Algebra (I Dio) Prsteni i Moduli Linearna Algebra v Peric 420 Str II Izdanje 1987

Dr Veselin redovni profesor

PERIĆ,

Prirodno-matematičkog

fakulteta

ll.

Sarajevu

ALGEBRA I DIO

PRSTENI I MODULI LINEARNA ALGEBRA Drugo izdanje

..SVJETLOST", OOUR Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Sarajevo, 1987.

Odgovorni urednik

Ramiz

D~ananOf}jć

Recenzenti dr Đordi Cupona. profesor Matematičkog fakulteta u Skoplju; dr Mirko Mihaljinec. profesor Prirodoslovno-matematič­ kog fakulteta u Zagrebu; dr Slavila Prelić. profesor Prirodno-matematičkog fakulteta u Beogradu Lektor

IMuharem

Borić

I

Naslovna strana

Ivica (5avar Tehnički

urednik

Vladimira

Dizdarević

Korekturu izvršio autor Tiraž: 1000 primjeraka Izdaje .. Svjetlost". OOUR Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Sarajevo Ova knjiga je štampana uz finansijsku SIZ-a nauke BiH. Za

pomoć

izdavača

Abduselam

RustempaIić

Štampa "MINERVA" Izdavačko-štamparska radna organizacija OOUR Štamparska delatnost. Subotica Za štampariju

Stjepan

Vukelić.

graf. inž.

CIP - Katalogizacija u publikaciji Narodna i univerzitetska biblioteka BiH. Sarajevo 512(075.8) PERle. Veselin Algebra! Veselin Perić. 2. izd. Sarajevo : Svjetlost, 1987. - 2. knj. ; 24 cm ISBN 86-01-00930-1 Dio 1 : Prsteni i moduli ; Linearna algebra. 420 str. Bibliografija: str. 407. - Registar.

ISBN 86-01-00930-1

P R E D G O V O R

Z A

P R V OI Z D A N l E

Ova knjiga, čiji prvi dio izlazi, a drugi dio, poS'Većen Teoriji Galois, je u pripremi i trebalo bi očekivati da se i on pojavi do sredine iduće godine) nastala je iz predavanja kojfJ sam više godina držao (Algebra 1 i Algebra 1/) ik,oja još držim (Algebra ll) za stu4ente matematike Prirodno-matematičkog fakulteta u Sarajevu. Djelimičnim proširivanjem tih predavanja nastojao sam 4a u ovoj knjizi izložim uglavnom cjelokupnu materiju koja se u okviru dvaju jednogodišnjih kurseva predaje za studente matematike i na drugim univerziteuma kod nas. Ovaj prvi dio knjige trebalo bi da obuhvati već uveliko ustaljeni materijal koji ulazi u okvir Linearne algebre i kojim se obično počinje kurs Algebre na univerzitetima i to već u prvoj ili, najkasnije, u drugoj godini studija. Na nekim se univerzitetima Linearna algebra predaje skupa sa Geometrijom, iz koje je nastala iu kojoj nalazi brojne primjene. Tada ona dolazi na sam početak studija· matematike. Ima mnogo ra'Zloga za ovakvo ujedinjavanje osnovnog kursa Geometrije i Linearne algebre. Tako se na prirodan način stiču motivi koji olakšavaju shvatanje pojmova i metoda Linearne·algebre, a s druge strane, primjenom aparata Linearne algebre ekonomičnije i elegantnije rješavaju problemi Geometrije. Iako se tada predvidi nešto vile prostora za ovakav jednogodilnji kurs, .obično ova simbioza Geometrije i Linearne algebre ispadne na štetu obima, a i nivoa izloženog materijala iz Linearne algebre. To je glavni razlog što se često drže odvojeno osnovni kurs Geometrije i kurs Linearne algebre. Tada nešto elementarniji kurs Geometrije obično prethodi kursu Linearne algebre, koji tako dođe tek u drugoj godini studija. Naravno se f, tada u kursu Geometrije razvijaju i koriste elementarne metode Linearne algebre, ali se opšti pristup odgađa za godinu dana,kada se može očekivati veća zrelost studenta i naviknutost na apstraktnije razmišljanje. Time, dakako, ne otpada potreba za ukazivanjem na geometrijske, i druge motive prilikom uvođenja opštih pojmova i razmatranja, problema Linearne algebre. Ima tendencija, koje djeluju pomalo ekstremno, da se uloge Geomem'je i Linearne algebre potpuno zamijene: da kao primarna dode Linearna algebra, a da se Geometrija izgrađuje na temelju Linearne algebre. U tom pogledu tipična je knjiga l. Diedonea .Linearna algebra i elementarna geometrija. Na Prirodno-matematičkom fakultetu u Sarajevu Linearna algebra predaje se u obliku zasebnog kursa u drugoj godini studija. Zato je razumljivo što sam' tt izlaganju Linearne algebre polazio od pretpostavke da je čitalac ove knjige prethodno upoznat sa osnovnim kursom geometrije. Ta pretpostavka ne bi trebalo da predstavlja veliku obavezu za čitaoca kome ova knjiga dolazi u ruke

3

na samom početku studiJa, jer se gotovo ne može desiti da mu osnovne činjenice iz geometriJe u toJ m/eri nisu poznate da ne bi mogao prihvatiti primjere iz geometrzje kojima se ilustruJu po/movi i problemi Linearne algebre. Ti prim/eri su zapravo Jedini oblik oslanJanJa na prethodna znanJa iz geometrije. Uostalom, za takvog čitaoca, a možda i inače, možemo preporučiti knJigu S. Kurepe Uvod u linearnu algebru, koJa vrlo uspjelo na geometriJskim izvorima izgrađuje osnovne pojmove i ilustruJe osnovne probleme i metode Linearne algebre. Iz sadržaJa se uočava da su u okviru ovog dijela knjige Algebra nafli svoJe m/esto standardni sadržaJi Linearne algebre. N/ima je posvećeno direktno osam od ukupno deset glava, sve osim prve i devete glave. Prva glava je uvodnog karaktera i predstavlja pripremu ne samo za ovai prvi nego i za drugi dio knjig8. U devetoJ glavi razmatraJu se moduli nad prstenima glavnih ideala i direktna razlaganja ovih modula na cikličke podmodule. To Je sadržaj koji strogo uzev ne ulazi direktno u Linearnu algebru, koja se ograničava samo na vektorske prostore. Međutim, iz problema Linearne algebre (pitanje Zordanove-Jordan-kanonske forme matrica) proističe prirodna potreba za razmatranjem modula nad speci/alnim prstenom glavnih ideala, koje bi za ove potrebe, doduše, moglo biti nešto kraće nego što Je to učinjeno u devetoj glavi. Slična potreba javlja se u vezi sa proučavanjem Abelovih grupa, a i inače. Zato Je prirodno da sadržaJ devete glave nađe m/esto u okviru osnovnih kurseva Algebre. On je ovdje primijenjen na konačno generisane Abelove grupe, a u posljednjoj glavi na pitanja vezana za kanonsku lordanovu formu matrica. Citalac kojega ne zanimaju ova pitanja može se ograničiti na prvih osam glava. Ukoliko su mu poznate osnovne činjenice o nulama polinoma, takav čitalac ne mora prethodno čitati posljednji paragraf prve glave, Jer je on, što se prvog dijela knjige tiče, neophodan samo za devetu glavu. Ima čitalaca čiji će se interes ograničiti samo na vektorske prostore nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva. Ako ga ne zanima kanonska lordanova forma matrice, takav čitalac ne mora čitati ni treći paragraf prve glave. Ukoliko mu je poznat pojam grupe, on bi zapravo čitanje mogao započeti odmah sa drugom glavom. Pri tome bi trebalo da svuda polje K uzima kao polje realnih ili polje kompleksnih brojeva, a da u tekstu prelazi preko pitanJa koja se tiču modula, ako su posebno razmatrana za vektorske prostore, odnosno da i tamo pod prstenom R podrazumijeva polje realnih ili kompleksnih brojeva, ako su bile u pitanju stvari koje su iste u (slobodnim) modulima kao i u vektorskim prostorima, pa nije bilo potrebe da se o njima govori dva puta. Za potrebe ovog dijela knjige mogu i ostali čitaoci prvu glavu čitati uz određene uftede truda. T ako se kod prvog čitanja u svakom slučaju može preći preko svih zadataka iz prve glave, koji su brojni i služe proširivanju kruga činjenica, ali se, osim nekih činjenica o permutacijama, koje su neophodne za opštu definiciju determinante matrice, ne koriste u prvom dijelu knjige. Osim toga, osnovni tekst prva dva paragrafa prve glave je dosta elementaran i vjerovatno je poznat većini čitalaca. Ti čitaoci mogli bi također PQčeti odmah sa drugom glavom, s tim što bi se na treći i četvrti paragraf prve glave vratili kasnije, ali svakako prije čitanja devete glave. Kako je već spomenuto, ima mnogo stvari koie se, ponekad uz dodatne pretpostavke koje su u slučaJu vektorskih prostora automatski ispunjene, odnose ne samo na vektorske prostore, nego i na sve unitarne module nad komutativnim prstenima. Kad je god to bilo moguće uraditi na jednostavan način, odlučivali smo se za opšte formulacije koje se tiču unitarnih modula, uz komentar o tome šta se iz tih formulaciJa dobiJa u slučaju vektorskih prostora. S druge strane,

uz mnoge činjenice konstatovane za vektorske prostore, kad one ne vrijede ni uz jednostavnu modifikaciju za sve unitarne module, ukazivali smo na činjenicu da, a ponekad i na razloge zašto slično ne vrijedi i za sve unitarne module. Ima pitanja specifičnih za vektorske prostore, čak za samo realne ili kompleksne vektorske prostore, gdje se naporedno promatranje unitarnih modula i vektorskih prostora nije moglo niti trebalo vršiu'. Takvim pitanjima posvećen je pretežan dio četvrte i pete glave, zatim čitava sedma i osma glava. Međutim, čak i determinante su uvedene kao određene multilinearne funkcije definisane na slobodnom modulu, a ne samo na vektorskom prostoru. Da bi im se što realnije ocijenila uloga, to je učinjeno tek pošto su svi problemi na koje se determinante ovdje primjenjuju prethodno riješeni drugim metodama, uglavnom baziranim na elementarnim transformacijama matrica nad poljem. I neki drugi problemi rješrtvani su na više načina. Tako je, na primjer, teorema o rangu vrsta i kolona matrice nad poljem dokazana najprije pomoću elementarnih transformacija matrica, a zatim pomoću adjungovanih transformacija. / Nastojali smo da !'zlaganje olakšavamo adekvatnim ilustracijama i primjerima, pa je u čitavom tekstu sadržan veliki broj primjera kojima se ilustruju pojmovi, odnosno određene metode. Među njima ima i numeričkih, većinom do kraje urađenih primjera. Gotovo uz svaki paragraf dato je po nekoliko zadataka sa uputstvima, koja najčešće predstavljaju kompletnu skicu rješenja. Ovim je obim prvog dijela knjige možda proširen više nego što bi inače obuhaćeni materijal zahtijevao. Nadamo se da će to proširenje biti opravdano olakšanjem u savladavanju osnovnog sadžraja i sagledavanju njegovih primjena koje će time biti; postignuto. Napomenimo na kraju da se numerički primjeri odnose na elementarne metode i da u okviru ove knjige m'su mogla naći mjesto pitanja stvarnih numeričkih metoda Linearne algebre. Isto tako nije moglo biti riječi o Linearnom progra:' miranju, koje se, doduše, koristi metodama Linearne algebre, ali ima svoje specifične probleme i metode: ono se u Sarajevu predaje u obliku zasebnog kursa, a slično je i na drugim univerzitetima. Koristim priliku da se zahvalim svima koji su na bilo koji način doprinijeli da se ova knjiga pojavi i da njen tehnički izgled, a i sam sadržaj što više odgovore njenoj namjeni. Posebno se zahvaljujem recenzentima na korisnim primjedbama, koje su doprinijele poboljšanju teksta, i urednicima za matematiku izdavačke kuće "Svjetlost" na inicijativi za ovaj poduhvat i dobronamjernom požurivanju i podršci u njegovom ostvarenju. U Sarajevu, maja 1979. A u t o r

5

PREDGOVOR

ZA

DRUGO

IZDANJE

U drugom izdanju izvršene su ispravke primijećenih štamparskih grešaka i nekih omaški autora. Pored ostalog, promijenjen je zadatak 11,1.2, formulacija i dokaz teoreme II,3.5 i dokaz teoreme IV,2.2, te priprema i formulacija teoreme VIII,3.1. Takoder su izvršene neke dopune Indeksa, u kome su omaškom u prvom izdanju izostali neki termini (vezani za prsten). Prošireni su neki primjeri (I,l.2.d; 1,2.1. i II,I.I.c) i dodani neki novi zadaci (1,1.10; /,1.11; 1,2.14; 1,2.15; 1,2.16; III,3.9; IV,4.12; IV,4.13; X,4.3; X,4.4; X,4.5, X,4.6 i X,4.7). Značajnzje izmjene izvršene su u prvom paragrafu prve glave. Tamo su neke važnije činjenice vezane za djelovanje grupe na skupu, za periodične grupe ; za Silovljeve p-podgrupe obradene sada u osnovnom tekstu knjige, umjesto u obliku zadataka kao u prvom izdanju. N a taj način se u spomenutom paragrafu sada pojavljuju tri -.ova podnaslova. U vezi s tim izostavljeni su neki zadaci (1,1.5; 1,1.6; 1,1.9; 1,1.10; /,1.11 i 1,1.15) prvog izdanja. Na omašku u formulaciji zadatka II,1.2 upozorili su me prof. dr Kalmi Finci, doc. dr Branko Ćurguz i asistent mr Milan Janjić, koji je i predložio da u tom zadatku uslovom (*) zamijenim prvobitni uslov (**); ja sam tome dodao napomenu da su ta dva uslova ekvivalentna ukoliko prsten R posjeduje element (! za koji su elementi e i l-e invertibilni (što je sigurno slučaj kad je element 2 . 1 prstena R invertibilan, kako je to primijetio i K. Finci). Na propust u dokazu teoreme II,3.5 upozorio me je docent dr Aleksandar Krapež. Pošto sam se uvjerio da se jedna tu bez dokaza izrečena tvrdnja ne može dokazati, morao sam da izmIjenim ne samo dokaz nego donekle i formulaciju ove teoreme. Na omašku u formulaciji teoreme VlII,3.1 skrenuo mi je pažnju prof. dr Svetozar Kurepa. Zato sam u pripremi i samoj formulaciji ove teoreme morao da izvršim odredene ispravke, ispuštajući ponovo detaljan dokaz. Osim toga, teoremu sam popratio napomenom da se samo u kompleksnom slučaju mogu zadržati uslovi (3.4) i (3.5) prvobitne formulacije. Ostale spomenute i druge omaške, ne uključujući tu i brojne štamparske greške, u čijem su mi otkrivanju pomogli moji bivši i sadašnji studenti, sam sam uočio. Na pojavu prvog izdanja knjige vrlo ljubazno su reagovali mnogi naši matematičari, pišući mi ili izražavajući u direktnom susretu svoje utiske o knjizi. Medu njima želim posebno da istaknem prof. dr Olgu Hadžić, prof. dr Svetozara Kurepu i prof. dr Sibu Mardešića. Prikazi prvog izdanja knjige, koje su napisali prof. dr Mirko Mihaljinec (u Glasniku matematičkom) i dr Milan Hladnik (u Obzoniku za matematiko in fiziko) doprinijeli su da o njoj više sazna jugoslovenska matematička javnost. Ugodna mi je dužnost da ovom prilikom svim spomenutim osobama izrazim svoju osobitu zahvalnost. Posebnu zahvalnost upućujem izdavaču "Svjetlost" Sarajevo, naročito drugovima Savi Zirojeviću iRamizu Džananoviću, za pojavu i dobru opremu i ovog drugog izdanja. U Sarajevu, decembra 1986. Autor

6

1. GRUPA. PRSTEN. TIJELO, POLJE 1. GRUPOID, POLUGRUPA, GRUPA Grupoid i polugrupa U ~kupu N prirodnih brojeva definisane su operacije sabiranje i množenje. Sabiranjem. odnosno množenjem svakom uređenom paru (x, y) iz N X N pridružujemo element x + y, odnosno x· y iz N. Operacije sabiranje i mno·· ženje prirodnih brojeva su, dakle, određena preslikavanja N X N ~N>

Ima mnogo

sličnih

N X N ~N.

primjera koji opravdavaju ovu opštu definiciju.

Definicija 1.1. Neka je zadan neprazan skup X. Preslikavanje ,; ....

XXX~X koje svakom uređenom paru (x, y) iz X X X pridružuje određen element x * ~ iz X zove se unutrašnja binarna kompoziciJa ili operacija u X. Ako je u n~praznom skupu X zadana operacija * onda se kaže da ta operacija na skupu X određuje strukturu grupoida. Skup X sa operacijom *, tj. uređen par (X, *) zove se tada grupoid. Bin~rnu kompoziciju označavaćemo najčešće aditivno (znakom +) ili multiplikativno (znakom .). Tada ćemo govoriti o aditivnom, odnosno o multiplik~tivnom grupoidu. U multiplikativnom grupoidu obično se izostavljazna~ . za kompoziciju, pa se umjesto x· y piše jednostavno xy. SabIranje i množenje prirodnih brojeva su asocijativne i komutativne operacije. Uopšte kažemo:

DeJi;nicija!l,l.2. Operacija koinutativna, ako vrijedi

*

zadana u skupu X je asocijativna, odnosno

(x*y)*z=x*(y*z),

(1.1)

odnosno x *y = y

(1.2)

za svako x, y

*x

z iz X. 7

Ukoliko je operacija * u grupoidu eX, *) asocijativna, odnosno komutativna, onda se kaže da je taj grupoid asocijativan, odnosno komutativan ili Abelov. Asocijativan grupoid zove se još i polugrupa. U multiplikativnom grupoidu N prirodnih brojeva broj 1 ponaša se neutralno, tj. za svako x iz N vrijedi 1 . x = x· 1 = x. To je neutralni element grupoida (N, .). Aditivni grupoid (N, +) prirodnih brojeva nema, međutim, neutralnog elementa (ako broj O ne računamo u prirodne brojeve), ali zato aditivni grupoid (Z, +) cijelih brojeva ima neutralni element o. Prisustvo neutralnog elementa u nekom grupoidu je interesantno, pa ćemo precizirati ovaj dogovor:

Definicija 1.3. Neka je (X, *) grupoid. Element e', odnosno e" tog grupoida zove se lijevi, odnosno desni neutralni element grupoida, ako za svako x iz X vrijedi (1.3)

e'

*x

=

x, odnosno x

* e"

=

x.

U slučaju da grupoid ima i lijevi i desni neutralni element, onda su ta dva elementa obavezno jednaka i. jedinstvena. Tada se kaže da· grupoid ima neutralni element. Ako uopšte postoji, neutralni element e grupoida eX, *) je, dakle, jedinstven i za njega vrijedi (1.4)

za svako x iz X. U aditivnom grupoidu neutralni element se obično zove nulaelement i označava se sa O iIi sa Ox, ako se želi istaknuti daje riječ o nulaelementu grupoida X. Umjesto (1.4) tada imamo (lA')

O+x=x+O=x

za svako x iz X. U multiplikativnom grupoidu X neutralni element zove se obično jedinični element i za njega se, pored oznake e, često koristi oznaka 1. Za jedinični element vrijedi, dakle, (1.4")

e.x

=

x.e

= x,

odnosno 1 . x

= x.1= x

za svako x iz X. Primjer 1.1. a) Spomenuli smo grupoide (N, +), (N, .) i (Z, +). Grupoidi su i (Z, .), (Q., +), (Q, .), (R, +), CR, .), (C, +) i (C, .). Pri tome je Q, odnosno R,oqnosno C skup

racionalnih, odnosno realnih, odnosno kompleksnih brojeva, dok su operacije + i . uobibičaj eno sabiranje i množenje brojeva. Svi ovi grupoidi su asocijativni i komutativni. Svaki od njih, osim grupoida (N, +), ima neutralni element i to je za aditivne grupoide broj 0, a za multiplikativne broj 1. b) Neka je X zadan neprazan skup, a T x = Xx skup svih preslikavanja X -+ X. U odnosu na slaganje preslikavanja kao operaciju skup T x predstavlja polugrupu sa neutralnim elementom (1.5)

8

idx:X~X,

idx(x)

= x(x E X).

. Operacija slaganja označava se obično kružičem o ili multiplikativno. Podsjetimo se da se slaganjem preslikavanja J: X -+ Y i preslikavanja g: Y -+ Z dobija preslikavanje g o J: X -+ Z koje se definiše ovako: (g of) (x) = g (f(x))(x E X).

Polugrupa (Tx, o) zove se'po[ugrupa (svih) transJormaci.ia skupa X. Ta pclugrupa nije komutativna za card (X) > l. U tom slučaju, naime, X = {a, b, ...} (a '" b), pa za elemente J, g iz T x za koje je J (x)

= a, g (x) = b (x

E X)

vrijedi . (fog)(x) =J(g(x)) = J (b)) (g o f) (x)

= g (f (x)) = g ea)

= a, = b,

za svako x iz X, dakle J o g '" g oJ.

Regularni i invertibi1ni. elementi

U grupoidima (X,

*)iz primjera 1.1. a), osim u grupoidima CZ, .), CQ, .), (R, .) i (C, .), svako a iz X ima osobinu . (1.6) za svako x,.y iz X. U grupoidima koje smo izuze1i, tu osobinu nema jedino element a = O. . . Ra~uniljivQ je,da elementi a grupoida (X, *) koji imaju osobinu (1.6) zaslužuju pOsebnu pažnju. .

Definicija 1.4. Ako elementa grupeida (X, *) ima osobinu (1.6), onda se kaže da je taj element regularan. U' protivnom slučaju, tj. kad postoje elementi x, y iz X za koje vrijedi (a * x =a * y ili x * a

= y * a),

x =r= y,

za element a kaže se da je singularan. Pr.oizvod, 4/>. regularnih ~emenata a, b (multiplikativne) polugrupe X je regularan. Naime, (ab) x

i

= (ah) y

~

a (bx)

= a (by)

~

bx

=

by ~ x

= y,

-.

slično

x (ab)

=y(ab'~

.. ............... ..•

~x=y.

Medutim, akO je bar jedan' od elemenata a, b (multip1ikativne) polugrupe X'smgularan, tada je bar jedan od elemenata ab, ba polugrupe X singularan. Stvarno, ako je, na primjer, element b singularan i za elemente x, y iz X vrijedi, recimo bx = by, a1ix =1= y, tada za te iste elemente imamo (ab}x

=

a (bx) = a (by) = (ab)y, ali x =l=y,

što znači da je tadae1ement aD singularan. Slično bi se u slučaju da za ete.:. mente x,y iz X vrijedi xb= yb, ali x=f:. y zaključilo da vrijedi x (ba) = y (~a), ali x =1= y, tj. da je element l1a singu1aran.

Ako je J : X ~ X injektivno preslikavanje, tada je njime određeno bijektivno preslikavanje (koje ćemo označiti istim slovom) J : X -+ Im (f), pri čemu smo sa Im (f) označili

J :X

sliku preslikavanja

J-l:

=

Im(f)~X,

{f (x) I x E X} --+

X. Zato postoji inverzno preslikavanje

J-l(y)

= X8Y =J(x).

Posljednje preslikavanje možemo produžiti bar na jedan način do preslikavanja /' : X ~ X; dovoljno je da stavimo /' (x) = x, (x EC X '" Im (f)). Tako se vidi da za injektivno preslikavanje J : X --+ X vrijedi

(3/, : X~X)f' oj = idx . Obrnuto, svako preslikavanje J : X -;. X za koje vrijedi posljednja relacija je injektivno. Na sličan način mogu se sirjektivna preslikavanja J : X --+ X okarakterisati uslovom (31" : X ~X)

Ovo i druge

slične

Jo r

=

idx .

situacije možemo uzeti kao povod za

sljedeću

definiciju.

Definicija 1.5. Neka je (X, *) polugrupa sa neutralnim elementom e. Za element a iz X kaže se da ima lijevi, odnosno desni inverzni element a', odnosno a", ako postoje element a' iz X, odnosno element a" iz X takvi da vrijedi (1.7)

a'

*a =

e, odnosno a

* a"

=

e.

Kad a ima i lijevi i desni inverzni element, onda su ti elementi obavezno jednaki i a nema drugih inverznih elemenata, ni lijevih ni desnih. U tom slučaju kaže se da je element a polugrupe X invertibilan. Jedinstveni lijevi i (ujedno) desni inverzni element invertibi1nog elementa a označava se sa a-l i zove se inverzni element elementa a. Dokažimo sada da stvarno za svaki lijevi a' i za svaki desni inverzni element a" elementa a vrijedi a' = a": a" = e

* a"

=

(a'

* a) * a"

=

a'

* (a * a") =

a'

*e =

a'.

Prema (1.7) za inverzni element a-l elementa a vrijedi (1.7')

a-l

*a =

a

* a-l =

e.

U aditivnoj polugrupi X inverzni element elementa a zove se još suprotni element elementa a i označava se sa - a. U tom slučaju umjesto (1.7') imamo (1. 7")

- a

+ a = a + (- a) = o.

Neutralni element e polugrupe X sa jediničnim elementom je sigurno invertibilan i vrijedi e-l = e. Osim toga, ako su elementi a, b invertibilni elementi polugrupe X, tada je i element a * b također invertibilan i vrijedi (1.8)

10

Stvarno, iz a-l

*a =

a

* a-l =

e,

b-l

*b =

\

b * b-l = e

slijedi (b- l

i

* a-l) * (a * b) =

b-l

* ((a- l * a) * b) =

b-l

*b=

e

slično

(a

* b) * (b- l * a-l) = .................... =

U multiplikativnom, odnosno aditivnom (1.8')

(ab)-l

=

b-Ia- l , odnosno - (a

slučaju

e.

relacija (1.8) prima oblik

+ b) = (- b) + (- a).

Treba obratiti pažnju na poredak u relacija.ma (1.8) i (1.8'), koji je bitan u nekomutativnom slučaju. Za invertibi1ni element a polugrupe X sa jediničnim elementom e vidjeli smo da inverzni element a-l elementa a predstavlja jedinstveno rješenje jednačine x * a = e, odnosno jednačine a * y = e. Uopšte vrijedi: Propozicij~ 1.1. Ako je a invertibilni element polugrupe X sa neutralnim elementom e (i multiplikativno označenom kompozicijom), tada za svako b iz X jedančina

(1.9)

ax = b, odnosno ya = b

ima u X jedinstveno rješenje

(1.9')

x = a-lb, odnosno y = ba-l.

Specijalno je svaki invertibilni element a polugrupe X regularan. Ako je polugrupa X konačna, onda vrijedi i obmuta tvrdnja: svaki regularni element polu~~upe X je invertibilan. DtJkaz. - 1) Pretpostavimo da za invertibi1ni element a i dati element b polugrupe X sa jediničnim elementom e jednačine (1.9) imaju bar po jedno rješenje x, odnosno y u polugrupi X. Tada mora biti x = ex = (a-la) x = a-l (ax) = a-lb,

odnosno y = ye = y (aa-l) = (ya) a-l = ba-l, Znači,

ako uopšte imaju rješenja u polugrupi X, jednačine (1.9) imaju je. dinstvena rješenja (1.9'). S druge strane, elementi (1.9') leže u X. Osim toga oni zadovoljavaju jednačine (1.9), jer

ax = a (a-lb) i

=

(aa-l) b = eb = b

slično

ya = (ba-l) a = b (a-la) = be = b.

To pokazuje da X.

jednačine

(1.9) imaju jedinstvena rješenja (1.9') u polugrupi

11

2) Na osnovu 1) jasno je da svaki invertibilni element a polugrupe X mora biti regularan, pa ćemo dokazati samo da u slučaju konačne polugrupe X sa jediničnim elementom e vrijedi i obrnuto. Neka je, dakle, a regularni element konačne polugrupe X sa jediničnim elementom e. Tada je svako od preslikavanja x

f-+

ax, odnosno y

f-+

ya (x, y E X)

polugrupe X u samu sebe injektivno. Kada je X konačan skup, ta preslikavanja moraju biti i sirjektivna, pa postoje elementi y = a' i x = a" iz X koji se preslikavaju na element e, tj. za koje vrijedi (1.7). No, to upravo znači da je element a polugrupe X invertibilan. Grupa Posebno je zanimljiva polugrupa X sa svaki element invertibilan.

jediničnim

elementom e u kojoj je

Definicija 1.6. Polugrupa eX, *) sa neutralnim elementom e, u kojoj je svaki element jnvertibilan, zove se grupa. Primjer 1.2. a) (Z, +), (Q, +), (R, +) i (C, +) su grupe. Isto tako (Q', .), (R', .) i (C', .) su grupe, pri čemu smo stavili Q' umjesto Q" {O} itd. Grupe su također (Q+, .) i (R+, .), gdje je Q+, odnosno R+ skup strogo pozitivnih racionalnih, odnosno realnih brojeva. Sve ove grupe su komutativne, tj. Abelove. b) Ako je (X, *) polugrupa sa neutralnim elementom e, a x* skup svih invertibi1nih elemenata te polugrupe, tada je X* f= 0, jer e E X*. Osim toga, prema (\.8) skup x* ima osobinu (\,10)

a, b E X*

=?

a

*b E

X*.

To znači da j$ (X*, *) grupoid sa neutralnim elementom e. No, taj grupoid je asocijativan, jer asocijativnost očigledno nasljeđuje od grupoida (X, *). Konačno, ako je a E X*, tada postoji a-l E X tako da vrijedi (\.7'). Odatle se vidi da a-l ima inverzni element (\,11)

u polugrupi X, tj. da a-l E X*. Prema tome, (X*, *) je grupa. To je grupa jedinica polugrupe (X, *). e) U slučaju polugrupe (Tx, o) grupu (X*, *) označićemo sa (Sx, o). Tu grupu čine upravo bijektivna preslikavanja X -+ X, tj. permutacije skupa X, pa se zato grupa (Sx, o) zove grupa (svih) permutacija skupa X. U slučaju da je X = {I, 2, ... , n} umjesto Sx piše se kratko Sn. Grupa Sn zove se (potpuna) grupa permutacija n-tog reda ili simetrična grupa n-tog reda. Grupa Sx nije Abelova za card (X) > 2. Tada je, naime, X={a, b, e, ... } (af=b, af=e, b f= e), pa za elemente "

~

(ah), l ne mora biti cik1ička, pa u ovom slučaju ne mora postojati element x grupe X koji ima ord (x) = p". Međutim, za v = l podgrupa Y je obavezno ciklička, pa svaki njen generatorni elemenL x ima ord (x) = p. Drugim riječima, za svaki prosti faktor p reda n = (X : e) konačne grupe X postoji element x grupe Xkoji ima ord (x) = p. To je tzv. Košijeva (Cauchy) teorema (v. teoremu 1.9). Za (konačnu) cik1ičku grupu X jednostavno se mogu opisati sve njene podgrupe: cikličke grupe X je i sama ciklička. Za svaki (X: e) konačne cikličke grupe X postoji tačno jedna podgrupa m.

Propozicija 1.7. Svaka podgrupa Y faktor m reda n Y reda (Y : e)

=

=

Dokaz. - l) Neka je X cik1ička grupa generisana elementom a, a Y bilo koja podgrupa grupe X. Ako je Y = {e}, onda je Y cik1ička podgrupa generisana elementom aD = e. Neka je zato Y =F {e}. Tada postoji cio broj z =F O za koji vrijedi aZ E Y. No, tada imamo i a-Z = (a Z)-l E Y. Prema tome, postoji prirodan broj s za koji vrijedi a B E Y. Ako je s najmanji takav prirodan broj, tvrdimo da je Y = [aB]. Sigurno Yd [aB], jer a BE Y. Treba dokazati obrnutu inkluziju. Uzmimo proizvoljno aZ E Y. Tada postoje brojevi q. r E Z za koje vrijedi

z tj. aZ

26

= qs =

+ r,

O~ r

< s,

(a 8)q • ar, O ~ r

<

s.

Odatle slijedi

ar = a" . (a")-q E Y, O ~ r < s, dakle, na osnovu izbora broja s, r = O, tj. a" = (a")1l E [a"]. Prema tome, Y ~ [a"], pa, dakle, ''Y = [a']. 2) Neka je sada X konačna ciklička grupa generisana elementom a i neka je n = (X : e). Tada za svaku podgrupu Y grupe X, prema Lagranževoj teoremi, mora m = (Y : e) biti faktor broja n = (X : e). Obrnuto, neka je m bilo koji faktor broja n, tj. neka je n = m . s. Tada podgr:upa Y = [a"] ima red (Y : e) = m, jer ord (a") = m. Naime, (a')'" = an = e, (a')"" = a""" ~ e, za O < m' < m, zato što je O < srn' < sm = n. Ovo je jedina podgrupa Y grupe X koja ima red m. Naime; ako je Y' bilo koja podgrupa grupe X reda (Y' : e) = m, tada je, prema 1), Y' = [a"'], pri čemu je sada s' najmanji prirodan broj za koji je a"' E Y'. Kako je an = e E Y', mora s' biti faktor broja n, tj. vrijedi n = s' . m'. Odatle, prema prethodnom dijelu ovog dokaza slijedi m' = (Y' : e) = m, dakle i s' = s, a time i Y' = Y.

Djelovanje grupe na nekom skupu Za svaki element a (multiplikativne) grupe G (1.19)

ot : G

~

određeno

je preslikavanje

G, ex(x) = ax (xE G).

To preslikavanje je permutacija skupa G j jer ot (x) = ot(y) => ax = ay => X= = y, a, osim toga, zasvakoy E G imamo element x = a-1y iz Gsaex (x) = y. Tako je svakom elementu a iz G pridružena permutacija ex iz So. Ovo pridruživanje je monomorfizam grupa. Naime, ako a ~ ex, b ~ {J, tada ab ~ ~ ot{J, jer (ot . (J) (x) =01: ((J(x'» =tJ(bx) = (ah) x (xE G), a, osim toga,

ot =

{J

=> ax

= bx (xE G)

=> a == b.

Tako smo dokazali poznatu Kejlij8fJU teoremu (Cayley):

Teorema 1.6. Svaka grupa G izomorjna je sa nekom grupom (ne obavezno svih) permutacija skupa G. Ima puno prirodnih situacija gdje"'se neka (multiplikativna) grupa G pojavljuje kaogrupa permutacija nekog nepraznog skupa X ili se može homomorfno ". preslikati u grupu permutacija S}C.

Definicija 1.15. Neka je G (multipJikativna) grupa, a X neprazan skup. Reći ćemo da grupa G djeluje ili operira na skupu X ako postoji homomorfizam grupa: (1.20)

G~Š}C, a~ot(aEG).

U tom slučaju umjesto ot(x) (x E X) piiemo a(x) ili čak samo ax, ako ne postoji mogućnost da se djelovanje elementa a iz G na element x iz X zamijeni množenjem u G ukoliko je X = G. Primjer 1.5. a) Ako je G (multiplikativna) grupa. a X = G. tada grupa G djeluje na X posredstvom monomorfizma grupa (1.20). pri čemu je permutacija « zađana relacijom (1.19). Permutacija « skupa X = G zadana na taj način zove se lijeva translacija grupe G pomoću elementa a. Govorićemo kratko da grupa G djeluje na X = G posredstvom lijevih translacija.

27

Mi u grupi G možemo posmatrati i desne translacije: (1.19')

IX :

G

~

G,

IX

(x)

= xa (x E

G).

Međutim. preslikavanje a f-+ IX grupe G u grupu SG nije homomorfizam. već antihomomor/izam grupa. jer ah f-+ {J IX. umjesto ah f-+ IX (J. b) Neka je opet G (multiplikativna) grupa. a X = G. Za svako aE G definisan je automorfizam:

(1.21)

IX :

G

--+

G. cc (x)

= axa- l

(xE G)

grupe G. koji se zove unutrašnji automor/izam te grupe. Osim toga. preslikavanje ~oje svakom a E G pridružuje unutrašnji automorfizam cc zadan relacijom (1.21) predstavlja homomorfizam grupe G u grupu Aut (G) 1. Tada, prema prethodnoj teoremi, za svaki prosti faktor p broja n postoji element xE G, koji ima red p, ·pa otuda p I m. Ako sada uzmemo k = max n" pri čemu je n = i

31

= p~l ... p;'8 razlaganje broja n na proste faktore, onda će očigledno vrijediti n I mk, jer zbog m I n i Pl I m ci = 1,2, ... s) vrijedi m = p'{'l ... P';", l -< ml' i = 1,2, ... , s. Primijetimo, da se, za Abelovu grupu G, druga tvrdnja teoreme, koju smo ovdje dokazali na osnovu Košijeve teoreme, može dokazati i na drugi način te da se onda iz nje može dobiti Košijeva teorema (v. zadatak 1.8).

Si10vljeve p-podgrupe

Definicija 1.18. Ako je G (multiplikativna) grupa, a P neki prost broj, onda se kaže da je G p-grupa ukoliko svako xE G ima konačan red ord(x) = pV(x), pri čemu je 11 (x) nenegativan cio broj. Ako je G konačna (multiplikativna) grupa reda n = (G : e) > l, onda je G p-grupa ako i samo ako je n = pk za neki prirodan broj k. Naime, ako je G p-grupa, onda, na osnovu Košijeve teoreme, ni za jedan prost broj q #- P ne može vrijediti q I n, pa mon' biti n = pk za neki prirodan broj k. Obrnuto, ako je n = pk za neki prirodan broj k, onda svako x E G ima konačan red ord(x) i ord(x) I pk, pa mora biti ord(x) = pV(x) za neki cio broj 11 (x), 0-< -< 11 (x) -< k. Ako je G konačna (multiplikativna) grupa reda n = (G : e) > 1, tada, za svaki prosti faktor P broja n, prema Košijevoj teoremi postoji p-podgrupa reda p grupe G. Ako je k višestrukost prostog broja P kao faktora od n, tj. ako je n = pk . n' i p,r n', tada svaka p-podgrupa grupe G mora da ima red pi za neki cio 'broj j, O -< j -< k. Sljedeća teorema kaže da postoji p-podgrupa H, grupe G reda (Hi: e) = pi (j = l, 2, ... , k).

Teorema 1.11. Neka je G konačna (multiplikativna) grupa reda n = (G :e» l. Tada za svaki prosti faktor p broja n postoji bar jedan lanac Hl ~ H2 ~ ... ~ ~ Hk p-podgrupa H j grupe G reda (Hj : e) = p' (j = 1,2, ... , k), pri čemu je k višestrukost broja p kao faktora broja n. Dokaz. Tvrdnju teoreme dokazaćemo indukcijom u odnosu na n' = n/p. Za n' = l, k = l i tvrdnja je sigurno tačna. Pretpostavimo da je n' > l i da je tvrdnja tačna za sve prirodne brojeve m = p . m', m' < n'. Moguća su samo ova dva slučaja: p I (Z( G) : e) i p,r eZ( G) : e). U prvom slučaju, na osnovu Košijeve teoreme, postoji p-podgrupa Hl grupe G) reda (Hl : e) = = p. Ukoliko k > l, imamo grupu G/HI (Hl je normalna podgrupa grupe G, jer Hl ~ Z(G» reda m = n/p = pm', m' < n', pa kako je p faktor broja m višestrukosti k-l, postoje po pretpostavci indukcije p-podgrupe H2 ~ H3 ~ e ... e Hk grupe GIHI reda pH (j = 2,3, ... k). No, H, = Hi/Hl za neku podgrupu Hi d Hl grupe G reda (H, : e) = (Hj : Hl) . (Hl: e) = pi-l. P = = pi (j = 2,3, ... , k). Na taj način imamo niz Hl e H2 ~ ... ~ Hk p-podgrupa H, grupe G reda (H, : e) = p' (j = 1,2, ... , k). U drugom slučaju, na osnovu teoreme 1.8, postoji prava podgrupa N x grupe G, čiji red m = = (Nz: e), zbog p,r (G : N x), mora biti djeljiv brojem p i ovaj ima istu višestrukost k kao faktor broja m. Kako je m < n, na osnovu pretpostavke indukcije postoji niz Hl ~ H2 ~ ... ~ Hk p-podgrupa H, grupe N x, dakle, i grupe G, reda (H, : e) = p' (j = 1,2, ... , n). Time je teorema dokazana. Prema upravo dokazanoj teoremi, postoji specijalno p-podgrupa P konačne (multiplikativne) grupe G reda CP : e) = pk, pri čemu je p prosti faktor broja n = CG : e) višestrukosti k.

Ze

32

Definicija 1.19. Neka je G· konačna (mu1tiplikativna) grupa reda n = = (G : e)

>

L a p prosti faktor broja n viiestrukosti k. Tada se p·podgrupa

p grupe G reda (P : e) = pl< zove SilOfJ/je'Oa p-podgrupa (Sylow) grupe G. U opštem slučaju konačna (multiplikativna) grupa G može da" ima više Silovljevih p-podgrupa: Prema tzv. prvoj Si/OfJlj'e'Ooj teoremi, njihov broj je pl + I za neki nenegativan cio broj l.

Teorema 1.12. Neka je G

konačna

(muItiplikati'Vna) grupa reda n

= (G:e»

> l, a p prosti faktor broja n (višestrukosti k). Tada postoji pl + l Silovlje'Oih p-podgrupa grupe G. pri tome je l neki nenegativan cio broj. Dokaz. Prema prethodnoj teoremi skup X svih Silovljevih p-podgrupa grupe G nije prazan. Grupa G djeluje na X preko unutrainjih automorfizama (Primjer I.S.e). Uočimo jednu Silovljevu p-podgrupu P i označimo sa [P]G orbitu podgrupe P u odnosu na G. Ona ima upravo· (G : Gp ) elemenata. Ako je H bilo koja p-podgrupa grupe G, onda H preko unutrašnjih automorfizama djeluje na [Pleo Za svako Q E [P]G označimo orbitu podgrupe Q u odnosu na H sa [Q]H~ Ona lima (H : Ho) elemenata. Kako Gp ;;2 P, daklep,t (G : Gp ), a (H: Ho) je neka potencija broja p, mora za neko Q E [P]Q vrijediti CH : Ho) = l, jer bi se inače orbita [P]Q raspadala na nekoliko orbita u odnosu na H za svaku .cid kojih je broj elemenata djeljiv sa p, pa bi i broj elemenata orbite [P]Q bio djeljiv brojem p, a vidjeli smo da nije. No, (H : Ho) = I znači da je HQ = QH, pa je HQ podgrupa grupe G (v· zadatak 1.3), dakle HQ = Q, jer HQ ;;2 Q, a, osim toga, (HQ: e) = = (H : e) . (Q : e) (v. zadatak 1.3), tj. HQ je p-podgrupa. Iz HQ = Q slijedi (H n Q : e) H~ Q. Ako je, specijalno, H Silovljeva p-PQdgrupa lrupcG, opda je zapravo H. a::: = Q E {P]Q, ito znači da !lU svake dvije Silovljeve p-podgrupe H i P grupe G međusobno konjugovane. Kad je H Silovljeva p-podgrupa grupe G, onda se samo jedna od~rbita [Q]H (Q E [P]Q) sastoji od samo jednog elementa; naime, samo orbita [H]H' Ostale orbite [Q]H CQe [P]Q' Q :F H) imaju broj elemenata koji \je djeljiv brojem p, pa otuda [P]Q ima pl + l elemenata, gdje je l neki nenegativan cio broj. Međutim, orbita [PJQ sadrži sve Silovljeve p-podgrupe grupe G, pa je pl + r zapravo broj svih Silovljevih p-podgrupa grupe G. -. Time je dokazana ne samo prva već i tzv. druga SilOfJlje'Oa teorema.

Teorema 1.13. Svaka p;"podgrupa konačne (multiplikati'Vne) grupe G sadržana je u nekoj SilOfJlje'Ooj p-podgrupi grupe G, a svake dvije SilOfJlje'Oe p-podgrupe grupe G su međusobno konjugOfJane. . Zadaci 1.1. Neka je eX, .) polugrupa sa lijevim jediničnim elementom e' i neka za svako x E X postoji x" E X tako da vrijedi xx" = e'. Dokazati na primjeru da eX, .) ipak ne mora biti grupa. Ako, međutim, u polugrupi (X, .) postoji lijevi jedinični element e' i za svako x E lt, postoji x· E X tako da vrijedi x'x = e', tada je (X, .) ·grupa.

33

Uputstvo: l) Neka je X skup koji ima bar dva elementa. Definišimo u X množenje ovako: xy c= Y (x, Y E X). Tada je (X, .) polugrupa u kojoj svaki element e' igra ulogu lijevog jediničnog elementa. Osim toga za x" = e' vrijedi xx" = e'. Jasno je da (X, .) ipak nije grupa. 2) Dokazaćemo najprije da vrijedi takoder xx' = e'. Stvarno xx' = e' (xx') = (x')'x" (XX')

Sad je lako dokazati da vrijedi xe' xe'

=

(x')'(x'x) x' = e'.

x. Naime

X (x'x)

=

=

=

(xx') x

=

e'x = x.

1.2. Neka je (G, .) grupa. Ako za svako x E G vrijedi x'=e, dokazati da je grupa GAbelova. Uputstvo: Za svako x, Y E G vrijedi (xY)' sa x i zdesna sa y dobijamo, zbog x 2 = y2

,~ =

e, tj. xyxy = e. Odatle množenjem slijeva e, xy =c yx za svako x, y E G ..

1.3. Neka su A i B podgrupe grupe (G, .). Označimo sa AB skup svih ab (a E A, b E B). Dokazati: a) card (AB) . card (A n B) ~ card (A x B) = card (A) . card (B); b) AR je podgrupa grupe G ako i samo ako je AB = BA; e) Ako je jedna od podgrupa A, E normalna, tada je AB podgrupa grupe G; d) Ako su A i B normalne podgrupe, tada je i A13 normalna podgrupa grupe G.

Uputstvo: a) Preslikavanje A x 13--+ AE, (x, y) ali nije injektivo (u opštem slučaju), jer xy

=

X,Y,

q

xl'x

=

y,y- I

f-+

xy ((x, y) E A x E) je sirjektivno,

=

v E A

n E,

pa se na xy preslikava card (A n E) elemenata (XV-l, vy) (v E A n B). To upravo da vrijedi card (A) . card (E)

=

znači

card (A x B) = card (A B) . card (A n B).

b) Ako je AB podgrupa grupe G, tada ).~V EO A13 =) y-lx -l = (xy)-I E AB, pa kako su = {X-I: x E A}, 13- B-I e {y-': y E B}, mora biti BA- AB. Odatle odmah slijedi A-lB-I e B-'A-', tj. AB '=.. BA. Prema tome, ako je AB podgrupa grupe G, tada je AB ,~ BA. Obrnuto, neka je AB =, BA. Tada xy, X,y, E AB (xy)-l . (XIY,) = y-1X-1XIYl = = y- IX'Yl = X'Y'Yl = X3Y3 EO AB, pa je .~B podgrupa grupe G. Primijetimo da A ~ .'lB i B ~ AB. e) Ako je, na primje", A normalna podgrupa grupe G, tada je A i B podgrupe dakle A = A-I

AB

=

U Ab = bEB

U bA = BA, bEB

pa je prema b) AB podgrupa grupe G. d) Ako su A i B normalne podgrupe grupe G, tada je prema e) AB podgrupa grupe G. Osim toga, za svako x E G vrijedi x· AB

=

(xA) B = (Ax) B = A (xB) = A (Bx) = (AB) x,

tj. podgrupa AB je normalna. 1.4. Neka je (G, +) grupa, End (G) skup svih endomorfizama, a Aut (G) skup svih automorfizama grupe (G, +). Dokazati: a) (End (G), +) je grupa ako i samo ako je grupa (G, +) Abelova; b) (End (G), o) je polugrupa sa jediničnim elementom idG ; e) (Aut (G), ) je grupa jedinica polugrupe (End (G), G). Uputsl'vo: a) Ako je grupa (G, +) Abelova, tada se lako provjerava da je (End (G), +) grupa. To je zapravo podgrupa grupe (GG, +), jer End (G) =I 0, zbog idG E End (G), a osim toga J, g EO End (G) .~ - J + g EO End (G), zbog komutativnosti grupe (G, +~.

34

Obrnuto, ako je (End (G), +) grupa, čak polugrupa, tada ide E End (G) E End (G), t j . " (x

+ y) + (x + y)

(ide

=

",=

+ (x

=:}

ide

+

+ y) = (ide + ide) (x) + (ide + ide) (y) + x) + (y + y) (x, y E G). + y (x, y e G), tj. grupa (G, +) je Abelova. ide) (x

Odatle odmah slijedi y + x = x b) (End (G), o) je potpolugrupa polugrupe (TG , o) transformacija skupa G, jer E End (G) =:} log E End (G), zbog (Jo g) (x

+ y) = I(g (x + y» = I(g (x) + g (y» = I(g (x» + I(g(y» = (/og)(x) + (lo g) (y)(x,y

Jasno je da je ide E End (G) i da je to

jedinični

ide E

=

I,

g E

=

E G).

element polugrupe (End (G), o).

e) (Aut (G), o) je podgrupa grupe (SG, o) pennutacija skupa G, jer su automorfizmi specijalna bijektivna preslikavanja. Naime, I, g E Aut (G) ~ log E Aut (G), jer sigurno log E End (G), a osim toga log je bijektivno preslikavnje skupa G na sama sebe. Ako je lE Aut (G) tada postoji l-l, E Se. No, l-l E Aut (G), jer

I (x

+ y)

= I (x)

+ I(y) =:} l-l (I (x) + I(y»

x

=

+ y,

pa kako je G = Im Cf), za svako x', y' E G postoji x, y E G tako da vrijedi x'

-te možemo

reći

=I

(x), y'

=I

(y), tj. x

= l-l (x'),

y

= l-l (y'),

da vrijedi l-l (x'

+ y') = l-l (x') + l-l (y') (x',

y' E G).

Kako je Aut (G) ~ End (G), ujedno je (Aut (G), o) podgrupa polugrupe (End (G), o) i to je zapravo grupa jedinica te polugrupe. 1.S. Za podgrupu H grupe (G, .) kaže se da je invarijantna u odnosu na ot~E Aut (G) ako vrijedi ot (x) E H (x E H). Ako je podgrupa H grupe G invarijantna u odnosu na svako ot E Aut (G), onda se kaže da je H karakteristilna podgrupa grupe (G, .). Dokazati: a) Podgrupa H grupe G je jnvarijantna u odnoau na svako ot E In (G) ako i samo ako je H nonnalna podgrupa grupe G (Otuda naziv invarijantna podgrupa za nonnalnu podgrt1pu); b) Z (G) je

karakteristična

podgrupa grupe G;

e) Podgrupa G' grupe G generisana skupom svih komutatara XYX- 1y-l (x.y EG) je karakteristična.

dakle i normalna podgrupa grupe G; d) Ako je H karakteristična podgrupa grupe G, a K tada je K karakteristična podgrupa grupe G.

karakteristična

podgrupa grupe H,

Uputstvo: a) Tvrdnja slijedi neposredno iz definicije nonnalne podgrupe;

b) Ako je a E Z (G), x E G, tada iz ax = xa slijedi ot

(ax) = ex (xa), tj.

ot

(a) .

ot

(x) =

za svaki automorfizam ex grupe G, pa kako je G = Im e) Svaki element z podgrupe G' ima oblik z

=

(ot),

ot

(x) .

ot

(a),

mora biti ot (a) E Z (G).

(X 1YIXi 1Yi 1) ••• (xnynx;;ly;;l) (x" yi E G),

jer je za svaki komutator xyx-1y-l inverzni element tog komutatora (XYX- 1y-l)-1

=

yxy- 1x- 1

opet komutator. No, tada je za svaki automorfizam ot grupe G

35

d) Ako je H karakteristična podgrupa grupe G, tada je restrikcija na H svakog automorfizma grupe G automorfizam grupe H, pa zato za svaki automorfizam grupe G i za svaku karakterističnu podgrupu K grupe H vrijedi ex. (x) = ex.H (x) E K (x E K).

Primijetimo da se u ovoj tvrdnji pretpostavka "invarijantna" .

"karakteristična"

ne može zamijeniti sa

1.6. Neka je f : G -+ G homomorfizam grupa. Dokazati da je grupa Im (J) Abe10va ako i samo ako Ker(!);J G', pri čemu je G' komutatorska podgrupa grupe G, tj. podgrupa generisana svim komutatarima xyx-'y-l (x, y E G). Specijalno je za normalnu podgrupu H grupe G faktorska grupa G/H komutativna ako i samo ako II ::2 G'. Uputstvo: Grupa Im (J) (to je podgrupa grupe CT) je Abelova ako i samo ako za svako x, y E G vrijedi f (x) . f(y) = f (y) . f (x), tj. f (xy) - f(yx). No, to je slučaj upravo onda kada XYX-Iy-l EO Ker (j) za svako x, y E G, tj. kada Ker (j) :J G', jer je G' najmanja podgrupa grupe G koja sadrži sve komutatore xyx-'y-l (x, y E G). Posljednja tvrdnja dobija se kad se uzme G e G/H, a za f prirodni epimorfizam. Tada je, naime, Im (J) -- G/li, a Ker(j) = lJ.

1.7. Ako je grupa G/Z (G) ciklička, dokazati da je Z (G) = G, tj. da je grupa G Ahelova. Specijalno je grupa G reda p' (p prost broj) Ahelova. Uputstvo: Ako je grupa G/Z (G) ciklička grupa generisana elementom aZ (G), tada za svako x, y E G postoje cijeli brojevi Ill, II takvi da vrijedi xZ (G)

tj. za podesne elemente z"

Z2

~

(aZ (G»III, yZ (G)

~

(aZ (G)n,

E Z (G) vrijedi

x

:=

amzu

y

=

a nz 2

0

Kako elementi alil, an, Z" Z2 međusobno komutiraju, lako se zaključuje da vrijedi xy = yx. grupa G je Abelova, tj. Z (G) = G. U specijalnom slučaju Z (G) = G ili (Z (G): e) = p, na osnovu teoreme 1.8. No, druga mogućnost otpada, jer bi grupa G/Z (G), kao grupa prostog redap morala biti ciklička, pa bi prema već dokazanome moralo biti Z (G) = G.

Znači,

1.8. Neka je G multiplikativna grupa. Dokazati:

a) Ako je G konačna grupa reda n m I n;

=

(G : e), tada grupa G ima konačan period m i vrijedi

b) Ako je H podgrupa periodičke grupe G, tada je i H periodička grupa, a osim toga za svako x E G postoji m' = m' (x) tako da vrijedi xm' E H. Obrnuto, ako postoji periodička podgrupa H grupe G sa osobinom da za svako x E G postoji prirodan broj m' = m' (x) takav da vrijedi xm' E II, tada je grupa G periodična; c) Neka je G grupa konačnog perioda m, a H podgrupa grupe G. Tada je i H grupa perioda ml i postoji najmanji prirodan broj m 2 takav da vrijedi (V x E G) xm, E H. Osim toga ml I m, m 2 I m i m I m l m 2 •

konačnog

Uputstvo: a) Za svako x E G vrijedi xn = e, pa zato grupa G ima konačan period m. Ako je n = qm + r (O ,;;; r < m), tada iz e = xn = (xm)q . xr = xr (x EO G) slijedi r = O, tj. m I n.

b) Podgrupa H periodične grupe G je očigledno periodična grupa. Kako za svako x E G vrijedi xm(x) = e E H, jer je grupa G periodična, jasno je da za svako x E G postoji prirodan broj m' = m' (x) takav da vrijedi xm' E lJ. Obrnuto, neka postoji periodična podgrupa H grupe G sa osobinom da za svako x E G postoji prirodan broj m' = m' (x) takav da vrijedi xm' E H. Tada svako x E G ima konačan red, jer xm' E H ima konačan red, pa je grupa G periodična.

36

c) Neka je G grupa konačnog perioda m. Tada za svaku podgrupu H grupe G vrijedi ym == e (y E H), pa je i podgrupa H konačnog perioda ml .;;; m. Ako je m = qlm l + Tl (O .;;; Tl < ml), tada iz e = ym = (yml)q, . yr, = yr, (y E H) slijedi Tl = O, tj. ml I m. Kako za svako x E G vrijedi xm = e E H, jasno je da postoji najmanji prirodan broj mz';;; m za koji vrijedi (\:I x .. E G) xm, E H. Ako je m = mzq. + Tz (O .;;; r < m2), tada iz (\:I x E G) xm E H, x m, E H i xm = (xm,)q, . xr, slijedi T. = O, tj. m2 I m. Konačno za svako x E G vrijedi xm=e, pa ako je mIm. = mq + T (O .;;; T < m), tada iz e = (xm)q . . xr = xr (x E G) slijedi T = 0, tj. m I mIm •.

1.9. Neka je G

konačna

Abelova grupa reda n

=

(G : e) i perioda m. Dokazati:

a) Postoji prirodan broj k takav da n I mk; b) Za svaki prosti faktor p broja n postoji x E G, ord (x)

=

p.

Uputstvo: a) Za n = 1 tvrdnja je sigurno tačna. Neka je n > l i pretpostavimo da je tvrdnja tačna za sve grupe nižeg reda. Ako grupa G nema netrivijalnih podgrupa, onda je ona ciklička grupa prostog reda, pa je m = n i tvrdnja je opet tačna. Ako je H netrivijaina podgrupa grupe G, tada je H normalna podgrupa grupe G, a osim toga prema prethodnom zadatku grupe H i G/H imaju konačne periode m, i m2 • Redovi nl i n. posljednjih dviju grupa su manji od n, pa zato po pretpostavci indukcije postoje prirodni brojevi k' i k" takvi da n, I m~' i n.1 Sad je dovoljno uzeti k ~ k' 1- k", jer ~ = n l ' n., a prema prethodnom zadatku ml I m, m.1 m.

mr.

b) Prema a) postoji prirodan broj k tako da nl mk, pa za svaki prosti faktor p broja n vrijedi p I m, tj. m = p. m'. Kako postoji y E G sa ym' i' e, dovoljno je uzeti ."( ~ ym' , jer tada ord (x) = p.

1.10. Neka je G (multiplikativna) grupa reda (G : e) = pq. gdje su p i q različiti prosti brojevi. recimo p < q. Dokazati: a) Postoji tačno jedna Silovljeva q-podgrupa Q grupe G i ona je obavezno normalna; b) Ako grupa G nije ciklička. onda postoji tačno q Silovljevih p-podgrupa Pl' ...• P q grupe G i nijedna od njih nije normalna; c) Grupa G je Abelova. ako i samo ako je ciklička. To je slučaj sigurno kad q i' pl + l (l = 1.2•... ).

Uputstvo: a) Na osnovu Košijeve teoreme postoji bar jedna podgrupa Q grupe G reda q. Kad bi postojala još jedna takva podgrupa R. onda bi. zbog Q rl R = {e}. na osnovu zadatka 1.3. podskup QR grupe G imao q2 > pq elemenata. što je nemoguće. Kao jedina podgrupa reda q. grupa Q je, naravno, normalna. b) Prema Košijevoj teoremi postoji bar jedna podgrupa Pl grupe G koja ima red p. Kad bi ta podgrupa bila normalna. onda bi za generatorni element x grupe P l i generatorni element y grupe Q vrijedilo xyx-Iy-l E Pl rl Q = {e}. dakle xy = yx. pa bi element xy E G imao red ord (xy) = pq i grupa G bi bila ciklička. Specijalno. Pl nije jedina podgrupa grupe G koja ima red p. Neka su Pl' PI' ...• Pr sve takve podgrupe grupe G. Svako x E G. xi' e.leži u tačno jednoj od podgrupa Pl' ...• Pr.Q. a element e leži u svakoj od tih podgrupa. Zato je p . q =T(p -

1)

+ q.

tj. (p - I)q

=

rep -

l).

što znači da je T = q. Do zaključka T = q mogli smo doći koristeći se drugom Silovljevom teoremom. Prema njoj su grupe P" ...• Pr međusobno konjugovane. tj. čine orbitu [PIle i zato je r = (G : Np,). Kako je T > l. mora biti Pl ~ Np, G. dakle. Np, = Pl' tj. (G: Np,) = q. c) Ako je grupa G cildička. onda je ona sigurno Abelova. Ako je. obrnuto. grupa G Abelova. tada je njena podgrupa Pl sigurno normalna. pa je prema b) grupa G ciklička. Ako grupa G nije ciklička. onda ona ima q podgrupa reda p. Prema prvoj teoremi Silova .' mOfa zato vrijediti q = pl + l za neko l (l = 1.2. . . .• jer q > 1).

e

1.U. Neka je G konačna grupa reda (G: e) = P'" . q". pri čemu su p i q različiti prosti brojevi. Dokazati: a) Ako je m = 1. n d 2 tada je bar jedna Silovljeva podgrupa grupe G normalna; b) Ukoliko je pm < q ili q" < p. tada opet grupa G ima bar jednu normalnu Silovljevu podgrupu. (Ova pretpostavka automatski je ispunjena za m = n = t. a za III = I, n = 2 nije neophodna. kako se vidi iz a).

37

Uputstvo: a) Kad tvrdnja ne bi bila tačna, postojalo bi pj + I (j ;> I) Silovljevih p-podgrupa i qk + I (k ;> I) Silovljevih q-podgrupa grupe G. Ako je P jedna od Silovljevih p_ -podgrupa, a Q jedna od Silovljevih q-podgrupa grupe G, tada bi normali zator Np grupe P u odnosu na G bio neka prava podgrupa grupe G, pa bi zbog P (~ Np vrijedilo (G : Np) =" q', I I; l

< s < 2).

l to bi značilo da je p < q i q 4). c) Kako je

S~

=

An (n:> 1), imamo

Sn(k) =

(S~)(k-l)

=

A n (k-lj = An, k = 2, 3" ... (n > 4).

Primijetimo da je za n OF 4 grupa An prosta, tj. da ona nema netrivijalnih norrb.alnih podgrupa. Kako za n > 4 grupa An nije Abelova, pa A~ OF {id}, mora vrijediti A~ = An (n> > 4). Samo dokaz činjenice da je grupa An prosta za n OF 4 nije tako jednostavan.

2. PRSTEN, TIJELO, POLJE Prsten, oblast

Vidjeli smo da je CZ, +) Abelova grupa, a CZ, .) (Abelova) polugrupa (sa jediničnim elementom e = 1). Osim toga, operacija množenja je distributivna II odnosu na sabiranje, tj. vrijedi (2.1)

Cx + y) z

=

xz

+ yz,

x(y

+ z) =

xy

+ xz

za svako x, y, z iz Z. Isto vrijedi i kad umjesto Z uzmemo Q ili R ili C. Ima još mnogo primjera gdje se pojavljuje ista situacija. Zato uvodimo opštu definiciju. Definici.ia 2.1. Neka je zadan neprazan skup R u kome su definisane dvije binarne operacije + i '. Skup R sa operacijama + i " tj. uređena trojka (R, +, .) zove se (asocijativni) prsten ako su ispunjeni sljedeći uslovi: 1) CR, +) je Abelova grupa; 2) CR, .) je polugrupa ; 3) Množenje je distributivno u odnosu na sabiranje tj, vrijedi (2.1) za svako x, y, z iz R. Ukoliko je polugrupa CR, .) Abelova, onda se kaže da je prsten (R, +, .) komutativan. Ako polugrupa CR, .) ima jedinični element e, tada se e zove

-.

jediničm·

element prstena CR,

+, ').

izražavanje, mi ćemo obično umjesto prsten CR, +, .) govoriti kratko prsten R. Vidjećemo da kad prsten R ima bar dva elementa, onda je obavezno e =F On. Kako je trivijalan slučaj R = {OR}' kada je e = On> nezanimljiv to ćemo uzimati da je e =F On> tj. kad govorimo o prstenu R sa jediničnim elementom, smatraćemo da taj prsten ima bar dva elementa. Pojednostavljujući

41

Riječ "asocijativan" u gornjoj definiciji dolazi od asoc1Jat1vnosti množenja (v. uslov 2). Danas se mnogo izučavaju i neasocijativni prsteni, ali ćemo se mi ovdje baviti samo asocijativnim prstenima, pa ćemo riječ "asocijativan" izostavljati; podrazumijevajući tako pod prstenom zapravo asocijativan prsten. Zbog toga što su sabiranje i množenje u prstenu vezani zakonom distribucije, ne može se u svakoj Abelovoj grupi (R, +) asocijativno množenje definisati proizvoljno, pa da se dobije prsten (R, +, .). Međutim, može se uvijek staviti

xy = OR (x, yE R). Tako dobijeni prsten sa trivzjalnim množenjem Zove se nulaprsten. Iz veze koja postoji između množenja i sabiranja u prstenu proističe osobita uloga nulaelementa kod množenja, kao i dobro poznato "pravilo o množenju predznaka". U svakom prstenu R vrijedi, naime,

(x = OR V Y = OR) ~ xy = OR; x . (- y) = (- x) . Y = - (xy)

(2.2)

(2.3)

za svako x, yER. Stvarno,

x = OR

=)

xy = (x

+ x)y =

xy

+ xy ~ xy =

OR

slično,

y=~~~=x~+~=~+~~~=~

tj. vrijedi (2.2). Na osnovu toga dobija se

x . (- y)

+ xy =

x ( - y)

+ y) =

X' OR = OR ~ X . (- y)

= - (xy)

slično,

(- x)· JI

+ xy =

(-

x

+ x)y =

OR' Y

=

OR ~ ( -

x), y = - (xy).

Primjer 2.1. a) Spomenuli smo već prstene (Z, +, .), (Q, +, .), (R, +, .) i (C, +, '). Ima i drugih prstena čiji su elementi brojevi, a operacije + i . uobičajeno sabiranje i množenje brojeva. Tako se, na primjer, za R = {a + ib I a, b E Z} dobija prsten (R, +, .) cijelih pa je ovo samo specijalan slučaj prstena {a + Gausovih (Gauss) brojem. Tu je i C~ + b vd I a, b E Z}, gdje je d zadan cio broj koji nije potpun kvadrat. Medutim, ako cio broj d nije potpun kub, onda skup {a + b Vdl a, b E Z} nije prsten, jer eJd)2= ne pripada tom skupu. No, lako se može provjeriti da je skup {a + b 3/ F + e 3/d'-I a, b, e E Z} prsten. U svim slučajevima mogli smo umjesto Z uzeti skup Q, pa da opet dobijemo prstene. Svaki od ovih prstena ima jedinični element l.

V'=T,

c

VJ'

b) Ako je CR, +,.) prsten, tada je CR, +) Abelova grupa, a (R,') polugrupa, pa za svaki neprazan skup I, prema primjeru 1.2. d), imamo Abelovu grupu (RI,+) i polugrupu (Rl, .). Odmah se vidi da je množenje u Rl distributivno u odnosu na sabiranje, pa imamo prsten (Rl, +, '). Ako je prsten R komutativan, tada je komutativan i prsten Rl. Ako prsten R ima jedinični element e, tada prsten Rl ima jedinični element (ej), E I, pri

Primijetimo da u

slučaju

čemu

je ei

=

e (i E I).

R CI- {OR} i card (l) > l možemo u prstenu Rl odabrati elemente x, ,

=

{ Xj

CI- OR (i

= j) (i CI- j)

OR

YI = { OR Yk

42

CI- OR

Ci Ci

CI- k) k).

=

pri

čemu

su j, k fiksni

međusobno različiti

X'" O, Y

elementi skupa l. Tada je

'" O, ali xy = (XIYI)lel = O.

Tako vidimo da u svako!f. prstenu. ne mora vrijediti (2.2') Neka je zadana familija prstena (Rl' + . ')1 e l' Tada imamo Abelovu grupu i po!ugrupu

n

n

(R".) (v. Primjer 1.2.d). No. množenje u skupu

iEI

\.

n

(R" +)

iel

R, je distributivno

iEI

prema sabiranju. pa u tom skupu imamo zapravo strukturu prstena. Taj prsten zove se direkmi proizvod familije prstena (R,. + .. ) (i E l) i označava se sa (Rl' + .. ). Ako je svaki od prstena (Rl, (R,.

+ .. ) (i E

l) komutativan. onda je to i prsten

jedinični element el (i E l). onda prsten

+ .. ) ima

n

n

n iEl

(Rl'

+ .. ). Ako prsten

iEl

(Rl'

+ .. ) ima

jedinični ele-

ie]

U specijalnom slučaju kada je (Rl. na prsten (Rl.

n

(Ni'

+ .. ).

+ .. )

umjesto (Rl,

(R.

+.. ),(iE]) prsten

n

(R ..

+ .. )

svodi se

iE]

Kad imamo

+ .. J pišemo

iE]

+ .. ) =

(R •.

konačan

skup 1= {1.2 ....• n}. onda umjesto

+,.) )( ... x(R", +,.) i:i (Rl' +,.) Et- ..• 'f (R,,, +, .). a

koristimo oznaku (R",

+ ,.).

Definicija 2.2. Neka je R prsten sa bar dva elementa. Za element a prstena R kažemo da je djelitelj nule ako vrijedi (2.4) U prstenu R koji ima bar dva elementa, na osnovu (2.2), OR je sigurno djelitelj nule. To je trivijalni djelitelj nule. Komutativan prsten R sa jediničnim elementom zove se oblast cijelih ili integralno područje (domen), ako nema netrivijalnih djelitelja nule. Djelitelji nule u svakom prstenu R su isto što i singularni elementi polugrupe CR, .). Naime. ako je a singularni element polugrupe (R • .), tada (3 x, yE R) (ax

= ay V xa = ya) /\ x i= y.

No, tada je

+ y) = a (- x) + ay = - (ax) + ay = OR' ( - X + y) a = ( - x) a + ya = - (xa) + ya = 011, - x + y vrijedi (2.4), tj. a je djelitelj nule prstena R. a (- x

ili

pa za z = Obrnuto. ako je a djelitelj nule prstena R, tada iz (2.4) na osnovu a' 011 = OR' a = OR slijedi da je a singularni element polugrupe (R, .).

= 43

Definicija 2.3. Neka je R prsten. Regularni, odnosno singularni elementi polugrupe (R, .) zovu se regularni, odnosno singularni elementi prstena R. Ako prsten R ima jedinični element, onda se invertibiini elementi polugrupe (R, .) zovu invertibilni elementi prstena R. Kako smo već vidjeli, singularni elementi prstena su isto što i djelitelji nule. Prema samoj definiciji, u svakom prstenu R sa jediničnim elementom, svi invertibilni elementi prstena su sigurno regularni. Zato Om kao singularan element prstena, ne može biti invertibilan element prstena R sa jediničnim elementom.

Tijelo, polje Prema onome što smo upravo rekli, od prstena R sa jediničnim elementom e možemo u pogledu invertibilnosti tražiti najviše da svi elementi a e R, a O budu invertibilni, jer OR ne može biti invertibilan. Ima mnogo prstena sa jediničmm elementom koji ispunjavaju ovaj zahtjev. Za njih uvodimo ovu definiciju.

*

Definicija 2.4. Prsten (K, +, .) sa jediničnim elementom e (* OK) zove se tijelo ako je svaki element iz K, osim elenenta OK' invertibilan u K. Komutativno tijelo zove se polje. Skup K* invertibiinih elemenata prstena K sa jediničnim elementom, prema primjeru 1.3. a), čini multiplikativnu grupu. U slučaju da je K tijelo, K* = = K = K'" {O K}' Vrijedi i obrnuto, pa možemo reći:

Propozicija 2.1. Prsten K (sa jediničnim elementom) je tijelo ako i samo ako je (K',·) grupa. Tu smo pretpostavku "sa jediničnim elementom" stavili u zagradu, jer je ona suvišna. Naime, kad je (K, +, .) tijelo, prsten K ima sigurno jedinični element, a kad je (K', .) grupa, onda K 0, dakle K *{OK}' a osim toga jedinični element e grupe (K, .) je jedinični element prstena K, jer na osnovu (2.2) imamo OK' e = e' OK = OK' Tijelo nema netrivijalnih djelitelja nule, pa je, u svakom tijelu R, CR', .) polugrupa čiji su svi elementi regularni. Ova polugrupa je konačna ako samo ako je prsten R konačan. Zato na osnovu propozicije 1.1. vrijedi

*

Propozicija 2,2 Svaki konačan prsten R sa netrivijalnih djelitelja nule je tijelo.

jediničnim

elementom koji nema

Primjer 2.2. a) Prsteni (Q, +, .), (R, +, .) i (C. -t, .) iz primjera 2.1, a) su polja. Polja su i prsteni {a + ib I a, b E Q}, {a + bVJI a, b E Q}, {a + b3jd+ c3j~l21 a, b, cEQ}. Međutim, ako Q zamijenirno sa Z, nijedan od posljednja tri prstena neće biti polje. Primijetimo da u prstenu {a + ib I a, b E Q} element a + ib # O (tj. a 2 + b2 > O) ima inverzni element a b (a

44

+ ib)-l

=

a2

+b

2

-

a2

+b

2

i,

dok je za element a

+ b ..../d E

inverzni element

{a

+ bVdl a,

b E Q}, a

-I-

bV'd"# O (tj.

a

"# O \/ b "# O)

l ',' (a

+ bVd)-'

a =

a2

_

b b2d - a2 _ b2d .

b) Ako se u skupu {O', I', ... , Cm - l)'} računa modulo m, tj. ako se pod "zbirom" T' + + s', odnosno pod "proizvodom" T' 's' podrazumijeva ostatak kod diobe brojem m zbira r + s, odnosno proizvoda T • s cijelih brojeva T i s, onda nije teško provjeriti da ovaj skup postaje komutativan prsten. Ako je m > l, onda ovaj prsten ima jedinični element l'. U tom slučaju ovaj prsten je polje ako i samo ako je m prost broj. Naime, upravo tada ovaj prsten nema netrivija1nih djelitelja nule, a, s druge strane, svaki konačan prsten (sa jedinič­ nim elementom) je tijelo ako i samo ako taj pristen nema netrivijalnih djelitelja nule. Ovaj prsten zvaćemo prsten cijelih bTojeva modulo m i označićemo ga sa Zrn. Ovaj primjer pokazuje da za svaki prost broj p postoji polje P koje ima p elemenata. Naprotiv, za svaki prirodan broj m ne "ostoji tijelo koje ima m elemenata. Da bi za prirodan broj m postojalo tijelo koje ima m e,,,menata, kako ćemo kasnije vidjeti, potrebno je i dovoljno da bude m = pn, pri čemu je p prost, a n prirodan broj. Nije nimalo slučajno što su sva tijela Zp (p prost broj) komutativna. Dobro je poznato da su zapravo sva konačna tijela komutativna (Vederbernova teorema - Wedderburn); tu netrivijalnu činjenicu ćemo kasnije dokazati. Zato primjere nekomutativnih tijela treba tražiti među beskonačnim tijelima. Takav primjer srešćemo kasnije (vidjeti zadatak III, 1.7). Za sada samo spominjemo ime tog nekomutativnog tijela: to je tijelokuaterniona (Hamilton).

Potprsten. Podtijelo, potpolje Prsten Z cijelih brojeva sadržan je u prstenu (polju) Q racionalnih, a ovaj opet u prstenu (polju) R realnih brojeva. Pri tome svaki od ovih prstena nasljeđuje operacije od šireg prstena. To je povod za sljedeću definiciju. Definicija 2.5. Neka je (R, +, .) prsten. Ako je neprazan podskup R' skupa R zatvoren u odnosu na operacije iz prstena R, onda 1) (R', +) je potpolugrupa Abelove grupe (R, +); 2) (R', .) je potpolugrupa polugrupe CR, .);

3) Množenje u R' je distributivno prema sabiranju. Ukoliko, umjesto 1) vrijedi l') (R', +) je podgrupa Abelove grupe (R, +), onda je, dakle, CR', +, .) također prsten. Tada se kaže da je (R', +, .) potprsten prstena CR, +, .). Potprsten može biti tijelo ili čak polje. Tada se govori o podtijelu, odnosno potpolju. Tijelo K koje nema pravih podtijelu K' (K' f= K) zove se prosto ujelo. Komutativno . prosto tijelo zove se prosto polje. Presjek P svih podtijela datog tijela K je pr,)sto tijelo; to je jedino prosto podrijelo tijela K. Kako ćemo vidjeti (v. ZJdJtak 3.1), pojam pr,)sto tijel.) p,)dudara se sa pojmom prosto polje. Na osnovu ove definicije i propozicije 1.3. vrijedi

45

Propozicija 2.3. Neprazan podskup R' prstena R je potprsten prste/lu R ako i samo ako su ispunjeni ovi uslovi: l) x, y E R' = - x

2) x, y

cc

R'

~

+ y ,:.= R';

xy c: R'.

Primijetimo da samim tim što je potprsten nekog prstena R, prsten R' im.1 određene osobine. Tako je potprsten komutativnog prstena komutativan, a potprsten prstena, koji nema netrivijalnih djelitelja nule, nema ni sam netrivijalnih djelitelja nule. No, potprsten R' prstena R može da ima jedinični element e', a da prsten R nema jediničnog elementa ili da prsten Rima jedinični element e =F e'. Isto tako može se desiti da prsten R ima a potprsten R' nema jediničnog elementa. To pokazuje primjer 1.3. e), jer kad se u tamo navedenim multiplikativnim polugrupama definiše sabiranje po komponentama, onda se iz njih dobijaju prsteni. Ovako nešto, međutim, ne može se desiti kad su u pitanju potprsteni nekog tijela. Tada je jedinični element tijela ujedno jedinični element svakog njegovog potprstena, koji uopšte ima jedinični element. Za potprsten K' tijela K nije teško utvrditi uslove pod kojima je taj potprsten podtijelo tijela K. To jc slučaj ako i samo ako je (K", .) podgrupa grupe CK, .), pa iz propozicije 1.3. slijedi

Propozicija 2.4. Podskup K' koji ima bar dva elementa je podtijelo tijela K ako i samo ako vrijedi:

l) x, y E K' =::'> - x 2) x, y ~ K', x =F

+ y r:: K';

OK ~

x-1y E K'.

Ideali i homornorfizmi prstena Kad se ima u vidu definicija homornorfizma grupoida, prirodna je ova definicija:

Definicija 2.6. Neka su (R, +,.) i (R, -i,') prsteni. Preslikavanje I : R-· k zove se homomorJizam prstena, ako je to preslikavanje homomorfizam grupe (R, +) u grupu (R, 1-) i homomorfizam polugrupe (R, .) u polugrupu (R, .), tj. ako vrijedi x,yt=R=-;J(x +y) =J(x) +J(y); J(xy) =J(x) 'J(y).

Nazivi monomoriizam, epimorJizl1l1l, izomorJizam, endomOliizam i aUfomo)'Jizam koriste se i kod prstena u istom smislu kao i kod grupoida. Kad postoji izomorfizam R-;.R, tada pišemo R ~ R i kažemo prsten Rizomorjan .Ic sa prstenom R. Iz teoreme 1.2 slijedi

46

Propozicija 2.5. Neka je J : R-* R homomorJizam prstena., Tada je Im (J) potprsten prstena R, a 0ii= J (OR)' Ako prsten R ima jedinični element e, tada prsten Im (j) ima jedinični element J (e) ilije Im (J) = {OR}' Akoje R tijelo, tada je i Im (j) tijelo,)li je Im (J) = {OiJ·

Kako je homomorfizam J : R -* R prstena ujedno i homomorfizam odgoaditivnih grupa, Ker (j) = {x E R I J (x) = OR} je (normalna) podgrupa aditivne Abelove grupe R. No, pored toga Ker Cf) ima i osobinu

varajućih

x ER, yE Ker Cf) =;, xy EKer (f),

yx Ec Ker Cf)·

Stvarno, xER, yE Kerej) =;J(xy) =J(x) .J(y) =J(x)' OR = OR

=>

::':,;; xy E Ker Cf) ;

i

slično

x E R, yE Ker (f)

~

yx E: Ker Cf)·

Podskupovi prstena R koji imaju ove osobine navedene za Ker Cf) su interesantni. Za' njih ćemo uvesti ime ovom definicijom. Definicija 2.7. Neka je R prsten, a A neprazan podskup toga prstena. Ako A ima osobine: 1) x,y E A=?- x + y E A, tj. eA, +) je podgrupa (Abelove) grupe (R, +); 2) x E R, y E A =? xy, yx E A,

tada se A zove ideal prstena R. Od A se ponekad traži da umjesto uslova 2) ispunjava samo uslov 2') xER, yEA

=?

xyEA;

odnosno 2") XER, yEA =?yXEA.

Tada se kaže da je A lijevi, odnosno desni ideal prstena R. V komutativnom prstenu Ruslovi 2), 2') i 2") su međusobno ekvivalentni, pa se tada ove tri vrste ideala podud~raju. Kako smo vidjeli, za svaki homomorfizam J : R -* R prstena, Ker (f) je ideal prstena R. Obrnuto, za svaki ideal A prstena R postoji prsten R i homomorfizam J : R -* R prstena tako d~ je A = Ker (f). O tome govori sljedeća teorema. Teorema 2.1. Neka je A ideal prstena R, a (RIA, +) Jaktorska grupa grupe (R, +). Ako u RIA deJinišemo množenie pomoću predstavnika, tj. ako Slavimo (x A) . (y + A) = xy + A (x, yE R),

+-

onda je RIA prsten, a prirodno preslikavanje J: R-*R/A, J (x)

=

x

+A

(xER)

predstavlja epimorJizam prstena, za koji vrijedi Ker (J) = A.

47

Dokaz. 1) Prije svega, definicija množenja u RIA je korektna, jer ako je x +- A = x' +- A, y +- A = yi +- A, tada je - x +- x', - y +- yi E A, pa prema tome - xy

+-

X'y'

x(- y)

=

+- yi)

= X(- y

dakle, xy

2) Prirodno preslikavanje vrijedi

+-

A

+- xy' + (- X)y' +- X'y' +- (- x +- x') yi e=: A, =

X'y'

J : R --+ Rl A

+-

=

A.

je sigurno sirjektivno

x, yER =;J(x +-y) =J(x)

za njega

+- J(y).

No, vrijedi i x, yER ==>J(xy) = xy

+-

A = (x

+-

A) '(y

+-

A) =J(x) .J(y).

Na osnovu toga i iz činjenice da je R prsten, odmah se vidi da je RIA prsten. 3) Konačno, Ker Cf) = A, jer x EKer (f) 8 x

+-

A = OR

+- A 8

x (= - OR

+-

x) E A.

Definicija 2.8. Neka je A ideal prstena R. Tada se prsten RIA zove Jaktorski prsten ili prsten klasa ostataka prstena R po idealu A. Prethodna teorema pokazuje da je faktorski prsten prstena R homomorfna slika prstena R. No, do izomorfije, vrijedi i obrnuta tvrdnja, slično kao i kod grupa: Teorema 2.2. Neka je J : R --+ R homomorJizam prstena. Tada postoji jedinstveni izomorJizam g : RIKer (JJ

-'7

Im (f)

prstena, takav da za prirodni epimorJizam h : R--+RIKer(f) vrijedi J

=

g

o

h.

Dokaz. Homornorfizam prstena je ujedno homornorfizam aditivnih grupa, pa zato prema teoremi 1.3. postoji jedinstveni izomorfizam g : RIKer (f)--+ --+ Im Cf) grupa za koji vrijedi J = g o h. Pri tome je h : R --+ RIKer Cf) prirodni epimorfizam aditivnih grupa. Na osnovu toga mora biti g (x +- Ker (f)) = = J (x) (v. dokaz teoreme 1.3), pa vrijedi x, y ER=? g ((x +- A) . (y +- A)) = = g (xy +- A) = J (xy) = J (x) . J (y) = g (x +- A) . g (y +- A), tj. g je i izomorfizam prstena.

Primijetimo da je svaki od uslova 2), 2') i 2") iz definicije 2.7. jači od odgouslova za potprsten. Zato je svaki ideal A prstena R ujedno i potprsten prstena R. No, obrnuto ne vrijedi.

varajućeg

48

Prjmjer~2.3.

je A =

a) Ako je R prsten, a A'l (oc E l) familija ideala (potprstena) prstena R, tada također ideal (potprsten) prstena R. Ukoliko je Aa (oc E l) familija

n Aa aEl

svih ideala (potprstena) prstena R, koji sadrže zadani podskup X toga prstena, onda je A = n Aa najmanji ideal,(potprsten) prstena R koji sadrži X. Za ideal (potprsten) A a E l '

..

kaže se da je generisan skupom X. Ideal A prstena Rgenerisan skupom «. označava se Sa (X), a u slučaju da je X = {Xl> ••• , xn} umjesto (X) piše se i (Xl> ••• ,XII) (Iz konteksta će uvijek biti jasno da li se misli na niz ili na ideal generis an datim skupom!). Ideal ea) generisan jednim jedinim elementom zove se glavni ideal. Jednostavno se provjerava da za svaki prsten R sa jediničnim elementom vrijedi n

(X) =

I L rlX's, I

Ti' S,

E R, X, E X; n E

Nl .

;=1

Ako je još prsten R komutativan, onda je II

L

(X) = (

TlXi

I rl E

R,

XI

E X; n E

Nl .

i=1

b) Svi ideali prstena Z cijelih brojeva su glavni. Naime, jednostavno se provjerava da kad ideal A prstena Z nije nulaideal (O), onda A sadrži i prirodnih brojeva. U tom slučaju A je generisan najmanjim prirodnim brojem sadržanim u A. Za ideal A = (m) = {zm I z E Z} prstena Z vrijedi

Z/Cm)

~

Zm (vidjeti primjer 2.2. b».

No, za m = p prost broj, prsten Zp je polje, pa je Z/Cp) polje. To pokazuje da faktorski prsten (komutativnog) prstena koji nije polje može biti polje. Kasnije ćemo vidjeti da je to uvijek slučaj kada se radi o faktorskom prstenu komutativnog prstena R po maksimanom idealu M toga prstena, tj. idealu M =F R koji nije strogo sadržan ni u jednom idealu M' =F R prstena R. e) Tijelo K nema ne trivijalnih ideala (onih koji nisu ni (O) ni K), pa i kad su u pitanju samo lijevi ili samo desni ideali. Naime, ako je A nenuhi lijevi, odnosno desni ideal tijela K, tada postoji a E A, a =F o. No, tada a-l E K, pa vrijedi e = a-l a E A, odnosno e . = =aa- l E A. Otuda za svako X E K vrijedi X = xe E A, odnosno X = ex E A, pa je prema tome A = K. Vrijedi i obrnito: ako prsten K sa jediničnim elementom e nema netrivijalnih lijevih ideala, tada je taj prsten tijelo. Stvarno, ako je a E K, a =F O, tada je A = {xa I x E K} lijevi ideal prstena K. Zbo~ 0_ =F a E A mora biti A = K, pa postoji a' E K, a'a = e. Dokažimo da je tada i aa' = e, tj. da je a invertibilan element prstena K. Skup B =, {x E K I X (aa'-e) = O} je lijevi ideal prstena K. Zbog a'(aa' - e) = a' (aa') - a' = (a'a) a' - a' = =Ila' - a' = O, O =F a' E B, pa mora biti B = K. To znači e E B, dakle, aa' - e

=~

e (aa' - e)

=

O, tj. aa' = e.

Vidimo da kad prsten K sa jediničnim elementom e nema netrivijalnih lijevih ideala, tada je svaki element a E K, a =F O invertibilan, pa je takav prsten K tijelo. Slična tvrdnja vrijedi i za desne, ali ne važi i za dvostrane ideale.

Prsten polinoma

Neka je R prsten kompleksnih brojeva. (Tada je R zapravo polje!) Odredena preslikavanja f : R -+ R imaju analitički prikaz n

fex) =

:2 ajxi

(xER).

j_O

49

Takva preslikavanja zvali smo polinomi sa kompleksnim koeficijentima u jednoj varijabli x. Dobro je poznato da su takva dva polinoma jednaka (kao preslikavanja R --* R) ako i samo ako su im jednaki odgovarajući koeficijenti. To je tzv. teorema o identičnosti polinoma. Ona vrijedi i kad za R uzmemo polje racionalnih ili polje realnih brojeva. Kako osim toga svakom polinomu možemo dopisati koliko hoćemo članova ajxi (j> n), ako je samo aj = O (j > n), možemo reći da je svaki ovako shvaćen polinom određen nizom (a o' al' ... , an' O, ... )

(aj tc' R, j = O, l, ... , n, ... ).

Obrnuto, svakom polinomu pripada ovakav jedan niz. Uobičajenom računanju sa preslikavanjima R -+ R (izjednačavanje, sabiranje i množenje), pa specijalno i sa polinomima odgovara jednostavno računanje sa pripadnim nizovima koeficijenata. Zato se bez ikakve teškoće može izvršiti identifikacija polinoma i odgovarajućeg niza koeficijenata toga polinoma. Kad se sve ovo ima na umu, onda ni za trenutak sljedeća definicija ne bi smjela djelovati neobično.

Definicija 2.9. Neka je R komutativan prsten sa e, a R [xl skup svih nizova (a o, al' ... , an, 0, ... )

(aj E R, j

=

jediničnim

elementom

0, l, ... , n; n E N).

Elemente skupa R [xl izjednačujerno i sa,biramo na uobičajeni način, tj. "po komponentama", a množimo ovako:

(a o, al> ... , am) 0, ... ) . (b" bl, ... , b,,, O, ... ) = (c"

Cl' ••. , Cm, n'

O, ... )

ako i samo ako je lc

Ck

=

L ajb"_J

Ck =

0, l, ... , m

+

n).

j_O

Jednostavno se provjerava da R [xl u odnosu na ovako definisano sabiranje i množenje čini komutativan prsten sa jediničnim elementom (e, 0, ... , O, ... ).

Prsten R [xl zove se prsten polinoma nad R u varijabli x. Elementi prstena R [xl zovu se polinomi. Nulaelement prstena R [xl je nulapolinom. Elementi aj prstena R zovu se koeficijenti polinoma (a o' al> ... , an, ... ). Koeficijenti nulapolinoma su svi jednaki O. Ako je (a o' al' ... , an, ... ) = anenulti polinom, onda se deg (a)

=

max {j I aj =F O}

zove stepen polinoma a. Ako je n == deg (a), onda se an zove najstariji koeficijent polinoma a. Za nulapolinom defini~e se deg (O) = - oo. Neposredno se provjerava sljedeća tvrdnja.

50

Propozicija 2.6. Preslikavanje j: R-+R [x], j(a)

=

(a, 0, ... > O, 0, ... ) (a (= R)

predstavlja monomorjizam prstena.

Na osnovu prethodne propozicije može se svako a E R identifikovati sa svojom monomorfnom slikom j (a) = (a, O, ... ) O, ... ) i smatrati polinomom. Time se prSten R identifikuje sa potprstenom Im (f) prstena R [x], pa tako R postaje potprsten prstena polinoma. Polinomi iz R su konstante a = (a, O, .•. , O, ... ). Uz ovu identifikaciju vrijedi sljedeća propozicija, koja nam pomaže da u polinomima iz prethodne definicije prepoznamo izraze građene kao "obični" polinomi.

Propozicija 2.7. Neka je R [x] prsten polinoma u varijabli x nad prstenom R sa

jediničnim

elementom e, a

x

=

(O, e, 0, ... ,.0, ... ).

Tada uz identifikaciju aj = (aj, O, , .•. , O, ... )

(ajER)

možemo polinom a = (ao, al' ... , all' O, ... ) napisati u obliku II

a

=

2: ajx j. j=O

Dokaz. Jednostavno se provjerava da je

----

ci =

x j = (O, ... , O, e, O, ... )

0, 1, ... ),

j

a na osnovu toga omah slijedi II

a = (a o, al' ... , an, O, ... ) =

2: ajxi. j=O

Ako je R potprsten prstena S, tada je

pomoću

polinoma

II

a=

2: ajxiER [x] j=O

moguće

definisati preslikavanje fl

ja: S-+S, j,. (s) =

2: al

(sE S).

j=O

51

Propozicija 2.8. Neka je R potprsten prstena S. Tada preslikavanje R [x] =3 a 1--+ fa E SS predstavlja homomorfizam prstena. Ako je prsten S konačan, ovaj homomorfizam ne mora biti injektivan. Dokaz. 1) Podsjetimo se najprije da se u prstenu Ss računa po komponentama, tj. ovako:

(sES);

f=g8f(s) =g(s)

(sES);

(f+g)(s) =f(s) +g(s) (f. g)(s)

=

f (s) . g (s)

(s E S).

Prema tome, ako je a = b, tj. aj = b, ci = 0, l, ... ), tada je fa (s)

=

n

n

j=O

j=O

2: ajs' = 2: b,sJ =

(s c: S),

fb (s)

tj. fa = fb, pa je preslikavanje a t-+ fa (a E R [x]) dobro definisano. To preslikavanje je homomorfizam prstena, jer n

faH (s) =

2: (a, + b,)

=

Si

j=O

= (fa

+ fb) (s)

m+n

fab (s) =

n

n

j=O

j=O

L ais' + L b,S1 = fa (s) + fb (s) =

(s E S), m+n

lc

lc

L t L ajb,,_j) Sk = L (L

= fa (s) . fb (s)

=

fa+b

=

dakle, 2) Ako je prsten S

konačan,

(fa . fb)(S)

aj s' . bk-, Sk-i) =

(s E S),

fa + fb' fab = fa . fb· recimo S = {sp ... , sn}, tada za R

,~C

S i za

polinom a

vrijedi

=

(x -

Sl) •••

(x - Sn)

fa (s)

=

=

Xn

+ ... + (-

Os (s Ec S), tj. fa

=

l)ns1 ...

Sn

ER

[xl

0,

dok je očigledno anenulti polinom. Posljednja propozicija kazuje da se za svaki potprsten R prstena S polinomi iz R [x] doduše mogu shvatiti kao određene funkcije S ~ S, ali da, u opštem slučaju, dva različita polinoma mogu predstavljati istu funkciju S ~ S. To zapravo znači da, u opštem slučaju, ne vrijedi teorema o identič­ nosti polinorna. Kako ćemo kasnije vidjeti, ona ipak vrijedi u slučaju da je R beskonačno polje. Vidjeli smo da prsten R' = R [x] ima jedinični element. Zato možemo formirati prsten polinoma R' [y] u varijabli y nad prstenom R' = R [x]. Pri 52

tome prsten R [x] smatramo potprstenom prstena R' [y]. Zato se svaki element prstena R' [y] može napisati u obliku n

ln

n

ln

2: (2: aSJ:xJ) yi: = 2: 2: aSJ:xyJ: J:=O j='o

(aJJ: ER).

j=O 11:=0

Prsten R' [y] označava se kratko sa R [x, y] i zove se prsten polinoma nad prstenom R u varijablama x i y. Rekurzivno se definiše prsten polinoma R [Xl' ... , Xn] nad prstenom R u n varijabli Xl' ••• , X". Elementi toga prstena su oblika ,"l

mn

i,-O

;,,-0

L ... 2:

aj, ... ;"X{""

X~n (a/l···s.ER).

Koeficijenti aj"";n gornjeg pofinoma su jednoznačno odredeni. Ako polinom nije nulapolinom onda mu je bar jedan koeficijent različit od nule. Onaj među koeficijentima koji je različit od nule i za koji je suma m = = jI + ... +j,. maksimalna odreduje stepen m dotičnog nenuItog polin~ma.

Zadaci 2.1. Ako u prstenu (R, +,.) vrijedi x 2 = x (x E R), dokazati da je tada 2x = x + x = O (x E R) i da je prsten R komutativan. Uputstvo: Iz (x + X)2 = X + x, tj. iz x· + 2x' + X2 = X + x, na osnovu x" = x slijedi 2x = O (x E R). Iz (x + y)2 = X + y dobija se slično xy + yx = O. Odatle i iz xy + + xy = O slijedi odmah xy = yx (x, y ER). Prsten R sa jediničnim elementom koji ispunjava uslove prethodnog zadatka zove se Bulov prsten (Bool). 2.2. Neka je (R, /\ i V ovako

+, .) Bulov

prsten. Ako u prstenu R definišemo binarne kompozicije

x /\ y = xy, x V.y a unarnu kompoziciju ovako

=

x

+ y + xy

(x, yE R),

I

x'

= e + x (x ER),

tada je (R, /\, V:) algebarska struktura sa ovim osobinama:

= x (idempotentnost) x V y = y /\ x (komutativnost)

x/\x=x x /\ y

x Vx

= y /\ x

(x V y) V z = x V (y V z) (asocijativnost)

(x /\ y) /\ z = x /\ (y /\ z) x /\ (y V z)

=

(x /\ y) V (x /\ z)

x V (y /\ z)

=

ex V y)

/\ (x V z)

x/\O=O

xVO=x

x/\l=x

xVl=!

x/\x'=O

(distributivnost)

xVx'=l x /\ (x V y) = x x V (x /\ y) = x

za svako x, y, z

E

(zakon apsorpcije)

R.

53

UputS!vo: Sve nav~del?'e osobine operacija 1\, V i ' neposredno se provjeravaju. Provjerimo, na prImer, prvu distrIbutivnost. Po definiciji je x 1\ (y V z) = x(y + z + yz) = xy + xz + x (yz), (x 1\ y) V (x 1\ z) = xy ~

xy

+ xz + (xy) (xz) = + xz + x (yz).

xy

+ xz + x 2(yz)

=

Algebarska .struktura (R, 1\, V, ') sa dvije binarne kompozicije 1\ i V i jednom unarnom kompozicijom' za koju postoje elementi O i l u R tako da su ispunjeni gornji uslovi zove se Bulova algebra. 2.3. Neka je X neprazan skup, a R parti tivni skup skupa X. Ako V označava uniju, 1\ presjek, a ' komplementiranje u odnosu na X, dokazati da je (R, 1\, V, ') Bulova algebra i da je O = 0, a l = X. Uputstvo: Sve osobine koje se traže od Bulove algebre jednostavno se provjeravaju kad se imaju na umu dobro poznate osobine operacija presjek, unija ikomplement.

2.4. Neka je (R, xs'

=

x" . s's =? xs"

x's, x's" = x"s'

=

x"s

~

~

x . s's"

=

(x, s) fl (x", s").

Ako, dakle, formiramo skup D X S/lb onda između klasa ekvivalencije [(x, s)JQ E D X S/e, koje ćemo kratko označavati sa [x, sl, i elemenata skupa Ds postoji biunivoka korespondencija: [x,

sl 1-+ fs (x)

. (fs (S»-I.

Otuda je dosta prirodno da kao Ds uzmemo skup DxS/fl svih klasa [x, sj. Samo, kako računati u tom skUpu? Ostanimo Za čas još kod pretpostavke da je tvrdnja propozicije 3.1. tačna. Tada u Ds vrijedi: fs (x) . (fs (s»-1 . fs (y) . (fs (t»)-1

= fs (xy) . (fs (st»-I,

zato što je Ds komutativna polugrupa. Tome bi odgovaralo klasa iz D X S/e:

sljedeće

množenje

[x, s] . [y, t] = [xy, st].

61

Zato ćemo množenje u D X S/e upravo tako i definisati. Ta je definicija korektna. Stvarno, ako je [x, s] = [x', s'J, [y, t] = [y', t'J, tada xs' = x's, ye' = y't, tj. xy· s't' = x·'y' . st, znači

[x, s] . [y, t]

=

[x', s'] . [y', t'].

Prema tome, D X S/e je grupoid. No, množenje u D X S/e je očigledno asocijativno, pa je to zapravo polugrupa. Polugrupa D X S/e ima bar dva elementa. Naime, po definiciji multiplikativnog sistema S, postoje x, y E S za koje je xs # ys (s E S), pa zato [x, s] # [y, s]. Kako je, uz pretpostavku da je propozicija 3.1. tačna, fs (s) . (fs (S))-l jedinični element polugrupe Ds, a njemu odgovara klasa [s, s], prirodno je očekivati da sve klase [s, s] (s E S) budu jed!lake i da predstavljaju jedinični element polugrupe D X S/e. Stvarno je tako, jer

=

[s, s]

[t, t] (s, t E T), zbog st "'-, ts (s, t E S),

[s, s] . [x, t]

=

[xs, st]

=

[x, t], zbog xs . t

=

X . st.

Kako je, dalje, fs ex)

prirodno je

= fs (x)

. fs (s) . (fs (S))-l

očekivati

da

će

= fs

preslikavanje x

~

[xs, s]

predstavljati monomorfizam D-~ D X preslikavanje dobro definisano zbog

=

[xs, s]

(xs) . (fs (s))-l, (x E D, s E S)

[xt, t] 8 xs . t

=

(x t-e D)

S/e.

I to je

tačno.

Najprije je ovo

xt . s (x E D, s, t E S).

Osim toga xy

[xy· s, s]

1-;>-

[xs, s]

=

=

[xy· st, stJ

[yt, t] 8 xs . t

=

yt . s

= ~7

[xs, s] . [yt, t], x

=

y, jer st E S.

Sad možemo uzeti Ds = D X

S/e,

fs (x) = [xs, s] (x E D).

Treba još samo provjeriti uslove 1) i 2). Svako fs (s) = [st, t] ima inverzni element (fs (s))-l = [t, st] u Ds, jer [t, st] . [st, t]

=

[t . st, st . t]

=

[s, s].

Znači,

vrijedi 1). Svaki element u Ds ima oblik [x, s]

=

[x· st, s2t]

=

[xt, t] . [s, st]

= fs

(x) . (fs (S))-l,

a, s druge strane, za svako x E D i svako s E S vrijedi fs (x),

62

(fs (S))-l E Ds, dakle fs (x) . (fs (C))-l E Ds·

Prema tome, vrijedi i 2). Tako je dokazana propozicija 3.1., a time i teorema 3.1. Dokazaćemo sada da polugrupa Ds iz teoreme 3.1. ima ovo univerzalno svojst'vo:

Teorema 3.2. Neka je S multiplikativni sistem polugrupe D, afs ,'D-+Ds homomorfizam polugrupa sa osobinama 1), 2) i 3). Tada za svaki homomorfizam polugrupa J' " D -+ D' sa osobinom 1') SvakoJ'(s)

(SE S) je invertibilno u D';

postoji jedinstveni homomorfizam g " Ds-+ D' za koji vrijedi J' Dokaz. Ako homornorfizam g : Ds-+ D' sa J' mora vrijediti g (fs (x))

= g o fs

=

g o fs.

uopšte postoji, tada

= (g o fs) (x) = J' (x) (x E D),

dakle, g (fs (x) . (fs (S))-1)

= g (fs (x))

. (g (fs (S)))-1

= J' (x)

. (J' (S))-1

za svako x E D i svako s E S. Specijalno, tada je homomorfizam gs jedinstven. Zato ćemo ga i definisati upravo onako kakav mora da bude: g (fs (x) . (fs (s))-1)

= J' (x)

. (f' (S))-1 (x E D, s E S).

Ta )e definicija najprije korektna, jer, prema 1'), J' (x),

(f' (S))-1 E D',

a osim toga, na osnovu 3), fs (x) . (fs (s))-1 = fs (y) . (fs (t))-1 =? fs (xt)

= fs (ys)

::=)

= ys . u =? (3 u E S) J' (x) . f' (t) . J' (u) = . J' (u) =? J' (x) . (J' (s))-1 = J' (y) . (f' (t))-1.

==> (3 u E S) xt . u = J' (y) . J' (s)

Osim toga preslikavanje g : Ds -+ D' je homornorfizam polugrupa, jer g (fs (x) . (fs (s))~l fs (y) . (fs (t))-1) = g (f~ (xy) . (fs (st))-l) =

= J' (xy) . (f' (st))-1 = J' (x) . (f' (S)-1 . J' (y) (f' (t))-1 = g (fs (x) (fs (S))-1) . g (fs (y) (fs (t))-1).

=

Konačno,

= g (fs (x)) = g (fs (xs) . (fs (S))-1) = J' (xs) . (J' (S))-1 = J' (x) (x E D)~

(g o fs) ex) =

dakle, g o fs = J'. Univerzalno svojstvo i osobina l) određuju par (Ds, fs) jednoznačno do izomorfizma. Stvarno, ako je (D', J') još jedan par sa osobinom 1') i sa univerzalnim svojstvom, tada postoje jedinstveni homomorfizmi : f : Ds-+ D' sa osobinom J' = f

o

fs

g : D' -+ Ds sa osobinom fs = g o/,.

63

Odatle slijedi f'=(fog)of'

fs = (g o f) o fs.

No, zbog univerzalnog svojstva para (D', f'), odnosno (Ds, idD , : D' -+ D', odnosno id DS

:

IJ

Ds -+ Ds

su jedini homomorfizmi za koje vrijedi

l' =

idu'°f', odnosno fs= id us

vf~,

pa zato mora biti fog

No, to

znači

=

idD " g of

=

id Ds '

da su preslikavanja f: Ds-+ D'

g : D' ---;>- Ds

jedna drugom inverzna, dakle, izomorfizmi.

Definicija 3.2. Neka je S multiplikativni sistem polugrupe D, afs : D -+ Ds homomorfizam polugrupa sa osobinama 1), 2) i 3). Tada se polugrupa Ds zove generalizirana polugrupa razlomaka polugrupe D u odnosu na multiplikativni sistem S, a fs prirodni homomorfizam. Ukoliko je S regularan multiplikativni sistem, tj. multiplikativni sistem sastavljen samo od regularnih elemenata polugrupe D, tada je fs monomorfizam, pa se D može identifikovati sa potpolugrupom Im (fs) polugrupe Ds, dakle, smatrati potpolugrupom polugrupe Ds. Ako se S sastoji od svih regularnih elemenata polugrupe D (pretpostavlja se da takvih elemenata ima u D), tada sc polugrupa Ds označava sa Q (S) i zove se totalna polugrupa razlomaka polugrupe S. Totalna polugrupa razlomaka polugrupe D može biti čak (Abelova) grupa. To je slučaj upravo onda kad polugrupa D nema singularnih elemenata. Tada govorimo o grupi razlomaka polugrupe D. Prema tome vrijedi sljedeća teorema. Teorema 3.3. Svaka polugrupa D koja nema singularnih elemenata može se uložiti (monomorfno preslikati) u (Abelovu) grupu. Primjer 3.1. a) Neka je D polugrupa, a s zadan regularni element te polugrupe. Tada je skup S = {sn i n = J, 2, ... } multiplikativni sistem polugrupe D. Uz identifikaciju elementa fs (x) sa elementom x možemo reći da se polugrupa razlomaka Ds sastoji upravo od svih elemenata oblika xs-- n E D, n E N).

ex

b) Ako je D multiplikativna polugrupa prstena Z cijelih brojeva, tada je S = Z· multiplikativni sistem svih regularnih elemenata polugrupe D, pa je totalna polugrupa razlomka Q (D), opet uz identifikaciju f., (x) = x, sastavljena upravo od svih elemenata X5- 1 (x E Z, s E Z·), tj. Q (D) = Q je multiplikativna polugrupa racionalnih brojeva. Primijetimo da se Q dobija iz Z i za S = Z+ = {s E Z I s > OJ. e) Neka je Daditivna polugrupa N prirodnih brojeva. Tada jc S = N multiplikativni sistem polugrupe D sastavljen od svih regularnih elemenata te polugrupe. Zato je totalna polugrupa razlomaka Q (D) u ovom slučaju Abelova grupa. Ta grupa sastoji se, uz identifikaciju fs (x) = x, upravo od svih elemenata x - y (x, y E N} i nije ništa drugo do (aditivna) grupa Z cijelih brojeva.

64

Prsten razlomaka Promatraćeino

ovdje samo komutativne prstene R sa bar dva elementa. U skladu sa onim što smo rekli uz definiciju 3.1. uvodimo najprije sljedeću definiciju.

Definicija 3.3. Neprazan podskup S prstena R zove se multiplikativni sistem toga prstena ako ispunjava ova dva uslova: 1)

S,

tES=>stES;

2) O El: S.

Prema tOme~ multiplikativni sistem S prstena R je multiplikativni sistem multiplikativne polugrupe toga prstena. Teoremi 3.1. odgovara kod prstena tvrdnja:

Teorema 3.4. Neka je S multiplikativni sistem prstena R. Tada postoji prsten Rs sa jediničnim elementom i homomorfizam prstena fs : R -+ Rs sa ovim osobinama: 1) Svako fs (s) je invertibilno u Rs;

2) Rs = {fs (x) . (fs (S»~l I xE R, sE S}; 3) Ker(fs) = {xER I (3sES)xS = O}. Dokaz. Rekli smo da je mu1tiplikativni sistem S prstena Rujedno multiplikativni sistem muitip1ikati1Tne polugrupe R toga prstena. Zato prema· teoremi 3.1. postoji mu1tiplikativna polugrupa Rs sa jediničnim elementom i homomorfizampolugupa fs : R-+Rs sa osobinama l), 2) i 3') fs (x) = fs (y) ~ (3 s E S) xs = XS. Dokazaćemo sada da se u multiplikativnoj polugrupi R.~ može definisati sabiranje tako da Rs postane prsten (sa jediničnim elementom)~ a da fs : R-+ -+ Rs bude homomorfizam prstena. Uzmimo najprije da je to moguće, pa pogledajmo kako bi trebalo da izgleda sabiranje. Prema uslovu 2) moralo bi biti

fs (x) . (fs (S»-1

+ fs (y) . (fs (t»-l = fs (z) . (fs (u»-I,

dakle, (fs (Xl)

+ fs (ys»

. (fs (st»-1

= fs (z)

-.

. (fs (U)}-I,

odnosno fs (xt

To

znači,

+ ys) . (fs (st»-1 = fs (z) . (fs (u»-I.

treba. da bude

fs ex) . (fs (s»-1

+ fs (y) . (fs (t»-1 = ls (xt + ys) • (fs (st»-l.

Zato ćemo sabiranje u Rs upravo tako i definisati. Jednostavno se provjerava da na taj način Rs postaje prsten a fs : R -+ Rs homomorfizam prstena . za koji vrijedi l), 2) i 3'). 65

Nakon toga treba još samo pokazati da su uslovi 3) i 3') ekvivalentni. Stvarno, ako vrijedi 3'), tada x EKer (fs) q fs (x) = fs (O) (= O) q (3 s E: S) xs = Os

= O

pokazuje da vrijedi 3). Obrnuto, ako vrijedi 3), tada se iz fs (x)

= fs (y)

q x - Y EKer (fs) q

(3 s E S) (x -- y) s = O, tj. xs = ys

vidi da vrijedi 3'). Tako je teorema 3.6. dokazana. Par (Rs, fs) ima univerzalno svojstvo: Teorema 3.5. Neka je S multiplikativni sistem prstena R, a (Rs, fs) par prstena Rs i homomorfizma prstena fs : R ->; Rs sa osobinama 1), 2) i 3) iz teoreme 3.4. Tada za svaki par (R',/,) prstena R' i homomorfizma pn tena /' : R -']J> R' sa osobinom 1') Svako /' (s) je invertibilno uR'; postoji jedinstveni homomorfizam prstena g: Rs ->; R' za koji vrijedi /'

= g o fs.

Dokaz. - Multiplikativni sistem S prstena R je ujedno multiplikativni sistem multiplikativne polugrupe R prstena R, dok je multiplikativna polugrupa prstena Rs polugrupa razlomaka polugrupe D u odnosu na S, a homornorfizam po1ugrupa fs : R ->; Rs prirodni homornorfizam. Multiplikativna polugrupa R' prstena R' i homornorfizam polugrupa /' : R ->; R' ispunjavaju uslove teoreme 3.2. Zato postoji jedinstveni homomorfizam po1ugrupa g : : Rs->; R', za koji vrijedi/, = g o Is. Treba još samo dokazati da je g : Rs->; ->; R' i homornorfizam prstena. Stvarno, g (fs (x) . US (S))-1 = /' =

(xt

+ ys)

+ fs (y) . Us (l))-I)

= g (fs (xt+ ys) . Us (Sl))-I) =

. (f' (Sl))! = /' (x) . (f' (5))-1

+/' (y) . (f' (l))-1

=

g (fs (x) . (fs (s))-I) . g (fs (y) . (fs (t))-I).

Kao i kod polugrupa dokazuje se slično da je par (Rs, I,) osobinom 1) iz teoreme 3.4. i univerzalnim svojstvom iz teoreme 3.5. jednoznačno određen do izomorfizma.

Definicija 3.4. Neka je S multiplikativni sistem prstena R, a (Rs, fs) par prstena Rs i homomorfizma prstena fs : R ->; Rs sa osobinama 1), 2) i 3) iz teoreme 3.4. Tada se Rs zove generalizirani prsten razlomaka prstena R u odnosu na S, afs : S ->; Rs prirodni homomorfizam. Ako je S regularan multiplikativni sistem, tada se iz uslova 3) vidi da je prirodni homomorfizam fs injektivan, pa se tada prsten R može izjednačiti sa potprstenom Im (fs) prstena Rs. U tom slučaju Rs je prsten razlomaka, a ako se S sastoji od svih regularnih elemenata prstena R (pretpostavlja se da ih ima l), R) je totalni prsten razlomaka prstena R i označava se za Q (R). ~ko prsten R nema netrivijalnih djelitelja nule, tada je Q (R) polje, koje se zove polje razlomaka prstena R. Vrijedi, dakle,

66

,

Teorema 3.6. Svaka oblast R može se uložiti (monomorfno preslikati) u neko polje. Primjer 3.2. a) Polje racionalnih brojeva Q je polje razlomaka prstena Z cijelih brojeva, a Js : Z -+ Q, Js (x) = xl} = xsls (x E Z, s E Z·) prirodni monomorfizam.

b) Ako je P prost ideal prstena R, P "# R, a S = R" P, tada je S multiplikativni sistem prstena R. Odgovarajući prsten razlomaka Rs označava se često i sa Rp. Prsten Rp ima tada jedan jedini maksimalni ideal i on je generisan skupomJs (P), dakle, jednak Js (P) . Rp. e) Ako je R = K [Xl' ••• , Xn] prsten polinoma u n varijabli Xl, ..• , Xn nad poljem K, tada je R oblast. Polje razlomaka Q (R) zove se polje racionalnih Junkcija u n varijabli Xl> ••• , Xn nad poljem K. Za ovo polje uvodi se oznaka K (Xl> • •• , xn). Svaki element polja K(x l , ••. , xn) ima oblik ls (a (Xl' •••• Xn» . (Js (b (X, • •••• Xn)) I, za koji je, uz identifi. kaciju fs (a (Xl' •••• Xn» = a (X, • ••• , Xn). uobičajena oznaka .

a (Xl' ••• , XII) . (b (x" ... , Xn»-l = a (Xl> • •• , xn)lb (Xl> • •• , xn). Pri tome su a (x" . .. , x,,), odnosno b (x" . .. , XII) proizvoljan, odnosno proizvoljan nenulti polinom iz K [Xl> ••• , xn].

Zadaci 3.1. Neka je Z prsten cijelih brojeva, a K proizvoljno tijelo. Dokazati da je preslikavanje Z -+ K, J (z) = ze (z E Z, e jedinični element tijela K) homomorfizam prstena i da: a) Ker(!) = (p) (p karakteristika tijela K);

J:

h) Im (j) je prosto podtijelo P tijela K, ako p "# O; e) postoji jedinstveni izomorfizam g : Q -+ P sa g I Z Uputstvo: Neposredno se provjerava da je

= J,

ako je p

=

O.

J : Z -+ K homornorfizam prRIaL

a) Prema zadatku 2.12. Ker(!) = (p). b) U svakom slučaju je ImCf) najmanji potprsten tijela K koji sadrži jecliDibd element e, dakle lm (j) C;;; P. No, ako je p "# O, tada je p prost broj, pa je Im (j) ~ Z/K•.(f) polje, dakle, Im(j) = P. e) Ako je p = O. tada Ker (J) = (O). tj. J: Z ~ P je monomorfizam prstena, pa. ato što je Q (polje racionalnih brojeva) polje razlomaka prstena Z, tj. Q = Zs za S - {l, 2•... }. može monomorfizam J : Z ~ P jednoznačno produžiti do monomorfizma 6 : Q .... ~ P. No. Im (g) je potpolje tijela P. kao izomorfna slika polja Q. dakle. g: Q .... P pred· stavlja izomorfizam. Iz prethodnog zadatka vidimo da je svako prosto tijelo P karakteristike p "# O izomorfno sa prostim poljem Z/(p) ~ ZP' a svako prosto tijelo P karakteristike p = O izomorfno je sa prostim poljem Q racionalnih brojeva. Prema tome, svako prosto tijelo je komutativno i do izomorfizma je odredeno svojom karakteristikom. 3.2. Neka je R komutativan prsten sa jediničnim elementom e, a A "# R ideal prstena R: Dokazati:

,a)

Skup d svih multiplikativnih sistema prstena R koji se ne presijecaju sa A nije prazan i sadrži maksimalni element u odnosu na inkluziju ; b) Ako je S maksimalni multiplikativni sistem prstena R koji se ne presijeca sa AJ tada je P = R " S prosti ideal prstena R i to je minimalni prosti ideal koji sadrži A. Uputstvo: a) Skup d nije prazan, jer {e} je multiplikativni sistem prstena R koji se ne presijeca sa A. Ako je (S/)iE I lanac iz d, tada je S = U Si E d, tj. skup d je induktivno iEI

ureden relacijom inkluzije, pa na osnovu Cornove leme (Zorn) postoji bar jedan maksimalni element skupa d. b) Ako je S maksimalni element skupa d, tada je P = R" S proet ideal prstena R. Sigurno je P"# 0, jer AC;;; P. Osim toga x, Y E P ~ - X + Y E P, jer zbog X Et S, multiplikativni sistem S' = {sx!' : s E S, k :> O} strogo sadrži SJ pa postoji J E S,

67

m > O sa sx m E A, a zbog y It- S, multiplikativni sistem S" = {syk : s E S, k > O} strogo sadrži S, pa postoji t E S, rl > O sa tyn E A. Na osnovu toga vidi se da st (- x + -;-. .1')"'+" E A. Odatle, zbog st E S, slijedi ~- x -I y Et S, tj. - x + y E P. Dalje, x E R, y E p-~) xy E P, jer x E R, ty" E A povlači t (xy)" E A pa zbog t E S ne može biti xy E S, dakle vrijedi xy E P. Osim toga x tf:. P i Y tf:. P ~ x, y E S ~ xy E E S ~ xy tf:. P. Prema tome, P je prosti ideal prstena R i P :2 A. Kad bi postojao prosti ideal P' prstena R sa A r;;:; P' P, tada bi S' = R ~ P' bio multiplikativni sistem prstena R sa S e S' i A n S' = 0. Prema prethodnom zadatku za svaki ideal A # R komutativnog prstena R sa jediničnim elementom e postoji minimalan prosti ideal P koji sadrži A. No, postoji i maksimalan (prosti) ideal M koji sadrži A. O tome govori sljedeći zadatak.

e

3.3. Neka je A # R ideal komutativnog prstena R sa

jediničnim

elementom e. Dokazati:

a) Postoji bar jedan maksimalni ideal M prstena R koji sadrži A; b) Ideal Mol R je maksimalan ako i samo ako je RIM polje; e) Svaki

mak~imalni

ideal AI prestena R je prost.

Uputstvo: a) Skup 13 svih ideala B # R prstena R koji sadrže dati ideal A # R nije prazan, jer A E 13. Osim toga skup 13 je induktivno uređen relacijom inkluzije. Zato u skupu (]l prema Cornovoj lemi postoji maksimalni ideal M.

b) Ako je M # R maksimalni ideal prstena R, tada je RIM komutativan prsten sa jedielementom e + NI. Iz druge teoreme izomorfije (v. zadatak 2.10) slijedi da prsten RIM nema netrivijalnih lijevih ideala, pa je zato prsten RIM tijelo, dakle, polje. Uostalom, ako je a + M E RIM, a -j- M # O + M, tj. a q= M, tada ideal (a) + M :J M, dakle, (a) i- M = R, pa postoje elementi b E R, 111 E M takvi da vrijedi ab + m = e, tj. ab - e = -~ /rl E M. No, to znači da je a + M E RIM invertibilni element i da je njegov inverzni element b -I- M. Ohrnuto, ako je R,'M polje, tada prsten RIM nema netrivijalnih ideala, pa je na osnovu druge teoreme izomorfije ideal M sadržan jedino u M i u R, tj. M je maksimalni ideal prstena R. ničnim

e) Ako je M maksimalni ideal prstena R, tada je RIM polje, dakle, sigurno prsten bez netrivijalnih djelitelja nule, pa je M prost ideal (v. zadatak 2.9). 3.4. Neka je R komutativan prsten, a N = N (R) skup svih nilpotentnih elemenata prstena R, tj. takvih elemenata x E R za koje postoji n = 11 (x) > O sa xn =- O. Dokazati: a) N je ideal prstena R; b) N je presjek svih prostih ideala prstena R; e) Prsten RIN nema nenultih nilpotentnih elemenata. Uputstvo: a) Noi 0, jer O E N; x,y E Nec) (3m,n X

E R, y E N

~)

> O)xm =yn =

O~

(3m,n > 0)(-

=

xnyn

=

(3 n > O) (xy)n

XnO

=

X

+y)m+n

= O=~

- x +YEN;

O c~ xy E N.

h) Ako je P prosti ideal prstena R, tada x E N =;- (3 n > O) x" = O E P =' (311 > O) x· y"-I E P ~7 (3 n > O) x E P \i X,,-l E P itd. dakle, svakako x E P. Prema tome, N je sadržano u presjeku svih prostih ideala prstena R. Sad je dovoljno dokazati da je svaki element iz tog presjeka nilpotentan. Neka je X takav element. Kad x ne bi bilo nilpotentno, skup {xn I n > O} bio bi multiplikativni sistem prstena R. Taj sistem sadržan je u nekom maksimalnom multiplikativnom sistemu S prstena R koji se ne presijeca sa idealom (O), pa bi P = R '" S bio prosti ideal prstena R koji ne sadrži x (v. zadatak 3.2). e) Ako je x + N ERIN nilpotentan element, tada (3 ln > O) (x + N)m = O + N, tj. x"' E N. No, tada (3 n > O) xmn ~ O, dakle x E N, tj. x -j- N = O + N. Ideal N = N (R) iz prethodnog zadataka zove se mali radikal ili nilradikal komutativnog prstena R. Pored malog radikala N = N (R), promatra se i veliki radikal J = J (R) prstena R, koji se zove i Džekopsonov mlikal prstena R (Jacobson) a definiše se kao presjek svih maksimalnih ideala prstena R, ako ih uopšte ima, odnosno kao sam prsten R, ukoliko maksimdnih ideala uopšte nema. Ovo posljednje može biti slučaj samo kad R nema jedinič­ nog elementa.

68

3.5. Neka je R komutativni prsten sa jediničnim elementom e, a J radikal prstena R. Dokazati: a) x E J CR) ,'-) CV y E R) 1

+ xy

= J CR) Džekopsonov

E R*, tj. invertibilno u R;

b) Za svaki ideal A prstena R

A c;;, J CR)

{=';

CV a

E A)(3 a' E R) a

+ a' + aa' =

O;

e) N CR) ~ J CR).

Uputstvo: a) Ako xEJ CR), tada xEM za svaki maksimalni ideal M prstena R, dakle, ,CVy E R)CV M) xy E M, pa CVy E R)Cnon3M) l + xy E M, dakle,CVy E R) 1 + + XYE R*. Ukoliko x Et J CR), tada C3 M) x Ef M, pa ideal Cx) + M strogo sadrži M, tj. vrijedi Cx) + M = R. No, tada postoji z E R, m E M, 1 = xz + m, dakle, 1 + x C- z) = =m Ef R*.

+

b) Ako A ~J CR), tada a E A =} a E J CR), pa 1 a = 1 + ae E R*, dakle postoji + a)~1 = 1 + a' za neko a' E R. No, tada cl + a) cl + a') = l {='; a + a' + aa' = O. Obrnuto, ako za svako a E A postoji a' E R sa a + a' + aa' = O, tada x E A =} xy E A Cy E R) =} 1 + xy E R*(y E R) =} x E J CR), dakle A ~J CR). (1

e) Ako je R komutativan prsten sa jediničnim elementom, tada je svaki maksimalni ideal M prstena R prost i maksimalni ideali postoje Cv. zadatak 3.3), pa je jasno d~ N CR) c;;, J CR), jer je N CR) presjek svih prostih, a J CR) presjek samp svih maksimalnih ideJa prstenaR. Uostalom, ideal A = N (R) ispunjava uslov iz b). Naime, a E A ~C? C3 n > O) an = = O ~ C3 n > O) (1 + a)-1 = 1 - a + a 2 - ••• + (- t)lI-la"-t, pa za a' = - a + a 2 - ... + C- l)n-l a n- 1 E,R vrijedi a + a' + aa' = O. Napomenimo da se za element a E R za koji postoji a' E R sa a + a'\- aa' = O Ci u nekomutatlvnom slučaju) kaže da je (desno) kvazi-reguI4ran. pa i kad R nema jedinični element.

e

4. EUKLIDOVI I GAUSSOVI PRSTENI. PRSTENI GLAVNIH IDEALA Prsten Z cijelih brojeva i prsten K [x] polinoma u varijabli x nad poljem K odlikuju se osobinom da se u njima može dijeliti sa ostatkom, koji se može mjeriti na dosta prirodan način. U prvom prstenu ta mjera je apsolutna vrijednost cijelog broja, a u drugom stepen polinomil, dakle oba puta cio nenegativan broj. Situacija koju srećemo u ova dva važna primjera povod jc za promatranje čitave jedne klase prstena, tzv. Euklidovih prstena. Pokazuje se da su svi ideali Euklidovog prstena glavni, ali ovu zanimljiv1f osobinu imaju i neki prsteni koji nisu Euklidovi. Svi takvi prsteni čine klasu prstena glavnih ideala. Vidjećemo da svi prsteni glavnih ideala imaju ipak jednu lijepu osobinu (Euklidovih) prstena Z i K [x] : i u njima se, kao i u prstenima ,Z i K [x] može, i to u izvjesnom smislu jednoznačno, svaki nenuIti element razložiti na nesvodljive faktore. Klasa prstena sa ovom posljednjom osobinom nešto je šira od klase prstena glavnih ideala. Nju čine tzv. Gaussovi prsteni. Euklidovi prsteni i prsteni glavnih ideala Ovdje ćemo posmatrati samo komutativne prstene sa jediničnim elementom koji nemaju netrivija1nih djelitelja nule, tj. samo oblasti.

69

+, .) zove se Euklidov prsten ako

Definicija 4.1. Prsten (R, vanje

postoji preslika-

R-+Nu {O}

'p:

sa ove dvije osobine: l) (Va, bER') 'p (ab) ~'P(a);

2) (Va, b E R, b ,e O) (3 q, rE R) a = qb + r ; r = O V 'p Cr) < 'p Cb); Uslov 2) ne garantuje samo mogućnost dijeljenja sa ostatkom, jer ta moguć­ nost postoji u svakom prstenu R, nego osim toga traži da ostatak bude u nekom smislu manji od djelitelja, ako već nije jednak O. Uslov l) predstavlja određen zahtjev na mjeru 'p kojom mjerimo ostatak. Primjer 4.1. a) Rekli smo da je prsten Z cijelih brojeva Euk1idov prsten. U tom prstenu, naime, preslikavanje rp : Z

--7

rp (xy)

=

rp (x)

N U {O},

=

Ix I

(x E Z)

ima osobinu rp (x) . rp (y) :> rp (x)

(x, y E Z').

Osim toga, za date cijele brojeve x, y E Z, y # O, postoji tačno jedan cijeli broj q takav da broj x leži u poluotvorenom razmaku [qy, qy + I y I), pa za r = x - qy E Z vrijedi x

+ r;

= qy

r =0 V I r I

< I y I.

b) Neka je R [x] prsten polinoma u varijabli x nad prstenom R. Za nenuIti polinom a

cco

(a o, au ... , an> ... ) E R [x]

definisali smo stepen polinoma a

= max {j I aj # O},

deg (a)

dok smo za nulti polinom stavili deg (O) = -

CIJ

+a

= a

+ (-

CIJ)

= -

CIJ

CIJ.

+ (-

Ako uvedemo dogovor CIJ)

= -

CIJ,

(a ER),

onda za svaka dva polinoma a, b E R [x] vrijedi deg (ab)

(4.1)

=

deg (a)

+ deg (b).

Ako je jedan od polinoma a, b nulapolinom, onda je to i ab, pa je tada jednakost (4.1) jasna na osnovu gornjeg dogovora. Ako, međutim, vrijedi deg (a)

=

m

:> O, deg (b)

n

=

:> O,

tj. ako su a i b nenulti polinorni, dok je am

# O, odnosno bn # O

najstariji koeficijent polinoma a, odnosno b, tada je c m +n = am .

bn # O

najstariji koeficijent polinoma c = ab = (co,

Cu ••• , Cm + n'

O, ••. ).

Relacija (4.1) kazuje da preslikavanje rp : R [x],

70

--7

N U {O}, rp (a)

= deg (a)

(a E R [x],)

ima sigurno osobinu (a, b E R [xl").

tp (ab) ;;;. tp (a)

Ako su a, b zadani polinomi, pri čemu je b nenuiti polinom sa najstarijim koeficijentom koji je jedinica prstena R-; tada se dobro poznatim postupkom dijeljenja polinoma polinomom mogu naći polinomi q i r za koje vrijedi a = qb

+ r,

r

=

O V tp (r) < tp Cb).

Medutim, svaki nenulti polinom b iz prstena R [x] J;lema najstariji koeficijent jednak jedinici prstena R, osim ako je R polje. Zato iz onoga Što smo rekli slijedi samo da je prsten polinoma K [x] u varijabli x nad poljem K Euklidov prsten. e) Prsten Z [i] = {a + ib I a, b E Z} je takoder Euklidov prsten. Stvarno, prsten Q [i] = ,,= {a + ib I a, b E Q} je polje (r,azlomaka prstena Z [i]), pa za date elemente a + ib, e id prstena Z [i], od kojih je ovaj posljednji različit od nule, postoji ct + ifJ E Q [i]

+

takav da vrijedi a

No, ct,

fl

su racionalni

~rojevi,

+ ib =

(ct

+ ifJ) . (c + id).

pa postoje cijeli brojevi

I, g sa

1

osobinom

l

\«-/I"2",lfl-gl"i' dakle, a

pri

čemu

+ ib = cl + ig)· (c + id) + «ct '- f) + i ({J -

g)) . (c

+ id),

je

«ct - f) + i (fJ ao, osim toga za tp (a 'JI «(IX - /)

+ ib)

+ i (fl (3a', b'ED) e

=

bb'

=

(aa') b' = a . (a'b').

2) Relacija""'" je refleksivna i tranZlt1vna, jer je ,....., presjek relacija I i l-l, a ove dvije relacije su refleksivne i tranzitivne, kako smo već ustanovili (za relaciju I , a time i za relaciju l-l). Osim toga, relacija "" = Ir l-l je očigledno simetrična.

3)

Konačno,

vrijedi (4.2). Naime,

a "" b =:;, a I b, b I a =:;, (3 a', b' E D) b = aa', a = bb', pa kako je

sb = b = aa' = (bb') a' = (a'b') b,

'12

mora biti a'b'

=

e, tj. b'

= uE D'!

I b =? a '" b.

Definicija 4.4. Za element p E D"'-.D* bilan, ako vrijedi (4.3)

=

reći ćemo

da je nesvodljiv ili ireduci-

ab =? aED* V bED*,

tj. ako element p nema netrivijalnih faktora (faktora koji nisu ni jedinice, niti su asocirani sa p). Za element p E D '" D* kažemo da je prost ili prim (element), ako vrijedi p I ab =? p I a V p I b.

(4.4)

U polugrupi (1:, .) prosti i nesvodljivi elementi su jedno te isto. To su zapravo prosti brojevi ili njima suprotni brojevi. U opštem slučaju vrijedi samo

Propozicija 4.3. Svaki prosti element p polugrupe D je nesvodljivo Dokaz. - Neka je p (cc D* prost element. Tada p

=

ab

=}

p I ab :::} p I a V p I b,

a, s druge strane, p = ab

~ a

I p 1\

b I p,

pa prema tome vrijedi p

=

ab

~

a '" p V b ,....., p,

a to je isto što i (4.3). Kako je već u polugrupi (Z', .) razlaganje na nesvodljive faktore jedinstveno samo do poretka i asociranosti faktora, prir04:lno je da i u opštem slučaju jedinstVenost razlaganja na nesvodljive faktole shvatamo u smislu ove definicije. Definicija 4.5. Neka je a E D. Ako je

(4. S)

a

=

u . Pl' ... Pr (u E D*, p, E D nesvodljivi elementi),

onda ćemo prikaz (4.5)elementa a zvati razlaganje elementa a na nesvodljive faktore. Razlaganje (4.5) i razlaganje e (4.5') smatraćemo

a

= 'v .

ql ... q. (v t: D*, q1 ED nesvodljivi elementi)

ekvivalentnima ako je r

=

s i (3 JJ; E Sr) q, "" Pn(~) (i

= 1, 2" ... , r). 73

Polugrupa D, u kojoj se svako a E D može razložiti na nesvodljive faktore i to tako da su svaka dva razlaganja ekvivalentna, zove se polugrupa sa jedinstvenom Jaktorizacijom ili Gausova polugrupa.

Teorema 4.1. Polugrupa D je Gausova ako i samo ako ispunjava ova dva uslova:

1) Uslov stacionarnosti : Za svaki niz al' a2, ... , aj) ... (al E D, a 1+1 I ai' i postoji prirodan broj n sa osobinom al

f""-'

an Ci

=

=

n

1, 2, ... )

+ 1, n + 2, ... ).

2) Svaki nesvodlJivi element p E D je prost.

Dokaz. - Dokazaćemo najprije da su u svakoj Gausovoj polugrupi D ispunjeni uslovi 1) i 2). Uzmimo proizvoljan niz a2' ... , a p

al>

••.

(aj F D, ai+l I aj) i

=

1, 2, ... ).

Ako grupišemo asocirane nesvodljive faktore u razlaganju elementa žemo to razlaganje napisati u obliku

al =

Ul'

slično

razlaganje

ai = Ul . Plml(i) ... ptmt(i) CU; E D*, O ~ mk Ci)

mk (i

mo··

PT'·· ·P7't(u I ED*, mk ~ 0, Pk ,.., Pi' k =/=-j).

Kako aj I al' za ai imamo

Pri tome je, zbog

al>

ai+!

~

mk)'

I ai'

+- 1) ~ mk Ci) (k =

1,2, ... , t; i = 1,2, .... ).

a osim toga aHI

f""-'

aj 8 mk Ci

+ 1)

Sad se samo treba sjetiti da je svaki

= mk (i) (k = 1, 2, ... t).

opadajući

mk (1) ~ mk (2) ~ ... Ck

niz

= 1, 2, ... , t)

nenegativnih cijelih brojeva stacionaran, tj. postoji prirodan broj n sa osobinom mk

pa da se

(i) =

zaključi

mk

Cn)

ci =

n

+ 1, n + 2, ... ;

k

= 1, 2, ... , t),

da vrijedi

ai "-' an

ci = n +

1, n

+ 2, ... ).

Znači, Gausova polugrupa ispunjava uslov 1). Dokažimo da ona ispunjava i uslov 2). Neka je p E D",D* nesvodljiv clement polugrupe D i neka p I ab, tj. ab = p . c. Tada iz razbganja

a = u . Pl ... pr> b = v . ql

. . . qs' C

=

W • p~

... p;

dobijamo dva razlaganja

ab = uv . Pl ... Pr . ql ...

74

qs

=

W •

P . p~ ... P;

elementaab na nesvodljive elemente. Zbog ekvivalentnoti tih razlaganja mora nesvodljivi faktor p iz drugog razlaganja biti asociran sa nekim faktorom Pc ili ql prvog razlaganja, a to upravo znači da P I a V P I b, pa je P prost element. Obrnuto, ako su u polugrupi D ispunjeni uslovi 1) i 2), tada je D Gausova pol~grupa. To slijedi iz ove dvije leme.

Lema 4.1. Ako je u polugrupi D ispunjen uslov 1) prethodne teoreme, tada se svako a -= D može razložiti na nesvodljive faktore.

Dokaz. - Neka je a proizvoljan element iz D. Tada, u slučaju a E D*, a sigurno ima razlaganje na nesvodljive faktore, naime a = a. U slučaju a EE D* postoji nesvodljivi faktor Pl elementa a. Ako je, naime, a nesvodljiv element, to je jasno. U protivnom slučaju postoji razlaganje . a

=

al . a' (al' a' E D",p*).

Ako al nije nesvodljiv element, tada imamo razlaganje al

=

a2 ' a" (a 2, a" E D",D*)

itd. Na ovaj način dobija se niz al' a2 , • • • elemenata iz D sa osobinom al+l/a l • ali, zbog a(I+l> tC: D",D*, aHI ~ ai' Zato, zbog uslova 1), ovaj niz mora biti konačan. Njegov zadnji element, označimo ga sa Pl> je zbog toga nesvodljiv, jer bi se inače niz mogao nastaviti. Tako imamo

a = Pl • bl (Pl E D nesvodljiv element, bl Cc: D). Ako je bl E D*, dobili smo razlaganje elementa a na nesvodljive faktore. Inače, postoji nesvodljivi faktor P2 elementa bl) pa imamo a = Pl • PI . bj (Pl> P2 E D nesvodljivi elementi, b2 E D)

itd. Na ovaj način dobija se opet niz bl> b2 , ••• elemenata iz D sa osobinom bHI I bi' ali bi+1 ~ bi' jer Pi EE D*. Ovaj niz zato, na osnovu uslova 1), mora biti konačan, pa ako mu je br zadnji član, onda je br = Pr . br+ l (br+! E D*), tj. imamo razlaganje

a = u . Pl • P2 ... Pr (U = bHI E D*) elementa a na nesvodljive faktore, što sm~i željeli da pokažemo.

Lema 4.2. Ako je u polugrupi D ispUnjen uslov 2) teoreme 4.1, tada su, za S'lJtlki element a polugrupe D, svaka dva razlaganja elementa a na nesvodljive faktore ekvivalentna. Dokaz. - Neka le a proizvoljan element polugrupe D u kojoj je ispunjen uslov 2) teoreme 4.1. Indukcijom u odnosu na r dokazaćemo da su tada svaka dva razlaganja (4.5) i (4.5') ekvi~alentna. Ako je r = O, to je jasno, jer bi u slučaju s > O svako qj bilo invertibilno, a to je nemoguće. Neka je sada r > O i tvrdnja tačna za r - 1. Zbog uslova 2) nesvodljivi element Pr je prost, pa kako Pr I V • ql •.. q., postoji j, Pr I qj' tj. Pr ,...., ql' jer je qj nesvodljiv element. Eventualnom prenumeracijom faktora u razlaganju (4.5') možemo postići da bude Pr ,...., q., pa ako je q, = u' Pr> nakon skraćivanja sa Pr' dobijamo u . Pl ... P,-l = VU' • ql ... q,-l'

75

Odatle, na osnovu pretpostavke indukcije, dobijamo T-l = $ T = $, a, nakon eventualne prenumeracije faktora, ql"'" q.-l'

-

1, tj.

Skupa sa Pr ,...., qr ovo dokazuje našu lemu. Primijetimo da iz egzistencije razlaganja na nesvodljive faktore ne slijedi automatski i jedinstvenost ovakvog razlaganja. To pokazuje ovaj jednostavni primjer (Primjer 4.2. b)). Primjer 4.2. a) Multiplikativna polugrupa D konstatovali, je Gausova polugrupa.

z·

=

već

prstena Z cijelih brojeva, kako smo

b) Neka je R = Z [iv'dl prsten svih brojeva oblika a + ibVd, pri čemu je a, bEZ, dok je d fiksan prirodan broj, za koji, u slučaju d > 1, uzimamo da nije potpun kvadrat. Ako je D = R', tada je D* = {l, - l} za d> 1, a D* = {l, - 1, i, - i} za d = 1. Stvarno, u slučaju d > 1, iz (a

+

ibVd)' (a'

+ ib'

vd) = 1

slijedi, nakon konjugovanja i množenja, (a"

dakle,

a2

+ b"d) . (a" + b'2d) =

+ b2d =

1, tj.

a

=

± 1,

1, b

= O.

{l, - l}. Obrnuto, {l, - l} ~D*, dakle D* se u slučaju d = 1 dobija D* = {l, ,- 1, i, - i}. Polugrupa D ispunjava uslov stacionarnosti. Stvarno, ako niz

To

znači, D*~

=

{l, - l}.

Slično

ima osobinu

tada iz

slijedi

No, tada je niz a~

elemenata Gausove po!ugrupe osobinom

a;a

z·

+ b;d

(j = 1, 2, ... )

stacionaran, a to

+ b;Z d =

1 (j = n

znači

da postoji prirodan broj n sa

+ l, n + 2,

...),

dakle, a;

+ ib; Vd E

D*

ci = n + 1, n + 2, ..•),

pa Je l polazni niz elemenata polugrupe D takoder stacionaran. Prema lemi 4.1. može se zato svako a E D razložiti na nesVodljive faktore.'

78

Uzmimo sada d = S. Razlaganje na nesvodljive faktore u D sada nije jedinstveno. Stvarno, clement 9 E D ima bar ova dva neekvivalentna razlaganja na nesvodljive faktore: 9

= 3 . 3 = (2 + i vs) . (2 - i Vs).

Naime, iz 3

(a

=

+ ibVS)' (c + id vS)

slijedi 3 = (a - ib vs) . (c - idv5),

a odatle množenjem 9

-

(a'

=

+

Sb') . (c'

+

SdS).

Zato je a'

+

Sb' = 1,

c'

+

Sds = 9 ili al

+

Sb! = 9,

dakle, a

+ ib VS E

D* ili c

+ id

vS

To znači da je 3 nesvodljiv element polugrupe D. Posve slično zaključuje se da je svaki od elemenata 2 + i polugrupe D. Kon~čno je, zbcg D* = {l, - l}, jasno da 3"" 2 ±

Cl

+

SdI = I.

E D*.

vs, 2 - i VS nesvodljiv element iVS.

GBusovi prsteni Za svaku oblast Rimamo multiplikativnu polugrupu D = R·. Djeljivost i asociranost u R definiše se kao djeljivost i asociranost uR'. Osim toga, zbog O == O . x (x E R), uzima se da je element O djeljiv svakim elementom x iz R. Prosti, odnosno nesvodljivi elementi polugrupe R' zovu se prosti, odnosno nesvodljivi elementi prstena R. Na taj način može se u svakom prstenu R govoriti o razlaganju elementa a E R' na nesvodljive faktore. U vezi sa tim uvodimo ovu definiciju: \

Definicija 4.6. Prsten R zove se prsten sa je4fioznalkom jaktorizacijom na nesvodljive elemente ili Gausov prsten, ako je R' Gausova polugrupa, tj. ako se svako a E R' može prikažati u obliku proizvoda jednog invertibilnog elementa i konačno mnogo nesvodljivih elemenata iz R i ako su pri tome svi faktori u takvom prikazu do poretka i asociranosti jednoznačno odredeni. Djeljivost u prstenu R u vezi je sa glavnim idealima toga prstena. Naime, vrijedi Propozicija 4.3. Za proizvoljne elemente a, b, u, p prstena R vrijede ove ekvivalentnosti: 1) alb~(a)d(b)~bE(a); 2) a,....,b~(a)

=

(b);

3) uER* ~ (u) = R;

4) P je prost element

~

CP) je netrivijalan prost ideal;

5) p je nesvodljiv element ~ (p) je maksima/an glavni ideal, različit od (O).

77

Dokaz. 2) a

~

1) a; b (-'; (j af ER) b

= a· af b,.:: (a)

b cp (ro) > cp (rl) > ... nenegativnih cijelih brojeva je konačan, pa je zato konačan i niz jednakosti (*). Ako je (**) zadnji član niza (*), tj. ako vrijedi (***), tada rk I rk-l' pa prema tome rk I rll:- 2 itd. Na kraju se, idući nizom (*) odozdo prema gore, zaključuje da rk I b, rao la. Iz zadnje od jednakosti (*) može se rk prikazati "linearno" pomoću rll:-2 i rk-l' pa kad se iz predzadnje jednakosti r k - l slično prikaže pomoću rll:- 3 i r k - 2 i to uvrsti u prethodni prikaz elementa rh pomoću r k- 2 i rll:- 1 ' dobiće se "linearan" prikaz elementa rk pomoću r k - 3 i r k - 2 itd. Na kraju se dolazi do r ll = ax + by. Odavde se vidi da d' ER', d' I a, d' I b =? d' I rk'

pa je stvarno rk '"-' N.z.m. (a, b). Ilustrovaćemo upravo opisani postupak na konkretnom primjeru: R = Z,a = 36, b = 15. Sada niz (*) ima samo dva člana:

jer je

36

=

2 . 15

15

=

2.6

+ 6,

6

< 15,

+ 3, 3 < 6,

6 = 2· 3.

Znači,

3 = 15 - 2 . 6 = 15 - 2 '(36 - 2 . 15) = 5 . 15 - 2 . 36.

Prsten polinoma nad Gausovim prstenom Ako je K polje, tada je K [x] Euklidov, a time i prsten glavnih ideala, dakle i Gausov prsten. Kako je K, kao polje, sigurno Euklidov, dakle, prsten glavnih ideala, a time i Gausov prsten, moglo bi se pomisliti da je tačna sljedeća tvrdnja: Ako je R Euklidov, odnosno Gausov, odnosno prsten glavnih ideala, tada je to i prsten polinoma R [x]. Pokazaćemo da le tačna samo jedna varijanta te tvrdnje:

Teorema 4.3. Ako je R Gausov prsten, tada je takav i 'prsten poZinama R [x]. Dokaz ove teoreme provešćemo u nekoliko koraka. Najprije uvedimo pojam primitivnog polinoma: '

Definicija 4.9. Neka je R Gausov prsten, a

f

(x) = aoxn

+ alx n- 1 + ... + an E R [x].

Tada se m

Cf) '" N.z.m. (a o' al' ... an)

zove mjera poZinoma f Cx). Ako je m (f)'"-' e, tada se kaže da je polinom primitivan.

f

(x)

Prvi korak u dokazu teoreme 4.3. je ova

Lema 4.3. (Gausova Zema). Proizvod dvaju primitivnih poZinoma je opet primitivan poZinom.

82

Dokaz. - Ncb je svaki od polinoma / (x) E R [x] i g (x) = boX"

+ bl X-- 1 + ... + b",ER [x]

primitivan, a

= eox"H .. + elx"u~+ ••. + C..+••

/. g

Zbog m (f) ,...., e, m (g) ,...., e, za svaki prosti element p E R vrijedi (3 .) P I a o' . . . , p I aH' ali p k ai'

(3 J) WO' ... ,p I bl-l' ali p kb). Tvrdimo da tada p k ei+l' Naime,

Ci+} = ~ aJ:bi+I-J: k 1, K [x" ... , xn-ll

nije polje, pa zato K [x" ... , xnl nije prsten glavnih ideala.

Nesvodljivi elementi prstena K [x]. Nule polinoma Vidjeli smo da je, za svako polje K, prsten K [x] Euklidov, dakle, sigurno, i Gausov prsten. Linearni polinomi x - a E K [x] su sigurno nesvodljivi elementi prstena K [x]. U opštem slučaju, međutim, nesvodljivi polinoml prstena K [x] ne moraju biti linearni. Vrijedi sljedeća teorema.

Teorema 4.4. Neka je K polje. Tada su sljedeći uslovi ekvivalentni: l) Svaki polinom f ex) E K [x] stepena deg Cf) ~ l ima u K bar jednu nu/u; 2) Svaki prosti polinom f ex) E K [x] je linearan; 3) Svaki polinom f ex) E K [x] stepena deg Cf) ~ l je proizvod linearnih polinoma; 4) Ako je K potpolje polja L, tada svako ~ E L koje je nula nekog po/inoma f ex) E K [xr obavezno pripada polju K. Dokaz. - l) =':> 2). Neka je f ex) E K [x] prost polinom. Tada je deg Cf) pa, prema l), postoji bar jedna nula a E K toga polinoma. Neka je

f

(x) = q (x) . (x - a)

pri čemu je q (x) E K [x], a r = O ili deg (r) Tada je r = f (a) = O, dakle

f No,

f

f

~

l,

+ r,

< deg (x

- a) = l, dakle r E K.

(x) = q (x) . (x - a).

(x) je nesvodljiv polinom U K [x], znači, q (x) E K [x]' i polinom

(x) je lineara.-'l.

2) ===> 3). Kako je K [x] Gaussov prsten, svaki polinom f (x) E K [x] stepena deg (f) ~ l je proizvod nesvodljivih polinoma iz K [x]. No, prema 2), svaki nesvodljivi polinom iz K [x] je linearan, pa je svaki polinom f (x) E K [x] Itepena deg Cf) ~ l proizvod linearnih polinoma iz K [x]. 3) ===> 4). Neka je K potpolje polja L, a IX E L nula nekog polinoma f ex) E E K [x) stepena deg Cf) ~ 1. Prema 3),

f pa iz slijedi

(x)

=

ao . (x - aJ ... (x - a.. ) (u K [x]),

o =f(a.) =

ao ' (a. - al)'"

(~-

a.. ) (u L)

(3 i) ~ - aj = O, tj. ~ = aj E K. 4) =} l). Kad ne bi vrijedilo l) postojao bi nesvodljivi polinom f (x) E K [x] toji u K nema nijednu nulu. Vidjećemo kasnije da se za svaki takav polinom f (x) može konstruisati polje L tako da je K potpolje polja L, a da L sadrži bar jednu nulu ~ polinoma f (x). Kako ~ El: K, to bi se protivilo uslovu 4). Primijetimo da polja K sa osobinama iz prethodne teoreme stvarno postoje.

88

Takvo je, r;J.a primjer, polje e kompleksnih brojeva, što slijedi iz osnovne teoreme algebre, koju ovdje navodimo bez dokaza:

I (x) E e [xl stepena deg Cf) ~ 1 z'ma u po/ju e kompleksnih brojeva bar jednu nulu. Istaknimo da polje Q racionalnih, ni polje R realnih brojeva nemaju nipošto sličnu osobinu. Naprotiv vrijedi

Teorema 4.5. Svaki polinom

Teorema 4.6. Za svaki prirodan broj n postoji nesvod/iiv polinom I (x) E Q [xl stepena deg (f) = n. Svaki nesvod/iivi polinom I (x) E R [xl je linearan ili kvadratan. Dokaz. - Neka je n proizvoljan prirodan broj, a I (x) = xn - 2 E Q [xl. Za n = 1 taj polinom je linearan, dakle, nesvodljivo Ako je n > 1, taj polinom nema u Q [xl linearnih faktora, jer mu nijedna nula ne leži u Q. No, to još ne znači da je ovaj polinom nesvodljiv u Q [xl, pa tu činjenicu moramo dokazati na drugi način. U tu svrhu dokazaćemo dvije sljedeće leme.

Lema 4.5. (Ajzenštajnov krz'terij - Eisenstein). Neka je R (GatISov) prsten, a I (x)

== aoxn + a 1x"- 1 + ... + an E R [xl.

Ako postoji prost element p E R sa osobinom: p I al' ... ,p I an, alzo p %aD, p2 %an, tada u R [xl ne postoje poHnomz' g (x) z' h (x) sa osom'nom

I

(x)

=

g (x) . h (x), deg (g)

~

1, deg (il)

.Dokaz. - Neka je,naprotiv, za polinome

+ bl X"'-l + ... + bm, bo cux n -", + c1x,,-m- 1 + ... + C m • Co

g (x) = b():l:'n

h (x) =

iz R [xl

tačna

fI -

*

> 1.

0, m

~

1,

!= 0, n - m

>1

jednakost

I(x)

== g (x)· h (x).

Tada, zbog

-.

vrijedi

S druge strane, zbog an =

vrijedi sa

isključivim

bm • cn - m' p

I an, ali p2 %a .. ,

"ili" p I bili ili P

I Cn- m·

Pretpostavimo da

p I bm , ali p %C n - m • Kako p %bo, postoji indeks i sa osobinom p I bm, P Ibm-l' ... , p I biH' ali p %bi'

87

Tvrdimo da tada p ,r a m -- n ,i' što je, zbog n - m sa pretpostavkom o polinomu / (x). Zbilja,

rječno

L

an-m+i =

biCk = biCn-m

+i ~ n -

m

> 0, protiv-

+ j>i j+k=n-m+i

j+k=n-m+i

jer k ~ n - m, dakle j ~ i, pa zato, zbog p I an-m+i. mora vrijediti p I biCn-m, tj. p I bi' jer p,r Cn-m' p I bj ci> i). U slučaju Gausovog prstena R značaj Ajzenštajnovog kriterija proističe iz ove leme. Lema 4.6. Nekaje R Gausov prsten, a K polje razlomaka prstena R. Ako za poZinom / (x) E R [x] stepena deg Cf) > 1 ne postoji razlaganje lex) = g (x) . h ex), deg (g) ~ 1, deg (h) ~ 1 u R [x], tada je polinom / (x) nesvodljiv u K [x] i obrnuto. Dokaz ove leme zahtijeva rezonovanje slično onome iz dokaza teoreme 3.3. pa čitaocu ne bi smjelo biti teško da ga sam provede. Vratimo se sada dokazu teoreme 4.6. U ovom slučaju imamo Gausov prsten R = Z i njegovo polje razlomaka K = Q. Polinom / (x) = xn - 2 ispunjava uslove leme 4.5. za prost broj p = 2. Zato je taj polinom nesvodljiv u Q [x]. Tvrdnja "teoreme koja se odnosi na polje R dokazuje se ovako. Neka je / (x) E R [x] proizvoljan nesvodljiv polinom. Ako je taj polinom linearan, onda nema šta da dokazujemo. U protivnom slučaju on se u e [x] razlaže na linearne faktore n

/ (x) = ao .

Il (x

-

IXi ) (IX)

E e, j

=

1: 2•... , n).

j=l

Operacija konjugovanja u polju Dakle, vrijedi

e

ostavlja polinom / (x) E R [x] na miru. PI

lex)

= a o ' Il (x

- a.~).

j=l

Zbog

jednoznačnosti

razlaganja na nesvodljive faktore u

e [x]

vrijedi

(V j) (3 k = k (j)) x - IX, ....., X - ~k' tj. IX, = ~k' jer su u pitanju normirani polinomi, pa iz njihove asociranosti sUjedi jednakost. Za realno IX). k (j) = j, a inače k (j) -=F j, pa imaginarne nule dolaze u parovima IX}, IXIc(J)

=

~}'

Za svaku imaginarnu nulu (x -

IXi ) .

IX,

polinoma / ex) imamo kvadratni polinom

(x - ~})

=

x2

(IX,

-

+ ~}) + a., E R [x] X

IX,

koji je nesvodljiv u R [x], jer bi inače u R [x] imao bar jednu nulu. Osim toga taj polinom dijeli/ex) (u R [x]), pa iz nesvodljivosti polinoma lex) u R [x] slijedi lex)

= a o (x

tj. / (x) je kvadratni polinom.

88

-

IX,)'

(x - ~J)'

U dokazu teoreme 4.4. vidjeli smo da, za svako polje K, vrijedi Lema 4.7. (Bezuo'va ceorema-Bezout). Neka je J (x) E K [x], deg Cf) Tada.it a E K nula polinoma f ex) ako i samo ako ex - a) l f ex).

~

l

'.'

Definicija 4.10. Neka je K polje, a J (x) E K [x], deg (f) ~ 1. Tada reći da a E K predstavlja nulu polinoma f (x) mestrukosti ", ako

ex -

a)'

ćemo

IJ (x), ali (x - a)-+1 .r J (x) (u K [x}).

Teorema 4.7. PoZinom J(X)EK[x] stepena deg(f) = n ~ 1 ima u polju K najme n različitih nula. Ako su al> a 2 , ••• , am E K ree različite nule polinoma

"m respektivno,

J (x) mestrukosti "1' ".' ... ,

I(x) = (x - al)"' ...

pri

čemu

ex -

tada vrijedi

a.f.

"g (x)(u K [x}),

polinom g (x) E K [x] nema u K nijednu nulu.

Dokaz. Neka su najprije al> a2•• •• , a. različite nule polinoma f (x) višestrukosti 1'lJ 1'1" •• , "., respektivno. Tada, prema samoj definiciji, (x - aj)'j l I (x) (u K [x]), j

= 1, 2, ... ,

m.

No, polinomi (x - aJ)!Ij su relativno prosti, pa zato i njihov proizvod dijeli (x), dakle vrijedi

f

I

(x)

=

(x -

alr•... (x -

am)-m • g (x) (u K [x]).

Odatle, specijalno, dobijamo

n

= deg(f) ="1 + ... +"m + deg.(g),

dakle,

m

!'(

"1 + ... + "m

!'(

n.

Prema tome, polinom f (x) ima u K najvi§e n = deg (f} različitih nula. Pretpostavimo sada da polinom J (x) u polju K nema drugih nula do al' ... , am' U tom slučaju polinom g (x) nema u K nijednu nulu. Ako je, naime, a E K nula po1inoma g (x), tada je to nula i polinoma f ex), dakle, a = aj za il!!ko j !'( m. No: tada

a to je nemoguće. Znači, g (x) nema u K nijednu nulu. Primijetimo da u slučaju K = R polinom g (x), ako nije konstanta, mora biti proizvod nesvodljivih kvadratnih polinoma, dok je u slučaju K = e polinom g (x) obavezno konstanta (jednaka najstarijem koeficijentu polinoma I (x». Sad možemo lako dokazati najavljenu teoremu o identičnosti polinoma.

ex),

Teorema 4.8. Neka je K polje, a f g (x) E K [x]. Ako polje K ima me nego n = max {deg (f), deg (g)} elemenata, tada su poZinomi f (x) i g (x) identični

na K, tj. (V aEK)

JCa) = g (a), 89

ako i samo ako je f (x) = g (x), tj. ako su jednaki.

odgovarajući

koeficijenti tih polinoma

Ako su odgovarajući koeficijenti polinoma f (x) i g (x) jednaki, onda su, bez posebne pretpostavke o broju elemenata polja K, ova dva polinoma očigledno identična na K. Obrnuto, neka su polinomif (x) i g (x) identični na K i neka K ima više nego n = max {j (x), g (x)} elemenata. Kad polinomi f (x) i g (x) ipak ne bi bili jednaki, tada bi h (x) = f (x) - g (x) bio nenulti polinom stepena' deg (h) ~ n, pa bi zato u polju K mogao imati najviše deg Ch) različitih nula. S druge strane. svako a E K je nula polinoma h (x), pa kako K ima više nego n elemenata, imao bi polinom h (x) u polju K više nego deg (h) različitih nula. Dobijena protivrječnost pokazuje da mora biti h (x) = O, tj. f(x) = g (x). Dokaz. -

Zadaci 4.1. Neka je R Buklidov prsten, a rp : R' -+ N U {O} preslikavanje iz definicije Buklidovog prstena. Dokazati: a) Jedinice prstena R su upravo oni elementi a iz R' za koje je rp (a) b) Ako su elementi a, b prstena Rasocirani, tada rp (a)

=

= min

{rp (x) : x E' R'} ;

rp (b);

c) Ako za element p prstena R vrijedi rp (p) = min {rp (x) : x E' R; x

(V x E' R')p I x V N.z.m. (x, p) '" e.

El:

R*}, tada

Uputstvo: a) Ako je a jedinica prstena R, a x E' R', tada x = xa-la povlači rp (x) = = rp (xa-l. a) ;;. rp (a), dakle rp (a) = min {rp (x) : x E' R·}. Obrnuto, ako za a E R' vrijedi rp (a) = min {rp (x) : x E' R'}, tada iz e = qa + T, T = O V rp (T) < rp (a) slijedi r = O, tj. a I e, pa je a jedinica prstena R.

b) Ako a ~ b, tada a = rp (b).

=

eb, b

=

e-l. a (e E' R*), dakle rp (a) ;;. '('(b), rp (b) ;;;. rp (a), tj.

rp (a)

c) Neka x = qp + T, T = O V rp (T) < rp (p). Ako T = O, tada p I x. Ako T #- O, tada rp (r) = rp (e), tj. T je jedinica prstena R. No, tada x p (- q) = T, tj. T-IX+T- l ( - q) p = e,

+

odakle se vidi da je N.z.m. (x, p) '" e. 4.2. Neka je R prsten glavnih ideala, a, b, e E' R. Dokazati:

a) Diofantova jednačina ax + by N.z.m. (a, b) ~ d vrijedi d I e;

=

e ima u R bar jedno rješenje x, y ako i samo ako za

b) Akoje N.z.m.(a, b) -d,a = a 'd, b' = b'd,axo,yojednorješenjejednačineax tada opšte rješenje te jednačine ima oblik x

=

Xo

+ b'z,

y

=

+ by

=

e,

(z E' R).

Yo - a'z

Uputstvo: a) Ako je N.z.m.(a, b) '" d, tada (a, b) = (d), pa postoje x', y' E' R sa ax' + + by' = d. Ukoliko d I e, tj. (3 e' E' R) e = de', tada x = e'x', y = e'y' predstavlja jedno rješenje jednačine ax + by = e. Obrnuto, ako jednačina ax + by = e ima bar jedno rješenje x, y u R, tada iz d I a, d I b slijedi d I e.

b) Ako je xo, y. jedno, a x, y bilo koje drugo rješenje jednačine ax + by = e, tada ax + + by = ax. + by., tj. a (x - xo) = b (Y. - y), dakle, nakon skraćivanja sa d, a' (x - x.) = b' (Y. - y). Kako su a' i b' relativno prosti, a osim toga a' I b' (yo - y), odnosno b' I a' (x - x.) odatle dobijamo: x - Xo = b'z, Y. - Y = a'z'. dakle a'b'z

Prema tome, x

90

=

x.

=

a'b'z',

+ b'z, y

=

zj.

z

Y. - a'z

=

z'. (z E' R).

4.3. Neka su a, b, e elementi Gausovog prstena R. Dokazati: a) Ako je e relativno prosto sa a i sa b, tada je e relativno prosto i sa ab; b) Ako a I e, b I e, a elementi a i b su relativno prosti, tada ab I e. Uputstvo: a) Kako je e relativno prosto sa a i sa b, nijedan prosti faktor p elementa e ne dijeli ni a, ni b, dakle ni ab. Zato je e relativno prosto sa ab. Ukoliko je R prsten glavnih ideala, možemo rezonovati i ovako: Kako je e relativno prosto sa a i sa b, postoje elementi x', y', x" i y" E R za koje vrijedi ax'

+ ey' = e,

bx"

+ ey" =

e.

Odatle množenjem dobijamo abx'x"

što

znači

+ e . (ay"x' + bx"y' + ey'y") = e,

da su elementi ab i e relativno prosti.

b) Ako a I e, tada (3 e' E R) e = ae'. Kako b I e, tj. b I ac', a osim toga a i b su relativno prosti, svaki prosti faktor p elementa b mora dijeliti e', dakle b I e', tj. (3 e" E R) e' = bc". Prema tome (3 e" E R) e = abe", pa ab I e. Ukoliko je R prsten glavnih ideala možemo rezonovati i ovako. Kako su a i b relativno prosti, postoje elementi x, y E R za koje vrijedi ax

+ by

=

e, dakle ex

+ be'y = e'

pri čemu zbog al e vrijedi e = ac'. Kako b I e iz jednakosti ex tj. (3 e" E R) e' = be", pa prema tome e = abe", kao i gore.

+ be'y

=

e' slijedi b I e' '

4.4. Neka su A i B ideali (nekomutativnog) prstena R sa jediničnUn elementom e. Tada su A (J B i A -t B = {a + b : a E A. b E B} ideali prstena R. Isto tako A . B = - {2'alb, : E A, b, E B} je ideal prstena R (Provjerite I) Za ideale A i B kaže se da su relativno prosti, ako vrijedi A + B = Ce). Dokazati:

a, Ako je e relativno prosto sa A

e

a) i B. tada Je relativno prosto i sa AB; b) AB ~ A (J B, a ako su ideali A i B relativno prosti, i AB-:JBA. tada vrijedi AB = A (J B; 'c) Ako je R prsten glavnih ideala, tada su A = (a) i B = (b) relativno prosti ako i samo ako su elementi a i b relativno prosti. Uputstvo: a) Ako je A + e = Ce) i B + e = Ce), tada postoje elementi a E A, b E B, e', e" E e takvi da vrijedi

+ e' = e, b + e" = e, dakle ab + ae" + e'b + e'e" = e. + e'b + e'e" = e E e, ab E AB, vrijedi takoder.AB + e =

a

Kako je _ae" (e). b) Kako je a,b, E A n B (a, E A, bl E B), jer su A i B dvostrani ideali, a svaki element. iz AB ima oblik 2'aib" jasno je da vrijedi AB ~ A n B. Ukoliko su ideali A i B relativno prosti, tada postoji a E A, b E B tako da vrijedi a + b = e. Zato za svako e E A n B vrijedi e = ec = ac + be E AB, jer ae E AB, be E BA ~ AB. Znači, AnB~AB, a kako obrnuta inkluzija vrijedi uvijek, sada imamo AB = A n B. -. 4.S. Vidjećemo kasnije da se za svaki potinom f (x) E K [x] može naći polje L koje sadrži K kao svoje potpolje tako, da se f (x) (ukoliko nije konstanta) razlaže u L [x] na linearne faktore. Koristeći se tom činjenicom dokazati: a) Ako za potinom f (x) E K [x] definišemo izvodni polinom f' ex) E K [x] ovako: n

f

(x) =

i=1l

tada vrijede

uobičajena

(a . f (x»,

n

L ileX' =7 f' (x) = L ja/xi-l, . i=1

pravila diferenciranja:

=

(J(x) + g (x», = f' (x) + g' (x), a . f' (x), (J(x)· g (x», = f (x) . g' (x)

+f' ex) . g (~). 91

b) N.z.m.(f(x), J' (x)) '" e (u K [x]) ili ima u L bar jednu višestruku nulu.

(isključivo

"ili") postoji polje L:::> K tako da f (x) -

e) J' (x) = O ako i samo ako postoji polinom g (x) EO K [x] tako da vrijedi f (x) gdje je p karakteristika polja K. Uputstvo: a) Direktno se provjerava polinorna.

polazeći

= g

(xP),

od gornje formalne definicije izvodnog

b) Ako postoji polje L::::J K u kome f (x) ima bar jednu višestruku nulu, tada u L [x] vrijedi

f (x)

(x - a)" . g (x),

=

v

> I.

Odatle se dobija

J' (x)

=

v . (x - a)"-l . g (x)

+ (x

pa prema tome f (x) iJ' (x) imaju u L [x] netrivijalni N.z.m. (f (x),

J' (x))

". e

- a)" g' (x),

zajednički

faktor (x - ay-l. Dakle,

(u L [x]).

No, N.z.m. polinomaf (x) i J' (x) koji pripadaju prstenu K [x] određuje se poznatim Euklidovim algoritmom, pa ne zavisi od polja L::::J K. Dakle, vrijedi N.z.m. (f(x), J' (x)) ". e (u K [x]). Obrnuto, ako N.z.m.U (x), J' (x)) '" d (x) ". e (u K [x]), a L d K polje za koje se f (x), pa i d (x) razlaže u L [x] na linearne faktore, tada svaka nula IX EO L polinoma d (x) predstavlja višestruku nulu polinoma f (x). n

e) J' (x)

=

L iaixi-1 = O

(=}

('V i) ai

= O V p I i.

Znači J' (x)

= O ako i samo ako f

i~1

=

L p Ii

92

a!xi = g (xP), pri čemu je

19 (x)

=

L aixi/P EO K [x]. pJi

(x) =

II. VEKTORSKI PROSTORI I MODULI l. VEKTORSKI PROSTOR, MODUL. PODMODUL, POTPROSTOR.

Pojam vektorskog prostora i modula

U skupu V običnih slobodnih vektora, koje prikazujemo orijentisanim dužima, imamo, pored sabiranja vektora, još jednu "hibridnu" operaciju. To je množenje vektora skalarom, realnim brojem. Čitaocu bi ove dvije operacije morale biti dobro poznate. Podsjećamo da u odnosu na sabiranje skup V čini Abelovu grupu. Što se tiče ove druge operacije, koju možemo shvatiti kao preslikavanje (1.1) K X V -+ V, (IX, x) ~ lXX (IX E K, x E V), sjetimo se da ona ima ove osobine: (1.2)

=

(IX

+ y)

=

IX

(fl x)

IX

(x

P) x, (IX + P) x = lXX

lXX

+ {Jx,

+ IXY,

. lx = x, za svako IX, {J E K i svako x, y E V. Tu smo sa K označili polje realnih brojeva, a sa 1 jedinični element polja K. Iznad latinskih slova, koja predstavljaju vektcre, nismo pisali uobičajene strelice, jer se i bez toga vektori jasno razlikuju od skalara koje smo označili grčkim· slovima. Srcšćemo mnogo drugih primjera u kojima se, u suštini, pojavljuje jeći'na aditivna Abelova grupa V, jedno polje K i operacija (1.1) sa osobinama (1.2). oni opravdavaju sljedeću opštu definiciju.

lh/i";cija 1.1. Neka je dat skup V = {a, b, ... , x, y, ... } i skup K = '- {ot, p, . .. }. Preslikavanje oblika (1.1) zovemo (spoljašnja) operacija u V nad K. Reći ćemo da skup V sa unutrašnjom kompozicijom + i operacijom u V nad K čini vektorski ili linearni prostor nad K ako je (V, +) Abelova grupa, • K polje, te ako operacija u V nad K ima osobine (1.2) za svako x, y E V i • ft8lw ot. PE K. Govorićemo kratko da je V vektorski prostor nad K. EJe:mtatc vektorskog prostora V nad poljem K zovemo vektm, a elemente polja K ..ka/ari. Nulaelement aditivnegrupe V označavamo • ~ i zovemo ga nulav,luor. a vektor lXX proiZ'Vod skalara ot i v,1utIN s.

93

Pokazuje se kao svrsishodno uopšten;e pojma vektorskog prostora koje se sastoji u tome da se umjesto polja K uzme komutativan prsten R sa jedinič­ nim elementom. Tako se dolazi do pojma unitarnog modula V nad prstenom R ili, kratko, unitarnog R-modula. U uopštenju se ide i dalje, pa se od prstena R ne traži da bude komutativan, a ni da ima jedinični element, odnosno, ako ga ima, onda se obavezno ne insistira na uslovu lx = x, zbog kojeg uz naziv ,,modul" dolazi "unitarni". U slučaju nekomutativnog prstena zamjena uslova ot (fl x) = (oc fl) x uslovom oc C{J x) = (jJ Ot) x bitno mijenja situaciju, pa se u vezi sa ovim uslovom razlikuju, u slučaju nekomutativnog prstena R, lijevi i desni R-moduli. Mi ćemo uzimati da je prsten R komutativan i da ima jedinični element, pa nemamo potrebe da pravimo razliku između lijevih i desnih R-modula. Kako ćemo, osim toga, promatrati samo unitarne R-module, nema potrebe da posebno ističemo riječ "unitaran" , pa ćemo je sasvim ispuštati. Primjer 1.1. a) Već smo imali u vidu, prije same definicije, jedan primjer vektorskog prostora. To je bio vektorski prostor V običnih, slobodnih vektora nad poljem K realnih brojeva. b) Ako je K potpolje (R potprsten) nekog prstena V sa jediničnim elementom l, tada V možemo shvatiti kao vektorski proator (modul) nad poljem K (prstenom R). Naime, V je..ai;urnQ aditivna Abelova grupa. OJim toga elemente iz V umijemo množiti slijeva elementima iz K (iz R), jer su i jedni i drugi iz V. Odmah se vidi da su osobine tog množ"enja upravo takve da V čini vektorski prostor (modul) nad poljem K (prstenom R). Pri tome, u slučaju da je V samo prsten, a ne tijelo, treba pretpostaviti da se jedinični element tog prstena podudara sa jediničnim elementom polja K (prstena R). Tako je, specijalno, polje kompleksnih brojeva moguće shvatiti kao vektorski prostor nad samim sobom ili nad poljem realnih ili nad poljem racionalnih brojeva, ali i kao modul nad prstenom cijelih brojeva. Svako polje K može se shvatiti kao vektorski prostor nad samim sobom, a svaki prsten R sa jediničnim elementom kao R-modul. c) Ako je X neprazan sk\lp, a Y modul J;Uld prstenom R, tada u skupu V = YX svih preslikavanja X -+ Y, pored$abiranja definisanog kao u primjeru l, 1.2. d), možemo na prirodan način definisati operaciju u V nad R: (a., f)

1-+

a.i,

(a.J) (x) =

a. (f(x»

(x E X).

Nije teško provjeriti da se na taj način dobija R-modul yx. Ako, specijalno, umjesto Y uzmemo polje K (realnih ili kompleksnih brojeva), dobićemo vektorski prostor V svih funkcija definisanih na X, koje primaju vrijednosti iz polja K (realnih ili kompleksnih brojeva). Ukoliko je X = {l, 2, ... , n}, a Y = R, tada elemente iz V možemo identifikovati sa n-članim nizovima elemenata prstena R. Ti nizovi se, kako smo ranije vidjeli, izdjednačuju i sabiraju po komponentama. No, oni se tako i množe elementima iz R: a. .

(OI:lJ 01:2, ••• ,

a.n )

=

U ovom specijalnom slučaju R-modul V prostor Kn nad poljem K.

(a. .

OI:lJ

a.' a.., .•. , a.' a. n ).

označavamo

sa Rn. Za R = K imamo vektorski

Uopšte. ako je zadana familija R-modula (Yi)i E lo tada u direktnom proizvodu V =

Q

Yi

skupova Yi (i E J) možemo definisati sabiranje ~ mno.žen;: skalarim~.~z R "po komponentama". Tako dobijamo R-modul V koji se zove direktni prOizvod famIlIJe. R-modula CYI)i E \ U specijalnom slučaju Yj = Y Ci E J) on se svodi na R-modul yI. Ak~ J.e 1..= {1.2 •...• n umjesto YI koristimo oznaku YI X ... x Y n ili Y, EB ... EB Y n. ne IStlČUCl ponovo opera-

n

iEl

cije R-modula. kao što to nismo činili ni u oznaci

n

iEl

94

YI.

Ako j~ V modul nad prstenom R, tada za svako ex E R i svako x E V vrijedi (1.3)

(~ = OR V X = O) ~ exx

= Ov;

(1.4)

... ex (- x)

= (- ex) x = -

(exx).

Stvarno, ako je x proizvoljan element iz V, tada je

0RX

= (OR + OR) x = 0RX + 0RX,

dakle ORx = Ov,

jer je Vaditivna grupa. Slično

za proizvoljan element ex iz Rimamo

ex . Ov = ex . (Ov + Ov) = exO v + exO v, dakle OtO v = Ov' Time je relacija (1.3) dokazana. Primijetimo da u slučaju vektorskog prostora V, tj. u slučaju kad je R polje K, u toj relaciji možemo znak implikacije :::} zamijeniti znakom ekvivalencije {:9. Naime, ako je exx = Ov, a ex =F O. tada postoji ex-l, pa iz ex-l. (exx) = ex-lOv = Ov, ex-l. (exx) = (ex- l ex) x = lx = x, slijedi x = Ov. Dokažimo još relaciju (1.4). Iz exx -I- (- ex) x

=

(ex

+ (- ex)

x

= 0RX

=

=

= Ov,

Ov,

odnosno iz exx

+ ex ( -

x) = ex (x

+ (-

x»

exOv

slijedi (- ex) x = - (exx), odnosno ex (:- x) = - (exx).

Linearna kombinacija Neka je V modul nad prstenom R, (exl )iel familija skalara, a (Xi)iel familija elemenata iz V. Ako su članovi prve familije, osim eventualno konačno mnogo njih, jednaki OR' tada pr~a (1.3) to isto vrijedi za familiju (exIXi)iel (sa Ov umjesto OR)' Zato je potpuno odredena suma posljednje familije. Uz tu pretpostavku o familiji skalara uvodimo važan pojam linearne kom-, binacije familije elemenata modula.

Definicija 1.2. Suma I:iel ex' Xi zove se lmeat'na kombinacija familije (xi)iel' Skalari ex' ci E' I) zovu se koeficijenti te lineame kombinaciJe. . Kako smo rekli, medu ovim koeficijentima je samo konačno mnogo različitih od OR' Ako su svi koeficijenti linearne kombinacije jednaki OR' onda , kažemo da je ta linearna kombinacija trivijalna. Prema samoj definiciji, svaka linearna komhinacija familije elemenata R:-modula V je odredeni element iz. V. Trivijalna linearna .kombinacija jednaka je Oy.Primijetimo da smo u svakoj aditivnoj Abelovoj grupi definisali i sumu prazne familije. Ta suma jednaka je nulaelementu te grupe. Zato imamo i linearnu kombinaciju prazne familije svakog R-modu1a. Kako ona, zapravo, nema koeficijenata, možemo i tu kombinaciju smatrati trivijalnom. To je 95

jedina linearna kombinacija prazne familije. Međutim, svaka neprazn~ f~­ lija, pored trivijalne, ima bar još jednu (nettivijalnu) linearnu kombmaclju. Kao jednostavnu vježbu prepuštamo čitaocu dokaz ove propozicije. Propozicija 1.1. Neka je V modul nad prstenom R. Za svako svake dvije linearne kombinaq'je jz V vn'jedj:

Specijalno, za

IX

EiEI lXiX;

+ E;EdJiXi = EiE1(lXi + (Ji) Xi;

EiEI lXiX;

+

EiEI IXY;

IX EiEI lXiXi

=

EiEl (IX' lXi)Xi'

=-

=

EiEIlXi (X;

IX

E R i za

+ Yi);

I, vrijedi -

EiEllXlXi

=

EiEl ( - lXi) Xi'

Uopšte, ako je, za svako iE I, data linearna kombinacija E'EJ {JIx,> tada je EiEIlXi (EjEJ {J1Xj)

=

E jEJ (EiEI lXi{J{)Xj.

Podmodul i potprostor Čitalac se na primjeru polugrupa i prstena morao navići da uočava podstrukture date algebarske strukture. Zato ne osjećamo potrebe za posebne pripreme čitaoca na ovu definiciju.

Definicija 1.3. Neka je V modul nad prstenom R, a S neprazan podskup od V. Reći ćemo da je skup S zatvoren ili stabilan u odnosu na operacije iz V, ako ispunjava ova dva uslova:

(1.5) x, YES~ X + YES; (1.6) IX E R, X E S ~ lXX ES. U tom slučaju skup S nasljeđuje od V operaciju sabiranja i operaciju množenja elementima iz R. Ukoliko je pri tome S modul nad R u odnosu na ove operacije, onda se kaže da je S podmodul R-modula V. U slučaju vektorskog prostora umjesto podmodul a imamo potprostor. Zanimljivo je d'l iz same zatvorenosti nepraznog podskupa S slijedi da je S podmodul R-modula V. Naime vrijedi

Propozicija 1.2. Neprazan podskup S R-modula V je podmodul toga modula ako i samo ako ispunjava uslove (1.5) i (1.6). Ti uslovi ekvivalentni su sa uslovom (1.7) IX, {J EC R, x, Y":: V =" lXX + {Jx ES. Dokaz. - Ako je S podmodul R-modula V, tada su, prema samoj definiciji ispunjeni uslovi (1.5) i (1.6). Obrnuto, neka su za neprazan podskup S ispunjeni uslovi (1.5) i (1.6). Tada je S podmodul R-modula V. U S su tada definisane operacija sabiranja i operacija množenja elementima iz R. Očigledno te operacije imaju osobine (1.2) samim tim što ih imaju njihova proširenja na V. Zato treba dokazati da je S podgrupa aditivne Abelove grupe V, tj. d'l osim (1.5) vrijedi xES~ -xES. To odmah slijedi iz (1.6) za IX =-1. 96

Dokažimo, na kraju, da su uslovi (1.5) i (1.6) skupa ekvivalentni sa uslovom (1.7). Ako su ispunjeni uslovi (1.5) i (1.6) tada je S podmodul R-modula V, pa zato sigurno vrijedi i (1.7). Obrnuto, ako vrijedi (l.7), tada vrijedi (l.5) i (1.6). Uslov (1.5) dobJja se iz (l.7) za oc = {J = l, a uslov (l.6) za (J = OR' Primjer 1.2. a) Za svaki R-modul V su S ~ {Ov} i S = V podmoduli modula V. To su tzv. trivijalni podmoduli. b) Ako je (XI)IE I data familija elemanta R-modu~a V, tad!l skup S syih linearnih kombinacija te familije ima, prema propoziciji 1.1. o50b1l1e (1.5) I (1.6). To Je, dakle, podmodul modula V. Taj podmoduloznačićemo sa [(Xi)!E/l ili kratko [Xj]iEI. Ako, specijalno, za V uzmemo vektorski prostor običnih vektora koji izlaze iz tačke 0, pa u V odaberemo tri nekomplanarna vektora Xl> X. i X., tada [x,l predstavlja potprostor radijvektora svih tačaka prave p koja prolazi tačkom 0, a sadrži vektor Xl> dok je [Xl> x.] potprostor radijvektora svih tačaka ravni 1: koja prolazi tačkom 0, a sadrži vektore x, i x •. Svi netrivijalni potprostori prostora V imaju jedan od ova dva oblika. Čitav prostor V dobija se u obliku [x" X., x.l. e) Neka je V vektorski prostor realnih funkcija definisanih na razmaku (a, b) (v. primjer 1.1. Ako sa S označimo podskup svih neprekidnih (odnosno diferencijabilnih, odnosno integrabilnih) funkcija na (a, b), tada je S potprostor prostora V, jer je suma dvije, a isto tako i proizvod realnog broja i jedne neprekidne (odnosno diferencijabilne, odnosno integrabilne funkcije) na (a, b) opet takv~ funkcija. Potprostor čini i skup svih funkcija iz V koje se poništavaju na nekom podskupu A razmaka (a, b).

e».

Zadaci 1.1. Neka je R komutativan prsten sa jediničnim elementom, a V skup svih polinoma u promjenljivoj x sa koeficijentima iz R. Provjeriti da je V unit~an R-modul u odnosu na uobičajene operacije sabiranja polinoma i množenje polinoma skalarom. Da li je skup S svih polinoma iz V čiji je stepen najviše n (n zadan nenegativan cio broj) podmodul modula V? A.skup T svih polinoma iz V čiji je stepen upravo n? Je li skup U svih polinoma iz V koji imaju samo parne eksponente podmodul modul3 V?

Uputstvo: Lako se provjerava da je V unit~ni R-modul, te da su S i U podmocluli modula V. Međutim, T nije podmodul modula V, zato Ato suma dvaju PaiiDCaa stepena " nije obavezno polinom stepena n, nego taj stepen može biti i Dili. 1.2. Neka je V modul nad prstenom R, a X neprazan podskup ođ V. ! X ima osobinu (*)

x,y, z

E X.

IX,

(3, Y E R,

IX

+ (3 + Y = 1 =* lXX + (3y + yz E 4 e v ako da je

ako i samo ako postoji podmodul S modula V i

X

=4

+S

Ilobzati da skup X,

-.

.... {a +.:s eS}.

U taD alu&;u podmodul S je ;edaor&namo odreden skupom X, a element a se može pro. izvoljno uzeti iz X. ukoliko pnten R posjeduje element , za koji su II i l - II invertibilni. recimo ako je R polje "" {O. l}. tada je uslov (*) ekvivalentan sa uslovom (**)

".y E

X. IX ER

"*

GIX

+ (l

- OI)Y E X.

Uputswo: Jednostavno se provjerava da za svako a E V i za Ivaki P