Algebra en todas partes

Marcos Campos Nava

Álgebra en Todas Partes Dr. José Antonio de la Peña

EL ÁLGEBRA EN TODAS PARTES Empezaré por hacer una pregunta: ¿Está realmente el álgebra en todas partes? Pero responderla no es el objetivo del autor ni del libro, más que cuestionarnos lo anterior, debemos tomarlo como una afirmación así que lo que debe interesarnos es si realmente la obra cumple el objetivo por el cual la fue escrita: que después de leerla cualquier persona quede convencida de que las matemáticas son bellas, interesantes y hasta apasionantes, (convencer a los lectores de que además son fáciles es un objetivo muy pretencioso) Para estar convencidos de que las matemáticas son todo lo que hemos dicho tenemos que entenderlas; lo primero que alguien piensa cuando le decimos “matemáticas” son números. Ahora ¿qué son los números? Cualquiera que haya al menos pasado por primaria está familiarizado con ellos, pero ¿en verdad sabemos que son? Recuerdo que en alguna ocasión tomé gis y escribí un símbolo en el pizarrón, le pregunté a un grupo de alumnos ¿qué es lo que ven? Al instante algunos respondieron: un número, el dos. Otros más reservados quedaron callados pensando que era una pregunta capciosa y solo algunos perspicaces me respondieron: lo que yo veo es un símbolo hecho con gis sobre la pizarra. Lo primero que debemos comprender es que los números son como las ideas, no pueden verse ni tocarse y solamente existen en nuestra mente, lo que hacemos al “escribir números” es representar esa idea por medio de símbolos, a los que debemos llamar numerales, por cierto nuestro sistema de numerales indoarábigos hace apenas 600 años aproximadamente que se estableció en Europa. Ahora bien ¿tiene importancia el conocimiento de los números para las personas? El que responda “no” a esta pregunta sin duda es un

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necio, pues el primer contacto con las matemáticas sin importar de quien se trate se da a muy temprana edad. Lo primero que nos pregunta un adulto cuando nos conoce es ¿Cómo te llamas? Y ¿Cuántos años tienes? A la segunda pregunta seremos capaces de contestar por lo menos usando los dedos de las manos para indicar nuestra edad. Es común también que los niños a tierna edad muestren un conocimiento práctico de correspondencia cuando tienen que resolver por ejemplo el problema de repartir las canicas de una bolsa entre dos y lo hacen diciendo “una para ti, una para mí” ¿Alguna vez nos hemos preguntado por qué usamos el llamado sistema decimal o base 10? Recordemos que la mayoría aprendemos a contar usando los dedos de nuestras dos manos (10 dedos) Cualquier estudiante de secundaria o bachillerato debe estar familiarizado con este término pero en mi experiencia docente he encontrado a muchachos que no tienen el menor conocimiento de lo que esto significa, podemos representar cualquier número en base 10 utilizando justamente 10 símbolos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) y sabiendo además que la posición más a la derecha antes del punto decimal representa unidades, la anterior decenas, etc. De tal forma que el número 23107 está escrito en base 10 y lo podemos representar así: 2 x 10000 + 3 x 1000 + 1 x 100 + 0 x 10 + 7 x 1= 23107 ahora bien, si recordamos que 100 = 1; 101= 10; 102 = 100, etc. También podemos escribir lo siguiente: 23107 = 2 x 104 + 3 x 103 + 1 x 102 + 0 x 101 + 7 x 100. Y así cualquier número se puede representar escrito en bases diferentes de 10, de tal forma el 23107 en base 8, base 12 ó base 2 tendrá diferente representación. Interesante ¿no? Por las características

de

este

ensayo,

no

escribiremos

más

representaciones. Hasta aquí debo resaltar el hecho de que en mi

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experiencia con estudiantes de bachillerato he notado el trabajo tan grande que les cuesta a muchos manejar los números en base 10 usando la notación científica, (justo lo que hicimos anteriormente), ¿tendrá importancia saber manejar perfectamente este sistema decimal nuestro y un recurso como la notación científica? Si alguien nos pide por ejemplo escribir la altura de un edificio famoso, escribiremos una cantidad usando a lo más centenas y expresando el resultado en metros, si alguien nos pide escribir la distancia del diámetro de nuestro planeta en metros será ya un valor difícil de escribir por la cantidad de cifras, si nos piden escribir el total de segundos que tiene de existir el Universo (según alguna teoría) seguramente no alcanzará una hoja para escribir un número tan grande, y entonces se pone de manifiesto la importancia de escribir números de muchas cifras usando un sistema para abreviarlos, recordar que 3 x 108= 300,000,000. Si un estudiante de nivel preparatoria tiene bastante problemas para manejar el sistema base 10 con el que ha tenido contacto toda su vida desde temprana edad, puesto que aprendió a contar con los dedos de sus manos (10), no podemos esperar una comprensión mayor de sistemas como en base 6 ó en base 2 ¿qué importancia tiene esto? Que por ejemplo las computadoras trabajan en un lenguaje llamado binario ó base 2, que utiliza solamente los símbolos (0,1) y el cual tiene muchas ventajas para esa tarea. Alguien que lea hasta lo aquí expuesto puede deducir que las matemáticas en verdad son importantes, y necesarias, pero ¿Son bellas? ¿Son interesantes? Tal vez no he cambiado ni con mucho la concepción que la mayoría tiene de que son aburridas. Por otro lado al escribir un ensayo sobre álgebra, el que lo lee debe esperar ver

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ecuaciones llenas de letras elevadas a diferentes potencias, ¿lo que he planteado anteriormente tiene entonces que ver o no con el álgebra? Tenemos que ir paso a paso o corremos el riesgo de que nos pase lo que al común de los estudiantes que atendemos: son capaces a veces sin error de realizar operaciones con letras (algebraicas) y ni siquiera saben la historia atrás de un número. De aquí en adelante ya que estamos convencidos de que las matemáticas y los números son importantes y necesarios (usando los argumentos que el autor presenta en su obra) expondré a continuación siguiendo los mismos lineamientos el porqué aparte de necesarias son interesantes. Dicen muchas personas que conozco “Dios es el arquitecto del Universo” porque hizo todo lo que existe en él, después de leer este “Maravilloso” libro puedo decir: Si Dios existe (algo

no

comprobado

matemáticamente)

debe

llamársele

el

Matemático del Universo, puesto que la arquitectura está basada en las matemáticas, así como todo lo que existe en la naturaleza, según era la idea que tenían los griegos en la antigüedad.

Primero

establezcamos la diferencia y similitud entre álgebra y aritmética: si escribimos un número por ejemplo 20, en aritmética su valor no puede cambiar, si queremos representar un número cualquiera podemos representarlo con una letra por ejemplo “n” que representa cualquier número, si escribimos “2n” significa que de esa cantidad sea cual sea, necesitamos el doble, si por otro lado escribimos “n²” aquella cantidad la estamos multiplicando por sí misma. Así que con el álgebra lo único que hacemos es generalizar y no debe por tanto representarnos mayores

problemas

representar

números

con

numerales indoarábigos o con letras. Ahora bien el lector se dará cuenta que las primeras cuartillas de este ensayo tienen mucho que

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ver por supuesto con aritmética y también con álgebra. Continuemos, un ejemplo de lo que podemos hacer combinando aritmética y álgebra es lo siguiente: Podemos estar interesados en saber cuantas diagonales se pueden trazar en un polígono de cualquier número de lados, podemos entonces llamar al número de lados “n”, con papel y lápiz podemos ver fácilmente lo siguiente: en un triángulo (n=3) no se pueden trazar diagonales, en un cuadrado ó rectángulo (n=4) se pueden trazar 2, en un pentágono (n=5) se trazan 5, en un hexágono (n=6) trazamos 9, en un heptágono (n=7) hay 14 diagonales, en un octágono (n=8) hay 20 diagonales ¿cuál es el patrón? Si n= 3, d = 0; si n=4, d=2; si n=4, d=2+3; si n=6, d=2+3+4; si n=7, d=2+3+4+5; si n=8, d=2+3+4+5+6... de tal forma que con aritmética, álgebra y sabiendo rescribir lenguaje común a lenguaje matemático, podemos establecer una fórmula y decir cuantas diagonales tendrá un polígono de “n” lados. Este ejemplo lo he escogido a propósito para hacer notar la relación entre letras y números, en adelante nos centraremos totalmente a defender el argumento que pretendemos. Para

los

griegos

de

la

época

de

Pitágoras,

Dios había creado todo en la naturaleza en base a proporciones de números enteros, a los que llamaron racionales, fue enorme su sorpresa cuando se dieron cuenta que la diagonal de un cuadrado no era un número racional, es decir no se podía expresar como la división de dos números enteros, por ejemplo en un cuadrado de una unidad por lado, si queremos calcular su diagonal, basta con aplicar el famoso teorema de Pitágoras c²= a² + b² para darnos cuenta que la diagonal valdrá √2 el cual no se puede expresar como el cociente de dos números enteros. Hoy en día no es extraño para nosotros hablar de números irracionales, como √2 = 1.4142135624... pero

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cuando los discípulos de Pitágoras descubrieron esto pensaron que Dios se había equivocado al no darse cuenta que la diagonal de un cuadrado no es un número racional. Hablando de ésta época y del tan famoso Teorema de Pitágoras el cual sirve para relacionar los catetos de un triángulo rectángulo con su hipotenusa, es curioso hacer notar que por ejemplo en China ni siquiera lo conocen de esa forma, si no como el Teorema de Chou, el cuál aparece en un libro Chino del mismo nombre que data de ¡1000 a.c.! . Con lápiz y papel podemos hacer un ejercicio simple pero interesante que nos muestra porqué se pensaba (y no estaban equivocados) que todo en la naturaleza tiene relación con los números: Trazamos un cuadrado de cualquier medida, la base superior se toma como hipotenusa de un triángulo rectángulo, el cual se traza; cada cateto de éste triángulo se toma como lado para trazar dos nuevos cuadrados; a estos dos nuevos cuadrados se les repite el paso anterior trazándoles dos triángulos rectángulos usando como hipotenusa su base y así sucesivamente se continúan el procedimiento repetidamente y el resultado se conoce como árbol de Pitágoras, pues empieza a tomar esa forma ¿una casualidad de las matemáticas y la naturaleza? La respuesta es no; ya que es fácil notar que los árboles cumplen con el Enunciado de Pitágoras ó Chou ó como de ahora en adelante le queramos llamar, ya que se puede observar que cuando el tallo de un árbol, (llamémosle “c” a su diámetro) se divide en 2 ramas (llamémosles “a”, “b” a sus diámetros), el área del tallo es igual a la suma del área de cada rama, lo cual podemos escribir como c²= a² + b² ; es decir los árboles cumplen con este teorema. En la antigüedad cuando solo existía el conjunto de los números naturales, aquellos enteros positivos que nos sirven para contar (1,2,3,4,5...) notaron

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fácilmente que operaciones como las restas eran imposibles de hacer, así que vieron la necesidad de adoptar un nuevo conjunto de números: los enteros, estos podían ser tanto positivos como negativos (...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...) aún así faltaban números pues si pretendíamos repartir un pan a cuatro hombres hambrientos, el resultado ya no era un número entero sino racional (1/4), cuando los griegos calcularon la diagonal de un cuadrado descubrieron que aparte de los números racionales, debían considerarse los números irracionales, finalmente terminamos adoptando un conjunto de números llamado “Números Reales”, en el cual están contenidos todos: Los enteros, los racionales, los irracionales, el cero; es decir prácticamente todos los números que conocemos ¿ó tal vez no? Le preguntaré al lector como a cualquier estudiante de bachillerato que se inicia en un curso de tercer ó cuarto semestre, ¿todos los números que existen están contenidos en los Reales? Que pasa si definimos por ejemplo a un número a=1/0 (léase el número “a” es igual al cociente de uno entre cero) si pasamos el cero al otro lado de la igualdad tenemos a x 0 = 1 (léase el número “a” multiplicado por cero es igual a uno) algo totalmente absurdo. ¿Qué podemos deducir de lo anterior? La división 1/0 es un número que escapa a lo que conocemos. Si le pedimos a un estudiante que resuelva la siguiente ecuación (recordemos que le llamamos ecuación a una igualdad expresada con números conocidos y no conocidos, es decir variables y constantes) x² + 1 = 0; Él lo encontrará muy fácil y “despejará” el valor de la incógnita, resultando x = √-1 ; ¿Puede el lector decir cuanto vale la raíz cuadrada de –1? Nos daremos cuenta que en los números reales no existe ninguno que multiplicado por sí mismo resulte otro negativo; a la expresión en cuestión se le ha llamado un

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número imaginario “i” y se dice que i = √-1; y por lo tanto i² = -1; es decir que el cuadrado de un número imaginario es un número real. Los algebristas llegaron a la conclusión de que el conjunto de números más general es el llamado de los números complejos, del cuál derivan tanto los números reales como los imaginarios. Cuando nos tratan de enseñar algo nuevo, la actitud que tomemos hacia la persona que lo transmite y al mensaje es determinante, si pensamos que es aburrido y difícil de entender, la adquisición de nuevos conocimientos es más compleja; durante el tiempo que llevo de impartir clase, muchos alumnos me han hecho saber que entran predispuestos a que las matemáticas son muy difíciles, aburridas y sin utilidad práctica; algunos otros reconocen que sí tienen bastante utilidad pero que no les interesan; también he notado que cuando los chicos encuentran divertido un conocimiento, su atención se centra en la persona que imparte clase y en el mensaje de la misma, así que como un apoyo didáctico y que a su vez motive a una buena actitud hacia las matemáticas, podemos emplear algunos “juegos” a veces muy simples pero que no dejan de sorprender a quien lo conoce por primera vez, tal es el caso de adivinar el número que una persona está pensando, ó como en un juego de 6 de cartas con números escritos del 1 al 63, con las cuales se puede predecir sin errores el número que una persona escoja siempre y cuando nos diga en qué cartas no aparece dicho número; después se da la explicación de que está basado en elementos matemáticos como la notación base 2. El anterior juego fue propuesto por Martín Gardner. También es importante que nuestros alumnos conozcan el lado humano de las Matemáticas y esto lo podemos lograr mediante la historia de aquellos que con todo su intelecto lograron triunfos tan

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grandes; recordemos la historia de cómo se llegó a la solución de ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos. Se cuenta que a finales del siglo XV los matemáticos se ganaban la vida trabajando en bancos, participando en juegos de azar y organizando “duelos” en los que demostraban sus proezas mentales ante la gente. En ese tiempo no se tenía una solución para las ecuaciones de tipo ax³+bx²+cx=d;

que por cierto presentan algunas soluciones de

números complejos; un gran matemático de la época: Antonio Fior había resuelto parcialmente el problema, conocía un método para resolver ecuaciones del tipo x³ + ax +b =0; no lo publicó para tener ventaja en las competencias contra otros matemáticos, por otro lado Nicola Fontana, conocido como “Tartaglia” conocía un método para resolver ecuaciones del tipo x³ + ax² +b =0; se retaron a un duelo público para saber quien sería el matemático más grande de ese momento, Tartaglia resultó vencedor. A principios del siglo XVI Girolamo Cardano convenció a Tartaglia de confiarle su secreto, a reserva de guardarlo de por vida, Tartaglia aceptó y grande fue su sorpresa cuando Cardano publicó un libro donde daba a conocer la solución de las ecuaciones cúbicas, dándole el crédito a Tartaglia, además la solución estaba por fin completa, pues en el libro venía el método para las ecuaciones más generales: ax³+bx²+cx=d; aún así la ofensa no fue perdonada y en un duelo público se decidió quien debería ostentar el título del más grande matemático de la época ¿Quién lo habrá ganado? Sin duda este pasaje parece sacado de relatos del viejo Oeste, sucedió por cierto en Italia. En 1850 un coleccionista compró un antiguo papiro egipcio que data de 1650 a.c. al descifrarlo se descubrió que contaba con más de 85 problemas de matemáticas; aunque no se supo a quien iban dirigidos, fue indicativo

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del desarrollo tan grande que tenía este pueblo, un ejemplo de ello es lo siguiente: “La cantidad, el total y la séptima parte hacen 19” este problema que bien puede aparecer en cualquier libro de álgebra hoy en día, data de más de 3000 años, un estudiante de secundaria incluso podrá resolverlo si plantea la ecuación: x + x/7 =9. Diofanto fue un matemático griego que vivió 2 siglos antes de nuestra Era, poco se conoce de su vida, él estudió problemas que debían tener su solución en números enteros, tal y como lo indica una rima que data de esa época: “La juventud de Diofanto duró una sexta parte de su vida. Se dejó crecer la baba después de un doceavo más. Al pasar un séptimo más de su vida se casó y cinco años después tuvo un hijo. El hijo vivió exactamente la mitad que Diofanto” este problema que data de hace más de 2000 años se puede resolver si asignamos a la edad desconocida de Diofanto, la variable “x” entonces decimos x = x/6+ x/12+ x/7+ 5+ x/2+ 4. Si el lector resuelve la ecuación sabrá la edad de Diofanto y su hijo, que deben ser números enteros. A mediados del siglo XVII un matemático aficionado de nombre Pierre de Fermat, leyendo un libro de Diofanto se detuvo en una hoja pensando en la expresión an+bn=cn y se preguntó: “cuando el exponente es mayor ó igual a 3 ¿qué números enteros satisface ésta expresión?” Escribió al margen del libro: “en la ecuación xn+yn=zn cuando n>2 no existen soluciones enteras; tengo una hermosa demostración de esto, pero el margen de este libro es muy pequeño para escribirla” Este enunciado se conoció como el último Teorema de Fermat, hoy en día se cree que realmente no tenía una solución ó que era equivocada, lo cierto es que a raíz de conocer este enunciado, muchos se dieron a la tarea de tratar de demostrarlo sin éxito, surgieron tratados sobre el tema y se abrieron

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nuevas ramas de las matemáticas en busca de la respuesta. Hasta que en 1993 un matemático llamado Inglés llamado Andrew Wiles dio a conocer que tenía por fin la demostración al último Teorema de Fermat; el suceso causó tal conmoción que todos los periódicos del mundo hablaron de ello, cuando su manuscrito de 200 hojas fue analizado a detalle se encontró un error que echaba por tierra todo el trabajo de 7 años; Wiles tardó otro año para enmendar el error, pero por fin su triunfo fue reconocido. La historia de las matemáticas está llena de historias tan interesantes como la anterior y como otras más que mencionaré. En un oráculo griego se pide: “Construir un cubo del doble de volumen que el cubo del Altar de Apolo” si designamos la variable “a” como la arista del cubo de Apolo y “x” como su volumen, podemos escribir x=a³; si queremos conocer la arista del otro cubo designada como “y” tenemos: y³-2x=0 una ecuación cúbica que es imposible resolver por medios geométricos como lo intentaron ellos. Todos los que alguna ocasión fuimos estudiantes, sabemos de la importancia de poder escribir mensajes en “clave” para que cuando sean interceptados no se puedan descifrar. Pues el mismo caso sucede cuando el ejército de determinado país quiere comunicar algo muy importante y corre el riesgo de ser interceptado; a veces los mensajes no están “cifrados” ó codificados de manera compleja y se puede saber con facilidad lo que dice; cuando se necesita de mayor confiabilidad entran en juego las matemáticas, para ser más exacto el álgebra matricial, donde se utilizan arreglos rectangulares de números llamados matrices para codificarlos. Se cuenta que durante la primera Guerra Mundial el gobierno de Alemania mandó un mensaje en código a su canciller en México en el cual alentaba a nuestro país a unirse a Alemania en la Guerra contra los aliados,

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ofreciendo como recompensa la recuperación del territorio perdido contra Estados Unidos, dicho mensaje fue interceptado por los ingleses, decodificado y enviado a al presidente Norteamericano, el resultado fue la intervención de ellos por el lado de los aliados, lo cuál dio fin rápido a las hostilidades. También puede resultar para los estudiantes muy interesante el hecho de saber que por medio de las matemáticas se pueden hacer predicciones muy acertadas sobre juegos de azar, todos hemos jugado alguna ocasión un juego donde las matemáticas rigen sus reglas, al lanzar un volado ó al tirar un dado entra en juego la probabilidad y la estadística, ramas de las matemáticas que pretenden predecir lo que puede suceder en un futuro dependiendo de los datos iniciales, siempre con un grado de incertidumbre; también hemos jugado ó conocemos los pronósticos deportivos, juegos donde dependiendo de que seamos capaces de adivinar si un equipo ganará ó no, recibiremos un premio. Será interesante para el lector saber que por medio del álgebra de las matrices y haciendo un modelo matemático de un juego de básquetbol, contando con la mayor parte de las jugadas que se presentan, es posible predecir con bastante exactitud el resultado de un partido. Estos cálculos que hoy en día parecen muy difíciles de hacer,

se

pueden

simplificar

por

medio

de

programas

de

computadoras, pero aún así no todo está escrito, se dice que una computadora de las más modernas puede tardarse en factorizar un número de 200 cifras varios meses, recordemos que factorizar significa descomponerlo en las cantidades más simples posibles, pero que multiplicados sigan dando el número inicial. Recientemente para el análisis del esfuerzo que debe soportar la estructura de un edificio de 100 pisos, tuvieron que resolverse 1500 ecuaciones

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simultáneas; tarea muy difícil para un ser humano pero que una computadora tardó 45 minutos en hacerlo. Hace algunos años fue muy sonado el tema de que una computadora, había logrado vencer al mejor jugador del mundo de ajedrez, el duelo entre Gari Kasparov y la computadora Deep Blue, ¿por fin las máquinas han logrado superar la inteligencia de sus creadores? Esto puede sonar al tema de una película de moda, pero hoy en día las computadoras pueden resolver operaciones que parecen imposibles para la mente humana, controlan grandes procesos en las industrias donde no interviene un solo hombre, ¿las máquinas han aprendido a pensar, son más inteligentes que el ser humano? Esta pregunta que parece de ciencia-ficción se puede responder con un rotundo “no”, estos cerebros cibernéticos por sofisticados que sean están basados en la maravillosa inteligencia del cerebro humano, no debemos subestimar el intelecto de grandes pensadores como los que aquí mismo hemos mencionado comparándolo con una máquina que lo más que puede aspirar es a imitar las capacidades todavía insospechadas y mal aprovechadas por la mayoría del cerebro humano. Quiero por último citar a otros tres grandes matemáticos del pasado: Euler, quien a pesar de quedar ciego y a su avanzada edad seguía con sus estudios científicos, teniendo a un ayudante al que le dictaba ¿se puede imaginar el lector la mente tan prodigiosa de este hombre que resolvía complicados cálculos mentalmente? A veces nosotros somos incapaces de resolver una operación aritmética si no tenemos a la mano una calculadora. Este hombre fue capaz de calcular con exactitud la órbita del planeta Urano, justo el día de su muerte. Gauss solía decir: “Las matemáticas son las reinas de las ciencias y la aritmética la reina de las matemáticas” a la tierna edad de 10 años

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logró la siguiente hazaña; un profesor le encargó a Gauss y un grupo de niños más sumar todos los números del 1 al 100; cuando se disponía a abandonar el salón pues sería una tarea ardua, el niño Gauss se levantó y dijo “el resultado es 5050” atónito el profesor preguntó como era posible hacer una suma tan grande en tan poco tiempo, a lo que le niño le respondió: no es necesario hacer todas las sumas, puesto que del 1 al 100 existen 50 pares de números que sumados dan 101 (por ejemplo 1 + 100; 2 + 99; 3 +98;...) por lo que basta multiplicar 101 por 50.

De Evarist Galois se dice que fue

elegido por los Dioses, pues a la temprana edad de 20 años perdió la vida, no sin antes hacer una contribución magnífica a las matemáticas. Según su biografía, Galois fue incomprendido por los matemáticos de su tiempo, a la edad de 15 años ya había preparado una publicación que corrió con pésima suerte, al ser extraviado el manuscrito, dos años después corrió la misma suerte cuando falleció el matemático al que lo había enviado para revisión. A los 20 años de edad fue retado a un duelo con pistola, los motivos no son conocidos, lo cierto es que presintiendo su muerte, pasó toda la noche escribiendo “garabatos” en una carta que hizo enviar a un amigo, Galois murió por una herida de bala al otro día, tuvo que esperar a que después de su muerte se pudiera descifrar esos “garabatos” y por fin se le considerara un gran matemático. La mejor conclusión que puedo obtener al final de este ensayo es que las matemáticas demás de estar por todas partes son hermosas, podemos salir un día a la calle y mirar a nuestro alrededor, se encuentran en la naturaleza cuando observamos como un ave puede sustentarse en el aire, en la simetría de las obras creadas por Dios y por el hombre, en la geometría de todo lo que nos rodea, es una

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ciencia viva, la cual debemos explotar y seguir estudiando, me pregunto ¿dónde están los Pitágoras, los Diofanto, los Fermat, los Galois de hoy en día? Pueden estar en cada uno de nosotros... que el cometido de crear interés por estudiar esta ciencia se cumpla.

Bibliografía.

Peters- SCAF Álgebra un enfoque moderno Reverté Ediciones S.A. de C.V. 3ª Reimpresión, México 1994.

Phillips, Butts, Shaughnessy Álgebra con aplicaciones Editorial Harla Julio 1991, México.

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