Algebra Lineal II

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA)

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

NOTAS DE CLASE

ÁLGEBRA LINEAL II Profesor: Víctor G. Osorio Vidal 2012-II

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

ÍNDICE GENERAL Prólogo 1. Matriz asociada a una transformación lineal Coordenadas o componentes de un vector ………………………………… Matriz asociada a una transformación lineal ……………………………... Matriz cambio de base ……………………………………………………. Fórmulas de transformación de coordenadas ……………………………… Matrices semejantes ……………………………………………………….. Ejercicios …………………………………………………………………..

1 1 2 14 17 21 23

2. Espacios cociente Espacios cocientes ………………………………………………………… Propiedad universal del cociente …………………………………………. Subespacios invariantes …………………………………………………… Ejercicios …………………………………………………………………..

28 28 36 43 46

3. Valores y vectores propios Valores y vectores propios de una transformación lineal ………………… Espectro y espacio propio de una transformación lineal …………………. Valores y vectores propios de una matriz ………………………………..... Polinomio característico …………………………………………………… Ejercicios ………………………………………………………………….

52 52 53 56 63 68

4. Diagonalización Diagonalización …………………………………………………………. Descomposición espectral ………………………………………………… Ejercicios ………………………………………………………………… Triangulación de transformaciones lineales y matrices …………………... Teorema de Cayley-Hamilton …………………………………………….. Ejercicios …………………………………………………………………..

71 71 80 84 86 88 91

5. El complejificado de un espacio vectorial real ( VC ) El complejificado de un espacio vectorial ………………………………… El complejificado de un operador lineal …………………………………… Transformaciones en espacios reales con valores propios complejos ……. Ejercicios ……………………………………………………………………

93 93 94 98 108

i

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Transformaciones lineales con valores propios repetidos Transformaciones lineales con un solo valor propio ………………...……. Transformaciones lineales nilpotentes …………………………………...... Formas canónicas de transformaciones nilpotentes ………………...…...…. Ejercicios ……………………………………………………………………

111 111 112 116 125

7. El teorema de la descomposición primaria Teorema de la descomposición primaria …………………………………… 8. La forma canónica de Jordan La forma canónica de Jordan ……………………………………………… Forma canónica de Jordan real …………………………………………….

129 132 136 136 140

9. Operadores lineales en espacios con producto interno Operador adjunto …………………………………………………………... Operadores autoadjuntos …………………………………………………... Criterio para determinar si un operador es autoadjunto …………………….

144 146 148 148

10. Formas bilineales y cuadráticas Propiedades de las formas bilineales ………………………………………. Matriz asociada a una forma bilineal ……………………………………….. Matriz asociada y cambio de base ………………………………………….. Formas bilineales simétricas y antisimétricas ……………………………… Criterio para determinar si una forma bilineal es simétrica o antisimétrica a partir de su representación matricial …………………….. Formas cuadráticas ………………………………………………………… Propiedades de las formas cuadráticas …………………………………….. Forma polar asociada a una forma cuadrática ……………………………... Matriz asociada a una forma cuadrática …………………………………… Clasificación de formas cuadráticas reales ………………………………… Signatura de una forma cuadrática …………………………………………

153 153 155 156 157

ii

157 158 159 160 162 164 167

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Prólogo El Álgebra Lineal es un curso básico en la formación de los estudiantes de ciencias, ingenierías, economía y ciencias administrativas. El material que pongo a disposición de los estudiantes que cursan la asignatura de Álgebra Lineal corresponde a las Notas de Clase entregadas a mis alumnos de la Facultad de Ciencias Matemáticas y Facultad de Educación (Especialidad de Matemática y Física) de la Universidad Nacional de San Marcos a través de Chamilo que es una solución de software libre, licenciada bajo la GNU/GPLv3, de gestión del E-learning o aprendizaje electrónico, desarrollada con el objetivo de mejorar el acceso a la educación y el conocimiento globalmente. La dirección es http://campus.chamilo.org/. Para finalizar agradeceré a mis colegas y alumnos por las sugerencias y críticas que tengan a bien hacer llegar a la siguiente dirección [email protected]. EL AUTOR

iii

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Coordenadas o componentes de un vector Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y consideremos una base ordenada B  {v1 , v 2 ,  , v n } . Luego, todo vector v  V se puede expresar de una única forma como combinación lineal de los elementos de B. Es decir existen ai  K , i  1, 2,  , n tal que: n

v  a1v1  a 2 v 2    a n v n   ai vi

(1)

i 1

de tal forma que el vector v  V se puede caracterizar únicamente por los escalares ai  K , i  1, 2,  , n correspondientes a la combinación lineal (1); esto es, por la n-upla de elementos de K que expresamos como un vector columna y denotamos por:

 a1  a  [v]B   2     a n 

(2)

DEFINICIÓN.- La relación (2) se denomina vector de coordenadas de v relativo a la base B, a los escalares ai se les llaman coordenadas o componentes del vector v  V respecto a la base B. Nótese que la transformación lineal v  [v]B determinada por la base ordenada B es un isomorfismo de V en K n1 ; es decir a todo vector v  V se le puede asociar de forma única un vector columna cuyas componentes o coordenadas son los escalares ai  K , i  1, 2,  , n correspondientes a la combinación (1) con respecto a la base B. Nota.- En lo que se sigue de esta sección supondremos que el K-espacio vectorial es de dimensión finita y la base considerada B es ordenada. Ejemplo.-Sea B  { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } una base ordenada del espacio vectorial R 3 sobre R. Hallar el vector coordenado de v  ( 2, 3,  1) relativo a la base B .

Solución (2, 3,  1)  a1 (1, 0, 0)  a 2 (1,1, 0)  a3 (1, 1, 1) (2, 3,  1)  1(1, 0, 0)  4(1,1, 0)  1(1, 1, 1)

1

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 1 [v]B   4   1



Observación.- Si B es la base canónica de ( K n , , K , ) y v  ( x1 , x 2 ,  , x n ) cualquier vector de K n .

 x1  x  [v]B   2  y denotaremos [v]B  [v]     xn 

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensiones finitas, con bases ordenadas B  {v1 , v 2 ,  , v n } y B '  {w1 , w2 ,  , wm } ,

respectivamente. Si T : V  W es una

transformación lineal, entonces por el teorema fundamental de las transformaciones lineales, T está unívocamente determinado por los valores que toma T en los vectores de

B . Es decir, como T : V  W , entonces T (v j )  W , donde: m

T (v j )   aij wi , aij  K

(3)

i 1

para j  1,  , n ; escribiendo en forma explícita: T (v1 )  a11 w1  a 21 w2    a m1 wm T (v 2 )  a12 w1  a 22 w2    a m 2 wm 









T (v n )  a1n w1  a 2 n w2    a mn wm entonces construimos una matriz que tenga como columnas los vectores de coordenadas de T (v1 ), T (v 2 ), , T (v n ) la cual denotaremos por:

 a11 a A   21    a m1

a12 a 22  am2

 a1n   a 2 n       a mn 

(4)

Definición.- La matriz A obtenida en la relación (2) es llamada matriz asociada a la transformación lineal T respecto a las bases B y B ' de V y W respectivamente y la denotaremos como:

2

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------' A  [T ]B B

(5)

' Nota.- La matriz A  [T ]B B definida en la relación (5) también es frecuente denotar

como ' A  [T ]B B  [T ]B,B '  BT B '

Ejemplo.- Sea T : R 3  R 4 tal que T ( x1 , x 2 , x3 )  ( x1 , x 2 , 0, x3 ) . Hallar la matriz asociada a la transformación lineal T. a)

Respecto a la bases canónicas de R 3 y R 4 respectivamente.

b)

Si B  {(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)} es la base para R 3 y B '  {(1, 0, 0, 0), (1,1, 0, 0), (1,1,1, 0), (1,1,1,1)} es la base para R 4

Solución a)

Respecto a las bases canónicas {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)} de R 3 {(1, 0, 0, 0), (0,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1)} de R 4 T (1, 0, 0)  (1, 0, 0, 0)  1(1, 0, 0, 0)  0(0,1, 0, 0)  0(0, 0,1, 0)  0(0, 0, 0,1) T (0,1, 0)  (0,1, 0, 0)  0(1, 0, 0, 0)  1(0,1, 0, 0)  0(0, 0,1, 0)  0(0, 0, 0,1) T (0, 0,1)  (0, 0, 0,1)  0(1, 0, 0, 0)  0(0,1, 0, 0)  0(0, 0,1, 0)  1(0, 0, 0,1)

1 0 [T ]   0  0

luego

b)

0 0 1 0 0 0  0 1 43

Respecto a las bases B  {(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)} de R 3 B '  {(1, 0, 0, 0), (1,1, 0, 0), (1,1,1, 0), (1,1,1,1)} de R 4 T (1, 0, 0)  (1, 0, 0, 0)  1(1, 0, 0, 0)  0(1,1, 0, 0)  0(1,1,1, 0)  0(1,1,1,1) T (1,1, 0)  (1,1, 0, 0)  0(1, 0, 0, 0)  1(1,1, 0, 0)  0(1,1,1, 0)  0(1,1,1,1) T (1,1,1)  (1,1, 0,1)  0(1, 0, 0, 0)  1(1,1, 0, 0)  1(1,1,1, 0)  1(1,1,1,1)

luego

' [T ]B B

1 0  0  0

0 1 1  0  1  0 1  43 0

3

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo.- Dados los espacios vectoriales

( R, , R, .) ,

( R 2 , , R, .)

y la

transformación lineal T : R  R 2 definida como T ( x )  ( x, 2 x )

Hallar la matriz asociada a T respecto a las bases B  {1} , B '  {(1, 0), (1, 1) } Solución T (1)  (1, 2)  1(1, 0)  2(1,1)

 1 '  [T ]B B     2  21 Ejemplo.- Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n y

F : V  V una

transformación lineal definida como F ( v )  2v

Hallar la matriz asociada de F respecto a ala base: B  B '  {v1 , v2 ,  , vn } Solución F (v1 )  2v1  0v2    0vn F (v2 )  0v1  2v2    0vn











F (vn )  0v1  0v2    2vn 0  0 2  0     0  2  n n

2 0    [ F ]B B   0

Ejemplo.- Dados los espacios vectoriales W1  {( x, y, z )  R 3 / x  y} y W2  {(aij ) 22  R 22 / aij  a ji }  z x se define la transformación lineal G : W1  W2 como G ( x, y, z )     x 0 Hallar la matriz asociada de G respecto a las bases: B  {(1,1, 0), (0, 0,1)} de W1 y

 1 0   0 0   0 1   B'     , 0 1 , 1 0  de W2 . 0 0        Solución 4

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------0 1  1 0   0 0   0 1  G (1,1, 0)    0    0   1  1 0   0 0   0 1  1 0  1 0  1 0   0 0   0 1  G (0, 0,1)     1   0   0   0 0   0 0   0 1  1 0  B' B

 [G ]

Proposición.- Sean T : V  W

0 1   0 0 1 0 32

una transformación lineal, B  {v1 , v2 ,  , vn }

y

B '  {w1 , w2 , , wm } bases ordenadas de V y W respectivamente. ' Si A  [T ]B B es la matriz asociada a la transformación lineal T respecto a las bases B y

 c1  c  2 B ' , v  V y C  [v]B    las coordenadas de v respecto a la base B, entonces    c n  [T (v)]B '  AC son las coordenadas de T(v) en la base de B ' .

Prueba ' Si A  [T ]B B es la matriz asociada a la transformación lineal T, entonces: m

T (v j )   aij wi ,  j  1,  , n

(1)

i 1

 c1  c  como C  [v]B   2  son las coordenadas de v respecto a la base de B, entonces:    cn  n

v   c jv j j 1

 n  ahora T (v)  T   c j v j   j 1  n

  c j T (v j ) j 1

n  m    c j   aij wi  j 1  i 1 

de (1)

5

(2)

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------m  n      aij c j wi i 1  j 1 

(3)

Escribiendo explícitamente la relación (3) se tiene n

n

n

j 1

j 1

j 1

T (v)   a1 j c j w1   a 2 j c j w2     a nj c j wn

(4)

Luego de (4)

T (v)B '

 n    a1 j c j   jn1   a c  2j j   j 1    n    a mj c j   j 1 

 a11c1 a c   21 1    a n1c1  a11 a   21    a m1

 a12 c 2  a 22 c 2    an 2 c2 a12 a 22  an2

   

   

 a1n c n   a 2 n c n       a mn c n 

 a1n   c1   a 2 n  c 2          a mn  c n 

 AC

Finalmente, tomando extremos se obtiene [T (v)]B '  AC . Ejemplo.- Sea T : R 2  R 3 una transformación lineal definida como T ( x, y )  ( 2 x, x  y , x  y ) .

Considererando:

B  {(1, 1), (1, 2)} una base de R 2 y B '  {(1,  1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)} una base de R 3

' i) Hallar [T ]B B .

ii) Si v  (2,  3) , hallar las coordenadas de T (v) . Solución i) T (1,1)  (2, 2, 0)  0(1,  1,1)  0(1, 0,1)  2(1,1, 0) T (1, 2)  (2, 3,  1)  0(1,  1,1)  1(1, 0,1)  3(1,1, 0)

6

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------



B' B

[T ]

0 0   0  1 2 3  23

ii) v  (2,  3)  7(1,1)  5(1, 2) 7 luego [v]B      5

 T (v)

B'

0 0  0 7      0  1     5  5 2 3     1

Ejemplo.- Sea T : R 3  R 2 una transformación lineal, consideremos las bases: B  {(1,1,1), (0, 0,1), (0,  1, 0)} de R 3 B '  {(1,1), (1,  1)} de R 2

1 1 / 2 3 / 2  B' Sabiendo que T B     2 1 / 2 3 / 2 i) Hallar T (3, 0, 2) ii) Hallar T ( x, y, z ) Solución i) v  (3, 0, 2)  3(1,1,1)  1(0, 0,1)  3(0,  1, 0) luego

3 [v]B   1  3  hallando las coordenadas de T (3, 0, 2) tenemos:

T (v)B '



3 1 1 / 2 3 / 2     7     1    2 1 / 2 3 / 2  3  10  

T (3, 0, 2)  7(1,1)  10(1,  1)  (17,  3)

ii)

Sea v  ( x, y, z )  x(1,1,1)  ( z  x)(0, 0,1)  ( x  y )(0,  1, 0) luego

7

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 x  [v]B   z  x   x  y  Hallando las coordenadas de T ( x, y, z ) :

T ( x, y, z )B '

 x  1 1 / 2 3 / 2    z  x     2 1 / 2 3 / 2  x  y     2 x   3 x  

T ( x, y , z )  ( 2 x 

3 y  2 3 y  2

1  z 2  1  z 2 

3 1 3 1 y  z ) (1,1)  (3 x  y  z ) (1,  1) 2 2 2 2

 T ( x, y, z )  (5 x  3 y  z ,  x) Proposición.- Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases B  { v1 , v 2 ,  , v n } y B   { w1 , w2 ,  , wm } , respectivamente. Si

ordenadas

T , S :V  W son dos transformaciones lineales y a, b  K , entonces

aT  bS BB  aT BB  bS BB Prueba

 

Sean T B  a ij B

y

S BB  bij 

las matrices asociadas de T y S con respecto a las

bases ordenadas B  { v1 , v 2 ,  , v n } de V y B   { w1 , w2 ,  , wm } de W. Se tiene ( aT  bS )(v j )  aT (v j )  bS (v j ) ; j  1,  , n m

m

i 1

i 1

 a  aij wi  b bij wi ; j  1,  , n m

m

i 1

i 1

  (aa ij ) wi   (bbij ) wi ; j  1,  , n m

  (aa ij  bbij ) wi ; j  1,  , n i 1

De este modo,

aT  bS BB  aaij  bbij  ; i  1, , m,

8

j  1, , n

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

     aa   bb ; i  1, , m,

 aaij  bbij ; i  1, , m, j  1, , n ij

ij

j  1, , n

 aT B  bS B B

B

Ejercicio.- Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas

B   { w1 , w2 ,  , wm } , respectivamente. La

B  { v1 , v 2 ,  , v n } y

transformación lineal T : V  W es nula si y solo si T B  0 . B

Prueba )

Asumiendo que la transformación lineal T : V  W es nula. Sean B  { v1 , v 2 ,  , v n } y B   { w1 , w2 ,  , wm } las bases ordenadas de V y W respectivamente, entonces m

T (v j )     aij wi ;  j  1,  , n i 1

0 w1  0 w2    0 wm  a1 j w1  a 2 j w2    a mj wm ; j  1,  , n  aij  0 ;  i  1,  , m , j  1,  , n por ser B   { w1 , w2 ,  , wm } una base para W, luego

T 

B B

)

0  0         0 0  0

Ahora asumiendo que T B  0 . B

Sea v  V , por ser B  { v1 , v 2 ,  , v n } base de V, se tiene que

 c1  c  [v]B   2  , luego por una proposición demostrada anteriormente se tiene que    c n 

T BB [v]B Entonces,

 [T (v)]B

 c1  0 0  0  0      0  c 2  0            [T (v)]B           0  0       0  c n  0 

T (v)  0 w1  0 w2    0 wm  0,  v  V .

transformación lineal T es nula.

9

En

consecuencia

la

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Teorema.- Sean V, W dos K-espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente. Para cada par de bases B  {v1 , v2 ,  , vn } de V y B '  {w1 , w2 ,  , wm } de W se tiene que: L(V , W )  K mn Prueba Definimos:

 : L(V , W )  K mn T

'   (T )  [T ]B B

Afirmación 1. -  es una transformación lineal. En efecto: Sean T , S  L(V , W ) y a, b  K tal que: '  (T )  [T ]B B  [ a ij ] mn  A '  ( S )  [ S ]B B  [bij ] mn  B

Se tiene '  (aT  bS )  [aT  bS ]B B

Por definición de  .

' B'  a[T ]B B  b[ S ]B

Por la proposición anterior.

 a (T )  b ( S )

Sustitución

Con lo cual se verifica la afirmación 1. Afirmación 2.-  es un isomorfismo. En efecto: i)

 es inyectiva Nu ( )  {T  L(V , W ) /  (T )  0 } '  {T  L(V , W ) / [T ]B B  0}

 {T  L(V , W ) / T  0 }

Por el ejercicio anterior.

luego Nu ( )  {0}

  es inyectiva ii)

 es sobre

dim L(V , W )  m  n  dim K mn , por la parte (i)  es inyectiva se tiene que  es sobre. Luego de (i) y (ii)  es un isomorfismo.



L(V , W )  K mn

10

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Proposición .-Dados V, W, U espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo K y sean T : V  W y S : W  U transformaciones lineales. Si B , B  y B  son las bases ordenadas de los espacios vectoriales V, W y U respectivamente, entonces:  B  B [ S  T ]B B  [ S ]B  [T ]B

Prueba Consideremos: B  {v1 , v 2 , , v n }, B   {w1 , w2 , , wm } y B   {u1 , u 2 , , u r } las bases ordenadas para V, W y U respectivamente. m

 A  (aij ) mn  [T ]B B tal que T (v j )   a ij wi ,  j  1, 2,  , n i 1 r

 B  (bkl ) rm  [ S ]B B  tal que S ( wl )   bkl u k ,  l  1, 2,  , m k 1

( S  T )(v j )  S T (v j )  ; para cualquier j, 1  j  n  m   S   aij wi   i 1  m

  aij S ( wi ) i 1

m  r    aij   bki u k  i 1  k 1  r  m      bki aij  u k k 1  i 1 

luego: r  m  ( S  T )(v j )     bki aij  u k k 1  i 1  ck j r

  ck j u k

1 j  n

k 1

entonces:

 [ S  T ]B B  [c k j ] r  n

pero c k j es el (k , j ) término del producto de las matrices BA. En consecuencia, finalmente tenemos que:  B  B [ S  T ]B B  [ S ]B  [T ]B

11

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales T : R3  R2 ( x, y , z )  ( x  y , z  x ) S:

R2  R ( x, y )  2 x  y

y consideremos las bases: B  {(1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)} de R 3 , B   {(1, 3), (2,1)} de R 2 y B   {1} de R.

Hallar:  i) [ S  T ]B B

ii) ( S  T )( x, y, z ) iii) ( S  T )(2,  1, 4) Solución i)

2 6 T (1,1,1)  (2, 0)   (1, 3)  (2,1) 5 5 4 7 T (1,1, 0)  (2,  1)   (1, 3)  (2,1) 5 5 3 4 T (1, 0, 0)  (1,  1)   (1, 3)  ( 2,1) 5 5

  2 / 5  4 / 5  3 / 5  [T ]B B   7/5 4 / 5  23  6/5

S (1, 3)  5  5(1) S (2,1)  5  5(1)  [ S ]B 512 B   5

 [ S  T ]BB  5

  2 / 5  4 / 5  3 / 5 5  7/5 4 / 5   6/5

 4 3 1 ii)

( S  T )( x, y, z )

Hallemos [( x, y, z )]B ( x, y, z )  a (1,1,1)  b(1,1, 0)  c(1, 0, 0)

calculando se tiene que a  z , b  y  z , c  x  y . Luego:

12

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------( x, y, z )  z (1,1,1)  ( y  z )(1,1, 0)  ( x  y )(1, 0, 0)

 z  [( x, y, z )]B   y  z   x  y   [( S  T )( x, y, z )]B  [ S  T ]B B [( x, y , z )]B

 z   4 3 1  y  z   x  y   4 z  3( y  z )  ( x  y )  x  2y  z ( S  T )( x, y, z )  x  2 y  z

iii) ( S  T )(2,  1, 4)  4

Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales: T : R 2  W  {( x, y, z )  R 3 / x  2 y} ( x , y )  ( 2 y , y , 0) y

F :W

 R 22

x y  ( x, y , z )     z  x y las bases: B  {(1,1), (1, 0)} de R 2 B   {( 2,1, 0), (0, 0,1)} de W

 1 0   0 1   0 0   0 0   22 B      , 0 0 , 1 0 , 0 1  de R . 0 0         Hallar:  B  i) [T ]B B y [F ]B   ii) [ F  T ]B B

Solución i)

T (1,1)  (2,1, 0)  1(2,1, 0)  0(0, 0,1) T (1, 0)  (0, 0, 0)  0(2,1, 0)  0(0, 0,1)

13

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1 0   [T ]B B    0 0  2 1  1 0   0 1  0 0  0 0  F (2,1, 0)    2  1  0  2      0  2 0 0  0 0  1 0  0 1  0 0  1 0  0 1  0 0  0 0  F (0, 0,1)    0  0  1  0      1 0  0 0   0 0  1 0  0 1 

 [ F ]B B

2 1  0   2

0 0 1  0

 B  B ii) [ F  T ]B B  [ F ]B  [T ]B

2 1  0   2

0 0 1 0 1 0 0  0

 2 1  0   2

0 0 0  0

Corolario.- Sean V, W espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas B y B  respectivamente y T : V  W una transformación lineal. T es un isomorfismo  si y solo si [T ]B es inversible. B

Prueba.- Ejercicio.

Matriz cambio de base Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, consideramos B  {v1 , v 2 , , v n } y B   {v'1 , v' 2 , , v' n } dos bases ordenadas para V. i)

Para hallar la matriz cambio de base de B a B  . Se considera el endomorfismo identidad

14

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

I : V  V tal que I (v j )  v j ,  j  1, 2, , n , luego expresando v j como una combinación lineal de los elementos de B  se tiene n

I (v j )  v j   pij vi ,  j  1, 2,  , n

(1)

i 1

escribiendo (1) explícitamente se obtiene: I (v1 )  v1  p11v1  p 21v 2    p n1v n I (v 2 )  v 2  p12 v1  p 22 v 2    p n 2 v n 











I (v n )  v n  p1n v1  p 2 n v 2    p nn v n la matriz asociada al endomorfismo I respecto a las bases B y B  que denotamos por:

 P  [ I ]B B

 p11 p   21     p n1

p12



p 22    pn2 

p1n  p 2 n     p nn 

es llamada matriz cambio de base de B a B  . ii)

Para hallar la matriz cambio de base de B  a B Se considera el endomorfismo identidad I : V  V tal que I (v j )  v j ,  j  1, 2, , n

luego expresando v j como una combinación lineal de los elementos de B se tiene n

I (v j )  v j   qij vi ,  j  1, 2,  , n

(2)

i 1

y escribiendo (2) explícitamente se tiene: I (v1 )  v1  q11v1  q 21v 2    q n1v n I (v 2 )  v 2  q12 v1  q 22 v 2    q n 2 v n











I (v n )  v n  q1n v1  q 2 n v 2    q nn v n

15



Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------la matriz asociada al endomorfismo I respecto a las bases B  y B que denotamos por:

Q  [ I ]B B

 q11 q   21    q n1

q12 q 22  qn2

 q1n   q 2 n       q nn 

es llamada matriz cambio de base de B  a B. Observación.-También es usual denotar la matriz P cambio de base de B a B  por B' B o BMB ' y la matriz Q cambio de base de B  a B por M B' o B ' MB . MB

Ejercicio.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita n e

I :V  V

el

endomorfismo identidad, entonces [ I ]B B  I n donde I n es la matriz identidad de orden n y B una base cualesquiera de V. Proposición.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, B  {v1 , v 2 , , v n } y B   {v'1 , v' 2 , , v' n } dos bases ordenadas para V. Entonces las matrices de cambio de bases P de B a B  y Q de B  a B son inversas entre sí. Prueba En efecto, ' B PQ  [ I ]B B [ I ]B '

Por definición de P y Q.

'  [ I  I ]B B'

Por propiedad demostrada.

'  [ I ]B B'

Pues I  I  I .

 In

Por el ejercicio anterior.

Análogamente se demuestra que QP  I n . Luego, PQ  I n y QP  I n lo que demuestra que P y Q son inversas entre si. Ejemplo.- Sean B  {(1,1), (1, 0)} y B   {(1, 0), (2,1)} dos bases de R 2 . Hallar la matriz cambio de base: i) P de la base B a la base B  . ii) Q la base B  a la base B. iii) Verifique que P y Q son inversas entre si

16

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Solución i) (1,1)  1(1, 0)  1(2,1) (1, 0)  1(1, 0)  0(2,1)

1  1 P  1 0  (1, 0)  0(1,1)  1(1, 0)

ii)

(2,1)  1(1,1)  1(1, 0)

 0 1 Q   1 1  0 1 1  1 1 0 PQ       1 1 1 0  0 1

iii)

Proposición.- (Fórmulas de transformación de coordenadas) Sea

V

un

K-espacio vectorial

de

dimensión

finita con

bases

ordenadas

B  {v1 , v 2 , , v n } y B   {v'1 , v' 2 , , v' n } . Si P es la matriz cambio de base de B a B  y Q la matriz cambio de base de B  a B, entonces para todo v  V se tiene que

P[v]B  [v]B y Q[v]B  [v]B Prueba

 a1   a '1  a  a'  Sean: [v]B   2  y [v]B   2           an  a ' n  las coordenadas del vector v  V con respecto a las bases B y B  . Probaremos que P[v]B  [v]B n

Entonces

v   a jv j j 1

n  n    a j   pij vi  j 1  i 1 

17

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n  n      a j pij vi i 1  j 1 

(1)

Por otro lado tenemos que: n

v   aivi

(2)

i 1

De (1) y (2) por la unicidad de la combinación lineal, ya que B  es una base tenemos n

ai   pij a j ,  i  1, 2, , n

(3)

j 1

es decir, explícitamente: a1  p11 a1  p12 a 2    p1n a n a 2  p 21 a1  p 22 a 2    p 2 n a n











a n  p n1 a1  p n 2 a 2    p nn a n

 a1   p11 a    p  2    21       a n   p n1



p12  p 22    pn2 

p1n   a1  p 2 n  a 2        p nn  a n 

[v]B  P [v]B

(4)

Ahora como P y Q son inversas entre sí, tenemos que: Q[v]B  QP[v]B   (QP )[v]B  [v]B pues QP  I



Q[v]B  [v]B

(5)

Las expresiones (4) y (5) se denominan fórmulas de transformación de coordenadas.

Proposición.- Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas B y C respectivamente. Si

T : V  W es una transformación lineal

inversible y siendo T 1 dicha inversa, entonces

T 

1 B C

C 1  ([T ]B )

Prueba

18

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Sea n  dim V  dim W , considerando las bases B y C en V y W respectivamente, se tiene

 

C [T ]B T 1

B C

 [T  T 1 ]CC  [ I ]CC  I n

Donde I n es la matriz identidad de orden n. Análogamente,

T 

1 B C

C B [T ]B  [T 1  T ]B B  [ I ]B  I n

Por consiguiente,

T 

1 B C

C 1  ([T ]B )

Proposición .- Sean V, W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases B y C respectivamente, entonces la transformación lineal T : V  W es un isomorfismo C si y solo si [T ]B posee inversa.

Prueba )

Asumiendo que T es un isomorfismo. T : V  W posee inversa

T 1 : W  V , luego por la proposición anterior

C 1 ([T ]B )  [T 1 ]B C .

)

C Ahora asumiendo que [T ]B posee inversa.

Se tiene que

ran (T )  dim W , luego solo resta probar que T es una

transformación lineal inyectiva. Si T (v )   , entonces C 1 [ v ]B  ([ T ]B ) [ T (v)]C  0

Como todas las coordenadas de v son iguales a cero, se tiene que v   , luego Nu (T )  { } y en consecuencia T es inyectiva.

Ejemplo.- Sea P 1 [ R ] es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno sobre el campo de los reales R y la transformación lineal T : R 2 P 1 [ R ] definida como T ( a, b)  a  ( a  b) x , demuestre que T es un isomorfismo y calcule la inversa de T. Solución

19

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Considerando las bases canónicas de B y C en R 2 y P 1 [ R ] respectivamente se tiene que T (1, 0)  1  1x T (0, 1)  0  1x

1 0  C Luego, [ T ]B   1  1 C La matriz [T ]B

1 0  C 1 )  es inversible y ([ T ]B  ; en consecuencia T es un 1  1

isomorfismo. Para calcular la inversa de T 1 0  a   a  [ T 1 (a  bx)]  [ T 1 ]B C [ a  bx ]C        1  1 b  a  b  T 1 (a  bx)  a (1, 0)  (a  b)(0, 1)  T 1 (a  bx)  (a, a  b) Proposición.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, B y C dos bases ordenadas para V y T :V  V un endomorfismo, entonces C [ T ]B B  Q[ T ]C P

donde P es la matriz cambio de base de B a C y Q la matriz cambio de base de C a B. Prueba C Como P  [ I ]B y Q  [ I ]B C se tiene

B C B C B C B B Q[ T ]CC P  [ I ]B C [ T ]B [ I ]B  [ I ]C [ T  I ]B  [ I ]C [ T ]B  [ I  T ]B  [T ]B

Tomando extremos se obtiene, C [T ]B B  Q[ T ]C P

con lo cual queda demostrada la proposición. La proposición anterior se puede interpretar mediante el siguiente gráfico

20

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[T ]CC

V, C

V, C

P

P

Q

[T ]B B

V, B

V, B

Matrices semejantes Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T : V  V un endomorfismo. Se consideran B y

B  dos bases ordenadas de V. Si se denotan por

A  T B , B

B  T B , P la matriz cambio de base de B a B  y P 1 la matriz cambio de base B

de B 

a B por la proposición anterior se tiene que

A  P 1 BP . Las matrices

A, B  K nn que representan al mismo endomorfismo respecto a las bases B y B  son llamadas semejantes. Estoes, diremos que A es semejante a B si y solo si existe una matriz P no singular tal que A  P 1 BP . La proposición anterior se extiende para el caso de una transformación lineal T :V  W

donde V y W son K-espacios vectoriales de dimensiones n y m

respectivamente. Si B y B  son bases para V; C y C  bases para W con matrices C C asociadas A  [T ]B , B  [T ]B  y matrices cambio de base P de B a B  y Q de

C y C  se cumple que A  Q 1 BP . Es decir, dada la transformación lineal T : V  W donde V y W son dos K-espacios vectoriales de dimensiones n

y

m respectivamente, diremos que las matrices

A, B  K nn representan a la misma transformación lineal

P  K nn y Q  K mm no singulares tales que A  Q 1 BP . El siguiente gráfico, ilustra la situación antes descrita. V , B

B

W, C 

V, B

Q -1

Q

P A

W, C

21

T

existen matrices

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo.- Sea T : R 3  R 2 tal que T ( x, y, z )  ( x  y, 2 z  x) . i)

Si B es la base canónica de R 3 y C es la base canónica de R 2 . Hallar la matriz de T respecto a las bases B y C.

ii)

Calcular las matrices de cambio de base de las bases dadas en (i) a las bases: B   {(1, 0,  1), (1,1,1), (1, 0, 0)} de R 3 y C   {(0,1), (1, 0)} de R 2

iii)

Calcular la matriz de T respecto a las bases dadas en (ii).

Solución i)

C Hallemos [T ]B

T (1, 0, 0)  (1,  1)  1(1, 0)  1(0,1) T (0,1, 0)  (1, 0)  1(1, 0)  0(0,1) T (0, 0,1)  (0, 2)  0(1, 0)  2(0,1)

 A  [T ]

C B

ii)

 1 1 0     1 0 2

B

R 3 , B

R2 , C 

P -1

P R3 , B

Q A

R2, C

Calcularemos las matrices de cambio de base de las bases dadas De B  {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)} a B   {(1, 0,  1), (1,1,1), (1, 0, 0)} (1, 0, 0)  0(1, 0,  1)  0(1,1,1)  1(1, 0, 0) (0,1, 0)  1(1, 0,  1)  1(1,1,1)  2(1, 0, 0) (0, 0,1)  1(1, 0,  1)  0(1,1,1)  1(1, 0, 0)

0 1  1 P  0 1 0  , 1  2 1 

P

22

1

 1 1 1   0 1 0  1 1 0

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------De C  {(1, 0), (0,1)} a C   {(0,1), (1, 0)} (1, 0)  0(0,1)  1(1, 0) (0,1)  1(0,1)  0(1, 0) 0 1  Q  1 0 

iii) Calcular la matriz de T respecto a las bases dadas (ii). B  QAP 1

 1 1 1 0 1   1 1 0    0 1 0     1 0    1 0 2    1 1 0     3 1  1   1 2 1

Ejercicios 1.

Una transformación lineal T : R 3  R 2 está definida por T ( x, y , z )  ( x  2 z , y  z )

a)

Hallar la matriz asociada A de T, respecto a las bases: { (1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0) } en R 3 y { ( 2, 0), (0, 2 } en R 2

b)

Mediante A, determinar la imagen de (2, 2,  2)  R 3 .

c)

Determinar la matriz B de T, respecto a las bases canónicas en ambos espacios.

d)

Obtener la matriz C de T, respecto a la base canónica de R 3 y la base dada para R 2 en la parte a).

2.

Hallar la matriz de la transformación lineal S : R 3  R 4 , donde S está definida como: S ( x, y, z )  (3 x  y, x  y, y  z , x  y  z )

en las bases que se indican a continuación a)

En las bases canónicas.

b)

{ (3, 2, 4), (5,  1, 4), (1, 4,  3) } base de R 3 y {(0, 0, 2, 4), (3, 0,  1, 1), (0, 4, 5,  1), (1,  1, 1,  1)} base de R 4 .

c)

La base canónica de R 3 y para R 4 la base dada en b) 23

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------3.

Sea la transformación lineal f : R 2  R 3 definida por f ( x, y )  ( x  y , x  y , x  2 y )

a)

Determinar el Nu(f), Im(f), una base para cada uno y sus respectivas dimensiones.

b)

Hallar la matriz asociada de f respecto a las bases: { (1, 2), (2, 0) } en R 2 y { (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) } en R 3

4.

La matriz asociada de la transformación lineal f : R 3  R 3 respecto de la base canónica es

1 1   1  A   3  3  3    2 4 2  Determinar el Nu(f), Im(f) y sus dimensiones. 5.

Sea T el operador lineal sobre C 2 definido por T ( z1 , z 2 )  ( z1 , 0) . Sea B la base ordenada canónica de C 2 y sea B   { (1, i ) , (i, 2) } . a)

¿Cuál es la matriz asociada de T respecto al par de bases B y B  ?.

b)

¿Cuál es la matriz asociada de T respecto al par de bases B  y B ?.

c)

¿Cuál es la matriz asociada de T en la base B   { (1, i ) , (i, 2) } ?.

6. Si V  { ax 2  bx  c / a, b, c  R } y T : V  R 2 es una transformación lineal definida por T (ax 2  bx  c)  (b  2c, 3c  2a ) , determine la matriz asociada a T respecto a las bases B1  { 1, 1  x, 1  x  x 2 } de V y B2  { (3, 2), (2, 3)} de R 2 . 7.

Dada la transformación lineal f : R 22  R 3 definida por

 a b   f      (a  b  c, a  b  d , b  c  d )  c d   a) Obtener la matriz de f respecto de las bases:

 1 1 1 0 0 0 0 1   ,  ,  ,    y { (0, 2, 1), (2, 0, 1), (0, 1, 1) }  1 1 1 0 0 1 1 1    1 3 c) Utilizando la matriz hallada, obtener la imagen de  .  2 2 8.

Determinar la transformación lineal f : R 3  R 2 , tal que respecto de las bases { (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) } en R 3 y { (1, 2), (2, 1) } en R 2 su matriz asociada sea

24

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------0  1 0  0 1 1  .   9.

Hallar la matriz de la transformación lineal g  f

respecto de las bases

{ (1, 1), (0,  1) } en el dominio, { (2, 0), (2, 2) } en el codominio donde

f : R 2  R 3 / f ( x, y )  ( x, x  y , y ) g : R 3  R 2 / g ( x, y , z )  ( x  y , z ) . 10.

Sea la transformación lineal cos   sen 

f : R 2  R 2

representada por la matriz

 sen  respecto de la base canónica. cos  y   son números reales cualesquiera, entonces

Demostrar que si 

f    f   f   y f 1  f  . 11.

El endomorfismo T : R 3  R 3 está definido por T ( x, y , z )  ( x, x  y , x  y  z )

En caso de ser posible, halle la matriz asociada a T 1 con respecto a la base B  { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } . 12.

Sea f : R 3  R 2 definida por f ( x, y, z )  ( x  y  z , x  y ) Hallar la matriz de f respecto a las bases canónicas de R 3 y R 2

a)

respectivamente. b)

Obtener las matrices de cambio de base, de las bases anteriores a las bases { (0, 1, 1), (1,  1,  2), (1,  1,  1) } , { (1, 3), (0,  2) } .

c) 13.

Calcular la matriz B de f, respecto al nuevo par de bases.

Hallar las matrices de cambio de base en cada uno de los siguientes casos: a)

{ (2, 3), (3, 2) } y { (1, 4), (4, 2) } bases de R 2 .

b)

{ x, x  1, x 2  2 x  1} y {1, x 2  2 x  1, x 2 } bases del espacio vectorial V  { a  bx  cx 2 / a, b, c  K }

c)

Dado el espacio U  { ( x, y, z , w)  R 4 / x  y  z  w  0 } y dos bases B  {(1, 1, 1,  3), (1,  1, 1,  1), (1,  1,  1, 1)} y B   {(1, 0,  1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0,  1)}

14.

Dados el espacio vectorial B   { (1, 0), (2, 1) } ,

el

R2

espacio

con las bases B  { (1, 1), (3, 2) } vectorial

R3

con

las

y

bases

C  {( 2, 2, 3), (2,  4, 1), (1, 4,  2)} y C   {(1, 1, 0), (1, 2, 1), (2,  1, 2)} .

25

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Sea T : R 2  R 3 una transformación lineal que tenga en las bases B y C la

 1 2 matriz asociada  2 1  , se pide  3 1  a)

Hallar la matriz P cambio de base de B a B  . Análogamente, hallar la matriz Q cambio de base de C a C  .

b)

Hallar P 1 y Q 1 para las matrices correspondientes a la parte a).

c)

Hallar la matriz asociada de la transformación lineal T, respecto a las bases B  y C  .

15.

En el espacio vectorial

R 2 fijando

  R , se considera la base

C  { (cos  , sen  ), ( sen  , cos  )} .

a)

Hallar la matriz cambio de base de C a la base canónica de R 2 .

b)

Determine las coordenadas del vector v  (a, b) con respecto a la base C.

16.

Sean B  { v1 , v 2 , v3 } y C  { u1 , u 2 , u 3 } bases ordenadas de un R-espacio vectorial V relacionados de la siguiente forma

u1  3v1  v3  u1  v1  v 2  v3 u  2v  3v 2 3  3

17.

a)

Hallar la matriz cambio de base de B a C.

b)

 2 Si [v]B  1  , halle [v ]C . 3

c)

 1 Si [v]C   3  , halle [v]B .  2 

Considere el siguiente subespacio de M 2 ( R) ;

 x W   z

 y  M 2 ( R ); x  y  z  0   t 

26

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 1 1 1 0 0 0   1 0 0  1 0 0  ,  , y sean B    , C       ,  ,    dos  0 0 1 0 0 1   1 0 1 0  0 1  bases de W. a)

Halle las matrices cambio de base de B a C y de C a B.

b)

0 0 1  Encuentre una base D de W, tal que la matriz P  3 0 1 sea la 1 2 0 matriz cambio de base de D a B.

18.

Sea el endomorfismo T  L( R 3 ) , cuya matriz asociada respecto a la base B  { v1 , v 2 , v3 } es

2 1   3   2 1 0     4 3 1  Se pide: a)

Probar que B   { v3 , T ( v3 ), T 2 ( v3 ) } es también base de R 3 .

b)

Hallar la matriz asociada de T con respecto a la base

B   { v3 , T ( v3 ), T 2 ( v3 ) } . 19.

Sean P2 [ x] y P3 [ x ] los espacios vectoriales de los polinomios de grado menor igual a dos y menor o igual a tres, respectivamente, y sea T : P2 [ x]  P3 [ x] la transformación lineal definida por T( p(x)) = x p(x). a)

Determinar la matriz asociada a T con respecto a las bases canónicas de P2 [ x] y P3 [ x] , respectivamente.

b)

Obtener la matriz asociada de T con respecto a las bases : B  {1  x 2 , 1  3 x  2 x 2 , 5  4 x  4 x 2 } de P2 [ x] y B'  {1, x, x 2 , x 3 } de P3 [ x] .

c)

Haciendo uso de las matrices obtenidas en a) y b) calcular la imagen del vector 1  3 x  x 2 .

27

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------ESPACIOS COCIENTES Para abordar el estudio de espacio cociente, primero recordemos el concepto de relación de equivalencia. Dado un conjunto cualesquiera M diremos que R es una relación de equivalencia sobre M si satisface las siguientes propiedades: 1.

 x  M : ( x, x)  R (reflexividad)

2.

 x, y  M : ( x, y )  R  ( y, x)  R (simetría)

3.

 x, y, z  M : [( x, y )  R  ( y, z )  R ]  ( x, z )  R (transitiva)

Cuando una relación R es de equivalencia sobre M, en lugar de escribir ( x, y )  R se escribe x ~ y . Luego, usando la última notación si R es una relación de equivalencia sobre M escribiremos: 1’.

xM : x ~ x

2’.

 x, y  M : x ~ y  y ~ x

3’.

 x, y , z  M : [ x ~ y  y ~ z ]  x ~ z

Dada una relación de equivalencia sobre M, definida por x ~ y , la clase de equivalencia x  M denotada por K x es el conjunto

K x  { y  M / x ~ y } , el

elemento x es el representante de la clase de equivalencia. El conjunto M, se puede expresar como unión de una familia de subconjuntos disjuntos donde cada uno de ellos es una clase de equivalencia para algún elemento de M. Es decir si K x xM es una familia de clases de equivalencia, entonces M 

K

x

.

xM

Cada clase de equivalencia K x   pues x  K x ya que por la condición 1’) x ~ x . Si K x  K y   , entonces K x  K y . En efecto, sea z  K x  K y  z  K x  z  K y por definición de intersección.  z ~ x  z ~ y por definición de clase de equivalencia.  x ~ z  z ~ y por 2’)  x ~ y por 3’)

 Kx  Ky El conjunto formado por todas las clases de equivalencia denotamos por M / ~ , esto es M / ~  { K x / x  M } es llamado conjunto cociente; la aplicación  : M  M / ~ tal que  ( x)  K x es llamada proyección natural y es suryectiva de M sobre M / ~ .

28

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Para la definición de espacio vectorial cociente, consideramos un K-espacio vectorial V y un subespacio propio W. Se define sobre V una relación de la siguiente manera. Diremos que u , v  V son congruentes módulo W si y solo si u  v  W y escribimos u  v mod W .

Proposición.- La relación "" definida anteriormente es de equivalencia sobre V, es decir verifica las siguientes condiciones: 1.

u  u mod W ,  u  V (reflexiva)

2.

u  v mod W  v  u mod W (simétrica)

3.

(u  v mod W  v  w mod W )  u  w mod W (transitiva)

Prueba 1.

u  u mod W , pues u  u    W por ser W subespacio.

2.

u  v mod W  u  v W por definición de ""  (u  v) W por ser W subespacio  v  u W  v  u mod W (u  v mod W  v  w mod W )  (u  v W  v  w W ) por definición de ""

3.

 (u  v)  (v  w)  u  w W  u  w mod W

Luego, la relación "" es de equivalencia. La relación de equivalencia "" induce sobre V una partición donde denotaremos cada clase de equivalencia del elemento v por [v]  { u  V / u  v mod W } . Al elemento v  V se le llama representante de la clase de

equivalencia. Proposición.- Se verifica u  v mod W  [u ]  [v]

Prueba )

Demostrando que [u ]  [v] Sea

w  [u ]  w  u mod W  w  u W

(1)

Por otra parte como u  v mod W  u  v  W

(2)

De (1) y (2)

29

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------( w  u )  (u  v)  w  v  W  w  v mod W por definición de ""  w [v]

Luego [u ]  [v] y análogamente de demuestra que [v]  [u ] . Por consiguiente, queda demostrado que [u ]  [v] . )

Ejercicio.

Con la finalidad de contar con una notación apropiada para operar clases de equivalencia definimos el conjunto v  W  {v  w / w  W } . Proposición.- Sea V un K –espacio vectorial y W un subespacio propio de V. Se verifica que [v ]  v  W

Prueba i)

Probaremos que [v]  v  W Sea u  [v]  u  v mod W  u  v  W  u  v  w para algún valor de W  u  v  w, w  W  u v W  [v ]  v  W

ii)

Falta probar que v  W  [v] Sea u  v  W  u  v  w para algún w  W .  u  v  w, w  W  u  v mod W  u  [v]  v  W  [v]

Finalmente, de i) y ii) se demuestra la afirmación de la proposición. Recapitulando, se tiene V un K-espacio vectorial y W un subespacio propio de V; sobre V se definió una relación de equivalencia "" que a su vez induce sobre el espacio vectorial V una partición formada por las clases de equivalencia. El conjunto formado por todas las clases de equivalencia se denota por V

W

 {v  W / v V }

30

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Para dotarle al conjunto V

W

de una estructura de espacio vectorial sobre K es

necesario definir las operaciones de adición y multiplicación por escalares. Dados v  W , u  W y a  K ; definimos

(v  W )  (u  W )  (v  u )  W

Adición :

Multiplicación por escalares: a (v  W )  av  W Ahora es necesario probar la buena definición de las operaciones; es decir, como se están trabajando con clases de equivalencia se requiere demostrar que las operaciones no dependen de los representantes de las clases de equivalencia. Prueba de la buena definición de las operaciones Para la adición Sea

v1  W  v 2  W  v1  v 2 mod W  v1  v 2  W

(1)

u1  W  u 2  W  u1  u 2 mod W  u1  u 2  W

(2)

De (1) y (2)

(v1  v 2 )  (u1  u 2 )  W  (v1  u1 )  (v 2  u 2 )  W  (v1  u1 )  (v 2  u 2 ) mod W  (v1  u1 )  W  (v 2  u 2 )  W  (v1  W )  (u1  W )  (v 2  W )  (u 2  W ) Para la multiplicación por escalares Sea

aK

v  W  u  W  v  u mod W  v  u W  a (v  u )W  av  au W  av  W  au  W  a (v  W )  a (u  W )

Definimos el cero de V / W por   W  W y se cumple (v  W )  (  W )  (  W )  (v  W )  v  W

El conjunto V

W

con las operaciones anteriormente definidas es un espacio vectorial

llamado espacio vectorial cociente.

31

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo.- Consideremos el R-espacio vectorial V  R 2 y el subespacio W  L{(1, 1)} , entonces el espacio cociente de R 2 por W es

R2

W

 { ( a, b)  W / ( a, b)  R 2 }

Donde cada clase de equivalencia es el conjunto (a, b)  W  { (a, b)  t (1, 1) / t  R }

El cual para (a, b) un punto fijo del plano representa una recta de pendiente 1 o 2 dirección el vector (1, 1) paralela a la recta W  L{(1, 1)} . Es decir, R

W

es el

conjunto formado por todas las rectas del plano paralelas a la recta W. R

v+W W u+W

R

O

Ejemplo.- Sea el R-espacio vectorial V  R 3 y W  { (0, 1, 0), (0, 0, 1)}  { ( x, y, z )  R 3 / x  0 } (W es el plano YZ o x  0 ), entonces el espacio cociente de R 3 sobre W es R3

W

 { ( a , b, c )  W / ( a , b, c )  R 3 }

Donde cada clase de equivalencia es el conjunto (a, b, c)  W  {( a, b, c)  t (0, 1, 0)  r (0, 0, 1) / t , r  R }

Interpretando geométricamente

R3

W

es el conjunto formado por todos los planos

paralelos de R 3 paralelos a W es decir todos los planos paralelos al plano x  0 .

32

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Proposición.- Sea V un K-espacio vectorial, W un subespacio propio de V y V espacio cociente de V

sobre W. La aplicación

 (v)  v  W es lineal, suryectiva

y

W

 : V  V W definida como

Nu ( )  W . La aplicación  es llamada

proyección canónica (también se le llama proyección natural o proyección cociente). Prueba a)

La aplicación  es lineal. En efecto, dados u , v  V y a, b  K se tiene que por la definición de 

 (au  bv )  (au  bv )  W  (au  W )  (bv  W )

definición de “+” en V

 a (u  W )  b(v  W )

definición de “.” en V

 a (u )  b (v)

por la definición de 

Luego,  es una aplicación lineal. b)

La aplicación  es sobre. En efecto, Im( )  { (v) / v  V }  {v  W / v V }

V

W

Luego, como Im( )  V

W

el

, la aplicación lineal  es sobre.

33

W

W

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------c)

La aplicación  no inyectiva. En efecto, calculando su núcleo se tiene Nu ( )  { v  V /  (v)  W    W }  { v V / v  W    W }  { v  V / v   mod W }  { v V / v W } W

Luego, Nu ( )  W y en consecuencia, la aplicación  no es inyectiva. Teorema.- Sea V un K-espacio vectorial, W un subespacio de V,  : V  V proyección canónica de V sobre V

W

la

y U un subespacio de V. Luego, se verifica que

W

V  W  U si y solo si la restricción de  a U es un isomorfismo de U sobre V

W

.

Prueba )

Se tiene por hipótesis que V  W  U y hay que probar que  : U  V

W

es un

isomorfismo. i)

Primero hay que probar que 

Nu 

U

  { u U / 

U

U

es inyectiva.

(u )  W }

 { u U / u  W  W    W }  { u  U / u   mod W }  { u U / u   W }  { u U / u W }  { u / u  (U  W )  { }}  { }

Luego,  ii)

U

es inyectiva.

Ahora probemos que  Sea z  V

W

U

es suryectiva

, entonces z  v  W para algún v  V .

Por hipótesis V  W  U , entonces existen w  W y u  U únicos tal que v  w  u , luego z  v  W   (v)   ( w  u )   ( w)   (u )  W   (u )   (u )

Es decir, dado z  V

W

,  u  U tal que  (u )  z

34

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------



U

En consecuencia de i) y ii) 

es suryectiva es un isomorfismo.

U

Asumiendo ahora que  : U  V

)

W

es un isomorfismo, hay que demostrar que

V  W U .

i)

Primero probemos que V  W  U . Sea v  V  v  W  V

W

. Luego, por hipótesis existe u  U tal que

 (u )  v  W , es decir u  W  v  W  u  v mod W v  u  W   w W tal que w  v  u  v  w  u ; w W , u U

En consecuencia, todo v  V siempre se puede expresar como v  w  u donde w  W y u  U ; es decir V  W  U . ii)

Resta probar que W U  { } . Sea

v  W  U  v  W  v  U . Como v  v    W se tiene que

v   mod W  v  W    W

y como

 U (v)   U ( ) y puesto que 

U

v,   U , esto equivale a

es inyectiva se tiene que v   , con

lo cual se ha probado que W U  { } . En consecuencia de i) y ii) V  W  U .

Observación.- Del teorema se tiene que W U U W

y

W U W U

En los siguientes ejemplos veremos las aplicaciones del teorema.

Ejemplo.- En el R-espacio vectorial R 2 , se consideran los siguientes subespacios W  L{ (1, 1)} y U  L{ (1, 1)}

Que son dos rectas de R 2 que pasan por el origen con vectores dirección (1, 1) y (1, 1) respectivamente. R 2  W  U , luego aplicando el teorema anterior resulta que

R2

W

U

2 y R

U

W .

35

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo.- Sea V  R nn el R-espacio vectorial de todas las matrices con entradas reales de orden n  n . Consideremos los subespacios W  { A  R n n / A  A T } y U  { A  R n n / A   A T } De las matrices simétricas y antisimétricas, respectivamente. De demuestra que R nn  W  U , luego por el teorema anterior se tiene que R n n

W

U

R n n

y

U

W

Teorema Fundamental En el siguiente teorema probaremos que toda transformación lineal T : V  U tal que el subespacio W de V está contenido en el núcleo de T, induce una única transformación lineal Tˆ : V

W

 U tal que Tˆ    T .

Teorema .-(Propiedad universal del cociente) Sean V, U K-espacios vectoriales y W un subespacio de V. Si T : V  U es una transformación lineal tal que W  Nu (T ) , entonces existe una única transformación lineal Tˆ : V

W

 U que hace comutativo el siguiente diagrama. T

V

U

 Tˆ

V

W

Prueba Definimos la aplicación Tˆ : V

W

 U tal que Tˆ : (v  W )  T (v);  v  V .

Primero, hay que garantizar que Tˆ está bien definida; es decir que la definición no depende del representante de la clase de equivalencia. En efecto, v  W  v   W  v  v  mod W  v  v  W

por def. de “  ”

  w  W / v  v  w

36

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- v  v  w ; w  W  T (v )  T (v   w )  T (v)  T (v )  T ( w )

por ser T transformación lineal

 T (v)  T (v )  

pues W  Nu (T )

 T (v)  T (v )

 Tˆ (v  W )  Tˆ (v   W ) Luego,

por def. de Tˆ

 v  W  v   W  Tˆ (v  W )  Tˆ (v   W ) , lo cual prueba la buena definición

de Tˆ . Ahora probemos que hace conmutativo el diagrama, esto es Tˆ    T . Sea v  W V

W

, luego T (v)  Tˆ (v  W )  Tˆ ( (v))  (Tˆ   )(v) . En consecuencia, se ha

probado que Tˆ    T . Ahora probaremos que la aplicación Tˆ es lineal. En efecto, dados v  W , v'W  V

W

y a, b  K se tiene Tˆ (a (v  W )  b(v'W ))  Tˆ ((av  W )  (bv'W ))  Tˆ ((av  bv' )  W )  T (av  bv ' )

por definición de Tˆ

 aT (v)  bT (v' )

por ser T transformación lineal

 aTˆ (v  W )  bTˆ (v'W )

por definición de Tˆ

Luego, la aplicación Tˆ es lineal. Tˆ . Supongamos que exista otra transformación lineal

Falta probar la unicidad de T :V

W

 U que cumpla las mismas condiciones de Tˆ es decir T    T , luego para

v  V se tiene

T (v  W )  T ( (v))  (T   )(v)  T (v)  (Tˆ   )(v)  Tˆ ( (v))  Tˆ (v  W ) tomando extremos se tiene que T (v  W )  Tˆ (v  W ) ,  v  V Luego, T  Tˆ y en consecuencia Tˆ es única. Observaciones (1)

Si Tˆ es la transformación lineal del teorema anterior, Nu (Tˆ )   ( Nu (T )) e Im(Tˆ )  T (V ) . En efecto, hagamos la verificación. Verificando que Nu (Tˆ )   ( Nu (T ))

37

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Nu (Tˆ )  { v  W  V  {v  W V  {v  W V  {  (v )  V

W W W

W

/ Tˆ (v  W )   } / T (v )   } / v  Nu (T ) }

/ v  Nu (T ) }

  ( Nu (T ) )

Luego Nu (Tˆ )   ( Nu (T )) Verificando que Im(Tˆ )  T (V ) Im(Tˆ )  Tˆ (V

W

)

 {Tˆ (v  W ) / v  V }  { T (v ) / v  V }  Im(T )  T (V )

Luego, Im(Tˆ )  T (V ) (2)

La construcción del espacio cociente nos permite afirmar que dado un espacio vectorial V y un subespacio W  V arbitrario, existe una transformación lineal L : V  U de V en algún espacio vectorial U de modo que Nu ( L)  W . Esto es,

todo subespacio es el núcleo de alguna transformación lineal. En efecto, basta tomar L   : V  V

W

la proyección canónica.

Teorema .-Existe una correspondencia biyectiva entre los subespacios de V

W

y los

subespacios de V que contienen a W. Esa correspondencia está dada de la siguiente forma S V

  1 ( S )  V ;

W

W U V  U

W

  (U )  V

W

Prueba Las funciones definidas arriba envían subespacios en subespacios. En efecto, sea S un subespacio de

V

u , v   1 ( S )

y

a (u )  b  (v)  S

W

, se tiene que probar que  1 ( S ) es un subespacio de V. Sean a, b  K , entonces  (u ),  (v)  S ; como S es un subespacio

y

como 

es la aplicación canónica se tiene que

38

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 (au  b v)  S  au  b v   1 ( S ) ; luego,  1 ( S ) es un subespacio de V. Si U es un subespacio de V, como  es lineal, entonces  (U ) es un subespacio de V

W

. De otra

parte, ambas funciones son una inversa de la otra. En efecto, tomemos un subespacio U de V tal que W  U  V , probaremos que  1 (U Sea u  U  u  W   (u )  U

W

 u   1 (U

W W

) U . ) . Luego, U   1 (U

W

) . Ahora

probemos el otro contenido, por definición de imagen inversa se tiene

 1 (V W )  { u  U /  (u )  U W } Sea

v   1 (V

W

)   (v )  v  W  U

W

 u  U / v  u  W

  u  U / v  u  w , para algún w  W .

Luego,

vuw

con

w  W ; como W  U

v  U , o sea que

entonces

 1 (U W )  U . Por consiguiente,  1 (U

W

) U .

Teorema.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita. Si W es un subespacio propio de V, entonces dim(V

W

)  dim V  dim W

PRUEBA Sea dim V  n y dim W  m , con m  n . Consideremos B  {v1 ,  , v m } una base para W, entonces por el teorema de completación de bases, extendemos dicha base para V. Es decir existen, v m 1 ,  , v n  V

tal que B'  { v1 ,  , v m , v m 1 ,  , v n } es una

base de V. Con los vectores utilizados para completar la base formamos el subconjunto B  {v m 1  W ,  , v n  W } de V

W

.

Afirmación.- B  {v m 1  W ,  , v n  W } es una base para V

W

.

Prueba de la afirmación i)

El conjunto B  {v m 1  W ,  , v n  W } es linealmente independiente. Sea a m 1 (v m 1  W )    a n (v n  W )    W  W (W es el cero de V  (a m 1v m 1  W )    (a n v n  W )  W (def. de · en V

39

W

)

W

)

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- (a m 1v m 1    a n v n )  W  W (def. de + en V

W

)

 (a m 1v m 1    a n v n )  W  a m 1v m 1    a n v n  a1v1    a m v m (por ser {v1 ,  , v m } base para W)  a m 1v m 1    a n v n  a1v1    a m v m    a1    a m  a m 1    a n  0 se tiene que B  {v m 1  W ,  , v n  W } es l.i. ii)

El conjunto B  {v m 1  W ,  , v n  W } genera V Sea v  W  V

W

W

esto es V

m

i 1

i 1

v   a i vi   a i vi 

n

a v

i  m 1

i i

n  m   v  W    a i vi   a i vi   W i  m 1  i 1 

 m   n     a i vi  W     a i vi  W   i 1   i  m 1   n   W    ai vi  W  pues  i  m 1  

n

a v

i  m 1

 L(B ) .

. Como v  V se puede expresar como combinación lineal de

los elementos de B' , esto es n

W

i i

m

a v i 1

i i

W

 W ya que W es el cero de V

W

 (a m 1v m 1  W )    (a n v n  W )  a m 1 (v m 1  W )    a n (v n  W ) Luego, para todo v  W  V

W

, se tiene que

v  W  a m 1 (v m 1  W )    a n (v n  W ) De lo que resulta, L{ v m 1  W ,  , v n  W }  V

W

.

De i) y ii) la afirmación queda probada. De la afirmación se tiene que dim K (V / W )  n  m  dim K V  dim K W

40

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Observación.- El teorema anterior nos describe un procedimiento para encontrar una base del espacio cociente V

W

cuyos representantes son los vectores utilizados para

completar una base de V a partir de una base de W.

Ejemplo.-

En el espacio vectorial R 3 sobre R se considera el subespacio W  { ( x, y, z )  R 3 / x  y  z  0, x  y  z  0 }

Se pide: a)

3 Hallar una base para R

b)

Determinar el vector de coordenadas de ( 2,  1, 3)  W con respecto a la base

W

.

hallada en a). Solución 3 Hallando una base para R

a)

W

.

Se tiene que W  { ( x, y, z )  R 3 / x  y  z  0, x  y  z  0 }  { ( x, y , z )  R 3 / x  y  0 }  { ( x, y , z )  R 3 / y   x }  { ( x ,  x , 0) / x  R } W  L{ (1,  1, 0) }

El conjunto { (1,  1, 0) } es una base para W, y por el teorema de completamiento de bases, existen

(0, 1, 0), (0, 0, 1)  R 3 tal que { (1,  1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) } es una

base de R 3 . Luego por el teorema B  { (0, 1, 0)  W , (0, 0, 1)  W } es una base para

R3 b)

W

. Determinando el vector de coordenadas de

(2,  1, 3)  W con respecto a la

base B . a ((0, 1, 0)  W )  b((0, 0, 1)  W )  (2,  1, 3)  W ((0, a, 0)  W )  ((0, 0, b)  W )  (2,  1, 3)  W (0, a, b)  W )  (2,  1, 3)  W  (0, a, b)  (2,  1, 3)  t (1,  1, 0)  (2, a  1, b  3)  (t ,  t , 0)

41

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 2  t   a  1   t b  3  0 

t   2    a 1 b  3 

Luego, 1((0, 1, 0)  W )  3((0, 0, 1)  W )  (2,  1, 3)  W , y en consecuencia 1 [(2,  1, 3)  W ]B    3 Corolario.- Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y W  V un subespacio vectorial . Entonces, V  W  V

W

.

Prueba Siguiendo el procedimiento del teorema, consideramos una base B para W y luego completamos una base B  para V. Si se considera B   B   B , entonces  (B ) es una base de V T :V

W

V

. Consideramos la inclusión i : W  V

W

y la transformación lineal

inducida por T ( (v))  v , v  B  . Entonces, T es inyectiva e i, T

inducen una transformación lineal biyectiva W  V

Ejercicio.- Sean

T :U  (U  W )

U

W

y

W

subespacios del

W

V .

K-espacio vectorial V. Probar que

tal que T (u )  u  W es un epimorfismo.

Solución Primero probemos que la aplicación T es una transformación lineal. Sean u , v  U y a, b  K . T (au  bv )  (au  bv )  W  (au  W )  (bv  W )  a (u  W )  b(v  W )  aT (u )  bT (v)

Ahora hay que probar que T es suryectiva. Sea z  (U  W )

W

, entonces z  (u  w)  W

para algún u  U

w  W ; entonces

z  (u  W )  ( w  W )  (u  W )  W  u  W  T (u )

Esto prueba que T es suryectiva. Por tanto, T es un epimorfismo.

42

y para algún

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Definición..- Sea T : V  V una transformación lineal y sea W  V un subespacio. Se dice que W es invariante con respecto a T ( o un subespacio invarante por T) si T (W )  W .

Teorema.- Sea T : V  V una transformación lineal y W un subespacio invariante por ~

T :V

T. Entonces, existe una única transformación lineal

W

V

W

que hace

conmutativo el siguiente diagrama

T

V

V



V

 T~

V

W

W

Prueba Consideremos

la

transformación

  T : V V W

lineal

W  Nu (  T ) . En efecto, sea w  W

y

probemos

que

entonces como W es invariante por T,

T ( w)  W y como Nu ( )  W entonces  (T ( w))  W  w  Nu (  T ) . Con lo que

se ha probado que W  Nu (  T ) . Ahora, usando la propiedad universal del cociente ( teorema demostrado) existe una ~

única transformación lineal T :V V

W

T

V

W



V

V

 T~

V

W

Tal que T~      T ; con lo que queda demostrado el teorema.

43

W

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Observación.- El teorema anterior puede generalizarse de la siguiente forma: Sea T :V  V  una transformación lineal y W  V , W   V  subespacios tales que T (W )  W  . Entonces, existe una única transformación lineal T~ : V

W

 V   tal W

que T~       T .

   T : V  V W  . Sea w  W

En efecto, consideremos la transformación lineal entonces

T ( w)  W 

pues

(   T )( w)  W  , es decir

T (W )  W 

y como

Nu ( )  W 

entonces

W  Nu (   T ) , luego por la propiedad universal del

cociente existe una única transformación lineal

T~ : V

W

V  W

tal que

T~       T .

Corolario.- (Isomorfismo inducido por una transformación lineal) Sean V, U K- espacios vectoriales y T : V  U una transformación lineal, entonces existe una única transformación lineal Tˆ : V

Nu (T )

 T (V ) inducida por T que es un

isomorfismo. Prueba De acuerdo a las condiciones del corolario, construimos el siguiente diagrama. V

T

T (V )  U

 Tˆ

V

Nu (T )

Consideremos la transformación lineal T : V  T (V ) , como Nu (T ) es un subespacio de V y obviamente está contenido en sí mismo, existe una única transformación lineal

Tˆ : V

Nu (T )

 T (V ) tal que Tˆ    T en virtud de la propiedad universal del cociente.

44

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Probaremos que Tˆ es inyectiva. Nu (Tˆ )  { v  Nu (T ) / Tˆ (v  Nu (T ))   }  { v  Nu (T ) / Tˆ ( (v))   }  { v  Nu (T ) / (Tˆ   )(v)   }  { v  Nu (T ) / T (v)   }  { Nu (T ) }

 Nu (Tˆ )  { Nu (T ) } y en consecuencia Tˆ es inyectiva. Ahora probaremos que Tˆ es suryectiva, para ello calculamos Im(Tˆ )  {Tˆ (v  Nu (T )) / v  V }  {Tˆ ( (v)) / v  V }  { (Tˆ   )(v) / v  V }  { T (v ) / v  V }  T (V )

Luego, Tˆ es suryectiva. Finalmente, al ser Tˆ inyectiva y suryectiva concluimos que Tˆ es un isomorfismo y por consiguiente V / Nu (T )  T (V ) . El siguiente teorema establece una relación entre

T B

la matriz asociada a un

endomorfismo T :V  V con respecto a una base ordenada B de V y T~ B la matriz asociada al endomorfismo inducido por T en el cociente

V

W

, donde W es un

subespacio invariante por T.

Teorema.- Sea

V un K-espacio vectorial de dimensión finita, T : V  V una

transformación lineal y W un subespacio de V invariante por T. Denotemos con

T

W

: W  W la transformación lineal obtenida mediante la restricción de T a W.

Consideremos T~ :V y

las

bases

W

V

W

la transformación lineal inducida por T en el cociente

C  { v1 , v 2 , , v r } ,

B  { v1 , v 2 ,  , v r , v r 1 ,  , v n } ,

B  { v r 1  W ,  , v n  W } bases de W, V y V

T B

T   W C  0

45

W

  ~  T B



respectivamente. Entonces

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Prueba Observemos que los vectores T (v j )  W ;  j  1,  , r ; desde que W es invariante por T, de aquí

cada

T (v j ) ;  j  1,  , r se escribe como combinación lineal de los

elementos de la base C  { v1 , v 2 ,  , v r } , los escalares correspondientes a esta combinación lineal son exactamente las entradas de la matriz asociada

T  W

C

. Esto

prueba que las primeras r columnas de la matriz T B son como se enuncia en el teorema. De otro lado T (vr  j )  V para j  1,  , n  r , pueden escribirse como combinación

B

lineal de los elementos de la base

de V; esto es existen escalares

a1, r  j , a 2, r  j ,  , a r , r  j , a r 1, r  j ,  , a n , r  j en K tal que r

T (v r  j )   a i , r  j v i  i 1

n

a

i  r 1

v , para j  1,  , n  r

i, r  j i

Tomando la clase de equivalencia r

T (v r  j )  W   a i , r  j (v i  W )  i 1

n

a

i  r 1

i, r  j

(vi  W ) , para j  1,  , n  r

Esto es T~ (v r  j  W ) 

n

a

i  r 1

i, r  j

(vi  W ) , para j  1,  , n  r

lo que implica que los elementos de la columna r  j (para

T B

j  1, 2,  , n  r ) de

ubicados en las filas r  1, r  2,  , n forman exactamente el j-ésimo vector

columna de la matriz T~ B con lo que el teorema queda demostrado.

Ejercicios 1.

Sea V un K-espacio vectorial y W un subespacio de V. Se dice que u, v  V son congruentes módulo W si y solo si u  v  W , lo que se denota como u  v mod W . Demostrar que la relación “  ” es de equivalencia.

2.

Sea V un K-espacio vectorial y W un subespacio de V. Para v  V , se define el conjunto v  W  { v  u / u  W } . Demuestre que [v]  v  W .

3.

Sea

W  {( x, y )  R 2 / 2 x  y  0 } subespacio de R 2 . Describir las clases de

equivalencia módulo W de los siguientes vectores: u  (3, 2), v  (2, 2) y w  (4,  3) .

46

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------4.

Sea el espacio vectorial R 2 sobre R y el subespacio W  {( x, y )  R 2 / y  3 x } . ¿Cuáles de la siguientes de las siguientes expresiones son verdaderas?. a) [ (a, b)]  [ (a  2b, 7b)] b) (a, b)  W  (b, 2a  4b)  W c) (a  2b, 7b)  W  (b, 3a  4b)  W

5.

Sea W  L{ (3, 2) } un subespacio de R2. Averigüe si se cumple: a) (2a  b, b)  W  ( a  b, b  2a )  W , donde a, b  R . b) (2a  b, b)  W  (b  a,

6.

b  a )  W , donde a, b  R . 3

Sea W  { ( x, y, z )  R 3 / z  0 } subespacio de R 3 . Describir las clases de equivalencia módulo W de los siguientes vectores: u  (0, 0, 1), v  (0, 1, 2) y w  (4,  1, 4) en R3.

7.

Sea W  {( x, y, z )  R 3 / x  2 y  z  0 } subespacio de R 3 . Demuestre que que la clase de equivalencia módulo W del vector v  (a, b, c)  R 3 es el conjunto { ( x, y, z )  R 3 / x  2 y  z  a  2b  c } .

8.

Sea Kn un K-espacio vectorial y W el espacio solución de la ecuación lineal a1 x1  a 2 x 2    a n x n  0 , ai  K y sea v  (b1 , b2 ,  , bn )  K n . Demuestre que la clase v  W de W en Kn es el conjunto solución de la ecuación lineal a1 x1  a 2 x 2    a n x n  b donde b  a1b1  a 2 b2    a n bn .

9.

Considere el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes en R e indeterminada x, V=R[x]. Si W  { q ( x)( x 2  1) / q ( x)  V } se pide: a) Demuestre que V / W  { [ax  b] / a, b  R } . b) Dados p ( x)  x 4  2 x 3  x 2  x  1 , s ( x)  3 x 4  22 x 3  x 2  3 x  2  V  R[ x] , averigüe si [ p ( x)]  [ s ( x)] .

10. Considere el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes en R e indeterminada x, V=R[x]. Si W  { q ( x)( x 3  x  1) / q ( x)  V } se pide: a)

Demostrar que V / W  { ax 2  bx  c / a, b, c  R } .

b)

Dados p ( x)  x 4  2 x 3  x 2  3 x  2 V=R[x], averiguar si p ( x)  s ( x) .

47

y

s ( x)  2 x 4  x 3  2 x 2  x  1

de

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------11. Sea la transformación lineal T : V  V . Demuestre que los siguientes subespacios son invariantes por T: a) { }

b)

c)

Nu (T )

Im(T )

12. Sea V un K-espacio vectorial y W un subespacio. Supongamos que el conjunto de clases { v1  W , v 2  W ,  , v n  W }

es linealmente independiente en V/W.

Demostrar que el conjunto de vectores { v1 , v 2 ,  , v n } también es linealmente independiente en V. 13. Sea V un K-espacio vectorial y W un subespacio. Supongamos que el conjunto de vectores

{ u1 , u 2 ,  , u n }

L(u i ) W  { } .

en

Demostrar

V

es que

linealmente el

independiente

conjunto

y

de

que clases

{ u1  W , u 2  W ,  , u n  W } en V/W también es linealmente independiente. 14. Sea V un K-espacio vectorial, U y W subespacios tal que V  U  W

y

{ u1 , u 2 ,  , u n } una base de U. Demostrar que { u1  W , u 2  W ,  , u n  W } es una base del espacio cociente V/W. 15. Sea el R-espacio vectorial R 3 y W  { ( x, y, z )  R 3 / 2 x  y  0, z  2 x  0 } . a) Determine una base B de R 3 / W . b) Si v  (1, 1, 0) , halle el vector coordenado de v  W respecto a la base B . c) Si v  (2,  3, 4) , halle el vector coordenado de v  W respecto a la base B . 16. En el espacio vectorial R 4 sobre R, se consideran los subespacios: U  { ( x, y , z , t )  R 4 / x  2 y  z  t  0 } , W  { ( x, y, z , t )  R 4 / x  y  t  0 , y  z  2t  0 } y S  { ( x, y , z , t )  R 4 / x  y  0 , x  z  0 , z  t  0 } Se pide hallar una base y su dimensión correspondiente para los espacios cocientes: R4 /U , R4 /W y R4 / S . 17. Sea V el R-espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en R e indeterminada en x. Si W es el subespacio de los polinomios divisibles por x 5 , esto es de la forma a0 x 5  a1 x 6    an  5 x n . Mostrar que el espacio cociente V / W es de dimensión 5.

48

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------18. Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Todo subespacio es el núcleo de alguna transformación lineal. b) Dado un subespacio W de un espacio vectorial V, existe una transformación lineal T : U  V para algún subespacio U de modo que T (U )  W . 19. Sea

U  { ( x, y )  R 2 / y  2 x } subespacio de

R2. Pruebe que cada clase en

R 2 / U posee un único representante en el eje Y. Use este hecho para definir un

isomorfismo entre R 2 / U y el eje Y. 20. Sea W  { ( x, y, z )  R 3 / z  0 } subespacio de R 3 . Pruebe que cada elemento de R 3 / W posee un único representante en la recta L  { t (1, 1, 1) / t  R } . Use este

hecho para definir un isomorfismo entre R 3 / W y la recta L. 21. Sea

V  P2 [ x ] el espacio vectorial de los polinomios de grado  2

y

W  { ax 2  b / a, b  R } un subespacio de V. Establesca un isomorfismo entre el espacio cociente V / W y la recta L  { ( x, y, z )  R 3 / x  y  z  0, x  y  z  0 } . 22. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y W un subespacio de V. Probar que dim(V / W )  dim V  dim W .

23. En el R-espacio vectorial R3 se considera el subespacio W  { ( x, y , z )  R 3 / x  y  z  0 , x  y  z  0 } Determinar una base para R 3 / W e indicar su dimensión. 24. Sean R 22 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 2 se

a b    R 22 / b  2c  0  . considera el conjunto W     c d   Determine una base y la dimensión para R 22 / W . 25. Sea V  P3 [ x] el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3, con coeficientes en R e indeterminada x y W  { p ( x)  P3 [ x] / p (0)  p (1)  0} un subespacio de V. Determinar una base B de V / W y calcular el vector de coordenadas de ( x 3  2 x 2  3 x  1)  W . 26. En el espacio vectorial R 3 sobre R se considera el subespacio W  L{(1, 1, 1)} . Si la aplicación lineal Tˆ :R 3 / W  R 3 se define como Tˆ ( ( a, b, c )  W )  ( a  b, a  c, c  b) .

49

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Hallar la matriz asociada a Tˆ con respecto a las bases

B  { (0, 1, 0)  W , (0, 1, 1)  W } de R 3 / W y B  { (1, 1, 0), (1,  1, 0), (1, 0, 1)} de R 3 .

27. En el espacio vectorial R 3 sobre R, se considera el subespacio W  L{(1,  1, 1)} y

T :R3  R3 /W

tal que

T (a, b, c)  (a  b, a  c, b  c)  W . Hallar la matriz

asociada de T con respecto a las bases B  { (1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)} de R 3 y B  { (0, 1, 1)  W , (0,  1, 1)  W } de R 3 / W . 28. En

el

espacio

R3

vectorial

sobre

R,

se

considera

el

subespacio

W  {( x, y, z )  R 3 / 2 x  y  0, x  y  z  0} , B  { (0, 1, 1)  W , (0, 0, 1)  W } base de R 3 / W

y B  { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} base de R 3 .

Si T : R 3 / W  R 3 es una transformación lineal tal que la matriz asociada a T

T 

B

respecto de estas bases es

B

0 1   0  1 , hallar T ( ( x, y, z )  W ) . 1 0 

29. Sea T : R 3  R 3 una transformación lineal definida por T ( x, y , z )  ( x  y  z , 2 y  z , 2 y  3 z )

Si W  L{ (2, 2, 4) } , demuestre que W es T-invariante. 30. En el espacio vectorial R 3 sobre R, se considera el subespacio W  L{ (1, 1, 1)} y T  L( R 3 ) / T (a, b, c)  (a  c, b  c, 0) . Si la transformación lineal Tˆ : R 3 / W  T ( R 3 ) está definida como Tˆ ( ( a, b, c )  W )  ( a  c, b  c, 0) , hallar

Tˆ 1 en caso de ser posible.

31. Sean V y W dos K-espacios vectoriales y T : V  W una transformación lineal. Si la dimensión de V es finita, demostrar que

Nu (T )  V y T (V )  W tienen

dimensión finita y además se cumple que dim V  dim( Nu (T ))  dim(T (V ) . 32. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, U y W subespacios de V. Demuestre:

a)

(U  W ) U  W U W

b) dim(U  W )  dim U  dim W  dim(U  W )

50

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------33. Sean V un K-espacio vectorial de dimensión finita, T  L(V ) , W un subespacio invariante por T y T

W

:W  W

la transformación lineal obtenida mediante la

restricción de T a W. Considerando T~ : V / W  V / W la transformación lineal asociada

a

T

en

el

cociente

y

siendo

C  { w1 , w2 ,  , wt } ,

B  { w1 , w2 ,  , wt , vt 1 ,  , v n } y B  { vt 1  W ,  , v n  W } bases de W, V y V/W respectivamente. Demostrar que

 

T *   W C ~ T B   0 34. Sean V un K-espacio vectorial de dimensión finita, T  L(V ) , W1 y W2 subespacios

T B

T-invariantes verificándose que V  W1  W2 . Si B1

y B2 son bases de W1 y

W2 respectivamente tal que B  B1  B2 , demostrar que

T B

T B 1   0

51

0  T B 2 

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------VALORES Y VECTORES PROPIOS 1. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DEFINICIÓN 1.1.- Dado V un K-espacio espacio vectorial y un endomorfismo T : V  V , diremos que   K es un valor propio de T si y solo si existe un vector no

nulo v  V tal que

T (v)  v

(1)

El vector no nulo que satisface la relación (1) se denomina vector propio de T asociado al valor propio  . NOTA.- También se utilizan las expresiones de auto valor y valor característico para denominar al valor propio y el de auto vector y vector característico para el vector propio. EJEMPLO 1.1.1.- Sea (V , , K , ) un espacio vectorial, consideremos el endomorfismo identidad

I (v)  v ; v  V 1 es un valor propio de I. EJEMPLO 1.1.2.- En el espacio vectorial R 2 sobre R definimos el endomorfismo T : R 2  R 2 / T ( x, y)  (2 x  y, 3x  4 y)

Hallar los valores y vectores propios de T. SOLUCIÓN Hay que hallar   R tal que T ( x, y)   ( x, y)

(2 x  y, 3x  4 y)   ( x, y)



2 x  y  x   (  2) x  y  0  3x  4 y  y   3x  (  4) y  0

(1)

el sistema homogéneo (1) tendrá soluciones distintas de la trivial (que son las que nos interesan, por ser los vectores propios vectores no nulos) si el determinante de la matriz asociada al sistema es igual a cero; esto es

 2 3

 2 3

1 0  4 1  2  6  5  0  4

2  6  5  0  (  1)(  5)  0  1  1, 2  5 52

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Luego, los valores propios de T son: 1  1 y 2  5 . Ahora calculando los vectores propios i)

Hallando el vector propio v1 asociado al valor propio 1  1 Reemplazando el valor de 1  1 en la ecuación (1) se tiene

x



 0

y

 3x  3 y  0 nótese que las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación se tiene

 x  y  0  y  x la variable y depende de x, entonces v1  ( x ,  x)  x(1,  1) , x puede tomar cualquier valor con excepción de cero, para x  1 se tiene v1  (1,  1) y verifica

T (1,  1)  (1,  1)  1(1,  1) ii)

Hallando el vector propio v 2 asociado al valor propio 2  5 Procediendo de manera análoga que en la parte i) reemplazamos el valor de

2  5 en la ecuación (1) se tiene 

y  0

 3x 

y  0

3x

como en la parte i) las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación se tiene

3x  y  0  y  3x la variable y depende de x, entonces , para x  1 se tiene v2  (1, 3) y y verifica

T (1, 3)  (5,15)  5(1, 3) NOTA.- Dados V un K-espacio vectorial, T : V  V un endomorfismo y   K un valor propio de

T. El conjunto  (T )  {   K /  es un valor propio de T } es

llamado espectro de T y E(T ,  )  { v  V / T (v)  v } es un subespacio de V, y se denomina espacio propio o auto espacio de

T

asociado al valor propio  . En

referencia al ejemplo anterior se tiene

 (T )  {1, 5} E (T , 1)  { v  R 2 / T (v)  v }  L{ (1,  1)} y E (T , 5)  { v  R 2 / T (v)  5v }  L{ (1, 3)}

53

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------EJEMPLO 1.1.3.- Sea C 2 el espacio vectorial sobre C y la transformación lineal

T : C 2  C 2 definida como T ( x, y)  ( x  2 y, x  y) Hallar los valores y vectores propios de T. SOLUCIÓN Hay que hallar   C tal que T ( x, y)   ( x, y)

( x  2 y, x  y)   ( x, y)



x  2 y  x  (1   ) x  2 y  0  x  y  y   x  (1   ) y  0

(1)

el sistema homogéneo (1) tendrá soluciones distintas de la trivial (que son las que nos interesan, por ser los valores propios vectores no nulos) si el determinante de la matriz asociada al sistema es igual a cero; esto es

1  1

2 0  (1   )

1  2  (1   )(1   )  2  2  1  0 1  (1   )

2  1  0     i Luego, los valores propios de T son: 1  i y 2  i . Ahora hallando los vectores propios i)

Hallando el vector propio v1 asociado al valor propio 1  i Reemplazando el valor de 1  i en la ecuación (1) se tiene

(1  i) x  2 y  0 x  (1  i ) y  0 las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación se tiene

(1  i) x  2 y  0  y  la variable y depende de x, entonces v1  ( x ,

1 1 (1  i))  x(1, (1  i)) , para x  2 2 2

se tiene v1  (2 , 1  i) y verifica

T (2 ,1  i)  i(2,1  i)

54

1 (1  i) x 2

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------en efecto

T (2 , 1  i)  (2  2(1  i), 2  (1  i))  (2i , 1  i)  i(2 , 1  i) ii)

Hallando el vector propio v 2 asociado al valor propio 2  i Reemplazando el valor de 2  i en la ecuación (1) se tiene

(1  i ) x  2 y  0 x  (1  i ) y  0 nótese que las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación se tiene

(1  i) x  2 y  0  y  la variable y depende de x, entonces v2  ( x,

1 (1  i) x 2

1 1 (1  i) x)  x(1, (1  i)) , para x  2 2 2

se tiene y  1  i y en consecuencia v 2  (2 , 1  i )

y verifica

T (2 ,1  i)  i(2,1  i) en efecto

T (2 , 1  i)  (2  2(1  i), 2  (1  i))  (2i , 1  i)  i(2 , 1  i) OBSERVACIONES 1.2 (1) La existencia de valores propios de un endomorfismo depende del campo de escalares sobre el cual está definido el espacio vectorial, pues si consideramos el espacio vectorial (C 2 , , R, ) y la transformación lineal T : C 2  C 2 definida en el ejemplo 1.1.3

T ( x, y)  ( x  2 y, x  y) no tiene valores propios en R ya que:

2  1  0 ,   R (2) Sean V un espacio vectorial sobre K de dimensión finita, T : V  V

un

endomorfismo y   K un valor propio de T. El conjunto

E(T ,  )  { v  V / T (v)  v } es un subespacio de V, llamado subespacio propio o auto espacio asociado al valor propio  .

55

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------(3) Si A es la matriz asociada del endomorfismo T : V  V respecto a una base B entonces, el det(T  I ) se define como

det(T  I )  det( A  I ) donde I debe entenderse como el automorfismo identidad al lado izquierdo y como la matriz identidad al lado derecho. PROPOSICIÓN 1.3.- Sea V un

K-espacio vectorial de dimensión finita y el

endomorfismo T : V  V . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i)   K , es un valor propio de T. ii) T  I es singular (no invertible). iii) det(T  I )  0 . PRUEBA i)  ii) Como   K es valor propio de T, entonces existe un vector no nulo v  V tal que T (v)  v

 T (v)  I (v)   , donde I es el endomorfismo identidad  (T  I )(v)   , por ser T  I un endomorfismo  Nu(T  I )  { } , pues al ser v un vector propio es diferente de 

 T  I

es singular

ii)  iii) es obvio. iii)  i) Tenemos que det(T  I )  0  T  I es singular

 Nu(T  I )  { }    v V tal que (T  I )(v)    T (v)  v

  es un valor propio de T. 2. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ DEFINICIÓN 2.1.- Se dice que el escalar  es un valor propio de una matriz

A  K nn si y solo si existe un vector no nulo v  K n1 tal que Av  v

(1)

el vector no nulo v  K n1 que satisface la relación (1) se denomina vector propio de A asociado al valor propio  .

56

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------NOTA.- De manera análoga que para el caso de las transformaciones lineales, se utilizan las expresiones de auto valor y valor característico para denominar al valor propio y el de auto vector y vector característico para el vector propio de una matriz. EJEMPLO 2.1.1.- Sea A  K nn una matriz diagonal, cualquier vector canónico

ei  K n1 donde i  1, 2,, n es un vector propio de A. Pues para:

d1 0 A   0

0 0      dn 

0  d2   0

se tiene que:

d1 0 Aei     0

0 d2  0

0   0  0        0      1  d   d i ei      i      d n     0  0  

Los valores propios de A son los elementos de la diagonal.

2 1  EJEMPLO 2.1.2.-Hallar los valores y vectores propios para la matriz A   .  3 4 SOLUCIÓN

  R es un valor propio de de A, si existe un vector v  R n1 tal que Av  v .  v  Av    (I  A)v     0  2 1   x  0   2  1   x  0                      3   4  y  0   0   3 4   y  0



 2 3

1  0  2  6  5  0  (  1)(  5)  0  4

 1  1, 2  5 Los vectores propios asociados a los valores propios 1  1 y 2  5 son:

1 v1    ,  1

1 v2    3

57

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------En efecto, verificando se tiene

2 1   1   1   1  2 1 1  5  1 y Av1     1 Av    5 2       3 4 3 15 3 3 4  1  1  1        El espacio propio de A correspondiente al valor propio  lo denotamos por E ( A,  )  { v  K n1 / Av  v}

Nótese que los valores propios de la transformación lineal dado en el ejemplo 1.2.2

2 1  T : R 2  R 2 / T ( x, y)  (2 x  y, 3x  4 y) y la matriz A    dada en el ejemplo  3 4 2.1.2 son los mismos. Este hecho no debe sorprender, puesto que A es la matriz asociada a la transformación lineal T respecto a la base canónica de R 2 . La relación entre el espacio propio de T  L(V )

y el espacio propio de la matriz

asociada a T respecto a una base B está dada por siguiente proposición. PROPOSICIÓN.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, B una base ordenada de V. Si T  L(V ) y   K un autovalor de T, entonces v  E(T ,  ) [ v ]B  E([ T ]B ,  )

PRUEBA

)

Asumiendo que v  E (T ,  ) , hay que demostrar [ v ]B  E ([ T ]B ,  )

v  E(T ,  )  T (v)  v

por definición

 [T (v)]B  [v]B  [v]B  [T (v)]B  [v]B

tomando extremos

 [T ]B [v]B  [v]B  [ v ]B  E ([ T ]B ,  ) )

[ v ]B  E ([ T ]B ,  ) hay que probar que

Recíprocamente, asumiendo que

v  E (T ,  ) .

[ v ]B  E([ T ]B ,  )  [T ]B [ v]B  [v]B  [T ]B [ v]B  [v]B  0  [T (v)]B  [v]B  0

 [T (v)  v]B  0  T (v)  v  0

 T (v)  v  v  E (T ,  ) 58

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------OBSERVACIONES (1)

Existe un solo valor propio asociado a un vector propio v. En efecto, suponiendo que 1 y  2 son los valores propios correspondientes al valor propio v, entonces se tiene que T (v)  1v  2 v

Por definición de valor propio

 1v  2 v    (1  2 )v   Como

por

definición

de

vector

v  ,

propio

se

tiene

que

1  2    1  2 . Lo recíproco no es cierto, pues para un valor propio pueden existir infinitos vectores propios. (2)

Si bien es cierto que la relación T (v)  v es válida para v   y cualquier

 , la definición de vector propio excluye al vector cero. Esto se justifica por tener que existir un solo valor propio  asociado al vector propio v.

NOTA.- La proposición 1.3, en términos de matrices, puede ser enunciada como: cualquiera de las afirmaciones siguientes, son equivalentes i)   K , es un valor propio de A  K nn . ii) A  I es singular (no invertible). iii) det( A  I )  0 A continuación veremos más ejemplos sobre valores propios y vectores propios. EJEMPLO.- Sea el endomorfismo T :V V escalar fijo. Nótese, que todo vector

v V

tal que T (v)  av , donde a es un con

v   es un vector propio

correspondiente al valor propio a. EJEMPLO [Reflexión sobre el plano XY] Sea el endomorfismo T : R 3  R 3 tal que T ( x, y, z)  ( x, y,  z) Calculando los valores propios de T

T ( x, y, z)   ( x, y, z)  (x, y, z)  ( x, y,  z)  (x, y, z)  ((  1) x, (  1) y, (  1) z)  (0, 0, 0)

59

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 0 (  1) x   (  1) y  0  (  1) z  0 

 1 0

0  1

0 0

0

0

 1

 (  1) 2 (  1)

 (  1) 2 (  1)  0    1,   1

Luego los valores propios de T son

  1 de multiplicidad algebraica igual a 2 y

  1 Para el valor propio   1 los vectores propios están contenidos en el plano XY esto es,

T ( x, y, 0)  1( x, y, 0) . E (T , 1)  { ( x, y, z)  R 3 / T ( x, y, z)  1( x, y, z) }  { ( x, y, z )  R 3 / ( x, y,  z)  1( x, y, z) }  { ( x, y, z )  R 3 / z  0}

 L{ (1, 0, 0), (0, 1, 0) } Para el valor propio   1 los vectores propios están contenidos en el eje Z esto es,

T (0, 0, z)  1(0, 0, z) . E (T ,  1)  { ( x, y, z)  R 3 / T ( x, y, z )  1( x, y, z) }  { ( x, y, z )  R 3 / ( x, y,  z)  ( x,  y,  z ) }  { ( x, y, z )  R 3 / x  y  0}  { ( x, y, z )  R 3 / x  y  0}

 { (0, 0, z) / z  R }  L{ (0, 0, 1) } Nótese que R 3  E (T , 1)  E (T ,  1) EJEMPLO [Rotación en el plano] Consideramos dos situaciones i)

Para V  C con K  C Todo z  C donde z  0 se puede expresar como z  rei  r (cos   i sen )

Definiendo, T : C  C / T ( z )  rei (  )  rei e i  e i z

60

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Donde T actúa sobre z haciéndolo girar un ángulo  . En este caso todo z  0 es un vector propio para el valor propio

  e i  c o  s  i s e n . El valor

  e i no es un número real salvo el caso en   n , n  Z . ii)

Para V  C con K  R La rotación T ( z )  e i z admite valores propios únicamente si   n , n  Z . En consecuencia para   n , n  Z , T no tiene valores propios reales. Como ya se vio en un ejemplo anterior la existencia de valores propios depende de la elección del campo.

EJEMPLO [El operador derivada] Dado el espacio vectorial D  { f : R  R / f es una función que admite derivada} , se define el endomorfismo T : D  D / T ( f )  f  . Los vectores propios de T son todas las funciones f  D no nulas que satisfacen la ecuación

T ( f )  f   f   f

(1)

para algún   R . La relación (1) es una ecuación diferencial de primer orden

f   f 



f ( x) dx    dx f ( x)

 ln( f ( x))  x  ln C  f ( x)  e (xln C )  e x e ln C  f ( x)  Ce x , donde C es una constante arbitraria.

Luego los vectores propios de T son todas las funciones exponenciales de la forma f ( x)  C e x con C  0 T ( f ( x))  (Ce x )   C e x  f ( x)

El valor propio correspondiente a f ( x)  C e x es  . EJEMPLO [El operador integración] Sea V  { f : [a , b]  R / f es continua } Definiendo

T :V  V x donde g ( x)   f (t )dt , a  x  b a f  g  T( f ) Suponiendo que existieran las funciones propias para T, serian las satisfacen la ecuación

61

f V

que

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------x

F ( x)   f (t )dt  f ( x) a

(1)

para algún   R . Usando el primer teorema fundamental del cálculo, derivamos la relación (1) obteniendo

f ( x)  f ( x) ;   0 

f ( x) 1 dx   dx f ( x) 

 ln( f ( x)) 

 f ( x)  e

1



x  ln C

x (  ln C )



x

 e  e ln C

x

 f ( x)  Ce ;   0, C  0 

Luego, las únicas funciones propias posibles serian aquellas funciones exponenciales de x

f ( x)  e  ;   0, C  0 . Sin embargo, si reemplazamos

la forma

xa

en la

ecuación (1) se tiene



a a

f (t )dt  f (a)  C e  ;   0, C  0 a

0  f (a)  C e   0 a

Como e   0 , se ve que la ecuación T ( f )  f , no puede ser satisfecha por ninguna a

función f  0 . En consecuencia, el operador integración T no tiene funciones propias ni valores propios. OBSERVACIÓN Sean V un K-espacio vectorial de dimensión finita n, T  L(V ) un endomorfismo y A la matriz asociada a T respecto a una base B de V. El det(T  I ) se define como

det(T  I )  det( A  I ) donde el I en el lado izquierdo denota el endomorfismo identidad y el I del lado derecho denota la matriz identidad. La proposición que se enuncia a continuación es el análogo de la proposición 1.3 en términos de la matrices.

62

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROPOSICIÓN.-Sea V un K-espacio vectorial y T :V V un endomorfismo y A la matriz asociada a T respecto a una base B de V. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a)

  K es un valor propio de A.

b)

A  I es singular

c)

det( A  I )  0

PRUEBA.- Ejercicio

3. POLINOMIO CARACTERÍSTICO POLINOMIO DE MATRICES Sea K [x] el anillo de polinomios con coeficientes en el campo K. Si p  K[x] , se escribe

p( x)  an x n  an1 x n1    a1 x  a0 Ahora, si A es una matriz cuadrada sobre K, el polinomio

p( A)  an An  an1 An1    a1 A  a0 I donde I es la matriz identidad es llamado polinomio de matrices. En caso que p( A)  0 se dice que A es una raíz del polinomio p(x) . EJEMPLO 3.1

0  1 Sea p  K[x] tal que p( x)  x 2  2 x  4 y A    , entonces: 2 1  0  1 0  1 0  1 1 0 p( A)  A 2  2 A  4 I    2   2 1   40 1 2 1  2 1       2  1 0  2  4 0   6  3       2  1 4 2   0  4  6  3 PROPIEDADES 3.2 Sean p, q  K[ x] y A  K nn , entonces se cumplen las siguientes propiedades: i) ( p  q)( A)  p( A)  q( A) ii) ( pq)( A)  p( A)q( A) iii) (kp)( A)  kp( A), k  K . iv) Puesto que p( x)q( x)  q( x) p( x) para polinomios cualesquiera p(x) y q(x) , entonces, p( A)q( A)  q( A) p( A)

63

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------v) Si 1 , 2 ,, n son elementos de K y p( x)  ( x  1 )( x   2 )( x   n ) , entonces p( A)  ( A  1 I )( A   2 I )( A   n I )

DEFINICIÓN 3.3.- Dada una matriz A  K nn , se llama polinomio característico de A al determinante de la matriz I  A ; es decir:

  a11 p( )  det(I  A) 

 a21   an1

 a12    a22    an 2

 a1n  a2 n

     ann

Desarrollando el determinante se tiene

p( )  n  cn1n1    c1  c0 La matriz I  A se denomina matriz característica de A.

EJEMPLO 3.3.1.- Hallar el polinomio característico de la matriz  2 1 0  A   1 1 2   0 3  1

 2 p( )  det(I  A) 

1

1  1

0 2

0

3

 1

 3  22  8  13 OBSERVACIÓN 3.3.2.- Del ejemplo anterior, nótese que 2  Tr( A) y  13  det( A) ; luego el polinomio característico de A se puede escribir como p( )  3  Tr( A)2  8  (1) 3 det( A) , si A  K 33

En general para una matriz A  K nn , el polinomio característico de A se puede escribir como p( )  n  Tr( A)n1    (1) n det( A)

64

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------EJEMPLO 3.3.3.- Utilizando la observación anterior, calcular los valores propios de la matriz

1 2 A  3 2 SOLUCIÓN p( )  2  Tr( A)  (1) 2 det( A)

 2  3  4 las raíces del polinomio 2  3  4  0 son 1  4 y 2  1 . PROPOSICIÓN 3.4.- Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico; es decir, si B  P 1 AP , entonces PB ( x)  PA ( x) . PRUEBA p B ( x)  det(xI n  B)

definición de polinomio característico

 det(xI n  P 1 AP)

reemplazando B  P 1 AP

 det(xP 1 P  P 1 AP)

propiedad de matriz identidad

 det[P 1 ( xI n  A) P]

propiedad distributiva del prod. de matrices

 det(P 1 ) det(xI n  A) det(P)

propiedad de determinantes

 det(P 1 ) det(P) det(xI n  A)

propiedad de números reales

 det(P 1 P) det(xI n  A)

propiedad de determinantes

 det(I ) det(xI n  A)

propiedad de matrices inversibles

 det( xI n  A)

propiedad de determinantes

 p A (x)

definición de polinomio característico

 p B ( x)  p A ( x) PROPOSICIÓN 3.5.- Dadas una matriz A  K nn y un escalar   K .

 es valor propio de A  p A ( )  0 . PRUEBA Sea el polinomio característico p A ( x)  det(xI n  A)

 es valor propio de A  I n  A es singular  det(I n  A)  0

 p A ( )  0

65

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------EJEMPLO 3.5.1.- Hallar los valores propios y sus correspondientes vectores propios de la matriz

1 2 2 A   1 2  1  1 1 4  SOLUCIÓN p A ( )  I  A

 1  1

2

2

 2

1

1

 4

1

 (  1)(  3) 2

luego p A ( )  (  1)(  3) 2  0 y los valores propios son 1  1 y 2  3 . DEFINICIÓN 3.6.- Sean V un K-espacio vectorial de dimensión finita, T : V  V un endomorfismo y f ( x)  K[ x] donde

f ( x)  a0 x n  a1 x n1    an ; ai  K , i  0,1,, n

f (x) es llamado polinomio anulador de T si y solo si f (T )  0 . PROPOSICIÓN 3.7.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita. Si T  L(V ) siempre existe un polinomio anulador para T. PRUEBA.- Sea dim K V  n , entonces

dim K L(V )  nn  m consideremos: I , T , T 2 ,, T m ; m  1 elementos que son linealmente dependientes; es decir, existen a0 , a1 , a2 ,, am  K no todos nulos tal que:

a0 I  a1T  a2T 2    amT m  0 Nos basta elegir:

g ( x)  a0  a1 x    am x m  0 g (T )  0 PROPOSICIÓN 3.8.- Sean V un K-espacio vectorial de dimensión finita, T : V  V un endomorfismo y   K tal que T (v)  v, v  0 . Si f ( x)  K[ x] , entonces:

f (T )v  f ( )v PRUEBA 66

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

T (v)  v T 2 (v)  T T (v)  T (v)  T (v)  2 v





T 3 (v)  T T 2 (v)  T (2 v)  2T (v)  3 v











T n (v)  n v ; para todo n  0 Si f ( x)  a0 x n  a1 x n1    an

f (T )(v)  (a0T n  a1T n1    an I )(v)  a0T n (v)  a1T n1 (v)    an I (v)

 a0 n v  a1n1v    an v  (a0 n v  a1n1v    an )v

 f ( )v

 f (T )(v)  f ( )v PROPOSICIÓN 3.9.- Sean A, B matrices semejantes, f ( x)  K[ x] . Demostrar que

f (A) y f (B) son también matrices semejantes. PRUEBA Si A y B son matrices semejantes se tiene:

B  P 1 AP B 2  ( P 1 AP)( P 1 AP)  P 1 A2 P

B 3  P 1 A3 P 



B n  P 1 An P Si f ( x)  a0 x n  a1 x n1    an

f ( B)  a0 B n  a1 B n1    an I

 a0 ( P 1 An P)  a1 ( P 1 An1 P)    an P 1 P  P 1 (a0 An  a1 An1v    an ) P  P 1 f ( A) P  f ( B)  P 1 f ( A) P

67

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------EJERCICIOS

1.

Hallar los valores propios, vectores propios y una base para los espacios propios si la transformación lineal T : R 2  R 2 está definida como: a) T ( x, y)  ( y, 4 x)

b)

c) T ( x, y)  (3x  4 y, 2 x  y) . 2.

C)

T ( x, y)  ( x  y, 2 x  y)

T ( x, y)  (4 x  3 y, 3x  4 y)

Hallar los valores propios, vectores propios y una base para los espacios propios si la transformación lineal T : R 3  R 3 está definida como: a) T ( x, y, z)  ( x  y  z, 2 y  z, 2 y  3z) b) T ( x, y, z)  ( x  y, y  x,  2 y  z) c) T ( x, y, z)  ( x  y, 2 x  3 y, x  y  z) d) T ( x, y, z)  (2 y  z, 2 x  z, 2 x  y)

3. Hallar los valores y vectores propios si es que existen para las siguientes matrices en R 22 y R 33 . Para cada valor propio halle el espacio propio correspondiente. a)

 2 0 1 3  

d)

 1  1 0  1 1 0    0 0 2

b)

 1 4   1 3  

e)

 1 0 1  0 3 0    1 0 1

c)

10 0 2  0 6 0    2 0 7 

f)

  2  3 0 4 5 0   5 5 1

4. Hallar los valores y vectores propios para las siguientes matrices en C 33 . Para cada valor propio halle el espacio propio correspondiente. a)

5.

1 0 3   5  1 0    0 0 1

b)

1  1 0 1 0 0   0 0 2

Sea T : R 2  R 2 la aplicación que hace corresponder a cada vector de R 2 su proyección ortogonal sobre el vector u  (2, 1) . La aplicación así definida es una transformación lineal. a)

Hallar la matriz asociada a T con respecto a la base canónica de R 2 .

b)

Hallar los valores y vectores propios de la matriz obtenida en a).

68

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------6.

Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita talque V  U  W . Hallar los valores propios de T  L(V ) , si T es proyección sobre U paralelamente a W; es decir si T (u  w)  u .

7. Sea T  L( K nn ) tal que T ( A)  AT . Determine los valores propios de T, sus correspondientes vectores propios y sus respectivos autoespacios. 8. En el espacio vectorial P3 [t ] sobre R, se considera el endomorfismo f definido como

f ( p(t ))  t[ p(t  1)  p(t ) ];  p(t )  P3 [ t ] . Calcular los valores y vectores

propios de f. 9. Demuestre o dé un contraejemplo a la siguiente afirmación: Si T : V  V es una R-transformación lineal tal que  es un autovalor de de T

   R , entonces V posee una base formada por vectores propios de T. 10. Determine la verdad o falsedad de de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta. a) Toda transformación lineal posee valores propios. b) Si T  L(V ) y W es un subespacio generado por vectores propios de T, entonces W es invariante por T.

A 11. Sea A una matriz por bloques, A   1 0

B donde A1 y A2 son matrices A2 

cuadradas. Probar que, el polinomio característico de A es igual al producto de los polinomios característicos de A1 y A2 . 12. Sea T  L(V ) , donde V es un espacio vectorial sobre K. Si v V , sea

W (v)  { g (T )(v) / g  K[ x] } . Demuestre que W (v) es un subespacio invariante por T. 13. En el R-espacio vectorial R 2 se considera el operador rotación definido como f ( x, y)  ( x cos   y sen , x sen  y cos  ) . ¿Para qué valores de  , f tiene

valores propios?. 14. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, B una base ordenada de V,

T  L(V ) , y   K . Demostrar que v  E (T ,  ) si y solo si vB  E (T B ,  ) . 15. Sea V un K-espacio vectorial y T  L(V ) . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a)

  K es un valor propio de T. 69

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------b)

T  I es singular.

c)

det(I T )  0 .

Nota.- El det(I  T ) se define como det(I  T )  det(I  A) , donde A es la matriz asociada a la transformación lineal T en una base dada e I la matriz identidad. 16. Demostrar que dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. 17. Si n  an1n1    a1  a0 es el polinomio característico de una matriz A, demuestre que a0  (1) n det( A) . 18. Sea A  K nn . Pruebe que: a)

A es inversible si y solo si todos sus valores propios son no nulos.

b)

A es nilpotente si y solo si su único valor propio es cero.

Nota.- Se dice que una matriz A  K nn es nilpotente si existe un entero positivo k tal que Ak  0 . El menor k para el que se cumple la definición anterior es llamado índice de nilpotencia de A. 19. Demostrar que los valores propios de una matriz idempotente son 0 y 1. 20. Sean A, B  K nn , donde A es no singular. Demostrar que las matrices A1B y

BA 1 tienen los mismos valores propios.

70

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------4. DIAGONALIZACIÓN DEFINICIÓN 4.1.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T : V  V un endomorfismo. Se

dice que T es diagonalizable si existe

una base ordenada

B  {v1 , v2 ,, vn } de V en la cual la matriz [T ]B es diagonal.

De manera

análoga diremos que una matriz

A  K nn es diagonalizable si es

semejante a una matriz diagonal. Es decir, si existe una matriz P no singular tal que

P 1 AP  D , donde D es una matriz diagonal. EJEMPLO.- [Reflexión con respecto al eje X] T : R 2  R 2 / T ( x, y)  ( x,  y) ;

Sea

considerando

la

B  { (1, 0), (0, 1) } T (1, 0)  (1, 0)  1(1, 0)  0(0, 1)

T (0, 1)  (0,  1)  0(1, 0)  1(0, 1) 1 0  [ T ]B    0  1 Luego el endomorfismo T es diagonalizable. EJEMPLO.- Dada la matriz 1 1 0 A  1 1 0 0 0 1

Averigüe si es diagonalizable. Solución Calculando el polinomio característico de A se tiene

 1 p ( ) 

1

1  1

0 0

0

0

 1

  (  1)(  2)

Luego los valores propios de A son: 1  0, 2  1 y 3  2 Calculando los vectores propios Para 1  0 , encontremos v1

 1  1 0   1  1 0  0 0  1

1 1 0 0 0 (F1)FF1 1 1 0 0  ( 21) F13   F2 F3   0  0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

71

base

canónica

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

x 

y

 x   0     y   x  v1   x   z  0  0 

1 1 x  1 ; para x  1 v1   1  0   0 

Para 2  1 , encontremos v 2

 0  1 0 0    1 0 0 0  x  0, y  0  0 0 0 0

z

puede tomar cualquier valor diferente de

0  cero. Para z  1, v 2  0 . 1

Para 3  2 , encontremos v3

 1  1 0 0 1  1 0 0 1  1 0 0   F2  F1   F2 F3    1 1 0 0  0 0 0 0 0 0 1 0  0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

x 

y

 x  0     y  x; z  0  v3   x   z  0 0

1 1   x 1 , para x  1, v3  1 0 0

Construimos la matriz P poniendo como columnas los vectores propios de A, esto es

 1 0 1 P   1 0 1  0 1 0 Hallando, la inversa de P se tiene

P

1

1 0 0 1  0 0 0 2 1 1 2

Verificando se obtiene 0 0 0  P 1 AP  0 1 0 0 0 2

Nota.- Como la matriz A es simétrica es diagonalizable ortogonalmente. Esto se obtiene ortonormalizando los vectores propios.

72

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Del ejemplo, ortonormalizando los vectores propios se tiene

1  1 2  v1   1  u1   1 2   0   0  0  v 2  0  u 2 1

1  1 2   v3  1  u1   1 2  0  0  Luego, poniendo como columnas los vectores ortonormales u1 , u 2 y u 3 , construimos

 1 2 0 la matriz ortogonal Q   1 2 0  0 1

 1  tal que Q T  Q 1 . 2 0  1

2

0 0 0  Se verifica que Q AQ  0 1 0 0 0 2 T

PROPOSICIÓN .-Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T  L(V ) un endomorfismo. Se verifica las siguientes proposiciones: 1.

Si T es diagonalizable y B es una base ordenada cualquiera de V, entonces

[T ]B es diagonalizable. 2.

Si existe una base ordenada B de V tal que [T ]B es diagonalizable, entonces T es diagonalizable.

Prueba. 1.

Si T es diagonalizable, entonces existe una base ordenada C de V tal que

[T ]C es diagonal. Por otra parte si B es una base ordenada cualquiera de V, entonces [T ]B es semejante a [T ]C , luego [T ]B es diagonalizable. 2.

Si existe una base ordenada B de V tal que [T ]B es diagonalizable, entonces existe una base ordenada B tal que diagonalizable. 73

[T ]B es diagonal, luego T es

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROPOSICIÓN.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T  L(V ) . El endomorfismo T es diagonalizable si y solo si existe una base ordenada B de V formada por los vectores propios de T. Prueba

)

Asumiendo que T es diagonalizable. Existe una base ordenada B  {v1, , vn } de V tal que [T ]B es diagonal. Luego, si d11 , , d nn

son las entradas de la diagonal de [T ]B , es

T (vi )  d ii vi ;  i  1, , n ; cada v i es un vector propio de T asociado al valor

propio d ii .

)

Sea B  {v1, , vn } una base de V formada por los vectores propios de T con valores

propios

correspondientes

1 , , n ;

entonces

T (vi )  i vi ;  i  1, , n

1  0   [ T ]B        0  n 

EJEMPLO.- Dada la matriz

2 1  A   3 4 1 consideramos la base ordenada B de R 21 formada por los vectores v1    y  1 1 v 2    ; definimos el endomorfismo 3

TA : R 21  R 21 / TA (v)  Av , verificándose

1 0 que TA (v1 )  1v1 y TA (v2 )  5v2 . Luego, [ TA ]B    y en consecuencia T A es 0 5  1 1 diagonalizable; además si Q    es la matriz cambio de base de la base canónica  1 3 de R 21 a la base B, se cumple que Q1 AQ  [ TA ]B .

EJEMPLO [Rotación] La rotación de un ángulo  ( 0     ) es la transformación lineal

T : R 2  R 2

definida como T ( x, y)  ( x cos   y sen , x sen  y cos  ) . La matriz asociada a

74

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

T en la base canónica B de

característico es

p  ( ) 

cos   sen 

T B  

R 2 es

 sen   y su polinomio cos  

  cos  sen   2  (2 cos  ) 1 . El discriminante  sen    cos 

de la ecuación es   4 cos 2   4  4(cos 2  1)  0 si 0     . Luego T no tiene valores propios, por consiguiente no es diagonalizable. Nota.- Sea T  L(V ) . Si no es posible expresar el polinomio característico p(t ) de T como un producto de de factores lineales, entonces T no es diagonalizable. EJEMPLO.-

 1  0 1 Sea A    R 22 se tiene que p( )   2  1   1 0 1    p( )  2  1 no se puede expresar como un producto de factores lineales en R, luego

A no es diagonalizable.

 0 1 2 22 En el caso en que A     C , p( )    1  (  i)(  i) , 1  i , 2  i ;  1 0     i 0 A se puede diagonalizar y la matriz D    es semejante a A.  0 i PROPOSICIÓN.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, T  L(V ) un endomorfismo, 1 , 2 ,, k los valores propios distintos de T y v1 , v2 ,, vk sus correspondientes vectores propios. Entonces {v1 , , vk } es linealmente independiente. . PRUEBA La prueba la haremos por inducción sobre k. i)

Para k  2 Sean v1 , v2 los vectores propios asociados a 1 y  2 , y sean a1 , a2  K tal que:

a1v1  a2 v2   aplicando el operador T  2 I a (1), tenemos:

(T  2 I )(a1v1  a2 v2 )   a1 (T  2 I )(v1 )  a2 (T  2 I )(v2 )    

a1 (T  2 I )(v1 )   a1 T (v1 )  2 I (v1 )  

75

(1)

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

a1 (1v1  2 v1 )   a1 (1  2 )v1  

 a1  0

pues

(1  2 )v1  

propios diferentes y v1  

1  2  0 por que son valores

ya que

por ser vector propio. Luego, reemplazando el

valor de a1  0 en la relación (1) se tiene:

a2 v2    a2  0



pues v2   por ser vector propio

a1  a2  0

ii) Hipótesis inductiva Supongamos que la proposición es válida para r  k  1 . Consideremos la combinación lineal a1v1  a2 v2    ak 1vk 1  ak vk  

(2)

donde a1 , a2 ,, ak 1 , ak  K aplicando T  k I a (2) se tiene (T  k I )(a1v1  a2 v2    ak 1vk 1  ak vk )  

a1 (T  k I )(v1 )  a2 (T  k I )(v2 )    ak 1 (T  k I )(vk 1 )  a k (T  k I )(vk )    

 a1 (T  k I )(v1 )  a2 (T  k I )(v2 )    ak 1 (T  k I )(vk 1 )  

por la hipótesis inductiva v1 , v2 ,, vk 1 son linealmente independientes. Por lo tanto: a1 (1  k )  0  a1  0 a2 (2  k )  0  a2  0





ak 1 (k 1  k )  0  ak 1  0

luego por (2) a k  0 .

 {v , v ,, v } son linealmente independientes. 1

2

k

DEFINICIONES.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, T  L(V ) y  un valor propio de T. 1.

El subespacio propio asociado al valor propio  es V  E (T ,  )  Nu(I  T )

76

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------2.

La multiplicidad geométrica de  denotada por MG( ) se define como

MG( )  dim E( T ,  ) 3.

La multiplicidad algebraica de  denotada por MA( ) MA( )  máx{ k / (  t ) k divide a p(t )}

Nota.- Si A  K nn y  es un valor propio de de A, entonces se define la multiplicidad algebraica y geométrica de  como la correspondiente al operador TA  L( K n1 ) . Observaciones. Considerando V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T  L(V ) , se tiene: 1.

Cero es un valor propio de T si y solo si

Nu(T )  { } . En este caso

E (T , 0)  Nu(T ) . 2.

Si  es un valor propio de T, entonces

MG( )  dim E(T ,  )

 dim Nu(I  T )  dim V  dim Im(I  T )  dim V  ran(I  T ) En particular si A  K nn y  es un valor propio de A, entonces

MG( )  n  ran(I  A) 3.

Si  es un valor propio de T, entonces MA( )  m  p(t )  (  t ) m q(t ) con q(t )  0

EJEMPLO.- Sea T  L( R2 [ x]) definida como T ( p( x))  p( x) . Considerando la base

B  {1, x, x 2 } se tiene T (1)  0  0(1)  0( x)  0( x 2 ) T ( x)  1  1(1)  0( x)  0( x 2 ) T ( x 2 )  2 x  0(1)  2( x)  0( x 2 )

Luego la matriz asociada a T en la base B es 0 1 0  A  [ T ]B  0 0 2 0 0 0

y su polinomio característico correspondiente es

77

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 1 0 p( )  det(I  A)  0   2  3 0 0  Cero es el único valor propio de T, luego se tiene que E(T , 0)  Nu(T )  R  R2 [ x] . Nótese que MA(0)  3 y MG(0)  1 ; en consecuencia T no es diagonalizable. PROPOSICIÓN.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, T  L(V ) y  un valor propio de T, entonces 1  MG( )  MA( ) . PRUEBA Como 

E (T ,  )  { } , por consiguiente

es un valor propio de T, se tiene que

MG( )  1 . Sea B1 una base ordenada para E (T ,  ) por el teorema de completación de bases existe B2 un conjunto linealmente independiente de V disjunto con B1

tales que

B  B1 B2 es una base V. Nótese que T (v)  v ,  v B1 , luego la matriz asociada a la T en la base B es una matriz por bloques de la forma

 I [ T ]B   m  0 siendo

B C 

m #B1  dim E (T ,  )  MG( ) . Luego, pT (t )  (  t ) m g (t ) . Como puede

ser g ( )  0 , entonces se tiene que MA( )  m  MG( ) . COROLARIO.- Si V un K-espacio vectorial de dimensión finita, T  L(V ) y  un valor propio de T tal que MA( )  1 , entonces MG( )  1 . DEFINICIÓN.- Sea V un K-espacio vectorial

y

W1 , , Wm una familia de

subespacios de V. Se dice que la familia de subespacios es independiente si w1  w2    wm   , con wi  Wi ,  i  1, , m  w1  w2    wm  

Si los subespacios W1 , , Wm son independientes, entonces la suma se dice directa y m

se denota por

W i 1

i

m

  Wi . i 1

PROPOSICIÓN.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, T  L(V ) y

1 , , m valores propios distintos de T. Entonces, E (T , 1 ), , E (T , m ) son subespacios independientes. Prueba

78

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Sean v1  E (T , 1 ), , vm  E (T , m ) tales que v1   vm   . Supongamos que existe algún i  {1, , m} tal que

vi   ; si es necesario

tal que

vi   ,  i  1, , l

v1   vl   con vi   ;  i  1, , l

(1)

reordenando los subíndices existirá un l, 1  l  m

y

vl 1    vm   .

Luego, se tendría

Si i  {1, , l } es vi   donde vi  E (T , i ) , luego v i es un vector propio de T asociado al valor propio i . Entonces, por una proposición demostrada { v1 , , vl } es linealmente independiente lo cual es una contradicción con (1). La contradicción es consecuencia de haber supuesto que vi   , luego v1   vm   de lo que se sigue que E (T , 1 ), , E (T , m ) son subespacios independientes. TEOREMA.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T  L(V )

las

siguientes proposiciones son equivalentes: 1.

T es diagonalizable.

2.

El polinomio característico de T, pT (t ) se puede expresar como un producto de factores lineales y MG( )  MA( ) para todo valor propio  de T. h

3.

V   E (T , i ) , siendo 1 , , h los valores propios de T. i 1

PRUEBA

1)  2) Como T es diagonalizable, existe una base B  {v11, , v1n1 , , v1h , , vnhh } de V tal que

1   0  [ T ]B    0   0 



0



0













0



 1    

 0

    h 







0



0



0   0   0   h 

Siendo 1 , , h los valores propios de T con i   j si i  j

pT (t )  (1  t )n1 (h  t )nh

79

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Nótese que por la forma de la matriz [T ]B es { v1i , , vni i }  E (T , i ) , luego MG(i )  ni  MA(i )

Pero como se cumple que MA(i )  MG(i )

entonces se tiene que

MA(i )  MG(i );  i  1, , h .

pT (t )  (1)n (t  1 )n1 (t  h )nh con i   j

2)  3) Sea

si

i  j . Por una

proposición demostrada anteriormente los subespacios propios correspondientes a valores propios diferentes son independientes y se tiene que h

h

 E (T ,  )   E (T ,  ) i

i 1

i

i 1

Luego, h

h

dim(  E (T , i ) )   dim E (T , i ) i 1

i 1

h

  MG( i ) i 1

h

  MA( i ) i 1 h

  ni i 1

 grad pT (t )  dim V h

Luego,  E (T , i )  V i 1

3) 1) Sea Bi una base de

E (T , i )

para todo

i  1, , h . Entonces

B  B1   Bh es una base para V. Pero B es una base formada por los vectores propios de T. TEOREMA.-[Descomposición espectral] Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T  L(V ) . Si el operador T es diagonalizable entonces existen escalares distintos 1 , , h y operadores no nulos

P1 , , Ph únicos tales que: 1.

Pi 2  Pi ;  i  1, , h ( los operadores son las proyecciones)

2.

Pi  Pj  0 ;  i  j

80

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------3.

id  P1   Ph

4.

T  1 P1   h Ph

PRUEBA Existencia h

Como T es diagonalizable, entonces

V   E (T , i ) , siendo

es

i 1

1 , , h los

i  {1, , h } , definimos Pi :V V como

distintos valores propios de T. Para cada

vi  E (T , i ), i  1, , h . Los

Pi (v)  vi donde v  v1   vh con

P1 ,, Ph

verifican las condiciones del teorema. En efecto 1.

Pi 2 (v)  Pi ( Pi (v))  Pi (vi )  vi  Pi (v)  Pi 2  Pi ;  i  1, , h

2.

( Pi  Pj )(v)  Pi ( Pj (v))  Pi (v j )    ( Pi  Pj )(v)   ,  v  V cuando i  j . Luego, Pi  Pj  0

3.

( P1    Ph )(v)  P1 (v)    Ph (v) , donde v  v1    vh  v1    vh v

 id  P1    Ph

4.

Como E (T , i )  { }; Pi  0,  i  1, , h . Si

v V

se tiene por la parte 3) que

v  P1 (v)    Ph (v)

Pi (v)  E (T , i ) ;  i  1,  , h . Luego

T (v)  T (v1    v n )  T (v1 )    T (v n )  1v1    h v h  1 P1 (v)    h Ph (v)  (1 P1    h Ph )(v)  T  1 P1    h Ph

Unicidad Sea T  L(V ) tal que existen escalares distintos 1 , , h y operadores no nulos

P1 , , Ph que verifican las condiciones 1, 2, 3 y 4.

81

con

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Hay que probar que T es diagonalizable, que 1 , , h son los distintos valores propios de T y que P1 , , Ph son las proyecciones asociadas a la descomposición h

V   E (T , i ) . i 1

h

Sea Wi  Im( Pi ), i  1, , h . Las condiciones 1, 2 y 3 implican que V   Wi y que i 1

v  w1   wh , con

wi  Wi , entonces

Pi (v)  wi ,  i  1, , h . Además como

Pi  0 , es Wi  { },  i  1, , h .

Si v  Wi , Pi (v)  v , luego h

h

h

j 1

j 1

j 1

T (v)  (  j Pj )(v)   j Pj (v)    j Pj ( Pi (v)) h

   j ( Pj  Pi )(v)  i Pi 2 (v)  i Pi (v)  i v j 1

 T (v)  i v Como Wi  { },  i  1, , h , la relación anterior implica que i es un valor propio de T y que Wi  E (T , i ),  i  1, , h . Además se tiene que h

h

h

i 1

i 1

V  Wi  Wi   E (T , i )  V i 1

(1)

h

Luego V   E (T , i ) . Esto implica que T es diagonalizable y que 1 , , h son los i 1

distintos valores propios de T. Observar que tomando dimensiones en la relación (1) obtenemos que h

h

i 1

i 1

dim V   dim Wi   dim E (T , i ) Por otro lado de Wi  E (T , i )

se deduce que

dim Wi  dim E (T , i ) para todo

i  1, , h : De estas últimas relaciones se tiene que Wi  E (T , i )

para todo

dim Wi  dim (T , i ) y como

i  1, , h . Esto implica que h

proyecciones asociadas a la descomposición V   E (T , i ) . i 1

82

P1 , , Ph

son las

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------EJEMPLO Dado el endomorfismo T : R 3  R 3 / T ( x, y, z)  (3x  y  z, 2 x  4 y  2 z, x  y  3z) Nótese que,

  x   3 1 1   x    T   y    2 4 2  y    z   1 1 3   z      

 3 pT (  )   2 1

1  4 1

1  2  (  2) 2 (  6)

(1)

 3

Los valores propios de T son 1  2 ( MA( )  2 ) y 2  6 . Hallando los vectores propios Para 1  2

  1  1  1   x  0    2  2  2   y   0   x  y  z  0  z   x  y        1  1  1  z  0 Luego,

( x, y, z)  ( x, y,  x  y)  ( x, 0,  x)  (0, y,  y)  x(1, 0,  1)  y(0, 1,  1); x, y  R Los vectores propios correspondientes a 1  2 son v11  (1, 0,  1) y v12  (0, 1,  1)

Para 2  6  3  1  1   x  0    2 2  2   y   0         1  1 3   z  0

 3  1  1 0 ( 1) F  1 1  3 0 F  2 F 1 1  3 0   F3  F13   F32  3 F11    2 2  2 0      2 2  2 0      0 4  8 0   1  1 3 0  3  1  1 0 0  4 8 0 1 1  3   0 1  2 0 0 0 1 F 4 2 F3  4 F2

x

1 0  1 0  F1  F2  0  0 1  2 0 0 0 0

0  0 0

 z  0   x  z, y  2 z y  2z  0 

Luego, ( x, y, z)  ( z, 2 z, z)  z(1, 2, 1) ; z  R y v12  (1, 2, 1)

83

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Se tiene que

V2  E(T , 2)  L{(1, 0,  1), (0, 1,  1)} V6  E (T , 6)  L{(1, 2, 1)}

Luego, como pT ( ) se puede escribir como un producto de factores lineales,

MG(2)  MA(2)  2 y MG(6)  MA(6)  1 . Esto implica que el endomorfismo T se puede diagonalizar. Nótese que R 3  E (T , 2)  E (T , 6) . Considerando la base

B  {(1, 0,  1), (0, 1,  1), (1, 2, 1)} de R 3 formado por los

vectores propios de T. Todo vector ( x, y, z )  R 3 se puede expresar como ( x, y, z)  14 (3x  y  z)(1, 0,  1)  12 ( x  y  z)(0, 1,  1)  14 ( x  y  z)(1, 2, 1)

Definiendo las proyecciones: P1 ( x, y, z )  14 (3x  y  z )(1, 0,  1)  12 ( x  y  z)(0, 1,  1)

P1 ( x, y, z )  (

3x  y  z  x  y  z  x  y  3z , , ) 4 2 4

P2 ( x, y, z)  14 ( x  y  z )(1, 2, 1)

P2 ( x, y, z )  (

x yz x yz x yz , , ) 4 2 4

Luego, la descomposición espectral de T es

T ( x, y, z)  2P1 ( x, y, z)  6P2 ( x, y, z) Además, se tiene que P1  P2  Id y P1  P2  P2  P1  0 . Ejercicio.- Dado el endomorfismo T : R 3  R 3 / T ( x, y, z)  ( y  z, x  2 y  z,  x  y  2 z )

Averiguar si T es diagonalizable: En caso que lo sea hallar la descomposición espectral de T.

Ejercicios 1.- Sea A una matriz sobre K de orden n×n y p(x) un polinomio arbitrario en K[x] Demuestre que si A es diagonalizable, entonces p(A) es diagonalizable 2.- Probar que toda matriz A  R 22 , con det(A) < 0 es diagonalizable. 3.- Determine cuales de las siguientes matrices son diagonalizables:  0  1 0 1 2  a)  b)  0 0 1  2 3    1  3 3 84

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

c)

 5 6  3  1 0 1     1 2  1

1  3 3 e) 3  5 3 6  6 4

4 4 3 d)  1  2 1   1  1  2

4.- Determinar los valores y vectores propios del operador derivación sobre el espacio Rn [ x ] ¿ Es este operador diagonalizable?. 5.- Sean A y B dos matrices cuadradas. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. t

a) Si A es diagonalizable entonces A es diagonalizable b) Si A y B son semejantes entonces, A es diagonalizable sii B es diagonalizable c) Si A y B tienen los mismos autovalores entonces son semejantes d) Si A es diagonalizable entonces A n es diagonalizable  n  Z  . 6.- Sean A, B matrices diagonalizables. Demostrar que A y B son similares si y sólo si tienen el mismo polinomio característico.

f  L(V ) diagonalizable, dimV = n y sea B = { v , v , …v } base de V

7.- Sea

1

2

n

formada por autovectores de f. Si u = v + v + …..+ v compruebe que 1

2

n

{ u, f (u), f 2 (u), , f n1 (u) } es base de V.

8.- Determine si las siguientes transformaciones T  L(V ) son diagonalizables. Si su respuesta es afirmativa halle la base B del espacio vectorial dado y la matriz diagonal [T] . B

a) T  L( R 3 ) / T( x, y, z ) = ( 2x + z, 2y, z ) b) T  L(C 4 ) / T( x, y, z, w ) = ( -iy, -ix, z + ( 1 + i)w, iy + w ) c) T  L( R 3 ) / T( x, y, z ) = ( 3x + 2y + 4z, 2x + 2z, 4x + 2y + 3z ) d) T  L( P 2 ) / T (a  bx  cx 2 )  (2a  4b  5c)  (5b  3a  5c) x  cx 2 9.- Sea V un K- espacio vectorial de dimensión n y T  L(V ) diagonalizable . Pruebe que V = Nu(T)  Im(T). 10.- Dado el operador lineal T  L( V ) suponga que V = W + W donde T(v ) = λ v 1

2

1

1 1

para v  W , T(v ) = λ v si v  W , con λ ≠ λ . Demuestre que λ y λ son los 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 únicos autovalores de T y que los autovectores de T están en W o en W . 1

n

2

11.- Sea T  L(R ) cuya matriz A en la base canónica tiene todos los elementos iguales a 1. Pruebe que : a) El rango de T es igual a 1 n

b) R = Nu(T)  Im(T). c) Infiera que los autovalores de A son 0 y n y que sus autovectores están en Nu(T) o en Im(T). n

2

d) Exhiba una base de R en la cual la matriz de T tenga n – 1 ceros. 12.-Demuestre que las siguientes matrices tienen los mismos autovalores pero no son similares.

85

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

1  1 2 0 2  1   3  2 3 

2 2 1  1 3 1    1 2 2 13.-Sea A = [ a ]

ij n×n

tal que a = 1;  i,j = 1,2,…n . ¿ A es diagonalizable? ij

14.- Demuestre que si A y B son dos matrices cuadradas de orden n diagonalizables mediante una misma matriz inversible P entonces AB = BA. n×n

15.-Sea V un K- espacio vectorial de dimensión n. Si A  K es diagonalizable , pruebe que cualquier endomorfismo T  L(V) representado por A es diagonalizable. 16.-Sea V un K- espacio vectorial de dimensión n. Si T ∈ L(V) es diagonalizable pruebe que para cualquier base β de V la matriz asociada [ T ]β es diagonalizable. n×n

17.-Pruebe que una matriz A  K linealmente independientes.

es diagonalizable si y sólo si A tiene n autovectores

18.-Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y E : V→ V un operador proyección 2

, esto és E = E. Demostrar que E es Diagonalizable y que puede representarse por  I 0 una matriz diagonal A   r  donde r es el rango de E.  0 0 TRIANGULACIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T  L(V ) . Diremos que T es triangulable si existe una base B de V en la que

[T ]B es triangular (superior). De

manera análoga diremos que una matriz A  K nn es triangulable si es semejante a una matriz triangular (superior). PROPOSICIÓN Sea V un C-espacio vectorial de dimensión finita. Toda transformación lineal

T : V V es triangulable. PRUEBA La prueba se hará por inducción sobre n  dim V . Si n  0, 1 no hay nada que probar. Si

n  1, suponiendo que la proposición es válida para todo espacio vectorial de

dimensión n  1 . Consideremos la transformación lineal T  :V *  V * , definida por T  ( f )  f  T , para

f  V * . Sea   C un valor propio de T  y g  V * su

correspondiente vector propio, esto es

T  ( g )  g , g  0 . El subespacio de V

86

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------definido como S  { v  V / g (v)  0} tiene dimensión n  1 y es invariante por T esto es T (S )  S . Por la hipótesis inductiva, S posee una base { v1 , , vn1} en la que T se escribe como

T (v1 )  1v1 T (v 2 )  a12v1  2 v 2  T (v n 1 )  a1, n 1v1    n 1v n 1 Si a los vectores v1 ,  , vn1 agregamos el vector v n a fin de completar una base para V, con la expresión

T (vn )  a1, n v1    n vn la matriz asociada a T, en la base { v1 , , vn }

1 0 [ T ]B     0

a12  a1n  2  a 2 n       0  n 

es triangular superior. PROPOSICIÓN Dada una matriz A  C nn , existe una matriz inversible P tal que

* 1   P 1 AP      0 n  PRUEBA La transformación lineal TA :C n1  C n1 tiene por matriz asociada en la base canónica de

C n1

a

A. Por otra parte, por una proposición demostrada, existe una base

{ v1 , , vn } de C n1 en la cual la matriz asociada a T A es triangular superior

* 1   D    0 n  La matriz de cambio de base que hace posible esta forma triangular de A es P  [ v1 , , vn ] , pues verifica P 1 AP  D .

87

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------EJEMPLO.- Dada la transformación lineal T : R 2  R 2 / T ( x, y)  (4 x  3 y,  3x  2 y)

Determinar una base B en R 2 en la que [T ]B es triangular. Solución En la base canónica

C  { (1, 0), (0, 1) } se tiene que

T (1, 0)  (4,  3)

y

T (0, 1)  (3,  2) 3 4 [ T ]C      3  2 Calculando los valores propios de y vectores propios de [T ]C

p ( ) 

 4 3

3  2  2  1  (  1) 2    1 y MA(1)  2 . 2

Hallando los vectores propios correspondientes de   1 .

 3  3  x  0   x  y  0  x  y 3 3   y  0 

( x, y)  ( x,  x)  x(1,  1)  v1  (1,  1) V1  E(T , 1)  L{(1,  1)} , se tiene que dim E(T , 1)  1  MG(1) y MA(1)  2 . Luego,

MA(1)  2  1  MG(1) y en consecuencia T no es diagonalizable. Sin embargo, completando a una base de R 2 con el vector v2  (1, 0) se tiene que

B  {(1,  1), (1, 0)} . La transformación lineal T es triangulable en la base B, en efecto haciendo la verificación se tiene

T (1,  1)  (1,  1)  1(1,  1)  0(1, 0) T (1, 0)  (4,  3)  3(1,  1)  1(1, 0) 1 3  [ T ]B    0 1 EJERCICIO Triangulizar la matriz

  1  3 4 A   4 0 4  3  4 0 TEOREMA.-[Teorema de Cayley-Hamilton]

88

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T :V V un endomorfismo. Entonces pT (T )  0 . PRUEBA Demostraremos cuando K  C . La prueba se hace por inducción sobre n donde n  dim V . Para n  1 no hay nada que demostrar. Si n  1 suponemos que el teorema se verifica para n  1 (Hip. Inductiva) Por una proposición demostrada anteriormente, existe una base { v1 , , vn } en la cual la matriz asociada a la transformación T es triangular superior. Esto es

T (v1 )  1v1  T (v j )  a1 j v1     j v j ; j  1,  , n Consideremos

S  { av1 / a  C } Desde que T (S )  S , la aplicación

T:V

S

V

S

tal que T (v)  T (v) ;  v  V

Esta bien definida y en la base { v2 , , vn } su matriz asociada es *   2    3  AT        n  0

El polinomio característico de AT es pT ( x)  ( x  2 )( x  3 )( x  n )

Por la hipótesis inductiva se cumple que pT (T )  0 , es decir (T  2 I )(T  3 )(T  n )v  0 , donde 0  V

De la definición de espacio vectorial cociente, se tiene que (T  2 I )(T  3 I )(T  n I )u  cv1

Aplicando (T  1 I ) a la última relación se tiene

89

S

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

(T  1 I )(T  2 I )(T  3 I ) (T  n I )u  (T  1 I )cv1  c(T (v1 )  1 I (v1 ))  c(1v1  1v1 )  0 Con lo que queda demostrado pT (T )  (T  1 I )(T  2 I )(T  n I )  0

Nota.- De las aplicaciones del teorema de Cayley-Hamilton una de ellas es el cálculo de la inversa en términos de la misma matriz. EJEMPLO Dado la matriz

2 1 A  1 1 Hallar A 1 en términos de A. Solución p A ( x)  x 2  3 x  1

Por el teorema p A ( A)  A2  3 A  I

3 0 2 1  1  1  I  3 A  A 2  A 1  3I  A      0 3 1 1  1 2   1  1 Luego A 1     1 2  EJEMPLO Dada la matriz

0 1 1  A   1  1 0   1  1  1 Hallar A 1 usando el teorema de Cayley-Hamilton. Solución

 1 p A ( )   1 1

1  1

0 0

1

 1

 3  2  2  2

Aplicando el teorema, p A ( A)  0  A3  A2  2 A  2I  0

90

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2I  A3  A2  2 A  2 A1  A2  A  2I

2A

1

1 2 A   1  2 1

Luego

 1 1 0  1 1   1  1 0   1  1  1  1  1  1  1 1 0 1 1  1 1 0   A   1 2  2 0  2

0 1 1 0  1 0 0   0    1  1 0   20 1 0  1  1  1  1 0 0 1 1 0  1 0  0  2

1 0 1 1 A 1   1  1 0  . 2  2 0  2

Ejercicios 1.

Sea V un espacio vectorial de dimensión n, T  L(V) y    v1 , v 2 ,..., vn  una base de V. Demuestre que la matriz T  es triangular superior si y sólo si los subespacios L{v1}, L{v1 , v2 },..., L{ v1 , v 2 ,..., vn } son todos invariantes.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

 4 1 - 4 Demuestre que la matriz A  - 3 0 3  R 33 es semejante en R a una matriz  3 1 - 3  triangular. Determine una matriz inversible P  R 33 / P 1 AP es triangular inferior.  1 0 0 1  2 0 1 2   R 44 no es diagonalizable ni en Demuestre que la matriz A =   1  1 2 1     1 0 0 3  R ni en C. Pruébese que es triangulable en R y halle matrices P y Q  R 44 inversibles tal que P-1 AP es triangular superior y Q-1AQ es triangular inferior. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita donde K es un cuerpo algebraicamente cerrado. Pruebe que si T , S  L(V ) conmutan ST = TS, entonces T y S tienen un autovector en común. Sean T , S  L( V ) , con dim k V   y K algebraicamente cerrado tales que TS = ST. Muestre que existe una base B de V donde T y S se triangulan simultáneamente. T : R3  R3 Sea una transformación lineal definida por T ( x, y, z)  ( x  2 y  3z, 4 y  6 z,  y  z) . Hallar la base B de R3 tal que M B (T ) sea triangular superior. Sea f ( x)  K[ x] y A, B  K nn que f ( AB)  0 , probar que h(x) = xf(x) es tal que h(BA) = 0.

91

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------8. 9.

Sean A, B  K nn tal B es inversible. Demostrar que si p( x)  K[ x] entonces p( B 1 AB)  B 1 p( A) B Utilizando el teorema de Cayley-Hamilton determinar la inversa de lãs siguientes matrices: 1  1 4  4 2 5   3  2   a)  b) A  2 1  1 b) B  2 2  1   1 2  3 2  1 0  1 4

92

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------EL COMPLEJIFICADO DE UN ESPACIO VECTORIAL REAL ( VC ) El proceso de transformar un R-espacio vectorial V en un C-espacio vectorial es llamado complejificación o extensión de escalares. Dado un R-espacio vectorial V, para convertirlo en un C-espacio vectorial se procede de la siguiente manera: sobre el conjunto

VC  V  V  { (u, v) / u, v  V }  { u  iv / u, v  V } Se definen las operaciones:

Adicion:

(u, v)  (u , v)  (u  u  , v  v) o según la otra notación como

(u  iv)  (u   i v)  (u  u )  i(v  v)

La multiplicación por escalares:

(a, b)(u, v)  (au  bv, av  bu) O

(a  i b)(u  iv)  (au  bv)  i(av  bu) Se demuestra que VC es un C-espacio vectorial y se tiene que V  VC

de manera

natural pues  v  V , v se puede escribir v  v  i . Sin embrago V no es subespacio vectorial (complejo) de VC . El complejificado de R n es C n .

Proposición.- Si V es un R-espacio vectorial de dimensión finita, entonces dim R V  dim C VC

Prueba. Sea B = { ,. . .,

} una base de V. Hay que demostrar que B es también una C-base

de VC . a)

B es linealmente independiente en VC . En efecto si (a1  ib1 )v1    (an  ibn )vn    (a1v1    an vn )    i(b1v1  bn vn )      i

Por la definición de VC se tiene

93

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- a1v1    an vn   , b1v1   bn vn    a1    an  0  b1  bn

Luego B es linealmente independiente en VC . b) VC =L(B) Sea u  iv  VC un elemento cualquiera, al ser B base se tiene que n

u   a jv j j 1

n

y v  bjv j j 1

n

n

j 1

j 1

 u  iv   a j v j  i  b j v j n

  (a j  ib j )v j j 1

Luego de a) y b) B es una base de VC y en consecuencia dim R V  dim C VC .

El complejificado de un operador lineal Sean

un R-espacio vectorial y VC un C-espacio vectorial (complejificado).

El operador T : V V se extiende a un operador TC : VC VC definiendo TC (u  iv )  T (u)  iT (v) ;  u, v  V

El operador TC es C-lineal y es llamado el complejificado de

.

Demostrando que TC es C-lineal. a)

TC ((u1  iv1 )  (u 2  iv 2 ))  TC ((u1  u 2 )  i(v1  v2 ))

 T (u1  u 2 )  iT (v1  v2 )  T (u1 )  T (u 2 )  i[T (v1 )  T (v2 )

 [T (u1 )  iT (v1 )]  i[T (u 2 )  T (v2 )]  TC (u1  iv1 )  TC (u 2  iv 2 )

b)

TC ((a  ib)(u  iv ))  TC ((au  bv)  i(av  bu))

 T (au  bv)  iT (av  bu)  aT (u)  bT (v)  i[aT (v)  bT (u)]

 (a  ib)(T (u)  iT (v))  (a  ib)TC (u  iv )

De a) y b) la aplicación TC es un operador C-lineal. 94

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejercicio.- Demostrar que

  TC  TC   donde  :VC VC es la aplicación conjugación definida como  (u  iv )  u  iv . Solución Sea z  u  iv (  TC )( z )  (  TC )(u  iv )

Sustitución

  (TC (u  iv ))   (T (u)  iT (v))

definición de TC

 T (u)  iT (v)

definición 

 T (u)  iT (v)  TC (u  iv )  TC ( (u  iv ))

 (TC   )(u  iv )  (TC   )( z )

Luego, tomando extremos se tiene que   TC  TC   . Ejercicio.- Si C : L(V )  L(VC ) es definida por C (T )  TC . Probar que a)

C (T1  T2 )  C (T1 )  C (T2 )

b)

C (T )  C (T ) ,   R

c)

C (T1  T2 )  C (T1 )  C (T2 )

d)

C es inyectiva

e)

C no es suryectiva

Solución: a)

Hay que demostrar que C (T1  T2 )  C (T1 )  C (T2 ) C (T1  T2 )  (T1  T2 ) C

Donde (T1  T2 ) C (u  iv )  (T1  T2 )(u)  i(T1  T2 )(v)  T1 (u)  T2 (u)  iT1 (v)  iT2 (v)

 (T1 (u)  iT1 (v))  (T2 (u)  iT2 (v))

 T1C (u  iv )  T2 C (u  iv )

95

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 (T1C  T2 C )(u  iv )

 (T1C  T2 C )(u  iv )  (T1  T2 ) C  T1C  T2C  C(T1  T2 )  C(T1 )  C(T2 ) b)

C (T )  C (T ) ,   R Por demostrar C (T )  (T ) C

Donde (T ) C (u  iv )  (T )(u)  i(T )(v)

  (T (u)  iT (v))   (TC (u  iv ))  (T ) C  TC

 C (T )  C (T ) Proposición.- Sea L  L(VC ) . Son equivalentes las siguientes afirmaciones: 1.

Existe T  L(V ) tal que TC  L .

2.

L      L , donde  es la aplicación de conjugación.

Prueba

1)  2) Asumiendo que existe T  L(V ) tal que TC  L hay que demostrar que

L     L . ( L   )(u  iv )  L( (u  iv ))

 L(u  iv )  TC (u  i(v))

 T (u)  iT (v)   (T (u)  iT (v))   (TC (u  iv ))

 (  TC )(u  iv )

 (  L)(u  iv ) 2) 1) Ahora asumiendo que L      L Hay que probar que V es invariante por L. Sea v  V  VC  L(v)  VC

(  L)(v)   ( L(v))

96

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 L( (v))

Por hipótesis

 L(v)

Pues  (v)  v ; v  V

Luego, como  ( L(v))  L(v)  L(v) V Definimos T  L |V : V V  TC  L . Nótese que L : VC VC y T  L |V : V V . PROPOSICIÓN.- Sea V un R-espacio vectorial de dimensión finita y VC su complejificado. Sea B una base de V y BC la base correspondiente en el complejificado. Se cumple

[ T ]B  [ TC ]BC Prueba Sea T  L(V ) y B  {v1 , v2 , , vn } una base de V, entonces

BC  { v1  i , v2  i , , vn  i } una base en VC Sea A  [T ]B  [ aij ]  R nn , tenemos

TC (v1  i )  T (v1 )  iT ( )  a11v1  a 21v 2    a n1v n  a11 (v1  i )  a 21 (v 2  i )    a n1 (v n  i )  n

n

k 1

k 1

TC (v j  i )  T (v j )  iT ( )  T (v j )   a kj v k   a kj (v k  i ) ; j  1,  , n  [ TC ]BC  A

DEFINICIÓN Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n y T  L(V ) . Se dice que   C es un C-valor propior de T si y solo si  es un valor propio de TC .

Ejemplos 1.

Sea T  L( R 2 ) tal que T ( x, y)  ( y, x) .

0  1 2 Se tiene que [T ]B     pT ( )    1    i son C-valores 1 0   propios de T. 2.

Sea T  L( R 3 ) tal que T ( x, y, z)  (2 x,  z, y)

97

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 2 0 0 2 0 0  [T ]B  0 0  1  pT ( )  I  [T ]B  0  1  (  2)(2  1) 0 1 0  0 1     2 es un valor propio de T y   i son C-valor propioes de T.

PROPOSICIÓN Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n y T  L(V ) . Si  es un C-valor propio de T, entonces  es también un C-valor propio de T. Prueba Sea   C un C-valor propio de T, entonces por definición  es un vector propio de TC . Luego, existe un vector no nulo v  VC tal que TC (v)  v .

Por una proposición demostrada anteriormente se tiene que TC      TC , luego

TC ( (v))  (TC   )(v)  (  TC )(v)   (TC (v))   (v)   (v) Tomando extremos se tiene TC ( (v))   (v) , siendo  un valor propio de TC y en consecuencia es un C-valor propio de T. Nótese que v   implica que  (v)   . Observación.- Si   C es un C-valor propio de T  L(V ) asociado al vector propio u  iv  VC , entonces   C es un C-valor propio de T asociado al vector propio

 (u  iv )  u  iv  VC .

Transformaciones en espacios reales con valores propios complejos Proposición.- Sea V un R-espacio vectorial de dimensión dos y T  L(V ) con Cvalores propios u  a  ib, u  a  ib  C , entonces existe una base B de V tal que

 a b [T ]B     b a  PRUEBA Por hipótesis

u  a  ib

y

u  a  ib son

C-valores propios para T, entonces

u  a  ib y u  a  ib son valores propios para TC . Si z  x  iy es el vector propio

correspondiente a u, entonces  ( z )  x  iy es el vector propio correspondiente u .

98

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Por una proposición demostrada anteriormente BC  { x  iy , x  iy } es una base de VC y

u 0 [ TC ]B C    0 u Definimos el conjunto B  { x, y } Afirmación.- El conjunto B es una base de V. Es suficiente probar que B  { x, y } es linealmente independiente. Sea c, d  R tal que

cx  dy   como c  id , c  id C y

x  iy , x  iy

son C-linealmente independientes por ser

elementos de BC , se tiene

(c  id )( x  iy )  (c  id )( x  iy )      i

 c  id  0  c  id  0  c  d  0 En consecuencia los vectores x, y  V son linealmente independientes y como V es un R-espacio vectorial de dimensión 2 se tiene que B  { x, y } es una base ordenada de V. Ahora hay que determinar [T ]B . Como TC ( x  iy )  (a  ib)( x  iy ) , se tiene

T ( x)  iT ( y )  TC ( x  iy )  (a  ib )( x  iy )  (ax  by )  i(bx  ay ) T ( x)  ax  by  T ( y )  bx  ay  a b  [ T ]B     b a  Con lo que la proposición queda demostrada.

Observaciones 1.

 a b La matriz [T ]B se denota por I 2 (a, b)   .  b a 

99

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------2.

Note que la relación que existe entre la parte real e imaginaria de los C-valores propios de T  L(V ) y las entradas de la matriz I 2 (a, b) . En este sentido se dice que la matriz I 2 (a, b) es una representación matricial bastante simple de T.

3.

Geométricamente, las transformaciones lineales T  L( R 2 ) que tienen como representación a

I 2 (a, b)

definen rotaciones en el plano. En efecto, sea

r  a 2  b 2 se sabe que existe un único   [0, 2  tal que a  ib  rei  r (cos   i sen )  r cos   i r sen

Luego,

 cos  I 2 ( a, b)    sen 

sen   cos  

Se puede verificar que si aplicamos la transformación lineal definida por la matriz I 2 (a, b) a un vector ( x0 , y0 )  R 2 de norma 1, su imagen es un vector de norma r rotado un ángulo  radianes en sentido antihorario con respecto al vector original. 4.

Cuando solo se desea encontrar la representación matricial más simple de

T  L(V ) y no la base de V asociada, entonces la proposición nos da un método para hallar dicha representación.

Ejemplo Sea T  L( R 2 ) definida por

T ( x, y)  ( x  4 y,  2 x  3 y) Determine una base B de R 2 tal que [T ]B sea de la forma I 2 (a, b) . Solución Considerando la base canónica de R 2 , { e1 , e2 } se tiene que la matriz asociada a T es

  1 4 A    2 3 Calculando los valores propios de A PA ( )  2  2  5

2  2  5  0    1  2i Los valores propios de A son u  1 2i y u  1 2i son C-valor propios de T.

100

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Luego, T no es diagonalizable. Para hallar una representanción más simple de T, calculamos los vectores propios de TC donde TC ( z, w)  ( z  4w,  2 z  3w)

Ahora calculamos el espacio propio de TC asociado al valor propio u  1 2i . Como A es la matriz asociada a TC (en la base canónica complejificada), se tiene: Para u  1 2i

4  2  2i uI  A    2  2i   2 luego,

 4   z  0 2  2i ( z, w)  Nu (uI  A)     2  2i  w 0  2 4w  0 (2  2i) z    (2  2i) w  0  2z

 z  (1  i)w Luego, Nu(uI  A)  { ( z, w)  C 2 / z  (1  i)w} Un vector que genera el espacio propio para w  1 es (1  i, 1)  (1, 1)  i(1, 0) Para u  1 2i

4  2  2i uI  A    2  2i   2 luego,

 4   z  0 2  2i ( z, w)  Nu (uI  A)     2  2i  w 0  2 4w  0 (2  2i) z     (2  2i) w  0  2z  z  (1  i)w

Luego, Nu(uI  A)  { ( z, w)  C 2 / z  (1  i)w} Un vector que genera el espacio propio para w  1 es (1  i, 1)  (1, 1)  i(1, 0) Considerando la base B  { (1, 1), (1, 0)} de R 2 se tiene que

T (1, 1)  (3, 1)  1(1, 1)  2(1, 0) T (1, 0)  (1, 2)  2(1, 1)  1(1, 0)

101

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 1 2 Luego, [ T ]B     2 1  Ejemplo Sea T  L( R 2 ) definida por T ( x, y)  ( x  3 y,  x  2 y) . Determine la representación matricial más simple de T de la forma I 2 (a, b) . Solución

3 1 La matriz asociada a T en la base canónica es A      1  2  p A ( )  2    1

Los C-valores propios de T son:



1 3 i 2

Los valores propios de TC son

1 3 u  i 2 2

1 3 y u  i 2 2

Luego  1  1 3  2 I 2 ( , ) 2 2 3   2

3  2   1   2

TEOREMA Sea V un R-espacio vectorial de dimensión 2n, T  L(V ) con C-valores propios u1  a1  ib1 , u1  a1  ib1 , , u n  an  ibn , u n  an  ibn

entonces existe una base B de V tal que [ T ]B  diag[ I 2 (a1 , b1 ), , I 2 (an , bn )]

Prueba Por hipótesis u1  a1  ib1 , u1  a1  ib1 , , u n  an  ibn , u n  an  ibn son valores propios de TC .

102

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Se sabe que si x j  iy j  VC es un vector propio de TC correspondiente al valor propio

u j , entonces x j  iy j  VC es un vector propio de TC correspondiente al valor propio uj .

Afirmación.- El conjunto definido como B  { x1 , y1 ,  , xn , yn }

es una base de V.

Prueba de la afirmación n

Sea

 (c x j 1

j

Se cumple,

j

 d j y j )   donde c1 , d1 ,  , cn , d n  R . n

n

j 1

j 1

[(c j  id j )( x j  iy j )  (c j  id j )( x j  iy j )]   2(c j x j  d j y j ) 

Como x j  iy j , x j  iy j son C-linealmente independientes  j  1, , n se tiene que

c j  id j  0 y c j  id j  0  j  1, , n , luego c j  d j  0,  j  1, , n . Lo que demuestra que

x1 , y1 ,  , xn , y n

son R-linealmente independientes y como

dim R V  2n el conjunto B  { x1 , y1 ,  , xn , y n } es una base para V. Ahora, hay que hallar la matriz asociada a T en la base B. Se sabe que para cada

j  1, , n se tiene TC ( x j  iy j )  (a j  ib j )( x j  iy j ) por definición de valor propio Luego,

T ( x j )  iT ( y j )  (a j x j  b j y j )  i(b j x j  a j y j )  T (x j )  a j x j  b j y j  T ( y j )  b j x j  a j y j Escribiendo explícitamente,

T ( x1 )  a1 x1  b1 y1 T ( y1 )  b1 x1  a1 y1  T ( xn )  an xn  bn yn T ( yn )  bn xn  an yn

En consecuencia

103

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 a1  b  1 [ T ]B      0  0

b1  a1    0 0

0 0 

 an   bn

0 0    bn  an 

 diag[ I 2 (a1 , b1 ), , I 2 (an , bn )]

Ejemplo.- Sea T  L( R 4 ) definida como T ( x1 , x2 , x3 , x4 )  ( x2 , x3 , x4 ,  4 x1  5x3 )

Hallar una base B de R 4 en la que la representación matricial de T sea la más simple. Solución En la base canónica de R 4 , la matriz asociada a T es

0 0 A 0   4

0 0 0 0 1  0  5 0

1 0

0 1

Hallando el polinomio característico de A

 1 0 0 0  1 0 p A ( )   (2  1)(2  4) 0 0  1 4 0 5  p A ( )  0  (2  1)(2  4)  0

Las raíces de la ecuación característica

son

 i,  2i . Luego, T no tiene valores propios en R. Pasando a su complejificado TC  L(C 4 ) , se tiene que los C-valores propios de T son

u1  i, u1  i, u 2  2i y

u 2  2i . Hacemos los cálculos para hallar el espacio propio de TC asociado al valor propio u1  i .

iz1  i  1 0 0   z1  0  0 i  1 0   z  0    2      0 0 i  1  z3  0      4 z1 i   z 4  0  4 0 5



z2 iz 2



z3

iz 3  5 z3

104

 0  0  z4  iz 4

 0  0

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- z2  iz1 , z3  iz 2  i(iz1 )   z1 , z4  iz3  iz1

E (TC , i)  { ( z1 , z2 , z3 , z4 )  C 4 / z2  iz1 , z3   z1 , z4  iz1 }  L{ (1, i,  1,  i)} Nótese que (1, i,  1,  i)  (1, 0, 1, 0)  i(0, 1, 0,  1) De manera análoga, calculamos el autoespacio de TC asociado al valor propio u2  2i

2iz1 2i  1 0 0   z1  0  0 2i  1 0   z  0   2       0 0 2i  1  z3  0      4 z1  4 0 5 2i   z4  0



z2 2iz 2



 0  0

z3

2iz 3  5 z3

 z4  2iz 4

 0  0

 z 2  2iz1 , z3  2iz 2  2i(2iz1 )  4 z1 , z 4  2iz 3  2i(4 z1 )  8iz1

E (TC , 2i)  { ( z1 , z 2 , z 3 , z 4 )  C 4 / z 2  2iz1 , z 3  4 z1 , z 4  8iz1 }  L{ (1, 2i,  4,  8i)} Nótese que (1, 2i,  4,  8i)  (1, 0,  4, 0)  i(0, 2, 0,  8) Luego, por un teorema demostrado la base de R 4 en la que T tiene su representación matricial más simple es

B  { (1, 0,  1, 0), (0, 1, 0,  1), (1, 0,  4, 0), (0, 2, 0,  8)} En efecto, verificando se tiene T (1, 0,  1, 0)  (0,  1, 0, 1)  0(1, 0,  1, 0)  1(0, 1, 0,  1)  0 (1, 0,  4, 0)  0 (0, 2, 0,  8) T (0,1, 0,  1)  (1, 0,  1, 0)  1(1, 0,  1, 0)  0 (0, 1, 0,  1)  0 (1, 0,  4, 0)  0 (0, 2, 0,  8) T (1, 0,  4, 0)  (1, 0,  4,16)  0(1, 0,  1, 0)  0 (0, 1, 0,  1)  0 (1, 0,  4, 0)  2 (0, 2, 0,  8) T (0, 2, 0,  8)  (2, 0,  8, 0)  0(1, 0,  1, 0)  0 (0, 1, 0,  1)  2 (1, 0,  4, 0)  0 (0, 2, 0,  8) y la matriz asociada a T en la base B es

T B

0  1  0  0

0 0 0 0 2  0  2 0

1 0

0 0

Que es la representación matricial más simple de T  L( R 4 ) . Ahora veremos la representación matricial de una transformación lineal T que tiene valores propios tanto reales como complejos, todos distintos. LEMA.- Sea V un R-espacio vectorial de dimensión finita y T  L(V ) . Si   R es un valor propio de T y u  V es un vector propio de T asociado a  entonces  es un valor propio de TC y u  i  VC es un vector propio de TC asociado  .

105

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Prueba Por hipótesis T (u)  u , luego TC (u  i )  T (u)  iT ( )  u  i  u   (u  i )

Luego, u  i es un vector propio de TC asociado a  . TEOREMA Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n y T  L(V ) con C-valor propioes distintos 1 , , r  R

y

u1  a1  ib1 , u1  a1  ib1 , , u s  as  ibs , u s  as  ibs

(donde r  2s  n ) entonces existe una base B de V tal que

T B  dig[ 1 , , r , I 2 (a1 , b1 ), , I 2 (as , bs )]

(1)

Prueba Por hipótesis

1 , , r , u1  a1  ib1 , u1  a1  ib1 , , u s  as  ibs , u s  as  ibs son

valor propioes de TC . Por el lema anterior se tiene que u k  i es un vector propio de TC correspondiente al valor propio k (k  1, , r ) . Por otro lado, denotemos por los vector propioes de

x j  iy j , x j  iy j  VC

TC correspondientes a los valor propioes

uj

y

uj

respectivamente ( j  1, , s) . Afirmamos que B  {u1 , , u r , x1 , y1 , , xs , y s } es una base de V. En efecto, sean 1 ,  ,  r , c1 , d1 ,  , cs , d s  R tales que r

 ( k 1

s

k u k )   (c j x j  d j y j )   j 1

Se cumple s  (c  id ) (c j  id j )  j j (  u )  ( x j  iy j )  ( x j  iy j )      k k 2 2 k 1 j 1   r

r

s

k 1

j 1

  ( k u k )   (c j x j  d j y j )  0 Como

u k , x j  iy j , x j  iy j

son

C-linealmente

j  1, , s ) se concluye que ak  0, c j  id j  0

independientes y

(k  1, , r ;

c j  id j  0 (k  1, , r ;

j  1, , s ) y por tanto ak c j  d j  0 (k  1, , r ; j  1, , s ) . Esto prueba que u1 , , u r , x1 , y1 , , xs , y s son R-linealmente independientes y desde que V tiene dimensión (real) r  2s  n , al afirmación está probada. Un cálculo análogo al realizado en la demostración anterior muestra que

106

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

T B  dig[ 1 , , r , I 2 (a1 , b1 ), , I 2 (as , bs )]  R nn Observación.- El teorema anterior da un método sistemático para hallar la base B del R-espacio vectorial V en la cual el endomorfismo T  L(V ) tiene una representación matricial bastante simple. Ejemplo.- Sea T  L( R 3 ) definida por T ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x3 ,  2 x3 , x2  x3 )

Hallar la representación matricial bastante simple de T y la base B de R 3 que determina tal representación. Solución En la base canónica de R 3 , la matriz asociada a T es

1 0 1  A  0 0  2 0 1 1  p A ( ) 

 1

0

0



0

1  1

1 2  (  1)(2    2)

Las raíces de p A ( )  0 son 1 y

1 7 i , luego 1 es el único valor propio de T. 2

Pasando al complejificado TC  L(C 3 ) se tiene que los C-valores propios de T son

  1, u 

1 7 1 7  i y u  i. 2 2 2 2

Haciendo los cálculos para hallar el espacio propio de TC asociado al valor propio

u1  1 . 0 0  1  z1  0 0 1 2   z   0   z 2   2    0  1 0   z3  0  z2

 z3  2 z3

 0  0  z 2  z3  0  0

E (TC , 1)  { ( z1 , z2 , z3 ) / z1  z2  0 }  L{ (1, 0, 0)} Haciendo los cálculos para u 

1 7  i 2 2

107

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 1 7 i    2 2  0    0  

    z1  0 1 7      i 2   z 2   0  2 2     1 7   z 3  0  1   i 2 2  1

0

1 7 (  i ) z1 2 2 1 7  (  i) z2 2 2



 z2



z1

 0



2 z3

 0

1 7  (  i ) z3 2 2

 0

Completar el ejemplo hallando la base B de R 3 en la que

T B

 1 0  1  0  2  7 0  2 

 0   7 2  1   2 

Ejercicios 1. Sea V un R- espacio vectorial de dimensión finita. Dados z  ( x, y) , z   ( x, y )  V  V ,   a  ib  C Definimos: z  z   ( x  x, y  y )  z  (ax  by, ay  bx) Pruebe que con las operaciones definidas V  V es un C - espacio vectorial. 2. Sea V un R-espacio vectorial, dim R V  n , VC  V  V su complejificado. Si B  { v1 , , vn } es una base ordenada de V, demostrar que BC  { v1   i, , vn   i } es una base de VC y por consiguiente, dim C VC  n . 3. Probar que: a) Si B  {u1 , , u n } es un conjunto linealmente independiente en V, entonces BC  {u1  i , , u n  i } es un conjunto linealmente independiente en VC (como C-espacio vectorial). b) Si B genera V, entonces BC genera VC . c) Si ei  (0,,1,, 0)  V  R n con 1 en el i-ésimo lugar, entonces B  {e1 , , en } es base de Rn y BC  {e1  i , , en  i } es base de VC . 4. a) Si V = Rn, pruebe que Vc es isomorfo a Cn. b) Si V  R nn , pruebe que Vc es isomorfo a C nn . 5. Si V = Pn es el R-espacio vectorial de los polinomios de una variable con coeficientes en R y de grado menor o igual a n, determinar su complejificado. 108

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Sea

V  R 22 , VC  V  V su complejificado. Determinar si son linealmente

independiente los siguientes conjuntos en VC : a)

1 2 0 0 2 4 0 0     i  2 1  , 0 0   i  4 2  0 0         

1 0 0 1 1 0   0 1  b)    i ,    i  0 1 1 0 0  1  1 0  7. Sea

V  P2 [ x]  { p( x)  R[ x] / grad ( p( x)  2} , VC  V  V su complejificado.

Determinar si el conjunto {1  x  i(1  x 2 ), 1  i(1  x  x 2 )} es linealmente independiente en VC . 8. Si V es un R-espacio vectorial de dimensión finita, T  L(V ) , VC el complejificado de V. Pruebe que TC : VC  VC tal que: TC ( x  iy )  T ( x)  iT ( y) , es una Ctransformación lineal. 9. Sea VC el complejificado del R-espacio vectorial V y  : VC  VC la conjugación en C definida como  (u  iv )  u  iv . Probar que: a)  ( z  w)   ( z)   (w); z, w  VC . b)  (z )    ( z );   C , z  VC c)  ( ( z ))  z; z  VC . d)  ( z)  z  z  V 10.

Dado C : L(V )  L(VC ) tal que C T   TC . Pruebe que: a) C  T1  T2   C  T1   C  T2 ,  T1 , T2  L  V  b) C rT   t C T ,  T  L  V ,  r  R c) C  T1  T2   C  T1   C  T2 ,  T1 , T2  L V  d) Si C  T1   C  T2 , entonces T1 = T2

11. Sea V un R-espacio vectorial, L : VC  VC C-lineal. Probar que L  TC , para algún T : V  V R-lineal si y solo si L      L , donde  es el operador conjugación. 12. Sea V = R2, T  LV  . Verifique en cada caso que TC extiende de manera natural a C2 la transformación lineal T. a) T( x, y ) = ( 2x – y, 3y + x ) b) T( x, y ) = ( 3x – 5y, 5x – 5y ) c) T ( x, y ) = ( -x – y, x ) d) T( x, y ) = ( 3x – 2y, 4x – y ) 13. Sea V un R-espacio vectorial de dimensión finita, T  L(V ) . Pruebe que: a) ( Nu (T )) C  Nu (TC ) b) (Im(T )) C  Im(TC ) c) Si T es inversible, entonces (T 1 ) C  (TC ) 1 14. Sea V un R-espacio vectorial de dimensión finita, T  L(V ) .

109

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Si   a  ibb  0 es un autovalor de TC , u  iv VC su correspondiente autovector. Pruebe que u ,v es base de un subespacio vectorial S  V es  a b invariante por T y tal que la matriz de la restricción T : S  S es    b a  15. Sea T, L  (R2) / T ( x, y ) = (-x + 4y, -2x + 3y ) y L L (-1, 0 ) = ( 5, 2) , L (1, 1) = ( 2, 3) a) Determine M B, C [(T  L) -1C ] si existe, donde B es una base de R2. b) Encuentre una base  a b I 2 ( a, b )     b a 

satisfaciendo

B de R2 tal que M B T   I 2 (a, b) donde a, b  R y

16. Sea T  L (R2) definida por T ( x, y) = ( x + 3y, -x – 2y). Determine una base B de R2 tal que M B T  es de la forma I2( a, b). 17. Cada una de las siguientes matrices son asociadas a un operador en L(R3) con respecto a la base canónica. Denotemos un operador por T. Encontrar un subespacio invariante E, bajo T de dimensión dos en R3 y una base para E que da para T E una matriz de la forma I2 (a, b).

0 0 15  b) 1 0  17  0 1 7 

1 0 1  a) 0 0 - 2 0 1 1  18.

19.

Sea T  L( R 4 ) / T ( x, y, z, t )  (  x  y, x  y, x  t ,  z ) . Hallar una base R 4 tal que la matriz asociada a T respecto de esta base sea de la M B (T )  diag ( I 2 (a1 , b1 ), I 2 (a2 , b2 ) ) . Sea T  L( R3) / T ( x, y, z)  ( 3x  2 z,  3 y, x  z) . Hallar una base B de que la matriz asociada a T respecto de esta base sea de la  0 0  M B (T )   0 a b  .  0  b a 

20. Sean W  Rn y F  C n subespacios. ¿Existen relaciones entre dimcWc?. ¿Entre dimcF y dimRFR? donde FR  F  Rn

110

B de forma

R 3 tal forma

dimRW

y

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------TRANSFORMACIONES LINEALES CON VALORES PROPIOS REPETIDOS Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y T  L(V ) un operador con valores propios distintos

1 , 2 , , k  K

de multiplicidades algebraicas

d1 , , d k ,

respectivamente con d1   d k  n . Luego el polinomio característico asociado a T será de forma

pT ( )  (  1 ) d1 (  k ) d k Por un teorema demostrado se sabe que T es diagonalizable si y solo si d i  dim K E (T , i );  i  1, , k . Es decir cuando la multiplicidad algebraica de i

coincide con su multiplicidad geométrica, para todo i  1, , k . Transformaciones con un sólo valor propio Teorema.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y T  L(V ) con un único valor propio 1 de multiplicidad algebraica n. Entonces, V  Nu ((T  1 I ) n ) . Prueba De la hipótesis se deduce que el polinomio característico asociado al endomorfismo T es pT ( )  (  1 ) n y luego, aplicando el teorema de Cayley-Hamilton se tiene que

(T  1 I ) n  0 ; es decir (T  1 I ) n es la transformación lineal constante cero y en consecuencia Nu(T  1 I ) n  V . Corolario.- Con las hipótesis del teorema anterior, existe un operador N  L(V ) tal que

N n  0 y además T  1 I  N . Prueba Denotando N  T  1 I se tiene que N n  0 tal que T  1 I  N . Ejemplo Sea T  L( R 2 ) definida por

T ( x1 , x2 )  (2 x1  x2 , x1  4 x2 ) La matriz asociada de T en la base canónica de R 2 es

2  1 A  1 4  y su polinomio característico es p A ( )  (  3) 2 . Luego, 1  3 es el único valor propio (de multiplicidad algebraica 2) de T.

111

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Definiendo N ( x1 , x 2 )  (T  3I )( x1 , x 2 )  T ( x1 , x 2 )  3I ( x1 , x 2 )  (2 x1  x 2 , x1  4 x 2 )  3( x1 , x 2 )  ( x1  x 2 , x1  x 2 )

Se tiene que N  L( R 2 ) , N 2  0 y T  3I  N . Las transformaciones N  L(V ) tales que existan m  N para el cual N m  0 son llamadas nilpotentes.

Transformaciones Nilpotentes Definición.- Sea V un K-espacio vectorial y N  L(V ) . Se dice que N es nilpotente si y solo si existe m  N tal que N m  0 . Se dice que k  N es el índice de nilpotencia o simplemente índice de una transformación nilpotente N si y solo si N k  0 y N j  0,  j  1, , k  1 . Nota.- De manera análoga se define una matriz nilpotente y su índice. Ejemplo.- Sea N  L( R 2 ) definido por N ( x1 , x2 )  ( x1  x2 , x1  x2 ) . N es un operador nilpotente de índice 2. Ejemplo.- Sea V  P3 [ t ] el R-espacio vectorial de de los polinomios de grado menor o igual que 3 y D  L(V ) el operador derivación. D es un operador nilpotente de índice 4. En efecto, considerando la base canónica de P3 [ t ] , B  {1, t , t 2 , t 3 } se tiene que:

D(1)  0  0(1)  0(t )  0(t 2 )  0(t 3 ) D(t )  1  1(1)  0(t )  0(t 2 )  0(t 3 ) D(t 2 )  2t  0(1)  2(t )  0(t 2 )  0(t 3 ) D(t 3 )  3t 2  0(1)  0(t )  3(t 2 )  0(t 3 ) Luego,

0 0 A  [ D ]B   0  0 Recordar, que

1 0 0 0 2 0 0 0 3  0 0 0

2 [ D 2 ]B  [ D  D ]B  [ D]B [ D ]B  [ D ]B  A2

[ D n ]B  An Verifique, a modo de ejercicio que A 4  0 .

112

y en general

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------~  L( R n ) definida por Ejemplo.- Sea N n

~ ( x , x , , x )  ( x , x , , x , 0) N n 1 2 n 2 3 n

N~ n es un operador nilpotente de índice n. La matriz asociada N~ n en la base canónica B  {e1 , e2 ,, en } es

~ (1, 0,, 0)  (0, 0,, 0, 0)  0e  0e    0e  0e N n 1 2 n 1 n ~ N (0, 1,, 0)  (1, 0,, 0, 0)  1e  0e    0e  0e n

1

2

n 1

n

 ~ N n (0, 0,,1)  (0, 0,,1, 0)  0e1  0e2    1en 1  0en

0 0  ~ ]   [N n B  0 0

1  0 0 0  0 0      0  0 1 0  0 0

~  L( R n ) es una transformación nilpotente canónica de índice n. N n Notas.1.

La transformación lineal cero (o la matriz cero) es nilpotente de índice 1. Más aún la única transformación nilpotente (o matriz nilpotente) de índice 1 es la transformación lineal cero (o matriz cero).

2.

Por el corolario anterior si V es un K-espacio vectorial de de dimensión n y

T  L(V ) tiene un único valor propio 1  K de multiplicidad n, entonces T puede ser descompuesto como la suma de la transformación (diagonal) 1 I más una transformación nilpotente. Es decir, T  1 I  N , donde N es nilpotente de índice n. Teorema.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T  L(V ) . Si v  V es tal que

T k 1 (v)   y T k (v)   , siendo k un entero positivo, entonces los vectores

v, T (v), , T k 1 (v) son linealmente independientes.

Prueba Sean a0 ,, ak 1  K tales que

a0 v  a1T (v)   ak 1T k 1 (v)   Aplicando T k 1 a la relación (1) se tiene

T k 1 (a0 v  a1T (v)   ak 1T k 1 (v))  T k 1 ( )

113

(1)

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

a0T k 1 (v)  ( a1T k (v)    a k T 2 k 2 (v) )      

 a0T k 1 (v)    a0  0 , pues T k 1 (v)   , luego la relación (1) se reduce a a1T (v)   ak 1T k 1 (v)  

(2)

Ahora, aplicando T k 2 a la relación obtenida en (2) se tiene que a1  0 . Siguiendo el mismo procedimiento se demuestra que a2    ak 1  0 , de lo que se concluye que los vectores v, T (v), , T k 1 (v) son linealmente independientes. Corolario 1.- Si V es un K-espacio vectorial de dimensión n y N  L(V ) un operador nilpotente de índice k, entonces k  n . Prueba Supongamos que existe N  L(V ) un operador nilpotente de índice k  n ; entonces

N k 1  0 , luego existe v V no nulo tal que N k 1 (v)   . Por el teorema anterior los k vectores v, N (v), , N k 1 (v) son linealmente independientes, pero esto es una contradicción; pues al ser

k n

y

dim V  n , no pueden ser linealmente

independientes. La contradicción proviene de haber supuesto que k  n ; luego k  n . Corolario 2.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y N  L(V ) un operador nilpotente de índice n. Entonces existe una base B de V tal que

0 0  ~   [ N ]B  N n  0 0

1 0  0 0 1  0      0 0  1 0 0  0

Prueba Por hipótesis al ser N  L(V ) un operador nilpotente de índice n; se tiene que N n  0 y

N n1  0 , luego existe v V tal que N n (v)   y N n1 (v)   . Denotando v1  N n1 (v), v2  N n2 (v), , vn1  N (v), vn  v , tenemos la base ordenada B  { v1 , , vn } que cumple:

114

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------N (v1 )

 N ( N n 1 (v))  N n (v)  

 0v1  0v 2  0v3    0v n  2  0v n 1  0v n

N (v 2 )

 N ( N n  2 (v))  N n 1 (v)  v1

 1v1  0v 2  0v3    0v n  2  0v n 1  0v n

 N (v n 1 )  N ( N (v))

 N 2 (v )

N (v n )  N (v )



 v n  2  0v1  0v 2  0v3    1v n  2  0v n 1  0v n v n 1  0v1  0v 2  0v3    0v n  2  1v n 1  0v n

Luego,

0 0  [ N ]B     0 0

1 0  0 0 1  0      0 0  1 0 0  0

Observación.- El coralario 2 describe el método para obtener la base B de V que permite representar matricialmente un operador nilpotente N de índice n en la forma N~ . n

Ejemplo.Sea N  L( R 2 ) definido por

N ( x1 , x2 )  ( x1  x2 , x1  x2 ) El operador N es nilpotente de índice 2.

Nu ( N )  { ( x1 , x 2 ) / N ( x1 , x 2 )  (0, 0) }  { ( x1 , x 2 ) / ( x1  x 2 , x1  x 2 )  (0, 0) }  { ( x1 ,  x1 ) / x1  R }  L{ (1,  1)}

(1, 0)  R 2

y

(1, 0)  Nu( N ) , luego

v  (1, 0)

y

N (v)  N (1, 0)  (1, 1) son

linealmente independientes en R 2 . Eligiendo la base

B  { N (1, 0)  (1, 1), v  (1, 0)} Y evaluando N en los elementos de la base B se tiene:

N (1, 1)  (0, 0)  0(1, 1)  0(1, 0) N (1, 0)  (1, 1)  1(1, 1)  0(1, 0) y en consecuencia la matriz asociada al operador nilpotente en la base B es

0 1  [ N ]B    0 0  Nota.- El operador T  L( R 2 ) definido por T ( x1 , x2 )  (2 x1  x2 , x1  4 x2 )

115

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------visto en un ejemplo anterior se puede escribir en la forma

T  3I 2  N donde N ( x1 , x2 )  ( x1  x2 , x1  x2 ) es nilpotente de índice 2. Por el ejemplo anterior, en la base ordenada B  { (1, 1), (1, 0)} de R 2 se tiene que

[T ]B  [ 3I  N ]B  3I  [ N ]B 3  0 3  0

0  0 1   3 0 0 1 3

La cual es una representación matricial simple de T, puesto que los valores propios aparecen en la diagonal. Formas Normales de Transformaciones Nilpotentes Sea ha visto, que para toda transformación nilpotente N  L(V ) de índice n  dim V existe una base B de V en la N tiene una representación matricial de la forma N~ n . Ahora, veremos cuando el índice de nilpotencia es menor que es menor que n. Lema.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n

{T (u1 ), , T (u p )} es una base de

y

T  L(V ) . Si

Im(T ) y { v1 , , vq } es una base de Nu (T ) ,

entonces

{ u1 , , u p , v1 , , vq } es una base de V. Prueba.- Ejercicio Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y N  L(V ) un operador nilpotente de índice 2, es decir N 2  0 pero N  0 . Sean { N (u1 ), , N (u p )} una base de Im(N ) . Como N 2  0 , entonces Im( N )  Nu( N ) , luego existen vectores v1 , , vq  Nu ( N ) tal que { N (u1 ), , N (u p ), v1 , , vq } es una base del Nu (N ) en virtud del teorema de completación

de

bases

y

por

el

lema

anterior,

concluimos

que

{u1 , , u p , N (u1 ), , N (u p ), v1 , , vq } es una base de V. Reordenando, se tiene la base

B  {N (u1 ), u1 , , N (u p ), u p , v1 , , vq } y realizando los cálculos se obtiene que

116

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

0 1 0 0  0 0 N B  0 0    0 0 0 0  ~ , , [ N ]B  diag[ N 2

0 0  0 0 0 0  0 0 0 1  0 0  0 0  0 0       0 0  0 0 0 0  0 0

~ , 0, , 0] N 2

~  K 22 aparece p veces y el bloque 0 aparece q veces. En donde el bloque N 2 De esta forma, se ha demostrado que si N  L(V ) es nilpotente de índice 2, entonces existe una base adecuada de V tal que la matriz asociada a N es diagonal por bloques y los bloques son matrices nilpotentes canónicas. Esta matriz diagonal por bloques es llamada forma canónica de una transformación nilpotente de índice 2. Observaciones 1.

2p  q  n

2.

p es el rango de N.

3.

q  dim Nu( N )  p , luego puede ocurrir que q  0 (cuando Im( N )  Nu( N ) ).

Ejemplo.-

Sea N  L( R 3 ) definido por N ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  2 x3 ,  x1  x2  2 x3 ,  x1  x2  2 x3 )

La transformación lineal N es nilpotente de índice 2; en efecto, N ( N ( x1 , x2 , x3 ))  N (( x1  x2  2 x3 ,  x1  x2  2 x3 ,  x1  x2  2 x3 ))  (0, 0, 0)

Queremos hallar su forma canónica. De la definición de N se tiene

Im( N )  { ( x1  x 2  2 x3 ,  x1  x2  2 x3 ,  x1  x 2  2 x3 ) /  x1  x2  2 x3  R }  L{ (1, 1, 1)}  L{ N (1, 0, 0) }

(1)

Nótese que el rango de N es p  1 . Calculando Nu (N ) , Nu ( N )  { ( x1 , x 2 , x3 )  R 3 / N ( x1 , x 2 , x3 )  (0, 0, 0)}  { ( x1 , x 2 , x3 )  R 3 / ( x1  x 2  2 x3 ,  x1  x 2  2 x3 ,  x1  x 2  2 x3 )  (0, 0, 0)}  { ( x1 , x 2 , x3 )  R 3 / x1   x 2  2 x3 }  { ( x 2  2 x3 , x 2 , x3 ) / x 2 , x3  R }  {( x 2 , x 2 , 0)  (2 x3 , 0, x3 ) / x 2 , x3  R }

117

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- {x2 (1, 1, 0)  x3 (2, 0, 1) / x2 , x3  R }  L{ (1, 1, 0), (2, 0, 1)}

Por (1) el vector (1, 1, 1)  Im( N ) pero también (1, 1, 1)  Nu( N ) pues es combinación lineal de los vectores (1, 1, 0), (2, 0, 1) . Luego, como (1, 1, 1)  Nu( N ) y es linealmente independiente con el vector (1, 1, 0) , podemos afirmar que

Nu( N )  L{ (1, 1, 1), (1, 1, 0)} Por el lema anteriormente enunciado, resulta que u1  (1, 0, 0), N (u1 )  (1, 1, 1) y v1  (1, 1, 0) es una base de R 3 , reordenando se

tiene

B  { N (u1 ), u1 , v1}  { (1, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0)} Es una base de R 3 y evaluando el operador N dicha base se obtiene:

N (1, 1, 1)  (0, 0, 0)  0(1, 1, 1),0 (1, 0, 0)  0(1, 1, 0) N (1, 0, 0)  (1, 1, 1)  1(1, 1, 1),0 (1, 0, 0)  0(1, 1, 0) N (1,1, 0)  (0, 0, 0)  0(1, 1, 1),0 (1, 0, 0)  0(1, 1, 0) y en consecuencia la representación matricial del operador N es

0 1 0  [ N ]B  0 0 0 0 0 0 Antes de trabajar con las transformaciones nilpotentes de índice  3 , veremos algunos conceptos, que requieren para su comprensión. Definición.- Sea

V

un K-espacio vectorial de dimensión finita y N  L(V ) un

operador nilpotente. Si w  V es tal que N m (w)   y w, N (w), , N m1 (w) son linealmente

independientes,

entonces

el

subespacio

de

V

generado

por

w, N (w), , N m1 (w) y denotado por Z m (w) es llamado subespacio cíclico de V con

respecto a N y de dimensión m. Ejemplo.- Sea N  L( R 3 ) la transformación nilpotente de índice 2 del ejemplo anterior definido como N ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  2 x3 ,  x1  x2  2 x3 ,  x1  x2  2 x3 ) Z 2 (u1 )  L{u1 , N (u1 ) }  L{ (1, 0, 0), (1, 1, 1)}

Por otro lado si v1  (1, 1, 0) , entonces Z1 (v1 )  { v1}  L{ (1, 1, 0)}

118

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Otro ejemplo Sea N  L( R 3 ) un operador nilpotente de índice 2 definido como N ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2 , x1  x2 , 0)

Si w  (0, 1, 0) , entonces N (w)  N (0, 1, 0)  (1, 1, 0) , entonces Z 2 ((0, 1, 0)) es el subespacio generado por estos dos vectores. Esto es Z 2 ((0, 1, 0))  L{(1, 1, 0), (0, 1, 0)}

Observaciones 1.

v  Z1 ( w) si y solo si v  Nu (N ) .

2.

Los subespacios cíclicos de V con respecto a N son invariantes con respecto a N. Esto significa que si v  Z m (w) , entonces

N (v)  Z m (w) . En efecto, sea

v  Z m (w) , entonces v   0 w  1 N (w)     m2 N m2 (w)   m1 N m1 (w)

(1)

Luego aplicando el operador N a la relación (1) se tiene

N (v)   0 N ( w)  1 N 2 ( w)     m2 N m1 ( w)   m1 N m ( w)  

 N (v)   0 N (w)  1 N 2 (w)     m2 N m1 (w)  Z m (w) De esta manera, la restricción N | Z m ( w) de una transformación nilpotente N a cualquier subespacio cíclico de V con respecto a N es una transformación lineal de Z m (w) en Z m (w) , es decir N 3.

Z m ( w)

 L( Z m ( w))

Si N  L(V ) es nilpotente entonces N

Z m ( w)

 L( Z m ( w)) es nilpotente de índice

m. En efecto, v  Z m (w) , entonces

v   0 w  1 N (w)     m1 N m1 (w) luego, ( N | Z m ( w) ) m (v)  N m (v)  

y

( N | Z m ( w) ) m1  0 , puesto que

N m1 (w)   . Definición.-Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y W1 , , Wm subespacios de V. Diremos que V es la suma directa de los subespacios W1 , , Wm lo que se denota por V  W1    Wm si y solo si todo vector v  V se puede escribir de una única forma como v  w1    wm donde w1  W1 , , wm Wm .

119

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Observación.- Si V  W1    Wm y W j  L{ w1, j , , wrj , j }; j  1, , m , entonces

B  { w1,1, , wr1 ,1, , w1, m , , wrm , m}

es una base de V. Recíprocamente, si

B  { v1 , , vn } es base de V y si denotamos por

W1  L{v1, , vk1 }, W2  L{vk1 1, , vk 2 }, , Wm  L{vk m1 1, , vk m } Entonces, V  W1    Wm . Con los conceptos que se acaban de definir, podemos establecer el siguiente resultado. Proposición.- Si V es un K-espacio vectorial de dimensión n y N  L(V ) es nilpotente de índice 2, entonces existen vectores u1 , , u r  V tales que: 1.

Z k1 (u1 ), , Z kr (u r ) , son subespacios cíclicos con respecto a N.

2.

2  k1  k 2  k r  0 y k1   k r  n .

3.

Si p  {1, 2, , r} es tal que k p 1    k r  1 ,entonces

u p 1 , , u r  Nu ( N ) 4.

V  Z k1 (u1 )    Z kr (u r )

A continuación, consideraremos N  L(V ) nilpotente de índice 3. En primer lugar, la restricción N1  N

Im( N )

 L(Im( N )) es nilpotente de índice 2.

Luego por la proposición anterior, existen vectores u1 , , u r  V tales que 1.

Z k1 ( N (u1 )), , Z kr ' ( N (ur ' )) son subespacios cíclicos respecto a N 1 .

2.

2  k1  k 2  k r  0 y k1    k r  dim(Im( N ))

3.

Si p  {1, 2, , r } es tal que k p 1    k r  1 ,entonces

N (u p1 ), , N ( u´r )  Nu( N1 ) . 4.

Im( N )  Z1 ( N (u1 ))    Z kr ( N (ur ))

Nótese que, como k1    k p  2 , entonces N 2 (u1 ), , N 2 (u p )  Nu( N ) . Además, desde que k p 1    k r  1 , entonces N (u p 1 ), , N (u r )  Nu( N ) y como los vectores N 2 (u1 ), , N 2 (u p ), N (u p 1 ), , N (u r ) son linealmente independientes, entonces existen v1 , , vq  V tales que

N 2 (u1 ), , N 2 (u p ), N (u p 1 ), , N (u r ), v1 , , vq forman una base de Nu (N ) . Por otro lado, de 4) se tiene que

120

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

N (u1 ), N 2 (u1 ), , N (u p ), N 2 (u p ), N (u p 1 ), , N (u r ) es una base de Im(N ) . De la proposición, se tiene que los vectores N 2 (u1 ), , N 2 (u p ), N (u p 1 ), , N (u r  ), v1 , , vq , u1 , N (u1 ), , u p , N (u p ), u p 1 , , u r 

Forman una base de V, es decir

V  Z 3 (u1 )    Z 3 (u p )  Z 2 (u p1 )    Z 2 (u r )  Z1 (v1 )    Z1 (vq ) De esta manera se ha probado que si V es un K-espacio vectorial de dimensión n y

N  L(V ) es nilpotente de índice 3 entonces existen vectores u1 , , u r  V tales que 1.

Z k1 (u1 ), , Z kr (u r ) son subespacios cíclicos respecto a N.

2.

3  k1  k 2    k r  0 y k1   k r  n .

3.

Si

p  {1, 2, , r}

es

tal

k p 1    k r  1 ,

que

entonces

u p 1 , , u r  Nu ( N ) . V  Z k1 (u1 )    Z kr (u r )

4.

Ejemplo.- Sea N  L( R 4 ) definida como

N ( x1 , x2 , x3 , x4 )  ( x1  2 x2  x3  x4 , x1  x2  x3  x4 , x2 , 0) Se demuestra que N es nilpotente de índice 3.

Im( N )  { N ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / ( x1 , x2 , x3 , x4 )  R 4 }  { ( x1  2 x2  x3  x4 , x1  x2  x3  x4 , x2 , 0) / ( x1 , x2 , x3 , x4 )  R 4 }  { ( x1  x2  x3  x4 , x1  x2  x3  x4 , 0, 0)  ( x2 , 0, x2 , 0) / x1 , x2 , x3 , x4  R }  L{ (1, 1, 0, 0) , (1, 0, 1, 0) }

Como

N

Im( N )

es nilpotente de índice 2 y

dim Im( N )  2 , entonces existe

u1  (1, 0, 0, 0)  R 4 tal que Im( N )  Z 2 ( N (u1 ))  L{ N (u1 ), N 2 (u1 )}  L{(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)}

Como

Nu( N )  {( x1 , x2 , x3 , x4 )  R 4 / N ( x1 , x2 , x3 , x4 )  (0, 0, 0, 0)}  {( x1 , x2 , x3 , x4 )  R 4 / ( x1  2 x2  x3  x4 , x1  x2  x3  x4 , x2 , 0)  (0, 0, 0, 0)}  {( x1 , x2 , x3 , x4 )  R 4 / x2  0, x4   x1  x3 } y

N 2 (u1 )  (1, 0, 1, 0) , luego se puede añadir un vector más, por ejemplo

(1, 0, 0,  1) hasta obtener una base { (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0,  1)} de Nu (N ) . Así

121

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

R 4  L{ u1 , N (u1 ), N 2 (u1 ), (1, 0, 0,  1)}  Z 3 ((1, 0, 0, 0))  Z1 ((1, 0, 0,  1)) Ahora podemos enunciar y demostrar el resultado general. Teorema.- (Formas canónicas de transformaciones nilpotentes) Si V es un K-espacio vectorial de dimensión n y N  L(V ) es nilpotente de índice k, entonces existen vectores u1 , , u r  V tales que 1.

Z k1 (u1 ), , Z kr (u r ) , son subespacios cíclicos respecto a N.

2.

k  k1  k 2    k r  0 y k1   k r  n

3.

Si p  {1, 2, , r} es tal que k p 1    k r  1 , entonces

u p 1 , , u r  Nu ( N ) . 4.

V  Z k1 (u1 )    Z kr (u r )

Prueba Por inducción sobre k. Si k  1 entonces no hay nada que probar. Supongamos inductivamente que el teorema está probado para toda transformación nilpotente de índice restricción

N1  N

k  1 y consideremos Im( N )

 L(Im( N ))

N  L(V ) nilpotente de índice k. La

es nilpotente de índice k  1 . Luego, por la

hipótesis inductiva, existen vectores u1 , , u r  V tales que 1.

Z k1 (u1 ), , Z k r (ur  ) , son subespacios cíclicos respecto a N 1 .

2.

k  1  k1  k 2    k r  0 y k1    k r  dim(Im( N )) .

3.

Si p  {1, 2, , r } es tal que k p 1    k r  1 , entonces

N (u p 1 ), , N ( u r )  Nu ( N1 ) . 4.

Im( N )  Z k1 ( N (u1 ))    Z k r ( N (ur  ))

Sean 1  p1  p2    pk 2  p tales que

k1    k p1  k  1, k p1 1    k p2  k  2, , k pk 3 1    k p  2 luego,

N k 1 (u1 ), , N k 1 (u p1 )  Nu( N ), N k  2 (u p1 1 ), , N k  2 (u p2 )  Nu( N ), , N 2 (u pk 3 1 ), , N 2 (u p )  Nu( N ) y N (u p 1 ), , N ( u r )  Nu ( N ) y como los vectores son linealmente independientes, entonces existen v1 , , vq  V tales que

122

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------N k 1 (u1 ), , N k 1 (u p1 ), N k  2 (u p1 1 ), , N k  2 (u p 2 ),, N 2 (u p k 3 1 ), , N 2 (u p ), N (u p 1 ), , N ( ur  ), v1 , , vq

forman una base de Nu (N ) . Por otro lado, de 4) se tiene que

N (u1 ), , N k 1 (u1 ),  , N (u p1 ),  , N k 1 (u p1 ), , N (u p1 1 ),  , N k 2 (u p1 1 ),  , N (u p2 ),  , N k 2 (u pn ),  , N (u pk 3 ), N 2 (u pk 3 ),  , N (u p ), N 2 (u p ), N (u p 1 ),  , N ( u r  ) es una base de Im(N ) . De la proposición anterior y por definición de espacio cíclico, el teorema se sigue. Corolario 1.- Si V es un K-espacio vectorial de dimensión n y N  L(V ) es nilpotente de índice k, entonces existe una base B de V tal que

[ N ]B  diag[ Ñ k1 , Ñ k2 , , Ñ kr , 0,, 0 ] donde k  k1  k 2    k r  2 y k1   k r  n . Corolario 2.- El único valor propio de multiplicidad n  dim V de una transformación lineal nilpotente N  L(V ) es el cero. El teorema y el corolario 1 nos proporcionan un método para hallar la representación matricial más simple de una transformación lineal T  L(V ) que posee un único valor propio de multiplicidad algebraica igual a la dimensión del espacio vectorial V. Ejemplo.-

Sea T  L( R 3 ) definida por T ( x1 , x2 , x3 )  (2 x1 ,  x1  2 x2 , 3x1  2 x3 )

En la base canónica de R 3 , la matriz asociada a T es

 2 0 0 A   1 2 0  3 0 2 Se tiene que p A ( )  (  2) 3 , luego 2 es el único valor propio de de multiplicidad algebraica igual a 3. Por un resultado anterior se tiene que N ( x1 , x 2 , x3 )  T ( x1 , x 2 , x3 )  2 I ( x1 , x 2 , x3 )  (2 x1 ,  x1  2 x 2 , 3x1  2 x3 )  (2 x1 , 2 x 2 , 2 x3 )  (0,  x1 , 3x1 )

Calculando la imagen de N,

Im( N )  { N ( x1 , x 2 , x3 ) / ( x1 , x 2 , x3 )  R 3 }  { (0,  x1 , 3x1 ) / x1  R }  L{ (0,  1, 3) }  L{ N (1, 0, 0)} 123

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

ran( N )  1  p Calculando el núcleo de N, Nu ( N )  { ( x1 , x 2 , x3 )  R 3 / N ( x1 , x 2 , x3 )  (0, 0, 0)}  { (0,  x1 , 3x1 )  (0, 0, 0) / x1  0 }  L{ (0, 1, 0) , (0, 0, 1)}

Consideramos u1  (1, 0, 0), N (u1 )  (0,  1, 3) y v1  (0, 1, 0) , luego el conjunto

B  { N (u1 ), u1 , v1} B  { (0,  1, 3), (1, 0, 0), (0, 1, 0)} es una base de R 3 y

N (0,  1, 3)  (0, 0, 0)  0(0,  1, 3)  0 (1, 0, 0)  0 (0, 1, 0) N (1, 0, 0)  (0,  1, 3) 1(0,  1, 3)  0 (1, 0, 0)  0 (0, 1, 0) N ( 0, 1, 0)  ( 0, 0, 0)  0(0,  1, 3)  0 (1, 0, 0)  0 (0, 1, 0) 0 1 0  [ N ]B  0 0 0 0 0 0 En consecuencia,

[ T ]B  [ 2 I  N ]B  2 I  [ N ]B  2 0 0  0 1 0   2 1 0   0 2 0  0 0 0  0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 Ejemplo.- Sea T  L( R 4 ) definida por T ( x1 , x2 , x3 , x4 )  (2 x2  x3  x4 , x1  2 x2  x3  x4 , x2  x3 , x4 )

Hallar la representación matricial más simple de T. Solución En la base canónica de R 4 , la matriz asociada a T es

0  2  1  1 1 2 1 1   A 0 1 1 0   0 1 0 0 Calculando el polinomio característico de A se tiene que p A ( )  (  1) 4 . Luego, 1 es el único valor propio de T con multiplicidad algebraica 4. Haciendo

124

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------N ( x1 , x2 , x3 , x4 )  T ( x1 , x2 , x3 , x4 )  I ( x1 , x2 , x3 , x4 )  (2 x 2  x3  x4 , x1  2 x2  x3  x4 , x2  x3 , x 4 )  ( x1 , x2 , x3 , x4 )  ( x1  2 x 2  x3  x 4 , x1  x 2  x3  x4 , x2 , 0)

Se tiene que N es una transformación nilpotente de índice 3. Luego, calculando una base se tiene

B  { N 2 (u1 ), N (u1 ) , u1 , v1} B  { (1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 1)} En la base B, se tiene la representación matricial

0 0 [ N ]B   0  0 1 0 [T ]B  [ I  N ]B  I  [ N ]B   0  0

1 0 0 0 1 0 0 0 0  0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0  0 0 1

Ejercicios 1. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y T  L(V ) un operador con un único valor propio 1 de multiplicidad algebraica n. Probar que V  Nu ((T  1 I ) n ) 2.

Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T  L(V ) . Si v  V es tal que T k 1 (v)   y T k (v)   , siendo k un entero positivo. Demostrar que los vectores v, T (v), , T k 1 (v) son linealmente independientes.

3. Si V es un K-espacio vectorial de dimensión n y N  L(V ) un operador nilpotente de índice k, demostrar que k  n . 4. En T a) b) c)

cada caso, determinar la transformación nilpotente N  I  N : T  L( R 2 ) / T ( x, y)  (2 x  2 y, 2 x  6 y) T  L( R 2 ) / T ( x, y)  (2 x  y, x  4 y) T  L( R 3 ) / T ( x, y, z)  (4 x, 2 y  2 z,  2 y  6 z)

y

R

tal que

5. Determinar si las siguientes transformaciones son nilpotentes, en caso que lo sean hallar su índice de nilpotencia. a) T  L( R 3 ) / T ( x, y, z)  (0, 3x  2 y  2 z, x  2 y  2 z) b) F  L( R 3 ) / F ( x, y, z)  (15z, x  17 z, y  7 z) 125

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------c)

S  L( R 4 ) / S ( x, y, z, w)  (2 x  4 y,  x  2 y,  2 z  w, 4 z  2w  x)

6. Pruebe que si una matriz compleja A solo tiene como valor propio al cero, entonces la matriz A es nilpotente. 7. Sea V un K-espacio vectorial, T y S dos transformaciones nilpotentes sobre V. Si T  S  S  T , entonces demuestre que T  S y T  S son nilpotentes. 8. Sea V  Pn [t ] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n. Demuestre que el operador derivación D : Pn [t ]  Pn [t ] es nilpotente de índice n  1. 9. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y N  L(V ) un operador nilpotente de índice n. Demostrar que existe una base B de V tal que

0 0  ~   [ N ]B  N n  0 0

1 0  0 0 1  0      0 0  1 0 0  0

10. Sea T  L( R 3 ) / T ( x, y, z)  ( x  y  3z, 5x  2 y  6 z,  2 x  y  3z) a) Hallar la matriz asociada a T con respecto a la base canónica. b) Probar que T es nilpotente de índice 3. 0 1 0  3 c) Hallar una base B de R tal que M B (T )  0 0 1 . 0 0 0 11. Sean los operadores: i)

T  L( R 3 ) / T ( x, y, z)  ( x  3 y  4 z,  x  3 y  4 z, x  3 y  4 z) .

ii) T  L( R 3 ) / T ( x, y, z)  ( x  2 y  3z,  x  2 y  3z, x  2 y  3z) Se pide: a) Hallar la matriz asociada a T con respecto a la base canónica. b) Probar que T es nilpotente de índice 2. c) Hallar Im(T), una base de Im(T) y dim(Im(T)) ( esto es el rango de T). d) Hallar una base B de R 3 tal que M B (T )  diag ( Ñ 2 , 0) , e) Hallar el rango de M B (T ) y dim(Nu(T)). 12. Sean A1 , A2 , , As

matrices cuadradas de órdenes

m1 , m2 , , ms . La matriz

diag ( A1 , A2 , , As ) es llamada suma directa de las matrices

126

A1 , A2 , , As .

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Dadas

la

1 2 A1   , 3 4

matrices

  2  2 , A2   2  2

A3  [1]

M  diag ( A1 , A2 , A3 ) ; Hallar la transformación lineal T : R 5  R 5

y

tal que la

matriz asociada a T con respecto a la base canónica sea M. Hallar los subespacios invariantes

W1 , W2 , W3

por T y

bases

B1 , B2 , B3

de

Wi

tal que

M B i (T W )  Ai ; i  1, 2, 3. Verificar que R 5  W1  W2  W3 . Determinar cual de i

las restricciones T W es nilpotente. i

13. Repetir el ejercicio 7

para la matriz diagonal

M  diag ( A1 , A2 ) donde

2 1 0 3 1 . A1  0 2 1 , A2   0 3  0 0 2 14. Mostrar que las siguientes matrices nilpotentes de orden n son similares:

0 0    0 0

1 0  0 0 1  0      0 0  1 0 0  0

y

0 1  0   0

0  0 0 0  0 0 1  0 0      0  1 0

15. En los siguientes ejercicios, hallar la forma canónica de N y la base B que permite obtener dicha forma canónica: a)

N  L( R 3 ) / N ( x, y, z)  ( x  y, x  y, 0)

b)

N  L( R 3 ) / N ( x, y, z )  (0,  2 y  2 z,  2 y  2 z)

c)

N  L( R 4 ) / N ( x, y, z, w)  (2 x  4 y,  x  2 y,  2 z  w, 4 z  2w)

d)

N  L( R 4 ) / N ( x, y, z, w)  (2 x  y, 4 x  2 y,  2 z  4w,  z  2w)

e)

N  L( R 4 ) / N ( x, y, z, w)  (0, 3x  2 y  2 z, x  2 y  2 z, x)

f)

N  L( R 4 ) / N ( x, y, z, w)  ( x  y, x  y, 0, 2 y  3z)

g)

N  L( R 4 ) / N ( x, y, z, w)  (0, 3x  2 y  2 z, x  2 y  2 z, x)

h)

N  L( R 4 ) / N ( x, y, z, w)  ( y  w, x  z, y  w,  x  z )

16. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y

T  L(V ) . Hallar la

representación matricial más simple de T y la base B que permite obtener dicha representación matricial.

127

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------a) T  L( R 2 ) / T ( x, y)  (3x  2 y, 8x  5 y) b) T  L( R 2 ) / T ( x, y)  (12 x  7 y,  7 x  2 y) c) T  L( R 2 ) / T ( x, y)  (10 x  7 y, 7 x  4 y) d) T  L( R 2 ) / T ( x, y)  (4 x  y, x  2 y) e) T  L( R 3 ) / T ( x, y, z)  (5x  5 y  9 z, 8x  9 y  18z,  2 x  3 y  7 z) f)

T  L( R 3 ) / T ( x, y, z)  ( x  3 y  9 z, 5 y  18z,  2 y  7 z)

g) T  L( R 4 ) / T ( x, y, z, w)  ( x,  y  w, z  w,  7 y  7 z  w) h) T  L( R 4 ) / T ( x, y, z, w)  (2 x  z, 2 y  z, 2 z, 2w) i)

T  L( R 4 ) / T ( x, y, z, w)  (3x,  x  3 y, y  3z  2w, 2 y  3w)

j)

T  L( R 4 ) / T ( x, y, z, w)  ( x  2w,  y  w,  z  3w,  x  2 y  w)

17. Sea P3 [t ] el R-espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en R e indeterminada t de grado menor o igual que 3. Sea T  L( P3 [t ]) definida como

T (a0  a1t  a2 t 2  a3t 3 )  a0  (3a0  a1 )t  (6a1  a2 )t 2  (9a2  a3 )t 3 Hallar la representación matricial más simple de T y la base B que permite obtener dicha representación matricial.

128

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------EL TEOREMA DE LA DESCOMPOSICIÓN PRIMARIA

En esta sección se estudiarán las trasformaciones lineales con más de un valor propio de multiplicidad algebraica mayor que uno. Teorema.- Si V es un K-espacio vectorial de dimensión finita y T  L(V ) , entonces existen subespacios vectoriales X e Y de V tales que 1.

X e Y son invariantes por T.

2.

T | X  L( X ) es nilpotente y T |Y  L(Y ) es inversible.

3.

V  X Y

Prueba En primer lugar, hay que construir los subespacios X e Y de la forma siguiente. Consideremos la sucesión decreciente de subespacios vectoriales V  Im(T )  Im(T 2 )  

Como V es de dimensión finita, debe existir un r  N tal que Im(T r )  Im(T r 1 ) . Sea k el menor número natural tal que Im(T k )  Im(T k 1 ) . Afirmación 1.- Im(T k )  Im(T j );  j  k . En efecto, para j  k  2 se tiene Im(T k 2 )  T (Im(T k 1 ))  T (Im(T k ))  Im(T k 1 )  Im(T k )  Im(T k  2 )  Im(T k )

De esta manera, usando inducción se demuestra la afirmación 1. Ahora consideremos la sucesión creciente de subespacios vectoriales Nu(T )  Nu(T 2 )    V

Como la dimensión de V es finita, debe existir un r  N tal que Nu (T r )  Nu(T r 1 ) . Sea k el menor número natural tal que Nu (T k )  Nu (T k 1 ) . Afirmación 2.- Nu(T k )  Nu(T j );  j  k . En efecto, para j  k  1 se tiene dim Nu(T k 1 )  dim V  dim(Im(T k 1 ))  dim V  dim(Im(T k )) , por la afirmación 1

 dim Nu (T k ) 

Nu(T k 1 )  dim Nu(T k )

129

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------De esta manera, usando inducción se demuestra la afirmación 2. Sea X  Nu (T k ) e Y  Im(T k ) . Es claro que X e Y son subespacios vectoriales de V invariantes por T. Además, T | X  L( X ) es nilpotente, puesto que T k ( x)   ,  x  X . Afirmación 3.- T |Y  L(Y ) es inversible. En efecto, nótese que T (Y )  T (Im(T k ))  Im(T k 1 )  Im(T k )  Y

Es decir, T es sobreyectiva, luego T es un isomorfismo. Afirmación 4.- V  X  Y . i)

Probaremos que V  X  Y .

En efecto, sea v  V , entonces T k (v)  Im(T k )  Im(T 2k ) , luego existe un w  V tal que T k (v)  T 2k (w) y escribiendo v  (v  T k (w))  T k (w) . Nótese que, T k (v  T k (w))  T k (v)  T 2k (w)   ; es decir v  T k (w)  Nu(T k )  X y desde que T k (w)  Im(T k )  Y . ii) Ahora, probaremos que X Y  { } . En efecto, se cumple

dim X  dim Y  dim( X  Y )  dim( X  Y )  dim V  dim( X  Y )

(1)

dim V  dim Im(T k )  dim Nu (T k )  dim X  dim Y

(2)

Además,

y por consiguiente, X Y  { } De i) y ii) se cumple la afirmación 4.

Teorema.- Sea V

un K-espacio vectorial de dimensión finita, T  L(V ) y n0 la

multiplicidad algebraica del valor propio 0 de T. Si V  X  Y es la descomposición dada en el teorema anterior, entonces 1.

dim X  n0

2.

X  Nu (T n0 ) e Y  Im(T n0 )

Prueba Denotando por T1  T | X  L( X ) y T2  T |Y  L(Y ) . Como T1  L( X ) es nilpotente, entonces su único valor propio es cero, con multiplicidad algebraica m  dim X , luego su polinomio característico pT1 viene dado por pT1 ( )  m . 130

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Por otro lado, T2  L(Y ) es inversible, luego el cero no es un valor propio de T2 , de esta manera el polinomio característico de T  L(V ) , se puede expresar como pT ( )  pT1 ( ) pT2 ( )  m pT2 ( )

Por otro lado de la hipótesis se tiene que pT ( )  n0 q( ) , donde q(0)  0 . Se sigue entonces que n0  m  dim X . Con lo cual se demuestra la parte 1) del teorema. Por otro lado, como T1  L( X ) es nilpotente y dim X  n0 , entonce el índice de T1

T1n0  0 y

debe ser  n0 . Se sigue que

por tanto, si x  X , entonces

T n0 ( x)  T1n0 ( x)   , es decir x  Nu (T n0 ) , de esta manera, X  Nu (T n0 ) . Para probar

el otro contenido, sea v  Nu (T n0 )  V , entonces v  x  y

donde

x  X , y Y .

Como x  X entonces T n0 ( x)   , luego

  T n (v)  T n ( x  y)  T n ( x)  T n ( y)    T n ( y)  T n ( y) 0

0

0

0

0

0

y como T |Y es inversible, concluimos que y   , luego v  x    X

y por tanto

Nu (T n0 )  X .

Finalmente, para probar que Y  Im(T n0 ) observamos que T2  L(Y ) es inversible luego, T2n0  L(Y ) , luego si y  Y entonces existe x  Y tal que T n0 ( x)  y , es decir

y  Im(T n0 ) . De esta manera, Y  Im(T n0 ) . Sea w  Im(T n0 ) , entonces existe v  V tal que w  T n0 (v) . Como v  V , entonces v  x  y donde x  X e y  Y , luego

w  T n0 (v)  T n0 ( x)  T n0 ( y)    T2 0 ( y)  Y n

es decir Im(T n0 )  Y . Observación.- Los dos teoremas anteriores nos dicen que si V es un K-espacio vectorial de dimensión finita, T  L(V ) y n0 es la multiplicidad algebraica del valor propio 0 de T, entonces V  Nu(T n0 )  Im(T n0 ) y dim Nu (T n0 )  n0

En el caso que 0 no es valor propio de T, entonces n0  0 . Proposición.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita T  L(V ) . Si 0  K es un valor propio de T de multiplicidad algebraica d 0 , entonces 0 es un valor propio de

T  0 I de multiplicidad algebraica d 0 . Prueba

131

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Denotando por T0  T  0 I , se tiene

pT0 ( )  det(T0  I )  det(T  (  0 ) I )  pT (  0 ) Tomando extremos se tiene

pT0 ( )  pT (  0 )

(1)

como 0  K es un valor propio de T de multiplicidad algebraica d 0 , entonces

pT ( )  (  0 ) d0 q( ) con q(0 )  0 luego por la relación (1)

pT0 ( )  pT (  0 )  ( (   0 )  0 ) d0 q(  0 )  d0 q(  0 )  d0 r ( ) donde r ( )  q(  0 ) , luego r (0)  0 . De esta forma, concluimos 0 es un valor propio de T0 de multiplicidad d 0 . Teorema.- [Teorema de la descomposición Primaria] Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T  L(V ) . Sean 1 , , k  K los valores propios distintos de respectivamente.

Si

T

denotamos

con multiplicidades algebraicas

d 1 , , d k ,

W1  Nu ((T  1 I ) d1 ), , Wk  Nu ((T  k I ) d k ) ,

entonces 1.

dim W1  d1 , , dim Wk  d k

2.

V  W1    Wk

Prueba Sea T j  T   j I , donde j  1, , k . Por la proposición anterior, 0 es un valor propio de T j de multiplicidad d j y dim W j  d j . Se sigue que dim V  dim W1    dim Wk

Solo falta probar que V  W1    Wk , para ello de la hipótesis se tiene que

pT ( )  (  1 ) d1 (  k ) d k Definimos el polinomio

q j ( )   (  i ) di i j

Es claro que q1 ,, qk son coprimos, luego existen polinomios r1 ,, rk tal que q1 ( )r1 ( )   qk ( )rk ( )  1

De esta manera, 132

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------q1 (T )r1 (T )   qk (T )rk (T )  I

Sea v  V , definimos

v j  q j (T )r j (T )(v) , nótese que v j  Im(q j (T )) y se cumple v  I (v)  [q1 (T )r1 (T )    q k (T )rk (T )](v)  q1 (T )r1 (T )(v)    q k (T )rk (T )(v)  v1    v k

Por el teorema de Cayley-Hamilton, se tiene que

T j j  q j (T )  (T   j I ) j  q j (T ) d

d

 (T   j I )

dj

 (T   I )

di

i

i j

 pT (T ) 0 Es decir, Im(q j (T ))  Nu (T j j )  Nu((T   j I ) j )  W j y desde que v j  Im(q j (T )) d

d

entonces v j  W j . Así v  v1    vk con v1  W1 , , vk  Wk . Esto prueba que V  W1    Wk

y como dim V  dim W1    dim Wk se concluye que V  W1    Wk .

Observaciones. 1.

Sea  j  K valor propio de

T  L(V ) de multiplicidad algebraica

d j . El

subespacio Nu ((T   j I ) j ) es llamado subespacio propio generalizado de T d

asociado al valor propio  j

Ed j (T ,  j ) . Cuando

y se denota por

d j  1,

entonces E1 (T ,  j )  E (T ,  j ) . 2.

Por el teorema de descomposición primaria se tiene que dim Ed j (T ,  j )  d j ,

j  1, , k y V  Ed1 (T , 1 )    Ed k (T , k ) . 3.

Ed j (T ,  j )

es

invariante

por

T.

En

efecto,

es

fácil

ver

que

(T   j I )T  T (T   j I ) , luego por inducción se llega a probar que (T   j I ) n T  T (T   j I ) n ;  n  N . De esta manera, si

x  Ed j (T ,  j ) ,

entonces (T   j I ) j ( x)   , luego   T ((T   j I ) j ( x))  (T   j I ) j (T ( x)) ; d

d

es decir T ( x)  Nu ((T   j I ) j )  Ed j (T ,  j ) . d

133

d

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo.- Sea T  L( R 3 ) definida por

T ( x, y, z)  ( x  2 y  2 z, x  2 y  z,  x  y  4 z) Su matriz asociada, en la base canónica R 3 es

1 2 2 A   1 2  1  1 1 4  Calculando el polinomio característico,

 1 pT (  )   1

2  2

1

1

2 1  (  3) 2 (  1)

 4

Luego, los valores propios de T son 3 de multiplicidad algebraica 2 y 1. Calculando los espacios propios Para   3

2x  2 y  2z  0  2  2  2   x  0   1 1      1   y   0    x  y  z  0  x  y  z   1  1 1   z  0 x  y  z  0 E 2 (T ; 3)  Nu (3I  T ) 2  { ( x, y, z )  R 3 / x  y  z }  { ( y  z , y, z ) / y, z  R }  { ( y, y, 0)  ( z, 0, z ) / y, z  R }  L{ (1, 1, 0), (1, 0, 1) } Para   1

 2 y  2z  0  0  2  2   x  0    1  1 1   y   0    x  y  z  0   y   z        x  2z  1  1  3  z  0 x  y  3z  0 E1 (T ; 1)  Nu ( I  T )  { ( x, y, z )  R 3 / x  2 z, y   z }  { (2 z,  z, z ) / z  R }  L{ (2,  1, 1) }

Se verifica que R 3  E2 (T ; 3)  E1 (T ; 1)

Además, T (2,  1, 1)  (2,  1, 1) ; es decir T ( E2 (T ; 1))  E2 (T ; 1) y

T (1, 1, 0)  (3, 3, 0)  3(1, 1, 0); T (1, 0, 1)  (3, 0, 3)  3(1, 0, 1) ; es decir

T ( E1 (T ; 3))  E1 (T ; 3) . Por último si consideramos la base ordenada B  { (1, 1, 0), (1, 0, 1) , (2,  1, 1) } 134

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

T (1, 1, 0)  (3, 3, 0)  3(1, 1, 0)  0 (1, 0, 1)  0 (2,  1, 1) T (1, 0, 1)  (3, 0, 3)  0(1, 1, 0)  3 (1, 0, 1)  0 (2,  1, 1) T (2,  1,1)  (2,  1,1)  0(1, 1, 0)  0 (1, 0, 1)  1(2,  1, 1) 3 0 0 [ T ]B  0 3 0 0 0 1 Ejemplo.- Sea T  L( R 3 ) definida por

T ( x, y, z)  ( x  4 y, y, x  2 y  z) Su matriz asociada, en la base canónica R 3 es

  1 4 0 A   0 1 0  1  2 1 Calculando el polinomio característico,

 1 pT (  ) 

0

4  1

0 0

1

2

 1

 (  1) 2 (  1)

Luego, los valores propios de T son 1 de multiplicidad algebraica 2 y -1. Calculando los subespacios propios generalizados. Para   1

 2  4 0   x  0  0 0 0  y   0   x  2 y  0  x  2 y ,   1 2 0  z  0 z puede tomar cualquier valor.

E 2 (T ; 1)  Nu ( I  T ) 2  { ( x, y, z )  R 3 / x  2 y }  L{ (2, 1, 0), (0, 0, 1)} Para   1

 4y  0  0  4 0   x  0   y0  0  2 0   y   0    2 y  0          x  2 z  1 2  2  z  0   x  2 y  2 z  0

E1 (T ;  1)  Nu ( I  T )  { ( x, y, z )  R 3 / y  0, x  2 x }  L{ (2, 0, 1)} Se verifica que R 3  E2 (T ; 1)  E1 (T ;  1) . Además, T (2, 0, 1)  (2, 0,  1)  1(2, 0, 1) ; es decir T ( E1 (T ;  1))  E1 (T ;  1) y 135

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

T (2, 1, 0)  (2, 1, 0); T (0, 0, 1)  (0, 0, 1) ; es decir T ( E1 (T ; 1))  E1 (T ; 1) . Por último si consideramos la base ordenada de R 3 .

B  { (2, 1, 0), (0, 0, 1) , (2, 0, 1) }

T ( 2, 1, 0)  (2, 1, 0)  1(2, 1, 0)  0 (0, 0, 1)  0 (2, 0, 1) T ( 0, 0, 1)  (0, 0, 1)  0(2, 1, 0)  1(0, 0, 1)  0 (2, 0, 1) T (2, 0,1)  (2, 0,  1)  0(2, 1, 0)  0 (0, 0, 1)  1(2, 0, 1) 1 0 0  [ T ]B  0 1 0  0 0  1 La forma canónica de Jordan En la presente sección, se probará que para todo operador T  L(V ) que tiene todos sus valores propios en K (repetidos o no), existe una base B de V tal que la matriz asociada a T en esta base es una matriz diagonal por bloques, cuyos bloques son bastante simples y solo dependen de los valores propios. Para tratar lo descrito anteriormente, empezaremos dando la siguiente definición Definición.- Sea   K y m  Z  , la matriz

 1 0  0 0  0  1  0 0   0 0   0 0 mm J ( ; m)  I  Ñ m   K        0 0 0   1    0 0 0  0   es llamado bloque elemental de Jordan de orden m asociado al escalar  . Si m1 , m2 , , mr  Z  entonces la matriz diagonal por bloques J (; m1 , m2 , , mr )  diag[ J (; m1 ), J (; m2 ), , J (; mr )]  K mm

(donde m  m1  m2    mr ), es llamada bloque de Jordan compuesto asociado al escalar  y los enteros positivos m1  m2    mr . Ejemplo 1. – La matriz

 1  J ( ; 2)    0   Es un bloque elemental de orden 2, mientras que

136

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 1 0  J ( ; 3)   0  1   0 0   es un bloque elemental de orden 3. El bloque de Jordan compuesto J (; 1, 1)  K 22 es la matriz

 0  J ( ; 1, 1)    K 22  0   Los bloques de Jordan compuestos J (; 1, 1, 1), J (; 2, 1)  K 33 están dados por  0 0   1 0    J ( ; 1, 1, 1)   0  0  , J ( ; 2, 1)   0  0   0 0    0 0  

Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y T  L(V ) tal que todos sus valores propios 1 , , s (de multiplicidad algebraica d1 , , d s respectivamente) están en K. Por el teorema de la descomposición primaria se tiene que

V  Ed1 (T , 1 )    Ed s (T , s ) Donde dim Ed j (T ,  j )  d j y E d j (T ,  j ) son subespacios invariantes por T. Nótese que Tj   j I  (T   j I ) |Ed (T ,  j ) L( Ed j (T ,  j ) es nilpotente (puesto que por j definición Ed j (T ,  j )  Nu ((T   j I ) j ) . Denotando, por d

kj

a su índice de

nilpotencia , por el corolario1 del teorema de la forma canónica para transformaciones nilpotentes, se tiene que existe una base Bj de E d j (T ,  j ) tal que

[T j   j I ]B j  diag[ Ñk j ,1 , Ñk j , 2 , , Ñk j , r j ] donde k j  k j ,1  k j , 2    k j , r j  1 y k j ,1  k j , 2    k j , r j  d j . Como [T j   j I ]Bj  [T j ]Bj   j I , de (1) se tiene

[T j ]Bj  diag [ j I  Ñk j ,1 ,  j I  Ñk j , 2 , ,  j I  Ñk j , r j ]  diag [ J ( j ; k j ,1 ), J ( j ; k j , 2 ), , J ( j ; k j , r j )]  J ( j ; k j , 1 , k j , 2 ,  , k j , r j )  K

d j d j

Finalmente, si consideramos B  B1 B2   B s

Entonces B es una base ordenada para V y

137

(1)

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------[ T ]B  diag [ [T1 ]B1 , , [Ts ]Bs ]  diag [ J ( j ; k j ,1 , k j , 2 , , k j , r j )]  diag [ J (1 ; k1,1 , k1, 2 , , k1, r1 ), , J ( s ; k s ,1 , k s , 2 , , k s , rs )]

La matriz diagonal por bloques es llamada forma canónica de Jordan de la transformación lineal T. Resumimos los resultados obtenidos en el siguiente teorema. Teorema.- [Forma canónica de Jordan] Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y T  L(V ) . Si 1 , , s  K son los valores propios distintos de T con multiplicidad algebraica d1 , , d s respectivamente, entonces existe una base B de V tal que

[ T ]B  diag[ J (1; k1,1, k1, 2 ,, k1, r1 ), , J (s ; ks ,1, ks , 2 ,, ks , rs )] donde

k j  k j ,1  k j , 2   k j , r j  1, k j ,1  k j , 2   k j , r j  d j ( j  1, , s) y d1  d 2    d s  n .

Ejemplo.-Sea T  L( R 3 ) definida por

T ( x, y, z)  ( x  2 y  2 z, x  2 y  z,  x  y  4 z) De un ejemplo ya visto, en la base B  {(2,  1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)} tiene la forma canónica de Jordan de T es

T (2,  1,1)  (2,1, 1)  1(2,  1, 1)  0(1, 1, 0)  0(1, 0, 1) T (1, 1, 0)  (3, 3, 0)  0(2,  1, 1)  3(1, 1, 0)  0(1, 0, 1) T (1, 0, 1)  (3, 0, 3)  0(2,  1, 1)  0(1, 1, 0)  3(1, 0, 1) 1 0 0 [ T ]B  0 3 0  diag [ J (1; 1), J (3; 1), J (3; 1)] 0 0 3 Ejemplo.-Sea T  L( R 4 ) definida por

T ( x, y, z, w)  (3x  3 y  w, 2 y, 4 y  z, 2 x  y) Su matriz en la base canónica de R 4 es

3  3 0 2 A 0 4  2 1

0  1 0 0  1 0  0 0

Calculando su polinomio característico se tiene

138

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------pT ( )  (  1) 2 (  2) 2

Luego, los valores propios de T son 1 y 2, ambos de multiplicidad algebraica 2. Haciendo los cálculos se obtiene E 2 (T ; 1)  Nu (( I  T ) 2 )  { ( x, y, z, w)  R 4 / w  2 x, y  0}  { (a, 0, b, 2a) / a, b  R }  L{ (1, 0, 0, 2), (0, 0, 1, 0)} E 2 (T ; 2)  Nu ((2 I  T ) 2 )  { ( x, y, z, w)  R 4 / z  4 y, w  x  4 y }  { (a, b, 4b, a  4b) / a, b  R }  L{ (1, 0, 0, 1), (0, 1, 4, 4)}

Ahora bien, sabemos que N1  ( I  T ) | E2 (T ;1)  L( E2 (T ; 1)) es nilpotente y como

N ( x, y, z, w)  (T  I )( x, y, z, w)  (2 x  3 y  w, y, 4 y, 2 x  y  w) Se tiene que N1 (a, 0, b, 2a)  (0, 0, 0, 0);  (a, 0, b, 2a)  E2 (T ; 1)

es decir N1  0 y por lo tanto, T1  I . Así, en E2 (T ; 1) , T es diagonalizable, luego es suficiente considerar la base

1 0 B1  { (1, 0, 0, 2), (0, 0, 1, 0)} de E2 (T ; 1) y MB1    0 1  Por otro lado N2  (2I  T ) |E2 (T ; 2) L( E2 (T ; 2)) es nilpotente y como

N ( x, y, z, w)  (T  2 I )( x, y, z, w)  ( x  3 y  w, 0, 4 y  z, 2 x  y  2w) Se tiene que

N2 (a, b, 4b, a  4b)  (7b, 0, 0,  7b) En este caso N 2  L( E2 (T ; 2)) es nilpotente de índice 2. Por la forma canónica de las transformaciones nilpotentes, debemos tomar un vector

(a, b, 4b, a  4b)  L( E2 (T ; 2)) tal que N 2 (a, b, 4b, a  4b)  (0, 0, 0, 0) , por ejemplo

u  (0, 1, 4, 4) (haciendo a  0

y

b  1)

y considerando la base ordenada de

0 1  E2 (T ; 2) , B2  { N2 (u), u }  {(7, 0, 0,  7), (0, 1, 4, 4)} , se tiene MB2   . 0 0  De esta manera, considerando la base ordenada

B  B1 B2  {v1, v2 , v3 , v4}  {(1, 0, 0, 2), (0, 0, 1, 0), (7, 0, 0,  7), (0, 1, 4, 4)}

139

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------de E2 (T ; 1)  E2 (T ; 2)  R 4 .

T (v1 )  (1, 0 , 0 , 2 )  1v1  0v 2  0v3  0v 4 T (v 2 )  ( 0 , 0 , 1, 0)  0v1  1v 2  0v3  0v 4 T (v3 )  (14, 0, 0,14)  0v1  0v 2  2v3  0v 4 T (v 4 )  (  7, 2, 8, 1)  0v1  0v 2  1v3  2v 4 Luego,

1 0 [T ]B   0  0

0 0 0 1 0 0 0 2 1  0 0 2

Es la forma canónica de Jordan. Forma Canónica de Jordan Real A continuación, consideraremos el caso de una transformación lineal que tiene algún Cvalor propio de multiplicidad algebraica mayor que 1. Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n y T  L(V ) . Sean 1 , , r  R valores propios de T con multiplicidades algebraicas d1 , , d r y 1 , 1 , s , s C-valores propios

de

T

con

multiplicidad

algebraica

m1 , m1 , , ms , ms

tal

que

d1    d r  2m1    2ms  n .

Considerando el complejificado TC de multiplicidades d1 ,, d r , m1 , m1 , , ms , ms , respectivamente. Por el teorema de la forma canónica de Jordan, existe una base BC de VC

tal que [TC ]BC  diag[ J (1 ), , J (r ), J (1 ), J (1 ), J (s ), J ( s )]  C nn

donde J (1 )  diag[ J (1 ; k1,1 , , k1, r1 ) ] con k1,1    k1, r1  1 y k1,1   k1, r1  d1 . Ahora identificaremos esta matriz compleja con una matriz real. Lema.- Sea V un R-espacio vectorial de dimensión 2m, T  L(V ) tal que TC  L(VC ) tiene valores propios   a  ib,   a  ib ambos tienen multiplicidad algebraica m. Si

BC  { x1  iy1, , xm  iym , x1  iy1, , xm  iym} es una base ordenada de VC tal que

[ TC ]BC  diag [ J (  , m), J (  , m) ]  C 2 m 2 m  diag [ I  Ñm , I  Ñm ] Entonces, B  { x1 , y1 , , xm , y m } es una base ordenada de V y

140

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- a b   0   0 [ T ]B      0  0   0  0 

b

1

0 0 0 

a 0

0 a

1 0 0  b 1 0 

0 b a 0 1  







 

0 0

0 0

0 0 0  0 0 0 

0

0

0 0 0 

0

0

0 0 0 

0 0 0  0 0  0 0    1 0 0 1  a b  b a  0

Prueba. La demostración que B es base de V, es análogo a la realizada cuando se estudió la matriz asociada al complejificado de una transformación lineal. Además, por hipótesis tenemos TC ( x1  iy1 )   ( x1  iy1 ) ; donde   a  ib

TC ( x 2  iy 2 )  ( x1  iy1 )   ( x 2  iy 2 )  TC ( x m  iy m )  ( x m1  iy m1 )   ( x m  iy m )

Operando para el primero se tiene TC ( x1  iy1 )  (ax1  bi)( x1  iy1 )  T ( x1 )  iT ( y1 )  (ax1  by1 )  i(bx1  ay1 )

 T ( x1 )  ax1  by1 ; T ( y1 )  bx1  ay1 Luego, realizando los cálculos de la misma manera para los restantes se obtiene

T ( x1 )  ax1  by1 T ( y1 )  bx1  ay1 T ( x 2 )  x1  ax 2  by 2 T ( y 2 )  y1  bx 2  ay 2  T ( x m )  x m 1  ax m  by m T ( y 2 )  y m 1  bx m  ay m Del cual se obtiene la matriz deseada. Denotemos por

141

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- a b   0   0 J R (a, b; 2m)      0  0   0  0 

b

1

0 0 0 

a 0

0 a

1 0 0  b 1 0 

0 b a 0 1  







 

0 0

0 0

0 0 0  0 0 0 

0

0

0 0 0 

0

0

0 0 0 

0 0 0  0 0  0 0    1 0 0 1  a b  b a  0

J R (a, b; 2m) es llamado bloque de Jordan real elemental de orden 2m asociado a a, b. Retornando a nuestro problema inicial, sean

B1  { u11  i 0,  , u 1d1 },  , Br  { u1r  i 0,  , u dr r }, B1,1  { x11  iy11 ,  , x1m1  iy 1m1 }, B1, 2  { x11  iy11 ,  , x1m1  iy 1m1 },  , Bs ,1  { x1s  iy1s ,  , x ms s  iy ms s }, Bs , 2  { x1s  iy1s ,  , x ms s  iy ms s } bases de B

Ed1 (T , 1 ), , Ed r (T , r ), Em1 (T ; 1 ), Em1 (T ; 1 ), , Ems (T ;  s ), Ems (T ;  s ) tales que en la base ordenada

B  B1   Br B1,1 B1, 2   Bs ,1 Bs , 2 de

VC  Ed1 (T , 1 )  Ed r (T , r )  Em1 (T ; 1 )  Em1 (T ; 1 )    Ems (T ; s )  Ems (T ; s ) se tiene [ T ]BC  diag[ J (1 ), , J (r ), J (1 ), J (1 ), , J ( s ), J ( s ) ]

Considerando la R-base ordenada de V, se tiene

B  B1   Br  { x11 , y11 , , x1m1 , y1m1 }    { x1s , y1s , , xms s , y ms s } Denotando 1  a1  ib1 , ,  s  as  ibs por el lema anterior se tiene

[ T ]B  diag[ J (1 ), , J (r ), J R (a1 , b1 ), , J R (as , bs )]  R nn donde

J R (a j , b j )  diag[ J R (a j , b j ; k j ,1 ), , J R (a j , b j ; k j , l j ) ] donde k j ,1    k j , l j  1 y k j ,1   k j , l j  2m j . Los resultados descritos, se resumen en el siguiente teorema.

142

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Teorema.- [Forma canónica de Jordan Real] Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n y valores

propios

de

T

de

T  L(V ) . Si 1 , , r  R son los

multiplicidades

algebraicas

d1 ,  , d r

y

1  a1  ib1 , 1  a1  ib1 , ,  s  as  ibs ,  s  as  ibs C-valores propios de T con multiplicidad algebraica m1, m1, , ms , ms donde d1    d r  2m1    2ms  n , entonces existe una base B de V tal que

[ T ]B  diag[ J (1 ), , J (r ), J R (a1 , b1 ), , J R (as , bs )]  R nn Donde J (1 )  J (1 ; k1,1 , k1, 2 , , k1,r1 ) con k1,1  k1, 2   k1,r1  1 ,

k1,1  k1, 2   k1,r1  d1 , etc. Ejemplo.- Sea V un R-espacio vectorial de dimensión 3 y T  L(V ) . Determinar todas las posibles formas canónicas (reales) de T. Desde que el polinomio característico de T es de grado 3 y tiene coeficientes reales, se presentan los siguientes casos: Caso 1.- Las tres raíces son reales y distintas, digamos 1 , 2 y 3 . Se tiene 1 J   0  0

0

2 0

0 0  3 

Caso 2.- Dos raíces reales 1 , 2 , una de ellas, digamos  2 de multiplicidad 2.

1 J   0  0

0

2 0

0 1 0 0  o J   0 2  0 0 2 

0 1  2 

Caso 3.- Una única raíz  de multiplicidad 3.  0 0   1 0   1 0      J   0  0  o J   0  0  o J   0  1   0 0    0 0    0 0  

Caso 4.- Una raíz real  y las otras complejas conjugadas   a  ib y   a  ib .  0 0  J   0 a b   0  b a 

143

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Sea (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno. Recordemos, por ejemplo el espacio dual V *  L(V , R)  { f : V  R / f es lineal } El producto interno sobre V permite definir un conjunto amplio de funciones lineales. En efecto, fijando v  V se define la aplicación f v : V  R como f v (v)  v , v 

De la definición de producto interno se sigue f v  V * . Teorema.- Sea (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno. La definición

 : V  V * definida por  (v)  f v es un isomorfismo. Prueba En principio demostraremos la linealidad de  . Sean v, v  V y  ,   R . Dado v  V se tiene

 (v   v )(v)  f v v (v)  v   v , v    v , v    v , v   f v (v)  f v (v)  (f v  f v )(v)  ( (v )   (v ))(v),  v  V

Luego, tomando extremos

 (v  v)  (v)   (v) Ahora hay que probar que  es inyectiva. Sean v, v  V tales que  (v)   ( v)  v, v   f v (v)   (v)(v)   (v)(v)  f v (v)   v , v 

Tomando extremos

 v, v    v , v 

 v, v    v , v   0   v  v , v   0;  v V  v  v  0  v  v Como V es un R-espacio vectorial de dimensión finita, se tiene que  es también suryectiva y en consecuencia  es un isomorfismo. A modo de ejercicio, demostrar

144

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Proposición.- Sea (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno. Dado f  V * existe un único v  v( f )  V tal que f  f v . Sean (V ;   ,  ) y (W ;   ,  ) dos R-espacios vectoriales con producto interno, ambos de dimensión finita y T  L(V , W ) . Se trata de probar la existencia de un operador lineal T *  L(W , V ) tal que  T (v), w    v, T * (w) ;  w  W

(1)

Fijando un w  W , definimos

f : V  R como f (v)   T (v), w  De la definición de f se tiene que

f  V * , luego por la proposición anterior existe un

único w*  V (que depende de w) tal que f  f w* , es decir  T (v), w    w* , v  ;  v  V

Luego se puede definir

T * :W  V

como

T * ( w)  w* . Con esta definición se

satisface la relación (1). Ahora, hay que demostrar la linealidad de T * . En efecto, sean w1, w2 W

 v, T * ( w1  w2 )    T (v), w1  w2    T (v), w1    T (v), w2    v, T * ( w1 )    v, T * ( w2 )    v, T * ( w1 )  T * ( w2 ) Tomando extremos,  v, T * (w1  w2 )    v, T * (w1 )  T * (w2 ) ;  v V Entonces, T * (w1  w2 )   T * (w1 )  T * (w2 ) Ahora hay que demostrar la homogeneidad. Sean   R, w  W

 v, T * (w)    T (v), w     T (v), w     v, T * ( w)    v, T * ( w)  Tomando extremos,  v, T * (w)    v, T * (w) ;  v  V . Entonces T * (w)   T * (w) . Luego, T * es una transformación lineal y además es único. En efecto, si suponemos que existe S  L(W , V ) tal que  v, T * (w)   T (v), w    v, S (w)  ; v  V ,  w  W

145

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

S T* El operador T *  L(W , V ) es llamado adjunto de T  L(V , W ) . Teorema.- Sean (V ;   ,  ) y (W ;   ,  ) dos R-espacios vectoriales con producto interno de dimensiones

m y n respectivamente y sea

T  L(V , W ) . Si

B  { w1 , , wn } son bases ortonormales de V

B  { v1 , , vm } y

y W

respectivamente, entonces B T [ T * ]B B  ([ T ]B )

Prueba  m n n m Denotemos por A  [ T ]B y B  [ T * ]B que se obtiene a B  [ brl ]  R B  [ aij ]  R

partir de n

T (v j )   aij wi ; j  1, , m y i 1 n

T * ( wl )   brl vr ; l  1, , n r 1

De la ortogonalidad de ambas bases se tiene n

n

r 1

l 1

b ji   v j ,  bri vr    v j , T * ( wi )   T (v j ), wi     alj wl , wi   aij Tomando extremos b ji  aij ;  i ,  j . Luego, B  AT . Ejemplo.- Dado T  L( R 3 ) ; definida como T ( x, y, z)  ( x  2 y, 3x  4 z, y ) Considerando la base canónica de R 3 ,

1 2 0  1 3 0    T A  3 0  4  B  A  2 0 1 0 1 0  0  4 0 1 3 0   x   x  3 y  2 0 1  y    2 x  z       0  4 0  z    4 y 

Luego, T * ( x, y, z )  ( x  3 y, 2 x  z,  4 y ) Teorema.- Sean

(V ;   ,  )

y

(W ;   ,  ) dos R-espacios vectoriales con producto

interno de dimensiones finitas, I  L(V ) , T , S  L(V , W ) y   R . Se cumple las siguientes propiedades: 1.

I*  I

146

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------2.

(T  S )*  T *  S *

3.

(T ) *  T *

4.

(T * ) *  T

Prueba 1.

Dado v  V  v, I * (v)   I (v), v   v, v   v, I (v)

Luego, como  v, I * (v)   v, I (v);  v  V se tiene que I *  I . 2.

 v, (T  S )* (w)    (T  S )(v), w 

  T (v)  S (v), w    T (v), w    S (v), w    v, T * ( w)    v, S * ( w)    v, T * ( w)  S * ( w)   v, (T *  S * )( w) Tomando extremos se tiene que  v, (T  S )* (w)    v, (T *  S * )(w);  w  W

y en consecuencia (T  S ) *  T *  S * . Como ejercicio completar la demostración de 3) y 4). Teorema.- Sean (V ;   ,  ) , (U ;   ,  ) y (W ;   ,  ) tres R-espacios vectoriales con producto interno, todas con dimensiones finitas, T  L(V , U ) Entonces

(S  T )*  T *  S * Prueba v, ( S  T ) * ( w)   ( S  T )(v), w    S (T (v)), w   T (v), S * ( w)   v, T * ( S * ( w))   v, (T *  S * )( w) 

Luego, tomando extremos se tiene v, (S  T )* (w)   v, (T *  S * )( w) ;  w  W

y en consecuencia (S  T ) *  T *  S * .

147

y

S  L(U , W ) .

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Operadores Autoadjuntos Sea (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno de de dimensión finita. Se dice que T  L(V ) es autoadjunto si y solo si T  T * . Es decir,

 T (v), w   v, T (w);  v, w V Teorema.- Sea (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno de dimensión finita. Si T , S  L(V ) son autoadjuntos y   R , entonces se cumple: 1.

T  S es autoadjunto.

2.

T es autoadjunto

3.

T  S  S  T  T  S es autoadjunto.

Prueba 1.

(T  S ) *  T *  S *

T S 2.

(T ) *  T

por ser T y S autoadjuntos. Por propiedad demostrada

 T * 3.

Por una propiedad demostrada

por ser T autoadjunto

( ) Asumiendo que T  S  S  T

(T  S )*  T *  S *

Por el teorema anterior

T S

Por ser T y S autoadjuntos.

(  ) Asumiendo que T  S es autoadjunto. T  S  (T  S ) *

 S* T *

Por el teorema anterior

 S T

Por ser T y S autoadjuntos.

Criterio para determinar si un operador es autoadjunto Teorema.- Sea (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno de dimensión m y B  {u1, , um} una base ortonormal de V. T  L(V ) es autoadjunto si y solo si [ T ]B  R mm es simétrica.

Prueba Sea [ T ]B  [ aij ]  R mm , esto quiere decir m

T (u j )   a kj u k ; 1  j  m k 1

nótese además que 148

(1)

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------m

m

k 1

k 1

  a kj u k , u i    a kj u k , u i 

(2)

 aij

( ) Asumiendo que T  L(V ) es un operador autoadjunto. Se tiene m

aij    a kj u k , u i 

Por (2)

  T (u j ), ui 

Por (1)

  u j , T (ui ) 

Por ser T autoadjunto

k 1

 u j,

m

a k 1

ki

uk 

Por (1)

 a ji Tomando extremos, aij  a ji ; 1  i, j  m ; por consiguiente [ T ]B  [ aij ] es simétrica.

(  ) Asumiendo que [ T ]B  [ aij ] es simétrica. Para cada 1  i, j  m , se tiene que m

aij  a ji    a kj u k , u i   u j , k 1

m

a k 1

ki

uk 

  T (u j ), ui    u j , T (ui ) m

m

i 1

j 1

Dados u, v  V : u    i u i , v    j u j , se tiene m

 T (u ), v      i T (u i ) , i 1

m

m

 u j 1

j

j



m

   i  j  T (u i ), u j  i 1 j 1 m

m

   i  j  u i , T (u j ) i 1 j 1 m

    i ui , i 1

m

  T (u j

j 1

m

m

i 1

j 1

j

)

    i u i , T (  j u j )    u , T (v ) 

149

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo.-Sea T  L( R 3 ) definida como T ( x, y, z)  ( x  2 y, 3x  4 z, y) . En la base canónica B de R 3 que es ortonormal

1 2 0  [ T ]B  3 0  4 0 1 0  La matriz asociada a T en la base B no es simétrica y en consecuencia T no es autoadjunto. Proposición.- Sean (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno de dimensión finita y T  L(V )

autoadjunto. Si 1 , 2  R son dos valores propios

diferentes de T y u1 , u 2  V sus correspondientes vectores propios, entonces u1 y

u 2 son ortogonales. Prueba

1  u1 , u 2   1 u1 , u 2   T ( u1 ), u 2   u1 , T (u 2 )   u1 , 2 u 2    2 u1 , u 2  Tomando extremos se tiene

1  u1 , u 2   2 u1 , u 2   (1  2 )u1 , u 2   0    0

 u1 , u 2   0  u1  u 2 Ahora se demostrará que todo operador autoadjunto tiene valores propios reales. Sean (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno de dimensión finita. En VC se define el producto interno como sigue.  a  ib, c  id  C  [  a, c    b, d  ]  i[  b, c    a, d  ]

Como ejercicio demostrar que (VC ;   ,  C ) es un C-espacio vectorial con producto interno. Proposición.- Sean (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno de dimensión finita. Si T  L(V ) es autoadjunto entonces su complejificado TC  L(VC ) también es autoadjunto. Prueba

150

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Sea z  a  ib, w  c  id  VC . Se cumple

 TC ( z ) , w  C   TC (a  ib ), c  id  C   T (a)  iT (b), c  id  C  [ T (a), c   T (b), d  ]  i[ T (b), c    T (a), d  ]  [ a, T (c)   b, T (d )  ]  i[ b, T (c)    a, T ( d )  ]

  a  ib, T (c)  iT (d )  C   a  ib, TC (c  id )  C   z, TC (w)  C

Luego, TC es autoadjunto. Proposición.- Sean (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno de dimensión finita. Si T  L(V ) es autoadjunto entonces sus valores propios son reales. Prueba Sea  un C-valor propio de T, luego  es un valor propio de TC ; en consecuencia existe u  VC no nulo tal que TC (u)  u . Se cumple,

  u , u  C   u , u  C   TC (u ), u  C   u , TC (u )  C   u , u  C    u, u  C Tomando extremos,

  u, u  C    u, u  C  (   ) u, u  C  0      0        0

En consecuencia, como    , se tiene que   R . Teorema.- Sea (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno de dimensión n. Si N  L(V ) es autoadjunto y a la vez nilpotente, entonces N  0 . Teorema.- Sean (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno de dimensión finita y T  L(V ) es autoadjunto. Entonces la multiplicidad algebraica de de cada valor propio de T coincide con su multiplicidad geométrica. Prueba. Sea i  R un valor propio de T y de multiplicidad algebraica d i . Sabemos que dim Edi (T ; i )  dim Nu((T  i I ) di )  d i .

151

Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Por otra parte, al ser T  i I nilpotente y además autoadjunto, por el teorema anterior se tiene (T  i I ) | Ed

i

(T ; i )

 0 . Es decir, (Ti  i I ) , luego

Edi (T ; i )  Nu((T  i I ) di )  Nu (0)  E (T ; i ) . Del cual, se tiene que dim(T ; i )  d i . Teorema.-[Teorema espectral para operadores autoadjuntos] Sean (V ;   ,  ) un R-espacio vectorial con producto interno de dimensión finita y

T  L(V ) autoadjunto. Entonces existe una base ortonormal

B

formada por los

vectores propios de T tal que [T ]B es diagonalizable. Ejemplo.- Sea T  L( R 2 ) tal que T ( x, y)  ( y, x) . La matriz asociada a T en la base canónica es

0 1  A  1 0 pT ( )  2  1  0    1    1 E (T ; 1)  { ( x, y)  R 2 / y  x }  L{ (1, 1)} E (T ;  1)  { ( x, y)  R 2 / y   x }  L{ (1,  1)}

Consideramos la base ortonormal

B {

1 1 (1, 1), (1, 1)} 2 2

coformada con los

vectores propios de T. La matriz asociada a T en dicha base es

1 0  [ T ]B    0  1 Ejercicio.-Sea T  L( R 3 ) definida como

T ( x, y, z)  (4 x  2 y  2 z, 2 x  4 y  2 z, 2 x  2 y  4 z) Hallar una base B donde [T ]B sea diagonal.

152

Formas bilineales y cuadráticas Formas bilineales Definición y propiedades Sea V un K- espacio vectorial, diremos que la aplicación: f : V × V −→ K es una forma bilineal si ∀a, b ∈ K; ∀u, v, u1 , u2 , v1 , v2 ∈ V se cumplen las siguientes condiciones: 1. f (u1 + u2 , v) = f (u1 , v) + f (u2 , v) 2. f (u, v1 + v2 ) = f (u, v1 ) + f (u, v2 ) 3. f (au, v) = af (u, v) 4. f (a, au) = af (u, v)

Proposición 1 La aplicación f : V × V −→ K es una forma bilineal si y solamente si ∀a, b ∈ K; ∀u, u1 , u2 , v, v1 , v2 ∈ V se cumplen las siguientes condiciones: 1. f (au1 + bu2 , v) = af (u1 , v) + bf (u2 , v) 2. f (u, av1 + bv2 ) = af (u, v1 ) + bf (u, v2 ) Proposición 2 Propiedades de las formas bilineales Sea f : V × V −→ K una forma bilineal, entonces se cumple: 1. f (u, θ) = f (θ, v) = 0; ∀u, v ∈ V 2. f (−u, v) = f (u, −v) = −f (u, v); ∀u, v ∈ V 153

154

3. f

n X i=1

ai ui ,

n X

! bj vj

=

j=1

n X

ai bj f (ui , vj )

i,j=1

∀ai , bj ∈ K; ∀ui , vj ∈ V donde i, j = 1, · · · n Ejemplo 1 Dado un R espacio vectorial V, un producto interno cualesquiera definido sobre V es una forma bilineal en V. En efecto, un producto interno definido en V es una aplicación h , i : V × V −→ R que satisface las siguientes condiciones: 1. hu + v, wi = hu, wi + hv, wi; ∀u, v, w ∈ V 2. hu, vi = hv, ui; ∀u, v ∈ V 3. hau, vi = ahu, vi; ∀a ∈ R, ∀u, v ∈ V 4. ∀u ∈ V, hu, ui ≥ 0 y hu, ui = 0 ⇔ u = 0 Ejemplo 2 La aplicación f : R2 × R2 −→ R definida por f ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x2 y1 + x1 y2 es una forma bilineal. En efecto: f ((x1 , x2 ) + (z1 , z2 ), (y1 , y2 )) = = = = = f (a(x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = = = =

f ((x1 + z1 , x2 + z2 ), (y1 , y2 )) (x2 + z2 )y1 + (x1 + z1 )y2 x2 y1 + z2 y1 + x1 y2 + z1 y2 (x2 y1 + x1 y2 ) + (z2 y1 + z1 y2 ) f ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) + f ((z1 , z2 ), (y1 , y2 )) f ((ax1 , ax2 ), (y1 , y2 )) ax2 y1 + ax1 y2 a(x2 y1 + x1 y2 ) af ((x1 , x2 ), (y1 , y2 ))

La linealidad en la segunda componente se verifica de manera análoga.

155

Matriz asociada a una forma bilineal Sea V un R- espacio vectorial de dimensión finita y B = {e1 , · · · , en } una base de V. Dada la forma bilineal f : V × V −→ K, consideramos la matriz   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A =  .. .. . . ..   . . .  . an1 an2 · · · ann donde aij = f (ei , ej ); ∀i, j = 1, · · · n Dados dos vectores cualesquuiera x e y de V ,    x1  x2      [x]B =  ..  e [y]B =   .   xn

y1 y2 .. .

    

yn

sus vectores coordenados respectivos, se tiene f (x, y) = f (

n X i=1

xi e i ,

n X

yj ej ) =

j=1

n X

xi yj f (ei , ej ) =

i,j=1

n X

aij xi yj

(1)

i,j=1

escribiendo la relación (1) matricialmente se tiene   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a1n     f (x, y) = [x1 x2 · · · xn ]  .. .. . . ..    . . .  . an1 an2 · · · ann

y1 y2 .. .

    

yn

Denotando, por    X= 

x1 x2 .. .





    ; Y =   

xn

y1 y2 .. .

    

yn

se obtiene f (x, y) = X T AY

(2)

Es expresión (2) es llamada ecuación matricial de la forma bilineal f y a la matriz A se le llama matriz asociada a la forma bilineal f con respecto a la base B de V . En lo que sigue veamos algunos ejemplos.

156 Ejemplo 3 Consideremos la forma bilineal dada en el ejemplo 2: f ((x1 , x2 ), (y1 , y2 ) = x2 y1 + x1 y2 y calculando la matriz asociada a f respecto de la base canónica a11 a12 a21 a22

= f ((1, 0), (1, 0)) = 0 = f ((1, 0), (0, 1)) = 1 = f ((0, 1), (1, 0)) = 1 = f ((0, 1), (0, 1)) = 0

Luego la matriz asociada f con respecto la base canónica de R2 es   0 1 1 0 Toda matriz cuadrada es la matriz asociada a una forma bilineal en alguna base. Es decir fijada una base B de V , y dada una A ∈ Kn×n , la ecuación f (x, y) = X T AY define un forma bilineal f en V cuya matriz asociada respecto de B es A. Ejemplo 4 Sea f : R3 × R3 −→ R respecto a la base canónica es  1  0 2

la forma bilineal cuya matriz asociada  0 1 1 0  0 1

Luego, f está dado por 

  1 0 1 y1 f ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) = [x1 x2 x3 ]  0 1 0   y2  = 2 0 1 y3   y1 + y3  = x1 y1 + x1 y3 + x2 y2 + 2x3 y1 + x3 y3 y2 = [x1 x2 x3 ]  2y1 + y3

Matriz asociada y cambio de base Hay que ver cual es la relación entre dos matrices que representan a una misma forma bilineal f en V con respecto a las bases B y B 0 de V. Sea P la matriz cambio de base de B a B 0 , entonces la ecuación del cambio de base es X = P 0X 0 Si se denotan por A y C las matrices asociadas a f respecto a B y B 0 respectivamente, entonces

157

f (x, y) = X T AY = (P 0 X 0 )T A(P 0 Y 0 ) T

T

= X 0 P 0 AP 0 Y 0 T = X 0 CY 0

Luego C = P 0 T AP 0 . Las matrices asociadas a una misma forma bilineal en bases diferentes son congruentes.

Formas bilineales simétricas y antisimétricas Una forma bilineal f : V × V −→ K se dice que es simétrica si se cumple que f (x, y) = f (y, x); ∀x, y ∈ V de manera análoga, se dice que una forma bilineal f es antisimétrica (o alternada) si se cumple que f (x, y) = −f (y, x); ∀x, y ∈ V . Ejemplo 5 El producto interno definido en un espacio vectorial real es una forma bilineal simétrica. Ejemplo 6 La forma bilineal g : R2 ×R2 −→ R definida por g((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x2 y1 − x1 y2 es una forma bilineal antisimétrica. Ejemplo 7 La forma bilineal h : R2 ×R2 −→ R definida por h((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 − x1 y2 no es una forma bilineal simétrica ni antisimétrica. Ejercicio 1 Sea V un K- espacio vectorial y f : V × V −→ K una forma bilineal. Si V = R o V = C demostrar que f es antisimétrica si y solo si f (x, x) = 0; ∀x ∈ V. Criterio para determinar si una forma bilineal es simétrica o antisimétrica a partir de su representación matricial

158 Proposición 3 Sea V un K- espacio vectorial de dimensión finita, f una forma bilineal y A la matriz asociada a f en alguna base de V. Se cumple que: 1. La forma bilineal f es simétrica si y solo si A es simétrica. 2. La forma bilineal f es antisimétrica si y solo si A es antisimétrica. Prueba 1. =⇒) Asumiendo que f es simétrica se tiene que aij = f (ei , ej ) = f (ej , ei ) = aij , ∀1 ≤ i, j ≤ n. Luego, A = [aij ] es simétrica. ⇐=) Asumiendo que A es simétrica. A = AT f (x, y) = = = = =

X T AY (X T AY )T Y T AT (X T )T Y T AX f (y, x)

Luego, tomando extremos se tiene que f (x, y) = f (x, y) Ejercicio 2 Demostrar que toda forma bilineal puede descomponerse como la suma de una forma bilineal simétrica y una antisimétrica.

Formas cuadráticas Sea V un K-espacio vectorial y f : V × V −→ K una forma bilineal en V. Se llama forma cuadrática asociada a f a la aplicación Φ : V −→ K definida por Φ(x) = f (x, x).

159 Ejemplo 8 Consideremos la forma bilineal f : R2 × R2 −→ R definida por f ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y2 + x2 y1 la forma cuadrática asociada a f es la aplicación Φ : R2 −→ R definida por Φ(x1 , x2 ) = 2x1 x2 En efecto, Φ(x1 , x2 ) = f ((x1 , x2 ), (x1 , x2 )) = x1 x2 + x2 x1 = 2x1 x2 Ejemplo 9 Sea la forma bilineal g : R2 × R2 −→ R definida como g((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = 2x1 y2 la forma cuadrática asociada a g es la aplicación definida por Φ(x1 , x2 ) = g((x1 , x2 ), (x1 , x2 )) = 2x1 x2 Ejemplo 10 Si h : V×V −→ K es una forma bilineal antisimétrica y K = R o K = C, entonces la forma cuadrática Φ asociada a h es identicamente cero. En efecto, al ser h antisimétrica se tiene que h(x, x) = −h(x, x) ⇒ h(x, x) = 0 y en consecuencia Φ(x1 , x2 ) = h(x, x) = 0 Propiedades de las formas cuadráticas Sea Φ : V −→ K la forma cuadrática asociada a una forma bilineal f . Para todo λ ∈ K, x, y ∈ V se cumple: 1. Φ(θ) = 0 2. Φ(λx) = λ2 Φ(x) 3. Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y) + f (x, y) + f (y, x)

160 Prueba 1. Φ(θ) = f (θ, θ) = 0. 2. Φ(λx) = f (λx, λx) = λ2 f (x, x) = λ2 Φ(x) 3. Φ(x + y) = f (x + y, x + y) = f (x, x) + f (x, y) + f (y, x) + f (y, y) = Φ(x) + Φ(y) + f (x, y) + f (y, x) Forma polar asociada a una forma cuadrática De los ejemplos vistos, podemos afirmar que formas bilineales diferentes dan lugar a la misma forma cuadrática. Luego, si f es una forma bilineal simétrica y Φ la forma cuadrática asociada a f , entonces para cualquier forma bilineal antisimétrica g se tiene que Φ(x) = f (x, x) = f (x, x) + g(x, x) pues g(x, x) = 0, ∀x ∈ V por ser antisimétrica. De esta forma resulta que Φ es una forma cuadrática asociada a f y al mismo tiempo a f + g, para cualquier g forma bilineal antisimétrica. Proposición 4 Dada una forma cuadrática Φ en V, existe una única forma bilineal simétrica fp cuya forma cuadrática asociada es Φ. Prueba Para cada forma bilineal f cuya forma cuadrática asociada sea Φ, por la propiedad Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y) + f (x, y) + f (y, x) se tiene f (x, y) + f (y, x) = Φ(x + y) − Φ(x) − Φ(y)

(3)

imponiendo la condición de que f es una forma bilineal simétrica se tiene en la relación (3) 2f (x, y) = Φ(x, y) − Φ(x) − Φ(y) 1 [Φ(x + y) − Φ(x) − Φ(y)] ⇒ f (x, y) = 2

(4)

y por consiguiente es único. La forma bilineal simétrica dada en la relación (4) es llamada forma polar de la forma cuadrática Φ y se denota por f = fp . Existen también otras fórmulas además de la dada en (4) para el cálculo de fp .

161 Ejemplo 11 Sea la forma bilineal h : R2 × R2 −→ R definida por h((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 − x1 y2 . Hallar fp a partir de h. Proposición 5 Sea Φ una forma cuadrática en V asociada a la forma bilineal g. La forma polar fp de Φ puede obtenerse como: 1. fp (x, y) = 21 [Φ(x + y) − Φ(x) − Φ(y)] 2. fp (x, y) = 41 [Φ(x + y) − Φ(x − y)] 3. fp (x, y) = 21 [g(x, y) + g(y, x)] Prueba

1. Ya fue demostrado en la proposición anterior. 2. Se prueba que Φ(x − y) = Φ(x) + Φ(y) − 2fp (x, y) · · · (1) En efecto, Φ(x − y) = = = = Φ(x − y) = Φ(x + y) =

g(x − y, x − y) g(x, x − y) − g(y, x − y) g(x, x) + g(x, −y) + g(−y, x) + g(−y, −y) Φ(x) − g(x, y) − g(y, x) + Φ(y) Φ(x) + Φ(y) − 2fp (x, y) Φ(x) + Φ(y) + 2fp (x, y) · · · (2)

Restamos (1) de (2) y obtenemos

4fp (x, y) = Φ(x + y) − Φ(x − y) 1 [Φ(x + y) − Φ(x − y)] fp (x, y) = 4

162 3. Consideramos Φ(x) = g(x, x) Φ(x + y) = g(x + y, x + y) = g(x, x) + g(y, y) + g(x, y) + g(y, x) = Φ(x) + Φ(y) + g(x, y) + g(y, x) · · · (1)

De otra parte por (1) se tiene Φ(x + y) = 2fp (x, y) + Φ(x) + Φ(y) · · · (2) De (1) y (2) se obtiene 2fp (x, y) = g(x, y) + g(y, x) 1 ⇒ fp (x, y) = [g(x, y) + g(y, x)] 2 Ejemplo 12 Sea Φ la forma cuadrática en R2 asociada a la forma bilineal h : R2 × R2 −→ R definida por h((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y1 − x1 y2 Determinar la forma polar fp de Φ.

Solución 1 [h((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) + h((y1 , y2 ), (x1 , x2 ))] 2 1 = [x1 y1 − x1 y2 + y1 x1 − y1 x2 ] 2 1 = [2x1 y1 − x1 y2 − y1 x2 ] 2

fp ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =

Matriz asociada a una forma cuadrática Dada la forma cuadrática Φ en V y B una base ordenada de V , la matriz asociada a Φ respecto a la base B de V, es la matriz asociada a la forma polar fp de Φ respecto a la base B. Al ser fp simétrica, su matriz asociada es simétrica; en consecuencia la matriz asociada a una forma cuadrática en cualquier base, será siempre simétrica.

163 Llamaremos rango de Φ lo que denotamos por ran(Φ) al ran(fp ). De la expresión matricial de Φ se tiene n X

Φ(x) = fp (x, x) = X T AX =

aij xi xj · · · (∗)

i,j=1

Como A es simétrica, de la expresión anterior se tiene que aij = aji ; ∀1 ≤ i, j ≤ n Luego se puede escribir la relación (∗)como Φ(x1 , · · · , xn ) =

n X

a2ii x2i + 2

X

aij xi xj · · · (?)

i 0 ∧ Φ(x) < 0 veremos entonces que existe un vector z ∈ V, z 6= θ,tal que Φ(z) = 0 . Para cada a ∈ K se verifica Φ(ax + y) = a2 Φ(x) + 2afp (x, y) + Φ(y) nótese que el segundo miembro de la relación anterior es una ecuación cuadrática en a. a2 Φ(x) + 2afp (x, y) + Φ(y) = 0 tiene soluciones a=

q −2fp (x, y) + 4 (fp (x, y))2 − 4Φ(x)Φ(y) 2Φ(x)

o a=

−2fp (x, y) −

q 4 (fp (x, y))2 − 4Φ(x)Φ(y) 2Φ(x)

Al haber supuesto que Φ(x) > 0 ∧ Φ(y) < 0, entonces Φ(x)Φ(y) < 0 y por lo tanto el discriminante es positivo, luego tiene dos soluciones reales distintas a1 y a2 y verifican Φ(a1 x + y) = 0 y Φ(a2 x + y) = 0 Además al menos uno de los vectores a1 x + y o a2 x + y es no nulo, ya que en caso contrario se tendría a1 x + y = 0 = a2 x + y de lo cual se obtendría que a1 = a2 ; lo cual es una contradicción al ser las dos raíces distintas. De una forma cuadrática real Φ se dice que es: 1. Definida positiva si Φ(x) > 0, ∀ θ 6= x ∈ V. 2. Definida negativa si Φ(x) < 0, ∀ θ 6= x ∈ V.

166 3. Semidefinida positiva si Φ(x) ≥ 0, ∀ θ 6= x ∈ V. 4. Semidefinida negativa si Φ(x) > 0, ∀ θ ≤ x ∈ V. De una forma cuadrática que no definida ni semidefinida se dice que es indefinida. Ejemplo 14 Sea (V, h·, ·i) un espacio vectorial con producto interno. La aplicación Φ sobre V definida como Φ(x) = hx, xi = kxk2 es una forma cuadrática definida positiva. Ejemplo 15 La forma cuadrática Φ1 : R2 −→ R definida por Φ1 (x, y) = x2 + y 2 es definida positiva. Ejemplo 16 La forma cuadrática Φ2 : R2 −→ R definida por Φ1 (x, y) = −x2 − y 2 es definida negativa. Ejemplo 17 La forma cuadrática Φ3 : R2 −→ R definida como Φ3 (x, y) = x2 − y 2 no es definida puesto que Φ3 (1, 1) = 12 − 12 = 0; tampoco es semidefinida puesto que Φ3 (1, 0) = 1 > 0 ∧ Φ3 (0, 1) = 1 < 0. Ejemplo 18 La forma cuadrática Φ4 : R2 −→ R definida como Φ4 (x, y) = x2 + y 2 + 2xy. La expresión anterior se puede escribir como Φ4 (x, y) = (x + y)2 Φ4 no es definida positiva pero si es semidefinida positiva pues Φ4 (1, −1) = (x − y) = 0; (1, −1) 6= (0, 0).

167 Signatura de una forma cuadrática. Dada una forma cuadráticareal, siempre existirá una base en la cual su matriz asociada es diagonal. Se sabe que matrices asociadas a una misma forma cuadrática en diferentes bases bases son semejantes; luego el problema se reduce a: Dada una matriz simétrica A, determinar una matriz diagonal D, semejante con A. Se sabe que una matriz simétrica se diagonaliza ortogonalmente; es decir, existe una matriz P ortogonal tal que D = P T AP Lo mencionado anteriormente resumimos en el siguiente proposición. Proposición 7 Sea V un R-espacio vectorial de dimensión finita y sea Φ : V −→ R una forma cuadrática. Entonces existe una base B de V en la cual la matriz asociada Φ es diagonal. Proposición 8 (Ley de inercia de Sylvester) Sea V un R-espacio vectorial de dimensión finita y sea Φ : V −→ R una forma cuadrática. Si D1 y D2 son matrices diagonales asociadas a Φ respecto a distintas bases entonces el número de los elementos positivos y elementos negativos de D1 y D2 es el mismo. Signatura de una forma cuadrática real Llamaremos signatura de una forma cuadrática real Φ al par sig(Φ) = (p, q) donde p es el número de elementos positivos y q el número de elementos negativos en una forma diagonal de Φ. Nótese que p es igual al número de valores propios positivos de la matriz asociada a Φ(teniendo en cuenta su multiplicidad) y q es el número de valores propios negativos. Por otra parte el rango de Φ es igual al número de filas no nulas de su forma diagonal y por consiguiente se verifica que ran(Φ) = p + q Ejemplo 19 Dada la forma cuadrática Φ : R3 −→ R definida como Φ(x, y, z) = y 2 + 2xy. Determinar la signatura de Φ.

168 La matriz asociada a Φ en la base canónica es   0 1 0 A= 1 1 0  0 0 0 " √ !# " λ 1 0 1+ 5 λ− pA (λ) = |λI − A| = 1 λ − 1 0 = λ λ − 2 0 0 λ

√ !# 1− 5 2

Luego sig(Φ) = (1, 1) La signatura de una forma cuadrática nos permite clasificar fácilmente una forma cuadrática. Teorema 1 Sea V un R-espacio vectorial de dimensión finita igual a n y Φ : V −→ R una forma cuadrática real. Entonces: 1. Φ es definida positiva ⇐⇒ sig(Φ) = (n, 0). 2. Φ es definida negativa ⇐⇒ sig(Φ) = (0, n). 3. Φ es semidefinida positiva ⇐⇒ sig(Φ) = (r, 0); r < n 4. Φ es semidefinida negativa ⇐⇒ sig(Φ) = (0, r); r < n Ejemplo 20 Dada la forma cuadrática Φ : R3 −→ R definida como Φ(x, y, z) = y 2 + 2xz determinar su signatura y rango. Solución La matriz asociada a Φ   λ 0 0 1 0 −1  0 1 0  =⇒ pA (λ) = 0 λ − 1 0 = (λ − 1)2 (λ + 1) −1 1 0 0 0 λ =⇒ λ1 = 1,

M A(λ1 = 2);

λ2 = −1.

∴ sig(Φ) = (2, 1) y ran(Φ) = 2 + 1 = 3 Ejemplo 21 Dada la forma cuadrática Φ : R3 −→ R definida como Φ(x, y, z) = x2 + 3y 2 + 7z 2 + 2xy + 4xz + 4yz determinar la signatura de Φ.

169 Solución La matriz asociada a Φ   λ − 1 −1 1 1 2 −2  1 3 2  =⇒ pA (λ) = −1 λ − 3 −2 −2 2 2 7 −2 λ − 7 =⇒ λ1 = 8, 4927,

= λ3 − 11λ2 + 22λ − 6

λ2 = 2, 1837 y λ3 = 0, 3255.

∴ sig(Φ) = (3, 0),

luego Φ es definida positiva.