Algebra I - Problemas Propuestos

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DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES “ALBERT EINSTEIN”

LEYES DE EXPONENTES: Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación. POTENCIACIÓN: Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otras expresiones llamadas base y exponente. Notación: an = P

n: exponente P: potencia

Definiciones: Exponente natural

Exponente negativo Si a  0  n  N se define:

a : base Teoremas: Sean “a” y “b” números reales y “m”, “n” enteros positivos, entonces se cumple:

Nota: * 00 no está definido

Multiplicación de bases iguales. an . am = am+n

2.

División de bases iguales. bm

 bm  n

bn

Exponente cero Si a  0 se define:

an

3. a0 = 1

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Potencia de potencia.

b  m

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1    a 

Nota: * 0– n no existe

1.

a si n  1   an =  a . a ... a si n  2  n veces 

n

1

a-n =

n

 bm

.n



b  n

m

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Nota:

m

Ejercicios

 bn .m

* bn

1. 4.

Efectuar:

Potencia de una multiplicación.

ab 

n

5.

 a

n

b

Potencia de una división. n

a    b 



an

b0

2.

np

 bm

x

D = 43

3.

R= (2)

n

21

2

4 C = 31

32

E = 41

2

3

1 7  2   . 4 

2 7

. (9)

1 7  4   2 

Rpta…………… 4.

b = r  rn = b

n : índice (n  2 ; n  N) b : radicando r : raíz n-ésima principal de b

14

B = 23

Simplificar: 1 7

RADICACIÓN EN : Es una operación matemática que consiste en hacer corresponder dos números llamados índice y radicando con un tercer número llamado raíz, el cual es único, según:

4

Rpta……………

 by  z

Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo

Ordenar en forma decreciente: 3 A = 12

Nota: * Si “b” es un número real y m, n, p son enteros, entonces:

bm

15 4. 14 9. 30 2

Rpta……………

;

bn

216. 35 3. 80 3

P=

n

Hallar el valor de “M”:  2a  2   2a      M=   2b   2b 2      Rpta……………

5.

Reducir: P=

Teoremas:

5 70

4

(2)4

Rpta…………… Si 1.

n

a y

n

b existen, entonces se cumple:

6.

Raíz de una multiplicación:

n

a

n

A=

8

4

4

220

.

1

24

Rpta……………

b = n ab 7.

2.

Calcular:

Hallar el valor de W: 21

W= 4

Raíz de una división:



1

42

9

 8

21

94

Rpta…………… n

a

n

b



n

a b

si b  0

8.

Hallar el valor de:

2n  3.

Raíz de una radicación:

2n  2  2n  2

2n 1

Rpta…………… n .

m

b 

m.n

9.

b

Reducir la expresión: 3x sumandos

Exponente fraccionario:

P=

m Si a n existe en  se define: m

an 

n

A) 1 D) 3x+1

am

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666

6

3x  2  3x 1 B) 3x E) N.A.

C) 2,3x

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10. Si x x

x

 2 , hallar: R = x 3x

A) 64 D) 128

xx x

B) 16 E) N.A.

 3 x 18 x 12y    2  6x  y 

C) 256

A) 3 11. Decir cuáles son falsas: I. 3a0 + 3b0 – 8(x + y)0 = 0 II. (5x0 – 5y0 + 1)–0 = 0 III. (15a0 – 11b0 – 4x0)0 = 1 A) Solo I C) I y II B) Solo II D) I y III

D)

2 .  3 B)

1 2

1 x y  x  y

1 3

  

C) 2

E) 6

E) Todas

12. Simplificar: E=

3n 1  3n  3n 1

TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión algebraica donde no están presentes las operaciones de adición y sustracción.

3n  4  3n  3  3n  2 –3

A) 3 D) 3–5

B) 3 E) 35

C) 3

3

Ejemplo:

13. Calcular: 1   1 31  1   1   2   1   1          2 4 125        81   

A) 2 D) 4

B) 1 E) 8

14. Si: x x

3



1 16 2

21

    

C) 0

4 9

hallar:

2 F = (3x 2  x )3x + x

A) 2 D) 12

B) 4 E) 16

Variables Coeficiente

TÉRMINOS SEMEJANTES Dos o más términos serán semejantes si a los exponentes de las respectivas variables son iguales.

C) 8

TAREA

1. Calcular:

1 M   4

2 1

1   9

2 1

A) 10 D) 2

 1     16 

B) 8 E) 7

x

A) 27 D) 3

 3 ; calcular x x

C) 9

a 3. Si aa = 2, hallar a

a 1

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 9

S(x;y) = 2xy7

y

N(x) =

4x 3 y2

C) 3

2x 3 y2

 

3 x2 

(monomio) (binomio) (trinomio)

GRADO DE UN MONOMIO A. Grado Relativo: Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable. Ejemplo:

2x 1

A) –100 B) 5x

y

F(x) = 3 – 5x +

4. Calcular: M=

P(x;y) = 5x2y3

Ejemplos: P(x;y) = 5x3y7 R(x;z) = 2x2z + 5z5

x x x

B) 81 E) 1

y Q(x;y) = –2x2y7

POLINOMIO Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables están afectadas solo de exponentes enteros positivos.

2. Si:

xx

Ejemplos: P(x;y) = 4x2y7

M(x;y) = – 2 1

Exponentes

M(x,y) = –4 x5 y3

5

x 1

 25 5 5

Sea P(x;y;z) = GR(x) = GR(y) = GR(z) =

2x

B) –10 E) 5–x

C) –50 B.

5. Reducir:

5 x5y3z

Grado Absoluto: Es la suma de los grados relativos. Ejemplo:

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Sea R(x;y;z) = 2x4y5z3 GA =

R(x) = 7xy3 + 8x2y2

GRADO DE UN POLINOMIO A. Grado Relativo: Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada término.

B.

4

4

POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros.

Ejemplo: Sea P(x,y) = 3x3y5 – 7x2y9 + 5x7 GR(x) = GR(y) =

Ejemplo: P(x) = (n – m) x2 + (p – q) x, si es idénticamente nulo: n–m=0  m=n p–q=0  p=q

Grado Absoluto: (Grado del polinomio) Es el mayor de los grados absolutos de cada término.

POLINOMIOS IDÉNTICOS: Dos polinomios son idénticos semejantes tienen coeficientes iguales.

Ejemplo: Si F(x;y) = 2x2y3 – 7x6y + 4x4 Polinomios Especiales POLINOMIO MÓNICO: Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal 1 se le denomina mónico.

si

sus

términos

Ejemplo: p(x) = ax2 + bx + c q(x) = dx2 + ex + f Si: p(x) = q(x) Entonces: a = d ; b = e ; c = f EJERCICIOS

Ejemplos: A(x) = 1 + x2 + 3x B(x) = 7 –2x2+x3 C(x) = x

1.

Hallar el valor de “b” para que el grado de: P(x,y) = (3abx3b+3y2) sea 20 A) 5 B) 8 C) 10 D) 3 E) 12

POLINOMIO ORDENADO: Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente.

2.

Dado el monomio: M(x,y) = 4mnx2m+3ny5n–m Se tiene: GA(M) = 10 GR(x) = 7 Señalar su coeficiente A) 2 B) 4 D) 64 E) 16 Hallar el coeficiente de:

Ejemplos: P(x) = 4x4 + 12x2 – 3x + 7 Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a x.

3.

a

 1 M(x,y) =   .2b x 3a  2b y 5a b 5 Cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a “x” es 14. A) 4/625 C) 2/25 E) 16/25 B) 16/125 D) 8/625

P(x,y,z) = 21xz4 – 34x5y2z + 41x7y4 Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a x e y, además es ordenado descendentemente respecto a z. POLINOMIO COMPLETO: Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el de grado cero. Ejemplos: A(x) = 4x3 + 12x – 7x2 + 16 B(x,y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 Nota:

4.

5.

Si un polinomio tiene una sola variable y además es completo, entonces el número de términos será igual a su grado aumentado en una unidad.

6.

POLINOMIO HOMOGÉNEO: Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad. Ejemplo: P(x,y) = 3x3y12 + 23x8y7 – 15x15 – 13y15 ACADEMIA “ALBERT EINSTEIN” Cel.: 952 811944

15

15

15

15

C) 8

7.

Si: P(x–2) = x + 1 P(Q(x)) = 5x + 9 Indicar Q(3) A) 19 B) 20 D) 22 E) 23

C) 21

Siendo: G(x) = x Además: P(x) + Q(x) = 2x2 + 8 P(x) – Q(x) = 8x Calcular: G(Q(P(0))) A) 1 B) 4 C) 8 D) 3 E) 5 Dado el polinomio: P(x) = x3 – 5x2 + 4x + 1 Hallar: P(2) + P(–1) A) 5 B) 9 C) –25 D) –16 E) –12 Si el polinomio:

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2.

P(x;y) = 7xa+5 yb–1 + 3 xa+2 yb+1 – xa+3 yb+2 tiene GA = 16 y GR(x) = 12, hallar a – b A) 6 B) 2 C) 4 D) 5 E) 3 8.

9.

b

a

a

b

3

2

m 24  3  2m

4

Si Q = ax y + bx y + x y . Es un polinomio homogéneo en “x” e “y”, la suma de sus coeficientes es: A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) 13 El polinomio xa+b + xa ya–b + xb+2 y2, es homogéneo. ¿De qué grado es? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

A) 1

11. Determinar los valores de “m” y “n” en el siguiente polinomio homogéneo: P(x,y) = x3m+2n y4 + 3x2m–1 y–3n + 5x2m yn+7 A) 5, –2 C) 2, –5 C) N.A. D) 2, –5 E) –2, 5 12. Indicar la suma de coeficientes del polinomio: P(x)=(5x4 –3)n +(4x5–3)n–1 +(7x3–5)n–2 +5(x7+1)n–2(x– 2) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0 13. Los polinomios: P(x) = (x + 2)2 + ax + 7n Q(x) = (x + a)2 + nx + 2 Son idénticos. Si a < 0 hallar n – a. A) 24 B) 36 C) 15 D) 10

3 x a 1 .

E) 16

1a

1a  2  x a a   

2 x 2a 2 1

tiene el grado igual a 13, hallar a. A) 5 B) 7 C) 8

A) 0 D) 2 1.

P

(

Q

D) 4

E) 5

Indicar el valor de “a+b”, si el polinomio P(x) = (a3–27)x2 + (b3–7)x+5 Es lineal y mónico. A) 5 B) 4 C) 9 D) 11 E) 15

4.

Si P(x+5) = 3x–2, calcular “m”, si P(2x+m) = 6x+7 A) 1 B) 3 C) 5 D) 8 E) 7

5.

Se tiene: P(x + 2) = 3x + 8 Q(x – 1) = 5x + 3 Calcular: M= A) x + 1 D) x – 1

P (x )  Q (x )  22 P (x  1)  Q (x  1)

B) –4 E) – (x + 1)

C) –4x

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de multiplicación.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 * Identidades de Legendre: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

D) 10

E) N.A.

15. Se definen: P(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 Q(x) = 1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + x6 halle: E

C) 3

PRINCIPALES IDENTIDADES: Trinomio cuadrado perfecto:

14. En la siguiente expresión: a 2 a 1

B) 2

3.

10. Dado el polinomio homogéneo: P(x,y) = x2m – 4xm yn–1 – 3 y15–m, hallar el valor de: (m + n)2 – (m – n)2 A) 110 B) 120 C) 240 D) 115 E) N.A.

Sea el polinomio: P(2x – 1) = (5x – 1)m +(2x + 1)m – 2x + 1 ¿Qué valor toma “m” si se cumple en el polinomio que la suma de coeficientes y su término independiente suman:

Diferencia de cuadrados: (a + b) (a – b) = a2 – b2 Desarrollo de un binomio al cubo: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

17 )

( 17 )

B) –1 E) 17

C) 1 Suma y diferencia de cubos:

TAREA Siendo el polinomio: P(x) = x24 + 128x17 + 2x11 + 64x6 + 4x + 2 Hallar P(–2) A) 2 B) -6 C) 5 D) 8 E) 12

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(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3 Multiplicación de binomios con término común: (x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x + ab

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Desarrollo de un trinomio al cuadrado:

9.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) Desarrollo de un trinomio al cubo:

A) 26 D) 36

Identidad trinómica (Argan´d):

IGUALDADES CONDICIONALES: Si: a + b + c = 0 , se cumple: I. a3 + b3 + c3 = 3abc II. a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc) III. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2

 ab 



Reducir: (x – 1)3 – x3 + 1 A) x B) x + 1 D) 3x (1 – x) E) 3x

4.

Reducir:

A) b

8.



C)

A) x D) –x

si se sabe que: a + b + c = 0 A) 1 B) 9 D) 25 E) N.A.

E=

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1.

2.

(x  1)(x 2  x  1)  3x (x  1) B) x–1 E) 1

C) 16

C) x+1

B) –1 E) N.A.

C) 2

TAREA Si: a+b = 2 y ab=3 Halla : a3+b3 A) –1 D) –10

B) 6 E) 26

Si: a+b = 3 y ab = 1 Halla : a2-b2 A) 6 B) 3 5 D) 4 5

C) -8

C) 2 2

E) 6 5

3.

Si: a+b = 2 y ab=3 Halla : a3+b3 A) –1 D) –10

4.

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a 2  b2  c 2 ab  ac  bc

A) 1 D) –2

C) 3

Reducir: 3

E) 1/9

a 2  b2  c 2

a

Si: a+b = ab = 3 Calcular R = a(a + a2 + a3) + b(b + b2 + b3) A) 1 B) 2 C) –3 D) –6 E) N.A.

A=

(a  b)3  (a  c )3  (b  c )3 (a  b) (a  c ) (b  c ) B) 3 C) 1/3 D) 9

15. Si: a + b + c = 0, calcular:

Simplificar: R = (x + y + 1) (x + y – 1) – (x – y + 1) (x – y – 1) A) xy C) x + y E) 4xy B) 2xy D) x – y Si a+ b = 1 y a2 + b2 = 3 hallar: P = (a + 1)(b + 1) A) 4 B) 1 D) 2 E) N.A.

E) N.A.

(a  b  4c )2  (b  c  4a )2  (c  a  4b )2

E) 0

b

C) 26

14. Reducir:

C) 2x

B) a

D)

7.

A) 1

b  b2  a 2 . b  b2  a 2 ; a > 0

W=

6.

P=

a b a b  a b B) 0 C) 2a – 2b E) 2a + 2b

3.

B) 28 E) –27

13. Si: a + b + c = 0, calcular:

Reducir: C = [ (m + n)2 – (m – n)2 ]2 – 16 m2n2 A) mn B) m+n C) 0 D) 1 E) –1

M= A) 2ª D) 2b

5.

A) 64 D) –26

12. Efectuar: (x + y – 2z)2 – (x – y – 2z)2 A) –4xz – 4yz B) 4xy – 4xz D) 4xy – 8xz E) 4xy – 8yz

EJERCICIOS

Reducir:

C) 52

11. Si x + y = a, x.y = b, hallar: x3 + y3 A) a3 B) a3 + 3ab C) N.A. 2 D) a + 3ab E) a3 – 3ab

x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1

2.

1 1 = 4, calcular: x 3  x x3 B) 18 E) N.A.

10. Si: a + b = 4; ab = 3. hallar: W = a3 + b3 ; si a > b

(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b) (b+c)(a+c) (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b+c)(ab+bc+ac) - 3abc

1.

Si x +

B) 6 E) 26

C) -8

Si: a+b = 3 y ab = 1 Halla : a2-b2 A) 6 B) 3 5 C) 2 2 Dist. GREGORIO ABARRACIN L. Asoc. LAS VIÑAS MzA Lt 3

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D) 4 5 5.

Segundo paso:

E) 6 5

Reduce :  2

2





 x  2 x  3  x  4  x  5    x  7 x  11 K

 2 2  x  9 x  19    x  3  x  5  x  6  x  4   

A) 1 D) –1

B) 1/2 E) –1/2

C) 0 Q(X)=………………………….. R(X)=…………………………… OBSERVACIÓN: Si el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad, el cociente obtenido se deberá dividir entre este valor.

DIVISIÓN ALGEBRAICA: Operación que se realiza entre polinomios y consiste en hallar dos polinomios llamados cociente y residuo, conociendo otros dos polinomios denominados dividendo y divisor que se encuentran ligados por la relación: D(x) = d(x).Q(x) + R(x) Donde: D(x): Dividendo d(x) : Divisor Q(x): Cociente R(x): Residuo o Resto

3. TEOREMA DEL RESTO Se utiliza para obtener el resto de una división. Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la mayor potencia de la variable, para que sea reemplazado en el dividendo. OBSERVACIÓN: Después de realizar el reemplazo, debe comprobarse que el grado del polinomio obtenido sea menor que el grado del divisor. Ejemplo: Calcular el resto en:

GRADO DEL COCIENTE

3 x  2x  9

Q(x)° = D(x)° - d(x)° GRADO DEL RESIDUO R(x)° = d(x)° - 1 PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN 1.

x2

Solución: X–2=0

Reemplazando “x” en D(x) R(x) = (2)3 + 2(2) – 9 R(x) = 3 01.

MÉTODO DE HORNER:

Ejemplo: Efectuar la siguiente división: 4 3 2x  3x  4x  5 2 x x2

x=2

EJERCICIOS Calcular la suma de coeficientes del residuo de dividir:

4x 4 5x 3 2x 2 3x 1 x 2 2x 1 A) – 27 D) 19 02. Divide: x 5  5x 4  10x 3 x 3  3x 2

B) 29 E) 11

C) 21

 10x 2  5x  1  3x  1

Indica el cociente: A) x2-x-1 D) x2-2x-1

Q(X)=……………………………. R(X)=……………………………… 2.

Ejemplo: Efectuar la siguiente división: 4

3 2  5x  x  x  2 3x  1

Primer paso:

ACADEMIA “ALBERT EINSTEIN”

C) x2+1

03. Indica el cociente de: 2x 5  x 4  3x 6  3  2x x3  1  x

MÉTODO DE RUFFINI

3x

B) x2+2x+1 E) x2+2x-1

A) x3-3x-1 C) 3x3+2x2+4x-1 E) x3+2x+1

B) 3x2+4x-1 D) 3x2+2x-1

04. Indica el cociente de:

Cel.: 952 811944

Dist. GREGORIO ABARRACIN L. Asoc. LAS VIÑAS MzA Lt 3

50

A) 2x3-x2+x-1 C) 2x3+x2+3x-1 E) 2x3+x2+x-3

B) x3+x2+x-3 D) 2x3-x2+x-3

05. Halla el resto en : 2x10  3x 7  4x 6  5x 4  x 3  x  1 x3  1 A) 11x+1 B) 11x+3 C) 11x+6 D) 10x+5 E) 11x+2 06. Calcula el resto en:

2x12  x 8  x 7  3x 5  x  1 x2  1 A) 5 D) x+1 07.

B) 3 E) x – 3

13. Hallar el valor de “ANI” para que el polinomio: F(x) = x4– 5x3+ Ax2+ Nx+ I; al dividirse entre: K(x) = (x –1)3 deje un resto idénticamente nulo. A) 54 D) 145

1

08.

7

Cuando el polinomio: 8x4 – Ax3 + Bx2 + Cx + D

x 5  x 4 mx 3 1 x 3  x n A) 1 D) 5

C) 2

Si a y b son mayores que cero. Calcular E = a + m, sabiendo que el resto de la división:

3x 4 4x 3 ax 2 5x 2 es R = 8x –2. x 2  x m A) 13 D) 10

B) 3 E) 16

A) 1 D) – 2

B) - 1 E) 3

1.

c d e - 10 16

C) 22

B) – 3 E) 2

C) – 5

TAREA

Divide: 3

2

Indica el término lineal del cociente obtenido: A) 2x B) –7x C) x D) –2x E) –x 2.

4 x 3  2 x 12 x2

Divide :

Indica el residuo: A) 14 D) 6 Divide:

B) –16 E) 4

C) -8

x 4  ( p  3 ) x 2  q 3 x 2  x 1

Halla (p+q) si la división es exacta. A) 1 B) –2 D) –1 E) 8 4.

coeficientes del cociente.

ACADEMIA “ALBERT EINSTEIN”

5

f

C) 2

C) 2

2x 4  3 2x3 12x 2  3 2x  2 . Calcular la suma de 2x

B) 42

-4

1

2 x 5 x  6 x  3 x  21 x 1

3.

12. En la división:

A) 62

20 -7 b 4

A) – 4 D) 4

C) 5

11. Calcular (A + B) para que el polinomio Ax4 + Bx3 + 1 sea divisible por (x – 1)2

C) - 126

15. Hallar un polinomio P(x) de segundo grado divisible por (2x + 1); sabiendo además que su primer coeficiente es 4 y que al ser dividido por (x – 2) el resto es 5, reconocer el menor coeficiente de P(x).

4

B) 3 E) –1/3

3

Determine: P=a+b+c+d+e+f A) 20 B) 21 D) 23 E) 25

C) – 1

Se divide entre: 2x2 –x + 1; se obtiene un cociente cuyos coeficientes van disminuyendo de 1 en 1 a partir del primer término y un residuo igual a 5x + 1. Hallar: A + B + C + D. A) 24 B) 21 C) 15 D) 12 E) 16 09. Hallar “m + n” en la división exacta:

10.

a

p 3

C) x+2

3x 5 2x 4 3x 3 mx 2 nx  p A) 3 D) 0

B) – 65 E) – 24

14. En el siguiente esquema de Horner:

Calcular m + n + p; si la división deja como resto: 2x2 + x – 5.

3x 3 2x 2 1 B) 2 E) 10

E) - 62

D) – 1

6x 4  x 3  x 2  11x  2 3x  2

C) 32 Cel.: 952 811944

Divide :

9x 4  5x 2  15 x 3  10  18 x 3x  1

Indica el término cuadrático del cociente: A) –8x2 D) –4x2 5.

B) –12x2 E) x2

C) 4x2

Calcula el resto en:

Dist. GREGORIO ABARRACIN L. Asoc. LAS VIÑAS MzA Lt 3

51 y  2do. término del divisor. n  número de términos de q(x)

2x12  x8  x7  3x5  x  1 2

x 1

A) 5 D) x+1

B) 3 E) x – 3

C) x+2

NOTA:  ……………………………………………………… ……………………………………  ……………………………………………………… ………………………………….

EJERCICIOS Si la siguiente división:

01. CONCEPTO Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin necesidad de efectuar la operación de división. Condiciones que debe cumplir:

x m  ym x y

x 3n 1 y 5n  8 x 2 y 4

A) 5 D) 6 02.

x

Donde x; y bases iguales m  Z+; m  2

x y

CASOII: (para n=impar)

x n  yn =………………………………………… x y CASOIII: (para n=par)

x n  yn =……………………………………… x y CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN C.N.

x m  yn x p  yq

B) 4 E) N.A.

se debe cumplir:

y x y

es un C.N. B) 30 E) 20

C) 40

Encontrar la relación que deben cumplir m, n, p y q m n para que x a es un C.N. x p a q

A) mn = pq D) m/q = n/p

B) mq = np E) N.A.

C) mp = nq

04. ¿Cuál es el cociente que dio origen al desarrollo?. x8 + x6 + x4 + x2 + 1 10 A) x 1 x 2 1

8 B) x 1 x 1

10 C) x 1 x 2 1

10 D) x 1 E) N.A. x 2 1 05. ¿Cuál es el cociente que dio origen al desarrollo?.

x80 + x78 + x70 + ..... + x4 + x2 + 1

m n   r ; r  Z+ p q

Donde r  ……………………………………………… FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N. Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad de conocer los demás. De la división:

x n  yn x y

80 A) x 1 x 2 1

40 B) x 1 x 1

82 D) x 1 x 2 1

E) N.A.

80 C) x 1 x 1

06. Calcular el número de términos del C.N.

x 4n12  y 4n3 x n 8  y n 9

Tenemos: . tk  signo  x

03.

C) 2

Hallar el valor de “m” si la expresión: 4m 80

A) 10 D) 11

DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES CASO I: (para n=par o impar) x n  yn =………………………………………

De:

es un C.N., determinar el valor de “n”.

n k

y

k 1

.

B) 12 E) 15

C) 13

07. Calcular el t11 en el C.N.

Donde: tk  término del lugar k x  1er. término del divisor. ACADEMIA “ALBERT EINSTEIN”

A) 10 D) 14

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52

x m  y507

A) 20 D) 10

x3  ym A) x6 y390 D) x9 y280

B) x8 y380 E) N.A.

C) x4 y280

 x  2

1

x 3

A) 2 D) – 2

B) 1 E) N.A.

C) –1

Para qué valor de “n” la división: (xn+1 - y3n-4)  (x – y2) Origina un C.N. Rpta…………..

2.

Cuántos términos posee el cociente notable originado por: 2  a 8   ya 91   (x2 + y) x  

09. Calcular el término idéntico de:

x 48  y 36 4

x y A) x y D) x20 y2

3

;y;

40

x56  y14 x4  y B) x40 y2 E) N.A.

Rpta…………..

C) x40 y3 3.

10. Simplificar: 14 12 10  x 2 1 y  x  x 6  x 4 ...... 2

Hallar el grado absoluto del décimo primer término en el cociente notable que se obtiene al dividir. x 3n  2  y 5n 1

x 2  y n 5

x  x  x 1

A) x8 + 1 D) x6 – 1

B) x8 – 1 E) x10 + 1

A) 25 D) 60

C) x6 + 1 4.

11. Simplificar: 78

76

74

x

x

A) x 40 D) x 20 + 1 12.

13.

Calcular: A) 0, 8

14.

C) 40

En el cociente notable generado por la división:

x 20m 35  y 20m 57 , x m 1  y m  3

C) x 20 – 1

para x = - 1

determinar el, valor de “m” e indicar el número términos. A) 2 ; 22 B) 4 ; 23 C) 6 ; 24 D) 8 ; 25 E) 10 ; 26 5.

B) 32 E) 256

C) 64

B) 0, 1

C) 0,9

D)1

de

Hallar el número de términos del siguiente cociente notable. ....... + x195 a140 – x190 a147 + ... A) 50 D) 80

99 98  97 ... 92  9 1 99  98  97 ..... 92  9 1

B) 60 E) 40

C) 70

E) 9

q

x  8 es una división notable exacta, calcular x 2 el valor numérico de: Si:

M

q 39  q 38  q 37 ........q 2  q 1 q 35  q 30  q 25 ..... q10  q 5 1

A) 58 D) 61 15.

........ x 1 B) x 40 E) N.A.

Hallar el valor numérico del término de lugar 29 del cociente:

( x  3) 36  x 36 2x 3 A) 16 D) 128

B) 30 E) 66

2

B  x38  x36  x34 ........ x 2 1 x

C) 50

TAREA 1.

08. Hallar el término independiente al efectuar: 10

B) 40 E) N.A.

B) 59 E) 62

C) 60

Multiplicación P(x) = x2 + 3x + 2  (x + 1) (x + 2)

Hallar “K” si el décimo término del desarrollo:

x 3k  y15k

Factorización FACTOR PRIMO Un polinomio “F” será primo de otro polinomio “P” si “F” es factor algebraico de “P” y primo a la vez.

x  y5 tiene G.A. = 185 ACADEMIA “ALBERT EINSTEIN”

FACTORIZACIÓN Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias.

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53

Nota ………………………………………………………………… ………………………………………………… Ejemplos:  P(x) = (x + 2)3 (x + 1)2 (x + 5)6 Son factores primos de P(x):  P(x) = (x) (x + 2)6 (x – 1)2 Son factores primos de P(x). CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS 1. Factor Común Consiste en buscar factores comunes a todos los términos de un polinomio para luego extraerlos a su menor exponente. Ejemplos: 1. Factorizar: P(x,y) = 2x2y + 3xy2 + xy

2.

Factorizar: A(x,y) = (x + 2) y + (x + 2) x + (x + 2)

AGRUPACIÓN Consiste en agrupar términos convenientemente tratando que aparezca algún factor común.

Ejemplo: Sea P(x) = (x + 2)3 (x + 4) Números factores primos = Números factores algebraicos =

4. ASPA DOBLE: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F Ejemplos:

………………………………………………………………… ………………………………………………… * 20x2 + 22xy + 6y2 – 33x – 17y + 7

Ejemplos: 1. Factorizar: x2 + x + xy + y – xz – z

3.

Factorizar: (x + y)2 – 2 (x + y) + 1

TEOREMA Sean f(x) y g(x) polinomios primos y primos entre sí, tal que: n p P(x) = f . g(x ) (x ) I) Números factores primos = 2 II) Números factores algebraicos = (n + 1)(p + 1)–1

I. II.

2.

2.

3.

….

…

…

….

…

…

………………………………………………………………… …………………………………………………

Factorizar: x2 + ax + x + xy + ay + y

5. ASPA DOBLE ESPECIAL Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax4 + Bx3 + Cx2 Dx + E. 1. Ejemplos: Factorizar

ASPA SIMPLE Forma general de polinomio a factorizar: m, n  N P(x,y) = Ax2n + Bxn ym + Cy2m …………………………………………………………… …………………………………………………

P(x) = Ax2n + Bxn + C Ejemplos: 1. Factorizar: 2x2 + 7xy + 6y2

6.

2.

1.

Factorizar: (x + y)2 – 2 (x + y) + 1

ACADEMIA “ALBERT EINSTEIN”

Cel.: 952 811944

Método De Los Divisores Binómicos. Con éste método se busca uno o más factores binomios primos Consideraciones: Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x).

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54

P x  x  x0

2.

Los demás factores se encuentran al efectuar:

3.

Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:

Posi bles ceros

 x0

Ejemplo: Factorizar:

9.

Di vi sores T. i ndep. de P x  Di vi sores Coef. Pr i nci pal de P x  3

Factorizar: 23xy + 17(x + y) + 6(2x2 + 1)+5y2 Dar la suma de coeficientes de un factor primo A) 6

B) 7

C) 8

10. Indicar un factor de: 4x(x + 2) - 6y (y - 1) – 5xy A)2x + 3x – 2 C) x – 2y + 2 E) 4x + 3y + 2

2

P(x) = x + 6x + 11x – 6

D) 9

E) 5

B) x – 3y + 2 D)4x – 2y +– 1

11. Determinar el número de factores primos del M.C.M. de los polinomios: P(x) = x5 – x3 + x2 – 1 Q(x) = x6 – 1 EJERCICIOS 1.

Un factor primo de : m3 – mn2 + m2n – n3 + m2 – n2 A) m + n + 2 B) m+1 D) m+n E) m-n+1

2.

C) n-1

Rpta…………..

Factoriza r : mn+p + mnnp + nm mp+ nm+p y da un factor primo : A) mn + pn B) mn + np D) mp + nm E) mp + np

3.

Factorizar:

4.

Factorizar: 2

A) (x-2y) D) (x+2y)2 5.

8.

13. Hallar la suma de los coeficientes del M.C.D, de los polinomios: P(x) = x3 + x2 + x + 1 Q(x) = x3 + 3x2 + 5x + 3 Rpta………….. 14. Si los polinomios P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n R(x) = 2mx3 + 2nx2 + px – q admiten como M.C.D. a: 2x2 + 2x + 1. Hallar un divisor de R(x)

B) (x2 + 1)(x + 1) D) (1 + x)(1-x2)

x2 – 4xy + 4y2

Rpta…………..

B) (x+y)(x-y) E) N.A.

2

C) x +y

15. Sea

Cuántos factores primos tiene la expresión : xy6 – 5x2y5 – 4x3y4 + 20x4y3

<

A) 10 D) 5

B) 2 E) 4

Indicar el factor primo que tiene el mayor término independiente: 6x2 – 7xy – 3y2 + 14x – 10y + 8 A) 2x + y + 4 B) 3x + y + 4 C) 2x – 3y + 4 D) 3x – y – 4 E) 2x – 3y + 8

ACADEMIA “ALBERT EINSTEIN”

1.

Cel.: 952 811944

TAREA Un factor primo de : m3 – mn2 + m2n – n3 + m2 – n2 A) m + n + 2 B) m+1 D) m+n E) m-n+1

C) 3

Halla la suma de coeficientes de los F.P. de : (x2 + 7x - 3)2 - 2(x2 + 7x) – 29 A) 10 B) -10 C) 7 D) -7 E) 8

P(x; y)  a 2  b2  x2  y2  2(ax  by)

señale la suma de los términos independientes de sus factores irreductibles. A) a B) b C) 2a D) 2b E) a+b

Halla la suma de los coeficientes de uno de los F.P. de 4(2x +1) (x +1) (2x+3) (x+ 2) - 3 A) 15 B) 17 C) -3 D) 5 E) -2

6.

7.

C) mp + nm

x3 + x2 + x + 1

A) (x2 + 1)(x - 1) C) (x2 + 1)(1 - x) E) N.A.

Rpta………….. 12. Determinar el grado del M.C.M. de los polinomios: A(x) = x2 – 15x + 36 B(x) = x2 – 9 C(x) = x3 + 6x2 + 63x + 108

2.

Cuántos factores primos tiene la expresión : xy6 – 5x2y5 – 4x3y4 + 20x4y3 A) 10 B) 2 D) 5 E) 4

3.

C) n-1

C) 3

Cuántos factores primos tiene : L = 8x6 + 7x3 - 1 A) 2 B) 4 D) 6 E) 3

C) 5

Dist. GREGORIO ABARRACIN L. Asoc. LAS VIÑAS MzA Lt 3

55

4.

5.

A) 3125 D) 5

Cuántos factores primos hay en : x6 - y6 A) 3 B) 4 D) 6 E) 7

C) 5

9.

Cuántos F.P. tiene :

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

2/ x

1  3

Hallar x si 

x x E=  x   A) x D) 1/x

 81

A) –2 D) –3 2.

B) –1/2 E) N.A.

A) 1 D) 4 3.

B) 3 E) N.A.

Hallar el valor de x si

3

A) 1 D) 7/4 4.

C) –1

(43 x )2 x  1 . Una de las raíces es:

Resolver:

ax

2

C) 5

.

4

a x 1 

B) –1 E) N.A.

3

a

C) 4/7

 ba

b 1

B) 60 E) 50

C) 32

xx x

xx

xx

x

    B) –x E) xx

x x

C) x2

11. Calcular la sumatoria de los coeficientes del desarrollo del siguiente polinomio: P(x–1) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m – x2 + 4 ; m  Z Sabiendo que es cuádruplo de su término independiente. A) 512 B) 256 C) 128 D) 32 E) ½ 12. Dado el polinomio ordenado y completo: b a a 5 cxb a a  axa 2a  bx 2a 26  3xc 1  Hallar el término independiente. A) 13 B) 12 D) 14 E) 11

Sabiendo que: A = x n 1.x n 1.x n 1.

a 1

K  ab

10. Siendo x  0 simplificar la siguiente expresión:

PRÁCTICA Nª 1 1.

C) 25

Si sabemos que: a b  2 ; ba  5 Hallar: A) 57 D) 55

(a2 - b2) (x2 + 1) + 2(a2 - b2)x

B) 625 E) N.A.

x n 1

C) 10

(n  2) factores

B= x

n 2

.x n  2.x n  2.

xn 2

(n 1) factores

5.

Hallar A / B A) – 1/2 D) 1 Simplificar: a

bc

E= A) aa D) aa+1 6.

b

B) – 1 E) 2

ab ab .a 2ab .aa

.a a

n

n

x

n

x2

bc

C) aa–1

xm

x3

xm

A) 0 D) 3

n

2

.Simplificar:

K

C) 2

3

6

15

3

2

17. Si: a = 3 2 + 5; b = 2 – 5 2 ; c = 2 2 – 7

5

–1

A) 3 D) 3

16. Si: a2 + b2 + c2 = 49. Calcular: C = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 – (a + b + c)2 A) 5 B) 6 C) 7 D) 36 E) 49

 9  .  3 .  9   3  .  27  5

B) 3 E) N.A.

C) 3

–3

5

4a 2 (2b )2   Hallar:M = bc ac A) 4

Simplificar:

K  55

Donde: n  0  b > 0 ; es completo y ordenado, además tiene 4aa; términos. A) 2 B) 3 C) 4 D) 16 E) 5 15. En el polinomio: P(x + 1) = (2x + 1)n + (x + 2)n – 128(2x + 3), donde “n” es impar, la suma de coeficientes y el T.I. suman 1 ; luego el valor de “n” es: A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) N.A.

. xm

B) 1 E) 4

14. Calcular: b ab a b si el polinomio: 2a a 2 P(x)  5  xa 15  3x(a 1) 7  5x2a 1  .....  nx b 1

Simplificar: mn 1

8.

bc 1

B) a–1 E) –a

E=

7.

C) ½

13. Si el polinomio es idénticamente nulo, hallar “m.n” P(x,y) = (m+n)xy2 + 2x2y – 18xy2 + (n–m)x2y A) 70 B) 79 C) 81 D) 90 E) 80

1

C) 7

2c



4

ab D) 12

E) 1

18. Si: a–1 + b–1 = 4(a + b) –1

5.5 5.5 5.5 5.5 5 . 252

ACADEMIA “ALBERT EINSTEIN”

B) 3



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 abc

56

calcular:

a b

E=

A) 1

b a



B) 2

2a  b a  2b



C) 3

D) 4

Determinar “x”

E) N.A

8.

<

B) –8

C) –16

D) 16

E) N.A.

20. Si: (a + b + c + d)2 = 4 (a + b) (c + d) calcular: A) 0

B) 1

C) –1

D) 3

9. E) –3

7

3

7

C)

2

2

D)

E)

3

Simplificar:  44

A)2

a b a c d a   c d d b b c

M=

B)

x  x 33  ...  x11  1     x 4  x 3  ...  x  1    M   x 50  x 45  ...  x 5  1     x10  x 9  x 8  ...  x  1   

19. Si: A + B = 8 ; A.B = 2 Hallar: A6 + B6 A) 8

7

A)

B)3

C)1

D)4

E)5

Calcular el resto de:

x pa  x pb 1  x pc  2  ..........  x pk  p 1 x p 1  x p  2  x p  3  ............  x  1 A) 1 D) 0

PRÁCTICA Nª 2 1.

2.

3.

Al efectuar: (9x9 + x2 + x + 1)  (x2 – x + 1), se obtiene un residuo: x + 9. determinar la suma de coeficientes de cociente. A)1 B)2 C) 3 D)4 E)5 Al dividir P(x)  (2x + 3) se obtiene como resto 7, un cociente cuya suma de coeficientes es 2. Hallar el resto de dividir P(x) entre (x – 1). A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E)19 En el esquema de Ruffini: 1

a a

b 2 8

c c d

e d f

10. Si

C) x p  2  1

B) X+1 E) NO SE

P(x; y)  a2x2  2abx  b2 y2  b2 indique

la suma de sus factores primos. A) 2by B) 2ax+b D) 2(bx+a) E) ax+b 11. Si

F(x)  x2  2x  1

C) 2(ax+b)

es factor del polinomio

P(x)  4x4  9x3  bx3  3x  a, halle “ab” A) 0

B) 1

C) 2

2

2

D) 3

2

2  2ad  2bc

b c a d 12. Factorizar: dando uno de los factores A) b–c–a+d B) b–c-a D) b+c–a –d E) b+c+a+d

h n q g m p 7 10 r

E) 4

C) b+c-a

Calcular: E = (e + h + q – r) a + b + c + d + m + n + p A) – 12 B) 2 C) – 2 D) 12 E) 13 4.

Si la división: (a  b)x3 (b c)x 2 (b  c)x  a  b x2  n2

b2 a  c2 C) 1/2

es exacta, calcular: A) 1 5.

2

B) 2

D) 3/2

Hallar: “m + n” si el t(25) del desarrollo de:

x129m  a 86n es x270 a288 x 3m  a 2n A) 10 B) 11 C) 12 6.

D) 13

E) N.A.

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES “ALBERT EINSTEIN”

Simplificar: 2 n B  1  x2  x 3  ....  xn 1 

b

b

b

b

A) (a – x) – 2 D) a/x

Si al efectuar:

x n 1 b b  x  n 1

B) (a – x) – 1 E) (a – x)2 4

7.

E) 4/3

4

x 4  x 4 x  x 1

C) ax

se encontró que:

T(100) . T(200) . T(250)= 2-47 ACADEMIA “ALBERT EINSTEIN”

Cel.: 952 811944

Dist. GREGORIO ABARRACIN L. Asoc. LAS VIÑAS MzA Lt 3