Algebra Lineal - Curso Completo PDF

 

 

       

 

PROYECTO DE FACULTA FACULTAD D DE CIENCI CIENCIAS AS NATURALES. MATEMÁTIC MATEMÁTICA A Y DEL MEDIO AMBIENTE: ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web.

   

CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL PARA PÁGINA WEB UTEM

   

AUTOR: CARLOS A. SEPÚLVEDA SEPÚ LVEDA BUSTAMANTE ACA ACADÉMICO DÉMICO DEPARTA DEPARTAMENTO MENTO DE MATEMÁTICA

 

 

DEDICADO A:        

mi familia: Ivonne Ximena; Carlos Leonel; Giselle Montserrat y Juan Pablo.

 

   

PÁG. M 

PRÓLOGO

 

Este texto, representa en impreso lo que está en la página web de la UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA; específicamente en la dirección http://www http://www.utem.cl/matematicas/csepulveda .utem.cl/matematicas/csepulveda .   El propósito es presentar una propuesta metodológica de autoaprendizaje de la asignatura de ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) del Plan Común de Ingeniería de nuestra Universidad. Además, se trata de uniformar la metodología de enseñanza para las distintas secciones de dicho Plan. En el contenido, se presenta lo más fielmente posible los temas, guías de estudio, talleres de estudio, pruebas de autoevaluación, controles, pruebas de ensayo, pruebas parciales, pruebas recuperativas y exámenes; que se han hecho en los últimos años en esta institución; de tal forma que sirva de una guía para el estudiante principalmente; como también secundariamente para el académico que dicta la asignatura.  

El modo de uso del curso en la página web como guía de

autoaprendizaje; sigue el siguiente modelo para cada SEMANA: INTERNALIZAR INTERNALIZA R EL (O LOS) OBJETIVO(S) OPERACIONAL(ES) DE CADA TEMA  

Æ ESTUDIAR EL TEMARIO Y REHACER LOS EJERCICIOS E JERCICIOS DESARROLLADOS CORRESPONDIENTES A CADA CONCEPTO.

Æ DESARROLLAR DESARROLLA R LOS E EJERCICIOS JERCICIOS DE LA GUÍA Y TALLER DE ESTUDIO.

Æ COMO EVALUACIÓN FORMATIVA DESARROLLAR LA PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN AUTOEVALU ACIÓN CORRESPONDIENTE.

Æ COMPARAR LAS RESPUESTAS DE LA PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN CON LA PAUTA PROPUESTA.

Æ COMO EVALUACIÓN FORMATIVA DESARROLLAR DESARROLLAR LOS CONTROLES CON PAUTA Y AUTOEVALUARSE SEGÚN LA PUNTUACIÓN ASIGNADA.

Æ COMO EVALUACIÓN DEL CURSO DESARROLLAR CONTROL PROPUESTO PARA SER EVALUADO EVALUADO POR EL P PROFESOR ROFESOR DEL CURSO.

 

 

PÁG. M M 

  En cuanto a los periodos de SEMANA SEMANAS S DE PRUEBAS O EXÁMENES el modo de uso para cada PERIODO SE RESUME EN EL SIGUIENTE MODELO: DESARROLLAR DESARROLLA R LOS E EJERCICIOS JERCICIOS DE LA PRUEBA DE ENSAYO.

Æ COMO EVALUACIÓN FORMATIVA DESARROLLAR LAS PRUEBAS PARCIALES O EXÁMENES CON PAUTA. PAUTA.

Æ COMPARAR LAS RESPUESTAS DE LA PRUEBA PARCIAL O EXAMEN CON LA PAUTA PROPUESTA. El estudiante deberá rendir DOS PRUEBAS PARCIALES para evaluar  lo aprendido mediante este método.   El estudiante puede reforzar el autoaprendizaje, asistiendo al curso dictado en forma tradicional y aprovechando las horas de atención de alumnos dispuestas por el académico que dicta la asignatura. La asignatura será dictada según la organización dispuesta en el texto.   El procedimiento de evaluación es según lo indicado en el reglamento de los estudiantes de la UTEM, o lo que el académico disponga para este efecto.  

 

 

   

PÁG.

MM M 

AGRADECIMIENTOS En primer lugar; vaya mi reconocimiento para la Institución por darle

importancia a esteeltipo actividad académica; pues el presente proyecto se realizó durante añode2007 aprovechando la experiencia de lo realizado en esta asignatura, durante los años anteriores por los académicos que la han dictado bajo la coordinación del autor.   En segundo lugar, agradezco a los estudiantes por su buena disposición para señalar los errores que tenía el libro original o primera versión que dió orígen a este proyecto; como también a mis colegas que aportaron en una mejor redacción de los contenidos y/o ejercicios.   En tercer lugar, agradezco muy especialmente al estudiante SEÑOR PABLO ESPARZA SOLANO; quién por encargo de la Directora del Departamento de Matemática SEÑORA LIDIA ORTEGA SILVA; SIEMPRE TUVO LA BUENA DISPOSICIÓN para ir colocando semana a semana los temas en la PÁGINA WEB DE LA UNIVERSIDAD durante el segundo semestre de 2007; por lo cual el proyecto ya tuvo un primer piloto en dicho periodo.   En cuarto lugar, agradezco a todos los estudiantes del curso de Álgebra Lineal del Plan Común de Ingeniería o de otras facultades, que accedieron al curso por la web y que les haya aportado para su aprendizaje.   Finalmente, mi agradecimiento para el SEÑOR CARLOS ALARCÓN ALARCÓN REYES, quién tuvo en el segundo semestre de 2007 la coordinación del curso de Álgebra Lineal (MAT-605), y siempre tuvo la buena disposición para promocionar el proyecto a los estudiantes como una ayuda más para su aprendizaje, como también mi reconocimiento para los académicos que trabaj tra bajaro aron n bajo bajo dicha dicha coo coordi rdinaci nación ón y ttuvi uviero eron n la misma misma ac actit titud. ud.

 

 

PÁG.

   

M Z  

INDICE CONTENIDOS CO

SEMANA Nº O1 

PÁGINAS 1

-

53

UNIDAD I: MATRICES 

                 

SEMANA N°1: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 1: Definición de matriz TEMA 2: Vectores y matrices TEMA 3: Operaciones con matrices TEMA 4: Producto vectorial y multiplicación de matrices TEMA 5: Transpuesta de una matriz TEMA 6: Tipos de matrices TEMA 7: Operaciones elementales sobre las filas

        

(o columnas) de una matriz SEMANA Nº1: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°1 Taller N°1

29

SEMANA Nº1: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª1 SEMANA Nº1: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº1: CONTROLES PROPUESTOS

43 45 51

ñ

 

ñ

ñ ñ ñ

     

SEMANA Nº O2   ñ

     

 

1 4 8 11 21 25

37 40

54

SEMANA N°2: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 8: Matriz inversa TEMA 9: Matrices elementales y matrices inversas

-

54 59

UNIDAD II: DETERMINANTES 

   

TEMA 1: TEMA 2:

Definiciones Propiedades de los determinantes

63 69

92

 

 

PÁG.

 

ñ

        ñ  ñ  ñ

SEMANA Nº2: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°2 Taller N°2

75 79

SEMANA Nº2: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª2 SEMANA Nº2: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº2: CONTROLES PROPUESTOS

82 84 90

SEMANA Nº O3  

 

93

SEMANA N°3: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 3: Determinantes, matriz adjunta e inversas de matrices

ñ

     

Z  

- 130

93

UNIDAD III: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 

   

TEMA 1: Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas TEMA 2: 7 ecuaciones lineales con 8 incógnitas SEMANA Nº3: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°3 Taller N°3

98 100

ñ

SEMANA Nº3: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª3

116

  ñ 

SEMANA Nº3: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº3: CONTROLES PROPUESTOS

119 128

 

ñ

       

ñ

SEMANA Nº O4  

 

ñ

   

SEMANA N°4: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 3: Regla de Cramer

111 114

131 - 189

131

 

 

PÁG.

Z M 

UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALES 

    ñ

 

      ñ ñ ñ

     

TEMA 1: Definición de espacio vectorial TEMA 2: Subespacios vectoriales SEMANA Nº4: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°4 Taller N°4

136 160

SEMANA Nº4: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª4 SEMANA Nº4: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº4: CONTROLES PROPUESTOS

171 177 187

SEMANA Nº O5   ñ

  ñ

 

 

 

      ñ ñ ñ

190 194 - 234

SEMANA N°6: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 3: Combnación lineal y espacio generado TEMA 4: Independencia lineal TEMA 5: Base y dimensión SEMANA Nº6: EJERCICIOS PROPUESTOS

        ñ

190 - 193

SEMANA N°5: SEMANA DE PRUEBAS SEMANA Nº5: CONTROL Nª1 CON PAUTA

SEMANA Nº O6   ñ

164 168

     

194 200 205

(02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°5 Taller N°5

211 216

SEMANA Nº6: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª5 SEMANA Nº6: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº6: CONTROLES PROPUESTOS

221 226 232

 

 

PÁG.

SEMANA Nº O7  

235 - 288

ñ

 

SEMANA N°7: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 6: Cambio de base

   

Z M M 

235

UNIDAD V: TRANSFORMACIONES LINEALES 

        ñ

TEMA 1:

Definición y propiedades de transformación lineal TEMA 2: Nucleo e imagen de una transformación lineal SEMANA Nº7: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°6 Taller N°6

 

      ñ

ñ

   

 

    

      ñ ñ ñ ñ

257 261

289 - 343

SEMANA N°8: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 3: Representación matricial de una

   

ñ

250

SEMANA Nº7: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nº6 y PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nº7 264 SEMANA Nº7: PRUEBA PARCIAL Nº1 CON PAUTA 272

SEMANA Nº O8   ñ

242

       

transformación lineal. TEMA 4: Isomorfismos SEMANA Nº8: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°7 Taller N°7 SEMANA Nº8: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª8 SEMANA Nº8: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº8: CONTROLES PROPUESTOS SEMANA Nº8: PRUEBA ENSAYO N°1 CON PAUTA

289 298 311 315 319 321 327 331

 

 

PÁG.

SEMANA Nº O9 

344 - 379

Z MMM 

UNIDAD VI: VALORES Y VECTORES PROPIOS,   DIAGONALIZACIÓN Y FORMAS CUDRÁTICAS  ñ

              

SEMANA N°9: (04 HORAS DECONTENIDOS CÁTEDRA): Y EJEMPLOS TEMA 1: Definiciones de valor y vector propio TEMA 2: Propiedades de los valores propios SEMANA Nº9: EJERCICIOS PROPUESTOS (02 HORAS DE EJERCICIOS): Guía de estudio N°8 Taller N°8

ñ

ñ ñ ñ

     

 

SEMANA N°10: CONTENIDOS Y EJEMPLOS (04 HORAS DE CÁTEDRA): TEMA 3: Espacio propio TEMA 4: Matrices semejantes TEMA 5: Diagonalización SEMANA Nº10: EJERCICIOS PROPUESTOS

        ñ

 

    

(02 DE EJERCICIOS) : GuíaHORAS de estudio N°9 Taller N°9 ñ ñ ñ

     

361 363

SEMANA Nº9: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª9 SEMANA Nº9: CONTROLES CON PAUTA SEMANA Nº9: CONTROLES PROPUESTOS

SEMANA Nº 10   ñ

344 359

365 371 377

380 - 423

380 386 389 395 398

SEMANA Nº10: PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN Nª10 401 SEMANA Nº10: CONTROLES CON PAUTA 405 SEMANA Nº10: CONTROLES PROPUESTOS 416

 

 

PÁG.

SEMANA Nº 11 

424 - 443

ñ

  ñ

SEMANA N°11: PRUEBA ENSAYO N°2  

SEMANA Nº11: PRUEBA ENSAYO N°2 CON PAUTA

SEMANA Nº 12   ñ

  ñ

 

  ñ

 

492 - 512

SEMANA N°14: EXAMEN Nº1  

  ñ

468 - 491

SEMANA Nº13: PRUEBA RECUPERATIVA CON PAUTA 468

SEMANA Nº14: EXAMEN Nº1 CON PAUTA

SEMANA Nº 15   ñ

444

SEMANA N°13: PRUEBA RECUPERATIVA

  ñ

444 - 467

SEMANA Nº12: PRUEBA PARCIAL Nº2 CON PAUTA

SEMANA Nº 14   ñ

424

SEMANA N°12: PRUEBA PARCIAL Nº2

SEMANA Nº 13   ñ

M\ 

 

SEMANA N°15: EXAMEN Nº2 SEMANA Nº15: EXAMEN Nº2 CON PAUTA

492

513 - 534

513

 

 

 

PÁG.

\ 

BIBLIOGRAFÍA

ALARCÓN REYES, Carlos   "Ejercicios Resueltos ÁLGEBRA LINEAL".   Universidad Tecnológica Metropolitana. 1ª Edición.   Santiago-Chile. Julio 2007. DE BURGOS, Juan.   "Álgebra lineal y geometría analítica" . Editorial Mc. Graw-Hill Madrid 2000. GROSSMAN, Stanley I..   "Álgebra lineal" . Editorial Mc. Graw-Hill: México. 1996. LIPSCHUTZ, Seymour.   "Álgebra lineal" . Editorial Mc. Graw-Hill: México. 1970. NAKOS-JOYNER   "Álgebra lineal con aplicaciones" . Editorial Thomson. 1999. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE, Carlos   "Álgebra Lineal"   Universidad Tecnológica Metropolitana. 1ª Edición.   Santiago-Chile. Enero 2007. ZEGARRA, Luis A.   "Álgebra lineal" . Editorial Mc. Graw-Hill: Santiago. 2001.

 

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SEMANA N° 01: 01:

PÁG. 1

(04 HORAS CÁTEDRA)

 

UNIDAD I : MATRICES

 

TEMA 1:

DEFINICIÓN DE MATRIZ

OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Construir una matriz de orden indicado, a partir de una condición para el término genérico + 34  Þ (1.1) DEFINICIÓN:   Sean +3 4  −  ‘ (o ‚); 3 œ "ß #ß #ß $ß $ß ÞÞ ÞÞÞß 7 à 4 œ "ß #ß #ß $ß $ß ÞÞ ÞÞÞß 8   Se llama MATRIZ a un arreglo algebraico rectangular de números reales (o complejos); en la forma siguiente:

 

Eœ

ÖÔÖ ÖÖÖ Õ

+" " +# " ÞÞÞ +3" ÞÞÞ +7"

+" # +## ÞÞÞ +3 # ÞÞÞ +7#

ÞÞÞ +"4 ÞÞÞ +#4 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ +34  ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ +74

ÞÞÞ +"8 ÞÞÞ +#8 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ +38 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ +78

Ù×Ù ÙÙÙ Ø

œ Ð+34 Ñ

(1.2) OBSERVACIÓN: a) Los números denotados horizontalmente conforman lo que llamamos FILA de la matriz; y los números denotados verticalmente conforman lo que llamamos COLUMNA de la m matriz. atriz. b) De acuerdo al número de FILAS y el número de COLUMNAS se define el orden de la matriz; así la definida en (1.1) se dice que es de orden "7 :9< 8"; lo que denotamos por 7 B 8 Þ c) `7 B 8 Ð‘Ñ denota el conjunto de todas las matrices de orden 7 B 8 con números tomados del conjunto de los números reales. reales. Análogamente; `7 B 8 Ð‚Ñ denota el conjunto de todas las matrices de orden 7 B 8 con números tomados del conjunto de los números complejos.

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PÁG. 2

(1.3) EJEMPLOS: Determine la matriz E œ Ð+34 Ñ ÐÐ33 œ "ß #ß ÞÞÞß ÞÞÞß 7 à  4 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8Ñ   del orden orden indicado tal que: (1.3.1)

+34  œ Ð3  #4 #4Ñx 

Š‹ $3  4 

; $B$

SOLUCIÓN: 1º) La matriz tiene 9 términos (3 FILAS y 3 COLUMNAS), dados por:

+"" œ Ð"  #Ð #Ð"ÑÑx  +"# œ Ð"  #Ð#ÑÑx  +"$ œ Ð"  #Ð$ÑÑx  +#" œ Ð#  #Ð"ÑÑx  +## œ Ð#  #Ð#ÑÑx  +#$ œ Ð#  #Ð$ÑÑx 

ŠŠ Š Š Š Š Š Š

œ '$ œ $

$Ð"Ñ #

œ "#!  $ œ ""(

$Ð"Ñ $ $Ð#Ñ " $Ð#Ñ # $Ð#Ñ $ $Ð$Ñ

+$" œ Ð$  #Ð"ÑÑx  +$# œ Ð$  #Ð#ÑÑx  +$$ œ Ð$  #Ð$ÑÑx 

2º)

‹‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹

$Ð"Ñ "

" $Ð$Ñ # $Ð$Ñ $

La matriz pedida es:

œ &!%!  " œ &!$* œ #%  ' œ ") œ (#!  "& œ (!& œ %!$#!  #! œ %!$!! œ "#!  * œ """ œ &!%!  $' œ &!!% œ $'#))!  )% œ $'#(*'

Î Ï

$ ""( &!$* ") (!& %!$!! """ &!!% $'#(*'

Ñ Ò

Þ

(1.3.2) +34  œ   Ð/3#  669 91$ 4Ñ ; #B$ SOLUCIÓN: 1º) La matriz tiene 6 términos (2 FILAS y 3 COLUMNAS), dados por:

+"" +"# +"$ +#" +## +#$ 2º)

œ   Ð/ Ð /"#  691$ "Ñ œ /"  ! ¸ !Þ$') œ  Ð/"#  669 91$ #Ñ œ /"   691# 691$ ¸ !Þ*** œ  Ð/"#  691$ $Ñ œ /"  " ¸ "Þ$') œ  Ð/##  691$ "Ñ œ "  ! œ " 68 # œ  Ð/##  691$ # Ñ œ "  68 $ ¸ "Þ'$" œ  Ð/##  691$ $Ñ œ "  " œ # La matriz pedida es:

Œ

!Þ$' !Þ$') ) "

!Þ** !Þ*** * "Þ'$"

"Þ$' "Þ$') ) #



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PÁG. 3

#

3 (1.3.3) +34  œ - 9=/- Ð3  #4Ñ  - 9>+8  4"  =/- Ð3  4Ñ ; $B" SOLUCIÓN: 1º)) 1º La matriz tiene 3 términ os ((3 3 FI FILAS LAS y 1 CO COLUMN LUMNA), A), dados por: (USE SU CAL CALCULADORA CULADORA EN MOD MODO O RADIÁN) #

+""

" œ - 9=/- Ð"  #Ð"ÑÑ  - 9>+8 ""  =/- Ð"  "Ñ  

 

  ""Þ$# œ =/"8 $  >+8"!Þ !Þ&  - 9"= # ¸ # # œ - 9=/- Ð#  #Ð"ÑÑ  - 9>+8 ""  =/- Ð#  "Ñ   œ =/"8 %  >+"8 "  -9"= & ¸   %Þ#! # $ œ - 9=/- Ð$  #Ð"ÑÑ  - 9>+8 ""  =/- Ð$  "Ñ   " œ =/"8 &  >+8""Þ   !Þ## "Þ&  - 9= "! "! ¸

+#"

  +$"

  2º)) 2º

La matriz pedida es:

Î ""Þ$# Ñ %Þ#! Ï !Þ## Ò

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TEMA 2:

PÁG. 4

VECTORES Y MATRICES

OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Verificar si se cumple o no se cumple la condición para que dos matrices sean iguales . (2.1) DEFINICIÓN:   Llamaremos VECTOR FILA DE 8 COMPONENTES a una 8  ?:6+ ordenada de 8 números reales o complejos que denotaremos por: descrito matric matricialmen ialmente te ÐB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B3 ß ÞÞÞß B8 Ñ; el que descrito

a

B"

B#

B$

ÞÞÞ

B3

ÞÞÞ

b

B8    − `" B 8 Б ó ‚Ñ

(2.2) DEFINICIÓN:   Análogamente; se define el VECTOR COMPONENTES, el que descrito matricialmente:

ÎÐÐ ÐÐÐ ÐÐÐ Ï

B" B# B$ ÞÞÞ B 4  ÞÞÞ B7

COLUMNA DE

7

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ò

− `7 B " Б ó ‚Ñ

(2.3) DEFINICIÓN:   En (2.1); B3 se llama la 3  ésima componente del vector; y en (2.2) B 4   se llama la 4  ésima componente del vector. (2.4) OBSERVACIÓN:   Un cambio en el orden de las componentes, genera un vector  diferente al original; por esto es importante hablar de 8  ?:6+ ORDENADA. (2.5) DEFINICIÓN:   Se llama VECTOR o MATRIZ CERO o NULA; a aquel cuyas componentes son todas cero.

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(2.6) NOTACIÓN : a)

‘8 œ

˜

ÐB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B4 ß ÞÞÞß B8 ÑÑÎ ÎB4 −  ‘

PÁG. 5

™

EJEMPLOS: a.1)

8 œ " Ê  ‘ ; es decir el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.

a.2)  

8 œ # Ê ‘# œ ÐB" ß B# ÑÎB" ß B# − ‘ ; es decir el CONJUNTO DE

˜ ˜

™

TODOS LOS PARES ORDENADOS (PLANO CARTESIANO). CARTESIANO).

™

a.3)  

8 œ $ Ê ‘$ œ ÐB" ß B# ß B$ ÑÎB" ß B# ß B$ − ‘ ; es decir el CONJUNTO

b)

‚8 œ

DE TODAS LAS TERNAS ORDENADAS (ESPACIO) (ESPACIO)..

˜

ÐD" ß D# ßD$ ßÞÞ ßÞÞÞÞß D4 ß ÞÞÞß D8 ÑÑÎ ÎD4 −  ‚

™

EJEMPLOS: b.1)

8 œ " Ê  ‚ ; es decir el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

b.2)  

8 œ # Ê ‚# œ ÐD" ß D# ÑÎD" ß D# − ‚ ; es decir el CONJUNTO DE

˜ ˜

™

TODOS LOS PARES ORDENADOS con componentes complejas.

™

b.3)  

8 œ $ Ê ‚$ œ ÐD" ß D# ß D$ ÑÎD" ß D# ß D$ − ‚ ; es decir el CONJUNTO DE

TODAS LAS TERNAS ORDENADA ORDENADAS S con componentes complejas.

c)  

J3 À denota la fila 3  èsima de la matriz E; y corresponde a Ð+3 " +3 # +3 $ Þ Þ Þ +3 4 Þ Þ Þ +3 8 Ñ −   `" B 8 Б ó ‚Ñ

EJEMPLOS: c.1)

3 œ " Ê J" À  Ð+"" +"# +"$ Þ Þ Þ +" 4 Þ Þ Þ +" 8 Ñ

c.2)

3 œ # Ê J# À  Ð+#" +## +#$ Þ Þ Þ +# 4 Þ Þ Þ +# 8 Ñ

c.3)

3 œ & Ê J& À  Ð+&" +&# +&$ Þ Þ Þ +& 4 Þ Þ Þ +& 8 Ñ

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  PÁG. G 4  À denota la columna 4  èsima de la matriz E; y corresponde a  

d)

ÎÐ ÐÐÐ Ð ÏÐ

 

+" 4  +# 4  +$ 4  ÞÞÞ 3 4  Þ+Þ Þ +7 4 

6

ÑÓ Ó Ó Ó Ó ÒÓ

−  ` 7 B " Б ó ‚Ñ

EJEMPLOS: d.1)

 4 œ " Ê G " À

e)  

ÎÐ ÐÐÐÐ ÐÐ ÏÐ

d.2)

+" " +# " +$ " ÞÞÞ +3 "

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ó ÒÓ

4 œ # Ê G# À

+Þ 7Þ Þ"

ÎÐ ÐÐÐÐ ÐÐ ÏÐ

d.3)

+" # +# # +$ # ÞÞÞ +3 # +Þ 7Þ Þ#

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ó ÒÓ

 4 œ & Ê G& À

ÎÐ ÐÐÐÐ ÐÐ ÏÐ

+" & +# & +$ & ÞÞÞ +3 & +Þ 7Þ Þ&

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ó ÒÓ

+34  denota el elemento genérico de la matriz, localizado en la FILA 3 y COLUMNA 4 de E Þ

EJEMPLOS:

Š‹ $3  4 

e.1)

En (1.3.1)

+34  œ Ð3  #4Ñx 

e.2)

En (1.3.2)

+34  œ   Ð/3#  691$ 4Ñ

e.3)

En (1.3.3)

3 +34  œ - 9=/- Ð3  #4Ñ  - 9>+8  4"  =/- Ð3  4Ñ 4Ñ

#

(2.7) DEFINICIÓN:   Sean E œ Ð+34 Ñ , F œ Ð,34 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ Þ   Diremos que la matriz E es igual a la matriz F ; cuando +34 œ ,34   para todo 3 œ "ß # #ßß $ß $ß ÞÞ Þ ÞÞß 7 4 œ "ß #ß # ß $ß $ ß ÞÞ ÞÞÞß 8

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PÁG. 7

(2.8) EJEMPLOS: Determine si las matrices dadas son iguales.

a

b

a b

B  #C #B  C (2.8.1) con " #   − `"# Ð‘Ñ SOLUCIÓN: B  #C #B  C œ " # Í   B  #C œ " Ê B œ " à C œ ! 1º)

a

2º)

SOLUCIÓN:

   

#B  C œ #

Luego, para los valores B œ " à C œ !  las matrices son iguales.

(2.8.2)

1º)

b a b

Î Ï

Î Ï

Ñ ÎÑ Ò ÏÒ Ñ ÎÑ Ò ÏÒ

BCD #B  C  $D B  %C

BCD #B  C  $D B  %C

œ

con

" ! #

Í 

" ! #

− `$" БÑ

B C D œ" #B  C  $ D œ !

œ# de la última ecuación B œ # B% C  %Cy reemplazando en las dos primeras, obtenemos el siguiente sistema:  $C $C  D œ  " Ê NO TIENE SOLUCIÓN.   *C  $D œ  %

2º)  

Luego, no existen valores B à C à D  para que  las matrices sean iguales.

a b

ab

(2.8.3) +34 3ß4œ" ß # con ,34 3ß4œ   − `#B # Ð‘Ñ   "ß#   donde +34 œ =/8 Ð3  4Ñ à , 34 œ  =/8 Ð3Ñ-9 -9= =Ð4Ñ  =/8Ð4Ñ-9= -9=Ð3Ñ SOLUCIÓN: (USE SU CALCULADORA EN MODO RADIÁN) RADIÁN) 1º) Calcule los términos de cada matriz:   +"" œ =/8 Ð#Ñ ¸ !Þ !Þ* *" à +"# œ =/8 Ð$Ñ ¸ !Þ"% à   +#" œ =/8 Ð$Ñ ¸ !Þ"% Þ"% à +## œ =/8 Ð%Ñ ¸  !Þ('             2º)

a b   Œ



ab   Œ



  !Þ*" !Þ"% !Þ"%  !Þ(' ,"" œ =/ =/8 8 Ð"Ñ-9 Ð"Ñ-9=Ð =Ð"Ñ "Ñ  =/ =/8Ð 8Ð"Ñ "Ñ-9= -9=Ð" Ð"ÑÑ ¸ !Þ*" !Þ*" ,"# œ =/ =/8 8 Ð"Ñ-9 Ð"Ñ-9=Ð =Ð#Ñ #Ñ  =/ =/8Ð 8Ð#Ñ #Ñ-9= -9=Ð" Ð"ÑÑ ¸ !Þ"% !Þ"% ,#" œ =/ =/8 8 Ð#Ñ-9 Ð#Ñ-9=Ð =Ð"Ñ "Ñ  =/ =/8Ð 8Ð"Ñ "Ñ-9= -9=Ð# Ð#ÑÑ ¸ !Þ"% !Þ"% ,## œ =/ =/8 8 Ð#Ñ-9 Ð#Ñ-9=Ð =Ð#Ñ #Ñ  =/ =/8Ð 8Ð#Ñ #Ñ-9= -9=Ð# Ð#ÑÑ ¸  !Þ(' !Þ('   !Þ*" !Þ"% Luego, la matriz ,34  3ß4œ"ß# œ !Þ"%  !Þ('

Luego, la matriz +34 

3ß4œ"ß#

œ

Las matrices son iguales.

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TEMA 3:

PÁG. 8

OPERACIONES CON MATRICES

OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Sumar (restar) matrices del mismo orden y  Multiplicar una matriz por un escalar.. (3.1) SUMA DE MATRICES:   Sean E œ Ð+34 Ñ , F œ Ð,34 Ñ − `7B 8 Б ó ‚Ñ Þ   Se define la SUMA DE LA MATRIZ E   con la MATRIZ F ; lo que denotaremos por E  F  , a la matriz que se obtiene de sumar las respectivas componentes de dichas matrices; es decir:

 

 

E  F œ Ð+3 4 Ñ  Ð,3 4 Ñ œ Ð+3 4  ,3 4 Ñ − `7B 8 Б ó ‚Ñ

œ

ÎÐ ÐÏ

+""  ,"" "" +#"  ,#" #"

+"#  ,"# "# +##  ,## ##

ÞÞÞ ÞÞÞ

+"4  ,"4 "4 +#4  ,#4 #4

ÞÞÞ + 3 "  ,3 " ÞÞÞ +7"  ,7"

ÞÞÞ + 3 #  ,3 # ÞÞÞ +7#  ,7#

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞ  Þ +34  ,34     ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ +74  ,74

ÞÞÞ ÞÞÞ

+"8  ,"8 "8 +#8  ,#8 #8

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ +38  ,38 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ +78  ,78

Ñ Ó Ó Ò

(3.2) TEOREMA: (`7B8 Б ó ‚Ñ ;    Ñ tiene estructura de Grupo Abeliano; es decir:   Si E œ Ð+34 Ñ , F œ Ð,34 Ñ, G œ Ð-34 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ  Þ a) "  " es cerrada (PROPIEDAD DE CLAUSURA CLAUSURA): ): E  F − `7B8 Б  ó ‚Ñ. b) "  " es asociativa (PROPIEDA (PROPIEDAD D ASOCIATIVA). ASOCIATIVA).   E  ÐF  G Ñ œ ÐE  F Ñ  G .  c) EXISTENCIA Y UNICIDAD DE NEUTRO ADITIVO.   b! S œ Ð!34 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ tal que E  S œ S  E œ E Þ d) EXISTENCIA Y UNICIDAD DE INVERSO ADITIVO b!  E œ Ð  +34 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ tal que E  Ð  EÑ œ Ð  EÑ  E œ !7B8 Þ e) "  " es conmutativa (PROPIEDAD CONMUTATIVA): E  F œ F  E.

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PÁG. 9

(3.3) OBSERVACIÓN:   Notar que la DIFERENCIA O RESTA DE MATRICES està definida por: E  F œ E  Ð  F Ñ œ Ð+34 Ñ  Ð  ,34 Ñ œ Ð+34  ,34 Ñ  

y tanto la SUMA como RESTA se pueden realizar solamente para matrices del mismo orden. (3.4) MULTIPLICACIÓN DE UNA UNA MATRIZ POR UN ESCALA ESCALAR R   Sean E œ Ð+34 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ y ! − ‘ ó ‚ llamado ESCALA ESCALAR. R.   Se define la MULTIPLICACIÓN DE LA MATRIZ E  con el ESCALA ESCALAR R !; lo que denotaremos por !E , a la matriz que se obtiene de multiplicar  todas las componentes de la matriz por el escalar !; es decir:

 

 

!E œ ! Ð+3 4 Ñ œ Ð! +3 4 Ñ − `7B8 Б

!E œ

ÎÐ ÐÏ

! +" " ! +# "

! +" # ! +# #

ÞÞÞ ÞÞÞ

! +"4 ! +#4

!ÞÞ+Þ 3"

!ÞÞ+Þ 3#

ÞÞÞ ! +7"

ÞÞÞ ! +7#

ÞÞÞÞÞÞ !Þ Þ+Þ 34  ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ! +74

ÞÞÞÞÞ ÞÞÞÞÞ

ó ‚Ñ

! +" 8 ! +# 8

ÞÞÞÞÞÞ !ÞÞ+Þ 38 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ! +78

ÑÓ Ó Ò

(3.5) PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR: ESCALAR:   Sean E œ Ð+3 4 Ñ , F œ Ð,3 4 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ y ! , " − ‘ ó ‚ escalares; y denotemos la multiplicación por escalar como " " . a)

La operación " " es cerrada (PROPIEDAD DE CLAUSURA CLAUSURA). ).

  b)

Si E − `7B8 Б ó ‚Ñ y ! − ‘ ó ‚. Entonces !E − `7B8 Б ó ‚Ñ ESCALAR) R) ! ÐE  F FÑÑ œ ! E  ! F  (DISTRIBUTIVIDAD DE ESCALA

c)

Ð!  " Ñ E œ + E  "  E (DISTRIBUTIVIDAD DE MATRIZ)

d)

  Ñ (ASOCIATIVIDAD (ASOCIATIVIDAD DE ESCALA ESCALAR) R) Ð! " Ñ E œ ! Ð" E EÑ

e)

"E œ E

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PÁG. 10

! '

# " # %

 

(3.6) EJEMPLOS: (3.6.1) Dadas las matri matrices ces en `# B $ БÑÞ: Eœ

Œ

" !



& #

$ à Fœ % a)   ÐE  F Ñ  

Calcule:

SOLUCIÓN: a) EF

œ

 

œ

b)

Œ

œ

Œ



# ( $ à Gœ " % & b) ÐF  # #G G$ $E EÑ

 Œ

Œ



" & $ # ( $  ! # % " % & "# &( $$ $ œ !" #% %& "

(3.6.2)

# "

 Œ

 Œ

Î Ï

Calcule 3

SOLUCIÓN:  

œ

 

œ

 

( %

 Œ

# #

 Œ



! *

$ ! # " " & # $ & ' # % ! # # ( $ ! % # $  "& *   " % &  "# % ) ! '  "# #!$ (  %  "& $#* " % % œ  "  "#  ! %  %  '  &  )  "# ""  '  #&

F  #G  $E œ œ

Œ

Œ Œ

Œ

œ

Î Ï Î ÏÎÏ

(3.6.3)

3 #3  %3

 Œ

 " $3  #3 !  & (3

Ñ Î Ò Ï

"3 #3 !  $3  %3 &3

" 3 $ $  $3  '  $3 # # ! ! *3  %  &3  ( " #3  "&3  "  $ $ $33  3  '  $ $33  $  * #! #  *3 !  $3

ÑÒ Ñ Î Ò Ï

%  "# "#3 & &33  " "& &3 ($ $33 #  $3  ' # #33 " "# # # #  *3  $3 %  "# "#3 # #! !3 ($ $33

Calcule

Î Ï

" # 3

" $ 3 ! & 3

$

Ñ Ò

*  $3 $3

"3 #3 ! $3 3 &3

$ %



 Œ Ñ Î Ò Ï $



 Ñ Ò

$ 3 3

Ñ Ò

Ñ Ò

SOLUCIÓN:   NO ESTÁ DEFINIDA; ya que son de distinto orden. En efecto: "

 

ÎÏ

# 3

" $ 3 &

! 3

"3 #3

ÑÒ

− `$B$ Ð‚Ñ   y $

ÎÏ

! 3

$3 &3

ÑÒ

− `$B# ЂÑ

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

 

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  PÁG. 11   TEMA 4: PRODUCTO VECTORIAL Y MULTIPLICACIÓN DE MATRICES  

OBJETIVO OPERACIONAL: OPERACIONAL: Multiplicar los términos de una fila de una matriz matriz con los términos de una columna de otra matriz, mediante el producto punto. OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Determinar cuando la multiplicación de matrices  se puede realizar y el orden de la matriz resultante. OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Multiplicar matrices. (4.1) DEFINICIÓN:   Sean B œ Ð+3 " +3 # Þ Þ Þ +3 4 Þ Þ Þ +3 8 Ñ −   `" B 8 БÑ

 

Cœ

ÎÐ ÐÐÐ ÐÏ

," 4  ,# 4  ,$ 4  ÞÞÞ ,3 4  ÞÞÞ ,8 4 

ÑÓ Ó Ó Ó ÒÓ

− `8 B " Ð‘Ñ vectores   en ‘8 (ó ‚8 Ñ

  Se define el PRODUC PRODUCTO TO ESCA ESCALAR LARß PRODU PRODUCTO CTO PUNTO o PRODUCTO INTERNO de B e C; lo que denotaremos por B ì C ; al  siguiente escalar o número real o complejo que se obtiene por:

 

   

B ìC

œ Ð+3 "

+3 # +3 $ Þ Þ Þ +3 5 Þ Þ Þ +3 8 Ñ

ÎÐ ÐÐ ÐÏ

," 4  ,# 4  ,$ 4  ÞÞÞ ,5 4  ÞÞÞ ,8 4 

ÑÓ Ó Ó Ó Ò

œ +3 " ," 4  +3 # ,# 4  +3 $ ,$ 4  Þ Þ Þ  +3 5 ,5 4  Þ Þ Þ  +3 8 ,8 4

! 8

œ

5œ"

 

Ð +3 5 ,5 4  Ñ −  ‘  (ó ‚).

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PÁG. 12

(4.2) OBSERVACIÓN: a) Notar que el producto escalar es un número o constante. b) Matricialmente, el producto escalar lo podemos tomar como el producto de un vector fila de la forma  

ÐB" B# B$ ÞÞÞ B4 ÞÞÞ B8 ) C " C # C $ y un vector columna de la forma ÞÞÞ lo que está dada por: C  4  ÞÞÞ C 8

ÎÐÐ ÐÐÐ ÐÐ Ï

 

ÐB" B# B$ ÞÞÞ B4 ÞÞÞ B8 ) ì

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ò

ÎÐ Ð Ð Ï

C " C # C $ ÞÞÞ C  4  ÞÞÞ C 8

ÑÓ Ó Ó! Ò 8

œ

 4œ"

Ð B 4 C4 Ñ

 

c) El símbolo de producto escalar ì ; usualmente no lo destacaremos explícitamente, pero se entenderá lo que se debe realizar  operacionalmente.

TEOREMA  (4.3) Si B œ :ÐB" ß B # ß ÞÞÞÞÞß B 4 ß Þ ÞÞÞÞß B 8 Ñ, C œ ÐC" ß C # ß ÞÞÞÞÞß C 4 ß Þ ÞÞÞÞß C 8 ÑÑßß 8   D œ ÐD" ß D# ß ÞÞÞß D4 ß ÞÞÞß D8 Ñ  − ‘   y ! − ‘ escalar.   Entonces:  

a)

Bì!œ!

 

b)

B ì C œ C  ì B

 

c)

B ì ( C  DÑ œ Ð B ì C Ñ  Ð B ì D Ñ

 

d)

(!B) ì  C œ !ÐB ì CÑ

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PÁG. 13

! '

# " # %

 

(4.4) EJEMPLOS: Dadas las matrices: Eœ

Œ

" !

ÏÎ Î Ï

Hœ3

J œ

& #

$ %

#33  %3

" # 3



à Fœ

 #"3 $!3   & (3

" 3 &

$ ! 3

Ñ Ò

Œ

ÒÑ

à

# ( " %

ÏÎ

I œ $

Kœ

Î Ï

 

a

œ "

 

&



à Gœ

'$3

$ ì

Œ

 "!  3 #$33  %3 &3

"3 #3 ! $3 3 &3

(4.4.1) J"ÐEÑ   ì G# ÐIÑ  SOLUCIÓN:

 Î bÏ

$ &

Ñ Ò

$3 3



 

ÒÑ

 

Ñ Ò

*"3&3 œ Ð" Ð"ÑÐ  '  $3Ñ  Ð  &ÑÐ*3Ñ  Ð$ÑÐ  "&3Ñ œ  '  )(3

(4.4.2) J#ÐKÑ   ì G$ ÐFÑ  SOLUCIÓN:  

a

œ !

 b Î Ñ Ï Ò $

$3 ì

œ Ð!ÑÐ  $Ñ  Ð$3ÑÐ  & &ÑÑ œ  " "& &3

&

(4.4.3) J ÐHÑ   ì G ÐG Ñ  $ # SOLUCIÓN:

a

b   ÎÏ ÑÒ #

 

œ %

 

# œ Ð%ÑÐ  #Ñ  Ð  &3ÑÐ#Ñ  Ð  (ÑÐ ? Ñ œ NO ESTÁ DEFINIDO!! 

 &3

( ì

(4.4.4) J"ÐJÑ   ì G# Ð K Ñ   SOLUCIÓN:    

a

b Î Ñ

#3 $3 œ " " $ ì &3 œ Ð" Ð"ÑÐ#  3Ñ  Ð  "ÑÐ$3Ñ  Ð$ÑÐ&3Ñ œ #  ""3

Ï Ò

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PÁG. 14

(4.5) PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN DE MATRICES   Sean E œ Ð+3 5 Ñ − `7B Б ó ‚Ñ , F œ Ð,5 4 Ñ − `:B Б ó ‚Ñ 7 B: : B8 con  3 œ "ß #ß$ß ÞÞÞß 7 à 5 œ "ß#ß $ß ÞÞÞß ÞÞß : à 4 œ "ß #ß$ß ÞÞÞ ÞÞÞß 8 Þ   Esto significa que el número de columnas de la matriz E debe coincidir con el número de filas de la matriz F .   Se define el PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN MULTIPLICACIÓN de la matriz E con la matriz mat riz F , lo que den denotam otamos os por E F  ; a una matriz matriz   G œ Ð-3 4 Ñ − `7B8 Б ó ‚Ñ ta tall qu quee el eele leme ment nto o ge gené néri rico co de de est estaa úl últi tima ma ssee ob obti tiene ene po por: r:

!  : 

-3 4 œ

5œ"

+ 3 5 ,5 4

 

con

3 œ "ß # #ßß $ $ßß ÞÞ ÞÞÞß 7

4 œ "ß # #ßß $ $ßß ÞÞ ÞÞÞß 8 Þ

(4.6) OBSERVACIÓN: a) Notar que el elemento genérico del producto matricial - 3 4  corresponde al producto punto entre el vector fila 3  /=379ß que denotamos por J3 de la matriz E ; con el vector columna 4  /=379ß que denotamos por G de la matriz F .  4    En efecto: efecto: la fila fila 3  /=37+ß de la mat matriz riz E cor corres respon ponde de a:  

J3 œ   Ð+3 " +3 #  ÞÞÞ +3 5 ÞÞÞ +3 : Ñ 

y la columna  4  /=37+ß de la matriz F  es:  

 

G 4  œ

Por lo tanto; el producto escalar, está dado por:

," 4  ,# 4  ÞÞÞ J3  ñ G4  œ Ð+3 " +3 #  ÞÞÞ +3 5 ÞÞÞ +3 : Ññ    ,5 4  ÞÞÞ , : 4 

ÐÎÐÐ ÐÐ Ï

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ò

  œ +3 " ," 4  +3 # ,# 4  ÞÞÞ  +3 5 ,5 4  ÞÞÞ  +3 : ,: 4 œ

ÎÐ ÐÐÐ ÐÐ Ï

!

," 4  ,# 4  ÞÞÞ ,5 4  ÞÞÞ , : 4 

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ò

 : 

+3 5 ,5 4 œ -3 4  

 

5œ"

b) Notar quede el la orden de E la matriz producto corresponde al número de filas matriz por el número deresultante; columnas de la matriz F  FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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PÁG. 15

c) EJERCICIO:   Determine que propiedades de GRUPO ABELIANO ABELIANO verifica el producto de matrices. d) EJERCICIO:   Demuestre que el producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices. (4.7) EJEMPLOS: Dadas las matrices:  

Eœ

 

Gœ

Œ Î

$ &

" # 3

$ ! 3

" 3 &

Ï

(4.7.1)

   ÎÏ Ñ Î

# ( " %

E F  

à Fœ3

Hœ

Ò

3 #3  %3 %3 " ! "

Ï

 " $3  #3 !  & (3 # $ &

Ñ

Ñ Ò

à

 

Ò

SOLUCIÓN: 1º) Como E − `#B$ Ð‘Ñ y F − `$B$ Ð‚Ñ ; el producto se puede realizar, ya que el número de columnas de la matriz que está premultiplicando E coincide con el número de filas de la matriz que está postmultiplicando F .  

El orden de la matriz resultante es #B$ Ðdonde el # corresponde al número de filas de E y el $ corresponde al número de columnas de FÑ 2º)

 Œ

œ

 

EF

 Œ

œ

# ( " %

 ÎÏ

$   3 &

3 #3  %3 %3

 " $3  #3 !  & (3

Ñ Ò

  # " ( # $ % #  3  ( #  $  &3 # $ ( ! $  Ð  "ÑÐ  "Ñ  %Ð  #Ñ  &Ð%Ñ Ð  "ÑÐ  3Ñ  %Ð#Ñ  &Ð  &3Ñ Ð  "ÑÐ  $Ñ  %Ð!Ñ  &Ð EF

œ

Œ

 #) "%  "$3 "&  #( #( )  # #' '3 $)



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PÁG. 16

(4.7.2) H E  SOLUCIÓN: 1º) Como H − `$B# Ð‘Ñ y E − `#B$ Ð‘Ñ ; el producto se puede realizar, ya que el número de columnas de la matriz que está premultiplicando H coincide con el número de filas de la matriz que está postmultiplicando E.   El orden de la matriz resultante es $B$ Ðdonde el primer $ corresponde al número de filas de H y el otro $ corresponde al número de columnas de EÑ 2º) œ

Î Ï

 

Î Ï

" ! HE œ " Ð  "Ñ #  #Ð  "Ñ !Ð#Ñ  $Ð  "Ñ Ð"Ñ#  &Ð  "Ñ

HE

œ

Î Ï

ÑŒ Ò

# # ( $ $ " % & & Ð  "Ñ(  Ð#Ñ% Ð  "ÑÐ  $Ñ  #Ð  &Ñ !Ð(Ñ  Ð$Ñ% !Ð  $Ñ  $Ð  &Ñ Ð "Ñ (  & &ÐÐ%Ñ Ð"ÑÐ  $ $ÑÑ  &Ð  &Ñ

% "  $ "#  $ #(



( " "& & # #) )

Ñ Ò

Ñ Ò

(4.7.3) H G   SOLUCIÓN:   Como H − `$B# Ð‘Ñ  y G − `$B$ Ð‘Ñ ; el producto   H G    NO ESTÁ DEFINIDO!!, es decir NO se puede realizar, ya que el número de columnas de la matriz que está premultiplicando H es distinto al número de filas de la matriz que está postmultiplicando E. (4.8) EJEMPLOS: (4.8.1) Dadas las matrices  

Eœ

 

Gœ

Œ Œ

" !

& #

! '

$ %

# " # %

 Œ   Î  Ï

# ( $ " % & $ " # à Hœ # ! *

àF œ

Ñ Ò



à

  Calcule el resultado de H ÐF  #G  $EÑ. SOLUCIÓN: œ

Î Ï

$ # !

" # *

Ñ ÒŒ

&

%

%

""

'

# #& &

Î  Ï œ

% $#  **

'  #! &%

$(  %# ##&

Ñ Ò

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(4.8.2)

Calcule

SOLUCIÓN: œ œ

Î ÏÎ Ï

Î Ï

3 #3  %3

 " $3  #3 !  & (3

3Ð  "  3Ñ  Ð  "Ñ!  $3Ð  %3Ñ #3Ð  "  3Ñ  Ð  #3Ñ!  !Ð  %3Ñ  %3Ð  "  3Ñ  Ð  &Ñ!  (3Ð  %3Ñ  "  3  "# "  #3  $3  " &  #  #3 #  %3  ' %  %3 %3  # #) ) %) )33  " "& &3  $ $& &

"3 #3 !  $3  %3 &3

Ñ Ò

PÁG. 17

 

3Ð#  3Ñ  Ð  "ÑÐ  $3Ñ  $3Ð&3Ñ #3Ð#  3Ñ  Ð  #3ÑÐ  $3Ñ  !Ð&3Ñ  %3Ð#  3Ñ  Ð  &ÑÐ  $3Ñ  (3Ð&3Ñ ""  3  "%  & 3  #  #3  %  %3 œ $#  % %33 $ $* *( (33

Ñ Î Ò Ï

(4.8.3)

Ñ Ò

Demuestre por el principio de inducción la siguiente

proposición:

T Ð8Ñ À

DEMOSTRACIÓN: 1º)

ÑÎ ÒÏ

 

T Ð"Ñ À

"

"

"

œ

"

Œ  Œ  " !

"

" "

8

" !

œ

8 "

à8−

à ES VERDADERO.

Œ  Œ Œ  Œ  ! " !

" " "

#

! " !

" " "

" !

 

T Ð#Ñ À

2º)

HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN: Se supone que

œ

Œ  Œ  " !

5

" "

" 5 ! "

 

T Ð5 Ñ À

3º)

TESIS DE INDUCCIÓN:

œ

" "

œ

" # ! "

à ES VERDADERO.

à ES VERDADERO; a 5  # ß 5 0 349Þ

Œ  Œ  Œ  Œ  Œ  Œ  Œ  Œ Œ  Œ Œ  Œ  Œ   

Por demostrar que T Ð5  "Ñ À

 

En efecto; se sabe que: " !

" !

" "

5

" "

5

" " ! "

" !

œ

œ

5 "

" !

" " ! "

5"

; multiplicando por

5 "

" !

" "

œ

" 5" ! "

œ

" " ! "

Ð"ÑÐ"Ñ  5 Ð!Ñ Ð"ÑÐ"Ñ  5Ð"Ñ Ð!ÑÐ"Ñ  Ð"Ñ! Ð!ÑÐ"Ñ  Ð"ÑÐ"Ñ

  " 5" ! "

 

œ

 

T Ð5  "Ñ À

" " ! "

 

Por lo tanto T Ð8Ñ ES VERDADERA a 8 −  

5"

œ

" 5" ! "

.

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

Ñ Ò

 

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PÁG. 18

(4.9) DEFINICIÓN:   Sean @ ß @" ß @# ß @$ ß ÞÞÞß @8 vectores en un conjunto Z Þ   Diremos que el vector @ es una combinación lineal de los vectores s i EXISTEN ESCALARES !" ß !# ß !$ ß ÞÞÞ ß !8 − ‘ @" ß @# ß @$ ß ÞÞÞß @8  si y solo si Ð ó ‚ Ñ tal que 8

@ œ !" @"  !# @#  !$ @$  ÞÞÞ  !8 @8 œ  4œ" Ð ! 4  @  4  Ñ

 

!

OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: un conjunto de matrices.

Escribir una matriz como combinación lineal de

(4.10) EJEMPLOS: (4.10.1)

Considere el siguiente subconjunto de `#B# БѠ

Œ  Œ

" " ! !

Exprese si es posible

" " " "

Fœ

a)

" "

! !

ß

Œ Œ  ß

" !

! "

 Œ Ÿ ß

! ! " "

como combinación lineal del

conjunto F  . SOLUCIÓN: 1º) Será posible cuando existan escalares ! ß " ß # ß - −  ‘ tal que

Œ  Œ  Œ " "

2º)

" "

œ!

" "

! !

"

 Œ #

" !

! "

 Œ  -

! " " !

 

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:

œ"   -œ" !" - œ"  #  œ"

!"#

3º)

" ! " !

Ê ! œ " ß " œ  " ß # œ  " ß - œ " 

Por lo tanto, si es posible expresar

combinación lineal: Ð"Ñ

" "

! !

Œ 

Œ

 Ð  "Ñ

" "

! !



Œ 

 Ð  "Ñ

" "

Œ

" !

" "

  como la siguiente

! "

! "

" !

 Œ   Ð"Ñ

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b)

  PÁG. 19 Determine la solución ! ß " ß # ß - (SI EXISTE) que verifique:

 

!

 

Œ  Œ " ! " !

"

" "

! !

" "

! !

 Œ #

" !

! "

" !

! "

 Œ  Œ  -

! " " !

œ

! !

! !

! !

! !

SOLUCIÓN: " ! " !

1º)

!

2º)

Determina el siguiente sistema de ecuaciones:

Œ  Œ "

 

 Œ  Œ  -

œ

Ê!œ" œ#œ-œ!

!"#

œ!  -œ! - œ! !"  #  œ!

3º)

 Œ #

! " " !

Por lo tanto, ! œ " œ # œ - œ !

(4.10.2)

Considere el siguiente subconjunto de `#B# БѠ Eœ

˜” • ” • ” • ” •™ ” • " "

Exprese si es posible

" ß " + -

" " " " " ! à à " ! ! ! ! ! , como combinación  lineal del conjunto E . . 

SOLUCIÓN: 1º)

Será posible cuando existan escalares ! ß " ß # ß - −  ‘ tal que +

,

"

œ!

"

"

"

"

#

"

"

-

" !

 

” • ” • ” • ” • ” • -

2º)

.

" "

"

!

!

!

! !

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:

!"# - œ+ Ê ! œ . ß " œ -  .ß # œ ,  - ß - œ +  , !  "  #   œ, !  "  œ -  œ .  !

3º) +

Por lo tanto, si es posible expresarlo como: ,

œ Ð. Ñ

"

"

” • ” • -

.

"

"

 Ð-  . Ñ

"

"

” • "

!

 Ð,  - Ñ

" "

” • ! !

 Ð+  , Ñ

"

!

” • !

!

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(4.10.3)

Dada la matriz

 

Œ 

PÁG. 20

B C  . D >

Determine la condición algebraica que deben cumplir Bß Cß Dß> −  ‘ para que

B C D >

œ!

Œ  Œ Œ  Œ

" "

" "

SOLUCIÓN: 1º)

B C D >

œ!

" "

" "

" "

"

 Œ  Œ "

" "

determina el sistema de ecuaciones:

" !

" !

 # 

" " ! !

 Œ   Œ   # 

" " ! !

 

!  "  #  œ B   !  "  #  œ C   !  "  œD   œ> !

Ê  ! œ > à " œ D  > à #  œ C  D     sin considerar la primera ecuación

2°) Por lo tanto, lo anterior debe verificar la primera ecuación para que el sistema tenga solución. Luego, la condición es  

!  "  #  œ B

> D  > C D œ B

Ê

; es decir:

  B  C  #D  #> œ !

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TEMA 5:

PÁG. 21

TRANSPUESTA TRANSPUES TA DE UNA MATRIZ

OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: determinar su orden.

Obtener la transpuesta de una matriz y

(5.1) DEFINICIÓN:   Sea E − `7 B 8 Б ó ‚ÑÞ   Se llama TRANSPUESTA DE E , lo que denotaremos por E> a la matriz que se obtiene de intercambiar las respectivas filas por las respectivas columnas de la matriz E Þ Es decir; como

E œ Ð+34 Ñ − `7 B 8 Б ó ‚Ñ, se tiene: E> œ Ð+43 Ñ − `8 B 7 Б ó ‚ÑÞ (5.2) OBSERVACIÓN:   Notar que si la matriz es de orden " 7 B 8 "; su transpuesta es de orden " 8 B 7 " . (5.3) EJEMPLOS: Dadas las matrices Eœ

Œ

 

" !

& #

$ %

 Œ àF œ

"3 "3

3 #3

  Î  Ï à Gœ

$  #3 #3 # !

" #  *3

Ñ Ò

Calcular la transpuesta e indicar el orden de esta.

SOLUCIÓN:

Î Ï Œ

(5.3.1)

E − `# B $ Ð ‘Ñ Ê E> œ

(5.3.2)

F − `# B # Ð‚Ñ Ê F > œ

(5.3.3)

G − `$ B # Ð‚Ñ Ê G > œ

" & $

! # %

Ñ Ò 

− `$ B # БÑ

  " 3 " 3 3 #3

  $  #3 #

Œ

"

#

− `# B # ЂÑ

!  *3

− `# B $ ЂÑ



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PÁG. 22

(5.4) TEOREMA:   Suponiendo que las operaciones matriciales están bien definidas; se verifican las siguientes propiedades: a)

ÐQ >Ñ > œ Q  

(5.4.1) EJEMPLO: Eœ

Fœ

Gœ

b)

Œ

" !

Œ ÏÎ

& #

"3 "3

$ %

3 #3

$  #3 # !



" #  *3



>

ÊE œ

Ê F> œ

ÒÑ

Î Ï

Œ

Ê G> œ

" & $

! # %

"3 "3 3 #3

Œ

Ñ Ò



$  #3 # " #

Ê ÐE> Ñ> œ

Œ

" !

Ê ÐF> Ñ> œ  

Œ

"3 "3

!  *3



& #

Ê ÐG > Ñ>  œ

$ %

3 #3

ÏÎ





 

$  #3 # !

" #  *3

ÐQ  R Ñ> œ Q >  R > 

(5.4.2) EJEMPLO: Q R œ

Î Ï

" & $

! # %

Œ Œ Œ

Ñ Î Ò Ï

Ê ÐQ  R Ñ > œ

  #3 "3

Q >  R > 

œ

" !

 

œ

 

POR LO TANTO,

& #

  #3 "3



"3  &  $3 $  (3

" "! !$ $33 (3 $ %

'( (33  "  ""3

 Œ 

" "! !$ $33 (3

Ñ Î Ò Ï 

"3 &3 $  " "3

"3 "3

œ

 &  $3 &3

'( (33  "  "" 3

#3  "!  $ 3 '  (3

$  (3 $  "" 3

"3 (3  "  ""3





ÐQ  R Ñ> œ Q >  R > 

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Ñ Ò

ÒÑ

 

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c)

>

>

PÁG. 23

>

ÐQ R Ñ œ R Q  

(5.4.3) EJEMPLO: "3 "3

ÐQ R Ñ œ

Œ Î Ï Î Ï

Ê ÐQ R Ñ > œ

>

>

R Q œ

 

3 # #33

" !

Œ

"3  &  $3 $3 $  (3 (3

" & $

! # %

ÑŒ Ò

POR LO TANTO,

& #

$ %

"3 &3 $" "" "3

"3 "3

œ

 &  $3 $  (3  &  3 $  ""3

Ñ  Œ Ò Î  Ï



"3  &  $3 $  (3

" 3 " 3   œ 3 #3

"3 &3 $  "" 3

Ñ Ò

ÐQ R Ñ> œ R > Q  >

(5.5) EJERCICIO: OBJETIVO: Aplicar el álgebra de matrices, en el cuerpo de los Reales como en el cuerpo de los Complejos. (5.5.1Ñ  

Fœ

Œ 

Dadas las matri matrices ces en `# B $ БÑÞ: E œ

Œ

# "

( %

$ &



à Gœ

Œ

! '

# #

" %

" !

& #

$ %



à

>

  Calcule: SOLUCIÓN:

ÐE  FÑ ÐF  #G  $EÑ

Œ

$ # " #

1º)

EF œ

2º)

F  #G  $E œ

3º)

Œ

  & ""



Ê

% '

% # #& &

! *

ÐE  FÑ > ÐF  #G  $EÑ œ

Î Ï

 

>

ÐE  F Ñ œ

Î Ï

$ # !

" # *

Ñ Ò



% $#  ** **

' # #! ! &%

$( % %# # # #&

Ñ Ò

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PÁG. 24

(5.5.2) Calcule, simplifique y exprese en la forma +  , 3 cada uno de los términos términos de la m matriz atriz rresultan esultante te de multi multiplicar plicar::

a

a)

Ð "  3Ñ 3Ñ

#

#3

Ð%  33ÑÑÐ$  # #33Ñ

SOLUCIÓN:

a a

1º)

œ    #3

2º)

œ   ##  &%3

Î Ï

b)

3 #3  %3

#3

œ

Î Ï

 # %  ' !3

 " $3  #3 !  & (3

SOLUCIÓN:  "  3  "#  #  #3 %  %3 %3  # #) )

" %  &3

Ñ Î Ò Ï $B$

b

Îb Ï

b Î Ï

 " 3 #  3 !  $3  %3 &3

"B$

Ñ Ò

$B#

 " 3 #  3 !  $3  %3 &3

Ñ Ò

"B#

Ñ Ò Ñ Î Ò Ï

"3 #3 !  $3  %3 &3

"  #3  $3  " & #  %3  ' %) )33  " "& &3  $ $& &

œ

 

$B#

""  3  #  #3 $#  % %33

 "%  & 3  %  %3 $ $* *( (33

Ñ Ò

 

$B#

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TEMA 6:

PÁG. 25

TIPOS DE MATRICES

OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Identificar una matriz de acuerdo a alguno de los siguientes tipos: simétrica, antisimétrica, triangular inferior, triangular  superior, diagonal, identidad. (6.1) DEFINICIÓN:   Sea E − `7 B 8 Б   ÑÞ   Se llama MATRIZ CUADRA CUADRADA DA cuando el número de filas coincide con el número de columnas; es decir 7 œ 8. (6.2) DEFINICIÓN:   Sea M8 œ Ð+34 Ñ  − `8 B 8 Ð‘Ñ con 3 ß 4 œ "ß #ß ÞÞÞß 8 matriz cuadrada. Se dice que M 8   es la MATRIZ IDENTIDAD a la que está definida por: M8 œ

(6.2.1) EJEMPLOS:

 

M# œ

ÚÛÜ   Î Œ  Ï "

=3 3 œ 4  

!

=3 3 Á 4  

" ! ! "

M$ œ

" ! !

! " !

! ! "

Ñ Ò

(6.3) DEFINICIÓN:   Sea E − `8 B 8 Ð‘Ñ matriz cuadrada. a) Se dice que la matriz E es SIMÉTRICA si y solo si E œ E> (6.3.1) EJEMPLO:   Las matrices M 8 .  

 

Eœ

Eœ

Î Ï ÎÐ ÐÐÐ Ð ÏÐ

" # 3

# 3 ! "3 "3 #

Ñ Ò

" ! " %

! " # $

" # & %

% $ % #

& " # !

$ " " "

& $

" "

# "

! "

" !

! "

Ê E  œ E>

Ñ Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ò Ê

E œ E>

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PÁG. 26

(6.3.2) EJEMPLO:   Dem Demuest uestre re que que:: Si Eß F − `8 B 8 son simétri simétricas. cas. Entonce Entoncess ÐEF Ñ> œ F E . DEMOSTRACIÓN: 1°)

HIPÓTESIS: E œ E> y F œ F > 

2°)  

Se debe DEMOSTRAR que: ÐEFÑ ÐE FÑ> œ FEÞ En efecto:   ÐEFÑ> œ F >E> œ FE ; por la hipótesis

3°)

Por lo tanto ÐE ÐEFÑ FÑ> œ FE

b)

Se dice que la matriz E es ANTISIMÉTRICA si y solo si E œ  E>

(6.3.4) EJEMPLO:  

Eœ

 

Eœ

Î ÏÎ ÐÐÐ ÐÐÐ Ï

! # 3

# 3 ! "3 "3 !

! ! " % & $

! ! # $ " "

" # ! % # "

2°) 

Se debe verificar que:



En efecto: " # ÐE

 E> Ñ

‘

>

œ 

  3°)  

" #



œ 

Por lo tanto

" # ÐE 

(o

" ÐE #



& " # ! ! !

‘

$ " " " ! !

 E> Ñ

" # ÐE 

E>  ÐE> Ñ> " #

  Ê

% $ % ! ! "

(6.3.5) EJEMPLO:   Demuestre que:   Si E − `8 B 8 Þ Entonces DEMOSTRACIÓN: 1°)

Ñ Ò

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ò Ê

‘

" #

E œ  E>

es antisimétrica.

E> Ñ œ 

œ 

E œ  E>





" # ÐE 

E>  E

E> Ñ

‘

>

‘

 ÐE  E> Ñ œ "# ÐE  E> Ñ

E> Ñ œ 

" > # ÐE  E Ñ



" # ÐE 

‘

>

E> Ñ Þ

es antisimétrica)

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PÁG. 27

(6.4) DEFINICIÓN:   Sea E − `8 B 8 БÑÞ a) La matriz E se dice TRIANGULAR TRIANGULAR SUPERIOR si y solo si los elementos debajo de la diagonal son todos iguales a cero; es decir +34  œ ! para todo 3  4  . (6.4.1) EJEMPLO:   E œ

(6.4.2) EJEMPLO:   E œ

b)

La matriz

ÏÎ ÎÐ ÐÐÐ ÐÐ Ï

" ! !

! # "  3 3 ! #

" ! ! " ! ! ! ! ! ! ! !

" # & ! ! !

ÒÑ

% $ % # ! !

& " # ! " !

$ " " " ! "

Ñ Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ò

TRIANGULAR R INFERIOR si y solo si los E se dice TRIANGULA

34  + œ !, elementos arriba de la diagonal son todos iguales a cero; es decir para todo 3  4  .

(6.4.3) EJEMPLO:   E œ

(6.4.4) EJEMPLO:   E œ

Î Ï ÎÐ ÐÐÐ ÐÐ Ï

! # 3

! ! ! ! "3 !

" ! " % & $

! ! # $ " "

Ñ Ò

! ! # % # "

! ! ! $ ! "

! ! ! ! # !

! ! ! ! ! !

Ñ Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ò

c) La matriz E se dice DIAGONA DIAGONAL L si y solo si los elementos arriba y debajo de la diagonal son todos iguales a cero; es decir +34  œ ! , para todo  . 3 Á 4  . (6.4.5) EJEMPLO:   E œ

(6.4.6) EJEMPLO:   E œ

Î Ï ÎÐ ÐÐÐ Ð ÏÐ

" ! !

! " !

! ! "

" ! ! ! ! ! ! ! ! !

Ñ Ò

! ! ! ! # ! ! $

! ! ! !

! !

! ! ! !

! ! ! !

# !

! !

ÑÓ Ó Ó Ó Ó ÒÓ

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(6.5) EJERCICIO:  

Determine si la matriz E œ

(AYUDA:: (AYUDA

Î Ï

! # &

! ! $

! ! !

PÁG. 28

Ñ Ò

es nilpotente.

DEFINICIÓN:  E es una MATRIZ NILPOTENTE si y solo si 8

  SOLUCIÓN: #

E œ

$

E œ

Î Ï Î Ï

E œ ! PARA ALGÚN 8 −  . )

! ! # ! & $

! ! !

! ! ! ! ' !

! ! !

ÑÎ ÒÏ ÑÎ ÒÏ

Por lo tanto,

! ! # ! & $

! ! !

! ! # ! & $

! ! !

Ñ Ò Ñ Ò

œ

œ

Î Ï Î Ï

! ! '

! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

! ! !

Ñ Ò Ñ Ò

 

 

es nilpotente, para E

8 œ $Þ

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TEMA 7:

  PÁG. OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE LAS FILAS DE UNA MATRIZ

29

OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Obtener la matriz resultante de: intercambiar dos filas; multiplicar una fila por una constante 5 Á !à sumar a una fila, 5 "veces" otra fila. OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Calcular la matriz escalonada reducida por filas, a partir de una matriz dada. (7.1) DEFINICIÓN:   Se llaman OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS DE UNA MATRIZ a ciertas operaciones que se aplican a las filas de la matriz.   Las operaciones elementales que se consideran son tres; las cuales se detallan a continuación: (7.2) Intercambiar dos filas de la matriz ; lo que denotam denotamos   os por J 34  ; lo cual significa que en la matriz intercambiamos la fila 3 por la fila 4 Þ (7.2.1) EJEMPLO:   E œ (7.2.2) EJEMPLO:

Eœ

ÎÐ ÐÐÐÐ Ð Ï

" ! ! ! ! !

! " ! ! ! !

" # & ! ! !

ÏÎ

% $ % # ! !

" ! !

ÒÑ ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ò

! # "  3 3 ! #

& " # ! " !

$ " " " ! "

J" # Ä

J$ & Ä

ÎÐ ÐÐÐÐ Ð Ï

ÏÎ

! " !

" ! ! " ! ! ! ! ! ! ! !

! # "  3 3 ! # " # ! ! & !

(7.3) Multiplicar (o dividir) una fila por un elemento

% $ ! # % !

ÒÑ & " " ! # !

$ " ! " " "

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ò

5 Á ! ; lo que

5 J3 ; lo cual significa multiplicar la fila 3 por 5 Á ! denotamos por significa (o 5"   J3 ; lo cual dividir la fila 3 por 5 Á !). (7.3.1) EJEMPLO: Eœ

Î Ï

" # 3 # ! "3 3 "3 #

(7.3.2) EJEMPLO:

ÎÐ ÐÐÐÐ Ð Ï  

Ñ Ò

Î Ï ÑÓÎÐ Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ò Ï

Ð  3ÑJ$ Ä

" ! " % &

! " # $ "

" # & % #

% $ % # !

& " # ! "

$ " " " !

$

"

"

"

!

"

" # "

Ä

Ð "% Ñ  J %

# 3 ! "3 "3 #3

Ñ Ò

" ! " "  &

! " #  %$ "

" # & " #

% $ %  #" !

& " # ! "

$ " "

$

"

"

"

!

"

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" %

!

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ò

 

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  PÁG. 30 (7.4) Sumar a una ffiila 3 el múltiplo 5 de otra fil fila 4  ; lo cual denotaremos por J3  5J4  à 5 Á ! ; lo cual significa sumar a la fila 3, un múltiplo 5 de la fila  4 .  

(7.4.1) EJEMPLO: Eœ

ÏÎ

" # 3

! # "  3 3 "3 #

ÒÑ

J#  # J" Ä

(7.4.2) EJEMPLO:

ÎÐ ÐÐÐÐ Ð Ï

" ! " % & $

! " # $ " "

" # & % # "

% $ % # ! "

& " # ! " !

$ " " " ! "

 

ÏÎ

" 3 3 !  # % " 3 "3 #

ÑÓÎÐ Ó Ð Ó Ð Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ò Ï Ä

" ! ! "  & $

! " # $ %

" "

ÒÑ " # % " # "

% $ !  #" ! "

& " ( ! " !

$ " % " %

! "

J$  J "

(7.5) EJEMPLO:

Ô Õ

' $ $

$ % ! # " #

× Ø

$ ! ! ! . " !

 

Dada la matriz E œ

 

Determine que matrices se obtienen:

(7.5.1) J#$ ß lo cual significa intercambiar la fila 2 con la fila 3, por lo que se obtiene:

Ô Õ Ô Õ

' $ $

$ % " # ! #

$ ! " ! ! !

× Ø × Ø

" (7.5.2) # J " , lo cual significa multiplicar la fila 1 por por lo que se obtiene:

$ $ $

 $# ! "

# # #

 $# ! "

! ! !

" #

,

(7.5.3) J"  #J# , lo cual significa sumar a la fila 1,  # veces la fila 2, por lo que se obtiene:

Ô Õ

!

$

!

$ $

! " # #

$

!

! " ! !

× Ø

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PÁG. 31

(7.6) DEFINICIÓN:   Se llama FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ REDUCIDA POR FILAS, a aquella matriz que presenta las siguientes características: a) El primer número distinto de cero (comenzando desde la izquierda) en cada fila es igual a 1, y este recibe el nombre de PIVOTE. b) Las filas se ordenan de arriba hacia abajo de acuerdo al PIVOTE que esté más a la izquierda en la fila. c)

Para el PIVOTE de cada fila; hay cero por arriba y debajo de este.

d) Las filas que tienen todos sus elementos iguales a cero; se colocan al final de la matriz. (7.6.1) EJEMPLO: Eœ

Î Ï Î Ï

ÎÏ

" # "

# ! #

Ñ Ò

3 "3 "

" ! !

# % %

3 "3 "3

" ! !

# " !

3 "  %  "% 3 !

ÑÒ

J#  #J" Ä

J$  J# Ä

Ñ Ò

Î Ï

" ! !

J"  # J# Ä

ÎÏ

# % !

Î Ï

" ! !

" ! 3

# 3 % "3 "3 #

3 "3 ! ! " !

 

ÑÒ

J$  J" Ä

Ñ Ò

Ð  "% ÑJ# Ä

" # " %

Ñ Ò

 "# 3  "% 3 !

es la matriz escalonada reducida por filas que satisface las condiciones de la definición (7.6).

(7.6.2) EJEMPLO:   E œ

ÎÐ ÐÐÐ ÐÐ Ï

" ! " % & $

! " # $ " "

Ñ Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ò

" % & $ # $ " " & % # " % # ! " # ! " ! " " ! " +"" œ " à haremos "cero" debajo de

tomando como pivote el elemento este, mediante las siguientes operaciones elementales:   J$  J" à J%  Ð  %ÑJ" à J&  Ð  &ÑJ" à J '  Ð$ÑJ" Ä

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ÎÐ ÐÐÐ ÐÐ Ï

 

" ! ! ! !

! " # $ "

" # % ! (

% $ !  ")  #!

& " (  #!  #%

$ " % "$ "&

 

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ò

PÁG. 32

" elelemento % "$ & ) tomando como! pivote +" ## œ " à haremos "cero" debajo de este, mediante las siguientes operaciones elementales:   J$  Ð  #ÑJ# à J%  Ð$ÑJ# à J&  J# à J '  Ð  "ÑJ# Ä

ÎÐ ÐÐÐÐ Ð Ï

" ! ! ! ! !

! " ! ! ! !

" # ! ' * '

ÐÎÐ Ï

% & $ $ " " ' * '  #(  #$ "'  #$  #& "' "' "' * " ! " % # " ' * !

J$ '

&

ÎÐ ÐÐÐÐ Ð Ï

" ! ! Ä ! ! ! $

! " ! ! ! !

" # ' ' * !

% $ "'  #(  #$ '

& " "'  #$  #& *

$ " * "' "' '

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ò

ÑÓ Ó Ò

" "  )$  $# Ð Ä  # $ "'  # & "' * ' tomando como pivote el elemento +$$ œ " à haremos "cero" arriba y " ' ÑJ$

! " ! ! ! ! ! ! ! !

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ò

$  )$  #(  #$ '

debajo de este, mediante las siguientes operaciones elementales:   J"  J$ à J#  Ð  # #ÑÑJ$ à J%  Ð  ' 'ÑÑJ$ à J&  Ð  * *ÑÑJ$ Ä

ÐÐÐÎ ÏÐ

! " ! ! ! !

! ! " ! ! !

% $ ( $

( $ "$ $

 *# %  #$ #&

Ñ Ó Ó Ó ÒÓ

ÐÐÐÎ ÏÐ

Ñ Ó Ó Ó ÒÓ

% ( " ! !  *# $ $ ( "$ ! " ! % $ $ J % &  $)  $) ! ! "  $)  )$  $# &*   '  Ä  ""  ( Ð "$ ÑJ  ! ! ! " " # &* " " ! ! !  " "  ( # & # ' * ' ! ! ! # $ # tomando como pivote el elemento +%% œ " à haremos "cero" arriba y

" ! ! ! ! !

debajo de este, mediante las siguientes operaciones elementales: J"  Ð  %$ ÑJ% à J#  Ð  ($ ÑJ% " ! ! J"  Ð  %$ ÑJ%  ! " ! J#  Ð  ($ ÑJ%  ! ! " J$  Ð )$Ñ J%  Ä ! ! ! J&  Ð""ÑJ % ! ! ! J  Ð  #Ñ J   ' % ! ! !

ÎÐ ÐÐÐ ÐÐÐ Ï

à J$  Ð )$ ÑJ% à J&  Ð""ÑJ% à J'  Ð  #ÑJ% "" !  #''$ " ! ! ! $ #! $)* !  ' ! " ! ! $ "' %'$ llegue ! ! " ! !  $ ' '&" a  Ä ! ! ! " " " # ! ! ! ! !  ") #& !

&

 '"

ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ò

ÎÐ ÐÐÐ ÐÐ Ï

Ä ! ! ! ! "

! ! ! ! !

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(7.6.3) EJEMPLO:  

Dada la matriz E œ

ÔÖ ÖÖÖ Õ

" # $ %

# ! " $

" $ # $

! ! " "

" $ % &

," ,# ,$ ,%

×Ù ÙÙÙ Ø

;

PÁG. 33

realizar realizar e indica indicarr las

& # $ necesarias ! " # ,para operaciones elementales por filas, que la matriz E sea REDUCIDA POR FILAS a:

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

" !

!

# $

!

"

!



! ! ! ! ! !

" ! !

 ! !

" *

#," ,$ ,& $ ,&%,"#,$ * ,$(,"&,& *

! !

,%  , "  ,$ ,#  ,"  ,&  ,$

% $ " * % *



# *

×Ù ÙÙÙ ÙÙ Ø

SOLUCIÓN:   J#  #J"   J$  $J"

: sumar a la fila 2,  # veces la fila 1 : sumar a la fila 3,  $ veces la fila 1

 

: sumar a la fila 4, 5,  % # veces la fila 1

% " J J&  % #J J"

ÔÖ ÖÖÖ Õ ÔÖ ÖÖ ÕÖ

" ! ! ! !

# % & & "

" ! " ! " " " " # "

×Ù ÙÙÙ Ø

" ," " , #  #, " " , $  $, " à con lo cual se obtiene: " , %  %, " ! , &  #, "   : multiplicar la fila 5 por Ð  "Ñ; y enseguida Ð  "ÑJ&   : intercambiar la fila 2 con la fila 5 J #& " # " ! " ," ! " #  " !  ,&  #," ! & " " " ,$  $ ," con lo cual se obtiene:   " " " " ,,%  % ,," ! "  # # " J"   #J# : sumar a la fila 1,  # veces la fila 2   J$  &J# : sumar a la fila 3, & veces la fila 2   : sumar a la fila 4, & veces la fila 2 J%  &J#   : sumar a la fila 5, % veces la fila 2 J&   %J# " ! $ # "  $,"  #,& ! " # " !  ,&  #," ! ! *  % " ,$  (,"  &,& con lo cual se obtiene: ! ! *  % " ,%  ',"  &,& ! ! *  % " ,#  ',"  %,&   $J" : multiplicar la fila 1 por $ ! !

 & %

ÔÖ ÖÖÖ Õ

 

*J#

×Ù ÙÙ ØÙ

×Ù ÙÙÙ Ø

: multiplicar la fila 2 por *

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ÔÖ ÖÖÖ Õ

con lo cual se obtiene:

      

" $ J J#  J #J $ J%   J$ J&   J$

  $ ! ! ! !

! * ! ! !

* ") * * *

:: sumar sumaraala lafila fila1,2, : sumar a la fila 4, : sumar a la fila 5,

ÔÖ ÖÖÖ Õ

$ ! ! ! * ! ! ! * con lo cual se obtiene: ! ! ! ! ! ! "   Ð $ ÑJ   " : dividir la fila 1 por $ "   Ð * ÑJ   # : dividir la fila 2 por * "   Ð * ÑJ   $ : dividir la fila 3 por *

' * % % %

$ ! " " "

 *,"  ',& * *,,&  " ") ), " ,$  (,"  &,& ,%  ',"  &,& ,#  ',"  %,&

 

" ! !

# $

! " !



! ! " ! ! ! ! ! !

 ! !

" *

#," ,$,& $ ,&%,"#,$ * ,$(,"&,& *

! !

,%  ,"  ,$ ,#  ,"  ,&  ,$

% $ " * % *



# *

×Ù ÙÙÙ Ø

la fila 3 3 "$ vez veces la fila  " vez la fila 3  " vez la fila 3 # %  #,"  ,$  ,& " # , &  % , "  #, $ % " , $  ( , "  &, & ! ! ,%  ,"  ,$ ! ! ,#  ,"  ,&  ,$

Por lo tanto; se obtiene lo pedid pedido: o:

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

PÁG. 34

×Ù ÙÙÙ Ø

×Ù ÙÙÙ ÙÙ Ø

(7.7) OBSERVACIÓN: a) Cuando una matriz verifica que tiene cero por debajo de los PIVOTES se dice que está een n FORMA ESCALONA ESCALONADA DA POR FILAS. EJEMPLO:

Î Ï

" ! !

# " !

3   "% 3 ! " %

Ñ Ò

b) Si las operaciones elementales se hicieran EXCLUSIVAMENTE POR LAS COLUMNAS, se diría FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ REDUCIDA POR COLUMNAS Y FORMA ESCALONADA POR COLUMNAS; respectivamente. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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EJEMPLO: Transforme la matriz

Î Ï

" % '

# & &

$ ( %

Ñ Ò

PÁG. 35

en triangular inferior;

indicando claramente las operaciones elementales realizadas. SOLUCIÓN:   Se deben hacer "cero" los element elementos os por encima de la diagon diagonal. al. Para lo cual, haremos las operaciones elementales POR COLUMNAS:

Î Ï

" % '

"   # "$ G

# & &

Ä

Î Ï

$ ( % " % '

ÑŒ Ò

! " ( "$

Î  Ï

G#  # G"    Ä G$  $ G" 

! & "%

Ñ Ò

ÐG$  &G# Ñ Ä

" ! % "$ ' (

Î Ï

" % '

! & "%

Ñ Ò

! "

! !

(

"%(

"$

"$

Ñ Ò

c) Para efectos metodológicos, trabajaremos EXCLUSIVAMENTE POR FILAS; por una comodidad "cultural". (7.8) NOTACIÓN :   Podemos notar que en las definiciones se ha usado la notación E − `8 B 8 БÑ; para indicar que los elementos de la matriz pertenecen al cuerpo de los Números Reales. En el caso de considerar el cuerpo de los Números Complejos, usaremos la notación E − `8 B 8 ЂÑ; tanto en lo anterior como en lo que viene del curso. (7.9) DEFINICIÒN:   Sean E ß F − `7 B 8 БÑÞ   Diremos que las matrices E y F  son EQUIVALENTES POR FILAS si y solo si a partir de la matriz E se puede obtener la matriz F  por  operaciones elementales; o viceversa. (7.9.1) EJEMPLO:  

Eœ

Î Ï

" #

# !

3 "3

"

#

"

Ñ Î Ò Ï

son EQUIVALENTES POR FILAS.

 y

" !

# "

3   "% 3

!

!

!

" %

Ñ Ò

(VER EJEMPLO (7.6.1))

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(7.9.2) EJEMPLO:

Eœ

ÎÐ ÐÐÐÐ ÐÏ

" ! " %

! " # $

" # & %

% $ % #

& " # !

$ " " "

& $

" "

# "

! "

" !

! "

son EQUIVALENTES POR FILAS. (7.9.3) EJEMPLO:

Eœ

ÔÖ ÖÖÖ Õ

" # $ % #

# ! " $ $

" $ # $ !

! ! " " "

" $ % & #

," ,# ,$ ,% ,&

×Ù ÙÙÙ Ø

 y

ÔÖ ÖÖÖÖ Ö Õ

ÑÓÎÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐÐ Ó Ó Ò ÐÏ

" ! ! !

y

! " ! !

! ! ! !

"

! !

# $

 

Eœ

# $ & $

! % # &

% $ "'  #(

& " "'  #$

$ " * "'

* !

'#$

*#&

"'' 

!

" !



! ! " ! ! ! ! ! !

 ! !

" *

#," ,$ ,& $ ,&%,"#,$ * ,$(,"&,& *

! !

,%  ,"  , $ ,#  ,"  ,&  ,$

% $ " * % *



# *

(VER EJEMPLO (7.6.3))

(7.10) EJERCICIO:   Determine si las matrices " " ! "

" # ' '

(VER EJEMPLO (7.6.2))

son EQUIVALENTES POR FILAS.

ÎÐ Ð Ï

PÁG. 36

ÑÓÎÐ ÓÐ Ò Ï y

" ! ! !

# " ! !

!  %& " !

×Ù ÙÙÙÙ Ù Ø

ÑÓ Ó Ò

son equivalentes por filas; indicando claramente las operaciones elementales sobre las filas, realizadas a partir de la matriz E Þ SOLUCIÓN: Eœ

Î ÏÐ

"

#

!

" ! "

$ & $

# %  &

Ð "& ÑJ   # Ä

Ð "# ÑJ$ Ä

ÎÐ Ð Ï ÐÐÎ Ï

Ñ Î ÒÓ ÏÎ ÒÑ ÏÐ ÑÓ Î Ð Ó Ð Œ  Ò Ï ÑÓ Î Ð Ó Ð Ò Ï J#  J "

J%  J " Ð  " Ñ J" 

" ! ! !

# " & "

!  %& # &

" ! !

# " !

!  %& "

!

!



#* &

 

Ä

J$  & J#  J%  J #

J% 

#* &

Ä

J $ Ä

"

#

!

! ! !

& & "

# %  &

" ! ! !

# " ! !

Ñ ÒÓ Ñ Ó Ó Ò Ñ Ó Ó Ò

!  %& #  #* &

" ! !

# " !

!  %& "

!

!

!

Por lo tanto; las matrices son equivalentes por filas.

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PÁG. 37

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 01: (02 HORA HORAS S EJERCICIO) GUÍA DE ESTUDIO N° 1

 

(LOS CÁLCULOS QUE CORRESPONDAN CON DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS. USE BIEN LA CALCULADORA!!) 1. Determine la matriz E œ Ð+34 Ñ ÐÐ33 œ "ß#ß ÞÞÞÞÞ ß 7 à 4 œ "ß#ß ÞÞÞÞÞ ß 8 8ÑÑ del orden indicado tal que: (1.2) +34 œ  # 3#    $4  3 ; $B #

(1.1) +34 œ # 3  $4 ; #B# (1.3) +34 œ Ð3  #4Ñx  (1.5) +34  œ

3

5  

4 

! #

5 œ"

Š‹ $3  4 

; $B$

(1.4) +  34 œ Ð/3#  691$ 4Ñ ; #B$  

Ð5  "Ñ ; $B$

5 œ"

(1.6) +34  œ Ð=/8 3   #- 9= 44ÑÑ #  >+8 ÐÐ33  4Ñ ; "B$ #

3 (1.7) +34  œ -9=/- Ð3  #4Ñ  - 9>+8  4"  =/- Ð3  4Ñ ; $B"

2.

Dadas las matri matrices ces en `7 B 8 БÑÞ

 

Eœ

 

Gœ

Œ Œ

" !

& #

  ! '

$ %

# " # %

 

à

Fœ

Œ

# ( " %

$ &



à

  Calcule lo indicado:   (2.1) #E  $F  %G

(2.2) ÐE  F Ñ  ÐF  #G Ñ

(2.3) Ð%E  #F Ñ >  Ð$G Ñ >

(2,4) E F > 

(2.5) ÐE  F FÑÑ > ÐF  #G  $EÑ (2.7) ÐM $ Ñ ÐE  $G Ñ > Ð# M# Ñ

(2.6) Ð#E  F Ñ Ð$ M$ Ñ (2.8) M# E G > M# F M$  

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3.

Dadas las matri matrices ces en `7 B 8 ЂÑÞ

Î Ï

" 3 ! #  $3 "  3 % " 3 !

ÎÏ

$!3 "

 

Eœ

 

Gœ

 

Calcule lo indicado:

Ñ Ò

à

# ! 3 " 3 # 3 %! 3"

Fœ

Î Ï

"3 # Ð  "  3Ñ#

! 3 "

PÁG. 38

#  $3 % 3& !

(3.2) ÐE  F Ñ#  ÐF  #G Ñ

(3.3) Ð%E  #F Ñ >  Ð$G Ñ >

(3,4) E F > 

(3.5) ÐE  F FÑÑ > ÐF  #G  $EÑ

(3.6) Ð#E  F Ñ Ð$ M$ Ñ

>

>

(3.7) ÐE  $G Ñ

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4,4)

(4.5)

à

ÑÒ

(3.1) #E  $F  %G

4.

Ñ Ò

(3.8) E G F  

Determine el resultado de:

Î Ï Î Ï Œ

a Î Ï

" ! %

# $ &

3 #3  %3

ÑŒ Ò

 " $3  #3 !  & (3

#3 ! "3 (3

Ð "  3Ñ

3 #3  %3

# ! " (

#

# 3

Ð%  3ÑÐ$  # #33Ñ

(3

ÑÎ ÒÏ >

% $

 Ñ Ò

" %

"3 #3 !  $3  %3 &3

 $3 %3 #3 $

 " $3  #3 ! &

ÑÎ ÒÏ

$ #

" %3

bÎÏ

 " 3 #  3 !  $3  %3 &3

"3 #3 !  $3  %3

ÐÎÐ Ï

"3  $"3 # "3 "3

&3

Ñ Ò

ÑÓ Ó Ò Ñ Ò

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PÁG. 39

5. DEFINICIÓN:   Se Sea a T  una matriz cuadr cuadrada. ada.   Se dice que T  es una MATR MATRIZ IZ DE PR PROBABILID OBABILIDAD AD si y sol solo o si se verifican las siguientes siguientes condi ciones: i) todos sus ele elementos mentos son no nega negativos. tivos. ii) la sum suma a de los eleme elemento ntoss de cada fila es uno (1 (1). ). Usando la definición anterior, determine si las siguientes matrices son de probabilidad (5.1)  

ÎÐ T œ Ï! " $ " %

" $ " #

!

(5.3) T #

ÑÓ "Ò " $ " %

(5.2)

ÎÐ Uœ ! Ï " '

" '

"

" &

" &

(5.4) T U

ÑÓ ! Ò # $ $ &

6. De Demuestre muestre las siguientes propo siciones: (6.1 (6 .1)) Si T ß U son matrices de probabilidad del mismo tama tamaño; ño;  

entonces T U también es una matriz de probabilidad.

(6.2)

Œ

7.    

DEFINICIÓN: una a MATRI MATRIZ Z NILPO NILPOTEN TENTE TE si y so solo lo si E 8 œ ! E es un PARA AL ALGÚN GÚN 8 −  .

-9= B =/8 B

= =/ /8 B --9 9= B

8

 œ Œ =-/98= ÐÐ8ÐÐ888BBÑÑ

= =/ /8 ÐÐ8 8BÑ --9 9= ÐÐ8 8BÑ

à 8 −



 

! Î De Determin termin e si la matriz E œ # Ï&

8.

De Determin termin e las matric es \ œ

9.

Me Mediante diante operacio nes elementale elementaless transf orm orme e la matriz dada:

(9.1) (9. 1)  

ÎÐ Ï! " $ " %

" $ " #

!

ÑÓ (9. Î (9.2) 2) Ð ! Ï "Ò " $ " %

en triangular superior.

" ' " &

! ! ! ! $ !

Ñ es nilp otente. Ò

Œ +- . ,  tal que  

" '

" " &

\ # œ !.

Ñ (9. Ó (9.3) 3) ambas en diagon diag onal al ! Ò # $ $ &

en triangular inferior.

(9.4) TODAS LA LAS S MATRICES DE ESTA GUÍA EN:   a) escalonada por filas. b) escalonada reduc reducida ida por filas. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

 

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PÁG. 40

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 01: (02 HORA HORAS S EJERCICIO)   TALLER N° 1 1. Determine la matriz E œ Ð+34 Ñ ÐÐ33 œ "ß#ß ÞÞÞÞÞ ß 7 à 4 œ "ß#ß ÞÞÞÞÞ ß 8 8ÑÑ del orden indicado tal que: 3" (1.1) +34  œ Ð3  44ÑÑx   4"  $ 3#  668 8 4 # ./ 9 9< F  

Dadas las matri matrices ces en `7 B 8 ЂÑÞ

Œ

ÑÓ Ò ÎÐÏ Gœ

! & " %

$ 3 " 3 3 "&   "3 3

Calcule: (3.1) ÐE  F Ñ > ÐF  #G  $EÑ



à Gœ

Œ

3  #3  "  3 $  %3



(3.2) E > G > F > 

Determine el resultado de:

ÎÐ Ð Ï ÎÐ Ð Ï

! " # %

# " $ (

3 "3 #3 %3

ÑÓ Ó Œ Ò

# "

#3 "3 $3  (3

$ "

ÑÓ Ó Œ Ò

% !

#3 "3

 $3 "3

%3 3



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  PÁG. Determine si las siguientes matrices son de probabilidad  

5.

Œ  " #

" #

!

"

 

 

(5.1) T œ

 

(5.3) T

6.

Demuestre la siguiente proposición:

(5.2) U œ

41

  # & % (

$ & $ (

(5.4) T U

#

(6.1) T es matriz de probabilidad Ê T # es matriz de probabilidad (6.2)

Œ  Œ 

7.  

DEFINICIÓN: Sea E una matriz cuadrada.

 

Se dice que E es una MATRIZ IDEMPOTENTE si y solo si E # œ E Þ

 

Determine si la matriz E œ

8.

Determine las matrices

9.

Mediante operaciones elementales transforme la matriz dada:

(9.1)

ÏÎ

 

" !

# $ &

" "

8

" " !

œ

" 8 ! "

% & "

ÒÑ

à8−

(9.2)

en triangular superior.

Î Ï

" ! !

! " !

Œ  + -

ÏÎ

" % '

, .

# & &

! ! !

Ñ Ò

es idempotente.

que conmutan con

$ ( %

ÒÑ

Œ 

" "   Þ ! "

(9.3) ambas en diagonal

en triangular inferior.

(9.4) TODAS LAS MATRICES DE ESTE T TALLER ALLER EN: a) escalonada por filas. b) escalonada reducida por filas. 10.

Determine si las siguiente matrices son equivalentes por filas.

Ô Õ

"

"

#

$ (10.1) !

# #

% $

#

× Ø

# &   y

Ô Õ

" !

!

"

! " ! !

! "

" !

× . Ø

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(10.2)

(10.3)

(10.4)

11.

Ô Õ

 

$ % ! # " #

"

#

!

# ! ! %

! " " "

! " ! " -, % ! . "! " /

" $

" "

! "

ÔÖÕ Œ

" ! ! #

Dada la matriz

$ ! "

× Ø

' $ $

$

ÎÐ Ð ÏÐ

y ! +

" !

" # # ! $ " % $ # $

! !

"

#

! $

!

+

! ! ! !

" ! ! !

! " ! !

+ - , 

! "

! ! ! !

y

! " !

% ! ! ! " #

" ! ! "

× Ø

PÁG. 42

" ! ! " ! !

×ÙØ ÔÖÕ   y

 

Ô Õ

# $



" #

" #



 $ #

" #

ÑÓ Ó Ó Ò

" ! " B $ ! $ C   # " % D   $ " & > ! " # A

×ÙØ

/  $+  ,  -   ,+.   " #



.

  Determine la matriz equivalente escalonada reducida por filas EN LAS PRIMERAS CINCO COLUMNAS.

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PÁG. 43

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PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° AUTOEVALUACIÓN N° 1:

PROBLEMA 1:

TALLER N° 1:

 

RESPUESTA:

Œ

PROBLEMA 2:

TALLER N° 1:

(2.2)

 

RESPUESTA:

PROBLEMA 3:

TALLER N° 1:

 

RESPUESTA:

PROBLEMA 4:

TALLER N° 1:

 

(1.2)

ÎÐ Ð Ï Œ

!Þ#& !Þ#& $Þ*# $Þ*# "Þ!) "Þ!) %Þ(& %Þ(&

 $$  (# (#  *& *& #&



)) "(* #%" ' '' '

(3.1) %( (  #3 #3

"$ $) )3 $' '33

Ñ Ó Ó Ò



(5.4)

RESPUESTA:

TU œ



"( $& % (

$' (! $ (

à +## œ

$ (

 

TU

3Ñ

+"" œ

33Ñ

La suma de los elementos en cada fila es " . En efecto:

 

*( (# " (( " "& &%



es matriz de probabilidad, ya que: "( $&

à +"# œ

"( $&



$' (!

$' (!

à +#" œ

œ

% (



$ (

% (

!

œ"

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PROBLEMA 5:  

TALLER N° 1:

(9.2)

Î Ï

RESPUESTA:

" % '

! "   ( "$

! ! "%( "$

PÁG. 44

Ñ Ò

PROBLEMA 6:  

TALLER N° 1: RESPUESTA:

(10.2) Si son equivalentes por filas.

PROBLEMA 7:  

TALLER N° 1: RESPUESTA RESPUESTA::

11. Obteng Obtengaa la siguien siguiente te matriz equivalente reducida por filas EN LAS PRIMERAS CINCO COLUMNAS:

 

 

Î ÐÏ

" ! ! ! ! ! !

" ! ! !

! " ! !

# $

"

*  *% ! !

% $

#

" * *

! !

 $# B  $" D  $" A %

#

"

( * B " * D & * A * B  * D  *A BD> BCD A

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Ñ Ó Ò

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   MARTES 03 DE ABRIL DE 2007: 12:45-14:05   CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBR NO MBRE__ E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__11__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (2.1) (2.2) TOTAL

PUNTAJE Î Ï ÎÐ Ð Ï

PREGUNTA 2: (2.1) Calcule

3 #3  %3

(2.2) Determine si las matrices

 

Eœ

" " ! "

ÑÎ ÒÏ ÑÓÎÐ ÓÐ Ò Ï

 " $3  #3 !  & (3

# $ & $

! % # &

"3 #3 !  $3  %3 &3

y 

" ! ! !

# " ! !

!  %& " !

Ñ Ò ÑÓ Ó Ò  

son equivalentes por filas; indicando claramente las operaciones elementales sobre las filas, realizadas a partir de la matriz E Þ PONDERACIONES: (2.1) = 07 (2.2) = 08 PUNTOS.   TIEMPO: 20 minutos. 

   

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PÁG. 46

PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__11__  SE

PREGUNTA 2: (2.1) SOLUCIÓN:

Î Ï

 

Î Ï

3 #3  %3

 " $3  #3 !  & (3

 "  3  "#  #  #3 %  %3 %3  # #) )

ÑÎ ÒÏ

Ñ Ò Ñ Î Ò Ï

"3 #3 !  $3  %3 &3

"  #3  $3  "& #  %3  '  %  )3 )3  "& "&3  $& $&

œ

œ

""  3  #  #3 $#  %3 %3

 "%  &3  %  %3  $* $*  (3 (3

%

 

Ñ Ò

$

  (se descuenta un punto por cada término incorrecto) (2.2) SOLUCIÓN:

Eœ

ÎÐ Ð Ï

" " ! "

# $ & $

! % # &

ÑÓ Î Ó ÒÏ

J#  J " J%  J " Ð  " Ñ J" 

  " Ð "& ÑJ   # Ä

  Ð "# ÑJ$ Ä

 

ÐÎÏ ÎÐ Ð Ï

! ! ! " ! ! !

# " & " # " ! !

Ñ ÎÐÐ Ò Ï Ä

" ! ! !

"  

" % &

 # &

JJ$  &J  J#   % #

Ä

Ó ÑÒŒ  ÐÎÏ " ÑÓ ÎÐ Ó Ð Ò Ï

!  %& "  #* &

 

J% 

#* &

! % # &

ÑÓ Ó Ò

"

!

"  

# & & "

J $ Ä

! ! !

" ! ! !

#

! % &

" ! !

#  #* &

" # " ! !

"

Por lo tanto; las matrices son equivalentes por filas. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

!  %& " !

" "

ÑÒ Ó ÑÓ Ó Ò

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   MARTES 03 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35   CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBR NO MBRE__ E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__12__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (2.1) (2.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 2:

   

Œ

Œ



(2.2) Determine si la matriz  E œ

PONDERACIONES:  

" !



& $ à # % # ( $ ! # " Fœ à Gœ " % & ' # % Calcule el resultado de ÐE  F Ñ > ÐF  #G  $EÑ.

(2.1) Dadas las matrices  E œ

Î Ï

Œ

! ! ! # ! ! & $ !

Ñ Ò



es nilpotente.

(2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA

 

UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__12__  SE

PREGUNTA 2: (2.1) SOLUCIÓN: ÐE  F Ñ ÐF ÐF  #G  $EÑ  œ >

 

œ

 

ÎÏ Î Ï

$ # !

" # *

ÑÒŒ

# % $#  ** **

& ""

% '

 

' # #! ! &%

$(  %# %# ##&

Ñ Ò

% # #& &

#  %

(se descuenta un punto por cada término incorrecto)

(2.2) SOLUCIÓN: #

 Î Ï  Î Ï

E œ

! ! ! # ! ! & $ !

ÑÎ ÒÏ ÑÎ ÒÏ

! ! ! # ! ! & $ !

Ñ Ò Ñ Ò

œ

Î Ï Î Ï

! ! ! ! ! ! ' ! !

! ! ! ! ! ! ! ! ! E œ ! ! ! # ! ! œ ! ! ! ' ! ! & $ ! ! ! ! Por lo tanto, E  es nilpotente, para 8 œ $ Þ $

Ñ Ò Ñ Ò

 

$

 

#

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#



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   JUEVES 05 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35   CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBR NO MBRE__ E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__14__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (2.1) (2.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 2: (2.1) Demuestre por el principio de inducción la siguiente proposición: 

TÐ8Ñ À

Œ  Œ  ÎÏ ÑÒ " " ! "

(2.2) Transforme la matriz

" % '

8

œ

" 8 ! "

# & &

$ ( %

à8−

en triangular inferior;

indicando claramente las operaciones elementales realizadas. PONDERACIONES: (2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS.   TIEMPO: 20 minutos. 

   

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PÁG. 50

  PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)   SECCIÓN__14__  SE PREGUNTA 2: (2.1) DEMOSTRACIÓN: "

1º)

T Ð"Ñ À

 

T Ð#Ñ À

  2º)

" ! " !

" " " "

œ

" ! " !

" " " "

ES VERDADERO.

à 

ŒŒ  ŒŒ Œ  Œ  #

œ

" " ! "

" # ! "

œ

à

ES VERDADERO.

Œ  Œ  " " ! "

5

" 5 à  ! " ES VERDADERO;  a 5  # ß 5 0 349Þ

Se supone que

  3º)

TESIS DE INDUCCIÓN:

T Ð5 Ð5ÑÑ À

œ

" " ! "

T Ð 5  "Ñ À

5"

œ

En efecto; se sabe que: " ! " !

     

" " " "

5

" 5  ; multiplicando por ! " " " " 5 " " œ ! " ! " ! "

œ

5

" " ! "

T Ð5 Ð 5  "Ñ À

5"

œ

" 5" ! "

" " ! "

.

Por lo tanto TÐ8Ñ ES VERDADERA   a 8 −  

 

#

" 5" ! "

Œ  Œ Œ  Œ  Œ  Œ  Œ  Œ Œ  Œ  Œ  Por demostrar que

 

"

HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN:

 

 

"

" "

" "

(2.2) SOLUCIÓN: Se deben hacer "cero" los elementos por encima de la diagonal.   #

Î Ï

" % '

# & &

 

"   # "$ G

 

Ä

Î Ï

$ ( % " % '

! " ( "$

ÑŒ Ò

! & "%

"

Î  Ï

G#  # G"    Ä G$  $ G" 

Ñ   Ò

"

ÐG$  &G# Ñ Ä

" ! ! % "$ & ' ( "%

Î Ï

Ñ Ò

"

" % '

! "

! !

(

"%(

"$

"$

#

Ñ Ò

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

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PÁG. 51

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   JUEVES 05 DE ABRIL DE 2007: 12:45 - 14:05   CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBR NO MBRE__ E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__13__  PROFESOR__ER ERIC ICK K GONZÁ ONZÁL LEZ GAJA GAJAR RDO__   (2.1) (2.2) TOTAL

PUNTAJE Œ     

PREGUNTA 2:

(2.1) Dadas T œ

" #

" #

!

"

  y Uœ

# & % (

$ & $ (

.

Determine si  T U es matriz de probabilidad.

(2.2) Dada

ÎÐÐ ÐÐ Ï

" # $ % #

# ! " $ $

" $ # $ !

! ! " " "

" $ % & #

ÑÓ Ó Ó Ó Ò .

Determine la matriz equivalente escalonada reducida por filas; indicando claramente las operaciones elementales realizadas. PONDERACIONES: (2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS.   TIEMPO: 20 minutos. 

   

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLA DAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL PARA PÁGINA WEB UTEM.  PROFESOR RESPONSABLE: CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

 

 

PÁG. 52

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   MIÉRCOLES 04 DE ABRIL DE 2007: 15:45 - 17:05   CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_________________ NOMBRE______ ______________________ ______________SECCIÓN__21 ___SECCIÓN__21__  __  PROFESOR__REN ENÉ É ALZA ALZAMO MOR RA ANTI ANTIQ QUER UERA__   (2.1) (2.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 2: (2.1) Encuentre la matriz E œ Ð+34 Ñ Ð3 Ð3 œ "ß # à 4 œ "ß #Ñ tal que  +34  œ Ð3  #4Ñx  $3 (HAGA LOS CÁLCULOS)  4  .

Š‹

(2.2) Determine " si las " siguientes #  #matrices   Eœ

ÔÕ

$ !

# #

% $

×Ø

&   #

y

ÔÕ

" ! ! ! " ! ! ! "

×Ø

" " . !

son equivalentes por filas; indicando claramente las operaciones elementales sobre las filas, realizadas a partir de la matriz E Þ PONDERACIONES: (2.1) = 07 (2.2) = 08 PUNTOS.   TIEMPO: 20 minutos. 

 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA

 

UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PÁG. 53

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   MIÉRCOLES 04 DE ABRIL DE 2007: 14:15 - 15:35   CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE__ NOMB RE______ ________ ________ ________ ________ ________ ________ _____SECC _SECCIÓN__ IÓN__2 22__  PROFESOR__REN ENÉ É ALZA ALZAMO MOR RA ANTI ANTIQ QUER UERA__   (2.1) (2.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 2:

(2.1) Determine EL CONJUNTO CONJUNTO DE TODAS las matrices 

(2.2) Calcule

ÐÎ Ï

Œ 

" "   Þ ! " 3 #3 "3 "3 #3 $3 %3  (3

que conmutan con 

PONDERACIONES:  

   

ÑÓ Œ Ò

#3 "3

$3 "3

Œ  + -

, . 

%3 3



(2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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SEMANA N° 02 :

PÁG. 54

(04 HORAS CÁTEDRA)

 

UNIDAD I : MATRICES

 

TEMA 8: OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: si es invertible. OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L:

MATRIZ INVERSA Calcular el rango de una matriz. Determinar a partir del rango de una matriz, Calcular la inversa de una matriz.

(8.1) RANGO DE UNA MATRIZ:   Sea E −  ` 7 B 8 Ð‘Ñ Þ Se   Se llama RANGO DE LA MATRIZ E ß al número de filas distintas de cero de su matriz equivalente ESCALONADA POR FILAS. (8.1.1) EJEMPLO: Eœ

Î Ï

" ! !

Î Ï

" # "

# % %

# ! # 3 "3 "3

Ñ Ò

3 "3 "

Ñ Ò

J#  #J" Ä

J$  J# Ä

Î Ï

" ! !

Î Ï

" ! 3

# % !

# 3 % "3 "3 #

3 "3 !

Ñ Ò

Ñ Ò

J$  J" Ä

Ê VER KSÐE KSÐEÑÑ œ #

(8.1.2) EJEMPLO:

ÎÏ Î Ï

Eœ

Ä

" ! !

" 3 ! 3 ! " ! "3 "3 3 ! " " ! #

Ñ Ò

ÑÒ

J#  3 J" Ä

ÎÏ

" ! !

3 ! " " "3 "3

ÑÒ

J$  Ð"  3ÑJ#  

Ê VER KSÐE KSÐEÑÑ œ $

(8.2) MATRIZ INVERSA:   Sea E − `8B8 Ð ‘ ó ‚Ñ , es decir E es una matriz matriz cuadrad cuadrada. a.   Diremos que F − ` Б ó ‚Ñ es la MATRIZ INVERSA de la matriz 8B8 E , si y solo si se verifica que: E F œ F E œ M8   FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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PÁG. 55

(8.2.1) EJEMPLO: Eœ

Î Ï

" $ !

" % "

# & "

Ñ Ò

ÊF

œ   "'

Î Ï

* $ $

" " "

"$ " (

Ñ Ò

es la inversa de E;

ya que EF œ FE œ M $ (8.2.2) EJEMPLO:

Î Ï

" " $ # # ! Eœ % & ( ya que EF œ FE œ M $

Ñ Ò

ÊF

œ   "'

Î Ï

"% "% #

) ' & ' " !

Ñ Ò

  es la inversa de E;

(8.3) OBSERVACIÓN: a) Si la matriz admite inversa, se dice que dicha matriz es INVERTIBLE o NO SINGULAR. En caso contrario, se dice que es SINGULAR. b) Si la matriz F es la matriz inversa de la matriz E , denotamos a la matriz F por E" Þ (8.4) PROPIEDADES:   Sean E , F , G  matrices invertibles. a)

ÐE" Ñ" œ E

b)

E" es ùnica.

c)

ÐE F Ñ" œ F " E"

d)

ÐEF G Ñ" œ G " F " E"

e) Diremos que la matriz cuadrada E es invertible cuando al reducirla por filas, ninguna fila se hace cero. (8.4.1) EJEMPLO:    

Ñ Ò

Î Ï

Ñ Ò

" # 3 En (8.1.1) la matriz E œ  # ! "  3   no es invertible. " # " Notar que el VERKSÐ VERKSÐEÑ EÑ œ #  VERKSÐ VERKSÐM M$ Ñ œ $.

(8.4.2) EJEMPLO:  

Î Ï

" 3 ! En (8.1.2) la matriz E œ  3 ! "  es invertible. ! "3 "3 Notar que el VERKSÐ VERKSÐEÑ EÑ œ VERKSÐM$Ñ œ $. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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(8.5) CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA:   Sea M8 la matriz identidad Þ   Para obtener la matriz inversa de una E − `8B8 Б ó ‚Ñ , procedemos de la siguiente forma:

PÁG. 56

matriz

cuadrada

E M 8 1º) Formamos la matriz aumentada por bloques: 2º) Realizar operaciones elementales por filas, para obtener la siguiente M8 F  matriz por bloques:

ac d c db

ac d c db

3º) La matriz F  resultante en el bloque de la derecha corresponde a la matriz inversa de la matriz E , es decir F œ E" (8 (8.5. .5.1) 1) EJEMPLO:  

Dada la matriz E œ

Î Ï

" # %

" # &

$ ! (

Ñ Ò

. "

œ M$ Þ

Encuent Encuentre re la ma matriz triz iinvers nversaa si corr corresponde espondeà y vverifiq erifique ue que E E SOLUCIÓN: 1°)

Î Ï

Supongamos que E es invertible: " # %

" # &

J #$ Ä J"  J #

2°)  

3°)  

 

$ ! (

Î Ï

" ! !

! " !

" ! !

! ! " ! ! "

)  &   '

Ñ Ò

J#  Ð  # Ñ J"  Ä J$  % J" 

& ! " % ! " # " !

Por lo tanto; la%inversa es: ( "

E

œ

ÎÐ Ï Î Ï Î Ï $ ( $ " $

$ & '



Verificación: EE" œ

"

EE

œ

" # % " ! ! " ! !

Ñ Î Ó Ò Ï ÑÎ ÒÏ Ñ Ò

" " !

" '

" # &

 

! ! "

Ñ Ò

œ

" '

$ ! (

"% "% #

" '

Î Ï

" ! !

" ! "

  Ð  "' ÑJ   $  J"  Ð  )ÑJ$  Ä J#  Ð  & Ñ J$ 

) & "

"% "% #

' ' !

ÎÐ Ï

$ ' &

" # %

" ! ! ! " ! ! ! "

( $ ( $ " $

Ñ Ò

) ' & ' " !

Ñ Î Ò Ï œ

" '

' ! !

FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE

! ' !

! ! '

Ñ Ò

! ! " ! ! " % $ & '



Ñ Ò

" '

" " !

ÑÓ Ò

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(8 (8.5. .5.2) 2) EJEMPLO:  

Dada la matriz E œ

Î Ï

" $ !

" % "

# & "

Ñ Ò

PÁG. 57

.

Encuentre Encuent re la ma matriz triz iinvers nversaa si corr corresponde espondeà y vverifiq erifique ue que E E" œ M$ Þ SOLUCIÓN: 1°) Supongamos que E es invertible:

Î Ï

" $ !

" % "

# " & ! " !

! " !

Ñ Î Ò Ï Î Ï ÎÐ Ï Ñ Î Ó Ò Ï ÑÎ ÒÏ ÑÒ Î Ñ Ï Ò ! ! "

J#  Ð  $ÑJ"  Ä

 

J #$ J"  J # Ä J$  Ð  ( Ñ J# 

 

Ð "' ÑJ    $ J"  Ð  " Ñ J$  Ä J#  J $

2°)

Por lo tanto; la inversa es:

"

E

3°)

œ

ÎÐ Ï

$ #

 

 " # " #

" ' " '

"$ '

 

Verificación:

 

EE

 

EE" œ

"

œ

Î Ï ÎÏ

(8 (8.5. .5.3) 3) EJEMPLO:  

" '

" $ !

" ' ( '

" %  "

" ! ! " ! !

" ! !

! " !

" ! !

! ! " ! ! "

œ

" " '

$ #

 

" # " #

" '

" ' " '

" " "

* $ $

" ( "

# " "

" $ !

! ! " ! ! "

Ñ Ò ÑÓ Ò Ñ Ò

" " (

" '



* $ $

" '

# & "

" ! ! ! $ "

" ! !

"$ '

 

" "$ $ " (

" " "

" ' ( '

 

"$ " (

Ñ Î Ò Ï œ

" '

' ! ! ! ' ! ! ! '

! ! "

Dada la matriz E œ

! $3 !

! #3 3 ! # #33 % %33

.

   '3

Î Ï

# # ' ! $ !

 

a)

Verifique si la matriz

 

b)

Si corresponde; verifique que E E" œ M$ Þ

E" œ

" $ !

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Ñ Ò

Þ

Ñ Ò

Ñ Ò

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(8.6) EJERCICIO: (8.6.1) Dada la matriz  

Î Ï

! $ !

! # " ! # %

Determine su matriz inversa.

Ñ Ò

.

SOLUCIÓN: 1º) Forman Formando do la matriz : E M œ

a b   ÎÏ

2º) E M

" $



œ

! $ !

J" " #

J# Ä " # J$ # $ J $ 

ÏÐÎ

J"  Ä J#  # J$ 

3°)

! $ !

! " #

# " ! ! ! ! " ! % ! ! "

Realizar operaciones elementales para obtener

a b   ÎÏ

Ñ Ò

! # " ! ! " ! ! " ! # % ! ! "

J "# Ä J #$

"

" $

!

!

" $

!

! !

" !

# "

!

! !

 "# !

ÎÐ Ï

" ! !

! ! " ! ! "

" #

 "$ "

" $

! !

" #

La matriz inversa es E" œ

Î Ï

$ ! !

a

M

ÑÒ b

E"  À

" ! ! " ! # % ! ! " ! # " ! !

J"  "$ J# Ä

ÒÓ Ñ ÑÓ   a Ò

 "# !

!

" $

" '

# "

!

! !

 "# !

E"

œ M

 "$ " " #

" $

! !

ÏÎÐ b ÑÓ Ò

! " ! !

" '

 "# !

(8.6.2) Demostrar que: Si E − `8 B 8 Þ   Entonces ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ> Þ En DEMOSTRACIÓN: 1°)

Se debe verificar que:

2°)    

En efecto:

3°)

Por lo tanto ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ> Þ

E> ÐE> Ñ" œ ÐE> Ñ" E> œ M8 Þ



 

‘‘  ‘‘

E> ÐE> Ñ" œ E> ÐE" Ñ> œ E " ÐE Ñ   ÐE> Ñ" E> œ ÐE" Ñ> E> œ EÐE" Ñ

>

>

œ M8 œ M8

>

>

Ñ Ò

# $

" !

" '

ÎÐ Ï

PÁG. 58

œ M8  œ M8 

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" #

ÒÑÓ

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  PÁG. 59 MATRICES ELEMENTALES Y MATRICES INVERSAS

 

 

TEMA 9:

OBJETIVO OPERACIONAL: Obtener la matriz elemental respecto de realizar una y solo una operación elemental a las filas o columnas de una matriz. OBJETIVO OPERACIONAL: Caracterizar la matriz inversa como un producto de matrices elementales. (9.1) DEFINICIÓN:   Sea I − `8 B 8 БÑÞ   Diremos que I  es una MATRIZ ELEMENTAL si esta se obtiene de realizar una y solo una operación elemental en la matriz identidad M 8 . (9.1.1) EJEMPLO:

 Œ  Œ  Œ  Œ 

 

Sea M# œ

 

I" œ

 

I# œ

 

I$ œ

" !

! "

Þ Son matrices elementales las siguientes:

! "

" !

; se obtiene de J"# o bien G"#

" #

!

! "

  ; se obtiene de Ð "# ÑJ" o bien Ð "# ÑG"  

" $

! "

; se obtiene de J#  $J" o bien G"  $G#  

 

(9.1.2) EJEMPLO:  

I" œ

I# œ

I$ œ

Sea M$ œ

Î Ï Î Ï ÏÎ

ÏÎ Ñ Ò

"

!

!

! !

" !

! "

" ! !

! ! "

! " !

" ! !

! " !

! ! #

ÒÑ

Þ Son matrices elementales las siguientes:

; se obtiene de J#$ o bien G#$

"

! !

# !

" ! ! "

 

Ñ Ò

; se obtiene de Ð  #ÑJ$ o bien Ð  #ÑG$  

; se obtiene de J#  Ð  #ÑJ" o bien G"  Ð  #ÑG#  

ÒÑ

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PÁG. 60

(9.2) OBSERVACIÓN: a)

Toda matriz elemental es invertible.

b)

Cuando se aplica a la matriz

E − `7 B 8 БÑ

una operación

elemental SOBRE se obtiene una matrizporequivalente cual FILAS, es resultante de multiplicar izquierda F − `7 B 8 Б Ñ  , la SUS (premultiplicar) a la matriz E por la matriz elemental que se obtiene de realizar la misma operación elemental en la matriz identidad M 7 ; es decir: F œ I EÞ

(9.2.1) EJEMPLO: Sea E œ

Œ

" %

" ! "

Se considera M# œ



J #  %J " Ä F œ

!

Œ

J#  %J" Ê I œ

" !

" %

"

!

# ""

Œ  Œ  Œ  Œ Œ !

Por lo tanto F œ

# $

" !

"

" %

%

# ""

œ

" %

! "



"

" %

" # ! $



œIE

c) En el caso de trabajar POR COLUMNAS, se multiplica por derecha; pero en este caso la matriz elemental se obtiene de realizar la misma operación elemental en la matriz identidad M8 Þ (9.2.2) EJEMPLO: Sea E œ

Œ

" %

" !

Se considera M$ œ

Î Ï

# $



%G #

" ! ! ! " ! ! ! "

Ñ Ò

ÄFœ

Œ

Fœ

d)

Œ

% !

# $

 Œ œ

" %

Î Ï ÎÏ

%G# Ê I œ

Por lo tanto " %

" %

" !

# $

% # ! $

 Ñ Ò Ñ Ò

" ! ! ! % ! ! ! "

" ! ! % ! !

! ! "

œ EI

 

La inversa de una matriz elemental, también es una matriz elemental. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE

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(9.2.3) EJEMPLO:

Œ  " ! % "

Œ

" %

! "



PÁG. 61

 

Se Seaa I œ

 

J#  Ð  %ÑJ" o bien se obtiene de G"  Ð  %ÑG# en M# œ

Ê I " œ

(9.2.4) EJEMPLO:  

Sea I œ

Î Ï

" ! !

! ! % ! ! "

Ñ Ò

ÊI

"

Î Ï  

œ

" ! !

o bien se obtiene de Ð "% ÑG   # en M# œ

 

; se ob obti tien enee de

Ñ Ò

!

" !

! "

Þ

! ! ; se obtiene de Ð "% ÑJ   # " ! ! " ! Þ ! "

" %

Î Ï

 Œ 

! " ! !

(9.3) TEOREMA:   E − `8 B 8 Ð‘Ñ es invertible si y solo si

Ñ Ò

E es un producto de

matrices elementales. (9.3.1) EJE EJEMP MPLO LO: Encu Encuent entre re la matr matriz iz inve invers rsaa de E œ

Œ    # "

" $

y esc escri riba ba

si corresponde; la matriz E como un producto de matrices elementales. SOLUCIÓN: 1°)

Œ

Determinar la inversa y las respectivas matrices elementales:

# " " ! " $ ! "



J"#

J#  Ð  #ÑJ"

 

Ð  "& ÑJ   #

Ä

Ä

Ä

 

J"  Ð  $ÑJ#

2°)

La invers inversaa de E es:

Ä

Œ Œ Œ 

" $ ! " # " " !



 

Ê I" œ

Œ  Œ    Œ Œ 

" !

$ ! & "

" #

" !

$ "

"

!  "&

" ! ! " E" œ 

$ &

 " &

# &



" &

 

# &

$ "

" &



Œ  ! " " !

Ê I# œ

" #

Ê I$ œ

" !

!  "&

Ê I% œ

" !

$ "

" #

;

y además: M# œ I% I$ I# I" E Ê E œ ÐI% I$ I# I" Ñ  " FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE

! "

  

 

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  PÁG. 62 Por lo tanto; la matriz como producto de matrices elementales es:  

3°)  

E œ I"" I#" I$" I%  " donde:

I"" À I#"

À

I$" À I%" À

ŒŒ Œ Œ

Luego:

! "

"

!

" !

!

"

" #

! "

" ! ! "

Ä

" !

!

"

! "

"

!

" !

! "

" ! # "

 

Ê



Ê I$" œ

 

Ê I%" œ

ŒŒ Ä

" !

!  "&

" !

" !

$ "

" ! ! "

 Œ  Œ

  !

"

Eœ

! "

!



" ! ! "

" !

Ä

" !

" $ ! "



"

!

!

&

"

! " !

#

"

! &

! "

Ê I"" œ

ŒŒ  Œ  Œ  " !

Ä

Œ Œ  Œ "

 

I#"

œ

" $

Œ  ! "

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" ! # "

" !

! &

" $ ! "

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UNIDAD I I : DETERMINANTES

 

TEMA 1:

PÁG. 63

DEFINICIONES

OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Calcular el determinante de orden #B#. OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Calcular el determinante de orden $B$. OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Obtener el menor Q 334 4  de una matriz. OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Calcular el cofactor E34  de una matriz. OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular el determinante por expansión de cofactores; cofactor es; para una matriz de orden menor o igual a &B&. OBJETIVO OPERACIONAL: OPERACIONAL: Calcular el determinante por aplicación de propiedades. (1.1) INTRODUCCIÓN:

Œ

+"" +#"

+" # +# #



 

Sea E − `# B # Ð‘Ñ Ðó `# B # ЂÑÑ , dada por E œ

   por  

DEFINICIÓN: Se define el DETERMINANTE DETERMINANTE DE LA MATRIZ E, lo que denotaremos E   œ ./>ÐEÑ al siguiente número real (ó número complejo)

k kk k Œ

E   œ ./ />>ÐEÑ œ +"" +##  +#" +"#

(1.1.1) EJEMPLO:  

. />

" $

# %



(1.1.2) EJEMPLO:  

. />

Œ

' "#

# %

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

œ Ð'ÑÐ  % %ÑÑ  ÐÐ" " #Ñ Ð  # #ÑÑ œ  # #% %# #% %œ!

(1.2) Sea E − `$ B $ Ð‘Ñ Ðó `# B # ЂÑÑ, dada por E œ     por    

Þ

ÎÏ

+" " +# " +$ "

+"# +## +$#

+" $ +# $ +$ $

ÑÒ

Þ

DEFINICIÓN: Se define el DETERMINANTE DETERMINANTE DE LA MATRIZ E, lo que denotaremos E   œ ./>ÐEÑ al siguiente número real (ó número complejo)

k k k k º E   œ +" "

+## +$#

º º

+# $ +  +"# #" +$ $ +$"

º º

+# $ +  +"$ #" +$ $ +$"

+# # +$ #

º

SE DICE QUE EL DETERMINANTE ESTÁ DESARROLLA DESARROLLADO DO POR LA

FILA Note el signo negativo; lo cual la esdefinición correspondiente a que llaa suma de los1.subíndices es impar. ( aplicando anterior obtenemos: E   œ +"" ÐÐ+ +## +$$  +$# +#$ Ñ  +"# ÐÐ+ +#" +$$  +$" +#$ Ñ  +"$ ÐÐ+ +#" +$#  +$" +## Ñ   )

k k

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PÁG. 64

(1.2.1) EJEMPLO: (POR FILA 1) . />

 

Î Ï

" % $

# " %

$ # #

Ñ º Ò œ Ð "Ñ

º

" %

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º º

# %  Ð$Ñ # $

œ Ð  'Ñ  #Ð"%Ñ  $Ð  "*Ñ œ  $&

(1.2.2) EJEMPLO: (POR COLUMNA 2) ./>

Î Ï

" % $

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Ñ Ò º

º

º

% # "  Ð  "Ñ $ # $ œ #Ð"%Ñ  (  %Ð"%Ñ œ  $&

 

œ  Ð  #Ñ

 

º º

$ " $  Ð %Ñ # % #

º

(1.3) DEFINICIÓN:   

E − `8 B 8 Ð‘Ñ Ðó `8 B 8 ЂÑÑ. S e a Se llama MENOR 34 de la matriz E ; lo que denotaremos por  Q3 4   − `Ð8"Ñ BBÐÐ8"Ñ Ð‘Ñ Ðó `Ð8"Ñ BBÐÐ8"Ñ Ð‚ÑÑ , es decir es una matriz de orden Ð8  "Ñ B Ð8  "Ñ; la cual se obtiene de eliminar la fila 3 y la columna 4 de   la matriz E Þ

(1.3.1) EJEMPLO:  

Sea E œ #

Q#" œ

Œ

Î Ï $

%

#

(1.3.2) EJEMPLO:

 

 

" % $

ÎÐ ÐÐÐ Ï

# " %

à Q"$ œ



Ñ Ò

$ # # %

Œ

"

à Q$$ œ

 Œ ÑÓ Ó Ó Ó Ò Ñ ÐÎ Ó ÒÓ ÏÐ

$

%

" " ! # $ ! " # $ $ ! # Sea E œ %  # " " $ % & ! ! " " # ' " " ! # ! " # $ Q%& œ à Q## œ % # " ! ! " " #

ÐÎ ÏÐ

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PÁG. 65

(1 (1.4 .4)) DEFINICIÓN:   Sea E − `8 B 8 Ð‘Ñ Ðó `8 B 8 ЂÑÑ.   Se llama COFACTOR 34 de la matriz E ; lo que denotaremos por  número o real (ó número número comple complejo); jo); el cual E3 4   − ‘ Ðó ‚ Ñ , es decir es un númer está dado por:

k k

  E3 4 œ Ð  "Ñ34 ./>ÐQ3 4 Ñ œ Ð  "Ñ34 Q 3 4

(1.4.1) EJEMPLO:        

Î Ï

" % $

 

 

ÎÐ ÐÐÐ Ï

 

" ! % " !

  

œ  Ð  'Ñ œ ' à œ Ð  "*Ñ œ  "* à œ Ð  *Ñ œ  *

" " # $ "

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò Ñ Ó Ó ÎÏÒ Œ  Œ •

! # $ # $ $ " ! # Sea F œ % & ! " # ' " " ! # ! " # $ F%& œ Ð   "Ñ%& . /> % # " ! ! " " # " # $ " !  Ð%Ñ. /> œ  Ð"Ñ. />  # " " #

   

Œ Œ

Œ

(1.4.2) EJEMPLO:  

Ñ Ò

# $ " # Sea E œ % # # $ E#" œ Ð   "Ñ#" . /> % # % " E"$ œ Ð   "Ñ"$ . /> $ % " #   $$ E$$ œ Ð  "Ñ . />  %  "

ÎÐ Ð ” ÎÏ Ï ”   Œ Œ ”

POR FILA 2

œ 

# $ " # " # " #

 Ð  #Ñ . / >

 % Ð #. / >

ÑÒ  

 

 . />

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" " "

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# $ #

POR COLUMNA 2

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à POR COLUMNA 1

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ÎÐ Ð Ï

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POR FILA 3

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ÒÑ

Ñ Ó Ó Ò

# ! & #

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ÏÎ Œ  Œ  Œ  Œ

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POR FILA 1

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

ÏÎ

PÁG. 66

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POR FILA 1

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ÒÑ   

œ %  &Ð  "!Ñ  #Ð)Ñ  'Ð  "(Ñ  'Ð&Ñ  "#Ð  "(Ñ œ # #( (%

(1.5) CÁLCULO DEL DETERMINANTE POR EXPANSIÓN DE COFACTORES   El cálculo del determinante; se puede desarrollar a partir de cualquier fila o cualquier columna por expansión de cofactores: a)  

Si tomamo tomamoss cualqui cualquier er FILA 3 , el cálculo está dado por:

k k E

  ! 8

 

œ

 4œ"

! 8

œ . />ÐEÑ œ

 4œ"

! 8

+3 4 E3 4 œ

4œ"

+3 4 Ð   " "ÑÑ34  . />ÐQ3 4 Ñ

 

3 es fijo .

Ð  "Ñ34  +3 4  . />ÐQ3 4 Ñ

(1.5.1) EJEMPLO: P PO OR FILA 4

 

Î ÏÎÐ Ï Œ

. />

œ  . />

" %

" ! " % "

Ñ Ó Ò   ! Ñ Î Ò Ï  Œ  Œ  Œ ! "

# !

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% & ! œ  4œ"+% 4 E% 4 œ 4œ"Ð  "Ñ " # ' # $ " ! $ ! #  #. / > % " #  ' . /> & ! " % !

POR FILA 3 œ  . />

# $ ! #

POR FILA 1

+% 4 . />  ÐQ% 4 Ñ

! Ñ Î Ò Ï Œ  Œ 

$ " $  &. / >  #. /> # % # " ! % "  "#. /> % & " %

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POR FILA 1

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  PÁG. 67 Si tomamo tomamoss cualqui cualquier er COLUM COLUMNA NA  4 , el cálculo está dado por:  

b)

k k   !

 

E

 

8

œ . />ÐEÑ œ 8

œ

!

3œ"

! 8

+3 4 E3 4 œ

3œ"

+3 4 Ð   " "ÑÑ34  . />ÐQ3 4 Ñ

 

4  es fijo .

Ð  "Ñ34  +3 4  . />ÐQ3 4 Ñ

3œ"

(1.5.2) EJEMPLO: POR COLUMNA 1  

. />

ÎÐ Ð Ï

" ! % !

! # % % # $ œ +3 " E3 " œ Ð  "Ñ3" +3 " . />ÐQ3 " Ñ " ! 3œ" 3œ" " # " # $ " ! # œ Ð"Ñ. />  # " !  Ð %Ñ . / >  " # $ " " # " " #

    œ #. / >

Œ

Ñ ! Ó ! Ó Ò Î Ñ Î Ï Ò Ï  Œ  Œ 

" " # "

POR FILA 2

# $ " #

 . />

Ñ Ò

POR COLUMNA 2

" $ " #

 ). />

" "

# #

 %. / >

Œ

" "

# $

œ #Ð #Ð(Ñ  Ð  &Ñ  )Ð!Ñ  %Ð  &Ñ œ ""

(1.6) OBSERVACIÓN: a) Para realizar el cálculo por expansión de cofactores, se recomienda tomar la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros, si se realiza por este procedimiento. (1.6.1) EJEMPLO: . />

ÎÐ Ð Ï

b)

" ! % !

" " # "

! # " "

# $ ! #

ÑÓ Ó Ò

à se recomienda POR COLUMNA 1

Si E − `8 B 8 БÑ. Entonces el ./> E œ ./> E> .

(1.6.2) EJEMPLO: >

. />

Œ

# "

$ #



œ . />

Œ

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

œ . />

Œ

# $

# "

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  PÁG. 68 c) Si E − `8 B 8 БÑ; matriz cuadrada tal que es triangular superior o triangular inferior o diagonal. Entonces el ./>E es igual al producto de los elementos de la diagonal; es decir:  

# 8

. /> E œ

3œ"

+33

(1.6.3) EJEMPLO: TRIANGULAR SUPERIOR  

. />

Î Ï Î Ï

" ! !

! ! % ! "3 3

Ñ Ò Ñ Ò

! ! % ! ! "3

ÑÒ

# 3  % " 3 ! !

œ Ð"ÑÐ  %ÑÐ!Ñ œ !

(1.6.4) EJEMPLO: TRIANGULAR INFERIOR  

. />

" # 3

œ Ð"ÑÐ  %ÑÐ3Ñ œ  % 3

(1.6.5) EJEMPLO: DIAGONAL  

. />

ÎÏ

" ! !

œ Ð"ÑÐ  %ÑÐ"  3Ñ œ  %  % 3

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  PÁG. TEMA 2: PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

 

 

69

OBJETIVO OPERACIONAL: OPERACIONAL: Calcular el determinante por aplicación de operaciones elementales en la matriz y propiedades. (2.1) TEOREMA:   Si E ß F − `8 B 8 Б ÑÑÞÞ   Entonces ./> ./>ÐE ÐE FÑ œ ÐÐ./> ./> EÑ EÑÐ./ Ð./>> FÑ Þ (2.1.1) EJEMPLO:  

. />

Î –Ï

ÑÎ ÒÏ Î – Ï

" # "

# " "

 

$ ! #

œ . />

Ñ— Ò Ñ—–  Î Ò Ï

! ! #3 $3 3 ! ! # #33 % %33 " # $ # " ! " " #

(2.1.2) EJEMPLO: VERIFIQUE (2.1.1)

œ

. />

! $3 !

! #3 3 ! # #33 % %33

Ñ— Ò

(2.2) PROPIEDADES:   Sea E − `8 B 8 БÑ. a) Si E tiene una fila o columna con solamente ceros.   Entonces ./ ./>> E œ ! (2.2.1) EJEMPLO:

Î Ï

" # # " ! !

$ ! !

Ñ Ò

Î Ï

" # "

# ! " ! " !

Ñ Ò

 

. />

b)

Si E tiene dos filas o dos columnas iguales. Entonces ./> E œ ! .

(2.2.2) EJEMPLO  ": # $   . />  # " !

ÎÏ

" #

$

ÑÒ

œ! à

œ! à

. />

. />

ÎÏ

" # "

" $ # ! " $

ÑÒ

œ!

œ!

c) Si E tiene una fila que es múltiplo de otra fila; o una columna que es múltiplo de otra columna. Entonces ./ ./>> E œ ! . (2.2.3) EJEMPLO: . />

. />

Î Ï

ÏÎ

" # " "

# % " # # % "

# $

# $

Ñ Ò

œ !  à COLUMNA 3 ES MÚLTIPLO DE COLUMNA 2 $

! *

ÒÑ

œ !  ; FILA 3 ES MÚLTIPLO DE FILA 1

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  PÁG. 70 (2.3) Si E − `8 B 8 БÑ; tal que expresamos E en términos de sus filas o columnas de la manera siguiente:  

Eœ

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

J " J # ÞÞÞ J 3 ÞÞÞ J 5 ÞÞÞ J 8

×Ù ÙÙÙ ÙÙ Ø

c

d

o bien E œ G" G# ÞÞÞ G4 ÞÞÞ G6 ÞÞÞ G8  ;

donde J3 Ð3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8Ñ son las respectivas filas de la matriz E; y análogamente G 4  Ð4 œ "ß#ß ÞÞÞÞÞ ß 8Ñ son las respectivas columnas de la matriz E .  

Entonces:

a)

ÔÖÖ ÖÖÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

. />

J" J# ÞÞÞ J3 ÞÞÞ J5 ÞÞÞ J8

×ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ Ø

œ  . />

ÔÖÖ ÖÖÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

×ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ Ø

J " J # ÞÞÞ J 5 ; ÞÞÞ J 3 ÞÞÞ J 8

es decir;   Si se hace un intercambio de fila (o columna).   Entonces cambia el signo del determinante. (2.3.1) EJEMPLO:  

 

. />

. />

Î Ï ÐÐÎ Ï

" # " $ ! % !

# $ # ! " $

" " # "

! # " "

Ñ Ò

Î Ï Ñ Ó Ó Ò

œ  . />

# $ ! #

" # "

œ  . />

ÐÐÎ Ï

" $ # ! # $ " $ " ! # % " !

Ñ Ò

à

! # " "

 

# $ ! #

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b)

. />

ÖÖÖÔ ÖÖÖ ÕÖ

 

J" J# ÞÞÞ J3 ÞÞÞ J5 ÞÞÞ J8

ÙÙÙ× ÙÙÙ ØÙ

œ . />

ÖÖÖÔ ÖÖÖ ÕÖ

J" J # ÞÞÞ - J 3‡ ÞÞÞ J 5 ÞÞÞ J 8

ÙÙÙ× ÙÙÙ ØÙ

œ - . />

* ' $

Ñ Ò

ÖÖÖÔ ÖÖÖ ÕÖ

J " J # ÞÞÞ J 3‡ ÞÞÞ J 5 ÞÞÞ J 8

ÙÙÙ× ÙÙÙ ØÙ

 

PÁG. 71

 ; con - Á ! ;

es decir:   Si la fila 3  /=37+ (o la columna 4  /=37+) tiene un factor común - , el determinante se multiplica por la constante -  y se divide la respectiva fila (o columna) por dicha constante - Þ (2.3.2) EJEMPLO:  

. />

Î Ï

" # "

# # "

œ Ð  #Ñ. />

" # " " " "

ÎÏ

 

œ Ð  #ÑÐ$ #ÑÐ$Ñ. Ñ./> />

 

. />

ÐÎÐ Ï

$ ! % !

" " # "

! # # "

' ' ! "#

Ñ Ó Ó Ò

 

c)

Î Ï

œ Ð #Ñ . / >

ÐÎÐ Ï ÎÐ Ð Ï

œ Ð#ÑÐ'Ñ./>

. />

ÔÖÖ ÖÖÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

J" J# ÞÞÞ J3 ÞÞÞ J5 ÞÞÞ J8

×ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ Ø

œ . />

ÔÖÖ ÖÖÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

$ ! # !

* $ $

" # " " " "

" " " " $ " ! " # " ! "

Ñ Ò

$ " "

ÑÒ Ñ Ó Ó Ò Ñ Ó Ó Ò

! ' # ' " !  " "# ! " # " " ! " #

×ÙÙ ÙÙÙ ÙÙÙ ÙÙ Ø

J " J # ÞÞÞ J3  !J5   ; ÞÞÞ J 5 ÞÞÞ J 8

es decir:   Si aplicamos la operación elemental de sumar a una fila (o sumar a una columna) ! veces otra fila (u otra columna); el resultado del determinante no cambia. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE

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(2.3.3) EJEMPLO:  

. />

 

. />

d)

. />

Î Ï ÏÐÎ ÔÖ ÖÖÖÖ ÖÖÖÖ Ö Õ

Ñ Î Ò Ï Ñ ÏÐÎ ÒÓ ×Ù ÙÙÙÙ ÙÙÙÙ Ù Ø

" # " # # # œ . /> " " $ $ " ! ' ! % ! J" J# ÞÞÞ J3 ÞÞÞ J5 ÞÞÞ J8

" # "

×Ù ÙÙÙÙ ÙÙÙÙ Ù Ø

# ' # !  " "#

œ . />

ÔÖ ÖÖÖÖ ÖÖÖÖ Ö Õ

" ! " $

œ . />

J " J # ÞÞÞ ‡ J3  J3‡‡  ÞÞÞ J 5 ÞÞÞ J 8

# ' " "

! % !

" # "

œ . />

ÔÖ ÖÖÖÖ ÖÖÖÖ Ö Õ

×Ù ÙÙÙÙ ÙÙÙÙ Ù  Ø

J" J# ÞÞÞ J3‡ ÞÞÞ J5 ÞÞÞ J8

Ñ Ò

" ! ; $ # ' ! # "

 

J#  Ð  #ÑJ"  

Ñ ÒÓ ÔÖ ×Ù ÖÖÖ ÙÙÙ ÖÖÖ ÙÙÙ ÖÖÖ ÙÙÙ Õ Ø

' ! "#

 ./ ./>>

PÁG. 72

àG   $  # G#  

J " J # ÞÞÞ J 3‡‡ ; es decir; ÞÞÞ J 5 ÞÞÞ J 8

si una fila (o columna) se expresa como la suma de dos filas o vectores; el determinante se expresa como una suma de dos determinantes, donde todas las restantes filas (o columnas) se mantienen iguales. (2.3.4) EJEMPLO: . />

. />

 

Î Ï ÎÐ Ð Ï

" # " $ ! $ " !

Ñ Ò

Î Ñ Î Ï Ò Ï Ñ Ó Ó Ò Ó Ñ ÐÎ Ó Ñ Ò Ï Ò

"" " " " "$ # œ . />  # " "! $ " " " ! # " # " œ " # # " ! ' " " "

œ . />

ÐÎ Ï

$ ! $ !

" " " "

! # # "

# " ! "

 . />

" # $

$ ! " !

" " # "

 . />

" # "

! # " "

# " ' "

" $ !

" # $

Ñ Ò

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PÁG. 73

(2.4) EJERCICIO: (2.4.1) a) Calcule el siguiente determinante y escriba el polinomio resultante en potencias decrecientes de la variable -.

ââ â

  SOLUCIÓN:

#-

$

'

% #

"!

) -

ââ â

1º)

Desarr Desarrollar ollar por fila 3:

 

œ  #. / >

 

œ # #ÐÐ#%  '  '-Ñ  -Ð  #  -  -#  " "# #Ñ

 

œ  -$  -#  #-  $'

2º)  

Expresado potencias decrecientes de -:  :Ð-Ñ en œ  -$  -#  #-  $'

b)

Œ

$ "-

' )



 - . />

Encuent Encuentre re el polin polinomio omio

Œ

  #  -

%

1°)

"B " $ #B ./>

$ œ . /> #

•

% "



Ô Õ

"B " $ #B  :ÐBÑ œ ./> # "

factorícelo completamente. SOLU SO LUC CIÓ IÓN: N:

Ô ”Õ

$ "-

× ”Ø

 ; (por columna 2)

# " " "B "B  Ð#  BÑ. /> "B #

• ”

% "B  . /> "B $

œ Ð  "  $BÑ  Ð#  BÑÐB#  *Ñ  ÐB  "$Ñ

 

× Ø

% "   y "B

 :ÐBÑ œ  B$  #B#  &B  '

2°)  

Notar que B œ " es una raíz o cero de :ÐBÑ Þ Luego es divisible por B  " .

 

En efecto:

 

 :ÐBÑ œ ÐB  "ÑÐ  B#  B  'Ñ œ  ÐB  "ÑÐB  $ÑÐB  #Ñ

% "

•

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(2.4.2) Calcule el siguiente determinante:  

âââ âââ ââ

 

# " $ %

! # ! #

âââ âââ ââ

PÁG. 74

! " " $

( % & !

SOLUCIÓN: (DOS FORMAS) a)  

âââ âââ ââ

POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES: (por fila 1 que tiene más ceros)

# ! " # $ ! % #

! ( " % " & $ ! # œ Ð  # Ñ. /> ! #

Î Ï

âââ âââ ââ

œ Ð" "ÑÑ"" +"" . />Q""  Ð  "Ñ"% +"% . />Q" %

" % " & $ !

(por columna 1)

Ñ Ò

 (. />

Î Ï

" # $ ! % #

" " $

(por fila 2)

Ñ Ò

 

  Œ Œ   Œ Œ ‘‘  ‘  ‘  " &  # . />  " % $ ! " & # " " #  $ . />  . /> # $ % #

œ Ð  # Ñ # . />

 

(

 #%  ' œ '%  #"! œ #(% 

œ Ð  #Ñ  $!  #  (

O BIÉN: b)

â ââ

POR APLICACIÓN APLICACIÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES:

# " $ %

!

!

(

â ââ

â ââ

"

"

"

%

â ââ

â ââ

"

"

" %

â ââ

# " % œ # # ! ! ( œ# ! # ! (   ! " & $ ! " & ! $ " & # $ ! % " $ ! " % $ ! " G"# J%  Ð  "ÑJ"     # à J"# #G " " " % # ! ( ! # ( ! # ! ( " & œ# " $ &   œ# œ# $ ! $ " & $ % % % $ % ! $ % % (por columna 1) Ð  "ÑG# à G"# J"#   " $ & " $ & # ( # ( œ # ! # ( œ # œ # ! œ #(%   " & "' % $ % ! "& "' J$  % J"  (por columna 1)

âââ ââââ â

âââ ââ â

ââââ ââââ âââ ââ â

ââââ ââ

âââ ââ â

ââââ ââ

ââââ ââ

âââ ââ   º â

º

ââââ ââ

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 02: (02 HORA HORAS S EJERCICIO)  

1. Eœ

Hœ

GUÍA DE ESTUDIO N° 2  Dadas las matri matrices ces en `8 B 8   À

Î Ï Î Ï

3 $3 !

3 %3 3

" " !

# $ " # " #

#3 &3 3

Ñ Ò

à Fœ

Ñ Ò

;

Iœ

Î Ï Œ

! $ (

# ! '

3 "

# 3



" & !

Ñ Ò

à Gœ

à J œ

Î Ï

Î Ï

! $3 !

=/ 8 @ - 9= @ !

! #3 3 !  #3 % 3

Ñ Ò

à

-9= @ !  =/ 8 @ ! ! "

Ñ Ò

(1.1) Determine el rango en cada caso; y decida si son inv invertibles. ertibles. (1.2) Encuentre la matriz inversa cuando corresponda. (1.3) Verifique la propiedad Q Q " œ Q " Q œ M$  2.  

Dadas las matri matrices ces en `7 B 8   À Eœ

Î Ï

3 #3  %3

 " $3  #3 !  & (3

Ñ Ò

Fœ

Î Ï

! # ! " " !

" ! !

Ñ Ò

(2.1) Determine el rango en cada caso; y decida si son inv invertibles. ertibles. (2.2) Encuentre la matriz inversa cuando corresponda. (2.3) Verifique la propiedad ÐE F Ñ" œ F " E" 3. Sean E ßFßG   matrices invertibles.   Dadas las siguientes proposiciones, determine si son verdaderas o falsas: a) De ser falsas, dé un contraejemplo b) De ser verdadera, DEMUÉSTRELA.  

(3.1) ÐE" Ñ" œ E

 

(3.3) ÐF G " Ñ" œ G F "

(3.2) ÐEF Ñ" œ E" F "  (3.4) ÐE" F > Ñ" œ ÐF > Ñ" E>

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Œ  + -

PÁG. 76

, Þ . 

4.

Dada la matriz E œ

     

Demuestre que: Si E œ „ M # 9 ÐÐ+ + œ  .   C , - œ "  + # Ñ. Entonce cess E es su misma inversa. sa.

5.

Demuestre las siguientes proposiciones:

(5.1) Si E − `8 B 8 Þ Entonces "# ÐE  E> Ñ es simétrica. Además aplique (5.1) para la matriz: a)

Eœ

Î Ï

! " " " ! #

# $ "

Ñ Ò

(5.2) Si E − `8 B 8 Þ Entonces

 

b)

Gœ

" > # ÐE  E Ñ es

Œ

"3 ! ! "3



antisimétrica.

Además aplique (5.2) para la matriz: a)

Eœ

Î Ï

! " " " ! #

# $ "

(5.3) Demuestre que:   Entonces a)   b) 6.  

 

Ñ Ò

 

b)

Gœ

Œ

"3 ! ! "3



Si E −  ` 8 B 8 es simétrica. E  E> es simétrica. E> E es simétrica.

Dadas las matrices Eœ

Hœ

ÎÏ Î Ï

" $ !

" % "

3 #3  %3

# & "

ÑÒ ÏÎ Ñ Î Ò Ï àF œ

 " $3  #3 !  & (3

! $ (

àIœ

# " ! & ' ! ! $3 !

ÑÒ

àGœ

! #3 3 !  #3 %3

ÎÏ

! $ !

! " #

# ! %

ÑÒ

Ñ Ò

Þ

Calcule si existe lo indicado: (6.1) ( E>  ÐF "  #H> Ñ

(6.2) H"  I "

(6.3) ÐG I Ñ"

(6.4) E>  ÐF > H" Ñ

(6.5) ÐH" I " Ñ>

(6.6) F " G " 

à

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  PÁG. 77 7. Caracterizar si corresponde; las siguientes matrices como un producto de matrices elementales.  

Œ 

# " à " $ ! ! "

 

(7.1) E œ

 

(7.3) G œ

8.

Calcule los siguientes determinantes:

Œ Î âââ Ï âââ ââââ ââ

(8.1) . />

(8.4)

./>

! (8.7) $ !

# " " $



" '

" '

  !

"

!

" &

" &

$ &

! # " ! # %

(8.10) $ !

ââââ â

! , (8.13) ! !

ÎÏ

" !

+ ! ! !

(8.16) E8 œ ./ ./>>

! "

$

(8.2) . />

Ñ âââ Ò âââ # $

! "#

! ! ! .

" "

! ! !

ÎÐ ÐÐÐ ÐÐÐ Ð Ï

(7.2) F œ

Œ

>

(8.5)

(8.8)

ââââ ââ

(7.4) H œ

ÑÒ

"3 ! ! "3

ââ âââ â âââ

" $ !

" % "

# % !

âââ ââââ â

# # ! ! (8.11) ! %"

ââââ â

ââââ â

+ (8.14) ! !

, . ! !

! ! + -

"

"

"

ÞÞÞ

ÞÞÞÞÞ

ÎÏ

 

 

(8.6)

ââ âââ â âââ âââ ââââ â ââââ ââ

Î Ï

! $ (

" # & !

! ! , .  

8

ÑÒ

" $ " %

" $ " #

" $ " %

!

!

"

# ! '

&$ (8.9) (

$ % " $

!  )3

$3 3  $3 $3

(8.3) . />

ââ âââ â âââ âââ ââââ â ââââ â ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ò

8 " " " ÞÞÞ ÞÞÞÞÞ " 8 # " " ÞÞÞ ÞÞÞÞÞ " 8 " $ " ÞÞÞ ÞÞÞÞÞ " ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ 8



"3 ! à ! "3 ! #3  %3

#

# & "

$ " ' & # " ! " ! #



Œ

# " (8.12) $ %

+ ! (8.15) ! ! !

" & !

# ' ! # ! #

Ñ Ò

"

ââ â â ââââ â âââ ââââ â âââ âââ " & -

! ( " % " & $ !

! ! ! ! ! , ! ! ! ! ! -   ! ! . ! / ! ! !

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9.  

Para las matrices E œ Ð+34 Ñ  −  ` 8 B 8 dadas. Determine los menores y cofactores indicados:

(9.1) E œ

(9.2) E œ

(9.3) E œ

(9.4) E œ

10.

Î ÏÎ Ï ÎÐ Ð Ï ÐÎÏ

" $ " %

" $ " #

" $ " %

!

!

"

" $ !

" % "

Ñ Ò Ñ Ò ÑÓ Ó Ò

 

Q## à E"#

ß  

Q$# à E##

ß

 

# & "

! + ! ! , ! ! ! ß ! ! ! -   ! ! . ! # ! " # $ ! % #

! ( " % " & $ !

Resuelva la ecuación

âââ âââ ââ

Q%$ à Q   #$ à E$% à E""

Ó ÑÒ

" " $ $

ß

Q%$ à Q   #$ à E$% à E""

" B B# #B  "

âââ âââ ââ

" " B# B$ œ! #B  " $B B#  # #B B $B#

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 02: (02 HORAS EJERCICIO) TALLER N° 2 

 

(LOS CÁLCULOS QUE CORRESPONDAN CON DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS. USE BIEN LA CALCULADORA!!) 1.  

Dadas las matri matrices ces en  ` 8 B 8 Б ó ‚Ñ À Eœ

Gœ

Î Ï Œ

! " !

" " #

# $ "

"3 ! ! "3



Ñ Ò

à  

à

Fœ

 

Hœ

Î Ï Î Ï

Ñ Ò

3 3 !

#3 $3 3 #3 à 3 #3 " 3 ! 3 ! " ! "3 "3

Ñ Ò

(1.1) Determine el rango en cada caso; y de acuerdo a este decida si son invertibles. (1.2) Encuentre la matriz inversa cuando corresponda. (1.3) Verifique la propiedad Q Q " œ Q " Q œ M$  2.  

Dadas las matri matrices ces en `7 B 8 Ð‘Ñ À Eœ

Î Ï

" $ " %

" $ " #

" $ " %

!

!

"

Ñ Ò

 

Fœ

Î Ï

" '

" '

# $

!

"

!

" &

" &

$ &

Ñ Ò

(2.1) Determine el rango en cada caso; y de acuerdo a este decida si son invertibles. (2.2) Encuentre la matriz inversa cuando corresponda. (2.3) Verifique la propiedad ÐE F Ñ" œ F " E" 3.  

Sean E ßFßG   matrices invertibles. Dada la siguiente proposicón, determine si es verdadera o falsa:

a) De ser falsa, dé un contraejemplo b) De ser verdadera, DEMUÉSTRELA. (3.1) ÐE F G Ñ" œ G " F " E" (3.2) ÐÐEF Ñ" Ñ> œ ÐE> Ñ"ÐÐF F > Ñ"

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4.

Calcule la inversa de la matriz

Œ

M8 !

E M 8



 

PÁG. 80

donde   E − `8 B 8 БÑ, M 8 

es la matriz identidad, ! − `8 B 8 Ð‘Ñ es la matriz nula o cero. 5. (5.1) Demuestre que:   Toda matriz E −  ` 8 B 8 se puede caracterizar como la suma de dos matrices F C G , donde F es simétrica y G es  antisimétrica. (5.2) Aplique (5.1) pa para ra la matriz:  

a)

Eœ

Î Ï

! " " " ! #

# $ "

Ñ Ò

 

Œ

"3 ! ! "3

b)

Gœ

b)

EE> es simétrica.



(5.3) (5. 3) Demuest Demuestre re que que:: Si Eß F −  ` 8 B 8 son simétricas.  

Enton Ent onces ces a) ÐEF Ñ> œ F E

6.

Dadas las matrices

 

Eœ

Î Ï Î Ï

" $ !

" % "

3 #3  %3

Ñ Î Ò Ï Ñ Î Ò Ï

Ñ Ò

# ! # " & ! & àGœ àF œ $ " ( ' !  " $3 ! ! #3  #3 ! à I œ $3 3 ! Þ  & (3 !  #3 %3

Ñ Ò

Î Ï

! $ !

 

Hœ

   

Calcule si existe lo indicado:

7.    

TEOREMA: E es un producto de matrices elementales si y solo si E es invertible.

! " #

# ! %

Ñ Ò

à

E"  ÐÐF F>  # #H H Ñ I "  F "  # #G G > 

  Caracterizar si corresponde; las siguientes matrices como un producto de matrices elementales. (7.1) E œ

Œ  $ % % (

à

 

(7.2) F œ

ÎÏ

" ! 3 3 ! ! " "3 ! "

ÒÑ

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8.

(8.1) ./>

(8.3)

ââ ââ

# ! $ %

$" "

$ # ( "

(8.5) E8 œ ./ ./>>

9.   (9.1)

(9.2)

âââ âââ ââ ââ

Calcule los siguientes determinaantes:

Î Ï

# "%

" % ! ! " # $ )

ÎÐ ÐÐÐ ÐÐÐ Ð

% # -

ââ ââ

B"  C" B#  C" B$  C" ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ B8  C"

B"  C# B#  C# B$  C# ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ B8  C#

Ñ Ò

 

$ "!

' ) -

" " $ % (8.4) # & % !

" ! ' ! " $ $ !

ââ ââ ÑÓ Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ò

B"  C$ B#  C$ B$  C$ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ B8  C$

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

Para las matrices E œ Ð+34 Ñ  −  ` 8 B 8 dadas. Determine los menores y cofactores indicados:

Ñ Ò

" '

" '

# $

!

"

!   Q$" à E#"

" &

" &

$ &

+ ! ! ! !

Ñ Ó Ó Ò

âââ âââ

#% (8.2) #

Ï

Î Ï ÎÐ ÏÐ

PÁG. 81

! ! ! ! ! , ! ! ! ! ! -    Q à Q à E à E #$   %% $& &# ! ! . ! / ! ! !

ÞÞÞ B"  C8  ÞÞÞ B#  C8  ÞÞÞ B$  C8  ÞÞÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ B8  C8 

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PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° AUTOEVALUACIÓN N° 2:

PROBLEMA 1:  

TALLER N° 2 : RESPUESTA:

1. D

(1.1) VERKSÐHÑ œ $Þ Por lo tanto es de rango compl completo, eto, es decir es invertible (notar que H se reduce a la matriz identidad M $ ) (1.2) La matriz

 

Î

ÎÐ Ï Ï " ! ! ! " ! ! ! "

(1.3) HH" œ M$ PROBLEMA 2:   3Ñ

" 3 ! " ! ! 3 ! " ! " ! ! "3 "3 ! ! " " #

 #" 3  #"  #" 3  #"  #" 3

" #

 #" 3  #"  #" 3 " " #  #3

Ñ

se reduce por filas a

Ñ ÒÓ Ò

 #" 3 " # " #

H" H œ M$  

TALLER N° 2 : RESPUESTA:

(3.2)

PREVIO: Probar que ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ> Þ En efecto; notar que:

   

ÐE> ÑÐE> Ñ" œ ÐE> ÑÐE" Ñ> œ ÐE" EÑ> œ M > œ M Þ Por lo tanto: ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ> .

33Ñ

ÐÐEF Ñ" Ñ> œ ÐF " E" Ñ> œ ÐE" Ñ> ÐÐF " Ñ> œ ÐE> Ñ" ÐF > Ñ"

PROBLEMA 3: (3.1)  

TALLER N° 2 : RESPUESTA: Probar que

" # ÐE

(5.1)

3Ñ

PREVIO:

 E> Ñ ES SIMÈTRICAÞ

   

En efecto; notar que: Ð "# ÐE  E > Ñ Ñ">

œ "# ÐE  E > Ñ > œ "# ÐE>  ÐÐE E> Ñ> Ñ œ # ÐE>  E Ñ œ "# ÐE  E> Ñ

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CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL PARA PÁGINA WEB UTEM.  PROFESOR RESPONSABLE: CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE   " # ÐE

  PÁG.  E Ñ ES ANTISIMÈTRICAÞ

     

Probar que En efecto; notar que: Ð "# ÐE  E > Ñ Ñ>

33Ñ

Por lo tanto tantoà tod todaa mat matriz riz E se pue puede de escr escribi ibirr com como: o:

83

>

œ "# ÐE  E > Ñ > œ "# ÐE>  ÐÐE E> Ñ> Ñ œ "# ÐE>  E Ñ œ  "# ÐE  E> Ñ

E œ "# ÐE  E> Ñ  "# ÐE  E> Ñ   donde el primer sumando es SIMÉTRICO y el segundo sumando es ANTISIMÉTRICO.

(3.2)   3Ñ

TALLER N° 2 : RESPUESTA: " # ÐG

 G >Ñ œ

Œ

"  #

33Ñ

" # ÐG

333Ñ

Por lo tanto:

>

G Ñ œ

PROBLEMA 4: (4.1)  

#  #3 ! ! #  #3

"  #

! !



 

! !

Œ  Gœ

" #

Œ

TALLER N° 2 : RESPUESTA: Eœ

$ !

(4.2)      

(5.2) b)

! "

#  #3 ! ! #  #3

 Œ  

! !

" #

! !

(7.1)

" ! % "

"

!   "

!

& $

!

% $

"

Œ Œ Œ Œ 

TALLER N° 2 : RESPUESTA:

(7.2) F  no es matriz invertible, por lo tanto no se puede expresar como un producto de matrices elementales.

PROBLEMA 5: (5.1)  

TALLER N° 2 : RESPUESTA:

(8.1)  -$  %-#  $-  $#

 (5.2)

TALLER N° 2 : RESPUESTA:

(8.3) )!

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PÁG. 84

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   MARTES 10 DE ABRIL DE 2007: 12:45-14:05   MBRE__ CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NO NOMBR E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__11__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (3.1) (3.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 3: (3.1) Demostrar que:   S i  E − `8 B 8 Þ Entonces  ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ> Þ Si " " # & à encuentre la matriz (3.2) Dada la matriz   E œ $ % ! " " invers inv ersa a si corres correspon ponde deà y verifi verifique que   que que E E" œ M$ Þ

ÏÎ

PONDERACIONES:  

ÒÑ

(3.1) = 07 (3.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA

 

UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PÁG. 85

PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__11__  SE

PREGUNTA 3: (3.1) : 1°) DEMOSTRACIÓN Se debe verificar que: E> ÐE> Ñ" œ ÐE> Ñ" E> œ M8 Þ   "   " " 2°) En efecto:    > > E> ÐE> Ñ" œ E> ÐE" Ñ> œ E" E œ M8 œ M8     > > ÐE> Ñ" E> œ ÐE" Ñ> E> œ E E" œ M8 œ M8    3°) Por lo tanto ÐE> Ñ" œ ÐE" Ñ> Þ  

#

 ‘ ‘  ‘ ‘

" "

(3.2) 1°) Supongamos que E es invertible:

ÏÎ Î Ï Î Ï

"$ ! " ! !

" ! ! " ! !

  2°) E

"

3°)  

% " " " " (

#& "! !" " ! ! # " " ! " $ " " "

!! Ä "! ( " " ! " ! ! " ! ! " Ä ! " " ! ! ! " ! ! " ! " Ä ! " " ( ' ! ! '

" !  "#

ÒÑ ÏÎ Ñ Î Ò Ï Ñ ÎÐ Ò Ï

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Verificación: EE" œ

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ÑÓ Î Ò Ï ÑÎ ÒÏ Ñ Î Ñ Ò Ï Ò

" ' ( '

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" ' " '

Por lo tanto; la inversa es:

"

 

# " " $ " ! " " " ! ' $ $ ! # !  "# "  "#

* $ $

" " "

* " " $ " ' $ " " ! ! ! ! " " ! !

"$ " (

Ñ Ò Ñ Ò

"$ " (

 

 

 

#

"

"

FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   MARTES 10 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35   MBRE__ CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NO NOMBR E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__12__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (3.1) (3.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 3: (3.1) Demuestre que:   Si  E − `8 B 8 Þ Entonces

" # ÐE

 E> Ñ

es antisimétrica.

" " $ # # ! (3.2) Dada la matriz   E œ à encuentre la % & ( matriz inversa inversa si si correspo corresponde ndeà y verifiq verifique  ue que E E" œ M$ Þ

ÎÏ

PONDERACIONES:  

   

ÑÒ

(3.1) = 07 (3.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__12__  SE

PREGUNTA 3: (3.1)   1°) 2°)





 

3°)  

DEMOSTRACIÓN Si  E − `8 B 8 Þ En:tonces "# ÐE  E> Ñ es antisimétrica. > Se debe verificar que: "# ÐE  E > Ñ œ  "# ÐE  E > Ñ   # "   " En efecto: 

" # ÐE

 E> Ñ

‘

>

œ 

" #

 

E>  ÐE> Ñ>

 

"

‘

œ 

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 

‘

E>  E

"

‘ 

‘

œ  "#  ÐE  E> Ñ œ "# ÐE  E> Ñ > Por lo tanto "# ÐE  E > Ñ œ  "# ÐE  E > Ñ Þ   " (o "# ÐE  E> Ñ es antisimétrica)

‘

(3.2) SOLUCIÓN: 1°) Supongamos que E es invertible:

Î Ï Î Ï

" # &

$ " ! ! ! ! " ! ( ! ! "

" ! ! " ! !

) & '

& ! " % ! " # " !

  2°) E

"

3°)  

 

Ñ Î Ò Ï Ñ ÎÐ Ò Ï

" # %

" Ä ! ! " ! Ä ! " ! !

" $ " ! ! ! ' # " ! " & % ! " % ! ($ " $ & ! ($ " ' " "$  "' !

ÑÓ Ò

Por lo tanto; la inversa es: œ

ÎÐ Ï

( $ ( $ " $

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

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Verificación: EE

"

œ

œ

Î Ï

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ÎÏ

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ÑÓ Î Ò Ï œ

" '

" "   # # % & ' ! ! ! ' ! ! ! '

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$ ! ( œ

ÑÒ ÎÏ

) ' & ' " !

Ñ Ò

ÑÎ ÒÏ

"% " "% ' # " ! !

! " ! ! ! "

ÑÒ

 

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Ñ Ò %

#

Ñ Ò

 "

 

"

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   JUEVES 12 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35   MBRE__ CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NO NOMBR E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__14__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (3.1) (3.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 3:

(3.1) Encuentre la matriz inversa de E œ

Œ    # " " $

y escriba si

corresponde; la matriz E como un producto de matrices elementales. (3.2) Demuest Demuestre re que: Si Eß F − `8 B 8 son simétricas. simétricas. Entonces Entonces

PONDERACIONES:  

   

ÐEF Ñ> œ F E .

(3.1) = 08 (3.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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  PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)   SECCIÓN__14__  SE PREGUNTA 3: (3.1) SOLUCIÓN: 1°)# "Determinar la inversa matrices elementales: " ! " $y las ! respectivas " ! " J"# Ä   Ê I" œ

Œ

" $

 Œ Œ Œ 



Œ   Œ   Œ     Œ 

" " ! " ! $ ! " " ! Ê I# œ & " # # " $ ! " " !   Ê I œ $ "  "& #& !  "& $ !  "& " $ &   Ê I œ % # ! " "  "& & $ " "   "   % 2°) La inversa de E es: E œ &  " # ;   "   y además: M# œ I% I$ I# I" E Ê E œ ÐI% I$ I# I" Ñ 3°) Por lo tanto; la matriz E como producto de matrices elementales es: E œ I"" I#" I$" I%  "   donde: ! " " ! " ! ! " ! " Ê I"" œ I"" À Ä " ! ! " ! " " ! " ! " ! " ! " ! " ! " ! Ê I#" œ I#" À Ä # " ! " ! " # " # " " ! " ! " ! " ! " ! I$" À Ä Ê I$" œ " ! & ! " ! " ! & ! & I%" À

# " J#  Ð  #ÑJ" Ä ! " Ð  "& Ñ J# Ä ! " J"  Ð  $ÑJ# Ä !

Œ Œ Œ Œ

Luego: (3.2) 1°) 2°)  

! "

" !

 Œ  Œ  Œ  Œ Œ Œ

 Œ   Œ   Œ   Œ  Œ Œ 

 $ " ! Ä " ! " $ Ê I " œ % " ! " ! " ! " ! " " ! " ! " $ Eœ " ! # " ! & ! "

DEMOSTRACIÓN: HIPÓTESIS: E œ E> y  F œ F>  Se debe DEMOSTRAR que: ÐE ÐEFÑ FÑ> œ FEÞ   " " "   En efecto:  >

3°)

Œ 

>

>

ÐEFÑ œ F E œ FE ; por la hipótesis   " P Po or lo tanto ÐEF EFÑÑ> œ FE "

" $ ! "

 

%

#

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PUNTAJE Œ 

PREGUNTA 3:

(3.1) Dada T œ

" #

" #

!

"

 .

Encuentre la matriz inversa de   T   y escríba producto de matrices elementales. (3.2) Demuestre que:   Si E − `8 B 8 es simétrica. simétrica. Entonces Entonces

PONDERACIONES:  

   

T " como un

simétrica. E> E es simétrica.

(3.1) = 08 (3.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   MIÉRCOLES 11 DE ABRIL DE 2007: 15:45 - 17:05   CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE______ NOMBRE_________________ ______________________ ______________SECCIÓN__21 ___SECCIÓN__21__  __  PROFESOR__REN ENÉ É ALZA ALZAMO MOR RA ANTI ANTIQ QUER UERA__   (3.1) (3.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 3: (3.1) Sean Eß F  matrices invertibles. Dada la siguiente proposicón, determine si es verdadera o falsa:    

ÐÐEF Ñ" Ñ> œ ÐE> Ñ" ÐF> Ñ"

" # $ (3.2) Da Dada la matriz   E œ " " # à encuentre la matriz inversa ! " # si corresponde y verifique que E E" œ M$ Þ

ÎÏ

PONDERACIONES:  

ÑÒ

(3.1) = 07 (3.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA

 

UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PUNTAJE

PREGUNTA 3:

(3.1) Encuentre la matriz inversa de E œ

Œ    % ( " %

  y escriba si

corresponde; la matriz E como un producto de matrices elementales. (3.2) Demuestre que:     Si E − `8 B 8 Þ Entonces

PONDERACIONES:  

   

" # ÐE

 E> Ñ

es simétrica.

(3.1) = 08 (3.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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SEMANA N° 03: 03:

PÁG. 93

(04 HORAS CÁTEDRA)

 

UNIDAD I I : DETERMINANTES

  

TEMA 3: DETERMINANTES, MATRIZ ADJUNTA E INVERSAS DE MATRICES OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular la matriz de los cofactores asociada a una matriz. OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular a partir de la matriz de cofactores, la matriz adjunta asociada. OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular la matriz inversa, a partir del determinante y la matriz adjunta.

(3.1)

INTRODUCCIÓN:

  En este tema se trata de relacionar el cálculo de las matrices inversas, mediante el uso de determinantes. (3.2) TEOREMA:   E − `8 B 8 es invertible si y solo si . /> E Á ! . (3.3 (3.3)) TEOREMA:   Si E − `8 B 8 invertible. Entonces ./> ÐE" Ñ œ 

" ./>E

(3.4) DEFINICIÓN   Sea E œ Ð+3:4 Ñ − `8 B 8 БÑ.   Se llama MATRIZ DE LOS COFACTORES DE LA MATRIZ E a una matriz F œ ÐE3 4 Ñ − `8 B 8 БÑ; donde E3 4 es el cofactor 34 de la matriz E   que está dado por: E3 4 œ Ð  "Ñ34  . />ÐQ3 4 Ñ à 3  ß 4 œ "ß #ß $ ß ÞÞÞÞÞß 8 Þ

Es decir:

Fœ

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖÖ ÕÖ

E"" E#" E$" ÞÞÞ E3 " ÞÞÞ E8 "

E"# E## E$# ÞÞÞ E3 # ÞÞÞ E8 #

E"$ ÞÞÞ E" 4 E#$ ÞÞÞ E# 4 E$$ ÞÞÞ E$ 4 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ E3 $   ÞÞÞÞÞ E3 4 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ E8 $ ÞÞÞ E8 4

ÞÞÞ E" 8 ÞÞÞ E# 8 ÞÞÞ E$ 8 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ E3 8 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ E8 8

×Ù ÙÙÙ ÙÙÙ ØÙ

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(3.4.1) EJEMPLO:  

Encuentre la matriz de cofactores de E œ

Î Ï

! " " " ! #

PÁG. 94

# $ "

Ñ Ò

SOLUCIÓN: ./ /> Q34  1°) MATRIZ DE COFACTORES   Ð E34 Ñ donde E34 œ Ð  "Ñ34 . " $ " $   E"# œ  ./> E"" œ . /> œ& œ "

Œ Œ Œ Œ   Œ

E"$ œ . /> E## œ . /> E$" œ . />

E$$ œ . />

2°)

# " " " ! # ! # ! " " # " $ ! " " "

    

!

œ #

E#" œ  . />

 

œ! œ "

E#$ œ  . />

 

E$# œ  . />

œ "Þ 

Fœ

Î Ï

& $ "

" ! #

# ! "

Ñ Ò

(3.4.2) EJEMPLO: Encuentre la matriz de cofactores de E œ

SOLUCIÓN: 1º) MATRIZ DE COFACTORES   Ð E34 Ñ E""

ŒŒ Œ Œ   Œ

œ . />

E"$ œ . /> E## œ . />

E$" œ . />

E$$ œ . />

2°)  

" " # œ $ # " ! " œ! ! # ! # œ# " $

Por lo tanto; la matriz de cofactores es:

 

 

Œ  Œ  Œ  Œ 

 

# ! & ! œ! # # œ# % & " $ œ "# % ! " $ œ' # ! " " œ !Þ  # #

   

 

E"#

œ  . />

E#" œ  . />

 

E#$ œ  . />

 

ÏÎ

"!& '

"!# '

E$# œ  . />

# " !

ÒÑ

" # %

" $ # ! & !

Ñ Ò

donde E34 œ Ð  "Ñ34 . ./ /> Q34 

Por lo tanto; la matriz de cofactores es: Fœ

Î Ï

# % " & " % " $ # !

! ! œ! $ œ "& ! " œ " &

ŒŒ  Œ  Œ  œ'

 

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(3.4.3) EJEMPLO:  

Encuentre la matriz de cofactores de E œ

Î Ï

% # #

PÁG. 95

& ! # $ # !

Ñ Ò

SOLUCIÓN: ./ /> Q34  1º) MATRIZ DE COFACTORES   Ð E34 Ñ donde E34 œ Ð  "Ñ34 . # $ # $   E"# œ  ./> E"" œ . /> œ' œ'

Œ Œ Œ Œ   Œ

E"$ œ . /> E## œ . />

E$" œ . />

E$$ œ . />

2°)  

   

# ! # #   œ! # # % !   œ! # ! & !   œ "& # $ % & œ  #Þ  # #

 ÎÏ

Œ  Œ  Œ  Œ  #

E#" œ  . /> E#$ œ  . /> E$# œ  . />

!

& ! œ! # ! % & œ# # # % ! œ "# # $

Por lo tanto; la matriz de cofactores es: Fœ

' ! "&

' ! "#

! # #

ÑÒ

(3.5) DEFINICIÓN:   Sea E œ Ð+3 4 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ y F œ ÐE3 4 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ definida como en (3.4).   Se llama MATRIZ ADJUNTA DE LA MATRIZ E; la que denotaremos por +. 4 ÐEÑ a la MATRIZ TRANSPUESTA DE LA MATRIZ F ; es  decir:

 

 

>

+.44 ÐEÑ œ F œ +.

œ

ÖÔÖÖ ÖÖÖ Õ ÔÖ ÖÖÖ Ö ÕÖ

E"" E#" E$" ÞÞÞ E3 " ÞÞÞ E8 "

E"# E## E$# ÞÞÞ E3 # ÞÞÞ E8 #

E"$ ÞÞÞ E" 4 E#$ ÞÞÞ E# 4 E$$ ÞÞÞ E$ 4 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ E3 $   ÞÞÞ E3 4 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ E8 $ ÞÞÞ E8 4

ÞÞÞ E" 8 ÞÞÞ E# 8 ÞÞÞ E$ 8 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ E3 8 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ E8 8

E"" E"# E"$ ÞÞÞ

E#" E## E#$ ÞÞÞ

E$" E$# E$$ ÞÞÞ

ÞÞÞ E3 " ÞÞÞ E3 # ÞÞÞ E3 $ ÞÞÞ ÞÞÞ

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ

"4 E ÞÞÞ E" 8

#4 E ÞÞÞ E# 8

$4 E ÞÞÞ E$ 8

ÞÞÞÞÞÞ ÞÞÞ

84 ÞÞÞÞÞÞ E ÞÞÞ ÞÞÞ E8 8

34 E ÞÞÞ E3 8

E8 " E8 # E8 $ ÞÞÞ

>

Ù×ÙÙ ÙÙÙ Ø ×Ù ÙÙÙ Ù ØÙ  

 

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(3.5.1) EJEMPLO:  

Encuentre la matriz adjunta de E œ

Î Ï Ñ Ò

! " " " ! #

# $ "

SOLUCIÓN: 1°) Por (3.4.1); la matriz de cofactores es:  

2°)

Fœ

Î Ï

& $ "

MATRIZ ADJUNTA:

" ! #

# ! "

>

F œ +. +.44 ÐEÑ œ

Î Ï

& " #

PÁG. 96

Ñ Ò

$ ! !

" # "

(3.5.2) EJEMPLO:  

Encuentre la matriz adjunta de E œ

ÏÎ

" # %

" # &

$ ! !

SOLUCIÓN: 1º) Por (3.4.2); la matriz de cofactores es:  

2º)

Fœ

Î Ï

! "& '

MATRIZ ADJUNTA:

! "# '

# " !

Ñ Ò

>

F œ +. +.44 ÐEÑ œ

(3.5.3) EJEMPLO:  

Encuentre la matriz adjunta de E œ

Î Ï

Î Ï

! ! #

% # #

"& "# "

& # #

SOLUCIÓN: 1º) Por (3.4.3); la matriz de cofactores es:  

2º)

Fœ

Î Ï

MATRIZ ADJUNTA:

' ! "&

' ! "#

! # #

ÒÑ

! $ !

' ' !

Ñ Ò

Ñ Ò

Ñ Ò

F > œ +. +.44 ÐEÑ œ

ÏÎ

' ' !

! ! #

"& "# #

ÒÑ

Ñ Ò

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(3.6 (3.6)) TEOREMA:   Si E œ Ð+3 4 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ es invertible.   Entonces E" œ +. 4  ÐEÑ . /"> E œ (3.6.1) EJEMPLO:  

Encuentre la matriz inversa de E œ

SOLUCIÓN: 1°)

Por (3.5.1); +. 4 ÐEÑ œ

2°)

MATRIZ INVERSA:

Î Ï

& " #

  "

E" œ $

SOLUCIÓN: 1º)

Por (3.5.2); +. 4 ÐEÑ œ

2º)

MATRIZ INVERSA:

Î Ï

! ! # "

E

"& "# "   " œ '

(3.6.3) EJEMPLO:  

Encuentre la matriz inversa de E œ

SOLUCIÓN: 1º)

Por (3.5.3); +. 4 ÐEÑ œ

2º)

MATRIZ INVERSA:

Î Ï

' ' ! "

E

! ! #

Î Ï Ñ Ò

' ' !

Î Ï

! ! #

Î Ï Ñ Ò

"& "# #   "

œ '

Î Ï

# $ "

Ñ Ò

" # y ./> ÐEÑ œ $ " & $ " " ! # # ! "

Î Ï

Encuentre la matriz inversa de E œ

! " " " ! #

Þ

Ñ Ò

$ ! !

(3.6.2) EJEMPLO:  

Î Ï

+.4ÐEÑ . /> E

PÁG. 97

" # %

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Ñ Ò

FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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UNIDAD N° 3: TEMA 1:

  PÁG. 98 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS:

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el conjunto solución de una ecuación lineal con dos dos incógnitas incógnitas de un sistema de dos ecu ecuaciones aciones lineales lineales con dos incógnitas. (1.1) DEFINICIÓN:   Llamaremos ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS; a un arreglo algebraico de la forma   +B,Cœ - à +ß ,ß - − ‘ Ðó ‚ ) tal que B e C son las incógn incógnita itass o var variab iables, les, + y , son los coef coefici icient entes es de las variables Ð+ Á ! o , Á !Ñ; y -  es la constante. (1.2) DEFINICIÓN:   Llamaremos SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier par de números reales (o complejos) que al ser sustituídos en las variables transforman a la ecuación lineal en una identidad o igualdad verdadera. (1.3) DEFINICIÓN:   Llamaremos SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS; a un CONJUNTO de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, algebraico que usualmente denotaremos por el siguiente arreglo +"" B"  +"# B# œ ," +#" B"  +## B# œ ,#

  +3 4 ß ,3 −  ‘ Ðó ‚ )

con 3 œ "ß # y 4 œ "ß #

tal que B 4 son las incógnitas o variables, +3 4  son los coeficientes de las variables y ,3 son constantes. (1.4) DEFINICIÓN:   Llamaremos SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier par de números reales que al ser sustituídos en las variables transforman a cada una de las ecuaciones lineales del sistema en una identidad o igualdad verdadera.

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PÁG. 99

(1.5) DEFINICIÓN:   Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales EQUIVALENTES; si estos tienen el mismo conjunto solución.

son

(1.6) DEFINICIÓN: a) Se dice que un sistema es CONSISTENTE si este tiene solución. b) Se dice que un sistema es INCONSISTENTE si este no tiene solución. (1.7) EJEMPLO: (1.7.1) Resolver        

   

Ê

Cœ # #B B

Reemplazando en la otra ecuación Ê

Bœ

" &

à Cœ 

B  #Ð  #BÑ œ " # &

Luego, el conjunto solución del sistema es Ð "& ß  #& Ñ (Notar que este sistema se trata de dos rectas que se intersectan)

˜

(1.7.2) Resolver    

#B  C œ ! B  #C œ "

#B  C œ ! %B  #C œ !

Ê

Reemplazando en la otra ecuación Ê

˜

! œ ! 

™

Cœ # #B B %B  #Ð  #BÑ œ !

™

Luego, el conjunto solución del sistema es ÐB ß C CÑÑ − ‘# Î C œ  #B (Notar que este sistema se trata de UNA SOLA ECUACIÓN, por lo

cual tiene infinitas soluciones) (1.7.3) Resolver    

 

#B  C œ ! %B  #C œ "

Ê

Reemplazando en la otra ecuación Ê

Cœ # #B B %B  #Ð  #BÑ œ "

!œ"

lo cual es una contradicción, es decir el sistema NO TIENE SOLUCIÓN.  (Notar que este sistema se trata de dos rectas paralelas)

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TEMA 2:

  PÁG. 100 7 ECUACIONES LINEALES CON 8 INCÓGNITAS: ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN Y GAUSSIANA

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el conjunto solución de una ecuación line lineal al co con n 8 incó incógn gnit itas asà 8 −   . OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el conjunto solución de un sistema de 7 ecuaciones lineales con 8 incógnitasà 7 à 8 −   . OBJETIVO OPERACIONAL: Analizar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, cuando la solución depende de un parámetro. OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir la solución de un sistema de ecuaciones lineales como la suma del conjunto solución del sistema homogéneo y el conjunto dado por una solución particular. (2.1) DEFINICIÓN:   Llamaremos ECUACIÓN LINEAL CON 8 INCÓGNITAS; a un arreglo algebraico   ‘ Ðó ‚ )   +3" B" de  +la3# forma B#  ÞÞÞÞÞ  +3 4 B 4  ÞÞÞÞÞ  +38 B8 œ ,3 à + 3 4 ß ,3 −   3 es fijo à 4 œ "ß #ß ÞÞÞß 8 tal que B 4 son las incógnitas o variables, +3 4  son los coeficientes de las variables; y ,3 son constantes. (2.2) DEFINICIÓN:   Llamaremos SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL CON 8 INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier 8 - upla de números reales (o complejos) que al ser sustituídos respectivamente en las 8 variables transforman a la ecuación lineal en una identidad o igualdad verdadera. (2.2.1) EJEMPLO:   Resolver #B  C œ ! Ê C œ # #B B   Luego, el conjunto solución del sistema es   ÐB ß C CÑÑ − ‘# Î C œ  #B   (Notar que este sistema se trata de UNA SOLA ECUACIÓN, por lo cual tiene infinitas soluciones)

˜

™

(2.2.2) EJEMPLO:   Resolver #B  C  $D œ " Ê C œ "  # B  $D     Luego, el conjunto solución del sistema es $

ÐB sistema ß C ß DÑ D Ñ −se‘trata Î C de œ "UNA  #SOLA B  $D      (Notar que este ECUACIÓN, por lo cual tiene infinitas soluciones)

˜

™

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PÁG. 101

(2.2.3) EJEMPLO:   Resolver #B  C  $ $D D A œ " Ê C œ  "  #B  $ $D D A   Luego, el conjunto solución del sistema es   ÐB ß C ß D ß AÑ AÑ − ‘% Î C œ  "  #B  $D  A   (Notar que este sistema se trata de UNA SOLA ECUACIÓN, por lo cual tiene infinitas soluciones)

˜

™

(2.3) DEFINICIÓN:   Llamaremos SISTEMA DE 7 ECUACIONES LINEALES CON 8 INCÓGNITAS; a un CONJUNTO de 7 ecuaciones lineales con 8 incógnitas, que usualmente denotaremos por el siguiente arreglo algebraico  

+"" B"  +"# B#  ÞÞÞÞÞ  +" 4 B4  ÞÞ Þ ÞÞ  +" 8 B8 œ ," +#" B"  +## B#  ÞÞÞÞÞ  +# 4 B4  ÞÞ Þ ÞÞ  +# 8 B8 œ ,#  +3 " B"  +3 # B#  ÞÞÞÞÞ  +3 4 B4  ÞÞÞÞÞ  +3 8 B8 œ ,3  +7" B"  +7# B#  ÞÞ ÞÞÞ  +7$ B4  ÞÞ ÞÞÞ  +78 B8 œ ,7

   

  ‘ Ðó ‚ ) + 3 4 ß ,3 − con 3 œ "ß #, ... ,7 y 4 œ "ß #, ... , 8

tal que B 4 son las incógnitas o variables, +3 4  son los coeficientes de las variables y ,3 son constantes. (2.4) DEFINICIÓN:   Llamaremos SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE 7 ECUACIONES LINEALES CON 8 INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier 8 - upla de números reales (o complejos) que al ser sustituídos en las variables transforman a cada una de las ecuaciones lineales del sistema en una identidad o igualdad verdadera. (2.5) DEFINICIÓN:   Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales EQUIVALENTES; si estos tienen el mismo conjunto solución.

son

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  PÁG. 102 (2.6) MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS GAUSS - JORDAN PARA RESOLVER UN SISTEMA DE 7 ECUACIONES CON 8 INCÓGNITAS:   Consideremos el sistema de ecuaciones como en (2.3):  

1°) Intercambiar si corresponde en el sistema una ecuación con coeficiente de la primera variable B" distinta de cero, obteniéndose un sistema equivalente; de tal manera que +"" Á !Þ 2°) Cambiamos cada una de las ecuaciones; posteriores a la primera por: I 3 Ä  +3 " I "  +"" I 3 à para 3 Á " , obteniéndose el siguiente sistema equivalente:

+"" B"  +"# B#  ÞÞÞÞÞ  +" 4 B4  ÞÞÞÞÞ  +" 8 B8 œ  ,"‡ +#‡# B#  ÞÞ ÞÞÞ  +#‡4 B4  ÞÞÞÞÞ  +#‡8 B8 œ ,#‡  +‡ B  ÞÞ ÞÞÞ  +‡ B  ÞÞÞÞÞ  +‡ B œ ,‡

 

3#

#

34

4

38

8

3

 +7‡ # B#  ÞÞÞÞÞ  +‡7$ B4  ÞÞ Þ ÞÞ  +7‡ 8 B8 œ ,7‡ 3°) De la segunda ecuación en adelante, se elige la que tenga la variable para el menor subíndice  4  y se coloca como segunda ecuación. ‡ Supongamos que en el sistema anterior +## Á !Þ Cambiamos las filas restantes a la segunda por: I 3 Ä  +3‡2 I #   + ## I I33 à para 3 Á # , obteniéndose el siguiente sistema equivalente: +"‡"‡ B" 

             

ÞÞÞÞÞ  +"‡4‡ B4  ÞÞÞ  +"‡8‡ B8 œ ,"‡‡ +#‡#‡ B#  ÞÞÞÞÞ  +#‡4‡ B4  ÞÞÞÞÞ  +#‡8‡ B8 œ ,#‡‡ + ‡‡ B  ÞÞÞÞÞ  + $‡4‡ B4  ÞÞÞÞÞ  + $‡8‡ B8 œ ,$‡‡   $ $$

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ +3‡$‡ B$  ÞÞÞÞÞ  + 3‡4‡ B4  ÞÞÞÞÞ  + 3‡8‡ B8 œ ,3‡‡ ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ +7‡‡$ B$  ÞÞÞÞÞ  +7‡‡$ B4  ÞÞÞÞÞ  +7‡‡8 B8 œ ,7‡‡

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  PÁG. 103 4°) Así sucesivamente; se procede en forma análoga; hasta obtener un sistema equivalente de la forma:  

           

 +"" B"

œ ,"  +## B# œ ,# ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ +34 B 4  œ ,3 ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  +78 B8 œ ,7

en el cual se observan las variables "casi" despejadas. (2.7) OBSERVACIÓN:   En la solución de un sistema de ecuaciones, se puede tener alguno de los siguientes tres casos: a) tiene solución única. b) no tiene solución. c) tiene infinitas soluciones. (2.8) DEFINICIÓN:   Se dice que el sistema de ecuaciones como en (2.3), es un SISTEMA HOMOGENEO cuando las constantes ,3 œ ! ; para todo 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 7 Þ Es decir, es de la forma:   +"" B"  +"# B#  ÞÞÞÞÞ  +" 4 B4  ÞÞ Þ ÞÞ  +" 8 B8 œ !

+#" B"  +## B#  ÞÞÞÞÞ  +# 4 B4  ÞÞ Þ ÞÞ  +# 8 B8 œ !  +3 " B"  +3 # B#  ÞÞÞÞÞ  +3 4 B4  ÞÞÞÞÞ  +3 8 B8 œ !  +7" B"   +7# B#  ÞÞ ÞÞÞ  +7$ B4  ÞÞ ÞÞÞ  +78 B8 œ ! (2.9) OBSERVACIÓN:   La solución de un sistema homogeneo; se obtiene de manera análoga al del sistema no homogeneo de la DEFINICIÓN (2.3).   Un sistema homogeneo tiene SIEMPRE solución; ya que a lo menos tiene la solución trivial, es decir la 8 - upla CERO , cuando todos los valores de las variables son iguales a !, o sea B 4  œ !ß para todo  4 œ "ß #ß ÞÞÞß 7 Þ

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PÁG. 104

(2.10) REPRESENTACIÓN MA MATRICIAL TRICIAL DE UN SISTEMA:   es:

La representación matricial del sistema de ecuaciones visto en (2.3)

ÔÖÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

+" " +# " ÞÞÞ +3 " ÞÞÞ +7"

+"# +## ÞÞÞ +3 # ÞÞÞ +7#

ÞÞÞ +"4 ÞÞÞ +#4 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ +34  ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ +74

ÞÞÞ +"8 ÞÞÞ +#8 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ +38 ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ +78

×ÙÙÔÖ ÙÙÙÖÖÖ ÙÙÖÖ ØÕ

B" B# ÞÞÞ B 4  ÞÞÞ B8

×Ù ÙÙÙ ÙÙ Ø

œ

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖ Õ

," ,# ÞÞÞ ,3 ÞÞÞ ,7

×Ù ÙÙÙ ÙÙ Ø

lo cual podemos simplificar denotando: E \ œ F ; y la matriz E recibe el no nomb mbre re de MA MATR TRIZ IZ DE LO LOS S COEF COEFIC ICIE IENT NTES ESà \  se llam llamaa MA MATR TRIZ IZ DE INCÓGNITAS y a F  se le llama MA MATRIZ TRIZ DE CONSTANTES. (2.11) DEFINICIÓN:   Se llama MATRIZ AUMENTA AUMENTADA DA asociada a un sistema de ecuaciones, a la matriz formada por la matriz de los coeficientes E aumentada en una columna por la matriz de las constantes F ; es decir la matriz de la forma: E F 

¸ ‘

(2.12) OBSERVACIÓN: a) El sistema tiene solución si y solo si:   V ER ER K KS S E œ VE ER RK KS S E F 

‘

¸ ‘

b) Para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales; se recomienda recomi enda trabaj trabajar ar con la matriz aumentad aumentadaa y llevar la parte de la matriz E  a la forma escalonada reducida por filas, ya que en este caso se tienen las variables despejadas.

˜™

c) La solución general del sistema de ecuaciones lineales no homogeneo E \ œ F se puede expresar como: W1 œ B:  W!   donde: B :  es una solución particular de E \ œ F .     W! es el conjunto solución general de E \ œ ! Þ   W1  es el conjunto solución general de E \ œ F .   d) En un sistema de 8 ecuaciones lineales con 8 incògnitas, expresado matricialmente en la forma E \ œ F   se tiene que: si la matriz E es invertible, este tiene una única solución dada por \ œ E" F Þ

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PÁG. 105

(2.13) EJEMPLO: (2.13.1) Considere el sistema de ecuaciones:   B  &C  Aœ" #B  C  $D  # #A Aœ " B # #C C  D  Aœ! %B  C  $D  #A œ "

a) Escriba la representación matricial del sistema. SOLUCIÓN: 1°) Se debe expresar en la forma E \ œ F  ; donde

ÐÐÎ Ï

" # " %

& " # "

! $ " $

" # " #

Ñ Ó Ó Ò

ÐÐÎ Ï

B C D A

Ñ Ó Ó Ò

 

Eœ

2°)

La representación matricial del sistema es:

ÐÏÎ

 

" # " %

& " # "

! $ " $

" # " #

à\œ

B C D A

àFœ

ÐÐÎ Ï

" " ! "

Ñ Ó Ó Ò

" " ! "

ÑÒÏÎÐ ÒÑÓÏÎÐ ÒÑÓ Ó œ

b) Determine si el sistema tiene solución. SOLUCIÓN: 1°) Verificar que se cumpla V ER ER K KS S E œ VE ER RK KS S E F   ; para lo cual se debe estudiar V ER K KS S E F   , ya que a la vez determinamos VERKS VE RKS E  y la solución del sistema de corresponder.

Î ÏÐ

" # " %

&

‘ !

" $ # " " $

Ð  "* Ñ  J #

 ‘  ¸ ‘

"

"

# " #

! " "

J"  Ð  & Ñ J#  Ä J$  $ J#  J%  # " J# 

  2°)

ÎÐ Ð Ï

" ! ! !

! " ! !

Ñ ÒÓ

Î ÐÏ ÑÓ Ó Ò ¸ ‘

J#  Ð  # Ñ J"  J$  Ð  " Ñ J"  Ä J%  Ð  % Ñ J"  & $

 "$ ! %

" ! ! '

Por lo tanto:

‘

¸ ‘



" $

! %

"

! ! !

&

 * $ $ "  #" $

# $

Ê

V ER K KS S E œ V ER K KS S E  F œ $

Luego, el sistema tiene solución.

!

"

"

! ! '

 $ " $

Ñ ÒÓ

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PÁG. 106

c) Encuentre la solución general W 1  (SI EXISTE). SOLUCIÓN: 1°)

Tomando

ÎÐ ÏÐ ÎÐ ÐÐ Ï

J $% Ð  "% ÑJ   $  Ä J"  Ð  &$ ÑJ$  J#  Ð "$ ÑJ$ 

2°)

& $

" !

! "



! !

! !

! %

" ! ! !

! " ! !

! ! " !

" !

" $

 " $

! '  " # $ #

! %

$ #

" ! " !

!

ÑÓ ÒÓ Ñ Ó Ó Ó Ò # $

 de lo anterior, resta solo

De donde se obtiene el siguiente sistema equivalente:

 

B

$ Aœ" # "  Aœ! # $ D  A œ " # !œ! 

C

y la solución general está dada por:

˜

W1  œ ÐBß Cß Cß D Dßß A AÑÑ − ‘% Î B œ  " 

   

$ #

Aß C œ 

˜

˜ ˜ ˜ ˜

$ #

" #

$ #

Aß C œ  $ #

W1  œ Ð" 

 

W1  œ Ð" ß ! ß  " ß ! !ÑÑ  Ð $# ß  "# ß 

 

W1  œ Ð" ß ! ß  " ß ! !ÑÑ  Ð $# ß  "# ß 

donde: $ Ð#

˜

ß 

" #

ß

Aß  " 

™ ˜ ™ ˜™

$ #

A

™

W1 œ B:  W!   .

 

Aß 

AßD œ " 

˜™

d) Si corresponde; exprese c) como SOLUCIÓN: W1  œ ÐBß Cß Cß Dß Dß A AÑÑ − ‘% Î B œ  " 

" #

" #

AßD œ " 

AßA AÑÑ   Î A − ‘ $ #

™

ß "Ñ "Ñ A  Î A − ‘ $ #

™

ß "Ñ "Ñ A  Î A − ‘

$ #

A

™

™

Ð" ß ! ß  " ß !Ñ œ B :  solución particular del sistema, y $ #

ß "Ñ A  Î A − ‘   œ W!  solución del sistema homogeneo.

™

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(2.13.2)  

PÁG. 107

Considere el sistema de ecuaciones: #B  C  D  A œ " B # #C C  D  %A œ # B  (C  %D  ""A œ &

a) Escriba la representación matricial del sistema. SOLUCIÓN: 1°)

Se debe expresar en la forma E \ œ F  ; donde

Î Ï

# " "

" # (

" " %

" % ""

Ñ Ò

ÎÐ Ð Ï

B C  D  A

ÑÓ Î Ñ ÓÏÒ Ò

 

Eœ

2°)

La representación matricial del sistema es:

 

ÎÏ

# " "

" # (

" " %

à\œ

B C  D  A

àFœ

" # &

ÑÒÐÎÏ ÑÒÓÎÏ ÑÒ

" % ""

œ

" # &

b) Determine si el sistema tiene solución. SOLUCIÓN:

 ‘  ¸ ‘

¸ ‘

1°) Verificar que se cumpla V ER ER K KS S E œ VE ER RK KS S E F   ; para lo cual se debe estudiar V ER K KS S E F   , ya que a la vez determinamos VERKS VE RKS E  y la solución del sistema de corresponder.

‘

ÎÏ

# " "

" # (

J$  J #   Ä  "& J    #

 

" " " " % #  % "" &

Î Ï

" ! !

# " !

ÑÒ

J "# J#  Ð  # Ñ J"  Ä J$  Ð  " Ñ J" 

"  $& !

%

#

( &

$ &

!

!

ÎÏ

" ! !

# & &

Ñ Ò

Por lo tanto

‘

¸ ‘

V ER K KS S E œ V ER K KS S E  F œ #

2°)

Luego, el sistema tiene solución.

" $ $

% ( (

# $ $

ÑÒ

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PÁG. 108

c) Encuentre la solución general W 1  (SI EXISTE). SOLUCIÓN: 1°)

Tomando

J"  Ð  # Ñ J# Ä

2°)

Î Ï

" ! !

ÎÐ Ï

# " !

" $ !&

" ! ! " ! !

%

#

(

$

!&

!&

" &

 $& !

' & ( &

!

Ñ Ò

 de lo anterior, resta solo

% & $ &

!

ÑÓ Ò

De donde se obtiene el siguiente sistema equivalente:

 

B

" ' D Aœ & & $ ( C  &D  & A œ 

% & $ &

!œ!

y la solución general está dada por:

˜

W1  œ ÐBß C Cßß Dß Dß A AÑÑ − ‘% Î B  œ  

% &

 "& D  '& A ß C œ

d) Si corresponde; exprese c) como SOLUCIÓN:

˜˜

W1  œ ÐBß C Cßß Dß Dß A AÑÑ − ‘% Î B  œ

% &

$ &

 $& D  (& A

˜™

W1 œ B:  W!   .

 "& D  '& A ß C œ

$ &

 $& D  (& A

W1  œ Ð %&  "& D  '& Aß $&  $& D  (& Aß D ß AÑ AÑ  Î D à A − ‘

˜

™

™

W1  œ Ð %& ß $& ß ! !ßß !Ñ !Ñ  Ð  "& ß $& ß " "ßß ! !ÑÑD  Ð  '& ß  (& ß !ß !ß " "ÑÑAÎ   Dß A − ‘

˜

™ ˜ ˜ ™  ˜ ™

W1  œ Ð %& ß $& ß !!ßß !Ñ !Ñ  Ð  "& ß $& ß "ß "ß ! !ÑÑD  Ð  '& ß  (& ß !ß !ß "Ñ "ÑAÎ   Dß A − ‘ donde:

Ð %& ß $& ß !ß !  Ñ

™ ™

™

œ B :  solución particular del sistema, y

  D ß A − ‘   œ W!  solu Ð  &" ß &$ ß " "ßß ! !ÑÑD  Ð  &' ß  &( ß ! !ßß "Ñ "ÑAÎ solució ción n del sistema sistema

homogeneo.

˜

™

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(2.13.3)  

  Considere el sistema homogeneo de ecuaciones:

PÁG. 109

B  %C  D œ ! #B  C  &D œ !

a) Escriba la representación matricial del sistema. SOLUCIÓN: 1°)   2°)  

Se debe expresar en la forma E \ œ F  ; donde

  Î Ñ Œ  ÏÒ Î Ñ Î Ñ Œ Ï Ò Ï Ò " % # "

Eœ

" &

B C D

à\œ

àFœ

ÎÑ ÏÒ ! ! !

La representación matricial del sistema homogeneo es: " % # "

B C D

" &

! ! !

œ

b) Determine si el sistema tiene solución. SOLUCIÓN: UN SISTEMA HOMOGENEO SIEMPRE TIENE TIENE SOLUCIÓN c) Encuentre la solución general W 1  (SI EXISTE). SOLUCIÓN: 1°)

Œ

" % " # " &

 "( J    # Ä

Œ



" % ! "

J#  Ð  # Ñ J"  Ä

" $



" !

% " ( $

 

 "* (

" ! ! "

J"  Ð  % Ñ J#  Ä

(

2°)  

Œ





(

De donde se obtiene el siguiente sistema equivalente: B



"* Dœ! ( $ C  Dœ! ( 

y la solución general está dada por:

˜

$

"* ( Dß

™

 

  W1  œ ÐBß C Cßß D DÑÑ − ‘$ Î B œ 

C œ $( D  

 

W1  œ Ð  "(* D ß ($ D ß D Ñ Î D − ‘ œ Ð  "(* ß $( ß "Ñ D Î D − ‘

˜

™ ˜

™

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(2.13.4)

  Considere el sistema homogeneo de ecuaciones:

 

PÁG. 110

5B  C  D œ " B  5C  D œ " B  C  5D œ "

  Determine 5 −  ‘ para que el sistema en B ß C ß D À   i ) tenga solución única en ‘$ .   ii ) no tenga soluci solución ón en ‘$ Þ   iii ) tenga infinitas soluciones en ‘$ . SOLUCIÓN: 1°) Formar la matriz aumentada:

Î Ï

5 " "

" 5 " "

" " 5

Ñ Ò

" " "

J"#   J#   5 5J J" Ð5 Á !Ñ Ä J$  J"  

Î Ï

" 5 ! "  5# ! "5

" " " 5 " 5 5" !

Ñ Ò

J 

" "5   #   $ Ð5 Á "5 J

"Ñ Ä

J #$

ÎÏ

" 5 ! " ! "5

" " " ! " "

ÑÒ

"  Ð  5 ÑJ# JJ$  Ð"  5 ÑJ# Ä Ð 5 Á  "Ñ

2°) Por lo tanto: i ) tenga tenga soluci solución ón úni única ca en ‘$ : "   5 Á  # à " dada por W œ ( #   5 ß

˜

" #5

ß

ÏÎ

" ! !

! " !

" "5 #5

™

" #5 Ñ

ii ) no ten tenga ga soluci solución ón en ‘$ :   5 œ  # , ya que V +819ÐEÑ Á V +819ÐE à F FÑÑ  iii ) tenga infinitas infinitas solucio soluciones nes en ‘$ :  

 ˜

5Þ œ " dada  por  W œ

 

 ˜  ˜

(B ß C ß DDÑÑÎB œ "  C  D à Cß D −  ‘

™

W œ ("  C  D ß C ß DÑ DÑÎ C Cßß D −  ‘

   

™ ™

W œ ("ß !ß !Ñ  Ð  "ß "ß !ÑC  Ð  "ß !ß "ÑD Î Cß Cß D −  ‘ Wœ

donde:

 ˜ ˜

™ ˜ ™  ˜ ™

("ß !ß ! !ÑÑ  Ð  "ß "ß " ß !ÑC  Ð  "ß ! !ßß "ÑD Î C ß D −  ‘ ("ß!ß!Ñ

™

  œ B :  solución particular del sistema, y

solución ón del sistema Ð  "ß "ß !ÑC  Ð  "ß !ß "ÑD Î Cß C ß D −  ‘   œ W ! soluci

" ! "

ÒÑ

˜

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homogeneo.

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PÁG. 111

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 03: (02 HORA HORAS S EJERCICIO) GUÍA DE ESTUDIO N° 3

 

1. Fœ

Iœ

Lœ

Dadas

Î Ï Œ

las

Ñ Î Ò Ï   Î  Ï

! $ (

# " ! & ' !

3 "

# 3

ÐÏÎ

matrices matrices

# ! " # $ ! % #

à Gœ

àJ œ

! ( " % " & $ !

! $3 !

=/ 8 @ -9= @ !

3  3 #3 &3 en `8 B 8   À E œ $3 %3 ! 3 3 ! #3 " # $ 3 ! à Hœ " " # ;  #3 %3 ! " # ! + ! ! -9= @ ! , ! ! !  =/8 @ ! à K œ ! ! !   ! " ! ! . ! + ! ! ! ! ! ! , ! ! ! ! ! ! -   ! ! ! . ! ! / ! ! !

ÑÒ ÐÎ Ó Ï àMœ

Î Ï

Ñ Î Ò Ï Ñ ÎÐÐ Ò Ï Ó Ñ Ò

Ñ Ò

Ñ Ò

à

Ñ Ó Ó Ò

(1.1) Determine el determinante de cada matriz. (1.2) Encuentre la matriz de los cofactores para cada matriz. matriz. (1.3) Encuentre la matriz adjunta de cada matriz. (1.4) Calcule usando lo anterior y cuando corresponda la inversa inversa de cada matriz. 2.

Dada las siguientes ecuaciones lineales (+ ß, ß-ß.   constantes): I " À #B  $ $C C œ "  I# À B  C  D œ ! I $ À #B  C  D  A œ # I % À +B  , C œ -   I & À +B  , C  - D  . .A Aœ! Para cada una de estas ecuaciones; determine: (2.1) dos soluciones particulares. (2.2) una 8?:6+ que NO sea solución. (2.3) TODAS las soluciones. (2.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN. 3. (3.1) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales para las variables ? à @ À W " À #?  @ œ  & &,,  W # À +?  ,,@ @ œ + #  ,#   $?  # #@ @ œ (+  % %,, #, ?  + +@ @ œ #, #  $ $+ +,  + #   constantes): (W3".2À) + DBado ,,C loCsœsi-s temas W de# eÀ cu+aBci on,,C eCsœ lin-eales (+Wß,$ß-ß. À +B  ,,C C œ- 

+B  , C œ -

, B  +C œ -

, B  +C œ .  

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Determine las condiciones sobre: a) + C , para que el sistema W " tenga SOLUCIÓN ÚNICA. b) + ; , y - par paraa que el sis sistema tema W # ten tenga ga INF INFINI INITA TAS S SOL SOLUCI UCIONE ONES. S. c) + à , à - C . para que el sistema W $ NO TENGA SOLUCIÓN. 4.

Dad Dado o los sig siguie uientes ntes sist sistemas emas de ecuacio ecuaciones nes lin lineal eales es À W " À #B  $ $C C œ (  W # À $B  C œ  ' W $ À %B  # #C Cœ& $B  C œ & W% À

    W' À

      W) À

     

#B  $ C œ (

& B  $C œ  #

B"  # #B B#  &B &B$ œ  *  B"  B#  $B$ œ # $B"  'B#  B$ œ #&

W& À

#B"  B#  # #B B$ œ  ) B"  #B#  $B$ œ * $B"  B#  %B$ œ $

B"  # #B B#  $B $B$ œ %  B"  $B#  B$ œ "" #B"  &B#  %B$ œ "$ #B"  'B#  #B$ œ ##

W( À

#B"  $ $B B#  $ $B B$ œ ! (B"  (B#  B$ œ )  &B#  B$ œ  % %B"  B#  B$ œ  #

B# #C C$ $D D  A œ $  $B  #C  D  A œ ( # C  %D  A œ " B C  D A œ %

W* À

$B"  # #B B#  " "' 'B $  & &B B% œ ! #B#  "!B$  )B% œ ! B"  B#  (B$  $B% œ !

W "! À #B  C  #D  $ $A A œ "  $B  #C  D  # #A Aœ%   $B  $ $C C$ $D D$ $A Aœ&

W "" À B  #C  #D  $ $A Aœ# #B  %C  $ D  % A œ & &B  " "! !C  ) )D D" "" "A œ "#

Para cada uno de estos sistemas de ecuaciones; determine: (4.1) dos soluciones particulares si existen. (4.2) una 8?:6+ que NO sea solución. (4.3) EL TODAS las soluciones y verifíquelas. (4.4) CONJUNTO SOLUCIÓN. 5.

Dado los siguientes sistemas: W " À 5 B  C  D œ "  W# À B  # #C C5 5D Dœ" B  5C  D œ " B  C  5D œ "

#B  5 C  ) D œ $

  Determine los valores de 5 −  ‘ para que el sistema en B ß C ß D À (5.1) tenga solución única en ‘$ . (5.2) no tenga solución en ‘$ Þ (5.3) tenga infinitas soluciones en ‘$ . 6.

Determine para qué valores de +ß ,ß - −  ‘ ; el sistema tiene solución

BB#C C # $D Dœ œ ,+ (6.1) $

 

B # $CC $D Dœ œ ,+ (6.2) #B

 

B

&C  )D œ -

B

Dœ-  

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7. Resolver los siguientes problemas; planteando claramente el sistema de ecuaciones que corresponde: (7.1) Hace dos años un padre era 6 veces mayor que su hij hijo. o. Hallar sus edades actuales sabiendo que dentro de 18 años la edad del padre será el doble que la del hijo. R: 32 y 7 . (7.2) Cinco cuadernos y ocho lapiceros cuestan $ 115; tr tres es cuadernos y cinco lapiceros cuestan $ 70. H Hallar allar el precio de cada cuaderno y cada lapicero. R: 15 y 5. (7.3) Hallar tres núm números eros sabiendo que el primero es igual al segundo más la mitad del tercero; que la suma del segundo y el tercero es igual al primero más 1, y que si se resta el segundo de la suma del primero con el tercero el resultado es 5. R: 4 , 2 y 3 (7.4) Considere el modelo de insumo-producto de Leontief con tres industrias: W * À "$ B"  "# B#  "' B$  /" œ B" " % B"  " % B#  " ) B$  /# œ B#   " " "   "# B"  $ B#  ' B$  /$ œ B$ donde las demandas externas son /" œ "! à /# œ "& à /$ œ $!Þ Encuentre la producción de cada industria tal que la oferta sea igual a la demanda. (7.5) Una inversionista le informa a su corredor de bolsa que todas sus acciones son de las compañías OPI, SAMU y ORT; además le avisa que hace dos días su valor bajó en $ 350, pero que ayer aumentó $ 600. El corredor recuerda que hace dos días el pr precio ecio de las acciones de API bajó $ 1 por acción; llas as de SAMU bajó $ 1.50 por acción, pero el precio de las acciones de ORT subieron $ 0.50 por acción. También recuerda que ayer  el precio de las acciones de API subieron $ 1.50 por acción; las de

SAMU bajó $ 0.50 por acción, pero el precio de las acciones de ORT subieron $ 1 por acción. Demuestre que el corredor corredor no tiene información suficiente para calcular el número de acciones de la inversionista en cada compañía, pero que si ella informa que tiene 200 acciones de ORT; el corredor puede calcular el número de acciones de API y SAMU que posee la inversionista. 8. Determinar el valor de 5 −  ‘ para que el sistema en B ß C ß D ß A À   #B  C  D  A œ "   B  #C  D  %A œ #   B  (C  %D  "" A œ 5 tenga solución en ‘% .

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1. Fœ

Iœ

Dadas

Î Ï ÎÐ Ð Ï

3 3 ! # ! ! "

#3 3 3 ! " ! #

Î Ï

! " # las matric matrices es en   `8 B 8 Б ó ‚Ñ À E œ  " "  $ ! # " $3 " 3 ! "3 ! #3 à G œ 3 ! " à Hœ ! "3 #3 ! "3 "3 $ " + , ! ! % # - . ! ! àJ œ " & ! ! + , $ ! ! ! .  

Ñ Œ Ò ÑÓ ÐÎ ÓÐ Ò Ï

Î  Ï ÑÓ Ó Ò

Ñ Ò

Ñ Ò

à

(1.1) Determine el determinante de cada matriz. (1.2) Encuentre la matriz de los cofactores para cada matriz. matriz. (1.3) Encuentre la matriz adjunta de cada matriz. (1.4) Calcule usando lo anterior y cuando corresponda la inversa inversa de cada matriz. 2.

Da Dada da las las si sigu guie ient ntes es ec ecua uaci cion ones es line lineal ales es (+ß , co cons nsta tant ntes es): ): I " À #B  $C  D œ  "   I# À # #B B  +C  , D  $ $A Aœ! Para cada una de estas ecuaciones; determine: (2.1) dos soluciones particulares. (2.2) una 8?:6+ que NO sea solución. (2.3) TODAS las soluciones. (2.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN. 3. Dado el sistema de ecuaciones lineales (+ ß, ß-ß. ß/ ß0   constantes):   +B  ,C œ -    .B  /C œ 0  Determine las condiciones sobre + ß, ß-ß. ß/ ß0 :  (3.1) para que el sistema tenga SOLUCIÓN ÚNICA. (3.2) para que el sistema tenga INFINITA INFINITAS S SOLUCIONES. (3.3) para que el sistema NO TENGA SOLUCIÓN. 4.

Dad Dado o los sig siguie uientes ntes sist sistemas emas de ecuacio ecuaciones nes lin lineal eales es À W" À B  C  $D œ  "   W # À B œ C  #D     

#B  C  #D œ "

#C œ B  $D  "

B B  #CC   $DD œ œ $"

D œ # C  #B  $

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B"  B#  B$ œ # 

W$ À

   

B"  $B $ B#  # #B B$ œ " $B"  &B#  $B$ œ %

W& À

" B # B $ B

   

  

" C $ C # C

  

" D % D " D

œ &  œ  "" œ '

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W' À

C  B $  # D œ ( $C  B D  %  #  # œ  C  B D    ' % $ œ" # B $ B % B

  

# C " C # C

  

$ D % D ' D

PÁG. 115

'

œ !  œ "'" œ # 

W ( À B  #C  D  @  A œ ! W ) À #B"  %B#  (B$  %B%  &B& œ !   #B  C  D  # #@ @  $A $A œ ! *B"  $ $B B#  # #B B$  ( (B B%  B & œ !   $B  # #C C  D  @  #A œ ! &B"  # #B B#  $ $B B $  B%  $ $B B& œ !   #B  & &C C D# #@ @#Aœ! 'B"  & &B B#  % %B B$  $ $B B%  # #B B& œ ! " " " (AYUDA:: (AYUDA En W & y W ' ß hacer: ? œ B à @ œ C à A œ D  )

Para cada uno de estos sistemas de ecuaciones; determine: (4.1) dos soluciones particulares si existen. (4.2) TODAS una 8?:6+ que NO sea solución. (4.3) las soluciones. (4.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN. 5.

Dado los siguientes sistemas: W" À B  C   5 D œ # W# À

B  $D œ  $ $B  %C  #D œ 5 #B  5 C  D œ  #   #B  $C  D œ " B  #C  5 D œ " Determine los valores de 5 −  ‘ para que el sistema en B ß C ß D À

(5.1) tenga solución única en ‘$ . (5.2) no tenga solución en ‘$ Þ (5.3) tenga infinitas soluciones en ‘$ . 6. Determine para qué valores de +ß ,ß - −  ‘ ; el sistema tiene solución B  #C  %D œ +  en ‘$ .  

#B  $C  D œ , $B  C  #D œ -  

7. Resolver los siguientes problemas; planteando claramente el sistema de ecuaciones que corresponde: (7.1) Un comerciante liquida sus existencias de lapiceros y gomas por  $ 1000; los primeros los vende a razón de $ 10 el conjunto de tres lapiceros, y las segundas a $ 2 cada una. Sabiendo que vendió solamente la mitad de los lapiceros y las dos terceras partes de las gomas; recaudando en total $ 600. Hallar las unidades que vendió de cada uno de los artículos citados. R: 120 y 300.

(7.2) Hallar dos números cuya suma es 28 y su diferencia es 12. R: 20 y 8. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° AUTOEVALUACIÓN N° 3:

PROBLEMA 1: (1.1)  

TALLER N° 3: RESPUESTA:

Ð"Þ"Ñ  # 

Ð"Þ#Ñ

Î

Î Ï

"3 "3 "3

1. D

"3 "3  " 3 " 3 3 " "3 "3 ""

Ð"Þ$Ñ  

+. 4 H œ

Ð"Þ%Ñ  

Es invertible, ya que . /> H Á !Þ

ÏÎ Ï

H" œ  "#

(1.2)  

"3 "3 "3

TALLER N° 3: RESPUESTA:

"3  " 3 "

3 " "

"3 "3 ""

Ñ

Ñ Ò

ÒÑ Ò

3 " "

1. F

Ð"Þ"Ñ  Ð+  Ð+.  ,-Ñ ,-ÑÐ+.  ,,-ÑÑ Ð"Þ#Ñ 

ÎÐ Ð Ï

. Ð+.  , - Ñ  ,Ð+.  ,- Ñ ! !

Ð"Þ$Ñ  +.4J œ

ÎÐ Ð

 - Ð+.  , - Ñ ! +Ð+.  ,- Ñ ! ! . Ð+.  , - Ñ ! , Ð+.  ,- Ñ

. Ð+.  , - Ñ  - Ð+.  , - Ñ !

 , Ð+.  , - Ñ +Ð+.  , - Ñ !

!

!

! !  - Ð+.  , - Ñ +Ð+.  , - Ñ

! ! .Ð+.  , - Ñ

ÑÓ Ó Ò  

! ! , Ð+.  , - Ñ

 - Ð+.  , - Ñ +Ð+.  , - Ñ

ÑÓ Ó

Ï

Ò

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PÁG. 117

Ð"Þ%Ñ  Si ./> J œ Ð+.  ,-Ñ ,-ÑÐ+.  ,,-ÑÑ œ !. Entonces J no  es invertible.

Si ./> J œ Ð+.  ,-Ñ ,-ÑÐ+.  ,,-ÑÑ Á !. Entonces J es   invertible y

J " œ

ÎÐÐ Ï

, ,-   +. + +. ,-  

! !

PROBLEMA 2: (2.1)  

 



. ,+.  +. ,-

! !

TALLER N° 3: RESPUESTA:

? œ #à @ œ $à A œ '

Ð%Þ"Ñ no existen Ð%Þ$Ñ W œ

˜

Ð "# ß 

(2.2)   1º) 2º)  

Ê

 

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ß "' Ñ

! !

. +. , +. ,-

, +. ,-   + +., .,- 

4. S5 Sean ? œ

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" B " #

ÑÓ Ó Ò

à @ œ "C à A œ "D  à C œ  "$ à D œ "'

Ð!ßß !ß !Ñ Â W  Ð%Þ#Ñ Ð!

 

TALLER N° 3: RESPUESTA:

ÎÐ Ð Ï ÎÐ ÐÐ Ï

! !

Ð%Þ%Ñ  W œ

˜

Ð "# ß 

" $

™

ß "' Ñ

4. S8

ÑÓ Ó Ò ÑÓ Ó Ó Ò

# % ( % & ! * $ # ( " ! Formar la matriz & # $ " $ ! ' & % $ # ! Para obtener la matriz escalonada reducida por filas "*"$& " ! ! ! ! ""##($ "#((" ! " ! ! ! ""##($ (%#'" ! ! " !  ""##($ ! "'( ! ! ! "  #'"" ! B" œ  """*#"#$(&$ B& à   B# œ  """##(#(("$ B& à B$ œ "("%###'("$ B& à B% œ #"''"(" B&

Ð%Þ"Ñ  B& œ ! 

B& œ ""##($ 

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Ð!ß !ß !ß ! !ßß ! !ßß ! !ÑÑ Ð  "*"$&ß  "#(("ß (%#'"ß (")"ß ""##($Ñ

Ð%Þ#Ñ  Ð!ß !ß !ß !ß "Ñ Â W  FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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Ð% Ð%Þ$ Þ$ÑÑ W œ

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Ð% Ð%Þ% Þ%ÑÑ W œ

  PÁG. 118 "*"$& Ð B" ß B# ß B$ ß B% ß B& Ñ − ‘ Î B" œ  ""##($ B& à   B# œ  """##(#(("$ B& à B$ œ "("%###'("$ B& à B% œ #"''"(" B&  

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˜

 ™

PROBLEMA 3:  

TALLER N° 3: RESPUESTA:

5. S1

Î Ï

Ñ Ò

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PROBLEMA 4:   1º) 2º)  

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TALLER N° 3: RESPUESTA:

6.

" # % + # $ " , Formar la matriz $ " # -   Para obtener la matriz escalonada reducida por filas

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TALLER N° 3: RESPUESTA:

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(7.1)lápices y 300 gomas.  120

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   MARTES 17 DE ABRIL DE 2007: 12:45-14:05   MBRE__ CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NO NOMBR E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__11__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (4.1) (4.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 4:

(4.1) Calcule el siguiente siguiente de determinante: terminante:

âââ âââ â Î Ï

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(4.2) Encuentre la matriz adjunta de 

PONDERACIONES:  

   

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(4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__11__  SE

PREGUNTA 4: (4.1) POR SOLUCIÓN : (DOS FORMAS) a) DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES:   (por fila 1 que tiene más ceros)

âââ âââ ââ

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âââ âââ ââ

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O TAMBIÉN: b) POR APLICACIÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES:

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(4.2) SOLUCIÓN: 1º)

MATRIZ DE COFACTORES   Ð E34 Ñ

Œ Œ Œ Œ   Œ

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MATRIZ ADJUNTA:

 

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Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ

2º)

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PUNTAJE

PREGUNTA 4:

(4.1) Calcule el el siguiente determinante

âââ âââ â Î Ï ( ! % # & !

" $ !

# " $

! #

"

%

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de   E œ

PONDERACIONES:  

   

" # %

âââ âââ âÑ Ò

" $ # ! & !

Þ

(4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__12__  SE

PREGUNTA 4: (4.1) SOLUCIÓN: (DOS FORMAS) a) POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES:   (por columna 2 que tiene más ceros)

âââ âââ ââ

âââ âââ ââ

" # $ " œ Ð  "Ñ## +## . />Q##  Ð  "Ñ "Ñ%# +%# . />Q% # ! $ " % ( " # ( " # ! $ $ " % œ #. /> &  #. /> %   ! " % & ! $

 

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O TAMBIÉN: b) POR APLICACIÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES:

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Î Ï

 

 

Ñ Ò Œ  Œ  Œ  Œ 

" $ # ! (4.2) SOLUCIÓN:   E œ & ! 1º) MATRIZ DE COFACTORES   Ð E34 Ñ donde E34 œ Ð  "Ñ34 . ./ /> Q34  # ! œ! E"" œ ./>  # ! œ ! E "# œ  . / > & ! % ! # # " $ E"$ œ ./> œ# E#" œ  ./> œ "& % & & ! " $ " " E## œ ./> œ "# E#$ œ  ./> œ " % ! % & " $ " $ E$" œ ./> œ ' E $# œ  . / > œ' # ! # ! " " & E$$ œ ./> œ !Þ  # #

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Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ

2º)

MATRIZ ADJUNTA: >

 

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PUNTAJE

PREGUNTA 4:

(4.1) Calcule el el siguiente determinante

âââ âââ â Î Ï

# ! ( $ # % # ! &

" $ !

âââ âââ âÑ Ò

" $ ( # % & ! # # $ (4.2) Encuentre la matriz adjunta de   E œ # # !

PONDERACIONES:  

   

Þ

(4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__14__  SE

PREGUNTA 4: (4.1) SOLUCIÓN: (DOS FORMAS) a) POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES:   (por fila 3 que tiene más ceros)

âââ âââ ââ

# $ # "

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Ñ Î Ò Ï  Œ  Œ  Œ   ‘  ‘ ââââ ââââ ââââ â â â ââââ ââââ ââââ ââ ââ ââ âââ âââ âââ œ #. />

 

Î Ï

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(por columna ( 1) "

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O TAMBIÉN: b) POR APLICACIÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES: # ! ( $ # %

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Î Ï

 

 

Ñ Ò Œ  Œ  Œ  Œ 

& ! # $ (4.2) SOLUCIÓN:   E œ # ! 1º) MATRIZ DE COFACTORES   Ð E34 Ñ donde E34 œ Ð  "Ñ34 . ./ /> Q34  E"" œ ./>  # $ œ ' E"# œ  ./> # $ œ ' # ! # ! # # & ! E"$ œ ./> œ! E#" œ  ./> œ! # # # ! % ! % & E## œ ./> œ! E#$ œ  ./> œ# # ! # # & ! % ! E$" œ ./> œ "& E$# œ  ./> œ "# # $ # $ % & & E$$ œ ./> œ  #Þ  # # ' ' ! ! ! # Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ "& "#  #

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MATRIZ ADJUNTA: >

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PÁG. 127

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   JUEVES 19 DE ABRIL DE 2007: 12:45 - 14:05   CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE__ NOMBR E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__13__  PROFESOR__ER ERIC ICK K GONZÁ ONZÁL LEZ GAJA GAJAR RDO__   (4.1) (4.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 4:

(4.1) Calcule el el siguiente determinante

âââ ââ â Î Ï

" ! ( $ ! % ! # &

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âââ ââ âÑ Ò

" # ! % # # ! # # $ (4.2) Encuentre la matriz adjunta de   E œ % & !

PONDERACIONES:  

   

Þ

(4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   MIÉRCOLES 18 DE ABRIL DE 2007: 15:45 - 17:05   CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE____________________________ NOMBRE_________________ ______________SECCIÓN__21 ___SECCIÓN__21__  __  PROFESOR__REN ENÉ É ALZA ALZAMO MOR RA ANTI ANTIQ QUER UERA__   (4.1) (4.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 4:

(4.1) Calcule el el siguiente determinante

âââ ââ â Î Ï # " ! !

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de   E œ

PONDERACIONES:  

   

! ! "

( & &

âââ ââ Ñâ Ò

" ! !

" ( # ! & % $ # # ! # #

Þ

(4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   MIÉRCOLES 18 DE ABRIL DE 2007: 14:15 - 15:35   CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE__ NOMB RE______ ________ ________ ________ ________ ________ ________ _____SECC _SECCIÓN__ IÓN__2 22__  PROFESOR__REN ENÉ É ALZA ALZAMO MOR RA ANTI ANTIQ QUER UERA__   (4.1) (4.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 4:

(4.1) Calcule el el siguiente determinante

âââ ââ â Î Ï ! " !

#

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de   E œ

PONDERACIONES:  

   

" ( ! & " &

âââ ââ Ñâ Ò

# ! !

! % # ! & % # $ # # ! #

Þ

(4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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SEMANA N° 04: 04:  (04 HORAS CÁTEDRA)  

UNIDAD N° 3:

 

TEMA 3:

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES REGLA DE CRAMER

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales usando la Regla de Cramer. OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el valor de una variable determinada del sistema usando la Regla de Cramer. (3.1) INTRODUCCIÓN: Consiste en un método de resolución de ecuaciones lineales donde coincide el número de ecuaciones con el número de incógnitas; de la forma E\ œ F ß es decir E − `8B8 à y además se exige que la matriz E sea invertible, o sea ./ ./>> E Á ! . Recordemos que anteriormente se vió que cuando cuan do la matriz matriz d dee los coe coefici ficiente entess E era in inver vertib tible, le, este este sis sistema tema ttiene iene u una na " única solución que está dada por: \ œ E F   . En este punto se da otra posibilidad de solución haciendo uso del determinante. (3.2) TEOREMA:   Si se tiene el sistema de 8 ecuaciones lineales con 8 incógnitas denotado matricialmente por E\ œ F tal que ./> E Á ! y la matriz de los coeficientes E la denotamos por:

 

c

E œ   E"

E#

E$

ÞÞÞ E4

ÞÞÞ E8

d

donde E 4  Ð4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8Ñ son las columnas de la matriz E; y

\œ

ÔÖ ÖÖÖ ÖÖÖ

B" B# B$ ÞÞÞ B 4  ÞÞÞ

×Ù ÙÙÙ ÙÙÙ

es el vector de las 8 incógnitas o variables del sistema.

ÕÖ ØÙ B8

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  Entonces la solución única del sistema está dada por:

 

B 4  œ

 

 :+9.9 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8 Þ

 



./>   E"

E#

E$

ÞÞÞ E4" ./>E

F

E4"

ÞÞÞ  E8

PÁG. 132

‘

(3.3) OBSERVACIÓN:   Notar que para encontrar la solución de cualesquiera de las variables del sistema; en el numerador se calcula el determinante de la matriz que se obtiene de sustituir la columna respectiva de la variable por  la matriz de constantes. (3.4) EJEMPLO: (3.4.1) Dado el siguiente sistema sistema::

5B  C  D œ " B  5C  D œ " B  C  5D œ "

  Usando la REGLA DE CRAMER (NO SE PERMITE OTRO PROCEDIMIEN PROCED IMIENTO) TO)Þ Encuent Encuentre re el valor de la varia variable ble " C  " cuando el parámetro 5 œ  " Þ SOLUCIÓN: 1°)  

Notar que la representación matricial del sistema es: E\ œ F

Î Ï

Í

" " "

" " "

" " "

ÑÎ Ñ Î Ñ ÒÏ Ò Ï Ò B C D

œ

" " "

2°) El sistema se puede resolver por REGLA DE CRAMER si ./ ./>> E Á ! ; y por lo tanto la solución es única.   . /> E œ . />

 

Î Ï

" " "

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" " "

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Ñ Ò Ñ Ò

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J#  J " Ä . /> J$  J "

Î Ï

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Ñ Ò

œ Ð" "ÑÑÐ#ÑÐ#Ñ œ % Ê . /> E Á !Þ

Por lo tanto, se puede aplicar la regla. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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  PÁG. 133 3°) Como se quiere solamente el valor de la variable C  ; cuyos coeficientes en las ecuaciones del sistema corresponden a la segunda  

columna de la matriz

Î ÎÏ ÏÑÒ

Eœ

" " "

columna por la matriz F œ Por lo tanto:

Cœ

Î Ï Î Ï

" . /> " " " . /> " "

" " " " " "

Ñ Òœ Ñ Ò

" " "

" " "

, se reemplaza dicha

à quedando la matriz

Î Ï Î Ï

" " " " " "

Ñ Ò ÎÏ

" " "

J# J " Ä . /> J$ J " J# J " Ä . /> J$ J "

" ! ! " ! !

" # # " ! #

" # ! " # !

Ñ Òœ Ñ Ò

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" " "

" " "

" " "

ÑÒ

.

œ"

(3.4.2) Resuelva de(ecuaciones lineales usando la Regla de Cramer:   el siguiente   B"  Bsistema  B$ œ #

#B"

 &B$ œ % $B#  B$ œ #

SOLUCIÓN: 1°) Notar que la representación matricial del sistema es:  

E\ œ F

Î Ï

Í

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ÑÎ Ñ Î Ñ ÒÏ Ò Ï Ò B" B# B$

( % #

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./>> E Á ! ; 2y°por ) lo Eltanto sistela masolución se puedes e rúnica. esolve r por REGLA DE CRAMER si ./ . /> E œ . />

Î Ï

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" & "

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J#  Ð  #ÑJ" Ä . />

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3°)

El valor de las variables B" à B# y B$ están dados por: . />

B" œ ./>

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Por lo tanto, se puede aplicar la regla.

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(3.4.3)

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PÁG. 134

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Ô Õ

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× Øœ

$% "*

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando

la Regla de Cramer: 

B"

 B$  B% œ ( #B#  #B$  $B% œ  " %B"  B#  B$ œ!  #B #B"  B#  %B %B$ œ#

SOLUCIÓN: 1°) Notar que la representación matricial del sistema es:

 

E\ œ F

Í

ÐÐÎ Ï

" ! %

! # "

" # "

" $ !

#

"

%

!

ÑÎÐ Ó Ñ ÐÎ Ó Ó Ð ÓÐ ÒÏ Ò Ï B" B# B$

B%

œ

( " ! #

Ñ Ó Ó Ò

2°) El sistema se puede resolver por REGLA DE CRAMER si ./ ./>> E Á ! ; y por lo tanto la solución es única.  

./> E œ ./ ./>>

ÎÐ Ð Ï

" ! % #

œ G"% Ä  . ./ />

ÎÐ

! # " "

" # " %

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ÒÓ

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œ J#  $J" Ä  . />

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J#  J " œ Ä . /> J$  Ð  # Ñ J" 

Î Ï

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" " " %

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Ñ Ó Ó Ò ÎÏ

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# # (

Ñ Ò

 

" " #

PÁG. 135

% " "

# % $

œ $ * Ê . / > E Á !Þ

Por lo tanto, se puede aplicar la regla. 3°)

El valor de las variables B" à B# ; B$ y B% están dados por:

B" œ

ÔÖÖ Õ

B$ œ

ÔÖÖ Õ

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( ! " " " # # $ ! " " ! # " % ! $*

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ÔÖÖ Õ

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" ! " ( ! # # " % " " ! # " % # $*

×ÙÙ Ø ×ÙÙ Ø

REVISE Y TERMINE LOS CÁLCULOS !! . Encuentre la solución.  

ÑÒ

Ñ

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UNIDAD N° 4:

 

TEMA 1:

PÁG. 136

ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

OBJETIVO OPERACIONAL: Verificar las propiedades de espacio vectorial que se cumplen para un conjunto, un cuerpo y las correspondientes operaciones. (1.1) DEFINICIÓN:   Sean Š un cuerpo o campo y Z Á 9 un conjunto dotado de dos operaciones: a)  

ADICIÓN O SUMA VECTORIAL: Para todo @" à @# − Z se tiene que Ð @"  @# Ñ − Z ,   

b)  

MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR: ESCALAR: Para todo ! − Š ; @ − Z se tiene que ! @ − Z .    

  Diremos que Z   tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL SOBRE EL CUERPO Š si y solo si se satisfacen los siguientes axiomas: (AX. 1)  

PROPIEDAD PROPIE DAD DE CLAUSURA PARA LA SUMA VECTO VECTORIAL: RIAL: Si @" ß @# − Z Þ Entonces Ð @"  @# Ñ − Z .   

(1.1.1) EJEMPLO:   Considere el conjunto ‘  (reales positivos) y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por B Š C œ BC  à !  B œ B! a! − ‘ ß a B Bàà C − ‘  Determine si:   La operación Š está bien definida. SOLUCIÓN: 1º)

Se debe verificar que  a Bà C − ‘  : B Š C − ‘ 

2º)

Como B Š C œ B C − ‘  , ya que Bà C − ‘ 

3º)

Luego, la operación

Š satisface la propiedad de clausura o es

cerrada en ‘  . Es decir, está bien definida.

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PÁG. 137

(1.1.2) EJEMPLO:   Considere el conjunto   Z œ ÐB ß C Ñ − ‘# ÎB  ! ß C  ! y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto

 ˜

™

escalar definido porÐBß C Ñ  a   Š!Ð?−ß @‘Ñ œß ÐaBÐBß ? ß CÑ C  @,Ð?ß Ñ à @Ñ!− Z   ÐB: ß C  Ñ œ ÐB! ß C! Ñ Determine si:   La operación Š está bien definida. SOLUCIÓN: 1º)

Se debe verificar que  a ÐBß CÑ,Ð?ß @Ñ − Z : ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ − Z  

2º)  

Como ÐBß CÑ CÑ Š Ð?ß @Ñ @Ñ œ ÐB ? ß C @ @ÑÑ − Z  , ya que Bà Cà Cà ? ?àà @  ! y por  consiguiente B? !ß C@ !

3º) Luego, la operación Š satisface la propiedad de clausura o es cerrada en Z   . Es decir, está bien definida. (1.1.3) EJEMPLO:   Considere el conjunto `# B # Ð‘Ñ y el cuerpo de los números complejos ‚ ; con la suma habitual de matrices y el producto escalar  definido por

!

Œ  Œ + -

, .

œ



+ -

, a!−‚. !.  

Determine si:   La operación  está bien definida. SOLUCIÓN:

Œ Œ  Œ  Œ  Œ 

1°)

+ -

  2º)  a

+ , , / - . 1 +/ ,0   -1 .2

La suma habitual de matrices es  a , .



/ 1

0 2

œ

Se debe verificar que:

Œ Œ  Œ  Œ  Œ  Œ  Œ 

3º)

0   −  `# B # Ð‘Ñ À 2

+ -

, .

,

/ 1

+ -

Como

ya que

+ -

0 2

, .

, . / , 1

+ -

− `# B # Ð‘Ñ À



/ 1

0 2

œ

, .



/ 1

0 2

  − `# B # Ð‘Ñ :

+/ ,0   − `# B # Ð‘Ñ , -1 .2

0   2   − `# B # Ð‘Ñ .

4º)

Œ Œ 

Luego, la operación  está bien definida.  

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(AX. 2)  

  PÁG. 138 PROPIEDAD PROPIE DAD ASOCIATIVA PARA LA SUMA VECTORI VECTORIAL: AL:  a @" ß @# ß @$ − Z : Ð@ "  @# Ñ  @$ œ @"  Ð @#  @$ Ñ

(1.1.4) EJEMPLO:   números Considere conjunto (reales positivos) y el cuerpo reales ‘el con la suma‘ vectorial y producto escalar definidode porlos B Š C œ B C  à !  B œ B! a! − ‘ ß a B à C − ‘  Determine si:   La operación Š es asociativa.

SOLUCIÓN: 1º)

Se debe verificar que  a Bà Cà D − ‘  : ÐB Š CÑ Š D œ B Š ÐC Š DÑ

2º)  

Según la definición de la operación Š : ÐB Š C CÑÑ Š D œ ÐB C CÑÑ Š D œ ÐB C CÑÑ D ; como Bà Cà Cà D −  ‘ (cuerpo)

  3º)

œ BÐC BÐC D DÑÑ œ B Š ÐC DÑ œ B Š ÐC Š DÑ

Luego, la operación Š es asociativa.

(1.1.5) EJEMPLO:   Considere el conjunto   Z œ ÐB ß C Ñ − ‘# ÎB  ! ß C  ! y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por  a! − ‘ ß a ÐBß CÑ   ,Ð?ß @Ñ − Z  :   ÐBß C Ñ Š Ð?ß @ Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ à !  ÐB ß C  Ñ œ ÐB! ß C! Ñ Determine si:   La operación Š es asociativa.

 ˜

™

SOLUCIÓN: 1º)   2º)



‘ 

‘

Se debe verificar que  a ÐBß CÑ,Ð?ß @Ñß ÐAß DÑ − Z  : ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ Š ÐAß DÑ œ ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ Š ÐAß DÑ



‘



‘  ‘  ‘

Según la definición de la operación Š : ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ Š ÐAß DÑ œ ÐBß CÑ Š Ð? Aß @ DÑ œ ÐB ? A ß C @ D Ñ

 ‘  ‘

œ Ð B ? A ß C @ D Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ Š ÐA ß D Ñ

 

œ ÐBß CÑ Š Ð?ß @Ñ Š ÐAß DÑ



3º)

‘

Luego, la operación Š es asociativa.

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PÁG. 139

(1.1.6) EJEMPLO:   Considere el conjunto `# B # Ð‘Ñ y el cuerpo de los números complejos ‚ ; con la suma habitual de matrices y el producto escalar  definido por

+

!

,

+

œ

,

a!−‚.

!

Œ  Œ



- . .   Determine si:   La operación  es asociativa.

SOLUCIÓN:

Œ Œ  Œ  Œ  Œ 

1°)

+ -

La suma habitual de matrices es  a + -

  2º)

, .

/ 1



0 2

, .

,

/ 1

0   −  `# B # Ð‘Ñ À 2

+/ ,0   -1 .2

œ

Se debe verificar que:

Œ Œ Œ  ’Œ  Œ “ Œ  Œ  ’Œ  Œ “

 a

+ -

, .

,

+ -

, .



3º)

/ 1

0 2

/ 1

,

0 2

4 5   6 7 

− `# B # Ð‘Ñ À

4 5 6 7

+ -

œ

+ -

, .



/ 1

0 2



4 5 6 7

œ



4 5 6 7

+/ ,0 -1 .2

 Œ  

4 5 6 7

Œ  Œ  Œ  Œ  Œ  ’Œ  Œ  “ œ

 

  4º)

0 2

  ÐÐ+ +  /Ñ  4 Ð,  0 Ñ  5 œ Ð-  1Ñ 1 Ñ  6 Ð.  2 2ÑÑ  7 ; como +ß ,ß -ß. ß/ ß/ßß 0 ß 1ß 2ß 4ß 5ß 6ß 7 −  ‘ (cuerpo)

 

 

/ 1



Según la definición de la operación  :

’Œ  Œ “ Œ  Œ    

, .

œ

œ

+ -

, .

  +  Ð/  4Ñ ,  ÐÐ0 0 5 5ÑÑ -  ÐÐ1 1  6Ñ .  ÐÐ2 2  7Ñ + -



Luego, la operaci operación ón  es asociativa. asociativa.

, .

/4 0 5 16 27



/ 1

0 2



4 5 6 7

 

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(AX. 3)

  EXISTENCIA Y UNICIDAD DE NEUTRO ADITIVO:  a @ − Z ; b ! / − Z tal que @  / œ /  @ œ @

PÁG. 140

(1.1.7) EJEMPLO:   números Considere conjunto (reales positivos) y el cuerpo reales ‘el con la suma‘ vectorial y producto escalar definidode porlos B Š C œ BC  à !  B œ B! a! − ‘ ß a B Bàà C − ‘  Determine si:   Existe un único elemento neutro para la operación Š .

SOLUCIÓN: 1º)      

EXISTENCIA: a) Se debe verificar que

 

c)

2°)            

UNICIDAD: a) Supogamos que existe otro elemento neutro /‡ − ‘ À ÐB Š /‡ Ñ œ Р/‡ Š B BÑÑ œ B à aB − ‘ b) Si B œ / œ " −  ‘  , por 1°). Entonces se tiene que:

b)

c)

 aB − ‘ , b / − ‘  : ÐB Š /Ñ œ Ð/ Š B Ñ œ B B Š / œ B / œ B Ê / œ " ß ya que B −  ‘  / Š B œ / B œ B Ê / œ " ß ya que B −  ‘  Por lo tanto, existe elemento neutro / œ " −  ‘   

 

" Š /‡ œ Ð"Ñ/‡ œ " Ê /‡ œ " /‡ Š " œ /‡ Ð"Ñ œ " Ê /‡ œ " Por lo tanto /‡ œ / œ " Þ

3°) Es decir, por 1°) y 2°) existe un único elemento neutro para la operación Š . (1.1.8) EJEMPLO:  Considere el conjunto   Z œ ÐB ß C Ñ − ‘# ÎB  ! ß C  ! y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por  a! − ‘ ß a ÐBß CÑ   ,Ð?ß @Ñ − Z  .     ÐBß CÑ Š Ð?ß @ Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ à !  ÐB ß C Ñ œ ÐB! ß C! Ñ Determine si:   Existe un único elemento neutro para la operación Š . SOLUCIÓN:

 ˜

1º)

EXISTENCIA:

™

   

a)

Se debe verificar que

 a ÐBß CÑ − Z , b / œ Ð/" ß /# Ñ − Z   : ÐBß CÑ Š Ð/" ß /#Ñ œ Ð/" ß /#Ñ Š ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ

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b) Ê

   

Ê

 

PÁG. 141

ÐBß CÑ Š Ð/" ß /# Ñ œ ÐB /" ß C /# Ñ œ ÐBß CÑ B /" œ B Ê /" œ " à ya que B  ! C /# œ C Ê /# œ " à ya que C  ! Ð/" ß /#Ñ Š ÐBß CÑ œ Ð/" Bß /# CÑ œ ÐBß CÑ

 

ya que B  ! ya que C  !

/" B œ B /# C œ C

Ê /" œ "  ! à Ê /# œ "  ! à

Luego;

Ð/" ß /# Ñ œ Ð"ß "Ñ − Z  

 

Por lo tanto, existe elemento neutro / œ Ð/" ß /# Ñ œ Ð"ß "Ñ − Z   

 

c)

2°)

UNICIDAD:

a)  

Supogamos que existe otro elemento neutro /‡ œ Ð/‡" ß /‡#Ñ − Z À

ÐBß C Ñ Š Ð/"‡ ß / #‡ Ñ œ Ð/‡" ß / #‡ Ñ Š ÐBß C Ñ œ ÐBß CÑ  à

aÐBß CÑ − Z  

b)    

Si ÐBß CÑ œ Ð"ß "Ñ − Z  ,  por 1°). Entonces se tiene que:

 

Ð/‡" ß /‡# Ñ Š Ð"ß " Ñ œ Ð/‡" " ß /‡# "Ñ œ Ð"ß " Ñ Ê /‡ œ Ð/‡" ß /‡# Ñ œ Ð"ß " Ñ œ /

c)

Por lo tanto /‡ œ / œ Ð"ß "Ñ Þ

Ð"ß " Ñ Š Ð/"‡ ß / #‡Ñ œ Ð" /"‡ ß " /#‡ Ñ œ Ð"ß " Ñ Ê /‡ œ Ð/"‡ ß /#‡ Ñ œ Ð"ß "Ñ œ /

3°) Es decir, por 1°) y 2°) existe un único elemento neutro para la operación Š . (1.1.9) EJEMPLO:   Considere el conjunto `# B # Ð‘Ñ y el cuerpo de los números complejos ‚ ; con la suma habitual de matrices y el producto escalar  definido por

!

Œ  Œ + -

, .

œ

+ -



, a!−‚. !.  

Determine si:   Existe un único elemento neutro para la operación  . SOLUCIÓN: 1°)  

La suma habitual de matrices es  a +

,



/

0

œ

Œ Œ  + -

+/

, .

,

,0  

/ 1

0   −  `# B # Ð‘Ñ À 2

Œ  Œ  Œ -

.

1

2

-1

.2



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2º)  

   

EXISTENCIA: a) Se de debe be veri verifi ficar car qu quee  a E œ

Œ 

b)

EI œ

 

c)

b)

− `# B # БÑ, b I œ

Œ  Œ  Œ 

Iœ

/ 1

0 2

œ

Œ

/‡ 1‡

Ê

4°)

! ! ! !

 Œ  Œ  Œ Œ  Œ Œ  Œ Œ  Œ Œ

 

c)

  − `# B # Ð‘Ñ :

 

−  `# B # БѠÞ

0 ‡ ‡ ‡ ‡   − `# B # Ð‘Ñ : E  I œ I  E œ E à a E − `# B # Ð‘Ñ 2 ! ! Si E œ −  `# B # Р ‘Ñ  , por 2°). ! !

Entonces se tiene que:

 

0 2

UNICIDAD: Supongamos que existe otro elemento neutro

   

 

/ 1

Por lo tanto, existe elemento neutro

 

I‡ œ

, .

Œ 

 

3°) a)

Œ  Œ  Œ  Œ  Œ  Œ 

+ -

EœE + , +E  , I œ I/ 0  œ - . 1 2 - .   +/ ,0 + , Ê œ -1 .2 - .   Ê + / œ + Ê / œ 0 œ 1 œ 2 œ ! ,0 œ, -  1 œ -  .  2 œ .    ! ! Ê Iœ ! ! ! ! I œ ! ! −  `# B # Ð‘Ñ Þ Luego;

 

 

PÁG. 142

‡

EI œ

! !

I‡ œ



/‡ 1‡

/‡ 1‡

0‡ 2‡

œ

0‡ !  ‡ 2 ! ‡ ‡ / 0 I‡ œ Ê œ 1‡ 2‡ ! Por lo tanto I ‡ œ I œ ! I‡  E œ

/‡ 1‡

! !

 Œ   Œ  

0‡ 2‡ ! ! ! ! ! ! ! !

œ

! !

œI

œ

! !

!  /‡ !  1‡

 Œ 

0‡  ! 2‡  !

 Œ 

œ

! ! ! !

 

/‡  ! 1‡  !

œI

!  0‡ !  2‡

œ

! ! ! !

 

Þ

Es decir, por 2°) y 3°) existe un único elemento neutro para la

operación  . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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  PÁG. 143 (AX. 4) EXISTENCIA Y UNICIDAD DE INVERSO ADITIVO: T +< +9< -/ -/< 9 propiedad es útil en el sentido que si el @/ @/->9< ->9< -/< -/38?+ / /8 8‘

+Ñ [" œ 0 Î 0 ÐB# Ñ œ Ð 0 ÐÐB BÑ Ñ # - Ñ [$ œ 0 Î 0 Ð  " "ÑÑ œ !

™

/Ñ [ & œ 0 Î 0 Ð$Ñ œ "  0 Ð  &Ñ

™

˜ ˜ ˜

™

0 Ñ [ ' œ 0 Î 0 /= . / /< − ‘ À 0 Ð  >Ñ œ 0 Ð>Ñ Þ  

(9.1) Determine dos elementos de Z Þ (9.2) Demostrar que Z   con las operaciones usuales de suma de funciones y multiplicación por escalar; es un espacio vectorial sobre ‘ . 10. Verifique si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales con las operaciones definidas usualmente.

˜ ˜

™

(10.1) W œ ÐB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞ ß B8 Ñ − ‘8 ÎB" œ ! B# § ‘8

™

(10.2) W œ ÐB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞ ß B8 Ñ − ‘8 ÎB" − ™ § ‘8  

(10.3) W œ

ÐB" ß B# ß B$

˜

,

B% Ñ

%

−‘

˜

%

ÎB# B$

™

œ! §‘

11. Demostrar que [ œ ÐB" ß B# ß B$ Ñ − ‘$ ÎB"  B# œ B#  B$ œ ! un subespacio vectorial de ‘3 ; con las operaciones usuales.

˜

™

™

es

12. Sea Z œ 0 Î 0 À ‘ Ä ‘ fun función ción real de var variab iable le real ; O œ ‘Þ Consideremos los siguientes subconjuntos de Z À   +Ñ [" œ 0 Î 0 Ð!Ñ œ 0 ÐÐ" "Ñ ,Ñ [# œ 0 Î 0 ÐBÑ œ 0 ÐÐ" "  BÑ

˜

™

˜

™

(12.1) Verifique si los conjuntos dados tienen elementos. (12.2) Determine cual de estos conjuntos es subespacio vectorial de Z   sobre el cuerpo ‘Þ 13. Sea Z œ `# B # ÐO Ñ espacio vectorial sobre el cuerpo Consideremos los siguientes subconjuntos de Z À invert rtib ible le invert rtib ible le +Ñ [" œ E Î E es inve ,Ñ [# œ E Î E no es inve

˜ ˜

  - Ñ [$ œ E Î E# œ E

™

™

˜

 

(13.1) Verifique si los conjuntos dados tienen elementos.

™

OÞ

(13.2) Determine cual de estos conjuntos es subespacio vectorial de Z   sobre el cuerpo O Þ FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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PÁG. 171

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° AUTOEVALUACIÓN N° 4:

  PROBLEMA 1: (1.1)   Ð"Þ"Ñ

Î Ï

" # $

Ð"Þ#Ñ  . />

Î Ï

?œ Aœ

 

W œ Ð "# ß 

Ð"Þ"Ñ

˜

" $

ß "' Ñ

. />

™

" # $ # "

ÎÐ ÐÐÐ Ï

à @œ

" C

à Aœ

! # " " " " " " # $ ! # " " #

" & " # "" % $ ' " "%

" #

Ñ Ò œ  $à  

àCœ 

" $

àDœ

1. S7

ÑÎ Ñ Î Ñ Ó ÒÐÏ ÒÓÐÏ Ó Ò ÑÓ Ó Ó Ó Ò

# " " " " " # $ # " " # & " # # " " " " " # " " " # " " # $ $ # " " # # & " # # " " " " "

se puede usar CRAMER:

ÎÐ

" B

es la solución única.

TALLER N° 4: RESPUESTA:

Ð"Þ#Ñ  . />

 

Ñ Î œ #à @ œ Ò Ï Ñ Ò œ' Ê Bœ

& " " "" $ % ' # " "% " " " # $ % $ # " "%

 

Î ÐÏ

ÑÎ Ñ Î Ñ ÒÏ Ò Ï Ò Ñ Ò

Î ÏÎ Ï

./>

(1.2)  

1. S5 Sean ? œ

" " ? & $ % @  "" œ # " A ' " " " #  $  % œ "% Á ! ß se puede usar CRAMER: $ # "

. />

Ê

TALLER N° 4: RESPUESTA:

ÑÓ

ÎÐ

B C D @ A

œ

! " ! ! !

œ ) Á !ß

" # $

! " !

" " "

" # "

" $ #

ÑÓ

" '

" D 

. />

Bœ

ÏÐ

! !

& "

" " )

# "

# "

. />

ÒÓà C œ ÏÐ

# "

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" " )

# "

# "

ÒÓà  

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Dœ

ÐÐÐÎ Ð Ï

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  " # $ # "

ÎÐ ÐÐÐ Ï

" # $ # "

Aœ Ê Bœ

 

# " # & "

! " ! ! ! )

" # " # "

" $ # # "

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò à@œ

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ÐÐÐÎ Ð Ï

" # $ # "

# " ! " " " " $ # " ! # & " ! # " " ! " )

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò à 

 

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò

# " " ! " " # " # " " ! & " # ! " " " ! ) & ) à C œ "à D œ

˜

 $ à @ œ  $)" à A œ  "#

W œ Ð &) ß " ß  $ ß 

PROBLEMA 2:  

$" )

ß 

TALLER N° 4: RESPUESTA:

" #

Ñ

™

es la solución única.

4.

3Ñ 

Š es cerrada:

               

HIPÓTESIS:

33Ñ 

Š es conmutativa: a ?ß @ − ‘8 Ê ? Š @ œ 8@ Š ? ?? HIPÓTESIS:   ? œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ  −  ‘

           

333Ñ 

 

PÁG. 172

 

VERIFICACIÓN:

a ?ß @ − ‘8 Ê ? Š @ − ‘8 ?? ? œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ  −  ‘ 8 @ œ ÐC" ß C# ß C $ ß Þ Þ Þ ß C 8Ñ −   ‘8 B3 à C3 −  ‘ a 3 œ "ß # #ßß $ß $ß Þ Þ Þ ß 8

?Š@ œ ?@ œ ÐB"  C " ß B #  C # ß B$  C $ ß Þ Þ Þ ß B8  C 8Ñ −   ‘8 ya que B3  C 3 −  ‘ a 3 œ "ß #ß #ß $ß $ß Þ Þ Þ ß 8 8 Lu Lueg ego; o; ?Š@ − ‘ . " Š es ce cerrrada rada"" SE CUMPL UMPLE. E.

VERIFICACIÓN:

  ‘8 @ œ ÐC" ß C# ß C $ ß Þ Þ Þ ß C 8Ñ − B3 à C3 −  ‘ a 3 œ "ß # #ßß $ß $ß Þ Þ Þ ß 8

?Š@ œ ?@ Á @? œ @Š? Lu Lueg ego; o; ?Š@ Á@Š? . " Š NO es co conm nmut utat ativ iva" a" Š  es asoci asociativ ativa: a: 8  a ?ß @ß A − ‘ Ê Ð? Š @Ñ Š A œ ? Š Ð@ Š AÑ HIPÓTESIS:   ? œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ  −  ‘ 8 8

" # $ 8   ‘ @ Aœ œÐÐCD"ßßCD # ßßCD $ ßß ÞÞÞÞÞÞ ßß CD8ÑÑ − −  ‘8 B3 à C3 à D3 −   ‘ a 3 œ "ß #ß # ß $ß $ß Þ Þ Þ ß 8

    

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        3@Ñ 

                @Ñ 

     

VERIFICACIÓN: Ð? Š @Ñ Š A œ Ð?  @Ñ Š A œ Ð?  @Ñ  A œ ?  @  A ? Š Ð@ Š AÑ œ ? Š Ð@  AÑ œ ?  Ð@  AÑ œ ?  @  A Luego; Ð? Š @ " Š NO es as aso ocia ciativa" @ÑÑ Š A Á ? Š ÐÐ@ @ŠA AÑÑ

Existencia y unicidad de neutro aditivo:  a @ − ‘8 ; bx / − ‘8 >+6 ;?/ @ Š / œ / Š @ œ @ ?? HIPÓTESIS:   @ œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ  −  ‘ 8 VERIFICACIÓN:

/ œ Ð/" ß /# ß /$ ß Þ Þ Þ ß /8Ñ −   ‘8 B3 à /3 −   ‘ a 3 œ "ß #ß #ß $ $ßß Þ Þ Þ ß 8

@Š / œ @ / œ @ Ê /Š @ œ / @ œ @ Ê

Luego;

/œ! / œ #@

"NO existe un único /"

Existencia y unicidad de inverso aditivo:  a @ − ‘8 ; bx @‡ − ‘8 >+6 ;?/ @ Š @‡ œ @‡ Š @ œ / ?? Pero, como la propiedad anterior no se cumple; esta tampoco se cumple.

@3Ñ

Œ  es cerrada:

         

HIPÓTESIS:

 

PÁG. 173

 

VERIFICACIÓN:

a! − ‘ à a @ − ‘8 Ê ! Œ @ − ‘8 ?? @ œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ  −  ‘ 8 ! à B3 − ‘ a 3 œ "ß #ß #ß $ $ßß Þ Þ Þ ß 8

! Œ @ œ  !@ œ  !ÐB" ß B # ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ œ Ð  !B" ß  !B# ß  !B$ ß Þ Þ Þ ß  !B8 Ñ −  ‘8    !B3 − ‘ a 3 œ "ß #ß #ß $ß $ß Þ Þ Þ ß 8 ya que 8 Lu Lueg ego; o; !Œ@ − ‘ . " Œ es ce cerr rrad ada" a" SE CUMPL UMPLE. E.

@33Ñ  Distributividad del escalar:  a! − ‘ à a ?ß @ − ‘8   Ê ! Œ ÐÐ? ? Š @Ñ œ Ð! Œ ? ?ÑÑ Š Ð! Œ @ @ÑÑ ?? 8   HIPÓTESIS:   ? œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ  −  ‘   @ œ ÐC" ß C# ß C $ ß Þ Þ Þ ß C 8Ñ −   ‘8   ! à B3 à C3 − ‘ a 3 œ "ß #ß #ß $ß $ß Þ Þ Þ ß 8

     

VERIFICACIÓN:

! Œ Ð? Ð? Š @ @ÑÑ œ ! Œ ÐÐ? ? @ @ÑÑ œ  !Ð?  @ @ÑÑ œ  !?  !@ œ Ð! Œ ? ?ÑÑ  Ð  !@Ñ

     

œ Ð! Œ ? ?ÑÑ  Ð! Œ @ @ÑÑ œ Ð! Œ ? ?ÑÑ Š Ð! Œ @ @ÑÑ ! Œ Ð? Ð ? Š @Ñ œ Ð! Œ ? ?ÑÑ Š Ð ! Œ @ @ÑÑ .

Luego;

"SE CUMPLE la distributividad del escalar"

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PÁG. 174

@333Ñ  Distributividad del vector:  a! à " − ‘ à a @ − ‘   Ê Ð!  " Ñ Œ @ œ Ð! Œ @ @ÑÑ Š Ð " Œ @ @Ñ   Ñ ?? 8   HIPÓTESIS:   @ œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ  −  ‘   ! à " à B3 à C3 − ‘ a 3 œ "ß #ß #ß $ß $ß Þ Þ Þ ß 8 8

            

VERIFICACIÓN : Ð!  " Ñ Œ @ œ  Ð!  " Ñ @ œ Ð  !  " Ñ@  

3BÑ 

Asociatividad del escalar:

   

HIPÓTESIS:

             BÑ

        



Luego;

‘

œ  !@  " @ œ Ð  !@Ñ Š Ð "@Ñ   œ Ð! Œ @ @ÑÑ Š ÐÐÐÐ  " Ñ Œ @ÑÑ Á Ð! Œ @ @ÑÑ Š Ð"  Œ @ @ÑÑ  Ñ. Ð!  " Ñ Œ @ Á Ð! Œ @ @ÑÑ Š Ð" Œ @ @Ñ

"NO se cumple la distributividad del vector"  a! à " − ‘ à a @ − ‘8 Ê Ð!" Ñ Œ @ œ ! Œ Ð" Œ  @ @ÑÑ ?? @ œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ  −  ‘ 8

 



VERIFICACIÓN: Ð!" Ñ Œ @

Luego;

! à " à B3 à C3 − ‘ a 3 œ "ß #ß #ß $ß $ß Þ Þ Þ ß 8

‘ 

‘

œ  Ð!" Ñ @ œ ! Ð  " ÑÑ@ @ œ !Ð" Œ  @Ñ œ Ð  !Ñ Œ Ð"  Œ @ @ÑÑ Á ! Œ Ð"  Œ @Ñ Ð!" Ñ Œ @ Á ! Œ Ð" Œ  @ @ÑÑ .

"NO se cumple la asociati asociatividad vidad del vector vector""  a @ − ‘ 8 Ê " Œ @ œ @ ?? HIPÓTESIS:   @ œ ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ  −  ‘ 8 " −  ‘

VERIFICACIÓN " Œ @ œ Ð  "Ñ:@ œ  @ Á @ Þ Luego; "Œ@ Á@ "NO se cumpler"

PROBLEMA 3: TALLER N° 4: 7.   RESPUESTA: 1º) Se sabe que ‘$ es espacio vectorial sobre ‘ . 2º) Como Z § ‘$ à Z Á 9 à Ð!ß ! !ßß ! !ÑÑ − Z Þ    

POR DEMOSTRAR QUE Z   es subespacio   vectorial de ‘$ . DEM.

     

Se debe demostrar que:  aÐB" ß C" ß D" Ñ à ÐB# ß C# ß D# Ñ −   Z  à  a ! − ‘ Ê ÐB" ß C "ß D "Ñ  !ÐB# ß C #ß  D #Ñ − Z   .  . En efecto:

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PÁG. 175

HIPÓTESIS: ÐB"ß C"ß D"Ñ −   Z Ê $B"  C" œ ! à #B"  C" œ D"  ÐB#ß C#ß D#Ñ −   Z Ê $B#  C# œ ! à #B#  C# œ D#  !−‘

   

TESIS:

     

Verificar si esta terna cumple las condiciones para estar en Z  : $ÐB"  !B# Ñ  ÐC"  !C# Ñ

œ Ð$B"  C " Ñ  !Ð$B#  C # Ñ œ !  !! œ !

   

#ÐB"  !B# Ñ  ÐC"  !C# Ñ

œ Ð#B"  C" Ñ  !Ð#B#  C# Ñ œ D"  !D# Þ

 

Por lo tanto, ÐB"  !B# ß C"  !C# ß D"  !D# Ñ  − Z  ; es decir 

ÐB" ß C" ß D" Ñ  !ÐB# ß C# ß D# Ñ œ ÐB"  !B# ß C"  !C# ß D"  !D# Ñ

Z   ‘$ . ÐZ   B"es ß C"subespacio ß D" Ñ  !ÐB#vectorial ß C# ß D# Ñ −de

    

Luego;

PROBLEMA 4: (4.1)  

Z   es espacio vectorial sobre ‘ .

TALLER N° 4: RESPUESTA:

(10.2)

1º)

W Á 9 à Ð!ß !ß ! , . . . , !Ñ − W  

2º)

NoÞ

3º)

Por lo tanto, W no es subespacio vectorial de ‘8 Þ

(4.2)  

!−‘Ê 

!ÐB" ß B# ß B$ ß Þ Þ Þ ß B8 Ñ Â W

TALLER N° 4: RESPUESTA:

1º)

W Á 9 à Ð !ß ! !ß ß !, !Ñ − W  

2º)

NoÞ

(10.3)

Ð"ß !ß # ß $ $ÑÑà Ð  #ß " ß ! !ßß  "Ñ − W  Ê  

Ð !B"   ™ Ñ

Ð"ß !ß #ß $Ñ  Ð  #ß "ß !ß  "Ñ œ Ð  "ß "ß #ß #Ñ Â W  

3º)

Por lo tanto, W no es subespacio vectorial de ‘% Þ

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PÁG. 176

PROBLEMA 5: (5.1)  

TALLER N° 4: 12. a) RESPUESTA: 0 À ‘ Ä ‘  definida por 0 ÐBÑ œ !

Ð"#Þ"Ñ

a B − ‘ 

1 À ‘ Ä ‘ definida por 1ÐBÑ œ BÐB  "Ñ a B − ‘  Notar que 0 à 1 − [ Ð! !Ñ œ 0 ÐÐ" "Ñ C 1 Ð ! Ñ œ 1 Ð "Ñ " ; ya que 0 Ð POR DEMOSTRAR QUE Ð"#Þ#Ñ    [ " es subespacio   vectorial de Z Þ   DEM.   Se debe demostrar que:    a0 à 1 − [" à a ! − ‘ Ê Ð0  !1Ñ − [ "  . En efecto:

       

HIPÓTESIS:

       

TESIS Ð0  !:1ÑÐ!Ñ œ 0Ð! 0Ð!ÑÑ  ! 1Ð!Ñ œ 0Ð 0Ð" " Ñ  ! 1 Ð "Ñ

0 − [" 1 − ["   !−‘

 

TALLER N° 4: RESPUESTA:

Œ 

13. c)

Œ 

! ! " ! àFœ ! ! ! " # # ya que E œ E ß F œ F  

Ð"$Þ"Ñ

Eœ

  Ð"$Þ#Ñ 

           

0 Ð!Ñ œ 0 Ð"Ñ 1 Ð ! Ñ œ 1 Ð "Ñ

œ Ð0  !1Ñ 1ÑÐ" Ð"ÑÑ Por lo tanto, Ð0  !1Ñ −  [ " Luego; [ " es subespacio vectorial de Z Þ

(5.2)  

       

Ê Ê

 − [ $ ,

POR VERIFICAR QUE [$ es subespacio   vectorial de `#B# БÑÞ

DEM. Se debe verificar que:

 aE à F − [$ à a ! − ‘ Ê ÐE  !FÑ − [ $  .

HIPÓTESIS: E − [$ Ê E# œ E !−‘

F − [$ Ê F # œ F  

VERIFICACIÓN: ÐE  ! F Ñ#

œ E#  #!E EF F  !# F # œ E  #!E EF F  !# F   Á E  !F  

   

  [$  . Por lo tanto, ÐE  !F Ñ Â Luego; [$ NO es subespacio vectorial de `#B# БÑÞ

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   VIERNES 27 DE ABRIL DE 2007: 11:30-12:10   CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_________________ NOMBRE______ ______________________ ________________SECCIÓN__ _____SECCIÓN______  ____    (5.1) (5.2) (5.3) TOTAL

 

PUNTAJE

EL DESAR DESARROLL ROLLO O DE SUS RESPUESTA RESPUESTAS S PARA (5.2) Y (5.3) HÁGALO EN LAS PÁGINAS EN BLANCO DETRÁS DEL ENUNCIADO DE ESTE CONTROL; CON

   

 PREGUNTA LÁPIZ5:PASTA. (5.1) Coloque en el   de la COLUMNA 2; el número que le corresponde de la COLUMNA 1   COLUMNA 1 COLUMNA 2

1 2 3 4 5 6

Ð+34 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ À  +34 œ  

Ú ÛÜ

"

=3 3 œ 4  

matriz antisimétrica !

=3 3 Á 4  

Ð+34 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ À +34 œ   ! a 3  4  

E" F " G "

E8 œ ! ß para algún 8 −  

Ð. /> EÑÐE" Ñ

ÐEF GÑ"

  "# ÐE  E> Ñ

Si E es invertible; entonces +.4E

triangular superior  triangular inferior  matrizidenti matriz identidad dad matriz nilpotente

SE DESCUENTA UN PUNTO POR

 GFE >

>

>

CADA INCORRECTA EN COLUMNA 2

matriz idempotente

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PÁG. 178

(5.2) a) Encuen Encuentre tre el polin polinomi omio o  :ÐBÑ defini definido do por "B " %  

 :ÐBÑ œ ./> ./ >

b)

Factorice completamente el polinomio obtenido en a).

ÕÔ

$ #

#B "

" .Þ "B

Ø×

 

(5.3) Dado el siguiente siguiente sistema:   5B  C  D œ "   B  5C  D œ "   B  C  5D œ " a) Deterrmine 5 −   ‘ para que el sistema   en B ß C ß D À     i ) tenga solución única en ‘$ .   ii ) no tenga solución solución en ‘$ Þ   iii ) tenga infinitas soluciones en ‘$ . b) Usando la REGLA DE CRAMER (NO SE PERMITE OTRO PROCEDIMIENTO) ; Encuentre el valor de la variable " C  " cuando el parámetro 5 œ  " Þ

PONDERACIONES:  

   

(5.1) = 05 (5.2) = 05 (5.3) = 05 PUNTOS. TIEMPO: 40 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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PÁG. 179

PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)

PREGUNTA 5: (5. (5.1) COL correcta en   1) (un punto Ccada OLUMrespuesta NA 1 COCOLUMN LUMUMNA NA 2A 2)

1

Ð+34 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ À  +34 œ  

2 3 4 5 6

Ú ÛÜ

" !

=3 3 œ 4  

E8 œ ! ß  para algún 8 −  

 E F G  6 Ð./> EÑÐE Ñ 2 triangular superior  "

"

"

"

ÐEF GÑ"

 

matriz antisimétrica

=3 3 Á 4  

Ð+34 Ñ − `8 B 8 Ð‘Ñ À +34 œ   ! a 3  4  

" # ÐE

5

>

E Ñ Si E es invertible; entonces +.4E

 

SE DESCUENTA UN PUNTO POR CADA INCORRECTA EN COLUMNA 2

triangular inferior  matrizidentid matriz identidad ad

1 3 matriz nilpotente  GFE >

>

>

matriz idempotente

(5.2) a) SOLUCIÓN: (por columna 2) "B " ./> $ #B # "

ÕÔ

”

% " "B

•

Ø×

”

• ”

$ " "B % "B  Ð#  BÑ. />  . /> # "B # "B $ œ Ð  "  $BÑ  Ð#  BÑÐB#  *Ñ  ÐB  "$Ñ œ  "  $B  #B#  ")  B$  *B * B  B  "$

œ . />

  b)  

 :ÐBÑ œ  B$  #B#  &B  '

SOLUCIÓN: Notar que B œ " es una raíz o cero de :ÐBÑ Þ

$

% "

•

 

 

Luego es divisible por B

" . En efecto:  B$  # #B B#  &B &B  ' À B  " œ  B#  B  '  B$  B#

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__________________

         

__________________ 'B'

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B#  &B &B  ' # B B

'B'

__________________ !

Por lo tanto:

#

 :ÐBÑ œ ÐB  "ÑÐ  B#  B  'Ñ œ  ÐB  "ÑÐB  $ÑÐB  #Ñ 

(5.3) a) SOLUCIÓN:  

Formar la matriz aumentada:

J"# à J# 

 

5 J"‡ Ð5

" "5 J#

à

Á !Ñ à J $ 

" "5 J$

J" ‡

Î Ï

Ð5 Ð5 Á "Ñ à J# $  

" " 5 " " " " 5 " " 5 " " !   "  5# "  5 "  5 ! "5 5 " ! " 5 " " ! " " ! ! "5 " " " ! "5 "

ÎÏ

Î Ï

J"  Ð  5 ÑJ# à J$  Ð"  5 ÑJ# Ð5 Á  "Ñ

i ) 5 Á  # à "   dada por

˜

( #" 5 ß

" #5

ß

5 " "

Î Ï™

ÒÑ

! " ! !

Ñ Ò Ñ Ò Ñ " Ò

# "5

 

" #5 Ñ

ii )   5 œ  # , ya que V +819ÐEÑ Á V+81 V+819Ð 9ÐE E à FÑ  iii )  5Þ œ "  dad  dadaa por b) SOLUCIÓN: ./>

Cœ

Î Ï

" " " " " " " " "

˜

! "

™

(B ß C ß DDÑÑÎB œ "  C  D à Cß D −   ‘

Ñ Ò

Î Ï

. />

œ

" " " ! # # ! # !

Ñ Òœ

%

œ"

"   "

#

 

ÏÎ

. />

" " " " " " " " "

ÒÑ

ÏÎ

. />

" " " ! ! # ! # !

%

ÒÑ

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   MARTES 08 DE MAYO DE 2007: 12:45-14:05   CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBR NO MBRE__ E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__11__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (1.1) (1.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 1: (1.1) Considere Considere el conjunto ‘  (reales positivos) y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido a! − ‘ ß a B  à C − ‘ por   B Š C œ BC  à !  B  œ B!    Determine si:   a) La operación Š   está bien definida.   b) Se cumple la distributividad del escalar.

˜

(1.2) Demostrar que

™

[ œ ÐB ß C Cßß D DÑÑ − ‘$ ÎB  C œ C  D œ ! es un sube subesp spac acio io vect vector oria iall de de  ‘$ ; con con las las ope opera raci cion ones es usua usuale les. s.  

PONDERACIONES:  

   

(1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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  PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)   SECCIÓN__11__  SE PREGUNTA 1: (1.1) a) SOLUCIÓN: 1º) Se debe verificar que  a Bà C − ‘  : B Š C − ‘  1 2º) Como B Š C œ B  C − ‘  , ya que Bà C − ‘  1 3º) Luego, la operación Š   satisface la propiedad de clausura o es cerrada en ‘   .Es decir, está bien definida. 1 b) SOLUCIÓN: 1º) Se debe verificar que  a! − ‘ , a Bà C − ‘  :   !  ÐB Š C Ñ œ Ð!  BÑ Š Ð!  CÑ 1 2º) !  ÐB Š CÑ œ !  ÐB CÑ œ ÐB CÑ! œ ÐB! ÑÐC! Ñ   œ Ð!  BÑÐ!  CÑ œ Ð!  BÑ Š Ð!  C Ñ  2 3º) Luego, se cumple la distributividad del escalar. 1 (1.2) SOLUCIÓN: 1º) [ Á 9 , ya que Ð!ß !ß !Ñ − [ Þ 1 2º) Por demostrar que:  a ÐB" ß C" ß D" Ñ , ÐB# ß C# ß D# Ñ − [ à a! − ‘   a) ÐB" ß C "ß D" Ñ  ÐB# ß C #ß D# Ñ − [     b) ! ÐB" ß C"ß D"Ñ − [   2 DEMOSTRACIÓN:   HIPÓTESIS:   ÐB" ß C " ß D" Ñ − [ Ê B"  C" œ C"  D" œ ! ÐB# ß C# ß D# Ñ − [ Ê B#  C# œ C#  D# œ !   !−‘   1   TESIS: a) ÐB" ß C" ß D" Ñ  ÐB# ß C# ß D# Ñ œ ÐB"  B# ß C "  C# ß D"  D# Ñ − [   si y solo si  ÐB"  B# )  ÐC"  C# Ñ œ ÐC"  C# Ñ  ÐD"  D# Ñ œ !. En efecto:   ÐB"  B# )  ÐC"  C# Ñ œ ÐB"  C" Ñ  ÐB#  C# Ñ œ !  ! œ !   ÐC"  C# Ñ  ÐD"  D# Ñ œ ÐC"  D" Ñ  ÐC#  D# Ñ œ !  ! œ ! Por lo tanto;  ÐB" ß C "ß D" Ñ  ÐB# ß C #ß D# Ñ − [   2 b) ! ÐB" ß C" ß D" Ñ œ Ð!B" ß !C" ß !D" Ñ − [   si y solo si !B"  !C" œ !C"  !D" œ ! En efecto: !B"  !C" œ !ÐB"  C " Ñ œ !Ð!Ñ œ !

! " D " Ñ œ !Ð!Ñ œ !  Por lo tanto;!C" !! ÐDB""œ ß C"ßÐDC"Ñ  − [    vectorial de ‘$  . 3º) Luego, [  es subespacio

2

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   MARTES 08 DE MAYO DE 2007: 11:15 - 12:35   CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBR NO MBRE__ E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__12__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (1.1) (1.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 1: (1.1) Considere Considere el conjunto ‘  (reales positivos) y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido a! − ‘ ß a B  à C − ‘ por   B Š C œ BC  à !  B  œ B!    Determine si:   a) La operación    está bien definida. b) Existe elemento neutro para la operación Š .

˜

(1.2) Demostrar que

™

[ œ ÐB ß C Cßß D Ñ − ‘$ Î$B  C œ ! ß #B #B  C œ D   es un sube subesp spac acio io vect vector oria iall de de  ‘$ ; con con las las ope opera raci cion ones es usua usuale les. s.  

PONDERACIONES:  

   

(1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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  PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)   SECCIÓN__12__  SE PREGUNTA 1: (1.1) a) SOLUCIÓN: 1º) Se debe verificar que  a! − ‘ ,a B − ‘  : !  B − ‘  1 2º) Como !  B œ B! − ‘  , ya que B − ‘  ß ! − ‘ 1 3º) Luego, la operación   está bien definida. 1 b) SOLUCIÓN: 1º) Se debe verificar que  aB − ‘ , b / − ‘  : ÐB Š /Ñ œ Ð/ Š BÑ œ B 1 2º) B Š / œ B / œ B Ê / œ " ß ya que  B − ‘ 1   / Š B œ / B œ B Ê / œ " ß ya que B  − ‘ 1 3º)) Por 3º Por lo ta tant nto, o, exis existe te el elem emen ento to neut neutro ro / œ " − ‘   " (1.2) SOLUCIÓN: 1º) [ Á 9 , ya que Ð!ß !ß !Ñ − [ Þ 1 2º) Por demostrar que:  a ÐB" ß C" ß D" Ñ , ÐB# ß C# ß D# Ñ − [ à a! − ‘   a) ÐB" ß C "ß D" Ñ  ÐB# ß C #ß D# Ñ − [     b) ! ÐB" ß C"ß D"Ñ − [   2 DEMOSTRACIÓN: HIPÓTESIS:   ÐB" ß C " ß D "Ñ − [ Ê $B"  C" œ ! ß #B #B"  C" œ D"  ÐB# ß C #ß D# Ñ − [ Ê $B#  C# œ ! ß #B#  C# œ D#    !−‘   1 TESIS: a) ÐB" ß C" ß D" Ñ  ÐB# ß C# ß D# Ñ œ ÐB"  B# ß C "  C# ß D"  D# Ñ − [   si y solo si  $ÐB"  B# )  ÐC"  C# Ñ œ ! ß #ÐB"  B# )  ÐC"  C# Ñ œ D"  D# Þ   En efecto: $ÐB"  B# )  ÐC"  C# Ñ œ Ð$B"  C" Ñ  Ð$B#  C# Ñ œ !  ! œ ! #ÐB"  B# )  ÐC"  C# Ñ œ Ð#B"  C" Ñ  Ð#B#  C# Ñ œ D"  D#  Por lo tanto;  ÐB" ß C "ß D" Ñ  ÐB# ß C #ß D# Ñ − [   2 b) ! ÐB" ß C" ß D" Ñ œ Ð!B" ß !C" ß !D" Ñ − [   si y solo si $ Ð!B" Ñ  !C" œ ! à # Ð!B" Ñ  !C" œ !D"  En efecto: $ Ð!B" Ñ  !C" œ !Ð$B"  C" Ñ œ !Ð!Ñ œ !

" Ñ  !C" œ !Ð#B"  C" Ñ œ !ÐD" Ñ œ !D"   Por lo tanto;# Ð!B!  ÐB" ß C"ß D"Ñ − [     vectorial de ‘$  . 3º) Luego, [  es subespacio

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   JUEVES 10 DE MAYO DE 2007: 11:15 - 12:35   CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBR NO MBRE__ E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__14__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (1.1) (1.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto `# B # БѠ y el cuerpo de los números complejos ‚  ; con la suma habitual de matrices y el producto + -

, .

+ -

, !.

œ   a!−‚. escalar definido por !  Determine si:   a) La operación    está bien definida.   a @ − `# B # Ð‘Ñ b) "  @ œ @

Œ  Œ

˜



™

(1.2) Sea Z œ 0 Î 0 À ‘ Ä ‘ función real de variable real ; Determine si el conjunto  

˜

™

[ œ 0 Î 0 Ð!Ñ œ 0 Ð" Ð"Ñ § Z     es un sube subesp spac acio io vect vector oria iall de de  Z   ; con con las las ope opera raci cion ones es usua usuale les. s.

PONDERACIONES:  

   

(1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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  PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)   SECCIÓN__14__  SE PREGUNTA 1: (1.1) a) SOLUCIÓN: 1º)

Se debe verificar que  a! − ‚ ,a

 

!

2º)

Como ! 

Œ  Œ  Œ + -

, . 

Œ  + -

, . 

−  `# B # Ð‘Ñ :

1

−  `# B # БÑ

+ -

, .

œ

+ -

, !.



 

  `# B # Ð‘Ñ ,

ya que ! . − ‚ en general, puesto que ! − ‚ . 3º) Luego, la operación    no está bien definida. b) SOLUCIÓN:

#

1

, −  `# B # Ð‘Ñ , " − ‚ : .  + , + , " œ 1 - . - .   + , + , œ œ   1 - ". - .   "  @ œ @ à a @ − `# B # БѠ "

1º)

Se debe verificar que  a

2º)

"

3º) (1.2) 1º)  

Por lo tanto, SOLUCIÓN: [ Á 9 , ya que !0  (la función cero) − [ Þ En efecto: !0 À ‘ Ä ‘ definida por !0 ÐBÑ œ ! a B − ‘ .

+ -

ŒŒ  Œ  Œ  Œ  Œ  + -

, .

!0 Ð!Ñ Ð!Ñ œ !0 Ð" Ð"ÑÑ œ !  2º) Por Se tiene, entonces que 1 verificar que:  a 0 , 1 − [ à a! − ‘     a) Ð0  1Ñ − [ b) Ð! 0 Ñ − [   2 HIPÓTESIS:   0 − [ Ê 0 Ð!Ñ œ 0 Ð"Ñ ß 1 − [ Ê 1Ð! 1Ð!Ñ œ 1Ð 1Ð" "Ñ !−‘   1 TESIS: a) Ð0  11ÑÑ − [   si y solo solo si Ð0  1Ñ 1 ÑÐ!Ñ œ Ð0  1Ñ 1 ÑÐ"Ñ Ð0  1Ñ 1ÑÐÐ!Ñ œ 0Ð! 0Ð!ÑÑ  1Ð 1Ð! !Ñ œ 0Ð"Ñ 0Ð"Ñ  1Ð 1Ð" "Ñ œ ÐÐ0 0  1Ñ 1ÑÐÐ"Ñ Por lo tanto;  Ð0  1Ñ − [  2 b) Ð! 0 Ñ − [   si y solo si Ð! 0 ÑÐ!Ñ œ Ð! 0 ÑÐ"Ñ

Ð! 0ÑÐ 0ÑÐ! !Ñ œ ! Ð0Ð!Ñ 0Ð!ÑÑ œ ! Ð0Ð"Ñ 0Ð"ÑÑ œ Ð! 0Ñ 0ÑÐÐ"Ñ Por lo tanto; Ð! 0 Ñ − [   3º) Luego, [ es subespacio vectorial de Z    ..

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   JUEVES 10 DE MAYO DE 2007: 12:45 - 14:05   CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBR NO MBRE__ E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__13__  PROFESOR__ER ERIC ICK K GONZÁ ONZÁL LEZ GAJA GAJAR RDO__   (1.1) (1.2) TOTAL

PUNTAJE

 ˜

™

PREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto Z œ ÐB ß C Ñ − ‘# ÎB  ! ß C  ! y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por     Ñ œ ÐB! ß C ! Ñ ÐBß C CÑÑ Š Ð?ß @Ñ @ Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ  à !  ÐB ß C    a! − ‘ ß a ÐBß CÑ   ,Ð?ß @Ñ − Z  . Determine si:   a) La operación Š   es asociativa. b) Se cumple la distributividad del vector. (1.2) Determine si el conjunto Mœ

˜Œ  B C  D A

−  `# B # БÑÎ C œ B  A à D œ B  A − ‘

™

es un subespacio vectorial de   `# B # Ð‘Ñ ; con las operaciones usuales.

PONDERACIONES:  

   

(1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 09 DE DE 2007: 15:45 - 17:05   CONTROL N° MAYO 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_________________ NOMBRE______ ______________________ ______________SECCIÓN__21 ___SECCIÓN__21__  __  PROFESOR__REN ENÉ É ALZA ALZAMO MOR RA ANTI ANTIQ QUER UERA__   (1.1) (1.2) TOTAL

PUNTAJE

 ˜

™

PREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto Z œ ÐB ß C Ñ − ‘# ÎB  ! ß C  ! y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por     Ñ œ ÐB! ß C ! Ñ ÐBß C CÑÑ Š Ð?ß @Ñ @ Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ  à !  ÐB ß C    a! − ‘ ß a ÐBß CÑ   ,Ð?ß @Ñ − Z  . Determine si:   a) La operación    está bien definida. b) Existe elemento inverso para la operación Š .

˜

(1.2) Determine si el conjunto

™

W œ ÐB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞ ß B8 Ñ − ‘8 ÎB" − ™ § ‘8 es un subespacio vectorial de   ‘8   considera ran ndo el cuerp rpo o de los números reales ‘ ; con las operaciones usuales.  

PONDERACIONES:  

   

(1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 09 DE MAYO DE 2007: 14:15 - 15:35   CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBR NO MBRE__ E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__22__  PROFESOR__REN ENÉ É ALZA ALZAMO MOR RA ANTI ANTIQ QUER UERA__   (1.1) (1.2) TOTAL

PUNTAJE

 ˜

™

PREGUNTA 1: (1.1) Considere el conjunto Z œ ÐB ß C Ñ − ‘# ÎB  ! ß C  ! y el cuerpo de los números reales ‘ con la suma vectorial y producto escalar definido por     Ñ œ ÐB! ß C ! Ñ ÐBß C CÑÑ Š Ð?ß @Ñ @ Ñ œ ÐB ? ß C @Ñ  à !  ÐB ß C    a! − ‘ ß a ÐBß CÑ   ,Ð?ß @Ñ − Z  . Determine si:   a) Se cumple la asociatividad del vector.   b) Existe elemento neutro para la operación Š .

˜

™

(1.2) Sea Z œ 0 Î 0 À ‘ Ä ‘ función real de variable real ; Demostrar que el conjunto  

˜

™

J œ 0 À ‘ Ä ‘ Î 0 ÐB ÐBÑ œ  0 Ð  BÑ BÑ à a B − ‘ es sube subesp spac acio io vecto ectori rial al de  Z   con con llas as oper operac acio ione ness usu usual ales es..

PONDERACIONES:  

   

(1.1) = 07 (1.2) = 08 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

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SEMANA N° 05 : (SEMANA DE PRUEBAS) UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA 13102006 FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA   CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE____________________________ NOMBRE_________________ ______________SECCIÓN____ ___SECCIÓN_______  ___  PROFESOR________________ PROFESOR_____ ______________________ _______________________ _________________  _____  PREGUNTA 1 2 3 4 NOTA

PUNTAJE

1.

(1.1) Dada Dadass las matrices matrices en  `# B $ БÑÞ: E œ Fœ

Calcule:

Œ

# ( " %

$ &



à Gœ

Œ

! '

" !

& #

$ %

Œ 

à  



# " # %

+ Ñ ÐE  F Ñ >   , Ñ ÐF  #G  $E Ñ -Ñ ÐE  FÑ > ÐF  #G  $EÑ

(1.2) Calcule, simplifique y exprese en la forma +  , 3 cada uno de los términos de de la matriz resultante de multiplicar:    " 3 # 3 !  $3   Ð "  3Ñ# #  3 Ð%  3ÑÐ$  #3Ñ

a

2.

Îb Ï

 %3

&3

Ñ Ò

Dado el siguiente sistema en las incógnitas B ß C ß D ß A   À   #B  C  D  A œ "   B  #C  D  %A œ # B  (C  %D  "" A œ 5   (2.1) Escriba la representación matricial del sistema E \ œ F . (2.2) Determinar el valor de la constante 5 −  ‘ ; para que el sistema en B ß C ß D ß A   À

%

a) tenga solución enen‘‘.% . b) NO tenga solución única c) tenga infinitas soluciones en ‘% . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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PÁG. 191

(2.3) a) Escriba el conjunto solución del sistema. b) Escriba dos soluciones particulares del sistema. c) Escriba una 4-upla que no sea soluciòn del sistema. 3. (3.1) Calcule el siguiente determinante y escriba el polinomio resultante en potencias decrecientes de la variable -. #$ ' % ")   # ! (3.2) (3. 2) Sea Z œ 0 Î 0 À ‘ Ä ‘ fun funció ción n real real de varia variable ble real real ; O œ ‘Þ Consideremos el siguiente subconjunto de Z   À [ œ 0 Î 0 ÐBÑ œ 0 Ð" Ð "  BÑ con las operaciones usuales:   a ! − ‘ à a 0 à 1 − Z    

âââ âââ ˜

âââ âââ

˜

™

™

Ð0  1ÑÐBÑ œ 0Ð 0ÐB BÑ  1ÐBÑ à Ð! 0ÑÐ 0Ñ ÐBÑ œ ! 0Ð 0ÐB BÑ a) Verifique si [  tiene elementos. b) Si corresponde, determine si [  es subespacio vectorial de Z    sobre el cuerpo ‘Þ 4.

Expresar la matriz

Œ 

  # " Eœ   como producto de " $

matrices elementales, sabiendo que se hicieron las siguientes operaciones elementales elementales sobre las filas de la matriz E   À 1º) Intercambiar la fila " con la fila #. 2º) Enseg seguida: Sumar a la fila #; (  #) veces la fila ". 3º) A continuaciòn: Multiplicar la fila # ; por (    &" Ñ 4º) Finalmente te:: Su Sumar a la fi filla "; (  $) veces la fila #.

 

NO HAY CONSULTAS !!

PONDERACIONES:

1. = 2. = 3. = 4. = 15 PUNTOS.

NOTAJUSTIFIQUE = (PUNTAJE / 10) +1 TIEMPO: TIEMPCADA O: 2 horas.   DETALLADAMENTE

 

UNA DE SUS RESPUESTAS!!

FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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PÁG. 192

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA  

PAUTA DE CORRECCIÓN CONTROL N° CONTROL N° 1:

PROBLEMA 1:  1: 

RESPUESTA:

(1.1)

(1.2)

Î Ï a

$ # !

" # *

ÑŒ Ò

##  &%3

à

& ""

% '

 #%  '!3

PROBLEMA 2:  2: 

RESPUESTA:

Î Ï

" " " %  % ""

(2.1)

# " "

" # (

(2.2) 1º) 2º)

  Î Ï

%   à # #& &

b

+Ñ  ,Ñ -Ñ  

' # #! ! &%

$(  %# %# ##&

Ñ Ò

ÑÎÐÐ ÑÓ ÎÑ Ó ÒÏ Ò Ï Ò B C  D  A

Î Ï

œ

" # 5

# " " " " # " % Formar la matriz " (  % "" y llevarla a la matriz escalonada reducida

cuatro columnas  

% $#  ** **

ÐÎ Ï

Ñ Ò

" # 5 por filas en sus primeras

Ñ Ó Ò ¸

" ' % " ! & & & $ ( $ ! " & & & ! ! ! ! 5& Si 5 Á & ; ya que −  ‘ para que B C œ! " "  " "  "  #  " "   D > " " " ! ! !

a)

Dada la matriz

SOLUCIÓN: 1º)

B C D >

œ!

" "

" "

"

" "

" !

" " ! !

 # 

 

determina el sistema de ecuaciones: !"# œB !  "  #  œ C   !  "   œD   ! œ>

Ê ! œ > à " œ D  > à # œ C   D  

sin considerar la primera ecuación 2°) Por lo tanto, lo anterior debe verificar la primera ecuación para que el sistema tenga solución.   Luego, la condición es !  "  #  œ B ; es decir:   >D>CD œB Ê BC# #D D# #>> œ ! b)

 ˜Œ

Determine si el conjunto F œ

genera a `#B# БÑ.  SOLUCIÓN: 1°)

 

Por lo anteri anterior orà NO TODA MAT MATRIZ RIZ

" " " "

Œ ,

" "

" !

 Œ ™ ,

" " ! !

Œ 

B C    − `#B# Р ‘Ñ se puede D >

expresar como combinación lineal de sino que solamente aquellas que F à verifican la condición B  C  #D  #> œ !.

Œ 



# #   − `#B# Р ‘Ñ " $ expresar como combinación lineal de Fß en efecto: # # " " " " œ Ð  $Ñ  Ð  #Ñ  Ð $Ñ " $ " " " ! " "   Sin embargo, la matriz   − `#B#Р ‘Ñ   NO " " EXPRESAR como combinación lineal de F  ; ya que no condición B  C  #D  #> œ !.

2°)

Œ

Así por ejemplo, la matriz



Œ

Œ Œ 

se

puede

 Œ  " " ! !

SE PUEDE satisface la

3°) Por lo tanto, existen matrices en `#B# БѠ que no se pueden expresar como combinación lineal de F Þ Esto significa que: F  NO GENERA     a `#B# Ð‘Ñ . FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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PÁG. 198

(3.5) DEFINICIÓN:   Sea Z un espacio vectorial sobre el cuerpo O  y sean   @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z   (vectores).     Llamaremos ESPACIO GENERADO POR LOS 8 VECTORES @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8  ; lo que denotaremos por 1/8 @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 al conjunto de todas las combinaciones lineales de los 8 vectores @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8  ; es decir:

˜

 

1/8 @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8

˜

™ ˜

™ ! ™ 8

œ @ −ZÎ Î@ @œ

3œ"

donde !3   − O  son escalares arbitrarios.

!3 @3

(3.6) EJEMPLOS: (3.6.1) En el EJEMPLO (3.4.1) el conjunto generado por 

˜” • ” • ” • ” ˜” • ” • ”  ˜Œ  Œ  Œ ˜Œ  Œ ˜Œ  Œ  Œ ˜Œ  " " " " " ß à " " " ! !

 

Eœ

 

1/8 E œ 1/8

" " à ! !

•™ • ” •™ ™  Œ ™ ! !

es

" " ß " " à " " à " " " " ! ! ! !

! !

 œ `#B# Р ‘Ñ Þ

(3.6.2) En el EJEMPLO (3.4.2) b); el conjunto generado por   

     

" " " " " "  es , , " " " ! ! !   " " " " " " 1/8F œ 1/8 , , " " " ! ! ! B C    ! ß " ß #  − ‘  tal que 1/8 F œ −  `#B# Р ‘ÑÎb D > B C " " " " " " œ! "  #  D > " " " ! ! ! B C  1/8 F œ −  `#B# БÑÎB  C  #D  #> œ ! § `#B# Ð‘Ñ D >

Fœ

 Œ ˜

 Œ ™ ™ ™ ™

(3.6.3) Encuentre el conjunto generado por G œ Ð" ß  "ß "Ñ § ‘$ Þ SOLUCIÓN: 1°) 1/8G œ 1/8 Ð"ß  "ß "Ñ   œ ÐB ÐB ß C ß D Ñ − ‘$ Îb ! − ‘ tal que ÐB ß C ß D Ñ œ ! Ð" ß  " "ßß "Ñ $ es decir; buscando la condición que debe cumplir ÐB ß C ß DÑ −  ‘ para que pertenezca al 1/8G œ 1/8 Ð"ß  "ß "Ñ se tiene que:   Bœ! Ê B œ D • C œ D  

˜ ˜

C œ !

™ ˜

™

Dœ!

2°)

Luego:

˜

™

1/8 G œ ÐB ß C ß D Ñ − ‘$ Î B œ D à C œ  D   § ‘$ .

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˜

 

PÁG. 199

™

(3.6.4) Encuentre el conjunto generado por H œ " ß "  B ß "  B  B # SOLUCIÓN: 1°) 1/8 H œ 1/8 " ß "  B ß "  B  B# § c # Ð‘Ñ Þ   œ +   , B  - B# − c # БѠ Îb !ß " ß #   − ‘ tal que +  , B  - B# œ ! Ð"Ñ  " ÐÐ" "B BÑÑ  #  ÐÐ" "  B  B# Ñ   es decir; buscando la condición que debe cumplir +  , B  - B# − c # Ð‘Ñ para que pertenezca al 1/8 H œ 1/8 "  ß "  B ß "  B  B # se tiene que:   !  "  #  œ +

˜

™

˜

™ ™

˜

 "  #  œ ,  #  œ - 

 

Ê

Î Ï ÎÏ

" " !

" " !

" ! ! " ! !

 

Ê

2°)

Luego:

! " "

" + " , " " # " #

Ñ Ò ÑÒ

+  #" , +  "# , -

Ê

Î Ï ÎÏ

Ê

" ! !

" # ! " ! !

! ! " ! ! "

" # "

+ +, -   " #

Ñ Ò ÑÒ

+  #" , " " # + # ,-   -  

+  ,B  - B# œ Ð "# +  "# ,Ñ Ð"Ñ  Ð "# +  "# ,  - Ñ Ð"  BÑ  Ð  - Ñ Ð"  B  B# Ñ

lo cual significa que TODO +  , B  - B# − c # БѠ se puede expresar  como combinación lineal de H . #

3°)

Por lo tanto; 1/8 H

˜

œ 1/ 8 " ß "  B ß "  B  B

™

œ  c # Ð‘Ñ .

(3.7) OBSERVACIÓN:   Si @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z son 8 vectores que generan a Z ß entonces @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 , @8" − Z también generan a Z .    

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TEMA 4:

PÁG. 200

INDEPENDENCIA LINEAL:

OBJETIVO OPERACIONAL: OPERACIONAL: Determinar si un conjunto de vvectores ectores es linealmente independiente. OBJETIVO OPERACIONAL: OPERACIONAL: Construir a partir de un conjunto de vectores linealmente dependiente, un conjunto que sea linealmente independiente. (4.1) DEFINICIÓN:   Sea Z un espacio vectorial sobre el cuerpo O Б à ‚ Ñ y   @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z   .    Diremos que los vectores @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z     son LINEALMENTE INDEPENDIEN INDEP ENDIENTES TES ssii y solo si se verif verifica ica la la siguiente siguiente propie propiedad dad : 8

!

3

3œ"!

@3 œ ! Ê

!3 œ !

;

a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8

(4.2) EJEMPLOS: (4.2.1)Considere el siguiente subconjunto de c # БÑ.

˜

   

E œ " ß "  B ß "  B  B#

™

Determine si el conjunto E  es linealmente independiente.

SOLUCIÓN: 1º)

Es lineal linealmente mente indepen independiente diente si se veri verifica fica la propi propiedad edad ! Ð"Ñ  " Ð"  B BÑÑ  #  Ð"  B  B # Ñ œ ! 

Ê   ! œ ! ß  " œ !ß #  œ !

2º)  

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !" # œ!  "  #  œ !

Ê ! œ ! ß " œ !ß # œ  ! 

 #  œ !

3º)

Por lo tanto, E  es linealmente independiente.

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PÁG. 201

(4.2.2) Considere el siguiente subconjunto de `#B# Ð‘Ñ  

" "

Fœ

! !

" "

ß

Œ  Œ

! !

ß

" !

Œ

! "

ß

! "

" !

 Œ Ÿ

  Determine si el conjunto F   es linealmente independiente. SOLUCIÓN: 1º)

Es lineal linealmente mente indepen independiente diente si se veri verifica fica la propi propiedad edad

Œ  Œ

!

2º)

" ! " !

 Œ  Œ  œ

! !

! !

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:

!"# !"

3º)

" "

 Œ

! " ! ! " # ! ! " " ! Ê   ! œ ! ß   " œ !ß # œ ! ß - œ !

"

œ!

Ê

!œ" œ#œ-œ!

œ!!  --œ  #  œ!

Por lo tanto, F   es linealmente independiente.

(4.2.3) Considere el siguiente subconjunto de ‘$

˜

™

 

G œ Ð"ß  "ß "Ñß Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ

 

Determine si el conjunto G   es linealmente independiente.

SOLUCIÓN: 1º) Es lineal linealmente mente indepen independiente diente si se veri verifica fica la propi propiedad edad !Ð"ß  "ß "Ñ  " Ð"ß  "ß !Ñ  # Ð"ß !ß !Ñ  -Ð"ß !ß "Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ  Ê   ! œ ! ß   " œ !ß # œ ! ß - œ !

2º)

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:

!" # - œ!   œ!  !  "  ! - œ !

Ê - œ  ! à " œ  ! à # œ ! à ! −  ‘

 

3º)    

Por lo tanto, !NO SE œ! ß OBTUVO " œ !ß #LA œ ÚNICA ! ß - œSOLUCIÓN !. Luego; G   NO es linealmente independiente.

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PÁG. 202

(4.3) OBSERVACIÓN: a) La propiedad anterior significa que:   Si se forma la combinación lineal de los 8 vectores   @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z     y se iguala a cero, es decir   

!" @"  !# @#  Þ Þ Þ  !3 @3  Þ Þ Þ  !8 @8 œ !

   

Entonces LA ÚNICA SOLUCIÓN PARA LOS ESCALARES ESCALARES !" ß !# ß Þ Þ Þ ß !8 está dada por 

 

.

!" œ !# œ Þ Þ Þ œ !8 œ !.

b)

De no verificarse la propiedad anterior; diremos que los vectores @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z     son LINEALMENTE DEPENDIENTES; lo cual significa que a lo menos uno de los escalares   !3   Á !; par paraa alg algún ún 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8 .   Por lo cual; a lo menos uno de los vectores puede expresar como combinación lineal del resto.

se

@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8

˜

c) También se dice que el conjunto de vectores @" ß @# ß ÞÞÞß @8 LINEALMENTE INDEPENDIENTE o LINEALMENTE DEPENDIENTE

™

es

(4.3.1) EJEMPLO:   En el EJEMPLO (4.2.3) se determinó que el conjunto   G œ Ð"ß  "ß "Ñß Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ no es linealmente independiente, es decir es LINEALMENTE DEPENDIENTE.

˜

  

™

Por note !Ð"ßlotanto, " Ð"que: "ß "Ñ  ß  "ß !Ñ  # Ð"ß !ß !Ñ  -Ð"ß !ß "Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ

y como son linealmente dependientes; entonces, por ejemplo:   !Ð"ß  "ß "Ñ œ  " Ð"ß  "ß !Ñ  #Ð"ß !ß !Ñ  -Ð"ß !ß "Ñ à   con " œ - œ  ! •  # œ! "  es decir: Ð"ß  "ß "Ñ " Ñ œ  ! Ð"ß  "ß !Ñ ! Ñ  !#  Ð"ß !ß ! ß !Ñ !Ñ  ! Ð"ß !ß ! ß "Ñ "Ñ    

Ð"ß  "ß "Ñ

œ Ð"ÑÐ"ß  "ß !Ñ  Ð  "ÑÐ"ß !ß !Ñ  Ð"ÑÐ"ß !ß "Ñ

Esto significa que el vector Ð"ß  "ß "Ñ se pudo expresar como

combinación lineal de los vectores

˜

˜

™

Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß!ß !Ñß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ , o sea:

1/8 Ð"ß  "ß"Ñ "ß"Ñßß Ð"ß  "ß!Ñ "ß!Ñßß Ð"ß !ß !Ñß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ

 

˜

es el mismo conjunto que el

™ ™

1/8 Ð"ß  "ß!Ñ "ß!Ñßß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß!ß "Ñ .

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PÁG. 203

(4.3.2) EJEMPLO:   Considere el siguiente subconjunto de ‘$  

E œ Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ

˜

™

  Determine si el conjunto E  es linealmente independiente. SOLUCIÓN: 1º)

Es lineal linealmente mente indepen independiente diente si se veri verifica fica la propi propiedad edad !Ð"ß  "ß !Ñ  " Ð"ß !ß !Ñ  # Ð"ß !ß "Ñ œ Ð!ß !ß !Ñ  Ê   ! œ ! ß  " œ !ß #  œ !

2º)

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:

!" # œ !  œ! ! #  œ !

3º)  

Ê

! œ " œ # œ  !

˜

Por lo tanto, el conjunto E œ Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ es linealmente independiente.

™

d) El ejemplo anterior, nos da un criterio para hacer que un conjunto linealmente DEPENDIENTE, se haga LINEALMENTE INDEPENDIENTE.   En efecto, el conjunto  

˜

G œ Ð"ß  "ß "Ñß Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ

es linealmente dependiente; pero sacando el vector conj co njun unto to rresu esult ltant antee

˜

E œ Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ

   

™

se hizo LINEALMENTE INDEPENDIENTE. Además que

(4.4) OBSERVACIÓN:

1/8G œ 1/8E

™

Ð"ß  "ß "Ñ ; el

‘# , son linealmente dependientes si a) Geométricamente vectores en están uno es múltiplo deldos otro, es decir en la misma dirección o en dirección opuesta. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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  PÁG. 204 b) Geométricamente tres vectores en ‘ , son linealmente dependientes si y solo si estos son coplanares.  

$

c) ‘8 tiene a lo más 8 vectores linealmente independientes.

˜

™

d) Si E − `7 B 8 БÑ. Entonces el conjunto de las columnas de la matriz E dado por E" ß E# , . . . , E8 es linealmente independiente si y solo si el sistema E B œ ! tiene solamente la solución trivial B œ ! Þ e) Si E − `8 B 8 Ð‘Ñ Þ Entonces . /> E Á ! si y solo si las columnas (o filas) de la matriz E son linealmente independientes. f) Cualquier conjunto de 8 vectores linealmente  independientes en ‘8 ; genera a ‘8 o es generador de ‘8 .

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TEMA 5:

PÁG. 205

BASE Y DIMENSIÓN:

OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Construir una FEWI  de un espacio vectorial. OBJETIVO OPERACIONAL: OPERACIONAL: Describir dos o más bases de un espacio vectorial. OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Construir una FEWI  a partir de un conjunto de vectores que no sea una base para el espacio vectorial,  ya sea quit quitando ando o agregando vectores. OBJETIVO OPERACIONAL: OPERACIONAL: Determinar la dimensión de un espacio vvectorial, ectorial, contando los elem elementos entos en una base. (5.1) DEFINICIÓN:   Sea Z un espacio vectorial sobre el cuerpo O Б à ‚ Ñ y   @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z   (vectores).     Diremos que el conjunto de vectores F œ @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 BASE del espacio vectorial Z   si y solo si se verifica que:

˜

 y

™

es una

@" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 es linealmente independiente. 1/8 @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 œ Z    

˜ ˜

3Ñ 33Ñ

™ ™

(5.2) EJEMPLOS:

˜

™

(5.2.1) En el EJEMPLO (3.6.4) se determinó que el conjunto   " ß "  B ß "  B  B# tiene la propiedad que: 1/8 " ß "  B ß "  B  B# œ  c # Б Ñ .

˜

™

Además, en el EJEMPLO (4.2.1) se determinó que este mismo conjunto tiene la "propiedad ß "  B ß que: "  B  B#

˜

Por lo tanto;

˜

™

" ß  "  B ß "  B  B#

(5.2.2) Determine si el conjunto  

es linealmente independiente.

Eœ

” • ” " ! ß " !

es una base de `#B# БѠ. SOLUCIÓN:

™

es una BASE DE c # Ð‘Ñ .

•”

" ! " ß " ! !

• ” •Ÿ

! ! ß " "

" !

1°)

Verifiquemos si

 

1/ 8

” • ” " "

! ß !

•”

" "

• ” •Ÿ

! " ß ! !

! ! ß " "

" !

 œ `#B# Р ‘Ñ

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es decir si es posible que TODA MATRIZ

como combinación lineal de  

a)

" "

b)

, .

œ!

! ! ß

" "

,   − `#B# Р ‘Ñ se exprese .  ! " ! ß !

! ! " ß "

•”

" !

• ” •Ÿ

" ! " !

"

" ! " !

• ” #

" !

! "

• ” • -

! "

"   !

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:

!" # !"

 # 

œ+  -œ,

Ê

# œ . ß - œ ,

 -œ-   œ . 

Reemplazando, se obtiene el sistema:

 

!  "  œ +  .   !  "  œ  ,  -  

 

Ê 

 

c)

” • + -

, .

   

+ -

PÁG. 206

! œ "# Ð+  ,  -  . Ñ

"  œ "# Ð  +  ,  -  . Ñ

à

Por lo tanto, si es posible expresarlo como: œ

" # Ð+

 ,  -  .Ñ

 Ð  .Ñ

d)

.

Será posible cuando existan escalares ! ß " ß # ß - −  ‘ tal que

+ -

 

” •

” • ”

” • ” • ”  

 

”

" !

” • • ” • ” •

”

" ! "  "# Ð  +  ,  -  . Ñ " ! "

! ! , " "

Luego, toda matriz

+ -

"

! !

•

" !

,   − `#B# Р ‘Ñ se puede expresar  . 

!

"

!

"

!

!

"

” •”

como combinación lineal de  

e)

Es decir

"

!

ß

"

!

•” ß

!

"

•” • ß

"

!



Ÿ

1/8 1/ 8 E œ  ` #B#БѠ.

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2°)

PÁG. 207

Verifiquemos si " ! ß " !

" "

! " ß ! !

” • ” • ” ” • ”

! ! ß " "

" !

 es linealmente independiente.

• ” •Ÿ • ” • ” •Ÿ

 

En el EJEMPLO (4.2.2) se determinó que

 

Eœ

 

es linealmente independiente.

3°)

Por lo tanto;

" ! ß " !

” •” " ! ß " !

 

" "

! " ß ! !

•”

! ! " ß " " !

•” •

" ! " ß " ! !

! ! ß " "



" !

es una base de `#B# Р ‘Ñ.

Ÿ

(5.2.3) Considerando el siguiente subespacio vectorial de ‘$ .

˜

 

[ œ ÐB ß C Cßß D DÑÑ − ‘$ ÎB  C œ C  D œ !

  Determine una base de [ . SOLUCIÓN:

˜

™

™

1º)

De [ œ ÐB ß C tienee qu quee Cßß DÑ D Ñ − ‘$ ÎB  C œ C  D œ !   se tien B œ D à C œ  D con D −  ‘ variable independiente.

2º)

Luego

 

[ œ ÐD ß  D ß DÑ D Ñ ÎD − ‘ œ D Ð" ß  "ß "Ñ " Ñ ÎD − ‘ [ œ 1/8 Ð"ß  "ß "Ñ  

3º)  

Por ser único vector distinto de cero, entonces el conjunto Ð"ß  "ß "Ñ es además linealmente independiente.

4°)

Por lo tanto

˜˜

˜

™ ˜ ™

™ ˜

Ð" ß  "ß "Ñ

™

es una base de [ .  

™

(5.3) OBSERVACIÓN: a) La base de un espacio vectorial NO ES ÚNICA; es decir un espacio vectorial tiene más de una base. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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˜

™

PÁG. 208

(5.3.1) EJEMPLO: En ‘$  ; Ð"ß!ß!ÑßÐ!ß"ß!ÑßÐ!ß!ß"Ñ es la base CANÓNICA y  

Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß!ß !Ñß Ð"ß !ß"Ñ  es otra base de ‘$ .

˜ ” • ” • ” •™ ” •Ÿ ” • ” • ” • ” •Ÿ ” • ” • ” • ” •Ÿ En `#B# Ð‘Ñ ; " ! ß " !

y

" "

" "

" !

! ! ß ! !

! " ß ! !

" " " " ß à " " ! !

" ! ! ! ß ß ! " ! !

! ! ß " "

" " à ! !

! !

" !

! "

es la base ba se CANÓNICA

es otra base de `#B# Р ‘Ñ ;

 es otra base de `#B# Р ‘) .

#

En

c # БÑ

 

;

˜

"ß Bß B

™

es la base CANÓNICA y

" ß "  B ß "  B  B#

™

es otra base de c # Ð‘Ñ .

b) Las distintas bases de un espacio vectorial TIENEN EL MISMO NÚMERO DE ELEMENTOS o EL MISMO NÚMERO DE VECTORES. (5.4) DEFINICIÓN:   Sea Z un espacio vectorial sobre el cuerpo O Б à ‚ Ñ   Si F œ @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 es una BASE de Z .   

˜

™

  Se llama DIMENSIÓN DE Z ; lo que denotaremos por . 37 ÐZ Ñà al NÚMERO DE ELEMENTOS o al NÚMERO DE VECTORES EN LAS BASES DE Z , y se dice que Z es un espacio vectorial de dimensión finita 8 Þ (5.5) EJEMPLO:   (5.5.1)

Por el EJEMPLO (5.3.1): En ‘$  ;

. 37 ‘$ œ $

(5.5.2)

En `

(5.5.3)

;

‘

#B# Ð

`

‘

#B# Ð Ñ œ % . 37 . 37 c # Ð‘Ñ œ $

Ñ

En c # Ð‘Ñ ;

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PÁG. 209

(5.6) OBSERVACIÓN: a) Si la base no es finita, se dice que el espacio vectorial es de dimensión infinita.

˜™

b)

El espacio vectorial

c)

Si un espacio vectorial tiene un subespacio de dimensión infinita, Entonces el espacio vectorial es de dimensión infinita.

!@

tiene dimensión cero.

d) Si un espacio vectorial tiene dimensión finita 8 ,   Entonces cualquier subespacio vectorial de este tiene dimensión menor que 8. (5.7) TEOREMA:   Si Zfinita es un espacio vectorial sobre el cuerpo dimensión 8Þ   Entonces:

˜

O Б à ‚Ñ

de

™

(5.7.1) Cualquier conjunto de 8 vectores linealmente independiente de Z   , dado por @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 es una BASE de Z .   

˜

™

(5.7.2) Cualquier conjunto de 8 vectores generador de Z   , dado por  @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8   es una BASE de Z .    (5.8) OBSERVACIÓN:   El uso DEL práctico de este teorema es Z  que SI SE CONOCE DIMENSIÓN ESPACIO VECTORIAL , para probar que LA un determinado subconjunto F de Z   es base de este último; BASTA CON PROBAR UNA Y SOLO UNA DE LAS PROPIEDADES, es decir:   1/8 F œ Z ó bien F es   linealmente independiente . (5.9) EJEMPLOS:

˜

™

(5.9.1) Determine si   F œ " ß  "  B ß "  B  B# § c # Ð‘Ñ es una base de c # Ð‘Ñ .

SOLUCIÓN: 1°) Como se sabe que .37 c # Ð‘Ñ œ $ ; y el conjunto vectores, basta SÓLO con probar por ejemplo que   1/8 " ß "  B ß "  B  B# œ  c # Б Ñ

˜

™

F tiene

$

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2°)

Lo anterior se probó en el EJEMPLO (3.6.4).

3°)

Por lo tanto;

˜

" ß  "  B ß "  B  B#

™

PÁG. 210

es una BASE DE c # Ð‘Ñ .

(5.9.2) Determine si  

Fœ

” • ” " "

! ß !

•”

" ! " ß " ! !

• ” •Ÿ

! ! ß " "

" !

  § `#B# Р ‘Ñ

es una base de `#B# БѠ. SOLUCIÓN: 1°) Como se sabe que . 37 `#B# Р ‘Ñ œ % ; y el conjunto F tiene % vectores, basta SÓLO con probar por ejemplo que

” • ” " ! ß " !

" "

•”

! " ß ! !

• ” •Ÿ

! ! ß " "

" !

 es linealmente independiente.

2°)

Lo anterior se probó en el EJEMPLO (4.2.2).

3°)

Por lo tanto;

” • ” " ! ß " !

•”

" ! " ß " ! !

• ” •Ÿ

! ! ß " "

" !

 

es una

BASE DE `#B# БѠ. (5.10) PROPIEDAD:   Si [" à [# son subespacios vectoriales de Z Þ   Entonces   . 37 ÐÐ[ ["  [# Ñ œ . 37 ["  . 37 [#  . 37 Ð ["  [# Ñ

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PÁG. 211

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 06: (02 HORA HORAS S EJERCICIO) GUÍA DE ESTUDIO N° 5 

 

1.

Sean [" à [# subespacios vectoriales de Z Þ

˜ ˜

™ ™

(1.1) Demuestre que ["  [# œ A − Z Î A − [" • A − [#    subespacio vectorial de Z Þ

es

(1.2) Determine si ["  [# œ A − Z Î A − [" ” A − [#    subespacio vectorial de Z Þ a) De serlo; demuéstrelo. b) En caso contrario, dé un contraejemplo.

es

2.  

Dada la siguiente proposición: Sean Z un espacio vectorial sobre el cuerpo O ß y

˜

™

˜

™

E œ 1/8 ?" ß ?# ß ?$ ß Þ Þ Þ ß ?7 F œ 1/8 A" ß A# ß A$ ß Þ Þ Þ ß A8   subespacios vectoriales de Z Þ   EœF Í A 4  − E a 4 œ " ß # ß $ ß Þ Þ Þ ß 8 Þ   • ?3 − F a3 œ " ß # ß $ ß Þ Þ Þ ß 7 Þ

Aplicando la proposición anterior; determine si son o no iguales los siguientes conjuntos:

˜ ˜˜

™ ˜

(2.1) 1/8 Ð"ß # ß $ $ÑÑ ß Ð%ß & ß ' 'ÑÑ ß Ð(ß )ß * Ñ à 1/8 Ð"ß  "ß " Ñ ß Ð#ß " ß $ $ÑÑ ß Ð"ß # ß # #ÑÑ

™

(2.2) 1/8 Ð#ß !ß "ß $Ñß Ð"ß  "ß &ß #Ñ à   1/8 Ð&ß "ß  #ß (Ñß Ð"ß "ß %ß  "Ñß Ð$ß  "ß 'ß &Ñ

˜ ˜

™

˜™

3. (3.1) Sea W" œ Ð"ß "ß "Ñ . Encuentre 1/8 W " Þ

™

™

™ ˜™

(3.2) Sea W# œ Ð!ß "ß  " "ÑÑ ß Ð#ß !ß "Ñ ß Ð!ß  " "ßß !Ñ . Encuentre 1/8 W # Þ

˜

(3.3) Demuestre: W œ 1/8 Ð"ß "Ñ ß Ð#ß &Ñ

™

es subespacio   vectorial de ‘# Þ

4.  

˜

™

˜

Sean W œ ÐBß Cß DÑ − ‘$ ÎB œ ! ß X œ 1/8 Ð"ß #ß !Ñß Ð$ß "ß #Ñ Encontrar el conjunto que genera a W  X Þ

™

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˜    ˜˜

™™ ™

 

5.    

 

PÁG. 212

Sean Z œ 0 Î 0 À ‘ Ä ‘

espacio vectorial sobre ‘ ; y [" œ 0 Î 0 Ð  BÑ œ 0 ÐÐB BÑ ; FUNCIONES PARES [# œ 0 Î 0 Ð  BÑ œ  0 ÐÐB BÑ ; FUNCIONES IMPARES

(5.1) Demuestre que [" y [# son subespacios vectoriales de Z Þ (5.2) Demuestre Z œ ["  [ #    ( AYUDA: 0 ÐB ÐBÑ œ "# Ð0 ÐÐB BÑ  0 Ð  BÑÑ  "# Ð0 ÐÐB BÑ  0 Ð  BÑÑ ) (5.3) Demuestre que

6. Sean

["  [# œ !@

  Œ    Ÿ

E" œ

 

E# œ

 

E$ œ

+ -

-    Î + ß ,ß - − ‘ à ,

+ !

! ,   Î + ß , −  ‘ ;

+ -

,   Î +  . œ ,  - à + ß ,ß - ß . − ‘ . 

   ŒŒ    Ÿ  

Ÿ

(6.1) Demostrar que E3 Ð3 œ "ß #ß $Ñ es subespacio vectorial de `#B# con las operaciones usuales. (6.2) Determine un generador de E3 Ð3 œ "ß #ß $Ñ 7.

Sea W  el conjunto solución del sistema:

(7.1) B  %C  D œ !   #B  C  &D œ !  

(7.2)

B"  #B#  $B$  B% œ ! $B"  B#  &B$  B% œ !    B% œ ! #B"  B#

Determine un conjunto finito de vectores que genere a W Þ 8. Determinar si los siguientes conjuntos independientes o linealmente dependientes.

son

linealmente

™ ‘ ™  ‘

 ˜ ˜

(8.1) E œ "ß B  "ß B#  # #B B  "ß B# § c # B Þ

 ‘

(8.2) G œ =/8# ÐBÑß - 9=# ÐBÑß " §  V  +ß , ß funciones contínuas en +ß , .

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˜

 

™

 

PÁG. 213

9. Sea el conjunto E œ Ð"ß !ß ! ß "Ñ " Ñß Ð3 Ð 3ß "ß " ß !Ñ ! Ñß ÐÐ33ß #ß # ß "  3Ñ §   ‚$ Þ (9.1) Expresar de ser posible; los vectores ? œ Ð"ß #ß $Ñ C A œ Ð3ß 3ß 3Ñ como una combinación lineal de los vectores de EÞ   (9.2) Determine si el conjunto E es linealmente independiente en ‚$ Ð‚Ñ Þ

(9.3) Determine si el conjunto E es linealmente independiente   en ‚$ Ð‘Ñ Þ

 ‘

10. Determinar si los siguientes conjuntos de funciones reales en ! ß " definidas por las fórmulas que se indican; son linealmente independientes o linealmente dependientes. (10.1) 0"ÐB Ð BÑ œ ÐB  "Ñ# à 0#ÐÐB BÑ œ B#  " à 0$ÐÐB BÑ œ #B#  #B  $ (10.2) 0" ÐBÑ œ

" B#

à 0# ÐBÑ œ B

11. Dados los siguientes conjuntos, determine todos los posibles subconjuntos linealmente independientes. (11.1) Ð"ß !ß  "Ñß Ð!ß "ß "Ñß Ð"ß "ß "Ñß Ð#ß #ß " § ‘$ Þ

˜ ˜

™ ™  ‘

(11.2) =/8# ÐBÑß -9 -9= =# ÐBÑß -9 -9= =Ð#BÑ §  V  +ß ,

Determinar el valor de - para que los   tres vectores Ð$ß"ß%ß'Ñß Ð"ß "ß %ß %Ñß Ð"ß !ß  %ß -Ñ  sean linealmente dependientes. 12.

13. Probar que llos os siguientes conjuntos son una base en los respectivos espacios vectoriales (13.1) E œ Ð"ß  "ß " "ÑÑß Ð  #ß  #ß # #ÑÑß Ð  $ß  $ß " "ÑÑ § ‘$ Þ

 ˜ Œ  Œ ˜˜

(13.2) F œ

" "

! !

ß

" "

! !

Œ ß

™

" !

! "

 Œ Ÿ ™ ß

! "

" !

 § `#B#  Þ

14. Sean [" œ ÐBß C Cßß  Dß D ß >Ñ >Ñ − ‘% Î C  $ $D D > œ !   %   [# œ ÐBß C Cßß D Dßß >Ñ >Ñ − ‘ Î B  # #C C  D œ ! à B  C  D œ $> (14.1) Determine una base y la dimensión para:

™

a)

b)

["

[#

c)

["  [#

d)

["  [#  

(14.2) A partir de la base de a), b), c) y d), respectivamente; complete agregando o eliminando vectores adecuados a una base de ‘% . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!! FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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15.

Sea Y œ

Œ

   Ÿ

B  (C &C     Î Bß C − ‘  "! " !C B  ( (C C 

(15.1) Demostrar que

PÁG. 214

§  `#B# .

Y  es subespacio  vectorial de

`#B#

con las

operaciones usuales. (15.2) Determine una base y dimensión de Y Þ 16.  

˜˜

™™

Sean [" œ ÐBß Cß C  ß DÑ D Ñ − ‘$ Î#B  $C  D œ !   [# œ ÐBß C Cß ßD DÑÑ − ‘$ ÎB  # #C C D œ !

(16.1) Determine una base y la dimensión para: a) d) [" b) [# c) ["  [#

["  [#  

(16.2) A partir de la base encontrada para ["  [ # , complete agregando   o a)eliminando [" b)vectores [# adecuados c) ["auna [#base   d)para: ‘$

17.

Demuestre que:

˜

(17.1) El conjunto Ð"ß!ß!ÑàÐ!ß"ß!ÑàÐ!ß!ß"Ñ

™

GENERA a ‘$ .  

(17.2) Los vectores 3 à 4  GENERAN   a ‘# .  (17.3) Los vectores " à "  B à "  B  B# GENERAN a c# Ð‘Ñ (17.4) 18.  

" " " " " ß "

" " ! à !

" " ! à !

! !

˜ ” • ” • ” • ” •™ ˜ ™

es generador de `# B # БÑÞ

Demuestre que:

1/8 @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8

es un subespacio vectorial de Z Þ

19. Demuestre que en ‘# con las operaciones usuales de suma vectorial y multiplicación por escalar:

˜ ™

(19.1) Ð!ß!Ñ

es espacio vectorial sobre el cuerpo ‘ .  

(19.2) ‘# es espacio vectorial sobre el cuerpo ‘ . (19.3) Cualquier recta que pase por el origen es espacio vectorial sobre ‘. FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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˜

™

PÁG. 215

20. Determine si el conjunto   M œ E − `# B # БÑÎ E 338 8@/3,6/ es subespacio vectorial de `# B # Ð‘Ñ con las operaciones usuales. 21. (21.1) Demuestre que:  

˜

F œ "ß "  B Bßß "  B  B# ß "  B  B#  B$

™

es base de c $ БÑÞ (21.2) Determine si el conjunto

Fœ

˜”

" "

" " à

•”

# $

es una base de `# B # БÑÞ

" " ! à !

•”

" " à

•”

! "

" !

•™

22. Determine la dimensión de los siguientes espacios vectoriales, indicando a lo menos una base de dicho espacio. (22.1) El espacio vectorial `7 B 8 БÑÞ (22.2) El espacio vectorial c 8 Ð‘Ñ Þ

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1. Sean [" à [# subespacios vectoriales de Z Þ   Demuestre que:   ["  [# œ A − Z Î A œ A"  A# tal que A" − [" • A# − [# es subespacio vectorial de Z Þ

˜

2.

Sean 0 ß 1 funciones continuas en ! ß " definidas por:

0 ÐBÑ œ

Ú ÜÛ

" #

B

=3 ! Ÿ B  =3

" #

" #

B

à 1 ÐBÑ œ ŸBŸ"

˜™

Determine: (2.1) 1/8 0 3.      

 ‘ Ú ÛÜ ˜™

™

˜˜ ˜

(2.2) 1/8 1

™

!

" #

=3 ! Ÿ B  =3

" #

" #

ŸBŸ"

˜ ™

(2.3) 1/8 0 ß 1  

Sea Z œ ‘$ y O œ ‘ Þ Consideremos:

™ ™

[" œ ÐBß Cß C  ß D DÑÑ − ‘$ ÎB  C  D œ ! [# œ ÐBß Cß C  ß DÑ D Ñ − ‘ $ ÎB œ D à   $ [$ œ ÐBß Cß C ß D Ñ − ‘ ÎB œ C œ !

(3.1) Demuestre

son subespacios  vectoriales de ‘$ .

[" ß [# ß [$  (3.2) Determine ["  [# ß ["  [$

(3.3) Demuestre que:

˜

à

, [#  [$  .

‘$ œ ["  [ # œ ["  [ $ œ [#  [ $   .

™ ‘ ™ ‘

4. Sea "  > ß >#  >$ ß #  >  ># ß "  >$ § c $ > Þ   Determine si 1/8 "  > ß >#  >$ ß #  >  ># ß "  >$ œ c $ > Þ ( c $ > es el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que $ )

‘

˜

 

5.  

Sean [" œ

Ð"ß #ß $ß 'Ñß ÐÐ% %ß  "ß $ß 'Ñß Ð& Ð&ßß "ß 'ß "# "#ÑÑ  y Ð"ß  "ß "ß "Ñß Ð#ß  "ß %ß &Ñ . Determine:

  ˜

[# œ

™¡

(5.1) 1/8 Ð["  [# Ñ

™¡

(5.2) 1/8 Ð["  [# Ñ

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˜˜

 

™™

 

PÁG. 217

6. Sean W œ ÐBß Cß C ß Dß D ß >Ñ > Ñ − ‘ Î C  #D  > œ !   X œ ÐBß C Cßß D ß >>ÑÑ − ‘% Î B œ > à C œ #D   Determine un conjunto finito de vectores que genere a: %

(6.1) W

(6.2) X

(6.3) W  X  

(6.4) W  X

7.  

[" œ 1/8 Ð"ß "ß #ß  $Ñß Ð"ß "ß #ß !Ñß Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ [# œ 1/8 Ð"ß  "ß "ß "Ñß Ð#ß  "ß %ß &Ñ

   ˜˜

Sean:

 

™

™

(7.1) Demuestre que [" Á [ # Ð7.2) Determine a partir de los vectores en 1/8 Ð["  [# Ñà un conjunto

de vectores linealmente independientes.

  Ð7.3) Complete a partir de 1/8 Ð["  [# Ñà una base para ‘% .

8. Determinar si los siguientes conjuntos independientes o linealmente dependientes.

 ˜ Œ  Œ  ˜

son

linealmente

™

(8.1) E œ Ð"ß !ß "Ñß Ð"ß  "ß #Ñß Ð$ß #ß "Ñ § ‘$ Þ (8.2) F œ

$ "

% $

ß

& $

Œ Œ ™ ‘

" ß "

' "

% !

ß

# $

" #

Ÿ

§  ` #B#  Þ

(8.3) G œ B / B ß =/8 ÐBÑß /B - 9 9= = ÐBÑß " §  V  M ß funciones contínuas en un intervalo M Þ

˜

™

9. Demuestre que el conjunto Ð!ß"ß"ÑßÐ!ß#ß"ÑßÐ"ß&ß$Ñ linealmente independiente sobre ‘ y ‚ Þ

es

 ‘

10. Determinar si el siguiente conjunto de funciones reales en ! ß " definidas por las fórmulas que se indican; son linealmente independientes o linealmente dependientes.   0"ÐBÑ ÐBÑ œ $B à 0#ÐB ÐBÑÑ œ B  & à 0$ÐB ÐBÑÑ œ #B# ; 0%ÐB ÐBÑÑ œ ÐB  "Ñ#

11. Dado el siguiente conjunto, determine subconjuntos linealmente independientes.   "ß B  "ß B#  # #B B  "ß B# § c # B Þ

™ ‘

˜

todos los posibles

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PÁG. 218

12. Dado el siguie siguiente nte sistema de ecuaciones ecuaciones en ‘ .   B  D  #> œ !   C  $D  > œ ! (12.1) Encuentre el conjunto solución W del sistemaÞ %

(12.2) Demuestre que W es un subespacio vectorial de ‘% Þ (12.3) Determine una base y la dimensión del subespacio vectorial W Þ (12.4) A partir de la base de W  ; complete agregando vectores adecuados a una base de ‘% . DEMUESTRE LO CONSTRUÍDO!!

 ˜

™ ‘

13. Probar que el siguiente conjunto es una base en el respectivo espacio vectorial E œ "% ß #B #B  $ß B#  # §  c # B Þ

˜˜

14. Sean [" œ ÐBß Cß C ß  Dß D ß >Ñ >Ñ − ‘% ÎB  C  D œ ! à $B  C  > œ !   [# œ ÐBß Cß C ß  Dß D ß >Ñ > Ñ − ‘ % Î B  #D œ ! (14.1) Determine una base y la dimensión para: a) [" b) [# c) ["  [# d) ["  [#  

™

™

(14.2) A partir de la base encontrada para ["  [ # , complete agregando vectores adecuados a una base para: ‘% a) [" b) [# c) ["  [#   d)   15.

˜ ˜

Sean E œ Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð"ß "ß !ß !Ñß Ð!ß  "ß  "ß !Ñß Ð!ß !ß #ß #Ñ

F œ Ð"ß !ß #ß  "Ñß Ð$ß !ß %ß  #Ñ   (15.1) Demuestre que E es base   de ‘% .

™

™

(15.2) Demuestre que F  es linealmente independiente. (15.3) Extienda F a una base de ‘% , considerando los vectores de EÞ

˜ ™

16. Demuestre que: (16.1) 1/8 3 ß 4 ß 5 œ ‘$

˜

™

(16.2) 1/8 Ð"ß !Ñß Ð!ß "Ñ œ ‘#

˜ ˜”

™ •”

(16.3) 1/8 " "ßß B Bßß B# ß Þ Þ Þ ß B8 œ c8 Ð‘Ñ (16.4)   1/8

" "

" ß "

" "

•”

" " ß ! !

• ” •™

" " ß ! !

! !

  `# B # Ð‘Ñ œ

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PÁG. 219

17. (17.1) Demuestre que las rectas que NO pasan por el origen; no son espacios vectoriales. (17.2) ¿ Es ‘ espacio vectorial sobre ‚ ? (17.3) ¿ Es ‘8 espacio vectorial sobre ‚ ? (17.4) ¿ Es ‚ espacio vectorial sobre ‘ ? (17.5) ¿ Es ‚ espacio vectorial sobre ‚ ? (17.6) ¿ Es ‚8 espacio vectorial sobre ‘ ? (17.7) ¿ Es ‚8 espacio vectorial sobre ‚ ? 7B8 Ð‘Ñ el conjunto de las matrices de orden 7 B 8 con (17.8) Sea ` coeficientes en el cuerpo ‘ ; dotado de las operaciones:   SUMA VECTORIAL: Ð+3 4 Ñ  Ð,3 4 Ñ œ Ð+3 4  , 343 4 Ñ     MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR: ESCALAR: ! Ð+3 4 Ñ œ Ð! +3 4 Ñ     Demuestre que el conjunto

Q œ

˜Œ

B BC



BC   ÎB ß  C − ‘ C  

™

es subespacio vectorial de `# B # БÑ.

(17.9) Sea Y Б , ‘Ñ el conjunto de las funciones reales de variable real y el cuerpo ‘ ; dotado de las operaciones: SUMA VECTORIAL: Si 0 à 1 − Y Б , ‘Ñ ,   entoncesÐ0  1Ñ 1ÑÐB ÐBÑÑ œ 0ÐB 0ÐBÑÑ  1Ð 1ÐBÑ BÑ MULTIPLICACIÓN MULTIPLICA CIÓN POR ESCA ESCALAR LAR:: Si ! − ‘ ; 0 − Y Б , ‘Ñ ,   entonces Ð! 0 Ñ ÐBÑ œ ! Ð0 ÐBÑÑ   Demuestre que el conjunto   J œ 0 À ‘ Ä ‘ Î 0 ÐÐB BÑ œ 0 Ð  B BÑÑ à a B − ‘ es subespacio vectorial de Y Б , ‘Ñ.

˜

™

18. (18.1) Forme una combinación lineal en c% Ð‘Ñ y los escalares "à "  Bà "  B# à "  B$ à "  B%   respectivamente.

con los vectores  # à %à  "à ! y $

(18.2) Determine si la matriz combinación lineal de los vectores

 " se puede expresar como $ " " " " " ; ; " ! " ! !

”” • ”• • ” • " # " "

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19. Demuestre que:   Si Z es un espacio vectorial sobre el cuerpo O y !" ß !# ß ÞÞÞß !8 − O (escalares); @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z   (vectores).     Entonce Entoncess la COMB COMBINA INACIÓN CIÓN LINEA LINEAL L de @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 − Z    ; 8

!

 

3œ" 3œ"

!3 @3 − Z  

(Ayuda: utilice inducción matemática) 20. (20.1) Sea `# B # Ð‘Ñ el conjunto de las matrices de orden # B # con coeficientes en el cuerpo ‘ Þ Determine si el conjunto de matrices

˜”

" "

•” •”

" " à " "

•”

" " à " "

" à "

" " " "

•™

  es L . I .

(20.2) Sea c # Ð‘Ñ el conjunto de polinomios de grado menor o igual que # con coeficientes en el cuerpo ‘ Þ Determine si el conjunto de polinomios  # à "  B  B# à "  B à B#   es L . I .

˜

21.      

™

Demuestre lo siguiente: Si Z es un espacio vectorial sobre el cuerpo O Ð ‘ à ‚ Ñ y F œ @" ß @# ß Þ Þ Þ ß @8 es una BASE de Z .     Entonces existen únicos escalares !" ß !# ß Þ Þ Þ ß !8 − O   tal que

˜

™

para todo @ − Z se tiene que:

! 8

@œ

3œ"

!3 @3

22. Determine la dimensión de los siguientes espacios vectoriales, indicando a lo menos una base de dicho espacio. (22.1) El espacio vectorial ‘ sobre ‘. (22.2) El espacio vectorial ‘8 sobre ‘.

 

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PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° AUTOEVALUACIÓN N° 5:

PROBLEMA 1:  

TALLER N° 5 : RESPUEST RESPU ESTA: A:

˜™ ˜

™ Ú ÛÜ

œ !0 Î ! − ‘ à tal que " =3 ! Ÿ B  "# #! Ð!0 ÑÐBÑ œ !0 ÐBÑ œ à ! − ‘Þ " !B =3 # Ÿ B Ÿ "

Ð#Þ"Ñ 1/8 0

 

2.

œ !1 Î ! − ‘ à tal que  !B  "# ! =3 ! Ÿ B  "# Ð!1ÑÐBÑ œ !1ÐBÑ œ à ! − ‘Þ ! =3 "# Ÿ B Ÿ " Ð#Þ#Ñ 1/8 1

˜ ™ ˜ ÚÛÜ ˜ ™ ˜

™

™ Ú ÛÜ

œ !0  " 1 Î !ß " − ‘ à tal que " # Ð!  " Ñ  " B Ð!0  " 1ÑÐBÑ œ !0 ÐÐB BÑ  " 1ÐB Ñ œ !B   !ß " − ‘ Ð#Þ$Ñ 1/8 0 à 1

PROBLEMA 2:   Ð$Þ"Ñ  [$  

     

TALLER N° 5 : RESPUESTA:

˜˜

=3 ! Ÿ B  =3

" #

ŸBŸ"

3.

™ ˜

™

œ Ð!ß !ß D Ñ − ‘$ ÎD − ‘ œ D Ð!ß !ß "Ñ − ‘$ ÎD  − ‘ œ 1/8 1/8 Ð!ß !ß "Ñ (TODO CONJUNTO GENERADO ES SUBESPACIO VECTORIAL) Por lo tanto; [ $ es subespacio   vectorial de ‘$ .

™

Ð$Þ#Ñ  ÐBß Cß Cß D DÑÑ − Ð["  [$ Ñ Í ÐBß Cß C ß DÑ D Ñ − [" • ÐBß Cß C ß DÑ D Ñ − [$ 

" #

 

Í BCD œ ! Ê B œ C œ D œ ! BœCœ! Por lo tanto   ["  [$ œ Ð!ß !ß !ß !Ñ !Ñ

 ˜

 

™

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    2º) 

     

™ ™

PÁG. 222

[#   œ ÐD ß C ß D Ñ − ‘ ÎC à D  − ‘ [# œ C Ð!ß " "ßß ! !ÑÑ  D Ð"ß !ß " "ÑÑÎC à D   −   ‘ [# œ 1/8 Ð!ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß "Ñ y además Ð!ß"ß!Ñß Ð"ß!ß"Ñ es linealmente independiente. Luego Ð!ß "ß !Ñ ß Ð"ß !ß "Ñ es base de [# y . 37 [# œ # [$ œ 1/8 Ð!ß !ß "Ñ y además Ð!ß!ß"Ñ es linealm linealmente ente indepe independiente ndiente.. Luego Ð!ß !ß "Ñ es base de [$ y . 37 [$ œ "

Ð$Þ$Ñ  1º)

   

˜  ˜ ˜ ˜    ˜ ˜ ™™ ™ ˜ ™ ˜ ™

 

$

™

.37 ‘$ œ $  y . 37 Ð[#  [$ Ñ œ .37[#  . 37 [$  . 37 Ð[# ’ [$ Ñ œ #  "  ! œ $ œ . 37 ‘$ y como Ð[#  [$ Ñ § ‘$   Ê Ð[#  [$ Ñ œ ‘$ Þ

PROBLEMA 3: TALLER N° 5 : 4.   RESPUESTA: 1º) 1/8 "  > ß >#  >$ ß #  >  ># ß "  >$ œ c $   Í EXISTEN ESCALA ESCALARES RES ! ß " ß # ß - −   ‘ tal que todo polinomio #   +!  +" >  + # >  +$ >$ − c $ se puede expresar como la   siguiente combinación lineal:

˜

™

+!  +" >  + # >#  +$ >$ œ   œ   !Ð"  >Ñ  " Ð >#  >$ Ñ  # Ð#  >  ># Ñ  -Ð"  >$ Ñ (se debe verificar si existen los escalares en términos de +! ,+" ,+# ,+$ ) 2º)  

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: !  ##  - œ +! Se resuelve para ! ß " ß # ß !  #  œ +" "  #  œ +# "  - œ +$

ÎÐ

" "

! !

# " +!  " ! +"

ÑÓ

3)

Forme la matriz

Ð Ï

!

"

"

! +#

!

"

!

" +$

Ó Ò

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para obtener:

4º)  

   

ÎÐ Ð ÏÐ

 

" ! ! !

! " ! !

! ! " !

! ! ! "

" # Ð+!

 +"  + #  +$ Ñ " $+ +#  + $ Ñ # Ð  +!  + "  $ " Ð+!  +"  +#  +$ Ñ " # $+ +#  $+$ Ñ # Ð  +!  +"  $

ÑÓ Ó Ó Ò

PÁG. 223

Por lo tanto; existen escalares ! œ "# Ð+!  +"  +#  +$ Ñ "  œ "# Ð  +!  +"  $+#  +$ Ñ # œ "# Ð+!  +"  +#  +$ Ñ - œ "# Ð  +!  +"  $+#  $+$ Ñ y 1/8 "  > ß >#  >$ ß #  >  > # ß "  > $ œ c $

˜

PROBLEMA 4:  

™

TALLER N° 5 : RESPUESTA:

7.

Ð(Þ"Ñ 

Para que sean distintos, basta con que uno de los elementos de los generadores no pertenezca al otro generador. Verifiquemos por ejemplo si Ð" ß " ß # ß  $Ñ − [# ; es decir EXISTEN ESCALA ESCALARES RES ! ß " − ‘ tal que: Ð"ß "ß "ß # #ßß  $Ñ œ !Ð" ß  " ß " ß "Ñ  " Ð# ß  "  ß % ß &ÑÞ El sistema NO TIENE SOLUCIÓN, o sea Ð" ß " ß # ß  $Ñ Â [ # . Por lo tanto [" Á [# Þ Ð(Þ#Ñ

1º)

["  [# œ AÎb A" − [" à A# − [# tal que  A œ A"  A#

˜

™

A" − ["   Ê b ! ß " ß # − ‘ tal que   !Ð"ß "ß #ß  $Ñ  " Ð"ß "ß #ß !Ñ  # Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ   A" œ A# − [# Ê  b - ß % − ‘ tal que     -Ð"ß  "ß "ß "Ñ  %Ð#ß  "ß %ß &Ñ   A# œ   Luego:   !Ð"ß "ß A œ A"  A# œ " ß #ß  $Ñ  " Ð"ß "ß " ß #ß !Ñ ! Ñ  # Ð$ß  "ß 'ß ' ß  'Ñ    -Ð"ß  "ß "ß "Ñ  %Ð#ß  "ß %ß &Ñ 2º)

3)

Notar que:

   

["  [# œ 1/8 Ð"ß "ß #ß  $Ñ;Ð"ß "ß #ß !Ñ;Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ; Ð"ß  "ß "ß "Ñ;Ð# Ð#ß  "ß %ß &Ñ

™

  ˜

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  PÁG. 224 4º) Para determinar cuales de estos 5 vectores son linealmente independientes; formar la matriz  

Î ÐÏ

" " $ " #

" # " # " ' " " " %

 

˜

$ ! ' " &

Ñ Ó Ò ÎÐ ÐÐÐ Ï

y reducirla (se recomienda NO CAMBIA CAMBIAR R FILAS) a: " ! ! ! !

" # ! ! ! " # " ! !

$ "  &# % !

Ñ Ó Ó Ó Ó Ò ;

para obtener que los vectores linealmente independientes son:

  Ð(Þ$Ñ

Ð"ß "ß #ß  $Ñ; Ð" Ð"ß "ß #ß !Ñ;Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ; Ð"ß  "ß "ß "Ñ

˜

™

™

1º)

["  [# œ AÎ A − [" • A − [# 

2º)

A − ["   Ê b ! ß " ß # − ‘ tal que A œ !Ð"ß "ß #ß  $Ñ  " Ð"ß "ß #ß !Ñ  # Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ A − [# Ê  b - ß % − ‘ tal que A œ -Ð"ß  "ß "ß "Ñ  %Ð#ß  "ß %ß &Ñ Luego: A œ !Ð"ß "ß "ß # #ßß  $Ñ  " Ð"ß "ß "ß # #ßß !Ñ ! Ñ  # Ð$ß  "ß 'ß ' ß  'Ñ œ -Ð"ß  "ß "ß "Ñ  %Ð#ß  "ß %ß &Ñ

       

   

3º) Formando !ß " ß # ß -ß % − ‘ Àel sistema homogéneo para   !  "  $#  -  #% œ ! !" # - % œ ! #!  #"  '#  -  %% œ !  !  '#  -  &% œ ! 4º)

las

variables

Para obtener la solución, forme la matriz

Î

" ! ! !

"*

Ñ

Î ÏÐ

" "

" "

$ "

" "

# "

# # " !

' '

" "

% &

Ñ Ó Ò

y redúzcala redúzcala a

Ð ÏÐ

#

!

" ! !

! ! " ! ! ! ! "

$( % 

%$

!

Ó ÒÓ

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  "* # %

$( % %

PÁG. 225

$ %%

es decir: !œ  à "œ à #œ à - œ !Þ Por lo tanto:   A œ !Ð"ß "ß #ß  $Ñ  " Ð"ß "ß #ß !Ñ  # Ð$ß  "ß 'ß  'Ñ  

œ -Ð"ß  "ß "ß "Ñ  %Ð#ß  "ß %ß &Ñ œ %Ð#ß  "ß %ß &Ñ   Luego: ["  [# œ %Ð#ß  "ß %ß %ß & &ÑÑ Î % − ‘ œ 1/8 Ð# Ð#ß  "ß %ß %ß &Ñ &Ñ

 

 ˜

5º)  

™

˜

™

COMPLE COMPLETACIÓN TACIÓN DE UNA BASE PARA ‘% À Como .37‘% œ % y se tiene un vector linealmente independiente en Ð#ß  "ß %ß &Ñ ; se deben agregar 3 vectores linealmente independientes al conjunto Ð#ß  "ß %ß &Ñ  para obtener una base de ‘%   Por ejemplo   Ð#ß  "ß %ß &Ñà Ð!ß "ß !ß !Ñà Ð!ß !ß "ß !Ñà Ð!ß !ß !ß "Ñ es obviamente L.I; y por lo tanto base de ‘% .

˜

™

˜

˜

™

™

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 15 DE MAYO DE 2007: LINEAL 12:45-14:05    CONTROL N° 2: ÁLGEBRA (MAT-605) NOMBR NO MBRE__ E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__11__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (2.1) (2.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto subconjunto de `#B# БѠ " !

Fœ

" !

a)

ß

Œ  Œ

" ! "

!

ß

" !

!

ß

! "

" " ! " "   como combinación " "

 Œ Œ  Œ Ÿ

Exprese si es posible el vector

lineal del conjunto F  . b) Determine si el conjunto F   es linealmente independiente.

˜

™

(2.2) Considerando el el siguiente subespacio subespacio vectorial de ‘$ . [ œ ÐB ß C Cßß D DÑÑ − ‘$ ÎB  C œ C  D œ ! Determine una base y la dimensión de [ .  

PONDERACIONES:  

   

(2.1) = 08 (2.2) = 0720 minutos. PUNTOS. TIEMPO:  

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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  PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)   SECCIÓN__11__  SE PREGUNTA 2: (2.1) a) SOLUCIÓN: 1º) Será posible cuando existan escalares ! ß " ß # ß - −  ‘ tal que " " " ! " ! " ! ! "   1 œ! " # " " " ! " ! ! " " !

Œ  Œ  Œ 2º)

 Œ

 Œ 

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !"# œ "   Ê ! œ " ß " œ  "ß # œ  " ß - œ "  2 -œ" - œ "

!"

 # 

3º)

œ"

1

Por lo tanto, si es posible expresarlo como:

" !  Ð  "Ñ  " !  Ð  "Ñ " !  Ð"Ñ ! " Ð"Ñ " ! " ! ! " " ! b) SOLUCIÓN: 1º) Es linealmente independiente si se verifica la propiedad

Œ  Œ  Œ  Œ  Œ

!

  2º)

" ! " !

Œ

 Œ   Œ  Œ 

" ! " ! # " ! ! " Ê   ! œ ! ß  " œ !ß # œ ! ß - œ ! "

! " " !

œ

! ! ! !

1

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !  "  #  œ !   Ê   ! œ " œ # œ - œ !  2 -œ! !"

3º)

- œ !  #  œ! Por lo tanto, F   es linealmente independiente.

˜

1

™

(2.2) SOLUCIÓN: qu ue 1º) De [ œ ÐB ß Cß Cß D DÑÑ − ‘$ ÎB  C œ C  D œ !   se titiene q B œ D à C œ  D con D −  ‘ variable independiente independiente.. 2 2º) Luego

˜

™ ˜

™

[ œ ÐD ß  D ß DÑ D Ñ ÎD − ‘ œ D Ð" ß  "ß "Ñ " Ñ ÎD − ‘ /8 Ðvector "ß  distinto "ß "Ñ  de cero, entonces el conjunto 2  3º) [ Por œ ser1único Ð" ß  "ß "Ñ  es base de [ 2 y . 37 [ œ " Þ 1

˜

™˜

™

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 15 DE MAYO DE 2007: LINEAL 11:15 - (MAT-605) 12:35    CONTROL N° 2: ÁLGEBRA NOMBR NO MBRE__ E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__12__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (2.1) (2.2) TOTAL

PUNTAJE

PREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto subconjunto de `#B# БѠ Eœ

" " " "

ß

" "

à

" "

à

" !

" !

! +! , ! ! a) Exprese si es posible el vector   como combinación - .  lineal del conjunto E . b) Determine si el conjunto E  es generador de  `# B # БÑÞ

˜” • ” • ” ” • ”• •™

˜

™

(2.2) Considerando el el siguiente subespacio subespacio vectorial de ‘$ . [ œ ÐB ß C Cßß D Ñ − ‘$ Î$B  C œ ! ß #B #B  C œ D   Determine una base y la dimensión de [ .  

PONDERACIONES:  

   

(2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

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  PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)   SECCIÓN__12__  SE PREGUNTA 2: (2.1) a) SOLUCIÓN: 1º) Será posible cuando existan escalares ! ß " ß # ß - −  ‘ tal que

” • ” • ” • ” • ” • + -

, .

2º)

œ!

" " " " " " " ! " #   " " " ! ! ! ! !

1

Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones:

!"# - œ + !  "  #  œ, !  "  œ -  ! œ . 

Ê   ! œ . ß " œ -  .ß . ß # œ ,  - ß - œ +  ,  3º) Por lo tanto, si es posible expresarlo como:

” •

” •

” • ” •

2 1

” •

Ð. Ñ

" " " " " " " !  Ð-  . Ñ  Ð,  - Ñ  Ð+  ,Ñ " " " ! ! ! ! !

b)

SOLUCIÓN:

1º)

Es generador si todo vector

+ -

, −  `   # B # Ð‘Ñ se puede . 

expresar como combinación lineal de E, es decir existen escalares ! ß " ß # ß - −  ‘ tal que + -

, .

œ!

" " " " " " " !  2 " # " " " ! ! ! ! !

2º) Lo cual se determinó en el punto a) anterior, y lo cual significa que E  es generador de   `# B # Ð‘Ñ o Ð1/8 E œ `# B # Ð‘Ñ Ñ 2 (2.2) SOLUCIÓN: se 1º) De [ œ ÐB ß Cß C ß D Ñ − ‘$ Î$B  C œ ! ß #B #B  C œ D     tiene que resolviendo el siguiente siguiente sistema de ecuaciones: $B  C œ !   Ê $B  C œ! Ê

” • ” • ” • ” • ” • ˜ ™

#B  C œ D

#B  C  D œ ! D œ  B à C œ $B con B − ‘ variable independiente.

2

˜

™ ˜

™

2º) Luego, [ œ ÐB ß $B $Bß  BÑ ÎB − ‘ œ BÐ" ß $ $ßß  "Ñ ÎB − ‘  

[ œ 1/8 Ð"ß $ß  "Ñ   3º) Por ser único vector distinto de cero, entonces el conjunto 2 Ð" ß $ß  "Ñ  es base de [ 2 y . 37 [ œ " Þ 1

™ ˜

˜

™

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA    JUEVES 17 DE MAYO DE 2007: LINEAL 11:15 - (MAT-605) 12:35 CONTROL N° 2: ÁLGEBRA NOMBR NO MBRE__ E_____ ______ ______ _____ _____ ______ ______ ______ ______ ______ ___SEC SECCIÓ CIÓN__ N__14__  PROFESOR__CA CARL RLOS OS SEPÚ SEPÚLV LVED EDA A BU BUST STAM AMAN ANTE TE__   (2.1) (2.2) TOTAL

PUNTAJE ˜

PREGUNTA 2: PREGUNTA (2.1) Considere el siguiente subconjunto subconjunto de c # Б  Ñ. F œ " ß   "  B ß "  B  B#

™

#

#  $ B  B   como a) Expreselineal si del es conjunto posible F el. vector combinación b) Determine si el conjunto F   es linealmente independiente.

(2.2) Sea W  el conjunto solución del sistema:  

B  %C  D œ ! #B  C  &D œ !

Determine una base y la dimensión de W Þ

PONDERACIONES:  

   

(2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE DETALLADAMENTE EL DESARROLL DESARROLLO O ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!

FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje apre ndizaje autónomo en página web"

 

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  PAUTA CONTROL N° 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)   SECCIÓN__14__  SE PREGUNTA PREG UNTA 2: (2.1) a) SOLUCIÓN: 1º) Será posible cuando existan escalares ! ß " ß #  −  ‘ tal que #  $B  B# œ ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  # Ð"  B  B# Ñ  1 2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !"# œ #   Ê ! œ  " ß " œ %ß # œ   "   2  "  #  œ  $  #  œ "

3º)

Por lo tanto, si es posible expresarlo como: 1   Ð  "Ñ Ð"Ñ  Ð%Ñ Ð"  BÑ  Ð  "Ñ Ð"  B  B# Ñ b) SOLUCIÓN: 1º) Es linealmen linealmente te independi independiente ente si se verifica verifica la propi propiedad edad ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  #  Ð"  B  B# Ñ œ !  Ê   ! œ ! ß  " œ !ß #  œ ! 1 2º) Lo anterior determina el siguiente sistema de ecuaciones: !"# œ !   Ê ! œ ! ß " œ !ß # œ  !  2  "  #  œ !  #  œ !

3º)

Por lo tanto, F   es linealmente independiente.

1

(2.2) SOLUCIÓN: 1º) Resolviendo el sistema de ecuaciones:

 

Œ

" % " # " &

 Œ Ä

" !

% " ( $

  Ä

" ! ! "

"* (



$ (



$ B œ  "* ( D à C œ ( D con D − ‘ variable independiente. 2º) Luego,

2

˜

[ œ Ð

"* $ ( D ß ( D ß D Ñ ÎD "* $ Ð  ( ß ( ß "Ñ

™ ˜

−‘ œ DÐ

"* $ ( ß ( ß "Ñ ÎB

™

−‘  

Ð"*  (Ñ   2 [ œ /8 vector distinto de œ cero, 1/8 entonces " * ß  el $ß conjunto 3º) Por ser1único Ð"* ß  $ß  (Ñ es base de [ 2 y . 37 [ œ "

˜™

˜

™

˜

™

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PUNTAJE ˜

PREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto subconjunto de c # Б  Ñ. F œ " ß   "  B ß "  B  B#

™

#

+  , B  - B   como a) Expreselineal si del es conjunto posible F  el . vector combinación b) Determine si el conjunto F  es generador de  c $ Б   ÑÞ

(2.2) Sea  Y œ

Œ

B  (C  "!C

   Ÿ

&C     Î Bß C − ‘ B  (C  

Determine una base y la dimensión para

PONDERACIONES:  

   

§ `#B# БÑ.

Y  .

(2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 16 DE DE 2007: 15:45 - 17:05    CONTROL N° MAYO 2: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) NOMBRE_________________ NOMBRE______ ______________________ ______________SECCIÓN__21 ___SECCIÓN__21__  __  PROFESOR__REN ENÉ É ALZA ALZAMO MOR RA ANTI ANTIQ QUER UERA__   (2.1) (2.2) TOTAL

PUNTAJE ˜

PREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto subconjunto de ‘$ . F œ Ð"ß !ß !Ñ ß  Ð"ß Ð"ß  "ß !Ñ ß Ð"ß  "ß  "Ñ

™

a) Exprese si esF  posible el vector Ð#ß  $ß "Ñ   como combinación lineal del conjunto . b) Determine si el conjunto F   es linealmente independiente. (2.2) Sea  E œ

Œ    Ÿ + -

-    Î + ß ,ß - − ‘ ,

§ `#B# БÑ.

Determine una base y la dimensión de E Þ

PONDERACIONES:  

   

(2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos. 

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PUNTAJE ˜

PREGUNTA 2: (2.1) Considere el siguiente subconjunto subconjunto de ‘$ . F œ Ð"ß "ß "Ñ ß  Ð"ß Ð"ß "ß !Ñ ß Ð" Ð"ßß !ß !Ñ

™

a) Exprese si esF posible el vector ÐBßCßDÑ   como combinación lineal del conjunto . b) Determine si el conjunto F   es generador de ‘$ . (2.2) Sea W  el conjunto solución del sistema:  

B  #C  D œ ! B C D œ !

Determine una base y la dimensión de W Þ PONDERACIONES: (2.1) = 08 (2.2) = 07 PUNTOS.   TIEMPO: 20 minutos. 

   

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SEMANA N° 07 :  (04 HORAS CÁTEDRA)  

UNIDAD N° 4:

 

TEMA 6:

ESPACIOS VECTORIALES

CAMBIO DE BASE

OBJETIVO OPERACIONAL: OPERACIONAL: Escribir un vvector ector como combinación lin lineal eal de dos bases distintas de un espacio vectorial. OBJETIVO OPERACIONA OPERACIONAL: L: Encontrar las GSSVHIREHEW  de un vector respecto de dos bases de un espacio vectorial. OBJETIVO OPERACIONAL: OPERACIONAL: Encontrar la QEXVM^ HI X VE VERWMGM RWMGM SR S HI GE GEQFMS QFMS HI  FEWI    FEWI .

(6.1)                    

INTRODUCCIÓN: Sean Z espacio vectorial sobre el cuerpo O ; de dimensión 8 ; y F" œ ?" ß ?# ß ?$ ß Þ Þ Þ ß ?8 y F# œ @" ß @# ß @$ ß Þ Þ Þ ß @8 bases de Z Þ Si @ − Z   . Entonces podemos escribirlo como combinación lineal de ambas bases F" y F # . En efecto:

˜

y con

™

˜

™

@ œ !" ?"  !# ?#  !$ ?$  Þ Þ Þ  !8 ?8 @ œ "" @"  "# @#  "$ @$  Þ Þ Þ  "8 @8   !3 ; " 3   − O para todo 3 œ "ß #ß $ß Þ Þ Þ ß 8 Þ

(6.2) EJEMPLOS: (6.2.1) En ‘$  ; F" œ Ð"ß!ß!ÑßÐ!ß"ß!ÑßÐ!ß!ß"Ñ es la base CANÓNICA y   F# œ Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ  es otra base de ‘$ .   Escriba el vector Ð"ß #ß $Ñ como combinación lineal de ambas basesÞ SOLUCIÓN: 1°) Como F "   es la base canónica, se tiene directamente que:   Ð"ß #ß $Ñ œ Ð" Ð"ÑÑ Ð"ß !ß !Ñ  Ð#Ñ Ð!ß "ß !Ñ  Ð$Ñ Ð!ß !ß "Ñ

 ˜

™™

 ˜

™

Como F# œ Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ ; se trata de encontrar  ! à " à # − ‘  tal que Ð" Ð"ßß #ß $Ñ œ ! Ð"ß  "ß !Ñ  " Ð"ß !ß !Ñ  # Ð"ß !ß  "Ñ resolviendo el siguiente sistema: 2°)

Ê ! œ  # à # œ $   à "  œ !

!" # œ " ! œ# #  œ $

   

Por lo tanto: Ð"ß #ß $Ñ œ Ð  #Ñ Ð"ß  "ß !Ñ  Ð!Ñ Ð"ß !ß !Ñ  Ð$Ñ Ð"ß !ß "Ñ

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  ” • ” " "

(6.2.2) En `#B# Ð‘Ñ ; F" œ " "

y F œ #

" " " ß "

! ß !

" " " " ! à ! ! à !

" "

•”

  ” • ”” • ” • • ” •Ÿ " "

Escriba el vector

" !

• ” •Ÿ

! " ß ! !

! !

PÁG. 236

! ! ß " "

" !

  son bases de `#B# Р ‘) .

como combinación  lineal de ambas basesÞ

SOLUCIÓN: 1°)

encontrar

”

 

” • ” • ” • ” •Ÿ • ” • ” • ” • ” • " "

Como F"   œ

! ß !

! à " à # à - −  ‘  

" "

" !

" "

œ !

" "

œ"  - œ " - œ " !"  #  œ!

! " !

 

”

!œ

Por lo tanto: " "

2°)

" !

• ” •

Como

encontrar  

Ê

”

" "

œ Р "# Ñ

" ! " !

" !

; se trat trataa de

 Ð  "# Ñ

" "

! " # ! !

" #

à "œ 

”

" "

! !

" #

! "

-

! "

" "

! à " à # à - −  ‘  

œ !

" "

" ß " " "

• ”  Ð !Ñ

" !

! "

" à ! " ! " à ! " ! ! !

•

 Ð  "Ñ

" !

#

" !

" !

-

" !

! !

Resolviendo el siguiente sistema: !"#- œ"   œ " !  "  #  œ " !  " 

Ê

,

” • ! "

; se ttra rata ta de

tal que

" " " " "

" !

à # œ! à - œ "

  ” • ” • ” • ” •Ÿ • ” • ” • ” • ” •

F# œ " !

! ! ß " "

tal que

resolviendo el siguiente sistema: !"#

! " ß ! !

! œ! à " œ " à # œ! à - œ#

,

" !

œ!

!

”

" "

Por lo tanto: " !

• ” • œ Ð !Ñ

” • ” • ” •

" " "  Ð  "Ñ " " "

" !

 Ð!Ñ

" !

" "  Ð #Ñ ! !

! !

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˜˜

™

  PÁG. 237 (6.2.3) En c # Ð‘Ñ ; F" œ " ß B ß B es la base CANÓNICA y     F# œ " ß "  B ß "  B  B# es otra base   de c # Ð‘Ñ . # Escriba el vector "  #B  $B como combinación lineal de ambas basesÞ  

 

#

™

SOLUCIÓN: 1°) Como F "   es la base canónica, se tiene directamente que:   "  #B  $B# œ Ð"Ñ Ð"Ñ  Ð#Ñ ÐBÑ  Ð$Ñ ÐB#Ñ

˜

2°)

™

Como F# œ " ß  "  B  ß "  B  B# ; se trata de encontrar  ! à " à #  −  ‘   tal que "  #B  $B# œ ! Ð"Ñ  " Ð"  BÑ  #  Ð"  B  B# Ñ

Resolviendo el siguiente sistema: Ê ! œ $ à "  œ " à # œ   $

!" # œ "  "  #  œ #  #  œ $

  

Por loBtanto: " #  $B# œ Ð$Ñ Ð"Ñ  Ð"Ñ Ð"  BÑ  Ð  $Ñ Ð"  B  B# Ñ

(6.3) DEFINICIÓN Y NOTACIÓN:   Denotamos las COORDENADA COORDENADAS S DEL VECTOR @ − Z   respecto de la base F" por Ò@Ó F y respecto de la base F# por Ò@Ó F  ; que están " # definidas por:  

Ò@Ó F œ "

ÔÖ ÖÖÖ Õ

!" !# !$

ÞÞÞ !8

×Ù ÙÙÙ Ø

y

Ò@Ó F  œ #

ÔÖ ÖÖÖ Õ

" " " # " $

ÞÞÞ " 8

×Ù ÙÙÙ Ø

respectivamente.

(6.4) EJEMPLOS:   Para cada uno de los ejemplos de (6.2); determine las COORDENADAS DEL VECTOR dado con respecto a las respectivas bases. SOLUCIÓN: (6.4.1) En ‘$  ; F" œ Ð"ß!ß!ÑßÐ!ß"ß!ÑßÐ!ß!ß"Ñ es la base CANÓNICA y   F# œ Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ  es otra base de ‘$ .   Se obtuvo que:

˜  ˜

™™

Ð"ß #ß $Ñ œ Ð" Ð"ÑÑ Ð"ß !ß !Ñ  Ð#Ñ Ð!ß "ß !Ñ  Ð$Ñ Ð!ß !ß "Ñ  respecto de F "  . Ð"ß #ß #ß $ $ÑÑ œ Ð  #Ñ ÐÐ" " ß  "ß ! !ÑÑ  Ð!Ñ ÐÐ" "ß ! !ßß ! !ÑÑ  Ð$Ñ ÐÐ" "ß !ß !ß " "ÑÑ  respecto de F#  .

 

Por lo tanto:

 

ÒÐ"ß #ß $ÑÓ F œ "

Ô× ÕØ " # $

y

Ô × Õ Ø # ! $

ÒÐ"ß #ß $ÑÓ F  œ #

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  ” • ” " "

(6.4.2) En `#B# Ð‘Ñ ; F" œ " "

y F# œ

" " " ß "

! ß !

•”

" "

" " " " ! à ! ! à !

! " ß ! !

! !

PÁG. 238

• ” •Ÿ

! ! ß " "

" !

  son bases de `#B# Р ‘) .

  ” • ” • ” • ” •Ÿ ” • ” • ” • ”

" !

”

" "  Ð #Ñ ! !

 

Se obtuvo que:

" "

" !

œ Р "# Ñ

" ! " !

 Ð  "# Ñ

" "

! !

 Ð !Ñ

 

" "

" !

 

• ” • œ Ð !Ñ

 

Por lo tanto:

 

”

" Ò "

 

 Ð  "Ñ

” • ! "

respecto de F "

" !

 Ð!Ñ

" !

! !

respecto de F 2

Ô Ö • Ö Õ ˜ ˜

" #

" #

 ! "

×ÙÙ Ø

y

(6.4.3) En c # Ð‘Ñ ; F" œ "  ß B ß B#  

•

” • ” • ” •

" " "  Ð  "Ñ " " "

" ÓF œ ! "

! "

™

”

" Ò "

Ô • ÖÖÕ

" Ó F  œ ! #

! " ! #

×ÙÙ Ø

es la base CANÓNICA y

F# œ " ß "  B  ß "  B  B#

™

es otra base de c # Ð‘Ñ .  

Se obtuvo que:

"  #B  $B# œ Ð"Ñ Ð"Ñ  Ð#Ñ ÐBÑ  Ð$Ñ ÐB#Ñ respecto de F" Þ "  #B  $B# œ Ð$Ñ Ð"Ñ  Ð"Ñ Ð"  BÑ  Ð  $Ñ Ð"  B  B# Ñ respecto de F# Þ

   

Por lo tanto: Ò"  #B  $B# Ó F œ "

Ô× ÕØ " # $

y

Ò"  #B  $B# Ó F  œ #

Ô × Õ Ø $ " $

" !

(6.5) OBSERVACIÓN:   Notemos que estas representaciones son únicas, por el hecho de trabajar con Bases; lo cual significa que perfectamente podemos distinguir  cualquier vector por sus coordenadas o viceversa.

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PÁG. 239

(6.6) DEFINICIÓN:   Se llama MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE de la F  base F" a la base F# ; lo que denotaremos por ÒEÓ F # y que está dada "

por:  

ÒEÓ

F # F "

ˆ

Ò?" ÓF# œ   Ò?

Ò?# ÓF#

Ò?$ ÓF#

Þ Þ Þ Ò?8 ÓF#

‰  

donde Ò? 4 ÓF # es la columna 4  /=37+ de la matriz de transición o matriz de cambio de base.   Note que Ò? 4 ÓF# son las coordenadas del vector ?4 − F" con   respecto a la base F # . (6.7) EJEMPLOS: (6.7.1) Encuentre la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE de la base F" a la base F # ; para F" œ Ð"ß!ß!ÑßÐ!ß"ß!ÑßÐ!ß!ß"Ñ   y $

˜

™  ˜

  F#

 ˜

œ Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ

bases de ‘ . SOLUCIÓN: 1°) Se debe expresar cada vector de F" œ Ð"ß!ß!ÑßÐ!ß"ß!ÑßÐ!ß!ß"Ñ como combinación lineal de F# œ Ð"ß  "ß !Ñß Ð"ß !ß !Ñß Ð"ß !ß "Ñ  . 2°)      

˜

™

Sea ÐB ß C ß DÑ − F " tal que: ÐB ß C ß D Ñ œ ! Ð"ß  "ß !Ñ ! Ñ  " Ð"ß !ß ! ß !Ñ ! Ñ  #  Ð"ß !ß ! ß "Ñ "Ñ

resolviendo el siguiente sistema: !" # œ B ! œ C  #  œ D 

Ê ! œ  C à "  œ B  C  D à # œ D

3°)

!ß !Ñ !Ñ Si ÐB ß C ß D Ñ œ Ð" ß !ß

Ê 

!ß !Ñ !ÑÓF # œ ÒÐ" ß !ß

 

Si ÐB ß C ß D Ñ œ Ð!ß "ß "ß ! !ÑÑ

Ê 

Ò Ð !ß " "ßß !Ñ !ÑÓF # œ

 

Si ÐB ß C ß D Ñ œ Ð!ß !ß !ß " "ÑÑ

Ê 

!ßß "Ñ "ÑÓF # œ Ò Ð !ß !

Ô Õ Ô Õ Ô Õ

× Ø

! " ! " " ! ! " "

× Ø × Ø

  

™ ™

"

4°)

Luego, la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE es:

 

ÒEÓ

F # F "

  ÎÏ

œ

! " !

" " !

! " "

ÑÒ

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  PÁG. 240 (6.7.2) Encuentre la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE de la base F" a la base F # ; para  

 

F" œ

"

!

"

ß

!

ß

"

!

!

ß

"

  y

  ”” •• ”” • ”• ” • ” • ”•Ÿ •Ÿ

F# œ

" ! " ! ! " " " " " " " " ß à à " " " ! ! ! !

"

!

! !

 bases de `#B# Ð‘Ñ .

SOLUCIÓN: 1°) 2°)  

Se debe expresar cada vector de F" como combinación lineal de F # .  

” • ” • ” • ” • ” • ” • B C    − F " tal que: D > B C " " " œ! " D > " " "

Sea

" " # ! !

" " ! !

! !

,

  !  "resolviendo el siguiente sistema: ! œ> à " œ D> à # œCD à - œBC   # - œB Ê !  "  #   œC   !  "  !

3°)

 

Si

Si

œ D  œ>

” • ” • B C D >

B C

 

Si

Si

œ

” • ” ” • ” D

 

œ

" !   " !

"

>

B C D >

œ

" " !

! !

œ

 Ê

• •

!  Ê "

” • ” • B C D >

Ê

! "   " !

Ê

”

Ò

Ò

” ”

Ò

”

Ò

  ÔÖ ×Ù • ÖÕ ÙØ  Ô × •   ÔÕÖ ×ØÙ • ÖÖÕ ÙÙØ   ÔÖ ×Ù • ÖÕ ÙØ ! " " "

" ! Ó œ " ! F #

" " " !

!

!

Ó

! "

œ

F #

! Ó œ  " F #

! " Ó œ " ! F #

" " " " ! "

! " ! "

4°)

Luego, la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE es:

 

ÒEÓ

F # F "

œ

ÐÎ Ï

! " " "

! " " "

" " ! "

! " ! "

Ñ Ó Ò

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  PÁG. 241 (6.7.3) Encuentre la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE de la base F# a la base F " ; para F" œ " ß  B ß B#   y F# œ " ß "  B ß "   B  B# bases de c # Ð‘Ñ .  

˜

™

˜

™

SOLUCIÓN: 1°) Se debe expresar cada vector de F# œ " ß   "  B  ß "  B  B# como combinación lineal de F" œ "  ß  B ß B# .

˜ ™

˜

2°)      

Sea +  , B  - B# − F#  tal que:

+  , B  - B# œ ! Ð"Ñ  " ÐBÑ  #  ÐB# Ñ

resolviendo el siguiente sistema: ! " 

3°)

œ+ œ, #  œ - 

Ê ! œ + à "  œ , à #  œ -

Si +  , B  - B# œ "

 

Ê

Ò"ÓF " œ

 

ÔÕ ×Ø Ô × Õ Ø Ô × Õ Ø " ! !

" " !

 

Si +  , B  - B# œ "  B  

Ê

Ò"  BÓF " œ

 

Si +  , B  - B œ "  B  B   Ê

#

4°)

Luego, la MATRIZ DE TRANSICIÓN O DE CAMBIO DE BASE es:

#

#

F "

 

  ÎÏ

ÒEÓ F # œ

"

"

"

! !

" !

" "

Ò"  B  B ÓF " œ

" " "

ÒÑ

(6.8) TEOREMA:   Sean F" y F# bases de un espacio vectorial Z   . F #

(6.8.1) Si ÒEÓ F  es la matri matrizz de transición transición o de cambio de base. "

 

F #

Entonces para todo @ − Z se tiene que Ò@Ó F œ ÒEÓ F  Ò@Ó F  #

"

"

™

"

(6.8.2) Si ÒEÓ F F "# es la matriz de transición de F" a F# .

 

F 

En Ento tonc nces es ( ÒEÓ F # ) " es la ma matr triz iz de tran transi sici ción ón de F# a F" .

 

 

"

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UNIDAD N° 5:

 

  TRANSFORMACIONES TRANSFORMACIONES LINEALES

PÁG. 242

TEMA 1: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE TRANSFORMA TRANSFORMACIÓN CIÓN LINEAL OBJETIVO OPERACIONAL: OPERACIONAL: Determinar si una función es una TRANSFORMACIÓN LINEAL. OBJETIVO OPERACIONAL: OPERACIONAL: Construir una transformación lineal, dadas ciertas condiciones particulares.

(1.1) DEFINICIÓN:   Sean Z y [ espacios vectoriales sobre el cuerpo Š; y sea X  una función tal que: X À Z Ä [ ; @ È X Ð@Ñ œ A Þ   Diremos que X es una TRANSFORMACIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL DE Z en [  si se verifican las siguientes propiedades:    

3)

X Ð@"  @# Ñ œ X Ð@ " Ñ  X Ð@# Ñ

3 3)

X Ð! @Ñ œ ! X Ð@Ñ

; para todo @" , @# − Z Þ ; para todo ! − Š , @ − Z . 

 

(1.2) OBSERVACIÓN: a) En lugar de 3 ) y 3 3) de la definición, resumimos en la siguiente:  

X Ð@"  ! @# Ñ œ X Ð@" Ñ  ! X Ð@# Ñ ; para todo ! − Š; @" ,@# − Z Þ

b) A las transformaciones lineales; también se les llama OPERADORES LINEALES. (1.3) TIPOS DE TRANSFORMACIONES TRANSFORMACIONES LINEALES: a) La transformación lineal cero está definida por:   X À Z Ä [ tal que X Ð@Ñ œ ![  à para todo @ − Z Þ DEMOSTRACIÓN:   USANDO (1.1): 1°)    

Sean @" , @# − Z ; verifiquemos que X Ð@"  @# Ñ œ X Ð@" Ñ  X Ð@# Ñ. En efecto: X Ð@ Ð@  @ Ñ œ !

œ! !

œ X ÐÐ@ @ Ñ  X ÐÐ@ @ ÑÞ

"

#

[

[

[

"

#

2°)    

Sean ! − Š ß @ − Z ; verifiquemos que X Ð! @Ñ œ ! X Ð@ÑÞ En efecto:

3°)

Luego; por 1°) y 2°) X  es transformación lineal.

X Ð! @Ñ œ ![ œ ! ![  œ ! X ÐÐ@ @Ñ Þ

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PÁG. 243

b) La transformación lineal identidad está definida por:   X À Z Ä Z     tal que   X Ð@Ñ œ @ à para todo @ − Z Þ DEMOSTRACIÓN:   USANDO (1.1): 1°) Sean @" , @# − Z ; verifiquemos que X Ð@"  @# Ñ œ X Ð@" Ñ  X Ð@# Ñ.   En efecto: X Ð@ Ð @"  @# Ñ œ @"  @# œ X ÐÐ@ @" Ñ  X ÐÐ@ @# Ñ Þ

2°)  

Sean ! − Š ß @ − Z ; verifiquemos que X Ð! @Ñ œ ! X Ð@ÑÞ En efecto: X Ð! @Ñ œ ! @ œ ! X ÐÐ@ @Ñ Þ

3°)

Luego; por 1°) y 2°) X  es transformación lineal.

c) La transformación lineal de reflexión está definida por:   X À ‘# Ä ‘# tal que   X ÐBß CÑ œ Ð  Bß CÑ DEMOSTRACIÓN:   USANDO (1.2) a) : 1°) Sean ! − ‘ ; ÐB" ß C" Ñ , ÐB# ß C# Ñ −  ‘# ; verifiquemos que   X ÐÐ ÐÐB" ß C" Ñ  ! ÐB# ß C# ÑÑ œ X ÐÐB B" ß C" Ñ  ! X ÐÐB B# ß C# Ñ.   En efecto:   X ÐÐ ÐÐB" ß C" Ñ  ! ÐB# ß C# ÑÑ œ X ÐÐB B"  ! B# ß C"  ! C# Ñ   œ Ð  B"  ! B# ß C"  ! C# Ñ   œ Ð  B" ß C" Ñ  Ð  ! B# ß ! C# Ñ   œ X ÐÐB B" ß C" Ñ  !Ð  B# ß C# Ñ   2°)

œ X ÐÐB B" ß C" Ñ  ! X ÐÐB B# ß C# Ñ

Luego; X  es transformación lineal.

d) La transformación lineal de rotación en un ángulo ) en sentido contrario a las manecillas del reloj; está definida por:   X À ‘# Ä ‘# tal que   X Ð< Ð< - 9 9= = ! ß < =/8 !Ñ œ Ð< - 9 9= = Ð)  !Ñ ß < = =/ /8 Ð)  !ÑÑ

DEMOSTRACIÓN:   USANDO (1.2) a) : 1°)      

‘;   # Sean Ð