Algebra Lineal - Eduardo Espinoza Ramos

Recta.'i )' Pla11os en el Espacio Tridimensional

1

l.

CAPÍTULO I

RECTAS Y PLANOS TRIDIMENSIONAL

1

EN

EL

ESPACIO

PRE-REQUISITOS.- Para la comrrensión adecuada de este tema de rectas y planos en R , se requiere de los conocimientos previos de: Sistema de coordenadas en· el plano. Solución de sistemas de ecuaciones. Elementos de geometría del espacio. OBJETIVOS.- Establecer los fundamentos necesarios para el trazado de planos y rectas en el espacio, respecto a un sistema de coordenadas. Al terminar este capitulo el a.lumno debe ser capaz de: Describir el sistema coordenado en el espacio. Situar puntos en el sistema coordenado del espacio. Recordar las distintas formas de la ecuación general de un plano. Trazar un plano dada su ecuación, interpretando geométricamente. Hallar la ecuación del plano a partir de condiciones geométricas. Recordar que dos ecuaciones lineales simultáneas representan una recta en el espacio. (Sistema Compatible). Representar gráficamente una recta en el espacio. Hallar la ecuación de la recta en el espacio a partir de condiciones geométricas dadas.

Eduardo Espirroza Ram

104

1

CAPÍTULO 11

1

12.

CONCEPTOS BÁSICOS.-1

12.1.

PRODUCTO DE DOS CONJUNTOS.-

!

Sean X, Y dos conJuntos cualquiera, llamaremos producto cartesiano de X por Y al conjunto denotado por XxY y definido así: 1 XxY == {(x,y) / x e X /\ y e Y) 1

2.2.

12.3.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE DOS CON.JUNTOS.-

© © ©

© 0 ©

A x (B u C) =- A x B u A x C'

0

Si A e B •

©

SiAcCyBcD • AxBcCxD

AxB;t;BxA

Ax {B

C)

AxB~AxC' A

X

Ax(jl=(jlxA= Ax (B r, C)-= Ax B r, A x C (A X 8) XC =A X (B XC)

e e B X e, '11 e

RELACIÓN BINARIA.-

l

Dados X,Y dos conjuntos: diremos que R es una relación binaria de X en Y, si

y solo si, Res un subconjunto de X x Y.

12.4.

APLICACIÓN DE X EN

Y.-1

Diremos que f es una aplicación ó función de X en Y. si y solo si. para cada x e X, existe un único y e Y, tal que y== f(x).

/\pacios Vectoriales

111

1 CAPÍTULO

Ill 1

13.

ESPACIOS VECTORIALES.-

jJ. I.

DEFINICIÓN.Sean V

1

* 4> un conjunto, k un campo y dos operaciones una

de suma (+) y

la otra de producto(.), entonces diremos que el objeto (V,+ k..) es un espacio vectorial si se verifican las siguientes condiciones.

A)

EXISTE UNA APLICACIÓN SUMA.

+ : VxY •

V

(x,y) • +(x,y) = x + y

Llamado ley de composición interna (la suma de dos vectores es un vector) y cumple los axiomas siguientes: A1 •• x +y= y+ x, 'i/ x.y

E

V axioma conmutativa.

A 2 .- x +(y+ z) =(x -t y)+ z, 'r;/ x,y,l. e V. axioma asociativa. A3 .- 'r/ x

E

V, existe O e V tal que x +O= O + x

= x donde "O" se

denomina elemento neutro aditivo o cero. A4 .-

'r;/

x e V, existe -x e V, tal que x + (-x) = (-x) + x -= O. donde -x

se denomina opuesto de x.

B)

EXISTE UNA APLICACIÓN PRODUCTO.-

• :kx V • (A.,X) •

V

.(A..X) = A.X

Transformaciones Lineales

229 1 CAPÍTULO

[4.

IV 1

TRANSFORMACIONES LINEALES.-

!

En el presente capítulo expondremos el concepto de transfonnación lineal entre dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, las propiedades generales y los tipos especiales de transformaciones lineales, se introduce la estructura de Núcleo y de la imagen de una transfonnación lineal y se estudia la relación entre sus dimensiones, al fijar una base en cada espacio se determina la matriz asociada a una transfonnación lineal y finalmente se trata de los espacios vectoriales de las transformaciones lineales y el espacio dual de un espacio vectorial.

l~.1.

DEFINICIÓN.~ Consideremos dos espacios vectoriales V y W sobre el cuerpo k, a la función T: V •

W, llamaremos una transfonnación lineal u homomorfismo sí y sólo sí

cumple con las siguientes condiciones. i)

1T(x +y)= T(x) + T(y), V x.,y e V 1 Es decir: Que la imagen de la suma de dos vectores de V es igual a la suma de sus imágenes en W.

ii) IT(h}=AT(x), 'v'xeV, Aekl

Es decir: Que la imagen del producto de cualquier escalar por todo vector de V es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector en W.

321

Producto Interno y Ortogonalidad

1 CAPitULO V 1

Is.

PRODUCTO INTERNO Y ORTQGóNALIDAD.-1

ls.1.

DEFINICIÓN.- 1 Sea V un espacio vectorial sobre el campo k, donde k = R ó k = C, llamaremos producto interno sobre V a una función < , > : V x V • k si satisface las siguientes condiciones.

i)

=