Algebra Lineal 6ta Edicion Stanley Grossman

By Manchester91 (Chihuahua, México) para libreria-universitaria.blogspot.com

M e G ra w H ill

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By manchester91

A l g e b r a lin ea l SEXTA EDICIÓN

S t a n l e y I. G r o s s m a n S. Un iv e r s it y o f M ontana Un iv e r s it y Co l l e g e Lo n d o n

Revisión y adaptación: Jo s é J o b F l o r e s G o d o y U n iv e r s id a d I b e r o a m e r ic a n a

Revisión técnica: A

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bela r d o

M o n terrey,

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C u l ia c á n

Me Graw MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA LISBOA - MADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • SÁO PAULO • MONTREAL • NUEVA DELHI SAN FRANCISCO • SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO

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A

rroyo

Pa r r a l , C h ih u a h u a

Director Highcr Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayón Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez Editora de desarrollo: Lorena Campa Rojas Supervisor de producción: Zeferino García García

ÁLGEBRA LINEAL Sexta edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

McGraw-Hill \:'m interamericana DERECHOS RESERVADOS «' 2008. respecto a la sexta edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES. S.A. DE C.V. A Subsidian• o fT h e McGraw-Hil! Comptmies, Inc. Prolongación Paseo de la Reforma 1015. Torre A Piso 17. Colonia Desarrollo Santa Fe Delegación Alvaro Obregón C.P. 01376, México. D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 736

ISBN-10: ISBN-13: ISBN-10: ISBN-13:

970-10-6517-4 978-970-10-6517-4 970-10-6773-8 (Quinta edición cambio de portada) 978-970-10-6773-4

Traducido y adaptado de la quinta edición en inglés de ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA WITH APPLICATIONS. Copyright < 2007. by Stanley I. Grossman S. ISBN 0-03-097354-6 1234567890

09765432108

Impreso en China

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Pa r a K e r s t i n , A a r o n y E r i c k

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CONTENIDO 1

S is t e m a s de e c u a c io n e s l i n e a l e s

m a t r ic e s

y

l.l

Introducción l

l .2

Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

l .3

m ecuaciones con 11 incógnitas: elim inación de G auss-Jordán y gaussiana Semblanza d e .. . C a ri F ried ricli Gauss Introducción a M ATLAB

2 21

28

l .4

Sistemas hom ogéneos de ecuaciones

1.5

Vectores y matrices

36

42

Semblanza de. . . S ir IVilliam Rowan Ham ilton

52

1.6

Productos vectorial y m atricial 57 Semblanza de. . . A rllu ir Cay ley y el álgebra de matrices

1.7

M atrices y sistemas de ecuaciones lineales

l .8

Inversa de una m atriz cuadrada

l .9

Transpuesta de una m atriz

118

1. 11 Factorizaciones L U de una m atriz 1.

12 Resumen

136

159 164

D e t e r m in a n t e s Definiciones

168

168

Propiedades de los determ inantes 2.3

124

Teoría de gráficas: una aplicación de m atrices 152

Ejercicios de repaso

2. 1

182

D em ostración de tres teorem as im portantes y algo de historia Semblanza de. . . Breve historia de los determinantes

2.4

D eterm inantes e inversas

2.5

Regla de C ram er (opcional) Resumen

204 212

217

Ejercicios de repaso

3

218

V ec to r es en C 2 y E 3

220

3 .1 Vectores en el plano 220 3.2 El producto escalar y las proyecciones en R : 3.3 Vectores en el espacio

234

244

3.4 El producto cruz de dos vectores

254

Semblanza d e .. . Josiali Willard Gibbs y los orígenes del análisis vectorial 3.5

71

87

94

l . 10 M atrices elementales y m atrices inversas

2

1

259

Rectas y planos en el espacio Resumen 275 Ejercicios de repaso

277

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263

203

By manchester91 V III

Contenido

4

E s p a c io s v e c t o r i a l e s 4.1

Introducción

4.2

Definición y propiedades básicas

281

281 281

4.3

Subespacios

4.4

C om binación lineal y espacio generado

293

4.5

Independencia lineal

4.6

Bases y dim ensión

4.7

314 332

Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las colum nas de una m atriz

343

4.8

C am bio de base

4.9

Bases ortonorm ales y proyecciones en I>

366

4.10 Aproxim ación por m ínim os cuadrados 4 .ll

299

387 411

Espacios con producto interno y proyecciones

432

4.12 F undam entos de la teoría de espacios vectoriales: existencia de una base (opcional) 444 Resumen

449

Ejercicios de repaso

5

T r a n s f o r m a c io n e s l in e a l e s

458

5.1

Definición y ejemplos

5.2

Propiedades de las transform aciones lineales: imagen y núcleo

5.3

Representación matricial de una transform ación lineal

5.4

Isom orfism os

5.5

Isom etrías Resumen

458 472

479

503 5 10 518

Ejercicios de repaso

6

455

521

V a l o r e s c a r a c t e r ís t ic o s , v e c t o r e s c a r a c t e r ís t ic o s Y FORMAS CANÓNICAS 6. 1

524

Valores característicos y vectores característicos

6.2

Un m odelo de crecimiento de población (opcional)

6.3

M atrices semejantes y diagonalización

6.4

M atrices simétricas y diagonalización ortogonal

524 546

555 567

6.5

Form as cuadráticas y secciones cónicas

6.6 6.7

Form a canónica de Jordán 586 U na aplicación im portante: form a matricial de ecuaciones diferenciales

6.8

575

U na perspectiva diferente: los teorem as de Cayley-Ham ilton y G ershgorin Resumen

607 615

Ejercicios de repaso

620

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595

Contenido

Apéndice 1

Inducción matemática

622

Apéndice 2

Números complejos

630

Apéndice 3

El error numérico en los cálculos y la complejidad computacional

Apéndice 4

Eliminación gaussiana con pivoteo

Apéndice 5

Uso de MATLAB

Respuestas a los problemas impares

índice

C ap ítu lo 1

658

C ap ítu lo 2

683

C ap ítu lo 3

688

C apítulo 4

701

C ap ítu lo 5

725

C ap ítu lo 6

734

A péndices

752

656 658

757

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640 649

CONTENIDO DE LOS PROBLEMAS CON MATLAB Se enumeran los conjuntos de problemas de M ATLAB y los temas de interés especial.

1

S i s t e m a s d e e c u a c io n e s l i n e a l e s y m a t r i c e s Introducción a MATLAB

28

T utoría de MATLAB l .3

30

m ecuaciones con n incógnitas: elim inación de G auss-Jordan y gaussiana Distribución de calor

Modelo de insumo-producto de L eo n tief

1.4

Flujo de tráfico 34 Ajuste de polinomios a puntos 35 Sistemas homogéneos de ecuaciones

1.5

Vectores y matrices

Balanceo de reacciones químicas

34

41 41

55

C aracterísticas de M ATLAB. Introducción eficiente de matrices dispersas l .6

Productos vectorial y m atricial M atriz triangular superior 83 M atrices nilpotentes

84 84

M atrices de contacto Cadena de Markov

84 84

PR O B LEM A PROYECTO: m atriz de población l l.8

.7

86

M atrices y sistemas de ecuaciones lineales 92

Inversa de una matriz cuadrada Tipos especiales de matrices

113 11 5

Perturbaciones: matrices cercanas a una m atriz no invertible Criptografía 1.9

116

117

T ranspuesta de una m atriz 122 PR O BLEM A PROYECTO: matrices ortogonales

1.10 M atrices elementales y matrices inversas 1.11 Factorizaciones LU de una m atriz

2

56

81

83

M atrices por bloques Producto exterior

123

134

150

D e t e r m in a n t e s 2.1

Definiciones

179

archivo tipo M , ornt.m ilustración de la orientación de vectores antes v después de la manipulación de matrices

181

2.2

Propiedades de los determ inantes

2.4

D eterm inantes e inversas 210 PRO BLEM A PROYECTO: encriptado y desencriptado de mensajes

2.5

Regla de C ram er

31

33

198

216

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2 11

Contenido de los problemas de MATLAB

V ec to r es en C 2 y C 3 3.1

Vectores en el plano

231

archivo tipo M , lincomb.m ilustración de un vector como una combinación linea! de dos vectores no paralelos 3.2

233

El producto escalar y las proyecciones en !>’

243

archivo tipo M , prjtn.m ilustración de la proyección de un vector sobre otro 3.4

243

El producto cruz de dos vectores

263

E s p a c io s v e c t o r i a l e s 4.2

Definición y propiedades básicas

288

4.3

espacios vectoriales Subespacios 299

4.4

Com binación lineal y espacio generado

archivo tipo M , vctrsp.m ilustración de algunos axiom as en 288 305

Visualizítción de las combinaciones lineales

305

archivo tipo ¡VI, combo.m ilustración de las combinaciones lineales de dos vectores

305

archivo tipo ¡VI, lincomb.m ilustración de un vector como combinación lineal por partes de tres vectores 307 Aplicación 4.5

312

Independencia lineal

328

Ciclos en digráficas e independencia lineal

331

4.6

Bases y dimensión

4.7

Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las

341

colum nas de una m atriz

358

Aplicación geométrica del espacio nido

359

Aplicación del espacio nulo a sistemas de ecuaciones Exploración del rango de m atrices especiales Rango v productos de matrices

360

363

363

PROBLEM A PROYECTO: ciclos en dignificas

364

PROBLEM A PROYECTO: subespacio suma y subespacio intersección 4.8

C am bio de base

378

Cambio de base por rotación en lV rotaciones inclinar, desviar y rodar 385. 387 4.9

Bases ortonorm ales y proyecciones en 13" Proyección sobre un plano en 13''

405

M atrices ortogonales: longitud y ángulo Matrices de rotación Reflectores elementales

403 408

409 410

PROBLEM A PROYECTO: matrices de rotación; cambio de base en I ?

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Contenido de los problemas de MATLAB

4.10 A proxim ación por m ínim os cuadrados Eficiencia de combustible

424

426

Manufactura: temperatura y fuerza

427

archivo tipo ¡VI, mile.in datos en fo rm a vectorial sobre el año y los tiempos récord de carreras de una milla Crecimiento de población Geología minera

427

427

429

PRO BLEM A PROYECTO: geología petrolera

429

4.11 Espacios con producto interno y proyecciones

443

T r a n s f o r m a c io n e s l in e a l e s 5.1

Definición y ejemplos

467

5.3

archivo tipo M, grafios.m gráficas por computadora usando matrices Representación matricial de una transform ación lineal 500

Gráficas en computadora: creación de una figura

Proyecciones Reflexiones

467 468

500 501

PRO BLEM A PROYECTO: creación de gráficas y aplicación de transformaciones 5.4

Isom orfism os

5.5

Isom etrías

502

509 517

V a l o r e s c a r a c t e r ís t ic o s , v e c t o r e s c a r a c t e r ís t ic o s Y FORMAS CANÓNICAS 6.1

Valores característicos y vectores característicos Teoría de gráficas Geología

6.2

545

Un m odelo de crecimiento de población Poblaciones de pájaros

551

551

Teoría de gráficas 554 PRO B LEM A PROYECTO: gráficas de mapas 6.3

M atrices semejantes y diagonalización Geometría

M atrices simétricas y diagonalización

6.5

Form as cuadráticas y secciones cónicas

574

574

6.6 Form a canónica de Jordán 6.8

555

565

566

6.4

Geometría

540

543

585

594

U na perspectiva diferente: los teorem as de Cayley-H am ilton y G ershgorin

607

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PREFACIO A nteriorm ente el estudio del álgebra lineal era parte de los planes de estudios de los alum nos de m atem áticas y física principalm ente, y tam bién recurrían a ella aquellos que necesitaban conocim ientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas com o la estadística multivariable. Hoy en día. el álgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las co m putadoras y al aum ento general en las aplicaciones de las matem áticas en áreas que. por tradición, no son técnicas.

PRERREQUISITOS Al escribir este libro tuve en mente dos metas. Intenté volver accesibles un gran número de tem as de álgebra lineal para una gran variedad de estudiantes que necesitan únicam ente cono­ cim ientos firmes del álgebra correspondientes a la enseñanza media superior. Com o m uchos estudiantes habrán llevado un curso de cálculo de al m enos un año. incluí tam bién varios ejem­ plos y ejercicios que involucran algunos tem as de esta m ateria. Estos se indican con el sím bolo ICAlculoI. La sección 6.7 es opcional y sí requiere el uso de herram ientas de cálculo, pero salvo este caso, el cálculo no es un prerrequisito para este texto.

A p l ic a c io n e s Mi segunda m eta fue convencer a los estudiantes de la im portancia del álgebra lineal en sus cam pos de estudio. De este m odo el contexto de los ejemplos y ejercicios hace referencia a dife­ rentes disciplinas. Algunos de los ejemplos son cortos, com o las aplicaciones de la m ultiplica­ ción de m atrices al proceso de contagio de una enferm edad (página 62). O tros son un poco m ás grandes; entre éstos se pueden co n tar el m odelo de insum o-producto de Leontief (páginas 18 a 19 y 103 a 106), la teoría de gráficas (sección 1.12). ia aproximación por m ínim os cuadrados (sección 4.10) y un modelo de crecim iento poblacional (sección 6.2). Además, se puede en contrar un número significativo de aplicaciones sugestivas en las sec­ ciones de MATLAB®.

T e o r ía Para muchos estudiantes el curso de álgebra lineal constituye el prim er curso real de matemáticas. Aquí se solicita a los estudiantes no sólo que lleven a cabo cálculos matemáticos sino también que desarrollen demostraciones. Intenté, en este libro, alcanzar un equilibr o entre la técnica y la teo­ ría. Todas las técnicas im portantes se describen con minucioso detalle y se ofrecen ejemplos que ilustran su utilización. Al mismo tiempo, se dem uestran todos los teoremas que se pueden probar utilizando resultados dados aquí. Las dem ostraciones más difíciles se dan al final de las secciones o en apartados especiales, pero siempre se dan. El resultado es un libro que proporcionará a los estudiantes tan to las habilidades algebraicas para resolver problemas que surjan en sus áreas de estudio com o una mayor apreciación de la belleza de las matemáticas.

CARACTERÍSTICAS La sexta edición ofrece nuevas características, y conserva la estructura ya probada y clásica que tenía la quinta edición. Las nuevas características se enum eran en la página xv.

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Prefacio

E je m p l o s Los estudiantes aprenden m atem áticas m ediante ejemplos com pletos y claros. La sexta edición contiene cerca de 350 ejemplos, cada uno de los cuales incluye lodos los pasos algebraicos ne­ cesarios p ara com pletar la solución. En m uchos casos se proporcionaron secciones de ayuda didáctica p ara facilitar el seguimiento de esos pasos. A dicionalm ente, se otorgó un nom bre a los ejemplos con el objeto de que resulte más sencillo entender el concepto esencial que ilustra cada uno.

E je r c ic io s El texto contiene cerca de 2750 ejercicios. Al igual que en todos los libros de m atemáticas, éstos constituyen la herram ienta más im portante del aprendizaje. Los problemas conservan un orden de acuerdo con su grado de dificultad y existe un equilibrio entre la técnica y las de­ m ostraciones. Los problem as más com plicados se encuentran m arcados con un asterisco (*) y unos cuantos excepcionalm ente difíciles con dos (**). Éstos se com plem entan con ejercicios de problem as impares, incluyendo aquellos que requieren dem ostraciones. De los 2 750 ejercicios, alrededor de 300 son nuevos. M uchos de ellos han sido aportados p or profesores destacados en su im partición de la m ateria. Tam bién hay varios problem as en las secciones de "M anejo de calculadora" y “ M A TLA B". En dicha sección se hablará más sobre estas características.

Teo r em a d e resu m en U na característica im portante es la aparición frecuente del teorem a de resumen, que une temas que en apariencia no tienen nada en com ún dentro del estudio de matrices y transform aciones lineales. En la sección 1.2 (página 4) se presenta el teorem a p or vez prim era. En las secciones 1.8 (p. 106). 1.10 (p. 128). 2.4 (p. 208). 4.5 (p. 320). 4.7 (p. 353), 5.4 ) La gráfica del sistem a está sobre el eje y. c) La gráfica de la solución es una recta. d) La gráfica de la solución es el punto de intersección de dos líneas. III. ¿Cuál de las aseveraciones que siguen es cierta para el siguiente sistema de ecua­ ciones? 3a - 2 y = 8 4a + y = 7 a) El sistema es inconsistente. h) La solución es ( - 1. 2). c) La solución se encuentra sobre larecta x = 2. d) Las ecuaciones son equivalentes. IV. De las siguientes ecuaciones que se presentan, ¿cuál de ellas es una segunda ecuación para el sistema cuya primera ecuación es x — 2y = —5 si debe tener un número infi­ nito de soluciones? a) 6y = 3a + 15 X

1

h) 6 x - 3j- = - 1 5

, 5

A3

c )y = --x +¿ .2

„

15

d ) - x = 3y + — 2 2

V. ¿Cuál de las gráficas de los siguientes sistemas es un par de rectas paralelas? a) 3* —2y = 7

b) x — 2y =

4y = 6x — 14

3a = 4 +

c) 2x + 3y = 7

d) 5,r + y —

3a- - 2y = 6

l y = 3x

7 6y 1

En los problem as 1 a 16 encuentre las soluciones (si las hay) de los sistemas dados. En cada caso calcule el valor de — «,,«•>,• 1.

.v - 3y = 4 -4.v + 2y = 6

5.IO.y - 40y = 30 - 3 a + 12y = - 9 0 9.

13.

2. 5.v - 7y = 4 -.y + 2y = - 3

3.

2x - y = - 3 5.v + 7y = 4

4.

6.

2.v - 8y = 6 - 3 a + 12y = - 9

7.

6a + y = 3 -4 a - y = 8

8. 5a + y = 7a + 3y =

0 0

4a - 6 y = 0 -2 a + 3y = 0

II.

5a + 2 y = 3 2a + 5 y = 3

12. 4a + ly = 7a - 4 y =

3

ax + by = c ax — by = c

15. ax + by = c bx + ay = c

16. ax — by — bx + ay =

c d

3a + y = 0 2a - 3 y = 0

10.

+ 3y = 4 + 4y = 5

14.

2a 3a

2x - 8y = 5 —3a + 12y = 8

3

17. Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales determ ine para qué valores de K el sistema tiene solución única; justifique su solución. Kx +

y +

- = 1

a + Ky +

2 = 1

a +

y + Kz = I

18. En el siguiente sistema de ecuaciones lineales determ ine para qué valores de K el sistema: a)

N o tiene solución

b) Tiene soluciones infinitas c) Tiene solución única

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6

C

a p ít u l o

1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

2.v a- -

y - Kz = 0 y -

2: = 1

- a - + 2y

= A:

19. E ncuentre las condiciones sobre « y /> tales que el sistema en el problem a 14 tenga una solución única. 20. Encuentre las condiciones sobre a, b y c tales que el sistema del problema 15 tenga un nú­ m ero infinito de soluciones. 21. E ncuentre las condiciones sobre a, b, c y el tales que el problem a 16 no tenga solución. En los problem as 22 al 29 encuentre el punto de intersección (si hay uno) de las dos rectas. 22. x - y = 7; 24. v - 2 x = 4;

2x + 3y = 1 4 x - 2y = 6

26. 4.v - 6 v = 10: 28. 2y - 3.v =0;

6,v - 9 r = 15

23. 2a- - 2y = 3:

3.v + l y = - 1

25. 4 . v - 6 v = 7 :

6.y - 9 v = 1 2

27. 3a- + y = 4;

l y - 5.v = 9

29. 3.v + Ay = 5;

y - 5x = 2 6.v - ly = 8

Sea L una recta y L la recta perpendicular a L que pasa a través de un punto dado P. La dis­ tancia de L a P se define como la distancia3 entre P y el punto de intersección de L y L t . En los problem as 30 a 36 encuentre la distancia entre la recta dada y el punto. 30. x — y =

(0,0)

32. 3.v + v = 7;

(5 ,- 3 )

(0 ,0 )

33. 5a- - 6y = 3;

(2, f )

35. 3 v - 7 a- = 0;

( -1 ,-5 )

(1,2)

34. 2v - 5a- = - 2 ; 36. 6y + 3a- = 3;

31. 2 r + 3 v = - l ;

(8, - 1)

37. E ncuentre la distancia entre la recta 2:c — y = 6 y el punto de intersección de las rectas 3.v — 2y = 1 y 6.v -1- 3j? = 12. 38. Pruebe que la distancia entre el punto (.y,, y ) y la recta a x + by = c está dada por

d_ K

+

~ cl

39. En un zoológico hay aves (de dos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el zoológico contiene 60 cabezas y 200 patas, ¿cuántas aves y bestias viven en él? 40. Suponga que tfna ,, - fl|2a2| = 0. D em uestre que las rectas dadas en el sistema de ecuacio­ nes (1) son paralelas. Suponga que au =£ 0 o « p # Oy ^ 0 o a ,2 ^ 0. 41. Si existe una solución única al sistema (1), m uestre que a n«,, 42. Si

#0.

— «pf/,, =^0 demuestre que el sistema (1) tiene una solución única.

43. La com pañía Sunrise Porcelain fabrica tazas y platos de cerám ica. Para cada taza o plato un trabajad o r m ide una cantidad fija de m aterial y la pone en la m áquina que los form a, de donde pasa al vidriado y secado autom ático. En prom edio, un trabajador necesita tres m inutos p ara iniciar el proceso de una taza y dos m inutos para el de un plato. El material

3 Recuerde que si (x., y,) y (x„ y.) son dos puntos en el plano xy, entonces la distancia d entre ellos está dada por cR quiere decir “ reemplaza el i-csimo renglón por ese mismo renglón multiplicado por c". [Para multiplicar el /-ésimo renglón por c se multiplica cada número en el /-ésimo renglón por c.) 2. R —> R. + cR. significa sustituye el /-ésimo renglón por la sum a del renglón / más el renglón i m ultiplicado por c. 3. R 5=s R quiere decir “ intercam biar los renglones i y / '. 4. A

B indica que las matrices aum entadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución.

En el ejemplo 1 se vio que al usar las operaciones elementales con renglones i) y ii) varias veces, se puede obtener un sistema cuyas soluciones estén dadas en form a explícita. A hora se repiten los pasos del ejemplo I usando la notación que se acaba de introducir: '2

4

6

18'

A

5

6

24

,3

1

4J

-2

'l

I

0

0

} 4

5

3

1

\

3

1

9'

ii

?“

1|

A«

-1 1

|

V0 - 5

0

2

2

0

1 0

'\

24

0 -2

-2 3 y

R?->R?

2/?,

2

1 0

-5

0 )

0

1

\0

0

I

o

0

1 o

0

0

-1 2 -1

1

r

1

A “t

|

3

-1 1

- 3,

o I

De nuevo se puede “ver” de inmediato que la solución es ,v, = 4, a\ = - 2 , a , = 3.

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9' -1 2

-3

4,

/?,— >/?, - 2R? R3~>R3 i 5R2

/?]->/?j + Rj

4/?, Ri >fi3 3R1 ,

9

3 A

~ 23,

1.3

EJEM P LO 2

m ecuaciones con n incógnitas

11

Solución de un sistem a de tres ecuaciones con tres incógnitas: núm ero infinito de soluciones

Resuelva el sistema 2.\'| + 4.v, +

6.v, = 18

4. y, + 5.v, + 2.

■

Solución

,

y

6,v, = 24

+ 7.v, + 12.v, = 30

Para resolver este sistema se procede com o en el ejemplo 1, esto es. primero se escribe el sistema com o una m atriz aum entada: '2

4

6 |

18'

4

5

6 |

24

2

7 12 |

30

Después se obtiene, sucesivamente. 'l

L

3

5

6

24

2

7

12

30

'1

—> /?2—4/?j ftj— >/?3—2 /?,

9'

4

2

0

-3

\0

3

rl

2

3

9'

0

ii

o

“4T

0

3

6

12 ;

+

-v, = I

.v: +

2 x3 = 4

9'

3 -6

-1 2

6 /?|—>/?j

0

2R?

- 3R2

-1

i'

0

1

2

*A

,0

0

o

o,

Esto es equivalente al sistema de ecuaciones -y ,

H asta aqui se puede llegar. Se tienen sólo dos ecuaciones para las tres incógnitas a , , a , , .y, y existe un núm ero infinito de soluciones. Para com probar esto se elige un valor de x y Entonces .v2 = 4 - 2.y, y x , = 1 + x y Ésta será una solución para cualquier número x y Se escribe esta solución en la form a (1 + x y 4 - 2xy x }). Por ejemplo, si x } = 0, se obtiene la solución (1 .4 , 0). Para x } = 10 se obtiene la solución (1 1, —16, 10), y p or ello para cada valor de a- habrá una solución distinta. EJEM P LO 3

Sistem a inconsistente

Resuelva el sistema + 3.y3 =

2-y;

4

2.y , — 6 x , + 7 .y , = 15

(6 )

.y , - 2.X-, + 5.y, = 10

■

Solución

La m atriz aum entada para este sistema es '0 2

J

3

|

2 - 6

7

-2

41 | 5

15 |

10,

El elem ento 1,1 de la matriz no se puede hacer 1 com o antes porque al m ultiplicar 0 por cual­ quier núm ero real el resultado es 0. En su lugar se puede usar la operación elem ental con

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By manchester91 12

C

a p ít u l o

1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

renglones ¡ii) para obtener un núm ero distinto a cero en la posición 1,1. Se puede intercam biar el renglón 1 con cualquiera de los otros dos; sin em bargo, al intercam biar los renglones I y 3 queda un 1 en esa posición. Al hacerlo se obtiene lo siguiente: '0

V

2

3

4'

2

-6

7

15

1

-2

5

10 /

'1 2 ,0

-2

10'

5

-6

7

2

3

'\ R,-> R, - 2 R,

15

/

4/

0 k0

-2 -2

5 -3

2

3

1 I 1

10' —S

4/

Es necesario detenerse aquí porque, com o se ve. las últim as dos ecuaciones son - 2 a-, - 3 a-, 2 a-,

= -5

+ 3 a-, =

4

lo cual es imposible (si —2.v. - 3.v{ = - 5 , entonces 2a\ + 3a-, = 5, no 4). Así no hay una solución. Se puede proceder como en los últim os dos ejemplos para obtener una form a más estándar: '\ 0

-2 5 i1 1 2 2 3

10 ' 5_ 2 4/

«,->/?, + 2Ri RX->RX 2R:

'i ) 0

0 8 1 15' 5 11 l i 2 1 2 0 0 l -i /

A hora la últim a ecuación es 0a-; + Oa-, + Oa-, = - 1 , lo cual tam bién es imposible ya que 0 ^ —1. Así. el sistema (6 ) no tiene solución. En este caso se dice que el sistema es inconsistente.

D e f in ic ió n

Sistem as inconsistentes y consistentes

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente si no tiene solución. Se dice que un sistema que tiene al m enos una solución es consistente.

Se analizarán de nuevo estos tres ejemplos. En el ejemplo 1 se com enzó con la m atriz de coefi­ cientes

En el proceso de reducción por renglones, A t se “redujo” a la m atriz

R, =

r\

0

0^

0

1

0

0

0

2

4

6^

4

5

6

2

7

1

En el ejemplo 2 se com enzó con

A, =

12

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1.3

m ecuaciones con n incógnitas

13

y se term inó con I

0

R. = 0

1

0

0

En el ejem plo 3 se comenzó con 0

2

3)

2 - 6

7

1 -2

5

y se term inó con

Las m atrices R r /?„ R, se llam an formas escalonadas reducidas por renglones de las matrices A r A , y A } respectivamente. En general, se tiene la siguiente definición:

D e f in ic ió n

□

Forma escalonada reducida por renglones y pivote

U na m atriz se encuentra en la forma escalonada reducida por renglones si se cum plen las siguientes condiciones: i. Todos los renglones (si los hay) cuyos elem entos son todos cero aparecen en la p ar­ te inferior de la matriz. ii. El prim er número diferente de cero (com enzando p or la izquierda) en cualquier renglón cuyos elem entos no todos son cero es I . iii. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el

renglón de abajo está más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba. iv. C ualquier colum na que contiene el prim er 1 en un renglón tiene ceros en el resto de

sus elementos. El prim er núm ero diferente de cero en un renglón (si lo hay) se llama pivote p ara ese renglón.

Nota. La condición iii) se puede reescribir com o “el pivote en cualquier renglón está a la dere­ cha del pivote del renglón anterior” . EJEM P LO 4

Cinco m atrices en la form a escalonada reducida por renglones

Las siguientes m atrices están en la forma escalonada reducida por renglones:

0

O

O

,0

o

ii.

o

1 0

o

O

o 0

1 0

0

0

1,

0

iii.

1 0 .0

0

0

5

1 2 ,

1 0 iv.

'1

0^

\0

1/

V.

Las m atrices i y ii tienen tres pivotes: las otras tres matrices tienen dos pivotes.

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0 \0

2

5'

1 3

6

0

0/

0

C

a p ít u l o

D e fin ic ió n

I

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Forma escalonada por renglones

Una m atriz está en la forma escalonada por renglones si se cumplen las condiciones /), i i) y iii) de la definición 2.

Cinco m atrices en la form a escalonada por renglones

Las siguientes m atrices se encuentran en la form a escalonada por renglones: '1

2

3'

0

1

5

0

0

1

' i

0

2

i. \

iii.

,0

0

'

y

V

5'

1

-1

1

ii.

4'

6

0

1

2

- 8

0

0

0

1

iv.

2,

'l

2'

,0

V.

'l

3

2

5'

0

1

3

6

0

0

0,

1, ,0

N ota. Por lo general, la forma escalonada p or renglones de una m atriz no es única. Es decir, una m atriz puede ser equivalente, en sus renglones, a más de una m atriz en form a escalonada por renglones. Por ejemplo

V

5' 6

0

1/

0

' 1 ---- í--- !--- í—> 0

2 - 1 1

- f

3

6

= B

O

0

2 1 3

O

'1 3 A= 0

O

EJEM PLO 5

O

14

m uestra que las dos m atrices anteriores, am bas en form a escalonada p or renglones, son equiva­ lentes por renglones. Así, cualquier m atriz para la que A es una form a escalonada p or renglo­ nes, tam bién tiene a B com o forma escalonada p or renglones. Observación I. La diferencia entre estas dos form as debe ser evidente a partir de los ejemplos. En la forma escalonada por renglones, todos los números abajo del prim er 1 en un renglón son cero. En la form a escalonada reducida por renglones, todos los números abajo y arriba del prim er 1 de un renglón son cero. Así, la form a escalonada reducida por renglones es m ás exclu­ siva. Esto es, en toda m atriz en form a escalonada reducida por renglones se encuentra tam bién la form a escalonada p o r renglones, pero el inverso no es cierto. Observación 2. Siempre se puede reducir una m atriz a la form a escalonada reducida por renglo­ nes o a la form a escalonada por renglones realizando operaciones elementales con renglones. Esta reducción se vio al obtener la form a escalonada reducida por renglones en los ejemplos 1,2 y 3. C om o se vio en los ejemplos 1, 2 y 3, existe una fuerte relación entre la form a escalonada reducida p o r renglones y la existencia de la solución única para el sistema. En el ejem plo 1 dicha form a para la m atriz de coeficientes (es decir, en la prim eras tres colum nas de la m atriz aum entada) tenían un 1 en cada renglón y existía una solución única. En los ejemplos 2 y 3 la form a escalonada reducida por renglones de la m atriz de coeficientes tenía un renglón de ceros y el sistema no tenía solución o tenía un número infinito de soluciones. Esto siempre es cierto en cualquier sistema de ecuaciones con el mismo núm ero de ecuaciones e incógnitas. Pero antes de estudiar el caso general se analizará la utilidad de la form a escalonada p er renglones de una m atriz. Es posible resolver el sistema en el ejemplo 1 reduciendo la m atriz de coeficientes a esta forma.

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1.3

EJEM P LO 6

m ecuaciones con n incógnitas

15

Solución de un sistem a m ediante elim inación gaussiana

Resuelva el sistema del ejemplo I reduciendo la m atriz de coeficientes a la form a escalonada por renglones.

■

Solución

Se com ienza com o antes: '2

4

6

|

4

5

6

| 24 ------- -— > 4

, 3 I - 2 |

18

'1 2

4,

5

3

|

6

|

9' 24

, 3 I - 2 | ' 1 2

3

0

-3

-6

\0

-5

-II

|

4, 9'

-12

' 1 2 — - 1~ > 0

1

,0

5

-2 3 ,

3

|

9'

2

|

4

-11

|

-2 3 ,

H asta aquí, este proceso es idéntico al anterior; pero ah o ra sólo se hace cero el núm ero ( —5) que está abajo del primer 1 en el segundo renglón: '1 0

2 |1

0

0

+ 5Ry

S u s t it u c ió n

L

HACIA ATRÁS

E l im in a c ió n GAUSSIANA

3 2 -1

9' A

1 1

-3 ,

R: ~*~Ry

'1

2

3

9'

0

I 1

2

4

0

0

1

3J

) \

La m atriz aum entada del sistema (y los coeficientes de la m atriz) se encuentran ah o ra en la form a escalonada por renglones y se puede ver de inm ediato que .y , = 3. Después se usa la sustitución hacia atrás para despejar prim ero x 2 y después .vr La segunda ecuación queda x 2 + 2.v, = 4. Entonces .y , + 2(3) = 4 y .y , = - 2 . De igual m anera, de la prim era ecuación se obtiene .y, + 2 (—2) + 3(3) 9 o .y, = 4. Así, de nuevo se obtiene la solución (4, - 2 . 3). El m étodo de solución que se acaba de em plear se llama eliminación «aussiana. Se cuenta con dos m étodos para resolver los ejemplos de sistemas de ecuaciones:

i.

Elim inación de Gauss-Jordan Se re d u ce p o r re n g ló n la m a triz d e c o e fic ie n te s a la fo rm a e sca lo n a d a re d u cid a p o r re n g lo n e s u san d o el p ro c e d im ie n to d e sc rito en la p á g in a 9.

ii. Elim inación gaussiana Se re d u ce p o r re n g ló n la m a triz de c o e fic ie n te s a la fo rm a e sca lo n a d a p o r re n g lo n e s, se d e sp e ja el v a lo r de la ú ltim a in c ó g n ita y d e sp u é s se usa la s u stitu c ió n h acia a trá s p a ra las d e m ás in c ó g n ita s .

¿Cuál m étodo es m ás útil? Depende. Al resolver sistemas de ecuaciones en una com putadora se prefiere el m étodo de elim inación gaussiana porque significa menos operaciones elementales con renglones. De hecho, com o se verá en el apéndice 3, para resolver un sistema de n ecuacio­ nes con n incógnitas usando la elim inación de G auss-Jordan se requieren aproxim adam ente «-72 sum as y multiplicaciones, m ientras que la eliminación gaussiana requiere sólo «-73 sum as y multiplicaciones. La solución num érica de los sistem as de ecuaciones se estudiará en el apéndi­ ce 4. Por otro lado, a veces es esencial obtener la form a escalonada reducida por renglones de una m atriz (una de éstas se estudia en la sección 1.8). En estos casos la elim inación de G aussJordan es el m étodo preferido.

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C

a p ít u l o

1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

A hora se observa la solución de un sistema general de ni ecuaciones con n incógnitas. La m ayor parle de las soluciones de los sistemas se hará m ediante la eliminación de G auss-Jordán debido a que en la sección 1.8 esto se necesitará. Debe tenerse en mente, sin em bargo, que la elim inación gaussiana suele ser un enfoque más conveniente. El sistem a general m X n de ni ecuaciones con n incógnitas está dado por c.,x, II 1

12 2

+ w,,a\ + ••• + a.l/i x » = b.I 13 3

aux | + a „ x2 + a„.y, + ••• + a2ix n = b2 + C I,2 X 2 + í / 33-Y3 +

(7)

••• + a i „ X „ = b )

+a

ami,.y.1 + ami,.y,1 + a mi,x.i +

=b

En el sistema (7) todos los coeficientes u y b son núm eros reales dados. El problem a es encontrar todos los conjuntos de n números, denotados por (.y,, .y,, .y,........ y(|). que satisfacen cada una de las ni ecuaciones en V (7). El número IIa. esel coeficiente de la variable .yJ enla f-ésima ecuación. 7 Es posible resolver un sistema de ni ecuaciones con n incógnitas haciendo uso de la elimi­ nación de G auss-Jordan o gaussiana. Enseguida se proporciona un ejemplo en el que el núm ero de ecuaciones e incógnitas es diferente. EJEM P LO 7

Solución de un sistem a de dos ecuaciones con cuatro incógnitas

Resuelva el sistema „y ,

+ 3.v, - 5.v, + x A = 4

2 a-,

+ 5.y2 - 2 x , + 4 .y4 = 6

Este sistema se escribe com o una m atriz aum entada y se reduce por renglones: -5

1

4'

,2

5

-2

4

6>

*

*

s. )

' 1 3 - 5

R ,-> R y IR .

.7 ' 1

3 -5

,2 - 1 1

4 '

8

/?.->/?. -3R>

2 ,

1

4'

2

—2 V

'1

0

19

7

,0

1

1 OO

3

1 K>

"l

1 OO

■■ Solución

O

16

-2

- 2 '

2>

H asta aquí se puede llegar. La m atriz de coeficiente se encuentra en forma escalonada y redu­ cida por renglones. Es evidente que existe un núm ero infinito de soluciones. Los valores de las variables .y, y ,v4 se pueden escoger de m anera arbitraria. Entonces .y, = 2 + 8a-, + 2.y4 y .y, = - 2 - 19.v, - 7 a'4. Por lo tanto, todas las soluciones se representan por ( - 2 - 19.y, - 7.y4, 2 + 8.v, + 2 .y4. a ,, ,y4). Por ejemplo, si .y, = 1 y ,y4 = 2 se obtiene la solución ( - 3 5 . 14. 1, 2). Al resolver m uchos sistemas, es evidente que los cálculos se vuelven fastidiosos. Un buen mé­ todo práctico es usar una calculadora o com putadora siempre que las fracciones se com pliquen. Debe hacerse notar, sin embargo, que si los cálculos se llevan a cabo en una com putadora o cal­ culadora pueden introducirse errores de "redondeo". Este problem a se analiza en el apéndice 3. EJEM PLO 8

Un problem a de adm inistración de recursos

Un departam ento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de com ida a un lago que alberga a tres especies de peces. C ada pez de la especie 1 consum e cada sem ana un prom edio de 1 unidad del alim ento 1. 1 unidad del alim ento 2 y 2 unidades del alim ento 3. C ada pez de la especie 2 consum e cada semana un prom edio de 3 unidades del alim ento 1. 4 del 2 y 5 del 3.

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1.3

m ecuaciones con n incógnitas

17

Para un pez de la especie 3, el prom edio sem anal de consum o es de 2 unidades del alim ento 1, I unidad del alim ento 2 y 5 unidades del 3. C ada sem ana se proporcionan al lago 2 5 0 0 0 unidades del alim ento 1, 2 0 0 0 0 unidades del alim ento 2 y 5 5 0 0 0 del 3. Si suponem os que los peces se comen to d o el alim ento ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

Solución

Sean a*,, .v, y x ,el número de peces de cada especie que hay en el am biente del lago. Si utilizamos la inform ación del problem a, se observa que a-, peces de la especie 1 consum en a*, unidades del alim ento 1, .v, peces de la especie 2 consum en 3 x , unidades del alim ento 1 y .v, peces de la espe­ cie 3 consum en 2 a-, unidades del alim ento 1 . Entonces, a , + 3 x , + 2.v 3 = 25 0 0 0 = sum inistro total p o r sem ana de alim ento 1. Si se obtiene una ecuación sim ilar para los otros dos alim entos se llega al siguiente sistema de ecuaciones: .y , + 3.y, + 2.v, = 25 0 0 0

A-, + 4 a , +

a' j

= 20 000

2.\-, + 5 a-, + 5.V, = 55 0 0 0

Después de resolver se obtiene rl

rl /?,->/?, - 2Rx

-)

3

0 0

1 -1

2 -1

3 2 |

2 5 .0 0 0 '

1

4

1|

20 000

2

5 5 |

55 0 0 0

25 0 0 0 '

- 3R: /?,->/?, + /?,

- 5 000 1

0

5 0001

0

5

1

40 0 0 0 '

1

—1

1

1 1

- 5 000

0

0

1

0/

Por consiguiente, si a , se elige arbitrariam ente, se tiene un número infinito de soluciones dada p o r (4 0 0 0 0 - 5 a ,, .y, - 5 0 0 0 . a ,). Por supuesto, se debe tener .v, s 0. ,v, > 0 y .y , > 0. Com o .y, = .y , — 5 0 0 0 > 0 . se tiene .y, s 5 0 0 0 . Esto significa que 0 s a , s 4 0 0 0 0 — 5(5 0 0 0 ) = 15 0 0 0 . Por último, com o 4 0 0 0 0 — 5 y . > 0 , se tiene que v, < 8 0 0 0 . Esto significa que las poblaciones que pueden convivir en el lago con todo el alim ento consum ido son .y, = 4 0 0 0 0 - 5 a-, a-, = a-, - 5 0 0 0 5 0 0 0 < a-, < 8 0 0 0

Por ejemplo, si .y, = 6 0 0 0 . entonces .y, = 10 0 0 0 y .y, = 1 0 0 0 . Nota. El sistema de ecuaciones tiene un núm ero infinito de soluciones. Sin em bargo, el proble­ ma de adm inistración de recursos tiene sólo un número finito de soluciones porque a , a , y a deben ser enteros positivos y existen nada más 3 001 enteros en el intervalo [5 0 0 0 . 8 0 0 0 ]. (Por ejemplo, no puede haber 5 2 3 7 .5 7 8 peces.)

A n á l is is d e in s u m o y p r o d u c t o ( o p c io n a l ) Los siguientes dos ejemplos m uestran la form a en la cual pueden surgir los sistemas de ecua­ ciones en el m odelado económico.

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18

C apítulo 1

EJEM P LO 9

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

El m odelo de insum o-producto de Leontief

Un modelo que se usa con frecuencia en economía es el modelo de insumo-producto de Leontief.5 Suponga un sistem a económ ico que liene /; industrias. Existen dos tipos de dem andas en cada industria: la prim era, una dem anda externa desde afuera del sistema. Por ejemplo, si el sistema es un país, la dem anda externa puede provenir de otro país. Segunda, la dem anda que hace una industria a o tra industria en el mismo sistema. Por ejemplo, en Estados Unidos la industria auto m o triz dem anda parte de la producción de la industria del acero. Suponga que e. representa la dem anda externa ejercida sobre la /-ésima industria. Suponga que a representa la dem anda interna que la /-ésima industria ejerce sobre la /-ésima industria. De form a m ás concreta, cr. representa el núm ero de unidades de producción de la industria i que se necesitan para producir una unidad de la industria /. Sea jr la producción de la indus­ tria i. A hora suponga que la producción de cada industria es igual a su dem anda (es decir, no hay sobreproducción). La dem anda total es igual a la sum a de dem andas internas y externas. Por ejemplo, p ara calcular la dem anda interna de la industria 2 se observa que la industria I necesita a2[ unidades de producción de la industria 2 para producir una unidad de su propia producción. Si laproducción de la industria I es .v,, entonces í/,rv, se trata dela cantidad total que necesita la industria l de la industria 2. De esta form a, la dem anda interna total sobre la industria 2 es a 2l ,,x.I + 22 2 + ••• + 2n,vn. Al igualar la dem anda total a la producción de cada industria se llega al siguiente sistema de ecuaciones: aux \ + " ,r Y: + - + amx„ + e l = - \ íl ,.y. + «,,x, + ••• + a, x + e , = x. 22 2

. '

2

2: "

,2

(8 )

a /il.xl + a ,jc, + ni ••• 2+ ann xii + en = xn O bien, reescribiendo el sistema (8) en la form a del sistema (7) se obtiene 0 -« „ )* , “ -a .^ x í + : “ «.I*! “

fll2*2 ~~

•”

“

(l - a 22) x 2 - ■■■ : C,„2X2 ~ -

7

(9)

+ U ~ aJ Xn = en

El sistema (9) de n ecuaciones con n incógnitas es de fundam ental im portancia en el análisis económico. EJEM P LO 10

El m odelo de Leontief aplicado a un sistem a económ ico con tres industrias

Suponga que las dem andas externas en un sistem a económ ico con tres industrias son 10, 2 5 y 2 0 , respectivamente. Suponga que a u = 0 .2 . a v = 0 .5 , « |3 = 0 .1 5 , = 0 .4 , = 0 . 1 , = 0 .3 , = 0 .2 5 , «3, = 0 .5 y = 0 . 15. Encuentre la producción de cada industria de m anera que la oferta sea exactam ente igual a la dem anda.

5 Así llamado en honor al economista norteamericano Wassily W. Leontief, quien utilizó este modelo en su trabajo pio­ nero "Quantitative Input and Output Relations in the Economic System of the United States" en Review o f Economic Statistics 18(1936). Leontief ganó el Premio Nobel en Economía en 1973 por su desarrollo del análisis de insumoproducto.

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By manchester91 l .3

■

Solución

En este caso n = 3. 1 - a n - 0 .8 . 1 -

í / ,,

= 0 .9 y I -

0.8.v, -

19

m ecuaciones con n incógnitas

= 0 .8 5 y el sistema (9 ) es

0.5 .v , - 0 .1 5 a-, = 10

-0 .4 .V , +

0 .9 a-,-

-0 .2 5 .V , -

0.3.V, = 25

0.5 .v , + 0 .8 5 a-, = 2 0

Si se resuelve el sistema por m étodo de eliminación de G auss-Jordán en una calculadora o com putadora, trabajando con cinco decimales en todos los pasos se obtiene 'l 0

\0

0 0

|

1 1 0 .3 0 4 4 2 '

I 0

|

1 1 8 .7 4 0 7 0

1i

1 2 5 .8 1 7 8 7

0

I

/

Se concluye que la producción necesaria para que la oferta sea (aproxim adam ente) igual a la dem anda es .y , = 110. .y , = 119 y .y , = 126. L a g e o m e tría de

un

s is te m a d e t r e s e c u a c io n e s

CON TRES INCÓGNITAS (O PC IO N A L) En la figura 1.1. en la página 3. se observó que se puede repesentar un sistema de dos ecuacio­ nes con dos incógnitas m ediante dos líneas rectas. Si las rectas tienen un solo punto de intersec­ ción el sistema tiene una solución única; si coinciden, existe un número infinito de soluciones; si son paralelas, no existe una solución y el sistema es inconsistente. Algo sim ilar ocurre cuando se tienen tres ecuaciones con tres incógnitas. C om o se verá en la sección 3.5. la gráfica de la ecuación a x + by + cz = cien el espacio de tres dim ensiones es un plano. Considere el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: a x — by — cz = d ex - f v - gz = /;

(10)

/a — k y — Iz — in en donde a. b, c, d. e, f, g, //,./. k. I y ni son constantes y al menos una de ellas en cada ecuación es diferente de cero. C ada ecuación en (10) es la ecuación de un plano. Cada solución (. y , y , z) al sistema de ecuaciones debe ser un p unto en cada uno de los tres planos. Existen seis posibilidades: 1.

Los tres planos se intersecan en un solo punto. Por lo que existe una solución única para el sistema (vea la figura 1.2 ).

2.

Los tres planos se intersecan en la m ism a recta, p or lo que cada punto sobre la recta es una solución y el sistema tiene un núm ero infinito de soluciones (vea la figura 1.3).

Punto de intersección

Figura 1.2 Los tres planos se interse­ can en un solo punto.

.v

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20

C a p ít u l o I

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

3. Los tres p lanos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es una solución y se tiene un núm ero infinito de soluciones. 4. Dos de los planos coinciden e intersecan a un tercer plano en la recta. Entonces cada punto sobre la recta es una solución y existe un número infinito de soluciones (vea la figura 1.4). 5. Al m enos dos de los planos son paralelos y distintos. Por lo que ningún punto puede estar en am bos y no hay solución. El sistema es inconsistente (vea la figura 1.5).

Figura 1.3

Figura 1.4

Los tres planos se interse­ can en la misma recta.

Dos planos se intersecan en una recta.

Figura 1.5 Los planos paralelos no tienen puntos en común.

6.

Dos de los planos coinciden en una recta L. El tercer plano es paralelo a L (y no contiene a L). de m anera que ningún punto del tercer plano se encuentra en los dos primeros. No existe una solución y el sistema es inconsistente (vea la figura 1.6 ).

En todos los casos el sistema tiene una solución única, un núm ero infinito de soluciones o es inconsistente. D ebido a la dificultad que representa dibujar planos con exactitud, no ah o n d a­ remos m ás en el tem a. N o obstante, es útil analizar cóm o las ideas en el plano x y se pueden extender a espacios m ás complejos.

Figura 1.6 El plano 3 es paralelo a L, la recta de intersección de los planos 1 y 2.

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By manchester91

S

emblanza

de

...

Cari Friedrich Gauss, 1777-1855 Cari Friedrich Gauss es considerado el matemático más grande del siglo xix, además de uno de los tres matemáticos más importantes de todos los tiempos (Arquímedes y Newton son los otros dos). Gauss nació en Brunswick, Alemania, en 1777. Su padre, un obrero am ante del trabajo, era excepcionalm ente obstinado y no creía en la educación formal, e hizo todo lo que pudo para evitar que Gauss fuera a una buena escuela. Por fortuna para Cari (y para las matemáticas), su madre, a pesar de que tampoco cantaba ron educación, apoyó a su hijo en sus estudios y se mostró orgullosa de sus logros hasta el día de su m uerte a la edad de 97 años.

e s u n o s d e lo s d o c u m e n to s m á s im p o rta n te s e n la h is to ria d e las

Gauss era un niño prodigio. A los tres años encon:ró un error

sidad de Helmstádt y, en 1798, a los 20 años, escribió su famosa

en la libreta de cuentas de su padre. Hay una anécdota famosa de

disertación doctoral. En ella dio la p'imera demostración m ate­

Cari, cuando tenía apenas 10 años de edad y asistía a la escuela local de Brunswick. El profesor solía asignar tareas para m ante­ ner ocupados a los alumnos y un día les pidió que sumaran los

mática rigurosa del teorema fundamental del álgebra que indica que todo polinomio de grado n tiene, contando m ultiplicidades, exactam ente n raíces. Muchos matemáticos, incluyendo a Euler, Newton y Lagrange, habían intentado probar este resultado.

números del 1 al 100. Casi al instante, Cari colocó su pizarra boca abajo con la palabra "listo". Después, el profesor descubrió que

m a te m á tic a s .

Tras un corto periodo en Góttingen, Gauss fue a la Univer­

Gauss hizo un gran número de descubrimientos en física al

Gauss era el único con la respuesta correcta, 5050. Gauss había

igual que en matemáticas. Por ejemplo, en 1801 utilizó un nue­

observado que los números se podían arreglar en 50 pares que

vo procedimiento para calcular, a partir de unos cuantos datos,

sumaban cada uno 101 (1 + 100,2 + 99, etc.), y 50 x 101 = 5050. Años más tarde, Gauss bromeaba diciendo que podía sumar más

la órbita del asteroide Ceres. En 1833 inventó el telégrafo elec­ trom agnético junto con su colega Wilhelm W eber (1804-1891).

rápido de lo que podía hablar. A la edad de 15 años, el Duque de Brunswick se fijó en él y lo convirtió en su protegido. El Duque lo ayudó a ingresar en el Brunswick College en 1795 y, tres años después, a entrar a la

Aunque realizó trabajos brillantes en astronomía y electricidad, la que resultó asombrosa fue la producción matemática de Gauss. Hizo contribuciones fundam entales al álgebra y la geometría y en 1811 descubrió un resultado que levó a Cauchy a desarrollar

Universidad de Góttingen. Indeciso entre las carreras de m ate­

la teoría de la variable compleja. En este libro se le encuentra en

máticas y filosofía, Gauss eligió las matemáticas después de dos

el método de elim inación de Gauss-Jordan. Los estudiantes de

descubrimientos asombrosos. Primero inventó el método de mí­ nimos cuadrados una década antes de que Legendre publicara sus resultados. Segundo, un mes antes de cum plir 19 años, resol­ vió un problema cuya solución se había buscado durante más de

análisis numérico aprenden la cuadratura gaussiana: una técnica de integración numérica. Gauss fue nombrado catedrático de matemáticas de Gót­ tingen en 1807 e im partió clase hasta su m uerte en 1855. Aún

dos mil años: Gauss demostró cómo construir, con tan sólo una

después de su muerte, su espíritu matemático siguió acosando

regla y un compás, un polígono regular cuyo número de lados no

a los matemáticos del siglo xix. Con frecuencia, un im portante

es m últiplo de 2, 3 o 5 *

resultado nuevo ya había sido descubierto por Gauss y se podía

El 30 de marzo de 1796, fecha de este descubrimiento, co­ menzó un diario que contenía como primera nota las reglas de construcción de un polígono regular de 17 lados. El diario, que contiene los enunciados de 146 resultados en sólo 19 páginas,

encontrar en sus notas inéditas. En sus escritos m atem áticos Gauss era un perfeccionista y tal vez sea el últim o gran m atem ático que conocía práctica­ m ente todo acerca de su área. Al afirmar que una catedral no era una catedral hasta que se quitara el últim o de los andam ios, ponía todo su em peño para que cada uno de sus trabajos publi­ cados fuera com pleto, conciso y elegante. Usaba un sello en el

I * De manera más general, Gauss probó que un polígono regular de n lados se puede construir con regla y compás si y sólo si n es de la forma n = 2*p2 • p3. . . pmdonde k a 0 y las p. son números primos de Fermat distintos. Los números primos de Fermat son aquellos que toman la forma 2r +1. Los primeros cinco números primos de Fermat son 3, 5, 17, 257 y 65 537.

que se veía un árbol con unas cuantas frutas y la leyenda pauca sed matura (pocas pero m aduras). Gauss creía tam bién que las m atem áticas debían reflejar el mundo real. A su m uerte, Gauss fue honrado con una m edalla conm em orativa que llevaba la inscripción "George V, Rey de Hanover, al príncipe de los m a­ temáticos".

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22

C a p ít u lo 1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Problemas 1.3 A

u to eva lu a ció n

I. ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene la matriz de coeficientes dada a la derecha? '1

« ) 3.v

2 - f

0

l

5

k2

0

l,

b) 3.v + 2: = 10

+ 2y = -

y —5

2.v + y = 0

2x = l

—.v + 5 v + z — 5

¿0 3 a- = 2

d) 3 x + 2y - : = - 3

2x + y = 0

y + 5 z =

- x + 5y = l

2x + z = 3

15

II. ¿Cuál de las siguientes es una operación elemental con renglones? a) Reem plazar un renglón con un m últiplo diferente de cero de ese renglón. b) Sum ar una constante diferente de cero a cada elem ento en un renglón. c) Intercam biar dos columnas. d) R eem plazar un renglón con una sum a de renglones y una constante dife­ rente de cero. III. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre la matriz dada? '1

0

0

3'

0 1 1 2 0

0

3

v0 0

0

0

0,

d) Está en la forma escalonada por renglón. b) N o está en la form a escalonada por renglón porque el cuarto núm ero en el renglón 1 no es 1. c) N o está en la form a escalonada por renglón porque el prim er elem ento diferente de cero en el renglón 1 es 3. d) N o está en la form a escalonada p or renglón porque la últim a colum na con­ tiene un cero. IV. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el sistema dado? x +

y +

z —3

2 a + 2y + 2z = 6

3.v + 3j’ + 3z — 10 a) Tiene una solución única x = 1, y = 1, z = 1. b) Es inconsistente. c) Tiene un número infinito de soluciones.

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1 .3

m ecuaciones con n incógnitas

23

En los problem as del 1 al 26 utilice el m étodo de eliminación de G auss-Jordán para encontrar, si existen, todas las soluciones p a ra los sistemas dados. 1.

-v i

2a, +

3 a, = 1 1

4a , +

A,

xi = 4

2x, -

•V2 ■ 3 a , = 10

3. -2.x- i +

3 a ,i 4.

3a , = 1

3a , +

6.\", -

6a , = 9

2a , -

5a . +

4 a, = 6

6.

5a , + 2 8 a , — 2 6 a, = - 8 7.

-v . +

X2

+

+

2x -

8.

V3 = 7

6 a , = 18 8a , = - 1 6 10 a , = - 3 6a , = 9

3a , +

6.v,

2a , -

5a, ■ 4 a , = 6 14a , = " 3

6 v, -

3a , = 9

~ -v , +

A, -

•V3 = 1

-v , -

A, +

2a 3 = 2

-v , +

A, -

V3 = 7

-2 a,

A, ¡

5a, = 4

4a , -

A, +

5a , = 4

2a , •

2a , -

3a, = 0

6a , +

A, +

3 a , = 18

-Y. +

A, -

= 7

-V! -

2 a, +

4a , -

A, +

5a , = 4

4a , +

A, -

6a , +

X2

3 a , = 20

2a , -

A, +

3a , = 0

•v, +

A, -

A, = 0

4a,

9.

-

*'t2 +

~ -v , + 16 a , -

= -3

A,

-2 ai + 5a ,

xs = 0 A, +

5.

2.

+

10.

3a , = 0 a.

= 0

11. - 2 a , -

V2 +

3a, = 0

-3 a. +

4a, -

A, = 0

4a , -

A, +

5a , = 0

5a , +

3a , +

2.v, = 0

6a , +

A, +

3a , = 0

2a , +

5a , = 6

-vi +

2a , -

A, = 4

-

2 a, = 4

3a , +

4a, -

2a , = 7

+

2a , -

4a, = 4

-2 a, -

4a, +

8a , = - 9

~ v, +

2a, -

Y, 2v, + 15.

17.

= -2

•v, +

2a , -

4a, = 4

-2 a, -

4.v, +

8a, = - 8

-vi +

2a, -

A, +

16.

a4 = 7

3a , +

6 a , —3.v, +

3 a 4 = 21

2a , +

6a , - 4 a , +

II .T C'l

19.

4a,

14.

- 3 a- +

- A, + 2a , - 2 a ,

l/~) II -J-

-vi

18.

a' i

-3 a, + 20.

3a 4 = 9 a4 =

-

2 a ; + A, +

a4 =

3a , +

2a, -

2a4 =

A, -

*4 =

a,

4a. -

= -2 " ' v, +

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6a ,

A, +

1 /?, 1 Ry /?,->*, - 2/f,

0'

^

-1

0

\0 7

'1

3

O

- 2/J, fty-*Ry +5/?,

2

y

0

°J

V

0, 0

0

0

ii

0

0

0

0

1

V

Asi, el sistema tiene una solución única (0 .0 ,0 ). Esto es, la única solución al sistema es la trivial. EJEM P LO 2

Un sistem a hom ogéneo con un núm ero infinito de soluciones

Resuelva el sistema homogéneo .y , + 2.v, -

,v, = 0

3.V, - 3.v, + 2 a'j = 0 — A',—l l.Y ,+ 6.Yj = 0

Solución

Al hacer uso de la eliminación de G auss-Jordan se obtiene, sucesivamente, '

1

2

-1

7

—1

0

-1

-11

6

o'

R2-*R2 -3/?, /?,->/?, + /?,

o

'l

0 ,0

-9

5

,0

-9

5

2

-1

|1

__5. «)

-9

-1

) 0

°J 'l

2

o'1 0

o' o

5

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'\

- 2/f,

. _.Ry-*R} + 9/¡f,

)

0

0

_1 9

1 1

V

0

0

(T o

38

C

a p ít u l o

1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

A hora la m atriz aum entada está en la form a escalonada reducida por renglones y, evidente­ mente. existe un núm ero infinito de soluciones dadas por ( - l/9.vJ? 5/9.vr .v,). Si, por ejemplo, .y , - 0 , se obtiene la solución trivial. Si .y , = 1 se obtiene la solución ( —1/9,5/9, 1) . Si a-, = 9 n se obtiene la solución ( —n , 5n, 9 n ). E JE M P L O 3

Un sistem a hom ogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene un núm ero infinito de soluciones

Resuelva el siguiente sistema a-, +

.y , -

,v , = 0

(2 )

4.v, — 2.v, + 7.Yj = 0

Al reducir p o r renglones se obtiene

«,-> 'R,

'1

o'

--------- ------>

o,

'1

1 -1 1

'1 1-1 ,4 - 2 7

O

S o lu c ió n

o'

- 1

( I

---- !--- ---- 1 1 6

o

1 0' 1 oy i

lo 1 -T

0 ,

0

’

oj

Así. hay un núm ero infinito de soluciones dadas por ( —5/6.v,. 1 1/6.Y,, .y ,). Esto puede no sor­ prender porque el sistema (2) contiene tres incógnitas y únicam ente dos ecuaciones. En térm inos generales, si hay más incógnitas que ecuaciones, el sistema hom ogéneo (1) siempre tendrá un núm ero infinito de soluciones. Para ver esto observe que si sólo tuviera la solución trivial, la reducción p or renglones conduciría al sistema = 0

.Y,

= 0

y, posiblemente, algunas ecuaciones adicionales de la form a 0 = 0. Pero este sistema tiene al m enos tan tas ecuaciones como incógnitas. Puesto que la reducción por renglones no cam bia ni el núm ero de ecuaciones ni el núm ero de incógnitas, se tiene una contradicción en la suposición de que había más incógnitas que ecuaciones. Entonces se tiene el teorem a 1.

Teo rem a

□

El sistema hom ogéneo (1) tiene un número infinito de soluciones si n > m.

P r o b le m a s 1 . 4 ____________________________________________________________ A

uto e v alu ació n

I. ¿Cuáles de los siguientes sistemas deben tener soluciones no triviales? a ) a u : y, + a v x 2 = 0 a 2] x l +

y, = 0

h ) au x ¡ + an x 2 = 0

a ,, .y, + a n x \+

y, = 0 an x 2 =

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0

c ) a n x , + a v_ x 2 + a l } x } = 0 a 2l x t + a 22x 2 + a2Jx i = 0

By manchester91 Sistemas homogéneos de ecuaciones

1 .4

39

II. ¿Para qué valores de k tendrá soluciones no triviales el siguiente sistema? x +

y +

z = 0

2x + 3y - 4 r = 0 3a + 4y + k z

a)

1

b)

2

c)

0

=

3

í/)

4

e)

5

/)

En los problem as 1 a 17 encuentre todas las soluciones a los sistemas homogéneos. 1.

2.y , -

-v, = 0

2.

3.y , + 4 a-, = 0 3.

- - Y, + 5 a-, = 0

A i “ 3 v: = 0

4.

2 a-

A', +

i + 6v: = 0

a

A', + 1

-2

-v . - 5 a-, = 0

X3

3 Y, = 0

3.v, +■ 7 a-, 5.

-v , +

A', -

■V3 = 0

6.

- • vi 7.

-5

2.Y, 4- 3 a% — -V3 = 0

8.

6 a-, - 5 x 2 + 7.Y, = 0

9.

4 a- -

-V2 = 0

10.

7.y + 3 a-, = 0 -8

4 a-, +

Vv = 0

1+ 13 A-, -

10 a- = 0

-V2

= 0 ■v i - 3.V, + 2 a-, = 3 a-, + 6.y , - 3 a , 0

•vi “

’V2

+

-1- 6 a-, = 0 a-

= 0

12.

5-v, + 4 a-j = 0

-v .

+ >

2.y , - 5 a-, - 6.y, - 3 •v , -1- 3 a-, -

J .y, +

-2 .y

+

•v + 2 aV 3 a-

-

7

- 3.y, = 0

_2

+ 3a , = 0

3 a-, = 0

= 0

16.

4 a- - I 2 . y , = 0

4.y , -

.y, -

.y, = 0

.y , + 5.y , = 0

+

.y, - 2 a-, = 0

3.y, +

2.v, - 6 a-, = 0

-2

a-,

V2 = 0

.Y, + 5.v4 = 0

6.Y, = 0

xt+

_

+ 5.y, = 0

-

17.

2 3

- 2 .y +

x

14.

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-2

-7

a

i +

-

x¿ = 0 2*4

= 0

•v4 = 0 — 3 a-, -V4 = 0 Xj

X , + 4a4 = 0

4. y + 2 a-, + 3 a-

15.

7 a- = 0

•v, +

+ 2 a-, -

3 a-

4.y, -

13.

7 a , - A4 = 0

2.y , + 3 a% - 8 a-, + ■V4 = 0

1

11.

a-

a

= 0

.Y = 0

2a | -

- 1X 2 ~ 6.y , = 0

-v, -

A 1+

2 a-, - 4 a , + 3 a-, = 0

= 0

6a , = 0

.y

= 0

a-

+ 21. y3 = 0

0

40

C

a p ít u l o

I

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

18. M uestre que el sistema hom ogéneo de ecuaciones + « l2Xj = 0 « 2l-v, + a 22x 2 = 0

tiene un núm ero infinito de soluciones si y sólo si a ua,2 — a l2a2l = 0 . 19. C onsidere el sistema 2 a- -

3.v, + 5.y, = 0

+ 7.Y, — .Y, = 0 - 1 1.Y, + k.Y, = 0 ¿Para qué valor de k tendrá soluciones no triviales? *20. C onsidere el sistema hom ogéneo de 3 X 3 ÜUX \ + "l2-V2 + Ü13X) = 0 y, = 0

« , , a-, +

C r:0 , + M nO , + P b ,0 4 + NO

Resuelva el sistem a y encuentre los enteros .y , a .v6sin divisor común diferente de 1 que balancea la reacción.

V e c t o r e s y m a t r ic e s El estudio de vectores y matrices es la m édula del álgebra lineal. El estudio de vectores co­ m enzó esencialm ente con el trabajo del gran m atem ático irlandés Sir W illiam H am ilton (1805-1865)''. Su deseo de encontrar una form a de representar un cierto tipo de objetos en el plano y el espacio lo llevó a descubrir lo que él llam ó los cuaterniones. Esta noción condujo al desarrollo de lo que ahora se conoce com o vectores. A lo largo de toda su vida y del resto del siglo xix hubo un debate considerable sobre la utilidad de los cuaterniones y de los vectores. Al final del siglo el gran físico inglés Lord Kelvin escribió que los cuaterniones. “aun cuando son bellam ente ingeniosos, han sido un mal peculiar para todos aquellos que los han m anejado de alguna m anera y los vectores... nunca han sido de m enor utilidad para ninguna criatu ra.” Pero Kelvin estaba equivocado. En la actualidad casi todas las ram as de la física clásica y m oderna se representan m ediante el lenguaje de vectores. Los vectores tam bién se usan, cada vez más, en las ciencias biológicas y sociales.7 En la página 2 se describió la solución un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas com o un p ar de núm eros (.y. r). En el ejemplo 1.3.1 en la página 9 se escribió la solución a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas com o la terna de números (4. - 2 . 3). Tanto (.y, y) com o (4. - 2 , 3) son vectores.

D efin ició n

□

Vector renglón de n com ponentes

Un vector de /? com ponentes se define com o un conjunto ordenado de n núm eros escritos de la siguiente m anera: ( v ,, a-,........... a- )

(1 )

6 Vea la semblanza bibliográfica de Hamilton en la página 52. 7 Un análisis interesante sobre el desarrollo del análisis vectorial moderno se puede consultar en el libro de M J. Crowe, A History o f Vector Análisis (Notre Dame: University of Notre Dame Press, 1967) o en el excelente libro de Morris Kilne, Mathematica! Thought from Ancient to Modern Times (Nueva York. Oxford University Press, 1972, capitulo 32).

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1.5

D efin ició n

□

Vectores y matrices

43

Vector colum na de n com ponentes

U n vector columna de « componentes es un conjunto ordenado de n núm eros escritos de la siguiente manera: / \

C o m po n en tes DE UN VECTOR

V ec to r cero

E JE M P LO 1

En (1) o (2), A", se denom ina la primera componente del vector, .y, es la segunda componente, y así sucesivamente. En térm inos generales. x k se denom ina la A-ésima componente del vector. C on el objeto de simplificar, con frecuencia se hará referencia a un vector renglón de « com ­ ponentes com o un vector renglón o un «-vector. Del mismo modo, se usará el térm ino vector co­ lumna (o «-vector) para denotar a un vector columna de « componentes. C ualquier vector cuyos elementos sean todos cero se denom ina un vector cero.

Cuatro vectores

Los siguientes son vectores: i. (3, 6 ) es un vector renglón (o un 2-vector)

ii.

-I

es un vector colum na (o un 3-vector)

5 iii. (2, —l, 0, 4)) es un vector renglón (o un 4-veclor) 0a 0 IV.

0 es un vector colum na y un vector cero. o I0J

ADVERTENCIA

La palabra “ordenado" contenida en la definición de un vector es de fundam ental im portan­ cia. D os vectores con las m ismas com ponentes escritas en diferente orden no son iguales. De esta form a, por ejemplo, los vectores renglón ( I, 2) y (2, l ) no son iguales.

A lo largo del libro se resaltarán los vectores con letras m inúsculas negritas com o u. v, a, b, c, y así sucesivamente. U n vector cero se denota por 0. M ás aún, como en térm inos generales resultará obvio cuando se trate de un vector renglón o de un vector colum na, se hará referencia a ellos sim plem ente como "vectores". Los vectores surgen de diversas maneras. Suponga que el jefe de com pras de una fábrica debe o rdenar cantidades diferentes de acero, alum inio, aceite y papel. El puede m antener el

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44

C

a p ít u l o

1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

10

30

control de las unidades a ordenar con un solo vector. El vector unidades de acero. 30 unidades de alum inio, etcétera.

indica que ordenará 10

15 [60

Observación. Se puede observar aquí p or qué el orden en que se escriben las com ponentes de '3 0 ' un vector es sum am ente im portante. Es evidente que los vectores cados muy distintos para el com prador.

15 60 JO ,

15 C

'í o ' 30 y

tienen signifi-

15 ,6 0 ,

Enseguida se describirán algunas propiedades de los vectores. Puesto que sería repetitivo hacerlo prim ero p ara los vectores renglón y después para los vectores colum na, se presentarán todas las definiciones en térm inos de vectores colum na. Los vectores renglón tienen definicio­ nes similares. Las com ponentes de todos los vectores en este texto son números reales o complejos.s Se denota al conjunto de todos los núm eros reales por sím bolo 13 y al conjunto de números com ­ plejos por sím bolo C.

El e sp a cio sím b o lo E " Se usa el sím b o lo K " para d e n o ta r al c o n ju n to de to d o s los n -vecto re s a,

d o n d e cad a a es un n ú m e ro re al

*”

De m anera similar, se usa el sím bolo C" para den o tar al conjunto de todos los \ I //-vectores

.

, donde cada c. es un núm ero complejo. En el capítulo 3 se analizarán los con­

ju n to s sím bolo I ? (vectores en el plano) y sím bolo U* (vectores en el espacio). En el capítulo 4 se exam inarán los conjuntos arbitrarios de vectores. En térm inos reales los vectores son tipos especiales de matrices. Por lo tanto, en lugar de estudiar las propiedades de los vectores se analizarán las propiedades de las matrices.

8 Un número complejo es un núme’o de la forma a + ib, en donde a y b son números reales e i = l En el apéndice 2 se da una descripción de los números compleios No se habla de vectores complejos otra vez hasta el capitulo 4; serán útiles en especial en el capítulo 6. Por lo tanto, a menos que se establezca de otra manera, por el momento se supondrá que todos los vectores tienen componentes reales

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1.5

D efin ició n

Vectores y matrices

45

M atriz

U na m atriz A de m X n es un arreglo rectangular de mn núm eros dispuestos en m ren­ glones y n columnas

(3)

A = a

a..»/

\

R en g lo n es y COLUMNAS DE

am i,

ani 2,

a mj

•••

anm

/

El sím bolo ni x n se lee “/» por n " . A menos que se establezca lo contrario, se supondrá siempre que los núm eros en una m atriz o vector son reales. El vector renglón (a¡v an, ... a j se llama ren­

UNA MATRIZ

(

\ %

C o m po n en te o

glón i y el vector columna

se llam a columna j. La componente o elemento i j de A. denotado

elem en to

M a t r iz c u a d r a d a M a t r iz c e r o

por a , es el núm ero que aparece en el renglón i y la colum nas j de A. En ocasiones se escribirá la m atriz A com o A = {a..). Por lo general, las m atrices se denotarán con letras mayúsculas. Si A es u n a m atriz ni X n con ni = », entonces A se llam a m atriz cuadrada. U na m atriz ni X n con todos los elementos iguales a cero se denom ina matriz cero de ni X n. Se dice que una matriz ni X n tiene tam año ni X n.

T a m a ñ o de u n a m a t r iz

Nota histórica. El matemático inglés James Joseph Silvester (1814-1897) fue el primero que utilizó el término "matriz" en 1850, para distinguir las matrices de los determinantes (que se estudiarán en el capítulo 2). La idea era que el término "matriz" tuviera el significado de "ma­ dre de los determinantes".

E JE M P L O 2

Cinco m atrices

Enseguida se presentan cinco matrices de diferentes tam años: i.

'I 4

3^ es una m atriz de 2 X 2 (cuadrada). 2

-I ii.

3

4 1

ni.

f-l 3

0 es una m atriz de 3 X 2. -2

/

4

I

0

2

es una m atriz de 2 X 3.

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C

46

a p ít u l o

1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

'1

6

3

1

-2 4 es una m atriz de 3 X 3 (cuadrada).

,2

-6

5

'0

0

0

0"

,0

0

0

0,

es la m atriz cero de 2 X 4.

II

ii ■'C

i1 JT 4

2

LO

1

Notación con paréntesis cuadrados. En algunos libros las matrices se presentan dentro de pa­ réntesis cuadrados en lugar de paréntesis redondos. Por ejemplo, las prim eras dos matrices del ejem plo 2 se pueden escribir com o

4

0

1 -2

En este texto se utilizarán exclusivamente paréntesis redondos. A través del libro se hace referencia al renglón i. la colum na j y la com ponente //' de una m atriz p ara diferentes valores de i y /'. Estas ideas se ilustran en el siguiente ejemplo.

EJEM P LO 3

Localización de las com ponentes de una m atriz

Encuentre las com ponentes (1. 2). (3. 1) y (2, 2) de

‘\

6

4^

A= 2 - 3 7

■

Solución

5 4

/0

La com ponente (1.2) es el número que se encuentra en el prim er renglón y la segunda colum na, que se han som breado: la com ponente ( 1, 2 ) es 6: 2da columna

1 ler reruilón-

í 1

6

4

2

-3

5

7

4

0

En las siguientes m atrices som breadas se puede ver que la com ponente (3. 1) es 7 y la com po­ nente (2, 2 ) es —3: 2da columna

Ira columna

1

1 '1 2 3er remjlón •

J

6 -3 4

4' 5

2do

o,

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'\

6

renglón—► 2

-3 4

4' 5 0/

1.5

D

e f in ic ió n

Vectores y matrices

47

Igualdad de matrices

Dos m atrices A = (a. ) y B = (b..) son iguales si (1) son del mismo tam año y (2) las com ­ ponentes correspondientes son iguales.

E JE M P L O 4

M a tric e s ig u a le s y m a tric e s d is tin ta s ;Son iguales las siguientes matrices? f4 i.

12 ' —2

ii.

1 5' -3

o,

0'

, 1 3 ,

mi .

S o lu c ió n

'1 + 3

y

u +

1

2 + 3'

1 -4

6 - 6,

'0 - 2 ' y

k1

3,

1 0

0^

0

1 o

i.

Sí; a m b as m atrices son de 2 x 3 y 1 + 3 = 4, 2 + 3 = 5, I + 1 = 2 . 1 - 4 = - 3 y 6 - 6 = 0.

ii.

No; - 2 ^ 0. por lo que las matrices son distintas ya que. por ejemplo, las com ponentes (1 .1 ) son diferentes. Esto es cierto aun cuando las dos matrices contienen los mismos números. Las com ponentes correspondientes deben ser iguales. Esto significa que la com ponente 11. I ) en A debe ser igual a la com ponente (1. I ) en B. etcétera.

iii. N o; la prim era m atriz es de 2 X 2 y la segunda es de 2 x 3. de m anera que no tienen el mismo tamaño.

Los vectores son matrices de un renglón o de una colum na C ad a v e c to r es

un tip o e sp e cia l de m a triz . A sí, p o r e je m p lo , el v e c to r re n g ló n de n

c o m p o n e n te s ( « , , « „ . . . e j e s u n a m a triz d e 1 X n, m ie n tra s que el v e c to r c o lu m n a de

n co m p o n e n te s

es u n a m a triz d e n X 1 .

Las matrices, al igual que los vectores, surgen en un gran número de situaciones prácticas. I0 1 Por ejemplo, en la página 46 se analizó la m anera en que el vector

30

puede representar las can­

15 60/

tidades ordenadas de cuatro productos distintos utilizados por un fabricante. Suponga que se

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By manchester91 48

C

a p ít u l o

1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

tienen cinco plantas diferentes, entonces la m atriz de 4 x 5 podría representar las órdenes de los cuatro productos en cada una de las cinco plantas.

Q:

'10

20

15

16

25

30

10

20

25

22

15

22

18

20

13

,60

40

50

35

45,

Se puede apreciar, a manera de ejemplo, que la planta 4 ordena 25 unidades del segundo pro­ ducto m ientras que la planta 2 ordena 40 unidades del cuarto producto. Las m atrices se pueden sum ar y m ultiplicar por números reales.

D efin ició n

Sum a de m atrices

Sean A = (a..) y B = (£>..) dos matrices m X n. Entonces la sum a de A y B es la m atriz ni X n, A + B d ada por ' au + bu A + B = (a.. 4- b ) = \ i) 0I

1n

ai\ + K

an + b u an + b 22

' •

ami, + b mi.

a„,2+ b ,„2 ••• antn

¿n 2n

ln

(4)

Es decir, A + B es la m atriz ni X n que se obtiene al sum ar las com ponentes correspon­ dientes de A y B.

ADVERTENCIA

EJEM P LO 5

E s c a la re s

La sum a de dos m atrices se define únicam ente cuando las matrices son del mismo tam año. -1 0 I 2 3 Así. p o r ejemplo, no es posible sum ar las matrices 2 - 5 o las matrices 4 5 6 4 7 Y /, \ 1 (vectores) o y 2 . Es decir, son incom patibles bajo la suma < > 3

Suma de dos m atrices

2

4

-6

1

3

2

-4

3

-5

- 2'

7

0

6

I +

2

4

3 =

-2

4

4,

5

'

2

5

0

5'

3

6

6

4

,-6

4

-1

9/

Al m anejar vectores se hace referencia a los números com o e s c a la re s (que pueden ser reales o com plejos dependiendo de si los vectores en cuestión son reales o complejos). Nota histórica. El término "escalar" encuentra su origen con Hamilton. Su definición de cuaternión incluía lo que él definió una "parte real" y una "parte imaginaria". En su artículo "On Quartenions, or on a New System of Imagineries in Algebra", en Philosophical Magazine, 3a. serie,

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1.5

Vectores y matrices

49

25(1844):26-27, escribió: "La parte real algebraicam ente puede to m a r. . . todos los valores con­ tenidos en la escala de la progresión de números desde el infinito negativo al Infinito positivo; la llamaremos, entonces, la parte escalar o sim plem ente el escalar del cu atern ¡ó n..."En el mismo ar­ tículo Hamilton definió la parte im aginarla de su cuatem lón como la parte vectorial. Aunque éste no fue el primer uso que se dio a la palabra "vector", sí fue la primera vez que se usó en el contexto de las definiciones contenidas en esta sección. Es im portante m encionar que el artículo del que se tomó la cita anterior marca el Inicio del análisis vectorial moderno.

D efin ició n

□

M ultiplicación de una m atriz por un escalar

Si A = (a..) es una m atriz de m x n y si a es un escalar, entonces la m atriz ni x n, aA, está dada por

aA

ac/l

aat,

ata2¡

aa22

ota, (5)

H )aa

Esto es aA = (aa.¡) es la m atriz obtenida al m ultiplicar cada com ponente de A p or a. Si a A = B = (/>..), entonces b.. = aa.. para i = 1 . 2 , . . . , / » y / = 1 , 2 , . . . . / ; .

E JE M P L O 6

M últiplos escalares de m atrices

f

1

Sea A =

-3

3 ,-2 -1

E JE M P L O 7

3

7,

5

-1

- i

2

“ I

“ i

IJ

Sea a =

6 1

y

b=

í ~ 2> 4 -3

,3 ,

8

6

2

8

6

10

-4

'o

0

0

0^

0

0

0

0

0

0

0

0

4' 12 l4 ,

2a - 3 b = 2

. Calcule 2a - 3b.

v o, '- 2'

14 '

Solución

-6

Suma de m últiplos escalares de dos vectores

V

■

->\ 3

3

r 2 \

II

J

6 . Entonces 2 A

o

-1

1 4

1

3

2

4

6 1 .3 ,

+ (-3 ) ,

' 8

4 _ -3

12

o,

, 6)

2

' + ,

6'

'1 4 '

-12

0

9

11

o,

, 6,

El teorem a que se presenta a continuación proporciona los hechos básicos sobre la sum a de matrices y la m ultiplicación por escalares. Se dem uestra la parle /'/'/) y se deja el resto de la prue­ ba com o ejercicio para el lector (vea los problem as 41 a 43).

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50

C

T

a p ít u l o

1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Sean A. B y C tres matrices de ni X n y sean a y fi dos escalares. Entonces:

e o r e m a

i. A + 0 = A ii. 0/4 = 0 iii. A + B = B + A

(ley conmutativa para la suma de matrices)

iv. (A + B) + C = A + (B + C) v. a(A + B) = a A + a B

(ley asociativa para la suma de matrices)

(ley distributiva para la multiplicación por un escalar)

vi. IA = A vi i. (a + [3)A = ctA + fiA Nota. El cero en la parte i) del teorem a es la m atriz cero de m X n. En la parte ii) el cero a la izquierda es un escalar m ientras que el cero a la derecha es la matriz cero de m X n. «12 Demostración de iii.

a2,

Sea A -

«22

n «21 + b2í

III

1 + bm i

«12 + b\2 «22 + b22

’•• a.lw + b.1n •• • a,2n + fo,2n

am 2, + bra2, ■■■ anm + bmil /

' K + «n

b12 + «12

b2X + «2,

b22 + «22

••• ' ••

b,l/ i + a,I

b . + a_,

b ,+« ,

••• bmn + amn /

m

+ a ,n = B +A

Ilustración de la ley asociativa para la sum a de m atrices

Para ilustrar la ley asociativa se observa que '\ ,3

4

-2 '

-1

+

0,

'2

-2

J

“ I

3'

+

í3 U

'3 5) + ,0

- 22

-1

2' _ '6 ,4

1 4;

1 3' -1

9,

De isiual m anera 1 3 -1

4

-2 OJ

12

-2

3^1

Í3

2

-1

5

lo

4J

rl

4

-2 '

,3

-1

0,

+

'5

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-3 0

5' _ 6 ,4 9,

1 3' -1

9,

Vectores y matrices

1.5

51

El ejemplo 7 ilustra la importancia de la ley asociativa de la suma de vectores ya que si se desea sum ar tres matrices o más, únicamente se podrá hacerlo sum ándolas de dos en dos. La ley aso­ ciativa indica que esto se puede llevar a cabo de dos m aneras diferentes obteniendo el mismo re­ sultado. Si no fuera así, sería más difícil definir la suma de tres o más matrices ya que tendría que especificarse si se quiere definir la suma de A + B + C com o (A + B) + C o com o A + (B + C)-

Problemas 1.5 A uto

evalu ació n

I. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es cierta para la matriz l

2

7

-I

3 0

a) Es una matriz cuadrada. b) Si se multiplica por el escalar —l, el producto es

í- l

-2

-3

-7

l

0

c) Es una matriz de 3 X 2.

{1

2

Oj

vy

es 1

m d) Es la sum a de

r

l 0

o,

II. ¿Cuál de los incisos es 2A — A — B — 2 C para o

O

A= 0

0

3 yC = 0

l

0

\4

2

V0

0

'\

-1

r

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'1

1843

S

emblanza

de

1943

...

Sir William Rowan Hamilton, 1805-1865 Sir William Rowan Hamilton

Sir William Rowan Hamilton nació en Dublín en 1805, en donde

f The Granger colleclion I

pasó la mayor parte de su vida, y fue sin duda el más grande ma­ temático irlandés. El padre (un abogado) y la madre de Hamil­ ton murieron cuando era apenas un niño. Su tío, un lingüista, se hizo cargo de su educación. A la edad de cinco años, Hamilton podía leer inglés, hebreo, latín y griego. Cuando cumplió los 13 dominaba, además de los idiomas del continente europeo, sáns­ crito, chino, persa, árabe, malasio, hindú, bengalí y varios otros. Hamilton disfrutaba escribir poesía, tanto en su infancia como en la vida adulta, y entre sus am igos se contaban los grandes poetas

Aquí, mientras caminaba

ingleses Samuel Taylor Coleridge y William W ordsworth. Sin em ­ bargo, la poesía de Hamilton se consideraba tan mala que resul­ tó u ra bendición que desarrollara otros intereses, especialmente aquellos relacionados con las matemáticas. Aunque disfrutó las matemáticas desde niño, el interés de Ham Iton creció de manera im portante después de un encuentro

el 16 de octubre de 1843, Sir William Rowan Hamilton descubrió, en un instante de genialidad, la fórmula fundamental para la multiplicación de cuaterniones i1 = f = k2 = ijk = - 1

casual a la edad de 15 años con Zerah Colbum , el americano que calculó las descargas eléctricas de los rayos. Poco después, Hamil­

y la grabó en una piedra de este puente.

ton comenzó a leer los libros importantes de matemáticas de su tiempo. En 1823, a los 18 años, descubrió un error en la Mécanique celeste de Simón Laplace y escribió un artículo impresionante so­ bre el tema. Un año más tarde entró al Trinity College en Dublín. La carrera universitaria de Hamilton fue sobresaliente. A los 21 años, siendo todavía estudiante de licenciatura, había im pre­

Durante el resto de su vida, Ham iitor pasó la mayor parte del

sionado a tal grado a sus maestros que fue nombrado Astróno­ mo Real de Irlanda y profesor de Astronomía en la universidad. Poco después escribió lo que ahora se considera un trabajo clási­ co en óptica. Haciendo uso únicam ente de la teoría matemática, predijo la refracción cónica en cierto tipo de cristales. Más tarde los físicos confirm aron esta teoría. En parte debido a este trabajo, Hamilton fue arm ado caballero en 1835.

tiempo desarrollando el álgebra de cuaterniones. Él suponía que tendrían un significado revolucionario en la física matemática. Su trabajo monumental sobre este tema, Treatise on Quaternions, fue publicado en 1853. Más tarde trabajó en una extensión del tema, Elements o f quaternions. Aunque Hamilton murió en 1865 antes de term inar esta obra, su hijo publicó el trabajo en 1866. Los estudiantes de matemáticas y "'ísica conocen a Hamil­

El primer artículo puramente matemático de Hamilton apa­ reció en 1833. En él describió una manera algebraica de manipular

ton dentro de muchos otros contextos. En física matemática, por ejemplo, se encuentra la función hamiltoniana que con frecuen­

pares de números reales. Este trabajo sienta las reglas que se usan hoy en día para sumar, restar, multiplicar y dividir números com­ plejos. No obstante, en un principio, Hamilton no pudo desarrollar una multiplicación para ternas o n-eadas ordenadas de números para n > 2. Durante 10 años estudió este problema, y se dice que lo resolvió en un rato de inspiración mientras caminaba por el Puente de Brougham pn Dublín en 1 8 4 3 .1a clave era descartar la

cia representa la energía total de un sistema, y las ecuaciones diferenciales de dinámica de Hamilton-Jacobi. En la teoría de ma­ trices, el teorema de Hamilton-Cayley establece que toda matriz satisface su propia ecuación característica. Esto se estudiará en el capítulo 6. A pesar del gran trabajo desarrollado, los últimos años de Hamilton fueron un tormento. Su esposa estaba semiinválida y

conocida propiedad conmutativa de la multiplicación. Los nuevos objetos que creó se llamaron cuaterniones, que fueron los precur­ sores de lo que ahora se conoce como vectores. En la actualidad, una placa incrustada en el puente cuenta la historia.

él fue atacado por el alcoholismo. Es gratificante, por lo tanto, se­ ñalar que durante esos últimos años la recién formada American Nacional Academy of Sciences eligió a Sir William Rowan Hamil­ ton como su primer miembro extranjero.

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1.5

a)

- 3 . 2. 6

A)

0, - 2 , 9

c)

3, —2, 6

R + cR. se encontraba, por m era observación, el m ultiplicador í'. Este m ultiplicador í- se puede calcular con exactitud a p artir de los elementos de la matriz. Ejemplo

A= 0 10

0 0

f

g

/j

k)

h

Para crear un cero en la posición que ocupa / se necesita R. -> R. + ( —i/f )R O b s e rv e que / '= A (2, 3) y que i = /í(3. 3): e = - A(3,3)/A(2,3) En térm inos generales, c = -(e le m e n to que debe hacerse cero/pivote usado): A(3,:) = A(3,:) + c*A(2,:) a) Para la m atriz que sigue realice las operaciones con renglones R. —> R. + cR. para o b ­ tener la m atriz en form a escalonada p or renglón (no la form a escalonada reducida por renglones), excepto que el elem ento pivote no necesita ser I. (No m ultiplique ni divida

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By manchester91 56

C

a p ít u l o

l

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

un renglón por un número para crear unos.) Encuentre lodos los m ultiplicadores usan­ do la notación de matrices anterior. Para esta m atriz sus m ultiplicadores serán números sencillos para que pueda verificar conform e el proceso avanza:

A=

1

2

-2

0

4

-1

0

-4

2

-12

-4

-5

12

-6 2

-2

b) O prim a A = rand(4,5) A(:,3) = 2*A(:,1) + 4*A(:,2) Siga las instrucciones del inciso a). Asegúrese de calcular los m ultiplicadores usando la notación m atricial. Vea el problem a 2 de M ATLAB en la sección 1.10, una situación en la que se quiere realizar el tipo de reducción que se acaba de describir. C aracterísticas de M ATLAB. Introducción eficiente de matrices dispersas a) En el problem a 60 se le pidió que estableciera m atrices para gráficas en las que

a '■

I

si el punto i está conectado con el punto j

0

de otra manera

Para la m ayor p arte de este tipo de gráficas la m atriz consiste en muchos ceros y algunos unos. En M A TLA B se puede introducir una m atriz con ceros en todos sus elem entos y después modificarla renglón p or renglón. C onsidere la siguiente gráfica: 2

a = zeros(5) a (l,|2

4|) = |1

a (2 ,|l

3

1|

4|) = 11

(1 está conectado con 2 y 4) 1

1|

(1 está conectado con 1, 3 y 4)

y así sucesivamente Term ine de introducir la m atriz anterior y verifique el resultado con su respuesta al problem a 61.

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1.6

Productos vectorial y matricial

57

b) Considere la siguiente gráfica dirigida

Defina

I

I si la arista j va al nodo i —I si la arista i sale del nodo i

0 de otra manera

¿De qué tam año será A l Introduzca A=zeros(n,m ), donde n es el núm ero de renglones y ni es el núm ero de colum nas (doc zeros). Se m odificará A colum na p or colum na viendo una arista a la vez. Por ejemplo, A ( |1 2|,1) = |- 1 ;1 | A(4 5|, 8 = 11;—11

la arista 1 sale del [1] y va al [2] la arista 8 sale del [5] y va al [4]

Com plete el proceso anterior para encontrar A. 3.

a) Introduzca cualesquiera dos matrices A y B de distinto tam año. Encuentre A + B; ¿qué le dice MATLAB? b) Introduzca cualesquiera dos matrices A y B del mismo tam año. Suponga que s es un es­ calar. De sus conocim ientos algebraicos sobre las m anipulaciones con números, ¿a qué conclusión llegaría sobre las relaciones s*A. s*B y s*(A +B )? U:ilice una línea de com en­ tario para escribir esta conclusión. Pruebe su conclusión con tres elecciones diferentes de s. Pruebe su conclusión con o tra elección de A y otra elección de B para tres valores de v. (Si va a usar M ATLAB para generar matrices aleatorias, consulte la presentación an terio r de problem as de M ATLAB 1.3.)

P r o d u c to s v e c t o r ia l y m a t r ic ia l En esta sección se analizará la form a en la cual se pueden m ultiplicar dos matrices. Es obvio que se puede definir el producto de dos matrices de ni X n, A = («..) y B = (b ) com o la matriz m x n cuya com ponente //e s aHb... Sin em bargo, para casi todas las aplicaciones im portantes que usan matrices, se requiere de otro tipo de producto. Explicaremos las razones de esto. EJEM PLO 1

Producto de un vector de dem anda y un vector de precios

Suponga que un fabricante produce cuatro artículos. Su dem anda está dada por el vector de de­ manda d = (30 20 40 10) (una matriz de l X 4). El precio por unidad que recibe el fabricante ('$2 0 'i Sl5 por los artículos está dado por el vector de precios P —

S l8 ^S40 )

la dem anda, ¿cuánto dinero recibirá el fabricante?

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(una matriz de 4 X l ). Si se cumple

58

C

I

a p ít u l o

1

Solución

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

La dem anda del prim er artículo es 30. y el fabricante recibe $20 por cada artículo vendido. Por consiguiente recibe (30)(20) = S600 de las ventas del prim er artículo. Si se sigue este razona­ miento, se ve que la cantidad total de dinero que recibe es (30X20) + (20)(1 í) + (40)( 18) + (10X40) = 600 + 300 + 720 + 400 = $2 020 Este resultado se escribe como ' 20x (30

20

40

15

10)

=

18

2020

\4 0 / Es decir, se m ultiplicó un vector renglón de 4 com ponentes y un vector colum na de 4 com po­ nentes para obtener un escalar (un núm ero real). En el últim o ejem plo se multiplicó un vector renglón por un vector colum na y se obtuvo un escalar. En térm inos generales se tiene la siguiente definición.

D efin ició n

P ro d u c to e s c a la r f

Sean a =

\

a2

II A,

yb

=

b2

II

dos vectores. Entonces el producto esca la r de a y b denotado

kJ

p o r a • b. está d ado por a • b = a.b. + trb, + • + a n bn I 2 2

( 1)

D ebido a la notación en (1). el producto escalar se llama con frecuencia producto punto o producto interno de los vectores. Observe que el producto escalar de dos «-vectores es un escalar (es decir, es un número).

ADVERTENCIA

Al to m ar el producto escalar de a y b e s necesario que a y b tengan el mismo núm ero de com ­ ponentes. A m enudo se tom ará el producto escalar de un vector renglón y un vector colum na. En este caso se tiene

Producto escalar vector renglón 1 x n

V {ar a...... . a )

b.

|

: a.b. + 11

+ 2— Y a b

2

I

n

n

Éste es un número real (un escalar)

vector columna n X 1

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(2)

1.6

E JE M P LO 2

f

a •b

y b=

-2

Calcule a • b.

V 4/

3,

,

3'

'

-2

Sea a -

E JE M P L O 3

= (l)(3)

+ ( —2)(—2 ) + (3)(4) = 3 + 4 + 1 2 = 1 9 .

Producto escalar de dos vectores

Sea a = (2, - 3 , 4 , - 6) y b

Solución

59

Producto escalar de dos vectores '

Solución

Productos vectorial y matricial

Calcule a • b.

A quí a • b = (2 )(1) + ( —3)(2) + (4)(0) + ( —6)(3) = 2 - 6 + 0 - 18 = - 22. El teorem a se presenta a continuación y se deduce directam ente de la definición del producto escalar. Se dem uestra la parte ii) y se deja el resto com o ejercicio.

T eo rem a

Sean a. b y c tres //-vectores y sean a y ¡3 dos escalares. Entonces

a -0 = 0 ii.

(ley conm utativa del producto escalar)

a • b = b ■a

ni. a - ( b + c) = a

(ley distributiva del producto escalar)

b + a- c

¡v. (a a ) • b = a (a • b)

f Prueba de ii)

Sean a

", ü,

\

II

A ,



V

b. y b= ¿ II A )

Entonces ah = ha para cualesquiera dos números a y b

i a • b = a [b i + r/,6, +

+ ab

b ta t + b2a2 +

+ ba = b•a

Observe que no existe una ley asociativa para el producto escalar. La expresión (a • b) • c = a • (b • c)n o tiene sentido porque ninguno de los dos lados de la ecuación está definido. Para el lado izquierdo, esto se concluye a p artir de que a • b es un escalar y el producto escalar del escalar a • b y el vector c no está definido. A hora se define el producto de dos matrices.

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60

C

a p ít u l o

í

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Producto de dos matrices

D efin ició n

Sea A - (a..) una matriz m X n, y sea B = (b..) una m atriz /; X p. Entonces el producto de A y B e s una m atriz m X p, C = (r.), en donde

(3)

c\.= (renglón i de A) • (colum na j de B)

Es decir, el elem ento ij de A B es el producto punto del renglón / de A y la colum na y de B. Si esto se extiende, se obtiene

Si el núm ero de colum nas de A es igual al número de renglones de B, entonces se dice que A y D son co m p atib les bajo la m u ltip lic a c ió n .

ADVERTENCIA

Dos m atrices se pueden m ultiplicar únicam ente si el número de colum nas de la prim era m atriz es igual al número de renglones de la segunda. De o tra modo, los vectores que form an el renglón i en A y la colum na j de B no tendrán el mismo número de com po­ nentes y el producto punto en la ecuación (3) no estará definido. Dicho de otro modo, las m atrices A y B serán incompatibles bajo la multiplicación. Para ilustrar esto se con­ sideran las siguientes matrices de A y B: columna j de 8 i bn

K

■••

K

■■■ \

1

K

b22

•

K

■

K

h„2

K

■•• bnp y

2V

renglón i de A ••

Los vectores renglón y colum na som breados deben tener el mismo número de com po­ nentes.

EJEM P LO 4

Producto de dos m atrices de 2 x 2

Si A

Solución

I -2

3 4

y B=

f3

-2)

5

6

calcule A B y BA.

A es una m atriz de 2 X 2 y B es una m atriz de 2 x 2. entonces C = A B = (2 x 2) X (2 X 2) tam bién es una m atriz de 2 X 2. Si C = (c..), ¿cuál es el valor de c,,? Se sabe que cn = ( 1er renglón de A) • ( I a colum na de B)

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1.6

Productos vectorial y matricial

61

Reescribiendo las matrices se tiene la columna de B

1 í

Ier renglón de A •

1 3U 3 -2

4

-2)

5

6

Así, 3 + 15 = 15

c „ = < 1 3) De m anera similar, para calcular

Sean A :

- 2'

V2

5, f —3

7/

-1 5 \

Entonces AB — 10

26

13

32

A hora bien

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C a p ítu lo 1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

'-2 '

'-3 '

Y 10 = 1 2 + 2 ,3,

, 13,

,

Y

-1 5 '

32 /

una com binación lineal de las colum nas de A

5,

' —l '

2 +7

26 = - 1 \

4

, 3,

4 ,

una com binación lineal de las colum nas de A.

5,

M u l t ip l ic a c ió n d e m a t r ic e s p o r b l o q u e s En ciertas situaciones es prudente m anejar las m atrices com o bloques de matrices m ás peque­ ñas, llam adas su b m a tric e s . y después m ultiplicar bloque por bloque en lugar de com ponente por com ponente. La multiplicación en bloques es muy sim ilar a la m ultiplicación norm al de matrices. M u ltip licació n p o r b lo q u e s

-1

2

4'

0

4

1 2

Considere el producto AB =

3

5

/

1

4

3'

5

2

-1

0

-3

-3

2

1

o, V 0

1 2,

El lector debe verificar que este producto esté definido. A hora se realiza una partición de estas matrices m ediante líneas punteadas. r

1 2

-1 o

AB

1

2

4' r

1

4

5

l 2

-3

-3

4

I

3 '

-1

1

0

' c

D 1' G

2 1 1 |

1

\ E

F

H'

1 1 ,-2

1

1

2

3

1

5

o,

_

0

>

K

2 ,

Existen otras m aneras de form ar la partición. En este caso C =

y a sisu , K = U Oj v2 , cesivamente. Si suponem os que todos los productos y las sum as de matrices están definidos, se puede m ultiplicar de m anera norm al para obtener

AB =

C

d

"'G

//'

'C G + DJ

CH + D K '

EG + FJ

EH + FK /

A hora ri

'1

0, , 2

4' -1,

OO

,2

- r

rN

CG =

Oí

EJEM P LO 8

II

66

CG + DJ =

(2 D J=\ U

-7

13'

1-10

21,

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4^ ' - 3 5, , 0

2' _ ' - 6 1, ,-12

8' 13,

1.6

Productos vectorial y matricial

67

De m anera sim ilar I

EH =

l]

'3 X

■4

FK =

■2 3 v « /

{ 5)

EH + FK =

El lector debe verificar que C H + DK :

''13'1

y EG + FJ =

' -3

4'

-11

- 1,

, 20;

-7 (C G + DJ | CH + D K N AB - ------------ I --------------EG + FJ

1 EH + FK

- 1 0

-3

13

13

21

20

-1

de m anera que

-7

13

13

-10

21

20

-3 4 - 1 -11

-1

-1

Ésta es la mism a respuesta que se obtiene si se m ultiplica A B directamente. C u ando se hace una partición de dos matrices y. al igual que en el ejemplo 8. todos los productos de subm atrices están definidos, se dice que la partición es co n fo rm a nte .

E JE M P LO 9

Dos m atrices que son conm utativas

Suponga que las matrices A y B son cuadradas y que se hacen particiones confortantes de ( I C=lq

A\ jy

( / ^ =lq

B) ¡ ' M uestre que C y D son conm utativas. Aquí O denota la matriz

cero e / es una m atriz cuadrada que tiene la propiedad de que A I = ¡A = A siempre que estos productos estén definidos (vea la página 95).

■

Solución

'i

a

' 'I

B'

,0

I

,

,0

I,

i - + A- O O I + IO

IB + Al

'I

B +A'

O B + l\

,0

1

'l

A + B'

,

en donde I 2 = I • I. Del mismo m odo

'l O

5 ' l

A' _ ( I ,

Í- + B O

[o i + i o

IA + Bl ' O A + I\

o

1

J

Com o B + A = A + B. CD = DC. es decir, las matrices son conmutativas. Para poder probar los teorem as 2 y 3 y para estudiar m uchas otras partes del material de este libro es necesario utilizar la notación de sumatoria. Si el lector no está fam iliarizado con ella, conform e avance en el libro obtendrá suficiente inform ación al respecto. De o tra m anera puede ir directam ente a las dem ostraciones de los teorem as 2 y 3.

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68

C a p ít u l o 1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

L a n o t a c ió n c o n ^ U na sum a se puede escribir*' de la siguiente m anera, si N > M.

(11) S igno

de

su m a to ria

, 1I

Índice de la suma

E JE M P L O

10

que se lee “sum de— los térm inos a.- cuando el valor de k va de M a N". En este contexto 2 se - .......a— lla m a signo de su m a to ria y k se conoce com o ín d ice de la su m a.

I n t e r p r e t a c ió n d e la n o t a c ió n d e s u m a t o r ia

Extienda la sum a ^ b . . k=1

ni

Solución

C om enzando con

= 1 y term inando con

k

k

=

5 se obtiene

5

XA = b i + b 2 + b 2 + b 4 + b s

k= 1 E JE M P L O

11

In t e r p r e t a c ió n d e la n o t a c ió n d e s u m a t o r ia

6

Extienda la sum a

Y cr k=i

■■ Solución

C om enzando con

k

3 y term inando con

=

k

=

6 se obtiene

6

=C3+ C4 +C5 +C6 A-=3

E JE M P L O

12

In t e r p r e t a c ió n d e la n o t a c ió n d e s u m a t o r ia

Calcule £ * 2. 2

Solución

En este caso

ak — k 2

y

k

va de - 2 a 3. ¿ * 2 = ( - 2 ) ' + ( - l )2 + (O)2 + l2 + 22 - 3' k= -2

= 4 + 1+ 0 + 1+ 4 + 9 = 19 Nota. Al igual que en el ejemplo 12, el índice de la sum atoria puede to m ar valores enteros negativos o cero.

9 El matemático suizo Leonharc Eulor (1707 1783) fue el primero en usar la letra griega £ (sigma) para denotar u n a :

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1.6

E JE M P L O 13

P'oductos vectorial y matricial

69

Cóm o escribir una sum a usando la notación de sum atoria

Escriba la sum a S v = l — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 + 7 - 8 usando el signo de sum atoria.

Solución

C om o l = ( —l)2, —2 = ( —l)3- 2, 3 = ( - l ) 4- 3..., se tiene

s ,= ± i- \r 'k *=i E JE M P L O 14

Cóm o escribir el producto escalar haciendo uso de la notación de sum atoria

La ecuación ( l ) para el producto escalar se puede escribir de m anera com pacta usando la n o ­ tación de sum atoria: n

■

Solución

a • b = atbt + a2b2 + — + a b n = X flA

í=l La fórmula (4) para la com ponente ij del producto A B se puede escribir n c..ij = an,b,i / + aj2 2j H------1- ambni = / a.,b,. ik kj k=l

( 12)

La notación de sum atoria tiene propiedades útiles. Por ejemplo, ii

^ cak = ca] + ca, + cu, H------1- can k=I = c(a, + a2 + a2 + ••• + a = c ^ a k k=\ A continuación se resumen éste y otros hechos.

Hechos sobre la notación de sumatoria Sean \ a j y { b j dos sucesiones reales y c un número real. Entonces (13)

X ca< , = c I> * k= M

,v X k k=M

k= M

N

iV (14)

+ * * )= X a* + x ^ A=A/

jV

Af

X k =M

jV

(15)

X a* - X 6* *=A/ k= M

k

N

ni

X «* = X k = \f k = \f

N

+ X

s> A/ < ni < N

(16)

k = m +1

Las pruebas de estos hechos se dejan com o ejercicios (vea los problem as 104 a 106). A hora se usará la notación de sum atoria para probar la ley asociativa y la ley distributiva.

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By manchester91 C

a p ít u l o

1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Ley a so cia tiv a D em o stración

Co m o A es d e n x m y B es de ni x p, A B es de n x p. E n to n c e s (A B )C =(n x p) x (p x q) es

DE LOS TEOREMAS

u na m a triz d e » x q. De m a n e ra sim ilar, B C e s d e » ; x q y A (B C ) es d e « x ¡¡ de m a n e ra q u e

2 Y 3

(A B )C 'y A (B C ) son am bas del m ism o ta m a ñ o . D e b e d e m o stra rse q u e la co m p o n e n te //'de ( / IS ) C e s ig u a l a la co m p o n e n te //'de A (B C ). Si se d e fin e D = (

.v

\ tal que Ab = 6b.

\y j '

0

1,

/

-6

0

32.

i,

1 0

'2

'\

o'

6

tal que A

3;

-2 o

\

4

4y

1V i

1 9

29. ( 1 4

0

5, , - 2 ,

2

'

5

6^

\ -2

6

3

|

O

0

0

-2

3,

6^ r

-4

J

1 4

O

fN 1 2

36. Sea a =

4, ,2

31.

- 1 3

6

0

28.

6

3

'o

(2

,3

2

26.

5 /.

“3

O

-6

f

O

1 - 2

4 - 2 ' ro

O

2

'\

2

1 4'

'1

1 2y

O

3

V. 1

_\ 5

-3

1

5

25.

5,

T

33.

3

1 4 -2

\

4

0'

'

r

1 6 24.

- f r- l

20.

19.

0

3

4'

2

0

1,

^ 6 yc = L U

5 c 5,

74

C a p ítu lo 1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

38. Sea A = /(.v) =

5

0

2

a

determine el valor de a para el cual A es una raíz del polinomio

--25.

yB=

39. Si A =

(a

b1

encuentre las condiciones para a, b. c y d tal que A B - BA.

)

40. Sean A =

'2

2'

,8

- 2,

yB=

(a

7 1i >

,0

a,

'2

- 2'

,4

—2 ,

f a"

41. D em uestre que

, pruebe que A 2 + B2 = (A + B)2.

na n-I \

42. U na m atriz A de n .v n tal que A ; = In se llama involutiva. Pruebe que la siguiente matriz es involutiva: (0

1 -1

4 -3

4

3 -3

4

43. D ada la siguiente m atriz pruebe que A 2 = A: -I A=

1 ■1

44. Sean a u ,

y

3 5 -3

5

3 5

números reales dados tales que a na„ - «,//,,=£()

F.ncuentre los números bu . />,„ /?,, y /;„ tales que

' au

Qn

,2, a

Y 51. (1 ,0 . 1.0); (0, 1,0. I)

52.

2

'

r -2

53.

A

\

(0)

0

el

b

0

0

e \0 /

54. D eterm ine el número a tal que ( 1 ,- 2 . 3. 5) es ortogonal a ( - 4 , a , 6, - 1 ) . '

r

'

4'

-a

5 ' yy son ortogonales. 2 - 2p

55. D eterm ine todos los números a y (3 tales que los vectores

v 3,

,

3,

56. D em uestre el teorema 1 usando la definición de producto escalar. 57. Un fabricante de joyería de diseño tiene órdenes por dos anillos, tres pares de aretes, cinco prendedores y un collar. El fabricante estim a que le llevará I hora de m ano de obra hacer un anillo. 1Vi horas hacer un par de aretes. Vi hora para un prendedor y 2 horas para un collar. a) Exprese las órdenes del fabricante com o un vector renglón. b) Exprese los requerim ientos en horas para los distintos tipos de joyas com o un vector colum na. c) Utilice el producto escalar para calcular el número total de horas que requerirá para term inar las órdenes. 58. Un turista regresó de un viaje por A mérica del Sur con divisa extranjera de las siguientes denom inaciones: I 000 pesos argentinos. 20 reales del Brasil, 100 pesos colom bianos, 5 000

10 Los vectores ortogonales se manejarán extensamente en los capítulos 3 y 4.

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Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

pesos chilenos y 50 colones de C osta Rica. En dólares, un peso argentino valía S0.3174. los reales brasileños SO.4962. los pesos colom bianos $0.000471. los pesos chilenos SO.00191 y los colones S0.001928. a) Exprese la cantidad de cada tipo de m oneda p or m edio de un vector renglón. b) Exprese el valor de cada tipo de m oneda en dólares por m edio de un vector colum na. £•) Utilice el producto escalar para calcular cuántos dólares valía el dinero extranjero del turista. 59. U na com pañía paga un salario a sus ejecutivos y les da un porcentaje de sus acciones como un bono anual. El año pasado el presidente de la com pañía recibió S80 000 y 50 acciones, se pagó a cada uno de los vicepresidentes $45000 y 20 acciones y el tesorero recibió $40000 y 10 acciones. «) Exprese los pagos a los ejecutivos en dinero y acciones com o una matriz de 2 X 3. b) Exprese el número de ejecutivos de cada nivel com o un vector colum na. c) Utilice la m ultiplicación de matrices para calcular la cantidad total de dinero y el núm e­ ro total de acciones que pagó la com pañía a los ejecutivos el año pasado. 60. La siguiente tabla contiene ventas, utilidades brutas por unidad y los impuestos p or unidad sobre las ventas de una com pañía grande:

Producto Utilidad unitaria

Impuestos unitarios

(en cientos de dólares)

(en cientos de dólares)

I

3.5

1.5

9

II

2.75

2

3

12

III

1.5

0.6

2.5

20

Artículo vendido

Mes

1

II

III

Enero

4

2

20

Febrero

6

1

Marzo

5

Abril

8

Artículo

Elabore una m atriz que m uestre las utilidades y los im puestos totales para cada mes. 61. Sea A una m atriz cuadrada. Entonces A-' se define simplemente como A A . Calcule 2

4

-1

6

62. Calcule A 2 si A

-2

4

0

3

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By manchester91 Productos vectorial y matricial

1.6

77

64. Calcule A 2, A \ A 4 y A 5 donde

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

o' 0 1 o,

65. Calcule A 2. A \ A 4 y A ■donde 0

0

1 0

0

0

1 0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

1

,0

0

0

0

0

66. U na matriz A de n X n tiene la propiedad de que A B es la m atriz cero para cualquier matriz B de n X n. Pruebe que A es la m atriz cero. 67. U na matriz de probabilidades es una m atriz cuadrada que tiene dos propiedades: i) todos sus elem entos son no negativos (> 0 ) y ii) la sum a de los elementos en cada renglón es 1. Las siguientes matrices son matrices de probabilidades: f 1 p =

3 1 4

lo

1 3 1 0

i) fl 3 (> i 0 y 0 = T 1 \5 K

1 6

i') 3

1

0

1 5

3 5/

Pruebe que PO es una m atriz de probabilidades. *68. Sea P una m atriz de probabilidades. Pruebe que P: es una matriz de probabilidades. **69. Sean P y Q dos matrices de probabilidades del mismo tam año. Pruebe que PQ es una m a­ triz de probabilidades. 70. Pruebe la fórm ula (6 ) usando la ley asociativa [ecuación (5)]. *71. Se puede organizar un torneo de tenis de la siguiente m anera. C ada uno de los n tenistas juega contra todos los dem ás y se registran los resultados en una m atriz R de n X n de la siguiente forma: I

si el tenista i le gana al tenista/

0

si el tenista i pierde contra el tenista;

0

si / = j

Después se asigna al tenista i la calificación

s, = j=\ É ^ + Aj SJ =i( * 2V

{R2)ij es la componente ¡j de la matriz R•.

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C a p ít u l o 1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

a) Para un torneo entre cuatro tenistas fO

1 0

O'l

0

1

i

1 0

0

0

\

1 0,

0

0

Clasifique a los tenistas según sus calificaciones. b) Interprete el significado de la calificación. 72. Sea O una m atriz cero de ni X n y sea A una m atriz de n X p . Demuestre que OA = O r donde O, es la m atriz cero de m X p.

= B= y C= .

73. ( 1

A=

2

3

-i

4

2

7

-1

0

4

6

C

0

-1

2

3

7

4

I

En los problem as 74 a 78 multiplique las m atrices usando los bloques indicados.

' 2

3

0

1

1

5 ' 2

-4

'

1 _ 11

4

' 1 '

0 6

75.

74. 1

, 3

6

2

3

i

5 ,

4 , ,

1

0

-I

,

l

1

2

1

-3

4

-2

1

4

6

0

2

3

5

( 3

I

5 )

2 ,

6

-2

5

76. 2

I

-2

-4 / /;

0

0V