente independiente de vectores, en cuyos términos es linealmente expresado cualquiera de los vectores u1, u2, ..., uk. Una circunstancia, inesperada a primera vista, determina si un sistema de vectores u1, u2, ..., uk es linealmente dependiente o linealmente independiente. Ya se observo que el vector nulo pertenece al subespacio generado y es representado por la combinación lineal u = a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk con valores nulos de los coeficientes. A pesar de esto, puede expresarse linealmente en términos de los vectores a 1u1 + a 2u2 + ... + akuk de otro forma. La independencia lineal de los vectores u1, u2, ..., uk está estrechamente vinculada con la unicidad de la representación del elemento nulo en términos de los vectores citados. El siguiente teorema establece un hecho sencillo sobre independencia lineal que es importante conocer. T E O R E M A 5.5.2 Un conjunto finito de vectores que contiene al vector cero es linealmente dependiente. D E M OST R A C I O N Para vectores cualesquiera v1, v2, ..., vk, el conjunto S = {v1, v2, ..., vk, ‡} es linealmente dependiente, ya que la ecuación 0v1 + 0v2 + ... + 0vk + 1(‡) = ‡ expresa al vector ‡ como una combinación lineal de los vectores en S con coeficientes no todos iguales a cero. Este teorema es una conclusión del hecho de que dos vectores son linealmente independientes si y sólo si ninguno de ellos es un múltiplo escalar del otro. Geométricamente, esto equivale a afirmar que los vectores no están en la misma recta cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen. T E O R E M A 5.5.3 Cualquier parte de un sistema de vectores linealmente independientes {u1, u2, ..., un}  V es linealmente independiente. D E M OST R A C I O N Si {u1, u2, ..., uk, uk+1,..., un} es un conjunto linealmente independiente, mientras el subconjunto {u1, u2, ..., uk} (h < n) es linealmente dependiente, debe existir en a1u1 + ... + a kuk existe al menos un a i diferente de cero, en contra de la hipótesis que exige el valor cero para todos los a i que figuran en la expresión a1u1 + ... + a kuk + ak+1uk+1 + ... + anun = ‡. T E O R E M A 5.5.4 Si algunos de los vectores del sistema {u1, u2, ..., un} son linealmente dependientes, todo el sistema {u1, u2, ..., un} será linealmente dependiente. D E M OST R A C I O N Sin restringir la generalidad podemos considerar que los primeros vectores del sistema {u1, u2, ..., uk} son linealmente dependientes. Por consiguiente, existen tales escalares a1, a2, ..., a k, entre los cuales hay distintos de cero, que a1u1 + a2u2 + ... + a kuk = ‡. De aquí fluye la legitimidad de la igualdad a1u1 + a2u2 + ... + a kuk + 0uk+1 + ... + 0un = ‡. Mas, esta igualdad significa dependencia lineal de los vectores del sistema {u1, u2, ..., un}, puesto que entre los escalares a1, a2, ..., a k, 0, ..., 0 hay algunos que no son nulos. La independencia lineal de los vectores u1, u2, ..., uk está estrechamente vinculada con la unicidad de la representación del elemento. Con todo este análisis, podemos decir que un conjunto con exactamente dos vectores es linealmente independiente si y sólo si ninguno de los vectores es un múltiplo escalar del otro. Esta afirmación es una conclusión del hecho de que tres vectores son linealmente independientes si y sólo si ninguno de ellos es una comJOE GARCIA ARCOS

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binación lineal de los otros dos. Geométricamente, esto equivale a decir que ninguno de los vectores está en el mismo plano que los otros dos o, de otro modo, que los tres vectores no están en un plano común cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen.

                                 

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T E O R E M A 5.5.5 Sea S un subconjunto de un espacio vectorial V, y suponga que S contiene a dos o más elementos. Entonces, S es linealmente dependiente si, y sólo si, hay un subconjunto propio S´ de S con la propiedad de que Span(S) = Span(S´). D E M OST R A C I O N Suponga que existe ese subconjunto S´. Entonces, debe haber un vector u que está en S sin estar en S´. Ahora bien, u está en Span(S) y, como Span(S) = Span(S´), u también está en Span(S´). Por lo tanto, u = a1u1 + a2u2 + ... + a kuk, donde u1, u2, ..., uk están en S´. Por lo tanto, los ui están en S y son diferentes de u. Pero, entonces, a1u1 + a2u2 + ... + akuk + (-1)u = ‡ y concluimos que S es linealmente dependiente. A continuación, sea S un conjunto linealmente dependiente. Entonces, existen vectores u1, u2, ..., uk en S tales que a1u1 + a2u2 + ... + a kuk = ‡ donde no todos los coeficientes son cero; supongamos que a 1 z 0. Entonces, podemos expresar u1 como combinación lineal de u2, ..., uk. Por lo tanto, podemos expresar toda combinación lineal de elementos de S como una combinación lineal así, sin usar a u1. Por lo tanto, si tomamos a S´ como S sin el vector u1, entonces Span(S´) = Span(S), y S´ es subconjunto propio de S. El siguiente teorema muestra que un conjunto linealmente independiente en ƒn puede contener cuando mucho n vectores. T E O R E M A 5.5.6 Sea S = {v1, v2, ..., vk} un conjunto de vectores en ƒn. Si k > n, entonces S es linealmente dependiente. D E M OST R A C I O N Se supone que ­ v1 ( a11 , a1 2 , ..., a1 n ) ° °v2 ( a21 , a2 2 , ..., a2 n ) ® ° ° v ( a , a , ..., a ) k1 k 2 kn ¯ k Considérese la ecuación b1v1 + b2v2 + ... + bkvk = ‡. Si reemplazamos los vectores anteriormente definidos en la ecuación, ambos miembros de esta se expresan en términos de las componentes b1( a 11, ..., a 1n) + b2( a 21, ..., a 2n) + ... + bk( a k1, ..., a kn) = (0, 0, ..., 0) y después se igualan las componentes correspondientes, se obtiene el sistema ­ a11b1  a21b2   a k 1bk 0 °a b  a b   a b 0 ° 12 1 22 2 k2 k ® ° ° a1n b1  a2 n b2   a k n bk 0 ¯ Este es un sistema homogéneo de n ecuaciones en k incógnitas b1, b2, ..., bk. Como k > n, se concluye que el sistema tiene soluciones no triviales. Por consiguiente, S es un conjunto linealmente dependiente. Este teorema establece que un conjunto en ƒ2 con más de dos vectores es linealmente dependiente, y que un conjunto ƒ3 con más de tres vectores es linealmente dependiente. JOE GARCIA ARCOS

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EJ E M P L O 5.5.1 Mostrar que cualesquiera que sean los vectores u, v, w y los números a, b, c el sistema de vectores {au - bv, cv - aw, bw - cu} es linealmente dependiente. SO L U C I O N Hacemos la combinación lineal con el vector nulo: ‡ = D(au - bv) + E(cv - aw) + G(- cu + bw) ‡ = (aD - cG)u + (- bD + cE)v + (- aE + bG)w Establecemos un sistema de ecuaciones homogéneas: a 0 c ­ a D  cG 0 ° 0 0 ®bD  cE 0 Ÿ b c °  aE  bG 0 0 a b ¯ Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es igual a cero, entonces éste tiene un número indeterminado de soluciones. Lo cual indica que el sistema dado es linealmente dependiente. ’ EJ E M P L O 5.5.2 Sea u, v, w un sistema de vectores linealmente independiente. Serán linealmente independientes los sistemas de vectores siguientes: a.- {u, u + v, u + v + w}; b.- {u + v, v + w, w + u}; c.- {u ± v, v ± w, w ± u}. SO L U C I O N a.- Hacemos la combinación lineal con el vector nulo: ‡ = Du + E(u + v) + G(u + v + w) Ÿ ‡ = (D + E + G)u + (E + G)v + Gw como u, v, w forman un sistema linealmente independiente, entonces: 1 1 1 ­D  E  G 0 ° ® EG 0 Ÿ 0 1 1 z0 ° G 0 0 0 1 ¯ Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es diferente de cero, entonces éste tiene solución única y por lo tanto D = E = G = 0. Lo cual indica que el sistema dado es linealmente independiente. b.- Hacemos la combinación lineal con el vector nulo: ‡ = D(u + v) + E(v + w) + G(u + w) Ÿ ‡ = (D + G)u + (D + E)v + (E + G)w como u, v, w forman un sistema linealmente independiente, entonces: 1 0 1 ­D  G 0 ° ®D  E 0 Ÿ 1 1 0 z 0 °E  G 0 0 1 1 ¯ Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es diferente de cero, entonces éste tiene solución única y por lo tanto D = E = G = 0. Lo cual indica que el sistema dado es linealmente independiente. c.- Hacemos la combinación lineal con el vector nulo: ‡ = D(u - v) + E(v - w) + G(- u + w) Ÿ ‡ = (D - G)u + (- D + E)v + (- E + G)w como u, v, w forman un sistema linealmente independiente, entonces: 1 0 1 ­ DG 0 ° 0 ®D  E 0 Ÿ 1 1 0 ° E  G 0 0  1 1 ¯ Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es igual a cero, entonces éste tiene un número indeterminado de soluciones. Lo cual indica que el sistema dado es linealmente dependiente. ’ EJ E M P L O 5.5.3 Establecer, si los siguientes sistemas de vectores de sus correspondientes espacios, son linealmente dependientes o no: a.- {(1, i, 2 ± i, 3 + i), (1 ± i, 1 + i, 1 ± 3i, 4 ± 2i)}; JOE GARCIA ARCOS

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b.- {(1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (1, -1, 1, -1), (1, 1, -1, -1)}. SO L U C I O N a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: i 2  i 3 i · §1 i 2  i 3 i · § 1 ¨ ¸ |¨ ¸. 0 0 ¹ ©1  i 1  i 1  3i 4  2i ¹ © 0 0 Como el rango de la matriz es igual a 1, entonces el sistema es linealmente dependiente. b.- Para verificar si el sistema dado es linealmente dependiente o no, formamos un determinante con sus elementos: 1 1 1 1 1 1 1 1 z0. 1 1 1 1 1 1 1 1 Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema es linealmente independiente. ’ EJ E M P L O 5.5.4 Sean a, b, c distintos números reales. Será linealmente dependiente el siguiente sistema de polinomios {(x - a)(x - b), (x - a)(x - c), (x - b)(x - c)}? SO L U I C I O N Hacemos la combinación lineal con el vector nulo: ‡ = D(x ± a)(x ± b) + E(x ± a)(x ± c) + G(x ± b)(x ± c) 0x2 + 0x + 0 = (D + E + G)x2 + [-(a + b)D - (a + c)E - (b + c)G]x + (abD + acE + bcG). Establecemos un sistema de ecuaciones homogéneas: D EG 0 1 1 1 ­ ° ®( a  b)D  ( a  c )E  (b  c )G 0 Ÿ a  b a  c b  c ( a  b)( a  c )(c  b) . ° ab ac bc abD  acE  bcG 0 ¯ Si (a ± b)(a ± c)(c ± b) = 0, el sistema es linealmente dependiente. Si (a ± b)(a ± c)(c ± b) z 0, el sistema es linealmente independiente. ’ EJ E M P L O 5.5.5 Verifíquese que los conjuntos siguientes son subconjuntos linealmente independientes del espacio vectorial „ de todos los polinomios: a.- {1, t ± 1, t2 ± t, t3 ± t2}; b.- {1, 1 + t, 1 + t + t2, 1 + t + t2 + t3}. SO L U C I O N a.- Para verificar si el sistema dado es linealmente dependiente o no, formamos un determinante con sus elementos: 0 0 0 1 0 0 1 1 z0. 0 1 1 0 1 1 0 0 Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema es linealmente independiente. b.- Para verificar si el sistema dado es linealmente dependiente o no, formamos un determinante con sus elementos: 1 0 0 0 1 1 0 0 z0. 1 1 1 0 1 1 1 1 JOE GARCIA ARCOS

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Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema es linealmente independiente. ’ Algunas veces la dependencia lineal de funciones se puede deducir a partir de identidades conocidas. Sin embargo, tales identidades se pueden aplicar sólo en situaciones especiales. Aunque no existe ningún método general para establecer independencia lineal o dependencia lineal de funciones en ‚(-f, f), a continuación desarrollaremos un teorema que algunas veces se puede aplicar para demostrar que un conjunto de funciones dado es linealmente independiente. D E F I N I C I O N 5.5.2 Las funciones f1, f2, ..., fn se dicen linealmente independientes en el intervalo [ a ; b] si existen constantes a 1, a 2, ..., a n todas nulas, tales que a 1f1 + a 2f2 « a nfn = ‡. Caso contrario son linealmente dependientes. Es decir, las funciones f1, f2, ..., fn son linealmente independientes en [ a ; b] si la relación a 1f1 + a 2f2  «  a nfn = ‡ para todo x, tal que a d x d b implica que a 1 = a 2 = ... = a n = 0. En otras palabras, la única combinación lineal de f1, f2, ..., fn que es idénticamente nula en [ a ; b], es la combinación lineal trivial. Si un conjunto de funciones f1, f2, ..., fn es linealmente dependiente en un intervalo [ a ; b], se deduce inmediatamente que para cada x  [ a ; b], el correspondiente conjunto de n vectores constantes es linealmente dependiente. Sin embargo, una afirmación equivalente sobre la independencia lineal de n funciones no es válida, es decir, si el conjunto de funciones f1, f2, ..., fn es linealmente independiente en un intervalo [ a ; b] no se verifica que necesariamente los n vectores constantes sean linealmente independientes. T E O R E M A 5.5.7 Si las funciones f1, f2, ..., fn admiten n - 1 derivadas continuas sobre el intervalo (-f; f) y si el wronskiano de estas funciones no es idénticamente cero sobre este intervalo, entonces las funciones forman un conjunto linealmente independiente de vectores en ‚(n-1)(-f, f). D E M OST R A C I O N Si las funciones f1, f2, ..., fn son derivables n - 1 veces sobre el intervalo (-f, f), entonces el determinante f1 f2 fn f ´1 f ´2 f ´n W

f1( n 1) f 2( n 1) f n( n 1) se llama wronskiano de f1, f2, ..., fn. Supóngase, por el momento, que f1, f2, ..., fn son vectores linealmente dependientes en ‚(n-1)(-f; f). Entonces existen escalares a 1, a 2, ..., a n, no todos iguales a cero, tales que a 1f1 + a 2f2  « + a nfn = ‡ para toda x en el intervalo (-f, f). Al combinar esta ecuación con las ecuaciones obtenidas al derivar sucesivamente n - 1 veces, se obtiene ­ a1 f1  a2 f 2   an f n 0 ° a f ´ a f ´   a f ´ 0 n n ° 1 1 2 2 ® ° ° a f ( n 1)  a f ( n 1)   a f ( n 1) 0 2 2 n n ¯ 1 1 Así, la dependencia lineal de f1, f2, ..., fn indica que el sistema lineal

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f2 f n · § a1 · § 0 · § f1 ¨ ¸ f ´2 f ´n ¸ ¨ a2 ¸ ¨ 0 ¸ ¨ f ´1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ( n 1) ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨f f 2( n 1) f n( n 1) ¸¹ ¨© an ¸¹ © 0 ¹ © 1 tiene una solución no trivial para toda x en el intervalo (-f, f). Esto a su vez significa que para toda x en (-f, f) la matriz de coeficientes es singular o, de manera equivalente, que su determinante es cero para toda x en (-f, f). Por tanto, si el wronskiano no es idénticamente cero sobre (-f, f), entonces las funciones f1, f2, ..., fn deben ser vectores linealmente independientes en ‚(n-1)(-f, f). El recíproco del teorema es falso. Si el wronskiano de f1, f2, ..., fn es idénticamente cero sobre (-f, f), entonces no es posible llegar a ninguna conclusión respecto a la independencia lineal de {f1, f2, ..., fn}; este conjunto de vectores puede ser linealmente independiente o linealmente dependiente. EJ E M P L O 5.5.6 Determínese si los subconjuntos siguientes de C(0; f) son linealmente independientes: a.- {Sen2t, Sent, t}; b.- {Sent, Sen2t, Sen3t}; c.- {Sent, Sen(t + 1), Cost}; d.- {e t, te t, t2e t}; e.- { Cost, Cos2t, Cos3 t}. SO L U C I O N a.- Construimos el Wronskiano: Sen2 t Sent t 2 W{Sen t , Sent , t} Sen2t Cost 1 2Sent  2tSen 2 t  2tCost  3Sen3t . 2 Cos 2t  Sent 0 Si t = 0, entonces W = 0. Por lo tanto el conjunto {Sen2t, Sent, t} es linealmente dependiente. b.- Construimos el Wronskiano: Sent Sen2t Sen3t W{Sent , Sen2t , Sen3t} Cost 2Cos 2t 3Cos3t  Sent 4Sen2t 9Sen3t 9SentSen2tCos3t  (5CostSen2t  16SentCos 2t )Sen3t Si t = 0, entonces W = 0. Por lo tanto el conjunto {Sent, Sen2t, Sen3t} es linealmente dependiente. c.- Construimos el Wronskiano:

Sent W{Sent , Sen(t  1), Cost} Cost  Sent Como W = 0, entonces el conjunto {Sent, dependiente.

Sen(t  1) Cost Cos (t  1) Sent 0 .  Sen(t  1)  Cost Sen(t + 1), Cost} es linealmente

d.- Construimos el Wronskiano: W{e t , te t , t 2 e t }

et

te t

t 2 et

et

(t  1) e t

( t 2  2t ) e t

et

(t  2) e t

(t 2  4t  2) e t

2e 3t .

Como W z 0, entonces el conjunto { e t, te t, t2e t} es linealmente independiente.

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e.- Construimos el Wronskiano: W{Cost , Cos 2 t , Cos3 t}

Cost

Cos 2 t

Cos3t

 Sent

 Sen2t

3SentCos 2 t

 Cost

2 Cos 2t

(9Sen 2 t  3) Cost

1  Sen3 2t . 4

Si t = 0, entonces W = 0. Por lo tanto el conjunto { Cost, Cos2t, Cos3t} es linealmente dependiente. ’ %  COMPRUEBA  LA  DEPENDENCIA  LINEAL  DE  UN  SISTEMA  DE  VECTORES  S   clc;;clear;;   fprintf('\n  DEPENDENCIA  E  INDEPENDENCIA  LINEAL  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  vectores:    ');;   col=input('Ingrese  la  dimension  del  vector:    ');;          %Ingreso  de  elementos          fprintf('Ingrese  los  vectores  del  sistema  S\n')                  for  f=1:fil                  fprintf('\nIngrese  la  Ecuacion  (%d)\n',  f)                          for  c=1:col                                  fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',f)                                  S(c,f)=input('  :');;                          end                  end                  fprintf('La  matriz  de  vectores  es:\n')          S          fprintf('La  matriz  reducida  es:')          R=  rref(S);;          R          RangS=rank(R)          if  (rank(S)==fil)                  fprintf('El  sistema  S  es  linealmente  independiente  :\n')                  else                                  fprintf('El  sistema  S  es  linealmente  dependiente  :\n')                  end  

   

PR O B L E M AS

5.5.1 Demuestre que un subconjunto no vacío de un conjunto finito de vectores linealmente independientes es linealmente independiente. 5.5.2 Demuestre que si S1 es un subconjunto de S2 y S1 es linealmente dependiente, entonces también S2 es linealmente dependiente. 5.5.3 Demuestre que cualquier conjunto de vectores que contenga al vector cero es linealmente dependiente. 5.5.4 Demuestre que dos vectores son linealmente dependientes sí y sólo si están en una misma recta que pasa por el origen. Si u y v son linealmente independientes y si {u, v, w} es linealmente dependiente, entonces e está en Span{u, v}. 5.5.5 Dado que {u1, u2, ..., uk} es un conjunto de vectores linealmente independientes, pero el conjunto {u1, u2, ..., uk , u} es linealmente dependiente, demuestre que u es una combinación lineal de los ui. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

5.5.6 Si u y v son linealmente independientes y w está en Span{u, v} entonces {u, v, w} es linealmente dependiente. 5.5.7 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en ƒ4 y u3 = 2u1 + u2, entonces {u1, u2, u3, u4} es linealmente dependiente. 5.5.8 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en ƒ4 y u3 = ‡, entonces {u1, u2, u3, u4} es linealmente dependiente. 5.5.9 Demuestre que si u1 y u2 están en ƒ4 y u1 no es un múltiplo escalar de u2, entonces {u1, u2} es linealmente independiente. 5.5.10 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en ƒ4 y u3 no es combinación lineal de u1, u2, u4, entonces {u1, u2, u3, u4} es linealmente independiente. 5.5.11 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 son vectores linealmente independientes en ƒ4, entonces {u1, u2, u3, u4} es linealmente independiente. JOE GARCIA ARCOS

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5.5.12 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en ƒ4 y {u1, u2, u3} es linealmente dependiente, entonces {u1, u2, u3, u4} también es linealmente dependiente. 5.5.13 ¿En qué condiciones un conjunto que consta de un solo vector es linealmente independiente? 5.5.14 Demuéstrese que, si W es subespacio de V y si U es subconjunto linealmente independiente de W, entonces U es subconjunto linealmente independiente de V. 5.5.15 Demuestre que si {u, v, w} es un conjunto de vectores linealmente independiente en un espacio vectorial V y x es cualquier vector en V, entonces {u, v, w, x} también es linealmente independiente. 5.5.16 Demuestre que dos vectores u y v son linealmente dependientes sí y sólo si uno es un múltiplo escalar del otro. 5.5.17 Sean A y B dos matrices de n x n con A y B no nulas. Demuestre que si A es simétrica y B es antisimétrica, entonces {A, B} es un conjunto linealmente independiente. 5.5.18 Demuéstrese que, si W es subespacio de V y si U es subconjunto de W que además es subconjunto linealmente independiente de V, entonces U es subconjunto linealmente independiente de W. 5.5.19 En cada caso, determínese un valor de k, de manera que el par dado de vectores sea linealmente dependiente: a.- {(k + 1)u + v, 4u + (k + 1)v}; b.- {u ± 2v, 3u + kv}. 5.5.20 Demuestre que si {u, v, w} es un conjunto de vectores linealmente independiente, entonces también {u, v}, {u, w}, {v, w}, {u}, {v} y {w} son linealmente independientes. 5.5.21 Demuestre que todo conjunto con más de tres vectores de „2 es linealmente dependiente. 5.5.22 Demuéstrese que, si W es subespacio de V y si U es base de W, entonces U es subconjunto linealmente independiente de V.  

5.5.23 Determínese si los subconjuntos siguientes de C(0; f) son linealmente independientes: a.- ^Senx, Cosx, 1`; b.- ^lnx, lnx2, lnx3`; c.- ^ex, lnx, x`. 5.5.24 De los subconjuntos siguientes de ƒ3, ¿cuáles son linealmente independientes? a.- ^(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)`; b.- ^(1, 2, 3), (3, 4, 5), (5, 6, 7)`; c.- ^(1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1), (2, 3, 1)`; d.- ^(1, 2, 3), (3, 2, 1), (-7, -2, 1)`; e.- ^(1, 1, 2), (2, 3, -1), (-1, -6, 9)`. 5.5.25 Sean U, W subconjuntos de un espacio vectorial V. Demuéstrese que: a.- Si U es conjunto linealmente dependiente y si U está contenido en W, entonces W es conjunto linealmente dependiente. b.- Si W es conjunto linealmente independiente y si U está contenido en W, entonces U es conjunto linealmente independiente. 5.5.26 Suponga que A es una matriz de m x n con la propiedad de que para cada B de ƒm la ecuación A X = B tiene a lo más una solución. Utilice la definición de independencia lineal para explicar por qué las columnas de A deben de ser linealmente independientes. 5.5.27 Verifíquese que los conjuntos siguientes son subconjuntos linealmente independientes del espacio vectorial „ de todos los polinomios: a.- ^1, x ± 1, x2 ± x, x3 ± x2`; b.- ^1+ x, 1 + 2x, 1 + 3x`; c.- ^x, x + x2, x + x2 + x3, x4`; d.- ^x, x2 ± x, x3 ± x`; e.- ^x3 - 1, 2x3 - 2, x4`; f.- ^1, 1 + x, 1 + x + x2, 1 + x + x2 + x3`; g.- ^x2 - 1, 2x2 - 4, x2 + 1`; h.- ^x4 ± 2x2, x4 + 2x2, - x4 - 2x2`; i.- ^x2 + 1, x2 - x, x2 - x`. 5.5.28 Demuestre que si {u, v} es linealmente independiente y w no está en Span{u, v}, entonces {u, v, w} es linealmente independiente.

5.6 B ASE Y D I M E NSI O N En esta sección se estudiará la base y dimensión de un espacio vectorial, porque es común imaginar a una recta como unidimensional, a un plano como bidimensional y al espacio circundante como tridimensional. Se enunciarán y demostrarán las propiedades más importantes. Sea dado un espacio vectorial V arbitrario que se compone no sólo de un vector nulo. En tal espacio se tiene a ciencia cierta aunque un vector no nulo y, por lo ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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tanto, existe un sistema linealmente independiente, por lo menos, de un vector. Por consiguiente, son posibles dos casos: o bien existe un sistema linealmente independiente que contiene un número de vectores tan grande como se quiera o bien existe un sistema linealmente independiente que contiene el número máximo de vectores. En el primer caso el espacio vectorial se dice que es de dimensión infinita y en el segundo caso, de dimensión finita. Nuestra atención estará dirigida a lo largo de este trabajo exclusivamente a los espacios vectoriales de dimensión finita. En particular, un espacio vectorial de dimensión finita lo constituirá cualquier conjunto generador construido con un número finito de vectores de un espacio vectorial arbitrario. D E F I N I C I O N 5.6.1 Si V es cualquier espacio vectorial y S = {v1, v2, ..., vn} es un conjunto de vectores en V, entonces S se llama base de V si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1.- S es linealmente independiente. 2.- S genera a V. Si S = {v1, v2, ..., vn} es una base de V, según la definición, un vector v de V se puede escribir en la forma v = a 1v1 + a 2v2 + ... + a nvn. Lo interesante de una base, a diferencia de otros conjuntos generadores, es que los coeficientes están determinados en forma única por v. Porque, supóngase que también tenemos v = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn. Restando, se obtiene la relación lineal ( a 1 ± b1)v1 + ( a 2 ± b2)v2 + ... + ( a n ± bn)vn = ‡ ya que S es un conjunto linealmente independiente, a 1 ± b1 = 0, a 2 ± b2 = 0, ..., a n ± bn = 0 y, por tanto, a 1 = b1, a 2 = b2, ..., a n = bn. Como veremos, un hecho relacionado con esto es que una base es un conjunto generador particularmente eficiente. Una base es la generalización de espacio vectorial de un sistema de coordenadas en el espacio bidimensional y en el espacio tridimensional. El siguiente teorema ayudará a ver por qué es así. T E O R E M A 5.6.1 Si S = {v1, v2, ..., vn} es una base de un espacio vectorial V, entonces todo vector v en V se puede expresar en forma única como v = a 1v1 + a 2v2 + ... + a nvn. D E M OST R A C I O N Como S genera a V, por la definición de subespacio generado se concluye que todo vector v en V se puede expresar como una combinación lineal de los vectores en S. Para ver que sólo existe una manera de expresar un vector como una combinación lineal de los vectores en S, supóngase que algún vector v se puede escribir como v = a 1v1 + a 2v2 + ... + a nvn y también como v = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn. Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene ‡ = ( a 1 ± b1)v1 + ( a 2 ± b2)v2 + ... + ( a n ± bn)vn. Como el miembro derecho de esta ecuación es una combinación lineal de vectores en S, la independencia lineal de S indica que a 1 ± b1 = 0, a 2 ± b2 = 0, ..., a n ± bn = 0, es decir, a 1 = b1, a 2 = b2, ..., a n = bn. Así, las dos expresiones para v son iguales. Este teorema indica que dos combinaciones lineales de vectores de una base resultan en el mismo vector si, y sólo si, el coeficiente de cada vector de la base es el mismo en las dos expresiones; es decir, si {v1, v2, ..., vn} es base de V y si ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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a 1v1 + a 2v2 + ... + a nvn = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn entonces a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn. Este es el método de comparación de coeficientes, que frecuentemente se usa. EJ E M P L O 5.6.1 Todo conjunto linealmente independiente de tres vectores de ƒ3 es base de ƒ3. SO L U C I O N Si u = OP, v = OQ, w = OR son linealmente independientes, entonces O, P, Q, R no están en el mismo plano y, por consiguiente, cada vector x = OS se puede expresar como combinación lineal de u, v, w; esto se puede observar en la figura. ’ La noción de base está ligada con un sistema linealmente independiente que contiene el número máximo de vectores. No obstante, es evidente que todas las bases de un mismo espacio vectorial de dimensión finita representan sistemas equivalentes linealmente independientes. Estos hechos nos sirven para asignar un número, que se llama dimensión, a cada espacio vectorial. Dos combinaciones lineales de vectores de una base resultan en el mismo vector sí, y sólo si, el coeficiente de cada vector de la base es el mismo en las dos expresiones; es decir, si {v1, v2, ..., vn} es base de V y si a 1v1 + a 2v2 + ... + a nvn = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn entonces a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn. Este es el método de comparación de coeficientes, que frecuentemente se usa. La noción de base está ligada con un sistema linealmente independiente que contiene el número máximo de vectores. No obstante, es evidente que todas las bases de un mismo espacio vectorial de dimensión finita representan sistemas equivalentes linealmente independientes. Estos hechos nos sirven para asignar un número, que se llama dimensión, a cada espacio vectorial. D E F I N I C I O N 5.6.2 La dimensión de un espacio vectorial V de dimensión finita, denotada por Dim(V), se define como el número de vectores que hay en una base de V. Además, por definición, el espacio vectorial cero es de dimensión cero. Obsérvese que el espacio cero, {‡}, no tiene base, pues {‡} sólo contiene al vector ‡, por lo cual no contiene ningún subconjunto linealmente independiente. Se puede demostrar que todos los demás espacios vectoriales sí tienen bases, aunque a veces las bases son conjuntos infinitos. D E F I N I C I O N 5.6.3 Se dice que un espacio vectorial V diferente de cero es de dimensión finita si contiene un conjunto finito de vectores v1, v2, ..., vn que forma una base. Si no es así, se dice que V es de dimensión infinita. Además, se considera que el espacio vectorial cero es de dimensión finita. Indicaremos que la dimensión de un espacio vectorial depende del sistema numérico que se use para los escalares. La dimensión de C, el conjunto de los números complejos, como espacio vectorial complejo, es 1. Pero C también se puede considerar como espacio vectorial real, y, en este caso, su dimensión es 2. El siguiente teorema proporciona la clave del concepto de dimensión. T E O R E M A 5.6.2 ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y {v1, v2, ..., vn} es cualquier base, entonces: 1.- Todo conjunto con más de n elementos es linealmente dependiente. 2.- Ningún conjunto con menos de n vectores genera a V. D E M OST R A C I O N 1.- Sea S´ = {u1, u2, ..., um} cualquier conjunto de m vectores en V, donde m > n. Se quiere demostrar que S´ es linealmente dependiente. Como S = {v1, v2, ..., vn} es una base, todo ui se puede expresar como una combinación lineal de los vectores en S, por ejemplo ­ u1 a11v1  a21v2   an 1vn ° ° u2 a1 2 v1  a2 2 v2   an 2 vn (1) ® ° °u ¯ m a1 m v1  a2 m v2   an m vn Para demostrar que S´ es linealmente dependiente, es necesario encontrar escalares b1, b2, ..., bm, no todos cero, tales que b1u1 + b2u2 + ... + bmum = ‡ (2) Usando las ecuaciones anteriores en esta expresión, obtenemos b1( a 11v1 + a 21v2 + ... + a n1vn) + b2(a 12v1 + a 22v2 + ... + a n2v2) + ... + bm( a 1mv1 + a 2mv2 + ... + a nmvn) = ‡, de donde (b1a 11 + b2a 12 + ... + bma 1m)v1 + (b1a 21 + b2a 22 + ... + bma 2m)v2 + ... + (b1a n1 + b2a n2 + ... + bma nm)vn = ‡. Así, a partir de la independencia lineal de S, el problema de demostrar que S´ es un conjunto linealmente dependiente se reduce a probar que existen escalares b1, b2, ..., bm, no todos cero, que satisfacen ­ a11b1  a12 b2   a1m bm 0 °a b  a b   a b 0 ° 21 1 22 2 2m m (3) ® ° °¯ an1b1  an 2 b2   anm bm 0 Pero este sistema contiene más incógnitas que ecuaciones, de modo que la demostración está completa, ya que de esta manera se garantiza la existencia de soluciones no triviales. 2.- Sea S´ = {u1, u2, ..., um} cualquier conjunto de m vectores en V, donde m < n. Se quiere demostrar que S´ no genera a V. La demostración será por contradicción: Se probará que suponiendo que S´ genera a V se llega a una contradicción de la independencia lineal de {v1, v2, ..., vn}. Si S´ genera a V, entonces todo vector en V es una combinación lineal de los vectores en S´. En particular, cada vector básico vi es una combinación lineal de los vectores en S´, por ejemplo, ­ v1 a11u1  a21u2   am 1um ° °v2 a1 2u1  a2 2u2   am 2um (4) ® ° °v a u  a u   a u 1n 1 2n 2 mn m ¯ n Para obtener la contradicción, se demostrará que existen escalares b1, b2, ..., bm, no todos cero, tales que b1v1 + b2v2 + ... + bnvn = ‡ (5) Pero obsérvese que (4) y (5) son de la misma forma que (1) y (2), excepto que se han intercambiado m y n, así como las u y las v. Por tanto, los cálculos con los que se llegó a (3) ahora producen

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­ a11b1  a1 2 b2   a1 n bn 0 ° ° a21b1  a2 2 b2   a2 n bn 0 ® ° °a b  a b   a b 0 mn n ¯ m1 1 m 2 2

Este sistema lineal tiene más incógnitas que ecuaciones y por lo tanto posee soluciones no triviales. De este teorema se deduce que si S = {v1, v2, ..., vn} es cualquier base para un espacio vectorial V, entonces todos los conjuntos en V que simultáneamente generan a V y son linealmente independientes deben tener precisamente n vectores. Así, todas las bases de V deben tener el mismo número de vectores que la base arbitraria S. Esto lleva al siguiente teorema, que es uno de los más importantes en álgebra lineal. T E O R E M A 5.6.3 Todas las bases de un espacio vectorial de dimensión finita tienen el mismo número de vectores. D E M OST R A C I O N Supóngase que S es una base con un número finito n de elementos y S´ otra base cualquiera. Ya que S genera a V y S´ es linealmente independiente, el número m de elementos en S´ debe ser a lo más n. Esto prueba que S´ es finita y m d n. Pero entonces pueden intercambiarse los papeles de S y S´ para obtener la desigualdad en el otro sentido, así que m = n. Este teorema afirma que, en un espacio vectorial V de dimensión finita, cualquier conjunto dado de vectores linealmente independientes de V forma parte de alguna base de V. En realidad, hay muchas bases así. Se dice que la base S = {v1, ..., vm, ..., vn} es la extensión a una base de V del conjunto linealmente independiente {v1, v2, ..., vm}. EJ E M P L O 5.6.2 Hallar todas las bases de los sistemas de vectores siguientes: a.- {(4, -2, 12, 8), (-6, 12, 9, -3), (-10, 5, -30, -20), (-14, 28, 21, -7)}; b.- {(1, 2, 3, 0, -1), (0, 1, 1, 1, 0), (1, 3, 4, 1, -1)}; c.- {(1 + i, 1 ± i, 2 + 3i), (i, 1, 2), (1 ± i, - 1 ± i, 3 ± 2i), (4, -4i, 10 + 2i)}. SO L U C I O N a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: 8 · § 2 1 6 4 · § 2 1 6 4 · § 2 1 6 § 4 2 12 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨  6 12 9  3 ¸ ¨ 2 4 3 1 ¸ ¨ 0 1 3 1 ¸ ¨ 0 1 3 ¨ | | | ¨ 10 5 30 20 ¸ ¨ 2 1 6 4 ¸ ¨ 0 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 0 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ © 14 28 21 7 ¹ © 2 4 3 1 ¹ © 0 1 3 1 ¹ © 0 0 0

del 4· ¸ 1¸ 0¸ ¸ 0¹

Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces cada una de las bases tiene dos elementos: S1 = {(4, -2, 12, 8), (-6, 12, 9, -3)} y S2 = {(-10, 5, -30, -20), (-14, 28, 21, -7)}. b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: § 1 2 3 0 1· § 1 2 3 0 1· § 1 2 3 0 1· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 1 1 1 0 ¸ | ¨0 1 1 1 0 ¸ | ¨0 1 1 1 0 ¸ ¨ 1 3 4 1 1¸ ¨ 0 1 1 1 0 ¸ ¨ 0 0 0 0 0 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces cada una de las bases tienen dos elementos: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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S1 = {(1, 2, 3, 0, -1), (0, 1, 1, 1, 0)} y S2 = {(1, 2, 3, 0, -1), (1, 3, 4, 1, -1)}. c.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: 2  3i · §1  i 1  i 2  3i · §1  i 1  i ¨ ¸ ¨ ¸ i 1 2 ¸ ¨ 0 0 1 ¸ ¨ | ¨1  i 1  i 3  2i ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 4i 10  2i ¹ © 0 0 0 ¹ © 4 Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces cada una de las bases tienen dos elementos: S1 = {(1 + i, 1 ± i, 2 + 3i), (i, 1, 2)}, S2 = {(i, 1, 2), (1 ± i, - 1 ± i, 3 ± 2i)}, S3 = {(i, 1, 2), (4, -4i, 10 + 2i)}. ’ Cualquier vector distinto de cero v constituye un subconjunto linealmente independiente de V y, en consecuencia, el teorema afirma que cada vector v distinto de cero aparece en alguna base de V. Entre otras cosas, lo que nos enseña el teorema es que existen muchas bases diferentes de V y que tenemos algo de libertad en la elección de una base de V. T E O R E M A 5.6.4 Un conjunto de n vectores en un espacio vectorial V es una base si, y sólo si es linealmente independiente. D E M OST R A C I O N Sea S = {v1, v2, ..., vn} un conjunto linealmente independiente y v un vector cualquiera en V. Ya que {v1, v2, ..., vn, v} contiene n + 1 elementos, debe ser linealmente dependiente. Cualquier relación no trivial que exista debe contener a v con un coeficiente diferente de cero, porque si ese coeficiente fuera cero, la relación equivaldría a una relación en S. Así pues, v depende de S. Por lo tanto, S genera a V y es una base. E J E M P L O 5.6.3 Todo conjunto linealmente independiente de tres vectores de ƒ3 es base de ƒ3. SO L U C I O N Si u = OP, v = OQ, w = OR son linealmente independientes, entonces O, P, Q, R no están en el mismo plano y, por consiguiente, cada vector x = OS se puede expresar como combinación lineal de u, v, w. ’ EJ E M P L O 5.6.4 Hallar una base cualquiera de cada uno de los siguientes sistemas de vectores: a.- {(0, 2, -1), (3, 7, 1), (2, 0, 3), (5, 1, 8)}; b.- {(-1, 4, -3, -2), (3, -7, 5, 3), (3, -2, 1, 0), (-4, 1, 0, 1)}; c.- {(14, -27, -49, 113), (43, -82, -145, 15), (-29, 55, 96, -17), (85, -163, -13, 77)}; d.- {(3 ± i, 1 ± 2i, - 7 + 5i, 4 + 3i), (1 + 3i, 1 + i, - 6 ± 7i, 4i), (0, 1, 1, -3)}. SO L U C I O N a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: § 0 2 1· § 0 2 1 · § 0 2 1· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 1 ¸ ¨3 7 1 ¸ ¨3 7 1 ¸ | ¨3 7 | ¨ 2 0 3 ¸ ¨ 0 2 1 ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © 5 1 8 ¹ © 0 32 19 ¹ © 0 0 3 ¹ Como el rango de la matriz es igual a 3, entonces la base buscada esta formada por: {(0, 2, -1), (3, 7, 1), (5, 1, 8)}. b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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§ 1 4 3 2 · § 1 4 3 2 · § 1 4 3 2 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 3 7 5 3 ¸ | ¨ 0 5 4 3 ¸ | ¨ 0 5 4 3 ¸ ¨ 3 2 1 0 ¸ ¨ 0 5 4 3 ¸ ¨ 0 0 0 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © 4 1 0 1 ¹ © 0 5 4 3 ¹ © 0 0 0 0 ¹ Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces la base buscada esta formada por: {(-1, 4, -3, -2), (3, -7, 5, 3)}. c.- En este caso formamos un determinante, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular dicho determinante: 14 27 49 113 43 82 145 15 z0 29 55 96 17 85 163 13 77

Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema dado es base. d.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: § 3  i 1  2i 7  5i 4  3i · § 3  i 1  2i 7  5i 4  3i · ¨ ¸ ¨ ¸ 4i ¸ | ¨ 0 3i 3i 9  3i ¸ ¨1  3i 1  i 6  7i ¨ 0 1 1 3 ¸¹ ¨© 0 1 1 3 ¸¹ © § 3  i 1  2i 7  5i 4  3i · ¨ ¸ 3i 3i 9  3i ¸ ¨ 0 ¨ 0 0 0 0 ¸¹ © Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces la base buscada esta formada por: {(3 ± i, 1 ± 2i, - 7 + 5i, 4 + 3i), (1 + 3i, 1 + i, - 6 ± 7i, 4i)}. ’

EJ E M P L O 5.6.5 Determínese si el subconjunto S es linealmente independiente y, cuando sea posible, encuéntrese una base del espacio que contiene a S: a.- S = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)}  ƒ4; b.- S = {t + t3, t2 + t6, 1 ± t ± t3}  „6. SO L U C I O N a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: 1 1 §1 1 1 1 · z0. ¨ ¸ Ÿ 1 z0, 1 2 ©1 2 3 4 ¹ Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces el sistema dado es linealmente independiente. Para extender hasta encontrar una base del espacio ƒ4 que contenga a S, aumentamos a la matriz inicial una fila de variables: 1 1 1 §1 1 1 1· ¨ ¸ Ÿ 1 2 3 4 1 2 3 a  2b  c . ¨ ¸ ¨a b c d¸ a b c © ¹ Para que el vector (a, b, c, d) forme parte de la base de ƒ4, entonces debe satisfacer a ± 2b + c z 0, es decir un posible vector puede es, (1, 1, -1, 0). Para encontrar el último vector que formará parte de la base del espacio ƒ4, a la última matriz le aumentamos una fila de variables: 1 1 1 1 §1 1 1 1· ¨ ¸ ¨ 1 2 3 4 ¸ Ÿ 1 2 3 4 3x  4 y  z  2u . ¨ 1 1 1 0 ¸ 1 1 1 0 ¨ ¸ x y z u ©x y z u¹ Para que el vector (x, y, z, u) forme parte de la base de ƒ4, entonces debe satisfacer ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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3x ± 4y ± z + 2u z 0, es decir un posible vector puede es, (1, 1, 1, 0). Por lo tanto la base de ƒ4 buscada tiene la forma: Base ƒ4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (1, 1, -1, 0), (1, 1, 1, 0)}. b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: 0 1 0 §0 1 0 1 0 0 0· 0 1 ¨ ¸ Ÿ , , z 0  1 z 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 z0. ¨ ¸ 1 0 ¨ 1 1 0 1 0 0 0 ¸ 1 1 0 © ¹ Como el rango de la matriz es igual a 3, entonces el sistema dado es linealmente independiente. Para extender hasta encontrar una base del espacio „6 que contenga a S, aumentamos a la matriz inicial una fila de variables: 0 1 0 1 §0 1 0 1 0 0 0· ¨ ¸ ¨0 0 1 0 0 0 1¸ Ÿ 0 0 1 0 d b . ¨ 1 1 0 1 0 0 0 ¸ 1 1 0 1 ¨ ¸ a b c d ©a b c d e f g¹ 2 3 4 Para que el polinomio a + bt + ct + dt + et + ft5 + gt6 forme parte de la base de „6, entonces debe satisfacer b - d z 0, es decir un posible vector puede es, 1 + t + t2 - t3 + t4 + t5 + t6. Para encontrar el último vector que formará parte de la base del espacio „6, a la última matriz le aumentamos una fila de variables: 0 1 0 1 0 §0 1 0 1 0 0 0· ¨ ¸ 0 0 1 0 0 ¨0 0 1 0 0 0 1¸ ¨ 1 1 0 1 0 0 0 ¸ Ÿ 1 1 0 1 0 b  d  2e . ¨ ¸ 1 1 1 1 1 ¨ 1 1 1 1 1 1 1 ¸ ¨a b c d e f g¸ a b c d e © ¹ Para que el vector a + bt + ct2 + dt3 + et4 + ft5 + gt6 forme parte de la base de „6, entonces debe satisfacer b ± d ± 2e z 0, es decir un posible vector puede es, t4. De esta forma seguimos encontrando los polinomios necesarios para formar la base del espacio „6: 0 1 0 1 0 0 §0 1 0 1 0 0 0· ¨ ¸ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ¨ ¸ ¨ 1 1 0 1 0 0 0 ¸ 1 1 0 1 0 0 bd 2f ¨ ¸ Ÿ 1 1 1 1 1 1 ¨ 1 1 1 1 1 1 1 ¸ ¨0 0 0 0 1 0 0¸ 0 0 0 0 1 0 ¨¨ ¸¸ a b c d e f ©a b c d e f g¹ 1 + t + t3 + t5; 0 1 0 1 0 0 0 §0 1 0 1 0 0 0· ¨ ¸ 0 0 1 0 0 0 1 ¨0 0 1 0 0 0 1¸ ¨ 1 1 0 1 0 0 0 ¸ 1 1 0 1 0 0 0 ¨ ¸ ¨ 1 1 1 1 1 1 1 ¸ Ÿ 1 1 1 1 1 1 1 2c  2 g ¨0 0 0 0 1 0 0¸ 0 0 0 0 1 0 0 ¨ ¸ 1 1 0 1 0 1 0 ¨1 1 0 1 0 1 0 ¸ ¨a b c d e f g¸ a b c d e f g © ¹ 1 + t + t2 + t3 + t4 + t5 - t6. Por lo tanto la base de „6 buscada tiene la forma: Base „6 = {t + t3, t2 + t6, 1 ± t ± t3, 1 + t + t2 - t3 + t4 + t5 + t6, t4, 1 + t + t3 + t5, 1 + t + t2 + t3 + t4 + t5 - t6}. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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T E O R E M A 5.6.5 En un espacio vectorial de dimensión finita, todo conjunto generador contiene una base. D E M OST R A C I O N Sea S´ un conjunto que genera a V. Si V = {‡}, entonces ‡  S´ es una base de {‡}. Si V z {‡}, entonces S´ debe contener al menos un vector v1, diferente de cero. Busquemos otro vector en S´ que no dependa de {v1}. Llamemos a este vector v2 y busquemos otro vector en S´ que no dependa del conjunto linealmente dependiente {v1}. Continuamos de la misma manera hasta donde podamos, pero el proceso debe terminar ya que no podemos encontrar más de n vectores linealmente independientes en S´. Supongamos que se ha hallado el conjunto S = {v1, v2, ..., vm} con la propiedad de que todo vector en S´ es linealmente dependiente de S. Entonces el conjunto S también debe generar a V y es una base. T E O R E M A 5.6.6 En un espacio vectorial de dimensión finita, cualquier conjunto linealmente independiente de vectores se puede extender hasta tener una base. D E M OST R A C I O N Sea S = {v1, v2, ..., vn} una base de V y S´ = {u1, u2, ..., um} un conjunto linealmente independiente m d n. El conjunto {u1, u2, ..., um, v1, v2, ..., vn} genera a V. Si este conjunto es linealmente dependiente, entonces algún elemento es una combinación lineal de los elementos precedentes. Este elemento no puede ser uno de los ui, porque entonces S´ sería linealmente dependiente. Pero entonces puede eliminarse este vi para obtener un conjunto menor que genera a V. Continuamos de esta manera, quitando elementos mientras se tenga un conjunto generador linealmente dependiente. En ningún paso se elimina a alguno de los ui. Ya que nuestro conjunto generador es finito, este proceso debe terminar con una base que contenga a S´ como subconjunto. Como caso especial del teorema, podemos enunciar lo siguiente: si { v1, v2, ..., vm} es base de un subespacio S de un espacio vectorial V de dimensión finita, entonces existe una base de V que contiene a v1, v2, ..., vm. Por consiguiente, se puede extender cada base de un subespacio a una base de la totalidad del espacio vectorial. T E O R E M A 5.6.7 Sea S un conjunto no vacío de vectores en un espacio vectorial V. Si S es un conjunto linealmente independiente y v es un vector en V que no pertenece a Span(S), entonces el conjunto que se obtiene al incluir v en S aún es linealmente independiente. D E M OST R A C I O N Supóngase que S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto linealmente independiente de vectores en V y que v es un vector en V fuera de Span(S). Para probar que S´ = {v1, v2, ..., vk, v} es un conjunto linealmente independiente, es necesario demostrar que los únicos escalares que satisfacen a 1v1 + a 2v2 + ... + a kvk + a k+1v = ‡ son a 1 = a 2 = ... = a k = a k+1 = 0. Pero se debe tener que a k+1 = 0; en caso contrario, v se podría despejar en la ecuación como una combinación lineal de S, contradiciendo la hipótesis de que v es un vector que no pertenece a Span(S). Así, la ecuación se simplifica a a 1v1 + a 2v2 + ... + a kvk = ‡ lo cual, debido a la independencia lineal de S, significa que a 1 = a 2 = ... = a k = 0. E J E M P L O 5.6.6 Sea Span(S) = {( a , b, c) / a ± b + c = 0} y v = (1, -2, 1)  ƒ3. Demostrar que el ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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conjunto que se forma con la base de Span(S) y el vector v es linealmente independiente y, además es base de ƒ3. SO L U C I O N Encontramos una base para el subespacio; Base Span(S) = {(1, 1, 0), (-1, 0, 1)}. Para verificar que los elementos de la base del subespacio y el vector v forman una base de ƒ3, construimos una matriz con sus correspondientes elementos y calculamos su determinante 1 1 0 1 0 1 z 0 1 2 1 como el determinante de la matriz es diferente de cero, el rango es igual 3 y la dimensión del conjunto formado por estos elementos es linealmente independiente y tiene dimensión 3. Por lo tanto el conjunto S´ = {(1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, -2, 1)} es base de ƒ3. ’ Un conjunto S de tres vectores linealmente independientes en ƒ3 genera un plano que pasa por el origen. Si S se aumenta insertando cualquier vector v fuera de este plano, entonces el conjunto resultante de tres vectores todavía es linealmente independiente, ya que ninguno de los tres vectores está en el mismo plano que los otros dos. T E O R E M A 5.6.8 Sea S un conjunto no vacío de vectores en un espacio vectorial V. Si v es un vector en S que se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S, y si S - {v} denota el conjunto que se obtiene al quitar v de S, entonces S y S - {v} generan el mismo espacio; es decir, Span(S) = Span(S - {v}). D E M OST R A C I O N Supóngase que S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto de vectores en V y, para ser específicos, supóngase que vk es una combinación lineal de v1, v2, ..., vk-1, por ejemplo vk = a 1v1 + a 2v2 + ... + a k-1vk-1 (1) Se quiere demostrar que si vk se extrae de S, entonces el conjunto de vectores restantes {v1, v2, ..., vk-1} sigue generando a Span(S); es decir, se debe demostrar que todo vector u en Span(S) se puede expresar como una combinación lineal de {v1, v2, ..., vk-1}. Pero si u está en Span(S), entonces u se puede expresar en la forma u = b1v1 + b2v2 + ... + bk-1vk-1 + bkvk (2) o bien, sustituyendo en la ecuación (1) u = b1v1 + b2v2 + ... + bk-1vk-1 + bk( a 1v1 + a 2v2 + ... + a k-1vk-1) que expresa a u como una combinación lineal de v1, v2, ..., vk-1. Si S es un conjunto de tres vectores no colineales en ƒ3 que están en un plano común que pasa por el origen, entonces los tres vectores generan el plano. Sin embargo, si de S se extrae cualquier vector v que sea una combinación lineal de los otros dos, entonces el conjunto restante de dos vectores sigue generando el plano. En general, para probar que un conjunto de vectores { v1, v2, ..., vn} es una base de un espacio vectorial V, se debe demostrar que los vectores son linealmente independientes y generan a V. Sin embargo, si se sabe que la dimensión de V es n, entonces basta verificar ya sea, la independencia lineal o la generación: la otra condición se cumple automáticamente. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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T E O R E M A 5.6.9 Si U es un subespacio vectorial de un espacio vectorial V de dimensión finita, entonces Dim(U) d Dim(V); además, si Dim(U) = Dim(V), entonces U = V. D E M OST R A C I O N Sea S = {u1, u2, ..., um} una base para U. S puede ser una base para V o no. Si es así, entonces Dim(U) = Dim( V) = m. Si no es así, entonces es posible agregar vectores al conjunto linealmente independiente S a fin de convertirlo en una base para V de modo que Dim(U) < Dim(V). Por tanto, Dim(U) d Dim(V) en todos los casos. Si Dim(U) = Dim(V), entonces S es un conjunto de m vectores linealmente independientes en el espacio vectorial V de dimensión m; por tanto, S es una base para V. Esto significa que U = V. Considerando la suma de dos subespacios vectoriales arbitrarios U y W, podremos ver fácilmente que su dimensión depende no sólo de la dimensión de los subespacios U y W, sino también de cuán grande es la parte común de los mismos. El valor exacto de la dimensión de la suma se determina por el siguiente teorema. T E O R E M A 5.6.10 Si U y W son subespacios vectoriales de dimensión finita de un espacio vectorial V, entonces Dim(U + W) + Dim(U ˆ W) = Dim(U) + Dim( W). D E M OST R A C I O N Hemos de verificar que, si U y W son subespacios de dimensión finita de un espacio vectorial V, entonces Dim(U + W) + Dim(U ˆ W) = Dim(U) + Dim(W). Puesto que U ˆ W es subespacio del espacio de dimensión finita U. Sabemos que U ˆ W es de dimensión finita. Como U + W está generado por la unión de una base de U y una base de W, también es de dimensión finita. Sea {u1, u2, ..., uk} una base de U ˆ W, existen vectores v1, v2, ..., vr en U tales que {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr} es base de U. De la misma manera, hay vectores w1, w2, ..., wt en W tales que {u1, u2, ..., uk, w1, w2, ..., wt} es base de W. Vemos claramente que Span{u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr, w1, w2, ..., wt} = U + W. Si a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk + b1v1 + b2v2 + ... + brvr + c1w1 + c2w2 + ... + c twt = ‡, entonces, v = a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk + b1v1 + b2v2 + ... + brvr = - c1w1 - c2w2 - ... - c twt está en U ˆ W. Luego existen escalares d1, d2, ..., dk con la propiedad de que v = d1u1 + d2u2 + ... + dkuk, de donde tenemos que d1u1 + d2u2 + ... + dkuk + c1w1 + c2w2 + ... + c twt = ‡. Pero {u1, u2, ..., uk, w1, w2, ..., wt} es un conjunto linealmente independiente de V y, en consecuencia, c1 = c2 = ... = c t = 0. Pero, entonces vemos que a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk + b1v1 + b2v2 + ... + brvr = ‡ y, como {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr} es base de U y, por tanto, conjunto linealmente independiente, tenemos que a 1 = a 2 = ... = a k = b1 = b2 = ... = br = 0. Por lo tanto, hemos hecho ver que {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr, w1, w2, ..., wt} es linealmente independiente y genera a U + W. Por consiguiente, Dim(U + W) = t + k + r = (t + k) + ( r + k) ± k = Dim(U) + Dim(W) - Dim(U ˆ W). De este teorema se puede deducir una desigualdad que ofrece el valor mínimo de la dimensión de la intersección de unos subespacios. Consideremos los subespacios vectoriales U y W de V y sean r y s las dimensiones de estos ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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subespacios, n la dimensión de V y m la dimensión de la intersección U ˆ W. En virtud del teorema, la dimensión de la suma U + W es igual a r + s ± m. Pero la dimensión de la suma U + W es no mayor que la dimensión del espacio V. Por consiguiente, r + s ± m d n, de donde se tiene m t r + s ± n. Es decir, la dimensión de la intersección de dos subespacios vectoriales del espacio V no puede ser menor que el exceso de la suma de las dimensiones de estos subespacios respecto a la dimensión del espacio vectorial V. Por ejemplo, la intersección de dos planos del espacio de tres dimensiones contiene siempre una recta, la intersección de un subespacio de dos dimensiones con un subespacio de tres dimensiones en un espacio de cuatro dimensiones contiene una recta, la intersección de dos subespacios de tres dimensiones de un espacio de cuatro dimensiones contiene un plano, etc. EJ E M P L O 5.6.7 Suponga que V es de dimensión n y que cada uno de los conjuntos U y W es subespacio de V de dimensión n - 1. Suponga además, que U z W. Entonces, Dim(U ˆ W) = n - 2. SO L U C I O N Puesto que U z W, uno de los espacios contiene un vector que no está en el otro. En consecuencia, U + W contiene a uno de U, W o tal vez a ambos, como subespacio propio. De acuerdo con eso n t Dim(U + W) > n - 1 = Dim(U) = Dim(W); de donde se desprende que Dim(U + W) = n. Entonces se deduce que Dim(U ˆ W) = Dim(U) + Dim(W) - Dim(U + W) = (n - 1) + (n - 1) ± n = n - 2. ’ EJ E M P L O 5.6.8 Sea U el conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que a ± b + c = 0. Sea W el conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que b + c + d = 0. Entonces, U ˆ W = S será el conjunto de elementos (a, b, c, d) que cumplan tanto con la condición a ± b + c = 0 como con la condición b + c + d = 0, y DimS = 2. SO L U C I O N Como podemos apreciar, U, W son subespacios de ƒ4, y DimU = DimW = 3. Se ve claramente que (1, 1, 0, 0) está en U y no está en W, de manera que U z W. Por lo tanto DimS = 2. ’ Cuando se definen propiedades y se demuestran teoremas acerca de espacios vectoriales, suele ser aconsejable, y, habitualmente, más fácil, trabajar sin tomar una base particular. Cuando se define una propiedad por medio de una base, es necesario determinar si esa propiedad es intrínseca del espacio vectorial o si depende explícitamente de una base en particular. Por eso, al definir la dimensión de un espacio vectorial, nos aseguramos con mucho cuidado de que no dependíamos, al hacerlo, de una base en particular, sino que teníamos una propiedad que poseen todas las bases y, por consiguiente, intrínseca al espacio vectorial. Sin embargo, cuando se hacen cálculos, se encuentra que las cosas se simplifican al usar una base en particular. Si se sabe que la cantidad que se va a calcular es independiente, de la base usada, entonces podemos estar seguros de que nuestro resultado será el mismo, al margen de nuestra elección de base. Es habitual que los cálculos se pueden hacer con mucha facilidad si se elige la base adecuada. T E O R E M A 5.6.11 La dimensión de una suma directa de subespacios es igual a la suma de las dimensiones de estos subespacios. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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D E M OST R A C I O N Si tenemos dos sumandos, entonces la dimensión de la suma es igual, por el teorema anterior. Pero, la intersección de subespacios en el caso de una suma directa es nula y su dimensión es igual a cero. Por esto, la dimensión de una suma directa de dos subespacios es igual a la suma de sus dimensiones. T E O R E M A 5.6.12 La dimensión del espacio de soluciones del sistema homogéneo con n incógnitas A X = O es igual a la diferencia n ± r, donde r es el rango del sistema A X = O. Como consecuencia de este teorema, podemos enunciar lo siguiente: para que un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas de n incógnitas A X = O no tenga soluciones no nulas, es necesario y suficiente que la matriz A de este sistema sea no singular. Efectivamente, la condición n = r significa que el rango de la matriz A debe coincidir con su orden, es decir, la matriz A debe ser no singular. Otra consecuencia es la siguiente: para que un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas de n incógnitas tenga solución no nula es necesario y suficiente que el determinante de la matriz de este sistema sea igual a cero. En efecto, una matriz cuadrada es singular si, y sólo si, su determinante es igual a cero. En un espacio vectorial V de dimensión finita, cualquier conjunto dado de vectores linealmente independientes de V forma parte de alguna base de V. En realidad, hay muchas bases así. Se dice que la base S = {v1, ..., vm, ..., vn} es la extensión a una base de V del conjunto linealmente independiente {v1, v2, ..., vm}. Un conjunto S de tres vectores linealmente independientes en ƒ3 genera un plano que pasa por el origen. Si S se aumenta insertando cualquier vector v fuera de este plano, entonces el conjunto resultante de tres vectores todavía es linealmente independiente, ya que ninguno de los tres vectores está en el mismo plano que los otros dos. Considerando la suma de dos subespacios vectoriales arbitrarios U y W, podremos ver fácilmente que su dimensión depende no sólo de la dimensión de los subespacios U y W, sino también de cuán grande es la parte común de los mismos. Consideremos los subespacios vectoriales U y W de V y sean r y s las dimensiones de estos subespacios, n la dimensión de V y m la dimensión de la intersección U ˆ W. La dimensión de la suma U + W es igual a r + s ± m. Pero la dimensión de la suma U + W es no mayor que la dimensión del espacio V. Por consiguiente, r + s ± m d n, de donde se tiene m t r + s ± n. Es decir, la dimensión de la intersección de dos subespacios vectoriales del espacio V no puede ser menor que el exceso de la suma de las dimensiones de estos subespacios respecto a la dimensión del espacio vectorial V. Por ejemplo, la intersección de dos planos del espacio de tres dimensiones contiene siempre una recta, la intersección de un subespacio de dos dimensiones con un subespacio de tres dimensiones en un espacio de cuatro dimensiones contiene una recta, la intersección de dos subespacios de tres dimensiones de un espacio de cuatro dimensiones contiene un plano, etc. %  COMPRUEBA  SI  UN  SISTEMA  DE  VECTORES  S  ES  BASE   clc;;clear;;   fprintf('\n  BASE  Y  DIMENSION  \n')   fil=input('Ingrese  el  numero  de  vectores:    ');;   col=input('Ingrese  la  dimension  del  vector:    ');;   ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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       %Ingreso  de  elementos          fprintf('Ingrese  los  vectores  del  sistema  S\n')                  for  f=1:fil                  fprintf('\nIngrese  la  Ecuacion  (%d)\n',  f)                          for  c=1:col                                  fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',f)                                  S(f,c)=input('  :');;                          end                  end                  fprintf('LA  MATRIZ  DE  VECTORES  ES:\n')          S          fprintf('LA  MATRIZ  REDUCIDA  ES:')          R=  rref(S);;          R          if  (rank(S)==fil)                  fprintf('EL  SISTEMA  DE  VECTORES  S  ES  UNA  BASE  \n')                  DimS=rank(R)          else                                  fprintf('EL  SISTEMA  DE  VECTORES  S  NO  ES  UNA  BASE  \n')                  end  

 

E J E M P L O 5.6.9 Si a , b, c son números reales, si c z 0 y si S es el conjunto de todos los vectores (x, y, z) de ƒ3 con la propiedad de que ax + by + cz = 0, entonces S es subespacio de V y Dim(S) = 2. SO L U C I O N Como ax + by + cz = 0 es un plano que pasa por el origen, entonces vemos que S es subespacio de ƒ3. Sean k = - a /c, r = - b/ c. Entonces, podemos describir a S como el conjunto de todos los (x, y, z) tales que kx + ry - z = 0. Además, observamos que u = (1, 0, k) y v = (0, 1, r) están en S. Podemos demostrar que u, v son linealmente independientes. Si w = (x, y, z)  S, entonces z = kx + ry, de manera que w = (x, y, kx + by) = xu + yv. En consecuencia, Span{u, v} = S. Como u, v es un conjunto linealmente independiente, concluimos que constituye una base de S. ’ E J E M P L O 5.6.10 Sea S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 1, 1), (3, 2, 1)}  ƒ3. Demuestre que tanto S como S´ = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 1, 1)} generan el mismo subespacio. SO L U C I O N Para encontrar el Span(S), construimos la matriz aumentada de la siguiente manera: §1 0 1 3 a · §1 0 1 3 · a · §1 0 1 3 a ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 2 1 1 2 b 0  1 1 4 2 a  b 0  1 1 4 2 a  b | | ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 3 2 1 1 c ¸ ¨ 0 2 2 8 3a  c ¸ ¨ 0 0 0 0 a  2b  c ¸ © ¹ © ¹ © ¹ de donde

Span(S) = {( a , b, c) / a ± 2b + c = 0}. Para encontrar el Span(S´), construimos la matriz aumentada de la siguiente manera: §1 0 1 a · §1 0 1 · a · §1 0 1 a ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 2a  b ¸ ¨ 2 1 1 b ¸ | ¨ 0 1 1 2 a  b ¸ | ¨ 0 1 1 ¨ 3 2 1 c ¸ ¨ 0 2 2 3a  c ¸ ¨ 0 0 0 a  2b  c ¸ © ¹ © ¹ © ¹ de donde Span(S´) = {( a , b, c) / a ± 2b + c = 0}. Por lo tanto concluimos que Span(S) = Span(S´). ’ E J E M P L O 5.6.11 Suponga que V es de dimensión n y que cada uno de los conjuntos U y W es subespacio de V de dimensión n - 1. Suponga además, que U z W. Entonces, Dim(U ˆ W) = n - 2. SO L U C I O N Puesto que U z W, uno de los espacios contiene un vector que no está en el otro. En consecuenALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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cia, U + W contiene a uno de U, W o tal vez a ambos, como subespacio propio. De acuerdo con eso n t Dim(U + W) > n - 1 = Dim(U) = Dim(W) de donde se desprende que Dim(U + W) = n. Entonces se deduce que Dim(U ˆ W) = Dim(U) + Dim(W) - Dim(U + W) = (n - 1) + (n - 1) ± n = n - 2. ’ EJ E M P L O 5.6.12 Sea U el conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que a ± b + c = 0. Sea W el conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que b + c + d = 0. Entonces, U ˆ W = S será el conjunto de elementos (a, b, c, d) que cumplan tanto con la condición a ± b + c = 0 como con la condición b + c + d = 0, y Dim(S) = 2. SO L U C I O N Como podemos apreciar, U, W son subespacios de R 4, y Dim(U) = Dim( W) = 3. Se ve claramente que (1, 1, 0, 0) está en U y no está en W, de manera que U z W. Por lo tanto Dim(S) = 2. ’ EJ E M P L O 5.6.13 Hallar una base cualquiera y la dimensión del subespacio generado por los sistemas de polinomios siguientes: a.- {3t2 + 2t + 1, 4t2 + 3t + 2, 3t2 + 2t + 3, t2 + t + 1, 4t2 + 3t + 4}; b.- {t3 + 2t2 + 3t + 4, 2t3 + 3t2 + 4t + 5, 3t3 + 4t2 + 5t + 6, 4t3 + 5t2 + 6t + 7}. SO L U C I O N a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: §3 2 1· ¨ ¸ 3 2 1 ¨ 4 3 2¸ 3 2 ¨ 3 2 3¸ Ÿ 3 z 0 , z0, 4 3 2 z0. 4 3 ¨ ¸ 3 2 3 ¨1 1 1¸ ¨ 4 3 4¸ © ¹ Como el rango de la matriz es 3, entonces la base buscada es {3t2 + 2t + 1, 4t2 + 3t + 2, 3t2 + 2t + 3} y su dimensión es 3. b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: §1 2 3 4· §1 2 3 4· §1 2 3 4· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 2 3 4 5¸ | ¨0 1 2 3¸ | ¨0 1 2 3¸ ¨3 4 5 6¸ ¨0 2 4 6¸ ¨0 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ©4 5 6 7¹ ©0 3 6 9¹ ©0 0 0 0¹ Como el rango de la matriz es 2, entonces la base buscada es {t3 + 2t2 + 3t + 4, 2t3 + 3t2 + 4t + 5} y su dimensión es 3. ’ EJ E M P L O 5.6.14 Hallar los valores de a y b, para que el sistema de vectores siguientes sea una base de ƒ3: a.- {(a, 1, 1), (1, a, 1), (1, 1, a)}; b.- {(a + 1, 1, 1), (1, a + 1, 1), (1, 1, a + 1)}; c.- {(1, a + 1, a), (a + 1, a + 2, a + 3), (a, 0, a + 4)}; d.- {(a ± i, 0, 1), (0, a, 0), (1, -2ia, a ± i)}; e.- {(a, 1, 1), (b, ab, b), (1, 1, a)}; f.- {(2a - b, 1, b ± a), (0, a, 0), (2a - 2b, 2, 2b ± a)}. SO L U C I O N a.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:

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a 1 1 1 a 1 1 1 a

( a  2)( a  1)2 .

En este caso (a + 2)(a ± 1)2 z 0, de donde obtenemos que a z -2 y a z 1. b.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: a 1 1 1 1 a 1 1 a 2 ( a  3) . 1 1 a 1 En este caso a2(a + 3) z 0, de donde obtenemos que a z 0 y a z -3. c.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: 1 a 1 a a  1 a  2 a  3 (1  a )( a  2)2 . a 0 a4 En este caso (1 ± a)(a + 2)2 z 0, de donde obtenemos que a z 1 y a z -2. d.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: ai 0 1 0 a 0 a ( a  1  i )( a  1  i ) . 1 2ia a  i En este caso a(a + 1 ± i)(a ± 1 ± i) z 0, de donde obtenemos que a z 0, a z -1 + i y a z 1 + i. e.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: a 1 1 b ab b b( a  2)( a  1)2 . 1 1 a En este caso b(a + 2)(a ± 1)2 z 0, de donde obtenemos que b z 0, a z -2 y a z 1. f.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: 2a  b 1 b  a 0 a 0 a 2b . 2 a  2b 2 2b  a En este caso a2b z 0, de donde obtenemos que a z 0 y b z 0. ’ EJ E M P L O 5.6.15 Sea S el conjunto de los vectores (a, b, c, d, e) de ƒ5 tales que ­a  b  c 0 ® ¯b  d  e 0 Determínese una base de S. Encuéntrese una base de ƒ5 que sea extensión de la base obtenida para S. SO L U C I O N Para encontrar una base para S, debemos resolver el sistema de ecuaciones: § 1 1 1 0 0 0 · § 1 0 1 1 1 0 · ¸ ¨ ¸|¨ ©0 1 0 1 1 0¹ ©0 1 0 1 1 0¹ donde a = - c ± d ± e y b = - d ± e. Con estas condiciones reemplazamos en el vector ( a, b, c, d, e) para obtener la base: (a, b, c, d, e) = (- c ± d ± e, - d ± e, c, d, e) = c(-1, 0, 1, 0, 0) + d(-1, -1, 0, 1, 0) + e(-1, -1, 0, 0, 1) Base S = {(-1, 0, 1, 0, 0), (-1, -1, 0, 1, 0), (-1, -1, 0, 0, 1)} ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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A continuación extendemos esta base a una para ƒ5: 1 0 § 1 0 1 0 0 · ¨ ¸ ¨ 1 1 0 1 0 ¸ Ÿ 1 1 ¨ 1 1 0 0 1 ¸ 1 1 ¨ ¸ a b © a b c d e¹

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1 0 0 c

0 1 0 d

a b c

El cuarto elemento se puede obtener de la condición a ± b + c z 0, que puede ser (1, 1, 1, 0, 0). El quinto elemento lo encontramos con la misma condición pero diferente al anterior, éste puede ser (0, 0, 1, 1, 1). Entonces la base es: Base ƒ5 = {{(-1, 0, 1, 0, 0), (-1, -1, 0, 1, 0), (-1, -1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 1)}. ’ EJ E M P L O 5.6.16 Sea S el conjunto de los polinomios reales de grado no mayor que 5 que tienen a 1 como cero. Determínese una base de S. Encuéntrese Dim(S). Encuéntrese una base de „5 que sea extensión de la base ya determinada de S. SO L U C I O N Este conjunto se puede expresar como: S = {p  „5 / p(t) = (t ± 1)(a + bt + ct2 + dt3 + et4), a, b, c, d, e  ƒ}. Expandiendo el polinomio, obtenemos: p(t) = - a + (a ± b)t + (b ± c)t2 + (c ± d)t3 + (d ± e)t4 + et5 Una base para S es: Base S = {(-1, 1, 1, 0, 0, 0, 0,), (0, -1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, -1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, -1, 1, 0), (0, 0, 0, 0, -1, 1)}. Por tanto la dimensión de S es 5. Para encontrar una base de „5, debemos construir un determinante cuya última fila este compuesta por un polinomio cuyos coeficientes sean incógnitas: 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 a  b  c  d  e  f . 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 a b c d e f Como falta un elemento para completar la base de „5, entonces este elemento se puede obtener de la condición a + b + c + d + e + f z 0. Una posible base es: Base P5 = {(-1, 1, 1, 0, 0, 0, 0,), (0, -1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, -1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, -1, 1, 0), (0, 0, 0, 0, -1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1)}. ’ EJ E M P L O 5.6.17 Hallar los valores de a y b, para que el sistema de vectores siguientes sea una base de ƒ4: a.- {(1, a, b, a ± b), (a, a, 0, 0), (b, 0, b, 0), (a ± b, 0, 0, a ± b)}; b.- {(1, a, a, a), (a, 1, a, a), (a, a, 1, a), (a, a, a, 1)}; c.- {(2, 1, 1, a), (b, b, 2b, b), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)}; d.- {(a + 3, -a, a, -a), (a, 3 ± a, a ± 1, 1 ± a), (0, 0, a + 1, 1 ± a), (0, 0, a ± 1, 3 ± a)}; e.- {(a + 2, 0, -2, 0), (2a + 4, -1, -a ± 3, a + 1), (0, 0, a, 0), (2a, -a ± 1, 1 ± a, 2a + 1)}. SO L U C I O N a.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: 1 a b a b a a 0 0 ab(b  a )(2 a  1) . b 0 b 0 a b 0 0 a b En este caso ab(b ± a)(2a - 1) z 0, de donde obtenemos que a z 0, b z 0, a z ½ y b z ½ . ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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b.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: 1 a a a a 1 a a (1  a )3 (3a  1) . a a 1 a a a a 1 En este caso (1 ± a)3(3a + 1) z 0, de donde obtenemos que a z 1 y a z -1/3. c.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: 2 1 1 a b b 2b b 2b(1  a ) . 1 1 0 0 0 1 1 0 En este caso 2b(1 ± a) z 0, de donde obtenemos que b z 0 y a z 1. d.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: a  3 a a a a 3  a a 1 1 a 36 . 0 0 a 1 1 a 0 0 a 1 3  a En este caso para cualquier valor de a, el sistema es base de ƒ4. e.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: a2 0 2 0 2a  4 1 a  3 a  1 a 3 ( a  2) . 0 0 a 0 2a  a  1 1  a 2a  1 En este caso a3(a + 2) z 0, de donde obtenemos que a z 0 y a z -2. ’ EJ E M P L O 5.6.18 Sea S el conjunto de los polinomios reales de grado no mayor que 5 cuya derivada tercera es cero en 0. Hágase ver que S es subespacio de „5. Determínese una base de S y hágase su extensión a una base de „5. SO L U C I O N Este conjunto se puede expresar como: S = {p  „5 / p´´´(0) = 0}. Haciendo que p(t) = a + bt + ct2 + dt3 + et4 + ft5, entonces p´´´(t) = 6d + 24et + 60ft2, p´´´(0) = 6d = 0, d = 0. Una base para S es: Base S = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1)}. Por tanto la dimensión de S es 5. Para encontrar una base de „5, debemos construir un determinante cuya última fila este compuesta por un polinomio cuyos coeficientes sean incógnitas: 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 d. 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 a b c d e f Como falta un elemento para completar la base de „5, entonces este elemento se puede obtener de ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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la condición d z 0. Una posible base es: Base P5 = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1)}. ’ EJ E M P L O 5.6.19 Sea S el conjunto de los polinomios reales p(t) de grado no mayor que 5 con la propiedad de que p´(3) = 0. Hágase ver que S es subespacio de „5. Determínese una base de S y hágase su extensión a una base de „5. SO L U C I O N Este conjunto se puede expresar como: S = {p  „5 / p´(3) = 0}. Haciendo p(t) = a + bt + ct2 + dt3 + et4 + ft5, entonces p´(3) = b + 6c + 27d + 108e + 405f, b + 6c + 27d + 108e + 405f = 0. Una base para S es: Base S = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, -6, 1, 0, 0, 0), (0, -27, 0, 1, 0, 0), (0, -108, 0, 0, 1, 0), (0, -405, 0, 0, 0, 1)}. Por tanto la dimensión de S es 5. Para encontrar una base de „5, debemos construir un determinante cuya última fila este compuesta por un polinomio cuyos coeficientes sean incógnitas: 1 0 0 0 0 0 0 6 1 0 0 0 0 27 0 1 0 0 b  6c  27d  108e  405 f . 0 108 0 0 1 0 0 405 0 0 0 1 a b c d e f Como falta un elemento para completar la base de „5, entonces este elemento se puede obtener de la condición b + 6c + 27d + 108e + 405f z 0. Una posible base es: Base „5 = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, -6, 1, 0, 0, 0), (0, -27, 0, 1, 0, 0), (0, -108, 0, 0, 1, 0), (0, -405, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1)}. ’

PR O B L E M AS 5.6.1 Demuestre que si S = {u1, u2, ..., uk} es una base de un espacio vectorial V y D es un escalar no nulo, entonces el conjunto S1 = {Du1, Du2, ..., Duk} también es una base de V. 5.6.2 Muéstrese gráficamente que w = u ± v, z = u + v son linealmente independientes y que, por lo tanto, forman una base. 5.6.3 Sea V el conjunto generado por u = Cos2x, v = Sen2x, w = Cos2x: a.- Demuestre que S = {u, v, w} no es una base para V. b.- Determine una base para V. 5.6.4 Sea V el espacio vectorial de todas las funciones continuas en el intervalo [-S; S]. Sea U el subconjunto de V que consta de todas las funciones f que satisfacen las tres S

ecuaciones

³S f (t )Sentdt

S

³S f (t )dt

0,

S

³S f (t )Costdt

0:

a.- Demostrar que U es un subespacio de V. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

0,

b.- Demostrar que U contiene las funciones f(x) = Cosnx y f(x) = Sennx para cada n = 2, 3, ... c.- Demuestre que U es de dimensión infinita. 5.6.5 Sean f1« f k elementos de un espacio vectorial V de funciones. Demuéstrense los siguientes enunciados: a.- Si f1 = 0, entonces f1« f k son linealmente dependientes. b.- Si se puede expresar f1 como combinación lineal de f2« f k, entonces f1« f k son linealmente dependientes. c.- Si k t 2 y si f1« f k son linealmente dependientes, entonces una de las funciones se puede expresar como combinación lineal de las demás. d.- Si f1« f k son linealmente independientes y si h < k, entonces f1«f k son linealmente independientes. e.- Si f1« f k constituyen una base de V, entonces f1, «f k son linealmente independientes. f.- Si f1« f k son linealmente independientes y si c1f1 « c k f k = a 1f1 « a k f k, entonces c1 = a 1« c k = a k. JOE GARCIA ARCOS

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5.6.6 Demuestre que si U es un subespacio de un espacio vectorial V de dimensión finita, entonces la dimensión de U es menor o igual que la dimensión de V. 5.6.7 Demuéstrese que Cosx, Cos2x, Cos3x son linealmente independientes y que, por lo tanto, forman una base. 5.6.8 Sea V el conjunto de todas las funciones racionales de la forma ax  b , x z 1, x z 2 ( x  1)( x  2) a.- Hágase ver que V es espacio vectorial de dimensión 2. 1 1 b.- Demuéstrese que g1 ( x) , g 2 ( x) están x 1 x2 en V, son linealmente independientes y forman una base de V. 5.6.9 Sea V el conjunto de todas las funciones racionales de la forma ax 2  bx  c , x z 0, x z 2, x z -2 x( x 2  4) a.- Hágase ver que V es espacio vectorial de dimensión 3. b.- Demuéstrese que 1 1 1 g1 ( x) , g 2 ( x) , g3 ( x ) x x2 x2 están en V, son linealmente independientes y forman una base de V. 5.6.10 a.- Sea W el conjunto de los vectores de ƒ5 tales que a 1 ± a 2 + a 3 = 0 y a 2 + a 4 + a 5 = 0. Determínese una base de W. Encuéntrese una base de ƒ5 que sea extensión de la base obtenida para W. b.- Sea U el subespacio de los vectores de ƒ5 tales que 2 a 1 ± a 2 + a 3 ± a 5 = 0 y a 1 + a 2 ± a 4 + 6 a 5 = 0. Determínese una base de U. Encuéntrese una base de ƒ5 que sea extensión de la base obtenida para U. c.- Hágase ver que Dim(U ˆ W) t 1. d.- Encuéntrese una base de U ˆ W.

5.6.11 Demuestre que el conjunto de las matrices triangulares de m x n constituye un espacio vectorial de 1 dimensión mn  (m2  m) si m d n, y de dimensión 2 1 2 (n  n) si n d m. 2 5.6.12 Determine una base del subespacio S de ƒn y determine la dimensión del subespacio: a.- S consiste en todos los vectores (x, y, -y, -x) en ƒ4; b.- S consiste en todos los vectores (x, y, 2x, 3y) en ƒ4; c.- S consiste en todos los vectores del plano 2x ± y + z = 0 en el espacio ƒ3; d.- S consiste en todos los vectores (x, y, -y, x ± y, z) en ƒ5; e.- S consiste en todos los vectores en ƒ4 con la segunda componente cero; f.- S consiste en todos los vectores (-x, x, y, 2y) en ƒ4; g.- S consiste en todos los vectores paralelos a la recta y = 4x en ƒ2; h.- S consiste en todos los vectores del plano 4x + 2y ± z = 0 en ƒ3. 5.6.13 Sea {u, v, w} una base de un espacio vectorial V. Demuestre que {x, y, z} también es una base, donde u = x, y = u + v, z = u + v + w. 5.6.14 Sea W el espacio generado por f = Senx y g = Cosx: a.- Demuestre que para cualquier valor de T, f1 = Sen(x + T) y g1 = Cos(x + T) son vectores en W. b.- Demuestre que f1 y g1 forman una base para W. 5.6.15 En ƒ3, todos los vectores de un plano 3 que pasa por el origen forman un subespacio S de ƒ3. Determine la dimensión de S para cualquier plano 3. 5.6.16 En ƒ2, todos los vectores paralelos a una recta dada L que pasa por el origen forman un subespacio S. Determine la dimensión de S para cualquier recta L.

5.7 V E C T O R D E C O O RD E N A D AS. C A M BI O D E B ASE En esta sección se estudiará la relación entre los coeficientes de una combinación lineal con un vector de coordenadas. Enunciaremos y demostraremos sus propiedades. Anteriormente se ha considerado las propiedades generales de los espacios vectoriales. Sin embargo, en las aplicaciones, además de conocer las propiedades generales, es importante saber definir los vectores en términos de números y poder reducir las operaciones vectoriales a operaciones con números. Este problema se resuelve introduciendo las coordenadas de un espacio vectorial. Toda base de un espacio vectorial V, cuyos vectores se toman en un orden determinado, se llamará ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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sistema de coordenadas de V. Por consiguiente, si B = {u1, u2, ..., un} es un sistema de coordenadas de V, estos mismos vectores, pero tomados en otro orden, representarán otro sistema de coordenadas de V. D E F IN I C I O N 5.7.1 Sea V un espacio vectorial n-dimensional y sea B = {u1, u2, ..., un} una base de V. Defínase el vector de coordenadas de u respecto de la base B, el cual se denota por >[email protected] B, como el vector >[email protected] = (a 1, a 2, ..., a n)  ƒn, en donde los escalares a 1, a 2, ..., a n son tales que u = a1u1 + a2u2 + ... + anun. Sean B 1 = {u1, u2, ..., un} y B 2 = {v1, v2, ..., vn} dos bases del espacio vectorial ƒn sobre el cuerpo K . Sea u un vector arbitrario del espacio vectorial. Nos proponemos encontrar una relación entre las coordenadas de u respecto de la primera y segunda base respectivamente. Para poder establecer esta relación se necesita conocer las coordenadas de los vectores de una de las bases dadas respecto de la otra. Supongamos conocidas las componentes de los vectores de la base B 1 respecto de la base B 2. ­ u1 a11v1  a1 2 v2   a1 n vn ° °u2 a21v1  a2 2 v2   a2 n vn (1) ® ° °u ¯ n an 1v1  an 2 v2   an n vn El vector u, respecto de la base B 2, se expresa de forma única como u = a1u1 + a2u2 + ... + anun, por otro lado, al ser también B 1 una base, el vector u admite la siguiente expresión: u = b1u1 + b2u2 + ... + bnun Por (1) se tiene: u = b1(a11v1 + a12v2 + ... + a1nvn) + b2(a21v1 + a22v2 + ... + a2nvn) + ... + bn(an1v1 + an2v2 + ... + annvn) = (b1a11 + b2a21 + ... + bnan1)v1 + (b1a12 + b2a22 + ... + bnan2)v2 + ... + (b1a1n + b2a2n + ... + bnan n)vn Luego ­ a1 b1 a11  b2 a21   bn a n1 °a b a  b a   b a ° 2 1 12 2 22 n n2 ® ° °¯ an b1 a1n  b2 a2 n   bn ann

que son las ecuaciones que permiten relacionar las coordenadas de un mismo vector respecto de las bases B 1 y B 2. El concepto de espacio vectorial tiene dos facetas esencialmente diferentes. En primer lugar, un espacio vectorial es un conjunto de ciertos entes que se denominan vectores y, en segundo lugar, en un espacio vectorial actúan las operaciones de adición y de multiplicación por un número. Por esto, o bien podemos limitarnos a estudiar qué es lo que representan los vectores y cuáles son la naturaleza y las propiedades de los mismos, o bien podemos tomar otro punto de vista y estudiar las propiedades de las operaciones indicadas independientemente de la naturaleza de los elementos con los cuales se efectúan estas operaciones. En lo sucesivo nos interesarán solamente las propiedades del segundo género. Por ello, dos espacios de la misma estructura respecto a las operaciones de adición y de multiplicación por números se considerará que tienen las mismas propiedades o que son isomorfos.

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D E F IN I C I O N 5.7.2 Dos espacios vectoriales U y V dados sobre un mismo cuerpo K se llaman isomorfos, si se puede establecer tal correspondencia biyectiva entre sus vectores que a la suma de cualesquiera dos vectores del primer espacio le corresponda la suma de los vectores correspondientes del segundo espacio y al producto de un escalar por un vector del primer espacio le corresponda el producto de este mismo escalar por el vector correspondiente del segundo espacio. Toda correspondencia biyectiva que posee las propiedades indicadas se llama isomorfismo. T E O R E M A 5.7.1 En una correspondencia isomorfa el vector nulo corresponde al vector nulo. D E M OST R A C I O N Supongamos que en una aplicación isomorfa de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial W el vector v de V corresponde al vector w de W. Entonces, según la definición, el vector nulo del primer espacio debe transformarse en el vector nulo del segundo espacio. T E O R E M A 5.7.2 En una aplicación isomorfa un sistema de generadores del primer espacio se transforma en un sistema de generadores del segundo sistema. D E M OST R A C I O N Sean v1, v2, ..., vt unos generadores del espacio V y sean w1, w2, ..., wt los vectores que les corresponden en el espacio W. Tomemos en W un vector arbitrario w y consideremos el vector v de V. Por hipótesis, el vector v puede ser representado en la forma v = a1v1 + a2v2 + ... + atvt. Según la definición, la suma a 1v1 + a2v2 + ... + a tvt, debe transformarse en la suma a1w1 + a2w2 + ... + atwt y, por consiguiente, el vector w debe coincidir con la suma a1w1 + a2w2 + ... + atwt, es decir, los vectores w1, w2, ..., wt constituyen un sistema de generadores del espacio W. T E O R E M A 5.7.3 A un sistema linealmente independiente de vectores le corresponde de nuevo un sistema linealmente independiente. D E M OST R A C I O N Supongamos que los vectores linealmente independientes v1, v2, ..., vm del espacio V se transforman en los vectores w1, w2, ..., wm del espacio W. Supongamos que entre los últimos existe una relación de tipo b1w1 + b2w2 + ... + bmwm = ‡. Según la definición, al primer miembro de esta igualdad corresponde en el espacio V el vector b1v1 + b2v2 + ... + bmvm y al vector nulo ‡ corresponde en el espacio V el vector nulo ‡. Por consiguiente b1v1 + b2v2 + ... + bmvm = ‡. Puesto que los vectores v1, v2, ..., vm son linealmente independientes se tiene b1 = b2 = ... = bm = 0, es decir, los vectores w1, w2, ..., wm son linealmente independientes. De estos teoremas se deduce directamente que en un isomorfismo una base de un espacio vectorial se transforma de nuevo en una base de un espacio vectorial y, por consiguiente, los espacios vectoriales isomorfos tienen la misma dimensión. La afirmación recíproca es también válida: si dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo de coeficientes tienen la misma dimensión, son isomorfos. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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ESPACIOS VECTORIALES

253

EJ E M P L O 5.7.1 Considere el conjunto de vectores en ƒ3, B = {(3, 1, 2), (-1, 0, 2), (4, 3, 5)}: a.- Demuestre que B es una base de ƒ3; b.- Encuentre (3, 4, 6) en B; c.- Para un vector cualquiera u  ƒ3, encuentre u en B. SO L U C I O N Es fácil verificar que los vectores {(3, 1, 2), (-1, 0, 2), (4, 3, 5)} forman una base de ƒ3. Es decir, debemos aprovechar que podemos calcular el determinante del sistema de vectores 3 1 4 1 0 3 z0 2 2 5 como el determinante es diferente de cero, podemos concluir que el sistema B es linealmente independiente y por lo tanto es una base. Aprovechando las operaciones elementales que se pueden realizar sobre matrices para resolver sistemas de ecuaciones, podemos evaluar los puntos b) y c) inmediatamente, es decir: § 3 1 4 3 a · § 3 1 4 3 a · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 1 0 3 4 b ¸ | ¨ 0 1 5  4 a  3b ¸ ¨ 2 2 5 6 c ¸ ¨ 0 8 7 12 2 a  3c ¸ ¹ © ¹ © 3a 0 0 48 18 a  39b  9c · · § 33 ¸ ¨ ¸ a  3b ¸ | ¨ 0 11 0 1 a  7b  5 c ¸ 2 a  8b  3c ¸¹ ¨© 0 0 11 20 2 a  8b  c ¸¹ 16 1 20 De esta manera tenemos que O1  , O 2  y O3 , con lo que podemos 11 11 11 decir que 16 1 20 >(3, 4, 6)@B §¨  ,  , ·¸ © 11 11 11 ¹ 1 6a  13b  3c,  a  7b  5c,  2a  8b  c . ’ >(3, 4, 6)@B 11 §3 0 9 ¨ ¨ 0 1 5 ¨ 0 0 11 ©

12 9 20

EJ E M P L O 5.7.2 En ƒ3 considere las dos bases B 1 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} y B 2 = {(2, 1, 2), (1, 0, 3), (-1, 4, -2)}: a.- Encuentre [(1,1, 3)]B1 ; b.- Encuentre [(1,1, 3)]B 2 ; c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 1 a B 2; d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 2 a B 1; e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las matrices obtenidas en los incisos c) y d). SO L U C I O N a.- (1, 1, 3) = a 1(1, 1, 1) + a 2(1, 1, 0) + a 3(1, 0, 0) (1, 1, 3) = 3(1, 1, 1) ± 2(1, 1, 0) + 0(1, 0, 0) [(1,1, 3)]B1 = (3, -2, 0)T. b.- (1, 1, 3) = b1(2, 1, 2) + b2(1, 0, 3) + b3(-1, 4, -2) (1, 1, 3) = 1/17(2, 1, 2) + 10/17(1, 0, 3) + 4/17(-1, 4, -2) [(1,1, 3)]B 2 = (1/17, 19/17, 4/17)T. § 2 1 1 ¨ c.- ¨ 1 0 4 ¨ 2 3 2 © ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

1 1 1

1 1 0

1 · § 2 1 1 1 ¸ ¨ 0 ¸ | ¨ 0 1 9 1 0 ¸¹ ¨© 0 2 1 0

1 1· ¸ 1 1¸ 1 1¸¹ JOE GARCIA ARCOS

254

ESPACIOS VECTORIALES

§ 2 0  8 ¨ ¨ 0 1  9 ¨ 0 0 17 ©

2 1 2

2 1 1

P ª¬ B 2

§1 1 1 ¨ d.- ¨1 1 0 ¨1 0 0 © §1 ¨ ¨0 ¨0 ©

2 1 2

e.- [(1,1, 3)]B1

1 · § 1 1 ¸ ¨ 4¸ | ¨0 0 2 ¸¹ ¨© 0 1 2 1 1 · ¸ 1 1 4 ¸ 0 2 1 ¸¹

1 0 3

1 1 1 2 1 1

§1 0 0 ¨ ¨0 1 0 ¨0 0 1 ©

0· §1 0 0 ¸ ¨ 1¸ | ¨0 1 0 3 ¸¹ ¨© 0 0 1 13 §9 ¨ 17 17 ¨ 1 8 B1 º¼ ¨¨  17 17 ¨ 1 ¨ 2 ¨ 17 17 ©

2 1 1

3 3 1

1 1 1

2 1 0

9 /17 1/17 2 /17

13 /17 8 /17 1/17

12 /17 · ¸ 10 /17 ¸ 3 /17 ¸¹

12 · 17 ¸¸ 10  ¸¸ 17 ¸ 3  ¸¸ 17 ¹

1 1 2

1 · ¸ 5 ¸ 1 ¸¹

§ 1 0 1 ¨ |¨ 0 1 2 ¨ 0 0 1 ©

1 1 1

2 1 1

3 · ¸ 4 ¸ 5 ¸¹

2 · § 2 3 2 · ¸ ¨ ¸ 6 ¸ Ÿ P ª¬ B1 B 2 º¼ ¨ 1 3 6 ¸ ¨ 1 1 5 ¸ 5 ¸¹ © ¹

P ª¬ B1 B 2 º¼ [(1,1, 3)]B 2 = (3, -2, 0)T

[(1,1, 3)]B 2

P ª¬ B 2 B1 º¼ [(1,1, 3)]B1 = (1/17, 19/17, 4/17)T.

PR O B L E M AS 5.7.1 En „2 considere las dos bases B 1 = {1 - t ± t2, - 1 ± 2t2, t + 2t2} y B 2 = {3 + 6t2, 2 + t + 6t2, t2}: a.- Encuentre [1  t  t 2 ]B1 ; b.- Encuentre [1  t  t 2 ]B 2 ; c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 1 a B 2; d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 2 a B 1; e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las matrices obtenidas en los incisos c) y d). 5.7.2 Sea P la matriz de transición de B 2 a B 1 y sea Q la matriz de transición de B 1 a B 2. ¿Cuál es la matriz de transición de B 2 a B 1? 5.7.3 En C 3 considere las dos bases B 1 = {(1 + i, 2 ± i, 1), (3 + 2i, 4 ± 4i, 1), (i, 2, -i)} y B 2 = {(1, i, 1 + i), (1, i, -i), (2i, 1, 1 ± i)}: a.- Encuentre [(2i , 3,1  i )]B1 ; b.- Encuentre [(2i , 3,1  i )]B 2 ; c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 1 a B 2; d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 2 a B 1; ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las matrices obtenidas en los incisos c) y d). 5.7.4 En :(2 x 2) considere las dos bases ­ °§1 1· § 1 1· §1 0 · § 0 1 · ½ ° B 1 = ®¨ ¸, ¨ ¸, ¨ ¸, ¨ ¸¾ 1  1  1 1 1 0 2 0 °© ° ¹ © ¹ © ¹ © ¹¿ ¯ y ­§1 1· §1 1 · § 1 1 · § 1 0 · ° ½ ° B 2 = ®¨ ¸, ¨ ¸, ¨ ¸, ¨ ¸¾ : 1 1 1 0 0 0 0 0 °© ° ¹ © ¹ © ¹ © ¹¿ ¯ ª§ 1 2 · º a.- Encuentre «¨ ¸» ; ¬ © 7 4 ¹ ¼ B1 ª§ 1 2 · º b.- Encuentre «¨ ¸» ; ¬© 7 4 ¹ ¼ B 2 c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 1 a B 2; d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 2 a B 1; e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las matrices obtenidas en los incisos c) y d).

5.7.4 Sea P la matriz de transición de B 2 a B 1, y sea Q matriz de transición de B 1 a B. ¿Cuál es la matriz de transición de B a B 2? JOE GARCIA ARCOS

ESPACIOS VECTORIALES

255

5.8 C U EST I O N A RI O Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas, indicar por que lo es: 5.8.1 Todos los polinomios de grado 3 que poseen coeficientes reales forman un espacio vectorial. 5.8.2 Las matrices antisimétricas no forman un subespacio vectorial de todas las matrices cuadradas de n x n. 5.8.3 Todos los vectores de ƒn, que tienen iguales la primera y última coordenada forman un subespacio vectorial. 5.8.4 Tres vectores no coplanares u, v y w, son linealmente dependientes. 5.8.5 Un sistema de vectores que contiene dos vectores iguales es linealmente dependiente. 5.8.6 Un sistema de vectores cuyos dos vectores se diferencian por un factor escalar es linealmente independiente. 5.8.7 Un sistema de vectores que contiene al vector nulo es linealmente dependiente. 5.8.8 Si una parte del sistema de vectores es linealmente dependiente, entonces todo el sistema también es linealmente dependiente. 5.8.9 Cualquier parte de un sistema de vectores linealmente independiente es por sí misma linealmente dependiente. 5.8.10 Si tres vectores u1, u2 y u3 son linealmente dependientes y el vector u3 no se expresa linealmente a través de los vectores u1 y u2, entonces estos últimos se diferencian entre sí sólo por un factor numérico. 5.8.11 Sean S, U y W subespacios vectoriales de V. Entonces S será la suma directa de U y W cuando y sólo cuando S esté contenido en U y W. 5.8.12 Si los vectores u1, u2, ..., uk son linealmente dependientes, y los vectores u1, u2, ..., uk, u son linealmente independientes, entonces el vector u se expresa linealmente a través de los vectores u1, u2, ..., uk. 5.8.13 Si la dimensión de la suma de dos subespacios vectoriales del espacio V supera la dimensión de su intersección en una unidad, la suma coincide con uno de esos subespacios y la intersección con el otro.

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5.8.14 Si un sistema de vectores dado, posee el rango r, entonces cualesquiera r vectores linealmente independientes forman la base de este sistema. 5.8.15 Cualquier subsistema linealmente dependiente de un sistema dado puede completarse hasta la base de ese sistema. 5.8.16 Suponga que el subespacio vectorial W contiene el subespacio vectorial U. Entonces la dimensión de U no supera a la de W, con la particularidad de que las dimensiones son iguales entre sí cuando, y sólo cuando, U = W. 5.8.17 La suma S = U + W de dos subespacios vectoriales de V es igual a la intersección de todos los subespacios vectoriales de V que contienen tanto U, como también W. 5.8.18 La suma U + W de los subespacios vectoriales U y W será suma directa cuando, y sólo cuando, todos los vectores u  U + W se representen de forma única como u = ui + vj, donde ui  U y vj  W. 5.8.19 Suponga que el subespacio vectorial S es la suma directa de los subespacios vectoriales U y W. Entonces la dimensión de S es igual a la suma de las dimensiones de U y W con la particularidad de que cualesquiera bases de U y W dan juntas la base de S. 5.8.20 Para cualquier subespacio vectorial U del espacio V puede hallarse otro subespacio W, tal que todo el espacio V sea la suma directa de U y W. 5.8.21 Si los vectores u1, u2, ..., uk se expresan linealmente a través de los vectores v1, v2, ..., vr, el rango del primer sistema no supera el del segundo. 5.8.22 Si el vector u se expresa linealmente mediante los vectores u1, u2, ..., uk, el rango del último sistema de vectores no varía, añadiéndole el vector u. 5.8.23 Todas las bases de un sistema de vectores dado, contienen la misma cantidad de vectores. 5.8.24 Si los vectores u1, u2, ..., um son linealmente independientes y se expresan linealmente a través de los vectores v1, v2, ..., vn, entonces m d n.

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O BJE T I V O Resolver problemas relacionados con los espacios euclídeos y hermíticos, utilizando matrices, determinantes, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en situaciones reales, propias de la ingeniería.

C O N T E NI D O : 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

ESPACIOS EUCLIDEOS ESPACIOS HERMITICOS NORMA, DISTANCIA Y ANGULO ENTRE VECTORES BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES SUBESPACIO COMPLEMENTO ORTOGONAL, PROYECCIONES ORTOGONALES Y DISTANCIA A UN SUBESPACIO CUESTIONARIO

6.1 ESP A C I OS E U C L I D E OS En esta sección se usarán como axiomas las propiedades más importantes del producto interior euclidiano para definir el concepto general de producto interior; luego se demostrará cómo los productos interiores se pueden utilizar para definir la desigualdad de Cauchy ± Schwartz, la ortogonalidad, paralelismo y proyecciones entre vectores.  

Los espacios vectoriales que se estudiaron en el capítulo anterior resultan ser, en determinado sentido, más pobres en conceptos y propiedades que nuestro espacio corriente. En la teoría general de los espacios vectoriales no han quedado reflejados conceptos como la longitud de un segmento, la magnitud del ángulo y el producto interior que desempeñan un papel muy importante en la geometría. Por esto, si queremos que la teoría general abarque todas las propiedades más esenciales del espacio corriente, debemos introducir, además de las operaciones de adición de vectores y de multiplicación de los mismos por escalares, la operación producto interior. En este capítulo se estudiarán precisamente las propiedades de los vectores pertenecientes a espacios vectoriales provistos del producto interior. El cuerpo principal es de carácter muy especial: es el cuerpo de los números reales en el caso de espacios euclídeos y es el cuerpo de los números complejos en el caso de espacios hermíticos. Tomemos en el espacio vectorial V un sistema de coordenadas formado por k cualesquiera vectores {e1, e2, ..., ek}, perpendiculares dos a dos, de longitud 1. Entonces todo vector u admite una representación única de la forma u = a1e1 + a2e2 + ... + a kek donde a1, a2, ..., a k son las longitudes de las proyecciones del vector u sobre

258

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

los ejes coordenados, tomados con signo adecuado. Si v = b1e1 + b2e2 + ... + bkek es otro vector cualquiera, resulta entonces que el producto interior es ¢u ˜ v² = a1b1 + a2b2 + ... + a kbk. El espacio vectorial V es real. Esto se expresa en que las proyecciones, las longitudes y los productos interiores de los vectores son números reales. D E F IN I C I O N 6.1.1 Si dos vectores u y v están dados mediante sus coordenadas rectangulares cartesianas, entonces el producto interior canónico de estos vectores es igual a la suma de los productos, realizados dos a dos, de las coordenadas correspondientes. Nótese que el producto interior no define la multiplicación de vectores en el sentido ordinario, es decir, el producto interior de dos vectores no es un vector sino un número real. EJ E M P L O 6.1.1 Formando el producto interior de los vectores ( CosT, SenM) y ( CosM, SenT), deducir la identidad trigonométrica Cos(T - M) = CosT CosM + SenTSenM. SO L U C I O N Dado que u = ( CosT, SenM) y v = ( CosM, SenT), entonces realizando el producto interior entre estos dos vectores, obtenemos: ¢u ˜ v² = ¢( CosT, SenM) ˜ ( CosM, SenT)² = CosT CosM + SenMSenT = Cos(T - M). De esta manera hemos demostrado que Cos(T - M) = CosT CosM + SenMSenT. ’ EJ E M P L O 6.1.2 Calcular ¢u ˜ v², siendo u = 2 i ± 4 j + k y v

1

³ 0 (te

2t

i  tCosh2tj  2te 2t k ) dt .

SO L U C I O N Integrando v, obtenemos:

v

1

³ 0 (te

2t

i  tCosh2tj  2te 2t k ) dt

1

1

1

0

0

0

i ³ te 2t dt  j ³ tCosh2t dt  k ³ 2te 2t dt 1 2 1 1 (e  1)i  (e 2  3e 2  2) j  (1  3e 2 ) k . 4 8 2 Realizando el producto interior entre estos dos vectores, obtenemos: 1 1 1 ¢ f ˜ g ² 2i  4 j  k ˜ (e 2  1)i  (e 2  3e 2  2) j  (1  3e 2 ) k 4 8 2 1 2 1 1 (e  1)  (e 2  3e 2  2)  (1  3e 2 ) 0 . ’ 2 2 2

E J E M P L O 6.1.3 En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a n, definimos el producto interior como n §k· §k· ¢ f ˜ g² ¦ f ¨ ¸ g ¨ ¸ . k 0 ©n¹ ©n¹ Calcular ¢ f ˜ g² cuando f(t) = t y g(t) = at + b. SO L U C I O N k Haciendo que t , entonces: n ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

259 1

1

t 0

t 0

¦ f (t ) g (t ) ¦ t ( at  b)

¢ f ˜ g²

a b . ’

EJ E M P L O 6.1.4 Encuentre la función producto interior ¢f ˜ g² en el espacio V, del conjunto de todas las funciones de valor real continuas en C([-S, S]), en donde ¢ f ˜ g²

S

³S f ( x) g ( x)dx :

a.- f(x) = Cosx, g(x) = x; b.- f(x) = ex, g(x) = Senx + Cosx; c.- f(x) = Cos4x, g(x) = Senx; d.- f(x) = ex, g(x) = 1 ± ex. SO L U C I O N S

a.- ¢ f ˜ g ²

³S xCosxdx

b.- ¢ f ˜ g ²

³S e

c.- ¢ f ˜ g ²

S

S

³S

x

0; S

(Senx  Cosx)dx e x Senx

S

e2x d.- ¢ f ˜ g ² ³ (1  e )e dx e  S 2 x

x

0;

S

Cos3x Cos5 x  6 10

Cos 4 xSenx dx

S

S S

Cosx  xSenx

S

0; S

1  2 e S  2 e 3S  e 4 S

x

2e 2 S

S

. ’

E J E M P L O 6.1.5 Encuentre la función producto interior ¢f ˜ g² en el espacio V, del conjunto de todas las funciones de valor real, definidas en C([0, 1]), en donde 1

³0

¢ f ˜ g²

a.- f ( x) Sen

Sx Sx , g ( x) Cos ; 2 2

f ( x) g ( x)dx :

b.- f ( x)

1 , g ( x) 2

x -

1 1 - x . 2 2

SO L U C I O N a.- ¢ f ˜ g ² b.- ¢ f ˜ g ²

1

³0

Sen

1

³0

Sx Sx CosSx Cos dx  2 2 2S

1 §1 1 · x  ¨  x  ¸ dx 2 ©2 2 ¹

1

1 ; S

0

(2 x  1) 2 x  1 16

1

(2 x  1)3  24

0

1 . ’ 24

E J E M P L O 6.1.6 Encontrar ¢f ˜ g² para cada uno de los siguientes pares de funciones en C([0, 1]) cuando la función producto interior está definida con respecto a la función peso h(x) = ex; por 1

³0

¢ f ˜ g²

a.- f ( x) 1  2 x , g ( x) e  x ; c.- f ( x) Cos SO L U C I O N a.- ¢ f ˜ g ² b.- ¢ f ˜ g ²

ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

b.- f ( x) e



S 2 Sen

Sx , g ( x) 1 . 2

1

³ 0 (1  2x)e 1 

³0

f ( x) g ( x)h( x)dx :

S

e 2 Sen

x x

e dx S

1

³ 0 (1  2 x)dx

Sx  2 3Sx x e Sen e dx 2 2

x  x2 1

³ 0 Sen

S

 Sx 3Sx , g ( x) e 2 Sen ; 2 2

1 0

0;

Sx 3Sx Sen dx 2 2 JOE GARCIA ARCOS

260

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

SenSx Sen2Sx  2S 4S

c.- ¢ f ˜ g ²

1 x

³0 e

Cos

Sx dx 2

1

0; 0

Sx Sx · § 2 ¨ 2 Cos  SSen ¸ e x 2 2 ¹ © S2  4

1

2Se  4 S2  4

. ’

0

E J E M P L O 6.1.7 Encuentre la función producto interior ¢f ˜ g² en el espacio V, del conjunto de todas las funciones de valor real continuas en C([-S, S]), en donde ¢ f ˜ g²

S

³S f ( x) g ( x)dx :

a.- f(x) = Senmx, g(x) = Sennx, m, n  Z+; b.- f(x) = Senmx, g(x) = Cosnx, m, n  Z+; c.- f(x) = Cosmx, g(x) = Cosnx, m, n  Z+. SO L U C I O N a.- ¢ f ˜ g ²

S

³S

SenmxSennx dx

Sen(m  n) x Sen(m  n) x  2(m  n) 2(m  n)

S S

Sen(m  n)S Sen(m  n)S  ; mn mn b.- ¢ f ˜ g ² c.- ¢ f ˜ g ²

S

³S S

³S

SenmxCosnx dx

CosmxCosnx dx

Cos(m  n) x Cos (m  n) x  2(n  m) 2(m  n) Sen(m  n) x Sen(m  n) x  2(m  n) 2(m  n)

S

0; S S S

Sen(m  n)S Sen(m  n)S  . ’ mn mn %  CALCULO  DEL  PRODUCTO  INTERIOR   clc;;clear;;   fprintf('\n  PRODUCTO  INTERIOR  \n')   col=input('Ingrese  la  dimension  de  los  vectores  :    ');;          fprintf('\n  Ingrese  el  vector  u  \n')                  %for  f=1:col                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',c)                                  u(1,c)=input('  :');;                          end          fprintf('\n  El  VECTOR  u  es:\n')          u             fprintf('  Ingrese  el  vector  v  \n')                  %for  f=1:col                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',c)                                  v(1,c)=input('  :');;                          end          fprintf('\n  El  VECTOR  v  es:\n')          v          end             fprintf('EL  PRODUCTO  INTERIOR  ES:\n')                u*v'  

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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

 

261

D E F I N I C I O N 6.1.2 Dado (V, ƒ, +, ˜) un espacio vectorial definido sobre los reales. Un producto interior en V es una función ¢ ˜ ² : V x V o ƒ, que a cada par de vectores u, v en V le asocia un número real ¢ ˜ ² de forma tal que satisface los siguientes axiomas: 1.- Para todo vector u de V, entonces se cumple la positividad: ¢u ˜ u² > 0 cuando u z ‡ y ¢‡ ˜ ‡² = 0. 2.- Para todo par de vectores u, v de V, se cumple la conmutatividad: ¢u ˜ v² = ¢v ˜ u². 3.- Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar real k, se cumple la homogeneidad: ¢ku ˜ v² = k¢u ˜ v². 4.- Para toda terna de vectores u, v, w de V, se cumple la distributividad: ¢u ˜ (v + w)² = ¢u ˜ v² + ¢u ˜ w². T E O R E M A 6.1.1 Para todo trío de vectores u, v, w de ƒn se cumple ¢(u + v) ˜ w² = ¢u ˜ w² + ¢v ˜ w². D E M OST R A C I O N ¢(u + v) ˜ w² = ¢w ˜ (u + v)² axioma 2 = ¢w ˜ u² + ¢w ˜ v² axioma 4 = ¢u ˜ w² + ¢v ˜ w² axioma 2 T E O R E M A 6.1.2 Para todo par de vectores u, v de ƒn y para todo escalar real k se cumple ¢u ˜ kv² = k ¢u ˜ v². D E M OST R A C I O N ¢u ˜ kv² = ¢kv ˜ u² axioma 2 = k¢v ˜ u² axioma 3 = k ¢u ˜ v² axioma 2 T E O R E M A 6.1.3 Para todo u, ‡ de ƒn, entonces ¢u ˜ ‡² = 0. D E M OST R A C I O N ¢u ˜ ‡² = ¢u ˜ u - u² = ¢u ˜ u² - ¢u ˜ u² = 0.

axioma 4

EJ E M P L O 6.1.8 Determine cuáles de las siguientes funciones ¢ ˜ ² : ƒ2 x ƒ2 o ƒ son funciones producto interior en el espacio vectorial ƒ2: a.- ¢u ˜ v² = a1b1 ± a2b1 ± a1b2 + 2a2b2; b.- ¢u ˜ v² = a1b1 ± a2b1 + a1b2 - a2b2; c.- ¢u ˜ v² = 2a1b1 + 2a2b2; d.- ¢u ˜ v² = a1b1 ± a2b1 + a1b2 + 2a2b2. SO L U C I O N a.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces: 1.- ¢u ˜ u² a1a1  a2 a1  a1a2  2a2 a2 a12  2a1a2  2a22 (a1  a2 )2  a2 t 0 ; 2.- ¢ ku ˜ v²

ka1b1  ka2b1  ka1b2  2ka2b2 k (a1b1  a2b1  a1b2  2a2b2 ) k ¢u ˜ v² ; 3.- ¢u ˜ v² a1b1  a2b1  a1b2  2a2b2 b1a1  b2 a1  b1a2  2b2 a2 ¢v ˜ u² ; 4.- ¢u  v ˜ w² ( a1  b1 )c1  (a2  b2 )c1  (a1  b1 )c2  2(a2  b2 )c2 a1c1  b1c1  a2 c1  b2 c1  a1c2  b1c2  2a2 c2  2b2 c2 ( a1c1  a2 c1  a1c2  2a2 c2 )  (b1c1  b2 c1  b1c2  2b2 c2 ) ¢u ˜ w²  ¢v ˜ w² . ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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262

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

b.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces: 1.- ¢u ˜ u² a1a1  a2 a1  a1a2  a2 a2 a12  a22 . De esto se concluye que a12  a22 no necesariamente es mayor que cero. 2.- ¢ ku ˜ v² ka1b1  ka2b1  ka1b2  ka2b2 k (a1b1  a2b1  a1b2  a2b2 ) k ¢u ˜ v² ; 3.- ¢u ˜ v² a1b1  a2b1  a1b2  a2b2 b1a1  b2 a1  b1a2  b2 a2 z ¢v ˜ u² ; 4.- ¢u  v ˜ w² ( a1  b1 )c1  (a2  b2 )c1  (a1  b1 )c2  (a2  b2 )c2

a1c1  b1c1  a2 c1  b2 c1  a1c2  b1c2  a2 c2  b2 c2 ( a1c1  a2 c1  a1c2  a2 c2 )  (b1c1  b2 c1  b1c2  b2 c2 ) ¢u ˜ w²  ¢v ˜ w² . Como no se cumple la primera y tercera propiedad, entonces no es producto interior. c.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces: 1.- ¢u ˜ u² 2a1a1  2a2 a2 2a12  2a22 t 0 ; 2.- ¢ ku ˜ v² 2ka1b1  2ka2b2 k (2a1b1  2a2b2 ) k ¢u ˜ v² ; 3.- ¢u ˜ v² 2a1b1  2a2b2 2b1a1  2b2 a2 ¢v ˜ u² ; 4.- ¢u  v ˜ w² 2( a1  b1 )c1  2( a2  b2 )c2 2a1c1  2b1c1  2a2 c2  2b2 c2 (2a1c1  2a2 c2 )  (2b1c1  2b2 c2 ) ¢u ˜ w²  ¢v ˜ w² . d.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces: 1.- ¢u ˜ u² = ¢(a1, a2) ˜ (a1, a2)² = a1a1 ± a2a1 + a1a2 + 2a2a2 = a1a1 + 2a2a2 t 0 3.- ¢u ˜ v² = ¢(a1, a2) ˜ (b1, b2)² = a1b1 ± a2b1 + a1b2 + 2a2b2 ¢v ˜ u² = ¢(b1, b2) ˜ (a1, a2)² = b1a1 ± b2a1 + b1a2 + 2b2a2 Por lo tanto ¢u ˜ v² z ¢v ˜ u². Como la tercera propiedad no se cumple, entonces ¢u ˜ v² no es un producto interior. ’ EJ E M P L O 6.1.9 Determine cuáles de las siguientes funciones ¢ ˜ ² : C[-1,1] x C[-1,1] o ƒ son productos interiores en el espacio vectorial C([-1,1]): 1

a.- ¢ f ˜ g ²

³ 1 f ( x) g ( x) dx ;

c.- ¢ f ˜ g ²

³ 1 (1 

1

x 2 ) f ( x) g ( x)dx ;

1

b.- ¢ f ˜ g ²

³ 1 x

d.- ¢ f ˜ g ²

³ 1 xf ( x) g ( x)dx .

2

f ( x) g ( x)dx ;

1

SO L U C I O N a.- Para verificar si ¢f ˜ g² define un producto interior, debemos demostrar los axiomas de la definición: 1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que f 2(x) t 0 para toda x, se tiene ¢f ˜ f²

³ 1 f

1

2

( x) dx t 0

¢f ˜ f²

³ 1 f

1

2

( x) dx 0

con sí y sólo si f es la función cero en C[-1; 1]. 2.- ¢ f ˜ g ²

1

1

³ 1 f ( x) g ( x) dx ³ 1 g ( x) f ( x) dx

3.- ¢Df ˜ g ² 4.- ¢ f ˜ g  h²

1

³ 1 Df ( x) g ( x) dx



1 1

1

¢g ˜ f ² .

f ( x) g ( x) dx D¢ f ˜ g ² . 1

³ 1 f ( x)[ g  h]( x) dx ³ 1[ f ( x) g ( x)  f ( x)h( x)] dx 1

1

³ 1 f ( x) g ( x) dx  ³ 1 f ( x)h( x) dx

¢ f ˜ g ²  ¢ f ˜ h² .

Como se cumplen los axiomas de la definición, podemos decir que ¢f ˜ g² es un ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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263

producto interior. b.- Para verificar si ¢f ˜ g² define un producto interior, debemos demostrar los axiomas de la definición: 1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que x2f 2(x) t 0 para toda x, se tiene 1

2

dx t 0

1

2

dx 0

¢f ˜ f²

³ 1 ( xf ( x))

¢f ˜ f²

³ 1 ( xf ( x))

con sí y sólo si f es la función cero en C[-1; 1]. 2.- ¢ f ˜ g ²

1

³ 1 x

2

1

f ( x) g ( x) dx

³ 1 Dx

3.- ¢Df ˜ g ²

2

g ( x) f ( x) dx ¢ g ˜ f ² . 1

f ( x) g ( x) dx D ³ x 2 f ( x) g ( x) dx D¢ f ˜ g ² .

2

1

1

2

f ( x)[ g  h]( x) dx

1

2

f ( x) g ( x) dx  ³ x 2 f ( x)h( x) dx ¢ f ˜ g ²  ¢ f ˜ h² .

³ 1 x

4.- ¢ f ˜ g  h²

1

³ 1 x

³ 1 x

1

³ 1 x [ f ( x) g ( x)  f ( x)h( x)] dx 2

1

1

Como se cumplen los axiomas de la definición, podemos decir que ¢f ˜ g² es un producto interior. c.- Para verificar si ¢f ˜ g² define un producto interior, debemos demostrar los axiomas de la definición: 1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que (1 ± x2)f 2(x) t 0 para toda x, se tiene 1

2

) f 2 ( x) dx t 0

1

2

) f 2 ( x) dx 0

¢f ˜ f²

³ 1 (1  x

¢f ˜ f²

³ 1 (1  x

con sí y sólo si f es la función cero en C[-1; 1]. 2.- ¢ f ˜ g ²

1

³ 1 (1  x

3.- ¢Df ˜ g ² 4.- ¢ f ˜ g  h²

1

2

) f ( x) g ( x) dx

³ 1 D(1  x

2

1

³ 1 (1  x

2

) g ( x) f ( x) dx ¢ g ˜ f ² .

1

) f ( x) g ( x) dx D ³ (1  x 2 ) f ( x) g ( x) dx D¢ f ˜ g ² . 1

1

2

) f ( x)[ g  h]( x) dx

1

2

) f ( x) g ( x) dx  ³ (1  x 2 ) f ( x)h( x) dx ¢ f ˜ g ²  ¢ f ˜ h² .

³ 1 (1  x

³ 1 (1  x

1

³ 1 (1  x

2

)[ f ( x) g ( x)  f ( x)h( x)] dx

1

1

Como se cumplen los axiomas de la definición, podemos decir que ¢f ˜ g² es un producto interior. d.- Para verificar si ¢f ˜ g² define un producto interior, debemos demostrar los axiomas de la definición: 1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que xf 2(x) t 0 para toda x, se tiene ¢f ˜ f²

1

³ 1 x f

2

( x) dx 0

con lo que no se cumple esta propiedad. Por lo tanto podemos decir que ¢f ˜ g² no es un producto interior. ’ EJ E M P L O 6.1.10 Determine cuáles de las siguientes funciones ¢ ˜ ² : :(n, n) x :(n, n) o ƒ son productos internos en el espacio vectorial :: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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264

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a.- ¢A˜B² = Det(A B); b.- ¢A˜B² = Tr(A B); c.- ¢A˜B² = Tr(A T B); d.- ¢A˜B² = Tr(A B T). SO L U C I O N a.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces: 1.- ¢A ˜ A² = Det(A A) = Det(A)Det(A) t 0; 2.- ¢k A ˜ B² = Det(k A B) = knDet(A B) z kDet(A B); 3.- ¢A ˜ B² = Det(A B) = Det(B A) = ¢B ˜ A²; 4.- ¢A + B ˜ C² = Det((A + B)C) = Det(A C + B C) z Det(A C) + Det(B C). Por tanto, se puede concluir que ¢A ˜ B² no es un producto interior. b.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces: 1.- ¢A ˜ A² = Tr(A A) = Tr(A 2) t 0; 2.- ¢k A ˜ B² = Tr(k A B) = kTr(A B) = k¢A ˜ B²; 3.- ¢A ˜ B² = Tr(A B) = Tr(B A) = ¢B ˜ A²; 4.- ¢A + B ˜ C² = Tr((A + B)C) = Tr(A C + B C) = Tr(A C) + Tr(B C) = ¢A ˜ C² + ¢B ˜ C². Por tanto, se puede concluir que ¢A ˜ B² es un producto interior. c.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces: 1.- ¢A ˜ A² = Tr(A T A) t 0; 2.- ¢k A ˜ B² = Tr((k A)T B) = Tr(k A T B) = kTr(A T B) = k¢A ˜ B²; 3.- ¢A ˜ B² = Tr(A T B) = Tr(A T B)T = Tr(B T A) = ¢B ˜ A²; 4.- ¢A + B ˜ C² = Tr((A + B)T C) = Tr(A T C + B T C) = Tr(A T C) + Tr(B T C) = ¢A ˜ C² + ¢B ˜ C². Por tanto, se puede concluir que ¢A ˜ B² es un producto interior. d.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces: 1.- ¢A ˜ A² = Tr(A A T) t 0; 2.- ¢k A ˜ B² = Tr(k A B T) = kTr(A B T) = k¢A ˜ B²; 3.- ¢A ˜ B² = Tr(A B T) = Tr(A B T)T = Tr(B A T) = Tr(A T B) = ¢B ˜ A²; 4.- ¢A ˜ (B + C)² = Tr(A(B + C)T) = Tr(A B T + A C T) = Tr(A B T) + Tr(A C T) = ¢A ˜ B² + ¢A ˜ C². Por tanto, se puede concluir que ¢A ˜ B² es un producto interior. ’ D E F I N I C I O N 6.1.3 Un espacio vectorial real ( V, R, +, ˜) se denomina espacio vectorial euclídeo, si a todo par de vectores, u, v de V se le ha puesto en correspondencia un número real ¢ ˜ ², llamado producto interior, considerándose cumplidos los siguientes axiomas: 1.- Para todo vector u de V, entonces se cumple la positividad: ¢u ˜ u² > 0 cuando u z ‡ y ¢‡ ˜ ‡² = 0. 2.- Para todo par de vectores u, v de V, se cumple la conmutatividad: ¢u ˜ v² = ¢v ˜ u². 3.- Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar real k, se cumple la homogeneidad: ¢ku ˜ v² = k¢u ˜ v². 4.- Para toda terna de vectores u, v, w de V, se cumple la distributividad: ¢u ˜ (v + w)² = ¢u ˜ v² + ¢u ˜ w². EJ E M P L O 6.1.11 Se da un espacio vectorial cuyos vectores son todos los sistemas posibles compuestos por 3 números positivos: u = (a1, a2, a3), v = (b1, b2, b3), w = (c1, c2, c3), .... La adición de los vectores y la multiplicación de un vector por un número están definidas por las igualdades

u + v = (a1b1, a2b2, a3b3), ku ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

ak , ak , ak . 1

2

3

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265

¿Se puede hacer euclídeo este espacio al definir la función producto interno por la igualdad ¢u ˜ v² = lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3? SO L U C I O N Vamos a comprobar el cumplimiento de los axiomas de los espacios euclídeos: 1.- ¢u ˜ u² = ln2a1 + ln2a2 + ln2a3 t 0. 2.- ¢u ˜ v² = lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3 ¢u ˜ v² = lnb1lna1 + lnb2lna2 + lnb3lna3 Es decir, ¢u ˜ v² = ¢v ˜ u². 3.- ¢ku ˜ v² = lna k1lnb1 + lna k2lnb2 + lna k3lnb3 = klna1lnb1 + klna2lnb2 + klna3lnb3 = k(lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3) = k¢u ˜ v². 4.- ¢u˜ (v + w)² = lna1ln(b1c1) + lna2ln(b2c2) + lna3ln(b3c3) = lna1lnb1 + lna1lnc1 + lna2lnb2 + lna2lnc2 + lna3lnb3 + lna3lnc3 = lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3 + lna1lnc1 + lna2lnc2 + lna3lnc3 = ¢u ˜ v² + ¢u ˜ w². Por cumplirse todos los axiomas de la definición, el espacio que se considera es euclídeo. ’ EJ E M P L O 6.1.12 ¿Es el conjunto de todos los vectores geométricos un espacio euclídeo si el producto interior de dos vectores se define como el producto de sus longitudes? SO L U C I O N El producto interior tiene la forma siguiente: ¢u ˜ v² u v , siendo u, v, w tres vectores geométricos. Por tanto debemos probar los siguientes axiomas: 1.- ¢u ˜ u²

u

2.- ¢ ku ˜ v² 3.- ¢u ˜ v²

u

ku u

4.- ¢u  v ˜ w²

u

v

2

;

k u

v

v

uv

u

v zk u

v ;

¢ v ˜ u² ;

w d ( u  v ) w z ¢u ˜ w²  ¢v ˜ w² .

Como no se cumplen los axiomas segundo y cuarto, no es espacio euclídeo. ’ T E O R E M A 6.1.4 Dado (V, ¢ ˜ ²) un espacio vectorial euclídeo, entonces para cualesquiera par de vectores, de V es válida la desigualdad de Cauchy - Schwartz: ~¢u ˜ v²~2 d ¢u ˜ u² ¢v ˜ v². La desigualdad de Cauchy - Schwartz se convierte en una igualdad si, y sólo si, los vectores, son colineales. D E M OST R A C I O N El teorema tiene lugar, a ciencia cierta, si v = ‡, por lo cual convengamos en considerar que v z ‡. Examinemos un vector u ± av, donde a es un número real arbitrario. Tenemos ¢u - av ˜ u - av² t 0 ¢u ˜ u² - a¢u ˜ v² - a¢v ˜ u² + a2¢v ˜ v² t 0 ¢u ˜ u² - 2a¢u ˜ v² + a2¢v ˜ v² t 0 En el primer miembro de la desigualdad figura un producto interior de vectores iguales. Por esta razón el trinomio de segundo grado es no negativo, cualquiera que u˜v sea a, en particular, para a . De este modo, v˜v

u˜v u˜v u ˜u 2 u˜v  v˜v v˜v

ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

2 2

v˜v t 0

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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

u ˜u 2 u ˜u 

u˜v v˜v

u˜v

2

v˜v

2

v˜v 

2

t 0 Ÿ u ˜u v˜v  u ˜v

2

u˜v

2

v˜v

2

t0 Ÿ

v˜v t 0

u˜v

2

d u ˜u v˜v .

EJ E M P L O 6.1.13 Verifique que la función ¢ ˜ ² : :(n, n) x :(n, n) o ƒ definida por ¢A ˜ B² = Tr(A B T), en el espacio vectorial :(n, n), cumple la desigualdad de Cauchy Schwartz. SO L U C I O N Debemos comprobar que se cumple~¢A ˜ B²~2 d ¢A ˜ A² ¢B ˜ B². Es decir: ~Tr(A B T)~2 d Tr(A A T)Tr(BB T) 2

n n n n § n · § n 2 2 ·§ 2 2 · ¨ ¦ a1i b1i  ...  ¦ ani bni ¸ d ¨ ¦ a1i  ...  ¦ ani ¸¨ ¦ b1i  ...  ¦ bni ¸ i 1 i 1 i 1 ©i 1 ¹ ©i 1 ¹© i 1 ¹ 2

§ n n · § n n ·§ n n · ¨ ¦¦ a ji b ji ¸ d ¨ ¦¦ a 2ji ¸¨ ¦¦ b2ji ¸ . ¨ j 1i 1 ¸ ¨ j 1 i 1 ¸¨ j 1 i 1 ¸ © ¹ © ¹© ¹ Por lo tanto podemos observar que se cumple la desigualdad. ’

D E F I N I C I O N 6.1.4 En un espacio vectorial euclídeo V se dice que un vector u es ortogonal a otro vector v, representado por u A v, si ¢u ˜ v² = 0, siendo u y v vectores no nulos. D E F IN I C I O N 6.1.5 Dos vectores u y v de un espacio euclídeo V distintos de cero son paralelos, y se nota u»» v, si uno es múltiplo escalar del otro. Si u = kv con k > 0, entonces u y v tienen la misma dirección; si k < 0, entonces u y v tienen dirección opuesta. Por analogía con los segmentos dirigidos, llamemos colineales dos vectores u y v de cualquier espacio vectorial, si o bien u = av o bien v = bu para ciertos escalares a y b. En virtud de la igualdad ‡ = 0u concluimos que los vectores u y v son colineales, a ciencia cierta, si por lo menos uno de ellos es nulo. T E O R E M A 6.1.5 La desigualdad |¢u ˜ v²|2 d ¢u ˜ u²¢v ˜ v² se convierte en una igualdad si, y sólo si, los vectores u y v son colineales. D E M OST R A C I O N Supongamos que los vectores u y v son colineales, entonces u = av. Hallamos ¢u ˜ v²2 = ¢av ˜ v²2 = a2¢v ˜ v²2 ¢u ˜ u²¢v ˜ v² = ¢av ˜ av²¢v ˜ v² = a2¢v ˜ v²2 La comparación de estas igualdades muestra que la afirmación tiene lugar. Supongamos ahora que para los vectores u y v se verifica la igualdad ¢u ˜ v²2 = ¢u ˜ u²¢v ˜ v² Si v = ‡, los vectores son colineales. Sin embargo, si v z ‡, entonces, al tomar u ˜v a= y teniendo presente la ecuación anterior, obtenemos ¢u - av ˜ u - av² = 0. v˜v En vista del axioma 1 de la definición, esto significa que u ± av = ‡, o bien u = av, es decir, los vectores u y v son colineales. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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267

En muchas aplicaciones se desea descomponer un vector u en una adición de dos sumandos, uno paralelo a un vector específico diferente de cero v y el otro perpendicular a v. Si u y v se colocan de modo que sus puntos iniciales coincidan en un punto Q, entonces es posible descomponer el vector u como sigue: Trazar una perpendicular desde la punta de u hasta la recta que pasa por v, y obtener el vector w que va de Q al pie de esta perpendicular. Luego, forma la diferencia u ± w Como se puede ver en la figura, el vector w es paralelo a v, el vector u ± v es perpendicular a v, y w + (u ± w) = u.

El vector w se denomina proyección ortogonal de u sobre v, o algunas veces se le conoce como, componente vectorial de u a lo largo de v. Se denotará por Pr oyv u . El vector u ± w se denomina componente vectorial de u ortogonal a v. Como se tiene u ± w, este vector se puede escribir como u  w u  Pr oyv u . Sean w Pr oyv u y u  w u  Pr oyv u . Como w es paralelo a v, debe ser un múltiplo escalar de v, de modo que se puede escribir en la forma w = Ov. Así u = w + (u ± w) = Ov + u ± w Tomando el producto interior en ambos miembros de esta ecuación con v, se obtiene ¢u ˜ v² ¢Ov  u  w ˜ v² O v

2

 ¢u  w ˜ v²

Pero ¢u - w ˜ v² = 0, ya que u ± w es perpendicular a v; de modo que se produce ¢ u ˜ v² O 2 v Como Pr oyv u w Ov , se obtiene

Pr oyv u

¢ u ˜ v²

v

2

v

¢ u ˜ v² v ¢v ˜ v²

D E F IN I C I O N 6.1.6 Sean u y v vectores de un espacio euclídeo V, de modo que v z ‡. Entonces, la proyección perpendicular de u sobre v está definida por ¢ u ˜ v² Pr oyv u v. ¢ v ˜ v² E J E M P L O 6.1.14 Determine la proyección ortogonal de f(x) = 2 + 3x2 sobre g(x) = 1 + 3x ± x2. SO L U C I O N Si f(x) = a0 + a1x + a2x2 y g(x) = b0 + b1x + b2x2, entonces el producto interior canónico se establece por ¢f ˜ g² = a0b0 + a1b1 + a2b2. Para determinar la proyección ¢ f ˜ g² g , es decir: ortogonal de f(x) sobre g(x), debemos utilizar Pr oyg f ¢ g ˜ g² Pr oyg f

ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

2  3x 2 ˜1  3x  x 2 2

1  3x  x ˜1  3x  x

2

(1  3x  x 2 )

23 (1  3x  x 2 ) 1 9 1 JOE GARCIA ARCOS

268

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS



1 1 3 1 (1  3x  x 2 )   x  x 2 . ’ 11 11 11 11

E J E M P L O 6.1.15 Para todo par de vectores u, v de un espacio vectorial euclídeo V, los vectores v y u ± Proyvu son ortogonales. SO L U C I O N Usaremos las propiedades correspondientes al producto interno real: u ˜v ¢u ˜ v² ¢u ˜ v² ¢v ˜ u  Pr oyv u² v ˜u  v ¢ v ˜ u²  v ˜ v ¢ v ˜ u²  ¢v ˜ v² ¢v ˜ v² ¢v ˜ v² ¢v ˜ v² ¢v ˜ u²  ¢u ˜ v² 0 . ’ %  CALCULO  DE  LA  PROYECCION  DE  VECTORES   clc;;clear;;   fprintf('\n  PROYECCION  DE  VECTORES  \n')   col=input('Ingrese  la  dimension  de  los  vectores:    ');;          fprintf('\n  Ingrese  el  vector  u  \n')                  %for  f=1:col                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',c)                                  u(1,c)=input('  :');;                          end                      fprintf('\n  El  VECTOR  u  es:\n')          u                  fprintf('  Ingrese  el  vector  v  \n')                  %for  f=1:col                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',c)                                  v(1,c)=input('  :');;                          end          fprintf('\n  El  VECTOR  v  es:\n')          v          end          fprintf('EL  PRODUCTO  INTERIOR  ES:\n')                  numerador=u*v'                  denominador=v*v'                  fprintf('LA  PROYECCION  DEL  VECTOR  u  SOBRE  v  ES:\n')                  w=((u*v')/(v*v')*v)  

PR O B L E M AS 6.1.1 En los siguientes problemas, determine en cada caso, si ¢u ˜ v² es un producto interior en ƒn, si ¢u ˜ v² está definido por la fórmula que se da. En caso contrario, decir cuáles son los axiomas que no se cumplen: a.- ¢u ˜ v² b.- ¢u ˜ v²

n

n

n

i 1

i 1

i 1

¦ (ui  vi )2  ¦ ui2  ¦ vi2 ; n

¦ ui vi

;

c.- ¢u ˜ v²

i 1

d.- ¢u ˜ v²

n

¦ ui2vi2 ;

e.- ¢u ˜ v²

i 1

n

n

i 1

j 1

¦ ui i 1

vi .

6.1.2 Encuentre ¢5u - 2v ˜ 2u + 3v², dado que ¢u ˜ u² = - 10, ¢u ˜ v² = - 8 y ¢v ˜ v² = - 3. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

2

§ n · § n ·§ n · a.- ¨ ¦ ui vi ¸ d ¨ ¦ ui2 ¸¨ ¦ vi2 ¸ ; ©i 1 ¹ © i 1 ¹© i 1 ¹ 2

¦ ui ¦ v j ; n

6.1.3 Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz demuestre las siguientes desigualdades:

§ n · § n ·§ n 1 · b.- ¨ ¦ ui vi ¸ d ¨ ¦ O i ui2 ¸¨ ¦ vi2 ¸ . ©i 1 ¹ ©i 1 ¹© i 1 O i ¹

6.1.4 Describa los vectores u  ƒ2 que son ortogonales al vector (-2, 5). Verifique que éstos son los puntos de una recta que pasa por el origen. 6.1.5 Demuestre que la igualdad en la desigualdad triangular se tiene si y sólo si uno de los vectores es un múltiplo no negativo del otro vector. JOE GARCIA ARCOS

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

269

6.1.6 Demuestre que en ƒ2 un producto interior puede ser dado por la fórmula ¢u ˜ v² au1v1  bu1v2  bu2v1  cu2v2 si, y solamente si, a > 0 y ac > b2 simultáneamente.

6.1.10 ¿Qué es el producto interior de dos vectores en ƒ? ¿Cómo se ve la desigualdad de Cauchy-Schwarz para vectores en ƒ? ¿En qué casos se tiene la igualdad en esta desigualdad para vectores en ƒ?

6.1.7 ¿Forma el conjunto de todos los vectores geométricos un espacio euclídeo si el producto interior de dos vectores arbitrarios u y v se define como el producto de la longitud del vector u y la producción triplicada del vector v por el sentido del vector u?

6.1.11 Encuentre ¢2u + v ˜ 3u ± 2v², dado que ¢u ˜ u² = 14, ¢u ˜ v² = 15 y ¢v ˜ v² = 11.

6.1.8 En el espacio vectorial de todos los polinomios reales, determinar si ¢f ˜ g² es o no un producto interior cuando se define ¢f ˜ g² con la fórmula que se da: a.- ¢ f ˜ g ²

1

³ 0 f ( x) g ( x) dx

b.- ¢ f ˜ g ²

³

c.- ¢ f ˜ g ²

³ 0 f ´( x) g´( x) dx ;

d.- ¢ f ˜ g ²

1 0

f ( x) dx

;

³ g(x) dx ; 1

0

lim

1

6.1.13 Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para probar que si x1, x2, ..., xn son números reales cualesquiera, entonces 1

n

¦ xi

d

n

¦ xi2

n i 1 i 1 y que la igualdad se da si y sólo si todos los xi son iguales.

1

t of t

6.1.12 Sean u, v dos vectores en ƒn y ±u, -v sus inversos aditivos. Demuestre que: a.- Proy-uv = Proyuv; b.- Proyu(-v) = -Proyuv. Verifique este resultado con los vectores u = (2, -3), v = ( 3, 1).

t

³ 0 f ( x) g ( x) dx .

6.1.9 Sean v, u1, u2, ..., uk, k + 1 vectores en ƒ. Si u = u1 + u2 + ... + uk. Demuestre que Proyvu = Proyvu1 + Proyvu2 + ... + Proyvuk Verifique este resultado con los vectores u1 = (1, 1), u2 = (3, -2), v = (2, 3).

6.2 ESP A C I OS V E C T O RI A L ES H E R M I T I C OS En esta sección se definirán productos interiores sobre espacios vectoriales complejos usando como axiomas las propiedades del producto interior euclidiano sobre C n. En este momento surge la necesidad de considerar vectores de proyecciones complejas. A primera vista parece natural tomar de nuevo la expresión del producto interior de vectores con coordenadas reales para el producto interior de vectores con coordenadas complejas a 1, a 2, ..., a k y b1, b2, ..., bk. En algunos casos se procede precisamente de este modo. El espacio que así resulta se denomina espacio vectorial hermítico. Por desgracia, el producto interior pierde entonces muchas propiedades importantes. Para evitar este inconveniente, en lugar de la expresión ¢u ˜ v² = a 1b1 + a 2b2 + ... + a kbk se toma como definición del producto interior de vectores complejos la expresión u ˜ v a1 b1  a2 b2  ...  ak bk donde la raya superior significa que ha de pasarse a los números complejos conjugados. En el caso en que los vectores u y v sean reales, tenemos bi bi y la expresión del producto interior de vectores complejos coincide con la expresión del producto interior de vectores reales. Por consiguiente, la nueva definición es una generalización de la anterior.

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270

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

D E F IN I C I O N 6.2.1 Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio vectorial hermítico, si a todo par de vectores, u, v de V se le ha puesto en correspondencia un número complejo ¢ ˜ ², llamado producto interior, considerándose cumplidos los siguientes axiomas: 1.- Para todo vector u de V, entonces se cumple la positividad: ¢u ˜ u² > 0 cuando u z ‡. 2.- Para todo par de vectores u, v de V, se cumple la conmutatividad:

u ˜v v ˜u . 3.- Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar complejo k, se cumple la homogeneidad: ¢ku ˜ v² = k¢u ˜ v². 4.- Para todo trío de vectores u, v, w de V, se cumple la distributividad: ¢u ˜ v + w² = ¢u ˜ v² + ¢u ˜ w². El axioma u ˜ v

v ˜ u muestra que las propiedades del espacio vectorial hermítico difieren, en general, de las propiedades del espacio vectorial euclídeo. No obstante, estas diferencias son de poca importancia. En todo caso, el espacio hermítico se aproxima más por sus propiedades al espacio euclídeo. En el caso en que el espacio vectorial está definido en los reales, el espacio hermítico se denomina espacio euclídeo. En este caso la expresión v ˜ u coincide con la expresión ¢u ˜ v² y el axioma 2 adquiere una forma más sencilla: ¢u ˜ v² = ¢v ˜ u². Nótese también que en la definición de los espacios hermíticos no se exige que el espacio sea de dimensión finita. Por esto cabe hablar también de espacios hermíticos de dimensión infinita. Aun cuando algunas propiedades de los espacios hermíticos no dependen de la dimensión de los mismos, nos limitaremos a considerar, mientras que no se diga lo contrario, solamente espacios vectoriales de dimensión finita. T E O R E M A 6.2.1 Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar complejo k se cumple u ˜ kv k u ˜ v . D E M OST R A C I O N Para demostrar este teorema, utilizamos los axiomas 2 y 3 de la definición de espacio hermítico: ¢u ˜ kv² = kv ˜ u

axioma 2

= k v ˜u

axioma 3

= k ¢u ˜ v²

axioma 2

T E O R E M A 6.2.2 Dado (V, ¢ ˜ ²) un espacio vectorial hermítico, entonces para cualesquiera par de vectores, de V es válida la desigualdad de Cauchy - Schwartz: ~¢u ˜ v²~2 d ¢u ˜ u² ¢v ˜ v². La demostración es análoga a la del caso real. EJ E M P L O 6.2.1 Para todo par de vectores u, v de un espacio vectorial hermítico V, el vector v y u ± Proyvu son ortogonales. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

271

SO L U C I O N Usaremos las propiedades correspondientes al producto interno complejo: ¢u ˜ v² ¢u ˜ v² ¢u ˜ v² ¢v ˜ u  Pr oyv u² v˜u  v ¢v ˜ u²  v ˜ v ¢v ˜ u²  ¢v ˜ v² ¢v ˜ v² ¢v ˜ v² ¢ v ˜ v² ¢v ˜ u²  ¢u ˜ v² ¢v ˜ u²  ¢v ˜ u²

0. ’

EJ E M P L O 6.2.2 Si u = (2, 4, 1 + i), v = (1 - i, 2, 3i), hallar un vector no nulo w de un espacio hermítico V, ortogonal simultáneamente a u y v. SO L U C I O N Debemos encontrar un vector w tal que ¢u ˜ w² = 0 y ¢v ˜ w² = 0. Es decir: ¢u ˜ w² = ¢(2, 4, 1 + i) ˜ (a, b, c)² = 2a + 4b + (1 - i)c = 0; ¢v ˜ w² = ¢(1 ± i, 2, 3i) ˜ (a, b, c)² = (1 + i)a + 2b ± 3ic = 0. Resolvemos el sistema de ecuaciones homogéneo y obtenemos: § 2 4 1  i 0 · § 2 4 1  i 0 · § 2i 0 1  5i 0 · ¨¨ ¸ | ¨¨ ¸. ¸ | ¨¨ ©1  i 2 3i 0 ¹ © 0 2i 1  3i 0 ¹ © 0 2i 1  3i 0 ¹ Por lo tanto w = (5 ± i, 3 ± i, 2). ’ EJ E M P L O 6.2.3 Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de un espacio hermítico V se cumple la siguiente identidad

uv

2

 u v

2

2¢u ˜ v²  2¢u ˜ v² .

SO L U C I O N Descomponemos || u + v ||2 y || u - v ||2 en función del producto interior:

uv

2

u  v˜u  v

u ˜u  u ˜v  v˜u  v˜v

u ˜ u  u ˜ v  ¢u ˜ v²  v ˜ v ; u v

2

u  v ˜u  v

u ˜u  u ˜v  v ˜u  v ˜v

u ˜ u  u ˜ v  ¢u ˜ v²  v ˜ v . Restamos estas dos expresiones y obtenemos el resultado buscado:

uv

2

 u v

2

2¢u ˜ v²  2¢u ˜ v² . ’

EJ E M P L O 6.2.4 Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de un espacio hermítico V, la suma ¢u ˜ v²  ¢u ˜ v² es real. SO L U C I O N Del problema anterior tenemos:  uv

2

1 2 uv  uv 2 Lo cual implica que ¢u ˜ v²  ¢u ˜ v² es un número real. ’

2

2¢u ˜ v²  2¢u ˜ v²

De donde ¢u ˜ v²  ¢u ˜ v²

uv



2

.

.

EJ E M P L O 6.2.5 Si u y v son vectores no nulos de un espacio hermítico V, demostrar que ¢ u ˜ v ²  ¢ u ˜ v² 2 d d 2. || u || || v || SO L U C I O N Sabemos que ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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272

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

(1) Cos(u, v)

¢ u ˜ v² ¢ u ˜ v² con 1 d d1 ; || u || || v || || u || || v ||

¢ v ˜ u² ¢u ˜ v² ¢ u ˜ v² con 1 d d1 . || u || || v || || u || || v || || u || || v || Sumando estas dos expresiones, obtenemos: ¢v ˜ u² ¢u ˜ v² ¢v ˜ u²  ¢u ˜ v² . Cos(u, v)  Cos(v, u ) 2Cos(u, v)  || u || || v || || u || || v || || u || || v || Donde ¢v ˜ u²  ¢u ˜ v² 2 Cos(u, v) || u || || v || con ¢ u ˜ v ²  ¢ u ˜ v² 2 d d 2. || u || || v || Lo cual demuestra la identidad. ’

(2) Cos(v, u )

EJ E M P L O 6.2.6 Definimos el ángulo T formado por dos vectores no nulos u y v de un espacio hermítico V mediante la identidad ¢u ˜ v²  ¢u ˜ v² 0 ArcCos . 2 || u || || v || SO L U C I O N En el problema anterior se demostró que ¢v ˜ u²  ¢u ˜ v² 2 Cos(u, v) 2 CosT || u || || v || De donde ¢ v ˜ u ²  ¢ u ˜ v² ¢ v ˜ u ²  ¢ u ˜ v² CosT Ÿ T ArcCos . 2 || u || || v || 2 || u || || v || Con lo cual queda demostrada la identidad. ’

PR O B L E M AS 6.2.1 Sean u = (a, b) y v = (c, d). Demuestre que ¢u ˜ v² 3ac  2bd define un producto interior sobre C 2. 6.2.2 Calcular ¢u ˜ v² usando el producto interior ¢u ˜ v² 3ac  2bd : a.- u = (2i, -i), v = (-i, 3i); b.- u = (1 + i, 1 - i), v = (1 ± i, 1 + i); c.- u = (3i, -1 + 2i), v = (3i, -1 ± 2i). 6.2.3 Sean u = (a, b) y v = (c, d). Determine cuáles de las siguientes expresiones son productos interiores sobre C 2. Para las que no lo sean, enumerar los axiomas que no se cumplen: a.- ¢u ˜ v² 2ac  iad  iba  2bd ; 2

2

2

2

b.- ¢u ˜ v²

a c b d ;

c.- ¢u ˜ v²

ac  bd ;

d.- ¢u ˜ v² 2ac  iad  iba  2bd . ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

6.2.4 Demuestre que en un espacio hermítico se cumple la siguiente identidad: 1ª 2 2 2 2 ¢u ˜ v² u  v  u  v  i u  iv  i u  iv º ¼ 4¬ 6.2.5 Sea C 3 con el producto interior hermético. Demuestre que para todos los valores de T el vector § i 1 1 · u e iT ¨ , , ¸ tiene norma 1 y es ortogonal a 3 3 3¹ © (1, i, 0) y a (0, i, -i). 6.2.6 Sea C 3 con el producto interior hermético. Usando el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base {(i, i, i), (-i, i, 0), (i, 2i, i)} en una base ortonormal. 6.2.7 Sean u = (a, b) y v = (c, d). Demuestre que ¢u ˜ v² ac  (1  i ) ad  (1  i )bc  3bd define un producto interior sobre C 2. JOE GARCIA ARCOS

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273 4

6.2.8 Demuestre que si k es un número complejo y ¢u ˜ v² es un producto interior sobre un espacio vectorial complejo, entonces: a.- ¢u  kv ˜ u  kv² ¢u ˜ u²  k ¢u ˜ v²  k ¢u ˜ v²  k k ¢v ˜ v² ;

6.2.13 Sea C con el producto interior hermético. Usando el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base {(0, 2i, i, 0), (i, -i, 0, 0), (i, 2i, 0, -i), (i, 0, i, i)} en una base ortonormal.

b.- 0 d ¢u ˜ u²  k ¢u ˜ v²  k ¢u ˜ v²  k k ¢v ˜ v² .

6.2.14 Demuestre que si {v1, v2 « vk} es una base ortonormal para un espacio V con producto interior complejo y si u y v son vectores cualesquiera en V, entonces ¢u ˜ w² ¢u ˜ v1 ²¢ w ˜ v1 ²  ...  ¢u ˜ vk ²¢ w ˜ vk ²

6.2.9 Use el producto interior ¢ A ˜ B² a1 b1  a2 b2  a3 b3  a4 b4 para encontrar ¢A ˜ B² si § i 1  i · § 3 2  3i · A ¨ ¸ y B ¨ ¸. i ¹ 1 ¹ ©1  i © 4i 6.2.10 Sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3). ¿ ¢u ˜ v² u1 v1  u2 v2  u3 v3  u4 v4 define un producto interior sobre C 3? En caso de no serlo, enumerar los axiomas que no se cumplan. 6.2.11 Sea C 4 con el producto interior hermético. Expresar w = (-i, 2i, 6i, 0) en la forma w = w1 + w2, donde el vector w1 está en el espacio W generado por u1 = (-i, 0, i, 2i) y u2 = (0, i, 0, i) y w2 es ortogonal a W. 6.2.12 Sea C 3 con el producto interior hermético. Encontrar una base ortonormal para el subespacio generado por (0, i, 1 - i) y (-i, 0, 1 + i).

6.2.15 Demuestre que si f = f1(x) + if2(x) y g = g1(x) + ig2(x) son vectores en el espacio complejo C[a; b], entonces ¢ f ˜ g²

b

³a > f1 (0)  if 2 (0)@> g1 (0)  ig2 (0)@ dx

define un producto interior complejo sobre C[a; b]. 6.2.16 Sea V es espacio vectorial de las funciones con valores complejos de la variable real x, y sean f = f1(x) + if2(x) y g = g1(x) + ig2(x) son vectores en V. ¿La expresión ¢ f ˜ g²

> f1 (0)  if 2 (0)@> g1 (0)  ig2 (0)@

define un producto interior sobre V? En caso de no serlo, enumerar todos los axiomas que no se cumplan.

6.3 N O R M A, DIST A N C I A Y A N G U L O E N T R E V E C T O R ES En esta sección se definirá el concepto de longitud y distancia entre dos vectores y el ángulo entre dos vectores en un espacio con producto interior, y esta idea se usará para obtener algunas relaciones básicas entre vectores en un espacio con producto interior.  

La longitud de un vector u a menudo se denomina norma de u y se denota por u . De acuerdo con el teorema de Pitágoras se concluye que la norma de un vector u = (a, b) en el espacio bidimensional es

u

a 2  b2 .

Sea u = (a, b, c) un vector en el espacio tridimensional. Usando la figura y dos aplicaciones del teorema de Pitágoras se obtiene u 2 ( OR)2  ( RP)2 ( OQ )2  ( OS )2  ( RP)2 a 2  b2  c 2 Así ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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274

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

a 2  b2  c 2 .

u

D E F IN I C I O N 6.3.1 Sea (V, ¢ ˜ ²) un espacio vectorial euclídeo. Se define la norma o longitud del vector u de V, representada por, al número real no negativo u ¢u ˜ u ² . De esta definición se ve directamente que el vector nulo es el único vector cuya longitud es igual a cero. Un vector de norma 1 se denomina vector unitario. D E F IN I C I O N 6.3.2 Un vector de V es un vector unitario si tiene magnitud 1. Dado cualquier vector distinto de cero u de V, un vector unitario con la misma dirección que u está dado por 1 u. u EJ E M P L O 6.3.1 Dado p(x) = 2 ± 3x + 4x2 un polinomio en „2. Determine || p ||. SO L U C I O N Si p(x) = a0 + a1x + a2x2 y q(x) = b0 + b1x + b2x2, entonces el producto interior canónico se establece por ¢p ˜ q² = a0b0 + a1b1 + a2b2. Por lo tanto p (2)(2)  (3)(3)  (4)(4) 4  9  16 29 . ’ EJ E M P L O 6.3.2 §1 0 3· Sea la matriz A ¨ ¸ . Use el producto interior canónico para determinar ©5 9 7¹ A .

SO L U C I O N §a b Si A ¨ ©d e

c· § a1 b1 c1 · ¸ , entonces el producto interior canónico se ¸ y B ¨ f¹ © d1 e1 f1 ¹ establece por ¢A ˜ B² = aa1 + bb1 + cc1 + dd1 + ee1 + ff1. Por lo tanto A (1)(1)  (0)(0)  (3)(3)  (5)(5)  (9)(9)  (7)(7) 1  0  9  25  81  49 165 . ’

EJ E M P L O 6.3.3 Sea f(x) = exSenx una función definida en el intervalo -S d x d S. Determine || f ||. SO L U C I O N Como f(x) está definida en el intervalo -S d x d S, entonces para poder determinar la norma de esta función debemos aplicar lo siguiente

f

S

³S f

2

( x) dx

S

³S e

2x

Sen2 x dx

2e S e 4S  1 . ’ 4

EJ E M P L O 6.3.4 4 · § 1  i 2i Sea la matriz A ¨ ¸ . Use el producto interior canónico para © 1 1 i 2  i ¹ determinar A .

SO L U C I O N El producto interior canónico se establece por ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

275

A˜B

Por lo tanto A

a a1  bb1  c c1  d d1  e e1  f f1 .

(1  i )(1  i )  2i (2i )  4 ˜ 4  1˜1  (1  i )(1  i )  (2  i )(2  i )

1  i 2  4i 2  16  1  1  i 2  4  i 2

30 . ’

EJ E M P L O 6.3.5 Sea S = {e1, e2, e3, e4} base canónica en ƒ4. ¿Para qué valor de k los vectores u = ke1 + ke2 ± e3 ± ke4 y v = e1 ± e2 + ke3 ± e4 tienen igual longitud? SO L U C I O N Como el espacio vectorial es ƒ4, entonces e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1), entonces u = (k, k, -1, -k) y v = (1, -1, k, -1). Para que u y v tengan igual longitud, u v . Es decir

u

v

k 2  k 2 1 k 2

( k , k ,  1,  k ) ˜ ( k , k ,  1,  k ) (1,  1, k ,  1) ˜ (1,  1, k ,  1)

1 1  k 2 1

k2 3

igualamos las dos ecuaciones 3k2 + 1 = k2 + 3 y obtenemos k = r 1. ’ T E O R E M A 6.3.1 Sea (V, ¢ ˜ ²) un espacio vectorial euclídeo. La norma, definida a partir de un producto interno en un espacio vectorial real V, tiene las siguientes propiedades: 1.- Para todo u  V, || u || > 0 y || u || = 0 si y sólo si u = ‡. Positividad. k u . 2.- Para todo u  V y para todo escalar real k, entonces ku Homogeneidad. 3.- Para todo u, v  V, entonces || u + v || d || u || + || v ||. Desigualdad triangular. D E M OST R A C I O N 1.- Si u = (a1, a2, ..., ak), entonces || u || =

u ˜u

a12  a22  ...  ak2 > 0

u ˜u

02  02  ...  02

Si u = (0, 0, ..., 0), entonces || u || = 2.-

ku

ku ˜ ku

k u ˜ ku

k ku ˜ u

k2 u ˜u

0 rk

u ˜u

k u .

3.- || u + v || = ¢u + v ˜ u + v² = ¢u ˜ u + v² + ¢v ˜ u + v² = ¢u ˜ u² + 2¢u ˜ v² + ¢v ˜ v² 2

d ¢u ˜ u² + 2 2

u ˜u

v˜v

+ ¢v ˜ v²

2

= || u || + 2|| u || || v || + || v || = (|| u || + || v ||)2. Por lo tanto || u + v || d || u || + || v ||.

EJ E M P L O 6.3.6 Sean los vectores u = (3, -2, 4) y v = (1, 9, 3) de ƒ3. Verifique la desigualdad triangular con el producto interior definido por ¢u ˜ v² = a1b1 + 2a2b2 + 3a3b3 + a2b1 + a1b3 + 2a2b3. SO L U C I O N Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos || u + v || d || u || + || v ||. u (3,  2, 4) ¢(3,  2, 4) ˜ (3,  2, 4)² ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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276

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

3 ˜ 3  2(2)(2)  3 ˜ 4 ˜ 4  (2) ˜ 3  3 ˜ 4  2 ˜ (2) ˜ 4

v

¢(1, 9, 3) ˜ (1, 9, 3)²

(1, 9, 3)

55

1˜1  2 ˜ 9 ˜ 9  3 ˜ 3 ˜ 3  9 ˜1  1 ˜ 3  2 ˜ 9 ˜ 3 16

;

uv

(3,  2, 4)  (1, 9, 3)

¢(4, 7, 7) ˜ (4, 7, 7)²

(4, 7, 7)

4 ˜ 4  2 ˜ 7 ˜ 7  3˜ 7 ˜ 7  7 ˜ 4  4 ˜ 7  2 ˜ 7 ˜ 7

Por lo tanto

415

415 d 55  16 . ’

EJ E M P L O 6.3.7 §1 3 5· §5 2 1· Sean las matrices A ¨ ¸ y B ¨ ¸ . Verifique la desigualdad © 2 4 6¹ © 4 3 2¹ triangular utilizando el producto interior canónico. SO L U C I O N Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos || A + B || d || A || + || B ||.

§1 3 5· ¨ ¸ © 2 4 6¹

A

§1 3 5· §1 3 5· ¨ ¸˜¨ ¸ © 2 4 6¹ © 2 4 6¹

1˜1  3 ˜ 3  5 ˜ 5  2 ˜ 2  4 ˜ 4  6 ˜ 6 §5 2 1· ¨ ¸ © 4 3 2¹

B

91 ;

§5 2 1· §5 2 1· ¨ ¸˜¨ ¸ © 4 3 2¹ © 4 3 2¹

5 ˜ 5  2 ˜ 2  1˜1  4 ˜ 4  3 ˜ 3  2 ˜ 2

§ 1 3 5· § 5 2 1· ¨ ¸¨ ¸ © 2 4 6¹ © 4 3 2¹

A+B

59 ;

§ 6 5 6· ¨ ¸ ©6 7 8¹

6˜ 6  5˜5  6˜ 6  6˜ 6  7 ˜ 7  8˜8

Por tanto

246 .

246 d 91  59 . ’

EJ E M P L O 6.3.8 Sean las funciones f(x) = Senx y g(x) = Cosx definidas en C[-S; S]. Compruebe la desigualdad triangular. SO L U C I O N Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos f  g d f  g . 2

S

2

Senx

¢ Senx ˜ Senx²

³ S Sen

g

Cosx

¢ Cosx ˜ Cosx²

³ S Cos

f g

Senx  Cosx S

x dx

x dx

S; S;

¢ Senx  Cosx ˜ Senx  Cosx²

³ S (Senx  Cosx) Por tanto

S

f

2

dx

2S ;

2S d 2 S . ’

EJ E M P L O 6.3.9 3 · § 1  2i 2  i § 2  i 1  i i · Sean las matrices A ¨ ¸ y B ¨ ¸ . Verifique 4  3 i  1 2  5 i © ¹ ©1  3i 2  3i i ¹ la desigualdad triangular utilizando el producto interior canónico. SO L U C I O N Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos || A + B || d || A || + || B ||:

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277

3 · § 1  2i 2  i ¨ ¸ 4  3 i  1 2  5i ¹ ©

A

3 · § 1  2i 2  i 3 · § 1  2i 2  i ¨ ¸˜¨ ¸ 4  3 i  1 2  5 i 4  3 i  1 2  5i ¹ © ¹ ©

(1  2i )(1  2i )  (2  i )(2  i )  (3)(3)  (4  3i)(4  3i)  (1)( 1)  (2  5i)(2  5i ) 1  4i 2  4  i 2  9  16  9i 2  1  5  25i 2 B

§ 2  i 1  i i · ¨ ¸ ©1  3i 2  3i i ¹

75 ;

§ 2  i 1  i i · § 2  i 1  i i · ¨ ¸˜¨ ¸ ©1  3i 2  3i i ¹ ©1  3i 2  3i i ¹

(2  i )(2  i )  (1  i )(1  i )  (i )(i )  (1  3i )(1  3i )  (2  3i )(2  3i )  (i )(i )

4  i 2  1  i 2  i 2  1  9i 2  4  9i 2  i 2 A+B

32 ;

3 · § 2  i 1  i i · § 1  2i 2  i ¨ ¸¨ ¸ © 4  3i 1 2  5i ¹ ©1  3i 2  3i i ¹ § 3  i 3  2i 3  i · ¨ ¸ © 5  6i 1  3i 2  4i ¹ 9  i 2  9  4i 2  9  i 2  25  36i 2  1  9i 2  4  16i 2

2 31 ;

Por tanto 2 31 d 75  32 . ’ T E O R E M A 6.3.2 Dos vectores son ortogonales si y sólo si || u + v ||2 = || u ||2 + || v ||2. D E M OST R A C I O N || u + v ||2 = ¢u + v ˜ u + v² = ¢u ˜ u² + ¢u ˜ v² + ¢v ˜ u² + ¢v ˜ v² = ¢u ˜ u² + 2¢u ˜ v² + ¢v ˜ v² = ¢u ˜ u² + ¢v ˜ v² por definición de ortogonalidad = || u ||2 + || v ||2. %  CALCULO  DE  LA  NORMA  DE  UN  VECTOR   clc;;clear;;   fprintf('\n  NORMA  DE  UN  VECTOR  \n')   col=input('Ingrese  la  dimension  del  vector:    ');;          fprintf('\n  Ingrese  el  vector  u  \n')                  %for  f=1:col                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',c)                                  u(1,c)=input('  :');;                          end                          %end          fprintf('El  VECTOR  u  es:\n')          u          end          fprintf('LA  NORMA  DEL  VECTOR  u  ES:\n')                  NORMA=sqrt(u*u')  

   

D E F IN I C I O N 6.3.3 Un espacio vectorial V en el que hay definida una norma se denomina espacio vectorial normado. Si P(a, b, c) y Q (x, y, z) son dos puntos en el espacio tridimensional, entonces la distancia d(P, Q ) entre los puntos es la norma de Q ± P. Ya que

Q ± P = (x ± a, y ± b, z ± c)

Es decir ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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278

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d ( P, Q )

( x  a )2  ( y  b)2  ( z  c )2 .

D E F IN I C I O N 6.3.4 Se denomina distancia d(u, v) entre los vectores u y v de un espacio vectorial euclídeo, a la magnitud d (u, v) u  v . El hecho de disponer de una norma en un espacio vectorial implica que se puede dotar automáticamente a éste de estructura de espacio métrico; no se piense, sin embargo, que la única forma de obtener un espacio métrico es a partir de una norma; obsérvese, en este sentido, que para dotar a un conjunto de una métrica no se precisa que dicho conjunto tenga estructura algebraica alguna. Obsérvese nuevamente que esta definición hace perfecto sentido en cualquier espacio con producto interno. D E F IN I C I O N 6.3.5 Se denomina distancia d(P, Q ) entre los conjuntos P y Q de vectores de un mismo espacio la magnitud d ( P, Q ) inf d ( P, Q ) . u  P , v Q

T E O R E M A 6.3.3 Sea (V, ¢ ˜ ²) un espacio vectorial euclídeo, la distancia d(u, v) entre los vectores u, v de V satisface los siguientes axiomas: 1.- Para todo u, v  V, d(u, v) > 0 cuando u z v y d(u, v) = 0 si y sólo si u = v. 2.- Para todo u, v  V, d(u, v) = d(v, u). 3.- Para todo u, v, w  V, d(u, v) d d(u, w) + d(w, v). D E M OST R A C I O N 1.- Para todo u = (a1, a2, ..., ak), v = (b1, b2, ..., bk)  V, donde ai z bi, entonces

d(u, v) = || u ± v || = =

u  v ˜u  v

( a1  b1 )2  ( a2  b2 )2  ...  ( ak  bk )2 > 0

Para u = (a1, a2, ..., ak), v = (b1, b2, ..., bk)  V, donde ai = bi, entonces

d(u, v) = || u ± v || =

u  v ˜u  v =

( a1  b1 )2  ( a2  b2 )2  ...  ( ak  bk )2 = 0.

2.- d(u, v) = || u ± v || = || -(v ± u) || = | -1 | || v ± u || = d(v, u). 3.- d(u, v) = || u ± v || = || u ± v + w ± w || = || (u ± w) + (w ± v) || d || u ± w || + || w ± v || = d(u, w) + d(w, v). EJ E M P L O 6.3.10 Determine la distancia entre las funciones f(x) = Senx y g(x) = Cosx definidas en C[-S; S]. SO L U C I O N Para determinar la distancia entre las funciones f(x) y g(x), debemos calcular d(f, g) = || f ± g ||: f g Senx  Cosx ¢ Senx  Cosx ˜ Senx  Cosx² S

³ S (Senx  Cosx)

2

dx

2S . ’

EJ E M P L O 6.3.11 Demostrar que entre todos los vectores u ± v, donde u es un vector dado y v recorre el espacio dado V, tiene la longitud mínima el vector u ± w, donde w es la proyección ortogonal de u sobre V. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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279

SO L U C I O N Desarrollamos lo siguiente:

u v

2

(u  w)  (w  v)

2

uw

2

 wv

2

t uw

2

donde la igualdad es posible sólo para v = w. ’ EJ E M P L O 6.3.12 Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de V, se cumple la identidad

uv

2

u

2

 v

2

 ¢u ˜ v²  ¢u ˜ v² .

SO L U C I O N Descomponiendo || u + v ||2 en función del producto interior, obtenemos:

uv

2

¢u  v ˜ u  v² ¢u ˜ u²  ¢u ˜ v²  ¢v ˜ u²  ¢v ˜ v²

¢u ˜ u²  ¢u ˜ v²  ¢u ˜ v²  ¢u ˜ v²

u

2

 v

2

 ¢u ˜ v²  ¢u ˜ v² .

Con esto queda demostrada la identidad propuesta. ’ EJ E M P L O 6.3.13 Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de V, se cumple la identidad || u + v ||2 + || u ± v ||2 = 2|| u ||2 + 2|| v ||2 SO L U C I O N Descomponiendo || u + v ||2 y || u ± v ||2 en función del producto interior, obtenemos: || u + v ||2 = ¢u + v ˜ u + v² = ¢u ˜ u² + ¢u ˜ v² + ¢v ˜ u² + ¢v ˜ v² = || u ||2 + || v ||2 + ¢u ˜ v² + ¢v ˜ u² 2 || u ± v || = ¢u - v ˜ u - v² = ¢u ˜ u² - ¢u ˜ v² - ¢v ˜ u² + ¢v ˜ v² = || u ||2 + || v ||2 - ¢u ˜ v² - ¢v ˜ u² Sumamos estas dos expresiones || u + v ||2 + || u ± v ||2 = 2|| u ||2 + 2|| v ||2. Con esto queda demostrada la identidad. ’ T E O R E M A 6.3.4 Sean u y v vectores de un espacio euclídeo V, de modo que v z ‡. Entonces ¢ u ˜ v² d(u, Proyv u) < d(u, kv), k z . ¢ v ˜ v² Sean u y v vectores distintos de cero. Por la desigualdad de Cauchy ± Schwarz, tenemos |¢u ˜ v²| d || u || || v || Ÿ - || u || || v || d ¢u ˜ v² d || u || || v || es decir, ¢ u ˜ v² -1d d1 u v En consecuencia, podemos encontrar un ángulo M en radianes, de manera que se cumpla lo siguiente. %  CALCULO  DE  LA  DISTANCIA  ENTRE  VECTORES   clc;;clear;;   fprintf('\n  DISTANCIA  ENTRE  VECTORES  \n')   col=input('Ingrese  la  dimension  de  los  vectores:    ');;          fprintf('\n  Ingrese  el  vector  u  \n')                  %for  f=1:col                          for  c=1:col     ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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280

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                               fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',c)                                  u(1,c)=input('  :');;                          end                      fprintf('\n  El  VECTOR  u  es:\n')          u                  fprintf('  Ingrese  el  vector  v  \n')                  %for  f=1:col                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',c)                                  v(1,c)=input('  :');;                          end          fprintf('\n  El  VECTOR  v  es:\n')          v          end          w=v-­u          fprintf('LA  DISTANCIA  ENTRE  LOS  VECTORES  ES:\n')                  d=sqrt(w*w.')  

Sean u y v dos vectores diferentes de cero en el espacio tridimensional, y suponga que estos vectores se colocan de modo que sus puntos iniciales parten del origen. Por ángulo entre u y v se entiende el ángulo T determinado por u y v que satisface 0 d T d S. Sean u = (a, b, c) y v = (x, y, z) dos vectores diferentes de cero. Si, como se muestra en la figura, T es el ángulo entre u y v, entonces la ley de los cosenos da

v u u

2

 v

¢u ˜ v²

2

2

u

2

 2¢u ˜ v²

u

 v

u

2 2

2 u

 v

2

v CosT 2 u

v CosT Ÿ CosT

v CosT

¢ u ˜ v² . u v

D E F IN I C I O N 6.3.6 Sean u y v dos vectores no nulos del espacio vectorial euclídeo V. Se denomina coseno del ángulo que forman los vectores u y v, representado por Cos(u, v), al número real que cumple la igualdad ¢ u ˜ v² . 0 d ‘ (u, v) d S. Cos(u, v) u v Si ‘ (u, v) = 90°, decimos que u y v son ortogonales. Si entre los vectores u y v existe al menos uno no nulo, el ángulo formado por tales vectores se considera indeterminado. EJ E M P L O 6.3.14 En el espacio de cuatro dimensiones se dan dos planos, engendrados por los vectores del sistema S y S1. Entre los ángulos formados por los vectores del primer plano con los vectores del segundo plano, hallar el mínimo: a.- S = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}, S1 = {(1, 1, 1, 1), (2, -2, 5, 2)}; b.- S = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}, S1 = {(1, 1, 1, 1), (1, -1, 1, -1)}. SO L U C I O N a.- La proyección del vector (t + 2r, t ± 2r, t + 5r, t + 2r) sobre el primer plano es (t + 2r, t ± 2r, 0, 0). Por consiguiente 2t 2  8r 2 2 x2  8 Cos 2 T 4t 2  14tr  37 r 2 4 x 2  14 x  37 t donde x . Esta expresión alcanza el máximo, igual a 8/9, para x = -4. r b.- El ángulo formado por cualquier vector del segundo plano con su proyección ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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281

ortogonal sobre el primer plano queda invariante y es igual a S/4. ’ EJ E M P L O 6.3.15 Sea el espacio euclídeo V, cuyo producto interior está definido de forma usual. Determine el ángulo entre los vectores u (1, 3, 5, ..., 2n  1) y v = (1, 0, 0, ..., 0). SO L U C I O N Aplicando la definición, obtenemos: (1, 3, 5, ..., 2n  1) ˜ (1, 0, 0, ..., 0)

Cos(u, v)

1 . n

|| (1, 3, 5, ..., 2n  1) || || (1, 0, 0, ..., 0) || 1 ArcCos . ’ n

Por lo tanto ‘(u, v)

EJ E M P L O 6.3.16 Sea S = {e1, e2, e3, e4} la base canónica de ƒ4. Determine el ángulo entre los vectores u 7e1  5e2  3e3  2e4 y v 7e1  5e2 . SO L U C I O N Como S es la base canónica para ƒ4, entonces u ( 7, 5, 3, 2) y

v ( 7, 5, 0, 0) . Por la definición anterior: ( 7, 5, 3, 2) ˜ ( 7, 5, 0, 0)

Cos(u, v)

12

|| ( 7, 5, 3, 2) || || ( 7, 5, 0, 0) || Por lo tanto ‘(u, v) = 32,84 °. ’

17 12

12 . 17

EJ E M P L O 6.3.17 La desigualdad 2 d

¢ u ˜ v ²  ¢ u ˜ v² d 2 demuestra que siempre existe un único u v

ángulo T en el intervalo 0 d T d S que satisface esta igualdad. Demostrar que || u ± v ||2 = || u ||2 + || v ||2 - 2|| u |||| v ||CosT SO L U C I O N ¢ u ˜ v²  ¢ u ˜ v² ¢ u ˜ v ²  ¢ u ˜ v² Sabemos que Cos(u, v) para 2 d d 2 . Entonces: 2 u v u v u v

2

u

2

u

2

 v

2

 v

2

 ¢u ˜ v²  ¢u ˜ v² 2 u

u

v Cos(u, v)

2

 v

u

2

2

 (¢u ˜ v²  ¢u ˜ v² )

 v

2

2 u

v CosT .

Con esto queda demostrada la identidad. ’ EJ E M P L O 6.3.18 Tres vectores u, v, w de V satisfacen lo siguiente: || u || = || w || = 5, || v || = 1 y || u ± v + w || = || u + v + w ||. Si el ángulo que forman u y v es S/8, hallar el que forman v y w. SO L U C I O N Sabemos que u v w u  v  w Ÿ ¢v ˜ w² = - ¢u ˜ v². Como

Cos(u, v) entonces

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¢ u ˜ v² u v

y Cos(v, w)

¢v ˜ w² v w

¢u ˜ v² 5Cos(u, v) y ¢v ˜ w² 5Cos(v, w) . JOE GARCIA ARCOS

282

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De donde 5 Cos(u, v) = -5 Cos(v, w) Ÿ Cos(u, v) = - Cos(v, w). S 7S Como ‘(u, v) = , entonces ‘(v, w) = . ’ 8 8 El coseno del ángulo que forman los vectores u y v está comprendido entre ±1 y 1, alcanzando estos valores extremos únicamente si u y v son linealmente dependientes. El hecho de que el producto interior sea cero, es una prueba para que dos vectores sean ortogonales. Esto motiva la definición de que dos vectores son ortogonales si y sólo si su producto interior es cero. Como el producto interior de cualquier vector con el vector nulo ‡ es cero, se acostumbra decir que el vector nulo es ortogonal a cualquier otro vector. Si los vectores u y v son no nulos y T es el ángulo entre ellos, entonces a.- T es agudo, si y sólo si ¢u ˜ v² > 0. b.- T es obtuso, si y sólo si ¢u ˜ v² < 0. c.- T es S/2, si y sólo si ¢u ˜ v² = 0. EJ E M P L O 6.3.19 Si u = (3, -i, 2) y v = (1 + i, 1 ± i, 2 + 3i), hallar un vector no nulo w de ƒ3 ortogonal simultáneamente a u y v. SO L U C I O N Como w pertenece a ƒ3, entonces: ¢u ˜ w² = ¢(3, -i, 2) ˜ (a, b, c)² = 3a ± ib + 2c = 0; ¢v ˜ w² = ¢(1 + i, 1 - i, 2 + 3i) ˜ (a, b, c)² = (1 + i)a + (1 ± i)b + (2 + 3i)c = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo, generado por las condiciones anotadas, obtenemos: i 2 0· § 3 i 2 0 · § 2i  2 0 1 0· § 3 ¸ |¨ ¸. ¨ ¸ |¨ 2i  2 4  7i 0 ¹ ©1  i 1  i 2  3i 0 ¹ © 0 2i  2 4  7i 0 ¹ © 0 Por lo tanto w = (2 + 2i, 6 ± 22i, 8). ’ EJ E M P L O 6.3.20 Si u = (-1, 4, 3) y v = (2, 5, 1), hallar un vector no nulo w de V tal que sean ortogonales simultáneamente. SO L U C I O N Como w pertenece a ƒ3, entonces: ¢u ˜ w² = ¢(-1, 4, 3) ˜ (a, b, c)² = -a + 4b + 3c = 0 ¢v ˜ w² = ¢(2, 5, 1) ˜ (a, b, c)² = 2a + 5b + c = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo, generado por las condiciones anotadas, obtenemos: § 1 4 3 0 · § 1 4 3 0 · §13 0 11 0 · ¨ ¸ |¨ ¸ |¨ ¸. © 2 5 1 0 ¹ © 0 13 7 0 ¹ © 0 13 7 0 ¹ Por lo tanto w = (-11, -7, 13). ’ EJ E M P L O 6.3.21 Si u = (7, 4, 5) y v = (-3, 2, -1), hallar los escalares a y b tales que w = au + bv es un vector no nulo y que w y v sean ortogonales. SO L U C I O N Tenemos que w = a(7, 4, 5) + b(-3, 2, -1) = (7a - 3b, 4a + 2b, 5a - b) y ¢w ˜ v² = ¢(7a - 3b, 4a + 2b, 5a - b) ˜ (-3, 2, -1)² = 0, de donde ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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283

-3(7a - 3b) + 2(4a + 2b) ± (5a - b) = 0 Ÿ -18a + 14b = 0 Ÿ b

9 a. 7

De donde § 22 46 26 · w ¨ a, a, a ¸ ,  a z 0. ’ 7 7 ¹ © 7

EJ E M P L O 6.3.22 Si u = (2, -2, 1) y v = (-1, 1, 2), hallar los vectores w y x de V tales que v, x sean ortogonales, w sea paralelo a v y u = w + x. SO L U C I O N Sabemos que ¢v ˜ x² = 0 Ÿ ¢(-1, 1, 2) ˜ (a, b, c)² = -a + b + 2c = 0 Ÿ a ± b ± 2c = 0; w = kv Ÿ w = k(-1, 1, 2) = (-k, k, 2k); u = w + x Ÿ (2, -2, 1) = (-k, k, 2k) + (a, b, c) = (a ± k, b + k, c + 2k) ­ a k 2 Ÿ a 2 k ° ®b  k 2 Ÿ b 2  k . ° c  2k 1 Ÿ c 1  2k ¯ Reemplazando los valores de a, b y c en la primera ecuación, obtenemos que 1 k  . Este valor de k lo reemplazamos en w y x, donde: 3 1 1 2· §1 w  (2,  2, 1) ¨ ,  ,  ¸ ; 3 3 3¹ ©3 1 1 2· §5 5 5· § x (2  k ,  2  k , 1  2k ) ¨ 2  ,  2  , 1  ¸ ¨ ,  , ¸ . ’ 3 3 3 3 3 3¹ © ¹ © E J E M P L O 6.3.23 En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a n, definimos el producto interior como n §k· §k· ¢ f ˜ g² ¦ f ¨ ¸ g ¨ ¸ . k 0 ©n¹ ©n¹ Hallar todos los polinomios g(t) ortogonales a f(t) = t. SO L U C I O N k Hacemos que g(t) = a 0 + a 1t + a 2t2 + ... + a ntn y t , entonces: n ¢ f ˜ g²

1

1

t 0

t 0

¦ f (t ) g (t ) ¦ ( a0  a1t  a2t 2  ...  ant n )t

a0  a1  a2  ...  a n

0.

De donde a 0 = - ( a 1 + a 2 + ... + a n). Por lo tanto, el polinomio buscado tiene la forma siguiente: g(t) = - ( a 1 + a 2 + ... + a n) + a 1t + a 2t2 + ... + a ntn. ’ %  CALCULO  DEL  ANGULO  ENTRE  VECTORES   clc;;clear;;   fprintf('\n  ANGULO  ENTRE  VECTORES  \n')   col=input('Ingrese  la  dimension  de  los  vectores:    ');;          fprintf('\n  Ingrese  el  vector  u  \n')                  %for  f=1:col                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',c)                                  u(1,c)=input('  :');;                          end                      fprintf('\n  El  VECTOR  u  es:\n')          u                  fprintf('  Ingrese  el  vector  v  \n')   ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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               %for  f=1:col                          for  c=1:col                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  %d',c)                                  v(1,c)=input('  :');;                          end          fprintf('\n  El  VECTOR  v  es:\n')          v          fprintf('\n  EL  PRODUCTO  INTERIOR  ES:\n')          p=u*v'          fprintf('\n  LAS  NORMAS  SON:\n')          Norma1=sqrt(u*u')          Norma2=sqrt(v*v')          fprintf('EL  ANGULO  ENTRE  LOS  VECTORES  ES:\n')                  d=(acos(p/(Norma1*Norma2)))*180/pi          if  (p>0)                  fprintf('El  angulo  es  agudo\n')          end                  if  (p n, entonces alguno de los vectores de este conjunto es el vector ‡.

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6.4.2 Para cualquier subespacio U de dimensión m t 1 en un espacio vectorial V de dimensión n (m < n), demostrar que V tiene una base ortonormal formada de m vectores en U y n ± m vectores ortogonales a todos los vectores en U. 6.4.3 Sea un espacio vectorial V de dimensión n, entonces cualquier conjunto de n vectores ortogonales es una base de V. 6.4.4 Para que dos subespacios sean ortogonales, es necesario y suficiente que todo vector de cualquier base de un subespacio sea ortogonal a todos los vectores de cualquier base de otro subespacio. 6.4.5 Completar los siguientes sistemas de vectores hasta bases ortonormales: ­§ 11 2 2· § 2 14 1 · ½ a.- ®¨  ,  , ¸ , ¨  ,  ,  ¸ ¾ ; ¯© 5 15 3 ¹ © 15 15 3 ¹ ¿ ­§ 1 1 1 1 · § 1 1 1 1 · ½ b.- ®¨ ,  , ,  ¸ , ¨  , , ,  ¸ ¾ . ¯© 2 2 2 2 ¹ © 2 2 2 2 ¹ ¿

6.4.6 Sea ^u1, u2 « un` una base ortonormal de un espacio euclídeo. Hallar la expresión del producto interior de los vectores arbitrarios u y v haciendo uso de sus coordenadas: a.- En la base ^O1u1, O2u2«Onun`, donde O1, O2«On son escalares no nulos; b.- En la base ^u1 + u2, u2, u3«un`. 6.4.7 Describe los vectores u  ƒ3 que son ortogonales al vector (-3, 4 , 3). Verifique que éste es un subespacio de ƒ3 del tipo S = {(x, y, z) / ax + by + cz = 0}. Más en general, demuestre que todo subespacio S de ƒ3 como el anterior, es descrito como S = {u  ƒ / ¢u ˜ v² = 0} para algún v  ƒ3. 6.4.15 Escriba de manera vectorial cada una de las rectas dadas a continuación. Es decir, como un conjunto de vectores (x , y)  ƒ2 tales que (x, y) = (0, b) + t(1, m), t  R, haciendo una gráfica en cada caso: a.- y = 5x; b.- y = 2x ± 1; c.- y = - x + 5; d.- y = -3x ±1; e.- y = x ± 7. 6.4.16 Considere la recta L = {(x, y) / (x, y) = (0, 3) + t(1, 2), t  ƒ}. Verifique que (2, 7)  L. ¿Significa esto que el vector (2, 7) se encuentra sobre la recta L? 6.4.18 Se sabe que todo conjunto ortogonal de n vectores no nulos en ƒn es una base de este espacio. ¿Es cierta la afirmación recíproca? 6.4.13 Hallar un vector normalizado que sea ortogonal a los vectores (1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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6.4.8 Agregar a la matriz §1 1 1 2 1 · ¨ ¸ ¨ 1 0 0 1 2 ¸ ¨ 2 1 1 0 2 ¸ © ¹ dos filas más, que sean ortogonales entre sí y ortogonales a las primeras tres filas. 6.4.9 Mediante el proceso de ortogonalización, construir una base ortogonal del subespacio dado por el sistema de vectores: a.- ^(2, 3, -4, -6), (1, 8, -2, -16), (12, 5, -14, 5), (3, 11, 4, 7)`; b.- ^(1, 1, -1, -2), (-2, 1, 5, 11), (0, 3, 3, 7), (3, -3, -3, -9)`. 6.4.10 Para el sistema de ecuaciones ­3 x  y  z  u 0 ® ¯x  2 y  z  u 0 hallar un sistema fundamental ortonormal de soluciones. 6.4.14 Sea {u1, u2, ..., uk} un subconjunto ortonormal de ƒn y sea u cualquier vector en ƒn. Demuestre que 2

u

k

t ¦ ¢ u ˜ ui ² 2 . i 1

6.4.25 Sea {u1, u2, ..., un} una base ortonormal de ƒn. Demuestre que

u

2

¢u ˜ u1 ²

2

 ¢u ˜ u2 ²

2

 ...  ¢u ˜ un ²

2

para cualquier vector u en ƒn. 6.4.26 Determine los números a 0, b0, b1, c0, c1, c2 de modo que las funciones f(x) = c0, g(x) = b0 + b1x, h(x) = c0 + c1x + c2x2 formen un conjunto ortonormal sobre el intervalo ± 1 d x d 1. 6.4.27 Demostrar que si las funciones f(x), g(x), h(x) forman un conjunto ortogonal sobre un intervalo a d x d b, entonces las funciones f(Dt + E), g(Dt + E), h(Dt + E), D z 0, forman un conjunto ortogonal sobre el intervalo a E b E dt d . D D 6.4.28 Agregar a la matriz § 3 1 1 1 2 · ¨ ¸ ¨ 1 1 1 2 2 ¸ ¨ 1 2 1 3 1 ¸ © ¹ dos filas más, que sean ortogonales entre sí y ortogonales a las primeras tres filas. 6.4.19 Mediante el proceso de ortonormalización, hallar una base ortogonal del espacio engendrado por los vectores (1, 2, 1, 3), (4, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 0). JOE GARCIA ARCOS

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6.4.20 Considere la base canónica de ƒ3. Determine la matriz de cambio de base de S a S´, en donde S = {(2/3, 2/3, 1/3), (2/3, 1/3, -2/3), (1/3, 2/3, 2/3)} es una base ortonormal. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. ¿Cuál es la matriz de cambio de base de S´ a S? 6.4.21 Hallar un vector normalizado que sea ortogonal a los vectores (1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3). 6.4.22 Construir una base ortonormal del espacio, tomando como vectores de la base los vectores (1/2, 1/2, 1/2, 1/2) y (1/6, 1/6, 1/2, -5/6). 6.4.23 Considere la base canónica de ƒ2. Determine la matriz de cambio de base de S a S´, en donde S = {(½, ½, ½, ½), (½, ½, -½, -½), (½, -½, ½, -½), (½, -½, -½, ½)} es una base ortonormal. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. ¿Cuál es la matriz de cambio de base de S´ a S? 6.4.30 Mediante el proceso de ortogonalización, hallar una base ortogonal del espacio engendrado por los vectores (1, 2, 1, 3), (4, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 0).

6.5 SUB ESP A C I O C O MP L E M E N T O DIST A N C I A A UN SUB ESP A C I O

6.4.29 Sea S = {(1, -1, 1), (1, 2, -2)} una base de un subespacio de ƒ3 y sea u = (-1, -1, 3) un vector en el subespacio: a.- Exprese u como una combinación lineal de los vectores en S. Es decir, encuentre las coordenadas de u con respecto a S; b.- Aplique el proceso de ortonormalización de GramSchmidt para transformar S en un conjunto ortonormal; c.- Exprese u como una combinación lineal de los vectores de la base ortonormal. 6.4.24 Encuentre bases ortonormales para los subespacios de C 4: a.- S = {(x, y, z, u)  C 4 / ix ± y + z = 0}; b.- S = {(x, y, z, u)  C 4 / x = iu, y = iz + iu}. 6.4.31 Considere la base canónica de ƒ2. Determine la matriz de cambio de base de S a S´, en donde S = {(3/5, 4/5), (-4/5, 3/5)} es una base ortonormal. Verifique que se trata de una matriz ortogonal. ¿Cuál es la matriz de cambio de base de S´ a S?

O R T O G O N A L, PR O Y E C C I O N ES O R T O G O N A L ES Y

En esta sección se estudiarán varios problemas relacionados con el complemento ortogonal, proyecciones ortogonales y la distancia de un vector a un subespacio. Consideremos ahora un conjunto no vacío cualquiera S de vectores de un espacio vectorial V. El conjunto de todos los vectores del espacio V ortogonales a S se llama complemento ortogonal del conjunto S. D E F IN I C I O N 6.5.1 Sea V un espacio vectorial euclídeo y S es un subconjunto de V. El complemento ortogonal de S en V es definido y representado por el subespacio SA = {v  V / ¢v ˜ w² = 0, para cada w  S}. Si U es un subespacio de dimensión finita de V, la proyección ortogonal ProyU : V o V es la única operación lineal donde ProyU(w) = w para todo W  U, y ProyU(v) = ‡ para todo v  U A. T E O R E M A 6.5.1 Dado V un espacio vectorial euclídeo, entonces U A es un subespacio de V. D E M OST R A C I O N Si u y v pertenecen al complemento ortogonal U A y w es un vector cualquiera de U, se tiene ¢au + bv ˜ w² = a¢u ˜ w² + b¢v ˜ w² = 0. Por consiguiente, cualesquiera que sean a y b el vector au + bv está contenido en U A y U A es un subespacio vectorial. D E F IN I C I O N 6.5.2 La totalidad de todos los vectores ortogonales al subespacio U, se denomina complemento ortogonal del subespacio U y se representa por U A. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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301

Si U es un subespacio del espacio vectorial euclídeo V, su subespacio ortogonal U A es tal que la suma de U y U A es directa. El hecho de que en el espacio ordinario ocurra que U y U A sean siempre subespacios suplementarios puede hacer suponer que ocurra también así en todo espacio vectorial euclídeo; sin embargo, en general, las cosas no ocurren de esta manera, aun cuando, si el espacio es de dimensión finita, se satisfaga que el subespacio ortogonal de un subespacio dado sea un subespacio suplementario suyo. T E O R E M A 6.5.2 El espacio euclídeo V es la suma ortogonal de cualquier subespacio vectorial U de V y su complemento ortogonal U A, es decir V = U † U A. D E M OST R A C I O N Sea u1, u2, ..., uk una base ortonormal del subespacio U y sea uk+1, uk+2, ..., un una base ortonormal del subespacio U A. Para demostrar el teorema es suficiente ver que u1, u2, ..., uk, uk+1, uk+2, ..., un es una base del espacio vectorial V. Supongamos, por el contrario, que el sistema u1, u2, ..., un no es una base del espacio vectorial V. Entonces este sistema puede ser complementado hasta obtener una base ortonormal del espacio vectorial V. Sea u uno de los vectores complementarios. Puesto que u es ortogonal a todos los vectores u1, u2, ..., uk, el vector u está contenido en U A. Por consiguiente, U A contiene un sistema ortonormal y, por ende, linealmente independiente de vectores uk+1, uk+2, ..., un, u. Pero esto contradice a nuestra hipótesis de que uk+1, uk+2, ..., un es una base de U A. T E O R E M A 6.5.3 Si U es un subespacio de V, entonces DimU + DimU A = n. Además, si {u1, u2, ..., uk} es una base de U y {uk+1, uk+2, ..., un} es una base de U A, entonces {u1, u2, ..., uk, uk+1, uk+2, ..., un} es una base de V. D E M OST R A C I O N Si U = {‡}, entonces U A = V y DimU + DimU A = 0 + n = n. Para demostrar que {u1, u2, ..., uk, uk+1, uk+2, ..., un} es una base para U, basta probar que los n vectores son linealmente independientes. Supóngase que a1u1 + a2u2 + ... + akuk + ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ... + anun = ‡ Sean u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk y v = ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ... + anun Tenemos entonces que u + v = ‡, de donde u = - v. Por lo tanto, u y v son elementos de U ˆ U A. Pero U ˆ U A = {‡}. En consecuencia a1u1 + a2u2 + ... + akuk = ‡ y ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ... + anun = ‡ Como u1, u2, ..., uk son linealmente independientes, entonces a1 = a2 = ... = ak = 0. De manera similar uk+1, uk+2, ..., un son linealmente independientes y por tanto, ak+1 = ak+2 = ... = an = 0. En consecuencia, u1, u2, ..., uk, uk+1, uk+2, ..., un son linealmente independientes y, en consecuencia, forman una base para V. T E O R E M A 6.5.4 Supóngase que V es un espacio vectorial euclídeo y U es un subespacio de V de dimensión finita. Entonces la única proyección ortogonal es ProyU : V o V. Sea S = {w1, w2, ..., wk} una base ortonormal de U. La proyección ortogonal ProyU se establece como ProyU(v) = ¢v ˜ w1²w1 + ¢v ˜ w2²w2 + ... + ¢v ˜ wk²wk. D E M OST R A C I O N Como S ={w1, w2, ..., wk} es una base ortonormal de U, un vector v se puede expresar como v = a1w1 + a2w2 + ... + akwk. Para todo vector wi en S se tiene ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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¢v ˜ wi² = ¢a1w1 + a2w2 + ... + akwk ˜ wi² = a1¢w1 ˜ wi² + a2¢w2 ˜ wi² «+ ak¢wk ˜ wi² Como S es un conjunto ortonormal, entonces se cumple que ¢wi ˜ wi² = 1 y ¢wj ˜ wi² = 0 si i z j. Por consiguiente, la expresión anterior se reduce a ¢v ˜ wi² = ai, con lo cual queda demostrado el teorema. Sea U un plano que pasa por el origen de R 3, y sea u un punto arbitrario que no está en U. Entonces, si v indica la proyección perpendicular de u a U, la distancia de u a U se define como la longitud del vector u ± v, como se muestra en la figura. Más aún, el vector v se caracteriza por la propiedad de que es el vector único en U tal que u ± v es perpendicular a U. El vector v en la descomposición u = v + w se llamará proyección del vector u sobre el subespacio U; w, perpendicular trazada desde el vector u al subespacio U; el propio vector u, línea oblicua al subespacio U. D E F IN I C I O N 6.5.3 Se denomina ángulo entre el vector u y el subespacio U el menor de los ángulos formados por el vector u y los vectores de U. Ahora se hace ver que el vector w, que es llamado la componente de u perpendicular a U, puede usarse para medir la distancia de u a U. Para hacerlo, sea z z w cualquier vector en V tal que u ± w pertenezca a U (puede imaginarse a z como un vector de U al punto u). Entonces, ya que z ± w puede expresarse como la diferencia de dos vectores en U, también pertenece a U y, así, es ortogonal a w. Ahora se sigue, del teorema pitagórico, que || z ||2 = || w ||2 + || z ± w ||2 y, luego, ya que || z ± w || > 0, que || z || > || w ||. En otras palabras, de todos los vectores z en V tales que u ± z pertenezca a U, w es aquél cuya longitud es la menor. Esto sirve para justificar la siguiente definición. Si U es un subespacio de dimensión finita de un espacio euclídeo V, y u es cualquier vector en V, entonces la distancia de u a U es la longitud de la componente de u perpendicular a U. En términos de una definición se puede describir la proyección perpendicular u ± w de u sobre U como aquel punto en el cual U está más cercano a u, en el sentido de que si x es otro vector cualquiera en U, entonces || u ± x || es mayor que || w ||. EJ E M P L O 6.5.1 §2 1· Dada la matriz P ¨ ¸ . Hallar el conjunto de todas las matrices M tales que © 4 2¹ P M = M P y determine el complemento ortogonal. SO L U C I O N Para determinar el conjunto de matrices M para que cumpla PM = M P, debemos tomar una matriz M cuyos elementos sean variables y luego multiplicar por la izquierda y por la derecha de la igualdad a la matriz P, es decir ­4b  c 0 °ad 0 § 2 1 ·§ a b · § a b ·§ 2 1 · ­4b  c 0 ° Ÿ ® ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ Ÿ ® © 4 2 ¹© c d ¹ © c d ¹© 4 2 ¹ ¯ad 0 °ad 0 °¯4b  c 0

­ §a b· a d 0 ½ ­§ 0 1 · § 1 0 · ° ½ ° ° S ®¨ ¾ Ÿ Base S = ®¨ ¸ ¸, ¨ ¸¾ . c d 4 b  c 0 4 0 0 1 °© ¹ ¿ ¹ © ¹° ° ¯ ¿ ¯© Aplicando la definición de complemento ortogonal, obtenemos ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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§ a b · § 0 1· ¨ ¸˜¨ ¸ © c d ¹ © 4 0¹ § a b · §1 0· ¨ ¸ ˜¨ ¸ © c d ¹ ©0 1¹

SA

b  4c 0 Ÿ b = - 4 c ;

ad

0 Ÿ a = - d;

­ § a b · b 4c ½ ° ®¨ ¾. ’ ¸ ° ¯ © c d ¹ a d ¿

EJ E M P L O 6.5.2 Sea V un espacio vectorial con producto interior y sean U y W subespacios de V. Verifíquese lo siguiente: a.- Si U  W entonces W A  U A; b.- Span(U A) = U A; c.- U  (UA)A; d.- Si V es de dimensión finita, entonces U = (U A)A; e.- (U + W)A = U A ˆ W A; f.- U A + W A  (U ˆ W)A. SO L U C I O N a.- Suponga que U  W y que u  W A; entonces ¢u ˜ v² = 0 para todo v  W, luego para todo v  U; por lo tanto, u  U A. b.- Por el inciso a), sabemos que Span(U A)  U A. Veremos también que U  Span(U A). Si u es un elemento de Span(U), entonces u puede escribirse como combinación lineal de elementos de U, es decir u = a1u1 + a2u2 + ... + anun para algunos escalares a1, a2, ..., an y algunos vectores u1, u2, ..., un de U. Por tanto, si v  U A, tenemos que ¢u ˜ v² = a1¢u1 ˜ v² + a2¢u2 ˜ v² + ... + an¢un ˜ v² = 0 y v pertenece a Span(U A). c.- Si u  U y v  U A, entonces ¢u ˜ v² = 0. Luego, si u  U, u es ortogonal a todo elemento de U A; por lo tanto, u  (U A)A. Con esto hemos visto que U  (U A)A. d.- Basta tener en cuenta que U  (U A)A y que ambos subespacios tienen la misma dimensión. e.- Por el inciso a), al estar U y W contenidos en U + W, se tiene que (U + W)A  U A y (U + W)A  W A, y en consecuencia (U + W)A  U A ˆ W A. Además, si u  U A ˆ W A y v = v1 + v2  U + W con v1  U y v2  W, ¢u ˜ v² = ¢u ˜ v1² + ¢u ˜ v2² = 0, y u  (U + W)A. f.- Del inciso a) se deduce que U A  (U ˆ W)A y W A  (U ˆ W)A, luego, por la definición de subespacio suma, tenemos que U A + W A  (U ˆ W)A. ’ EJ E M P L O 6.5.3 Demuestre que Span(S) = SAA. SO L U C I O N Ya que SAA es un subespacio que contiene a S, Span(S)  SAA. Sabemos que S  Span(S), SA Š (Span(S))A, SAA  (Span(S))AA = Span(S). ’ EJ E M P L O 6.5.4 Determinar la proyección ortogonal del vector u = (1, 2, 3) sobre el subespacio generado por el plano a + 2b ± c = 0. SO L U C I O N Debemos encontrar la base ortonormal para el subespacio generado por a + 2b ± c = 0. Es decir c = a + 2b y (a, b, c) = (a, b, a + 2b) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 2). Por lo tanto {(1, 0, 1), (0, 1, 2)} forman una base para el subespacio. La base ortonormal la podemos encontrar utilizando el proceso de Gram ± Schmidt; ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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­ 1 1 ½ (1, 0,1), (1,1,1) ¾ ® 3 ¯ 2 ¿ Por lo tanto la proyección ortogonal es 1 1 1 Proy U v (1, 2, 3) ˜ (1, 0,1) (1, 0,1)  (1, 2, 3) ˜ (1,1,1) 2 2 3

1 3

(1,1,1)

4 4 § 2 4 10 · (1, 0,1)  (1,1,1) ¨ , , ¸. ’ 2 3 ©3 3 3 ¹

EJ E M P L O 6.5.5 Si V es el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales definidos en el intervalo [-1; 1], encuentre el subespacio complemento ortogonal: a.- W = {1, t, t2}; b.- W = {t + t2, t2 + t3}. SO L U C I O N a.- Tomamos un genérico de P2, a + bt + ct2, tales que cumpla con las siguientes condiciones: 1 2(3a  c ) ¢ a  bt  ct 2 ˜1² ³ ( a  bt  ct 2 )dt 0 Ÿ 3a + c = 0; 1 3 1 2b ¢ a  bt  ct 2 ˜ t ² ³ ( a  bt  ct 2 )t dt 0 Ÿ b = 0; 1 3 1 2(5a  3c ) ¢ a  bt  ct 2 ˜ t 2 ² ³ ( a  bt  ct 2 )t 2 dt 0 Ÿ 5a + 3c = 0. 1 15 Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneas, obtenemos que a = b = c = 0. Por lo tanto W A = {‡}. b.- Tomamos un genérico de P3, a + bt + ct2 + dt3, tales que cumpla con las siguientes condiciones: 1 2(5a  5b  3c  3d ) ¢ a  bt  ct 2  dt 3 ˜ t  t 2 ² ³ ( a  bt  ct 2  dt 3 )(t  t 2 )dt 0 1 15 5a + 5b + 3c + 3d = 0; ¢ a  bt  ct 2  dt 3 ˜ t 2  t 3 ²

1

³ 1 (a  bt  ct

2

 dt 3 )(t 2  t 3 )dt

2(35a  21b  21c  15d ) 105 35a + 21b + 21c + 15d = 0.

0

Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneas, obtenemos que a



3c 29d  , 5 35

10d . Por lo tanto el subespacio complemento ortogonal es: 7 3c 29d 10d ½ ­ W A ® a  bt  ct 2  dt 3  P3 / a   ,b  ¾. 5 35 7 ¿ ¯ La base de este subespacio se encuentra de la siguiente manera: § 3c 29d 10d · § 3 · § 29 10 · ( a , b, c, d ) ¨   , , c, d ¸ c ¨  , 0,1, 0 ¸  d ¨ ,  , 0,1¸ . 5 35 7 5 35 7 © ¹ © ¹ © ¹ Entonces la base es: {3  5t 2 , 29  50t  5t 3} . ’

b 

EJ E M P L O 6.5.6 ¿Dónde está la proyección del vector (1, 1, 1) sobre el plano S generado por los vectores (1, 0, 0) y (1, 1, 0)? SO L U C I O N Para encontrar la proyección del vector sobre el plano, tenemos que encontrar una base ortonormal del plano. Es decir: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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¢(1,1, 0) ˜ (1, 0, 0)² (1, 0, 0) (1,1, 0)  (1, 0, 0) (0,1, 0) . ¢(1, 0, 0) ˜ (1, 0, 0)² La base ortogonal es {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Normalizando cada uno de estos vectores obtenemos la base ortonormal, que es precisamente la base ortogonal. Procedemos a encontrar la proyección del vector sobre el plano S: ProySu = ¢(1, 1, 1) ˜ (1, 0, 0)²(1, 0, 0) + ¢(1, 1, 1) ˜ (0, 1, 0)²(0, 1, 0) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0). Con este resultado podemos darnos cuenta que, la proyección del vector (1, 1, 1) sobre el plano S, está ubicado en el plano XY. ’

v1 (1, 0, 0) ; v2

(1,1, 0) 

EJ E M P L O 6.5.7 Encontrar la proyección del vector (1, 2, 3, 4) sobre el subespacio de R 4 generado por los vectores (1, 0, 1, 0) y (1, -1, 1, -1). SO L U C I O N Para encontrar la proyección del vector sobre el subespacio, tenemos que encontrar una base ortonormal del subespacio. Es decir: v1 (1, 0,1, 0) ; ¢(1,  1,1,  1) ˜ (1, 0,1, 0)² v2 (1,  1,1,  1)  (1, 0,1, 0) ¢(1, 0,1, 0) ˜ (1, 0,1, 0)² (1,  1,1,  1)  (1, 0,1, 0) (0, 1, 0, 1) . La base ortogonal es {(1, 0, 1, 0), (0, -1, 0, -1)}. Normalizando cada uno de estos vectores obtenemos la base ortonormal: 1 ­ 1 ½ (1, 0,1, 0), (0,  1, 0,  1) ¾ . ® 2 ¯ 2 ¿ Procedemos a encontrar la proyección del vector sobre el plano S: 1 1 Proy W u (1, 2, 3, 4) ˜ (1, 0,1, 0) (1, 0,1, 0)  2 2  (1, 2, 3, 4) ˜

1

2 2(1, 0,1, 0)  3(0,  1, 0,  1) (2, 3, 2, 3) . ’

(0,  1, 0,  1)

1 2

(0,  1, 0,  1)

EJ E M P L O 6.5.8 Encontrar la proyección del vector (1, 2, 3) sobre el plano dado implícitamente por x + y + z = 0. SO L U C I O N Para encontrar la proyección del vector sobre el subespacio, tenemos que encontrar una base ortonormal del subespacio. Es decir: v1 (1,1, 0) ; ¢(1, 0,1) ˜ (1,1, 0)² 1 § 1 1 · (1,1, 0) (1, 0,1)  (1,1, 0) ¨  ,  ,1¸ ¢(1,1, 0) ˜ (1,1, 0)² 2 © 2 2 ¹ La base ortogonal es ­ § 1 1 ·½ ®(1,1, 0), ¨  ,  ,1¸ ¾ . © 2 2 ¹¿ ¯ Normalizando cada uno de estos vectores obtenemos la base ortonormal: ­ 1 1 ½ (1,1, 0), (1,  1, 2) ¾ . ® 2 6 ¯ ¿ Procedemos a encontrar la proyección del vector sobre el plano S:

v2

ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

(1, 0,1) 

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306

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

Proy W u

(1, 2, 3) ˜

1 2

(1,1, 0)

1 2

(1,1, 0)   (1, 2, 3) ˜

1 6

(1,  1, 2)

1 6

(1,  1, 2)

1 1 (1,1, 0)  (1,  1, 2) (1, 0,1) . ’ 2 2

EJ E M P L O 6.5.9 Para cada uno de los subespacios W de R 4, escriba el vector u dado como una suma de un vector de W y otro de W A: a.- W = {(a, b, c, d) / a = b}, u = (1, 3, 1, 1); b.- W = {(a, b, c, d) / a + b + c + d = 0}, u = (2, 1, 1, 0); c.- W = {(1, 3, 1, 1), (2, -1, 0, 1)}, u = (1, 3, 1, 0); d.- W = {(2, 1, -1, 0), (3, 1, 0, 1)}, u = (2, 1, 0, 1). SO L U C I O N a.- La base de W la encontramos de la siguiente manera: (a, b, c, d) = (b, b, c, d) = b(1, 1, 0, 0) + c(0, 0, 1, 0) + d(0, 0, 0, 1) {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Ortonormalizamos esta base, obtenemos: ­ 1 ½ (1,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1) ¾ . ® 2 ¯ ¿ Encontramos el vector v = ProyW u  W de la siguiente manera: 1 v ¢(1, 3,1,1) ˜ (1,1, 0, 0)²(1,1, 0, 0)  ¢(1, 3,1,1) ˜ (0, 0,1, 0)² (0, 0,1, 0)  2 ¢(1, 3,1,1) ˜ (0, 0, 0,1)² (0, 0, 0,1) 2(1,1, 0, 0)  (0, 0,1, 0)  (0, 0, 0,1) (2, 2,1,1) . Sabemos que w = u ± v  W A, de donde: w = (1, 3, 1, 1) ± (2, 2, 1, 1) = (-1, 1, 0, 0). De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W A. b.- La base de W la encontramos de la siguiente manera: (a, b, c, d) = (- b ± c ± d, b, c, d) = b(-1, 1, 0, 0) + c(-1, 0, 1, 0) + d(-1, 0, 0, 1) {(-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1)}. Ortonormalizamos esta base, obtenemos: ­ 1 1 1 ½ (1,1, 0, 0), (1,  1, 2, 0), ( 1,  1,  1, 3) ¾ . ® 6 2 3 ¯ 2 ¿ Encontramos el vector v = ProyW u  W de la siguiente manera: 1 1 v ¢(2,1,1, 0) ˜ (1,1, 0, 0)² (1,1, 0, 0)  ¢(2,1,1, 0) ˜ (1,  1, 2, 0)² (1,  1, 2, 0)  2 6 1  ¢(2,1,1, 0) ˜ (1,  1,  1, 3)² (1,  1,  1, 3) 12 1 1 1  (1,1, 0, 0)  (1,  1, 2, 0)  (1,  1,  1, 3) (1, 0, 0,  1) . 2 6 3 Sabemos que w = u ± v  W A, de donde: w (2,1,1, 0)  (1, 0, 0, 1) (1,1,1,1) . De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W A. c.- Sabemos que W es base. Por lo tanto tenemos que encontrar la base ortonormal: ­ 1 1 ½ (1, 3,1,1), (2,  1, 0,1) ¾ . ® 6 ¯2 3 ¿ Encontramos el vector v = ProyW u  W de la siguiente manera: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

307

1 1 ¢(1, 3,1, 0) ˜ (1, 3,1,1)² (1, 3,1,1)  ¢(1, 3,1, 0) ˜ (2,  1, 0,1)² (2,  1, 0,1) 12 6 11 1 7 35 11 3 · § (1, 3,1,1)  (2,  1, 0,1) ¨ , , , ¸ 12 6 © 12 12 12 4 ¹ Sabemos que w = u ± v  W A, de donde: 3· § 7 35 11 3 · § 5 1 1 w (1, 3,1, 0)  ¨ , , , ¸ ¨ , , ,  ¸ . 12 12 12 4 12 12 12 4¹ © ¹ © De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W A. d.- Sabemos que W es base. Por lo tanto tenemos que encontrar la base ortonormal: ­ 1 1 ½ (2,1,  1, 0), (4,  1, 7, 6) ¾ . ® 102 ¯ 6 ¿ Encontramos el vector v = ProyW u  W de la siguiente manera: 1 1 v ¢(2,1, 0,1) ˜ (2,1,  1, 0)² (2,1,  1, 0)  ¢(2,1, 0,1) ˜ (4,  1, 7, 6)² (4,  1, 7, 6) 6 102 5 13 § 37 12 1 13 · (2,1,  1, 0)  (4,  1, 7, 6) ¨ , , , ¸ 6 102 © 17 17 17 17 ¹ Sabemos que w = u ± v  W A, de donde: 1 4· § 37 12 1 13 · § 3 5 w (2,1, 0,1)  ¨ , , , ¸ ¨  , ,  , ¸ . © 17 17 17 17 ¹ © 17 17 17 17 ¹ De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W A. ’

v

EJ E M P L O 6.5.10 Sea W el espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales ­ 2 a  b  c  3d 0 ° ®4 a  4b  4c  8d 0 ° 3a  3b  3c  6d 0 ¯

Escriba el vector (7, -4, -1, 2) como una suma de un vector en W y otro en W A. SO L U C I O N La base de este subespacio es: {(0, -1, 1, 0), (-5, 7, 0, 1)} Ortonormalizando esta base, obtenemos: ­ 1 1 ½ (0,  1,1, 0), (10, 7, 7, 2) ¾ . ® 202 ¯ 2 ¿ Encontramos el vector v = ProyW u  W de la siguiente manera: 1 v ¢(7,  4,  1, 2) ˜ (0,  1,1, 0)² (0,  1,1, 0)  2 1  ¢(7,  4,  1, 2) ˜ (10, 7, 7, 2)²(10, 7, 7, 2) 202 3 1 (0,  1,1, 0)  (10, 7, 7, 2) (5,  5,  2,  1) . 2 2 Sabemos que w = u ± v  W A, de donde: w = (7, -4, -1, 2) ± (5, -5, -2, -1) = (2, 1, 1, 3). De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de W A. ’ EJ E M P L O 6.5.11 Encuentre la proyección ortogonal de cada uno de los vectores siguientes en [-S; S] sobre el subespacio indicado W, y calcular la distancia del vector al subespacio y el ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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308

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

ángulo formado por el vector y el subespacio: a.- f(t) = t, W = {1, Cost, Sent}; b.- f(t) = Cos2t, W = {1, Cos2t}. SO L U C I O N a.- Para encontrar la proyección ortogonal del vector sobre el subespacio W, debemos ortonormalizar la base del subespacio W: ¢1˜ Cost ²

S

³S Cost dt

0 ; ¢1˜ Sent ²

S

³S Sent dt

S

³S CostSent dt

¢ Cost ˜ Sent ²

0;

0.

La base ortogonal es:

{1, Cost, Sent}. Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal: ¢1˜1²

1

Sent

S

³S dt

2S ;

Cost

S

2

La proyección ortogonal es: 1 S 1 S 1 Proy W f (t ) t dt ˜1  ³ tCost dt ˜ Cost  ³ S S 2S S S 1  2Sent . La distancia del vector al subespacio es:





f (t )  Proy W f (t )

2

S;

­ 1 1 1 ½ S; ® , Cost , Sent ¾ . S ¯ 2S S ¿

³S Sen t dt

¢ Sent ˜ Sent ²

S

³S Cos t dt

¢ Cost ˜ Cost ²





³

S

S



tSent dt ˜ Sent

S

³S (t  1  2Sent )

¢t  1  2Sent ˜ t  1  2Sent ²

2

dt

2S(S2  3) . 3 El ángulo formado por el vector y el subespacio es: ¢t ˜1  2Sent ² ‘( f (t ), Proy W f (t )) ArcCos t 1  2Sent S

³S t (1  2Sent ) dt

ArcCos

S

³S t

2

S

³S (1  2Sent )

dt

2

2 ArcCos . S

dt

b.- Para encontrar la proyección ortogonal del vector sobre el subespacio W, debemos ortonormalizar la base del subespacio W: ¢1˜ Cos 2t ²

S

³S Cos2t dt

0.

La base ortogonal es:

{1, Cos2t}. Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal: 1

Cos 2t

S

³S dt

¢1˜1²

¢ Cos 2t ˜ Cos 2t ²

2S ; S

³S Cos

2

2t dt

S;

­ 1 1 ½ , Cos 2t ¾ . ® 2 S S ¯ ¿

La proyección ortogonal es: 1 S 1 Proy W f (t ) Cos 2 t dt ˜1  2S ³S S 1 1  Cos 2t Cos 2 t . 2 2 La distancia del vector al subespacio es:



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³

S

S



Cos 2 tCos 2t dt ˜ Cos 2t

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309

f (t )  Proy W f (t )

S

³S 0 dt

¢ Cos 2 t  Cos 2 t ˜ Cos 2 t  Cos 2 t ²

0.

El ángulo formado por el vector y el subespacio es: ¢ Cos 2 t ˜ Cos 2 t ² ‘( f (t ), Proy W f (t )) ArcCos Cos 2 t Cos 2 t S

ArcCos

³S Cos S

³S Cos

4

t dt

4

t dt S

³S Cos

0. ’ 4

t dt

PR O B L E M AS 6.5.1 Sea W la recta en R 2 cuya ecuación es y = 3x. Encontrar una ecuación para W A. vértices son: a.- A = (1, 4, 2), B = (3, -1, 2), C = (0, 6, 1); b.- A = (0, 2, 1), B = (-1, 3, -2), C = (1, -3, -2). 6.5.2 Sea W el plano en R 3 cuya ecuación es 2x ± y ± 2z =0. Encuentre las ecuaciones paramétricas para W A. 6.5.3 El subespacio U es la suma ortogonal de los subespacios U 1 y U 2. El vector u es ortogonal al subespacio U 1. Demuestre que el ángulo formado por u y U es igual al ángulo comprendido entre u y U 2. 3

6.5.4 Sea W la recta en R con ecuaciones paramétricas x = 2t, y = -5t, z = 4t, -f < t < +f. Determine una ecuación para W A. 6.5.5 Sea {u1, u2« uk} una base para un subespacio W de V. Demuestre que W A consta de todos los vectores en V que son ortogonales a todos los vectores básicos. 6.5.6 En cada uno de los incisos siguientes, encuentre el vector u, proyección del vector y sobre el vector x. Verifique en cada caso que el vector obtenido es ortogonal a y ± u: a.- x = (3, -2, 1), y = ( 1, -1, 2); b.- x = (4, -5 7), y = (2, -2, 1); c.- x = (1, 1, 3), y = (4 ,1, 2). 6.5.7 Hallar el ángulo entre los vectores del espacio R 4, engendrado por los vectores u1, u2«um y el vector u: a.- u = (1, 3, -1, 3), u1 = (1, -1, 1, 1), u2 = (5, 1, -3, 3); b.- u = (2, 2, -1, 1), u1 = (1, -1, 1, 1), u2 = (-1, 2, 3, 1), u3 = (1, 0, 5, 3). 6.5.8 En el espacio R 4 se dan dos planos, engendrados por los vectores u1, u2 y v1, v2. Entre los ángulos formados por los vectores del primer plano con los vectores del segundo plano, hallar el mínimo: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

a.- u1 = (1, 0, 0, 0), u2 = (0, 1, 0, 0), v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (2, -2, 5, 2); b.- u1 = (1, 0, 0, 0), u2 = (0, 1, 0, 0), v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, -1, 1, -1). 6.5.9 Use el concepto de proyección de un vector sobre otro para calcular el área del triángulo cuyos § 5 3 · d.- u ¨ ¸, ©2 4 ¹ ­ °§ 2 1· § 4 3 · § 1 0 · ½ ° S ®¨ ¸, ¨ ¸, ¨ ¸¾ ; 3 5  5  7 7 11 °© ° ¹ © ¹ © ¹¿ ¯ §8 7· e.- u ¨ ¸, © 4 5¹

­ °§ 3 2 · § 2 3 · § 1 1· ½ ° S ®¨ ¸, ¨ ¸, ¨ ¸¾ ; 1 4 2  3  1 7 °© ¹ © ¹ © ¹° ¯ ¿ 2  3 § · f.- u ¨ ¸, 4 5 © ¹ ­ °§ 1 2 · § 3 4 · § 4 5 · ½ ° S ®¨ ¸, ¨ ¸, ¨ ¸¾ ; 7  8 1  2 6  7 °© ¹ © ¹ © ¹° ¯ ¿

g.- p(t ) 2t 2  3t  1 , S

^4t

2

`

 3t  1, 5t 2  11t  3 ;

h.- u = (-3, 0, -5, 9), ­ 3x  2 y  z  2u 0 ° S ®5 x  4 y  3z  2u 0 . ° x  2 y  3z  10u 0 ¯ 6.1510 Sea v el vector de R 3 cuyo punto inicial está en (1, -1, 5) y cuyo punto final está en (5, 4, -3). Encuentre la proyección del vector (2, 2, 1) sobre v. 6.5.11 Descomponer el vector u en una suma de dos vectores, uno de los cuales esté situado en el espacio engendrado por los vectores u1, u2 « um y el otro sea ortogonal a este espacio a.- u = (5,2, -2, 2), u1 = (2, 1, 1, -1), u2 = (1, 1, 3, 0); JOE GARCIA ARCOS

310

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

b.- u = (-3, 5, 9, 3), u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (2, -1, 1, 1), u3 = (2, -7, -1, -1). 6.5.12 Hallar la proyección ortogonal del vector u sobre el subespacio generado por el conjunto S: a.- u = (14, -3, -6, -7), S = {(-3, 0, 7, 6), (1, 4, 3, 2), (2, 2, -2, -2)}; b.- u = (2, -5, 3, 4), S = {(1, 3, 3, 5), (1, 3, -5, -3), (1, -5, 3, -3)}; c.- u = (2, -1, 1, 2), S = {(6, -3, 2, 4), (6, -3, 4, 8), (4, -2, 1, 1)}; 6.5.13 Sea V el espacio vectorial de todas las funciones polinómicas definidas sobre el intervalo [-1; 1] y sea W el subespacio de V que consta de todas las funciones polinómicas impares. Encuentre W A, donde ¢ p ˜ q²

1

³ 1 p( x)q( x)dx .

6.5.15 En el espacio Pn de polinomios de grado d n con coeficientes reales, el producto interior de polinomios se determina por la fórmula ¢ p ˜ q² a0b0  a1b1  ...  anbn . Hallar el complemento ortogonal: a.Del subespacio de todos los polinomios que satisfacen la condición p(1) = 0; b.- Del subespacio de todos los polinomios pares del espacio Pn. 6.5.16 La suma directa de los subespacios U y U engendra el espacio euclídeo V. Demostrar que esto es también correcto para sus complementos ortogonales, es decir, V = U1A + U 2A . 6.5.17 Encuentre la base del complemento ortogonal del subespacio generado por el sistema de vectores del espacio R 4: {(1, 3, 0, 2), (3, 7, -1, 2), (2, 4, -1, 0)}

6.5.14 Demuestre que la suma de ángulos que un vector u forma con un subespacio arbitrario U y su complemento ortogonal U A es igual a S/2.

6.6 C U EST I O N A RI O Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas, indicar por que lo es: 6.6.1 Un conjunto ortonormal de vectores es linealmente dependiente. 6.6.2 Una matriz cuadrada de orden n es unitaria si y sólo si sus filas constituyen un conjunto ortonormal. 6.6.3 El espacio euclídeo V es la suma directa de cualquier subespacio suyo y del complemento ortogonal de éste. 6.6.4 Sean U y W subespacios vectoriales de un espacio euclídeo V con la particularidad de que la dimensión de U es inferior a la de W; entonces en W habrá un vector no nulo, ortogonal a todos los vectores de U. 6.6.5 Cualquier sistema de vectores no nulos ortogonales de dos en dos es linealmente dependiente. 6.6.6 Sea U A complemento ortogonal del subespacio U cada uno de los cuales es ortogonal a todos los vectores de U, entonces la suma de las dimensiones de U y U A es igual a la dimensión del espacio vectorial que los genera. 6.6.7 Para que dos subespacios U y W sean recíprocamente ortogonales es necesario y suficiente que todos los vectores de uno sean ortogonales a todos los vectores del otro. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

6.6.8 El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos otros lados con el producto duplicado de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos. 6.6.9 Entre todos los vectores del subespacio vectorial U el ángulo mínimo con el vector u dado lo forma la proyección ortogonal v del vector u sobre U. 6.6.10 El coseno del ángulo entre vectores, es superior por su valor absoluto a la unidad. 6.6.11 El cuadrado de la diagonal de un paralelogramo ndimensional es igual a suma de los cuadrados de sus aristas que salen de un mismo vértice. 6.6.12 Si V es un espacio unitario y si S es un conjunto de vectores diferentes de cero y perpendiculares entre sí, entonces el conjunto S el linealmente dependiente. 6.6.13 La representación del subespacio vectorial U del espacio V y de su complemento ortogonal U A en una base ortonormal están relacionadas de la siguiente manera: los coeficientes del sistema linealmente independiente de ecuaciones lineales, que determina uno de esos subespacios, sirven de coordenadas de los vectores de la base del otro subespacio. JOE GARCIA ARCOS

ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

6.6.14 La suma de los cuadrados de las diagonales del paralelogramo s igual a la suma de los cuadrados de sus lados. 6.6.15 La intersección de dos subespacios recíprocamente ortogonales es el vector nulo. 6.6.16 Todo vector de V que es ortonormal a U pertenece a W.

311

6.6.18 Los vectores no nulos ortonormales dos a dos son linealmente dependientes. 6.6.19 En todo espacio euclídeo V existen bases ortonormales. 6.6.20 Si U es un subespacio de V y S es una base ortonormal de U, los vectores de S pueden ser incluidos en una base ortonormal de todo el espacio.

6.6.17 Dos vectores se dice son ortogonales si el producto interior de estos vectores es igual a la unidad.

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O BJE T I V O Resolver problemas relacionados con transformaciones lineales, mediante la interpretación y representación en términos de matrices, determinantes, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en situaciones reales, propias de la ingeniería.

C O N T E NI D O : 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

DEFINICIONES Y PROPIEDADES REPRESENTACION MATRICIAL. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSIBLES TRANSFORMACIONES GRAFICAS EN R2 TRANSFORMACIONES GRAFICAS EN R3 FORMAS LINEALES. ESPACIO DUAL CUESTIONARIO

7.1 D E F I NI C I O N ES Y PR OPI E D A D ES En esta sección se definirán y estudiarán transformaciones lineales de un espacio vectorial U a un espacio vectorial V. Analizaremos y demostraremos sus propiedades más importantes. La atención se centrará en una clase especial de tales funciones denominadas transformaciones lineales. Las transformaciones lineales son fundamentales en el estudio del álgebra lineal y tienen muchas aplicaciones importantes.  

En este capítulo, estudiaremos un tipo especial de función definida en un espacio vectorial U y que toma los valores que son vectores en el mismo o en otro espacio vectorial V, las cuales no alteran a las combinaciones lineales. Esta función se llama transformación lineal. Estas transformaciones se pueden representar por medio de matrices, en el mismo sentido que los vectores se representan por medio de n-adas. Esta representación requiere que se definan las operaciones de adición, multiplicación por escalares y multiplicación de matrices, de modo que correspondan a estas operaciones con las transformaciones lineales. La matriz que representa a una transformación lineal de U hacia V, depende de la elección de una base en U y una base en V. Nuestro primer problema, que se repite siempre que se usan matrices para representar cualquier cosa, es ver en qué forma un cambio en la elección de las bases determina un cambio correspondiente en la matriz que representa a la transformación lineal. Dos matrices que representan la misma transformación lineal con respecto a conjuntos diferentes de bases, deben tener algunas propiedades en común. Esto conduce a la idea de relaciones de equivalencia entre dos matrices. La naturaleza exacta de esta relación de equivalencia depende de

314

TRANSFORMACIONES LINEALES

las bases que se permitan. En este capítulo no se imponen restricciones sobre las bases que se permiten y obtenemos la clase de equivalencia más amplia. D E F IN I C I O N 7.1.1 Sean U y V dos espacios vectoriales, ambos definidos sobre el mismo cuerpo K . Una transformación lineal f de U hacia V es una aplicación uniforme de U en V que asocia a cada elemento u de U, un elemento único f(u) de V de tal forma que se cumplen los axiomas siguientes: 1.- Para todo u, v de U, entonces: f(u + v) = f(u) + f(v); 2.- Para todo u de U y para todo escalar O, entonces: f(Ou) = Of(u). Observe que en esta identidad, la adición y la multiplicación escalar del primer miembro, tienen lugar en U, mientras que las del segundo miembro tienen lugar en V. A f(u) se le da el nombre de imagen de u bajo la transformación lineal f. Además vemos que, para tener una transformación lineal, f(u + v) = f(u) + f(v) y f(Ou) = Of(u). Hablando en términos generales, la imagen de la suma es la suma de las imágenes y la imagen del producto es el producto de las imágenes. Este lenguaje descriptivo se tiene que interpretar con cierta amplitud, ya que las operaciones antes y después de aplicar la transformación lineal pueden llevarse a cabo en espacios vectoriales diferentes.

EJ E M P L O 7.1.1 Determinar cuál de las siguientes funciones f : R 3 o R 3, define una transformación lineal: a.- f((a, b, c)) = (a + 2b ± 3c, 3a - b + 5c, a ± b ± c); b.- f((a, b, c)) = (a + b + c, a + b + c, a + b + c); c.- f((a, b, c)) = (2a - 2b + 3c, a ± b + c, 3a - 5b + 3c); d.- f((a, b, c)) = (3a - 5b, 2a - 2b, a + b2). SO L U C I O N Sean u = (m, n, p) y v = (r, s, t) dos vectores del espacio de salida R 3 y sean D, E escalares, entonces: Du + Ev = (Dm + E r, Dn + Es, Dp + Et). a.- f(Du + Ev) = (Dm + E r + 2Dn + 2Es - 3Dp - 3E t, 3Dm + 3E r - Dn - Es + 5Dp + + 5E t, Dm + E r ± Dn - Es - Dp - E t) = (Dm + 2Dn - 3Dp, 3Dm - Dn + 5Dp, Dm - Dn - Dp) + (E r + 2Es - 3E t, 3E r - Es + 5E t, E r - Es - E t) = D(m + 2n - 3p, 3m - n + 5p, m - n - p) + E( r + 2s - 3t, 3 r - s + 5t, r - s - t) = Df(u) + E f(v). Por lo tanto f es transformación lineal. b.- f(Du + Ev) = (Dm + E r + Dn + Es + Dp + E t, Dm + E r + Dn + E s + Dp + E t, Dm + E r + Dn + Es + Dp + E t) ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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TRANSFORMACIONES LINEALES

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= (Dm + Dn + Dp, Dm + Dn + Dp, Dm + Dn + Dp) + (E r + Es + E t, E r + Es + E t, E r + E s + E t) = D(m + n + p, m + n + p, m + n + p) + E( r + s + t, r + s + t, r + s + t) = Df(u) + E f(v). Por lo tanto f es transformación lineal. c.- f(Du + Ev) = (2Dm + 2E r - 2Dn - 2Es + 3Dp + 3E t, Dm + E r - Dn - Es + Dp + E t, 3Dm + 3E r ± 5Dn - 5E s + 3Dp + 3E t) = (2Dm - 2Dn + 3Dp, Dm - Dn + Dp, 3Dm - 5Dn + 3Dp) + (2E r - 2Es + 3E t, E r - Es + E t, 3E r - 5Es + 3E t) = D(2m - 2n + 3p, m - n + p, 3m - 5n + 3p) + E(2 r - 2s + 3t, r - s + t, 3 r - 5s + 3t) = Df(u) + E f(v). Por lo tanto f es transformación lineal. d.- f(Du + Ev) = (3Dm + 3E r - 5Dn - 5Es, 2Dm + 2E r - 2Dn - 2Es, Dm + E r + (Dn + Es)2) = (3Dm + 3E r - 5Dn - 5Es, 2Dm + 2E r - 2Dn - 2Es, Dm + E r + D2n2 + 2DEns 2 2 +E s ) = (3Dm - 5Dn, 2Dm - 2Dn, Dm + D2n2 + 2DEns) + (3E r - 5Es, 2E r - 2Es, E r 2 2 +E s ) z Df(u) + E f(v). Por lo tanto f no es transformación lineal. ’ E J E M P L O 7.1.2 Determinar cuál de las siguientes funciones f : P 2 o P 2 define una transformación lineal: a.- f(p(x)) = p(x) ± p(0); b.- f(p(x)) = p(x - 1) ± p(1); c.- f(p(x)) = p(1 + x) ± 2. SO L U C I O N Sean q(x) = d + ex + fx2 y h(x) = m + nx + kx2 dos polinomios del espacio de salida P 2 y sean D, E escalares, entonces: Dq(x) + Eh(x) = (Dd + Em) + (De + En)x + (Df + E k)x2. a.- Como p(x) = a + bx + cx2 y p(0) = a , obtenemos p(x) - p(0) = bx + cx2, entonces f( a + bx + cx2) = bx + cx2. Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos: f(Dq(x) + Eh(x)) = (De + En)x + (Df + E k)x2 = (Dex + Dfx2) + (Enx + E kx2) = D(ex + fx2) + E(nx + kx2) = Df(q(x)) + Eh(x)). Por lo tanto f es transformación lineal. b.- Como p(x - 1) = (a ± b + c) + (b ± 2c)x + cx2 y p(1) = a + b + c , obtenemos p(x - 1) - p(1) = -2b + (b ± 2c)x + cx2 entonces f( a + bx + cx2) = -2b + (b ± 2c)x + cx2. Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos: f(Dq(x) + Eh(x)) = -2(De + En) + (De + En - 2Df - 2E k)x + (Df + E k)x2 = {-2De + (De - 2Df )x + Dfx2} + {-2En + (En - 2E k)x + E kx2} = D{-2e + (e - 2f )x + fx2} + E{-2n + (n - 2k)x + kx2} = Df(q(x)) + Eh(x)). Por lo tanto f es transformación lineal. c.- Como p(1 + x) = (a + b + c ) + (b + 2c)x + cx2, obtenemos p(x + 1) - 2 = ( a + b + c ± 2) + (b + 2c)x + cx2, entonces f( a + bx + cx2) = ( a + b + c ± 2) + (b + 2c)x + cx2. Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos: f(Dq(x) + Eh(x)) = (Dd + Em + De + En + Df + E k ± 2) + (De + En + 2Df + 2E k)x + ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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+ (Df + E k)x2 = {(Dd + De + Df - 2) + (De + 2Df)x + Dfx } + {(Em + En + E k) + (En + 2E k)x + E kx2} 2 = {(Dd + De + Df - 2) + (De + 2Df)x + Dfx } + E{(m + n + k) + (n + 2k)x + kx2} z Df(q(x)) + Eh(x)). Por lo tanto f no es transformación lineal. ’ 2

La observación acerca de la multiplicación escalar es inexacta, ya que no aplicamos la transformación lineal a escalares; la transformación lineal se define únicamente para vectores en U. Aún así, la transformación lineal conserva las operaciones estructurales en un espacio vectorial y ésta es la razón de su importancia. Al conjunto U sobre el cual está definida la transformación lineal f se le conoce como dominio de f. Decimos que V, el conjunto en el cual están definidas las imágenes de f, es el codominio de f. Hablando estrictamente, una transformación lineal debe especificar el dominio y el codominio así como la aplicación. Consideremos ahora las transformaciones lineales desde el punto de vista geométrico, tomando en cuenta situaciones en el espacio euclidiano tridimensional, para obtener una interpretación intuitiva de lo que significa una transformación lineal. Una consecuencia de la definición es que una transformación lineal siempre aplica el vector cero de U en el vector cero de V; es decir, f(‡) = ‡. Esta afirmación puede ser establecida haciendo a = 0 en f(au) = af(u). Si f es una transformación lineal, entonces f(au) = af(u), afirma que f aplica au sobre un vector f(au), cuya relación con f(u) en términos de magnitud y dirección es la misma relación de au con u. Como u y au son vectores paralelos, tenemos que f aplica vectores paralelos en vectores paralelos. La ecuación f(u + v) = f(u) + f(v) con u, v  R 2 afirma que f aplica un paralelogramo junto con sus diagonales sobre un paralelogramo junto con sus diagonales. El enfoque geométrico es útil para entender cómo es que una transformación lineal actúa.

La aplicación que envía cada vector en U sobre el vector cero en V es claramente una transformación lineal de U en V para todos los U y V. Esta transformación, se denomina transformación cero, y se indica por el símbolo ‡. La aplicación que envía cada vector en U sobre sí mismo, se denomina transformación idéntica, y se indica por el símbolo i. La ecuación que define a i es i(u) = u, para cualesquier u de U. EJ E M P L O 7.1.3 Demuestre que la transformación identidad f : V o V es una transformación lineal. SO L U C I O N Sea f : V o V definida por f(v) = v. Entonces ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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f(u + v) = u + v = f(u) + f(v) y f(Du) = Du = Df(u) lo cual implica que f es una transformación lineal. ’ La transformación lineal f(u) = Ou se conoce como dilatación de u con factor O si O > 1, y como contracción de u con factor O si 0 < O < 1. Geométricamente, la dilatación estira a cada vector de u por un factor O, y la contracción de u comprime a cada vector de u por un factor O.

EJ E M P L O 7.1.4 Sea la transformación f : R 2 o R2 definida por: a.- f((a, b)) = (a, 5a + b); b.- f((a, b)) = (a + 5b, b). Verificar que f es lineal y dar su interpretación geométrica. SO L U C I O N a.- Para la verificación, debemos utilizar la definición de transformación lineal. Es decir (ku + rv) = f(k(a, b) + r(c, d)) = f((ka + rc, kb + rd)) = (ka + rc, 5ka + 5rc + kb + rd) = (ka, 5ka + kb) + (rc, 5rc + rd) = k(a, 5a + b) + r(c, 5c + d) = kf(u) + rf(v). Obsérvese que, en esta transformación particular, la coordenada u permanece fija mientras que a la coordenada v se le suma cinco veces la coordenada u. La figura muestra lo que pasa con el vector (1, 2). El extremo o terminación del vector f((1, 2)) se encuentra sobre la recta que pasa por el extremo del vector (1, 2) y es paralela al eje v. Dicha transformación se denomina transformación lineal cizallante en la dirección v con factor 5. b.- Para la verificación, debemos utilizar la definición de transformación lineal. Es decir f(ku + rv) = f(k(a, b) + r(c, d)) = f((ka + rc, kb + rd)) = (ka + rc + 5kb + 5rd, kb + rd) = (ka + 5kb, kb) + (rc + 5rd, rd) = k(a + 5b, b) + r(c + 5d, d) = kf(u) + rf(v). Podemos observar que, en esta transformación, la coordenada v permanece fija mientras que a la coordenada u se le suma cinco veces la coordenada v. La figura muestra lo que pasa con el vector (1, 2). El extremo o terminación del vector f((1, 2)) se encuentra sobre la recta que pasa por el extremo del vector (1, 2) y es paralela al eje u. Dicha transformación se denomina transformación lineal cizallante en la dirección u con factor 5. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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D E F I N I C I O N 7.1.2 Dos transformaciones lineales f : U o V y g : U o V son iguales, si ellas son iguales como transformaciones, esto es, f = g si y solamente si f(u) = g(u), para todo u de U. T E O R E M A 7.1.1 Sea f una transformación lineal de U en V. Sean u1, u2, ..., un elementos de U y a1, a2, ..., an escalares. Entonces: f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un). D E M OST R A C I O N Utilizando la definición de transformación lineal, obtenemos f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = f(a1u1) + f(a2u2 + ... + anun) = f(a1u1) + f(a2u2) + f(a3u3 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un). T E O R E M A 7.1.2 Si ‡ es el elemento neutro del espacio vectorial U, f(‡) es el elemento neutro de V. D E M OST R A C I O N Como f(u + ‡) = f(u) + f(‡) = f(u). Por lo tanto, f(‡) es el elemento neutro de V. T E O R E M A 7.1.3 Si - u es el elemento opuesto de u, entonces se verifica que f(-u) = - f(u). D E M OST R A C I O N Como f(u + (-u)) = f(u) + f(-u) = f(u) ± f(u) = f(‡). Por lo tanto, f(-u) = - f(u); es decir, la imagen del opuesto de un vector es el opuesto de la imagen del vector. T E O R E M A 7.1.4 Sean U y V espacios vectoriales. Sea S = {u1, u2, ..., uk} una base cualquiera de U y sea S´ = {v1, v2, ..., vk} un conjunto cualquiera de k vectores en V, no necesariamente linealmente independientes. Entonces existe una transformación lineal determinada en forma única por f : U o V tal que f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(uk) = vk. D E M OST R A C I O N Demostremos primero que la transformación lineal f : U o V está completamente determinada cuando se conocen los valores de f(u1), f(u2), ..., f(uk). Para esta demostración, supóngase que g : U o V también es una transformación lineal y que f(u1) = g(u1), f(u2) = g(u2), ..., f(uk) = g(uk). Deseamos demostrar que f = g. Para ello, debemos demostrar que f(u) = g(u) para todo u en U. Por tanto, sea u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk un vector arbitrario de U, donde a i  K . Si aplicamos f a cada miembro y ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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utilizamos f(ui) = g(ui) para todo i  N, obtenemos f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + a kuk) = f(a1u1) + f(a2u2 + ... + a kuk) = f(a1u1) + f(a2u2) + f(a3u3 + ... + a kuk) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + a kf(uk) = a1g(u1) + a2g(u2) + ... + akg(uk) = g(a1u1 + a2u2 + ... + a kuk) = g(u). En consecuencia, f(u) = g(u) para todo u en U. Por tanto, f = g. Hemos demostrado así que los vi son vectores dados de V, hay a lo más una transformación lineal f : U o V tal que f(ui) = vi. Demostraremos ahora que siempre hay una transformación lineal f : U o V con f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(uk) = vk. Para demostrar la existencia de f, presentamos primero una función f : U o V. Más adelante demostraremos que nuestra f es una transformación lineal. A continuación se dará una definición de f : U o V. Sea u un vector arbitrario de U, entonces u puede expresarse en función de la base S, como u = a1u1 + a2u2 + ... + a kuk, los escalares a i  K se determinan en forma única por u. Definimos una función f : U o V especificando que f(u) = a1v1 + a2v2 + ... + a kvk. Esta función f : U o V queda ahora definida completamente puesto que todos los valores f(u), u  U, se han determinado. Para demostrar que f es una transformación lineal, sea v = b1u1 + b2u2 + ... + bkuk, otro vector de U. Sean a y b escalares arbitrarios. Deseamos demostrar que f(au + bv) = af(u) + bf(v). De v = b1u1 + b2u2 + ... + bkuk y nuestra definición de f, tenemos f(v) = b1v1 + b2v2 + ... + bkvk. Multiplicando cada miembro de u por a y cada miembro de v por b, y sumando luego, obtenemos au + bv = a(a1u1 + a2u2 + ... + akuk) + b(b1u1 + b2u2 + ... + bkuk) = (aa1 + bb1)u1 + (aa2 + bb2)u2 + ... + (aa k + bbk)uk. Por la definición de f, vemos que f(au + bv) = (aa1 + bb1)f(u1) + (aa2 + bb2)f(u2) + ... + (aa k + bbk)f(uk) = aa1v1 + aa2v2 + ... + aa kvk + bb1v1 + bb2v2 + ... + bbkvk = a(a1v1 + a2v2 + ... + a kvk) + b(b1v1 + b2v2 + ... + bkvk) = af(u) + bf(v). Por lo tanto f(au + bv) = af(u) + bf(v). En consecuencia, la función f : U o V es una transformación lineal. Es fácil observar, por f(u) = a1v1 + a2v2 + ... + a kvk, que f(ui) = vi. EJ E M P L O 7.1.5 Sea f una transformación lineal de R 3 en R 3, suponga que f((1, 0, 1)) = (1, -1, 3), f((2, 1, 0)) = (0, 2, 1), f((1, -1, 1)) = (3, -1 2) Determine f((-1, -2, 3)). SO L U C I O N Hacemos la combinación lineal con el vector (-1, -2, 3): (-1, -2, 3) = a(1, 0, 1) + b(2, 1, 0) resolvemos el sistema generado: ­ a  2b 1 ­a 3 ° Ÿ ® . ® a 3 ¯b 2 ° b 2 ¯ Encontramos la imagen pedida: f((-1, -2, 3)) = 3f((1, 0, 1)) ± 2f((2, 1, 0)) = 3(1, -1, 3) ± 2(0, 2, 1) = (3, -7, 7). ’ EJ E M P L O 7.1.6 Sea f una transformación lineal de R 3 en P2 tal que f((1, 1, 1)) = 1 ± 2x + x2, f((2, 0, 0)) = 3 + x ± x2, Determine f((2, -3, 1)). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

f((0, 4, 5)) = 2 + 3x + 3x2 JOE GARCIA ARCOS

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SO L U C I O N Hacemos la combinación lineal con el vector (2, -3, 1): (2, -3, 1) = a(1, 1, 1) + b(2, 0, 0) + c(0, 4, 5) resolvemos el sistema generado: ­ a  2b 2 ° ® a  4 c 3 ° a  5c 1 ¯ §1 2 0 2 · § 1 2 0 2 · § 1 0 4 3 · § 1 0 0 19 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨1 0 4 3 ¸ | ¨ 0 2 4 5 ¸ | ¨ 0 2 4 5 ¸ | ¨ 0 2 0 21 ¸ . ¨1 0 5 1 ¸ ¨ 0 2 5 1 ¸ ¨ 0 0 1 4 ¸ ¨ 0 0 1 4 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ Encontramos la imagen pedida: 21 f ((2,  3,1)) 19 f ((1,1,1))  f ((2, 0, 0))  4 f ((0, 4, 5)) 2 21 19(1  2 x  x 2 )  (3  x  x 2 )  4(2  3x  3x 2 ) 2 41 121 35 2  x x . ’ 2 2 2

EJ E M P L O 7.1.7 Sea S = {u1, u2, u3}, un conjunto de vectores linealmente independientes en R 3. Determine una transformación lineal f de R 3 en R 3 tal que el conjunto {f(u1), f(u2), f(u3)} sea linealmente dependiente. SO L U C I O N Sea f : R 3 o R 3 definida por f((x, y, z)) = (0, 0, 0). Entonces si {u1, u2, u3} es cualquier conjunto de vectores en R 3, el conjunto {f(u1), f(u2), f(u3)} = {‡, ‡, ‡} sea linealmente dependiente. ’ La aplicación que envía cada vector en U sobre el vector cero en V es claramente una transformación lineal de U en V para todos los U y V. Esta transformación, se denomina transformación cero, y se indica por el símbolo ‡. La aplicación que envía cada vector en U sobre sí mismo, se denomina transformación idéntica, y se indica por el símbolo i. La ecuación que define a i es i(u) = u, para cualesquier u de U. EJ E M P L O 7.1.8 Determinar cuál de las siguientes funciones f : :(n, n) o :(n, n) define una transformación lineal: a.- f(A) = ATA; b.- f(A) = AB + AT; c.- f(A) = Det(A); d.- f(A) = PAP-1; e.- f(B) = A-1BA; f.- f(A) = AT + A+; g.- f(A) = OAC + MCA. SO L U C I O N Sean B y C dos matrices del espacio de salida :(n, n) y sean D, E escalares, entonces: a.- f(DB + EC) = (DB + EC)T(DB + EC) = (DBT + ECT)(DB + EC) = D2BTB + DEBTC + DECTB + E2CTC z DBTB + ECTC. Por lo tanto f no es transformación lineal. b.- f(DC + ED) = (DC + ED)B + (DC + ED)T = DCB + EDB + DCT + EDT = D(CB + CT) + E(DB + DT) = Df(C) + Ef(D). Por lo tanto f es transformación lineal. c.- f(DC + ED) = det(DC + ED) z det(DC) + det(ED). Por lo tanto f no es transformación lineal. d.- f(DC + ED) = O(DC + ED)E + ME(DC + ED) = ODCE + OEDE + MDEC + MEED = D(OCE + MEC) + E(ODE + MED) = Df(C) + Ef(D). Por lo tanto f es transformación lineal. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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e.- f(DB + EC) = A-1(DB + EC)A = A-1(DBA + ECA) = DA-1BA + EA-1CA = D(A-1BA) + E(A-1CA) = Df(B) + Ef(C). Por lo tanto f es transformación lineal. f.- f(DB + EC) = (DB + EC)T + (DB + EC)+ = (DB)T + (EC)T + (DB)+ + (EC)+ T T + + ­ °Į%  ȕ&  Į %  ȕ & z Įf %  ȕ f &  Į ȕ  & . =® T T + + Įf %  ȕ f &  Į ȕ  5 ° ¯ Į%  ȕ&  Į%  ȕ& Por lo tanto f es transformación lineal si D, E  R. g.- f(DB + ED) = O(DB + ED)C + MC(DB + ED) = ODBC + OEDC + MDCB + MECD = D(OBC + MCB) + E(ODC + MCD) = Df(B) + Ef(D). Por lo tanto f es transformación lineal. ’ EJ E M P L O 7.1.9 Determinar cuál de las siguientes funciones define una transformación lineal en el espacio de los polinomios de grado menor o igual a 3: a.- f(p(x)) = (p(x))2; b.- f(p(x)) = p(x + 1) - p(x); c.- f(p(x)) = p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x); d.- f(p(x)) = p(x + 1) ± p´(0). SO L U C I O N Sean p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, q(x) = ex3 + fx2 + gx + h dos polinomios del espacio de salida P3 y sean D, E escalares, entonces: Dq(x) + Eh(x) = (Da + Ee)x3 + (Db + Ef)x2 + (Dc + Eg)x + (Dd + Eh). a.- f(Dp(x) + Eq(x)) = (Dp(x) + Eq(x))2 = D2p2(x) + 2DEp(x)q(x) + E2q2(x) z Df(p(x)) + Ef(q(x)). Por lo tanto f no es transformación lineal. b.- f(Dp(x) + Eq(x)) = (Dp + Eq)(x + 1) - (Dp + Eq)(x) = Dp(x + 1) + Eq(x + 1) - Dp(x) - Eq(x) = [Dp(x + 1) + Dp(x)] + [Eq(x + 1) + Eq(x)] = D[p(x + 1) + p(x)] + E[q(x + 1) + q(x)] = Df(p(x)) + Ef(q(x)). Por lo tanto f es transformación lineal. c.- f(Dp(x) + Eq(x)) = (Dp + Eq)´´(x) - 2(Dp + Eq)´(x) + 3(Dp + Eq)(x) = Dp´´(x) + Eq´´(x) - 2Dp´(x) - 2Eq´(x) + 3Dp(x) + 3Eq(x) = [Dp´´(x) - 2Dp´(x) + 3Dp(x)] + [Eq´´(x) - 2Eq´(x) + 3Eq(x)] = D[p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x)] + E[q´´(x) - 2q´(x) + 3q(x)] = Df(p(x)) + Ef(q(x)). Por lo tanto f es transformación lineal. d.- f(Dp(x) + Eq(x)) = (Dp + Eq)(x + 1) - (Dp + Eq)´(0) = Dp(x + 1) + Eq(x + 1) - Dp´(0) - Eq´(0) = [Dp(x + 1) + Dp´(0)] + [Eq(x + 1) + Eq´(0)] = D[p(x + 1) + p´(0)] + E[q(x + 1) + q´(0)] = Df(p(x)) + Ef(q(x)). Por lo tanto f es transformación lineal. ’ Considere la transformación lineal que aplica a todo vector de U sobre el vector cero de V. Esta aplicación se llama aplicación cero. Si W es cualquier subespacio de V, existe también una aplicación cero de U hacia W, y esta aplicación tiene el mismo efecto sobre los elementos de U, como la aplicación cero de U hacia V. Sin embargo, son transformaciones lineales diferentes, ya que tienen codominios diferentes. Este lenguaje descriptivo se tiene que interpretar con cierta amplitud, ya que las operaciones antes y después de aplicar la transformación lineal pueden llevarse a cabo en espacios vectoriales diferentes. Además, la observación acerca de la multiplicación escalar es inexacta, ya que no aplicamos la transformación lineal a escalares; la transformación lineal se define únicamente para vectores en U. Aún ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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así, la transformación lineal conserva las operaciones estructurales en un espacio vectorial y ésta es la razón de su importancia. Una consecuencia de la definición es que una transformación lineal siempre aplica el vector cero de U en el vector cero de V; es decir, f(‡) = ‡. Esta afirmación puede ser establecida haciendo a = 0 en f( au) = af(u). EJ E M P L O 7.1.10 Considérese ahora C como un espacio vectorial sobre C. Defínase una función f de C en C por f ( z ) z . ¿Es f una transformación lineal? SO L U C I O N Sean u = a + ib y v = c + id dos vectores del espacio de salida C y sean D, E escalares, entonces: f(Du + Ev) = f((Da + Ec) + i(Db + Ed)) (Da  Ec)  i (Db  Ed ) = (Dr + Ex) - i(Db + Ed) = D(a - ib) + E(c - id) z Df(u) + Ef(v). Por lo tanto f no es transformación lineal. ’ EJ E M P L O 7.1.11 Considere el espacio vectorial de los números complejos C sobre R. Sea a un número complejo fijo. Defínase f una aplicación de C en C por f(z) = (3 - 2i)z + a. Determine el valor de a para que f sea transformación lineal. SO L U C I O N Tomamos el número complejo nulo y luego encontramos su imagen: f(0 + i0) = (3 ± 2i)(0 + i0) + a = 0 + i0 + a = a. Para que f sea transformación lineal, debe cumplirse que f(0 + i0) = 0 + i0, de donde a = 0. ’ EJ E M P L O 7.1.12 ¿Es la multiplicación de cada vector geométrico por su longitud una transformación lineal? SO L U C I O N En este caso tenemos que f (u ) u u . Sean v y w dos vectores del espacio de salida y sean D, E escalares, entonces: f (Dv  Ew) (Dv  Ew) (Dv  Ew) d (Dv  Ew)( Dv  Ew ) Por lo tanto f no es transformación lineal. ’ EJ E M P L O 7.1.13 a.- Muestre que la línea que pasa por los vectores u y v en R n puede escribirse en la forma paramétrica x = (1 ± t)u + tv. b.- El segmento de línea de u a v es el conjunto de los puntos de la forma (1 ± t)u + tv para 0 d t d 1. Muestre que una transformación lineal f transforma este segmento de línea sobre un segmento de línea o sobre un punto. SO L U C I O N a.- La línea que pasa por u y v es paralela al vector v ± u. Puesto que la línea pasa a través de u, una ecuación paramétrica de la línea es x = u + t(v ± u) = u ± tu + tv = (1 ± t)u + tv. b.- Por la linealidad de f: f((1 ± t)u + tv) = (1 ± t)f(u) + tf(v) para 0 d t d 1. Si f(u) y f(v) son distintos, las imágenes forman el segmento de línea entre f(u) y f(v). De otro modo, todas las imágenes coinciden con un punto, f(u). ’

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PR O B L E M AS 7.1.1 Verifíquese que cada uno de los siguientes es transformación lineal de U en V: a.- U = C>0; [email protected], V = V 1, T(f) = f(0). b.- U = C>0; [email protected], V = V 1, T(f) = f(0) + f(1). c.- U = C>0; [email protected], V = V 2, T(f) = (f(0) + f(1)). d.- U = V 2, V = C> a ; [email protected], T(x1, x2) = x1ex + x2e2x. e.- U = C>0; [email protected], V = C>0; [email protected], T(f) = f(x) Cosx. f.- U = C (1)> a ; [email protected], V = C> a ; [email protected], T(f) = f ´(x)Senx. g.- U = C (2)> a ; [email protected], V = C> a ; [email protected], T(f) = xf ´´ - f ´ + exf. (3) h.- U = C > a ; [email protected], V = C> a ; [email protected], T(f) = f ´´´ + f ´´ + f ´ + f. i.- U = C> a ; [email protected], V = C> a ; [email protected], T ( f )

x t

³0 e

f (t )dt .

(1)

j.- U = C > a ; [email protected], V = C> a ; [email protected],

T( f )

x

³0

f (t )dt  3 f ´( x) .

7.1.2 Demuestre que la transformación f definida por f((x, y)) = (4x ± 2y, 3~y~) no es lineal. 7.1.3 Suponga que f : R 2 o R 2 tal que f((1, 0)) = (1, 0) y f((0, 1)) = (0, 0). Determine f((x, y)) en R 2 y dé una interpretación geométrica de f. 7.1.4 Sean U y V espacios vectoriales sobre K, siendo U bidimensional. Sean S = {u1, u2} una base de U, y v1 y v2 dos vectores cualesquiera de V. Defínase f de U en V de la siguiente manera: Si u  U, entonces u = au1 + bu2 para los únicos escalares a y b. Hágase f(u) = av1 + bv2. Demuestre que f es transformación lineal. 7.1.5 Sea f : R 2 o R 2 una transformación lineal que transforma u = (1, 5) en (2, 0) y transforma v = (3, 1) en (1, -4). Use el hecho de que f es lineal para encontrar las imágenes bajo f de 2u y 3u + 5v. 7.1.6 Sea V un espacio con producto interior con un subespacio que tiene a S = {w1, w2, ..., wk} como una base ortonormal. Demuestre que la función f : V o V dada por f(u) = ¢v ˜ w1²w1 + ¢v ˜ w2²w2 + ... + ¢v ˜ wk²wk es una transformación lineal. 7.1.7 Se da el espacio vectorial de los vectores u = ae1 + be2 + ce3 + de4, donde a, b, c, d son todos los números reales posibles. Sea k un número real fijo. ¿Es lineal la transformación f definida por la igualdad f(u) = ae1 + be2 + ce3 + de4? 7.1.8 Verifíquese que si a 1, b1, a 2, b2 son números reales, entonces T(x1, x2) = (a 1x1 + a 2x2, b1x1 + b2x2) Es transformación lineal de R 2 en R 2. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

7.1.9 Sea f : :(n, n) o R definida por Tr(A) = a11 + a22 + ... + ann. Demuestre que f es una transformación lineal. 7.1.10 Sea V un espacio con producto interior. Para un vector fijo w en V, se define f : V o R por f(v) = ¢v ˜ w². Demuestre que f es una transformación lineal. 7.1.11 Para cada uno de los conjuntos de condiciones que se enuncian, determínese si existe una transformación lineal T de U en V que cumpla con las condiciones dadas: a.- U = V 2, V = V 2, T(1, 1) = (1, 2), T(1, -1) = (0, 3). b.- U = V 2, V = V 2, T(1, 1) = (1, 0), T(1, -1) = (3, 0), T(2, 3) = (1, 0). c.- U = V 2, V = V 2, T(1, 2) = (1, 3), T(2, 1) = (2, 0), T(1, 1) = (1, 1). d.- U = P, V = P, T(1) = 0, T(xn) = xn+1 para n t 1. e.- U = P, V = P, T(1) = x, T(x + 1) = x2, T(x2 - 1) = x3. f.- U = P, V = P, T(1) = x2, T(x - 1) = x, T(x2 + x) = x, T(x2) = x2. 7.1.12 Sea f una transformación lineal de P2 en P2 tal que f(1) = x, f(x) = 1 + x y f(x2) = 1 + x + x2. Determine f(2 ± 6x + x2). 7.1.13 Suponga que f : R 2 o R 2 tal que f((1, 0)) = (0, 1) y f((0, 1)) = (1, 0). Determine f((x, y)) en R 2 y dé una interpretación geométrica de f. 7.1.14 Sea f : R o R tal que f (u) proyv u , donde v = (1, 1): a.- Determine f((x, y)). b.- Determine f((3, 4)) y f(f((3, 4))) y dé una interpretación geométrica del resultado. 7.1.15 Trazar la imagen del cuadrado unitario cuyos vértices son los puntos (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1) bajo la transformación lineal dada: a.- f es una reflexión en el eje x. b.- f es una reflexión en la recta y = x. c.- f es la contracción f((x, y)) = (x/2, y). 7.1.16 Sea f la transformación lineal de R 2 en R 2 definida por f(( a , b)) = (aCosT - bSenT, a SenT + bCosT). Determine: a.- f((4, 4)) para T = 45°; b.- f((2, -1)) para T = 30°; c.- f((5, -1)) para T = 120°.

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7.1.17 Determinar la imagen del cubo unitario cuyos vértices son (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1) y (0, 1, 1) cuando es rotado 45° alrededor del eje Z, y cuando es rotado 90° alrededor del eje X. 7.1.18 Demuéstrese que, si ninguno de los espacios U y V es el espacio cero y si uno de ellos es de dimensión infinita, entonces el conjunto de las transformaciones lineales de U en V es un espacio vectorial de dimensión infinita. 7.1.19 Una traslación es una función de la forma f((x, y)) = (x ± h, y ± k), donde por lo menos una de las constantes h o k es diferente de cero: a.- Demuestre que una traslación en el plano no es una transformación lineal. b.- Para la traslación f((x, y)) = (x ± 2, y + 1), determine las imágenes de (0, 0), (2, -1) y (5, 4). c.- Demuestre que una traslación en el plano no tiene puntos fijos. 7.1.20 Sean u, v vectores en R n. Puede demostrarse que el conjunto S de todos los puntos del paralelogramo determinado por u y v tiene la forma Du + Ev, para 0 d D d 1, 0 d E d 1. Sea f : R n o R n una transformación lineal. Explique por qué la imagen de un punto en S bajo la transformación f yace en el paralelogramo determinado por f(u) y f(v).

7.1.21 Un vector u es un punto fijo de una transformación lineal f : V o V si f(u) = u: a.- Demuestre que ‡ es un punto fijo de cualquier transformación lineal f : V o V. b.- Demuestre que el conjunto de puntos fijos de una transformación lineal f : V o V es un subespacio de V. c.- Determine todos los puntos fijos de la transformación lineal f : R 2 o R 2 dada por f((x, y)) = (x, 2y). d.- f es la dilatación definida por f((x, y)) = (x, 3y). e.- f es la deformación por esfuerzo cortante definida por f((x, y)) = (x + 2y, y). f.- f es la deformación por esfuerzo cortante definida por f((x, y)) = (x, 3x + y). 7.1.22 Dado v z ‡ y u en R n, la línea que pasa por u en la dirección de v, tiene la ecuación paramétrica w = u + tv. Demuestre que una transformación lineal f : R n o R n transforma esta línea sobre otra línea o sobre un único punto. 7.1.23 Si S es transformación lineal de R 3 en R 2 y si S(1, 0, 0) = ( a 1, b1), S(0, 1, 0) = ( a 2, b2), S(0, 0, 1) = ( a 3, b3), entonces T y S son la misma transformación. 7.1.24 Sean e1, e2, u = (3, -5) y v = (-2, 7), y sea f : R 2 o R 2 una transformación lineal que transforma e1 en u y e2 en v. Encuentre las imágenes de (7, 6) y de (x, y).

7.2 R EPR ESE N T A C I O N M A T RI C I A L. M A T RI Z D E C A M BI O D E B ASE En esta sección se demostrará que si U y V son espacios vectoriales de dimensiones finitas, entonces con un poco de ingenio cualquier transformación lineal f de U en V se puede expresar en forma matricial como f(u) = Au, en cualesquiera bases. Se pueden usar las matrices para representar una gran variedad de diferentes conceptos matemáticos. La forma en que se manejan las matrices, depende de los objetivos que representen. Considerando la amplia variedad de situaciones en las cuales las matrices tienen aplicación, existe una notable semejanza en las operaciones que se efectúan con las matrices en estas situaciones. Sin embargo, también existen diferencias y, para entenderlas, debemos entender el objeto representado y qué información se puede esperar trabajando con las matrices. Las matrices no solamente nos proporcionan un medio conveniente para realizar todo cálculo necesario con las transformaciones lineales, sino que la teoría de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales también demuestra ser una herramienta poderosa en el desarrollo de las propiedades de las matrices. A continuación damos a conocer un método general para construir la matriz de la transformación lineal que actúa del espacio vectorial U en el espacio vectorial V. Suponga que a los vectores de la base S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio vectorial U les están asignados unos vectores y S2 = {v1, v2, ..., vn} del espacio vectorial V. En este caso existe una transformación lineal f y es, además, única, que actúa de U en V ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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y que transforma todo vector de S1 en el vector correspondiente de S2. Suponga que la transformación buscada f existe. Tómese un vector arbitrario u de U y represéntelo en forma de un desarrollo u = a1u1 + a2u2 + ... + anun, entonces f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un) = a1v1 + a2v2 + ... + anvn. El segundo miembro de esta identidad se determina unívocamente por el vector u y las imágenes de la base. Por esta razón, la igualdad obtenida demuestra la unicidad de la transformación f, si éste existe. Por otra parte, podemos definir la transformación f precisamente mediante esta igualdad, es decir, poner f(u) = a 1v1 + a 2v2 + ... + a nvn. La transformación obtenida, es una transformación lineal que actúa de U en V y transforma, a la vez, todo vector de S1 en el vector correspondiente de S2. El dominio de la transformación f coincide con el subespacio generado por el sistema de vectores S2. Ahora podemos enunciar el siguiente teorema: T E O R E M A 7.2.1 La transformación lineal f que actúa del espacio U en el espacio V está completamente definido mediante la totalidad de imágenes f(u1), f(u2), ..., f(un) para cualquier base definida S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio U. D E M OST R A C I O N Fijemos en el espacio U la base S1 = {u1, u2, ..., un} y en el espacio V, la base S2 = {v1, v2, ..., vm}. El vector u1 se transforma por la transformación f en cierto vector f(u1) del espacio V, el cual, como todo vector de este espacio, puede ser desarrollado por vectores básicos f(u1) = a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm f(u2) = a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm ... f(un) = an1v1 + an2v2 + ... + anmvm Los coeficientes a ij de estas combinaciones lineales determinan una matriz A de m filas y n columnas am1 · § a11 a21 ¨ ¸ a a22 am 2 ¸ A ¨ 12 ¨ ¸ ¨¨ ¸ amn ¸¹ © a1n a2 n que se denomina matriz de la transformación f en bases elegidas. Como columnas de la matriz de la transformación sirven los coeficientes de la cada combinación, en otras palabras, las coordenadas de los vectores f(u1), f(u2), ..., f(un) respecto de la base S2. Con el fin de determinar el elemento a ij de la matriz de la transformación f hace falta aplicar la transformación al vector uj y tomar la i-ésima coordenada en la imagen f(uj). En lo sucesivo haremos uso del método descrito para determinar los elementos de la matriz de la transformación. Considere un vector arbitrario u de U y su imagen v = f(u). Aclaremos de qué modo se expresar las coordenadas del vector v en términos de las coordenadas del vector u y los elementos de la matriz de la transformación. Sea u = a1u1 + a2u2 + ... + anun y v = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm calculamos f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un) = a1[a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm] + a2[a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm] + ... + an[an1v1 + an2v2 + ... + anmvm] ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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= [a1a11 + a2a21 + ... + anan1]v1 + [a1a12 + a2a22 + ... + anan2]v2 + ... + [a1a1m + a2a2m + ... + ananm]vm Al comparar el segundo miembro de estas igualdades con el desarrollo de v, concluimos que deben cumplirse las igualdades a11a1 + a21a2 + ... + an1an = b1 a12a1 + a22a2 + ... + an2an = b2 ... a1ma1 + a2ma2 + ... + anman = bm De esta manera, toda transformación lineal genera, cuando están definidas las bases en los espacios U y V, las identidades antes mencionadas que relacionan entre sí las coordenadas de la imagen y las de la preimagen. Con el fin de determinar las coordenadas de la imagen según las coordenadas de la preimagen basta calcular los primeros miembros de estas identidades. Siendo determinadas las bases en los espacios U y V, la igualdad coordenada permite investigar totalmente la acción de una transformación lineal. Evidentemente, cuanto más simple es la forma de la matriz de una transformación, tanto más eficaz será la realización de dicha investigación. Generalmente las matrices de las transformaciones dependen de las bases y la tarea inmediata consiste en aclarar esta dependencia. Sean S1 = {u1, u2, ..., um} y S2 = {v1, v2, ..., vm} dos bases del espacio vectorial U. Los vectores de S2 se definen unívocamente mediante sus descomposiciones ­v1 a11u1  a12 u2  ...  a1m um ° v a u  a u  ...  a u ° 2 21 1 22 2 2m m (1) ® ... ° °¯vm am1u1  am 2 u2  ...  amm um según los vectores de S1. Los coeficientes a ij determinan la matriz § a11 a21 ... am1 · ¨ ¸ a a22 ... am 2 ¸ P ¨ 12 ¨ ... ... ... ¸ ¨¨ ¸¸ © a1m a2 m ... amm ¹ la cual se denomina matriz de la transformación de coordenadas al pasar de la base S1 a la base S2. Tómese un vector arbitrario u de U y descompóngase según los vectores de ambas bases. Sea u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum = c1v1 + c2v2 + ... + cmvm De acuerdo con (1) tenemos b1u1 + b2u2 + ... + bmum = c1v1 + c2v2 + ... + cmvm = c1(a11u1 + a12u2 + ... + a1mum) + c2(a21u1 + a22u2 + ... + a2mum) + ... + cm(am1u1 + am2u2 + ... + ammum) = (a11c1 + a21c2 + ... + am1cm)u1 + (a12c1 + a22c2 + ... + am2cm)u2 + ... + (a1mc1 + a2mc2 + ... + ammcm)um. Comparando los coeficientes ui en el primero y segundo miembros de las correlaciones, encontramos ­b1 a11c1  a21c2  ...  a m1cm ° b a c  a c  ...  a c ° 2 12 1 22 2 m2 m (2) ® ... ° °¯bm a1m c1  a2 m c2  ...  amm cm Estas fórmulas se denominan fórmulas de transformación de las coordenadas. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Designemos, como hasta ahora, mediante XS1 y XS2 las matrices de dimensiones

m x 1, formadas por las coordenadas del vector u en las bases correspondientes. Las fórmulas (2) muestran que XS1 = PXS2 . La matriz de la transformación de coordenadas debe ser no singular, puesto que en el caso contrario tendrá lugar la dependencia lineal entre sus columnas y, por tanto, entre los vectores de S2. Por supuesto, cualquier matriz no singular es una matriz de cierta transformación de coordenadas definida mediante XS1 = PXS2 . Al multiplicar a la izquierda de la igualdad por la matriz P-1, obtendremos P-1XS1 = P-1PXS2 Ÿ XS2 = P-1XS1 .

Supongamos ahora que en el espacio vectorial U vienen dadas tres bases S1, S2 y S3. El paso de la primera base a la tercera puede realizarse con ayuda de dos procedimientos: o bien directamente de la primera a la tercera o bien primero de la primera a la segunda, y después de la segunda a la tercera. No es difícil establecer la conexión entre las matrices correspondientes de la transformación de coordenadas. De acuerdo con XS1 = PXS2 , tenemos: XS1 = PXS2 Ÿ XS2 = RXS3 Ÿ XS1 = QXS3 .

De las primeras dos correlaciones se desprende XS1 = PXS2 = P(RXS3 ) = (PR)XS3 = QXS3 . De este modo, cuando las coordenadas se transforman de manera consecutiva, la matriz de la transformación resultante será igual al producto de matrices de las transformaciones intermedias. Examinemos otra vez la transformación lineal f que actúa de U en V. Elijamos en el espacio U dos bases S1 y S2, y en el espacio V otras dos bases S3 y S4. En las primeras dos bases, a una misma transformación f le corresponde la igualdad coordenada YS3 = ASS1 XS1 (3) 3

y en las otras dos bases, la igualdad YS4 = ASS2 XS2

(4)

4

En concordancia con estos pares de bases, para una misma transformación f tenemos dos matrices ASS1 y ASS2 . Designemos con P la matriz de la transformación de 3

4

coordenadas al pasar de la base S1 a la base S2 y con Q , la matriz de la transformación de coordenadas al pasar de S3 a S4.Se tiene XS1 = PXS2 , YS3 = QYS4 . Sustituyendo estas expresiones para XS1 y YS3 en (3), obtenemos QYS4 = ASS1 PXS2 3

De donde se deduce que





YS4 = Q-1ASS1 P XS2 . 3

Al comparar la igualdad obtenida con (4), concluimos que ASS2 = Q-1ASS1 P . 4

3

Esto es precisamente la correlación buscada que liga las matrices de una misma transformación en diferentes bases. La transformación lineal f que actúa del espacio U en el espacio V está completamente definido mediante la totalidad de imágenes ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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f(u1), f(u2), ..., f(un) para cualquier base definida S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio U. EJ E M P L O 7.2.1 En un espacio vectorial de dimensión 4, se examina una transformación lineal f. Escribir esta transformación en la forma de coordenadas si f(e1) = e3 + e4, f(e2) = e1 + e4, f(e3) = e1 + e2, f(e4) = e2 + e3. SO L U C I O N f((1, 0, 0, 0)) = (0, 0, 1, 1), f((0, 1, 0, 0)) = (1, 0, 0, 1), f((0, 0, 1, 0)) = (1, 1, 0, 0), f((0, 0, 0, 1)) = (0, 1, 1, 0). La matriz de la transformación f es §0 1 1 0· ¨ ¸ 0 0 1 1¸ A ¨ . ¨1 0 0 1¸ ¨ ¸ ©1 1 0 0¹ Por lo tanto, la transformación f se escribe en forma de coordenadas de la siguiente manera: f((a, b, c, d)) = (b + c, c + d, a + d, a + b). ’ EJ E M P L O 7.2.2 Sea f la transformación lineal de :(2, 2) en :(3, 1) definida por § 2 a  3b  c · §§ a b ·· ¨ ¸ f ¨¨ ¸ ¸ ¨ a  2b  c  2d ¸ . c d © ¹ © ¹ ¨ a  b  3c  4d ¸ © ¹ Encuentre la representación matricial de f. SO L U C I O N Tómese las bases canónicas de :(2, 2) y :(3, 1), es decir ­§ 1 · ­§ 1 0 · § 0 1 · § 0 0 · § 0 0 · ° ½ °¨ ¸ ° S y S1 ®¨ , , , ®¨ 0 ¸ , ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¾ 2 0 0 0 0 1 0 0 1 °© ° ¹ © ¹ © ¹ © ¹¿ ¯ °¨ 0 ¸ ¯© ¹

§ 0· ¨ ¸ ¨1¸, ¨ 0¸ © ¹

§ 0 ·½ ¨ ¸° ¨ 0 ¸¾ ¨ 1 ¸° © ¹¿

obtenga la matriz > f @ SS2 . Primeramente, determinaremos cuáles son las imágenes de 1

los vectores de la base S1 de :(2, 2): § 2· §§1 0·· ¨ ¸ f ¨¨ ¸¸ ¨1¸ ; ©© 0 0¹¹ ¨1¸ © ¹ § 1 · §§ 0 0·· ¨ ¸ f ¨¨ ¸¸ ¨ 1¸ ; © © 1 0 ¹ ¹ ¨ 3 ¸ © ¹

§§0 1·· f ¨¨ ¸¸ ©© 0 0¹¹ §§ 0 0·· f ¨¨ ¸¸ ©©0 1¹¹

§ 3· ¨ ¸ ¨ 2¸ ; ¨1¸ © ¹ § 0· ¨ ¸ ¨ 2¸ . ¨ 4 ¸ © ¹

Obsérvese que en este caso, como se está tomando la base canónica S2 de :(3, 1), se tiene lo siguiente: § 2· § 3· § 1 · § 0· > f (E1 )@ S2 ¨¨ 1 ¸¸ ; > f (E 2 )@ S2 ¨¨ 2 ¸¸ ; > f (E3 )@ S2 ¨¨ 1 ¸¸ ; > f (E 4 )@ S2 ¨¨ 2 ¸¸ , ¨1¸ ¨1¸ ¨ 3 ¸ ¨ 4 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ de modo que § 2 3 1 0 · S2 ¨ f > @ S1 ¨ 1 2 1 2 ¸¸ . ’ ¨ 1 1 3 4 ¸ © ¹

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EJ E M P L O 7.2.3 Considérese f la transformación lineal de P4 en P4 definida por f(p) = p'(x). Obtenga [f]S en la base canónica de P4. SO L U C I O N La base canónica de P4 es S = {1, x, x2, x3, x4}. A continuación determinamos las imágenes con respecto a cada elemento de S, es decir: [f(1)]S = [(1)']S = [0]S = 0(1) + 0(x) + 0(x2) + 0(x3) + 0(x4); [f(x)]S = [(x)']S = [1]S = 1(1) + 0(x) + 0(x2) + 0(x3) + 0(x4); [f(x2)]S = [(x2)']S = [2x]S = 0(1) + 2(x) + 0(x2) + 0(x3) + 0(x4); [f(x3)]S = [(x3)']S = [3x2]S = 0(1) + 0(x) + 3(x2) + 0(x3) + 0(x4); [f(x4)]S = [(x4)']S = [4x3]S = 0(1) + 0(x) + 0(x2) + 4(x3) + 0(x4). Por lo tanto §0 1 0 0 0· ¨ ¸ ¨0 0 2 0 0¸ > f @ S ¨0 0 0 3 0¸ . ¨ ¸ ¨0 0 0 0 4¸ ¨0 0 0 0 0¸ © ¹ Mediante esta matriz, podemos derivar p(x) = 5 + 8x - 10x2 + 6x3 - 7x4, es decir §0 1 0 0 0·§ 5· § 8 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 2 0 0 ¸ ¨ 8 ¸ ¨ 20 ¸ > f ( p)@ S > p '@ S > f @ S > p @ S ¨ 0 0 0 3 0 ¸ ¨ 10 ¸ ¨ 18 ¸ . ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0 0 4 ¸ ¨ 6 ¸ ¨ 28 ¸ ¨0 0 0 0 0¸¨  7 ¸ ¨ 0¸ © ¹© ¹ © ¹ Por lo tanto, p'(x) = 8 - 20x + 18x2 - 28x3. ’ EJ E M P L O 7.2.4 Sea f la transformación lineal de R 3 en R 4 definida por f((a, b, c)) = (a + 3b ± c, 2a + b + 3c, -3a - 14b + 8c, 3a + 4b + 2c) Obtenga >[email protected] en las bases canónicas. SO L U C I O N Tómense las bases canónicas de R 3 y R 4: S1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y S2 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} A continuación, obtenemos las imágenes correspondientes f((1, 0, 0)) = (1, 2, -3, 3), f((0, 1, 0)) = (3, 1, -14, 4), f((0, 0, 1)) = (-1, 3, 8, 2) obtenemos la matriz 3 1 · § 1 ¨ ¸ 2 1 3 > f @ SS12 ¨¨ 3 14 8 ¸¸ . ’ ¨ ¸ 4 2¹ © 3 EJ E M P L O 7.2.5 Encuentre la matriz de la transformación lineal D definida en el conjunto de polinomios en t sobre R de grado a lo sumo igual a 2 mediante D(p(t)) = p´(t), en relación con la base. a.- S1 = {1 + t, t, 1 + 2t + t2}; b.- S2 = {1/2(1 - t), 1/2(1 + t), t2}. SO L U C I O N a.- D(1 + t) = 1 = 1˜(1 + t) + (-1)˜t + 0˜(1 + 2t + t2) D(t) = 1 = 1˜(1 + t) + (-1)˜t + 0˜(1 + 2t + t2) D(1 + 2t + t2) = 2 + 2t = 2˜(1 + t) + 0˜t + 0˜(1 + 2t + t2) ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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§ 1 1 2· ¨ ¸ D ¨ 1 1 0 ¸ . ¨ 0 0 0¸ © ¹ b.- D(1/2(1 - t)) = - 1/2 = (-1/2)˜1/2(1 - t) + (-1/2)˜1/2(1 + t) + 0˜t2 D(1/2(1 + t)) = 1/2 = 1/2˜1/2(1 - t) + 1/2˜1/2(1 + t) + 0.t2 D(t2) = 2t = (-2)˜1/2(1 - t) + 2˜1/2(1 + t) + 0˜t2 § 1/ 2 1/ 2 2 · ¨ ¸ D ¨ 1/ 2 1/ 2 2 ¸ . ’ ¨ 0 0 0 ¸¹ ©

EJ E M P L O 7.2.6 Sea V el espacio de todas las funciones de la forma ae t + be2t + ce 3t. Si se define D : V o V mediante D(f(t)) = f ´(t), obtenga: a.- La matriz de D con respecto a la base S1 = {et, e2t, e3t}; b.- La matriz de D con respecto a la base S2 = {et + e2t, e2t + e3t, et + e3t}. SO L U C I O N a.- D(et) = et = 1˜et + 0˜e2t + 0˜e3t ; D(e2t) = 2e2t = 0˜et + 2˜e2t + 0˜e3t 3t 3t t 2t 3t D(e ) = 3e = 0˜e + 0˜e + 3˜e §1 0 0· ¨ ¸ D ¨0 2 0¸ ¨ 0 0 3¸ © ¹ b.- D(et + e2t) = et + 2e2t = 3/2˜(et + e2t) + 1/2˜(e2t + e3t) + (-1/2)˜(et + e3t) D(e2t + e3t) = 2e2t + 3e3t = (-1/2)˜(et + e2t) + 5/2˜(e2t + e3t) + 1/2˜(et + e3t) D(et + e3t) = et + 3e3t = (-1)˜(et + e2t) + 1˜(e2t + e3t) + 2˜(et + e3t) 1 § 3 · ¨ 2  2 1 ¸ ¨ ¸ 1 5 ¨ D ¨ 1 ¸¸ . ’ 2 2 ¨ ¸ 1 ¨ 1 ¸ 2 ¨ ¸ 2 © 2 ¹

EJ E M P L O 7.2.7 Se examina el espacio vectorial de los vectores u = ae1 + be2 + ce3 + de4, donde a, b, c, d son escalares reales. Demostrar que la transformación f definida por f(u) = be1 + ce2 + de3 + ae4 es lineal, y hallar su representación matricial. SO L U C I O N Sabemos que f(u) = f((a, b, c, d)) = (b, c, d, a). Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de R 4: f((1, 0, 0, 0)) = (0, 0, 0, 1); f((0, 1, 0, 0)) = (1, 0, 0, 0); f((0, 0, 1, 0)) = (0, 1, 0, 0); f((0, 0, 0, 1)) = (0, 0, 1, 0) Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma: §0 1 0 0· ¨ ¸ 0 0 1 0¸ Af ¨ . ’ ¨0 0 0 1¸ ¨ ¸ ©1 0 0 0¹ EJ E M P L O 7.2.8 Sea V = P4 el espacio de todos los polinomios de grado menor o igual a 4, en la indeterminada t y defínase f de P4 en P4 por f ( p(t )) p´´(t )  2 p´(t )  p(t ) . Representar a f mediante una matriz respecto a la base canónica de P4. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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TRANSFORMACIONES LINEALES

SO L U C I O N Sabemos que

331

p(t) = a + bt + ct2 + dt3 + et4, p´(t) = b + 2ct + 3dt2 + 4et3, p´´(t) = 2c + 6dt + 12et2.

De donde: f(a + bt + ct2 + dt3 + et4) = (a + 2b + 2c) + (b + 4c + 6d)t + (c + 6d + 12e)t2 + + (d + 8e)t3 + et4. Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de P4: f(1) = 1 + 0t + 0t2 + 0t3 + 0t4; f(t) = 2 + t + 0t2 + 0t3 + 0t4; f(t2) = 2 + 4t + t2 + 0t3 + 0t4; f(t3) = 0 + 6t + 6t2 + t3 + 0t4; f(t4) = 0 + 0t + 12t2 + 8t3 + t4. Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma: §1 2 2 0 0 · ¨ ¸ ¨0 1 4 6 0 ¸ A f ¨ 0 0 1 6 12 ¸ . ’ ¨ ¸ ¨0 0 0 1 8 ¸ ¨0 0 0 0 1 ¸ © ¹ EJ E M P L O 7.2.9 Considérese la transformación lineal f : P3 o P2 definida por f( at3 + bt2 + ct + d) = ( a + b + c)t2 + (2b ± c + 4d). Determine la matriz de f en las bases canónicas. SO L U C I O N Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de P3 y luego cada una de éstas, las expresamos como combinación lineal de la base canónica de P2: f(t3) = t2 + 0t + 0; f(t2) = t2 + 0t + 2; f(t) = t2 + 0t ± 1; f(1) = 0t2 + 0t + 4. Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma: §1 1 1 0· ¨ ¸ A f ¨0 0 0 0¸ . ’ ¨ 0 2 1 4 ¸ © ¹ EJ E M P L O 7.2.10 Considérese la transformación lineal f : C 2 o C 2 definida por f((a, b)) = (a + b, ib). Determine la matriz de f en las bases canónicas. SO L U C I O N Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de C 2 y luego cada una de éstas, las expresamos como combinación lineal de la base canónica de C 2: f((1, 0)) = (1, 0), f((0, i)) = (i, -1). Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma: §1 i · Af ¨ ¸. ’ © 0 1¹

PR O B L E M AS 7.2.1 La transformación lineal definida en el ejemplo anterior es uno a uno, es decir, f no aplica a dos vectores diferentes sobre el mismo vector. Por tanto, existe una transformación lineal que aplica a (3, -1) sobre (1, 0) y a (-1, 2) sobre (0, 1). Esta transformación lineal invierte la aplicación dada por f. Determine la matriz que la representa con respecto a las bases canónicas. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

7.2.2 Encuentre la representación matricial A de la transformación lineal f, use A para encontrar la imagen del vector v y trace la gráfica de v y su imagen: a.- f es la reflexión a través del origen en R 2: f((x, y)) = (-x, -y), v = (3, 4). b.- f es la reflexión en la recta y = x en R 2: f((x, y)) = (y, x), v = (3, 4). JOE GARCIA ARCOS

332

TRANSFORMACIONES LINEALES

c.- f es la rotación de 135° en sentido antihorario en R 2, v = (4, 4). d.- f es la rotación de 60° en sentido horario en R 2, v = (1, 2). e.- f es la reflexión a través del plano de coordenadas XY en R 3: f((x, y, z)) = (x, y, -z), v = (3, 2, 2). f.- f es la reflexión a través del plano de coordenadas YZ en R 3: f((x, y, z)) = (-x, y, z), v = (2, 3, 4). g.- f es la rotación de 180° en sentido antihorario en R 2, v = (1, 2). h.- f es la rotación de 45° en sentido antihorario en R 2, v = (2, 2). i.- f es la proyección sobre el vector w = (3, 1) en R 2: f (v) proywv , v = (1, 4). j.- f es la proyección sobre el vector w = (-1, 5) en R 2: f (u) proywu , u = (2, -3). k.- f es la reflexión con respecto al vector w = (3, 1) en R 2, v = (1, 4). (La reflexión de un vector v a través de w está definida por f (v) 2proywv  v ). 7.2.3 Rote 90° alrededor del punto (5, 3) en sentido antihorario el triángulo cuyos vértices son (3, 5), (5, 3) y (3, 0). Graficar los triángulos. Encuentre las matrices que representan a esta transformación lineal con respecto a las bases canónicas de R 2 y {(1, 1), (1, -2)}. 7.2.4 Sea la transformación lineal f : R 2 o R 3 que aplica a (1, 1) sobre (0, 1, 2) y a (-1, 1) sobre (2, 1, 0). Determine la matriz que representa a f con respecto a las bases S1 = {(1, 0), (0, 1)} en R 2 y S2 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} en R 3. § 1 0 · Sea A ¨ ¸ , u = (5, 2) y v = (3, -1). Sea © 0 1¹ f(w) = Aw para w en R 2: a.- En un sistema de coordenadas rectangulares, grafique los vectores u, v, f(u) y f(v). b.- Dé una interpretación geométrica de lo que f hace a un vector w en R 2.

7.2.5

7.2.6 Sea f una transformación lineal tal que f(u) = Du para u en R n. Encuentre la matriz A para f. 7.2.7 Sea f una transformación lineal de R 2 hacia sí mismo que aplica a (1, 1) sobre (2, -3) y a (1, -1) sobre (4, -7). Determine la matriz que representa a f con respecto a las bases canónicas. 7.2.8 Una transformación afín f : R n o R m tiene la forma f(u) = Au + b, siendo A una matriz de m x n y con b en R m. Demuestre que f no es una transformación lineal cuando b z ‡. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

7.2.9 Decimos que una recta se aplica sobre sí misma, si cada punto de la recta se aplica sobre un punto de la recta, pero no todos sobre el mismo punto, aún considerando que los puntos en la recta se pueden mover de un lado a otro: a.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre (-1, 0) y a (0, 1) sobre (0, -1). Demuestre que cada recta que pasa por el origen se aplica sobre sí misma. Demuestre que cada una de esas rectas se aplica sobre sí misma con el sentido de la dirección invertido. Esta transformación lineal se llama inversión con respecto al origen. Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica de R 2. b.- Una transformación lineal aplica a (1, 1) sobre (-1, -1) y deja fijo a (1, -1). Demuestre que toda recta perpendicular a la recta x1 + x2 = 0 se aplica sobre sí misma, con el sentido de la dirección invertido. Pruebe que cada punto sobre la recta x1 + x2 = 0 se deja fijo. ¿Cuáles rectas de las que pasan por el origen se aplican sobre sí mismas?. Esta transformación lineal se llama reflexión alrededor de la línea x1 + x2 = 0. Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica en R 2. Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base {(1, 1), (1, -1)}. c.- Una transformación lineal aplica a (1, 1) sobre (2, 2) y a (1, -1) sobre (3, -3). Demuestre que las rectas que pasan por el origen y por los puntos (1, 1) y (1, -1) se aplican sobre sí mismas y que ningunas otras rectas se aplican sobre sí mismas. Encuentre las matrices que representan a esta transformación lineal con respecto a las bases, canónicas en R 2 y {(1, 1), (1, -1)}. d.- Una transformación lineal deja fijo a (1, 0) y aplica (0, 1) sobre (1, 1). Demuestre que cada recta de la forma x2 = c se aplica sobre sí misma y se traslada dentro de sí misma una distancia igual a c. Esta transformación lineal se llama deslizamiento. ¿Cuáles rectas que pasan por el origen se aplican sobre sí mismas? Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica de R 2. e.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre (5/13, 12/13) y a (0, 1) sobre (-12/13, 5/13). Demuestre que toda recta que pasa por el origen se hace girar en un ángulo T = ArcCos(5/13), en sentido antihorario. Esta transformación lineal se llama rotación. Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica de R 2. f.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre (2/3, 2/3) y a (0, 1) sobre (1/3, 1/3). Demuestre que cada punto sobre la recta 2x1 + x2 = 3c se aplica sobre el único punto ( c, c). La recta x1 ± x2 = 0 se deja fija. La única otra recta que pasa por el origen y se aplica sobre sí misma, es la recta 2x1 + x2 = 0. Esta transformación lineal se llama proyección sobre la recta x1 ± x2 = 0 paralela a la recta 2x1 + x2 = 0. JOE GARCIA ARCOS

TRANSFORMACIONES LINEALES 2

3

7.2.10 Sea S = {1, x, x , x } una base de P 3 y sea f : P3 o P4 la transformación lineal definida por

f (xk )

x k

³0 t

dt :

a.- Encuentre la matriz A para f con respecto a S y a la base canónica de P 4. b.- Use A para integrar p(x) = 15 + 6x ± 2x2 + 5x3. 7.2.11 Use la matriz de rotación en R 2 en sentido antihorario para rotar 90° alrededor del origen el triángulo cuyos vértices son (3, 5), (5, 3) y (3, 0). Grafique los triángulos. 7.2.12 Sean S1 = {(1, 3), (-2, -2)} y S2 = {(-12, 0), (-4, 4)} § 3 2· 2 2 bases de R 2, y sea A ¨ ¸ la matriz de f : R o R © 0 4¹ con respecto a S1: a.- Determine la matriz de transición P de S2 a S1. b.- Aplique las matrices A y P para encontrar [v]S1 y § 1· ¨ ¸. ©2¹ c.- Determine B , la matriz de f con respecto a S2, y P -1. d.- Encuentre [ f (v)]S2 de dos formas: primero como

[ f (v)]S1 , donde [v]S2

P1[ f (v)]S1 y luego como B[v]S2 .

7.2.13 En R 3 sean S1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y S2 = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}. Encuentre la matriz de transición P de S1 hacia S2 y la matriz de transición P -1 de S2 hacia S1. 7.2.14 Sea S1, S2 y S3 tres base de V. Sea P la matriz de transición de S1 hacia S2 y Q la matriz de transición de S2 hacia S3. ¿Es PQ o QP la matriz de transición de S1 hacia S3? Compare el orden de multiplicación de las matrices de transición y de las matrices que representan transformaciones lineales. 7.2.15 Sea f una transformación lineal de R 2 hacía si mismo que aplica a (1, 0) sobre (3, -1) y a (0, 1) sobre (1, 2). Determine la matriz que representa a f con respecto a las bases canónicas. 7.2.16 Sea S = {1, x, ex, xex} una base de un subespacio U del espacio de funciones continuas y sea D x el operador diferencial sobre U. Encuentre la matriz para D x con respecto a la base S. 7.2.17 Sea S = {e2x, xe2x, x2e2x} una base de un subespacio U del espacio de funciones continuas y sea D x el operador diferencial sobre U. Encuentre la matriz para D x con respecto a la base S.

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333

7.2.18 Sea u = (x, y), v = (-7, 4) y w = (3, -8), y sea f : R 2 o R 2 una transformación que transforma u en Dv + E w. Encuentre una matriz tal que f(u) sea Au para cada u. 7.2.19 La transformación lineal definida por una matriz diagonal cuyos elementos en la diagonal principal son positivos se denomina amplificación. Encontrar las imágenes de (1, 0), (0, 1) y (2, 2) bajo la transformación § 2 0· definida por A ¨ ¸ e interpretar gráficamente los © 0 3¹ resultados. 7.2.20 Considere los números complejos de la forma x + iy y represente tales números complejos por las diadas (x, y) en R 2. Sea a + ib un número complejo fijo. Considere la función f definida por la regla f(x + iy) = ( a + ib)(x + iy) = u + iv: a.- Demuestre que esta función es una transformación lineal de R 2 hacia sí mismo que aplica a (x, y) sobre (u, v). b.- Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica. c.- Encuentre la matriz que representa a la transformación lineal que se obtiene usando c + id en lugar de a + ib. Calcule el producto de estas dos matrices. ¿Se pueden conmutar? d.- Determine el número complejo que se pueda usar en lugar de a + ib para obtener una transformación representada por este producto de matrices. ¿Cómo está relacionado este número complejo con a + ib y c + id? 7.2.21 En el espacio C>0; [email protected], definamos T( f) como Mf, donde Mf es la función de x definida de la manera siguiente, Mf(x) = máximo de f en >0; [email protected], 0 d x d 1. De esto tenemos un ejemplo en un termómetro que registra la temperatura máxima. Se puede demostrar que M f(x) es función continua en >0; [email protected] cuando f también lo es: a.- Encuéntrese T(f) en f(x) = x ± x2, f(x) = e-x, f(x) = Sen3x, f(x) = x2 ± x. b.- ¿Es T transformación lineal? c.- Descríbanse las funciones f para las cuales T( f) es la función cero. d.- Descríbanse las funciones f para las cuales T(f) = f. 7.2.22 Sea f : R 3 o R 3 la transformación lineal determinada por la matriz § a 0 0· ¨ ¸ A ¨ 0 b 0¸ ¨0 0 c¸ © ¹ donde a , b y c son números positivos. Sea S la esfera unitaria, cuya superficie limitante tiene la ecuación x12  x22  x32 1 : JOE GARCIA ARCOS

334

TRANSFORMACIONES LINEALES

a.- Demuestre que f(S) está delimitada por el elipsoide que tiene la ecuación

x12 2

a



x22 2

b



x32 2

c

1.

b.- Utilice el hecho de que el volumen de la esfera unitaria es 4S/3 para determinar el volumen de la región acotada por el elipsoide de a).

7.3 A L G E B R A D E T R A NSF O R M A C I O N ES L I N E A L ES En esta sección se analizarán las operaciones que se pueden realizar entre transformaciones lineales. Enunciaremos sus propiedades más importantes.  

Comenzamos el estudio sistemático de las transformaciones lineales con la descripción de varias maneras en que pueden formarse nuevas transformaciones partiendo de otras. De entre ellas la más simple es la adición de dos transformaciones lineales, cada una de las cuales aplica un espacio vectorial dado U en el espacio V. D E F IN I C I O N 7.3.1 Sean U y V espacios vectoriales, ambos sobre el mismo cuerpo K . La suma f + g de las transformaciones lineales f de U en V y g de U en V está dada por (f + g)(u) = f(u) + g(u) para cada vector u de U. Ciertamente f + g es función de U en V. No obstante, es natural preguntarse si f + g es una transformación lineal. T E O R E M A 7.3.1 La suma f + g de las transformaciones lineales f de U en V y g de U en V, es una transformación lineal. D E M OST R A C I O N Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean a y b escalares arbitrarios de K. Para demostrar que f + g sea una transformación lineal, debemos probar que (f + g)(au + bv) = a(f + g)(u) + b(f + g)(v). Es decir (f + g)(au + bv) = f(au + bv) + g(au + vb) = [af(u) + bf(v)) + (ag(u) + bg(v))] = [af(u) + ag(u)) + (bf(v) + bg(v))] = a[f(u) + g(u)] + b[f(v) + g(v)] = a(f + g)(u) + b(f + g)(v). La adición de transformaciones lineales tiene un gran número de propiedades familiares y sugerentes. En primer lugar f + (g + h) = (f + g) + h y f + g = g + f, siempre que f, g y h sean transformaciones lineales de U en V. En segundo lugar, la transformación cero de U en V actúa como un cero para esta adición, ya que f + ‡ = ‡ + f = f para toda f de U en V. Finalmente, si f es cualquier transformación lineal de U en V y si definimos ±f por la ecuación (-f)(u) = - f(u), para toda u de U, obtenemos una transformación lineal de U en V con la propiedad de que f + (-f) = (-f) + f = ‡. A continuación detallaremos la matriz asociada a la transformación lineal f + g. Sean S1 = {u1, u2, ..., un} y S2 = {v1, v2, ..., vm} bases de los espacios vectoriales U y V respectivamente, y sean § a11 a21 ... an1 · § b11 b21 ... bn1 · ¨ ¸ ¨ ¸ a a ... a b b22 ... bn 2 ¸ 22 n2 ¸ A f ¨ 12 y B g ¨ 12 ¨ ... ¨ ... ... ... ¸ ... .. ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © a1m a2 m ... anm ¹ © b1m b2 m ... bnm ¹ las matrices asociadas a las transformaciones lineales f y g respecto de las bases

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TRANSFORMACIONES LINEALES

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consideradas anteriormente. Calculamos los transformados de los elementos de la base S1, para determinar la matriz asociada a la transformación f + g: (f + g)(u1) = f(u1) + g(u1) = (a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm) + (b11v1 + b12v2 + ... + b1mvm) = (a11 + b11)v1 + (a12 + b12)v2 «+ (a1m + b1m)vm (f + g)(u2) = f(u2) + g(u2) = (a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm) + (b21v1 + b22v2 + ... + b2mvm) = (a21 + b21)v1 + (a22 + b22)v2 « a2m + b2m)vm ... (f + g)(un) = f(un) + g(un) = (an1v1 + an2v2 + ... + anmvm) + (bn1v1 + bn2v2 + ... + bnmvm) = (an1 + bn1)v1 + (an2 + bn2)v2 «+ (anm + bnm)vm Por tanto, la matriz asociada en las bases consideradas vendrá dada por § a11  b11 a21  b21 ... an1  bn1 · ¨ ¸ a b a22  b22 ... an 2  bn 2 ¸ A f  B g ¨ 12 12 ¨ ... ¸ ... ... ¨¨ ¸¸ © a1m  b1m a2 m  b2 m ... anm  bnm ¹ es decir, la matriz asociada a la transformación lineal f + g se obtiene sumando término a término los elementos de las matrices asociadas a la transformaciones lineales f y g. EJ E M P L O 7.3.1 La transformación lineal f consiste en que cada vector del plano está vuelto en el ángulo T = S/4. Hallar en la forma de coordenada la transformación lineal f + i. SO L U C I O N Tenemos que S S 2 2 3S 3S 2 2 f (i ) iCos  jSen i j ; f ( j ) iCos  jSen  i j 4 4 2 2 4 4 2 2 Por consiguiente § 2 2·  ¨ ¸ 2 ¸ Af ¨ 2 . ¨ 2 2 ¸ ¨ ¸ 2 ¹ © 2 Como Ii es la matriz identidad de 2 x 2, entonces § 2 § 2 2· 2 ·  1  ¨ ¸ 1 0 ¨ ¸ · ¨ 2 2 ¸§ 2 ¸ A f  Ii ¨ 2 . ¨ ¸ ¨ 2 2 ¸ ©0 1¹ ¨ 2 2 ¸  1¸ ¨ ¸ ¨ 2 ¹ 2 © 2 © 2 ¹ La transformación lineal Af + Ii se puede escribir como §§ 2 · § 2 · · 2 2 ( f  i )(( a , b)) ¨ ¨¨  1¸¸ a  b, a  ¨¨  1¸¸ b ¸ . ’ ¨ 2 ¸ 2 2 ¹ © 2 ¹ ¹ ©© EJ E M P L O 7.3.2 Se dan dos transformaciones lineales f((a, b, c)) = (a + 2b + 3c, 4a + 5b + 6c, 7a + 8b) g((a, b, c)) = (a + 3b + c, a ± 3b + 2c, a + c). Hallar 3f ± 2g. SO L U C I O N Como 3f ± 2g : R 3 o R 3, entonces: 3f((a, b, c)) ± 2g((a, b, c)) = 3(a + 2b + 3c, 4a + 5b + 6c, 7a + 8b) - 2(a + 3b + c, a ± 3b + 2c, a + c) ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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TRANSFORMACIONES LINEALES

= (3a + 6b + 9c, 12a + 15b + 18c, 21a + 24b) - (2a + 6b + 2c, 2a ± 6b + 4c, 2a + 2c) = (a + 7c, 10a + 21b + 14c, 19a + 24b ± 2c). ’ Para completar lo que ahora debe ser una sucesión obvia de ideas, presentamos una multiplicación escalar en el conjunto de las transformaciones lineales de U en V. D E F I N I C I O N 7.3.2 El producto escalar af de un escalar a de K y una transformación lineal f de U en V está dada por ( af)(u) = af(u) para todo vector u de U. En otras palabras, af es la función cuyo valor en u se calcula formando el producto escalar de a y el vector f(u). T E O R E M A 7.3.2 El producto escalar af de un escalar a de K y una transformación lineal f de U en V, es una transformación lineal. D E M OST R A C I O N Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean k y r, escalares arbitrarios. Para demostrar que af es una transformación lineal, debemos probar que (af)(ku + rv) = k[(af)(u)] + r[(af)(v)]. Es decir (af)(ku + rv) = a[f(ku + rv)] = a[kf(u) + rf(v)] = (ak)f(u) + (ar)f(v) = k[af(u)] + r[af(v)] = k[(af)(u)] + r[(af)(v)]. Sean S1 = {u1, u2, ..., un} y S2 = {v1, v2, ..., vm} bases de los espacios vectoriales U y V respectivamente, y sea § a11 a21 ... an1 · ¨ ¸ a a22 ... an 2 ¸ A f ¨ 12 ¨ ... ... ... ¸ ¨¨ ¸¸ © a1m a2 m ... anm ¹ la matriz asociada a la transformación lineal f en las bases consideradas anteriormente. Calculamos los transformados de los elementos de la base S1, para determinar la matriz asociada a la transformación af: (af)(u1) = af(u1) = a(a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm) = aa11v1 + aa12v2 + ... + aa1mvm (af)(u2) = af(u2) = a(a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm) = aa21v1 + aa22v2 + ... + aa2mvm ... (af)(un) = af(un) = a(an1v1 + an2v2 + ... + anmvm) = aan1v1 + aan2v2 + ... + aanmvm por tanto, la matriz asociada en las bases consideradas vendrá dada por § aa11 aa21 ... aan1 · ¨ ¸ aa aa22 ... aan 2 ¸ aA f ¨ 12 ¨ ... ... ... ¸ ¨¨ aa ¸¸ © 1m aa2 m ... aanm ¹ es decir, la matriz asociada a la transformación lineal af se obtiene multiplicando el escalar a por todos los elementos de la matriz asociada a la transformación lineal f. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Al conjunto de transformaciones lineales f de U en V, se designa por L(U, V). Si U y V son ambos de dimensión finita, entonces L(U, V) es de dimensión finita, y de hecho dimL(U, V) = dimUdimV. T E O R E M A 7.3.3 Con la adición y la multiplicación escalar como se definieron antes, L(U, V) es un espacio vectorial sobre K . D E M OST R A C I O N Es necesario verificar, uno por uno, que los axiomas de la definición de espacio vectorial son satisfechos. Para comprobar el primer axioma, debemos demostrar que la suma f + g de las transformaciones lineales es una transformación lineal. Esto ya se demostró antes. Para comprobar el axioma 6 se debe demostrar que el producto af del escalar a y la transformación lineal f es una transformación lineal. Esto también lo hicimos antes. La demostración se termina ahora con el siguiente razonamiento: L(U, V) es un subconjunto de V(U), y las operaciones de adición y multiplicación por escalares en L(U, V) y V(U), son las mismas. Como L(U, V) no es vacío y satisface los dos axiomas 1 y 6, se desprende que L(U, V) es un espacio vectorial. El espacio L(U, V) es un subespacio de V(U). Para definir esta multiplicación, sean U, V y W espacios vectoriales, y consideremos un par de transformaciones lineales f : U o V y g : V o W. Entonces, para todo u de U, f(u) es un vector en V, y tiene por ello sentido hablar de aplicar g a f(u) para obtener el vector g(f(u)) de W. Así, f y g pueden combinarse, o multiplicarse, para producir una transformación de U en W, la que denotaremos por gf, y llamaremos el producto de f y g en ese orden, es decir, primero f, luego g. D E F IN I C I O N 7.3.3 El producto, gf de las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W se define por (gf)(u) = g(f(u)) para todo vector u de U. T E O R E M A 7.3.4 El producto gf de las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W es una transformación lineal. D E M OST R A C I O N Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean a y b escalares arbitrarios. Para demostrar que gf es una transformación lineal, debemos probar que (gf)(au + bv) = a[(gf)(u)] + b[(gf)(v)]. Es decir (gf)(au + bv) = g[f(au + bv)] = g[af(u) + bf(v)] = ag[f(u)] + bg[f(v)] = a[(gf)(u)] + b[(gf)(v)]. Antes de proseguir, es conveniente un comentario sobre la notación. A primera vista parecería más razonable denotar la composición de f y g por fg en lugar de gf como arriba aparece. La explicación de no adoptar esta notación es muy simple. Si se usara gf tendría que cambiarse para que tuviéramos fg(u) = g(f(u)), y la escritura de ecuaciones se convertiría en una clara invitación al error. Una vez que se ha establecido la convención de que el símbolo gf es el que se emplea para la composición de f y g, en ese orden, observamos que esta composición está definida solamente cuando la imagen de f está contenida en el dominio de g. Así pues, una de las composiciones fg ó gf puede existir y el otro no. Pero incluso cuando tanto f como g transformen un espacio vectorial dado en sí mismo, en cuyo caso fg y gf son transformaciones lineales en el mismo espacio, no es cierto en forma alguna que ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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deban ser iguales. En resumen la composición de transformaciones lineales es anticonmutativa. A continuación damos la representación matricial de la transformación lineal gf. Sean S1 = {u1, u2, ..., un}, S2 = {v1, v2, ..., vr} y S3 = {w1, w2, ..., wm} bases de los espacios vectoriales U, V y W respectivamente, y sean § a11 a21 ... an1 · § b11 b21 ... br1 · ¨ ¸ ¨ ¸ a a22 ... an 2 ¸ b b22 ... br 2 ¸ y B g ¨ 12 A f ¨ 12 ¨ ... ... ¨ ... ... ¸ ... ... ¸ ¸ ¨ ¨¨ a ¸ ¨ ¸¸ © 1r a2 r ... anr ¹ © b1m b2 m ... brm ¹ las matrices asociadas a las transformaciones lineales f y g respecto de las bases consideradas anteriormente. Calculamos los transformados de los elementos de la base S1, para determinar la matriz asociada a la transformación gf: (gf)(u1) = g(f(u1)) = g(a11v1 + a12v2 + ... + a1rvr) = a11g(v1) + a12g(v2 «a1rg(vr) = a11(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + a12(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm « a1r(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm) = c11w1 + c12w2 + ... + c1mwm (gf)(u2) = g(f(u2)) = g(a21v1 + a22v2 + ... + a2rvr) = a21g(v1) + a22g(v2 «a2rg(vr) = a21(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + a22(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm « a2r(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm) = c21w1 + c22w2 + ... + c2mwm ... (gf)(un) = g(f(un)) = g(an1v1 + an2v2 + ... + anrvr) = an1g(v1) + an2g(v2 «anrg(vr) = an1(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + an2(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm « anr(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm) = cn1w1 + cn2w2 + ... + cnmwm donde c11 = a11b11 + a12b21 + ... + a1rbr1 c21 = a11b12 + a12b22 + ... + a1rbr2 ... cij = ai1b1j + a i2b2j + ... + a irbrj ... cnm = an1b1m + an2b2m + ... + an rbr m y la matriz asociada a la transformación lineal gf respecto de las bases consideradas, será: § c11 c21 ... cn1 · ¨ ¸ c c22 ... cn 2 ¸ B g A f ¨ 12 ¨ ... ... ... ¸ ¨¨ ¸¸ © c1m c2 m ... cnm ¹ esto es, los elementos c ij de la matriz asociada a la transformación lineal gf se obtienen sumando los productos que resultan de multiplicar los elementos de la fila que ocupa el lugar j en la matriz Bg por los elementos de la columna que ocupa el lugar i de la matriz A. Relacionando las operaciones de adición y multiplicación de transformaciones lineales, tenemos dos leyes distributivas.

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T E O R E M A 7.3.5 Sean f y g transformaciones lineales de U en V y h y t transformaciones lineales de V en W. Entonces tenemos: a.- h(f + g) = hf + hg; b.- (h + t)f = hf + tf. D E M OST R A C I O N a.- Como f + g va de U en V y h va de V en W, entonces h(f + g) es una función de U en W. Análogamente, hf va de U en W y hg va de U en W y así hf + hg es una función de U en W. Por tanto, para demostrar que h(f + g) = hf + hg, debemos evaluar cada miembro en un vector arbitrario u de U y comprobar que los dos resultados son siempre iguales. Es decir [h(f + g)](u) = h[(f + g)(u)] = h[f(u) + g(u)] = h[f(u)] + h[g(u)] = (hf)(u) + (hg)(u) = (hf + hg)(u) b.- Como h + t va de V en W y f va de U en V, entonces (h + t)f es una función de U en W. Análogamente, hf va de U en W y tf va de U en W y así hf + tf es una función de U en W. Por tanto, para demostrar que (h + t)f = hf + tf, debemos evaluar cada miembro en un vector arbitrario u de U y comprobar que los dos resultados son siempre iguales. Es decir [(h + t)f](u) = (h + t)[f(u)] = h[f(u)] + t[f(u)] = (hf)(u) + (tf)(u) = (hf + tf)(u). Obsérvese que en el primer producto, h aparece a la izquierda, mientras que en el segundo producto, f aparece a la derecha. Debido a que la multiplicación de las transformaciones lineales no es conmutativa, las dos fórmulas no pueden comprimirse en una sola ley distributiva. La primera fórmula se llama ley distributiva a la izquierda y, la segunda fórmula, ley distributiva a la derecha. Sean las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W, y a un escalar arbitrario. Entonces a(gf) = (ag)f = g(af).

Hemos presentado los resultados básicos referentes a las sumas, a los productos escalares y a los productos de transformaciones lineales. Consideremos ahora el caso especial de las transformaciones lineales de V en V; esto es, estudiaremos ahora L(V, V). T E O R E M A 7.3.6 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces L(V, V) cumple lo siguiente: a.- L(V, V) es un espacio vectorial sobre K ; b.- L(V, V) es cerrado bajo la multiplicación; c.- f(gh) = (fg)h para toda f, g y h de L(V, V); d.- Para cualesquiera f, g y h de L(V, V) tenemos f(g + h) = fg + fh y (g + h)f = gf + hf; e.- Para un escalar a de K y cualesquiera f y g de L(V, V), tenemos que ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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a(fg) = (af)g = f(ag); f.- i(f) = f para toda f de L(V, V). EJ E M P L O 7.3.3 Se dan dos transformaciones lineales: f((a, b, c)) = (a + b, b + c, c + a) y g((a, b, c)) = (b + c, a + c, a + b). Hallar las transformaciones fg y gf. SO L U C I O N Las matrices de las transformaciones dadas tienen la forma §1 1 0· §0 1 1· ¨ ¸ ¨ ¸ A f ¨ 0 1 1 ¸ , Bg ¨ 1 0 1 ¸ . ¨1 0 1¸ ¨1 1 0¸ © ¹ © ¹ Hallamos los productos de estas matrices: § 1 1 0 ·§ 0 1 1 · § 1 1 2 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ A f Bg ¨ 0 1 1 ¸¨ 1 0 1 ¸ ¨ 2 1 1 ¸ , ¨ 1 0 1 ¸¨ 1 1 0 ¸ ¨ 1 2 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹ § 0 1 1 ·§ 1 1 0 · § 1 1 2 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Bg A f ¨ 1 0 1 ¸¨ 0 1 1 ¸ ¨ 2 1 1 ¸ . ¨ 1 1 0 ¸¨ 1 0 1 ¸ ¨ 1 2 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹ En este caso AfBg = BgAf, por eso las transformaciones fg y gf coinciden. La forma de coordenadas de la transformación fg se escribe de la forma siguiente: gf((a, b, c)) = fg((a, b, c) = (a + b + 2c, 2a + b + c, a + 2b + c). ’

EJ E M P L O 7.3.4 Demuestre que si f : U o V, g : V o W y h : W o X son tres transformaciones, tenemos entonces que h(gf) = (hg)f. SO L U C I O N Las transformaciones h(gf) y (hg)f tienen ambas dominio U y valores en X. Para cada u de V, tenemos (h(gf))(u) = h((gf)(u)) = h(g(f(u))) y ((hg)f)(u) = (hg)(f(u)) = h(g(f(u))) lo que demuestra que h(gf) y (hg)f. ’ EJ E M P L O 7.3.5 Sea V = R 2. Sea S = {e1, e2} la base canónica de R 2. Defínanse f y g en L(V, V) tales que cumplan f(e1) = e2, f(e2) = ‡, g(e1) = e1 + e2, g(e2) = ‡. Demuestre que aunque fg y gf están ambas en L(V, V), fg z gf. SO L U C I O N Hacemos la combinación lineal con el vector (a, b): ­D a (a, b) = D(1, 0) + E(0, 1) = (D, E) Ÿ ® . ¯E b f((a, b)) = af((1, 0)) + bf((0, 1)) = a(0, 1) + b(0, 0) = (0, a) ­D a (a, b) = D(1, 0) + E(0, 1) = (D, E) Ÿ ® . ¯E b g((a, b)) = ag((1, 0)) + bg((0, 1)) = a(1, 1) + b(0, 0) = (a, a) (fg)(a, b) = (0, a), (gf)(a, b) = (0, 0) Ÿ fg z gf. Otra forma de resolver este problema, es el siguiente: Sabemos que S = {(1, 0), (0,1)}, entonces: §0 0· f((1, 0)) = (0, 1), f((0, 1)) = (0, 0) Ÿ A f ¨ ¸; ©1 0¹

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§1 0 · ¨ ¸. ©1 0 ¹ §1 0 ·§ 0 0 · § 0 0 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ©1 0 ¹© 1 0 ¹ © 0 0 ¹

g((1, 0)) = (1, 1), g((0, 1)) = (0, 0) Ÿ A g § 0 0 ·§1 ¨ ¸¨ © 1 0 ¹©1 Por tanto f g z g f . ’ A f Ag

0· § 0 0· ¸ ¨ ¸ , Ag A f 0¹ ©1 0¹

EJ E M P L O 7.3.6 Sea V un espacio vectorial. Sean f, g de L(V, V). Demuestre que (f + g)2 = f2 + 2fg + g2 si y sólo si fg = gf. SO L U C I O N Como f : V o V, g : V o V, entonces por definición f + g : V o V y (f + g)2 : V o V. Por lo tanto (f + g)2 = (f + g)(f + g) = f2 + fg + gf + g2. Como fg = gf, entonces (f + g)2 = f2 + 2fg + g2. ’ EJ E M P L O 7.3.7 Sea V un espacio vectorial. Sea f de L(V, V). ¿Implica siempre f2 = ‡, que f = ‡? ¿Por qué? SO L U C I O N Como f : V o V, entonces f2 : V o V. Por lo tanto f2 = ff es la composición de f consigo mismo, entonces la transformación lineal f es nula, para que f2 = ‡. ’ EJ E M P L O 7.3.8 Sean f : V o V y g : V o V transformaciones lineales. Si f y g conmutan, demostrar que (fg)n = fngn, para todo n t 0. SO L U C I O N Como f : V o V, g : V o V, entonces por definición fg : V o V y (fg)n : V o V. Por lo tanto ( fg )n ( fg )( fg ) ( fg ) n veces

Como por hipótesis tenemos que fg = gf, entonces (fg)n = fngn. ’ EJ E M P L O 7.3.9 Sea V un espacio vectorial. Si f y g conmutan, demostrar que (f + g)2 = f2 + 2fg + g2 y (f + g)3 = f3 + 3f2g + 3fg2 + g3. Indicar cómo deben modificarse esas fórmulas si fg z gf. SO L U C I O N Como f : V o V, g : V o V, entonces por definición f + g : V o V y (f + g)2 : V o V. Por lo tanto (f + g)2 = (f + g)(f + g) = f2 + fg + gf + g2, (f + g)3 = (f + g)2(f + g) = (f2 + fg + gf + g2)(f + g) = f3 + f2g + fgf + fg2 + gf2 + gfg + g2f + g3. Como por hipótesis tenemos fg = gf, entonces (f + g)2 = (f + g)(f + g) = f2 + 2fg + g2, 3 2 (f + g) = (f + g) (f + g) = (f2 + fg + gf + g2)(f + g) = f3 + 3f2g + 3fg2 + g3. Si fg z gf, es decir las transformaciones lineales f y g no son conmutativas, entonces (f + g)2 = (f + g)(f + g) = f2 + fg + gf + g2, (f + g)3 = (f + g)2(f + g) = (f2 + fg + gf + g2)(f + g) ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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= f3 + f2g + fgf + fg2 + gf2 + gfg + g2f + g3. ’ EJ E M P L O 7.3.10 Dadas las transformaciones lineales f : R 3 o R 3 y g : R 3 o R 3, definidas por f((a, b, c)) = (a + b, b ± c, 2c) y g((a, b, c)) = (a, 2a + 3b, 4a + c), describir las transformaciones lineales indicadas a continuación: a.- 2f - g; b.- f2 + g2; c.- 3f + 5g; d.- fg - gf; e.- f2 + 2f + g. SO L U C I O N a.- Como 2f ± g : R 3 o R 3, entonces: 2f((a, b, c)) ± g((a, b, c)) = 2(a + b, b ± c, 2c) ± (a, 2a + 3b, 4a + c) = (a + 2b, - 2a ± b ± 2c, - 4a + 3c); b.- Como f2 + g2 : R 3 o R 3, entonces: f2((a, b, c)) ± g2((a, b, c)) = (a + 2b ± c, b ± 3c, 4c) - (a, 8a + 9b, 8a + c) = (2b ± c, - 8a ± 8b ± 3c, - 8a + 3c); c.- Como 3f + 5g : R 3 o R 3, entonces: 3f((a, b, c)) + 5g((a, b, c)) = 3(a + b, b ± c, 2c) + 5(a, 2a + 3b, 4a + c) = (8a + 3b, 10a + 18b ± 3c, 20a + 11c); 3 3 d.- Como fg ± gf : R o R , entonces: fg((a, b, c)) ± gf((a, b, c)) = (3a + 3b, - 2a + 3b ± c, 8a + 2c) ± (a + b, 2a + 5b ± 3c, 4a + 4b + 2c) = (2a + 2b, - 4a ± 2b + 2c, 4a ± 4b) e.- Como f2 + 2f + g : R 3 o R 3, entonces: f2((a, b, c)) + 2f((a, b, c)) + g((a, b, c)) = (a + 2b ± c, b ± 3c, 4c) + 2(a + b, b ± c, 2c) + (a, 2a + 3b, 4a + c) = (4a + 4b ± c, 2a + 6b ± 5c, 4a + 9c). ’

PR O B L E M AS 7.3.1 Si P es el conjunto de los polinomios en x sobre R, sean f : P o P, definida por f(p(x)) = p´(x) y g : P o P, definida por g ( p( x)) a.- fg = i;

x

³0

p(t )dt . Pruebe lo siguiente:

b.- gf z i.

7.3.2 En el espacio vectorial de todas las funciones reales, cada uno de los siguientes conjuntos es independiente y genera un subespacio V de dimensión finita. Utilizar el conjunto dado como base para V y sea D : V o V el operador derivación. En cada caso, hallar la matriz D y la de D 2 relativa a la base que se elige: a.- {Senx, Cosx}; b.- {x, x + e x, x + ex + xex}; x 2 x c.- {x, xe , x e }; d.- {e2xSen3x, e2x Cos3x}; x x 2 x e.- {e , xe , x e }; f.- {exSenx, ex Cosx}. 7.3.3 Encuéntrense ejemplos de transformaciones lineales S, T tales que TS está definido, T z O, S z O y TS = O. 7.3.4 Una transformación lineal f : R 2 o R 2 aplica los vectores base e1 y e2 como sigue: f(e1) = 3e1 + 5e2 y f(e2) = 2 e1 ± 3e2: a.- Calcular f(9e1 ± 7e2) y f2(9e1 ± 7e2) en función de e1 y e2. b.- Determinar la matriz de f y de f2. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

c.- Resolver la parte b) si la base canónica se reemplaza por {2 e1 ± e2, e1 + 4e2}. 7.3.5 Una transformación lineal f : R 2 o R 2 se define de la siguiente manera: cada vector u  R 2 se transforma en su simétrico respecto al eje Y y luego se duplica su longitud para obtener f(u). Determine la matriz de f y la de f2. 7.3.6 Encontrar la potencia indicada de A, la matriz de la transformación lineal f: a.- f : R 3 o R 3, reflexión en el plano XY. Encontrar A 2. b.- f : R 3 o R 3, proyección sobre el plano XY. Encuentre A 2. c.- f : R 2 o R 2, rotación de un ángulo T en sentido antihorario. Encontrar A 3. d.- f : P 3 o P 3, operador diferencial. Encontrar A 2. 7.3.7 Sea f : R 3 o R 3 la proyección ortogonal de R 3 sobre el plano XY. Demuestre que f f = f. 7.3.8 Sean f : R n o R m, g : R m o R s, h : R m o R s transformaciones lineales. Demuestre la propiedad distributiva de la composición respecto de la suma: f (g + h) = f g + f h. ¿Es esta propiedad válida para funciones en general? JOE GARCIA ARCOS

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7.3.9 Sea f : R n o R m, g : R m o R s, h : R s o R t transformaciones lineales. Demuestre la propiedad asociativa de su composición. Es decir, demuestre que las transformaciones lineales h (g f), (h g) f son iguales. ¿Es esta propiedad válida para funciones en general? 7.3.10 Sea f : R o R definida por f (v) proyu v , en donde u = (4, 3): a.- Determinar A, y demuestre que A 2 = A. b.- Demuestre que (I ± A)2 = I ± A. c.- Encuentre A v y (I ± A)v para v = (5, 0). d.- Trazar la gráfica de u, v, A v y (I ± A)v. 7.3.11 Considere las transformaciones lineales f : R 3 o R 2, f(( a , b, c)) = ( a - b, a + b), g : R 2 o R 3, g((a , b)) = (b, a , a ± b). Determine expresiones explícitas para las transformaciones lineales f g : R 2 o R 2 y g f : R 3 o R 3. Verifique en cada caso que la matriz que representa a la composición de transformaciones es el producto de las matrices que representan a cada una de las transformaciones lineales que se componen. 7.3.12 Usando multiplicación matricial encuentre la imagen del vector (3, -1, 2) cuando se hace girar: a.- 30º en sentido antihorario con respecto al eje X; b.- 45º en sentido antihorario con respecto al eje Y; c.- 90º en sentido antihorario con respecto al eje Z. 7.3.13 Usando multiplicación matricial encuentre la proyección ortogonal de (3, -4) sobre: a.- El eje X; b.- El eje Y. 7.3.14 Usando multiplicación matricial encuentre la proyección ortogonal de (-1, 3, -2) sobre: a.- El plano XY; b.- El plano XZ; c.- El plano YZ. 7.3.15 Usando multiplicación matricial encuentre la imagen del vector (-1, 4, 7) cuando se hace girar: a.- -30º en sentido horario con respecto al eje X; b.- -45º en sentido horario con respecto al eje Y; c.- -90º en sentido horario con respecto al eje Z. 7.3.16 Determine si f g = g f: a.- f : R 2 o R 2 es la proyección ortogonal sobre el eje X y g : R 2 o R 2 es la proyección ortogonal sobre el eje Y. b.- f : R 2 o R 2 es la rotación en sentido antihorario hasta describir un ángulo T1 y g : R 2 o R 2 es la rotación en sentido antihorario hasta describir un ángulo T2. c.- f : R 2 o R 2 es la reflexión respecto al eje X y g : R 2 o R 2 es la reflexión respecto al eje Y; 7.3.17 Encuentre la matriz estándar para la composición de operadores lineales sobre R 2 que se indica: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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a.- Una rotación de 90º en sentido antihorario b.- Una proyección ortogonal sobre el eje Y, seguida de una contracción con factor k = ½; c.- Una reflexión con respecto al eje X, seguida de una dilatación con factor k = 3. 7.3.18 Sea T una transformación lineal de R 2 con la propiedad de que T(e1) = (1, 1), T(e2) = (0, 1), de manera que T(x, y) = (x, x + y): a.- Encuéntrense T 2(e1) y T 2(e2) y, en consecuencia, obténgase T 2(x, y). A continuación, demuéstrese que T 2 - 2T + I = O y que (T ± I)2 = O, aunque T ± I z O. b.- A partir de los resultados de a), verifíquese que (T ± I)4 = O y que T 4 = 4T 2 - 4T + I. c.- A partir de los resultados de las partes a) y b), dedúzcase que T 4 = 4T - 3I y encuéntrense T 4(4, -2) y T 4(1, 4). d.- De los resultados anteriores, demuéstrese que T 3 = 3T - 2I y evalúense T 3(5, 7) y T 3(1, 4). 7.3.19 Sean f : U o V y g : U o V transformaciones lineales. Las funciones (f + g) : U o V y (f - g) : U o V se definen como (f + g)(u) = f(u) + g(u) y (f - g)(u) = f(u) - g(u). Demuestre que f + g y f ± g son transformaciones lineales. Encontrar (f + g)(a, b) y (f ± g)(a, b) si f : R 2 o R 2 y g : R 2 o R 2 están definidas por las fórmulas f(a, b) = (-5b, 2a) y g(a, b) = (2b, 3a). a.- Una reflexión respecto al plano YZ, seguida de una proyección ortogonal sobre el plano XZ; b.- Una rotación de 45º en sentido antihorario respecto al eje Y, seguida de una dilatación con factor k = 3/2; c.- Una proyección ortogonal sobre el plano XY, seguida de una reflexión con respecto al plano YZ. 7.3.20 Sea U un espacio vectorial complejo y unidimensional, de manera que se pueden representar los vectores de U como números complejos z, Sean S, T transformaciones lineales de U, definidas por iS

S( z ) e 4 z , T(z) = iz. Demuéstrese que: a.- T 2 = -I; b.- T 4 = I; c.- S2 = T; d.- S4 = -I; e.- STST = -T; f.- S8 = I; g.- ST = TS = S3. d.- f : R 2 o R 2 es la proyección ortogonal sobre el eje X y g : R 2 o R 2 es la rotación en sentido antihorario hasta describir un ángulo T.

7.3.21 Sean f : U o V una transformación lineal y O un escalar. La función Of : U o V se define como seguida de una reflexión con respecto a la recta y = x; (Of)(u) = O(f(u)). Demuestre que Of es una transformación lineal. Encontrar (5f)(a, b) si f : R 2 o R 2 está expresada por la fórmula f(a, b) = (3a - b, 2b + a). JOE GARCIA ARCOS

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7.3.22 Encuentre la matriz estándar para la composición de operadores lineales sobre R 3 que se indica: a.- f : R 3 o R 3 es una dilatación con factor k y g : R 3 o R 3 es la rotación en sentido antihorario con respecto al eje Z hasta describir un ángulo T; b.- f : R 3 o R 3 es la rotación con respecto al eje X hasta describir un ángulo T1 y g : R 3 o R 3 es la rotación con respecto al eje Z hasta describir un ángulo T2. 7.3.23 Determínese si las transformaciones lineales siguientes son nilpotentes, idempotentes o ninguna de las dos cosas: a.- T(x, y) = (-x, -y); b.- T(x, y, z) = (y + z, z, 0); c.- T(x, y) = (0, x); d.- T(x, y, z) = (z, x, y); e.- T(x, y) = (x, 0); f.- T(x, y, z) = (x, 0, z). 7.3.24 Sea T una transformación lineal de R 2 con la propiedad de que T( e1) = (1, 2), T( e2) = (3, 1), de manera que T(x, y) = (x + 3y, 2x + y): a.- Encuéntrense T2(e1) y T2(e2) y, en consecuencia, obténgase T2(x, y); entonces, demuéstrese que T2 = 2T + 5I. b.- A partir del resultado de a), verifíquese que T 4 = 4T2 + 20T + 25I. c.- De los resultados de las partes a) y b), dedúzcase que T4 = 28T + 45I y, en consecuencia, encuéntrense T4(3, 2) y T4(-1, 7). d.- A partir de los resultados anteriores, demuéstrese que T3 = 9T + 10I y, en consecuencia, encuéntrense T3(5, 1) y T3(0, 6).

7.3.25 Usando multiplicación matricial encuentre la imagen del vector (5, -2) cuando se hace girar un ángulo de: a.- T = 30º; b.- T = -60º; c.- T = 45º; d.- T = 90º. 7.3.26 Encuentre la matriz estándar para la composición de operadores lineales sobre R 2 que se indica: a.- Una rotación de 60º en sentido antihorario seguida de una proyección ortogonal sobre el eje X, seguida de una reflexión con respecto a la recta y = x; b.- Una dilatación con factor k = 2, seguida de una rotación de 45º en sentido antihorario, seguida de una reflexión con respecto al eje Y; c.- Una rotación de 15º en sentido antihorario, seguida de una rotación de 105º en sentido antihorario, seguida de una rotación de 60º en sentido antihorario. 7.3.27 Encuentre la matriz estándar para la composición de operadores lineales sobre R 3 que se indica: a.- Una reflexión respecto al plano XY, seguida de una reflexión respecto al plano XZ, seguida de una proyección ortogonal sobre el plano YZ; b.- Una rotación de 30º en sentido antihorario respecto al eje X, seguida de una rotación de 30º en sentido antihorario respecto al eje Z, seguida por una contracción con factor k = ½; c.- Una rotación de 270º en sentido antihorario respecto al eje X, seguida de una rotación de 90º en sentido antihorario respecto al eje Y, seguida de una rotación de 180º respecto al eje Z.

7.4 NU C L E O E I M A G E N D E UN A T R A NSF O R M A C I O N L I N E A L En esta sección se estudiarán el núcleo e imagen de una transformación lineal. Se enunciaran las propiedades más importantes. Desde el punto de vista de las transformaciones matriciales, el espacio nulo de A consta de todos los vectores u en R n que la multiplicación por A aplica o transforma en 0, y el espacio columna consta de todos los vectores en R m que son imágenes de por lo menos un vector en R n bajo la multiplicación por A. D E F IN I C I O N 7.4.1 Sea f una transformación de U en V. El núcleo de la transformación lineal f, es el conjunto de todos los vectores u de U tales que f(u) = ‡, es decir: Nuc(f) = {u / u  U y f(u) = ‡, ‡  V} Entonces como ya hemos hecho notar, Nuc(f) siempre contiene al vector cero de U. De hecho, podemos decir mucho más que esto, pues si f(u) = f(v) = ‡, entonces: f(au + bv) = af(u) + bf(v) = ‡, para todo a, b  K , y de ello se sigue que Nuc(f) es un subespacio de U. A este subespacio le llamamos el espacio nulo o núcleo de f, y es de fundamental importancia en el estudio del comportamiento de f en U. T E O R E M A 7.4.1 Sea f una transformación lineal de U en V. El núcleo o espacio nulo de una transformación lineal f es un subespacio del dominio U. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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D E M OST R A C I O N Observe que f(‡) = ‡. Puesto que f(‡) = f(‡ + ‡) = f(‡) + f(‡). Sumando ±f(‡) a cada miembro, obtenemos ‡ = f(‡). Por tanto, siempre hay un vector, es decir, el vector cero de U en el núcleo de f. Para demostrar que el núcleo de f es un subespacio, admitamos que los vectores u y v de U están en el núcleo de f y sean a y b escalares arbitrarios. Entonces f(u) = ‡ y f(v) = ‡. Por tanto, f(au + bv) = af(u) + bf(v) = a‡ + b‡ = ‡. Por consiguiente, au + bv está en el núcleo de f. En consecuencia, el núcleo de f es un subespacio de U. EJ E M P L O 7.4.1 Sea f : R 2 o R 2 una transformación lineal tal que f((3, 2)) = (0, 0) y f((1, 3)) = u z ‡, demuestre que el núcleo de f es una recta en el plano XY que pasa por el origen. Encuentre su ecuación. SO L U C I O N Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b): 1 ­ °° D 7 (3a  b) ­ 3D  E a (a, b) = D(3, 2) + E(1, 3) Ÿ ® Ÿ ® ¯2D  3E b °E  1 (2 a  3b) °¯ 7 De donde 1 1 f (( a, b)) Df ((3, 2))  Ef ((1, 3)) (3a  b)(0, 0)  (2 a  3b)( x, y) 7 7 1  (2 xa  3xb, 2 ya  3 yb) . 7 Por tanto encontramos el núcleo de la siguiente manera: ­ 2 xa  3xb 0 ­2 a  3b 0 Ÿ ® Ÿ 2a ± 3b = 0 ® 2 ya  3 yb 0 ¯ ¯2 a  3b 0 En este caso podemos darnos cuenta que el núcleo de f es una recta en el plano XY que además pasa por el origen. ’ EJ E M P L O 7.4.2 § 1 1 · Sea :(2, 2) el espacio vectorial de matrices 2 x 2 sobre R y M ¨ ¸ . Sea © 2 2 ¹ f : :(2, 2) o :(2, 2) la transformación lineal definida por f(A) = M A. Hallar una base y la dimensión del Nuc(f). SO L U C I O N Aplicando la definición de núcleo, tenemos que Nuc(f) = {A  :(2, 2) / f(A) = ‡, ‡  :(2, 2)} ­§ a b · § 1 1 ·§ a b · § 0 0 · ° ½ ° ®¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¾ . c d  2 2 c d 0 0 ¹ © ¹© ¹ © ¹¿ °© ° ¯ Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos ­ ­ °§ a b · a c ½ ° °§1 0 · § 0 1· ½ ° Nuc( f ) ®¨ ¾ Ÿ BaseNuc( f ) ®¨ ¸ ¸, ¨ ¸¾ c d b d 1 0 0 1 ° ° ° ° © ¹ © ¹ © ¹ ¯ ¿ ¯ ¿

por lo tanto Dim Nuc(f) = 2. ’ EJ E M P L O 7.4.3 Encuentre una transformación lineal f de R 2 en R 2 cuyo núcleo sea la recta 2x + 5y = 0. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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SO L U C I O N Sabemos que Nuc(f) = {(x , y) / 2x + 5y = 0}, entonces la transformación lineal f : R 2 o R 2 puede ser: f((x, y)) = (2x + 5y, 2kx + 5ky), k z 0. ’ De igual importancia que el espacio nulo de f es su imagen, Img(f), la cual definimos a continuación. D E F IN I C I O N 7.4.2 Sea f una transformación lineal de U en V. La imagen de U bajo f, es el conjunto de todos los vectores v de V tales que v = f(u) para cierto u de U. Es decir: Img(f) = {v  V /  u  U y v = f(u)}. La imagen de f no es solamente el conjunto f(u), sino que a él se le considera con la estructura de espacio vectorial, subespacio de V, ya que si v1 y v2 pertenecen a la Img(f) con v1 = f(u1) y v2 = f(u2), entonces: f( au1 + bu2) = af(u1) + bf(u2) = av1 + bv2 de donde av1 + bv2 está también en la imagen de f. T E O R E M A 7.4.2 Sea f una transformación lineal de U en V. El conjunto imagen de f es un subespacio de V. D E M OST R A C I O N Considere que los vectores v y w de V están en el conjunto imagen de f. Entonces v = f(u1) y w = f(u2) para ciertos vectores u1 y u2 de U. Sean a y b escalares arbitrarios. Entonces av + bw = af(u1) + bf(u2) = f(au1 + bu2). Por tanto, av + bw es un valor funcional bajo la función f y, en consecuencia, av + bw está en el conjunto imagen de f. En consecuencia el conjunto imagen de f es un subespacio de V. T E O R E M A 7.4.3 Sea f una transformación lineal de U en V. Entonces Dim Img(f) + Dim Nuc(f) = DimU. D E M OST R A C I O N Como la imagen de f es un subespacio del espacio V de dimensión finita, la imagen de f es también de dimensión finita. Por esta razón, podemos hallar una base para la imagen de f. Sea esta base S1 = {v1, v2, ..., vm} donde m = Dim Img(f). Como los elementos de S1 están todos en la imagen de f hay vectores S = {u1, u2, ..., um} de U tales que f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(um) = vm. Afirmamos que los elementos de S son vectores linealmente independientes de U. Pues sean a1, a2, ..., am escalares arbitrarios y consideremos que la ecuación a1u1 + a2u2 + ... + amum = ‡. Aplicando la transformación f a cada miembro y utilizando f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(um) = vm, obtenemos a1v1 + a2v2 + ... + amvm = ‡. Como los elementos de S1 son vectores linealmente independientes de V, tenemos que a1 = a2 = ... = am = 0. Por tanto, en la ecuación, todos los escalares a1, a2, ..., am deben ser cero. En consecuencia, los elementos de S son linealmente independientes. Como el núcleo de f es un subespacio de U, podemos hallar una base S2 = {w1, w2, ..., wk} del núcleo de f. Aquí, k = DimNuc(f). Afirmamos que S3 = {w1, w2, ..., wk, u1, u2, ..., um} es una base de U. Demostremos que los elementos de S3 generan U. Sea u de U. Entonces f(u) está en la imagen de f, y así f(u) = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm para ciertos escalares arbitrarios b1, b2, ..., bm. Entonces f(u ± b1u1 - b2u2 - ... - bmum) = f(u) ± b1v1 - b2v2 - ... - bmvm = ‡. Por tanto, u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum está en el núcleo de f y, en consecuencia, es igual a la combinación lineal c1w1 + c2w2 + ... + ckwk de los vectores de la base S2 del ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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núcleo de f. De manera que u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum + c1w1 + c2w2 + ... + ckwk. Consiguientemente, los elementos de S1 generan U. Demostremos a continuación estos generadores para la independencia lineal. Escribimos la ecuación b1u1 + b2u2 + ... + bmum + c1w1 + c2w2 + ... + ckwk = ‡ donde b1, b2, ..., bm, c1, c2, ..., ck son escalares. Aplicando la transformación f a cada miembro de esta ecuación, y utilizando f(w1) = f(w2) = ... = f(wk) = ‡, obtenemos b1v1 + b2v2 + ... + bmvm = ‡. En vista de la independencia lineal de S1, podemos ver ahora que b1 = b2 = ... = bm = 0. Por tanto la ecuación se reduce a c1w1 + c2w2 + ... + ckwk = ‡ y, debido a la independencia lineal de S2, tenemos c1 = c2 = ... = ck = 0. Por consiguiente, vemos que todos los escalares son cero. De esta manera, hemos demostrado que S3 es base de U. En consecuencia DimU = m + k = DimImg(f) + DimNuc(f). Sea f una transformación lineal de U en V. La dimensión del núcleo de f se llama nulidad de f. La dimensión de la imagen de f se llama rango de f. Para expresarlo más detalladamente, a continuación damos las definiciones. D E F I N I C I O N 7.4.3 Dada una transformación lineal f de U en V, donde U es un espacio vectorial de tipo finito, se denomina rango de f, y se representa por Rang(f) a la dimensión del subespacio vectorial imagen. La nulidad de una transformación lineal f es la dimensión del núcleo de dicha transformación, en el caso de que sea finita dicha dimensión. Según la definición, el rango de la transformación lineal f no puede exceder a la dimensión de U, es decir: Rang(f) d DimU, es también evidente que si V es de tipo finito, también se satisface la desigualdad Rang(f) d DimV. El resultado anterior, con la definición de rango de una transformación lineal, puede expresarse en los términos siguientes: Rang(f) = DimU ± Dim Nuc(f). EJ E M P L O 7.4.4 Sea f : R 2 o R 3 tal que f(u1) = 2v1 + v2 ± v3, f(u2) = - v1 ± 3v2 + 2v3, donde {u1, u2} forman una base para el conjunto R 2 y {v1, v2, v3} una base para el conjunto R 3. Hallar la imagen del vector u = (2, 1). SO L U C I O N f(u) = f(2u1 + u2) = 2f(u1) + f(u2) = 2(2v1 + v2 ± v3) + (- v1 ± 3v2 + 2v3) = 3v1 ± v2. La imagen del vector u es el vector f(u) de coordenadas (3, -1, 0). ’ EJ E M P L O 7.4.5 Demuestre que si f y g son transformaciones lineales de U hacia V (DimU = n y DimV = m), entonces Rang(f + g) d mín{m, n, Rang(f) + Rang(g)}. SO L U C I O N Si f y g son transformaciones lineales de U hacia V, entonces: Rang(f + g) = Dim(f + g)(U) d Dim{f(U) + g(U)} = Dimf(U) + Dimg(U) ± Dim{f(U) ˆ g(U)} d Rang(f) + Rang(g). ’ EJ E M P L O 7.4.6 Demuestre que ~Rang(f) ± Rang(g)~ d Rang(f + g). SO L U C I O N Como Rang(g) = Rang(-g), el ejemplo anterior también dice que Rang(f ± g) d Rang(f) + Rang(g). Entonces Rang(f) = Rang(g ± (f + g)) d Rang(g) + Ran(f + g). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Por simetría, Rang(g) d Rang(f) + Rang(f + g). ’ EJ E M P L O 7.4.7 Si U = R 2, V = R 2 y f(u) es el complemento ortogonal de u respecto a la recta y = x, es decir, si w es un vector unitario sobre la recta dada, entonces ¢u ˜ w²w es la proyección sobre la recta y u - ¢u ˜ w²w es el complemento ortogonal, mostrar que f es una transformación lineal. Encontrar núcleo y la imagen de f. SO L U C I O N Sabemos que f(u) = u - ¢u ˜ w²w, escogemos un vector unitario que está en la recta 1 dada y = x, w (1,1) . Reemplazando este vector en la definición, obtenemos 2 1

1

(1,1) . Para demostrar que f(u) es una transformación 2 2 lineal, aplicamos la definición general: 1 1 f (Du  Ev) (Du  Ev)  (Du  Ev) ˜ (1,1) (1,1) 2 2

f (u ) u  u ˜

(1,1)

Du  Ev  D u ˜

1 2

(1,1)

1 2

(1,1)  E v ˜

1 2

(1,1)

1 2

(1,1)

ª º ª º 1 1 1 1 D «u  u ˜ (1,1) (1,1) »  E «v  u ˜ (1,1) (1,1) » 2 2 2 2 ¬ ¼ ¬ ¼ Df (u)  Ef (v) Por tanto f(u) es transformación lineal. Siendo u = ( a , b), entonces 1 1 § a b b a · f (( a, b)) ( a, b)  ( a, b) ˜ (1,1) (1,1) ¨ , ¸. 2 ¹ 2 2 © 2 Para calcular el núcleo y la imagen, hacemos uso de la definición correspondiente: ­a b 0 °° 2 ­a  b 0 ­a 0 Ÿ ® Ÿ ® . ® ¯b  a 0 ¯b 0 °b  a 0 °¯ 2 Por tanto el núcleo de f es: Nuc(f) = {( a , b) / a = b = 0} ­a b r °° 2 ­ a  b 2r Ÿ ® . ® b  a ¯b  a 2s ° s °¯ 2 Por tanto la imagen de f es: Img(f) = {( r, s) / a ± b = 2 r, b ± a = 2s}. ’

EJ E M P L O 7.4.8 Sea f : R 2 o R 2 una transformación lineal tal que f((1, 1)) = (0, 0) y f((0, 1)) = (1, 1), demuestre que tanto el núcleo como la imagen de f son rectas en el plano XY que pasan por el origen. Encuentre las ecuaciones de estas rectas. SO L U C I O N Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b): ­ D a (a, b) = D(1, 1) + E(0, 1) Ÿ ® ¯E b  1 De donde f((a, b)) = Df((1, 1)) + Ef((0, 1)) f((a, b)) = a(0, 0) + (b ± a)(1, 1) = (b ± a, b ± a). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Por tanto encontramos el núcleo de la siguiente manera: ­b  a 0 Ÿ a±b=0 ® ¯b  a 0 Para encontrar la imagen de f, lo hacemos como sigue: ­b  a r Ÿ r±s=0 ® ¯b  a s En ambos casos podemos darnos cuenta que el núcleo y la imagen de f son rectas en el plano XY que además pasan por el origen. ’ EJ E M P L O 7.4.9 Una transformación lineal f : R 2 o R 3 aplica los vectores base de la siguiente manera: f(i) = (1, 0, 1), f(j) = (-1, 0, 1). a.- Calcular f(2i - 3j) y determinar la dimensión del núcleo e imagen de f; b.- Determinar la matriz de f. SO L U C I O N a.- Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b): ­D a (a, b) = D(1, 0) + E(0, 1) Ÿ ® ¯E b De donde f((a, b)) = Df((1, 0)) + Ef((0, 1)) = a(1, 0, 1) + b(-1, 0, 1) = (a - b, 0, a + b). Por tanto encontramos el núcleo de la siguiente manera: ­a  b 0 ° ® 0 0 Ÿ a = b = 0 Ÿ Nuc(f) = {(a, b) / a = b = 0} °a  b 0 ¯ BaseNuc(f) = {‡} Ÿ DimNuc(f) = 0. Para encontrar la imagen de f, lo hacemos como sigue: ­a  b r ° ® 0 s Ÿ Img(f) = {(r, s, t) / r = a ± b, s = 0, t = a + b} °a  b t ¯ BaseImg(f) = {(1, 0, 1), (-1, 0, 1)} Ÿ DimImg(f) = 2. b.- Calculamos la imagen de cada uno de los elementos de la base canónica de R 2: f((1, 0)) = (1, 0, 1) y f((0, 1)) = (-1, 0, 1) Por tanto la matriz de f es: § 1 1· ¨ ¸ A f ¨0 0 ¸ . ’ ¨1 1 ¸ © ¹ EJ E M P L O 7.4.10 Defínase f : :(3, 3) o :(3, 3) mediante f(A) = A - AT. Muéstrese que f es lineal. Descríbase el núcleo e imagen de f. SO L U C I O N Para demostrar que f es una transformación lineal, aplicamos la definición general: f(DA + EB) = (DA + EB) ± (DA + EB)T = DA + EB ± DAT - EBT = (DA ± DAT) + (EB ± EBT) = D(A ± AT) + E(B ± BT) = Df(A) + Ef(B). Por tanto f(A) es transformación lineal. Para determinar el núcleo y la imagen de f, aplicamos la definición correspondiente: A ± AT = O Ÿ A = AT Ÿ Nuc(f) = {A  :(3 x 3) / A = AT}. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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A ± AT = B Ÿ Img(f) = {B  :(3 x 3) / A - AT = B}. ’ EJ E M P L O 7.4.11 Sea V el espacio vectorial real de las funciones reales de una variable real, con las operaciones usuales. Si f : R 3 o V es la transformación que a cada terna de R 3 le asocia la función u o aSen2u + bCos2u + c. Es decir, f((a, b, c)) = aSen2u + bCos2u + c. a.- Pruébese que f es lineal; b.- Hállese el núcleo y la imagen de f. SO L U C I O N a.- Para demostrar que f es una transformación lineal, aplicamos la definición general: f((Da + Ed, Db + Ee, Dc + Ef)) = (Da + Ed)Sen2u + (Db + Ee) Cos2u + (Dc + Ef) = (DaSen2u + DbCos2u + Dc) + (EdSen2u + EeCos2u + Ef) = D(aSen2u + bCos2u + c) + E(dSen2u + eCos2u + f) = Df(A) + Ef(B). Por tanto f(A) es transformación lineal. b.- Para determinar el núcleo y la imagen de f, aplicamos la definición correspondiente: aSen2u + bCos2u + c = 0 Ÿ Nuc(f) = {(a, b, c)  R 3 / aSen2u + bCos2u + c = 0}. aSen2u + bCos2u + c = r Ÿ Img(f) = {r  V / aSen2u + bCos2u + c = r}. ’ EJ E M P L O 7.4.12 Sea f : R 3 o R 3 una transformación lineal tal que f(k) = 2i + 3j + 5k, f(j + k) = i, f(i + j + k) = j - k. a.- Calcular f(i + 2j + 3k) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de f; b.- Determinar la matriz de f. SO L U C I O N a.- Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b, c): ­ G a ­D b  c ° ° (a, b, c) = D(0, 0, 1) + E(0, 1, 1) + G(1, 1, 1) Ÿ ® E  G b Ÿ ®E  a  b °D  E  G c ° G a ¯ ¯ De donde f((a, b, c)) = Df((0, 0, 1)) + Ef((0, 1, 1)) + Gf((1, 1, 1)) = - (b - c)(2, 3, 5) ± (a ± b)(1, 0, 0) + a(0, 1, -1) = (- a ± b + 2c, a ± 3b + 3c, - a ± 5b + 5c) Por tanto f(i + 2j + 3k) es: f((1, 2, 3)) = (3, 4, 4). b.- Calculamos la imagen de cada uno de los elementos de la base canónica de R 3: f((1, 0, 0)) = (-1, 0, 0), f((0, 1, 0)) = (-1, -3, -5) y f((0, 0, 1)) = (2, 3, 5). Por tanto la matriz de f es: § 1 1 2 · ¨ ¸ A f ¨ 0 3 3 ¸ . ’ ¨ 0 5 5 ¸ © ¹ EJ E M P L O 7.4.13 Sean A y B vectores no nulos en el plano tales que no existe constante alguna k z 0 tal que B = kA. Sea f una transformación lineal del plano en sí misma de tal manera que f(e1) = A y f(e2) = B. Describir la imagen bajo f del rectángulo cuyos vértices son (0, 1), (3, 0), (0, 0), (3, 1). SO L U C I O N Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b): ­D a (a, b) = D(1, 0) + E(0, 1) Ÿ ® ¯E b ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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De donde

f((a, b)) = Df((1, 0)) + Ef((0, 1)) = aA + bkA = (a + bk)A. Por tanto: f((0, 1) = kA, f((3, 0)) = 3A, f((0, 0)) = ‡ y f((3, 1)) = (3 + k)A. ’ EJ E M P L O 7.4.14 Una transformación lineal f : R 3 o R 2 aplica los vectores base como sigue: f(i) = (0, 0), f(j) = (1, 1), f(k) = (1, -1). a.- Calcular f(4i - j + k) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de f: b.- Determinar la matriz de f; c.- Utilizando la base estándar en R 3 y la base {(1, 1), (1, 2)} en R 2, determinar la matriz de f relativa a esas bases. SO L U C I O N a.- Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b, c): ­D a ° (a, b, c) = D(1, 0, 0) + E(0, 1, 0) + G(0, 0, 1) Ÿ ® E b °G c ¯ De donde f((a, b, c)) = Df((1, 0, 0)) + Ef((0, 1, 0)) + Gf((0, 0, 1)) = a(0, 0) + b(1, 1) + c(1, -1) = (b + c, b ± c). Por tanto f(4i - j + k) es: f((4, -1, 1)) = (0, -2). b.- Calculamos la imagen de cada uno de los elementos de la base canónica de R 3: f((1, 0, 0)) = (0, 0), f((0, 1, 0)) = (1, 1) y f((0, 0, 1)) = (1, -1). Por tanto la matriz de f es: §0 1 1 · Af ¨ ¸. © 0 1 1¹ c.- Calculamos la imagen de cada uno de los elementos de la base canónica de R 3, y luego éste elemento lo expresamos como combinación lineal de los elementos de la base de llegada: ­ D  D2 0 f((1, 0, 0)) = (0, 0) = D1(1, 1) + D2(1, 2) Ÿ ® 1 , ¯D1  2D 2 0 ­ E1  E2 1 , ¯E1  2E2 1

f((0, 1, 0)) = (1, 1) = E1(1, 1) + E2(1, 2) Ÿ ®

­ G1  G2 0 . ¯G1  2G2 0

f((0, 0, 1)) = (1, -1) = G1(1, 1) + G2(1, 2) Ÿ ®

Resolvemos estos tres sistemas de ecuaciones y obtenemos la matriz de f: §1 1 0 1 1 · § 1 1 0 1 1 · § 1 0 0 1 3 · §0 1 3 · ¨ ¸. ’ ¸|¨ ¸ |¨ ¸ Ÿ Af ¨ © 0 0 2 ¹ ©1 2 0 1 1¹ © 0 1 0 0 2 ¹ © 0 1 0 0 2 ¹ EJ E M P L O 7.4.15 Sea f una transformación lineal de R 2 en sí misma, tal que f(e1) = (1, 1) y f(e2) = (-1, 2). Sea S el cuadrado cuyos vértices están en (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Demostrar que la imagen bajo f de este cuadrado es un paralelogramo. SO L U C I O N La representación matricial de la transformación lineal f en la base canónica de R 2 es §1 1· Af ¨ ¸ . Encontramos las imágenes de cada uno de los puntos del cuadrado: ©1 2 ¹

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TRANSFORMACIONES LINEALES

§1 1·§ 0 · § 0 · f ((0, 0)) ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ , ©1 2 ¹© 0 ¹ © 0 ¹ §1 1·§ 1 · §1· f ((1, 0)) ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ , ©1 2 ¹© 0 ¹ ©1¹ §1 1·§1· § 0 · §1 1·§ 0 · § 1· f ((1,1)) ¨ f ((0,1)) ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ , ¸¨ ¸ ¨ ¸ . ©1 2 ¹©1¹ © 3 ¹ ©1 2 ¹© 1 ¹ © 2 ¹ Graficando ambas figuras, demostramos que la imagen bajo f de este cuadrado, es un paralelogramo. ’

EJ E M P L O 7.4.16 Sea :(n, n) el espacio de todas las matrices de n x n. Sea la transformación lineal f(A) = ½(A - AT). Describir el núcleo e imagen de f y determine sus correspondientes dimensiones. SO L U C I O N 1 (A - AT ) , entonces: 2 1 ­ ½ Nuc( f ) ®A / (A - AT ) = O ¾ {A / A = AT } . 2 ¯ ¿ Para encontrar la dimensión del núcleo de f, hacemos lo siguiente: n = 1 Ÿ DimNuc(f) = 1 n = 2 Ÿ DimNuc(f) = 3 n = 3 Ÿ DimNuc(f) = 6 n = 4 Ÿ DimNuc(f) = 10 ... k ( k  1) . n = k Ÿ DimNuc( f ) 2 La imagen de f es: ­ 1 ½ Img( f ) ®B / (A - A T ) = B¾ = {B / A - A T = 2B} . 2 ¯ ¿ La dimensión de la imagen de f, la calculamos de la siguiente manera: n (n  1)  DimImg( f ) DimU = DimNuc(f) + DimImg(f) Ÿ n2 2 n n Dim Im g ( f ) n2  (n  1) (n  1) . ’ 2 2

Como f (A)

EJ E M P L O 7.4.17 Considérense los números complejos C como un espacio vectorial sobre R. Defínase la función f ( z ) z , donde z es el complejo conjugado del número complejo z. Demuestre que f es una transformación lineal. Hállese una base para el núcleo de f y una base para la imagen de f. SO L U C I O N Si z = x + iy, entonces la transformación tiene la forma: f(x + iy) = x ± iy. A continuación demostramos que f es lineal: f((Da + Ec) + i(Db + Ed)) = (Da + Ec) - i(Db + Ed) = (Da - iDb) + (Ec - iEd) = D(a - ib) + E(c - id) = Df(z1) + Ef(z2) Lo cual queda demostrado. El núcleo de f es: Nuc(f) = {x + iy / x ± iy = 0 + i0} Ÿ Nuc(f) = {x + iy / x = y = 0} BaseNuc(f) = {0 + i0} Ÿ DimNuc(f) = 0. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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La imagen de f es: Img(f) = {r + is / x ± iy = r + is} Ÿ Img(f) = {r + is / r = x, s = -y} BaseImg(f) = {(1, 0), (0, i)} Ÿ DimImg(f) = 2. ’

PR O B L E M AS 7.4.1 Sea f : R n o R m una transformación lineal. Demuestre que si f transforma dos vectores linealmente independientes sobre un conjunto linealmente dependiente, entonces la ecuación f(u) = ‡ tiene una solución no trivial. 7.4.2 Sea f : R 2 o R 2 un operador lineal cuyo núcleo es Nuc(f) = {(x, y) / x = y}. Demuestre que f no es sobreyectiva. Más aún, pruebe que Img( f) es una recta que pasa por el origen. 7.4.3 Sea f : R 3 o R 3 una transformación lineal tal que f(e3) = 2e1 + 3e2 + 7e3, f(2e2 + 3e3) = 2e1, f(e1 ± e2 + e3) = 2e2 ± 3e3: a.- Calcular f(2e1 ± 3e2 + 5e3) y determine la dimensión del núcleo y el rango de f. b.- Determine la matriz de f. 7.4.4 Sea f : R 3 o R 3 un operador lineal cuya imagen es Img(f) = {(x, y) / x = y = z}. Demuestre que el núcleo de f es un plano en R 3 que pasa por el origen. 7.4.5 Sea V un espacio vectorial sobre R que consiste en todas las funciones f tres veces derivables que satisfacen la ecuación diferencial f ´´´ + f ´ = 0. En este espacio V, defínase la función g : V o V por g(f) = f ´, la derivada de f. Demuéstrese que g es una transformación lineal. Hállese una base tanto para el núcleo de g como para la imagen de g. ¿Cuál es el rango y la nulidad de g? 7.4.6 Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios reales p(x). Sean f el operador derivación y g la transformación lineal que aplica p(x) en xp´(x). a.- Poner p(x) = 2 + 3x - x2 ± 4x3 y determinar el núcleo e imagen de p a través de cada una de las transformaciones siguientes: f, g, fg, gf, fg - gf, g2f2 - f2g2; b.- Determinar los polinomios p de V para los cuales g(p) = p; c.- Determinar los polinomios p de V para los cuales (fg ± 2f)(p) = ‡. 7.4.7 Sea f : R 3 o R 3 definida por f (v) proyu v , en donde u = (0, 1, 2): a.- Determinar A, la matriz de f. b.- Sea g la transformación lineal representada por I ± A. Demuestre que g es de la forma g (v) proyw1 v  proyw2 v , en donde w1 y w2 son vectores fijos en R 3. c.- Demostrar que el núcleo de f es la imagen de g. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

7.4.8 Si f no es la transformación cero, entonces Rang(f) = 1 si, y sólo si, existen números reales, t, que no son ambos cero, tales que sa 1 ± tb1 = sa 2 ± tb2 = sa 3 ± tb3 = 0. En este caso, Img( f) = Span(t, s) y, si además a 1 z 0, entonces Nuc(f) = Span{( a 3, 0, -a 1), ( a 2, -a 1, 0)}. 7.4.9 Sea f : R 3 o R 3 la transformación lineal que proyecta u sobre v = (2, -1, 1). Determine la nulidad y el rango de f. 7.4.10 Sea S una transformación lineal de U en V, y sea T una transformación lineal de V en W. Demuéstrese que: a.- Si S es sobre, entonces Rang(TS) = Rang(T); b.- Si T es uno a uno, entonces Rang(TS) = Rang(S); c.- Si TS es uno a uno, entonces S es uno a uno; d.- Si TS es sobre, entonces T es sobre. 7.4.11 Sea la transformación lineal f : R 3 o R 3, definida por f((a, b, c)) = ((k ± 2)a + 2b ± c, 2a + kb + 2c, 2ka + + 2(1 + k)b + (1 + k)c) Hállese, según los valores de k, el núcleo y su imagen. 7.4.12 En cada uno de los literales, se define una transformación lineal f : V o V mediante la fórmula dada para f((x, y)), donde (x, y) es un punto cualquiera de V. Determinar en cada caso si f es lineal. Si f es lineal, decir cuáles son el núcleo y la imagen, y calcular sus correspondientes dimensiones: a.- f hace girar cualquier punto el mismo ángulo D alrededor del origen. Esto es, f aplica un punto de coordenadas polares ( r, T) en el punto de coordenadas polares ( r, T + D), donde D es fijo. Además, f aplica ‡ en sí mismo. b.- f aplica cada punto en su simétrico respecto a una recta fija que pasa por el origen. c.- f aplica cada punto de coordenadas polares ( r, T) en el punto de coordenadas (2 r, T). Además, f aplica ‡ en sí mismo. d.- f aplica cada punto de coordenadas polares ( r, T) en el punto de coordenadas ( r, 2T). Además, f aplica ‡ en sí mismo. 7.4.13 Verifíquese que la función de V 2 en V 2 definida por f0(x1, x2) = (x1 ± 3x2, x2) es transformación lineal. Determínese su rango y su nulidad. Determínese la preimagen en f0 de ( a , b). JOE GARCIA ARCOS

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TRANSFORMACIONES LINEALES

7.4.14 Sean u y v vectores linealmente independientes en R 3 y sea S el plano a través de u, v y ‡. La ecuación paramétrica de S es x = su + tv. Demuestre que una transformación lineal f : R 3 o R 3 transforma S sobre un plano que pasa por ‡ o sobre una línea que pasa por ‡ o sólo sobre el origen en R 3. ¿Qué se les tiene que pedir a f(u) y f(v) para que la imagen del plano S sea un plano? 7.4.15 En cada uno de los literales, la transformación f : V o V es la que se indica. Determinar, en cada caso, si f es lineal. Si lo es, decir cuáles son el núcleo y la imagen y calcular sus dimensiones cuando sean finitas: a.- Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios reales p(x) de grado d n. Si p  V, q = f(p) significa que q(x) = p(x + 1) para todo real de x. b.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones reales derivables en el intervalo abierto (-1; 1). Si f  V, g = f(f) significa que g(x) = xf ´(x) para todo x  (-1; 1). c.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones reales derivables dos veces en un intervalo abierto ( a ; b). Si y  V, definir f(y) = y´´ + Py´ + Qy siendo P y Q dos constantes. 7.4.16 Sea V un espacio vectorial con producto interior. Para un vector fijo u diferente de cero en V, sea f : V o R la transformación lineal f(v) = ¢v ˜ u². Determinar el núcleo y la imagen de f. Luego determinar la nulidad y rango de f. 7.4.17 Sea f : R 3 o R 2 una transformación lineal tal que f((1, 1, 0)) = f((1, 1, 1)) = (0, 0), f((2, 3, -1)) z ‡. Demuestre que el núcleo de f es un plano en R 3 que pasa por el origen. Halle su ecuación. 7.4.18 Sea f : V o V la transformación lineal definida así: Si f  V, g = f(f) significa que

g ( x)

S

³S [1  Cos( x  t )] f (t )dt :

a.- Demuestre que f(V), la imagen de f, es de dimensión finita y hallar una base para f(V). b.- Determinar el núcleo de f. c.- Hallar todos los números reales c z 0 y todas las funciones f no nulas de V tales que f(f) = cf. 7.4.19 Sea f : R o R una transformación lineal. Hallar la nulidad y el rango de f y dé una descripción geométrica del núcleo e imagen de f: a.- f es la rotación de 45° en sentido antihorario con respecto al eje Z: § 2 · 2 2 2 f (( x, y, z )) ¨¨ x y, x y, z ¸¸ . 2 2 2 © 2 ¹ b.- f es la reflexión con respecto al plano de coordenadas YZ: f((x, y, z)) = (-x, y, z). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

c.- f es la proyección sobre el vector v = (1, 2, 2): x  2 y  2z f (( x, y, z )) (1, 2, 2). 9 d.- f es la proyección sobre el plano de coordenadas XY: f((x, y, z)) = (x, y, 0). 7.4.20 Sea f : :nxn o :nxn definida por f(A) = A ± AT. Demuestre que el núcleo de f es el conjunto de las matrices simétricas de n x n. 7.4.21 Sea u = (1, -1, 7) y sea § 1 3 4 3 · ¨ ¸ A ¨ 0 1 3 2 ¸ ¨ 3 7 6 5 ¸ © ¹ ¿Está u en el rango de la transformación lineal? 7.4.22 Considere la transformación lineal g f : R m o R s. Demuestre que Nuc(f) Ž Nuc(g f), Img(g f) = Img(g). 7.4.23 Determinar si las transformaciones f : V o V son lineales. Si lo son, decir cuáles son el núcleo y la imagen y calcular sus dimensiones: a.- Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios reales p(x) de grado menor o igual a n. Si p  V, q = f(p) significa que q(x) = p(x + 1), para toda x  R; b.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones reales derivables en el intervalo abierto (-1; 1). Si f  V, g = f(f) significa que g(x) = xf '(x) para toda x  (-1; 1); c.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones reales continuas en [a; b]. Si f  V, g = f(f) significa que

g ( x)

b

³a

f (t ) Sen( x  t ) dt , para toda x  [a; b].

7.4.24 Sea S = {1, x, Senx, Cosx} una base de un subespacio W del espacio de funciones continuas, y sea D x el operador diferencial sobre W. Encuentre la matriz de D x con respecto a la base S. Encuentre el núcleo e imagen de D x. 7.4.25 Sea u = (9, 5, 0, -9) y sea § 1 2 7 ¨ 0 1 4 A ¨ ¨1 0 1 ¨ © 2 1 6

5· ¸ 0¸ 6¸ ¸ 8¹

¿Está u en el rango de la transformación lineal? 7.4.26 Si U = R 3, V = R 3 y f(u) es el complemento ortogonal de u respecto del plano representado implícitamente por u + v + w = 0, mostrar que f es una transformación lineal. Encontrar el núcleo y la imagen de f. JOE GARCIA ARCOS

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7.4.27 Sea f : R n o R m una transformación lineal. Demuestre que si n < m, f no puede ser sobreyectiva. ¿Puede ser inyectiva? 7.4.28 Una transformación lineal f : R 3 o R 2 aplica los vectores base de la siguiente manera: f(e1) = ‡, f(e2) = (1, -1), f(e3) = (-1,1): a.- Calcular f(2e1 ± 5e2 + 3e3) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de f. b.- Determine la matriz de f. c.- Utilizando la base canónica de R 3 y la base {(1, -1), (-1, -1)} en R 2, determine la matriz de f relativa a esas bases. d.- Hallar las bases {u1, u2, u3} para R 3 y {v1, v2} para R 2 para las cuales la matriz de f tenga la forma diagonal. 7.4.29 Demuéstrese que la derivada es una transformación lineal de P en sí mismo, que no es uno a uno, aunque sí es sobre. 7.4.30 Sean S, T transformaciones lineales de U en V: a.- Verifíquese que Nuc(S + T) Š Nuc(S) ˆ Nuc(T). b.- Póngase un ejemplo en el cual Nuc(S + T) = Nuc(S)Nuc(T). c.- Póngase un ejemplo en el cual no se verifique la igualdad de la relación de la parte b). d.- Verifíquese que existen S, T, con Rang(S) = Rang(T) = mín(DimU, DimV), tales que Rang(S + T) puede tener cualquier valor desde 0 hasta mín(DimU, DimV). 7.4.31 Sean S, T, M, N transformaciones lineales de R 3 en R 4 que se describen en la tabla siguiente: e1 e2 e3 S e1 ± e2 e2 - 5e3 e1±e2+e3 T 4e1±2e2+e3 e1±2e2+5e3 3e1 - 4e3 M e2 + e 3 3e3 0 N e1+e2+3e3 ± 2e2 + 6e3 4e3 a.- Determínese el rango y núcleo de S, T, M y N. b.- Descríbanse las transformaciones lineales S + T, S + M, S + N, T + M, M + T + S y N - S al dar sus valores en una base de R 3. Además, determínense el rango y núcleo de cada uno. c.- Encuéntrense transformaciones lineales A y B de rango 3 de R 3 en R 3 tales que Rang(A + B) = 2. d.- Encuéntrense transformaciones lineales A y B de rango 3 de R 3 en R 3 tales que Rang(A + B) = 1. 7.4.32 Sea f : R n o R m una transformación lineal. Demuestre que si n > m, f no puede ser inyectiva. ¿Puede ser sobreyectiva? 7.4.33 Demuéstrese que la derivada es una transformación lineal de P m en sí mismo, que no es uno a uno ni es sobre. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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7.4.34 Sean U y V dos espacios vectoriales, ambos de dimensión 2 y con la misma base {u, v}. Sea f : U o V una transformación lineal tal que f(2u ± v) = 2u + v y f(2u + 5v) = 2u ± 3v: a.- Calcular f(u ± v) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de f. b.- Determine la matriz de f relativa a la base dada. c.- Utilizar para V la base {u, v} y hallar una nueva base de la forma {2u + Dv, 3u + Ev} para V, para la cual la matriz de f tenga la forma diagonal. 7.4.35 Una transformación lineal f : R 2 o R 3 aplica los vectores base de la siguiente forma: f(e1) = (-1, 2, 1), f(e2) = (1, -1, -1): a.- Calcular f(5e1±2e2) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de f. b.- Determinar la matriz de f. c.- Hallar bases {u1, u2} para R 2 y {v1, v2, v3} para R 3, para las cuales la matriz de f tiene forma diagonal. 7.4.36 Demuéstrese que, si f es transformación lineal uno a uno de U en W y si ^u1 « un` es base de U, entonces ^f(u1 «f(un)` es base de Img( f). 7.4.37 Sea f la transformación lineal de R 4 en R 3 con la propiedad de que f(1, 0, 0, 0) = (2, 3, 6), f(0, 1, 0, 0) = (1, 2, 0), f(0, 0, 1, 0) = (-1, 2, -3), f(0, 0, 0, 1) = (0, 2, -1). a.- Encuéntrese la matriz que corresponde a f si S1 es la base canónica de R 4 y si S2 es la base canónica de R 3. b.- Encuéntrese la matriz que corresponde a f si S1 = ^(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1)` es la base R 4 y si S2 es la base canónica de R 3. c.- Encuéntrese la matriz que corresponde a f si S1 = ^(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1)` es la base de R 4 y si S2 = ^(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)` es la base de R 3. d.- Encuéntrese el núcleo e imagen de f. e.- Sea ^u1, u2, u3` una base del núcleo de f y extiéndase esta base a una base de R 4. 7.4.38 Sean f : V o U y g : U o W transformaciones lineales: a.- Demostrar que si ambas g y f son uno a uno, entonces también lo es gqf . b.- Demostrar que el núcleo de f está contenido en el núcleo de gqf . c.- Demostrar que si gqf es sobreyectiva, entonces también lo es g. 7.4.39 En cada una de las transformaciones lineales de V n en V 2, determínense la imagen, el núcleo y la preimagen de (0, 1); además, determínese si la transformación lineal es uno a uno y si es sobre: a.- f(x1, x2, x3) = (x1 ± x2, x2 + x3); JOE GARCIA ARCOS

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TRANSFORMACIONES LINEALES

b.- f(x1, x2, x3) = (x1, x2 - x3); c.- f(x1, x2) = (x1 ± x2, x1 + x2); d.- f(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x4, x2 + x3).

7.4.40 Sean f : R n o R s y g : R n o R s dos operadores lineales. Demuestre que si g es inyectiva, entonces Nuc(f) = Nuc(g f), y si f es inyectiva, entonces Img(g) = Img(g f).

7.5 T R A NSF O R M A C I O N ES L I N E A L ES I N V E RSIB L ES En esta sección se analizarán las transformaciones lineales uno a uno y sobreyectivas. Demostraremos que una transformación lineal inversible es también una transformación lineal. Enunciaremos y demostraremos sus propiedades más importantes. Ahora que hemos presentado el espacio nulo y la imagen de una transformación lineal nos proponemos examinar más de cerca aquellas transformaciones lineales f : U o V para las cuales Nuc(f) = {‡} o Img(f) = V, o ambas. La segunda de estas ecuaciones nos dice que f aplica U sobre V, e implica que para cada v  V existe al menos un u  U tal que v = f(u). La primera, dice que el espacio nulo de f contiene solamente al vector nulo, resulta ser equivalente a la afirmación de que f es inyectiva en el sentido de la siguiente definición. D E F I N I C I O N 7.5.1 Una transformación lineal f de U en V se dice que es inyectiva, si y sólo si f(u) = f(v) donde u = v. En otras palabras, f es inyectiva si, y sólo si f aplica vectores distintos en U sobre vectores distintos en V; de aquí el nombre. D E F IN I C I O N 7.5.2 Se dice que una transformación lineal f de U en V, es un isomorfismo si es inyectiva. Se dice entonces que los espacios vectoriales U y V son isomorfos si existe un isomorfismo de U sobre V. T E O R E M A 7.5.1 Sea f una transformación lineal de U en V. Entonces f es inyectiva, si y solamente si, Nuc(f) = ‡. D E M OST R A C I O N Primero considere que Nuc(f) = ‡. Suponga que f(u) = f(v). Debemos demostrar que u = v. De f(u) = f(v), obtenemos f(u ± v) = ‡. Por tanto, u ± v está en Nuc(f) y, en consecuencia tenemos que u ± v = ‡. Por consiguiente, u = v. Ahora considere que f es inyectiva. Suponga que el vector u está en Nuc(f). En consecuencia, f(u) = ‡ y, por supuesto, f(‡) = ‡. Debido a que f es inyectiva, debemos tener u = ‡. Por consiguiente, f(‡) = ‡. D E F I N I C I O N 7.5.3 Sea f una transformación lineal de U en V. Diremos que f es sobreyectiva si la imagen de la transformación f es todo U. T E O R E M A 7.5.2 Sea f una transformación lineal de U en V. Si U es un espacio vectorial de tipo finito, una transformación lineal f es sobreyectiva si, y sólo si, Img(f) = U. D E M OST R A C I O N Esta afirmación, no es más que la definición de sobreyectividad, puesto que Img(f) es el valor de los valores funcionales bajo f, y f es sobreyectiva, si y sólo si este conjunto de valores funcionales coincide con U. Es decir: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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a.- En el supuesto de ser f una transformación lineal inyectiva, todo sistema independiente de V se transforma en sistema independiente de f(U); por tanto, una base de U se transforma en un sistema generador e independiente de f(U), es decir, en una base del espacio imagen; en consecuencia, las bases de U e Img(f) tienen igual número de elementos, luego, Dim(U) = DimImg(f). b.- Suponiendo ahora que Dim(U) = DimImg(f), hay que demostrar que f es inyectiva, es decir, que Nuc(f) ={‡}. Si no fuese así, al Nuc(f) pertenecería al menos un vector u1 z ‡; en este supuesto {u1} es sistema independiente, que puede ser ampliado adecuadamente con unos vectores u2, u3, ..., un hasta construir una base de U y, entonces, {f(u2), f(u3), ..., f(un)}, que es un sistema generador de f(U), sería tal que f(u1) = ‡ y, por tanto, sistema dependiente de generadores de Img(f), lo que trae consigo que DimImg(f) < n = Dim(U), contra la hipótesis. T E O R E M A 7.5.3 Sea f una transformación lineal de U en V y sea DimU = DimV. Entonces f es biyectiva si y sólo si f es sobreyectiva. D E M OST R A C I O N Tenemos que DimImg(f) = DimU ± DimNuc(f). Supóngase que f es inyectiva. Entonces tenemos que Nuc(f) = ‡ y, por tanto, DimNuc(f) = 0. Por consiguiente, DimImg(f) = DimU y vemos que, DimImg(f) = DimV, puesto que DimU = DimV. Pero la imagen de f es un subespacio de V, de manera que DimImg(f) = DimV obliga a que Img(f) = V. Así pues, como f es sobreyectiva, además de ser inyectiva, f es biyectiva. Suponga ahora que f es sobreyectiva. Entonces Img(f) = V. Por tanto, DimImg(f) = DimV, y DimImg(f) = DimU. Pero DimU = DimImg(f) + DimNuc(f) y, por consiguiente, DimNuc(f) = 0. El único subespacio de U con dimensión cero es el subespacio cero. En consecuencia, Nuc(f) = ‡, y así, f es inyectiva. De manera que f es inyectiva y también es sobreyectiva. Consecuentemente, f es biyectiva. D E F IN I C I O N 7.5.4 Las transformaciones lineales que son a la vez inyectivas y sobreyectivas, se llaman isomorfismos, y se dice que son inversibles. Empleamos f -1 para designar la inversa de una transformación lineal. Así pues, si f tiene una inversa, decimos que f es inversible. En este caso, si f se define sobre U y toma valores en V, entonces f -1 se define en V y toma valores en U. T E O R E M A 7.5.4 Sea f una transformación lineal de U en V, y supóngase que esta transformación tiene una transformación inversa f -1 de V en U. Entonces, f -1 es una transformación lineal. D E M OST R A C I O N Sean v1, v2  V. Debemos demostrar primero que f -1(v1 + v2) = f -1(v1) + f -1(v2). Sean v1 = f(u1) y v2 = f(u2), entonces f(au + bv) = af(u) + bf(v) = av1 + bv2. Si u = f -1(v), donde f(u) = v, implica que f -1(av1 + bv2) = au1 + bu2 = af -1(v1) + bf -1(v2) con lo que concluimos que f -1 es una transformación lineal. Es evidente que recurriendo al rango de una transformación lineal, los homomorfismos inyectivos y sobreyectivos, f : U o V, entre espacios de tipo finito, pueden caracterizarse de la manera siguiente: f es inyectiva si, y sólo si Rang(f) = DimU y f es sobreyectiva si, y sólo si Rang(f) = DimV. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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TRANSFORMACIONES LINEALES

T E O R E M A 7.5.5 Sean U y V espacios vectoriales de dimensión finita con DimU = DimV y sea f una transformación lineal de U en V. Entonces: a.- Cualquier inversa a la izquierda de f es una inversa bilateral; b.- Cualquier inversa a la derecha de f es una inversa bilateral. D E M OST R A C I O N Si f : U o V tiene una inversa a la izquierda f -1 : V o U, entonces, sabemos que f es inyectiva y f también es sobreyectiva. Por tanto, f es biyectiva y, en consecuencia, f tiene una inversa bilateral que es igual a f -1. Esto demuestra la primera parte. Si ahora f -1 : V o U es una inversa a la derecha de f, entonces f es sobreyectiva. Por consiguiente, f es biyectiva y, en consecuencia f tiene una inversa bilateral que es igual a f -1. Hemos completado la demostración de la segunda parte. EJ E M P L O 7.5.1 Determine todos los valores del número real k tales que la transformación lineal f : R 2 o R 2, definida por f(e1) = e1 + ke2, f(e2) = e1 ± ke2, no sea inversible. Aquí S = {e1, e2} es la base canónica de R 2. Cuando f sea inversible, hállese f -1(e1) y f -1(e2). Cuando f no sea inversible, hállense la nulidad de f y el rango de f. SO L U C I O N Hacemos la combinación lineal con el vector (a, b): ­D a (a, b) = D(1, 0) + E(0, 1) = (D, E) Ÿ ® . ¯E b f((a, b)) = af((1, 0)) + bf((0, 1)) = a(1, k) + b(1, -k) = (a + b, ka - kb). Esta transformación lineal, tiene como representación matricial la matriz: §1 1 · ¨ ¸ © k k ¹ Para que esta transformación lineal no sea inversible, entonces el determinante de la representación matricial debe ser cero. Es decir: 1 1 0 Ÿ k = 0. k k Para encontrar la transformación lineal inversa, hacemos f((a, b)) = (r, s) y luego resolvemos el sistema que genera: r · § 2 k 0 kr  s · ­ a b r §1 1 r · §1 1 Ÿ ¨ ® ¸ |¨ ¸ ¸ |¨ ¯ ka  kb s © k  k s ¹ © 0 2 k kr  s ¹ © 0 2 k kr  s ¹ Y obtenemos

kr  s § kr  s kr  s · 2k , Ÿ f 1 (( r , s)) ¨ ¸, kr  s 2k ¹ © 2k 2k §1 1· § 1 1 · f 1 ((1, 0)) ¨ , ¸ , f 1 ((0,1)) ¨ , ¸ , k z 0. ©2 2¹ © 2k 2k ¹ Si f no es inversible, entonces k = 0 y f((a, b)) = (a + b, 0), entonces: a + b = 0 Ÿ a = -b Ÿ Nuc(f) = {(a, b) / a = -b}; BaseNuc(f) = {(-1, 1)} Ÿ Nul(f) = 1. ­a  b r Ÿ Img(f) = {(r, s) / r = a + b, s = 0}; ® ¯ 0 s ­ °° a ® °b °¯

BaseImg(f) = {(1, 0)} Ÿ Rang(f) = 1. ’ Por supuesto, con las transformaciones lineales f de U en V, donde DimU = DimV y no infinita, no tenemos que preocuparnos acerca de las inversas a la izquierda o a la derecha, puesto que hemos demostrado que una inversa a la izquierda o a la derecha ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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es siempre una inversa bilateral. Además, sabemos que dicha inversa es siempre una transformación lineal. T E O R E M A 7.5.6 Sean U, V y W espacios vectoriales sobre K de dimensión finita con DimU = DimV = DimW. Sean las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W. Entonces: a.- gf es inversible si y sólo si tanto f como g son inversibles; b.- Si f y g son inversibles, tenemos que (gf)-1 = f -1g ±1; c.- Si f es inversible, entonces también lo es f -1 y (f -1)-1 = f. D E M OST R A C I O N Suponga que gf es inversible. Sea h de W en U la inversa de gf. Entonces h(gf) = i(U) y (gf)h = i(W). Por tanto, (hg)f = i(U) lo que implica que f tiene una inversa a la izquierda hg. Además, g(fh) = i(W) lo que implica que g tiene una inversa a la derecha fh. Por consiguiente, si gf tiene una inversa, entonces tanto g como f tienen inversas. Suponga ahora que g y f tienen inversas. Entonces g y f son biyectivas, de modo que gf es biyectiva y, en consecuencia, tiene una inversa; además, (gf)-1 = f -1g -1. Si f tiene inversa entonces f es biyectiva, como demostramos anteriormente f -1 es una transformación lineal de V en U y si f -1 es biyectiva, entonces (f -1)-1 también es una transformación lineal y ( f -1)-1 = f, que es la transformación lineal original. EJ E M P L O 7.5.2 Verificar que la transformación lineal f : R 3 o R 3 definida por f((a, b, c)) = (2a + c, 2c + a, 2a + b) es inyectiva. SO L U C I O N Nuc(f) = {u  R 3 / f(u) = ‡, ‡  R 3} = {(a, b, c) / (2a + c, 2c + a, 2a + b) = (0, 0, 0)} Resolviendo el sistema de ecuaciones ­2a  c 0 ° ® a  2c 0 °2 a  b 0 ¯ obtenemos Nuc(f) = {(a, b, c) / a = b = c = 0} Ÿ Dim Nuc(f) = 0. Por lo tanto f es inyectiva. ’ EJ E M P L O 7.5.3 En un espacio vectorial con base {e1, e2} se da la transformación lineal f. Hallar la matriz de la transformación inversa si f(e1) = e2, f(e2) = e1. SO L U C I O N Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b): ­D a (a, b) = D(1, 0) + E(0, 1) Ÿ ® ¯E b De donde f((a, b)) = Df((1, 0)) + Ef((0, 1)) = a(0, 1) + b(1, 0) = (b, a). Por tanto: §0 1· f -1((r, s) = (s, r) Ÿ A f 1 ¨ ¸. ’ ©1 0¹ EJ E M P L O 7.5.4 Encuentre la transformación lineal f ±1 de la transformación f : R 3 o R 3 definida por f((a, b, c)) = (2b + c, 2c + a, 2a + b). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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TRANSFORMACIONES LINEALES

SO L U C I O N Por definición, tenemos que ­ 2b  c r ° ® a  2c s ° 2a  b t ¯ Resolvemos este sistema de ecuaciones §0 2 1 r · §0 2 1 · r · §0 2 1 r ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ s ¸ | ¨1 0 2 s ¨1 0 2 s ¸ | ¨1 0 2 ¸ ¨ 2 1 0 t ¸ ¨ 0 1 4 2s  t ¸ ¨ 0 0 9 r  4s  2t ¸ © ¹ © ¹ © ¹ § 0 9 0 4 r  2s  t · ¨ ¸ ¨ 9 0 0 2 r  s  4t ¸ ¨ 0 0 9 r  4 s  2t ¸ © ¹

La solución del sistema es 2 r  s  4t ­ °a 9 ° 4 r  2s  t ° ®b 9 ° ° r  4 s  2t °c 9 ¯ La transformación lineal inversa es § 2 r  s  4t 4 r  2s  t r  4s  2t · f 1 (( r , s, t )) ¨ , , ¸. ’ 9 9 9 © ¹

EJ E M P L O 7.5.5 La transformación lineal f consiste en girar cada vector del plano X0Y un ángulo S/4. Hallar la matriz de g = f + f -1. SO L U C I O N La transformación lineal f está dada por las ecuaciones: f((e1)) = e1 Cos(S/4) + e2Sen(S/4) y f((e2)) = e1 Cos(3S/4) + e2Sen(3S/4) Lo que es lo mismo: 2 §1 1· 2 f (( a , b)) ( a  b, a  b) Ÿ A f ¨ ¸ 2 ©1 1 ¹ 2 Por consiguiente, la transformación lineal inversa es: 1 § 1 1· 1 f 1 (( r , s)) ( r  s,  r  s) Ÿ A f 1 ¨ ¸ 2 © 1 1¹ 2 La matriz de la transformación lineal g = f + f ±1, está dada por: 2 §1 1· 1 § 1 1· § 2 0 · A g A f  A f 1 ¸. ’ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 2 ©1 1 ¹ 2 © 1 1¹ ¨© 0 2 ¸¹ EJ E M P L O 7.5.6 La transformación lineal f consiste en girar cada vector del plano X0Y en el ángulo S/4. Hallar la representación matricial f -2. SO L U C I O N La transformación lineal f está dada por las ecuaciones: f((e1)) = e1 Cos(S/4) + e2Sen(S/4) y f((e2)) = e1 Cos(3S/4) + e2Sen(3S/4) Lo que es lo mismo: 2 f (( a , b)) ( a  b, a  b) 2 ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Por consiguiente, la transformación lineal inversa es: 1 f 1 (( r , s)) ( r  s,  r  s) Ÿ A f 1 2 La matriz de la transformación lineal f ±2, está dada por: 1 ·§ 1 1 · § 1 ¨ ¸¨ ¸ 2 2 ¸¨ 2 2¸ A f 2 A f 1 A f 1 ¨ ¨ 1 1 ¸¨ 1 1 ¸ ¨ ¸¨  ¸ 2 2 ¹© 2 2¹ ©

1 § 1 1· ¨ ¸ 2 © 1 1¹

§ 0 1· ¨ ¸. ’ © 1 0 ¹

PR O B L E M AS 7.5.1 Sea V un espacio vectorial. Sea f de L(V, V). Demuestre que si f es inversible, entonces f2 = f implica siempre que f = i. ¿Es esto necesariamente cierto para f no inversible? 7.5.2 Demuéstrese que cada uno de las transformaciones lineales siguientes es no singular, y encuéntrese la transformación lineal inversa que le corresponde: a.- f(x, y) = (x, 2y); b.- f(x, y) = (3x + y, 5x + 2y); c.- f(x, y, z) = (x + y, y + z, z); d.- f(x, y, z) = (x, x ± y, y ± z); e.- f(x, y, z) = (y, x + z, y ± z); f.- f(x, y, z) = (x + y, y + 2z, x + y + z). 7.5.3 Sea B una matriz no singular de n x n. Demuestre que la transformación lineal f : : o : definida por f(A) = AB es un isomorfismo. Sean a , b, c, d números dados y considere la ax  b función f ( x) . Sea g otra función de la misma cx  d forma. Demuestre que gqf donde gf(x) = g(f(x)) es una función que también se puede escribir en la misma forma. Demuestre que cada una de estas funciones se puede representar por una matriz, de tal modo que la matriz que representa a gqf es el producto de las matrices que representan a g y f. Demuestre que la función inversa existe sí y sólo si ad - bc z 0. ¿A qué se reduce la función si ad ± bc = 0? 7.5.4

7.5.5 Una transformación lineal f de V en V es nilpotente si para algún entero positivo k, fk = ‡. Demuestre: a.- Si f es inversible, entonces f no es nilpotente. ¿Es cierta la recíproca de esta afirmación? b.- Si f es nilpotente, entonces i + f es inversible. Demuestre que (i + f)-1 = i ± f + f2 ± f3 + ... + (-1)k-1fk-1. 7.5.6 Suponga que U = Span^Senx, Cosx, Sen2x, Cos2x, «`: a.- Verifíquese que D es transformación lineal no singular de U. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

b.- Determínese la inversa de D. c.- Verifíquese que I + D, I ± D e I ± D2 son transformaciones lineales no singulares de U. d.- Demuéstrese que I + D2 es transformación lineal singular de U. e.- Examínese la singularidad o no singularidad de I + a D, donde a es entero. f.- Examínese la singularidad o no singularidad de I + a D2, donde a es entero. 7.5.7 Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios p(x). Sean f, g y h funciones que aplican un polinomio cualquiera p(x) = a 0 + a 1x + a 2x2 + ... + a nxn de V en los polinomios r(x), s(x) y t(x) respectivamente, siendo r(x) = p(0),

s( x)

n

¦ ak x k 1 ,

t ( x)

k 1

n

¦ ak x k 1

k 0

a.- Poner p(x) = 2 + 3x ± x2 + x3 y determinar la imagen de p a través de cada una de las transformaciones siguientes: f, g, h, gh, hg, (hg)2, h2g2, g2h2, hfg, fgh. b.- Demuestre que f, g y h son lineales y determinar el núcleo y la imagen de cada una. c.- Demuestre que f es uno a uno en V y determine su inversa. d.- Si n t 1, expresar (hg)n y gnhn en función de I y f. 7.5.8 Sea f(x, y, z, u) = (0, x, y + 2x, z + 2y + 3x). Demuéstrese que: a.- f4 = O; b.- I ± f es no singular; c.- I + f + f2 + f3 = (I ± f)-1; d.- I + f es no singular; e.- I + 2f es no singular; f.- Si a es no negativo, I ± af es no singular. 7.5.9 Suponga que U = Span^ex, e2x « enx «`. Demuéstrese la validez de los enunciados siguientes: a.- La derivada D es transformación lineal no singular de U y su inversa es la integral

x

³f f (t )dt .

b.- I + D es transformación lineal no singular de U; JOE GARCIA ARCOS

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TRANSFORMACIONES LINEALES

c.- I ± D es transformación lineal singular en U. d.- Si a es un entero no negativo, a I ± D es singular. e.- Si a es entero no negativo mayor que 1, I ± a D es no singular.

7.5.14 Sean f : R n o R m, g : R m o R n transformaciones lineales. Demuestre que si n > m, el operador lineal g f : R n o R n no puede ser inversible. ¿Puede ser inversible el operador f g : R m o R m? Explique.

7.5.10 Sea V un espacio vectorial. Sea f de L(V, V). Suponga que para algunos escalares a1, a2, ..., an de K, y algún entero positivo n, tenemos que fn + a1fn-1 + a2fn-2 + ... + an-1f + ani = ‡. Demuestre que si an z 0, entonces f es inversible. Hállese f -1 en función de f en este caso.

7.5.15 Sea f una transformación lineal de R 3 con la propiedad de que f(e1) = e2, f(e2) = e3, f(e3) = e1: a.- Encuéntrense f2(e i) y f3(e i) para i = 1, 2, 3, y, en consecuencia, verifíquese que f3 = I . b.- Verifíquese que f -1 = f2. c.- Dé una interpretación geométrica de f.

7.5.11 Sea f : :2x3 o :3x2 definida por f(A) = AT. Demuestre que f es un isomorfismo y determine la matriz para la inversa de f. 7.5.12 Demuestre que una transformación lineal f : R n o R m con n z m, no puede ser inversible. 7.5.13 Sea f una transformación lineal de R 3 con la propiedad de que f(e1) = e2 + e3, f(e2) = e3 + e1, f(e3) = e1 + e2: a.- Encuéntrense f2(e i) y f3( e i) para i = 1, 2, 3, y, en consecuencia, verifíquese que f3 = 3f + 2 I . 1 2 ( f  3I ) . b.- Verifíquese que f 1 2

7.5.16 Sea V = {0, 1}. Describir todas las funciones f : V o V. En total son cuatro. Desígnense con g, h, r, s y construir una tabla de multiplicación que muestre la composición de cada par. Indicar cuáles son uno a uno en V y dar sus inversas. 7.5.17 Sea V = {0, 1, 2}. Describir todas las funciones f : V o V para las cuales f(V) = V. En total son seis. Desígnense con f1, f2, f3, f4, f5, f6 y construir una tabla de multiplicación que muestre la composición de cada par. Indicar cuáles son uno a uno en V, y dar sus inversas.

7.6 T R A NSF O R M A C I O N ES G R A F I C AS E N R 2 Es fundamental para todos los sistemas de gráficas por computadora la capacidad de simular tanto el movimiento como el manejo de objetos. Estos procesos se describen en términos de traslaciones, rotaciones, puestas en escala y reflexiones. El objetivo aquí es explicar estas operaciones en una forma matemática adecuada para su procesamiento por computadora, y mostrar la forma en que se emplean para lograr los fines del manejo y movimiento de objetos.                                         ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

Existen dos puntos de vista complementarios para describir el movimiento de objetos. El primero es que el objeto mismo se mueve en relación con un sistema coordenado estacionario o fondo. El planteamiento matemático de tal punto de vista se explica mediante transformaciones geométricas aplicadas a cada punto del objeto. El segundo punto de vista sostiene que el objeto se mantiene estacionario mientras que el sistema coordenado se mueve con relación a dicho objeto. Este efecto se obtiene a través de la aplicación de transformación de coordenadas. Un ejemplo incluye el movimiento de un automóvil relacionado con un fondo escénico. Es posible simular esto trasladando el automóvil mientras se mantiene el fondo fijo (transformación geométrica). También se puede conservar fijo el automóvil mientras se mueve el escenario del fondo (transformación de coordenadas). En algunas situaciones, se emplean ambos métodos. T R A NSF O R M A C I O N ES G E O M E T RI C AS Considérese un sistema coordenado sobre un plano. Un objeto : en el plano puede considerarse como un conjunto de puntos. Cada punto objeto P tiene coordenadas (x, y), de manera que el objeto es la suma total de todos sus puntos coordenados. Si el objeto se traslada a una nueva posición, puede considerarse como un nuevo objeto :´, cuyos puntos coordenados P´ pueden obtenerse a partir de los puntos JOE GARCIA ARCOS

TRANSFORMACIONES LINEALES

                                                                           

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originales P mediante la aplicación de una transformación geométrica.

En la traslación, un objeto se desplaza una distancia y dirección determinadas a partir de su posición original. Si el desplazamiento está dado por el vector v = txi + tyj, el nuevo punto objeto P´(x´, y´) puede obtenerse al aplicar la transformación Tv a P(x, y) P´ = Tv(P) donde x´ = x + tx y y´ = y + ty. En la rotación, el objeto se rota Tº con respecto al origen. La convención es que la dirección de rotación es antihoraria si T es un ángulo positivo, y en el sentido horario si T es un ángulo negativo. La transformación de rotación RT es P´ = RT(P) donde x´ = xCosT - ySenT y y´ = xSenT + yCosT.

La puesta en escala, es el proceso de expandir o comprimir las dimensiones de un objeto. Se utilizan constantes positivas de puesta en escala sx y sy para describir los cambios en longitud con respecto a las direcciones x y y, respectivamente. Una constante de prueba en escala mayor de uno indica una expansión de longitud, y menos de uno, compresión de longitud. La transformación de escala Ss x ,s y está dada por P´ Ss x ,s y (P)

en donde x´ = sx˜x y y´ = sy˜y. Obsérvese que después de efectuar una transformación de escala, el nuevo objeto está localizado en una posición diferente con relación al origen. En realidad, en una transformación de escala el único punto que permanece fijo es el origen.

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Si ambas constantes de puesta en escala tienen el mismo valor S, la transformación de escala se dice que es homogénea. Además, si s > 1, es una amplificación y para s < 1, una reducción. Si el eje X o Y se considera como un objeto, el objeto tiene una imagen de espejo o reflexión. Ya que la reflexión P´ de un punto objeto P está localizada a la misma distancia del espejo que P. La transformación de reflejo de espejo M x con JOE GARCIA ARCOS

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respecto al eje x está dada por P´ = Mx(P) donde x´ = x y y´ = -y. De manera semejante, la reflexión de espejo en relación con el eje Y es P´ = My(P) donde x´ = -x y y´ = y. Toda transformación geométrica tiene una inversa, descrita con la operación contraria efectuada por la transformación: Traslación: Tv1 Tv , o traslación en la dirección opuesta. Rotación: R T1 Puesta en escala:

R T , o rotación en la dirección opuesta. Ssx1,s y

Reflexión de espejo:

S1

Mx 1

1 , sx s y

M x y My1

My

T R A NSF O R M A C I O N D E C O O R D E N A D AS Supóngase que se tienen dos sistemas coordenados en el plano. El primer sistema está localizado en un origen O y tiene ejes coordenados XY. El segundo sistema coordenado se ubica en el origen O´ y tiene ejes coordenados X´Y´. Ahora cada punto del plano tiene dos descripciones coordenadas: ( x, y) o (x´, y´), dependiendo del sistema coordenado empleado. Si se considera que el segundo sistema X´Y´ surge de una transformación aplicada al primer sistema XY, se dice que se ha aplicado una transformación de coordenadas. Es posible describir esta transformación determinando cómo están relacionadas las coordenadas ( x´, y´) de un punto P con las coordenadas (x, y) del mismo punto. Si el sistema coordenado XY se desplaza a una nueva posición en donde la dirección y distancia del desplazamiento están dadas por el vector v = txi + tyj, las coordenadas de un punto en ambos sistemas están relacionados por la transformación de traslación T v :

( x´, y´) Tv ( x, y)

donde x´ = x ± tx y y´ = y ± ty. El sistema XY se rota Tº con respecto al origen. Entonces, las coordenadas de un punto en ambos sistemas están relacionadas por la transformación de rotación RT : ( x´, y´) R T ( x, y)

donde JOE GARCIA ARCOS

TRANSFORMACIONES LINEALES

   

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x´ = xCosT + ySenT y y´ = -xSenT + yCosT. Supóngase que se forma un nuevo sistema coordenado sin modificar el origen, ni los ejes coordenados, pero introduciendo distintas unidades de medición a lo largo de los ejes X y Y. Si se obtienen nuevas unidades a partir de las unidades anteriores con una escala de sx unidades a lo largo del eje X y sy unidades a lo largo del eje Y, las coordenadas en el nuevo sistema están relacionadas con las coordenadas en el sistema anterior a través de la transformación de escala Ss x ,s y : ( x´, y´) Ss x ,s y ( x, y)

                                                                                    ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

1 1 ˜ x y y´ ˜y sx sy Si en el nuevo sistema coordenado se obtiene por reflexión del sistema anterior con respecto al eje X o eje Y, la relación entre coordenadas está dada por las transformaciones coordenadas M x y M y :

donde x´

( x´, y´) M x ( x, y)

donde x´ = x y y´ = -y. Para la reflexión con respecto al eje Y ( x´, y´) M y ( x, y) donde x´ = -x y y´ = y. Cada transformación de coordenadas tiene una inversa, que puede obtenerse al aplicar la transformación opuesta: Traslación: Rotación:

1

T v , o traslación en la dirección opuesta.

Tv 1 RT

R T , o rotación en la dirección opuesta.

Puesta en escala:

1

S1, 1

Ss x ,s y

Reflexión de espejo:

sx s y

1

Mx

1

Mx y M y

My

T R A NSF O R M A C I O N ES C O M PU EST AS Es posible construir transformaciones geométricas y de coordenadas más complejas a partir de las transformaciones básicas descritas cuando se estudió el proceso de composición de funciones. Operaciones tales como la rotación con respecto a un punto distinto del origen o la reflexión con relación a líneas que no sean los ejes pueden construirse a partir de las transformaciones básicas. D ESC R IP C I O N M A T R I C I A L D E L AS T R A NSF O R M A C I O N ES B ASI C AS Las transformaciones de rotación, puesta en escala y reflexión, pueden representarse como funciones matriciales: Transformaciones geométricas § CosT  SenT · RT ¨ ¸ © SenT CosT ¹

Transformaciones de coordenadas § CosT SenT · RT ¨ ¸ ©  SenT CosT ¹

§ sx ¨ ©0

§1 ¨s ¨ x ¨ ¨¨ 0 ©

Ss x ,s y

0· ¸ sy ¹

Ss x ,s y

· 0 ¸ ¸ 1 ¸ ¸ s y ¸¹ JOE GARCIA ARCOS

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Mx

§1 0 · ¨ ¸ © 0 1¹

Mx

§1 0 · ¨ ¸ © 0 1¹

My

§ 1 0 · ¨ ¸ © 1 1¹

My

§ 1 0 · ¨ ¸ © 0 1¹

La transformación de traslación no puede expresarse como una función matricial de 2 x 2. Sin embargo, cierto artificio permite introducir una función matricial de 3 x 3 que efectúa la transformación de traslación. Se representa el par ordenado (x, y) de un punto P por medio de la tríada (x, y, 1). Esta es simplemente la representación homogénea de P. Entonces, la traslación en la dirección v = txi + tyj puede expresarse por medio de la función matricial § 1 0 tx · ¨ ¸ Tv ¨ 0 1 t y ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹ Entonces § 1 0 tx · § x · § x  tx · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 1 ty ¸¨ y ¸ ¨ y  ty ¸ ¨0 0 1 ¸¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹ A partir de esto se extrae el par coordenado(x + tx, y + ty). La ventaja de introducir una forma matricial para la traslación es que ahora es posible construir transformaciones complejas al multiplicar las transformaciones matriciales básicas. En ocasiones, este proceso recibe el nombre de concatenación de matrices. Aquí se está empleando el hecho de que la composición de funciones matriciales es equivalente a la multiplicación de matrices. Debe ser posible representar las transformaciones básicas como matrices coordenadas homogéneas de 3 x 3 para que sean compatibles (desde el punto de vista de multiplicación matricial) con la matriz de traslación. Esto se logra aumentando las matrices de 2 x 2 con una tercera columna y una tercera fila. Esto es § a b 0· ¨ ¸ ¨ c d 0¸ . ¨ 0 0 1¸ © ¹ E J E M P L O 7.6.1 Encuentre la transformación que gira un punto objeto T con respecto al origen. Escríbase la representación matricial para esta rotación. SO L U C I O N La definición de las funciones trigonométricas nos da ­ x´ rCos(T  I) ­ x rCosI y ® ® y ´ r S en ( T  I ) ¯ ¯ y rSenI Mediante identidades trigonométricas, se obtiene ­ rCos(T  I) r ( CosT CosI  SenTSenI) xCosT  ySenT ® ¯ rSen(T  I) r ( SenT CosI  CosTSenI) xSenT  yCosT ó ­ x´ xCosT  ySenT ® ¯ y´ xSenT  yCosT § x´ · § x· Escribiendo P´ ¨ ¸ , P ¨ ¸ , y R T y ´ © ¹ © y¹

§ CosT  SenT · ¨ ¸ © SenT CosT ¹ JOE GARCIA ARCOS

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                                                ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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ahora puede escribirse P´ R T ˜ P . ’ E J E M P L O 7.6.2 Encuentre la matriz que representa la rotación de un objeto 30º con respecto al origen. ¿Cuáles son las nuevas coordenadas del punto P(3, -5) después de la rotación? SO L U C I O N Tomando la matriz del ejemplo anterior, tenemos que § 3 1·  ¸ ¨ § Cos30º  Sen30º · ¨ 2 2¸ R 30º ¨ ¸ ¨ S en 30º Cos 30º 1 3¸ © ¹ ¨ ¸ 2 ¹ © 2 Las nuevas coordenadas pueden obtenerse al multiplicar § 3 §53 3 · 1·  ¸ ¨ ¨ ¸ 3 2 ¸§ · ¨ 2 ¸ ¨ 2 . ’ ¨ ¸ ¨ 1 3 ¸ © 5 ¹ ¨ 3  5 3 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 2 ¹ © 2 © 2 ¹ E J E M P L O 7.6.3 Describa la transformación que gira un punto objeto Q( x, y), T grados con respecto a un centro fijo de rotación P(h, k). SO L U C I O N Se determina la transformación RT,P en tres pasos: 1. Trasladar de manera que el centro de rotación P se encuentre en el origen. 2. Efectuar una rotación de T grados con respecto al origen. 3. Trasladar de nuevo el origen a P. Utilizando v = -hi ± kj como vector de traslación, se construye RT,P por la composición de transformaciones R T,O´ Tv ˜ R T ˜ Tv . ’ E J E M P L O 7.6.4 Descríbase la forma general de la matriz para la rotación con respecto a un punto P(h, k). SO L U C I O N Por el ejemplo anterior tenemos R T,P´ Tv ˜ R T ˜ Tv , donde v = -hi ± kj. Mediante la forma coordenada homogénea de 3 x 3 para las matrices de rotación y traslación, se tiene § 1 0 h ·§ CosT  SenT 0 ·§ 1 0 h · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ R T, P ¨ 0 1 k ¸¨ SenT CosT 0 ¸¨ 0 1  k ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨ 0 ¸ 0 1 ¸¨ © ¹© ¹© 0 0 1 ¹ § CosT  SenT hCosT  kSenT  h · ¨ ¸ ¨ SenT CosT hSenT  kCosT  k ¸ . ’ ¨ 0 ¸ 0 1 © ¹

E J E M P L O 7.6.5 Efectúe una rotación de 45º del triángulo con vértices en los puntos A(0, 0), B(1, 1), C(5, 2): a.- Con respecto al origen; b.- Con respecto al punto P(-1, -1). SO L U C I O N Se representa el triángulo por medio de una matriz formada a partir de las coordenadas homogéneas de los vértices JOE GARCIA ARCOS

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                                                                                                          ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

A B C §0 1 5· ¨ ¸ ¨0 1 2¸ ¨1 1 1¸ © ¹

a.- La matriz de rotación es § 2 · 2  0¸ ¨ 2 2 ¸ § Cos 45º  Sen 45º 0 · ¨ ¨ ¸ 2 2 ¨ ¸ R 45º ¨ Sen 45º Cos 45º 0 ¸ ¨ 0¸ 2 2 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¹ ¨¨ © 0 0 1¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ De manera que las coordenadas A´B´C´ del triángulo girado ABC se obtienen como § 2 · § 2 3 2·  0¸ ¨ ¨0 0 ¸ 2 2 ¸ ¨ 2 ¸§0 1 5· ¨ ¨ 2 ¸¨ 2 7 2¸ ¸ ¨ 0¸¨0 1 2¸ ¨0 2 ¸ > A´B´C´@ R 45º ˜ > [email protected] ¨ 2 2 ¸ ¨ 2 ¸¨1 1 1¸ ¨ ¹ ¨1 1 ¨ 0 0 1¸© 1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ De esta manera, obtenemos los nuevos vértices del triángulo rotado: §3 2 7 2 · A´(0, 0), B´(0, 2), C´¨¨ , ¸. 2 ¸¹ © 2 b.- La matriz de rotación está dada por R 45º,P´ Tv ˜ R 45º ˜ Tv , en donde v = i +

j. De modo que

R T,P

§ ¨ § 1 0 1· ¨ ¨ ¸¨ ¨ 0 1 1¸ ¨ ¨0 0 1 ¸¨ © ¹¨ ¨ ¨ ©

2 2 2 2 0



· § 2 0¸ ¨ ¸ § 1 0 1· ¨ 2 ¸¨ ¸ ¨ 2 0 ¸ ¨ 0 1 1¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 1¸ ¨ 2 ¹ ¨ 0 1¸© ¸ ¨ ¸ ¨ ¹ ©

2 2 2 2 0



2 2 2 2 0

· 1 ¸ ¸ ¸ 2  1¸ ¸ 1 ¸ ¸ ¸ ¹

Ahora

> A´B´C´@

R 45º ˜ > ABC @

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

2 2 2 2 0



2 2 2 2 0

· 1 ¸ ¸§0 1 5· ¸¨ ¸ 2  1¸ ¨ 0 1 2 ¸ ¸¨1 1 1¸ ¹ 1 ¸© ¸ ¸ ¹

§ 1 1 3 2 1 · ¨ ¸ ¨ 9 2 2¸ ¨ 2 1 2 2 1 2 ¸¸ ¨ 1 1 ¨ 1 ¸ © ¹ De esta manera, obtenemos los nuevos vértices del triángulo rotado: §3 2 7 2 · , A´(1, 2  1) , B´(1, 2 2  1) , C´¨¨ ¸. ’ 2 ¸¹ © 2 JOE GARCIA ARCOS

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E J E M P L O 7.6.6 Determine la transformación que pone en escala (respecto al origen) en: a.- a unidades en la dirección X; b.- b unidades en la dirección Y; c.- en forma simultánea a unidades en dirección X y b unidades en dirección Y. SO L U C I O N a.- La transformación de escala aplicada a un punto P(x, y) produce el punto ( ax, y). Esto puede escribirse en forma matricial como § a 0 ·§ x · § ax · ó ¨ Sa ,1 ˜ P ¸¨ ¸ ¨ ¸ © 0 1 ¹© y ¹ © y ¹ b.- Como en el literal anterior, la transformación requerida puede escribirse en forma matricial como § 1 0 ·§ x · § x · S1,b ˜ P ó ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © 0 b ¹© y ¹ © by ¹ c.- La puesta en escala en ambas direcciones está descrita por la transformación x´ = ax y y´ = by. Al escribir esto en forma matricial como § a 0 ·§ x · § ax · ó ¨ Sa , b ˜ P ¸¨ ¸ ¨ ¸ . ’ © 0 b ¹© y ¹ © by ¹ E J E M P L O 7.6.7 Escriba la forma general de una matriz de puesta en escala con respecto a un punto fijo P(h, k). SO L U C I O N Siguiendo el mismo procedimiento general, se escribe la transformación requerida con v = -hi ± kj como § 1 0 h ·§ a 0 0 ·§ 1 0 h · § a 0  ah  h · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Sa ,b,P Tv ˜ Sa ,b ˜ Tv ¨ 0 1 k ¸¨ 0 b 0 ¸¨ 0 1  k ¸ ¨ 0 b bk  k ¸ . ’ ¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¹ © ¹© ¹© ¹ © E J E M P L O 7.6.8 Amplifíquese el triángulo con vértices A(0, 0), B(1, 1) y C(5, 2) al doble de su tamaño manteniendo fijo el vértice C(5, 2). SO L U C I O N Es posible escribir la transformación requerida con v = -5 i ± 2 j como § 1 0 5 ·§ 2 0 0 ·§ 1 0 5 · § 2 0 5 · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ S2,2,C Tv ˜ S2,2 ˜ Tv ¨ 0 1 2 ¸¨ 0 2 0 ¸¨ 0 1 2 ¸ ¨ 0 2 2 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸ ¨ 0 0 1 ¸ © ¹© ¹© ¹ © ¹ Representando un punto P con coordenadas (x, y) por medio del vector columna § x· ¨ ¸ ¨ y ¸ , se tiene ¨1¸ © ¹ § 2 0 5 ·§ 0 · § 5 · § 2 0 5 ·§1· § 3 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ S2,2,C ˜ A ¨ 0 2 2 ¸¨ 0 ¸ ¨ 2 ¸ ; S2,2,C ˜ B ¨ 0 2 2 ¸¨1¸ ¨ 0 ¸ ; ¨ 0 0 1 ¸¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨1¸ ¨ 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹ © ¹© ¹ © ¹ § 2 0 5 ·§ 5 · § 5 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ S2,2,C ˜ C ¨ 0 2 2 ¸¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹ De manera que A´(-5, -2), B´(-3, 0) y C´(5, 2). Obsérvese que ya que el triángulo ABC está completamente determinado por sus vértices, podría haberse ahorrado mucha escritura al representar los vértices con una matriz de 3 x 3 JOE GARCIA ARCOS

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                                ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

y aplicando S2,2,C

§0 1 5· ABC > @ ¨¨ 0 1 2 ¸¸ ¨1 1 1¸ © ¹ a esto. Entonces

S2,2,C ˜ > [email protected]

§ 2 0 5 ·§ 0 1 5 · § 5 3 5 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 2 2 ¸¨ 0 1 2 ¸ ¨ 2 0 2 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨ 1 1 1 ¸ ¨ 1 1 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹

>A´B´C´@ .

’

E J E M P L O 7.6.9 Descríbase la transformación ML que refleja un objeto con respecto a una recta L. SO L U C I O N Considere que la línea L de la figura tiene una intersección con el eje Y en (0, b) y un ángulo de inclinación de T grados (respecto al eje X). Se reduce la descripción a transformaciones conocidas: 1. Trasladar (0, b) al origen. 2. Rotar -T grados de manera que la recta L se alinee con el eje X. 3. Efectuar una reflexión de espejo con respecto al eje X. 4. Girar de nuevo T grados. 5. Trasladar el origen de nuevo al punto (0, b). En notación de transformación, se tiene ML Tv ˜ R ș ˜ M x ˜ R ș ˜ Tv en donde v = -bj. ’ E J E M P L O 7.6.10 Obténgase la forma de la matriz para realizar reflexión con respecto a una recta L de pendiente m e intersección con el eje Y en el punto (0, b). SO L U C I O N Aplicando el hecho de que el ángulo de inclinación de una recta está relacionado con su pendiente m por la ecuación TanT = m, se tiene con v = -bj ML Tv ˜ R ș ˜ M x ˜ R ș ˜ Tv § 1 0 0 ·§ CosT  SenT 0 ·§ 1 0 0 ·§ CosT SenT 0 ·§ 1 0 0 · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ 0 1 b ¸¨ SenT CosT 0 ¸¨ 0 1 0 ¸¨  SenT CosT 0 ¸¨ 0 1 b ¸ . ¨ 0 0 1 ¸¨ 0 ¸¨ ¸ 0 1 ¸¨ 0 1 ¸¨ © ¹© ¹© 0 0 1 ¹© 0 ¹© 0 0 1 ¹ Ahora, si TanT = m, la trigonometría elemental da m ­ ° SenT m2  1 ° ® 1 ° CosT ° m2  1 ¯ Sustituyendo estos valores en vez de SenT y CosT después de la multiplicación de matrices, se tiene § 1  m2 2m 2bm · ¨ 2 ¸ 2 2 ¨ m 1 m 1 m 1¸ ¨ 2m m2  1 2b ¸ ¸. ’ ML ¨ 2 ¨ m  1 m2  1 m2  1 ¸ ¨ 0 0 1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹

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E J E M P L O 7.6.11 Realice la reflexión del polígono en forma de diamante cuyos vértices están en A(-1, 0), B(0, -2), C(1, 0) y D(0, 2) con respecto: a.- La recta horizontal y = 1; b.- La recta vertical x = 2; c.- La recta y = x + 2. SO L U C I O N Se representan los vértices del polígono por medio de la matriz coordenada homogénea § 1 0 1 0 · ¨ ¸ V ¨ 0 2 0 2 ¸ ¨ 1 1 1 1¸ © ¹ La matriz de reflexión puede escribirse como ML Tv ˜ R ș ˜ M x ˜ R ș ˜ Tv a.- La recta y = 2 tiene intersección con el eje Y en el punto (0, 2) y forma un ángulo de 0º con el eje X. De manera que con T = 0 y v = -2 j, la matriz de transformación es § 1 0 0 ·§ 1 0 0 ·§ 1 0 0 ·§ 1 0 0 ·§ 1 0 0 · § 1 0 0 · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ M L ¨ 0 1 2 ¸¨ 0 1 0 ¸¨ 0 1 0 ¸¨ 0 1 0 ¸¨ 0 1 2 ¸ ¨ 0 1 4 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸ ¨ 0 0 1 ¸ © ¹© ¹© ¹© ¹© ¹ © ¹ Esta misma matriz podría haberse obtenido directamente utilizando los resultados del ejemplo anterior con pendiente m = 0 e intersección con el eje Y en b = 0. Para reflejar el polígono, se iguala § 1 0 0 ·§ 1 0 1 0 · § 1 0 1 0 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ M L ˜ V ¨ 0 1 4 ¸¨ 0 2 0 2 ¸ ¨ 4 6 4 2 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨ 1 1 1 1 ¸ ¨ 1 1 1 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹ Convirtiendo de coordenadas homogéneas A´(-1, 4), B´(0, 6), C´(1, 4), D´(0, 2). b.- La recta vertical x = 2 carece de intersección con el eje Y y tiene pendiente infinita. Puede utilizarse My, reflexión con respecto al eje Y, para escribir la reflexión deseada: 1. Trasladando la recta dada dos unidades hacia arriba al eje Y; 2. Realizando reflexión con respecto al eje Y; 3. Trasladando hacia atrás dos unidades. De manera que con v = -2 i § 1 0 2 ·§ 1 0 0 ·§ 1 0 2 · § 1 0 4 · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ M L Tv ˜ M y ˜ Tv ¨ 0 1 0 ¸¨ 0 1 0 ¸¨ 0 1 0 ¸ ¨ 0 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸ ¨ 0 0 1 ¸ © ¹© ¹© ¹ © ¹ Por último § 1 0 4 ·§ 1 0 1 0 · § 5 4 3 4 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ M L ˜ V ¨ 0 1 0 ¸¨ 0 2 0 2 ¸ ¨ 0 2 0 2 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨ 1 1 1 1 ¸ ¨ 1 1 1 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹ Convirtiendo de coordenadas homogéneas A´(5, 0), B´(4, -2), C´(3, 0), D´(4, 2). c.- La recta y = x + 2 tiene pendiente 1 e intersección con el eje Y en el punto (0, 2). A partir del ejemplo anterior, con m = 1 y b = 2, se tiene § 0 1 2 · ¨ ¸ ML ¨ 1 0 2 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹ Ahora es posible determinar las coordenadas necesarias A´, B´, C´ y D´

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                                                                                                          ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

§ 0 1 2 ·§ 1 0 1 0 · § 2 4 2 0 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ M L ˜ V ¨ 1 0 2 ¸¨ 0 2 0 2 ¸ ¨ 1 2 3 2 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨ 1 1 1 1 ¸ ¨ 1 1 1 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹ De manera que A´(-2, 1), B´(-4, 2), C´(-2, 3) y D´(0, 2). ’

E J E M P L O 7.6.12 Un observador que se encuentra en el origen ve un punto P(1, 1). Si el punto se traslada una unidad en la dirección v = i, su nueva posición coordenada es P´(2, 1). Supóngase que, en vez de esto, el observador retrocede una unidad sobre el eje X. ¿Cuáles serían las coordenadas aparentes de P con respecto al observador? SO L U C I O N El problema puede plantearse como una transformación de sistemas coordenadas. Si se traslada el origen O en la dirección v = -i (a una nueva posición en O´), las coordenadas P en este sistema pueden obtenerse por medio de la traslación T v : § 1 0 1 ·§1· § 2 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ T v ˜ P ¨ 0 1 0 ¸¨1¸ ¨ 1 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨1¸ ¨ 1 ¸ © ¹© ¹ © ¹ De manera que las nuevas coordenadas son (2, 1)´. Esto tiene la interpretación que sigue: un desplazamiento de una unidad en una dirección dada puede lograrse ya sea trasladando el objeto hacia delante o alejándose de él. ’ E J E M P L O 7.6.13 Un objeto está definido con respecto a un sistema coordenado cuyas unidades están mediadas en pies. Si el sistema coordenado de un observador utiliza pulgadas como unidad básica, ¿cuál es la transformación de coordenadas empleada para describir las coordenadas del objeto en el sistema coordenado del observador? SO L U C I O N Ya que hay 12 pulgadas en un pie, la transformación requerida puede describirse 1 por medio de una transformación de escala coordenada con s o 2 § 1 · 0 ¸ ¨ 1/12 §12 0 · ¸ ¨ S1/12 ¨ ¸ 1 ¸ © 0 12 ¹ ¨ 0 ¨ ¸ 1/12 ¹ © y así § x · §12 0 ·§ x · § 12 x · S1/12 ˜ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸. ’ © y ¹ © 0 12 ¹© y ¹ ©12 y ¹ E J E M P L O 7.6.14 Obténgase la ecuación del círculo (x´)2 + (y´)2 = 1 en términos de coordenadas XY, considerando que el sistema coordenado X´Y´ es el resultado de una puesta en escala a unidades en la dirección X y b unidades en la dirección Y. SO L U C I O N A partir de las ecuaciones para una transformación de escala coordenada, se obtiene 1 1 x´ ˜ x y y´ ˜ y b a Sustituyendo, se tiene

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2

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2

§ x· § y· ¨ ¸ ¨ ¸ 1 ©a¹ ©b¹ Obsérvese que, como resultado de la puesta en escala, la ecuación del círculo se transforma en la ecuación de una elipse en el sistema coordenado XY. ’

E J E M P L O 7.6.15 Obténgase la ecuación de la recta y´ = mx´ + b en las coordenadas XY si el sistema coordenado X´Y´ es el resultado de una rotación de 90º del sistema coordenado XY. SO L U C I O N Las ecuaciones de transformación de coordenadas de una rotación pueden escribirse como ­ x´ xCos90º  ySen90º y ® ¯ y´  xSen90º  yCos90º  x Sustituyendo, se tiene ±x = my + b. Resolviendo para y, se tiene 1 b y  x . ’ m m A continuación y de forma general, enumeramos los operadores en R 2 que transforman cada vector en su imagen simétrica con respecto a alguna recta y se denominan operadores reflexión. Así mismo, encontramos los operadores proyección ortogonal y rotación:              

                                             

373

Reflexión respecto al eje Y: ­ x´  x § 1 0 · Ÿ ¨ ® ¸ ¯ y´ y © 0 1¹

Reflexión respecto al eje X: ­ x´ x ® ¯ y´  y

§1 0 · Ÿ ¨ ¸ © 0 1¹

Reflexión respecto a la recta y = x: ­ x´ y §0 1· Ÿ ¨ ® ¸ ¯ y´ x ©1 0¹

Proyección ortogonal sobre el eje X: ­ x´ x §1 0· Ÿ ¨ ® ¸ ¯ y´ 0 © 0 0¹

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Proyección ortogonal sobre el eje Y: ­ x´ 0 ® ¯ y´ y

§ 0 0· Ÿ ¨ ¸ ©0 1¹

Rotación a través de un ángulo T: ­ x´ xCosT  ySenT § CosT  SenT · Ÿ ¨ ® ¸ ¯ y´ xSenT  yCosT © SenT CosT ¹

7.7 T R A NSF O R M A C I O N ES G R A F I C AS E N R 3 El manejo, visión y construcción de imágenes gráficas tridimensionales requiere el empleo de geometría y transformaciones coordenadas tridimensionales. Estas transformaciones están constituidas por la composición de las transform aciones básicas de traslación, puesta en escala y rotación. Cada una de estas transformaciones puede representarse como una transformación matricial. Lo cual permite construir transformaciones más complejas al utilizar multiplicación o concatenación matriciales.                                      

Como en las transformaciones bidimensionales, se adoptan dos puntos de vista complementarios: el objeto o imagen se maneja directamente mediante el uso de transformaciones geométricas, o el objeto permanece estacionario y el sistema coordenado del observador se modifica al utilizar transformaciones coordenadas. Además, la construcción de objetos e imágenes complejas se facilita al emplear transformaciones de instancia, que combinan ambos puntos de vista. Las transformaciones y los conceptos aquí presentados son generalizaciones directas de as demostradas para transformaciones bidimensionales. T R A NSF O R M A C I O N ES G E O M E T R I C AS Con respecto a algunos sistemas coordenados tridimensionales, un objeto : se considera como un conjunto de puntos : = {P(x, y, z)}. Si el objeto se traslada a una nueva posición, puede considerársele como un nuevo objeto :´, del que todos los puntos coordenados P´(x´, y´, z´) pueden obtenerse a partir de los puntos coordenados originales P( x, y, z) de : aplicando una transformación geométrica.                

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Un objeto es desplazado ciertas distancias y dirección a partir de su posición original. La dirección y el desplazamiento de la traslación están prescritos por un vector v = ai + bj + ck . Las nuevas coordenadas de un punto trasladado pueden calcularse al utilizar la transformación ­ x´ x  a ° Tv : ® y´ y  b . ° z´ z  c ¯ A fin de representar esta transformación como matricial, es necesario utilizar coordenadas homogéneas. Entonces, la transformación matricial homogénea JOE GARCIA ARCOS

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requerida puede expresarse como § x´ · ¨ ¸ ¨ y´ ¸ ¨ z´ ¸ ¨ ¸ ©1¹

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

0 1 0 0

0 0 1 0

a ·§ x · ¸¨ ¸ b ¸¨ y ¸ c ¸¨ z ¸ ¸¨ ¸ 1¹© 1 ¹

El proceso de puesta en escala modifica las dimensiones de un objeto. El factor de escala s determina si la escala es una amplificación, s > 1, o una reducción, s < 1. En la puesta en escala con respecto al origen, donde dicho origen permanece fijo, se efectúa por la transformación ­ x´ s x ˜ x ° Ssx , s y , sz : ® y´ s y ˜ y ° ¯ z´ s z ˜ z En forma matricial, tenemos § sx 0 0 · ¨ ¸ Ss x , s y , s z ¨ 0 s y 0 ¸ ¨0 0 s ¸ z¹ © La rotación en tres dimensiones es mucho más compleja que la rotación en dos dimensiones. En dos dimensiones, una rotación está prescrita por un ángulo de rotación T y un centro de rotación P. Las rotaciones tridimensionales requieren la prescripción de un ángulo de rotación y de un eje de rotación. Las rotaciones canónicas están definidas cuando se elige uno de los ejes coordenados positivos X, Y o Z como eje de rotación. Entonces la construcción de la transformación de rotación procede igual que la de una rotación en dos dimensiones, con respecto al origen. Rotación con respecto al eje Z R T, k

­ x´ xCosT  ySenT ° : ® y´ xSenT  yCosT ° z´ z ¯

Rotación con respecto al eje Y R T, j

­ x´ xCosT  zSenT ° :® y´ y ° z´  xSenT  zCosT ¯

Rotación con respecto al eje X

x´ x ­ ° R T,i : ® y´ yCosT  zSenT ° z´ ySenT  zCosT ¯ Obsérvese que la dirección de un ángulo positivo de rotación se elige de acuerdo con la regla de la mano derecha respecto al eje de rotación. Las transformaciones matriciales correspondientes son § CosT  SenT 0 · § CosT 0 SenT · ¨ ¸ ¨ ¸ R T, k ¨ SenT CosT 0 ¸ ; R T, j ¨ 0 1 0 ¸; ¨ 0 ¨  SenT 0 CosT ¸ 0 1 ¸¹ © © ¹

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R T, i

El caso general de rotación en relación con un eje L puede construirse a partir de estas rotaciones canónicas mediante la multiplicación de matrices.

T R A NSF O R M A C I O N ES D E C O O R D E N A D AS

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0 0 · §1 ¨ ¸ 0 Cos T  S enT ¸ . ¨ ¨ 0 SenT CosT ¸ © ¹

También es posible lograr los efectos de traslación, puesta en escala y rotación al mover al observador que ve el objeto y manteniendo estacionario el objeto. Este tipo de transformación se denomina transformación de coordenadas. Primero se fija un sistema coordenado al observador y después se le traslada junto con el sistema coordenado agregado. A continuación, se vuelven a calcular las coordenadas del objeto observado respecto al nuevo sistema coordenado del observador. Los nuevos valores coordenados serán exactamente los mismos que si el observador hubiera permanecido estacionario y el objeto se hubiera movido, correspondiendo a una transformación geométrica. Si el desplazamiento del sistema coordenado del observador hacia una nueva posición está prescrito por un vector v = ai + bj + ck , un punto P(x, y, z), en el sistema coordenado original tiene coordenadas P(x´, y´, z´) en el nuevo sistema coordenado, y ­ x´ x  a ° T v : ® y´ y  b ° z´ z  c ¯ La obtención de esta transformación es completamente análoga a la de la transformación bidimensional. Obtenciones semejantes se cumplen para transformaciones de puesta en escala de coordenadas y rotación de coordenadas. Como en el caso bidimensional, se resumen las relaciones entre las formas matricules de las transformaciones de coordenadas y las transformaciones geométricas: Traslación

Transf. de coord. Tv

Transf. Geom. T v

Rotación

RT

R T

Puesta en escala

S1

Ssx , s y , sz

1 1 , , sx s y sz

Las transformaciones geométricas y de coordenadas inversas se construyen al efectuar la operación inversa. En esta forma, para transformaciones de coordenadas (y, de manera semejante, para transformaciones geométricas): 1

Tv

T v ;

T R A NSF O R M A C I O N ES M A T R I C ES

1

RT

R T ;

C O M PU EST AS

Ssx , s y , sz

Y

S1

1 1 , , sx s y sz

CONCATENACION

DE

Transformaciones geométricas y coordenadas más complejas se forman a través JOE GARCIA ARCOS

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del proceso de composición de funciones. Sin embargo, para las funciones matriciales el proceso de composición equivale a la multiplicación o concatenación de matrices. 1. Av, u = alinear un vector v con un vector u. 2. RT, L = rotación respecto a un eje L. El eje se prescribe dando un vector de dirección v y un punto P a través del cual pasa el eje. 3. Ssx , s y , sz = puesta en escala con respecto a un punto arbitrario P. A fin de construir estas transformaciones más complejas mediante concatenación de matrices, es necesario poder multiplicar matrices de traslación con matrices de rotación y puesta en escala. Esto requiere el empleo de coordenadas homogéneas y matrices de 4 x 4. Las matrices estándar de rotación y puesta en escala de 3 x 3 pueden representarse como matrices homogéneas 4 x 4 al agregar una fila y columna extra, como sigue: § a b c 0· ¨ ¸ ¨ d e f 0¸ ¨ g h i 0¸ ¨ ¸ © 0 0 0 1¹ Estas transformaciones se aplican después a los puntos P(x, y, z) que tienen la forma homogénea: § x· ¨ ¸ ¨ y¸ . ¨z¸ ¨ ¸ ©1¹ E J E M P L O 7.7.1 Se define inclinación como una rotación con respecto al eje X seguida por una rotación con respecto al eje Y: a.- Obténgase la matriz de inclinación; b.- ¿Importa el orden que se efectúe la rotación? SO L U C I O N a.- Es posible obtener la transformación requerida T al componer (concatenar) dos matrices de rotación: § CosT y 0 SenT y 0 · § 1 0 0 0· ¨ ¸¨ ¸ 0 1 0 0 ¸ ¨ 0 CosT x  SenT x 0 ¸ T = R T y , j ˜ R Tx ,i ¨¨  SenT y 0 CosT y 0 ¸ ¨ 0 SenT x CosT x 1 ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ 0 0 0 1¹ 0 0 1 ¸¹ © 0 © § CosT y ¨ ¨ 0 ¨  SenT y ¨ ¨ 0 ©

SenT y SenT x

SenT y CosT x

0· ¸ CosT x  SenT x 0¸ CosT y SenT x CosT y CosT x 0 ¸ ¸ 0 0 1 ¸¹ b.- Se multiplican R Tx ,i ˜ R T y , j para obtener la matriz

CosT y 0 SenT y 0· § ¨ ¸ ¨ SenT x SenT y CosT x  SenT x CosT y 0 ¸ ¨  CosT SenT SenT x CosT x CosT y 0 ¸¸ x y ¨ ¨ 0 0 0 1 ¸¹ © Esta no es la misma matriz que en la parte a); por tanto, sí importa el orden de la rotación. ’ JOE GARCIA ARCOS

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E J E M P L O 7.7.2 Obténgase una transformación Av que alinea un vector dado v con el vector k a lo largo del eje Z positivo. SO L U C I O N Según la figura a). Sea v = ai + bj + ck . Se realiza el alineamiento a través de la secuencia siguiente de transformaciones, figura b) y c): 1. Se gira con respecto al eje X en un ángulo T1 de manera que v gira en la mitad superior del plano XZ (como vector v1). 2. Se gira el vector v1 con respecto al eje Y en un ángulo -T2 de manera que v1 gira al eje positivo Z (como vector v2). Al poner en práctica el paso 1 a partir de la figura b), se observa que el ángulo requerido de rotación T1 puede obtenerse al observar la proyección de v sobre el plano YZ. (Se considera que b y c no son ambas cero). A partir del triángulo OP´B: b ­ ° SenT1 2 b  c2 ° ® c ° CosT 1 2 ° b  c2 ¯ La rotación requerida es 0 0 0· §1 ¨ ¸ c b ¨0  0¸ ¨ ¸ b2  c 2 b2  c 2 ¸ R T1 , i ¨ b c ¨0 0 ¸¸ ¨ 2 2 2 2 b c b c ¨ ¸ ¨0 ¸ 0 0 1 © ¹ Al aplicar esta rotación a v se produce el vector v1 con componentes ( a, 0, b2  c 2 ) . Al realizar el paso 2 partiendo de la figura c), se ve que se necesita una rotación de -T2 y también a partir del triángulo OQQ´: a ­ ° Sen(T2 )  SenT2  2 a  b2  c 2 ° ® b2  c 2 ° Cos (T ) CosT 2 2 ° a 2  b2  c 2 ¯ Entonces § · b2  c 2 a ¨ 0  0¸ ¨ a 2  b2  c 2 ¸ a 2  b2  c 2 ¨ ¸ 0 1 0 0¸ R T2 , j ¨¨ ¸ a b2  c 2 ¨ 0 0¸ ¨ 2 ¸ 2 2 a 2  b2  c 2 ¨ a b c ¸ ¨ 0 0 0 1 ¸¹ ©

Ya que v

a 2  b2  c 2 , introduciendo la notación O

b2  c 2 , se obtiene

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379

O v

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

ab O v

ac O v

· 0¸ ¸ ¸ c b 0  0¸ A v R T2 , j ˜ R T1 ,i O O ¸ ¸ a b c 0¸ v v v ¸ 0 0 0 1 ¸¹ Si tanto b como c son cero, entonces v = ai , por lo que O = 0. En este caso, sólo se requiere una rotación de r 90º con respecto al eje Y, de manera que si O = 0, se tiene que a § · ¨ 0 0  a 0¸ ¨ ¸ ¨ 0 1 0 0¸ A v R T2 , j ¨ ¸ ¨ a 0 0 0¸ ¨ a ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0 1 ¸¹ © En la misma forma se calcula la transformación inversa que alinea al vector k con el vector v. A-1 (R T2 , j ˜ R T1 ,i )-1 v 



-1 R -1 T1 , i ˜ R -T2 , j

R T1 ,i ˜ R T2 , j § O ¨ v ¨ ¨ ab ¨ ¨ O v ¨ ac ¨ ¨ O v ¨ © 0

0

a v

c O

b v



b O

0

c v 0

· 0¸ ¸ ¸ 0¸ ¸. ’ ¸ 0¸ ¸ ¸ 1¹

E J E M P L O 7.7.3 Sea un eje de rotación L especificado por un vector v y un punto de localización P. Obténgase la transformación para una rotación de T con respecto a L. SO L U C I O N Es posible obtener la transformación requerida siguiendo los siguientes pasos: 1. Trasladar P al origen. 2. Alinear v con el vector k. 3. Girar T con respecto a k. 4. Invertir los pasos 2 y 1. De manera que R ș/ T31 ˜ Av1 ˜ R T k ˜ Av ˜ T3 En este caso, Av es la transformación descrita en el ejemplo anterior. ’

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E J E M P L O 7.7.4 La pirámide definida por las coordenadas A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0), D(0, 0, 1) se gira 45º respecto a la recta L que tiene la dirección v = j + k y pasa a través del punto C(0, 1, 0). Obtenga las coordenadas de la figura girada. SO L U C I O N JOE GARCIA ARCOS

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Tomando de referencia el ejemplo anterior, la matriz de rotación R T,L puede encontrarse al concatenar las matrices R ș/ T31 ˜ Av1 ˜ R T k ˜ Av ˜ T3 Con P(0, 1, 0) entonces §1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

0 0· ¸ 0 1¸ T P 1 0¸ ¸ 0 1¹ Ahora v = j + k. Así que a partir del segundo ejemplo, con a = 0, b = 1, c = 1, se obtienen O 2,y 2, v

Av

§1 ¨ ¨0 ¨ ¨ ¨0 ¨ ¨ ©0

0 1 2 1 2 0



0 1 0 0

0· ¸ 0¸ ¸ -1 ¸ y Av ¸ 0 ¸ ¸ 1¹

0 1 2 1 2 0

0 §1 ¨ 1 ¨0 ¨ 2 ¨ ¨0  1 ¨ 2 ¨ 0 ©0

0 1 2 1 2 0

0· ¸ 0¸ ¸ ¸ 0¸ ¸ ¸ 1¹

También                  

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R 45º, k

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

1 2 1 2 0 0



1 2 1 2 0 0

· 0 0¸ ¸ ¸ 0 0 ¸ y T--1P ¸ 1 0¸ ¸ 0 1¹

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

0 1 0 0

0 0 1 0

0· ¸ 1¸ 0¸ ¸ 1¹

Entonces § 2 1 1 1 ·  ¨ ¸ 2 2 2 ¸ ¨ 2 ¨ 1 2 2 2 2 2 2 ¸ ¨ ¸ R T,L ¨ 2 4 4 4 ¸ ¨ 1 2 2 2 2 2 2¸ ¨ ¸ 4 4 4 ¸ ¨ 2 ¨ 0 0 0 1 ¸¹ © Para obtener las coordenadas de la figura girada, se aplica la matriz de rotación RT,L a la matriz de coordenadas homogéneas de los vértices A, B, C y D. §0 1 0 0· ¨ ¸ 0 0 1 0¸ C (ABCD) ¨ ¨0 0 0 1¸ ¨ ¸ ©1 1 1 1¹

De manera que § 1 ¨ ¨ 2 ¨ 2 2 ¨ R T,L ˜ C ¨ 4 ¨ 2 2 ¨ ¨ 4 ¨ 1 © Las coordenadas giradas son

1 2 0 2 4 2 1 4 2 4 0 4 1 1

· ¸ ¸ 2 2 ¸ ¸ 2 ¸ 2 ¸ ¸ 2 ¸ 1 ¸¹ 1

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381

§1 2 2 2 2· §1 2 4  2 2  4 · A´ ¨¨ , , , , ¸¸ , B´ ¨¨ ¸ , C´ = (0, 1, 0), 4 4 ¹ 4 4 ¸¹ ©2 © 2 § 2 2 2 · D´ ¨¨1, , ¸. ’ 2 2 ¸¹ ©

E J E M P L O 7.7.5 Obtenga la transformación para reflejo de espejo con relación a un plano dado. SO L U C I O N Sea el plano de reflexión especificado por un vector normal N y un punto de referencia P0(x0, y0, z0), para reducir la reflexión a una reflexión de espejo con respecto al plano XY: 1. Se traslada P0 al origen. 2. Se alinea el vector normal N con el vector k normal al plano XY. 3. Se efectúa la reflexión de espejo en el plano XY. 4. Se invierten los pasos 1 y 2. De manera que, con el vector de traslación v = -x0i ± y0j ± z0k M N,P0 Tv1 ˜ AN1 ˜ M ˜ A N ˜ Tv Aquí, AN es la matriz de alineamiento definida en el segundo ejemplo. Por tanto, si el vector N = n1i + n2j + n3k, entonces a partir del segundo ejemplo, con

n12  n22  n32 y O

N

AN

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

O N

 n1n3 O N

 n1n2 O N

n1 N

n3 O n2 N

0

0

0

n22  n32 , se obtiene

n2 O n3 N



0

· 0¸ ¸ ¸ 0¸ ¸ ¸ 0¸ ¸ 1 ¸¹

y

A -1 N

§ O ¨ N ¨ ¨ n1n2 ¨ ¨ O N ¨ nn ¨ 1 3 ¨ O N ¨ © 0

0

n1 N

n3 O

n2 N



n2 O

n3 N

0

0

· 0¸ ¸ ¸ 0¸ ¸ ¸ 0¸ ¸ ¸ 1¹

Además 0  x0 · §1 ¸ ¨ 0  y0 ¸ 0 Tv y Tv-1 ¨ ¨0 1  z0 ¸ ¸ ¨ 0 1 ¹ ©0 Por último, la forma homogénea de M es §1 0 0 0· ¨ ¸ 0 1 0 0¸ M ¨ . ’ ¨ 0 0 1 0 ¸ ¨ ¸ ©0 0 0 1¹ §1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

0 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

x0 · ¸ y0 ¸ z0 ¸ ¸ 1¹

E J E M P L O 7.7.6 Obténgase la matriz para la reflexión de espejo respecto al plano que pasa a través del origen y tiene un vector normal cuya dirección es N = i + j + k . SO L U C I O N Basándose en el ejemplo anterior, con P 0(0, 0, 0) y N = i + j + k , se obtienen N 3 y O 2 . Entonces

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382

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Tv

AN

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

2

1

3

2 3 1

0 1

2 1

3 0

3 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0· ¸ 0¸ y Tv-1 0¸ ¸ 1¹

· 0¸ 2 3 ¸ ¸ 1  0¸ -1 2 ¸ , AN ¸ 1 0¸ 3 ¸ 0 1 ¸¹ §1 0 0 ¨ 0 1 0 M ¨ ¨ 0 0 1 ¨ ©0 0 0 1

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

0 1 0 0

§ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ©

2

0 0 1 0

0· ¸ 0¸ 0¸ ¸ 1¹

0

1

3 1

1

3 1

2 3 1

2 1

3 1

2 3 0

2 0

3 0

· 0¸ ¸ ¸ 0¸ ¸, ¸ 0¸ ¸ 1 ¸¹

0· ¸ 0¸ 0¸ ¸ 1¹

La matriz de reflexión es

M N,O

                   

2 3 1 3 2  3 0 

2 · 0¸ 3 ¸ 2  0 ¸¸ . ’ 3 ¸ 1 0¸ ¸ 3 ¸ 0 1¹



A continuación y de forma general, enumeramos los operadores en R 3 que transforman cada vector en su imagen simétrica con respecto a alguna recta y se denominan operadores reflexión. Así mismo, encontramos los operadores proyección ortogonal y rotación: Reflexión respecto al plano XY:                

     

Tv1 ˜ A N1 ˜ M ˜ A N ˜ Tv

§ 1 ¨ 3 ¨ ¨ 2 ¨ 3 ¨ ¨ 2 ¨ 3 ¨ © 0

­ x´ x ° ® y´ y ° z´  z ¯

§1 0 0 · ¨ ¸ Ÿ ¨0 1 0 ¸ ¨ 0 0 1¸ © ¹

Reflexión respecto al plano XZ: ­ x´ x ° ® y´  y ° z´ z ¯

§1 0 0· ¨ ¸ Ÿ ¨ 0 1 0 ¸ ¨0 0 1¸ © ¹

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383

Reflexión respecto al plano YZ: ­ x´  x § 1 0 0 · ° ¨ ¸ Ÿ y ´ y ® ¨ 0 1 0¸ ° z´ z ¨ 0 0 1¸ © ¹ ¯

       

Proyección ortogonal sobre el plano XY:                

     

­ x´ x ° ® y´ y ° z´ 0 ¯

§1 0 0· ¨ ¸ Ÿ ¨0 1 0¸ ¨0 0 0¸ © ¹

Proyección ortogonal sobre el plano XZ: ­ x´ x §1 0 0· ° ¨ ¸ ® y´ 0 Ÿ ¨ 0 0 0 ¸ ° z´ z ¨0 0 1¸ ¯ © ¹

Rotación ortogonal sobre el plano YZ:

 

­ x´ 0 ° ® y´ y ° z´ z ¯

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§0 0 0· ¨ ¸ Ÿ ¨0 1 0¸ ¨0 0 1¸ © ¹

Rotación en sentido antihorario a través de un ángulo respecto al eje X positivo:

x´ x 0 0 · ­ §1 ° ¨ ¸ Ÿ y ´ yCos T  z S en T 0 Cos T  S enT ¸ ® ¨ ° z´ ySenT  zCosT ¨ 0 SenT CosT ¸ ¯ © ¹

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384

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Rotación en sentido antihorario a través de un ángulo respecto al eje Y positivo:              

                                 

­ x´ xCosT  zSenT § CosT 0 SenT · ° ¨ ¸ Ÿ y ´ y 1 0 ¸ ® ¨ 0 ° z´  xSenT  zCosT ¨  SenT 0 CosT ¸ ¯ © ¹

Rotación en sentido antihorario a través de un ángulo respecto al eje Z positivo: ­ x´ xCosT  ySenT § CosT  SenT 0 · ° ¨ ¸ ® y´ xSenT  yCosT Ÿ ¨ SenT CosT 0 ¸ ° ¨ 0 z´ z 0 1 ¸¹ ¯ ©

Por completitud, se puede ver que la matriz estándar para una rotación en sentido horario alrededor de un eje en R 3 (determinado por un vector unitario arbitrario u = ( a , b, c) cuyo punto inicial está en el origen) por un ángulo T, es § a 2 (1  CosT)  CosT ab(1  CosT)  cSenT ac (1  CosT)  bSenT · ¨ ¸ ¨ ab(1  CosT)  cSenT b2 (1  CosT)  CosT bc (1  CosT)  aSenT ¸ . ¨ ¸ ¨ ac (1  CosT)  bSenT bc (1  CosT)  aSenT c 2 (1  CosT)  CosT ¸ © ¹

7.8 F O R M AS L I N E A L ES. ESPA C I O DU A L En esta sección estudiaremos las transformaciones lineales que van de un espacio vectorial U en un espacio unidimensional. Enunciaremos y demostraremos sus propiedades. Las formas lineales son transformaciones lineales de un espacio vectorial en un espacio vectorial de dimensión 1. Como tales, no son nuevas para nosotros. Pero, debido a su gran importancia, han sido objeto de mucha investigación y se les ha acumulado una gran cantidad de terminología especial. D E F IN I C I O N 7.8.1 Dado un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K , una forma lineal en V es toda transformación f : V o K , que satisfaga el axioma siguiente:  u, v  V y a, b  K, entonces f(au + bv) = af(u) + bf(v). Cualquier cuerpo se puede considerar como un espacio vectorial de dimensión 1 sobre sí mismo. Por tanto, el concepto de forma lineal en realidad no es algo nuevo. Es la conocida transformación lineal, restringida a un caso especial. Las operaciones que figuran en el primer miembro son las del espacio vectorial V y las del segundo miembro son la adición y producto del cuerpo K . Considerando, entonces, el cuerpo K como espacio vectorial sobre sí mismo, puede decirse que las formas lineales en el espacio vectorial V son las transformaciones lineales de V en su cuerpo base K , es decir; f : V o K . Como las funciones lineales son un caso especial de las transformaciones lineales, los conceptos y resultados obtenidos anteriormente permanecen válidos y pueden aplicarse a las funciones lineales. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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385

T E O R E M A 7.8.1 Si V es un espacio vectorial sobre K, de dimensión n, el conjunto de todas las formas lineales sobre V es un espacio vectorial de dimensión n. D E M OST R A C I O N Para demostrar este teorema, probaremos en primer lugar que toda transformación lineal f : V o k V es una transformación lineal a la cual designaremos por kf. En efecto, como (kf)(au) = f(kau) = af(ku) = a(kf)(u), para todo k  K. (af)(u + v) = f(a(u + v)) = f(au) + f(av) = (af)(u) + (af)(v), para todo u, v  V y a  K . En segundo lugar, también debemos probar que la transformación f de V en la suma de las dos formas lineales g(u) + h(u) es también otra forma lineal, que designaremos por (g + h)(u). En efecto, como f(u) = g(u) + h(u) = (g + h)(u). f(u)  K , ya que g(u), h(u)  K y, además, se cumplen las condiciones siguientes: a.- f(u + v) = g(u + v) + h(u + v) = g(u) + g(v) + h(u) + h(v) = g(u) + h(u) + g(v) + h(v) = (g + h)(u) + (g + h)(v) = f(u) + f(v) b.- f(ku) = g(ku) + h(ku) = kf(u) + kh(u) = k(g(u) + h(u)) = k(g + h)(u) = kf(u) Por tanto, el conjunto de las formas lineales cumple las condiciones necesarias y suficientes para ser un espacio vectorial. Por ser las formas lineales, en un espacio vectorial, unos homomorfismos especiales entre espacios vectoriales, son válidas para ellas todos los resultados obtenidos para éstos. En particular, dado un espacio vectorial V, la adición de dos formas lineales en V es también una forma lineal en V, al multiplicar por un escalar una forma lineal en V, se obtiene una nueva forma lineal en V; es también, entonces cierto que el conjunto L(V, K), de las formas lineales en V, tiene, respecto de las mencionadas operaciones, estructura de espacio vectorial. A este espacio vectorial, de las formas lineales en V, se le da el nombre de espacio dual de V y se le representa por V*. D E F IN I C I O N 7.8.2 Siendo V un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K , se llama dual de V al espacio vectorial sobre K de todas las formas lineales sobre V. La base del espacio dual V* de V guarda una relación especial con la base de V. Sea S = {u1, u2, ..., un} la base de V. Se define el funcional lineal fi(u) por u = a1u1 + a2u2 + ... + anun, donde fi(u) = a i  K . A fi se le llamara la función coordenada i-ésima. Se puede demostrar que fi es un funcional lineal. T E O R E M A 7.8.2 Si V es un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K, V * es también de dimensión n. D E M OST R A C I O N Sea S = {u1, u2, ..., un} una base de V; si u  V, tenemos, de modo único u = a1u1 + a2u2 + ... + anun. Sea fi la forma lineal sobre V definida por fi : V o a i. Esta transformación fi es una forma lineal, pues fi(u + v) = a i + bi = fi(u) + fi(v); fi(ku) = ka i = kfi(u). Si f es una forma lineal cualquiera sobre V, es decir un elemento de V*, f(u) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un) ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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TRANSFORMACIONES LINEALES

por tanto, f está determinada por los valores c i = fi(u) que toma para los elementos de la base de V. Como el cuerpo es conmutativo f(u) = a1f1(u) + a2f2(u) + ... + anfn(u) es decir f = a1f1 + a2f2 + ... + anfn Ahora bien, en V* las formas fi son linealmente independientes, pues si se pudiera escribir d1f1(u) + d2f2(u) + ... + dnfn(u) = ‡  V* para valores di  K no todos iguales a cero, tendríamos para todo u  V d1f1(u) + d2f2(u) + ... + dnfn(u) = 0  K es decir d1a1 + d2a2 + ... + dnan = 0. Ahora bien, esto es imposible, pues si, por ejemplo, dn z 0, basta tomar a1 = a2 = ... = an-1 = 0 y an z 0  K . Por tanto, toda forma f puede escribirse como f = a1f1 + a2f2 + ... + anfn y los fi son linealmente independientes. Esto significa que {f1, f2, ..., fn} es base de V* y que V* es, por tanto, de dimensión n.

7.9 C U EST I O N A RI O Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas, indicar por que lo es: 7.9.1 Las matrices de una misma transformación lineal en dos bases coinciden cuando, y sólo cuando, la matriz del cambio de una de esas bases por otra es conmutativa con la matriz de dicha transformación lineal en una de las bases dadas. 7.9.2 La proyección de un espacio tridimensional sobre el eje de coordenadas del vector e1 paralelamente al plano de coordenadas de los vectores e2 y e3 no es una transformación lineal. 7.9.3 Las transformaciones lineales de un espacio ndimensional con respecto a la adición y multiplicación por un número forman de por sí un espacio vectorial. 7.9.4 Cualquier transformación lineal f de un espacio unidimensional se reduce a la multiplicación de todos los vectores por un mismo número. 7.9.5 Si f es una transformación lineal del espacio de dimensión finita U a W, entonces la dimensión de W es igual a la suma de la nulidad y el rango. 7.9.6 Si f es una transformación lineal de U en W, siendo ambos de dimensión k, entonces el núcleo de f es igual a ^‡` si y sólo si la imagen de f es igual a U. 7.9.7 Si f es una transformación lineal de U en W, siendo ambos de dimensión k, entonces f -1 existe si y sólo si el núcleo de f es igual a W. 7.9.8 Si f es una transformación lineal sobreyectiva de U en U, y U es n-dimensional, entonces f es inyectiva. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

7.9.9 El giro de un espacio tridimensional en un ángulo 2S/3 alrededor de una recta, prefijada en un sistema rectangular de coordenadas mediante las ecuaciones x1 = x2 = x3, es una transformación lineal. 7.9.10 El giro del plano en un ángulo T alrededor del origen de coordenadas es una transformación lineal. 7.9.11 Si f es una transformación lineal inyectiva de U en U, y U es n-dimensional, entonces f es biyectiva. 7.9.12 Sea U un espacio vectorial de dimensión finita y sea f una transformación lineal sobre U. Supóngase que el rango de f 2 es igual al rango de f. Entonces la imagen y el núcleo de f son disjuntos. 7.9.13 Una matriz B de orden n es semejante a una matriz A de orden n si y sólo si existe una matriz C singular tal que B = C -1 A C. 7.9.14 Si f es una transformación lineal de U en U y si A y B son representaciones matriciales de f pero respecto posiblemente a bases distintas, entonces B es semejante a A. 7.9.15 Sean U y W dos espacios vectoriales y sea f una transformación lineal de U en W. Si f es singular, entonces f -1 es una transformación lineal de U en W. 7.9.16 Si f es una transformación lineal de U en W. Entonces f es no singular si, y sólo si, f aplica cada subconjunto linealmente independiente de U sobre un subconjunto linealmente independiente de W. JOE GARCIA ARCOS

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387

7.9.17 Sea f una transformación lineal de U en W y sea W n-dimensional. Entonces f es inyectiva si y sólo si el rango de f es n.

7.9.19 Si U un espacio vectorial de dimensión finita n, f una transformación lineal de U en W. Entonces f es no singular si y sólo si es inyectiva.

7.9.18 Sea f una transformación lineal de R 3 en R 2 y sea g una transformación lineal de R 2 en R 3. Entonces que la transformación lineal gf es no singular.

7.9.20 Si U y W son espacios de dimensión finita. Entonces U es isomorfo a W si y sólo si la dimensión de U es igual a la dimensión de W.

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O BJ E T I V O Resolver problemas relacionados con valores y vectores característicos, mediante la interpretación y representación en términos de vectores, matrices y sistem as de ecuaciones lineales, en situaciones reales, propias de la ingeniería.

C O NT ENID O: 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

DEFINICIONES Y PROPIEDADES ECUACION CARACTERISTICA. SUBESPACIOS PROPIOS SEMEJANZA DE MATRICES MATRICES DIAGONALIZABLES DIAGONALIZACION DE MATRICES SIMETRICAS Y HERMITICAS POLINOMIO MINIMO DE UNA MATRIZ CUESTIONARIO

8.1 D E F I N I C I O N ES Y PR O PI E D A D ES Por lo general no hay ninguna relación entre el vector u y el vector Au. S in embargo, se tiene casos particulares en que existen ciertos vectores u no nulos tales que u y Au sean colineales. En esta sección estudiaremos cómo encontrar estos vectores. Este capítulo lo dedicaremos al estudio de las matrices que representan transformaciones lineales de un espacio vectorial V hacia si mismo. En infinidad de ocasiones se presentan problemas con la siguiente característica: para una transformación lineal de un espacio vectorial en sí mismo, f : V o V, se desean conocer aquellos vectores tales que tienen la misma dirección que su transformado por f; es decir, se buscan vectores u tales que u y f(u) tengan la misma dirección, o lo que es lo mismo, que para un cierto escalar O se verifique f(u) = Ou. Es evidente que el vector nulo satisface siempre a dicha exigencia, pero esta solución trivial no suele ser de interés. D E F I N I C I O N 8.1.1 A los vectores no nulos para los que exista un escalar O que haga cierta la igualdad f(u) = Ou se los llamará vectores característicos de la transformación f, y a los escalares O se les da el nombre de valores característicos de la transformación lineal f. Dada f : V o V una transformación lineal de V en si mismo, buscamos una base para la cual la matriz que representa a f sea particularmente sencilla. En la

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práctica, f sólo está dada implícitamente, dando una matriz A que la representa. La matriz que representa a f tiene su forma más sencilla siempre que f aplica a cada vector base sobre un múltiplo de sí mismo; esto es, siempre que cada vector base u exista un escalar O tal que f(u) = Ou. No siempre es posible encontrar tal base, pero existen algunas condiciones un tanto generales bajo las cuales es posible. La multiplicación por A transforma cada vector característico u de A sobre la misma recta que pasa por el origen de u. Dependiendo del signo y la magnitud del valor característico O correspondiente a u, la transformación f(u) = Ou hace que u se comprima o alargue por un factor O, con un cambio de dirección en caso de que sea O negativo.

El problema de encontrar u diferente de cero tal que f(u) = Ou es equivalente al problema de encontrar vectores diferentes de cero en el núcleo de f - O. Este es un problema lineal y se han dado métodos prácticos para resolverlo. Pero no existe solución diferente de cero para este problema, a menos que f - O sea singular. Por lo tanto, estamos ante el problema de encontrar esos O para los cuales f - O sea singular. D E F I N I C I O N 8.1.2 Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K , y sea f un endomorfismo, es decir una transformación lineal de V en sí mismo. Decimos que el escalar O es un valor característico de f si existe un vector u tal que f(u) = Au = Ou, donde A es la matriz del endomorfismo f y u distinto del vector nulo. Esta definición no garantiza la existencia de valores característicos. Más adelante se estudiarán algunas propiedades que, bajo ciertas hipótesis, garantizan la existencia de valor característico; no obstante, conviene notar que, en ocasiones, pueden no existir los valores característicos de un endomorfismo f. E J E M P L O 8.1.1 Sea la representación matricial del endomorfismo f : R 2 o R 2, dada por la matriz § 2 1· A ¨ ¸. ©3 2 ¹ SO L U C I O N Se tiene que a cada vector u le asocia el vector f(u), no existen valores característicos, ya que f(u) = Ou equivale a las dos ecuaciones b = (2 - O) a y 3 a = (O - 2)b, de las cuales se deduce que para que O sea valor característico de f ha de satisfacer a (O - 2)2 = -3, ecuación ésta que no tiene solución en el cuerpo R de escalares y, por tanto, f no tiene ningún valor característico. ’ En este ejemplo, la carencia de soluciones proviene de que en el conjunto de ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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escalares R hay ecuaciones algebraicas sin solución en él; si el endomorfismo f hubiera sido de C 2 en C 2, la anterior dificultad habría desaparecido, y ello es debido a que toda ecuación algebraica a 0 + a 1z + a 2z2 + ... + a n-1zn-1 + a nzn = 0 de coeficientes complejos tiene, al menos una raíz compleja. Cuando se quieren evitar situaciones como las de este ejemplo, para las que no hay valores característicos por carecer de soluciones una ecuación algebraica, se considerarán espacios vectoriales complejos o, en general, espacios vectoriales cuyo cuerpo base sea un cuerpo algebraicamente cerrado, designando por tal a un cuerpo K para el que toda ecuación algebraica a 0 + a 1O + a 2O2 + ... + a n-1On-1 + a nOn = 0 con a 0, a 1, a 2, ..., a n  K , tiene al menos una raíz en K . Las consideraciones que se hagan acerca de valores característicos de endomorfismos en espacios vectoriales complejos son fácilmente generalizables al caso de espacios vectoriales sobre cuerpos algebraicamente cerrados. El vector distinto de cero de f(u) = Ou se dice que es un vector característico de f correspondiente al valor característico O. D E F I N I C I O N 8.1.3 Al conjunto de valores característicos de f, se le denomina espectro de f y se representa por )(f) es decir: )(f) = ^O  K / O es valor característico de f`. T E O R E M A 8.1.1 Sea V un espacio vectorial n-dimensional, y sea f : V o V un endomorfismo. El conjunto de los vectores característicos correspondientes a un valor característico de f constituyen, junto con el vector cero, un subespacio vectorial de V, llamado subespacio propio correspondiente a O. Es decir: O  )(f) Ÿ V(O) = ^u  V / f(u) = Ou`  V. D E M OST R A C I O N Hay que cerciorarse de que, para cualesquiera que sean los vectores u, v  V(O) y para todo par de escalares a, b  K , se verifica que el vector au + bv es también de V(O). Es efecto, ya que por ser f transformación lineal, se cumple f( au + bv) = af(u) + bf(v) = a Ou + bOv = O( au + bv). Por lo tanto, au + bv  V(O) y V(O) es un subespacio de V. Llamaremos a V(O) el espacio propio de f correspondiente a O, y a cualquier subespacio de V(O) se le da el nombre de espacio propio de f. E J E M P L O 8.1.2 Sea A una matriz de n x n. Si O es un valor característico de A, entonces el conjunto V(O), que consta del vector cero junto con todos los vectores característicos de A para este valor característico O, es un subespacio de R n, el espacio propio de O. SO L U C I O N El vector cero está en V(O), de modo que V(O) es no vacío. Sean u y v en V(O). Entonces, A(u + v) = Au + Av = Ou + Ov = O(u + v) De modo que u + v está en V(O). Para cualquier escalar k, tenemos A(ku) = k(Au) = k(Ou) = O(ku) de modo que ku está en V(O). Así, V(O) es no vacío y cerrado bajo la suma y la multiplicación por un escalar, de modo que es un subespacio de R n. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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T E O R E M A 8.1.2 Dos valores característicos distintos del endomorfismo f no tienen ningún vector característico común; es decir: O1, O2  )(f) y O1 z O2, entonces V(O1) ˆ V(O2) = {‡}. D E M OST R A C I O N Debemos comprobar que, si u  V(O1) y u  V(O2), entonces u ha de ser el vector nulo ‡. Sea f(u) = O1u y f(u) = O2u, entonces: O1u = O2u Ÿ (O1 - O2)u = ‡ de donde, al ser O1 z O2, se infiere que u = ‡. T E O R E M A 8.1.3 Si los valores característicos O1, O2, ..., On son todos distintos y V(O) es un conjunto de vectores característicos, ui correspondiente a Oi, entonces V(O) es linealmente independiente. D E M OST R A C I O N Los vectores característicos son no nulos por definición, razón por la cual el teorema es justo, a ciencia cierta, para n = 1. Supongamos que es válido para cualquier sistema de n ± 1 vectores característicos y no es válido para los vectores u1, u2, ..., un. En este caso el sistema formado por dichos vectores será linealmente independiente, es decir, para ciertos números a 1, a 2, ..., a n, no iguales a cero simultáneamente, se verifica la igualdad a 1u1 + a 2u2 + ... + a nun = ‡ (1) Supóngase que O1 z 0. Aplicando f a la ecuación (1), obtenemos f( a 1u1 + a 2u2 + ... + a nun) = f(‡) a 1f(u1) + a 2f(u2) + ... + a nf(un) = f(‡) a 1O1u1 + a 2O2u2 + ... + a nOnun = ‡ (2) Al multiplicar a la ecuación (1) por On y al restarla de (2), obtenemos a 1(O1 - On)u1 + a 2(O2 - On)u2 + ... + a n-1(On-1 ± On)un = ‡. Conforme a la suposición inductiva, de aquí se deduce que todos los coeficientes de los vectores u1, u2, ..., un-1 son nulos. En particular, a 1(O1 - On) z 0, lo que contradice la condición O1 z On y la suposición a 1 z 0. Por consiguiente, el sistema de vectores u1, u2, ..., un es linealmente independiente. T E O R E M A 8.1.4 Dados un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K , y un endomorfismo F, y si I representa la transformación identidad, se verifica que: O = 0 es valor propio de f, si y sólo si f no es inyectiva. D E M OST R A C I O N La transformación lineal f no es inyectiva cuando, y sólo cuando, su núcleo tiene algún vector no nulo, es decir, si existe u z ‡  V, tal que f(u) = ‡; ahora bien, esto último es tanto como decir que O = 0 es un valor característico de f, siendo u un vector característico. T E O R E M A 8.1.5 Dados un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K , y un endomorfismo f, y si I representa la transformación identidad, se verifica que: O es valor característico de f, si y sólo si  a  K , O - a es valor característico de f a I. D E M OST R A C I O N Afirmar que el escalar O es valor característico de f es tanto como decir que existe un vector no nulo u  V tal que f(u) = Ou, lo que a su vez equivale a asegurar que, para cualquiera que sea el escalar a , se verifica que f(u) ± au = Ou ± au, para un vector u z ‡, que puede expresarse en la forma ( f ± a I)u = (O - a )u, lo cual ocurre si, y sólo si, el escalar O - a es un valor característico del endomorfismo f ± a I. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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E J E M P L O 8.1.3 Sean A una matriz de n x n e I la matriz identidad. Comparar los vectores y valores característicos de A con los de A + kI para un escalar k. SO L U C I O N Si O es un valor característico de A con u como vector característico correspondiente, entonces O + k es un valor característico A + kI con u como vector característico correspondiente. Esto es, los propios valores de A + kI son aquellos de A incrementados en k, mientras que los vectores característicos correspondientes permanecen iguales. ’ T E O R E M A 8.1.5 Dados un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K , y un endomorfismo f, y si I representa la transformación identidad, se verifica que: O es valor característico de f, si y sólo si f - OI no es inyectiva. D E M OST R A C I O N Este teorema es consecuencia inmediata de los teoremas anteriores, ya que O es valor característico del endomorfismo f si, y sólo si, 0 es valor característico del endomorfismo f - OI, lo cual a su vez equivale a decir que f - OI es singular. D E F I N I C I O N 8.1.4 Se denomina radio espectral de una matriz A, y se designa por R(A), a R(A) máx Oi , donde Oi son los valores característicos de A. Nótese que están incluidos los valores característicos complejos, indicándose su valor por su módulo. Una vez conocido el radio espectral, se define su norma de la siguiente manera: A

2

R(AT A) .

PROGRAMA  EN  MATLAB  PARA  CALCULAR  LOS  VALORES  CARACTERISTICOS     %  CALCULO  DE  LOS  VALORES  CARACTERISTICOS   clc;;  clear;;   fprintf('\n  VALORES  CARACTERISTICOS  \n');;   filcol=input('Ingrese  el  orden  de  la  matriz  A:  ');;   %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          fprintf('\n  LA  MATRIZ  ES:')          A                  fprintf('\n  EL  POLINOMIO  CARACTERISTICO  ES:\n')                  p=poly(A);;                  p          end          fprintf('\n  LOS  VALORES  CARACTERISTICOS  SON:\n')            ESPECTRO=eig(A);;            [vector,vectorres1]  =  eig(A);;          ESPECTRO   end  

E J E M P L O 8.1.4 Sea A matriz de n x n. Si O es un valor característico de A con u como vector característico correspondiente, entonces Ok es un valor característico de Ak, de ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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nuevo con u como vector característico correspondiente, para cualquier entero positivo k. SO L U C I O N La afirmación es verdadera para k = 1. Supóngase que es verdadera para k ± 1. Entonces Aku = Ak-1( Au) = Ak-1(Ou) =O(Ak-1u) = O(Ok-1u) = Oku de modo que la afirmación es verdadera para k. Así, por inducción, Aku = Oku para toda k. ’ E J E M P L O 8.1.5 Demuestre que una matriz triangular es singular sí y sólo si sus valores característicos son reales y diferentes de cero. SO L U C I O N Suponga que A es una matriz triangular real cuyos elementos en la diagonal principal son O1, O2 « On. Así, A tiene valores característicos reales. Además, debido a que el determinante de A es Det(A) = O1˜O2˜ «˜On, se concluye que A es no singular sí y sólo si cada O es diferente de cero. ’ E J E M P L O 8.1.6 Para una matriz no singular A, verifique que A y A-1 tienen los mismos vectores característicos. ¿Cómo se relacionan los valores característicos de A con los valores característicos de A-1? SO L U C I O N Suponga que O es un valor característico de A, con vector característico correspondiente u. Debido a que A es no singular, se sabe que O z 0. Así, Au =Ou implica que u = A-1Au = A-1Ou = OA-1u. Lo cual a su vez implica que (1/O)u = A-1u. Por tanto, u es un vector característico de A-1 y su valor característico correspondiente es 1/O. ’ E J E M P L O 8.1.7 Dados un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K , y un endomorfismo f, y si I representa la transformación identidad, se verifica que O = 0 es valor característico de f, si y sólo si f no es inyectiva. SO L U C I O N La transformación lineal f no es inyectiva cuando, y sólo cuando, su núcleo tiene algún vector no nulo, es decir, si existe u z ‡  V, tal que f(u) = ‡; ahora bien, esto último es tanto como decir que O = 0 es un valor característico de f, siendo u un vector característico. ’ E J E M P L O 8.1.8 Dados un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K , y un endomorfismo f, y si I representa la transformación identidad, se verifica que: O es valor característico de f, si y sólo si  a  K , O - a es valor característico de f - aI. SO L U C I O N Afirmar que el escalar O es valor característico de f es tanto como decir que existe un vector no nulo u  V tal que f(u) = Ou, lo que a su vez equivale a asegurar que, para cualquiera que sea el escalar a , se verifica que f(u) ± au = Ou ± au, para un vector u z ‡, que puede expresarse en la forma ( f ± a I)u = (O - a )u, lo cual ocurre si, y sólo si, el escalar O - a es un valor característico del endomorfismo f ± a I. ’ E J E M P L O 8.1.9 Sean A una matriz de n x n e I la matriz identidad. Comparar los vectores y valores característicos de A con los de A + kI para un escalar k. SO L U C I O N Si O es un valor característico de A con u como vector característico ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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correspondiente, entonces O + k es un valor característico A + kI con u como vector característico correspondiente. Esto es, los propios valores de A + kI son aquellos de A incrementados en k, mientras que los vectores característicos correspondientes permanecen iguales. ’ E J E M P L O 8.1.10 Dados un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K , y un endomorfismo f, y si I representa la transformación identidad, se verifica que: O es valor característico de f, si y sólo si f - OI no es inyectiva. SO L U C I O N Este ejemplo es consecuencia inmediata de los ejemplos anteriores, ya que O es valor característico del endomorfismo f si, y sólo si, 0 es valor característico del endomorfismo f - OI, lo cual a su vez equivale a decir que f - OI es singular. ’ E J E M P L O 8.1.11 Conociendo los valores característicos de la matriz A, hallar los valores característicos de la matriz A2. SO L U C I O N Los valores característicos de la matriz A2 son iguales a los cuadrados de los valores característicos de A. En efecto, sea Det(A - OI) = (O1 - O)(O2 - O «(On - O) y Det(A + OI) = (O1 + O)(O2 + O « On + O) Multiplicando estas igualdades y sustituyendo O2 por O, obtenemos Det(A2 - Ȝ, O12  O O22  O  O2n  O . ’ E J E M P L O 8.1.12 Conociendo los valores característicos de la matriz A, hallar los valores característicos de la matriz f(A). SO L U C I O N Sea u un vector característico de la matriz A, correspondiente al valor característico O. Entonces Iu = u, Au = Ou, A2u = O2u, ... Amu = Omu. Multiplicando estas igualdades vectoriales por coeficientes arbitrarios y sumándolas, obtenemos para cualquier polinomio f que f(A)u = f(O)u, es decir, u es un vector característico de f(A), correspondiente al valor característico f(O). ’ E J E M P L O 8.1.13 Verifique que los valores característicos de una matriz triangular son los elementos diagonales de la matriz. SO L U C I O N Como una matriz triangular superior tiene la forma siguiente § a11 a12 ... a1n · ¨ ¸ 0 a22 ... a2 n ¸ A ¨ ¨ ... ... ... ¸ ¸ ¨¨ 0 0 ... ann ¸¹ © y para encontrar los valores característicos tenemos que construir el polinomio característico, tenemos:

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A - Ȝ,

§ a11 ¨ ¨ 0 ¨ ... ¨¨ © 0

a12 ... a1n · § O ¸ a22 ... a2 n ¸ ¨¨ 0  ... ... ¸ ¨ ... ¸ ¨ 0 ... ann ¸¹ © 0

0 ... 0 · ¸ O ... 0 ¸ ... ... ¸ ¸ 0 ... O ¹

a12 ... a1n · § a11  O ¨ ¸ a22  O ... a2 n ¸ ¨ 0 ¨ ... ... ... ¸ ¨¨ ¸ 0 ... ann  O ¸¹ © 0

0.

Por tanto p(O) = ( a 11 - O)( a 22 - O) ... ( a nn - O) y los valores característicos serán: O1 = a 11, O2 = a 22, ... , On = a nn. ’ E J E M P L O 8.1.14 Sea A una matriz de orden n, demuestre que A y AT tienen el mismo polinomio característico y por lo tanto tienen los mismos valores característicos. SO L U C I O N Para demostrar que la matriz A y AT tienen el mismo polinomio característico, debemos probar que Det(A - OI) = Det(AT - OI). Es decir: Det(AT - OI) = Det(A - OIT)T = Det(A - OIT) = Det(A - OI). Con lo cual se puede asegurar que tienen los mismos valores característicos. ’ E J E M P L O 8.1.15 Sea A una matriz de orden n y sea c un número real. Si O es un valor característico de A, demuestre entonces que cO es un valor característico de cA. SO L U C I O N Sabemos que para que O sea valor característico de la matriz A, debe cumplirse que Au = Ou. Entonces debemos demostrar que ( cA)u = (cO)u. Es decir: (cA)u = c(Au) = c(Ou) = (cO)u. Con esto queda demostrado que cO es un valor característico de la matriz c A. ’ E J E M P L O 8.1.16 Demuestre que si 0 < T < S, entonces la transformación de una rotación de un ángulo T en sentido antihorario no tiene valores característicos reales. SO L U C I O N § CosT  SenT · 2 La ecuación característica de A ¨ ¸ es O - (2 CosT)O + 1 = 0. Las © SenT CosT ¹ raíces de esta ecuación son O CosT r Cos 2 T  1 . Si 0 < T < S, entonces ± 1 <

CosT < 1, lo cual implica que

Cos 2 T  1 es imaginario. ’

E J E M P L O 8.1.17 Sea A una matriz de n x n: a.- Demuestre o refute que un vector característico de A es también un vector característico de A2; b.- Demuestre o refute que un vector característico de A2 es también un vector característico de A. SO L U C I O N a.- Verdadero: Si Au = Ou, entonces A2u = A(Au) = A(Ou) = OAu = O(Ou) = O2u, lo cual implica que u es un vector característico de A2. §0 1· 2 b.- Falso: Sea A ¨ ¸ . Entonces u = (1, 0) es un vector característico de A , 1 0 © ¹ pero no lo es de A. ’ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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E J E M P L O 8.1.18 Suponga que O es un valor característico de la matriz A y E es un valor característico de la matriz B. ¿Es O + E un valor característico de A + B? SO L U C I O N Sabemos que para que O sea valor característico de A debe cumplirse que Au = Ou, análogamente para el valor característico E, Bv = E v. Entonces si sumamos estas dos ecuaciones, obtenemos: Au + Bv = Ou + Ev Lo que nos indica que O + E no es valor característico de A + B. La única condición para que esto se cumpla es que A y B tengan los mismos vectores característicos, es decir u = v. ’ E J E M P L O 8.1.19 Demostrar que una matriz nilpotente no posee valores característicos diferentes de cero. SO L U C I O N Sea O valor característico de la matriz nilpotente de n x n. Puesto que Ok es valor característico de Ak y como los valores característicos de una matriz son las raíces de su polinomio característico p(O), entonces: p(O) = Det(Ak - Ok I ) = Det(O - OkI) = Det(-OkI) = (-1)nDet(OkI) = (-1)nOk = 0. Por consiguiente Ok = 0 y O = 0. De esta manera hemos demostrado que una matriz nilpotente posee únicamente valores característicos iguales a cero. ’ E J E M P L O 8.1.20 Sea A una matriz cuadrada de orden 2. Demuestre que el polinomio característico de A es p(O) = O2 - OTr(A) + Det(A). SO L U C I O N §a b· La matriz de orden 2 tiene la forma A ¨ ¸ . Por lo tanto su polinomio ©c d¹ característico es: b · §a b· §1 0· §a O p (O ) ¨ ¸ O¨ ¸ ¨ ¸ ( a  O)(d  O)  bc . c d 0 1 c d  O¹ © ¹ © ¹ ©

p(O) = O2 - ( a + d)O + (ad ± bc) = O2 - OTr(A) + Det(A). ’ E J E M P L O 8.1.21 Demuestre que los polinomios característicos de las matrices AB y BA coinciden para cualesquiera matrices cuadradas A y B. SO L U C I O N Si A es una matriz no singular, se tiene Det(BA - OI) = Det(A-1(AB - OI)A) = Det(A-1)Det(AB - OI)Det(A) = Det(AB OI). Para librarse de la suposición de que A sea no singular, hay que pasar a límites de los polinomios de varias variables. También se pueden calcular directamente los coeficientes de los polinomios Det(AB - OI) y Det(BA - OI), empleando para ello la propiedad del producto de las matrices rectangulares, y convencerse luego de su igualdad. ’ E J E M P L O 8.1.22 Demuestre que los polinomios característicos de las matrices AB y BA sólo se diferencian en el factor (-O)n-m. Aquí A es una matriz rectangular que tiene m filas y n columnas, B tiene n filas y m columnas, n > m.

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SO L U C I O N Completemos las matrices A y B hasta que resulten unas matrices cuadradas A´ y B´ de n x n, añadiendo a A n ± m filas y a B n ± m columnas formadas por ceros. Entonces BA = B´A´, y A´B´ se obtiene de AB orlando con ceros. La aplicación del resultado del problema precedente da lo que se quería demostrar. ’

PR O B L E M AS 8.1.1 Demuestre que O = 0 es un valor característico de la matriz A sí y sólo si A es singular. 8.1.2 Sean A y B matrices rectangulares de m x n y n x m, respectivamente. Demuestre que los polinomios característicos de las matrices AB y BA cumplen la relación On Det (OIm  AB) Om Det (OIn  BA) . 8.1.3 Demuestre que A y su transpuesta tienen los mismos valores característicos. 8.2.4 Sea f : R 2 o R 2 definida por f (v) proyu v , donde u es un vector fijo en R 2. Demuestre que los valores característicos de A son 0 y 1. 8.1.5 Demuestre que si A2 = O, entonces el único valor característico de A es cero. §a b· Dada la matriz A ¨ ¸ y si a , b, c, d son ©c d¹ números entero tales que a + b = c + d, entonces tiene valores característicos enteros, O1 = a + b y O2 = a ± c.

8.1.6

8.1.7

Demuestre que el polinomio característico de la §A B· matriz M = ¨ ¸ donde A y B son matrices © B A¹ cuadradas de un mismo orden, es igual al producto de los polinomios característicos de las matrices A + B y A ± B. 8.1.8 Generalice el resultado del problema anterior, al demostrar que si A es una matriz simétrica de n x n con valores propios positivos, entonces existe una matriz simétrica B tal que B2 = A. 8.1.9 Si V es un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, pruébese que el conjunto de todas las transformaciones simétricas de V constituyen un subespacio del espacio vectorial de los endomorfismos en V. 8.1.10 Sea B una matriz de orden n dada, considere la transformación lineal f : :nxn o :nxn. f(A) = BA. ¿Cómo son los valores característicos de f respecto a los valores característicos de B? ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

§a b· 8.1.11 Dada la matriz A ¨ ¸ , demuestre: ©c d¹ a.- Tiene dos valores característicos reales distintos si ( a ± d)2 + 4bc > 0. b.- Tiene un valor característico real si ( a ± d)2 + 4bc = 0. c.- No tiene valores característicos reales si ( a ± d)2 + 4bc < 0.

8.1.12 Demuestre que el polinomio característico de la § B -C · matriz real D de orden 2n, D = ¨ ¸ es igual al ©C B ¹ producto de los polinomios característicos de las matrices complejas de n x n, A = B + iC y A = B - iC . 8.1.13 Suponga que una matriz A de n x n es no singular. Demuestre que los polinomios característicos f(O) de A y h(O) de A-1 están ligados por la relación 1 §1· h(O) (O)n ˜ ˜ f ¨ ¸. Det(A) © O ¹ 8.1.14 Si los valores característicos de la matriz §a b· A ¨ ¸ son O1 = 0 y O2 = 1, ¿cuáles son los valores ©0 d ¹ posibles de a y d? 8.1.15 Dadas las matrices A y B simétricas y reales. Demuestre que si los valores característicos de la matriz A yacen en el segmento [ a ; b] y los de la matriz B, en el segmento [ c; d], los valores característicos de la matriz A + B están en el segmento [ a + c; b + d]: § 1 2 1· §2 0 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ A ¨ 2 4 1 ¸ y B ¨ 0 3 1¸ . ¨ 1 1 3 ¸ ¨ 1 1 4 ¸ © ¹ © ¹ 8.1.16 Demostrar que el polinomio característico de la matriz §A B· M=¨ ¸ © B A¹ donde A y B son matrices cuadradas de un mismo orden, es igual al producto de los polinomios característicos de las matrices A + B y A - B. JOE GARCIA ARCOS

VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

8.1.17 Sea f : C´[0; 1] o C[0; 1] definida por f(f) = f ´. Demuestre que O = 1 es un valor característico de f(x) = ex.

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8.1.19 Se conocen n valores característicos O1, O2, }, On de una matriz A de orden n + 1. ¿De qué modo podemos hallar un valor característico On+1 más?

8.1.18 Sea A una matriz de orden n, n impar. Compruebe que A posee al menos un valor característico real.

8.2 E C U A C I O N C A R A C T E R IST I C A. SU B ESP A C I OS PR O PI OS En esta sección se verá cómo encontrar una base para un espacio vectorial V integrada por vectores característicos de una matriz de un endomorfismo f. Analizaremos ta mbién las multiplicidades aritmética y geométrica. Cuando se estudian problemas relativos a valores propios de un endomorfismo f de un espacio vectorial V de dimensión n, sobre un cuerpo K , se presentan situaciones especiales y se dispone de un procedimiento de búsqueda de valores característicos que se analiza a continuación. En el supuesto de que V es un espacio vectorial de dimensión n, se va a proceder a la búsqueda de los valores característicos del endomorfismo f : V o V; tomando para ello una base cualquiera S de V, en dicha base, las ecuaciones del endomorfismo f son ­ v1 a11u1  a12 u2  ...  a1n un °v a u  a u  ...  a u ° 2 21 1 22 2 2n n ® ... ° °¯ vn an1u1  an 2 u2  ...  ann un o en forma matricial § v1 · § a11 a12 ... a1n · § u1 · ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ v2 ¸ ¨ a21 a22 ... a2 n ¸ ¨ u2 ¸ ¨ ... ¸ ¨ ... ... ... ¸ ¨ ... ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © vn ¹ © an1 an 2 ... ann ¹ © un ¹ de una manera mas compacta, podemos expresarla como Y = AX. En donde a ij  K , A = ( a ij)  :(n, n) es la matriz asociada, en la base S, al endomorfismo f, (u1, u2, ..., un)T  R n es sistema de coordenadas de un vector u, (v1, v2, ..., vn)T  R n es el sistema de coordenadas del vector v = f(u) imagen de u, y X, Y  :(n, 1) son las matrices columna de las coordenadas de u y v, respectivamente.

Un escalar O  K es un valor característico de f si, y sólo si, f - OI no es inyectiva, como en la base adoptada, la transformación f - OI tiene por matriz asociada la matriz A - OI, donde I es la matriz identidad, resulta que O es valor característico de f si, y sólo si, la matriz A - OI es singular, es decir, los valores característicos de f son los escalares O para los cuales se verifica Det(A - OI) = 0; por consiguiente, el espectro de f es el conjunto de las soluciones de esta ecuación, la cual, expresada de manera explícita, es a11  O a12 ... a1n a21 a22  O ... a2 n Det(A - Ȝ, . ... ... ... an1 an 2 ... ann  O Esta ecuación indica que el sistema Au = Ou tendrá una solución u z ‡ si y sólo si ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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la matriz de coeficientes del sistema (A - OI)u = ‡ tiene rango estrictamente menor que n, lo cual implica que Det(A - OI) = 0. D E F I N I C I O N 8.2.1 La transformación p : K o K , definida por p(O) = Det(A - OI), para todo O  K, es evidentemente un polinomio de grado n que se denomina polinomio característico. El coeficiente en On de este polinomio es (-1)n y su término independiente es Det(A). Se pretende obtener, como consecuencia del conocimiento de la matriz A, todos los coeficientes del polinomio p(O). Para ello, expresando cada una de las filas de A - OI como suma de la fila del mismo lugar de la matriz A mas la correspondiente fila de -OI, resulta que Det(A - OI) es igual a la suma de los 2n determinantes siguientes: en el determinante de A, los determinantes de las n matrices que se obtienen al sustituir, en A, una de sus filas por la correspondiente §n· n! fila de -OI, ..., los determinantes de las ¨ ¸ matrices que se obtienen k k !( n  k )! © ¹ al sustituir, en A, k de sus filas por las correspondientes filas de -OI, ..., el determinante de -OI. Para k = 1, 2, ..., n ± 1, el determinante de la matriz cuyas filas f1, f2, ..., f k son las correspondientes filas de -OI y cuyas filas f k+1, f k+2, ..., fn son las correspondientes filas de A, al desarrollarlo por menores de las filas f1, f2, ..., f k, resulta ser igual al producto de (-O)k por el menor complementario, en la matriz A, del menor obtenido con las filas f1, f2, ..., f k y las columnas c1, c2, ..., c k, esto es, el menor de A obtenido con las filas f k+1, f k+2, ..., fn y las columnas c k+1, c k+2, ..., cn. Los menores de A obtenidos de filas y columnas de iguales índices, esto es, los determinantes de las submatrices de A ubicadas simétricamente respecto de su diagonal principal, se llaman menores diagonales de A; un menor diagonal de A obtenido con k filas y k columnas, se dirá que es un menor diagonal de orden k. Resulta de todo ello que para el polinomio p(O), será: p(O) = a 0 + a 1O + a 2O2 + ... + an-1On-1 + a nOn siendo sus coeficientes a 0 = Det(A) a 1 = (-1)(d11 + d22 «dnn) ... § · §n· a k = (-1)k ¨ suma de los ¨ ¸ menores diagonales de n  k de la matriz A ¸ ©k ¹ © ¹ ... a n-1 = (-1)n-1( a 11 + a 22 + ... + a nn) a n = (-1)n. De una manera mas simplificada, podemos decir que al tomar en consideración la expresión del determinante de la matriz en términos de los elementos de ésta, es fácil entender que el primer miembro de Det(A - OI) = 0 puede ser representado en la forma Det(A - OI) = a 0 + a 1O + a 2O2 + ... + a n-1On-1 + a nOn. Los coeficientes a 0, a 1, a 2, ..., a n-1, a n se calculan de tal o cual manera según los elementos de la matriz A y no dependen de O. La potencia máxima de O sólo figura en el producto de los elementos diagonales de la matriz A - OI y, por ello, a n = 1. He aquí la expresión explícita para dos coeficientes. A saber, a 0 = (-1)nDet(A) y a n-1 = -Tr(A). ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Se puede suponer, en general, que al representar Det(A - OI) en potencias de O, empleando para ello diferentes métodos, obtendremos las expresiones de un tipo análogo a a 0 + a 1O + a 2O2 + ... + a n-1On-1 + a nOn, mas con distintos coeficientes a i. Sin embargo, en lo que sigue se mostrará que la suposición citada no tiene lugar. Los coeficientes en a 0 + a 1O + a 2O2 + ... + a n-1On-1 + a nOn no dependen de cómo se realiza el cálculo. Teniendo en cuenta que el determinante Det(A - OI) no depende de la base, llegaremos a que todos los coeficientes a 0, a 1, a 2, ..., a n-1, an son, en realidad, las características de la matriz A. La función p(O) = a 0 + a 1O + a 2O2 + ... + a n-1On-1 + a nOn se denomina polinomio característico de la matriz A. Para que el escalar O  K sea el valor característico de la matriz A, es necesario y suficiente que satisfaga la ecuación a 0 + a 1O + a 2O2 + ... + a n-1On-1 + a nOn = 0 es decir, que sea una raíz del polinomio característico. T E O R E M A 8.2.1 Un escalar O es un valor característico de f si y sólo si es una raíz del polinomio característico de una matriz que represente a f. D E M OST R A C I O N La ecuación característica de valores característicos se puede escribir en la forma (f - OI)u = ‡. Sabemos que existe un vector diferente de cero u que satisface esta condición si y sólo si f - OI es singular. Sea S una base cualquiera de V y sea A = ( a ij) la matriz que representa f con respecto a esta base. Entonces A - OI es la matriz que representa a f - OI. Ya que A - OI es singular si y sólo si Det(A - OI) = 0. E J E M P L O 8.2.1 Demuestre que una matriz triangular es singular si y sólo si sus valores característicos son reales y deferentes de cero. SO L U C I O N Suponga que A es una matriz triangular real cuyos elementos en la diagonal principal son O1, O2, ..., On. Se sabe que los valores característicos de A son O1, O2, ..., On. Así, A tiene valores característicos reales. Además, debido a que el determinante de A es Det(A) = O1 O2 ... On, se concluye que A es no singular si y sólo si cada Oi es diferente de cero. ’ Este teorema sólo se aplica a escalares. En particular, una solución de la ecuación característica que no es un escalar, no es un valor característico. Por ejemplo, si el cuerpo de escalares es el cuerpo de los números reales, entonces las soluciones complejas, no reales del polinomio característico no son valores característicos. Por tanto, un valor característico es un valor característico si y sólo si también está en el cuerpo de escalares dado. Los valores característicos del endomorfismo f, son las raíces del polinomio característico de f, algebraicamente de grado n con coeficientes en K . D E F I N I C I O N 8.2.2 La transformación p : K o K , definida por p(O) = Det( A - O I ), para todo O  K , es evidentemente un polinomio de grado n que se denomina polinomio característico. Si O0 es raíz de orden de multiplicidad k del polinomio característico de A, se dirá que se trata de un valor característico de orden k de A. Si el cuerpo K es algebraicamente cerrado, en particular si K = C, el polinomio característico es factorable y la ecuación característica se puede expresar en la forma ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Det(A - Ȝ,  n O  O1 k1 O  O2 k2  O  O r k r



con k1 + k2 + ... + k r = n, en la que O1, O2, ..., Or son los valores característicos de A, de órdenes respectivos k1, k2, ..., k r. Cuando K es algebraicamente cerrado, toda matriz A tiene siempre un valor característico, al menos pudiendo tener hasta n valores característicos distintos; si cada valor característico se cuenta un número de veces igual a su orden, se verifica que la matriz A, tiene exactamente n valores característicos. Dado un endomorfismo, para cada valor característico O de f, es decir, para cada raíz de su ecuación característica, los vectores característicos de f correspondientes a O, junto con el vector nulo, constituyen el subespacio propio V(O) que, no es más que el núcleo de f - O I , es decir, el conjunto de los vectores u  V tales que (f - O I )u = ‡. Elegida una base S de V, y si A es la matriz asociada a f en ella, los vectores característicos correspondientes al valor característico O son, aquellos vectores no nulos tales que la matriz columna de sus coordenadas, X  :(n, 1), satisface ­ ( a11  O )u1  a12 u2  ...  a1n un 0 ° a u  ( a  O )u  ...  a u 0 ° 21 1 22 2 2n n ® ... ° °¯ an1u1  an 2 u2  ...  ( ann  O )un 0 La dimensión del subespacio propio V(O), esto es, el número máximo de vectores característicos correspondientes a O que son linealmente independientes, será, pues d = dimV(O) = dim(Nuc( f - OI)) = n ± Rang(f - OI) esto es, recurriendo a la matriz A, asociada a f en una base S de V , d = dimV(O) = n ± Rang(A - OI). D E F I N I C I O N 8.2.3 Se denomina multiplicidad geométrica de V(O) a la dimensión de O. Se denomina multiplicidad algebraica de O, al número de veces que se repite una raíz del polinomio característico. T E O R E M A 8.2.2 La multiplicidad geométrica de O no excede a la multiplicidad algebraica de O. D E M OST R A C I O N Ya que la multiplicidad geométrica de O se define independientemente de cualquier matriz que represente a f y la ecuación característica es la misma para todas las matrices que representan a f, bastará probar el teorema para cualquier matriz particular que represente a f. Escogeremos la matriz que represente a f, de tal manera que la aseveración del teorema sea evidente. Sea t la dimensión de V(O) y {u1, u2, ..., ut} de V(O). Este conjunto linealmente independiente puede extenderse hasta una base {u1, u2, ..., un} de V. Ya que f(ui) = Oui para i d t, la matriz A que representa a f con respecto a esta base tiene la forma 0 a1 t 1 a1n · §O 0 ¨ ¸ 0 a2 t 1 a2 n ¸ ¨0 O ¨ ¸ ¨ ¸ O at t 1 at n ¸ . A ¨0 0 ¨ ¸ 0 at 1 t 1 at 1 n ¸ ¨0 0 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 0 ¸ 0 a a n t  1 n n © ¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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De la forma de A es evidente que Det(A - OI) = p(O) es divisible entre (O  Ot ) kt . Por lo tanto, la multiplicidad algebraica de O es al menos t, que es la multiplicidad geométrica. PROGRAMA  EN  MATLAB  PARA  CALCULAR  VALORES  Y  VECTORES  CARACTERISTICOS     %  CALCULO  DE  VALORES  Y  VECTORES  CARACTERISTICOS   clc;;  clear;;   fprintf('\n  VALORES  Y  VECTORES  CARACTERISTICOS  \n');;   filcol=input('INGRESE  EL  ORDEN  DE  LA  MATRIZ  A:  ');;   %Ingreso  de  elementos                  for  f=1:filcol                          for  c=1:filcol                                    fprintf('Ingrese  el  elemento  (%d,%d)',f,c)                                  A(f,c)=input('  :');;                          end                  end          clc;;          fprintf('\n  LA  MATRIZ  ES:\n');;          A          fprintf('\n  EL  POLINOMIO  CARACTERISTICO  ES:\n');;          POLINOMIO=poly(A);;          POLINOMIO          fprintf('\n  LOS  VALORES  CARACTERISTICOS  SON:\n');;          ESPECTRO=eig(A);;            [vector,V]  =  eig(A);;          ESPECTRO            %resolucion  del  sistema  de  ecuaciones            for  c=1:filcol              fprintf('\n  REMPLAZAMOS  EL  VALOR  CARACTERISTICO  (%d)  EN  LA  ECUACION                                    CARACTERISTICA:\n',c)            %A(f,c)=input('  :');;            I=eye(size(A));;            r=ESPECTRO(c,1)            F=A-­I*r;;            vector0=zeros(filcol,1);;            fprintf('\n  LA  MATRIZ  AUMENTADA  (%d)  ES:  \n',c);;            B=[F,vector0];;            B            %solucion  =  F^(-­1)*vector0;;            %solucion            fprintf('\n  LA  MATRIZ  REDUCIDA  (%d)  ES:  \n',c)            R=rref(B);;            R            end            fprintf('\n  VECTORES  CARACTERISTICOS  \n')            V=vector';;            for  f2=1:filcol            fprintf('\n  V%d  :  \n',f2)            V(f2,1:filcol)            End  

   

E J E M P L O 8.2.2 Demuestre que el término constante del polinomio característico es Det(A). SO L U C I O N El polinomio característico de A es p(O) = Det(A - OI). Así el término constante de p(O) está dado por p(0) = Det(A). ’ E J E M P L O 8.2.3 Demuestre que una matriz cuadrada de orden n es no singular si, y sólo si O = 0 no es un valor característico de A.

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SO L U C I O N Sabemos que el término independiente del polinomio característico es igual a Det(A), y para que una matriz sea no singular su determinante debe ser diferente de cero. Por lo tanto si O fuese un valor característico de la matriz A, entonces tenemos que p(0) = Det(A) z 0, lo cual contradice la hipótesis y podemos concluir que O = 0 no es valor característico de una matriz no singular. ’ E J E M P L O 8.2.4 Demuestre que una matriz triangular es singular si y sólo si sus valores característicos son reales y deferentes de cero. SO L U C I O N Suponga que A es una matriz triangular real cuyos elementos en la diagonal principal son O1, O2, ..., On. Se sabe que los valores característicos de A son O1, O2, ..., On. Así, A tiene valores característicos reales. Además, debido a que el determinante de A es Det(A) = O1 O2 ... On, se concluye que A es no singular si y sólo si cada Oi es diferente de cero. ’ E J E M P L O 8.2.5 Sea la matriz § 0 1· A ¨ ¸ ©1 0 ¹ Se puede demostrar que si u es cualquier vector columna de R 2, entonces Au se puede obtener geométricamente de u rotando u un ángulo de 90° en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj. a.- Probar geométricamente que A no tiene valores característicos reales. b.- Hallar los valores y vectores característicos complejos de A. c.- Argumentar geométricamente que A2 deberá tener valores característicos reales. d.- Usar el apartado b) para hallar los valores característicos de A2 y comparar el resultado con la respuesta obtenida en la parte c). ¿Cuáles son los vectores característicos reales y los vectores característicos complejos de A2" e.- Hallar valores y vectores característicos para A3. f.- Hallar valores y vectores característicos para A4. SO L U C I O N a.- Ningún vector distinto de cero en el plano va a un vector paralelo por rotación de 90°. O 1 0 Ÿ O2 + 1 = 0 Ÿ O1 = i y O2 = - i . b.1 O

§ i 1 0 · § i 1 0 · § i 1·§ a · § 0 · ¸ | ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨ © 1 i ¹© b ¹ © 0 ¹ © 1 i 0 ¹ © 0 0 0 ¹ ­ ½ °§ a · ° V (O1 ) Span ®¨ ¸ / a bi ¾ Ÿ Base V (O1 ) b ° ° © ¹ ¯ ¿

­ °§ i · ½ ° ®¨ ¸ ¾ 1 ° © ¹ ¯ ° ¿

§ i 1 0 · § i 1 0 · § i 1·§ a · § 0 · ¸ ¸ | ¨ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨ ©1 i ¹© b ¹ © 0 ¹ ©1 i 0 ¹ © 0 0 0 ¹ ­§ a · ½ ­§ i · ° ½ ° ° ° V (O 2 ) Span ®¨ ¸ / a bi ¾ Ÿ Base V (O 2 ) ®¨ ¸ ¾ b 1 °© ¹ ° °© ¹ ¿ ° ¯ ¿ ¯ c.- A2u = A(Au) corresponde a rotar u 180° en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, lo cual equivale a multiplicar u por ±1. Así, -1 es un valor característico. d.- A2 tiene valores característicos O1 = i2 = -1 y O2 = (-i)2 = -1. Todos los vectores reales distintos de cero y todos los vectores complejos son vectores ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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característicos § 1 0 · ¨ ¸. © 0 1¹ e.A3 no tiene valores característicos reales, sino valores característicos complejos O1 = i3 = -i y O2 = (- i)3 = i con vectores característicos ­§ i · ° ½ ­§ i · ° ½ ° ° Base V (O1 ) ®¨ ¸ ¾ y Base V (O 2 ) ®¨ ¸ ¾ . 1 1 °© ¹ ¿ ° °© ¹ ¿ ° ¯ ¯ A2

f.- A4 tiene valores característicos O1 = i4 = 1 y O2 = (-i)4 = 1 corresponde a la rotación de 360°. Todo vector real o complejo distinto de cero es un vector característico. ’ E J E M P L O 8.2.6 Demuestre que si u es vector característico tanto de f como de g, entonces u también es un vector característico de Df y de f + g. Si O1 es el valor característico de f y O2 el valor característico de g correspondientes a u, ¿cuáles son los valores característicos de Df y de f + g? SO L U C I O N Si f(u) = O1u y g(u) = O2u, entonces (f + g)(u) = f(u) + g(u) = O1u + O2u = (O1 + O2)u También (Df)(u) = Df(u) = DO1u. ’ E J E M P L O 8.2.7 Demuestre que si O1 y O2 z O1 son valores característicos de f1 y u1 y u2 son vectores característicos correspondientes a O1 y O2, respectivamente, entonces u1 + u2 no es un vector característico. SO L U C I O N Si u1 + u2 es un vector característico con valor característico O, entonces O(u1 + u2) = f(u1 + u2) = O1u1 + O2u2 Ya que (O - O1)u1 + (O - O2)u2 = ‡ se tiene que O - O1 = O - O2 = 0. ’ E J E M P L O 8.2.8 Para cada una de las siguientes matrices, determine su polinomio característico, sus valores y vectores característicos: § 5 0· § 1 1· § 3 2 · a.- ¨ ¸ ; c.- ¨ ¸. ¸ ; b.- ¨  1 4 6 0 © ¹ © 1 2 ¹ © ¹ SO L U C I O N a.- El polinomio característico tiene la forma siguiente: 5O 0 p (O ) O(5  O) . 6 O Los valores característicos se obtienen igualando a cero el polinomio característico: O(5 - O) = 0 Ÿ O = 0 y O = 5. Los vectores característicos se encuentran reemplazando cada valor característico en la ecuación característica, y luego se resuelve cada sistema homogéneo: §5 0 0· §5 0 0· § 5 0 ·§ x · § 0 · O = 0: ¨ ¸ | ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨ © 6 0 ¹© y ¹ © 0 ¹ ©6 0 0¹ ©0 0 0¹ de donde obtenemos que x = 0 e y  R. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico O = 0 tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y) / x = 0} Ÿ BaseV(O) = {(0, 1)} Ÿ dimV(O) = 1.

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§0 0 0· § 0 0 ·§ x · § 0 · O = 5: ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨ © 6 5 ¹© y ¹ © 0 ¹ © 6 5 0 ¹ de donde obtenemos que 6x ± 5y = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico O = 5 tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y) / 6x ± 5y = 0} Ÿ BaseV(O) = {(5, 6)} Ÿ dimV(O) = 1. b.- El polinomio característico tiene la forma siguiente: 1 O 1 p (O ) (1  O)(4  O)  1 O 2  5O  5 . 1 4  O Los valores característicos se obtienen igualando a cero el polinomio característico: 5 5 5 5 O2 - 5O + 5 = 0 Ÿ O y O . 2 2 Los vectores característicos se encuentran reemplazando cada valor característico en la ecuación característica, y luego se resuelve cada sistema homogéneo: § 3 5 · 1 ¸ ¨ x 0 5 5 ¨ 2 ¸ §¨ ·¸ §¨ ·¸ O : ¨ ¸ y 2 3  5 © ¹ © 0¹ ¨ 1 ¸ 2 ¹ © § 3 5 · 0¸ § 3  5 0· 1 ¨ 1 ¸ 2 ¨ ¸ | ¨ 2 ¨ ¸ ¨ 3 5 ¸ ¨ 0 0 0 ¸¹ 0¸ © ¨ 1 2 © ¹ 3 5 x  y 0 . Por consiguiente el subespacio 2 5 5 propio generado por el valor característico O tiene la forma siguiente: 2 ­ ½ 3 5 ° ° V (O) ®( x, y)  x  y 0¾ 2 ° ° ¯ ¿

de donde obtenemos que 

Base V (O)

O

^ 2, 3  5 `

§ 3 5 · 1 ¸ ¨ x 0 5 5 ¨ 2 ¸ §¨ ·¸ §¨ ·¸ : ¨ 2 3  5 ¸© y ¹ © 0¹ ¨ 1 ¸ 2 ¹ © § 3 5 · 0¸ 1 ¨ 2 ¨ ¸ | ¨ 3 5 ¸ 0¸ ¨ 1 2 © ¹

Ÿ dimV(O) = 1.

§ 3 5 ¨ 2 ¨ ¨ 0 ©

0· ¸ ¸ 0 0 ¸¹

1

3 5 x  y 0 . Por consiguiente el subespacio 2 5 5 propio generado por el valor característico O tiene la forma siguiente: 2 ­ ½ 3 5 ° ° V ( O ) ®( x , y )  x  y 0¾ 2 ° ° ¯ ¿

de donde obtenemos que 

Base V (O) ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

^ 2, 3  5 `

Ÿ dimV(O) = 1. JOE GARCIA ARCOS

VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

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c.- El polinomio característico tiene la forma siguiente: p(O) O 2  5O  4 . Los valores característicos se obtienen igualando a cero el polinomio característico: O2  5O  4 0 Ÿ O = -1 , y O = -4. Los vectores característicos se encuentran reemplazando cada valor característico en la ecuación característica, y luego se resuelve cada sistema de ecuaciones homogéneo: § 2 2 0 · § 0 0 0 · § 2 2 ·§ x · § 0 · O = -1: ¨ ¸ ¸ | ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨ 1  1 y 0 © ¹© ¹ © ¹ © 1 1 0 ¹ © 1 1 0 ¹ de donde obtenemos que x = y. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y) / x ± y = 0} Ÿ BaseV(O) = {(1, 1)} Ÿ dimV(O) = 1. §1 2 0 · § 1 2 0 · §1 2 ·§ x · § 0 · O = -4: ¨ ¸ | ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨ 1 2 y 0 © ¹© ¹ © ¹ ©1 2 0 ¹ © 0 0 0 ¹ de donde obtenemos que x = - 2y. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y) / x + 2y = 0} Ÿ BaseV(O) = {(-2, 1)} Ÿ dimV(O) = 1. ’ E J E M P L O 8.2.9 Para cada una de las siguientes matrices, determine su polinomio característico, sus valores y vectores característicos: §1 0 0· § 3 2 1 · §2 8 7· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a.- ¨ 3 1 0 ¸ ; b.- ¨ 0 5 7 ¸ ; c.- ¨ 0 3 1 ¸ . ¨0 2 4¸ ¨ 0 1 1 ¸ ¨ 4 2 2¸ © ¹ © ¹ © ¹ SO L U C I O N a.- El polinomio característico tiene la forma siguiente: p(O) O3  4O2  5O  2 . Los valores característicos se obtienen igualando a cero el polinomio característico: O3  4O2  5O  2 0 Ÿ O = 1, O = 1 y O = 2. Donde O = 1 tiene multiplicidad algebraica 2. Los vectores característicos se encuentran reemplazando cada valor característico en la ecuación característica, y luego se resuelve cada sistema de ecuaciones homogéneo: § 0 0 0 0· §0 0 0 0· § 0 0 0·§ x · § 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ O = 1: ¨ 3 0 0 ¸ ¨ y ¸ ¨ 0 ¸ Ÿ ¨ 3 0 0 0 ¸ | ¨ 3 0 0 0 ¸ ¨ 4 2 1¸¨ z ¸ ¨ 0¸ ¨ 4 2 1 0¸ ¨0 2 1 0¸ © ¹© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ de donde obtenemos que x = 0, z = -2y. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y, z) / x = 0, 2y + z = 0} BaseV(O) = {(0, 1, -2)} Ÿ dimV(O) = 1. § 1 0 0 ·§ x · § 0 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ O = 2: ¨ 3 1 0 ¸¨ y ¸ ¨ 0 ¸ ¨ 4 2 0 ¸¨ z ¸ ¨ 0 ¸ © ¹© ¹ © ¹ § 1 0 0 0 · § 1 0 0 0 · § 1 0 0 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 3 1 0 0 ¸ | ¨ 0 1 0 0 ¸ | ¨ 0 1 0 ¨ 4 2 0 0¸ ¨0 2 0 0¸ ¨0 0 0 © ¹ © ¹ © de donde obtenemos que x = y = 0. Por consiguiente el generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y) / x = y = 0} Ÿ BaseV(O) = {(0, 0, 1)} Ÿ b.- El polinomio característico tiene la forma siguiente: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

0· ¸ 0¸ 0 ¸¹

subespacio propio dimV(O) = 1.

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408

VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

p(O) O3  4O2  3O  18 . Los valores característicos se obtienen igualando a cero el polinomio característico: O3  4O2  3O  18 0 Ÿ (O  3)2 (O  2) 0 Ÿ O = -3, O = 2. Donde O = -3 tiene multiplicidad algebraica 2. Los vectores característicos se encuentran reemplazando cada valor característico en la ecuación característica, y luego se resuelve cada sistema de ecuaciones homogéneo: § 0 2 1 ·§ x · § 0 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ O = -3: ¨ 0 2 7 ¸¨ y ¸ ¨ 0 ¸ ¨ 0 2 7 ¸¨ z ¸ ¨ 0 ¸ © ¹© ¹ © ¹ § 0 2 1 0· § 0 2 1 0· § 0 2 1 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 2 7 0 ¸ | ¨ 0 0 6 0 ¸ | ¨ 0 0 1 0 ¸ ¨ 0 2 7 0 ¸ ¨ 0 0 6 0 ¸ ¨ 0 0 0 0 ¸ ¹ © © ¹ © ¹ de donde obtenemos que y = z = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y, z) / y = z = 0} Ÿ BaseV(O) = {(1, 0, 0)} Ÿ dimV(O) = 1. § 5 2 1 0 · § 5 0 1 0 · § 5 2 1 ·§ x · § 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ O = 2: ¨ 0 7 7 ¸¨ y ¸ ¨ 0 ¸ Ÿ ¨ 0 7 7 0 ¸ | ¨ 0 1 1 0 ¸ ¨ 0 2 2 ¸¨ z ¸ ¨ 0 ¸ ¨ 0 2 2 0¸ ¨0 0 0 0¸ © ¹© ¹ © ¹ © ¹ © ¹ de donde obtenemos que 5x + z = 0 e y + z = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y) / 5x + z = 0, y + z = 0} BaseV(O) = {(-1, -5, 5)} Ÿ dimV(O) = 1. c.- El polinomio característico tiene la forma siguiente: p(O) O3  6O2  12O  8 . Los valores característicos se obtienen igualando a cero el polinomio característico: O3  6O2  12O  8 0 Ÿ (O  2)3 0 Ÿ O = 2.

Donde O = 2 tiene multiplicidad algebraica 3. Los vectores característicos se encuentran reemplazando cada valor característico en la ecuación característica, y luego se resuelve cada sistema de ecuaciones homogéneo: § 0 8 7 ·§ x · § 0 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ O = 2: ¨ 0 1 1 ¸¨ y ¸ ¨ 0 ¸ ¨ 0 1 1¸¨ z ¸ ¨ 0 ¸ © ¹© ¹ © ¹ §0 8 7 0· §0 8 7 0· §0 8 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 1 1 0 ¸ | ¨ 0 0 1 0 ¸ | ¨ 0 0 1 0 ¸ ¨ 0 1 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 0 ¸ ¨ 0 0 0 0 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ de donde obtenemos que y = z = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y, z) / y = z = 0} Ÿ BaseV(O) = {(1, 0, 0)} Ÿ dimV(O) = 1. ’

E J E M P L O 8.2.10 Para cada una de las siguientes matrices, determine su sus valores característicos y sus vectores característicos: §2 3 4 5· §1 0 0 0· §1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 2 0 0 0 1 0 0 ¸ ; b.- ¨ ¸ ; c.- ¨ 1 a.- ¨ ¨0 0 2 0¸ ¨4 7 2 1¸ ¨0 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ©0 4 4 2¹ © 2 3 4 2¹ ©1 ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

polinomio característico, 2 2 0 2

0 3· ¸ 0 3 ¸ . 2 0¸ ¸ 0 3¹ JOE GARCIA ARCOS

VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

409

SO L U C I O N a.- El polinomio característico tiene la forma siguiente: p(O) O4  8O3  24O2  32O  16 . Los valores característicos se obtienen igualando a cero el polinomio característico: O4  8O3  24O2  32O  16 0 Ÿ (O  2)4 0 Ÿ O = 2. Donde O = 2 tiene multiplicidad algebraica 4. Los vectores característicos se encuentran reemplazando cada valor característico en la ecuación característica, y luego se resuelve cada sistema de ecuaciones homogéneo: § 0 3 4 5·§ x · § 0· ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 0 0 0 0¸¨ y ¸ ¨ 0¸ O = 2: ¨ ¨ 0 0 0 0¸¨ z ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © 0 4 4 0¹© u ¹ © 0¹ §0 3 4 5 0· §0 3 4 5 0· §0 1 0 5 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 0 0 0 0¸ | ¨0 0 0 0 0¸ | ¨0 0 0 0 0¸ ¨0 0 0 0 0¸ ¨0 0 0 0 0¸ ¨0 0 0 0 0¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ©0 4 4 0 0¹ ©0 0 1 5 0¹ ©0 0 1 5 0¹ de donde obtenemos que y + 5u = 0, z + 5u = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y, z, u) / y + 5u = 0, z + 5u = 0} BaseV(O) = {(1, 0, 0, 0), (0, -5, -5, 1)} Ÿ dimV(O) = 2. b.- El polinomio característico tiene la forma siguiente: p(O) O4  6O3  9O 2  4O . Los valores característicos se obtienen igualando a cero el polinomio característico: O4  6O3  9O2  4O 0 Ÿ O(O  4)(O  1)2 0 Ÿ O = 0, O = 4, O = 1. donde O = 1 tiene multiplicidad algebraica 2. Los vectores característicos se encuentran reemplazando cada valor característico en la ecuación característica, y luego se resuelve cada sistema de ecuaciones homogéneo: §1 0 0 0·§ x · § 0· ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 0 1 0 0¸¨ y ¸ ¨ 0¸ O = 0: ¨ ¨ 4 7 2 1¸¨ z ¸ ¨0¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © 2 3 4 2¹© u ¹ © 0¹ §1 0 0 0 0· §1 0 0 0 0· §1 0 0 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 0 0¸ ¨0 1 0 0 0¸ ¨0 1 0 0 0¸ | ¨0 1 | ¨ 4 7 2 1 0 ¸ ¨ 0 7 2 1 0 ¸ ¨ 0 0 2 1 0 ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © 2 3 4 2 0 ¹ © 0 3 4 2 0 ¹ © 0 0 0 0 0 ¹ de donde obtenemos que x = y = 0, 2z + u = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y, z, u) / x = y = 0, 2z + u = 0} BaseV(O) = {(0, 0, 1, -2)} Ÿ dimV(O) = 1. § 0 0 0 0·§ x · § 0· ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 0 0 0 0¸¨ y ¸ ¨ 0¸ O = 1: ¨ ¨ 4 7 1 1¸¨ z ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © 2 3 4 1¹© u ¹ © 0¹

ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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410

VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

§0 ¨ ¨0 ¨4 ¨¨ ©2

0· § 0 0 0 0 0· § 0 0 0 0 0· ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0¸ ¨ 0 0 0 0 0¸ ¨ 0 0 0 0 0¸ | | 0 ¸ ¨ 4 7 1 1 0 ¸ ¨ 2 0 25 4 0 ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¸¹ ¨© 0 1 7 1 0 ¸¹ ¨© 0 1 7 1 0 ¸¹ de donde obtenemos que 2x + 25z + 4u = 0, y ± 7z ± u = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y, z, u) / 2x + 25z + 4u = 0, y ± 7z ± u = 0} BaseV(O) = {(-25, 14, 2, 0), (-2, 1, 0, 1)} Ÿ dimV(O) = 2. § 3 0 0 0 0 · § 3 0 0 0 · § x · § 0 · ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 0 3 0 0 ¸ ¨ y ¸ ¨ 0 ¸ 0 3 0 0 0 ¸ ¨ ¨ O = 4: Ÿ ¨ 4 7 2 1 0 ¸ ¨ 4 7 2 1 ¸ ¨ z ¸ ¨ 0 ¸ ¨¨ ¸¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © 2 3 4 2 ¹ © u ¹ © 0 ¹ © 2 3 4 2 0 ¹ § 3 0 0 0 0 · § 1 0 0 0 0 · § 1 0 0 0 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 3 0 0 0 ¸ | ¨ 0 1 0 0 0 ¸ | ¨ 0 1 0 0 0 ¸ ¨ 0 7 2 1 0 ¸ ¨ 0 0 2 1 0 ¸ ¨ 0 0 2 1 0 ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © 0 3 4 2 0 ¹ © 0 0 2 1 0 ¹ © 0 0 0 0 0 ¹ de donde obtenemos que x = y = 0, -2z + u = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y, z, u) / x = y = 0, -2z + u = 0} BaseV(O) = {(0, 0, 1, 2)} Ÿ dimV(O) = 1. c.- El polinomio característico tiene la forma siguiente: p(O) O4  4O3  4O2 . Los valores característicos se obtienen igualando a cero el polinomio característico: O4  4O3  4O2 0 Ÿ O2 (O  2)2 0 Ÿ O = 0, O = 2. 0 0 7 3

0 0 1 4

0 0 1 1

Donde O = 0 y O = 2 tienen multiplicidad algebraica 2. Los vectores característicos se encuentran reemplazando cada valor característico en la ecuación característica, y luego se resuelve cada sistema de ecuaciones homogéneo: § 1 2 0 3 0· §1 2 0 3 0· § 1 2 0 3 ·§ x · § 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 1 2 0 3 ¸ ¨ y ¸ ¨ 0 ¸ 1 2 0 3 0 ¸ ¨ 0 0 0 0 0 ¸ ¨ ¨ O = 0: Ÿ | ¨ 0 0 2 0 0¸ ¨0 0 2 0 0¸ ¨ 0 0 2 0 ¸¨ z ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 1 2 0 3 0 ¸ ¨¨ 0 0 0 0 0 ¸¸ © 1 2 0 3 ¹© u ¹ © 0¹ © ¹ © ¹ de donde obtenemos que x + 2y + 3u = 0, z = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y, z, u) / x + 2y + 3u = 0, z = 0} BaseV(O) = {(-2, 1, 0, 0), (-3, 0, 0, 1)} Ÿ dimV(O) = 2. § 1 2 0 3 · § x · § 0 · ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 1 4 0 3 ¸ ¨ y ¸ ¨ 0 ¸ O = 2: ¨ ¨ 0 0 0 0 ¸¨ z ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © 1 2 0 1 ¹© u ¹ © 0¹ § 1 2 ¨ ¨ 1 4 ¨0 0 ¨¨ ©1 2

0 · § 1 2 0 3 0 · § 1 0 0 1 0 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0¸ ¨ 0 1 0 1 0¸ ¨0 1 0 1 0¸ | | 0¸ ¨ 0 0 0 0 0¸ ¨0 0 0 0 0¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¸¹ ¨© 0 1 0 1 0 ¸¹ ¨© 0 0 0 0 0 ¸¹ de donde obtenemos que x ± u = 0, y + u = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

0 3 0 3 0 0 0 1

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VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

411

V(O) = {(x, y, z, u) / x - u = 0, y + u = 0} BaseV(O) = {(1, -1, 0, 1) , (0, 0, 1, 0)} Ÿ dimV(O) = 2. ’ E J E M P L O 8.2.11 Para cada una de las siguientes transformaciones lineales, determine sus valores y vectores característicos: a.- f : P 1 o P 1, f( a + bx) = a + ( a + b)x; b.- f : R 2 o R 2, f(( a, b)) = (a + b, b); § § a b · · § 4 a  5b 2b · c.- f : :(2, 2) o :(2, 2), f ¨ ¨ ¸¸ ¨ ¸. © © c d ¹ ¹ © 2c  d c  3d ¹ SO L U C I O N a.- La representación matricial de este endomorfismo, se expresa de la siguiente manera: §1 0 · [f] ¨ ¸. ©1 1 ¹ Para encontrar el polinomio característico, debemos resolver el siguiente determinante: Det(f - O I ) = O2 - 2O + 1 = (1 - O)2 = 0. Por tanto los valores característicos son: O = 1, siendo éste de multiplicidad algebraica 2. Los vectores característicos se encuentran reemplazando cada valor característico en la ecuación característica, y luego se resuelve cada sistema de ecuaciones homogéneo: §0 0 0· § 0 0 ·§ x · § 0 · O = 1: ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨ © 1 0 ¹© y ¹ © 0 ¹ ©1 0 0¹ de donde obtenemos que x = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y) / x = 0} Ÿ BaseV(O) = {(0, 1)} Ÿ dimV(O) = 1. b.- La representación matricial de este endomorfismo, se expresa de la siguiente manera: § 1 1· [f] ¨ ¸. © 0 1¹ Para encontrar el polinomio característico, debemos resolver el siguiente determinante: Det(f - O I ) = O2 - 2O + 1 = (1 - O)2 = 0. Por tanto los valores característicos son: O = 1, siendo éste de multiplicidad algebraica 2. Los vectores característicos se encuentran reemplazando cada valor característico en la ecuación característica, y luego se resuelve cada sistema de ecuaciones homogéneo: §0 1 0· § 0 1 ·§ x · § 0 · O = 1: ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨ © 0 0 ¹© y ¹ © 0 ¹ ©0 0 0¹ de donde obtenemos que y = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y) / y = 0} Ÿ BaseV(O) = {(1, 0)} Ÿ dimV(O) = 1. c.- La representación matricial de este endomorfismo, se expresa de la siguiente manera: § 4 5 0 0· ¨ ¸ 0 2 0 0¸ [f] ¨ . ¨0 0 2 1¸ ¨ ¸ © 0 0 1 3¹ El polinomio característico tiene la forma siguiente: p(O) O4  11O3  43O2  70O  40 . ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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412

VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

Los valores característicos se obtienen igualando a cero el polinomio característico: § 5  5 ·§ 5 5· O4  11O3  43O2  70O  40 Ÿ (O  2)(O  4) ¨¨ O  O ¸¨ ¸ 0 ¸¨ 2 ¹© 2 ¸¹ © 5 5 5 5 O = 2, O = 4, O , O . 2 2 Donde todos los valores característicos tienen multiplicidad algebraica 1. Los vectores característicos se encuentran reemplazando cada valor característico en la ecuación característica, y luego se resuelve cada sistema de ecuaciones homogéneo: § 2 5 0 0 0· § 2 5 0 0 0· § 2 5 0 0·§ x · § 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 0 0 0 0 y 0 ¸¨ ¸ ¨ ¸ Ÿ ¨0 0 0 0 0¸ | ¨0 0 0 0 0¸ O = 2: ¨ ¨0 0 0 1 0¸ ¨0 0 0 1 0¸ ¨ 0 0 0 1¸¨ z ¸ ¨ 0¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © 0 0 1 1¹© u ¹ © 0¹ ©0 0 1 1 0¹ ©0 0 1 0 0¹ de donde obtenemos que 2x + 5y = 0, z = u = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y, z, u) / 2x + 5y = 0, z = u = 0} BaseV(O) = {(-5, 2, 0, 0)} Ÿ dimV(O) = 1. §0 5 0 0 ·§ x · §0· ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 0 2 0 0 ¸ ¨ y ¸ ¨ 0 ¸ O = 4: ¨ ¨ 0 0 2 1 ¸ ¨ z ¸ ¨ 0 ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ © 0 0 1 1¹ © u ¹ © 0 ¹ §0 5 0 0 0· §0 5 0 0 0· §0 5 0 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 2 0 0 0 ¸ | ¨ 0 0 0 0 0 ¸ | ¨ 0 0 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 2 1 0 ¸ ¨ 0 0 2 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 0 0 ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ © 0 0 1 1 0 ¹ © 0 0 0 1 0 ¹ © 0 0 0 1 0 ¹ de donde obtenemos que y = z = u = 0. Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y, z, u) / y = z = u = 0} BaseV(O) = {(1, 0, 0, 0)} Ÿ dimV(O) = 1. § 3 5 · 5 0 0 ¸ ¨ ¨ 2 ¸ ¨ ¸§ x · § 0· 1 5  0 0 ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 5 5 2 ¸¨ y ¸ ¨ 0¸ O : ¨ ¨ ¸¨ z ¸ ¨ 0¸ 2 1 5 ¨ 0 0  1 ¸¨ ¸ ¨ ¸ 2 ¨ ¸© u ¹ © 0¹ ¨ 1 5 ¸ ¨ 0 ¸ 0 1 2 ¹ © § 3 5 · 5 0 0 ¨ ¸ ¨ 2 ¸ 0¸ ¨ 1 5  0 0 ¨ 0 ¸ 0¸ 2 ¨ ¨ 0¸ 1 5 ¨ 0 ¸ 0  1 0¸ 2 ¨ ¨ 1 5 ¸ ¨ 0 ¸ 0 1 2 © ¹ ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

413

§ 1 5 ¨ 2 ¨ ¨ 0 ¨ ¨ ¨ ¨ 0 ¨ ¨ 0 ©



0

0

1 5 2

0

0



0

1 5 2 0

· ¸ 0¸ ¸ 0 0¸ 0¸ ¸ 1 0¸ ¸ 0 ¸¹ 0

de donde obtenemos que x = y = 0, (1  5) z  2u 0 . Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y, z, u) / x = y = 0, (1  5) z  2u 0 } BaseV(O) = {(0, 0, 5 - 1, 2)} Ÿ dimV(O) = 1.

O

§ 3 5 ¨ ¨ 2 ¨ ¨ 0 5 5 : ¨ ¨ 2 ¨ 0 ¨ ¨ ¨ 0 © § 3 5 5 ¨ ¨ 2 ¨ 5 1 ¨ 0 2 ¨ ¨ ¨ 0 0 ¨ ¨ ¨ 0 0 ©

5 5 1 2 0

0

0

0

0

5 1 2

1

· ¸ ¸ ¸§ x · ¸¨ ¸ ¸¨ y¸ ¸¨ z ¸ ¸¨ ¸ ¸©u ¹ 5¸ ¸ ¹

1 2 · 0 0 ¸ §1 5 ¸ ¨ 0¸ ¨ 2 0 0 ¸ ¨ 0¸ ¨ 0 | 0¸ ¨ 5 1 ¨ ¸ 1 0¸ ¨ 0 2 ¨ 1 5 ¸ ¨ 0 ¸ © 1 2 ¹ 0

1

§ 0· ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ © 0¹

0 5 1 2 0 0

· ¸ 0¸ ¸ 0 0 0¸ 0¸ ¸ 5 1 1 0¸ 2 ¸ 0 0 ¸¹ 0

0

de donde obtenemos que x = y = 0, ( 5  1) z  2u 0 . Por consiguiente el subespacio propio generado por el valor característico, tiene la forma siguiente: V(O) = {(x, y, z, u) / x = y = 0, ( 5  1) z  2u 0 } BaseV(O) = {(0, 0, 1  5 , -2)} Ÿ dimV(O) = 1. ’

   

E J E M P L O 8.2.12 Demostrar que los polinomios característicos p(O) de una matriz A y q(O) de una matriz A - O I están ligados por la relación q(O) = p(O + O0). SO L U C I O N Sabemos que: q(O) = Det((A - OI) - O0I) = Det(A - OI - O0I) = Det(A ± (O + O0)I). Si M = O + O0, entonces: q(O) = Det(A - MI) = p(M). Como q(O) = p(M), pero M = O - O0, entonces q(O) = p(O + O0). ’

PR O B L E M AS

8.2.1 Encuentre un ejemplo en el que los vectores característicos de una transformación lineal f relacionados con el valor característico nulo, y solamente ellos, pertenecen al núcleo de esta transformación. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

8.2.2 Evalúe ex, donde A es la matriz siguiente: §1 0· §1 0 · §0 1· a.- ¨ ¸ ; c.- ¨ ¸ ; b.- ¨ ¸. 1 0 0 1 © ¹ © ¹ ©1 0¹ JOE GARCIA ARCOS

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VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS

§ O1 0 0 · ¨ ¸ 8.2.3 Sea B ¨ 0 O 2 0 ¸ y sean e1 = (1, 0, 0), e2 = ¨0 0 O ¸ 3¹ © (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Muestre que si O1, O2, O3 son distintos entre sí, entonces para cada Ok los vectores característicos asociados son los vectores De k para D z 0; muestre que si O1 = O2 z O3, entonces los vectores característicos asociados con O1 son todos los vectores no nulos D1e1 + D2e2 y aquellos asociados con O3, son todos los vectores no nulos De3; muestre que si O1 = O2 = O3, entonces los vectores característicos asociados con O1 son todos los vectores no nulos v = (x, y, z).

8.2.4 Sea O un valor característico de una transformación lineal f. Sea V(O) el subespacio propio correspondiente. Demuéstrese que: a.- Si u está en V(O), y si v = (f - OI)u z O, entonces ^u, v` es conjunto linealmente independiente. b.- Si u está en V(O) y si (f - OI)2u z O, entonces ^u, (f OI)u, (f - OI)2u` es conjunto linealmente independiente. 8.2.5 Demuestre con un ejemplo que si una transformación lineal f es no singular, entonces los vectores característicos de f y de f -1 son los mismos. Hallar la relación entre los valores característicos de estas transformaciones. 8.2.6 Dé un ejemplo en el que los vectores característicos relativos a los valores característicos no nulos pertenecen a la imagen de esta transformación. 8.2.7 Si x es un número real, entonces ex puede definirse mediante la serie 1 1 1 eA = I + A + A 2 + A3 + A 4 + ... 2! 3! 4!

§O 0· Sea B ¨ ¸ . Demuestre que, si O z P, © 0 P¹ entonces los vectores característicos asociados con O son todos los vectores no nulos c(1, 0) y aquellos asociados con P son todos los vectores no nulos c(0, 1). Muestre que si O = P, entonces los vectores característicos asociados con O son todos los vectores no nulos (x, y).

8.2.8

8.2.9 En cada una de las siguientes matrices, encuéntrense los valores característicos y los subespacios propios: §1 2 3· §0 1 2· ¨ ¸ ¨ ¸ a.- ¨ 0 1 4 ¸ ; b.- ¨ 0 0 3 ¸ ; ¨0 0 2¸ ¨0 0 1¸ © ¹ © ¹ 0 0 1 1 1  3· § · § ¨ ¸ ¨ ¸ c.- ¨ 0 0 2 ¸ ; d.- ¨ 0 2 6 ¸ ; ¨0 0 0¸ ¨0 0 2 ¸ © ¹ © ¹ § 0 1 0 · ¨ ¸ e.- ¨ 0 1 1 ¸ ; ¨ 0 1 1 ¸ © ¹

§1 2 0· ¨ ¸ f.- ¨ 0 1 2 ¸ . ¨2 0 1¸ © ¹

8.2.10 Demuestre que si u es un vector característico de f, entonces u también es un vector característico de p(f), donde p(x) es un polinomio con coeficientes en K . Si O es un valor característico de f correspondiente a u, ¿cuál es el valor característico de p(f) correspondiente a u? 8.2.11 Sea A una matriz de n x n. Demuestre que si Au = Ou, entonces u es un vector característico de (A ± cI). ¿Cuál es el valor característico correspondiente?

8.3 SE M E J A N Z A D E M A T R I C ES En esta sección estudiaremos la matriz de un endomorfismo f de U en U que depende de la base elegida para U. Uno de los problemas fundamentales del álgebra lineal es elegir una base para U que simplifique la matriz para f. Enunciaremos y demostraremos sus propiedades más importantes. A continuación consideraremos la cuestión de determinar cuándo dos matrices A y B de orden n x m, son matrices del mismo endomorfismo f : U o V relativa a diferentes bases para U y V. D E F IN I C I O N 8.3.1 Las matrices A y B se dicen son equivalentes si y sólo si, existen matrices no singulares P  (n x n) y Q  (m x m) tales que B = PAQ. Explicaremos aquí un punto de confusión que surge en la definición de equivalencia de matrices. La palabra equivalencia tiene dos significados bastante distintos en matemáticas, los cuales tienen lugar en la explicación siguiente. Sería desafortunado ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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que dicha confusión pudiera darse, pero como estos dos usos de la palabra equivalencia están bien establecidos, el lector deberá aprender a distinguirlos. En primer lugar, dado un conjunto S y una relación sobre S. T E O R E M A 8.3.1 La relación sobre un conjunto de matrices de orden n x m, llamada equivalencia, es una relación de equivalencia. Además, dos matrices A, B  (n x m), son equivalentes si y sólo si, el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz B. D E M OST R A C I O N Es claro que A | A puesto que A = IAI. De A | B obtenemos B = PAQ. Por tanto, A = P-1BQ-1. Así, B | A. Si A | B (B = PAQ) y B | C (C = P1BQ1). Entonces C = (P1P)A(QQ1) Como P1P es no singular si tanto P como P1 son no singulares y QQ1 es no singular si tanto Q como Q1 son no singulares, vemos que A | C. Así, la equivalencia es una relación de equivalencia. Si A | B, entonces PAQ = B para P y Q no singulares. Como Rang(A) = Rang(PA) = Rang((PA)Q) = Rang(B) obtenemos que Rang(A) = Rang(B). Supóngase, recíprocamente que Rang(A) = Rang(B). Deseamos demostrar que A | B. Sea r = Rang(A) = Rang(B). Entonces § I O· PAQ = ¨ ¸ = P1BQ1 ©O O¹ para ciertas matrices no singulares P, P1, Q, Q1. Por tanto, B = (P-1P1)-1A(Q1Q-1)-1. En consecuencia, A | B. D E F IN I C I O N 8.3.2 Sean A, B  (n x n). Entonces B es semejante a A sobre K si existe una matriz no singular P  (n x n) tal que B = P-1AP. T E O R E M A 8.3.2 En el conjunto de matrices de n x n, la semejanza sobre K es una relación de equivalencia. D E M OST R A C I O N a.- A es semejante a A sobre K puesto que A = I-1AI. b.- Si B es semejante a A sobre K de modo que B = P-1AP, entonces A = (P-1)-1BP-1, y por tanto, A es semejante a B sobre K . c.- Si B es semejante a A sobre K y C es semejante a B sobre K , de manera que B = P-1AP y C = Q-1BQ, entonces C = (PQ)-1A(PQ) y, por consiguiente, C es semejante a A sobre K. Como la semejanza es una relación de equivalencia, sabemos ahora que el conjunto de matrices n x n se descompone en subconjuntos que no se traslapan. Estos subconjuntos no traslapados de n x n se llaman clases de semejanza. Una de las metas de la teoría de semejanza es hallar un método para determinar cuando dos matrices A y B están en la misma clase de semejanza. Resulta entonces que dos matrices cuadradas son semejantes si, y sólo si, son matrices asociadas a un mismo endomorfismo en bases diferentes. A continuación se pretende poner de manifiesto que dos matrices semejantes tienen iguales valores característicos, y éstos con igual orden; se probará que, sin embargo, no se verifica la implicación recíproca, esto es, dos matrices cuadradas con iguales valores característicos y éstos con iguales órdenes, pueden no ser semejantes. También se probará que la semejanza conserva las dimensiones de los subespacios propios. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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Si las matrices A, B  :(n, n) son semejantes, entonces tienen el mismo polinomio característico y, por tanto, la misma ecuación característica; consecuentemente, posee los mismos valores característicos y éstos con iguales órdenes. T E O R E M A 8.3.3 Si A, B  :n(K) son matrices semejantes, esto es, si existe una matriz no singular de orden n, P, tal que A = P -1BP, entonces se verifica que: Det(A - OI) = Det(B - OI) , para todo O  K . D E M OST R A C I O N Si A y B son matrices semejantes, entonces existe una matriz no singular P tal que A = P-1BP. En tal caso Det(A - OI) = Det(P-1BP - OI) = Det(P-1BP - OP-1P) = Det(P-1(B - OI)P) = Det(P-1)Det(B - OI)Det(P) = Det(P-1P)Det(B - OI) = Det(B - OI). Entonces, el polinomio característico de A y el polinomio característico de B coinciden. No obstante los resultados recién obtenidos, conviene hacer notar que, en general, del sólo hecho de tener dos matrices los mismos valores característicos y éstos con igual orden, no se puede asegurar que dichas matrices sean semejantes. Conviene hacer notar que, en general, del sólo hecho de tener dos matrices los mismos valores característicos y éstos con igual orden, no se puede asegurar que dichas matrices sean semejantes. Recuérdese que dos matrices A, B  :(n, n), son semejantes si, y sólo si, son matrices asociadas a un mismo endomorfismo, respecto de diferentes bases. Téngase también presente que los valores característicos de una matriz A son los mismos que los de un endomorfismo asociado a ella; los vectores característicos de A son las matrices columna de n x 1, cuyos elementos son las coordenadas de los vectores característicos del endomorfismo que, en la base que se considera en V, tenga por matriz asociada a A. Si A y B son matrices semejantes, para cualquiera que sea su valor característico O, los subespacios propios de una y otra matriz, que serán diferentes subespacios, son las expresiones en coordenadas, en diferentes bases, del subespacio propio del endomorfismo asociado a ambas matrices correspondientes al valor característico O; como la dimensión de un subespacio no varía por el hecho de expresar éste en una u otra base, los subespacios propios de A y B, correspondientes a O, tienen igual dimensión, la del subespacio propio, correspondiente a O, de dicho endomorfismo. Ya sea en el caso de una matriz A  :(n, n), ya en el caso de un endomorfismo f en un espacio vectorial V de dimensión finita n, para todo valor característico O  K se han definido ya dos números naturales asociados a él: 1.- Orden del valor característico O es el orden de multiplicidad de la raíz O de la ecuación característica. El orden k de O es, un número natural comprendido entre uno, si la raíz es simple, y n, en cuyo caso no habría ningún otro valor característico, es decir 1 d k d n. ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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2.- Dimensión del subespacio propio V(O), correspondiente al valor característico O. Recuérdese que V(O) es: a.- Para el caso de la transformación lineal f, el conjunto de vectores u de V tales que (f - OI)u = ‡, es decir, V(O) = Nuc(f - OI); b.- Para el caso de la matriz A , el conjunto de las matrices columna u de :(n, 1) tales que satisfacen a (A - OI)u = ‡. Por tanto la dimensión q del subespacio propio V(O) es: i.- Para el endomorfismo f, q = dim(Nuc( f - OI)) = n ± Rang(f - OI). ii.- Para la matriz A, q = n ± Rang(f - OI). Se sabe también que, si O1, O2, ..., Or son todos los valores característicos de f o de A, y si son k1, k2, ..., k r sus órdenes y q1, q2, ..., qr las dimensiones de sus subespacios propios, se ha de verificar que r d q1 + q2 + ... + qr d n y que, si K es algebraicamente cerrado, k1 + k2 + ... + k r = n. T E O R E M A 8.3.4 Dado un endomorfismo f, en un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K , para cualquiera que sea el valor característico O0 de f, si k es su orden y q la dimensión del correspondiente subespacio propio, se verifica que 1 d q d k. D E M OST R A C I O N Si O0 es valor característico de A, el subespacio propio V(O0) ha de ser diferente del subespacio nulo y, por tanto, su dimensión es q t 1. La dificultad está, en probar que es q d k. El subespacio propio V(O0) está definido por las matrices X  :(n, 1) tales que (A - O0I) = ‡, es decir, V(O0) es el núcleo del endomorfismo g, asociado, en base canónica, a la matriz B = A - O0I; q es la dimensión del referido núcleo. Sea {u1, u2, ..., uq} una base del núcleo y complétese, con ciertos vectores uq+1, uq+2, ..., un, hasta obtener una base; la matriz C  :(n, n), semejante a B, asociada al endomorfismo g en la nueva base, ha de ser de la forma 0 c1 q 1 c1n · §0 0 ¨ ¸ 0 c2 q 1 c2 n ¸ ¨0 0 C ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 0 0 cn q 1 cn n ¸¹ © ya que g ha de transformar los vectores u1, u2, ..., uq en el vector ‡. El polinomio característico de B, que es igual al de C, pues B y C están asociados al mismo endomorfismo g en diferentes bases, tiene nulos los q primeros coeficientes, ya que los menores principales de orden mayor que n ± q de C son todos nulos; por tanto, M = 0 es raíz de orden mayor o igual que q de la ecuación Det(B - MI) = 0, es decir, M = 0 es raíz de orden mayor o igual que q, de la ecuación Det(A - O0I - MI) { Det(A ± (O0 + M)I) = 0, o lo que es igual, O = O0 es raíz de orden mayor o igual que q, de la ecuación Det(A - OI) = 0; como el orden de O0 en esta ecuación es k, se obtiene finalmente que q d k. Sea dado un endomorfismo f, en un espacio vectorial V de dimensión n sobre un cuerpo K , se designan por O1, O2, ..., Or  K sus valores característicos, por k1, k2, ..., k r los órdenes de dichos valores característicos y q1, q2, ..., qr las dimensiones de los subespacios propios, V(O1), V(O2), ..., V(Or). Puesto que, según se acaba de demostrar, es 1 d qi d ki, y dado que subespacios propios correspondientes a valores característicos diferentes tienen intersección nula, se pueden obtener las siguientes conclusiones: ALGEBRA LINEAL CON MATLAB

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1.- El número máximo de vectores característicos linealmente independientes es q1 + q2 + ... + qr, número éste que está comprendido entre r y n. El subespacio vectorial de V engendrado por los vectores característicos de f es, V(O1)