Algebra Libro Completo

Índice ÁLGEBRA – 3er AÑO DE SECUNDARIA Pág. T

E M A

1

Teoria de exponentes – Ecuaciones Exponenciales..................................

2

T

E M A

2

Polinomios.................................................................................................

12

T

E M A

3

Productos Notables...................................................................................

21

T

E M A

4

División Algebraica....................................................................................

26

T

E M A

5

Cocientes Notables...................................................................................

31

T

E M A

6

Factorización.............................................................................................

35

T

E M A

7

Fracciones Algebraicas.............................................................................

44

T

E M A

8

Teoría de Ecuaciones...............................................................................

51

T

E M A

9

Sistema de Ecuaciones............................................................................

59

T

E M A

1 0

Inecuaciones............................................................................................

69

T

E M A

1 1

Valor Absoluto..........................................................................................

79

T

E M A

1 2

Logaritmos...............................................................................................

83

T

E M A

1 3

Relaciones y Funciones............................................................................

88



Álgebra

T EMA

Nº

01: T EORÍA

DE

I.E.P. Corpus Christi

E XPONENTES - ECUACIONES

EXPONENCIALES

Capacidades:  Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes.  Aplica leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones.  Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación exponencial.

Desarrollo del Tema: CONCEPTO: Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellos, mediante leyes. La operación que da origen al exponente es la potenciación. POTENCIACIÓN: Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia. Representación: .

An = A x A x A x . . . . . . . x A              ↑

Base

"n " veces

Ejemplos: 1.

3 4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81       

2.

2 6 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64           

3.

nn = n x n x n x n . . . . . . . x n            

4.

1  1    = x 2    2  

4 veces

6 veces

n veces

5

( 3)

7

5.

= 

1   x  2   

1 1  x x 2    2   

5 veces

3 x 3 x     

1     2 

3 x 3 x 3 x 3 x 3            7 veces

LEYES FUNDAMENTALES 1. Producto de Potencias de Igual Base . xa . xb = xa+b . Ejemplos:

.

Segundo Año

Ecuación

1. 23 . 24 = 23+4 = 27 2. 2–5 . 2-4 . 27 = 2–5–4+7 = 3–2 2. Cociente de Potencias de Igual Base .

xa = x a −b . xb

x≠0

Ejemplos: 1.

28 = 28–4 = 24 24

2.

2 −6 = 2–6–(–5) = 2–1 2 −5

3. Producto de Potencias de Diferente Base . xa . ya = (x . y)a . Ejemplos: 1. 23 . 43 = (2 . 4)3 2. 3 . 6 = (3 . 5) 4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes x  xa  = y ya  

.

a

y≠0

.

Ejemplos: 3

1.

43  4  =  23  3 

3

2.

83  8  =  23  2 

5. Potencia de Potencia

((x ) )

c a b

.

= x a .b .c .

OBSERVACIÓN: (XA)B = (XB)A = XA . B 6. Exponente Negativo −a . x =

1 . xa

.

x  y 

   

−a

a

y  =  x 

.

x≠0

y≠0

Ejemplos: Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez

3



Álgebra 1. 2 −1 =

I.E.P. Corpus Christi

1 2

−2

2

32 2 3 2.   =   = 2 3

2

2

7. Exponente Nulo o Cero x≠0

. x0 = 1 . Ejemplos: 1.

[3xy ] 0

2.

  3y   = 1 2x +   5  

=1 0

8. Exponente Fraccionario a

b≠0

. xb = b xa . Ejemplos: 2

1. x 3 = 3 x 2 5

2. x 3 = 3 x 5 9. Producto de Radicales Homogéneos a

.

x .

y =a x . y

a

.

Ejemplos: 1.

3

4 .

2.

5

1 5 5 5 1 5 5 5 . = . = 2 3 2 3 6

3

5 = 3 4 . 5 = 3 20

10. Potencia de un Radical .

[x ] a

b

c

= a x b .c .

11. Raíz de Raíz .

a b c

x =

a .b .c

OBSERVACIÓN: a b

Ejemplos:

x =ba x

x

.

Segundo Año

Ecuación

1.

3

4

2.

4 3

10 = 3

x = 24 x 4

10 = 12 10

12. Casos Especiales 1. . n

Am

2. . n

B ÷n B ÷n B ÷. . . . . . ∞rad

3. .

a

a

aa

Am

n

. aa .

..

n

A m . . . . . . ∞rad . =n −1 A M =n +1 B

.

.

∞

=a

.

4.

n (n +1) + n (n +1 ) + n (n +1) . . . . . . ∞rad . =n +1

5.

n (n +1) − n (n +1) − n (n +1) −. . . . . . ∞rad

6.

.. xx

7. 8.

x

a

b

ba

..

∞

. ab .

=n ..

=n

⇒ x =n n

∞

=b

x x x . . . . . .

x

=

2n

x2

n −1

ECUACIONES EXPONENCIALES Definición: Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se estudiarán aquellos casos que son factibles de resolverlos utilizando los conceptos anteriores. 1. Bases Iguales Si: Nx = Ny → x = y OBSERVACIÓN: .N > 0. ∧ .N ≠ 1. Ejemplo: Resolver: 9x – 1 = 27x – 2 Buscamos bases iguales: Luego:

32x – 2 = 3x – 6

2x – 2 = 3x – 6 ⇒ 4 = x

2. Formas Análogas Si: .MM = MN. → .M = N. Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez

5



Álgebra

I.E.P. Corpus Christi

OBSERVACIÓN: M ≠

1 1 ∧ M≠ 2 4

Ejemplo: 5

1. Resolver: x 5x = 36 3 Resolución Buscando formas análogas:

(x )

( )

5 5 x

= 62

3

⇒ ( x 5 ) x = 66 5

x5 = 6

∴

x =56

Nota: Si: a1(x) = b1(x) ⇒ f(x) = 0 2. Resolver: 3x–7 = 5x–7 Resolución ∴ x=7

x–7=0

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

Reducir:  . . . . . . .a  aaaa        . . . . . . .b "b " factores bbbb         " a " factores 

2.

3.

Calcular el valor de: −4 1210 185  1  E= 5   8 54 6  0,5 

Si:

1

+ ( a ) 2 = 3 ; a = R , reducir:

1

5 . 3 a + 7 . a a + (3a ) 42 + 10 . 3a + 2a 2 7.

32m +1 . 5 m . 4 3mn −2

A= x

9

a 2 +2

9.

2a 2 + 2

+3

90

a 2 +1

E =

3

+ 6 .3

x −y

3x + y

2x 1 + x

1+ x

Si: 5x = 0,125; calcular:: x 64 Si se cumple: a = 5

3

5

3

. . . . . . .∞

b = 3

5

3

5

. . . . . . .∞

Hallar el valor que toma: ab

Simplificar: 2x x −y

8.

2

Si: xx = 2; hallar el valor de:

152n . 3m . 4 3mn +2

Simplificar:

M = a2 5.

6.

Simplificar: m −2n

4.

ab

    

2y x −y

,

Segundo Año

Ecuación Si: A = 5 −1 + 2 −1 + 3 −1

10.

 30  N =   19  11.

; calcular A + N

20.

  

0, 5

1+ x

E = x x +2 x

  4  2   

( )

años

4 −0 , 5

3 64

  

22.

37 + 37 x +3 + 37 x + 2 + 37 x +1 + 37 x 37 x − 4 + 37 x −3 + 37 x − 2 + 37 x −1 + 37 x

. 23.

24.

2 n +90 2 n +91

Efectuar:

 24.14 3.15 6 E =  30 2 .35 3.6 4 

3 n +3 − 3 n +1 , 3.3 n −1 + 2 n +91 entonces P.E es: + 2 n +92

x 2 x +x x

26.

10

   

Si: x x = 2 , calcular el valor de:

25.

Si : E =

P=

Simplificar:

5.2 x +2 − 2 x +4 + 6.2 x −1 2 x +5 − 15.2 x − 2.2 x +3

Reducir:

  +3)veces     (2n 3 n + 6   x  x.x.x  x  1   n + 2    6 x x   x   x. x.x       (4n 2 )veces   

Simplificar: x+4

2 −2

    

Entonces dentro de 2 años dichas edades sumaran

15.

Si: x x = 2 , calcular el valor de:

21.

La edad de José es el cuádruplo de la edad de Carlos. Si Carlos en

x x +1 + 5 x + 2  x 5 + 5   , P( x) = x 5

Si

calcular: P(10)

 7 x − 7 x +2 + 7 x +4 E =  x x −2 + 7 x −4 7 −7

14.

S 32

ar:

Reducir:

tiene

2 x + 2 x + 1 + 2 x + 2 +  + 2 x + 10 Calcul 2 x − 10 + 2 x − 9 + 2 x − 8 +  + 2 x

S=

Reducir: 2 2.  . 2.  2 + 2  . 2.2   2 + 2  . 2.2   2 6 veces 6 veces 6 veces

12.

13.

;

−1

x x x +1 x +1 −x x  x    +x x  −x x −1         

Si: x x = 5 , reducir :

(x ) + x ( x + 1)

x+ x x

5

x+4

16.

de

Proporcionar el exponente final x11 en la expresión:

( ) .( x ) .( x )

E = x1 17.

4

2 5

3 6

Si: k 5 = 3 5 − k 3 ;

k5 M =3  x3  x3    x 3 x 3   k 3 + 1 factores

(

18.

( )

 x 10

)

Si:

((

2 B =  2 

)

4

)

6

13

27.

; x ≠ 0;1

el valor de

28.

3 3n  −n 3    −33     

  

Calcular el valor de:

donde:

Si tenemos definida

la

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez

= (2.4 x .8 x ) 6

4

Resolver: 240 + 9 x = 9 x + 2 y dar x como respuesta el valor de ( 4x )

31.

3

2; e

Resolver : 3

expresión S como:

x +2

=3

30.

N = 1x2x3x4x5x6x7 19.

.8 x

...

Calcular “x” en: x x = indique: x 12

1 Bn 7 − 2 2 ( A)

x +1

2+ x2+ x

29. ;

14

2+ x x2+ x

Si se cumple que: x

2 x .4 x

es

5 23  −3 5    A =2 2     

Calcular “x” , Si:

59 + 5x =5 5 x + 53

32.

Resolver:

33.

Resolver:

5 x +1 + 5 x + 2 + 5 x + 3 = 3875

7



Álgebra x +6

22 34.

= 48

35.

0, 5

Resolver: 25 8

36.

41.

=

−x −1

1 2

42.

xx

2

−x

A partir de: x el valor de: M = ( x

si:

40.

= 2 . Calcular x x + −x x ) x

Calcular “x – y ”

2 x −3y = 16 3

x −y 3

−x

x +2

=x9

9

16

8 −27

−x − 4

−2 −1

=4

Resolver:

81

2x −1 2

=

1

3

− ( x +1 )

46.

Resolver:

47.

Calcular el valor numérico:

x x = 27.( 27 ) 8 x

R = 3 4 2.3 4 2 ∞

48.

Resolver:

x

x 33

0

= 81

x

= 27 9

= 0,2

Calcular ”x”

si: 45.

−22

( )

44.

= 42

−1

Calcular “x”

si: x 39

37. Calcular “x” x +1 x −1 si: 22 = 48

39.

x +7

43. =5

−x −2

Resolver:

33

Resolver:

38.

Resolver: 25 −8

Resolver:

xx

x +1

I.E.P. Corpus Christi

=3

−

Calcular “x”, si: 9− x x9− x

2 9

49.

∞

=

1 1 1 . .  x x x

Calcular el valor de “x” en:

3x

xx

x

∞

= 27

Segundo Año

Ecuación

T AREA D OMICILIARIA 1. Simplificar:

8. Efectuar:

 ( − 27 )

2 − 3

+ ( − 27 )

5 − 3

+

2 81 

−0,2

1   −  1  −1  −16 2 −3 −1  1  1  − 2  1  1     + +   81  2  4   125     

b c +1

     

−

1 2

−2 −1

−1

( − 243 )

10.

Si:

x .y + y .x 2y x 2x x .y +y .x y

12.

x

x

x

−1

x

−1

   

x− 1

 2  41 + x −  x  x −n = 0 2 

13.

Dando x

como

x D) –27

E) –9

 − 0,50,5 − ,0 250,5  81 − 64  ( 0,5) ( ,0 25)  −  −−2 1 − ,0 50  − 1 3 25 − 36  1,5 ,0 125− ,0 125    7. Simplificar:

 1   n

B) n

9 −x +3

8x − 3

= 327

14. Si: x∈ R+ - {1}; halle el valor de “n” que verifica la igualdad:

6. Hallar el valor de:

− ,0 25 − 3 − 1

Resolver la exponencial:

27

x

23−x + 22 −x + 21−x + 2 x = 112,5

A)n

+ (x ) + 1 xx

respuesta el valor de: A) B) C) –8 16 1

5. Calcular “x” a partir de:

n

x

−1

−1

x

x

x x + 2x

Calcular “x” a partir de:

x

4. Simplificar:  x  

x x x = 3 ; hallar el valor de:

S= x xn

y −x

8x − 3

Reducir:

11.

3. Si: x, y ∈ Z+, tal que: y- x ≥ 2; hallar el valor más simple de: x +y

= 327

1

− 0, 2 − 1

y

−x +3

27 9

 3 x (18) x (12) y  2 x −y  x +y .     6x +y 3   2    

− 3 −1   16 − 4 −2 −1   1    16  −        27  

x +y

1 +c

9. Resolver la exponencial:

2. Hallar el valor de:

(− 81 )

c

a b . a b . a 1 +b

3

2

1 x x = x

1   x

3 4

n

Y coloque como

respuesta el valor de (n + 3) + 7 A)3

B)

1 4 3

3

C) n

D)n

E) n

4 2

3

–n

a) 3

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez

1 2

12

C)

3 3 3 3 3 3 n–1

E) 1

D)

4 4

3

E)

1 2

2 4

Simplificar:

"n " veces 2

D)4 3

A)

16.

C) 5

x = Hallar “x” en: x

15.

 1−1 −  1   1   1   1   n   1   1   1   1  −  n   n   n  .. . . .. .  n  −       . . . .. . .              n n n n                  "n " veces

B) 2

.......

"n " r a d ic a le s

b) 9

3 3

3

3

3 3 n +3

c) 27

9



Álgebra d) 17.

3

e)

3

3

23. Resolver: x E= x+ 4 a) 12 d) 9

"θ" , si el Hallar el valor de exponente final de "x" en :

x α 3 xβ

5

xθ

es la unidad. Además:

θ 3α + β = 5

a) 10 d) 25 18.

b) 15 e) 30

I.E.P. Corpus Christi

24.

c) 20

x x x ...... x x         

25.

3 −1

3

a)

3 90 − 1 100

2

d)

2

b)

−1

100

2

2 99 − 1 3

2100 + 1

99

100

c)

3

18.

−1

3

26.

11. Hallar "x”:

b) 20 e) 1

b) 2/3 e) 4/3

Al resolver: 16

19.

=8

Se obtiene la fracción irreductible : Indique: p + q. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 20.

p q

a) 0 d) 3 21.

=

3

5 5

27.

b) 1 e) 4

a) 2 d)

b) 3 e) 6

Calcular "x", si: a) -3 b) 4 d)

1 2

e)

2

x

=9

5

5

b) 2 e) 5

1 x

c) 13

x

5

25

3

c)

b)

1 ( )7 7

e)

5

4

77

1( ) ( )7 7 7

5

1 7

Resolver :

c)

1 7

7

Resolver : a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

a) 2 d) 1/4 30.

2x

= 27 4

b) 4 e) 8

2x

c) 1/2

Resolver:

c) 2

4x

1 4

a) 0 d) 3 31.

c) 6

Resolver :

81 3

c) 0,5

3

− x

=

x

3 4 − x. 9 6 + x . 27 10 − x = 81 4 + x

29.

9 x + 2 = 3 2 x + 240

5

2

a) 7

c) 2

Resolver :

13

1

28.

x

5

x7 =

d)

2 −3 x

5

x

.

Resolver : 4x

22.

a) d)

4 2x

x

2 . x

x =

c) 4/5

3 2x

3 −3

Resolver :

4 x. 8 x +1 = 2 2 x −1. 16 3 x − 2 a) 1/3 d) 5/3

c)

−9

Resolver : x x −1 3 x − 37

a) 25 d) 50

+1

1 3 .

xx = 9

x

2100

3100

e)

c) 10

3 −2

b) e)

−6

100 radicales 99

b) 15 e) 18

Hallar "x", de : a) d)

Hallar el exponente final de:

x x = 6 72 ; e indicar :

Resolver:

2 −2x

b) 1 e) 4

=

7 7

x

c) 2

Segundo Año

Ecuación

4 x +1 = 48 − 2 2 x + 3

a) 1 d) 4 32.

b) 2 e) 5

42.

Simplificar:

Q=

32 32 :

a 6b  ∞

Calcular el valor reducido de la expresión siguiente:

34.

43.

Calcular el valor de “T”:

T =

Calcular el valor de R:

35.

44.

Calcular el valor de “Q”: Q= 2

36.

2

2

∞

. 3 3

3

3

3

3

∞

38

38

∞

∞

Calcular el valor de “x” en: x

x xx

45.

∞

=4

Calcular “R”:

R = 3 24 + 3 24 + 3 24  ∞

Calcular ”x”

( x −2 ) ( x −2 )



37.

4

4

4

38

R = m x n : m x n : m x n ∞

∞

=5

46.

Calcular el valor de “R”:

Calcular el valor de R:

R = 3 15.3 15.3 15  ∞ 38.

R =

Simplificar:

R =

39. W = x

n

3 −1 n

n

an

a

n 3 +1

. an n

: a

3 −1

n 3 +1

47. ∞ : ∞

Calcular el valor de W , en: −x

4

2

− x

4

−x

2

− x

4

−x

2

48.

49.

Calcular el valor numérico de:

Q =

44

44

4 4

∞

. 3 3 3 ∞  1 +  2 + 2 + 2 + ∞  

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez

(x

−x)+

2

(x

2

−x)+

(x

(x + x ) + (x + x ) + (x (x − x ) − (x − x ) − (x 2

2

2

2

2

2

− x ) ∞

+ x ) + ∞ 2

− x ) ∞

Resolver:

3x −1 + 3x −2 + 3x −3 = 39

− ∞

Calcular el valor de R , en:

x 3 . x 3 . x 3 + ∞ Calcular el valor de “R”:

R =

R = a 2 + a + a 2 + a + a 2 + a + ∞

41.

a 6b

32 32 ∞

Q = 3 x 2 x .3 x 2 . x  ∞

40.

a 6b − 3

Calcular el valor numérico de:

E = 32 32 :

33.

c) 3

5

2x

Calcular el valor de “x”, en:

+ 125 = 6(5 x +1 )

50. Calcular la suma de los valores 9 x + 81 = 10 3x +1 de “x”, en:

(

51.

Resolver:

( 2x

+ 1)

( 2x +1 )

= 2 −2

)

−2

11

Tema nº 02 : Polinomios Capacidades:  Calcula el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios.  Diferencia correctamente las clases de polinomios en forma directa.  Resuelve problemas con polinomios.

Desarrollo del Tema: NOTACIÓN FUNCIONAL Se utiliza para indicar las variables en una expresión algebraica. Par ello emplearemos letras como P, F, G,..., etc. Ejemplo: P(x) → se lee P de x: x → variable F(x;y) → se lee F de xy: x, y → variable x, y, z → variables a, b, c → constantes OBSERVACIÓN: - SE DENOMINAN VARIABLES A LOS SÍMBOLOS QUE REPRESENTAN CANTIDADES DE VALOR FIJO.

PARA ELLO SE UTILIZAN LAS ÚLTIMAS LETRAS DEL ALFABETO

(Z, Y, X, ..., ETC.). - SE

DENOMINAN

CONSTANTES

CANTIDADES DE VALOR FIJO. NUMERAL.

TAMBIÉN

A

PARA

LO

SÍMBOLOS

QUE

REPRESENTAN

ELLO SE UTILIZA GENERALMENTE EL

SE UTILIZAN FRASES DENOMINADAS PARÁMETROS, EN

ESTE CASO EMPLEAREMOS LAS PRIMERAS LETRAS DEL ALFABETO

(a, b, c,...,

etc.). VALOR NUMÉRICO Es el número que se obtiene al reemplazar las letras de una expresión por valores determinados. Ejemplos: 1. Hallar el V.N. de: E = x2 + y3 + 3z Para x = 3; y = 2; z = 5 Resolución: V.N. “E” = (3)2 + (2)3 + 3(5) = 32 2. Hallar P(3,2), si P(x,y) = x2 + 5y + 20 Resolución:

Tercer Año

Polinomios

P (3,2) es el V.N. de P(x,y) Para x = 3; y = 2 P(3,2) = 32 + 5(2) + 20 = 39 GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS El grado es una característica de las expresiones algebraicas, relacionado con los exponentes, que en una ecuación indica el número de valores que debe tener la incógnita. El grado es absoluto si se refiere a todas las variables y relativo si se refiere a una de las variables. Grado en un Monomio 1. Grado Absoluto (G.A.) Se obtiene al sumar los exponentes de las variables. 2. Grado Relativo (G.R.) El grado relativo a una variable es el exponente de dicha variable. Ejemplo: F(x,y) = a4x5y8 G.R.(x) = 5

G.R.(y) = 8

G.A.(F) = 8 + 5 = 13 Grado en un Polinomio 1. Grado Absoluto Está dado por el mayor grado de sus términos. 2. Grado Relativo El grado relativo de una variable es el mayor exponente de dicha variable. Ejemplo: P(x,y) = 6x8y – 3x7y3 + 2xy5 G.R.(x) = 7

G.R.(y) = 5

G.A.(P) = 10 3. Cálculo de Grados en Operaciones 1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor. Ejemplo:

Si P(x) es de grado: a Si Q(x) es de grado: b

tal que: a > b ⇒ Grado [P(x) ± Q(x)] = a

2. En la multiplicación los grados se suman (x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2)

Ejemplo: Resolución:

⇒ Grado: 6 + 9 = 15 3. En la división los grados se restan xy 8 − x 3 y 3 + x 7

Ejemplo:

x 4z − y 3 + x 3y 3

Resolución: ⇒ Grado: 9 – 6 = 3 4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente (x3y – x2y6 + z9)10

Ejemplo: Resolución:

⇒ Grado: 9 . 10 = 90 5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical. Ejemplo:

3

xy 7 + 2x 3 y 6 − 7 x 12

Resolución. ⇒ Grado

12 =4 3

POLINOMIOS ESPECIALES 1. Polinomios Homogéneos Son aquellos en los que todos los términos tienen igual grado. Ejemplo: x3y2 – x5 + x2yz2 Es un homogéneo de grado 5. 2. Polinomios Ordenados Un polinomio será ordenado con respecto a una de sus variables, si los exponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo según sea el orden ascendente o descendente. Ejemplo: x4y7 – x8y10 + x5y24 Está ordenado ascendentemente con respecto a y.

Polinomios

Tercer Año

3. Polinomios Completos Un polinomio será completo con respecto a una de sus variables si contiene todos los elementos de dicha variable desde el mayor hasta el cero inclusive. Ejemplo: xy8 – y8 + x3y7 + x2y8 Es completo con respecto a x. Propiedad: En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en uno. Es decir: Número de términos = Grado + 1 Ejemplo: P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2 Como es completo: Número de términos = 6 4. Polinomios Idénticos Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos los coeficientes y sus términos semejantes son iguales. Ejemplo: ax + by + cz = 8z + 2x – 5y a = 8; b = –5, c = 2 5. Polinomios Idénticamente Nulos Son aquellas expresiones que son equivalentes a cero. Estando reducidas se cumple que cada coeficiente es igual a cero. Ejemplo: ax + by + cz = 0 a = 0; b = 0; c = 0 6. Polinomios Mónico Es aquel cuyo coeficiente principal es 1 Ejemplo: P(x) = x2 + 3x + 1 Es mónico porque el coeficiente de x2 es igual a 1

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. La siguiente expresión se puede reducir

a

un

monomio,

hallar

el

grado

absoluto

del

polinomio:

proporcionar su valor reducido

P ( x,y ) = 4 x m +n −2 y m −3 +7 m +n +5 y m −4 +

M = ( a − b )a +b x 4 + (b 2 + a )a −b x 2 − ab 3 x

+ 2 x m +n −6 y m +2

8. Siendo: 2. Clasificar la siguiente expresión: x

( ) ( )

 a 2b  2  ab

x x

  

x +1

( ) ( )

 ab 2  2  a b

x x

  

x −1

P(x) = 45x5 – 2xp + 1 – xq–2 + 3x2 + x + 1 Un polinomio ordenado y completo, hallar el número de términos del polinomio:

3. Que valor como mínimo debe tener “n”

para que la expresión sea

S(x) = xp+q–1 + 2xp+q–2 + ... + 3x + 2 Si este es completo y ordenado.

fraccionaria x

x

−1

x

−1

x

−1

x

9. De qué grado es E si el en el

−n

numerador hay 109 términos:

4. Hallar el valor numérico (V.N.) de: 6

E =

x2 y y2

10. Reducir:

Para: x = 0,125; Y = 0,0001 5. Si el grado de P es “m” y el grado de Q es “n” (m>n). Hallar el grado de: R =

x 4n + 2 + x 4n + 1 + x 4n + ... + x 2 + x + 1 x 2n + 2 + x 2n + 1 + ... + x + 1

(P +

PQ 2Q

)

P(x)

si

sabe

que

es

homogéneo P(x)= [(ab)2x2]

ab

+ + bx

a+b

(x-b + 2ab–1xb–a) +

abc

x

11. Calcular el valor de (B – A) para que los siguientes

n

x

polinomios

sean

equivalentes:

6. Dado el monomio: H ( x , y ) = 2m 3n

se

m −1

y

20

xy

Si: G.R.x(H) = 2 y G.R. y(H) = 4; hallar el grado de: F(x,y,z) = mnxn + mxym + zn–4 7. Si la diferencia entre los grados relativos de “x” e “y” es 5, además el menor exponente de “x” es 3.

P = A(x+1)2 + B(x–2) + 2 Q = (x–2)(x+1) + (x+3)(x+2) 12. Si el polinomio: (x2+x+1)

(a–b)

+

(x2+x+2)

2

(x +x+3) (c–a) Es nulo, Hallar E =

b +c a

(b–c)

+

Tercer Año

Polinomios Si:

19. 13. Indicar el coeficiente del monomio:

( 3x )

M ( x ) = 2 .x . n

5 7

(

+

grado es 2n n ∈ Z A) 18 D) 28

)

2n 3

.

( nx )

n

B) 24 E) 16

ab , a > b > 0, a; b ∈ Z + a +b

;

Si su

Calcular: f ( 5) + f (10 ) A)

C) 12

D)

14. Dada la expresión:

2 3 17 12

13 12 12 17

B) E)

C)

3 4

20. Calcular la suma de los coeficientes menos el termino independiente de

1   f  x 3 + 2  = x 5 − 7 x 2 + 5 ; calcular f ( 7 ) x   A) 7 D)1

f ( a 2 + b) =

B)4 E) -3

P ( x ) . Si P ( ax − b ) = ( ax − b ) + 2ax − 2b + 9 + b 2 2

C) 0

A) 5 D) b 2 − 5

15. calcular la suma de los coeficientes

C) b 2 + 5

B)3 E) b 2

menos el termino independiente del

P( x ) ,

polinomio

si:

21. Si

B)4 E) -2

( )

P

(

n

2n

(x

2

B)2 2 E) n 2

C) 4

n que: P (1).P ( 2 ).P ( 3)  P ( n ) = 2 .n! ;

Observación: n! =1.2.3...( n −1)n Calcular P ( 2004 ) A) 2004 B) 1002 C) 4008 D) 2005

E)

(

)

P( x ) = ( x −1) x 2 − 2 x + 1 ; 3

22. Sea:

(

E) 2004

P( x −1) = ( x −1) + 2 x − 2 ; 2

A) 16 D) 210

)

(

)

B) 32 E) 2000

C)

150

23. Si al polinomio:

P ( x; y ) = nx m y p + mx m −a y p −1 + x n −8 le

disminuye ¿Cuánto vale el menor de los grados relativos? A) 3 D) 4

donde x es numéricamente igual a la variación de la temperatura en ºC. ¿Cuánto se dilatara ante una variación de 21ºC? B) 481u E) 210u

) (

P( 2) + P 5 2 + 1 + P 5 3 + 1 +  + P 5 20 + 1

3 4 restamos 10 x y , su grado absoluto

18. Cierto material se dilata según la regla

A) 440u D) 438u

un

calcular:

17. Sea P(x)un polinomio definido en Z, tal

polinomial.

B) -24 D) 48

n

+ 2 x + 1 ; evaluar

)

−1

a

-48

2 +1 ; n ≠ 1

A) 1 D) 2 n

reduce

3

A) 24 C) 0

)

se

P ( x; y ) = 7 x n −4 y b + 5 x a y 6−n

C) 2

16. Dado el polinomio:

P x 2 = ( x −1)

polinomio

monomio, calcular P ( −1;2 )

P ( x − 1) = x 3 + 3 x − 3 x 2 − 2 A) 1 D)3

el

C) 0u

B) -1 E) 2

C) 0

x 5

20 17 24. Sea: P  = x − 125 x + 3 x + 2 ;

Calcular P (1) A) 17 D) 50

B) 20 E) 80

C) 30

P ( x ) = x n −1 + 2 x n −2 +1 ;

25. Si:

esa

un

P ( 3 x ) = 6 x + 1; Q x  = P( x )

28. Si:

  2

polinomio cuadrático. Calcular P (11n 2 ) A)1 D)1000

B)10 E) 10000

A)2X + 1

A)-1 D)4

es

P(0)

lineal y mónico. Calcular B)2 E) 5

+ 1)

B)4X + 1

1

D)6X + 1 2

2

Calcular Q( P( x ) )

solo

A)4X + 2

B)4X - 2 D)4X - 1

en términos de P ( x ) A) P ( x ) −1 C) P ( x ) − 2 D) P ( x ) +1

C)3X +

x +1 E) 2

29. P ( 2 x − 1) = ( x + 1) − ( x − 1) ; P(Q( x ) ) ;

C)3

27. Sea: P ( x ) = 2 x +1 ; calcule P ( x

calcule

Q( x )

C)100

P ( x ) = ( a − 1) x 2 + ( b − 2 ) x + a + b

26. Si:

;

C)4X + 3 E) 4X

B) P ( x ) + 2

P ( 2 x + 1) = 6 x; Q( x −1) = P( x ) ;

30. Si: E) P ( x ) + 3

calcule

Q( x ) A)3X – 3 D)3X - 2

B)6X - 6 E) 3X + 3

C)3X

PROBLEMAS PARA LA CASA

(P (P

Reducir la siguiente expresión si se

1.

sabe que los términos son semejantes

5

) )

+ Q5 + Q4

2n

n +3

; es igual a 4.

b a x x a +1 + ab 3 x + a b +1 x b x

A)

B)

C)

A)

1 D)

2 E)

3

4

5

B)

−113 x D)

− 333 x

C)

Cero

24x

1/3

E) 3

x

Reducir

2.

Indicar el coeficiente del monomio:

4. la

siguiente

M ( x ) = 2n x 5 7 (3x ) 2n 3 (nx ) n

expresión

algebraica si se sabe que es racional

Si el grado del mismo es “2n” (n ∈ Z+)

entera

A)

B)

C)

3 D)

8 E)

12

24

32

2

 m − 1   m +1 x +1 + − (n + 1 ) x + 1  x + 1  

3.

7

A)

B)

C)

2x–1 D)

x+2 E)

2x–2

2x+2

2x+1

Hallar el valor de “n” si el grado de P

Si {a, b, c, d} ∈ N y además:

5.

P( x ) = x b d −2

+ x6

a +cc −3b

+ xa

b +2 a

+ x 2a +31 +

+ ... + abcd

Es un polinomio completo y ordenado

y Q es igual a 3 y 4 respectivamente, y

(b>1), señale su término independiente

se conoce que el grado de la expresión:

A)

B)

C)

Tercer Año

Polinomios 36 D)

56 E)

30

60

120

Determine el grado del polinomio

10.

P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2)( x 3 + 3)....( x 10 + 7 ) A) 45 D)40

Calcular el grado de Q si se sabe

6.

que P es homogéneo y de 5to. grado. m+1

P=x

(y

n–1

m–n

+z

)

B)

C)

5 D)

6 E)

4

7

8

A) 38 D) 25

(

–1 E)

–2

0

C) 1

P( x ) = x 2 n +1 + x 2 n + x 2 n −1 + ... + x 2 + x + 1 A) 2N + 2 D) 2N - 1

C)

Si:

14.

2

B) 2N+1 E)

P( x , y ) = n 2 x n

n

−1

C) 2N N

. y 26 + m 2 x 3 y m

−1

de:

M ( x, y, z ) = m A) 10 D) 4

L(x) = (ab–ac+d2)x4 + (bc–ba+4d)x2 + (ca–cb+3) Es idénticamente nulo, donde d ≠ –3,

1 4 3 calcular el valor de: f = − + a b c

n

2

x 12 .3 y 2 m .z m

B) 8 E) 2

C) 6

En el polinomio:

15.

P( x ) = 6ax 5 a + 5ax 4 a + 4ax 3a + 3ax 2 a + 20ax 2 + a calcular “a”, si se cumple que la suma

A)

B)

C)

de

0 D)

1 E)

2

independiente incrementado en 76.

3

4

coeficientes es igual a su termino A) 1 D)3

Calcular la suma de coeficientes del polinomio homogéneo:

Q( x , y ) = nx n +6 + 3 x n y m + mx m +7 A) 17 D) 15

m

se reduce a un monomio: calcular GA.

Si el polinomio:

8.

9.

B) - 1 E) 3

¿Cuántos términos tiene p ( x ) ?

13.

( a + b ) 2 + (c + d ) 2 ( ab − cd )

1 D)

C) 26

)

A) 0 D) 2

B = (x2+b)2 + c(x+b) + d

B)

B) 28 E) 36

x x +1 Si P 3 + 1 = 3 + 5 ; Calcular P( 0 )

12.

A = (x2–a)2 + b(x–a) + c

A)

+ 5 x m −n+5 + 2 x p −n+6 es

calcular: m + n + p.

polinomios equivalentes:

E =

m −10

C)55

completo y ordenado descendentemente,

Calcular el valor de E, si A y B son

7.

Si: M ( x ) = x

11.

Q = xm+1 (yn+1 + zm+n) A)

B) 36 E) 28

B) 16 E) 14

C) 13

16.

B)4 E) 5

C) 2

Dada la expresión matemática

 x 2 −1   = x 2 − 2 P x − 1   Calcular: P ( 4 ) + P ( 5) +  + P ( 8) A) 105 B) 115 C) 120 D) 125 E) 135

Calcular el coeficiente del monomio:

17.

22.

grado es el monomio :

G.A. = 10 y G.R (x) = 7. B) 5 E) 2

A) 7 D) 33

C) 4 23.

a

x b .b x c .c x a

B) 13 E) 30

Sabiendo que f ( x ) = x 2

Sea el polinomio cuadrático; indicar

18.

x a +b + b x b + c + c x a + c

a

es homogéneo, de grado 10. de que

n

 −1  3 m +2 n 5 m −n 9n  .y ; si su  x  3  A) 3 D) 1

Si el trinomio:

el coeficiente del término lineal de dicho

Calcular

polinomio.

A)16 D)10

C) 27

x

2 f ( x +1) − 5 f ( x + 2 ) + 2 f ( x +3 ) 2x

B)6 E) 12

C)8

P ( x ) = ( a − 2) x 2 + ( b − 4) x 3 + ( ab − 12 ) x 4 + a b x + 2 A) 81 D) 79

B) 36 E) 78

C) 121 24.

Dada la expresión algebraica:

19.

F ( x; y ) =

A) 2

4 D) 2

Calcular: R = P[Q(x)] – Q[P(x)]

x2 + y ; determinar el valor y 6

4 x = 24 ∧ y = 4

que toma f cuando: B) 0 6

2 E) 2

25.

Q(x+1) = x2 – 2x + 2 Además: H(x) = P(x+1) + Q(x–1)

C) 1

3

Calcular: H(3) 26.

 x +1  1999 P − 2 x 1998 + 4 =x  x −1  Calcular el valor de: P (3) A) 256 B) 16 D)4 E) 23

Si: f ( x ) = x.2 ; x

E= P ( −1)

27.

Calcular:

3 f ( x + 1) − 5 f ( x + 2 ) + 2 f ( x + 3) 2x

A) 16 D) 10

C) 128

Si el polinomio:

21.

Dados los polinomios: P(x–1) = x2 + x + 1

6

De la expresión :

20.

Si: P(x) = x – 1; Q(x) = 2x – 4

B) 6 E) N.A.

C) 8

Si: P( x ) = 2 x + 1 . Calcular P( x +1) , solo en términos de P( x )

(

)

(

)

M ( x; y ) = a + b − c − d 2 x 2 + ( b − de ) xy + 9 b + c − a − e 2 yA) P(x) – 1 es idénticamente nulo, calcula S.

S=

28.

d 2 9b 6a + + b e2 c A) 15 D) 13

D) P(x) + 2

B) P(x) + 1 E) P(x) + 3

C) P(x) – 2

Sea: P( x −1) = 4 x + 2 , Calcular

P( x +6 ) B) 16 E) 9

C) 18

A) 4x + 3 4x – 8 D) 4x + 10

B) 4x + 8 E) NA.

C)

Tercer Año

Polinomios 29.

Si: P ( Q ( x ) + 1) = 4 x; Q( −x +1) = 2 x ; 30.

calcule P( x ) A)-2X + 6 D) -2X + 1

B) -2X + 4 E) -2X + 3

C) -2X + 2

A)-1 D)2

x +1 Si: P3 x +1  =3 +5 ; Calcular P ( 0 )

B)1 E) 3

C)0



Álgebra

I.E.P. Corpus

Christi

Tema nº 03: productos notables Capacidades:  Reconoce y Aplica productos notables.  Resuelve problemas con productos notables.

Desarrollo del Tema: PRODUCTOS NOTABLES Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES 1. Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T.C.P.) . (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 . Identidades de Legendre •

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)

•

(a + b)2 – (a – b) = 4ab

•

(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)

Ejemplos: •

(

•

(a + 5)2 – (a – 5)2 = 4a . 5 = 20a

•

(

3+ 2

)

5+ 2

2

=

( 3)

) −( 4

2

+2 3 2 +

5− 2

)

4

( 2)

2

= 3 +2 6 +2 = 5 +2 6

=8. 5 . 2

[( 5

2

+

( 2)

2

)] = 8 10 . 7 = 56 10

2. Diferencia de Cuadrados . a2 – b2 = (a + b) (a – b) . Ejemplos: • • •

(x + 2) (x – 2) = x2 – 4

( (

2 +1

)(

5+ 2

)

2 −1 = 2 −1 = 1

)(

)

5 − 2 = 5 −2 = 3

3. Binomio al Cubo

(a + b ) 3 . (a + b ) 3

= a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3

(a − b ) 3 . (a − b ) 3

= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3

= a 3 + b 3 + 3ab ( a + b ) = a 3 − b 3 − 3ab ( a − b )

. .

Tercer Año

Productos Notables Ejemplo: •

(2 + 3)3 = 23 + 3 . 22 . 3 + 3 . 2 . 32 + 33 (2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27 (2 + 3)3 = 125

4. Producto de Binomios con Término Común . (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab . 5. Producto de Tres Binomios con Término Común . (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x + abc . . (x – a)(x – b)(x – c) = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x – abc . 6. Trinomio al Cuadrado . (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) . . (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) . 7. Trinomio al Cubo . (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a) . . (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b + c) (ab + bc + ca) – 3abc . . (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2( b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc 8. Suma y Diferencia de Cubos . a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) . . a3 – b3 = (a – b) (a2 – ab + b2) . 9. Identidades de Argan’d . (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 . . (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4 . En general . (x2m + xmyn + y2n) (x2m – xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n . 10. Identidades de Gauss . a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) . . (a + b) (b + c) (c + a) + abc = (a + b + c) (ab + bc + ac) . 11. Identidades Condicionales Si. a + b + c = 0 . Se verifican: . a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) .



Álgebra

I.E.P. Corpus

Christi

. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 . . a3 + b3 + c3 = 3abc . PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

Efectuar:

(

M = 1 + 5 + 6 + 30

2.

4.

7.

2y 2 + 2xy +

1+

(x

2

+y2

x +y

) − (2xy ) 2

9.

Calcular: x + abc − x − abc

10.

E=

1 =4 x

¿Cuál es la suma de las cifras de: x 3 + x–3?

R = 16 (3)( 5 )(2 4 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 1

1 ; 48

Si se acepta que:

x +

Hallar el valor de:

Reducir:

Siendo: x + abc + x − abc = abc

M = 16 3( a + b ) (a 2 + b 2 )(a 4 + b 4 )(a 8 + b 8 ) + b 16

12.

2 : calcular:

E = x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) + 1

Si: a = 15 ∧ b = 12; calcular

Si: xyz =

Si: x(x+3) =

2

2 7 3 2 7 + 1− 3 3 3 3

11.

Si se tiene en cuenta que: a2 + b2 + c2 = 300 a + b + c = 20 Calcular: E = (a+b)2 + (a+c)2 + (b+c)2

8.

Calcular 3

13.

)

Simplificar: E =

6.

30 − 6 − 5 + 1

Calcular el valor numérico de: E = (a2+b2)3 + (a2–b2)3 – 6b4(a2–b2) Para a3 =2, b3 = 3

3.

5.

)(

Calcular M = ( x + y + z ) − ( x + y − z ) − ( x − y + z ) − ( − x + y + z ) 3

3

( x + y + z )( x + y − z )( x − y + z )( x − y − z ) + 4x2 y 2

3

+ x2

Calcular el valor de E para x = 2 (x–1)2(x2–2x–1)]2/3

E = [(x+1)2(x2+2x–1) – 14.

Efectuar: E = (x–y)2 – (y–z)2 + (z–w)2 – (w–x)2 + 2(x–z)(y–w)

15.

Efectuar: E = (a+b)2(a2+2ab-b2) – (a–b)2(a2–2ab–b2)

16.

Efectuar: E = 2(a+b)[(a+b)2 – 2ab + (a-b)2] + (a–b) [(a+b)2 + 4(a2+b2)–(a–b)2]

17.

Simplificar: E = (x–y)(x+y–z) + (y–z)(y+z–x) + (z–x)(z+x–y)

3

Tercer Año

Productos Notables A)

B)

C)

0 D)

x+y+z E)

x–y+z

x+y–z

y+z–x

18.

Simplificar: E = (x–1)(x+4)(x+2)(x–3) + (x–2)(x+5)(x+3)(x–4) –2(x2+x–10)2 + 56 F) 5x–20 H) 3(x–10) J) Uno

G) x2+3x–84 I) Cero

PROBLEMAS PARA LA CASA 2. Si:

a x9 + = 7 ; indicar x9 a

A) 1

B)

D) 2

4

a 4 x9 + a x9 C)

2 E) 5

2 2 4. Si: x + y = 2 ; x + y = 3 ; 3 3 Indicar x − y A) 3 B) 7 5 D) 11 E) 9

x = 3 +1 ;

A) -1 3 D) 1

E) N.A.

8. Reducir:

R=

calcular

4

(x + 9)2 − (x + 13)(x + 5) (x + 10)(x + 9) − (x + 18)(x + 3)

9. Reducir: E = (x2+x+3) (x2+x+7) + (x2+x+2) 2 (x +x+8) 10.Reducir: E = (x–1) (x+1) (x+2) (x+4) + 2x (x+3)2 11.Reducir: E = (x + 2)3 –(x + 3) (x + 2)(x + 1) – x

B) 0

C) 12.Si: x =

E) 2

6. Si: a 3 = b ∧ ab = 1 ; calcular A) 6 3 D) 5

8 5

C)

C)

y= 3,

x − ( x − 1) − 2y x2 + y2 4

B)

8 5 7 5 D) 7

3

3. Si: a + b = 3 ∧ ab = 1 ; calcular a 8 + b 8 A) 1289 B) 2207 C) 2809 D) 2107 E) 1370

5. Si:

8 7 5

A)

B) 2

E=

a 6 + a 3b + b 2 3a 3 b

C)

E) 1

7. Si: a + b = 3 ∧ ab = 1 , calcular

1 3

Calcular:

9x 2 + 36x 2 + 12x + 1

13.Calcular el valor de: E=

( x + y) 4 − ( x − y) 4 , xy(x 2 + y 2 )

Para:

a3 − b3 a2 + b2

3−

x=

4

3 + 1; y = 4 2 − 1

14.Calcular el valor numérico de:

E = 8 19( x + 1) ( x 2 + 1)( x 4 + 1) + 1 Para x = 20



Álgebra

I.E.P. Corpus

Christi C) 15.Si: a + b + c = 6; a3 + b3 + c3 = 24 Calcular: E = (a + b)(a + c)(b+c)

E) a + b

23.

Determinar el valor numérico de: (a+b+3c)(a–b+3c)–(a–3c+b)(a–3c–b) a = 2 +1 ; b = 2 ; c = 2 −1 A) B) C)

x 3 − 27 x 2 + 3x + 9

a) x + 3

b) x – 3

c) x + 27

d) x – 27

e) x – 9 3

3

e) 216

b) 10

c) 15 e) 25

m −n3 3n

21.

Q=

m2 − n 3 n

e)

12

13

24.

m + n3 3n

11

x = 3 1972 + 11 ;

y = 1969 + 11 3

Hallar el valor de:x9 –

9

27 D)

72 E)

20

25

C) 30

25. Si: a . b–1 + a–1b = 3; hallar el valor de:

a2 E =  2 b A) 27 D) 243 26.

Simplificar:

( x + 1)( x − 1) ( x 4 + x 2 + x 1 )( x 6 − x 3 − x 1 )( x 6 + x 3 + 1) x +1 9

3

3

  b2  + 1  +  2 + 1  a    B) C) 81 189 E) 486

Si: 8

x + abc + 8 x − abc = a

8

x + abc − 8 x − abc = b

4

x + abc + 4 x − abc = c

Hallar:

A)

B)

C)

x18+1 D)

x9–1 E)

x9+1

1

–1

22.

Si:

9x y – y A) B)

20.Si: x3 – y3 = m; x – y = n, entonces, ¿Cuál es el valor de “xy”? m3 − n m −n3 a) b) c) 3n 3

d)

10 E)

3

19.Si: x + y + z = xy + xz + yz = 5; Calcular: x2 +y2 +z2 a) 5 d) 20

9 D)

3

18.Si se cumple (a + b) = a + b ; Hallar a/b a) 32 b) 27 c) 0 d) 36

2 a

a − b

16.Si: a + b + c = 20; a2 + b2 + c2 = 300. Calcular: E = (a + b)2+(a + c)2+(b + c)2 17.Reducir:

D)

R = x + abc + x − abc

A) ab D) 2abc

B) bc E) a2

C) 2

Simplificar:

E=

(

A) a

4ab + a + b

) (

)

1/ 2

a − b +2 b

B) b

(

a + b

)

27.

Si: E = 3 2 + 3 + 3 2 − 3 Hallar el valor numérico de:

P = 3 E 3 − 3E + 23 A) 1

B) 2

C) 3

Tercer Año

Productos Notables D) 3

28.

2

E) 3 3

A) 20 D) 50

Sabiendo que: a determinar el valor de: M = a a + (a −1 )  

[

a −1 

a  

a −1

a–1

+

(

+ a −1

)

a

]

=

3;

B) 30 E) 60

C) 40

Tema Nº 04: División algebraica Capacidade s:  Determina el cociente y residuo, utilizando el método clásico, de Horner, la regla práctica de Ruffini o el teorema del resto.  Resuelve problemas aplicando la división algebraica.

Desarrollo del Tema: DIVISIÓN ALGEBRAICA

Operación que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo otros dos polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligados por la relación: . D(x) = d(x) Q(x) + R(x) . Donde: D(x) : Dividendo d(x) : Divisor Q(x) : Cociente R(x) : Residuo o Resto Propiedades de la División Gdo. (D(x)) ≥ Gdo. (d(x))

Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))

Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x)) Además:

Máximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) – 1

PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN Método de William G. Horner Pasos a seguir: 1. Coeficiente del dividendo ordenado decrecientemente en una variable completa o completada. 2. Coeficiente del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado, con signo contrario salvo el primero. 3. Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal.42

Tercer Año

División Algebraica

4. Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas finales una vez obtenidos todos los coeficientes.

OBSERVACIÓN: LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO TANTOS TÉRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:

Método de Paolo Ruffini Pasos a seguir: 1. Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado, con respecto a una variable. 2. Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero. 3. Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por (2), y colocado en la siguiente columna. 4. Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna

OBSERVACIÓN: SI

EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE

OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE VALOR.

Teorema del Resto

Se utiliza para obtener el resto de una división. Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la mayor potencia de la variable, para que sea reemplazada en el dividendo. OBSERVACIÓN: DESPUÉS

DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE COMPROBARSE QUE EL

GRADO DEL POLINOMIO OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR.

Ejemplo: x 3 + 2x − 10 x −2

Resolución: d(x) = x – 2 = 0 ⇒ x = 2 Reemplazo “x” en D(x): R(x) = (2)3 + 2(2) – 10 ⇒ R(x) = 2 PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

2x3+x2+3,

Sea R el resto y Q el cociente de la división:

Hallar Q + R

Hallar el residuo al efectuar:

6x 4 − x 3 − 3x 2 + 2x + 5 2x 2 − 3x + 1 3.

En la división exacta:

x + 3nx − ax + b x 2 + 2nx + a

8.

Hallar: E = a9 + b6

C)

1 D)

2 E)

3

4

5

2=q p E)

3 = q2 p

= –q

Dar la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división indicada:

x 6 − 14x 4 + 49x 2 − 36 ( x − 1)( x − 2)( x − 3)

Si al dividir:

2x 4 + 5x 3 + 2mx 2 + 5 2x 2 + 3x − 1

6.

B)

= 2q

2

Los coeficientes del iguales, hallar el resto.

A)

=q D)

El residuo, es (–6x–7), hallar: (a.b)

5.

5x2–3x–7;

Encontrar la relación entre “p” y “q” para que: x3 – 3px + 2q; sea divisible entre (x+a)2 A) p B) p C) p

Al efectuar la división:

3

=

7.

x 4 + ax 3 + bx 2 + ax + b x 2 + 4x + 3

4.

R(x)

calcular el valor de: (m+np)

3x 4 + 2x 3 − 2x 2 − 2 x 3 + 2x 2 − 3

2.

es:

cociente

son

Sabiendo que el resto de la siguiente división: 8x5+4x3+mx2+nx+p entre

F)

G)

H)

24 I)

22 J)

20

23

26

Tercer Año

División Algebraica 9.

Al efectuar la división indicada: se obtiene como residuo (x – 2). Determinar el resto que se obtiene al

x2 +1

K) N) x–2

11.

Hallar el término independiente del cociente que se obtiene al dividir: 3x12 – 4x9 – x6 + 2x3 – 1 entre x3 + 2

[P ( x ) ] 3

efectuar:

10.

15.

x L)

x M)

+1 3 O)

1

–2

1x –2

Calcular: ab 3b − a ; sabiendo que al dividir: (ax2 – ax – 2b) entre (ax + b) se obtuvo como resto ”2b” y además el término independiente del cociente es (–4a) P) Q) R) 2 S)

3 T)

5

6

4 U)

x

16.

Hallar el residuo al dividir: x7 +x6 +x2 + ax + 6 por x + 1 Si la suma de los coeficientes del cociente es 3.

17. Indicar el residuo de la división 6x3 + 9x2 + 2Ax – 1 entre (2x + 1) Sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 6. 18.

Calcular “n” si en la división:

nx 4 + ( 2n − 1) x 3 − 2x 2 + n 2x − 3 nx − 1

Si la suma de los coeficientes es igual al cuadrado del residuo 19.

Hallar el residuo de dividir:

2x 4 + x 3 + 2x 2 − 5x + 6 2x + 1

Al dividir el polinomio: P(x) = 2x5–3x4–x3+1

20.

Calcular el residuo que se obtiene al dividir

entre x3+x2+bx+b Se obtiene del resto R(x). Hallar el resto de dividir dicho resto entre x+1 V)

– W)

6 Y)

1 1 Z)

21.

En la siguiente división:

2x 4 + 7x 3 + 16x 2 + Ax + B 2x 2 + 3x + 4

– X) 4

–3

Deja como resto 13x + 3 Determinar: A/B 22.

12.

6 x − 5 x y −17 x y − x y + 4 y 2 x 2 − 3 xy − 3 y 2 4

3

2

2

3

8x 5 + 2x 4 − 5x 3 + 5x 2 + 3x − 2 4x 3 − x 2 + 2

5

Es igual a –32, cuando “y” vale: 13.

Hallar el residuo de la división:

El residuo de la división: 5

Al realizar una división por Horner, se obtuvo el siguiente cuadro:

3x 2030 + x 301 − x + 1 x2 + 1

F)

G)

H)

1 I)

x J)

x2

x+1 x2 + 1 23. Hallar el valor de (k + m) para que la siguiente división sea exacta:

ax 5 − 5x 4 − ax 3 + mx 2 − ax + 5 x 4 − kx 2 − 1 S=k+m+n+p+q+r 14.

Dividir e indicar el cociente:

x 3 − 2x 2 − 15x − x 2 a + 2x a + 15 a x− a

24.

El polinomio P(x) = 2x6–x5–11x4+4x3+ax2+bx+c Es divisible separadamente entre los binomios (x–1), (x+1) y (x 2–3); según esto, ¿Cuánto vale a+2b+3c?

25.

K)

L)

M)

25 N)

–17 O)

–15

20

18

Calcular la suma de coeficientes del polinomio cociente, que se obtiene de la siguiente división:

[( x )

5

]

P)

Q)

R)

–69 S)

69 T)

–65

–63

63

3 7

+ ( x2 ) + 2x + 1 ( x 2 + 5x + 6)

Tercer Año

División Algebraica PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

La división:

x 4 + 2x 3 − 7x 2 + ax + b x 2 − 3x + 5

13.

Es exacta, calcular “a + b” 2.

( x + 7 ) 2n + 2n

Si el resto de:

x 2 + 14x + 47

Es 256, hallar el valor de “n”

Calcular el residuo de:

x + 6x 3 − 2x 5 − 7x 2 − 4x + 6 x 4 − 3x 2 + 2 6

3.

14.

8x − 6x 2 + 4x + 7 − 3x + 1 + 2x 2

Calcular el cociente de:

30x 5 + 18x 2 − 7 x 3 + 2 + x 10x 3 + 6 + x 4.

Calcular

el

cociente

de:

3 − x + 2x 4 − 2x 3 x +2 5.

Hallar el T.I. del resto de: 4

U)

V)

W)

1 X)

2 Y)

3

4

5

15.

Calcular el resto de la división:

x + x4 −x2 + x +1 x2 +1

Hallar el resto de:

x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 x +1

5

6.

16.

Calcular la suma de los coeficientes del residuo al dividir:

4x 4 − 5x 3 − 2x 2 + 3x − 1 x 2 − 2x − 1 x 3 + 3x 2 − 7x − 5 7. Al dividir: ; Señale x2 −1 Calcular el valor de “γ” en:

x + 2x 4 − 3x 3 + 2x − γ x+2 9.

Calcular

el

17.

de:

3x 3 − 4x 2 − 5x + 6 3x 2 + 2x − 1 10.

3x − 28x 4 − 5x 2 + 4 x2 +3

10x 4 + 6x 3 − 37 x 2 + 33x − 9 5x 2 − 7x + 3 2x + 3x 2 − ax + b ; x2 +x +3 4

12.

exacta,

x 18 − 3x 9 + 5x 6 + 7x − 1 x2 −1

C) 3

Se sabe que el residuo es 5, hallar “a” B) 2 C) –1

A) 1

Hallar el residuo de la división: 6x + 5x 4 y − 8x3 y2 − 6x2 y3 + 2xy 4 + 2y 5 2x3 + 3x2 y − y3 5

hallar

a +b

Hallar el resto de la división

B) 2 E) 5

10x 5 − x 4 + 3x 3 + 17x 2 + ax + 3 5x + 2

20. Es

9x 4 + 2x 2 + 5x − 6 3x 2 + x − 2

Luego de dividir:

A) 4 B) 3

Si la división 4

Hallar la suma de coeficientes del

A) 1 D) 4 19.

Hallar el término independiente del cociente, luego de dividir:

11.

Hallar el resto de: 8

cociente: resto

división:

2

Es exacta. Halla (m+n)

18.

5

la 3

4x + 2x − mx + 3x + n x 2 − 2x + 1

el residuo.

8.

Si 4

21.

Si el coeficiente del término lineal del cociente es –45, hallar 4 − n

2x 5 − nx 2 − 6x 3 − 7 x −3

22.

Calcular el resto de la siguiente división:

( x + 6) 321 − 1

x 2 + 12x + 37

Tercer Año

Cocientes Notables

Tema Nº 0 5: COCIENTES NOTABLES Capacidades:  Aplica cocientes notables  Calcula el termino k- ésimo de un cociente notable  Resuelve problemas que involucren cocientes notables

Desarrollo del Tema: CONCEPTO: Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin necesidad de efectuar la operación de división. xm ±ym x ±y

Condiciones que debe cumplir: Donde x; a bases iguales m∈ Z+; m ≥ 2 CASOS xm ±yn

1. Si: R = 0 ⇒ x ± y = q ( x ) 2. Si: R = 0

⇒ cociente entero o exacto (C.N.)

xm ±yn R (x ) ⇒ x ± y = q (x ) + x ± y

⇒ cociente completo

También según la combinación de signos se puede analizar 4 casos. DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES DIVISIÓN INDICADA

COCIENTES

SEGÚN SU FORMA

n ∈ Z+

xn −yn x −y

=xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+; ∀ n (C.N.)

xn +yn x −y

=xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+ x − y ; ∀ n (cociente completo)

xn +yn x +y

xn −yn x +y

2y n

 x n − 1 − x n − 2y + x n − 3y 2 − ... + y n − 1 ; ∀ n impar ( C.N.)  n =  n−1 n−2 n−3 2 n − 1 2y  x − x y + x y − ... − y + x + y ;∀ n par ( cociente completo )   x n − 1 − x n − 2y + x n − 3y 2 − ...ny n − 1; ∀ n par ( C.N.)  n =  n−1 n−2 n−3 2 n − 1 2y  x − x y + x y − ... + y − x + y ;∀ n impar ( cociente completo ) 

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN C.N. De:

xm ±yn m n = = r ; r ∈ Z+ p q se debe cumplir: p q x ±y

FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N. Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad de conocer los demás. xn ±yn x ±y

De la división: a) Si d(x) = x – y:

. tk = xn–kyk–1 . b) Si d(x) = x+y: . tk = (–1)k–1xn–kyk–1 . Donde: tk → término del lugar k x → 1er. término del divisor. y → 2do. término del divisor. n → número de términos de q(x) Ejemplos: x5 +y5 = x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 (C.N.) x −y x4 +y4 2y 4 = x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3 + x +y x +y

(Cociente Completo)

x 12 − y 12 = x 6 + x 6 y 3 + x 3y 6 + y 8 (C.N.) x3 −y3

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

Efectuar:

4.

x 7 +1 x 7 −1 + − 2x 6 − 2x 4 − 2x 2 x +1 x −1 2.

Reducir aplicando notables, indicando el términos del

cocientes número de cociente.

de lugar 29 del C.N. para x = –1 5.

x 70 + x 68 + x 66 + ... + x 2 + 1 x 32 + x 28 + x 24 + ... + x 4 + 1 3.

Hallar el valor de “n” si el cociente es notable

x 5n +3 − y 5 ( n +6 ) x n −1 − y n +2

Hallar el valor numérico del término

( x + 3) 36 − x 36 2x + 3

,

Hallar el valor de (m + n), si el t60 x 148m − y 296n del desarrollo de: es x 2m − y 4n x140y1416, si es cociente notable

6.

Calcular: E = a + b + c; si el término xa +yb central del desarrollo ; es xcy120 x2 −y5

Tercer Año

Cocientes Notables 7.

Calcular:

(n–m),

si

el

décimo

xm −yn ; es x5 −y7

séptimo término de:

16. Hallar el valor numérico del término central generado por el desarrollo del

x115y112 8. Hallar el valor numérico del término número

( 5x + 9)

37

para

− ( 5x ) 10x + 9 43

x =−

1 5

de:

10.

Si A es el penúltimo término del x 40 + y 10 C.N. , Hallar A x4 +y

11.

12.

Hallar el grado absoluto del décimo primer término en el cociente notable que se obtiene al dividir: x 3n +2 − y 5n −1 x 2 − y n −5

13.

( 5x − 1)

Si la división:

+ ( 5x + 1) x

Origina un cociente en el cual un término tiene la forma A(25x 2 – 1)B, calcular A–B 14.

15.

 x 44 + x 33 + ... + x 11 + 1    4 3 x + x + ... + x + 1  M =  50  x + x 45 + ... + x 5 + 1   10  9 8  x + x + x + ... + x + 1  A)

B)

C)

2 D)

3 E)

1

4 19.

Halar

( x + 4)

3

x

F)

5

el

término

K) 17

G)

H)

13x J)

x

27

de:

central

de:

M) 17

x y N)

x y O)

x15y21

x12y13

21.

Indicar cuántos términos tiene el x 4n − y 5n siguiente desarrollo x 4 −y5

término

L) 27

lineal

− 64

–12x 10x 20. Hallar el x 35 − y 49 x5 −y7

Hallar T5/T10 del siguiente desarrollo:

a 51b 119 − m 85 . n 34 a 3b 7 − m 5 . n 2

; para x = 3

Simplificar:

12x I) 99

)

¿Cuál es el tercer término en el x 10 + 32y 5 cociente? x 2 + 2y

Simplificar a expresión x 102 + x 96 + x 90 + . . . . . . . + 1 P = 90 x + x 72 + x 54 + . . . . . . . + 1 99

8x x 2 + 1

17.

18.

Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101, en el desarrollo de: x 180 − y 80 x 9 −y 4

(

C.N.

43

9.

( x + 1) 20 − ( x − 1) 20

x21y15

El grado absoluto del término de x 3n +9 + y 3n lugar 6 del siguiente C.N. ; x3 + y2 es:

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

Hallar

el

quinto

término

desarrollo:

2.

D)

35

y

35

y

5

El

término

desarrollo:

x +7 y 15 x + 35 y 3

A)

del

B)

35

y5

E)

15

x4

C)

15

y4

independiente

del

x6 1 − 64 x 6 ; es: x 1 − 2 x

D) x32y6 8.

F) xn+1 I) x2n+2

C.N.

4.

9.

G) x2n–1 J) x2n+1

H) xn–1

Hallar “n” si el décimo término del

x −6

desarrollo:

Obtener

x 3n − y 15n ; tiene grado absoluto: 185 x −y 5

el

desarrollo

20avo.

del

término

cociente

del

notable.

x 2 − 3x + 2 10 x −1 −1 K) x–1 N) 1 5.

Efectuar y simplificar:

x 3n x 2n 1 1 − n − n + n n x −1 x +1 x −1 x +1

F) 1 G) No existe H) 3 I) 4 J) 2 3. Hallar el desarrollo del siguiente

( x − 4) 3 − 8

E) x34y2

L) 2 O) 4

Que desarrollo

ocupa

del

dentro

cociente

del

notable: Hallar el grado absoluto del quinto

El término que contiene a

a 75 − b 30 a 15 − b 6

término de:

“x” e “y” con exponentes iguales. P) 67 S) 64

Q)66 T) 63

6. Si

la

x 6n +3 + a 6n −22 x

n−6 2

A) a24 D) b24

R)65

división

+a

n −8 2

notable,

hallar

siguiente:

Es un cociente el

número

de

12.

V) 24 Y) 28

B) a12b12 E) b18

Hallar el T3 en:

C) ab12

x 3 x − 81 3 x −3

F) 9 x

G) 93 x H) 33 x

I) 7 3 x

J)

13.

3

( x + 3) 36 − x 36

W) 26 14.

x

Hallar el V.N. del término de lugar 29 de:

términos de su desarrollo U)25 X) 27

M) 45

Existe un término cuyo G.A.=122, la diferencia de los exponentes de x ∈ y en ese término es: 11.

x 436 − y 1090 x2 −y5

L) 27 O) 50

x 155 + y 93 En el desarrollo de: x5 +y3

10.

M) 3

lugar

K) 40 N) 60

2x + 3

; para x = –1

Hallar el x + 128y 7 x 4 + 2y

término

de

P) 32x4y5 R) 32x5y4

Q) –32x4y5 S) –32x5y4

lugar

6,

28

7.

Reconocer

el

5to.

término

del

siguiente cociente notable, si se sabe

que al 3ero. es x36y2 A) x30y6

B) x36y4

xm −yn x2 −y C) x32y4

15. de:

T) x5y4

Hallar el G.A. del término de lugar 8 x 6n − y 40

x n −4 − y 4

de:

Tercer Año

Cocientes Notables 16.

Hallar el número de términos de:

a −a 2n −3 a − an 6n +1

17.

5n

Hallar

el

siguiente C.N.

T4

del

x

1 18

1 3

desarrollo

del

18.

hallar el G.A. del sexto término del x 64 − y 48 desarrollo de: x 4 −y3

19.

Encontrar el cociente que dio origen al siguiente desarrollo x35 – x30 + x25 – x20 + x15 – x10 + x5 – 1

− x 12

x −x2

20.

Halar el tercer término de:

x 82 − 1 x 2 −1



Álgebra

I.E.P. Corpus

Christi

Tema nº 06: Factorización Capacidades:  Transforma una suma algebraica en un producto de factores.  Factoriza expresiones indicando sus factores primos.  Aplica diversos métodos de factorización en la solución de ejercicios.  Conoce equivalencias Notables, de tal manera que nos ayude a la factorización de manera directa.

Desarrollo del Tema: Proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica racional entera es presentado como el producto de dos o más factores algebraicos. Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor de otro cuando lo divide exactamente, por lo cual también es llamado divisor. Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel polinomio que no se puede descomponer en otros factores. Racionales dentro del mismo campo. Ejemplo: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

El proceso

es una multiplicación. En cambio el proceso

2

x + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b) es una factorización

Donde: (x + a), (x + b), son factores primos. MÉTODO DE FACTORIZACIÓN Factor Común Monomio: Consiste en extraer la parte que se repite en todos los términos para lo cual se extrae la expresión repetida, elevada a su menor exponente. Ejemplo: Factorizar

E = 7x5y5 – 2x3y3 + x2y2

El factor común monomio será x2y2. Ahora dividiremos cada uno de los términos cada uno de los términos entre dicho factor común, para lo que queda en el polinomio. Luego de dicho proceso se tendrá:

Factor Común Polinomio: Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o más términos. Por lo general, se encuentra luego de agrupar términos y bajo los siguientes criterios: -

De acuerdo al número de términos Ejemplo: si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4.

-

De acuerdo a los coeficientes de los términos: Ejemplo: Factorizar:

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12

Como no hay factor común monomio podemos agrupar los 4 términos de 2 en 2 y en forma ordenada.

Tercer Año

Factorización En cada uno de los tres grupos:

E = x6(x4 + y4) + y8(x4 + y4)

Factor Común Polinomio (x4 + y4). Ahora dividamos cada agrupación entre el factor común polinomio.

Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores, tiene un único divisor que es sí mismo. Esta expresión tendrá 2 factores primos

EJERCICIOS FACTORIZAR: 1. 15 x 3 + 25 x 2 −10 x

27. 1 − a 16

2.

28. 1 − z 4

12 x 2 y 3 z −18 xy 2 z 2 + 24 xy 3 z 3 − 30 xyz 2

29. 4a 2 − 9

3. x 2 + xy

30. 25 − 36 x 2

4.

y + y2

31. 1 − 49a 2 b 2

5. 2 x 3 − x 2

32. 4 x 2 − 81x 4

6. 2 y 3 − 4 y 4

33. a 2 b 8 − c 2

7. 10 x 2 + 20 x 3

34. 100 − x 2 y 6

8. xy − yz

35. a 10 − 49b12

9. x 2 y 2 − x 2 z 2

36. 25 x 2 y 4 −121

10. 4 x 2 y + 8 xy 2

37. 100m 2 p 2 −169 y 6

11. 6 x 2 − 9 xy

38. a 2 m 6 n 4 − 144

12. 4 x 3 y 2 −8 xy 3

39. 196 x 2 y 4 −121

13. 20 x 3 y 2 + 40 xy 3

40. 256a 12 −189b 4 m10

14. 7 x 3 y 2 − 28 x

41. 1 − 9a 2 b 4 c 6 d 8

15. xyz + xy 2 z 2

42. 2( x −1) + y ( x −1)

16. x 2 + x 4 + x

43. m( a − b ) + n( b − a )

17. 15 x 3 + 20 x 2 − 5 x

44. 10ax + by − 2ay −5bx

18. x 3 − x 2 y + xy 2

45. x 2 − y − y 2 − x

19. 2 x 2 y + 2 xy 2 − 3xy

46. x 2 − 3 xz + 2 xy − 6 yz

20. x 6 − 3x 4 + 8 x 3 − 4 x 2

47. 3 x 3 − 2 x 2 y + 3 xy − 2 y 2

21. 25 x 7 − 10 x 5 + 15 x 3

48. ax − 2ay + 3bx − 6by 49. 21x 2 y + 3 x −14 xy − 2

22. a 15 − a 12 + 2a 9 23. a 5 − a 4 + a 3 − a 2

50.

24. x 20 − x16 + x12 − x 8

1 2 1 x y − yz − xy 2 + xz 4 4

51. ax + 3a − x − 3

25. 3 x + 2 xyz + y z − 3 xy − x z − 3 x y

52. 9a 2 − 25b 2 − 3a − 5b

26. 16( a − b ) 2 − 9( a + b ) 2

53. a 2 − 3a − b 2 + 3b

3

2

2

2

2



Álgebra

I.E.P. Corpus

Christi 2 54. 3x +

2 1 + 6x + x 5 5

55. x 3 + 3 x 2 − x − 3 56. x n −1 + 3 x + 2 x n + 6

Método de las Identidades: Aplicación de identidades notables para estructuras conocidas. Recordemos los siguientes: A) Trinomio Cuadrado Perfecto:

A2 ± 2AB + B2 = (A ± B)2

OBSERVACIÓN: EL

TRINOMIO O CUADRADO PERFECTO ES EL DESARROLLO DE UN BINOMIO AL

CUADRADO, SE CARACTERIZA POR PORQUE EL DOBLE DEL PRODUCTO DE LA RAÍZ DE DOS DE SUS TÉRMINOS ES IGUAL AL TERCER TÉRMINO:

Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado. Ejemplo:

Luego, es T.C.P. B) Diferencia de Cuadrados:

A2 – B2 = (A + B) (A – B)

Ejemplos: x4 – 4b2

1. Factorizar:

Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b) (x2 – 2b)

Resolución:

x2 + 2xy + y2 – z6

2. Factorizar:

x2 + 2xy + y2 – z6 → (x + y)2 – (z3)2 = (x + y + z3) (x + y – z3)

Resolución:

C) Suma o Diferencia de Cubos: A3 ± B3 = (A ± B) (A2

 AB + B2)

Ejemplo: 27x3 – 8

Factorizar: Resolución:

(3x)3 – 23 = (3x - 2) (9x2 + 6x + 4)

FACTORIZAR: 1. 4 x 2 + 4 x + 1

9.

y 2 − 9 y + 20

2.

9a 2 − 12a + 4

10. x 2 − 5 x − 36

3.

b 2 − 2b − 35

11. ( 5 x ) 2 −13( 5 x ) + 42

4.

y 2 + 3 y −10

12. x 2 + 2ax − 15a 2

5.

x2 + x − 2

13. x 2 y 2 + xy −12

6.

a 2 + 4a + 3

14. x 8 + 2 x 4 − 80

7.

x 2 + 5 x − 14

15. a 4 b 4 − 2a 2 b 2 − 99

8.

a 2 − 5a + 12

16. x 6 − 6 x 3 − 7

Tercer Año

Factorización 17. 12 − 7 x −10 x 2

30. 2 x 2 + 7 x − 5

18. 10 x 8 − 20 x 4 + 10

31. 4 + 16b + 15b 2

19. x 2 + 7 x + 12

32. 7 x 8 − 15 x 4 + 2

20. a 2 + 7 a + 10

33. 3 −10 y + 7 y 2

21. b 2 − 5b − 24

34. 3 + 4 y − 7 y 2

22. y 2 − 5 y + 6

35. 5c 2 + 11cd + 2d 2

23. x 2 + 4 x − 12

36. 5c 2 d 2 + 7cd + 2

24. a 2 − a − 20

37. 2 x 2 − 9 x + 7

25. x 2 − 5 x + 4

38. 2a 2 − 17 a + 35

26. a 2 + a − 6

39. − 7b 2 + 4b + 3

27. 4 y 2 + 5 x +1

40. 7 y 2 −15 y + 2

28. 2 x 2 + 3 x + 1

41. 7 x 2 − 22 x + 3 42. 8a 2 + 11a + 3 43. 3 x 2 + x − 14

29. 3 x 2 + 4 x + 1 ASPA

SIMPLE:

Se

utiliza

para

factorizar

expresiones trinomios o aquella que adopten esa forma: Ax2m + Bxmyn + Cy2n

La expresión factorizada es:

Ejemplos: Factorizar:

a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab - 28

(a + b)2 + 3(a + b) – 28 → (a + b + 7) (a + b – 4)

(3x + 4y + 2z)

(2x + 5y + 3z) ASPA DOBLE ESPECIAL:

Se utiliza para

factorizar polinomios de la forma: Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E. ASPA

DOBLE:

Se

utiliza

para

polinomios de la forma: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F Ejemplos: 1. Factorizar:

factorizar

Regla: 1. Se descompone el término de mayor grado y el término independiente, se calcula la suma del product6o en aspa. 2. A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el término central. La expresión agregada es la que se descompone para

comprobar

polinomio La expresión factorizada es: (5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1) 2. Factorizar:

Ejemplo: 1. Factorizar

los

otros

términos

del



Álgebra

I.E.P. Corpus

Christi

identidad conocida, la mayoría de veces será MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS: Con

necesario

éste método se busca uno o más factores

constituir en forma completa aquella identidad

binomios primos

sugerida por el dato, naturalmente que aquellos

Consideraciones:

términos agregados deben ser quitados también

1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x 0) es un factor

para así no alterar el origen. Este método

primo de P(x). 2. Los

demás

factores

se

encuentran

al

términos

para

de cuadrados, suma de cubos o diferencia de cubos. Ejemplo: x4 + 64y4

Factorizar:

3. Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:

⇒ x4 + 64y4 + 16x2y2 – 16x2y2 x4 + 16x2y2 + 64y4 – 16x2y2 ∴ (x2 + 8y2)2 – (4xy)2

Posibles ceros

Divisores T. indep. de P ( x ) Divisores Coef. Pr incipal de P ( x )

Ejemplo: Factorizar:

algunos

conduce la mayoría de las veces a una diferencia

P (x ) efectuar: x − x0

= x0

aumentar

P(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6

Posibles ceros = ±

Divisores 6 Divisor de 1

Posibles ceros = ± (1, 2, 3, 6) Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini

Donde: (x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 – 4xy) Método de los Artificios En este caso, no existen reglas fijas. Se aplica cuando las reglas anteriores no son fáciles de aplicar; pero se puede recomendar lo siguiente : a) Si dos o más términos se repiten constantemente, se sugiere hacer cambio de variable. Ejemplo : Factorizar : (a + b + c − 2) 2 + (a + b + c − 1) 2 − 5 (a + b + c + 1)

Solución : Hacemos : R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego un factor es (x . 1)

DE

SUMAS

Y

RESTAS:

s e e li g e l a l e t r a q u e s e d esee m e n o s : a , b , c

Reemplazando:

P(x) = (x +1) (x2 – 5 x + 6) x –3 x –2 ∴ P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2) Luego:

MÉTODO

a+ b+ c = x

(x − 2)2 + (x − 1)2 − 5(x + 1) x

2

− 4 x + 4 + x

2

2 x − 11 x → x(2 x − 11)

Se

inspecciona el dato, comparándolo con alguna

-

− 2x +1 + 5x − 5

2

(a + b + c ) [ 2 (a + b + c )-1 1 ]

como :

x = a+b+c

⇒

Tercer Año

Factorización

(a + b + c ) [ 2 (a + b + c )-1 1 ]

c) Si aparecen exponentes impares, procuramos formar suma o diferencia de cubos. Ejemplo:

b) Si aparecen exponentes pares trataremos de formar TCP. Ejemplo : Factorizar: Solución:

5

Factorizar: x + x + 1 Solución: * Como hay exponentes impares, buscamos suma o diferencia de cubos.

x 4 + 4b 4 c 8

2 2 2 4 2 Tenemos: (x ) + (2 b c )

*

para formar TCP, necesitamos : 2

2 4

2 (x )(2 b c ) → 4 x b c Artificio

2 le factorizan " x " ,

"x3 " .

aparece

2 2 4

→

"x5 "

Si a

2 Artificio: sumamos y restamos x .

Sumamos y restamos:

⇒ x

2 2 4

4x b c

5

+ x +1 + x

x 2 (x

⇒ x 4 +  4 b 4  c 8  +  4 x 2 b2 c 4 − 4 x 2 b 2 c 4

2

3

2

− 1 ) + (x

− x 2

2

+ x +1)

x (x − 1)(x + x + 1) + (x 2 + x + 1) ⇒

TCP 2 4 2

(x 2 + 2 b c ) − (2 xbc 2 )2 →

2

(x 2 + x + 1)(x 3 − x 2 + 1)

2 2 2 4 2 ( x 2 + 2 b 2 c 4 +  2 xbc   )(x  +  2 b c −  2 xbc  ) y a factorizado

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

Factorizar e indicar un factor de: 2

2

3a – 6ab + 3b – 12c 2.

9.

2

Factorizar e indicar el número de factores primos racionales:

P (x) = x10 + 2 x 5 − x 2 + 1 a) 1 d) 4

Indicar un factor de: (x3–x2+x–1) (x+1)(x4+1) + x4 + 2 (x3

10.

– x2 + x – 1)

b) 2 e) 5

Dar un factor primo de:

x 5 − ax 3 + bx 2 + abx 3 − a 2 bx + ab 2

3.

Cuantos factores admite: 25(a4 + b4)2 – 16(a4 – b4)2

4.

Factorizar e indicar el número de factores binómicos: (2x4–1)(2x4–2)+(2x4–2)(2x4–3) + (2x4–3) (2x4– 1) + 1

a) d) 11.

2

x + ab x 2 − ab

b) e)

Factorizar e indicar el factor que se repite. P(x) = x4 – 16x3 + 72x2 – 128x + 512

6.

Determinar el número de binómicos de: xn+2 – xn + x3 + x2 – x – 1; n ∈ N

7.

Factorizar: x4 – 3x3 – 7x2 + 27x – 18. Indicando la suma de sus factores primos.

8.

Factorizar e indicar el factor de segundo grado: x7 +x2 + 1

x 3 − ax − b

c)

x 3 + ax − b

x 3 + ax + b

Dar un factor primo de :

a 3 (1 + b) + b 3 (1 + a ) + ab (a + b) a) a + b c) a + ab + b

5.

c) 3

2 2 b) a + ab + b 2 2 c) a + a b + b

2 2 2 2 e) a + a b + b

12.

factores

13.

Factorizar : (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3 e indicar que la suma de los términos lineales de sus factores primos. a) 6x b) 10x c) 8x d) 20x e) 12x Cuántos factores lineales tiene:

x 5 − 8 x 4 + 18 x 3 − 7 x 2 + 2 x − 24 a) 5 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4



Álgebra

I.E.P. Corpus

Christi 14.

Indique el número de factores primos lineales de:

Indicar el valor numérico de un factor primo, para x = 2. a) 4 b) 0 c) 1 d) -2 e) Hay dos correctas

P (x ; y) = x 8 y + 3 x 7 y + 2 x 6 y + 6 x 5 y a) 1 d) 4 15.

b) 2 e) 48

c) 3 18.

Indicar un factor primo de:

es : a) x - ab c) ab + x e) bx + a

F(x ; y) = x 3 + x 2 + x 2 y + y 2 + 2 xy

2 a) x + y 2

d) xy + x + y 16.

2 c) x + y

2 2 b) x + y + y 2 e) x + x + y

2

Indicar el factor primo de mayor grado. a) b b) b 3 c) 2a 4 + 1 d) 2a 2 + 3 e) a 2 + 1

b) ax + b d) abx + 1

6

es: a) x 3 − 4 c) x 2 + 2 x − 4 e) x 3 − x + 4

F(a ; b) = 2a 4 b 3 − 15 a 2 b 3 − 27 b 3

ax 2 + bx − a 2 x − ab

2

Uno de los factores de x − x − 8 x − 16

19.

Factorizar:

17.

Un factor de:

20.

b) x 3 − 2 x + 4 d) x 3 − x − 4

Factorizar:

R(x ; y) = x 4 + 3 y 2 (x 2 + y 2 ) + y 4 Indique la suma de factores primos.

Factorizar :

a)

F(x) = (x 2 − x)3 − (x 2 − x)2 − 2 (x 2 − x)

c) e)

2 (x 2 − 2 y 2 )

b)

2 (x 2 + y 2 )

d)

2 (x 2 − y 2 ) 2 (x 2 + 2 y 2 )

2 (x 2 + xy + y 2 )

PROBLEMAS PARA LA CASA 1.

Factorizar

(x+1)(x+3)(x–2)(x–4) + 24

e indicar la suma de los coeficientes de uno

D)

E)

4

5

de los factores A)

B)

C)

41 D)

5 E)

–8

–7

–6

2.

4.

Q(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6

4x2 – 15y2 + 17xy + 12x – 9y

e indicar la suma de sus factores primos x B) –5y–3 x D) +y+1

Señale la suma de coeficientes de un

x

factor primo de:

5

F(x) = x 7 + 2 x 5 − 2 x 3 + 1

x+2y+3

E)

a) 8 d) 4

5 x–2y–3

3.

5.

3+3y

C)

6.

2

2

(x +7x+5) + 3(x +1) + 21x + 2 A)

B)

C)

1

3

2

b) 6 e) 3

c) 5

Indicar el número de factores primos de :

P (x; y) = x 5 y 3 − x 2 y7

Indicar el número de factores primos en: 2

P(x) = x4 + 2x3 – x – 2

Tienen un factor común. Indicar la suma de coeficientes de dicho factor común A) –1 B) Cero C) 3 D) 4 E) 5

Factorizar: A)

Los polinomios

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

Tercer Año

Factorización 7.

Señalar un factor primo, al factorizar :

a) 2x + y d) 4x + 2y

F(x; y) = x 3 y + x 2 y 2 − x 2 − xy

a) y d) x - y 8.

b) xy - 1 e) xy

2 c) x

15.

9.

d)

− x2y

3 b) − x y

4 c) y

16.

3 e) − y

La suma de coeficientes de uno de sus factores primos es: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

F(x; y) = x 3 y + 2 x 2 y 2 + xy 3 + x 2 + 2 xy + y 2 El factor primo que más se repite es :

10.

b) xy - 1 e) x - y

Factorizar :

11.

2 c) (x + y)

17.

F(x; y) = (x 2 − y 2 )2 − (y 2 − 1)2

Un factor primo es : a) x + y b) x - y 2 d) x + y

La suma de sus factores primos es: a) 6x - 4 b) 8x - 4 c) 3x + 2 d) 3x + 7 e) 4x - 3

c) x + 1 18.

Factorizar :

13.

e indicar el factor primo repetido. a) x - 4 b) x - 3 c) x + 3 d) x - 2 e) x + 1

c) 2x + y 19.

Factorizar :

Factorizar :

F(x) = (2 x 2 − 3 x)2 − 14 (2 x 2 − 3 x) + 45

F(x) = x 2 (x 2 + 3)2 − (3 x 2 + 1)2

Un factor primo es : a) 2x - 1 b) 2x - 3 d) 2x + 1 e) 2x + 3

La suma de factores primos lineales es: a) 4x + 1 b) 4x + 3 c) 2x d) 2x + 3 e) 2x - 1

c) 2x +5

Si el polinomio :

20.

Es factoriable mediante un aspa simple (en m ε Z ∧ m =/ 1 los enteros), además : . Indicar un factor primo. a) x + 5 b) x + 7 c) x + 3 d) x + 4 e) x - 1

a) 5x + 6 d) 4x 21.

La suma de sus factores primos es :

b) 4x - 1 e) 5x

c) 3x - 2

Dar la suma de los factores primos de: x(x - 4)(2x - 11) + 12x - 48 a) 4x + 7 b) 3x - 7 c) 4x - 11 d) 3x + 7 e) 4x + 11

Factorizar:

F(x; y) = x 2 (x + y)2 − 8 xy 2 (x + y) + 12 y 4

Indicar la suma de factores primos de:

2 x 4 − 7 x + 3(x 3 − x 2 − 1)

F(x) = x 2 + (2 m − 1)x + (m − 1)2

14.

Factorizar:

P (x) = x 5 − 21 x 3 + 16 x 2 + 108 x − 144

2

F(x; y) = (1 − xy) − (x + y) + 4 xy Un factor primo es : a) x + y b) x - y d) x - 2y e) 1 - x

Factorizar:

F(x) = 6 x 3 − 19 x 2 + 15 x − 2

e) y - 1

2

12.

Factorizar:

F(x) = x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6

Factorizar:

a) xy + 1 d) x + y

Factorizar:

El término independiente de uno de sus factores primos es: a) -1 b) -3 c) 6 d) -6 e) -2

R(x; y) = x 6 + x 2 y 2 + y 4 + xy 3 − x 3 y 3

xy 2

c) 3x + 3y

F(x) = x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6

Indicar un término de un factor primo de :

a)

b) 3x + y e) 2x + 3y

22.

Factorizar :

P (m ) = m 6 − 7 m 3 − 8



Álgebra

I.E.P. Corpus

Christi Indicar el término lineal de uno de los factores primos cuadráticos. a) 4m b) -m c) 3m d) 8m e) -4m 23.

Al

factorizar

un

polinomio

en

x 4 + 2 x 3 − 76 x 2 + 8 x − 320 , obtiene : a) 14 d) 22

el

conjunto de los números enteros, mediante

29.

1

2

d

4x

del siguiente polinomio :

P (x) ≡ x 5 − x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 + x − 1

Entonces un factor primo del polinomio es: a) 2x - 1 b) 2x + 2 c) 2x + 5 d) 2x + 3 e) 2x + 4 24.

a) 1 d) 4 31.

Al factorizar :

25.

c) x + 6

Indicar la suma de coeficientes de un

a) 3 b) 11 c) 1 d) 7 e) 2 32. Hallar el número de términos de un factor primo en Q de :

(x 2 + x − 1)2 − 34 x (x + 1) + 179 Indique la suma de todos sus factores primos: a) 2(2x+3) b) 3(x+2) c) 2(2x+1) d) 3(2x+1) e) 2(x+1) 26. Indique un factor primo de :

A(x) = (12 x + 1)(6 x + 1)(4 x + 1)(3 x + 1) − 5 b) 3x - 1

c) 3

P (x) ≡ x 5 + 5 x 4 + 10 x 3 + 10 x 2 + 5 x + 1 Factorizar:

a) 12x + 1

b) 2 e) 5

factor primo de :

(x − 5 )(x − 7 )(x + 6)(x + 4 ) − 504 uno de los factores lineales es : a) x - 5 b) x + 7 d) x + 3 e) x - 2

Factorizar :

Indique el binomio que no es factor. a) x - 2 b) x + 2 c) x - 1 d) x + 4 e) Todos son factores 30. Determinar el número de factores primos

8 x 4 + bx 2 − (2 + d ) 2x2

b) 9 c) 0 e) 97

P (x) = x 5 + 3 x 4 − 5 x 3 − 15 x 2 + 4 x + 12

el procedimiento del aspa simple, se realiza lo siguiente :

se

c) 2x +1

2 d) 3x + 1 e) 36 x − 15 x + 4 27. Hallar el producto de los coeficientes del

F(n ) = n 7 + n 6 + 2 n 4 + n 3 + n 2 − 1 a) 1 d) 4 33.

b) 2 e) 6

Al factorizar:

c) 5

K = 25 a 4 − 109 a 2 + 36

uno de sus factores es : a) a + 3 b) 5a - 3 d) 5a - 1 e) 5a + 2 34. Factorizar el polinomio:

c) a - 3

factor primo de mayor término independiente

P (x) = x 5 + x 4 + 2 x 2 − 1 ; y dar como respuesta la

del polinomio.

suma de coeficientes del factor de grado 3.

P (x) = 8 x 3 + 28 x 2 − 2 x − 7 a) 4 d) 12 28. Si

se

b) 5 c) 8 e) 14 suman algebraicamente,

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 35. Señale Ud. el término de mayor grado de los

un factor primo del polinomio :

coeficientes y los términos constantes de los

P (x) = x 7 − 2 x 5 + 3 x 4 − 3 x 2 + 3 x − 1

tres factores binomios, en los que puede

a) x

descomponerse

Capacidades:

el

polinomio

:

b)

x3

c)

x4

d)

x5

Tema Nº 07: fracciones Algebraicas

e)

x6

Tercer Año

Factorización  Reconoce y clasifica una expresión algebraica racional.  Opera con expresiones algebraica racionales.  Resuelve problemas con expresiones algebraicas.

Desarrollo del Tema: MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) : El Máximo Común Divisor de 2 o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios. Se obtiene factorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicación de factores primos comunes afectado de sus menores exponentes. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) : El Mínimo Común Múltiplo de 2 o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios. Se obtiene factorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes. Ejemplo: Hallar el M.C.D. y M.C.M. de los polinomios: A(x) = (x+3)4 (x2+1)6 (x–2)2 (x+7)6 B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (x–2)4 (x+5)8 C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (x–2)3 (x+3)3 Rpta: como ya están factorizados el: M.C.D. (A,B,C) = (x2+1)2 (x–2) M.C.M. (A,B,C) = (x2+1)6 (x–2)4 (x+3)4 (x+7)6 (x+5)6 Propiedad: Solo para dos polinomios: A(x), B(x). Se cumple: M.C.D. (A,B) . M.C.M. (A,B) = A(x) . B(x) EJERCICIOS: CALCULAR EL M.C.D. DE: 1. 2. 3. 4. 5.

8AM3N, 20X2M2. 18MN2, 27A2M3N4. 15 A2 B3 C, 24 A B2 X, 36 B4 X2 12 X2 Y Z3, 18 X Y2 Z, 24 X3 Y Z2 18a 2 x 3 y 2 ,6a 2 x 2 y 4 −18a 2 xy 4

19. 6 x 3 y − 6 x 2 y,9 x 3 y 2 +18 x 2 y 2 20. 12a 2 b 3 ,4a 3 b 2 −8a 2 b 3

6.

5a 2 −15a, a 3 − 3a 2 3 x 3 +15 x 2 , ax 2 + 5ax a 2 − b 2 , a 2 − 2ab + b 2 m 3 + n 3 ,3am + 3an x 2 − 4, x 3 − 8 2ax 2 + 4ax, x 3 − x 2 − 6 x 8 x 3 + y 3 ,4ax 2 − ay 2 2a 3 −12a 2 b +18ab 2 , a 3 x − 9ab 2 x

23. 30ax 2 −15 x 3 ,10axy 2 − 20 x 2 y 2 24. 9 x 2 −1,9 x 2 − 6 x +1

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

(

14. 4 x 2 − y 2 , 2 x 2 − y

)

2

15. 3 x 5 − 3 x,9 x 3 − 9 x 16. a 2 + ab, ab + b 2 , a 3 + a 2 b 17. 2 x 3 − 2 x 2 ,3 x 2 − 3 x,4 x 3 − 4 x 2 18. 2a 2 + 2ab,4a 2 − 4ab

21. ab + b, a 2 + a 22. x 2 − x, x 3 − x 2

25. 4a 2 + 4ab + b 2 ,2a 2 − 2ab + ab − b 2 26. 3x 2 + 3 x − 60,6 x 2 −18 x − 24 CALCULAR EL m.c.m. DE: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

2a 2 ,6ab,3a 2 −6 ab xy 2 , x 2 y 3 ,5 x 5 − 5 x 4 9a 2 ,18b 3 ,27 a 4 b +81a 3 b 2 36 a 2 ,4ax −12ay 12 xy 2 ,2ax 2 y 3 + 5 x 2 y 3 6a 2 b,3a 2 b 2 + 6ab 3

(

8( x + y ) ,12 x 2 − y 2 2

)



Álgebra

I.E.P. Corpus

Christi 8. 9.

(

5( x + y ) ,10 x 2 + y 2 2

(

)

6a ( m + n ) , 4a 2 b m 3 + n 3 3

(

10. ax( m − n ) , x m − n 3

3

3

3

)

17. x 3 + 2 x 2 y , x 2 − 4 y 2 18. 3a 2 x − 9a 2 , x 2 − 6 x + 9

)

19. 4a 2 − 9b 2 ,4a 2 −12ab + 9b 2 20. a 3 + a 2 b, a 3 + 2a 2 b + ab 2

11. 2a 2 + 2a,3a 2 − 3a, a 4 − a 2 12. x 2 + x − 2, x 2 − 4 x + 3, x 2 − x − 6

21. 3ax +12a,2bx 2 + 6bx −8b 22. x 3 − 25 x, x 2 + 2 x −15

13. x 2 + 2 x, x 3 − 2 x 2 , x 2 − 4 14. 6a 2 +13a + 6,3a 2 +14a + 8,4 + 12a + 9a 2 }

( x −1) 2 , x 2

−1 24. x − 9 x + 5 x 2 − 45, x 4 + 2 x 3 −15 x 2 25. x 6 − 4 x 3 − 32, ax 4 + 2ax 3 + 4ax 2 23.

3

15. 10 x 2 +10,15 x +15,5 x 2 −5 16. 5 x +10,10 x 2 − 40

FRACCIONES ALGEBRAICAS Fracción Algebraica: Una fracción algebraica, se obtiene como la división indicada de dos polinomios N(x) y D(x) siendo D(x) polinomio no constante. Denotado:

N (x ) D(x )

Donde: N(x): polinomio numerador (no nulo). D(x): polinomio denominador (no constante) Ejemplo:

x 2 + 1 x 4 + 1 x 2 + 2x + 48 ; ; x −2 x 7 −2 x −4

Signos de una Fracción a) Signo del Numerador: + b) Signo del Denominador: – c) Signo de la fracción propiamente dicha: –

F =−

+x −y

OBSERVACIÓN: SI INTERCAMBIAMOS

UN PAR DE SIGNOS POR UN MISMO SIGNO EL VALOR DE LA FRACCIÓN NO SE ALTERA EN EL EJEMPLO ANTERIOR, ES DECIR:

F =+ También:

+x −x −x +x =− = =− +y +y −y −y

A A −A =− = −B B B

Ejemplo: Sumar: x≠0 y y x x S= + = − x − y y − x x − y (x − y) x −y S = =1 x −y Regla para Simplificar Fracciones Debemos factorizar el numerador y denominador para luego eliminar los factores comunes: Ejemplo: Simplificar F =

(x

)

− 9 ( x − 1) x − 6x 2 + 11x − 6 3

2

Tercer Año

Factorización Resolución: Factorizando y Simplificando: F =

(x (x

+ 3)( x − 3)( x − 1) x + 3 = − 1)( x − 2)( x − 3) x − 2

Operaciones con Fracciones 1. Adición o Sustracción Es preciso dar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores. Se presentan los siguientes casos: A) Para fracciones homogéneas:

y x +y +z x z − + = x +2 x +2 x +2 x +2

Ejemplo:

B) Para fracciones heterogéneas: Ejemplo:

a c e adf + bfc − bde + + = b d f bdf

C) Para 2 fracciones

x z wz + yz + = y w yw

Regla practica: 2. Multiplicación

En este caso se multiplican los numeradores entre sí y lo mismo se hace con los denominadores. Debe tenerse en cuenta que antes de efectuar la operación puede simplificarse cualquier numerador con cualquier denominador (siempre que sean iguales). Ejemplo:

a c e a .c .e . . . = b d f b .d .f

x x + 7 x −2 x +1 x +7 . . . = x +1 x −2 x x −7 x −7 3. División En este caso, se invierte la segunda fracción y luego se efectúa como una multiplicación. También se puede aplicar el producto de extremos entre el producto de medios. Ejemplo:

a c a d ÷ = . b d b c

... invirtiendo

a b = ad c bc d Fracción Independiente

F (x , y ) = Es independiente de x e y⇒

ax 2 + bxy + cy 2 a1 x 2 + b1xy + c1 y 2 a b c = = =k a1 b1 c1



Álgebra

I.E.P. Corpus

Christi k → cte. Importante: generalmente es conveniente simplificar las fracciones antes, y después operar fracciones. Transformación de Fracciones en Fracciones Parciales Este es un proceso inverso a la adición o sustracción de fracciones. Es decir una fracción se transforma en la adición o sustracción de fracciones que le dieron origen, veamos: Ejemplo: * Efectuar:

1 1 2x + = 2 x −1 x +1 x −1 *

Transformar a fracciones parciales:

2x 2

x −1

=

1 1 + x −1 x +1

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

Q(x) = x4 – 1 R(x) = x3 – 6x2 + 32

Hallar el M.C.D. de: P = 20x4 + x2 – 1 Q = 25x4 + 5x3 – x – 1 R = 25x4 – 10x2 + 1

2.

7.

Hallar el M.C.M. de: P = x2 – 2x – 15 Q = x2 – 25 R = 4ax2 + 40ax + 100a

3.

Hallar el M.C.D. de los polinomios: P(x) = x3 + 5x2 – x + 5 Q(x) = x4 + 2x3 – 2x – 1

4.

El grado del polinomio que se obtiene al multiplica el M.C.D. por el M.C.M. de los polinomios es: P(x,y) = x2 – x3y2 + x2y3 – y2 Q(x,y) = x3 – 2x2y + 2xy2 – y3 R = x2 + x3y2 – x2y3 – y2

5.

6.

Hallar el M.C.D. y M.C.M. de: P = 3x3 + x2 – 8x + 4 Q = 3x3 + 7x2 – 4 E indicar el producto de sus factores no comunes Hallar la suma de coeficientes del M.C.M. de: P(x) = x4 – 11x2 – 18x – 8

El producto de dos polinomios es: (x – 2x3 + 1) y el cociente de su M.C.M. y su M.C.D. es 2 (x–1) . Hallar el M.C.D. 6

8.

Hallar la suma de los términos del M.C.D. de los polinomios: P(x,y) = x3 –xy2 + x2y – y3 Q(x,y) = x3 – xy2 – x2y + y3 R(x,y) = x4 – 2x2y2 + y4

9.

Si: A(x,y) = 12xn–1ym+1 B(x,y) = 16xn+1ym–1 Cumplen: M.C.M. = αxay4 M.C.D. = βx5YB Calcular: R =

10.

β + b −n α +a −m

Hallar el M.C.D. de los polinomios: P(x) = x3 + x2 – 4x – 4 Q(x) = x3 + 3x2 + 2x 2 a 2 ( a + x ) 2 (a + y ) + 2 + 2 xy x − xy y − xy

11.

Efectuar: M =

12.

Calcular el valor de: an bn + 2na n − 2nx 2nb n − 2nx

Tercer Año

Factorización Para: x =

13.

a n + bn 2

(a Reducir:

2

C Hallar : (A + B) .

) ( 2

+ ax + x 2 − a 2 − ax + x 2 (a + x ) 3 − (a − x ) 3

)

2

a) 1 d) 9

b) 64 e) 16

En seguida calcular el valor de la fracción resultante para x = 0 14.

1+

Simplificar:

15.

2

2−

Z=

Reducir: a) 2 d) 0 22.

2 fracción : 1 − 5 x + 6 x ; se obtuvo

A B ; sumando las fracciones : 1 − 3 x 1 − 2 x .

17.

26. Calcular :

18.

x−

24.

B=b+

a 2 + 2ab + 2 b 2

1 b+

1 a+

1 b +

;

1 a+

es : Si

x4 − 1 1 x− x

Sabiendo que :

c) -3

La expresión simplificada de :

1 b+

1 a +

:

A . Calcular : B

2

A Bx + C 2 (2 x + 11 x) + 13 + = x + 5 x (x + 5 ) + 1 (x + 5 )[x (x + 5 ) + 1]

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Hallar el M.C.D. de: P(x) = x3 – 1

−1

x3 − 1

1+

x 3 + y 3 + z3 − 1 xy + yz + xz − xyz

   

x2 − 1

x3 +

a 4 + 4 b4

19.

c) 1

x5 − 1

1−

c) 4

b) -1 e) 2

4 x + 2 xy + y 2 8 x3 + y3 2y ( 3 )(1 − ) 3 2x + y 8x − y

Si:

A=a+ a) 1 d) 3

8 xy 2

b) 3 e) -1

Sabiendo que : x + y + z = 1. M=

1 m

−1  a −2 − b−2   −1  ; N = a −b M =  −1  a + b −1   a −2 − b−2    Entonces MN, es igual a : 23. Simplificar:

Calcular : (A.B). b) -20 e) -4

1+

−1

7x − 1

a) 20 d) -5

1

Efectuar:

21.

a ( a − b )( a − c )

La

1+

equivale a :

a 3 + 2a 2b + 2ab 2 + b 3 1 − a b a 3 + a 2b + ab 2 + b 3 + b a

16.

1

La expresión :

20.

c2 b2 + + (c − b ) ( c − a ) ( b − a )( b − c ) +

c) 27

Q(x) = x4 + x2 + 1 A) x B)

x



Álgebra

I.E.P. Corpus

Christi 2

+x+1

C)

2

+1

2

–x+1

x D) –1

E)

−1

x

x

8.

2

–1

2. Hallar el número de factores primos en que se descompone el M.C.M. de lños polinomios P(x) = x2 – 3x + 3 Q(x) = x2 – 5x + 6 R(x) = x2 – 4x + 3 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. El M.C.D. de: x4 + 2x3 – px2 + qx + r x3 + 7x2 – qx + 20 es (x2+3x+5), hallar: pqr. A) –340 B) 340 C) 680 D) –680 E) 170 4. El producto de dos polinomios es: (x 2–1)2 y el cociente de su M.C.M. y M.C.D. es (x–1) 2. Calcular el M.C.D. A) B) C) x+1 x2+1 –(x+1) D) E) x–1 –(x–1) 5. Hallar la suma de coeficientes del M.C.M. de: x3 + 9x2 + 24x – 24 x3 + 2x2 – 13x + 10 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 6. Simplificar: 4

2

a − 27 a a + 20 a + 100 . ÷ a 2 + 7 a − 30 a 3 + 3a 2 + 9a a 2 − 100 ÷ a −3 A)

B)

a +3 a − 10

a −3 a + 10

C)

D)

a −3 a +3

a −3 a − 10

E) 1

2

Luego de efectuar: x − 1 el numerador obtenido, es : 2 a) x + 3 d) 2x + 3

9.

b) x - 3 e) 2x - 3

2x 2

x +x

c) x + 3

x +1 x −1 4 − + 2 x −1 x +1 x −1

Efectuar: Indicar el cubo del denominador. a) 64 x d)

3

b) 64

(x + 1)3

c)

x3

3

e) (x − 1) 3x − 2

2 10. La fracción x − 3 x − 4 equivale a : m n + x + 1 x − 4 , entonces; m - n es igual a : a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) -3 11. Efectuar:

x − 1 2x 2 . x x2 − 1 Indicar la octava parte simplificado. a) 0,25 b) 0,25x d) 0,5x e) 0,625x

12. Efectuar: a) a d) a/b

del

numerador

c) 0,125x

1 b ÷ 2 2 2 a a − + b a b − a + ab b b) b e) b/a

c) ab

13. Al simplificar:

 1 1  (ab )2  −   a b  a − b Obtenemos (ma)(nb) 4 4 Calcular : m + n , si : a) 17 b) 82 d) 626 e) 257

m, n ε Z. c) 2

14. Simplificar las fracciones:

x2 − 4 x 2 + 2x

7. Hallar el valor de E en la expresión: 3

a +b x − a  x − 2a + b E =  ; Para: x =  − x + a − 2b 2 x −b  A) 1 B) a+b D) (a–b)3 E) Cero

+

C) a–b

;

x2 + x − 2 x2 + 4 x + 4

e indicar la suma de los denominadores. a) 2x - 2 b) 2x + 1 c) 2x - 1 d) 2x + 2 e) 2x + 1

Tercer Año

Factorización a −b

ax + ay − x 2 + y 2

2

a b − a + b a +1 b ; obtenemos :

15. Simplificando:

a) a b) b d) a/b e) 1 16. Simplificando : 1 1 1− x 1− y

ax − x 2 + xy e indicar la diferencia de los denominadores. 1 − x a) 3x b) 4x c) 2 d) x e) 2x

c) ab

20. Si la fracción :

P (a ; b) = ; tenemos :

ma 2 + nab + 24 b 2 2a 2 + 3 ab + 4 b 2

es independiente de sus variables, entonces

n 2 − m 2 equivale a :

17. Efectuando:

1+n

a) 210 d) 144

−1

1 − n −2

2

÷

x 2 + 2x − 3 2x 2 − x − 1 2x a) x − 1

x2 − 4

d) 1

2

18. Simplificar: x − x + xn − n x + nx Señalar un término en el denominador. a) -7x b) -5x c) -8x d) 11x e) -3x

22.

2 x 3 + 2 xy 2 ;

+

x2 − 4 2x 2 + 5 x + 2

b) 2 c) x e) 0

Resolver :

 x + 1 x − 1   x 2 − 1  f(x) =  +   x − 1 x + 1   2 x 2 + 2 

19. Simplificar las fracciones :

x 4 − y4

c) 120

21. Efectuar :

Obtenemos en el numerador. 2 a) n + n b) n - 2 c) n - 1 d) n e) 1

x2 + 6x + 8

b) 180 e) 100

a) x - 1 d) 1

b) x + 1 e) 0

c) x

Tema Nº 0 8: teoría de ECUACIONES Capacidades:  Despeja el valor de la incógnita, aplicando propiedades de transformación para la resolución de una ecuación algebraica.  Reconoce

y diferencia a las raíces y las diversas propiedades inherentes de las ecuaciones

polinomiales de primer y segundo grado.  Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado.

Desarrollo del Tema: Ecuaciones: Son igualdades condicionales, en las que al menos debe existir una letra llamada incógnita:

Manera correcta:

(x + 1 )(x − 1 ) = 5 → x −1

única solución

Ejemplo: 2x - 1 = 7 + x 3.

Es una ecuación de incógnita "x". Solución de una ecuación: Es el valor o valores de la incógnita que reemplazados en la ecuación, verifican la igualdad. Si la ecuación tiene una sola incógnita a la solución también se le llama raíz. Ejemplo : x - 3 = 10 Solución o raíz : x = 13.

2.

Si ambos miembros de una ecuación se elevan a un mismo exponente, entonces, se pueden introducir soluciones extrañas. 2 Ejemplo : x + 7 = x − 7 Elevando al cuadrado :

x

2

x = 3

Observaciones: 1.

Si de los dos miembros de una ecuación se simplifican o dividen, factores que contengan a la incógnita, entonces, se perderán soluciones. (Esto se evita, si la expresión simplificada se iguala a cero). Ejemplo : (x+1)(x-1) = 7(x - 1) Solución : Simplificando : (x-1) → x +1 = 7 → x = 6 para no perder una solución : x-1=0 x=1 Si se multiplica ambos miembros de una ecuación por una expresión que contiene a la incógnita, entonces, se pueden introducir soluciones extrañas. (Esto se evita simplificando previamente). Resolver : x2 − 1 =5 Ejemplo : x − 1

(x-1) pasa a multiplicar:

x = 1

Resolviendo: n o v e r i f i c a

x = 4

2

(x − 1) = 5 (x − 1)

x = 4

+ 7 = x

2

−14x + 49

( n o v e r if ic a la e c u a c i ó n d a d a ) s o lu c ió n e x t r a ñ a

La ecuación incompatible.

no

tiene

solución,

es

Ecuaciones de Primer Grado Son aquellas ecuaciones que adoptan la forma :

ax + b = 0 Solución de la ecuación: En : ax + b = 0 solución o raíz : x = -b/a Discusión de la raíz En : ax + b = 0 raíz : x = -b/a Entonces : Si : a = 0 b = 0 → Ec. Indeterminada Si : a = 0 b =/ 0 → Ec. Incompatible Si : a =/ 0 → Ec. Determinada. Ejemplo : Hallar, "a" y "b", si la ecuación : (a - 3)x + b = 5, es indeterminada. Solución : 5−b x= a −3

Tercer Año

Teoría de Ecuaciones

Discriminante ( ∆ ) dada la ecuación cuadrática

si es indeterminada : 5-b=0 a-3=0

→ →

en "x" :

b=5 a=3

Ecuación de Segundo Grado (Cuadrática) Forma General :

se define como :

2

x = incógnita, asume dos valores

∆ = 17

a ; b ; ∧ c ε R / a =/ 0

2 Resolver la ecuación : x − x − 6 = 0

factorizando :(x-3)(x+2) = 0

Propiedad del Discriminante: el discriminante de una ecuación cuadrática permite decidir qué clase de raíces presenta; es decir : 1.

ahora : x-3 = 0; x+2 =0 despejando : x = 3; x = -2 luego : C.S. = {3; -2}

factorizando : (2x+3)(2x-3) = 0 ahora : 2x+3 =0; 2x-3 = 0 despejando : x = -3/2; x = 3/2 luego : CS = {-3/2; 3/2} 2.

Por la Fórmula General : x ;x Si : 1 2 son las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 ; a =/ 0 , estas se obtienen a partir de la relación :

x *

2. 3.

2 Resolver la ecuación : 4 x − 9 = 0

*

1 ;2

=

− b ±

b2 −4 ac 2a

− 4 ac

∆ = (−5 )2 − 4 (2)(1) ∆ = 25 − 8

donde :

*

2

2

+ bx + c = 0

Resolución de la Ecuación: 1. Por Factorización :

∆ = b

Para la ecuación : 2 x − 5 x + 1 = 0 su discriminante es :

*

ax

ax 2 + bx + c = 0 ; a =/ 0

Si: ∆ > 0, la ecuación tiene raíces reales y diferentes.

Si: ∆ = 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales.

Si: ∆ < 0, la ecuación tiene raíces imaginarias y conjugadas.

Relación entre las Raíces y los Coeficientes (propiedades de las raíces) de una ecuación x1 ; x 2 cuadrática: si son las raíces de la ecuación cuadrática en "x".

ax 2 + bx + c = 0 ; a =/ 0 se cumple : 1. 2.

Suma:

b a

p = x1 . x 2 =

c a

Producto: *

Resolver la ecuación :

s = x1 + x 2 = −

Para la ecuación :

2 x 2 − 10 x + 1 = 0

3 x 2 − 2x − 4 = 0

x1 + x 2 = −

observar que : a = 3, b = -2 ; c = -4

−10 1 = 5 ; x1 . x 2 = 2 2

− (−2) ± (−2)2 − 4 (3)(−4 ) x1 ; 2 = 2(3)

Observación: para determinar la diferencia de las raíces se recomienda utilizar la identidad de Legendre.

2 ± 52 2 ± 2 13 x1 ; 2 = = 6 6

Casos Particulares : dada la ecuación cuadrática

1 ± 13 x1 ; 2 = 3

1 + 13 1 − 13 ∴CS = { ; } 3 3

(x 1 + x 2 )2 − (x 1 − x 2 )2 = 4 (x 1 . x 2 )

2 en "x", ax + bx + c = 0 ;

x1 ; x 2 1.

, si éstas son :

Simétricas, se cumple:

a =/ 0 de raíces

x1 + x 2

=0

2.

x1 . x 2

Recíprocas, se cumple:

=1

a 1 x 2 + b 1 x + c1 = 0

se cumple :

Reconstrucción de la Ecuación Cuadrática en "x": siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, respectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se determina según la relación:

x

2

a a

b

=

b

1

c

=

c1

1

Ecuaciones Cuadráticas con una raíz común:

− sx + p = 0

Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes: siendo :

ax 2 + bx + c = 0

Sean:

ax 2 + bx + c = 0 a l x 2 + b 1 x + c1 = 0

se cumple :

(a b 1 − a 1 b )(b c 1 − b 1 c ) = (a c 1 − a 1 c )2

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) Resolver: a) 1 d) 1/5

x2 + 4 + 4

3

x3 − 5x + 1 = x + 2

b) 1/2 e) 1/4

c) 1/3

2) Calcular "x", en :

1 x +a

+

1 x +b

a) a + b d)

=

b) a - b

a + b e)

1 x −a

+

1 x −b

c) ab

ax 2 − 15 x − 7 = 0 Tiene una raíz que es

4)

c) -3

Si la ecuación:

ax 3 − 3 x 2 + ax − 2 a = ab − bx − bx 2 + 2 x 3 es de primer grado, el valor de "x" es : a) 2 b) 3/2 c) 1/2 d) -1 e) 5/2 5)

Resolver la ecuación de primer grado en "x" : 2 3

2(a − 4 x) + ax (3 x + 4 ) = 2(6 x + 5)

a) 1/25 d) 1/4

b) 1/9 e) - ¼

8) En la siguiente ecuación, determinar el valor de "y", si: x = 1.

x2 + x − 2 x −1

ab

b) 5 e) -2

Tiene como conjunto solución a: a) {3} b) {1} c) {2} d) {-3} e) { }

2

3) ¿Qué valor admite "a", si la ecuación: igual a -7? a) 4 d) -1

x + 1 x + 5 2 x 2 − x − 11 + = 2 x−3 x−2 x − 5x + 6

c) 1/36

6) ¿Para qué valor de "m" la ecuación :

(m 2 − 5 m + 6)x = m m −1 − 3 m Es compatible indeterminada? a) 2 b) 3 c) 2 ó 3 d) -2 e) -2 ó -3

+

2y2 − y − 1 2

y −1

=

5 2

a) 1 b) 0,1 d) Indeterminado.

c) 0 e) 2

9) Hallar el valor de "x", en : x − 2 x − 3 2x − 8 + − =0 x−3 x−4 x −5 a) 7/13 b) 11/3 d) 5/13 e) 6/13

c) 3/11

10) Resolver la ecuación:

1 1− 1−x a) 1 d) 1/4

−

1 1+ 1−x

b) 1/2 e) 1/5

3 x

=

c) 1/3

11) Al resolver la ecuación :

x2 − x + a =

44 x−3

se obtuvo como una de sus soluciones el valor 5, hallar el valor de "a". a) 3 b) 4 c) 9 d) 16 e) 11

12) Calcular : "m.n", si la ecuación : 7) La ecuación :

Tercer Año

Teoría de Ecuaciones n (x + 1) 2

mx + 3 =

17) Resolver la ecuación:

x + mab + nbc + x + mab + pac + pac nbc x + pac + nbc qx − =q−3 mab mab + nbc + pac

es compatible indeterminada. a) 12 b) 18 c) 72 d) 54 e) 45 13) Hallar "x", en :

x + m x + n m2 + n2 − = −2 m n mn a) m + n

b) m (n − m ) 2 e)

d) n

c) n - m

18) Si las soluciones de:

(nx − 1) + (x + m ) (nx + 1) + (m − x) = (mx + 1) + (n − x) (mx − 1) + (n + x)

14) Hallar "x" de la ecuación :

a2 − b+

b

son

a x− b =a a+b

a) 41

b) 21

d) 20

e)

Determinar el denominador positivo de dicha raíz. a) 2 b) mab + nbc + pac c) mnp d) 1 e) a + b + c

α y β tales que : α < β .

Hallar : a) -5 d) -3

c) 15

3

3 α - 2β2 . b) 2 e) 1

c) -1

19) Resolver:

(a + b)x 2 − (a 2 + b 2 )x − 2abx + ab (a + b) 15) De la ecuación de primer grado mostrada: n +5 n +6

(n + 1 − 5 x

) x = n(x

− 1)

Calcular la suma de posibles valores que adopta "x". a) -9/4 b) -2/5 c) -2 d) -7/5 e) -49/20 16) Sabiendo que: b ≠ c ∧ b ≠ a ≠ ±c Resolver: x x x −a −c + b − 3(a + c) a+b a + b a + b + = b−c b−a a +c a) (a+b) (a+b-c) b) (a+b) (a-b-c) c) (a-b) (a+b-c) d) (a+b) (a-b+c) e) (a+b) (-a-b-c)

(a − b)x 2 − (a 2 + b 2 )x + 2abx − ab (a − b) 2

a + ab − a − b a 2 + a − b − ab a) - a d) –a/b

b) - b c) ab e) a + b

20) Al resolver la ecuación: 45

8+x + 8

45

b

8 + x 45 x = x 2 2a c

se obtiene : a − 1 Indicar el valor de: a + b - c. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

PROBLEMAS PARA LA CASA 1) Sea la ecuación de incógnita "x".

a) -1 d) -1/17

6+ m+ x =3

Si la solución es: x = 49. Hallar el valor de "m". a) 4 b) 8 c) 5 d) 13 e) 2

2) Resolver la ecuación si se reduce al primer grado en "x".

ax 2 + 2 x + a = 5 x 2 − 3 ax + 4 ;

(a ε R)

b) -16 e) -1/9

c) -15/17

3) Si la ecuación : 36x - 8 + 4ax + b = 13ax - b + 2 Tiene infinitas soluciones. Hallar : ab. a) 10 b) 24 c) 20 d) 32 e) 44 4) Resolver las ecuaciones mostradas: I. (3x - 1)(x - 8) = (2x + 7) (x - 8)

=

2 II. x (8 + x)(x − 9 ) = 16 (x − 9 )(x − 8 )

x2 + 6 + III.

1 1 = 5x + x−3 x−3

61 a 2 16

d)

9 a2 16

e)

61 a 2 25

2 x 2 + 17 x − 15 a) b) c) d) e)

x2 −1 c) 1

c)

5 a2 4

+

2 x 2 + 17 x − 15 2 x 2 + 5 x − 17

=2

Hay 2 valores para x. x es par. x es negativo. x es positivo. Hay 2 correctas.

13) Luego de resolver:

6) Hallar "x" en :

4 2 4 5x − 6 + = + 3x − 2 3 x 2 − 2x x 2x − 3 x 2

a +1 a − b b +1 − = ; a =/ b x+b a −x x+b

b)

a−b a −x

a+b e) ab

a −b d) 2

b)

2 x 2 + 5 x − 17

2x − 3 x + 4 1 = − x +1 x −1 5) Resolver: x − 1

a+b a) x + b

25 a 2 16

12) Al resolver la ecuación:

IV. 2 x + x − 2 = 3 x − 4

Indicando, luego: a) 0 b) 2 d) 3 e) 5

a)

Se afirma: I. El conjunto solución = {2/3}. II. La ecuación es compatible indeterminada. III. La ecuación es inconsistente. a) VVV b) FFV c) VFV d) FFF e) VVF

a+b 2 c)

14) Si la ecuación :

x + 2 − x −1 = 3

7) Resolver : indicar la suma de cifras de : 3x + 8. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15

; e

8) Hallar el valor de "n" para que la ecuación: 2 n −2

(n + 10 )x + n

nx + 15 6 n + 5 x − 12 − = +5 5 2n 2

= 7 nx + n − 1

Sea incompatible. a) 8 b) 5 c) 2 d) 7 e) Dos anteriores son correctos.

Presenta solución única en "x". Calcular los valores que adopta "n" a) c) e)

a) 5 d) 1

2−x 2−x = 16 (x − 5 ) + x−4 x−4 b) 9 e) -4

c) -1

10) Indicar el cociente entre la mayor y menor de las soluciones de : 1 1 + (x − 6 )(x + 2) = x 2 (x + 2)(x − 6 ) + 2 2 x − 3 x − 10 x − 3 x − 10 a) 5 b) 9 c) -1 d) 1 e) -6 11) Luego de resolver:

x + a + x − a = 4x − a 2a x+a − x−a 2

Señale: x + ax + a

b) d)

R − { 1/3; 3/2 } R − { 0 ; 5/2 }

R − { 0;1/3

}

R − { 1/3 }

15) Calcular el valor de "n" a partir de la ecuación incompatible en "x":

n(x − 1) + 7 =

9) Indicar la suma de soluciones de :

x 2 (x − 5 ) +

3  R−   2 

1 (4 x + 10 ) n

Dar como respuesta:

1 + n2 n a) 9/2 d) -5/2

b) 7/2 e) 5/2

c) -2

16) Dada la ecuación indeterminada en "x":

a (x + 2) =

1 [ b(2x + 5) − c ] 3

Calcular el valor numérico de: 3 3 3

R=

a −b +c abc 3

a)

5   8 

2

d)

3   4

2

b) e)

1   3

2

2   3

c) 2

5   2

2

Tercer Año

Teoría de Ecuaciones 17) Resolver :

x −3 + x −2 = a) 2 d) 1

x − 3 + 3x + 4 = 3

19) Resolver : Dar como respuesta : 2x + 1.

2x + 2 2 − 5

b) 3 e) 5

c) 4

a a b b (1 − ) + (1 − ) = 1 x a x 20) Resolver: b a) a + b d) b

18) Resolver la ecuación:

9x + x = 3 x +

1 7

b) a - b e) ab

c) a

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Resolver: 2

4.

S a y b son raíces de la ecuación en “x” x 2 − ( n + 5) x + n 2 = 0; calcule el valor de “n” sabiendo que se cumple a 2 + ab + b 2 = 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) -1 E) -2

5.

En la ecuación x 2 + mx + m = −2 , una raíz excede a la otra en 2 unidades. Calcule los valores de m A) − 6v − 2 B) 6v 2 C)

2

2 x (x − 3)(x + 4 ) = (x − 9 )(x + 4 ) e indicar lo correcto : a) Tiene dos soluciones enteras. b) Tiene tres soluciones negativas. c) La mayor solución es 4. d) Tiene una solución fraccionaria. e) Tiene tres soluciones. 2.

Resuelva las ecuaciones respectivamente 2

2

− 6v 2

1 1   a.  3 x +  =  3 x −  + 6 x + 25 2 2   2 b. 2 x + 3ab = ( 2a + 3b ) x c. ( x + 3)( x + 2 ) = ( x − 3)( x − 2 )

D) 8v 4 6.

3b   ; {0} 2   3b  B) {0}; a; ; φ  2  3b  C) φ; a; ; {0}  2 3b   D) {0}; − a;− ; {0} 2  3b   E) φ; − a;− ; φ 2 

D) 2 7.

A)

4 7

B)

Si la ecuación en “x” x + 6 x + 2n +1 = 0; posee solución única; calcule el valor de n 2 − n + 1 A) 21 B) 12 D) 15 E) 17

8.

x1 x 2 + +2 x 2 x1

2 7

E) -2

2

Si x1 y x 2 son raíces de la ecuación

2 x 2 − 4 x + 7 = 0 , calcular:

Si 2 es una raíz de la ecuación en “x”

3x 2 + n 2 − 2n − 1 = 5 x , calcular la otra raíz. 2 2 A) B) − C) 3 3 1 − 3

A) φ; − a;−

3.

E) 6v − 2

C) 13

¿Cuál es la ecuación cuadrática que admite por raíces los números?

1 1 y 2+ 3 2- 3 C)

8 7

A) x 2 − 4 x + 1

B) x 2 − 4 x − 1

C) x 2 − 2 x − 4

D) x 2 − x −1

E) x 2 + 4 x + 1 D)

7 2

E)

7 4

9.

Si {3; α} es el C.S. de la ecuación en “x” 2 x − 3x + n 2 + 6n = 0 calcule α + n 2

A) -3

B) −

2 3

C)

3 2

D) − 10.

9 2

2 3

E)

16.

Si las raíces en “x” x 2 + nx − ( n + 5) = 0

x 2 + ( n − 2 ) x − ( n + 1) = 0

Si {m} es el conjunto solución de la

ecuación x 2 − ( a + 2 ) x + 4a 2 = 0 ; forme la ecuación cuadrática que tiene por raíces a los valores de “a”. A) x 2 + 2 x + 4 = 0 B) 15 x 2 + 4 x + 4 = 0

Poseen una raíz común. Calcule n + 12 A) 1 B) 2 C) 5 D) 10 E) 26

C) 15 x 2 − 4 x − 4 = 0 D) 15 x 2 + 16 x − 4 = 0 E) 16 x 2 + 15 x + 4 = 0 17.

11.

Si las ecuaciones cuadráticas x 2 = ( a +1) x −12

2

x 2 = ( a −1) x − 6 Poseen una raíz común. Calcule la suma de las soluciones no comunes. A) 7 B) 9 C) 5 D) 11 E) 6 12.

Encuentre los valores de “a” de modo que la ecuación cuadrática en “x” tenga solución única. x 2 + 4 + 9a 2 x + 36a 2 = 0 A) ± 1 B) ± 2 C)

(

±

)

18.

B) a −

D) 4

E) 2

{ x1 ; x 2 } A) 1 D) 0

1 E) ± 2

19.

Si “m” es la diferencia de raíces de la ecuación cuadrática: x 2 + mx + 3n = 15

B) 9

D) 1

E)

3a D) 4b 2 = 3a 4 E) 3b 2 = 16a 2

2 C) b =

C) 3

2

}

 5 ±1 B) 1 ± 5 ; 1 ± 7 ;    2 

{

}{

}

1 ± 5  1 ± 7   5 ±1 C)  ;  ;    2  2  2 

{ }{ } { 5 ±1} −1 ± 7  −1 ± E) {− 2 ± 5 };  ;  3 2

D) 1 ± 5 ; 1 ± 7 ; C) -8

Si en la ecuación cuadrática ax + bx + 1 = 0 ; una raíz es el triple de la otra, la relación entre a y b es: A) 3b 2 = 16a B) b 2 = 16a 2

B) 2 E) 5

Resuelva las ecuaciones cuadráticas. I. x 2 − 1 = 4 x

{

C) 5

9 5

B) 2 E) -2

4( x13 x22 + x12 x 23 )

III. x 2 − 5 x +1 = 0 1 ± 7   5 ±1 A) 2 ± 5 ;  ;    3  2 

2 2 2n 3 + = 1 ; un valor de es a b 8

A) -1 D) 16

1 a

es el conjunto solución de la

2

Si “a” y “b” son raíces de la ecuación x + n( n + 3) x + n 2 = 0 y además se cumple que:

C) 2a +

II. ( 2 x ) = ( x + 1) + 1

n2 2

A) 25

1 a

ecuación en “x” x 2 − 2 x + 1 = 0

2

15.

A) 2A

Calcule:

Calcule

14.

1  1  t 2 −  a + t +  a −  = 0 ; calcule: a  a  2 2 α + αβ + β

2 3 3 D) ± 2

13.

Si “a” es un numero entero positivo además α y β son raíces de lea ecuación en “t”.



20.



5  

Calcule la ecuación cuyas raíces sean la suma y el producto de raíces de la ecuación

2 x 2 + 3x + 7 = 0 A) 4 x 2 − 29 x + 42 = 0 4 x 2 + 29 x + 42 = 0 4 x 2 − 29 x − 42 = 0 D) 4 x 2 + 29 x − 42 = 0

B) C)

Tercer Año

Teoría de Ecuaciones A) 1 D) 0

E) 4 x 2 − 8 x − 21 = 0 21.

Calcule el valor de “m” en la ecuación de

x 2 − mx + 5 = 0 ; m < 0 , si sus soluciones a b + =3 verifican b a A) 5 D) -2

B) -5 E) -3

26.

Al resolver la ecuación: 2

, se obtiene: a) x = 0 b) x = 2 c) E. Incompatible d) x = 1 e) x = -2

22.

23.

27.

Si la ecuación:

(3 a − 4 )x 2 + 2 ax + 2 = ax 2 − 2 x + 18

C)

Se reduce a una de primer grado en x". Indicar el valor de "x". a) 5/2 b) 4/3 c) 8/3 d)2/5 e) 3/4

Resuelva la ecuación

x 3 − 6 x 2 + 11x + a = 0 , si x =1, es una

solución. Indique la suma de las ecuaciones positivas. A) 1 B) 0 C)

28.

Si :

"γ "

24.

x +x =1

E) 2 Calcular: a) 5 d) -3

La ecuación x 2 − 3 x + 1 = 0 posee como C.S. = {a; b} . Calcule el valor de

a b + a −3 b −3 A) 7 D) -7

25.

29. B) 5 E) -6

C) 6

es una raíz de la ecuación :

2

-6 D) 6

γ5 + 8 γ +1 b) -5 e) 1

x + ax + bx + cx + d = 0 ; cuyo C.S. es 3

2

{1;−1;201;201} . Calcule el valor de: b – a + d – c.

c) 3

Una de las soluciones de la ecuación mostrada:

(2a − 1)x 2 − a (x − b)(x + 5) = 7 b(a + x) es 2.

Sea la ecuación 4

C) 2

2x − 4 3 x − x + =4 x−2 3x − 1

C) 2

Calcule el valor “n” de modo que la diferencia de cuadrados de las raíces de x 2 − 7 x + n = 0 sea 21. A) 1 B) 5 10 D) 7 E) 9

B) -1 E) 3

Dar el equivalente de: a) 3/4 b) 2/3 d) 1/2 e) 7/8

E=

a + 3b b −1 c) 5/6

Tema Nº 0 9: sistema de ecuaciones Capacidades:  Resuelve sistemas de ecuaciones lineales y no con dos y tres variables

Desarrollo del Tema: SISTEMAS DE VARIABLES

ECUACIONES

CON

TRES

Un sistema de tres ecuaciones con tres variables (incógnitas) es de la forma:

a 1x + b1 y + c1z =

d1

a 2 x + b2 y + c 2z =

d2

a 3 x + b 3 y + c3 z =

d3

⇒

2+ y+

3 =6 2

⇒

y = 6−

7 2

⇒

∴

y = 5/ 2

Rpta.: El conjunto solución del sistema es: S = {2 ; 5/2 ; 3/2} Método por Sustitución

Donde: a1, a2, a3, son los coeficientes de “x” b1, b2, b3, son los coeficientes de “y” c1, c2, c3, son los coeficientes de “z” d1, d2, d3, son los términos independientes

Un sistema de ecuaciones de primer grado con tres variables (incógnitas) puede ser resuelto por los siguientes métodos: Por reducción Por sustitución Por igualación Por determinados o por el método de Cramer Método por Reducción Se elimina una de las incógnitas tomando de dos en dos las ecuaciones. Esto nos permite formar un sistema de dos ecuaciones con las otras incógnitas que se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos. Ejemplo 1: Resolver el sistema: x + y + z = 6 ……….. (1) 2x – y + z = 3 ,,,,,,,,,,,,. (2) 4x – y – z = 4 ……….. (3) Resolución: Sumamos miembro a miembro las (1) y (2) x+y+z =6 ……… 2x – y + z = 3 ……… Σ M.A.M: 3x + 2z = 9 ………

3 (2) + 2z = 9 ⇒ 6 + 2z = 9 ⇒ 2z = 3 z = 3 / 2 ⇒ ∴ Reemplazando los valores de “x” y “z” en (1)

Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones y se sustituyen en los otros para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Ejemplo 2: Resolver el sistema: 2x – 3y + z = 1 …………..……

(1)

5x – y – 2z = -10 ……………..

(2)

2y + 3z = 6 ………………….…

(3)

Resolución: De la ecuación (3), despejamos “y” 2y + 3z = 6 ⇒ 2y = 6 – 3z 6 − 3z ⇒ ∴ y= ……… (4) 2 4x – 18 + 9z + 2z = 22 11z + 4x = 40 …………..

ecuaciones (1) (2) (4)

Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (3) x+y+z =6 ……… (1) 4x – y – z = 3 ……… (3) x =2 Σ M.A.M: 5x = 10⇒ ∴ Reemplazamos el valor de “x” hallado, en la ecuación (4); obteniendo:

(5)

Sustituimos el valor de (4) en (2):  6 − 3x  5x −   − 2z = −10  2 

⇒ 10 x − (6 − 3z ) − 4z = −20 10 x − 6 + 3z − 4z = −20 10x – z = -14 ………. (6) Despejamos “z” de la ecuación (6): 10x – z = -14 ⇒ 10x + 14 = z ⇒ ∴ z = 10x + 14 ……… (7) Sustituimos el valor de (4) en (1):

Tercer Año

Sistema de Ecuaciones

1 −y −z 1 −2 y −2z = 2 3 ⇒ 3 −3y −3z = 2 −4 y −4z

 6 − 3z  2 x − 3  + z = 11  2  4 x − (18 − 9z) + 2z = 22

⇒

⇒

Reemplazamos (7) en (5): 11(10x + 14) + 4x = 40 ⇒ 114x + 154 = 40 ⇒ 114x = -114 ∴ x = −1

Reemplazamos el valor de “z” hallado en (4):

6 − 3(4) 2

y=

⇒

∴

y = −3

El conjunto solución del sistema es: S = {-1; -3; 4} c) Método de igualación: Se despeja una incógnita de las tres ecuaciones y se igualan sus valores dos a dos, quedando un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

......................... (c)

Sustituimos el valor de “z” en la ecuación (a) 1 = 5( −z −1) +3z ⇒1 = −2z −5 ⇒2 x = −6 ⇒

Reemplazamos el valor de “x” hallado en la ecuación (7): z =4 Z = 10(-1) + 14 ⇒ ∴

y = −z −1

∴

z = −3

Reemplazamos el valor de “z” en la ecuación (a) 1 = 5 y +3( −3) ⇒2 x = −6 ⇒

∴

y =2

Reemplazamos los valores de “y” y “z” en la ecuación (1): 2 x + 2 + ( −3) =1

⇒

2x = 2

d) Método por Determinantes o Método de Cramer:

a1x + b1y + c1z =

d1

(2)

a 2 x + b2 y + c2z =

d2

x – 2y – z = 0…………

(3)

a 3 x + b 3 y + c 3z =

d3

Resolución: En cada una de las ecuaciones dadas, despejando la incógnita “x”

3x + 2 y + 2 z = 1 ⇒ x = x − 2y − z = 0

1 − y −z 2

..........(I)

1 − 2 y − 2z 3

..........(II)

⇒ x = 2y + z

.........( III)

Igualamos las ecuaciones (I) y (III): 1 −y −z = 2 y +z 2 ⇒ 1 − y −z = 4 y +2z ⇒

1 = 5 y +3z

......................... (a )

Igualamos las ecuaciones (II) y (III): 1 −2 y −2z = 2 y +z 3 ⇒ 1 −2 y −2z = 6 y +3z ⇒

1 = 8 y +5z

x =1

S ={1 ; 2 ; −3}

3x + 2y + 2z = 1………

⇒ x=

∴

Supongamos el sistema de ecuaciones lineales con coeficientes literales.

Ejemplo 3: Resolver el sistema: 2x + y + z = 1……… … (1)

2x + y + z =1

⇒

Luego, el conjunto solución del sistema es:

 d1 d  2 d x=  3  a1 a  2  a3

b1 c1  b2 c2  b3 c3  b1 c1  b2 c2  b3 c3 

;

 a1 a  2 a y=  3  a1 a  2  a3

Ejemplo 4: Resolver el sistema 2x + y + z = 1………… (1) 3x + 2y + 2z = 1……… (2) x – 2y – z = 0………… (3)

d1 c1  d 2 c2  d3 c3  b1 c1  b2 c2  b3 c3 

;

Resolución: El sistema dado, se puede escribir así: 2x + y + z = 1 ………… (1) 3x + 2y + 2z = 1 ……… (2) 1x – 2y – 1z = 0 ……… (3)

......................... ( b)

Igualamos las ecuaciones (I) y (II)

El método de Sarrus: consiste en añadir las 2 primeras filas y luego hallar la determinante; a través de la suma de los productos (de elementos) de las diagonales principales, menos el producto de cada diagonal secundaria.

 a1 a  2 a z=  3  a1 a  2  a3

b1 b2 b3 b1 b2 b3

Por el método de Cramer, obtenemos: ;

Aplicamos el método de Sarrus en el numerado y denominador.

1

1

1

1

2

2 −1 = (−2) + ( −2) + (0) − (0) − ( −4) − (−1) = 1

0

−2

1

1

1

1

2

2

x=

1

⇒ ∴ x =1 1 Para la variable “y” procederemos de igual modo como se ha hecho para la variable “x”. 2 1 1 3 1 2 Para el numerador: 2 1 0 −1 y= y= ⇒ ∴ y=2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 3 2 2 0 − 2 −1 = (−2) + ( −2) + (0) − (0) − ( −4) − (−1) = 1 1 − 2 −1 1 1 1 Para la variable “z”, hacemos igual como los 1 2 2 casos anteriores. 2 1 1 Para el denominador: 3 2 1 −3 1 −2 0 z= z= ⇒ ∴ z = −3 L 2 1 1 1 3 2 2 1 − 2 −1 Luego:

uego el conjunto solución del sistema es: S ={1; 2; −3}

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

Resolver:

y + z = 12

2 x+5−3 y−2 = 3

6.

La suma de tres número es 32, la suma de los dos primeros es igual al tercero; y la semisuma del primero con el tercero es igual al segundo aumentado en 1 ¿Cuáles son los números?

7.

Resolver: 5x – 4y + 6z = 28 2x + 5y – 7z = 34 3x – 2y + 5z =30

8.

Resolver:

3 x+5−4 y−2 = 5 2.

3.

Resolver:

9 10 − =7 2 x 3y 10 9 − = −7 3x 2 y

Resolver:

6

x−4 14 x−4

+ +

9 y+3 12 y+3

4.

Resolver el sistema: 2x – 3y + z = 11 5x – y – 2z = -10 2y + 3z = 6

5.

Resolver el sistema: x + y + z = 19 x + y = 16

=6

3 4 2 + + = 6 x y z

=3

6 8 4 + − = 8 x y z 2 6 8 − + = 3 x y z 9.

Resolver:

Tercer Año

Sistema de Ecuaciones x − z = −10 2 z y − =8 7 y x − =6 5 10.

11.

Resolver el sistema: 2x + y – 1 = x + 3y – 3 = 3x – y + 1 = 20

12.

Resolver:

1 1 + = 3 x y 1 1 + = 4 x z

Resolver: x + y + z = 60 x–y=1 x + y – 3z = 0

1 1 + = 5 y z

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Resolver el sistema e indicar la mayor solución: 2x + 3y = -2 2x – 6y = 1 A) ½ B) ¼ C) 1/3 D) 1/5 E) 2 2. Si

7x + 5y =

33 2

3x − 6 = y Son dos ecuaciones simultaneas, hallar el valor de (x-y)

1 B) − 2 1 D) − 3

A) ½

1 C) 3

3. Resolver:

E) 4

E) 6

4. Resolver:

2 x + 3y 2 x + y + =8 3 5 4 x + y 5x + y − 7 + =3 8 12

A) 3,5 C) 3,4

5. Resolver: 6 9 − =0 x y 8 18 + =4 2 x 3y

28 5 ;− 13 13 25 5 ;− C) 12 12 A)

B) 3,3 D) 3,6

z =3

7. Resolver:

y dar como respuesta el valor de “ x ”

28 B) 13 28 D) 15

x =5 A) y =4

x =6 C) y = 2 z =1

x + 3y =1 3 x −y =2 4

28 A) 12 28 C) 14

6. Resolver el Sistema

17 19 3 A) y = 19 46 z= 19

B) y = 4 z =5 x =8

D) y = 2 z =3

x =3

E) y =8 z =10

x − y + 3z = 0 2x + 4 y − z = 0 3x + y − 2z = −2

x=

C)

x =11 y =19 z = 20

x =3

B) y =19 z =9

D)

x =4 y =1 z =0

x =5 E) y =6 z =7

8. Resolver:

E) N.A.

3 x − 2y + 5 = x + 3 z − 7 = 4 y − z + 8 = 18

A) 1 C) 4 9. Resolver:

28 5 ; 12 12 16 ;12 D) 12

x + y + 2z =15 x + 2 y + z =16 2 x + y + z =17 x =3

B)

E) N.A.

B) 2 D) 5

E) 6

x y z + − =1 6 3 4

Dar la menor solución: A) 5 B) 4 C) 3 D) 2

x y z + − = −3 3 4 2

B) 4 D) 1

12. Resolver:

e indicar la solución mayor: A) 18 B) 16 C) 24 D) 20 E) 26 10. Resolver:

3x + 2 y −1 = 4 y + z + 4 = 2z + 5x −15 = 25

11. Resolver: E indicar x A) 6 C) 5

x y z + − = 7 2 2 3

E) 8

3x + y + z =8 x +3y + z =10 x + y +3z =12

A) 1 C) 3

2 x +3y −z = 2

E) 1

B) 2 D) 4

E) 5

x −2 y +2z =10 3x + y −2z = −3

SISTEMAS LINEALES

Forma General: Consideremos un sistema lineal de "m" ecuaciones con "n" incógnitas.

x + a 11 1 x + a

21 1

x 12 22

x

2

+ a

x 13

+ a

23

2

+ ......... + a

3

x

+ ... ..... + a

3

1n

x

2n

= b1

n

x

n

= b

2

x + a

m 1 1

m 2

x

2

Donde:

x1 , x 2 , x 3 , ......... siendo

el

+ a

m 3

+ x

3

+ ... + a

m n

x

n

= b

n

∧ xn

conjunto

son las incógnitas, solución de la forma:

CS = {(x1 ; x 2 ; x 3 ; ..... x n )}

Observación: Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, existen diversos métodos como por ejemplo: * Método de Sustitución. * Método de Reducción. * Método de Igualación. * Método Matricial. * Método de Cramer (Determinantes). Sistema Lineal Homogéneo: Es aquel donde los términos independientes son nulos (ceros). Ejemplo:

x + 2 y − z = 0 .......(1)  2 x + y + z = 0 .......(2) x − 3 y − 2 z = 0 .....(3)  Un sistema lineal homogéneo siempre es compatible donde una de sus soluciones es la solución trivial (cada incógnita es igual a cero). Para el ejemplo:

Resolución de un Sistema lineal según el Método de Cramer : Dado un sistema lineal de "n" ecuaciones con "n" incógnitas :

a  a     a 

11

x1 + a

12

x

2

+

a

+ a

22

x

2

+

a

x

21 1

13 23

x

+ .... + a

3

x

1n

x

3

+ .... + a

2n

3

+ ... + a

nn

= b1

n

x

n

= b

2

n

= b

n

..........

..........

..........

a  a     a 

Solución trivial = (0; 0; 0). Asimismo, el sistema lineal homogéneo puede tener otras soluciones, las llamadas no triviales.

n 1

x1 + a

n 2

x

n

+ a

n 3

x

x

Consideremos: 1.

Determinante del Sistema ()

a 11 a ∆ s = 21  a n1 2.

a 12 a 22

a 13 a 23

 a 1n  a 2n

a n2

a n 3  a nn

Determinante de una Incógnita () Se obtiene a partir del determinante anterior, reemplazando los elementos de la columna de coeficientes de la incógnita en referencia por los términos independientes.

a 11

∆i =

a 21

a 12

a 22

 b1  a 1 n

 b 2  a 2n

 a n1

a n 2  b n  a nn

cada incógnita del sistema se obtendrá, según la relación. ∆ x i = i ; ∀ i= 1 ;n ∆s

Tercer Año

Sistema de Ecuaciones Ejemplo :

xi =

Resolver :

1.

2 x + 5 y = 7 ...... (1)  3 x − 2 y = 3 ...... (2)

2.

observar que :

∆s =

2 5 = (2)(−2) − (3)(5) 3 −2

= -4 - 15 = -19 7 5 ∆x = = (7 )(−2) − (3)(5 ) 3 −2 = -14 - 15 = -29

2 7 = (2)(3) − (3)(7) 3 3

∆y =

= 6 - 21 = -15

x= y=

∆x

→ x = 29 ∆s 19

, luego: El sistema tiene solución única, si y sólo si:

∆ s =/ 0

. El sistema tiene infinitas soluciones, si y ∆ = 0 ∧ ∆s = 0 sólo si: i . El sistema no tiene solución si siendo ∆ =/ 0 ∆s = 0 , existe algún i .

 ax + by = c .... (1) a x + b y = c .... (2)  1 1  1

∆y

El sistema será compatible determinado, es decir, tendrá solución única, si se verifica:

→ y = 15 ∆s 19

a 2.

..........

Teorema: Dado el sistema lineal homogéneo.  a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + a 1 3 x 3 + .... + a 1 n x n = 0   a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + a 2 3 x 3 + .... + a 2 n x n = 0      a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + ... + a n n x n = 0  si este admite soluciones aparte de la trivial, el determinante del sistema deberá ser nulo, es decir:

a 12 a 22

a 13 a 23

 a 1n  a 2n

a n2

a n 3  a nn

 a n1

∆s

Propiedad Un caso particular de lo visto anteriormente se presenta en el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:

1.

  ∴ CS = ( 29 ; 15 )  19 19 

a 11 a 21

3.

∆i

..........

Análisis de las Soluciones de un Sistema Lineal Dado el sistema: a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + a 1 3 x 3 + .... + a 1 n x n = b 1  a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + a 2 3 x 3 + .... + a 2 n x n = b 2     a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + ... + a n n x n = b n  Donde la solución se obtiene a partir de:

a = b = c b1 c1 1

El sistema será incompatible, es decir no tendrá solución si se verifica:

a

a = b = c / b1 c1 1

SISTEMAS NO LINEALES Criterios de Resolución: 1.

=0

El sistema será compatible indeterminado, es decir, tendrá infinitas soluciones, si se verifica:

a 3.

a = b / b1 1

Si el sistema está conformado por ecuaciones de diferentes grados se deberá encontrar una nueva ecuación en función de una sola incógnita, para a partir de ésta determinar las soluciones del sistema. Ejemplo: Resolver :

x + y = 7 ......(1)   xy = 10 ..... (2) De la ecuación (1) : x = 7 - y Reemplazando en (2) : (7-y)y = 10 Efectuando, tenemos :

y 2 − 7 y + 10 = 0

(y-5)(y-2) = 0 De donde, obtenemos : y = 5 ∨ y = 2 Si : y = 5 en (2) : x = 2 Sol : (2; 5)

Si : y = 2 en (2) : x = 5 Sol : (5; 2) CS = {(2; 5), (5; 2)} 2.

De donde, obtenemos : Como : x = Ky x = 3y

Si el sistema está formado por ecuaciones, cuya parte literal es homogéneo y de igual grado se recomienda realizar la siguiente sustitución: y = Kx, donde el parámetro "K" se determinará por eliminación de las incógnitas x ∧ y. Una vez encontrado el valor de "K", fácilmente se obtendrá el valor de cada incógnita del sistema. Ejemplo: Resolver:

x 2 + 3 xy + 3 y 2 = 21 ........ (1)  2 x + xy + 3 y 2 = 15 ........ (2) Hagamos: x = Ky

2

∨

K=1

21 y 2 = 21 y2 = 1

y=1 ↓

∨

y = -1

∨

x = -3

x=3

↓

Soluciones (3; 1) y (-3; -1) en (1) con x = y :

y 2 + 3 y 2 + 3 y 2 = 21

7 y 2 = 21

y2 = 3 y= x=

y 2 (K2 + 3 K + 3) = 21

∨

K=3 x=y

2 2 en (1) con x = 3y : 9 y + 9 y + 3 y = 21

3

↓

Reemplazando en (1) :

K2 − 4 K + 3 = 0

3

∨ ∨

y=-

3

x=-

3

↓

( 3 ; 3 ) y (− 3 ; − 3 ) Soluciones: ∴ CS = {(3;1), (−3 ; − 1), ( 3 ; 3 ), (− 3 ; − 3 )}

Reemplazando en (2) :

y 2 (K2 + k + 3) = 15 K2 + 3 K + 3 = 7 2 5 Dividiendo m.a-m: K + K + 3

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Si el sistema:

5 xy 3 xy = =4 x+y x−y

(a + 3)x + (a − 3)y = 2 a  (b − 2)x + (b + 2)y = 2 b a Tiene solución única, hallar : b .  2 2 3  R − −  R−  R−   3 3  2 a) b) c)

d)

 3 R − −   2

e) R − {0}

2. Si :

c) 26

4. Si el sistema: 3x + 5y = 1 2ax - by = 8 Tiene infinitas soluciones. Hallar el valor de "a-b". a) 52 b) -12 c) 34 d) -28 e) 16

x+y + x−y = 4

x + y = 20

3 3 3. Calcular : x + y , si :

b) 28 e) 0

5. Indicar un valor de "xy", al resolver:

x − y = 14 ; x > 10 x y , es : Entonces : a) 1 b) -1 d) 8 e) 4

a) 63 d) 65

2

x − y2 = 9 a) 12 b) -18 d) 20 e) 24

c) 0

c) 18

6. Respecto al conjunto: A= {(x, y)/2x+3y - 6=0; 4x - 3y - 6 = 0; 1 = 1; 3y = 2} a) Tiene 6 elementos. b) Tiene 4 elementos. c) Tiene 1 elemento.

x-

Tercer Año

Sistema de Ecuaciones d) Es el conjunto vacío. e) Tiene un número ilimitado de elementos. 7. ¿Para qué valores de "m" el sistema de ecuaciones: 2x + 7y = m 3x + 5y = 13 Tiene soluciones positivas?

26 91 ≤m< 3 5 a) 26 91 ≤m≤ 5 c) 3 e) 9 < m < 11

26 91 x, entonces el valor de y es :

b) 3/2 e) 3

13. El conjunto de soluciones del siguiente sistema : x2 + y2 = r2 y = r; para: r > 0 es:

a) b) c) d) e)

φ

Conjunto unitario. Un conjunto de dos elementos. Un conjunto de tres elementos. Un conjunto de cuatro elementos.

14. El mínimo valor de "z" que satisface el sistema de ecuaciones:

x + y = 12

x2 + y2 = z Es: a) 9 b) 18 d) 72 e 144

c) 36

15. Si :

a + b + c = 2  − a + b + c = 0 3 a − 5 b − c = 0 

9. Dado el sistema:

a) 1 d) 8/3

e) Existe más de cuatro soluciones.

c) 2

10. Hallar "n", para que el sistema sea incompatible: (n + 3)x + 2ny = 5n - 9 (n + 4)x + (3n - 2)y = 2n + 1 a) -1 b) -2 c) 0 d) 1 e) 2 11. Hallar "a+b", de modo que el sistema: (a − 1)x + 4 y = 10  2 x + (b + 1)y = 5 Posea infinitas soluciones. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 12. Si : x, y, z son enteros y no negativos, entonces con respecto a las soluciones del sistema : 3 x − y 3 − z3 = 3 xyz

x 2 = 2 (y + z) Se concluye que : a) Existen cuatro soluciones. b) Existen tres soluciones. c) Existen sólo dos soluciones. d) No existen soluciones enteras.

Entonces: a) 13 d) 10

5 − 2c b es igual a : b) 12 c) 11 e) 9

2a +

16. Sea "m" un entero, tal que el sistema de ecuaciones : 2x + 3y = 8 mx - y = 37 3x + 8y = m

x

y

sea compatible. Si : ( 0 , 0 ) es la solución de dicho sistema. Hallar el valor de:

E = m − (x 0 + y 0 )

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

17. Hallar el valor de "a" para que el sistema tenga solución única :

 x 2 + y 2 = z   x + y + z = a a) a = 1 c) a = 4/3 e) a = -1/2 18. Resolver en ecuaciones:

b) a = 2/3 d) a = -2/3

R2

el

sistema

de

x y 3 − = ..... (1) y x 2 x + xy + y = 9 .... (2) Indicando el menor valor que toma "x". a) 2 b) 3 c) 4 d) -2 e) -3 19. Resolver: 3x − 2y = 5 2

x − xy + 2 y = 7

a) (x = 1, y = 8) y (x = 3, y = 9/2) b) (x = 2, y = 3) y (x = 8, y = 9/2) c) (x = 2, y = 9/2) y (x = 3, y = 1) d) (x = 3, y = 5) y (x = 2, y = 8/3) e) (x = 3, y = 2) y (x = 8, y = 19/2) 20. Hallar el producto de los valores de "x+y", que resuelve el sistema: x 2 + y 2 = 113 − xy x + y = 43 - xy a) 112 b) -156 d) 171 e) -171

c) 121

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. El sistema de segundo grado : 2

2

x + y = 16 ......... (1)

y + 5 = mx ......... (2) Para un cierto valor de "m" admite solución única. Obtener dicho valor de "m". a) 3/4 b) 1/4 c) 7/4 d) 1/2 e) 1/5 2. ¿Cuántas soluciones no nulas tiene el sistema: 3xy + 2z = xz + 6y = 2yz + 3x = 0 ? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Resolver: (x + y) (x - y) = 11 ......... ( 1 ) (y + 3) (y - 3) = x ......... ( 2 ) Indicando uno de los valores obtenidos para "x" ó "y". a) - 6 b) - 2 c) 3 d) - 5 e) - 10 4. Indicar "z" al resolver :

 x + 2y − w = 5  2x − 3 z = 7   x+y+z= 2   − 2 x + y + w = 2 a) -1 d) 0

b) 2 e) 8

3

b) 2 + e) 2 +

7. Hallar: (a+b), ecuaciones:

para

los

cuales

las

x 3 + ax 2 + 18 = 0

x 3 + bx + 12 = 0

Tienen 2 raíces comunes. a) 4 b) 6 d) 5 e) 16

c) 3

8. Luego de resolver el sistema: x + y + z = 5........ (1)

1 1 1 1 + + = x y z 12 ...... (2) xy+yz+xz = -2 ..... (3) Señale el menor valor que toma "x". a) 2 b) 3 c) 4 d) -2 e) -3

x − y + z = 35  2 x + y − 3 z = a + 1

c) -3

x 2 + y 2 + z2 = 2 6

Admita también soluciones no triviales. a) 12 b) -2 c) 4 d) -9 e) 0

9. El sistema:

5. El valor positivo de "x+y+z", del sistema: 2x + y + z = xy + yz 2y + x + z = xz + xy 2z + x + y = xz + yz

a) 2 + d) 2 +

6. Determinar la suma de valores que adopta "k", de tal manera que el sistema lineal homogéneo : (1 - k) x + y - z = 0 2x - ky - 2z = 0 x - y - (1 + k) z = 0

5 2

c) 2 +

7

Además: x, y, z; son proporcionales a los números 4, 2, 5; respectivamente. Hallar el valor de "a". a) 333 b) 334 c) 335 d) 331 e) 925 10. Dar el valor de "a", si para : (x; y) = (5; y 0) el sistema verifica :

(2 a + 1)x + (a + 3)y = 1 ... (1)  (2 a − 1)x + (a + 2)y = −1 ... (2)

Tercer Año

Sistema de Ecuaciones a) 8 d) 7

b) 9 e) 6

c) 10

x+y 11. Hallar : x − y , del sistema :

 3x + 2y = −9 ... (1)   x + y − 15 11(x − y) = 135 − x ... (2) 

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

12. ¿Cuántas soluciones tiene?

x 2 + y 2 = 13 x 2 + | y | = 11

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

13. Al resolver el sistema:

c) 2

1 3 5 + = x y +1 4

4 + 7 = 15 x y +1 4 se obtiene : a) x = 1, y = 2 b) x = 2, y = 1 c) x = 1, y = 3 d) x = 3, y = 3 e) x = 2, y = 3 14. Sea la terna (a; b; c) solución del sistema de ecuaciones: 7x + 4y - 4z = 7 7y + 5z = 12 11y + 8z = 10 Entonces, la suma (b + c), es igual a: a) -100 b) -112 c) 1 d) 80 e) 96

Tema Nº 1 0: INECUACIONES Capacidades:  Define y expresa intervalos como conjunto y gráficamente.  Opera con intervalos.  Resuelve inecuaciones , utilizando la regla de los puntos críticos, que será de gran ayuda para el análisis de las funciones algebraicas en el conjunto R.

Desarrollo del Tema: DESIGUALDADES Definición: Se denomina desigualdad a la comparación que se establece entre dos expresiones reales, mediante los signos de relación >, b a mayor que b a < b a menor que b a ≥ b a mayor o igual que b a

≤

2.

b a menor o igual que b

3.

4.

Observación : A los signos de relación > o < se les da el nombre de signos simples mientras que a

≥

o

≤ se les denomina signos dobles.

Axiomas de la desigualdad 1.

Ley de Tricotomía

2.

Ley de Transitividad

3.

4.

5.

Ley Aditiva

∀a ,b ∧cεR /a > b→a + c > b + c

Ley Multiplicativa 4.1. 4.2.

∀ a , b ε R ∧ c ε R + / a > b → ac > bc

∀ a , b ε R ∧ c ε R − / a > b → ac < bc

a > b c > d a+ c > b+ d

:

a , b , c ∧ d ε R+

a > b c > d a .c > b .d

:

a , b ∧ c ε R+ ; o a , b ∧ c ε R− a b ∧ b > c→ a > c

a >0→ 1 >0 a a a 2 a < b < c → 0 ≤ b2 < c2

Equivalencias Usuales : Siendo a, b, c números reales.

2.

a >0 :a+1 ≥2 a

1.

3.

a < 0 : a + 1 ≤ −2 a

2.

a ≥ b ⇔ a > b∨a = b

a < b

Intervalos acotados: Son todos aquellos intervalos cuyos extremos son reales, estos pueden ser :

a

Donde: a ≤ x < ∞ ⇔ x ≥ a x ε [a ; ∞ >

x

a

a −∞ Donde: − ∞ < x < a ⇔ x < a

b

x ε < −∞ ; a >

a < x < b ⇔ x ε < a ;b >

x

x ε] a ; b [

−∞

1.2.Intervalo cerrado : Se considera a los extremos, se presenta por existencia de algún signo de relación doble. En la recta real, se tendrá : x

Donde :

a ≤ x ≤ b ⇔ x ε [a ; b]

Observaciones : 1.

Un conjunto se dice que es acotado si y solo si es acotado superiormente e inferiormente a la vez.

2.

Para el conjunto de los números reales R,

R = ] − ∞ ; ∞ [ = < −∞ ; ∞ >

se tiene : Es evidente que y no son números reales.

x ε (a ; b)

1.3.Intervalo mixto (semi abierto o semi cerrado) : Considera sólo a uno de sus extremos para :

a

Donde : − ∞ < x ≤ a ⇔ x ≤ a x ε < −∞ ; a ]

b

También :

∞

2.2. Intervalo acotado superiormente:

x

a

+∞

x

1.1. Intervalo abierto: No considera a los extremos, se presenta por existencia de algún signo de relación simple. En la recta, se tendrá :

También :

Intervalos no acotados : Son todos aquellos donde al menos uno de los extremos no es un número real. 2.1. Intervalo acotado inferiormente :

Definición: Se denomina intervalo al conjunto cuyos elementos son números reales, dichos elementos se encuentran contenidos entre dos números fijos denominados extremos, a veces los extremos forman parte del intervalo.

Donde :

b

a ≤ x < b ⇔ x ε [a ; b >

+

k

1.

b

a < x ≤ b ⇔ x ε < a ; b]

3.

Como los intervalos son conjuntos, con ellos se podrán efectuar todas las operaciones existentes para conjuntos, tales como la unión, intersección, diferencia simétrica, etc.

Clases de desigualdad

1.

Desigualdad absoluta: Es aquella que mantiene el sentido de su signo de relación para todo valor de su variable. Vemos un ejemplo: *

2.

x 2 + 2 x + 10 > 0 ; ∀ x ε R

Desigualdad relativa: Es aquella que tiene el sentido de su signo de relación para determinados valores de su variable. Veamos un ejemplo: *

2x + 1 > x + 3 → x > 2

Resolución de la inecuación : Se recomienda utilizar el método de los puntos de corte cuya aplicación consiste en los siguientes pasos : 1.

Se trasladan todos los términos al primer miembro, obteniendo siempre una expresión de coeficiente principal positivo.

2.

Se factoriza totalmente a la expresión obtenida.

3.

Se calculan los puntos de corte. Son los valores reales de "x" obtenidos al igualar cada factor primo a cero.

4.

Se ubican, ordenadamente, todos los puntos en la recta real, dichos puntos originan en la recta dos o más zonas.

5.

Se marcan las zonas obtenidas a partir de la derecha alternando los signos "+" y "-".

6.

Si el signo de relación es > o ≥ , el conjunto solución estará formado por todas las zonas positivas, pero si el signo de relación es < o ≤ el conjunto solución lo formarán todas las zonas negativas.

INECUACIONES Definición Se denomina inecuación a cualquier desigualdad relativa. Los valores de la variable que verifican la inecuación forman el conjunto solución, el cual se presenta en función de intervalos. 1.

Inecuaciones racionales : 1.1. Inecuaciones de primer grado (lineal) a x + b >< 0

a ∧ b ε R / a =/ 0

Ejemplo: Resolver la inecuación:

1.2. Inecuaciones de segundo grado (cuadrática) a x 2 + b x + c 0

a , b ∧ c ε R / a =/ 0

Resolución : De acuerdo con el método de los puntos de corte, procedemos así :

x2 + x − 6 > 0

Propiedades

Factorizando: (x+3)(x-2) > 0

I. Trinomio siempre positivo ax 2 + bx + c > 0 ; ∀ x ε R Si : , entonces :

x2 + x > 6

Hallando puntos: x = -3; x = 2 En la recta:

a > 0 ∧ b 2 − 4 ac < 0

-3

II. Trinomio siempre negativo Si :

ax 2 + bx + c < 0 ; ∀ x ε R

entonces :

Marcando zonas:

,

+

a < 0 ∧ b 2 − 4 ac < 0

-3

1.3.Inecuaciones de grado superior :

a ox n+ a1x

n −1

+ a 2x

n −2

+ ... + a

a o , a 1 , a 2 , .... ∧ a n ε R / a º =/ 0

> n <

0

+ 2

como el signo de relación es > la solución viene dada por todas las zonas positivas.

+

nεN/n ≥ 3 1.4. Inecuaciones fraccionarias : F (x ) > < 0 ; [H ]º ≥ 1 H (x )

2

+ -3

2

∴ x ε < −∞ ; − 3 > ∪ < 2 ; ∞ > Ejemplo :

Tercer Año

Inecuaciones 9 x + 10 < 2 x+2

Resolver : Resolución : Procedemos de un modo similar que en el ejemplo anterior :

9 x + 10 − 2 < 0 x+2 7x + 6 < 0 x+2

2m

→

x=−6 7

→

x = -2

+

+ - 6 7

Observación: En una inecuación fraccionaria, si el signo de relación es doble, sólo cerraremos los extremos que provienen del numerador. Ejemplo :

x2 − 5 ≥ 1 2 Resolver : x − x − 12 Resolución :

x − 5 −1 ≥ 0 x − x − 12

n εZ

+

2m

2 : x + 1 ≥ 0 ∧ x − 1 ≥ 0 ∧ x + 1 > (x − 1)

x + 1 ≥ 0 ∧ x − 1 ≥ 0 ∧ −x 2 + 3 x > 0 x + 1 ≥ 0 ∧ x − 1 ≥ 0 ∧ x 2 − 3x < 0 x + 1 ≥ 0 ∧ x − 1 ≥ 0 ∧ x(x − 3) < 0

+

+

∩

-1

∩

1

+

+

0

Intersectando :

0

Observar que :

1

3

S1 = [1 ; 3 >

S2 : x + 1 ≥ 0 ∧ x − 1 < 0

x+7 ≥0 x − x − 12 2

+

2

Observar que: x − x − 12 ≡ (x − 4 )(x + 3)

x +7 ≥0 (x − 4 )(x + 3)

+

∩

-1

1

Intersectando :

{ − 7 , 4 ∧ − 3}

+

+ -3

2 n A > B ; n ε Z+ 2.1. Forma: Se resuelve:

S1 = (A ≥ 0 ∧ B ≥ 0 ∧ A > B 2 n )

S 2 = (A ≥ 0 ∧ B < 0 )

C S = S

-1

1

Observar que :

S 2 = [−1 ;1 >

4

Inecuaciones Irracionales

∴

B

∧

Resolución : De acuerdo con la forma (2.1), se plantea :

-1

2

2n

B ; m

Resolver :

2

2.

>< 2 n

2n

x +1 > x −1

Ejemplo:

S1

∴ x ε < −2 ; − 6 > 7

-7

A

C S = A ≥ 0 ∧ B ≥ 0 ∧ A

7x + 6 = 0 x+2=0

Puntos :

A < B ; n ε Z+

2n

C S = A ≥ 0 ∧B > 0 ∧ A < B

2.3. Forma :

Puntos :

-2

2.2. Forma :

1

∪ S

2

Finalmente :

CS = S1 ∪ S 2

∴ CS = [−1 ; 3 >

Ejemplo : Resolver :

x−2 < 5−x

Resolución : De acuerdo con la forma (2.3) se plantea:

3

Intersectando :

x−2 ≥ 0∧5 −x ≥ 0 ∧x−2 < 5 −x

x − 2 ≥ 0 ∧ x − 5 ≤ 0 ∧ 2x − 7 < 0

7 2

2

+

+

∩

∩

5

2

+

5

∴ CS = [2 ; 7 > 2

7 2

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1)

Resolver las siguientes inecuaciones: x−3 x−2 > 5 I. 2

5x − 3y > 2 2 x + y < 11 y>3

2 II. (x + 2) > x(x − 1) III. 3(x − 5 ) > 5(x − 2)

2

IV. V.

4

3

x −1 x −1

>52

a) -1 d) 8

x +3

6)

ab c está comprendido entre :

2

− 2 x + 3 − 2 x + 4 > 5 x +1 − 5 x + 2

a) x < 0 d) x > 4 3)

b) x > 0 e) x >

3x − 5 x−2

a) 4 d) 1

; si : x

b) 2 e) 6

II. -9 III.-4 IV. -8

< < <

x < 5 2 x .............. x < -4 2 x .............. x < 7 x2 ..............

< x2

x < 3 ..............

V. 3 < x < 11 1 ............. VI. -9 < x < -5 1 .............

⇒

⇒

⇒

⇒ ⇒ ⇒

................. .................

Si : m, n, p

K=

ε < −2 ;1] 8)

c) 0

b) -10 y 1 e) 1 y 10

2

2

c) 2 y 10

, y además :

m +n n + p2 m2 + p2 + + mn np mp Luego, es posible afirmar que : a) K ≥ 6 b) K ≥ 1/3 c) K ≥ 12 d) K ≥ 4/3 e) K ≥ 3

c) x0

Hallar lo indicado en cada caso : I. 3

5)

7)

Hallar la suma de los enteros que adopta:

N=

4)

a) -10 y -1 d) 2 y 20

Resolver: x+2

c) 1

Si : -10 I. Si : , indicar el intervalo de variación de : II. Si :

f(x) = 6(x − 8 )−1

x ε < 3 ; 5]

, indicar el intervalo de

f(x) = variación de:

2x + 6 x −1

Tercer Año

Inecuaciones III.

10)

x ε < −5 ; 4 ]

, indicar el intervalo de 2 variación de: f(x) = x − 6 x + 15

17)

12)

18)

a) 1 < c < a/b c) a / b < c < 1 e) a < c < b 13)

x − 3x3 + 5x2 − 9x + 6 < 0 x ε < −∞ ; 2 > ∪ < 3 ; + ∞ >

a)

c) d)

c) 0

e) 19)

, podemos afirmar que : b) b < c < a d) a < c-1 < 1

II.

x 2 − 12 x ≤ 35

x ε < −∞ ;1 > ∪ < 2 ; + ∞ >

xεR xεφ

x ε < 1;2 > El conjunto solución de la desigualdad:

x2 − 4 x − x − 4 ≥ x − 6 está contenido en : a) [1; 4] d)

Resolver cada ecuación cuadrática: I.

Resolver: 4

b)

Si : a > b > 0; x > 0 con relación a :

c =1+ a −b b+x

Resolver cada desigualdad : I. (x + 1)(x - 3)(x + 4) > 0

IV. (x − 1)(2 − x)(x − 3) ≥ 0

2 x − y + 5 z < 13 y−z>1 y

e)

[4 ; 8 >

x2 − x + 1 < 4 − x

2 2 IV. (x + 1) + (x − 2) ≥ 29

a) 4 d) -3

Resolver cada inecuación de segundo grado:

21)

b) 6 e) -5

c) 8

Hallar el intervalo inecuación :

x 2 − 3x + 1 < 0

solución

de

3−x − 4 − 1−x < 0

2 II. 2 x + 9 x + 3 ≥ 0

2 III. x + 5 x + 8 > 0 2 IV. x − 2 x + 5 < 0

a)

Determinar "m+n", si la inecuación:

x 2 − mx + n < 0

Presenta como conjunto solución:

x ε < −5 ; 3 > b) -17

< 4; 6 >

El conjunto solución obtenido al resolver:

2 (x 2 + 1) > 5 x

a) -13

c)

< −∞ ; 4 ]

es : . Indicar : a.b

I.

15)

b)

2 III. − x + 6 x − 5 < 0

14)

c) 3

2 2 III (x − 6 )(x − 4 ) (x − 1)(x + 3) ≥ 0

x, y, z, son enteros positivos que satisfacen las siguientes desigualdades : 2 x + 3 y + 5 z > 23

a) 2/5 d) 1

Determinar el menor valor de "E", si se cumple:

2 3 5 II. (x − 1) (x + 2) (x − 5) < 0

b) -3 x < 4 d) 0 < x 4

x−y E= z , si : Hallar el valor de,

11)

16)

e) 2

x 2 − 2x + 5 ≤ E Se verifica para todo. a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

Resolver el sistema:  3 3 x + 5   > (1,5)x −1  2   2 −x   2  ≤ (0,6)x −6    3  a) -3 < x4 c) 0 x < 3 e) -2 < x 4

d) -2

d) 22)

[−1 ;1] <

b)

1 ;1] 4

c)

1 ;2 > < −15 ;1 > 2 e)

Luego de resolver: 4

c) -15

<

2−x + x+2 > x−3

< 0 ;1]

la

Indicar la suma de los extremos finitos del intervalo solución. a) 0 b) 2 c) 1 d) -1 e) -2 23)

24)

3x ≤ x2 − 6x + 8

[0 ; 1] ∪ [8 ; + ∞ >

28)

< −∞ ;

e)

− 3 + 73 ] 8

29)

Resolver: x2 − 4 x + 3 x2 − 5

I. 25)

Resolver las inecuaciones:

x−3 ≥ 2

II.

x−5 < 3

III.

x − 8 ≥ −3

IV. 26)

x≥ II.

I.

x−3 ≤ 0

Indicar el intervalo solución de :

x−3 ≤ 7 −x

de

x + 4 x − 2x − 8 < 0

< −∞ ; 0 ] ∪ [4 ; + ∞ >

d)

Después 3 2

resolver:

Señalar el mayor entero que verifica la desigualdad. a) 0 b) 2 c) -2 d) -1 e) 1

[0 ; 2] ∪ [4 ; + ∞ >

c)

S ⊂ < −2 ; 2 >

e)

< 0 ;2 > ∪ < 4 ;+ ∞ >

b)

S ⊂ [−5 ; 0 >

S = < −3 ; − 1 > ∪ < 0 ; 1 > 3 d)

Indicar el intervalo solución al resolver:

a)

S ⊂ [−4 ;1 >

c)

φ

e)

[5 ; 7 ]

S = < −3 ; − 1 > ∪ < 0 ; 1 > 2 b)

[−2 ;10 ] ∪ [13 ; + ∞ >

d)

[5 ; ∞ >

c)

Sea "S" el conjunto solución de :

a)

< −∞ ; − 2] ∪ [10 ;13 ]

c)

e)

[3 ; 5 ]

entonces :

[13 ; + ∞ >

b)

b)

1 − x − 1 − 3x > 3 + x − 3 − x

x 2 − 8 x − 20 + 13 − x > −3 < −∞ ; − 10 ] ∪ [2 ;13 ]

a)

< −∞ ; 5 ]

d) 27)

Resolver:

[3 ; 7 ]

a)

1 x

x2 ≤ III. 30)

≤0

1 x

Resolver las inecuaciones: I.

x−3 ≥ 2

II.

x−5 < 3

III.

x − 8 ≥ −3

IV.

x−3 ≤ 0

Tercer Año

Inecuaciones TAREA DOMICILIARIA 1) Indicar el intervalo solución de :

x−3 ≤ 7−x a) d)

[3 ; 7]

b)

< −∞ ; 5 ]

e)

[3 ; 5]

c)

[5 ; ∞ >

[5 ; 7 ]

x3 ≥ 9x

(x − 5 )(x 2 − 3) > 4 (x − 5 ) 2

2

x (x − 3) > 4 x(x − 3)

c) e)



< 3 ;4 >

< −∞ ; 0 >

b) d)

< 0; 3 >

< − 3 ;0 >

Hallar: ab + a + b. a) -1 b) -5 d) -7 e) -8

d) e)

e)

b) c) c) -6

d) e)

5) Resolver:

− x2 − x + 2 < −∞ ; − 2 > ∪ < 0 ;1]

d)

a)

< −∞ ; a > ∪ < b ; ∞ >

(1 − x)(x + x 2 )

c)

, es :

[−2 ; − 1 > [−2 ; − 1 > ∪ < −1 ; 1 > ∪ < 1 ; + ∞ >

< −∞ ; − 2] ∪ < −1 ; + ∞ >

< −∞ ; − 2 > ∪ < 1 ; + ∞ >

2

se obtuvo como solución :

c)

)

3 −2−x < n

2

todo: x + ax − 2 < 2 x − 2 x + 2 ?

x +1 x ≤ 2−x x+3

b)

)(

9) ¿Para qué valores de "a" en la inecuación cuadrática siguiente, se cumple que para

4) Al resolver :

a)

3 +2+x

  (x 2 − 1)(x + 2) A =  xεR / ≥0 (x − 1)(x + 1)   [−2 ; − 1 > ∪ < 1 ; + ∞ > b)

e indicar un intervalo solución. a)

(

a)

3) Resolver la inecuación : 2

7) Indicar el menor número "n" entero que

8) El conjunto:

4 2 II. x − 18 < 7 x

III.

e) Menor que 12.

permita: se verifique para todo "x" real. a) 4 b) 2 c) 3 d) 6 e) 10

2) Resolver las inecuaciones: I.

c) Está entre -12 y 12. d) Mayor que -12.

≤0

a ε < −6 ; 2 >

a ε < − 10 ; − 7 >

a ε < 1; 3 > a ε < −15 ; − 10 >

a ε< 3; 6 >

10) Determinar en qué conjunto de números negativos debe estar contenido "x", para que : 4 2

x − 17 x + 60 > 0 x (x 2 − 8 x + 5 )

< −∞ ; 2] ∪ [3 ; 4 >

< −∞ ; − 2 > ∪ < −1 ; 0 >

< −∞ ; − 2 > ∪ [−1 ; 0 ]

a)

φ

c) e)

< − 12 ; − 5 >

< −12 ; 0 >

b) d)

< −∞ ; − 12 > < −∞ ; − 5 >



6) Sean las funciones:

f(x) = x 2 + 5 x + 2 m g(x) = 2 x 2 + 13 x + m + 4 ¿Qué raro?, se observa que al darle cualquier valor a "x" se obtiene que f(x)⊂ S

S = < −4 ; 0 ] ∪ < 3 ; + ∞ >

Hallar el mínimo valor positivo de:

16 − x x ε [0 ; 4 > ⇒ − x +1 > 0 x+2 II. Si:

x −1 > x ⇒ x < −3 III. Si: x + 3 b) FVF e) VVV

x − x − ax − 2a

a) b) c) d) e)

2

>a

< 3 a ; − 2a >

< 2a ; a > ∪ < −a ; ∞ > < 2 a ; a > ∪ < −2 a ; ∞ > < −∞ ; 3 a > ∪ < −a ; ∞ >

A = {x ε R / x 2 − 4 x + 2 < 2 x − 10 }

c) e)

[−2 ; 3]

b)

18) ¿Cuántas de las proposiciones siguientes son verdaderas? I. Si :

x 2 > 1 , entonces, x > 1

II. Si :

− x > 1 , entonces, x 2 > 1

2 V. Si : x < 1 , entonces, x < 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

20) Hallar el intervalo formado por los valores de "x" que satisfacen la siguiente desigualdad:

2x x − 2 − 4 x − 2 >1 x − 2 (x − 4 )

< −1 ; 0 >

d) { }

< 0 ;1 >

a)

< 4; ∞ >

< 0; ∞ >

2 2 15) Al resolver: (2 x + 1)(x + 5 x + 1) > 0 se obtiene como solución :

x ε R − [m ; n]

Calcular: mn. a) 1 b) -3 d) -1 e) 0

c) 3

¿Cuántos valores enteros verifican la inecuación: 3−x + x + 13 > 3 x+3 ? a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3

[− a ; ∞ >

{−1 ; 0 ; − 1}

b) 5/2 e) 4

19)

Determinar, por extensión, el conjunto:

a)

a) 2 d) 7/2

A = a +b+c b−a

2 III. Si : x < -1, entonces, x < 1 2 IV. Si : x > 1, entonces, x > 1

c) FFV

2

14) Resolver: Si: a < 0.

6 < −∞ ; ] 5 c)

x ε R f(x) ≥ 0 ;

{−3} ⊂/ S

a) FVV d) FFF

<

2 17) Dado : f(x) = ax + bx + c , tal que :

[0 ; 3 > ∩ S = φ

13) Determinar el valor de verdad de las proposiciones: 3 x ε < −1 ; 5 > ⇒ ε< 0; 1 > 2 x +5 I. Si:

57.

16) Sea :

c) -4

b)

d) e) 21) Resolver:

< 2; 4 > < −2 ; 4 >

c)

< 2; ∞ >

3x − 2 2 x II. +

c) 6

a) 1 d)

ε R+

c) 3

, hallar el máximo valor de

x 4 + y 4 + z4 + w 4 ≥a xyzw b) 2 c) 4

24) De las siguientes proposiciones:

∀ a , b, c, ε R + : a + b + c ≥ 3 abc

; es :

b) 3 e) 9

28) Resolver el sistema : 3x + y > -4 x - 2y < -7 2x + 3y < 6 {x; y} Z. Indicar "xy". a) -2 b) -6 d) 6 e) 10

x 2 − 24 x + 144 − x 2 − 12 x + 36 ≥ x 2 − 6 x + 9 , Se obtiene un conjunto solución de la forma : [a; b]. Hallar : a + b. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

∈ R / ab > 1; el menor valor :

2

a) 2 d) 8

23) Al resolver la ecuación:

I.

2 ab a +b

26) Sean p, q, r, tres números positivos diferentes, que cumplen: pqr = 1. Entonces, la suma: s = p+q+r satisface. a) s > 3 b) 3 ≤ s < 4 c) 0 < s < 3 d) s < 3 e) 1 < s < 2

81 − x 2 ≤ x + 9

x+9    2  

ab ≥

2

e) 8

+

∀ a , b, c, ε R . Si : a + b + c = 12 → abc ≤ 64 ,

III. Indicar el valor de verdad de cada una. a) VFV b) VVV c) VFF d) FVF e) FFF 25) Para : a > 0 y b > 0. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera? a) c)

2 ab ab < a+b ab − a =

2 ab a+b

b)

2ab ab ≤ a+b

d)

2ab ab > a+b

29) Sean: a, b, tal que: a + b = 1. Si: 2 2 M≤ a + b 0 ⇔ x = b ∨ x = −b Ejemplo : Resolver : |2x-1| = 7 Resolución: Observar que : b = 7 > 0. Luego, tenemos :

2 x − 1 = 7 ∨ 2 x − 1 = −7 2 x = 8 ∨ 2 x = −6 x = 4 ∨ x = −3

VALOR ABSOLUTO (V.A.) Definición : Dado el número real "x", la relación funcional denotada por |x| es el valor absoluto de "x", definido de la manera siguiente :

 x ;x>0  | x| =  0 ; x = 0 − x ; x < 0 

∴ CS = {4 ; − 3} Ejemplo: Resolver: |5x - 1| = 2 - x Resolución: Se plantea lo siguiente : 2 − x > 0 ∧ (5 x − 1 = 2 ∨ 5 x − 1 = x − 2)

x − 2 < 0 ∧ (6 x = 3 ∧ 4 x = −1)

Según la definición: * |5|= 5 5>0 * |-7| = -(-7)-7 < 0 |-7| = 7

x < 2 ∧ (x = 1 ∨ x = − 1 ) 2 4

Teoremas:

Observar que :

2.

| x | = | −x | ; ∀ x ε R

3.

| x . y | = | x | .| y | ; ∀ x ∧ y ε R

4.

x = | x| ; x ∧ y εR / y = 0 / y | y|

5.

| x2 | = | x| 2 = x2 ; ∀ x ε R

6.

− | x | ≤ x ≤| x |; ∀ x ε R

7.

| x + y | ≤| x | +| y | ; ∀ x ∧ y ε R

verifica x < 2.

x=−1 4 Verifica x < 2.

∴ CS = { 1 ; − 1 } 2 4 Inecuaciones con Valor Absoluto 1. 2. 3.

| x | > b ⇔ x > b ∨ x < −b

| x | < b ⇔ b > 0 ∧ (− b < x < b)

| x | < | y | ⇔ (x + y )(x − y ) < 0 <

1.

| x| ≥ 0 ; ∀x ε R

x=1 2

Ejemplo : Resolver : |3x + 4| < 5

<

c) Resolver :

7 x + 2 − 3x + 2 x

entonces : xy ≥ 0 Si : |x - y| = |x|+|y|, entonces :

x −3 −y =1

Y=

Si : |x+y| = |x|+|y|,

Tercer Año

Valor Absoluto Resolución : De acuerdo con la forma (2), se plantea : 5 > 0 ∧ (− 5 < 3 x + 4 < 5 )  R

Ejemplo : Resolver :

x 2 ≥ 3 | x | +4

¿ ? p o rq u e e s u n a v e rd a d

Resolución : Se sabe que tendrá :

Luego, sólo se resuelve : -5 < 3x + 4 < 5 -5 - 4 < 3x < 5 - 4

| x | 2 ≥ 3 | x | +4

-9 < 3x < 1

| x| 2 − 3| x| − 4 ≥ 0

x 2 =| x | 2

. Luego, se

(| x | − 4 )(| x | +1) ≥ 0

-3 < x < 1/3

∴ x ε < −3 ; 1 > 3

Observa que :

| x| +1 > 0 ; ∀x εR

En consecuencia :

| x| − 4 ≥ 0

| x| ≥ 4

Según la forma (1) :

x ≥ 4 ∨ x ≤ −4

∴ x ε < −∞ ; − 4 ] ∪ [4 ; ∞ >

PROBLEMAS PARA LA CLASE 6. Las soluciones de la ecuación : 18 −3 x −x 2 =3 −x son : a) –5 y 3 b) –7 y –5 c) –6 y 2 d) –5; -7 y 3 e) –5; -6 y 3

1. Resolver : 3 x −2 =2 x +3 Dar la suma de soluciones. a) –1/5 b) 5 c) 24/25 d) 24/5 e) 2 2.

3.

3 x 2 −5 = 40 −6 x

a) {− 5,2} c) {−5,−3} {− 3,5}

b) {− 3,2} d) {− 5,3}

7. Resolver : e)

x −2 −3 = x +4

1 2 11 − 5  )  ,  2 2  − 5 1  ,    2 2 a)

b)

−5 2 d) 1

2

3 x −3

−14 x −3 −5 =0

a) {− 2,2} {− 2,8} d) {− 5,3}

b)

{− 3,4}

c)

e) {−3,1}

8. Resolver : x +2 −1

e)

4. Después de resolver la ecuación : x −5 +3 =2 ; se puede decir que: a) Su solución es x = 5 b) Su solución es x = 8 c) Su solución es x = 0 d) Es una ecuación indeterminada e) Es una ecuación imposible. 5. Las soluciones de la ecuación : x +x 3 =0 ; son : a) –1; 0 b) –2; -1 c) –2; 0 d) –1; 1 e) 0; 1

2

−5 x +2 −1 −6 =0

a) {− 9,5} b) {− 5,9} d) {− 5,3} 9. Resolver : a)

e) {−8,4}

c)

x −3 =3 x +2

{− 5,2}

{− 2,3}

{− 3,2}

 5 1 ,   4 4

b) −

d) {− 5,3}

c)

e) {− 5,5}

10. Resolver : 2 x +1 −3 x −2 + x −5 = x +2

1 11  ,  3 3  1  c) − 2,−3,  3  a) − 5,

 

b) − 3,

2 11 ,  3 3

d) {− 5,3}

 

1 3

e) − 3,−5, 

16. Resolver:

(x − 2)2 + | x − 2 | < 6

11. Resolver: x −4 +2 x +9 =20 Dar como respuesta el máximo valor entero del conjunto solución a) -2 b) -1 c) 2 d) 1 e) 3

x | x| −1 x3 − 1

d)

≥0

13. Hallar el máximo de: |x| - |x - 2006| a) -2006 b) 2006 c) -2005 d) 2005 e) 2004

b)

4 < −∞ ; − 2 > ∪ < ; ∞ > 5 a)

c)

< −4 ; e) 15. Si :

4 > 5

d)

4 < − ;4 > 5 b) < −2 ;

< 0 ;4 >

e)

< −2 ; 5 >

c)

< 1;5 >

3 > 4

c)

7 ;∞ > 6

9 6

4 6

e)

A = {x ε R / | x − 2 | < 1; ∞ >

b)

< 1; ∞ >

< 1;∞> 2 c)

< 1;2> 2 e)

19. Al resolver:

x 2 + x + | x | +1 ≤ 0

| y | = 3 6 + 27 Entonces: a) x + |y| < 0 c) |x| - |y| > 0 e) |y| - |x| < |

b)

18. Dados los conjuntos:

a)

,

< −∞ ; −

d)

4 > 5

| x| = 3 3 + 4 2

< 1;4 >

<

14. Resolver: |3x - 1|< |2x - 3|

< −4 ; −

< −2 ; 4 >

17. Resolver: |3x + 8 | < 9x + 1. 3 1 7 < −∞ ; − > ∪ < − ; > 4 9 6 a)

12. Resolver: 2

a)

a) x = {-1} c) x > 0

b) -|y| < x d) |y| x

e) x

εφ

, podemos afirmar: b) x = {0; 1} d) x < 0

TAREA DOMICILIARIA 2

1. Resolver : x − x −42 =0 Dar la suma de soluciones. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

x 3 − 5 x 2 − x | 3 x − 15 | − | 4 x − 20 | = 0

Indicar la suma de soluciones obtenidas. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 2

e) 4

2. Resolver la ecuación siguiente : x 2 + x −12 =3 − x

Dar la suma de soluciones. a) 1 b) 3 c) 5 d) –5 3.

e) -3

Resolver: |2x + 3| = 6, e indicar la suma de soluciones. a) 0 b) 8 c) -3 d) 4 e) 1

4. Una solución de : |2x+3| = |x - 1| es : a) 2/3 b) – 2/3 c) 4 d) -1/4 e) 3/2 5. Luego de resolver :

6. Hallar los valores de "x" en :

| 5 − | x − 3 || =| 4 + | x − 3 ||

Indicar la suma de estos. a) -2 b) 0 d) 6 e) 4 7.

c) 5

Hallar el conjunto solución de la ecuación mostrada :

x2 − x + 3 − x2 − 5x + 4 4 a)

{1 ; 2 }

b)

{ 2 ; 3}

= 6x − 2 − 3 c)

{ 2 ; 3}

Tercer Año

Valor Absoluto d) R 8.

e) { }

Indicar el producto de soluciones de la ecuación: a) 7 d) 14

9.

x−5 + x −4 b) 10 e) 5

=5

e indicar el número de valores enteros de "x". a) 4010 b) 4009 c) 4011 d) 2006 e) 2001

se

verifica

la

| x − 1 | + | x 2 − x | + | x 3 − x 2 | + | x 4 − x 3 | + ...+ | x n + 1 − x n | = 0

4

e)

6

16. Resolver :

x >0 | x | −6

c) 3

10. Hallar el único valor entero que verifica la ecuación : b) -1

c) 0

64 − 1

e indicar un intervalo solución. a)

[− 6 ; 0 >

< −∞ ; − 6 >

d)

< 6 ;+ ∞ >

a)

Indicar el conjunto solución:

8 ≤6 x b) [-2; 2] d) [-4; -2][2; 4]

−

a) c) R - {0}

14. Resolver:

b)

1 ;5 > 2

b) [0; 1]

R o+

c)

R+

e) R

d)

< −2 ; 0 > < −3 ; 0 >

b) e)

[4 ; 6 >

< 4 ;7 >

| x2 − 3 | > x2 + x

1≤

e indicar un intervalo solución.

< −∞ ;1 >

< −∞ ; 2006 >

+ d) R − {2006 }

21. Resolver:

5 1 ≥ 2x − 1 x−2

a)

< 0 ;1 >

20. Resolver :

<

b)

19. Resolver e indicar un intervalo solución de: ||2 - x|-3| < 1

R− e) o

R+ d) o

a) d)

R

< −∞ ; 2006 > − {0}

| 7 x − 1 | ≤| 3 x + 1 | + | 2 − 4 x |

1 x+ ≥2 x b)

< 0 ;+ ∞ >

c)

18. Resolver:

13. Resolver:

a) R

e)

c) R - {2006} e) R

12. Resolver:

+

< 2 ;5 >

| x|

1 ≤2 | x | −1

c)

[−2 ; 0 >

Tema Nº 12 : LOGARITMOS Capacidades:  Define logaritmo.  Aplica propiedades de logaritmos.  Resuelve ecuaciones con logaritmos  Resuelve problemas con logaritmos, aplicando su definición y propiedades.

Desarrollo del Tema: LOGARITMACIÓN.- Es la operación que nos permite encontrar el exponente conociendo la base “b” y la potencia “N”. Ejemplos: 23 = 8 ; 34 = 81 ; 5-2 = 4

1 ; 25

81 = 3; 2 x = 8; 3 x = 81; 5 x =

3

8 =2

1 25

LOGARITMO.- El logaritmo de un número real positivo “N” en base “b” positiva diferente de uno, es el exponente “x” al que hay que elevar a la base “b” para obtener el número “N”. Bx = N

⇒

Logb N = x

b = base (+) ≠ 1 N = número real (+) x = logaritmo de “N” Ejemplos: 1.

24 = 16 ⇒ log2 16 = 4

2.

35 = 243 ⇒ log3 243 = 5

3.

52 = 25 ⇒ log2 25 = 2

1 1 ⇒ log = −3 125 5 125 BASE.- Es el número que se ha tomado para formar un sistema de logaritmos. Cualquier número positivo diferente de 1, puede servir de base para formar un sistema de

4. 5 −3 =

logaritmos. SISTEMA DE LOGARITMOS.- Es el conjunto de los logaritmos de todos los números respecto a una misma base. El número de sistemas de logaritmos es ilimitado, puesto que cualquier número positivo (diferente de 1) puede servir de base sin embargo, hay sólo dos sistemas que han sido tabulados. 1. EL SISTEMA DE LOGARITMOS VULGARES O DE BRIGS Llamado también logaritmos decimales y cuya base es 10. 2. EL SISTEMA DE LOGARITMOS NATURALES O NEPERIANOS

Tercer Año

Logaritmos Es igual que tiene como base al número: bx = N

CASOS:

e = 2,7182818459...

⇒ logb N = x

PRIMER CASO Conociendo el número “N” y la base “B”, hallar el logaritmo “n”. ACTIVIDAD 1. log

243 = x

27

4. 3

2. log 35 3

log

2 2

2

2

3

=x

4

243 = x 3 5. log 3 3 27 243 = x

3. log

5 .3 5

1 =x 3125 6. log 64

5

1 =x 16

SEGUNDO CASO

Conociendo el número “N” y el logaritmo “x”. Hallar la base “b”. ACTIVIDAD 1. log b 3 3 = 3

2. log b

4. log b

1 = −12 729

1 = −5 32

5. log b 27 3 243 = 14

3. log b 2187 = 7 TERCER CASO Conociendo la base”b” y el logaritmo “x”, hallar el valor de “N”. ACTIVIDAD 2

N =

2. log 2

2

N =−

3. log

8 37

4. log 5 N = −5

18 5

1. log 2

N =−

20 3

5) log 14

3

N =16

2 3 PROPIEDADES

I.

LOGARITMO DE UN PRODUCTO El logaritmo de un producto de dos o más factores es igual a la suma de los logaritmos de dichos factores. log a.b.c. = loga + logb + logc

II.

ALGORITMO DE UN COCIENTE Es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

log

III.

a = log a − log b b

LOGARITMO DE UNA POTENCIA Es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de dicha potencia. log an = n log a

IV.

LOGARITMO DE UNA RAÍZ Es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

log n a =

V.

log a n

LOGARITMO DE UN NÚMERO bx = N logbx = logN xlogb = logN

x= VI.

log N log b IX. log b N = log b =

bx = N  x = log N

VII. log 1 N = log b = b

1 N

N = log b 2 =

VIII. log b

(

N

X. El logaritmo de 1 en cualquier base es cero.

N

)

2

ACTIVIDAD Aplicando las propiedades generales de los logaritmos, expresa: 1. logm4 n2 x3 4. 4

3

a x 2. log 2 4 m y

(a 3

3

3. log

a −2 b 3 a3 b

a 2 b −1c −5

3

log

5.

log

(a

−2

b −3 c − 4

)

1

4

ab −1c −2

−1

b −2 c −4

)

1 6

6. Demuestra que:

log

75 5 32 − 2 log + log = log 2 16 9 243

PRÁCTICA DE CLASE

Tercer Año

Logaritmos

Halla el valor de “x” en:

10. log2 0,0625 = x

1. log2 32 = x 11. log0,01 1000 = x 2. log

2

16 = x 12. log0,001 0,0001 = x

3. log 2

3

1728 = x

4. log 5

5

125 = x

13. log3 x = 4 14. log4 x = 3

5. log4 0,25 = x

6. los 2

2

15. log144 x = 0,5

1 =x 256

16. logx 12 = 0,5 17. logx+1 8 = 3

1 7. log9 = x 3

18. logx+2 64 = 3

8. logm2x . n-3x = log px+3

9. log x = 2 +

19. log a2x-1 . n-3x = log px+3

1 ( log18 + log 8 − 2 log 25) . 2

20. Simplifica

P = log

133 13 143 77 + 2 log − log + log 65 7 90 171

PRÁCTICA DOMICILIARIA Halla el valor de: 1.

log464 + log3 243 – log100 + log√2 4 a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

e) N.A.

5. log 3

1 − log 2 0,125 + log10 10000 81

a) 1

b)

c) 3

d) 4

e) 5

2. log29 – log88 + log216 – log5 125 a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

6. log9 81-3/6 a) – ¾

3. log 0,01 + log a) 10

4. log 3 a) 2

b) 11

2

1 49

64 − log 7 c) 12

d) 13

c) 6

d) –6

c) ¾

d) –1

e) N.A

7. log49 71/3 e) N.A.

1 1 − log 2 + log a 2 a 2 9 16 b) –2

b) 1

a) 1/5

b) 1/6

8. Simplifica: log 2 e) N.A.

a) 0

b) 1

c) 1/7

d) 1/8

e) N.A.

2 1 1 + log 2 − log 5 5 7 7

d) –1

d) 2

e) N.A.

17. log864 – log201 – log 0,01 9. Simplifica: log

a) 1

84 + log

a) 0

650 − log

b) 1

d) 2

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

546

d) 4

e) N.A.

18. los327 – log232 + log42 + log√33 a) 0

b) ½

c) 1

d) - ½

e) –1

10. Log2 (x+4) – log2 (x+1) = 1 a) 1

b)

c) 3

d) 4

19. Luego de resolver:

e) 5

log( x − 2) + log( x +1) +1 = log 40 Indique la suma de raíces a)1 b) 2 c) 3 d) 4

2

11. log3 (2x + 3x + 7) – log3 1 = 3 a) 5/2; -5

b) – 5/2; 4

d) 5/2, ¼

e) N.A.

c) 2/5

20. Resolver:

log 6 ( x 3 −1) − log 6 ( x −1) = log 6 ( x 2 + 4)

12. log6 (x+2) + log6 (x+7) = 2 a) 11; -2

b) –11; 2

d) –12; 3

e) N.A.

a)1

c) 12; 3

b) –16

b) 2

(

c) 15

c) 3

d) –15

d) 4

15. 5 log x − log 288 = 3 log a) 5

b) 6

c) 7

e) 5

e) 6

)

e) N.A.

3 log b ( a 2 b 3 ) − 2 log b ( a 3b 4 ) b) b

c) 2

d) 2b

e) 0

23. Hallar el valor de “x” en:

d) –6

log x 243 = −5

e) N.A.

1 + 2logx – log(x + 2) = 0 b) – 1/9

22. Simplificar la expresión

a) 1

x 2

ecuación:

1 d) − 10

d) 4

y dar como respuesta el mayor valor de “x” a)3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 10

e) N.A.

16. Calcula la suma de las raíces de la

a) 1/9

c) 3

log 2 x 2 − 3 x + 6 − log 2 ( x − 1) = 2

14. Log (5x+2) = log (3x2–7x-6) – log (x-3) a) 1

b) 2

21. Resolver:

1 400 =1 13. log 2 x +2 a) 16

e) 5

a) 3

b)

1 3

c) 2

d)

1 2

e)

1 5

1 1  =− 2 2

24. Hallar el de “x” en: log (1−2 x ) 

c) – 1/9 a)

3 2

b) −

3 2

c) −

5 2

d)-4 e) -2

Tercer Año

Logaritmos

Tema Nº 15: Relaciones y FUNCIONES Capacidades:  Calcula el dominio y rango de una relación.  Define y grafica Relaciones y funciones.  Resuelve problemas con funciones.

Desarrollo del Tema: RELACIONES 1. Definiciones Previas Propiedades : 1.1. Par ordenado: Es un conjunto de dos elementos considerados en un determinado orden. Si los elementos del par ordenado son "a" y "b", al conjunto se le denota por (a; b) y se define de la manera siguiente :

(a ; b ) = { { a } ; { a ; b } } Donde : a = primera componente del par b = segunda componente del par

=

(a; b) / (b; a); (a; b) = (c; d) → a = cb = d

∀ a =/ b

1.2. Producto Cartesiano: Dados los conjuntos no vacíos A y B, el producto cartesiano de A por B (en ese orden), se denota así A× B y se define de la siguiente manera:

A × B = { (a ; b ) / a ε A ∧ b ε B } Donde : A = conjunto de partida B = conjunto de llegada Ejemplo : Dados los conjuntos : A = {1; 2; 3} ∧ B = {-1; 2}

A×B ∧B× A

Determinar: Resolución :

Para , A × B , tenemos :

A × B = {1 ; 2 ; 3} ∧ {−1 ; 2}

A × B = {(1; -1), (1; 2), (2; -1), (2; 2), (3; -1), (3; 2)} Para

cartesiano

no

es

A × B =/ B × A II. El número de elementos es igual al número de elementos de y se obtiene según la fórmula :

n ( A × B ) = n (B × A ) = n (A ) . n (B ) 2. Relación Binaria

Propiedades : I. II.

I. El producto conmutativo :

B × A , tenemos:

= {(-1; 2), (-1; 2), (-1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3)}

2.1. Definición: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se dice que R es una relación de A en B (en ese orden), si y sólo si, R es un subconjunto de , es decir :

R ⊂ A× B

R = { (a ; b ) / a ε B ∧ b ε B ∧ a R b } Donde : a R b, indica la relación que existe entre los componentes "a" y "b". Ejemplo : Dados los conjuntos : A = {1; 2; 4} ∧ B = {2; 3} Determinar la relación de R de A en B definida de la manera siguiente :

R = {(a ; b) / a ε A ∧ b ε B ∧ a < b}

Resolución : Hallar el producto cartesiano de A por B. = {1; 2; 4} {2; 3} = {(1; 2), (1; 3), (2; 2), (2; 3), (4; 2), (4; 3)} Observar que los elementos de R son

ε A×B / a < b

todos los pares (a; b) Luego, tenemos: R = {(1; 2), (1; 3), (2; 3)} 2.2. Relación en A :

.

Dado el conjunto no vacío A, se dice que R es una relación en A, si y solamente si,

Resolución: Si R es una relación de equivalencia, deberá ser reflexiva, simétrica y transitiva a la vez.

R ⊂ A× A .

2.3. Clases de Relación : Sea R una relación en A ( R luego R podrá ser :

Reflexiva

⊂ A × B ),

1 A (1; 1) 2 A (2; 2)

I. Reflexiva

∀ a ε A → (a ; a ) ε R

3 A (3; 3)

∀ a ε R → (a ; a ) ε R

→ → →

¡Correcto! ¡Correcto! ¡Correcto!

II. Simétrica

(a ; b) ε R → (b ; a ) ε R

Evidentemente, R es reflexiva.

III. Transitiva (a ; b) ε R ∧ (b ; c) ε R → (a ; c) ε R

Simétrica

IV.De equivalencia Siempre y cuando sea a la vez reflexiva, simétrica y transitiva.

Evidentemente, R es simétrica.

(a ; b) ε R → (b ; a ) ε R

(1 ; 2) ε R → (2 ;1) ε R

→ ¡Correcto!

Transitiva

Ejemplo : Dado el conjunto A = {1; 2; 3}

(a ; b) ε R ∧ (b ; c) ε R → (a ; c) ε R

(1 ; 1) ε R ∧ (1 ; 2) ε R → (1 ; 2) ε R

Se define una relación en A de la manera siguiente : R = {(1; 1), (1; 2), (2; 2), (3; 3), (2; 1)}

(1 ; 2) ε R ∧ (2 ; 2) ε R → (1 ; 2) ε R

(1 ; 2) ε R ∧ (2 ;1) ε R → (1 ; 1) ε R

¡Correcto! ¡Correcto!

¡Correcto! Evidentemente, R es transitiva.

∴ R es una relación de equivalencia.

¿R es una relación de equivalencia?

FUNCIONES 1. Definición:

Dada una relación F de A en B (F ⊂ A × B) , se dice que F es una función de A en B si y sólo si para cada

xεA

existe a lo más un

yεB

(x ; y) ε F

elemento , tal que el par , es decir, que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente. Ejemplo: ¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones, R1 = {(2 ;1), (0 ; 3), (−1 ; 7)}

R 2 = {(3 ; 0 ), (4 ; 0 ) , (5 ;1)}

R 3 = {(5 ;1), (4 ; − 1), (4 ; 2)} Son funciones? Resolución : De acuerdo con la definición, se observa que:

R1

es función

R2

es función

R3

no es función, ¿por qué?

(4 ; − 1) ε R 3 ∧ (4 ; 2) ε R 3 Porque , siendo pares ordenados distintos.

1.1. Propiedad Siendo F una función, se verifica lo siguiente:

(x ; y ) ε F ∧ (x ; z) ε F → y = z 2. Dominio y Rango de una función F 2.1. Dominio de F = Dom(F)

(DF )

denominado también pre imagen, es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenece al conjunto de partida. 2.2. Rango de F = Ran(F)

(R F )

denominado también imagen, recorrido o contra dominio, es el conjunto de segundos elementos de la correspondencia que pertenece al conjunto de llegada. Ejemplo : Dada la relación funcional representada por el diagrama digital.

Tercer Año

Logaritmos

A

A

1 2 3 4

0 -1 2 4

Toda recta vertical, trazada a la gráfica de una función, la corta sólo en un punto. Fig. (1) y

F

x

Determinar la función, indicando su dominio y rango.

F corresponde a la gráfica de una función. Fig. (2)

y

Resolución : Del diagrama, se tiene : F = {(1; 2), (3; 0), (4; 2)} De donde es evidente que :

DF

= {1; 3; 4}

∧ RF

H

= {2; 0}

x

2.3. Propiedad: Sea F una función de A en B, luego se denota por: siguiente:

D

F:A→ B

F

⊂ A ∧ R

y se cumple lo F

⊂ B

3. Aplicación 3.1. Definición Dada una función F de A en B,

F:A→B

. Se dice que F es una aplicación, si y sólo si, su dominio es igual al conjunto de partida.

F e s a p li c a c i ó n

D

F =

A

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 1. Definición :

Dada una función F de A en B, F : A → B , si A y B son subconjuntos de los números reales R, se afirmará que F es una función real de variable real.

F : A → B ,A ⊂ R ∧ B ⊂ R Debido a ello, F tendrá una representación gráfica en el plano cartesiano (x.y), la cual viene dada por un conjunto de puntos generados al establecer la relación de correspondencia entre la variable independiente "x" y su imagen la variable dependiente "y", es decir :

F = { (x ; y ) ε R

2

/x εD

F

∧ y = F (x )}

la igualdad mostrada : y = F(x) expresa la regla de correspondencia de la función real F. 1.1. Teorema

H no corresponde a la gráfica de una función. 1.2. Criterios para determinar el dominio y el rango I. Para el Dominio: Se despeja la variable "y", para luego analizar la existencia de su equivalente. II. Para el Rango: Se despeja la variable "x", para luego analizar la existencia de su equivalente. A veces, el rango se determina a partir del dominio. Observación : Frecuentemente, para determinar dominios y rangos es necesario reconocer la existencia de las expresiones dadas dentro del conjunto de los números reales, así pues, tenemos : Ejemplo : Determinar el dominio y el rango de la función F, donde : * *

A εR ↔ B = 0 / B

Aε R ↔ A ≥ 0

Ejemplo :

Determinar el dominio y el rango de la función F, donde :

F : R → R / y = F(x) = 2 x + 1 x−3

Resolución : De acuerdo con los criterios para el dominio :

y = 2x + 1 x−3 y ε R ↔ x − 3 =/ 0 x =/ 3 x ε R − {3}

∴ DF = R − {3} para el rango :

y = 2x + 1 x−3

se dice que éstas son iguales : F = G, si y solo si verifican simultáneamente las condiciones : I. II.

DF = DG

F(x) = G(x) ; ∀ x ε DF = DG

Ejemplo : Dadas las funciones:

F : R → R / y = F(x) = x2 x G : R → R / y = G(x) = 1 x ¿son iguales? Resolución : De acuerdo con la definición, veamos si se verifican las condiciones :

y = x2 x I. Para F :

xy - 3y = 2x + 1 xy - 2x = 3y + 1 (y - 2)x = 3y + 1

3y + 1 y−2 x ε R ↔ y − 2 =/ 0 y =/ 2 y ε R − {2}

y εR ↔ x2 = / 0

x=

x =/ 0 → x ε R − {0} ∴ DF = R − {0} II. Para G :

∴ RF = R − {2} Ejemplo : Determinar el rango de la función, la cual viene dada por :

F = R → R / y = F(x) = 2 x − 3 ; x ε < 5 ;10 ] Resolución : Observar que el rango se puede encontrar a partir del dominio, pues con

x ε < 5 ;10 ]

y=1 x

y ε R ↔ x =/ 0 x =/ 0 → x ε R − {0} ∴ DG = R − {0}

Observar que :

DF = DG

.

II. Regla de correspondencia para F.

F : y = F(x) = x2 x 1 x

bastará determinar la extensión de : y = 2x - 3. Veamos:

/ 0 : F(x) = como x =

Por condición:

Regla de correspondencia para G.

x ε < 5 ;10 ]

de donde tenemos : Multiplicando por 2 Sumando -3

G : y = G(x) = 1 x

5 < x ≤ 10 10 < 2 x ≤ 20

7 < 2 x − 3 ≤ 17

7 < y ≤ 17

Observar que : F(x) = G(x). son iguales

y ε < 7 ;17 ] Observar que :

∴ R F = < 7 ;17 ]

2. Igualdad de Funciones 2.1. Definición Dadas las funciones F y G, tal que :

F : R → R / y = F(x) G : R → R / y = G(x)

1. FUNCIONES ESPECIALES 1.1. Función Lineal

F : y = F (x ) = m x + b

∴ F∧ G

Tercer Año

Logaritmos

y

y

F

m = p e n d ie n te m = Tgθ

F

1

θ

x

-1 DF = R ∧ FF = R

1

x

D F = R ∧ R F = [0 ; ∞ >

1.2. Función Identidad

1.5. Función Signo

F : y = F (x ) = x

F : y = F (x ) = S g n (x )

y

− 1 ; x < 0  y = Sgn(x) =  0 ; x = 0  1;x > 0 

F

45º

y

x

1

F

DF = R ∧ FF = R

x

1.3. Función Constante

F : y = F (x ) = k ; k ε R

-1

y k

F

1.6. Función Escalón Unitario

F : y = F (x ) = u (x )

x DF = R ∧ R F = {k}

0 ; x < 0 y = u(x) =  1 ; x ≥ 0

y

F

1.4. Función Valor Absoluto

F : y = F (x ) = | x |  x; x > 0  y =| x | =  0 ; x = 0 − x ; x < 0 

x

D F = R ∧ R F = { 0 ; 1} 1.7. Función Máximo Entero

F : y = F ( x ) = [[ x ] ]

y

Definición : Dado el número real "x", el máximo entero de "x" es la relación

F

[[x]]

funcional denotada por y definida como el mayor entero menor o igual que "x", veamos algunos ejemplos : *

[[3 ; 15 ]] = 3

¿por qué?

3 ≤ 3 ;15

Porque *

x

[[4 ]] = 4 ¿por qué? 4 ≤4

DF = R ∧ RF = R

Por que Teorema :

1.10. Función Raíz Cuadrada:

[[ x ] ] = y ↔ y ≤ x < y + 1 ; y ε Z

F : y = F (x ) =

y

y

F

3

x

F

2

-3

-2

-1

1

-1

1

2

3

-2

x

x

DF = [0 ; ∞ > ∧ R F = [0 ; ∞ > 1.11. Función Raíz Cúbica

F : y = F (x ) = y

-3

3

x

DF = R ∧ R F = R F

1.8. Función Cuadrática Simple:

F : y = F (x ) = x

2

x

y F

DF = R ∧ R F = R x

DF = R ∧ R F = [0 ; ∞ > 1.9. Función Cúbica Simple: F : y = F (x ) = x

3

1.12. Función Inverso Multiplicativo

F : y = F (x ) = 1 x

Tercer Año

Logaritmos y F

2.3. Giro con respecto al eje "x"

y

-F (x ) x

x D F = R − {0} ∧ R F = R − {0} 2. DESPLAZAMIENTOS Y GIROS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Conociendo la gráfica de la función F, donde: F : y = F(x)

El eje "x" se comporta como si fuese un espejo. 2.4. Giro con respecto al eje "y"

y

y

F (-x )

x

x

y considerando un número positivo "h", tenemos : 2.1. Desplazamiento Horizontal

y

y

F (x + h )

El eje "y" se comporta como si fuese un espejo.

F (x -h )

2.5. Giro producido por el valor absoluto

x

y

x

| F (x )| " h " u n id a d e s h a c ia la i z q u ie r d a

" h " u n id a d e s h a c ia la d e r e c h a

x

2.2. Desplazamiento Vertical

y

y

F (x )-h

F (x )+ h La parte de la gráfica debajo del eje "x", se refleja por encima del mismo.

x

" h " u n id a d e s h a c ia a b a jo

x

" h " u n id a d e s h a c ia a r r ib a

Tarea domiciliaria y

1) Determinar el valor de "m.n", si se cumple que : (m+n; 3) = (9; 2m-n) a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

y

x

x

2) Sean los conjuntos:

A = {x ε Z / − 12 ≤ 6 x < 18 }

y

( III)

( IV )

2

B = {x ε Z / x ≤ 9} Calcular el número de elementos que contiene el producto cartesiano AxB. a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20 3) Sean los conjuntos : A = {1; 2; 3} B = {2; 4; 6} Determinar por extensión la relación R, de A en B, definida por : R = {(x; y) e AxB/y =2x} a) R = {(1; 2), (2; 4} b) R = {(0; 1), (2; 4), (3; 5)} c) R = {(1; 2), (2, 4), (3; 6)} d) R = {(1; 2), (2; 4), (4; 8)} e) R = {(2; 4), (1; 6)} 4) Sea el conjunto : A = {1; 2; 3} y sean las relaciones R, S y T definidas en A; donde R, S y T son reflexiva, simétrica y transitiva, respectivamente; si : R = {(1; a), (2; 3), (2; b), (3; c)} S = {(1; 3), (e; d)} T = {(1; 2), (2, 3), (f; g} Calcular el valor de : a+b+c+d+e+f+g. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 5) ¿Cuál o cuáles de los siguientes conjuntos representa a una función? I. F = {(2; 3), (2; 4), (3; 4)} II. G = {(3; 1), (-1; 4), (4; 3)} III. H = {(-2; 2), (-1; 3), (2; 3), (4; 2)} a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y III e) II y III 6) ¿Cuál o cuáles de las siguientes gráficas representa a una función?

y

y

x

a) Sólo I d) I, III y IV

8) Del problema anterior, dar la suma de elementos del dominio y rango de la función. a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 9) Dadas las funciones : F = {(2; 6), (3: b), (3; a-b), (d; a)} G = {(4; d+1), (4; 6), (p; b)} Calcular : a) 2 d) 8

( II)

F (2) + F(d − 2) − F(d ) + G(π) b) 4 e) 10

c) 6

10) Determinar el dominio de la siguiente función:

f(x) = a) b) d)

x+5 x2 − 4

[−5 ; + ∞ > − {−2 ; 2}

< −5 ; + ∞ > [−5 ; + ∞ >

c) e)

R − {−2 ; 2} < −2 ; 2 >

11) Determinar el dominio de la siguiente función:

g(x) =

4 x + 1 3x + 2 − 2x + 3 5 x − 1

3 R − {2 ; } 5

b)

3 1 R − {− ; } 2 5 c)

d)

e)

( I)

c) Sólo I y IV

7) Calcular el valor de "ab", si el conjunto : F = {(2; 5), (-1; 7); (2; a+2b); (3; a-9); (3; 2b)} representa una función. a) -5 b) -6 c) -7 d) -8 e) -9

a)

x

b) Sólo II y III e) II y IV

R − {−2}

R − {−

3 ; − 2} 5

R − {4 ;1}

12) Determinar el dominio de :

h(x) =

4

x+3 + 7 −x −

3 2

x −1

Tercer Año

Logaritmos a) b) c) d) e)

[−3 ; 7] − {1}

17) Determinar el rango de la función F, donde:

[−3 ; − 1 > ∪ < 1 ; 7 ]

F : [ 5 ; 8 > →[15 ; 30 > / y = F(x) = 2 x + 5

[−3 ; 7 ] − {−1 ;1}

a)

< −3 ; 7 > − {−1 ;1}

c)

R − {−1 ;1}

d)

13) Determinar el rango de:

f(x) =

[15 ; 30 >

[15 ; 21 >

e)

[35 ; 65 >

F : R → R / y = F(x) = 2 x + 3 ;

R − {−3} a) R − {3} b) < −∞ ; − 5 > ∪ < −5 ; + ∞ > c) e)

< 10 ; 13 ]

b)

18) Sea la función:

4 − 3x x+5

4 [ ;+ ∞ > d) 3

[10 ;13 >

R − {−5}

x ε < 3 ;11 ]

Determinar el rango de F(x). a)

< 3 ;5 >

b)

d)

R o+

e)

[3 ; 5 >

c)

< 3 ; 5]

[3 ; 5 > ∪ {2}

14) Indicar el rango de :

  H =  (x, y) / y = x  x−3   a) R - {- 3} d) R - {0}

b) R e) R - {3}

c) R - {1}

15) Hallar el rango de la función : 2 a) c) d)

f(x) = x − 3 [3 ;+ ∞ > [−3 ; 0 > b)

[−3 ; + ∞ > [0 ;+ ∞ >

e)

d) R-

d)

b)

< −∞ ; 31]

R − {31}

3 x − 2 con dominio en

19) Sea : el conjunto Z. Hallar la suma de elementos del rango.

a) 14

2 3 +1 2 b)

4+ 3 2 c)

5 3 +2 2 d)

20) Determinar el rango de la función F, donde: F : R → R / y = F(x) = x 2 + 4 x + 7 ;

f(x) = x 2 + 31 [31 ; + ∞ >

6−x + x−4

e) 18

< − ∞;+ ∞ >

16) Determinar el rango de la función:

a)

f(x) =

x ε < −5 ; 4 ]

c) R

a) [12; 39] b) [2; 11] c) [3; 39] < 12 ; 39 > < 12 ; 39 ] d) e)

problemas para la clase 1)

Sea la función : 2

F : R → R / y = F(x) = 16 − 4 x − x ; x ε [−8 ; 2 >

7)

Determinar el rango de dicha función. a) c) e) 2)

[−20 ;16 >

[−16 ; + 20 ]

R − < −6 ; + ∞ >

c) e)

Hallar: a) - 40 d) 20

< −∞ ; − 5 >

8) b)

< −5 ; 5 >

d)

< −∞ ; − 5 ]

[−5 ; + ∞ >

< a ; b]

9)

c) 3

Ran (F) = [ a ; ∞ > a +1 donde :

6)

c) 8

y = F(x) = 22 x x +1 [−1 ;1] < −1 ;1 > b)

[ 0 ;1 ]

e)

c)

10)

a) 2/5 d) 5/3

b) 2/3 e) 1

x2 + 1 2x 2 + x + 2 c) 5/2

e) 2x

| 3 + t | − | t | −3 t ; redefina la función

en los intervalos de:

< −∞ ; − 3 > , [−3 ; 0 >

y

[0 ; + ∞ >

5 f(−5 ) + f(−1) − f(4 )

11)

Determinar el menor valor que asume la función real de variable real cuya regla de correspondencia es:

c) -4x

Dada la función:

f(t) =

[−1 ; ∞ >

< −∞ ; 0 ]

y = F(x) =

x ε [1 ; 3 > 2

2 d) x

Determinar el rango de la función real de variable real, cuya regla de correspondencia es :

d)

Si tenemos:

2 Hallar: f(2 x − 1) − f(2 x ) a) 14 b) 2x - 1

F(x) = 2 x + 3 x + 2 ; x ε R

a)

< a ; b]

Si : es el dominio de la función F, definida por:

si :

2

5)

c) 30

x 2 ; x ε [0 ; 2 > f(x) =  2 x + 1 ; x ε [2 ; 5 >

.

ada la función :

Calcular "a". a) 6 b) 7 d) 9 e) 10

.

b) - 20 e) 40

entonces, la relación correcta entre los valores de "a" y "b", es : a) a + 3b = 25 b) 3a + 6b = 10 c) 6a + 23b = 25 d) 6a + 46b = 44 e) 5a + 6b = 36

Sea la función :

se sabe que su rango es : Hallar : 9b + a. a) 2 b) 1 d) 0 e) 4

k =1

  F = ( 2 x + 1 ; x) ε R 2 / x ε < 0 ;10 ]  2x + 3 

[−5 ; + 5]

  F =  (x, y) ε R 2 / y = 2 3  x +9  

4)

10

Determinar el rango de la función:

a)

f 2 (2005 ) + f(1003 ) = 12 .

E = ∑ f(k)

< −16 ; 20 >

d)

g(x) = x 2 + 6 x + 4

3)

Se sabe que :

< −20 ;16 ]

b)

Sea la función : f : R → R / f(x) = A , llamada función constante.

Luego, calcular : a) 8 b) 6 d) 2 e) -10 Para la función :

c) 4

f(x) = x 2 − 2 x + 3 + | x − 10 | + | x |

2 ≤ x ≤ 10

;

. "A" es el menor valor real y "B" es el mayor valor real. Tal que :

∀ x ε [2 ;10 ]

a) 80 d) 106

B ≤ f(x) ≤ A .

. Hallar : A + B. b) 96 c) 103 e) 115

Tercer Año

Logaritmos 12)

Hallar el rango de : 2

G = {(x , y) ε R / y = 5 − x + 3 + x } a) c) e) 13)

y ε[ 2 ; 4]

b)

17)

y ε [0 ; 4 ]

yεR

d)

A = {(t + 3 ; t) / t ε R}

y ε [2 2 ; 4 ]

B = {(t + 5 ; t) / t ε R}

y ε [0 ; 2 2 ]

C = {(t 2 − 1 ; t) / t ε R}

Determinar el dominio de la función F, donde:

D = {(3 t + 2 ; t) / t ε R} a) Sólo B. d) Todos.

F : R → R / y = F(x) = 3 + 2 − x a) d) 14)

< 0 ;∞ > [0 ;4 >

b)

[0 ;∞ >

e)

[− 4 ;4 ]

c)

[0 ;4 ]

18)

Si :

f(x) = | x − 3 | + x − − x

a)

la

función

f(x) : R → R

polinomial:

c) e) 19)

a) c) e) 16)

[1 ; ∞ >

< −2 ; 2 > < −4 ;1 ]

b) d)

< −1 ; 4 >

< 1 ; 15 >

.

< −1 ; 15 >

b)

< 15 ;1 ]

d)

[− 15 ; − 1 ]

< 0 ; 15 ]

Determinar el rango de la función:

a)

[−12 ;16 >

. < −16 ; 12 >

DF = x ε [1 ; 9]

F(x) = (| x − 5 | +1 + x) 5 − x

f(x) = x 6 − 3 x 4 + 3 x 2 − 12 ; encontrar su dominio, si su rango es

c) Sólo B.

Calcular el rango de la función :

Hallar el dominio de :

Sea

b) A y B. e) B y D.

f(x) = − 2 x − x

, e indicar el número de valores enteros que posee. a) Infinitos b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 15)

a) VVV b) VVF c) VFV d) FFV e) FFF ¿Qué conjuntos de pares ordenados son funciones? 2

[0 ;∞ >

d) R 20)

b) e)

< −1 ; ∞ >

c)

< −∞ ; 4 ]

f:R Sea la función lineal : regla de correspondencia es :

< −∞ ; 0 ]

→ R cuya

f(x) =| ax 2 − 3 ax + a − 2 | +ax 2 − ax + 3

Dada la función: n

n

n

F(x) = a − x ; n ε N ∧ a > 0 I. Dom(F) = R; ∀ n impar

∀ n par

II. Dom(F) = [-a; a] III. F(x) = F(-x); ∀ n par Indicar el valor de verdad.

indicar los valores del parámetro real "a", que definen completamente la función "f". a)

a ε < 0 ;8 / 5 >

a ε < − 8 ;1 > 5 c)

a ε < − 8 ;0 > 5 e)

tarea domiciliaria 1) Dada la gráfica de F(x) :

b) d)

a ε < 1;5 / 3 >

a εR

y

y

3 -6

2

-1 0

x

4

-2

e)

-5

x

3

− x−2

4) Graficar: F(x) =

y

y

Indicar lo correcto : Dom (F) = < −5 ; − 2] ∪ < 0; 3] a) Ran (F ) = [−5 ; − 2 > ∪ < 0 ; 3] b) Ran (F) = < −6 ; − 1 > ∪ < 0; 4 ] c) d) e)

x

2

a)

Ran (F) = < −2 ; 0 >

-2

2) Graficar : F(x) = 3x - 2 y

a)

2

x

c)

y

x

y

y

Dom (F) = < −6 ; − 1] ∪ [0; 4 >

x

2

b)

x

d)

y

x

b)

y

x

-2

y

e) x

c)

x

x 2 ; si : x < 0 F(x) =  x ; si : x ≥ 0

d)

y

5) Graficar: x

y

y

e) x

x

3) Graficar la función :

F(x) = x − 3 + 2

a)

y

b)

y

y

y x

3

a)

x

y

c)

x

b) - 3

x

d)

y x

y

e) 6) Graficar: F(x) = |x - 3|+ 2.

c)

y

y

-3

x -2

d)

-2

2

x 2

3 2

a)

x

-3

b)

x

Tercer Año

Logaritmos y

x

x

-3 c)

3

2

2

3

x

3 d)

y

y

y

y

a)

b)

y

y x

3

e)

8) Hallar el área de la región formada por las gráficas de las funciones F y G, tales que : F(x) = |x-5| y G(x) = 3. a) 6 u2 b) 8 c) 9 d) 12 e) 16 2

y y 3

x a)

x

b)

y

3 x

d)

y

x

-3 e)

11) Obtener la pendiente de :

F(x) = Ax + B + 2

12) Hallar el área de la región formada por las gráficas de las funciones: 2

g(x) = 2 b 2 con el eje de las ordenadas.

-3

c)

d)

y

f(x) = abx − b ; ab > 0

y

x

c)

-3

Sabiendo que la gráfica F(x) pasa por el punto (8; 38) y por el punto (0; -2). a) -2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 1

F(x) =| x − 3 |

3

x

x

3

2

7) Luego de graficar : F(x) = −x + 6 x − 14 , se obtiene una parábola cuyo vértice está dado por el par ordenado (a; b). Calcular : a + b. a) 8 b) 2 c) -2 d) -8 e) 5

9) Graficar:

x

-3

a)

9b3 2 u a

2a b)

9 b3

c)

2b3 9a

3

9b e) 2 a

x -3

d) ab

e) 10) Se tiene la gráfica de la función F(x) : y

13) Hallar el área de la región sombreada :

y

F (x)= x 2 - 4 x - 5

x

¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a : H(x) = F(x-3) + 3 ?

6

x

a) 21 u2 d) 14

b) 42 e) 24

se elige "p", de manera que sus gráficas tengan un único punto en común. Entonces, las coordenadas (x; y) de dicho punto son: a) (0 ; 0) b) (1 ; 1) c) (-1 ; 3) d) (1 ; 3) e) (1 ;-3)

c) 28

f(x) = (x − a )2 + b

14) En la función : . El valor de "x" que hace que la función acepte a 7 como mínimo valor, es 7. Hallar "ab". a) 7 b) 14 c) 49 d) - 49 e) 0 15) La función cuadrática:

19) Determinar el área de la región formada por la función: F(x) = -|x| + 4 y el eje de las abscisas. a) 8 u2 b) 12 c) 14 d) 16 e) 32 20) Graficar:

f(x) = −2 x 2 + 12 x + 1

 x ; x ≥ 1 F(x) =  x 2 ; x < 1

tiene un máximo o un mínimo. ¿Cuál es su valor? a) Un mínimo, 19. b) Un máximo, 19. c) Un máximo, 3. d) Un mínimo, 3. e) Un máximo, 20.

y

y

16) La ganancia de cierta compañía está dada Encontrar la ganancia máxima. a) 1945 b) 1950 c) 1955 d) 1960 e) 1965

x

x

G(x) = −2 x 2 + 60 x + 1500 por: a)

b)

y

y

17) Hallar los puntos de intersección de las gráficas de :

1

2

f(x) = x − 2 x + 3 y g(x) = 5 x − 9

x

e indicar la suma de coordenadas de uno de ellos. a) 7 b) 8 c) 15 d) 16 e) 20

c)

x

1 d)

y

18) Dadas las funciones:

f(x) = 2 x 2 − 3 x + 4

x

g(x) = −7 x 2 − 3 px + p e)

problemas para la clase 1)

y

La gráfica de la función: F(x) = x|x|; es:

y

y

y

x x a)

x

x c)

d) y

b)

x

e)

Tercer Año

Logaritmos 5) 2)

Las gráficas corresponden a las funciones:

Calcular el área de la región sombreada limitada por las funciones indicadas.

y

1 2 x 2 si la máxima longitud vertical "d" se encuentra en la abscisa "a". Calcular "a". f(x) = −x 2 + 2 x ∧ g(x) =

H (x ) = 6 - x - 2 G (x ) = 4

y

g d

3)

a) 24 d) 16

f a

a) 1 d) 1/3

x

b) 3/2 e) 3/4

x

6)

b) 32 e) 20

F(x) = |

Graficar: y

c) 48

x −4|

y

c) 2/3

Dada la gráfica de F(x) :

y

x

16

a)

x

-4

b)

y

y

5 4

2 -7

-2

16

c)

1

7

x -1 6

x d)

y

x

-1 -5 e)

se cumple :

Dom (F) ∩ Ran (F) = [a ; b > ∪ [c ; d ]

Calcular : a + b + c + d. a) 0 b) 1 d) 13 e) - 13 4)

7)

x

4

Indicar la gráfica de la función:

F(x) = x + x 2

c) - 3

Hallar el área del triángulo sombreado, si "L" es una recta cuya pendiente (- 3). y

A

x

x

a)

(-1 ; 1 5 )

b)

y

y

x

c)

x a) 15 u2 d) 28

c) 24

x

e)

x

d)

y

L b) 21 e) 32

y

y

8)

c) g(x) = 4x +12 e) g(x) = 3x + 12

Hallar el área de la región sombreada :

y

12) F (x )= x 2 - 2 x - 3

En el siguiente gráfico:

y

(2 ; 0 ) x

x

5

d) g(x) = 3x +13

Hallar la ecuación de la parábola si el punto (3, 2) pertenece a ella y su rango es el a) 36 u2 d) 12 9)

b) 18 e) 25

[−

c) 24

intervalo x2 − 3x a)

¿Cuál de los siguientes puntos no está en la gráfica?

y=

a) (0; 0) d) (-1; 1) 10)

2 b) y = x + 3 x + 2 2 d) 2 x + 3 x + 2 = y

2 e) 2 x − 3 x − 2 = y

1 1 ( ; ) c) 2 3

1 ; − 1) 2

b) e) (-2; 2)

Graficar 2

13)

Indicar cuántos puntos de la forma (a; b) donde: a y b e Z se encuentran dentro de la zona limitada por las funciones : F(x) = (x+2)(x-2) y G(x) = (2+x)(2-x) a) 21 b) 19 c) 14 d) 12 e) 17

14)

De la gráfica:

:

F(x) = x + 2 mx + m 2 Si : m < 0.

+2 = y

2 c) y = x − 3 x − 2

x x +1 (−

1 ;+ ∞ > 4 .

.

y

y

y

b

a)

x

y

S

x

b)

y

a

x

Si el área "S" del rectángulo es máxima, hallar dicha área.

x c)

d)

y

a) ab

x

d)

e) 11)

e)

ab c) 4

ab 6

15)

Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados y el cuarto vértice sobre la recta de ecuación y = - 2x + 8. El área máxima que puede tener el rectángulo es igual a : a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

16)

Sea f, una función de proporcionalidad, tal que :

x

Si "h" es una función lineal de pendiente 3 e intersección con el eje "y" igual a 5, hallar la regla de correspondencia de la función g(x), si: g(x) - x = h(1) + h(x+1) a) g(x) = 4x + 4 b) g(x) = 4x + 16

ab 3

ab b) 2

Tercer Año

Logaritmos y

f(3) + f(7) =20. Entonces, el valor del producto : f(21/5) f(5) f(7), es : a) 147 b) 1470 c) 1170 d) 1716 e) 1176 17)

1

f

Dado el gráfico :

x

-2

y

y

V

Indicar el gráfico: H(x) = f(-x) - 1.

y

1

2

x

a)

-1 b)

y

y

1

2 Donde : F(x) = −x + 6 x − 8 Hallar el área de la región sombreada. (V : vértice de la parábola). a) 1 u2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

18)

x

x

2

2 2

c)

x

x

-1 d)

y

Si la gráfica adjunta, representa a : y = f(x)

1 x

1

-2

e) 2

20)

¿Cuál de las gráficas representa a : y = f(-x) ?

Dada

-2

a)

2

función

"f"

regla

f f

-1

1

-2

-2

-1

c)

d)

x

I.

II.

f

2 -1

e) 19)

de

correspondencia es f(x) = x − 2 x + a . Entonces, podemos afirmar que los gráficos adjuntos corresponden: 2

b)

cuya 2

1

-2

la

Según el gráfico de "f".

III.

x

a) b) c) d) e)

El gráfico II ocurre cuando a > 1. El gráfico II ocurre cuando a < 1. El gráfico III ocurre cuando a = 1. El gráfico I ocurre cuando a < 1. El gráfico II ocurre cuando a > 1.

x

PRÁCTICA DIRIGIDA 1. Si los siguientes pares ordenados: (a+2; 7) y ( 8; b+1 ) son iguales. Encontrar los valores de “a” y “b” 2. Si el conjunto A tiene 4 elementos y el conjunto B tiene 5 elementos ¿Cuántos elementos tendrá el producto cartesiano AxB? 3. Dada la relación: R = {(3; 6); (2; 4); (7; 6) ; (7; 8)}; completa:  La imagen de 3 es . . . . . .  La imagen de 2 es . . . . . .  7 es pre-imagen de . . . . . .  2 es pre-imagen de . . . . . 4. Verificar el valor de veracidad de las siguientes proposiciones: a) (X; Y) ≠ (Y; X) b) A x B ≠ B x A c) n(AxB) = n(A) x n(B) d) D(R) representa al dominio de la relación y es el conjunto de todas las preimágenes. e) R(R) representa al rango de la relación y es el conjunto de todas las imágenes. 5. Dado los conjuntos A= { 1; 2; 3; 4} y B ={ 1; 5; 7} Encontrar: - El producto cartesiano AxB, usando el diagrama sagital - R = { (x;y) ∈ AxB / x + y = 8} - Dominio y Rango de la relación 6. Dado los conjuntos A= { 2; 5; 6; 9} y B ={1; 3; 4} Encontrar: - El producto cartesiano AxB, usando el diagrama del árbol - R = { (x;y) ∈ AxB / x > y} - Dominio y Rango de la relación 7. Si los siguientes pares ordenados: (2a1; -8) y ( -9; 3b+1 ) son iguales. Encontrar el valor de “(a+b)2- (a-b)2” a) -48 b) 48 c) 12 d) 28 8. Si el conjunto A tiene 13 elementos y el conjunto B tiene 12 elementos ¿Cuántos elementos tendrá el producto cartesiano AxB? a) 108 b) 156 c)12 d) F.D. 9. Dado el conjunto A= { 2; 3; 4} Encontrar: - La relación Binaria AxA - R = { (x;y) ∈ AxA / x+ y < 6} - La relación inversa de R

10. Dado el conjunto A= { 1; 3; Encontrar: - La relación Binaria AxA - R = { (x;y) ∈ AxA / x+ y < 4} - La relación inversa de R

5}

11. Si los siguientes pares ordenados: P = { x+4 ; 8} Q = {y+z;10} y R = { x+z;12 } su primera componente tiene mismo valor que su segunda componente. Hallar: x + 4y – z a) 4 b) 10 c) 6 d) 8 12. Dado los conjuntos A= {1; 2; 4; 6} y B={1; 3; 5} Encontrar: - El producto cartesiano AxB - R = { (x;y) ∈ AxB / x < y} - Dominio y Rango de la relación 13. Dado el conjunto A= { 3; 4; Encontrar: - La relación Binaria AxA - R = { (x;y) ∈ AxA / x + y < 8} - La relación inversa de R

5}

14. Dado los conjuntos: A = {2x-1 / x ∈ N y -1 < x < 5 } y B = {1+2x / x ∈ N y -2 < x < 4} Encontrar: - Los elementos del Conjunto A y B expresados por extensión - El producto cartesiano AxB, usando el diagrama cartesiano - La relación: R = { (x;y) ∈ AxB / x > y} - Dominio y Rango de la relación - La relación inversa de R 15. En la siguiente función “n” es: F = { ( 3 ; 8 ) , ( 3 ; n ) , ( 4 ; 5)} 16. En la siguiente función, valores de “a” y “b”

hallar

los

F = { (1; 2) , (3; 1), (1; a+4), (3; b-2) }

17. Dado los conjuntos: A = { 1; 2; 4} y B ={3; 5; 6} y dadas las relaciones: R1 = {(1; 5); (2; 6); (4;3)} R2 = {(1; 3); (2; 3); (4;3)} R3 = {(1; 5); (2; 3); (4; 5)} R4 = {(1; 6); (2; 2); (4;3)} R5 = {(3; 1); (5; 2); (6;4)} R6 = {(1; 3); (2; 6)} ¿Cuáles si son funciones? 18. La gráfica de la función y = x - 4, ¿En qué punto corta al eje de las ordenadas?

Tercer Año

Logaritmos 19. En la siguiente función, hallar los valores de “a” y “b” F = { (6; 1-a) , (7; b+1), (6; 2), (7; 4) } 20. Dada la función: y = f(x) = x2 - 2x + 3. ¿Cuál es el valor de f(0)+f(-3) + f(1)? 21. Dada la función: Hallar F(13)

F(3x+10) = 2x – 4

22. Dada las siguientes gráficas, reconocer ¿Cuáles son funciones?

f = { (x; y) / y = x - 4} - Elaborar una tabla de valores - Graficar la función - Hallar su dominio y rango. 24. Dada la función: y = f(x) = x2+ 6x -5. ¿Cuál es el valor de f(-2) + f(4)? 25. La gráfica de la función y = x + 2, ¿En qué punto corta al eje de las ordenadas? 26. Los gráficos de las funciones: F(x) = 3x2 y g(x) = 3-2x; ¿Se interceptan en qué punto? 27. Indicar el gráfico de la función:

a )

c ) 23. Sea la función f: RR, definida por:

b )

d )

y = x2