Algebra de Sullivan 9na Ed

SULLIVAN ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA i" * / ■

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NOVENA EDICIÓN

PEARSON

'a l w a y s l e a r n i n g ■ '

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Preparación para la clase. "Lee el Libro" Recurso

Descripción

Beneficio

Página

Cada capítulo comienza con... Introducción y proyecto de capítulo

Cada capítulo comienza con un artículo actual y termina con un proyecto relacionado.

El artículo describe una situación real. El proyecto te permite aplicar lo que aprendiste para resolver un problema relacionado.

400,501

Proyectos con base en Internet

Los proyectos permiten la integración de tecnología de hojas de cálculo que los estudiantes necesitarán para ser miembros productivos de la fuerza laboral.

Los proyectos dan a los estudiantes la oportunidad de colaborar y usar matemáticas para resolver situaciones que se presenten en sus vidas.

400,501

íD

Cada sección comien zacon... Objetivos de aprendizaje

1

Cada sección comienza con una lista de objetivos. Éstos también aparecen en la parte del texto donde se cubren.

Éstos dirigen tus estudios haciendo énfasis en lo que es lo más importante y señalando donde se lo puedes encontrar.

421

La mayoría de las secciones contienen...

REPARACIÓN PARA ESTA SECCIÓN

La mayoría de las secciones comienzan con una lista de conceptos clave de repaso con número de páginas.

Resuelve ahora los

Estos problemas evalúan si tienes los problemas de la sección conocimientos previos necesarios para la siguiente sección. "¿Estás listo?"

¿Alguna vez se te lo que aprendiste? Este recurso señala el material previamente aprendido que será usado en esta sección. Repásalo y siempre estarás preparado para avanzar.

421

¿No estás seguro de necesitar el repaso de "Preparación para esta sección"? Resuelve los problemas de la sección "¿Estás listo?". Si te equivocas en alguno, ¡sabrás exactamente qué necesitas repasar y dónde repasarlo!

421,432

"Resuelve Ahora"

Éstos siguen la mayoría de los ejemplos y te dirigen a un ejercicio relacionado.

Aprendemos mejor cuando hacemos las cosas. 428,430 Solidificarás tu entendimiento de los ejemplos si tratas de resolver un problema similar inmediatamente, para que estés seguro de que entiendes lo que acabas de leer.

ADVERTENCIA

Se dan advertencias en el texto.

Éstas señalan errores comunes y te ayudan a evitarlos.

453,454

Exploraciones y visualizacion del concepto

Éstas representan actividades con aparatos para construir gráficas para introducir un concepto nuevo o consolidar uno recién presentado.

Obtendrás un entendimiento más profundo e intuitivo de teoremas y definiciones.

245,426

Aquí se dan descripciones alternativas de definiciones y teoremas selectos.

¿A veces las matemáticas te parecen incomprensibles? Aquí se traducen las matemáticas a simple español.

430

Éste aparece junto a la información que es esencial para el estudio del cálculo.

Pon atención, ¡si dedicas más tiempo ahora, tendrás mejores resultados después!

429

Estos proporcionan instrucciones de "cómo resolver", ofreciendo un planteamiento guiado, paso a paso, para resolver un problema.

Con cada paso que se presenta a la izquierda y las matemáticas que se presentan a la derecha, los estudiantes pueden ver inmediatamente cómo se utiliza cada paso.

332-333

Marcados con Éstos son ejemplos y problemas que requieren que construyas un modelo matemático a partir de datos o de una descripción verbal. Los números de los problemas de tarea de ¡Modélalo! están resaltados.

Es raro que un problema se dé de la forma "Resuelve la siguiente ecuación". Por el contrario, la ecuación se debe desarrollar con base en una explicación del problema. Estos problemas requieren que desarrolles modelos que te permitan describir el problema de forma matemática y sugerir una solución.

320, 351-360

P r o b l e m a s d e l a s e c c ió n

r En p alab ras

Icono de cálculo £ ¡NUEVO! EJEM PLO S D E

escaparate ¡NUEVO!

¡Modélalo! Ejemplos y problemas

e

V

\

Práctica "Trabaja en los problemas" Descripción

Recurso

Beneficio

Página

"Evalúa tu entendimiento" contiene una variedad de problemas al final de cada sección. Problemas de la sección "¿Estás listo?"

Éstos evalúan tu retención del material previo que necesitarás. Las respuestas se dan al final de la sección de ejercicios. Este recurso está relacionado con el de "Preparación para esta sección".

¿Siempre recuerdas lo que aprendes? La mejor 421,432 forma de averiguarlo es trabajar en estos problemas. Si te equivocas en alguno, sabrás exactamente qué necesitas repasar y dónde repasarlo.

Conceptos y vocabulario

Estas preguntas de respuesta rápida, principalmente de completar los espacios en blanco o de verdadero/falso, evalúan tu entendimiento de definiciones y conceptos clave de la sección actual.

Es difícil aprender matemáticas sin conocer su lenguaje. Estos problemas evalúan tu entendimiento de las fórmulas y del vocabulario.

432

Ejercicios

Relacionados con los ejemplos de la sección, estos problemas proporcionan práctica directa.

Es importante profundizar y desarrollar tus habilidades. Estos problemas te dan amplia práctica para lograrlo.

432-434

¡NUEVO! Práctica mixta

Estos problemas ofrecen una profunda evaluación de las habilidades aprendidas en la sección por medio de problemas relacionados a uno o más conceptos u objetivos. Estos problemas pueden requerir que uses las habilidades desarrolladas en secciones anteriores.

El aprendizaje de las matemáticas es un proceso constructivo. Muchos conceptos están relacionados entre sí. Estos problemas te ayudan a ver cómo las matemáticas se van construyendo sobre sí mismas y cómo se relacionan los conceptos.

434-435

Aplicaciones y extensiones

Estos problemas te permiten aplicar tu aprendizaje a problemas de la vida real. También te permiten extender los conceptos aprendidos en la sección.

Podrás ver que el material aprendido en la sección tiene muchos usos en la vida diaria.

435-437

Explicación de conceptos: discusión y escritura

Los problemas de "Discusión y escritura" están marcados. Éstos promueven la discusión en clase, la expresión verbal de ideas matemáticas y los proyectos de escritura e investigación.

Para verbalizar una idea, o para describirla claramente en forma escrita se necesita un entendimiento real. Estos problemas promueven ese entendimiento. Muchos son difíciles, pero obtendrás los resultados de lo que inviertas en ellos.

437

¡NUEVO! Ejercicios interactivos

En grupos de ejercicios selectos, se dan applets para proporcionar una experiencia directa.

Los applets permiten que los estudiantes interactúen con las matemáticas en un ambiente de aprendizaje activo. Por medio de la exploración de varios escenarios, el estudiante puede visualizar las matemáticas y desarrollar un entendimiento conceptual más profundo del material.

257

P ro b lem a s d e

Muchos ejemplos te dirigen a un problema relacionado de la tarea. Estos problemas relacionados están marcados con un lápiz.

Si no puedes resolver algún problema, busca en las secciones de "resuelve ahora" el problema más parecido y consulta el ejemplo relacionado para ver si te ayuda.

421,432

LA SEC CIÓ N

"Resuelve ahora" \ Calculadora gráfica

ífeii

y

Estos problemas opcionales requieren del uso Por lo general, tu profesor te orientará sobre de un dispositivo gráfico y están marcados por si debes o no resolver estos problemas. Si los un icono especial. resuelves, te ayudarán a verificar y visualizar tus resultados analíticos.

427

Repaso "Estudia para exámenes” Recurso

Descripción

Beneficio

Página

El repaso del capítulo al final de ada capítulo contiene... "Cosas que debes saber"

Una lista detallada de teoremas importantes, fórmulas y definiciones del capítulo.

¡Repasa esto y sabrás el material más importante del capítulo!

494-495

"Debes poder..."

Contiene una lista completa de objetivos por sección, ejemplos que los ilustran y ejercicios de práctica que evalúan tu entendimiento.

Resuelve los ejercicios recomendados y dominarás el material clave. Si obtienes alguna respuesta incorrecta, repasa las páginas sugeridas y vuelve a intentarlo.

495-496

Ejercicios de repaso

Proporcionan una oportunidad para hacer un repaso profundo y practicar las habilidades clave relacionadas con los objetivos de aprendizaje de cada sección.

La práctica hace al maestro. Estos problemas combinan ejercicios de todas las secciones, lo que te da la oportunidad de hacer un repaso profundo desde un solo lugar.

496-499

EXAMEN DEL CAPÍTULO

Alrededor de 15 a 20 problemas que se pueden usar como examen del capítulo. Asegúrate de resolver el examen del capítulo como si fuera un examen real, ¡sin apuntes!

Prepárate. Resuelve el examen de práctica como si fuera examen real. Así estarás listo para el examen de tu profesor. Si obtienes un resultado incorrecto, ve el video de preparación para examen de capítulo.

500

REPASO ACUMULATIVO

Estos grupos de problemas aparecen al final de cada capítulo, empezando con el capítulo 2. Combinan problemas de capítulos anteriores y dan un repaso acumulativo continuo.

Éstos son muy importantes ya que asegurarán que no olvides nada mientras avanzas. Te ayudarán a estar constantemente preparado para el examen final.

500-501

PROYECTOS DEL CAPÍTULO

En los proyectos se aplica lo que aprendiste en el capítulo. Existen proyectos adicionales en el Centro de Recursos del profesor (IRC, por sus siglas en inglés).

El proyecto te da una oportunidad de aplicar lo que aprendiste en el capítulo para resolver un problema relacionado con el artículo presentado al principio del capítulo. Si tu profesor lo permite, éstos proporcionan excelentes oportunidades para trabajar en equipo, que generalmente es la mejor manera de aprender matemáticas.

501-502

En capítulos selectos se da un proyecto con base en Internet.

Los proyectos dan a los estudiantes la oportunidad de colaborar y usar matemáticas para resolver situaciones que se presenten en sus vidas.

501-502

0

¡NUEVO! Proyectos con base en Internet

Para el estudiante Es probable que al empezar tus estudios te sientas preocupado por el gran número de teoremas, definiciones, procedimientos y ecuaciones. Te preguntarás si podrás aprendértelo todo a tiempo. No te preocupes, esto es normal, tiste libro de texto se escribió pensando en ti. Si asistes a clase, trabajas duro, lees y estudias este libro, podrás adquirir el conocimiento y las herramientas necesarias para tener éxito. A continuación describo cómo puedes usar este libro para tu beneficio.

Lee cuidadosamente Cuando estés muy ocupado, creerás que es más fácil dejar de leer el texto c ir directa­ mente a los problemas. No lo hagas... este libro incluye un gran número de ejemplos y explicaciones claras para ayudarte a descomponer las matemáticas en pavrs que son fáciles de entender. Leer te permitirá tener un entendimiento más claro, más allá de la simple memorización. Lee antes de la clase (no después) para que puedas hacer preguntas sobre cualquier cosa que no hayas entendido. Te sorprenderás de cuánto más aprovecharás la clase si haces esto.

Usa los recursos En clase, uso muchos métodos diferentes para comunicarme. Estos métodos incorpo­ rados en el libro, se llaman “recursos”. Los recursos tienen \arios propósitos, desde hacer un repaso oportuno del material que aprendiste antes (justo cuando lo necesi­ tes), hasta proporcionar sesiones organizadas de repaso que te as udarán a prepararte para los exámenes. Aprovecha estos recursos y podrás dominar el material. Para facilitar lo anterior, he proporcionado una guía breve para obtener el ma­ yor provecho de este libro. Ve las páginas de “Preparación para la clase". “Práctica" y “Repaso" al inicio del libro. Dedica quince minutos para repasar la guía \ familia­ rizarte con los recursos, explorando las páginas sugeridas. Mientras vayas les endo. usa los recursos. Ésta es la mejor forma de obtener el mayor beneficio de este libro. No dudes en contactarme a través de Pearson Educalion si tienes alguna pre­ gunta. sugerencia o comentario que pueda mejorar este texto. Espero saber de ti y te deseo la mejor suerte con tus estudios.

¡Mis mejores deseos! Micluiel Satin an

ESTUDIA MAS INTELIGENTEMENTE CHAPTER

o)Test Prep VIDEOS

Soluciones paso a paso en video para todos los ejercicios de examen del capítulo del texto. \miNOMETRÍA

PEARSON

NOVENA EDICIÓN na&BSS£&a£S8a3¡iB¡B

DA CLIC PARA SELECCIONAR UN CAPITULO f

(ECHNiCAL RR iU lliEÍ.IEN rS

E X IT

Capítulo 6: Funciones logarítmicas y exponenciales Capítulo 6

PROBLEMAS DE EXAMEN DEL CAPÍTULO

P T IÍT I I 3 I i a i i j u 6 L U L J J 9 I 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Copyright © 2012 Pearson Educatlon, Inc. Todos los derei

s reservados

Subtítulos disponibles en Inglés y en español

SE PUEDE TENER ACCESO A LOS VIDEOS DE PREPARACIÓN PARA EXAMEN DEL CAPITULO A TRAVÉS DE:

Interactive DVD Lecture Series

MyMathLab

Y O ü íB

A m i fam ilia Katy (Murphy) y Pat

Shannon, Patrick, Ryan

Mikey Yola Dan y Sheila Colleen (O'Hara) y Bill

Michael, Kevin, Marissa Maeve, Sean, Nolan Kaleigh, Billy, Timmy

ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA NOV E NA EDI CI ÓN

ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA NOVENA

EDICIÓN

Michael Sullivan Universidad del estado de Chicago

Traducción

Susana Bravo Bénard

Revisión Técnica

Ing. Raúl Alvarado Paz

Dr. Carlos Sacasa Flores

UNAH Matemáticas SPS Honduras

Universidad Tecnológica de Honduras

Prof. Oscar García Ovalle

M. Sc. Dennisse de Sandoval

Universidad de San Carlos Guatemala

Universidad Rafael Landívar Guatemala

Francisco Caciá Álvarez

PH. D. John Sandoval

Universidad Galileo Guatemala

Universidad Mariano Calvez Guatemala

PEARSON

y /P a to s de catalogación bibliográfica Autor: Sullivan, Michael. Álgebra v Trigonometría Educación media superior 9a edición Pearson Educación de México, S.A. de C.V, México, 2013 ISBN: 978-607-32-2192-4 Área: Bachillerato Formato: 21 X 27 cm

Páginas: 1176

Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Algebra & Trigonometry, 9th edition por Michael Sullivan, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Pearson, Copyright © 2012. Todos los derechos reservados. Authorized translation from the English Language edition, entitled Algebra & Trigonometry, 9th Edition by Michael Sullivan, published by Pear­ son Education Inc., publishing as Pearson, Copyright © 2012. ISBN 13: 978-0-321-71656-9 (Student edition) Esta edición en español es la única autorizada. Edición en inglés Editor-in-Chief: ■ Anne Kelly Sponsoring Editor: ■ Dawn Murrin Assistant Editor: ■ Joseph Colella Executive MarketingManagen ■ Roxanne McCarley Marketing Assistant: ■ Katherine Minton Senior Managing Editor: ■ Karen Wernholm Associate Managing Editor ■ Tamela Ambush Senior Production Project Manager: ■ Peggy McMahon Production Editor ■ Bob Walters, Prepress Management, Inc. Senior Design Supervisor: ■ Andrea Nix Art Direction and Cover Design: ■ Barbara T. Atkinson Interior Design: ■ Tam ara Newman Image Manager/ Image Management Services: ■ Rachel Youdelman Photo Researcher: ■ Caroline Commins Permissions Project Supervisor ■ Michael Joyce Media Producer: ■ Vicki Dreyfus Senior Author support/Technology Specialist: ■ Joe Vetere Manufacturing Manager ■ Evelyn Beaton Senior Manufacturing Buyer: ■ Carol Melville Composition: ■ MPS Limited, a Macmillan Company Technical Illustrations: ■ Precision Graphics and Laserwords Printer/Binder: ■ Courier/Kendallville Cover Printer: ■ Lehigh-Phoenix Color/Hagerstown Text Font: ■ Times Ten Roman ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA Novena edición en español Dirección general: Philip De la Vega ■ Dirección K-12: Santiago G utiérrez ■ Gerencia editorial K-12: Jorge Luis íñiguez ■ Coordinación editorial Bachillerato: Lilia Moreno ■ Edición sponsor: Berenice Torruco ■ Coordinación de arte y diseño K-12: Asbel Ramírez ■ Supervisión de arte y diseño: Mónica Galván ■ Edición de desarrollo: Mireille Bravo ■ Asistencia editorial: Mirna Serapio ■ Composición y diagramación: ED ITEC ■ Investigación iconográfica: Miriam Serna ■ Lectura de pruebas: Juan Carlos H urtado y Vivaldina J a u b e rt. Director regional K-12 América Latina: Eduardo Guzmán Barros Directora de contenidos K-12 América Latina: Clara Andrade

ISBN LIBRO IMPRESO: 978-607-32-2192-4 ISBN E-BOOK: 978-607-32-2193-1 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-2191-7 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 16 15 14 13

D.R. © 2013 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Avenida Antonio Dovalí Jaime No. 70, Torre B, Piso 6, Colonia Zedec Ed Plaza Santa Fe, Delegación Alvaro Obregón, México, Distrito Federal, CP 01210 Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 1031

Esta obra se terminó de imprimir en septiembre de 2014 en los talleres de Litogràfica Ingramex, S.A. de C.V. Centeno 162-1, Col. Granjas Esmeralda, C.P. 09810, México, D.F.

PEARSON

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico. magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

Contenido Para el estudiante

ii

Prefacio para el profesor

xvi

índice de aplicaciones

xxiii

Créditos de las fotografías

R.l

Números reales

2

R.2

Bases de álgebra

17

R.3

Bases de geometría

30

R.4

Polinomios

39

R.5

Factorización de polinomios

49

R.6

División sintética

58

R.7

Expresiones racionales

62

R.8

Raíces enésimas; exponentes racionales

73

Ecuaciones y desigualdades

81

1.1

Funciones lineales

82

1.2

Ecuaciones cuadráticas

92

1.3

Números complejos; ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos

104

Ecuaciones radicales; ecuaciones de forma cuadrática; ecuaciones factorizables

113

1.5

Solución de desigualdades

119

1.6

Ecuaciones y desigualdades que incluyen valor absoluto

130

1.7

Solución de problemas: interés, mezcla, movimiento uniforme, aplicaciones de tareas de tasa constante

134

Repaso del capítulo

143

Exam en del capítulo

147

Proyectos del capítulo

148

1.4

2

xxx

Gráficas 2.1

Fórmulas de distancia y punto medio

150

2.2

Gráficas de ecuaciones condos variables; intersecciones; simetría

157

2.3

Rectas

167

2.4

Círculos

2.5

Variación

>

182 188

ix

X

Contenido

Repaso del capítulo

194

Exam en del capítulo

197

Repaso acum ulativo

197

Proyecto del capítulo

197

3.1

Funciones

200

3.2

Gráfica de una función

214

3.3

Propiedades de las funciones

222

3.4

Directorio de funciones; funciones definidasen partes

234

3.5

Técnicas para obtener gráficas:transformaciones

244

3.6

Modelos matemáticos; construcción de funciones

257

Repaso del capitulo

263

Exam en del capítulo

268

Repaso acum ulativo

269

Proyectos del capítulo

269

4.1

Funciones lineales y sus propiedades

272

4.2

Modelos lineales: construcción de funciones lineales a partir de datos 282

4.3

Funciones cuadráticas y sus propiedades

288

4.4

Modelos cuadráticos construidos a partir de descripciones verbales o de datos

300

Desigualdades que incluyen funciones cuadráticas

309

Repaso del capítulo

313

Exam en del capítulo

316

Repaso acum ulativo

317

Proyectos del capitulo

318

5.1

Funciones y modelos polinomiales

320

5.2

Propiedades de las funciones racionales

342

5.3

Gráfica de una función racional

353

5.4

Desigualdades polinomiales v racionales

368

5.5

Ceros reales de una función polinomial

374

5.6

Ceros complejos; teorema fundamental del álgebra

387

Repaso del capítulo

393

Exam en del capítulo

397

Repaso acum ulativo

397

Proyectos del capítulo

398

4.5

5

Contenido

6 6.1

Funciones compuestas

401

6.2

Funciones inyectivas; funciones inversas

408

6.3

Funciones exponenciales

421

6.4

Funciones logarítmicas

437

6.5

Propiedades de los logaritmos

450

6.6

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

459

6.7

Modelos financieros

466

6.8

Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial; Ley de Newton; modelos de crecimiento y decaimiento logístico

476

Construcción de modelos exponenciales, logarítmicos y logísticos a partir de datos

486

Repaso del capítulo

494

Exam en del capítulo

500

Repaso acum ulativo

500

Proyectos del capítulo

501

6.9

503

Funciones trigonométricas 7.1

Ángulos y su medida

504

7.2

Trigonometría de triángulos rectángulos

517

7.3

Cálculo del valor de funciones trigonométricas de ángulos agudos

529

7.4

Funciones trigonométricas de cualquier ángulo

540

7.5

Enfoque del círculo unitario; propiedades de las funciones trigonométricas

550

7.6

Gráficas de las funciones seno y coseno

561

7.7

Gráficas de las funciones tangente, cotangente, cosecante y secante

576

Corrimiento de fase; ajuste de curva sinusoidal

583

Repaso del capítulo

594

Exam en del capítulo

600

Repaso acum ulativo

601

Proyectos del capítulo

602

7.8

8

Trigonometría analítica v-

•*

.

8.1

Funciones inversas de seno, coseno y tangente

604

8.2

Funciones trigonométricas inversas (continuación)

616

8.3

Ecuaciones trigonométricas

622

8.4

Identidades trigonométricas

632

8.5

Fórmulas de la suma y la resta

640

8.6

Fórmulas de ángulo doble y medio ángulo

652

8.7

Fórmulas de producto a suma y de suma a producto

662

XI

XÜ

Contenido

Repaso del capítulo

666

Exam en del capítulo

670

Repaso acum ulativo

670

Proyectos del capítulo

671

Aplicaciones de funciones trigonométricas 9.1

Aplicaciones que incluyen triángulos rectángulos

673

9.2

Ley de los senos

678

9.3

Ley de los cosenos

689

9.4

Área de un triángulo

696

9.5

Movimiento armónico simple; movimiento amortiguado; combinación de ondas

702

Repaso del capítulo

711

Exam en del capítulo

714

Repaso acum ulativo

715

Proyectos del capítulo

716

Coordenadas polares; vectores

11

672

717

10.1 Coordenadas polares

718

10.2 Ecuaciones polares y sus gráficas

727

10.3 El plano complejo; teorema de De Moivre

742

10.4 Vectores

749

10.5 Producto punto

763

Repaso del capítulo

770

Exam en del capítulo

773

Repaso acum ulativo

774

Proyectos del capítulo

774

Geometría analítica

776

11.1 Cónicas

777

11.2 La parábola

778

11.3 La elipse

787

11.4 La hipérbola

797

11.5 Rotación de ejes; forma general de una cónica

810

11.6 Ecuaciones polares de cónicas

818

11.7 Curvas planas y ecuaciones paramétricas

823

Repaso del capítulo

836

Exam en del capítulo

839

Repaso acum ulativo

840

Proyectos del capítulo

840

Contenido

Sistemas de ecuaciones y desigualdades

X III

842

12.1 Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución y eliminación

843

12.2 Sistemas de ecuaciones lineales: matrices

858

12.3 Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes

873

12.4 Álgebra de matrices

882

12.5 Descomposición en fracciones parciales

899

12.6 Sistemas de ecuaciones no lineales

907

12.7 Sistemas de desigualdades

916

12.8 Programación lineal

923

Repaso del capítulo

930

Exam en del capítulo

935

Repaso acum ulativo

936

Proyectos del capítulo

936

Sucesiones; inducción; teorema del binomio

938

13.1 Sucesiones

939

13.2 Sucesiones aritméticas

949

13.3 Sucesiones geométricas; series geométricas

955

13.4 Inducción matemática

966

13.5 Teorema del binomio

970

Repaso del capítulo

976

Exam en del capítulo

979

Repaso acum ulativo

979

Proyectos del capítulo

980

Conteo y probabilidad

~

.0

■

no i

14.1 Conteo

982

14.2 Permutaciones y combinaciones

987

14.3 Probabilidad

996

Repaso del capítulo

1006

Exam en del capítulo

1008

Repaso acum ulativo

1009

Proyectos del capítulo

1009

X ¡V

Contenido

1

Rectángulo de visualización

2

Representar ecuaciones gráficamente usando undispositivo gráfico

3

Uso de un dispositivo gráfico para localizar intersecciones y probar la simetría

A5

4

Uso de un dispositivo gráfico para resolver ecuaciones

A6

5

Pantallas cuadradas

A8

6

Representar desigualdades gráficamente usando un dispositivo gráfico

A9

Uso de dispositivo gráfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales

A9

7 8 9

Al A3

Representar ecuaciones polares gráficamente usando un dispositivo gráfico

A11

Representar ecuaciones paramétricas gráficamente usando un dispositivo gráfico

Al 1

Respuestas índice

R1 II

Tres series diferentes Los estudiantes tienen diferentes metas, formas de aprender y niveles de prepara­ ción. Los profesores tienen distintas filosofías de enseñanza, estilos y técnicas. En lugar de hacer una serie que se adaptara a todos, los Sullivan han escrito tres series diferentes. Todas comparten la misma meta: desarrollar un nivel de entendimien­ to matemático alto y una apreciación de la manera como las matemáticas pueden describir el mundo que nos rodea. Sin embargo, la forma de alcanzar esa meta es diferente en cada serie.

Serie contem poránea, novena edición La serie contemporánea tiene un enfoque más tradicional, aunque moderno, res­ pecto al tratamiento de las matemáticas de precálculo. La cobertura de dispositivos gráficos es opcional y se puede incluir o no, de acuerdo con el criterio del profesor: Álgebra Uni ersitaria, Álgebra y Trigonometría, Trigonometría, Precálculo.

Serie mejorada con dispositivos gráficos, quinta edición Esta serie proporciona una integración más profunda de los dispositivos gráficos en los temas, permitiendo que el estudiante explore conceptos matemáticos y que se vaya dando una idea de temas que generalmente se estudian en otros cursos. Al usar la tecnología, el enfoque para resolver algunos problemas difiere del de la se­ rie contemporánea, mientras que el énfasis en el entendimiento de los conceptos y la construcción de fuertes habilidades no cambia: Álgebra Uni ersitaria, Álgebra y Trigonometría, Trigonometría, Precálculo.

Serie de conceptos a través de funciones, segunda edición Esta serie difiere de las otras dos en el uso de un enfoque de funciones que sirve como principio organizador para unir conceptos. Primero se presentan las funcio­ nes en diferentes formatos. Este enfoque refuerza la regla de cuatro, que establece que las funciones se pueden representar de manera simbólica, numérica, gráfica y verbal. Cada capítulo presenta un nuevo tipo de función y después desarrolla todos los conceptos relacionados con esa función en particular. En lugar de desarrollar las soluciones de las ecuaciones y desigualdades como temas separados, lo hace dentro del contexto de las funciones correspondientes. La cobertura de gráficas con dis­ positivos gráficos es opcional y se puede incluir o excluir, dependiendo del criterio del profesor: Álgebra Uni ersitaria; Precálculo, con un enfoque de círculo unitario a trigonometría; Precálculo, con un enfoque de triángulo rectángulo a trigonometría.

XV

cimientos de matemáticas y miedo a ellas, lotivados y preparados. Para algunos, éste so de matemáticas; mientras que para otros in para futuros cursos de matemáticas. He 0 pensando en los dos grupos. 'entaja de ser el autor de una serie exitot realimentación que recibo de maestros ue han usado ediciones anteriores. Estoy gradecido por su apoyo. Prácticamente to; realizados a esta edición son el resultado comentarios y sugerencias. Espero haber ornar sus ideas para hacer esta serie una : enseñanza y aprendizaje, construida so­ bases de la octava edición, aún mejor para tudiantes.

1la novena edición aporcionar aquí una lista de los recursos, i encontrar en las primeras páginas de este iblecen los recursos en su contexto ade3loques de construcción de un sistema jue ha sido ensamblado cuidadosamente ara ayudar a los estudiantes a obtener el 0 posible del tiempo que invierten en sus ivor, tome un momento para revisar esto a sus estudiantes al inicio del curso. Mi ha mostrado que cuando los estudiantes rsos son más exitosos en la materia.

[iones en la novena edición ; capítulo, los cuales, aplican los conceptos tulo a una situación de la vida real los cuamejorados para dar a los estudiantes una actualizada. Muchos proyectos son nuevos dos en Internet, por lo que requieren que tes encuentren información en línea para er los problemas. lathXL: “El autor lo resuelve”. El autor livan trabaja por secciones en ejercicios en los que generalmente los estudiantes na mayor explicación y asesoría. Estos 1resultado de las experiencias de Sullivan •or Internet. : escaparate, se usan para presentar ejemforma guiada. Los estudiantes pueden ver inte cómo se utiliza cada paso de un projemplos de “cómo resolverlo” vienen en un ¡os columnas en donde la columna izquierda aso para resolver el problema y la columna :stra el álgebra completa con anotaciones.

Muchos de los problemas que involucran datos requie­ ren que los estudiantes primero determinen el modelo apropiado (lineal, cuadrático, etc.) que mejor se ajuste a los datos y justifiquen su elección. • Los grupos de ejercicios se encuentran clasificados de acuerdo con su propósito al final de cada sección. Hemos extendido los ejercicios de la sección Estéis listo?” para mejor uso del estudiante que necesita un repaso oportuno de los conceptos usados en la sección. Los ejercicios de conceptos y ocabulario han sido ac­ tualizados. Estos ejercicios de completar el espacio en blanco y verdadero/falso han sido escritos para servir como exámenes orales. Se han agregado ejercicios de práctica mixta. Estos problemas proporcionan una eva­ luación profunda de las habilidades desarrolladas en la sección, por medio de problemas que se relacionan con más de un objetivo. En ocasiones, requerirán informa­ ción de secciones anteriores, con el fin de que los estu­ diantes usen las habilidades desarrolladas a lo largo del curso. Los problemas de aplicaciones y extensiones han sido actualizados y se han agregado un número mayor de problemas con información y datos de fuentes para hacerlos más contemporáneos y relevantes. Los ejerci­ cios de explicación de conceptos: disensión y escritura han sido actualizados y reformulados para estimular la discusión de los conceptos en foros de discusión por Internet. También se pueden usar para alentar la dis­ cusión dentro de la clase. Finalmente, en la edición con anotaciones para el profesor, he seleccionado proble­ mas que pueden servir como ejemplos de problemas de tarea. Estos están subrayados y se pueden asignar en MyMathLab® si así se desea. • El repaso del capítulo ahora identifica ejemplos para retomar cada objetivo del capítulo.

Cam bios en la novena edición • CONTENIDO ° Capítulo 3, sección 3 Se agregó un objetivo nue­ vo: “usar una gráfica para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto”. También se hace mención del teorema de valor extremo. ° Capítulo 4, sección 3 Se agregó un objetivo nue­ vo: “encontrar la función cuadrática a partir de su vértice y de un punto dados”. ° Capítulo 5, sección 1 Se agregó un nuevo objeti­ vo: “construir modelos cúbicos a partir de los da­ tos”. ° Capítulo 5, sección 5 Se eliminó la regla de los signos de Descartes, ya que su valor es redundante respecto a la información obtenida de otras fuentes. ° Capítulo 6, sección 3 Se ha amplió la definición de una función exponencial.

Prefacio para el profesor

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Capítulo 10, sección 5 Se agregaron más aplica­ ciones de la descomposición de vectores.

• ORGANIZACIÓN ° Capítulo R, sección 5 El objetivo “completar cuadrados” se movió del capítulo 1 a esta sección. ° Capítulo 8 Las dos secciones de ecuaciones trigo­ nométricas, ecuaciones trigonométricas (I) y ecua­ ciones trigonométricas (II) se consolidaron en una nueva sección en el capítulo 8, sección 3, llamada ecuaciones trigonométricas. Además, las ecuacio­ nes trigonométricas que usan identidades especia­ les se organizaron en secciones estratégicas a lo largo del capítulo. 9 Capítulo 10 El material con aplicaciones de vec­ tores que anteriormente estaba en la sección 5 sobre producto punto, cambió a la sección 4 para enfatizar las aplicaciones del vector resultante.

Uso eficaz de la novena edición de acuerdo al plan de estudios Para satisfacer las diferentes necesidades de los diversos planes de estudio, este libro incluye más contenido de lo que probablemente se cubre en un curso de álgebra y tri­ gonometría. Como se puede ver en la gráfica, este libro ha sido organizado con la idea de darle flexibilidad de uso. Dentro de cada capítulo algunas secciones son opcionales (ver los detalles después de la gráfica) y se pueden omitir sin perder la continuidad.

Capítulo 2

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X V II

Gráficas

Este capítulo establece las bases para las funciones. La sección 2.5 es opcional. Capítulo 3

Funciones y sus gráficas

Tal vez es el capítulo más importante. La sección 3.6 es opcional. Capítulo 4

Funciones lineales y cuadráticas

La elección de temas depende del plan de estudios par­ ticular. Las secciones 4.2 y 4.4 se pueden omitir sin perder continuidad. Capítulo 5

Funciones polinom iales y racionales

La elección de temas depende del plan de estudios par­ ticular. Capítulo 6

Funciones exponenciales y logarítm icas

Las secciones 6.1-6.6 van en orden. Las secciones 6.7,6.8 y 6.9 son opcionales. Capítulo 7

Funciones trigonom étricas

En un curso corto, se puede omitir la sección 7.8. Capítulo 8

Trigonom etría analítica

En un curso corto, se pueden omitir las secciones 8.2, 8.6 y 8.8. Capítulo 9

A plicaciones de funciones trigonom étricas

En un curso corto, se pueden omitir las secciones 9.4 y 9.5. Capítulo 10

Coordenadas polares; vectores

Las secciones 10.1-10.3 y las secciones 10.4 y 10.5 son in­ dependientes y se pueden cubrir por separado. Capítulo 11

Capítulo R

Repaso

Este capítulo consiste de material de repaso. Se puede usar como la primera parte del curso o, más tarde, como un repaso oportuno cuando se requiera el contenido. Para ayudar en el proceso de repaso, se hacen referencias específicas a este capítulo a lo largo de todo el libro. Capítulo 1

Geom etría analítica

Las secciones 11.1-11.4 van en orden. Las secciones 11.5, 11.6 y 11.7 son independientes entre sí, pero cada una re­ quiere de las secciones 11.1-11.4. Capítulo 12

Sistem as de ecuaciones y desigualdades

Las secciones 12.2-12.7 se pueden cubrir en cualquier or­ den, pero cada una requiere de la sección 12.1. La sección 12.8 requiere de la sección 12.7.

Ecuaciones y desigualdades

Este capítulo consiste principalmente en un repaso de temas de álgebra intermedia, debido a que este material es un requisito previo necesario para los temas que se tratarán. El estudio de números complejos y ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo es opcional y se puede posponer o saltar completamente, sin perder la continuidad.

Capítulo 13

Sucesiones; inducción; teorem a del binomio

Aquí hay tres partes independientes: las secciones 13.1-13.3; la sección 13.4 y la sección 13.5 Capítulo 14

Conteo y probabilidad Las secciones van en orden.

Prefacio para el profesor omo profesor de matemáticas en una universidad pública, durante 35 años, entiendo las diversas ne­ cesidades de los estudiantes de álgebra y trigonome­ tría. Los estudiantes varían desde los menos preparados, con pocos conocimientos de matemáticas y miedo a ellas, hasta los muy motivados y preparados. Para algunos, éste es su último curso de matemáticas; mientras que para otros es la preparación para futuros cursos de matemáticas. He escrito este texto pensando en los dos grupos. Una gran ventaja de ser el autor de una serie exito­ sa es la amplia realimentación que recibo de maestros y estudiantes que han usado ediciones anteriores. Estoy sinceramente agradecido por su apoyo. Prácticamente to­ dos los cambios realizados a esta edición son el resultado de sus atinados comentarios y sugerencias. Espero haber sido capaz de tomar sus ideas para hacer esta serie una herramienta de enseñanza y aprendizaje, construida so­ bre las exitosas bases de la octava edición, aún mejor para profesores y estudiantes.

C

Recursos de la novena edición En lugar de proporcionar aquí una lista de los recursos, éstos se pueden encontrar en las primeras páginas de este libro. Ahí se establecen los recursos en su contexto ade­ cuado, como bloques de construcción de un sistema de enseñanza que ha sido ensamblado cuidadosamente año tras año, para ayudar a los estudiantes a obtener el mayor provecho posible del tiempo que invierten en sus estudios. Por favor, tome un momento para revisar esto y discutirlo con sus estudiantes al inicio del curso. Mi experiencia me ha mostrado que cuando los estudiantes usan estos recursos son más exitosos en la materia.

Nuevas secciones en la novena edición • Proyectos de capítulo, los cuales, aplican los conceptos de cada capítulo a una situación de la vida real los cua­ les han sido mejorados para dar a los estudiantes una experiencia actualizada. Muchos proyectos son nuevos y están basados en Internet, por lo que requieren que los estudiantes encuentren información en línea para poder resolver los problemas. • Videos de MathXL: “ El autor lo resuelve” . El autor Michael Sullivan trabaja por secciones en ejercicios de MathXL, en los que generalmente los estudiantes requieren una mayor explicación y asesoría. Estos videos son el resultado de las experiencias de Sullivan enseñando por Internet. • Ejemplos de escaparate, se usan para presentar ejem­ plos en una forma guiada. Los estudiantes pueden ver inmediatamente cómo se utiliza cada paso de un pro­ blema. Los ejemplos de “cómo resolverlo” vienen en un formato de dos columnas en donde la columna izquierda describe el paso para resolver el problema y la columna derecha muestra el álgebra completa con anotaciones.

xvi

• Modélalo. Estos ejemplos y ejercicios están claramen­ te marcados con un icono Su objetivo es que el estudiante desarrolle su habilidad para construir mo­ delos a partir de datos y de descripciones verbales. Muchos de los problemas que involucran datos requie­ ren que los estudiantes primero determinen el modelo apropiado (lineal, cuadrático, etc.) que mejor se ajuste a los datos y justifiquen su elección. • Los grupos de ejercicios se encuentran clasificados de acuerdo con su propósito al final de cada sección. Hemos extendido los ejercicios de la sección “¿Estéis listo?” para mejor uso del estudiante que necesita un repaso oportuno de los conceptos usados en la sección. Los ejercicios de conceptos y ocabulario han sido ac­ tualizados. Estos ejercicios de completar el espacio en blanco y verdadero/falso han sido escritos para servir como exámenes orales. Se han agregado ejercicios de práctica mixta. Estos problemas proporcionan una eva­ luación profunda de las habilidades desarrolladas en la sección, por medio de problemas que se relacionan con más de un objetivo. En ocasiones, requerirán informa­ ción de secciones anteriores, con el fin de que los estu­ diantes usen las habilidades desarrolladas a lo largo del curso. Los problemas de aplicaciones y extensiones han sido actualizados y se han agregado un número mayor de problemas con información y datos de fuentes para hacerlos más contemporáneos y relevantes. Los ejerci­ cios de explicación de conceptos: disensión y escritura han sido actualizados y reformulados para estimular la discusión de los conceptos en foros de discusión por Internet. También se pueden usar para alentar la dis­ cusión dentro de la clase. Finalmente, en la edición con anotaciones para el profesor, he seleccionado proble­ mas que pueden servir como ejemplos de problemas de tarea. Estos están subrayados y se pueden asignar en MyMathLab® si así se desea. • El repaso del capítulo ahora identifica ejemplos para retomar cada objetivo del capítulo.

Cam bios en la novena edición • CONTENIDO ° Capítulo 3, sección 3 Se agregó un objetivo nue­ vo: “usar una gráfica para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto”. También se hace mención del teorema de valor extremo, o Capítulo 4, sección 3 Se agregó un objetivo nue­ vo: “encontrar la función cuadrática a partir de su vértice y de un punto dados”. ° Capítulo 5, sección 1 Se agregó un nuevo objeti­ vo: “construir modelos cúbicos a partir de los da­ tos”. ° Capítulo 5, sección 5 Se eliminó la regla de los signos de Descartes, ya que su valor es redundante respecto a la información obtenida de otras fuentes. ° Capítulo 6, sección 3 Se ha amplió la definición de una función exponencial.

Prrfaclo p .v j el profesor

* Capitulo 10, «ccvion 5 Se agregaron más aplica* cioncs ilc la descomposición de vectores. • ORGANIZACIÓN * Capitulo R. sección 5 El objetivo "completar cuadrados" se movió del capitulo l a esta sección. * Capitulo 8 Las dos secciones de ecuaciones trigt>nométrtais, etUiH iones tnyonometnuLs (!) y «riui* cione.s trigtmométruus (II i se consolidaron en una nueva sección en el capitulo 8, sección 3, llamada ecuaciones trigonométricas. Además, las ecuacio­ nes trigonométricas que usan identidades especia­ les se organizaron en secciones estratégicas a lo largo del capitulo. 1 Capitulo 10 El material con aplicaciones de vec­ tores que anteriormente estaba en la sección 5 sobre producto punto, cambió a la sección 4 para enfatizar las aplicaciones del vector resultante.

Uso eficaz de la novena edición de acuerdo al plan de estudios Para satisfacer las diferentes necesidades de los diversos planes de estudio, este libro incluye más contenido de lo que probablemente se cubre en un curso de ályebm y trifonometría. Como se puede ver en la gráfica, este libro ha sido organizado con la idea de darle flexibilidad de uso. Dentro de cada capítulo algunas secciones son opcionales (ver los detalles después de la gráfica) y se pueden omitir sin perder la continuidad.

Capitulo 2

xvil

Gráficas

Este capítulo establece las bases para las funciones. La sección 2.5 es opcional. Capitulo 3

Funcionas y sus gráficas

Tal vez es el capitulo más importante. La sección 3.6 es opcional. Capítulo 4

Funcionas lineales y cuadráticas

La elección de temas depende del plan de estudios par­ ticular. Las secciones 4.2 y 4.4 se pueden omitir sin perder continuidad. Capitulo 5

Funcionas polinom iales y racionales

La elección de temas depende del plan de estudios par­ ticular. Capitulo 6

Funciones exponenciales y logarítm icas

Las secciones 6.1 -6.6 van en orden. Las secciones 6.7,6.8 y 6 .9 son opcionales. Capitulo 7

Funciones trigonom étricas

En un curso corto, se puede omitir la sección 7.8. Capítulo 8

Trigonom etría analítica

En un curso corto, se pueden omitir las secciones 8.2,8.6 y 8.8. Capítulo 9

Aplicaciones de funciones trigonom étricas

En un curso corto, se pueden omitir las secciones 9.4 y 9.5. Capitulo 10

Coordenadas polares; vectores

Las secciones 10.1-10.3 y las secciones 10.4 y 10.5 son in­ dependientes y se pueden cubrir por separado. Capítulo 11

Capitulo R

Repaso

Este capítulo consiste de material de repaso. Se puede usar como la primera parte del curso o, más tarde, como un repaso oportuno cuando se requiera el contenido. Para ayudar en el proceso de repaso, se hacen referencias específicas a este capítulo a lo largo de todo el libro. Capítulo 1

Geom etria analitica

Las secciones 11.1-11.4 van en orden. Las secciones 11.5, 11.6 y 11.7 son independientes entre sí, pero cada una re­ quiere de las secciones 11.1-11.4. Capitulo 12

Sistem as de ecuaciones y desigualdades

Las secciones 12.2-12.7 se pueden cubrir en cualquier or­ den, pero cada una requiere de la sección 12.1. La sección 12.8 requiere de la sección 12.7.

Ecuaciones y desigualdades

Este capítulo consiste principalmente en un repaso de temas de álgebra intermedia, debido a que este material es un requisito previo necesario para los temas que se tratarán. El estudio de números complejos y ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo es opcional y se puede posponer o saltar completamente, sin perder la continuidad.

Capitulo 13

Sucesiones; inducción; teorem a del binomio

Aquí hay tres partes independientes: las secciones 13.1-13.3; la sección 13.4 y la sección 13.5 Capítulo 14

Conteo y probabilidad

Las secciones van en orden.

X V ÍÍ¡

Prefacio para el profesor

Agradecimientos Los libros de texto son escritos por autores pero evolu­ cionan de una idea a su forma final, a través de los esfuer­ zos de muchas personas. Don Dellen fue quien inicial­ mente sugirió este libro y las series. A Don se le recuerda por sus extensas contribuciones a las publicaciones y a las matemáticas. Agradezco también su ayuda y estímulo en la prepa­ ración de esta edición a las siguientes personas:

• Cuando este libro iba camino a la imprenta, Bob Walters, director de producción, falleció tras una larga y valiente batalla contra una enfermedad pulmonar. Él era un querido y viejo amigo, un verdadero profesio­ nal en el más amplio sentido de la palabra. • Revisores de la exactitud de datos: C. Brad Davis, quien leyó el manuscrito entero y verificó la exactitud de las respuestas. Su atención a los detalles es impre­ sionante; Timothy Britt, por crear el Manual de Solu­ ciones y verificar la exactitud de las respuestas. • Revisiones: Larissa Williamson, University of Flori­ da; Richard Nadel, Florida International University; Robin Steinberg, Puma CC; Mike Rosenthal, Florida International University; Gerardo Aladro, Florida In­ ternational University; Tammy Muhs. University of Central Florida; Val Mohanakumar, Hillsborough CC.

• De Pearson Education: Anne Kelly por sus contri­ buciones sustanciales, ideas y entusiasmo; Roxanne McCarley, una admiradora y partidaria; Dawn Murrin, por su inigualable talento para obtener detalles correc­ tos; Bob y Carol Walters por sus magníficas habilidades organizacionales en la dirección de la producción; Pe­ ggy McMahon por sus intervenciones y por dirigir las etapas finales de producción; Chris Hoag por su apoyo continuo y genuino interés; Greg Tobin por su lide­ razgo y compromiso con la excelencia y al equipo de Pearson Math and Science Sales por su continua con­ fianza y apoyo personal a nuestros libros.

Por último quiero ofrecer mi profundo agradecimien­ to a los dedicados usuarios y revisores de mis libros cuyas perspicaces sugerencias forman la columna vertebral de cada revisión del libro de texto. Mi lista de endeudamiento crece y crece. Si he olvidado a alguien, por favor acepten mis disculpas. Gracias a todos.

James Africh, College of DuPage Steve Agronsky, Cal Ploy State University Grant Alexander, Joliet Junior College Dave Anderson, South Suburban College Richard Andrews, Florida A&M University Joby Milo Anthony, University of Central Florida James E. Arnold, University of Wisconsin-Milwaukee Adel Arshaghi, Center for Educational Merit Carolyn Autray, University of West Georgia Agnes Azzolino, Middlesex County College Wilson P Banks, Illinois State University Sudeshna Basu, Howard University Dale R. Bedgood, East Texas State University Beth Beno, South Suburban College Carolyn Bernath, Tallahassee Community College Rebecca Berthiaume, Edison State College William H. Beyer, University of Akron Annette Blackwelder, Florida State University Richelle Blair, Lakeland Community College Kevin Bodden, Lewis and Clark College Barry Booten, Florida Atlantic University Larry Bouldin, Roane State Community College Bob Bradshaw, Ohlone College Trudy Bratten, Grossmont College Tim Bremer, Broome Community College Tim Britt, Jackson State Community College Michael Brook, University of Delaware Joanne Brunner, Joliet Junior College Warren Burch, Brevard Community College Mary Butler, Lincoln Public Schools Melanie Butler, West Virginia University Jim Butterbach, Joliet Junior College William J. Cable, University of Wisconsin-Stevens Point Lois Calamia, Brookdale Community College Jim Campbell, Lincoln Public Schools

Roger Carlsen, Moraine Valley Community College Elena Catoiu, Joliet Junior College Mathews Chakkanakuzhi, Palomar College Tim Chappell, Penn Valley Community College John Collado, South Suburban College Alicia Collins, Mesa Community College Nelson Collins, Joliet Junior College Jim Cooper, Joliet Junior College Denise Corbett, East Carolina University Carlos C. Corona, San Antonio College Theodore C. Coskey, South Seattle Community College Donna Costello, Plano Senior High School Paul Crittenden, University of Nebraska at Lincoln John Davenport, East Texas State University Faye Dang, Joliet Junior College Antonio David, Del Mar College Stephanie Deacon, Liberty University Duane E. Deal, Ball State University Jerry DeGroot, Purdue North Central Timothy Deis, University of Wisconsin-Platteville Joanna DelMonaco, Middlesex Community College Vivian Dennis, Eastfield College Deborah Dillon, R. L. Turner High School Guesna Dorman, Tallahassee Community College Cheryl Doolittle, Iowa State University Karen R. Dougan, University of Florida Jerrett Dumouchel, Florida Community College at Jacksonville Louise Dyson, Clark College Paul D. East. Lexington Community College Don Edmondson. University of Texas-Austin Erica Egizio, Joliet Junior College Jason Eltrevoog, Joliet Junior College Christopher Ennis, University of Minnesota Kathy Eppler, Salt Lake Community College

Prefacio para el profesor

Ralph Esparza, Jr., Richland College Garret J. Etgen, University of Houston Scott Fallstrom, Shoreline Community College Pete Falzone, Pensacola Junior College W.A. Ferguson, University of Illinois-Urbana/ Champaign Iris B. Fetta, Clemson University Mason Flake, student at Edison Community College Timothy W. Flood, Pittsburg State University Robert Frank, Westmoreland County Community College Merle Friel, Humboldt State University Richard A. Fritz, Moraine Valley Community College Dewey Furness, Ricke College Randy Gallaher, Lewis and Clark College Tina Garn, University of Arizona Dawit Getachew, Chicago State University Wayne Gibson, Rancho Santiago College Robert Gill, University of Minnesota Duluth Nina Girard, University of Pittsburgh at Johnstown Sudhir Kumar Goel, Valdosta State University Adrienne Goldstein, Miami Dade College, Kendall Campus Joan Goliday, Sante Fe Community College Lourdes Gonzalez, Miami Dade College, Kendall Campus Frederic Gooding, Goucher College Donald Goral, Northern Virginia Community College Sue Graupner, Lincoln Public Schools Mary Beth Grayson, Liberty University Jennifer L. Grimsley, University of Charleston Ken Gurganus, University of North Carolina James E. Hall, University of Wisconsin-Madison Judy Hall.West Virginia University Edward R. Hancock, DeVry Institute of Technology Julia Hassett, DeVry Institute-Dupage Christopher Hay-Jahans, University of South Dakota Michah Heibel, Lincoln Public Schools LaRae Helliwell, San Jose City College Celeste Hernandez, Richland College Gloria P. Hernandez, Louisiana State University at Eunice Brother Herron, Brother Rice High School Robert Homburg, Western Connecticut State University Lynda Hollingsworth, Northwest Missouri State University Charla Holzbog, Denison High School Lee Hruby, Naperville North High School Miles Hubbard, St. Cloud State University Kim Hughes, California State College-San Bernardino Ron Jamison, Brigham Young University Richard A. Jensen, Manatee Community College Glenn Johnson, Middlesex Community College Sandra G. Johnson, St. Cloud State University Tuesday Johnson, New Mexico State University Susitha Karunaratne, Purdue University North Central Moana H. Karsteter, Tallahassee Community College Donna Katula, Joliet Junior College

X IX

Arthur Kaufman, College of Staten Island Thomas Kearns, North Kentucky University Jack Keating, Massasoit Community College Shelia Kellenbarger, Lincoln Public Schools Rachael Kenney, North Carolina State University Debra Kopcso, Louisiana State University Lynne Kowski, Raritan Valley Community College Yelena Kravchuk, University of Alabama at Birmingham Keith Kuchar, Manatee Community College Tor Kwembe, Chicago State University Linda J. Kyle, Tarrant Country Jr. College H.E. Lacey, Texas A & M University Harriet Lamm, Coastal Bend College James Lapp, Fort Lewis College Matt Larson, Lincoln Public Schools Christopher Lattin, Oakton Community College Julia Ledet, Lousiana State University Adele LeGere, Oakton Community College Kevin Leith, University of Houston JoAnn Lewin, Edison College Jeff Lewis, Johnson County Community College Janice C. Lyon, Tallahassee Community College Jean McArthur, Joliet Junior College Virginia McCarthy, Iowa State University Karla McCavit, Albion College Michael McClendon, University of Central Oklahoma Tom McCollow, DeVry Institute of Technology Marilyn McCollum, North Carolina State University Jill McGowan, Howard University Will McGowant, Howard University Angela McNulty, Joliet Junior College Laurence Maher, North Texas State University Jay A. Malmstrom, Oklahoma City Community College Rebecca Mann, Apollo High School Lynn Marecek, Santa Ana College Sherry Martina, Naperville North High School Alec Matheson, Lamar University Nancy Matthews, University of Oklahoma James Maxwell, Oklahoma State University-Stillwater Marsha May, Midwestern State University James McLaughlin, West Chester University Judy Meckley, Joliet Junior College David Meel, Bowling Green State University Carolyn Meitler, Concordia University Sarnia Metwali, Erie Community College Rich Meyers, Joliet Junior College Eldon Miller, University of Mississippi James Miller, West Virginia University Michael Miller, Iowa State University Kathleen Miranda, SUNY at Old Westbury Chris Mirbaha, The Community College of Baltimore County Val Mohanakumar, Hillsborough Community College Thomas Monaghan, Naperville North High School Miguel Montanez, Miami Dade College, Wolfson Campus

XX

Prefacio para el profesor

Maria Montoya, Our Lady of the Lake University Susan Moosai, Florida Atlantic University Craig Morse, Naperville North High School Samad Mortabit, Metropolitan State University Pat Mower, Washburn University A. Muhundan, Manatee Community College Jane Murphy, Middlesex Community College Richard Nadel, Florida International University Gabriel Nagy, Kansas State University Bill Naegele, South Suburban College Karla Neal, Lousiana State University Lawrence E. Newman, Holyoke Community College Dwight Newsome, Pasco-Hernando Community College Denise Nunley, Maricopa Community Colleges James Nymann, University of Texas-El Paso Mark Omodt, Anoka-Ramsey Community College Seth F. Oppenheimer, Mississippi State University Leticia Oropesa, University of Miami Linda Padilla, Joliet Junior College E. James Peake, Iowa State University Kelly Pearson, Murray State University Dashamir Petrela, Florida Atlantic University Philip Pina, Florida Atlantic University Michael Prophet, University of Northern Iowa Laura Pyzdrowski, West Virginia University Neal C. Raber, University of Akron Thomas Radin, San Joaquin Delta College Aibeng Serene Radulovic, Florida Atlantic University Ken A. Rager, Metropolitan State College Kenneth D. Reeves, San Antonio College Elsi Reinhardt, Truckee Meadows Community College Jose Remesar, Miami Dade College, Wolfson Campus Jane Ringwald, Iowa State University Stephen Rodi, Austin Community College William Rogge, Lincoln Northeast High School Howard L. Rolf, Baylor University Mike Rosenthal, Florida International University Phoebe Rouse, Lousiana State University Edward Rozema, University of Tennessee at Chattanooga Dennis C. Runde, Manatee Community College Alan Saleski, Loyola University of Chicago Susan Sandmeyer, Jamestown Community College Brenda Santistevan, Salt Lake Community College Linda Schmidt, Greenville Technical College Ingrid Scott, Montgomery College A.K. Shamma, University of West Florida Martin Sherry, Lower Columbia College Carmen Shershin, Florida International University Tatrana Shubin, San Jose State University Anita Sikes, Delgado Community College Timothy Sipka, Alma College

Charlotte Smedberg, University of Tampa Lori Smcllegar, Manatee Community College Gayle Smith, Loyola Blakefield Leslie Soltis, Mercyhurst College John Spellman, Southwest Texas State University Karen Spike, University of North Carolina Rajalakshmi Sriram, Okaloosa-Walton Community College Katrina Staley, North Carolina Agricultural and Technical State University Becky Stamper, Western Kentucky University Judy Staver, Florida Community College-South Neil Stephens, Hinsdale South High School Sonya Stephens, Florida A&M University Patrick Stevens, Joliet Junior College John Sumner, University of Tampa Matthew TenHuisen, University of North Carolina, Wilmington Christopher Terry, Augusta State University Diane Tesar, South Suburban College Tommy Thompson, Brookhaven College Martha K. Tietze, Shawnee Mission Northwest High School Richard J. Tondra, Iowa State University Suzanne Topp, Salt Lake Community College Marilyn Toscano, University of Wisconsin, Superior Marvel Townsend, University of Florida Jim Trudnowski, Carroll College Robert Tuskey, Joliet Junior College Mihaela Vajiac, Chapman University-Orange Richard G. Vinson, University of South Alabama Jorge Viola-Prioli, Florida Atlantic University Mary Voxman, University of Idaho Jennifer Walsh, Daytona Beach Community College Donna Wandke, Naperville North High School Timothy L. Warkentin, Cloud County Community College Hayat Weiss, Middlesex Community College Kathryn Wetzel, Amarillo College Darlene Whitkenack, Northern Illinois University Suzanne Williams, Central Piedmont Community College Larissa Williamson, University of Florida Christine Wilson, West Virginia University Brad Wind, Florida International University Anna Wiodarczyk, Florida International University Mary Wolyniak, Broome Community College Canton Woods, Auburn University Tamara S. Worner, Wayne State College Terri Wright, New Hampshire Community Technical College, Manchester George Zazi, Chicago State University Steve Zuro, Joliet Junior College Michael Sullivan Chicago Stale University (Universidad del estado de Chicago)

RECURSOS PARA EL ESTUDIANTE Los siguientes complementos están disponibles para el estudiante: •

Manual de Soluciones para el estudiante (ISBN 10:0321717112; ISBN 13: 9780321717115) Soluciones completas de los ejercicios impares.

•

Repaso de álgebra (ISBN 10: 0131480065; ISBN 13: 9780131480063) Cuatro capítulos de repaso de álgebra intermedia. Ideal para un curso más lento o para repaso individual.

•

Videos en DVD para álgebra y trigonometría, 9e (ISBN 10: 0321716663; ISBN 13: 9780321716668) Las grabaciones en DVD contienen breves videos de Michael Sullivan III resolviendo ejemplos clave del libro. Los videos de preparación para examen del capítulo (también incluidos) proporcionan soluciones completas de los ejercicios de exa­ men del capítulo. Los videos de preparación para examen del capítulo también están disponibles en MyMathLab® o en YouTube® (entra a www.youtube.com/SullivanAlgandTrig9e). Los videos tienen subtítulos opcionales. Curso en Internet de MathXL® (se requiere código de acceso)

MathXL® es un poderoso sistema de tareas por Internet, tutoriales y evaluaciones que acompaña a los libros de texto de mate­ máticas o estadística de Pearson Education. Con MathXL® los profesores pueden: • Crear, editar y asignar tareas por Internet y exámenes usando ejercicios generados con algoritmos y que se relacionan con el libro a nivel objetivo. • Crear y asignar sus propios ejercicios en Internet e importar exámenes TestGen para mayor flexibilidad. • Mantener registros de todo el trabajo del estudiante, dándole seguimiento en el libro de calificaciones en línea de MathXL®. Con MathXL® los estudiantes pueden: • Tomar exámenes de capítulo en MathXL® y recibir planes de estudio personalizados basados en los resultados de sus exámenes. • Usar el plan de estudios para enlazar directamente los ejercicios tutoriales con los objetivos que necesiten estudiar y volver a evaluar. • Tener acceso a suplementos animados y videos de ejercicios selectos directamente. MathXL está disponible para maestros calificados que lo adopten. Para mayor información, visita nuestra página de Internet http://espanol.niym athlabglobal.com /login_espanol.htin o póngase en contacto con su representante de ventas de Pearson. Curso MYMathLab® por Internet (se requiere código de acceso)

MyMathLab® es un curso por Internet específico del texto, fácilmente personalizable y que integra instrucciones multimedia interactivas con el contenido del libro de texto. MyMathLab le da las herramientas que necesita para impartir todo o una parte de su curso por Internet, ya sea que sus alumnos se encuentren en la escuela o que trabajen desde en su casa. • E jercicios interactivos de tarea, que se relacionan al nivel objetivo con el libro y que son generados algorítmicamente para practicar ilimitadamente y tener dominio. La mayoría de los ejercicios tienen respuesta libre y dan soluciones guiadas, problemas de muestra y tutoriales de asistencia de aprendizaje para mayor ayuda. • Tareas personalizadas, ejercicios que usted puede diseñar para satisfacer las necesidades de su grupo. MyMathLab diseña una tarea para cada estudiante basada en los resultados de sus exámenes. Cada estudiante recibe una tarea que contiene solo los problemas que aún necesita dominar. • Plan de estudios personalizado, generado cuando los estudiantes completan un cuestionario, examen o tarea, que indica los temas que deben ser dominados y dirige a ejercicios para los temas que los estudiantes aún requieren repasar. Usted puede personalizar su plan de estudios para que los temas disponibles concuerden con el contenido de su curso. • A uxiliares de aprendizaje m ultim edia, como clases en videos y podcasts, animaciones y un texto multimedia completo, ayudan a los estudiantes a mejorar su entendimiento y desempeño de forma independiente. Usted puede asignar estos auxiliares multimedia de aprendizaje como tareas para ayudar a sus estudiantes a entender los conceptos. • El adm inistrador d e tareas y exám enes le permite asignar tareas, cuestionarios rápidos y exámenes que se califican auto­ máticamente. Seleccione la mezcla adecuada de preguntas del banco de ejercicios de MyMathLab, ejercicios creados por el instructor y/o pruebas de TestGen®. • Libro de calificaciones, diseñado específicamente para matemáticas y estadística, da seguimiento automático a los resulta­ dos de los estudiantes, le permite estar al tanto del desempeño de cada estudiante y le da control sobre el cálculo de las ca­ lificaciones finales. También pueden añadir calificaciones fuera de Internet'(de papel y lápiz) a este libro de calificaciones. • El generador de ejercicios de M athX L le permite crear ejercicios estáticos y algorítmicos para sus tareas por Internet. Puede usar la lista de ejercicios de muestra como un punto de inicio sencillo o puede editar cualquier ejercicio relacionado con el curso.

xxi

• El acceso al centro de asesoría Pearson (www.pearsontutorserviccs.com) se incluye automáticamente en MyMathLab. El centro de asesoría está manejado por instructores de matemáticas calificados que dan asesorías especificas sobre el libro de texto a los estudiantes, por medio de un número telefónico gratuito, fax, correo electrónico y sesiones interactivas en línea. Este contenido está en inglés. • NUEVOS recursos para Álgebra y Trigonometría, 9e, Sullivan O Los videos de “El autor lo resu elve” muestran a Michael Sullivan III trabajando por secciones en ejercicios de MathXL. que generalmente son en los que los estudiantes solicitan más explicaciones y asesorías. Estos videos son el resultado de las experiencias de las clases en línea de Sullivan. O Las muestras de tareas presentadas por el autor, se indican subrayadas dentro de los grupos de ejercicios al final de la sección, en la edición con anotaciones para el instructor y se pueden asignar en MyMathLab. O Los ejercicios MathXL de proyecto del capítulo permiten a los instructores asignar problemas basados en Internet, sobre los nuevos proyectos de capítulo. Los estudiantes realizan sus tareas en el Flash®-based MathXL Player, el cual, es compatible con casi cualquier navegador (Firefox®, Safari™ o Internet Explorer®) y con casi cualquier sistema operativo (Macintosh® o Windows®). MyMathLab está accionado por CourseCompass™, el medio de aprendizaje y enseñanza en línea de Pearson Education y por MathXL*. nues­ tro sistema de tareas, asesorías y evaluaciones por Internet. MyMathLab está disponible para profesores calificados que lo adopten. Para mayor información, visite www.mymathlab.com o contacte a su representante de Pearson.

xxií

: índice de aplicaciones Acústica

Astronomía

Combinatoria

amplificación del sonido, 498 bocina, 709 diapasón, 709-710 galerías con eco. 793-94,839 intensidad del sonido, 449

ángulo de elevación del Sol, 676 año luz, 29 distancia de la Tierra a su luna, 29 distancia de los planetas al Sol, 948 órbitas planetarias, 793 Júpiter, 796 Marte, 796 Mercurio, 823 Neptuno, 841 Plutón, 796,841 Tierra, 796

apilado de cajas, 994 arreglo de banderas, 993, 1008 arreglos de libros, 994,1007 candados de combinación, 995 códigos de aeropuertos, 988 códigos binarios, 1008 códigos de letras, 988,1008 combinaciones de blusas y faldas, 986 combinaciones de camisas y corbatas, 986 combinaciones de letras, 1007 disposición de los asientos, 1007 fila de personas, 989,994 formación de códigos, 994 formación de comités, 992,994-95,1008 comités del Senado, 995 formación de palabras, 992-93, 995,1008 formación de números, 986,994, 995,1008 números telefónicos, 1007 palabras código de dos letras, 985 permutaciones de fechas de nacimiento, 990, 994, 995,1001-2,1006,1008 posibilidades de números de placas, 994, 1007,1009 selección de objetos, 995 voltaje de un foco, 1008

Aerodinámica

modelado de movimiento de naves, 774-75 Aeronáutica

desastre del Challenger, 485

Aviación Agricultura

administración de granjas, 929 área de pastoreo para una vaca, 700-701 asignación de cosechas, 934 cercado de un campo, 914 eliminación de un tocón, 762-63 minimización de costos, 929 riego de un campo, 102

lanzamientos orbitales, 855 modelado de movimiento de naves, 774-75 Biología

Armas

alcohol y manejar, 445,450 biomasa de levaduras como función del tiempo, 489-90 crecimiento bacterial, 477-78,490-91 E-coli, 223,273 curación de heridas, 435,449 edad de la madre vs. síndrome de Down, 288 longitud ósea, 315-316 tasa de estridulación de un grillo y temperatura, 309 tipos de sangre, 986-87

artillería, 313,621 cañones, 318

clasificación de productos de madera, 483

Arqueología

Cálculo

edad de herramientas antiguas, 478-79 edad de un árbol, 484 edad de un fósil, 484 fecha de la muerte de un hombre prehistórico, 498

área bajo la curva, 257, 615-16 área bajo una gráfica, 232 doblar una esquina cargando una escalera, 630-31 maximización de la construcción de canaletas para lluvia, 660-61 movimiento de proyectiles, 630-31 regla de Simpson, 307

animal, 930 comida rápida, 856, 857 comidas "light", 129 contenido de una hielera, 1009 dieta de hospital, 857,871 dulces, 286 estofado de cerdo, 485 galletas de las niñas exploradoras, 1005 helado, 929 mezcla de caramelos de colores, 1009 número de comidas posibles, 984-85 pasas, 286-87 tiempo de calentamiento de una jarra de cerveza, 485 tiempo de enfriamiento de una pizza, 484

Carpintería

Computadoras y computación

declive, 181

computadoras personales Dell, 491-92 búsquedas en Internet, 112 gráficas, 761. impresoras láser, 142

Área. Ver también Geometría

bajo la curva, 615-16 de un segmento de círculo, 713 de un triángulo isósceles, 661 del Triángulo de las Bermudas, 700 del sector de un círculo, 514

Arquitectura

arco parabólico, 307 asientos de un estadio de fútbol, 954 construcción de un estadio, 954 dimensiones de ventanas, 102 diseño de mosaicos, 954, 978 diseño de pisos, 952-53,978 diseño de pista de carreras, 796 diseño de ventanas, 307 edificio Burj Khalifa, 31 escalera de tabique, 954,978 Torre Freedom, 539 ventana especial, 307, 315 ventana Norman, 37,307 Arte

enmarcar un cuadro, 147 piezas finas decorativas, 537-38

Bosques

Clima

caída de rayos, 805-6, 809 enfriamiento del aire, 954 evitar una tormenta tropical, 694 factor de enfriamiento por el viento, 243, 499 humedad relativa, 436 huracanes, 340 medición de precipitación pluvial, 769 presión atmosférica, 435,449 rayos y truenos, 146 satélites meteorológicos, 187

Comida y nutrición

Comunicaciones

antena parabólica, 783-84,785 cargos telefónicos, 280 comparación de compañías de teléfono, 315 dispersión de rumores, 435,449 instalación de TV por cable, 262 larga distancia, 281 servicio de teléfono celular, 199, 242,269

xxiii

X X ÍV

Indice de aplicaciones

teléfonos de botones, 665,710 uso de teléfono celular, 487-88,493 Construcción

antena de TV, 785 de bardas, 302,306,315,914 costo mínimo de, 366 de cercado alrededor de un estanque, 142 alrededor de un jardín, 142 maximización del área de, 302,306,315 de carreteras, 539, 687,712 de cerca alrededor de un jardín, 103 de cerca alrededor de una alberca, 103 de faros, 786 de un corral para niños, 259-60 de un estadio, 307,954 de un juego de columpios, 695 de un tambo de acero, 367 de un tubo cilindrico, 914 de una alberca, 37, 38 de una caja, 99-100,102,914 de una caja abierta, 262-63 cerrada, 267 de una canaleta para lluvia, 307,532-33, 660-61 de una cerca de un campo rectangular, 306 de una escalera de tabique, 978 de una lata, 396 de una lata de café, 143 de una linterna, 785-86 de una rampa, 686 rampa de acceso, 180 de una tienda de campaña, 699 dimensiones del patio, 103 inclinación del techo, 677 instalación de tubería de ventilación, 796 instalación de TV por cable, 262 preferencias de casas, 1007 Crimen. Ver también Leyes y aplicación de la ley Criptografía

matrices en, 898-99 Decoración

árbol de navidad, 32 Demografía

crecimiento de la población de conejos, 947 crecimiento de la población de moscos, 484 edad y diplomas de preparatoria, 309 estado civil, 987 índice de diversidad, 448-49 población divorciada, 304-5 tasa de nacimiento de mujeres solteras, 299 tasas de mortalidad, 1008 tasas de pobreza, 396

Deportes

apuestas exactas, 1009 basquetbol, 995 tiros libres, 220,677-78 tiros por debajo, 220 béisbol, 835,995,1007 campo, 694,695 diamante, 156 dimensiones del homc, 699 estadio, 694 ligas menores, 156,516-17 porcentaje de embasamiento, 282-83 Serie Mundial, 995 biatlón, 143 salto en bungec, 373 cálculo de tiros en billar, 539 carreras de relevos, 1007 carreras, 142, 147,911-12,914 desempeño olímpico, 197 fútbol, 142,796 golf, 220 golf, 827-28,835 distancia al green, 693 trampas de arena, 621 héroes olímpicos, 143 lanzamiento de martillo, 601 natación, 715,733 tenis, 142 Tour de France, 670 Dirección

de juegos pirotécnicos, 808-9 de la aguja de una brújula, 762 de la caída de un rayo, 809 de un nadador, 773 de una aeronave, 757-58, 761,773 de una lancha de motor, 762 para cruzar un río, 762 Diseño

de piezas finas decorativas, 537-38 de toldos, 688 de un campo de béisbol de ligas menores, 516 de un rociador de agua, 515 de una caja con área superficial mínima, 366-67 Diseño de paisajes. Ver también Jardines y jardinería

altura de un árbol, 686 cerca de un estanque, 315 cerca de un estanque rectangular, 315 eliminación de un tocón, 762-63 plantar árboles, 871 riego de pasto, 515 Distancia

a la Luna, 686 a lo largo de un estanque, 538 a una meseta, 538 a la orilla, 538,600,687 a una torre, 688

alcance de un avión, 143 alcance de una escalera, 538 altura de la Gran Pirámide de Kcops, 38,688 de la Torre CN, 539 de la Torre Freedom, 539 de la Torre Eiffel, 538 de la Torre Wíllis, 677 de montañas, 498,683,686 de un árbol, 686 de un edificio, 600, 677 de un globo aerostático, 538 de un helicóptero, 712 de un puente, 686 de un terraplén, 677 de una aeronave, 498,686,688 de una estatua en un edificio, 535 de una nube, 534-35 de una pelota botando, 964.978 de una persona en la rueda de la fortuna, 630 de una torre, 538,539 del Monte Everest, 29 del Monumento a Washington, 539 del rostro de Lincoln en el Mt. Rushmore, 538 ancho de desfiladero, 538 de un río, 534, 599 del Río Misisipi, 677 caminando, 222 circunferencia de la Tierra, 516 de búsqueda y rescate, 146 de Chicago a Honolulú, 616 de explosión, 809 de la Tierra a una estrella. 677 de un faro que gira. 583 de un globo aerostático al aeropuerto. 714 desde la intersección, 156 de una tormenta. 146 desde casa, 222 desde la intersección. 261-62 desde Honolulú a Melboume. Australia. 616 en el mar. 687. 712 entre ciudades, 510-11.515 entre dos objetos, 538 entre dos vehículos en movimiento. 156 hacia una intersección, 261-262 entre la Tierra y Mercurio. 688 entre la Tierra y Venus. 688 entre rascacielos. 677 longitud de un lago. 599 de un sendero de montaña. 539 de un teleférico. 686 del cable de tensión. 539.540.694 magnitud limitante de un telescopio. 498 oscilación de un péndulo, 960.964 recorrida en bicicleta, 222 recorrida por una rueda. 37 sonido para medir la, 118-19

Indice de aplicaciones

topografía, 713 Triángulo de las Bermudas, 38 visibilidad del rayo del faro de Gibb's Hill, 38,674-75,678 visual, 38 Economía

desempleo, 1008 deuda federal per cápita, 474 ecuaciones de demanda, 398 índice de Precios al Consumidor (IPC), 475 inflación, 474 ingreso relativo de un niño, 899 modelo IS-LM en, 856 multiplicador, 965 paquete de estímulo federal de, 2009,474 precio y demanda de una computadora personal Dell, 491-92 propensidad marginal a consumir, 965 tasa de participación 213 tasas de pobreza, 396 umbral de pobreza, 157 Editorial

diseño de página, 267 Educación

cálculo de calificaciones, 129 calificaciones, 91 composición del profesorado, 1006 costos de universidad, 474, 964-65 curva de aprendizaje, 436,449 diplomas entregados, 984 de preparatoria, 309 doctorados, 1005 diseño de exámenes, 1007 distribución por edad de universidades comunitarias, 1009 examen de opción múltiple, 994 examen de verdadero/falso, 994 financiamiento de una educación universitaria, 498 matrícula y cuotas universitarias, 898 máximo nivel alcanzado, 936-37 préstamo estudiantil, 268 interés en un, 898 vacaciones de primavera, 929 videojuegos y promedio de calificaciones, 287 viaje de estudios, 374 Electricidad

cableado, 1007 carga de un capacitor, 710 circuitos de corriente alterna (ac), 574, 592 circuitos paralelos, 112 resistencia en, 352 corriente alterna (ac), 600,651 corriente en un circuito RC, 436 corriente en un circuito RL, 436,449 costo de, 240-41 focos, 1009

generadores de corriente alterna (ac), 574-75 impedancia, 112 índices para, 129,180 ley de Ohm, 126 reglas de Kirchhoff, 856-57, 872 resistencia, 70,72,193,352 voltaje doméstico, 133 en Estados Unidos, 29 foráneo, 29 Electrónica

bocinas, 709 comparación de televisores, 103 curva de diente de sierra, 661,710 micrófonos, 166 Encuestas

análisis de datos, 983-84,986 cartera de acciones, 987 de asistencia en sesión de verano, 986 de compra de electrodomésticos, 986 de número de televisores en una casa, 1005 Energía

calor solar, 786 control de termostato, 255-56 planta nuclear, 809 solar, 166,769 Entretenimiento

cine, 615 ganancias de teatro, 857 subscriptores a TV de cable, 492-93 tasa de clientes de la Montaña Rusa de Demon, 435-36 Farmacia

ingestión de vitaminas, 856,872 Finanzas, 9t. Ver también Inversión(es)

ahorro para un auto, 473 para una casa, 964 apreciación del precio de casas, 473 balance de chequera, 29 billetes en la cartera, 1008 cambios de divisas, 408 cargos telefónicos de larga distancia, 281 comisión de ventas, 128-29 compra de ropa, 936 compra de sistema de computación, 474 compra de un auto usado, 473 costo de comida rápida, 856 de gas natural, 242 de la electricidad, 240-41 de la renta de un auto, 243 de tierras, 713 de un auto, 92,180 de un lote triangular, 699 de un viaje transatlántico, 213,221

XXV

de una pizza, 92 minimización de, 315,366 costos universitarios, 474,964-65 depreciación, 435,493 de un auto, 465,501-2 descuentos, 408 división del dinero, 88, 91 ecuación de costos, 192 ecuación de ingresos, 192 facturas de agua, 129 financiamiento de una educación universitaria, 498 fondo de amortización, 964-65 función de costos, 280 función de ingresos, 196 herencia, 147 hipotecas pagos, 189,192,196 segunda,474 tasas de interés de, 474 hipótesis del ciclo de vida, 308 impuestos, 280 declaración de impuestos por Internet, 233 ingreso federal, 243,420 lujos, 280 ingresos vs. tasa de crimen, 493 interés en cuentas de ahorro, 474 maximización de ingresos, 299,300-301, 306 minimización de costos, 299 opciones salariales, 965-66 paquete de estímulo federal de, 2009,474 planeación financiera, 136-37,855-56, 868-69, 871 precios de comida rápida, 857 precio vs. cantidad de demanda, 281 préstamos, 141 a estudiantes, 898 de auto, 947 interés en, 81,136,146,148,268, 898 repago de, 473 promesa del hombre rico, 965 reembolsos, 856 salario neto, 212 tarifas de electricidad, 180 tarjetas de crédito débito, 947 interés de, 473 pago de, 243,947 valor futuro del dinero, 340-41 Física, 91

ángulo de elevación del Sol, 676 caballos de fuerza, 193 camión tirando, 762 carga de frenado, 770 carga segura para una viga, 193 cuerda vibrando, 192 diámetro de un átomo, 29 efecto de elevación en el peso, 221 efecto Doppler, 366 energía cinética, 141,193

XXVÍ

Indice de aplicaciones

equilibrio estático, 758-59,762,763,773 estiramiento de un resorte, 192 fuerza, 141,761 de atracción entre dos cuerpos, 192 del viento en una ventana, 191,193 para mantener una carreta en una colina, 767 resultante, 761 gravedad, 352,374 en Júpiter, 212 en la Tierra, 212,420 inclinación del sendero de una montaña, 674 intensidad de la luz, 146,193 ley de Newton, 192 ley de Ohm, 126 longitud de onda de la luz visible, 29 momento de inercia, 665 movimiento amortiguado, 705 movimiento armónico, 704 movimiento de proyectiles, 102-3,302-3, 306,537,550,630,631, 655-56, 661, 665, 827-28, 834-36,839 artillería, 313,621 objeto lanzado, 834 movimiento de un objeto, 704 movimiento de un péndulo, 119,514,710, 960 péndulo simple, 192 periodo, 256,421 movimiento simulado, 829 movimiento uniforme, 148-39,141,146, 147,261-62,835,839 objetos en caída, 192 objeto lanzado, 146 pelota, 308,312 objeto lanzado verticalmente, 312 pelotas que rebotan, 978 pérdida de energía a través de una pared, 190 peso, 193,196 de un auto, 762 de un barco, 762 de un piano, 758 peso máximo que puede soportar la madera de pino, 190 presión, 141,192 producto de inercia, 661 sonido para medir distancia, 118-19 tensión, 758-59, 762,773 tensión de los materiales, 193 tercera ley de Kepler del movimiento planetario, 196 trabajo, 141 transferencia de energía, 630 trayectoria de misiles, 318 velocidad del sonido, 133 velocidad en planos inclinados, 80 Fotografía

distancia de la cámara, 539 Geografía

área de un lago, 700,713

área del Triángulo de las Bermudas, 700 inclinación de un sendero de montaña, 674,712 inclinación de una colina, 757 Geología

terremotos, 450 Geometría

ángulo de una escalera, 714 ángulo entre dos líneas, 651 área superficial de un cubo, 29 de un globo, 407 de una esfera, 28 área de un cuadrilátero, 715 área de un semicírculo, 699,715 cilindro inscrito en un cono, 262 inscrito en una esfera, 262 volumen de, 193,408 círculo área de, 141,700 centro de, 188 circunferencia de, 28,141 inscrito en un cuadrado, 261 longitud de cuerda de, 695 radio de, 188, 914 cuadrado área de, 37,141 perímetro de, 141 cubo área superficial de, 29 longitud de la orilla de, 387 volumen de, 29 ecuación de la recta, 882 esfera área superficial, 28 volumen de, 28 método de Descartes de raíces equivalentes, 914 polígonos, diagonales de, 103 puntos colineales, 882 rectángulo área de, 28,212,258-59 dimensiones de, 92,102,146, 914 inscrito en un semicírculo, 261, 661 perímetro de, 28 proporción agradable de, 147 semicírculo inscrito en un, 261 triángulo área de, 28, 699,700,715,882 circunscrito, 689 de Pascal, 947 equilátero, 28 inscrito en un círculo, 261 isósceles, 212,715,914 lados de, 715 longitud de los catetos, 146 rectángulo, 538,676 volumen de un cono, 193,408 volumen de un globo, 407

Gobierno

correo de primera clase, 243 déficit federal, 498 deuda federal per cápita, 474 impuesto federal de ingresos, 213,243,420 declaración de impuestos por Internet, 233 paquete de estímulo federal de, 2009,474 retenciones del impuesto federal, 129 Ingeniería

Arco Gateway (San Luis), 786 caballos de fuerza, 193 carga de aplastamiento, 119 carga segura para una viga, 193 eléctrica, 527 faro, 639,786, 838 galerías con eco, 796,839 inclinación de la Torre de Pisa, 687 momento de inercia, 665 motores de pistones, 695 pendiente de un camino, 181 peso máximo que puede soportar la madera de pino, 190 pistones y barras, 695 producto de inercia, 661 puentes altura de, 575 arco parabólico, 315,786,839 arco semielíptico, 796,839 Golden Gate, 303-4 sistema de caminos, 726 suspensión, 307,786 volante, 713 Inversión(es), 88,91,141,146

401K, 964, 978 anualidad, 961-62, 964 cargos de financiamiento, 473 cuenta de ahorros, 469-70 cuenta de mercado de dinero, 470 Cuenta Individual de Retiro, 474,498, 961-62,964, 978 diversificada, 857 duplicado de, 471-72,475 en acciones acciones de NASDAQ, 994 acciones de NYSE, 994 análisis, 318 apreciación, 473-74 carteras de, 987 precio de, 965 en bonos, 930 de cupón cero, 471,474-75 del Tesoro, 871,872,920,922,924 en CDs, 930 en títulos de renta fija, 474-75,930 interés compuesto en, 466-67,468, 469-70,473-74 retorno en, 473-74,929,930 tasa de crecimiento para, 473-74 tiempo para alcanzar el objetivo, 473,475 triplicado de, 472,275

Indice de aplicaciones

Jardines y jardinería. Ver también Diseño de paisajes

barda para, 142 cerca alrededor de, 103

objetos que se acercan a una intersección, 835 revoluciones de un disco circular, 37 simulación, 829 uniforme, 138-39, 141,835

Juegos

de dados, 1009 granos de trigo en un tablero de ajedrez, 965 lotería australiana, 1009 Jugar

en columpios, 715 tirando de una carreta, 761,768 Leyes y aplicaciones de la ley

crímenes violentos, 213 ingresos vs. tasa de crimen, 493 robos de automóviles, 1005 Mecánica, 91. Ver también Física Medicina. Ver también Salud

concentración de medicamentos, 233, 366 curación de heridas, 435,449 edad vs. colesterol total, 493 medicamentos, 435,449 presión arterial, 630 propagación de enfermedades, 499 Medición

de precipitaciones pluviales, 769 métodos ópticos para, 639 Medio ambiente

fugas de aceite, 408 leyes de control de contaminación de lagos, 947 Mejoras en el hogar

pintar una casa, 857 Meteorología

altura de una sonda meteorológica y presión atmosférica, 488-89 Mezclas. Ver también Química

agua y anticongelante, 142 cemento, 143 mezcla de dulces, 141 mezcla de tés, 141 mezcla de variedades de café, 137-38, 141,147,923, 934 nueces mixtas, 141,855,923, 934 Movimiento, 710. Ver también Física

alcanzar al tren, 839 carrera de la tortuga y la liebre, 914 de un péndulo, 710 de una pelota de golf, 220 de una persona en la rueda de la fortuna, 630 en un círculo, 515 manecillas del reloj, 514,599

Música

ganancias de, 256 Navegación

comercial, 686-87 cruce de un río, 762 dirección de la aguja de una brújula, 762 error en corrección, 691-92,713 tiempo perdido por, 687 evitar una tormenta tropical, 694 rescate en el mar, 683-84,686 revisión de plan de vuelo, 694 rumbo, 675,693 de un avión, 677 de un barco, 677,713 Negocios

administración de un mercado de carne, 929 administración de un restaurante, 856 asistencia a un teatro, 92 aumento de precios, 91 de un auto nuevo, 129 balines de precisión, 29 cajas de cobro, 1005 cálculo de gastos, 142 comisiones, 315 costo de manufactura, 29,141, 340,373, 922-23 de producción, 233,408,898,935 de productos básicos, 408 de transporte de productos, 243 de un camión rentado, 147 de una lata, 364, 367 marginal, 299,315 minimización de, 315, 929 demanda de computadoras, 491 de dulces, 192 de jeans, 287 depreciación, 400 depreciación de equipo, 964 depreciación en línea recta, 276-77,280 descuentos en precios, 91,92,408 desempleo, 1008 diseño de producto, 930 ecuación de costos, 180-192 ecuación de demanda, 315, 398 ecuación de ingresos, 192 exportación de cigarros, 491 función de costos, 280 promedio, 217 función de ganancia, 213 función de ingresos, 196 ganancia, 898

XXVÜ

de estatuillas, 936 de una compañía de puros, 256 maximización de, 927-28,929-30 impuestos, 373 ingresos, 141,299,312-13 de música digital, 256 de un teatro, 857 de una aerolínea, 930 de una tienda de ropa, 887 diarios, 299 maximización de, 299,306 mensuales, 299 publicidad y, 287 manufactura de camiones de juguete, 922-23 máquinas copiadoras, 147 mezcla de café, 141 mezcla de dulces, 141 mezcla de nueces, 141 oferta y demanda, 277-78,280 órdenes de galletas, 934 precio vs. cantidad de demanda, 281 precio y demanda de una computadora personal Dell, 491-92 producción de automóviles, 407-8,872 producción de jugo de naranja, 872 programa de producción, 929 promoción de productos, 181 publicidad, 287,316 renta de autos, 279 renta de camiones, 180,281 renta de un vehículo de recreación, 317 salario, 954 aumentos en el, 964, 978 neto, 212 salario de un vendedor de autos, 180 por hora, 89-91 tamaño de una barra de caramelo, 103 tasa de llegada de coches a Jiffy Lube, 435,449 tasa de retorno de, 474 tasa en las ventanillas para automóvil de Burger King, 431 de Citibank, 435,449 de McDonald's, 435 tienda de ropa, 1007 transporte de productos, 923 valor residual, 498 ventas comisión por 128-129 de boletos de cine, 843,848,855 netas, 156 Oceanografía

ángulo de refracción, 631-32 ecuación para hacer lentes, 72 espejos, 809 desaparición de la luz a través de un vidrio, 435 índice de refracción, 631-32 intensidad de la luz, 193 proyección de láser, 661

xxviii

índice de aplicaciones

rayo de láser, 676 refracción de la luz, 632 telescopio reflector, 786 Pediatría

altura v í . circunferencia de la cabeza, 287,420 Pirotecnia

juegos pirotécnicos, 808-9 Población. Ver también Demografía

bacterial, 484,485,490-91 como función de la edad, 212 crecimiento de, 484,485 crecimiento de E-coli, 233,273 de especies en peligro de extinción, 485 de la mosca de la fruta, 482 de los Estados Unidos de Norteamérica, 465,492, 980 de truchas, 947 en declive, 484 insectos, 352,484 mundial, 465,492,498, 938 Probabilidad

cajas de cobro, 1005 composición del salón de clase, 1005 de ganar la lotería, 1006 exponencial, 431,435,449 ingreso anual de una familia, 1005 juego de Monty Hall, 1009-10 juegos de "Atínale al precio", 1005 Poisson, 435-36 programa de TV "¿Vas o no vas?", 981 Psicometría

pruebas de CI, 129 Publicidad. Ver también Negocios

precio y demanda de una computadora personal Dell, 491-92 Química, 91

concentración de fármacos, 366 decaimiento radiactivo, 484,491,498 leyes de gases, 193 mezcla de ácidos, 146 moléculas de azúcar, 142 partículas alfa, 809 pH, 448 pureza del oro, 142 radiación de Chernóbil, 485 reacciones, 307 reacciones de descomposición, 485 soluciones salinas, 142,146 volumen de un gas, 128 Salud. Ver también Medicina

edad vs. colesterol total, 493 ejercicio, 129 esperanza de vida, 128 gastos en, 213 hipótesis del ciclo de vida, 308

latidos cardiacos durante el ejercicio, 274-75 peso corporal ideal, 420 presión arterial, 630 uso de cigarros en adolescentes, 180 Seguridad

cámaras de seguridad, 676 Sismología

calibración de instrumentos, 839 Sucesiones. Ver también Combinatoria

asientos en un anfiteatro, 954 asignación de asientos en un estadio de fútbol, 954 diseño de pisos de azulejos cerámicos, 952-53 Teatro Drury Lañe, 954 Tasa. Ver también Velocidad

alcanzar a un camión, 834 alcanzar a un tren, 834 apuestas por Internet, 1005 bienes raíces comisiones, 128-29 costo de terrenos, 713 costo de un lote triangular, 699 corriente de un río, 856 costo por persona de la montaña rusa Demon, 435-36 de llenado de un tanque, 147 de vaciado de tanques de aceite, 143,146 de una alberca, 143 de una tina, 143 de un auto, 515 para mantenerse a la par con el Sol, 516 revoluciones por minuto de las llantas de una bicicleta, 515 de poleas, 517 Recreación salto en bungee, 373 velocidad de bandas automáticas, 141—42 de corriente, 141 de un avión, 143 de un ciclista, 143 de una lancha de motor, 141 del sonido, 133 por tasa por galón y, 308-9 promedio, 143 Temperatura

conversión de, 408,420 conversión de Fahrenheit a Celsius, 87 corporal, 29,133 de un calentador portátil, 499 de un sartén, 498 del aire, 954 después de medianoche, 340 factor de enfriamiento por el viento, 499 función sinusoidal de la, 588-89 medición, 180

mensual, 592-93,600 relación entre las escalas, 256 tasa de estridulación de un grillo y, 309 tiempo de calentamiento de una jarra de cerveza, 485 tiempo de enfriamiento de una pizza, 484 Tiempo

de la salida del sol, 516,615 de un viaje, 527, 537 horas de luz al día, 398,503,590-91,594, 600,602,615 la altura de una persona en la rueda de la fortuna como función del, 630 para ir de una isla a un pueblo, 262 para que se caliente una jarra de cerveza, 485 para que se enfríe una pizza, 484 para que un bloque resbale por un plano inclinado, 537 para un rescate en el mar, 146 Tiempo libre y recreación

pista de patinaje comunitaria, 268 rueda de la fortuna, 187,630,688, 709 TV por cable, 262 viaje de estudios, 374 videojuegos y promedio de calificaciones, 287 Topografía

distancia entre casas, 713 Trabajo, 768

ángulo de una rampa, 770 cálculo de, 768, 769, 773 carretilla para jalar, 761 jalar una carreta, 768 tareas de tasa constante. 934 trabajo juntos, 140.142,146 Transporte

sal para deshielo, 621 riel de inclinación en las Cataratas del Niágara, 677 Transporte aéreo

estacionamiento en el Aeropuerto Internacional O'Hare, 242 millas de viajero frecuente, 687 modo de espera, 630 revisión de un plan de vuelo, 694 soporte de la aeronave, 677 velocidad y dirección de la aeronave, 757-58, 761-62,773 Varios

ajuste de curvas, 856,871,934 área de cercado con alambre, 261 área superficial de un globo, 407 asignación de asientos en un banquete, 929 biorritmos, 575 conjuntos de Mandelbrot, 749

índice de aplicaciones

contenedor de café, 502 diámetro de un alambre de cobre, 29 doblar un alambre, 914 doblar una esquina cargando una escalera, 527,583,630-31 dueños de mascotas, 1005 error de cálculo, 156 escaleras para cítricos, 954 lectura de libros, 133 motores, 29 rescate en el mar, 683-84, 686 satélites de vigilancia, 678 sección transversal de una viga, 213,220 volumen de un globo, 407 Vehículos de motor

alcohol y manejar, 445,450 acercándose a una intersección, 835 auto para escapar, 313 balanceo de llantas, 516,599 carga de frenado, 769-70,773 cigüeñales, 687 compra de auto usado, 473

con Sistema de Posicionamiento Global (GPS), 499 depreciación, 400,493 depreciación de, 465, 501-2 distancia de frenado, 299,420 precio de un auto nuevo, 129 préstamos para, 947 producción automotriz, 407-8, 872 reparación de frenos y afinación, 1008 velocidad promedio de un auto, 143 velocidad y millas por galón, 308-9 Velocidad

angular, 515, 599 como función del tiempo, 222,261-62 de carruseles, 599 de corriente, 515-16,934 de la Luna, 515 de la rotación de un faro, 599 de un avión, 761,773 de un camión, 676 de un nadador, 773 de un planeador, 599 de un teleférico, 516

X X ÍX

del chorro de propulsión de un jet, 934 del viento, 856 lineal, 512-13 de la Tierra, 515 revoluciones por minuto de una polea, 515 Viajes. Ver también Viaje aéreo; Navegación

conductores detenidos por la policía, 501 estacionarse en el Aeropuerto Internacional de O ’Hare, 242 manejando a la escuela, 192 rumbo, 713 Vivienda

apreciación del precio de casas, 473 número de cuartos en, 212 renta de departamentos, 308 Volumen

de agua en un cono, 262 de gasolina en un tanque, 80 de hielo en una pista de patinaje, 268

Créditos de las fotografías

XXX

Capítulo R

Página 1, Glowimagcs; Página 31, Joi/Wikícommons.

Capítulo 1

Páginas 81,103,133,146 y 148, Glowimagcs.

Capítulo 2

Páginas 149 y 197; Gctty Imagcs; Páginas 166 y 180. Glowimagcs; Pá­ gina 187, Bao!u46/Wikicommons.

Capítulo 3

Páginas 199, 220, 256 y 269, Glowimagcs; Página 212. JPL-C'altech/ NASA.

Capítulo 4

Páginas 271 y 318, Ryan Lawler/Wikícommons: Página 307, Bill Nícholls/Wikicommons.

Capítulo 5

Páginas 319,367 y 399, Glowimagcs.

Capítulo 6

Páginas 400 y 502, Glowimagcs; Página 456. Samuel Fecman/Wikicommons; Página 465, col. 1. Thinkstock; Página 465 col. 2. Glowim­ agcs; Página 470, Thinkstock: Página 485. Thinkstock.

Capítulo 7

Páginas 503,575 y 602, Wikieommons; Páginas 515 y 539. Thinkstock; Página 539, Sergey Karpov/ Shuttcr-stock; Página 575. Srdjan Draskovic/Drcamstime.

Capítulo 8

Páginas 603 y 671. Latinstock.

Capítulo 9

Páginas 672 y 716. Wikieommons; Página 700. Alexan-dre Fagundes De Fagundes/Dreamstime; Página 702. Thinkstock.

Capítulo 10

Páginas 717 y 774. Thinkstock; Páginas 739.747 y 759. Wikieommons.

Capítulo 11

Páginas 776 y 840, JPL/Caltech/NASA: Página 794. Thinkstock.

Capítulo 12

Páginas 842 y 936. Latinstock; Página 8%. Wikieommons.

Capítulo 14

Páginas 981,1002 y 1009. Wikieommons.

ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA NOVENA

EDICIÓN

"•s *i

Repaso Contenido Números reales Bases de álgebra Bases de geometría

R.4 Polinomios R.5 Factorización de polinomios R.6 División sintética

R.7 Expresiones racionales R.8 Raíces enésimas; exponentes racionales

Un Vistazo >

El capítulo R, como su nombre lo Indica, contiene material de repaso. Tu profesor puede escoger cubrirlo todo o solo parte de él, ya sea como un capítulo normal al principio del curso o, más tarde, como un repaso oportuno cuando el contenido se requiera. De cualquier forma, cuando se necesite esta información, se hará referen­ cia especial a este capítulo para que pueda ser repasado.

Wmmmm

2

C A P ÍT U L O R

Repaso

R.1 Números reales PREPARACIÓ N PARA ESTE LIBRO

Antes de empezar, lee la sección “Para el Estudiante’’ en la página ii

al principio de este libro. OBJETIVOS 1 Trabajar con conjuntos (p. 2) 2 Clasificar los números (p. 4) 3 Evaluar expresiones numéricas (p. 8) 4 Trabajar con las propiedades de los números reales (p. 9)

1 Trabaja con conjuntos Un conjunto es una colección bien definida de distintos objetos. Los objetos de un conjunto se llaman elem entos. Con bien definidos queremos decir que existe una regla que nos permite determinar si un objeto dado es un elemento del conjunto. Si el conjunto no tiene elementos se llama conjunto vacío o conjunto nulo y se denota con el símbolo 0 . Por ejemplo, el conjunto de dígitos consiste en la colección de números 0 ,1 .2 .3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,8 y 9. Si usamos el símbolo D para denotar al conjunto de dígitos, podemos escribir D = [0,1,2, 3,4,5, 6, 7, 8, 9} En esta notación, las llaves ( ) se usan para contener a los objetos o elem entos en el conjunto. A esta forma de denotar a un conjunto se le conoce como notación des­ criptiva. Otra forma de denotar al conjunto es la notación constructiva, donde el conjunto D de dígitos se escribe como D =

{ x T____ J [

xes un dígito)

E sto se lee “D es el conjunto de t odas las x tal que x es un dígito"

EJEM PLO 1

Uso de la notación descriptiva y de la notación constructiva (a) E = {x | x es un dígito par) = (0, 2, 4, 6, 8} (b) 0 = {x\x es un dígito impar} = {1,3,5,7,9} Dado que los elementos de un conjunto son distintos, nunca incluimos elementos repetidos. Por ejemplo, nunca escribimos (1,2,3,2); la forma correcta de escribirlo es {1,2,3}. El orden en el que se escriben los elementos no es importante ya que un con­ junto es una colección. {1, 2, 3}, (1,3, 2}, (2,1, 3}, etc. representan el mismo conjunto. Si todo elemento del conjunto A es también un elemento del conjunto B. decimos que A es un subconjunto de B y lo escribimos como A C B. Si dos conjuntos A y B tienen los mismos elementos, decimos que A es igual a B v lo escribimos como A - B. Por ejemplo, {1,2,3} C {1,2,3,4,5} y (1,2,3} = {2,3,1).

DEFINICIÓN

EJEM PLO 2

Sean A y B conjuntos, la intersección de A con B. que se denota como A H B, es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a A como a B. La unión de A con B, que se denota como A U B, es el conjunto de los elementos que pertenecen ya sea a A o a B o a los dos.

Determinar la intersección y la unión de los conjuntos Sean A = {1,3,5,8}, B = {3,5,7} y C = (2,4.6,8}, determina: (a) A n B

(b) A U B

(c) ß n ( A U C )

S E C C IÓ N R . l

Solución

Números reales

3

(a) A n B = {1,3,5,8} n {3,5,7} = {3,5} (b) A U B - {1,3,5,8} U {3,5,7} = {1,3,5,7, 8} (c) B n (A U C) = {3,5, 7} n [{1, 3, 5, 8} U {2,4, 6, 8}] = {3,5,7} H {1,2,3,4,5,6,8} = {3,5}

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

13

Cuando trabajamos con conjuntos, generalmente designamos como conjunto universal U al conjunto que contiene todos los elementos que queremos considerar. Una vez que el conjunto universal ha sido designado, podemos considerar elementos del conjunto universal que no se encuentren en un conjunto dado.

DEFINICIÓN

EJEM PLO 3

Si A es un conjunto, el complem ento de A , llamado A es el conjunto que consis­ te en todos los elementos del conjunto universal que no están en A *

Determinar el complemento de un conjunto Si el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y si A = {1, 3, 5, 7, 9}, entonces ~Á—{2, 4, 6, 8). Siguiendo la definición de complemento podemos concluir que A U A = U y A D A = 0 . ¿Entiendes por qué?

Figura 1

s v o b s s s s

^-Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

17

A veces es muy útil trazar diagramas de los conjuntos. A estos diagramas se les llama diagramas de Venn y representan a los conjuntos como círculos dentro de un rectángulo, que simboliza el conjunto universal. Estos diagramas a menudo nos ayu­ dan a visualizar diferentes relaciones entre los conjuntos. Ver figura 1. Si sabemos que A C B, podemos usar el diagrama de Venn en la figura 2(a). Si sabemos que A y B no tienen elementos en común, es decir, si A D B = 0 , podemos usar el diagrama de Venn de la figura 2(b). Decimos que los conjuntos A y B de la figura 2(b) son disjuntos.

(b)

Conjuntos disjuntos A C \ B = ), se entiende que las expresiones, llamadas factores, se multiplican. Además, es preferible no usar números mixtos en algebra. Cuando se usan nú­ meros mixtos, se entiende que se está realizando una suma; por ejemplo 2 - quiere 3 ^ decir 2 + - En álgebra, el uso de números mixtos puede ser confuso ya que la au4 sencia de un símbolo de operación entre dos términos generalmente se toma como 3 11 multiplicación. La expresión 2 - se escribe más bien como 2.75 o como — . El símbolo =, llamado signo igual se lee como “igual a” o “es”, se usa para ex­ presar la idea de que el número o expresión del lado izquierdo del signo de igual es equivalente al número o expresión del lado derecho.

EJEM PLO 7

Escritura de proposiciones usando símbolos (a) La suma de 2 y 7 es igual a 9. En símbolos, esta proposición se escribe como 2 + 7 = 9. (b) El producto de 3 y 5 es 15. En símbolos, esta proposición se escribe como 3-5 = 15. .

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

39

8

C A P ÍT U L O R

Repaso

3 Evaluación de expresiones num éricas Considera la expresión 2 + 3 • 6. No está claro si debemos sumar 2 y 3 para obtener 5 y después multiplicar por 6 para obtener 30; o si primero debemos multiplicar 3 por 6 para obtener 18 y después sumar 2 para obtener 20. Para evitar ambigüedades de este tipo, usamos la siguiente convención. r r r r

En palabras Multiplica primero, después suma.

Acordamos que cuando las operaciones de suma y multiplicación separen tres números, siempre se realizará primero la operación de multiplicación, seguida por la operación de suma. Para 2 + 3-6, tenemos 2 + 3 -6 = 2 + 18 = 20

EJEM PLO 8

Encontrar el valor de una expresión Evalúa cada expresión. (a) 3 + 4-5

Solución

(c) 2 + 2 -2

(b) 8 -2 + 1

(a) 3 + 4-5 = 3 + 20 = 23

(b) 8 -2 + 1 = 16 + 1 = 17

Primero multiplica

Prim ero m ultiplica

(c) 2 + 2-2 = 2 + 4 = 6

-Resuelve ahora

el

problema

si

Para primero sumar 3 y 4 y después multiplicar el resultado por 5, usamos pa­ réntesis y escribimos (3 + 4) • 5. Siempre que aparezcan paréntesis en una expresión, quiere decir “¡realiza primero las operaciones dentro de los paréntesis!”

EJEM PLO 9

Encontrar el valor de una expresión (a) (5 + 3 )-4 = 8 -4 = 32 (b) (4 + 5) • (8 - 2) = 9 -6 = 54 Cuando dividimos dos expresiones, como en: 2 + 3 4 + 8 se entiende que la barra de la división hace la función de los paréntesis, es decir 2 + 3

(2 + 3)

4 + 8

(4 + 8)

Reglas para el orden de las operaciones 1. Empieza por el paréntesis que esté más adentro y trabaja hacia afuera. Re­ cuerda que al dividir dos expresiones se considera como si el numerador y el denominador estuvieran entre paréntesis. 2. Resuelve multiplicaciones y divisiones, empezando de izquierda a derecha. 3. Resuelve sumas y restas, empezando de izquierda a derecha.

S E C C IÓ N R .l

EJEM PLO 10

Números reales

9

Encontrar el valor de una expresión Evalúa cada expresión (a) 8 -2 + 3 (c)

Solución

(b) 5 -(3 + 4) + 2

2 + 5 2 + 4-7

(d) 2 + [4 + 2-(10 + 6)]

(a) 8-2 + 3 = 1 6 + 3 = 19 í Primero multiplica

(b) 5• (3 + 4) + 2 = 5*7 + 2 = 3 5 + 2 = 37 t ^ t Primero lo que está entre paréntesis Multiplica antes de sumar

2 + 5 = 2 + 5 = 1_ 2 + 4 • 7 ” 2 + 28 “ 30 (d) 2 + [4 + 2-(10 + 6)] = 2 + [4 + 2-(16)] = 2 + [4 + 32] = 2 + [36] = 38 Ten cuidado si usas calculadora. En el ejemplo 10(c) necesitas usar paréntesis. Ver figura 7.* Si no los usas, la calculadora dará como resultado la expresión:

Figura 7

( 2 + 5 ) / < 2 +4 * 7 )

.2333333333

ñ n s^ F ra c

2 + ^ + 4- 7 = 2 + 2.5 + 28 = 32.5 2

7 /3 0 lo cual es incorrecto.

«’■“»»“ ‘-Resuelveahora

los

problemas

57

y

65

4 Trabaja con las propiedades de los números reales

w

Usamos el signo igual para indicar que una expresión es equivalente a otra. En la siguiente lista podemos ver cuatro propiedades importantes de una igualdad. Aquí a, b y c representan números reales. 1. La propiedad reflexiva establece que un número siempre es igual a sí mis­

mo, es decir, a = a. 2. La propiedad simétrica establece que si a = b, entonces b = a. 3. La propiedad transitiva establece que si a = b y b = c, entonces a = c. 4. El principio de sustitución establece que si a - b , podemos sustituir b por a

en cualquier expresión que contenga a a. Consideremos ahora algunas propiedades de los números reales.

EJEM PLO 11

Propiedades conmutativas (a) 3 + 5 = 8 5+3 = 8 3+ 5 = 5 + 3

(b) 2-3 = 6 3-2 = 6 2-3 = 3-2

Este ejemplo muestra la propiedad conmutativa de los números reales, que dice que el orden en el que se realizan la adición y la multiplicación no afecta el resultado final. * Observa que hemos convertido la forma decimal a su forma fraccionaria. Consulta tu instructivo para saber cómo hace esto tu calculadora.

10

C A P ÍT U L O R

Repaso

Propiedades conmutativas a+b=b+a

da)

a-b = b ‘ a

(Ib )

En este caso, al igual que en las siguientes propiedades y las de las paginas 11 a 13, a, b y c representan números reales.

EJEM PLO 12

Propiedades asociativas (a) 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9

(b) 2- (3 -4 ) = 2-12 = 24

(2 + 3 ) + 4 = 5 + 4 = 9

(2-3) -4 = 6 -4 = 24

2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

2- (3 -4 ) = (2 -3 )-4

La forma en que sumamos o multiplicamos tres números reales no afectará el resultado final. Expresiones como 2 + 3 + 4 y 3 * 4 * 5 n o son ambiguas, aún si la suma o multiplicación se realiza en un par de números a la vez. A esta propiedad se le llama propiedad asociativa.

Propiedades asociativas a

+ (b + c ) = ( a + b) + c = a + b + c

(2a)

(b • c) = (a • b) • c = a • b • c

(2b)

a

Propiedad distributiva

a- (b + c) = a 'b + a -c

(3a)

(a + b ) ’ C - a ‘ C+ b'C

(3b)

La propiedad distributiva se puede usar de dos maneras diferentes.

EJEM PLO 13

Propiedad distributiva (a) 2 ‘ ( x + 3 ) = 2 ’ X + 2 ’ 3 = 2x + 6

Utilizada para quitar paréntesis.

(b) 3x + 5.X = (3 + 5)* = 8x

Utilizada para combinar dos expresiones.

(c) (x + 2)( jc + 3) = x{x + 3) + 2(x + 3) = {x2 + 3x ) + ( 2x + 6) = x 2 + (3jc + 2.t) + 6 = x 2 + 5.r + 6

Resuelve ahora

EL PROBLEMA

8 7

Los números reales 0 y 1 tienen propiedades únicas, llamadas p ro p ie d a d e s de identidad.

EJEM PLO 14

Propiedades de identidad (a) 4 + 0 = 0 + 4 = 4

(b) 3-1 = 1-3 = 3

S E C C IÓ N R .l

Números reales

11

Propiedades de identidad 0+«=fl+0=fl

(4a)

a* 1 = 1 -(¡ = a

(4b)

Denominamos al 0 como identidad aditiva y al 1 como identidad multiplicativa. Para cada número real a existe un número real - a , llamado inverso aditivo de a, que tiene la siguiente propiedad: Propiedad del inverso aditivo

a + (~a) = - a + a = 0

EJEM PLO 15

(5a)

Encontrar el inverso aditivo (a) El inverso aditivo de 6 es - 6 , ya que 6 + ( - 6 ) = 0 (b) El inverso aditivo de - 8 es - ( - 8 ) = 8, ya que - 8 + 8 = 0. Al inverso aditivo de a, es decir, -a , comúnmente se le llama el negativo de a o el opuesto de a. El uso de esos términos puede ser peligroso ya que sugieren que el inverso aditivo es un número negativo, lo cual puede no ser el caso. Por ejemplo, el inverso aditivo de - 3 , o - ( - 3 ) , es igual a 3, que es un número positivo. Para cada número real a diferente de cero existe un número real - , llamado inverso multiplicativo de a, el cual, tiene las siguientes propiedades:

Propiedad del inverso m ultiplicativo

1 = —• 1 a = i1 a‘— a a

s ia ^ 0

(5b)

Al inverso multiplicativo —de un número real a diferente de cero se le conoce como el recíproco de a.

EJEM PLO 16

Determinar el recíproco 1 , 1 , (a) El recíproco de 6 es - , ya que 6 *—= 1. 1 ’ 1 (b) El recíproco de - 3 es — , ya que - 3 • — = 1. 2 3 2 3 (c) El recíproco de - es - , ya que —• - = 1.

Con estas propiedades para sumar y multiplicar números reales podemos definir las operaciones de suma y resta de la siguiente manera:

DEFINICIÓN

La diferencia a - b, que también se lée “a menos b", se define como: a - b - a + {-b)

(6)

12

C A P ÍT U L O K

Repaso

Para restar b de a, suma el opuesto de b a «.

DEFINICIÓN

Si b es un número real diferente de cero, el cociente

que también se puede

leer como “tí dividido entre h" o “la razón de a en b ", se define como: a 1 r = a •r b

EJEM PLO 17

b

si b *

0

b

Una propiedad importante de la recta de números reales surge del hecho de que dados dos números (puntos) a y b, a está a la izquierda de b, a está en el mismo lugar que b o a está a la derecha de b. Ver figura 10. Si a está a la izquierda de b, decimos que “a es menor que b” y lo escribimos como a < b. Si a está a la derecha de b, decimos que “a es mayor que b” y lo escri­ bimos como a > b. Si a está en el mismo lugar que b, entonces a = b. Si a es menor o igual que b, escribimos « ¿ ¿ . D e la misma forma, a > b quiere decir que a es mayor o igual que b. En resumen, los símbolos , < y > se llaman símbolos de desigualdad. Observa que a < b y b > a quiere decir lo mismo. No importa si escribimos 2 < 3 o 3 > 2. Además, si a < b o si b > a, entonces la diferencia b - a e s positiva. ¿Entiendes por qué?

EJEM PLO 1

Uso de símbolos de desigualdad

Figura 10 a

b

(a) a < b

a b (b) a = b

b

a

(a) 3 < 7 (a) - 8 < - 4

(b) - 8 > -1 6 (b) 4 > - 1

(c) —6 < 0 (c) 8 > 0

En el ejemplo l(a) concluimos que 3 < 7 ya sea porque 3 está a la izquierda de 7 en la recta real o porque la diferencia, 7 - 3 = 4, es un número real positivo. De la misma forma concluimos en el ejemplo l(b) que - 8 > -1 6 ya sea porque - 8 está a la derecha de -1 6 en la recta de números reales o porque la diferencia, - 8 - (-1 6 ) = - 8 + 16 = 8, es un número real positivo. Ver ejemplo 1 otra vez. Observa que el símbolo de desigualdad siempre apunta en la dirección del número menor. Una desigualdad es una proposición en la que dos expresiones se relacionan por un símbolo de desigualdad. A estas expresiones se les llaman los lados de una desigualdad. Las desigualdades de la forma a < b o b > a s e llaman desigualdades estrictas, mientras que a las desigualdades de la forma a ^ b o b ^ a s e conocen como desigualdades no estrictas.

Basándonos en lo anterior podemos concluir que a > 0 equivale a decir que a es positivo a < 0 equivale a decir que a es negativo

19

SECCIÓN R.2 Bases de álgebra

A veces leemos a > 0 diciendo que “a es positivo.” Si a > 0, entonces a > 0 o a = 0, y se lee como “a es no negativo”.

RbsubIvbahora EJEM PLO 2

los

15

problemas

v

25

Gráficas de desigualdades (a) En la recta de los números reales, haz una gráfica de todos los números x para los que x > 4. (b) En la recta de los números reales, haz una gráfica de todos los números x para los que r ¿ 5 .

Solución

Figura 11 -2 -1

0

4

5

6

i» ■

7

Figura 12 ,1

I

-2 -1

I___ l

i

0 1

2 3 4 5 6 7

l

i

(a) Ver figura 11. Observa que usamos un paréntesis izquierdo para indicar que el número 4 no es parte de la gráfica. (b) Ver figura 12. Observa que usamos un corchete derecho para indicar que el nú­ mero 5 es parte de la gráfica.

___ \ ----- 1----- L

-Resuelve ahora

el

problema

31

2 Encontrar distancias en la recta de los números reales Figura 13 . 4 unidades

3 unidades

_ J -----*-----1------1------L

4— i---1— 4

-5 -4 -3 -2 -1

0

1 2

3

DEFINICIÓN

El valor absoluto de un número a es la distancia de 0 a a en la recta numérica. Por ejemplo, - 4 está a 4 unidades de 0 y 3 está a 3 unidades de 0. Ver la figura 13. Por lo tanto, concluimos que el valor absoluto de - 4 es 4 y que el valor absoluto de 3 es 3. A continuación se da una definición más formal de valor absoluto.

El valor absoluto de un número real a se denota por el símbolo |fl| y se define por las reglas \a \-a

\a \~ - a

sirtsO

s ia < 0

Por ejemplo, como - 4 < 0, debemos usar la segunda regla para obtener I—4 l = - ( - 4 ) = 4.

EJEM PLO 3

Cálculo del valor absoluto (a) |8| = 8

(b) |0| = 0

(c) | 15| - - ( - 1 5 ) = 15

Observa de nuevo la figura 13. La distancia de - 4 a 3 es de 7 unidades. Esta distancia es la diferencia de 3 - (-4 ), que se obtiene restando la coordenada menor de la mayor. Sin embargo, como |3 - (—4)| = |7| = 7 y |- 4 - 3 | = |—7| = 7, podemos usar el valor absoluto para calcular la distancia entre dos puntos sin importar cuál sea menor.

DEFINICIÓN

Si P y Q son dos puntos en la recta de números reales con coordenadas a y b, respectivamente, la distancia entre P y Q, que se denota por d(P, Q), es d(P,Q ) = \ b - a \

J Como |b - a\ = \a - b\, entonces d{P, Q) = d (Q , P).

20

C A P ÍT U L O R

Repaso

Encontrar distancias en la recta numérica

EJEMPLO 4

Sean P, Q y R puntos en una recta de números reales con coordenadas - 5 , 7 y - 3 , respectivamente. Encuentra la distancia (a) entre P y Q

Solución

(b) entre Q y R

Ver figura 14. P

Figura 14

4

R

i___ 4 i__ i

-5 -4

-3 -2 -1

1

i

i

i

i

0

1

2

3

4

Q

1-1 --- 4

5 6

7

H*--------------- d(P,Q) = |7 - (- 5 )| = 12 ----- H |x3 = 8a:3

2 \ 4 24 16 ( d ) U3.) - ? - M

-2

(e) —r = x 2 ( 5) = x 3, x * 0 .V J

Resuelve ahora EJEM PLO 10

el

problema

n

Uso de las leyes de los exponentes Escribe cada expresión de modo que todos los exponentes sean positivos. / v— 3\ — 2

jcV 2 (a) —r— x ^ 0, y # 0 x3y

Solución

(a)

x 5y~2 _ x 3y

Xs

x3

„-3 \-2

(b)

,3y

-i

y~7 y

x^O ,

(b)

-

^5-3. = X

„2 „-3 _ J l = xry - x ~ '— = — y y

.,-2-1 _

3\-2

_ ( 0 _ = ________ = ( 3 y - 'y 2 3 - \ y - ' y 2

-Resuelve ahora

y * 0

¿y~\

el

problema

1 2 9y

9/ y ,2

87

6 Evaluación de raíces cuadradas r En palabras r V 3 6 auiere decir “encuentra r el| numero , no negativo cuyo f ' cuadrado sea 3 6 ”

_

DEFINICIÓN

Un número real es cuadrado cuando está elevado a la potencia 2. La operación in­ versa de elevar al cuadrado es encontrar la raíz cuadrada. Por ejemplo, como 62= 36 y ( - 6 ) 2= 36, los números 6 y - 6 son raíces cuadradas de 36. El símbolo V , llamado signo de radical, se usa para denotar la raíz cuadrada no negativa o principal. Por ejemplo, V36 = 6. Si a es un número real no negativo, el número no negativo b tal que b2= aes la raíz cuadrada principal de a y se denota como b = Vfl.

J

Los siguientes comentarios son importantes: 1. Los números negativos no tienen raíces cuadradas (en el sistema de números reales), ya que el cuadrado de cualquier número real es no negativo. Por ejemplo, V—4 no es un número real, ya que ho existe ningún número real cuyo cuadrado sea -4 . 2. La raíz cuadrada principal de 0 es 0, ya que O2= 0. Esto es, Vü = 0. 3. La raíz cuadrada principal de un número positivo es positiva. 4. Si c > 0, entonces ( V e)2 = c . Por ejemplo ( V 2 )2 = 2 y ( V 3 )2 = 3.

EJEM PLO 11

Evaluación de raíces cuadradas (a) V 64 = 8

(b)

(c) ( V L 4 )2 = 1.4

Los ejemplos 11 incisos (a) y (b) son ejemplos de raíces cuadradas perfectas, debido a que 64 = 82 y — = ( - J .

24

C A P ÍT U L O K

Repaso

Considera la expresión V a l Como ar * 0, la raí/ cuadrada principal de a1 c*tá definida si a > 0 o si a < 0. Sin embargo, ya que la raí/ cuadrada principal ex no ne­ gativa, necesitamos un valor absoluto para asegurar un resultado no negativo, Esto quiere decir,

donde a es cualquier número real

(2)

Liso de la ecuación (2)

E J E M P L O 12

(b) \ / ( - 2 . 3 ) 2 = |-2 .3 | = 2.3

(a) \ / ( 2 3 ) i = \2.3\ = 2.3 (c) \ / 7 2 = \x\

Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

83

7 Uso de la calculadora para evaluar exponentes Tu calculadora tiene una tecla con el símbolo de interalación. a . o bien la tecla j j *}. las cuales, se usan para hacer cálculos que involucran exponenlcs.

E J E M P L O 13

Exponentes en una calculadora gráfica Evalúa: (2.3)'

Figura 15

[273*5

Solución La figura 15 muestra el resultado usando una calculadora gráfica TI-K4. 64.36343 Resuelve ahora el problema i i 3 8 Uso de notación científica Las medidas de cantidades físicas pueden variar desde muy pequeñas has­ ta muy grandes. Por ejemplo, la masa de un protón es aproximadamente 0.0000(XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX)167 kilogramos y la masa de la Tierra es aproximada­ mente 5,9N0,(XX).(XX),(XX).(XX),(XX).(XX).(XX) kilogramos. Obviamente estos números son tediosos de escribir y difíciles de leer, así es que usamos exponentes para reescribirlos.

DEFINICIÓN

Cuando un número ha sido escrito como el producto de un número x. donde 1 ^ .v < 10. multiplicado por una potencia de 10. se dice que está escrito en no­ tación científica. En notación científica. Masa de un protón = 1.67 x 10'r kilogramos Masa de la Tierra = 5.98 x 10N kilogramos Conversión de un decimal a notación científica Para convertir un número positivo a notación científica: 1. Cuenta el número N de lugares que hay que mover el punto decimal para llegar al número .v, donde 1 < .v < 10. 2. Si el número original es mayor o igual a 1. la notación científica es .v x H)\ Si el número original está entre 0 y 1. la notación científica es x x 10 \

S E C C IÓ N R .2

EJEM PLO 14

Bases de álgebra

25

Uso de notación científica Escribe cada número en notación científica. (a) 9582

Solución

(b) 1.245

(c) 0.285

(d) 0.000561

(a) El punto decimal en 9582 sigue al 2. Cuenta hacia la izquierda del punto decimal 9

5 8 2 . , U - Í ___I

3 2 1

y detente después de tres lugares, ya que 9.582 es un número entre 1 y 10. Como 9582 es mayor que 1, escribimos 9582 = 9.582 x 103 (b) El punto decimal en 1.245 está entre el 1 y el 2. Como el número ya está entre el 1 y el 10, su notación científica es 1.245 x 10° = 1.245. (c) El punto decimal en 0.285 está entre el 0 y el 2. Contamos 0 . 2 8 5 L_1 1 y nos detenemos después de un lugar, ya que 2.85 es un número entre 1 y 10. Como 0.285 está entre el 0 y el 1, escribimos 0.285 = 2.85 x l 0 - ‘ (d) El punto decimal en 0.000561 se mueve de la siguiente manera: 0 .0

0 0 5 6 1

12 3 4 Como resultado, 0.000561=5.61 x 10“4

ReSue|Ue ahora

EJEM PLO 15

el

problema

i i9

Cambio de notación científica a decimales Escribe cada número como decimal. (a) 2.1 X 104

Solución

(a)

(b) 3.26 X 10~5

2.1 X 104 =2

. 1

0

l____ i-

t

1 2

(b) 3.26 X 10~5 = 0

0

0

t ■i 5

(c) 1 x 10~2 = 0

0 1

4

0

(c) 1 x 10~2 104 =21,000

0 0 x 1___r

3 4 0

3

.

T .T ...t__ J 3 2

.0 x 10~2

1

= 0.01

t__t__ «J 2.

Resuelve ahora

1

el

problema

127

2 6 x

10~5 = 0.0000326

26

C A P ÍT U L O K

Repaso

E J E M P L O 16

Uso de notación científica (a) 121 diámetro de la célula viva más pequeña es de aproximadamente 0.00001 cen­ tímetros (cm).* Expresa este número en notación científica. (b) El área de la superficie de la Tierra es de aproximadamente 1.97 x 10* millas cuadradas.** Expresa el área de la superficie como un número entero.

Solución

(a) 0.00001 cm = 1 X 10 ' cm ya que el punto decimal se mueve cinco lugares y el número es menor que 1. (b) 1.97 x 10" millas cuadradas = 197,000,000 millas cuadradas. j

Resuelvo ahora el problema i 53 COMENTARIO En una calculadora, un número como 3.615 X 1012 aparece como 36*5£>2 *

Potencias tic base diez, Philip and Phylis Morrison. IWH Information Please Almanac.

*•

Comentario histórico do a un lado de una ecuación, también debe ser sumado al otro a palabra álgebra se deriva de la palabra árabe al-jahr. lado para “restaurar" la igualdad. El título de la obra, traducido Esta palabra forma parte del título de una obra del siglo IX, con libertad, es “La ciencia de la reducción y cancelación" Por “Hisáb al-jabr w’al-muqflbalah”, escrita por Mohammed ibn Músa al-Khwñrizmi. La palabra a l-ja h r quiere decir "unasupuesto que hoy en día álgebra significa mucho más que eso. restauración" y se refiere al hecho de que si un número es suma­

L

R.2 Evalúa tu entendim iento Conceptos y vocabulario 1. U n a ------------ es una letra que se usa en álgebra para re­ presentar cualquier número de un conjunto dado de nú­ meros.

7. Verdadero o Falso La distancia entre dos puntos diferen­ tes en la recta de los números reales siempre es mayor que cero.

2. En la recta de números reales, el número real cero es la coordenada d e ________

8. Verdadero o Falso El valor absoluto de un numero real siempre es mayor que cero.

3. Una desigualdad de la forma a > b se llam a________

9. 1 erdadero o Falso Cuando un número se expresa en nota­ ción científica, se escribe como el producto de un número .v. 0 s . t < l . y una potencia de 10.

4. En la expresión 2\ el número 2 se llama________ y el 4 se llam a________ 5. En notación científica, 1234.5678 = _______ 6. Verdadero o Falso El producto de dos números reales ne­ gativos siempre es mayor que cero.

10. Verdadero o Falso Para multiplicar dos expresiones que tienen la misma base, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

Ejercicios *3 11. En la recta de los números reales, marca los puntos con coordenadas 0.1, - 1 ,

-2.5, 7 . v 0 .1 5. 4

3 1 2 12. Repite el problema 11 para las coordenadas 0, -2.2, -1.5, - , - y - . En los problemas 13-22, sustituye el signo de interrogación po r o =, según corresponda.

14.5 7 6 18. V 2? 1.41

19. | 7 0.5

\

15. - 1 7 - 2

1 6 .- 3 7 - ^

17.

20. 1 7 0.33

21. 1 7 0.67

21 - 7 015 4

jt 73.14

S E C C IÓ N R .2

Bases de álgebra

27

* En los problemas 23 -2 8 , escribe cada proposición como una desigualdad.

t 23. x es positivo 2 6.

24.

y es mayor que - 5

z es negativo

27. x

\

es menor o igual que 1

25. .t es menor que 2 28. x

es mayor o igual que 2

En los problemas 29-32, haz una gráfica de los números x en la recta de los números reales. 2 9.

.t & - 2

3 0 . .v < 4

\

31. * > - 1

32. * < 7

En los problemas 33 -3 8 , usa la recta de números reales dada para calcular cada distancia. A

B C

D

E

— i---1___i___i__i__ i___ i___i__ i___ i__ i__ - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 3 3. d ( C, D)

3 4 . d( C, A )

35. d{ D, E )

3 6 . d( C, E )

38. d ( D, B )

37. d { A , E )

\

En los problemas 39-46, evalúa cada expresión s i x = - 2 y y = 3.

\ , 3 9 . x + 2y 43.

40.

3.r + y

41.

x + y

2.r

44.

x - y

5*y + 2

42.

3x + 2y 45.

x - y

- 2 x + xy

AA ----------2 X ~ 3 46.

2 + y

E n los problemas 47-56, determina el valor de cada expresión si x = 3 y y = -2 .

\

47. \x +

y|

4 9 . \x\ +

4 8 . \x - y\

52. M

53.

y

|4jc - 5y|

54.

5 0 . |a:|

|y|

|3* + 2y|

55.

*

- |y|

51. —

x

||4jc| - |5y||

3|jc| + 2|y|

56.

E n los problemas 57-64, determina cuáles de los valores de a a d, si existen, deben ser excluidos del dominio de la variable en cada expresión. (a) x = 3 \5 7 . ^

-

x2 + 1

1

59.

58.

X

61.

(d) x = - 1

(c) x = 0

(b) x = 1

X

x2 + 1

x3

/

62.

63.

x2 - 1

60.

x2 - 9 x 2 + 5x - 10

-9 x2 - x + 1 64.

—x

x

x2 + 9

x3 + x

E n los problemas 65-68, determina el dominio de la variable x en cada expresión. 65.

66.

x - 5

-6

67.

x + 4

68.

x + 4

x -2 x - 6

E n los problemas 69-72, usa la fórmula C = ~ { F - 32) para convertir de grados Fahrenheit a grados Celsius, para encontrar la temperatura en grados Celsius de cada valor dado en grados Fahrenheit. 6 9. F =

32°

70. F

71. F

= 212°

= 77° -

72. F

=

-4 o

E n los problemas 73-84, simplifica cada expresión. 7 3.

(-4 )2

74 .

-4 2

\

7 9.

(3~2)-1

80. ( 2 ~ T 3

75. 4“2 81.

76. - 4 -2

\

77. 3“6 • 34

78.

V36

\

83. \ / ( - 4)2

84- V ( ~ 3)2

82.

V25

4-2 • 43

E n los problemas 8 5 - 94, simplifica cada expresión. Escribe la respuesta de manera que todos los exponentes sean positivos. Cuando un exponente sea 0 o negativo, suponemos que la base no es 0. 85. (8 a:3)2

86. (~ 4*2) 1

-2

( - 2 )3x \ y z) 2

x Ly 90.

xy2

91.

32x y 3z

\

87. (x 2y ') 2

88.

a:Y

(a: 'y)3

89.

4a: 2(yz) -i1 92.

23/ y

94.

*

m

¡

xy4 / 5a:" \6y

28

CAPITULO R

Repaso

E n los p ro b lem a s 95 - lito, determ ina el valor de rada exp resió n s l x » 2 y y » - l .

\

9*. « V

95. 2x y 1

96. - 3 jt 'y

97.

99. (¿y)2

KH). (* + y)2

101.

V x 2

102. ( V i) 7

104. \ / r 2 + \ / í *

105.

xf

106. y*

103. v V + y 2

107. Encucntru el valor de la expresión 2*’ -

5 x J + 5x -

108. Encuentra el valor de la expresión 4*’ + 3a' 109. ¿Cuál es el valor de

x 7 + y2

4 sí x ■ 2. ¿Cuál es su valor si a ■ 17

jt+ 2 si x

■ 1. ¿Cuál es su valor si x - 2?

~?

110. ¿Cuál es el valor de (0.l)’(20)*?

(222)4

E n los p ro b le m a s I I I - 1 I H , usa la calculadora para eva lu a r cada expresión. R e d o n d e a tu respuesta a tres lunares dec anales

.

\

111 (H.2)h

112. (3.7)’

115. (-2.8)h

116. -(2.8)*

\

113. (6.1 )"J

114. (2.2)^

117. (-8.11) 4

118. -(811) 4

E n los p ro b lem a s 1 1 9 - I2f), escribe cada n ú m e ro en no ta ció n científica.

119.454.2

120.32.14

121. 0,013

121 000421

123. 32.155

124. 21.210

125. 0.000423

126. 0 0514

129. 1.214 X 10 ' 133. 8 1 x 10 »

130. 9JW x |0 * 134. 6 453 x 10 '

\ E n los p ro b lem a s 1 2 7 -1 5 4 , escribe cada n ú m e ro c o m o decim al. 127. 6.15 X 104 131.1.1x10»

128.9.7x10’ 131 4.112x10»

A p lic a c io n e s y e x te n s io n e s E n los p ro b lem a s 1.15 —144, expresa cada p ro p o sició n c o m o u n a ecuación q u e in clu ya las \ a n a b les indicadas

135. Área de un rectángulo El área A de un rectángulo es el producto de su longitud / y su ancho iv. / A

139. Área de un triángulo equilátero El área A de un triángulo equilátero es — multiplicado por el cuadrado de la kmp4 tud x de un lado.

iv

136. Perímetro de un rectángulo El perímetro P de un rectángu­ lo es el doble de la suma de su longitud / y su ancho w. 137. Circunferencia de un círculo La circunferencia C de un cír­ culo es el producto de n y de su diámetro d.

i 140. Perímetro de un triángulo equilátero EJ perímetro P de un

triángulo equilátero es 3 veces la longitud i de un lado. 141. Volumen de una esfera El volumen V de una estera es -

por a-, multiplicado por el cubo del radio r.

138. Area de un triángulo El área A de un triángulo es la mitad del producto de su base />y su altura li. 141 Área de la superficie de una esfera El área de la superficie

.5de una esfera es 4 por sr. multiplicado por el cuadrado del radio r.

S E C C IÓ N R .2

*■ 143. Volumen de un cubo El volumen

V de un cubo es el cubo

Bases de álgebra

29

un radio que no difiere más de 0.01 cm. Si x es el radio del balín, una fórmula que describe esta situación es:

de la longitud x de un lado.

\x - 3| < 0.01

s ' L yy c____

(a) ¿Es aceptable un balín de radio x = 2.999? (b) ¿Es aceptable un balín de radio x = 2.89?

_

x

152. Temperatura corporal La temperatura normal del cuerpo humano es de 98.6°F. Una temperatura x que difiere de la normal por 1.5°F no se considera saludable. Una fórmula que describe esto es:

144. Área de la superficie de un cubo El área de la superficie S de un cubo es 6 veces el cuadrado de la longitud x de uno de los lados.

\x - 98.6| > 1.5

145. Costo de fabricación El costo semanal de producción C por fabricar x relojes está dado por la fórmula C = 4000 + 2x, donde la variable C esta en dólares. (a) ¿Cuál es el costo de producir 1000 relojes? (b) ¿Cuál es el costo de producir 2000 relojes?

(a) Demuestra que una temperatura de 97°F no es salu­ dable. (b) Demuestra que una temperatura de 100°F es saludable. 153.

Distancia de la Tierra a la Luna La distancia de la Tierra a la Luna es de aproximadamente 4 X 108 metros.* Expresa esta distancia como un número entero.

146. Saldo de una chequera Al principio de mes, Miguel tenía un saldo de $210 en su cuenta de cheques. Durante el mes siguiente, depositó $80, hizo un cheque por $120, hizo otro depósito de $25 y giró otros dos cheques, uno de $60 y el otro de $32. También le cobraron una comisión mensual por servicios de $5. ¿Cuál es su saldo al final del mes?

154. Altura del Monte Everest La altura del Monte Everest es

E n los problemas 147 y 148, escribe una desigualdad usando el valor absoluto para describir cada proposición.

156. Diámetro de un átomo El diámetro de un átomo es aproxi­

147. x está por lo menos a 6 unidades de 4. 148. x está a más de 5 unidades de 2. 149. Voltaje en EE.UU. En Estados Unidos de Norteamérica, el voltaje normal de una casa es de 110 volts. Es aceptable que el voltaje real x difiera del voltaje normal por máximo 5 volts. Una fórmula que describe esto es:

de 8848 metros.* Expresa esta altura en notación científica.

155. Longitud de onda de la luz visible La longitud de onda de la luz visible es de aproximadamente 5 X 10“7 metros.* Ex­ presa esta longitud de onda como un decimal. madamente 1 X10“10metros.* Expresa este diámetro como un decimal.

157. Diámetro de un alambre de cobre El alambre de cobre más delgado del mercado es de aproximadamente 0.0005 pulga­ das de diámetro.! Expresa este diámetro usando notación científica.

158. El motor más pequeño El motor más pequeño que se ha hecho mide menos de 0.05 centímetros de ancho.** Expre­ sa este ancho usando notación científica.

\x - 110| < 5

(a) Demuestra que un voltaje de 108 volts es aceptable. (b) Demuestra que un voltaje de 104 volts no es aceptable.

159. Astronomía Los astrónomos definen un año luz como la distancia que un rayo de luz viajará en un año (365 días). Si la velocidad de la luz es de 186,000 millas por segundo, ¿cuántas millas hay en un año luz? Expresa tu respuesta en notación científica.

150. Voltaje en otros países En otros países, el voltaje normal en una casa es de 220 volts. Es aceptable que el voltaje real x difiera del normal por 8 volts. Una fórmula que describe

esto es:

160. Astronomía ¿Cuánto tarda un rayo de luz en llegar a la Tie­ rra desde el Sol, si el Sol está a 93,000,000 millas de la Tierra? Expresa tu respuesta en segundos, usando notación científica.

|jc - 2201 < 8 . (a) Demuestra que un voltaje de 214 volts es aceptable. (b) Demuestra que un voltaje de 209 volts no es aceptable.

161. ¿ i equivale a 0.333? Si no es así, ¿cuál es más grande? ¿Por

151. Fabricación de balines de precisión La compañía FireBall fabrica balines para equipo de precisión. Uno de sus pro­ ductos es un balín con un radio establecido de 3 centíme­ tros (cm). Los únicos balines aceptables son los que tienen

162.

cuánto? 2 ¿ - equivale a 0.666? Si no es así, ¿cuál es más grande? ¿Por cuánto?

Explicación de conceptos: discusión y escritura 163. ¿Existe un número real positivo “más cercano” a 0? 164.

Juego de Números ¡Estoy pensando en un número! Está entre el 1 y el 10, su cuadrado es racional y está entre 1 y 10. El número es más grande que p. Da el número corregido hasta dos lugares decimales (esto es, truncado a dos posi­ ciones decimales). Ahora piensa en un número, descríbelo y reta a un compañero a que lo adivine.

* P o te n c ia s d e b a se d ie z , Philip and Phylis Morrison. 1 1998 In fo rm a tio n P le a se A lm a n a c .

165. Escribe un breve párrafo que ilustre las similitudes y dife­ rencias entre “menor que” ( = 8

3

15.

a=

7.

b=

24

\

13.

a=

16.

a=

10, 14.

b

b=

= 24 48

En los problemas 17—24, se dan las longitudes de los lados de un triángulo. Determina cuáles son triángidos rectángulos. Para los que lo sean, identifica la hipotenusa. \

17. 3 ,4 ,5

18. 6 ,8 ,1 0

19. 4 .5 .6

20. 2 .2 .3

21. 7 ,2 4 ,2 5

22. 1 0 ,2 4 .2 6

2 3 . 6 .4 .3

2 4 . 5 .4 .7

A d e un re c tá n g u lo d e 4 p u lg a d a s d e largo y 2 p u lg a d a s d e a n ch o . área A d e un r e ctá n g u lo d e 9 c e n tím e tr o s d e largo y 4 c e n tím e tr o s d e

25.

E n cu en tra el área

26.

E

27.

E n cu en tra el área

A de

28.

E n cu en tra e l área

\ . 29.

E n cu en tra e l área

30.

E n cu en tra e l área

A d e un triá n g u lo d e A y la circ u n fe re n c ia A y la circ u n fe re n c ia

31.

E n cu en tra e l v o lu m e n V y el área d e la su p e rficie 5 d e una caja recta n g u la r co n 8 p ie s d e la rg o . 4 p ie s d e a n c h o y 7 p ie s d e altura.

32.

E n cu en tra e l v o lu m e n V y el área d e la su p e rficie S d e una caja recta n g u la r co n 9 p u lg a d a s d e la rg o . 4 p u tea d as d e a n c h o \ 8 p ulgad as d e altura.

n cu en tra el

a n ch o .

un triá n g u lo d e 4 p u lg a d a s d e altura y 2 p u lg a d a s d e b a se. 9 c e n tím e tr o s d e altura y 4 c e n tím e tr o s d e b a se. C d e un c írc u lo d e 5 m e tr o s d e rad io. C d e un círc u lo d e 2 p ies d e rad io.

33. E n cu en tra el v o lu m e n V y e l á rea d e la su p e rficie S d e una e sfe ra d e 4 c e n tím e tr o s d e rad io. 34. E n cu en tra el v o lu m e n V y e l área d e la su p e rficie S d e una e s fe r a d e 3 p ie s d e rad io. 35. E n cu en tra el v o lu m e n V y e l área d e la su p e rficie S d e un c ilin d r o circular r e c to d e 9 p u lg a d a s d e ra d io 36.

E n cu en tra el v o lu m e n V

y e l á rea

d e la su p e r fic ie S d e un cilin d r o circular r e c to d e 8 p u lg a d a s d e r a d io

y 8 p u lg a d a s d e altura. y 9 p u lg a d a s d e altura.

t

S E C C IÓ N R J

Bases de geometria

37

E n los p ro b le m a s 41 - 4 4 , cada p a r de triángulos es sim ilar. E n cuentra la lo n g itu d x fa lta n te y los á n g u lo s A , B, y C / altantes.

I Aplicaciones y extensiones

45. ¿Cuántos pies recorre una rueda de 16 pulgadas de diáme­ tro después de cuatro revoluciones?

46. ¿Cuántas revoluciones completará un disco circular de 4 pies de diámetro cuando haya rodado 20 pies?

49. Arquitectura Una ventana Norman consiste en un rectán­ gulo con un semicírculo en la parte superior. Encuentra el área de la ventana Norman mostrada en la ilustración. ¿Cuánta madera se necesita para el marco de la ventana?

47. En la figura mostrada, A B C D es un cuadrado con 6 pies de largo por lado. El ancho del borde (la parte sombreada) entre el cuadrado exterior E F G H y A B C D es de 2 pies. Encuentra el área del borde.

50. Construcción Una alberca de forma circular de 20 pies de 48. Observa la siguiente figura. El cuadrado

A B C D tiene un área de 100 pies cuadrados, el cuadrado B E F G tiene un área de 16 pies cuadrados. ¿Cuál es el área del triángulo C G F l

diámetro está rodeada por una tarima de madera de 3 pies de ancho. ¿Cuál es el área de la tarima? ¿Cuánto se requie­ re de cerca para rodear la tarima?

38

C A P ÍT U L O R

Repaso

51. ¿Qué tan tilla es la Gran Pirámide? Se dice que en una oca­ sión el filósofo griego Tales de Mileto visitó Egipto y calcu­ ló la altura de la Gran Pirámide de Keops por medio de su sombra. Tales sabía que cada lado de la base de la pirámide media 252 pasos y que su propia altura era 2 pasos. Midió la sombra de la pirámide, la cual resultó ser 114 pasos y determinó que el largo de su sombra era de 3 pasos. Ver ilustración. Usando triángulos similares, determina la altu­ ra de la Gran Pirámide en términos del número de pasos.

52. El Triángulo de la» Bermuda* Karen está investigando el Triángulo de las Bermudas, que se delimita de manera aproximada por Hamilton, Bermudas; San Juan, Puerto Rico y el Fuerte Lauderdale, Florida. En su mapa, Karen mide las distancias en línea recta de Hamilton a Fuerte Lau­ derdale, de Fuerte Luaderdale a San Juan y de San Juan a Hamilton; y obtiene como resultado aproximadamente 57 milímetros (mm), 58 mm y 53.5 mm, respectivamente. Sí la distancia real del Fuerte Lauderdale a San Juan es de 1046 millas, aproxima las distancias reales de San Juan a Hamil­ ton y de Hamilton a Fuerte Lauderdale. T'uente: Reproducida con permiso de Red R iver Press, Inc., Winnipeg, Canadá.

F u en te: www.ansclm.edu/homcpapc/dbaniich/thalcs.htm. En esta página se da la referencia de otra fuente: S e lec cio n es, de Julia E. Diggins, S trin g, S tra ig h teilg e, a n d S h a d o w , Viking Press, New York, 1965, Ilustraciones por Corydon Bell.

F u en te:

www.cn.w ikipcdia.org/w ikt Bermuda_Trían tic

En los problemas 53 -5 5 , usa el hecho de que el radio de la Tierra es de 3960 millas y 1 milla = 5280 pies.

53. ¿Qué tan lejos puedes ver? La torre de control del U.S.S.

55. ¿Qué tan lejos puedes ver? La cubierta de un destructor está

Silversides, un submarino de la Segunda Guerra Mundial

a 100 pies sobre el nivel del mar. ¿Qué tan lejos puede ver una persona desde la cubierta? ¿Qué tan lejos puede ver una persona desde el puente que se encuentra a 150 pies sobre el nivel del mar?

ahora permanentemente en Muskego, Michigan, se en­ cuentra aproximadamente a 20 pies sobre el nivel del mar. ¿Qué tan lejos puedes ver desde la torre de control? 54.

¿Qué tan lejos puedes ver? Una persona de 6 pies de altu­

56. Supón que m y

n son enteros positivos con m > n. Si a = m2- n2, b = 2mn y c = nv + n: . demuestra que a . b y c son

ra está parada en la playa de Fuerte Lauderdale, en Florida y está viendo hacia el Océano Atlántico. De pronto apa­ rece un barco en el horizonte. ¿Qué tan lejos está el barco de la orilla?

las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. (Esta fórmula se puede usar para encontrar los lados de un trián­ gulo rectángulo que sean enteros, como 3. 4. 5; 5. 12, 13; etc. Estas tercias de enteros se llaman tercias de Pitágoras).

Explicación de conceptos; discusión y escritura 57. Tenemos 100 pies de borde flexible para albercas y queremos construir una alberca. Experimenta con albercas de for­ ma rectangular con perímetros de 1000 pies. ¿Cómo varían sus áreas? ¿Cuál es el rectángulo con la mayor área? Ahora, calcula el área de una alberca circular con un perímetro (cir­ cunferencia) de 1000 pies. ¿Qué forma de alberca elegirías? Si escoges la rectangular, ¿qué dimensiones prefieres? Justi­ fica tu elección. Si tu única consideración es tener una alber­ ca de la mayor área posible, ¿qué forma escogerías?

58.

El faro de Gibb en Southampton. Bermudas. que está en operación desde 1846. tiene una altura de 117 pies sobre una colina de 245 pies de altura, así que su rayo de luz está a 362 pies sobre el nivel del mar. Un marinero afirma que la luz puede ser vista en el horizonte a 26 millas de distancia. Verifica si esta información es correcta. El marinero dice también que los barcos que están a 40 millas de distancia pueden ver la luz y que los aviones que vuelan a 10.000 pies la pueden ver a 120 millas de distancia. Verifica si estas pro­ posiciones son acertadas. ¿Qué suposición hizo el marinero acerca de la altura del barco?

S E C C IÓ N R .4

Polinomios

39

R.4 Polinomios 1 Reconocer monomios (p. 39)

OBJETIVO S

2 Reconocer polinomios (p. 40)

3 4 5

Sumar y restar polinomios (p. 41) Multiplicar polinomios (p. 42) Conocer las fórmulas de productos notables (p. 43)

6 Dividir polinomios usando la división larga (p. 44)

7

Trabajar con polinomios de dos variables (p. 47)

Hemos dicho que el álgebra es una generalización de la aritmética en la cual se usan letras para representar números reales. De ahora en adelante, usaremos las letras al final del alfabeto, como x, y y z, para representar variables y las letras al principio del alfabeto, como a, b y c, para representar constantes. En las expresiones 3x + 5 y ax + b, se entiende que x es una variable y que a y b son constantes, aún si las cons­ tantes a y b no están especificadas. Te darás cuenta de que el contexto suele propor­ cionar claramente el significado implícito.

1 Reconocer monomios

DEFINICIÓN

Un monomio de una variable es el producto de una constante y una variable elevada a una potencia entera no negativa. Un monomio tiene la forma

NOTA Los números enteros no negativos son los enteros 0 ,1,2,3... ■

donde a es constante, x es una variable y k ^ 0 es un entero. La constante a se llama coeficiente del monomio. Si a ^ 0, entonces k se le llama el grado del monomio.

EJEM PLO 1

Ejemplos de monomios M onomio

EJEM PLO 2

2*3

-V

Grado

2

6

(a) 6jc2 (b) - V

Coeficiente

2

3

(c) 3

3

0

Dado que 3 = 3 • 1= 3xí!, x

(d) —5jc

-5

1

Dado que

(e) U

1

4

Dado que x4 = T x4

^

0

—5x = —5x'

Ejemplos de expresiones que no son monomios 1 1 (a) 3x1/2 no es un monomio, debido a que el exponente de la variable .c es - y ^ no es un entero no negativo. (b) 4x~3no es un monomio, debido a que el exponente de la variable x es - 3 y - 3 no es un entero no negativo. i

^- Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

7

40

C A P ÍT U L O R

Repaso

2 Reconocer polinomios Dos monomios con la misma variable elevada a la misma potencia se llaman térmi­ nos semejantes. Por ejemplo, 2a4 y - 5 a4 son términos semejantes. En cambio, los monomios 2a:3 y 2a5 no son términos semejantes. Podemos sumar o restar términos semejantes usando la propiedad distributiva. Por ejemplo, 2a2+ 5a2= (2 + 5) a2= 7a2

y

8a ? - 5a3= (8 - 5)a3= a3

La suma o resta de dos monomios que tienen grados diferentes se llama binomio. La suma o diferencia de tres monomios con tres grados diferentes se llama trinomio. Por ejemplo, a2 -

2 es un binomio.

a3 -

3a + 5 es un trinomio.

2a2+ 5a2+ 2 = 7a2+ 2 es un binomio.

DEFINICIÓN

Un polinomio en una variable es una expresión algebraica de la forma a x n+ a

r r

a,,_1 +

... + a x + a.

(1)

donde an, an_v..., a,, a0 son constantes,* llamadas coeficientes del polinomio, n ^ 0 es un entero y a es una variable. Si an ^ 0, recibe el nombre de coeficiente principal, ax" se llama término principal y n es el grado del polinomio.

En palabras

Un polinomio es una suma de r monomios.

Los monomios que forman un polinomio se llaman términos. Si todos los coefi­ cientes son 0, el polinomio se llama polinomio cero y no tiene grado. Los polinomios generalmente se escriben en la forma estándar, empezando con el término diferente de cero de mayor grado y siguiendo con los términos en orden descendiente de acuerdo con su grado. Si falta una potencia de a, se debe a que su coeficiente es cero.

EJEM PLO 3

Ejemplos de polinomios Polinomios

Coeficiente

Grado

- 8 a3 + 4a2 - 6a + 2

- 8 ,4 , - 6 ,2

3

3a2 - 5 = 3a2 + 0* a + ( —5)

3, 0, - 5

2

8 - 2a + a2 = 1 • a2 + (~ 2 ) a + 8

00 ;

_ 3 x + 2 _ .Y -

X .y -

>■—

EJEM PLO 5 ..............................

3

-

y

(3 .v +

3

.y -

x -

2) _

3

=

3.Y * -

- 2 .y -

2 =

- 2 ( .y +

-y - 3

“

.y - 3

Expresiones racionales

65

2

3

1)

* J

Suma de expresiones racionales cuyos denominadores son el inverso aditivo uno del otro Realiza la operación indicada y simplifica el resultado. Deja tu respuesta en forma factorizada.

Solución

Observa que los denominadores de las dos expresiones racionales son diferentes. Sin embargo, el denominador de la segunda expresión es el inverso aditivo del denomi­ nador de la primera. Esto es: 3-

=

.y

- .y

+ 3 = —1 • (x —3) = -( . y - 3)

Entonces 2.y

5 _ 3 - x

3

.y -

2.y .y -

5 - ( .y -3 )

3

2x Jt-3

-5 -

jc

3

r

t

±-=£

3 - x = -(x - 3)

2-y + ( - 5 ) _ 2* - 5

l

x —3 ..................

. 'Resuelvo ahora

l o s

p r o b l e m a s

37

x —3

43

y

Si los denominadores de dos expresiones racionales que se van a sumar o restar no son iguales, podemos usar las fórmulas generales para la suma y resta de expre­ siones racionales.

b-d

a d + be

ll

+

d

Lj -O

EJEM PLO 6

II

b

c

0 y b > 0 si n es par y a, b son cualquier número real si n es impar.

r r En palabras r El símbolo V a significa “dame el r número que cuando lo eleve a la r n sea igual a a". r

EJEM PLO 1

J

Observa que si a es negativo y n es par, entonces V a no está definida. Cuando está definida, la raíz enésima principal de un número es única. El símbolo V a para la raíz enésima principal a se llama radical; el entero n se llama índice y a se llama radicando. Si el índice de un radical es 2, llamamos a V a la raíz cuadrada de a y omitimos el índice 2 escribiendo simplemente V a . Si el índice es 3, llamamos a V a la raíz cúbica de a.

Simplificación de raíces enésimas principales (b) V ^ 6 4 = ^ / ( - 4 ) 3 = - 4 (d) y ÿ ï P ï f = |- 2 | = 2 Estos son ejemplos de raíces perfectas, ya que cada una se simplifica a un número racional. Observa el valor absoluto en el ejemplo 1 inciso (d). Si n es par, la raíz ené­ sima principal debe ser no negativa.

En general, si n > 2 es un entero y a es un número real, tenemos

« «

Resuelve ahora

Va" = a

si n s 3 es impar

da)

V a " = loi

si n a 2 es par

(Ib)

el

p r o b l e m a

7

Los radicales proporcionan una forma de representar a muchos números irracio­ nales. Por ejemplo, no existe un número racional cuyo cuadrado sea 2. Mediante el uso de radicales, podemos decir que V2 es el número positivo cuyo cuadrado es 2.

74

CAPÍTULO R

Repaso

Uso de la calculadora para aproximar raíces

j j [ EJEM PLO 2

Usa una calculadora para aproximar "'^16.

Solución

h—itu t —Resuelve ahora

Figura 29

5 *06

La figura 29 muestra el resultado usando una calculadora gráfica T I-8 4 .

1.741101127

e l

p r o b l e m a

io i

2 Simplificación de radicales Sean n > 2 y m > 2 enteros positivos y sean a y b números reales. Suponiendo que todos los radicales están definidos, tenemos las siguientes propiedades: Propiedades de los radicales (2a)

b* 0

(2b)

(2c)

S fd * = (^ a )m

Cuando nos referimos a los radicales, la instrucción “simplifica” quiere decir que elimines de los radicales cualquier raíz perfecta que aparezca como factor. EJEM PLO 3

Simplificación de radicales (a) V 32 = V l6 ^ 2 - V Í6 • \ í l = 4 \¡2 í í Factoriza 16, un (2a) cuadrado perfecto.

(b) N/l6 = N/íÜ2 = V 8 - V 2 = t t Factoriza 6 , un cubo perfecto.

= 2^2

(2a)

(c) ^ - l ó * 4 = \ ^ - 8 - 2 - x3- x - ^ ( - 8 jc3)(2;c) t í Factoriza los cubos Agrupa cubos perfectos, perfectos dentro deI radical.

- ^ / { - 2 x f - 2 x = ^ / { - 2 x f - ^ 2 x - - 2 x ^ Í2 x t ( 2 a)

“ ^ —- Resuelveahora

l o s

p r o b l e m a s

ii

y

i

7

Dos o más radicales se pueden combinar siempre y cuando tengan el mismo índi­ ce y el mismo radicando. A estos radicales se les llama radicales semejantes. EJEM PLO 4

Combinación de radicales semejantes (a) —8VL2 + \ñ> = -8 V ¿ L 3 + V 3 = - 8 - \Í 4 V3 + V3 = -1 6 V 3 + V 3 = - 1 5 \/ 3

S E C C IÓ N R .8

(b )

+

4 ^ /W x = \ / 2V

jc

+

Rafees enésimas; exponentes racionales

75

+ 4 \/¥ x

V - l * x

= r f(2 ÏŸ ‘^ +

+

= Ix 'V x - 1 • V x + 12 V x — (2x + ll) V x

........ . -Resuelve ahora

e l

33

p r o b l e m a

Racionalización de denominadores Cuando aparecen radicales en cocientes, es común reescribir el cociente de forma que no hayan radicales en el nuevo denominador. A este proceso se le conoce como racionalización de denominador.

La idea es multiplicar por una expresión apropiada para que el nuevo denomina­ dor no contenga radicales. Por ejemplo: Si el denominador contiene el factor

Para obtener un denominador libre de radicales

Multiplica por

Vi Vi - 1 V2 + 3 V5 + Vi V2

Vi V3 + 1 V2 - 3 V s - V d

V4

(Vi)2= 3 (Vi)2- 12 = 3 - 1 = 2 (V2 ) 2 - 32= 2 - 9 = -7 (V5 ) 2 - (Vi)2= 5 - 3 = 2 V4-V2 = V8 = 2

Cuando racionalices el denominador de un cociente, asegúrate de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la expresión.

EJEM PLO 5

Racionalización de denominadores Racionaliza el denominador de cada expresión: (a)

Solución

1

5

(b)

Vi

(c)

4V2

V2 V i - 3V 2

(a) El denominador contiene el factor V i , así que multiplicamos el numerador y denominador por V i para obtener J _ _ J _ _V3 = V3

V3 V3

V3

= V3

(V 3 )2

3

(b) El denominador contiene el factor V2, así que multiplicamos el numerador y denominador por V2 para obtener 5

4V 2

5

V2

4V2 V 2

5V2

5V2

5V2

4(V 2)2

4-2

8

(c) El denominador contiene el factor V 3 - 3V 2 , así que multiplicamos el nume­ rador y denominador por V 3 + 3V 2 para obtener V2 V 3 - 3V2

V2

V 3 + 3V

V 3 - 3V2 V 3 + 3V2

V 2 V 3 + 3(V 2 )2 3 -1 8

-Resuelve ahora

2

el

p r o b l e m a

(V 3 )2 - (3V2)2

Vó + 6 -15

47

V 2 (V 3 + 3V2)

6 + Vó 15

76

C A P ÍT U L O R

Repaso

4 Simplificación de expresiones con exponentes racionales Los radicales se usan para definir exponentes racionales.

D EFIN ICIO N

Si a es un número real y n s 2 es un entero, entonces

= V~a

(3)

siempre que V a exista.

J

Observa que si n es par y a < 0 entonces V a y aVn no existen. EJEM PLO 6

D EFIN ICIO N

Escritura de expresiones que contienen exponentes fracciónales como radicales (a) 41,/2 = V 4 = 2

(b) 81/2 = V 8 = 2 V 2

(c) (-2 7 )1/3 - ^ 2 7 - - 3

(d) 161/3 = V Ï 6 = 2 ^ 2

Si a es un número real y m y n son enteros que no contienen factores comunes, con n > 2, entonces 7m/n

s/a m = ( V a ) '

(4)

siempre y cuando V a exista.

J

Tenemos dos comentarios acerca de la ecuación (4): TYl 1. El exponente — debe estar en términos mínimos y n debe ser positivo. 2. Cuando simplificamos la expresión racional amln, se puede usar ya sea \/a ™ o ( V a ) m, dependiendo de la que sea más fácil de simplificar. Generalmente es más sencillo sacar la raíz cuadrada primero, como en ( V a )m. EJEM PLO 7

Uso de la ecuación (4) (a) 43/2 = ( V Í ) 3 = 23 = 8

(b) ( - 8 ) 4/3 = (n/ ^ 8 ) 4 = ( - 2 ) 4 - 16

(c) (32)-2/5 = (^ 3 2 ) -2 = T 2 = -

(d) 256/4 = 253/2 = ( V Ü ) 3 - 53 = 125

-Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

55

Se puede mostrar que las leyes de los exponentes también se cumplen para ex­ ponentes racionales. El siguiente ejemplo ilustra el uso de las leyes de los exponentes para simplificar. EJEM PLO 8

Simplificación de expresiones que tienen exponentes racionales Simplifica cada expresión. Expresa tu respuesta de manera que solamente haya ex­ ponentes positivos. Suponemos que las variables son positivas.

(a) (*2/3y)(* 2y)

2 x lV

(b)

V

2/3

' 9 jc 2y 1/3 \ 1/2

(C )

x^y

S E C C IÓ N R .8

Solución

Raíces enésimas; exponentes racionales

77

(a) (x 2/3y){x~2y )l/2 = (x2/3y )[( jc~2) 1/2y1/2] = j & y x - 'y 1/2 = (x2^ (yV 3 ’ x l) ( y y 1^2) = x - \ /3y3/2

3,3/2 = ^3 (b)

(c)

..2/3 \ 3

'2 x W ' ..

„2/3

.

V2^ 1/3/

'9^2y / 3V /2

(2x1/3)3

/ 9jc2- (1/3) V /2

x 1/ ^

EJEM PLO 9

23( x 1/3)3

I ^ V /2 “ U 2/3y

-Resuelve ahora /j \

( , 2/3)3

el

p r o b l e m a

8x 91/2(x5/3)1/2

~

( / /3)

1/2

3x5/6 ,1/3

71

Los siguientes dos ejemplos ilustran operaciones algebraicas que necesitarás sa­ ber para resolver ciertos problemas de cálculo.

Escritura de expresiones como un solo cociente Escribe la siguiente expresión como un solo cociente en el que únicamente aparezcan exponentes positivos. (x2 + 1)1/2 + x*^-(x2 + 1)_1/,2*2x

Solución

(x2 + 1)1/2 + x - |; ( x 2 + 1)“ 1/2-2 x = (x2 + 1)1/2 +

* i 1/2 1/2

(x2 + l ) 1/2(x2 + l ) 1/¿ + x' (x2 + 1)1/2 (x2 + 1) + x2 (*2 + 1 ) 2x2 + 1 (*2 + i)

-Resuelve ahora EJEM PLO 10

p r o b l e m a

1/2

77

Factorización de una expresión que contenga exponentes racionales Factoriza:

Solución

e l

1/2

^ x ^ 3(2x + 1) + 2x4^3

Empieza escribiendo Zx4'3 como una fracción con 3 como denominador. 4 , 4x1/3(2x + 1) 6 x 4/3 4x '/3(2x + 1) + 6x4/3 ^ xj/3(2x + 1) + 2x4/3 = ------K — -------1 + — = ------ y ---------í

5uma las dos fracciones

2x 1,/3[2(2x + 1) + 3x] t

í

2 y x1/3 son factores comunes

Resuelve ahora

el

2x^3(7x + 2)

p r o b l e m a

Simplifica

89

78

C A P ÍT U L O R

Repaso

Comentario histórico ^ 1 sím bolo de radical,

|

V, fue

todas variantes de V 8 . La n otación

usado por primera vez en

J e s la forma manuscrita de la letra r (de la palabra en latín = raíz), aunque esto no está com probado. Pasó m ucho

I.

La barra sobre el símbolo de radical actual, como se ve

V se convirtiera en el sím bolo estándar de V,

la raíz cuadrada y m ucho más para que

V,

V,

V a2+

etc. fueran e s ­

lab + ó2,

es el último sobreviviente del vínculo, una barra colocada sobre una expresión para indicar lo que ahora indicamos con paréntesis. Por ejemplo,

tandarizados. Los índices de la raíz se colocaban en cualquier posición concebible, siendo

Vi, V(D8, v V8 1

para V i 6

locam os ahora.

radix

tiem po antes de que

V V i 6 era com ún

Para los añ os 1700, el índice se había estab lecid o co m o lo c o ­

r “ * forma impresa por C hristoff R udolff en 1525. Se cree que

3

ab + c = a(b

c)

+

R.8 Evalúa tu entendim iento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas resaltadas entre paréntesis. (PP. 2 1 -2 4 )

;~32 =

1. ( ~ 3 ) 2 =

2. V l 6 =

; \ / ( - 4 )2 =

(pp. 2 1 -2 4 )

Conceptos y vocabulario 3. E n el sím b o lo 5. L e llam am os a

Va

el e n te r o

Va

n se

4.

llam a

la

de

a.

Verdadero 0 Falso

V-32

6. Verdadero 0 Falso \ / ( ~

=

-2

3 )4 =

_3

Ejercicios En los problemas 7-42, simplifica cada expresión. Considera que todas las variables son positivas.

\ 7.

V27

\ll. \Í

8. Vl6

9.

12. V54

13.

V vy

>y—8.r4 . Vfxy*7.

10.

V

14.

y/Á»?

18.

> JV V 8 1 .t V

m

is.

i6.

19. viói

20. y /9 ?

21 .

y /íx * V l 2 x

22.

V 5 Í\/2 0 V

23. (V5 Vi)2

24.

25.

(3 V ó )(2 \^ )

26.

(5 V Í)(-3 V 5 )

27. 3\/2

+ 4\/2

28. 6 V Í - 4\/5

30.

2 V Í 2 - 3V27

31.

(V 5

+ 3 )(V 3

35.

(V x -

- l)

l)2

(V 3

\1 7

VTÖ)4

32. (V5 -

2 )(V s

36. (Ve + V5)2

29. -

+ 3)

\

V Í8 + 2 \ Í

33. 5V2 - 2V54 37. \^ 1 6 .v 4 -

V 2I

39. \/8 x 3 - 3V50Í

40.

3.vV9v + 4 V 25y

41. \

42.

8xy - V 25.v:r + V S.rV

/

16x*y - 3x^2xy + 5 ^ - 2 xyA

34. 9 V 2 4 -

38. V 3 1 t

+

V8Í

y/l?

En los problemas 43-54, racionaliza el denominador de cada expresión. Considera que todas las variables son positivas.

44. \47.

V3 5- V 2

48.

45. -V5

2

vi

V3 V2 V7 + 2

49.

2 - vi 2 + 3V Í

46.

-V3 vi

50.

v i - i 2V 3 + 3

S E C C IÓ N R.8

51.

52.

V2

Ralees enésimas; exponentes racionales

-2

Vx + h - Vx

V 7T h + Vx - h

\/9

V * + /) + V Í

\ / i + /i - v V - h

79

En los problem as 5 5 -6 6 , simplifica coila expresión.

\ 55. 8: 59. 163'

56. 4.3/2

57. ( —27),/3

58. 16V4

60. 253/2

61. 9~3/2

62. !6"3/1

9 \3 /2

63.

64. 0

2 7 \2/3

©

8 V 2'3 * • ©

SV ^

«(i)

f/i /5

lV\ + x

-1

82.

x > -4

84.

X >

1 + X

x2

-(x 2- ! ) (x2 - ! ) 1/2

1/2 x < -1 or x > 1

x2

l± f-2 xV x 2Vx________ 87. (1 + x2)2

x*-l

\K8x + 1 Vx - 2 80. ---- , —- + ---------------- 3V (x - 2)2 24 y (8x + l)2 V x2+ 1 -

(x + 4)1/2 - 2x(x + 4)“1/2 8 3 .------------------ ------------x+4

85.

x> 0

78. (x + 1)1/3 + x - - { x + 1)“2/3

+ l)_,^-2x

79. V4.t + 3 ---- t-—-.— + V x - 5 ------7 1 2V x - 5 5V4x + 3

v r

76. -í-í-J + x1/2 2x1/2

x>-l

x *2, x

,

1 8

2x

2V x 2 + 1 x2 + 1 (9 - x2)l/2 + x2(9 - x2)-'/2 9 - x2

-3 < x < 3

+ 4) 1/2 . (x2 + 4)1/2x2- +x2(x2 4

86

2 x ( 1 - x2) '/3 + | x3( 1 - x2) - 2/3

88.------------------- TTñ------------

x> 0

x * -1 , x * l

(1 - X2) 2/}

¿f, En los problemas 89-98, se dan expresiones que aparecen en cálculo. Factoriza cada expresión. Expresa tu respuesta de manera que solamente aparezcan exponentes positivos. 4 9 0 . (x2 + 4 ) 4/3 + x*^(x2 + 4 ) ^ 3 > 2 x \ 8 9 . (x + 1)3/2 + x - - ( x + l)'/2 x — 1 91. ó x '^ x 2 + x) -

8 x 3/z

- 8x1/2

x> 0

92. 6x^2(2x + 3) +

x 3/*2

*8

x^ 0

C A P ÍT U L O R

Repaso

94. 2 * ( 3 * + 4 )4/3 + * 2 - 4 ( 3 * + 4 ),/3

93. 3 (*2 + 4 )4/3 + x - 4 ( x 2 + 4 ) 1/ 3 - 2 *

96. 6 ( 6jc + 1 ) i/ 3(4 jc - 3 )3/2 + 6 ( 6* + l ) 4/ 3(4 * - 3 )

95. 4 (3 * + 5 ) 1/ 3(2 * + 3 )3/2 + 3 (3 * + 5 ) 4/ 3(2 * + 3 )1/2 * 2=

97. 3 x ~ 1'2

+ | * 1/2

98. 8 jc1/3 - 4 jc' 2/3

* > 0

*

x 2

4^ i

80

* 0

En los problemas 99-106, usa una calculadora para aproximar cada radical. Redondea tu respuesta a dos lugares decimales. 100. \ ñ

V2

103.

2 + V3

104.

\

3 ^ - V2

V 5 - 2

107. Cálculo de la cantidad de gasolina en un tanque

106.

105. --------- p ----

-------

V3

V2 + 4

3 - V5

102.

101. \^ 4

2

V 3 - y/4 V2

U n a g a so lin e ra S h ell a lm a ce n a su g a so lin a en ta n q u e s su b te r rá n eo s co n fo r­

m a d e cilin d ros circulares re cto s c o lo c a d o s d e la d o . V e r ilu stra ció n . E l v o lu m e n

V de

g a so lin a e n e l ta n q u e (e n g a lo n e s) s e da

p or la fórm ula: 96

V

—

---- 1-- u—u--

- 0.608

h es la altura d e la g a so lin a (en p u lg a d a s) m ed id a p o r u n a varilla Si h = 12 p ulgad as, ¿ cu á n to s g a lo n e s d e g a so lin a h a y en el tan q u e? Si h = 1 p u lgad a, ¿ cu á n to s g a lo n e s d e g a so lin a h ay en el ta n q u e ?

donde (a ) (b )

a

d e p ro fu n d id a d .

___ _ )

108. P lanos Inclinados L a v e lo c id a d final v d e un o b je to e n p ies so b re se g u n d o (ft/s) d e sp u é s d e resb a la r p o r un p la n o in clin a d o sin fricción d e altura

h p ies

es

v donde

v0es

=

\ / 64h

+

Vq

la v elo c id a d inicial (e n ft/s) d el o b je to .

( a ) ¿C uál es la v elo c id a d final v d e un o b je to q u e resb a la p o r un p la n o in clin a d o sin fricción q u e tien e 4 p ies d e altura? C o n sid era q u e la v e lo c id a d in icial e s 0. ( b ) ¿C uál es la v elo c id a d fin al v d e un o b je to q u e resb a la p o r un p la n o in clin a d o sin fricción q u e tie n e 16 p ies d e altura? C o n sid era q u e la v e lo c id a d in icial e s 0. ( c ) ¿C uál es la v elo cid a d final v d e un o b je to q u e resb a la p o r un p la n o in clin a d o sin fricción q u e tie n e 2 p ies d e altura co n u na v e lo c id a d in icial d e 4 ft/s?

En los problemas 109-112, requerirás de la siguiente información. Periodo de un Péndulo El periodo T, en segundos, de un péndulo de longitud l, en pies, se puede aproximar por la fórmula T = 2n

En los problemas 109-112, expresa tu respuesta en forma de raíz cuadrada y en forma decimal. 109. E n cu en tra e l p erio d o T d e un p é n d u lo cu ya lo n g itu d e s d e 64 p ies. 110. E n cu en tra e l p erio d o T d e un p é n d u lo cu ya lo n g itu d e s d e 16 p ies. 111. E n cu en tra el p erio d o 112. E n cu en tra el p e r io d o

T de T de

un p é n d u lo cu ya lo n g itu d e s d e 8 p ulgad as. un p é n d u lo cu ya lo n g itu d e s d e 4 p u lgad as.

Explicación de conceptos: discusión y escritura. 113. D a un e je m p lo q u e m u e str e q u e

\fcf-

n o e s igu al a

a. Ú s a lo

para ex p lica r p or q u é

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. 9 ;- 9

2. 4; 4

\f¿

= |n|.

K

r

Ecuaciones y desigualdades Contenido 1.1 1 .2 1 .3

1 .4

Ecuaciones lineales Ecuaciones cuadráticas Números complejos; ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos Ecuaciones radicales; ecuaciones de forma cuadrática; ecuaciones factorizables

1 .5 1 .6 1 .7

Solución de desigualdades Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto Resolución de problemas con aplicaciones de: interés, mezcla, movimiento uniforme, trabajo a velocidad constante.

• • •

Repaso del capítulo Evaluación del capítulo Proyectos del capítulo

Financiamiento de una compra C u a n d o h a c e m o s u na co m p ra im p o r ta n te , c o m o un a u to m ó v il o una ca sa , e s co m ú n q u e n e c e s ite m o s fin a n c ia m ie n to p o r m e d io d e un p rés­ ta m o d e u na in stitu ció n c o m o u n b a n c o . ¿ A lg u n a v e z te has p reg u n ta d o c ó m o d eter m in a el b a n co lo s in te r e se s m e n su a le s a pagar? ¿C u ál e s el in te ré s total d e l p résta m o a pagar? ¿ Q u é p a p e le s ju e g a n la tasa d e in te ­ rés y la d u ración d el p résta m o ? V e e l p r o y e c to d e l ca p ítu lo 1 para In tern et.

— Ver el proyecto I con base en Internet del capítulo—

U n V i s t a z o > En el capítulo 1 titulado, Ecuaciones y desigualdades, se repasan varios temas de álgebra intermedia. No te asustes si tu profesor decide no incluir a los números complejos. Este libro ha sido diseñado para que el tema de números complejos pueda incluirse u omitirse sin que haya confusión más adelante.

82

C A i’ í'i 1)1,0 I

Ecuaciones y devlguald.idc»

1.1 Ecuaciones lineales P

r e p a r a c i ó n p a r a e s t a s e c c ió n

* \ Antes d e empezar, repasa la siguiente:

• Propiedades de los números reales (sección K.l, pp. 9-13) \

• Dominio de una variable ívceeión K 2 p - 1)

Resuelva ahora los problemas de la sección "¿Está» listo?" de la página 90,

OBJETIVOS 1 Resolver una ecuación lineal (p. 84) 2 Resolver ecuaciones que llevan a ecuaciones lineales (p. 86) 3 Resolver problemas que se pueden modelar con ecuaciones lineales *v

Procedim ientos para obtener ecuaciones equivalentes 1. Intercambia los dos lados de la ecuación: Sustituye

3=x

por x = 3

2. Simplifica los lados de la ecuación combinando términos semejantes, elimi­ nando paréntesis, etc.: Sustituye por

(x + 2) + 6 = 2x + (x + 1) x + 8 = 3x + 1

3. Suma o resta la misma expresión en ambos lados de la ecuación: Sustituye por

3x - 5 = 4 (3* - 5) + 5 = 4 + 5

4. Multiplica o divide ambos lados de la ecuación por la misma expresión dife­ rente de cero: 3x x - 1

Sustituye

x —1

x * 1

3x 6 (x - 1) ■ ( * ! ) = x - 1 x - 1

por

5. Si un lado de la ecuación es 0 y el otro lado puede ser factorizado, podemos usar la propiedad de producto cero* e igualar cada factor a 0: ADVERTENCIA Elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación no ne­ cesariamente lleva a una ecuación equivalente. ■

Sustituye

x(x —3) = 0

por

x= 0 o x- 3=0

Cuando te sea posible resolver una ecuación mentalmente, hazlo. Por ejemplo, La solución de 2x = 8 es x = 4. La solución de 3x — 15 = 0 es x = 5.

Resuelve ahora EJEM PLO 1

el

p r o b l e m a

9

Solución de una ecuación Resuelve la ecuación 3x - 5 = 4

Solución

Sustituye la ecuación original por una sucesión de ecuaciones equivalentes. 3x — 5 = 4 (3x — 5) + 5 = 4 + 5

Suma 5 a ambos lados.

3x = 9

Simplifica.

3x 3

= —

Divide ambos lados entre 3.

—3

Simplifica.

—

X

9 3

La última ecuación, x = 3, tiene como solución única el número 3. Todas estas ecua­ ciones son equivalentes, así que el 3 es la única solución de la ecuación original, 3x - 5 = 4. *La propiedad del producto cero establece que si a b = 0, entonces a = 0 o b = 0, o ambas iguales a 0.

84

C A P ÍT U L O 1

Ecuaciones y desigualdades

y Verifica: E s

una buena costumbre comprobar la solución sustituyendo 3 por x en la

ecuación original.

3jc - 5 = 4 3(3) — 5 - 4

9 —5 —4 4=4 La solución es correcta. El conjunto solución es {3}.

tT==2==:_-Resuelve ahora

el

23

p r o b l e m a

Pasos para resolver ecuaciones Haz una lista de cualquier restricción sobre el dominio de la variable. Simplifica la ecuación sustituyendo la ecuación original por una suce­ sión de ecuaciones equivalentes siguiendo los procedimientos que se vieron anteriormente. Paso 3: Si el resultado del paso 2 es un producto de factores igual a 0, usa la propiedad del producto cero e iguala cada factor a 0 (procedimien­ to 5). Paso 4: Verifica tu solución o soluciones. , Paso 1: Paso 2:

1 Solución de ecuaciones lineales Las ecuaciones lineales son ecuaciones como 3* + 12 = 0 D EFIN ICIÓ N

-2jc + 5 = 0

i,- V 3 = 0

Una ecuación lineal de una variable es equivalente a una ecuación de la forma ax + b = 0 donde a y b son números reales y a

0.

J

En ocasiones, se le llama ecuación de primer grado a una ecuación lineal debido a que el lado izquierdo es un polinomio en x de grado 1. Es relativamente sencillo resolver una ecuación lineal. La idea es despejar la variable: ax + b

0

a ^ 0

ax

—b

Resta b a ambos lados.

x

----

-b a

Divide ambos lados entre a, a # O.

La ecuación lineal ax + b = 0, a ^ 0, tiene la solución única dada por la fórmula b x = — . a

EJEM PLO 2

Solución de una ecuación lineal Resuelve la ecuación:

j ( * + 5)

4 = i(2.v - 1)

SECCIÓN 1.1 Ecuaciones lineales

Solución

85

Para eliminar las fracciones de la ecuación, multiplica ambos lados por 6, el cual es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones - y Í(X + 5) - 4 = 1 (2 * - 1) 1 (* + 5) - 4 = 6

(2.r-l)

Multiplica ambos lados por 6 , el MCM de 2 y 3. Usa la propiedad distributiva en el lado izquierdo y la propiedad asociativa en el derecho.

3(.c + 5) - 6 -4 = 2(2 jc - 1) 3.t + 15 - 24 = 4.r - 2

Usa la propiedad distributiva.

3.t - 9 = 4x - 2

Combina términos semejantes.

3x- 9 + 9 = 4*- 2 + 9

Suma 9 a cada lado.

3.v = 4* + 7

Simplifica.

3.r —4.V = 4* + 7 —4*

Resta 4x de cada lado.

-* = 7

Simplifica.

x = -7 /

Verifica:

Multiplica ambos lados por —1.

h x + 5) - 4 = l ( - 7 + 5) - 4 = i ( - 2 ) - 4 = - 1 - 4 = - 5 1 (2* - 1) = l [ 2 ( - 7 ) - 1] = 1 ( —14 - 1) = " ( - 1 5 ) = - 5

Como las dos expresiones son iguales, la solución x = - 7 es correcta y el conjunto solución es {-7}. | Resuelve ahora el

p r o b l e m a

33

Solución de una ecuación lineal usando calculadora

EJEM PLO 3

Resuelve la ecuación:

2.78-t +

17.931

= 54.06

Redondea la respuesta a dos lugares decimales.

Solución

Para evitar errores de redondeo, despeja x antes de usar la calculadora. 2.78jc +

2 = 54.06 17.931 2.78x = 54.06

17.931 2' 17.931 2.78

Resta

17.931

■a ambos lados.

54.06 X =

Divide ambos lados entre 2.70.

Ahora usa tu calculadora. La solución redondeada a dos lugares decimales es 19.41. S Verifica: Guarda la solución sin redondear 19.40592134 en la memoria y procede a

evaluar 2.78jc +

2 17.931 '

(2.78) (19.40592134) +

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

17.931 65

= 54.06

86

CAPÍTULO I

Ecuación« y d«lgufll(p.2l)

Verdadero o fa ls o

L a so lu c ió n d e la e c u a c ió n 3x - 8 * 0

de la p r o p ie d a d _____________________. (pp. 9 -1 3 )

Conceptos y vocabulario 4. Verdadero o falso

7.

M ultip licar a m b o s la d o s d e una e c u a ­

3 CS 8 ’

ción p or cu alq u ier n ú m ero da una ec u a c ió n eq u iv a len te. 5.

U n a ecu a ció n q u e se sa tisfa ce para cu a lq u ier valor de la variable para la que lo s d o s la d o s está n d e fin id o s se llam a

8. Verdadero o fa ls o

E x iste n e c u a c io n e s q u e n o tie n e n s o ­

lu ción .

6.

U na ecu a ció n de la form a

ax

+

b

*= 0 se llam a ec u a c ió n

o e c u a c ió n ______________

______________.

Ejercicios En los problemas 9-16, resuelve mentalmente cada ecuación.

\

9. 7x = 21 13.

2.v - 3 = 0

10. 6* = -24

11. 3a + 15 = 0

12. 6x + 18 = 0

14. 3x + 4 = 0

ic 15. -1a = -5

2 9 16. —j = —

3

En los problemas 17-64, resuelve cada ecuación. 17. 3a + 4 = a 18. 2a + 9 = 5a

20. 5y

-18

=

y

-

21. 6 -

a

19. 2r - 6 - 3 - f

= 2a + 9

22. 3 - 2x = 2 - x

23. 3 + 2n = 4n + 7

24. 6 - 2mi = 3m + 1

25.

26. 3(2 -

27. 8a - (3a + 2) = 3a - 10

28. 7 - (2 x -

a)

= 2a - 1

29. \ x + 2 = ^ - \ x 2

2

2 (3 + 2 a ) = 3 ( a - 4 )

31. |

2

2

V „

32. 1 - | a = 6

2

1

1

„

\ 3 J . jj> - j / . + 5

- 5 =

a

1) = 10

4

1 1 2 _ 5 '*

4 5

35. 0.9/ = 0.4 + 0.!/

36. 0.9/ = 1 + /

37.

38.

39. - + - = 3 y y

4 5 40. - - 5 = —

42. - - - = -

43. ( a + 7)( a - 1) = ( a + 1):

45. a(2a - 3) = (2a + 1)(a - 4)

46. x ( l + 2 * ) = (2 a -

+ 16 = 3a

„ 1 41. 2

2 +-

3 =4

a

z{z2 +

3

1) =

+

3

a

44. ( a + 2)(a - 3) = ( a + 3)2 z*

+

v

6

\

49.

a

56.

x

A +

A

3

+ 2

2

+ 4

3

a

a*

54.

+ 6

2 a-

ei 31*

1

53.

3

_ 2

-6

=

2v A +

1

50.

57.

- 4

3a

4

3

.r - 4

A + 2

_ *1 “

52.

55.

A -

1

6/

+

7

3/

4/ -

1

2/ - 4

+

8 58.

= .

2v

r

8 - \s

48. »■(4 - i r ) =

A

k

\

6

+

2

~2

+3=

1 )(a - 2)

1 - 2

a

A* - 9

A+ 3

5 = 2x - 3

a

+

5

8»*- + 5 4»*- —3 10» - 7 “ 5» + 7

.r

- 9

S E C C IÓ N 1.1

>

y \

\

-3

7

x + 5 * (x +■ 5 )(.t - 2) 4 -3 + •>- - t " s - -

6i

60.

-4

1

X

63.

x2 -

1

1

r

2.» + 3 * . » -

.» + 3 9

V -

-3

X

X2

5 3 _ + y + 3 v - 4 " y + 6 .r + 1

64.

+ x

91

2

61.

(2,t + 3 )(.t - 1)

Ecuación« lineales

x2 + 2x

.t + 4

-3

.r + ,r

.r + 3 . 1 + 2

En ¡m problemas 65-Ó& uto unii calculadora parti resolver cada ecuación. Redondea la solución a dos lugares decimales.

1*U

21.3 65. 3.2.» +

66 . 6.2.» - —

1*4.23

65.871

18

67. 14.72 - 21.58.1

! 2.11

- 0.195

21.2

14

2.6

2.32

68 . 18.63.» — —— = ——

.» + 2.4

- 20

A p li c a c io n e s y e x t e n s io n e s En los problem as 69-74. resuelve cada ecuación. Las letras a, b, y c son constantes. 69. ax - b =

71 -

+ -

X

X

75.

c.

u * 0

■ c.

70. 1 - ax = b.

_

I

.

71. -

a * 0

a

2

1

E n cu en tra e l n ú m er o a para e l q u e .» = 4 e s so lu c ió n d e la ec u a c ió n

^6.

b

c, a * 0, b * 0. a * - b

b + c

b - c

x + a

x - a

74. ---------= ---------- ,

73. ---------+ ---------- = --------- x - a x + a x - 1

c * 0

+ 7 =

c * 0, a * 0

E n cu en tra e l n ú m er o b para el q u e x - 2 e s so lu c ió n d e la e c u a c ió n

x

+

2a

= 16 +

ax - ba

x

+ 26 =

x

- 4 + 2 bx

Los problem as 77-82 incluyen algunas fórm ulas ipie aparecen en las aplicaciones. Resuelve cada fórm ula para la variable indicada.

88. C álculo de calificaciones TI. Electricidad

para R

— = — + — A /\| A2

El e x a m e n final co n ta rá c o m o

d o s ter cio s d e la ca lifica c ió n final. M ik e tie n e c a lifica c io n e s d e 8 6 , 8 0 ,8 4 y 90. ¿ Q u é ca lifica c ió n n ece sita o b te n e r M ike

78.

Finanzas

.................

79. M ecánica

A

=

P( 1

+

rt)

r

para

en e l e x a m e n final para o b te n e r una B, la cu a l, eq u iv a le a una ca lifica c ió n p r o m e d io d e 80? ¿ Q u é ca lifica ció n n e c e si­

mr

t = —

para R

ta para o b te n e r una A , la cu a l, eq u iv a le a una califica ció n d e 90?

80. 81. 81

Q uím ica

M atem áticas M ecánica

83. Finanzas

84.

PV = n R T

v =

para T

89. N egocios: precio de d escuento

a

5 = --------

1 - r

-g t

para

+ v 0 para

r

U n co n stru cto r d e casas

red u ce el p rec io d e un m o d e lo en 15% . Si el n u e v o p recio e s d e $ 4 2 5 ,0 0 0 , ¿cuál era el p rec io orig in a l? ¿ C u á n to se p u e d e ahorrar si se co m p ra e l m o d e lo ?

t

S e va a invertir un to ta l d e $ 2 0 ,0 0 0 , una parte

90. N egocios: precio de d escuento

U n v e n d e d o r d e a u to s,

en b o n o s y otra parte en ce r tific a d o s d e d e p ó s ito (C D ). Si

en una o fer ta d e fin d e a ñ o , rebaja el p rec io d e lista d e

la ca n tid a d in vertid a en b o n o s e x c e d e a la in v ertid a e n C D p or $3000, ¿ cu á n to sera in v er tid o en ca d a tip o d e in v er­

los m o d e lo s d el a ñ o p a sa d o un 15% . Si un cier to m o d e lo d e cu a tro p u erta s tie n e un p rec io de d e sc u e n to d e $8000,

sió n ?

¿cu ál era el p recio d e lista? ¿ C u á n to se p odría ahorrar

Finanzas

S ea n y G e o r g e se van a d ivid ir un total d e

$10,0 0 0 en tre lo s d o s, G e o r g e recibirá $ 3 0 0 0 m e n o s q u e S ean . ¿ C u á n to recibirá cad a uno? \ . 85. C álculo de salarios por hora

S andra, a q u ien se le p aga

un salario y m ed io por h oras ex tra s q u e trabaje d e sp u é s d e 4 0 h oras, g a n ó un salario se m a n a l d e $442 p or trabajar 48 h oras. ¿C uál es su sa lario regular por h ora?

86. C álculo de salarios por hora

A L eigh se le paga un sa ­

lario y m e d io p or h oras ex tra s q u e trabaje d e sp u é s d e 40 h oras y d o s v e c e s el sa la rio n orm al p or horas q u e trabaje en d o m in g o . Si L eigh g a n ó un sa la rio sem a n a l d e $456 por trabajar 50 h oras, 4 d e las c u a le s fu ero n en d o m in g o , ¿cuál e s su sa lario regular por hora? 8 7 . C álculo de calificaciones El e x a m e n final con tará c o m o d o s e x á m e n e s. B r o o k e tie n e c a lific a c io n e s d e 80, 83, 71, 61 y 95. ¿ Q u é califica c ió n n ece sita o b te n e r B r o o k e e n el ex a m e n final para o b te n e r un p r o m e d io de 80?

co m p ra n d o el m o d e lo d el a ñ o an terior?

91. N egocios: aum ento al precio de libros

U n a librería d e la

u n iversid ad su b e el p recio q u e p aga p or lo s lib ros a una ed ito ria l en un 35% . Si el p rec io d e v en ta de un lib ro e s de $ 92.00, ¿ cu á n to p a g ó la librería p or el libro?

92 92.

C A P ÍT U L O 1

Ecuaciones y desigualdades

F in anzas p erson ales: c o s to d e un a u to

9 7 . C o m p a r tie n d o e l c o s to d e u na p izza

El p recio d e lista

Ju dy y T o m a c u e r ­

dan co m p a rtir el c o s to d e una p iza d e $ 1 8 , b a sá n d o se en

su gerid o d e un au to n u e v o e s de $18,000. El c o s to para el

2

d istribuidor es el 85% d el p recio d e lista. ¿ C u á n to p agarías

cu á n to c o m e cad a u n o. Si T o m c o m e - d e la ca n tid a d q u e

si el v en d ed o r está d isp u esto a acep tar $100 por en cim a del co s to del au to?

c o m e Ju dy, ¿ cu á n to d e b e p agar cad a u n o?

93. N egocios: asistencia al teatro

El g eren te del T e a tr o C o ­ [S u g eren cia : p u e d e sob rar p izzaj.

ral q uiere saber si la m ayoría de sus clien tes son ad u lto s o niños. U n día en ju lio, se v en d ieron 5200 b o leto s y el total recau dad o fue d e $29,961. El b o le to d e ad m isión d e ad ulto

Porción de Tom

cu esta $7.50 y el de n iñ o $4.50. ¿C u án tos ad u ltos asistieron ? 94. N eg o c io s: p recio s d e d e sc u e n to

U n traje de lana co n d e s­

cu en to d el 30% por v en ta d e liq u id ación tie n e un p recio de $399. ¿C uál era el p recio original d el traje? 95. G e o m e tr ía

El p erím etro d e un rectá n g u lo e s d e 60 p ies.

E n cu en tra el largo y el a n ch o si el largo e s 8 p ie s m ás q u e el ancho. 96. G e o m e tr ía

E l p erím etro d e un rectá n g u lo e s d e 42 m e ­

tros. E n cu en tra el largo y el a n ch o si el largo e s d o s v e c e s

Porción de Judy

su ancho.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 98. ¿C uál es el error?

99.

U n p a so en la sig u ie n te lista c o n tie n e

La ec u a c ió n

un error. Id en tifíc a lo y ex p lica q u é e s lo q u e está in co rrec­ * II

to

to.

3x - 2 x = 3x = x2 + 3x = x2 + 3x - 10 = ( * - 2){x + 5 ) = x+ 5 = 1=

2 2x + 2 x2 + 2x + 2 x2 + 2x - 8 {x - 2){x + x+ 4 0

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

4)

n o tie n e so lu c ió n , p e r o al r e so lv e r la , o b te n e m o s q u e x = - 3 . E scrib e un b rev e p árrafo d o n d e e x p liq u e s q u é o ca sio n a q u e e s to p ase. 100. In v en ta u na e c u a c ió n q u e n o ten g a so lu c ió n y d á sela a un c o m p a ñ e r o para q u e la re su elv a . P id e a tu co m p a ñ e r o q u e escrib a c o m e n ta r io s d e tu e c u a c ió n .

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. D istrib u tiva

2. P ro d u cto c e r o

3.

| x | j: ^ 4 )

1.2 Ecuaciones cuadráticas P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n

Antes de empezar, repasa lo siguiente:

• Factorización de polinomios (sección R.5, pp. 49-55)

• Raíces cuadradas (sección R.2. pp. 2 3 -2 4 )

• Propiedad de producto cero (sección R.l,p. 13)

• Completar el cuadrado (sección R.5. p. 56)

\

Resuelve ahora los problemas de la sección " ¿ E s tá s

listo ?"

de la página 101.

OBJETIVOS 1 Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización (p. 93) 2 Resolver ecuaciones cuadráticas completando cuadrados (p. 95)

3 Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática (p. 96) 4 Resolver problemas que se pueden modelar con ecuaciones cuadráticas

(p. 99)

L as

ecuaciones cuadráticas

so n e c u a c io n e s co m o :

2.v2

+

x

+ 8 = 0

3.\~ — 5.v + 6 = 0

.V2 — 9 = 0

S E C C IÓ N 1.2

D EFIN ICIO N

Ecuaciones cuadráticas

93

Una ecuación cuadrática es una ecuación equivalente a una de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales y a

0.

(1 )

J

Cuando una ecuación cuadrática está escrita de la forma ax2 + bx + c - 0 se dice que está en su forma estándar. A veces, una ecuación cuadrática se llama ecuación de segundo grado, ya que el lado izquierdo es un polinomio de grado 2. Discutiremos tres formas de resolver ecuaciones cuadráticas: por factorización, completando cuadrados y usando la fór­ mula cuadrática.

1 Solución de una ecuación cuadrática por factorización Cuando una ecuación cuadrática está escrita en su forma estándar ax2 + bx + c = 0, es posible factorizar la expresión del lado izquierdo como el producto de dos polino­ mios de primer grado. Después, usando la propiedad del producto cero e igualando cada factor a 0, podemos resolver las ecuaciones lineales resultantes y obtener la solución de la ecuación cuadrática. EJEM PLO 1

Solución de una ecuación cuadrática por factorización Resuelve la ecuación: (a) x2 + 6x = 0

Solución

(b) 2x2 —x + 3

(a) La ecuación está en la forma estándar especificada en la ecuación (1). El lado izquierdo se puede factorizar como: x2 + 6x = 0 x{x + 6) =

0

Factoriza.

Usando la propiedad del producto cero, iguala cada factor a 0 y después re­ suelve las ecuaciones de primer grado obtenidas. x = 0

O

X + 6 = 0

X -

O

X

0

Propiedad de producto cero.

= -6

Resuelve.

El conjunto solución es {0, -6}. (b) Escribe la ecuación 2x2 = x + 3 en forma estándar sumando - x - 3 en ambos lados. 2x2 = x + 3 2x2 — x — 3 = 0

Suma —x — 3 en ambos lados.

Ahora podemos factorizar el lado izquierdo como: (2x — 3 ) ( x + 1) = 0

Factoriza.,

de manera que, 2x — 3 = 0 3

x —— 2

O

X

+ 1 = 0 x = —1

Propiedad del producto cero Resuelve.

El conjunto solución es Cuando se factoriza el lado izquierdo de una ecuación como dos ecuaciones li­ neales con la misma solución, se dice que la ecuación cuadrática tiene soluciones repetidas. A esta solución también se le llama raíz de multiplicidad 2 o raíz doble.

94

C A P ÍT U L O 1 Ecuaciones y desigualdades

EJEMPLO 2

Solución de una ecuación cuadrática por factorizadón Resuelve la ecuación:

Solución

9*2 - 6x + 1 = 0

La ecuación ya está en forma estándar y el lado izquierdo se puede factorizar como: 9x2-f)x + 1 = 0 ( 3 jc -

por lo tanto

1 ) ( 3 jt -

1 X~ 3

°

1) = 0

1 X= 3

1 Esta ecuación solamente tiene la solución repetida - El conjunto solución es

Resuelve ahora

l o s

p r o b l e m a s

ii

y

{i}-

21

El método de la raíz cuadrada Supón que queremos resolver la ecuación cuadrática x2= p

(2)

donde p > 0 es un número no negativo. Procede como en los ejemplos anteriores. X2 — p = 0

Escribe en la forma estándar. Factonza (en los reales).

( * — V p )(* + V p ) = 0

X = Vp

O

X — -V p

Resuelve.

Tenemos el resultado siguiente: Si*2 = p y p > 0, entonces x = V p o jt = - V p .

(3)

El uso de la proposición ( 3 ) se llama método de la raíz cuadrada. Observa que en la proposición ( 3 ) , si p > 0 la ecuación x 2 = p tiene dos soluciones, x = V p y x - —V p . Generalmente abreviamos estas soluciones como x = ± V p . que se lee “x más menos la raíz cuadrada de p ”. Por ejemplo, las dos soluciones de la ecuación 4

Jt2 =

son x y como V

4 =

= ± V4

Usa el método de la raíz cuadrada,

2, tenemos .v = ± 2

El conjunto solución es (-2,2}.

EJEM PLO 3

Solución de una ecuación cuadrática usando el método de la raíz cuadrada Resuelve cada ecuación. (a) x2 = 5

Solución

(b) (,v - 2)2 = 16

(a) Usa el método de la raíz cuadrada para obtener x2 = 5 x = ± \T 5 •Y = V s

Usa el método de La raíz cuadrada.

O JC= - V 5

El conjunto solución es { - V 5, V5}.

SE C C IÓ N 1.2

Ecuaciones cuadráticas

95

(b) Usa el método de la raíz cuadrada para obtener Á

{x - 2)2 = 16 x - 2

± V Í6

=

Usa el método de la raíz cuadrada.

* - 2 = ±4 x - 2 - A

o

* - 2 = —4

x —6

o

x = —2

El conjunto solución es (-2 , 6).

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

3i

2 Solución de una ecuación cuadrática com pletando cuadrados

EJEM PLO 4

Solución de una ecuación cuadrática completando cuadrados Resuelve completando cuadrados: x 2 + 5x + 4 = 0

Solución

Siempre comienza este procedimiento reordenando la ecuación de modo que la cons­ tante quede del lado derecho. *2 + 5* + 4 = 0 x 2 + 5jc = - 4 Como el coeficiente de x2 es 1, podemos completar el cuadrado en el lado izquierdo (\ \ 2 25 sumando í —• 5 1 = — . Por supuesto, en una ecuación, lo que se suma del lado iz25 quierdo también se debe sumar del lado derecho. Por lo tanto, suma — en ambos 4 lados. 25 c + — 25 = - 4 + — x 22 + 5x 4 4 x +

5 N2

25

Suma — en ambos lados. 4

9 4

5

Factoriza.

9

x +

2 = ± y

jc +

5 3 - - ±2 2

Usa el método de la raíz cuadrada.

5 3 x - —— ± — 2 2 5 3 x = —— + - = - 1 2 2

o

5 3 x = - - - - = -4 2 2

El conjunto solución es (-4 , -1}. 'LA

SOLUCIÓN

OBTENER USANDO

A

LA

ECUACIÓN

FACTORIZANDO. ESTA

EN

EL

TRABAJA

EJEMPLO DE

NUEVO

4 EL

TAMBIÉN EJEMPLO

SE

PUEDE

4

TÉCNICA.

El siguiente ejemplo ilustra una ecuación que no puede ser resuelta por factorización.

EJEM PLO 5

Solución de una ecuación cuadrática completando cuadrados Resuelve completando el cuadrado:

Solución

2*2 - &t - 5 = 0

Primero reescribe la ecuación de manera que la constante esté en el lado derecho. 2x2 — 8x - 5 = 0 2x2 —8jc = 5

96

C A P ÍT U L O 1 Ecuaciones y desigualdades

Después, divide ambos lados entre 2 para que el coeficiente de x J sea 1. (Esto nos permite completar el cuadrado en el siguiente paso). 7

5

x 2 - 4x = -

Finalmente completa el cuadrado sumando 4 en ambos lados. x2 - 4 x + 4 = - + 4

—W? jc

- 2 = ±

V 26

x = 2 ±

NOTA SI queremos una aproxi­ mación de e s ta s soluciones, re­ dondeada a, digamos, dos luga­ res decimales, usaríam os una ca l­ culadora para obtener { - 0 .5 5 ,4 .5 5 } ■

Usa el m étedo de la raíz cuadrada.

fi-

VS

V t3

v /i

N/26

N/Í

V i

\/Í

2

V26

í V 26 V 26l El conjunto solución es j 2 ---- — , 2 + —j — >.

-Resuelve ihort el problema 35

3 Solución de una ecuación cuadrática usando la fórm ula cuadrática Podemos usar el método de completar cuadrados para obtener una fórmula general para resolver cualquier ecuación cuadrática ax2 + b x + c = 0

NOTA No se pierde generalidad si asumimos que a > 0 , ya que si a < 0 , podemos m ultiplicar por —1 para obtener una ecuación equiva­ lente con un coeficiente principal positivo. ■

a * 0

Al igual que en los ejemplos 4 y 5, reordenamos los términos como ax2 + b x = —c

a > O

Como a > 0, podemos dividir ambos lados entre a para obtener jr

7

b +

-

a

c jc =

—

a

Ahora el coeficiente de .r: es 1. Para completar el cuadrado en el lado izquierdo, suma el cuadrado de ^ del coeficiente de .v, esto es. suma

en ambos lados. Después

Siempre que b 2 — 4ac s 0. podemos usar el método de la raíz cuadrada para obtener

b _ ± \ / I r — 4 0 .

S E C C IÓ N 1.2

b

"•V

M

\ J b 2 - Aac

X = — — ± -------r ---------

2a

2a

Ecuaciones cuadráticas

97

& Su m a----- en ambos lados. 2a

- b ± \ / b 2 - Aac = ----------- --------------

Combina los cocientes en el lado derecho.

2a

¿Qué pasaría si b2 - Aac fuera negativo? Entonces la ecuación (4) establece que la expresión de la izquierda (un número real al cuadrado) es igual a la expresión de la derecha (un número negativo). Como esto es imposible para los números reales, con­ cluimos que si b2 - Aac < 0, la ecuación cuadrática no tiene solución real. (Discuti­ remos las ecuaciones cuadráticas para las que la cantidad b2 - 4ac < 0 a detalle en la siguiente sección).

TEOREM A

Fórmula cuadrática Considera la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0

a i 10

Si b2 - Aac < 0, esta ecuación no tiene solución real. Si b2 — Aac > 0, la solución o soluciones de esta ecuación se dan por medio de la fórmula cuadrática:

x =

- b ± \ J b 2 - Aac 2a

(5)

La cantidad b 2 — 4 a c es llamada discriminante de la ecuación cuadrática, ya que su valor nos indica si la ecuación tiene soluciones reales. De hecho, también da infor­ mación de cuántas soluciones podemos esperar obtener.

D iscrim in an te d e una ecu ación cu ad rática

Para una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0: 1. Si b2 - Aac > 0, existen dos soluciones reales diferentes.

2. Si b2 - Aac = 0, existe una solución repetida, una raíz de multiplicidad 2. 3. Si b2 - 4ac < 0, no existe solución real.

Cuando te pidan encontrar las soluciones reales de una ecuación cuadrática, siempre evalúa primero el discriminante para ver si existen soluciones reales.

EJEM PLO 6

Solución de una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática Usa la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones reales, si las hay, de la ecua­ ción: 3*2 —5x + 1 = 0

Solución

La ecuación está en la forma estándar, así que la comparamos con ax2 + bx + c — 0 para encontrar a ,b y c . 3x2 — 5a: + 1 - 0 ax2 + bx + c = 0

a = 3, t>= -5 , c = 1

98

C A P ÍT U LÖ 1 Ecuaciones y desigualdades

Con a = 3 , b = - 5 y c = 1, evalúa el discriminante b7 - Aac. b7 - 4uc = í - 5 ) 7 - 4 (3 )0 ) * 2 5 - 1 2 - 1 3 Como b2 - Aac > O, existen dos soluciones reales que pueden obtenerse usando la fórmula cuadrática. x =

- h ± \ / b 2 - 4ac _ - ( - 5 ) í V Í 3 = 5 ± V \ 3 6 2(3) 2a

.

V Ü

f 5 -

5 +

V Í3 \

El conjunto solución es 0, la nueva ecuación tiene dos soluciones reales. - b ± \ J b 1 - 4ac X~

2a

-3 + 9 _ 6 * ~ 18 18

- 3 ± V 81 ~

1 3

2(9) °

-3 ± 9 ~

18

= —3 — 9 _ —12 _ X~ 18 ~ 18 ~~

2 3

El conjunto solución es

RESUMEN

Procedimiento para resolver una ecuación cuadrática

Para resolver una ecuación cuadrática, primero escríbela en su forma estándar: ax2 + bx + c = 0 Después: P aso 1 :

Identifica a, b y c.

P aso 2 :

Evalúa el discriminante, b2 - Aac.

P aso 3 :

a) Si el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución real. b) Si el discriminante es cero, la ecuación tiene una solución real, una raíz repetida. c) Si el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Si puedes ver los factores de forma rápida, usa el método de factorización para resolver la ecuación. De otra ma­ nera, usa la fórmula cuadrática o el método de completar cuadrados.

4 Resuelva problem as que se pueden m odelar usando ecuaciones cuadráticas Muchos problemas aplicados requieren de la solución de una ecuación cuadrática. Veamos uno que probablemente encuentres nuevamente de forma ligeramente dife­ rente si estudias cálculo.

[ EJEM PLO 10

Construcción de una caja De cada esquina de una lámina de metal cuadrada, corta un cuadrado de 9 cm de lado. Dobla hacia arriba las orillas para formar una caja abierta. Si se quiere que la caja tenga una capacidad de 144 centímetros cúbicos (cm3), ¿cuáles deben ser las di­ mensiones de la lámina de metal?

100

Ecuaciones y desigualdades

C A P ÍT U L O 1

Solución

Usa la Figura 1 como guía. Hemos llamado x al largo del lado del cuadrado de la lámina de metal. La caja tendrá una altura de 9 cm y su base cuadrada medirá x - 18 de cada lado. Por lo tanto, el volumen V (largo X ancho X altura) de la caja es: V = (x - 18)(jc - 18) • 9 = 9(x - 18)2

F ig u ra 1

-xcm ■

h

9cm xcm O r - 18 x - 18 Volumen = 9(x — 18)(x — 18)

V e r if ic a : Si com enzam os con una lám ina de m etal de 22 por 22 centím etros, corta un cuadrado de 9 centímetros cuadrados de cada esquina y dobla las orillas hacia a rri­ ba, obtenem os una caja cu­ yas d im en sio n es son 9 por 4 por 4, con un volum en de 9 x 4 x 4 = 144 cm3, como se pedía.

Como el volumen de la caja debe ser de 144 cm3, tenemos 9(x - 18)2 = 144

V - 144

(x - 18)2 = 16

Divide cada lado entre 9.

x - 18 = ±4 x = 18 ± 4 x = 22 o x = 14

Usa el método de la raíz cuadrada.

Descarta la solución x = 14 (¿entiendes por qué?) y concluye que la lámina de metal debe medir 22 centímetros por 22 centímetros.

Resuelve ahora

el

problema

97

Comentario histórico os problemas que usan ecuaciones cuadráticas se pueden encontrar en la literatura matemática más antigua. Los babi­ lonios y egipcios ya resolvían tales problemas antes de 1800 a.C. Euclldes resolvía ecuaciones cuadráticas geométricamente en su Data (300 a.C.) y los hindúes y árabes tenían reglas para resolver cualquier ecuación cuadrática con raíces reales. Como los números negativos no se usaban con libertad antes de 1500 d.C., había va-

L

ríos tipos de ecuaciones cuadráticas, cada una con su propia regla. Thomas Harrlot (1560-1621) Introdujo el método de factorlzaclón para obtener soluciones y François Viète (1540-1603) Introdujo un método que consiste esencialmente en completar el cuadrado. Antes de los tiempos modernos, era común Ignorar las raíces ne­ gativas (si las había) y las ecuaciones con raíces cuadradas de can­ tidades negativas se consideraron sin solución hasta los años 1500.

Problemas históricos 1. Una de las soluciones de al-Khwárízmí Resuelve x2 + 12x = 85 dibujando el cuadrado que se muestra. El área de los cuatro rectán­ gulos sin relleno y el cuadrado del centro es x2 + 12x. Ahora Iguala­ mos esta expresión a 85 para obtener la ecuación x 2 + 12x = 85.

SI sumamos los cuatro cuadrados de las esquinas obtendremos un cuadrado más grande de área conocida. Completa la solución. 2. El método de Viète Resuelve x2 + 12x — 85 = 0 considerando q uex = u + z. Entonces (u + z)2 + 12(u + z) - 85 = 0

1

1

_

_ 3

!3 j

!

X

1 1 1

¡x

Área = x 2

3

x\

1

Área = 3x

3! 1

CO !

-------1 1

X

Ahora selecciona z tal que 2z + 12 = 0 y termina la solución. 3. Otro método para obtener la fórmula cuadrática Observa la ecu­ ación (4) de la página 96. Reescrlbe el lado derecho como V V - 4oc' ^ y después réstalo a cada lado. El lado derecho 2a

1

1

:3

! 1 1 1

1 1 1

1

u2 + (2z + 12)u + (z2 + 12z - 85) = 0

3! j _____

es ahora 0 y el lado Izquierdo es la diferencia de dos cuadrados. SI factorlzas la diferencia de dos cuadrados, podrás obtener fácil­ mente la fórmula cuadrática y, además, la expresión cuadrática está factorlzada, lo cual en ocasiones es útil.

S E C C IÓ N 1.2

101

Ecuaciones cuadráticas

1.2 E v a lú a tu e n te n d im ie n to '¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de los ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas •ntre paréntesis. 1. Factoriza x2 —5x - 6 (pp. 49-55) 2. Factoriza Zt2 - x - 3 (pp. 49-55) 3 . El conjunto solución de la ecuación ( *

-

3)(3* + 5)

= 0

es

y x2 = |*|. (pp. 23-24)

4.

V erdadero o f a ls o

5.

Completa el cuadrado de x2 + 5*. Factoriza la nueva ex­ presión. (p. 56)

.(p. 13) Conceptos y vo cabulario 6. A la cantidad b2 - 4ac se le conoce como_____________ de una ecuación cuadrática. Si es _____________ , la ecuación no tiene solución real. 7 . V erdadero o f a ls o Las ecuaciones cuadráticas siempre tienen dos soluciones reales.

8. V erdadero o fa ls o Si el discriminante de una ecuación cuadrática es positivo, entonces la ecuación tiene dos soluciones que son negativas una de otra.

Ejercicios En los problemas 9-28, resuelve cada ecuación factorizando. 9. x 2

- 9x = 0

x1 +

=

0

14.

v2 + I v +

6

4*

13.

z2 + z ~

17.

3r2 - 48 = 0

18. l y 2 -

4JC2 + 9 = 12x

22. 2 5 X 2

+ 16 =

6 6x - 5 = —

^

12

V21.

25.

6

=

10.

0

\

11.

=0

x2 - 25 = 0

15. 2 X 2

50 = 0

40*

- 5* - 3

= 0

19.

x(x - 8) + 12 = 0

23.

6(p 2

x

x2 - 9 = 0

16.

3*2 + 5* + 2 = 0 + 4) = 12

20. * ( *

- 1) = 5p

24.

4(* ~ 2 ) 3 = -3 * - 3 + * *(* - 3)

-,

26. * H------= 7

12.

2(2u2 - 4u) + 3 = 0

28. — —— = 4 + * + 4

En los problemas 29-34, resuelve cada ecuación usando el método de la raíz cuadrada. 29.

32.

x2 = 25 (x + 2)2 =

3 0. x 2 = 36

\ 3 1 .

3 3. (2 y + 3 ) 2 = 9

1

(x -

l )2 = 4

34.

(3z ~

37.

x2 - \ x = 2 16

40.

2*2 - 3* - 1 = 0

2 )2

= 4

En los problemas 35-40, resuelve cada ecuación completando el cuadrado. V35. x2 + 4* = 21 38.

x2 + \ x - ^ = 3 3

36. x2 - 6x = 13 ,

0

39. 3 * 2

1 +x - - =0

0

En los problemas 41-64, calcula las soluciones reales, si las hay, de cada ecuación. Usa la fórmula cuadrática. *2 +

4 1.

x2 —4* + 2 = 0

42.

44.

x2 + 6x + 1 = 0

\ ,4 5 .

47.

4/ - y+2=0

48. 4r 2

50.

2X2 = 1 - 2 *

5 1. 4 * 2 = 9 *

53. 9f 2 -

6/ + 1 = 0

4*

+2=

2*2 - 5* + 3 = + t + 1=

43.

0

46. 2*2 + 5 * +

0

3

=

0

49. 4 * 2 = 1 - 2 *

0

54. 4 m2 - 6 u + 9 = 0

*2 —4 * - 1 = 0

52. 5 * = 4*2

v

3 ,1

\ 5 5 . - *

- 4 * - 2

1

„ = °

3

x -2

102

C A P ÍT U L O I

56. -x 2 59.

x -

Ecuaciones y deilgualdades

3=0

+ 2) = 3

2x(x

62. 4 + —----; = 0 x

x¿

5 , 1 57. .-xz - x - -

5*.

60. 3x(x + 2) - 1

61. 4 - -

„ 3x 1 63. ——- + —= 4 x- 2 X

M

1

-

X- 5

X

-2 * -

x- 3

+ ' -4 X

E n los p ro b le m a s 6 5 - 7 0 , encuentra las so lu c io n e s reales d e cada ecuación, s i las hay. U sa la fó r m u la i u a d r á tu a y u n a c a lcu la d o ra E xp resa cu a lq u ier so lu c ió n red o n d ea d a a d o s lunares decim ales.

65. x 1 - 4.lx + 2.2 = 0

66. x2 + 3.9* + 1.8 = 0

67. x2 * \ / } x - 3 - 0

68. x 2 + V 2 x - 2 = 0

69. irx2 - x - ir = 0

70. irte2 + n x - 2 - 0

E n los p ro b le m a s 71 - 76, usa el d isc rim in a n te pa ra d e te rm in a r si u n a ecu a ció n cu a d rá tica tien e dos soluciones reales diferentes, una so lu c ió n real repetida o n in n u n a so lu c ió n real, sin resolver la ecuación.

71.

2.í 2 - 6* + 7 = 0

74. 25x2 - 2()x

72. x 2 + 75. 3 x 2

+ 4=0

7

4x +

+ 5x

= 0

- 8

- 0

30x

73. Ox2

-

76. 2r

- 3x

+ 25 = 0

-

7 = 0

Práctica mixta

£>i /o.vp ro b le m a s

7 7 -0 0 , d e te rm in a las s o lu c io n e s reales, si las h a y, d e cada ecuación. U sa c u a lq u ie r m é to d o .

77. x2 - 5 = 0

78.

=0

79. 16x*’ - 8 i + 1 = 0

80. 9.v2 - 12jc + 4 = 0

81. lOx2 - 19x - 15 = 0

82. 6 x* + 7x - 20 = 0

83. 2 +

84. 2 = y + óy2

85. x* + V2x = -

87. x2 + x = 4

88. x2 + x = 1

86.

z = 6 z2

^-.v2 = VÍ2 x + .v

1

2

89. -----r + x - 2 .v +

x2

-

6

3x 90. ------ +

7.v + 1

1

.v2 -

x

-

2

1

x-

1

4 - 7x x* + x -

2

A plicaciones y extensiones

91. Teorema

de

Pitágoras

¿ C u á n to s tr iá n g u lo s r e c tá n g u lo s

tie n e n una h ip o te n u s a q u e m id e 2v +

3 m e tr o s

y c a te to s

q u e m id en 2v - 5 m e tr o s y x + 7 m e tr o s? ¿ C u á le s so n las d im e n s io n e s d e lo s triá n g u lo s?

92. Teorema de Pitágoras

¿ C u á n to s tr iá n g u lo s r e c tá n g u lo s

/

tie n e n una h ip o te n u s a q u e m id e 4.v + 5 p u lg a d a s y c a te to s q u e m id e n 3.v - 13 p u lg a d a s y x p u lg a d a s? ¿ C u á le s s o n las d im e n s io n e s d e lo s triá n g u lo s?

93. Dimensiones de una Ventana El á rea

v e n ta n a recta n g u la r d e b e se r d e 143 p ie s c u a d r a d o s. Si la lo n g itu d d e b e ser 2 p ie s m á s g r a n d e q u e e l a n c h o , ¿ c u á le s so n las d im e n s io n e s?

94. Dimensiones de una ventana El á rea

¿C uál e s e l rad io m á s co r to q u e se p u e d e usar si se q u iere q u e

d e a p ertu ra d e una

el c a m p o q u ep a c o m p le ta m e n te d e n tr o d el circu lo d e n e g ó ? \

97.

Construcción de una caja

S e q u ie r e c o n stru ir u na caja

a b ier ta d e un p e d a /o d e la m in a d e m e ta l cu a d ra d a , q u ita n ­ d o un c u a d r a d o d e 1 p ie d e la d o d e ca d a e s q u in a \ d o b la n d o

d e una v e n ta n a re c­

h a cia arriba las o rilla s. Si la ca ja d e b e te n e r 4 pies, c ú b ic o s

tangular d e b e ser 30b c e n tím e tr o s c u a d ra d o s. Si el la rg o e x ­

d e c a p a c id a d , ¿ q u e d im e n s io n e s d e b e te n e r la la m in a d e m e ta l?

c e d e al a n ch o en 1 ce n tím e tr o , ¿ cu á le s so n las d im e n sio n e s?

95. Geometría

D e te r m in a las d im e n s io n e s d e un r e c tá n g u lo

c u y o p e r ím e tr o e s 2 6 m e tr o s y cu y a á rea e s d e 4 0 m e tr o s cu a d ra d o s.

96. Riego de un campo

U n a sp erso r ajustable q u e riega agua

98. Construcción de una caja

R e t o m a n d o e l p r o b le m a 9 7 .

c o n sid e r a q u e la la m in a d e m e ta l e s u n r e c tá n g u lo c u y o la r g o e s e l d o b le d e su a n c h o .

99. Física

S e la n z a una p e lo t a v e r tic a l m e n te h a cia a m tv i

en un patrón circular e s c o lo c a d o e n el c e n tr o d e un ca m ­

d e s d e e l t e c h o d e un e d ific io d e 9 o p ie s d e altu ra c o n u na

p o cu ad rad o cuya área e s 1250 p ies cu a d ra d o s (v e la figura).

v e lo c id a d in icia l d e 8 0 p ie s p o r s e g u n d o . L a d ista n c ia s

S E C C IÓ N 1.2

*■ v

(en pies) de la pelota al suelo después de r segundos es s = 96 + 80í - 16f2. a)

b) ¿Cuántos segundos tardará la pelota en pasar el techo del edificio en su caída? con una velocidad inicial de 20 metros por segundo. La distancia 5 (en metros) del objeto al suelo después de t se­ gundos es s = -4.9r2 + 20r. a)

¿Cuándo estará el objeto a 15 metros sobre el suelo?

b) ¿Cuándo llegará al suelo? c)

¿El objeto alcanzará una altura de 100 metros?

101. Reducción del tamaño de una barra de chocolate Una

©

barra de chocolate jumbo de forma rectangular mide 12 centímetros de largo, 7 centímetros de ancho y 3 centíme­ tros de espesor. Debido al incremento en los costos del cacao, la administración decide reducir el volumen de la barra en un 10%. Para lograrlo, decide que la nueva barra debe tener los mismos 3 centímetros de espesor, pero que el largo y el ancho deben ser reducidos un número igual de centímetros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la nueva barra de chocolate?

103

-10 pies 7* -h ;v 6 ... **■s. *h T x,r' i 7; ri -ç

¿Cuántos segundos tardará la pelota en llegar al suelo?

100. Física Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba

Ecuaciones cuadráticas

106. Dimensiones de un patio Un contratista ordena 8 yardas cúbicas de cemento premezclado, el cual, será usado para hacer un patio de 4 pulgadas de espesor. Si el largo del patio debe ser dos veces el ancho, ¿cuáles serán las dimen­ siones del patio? (1 yarda cúbica = 27 pies cúbicos)

107. Comparación de televisores El tamaño de la pantalla de un televisor está determinado por la longitudo de la diago­ nal de la pantalla rectangular. Tradicionalmente los tele­ visores vienen en un formato de 4:3, es decir, la razón del largo y el ancho de la pantalla rectangular es 4 a 3. ¿Cuál es el área de un televisor tradicional de 37 pulgadas?, ¿Cuál es el área de un televisor de alta definición de 37 pulgadas cuya pantalla está en un formato de 16:9? ¿Cuál de las dos pantallas es más grande?

[Sugerencia: Si * es la longitud de una pantalla con formato 3 4:3, entonces —x es el ancho].

108. Comparación de televisores Retoma el problema 107.

102. Reducción del tamaño de una barra de chocolate Re­ toma el problema 101, considera que la reducción es del

20% .

103. Construcción de un borde alrededor de una alberca Una alberca circular mide 10 pies de diámetro. Para crear un borde circular de ancho uniforme alrededor de la alberca, debe usarse una yarda cúbica de concreto. Si el borde debe tener una profundidad de 3 pulgadas, ¿cuál será el ancho del borde? (1 yarda cúbica = 27 pies cúbicos). Vea la Figura.

Encuentra el área de la pantalla de un televisor tradicional de 50 pulgadas y compáralo con un televisor de plasma de 50 pulgadas cuya pantalla está en formato 16:9. ¿Cuál de las dos pantallas es más grande? 109. La suma de los números enteros consecutivos 1 ,2 ,3 ,..., n, está dada por la fórmula -

h(h

+ !)• ¿Cuántos números

enteros consecutivos, empezando por el 1, se deben sumar para obtener un total de 666?

110. Geometría Si un polígono de n lados tiene -n(rc ~ 3)> diagonales, ¿cuántos lados tendrá un polígono de 65 diago­ nales? ¿Existe un polígono de 80 diagonales? 111. Demuestra que la suma de las raíces de una ecuación cua­ drática es ——. a

112. Demuestra que el producto de las raíces de una ecuación cuadrática es —. a

104. Construcción de un borde alrededor de una alberca Re­ toma el problema 103, considerando que la profundidad del borde es de 4 pulgadas.

105. Construcción de un borde alrededor de un jardín Un jar­ dinero, que acaba de completar un jardín de flores rectan­ gular que mide 6 pies por 10 pies, ordena 1 yarda cúbica de cemento premezclado que será usado para crear un bor­ de de profundidad uniforme alrededor del jardín. Si el borde debe tener una profundidad de 3 pulgadas, ¿qué tan ancho tiene que ser? (1 yarda cúbica = 27 pies cúbicos).

113. Encuentra k tal que la ecuación k x 2 + x + k = 0 tenga una solución real repetida. 114. Encuentra k tal que la ecuación x 2 - k x + 4 = 0 tenga una solución real repetida. 115. Demuestra que las soluciones reales de la ecuación a x 2 + b x + c = 0 son los negativos de las soluciones reales de la ecuación a x 2 - b x + c = 0. Considera que b 2 - 4a c > 0. 116. Demuestra que las soluciones reales de la ecuación ax2 + bx + c = 0 son los recíprocos de las soluciones reales de la ecuación ex2 + bx + a = 0. Considera que b2 —4ac s 0.

104

C A P ÍT U L O 1 Ecuaciones y desigualdades

Explicación de conceptos: discusión y escritura 117. ¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones son equivalen­ tes? Explica por qué. (a) x2 = 9; x = 3 (b) x = V 9 ; * = 3 (c) (x - 1)( jc - 2) = (x - l)2; x - 2 = x - l

118. Describe tres maneras en las cuales se puede resolver una ecuación cuadrática. Indica cuál preferirías y explica por qué la elegiste. 119. Explica los beneficios de evaluar el discriminante de una ecuación cuadrática antes de intentar de resolverla.

120. Inventa tres ecuaciones cuadráticas: una que tenga dos so­ luciones diferentes, una que no tenga solución real y una que tenga exactamente una solución real.

121. Es posible que la palabra cuadrática se refiera a cuatro (icuad ), sin embargo, una ecuación cuadrática es una ecua­ ción que contiene un polinomio de grado 2. Investiga el origen del término cuadrática como se usa en la expresión ecuación cuadrática. Escribe un breve ensayo con la infor­ mación que encuentres.

Respuestas a los ejercid o s de la sección "¿Estás listo?' 1. {x - 6)( jc + 1)

2. (2 x - 3)(JC + 1)

q - H

4. Verdadero

5. x 2 + 5x +

25

= H )2

1.3 Números complejos; ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos* P

r e p a r a c ió n

para

esta

s e c c ió n

Antes de empezar, repasa lo siguiente:

•

Clasificación de números (sección R .l, pp. 4-5)

• Racionalización de denominadores (sección R.8, p. 45)

\

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 111. OBJETIVOS 1 Sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos (p. 105) 2 Resolver ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos (p, 109)

Números com plejos Una propiedad de un número real es que su cuadrado sea no negativo. Por ejemplo, no existe un número real x para el cual x2 — -1 Para arreglar esta situación, introducimos un nuevo número llamado unidad imaginaria.

DEFINICIÓN

Una unidad imaginaria, que se denota por /, es un número cuyo cuadrado es —1. Esto es, ___ _ _

------------------------------------------------------------------------------ J Esto no debe sorprenderte. Si nuestro universo consistiera únicamente de ente­ ros, no existiría un número x para el que 2x - 1. Esta circunstancia desafortunada 1 2 fue arreglada introduciendo números como ~ y los números racionales. Si nues­ tro universo consistiera solo de números racionales, no existiría un número .r cuyo cuadrado fuera 2. Esto quiere decir que no habría un número x para el cual x2 = 2. Para arreglar esto, introducimos los números como V2 y 1v/5, los números irraciona­ les. Los números reales, como recordarás, incluyen a los números racionales y a los números irracionales. Ahora, si nuestro universo consistiera solo de números reales, entonces no existiría un número x cuyo cuadrado fuera —1. Par arreglar esto, intro­ ducimos un número i, cuyo cuadrado es - 1 . *Esta sección se puede omitir sin perder continuidad.

S E C C IÓ N 1 J

Números complejos; ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos

105

En la progresión descrita, cada vez que encontrábamos una situación no adecua­ da, introducíamos un nuevo sistema de números para arreglarla. El sistema de nú­ meros que resulta de introducir el número / se llama sistema de núm eros com plejos.

DEFINICIÓN

Los núm eros com plejos son números de la forma a + b i , donde a y b son nú­ meros reales. Al número real a se le conoce como la parte real del número a + bi\ el número real b es la parte imaginaria de a + bi; e i es la unidad imagi­ naria, así que P = —1.

J

Por ejemplo, el número complejo - 5 + 6i tiene la parte real - 5 y la parte ima­ ginaria 6. Cuando un número complejo está escrito de la forma a + bi, donde a y b son números reales, decimos que está en su forma estándar. Sin embargo, si la parte ima­ ginaria de un número complejo es negativa, como en el número complejo 3 + (-2 )/, lo usual es escribirlo de la forma 3 - 2/. Además, el número complejo a + 0/ generalmente se escribe simplemente como a. Esto ayuda a recordarnos que los números reales son un subconjunto de los nú­ meros complejos. El número complejo 0 + bi generalmente se escribe como bi y en ocaciones se le conoce como número imaginario puro.

1 Sum a, resta, m ultiplicación y división de núm eros com plejos La igualdad, suma, resta y multiplicación de números complejos se define de for­ ma que se conserven las reglas familiares de álgebra para los números reales. Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. Esto es,

Ig u ald ad d e n ú m eros com p lejos

a + bi = c + di

si y solo si a = c y b = d

(1)

Dos números complejos se suman formando el número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes ima­ ginarias. Esto es,

Sum a de n úm ero s com p lejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(2)

Para restar dos números complejos, usa la siguiente regla:

D iferencia de núm eros com p lejos

(a + bi) — (c + di) - (a — c) + (b — d)i

EJEM PLO 1

Suma y resta de números complejos (a) (3 + 5i) + ( —2 + 3i) — [3 + ( —2)] + (5 + 3)/ = 1 + 8/ (b) (6 + 4/) - (3 + 6/) = (6 - 3) + (4 - 6)/ = 3 + ( - 2 ) / = 3 - 2 /

Resuelve ahora el problema 13

(3)

106

C A P ÍT U L O 1 Ecuaciones y desigualdades

Los productos de los números complejos se calculan como se ilustra en el ejem­ plo 2.

EJEM PLO 2

Multiplicación de números complejos (5 +

3/)

• ( 2 + 7/) = T

5-

(2 + 7/) +

3 /(2

Propiedad distributiva

+ 7/) = 10 + í

35/

+ 6/ + 21/2

Propiedad distributiva

= 10 + 41/ + 21 ( —1) t /* = -1 = -1 1 + 41/ Con base en el procedimiento del Ejemplo 2, el producto de dos números com­ plejos se define de la forma siguiente: Producto de n úm eros com p lejos

(a + bi) • (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

(4)

No intentes memorizar la fórmula (4). En su lugar, cuando sea necesario multi­ plicar dos números complejos, sigue las reglas habituales para multiplicar dos bino­ mios, como en el Ejemplo 2, teniendo en cuenta que i2 = - 1 . Por ejemplo. (2/)(2/) = 4 r = - 4 (2 + /)(1 —/) = 2 —2/ -+-/ —/- = 3 —i ' =

-

-Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

19

Las propiedades algebraicas de suma y multiplicación, como la propiedad con­ mutativa, asociativa y distributiva, se siguen utilizando para los números complejos. La propiedad de que todo número complejo diferente de cero tiene un inverso mul­ tiplicativo, o recíproco, requiere de mayor estudio.

DEFINICION

Si z = a + bi es un número complejo, entonces su conjugado, que se denota por z, se define como Z = a + b i- a -b i

Por ejemplo, 2 + 3/ = 2 - 3/ y - 6 - 2/ = - 6 + 2i.

EJEM PLO 3

Multiplicación de un número complejo por su conjugado Encuentra el producto del número complejo z = 3 + 4/ y su conjugado c.

Solución

Como z — 3 — 4/, tenemos que zz = (3 + 4/)(3 - 4/) = 9 - 12/ + 12/ - 16r = 9 + 16 = 25 El resultado obtenido en el ejemplo 3 tiene una importante generalización.

TEOREM A

El producto de un número complejo y su conjugado es un número real no nega­ tivo. Es decir, si z = a + bi entonces zz = ir + b~

(5)

J

S E C C IÓ N 1.3

Demostración

Números complejos; ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos

Si

z = a + bi,

107

entonces

ZZ = (a + bi)(a - bi) = a2 - (bi)2 = a2 - b2i2 — a2 + b2 Para expresar el recíproco de un número complejo

z

m

diferente de cero en su for­

ma estándar, multiplicamos el numerador y el denominador de —por z. Es decir, si z z - a + bi es un número complejo diferente de cero, entonces 1 a

+

_ 1 _ 1 z _ z _ a — bi bi z z z zz a2 + b2 T Usa (5).

a

b

~ a2 + b2 ~ a2 + b2¡

EJEM PLO 4

Escritura del recíproco de un número complejo en forma estándar E scribe-------- en su forma estándar a + bi, esto es, encuentra el recíproco de 3 + 4i. 3 + 4/

Solución

La idea es multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de 3 + 4i, esto es, por el número complejo 3 —4i. El resultado es 3 - 4/ 3 1 1 3 - 4/ 3 + 4i ~ 3 + 4/ 3 - 4/ ” 9 + 16 " 25

4 25

Para expresar el cociente de dos números complejos en forma estándar, multipli­ ca el numerador y el denominador del cociente por el conjugado del denominador.

EJEM PLO 5

Escritura del cociente de dos números complejos en forma estándar Escribe cada una de las siguientes expresiones en forma estándar. (a)

Solución

^

1 + 4¿ 5 - 12i 1 + 4/ 1 + 4/ 5 + 12/ 5 + 12/ + 20/ + 48/^ 5 - 12/ ~ 5 — 12/ *5 + 12/ “ 25 + 144 -4 3 + 32/ 169 ~~

43 32 . 169 + 1691

2 - 3/ 4 + 3/ _ 8 + 6/ - 12/ - 9i2 4 — 3/ ’ 4 + 3/ _ 16 + 9 17 - 6/ _ 17 _ 6_. 25 ~ 25 25*

Resuelve ahora EJEM PLO 6

EL

PROBLEMA

27

Escritura de otras expresiones en forma estándar Si z = 2 —3/ y w = 5 + 2/, escribe cada una de las siguientes expresiones en forma estándar. (b ) z

+w

(c)

z

+z

108

CAPÍTULO I Ecuaciones y cieilgualcJades

Solución

z

z .ñ

(2

- 3/)(5_-_2/)

10 -

4/

(a) w = iv • w = (5 4 2/)(5 - 2/) 4

-

19/

29

'

4

19 .

29

29'

- J 5 / +_hfi

25 4 4

(b) ¿ T iv = (2 - 3/) 4- (5 4- 2/) » f - / - 7 4- / (c) z 4- Z = (2 - 3/) 4- (2 4- 3/ ) - 4

^

El conjugado de un número complejo tiene ciertas propiedades generales que nos serán útiles más adelante. Para un número real a = a + 0/. el conjugado c s t / 3Sci4r 0 r * d - 0 í * f l Esto es,

TEOREMA

El conjugado de un número real es el propio número real. A continuación se dan otras propiedades del conjugado que son consecuencia directa de la definición. En cada proposición, z y h*representan números complejos

TEOREMA

El conjugado del conjugado de un número complejo es el propio número com­ plejo. (!)

= Z

(6>

El conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de sus conjugados. z + IV = Z 4- w

(7 )

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de sus conjugados. Z

• H‘

-

Z

■u

(g)

J Las demostraciones de las ecuaciones (6). (7) y (8) se dejarán como ejercíaos.

Potencias de / Las potencias de i siguen un patrón que es útil saber.

,* =

i**r

=

•

.*> r = -1

11

o • x. 11

< 1

= i

-1

13 = i2%i = —l*i = —i

r = »"•/’ =

i4

f i = í4-/4 = 1

\ así sucesivamente. Las potencias de i se repiten cada cuatro potencias.

EJEM PLO 7

Evaluación de las potencias de i (a) r 7 = r 4• 13 = ( f i f . f i = l * ./ ' = - ¡ (b) i *

«

'

=

{f i f -i

=1*., = /

S E C C IÓ N U •i

EJEM P LO 8

(

Números complejos; ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos

109

Escritura de la potencia de un número complejo en la forma estándar

i

Escribe (2

Solución

+ / )'

en forma estándar.

Usa la fórmula de producto notable para (.v

+

a)'

( .t + ti) ' = . r 1 + 3 u x 2 + 3 < r.v + « '

Al utilizar la fórmula de producto notable,

OTA O tra forma de e n c o n tra r 2 + i)'

e» multiplicar ( 2

+ í)‘ ( 2 + i).

(2

■

m

.. .......

+

i)3 =

23 +

3 *i •2 2 +

12/

=

8 +

=

2+11/.

Resuelva ahora el problema

+

3 •i2 •2 +

6 ( - l)

+

i3

(-/)

J

41

2 Solución de ecuaciones cuadráticas en el sistem a de núm eros com plejos Las ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo no tienen soluciones reales. Sin embargo, si extendemos nuestro sistema de números de manera que incluya nú­ meros complejos, las ecuaciones cuadráticas siempre tendrán solución. Como la solu­ ción de una ecuación cuadrática involucra la raíz cuadrada del discriminante, comen­ zamos con un análisis de las raíces cuadradas de números negativos.

DEFINICIÓN

Cuando escribimos \/—N = VÑ¡ asegúrate de escri7¡r / fuera deI símbolo V . ■

Si N es un número real positivo, definimos a la raíz cuadrada principal de - N , denotada por V - / V , como Vwv = VÑi

\D V ER TEN C IA

[

EJEM PLO 9

donde / es la unidad imaginaria e P = —1.

Evaluación de la raíz cuadrada de un número negativo (a) V - T = V I / = / (b) V =4 = V 4 i = 2i (c) = V 8 / = 2V2/

[ EJEM PLO 10

^

Solución de ecuaciones Resuelve cada ecuación en el sistema de números complejos, (a) x 2 = 4

Solución

(b) x 2 = - 9

(a) x2 - 4 x = ± V 4 - ±2 La ecuación tiene dos soluciones, - 2 y 2. El conjunto solución es {-2,2}. (b) *2 = - 9 x = ± V —9 = ± V 9 / = ±3/ La ecuación tiene dos soluciones, - 3 / y 3/. El conjunto solución es (—3/, 3/}.

..........* "Resuelve ahora

l os

p r o b l e m a s

49

y

53

|

110

C A P ÍT U L O 1

Ecuaciones y desigualdades A PVERTEN C IA Cuando tra b a je s con raíces cuadradas de números negativos no e sta b le z c a s la raíz cuadrada de un producto igual al producto de la s ra íce s cuadradas (lo cual se puede nacer con números positivos). Para ver por que, observa e ste calculo: sabem os que \/ÍC'Ó — 10. Sin embargo, también es verdad que 100 = ( —2 5 ) ( —4 ), entonces 10 = \ f \0 0 = V ( - 2 5 ) ( - 4 ) * ^ - 2 5 V ~ 4 = ( V 2 5 / ) ( V 4 / ) = (5 /)(2 /) = 10/2 = - 1 0

t Aquí está el error.

■

Como hemos definido la raíz cuadrada de un número negativo, podemos enun­ ciar la fórmula cuadrática sin restricciones.

TEOREM A

F ó rm u la c u a d rá tic a

En el sistema de números complejos, la solución de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = O, donde a ,b y c son números reales y a O, se da por la fórmula

x =

- b ± \ / b2 — 4ac

(9)

2a

J EJEM PLO 11

Solución de una ecuación cuadrática en el sistema de números complejos Resuelve la ecuación x 2 - 4x + 8 = 0 en el sistema de números complejos.

Solución

Aquí, a = 1, b = —4, c = 8 y b2 —4ac = 16 —4(1)(8) = —16. Usando la ecuación (9), encontramos que - ( - 4 ) ± V ^ 1 6 _ 4 ± V l 6 i _ 4 ± 4i 2( 1)

2

~

2

2 ± 2i

La ecuación tiene dos soluciones, 2 —2/ y 2 + 2í. El conjunto solución es {;2 - 2i, 2 + 2/}. y

V erifica:

2 + 2/: 2 - 2/:

(2 + 2¿)2 - 4 ( 2 + 2/) + 8 = 4 + '8¿ + 4 r - . 8 ' - S ¿ + S = 4 -4 = 0 (2 - 2/)2 - 4(2 - 2/) + 8 = 4 - S í + 4/2 - 8 + ^ + 8 = 4 - 4 = 0

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

J

59

El discriminante b2 —4ac de una ecuación cuadrática aún sirve como una forma para determinar el tipo de las soluciones.

Tipo de so lu cion es de una ecu ación cu ad rática

En el sistema de los números complejos, considera la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 con coeficientes reales. 1. Si b2 —4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. 2. Si b2 —4ac = 0, la ecuación tiene una solución real repetida, una raíz doble. 3. Si b2 — 4ac < 0, la ecuación tienen dos soluciones complejas que no son reales. Donde una de las soluciones es el conjugado de la otra.

S E C C IÓ N 1.3

Números complejos; ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos

111

La tercera conclusión de la tabla es la consecuencia del hecho de que si b2 —4ac = - N < 0 entonces, por la fórmula cuadrática, las soluciones son

"V.

i

_ - b + \ A 2 - 4ac

-b + W

2a

¡

-b + V Ñ i

-b

2a

2a

2a

V Ñ , 2a

y _ -b - y V

- 4ac _ - b - W

2a

j _ -b - V Ñ i _ -b _ V Ñ .

2a

2a

2a

2a

donde la primera solución es el conjugado de la segunda y viceversa.

EJEM PLO 12

Determinación del tipo de solución de una ecuación cuadrática Sin resolver la ecuación, determina el tipo de solución de cada ecuación. (a) 3*2 + 4* + 5 = 0

Solución

(b)2*2 + 4x + 1 = 0

(c) 9.x2 - 6x + 1 = 0

(a) Aquí a = 3, b = 3 y c = 5, entonces b2 - 4ac = 16 - 4(3)(5) = -4 4 . Las soluciones son dos números complejos que no son reales y son el conjugado uno del otro. (b) Aquí a = 2,6 = 4 y c = 1, entonces b1 - 4ac = 16 - 8 = 8. Las soluciones son dos números reales diferentes. (c) Aquí a — 9, b — —6 y c = 1, entonces b2 — 4ac = 36 —4(9)(1) = 0. La solución es un número real repetido, es decir, una raíz doble.

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

73

1.3 Ev alú a tu e n te n d im ie n to '¿Estás listo?” La s respuestas se dan al final de los ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas entre paréntesis. 1. Di qué números son enteros y qué números son racionales en el conjunto siguiente: (pp. 4-5)

j-3 ,0 ,

2. Verdadero o fa ls o Los números racionales e irracionales están en el conjunto de los números reales, (pp. 4-5) 3 3. Racionaliza el denominador d e ------- —. (p. 45)

2 + V3

Conceptos y vocabulario 4. En el número complejo 5 + 2i, el número 5 se conoce como la p a r te ____________ , el número 2 es la parte ____________ y el número i se llama la _____________ 5 5. La ecuación x 2 = —4 tiene el conjunto solución

6. Verdadero o fa ls o

El conjugado de 2 + 5/ es - 2 - 5i.

7. Verdadero o fa ls o ros complejos.

Todos los números reales son núme­

8. Verdadero o fa ls o Si 2 - 3i es solución de una ecuación cuadrática con coeficientes reales, entonces - 2 + 3/ tam­ bién es solución.

Ejercicios En los problemas 9-4 6 , escribe cada expresión en la form a estándar a + bi.

9. (2 - 3/)

+ (6 + 8/)

13. (2 - 5i)

- (8 + 6¿)

10. (4 + 5i) + ( - 8 + 2i)

11. ( - 3 + 2i) - (4 - 4/)

12. (3 - 4/) - ( - 3 - 4/)

14. ( - 8 + 4/) - (2 - 2i)

15. 3(2 - 6¿)

16. -4 (2 + 8/)

17. 2/(2 - 3/)

18. 3/(—3 + 4/)

21. ( - 6 + /)( —6 - /)

22. ( - 3 + /)(3 + /)

25. 2 T *

26. 2 - 1 -2 1

l

(\ ^ VI \

•U +—

l)

30.

(VI \

2

\ l 9 . (3 - 4/)(2 + /) - 3

^

í ;; í.V 27

31. (1 + ¿)2

20. (5 + 3/)(2 - ¿)

-7 ^ <

+-

‘

32. (1 - i ) 2

CAPÍTULO 1 Ecuaciones y desigualdades

112

36. f 23

33. í23

34. i'4

35. r 15

38. 4 + ¿3

39. 6/3 - 4/5

40. 4/3 - 2/2 + l

43. /7(1 + i2)

44. 2/4(l + i2)

45. íA 4 /“ + /2 + 1

37.

\ 4 1 . (1 + 0 3

- 5

42. (3/)4 + l

46. i1 + /* + /3 + i

E n los problemas 47-52, realiza las operaciones indicadas y expresa tu respuesta en la form a a + bt.

47. V = 4

48. \ / —9

50. \ / h 54

51. \ / ( 3 + 4/')(4' “ 3)

\

49. V =25 52. \ / ( 4 + 3/)(3i - 4)

£ « / o í problemas 53-72 resuelve cada ecuación en el sistema de números complejos.

\5 3 .

jc2

+ 4= 0

54. x 2 - 4 = 0

55. x2

-

59. x 2

- 6x

\

16

=

56. x 2 + 25 = O

0

+ 10 = O

60. x 2 - 2x + 5 = O

57. x 2 - 6x + 13 = 0

58. x 2 + 4x + 8 = 0

61. 8jc2 —4jc + 1 = 0

62. 10x2 + 6x + 1 = 0

63. 5x2 + 1 = 2x

64.

65. x 2 + x + 1 = 0

66. x 2 - x + 1 = 0

67. x 3 - 8 = 0

68. x3 + 27 = O

69. x4 = 16

70. x 4 = 1

71. x 4 + 13jc2 + 36 = 0

72.

1 3 x 2 + 1 = 6 jc

x 4 + 3X2

- 4

= O

- E n los problemas 73-78, sin resolver la ecuación, determina el tipo de solución de cada ecuación en el sistema de los números complejos.

\

73. 3x2 - 3x + 4 = O

74. 2x2 - 4x + l = O

75. 2x2 + 3x = 4

76. x2 + 6 = 2x

77. 9x2 - 12x + 4 = 0

78. 4x2 + 12x + 9 = 0

79. 2 + 3i es una solución de una ecuación cuadrática con coeficientes reales. Encuentra la otra solución.

80. 4 - i es una solución de una ecuación cuadrática con coeficientes reales. Encuentra la otra solución.

E n los problemas 81 - 84, z = 3 - 4i y w - 8 + 3i. Escribe cada expresión en la form a estándar a + bi. 81.

z

+

z.

82.

w- w

zz.

83.

Aplicaciones y extensiones 85.

84.

z - w

________________________________________ __

Circuitos eléctricos La impedancia Z, en ohms, de un circuito se define como la razón del fasor de voltaje V, en volts, a través del elemento al fasor de corriente /, en amV

peres, por los elementos. Esto es, Z = —. Si el voltaje a través de un circuito es de 18 + i volts y la corriente es de 3 - 4i amperes, determina la impedancia.

86. Circuitos paralelos En un circuito de corriente alterna con dos caminos paralelos, la impedancia total Z, en ohms, 1 1 1 satisface la formula — = — + — donde Z es la impedancia Z Zj Z,2

del primer camino y Z, es la impedancia del segundo ca­ mino. Determina la impedancia total si las impedancias de los dos caminos son Z, = 2 + / ohmns y Z , = 4 —3/ ohms. 87. Usa z = a + bi para demostrar que z + Z = 2a y

z - z = 2bi. 88. Usa z - a + bi para mostrar que z — Z. 89. Usaz = « + /)/yu’ = c + x > 2, es preferible invertir los símbolos de la desigualdad y escribir 2 < x < 3 de manera que, al leer de izquierda a derecha, los valores vayan de menor a mayor. Una proposición como 2 ^ x ^ 1 es falsa ya que no existe un número x para el cual 2 í r y r á l . Por último, nunca uses símbolos mezclados como en 2 ^ x ^ 3.

120

C A P ÍT U L O 1 Ecuaciones y desigualdades

Uso de notación de intervalos Sean a y b dos números reales con a < b.

DEFINICIÓN

Un intervalo abierto, cjue se denota por (a, b), consiste en reales x para los cuales a < x < b. Un intervalo cerrado, que se denota por \a, b \, consiste en reales x para los cuales a ^ x ^ b. Los intervalos semiabiertos o semicerrados son (a, b J, que los números reales x para los cuales a < x á h y \a, b), que los números reales x para los cuales a ^ x < b.

todos los números todos los números consisten en todos consisten en todos

J

En cada una de estas definiciones a es llamado el extremo izquierdo y h el extremo derecho del intervalo. El símbolo oo (se lee como “infinito”) no es un número real, sino una forma de notación para indicar que la dirección positiva no tiene límite. El símbolo -o c (se lee como “infinito negativo”) tampoco es un número real, sino una forma de notación para indicar que la dirección negativa no tiene límite. Mediante el uso de los símbo­ los oo y - o o podemos definir otros tipos de intervalos: [a, oo)

Consiste en todos los números reales x para los cuales x s: a.

(a, oo)

Consiste en todos los números reales x para los cuales x > a.

(-oo, a]

Consiste en todos los números reales x para los cuales jc< a.

(—oo, a) (-oo, oo)

Consiste en todos los números reales x para los cuales x < a. Consiste en todos los números reales.

Observa que oo y - o o nunca se incluyen como puntos extremos ya que ninguno es un número real. La tabla 1 resume la notación de intervalos, la notación de desigualdades corres­ pondiente y sus gráficas. Tabla 1

Intervalo

Desigualdad

a a

- ( ------------

El intervalo abierto (a,

b)

El intervalo cerrado [a,

b]

El Intervalo semiabierto [a,

El intervalo ( - » , a]

EJEM PLO 1

Gráfica

a < x<

xs a

El intervalo (- 5 consiste en todos los números x mayores que 5. En notación de intervalos, escribimos (5, oo). (d) En notación de intervalos, x < 1 se escribe como (-o o , 1]. ^

EJEM PLO 2

Escritura de intervalos usando la notación de desigualdades Escribe cada intervalo como una desigualdad que incluya a x. (a) [1,4)

Solución

(b) (2,oo)

(c) [2,3]

(d) ( - o o , -3 ]

(a) [1,4) consiste en todos los números x para los cuales 1 < x < 4. (b) (2, oo) consiste en todos los números x para los cuales x > 2. (c) [2,3] consiste en todos los números x para los cuales 2 < x < 3. (d) ( o o , - 3 ] consiste en todos los números x para los cuales x < - 3 .

-Resuelve ahora 2

l o s

p r o b l e m a s

1 1 , 23

31

y

Uso de las propiedades de d esigualdades El producto de dos números reales positivos es positivo, el producto de dos números reales negativos es positivo y el producto de O por O es 0. Para cualquier número real a, el valor de a2es Oo positivo, es decir, a2es no negativo. A esto se le llama propiedad de no negatividad.

P ro p ied ad de no n eg ativid ad r

En palabras

Para cualquier número real a,

r El cuadrado de un número real r nunca es negativo.

a2 > O

(1)

Si sumamos el mismo número en ambos lados de la desigualdad obtenemos una desigualdad equivalente. Por ejemplo, como 3 < 5, entonces 3 + 4 < 5 + 4 o 7 < 9 . Esto se conoce como la propiedad de suma de desigualdades.

P ro p ied ad de sum a de d e sig u ald ad e s r

r En palabras

Para números reales a, b y c,

La propiedad de suma

r establece que el sentido o r dirección de una desigualdad r no cambia si se suma el mismo r número de cada lado.

Si a < b, entonces a + c < b + c.

(2a)

Si a > b, entonces a + c > b + c.

(2b)

La figura 2 ilustra la propiedad de suma (2a). En la figura 2(a), vemos que a está a la izquierda de b. Si c es positivo, entonces a + c y b + c cada uno está a c unidades a la derecha de a y b, respectivamente. En consecuencia, a + c debe estar a la izquierda de b + c, esto es, a + c < b + c. La figura 2(b) ilustra la situación cuando c es negativa. F ig u ra 2

- c unidades

c unidades ciinidades

- c unidades

«--------- •-- a------------•--a b a+c 6+c (a) Si a O, entonces a+c 2 ,entoncesx + ( - 2 ) > 2 + ( - 2 ) o x - 2 > 0.

Resuelve ahora EJEM PLO 4

EL

PROBLEMA

39

Multiplicación de una desigualdad por un número positivo Expresa como una desigualdad el resultado de multiplicar cada lado de la desigual­ dad 3 < 7 por 2.

Solución

Empieza con 3 2 por - 4 .

Solución

Empieza con 9> 2

r

r En palabras

c

La multiplicación por un

r número negativo invierte la r desigualdad.

r

n

En palabras

c' r r n r

Las propiedades de la multiplicación establecen que el sentido o dirección de una desigualdad se mantiene igual si ambos lados se multiplican por un número real positivo, mientras que la dirección se r invierte si ambos lados se multiplican por un número real negativo.

EJEM PLO 6

Al multiplicar cada lado por - 4 obtenemos los números —36 y - 8 , por lo tanto tenemos -3 6 < - 8 Observa que al multiplicar ambos lados de 9 > 2 por el número negativo —4 la dirección del símbolo de desigualdad se invirtió. Los ejemplos 4 y 5 ilustran las siguientes propiedades de m ultiplicación para desigualdades:

Pro p ied ades de m ultip licación para d e sig u ald a d e s

Para números reales a ,b y c, Si a < b y c > 0, entonces ac < be. Si a < b y c < 0, entonces ac > be.

(3a)

Si a > b y c > 0, entonces ac > be. Si a > b y c < 0, entonces ac < be.

(3b)

Propiedad de multiplicación de desigualdades (a) Si 2x < 6, entonces ^ (2 x ) < | ( 6 ) o r < 3 .

(b) S i - ^ > 12, entonces - 3 ^ - ^ r J < -3 (1 2 ) o x < -3 6 . (c) Si -4 x < - 8 , entonces —^ -4

> — o x > 2. -4

(d) Si - x > 8, entonces ( - l ) ( - x ) < (-1 )(8 ) o x < - 8 . J

^— — Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

45

V

S E C C IÓ N 1.5

'r r En palabras r r r r r ^

La propiedad de I recíproco establece que el recíproco de un número real positivo es positivo y el recíproco de un número real negativo es negativo.

Solución de desigualdades

123

P ro p ied ad del reciproco p ara d e sig u ald a d e s

„

1

1

S i« > 0, entonces — > ü a

Si - > 0, entonces a > 0 a

(4a)

Si a < 0, entonces — < 0 a

Si — < 0, entonces a < 0 a

(4b)

3 Solución de desig uald ad es Una desigualdad de una variable es una proposición que involucra dos expresiones en donde, por lo menos, una contiene una variable separada por uno de los símbolos de desigualdad < , < , > o > . R esolver una desigualdad significa encontrar todos los valores de la variable para los cuales la proposición es verdadera. A estos valores se les llama soluciones de la desigualdad. Por ejemplo, las siguientes son desigualdades que involucran una variable x: jc

+ 5 < 8

2x - 3 > 4

x2 - 1 < 3

* + * > 0 x —2

Al igual que con las ecuaciones, un método para resolver una desigualdad es sustituirla por una serie de desigualdades equivalentes hasta que se obtenga una desigualdad con una solución obvia, como x < 3. Podemos obtener desigualdades equivalentes aplicando algunas de las mismas propiedades que las que se usan para encontrar ecuaciones equivalentes. La propiedad de suma y las propiedades de mul­ tiplicación forman las bases para los procedimientos siguientes. Procedim ientos que no cam bian el sím bolo de desigualdad 1. Simplifica ambos lados de la desigualdad combinando términos semejantes y eliminando paréntesis: Sustituye por

x + 2 + 6 > 2 x + 5(x + 1) x + 8 > Ix + 5

2. Suma o resta la misma expresión en ambos lados de la desigualdad:

Sustituye por

3x - 5 < 4 (3jc - 5) + 5 < 4 + 5

3. Multiplica o divide ambos lados de la desigualdad por la misma expresión positiva: Sustituye

4x > 16

por

— > ~-

Procedim ientos para invertir el sentido o dirección del sím bolo de desigualdad 1. Intercambia los dos lados de la desigualdad: Sustituye

3< x

por x > 3

2. Multiplica o divide ambos lados de la desigualdad por la misma expresión negativa. Sustituye

0 . , —2x > 6

por *

~2x 6 ----- < — -2 -2

Como se observa en los ejemplos siguientes, las desigualdades se resuelven usan­ do muchos de los mismos pasos que usamos para resolver ecuaciones.

124

C A P ÍT U L O 1

Ecuaciones y desigualdades

Cuando escribimos la solución de una desigualdad, podemos usar notación de conjuntos o notación de intervalos, la que sea más conveniente.

Solución de una desigualdad

EJEM PLO 7

Resuelve la desigualdad: 3 —2x < 5 Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

3 — 2a: < 5 3 - 2 j c- 3 < 5 - 3

Resta 3 en ambos lados. Simplifica.

—2 x < 2

-2x ~ -2

2 > -2

x >

Divide ambos lados entre —2. (Cambia el sentido del símbolo de desigualdad.)

1

Simplifica.

Figura 3 — i--------1----------_________ l________ L

-L

-3

2

- 2 - 1

0

1

El conjunto solución es { j c | x > -1} o, usando notación de intervalos, todos los números del intervalo ( - 1 , oo). Ver figura 3 para la gráfica.

EJEM PLO 8

Solución de una desigualdad Resuelve la desigualdad: 4x + 7 > 2x - 3 Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

4x + 7 > 2x - 3 4x + l — 7 > 2 x - 3 — 1 4x > 2x - 10

Simplifica.

4x — 2x > 2jc — 10 — 2.r 2x > -1 0

R esta 2x en ambos lados. Simplifica.

2x -1 0 --- > -----

2

R esta 7 de ambos lados.

Divide ambos lados entre 2. (El sentido del símbolo de desigualdad no cambia).

2

* > -5

Simplifica.

Figura 4

- 1----- f-----1------1---L -6

-5

-4

-3

-2

—i -1

El conjunto solución es {* | x a —5} o, usando notación de intervalos, todos los núme­ ros del intervalo [—5, oo). Ver figura 4 para la gráfica.

k,“ ®“ ^-Resiielve ahora

e l

p r o b l e m a

5 3

4 Solución de d esigualdades com binadas

EJEM PLO 9

Solución de una desigualdad combinada Resuelve la desigualdad: - 5 < 3x - 2 < 1 Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

Recuerda que la desigualdad —5 < 3x —2 < 1 es equivalente a las dos desigualdades -5 < 3 * - 2

y

3x —2 < 1

S E C C IÓ N 1.5

Solución de desigualdades

125

Resolvemos cada desigualdad por separado 3x - 2 < 1

- 5 < 3* — 2 - 5 + 2 < 3 x —2 + 2

, . .

.

.

Suma 2 a ambos lados.

—3 < 3jc

Simplifica.

3x < 3

-3 3* — < — 3 3

Divide ambos lados entre 3.

—

-1 < x

Simplifica.

'------ 1------(------1------)------L

1

<

3 3

* < 1

—1 < x

F ig u r a 5

0

3x 3

El conjunto solución del par original de desigualdades consiste en todas las x para las cuales

I I

-3 - 2 - 1

3x — 2 + 2 < l + 2

2

x < 1

Esto se puede escribir de forma más resumida como {jc| - 1 < x < 1}. En notación de intervalos, la solución es (- 1 ,1 ) . Ver figura 5 para la gráfica. Observa que en el procedimiento anterior la solución de las dos desigualdades requirieron exactamente los mismos pasos. Un atajo para resolver la desigualdad original de manera algebraica es trabajar con las dos desigualdades al mismo tiempo, de la siguiente manera: -5 < 3x — 2 < 1 5 + 2 < 3 x —2 + 2 C 1 + 2 3x -3 < < 3 3x -3 3 — < < 3 3 T -1 < X < 1

EJEM PLO 10

Suma 2 en cada parte. Simplifica. Divide cada parte entre 3. Simplifica.

Solución de una desigualdad combinada Resuelve la desigualdad:

„ 3 — 5jc -1 < — -— < 9

Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

-1 < 2 (-l)

3 — 5x 2

< 9

3 - 5*

2(9)

-2 < 3 - 5x < 1 8 3 ^ 18 — 3 - 2 - 3 < 3 - 5x

F ig u ra 6

-5 < -5 > — -5

—5x —5jc ^5~

< 15 15 > — -5

1> -3 <

x X

> -3 < 1

+-

Multiplica cada parte por 2 para eliminar el denominador. Simplifica. Resta 3 en cada parte para aislar al término que contiene a x. Simplifica. Divide cada parte entre —5 (invierte el sentido de cada símbolo de desigualdad). Simplifica. Invierte el orden de manera que los números crezcan de izquierda a derecha.

-4 -3 -2 -1 El conjunto solución es {x| - 3 s x < 1), esto'es, todas las x del intervalo [-3 , 1]. La figura 6 muestra la gráfica.

Resuelve ahora

el

problema

73

126

C A P ÍT U L O 1

Ecuaciones y desigualdades

EJEM PLO

11

Uso de la propiedad del recíproco para resolver una desigualdad Resuelve la desigualdad: (4x — l ) “1 > 0 Haz una gráfica el conjunto solución.

Solución

Como (4 x - 1)-1 = — -— y como la propiedad del recíproco establece que cuando v 4x - 1 —> 0 entonces a > 0, tenemos a

(4 x - l ) ' 1 > 0

— -—

4x - 1

> 0

4x — 1 > 0

Propiedad del recíproco.

4x > 1

1 * > 4 F ig u ra 7

i------ 1---- ■*->- El conjunto solución es

esto es, todas las x en el intervalo

oo^. La

figura 7 muestra la gráfica. Resuelve ahora EJEM PLO

12

el

83

p r o b l e m a

Creación de desigualdades equivalentes Si - 1 < x < 4, encuentra a y b tal que a < 2x + 1 < b.

Solución

La idea aquí es cambiar la parte central de la desigualdad combinada de x a 2x + 1 usando las propiedades de las desigualdades. -1 < X < 4 -2 < 2x < 8 -1 < 2x + 1 < 9

Multiplica cada parte por 2. Suma 1 a cada parte.

Entonces a - —1 y ¿> —9. Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

91

Aplicación EJEM PLO

13

Física: Ley de Ohm En electricidad, la ley de Ohm establece que E = IR , donde E es el voltaje (en volts), I es la corriente (en amperes) y R es la resistencia (en ohms). Una unidad de aire acon­ dicionado tiene una resistencia de 10 ohms. Si el voltaje varía de 110 volts a 120 volts, entonces, ¿cuál será el intervalo de corriente que consuma el aire acondicionado?

Solución

El voltaje está entre 110 y 120, así que 110 110 110 110 10 11

< E < 120 < I R < 120 < 7(10) < 120 i m 120 " 10 10 < I < 12

Ley de Ohm, E = /R K

= 10

Divide cada parte entre 10. Simplifica.

El aire acondicionado usará entre 11 y 12 amperes de corriente.

•J

S E C C IÓ N 1.5

Solución de desigualdades

127

1‘,5 E v a lú a tu e n te n d im ie n to "¿Estás listo?" L a s respuestas se dan al fin a l de los ejercicios. S i obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. Gráfica la desigualdad x

2. Verdadero o falso

- 2 . (pp. 17-26)

- 5 > 3 (pp. 17—26)

Conceptos y vo cabulario 3. Si cada lado de una desigualdad se multiplica por un nú­ mero _____________, entonces el sentido del símbolo de la desigualdad se invierte.

E n los problem as 6 -9 , supón que a < b y c < 0.

4. U n _______________________ _________ _____________, que se denota como [a, b ], consiste en todos los números reales x para los que a s .v < b. 5. La . establece que el sentido o dirección de una desigualdad se mantiene igual si cada lado se multiplica por un número positivo, mientras que la dirección se invierte si cada lado se multiplica por un número negativo.

6. Verdadero o falso

a + c < b +c

7. Verdadero o falso

a —c < b - c

8. Verdadero o falso

ac < be

9. Verdadero o falso

—< — c c

10. Verdadero o falso El cuadrado de cualquier número real es siempre no negativo.

Ejercicios E n los problem as 11-16, expresa la gráfica mostrada en el tono más claro usando notación de intervalos. También expresa cada una como una desigualdad que incluya a x.

.

11

1

-1

14. -1

H-

.

12

4-

- J------- (r -2

15. -1

1

-1

+-

1

4-

13.

+■

1

-1 16.

1

-1

E n los problem as 17-22 se da una desigualdad. Escribe la desigualdad obtenida si: a) b) c) d)

Sumas 3 de cada lado de la desigualdad dada. Restas 5 de cada lado de la desigualdad dada. M ultiplicas cada lado de la desigualdad dada p o r 3. M ultiplicas cada lado de la desigualdad dada p o r - 2 .

17. 3 < 5

18. 2 > 1

19. 4 > - 3

20. - 3 > - 5

22. 1 - 2x > 5

21. 2x + 1 < 2

E n los problemas 23-30 escribe cada desigualdad usando notación de intervalos e ilustra cada desigualdad usando la recta de los números reales.

, 23. 0 < x < 4 27. x > 4

24. - 1 < x < 5

25. 4 < x < 6

26. - 2 < x < 0

28. x < 5

29. x < - 4

30. x > 1

E n los problemas 31 -3 8 escribe cada intervalo como una desigualdad que incluya a x e ilustra cada desigualdad usando la recta de los números reales.

k31. [2,5] 35. [4,oo)

32. (1,2)

33. ( - 3 , - 2 )

34. [0,1)

36. ( -o o ,2 ]

37. ( - o o ,- 3 )

38. ( -8 , oo)

E n los problemas 39 -5 2 completa la desigualdad con el símbolo adecuado. - 4 , entonces x + 4

0.

40. Six < - 4 , entonces x + 4

- 0.

42. Six > 6, entonces x - 6

0.

43. Si x s - 4 , entonces 3x

-12.

44. Six s 3, entonces 2x

45. Six > 6, entonces -2 x

-12.

46. Six > - 2 , entonces -4 x

8.

47. Six s 5, entonces - 4 x

-20.

48. Six ^ - 4 , entonces -3 x

12.

49. Si2x > 6, entonces x 51. S i~ x * — 3, entonces x

50. Si3x < 1 2 , entonces x

3. -6 .

52. Si ——x > 1, entonces x

6.

4. -4 .

128

C A P ÍT U L O I

Ecuaciones y desigualdades

i respuesta

u sa n d o

notación de conjunto» o notación d e intervalo»

lla r

una gráfica del conjunto solución.

\

53. a + 1 < 5

54. a - 6 < 1

55. 1 - 2» * 3

56. 2 - 3a s 5

57. 3a - 7 > 2

58. 2s + 5 > 1

59. 3a - 1 a 3 + .v

60. 2a - 2 a 3 + a

61. -2 (x + 3) < 8

62. -3(1 - a) < 12

63. 4 - 3(1 - a ) s 3

64. K - 4(2 - x) s -2a

65. ~ ( x ~ 4 ) > a + 8

66. 3a + 4 > ^ ( a - 2)

67.

68. - 2 2 + 7 3 6

69. í) s» 2a - 6 s 4

70. 4 s 2 i + 2 s lü

71. -5 £ 4 - 3.v £ 2

72. -3 s 3 - 2a 25 9

74. 0 < Í ± i < 4

75. 1 < 1 - ~x < 4

76.

78. (.r - 1)( a + 1) > ( a - 3)(x + 4)

79. a(4 a ♦ 3) 25 (2a * 1):

X

„

,

X

(4a + 2 )'1 < 0

“ • 2 £

A + 1 3

3

81

< 4

V

83.

1

- 5) £ (3x - I ) 2

A 4

1

a (9 a

V

80.

-

\73. - 3 < í' - | .

x + 4

96. Si 2 < .v < 4, entonces a < ------ - < /». x - 6

¿Quién puede esperar vivir más. un hombre o una mujer? ¿Por cuántos años mas? I n em e: A d m in is tr a c ió n d e S e g u rid a d S octaL P e rio d o d e vida. 2005

f* v

¿ O

97. Si 6 < 3.v < 12, entonces a < a 2 < b. 98. Si 0 < 2v < 6, entonces a < x3 < b. 99. ¿Cuál es el dominio de la variable en la expresión V 3.v + 6?

200b

2050

100. ¿Cuál es el dominio de la variable en la expresión V o + 2.v? 101. Un adulto joven se define como una persona mayor de 21, pero menor de 30 años. Expresa esta proposición usando desigualdades. 102. Se puede definir a las personas de edad madura como aquellas que tienen más de 40 y menos de 60 años. Expresa esta proposición usando desigualdades.

e

Esperanza de vida La administración del Seguro Social determinó que en 2005 el hombre promedio de 30 años podía esperar vivir por lo menos 46.60 años más y la mu­ jer promedio de 30 años podía esperar vivir por lo menos 51.03 años más.

104. Química general Para cierto gas ideal, el volumen 1' (en centímetros cúbicos) es igual a 20 veces la temperatura T (en grados Celsius). Si la temperatura vana de 80‘‘ a 120*0. ¿cuál es el intervalo correspondiente del volumen del gas? * 105. Bienes raíces Un agente de bienes raíces acepta vender unos departamentos de acuerdo con el siguiente programa de comisiones: $45.000 más 25% del precio de venta que exeeda de $900.000. Suponiendo que los departamentos se venderán en un precio entre S900.000 \ $1.100.000., en qué interv alo varia la comisión del agente? ¿Como vana la comisión como porcentaje del precio de venta?

S E C C IÓ N 1.5

106.

Solución de desigualdades

129

Comisión de ventas Un vendedor de autos usados reci­

113. Cálculo de calificaciones En tu clase de economía de pri­

be una comisión de $25 más 40% del precio de venta que exceda el costo del dueño. El dueño asegura que los au­ tos usados normalmente se venden al menos en el costo del dueño más $21X1 y a lo mucho al costo del dueño más $3000. Por cada venta realizada, ¿en qué intervalo puede esperar el vendedor que varíe su comisión?

mer grado, obtuviste calificaciones de 68, 82, 87 y 89 en los primeros cuatro de cinco exámenes. Para obtener una calificación de B, el promedio de las calificaciones de los primeros cinco exámenes debe ser mayor o igual que 80 y menor que 90. a) Resuelve la desigualdad para encontrar el intervalo de calificaciones que necesitas en el último examen para obtener una B. b) ¿Qué calificación necesitas si el quinto examen cuenta el doble?

107. Retención de impuesto federal El método de porcentaje para retener el impuesto federal sobre ingresos (2010) es­ tablece que a una persona cuyo salario semanal, después de descontar las retenciones, es mayor que $693 pero me­ nor que $1302, se le debe retener $82.35 más el 25% de lo que exceda a $693. ¿En qué intervalo varía la cantidad retenida si el salario semanal varía entre $700 y $900?

¿Qué necesito para obtener una B?

Fuente: Em ployer’s Tax Guide. Internal Revenue Sen-ice, 2010.

108. Ejercicio Sue quiere bajar de peso. Para una pérdida sana de peso, el Colegio Americano de Medicina Deportiva (ACSM, por sus siglas en inglés) recomienda entre 200 y 300 minutos de ejercicio a la semana. Los primeros seis días de la semana Sue hizo 40,45,0,50,25 y 35 minutos de ejerci­ cio. ¿Cuántos minutos de ejercicio deberá hacer Sue el sép­ timo día para cumplir con las recomendaciones del ACSM?

114. Comidas “light" Para poder etiquetar alimentos como

109. Tarifas de electricidad El precio que la Compañía Commonwealth Edison cobró por electricidad en enero de 2010 fue de 9.44? por kilowatt-hora. Además, cada reci­ bo mensual contiene un cargo al consumidor de $12.55. Si los recibos del año pasado variaron desde $76.27 hasta $248.55, ¿en qué intervalo varió el consumo de electrici­ dad (en kilowatt-horas)?

115.

El número a + - se llama la media aritmética de a y b.

Fuente: Commonwealth Edison Co., Chicago, Illinois, 2010.

110. Recibos de agua El pueblo de Oak Lawn cobra a los propietarios de casas $37.62 cada cuatro meses más $3.86 por cada 1000 galones de agua usados después de 10,000 galones. En 2010 el recibo de un propietario varió del más bajo igual a $122.54 hasta el más alto de $68.50. ¿En qué intervalo varió el uso de agua? Fuente: Village o f O ak Law n, Illinois, Enero 2010.

116. 117. 118.

111. Aumento en el precio de un auto nuevo El aumento del costo del vendedor a un auto nuevo varía entre 12% y 18%. Si el precio marcado es de $18,000, ¿en qué intervalo varía el costo del vendedor?

119.

2 Retoma el problema 115 como referencia. Demuestra que la media aritmética de a y b es equidistante de a y b. Media geométrica Si 0 < a < b, demuestra que a < V a b < b. El número Vafe se llama la media geomé­ trica de a y fe. Retoma los problemas 115 y 117 como referencia. De­ muestra que la media geométrica de a y fe es menor que la media aritmética de a y fe. Media armónica Para 0 < a < fe, sea h definida por 1 = 1 /1 1\ h

112. Prueba de CI Un examen estándar de coeficiente inte­ lectual tiene como promedio 100. De acuerdo con las es­ tadísticas de las personas que hacen el examen, el 2.5% de los que obtengan las calificaciones más altas tendrán calificaciones de más de 1.96o sobre el promedio, donde o (sigma, un número llamado desviación estándar) depende de la naturaleza del examen. Si o = 12 para este examen y, en principio, no hay límite superior posible de calificación, escribe el intervalo de calificaciones posibles para el 2.5% de las personas con las calificaciones más altas.

“light”, la Administración de Comida y Medicinas de los Estados Unidos requiere que el producto alterado con­ tenga un tercio o menos calorías que el producto regular o que contenga la mitad o menos grasa que el producto regular. Si una porción de crema batida light contiene 20 calorías y 1.5 gramos de grasa, ¿qué es cierto respecto al número de calorías o los gramos de grasa en una porción de crema batida regular? „. . , a + b Media aritmética Si a < b, demuestra que a < —- — < b.

120.

121.

2 \a + b )

Demuestra que a < fe < fe. El número fe se llama la media armónica de a y fe. Retoma los problemas 115,117 y 119 como referencia. De­ muestra que la media armónica de a y b es igual a la media geométrica elevada al cuadrado y dividida entre la me­ dia aritméticá. Otra propiedad del recíproco Demuestra que si 0 < a < fe, 1 1 entonces 0 < — < - . fe a

Explicación de conceptos: discusión y escritura 122. Inventa una desigualdad que no tenga solución. Inventa

una que tenga exactamente una solución. 123. La desigualdad*2 + 1 < - 5 no tiene solución real. Explica por qué. 124. ¿Prefieres usar la notación de desigualdades o la notación de intervalos para expresar la solución a una desigualdad? Explica tus razones. ¿Hay circunstancias especiales en las que prefieras una sobre la otra? Da ejemplos.

125. ¿Cómo le explicarías a un compañero las razones que sir­ ven de base para las propiedades de la multiplicación de desigualdades (página 122), es decir, el sentido o dirección de una desigualdad se mantiene igual si cada lado se mul­ tiplica por un número real positivo, mientras que la direc­ ción se invierte, si cada lado se multiplica por un número real negativo?

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" i.

-+ -4

-2

2. Falso 0

130

C A P ÍT U L O I

Ecuaciones y desigualdades

1.6 Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto P r e p a r a c ió n

p a r a e s t a s e c c ió n

A n tes de em pezar, repasa lo siguiente:

• Bases de álgebra (capítulo R. sección R.2, pp. 17-26) Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 132.

\

OBJETIVOS 1 Resolver ecuaciones con valor absoluto (p. 130) 2 Resolver desigualdades con valor absoluto (p. 130)

1 Solución de ecuaciones con valor absoluto Recuerda que, en la recta de los números reales, el valor absoluto de a es igual a la distancia del origen al punto cuya coordenada sea a. Por ejemplo, existen dos puntos cuya distancia desde el origen es de 5 unidades, - 5 y 5. Por lo tanto, la ecuación | x j = 5 tendrá el conjunto solución (-5 , 5). Esto nos lleva al resultado siguiente:

TEOREM A

Si a es un número real positivo y u es cualquier expresión algebraica, entonces es equivalente a u = a

\u \ = a

EJEM PLO 1

o

u = -a

(1)

Solución de una ecuación con valor absoluto Resuelve las ecuaciones: (a) \ x + 4| = 13

Solución

(b) | 2r - 3 1 + 2 = 7

(a) Presenta la forma de la ecuación (1), donde u = x + 4. Por lo tanto, existen dos posibilidades. * + 4 = 1 3 o x + 4 = - 13 .v = 9 o x = -1 7 El conjunto solución es {—17, 9}. (b) La ecuación | 2t - 3| + 2 = 7 no presenta la forma de la ecuación (1). Por lo tanto, procedemos de la siguiente manera: |2.v - 3| + 2 = 7 \2x — 3| = 5 2x - 3

=

5 o

2x - 3

=

-5

2x

=8 o

2.v = - 2

x

=4 o

x = -1

Resta 2 de

c a ía b j :

A p lica (l).

El conjunto solución es {-1 ,4 ). = 3=I"-Resuelve ahora el p r o b l e m a

9

2 Solución de d esigualdades con valor absoluto

EJEM PLO 2~~] Solución de una desigualdad con valor absoluto Resuelve la desigualdad | -V| < 4 Figura

8

Solución

Menos de 4 unidades H — desde el origen 0 ------H

0 _j — (__ i__ i__ i__ i_i__ i__ i__ -5 -4 -3 -2 -1

0 1

2

3

4

Estamos buscando todos los puntos cuya coordenada .v esté a una distancia menor de 4 unidades desde el origen. La figura 8 ilustra la situación. Como cualquier numero .v entre - 4 y 4 satisface la condición | .v| < 4, el conjunto solución consiste en todos los números x para los cuales - 4 < x < 4. esto es. todas las .v del intervalo ( - 4 .4 ) . J

S E C C IÓ N 1.6

TEOREM A

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

131

Si a es un número positivo y si u es una expresión algebraica, entonces |u|<

a

es equivalente a

- a < u < a

(2)

|u |<

a

es equivalente a

-

(3)

a

<

u

<

a

F ig u r a 9

En otras palabras, | u

\< a

es equivalente a -

a < u y u < a.

|t/| s a, a> 0 ______i_____

J La figura 9 ilustra la proposición (3).

EJEM PLO 3

Solución de una desigualdad con valor absoluto Resuelve la desigualdad: | 2 x + 4 1< 3 Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

+ 4| < 3

\2x

E sto sigue la forma de la proposición (3 ), la expresión u = 2x + 4 e stá dentro de las barras de valor absoluto.

-3 < 2x + 4 — -4 -4 -4 3 - > > -1 X

Resta 1 de cada parte. Simplifica. Divide cada parte entre —4, lo cual invierte el sentido de los símbolos de desigualdad. Simplifica.

2 - 1

<

X

3 < -

Arregla el orden.

2

F ig u ra 11

1--- 1--- 1--- 1--- ^__L 1 ) 1 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 122 2

El conjunto solución es j .xj—1 < 1 3

4

X

3j / 3\ < —>, esto es, todas las x del intervalo 1 - 1 , — V

Ver figura 11 para la gráfica del conjunto solución. Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

3 9

132

c a pí

l'U L O I

Ecuaciones y desigualdades

EJEM PLO 5

Solución de una desigualdad con valor absoluto Resuelve la desigualdad: | x \ > 3 Ha/ una gráfica el conjunto solución.

Solución F ig u ra 12

J ____I____I---- L

-5 -4 -3 -2 -1

0

1 2

-í— t3

4

Estamos buscando todos los puntos cuya coordenada x esté a una distancia mayor de 3 unidades desde el origen. La figura 12 ilustra la situación. Concluimos que cual­ quier númerox menor que —3 o mayor que 3 satisface la condición | x | > 3. Ln conse­ cuencia, el conjunto solución consiste en todos los números x para los cuales x < - 3 o x > 3, esto es, todas las x en ( -oo, - 3 ) U (3, o c ).*

TEOREMA

Si a es un número positivo y u es una expresión algebraica, entonces

F ig u ra 13

|í/| > a, a > 0 i 0

iJ -a

es equivalente a

u < - u

o

u> u

(4)

| »| > a

es equivalente a

u

s -a

o

u

Í5)

a

J

rL *p *r

La figura 13 ilustra la proposición (5).

a

EJEM PLO 6

|tí|>fl

Solución de una desigualdad con valor absoluto Resuelve la desigualdad: | 2 x - 5 1 > 3 Haz una gráfica del conjunto solución.

Solución

\2 x

— 5| > 3

e stá

2x

-5

- 5 < -3

o

2.r - 5 > 3

+ 5 < -3 + 5

o

2.r - 5 + 5 > 3 + 5

2.r < 2 2x

2

2

2

— < x

F ig u ra 14

■ -1' - 1 1 - 2 -1

0 1

_!►*.

1 2

3

4

5

6

7

forma de la proposición ( 4 ) . la «presión u = 2x dentro de la s b a r r a s de va lo r a b so lu to .

E s t o sig u e la

<

1

o

2.r > 8

o

— > -

o

,r > 4

2x

8

2

2

—5

A p lica la p ro p o rc ió n (4 ). 5um a 5 a

caaa

p a rte .

Sim p lifica. D ivide c a d a p a r t e

entre

2.

S im p lifica.

El conjunto solución es {.v | x < 1 o x > 4J, esto es. todas las x en ( -oo. 1) U (4, x.). V'er figura 14 para la gráfica del conjunto solución. I ADVERTENCIA Un e rro r com ún que s e debe de e v ita r e s t r a t a r de e s c r ib ir la so lu ció n * < 1 o * > 4 com o la d e sig u a ld a d co m b inad a 1 > x > 4 , lo cu a l, e s in c o rre c to debido a que

no e x iste n números p a ra

lo s c u a le s 1 > x y x > 4 .

........ ...

Resuelve ahora

■

el

problema

43

*Recuerda que el símbolo U significa la unión de dos conjuntos. Consulta la página 2. si es necesario.

1.6 Evalúa tu en ten d im ien to ______________ ¿Estás listo? L a s respuestas se dan al final de los ejercicios. S i obtienes una respuesta incorrecta, lee las pát;¡nas marcadas entre paréntesis.

1. | ~ 2 | =

(PP- 1 7 -2 6 )

2.

\ 'erdadero o f a l s o

\x

|^

0

para todo número real .r.

(p p . 1 7 -2 6 )

Conceptos y vocabulario 3. El conjunto solución de la ecuación | .v| —0 es________. 4. El conjunto solución de la desigualdad | ,v| < 5 es (vl--------------------I-

5.

V e rd a d e ro o f a l s o

La ecuación | v | = -2 no tiene solu-

ción. 6.

V e rd a d e ro o f a l s o La desigualdad | v| ^ -2 tiene como conjunto solución al conjunto de los números reales.

4 S E C C IÓ N 1.6

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

133

Ejercicios E n los problem as 7-5 4 . resuelve caita ecuación.

7. |2.v| = 6

8. |3.t| = 12

II. |l - 4/| + 8 = 13

15. |-2| jc = 4 19.

t

2

3 * 5

23. 4 - |2.t|

27. 31.

r

-

*12. |1 - 2?| + 6 = 9

16. |3|.r = 9

=

2

20 .

X 2

=

3

24.

5 -

28.

1 x~

1c

3 jc - 2

=

3

—*)

2-t - 3

\3 2 .

1 3

1 2*

+

x\

2.c f 1 3.r

+4

\

9.

|2.v + 3 | = 5

> 13. |-2.v| = |8|

10.

|3.r - 1| = 2

*14. |-.,| = |l|

17. ||.r| = 9

m. j |. . | = 9

21. |m - 2|

22. \2 - v\ =

= - |

-1

25. |.r - 9| = 0

26.

29.

30. |.r2 + 3.v - 2| = 2

¡x2

+ .r - l| = 1

33. |.r + 3.v| = |jc2 - 2.v|

34.

\x2 - 16|

=0

\x2 - 2x\ = |.r2 + 6x\

E n los problem as 3 5 -6 2 , resuelve cada desigualdad. Expresa tu respuesta usando notación de conjuntos o notación de intervalos. Haz una gráfica del conjunto solución.

35. |2.t| < 8

36. |3.r| < 15

37. |3.c| > 12

38. 2-v| > 6

, 39. |.r - 2| + 2 < 3

40. \x + 4| + 3 < 5

41. |3r - 2| < 4

42. 2u + 5| < 7

, 43. |2.t - 3| 2: 2

44. |3.r + 4| > 2

45. |1 - 4.c| - 7 < - 2

46. 1 - 2.c| - 4 < -1

47. |1 - 2.c| > 3

48. |2 - 3.r| > l

49. |-4.r| + |—5| < 1

51. |-2.t| > |-3 |

52. |-.r - 2| > 1

53. -|2.r - 1| > - 3

54. -|1 - 2x\ > - 3

55. |2jc| < -1

56. |3.v| > 0

57. |5jc| s -1

58. |6.v| < - 2

i i 1 60. 3 — |jc + 1| < -

1 61. 5 + \x — l| > -

62.

59.

2.r + 3 3

1 < 1 2

y 50. - A ~ M * 2

2x - 3 2

1 > 1 ' 3

Aplicaciones y extensiones 63. Temperatura corporal La temperatura “normal” del

©

cuerpo humano es de 98.6°F. Si una temperatura x que di­ fiere de la normal por al menos 1.5° se considera no sana, escribe la condición para una temperatura no sana x como una desigualdad con valor absoluto y resuelve para .r.

64. Voltaje doméstico En Estados Unidos, el voltaje en las casas es de 110 volts. Sin embargo, no es raro que el voltaje real varíe del normal por al menos 5 volts. Expresa esta situación como una desigualdad con valor absoluto. Usa x como el voltaje real y resuelve para x.

65. Lectura de libros Una encuesta de Gallup que se llevó a cabo del 20 al 22 de mayo de 2005, encontró que los nor­ teamericanos leen en promedio 13.4 libros al año. Gallup está 99% seguro de que el resultado de esta encuesta difie­ re por menos de 1.35 libros del promedio real jc. Expresa esta situación como una desigualdad con valor absoluto y resuelve la desigualdad para jc para determinar el intervalo en el que cae el valor promedio real.

Nota: En estadística, a este intervalo se le conoce como un intervalo de confianza del 99%. 66 . Velocidad del sonido De acuerdo con información del Hill Aerospace Museum (Base de la Fuerza Aérea Hill, Utah), la velocidad del sonido varía dependiendo de la al­ titud, presión barométrica y temperatura. Por ejemplo, a 20,000 pies, 13.75 pulgadas de mercurio y -12.3°F, la ve­ locidad del sonido es de aproximadamente 707 millas por hora, pero la velocidad puede variar de este resultado has­ ta 55 millas por hora al cambiar las condiciones. a) Expresa esta situación como una desigualdad con va­ lor absoluto. b ) Usando jc como la velocidad del sonido, resuelve para .v con el fin de determinar un intervalo para la veloci­ dad del sonido. Expresa el hecho de que x difiere de 3 por menos de — 2 como una desigualdad con valor absoluto. Resuelve para jc. Expresa el hecho de que x difiere de - 4 en menos de 1 como una desigualdad con valor absoluto. Resuelve para jc. Expresa el hecho de que jc difiere de - 3 en más de 2 como una desigualdad con valor absoluto. Resuelve para x. 70. Expresa el hecho de que jc difiere de 2 por más de 3 como una desigualdad con valor absoluto. Resuelve para x.

C A P ÍT U L O I

134

Ecuaciones y desigualdades

80. Demuestra que | a - h \ ¿z | a| - | h \. [Sugerencia: Aplica la desigualdad del triángulo del pro­ blema 79 a | a| * | (a - h ) + h \ J. 81. Si a > 0, demuestra que el conjunto solución de la des­ igualdad x2 < a consiste en todos los números x para los cuales

En los problem as' 7 1 -7 6 , encuentra a y b.

71. 72. 73. 74.

Si | x - 11< 3, entonces a < x + 4 < b. Si | x + 2 1< 5, entonces a < x - 2 < b. Si | x + 4 1s 2, entonces a l x - 3 ^ b. Si | * - 3 1ts 1, entonces a 3x + 1 s b.

75. Si I x - 2 1^ 7, entonces a s

1 1

jc — 10

s h.

-V a < x < Va

1

76. Si | * + 11^ 3, entonces a £ ^ ¡ 7 5 s "• 77 . Demuestra que si a > 0, b > 0 y Va <

[Sugerencia:/) -

a

Vfe, entonces a < = (V5 - Va)(V/> + Va)-]

b.

78. Muestra que a s | a | 79. Demuestra la desigualdad del triángulo | a + b | s | a | + | b |. [Sugerencia: Expande | a + b |2 = (a + /))2y usa el resultado

82. Si a > 0, demuestra que el conjunto solución de la des­ igualdad x 1> a

consiste en todos los números x para los cuales x

< - Va

o

x >

Va

del problema 78], En los problemas 83 - 90, usa los resultados obtenidos en los problemas 81 y 82 para resolver cada desigualdad.

83. x 2 < 1

84. x2 < 4

85. x2 a 9

86. x 2 > 1

87. x2 — 16

88. V s 9

89. x2 > 4

90. x2 > 16

91. Resuelve |3x - |2x + lj| = 4.

92. Resuelve |x + |3x - 2|| = 2.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 93. La ecuación |x | = - 2 no tiene solución. Explica por qué.

95. La desigualdad | x | > 0 tiene el conjunto solución

94. La desigualdad | x | > -0.5 tiene a todos los números reales como solución. Explica por qué.

lr I x * ®). E xpl'ca P°r 9U¿-

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. 2

2. Verdadero

1.7 Solución de problemas con aplicaciones de: interés, mezcla, movimiento uniforme, trabajo a velocidad constante OBJETIVOS 1 Traducir descripciones verbales a expresiones matemáticas (p. 135)

2 Resolver problemas de interés (p.136) 3 Resolver problemas de mezclas (p. 137) 4 Resolver problemas de movimiento uniforme (p. 138)

5 Resolver problemas de trabajo a velocidad constante (p. 140)

Los problemas de aplicación (en palabras) no se encuentran en la forma “Resuel­ ve la ecuación...”. Por el contrario, proporcionan información usando palabras, una descripción verbal del problema real. Así es que para resolver problemas aplica­ dos, debemos poder traducir la descripción verbal al lenguaje de las matemáticas. Para esto usamos variables que representen cantidades desconocidas y luego encon­ tramos relaciones (como ecuaciones) que involucren estas variables. A este proceso se le conoce como m odelado matemático.

SECCIÓN 1.7 Solución de problemas con aplicaciones de: Interés, mezcla, movimiento uniforme, trabajo a velocidad constante

135

C u alq u ier solución del p ro b le m a m atem ático se d eb e c o m p ro b a r co n tra el p ro ­ blem a m atem ático , la descripción verbal y el p ro b le m a real. V e r figura 15 p a ra una ilustración del proceso de modelado.

**v

,J

1 Traducción de descripciones verb ales a expresiones m atem áticas

EJEM PLO 1

Traducción de descripciones verbales a expresiones matemáticas (a) P ara el m ovim iento uniform e, la velocidad co n stan te de un o b jeto es igual a la distancia reco rrid a dividida e n tre el tiem po req u e rid o p a ra recorrerla. T ra d u c c ió n : Si r es la velocidad, d la distancia y t el tiem po, entonces r — —.

(b) Sea x un núm ero. E l n ú m ero 5 veces m ás grande que x es 5x. El n ú m ero 3 veces m en o r que x es x - 3. E l n ú m ero que excede a x en 4 es x + 4. E l n ú m ero que, cu ando sum a a x , da 5 es 5 —x .

------------------Resuelve ahora el p r o b l e m a

i

Siem pre verifica las unidades usadas p ara m edir las variables en un problem a apli­ cado. E n el ejem plo la , si r se m ide en millas po r hora, entonces la distancia d debe ser expresada en millas y el tiem po t debe ser expresado en horas. Es una buena costum ­ bre verificar las unidades p ara estar seguro de que son consistentes y tienen sentido. A continuación se rep iten los pasos que se dieron an terio rm en te p ara resolver problem as aplicados:

Pasos para resolver problem as aplicados Paso 1: L ee el problem a cuidadosam ente, tal vez dos o tres veces. Pon atención

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4: Paso 5:

especial a la pregunta que se hace para identificar qué es lo que se está buscando. Si puedes, determ ina posibilidades realistas para la respuesta. A signa una letra (variable) para rep re sen ta r lo que estás buscando y, si es necesario, expresa cualquier cantidad restan te desconocida en té r­ m inos de esta variable. H az una lista de todos los hechos conocidos y tradúcelos a expresio­ nes m atem áticas. E stos pueden to m ar la form a de una ecuación o una desigualdad que incluya a la variable. Si es posible, dibuja un diagram a con la inform ación adecuada p ara ayudarte. E n ocasiones una tabla o gráfica son útiles. R esuelve la ecuación para la variable y después contesta la pregunta, g eneralm ente usando una oración com pleta. V erifica tu respuesta con los hechos del problem a. Si concuerda, ¡feli­ cidades! Si no, in tén talo o tra vez.

136

C A P ÍT U L O 1

Ecuaciones y desigualdades

2 Solución de problem as de interés El interés es dinero que se paga por el uso del dinero. La cantidad total del préstamo (ya sea de un banco para una persona en forma de préstamo o de una persona a un banco en forma de cuenta de ahorros) se llama capital. La tasa de interés, expresada como un porcentaje, es la cantidad cobrada por el uso del capital en un periodo de­ terminado de tiempo, generalmente anual (es decir, por año).

Fórmula de interés simple Si se pide un préstamo de P dólares por un periodo de t años a una tasa de inte­ rés anual r, expresada como un decimal, el interés / cobrado es / = P rt

(1)

El interés cobrado de acuerdo con la fórmula (1) se llama interés simple. Cuando uses la fórmula (1), asegúrate de expresar r como un decimal.

EJEM PLO 2

Finanzas: Cálculo del interés sobre un préstamo Supon que Juanita pide un préstamo de $500 por 6 meses con una tasa de interés simple de 9% al año. ¿Cuál es el interés que se cobrará a Juanita por el préstamo? ¿Cuánto deberá Juanita después de 6 meses?

Solución

La tasa de interés está dada por año, así que el tiempo real de la duración del présta­ mo tiene que ser expresada en años. El interés cobrado será el capital, $500, multipli­ cado por la tasa de interés (9% = 0.09) y por el tiempo en años,

Interés cobrado = / = P r t = (500)(0.09)

= $22.50

Después de 6 meses, Juanita deberá lo que pidió prestado más el interés: $500 + $22.50 = $522.50

EJEM PLO 3

Planeación financiera Candy tiene $70,000 para invertir y quiere una ganancia anual de $2800. lo cual, re­ quiere una tasa de retorno global de 4%. Puede invertir en un certificado de depósito asegurado por el gobierno, pero sólo paga 2%. Para obtener 4%. ella decide invertir parte de su dinero en bonos corporativos no asegurados que pagan 7%. ¿Cuánto debe invertir en cada tipo de inversión para lograr su objetivo?

Solución

P aso 1: Se buscan dos cantidades en dólares: el capital para invertir en los bonos

corporativos y el capital para invertir en los certificados de depósito. P aso 2: Sea x la cantidad (en dólares) que se va a invertir en bonos. Entonces 70.000

—x es la cantidad que se va a invertir en certificados. (¿Entiendes por qué?). P aso 3: Establecemos una tabla:

Capital ($)

Tasa

Tiem po (años)

In te ré s($)

Bonos

X

7% = 0.07

1

0.07x

Certificados

70,000 - x

2% = 0.02

1

0.02(70,000 - x)

Total

70,000

4% = 0.04

1

0.04(70,000) = 2800

t

SECCIÓN 1.7 Solución de problemas con aplicaciones de: interés, mezcla, movimiento uniforme, trabajo a velocidad constante

137

Como el interés total de la inversión es igual a 0.04(70,000) = 2800, tenemos la ecuación 0.07.V + 0.02(70,000 - x ) = 2800 (Observa que las unidades son consistentes: las unidades de los dos lados son dólar). P aso 4: 0.07* + 1400 - 0.02* = 2800

0.05* = 1400 * = 28,000 Candy deberá invertir $28,000 en bonos y $70,000 - $28,000 = $42,000 en certificados. P aso 5: El interés de los bonos después de 1 año es de 0.07($28,000) = $1960; el

interés de los certificados después de 1 año es de 0.02($42,000) = $840. El interés anual total es $2800, es decir, la cantidad requerida. j .

- Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

17

3 Solución de problem as de m ezclas Las refinerías algunas veces producen gasolina, la cual, es una mezcla de dos o más tipos de combustible; las panaderías ocasionalmente mezclan dos o más tipos de ha­ rina para su pan. Estos problemas se llaman problemas de mezclas ya que combinan dos o más cantidades para formar una mezcla.

EJEM PLO 4

Mezcla de café La gerente de Starbucks decide experimentar con una nueva mezcla de café. Ella mezclará un café colombiano de grado B que se vende por $5 la libra con un café árabe de grado A que se vende por $10 la libra para obtener 100 libras de la nueva mezcla. El precio de venta de la nueva mezcla será de $7 por libra y no deberá haber diferencia entre las ganancias de vender la nueva mezcla y de vender los otros tipos. ¿Cuántas libras de café colombiano grado B y de café árabe grado A se requieren?

Solución

Sea * el número de libras de café colombiano grado B. Entonces 100 —* es el número de libras del café árabe grado A. Ver figura 16.

F ig u r a 16

x

$5 por libra

$10 por libra

$7 por libra

libras de café colombiano grado B

100 - x libras de café árabe grado A

100 libras

+

de mezcla

Como no debe de haber diferencia entre vender el café de grados A y B y la mezcla, tenemos: í Precio por libra) í # de libras ) de grado B j \ d e grado B j

í Precio por libra ) í # libras ) _ í Precio por libra ) í # de libras ) de grado A J \ degrado A / ' \ de la mezcla / \d e la mezcla/

\

$5

*

\

+

$10

• (100 - *)

$7

100

138

C A P ÍT U L O 1

Ecuaciones y desigualdades

Tenemos la ecuación 5* + 10(100 - x ) = 700 5* + 1000 - 10* = 700 - 5 * = -3 0 0 * = 60 La gerente debe mezclar 60 libras de café colombiano grado B con 100 - 60 = 40 libras de café árabe grado A para obtener la mezcla deseada. y

Verifica:

. tc—

Las 60 libras de café grado B se venderían por ($5)(60) = $300 y las 40 libras de café grado A se venderían por ($10)(40) = $400; la ganancia total, $700, equivale a la ganancia obtenida de vender la mezcla, como se deseaba. ^ 1

Resuel ve ahora

e l

p r o b l e m a

21

4 Solución de problemas de movimiento uniforme Cuando los objetos se mueven con una velocidad constante, se dice que tienen mo­ vimiento uniforme. Cuando se conoce la velocidad promedio de un objeto, se puede interpretar como su velocidad constante. Por ejemplo, un ciclista que viaja a una velocidad promedio de 25 millas por hora está en movimiento uniforme. Fórm ula de m ovim iento uniform e Si un objeto se mueve a una velocidad promedio v, la distancia d recorrida en el tiempo t se da por medio de la fórmula (2)

d — vt

Esto es, Distancia = Velocidad • Tiempo.

EJEM PLO 5

Física: movimiento uniforme Tanya, una corredora de larga distancia, corre a una velocidad promedio de 8 millas por hora (mi/h). Dos horas después de que Tanya sale de su casa, tú sales en tu auto y sigues la misma ruta. Si tu velocidad promedio es de 40 mi/h, ¿Cuánto tiempo pasará para que alcances a Tanya? ¿Qué tan lejos estará cada uno de su casa?

Solución

Ver figura 17. Usamos t para representar el tiempo (en horas) que le toma a tu auto alcanzar a Tanya. Cuando esto ocurre, el tiempo total transcurrido para Tanya es de t + 2 horas.

Establece la siguiente tabla: Velocidad mi/h

Tiempo h

Distancia mi

Tanya

8

r+2

8(t + 2)

Honda

40

f

40f

SECCIÓN 1.7 Solución de problemas con aplicaciones de: interés, mezcla, movimiento uniforme, trabajo a velocidad constante

139

Como la distancia recorrida es la misma, llegamos a la siguiente ecuación: 8(/ + 2) = 40/ 8/ + 16 = 40/ 32/ = 16 / = x hora 2 \

Le tomará - hora al auto alcanzar a Tanya. Cada uno habrá recorrido 20 millas. V e r if ic a :

En 2.5 horas, Tanya recorre una distancia de (2.5)(8) = 20 millas. En ^ hora, el auto recorre una distancia de f ^1(40) = 20 millas, millas.

EJEM PLO 6 i

!

Física: movimiento uniforme Una lancha de motor viaja río arriba una distancia de 24 millas en un río cuya co­ rriente corre a 3 millas por hora (mi/h). El viaje de ida y vuelta toma 6 horas. Supo­ niendo que la lancha mantuvo una velocidad constante relativa al agua, ¿cuál fue la velocidad?

Solución l

Ver figura 18. Usamos r para representar la velocidad constante de la lancha re­ lativa al agua. Entonces la velocidad real río arriba es de r — 3 mi/h y la veloci­ dad real río abajo es r + 3 mi/h. Como distancia = velocidad x tiempo, entonces Distancia . Haz una tabla. T ,e m p 0 = w í d d S

Figura 18 Velocidad mi/h

-24 millas

Distancia mi

Río arriba

r- 3

24

Río abajo

r+3

24

Tiem po h

distancia velocidad 24

r- 3 24

r+3

Como el tiempo total de ida y vuelta es de 6 horas, tenemos: 24

24 r —3 r + 3 24(r + 3) + 24(r - 3)

6 6

Suma los cocientes en el lado izquierdo.

6

Simplifica.

6(r2 - 9)

Multiplica ambos lados por r 2 — 9.

0

Escribe en forma estándar.'

r2 - 8r - 9

0

Divide entre 6.

(r — 9)(r + 1)

0

Factoriza.

-1

Aplica la propiedad del producto cero y resuelre.

(r - 3 ) ( r + 3)

48r r2 - 9 48 r 6 r2 — 48r — 54

r = 9

o

r

Descartamos la solución r = —1 mi/h, así que la relocidad de la lancha con respecto al agua es de 9 mi/h. J

Resuelve ahora

el

problem a

27

140

C A P ÍT U L O !

Ecuaciones y desigualdades

^ Solución de problem as de trabajo a velocidad constante Esta sección involucra trabajos que se realizan a velocidad constante. Nuestra supo­ sición es que si un trabajo se puede realizar en t unidades de tiempo, entonces - del trabajo se realiza en 1 unidad de tiempo. EJEM PLO 7

Trabajando juntos para realizar una tarea El padre de Danny le pide a las 10 am quitar las hierbas del jardín. Como lo ha hecho antes, Danny sabe que le tomará 4 horas si trabaja solo. A su hermano mayor, Mike. le toma 6 horas hacer el mismo trabajo. Como Mike quiere ir a jugar golf con Danny y tiene una reservación para la 1 pm, acepta ayudar a Danny. Suponiendo que no hay perdida ni ganancia en la eficiencia, ¿a qué hora terminarán si trabajan juntos? ¿Podrán llegar a su cita de golf a tiempo?

Solución

Realiza la tabla 2. En 1 hora, Danny hace - del trabajo y en 1 hora Mike hace - del 4 6 trabajo. Sea t el tiempo (en horas) que les toma hacer el trabajo juntos. En 1 hora. entonces, - del trabajo estará completo. El razonamiento es el siguiente:

Tabla 2

Danny

t H o ra s p a ra

P a rte d el

h a c e r el

t r a b a jo h e c h a

tr a b a jo

e n 1 h o ra

4

Mike

6

Juntos

t

1

/Parte hecha por Danny\ \ en 1 hora )

/Parte hecha por Mike\ _ / Parte hecha juntos en 1 hora / \ en 1 hora

\

De la tabla 2,

4

1

1

1

2_

t 1

—+ — 4 6

1 6 3_

1

12 + 12

t

_5_

t 1_

12

t

5 1 = 12 t = —

Si trabajan juntos, el trabajo se puede terminar en

yy

horas o 2 horas 24 minutos.

Llegarán a tiempo a jugar golf, ya que terminarán a las 12:24 p.m. Resuelve ahora

EL P R O B L E MA

33

1.7 Evalúa tu en ten d im ien to Conceptos y vocabulario 1. El proceso de usar variables para representar cantidades desconocidas y después encontrar relaciones que involu­ cran a estas variables se conoce com o________________ . 2. El dinero que se paga por el uso del dinero se llama 3. Se dice que los objetos que se mueven a velocidad constan­ te están e n ________________ ______________ _. 4. Verdadero o fa lso A la cantidad cobrada por el uso de capital por un periodo dado de tiempo se le llama la tasa de interés.

5. Verdadero o fa lso Si un objeto se mueve con una veloci­ dad promedio v. la distancia d recorrida en el tiempo / se da por medio de la fórmula d = vi. 6. Supon que quieres mezclar dos tipos de café para obtener 100 libras de mezcla. Si x representa el número de libras de café A, escribe una expresión algebraica que represente el número de libras de café B .

S E C C IÓ N 1.7

Solución de problemas con aplicaciones de: interés, mezcla, movimiento uniforme, trabajo a velocidad constante

141

Aplicaciones y extensiones E n los problem as 7 - 16, traduce cada oración a una ecuación matemática. Asegúrate de identificar el significado de todos los símbolos.

V

7. Geometría El área de un círculo es el producto del número 7r por el cuadrado del radio. 8.

Geometría La circunferencia de un círculo es el produc­ to del número tt por dos veces el radio.

9. Geometría El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de uno de sus lados.

10. Geometría El perímetro de un cuadrado es igual a cua­ tro veces la longitud de un lado.

11. Física La fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración.

I La presión es igual a la fuerza por unidad de área.

12. Física 13. Física El trabajo es igual a la fuerza por la distancia. 14. Física La energía cinética es igual a un medio del produc­ to de la masa por el cuadrado de la velocidad.

15. Negocios El costo variable total de la fabricación de

x

lavaplatos es de $150 por lavaplatos multiplicado por el número de lavaplatos fabricados.

16. Negocios La ganancia total de vender x lavaplatos es de $250 por cada lavaplatos multiplicado por el número de lavaplatos vendidos.

23. Negocios: mezcla de nueces Una tienda de nueces vende nuez de la India por $9.00 la libra y almendras por $3.50 la libra. Pero al final del mes las almendras no se han vendido bien, así que para vender 60 libras de almendras, el geren­ te decide mezclar las 60 libras de almendras con algunas nueces de la India y vender la mezcla por $7.50 la libra. ¿Cuántas libras de nuez de la India debe mezclar con las almendras para asegurar que no haya cambio en las ganan­ cias?

24. Negocios: mezcla de dulces Una tienda de dulces vende cajas de dulces que contienen caramelos y cremas. Cada caja se vende por $12.50 y contiene 30 piezas de caramelo (todas las piezas son del mismo tamaño). Si producir los caramelos cuesta $0.25 y producir las cremas cuesta $0.45, ¿cuántos se necesitan de cada uno en una caja para obte­ ner una ganancia de $3?

25. Física: movimiento uniforme Una lancha de motor pue­ de mantener una velocidad constante de 16 millas por hora con relación al agua. La lancha completa un viaje río arri­ ba hasta un cierto punto en 20 minutos, el viaje de regreso tarda 15 minutos. ¿Cuál es la velocidad de la corriente? Ver Figura.

V17. Planeación Financiera Betsy, quien recientemente se ju­ biló, requiere $6000 de ingresos adicionales al año. Tiene $50,000 para invertir en bonos de clasificación B que pa­ gan 15% al año o en certificados de depósito (CD) que pagan 7% al año. ¿Cuánto dinero debe invertir en cada uno para obtener exactamente $6000 de intereses al año?

18. Planeación financiera Después de 2 años, Betsy (ve el problema 17) se da cuenta de que ahora necesita $7000 al año. Suponiendo que la demás información es la misma, ¿cómo debe reinvertir su dinero?

19. Operaciones con bancos Un banco prestó $12,000, una parte a una tasa del 8% al año y el resto a una tasa del 18% al año. Si el interés recibido fue de $1000, ¿cuánto se prestó con la tasa del 8%?

20. Operaciones con bancos Wendy, una ejecutiva de prés­ tamos en un banco, tiene $1,000,000 para prestar y se le pide obtener una tasa de retorno promedio del 18% al año. Si puede dar préstamos con una tasa de 19% o con una de 16%, ¿cuánto puede prestar con la tasa de 16% para cumplir con su requerimiento?

V 2 1 . Mezcla de tés La gerente de una tienda que se especia­ liza en la venta de té decide experimentar con una nueva mezcla. Ella mezclará un té Earl Grey que se vende por $5 la libra con un té Orange Pekoe que se vende por $3 la libra para obtener 100 libras de la nueva mezcla. El precio de venta de la nueva mezcla será de $4.50 por libra y no deberá haber diferencia en la ganancia de vender la nueva mezcla y vender los otros tipos. ¿Cuántas libras de té Earl Grey y Orange Pekoe se requieren?

26. Física: movimiento uniforme Una lancha de motor viaja río arriba en un río que tiene una corriente de 3 millas por hora. El viaje río arriba tarda 5 horas y el viaje de regreso tarda 2.5 horas. ¿Cuál es la velocidad de la lancha? (Supon que la lancha mantiene una velocidad constante con rela­ ción al agua).

Física: movimiento uniforme Una lancha de motor man­ tuvo una velocidad constante de 15 millas por hora con relación al agua en su viaje de 10 millas río arriba y de regreso. El tiempo total del viaje fue de 1.5 horas. Usa esta información-para encontrar la velocidad de la corriente. 28. Física: movimiento uniforme Dos autos entran a la auto­ pista de Florida por el Boulevard Comercial a las 8:00 a.m, cada uno dirigiéndose a Wildwood. La velocidad promedio de un auto es de 10 millas por hora más que la del otro. El auto que va más rápido llega a Wildwood a las 11:00 a.m, - hora antes que el otro auto. ¿Cuál era la velocidad pro2 medio de cada auto? ¿Qué tan lejos viajó cada uno?

22. Negocios: mezcla de café Un fabricante de café quiere

29. Bandas móviles automáticas La velocidad de una banda

vender una nueva mezcla de café por $3.90 la libra mez­ clando dos tipos de café que se venden por $2.75 y $5 por libra respectivamente. ¿Qué cantidades de cada café tiene que usar para obtener la mezcla deseada?

móvil automática es generalmente 2.5 pies por segundo. Karen recorre 50 pies en ese tipo de banda en 40 segundos. El recorrido es en la dirección del movimiento de la banda y luego de regreso en dirección opuesta al movimiento de la banda. ¿A qué velocidad camina normalmente Karen?

[Sugerencia: Supon que la masa total de la mezcla deseada de café es de 100 libras].

Fuente: Answers.com

142 30.

C A P ÍT U L O

1

Ecuaciones y desigualdades

Hundas m óv iles au tom á tica s La estación d e tren d e Ciare M on lp arn assc en París tien e una versión de banda m óvil a u ­ tom ática de alta velocid ad . Si Jean ('la u d e cam in a so b re la banda, p u ed e recorrer 200 m etros en 3 0 se g u n d o s m e n o s q u e

- OTE

si so lo se para sob re la banda sin cam inar. Si Jean C lau de

' *09

cam ina a una velocid a d norm al d e 1.5 m etro s por se g u n d o ,

■

¿cuál e s la v elo cid a d d e la b and a m ó v il d e M o n lp a rn a ssc ?

Fuen le: A nswcrs. com 3 1 . T e n is

O i o o

U n a ca n ch a d e ten is co n m e d id a s o fic ia le s tie n e un

área de 2,SOS p ies cu a d ra d o s. Si m id e ó m e tr o s m á s d e lar­ g o q u e d e a n ch o , d eter m in a la m ed id a d e la ca n ch a .

38.

Im p reso ra s lá ser

C á lc u lo d e g a sto * d e n e g o c ie n

I b e re se , u na v e n d e d o ­

ra q u e trab aja e n e x te r io r e s , u sa su a u to p ara n e g o c io s y

Fuente: Asociación ele Tenis de E E .U U . 32.

lr m 0 0 » O O O OO » «

d iv e r sió n . E l a ñ o p a s a d o v ia jó 3 0 ,0 0 0 m illa s, u sa n d o

A una im p reso ra IIP L aserJet 1300 le

g a lo n e s d e g a so lin a . Su a u to p u e d e reco rrer 40 m illa s por g a ­

to m a 10 m in u to s m ás c o m p le ta r un tra b a jo d e im p r esió n

ló n e n la a u to p ista y 25 m illa s p o r g a ló n e n la ciu d a d . L ila

d e 300 p á g in a s d e lo q u e le to m a a una im p r eso r a H P L a ­ serJet 2 4 2 0 co m p le ta r el m ism o trab ajo. Si trabajan ju n ta s,

p u e d e d e sc o n ta r d e su s im p u e s to s t o d o lo q u e v ia je e n b a u to p ista , p e r o n ad a d e lo q u e viaja e n la ciu d a d . ¿ C u á n ta s

las d o s im p reso ra s p u e d e n c o m p le ta r el trab ajo en 12 m i­

m illa s p u e d e d ecla ra r I h c r c s c c o m o g a sto s d e n e g o c io ?

n u tos. ¿ C u á n to le to m a a ca d a una c o m p le ta r el trab ajo p or si so la ? ¿C uál e s la v e lo c id a d d e ca d a im p r eso r a ?

39.

M e z c la d e a g u a y a n tic o n g e la n te

¿ C u á n ta a g u a ve d e b e

a g reg a r a 1 g a ló n d e a n tic o n g e la n te p u r o p ara o b te n e r una

Fuente: Hewlett-Packard

s o lu c ió n q u e te n g a 6 0 % d e a n tic o n g e la n te ?

3 3 . T ra b a ja n d o ju n to s en unu ta rea

T r cn t p u e d e en tre g a r

su s p e r ió d ic o s en 30 m in u to s. A L o is le to m a 2 0 m in u to s

44).

M e z c la d e a g u a y a n tic o n g e la n te

E l sis te m a d e e n fr ia ­

m ie n to d e c ie r to a u to h e c h o e n e l e x tr a n je r o tie n e u na c a ­

h acer la m ism a ruta. ¿ C u á n to le s to m a ría en tr e g a r lo s p e ­

p a cid a d d e 15 litro s. Si e l sis te m a se lle n a c o n u n a m e z e b

r ió d ic o s si trabajaran ju n to s?

d e 4 0 % d e a n tic o n g e la n te , ¿ q u é c a n tid a d d e e s ta m e z ­

3 4 . T ra b a ja n d o ju n to s en u n a tarea

P a trice, p o r sí s o lo , p u e ­

cla d e b e r á d r e n a r se y se r r e e m p la z a d a p o r a n tic o n g c b n t e

d e pintar cu a tro cu a rto s e n 10 h oras. Si co n tra ta a A p ril

p u r o para q u e e l sis te m a s e lle n e c o n u n a s o lu c ió n d e 6 0 %

para q u e le a y u d e , p u e d e n h a cer el m ism o tra b a jo e n 6

d e a n tic o n g e la n te ?

h oras. ¿ C u á n to tie m p o le to m a rá a A p r il p in tar cu a tr o cu a rto s si trabaja so la ?

41.

Q u ím ica : s o lu c io n e s sa lin a s

¿ C u á n ta a g u a s e d e b e e v a ­

p orar d e 32 o n z a s d e u n a s o lu c ió n sa lin a al 4% para o b t e ­ 3 5 . C ercar un ja rd ín

U n ja r d in e r o tie n e 4 6 p ie s d e ce rc a q u e

n er u na s o lu c ió n sa lin a al 6 % ?

usará para cercar un jard ín recta n g u la r q u e tie n e un b o rd e 42.

d e 2 p ies d e a n c h o q u e lo ro d ea . V e r figura.

Q u ím ica : s o lu c io n e s sa lin a s

¿ C u á n ta a g u a se d e b e e v a ­

p orar d e 2 4 0 g a lo n e s d e u n a s o lu c ió n sa lin a al 3% para

(a ) Si el largo d el jard ín d e b e se r d o s v e c e s su a n c h o , ¿ c u á ­

p ro d u c ir u na s o lu c ió n sa lin a al 5 % ?

le s será n las d im e n s io n e s d el jard ín ? 43.

(b ) ¿C uál e s el área d el jard ín ?

P u r ez a d e l o r o

La p u r eza d e l o r o s e m id e e n q u ila te s,

c o n b a se e n e l o r o p u r o d e 24 q u ila te s. O tr a s p u r era s d e l

(c ) Si el la rg o y a n c h o d el jard ín d e b e n se r ig u a le s, ¿ c u á le s

o r o se e x p r e sa n c o m o p a r te s p r o p o r c io n a le s d e l o r o p u ro .

serían las d im e n s io n e s d el ja rd ín ? (d ) ¿C uál sería el área d e l ja rd ín re cta n g u la r?

2i

P or lo ta n to , e l o r o d e 18 q u ila te s e s — o 75% o r o pu-

p

"»4

ro. o r o d e 12 q u ila te s e s — o 50% o r o p uro, e t c ¿ C u á n to o r o 24 d e 12 q u ila te s s e d e b e m e z c la r c o n o r o p u r o para o b te n e r

I I I

6 0 g r a m o s d e o r o d e 16 q u ila te s?

I367

44.

Q u ím ica : m o lé c u la s d e a zú ca r

U n a m o lé c u la d e a zú car

tie n e e l d o b le d e á to m o s d e h id r ó g e n o q u e d e á to m o s d e o x íg e n o y un á to m o m á s d e c a r b ó n q u e d e o x íg e n o . Si la m o lé c u la d e a zú ca r tie n e un to ta l d e 4 5 á to m o s , ^ cu á n to s 3 6 . C o n str u c ció n

U n e s ta n q u e e stá r o d e a d o d e u n a tarim a

d e m a d era d e 3 p ie s d e a n c h o . La reja q u e r o d e a a la ta ri­ m a e s d e 1(K) p ie s d e largo.

45.

U n a carrera

M ik e p u e d e co r r e r u n a m illa e n 6 m in u to s

y D a n p u e d e co r r e r u n a m illa e n 9 m in u to s. Si M ik e le da a

(a ) Si el esta n q u e e s cu ad rad o, ¿ cu á les so n sus d im e n sio n e s?

D a n una v en ta ja d e I m in u to , ¿ q u é tan le jo s d e la sa lid a

(b ) Si el esta n q u e es rectan gu lar y el largo d el esta n q u e d e b e

reb a sa rá M ik e a D a n ? ¿ C u á n to ta rd a rá ? V e r F igura.

ser tres v e c e s su an ch o , ¿ cu á les so n su s d im e n sio n e s? (c ) Si e l e s ta n q u e e s circu la r, ¿cu ál e s su d iá m e tr o ? (d ) ¿ C u á l d e e s to s e s ta n q u e s tie n e m a y o r á rea? 37.

so n d e o x íg e n o ? ¿ C u á n to s d e h id r ó g e n o ?

F ú tb o l

U n r e c e p to r p u e d e co r r e r 100 y a rd a s e n ^ s e g u n ­

d o s. U n d e fe n s a lo p u e d e h a c e r e n 10 s e g u n d o s. El r e c e p ­ tor re c ib e un p a se e n la yard a 20 c o n el d e fe n s a d e tr á s e n la yard a 15. (V e r fig u r a ). Si n o h ay o tr o s ju g a d o r e s c e rc a , ¿ en q u é yard a a lca n za rá e l d e fe n s a al r e c e p to r ? (S u g eren cia : E n e l tie m p o t d etrá s d e l re ce p to r].

=

0 , e l d e fe n s a e s tá 5 y a rd a s

t

Reposo del capitulo

46.* Alcance de un avión Un avión de rescate recorre 3(X) millas

© 47.

48.

49.

50.

51.

por hora cuando no hay viento. Lleva suficiente combustible para 5 horas de vuelo. Si al despegar encuentra un viento en contra de 30 mi/h. ¿qué tan lejos puede volar y regresar a salvo? (Considera que el viento permanece constante). Nadado de barcos de petróleo Un barco de petróleo se puede vaciar con la bomba principal en 4 horas, lina bomba auxiliar puede vaciar el barco en 9 horas. Si la bomba prin­ cipal empezó a las 9 am, ¿a qué hora se debe encender la bomba auxiliar para que el tanque esté vacío a medio día? Mezcla de cemento Una bolsa de cemento de 20 libras contiene 25% de cemento y 75% de arena. ¿Cuánto ce­ mento puro se debe agregar para producir una mezcla que tenga 40% de cemento? Vaciado de una tina lina tina de baño se llena en 15 mi­ nutos con las dos llaves abiertas y el tapón puesto. Si se cie­ rran las dos llaves y se quita el tapón, la tina se vaciará en 20 minutos. ¿Cuánto tardará en llenarse la tina si se abren las dos llaves y se quita el tapón ? Uso de dos bombas Una bomba de 5 caballos de poten­ cia (hp) puede vaciar una alberca en 5 horas. Una bom­ ba menor, de 2 hp vacía la misma alberca en 8 horas. Las bombas se usan juntas para empezar a vaciar la alberca. Después de dos horas, la bomba de 2 hp deja de funcionar. ¿Cuánto tardará en vaciar la alberca la otra bomba? Biatlon Supon que vas a participar en un biatlón de 87 millas que consiste en correr y en carrera de bicicleta. Du­ rante la parte de correr, tu velocidad promedio es de 6 mi-

52.

53.

54.

143

lias por hora y durante la carrera de bicicleta, tu velocidad promedio es de 25 millas por hora. Terminas la carrera en 5 horas. ¿Cuál es la distancia que corriste? ¿Cuál es la dis­ tancia de la carrera en bicicleta? Ciclistas Dos ciclistas salen de la ciudad al mismo tiem­ po, uno se dirige al este y el otro al oeste. El que se dirige al oeste pedalea 5 mi/hr más rápido que el que se dirige al este. Después de 6 horas están separados por una distancia de 246 millas. ¿Qué tan rápido va cada ciclista? Comparación de héroes olímpicos En las Olimpiadas de 1984, C. Lewis de los Estados Unidos ganó la medalla de oro en la carrera de 100 metros con un tiempo de 9.99 segundos. En las Olimpiadas de 1896, Thomas Burke, también de los Estados Unidos, ganó la medalla de oro en la carrera de 100 metros en 12.0 segundos. Si corrieran en la misma carre­ ra, cada uno repitiendo el mismo tiempo respectivamente, ¿por cuántos metros le ganaría Lewis a Burke? Construcción de una lata de café Una lata de café de 39 onzas de Hills Bros, requiere 188.5 pulgadas cuadradas de aluminio. Si su altura es de 7 pulgadas, ¿cuál es su radio? [Sugerencia: El área de la superficie 5 de un cilindro recto es S = 2 tr r + lir r lu donde r es el radio y h es la altura].

Explicación de conceptos: discusión y escritura

Pensamiento crítico Tú eres el gerente de una tienda de ropa y acabas de comprar 100 camisas de vestir por $20.00 cada una. Después de 1 mes de vender las camisas al precio regular, planeas ponerlas en oferta al 40% de su precio de venta. Sin embargo, aún quieres tener una ganancia de $4 en cada camisa sobre el precio de oferta. ¿A qué precio debes dar las camisas inicialmente para asegurar esto? Si, en lugar de 40% de descuento las ofreces a 50% de des­ cuento, ¿a cuánto se reducen tus ganancias? 56. Pensamiento crítico Inventa un problema que requiera resolver una ecuación lineal como parte de su solución. Intercambia problemas con un compañero. Escribe una crítica del problema de tu compañero. 57. Pensamiento crítico Sin resolver, explica qué está mal en el siguiente problema de mezcla: ¿Cuántos litros de 25% de etanol se deben agregar a 20 litros de 48% de etanol para obtener una solución de 58% de etanol? Ahora re­ suelve la solución algebraica. ¿Qué sucede?

55.

58. Cálculo de velocidad promedio En su camino de Chica­

59.

go a Atlanta, un auto promedia 45 millas por hora y en su camino de Atlanta a Miami, promedia 55 millas por hora. Si Atalanta está a medio camino entre Chicago y Miami, ¿cuál es la velocidad promedio de Chicago a Miami? Dis­ cute una solución intuitiva. Escribe un párrafo defendien­ do tu solución intuitiva. Después resuelve el problema de forma algebraica. ¿Tu solución intuitiva es igual que la al­ gebraica? Si no, encuentra el error. Velocidad de un avión Recientemente en un vuelo de Phoenix a Kansas City, a una distancia de 919 millas náuti­ cas, el avión llegó 20 minutos más temprano. AI abandonar el avión, le pregunté al capitán, “¿Cuál es nuestro viento en cola?” El respondió, “No lo sé, pero nuestra velocidad relativa a la tierra fue de 550 nudos.” ¿Cómo puedes de­ terminar si se tiene suficiente información para encontrar el viento en cola? Si es posible, encuentra el viento en cola. (1 nudo = 1 milla náutica por hora)

R E P A S O D E L C A P ÍT U L O Cosas que debes saber

Fórmula cuadrática (pp. 97 y 110)

±

y j t f . _ ^ (¡c

Si ax2 + bx + c = 0, a ^ 0, entonces x = ---------- ------------2a

Si b1 - 4ac < 0, entonces no existen soluciones reales.

Discriminante (pp. 97 y 110) Si b2 - 4ac > 0, existen dos soluciones reales distintas. Si b2 - 4ac = 0, existe una solución real repetida. Si b2 - 4ac < 0, entonces no hay soluciones reales, pero existen dos soluciones complejas distintas que no son reales; las solucio­ nes complejas son el conjugado uno del otro.

144

C A P ÍT U L O 1

Ecuaciones y desigualdades

N o ta c ió n d e In te r v a lo s (p . 120)

^ x < b}

[«. b ]

{x\a

[a , b )

{x\a <

x <

{a,b}

{x\a <

x

(a, b)

{x\a <

x <

b]

s b) b)

a a}

[a, o o )

{x\x

(a, oo)

{x \ x > a }

( - 0 0 , a]

{x\x

( - o o , a)

{x\x <

( — 00 , o o )

Todos los números reales

£ a} a}

P r o p ie d a d e s d e d e sig u a ld a d e s

Propiedad de la suma (p. 121)

Si a < b, entonces a + c < b + c Si a > b, entonces a + c > b + c

Propiedades de la multiplicación (p. 122)

a) Si a < b y c > 0, entonces ac < be Si a < b y c < 0, entonces ac > be

Propiedades del recíproco (p. 123)

Si a > 0, entonces - > 0

Si a < 0, entonces - < 0

1 S i- > 0, entonces a > 0

Si— < 0, entonces a < 0

a

a

(b) Si a > b y c > 0, entonces ac > be Si a > b y c < 0, entonces ac < be

a

a

V a lo r a b so lu to

Si | u |

= a, a> 0, entonces u = —a o u - a (p. 130)

Si | u |

< a, a> 0, entonces - a ^ u < a (p. 131)

Si | u |

> a, a> 0, entonces u ^ - a o u > a (p. 132)

O bjetivos --------------------------------------------------------------------------Sección

1.1

D ebes de p o d e r...

1 Resolver ecuaciones lineales(p. 84) 2 Resolver ecuaciones que llevan a ecuaciones lineales (p. 86) 3

1.2

Resolver problemas que se pueden modelar con ecuaciones lineales (p.87)

1 Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización (p. 93.) 2 Resolver ecuaciones cuadráticas completando cuadrados (p. 95) 3 4

Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática (p. 96) Resolver problemas que se pueden modelar con ecuaciones cuadráticas (p. 99)

Ejercicio s d e rep aso

1-3 4-6 8

1-6,11-12 7,8,36 82,101

1,2 4,5 6-9 10

10,13,14,33-35 9,10,13-16,19,20.33-35 9,10,13-16,19.20,33-35 84,90,95,96,100,102

1.3

1 Sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos (p. 105) 2 Resolver ecuaciones cuadráticas en el sistema de números complejos (p. 109)

1-5 9-12

61-70 71-78

1.4

1 Resolver ecuaciones radicales (p. 113) 2 Resolver ecuaciones de forma cuadrática (p. 114)

1-3 4-6 7,8

17,18,23-30.37,38 21,22,31,32 43-46

1,2 3-6 7,8 9.10

47-60 47-60 47,48 49-52

1 Resolver ecuaciones con valor absoluto (p. 130) 2 Resolver desigualdades con valor absoluto (p. 130)

1 2-6

39-42 53-60

1 Traducir descripciones verbales a expresiones matemáticas (p. 135)

1 2,3 4 5,6 7

79, SO 81,82 82.93,94,97 83,85-89,104.105 91.92.99,103

3

1.5

4

1.6 1.7

Resolver ecuaciones por factorización (p. 116)

1 Usar la notación de intervalos (p. 120) 2 Usar las propiedades de las desigualdades (p. 121) 3

Resolver desigualdades (p. 123) Resolver desigualdades combinadas (p. 124)

2 Resolver problemas de interés (p. 136) 3 4 5 V.

Ejem p lo s

Resolver problemas de mezclas (p. 137) Resolver problemas de movimiento uniforme (p. 138) Resolver problemas de trabajo a velocidad constante (p. 140)

Repaso del capítulo

145

Ejercicios de repaso E n ‘los problem as 1 -4 6 , encuentra las soluciones reales, si las hay, de cada ecuación. (Donde aparecen, a, b, m y n son constantes positivas).

2. - - 2 = 4 4

I-2 - ? " 8 4. (6 — 3x) — 2(1 +

7.

c

6

x - 1

5

jc)

= 6jc

5.

„ 4 - 2x 3

3* x _ 1 T ~ 3 ~ 12

„ 4x - 5 „ 8. ----- — = 2 3 - 7x

* * 1

3. -2 (5 - 3jc) + 8 = 4 + 5* 1 6

„

6. — ------ t- — = 2x

3 7

x ^ —

9. x (l — x) = 6 1 — 3x x + 6 1 12' — = — + 2

10. x (l + x) = 6 13. ( x - l ) ( 2 x + 3) = 3

14. x(2 - x) = 3(x - 4)

15. 2x + 3 = 4x2

16. 1 + 6x = 4x2

17. aJ / x2 - 1 = 2

18. \ / l + x3 = 3

19. x ( x + 1) + 2 = 0

20. 3x2 - x + 1 = 0

21. x4 - 5x2 + 4 = 0

22. 3x4 + 4x2 + 1 = 0

23. V 2 x - 3 + x = 3

24. V 2 x - 1 = x - 2

25. $ 2 x + 3 = 2

26. V 3 x + 1 = - 1

27. V x + 1 + V x - 1 = V 2 x + 1

28. V 2 x - 1 - V x - 5 = 3

29. 2x1/2 - 3 = 0

30. 3x1/4 - 2 = 0

5/

^1. x-6 - 7x“3 - 8 = 0

32. 6x_1 - 5x_1/2 + 1 = 0

33. x2 + m2 = 2m x + (nx)2 n t4 1

34. b2x 2 + 2ax = x 2 + a2 b ^ 1

35. 10a2x2 - 2afcx - 36Z>2 = 0

1 1 2 3 6 .-----------1----------= — x ^ O , x ^ m, x ^ n x —m x —n x

37. x / ^ 2 + 3x + 7 - \ A 2 - 3x + 9 + 2 = 0

38. \ / x 2 + 3x + 7 — \ / x 2 + 3x + 9 = 2

39. |2x + 3| = 7

40. |3x - l| = 5

41. |2 — 3x| + 2 = 9

42. |l — 2x| + 1 = 4

43. 2x3 = 3x2

44. 5x4 = 9x3

45. 2X3 + 5x2 - 8x - 20 = 0

46. 3x3 + 5x2 - 3x - 5 = 0

E n los problemas 47-60, resuelve cada desigualdad. Expresa tu respuesta usando notación de conjuntos o notación de intervalos. Haz una gráfica del conjunto solución. 2x + 3

„ 2x - 3 x 47' 5 + 2 S 2

48.

- < 6x - 4

49. - 9 <

50. - 4 < 2X ~ 2 < 6

_ 3 - 3x 51. 2 < — —— < 6 12

52. - 3 <

53. |3x + 4| < |

54. |l - 2x| < |

55. |2x —

56. |3x + 1| > 10

57. 2 + |2 - 3x| < 4

58. i + 2

59. 1 — |2 — 3x| < - 4

60. 1

3

2x — 1

-4 5 - 3x

2x - 1

< 6

< 1

< -2

E n los problemas 61 - 70, usa el sistema de números complejos y escribe cada expresión en la form a estándar a + bi.

61. (6 + 3¿) - (2 - 4¿)

62. (8 - 3¿) + ( - 6 + 2i)

63. 4(3 - i) + 3 ( -5 + 2i)

64. 2(1 + / - 3(2 - 3/)

65.

66

67. i50

.

68 i 29

3 + i 69. (2 + 3i); \3

.2-

i

70. (3 - 2i)3

146

CAPÍTULO 1

Ecuaciones y desigualdades

E n los problemas 7 ! -7b, resuelve cada ecuación en el sistema de números complejos.

71. x2 + x + I = 0

72. x 2 - x + I = 0

73. 2x2 + * - 2 * 0

74. 3^r2 - 2x

75. x 2 + 3 = x

7 6 . 2 x2 + \ = 2 x

77. *(1 - x) = 6

78. * 0 + * ) * 2

-

1=0

79. Traduce la siguiente proposición a una expresión matemá­ tica: El perímetro p de un rectángulo es la suma de dos veces su largo / y dos veces su ancho w. 80. Traduce la siguiente proposición a una expresión matemá­ tica: El costo total C de fabricar x bicicletas en un día es de $50,000 más $95 multiplicado por el número de bicicletas fabricadas. 81. Operaciones en bancos Un banco presta $9000 al 7% de interés simple. Al final de 1 año, ¿cuánto se debe de inte­ rés por el préstamo? 82. Planeación financiera Stevc, quien se acaba de jubilar, requiere $5000 al año de ingresos extra. Tiene $70,000 para invertir en bonos de calificación A que pagan 8% al año o en certificados de depósito (CD) que pagan 5% al año. ¿Cuánto dinero debe invertir en cada uno para obte­ ner exactamente $5000 de interés al año? 83. Rayos y truenos Se ve un rayo y el trueno que resulta se oye 3 segundos más tarde. Si la velocidad promedio del sonido 1100 pies por segundo, ¿qué tan lejos está la tor­ menta?

88. Física: movimiento uniforme Dos abejas salen de dos lu­ gares separados por 150 metros y vuelan sin parar de ida y vuelta, entre estos dos lugares con velocidades promedio de 3 metros por segundo y 5 metros por segundo, respecti­ vamente. ¿Cuánto tiempo pasa para que las abejas se en­ cuentren por vez primera? ¿Cuánto tiempo pasa para que se encuentren por segunda vez? 89. Física: movimiento uniforme Un tren Metra sale de la estación Union en Chicago a las 12 del día. Dos hora más tarde, un tren Amlrak sale de la misma vía y viaja a una velocidad promedio de 50 millas por hora, más rápido que la del tren Metra. A las 3 p.m. el tren Amtrak está 10 millas detrás del tren Metra. ¿A qué velocidad va cada uno? 90. Física Un objeto es lanzado desde el techo de un edificio de 1280 pies de altura con una velocidad inicial de 32 pies por segundo. La distancia s (en pies) del objeto a la tierra después de t segundos es s = 1280 - 32/ - 16r. (a) ¿Cuándo llegará el objeto al suelo? (b) ¿A qué altura está el objeto después de 4 segundos?

84. Física: intensidad de la luz

La intensidad I (en candelas) 900 de cierta fuente de luz obedece la ecuación / = —y , donde x

x es la distancia (en metros) a la luz. ¿En qué intervalo

de distancias se debe colocar un objeto de la fuente de luz de manera que la intensidad de la luz esté entre 1600 y 3600 candelas? 85. Extensión de la búsqueda y rescate Un avión de búsque­ da tiene una velocidad de 250 millas por hora y tiene sufi­ ciente combustible para al menos 5 horas de vuelo. Si hay un viento que promedia 30 millas por hora y la dirección de la búsqueda es la misma del viento en un sentido y en contra del viento en el otro sentido, ¿qué tan lejos puede viajar el avión antes de que tenga que regresar? 86. Extensión de la búsqueda y rescate Si el avión descrito en el problema 85 es capaz de agregar un tanque suple­ mentario que le permitirá volar otras 2 horas, ¿qué tan le­ jos puede extender su búsqueda? 87. Rescate en el mar Una balsa, puesta a flote desde un bar­ co que se hunde a 150 millas de la costa, se dirige directa­ mente hacia la estación de guardacostas a una velocidad de 5 millas por hora. En el momento en que la balsa queda a la deriva, un helicóptero de rescate sale de la estación de guardacostas. Si la velocidad promedio del helicópte­ ro es de 90 millas por hora, ¿cuánto le tomará al helicóp­ tero alcanzar a la balsa?

91. Trabajando juntos para completar una tarea Clarissa y Shawna, si trabajan juntas, pueden pintar el exterior de una casa en 6 días. Clarissa puede completar este traba­ jo por sí misma en 5 días menos que Shawna. ¿Cuánto le toma a Clarissa completar el trabajo por sí misma? 92. Vaciado de un tanque Dos bombas de diferentes tama­ ños. trabajando juntas, pueden vaciar un tanque de com­ bustible en 5 horas. La bomba más grande puede saciar este tanque en 4 horas menos que la bomba más pequeña. ¿Cuánto tardara la bomba pequeña en hacer el trabajo, si la bomba grande está descompuesta? 93. Química: soluciones salinas ¿Cuánta agua se debe agre­ gar a 64 onzas de una solución salina al 10% para obtener una solución salina al 2%? 94. Química: soluciones salinas ¿Cuánta agua se debe eva­ porar de 64 onzas de una solución salina al 2% para obte­ ner una solución salina al 10%? 95. Geometría La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 centímetros. Encuentra las longitudes de los cate­ tos si su suma es de 17 centímetros. 96. Geometría La diagonal de un rectángulo mide 10 pulga­ das. Si el largo tiene 2 pulgadas más que el ancho, encuen­ tra las dimensiones del rectángulo. 97. Química: mezcla de ácidos L!n laboratorio tiene 60 cen­ tímetros cúbicos (env') de una solución que tiene 40% de ácido clorhídrico (HCI). ¿Cuántos centímetros cúbicos de una solución al 15% de HCI deben mezclarse con los 60 cnT del ácido al 40%. para obtener una solución de 25%? ¿Cuánto hay de la solución al 25%?

t Examen del capítulo

;9$.

Enmarcado de una pintura Un artista tiene 50 pulgadas

de madera de roble para enmarcar una pintura. El marco debe tener un borde de 3 pulgadas de ancho alrededor de la pintura. a) Si la pintura es un cuadrado, ¿cuáles son las dimensio­ nes? ¿Cuáles son las dimensiones del marco? b) Si la pintura es rectangular y el largo mide el doble de su ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la pintura? ¿Cuáles son las dimensiones del marco? 99. Uso de dos bombas Una bomba de 8 caballos de poten­ cia (hp) puede llenar un tanque en 8 horas. Una bomba más pequeña, de 3 hp, puede llenar el mismo tanque en 12 horas. Las bombas se usan juntas para empezar a llenar el tanque. Después de dos horas, la bomba de 8 hp deja de funcionar. ¿Cuánto le tomará a la bomba más pequeña llenar el tanque? 100. Proporción aceptable Una fórmula que establece la re­ lación entre el largo / y el ancho w de un rectángulo de “proporción aceptable” es / 2 = w(l + w). ¿Cómo se debe de cortar una hoja de tablaroca de 4 pies por 8 pies para que el resultado sea un rectángulo de “proporciones acep­ tables” con un ancho de 4 pies? 101. Finanzas Una herencia de $900,000 se va a dividir entre 1 Scott, Alice y Tricia de la siguiente manera: Alice recibirá 3 1 - de lo que Scott reciba, mientras que Tricia recibirá - de 4 2 lo que Scott reciba. ¿Cuánto recibe cada uno?

102. Negocios: determinación del costo de un camión rentado Un grupo de 20 personas de la tercera edad puede rentar un camión para una excursión de un día por $15 por per­ sona. La compañía que lo renta accede a descontar 10(2 del

103.

104.

147

precio de cada boleto por cada pasajero adicional después de 20, que vaya a la excursión, con un máximo de 44 pa­ sajeros (la capacidad del camión). Si el recibo final de la compañía fue de $482.40, ¿cuántos adultos de la tercera edad fueron a la excursión y cuánto pagó cada uno? Uso de copiadoras Una copiadora nueva puede hacer un trabajo en 1 hora menos que una copiadora vieja. Juntas pueden hacer el trabajo en 72 minutos. ¿Cuánto le tomaría a la copiadora más vieja hacer el trabajo por sí sola? Emparejando una carrera En una carrera de 100 metros, Todd cruza la meta 5 metros por delante de Scott. Para ha­ cer las cosas más parejas, Todd sugiere a Scott que vuelvan a competir, pero esta vez Todd empezará 5 metros antes de la salida. a) Suponiendo que Todd y Scott pueden correr al mis­ mo paso que antes, ¿la segunda carrera termina en empate? b) Si no, ¿quién gana? c) ¿Por cuántos metros gana? d) ¿A cuántos metros de la salida deberá empezar Todd para que la carrera termine en empate? Después de correr la segunda vez, Scott, para hacer las co­ sas más parejas, sugiere a Todd que él (Scott) empiece la carrera 5 metros delante de la salida. e) Suponiendo nuevamente que corren al mismo paso que en la primera carrera, ¿la tercera carrera termina en empate? f) Si no, ¿quién gana? g) ¿Por cuántos metros? h) ¿Cuántos metros más adelante debe empezar Scott para que la carrera termine en empate?

105. Física: movimiento uniforme Un hombre camina a una velocidad promedio de 4 millas por hora junto a las vías de un tren. Un tren de carga, que va en la misma dirección a una velocidad promedio de 30 millas por hora, requiere de 5 segundos para rebasar al hombre. ¿Qué tan largo es el tren de carga? Da tu respuesta en pies.

Los videos Test Prep del capítulo son soluciones paso a paso disponibles en el DVD, entre los recursos de video, en

MyM¡itftíab \ o en el canal de YoilÍifli$ ~de este texto. Ver página de Recursos del estudiante para ver la dirección exacta del canal de YouTube de este texto.

E X A M E N D E L C A P ÍT U L O

E n los problemas 1 -7 , determina las soluciones reales, si las hay, de cada ecuación.

1 .^ -

3

x

5

2

12

5. \2x - 3| + 7 = 10

2. x ( x — 1) = 6

3. x 4 - 3x2 - 4 = 0

6. 3.r3 + 2x2 — 12jc —8 = 0

7. 3x2 - .r + 1 = 0

4. V2.v - 5 + 2 = 4

E n los problemas 8-1 0 , resuelve cada desigualdad. Expresa tu respuesta usando notación de intervalos. Haz una gráfica del conjunto solución. 8. -3 < 3X ~ 4 < 6

-2

9.

\3x

+ 4| < 8

11. Escribe-------en la forma estándar a + 3 - i

10. 2 +

\2x - 5| a 9

bi.

12. Resuelve la ecuación 4x2 - 4x + 5 = 0 en el sistema de números complejos. 13. Mezcla de café Una tienda de café tiene 20 libras de un café que se vende a $4 por libra. ¿Cuántas libras de café que se venden a $8 por libra se deben mezclar con 20 libras de café de $4 por libra para obtener una mezcla que se venda por $5 por libra? ¿Cuánto habrá del café de $5 por libra para vender?

148

C A P ÍT U L O 1

Ecuaciones y desigualdades

PROYECTOS DEL CAPÍTULO porcentaje. El tiempo /, medido en meses, es la duración del préstamo. Por ejemplo, un préstamo a 30 años requiere 1 2 X 30 = 360 pagos mensuales. r

ßyij

P r o y e c to co n b a se en In te rn et. F in a n c ia m icn to d e u n a co m p ra En algún punto de tu vida es probable que necesites pedir dinero para financiar una compra. Por ejemplo, la mayoría de nosotros finan­ ciaremos la compra de un auto o de una casa. ¿Cuáles son las matemáticas detrás de un financiamiento? Cuando pe­ dimos dinero prestado a un banco, éste usa una ecuación compleja (o fórmula) para determinar cuánto tendrás que dar cada mes para pagar el préstamo. Existen un número de variables que determinan el pago mensual. Estas va­ riables incluyen la cantidad pedida, la tasa de interés y la duración del préstamo. La tasa de interés se determina con base en las condiciones económicas actuales, la dura­ ción del préstamo, el tipo de objeto que se quiere comprar y tu historial crediticio. Para ver cómo juzgan los bancos tu solvencia, lee el artículo “Como trabajan las fuentes de crédito” (“How credit scores work”) en littp://money.

I.

howstuffworks.com /personal-fiiiance/debt-im wagem enl/ credit-score.htm La siguiente fórmula da el pago mensual P requerido para pagar un préstamo L con una tasa de interés r, ex­

presado como un decimal, pero generalmente dado como

P - pago mensual L = monto del préstamo r = t a s a anual de interés expresada como dec'mai t = duración del préstamo, en meses

1. Las tasas de interés cambian diariamente. Muchas pági­ nas de Internet cuentan con listas de las tasas de interés actuales para préstamos. Ve a www.bankrute.com (o a otra página que liste las tasas de interés para préstamos) y encuentra la mejor tasa de interés para un préstamo para comprar un auto nuevo a 48 meses. Usa esta tasa para de­ terminar los pagos mensuales en un préstamo para un auto de $20,000. 2. Determina el monto total a pagar por un préstamo multipli­ cando el pago del préstamo por la duración del préstamo. 3. Determina el monto total de intereses pagados restando el monto del préstamo del total pagado de la pregunta 2. 4. Muy seguido decidimos cuánto podemos pagar y usamos eso como información para determinar el monto del prés­ tamo. Supon que puedes hacer un pago mensual de $500. Usa la tasa de interés de la pregunta 1 para determinar la cantidad máxima que puedes pedir prestada. Si tienes $5000 para dar un anticipo del auto, ¿cuál es el valor máxi­ mo del auto que puedes comprar? 5. Repite las preguntas 1 a 4 usando un préstamo para un auto nuevo a 60 meses, un préstamo para un auto usado a 48 meses y un préstamo para un auto usado a 60 meses.

6. Podemos usar una hoja de cálculo, como Excel, para amortizar el préstamo. Un programa de amortización de un préstamo es una lista de los pagos mensuales, descomposición del capital e intereses, junto con un saldo actual del préstamo. Crea un programa de amortización de préstamo para cada uno de los cuatro escenarios de préstamos discutidos arriba usando la guía siguiente. Puedes usar un buscador de Internet para investigar teclas específicas para crear tu programa de amortización de préstamo en la hoja de cálculo. Damos una hoja de cálculo con fórmulas incluidas como guía. Usa la hoja de cálculo para veri­ ficar tus resultados de las preguntas 1 a 5. N ú m ero In fo rm a c ió n d e l p r é s ta m o

Monto del préstamo $20,000.00 Tasa de interés anual 0.05 Duración del préstamo (años) 4 Número de pagos =B4*12

de pago

1 2 3

In te r é s to C a n tid a d d e p a g o

In te r é s

=PMT($B$3/12,$B$5,-$B$2,0) =B2*$B$3/12 =PMT($B$3/12,$B$5,-$B$2.0) = H2*$B$3/12 =PMT($B$3/12,$B$5,-$B$2,0) = H3*$B$3/12

C a p ita l

S a ld o

= E 2 -F 2 = B 2 -G 2 = E 3 —F3 = H 2 —G3 = E 4 -F 4 = H 3 —G4

pagado

=B2*SBS3 =I2+F5 = I3+ FJ

7. Visita una página de venta de autos como w w w .cars.com ,www.vehix.com o ww.autobvtel.com. Investiga los tipos de vehículos que puede comprar con un pago mensual de $500. Escoge un auto que comprarías, basado en el análisis en las preguntas 1-6. Asegúrate de justificar tu decisión e incluir el impacto de la duración del préstamo en tu decisión. Puedes considerar otros factores en tu decisión tales como costos de mantenimiento y costos del seguro. C itas:

Obringer, Lee Ann. “How Credit Scores Work.” 16 July 2002. HowStuffWorks.com. http://money.howstuffworks.com/personalfinance/debt-management/credit-score.htm 15 March 2010; Excel © 2010 Microsoft Corporation. Usado con permiso de Microsoft. E l siguiente proyecto también está disponible en el Centro de Recursos del Instructor ( C R I) : II.

P r o y e c to M o to r o la ¿ C u á n to s t e lé fo n o s c e lu la r e s p u e d o h a cer ? Un ingeniero industrial usa un modelo que incluye ecuacio­ nes para asegurar que los niveles de producción satisfagan la demanda.

•Jfc..

Gráficas Contenido 2 .1

Fórm ulas de distancia y punto m edio

2 .4

Círculos

•

Repaso acum ulativo

2 .2

Gráficas de ecuaciones de dos variables;

2 .5

Variación

•

Proyecto del capítulo

2 .3

intersecciones; sim etría

•

Repaso del capítulo

Rectas

•

Exam en del capítulo

Las primeras Olimpiadas modernas: Atenas, 1896

El nacimiento de los juegos olímpicos modernos Por John Gettings — “Doy por iniciados los primeros Juegos Olímpicos Internacionales en Atenas.” Con estas palabras el 6 de abril de 1896 el Rey Jorge I de Grecia le dio la bienvenida a la multitud que es­ taba reunida en el recién construido Estadio Panateneo a los Juegos Olímpicos modernos de verano. El evento fue idea del Barón Pierre de Coubertin de Francia, quien viajó por todo el mundo para ganar apoyo para su sueño de que las naciones dejaran atrás sus conflictos nacionales y se unieran, todo en nombre del deporte. El programa de los Juegos incluía atletismo, esgrima, levantamiento de pesas, tiro con rifle y pistola, tenis, ciclismo, natación, gimnasia y lucha. Aunque participaron 14 naciones, la mayoría de los atletas eran griegos. Los juegos llegaron a su clímax en el día 5 con el primer maratón de la era moderna. La idea de tener un evento que conmemorara los Juegos Olímpicos Antiguos fue sugerida por un amigo de Coubertin y fue reci­ bida con una gran expectativa. La carrera iba de Maratón a Atenas (con una distancia aproximada de 22-26 millas) y fue vista por más de 100,000 personas, el ganador fue un corredor griego, Spiridon Louis. Gettings , The First Modern Olympics, Athens, 1986, ©2000-2010 Pearson Education, publishing as Infoplease. Reproducido con permiso. — V e r e l p ro y e c to co n base en In te rn e t d el ca p ítu lo -

< E n R e s u m e n Enel capítulo Rrevisamos las bases del álgebray lageometríay enel capítulo 1 estu­ diamos las ecuaciones de unavariable. U n V i s t a z o ^ Ahora conectamos el álgebray lageometría por medio del uso del sistema de coordenadas rectangulares paragraficarecuaciones endos variables. La¡deade usarunsistema de coordenadas rectangulares se remon­ taatiempos antiguos, cuando ese sistema se usaba para latopografía y planeación de ciudades. En200 a.C., Apolonio de Perga usó una forma de coordenadas rectangulares en su trabajo con cónicas, aunque este uso no sobresale tanclaramen­ tecomo enel tratomoderno. El uso esporádico de coordenadas rectangulares continuó hasta los años 1600. Paraentonces, el álgebra se habíadesarrollado lo suficiente paraque René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) pudie­ randarel paso crucial, el uso de coordenadas rectangulares paratraducir problemas geométricos en problemas algebraicos yviceversa. Este pasofue importante por dos razones. Laprimera, permitióa los geómetras yalgebristas adquirir nuevas per­ cepciones de sus materias, las cuales, anteriormente se habíanconsiderado como materias separadas, peroque apartirde ese momento se observó que estaban conectadas de maneras importantes. La segunda, estas nuevas percepciones hicieron posible el desarrollo del cálculo, el cual, amplió el número de áreas en las cuales se podíanaplicar las matemáticas e hizo po­ sible unentendimiento mucho más profundo de estas áreas.

149

150

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

2.1 Fórmulas de distancia y punto medio Preparación para esta sección •

A m e s de em p ezar, repasa lo sig u ie n te :

Bases de álgebra (capítulo R, sección R.2, pp. 17-26)

\

•

Bases de geometría (capítulo R, sección R.3, pp. 30-35)

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 154.

OBJETIVOS

1

Usar la fórmula de distancia (p. 151))

2 Usar la fórmula de punto medio (p. 153)

Coordenadas rectangulares

F ig u ra 1

J ___I__ I___L

-4

-2

0

-2

-4

F ig u ra 2

y 4

( 3 1)

3

•

3,2)

2 1 1 1 i 4 2

■k T . . 0

-4

3

3

, x

•

-

3

f- 1

F ig u ra 3

y Cuadrante II x0

Cuadrante 1 x>0,y>0 X

Cuadrante III x< 0, y< 0

Cuadrante IV x> 0, y< 0

Para localizar un punto en la recta de los números reales, le asignamos a éste un nú­ mero real, llamado la co o rd en a d a d e l p u n to . Cuando trabajamos en el plano de dos dimensiones localizamos los puntos por medio de dos números. Empezamos con dos rectas de números reales localizadas en el mismo plano: una horizontal y una vertical. A la recta horizontal se le llama eje x , a la recta vertical se le llama eje y y al punto de intersección se le llama origen O . Observa la figura 1. Le asignamos coordenadas a cada punto de estas rectas numéricas usando una escala conveniente. Generalmente usamos la misma escala en cada eje, pero en la práctica se pueden usar diferentes escalas apropiadas para la aplicación. El origen O tiene un valor de ü en el eje a y en el eje y. Asociamos los puntos en el eje x a la derecha de O con números reales positivos y los que están a la izquier­ da de O con números reales negativos. Los puntos en el eje y por encima de O se asocian con números reales positivos y los que están por debajo de O se asocian con números reales negativos. En la figura 1, el eje .v y el eje y están etiquetados como x y y, respectivamente, y hemos usado una flecha al final de cada eje para denotar la dirección positiva. El sistema de coordenadas aquí descrito se llama sistema de coordenadas rec­ tangulares o cartesianas.* El plano formado por el eje .r y el eje y a veces se llama el plano jry y los ejes x y y se conocen como ejes coordenados. Podemos localizar cualquier punto P en el plano jry usando un par ordenado (.r.y) de números reales. Sea x la distancia con signo del eje y a P (co n sig n o quiere decir que si P está a la derecha del eje x , entonces x > 0 y si P está a la izquierda del eje y. entonces a: < 0); y sea y la distancia con signo del eje .v a P . El par ordenado (.r.y) que se conoce como las coordenadas de P , nos da suficiente información para localizar el punto P en el plano. Por ejemplo, para localizar un punto cuyas coordenadas son (-3 ,1 ), recorre 3 unidades sobre el eje .v a la izquierda de O y después una unidad hacia arriba. La coordenada se traza colocando un punto en este lugar. Observa la figura 2, en donde localizamos los puntos con coordenadas (-3 ,1 ). (-2 .-3 ). (3 .-2 ) y (3.2). El origen tiene coordenadas (0,0). Cualquier punto sobre el eje x tiene coordenadas de la forma (,v,0) y cualquier punto sobre el eje y tiene coordenadas de la forma (O.y). Si (,v,y) son las coordenadas del punto P, entonces a x se le llama la coordenada x o abscisa de P y y es la coordenada y u ordenada de P. Identificamos el punto P por las coordenadas (.v,y) escribiendo P - ( x , y ) . Generalmente decimos "el punto (.r.y)” en lugar de “el punto cuyas coordenadas son (.v.y)”. Los ejes coordenados dividen al plano x y en cuatro secciones llamadas cuadran­ tes, como se muestra en la figura 3. En el cuadrante I, la coordenada .v y la coordena­ da y de todos los puntos son positivas; en el cuadrante II. x es negativa y y es positiva; en el cuadrante III, .v y y son negativas y en el cuadrante IV, x es positiva y v es negativa. Los puntos sobre los ejes coordenados no pertenecen a ningún cuadrante. "

-R esuelve ahora el p r o b l e m a

13

* En honor a René Descartes (1596-1650), un matemático, filósofo y teólogo francés.

S E C C IÓ N 2.1

Fórmulas de distancia y punto medio

151

COMENTARIO En una calculadora gráfica puedes escoger la escala en cada eje. Una vez que hayas hecho esto, obtendrás el rectángulo de visualizaron. En la figura 4 se presenta un rectángulo de visualizarán típico. Debes leer ahora la sección 1, Rectángulo de vieuaHzación en el apéndice. ■ F ig u r a 4

1 Uso de la fórm ula de distancia Si se usan las mismas unidades de medida, tales como pulgadas, centímetros, etc., para ambos ejes, entonces todas las distancias en el plano x y se pueden medir usando esta unidad de medida.

[ EJEM PLO 1

Determinar la distancia entre dos puntos Determina la distancia d entre los puntos (1,3) y (5,6).

Solución

Primero localiza los puntos (1,3) y (5,6) en la gráfica y conéctalos por medio de una recta. Observa la figura 5(a). Estamos buscando la longitud de d. Empezamos trazan­ do una recta horizontal de (1,3) a (5,3) y una recta vertical de (5,3) a (5,6), formando un triángulo rectángulo, como se ve en la figura 5(b). Un cateto del triángulo tiene longitud 4 (debido a q u e |5 - l| = 4) y la longitud del otro es 3 (debido a que |6 —3| = 3). Por el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la distancia d que buscamos es d2 =

42 + 32 = 16 + 9 = 25 d = V25 =

5

La fórmula de la distancia nos proporciona un método directo para calcular la distan­ cia entre dos puntos.

TEOREM A

F ó rm u la d e la d is ta n c ia

La distancia entre dos puntos P x = (x^y,) y P 2 = (x v y 2), que se denota por d { P J 2\ t s

r r

En palabras

r r r r _ c r r

Vara calcular la distancia entre dos puntos, determina la diferencia de las coordenadas x, elévala al cuadrado y suma esto al cuadrado de la diferencia de las coordenadas y. La raíz cuadrada de esta suma es la distancia.

d { P \ , P 2) =

V

(* 2

- *i)2 +

(yi -

y\)2

( 1) J

Sean (A^y^ las coordenadas del punto P { y sean (x 2,y 2) las coordenadas del punto P r Considera que la recta que une a P, P, no es ni horizontal ni vertical. Observa la figura 6(a) en la página 152. Las coordenadas de P3 son ( x v y x). La distancia horizontal de P, a P3es el valor absoluto de la diferencia Dem ostración de la fórmula de la distancia

152

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

de las coordenadas x, |x2-x ,|. La distancia vertical de P3a P2 es el valor absoluto de la diferencia de las coordenadas y, |y2- y,|. Observa la figura 6(b). La distancia d ( P t P j que buscamos es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo y, por el teore­ ma de Pitágoras, se deduce que

[d(p], p 2)}2 = ta - *il2 + \yz

= ¿ ( p ,, p 2)

(* 2

- *i)2 +

(yz -

*i)2 +

= \/(x z -

^il2

-

y\)2

(yz -

y\)2

Figura 6

(a)

(b)

Ahora, si la recta que une P, y P 2es horizontal, entonces la coordenada y de P, es igual a la coordenada y de P v esto es, y, = y r Observa la figura 7(a). En este caso, la fórmula de distancia (1) funciona, ya que para y, = y 2se reduce a d ( P i , P2) = V ( x z - * i)2 + O2 = V ( * 2 - * i)2 = 1*2 - *il y |P2 = (x1.y2) t ; 1*2 7 * 1 d(Pr P2)

h

■ ,

Lp, = (J^.y,)

h

1

r

'2

= — ò—

*Un postulado de geom etría establece que la transversal P \ P 2 forma ángulos congruentes correspondien­ tes a los segmentos de recta paralelos P ¡ A y M B .

154

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

TEOREMA r r En palabras r Para encontrar el punto medio

Fórm ula d el p u n to m ed io

El punto medio M = (x,y) del segmento de recta de l \ = { x vy f a P 2 = (x 2,y2) es

r de un segmento de recta, pror media las coordenadas x y y d e r los puntos terminales.

M = (x,y) =

x i + *2 y\ + y2

( 2)

J

r

Encontrar el punto medio de un segmento de recta

EJEM PLO 4

Encuentra el punto medio del segmento de F, = (-5,5) a P 2 = (3,1). Haz una gráfica de los puntos F, P 2 y de su punto medio. F ig u ra 10

Solución

Aplica la fórmula de punto medio (2) tomando las coordenadas (;c,y) del punto medio M son x\ + x 2

x

-5 + 3

,

y\

= — -z— = — z — = - i y

Resuelve ahora

el

problema

= -5 , y, = 5, x 2= 3 y y 2 = 1. Entonces

y =

+ yi

— ó— =

5 + 1

=3

35

2.1 Evalúa tu en ten d im ien to "¿Estás listo?" L a s respuestas se dan al fin a l de los ejercicios . S i obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. En la recta de los números reales, al origen se le asigna el núm ero________ (p. 17)

5. El área A de un triángulo cuya base es b y cuya altura es h es .4 = ________ (p. 31)

2. Si -3 y 5 son las coordenadas de dos puntos en la recta de los números reales, la distancia entre estos dos puntos es (pp. 19-20)

6. Verdadero o fa ls o Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado incluido de uno es igual a dos ángulos y el lado incluido del otro. (pp. 32-33)

3. Si 3 y 4 son los catetos de un triángulo rectángulo, la hipo­ tenusa e s ________ (p. 30) 4. Usa el recíproco del teorema de Pitágoras para demostrar que un triángulo cuyos lados miden 11,60 y 61 de longitud es un triángulo rectángulo, (pp. 30-31)

Conceptos y vocabulario 7. Si ( x, y) son las coordenadas de un punto P en el pla­ no xy, entonces x se llama la _______ de P y y es la _______ de P. 8. Los ejes coordenados dividen al plano x y en cuatro secciones llamadas________ 9. Si tres puntos distintos P , Q y R están sobre una recta y si d{P, Q ) = d ( Q, R ), entonces Q se llama_______ de la línea del segmento de P a R.

10. Verdadero o fa ls o La distancia entre dos puntos es a ve­ ces un número negativo. 11. Verdadero o fa ls o El punto (-1.4) está en el cuadrante IV del plano cartesiano. 12. Verdadero o fa ls o El punto medio de un segmento de recta se calcula con el promedio de las coordenadas .r y con el promedio de las coordenadas v de los puntos terminales.

Ejercicios E n los problemas 13 y 14, haz una gráfica de cada punto en el plano .xy. Indica en qué cuadrante o en qué eje coordenado se localizan los puntos.

\ 13.

(a) A = (-3,2)

(d) D = (6,5)

(b) B = (6,0)

(e) £ = (0,-3)

(b) B = (-3 ,-4 )

(c) C = (-2,-2)

(f) P - (6,-3)

(c) C= (-3,4)

14. (a) A = (1.4)

(d) D = (4.1)

(e) E = (0.1) (f) P - (-3,0)

S E C C IÓ N 2.1

Fórmulas de distancia y punto medio

155

Haz una gráfica de los puntos (2,0), (2,-3), (2.4), (2,1) y (2,-1). Describe el conjunto de todos los puntos de la forma (2, y), j donde y es un número real. 16. Haz una gráfica de los puntos (0,3), (1,3), (-2.3), (5,3) y (-4,3). Describe el conjunto de todos los puntos de la forma (x , 3), donde x es un número real. En los problem as 17-28, determina la distancia d(P,, P,) entre los puntos P . v P ,

18.

y\

2 -P2 = (2.1) P,

= (0. 0) 1 1

-2 -1

-

2 x

y. fW -2 ,1 )2 > , = (0. 0) N s ! i i , "2 -1

20.

y\ (-2¿2L 1 1

2 x

"2 -1

1 1»

2 x

21. P, = (3,-4); P; = (5,4)

22. P, = (—1,0); P 2= (2,4)

23. P , = (-3,2); P , = (6,0)

24. P, = (2,-3); P2= (4,2)

25. P , = (4,-3); P , = (6.4)

26. P, = (-4 ,-3 ); P2= (6,2)

27. P, = («,/>); P2 = (0,0)

28. P, = (a,íi); P2= (0,0)

y, /w - i.i¿ 5 i i - 2 -i

P2 = (2.2) 1 1 » 2 x

£>i /os problem as 29-34, haz una gráfica de cada punto y form a el triángulo A B C . Verifica que el triángulo sea un triángulo rectángulo. Determina su área. 29.

31. 33.

A = (-2,5); B = (1,3); C = (-1,0)

/f = (-5 ,3 );B = (6 ,0 );C = (5 ,5 ) A = (4,-3); S = (0,-3); C = (4,2)

30. A = (-2,5); B = (12,3); C = (10,-11) 32. A = (-6,3); B = (3,-5); C = (-1,5) 34. A = (4,-3); B = (4,1); C = (2,1)

E n los problemas 35-42, encuentra el punto medio del segmento de recta que une los puntos P ; y P,.

35.

P, = (3,-4); P2 = (5,4)

36. P, = (-2,0); P2= (2,4)

37.

P, = (-3,2); P2= (6,0)

38. P, = (2,-3); P2= (4,2) 40. P, = (-4 ,-3 ); P2= (2,2) 42. P, = (a,o); P2= (0,0)

39. P, = (4,-3); P2= (6,1)

41. P, = (a,b); P2= (0,0) A plicaciones y extensiones 43. Si el punto (2,5) se recorre 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo, ¿cuáles son sus nuevas coordenadas? 44. Si el punto (-1,6) se recorre 2 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia arriba, ¿cuáles son sus nuevas coordena­ das? 45. Determina los puntos que tienen una coordenada x igual a 3 y cuya distancia al punto (-2 ,-1 ) es 13. (a) Usando el teorema de Pitágoras. (b) Usando la fórmula de la distancia. 46. Determina todos los puntos que tienen una coordenada y igual a -6 , cuya distancia al punto (1,2) sea 17. (a) Usando el teorema de Pitágoras. (b) Usando la fórmula de la distancia. 47. Determina todos los puntos en el eje x que estén a 6 unida­ des de un punto (4,-3). 48. Determina todos los puntos en el eje y que estén a 6 unida­ des del punto (4,-3). 49. El punto medio del segmento de P , a P2 es (-1,4). Si P , = (-3,6), ¿qué es P2? 50. El punto medio del segmento de P ; a P2 es (5,-4). Si P 2= (7,-2), ¿qué es P ;? 51. Geometría Las medianas de un triángulo son los segmen­ tos de recta que van de cada vértice al punto medio del lado opuesto (ver la figura). Determina las longitudes de las me­ dianas del triángulo con vértices en A = (0,0), B = (6,0) y (4,4).

52. Geometría Un triángulo equilátero es uno en el que los tres lados tienen la misma longitud. Si dos vértices de un triángulo equilátero son (0,4) y (0,0), encuentra el tercer vértice. ¿Cuántos de estos triángulos son posibles?

53. Geometría Encuentra el punto medio de cada diagonal de un cuadrado que tiene lados de longitud s. Llega a la conclusión de que las diagonales de un cuadrado se intersectan en sus puntos medios.

[Sugerencia: Usa (0,0), (0,s), (s,0) y (s, s) como los vértices del cuadrado], 54.

Geometría Verifica que los puntos (0,0), (a,0) y ^ sean los vértices de un triángulo equilátero. Después de­ muestra que los puntos medios de los tres lados son los vér­ tices de un segundo triángulo equilátero (usa el problema 52 como referencia).

156

con y. En este caso, conocemos la pendiente m de la recta y el punto (O.M en la recta, entonces usamos la forma punto-pendiente, ecuación (2). para obtener la siguiente ecuación:

y - b = m (x - 0) o y = m.r + b

TEO REM A

F o rm a p e n d ie n te -o r d e n a d a d e la e c u a c ió n d e u n a re cta

Una ecuación de una recta con pendiente m e intersección b en v es V = inx + h

(3)

J Resuelve ahora

Il

PROBLEMA

p e n d i e n t e

S1

(DA

LA R E S P U E S T A

-o rd en ad a)

IN

fORMA

S E C C IÓ N 2.3

gyra39 y=mx +2

173

Visualización del concepto

V4 = 3x + 2

= - 3x + 2

Rectas

L J Para ver el papel que juega la pendiente m, dibuja la gráfica de las siguientes rectas en la misma pantalla.

y, = 2 K = x +2

y, = 2

V ^-x + 2 6

V4= 3x + 2 Yi = -3x + 2 Ver figura 39. ¿Qué puedes concluir acerca de las rectas y = mx + 2?

Visualización del concepto LJ Para ver el papel que juega la intersección b en y, dibuja la gráfica de las siguientes rectas en la misma

¡gura 40 y = 2x + b V2 = 2x + 1

pantalla.

Ya = 2x + 4 j , ^ J 2x _ 1

:igura 41

J

y, = 2x

4/ / / / y5 = 2 x - 4

y2= 2x+1

yj=2x-i y4= 2x + 4 ys= 2x-4 Ver figura 40. ¿Qué puedes concluir acerca de las rectas y = 2r + bl -4

J

7 Identificación de la pendiente e intersección con y de una recta a partir de su ecuación Cuando la ecuación de una recta está escrita en forma pendiente-ordenada, es fácil encontrar la pendiente m y la intersección b con y de la recta. Por ejemplo, considera que la ecuación de una recta es y = —2x + 7 Compara esta ecuación con y = mx + b y = -2.tr 4- 7

t

y =

t

mx + b

La pendiente de la recta es - 2 y su intersección con y es 7. Resuelve ahora

EJEM P LO 8

el

problema

71

D eterm inación de la pendiente e intersección con y Determina la pendiente m e intersección b en y de la ecuación 2x + 4y = 8. Haz una gráfica de la ecuación.

Solución

Para obtener la pendiente e intersección en y, resuelve para y para escribir la ecua­ ción en forma pendiente-ordenada. 2jc + 4y = 8 4y = —2x + 8 1

y = ——X

+ 2 y = mx + b

1 El coeficiente de x, — , es la pendiente y la intersección en y es 2. Haz una gráfica 2 . 1 de la recta usando el hecho de que la intersección en y es 2 y la pendiente es ——. Después, empezando con el punto (0,2), muévete 2 unidades a la derecha y 1 unidad hacia abajo al punto (2,1). Observa la figura 41. Resuelve ahora

el

problema

77

174

C A P ÍT U L O 2 Gráficas

8 Gráfica de rectas escritas en la forma general usando intersecciones Consulta el ejemplo 8. La forma de la ecuación de la recta 2x * 4y ■ 8 ve llama la forma neutral. D E F IN IC IÓ N

La ecuación de una recta está en forma general* cuando está escrita a m o Ax

donde

A , II

+

Hy 9

C

y C son números reales y A y

(4| H

no pueden ser ambas 0.

.

Si II = 0 en (4), entonces A *■0 y la gráfica de la ecuación es una recta vertical x = — Si H / 0 en (4), entonces podemos resolver la ecuación para v y escribir La A ecuación en forma pendiente-ordenada como lo hicimos en el ejemplo 8. Otro enfoque para representar gráficamente la ecuación (4) es encontrar Las in­ tersecciones. Recuerda que las intersecciones de la gráfica de una ecuación son los puntos donde la gráfica cru/a o toca al eje de coordenadas. EJEM PLO 9

Gráfica de una ecuación en form a general usando sus intersecciones H a/ una gráfica de la ecuación 2v + 4y = 8 a partir de sus intersecciones.

Solución

Para obtener las intersecciones en .t. hacemos y = 0 en la ecuación y resolvemos para r 2 x + 4y = 8 2 x + 4(0) = 8

Sea y * 0.

2x = 8 X

= 4

Q r.iá e

arrbo* UdO0 f" Ve 2.

La intersección con x es 4 y el punto (4,0) está en la gráfica de la ecuación. Para obtener la intersección en y. hacemos x = 0 en la ecuación y resolvemos para i 2.v + 4y = 8

Figura 42

2(0) + 4y = 8

Sea * = O .

4y = 8 V= 2

CK'-iie a»nt>c«9 Uao» r^Tr? 4

La intersección con y es 2 y el punto (0.2) está en la gráfica de la ecuación. Dibuja los puntos (4.0) y (0.2) y traza la recta que pasa por los puntos. Observa la figura 42. Resuelve ahora n p r o b l e m a 9 i

Cada recta tiene una ecuación que es equivalente a una ecuación esenta en la forma general. Por ejemplo, una recta vertical cuya ecuación es ■V= =£ 0

Dado que la ecuación de cada recta se puede escribir en la forma general, cualquier ecuación equivalente a la ecuación (4) se llama ecuación lineal.

Ecuación de rectas paralelas

:ig u r a 4 3

Cuando dos rectas (en un plano) no se intersectan (es decir, no tienen pun­ tos en común), se dice que son paralelas. Ver figura 43. Hemos dibujado ahí dos rectas paralelas y hemos construido dos triángulos rectángulos al dibujar lados para­ lelos a los ejes de coordenadas. Los triángulos rectángulos son similares. (¿Puedes ver por qué? Dos ángulos son iguales.) Como los triángulos son similares, las razones de los lados correspondientes son iguales. TEO R EM A

C r it e r io p a ra re c ta s p a ra le la s

Dos rectas no verticales son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales y tienen diferentes intersecciones con y. ^ El uso de las palabras “si y solo si” en el teorema anterior quiere decir que se dan dos proposiciones, una la inversa de la otra. Si dos rectas no verticales son paralelas, entonces sus pendientes son igua­ les y tienen dos intersecciones con y diferentes. Si dos rectas no verticales tienen pendientes iguales y tienen diferentes intersecciones con y, entonces son paralelas.

E J E M P L O 10

D em ostración de que dos rectas son paralelas Demuestra que las rectas dadas por las siguientes ecuaciones son paralelas: L y 2x + 3y = 6, L 2: 4x + 6y = 0

I,

Solución F ig u ra 4 4

Para determinar si estas rectas tienen pendientes iguales y diferentes intersecciones con y, escribe cada ecuación en forma pendiente-ordenada: L \.

2x + 3y = 6

Lj.

3y = - 2 x + 6 2 y = ~3X + 2 Pendiente = - —, intersección con y = 2

4x + 6y - 0 6y = - 4 x 2 y = ~3X

Pendiente = - —, intersección con y = 0

2 Como estas rectas tienen la misma pendiente, ——, pero diferentes intersecciones en y, las rectas son paralelas. Observa la figura 44. |

E J E M P L O 11

D eterm inación de una línea que sea paralela a una recta dada Determina la ecuación de la recta que contenga el punto (2,-3) y que sea paralela a la recta 2x + y = 6.

Solución

Dado que las rectas son paralelas, la pendiente de la recta que buscamos es igual a la pendiente de la recta 2x + y = 6. Empieza por escribir la ecuación de la recta 2x + y = 6 en forma pendiente—ordenada.

176

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

La pendiente es -2 . Como la recta que buscamos también tiene pendiente - 2 y contiene el punto (2,-3), usa la forma punto-pendiente para obtener su ecuación.

Figura 45

Forma punto-pendiente

y - yi = m (x - * i )

to 1 II

II

Cvf

*" C\J

1 II £

= - 2 ( x - 2)

y - (- 3 )

Simplifica.

y + 3 = —2x + 4

Forma pendiente-ordenada

y = -2 x + 1

Forma general

2x + y = 1

Esta recta es paralela a la recta 2 x + y = 6 y contiene el punto (2,-3). Ver figura 45.

& T sm E ^-Pesuelve ahora

el

problema

59

Ecuaciones de rectas perpendiculares Cuando dos rectas se intersectan en ángulo recto (90°), se dice que son perpendicu­ lares. Observa la figura 46. El siguiente resultado da una condición para que dos rectas sean perpendiculares en términos de sus pendientes.

TEO REM A

Criterio para rectas perpendiculares Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si el producto de sus pen­ dientes es -1.

Aquí demostramos la parte “solo si” de la proposición anterior:

Si dos rectas no verticales son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es —1.

En el problema 128 se te pide que demuestres la parte “si” del teorema, esto es:

Si dos rectas no verticales tienen pendientes cuyo producto es —1, entonces las rectas son perpendiculares.

Figura 47

Demostración Sean m l y m 2las pendientes de dos rectas. No se pierde generalidad (esto es, no se afecta ni al ángulo ni a las pendientes) si colocamos las rectas de ma­ nera que se intersecten en el origen. Observa la figura 47. El punto A = (1 ,m 2) está en la recta que tiene pendiente m 2 y el punto B — (1 ,m^) está en la recta que tiene pendiente m y (¿Ves por qué tiene que ser cierto esto?) Considera que las rectas son perpendiculares. Entonces el triángulo O AB es un triángulo rectángulo. Como resultado del teorema de Pitágoras se entiende que

[d(OA)]2+ [d(0,B)f =

[ ¿ ( A ,5 ) P

Usamos la fórmula de distancia para obtener los cuadrados de estas distancias

[ d(0, A ) ] 2 = (1 [d(0, Æ)]2 = (1

—O)2 + (m 2 — O)2 = 1 + ni2 - O )2 + (m { — O)2 = 1 + m \

[d(A, B )]2 = (1

—l ) 2 + (m 2 —my)2 = m 2 — 2m im 2 + ni\

(5 )

t

S E C C IÓ N 2 J

l *

Rectas

177

Si usamos estos hechos en la ecuación (5) obtenemos

*

/

\

/

\

( l + nr: ) + (l + wij) = rrn -

2 /ntr/i2

+ m*

que si se simplifica se puede escribir como m,/N, = -1 Si las rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1.

■

Tal vez te parezca más sencillo recordar la condición para que dos rectas sean perpendiculares por la observación de que la igualdad = -1 quiere decir que w, y m , son recíprocos negativos una de la otra, esto es, m t = —— o rn2 = —— .

D eterm inación de la pendiente de una recta perpendicular a o tra recta

E J E M P L O 12

3 2 Si una recta tiene pendiente - , cualquier recta que tenga pendiente - - e s perpen­ dicular a ella. * |

D eterm inación de la ecuación de una recta perpendicular a una recta dada

E J E M P L O 13

Determina una ecuación de una recta que contenga el punto (1,-2) y que sea perpen­ dicular a la recta x + 3.v = 6. Haz una gráfica de las dos rectas.

Solución

Primero escribe la ecuación de la recta dada en forma pendiente-ordenada para en­ contrar su pendiente. .t + 3y = 6 3y = —X + 6

y = ——X + 2

R esu elve p a ra y. E s c ríb e lo en la

La recta dada tiene una pendiente igual a —

forma y =

mx

+ b.

Cualquier recta perpendicular

a ésta tendrá una pendiente igual a 3. Como requerimos que el punto (1,-2) esté en esta recta con pendiente 3. usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta. y — y i = m (x — .Vi) Forma punto-pendiente

F ig u ra 4 8

y - ( - 2 ) = 3(.v - 1)

m = 3,

xt

=

1,y, = - 2

Para obtener otras formas de la ecuación, procedemos de la siguiente manera: y + 2 = 3(.t — 1) y + 2 = 3x — 3 y = 3x — 5 3x — y = 5

Sim p lifica.

Forma pendiente-ordenada Forma qenerai

La figura 48 muestra las gráficas.

•"■■■■“ ^—RbsiibIvb ahora

0

el

problema

65

ADVERTENCIA A s e g ú r a te de u s a r una p a n ta lla cuadrada cuando dib ujes g r á f ic a s de r e c t a s perpen­ diculares. De o t r a manera, el ángulo e n tre la s d o s r e c t a s aparecerá distorsionado. En la se cció n 5 del ap én d ice s e e n cu e n tra una d isc u sió n so b re p a n t a lla s c u a d r a d a s .

■

178

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

2.3 Evalúa tu entendimiento Conceptos y vocabulario 7. Dos rectas no verticales tienen pendientes m, y m2, res­ pectivamente. Las rectas son paralelas si ________ y la ________ es diferente, las rectas son perpendiculares sí

1. La pendiente de una recta vertical e s ------------ - la pen­ diente de una recta horizontal e s ------------2. Para la recta 2jc + 3y = 6, la intersección en x e s ------------ y la intersección en y e s ________ 3. Una recta horizontal se da por una ecuación de la forma ________ , donde b es la ________

8. Las rectas y = 2x + 3 y y = ax + 5 son paralelas si a = -------------

4.

Las rectas verticales tienen una pen­

9. Las rectas y = 2x - l y y = ax + 2 son perpendiculares si a = -------------

5. Verdadero o fa lso

La pendiente de la recta 2y = 3x + 5 es 3.

6. Verdadero o fa lso

El punto (1,2) está en la recta 2 x + y = 4.

10. Verdadero o fa ls o Las rectas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas una de la otra.

Verdadero o fa ls o

diente no definida.

Ejercicios E n los problemas 11-14, (a) determina la pendiente de la recta y (b) interpreta la pendiente.

E n los problemas 15-22, haz una gráfica de cada p ar de puntos y determina la pendiente de la recta que los contiene. Traza la recta.

15. (2,3); (4,0) 19. (-3,-1); (2,-1)

16. (4,2); (3,4) 20. (4,2); (-5,2)

\

17. (-2,3); (2,1) 21. (-1,2); (-1,-2)

18. (-1,1); (2,3) 22. (2.0); (2,2)

En los problemas 23-30, haz una gráfica de la recta que contiene al punto P y tiene pendiente m.

\

23. P = ( í , 2 ) ; m = 3

24. P = (2,1); m = 4

25. P = (2,4); m = - |

26. P = (1.3); m = - |

27. P = (—1,3); m = 0

28. P = (2,-4);/w = 0

29. P = (0,3); pendiente no definida 30. P = (-2,0); pendiente no definida

E n los problemas 31—36, se da la pendiente y un punto de una recta. Usa esta información para localizar tres puntos adicionales en la recta. La s respuestas pueden variar.

[Sugerencia: No es necesario determinar la ecuación de la recta. Ve el ejemplo 3]. 31. Pendiente 4; punto (1,2) 4 34. Pendiente—; punto (—3,2)

32. Pendiente 2; punto (-2,3) 35. Pendiente—2; punto (—2,—3)

33. P e n d i e n t e p u n t o (2.-4) *• 36. Pendiente—1; punto (4,1)

E n los problemas 37-44, encuentra la ecuación de la recta L .

L es perpendicular ay=2x

L is perpendicular

toy=-x

S E C C IÓ N 2.3

Rectas

179

Brizos problem as 45-70, determina una ecuación para la recta con las propiedades dadas. Expresa tus respuestas usando ya sea la forma general o la form a pendiente-ordenada de la ecuación de una recta, la que prefieras.

45. Pendiente = 3; que contenga el punto (-2,3)

46. Pendiente = 2; que contenga el punto (4,-3)

2

47. Pendiente = - - ; que contenga el punto (1,-1)

48. Pendiente =

49. Que contenga los puntos (1,3) y (-1,2)

50. Que contenga los puntos (-3,4) y (2,5)

51. Pendiente = -3 ; intersección con y = 3

52. Pendiente = -2; intersección con y = - 2

53. Intersección en * = 2; intersección con y = -1

54. Intersección en x = -4; intersección con y = 4

55. Pendiente no definida; que contenga el punto (2,4)

56. Pendiente no definida; que contenga el punto (3,8)

57. Horizontal; que contenga el punto (-3,2)

58. Vertical; que contenga el punto (4,-5)

59. Paralela a la recta y = 2t; que contenga el punto (-1,2)

60. Paralela a la recta y = -3*; que contenga el punto (-1,2)

61. Paralela a la recta 2x - y = -2; que contenga el punto (0,0)

62. Paralela a la rec ta x - 2 y = -5 ; que contenga el punto (0,0)

63. Paralela a la recta x = 5; que contenga el punto (4,2)

64. Paralela a la recta y = 5; que contenga el punto (4,2)

1

1

que contenga el punto (3,1)

65. Perpendicular a la recta y = —* + 4; que contenga el punto (1,-2) 2

66. Perpendicular a la recta y = 2x -3 ; que contenga el punto ( 1 - 2)

67. Perpendicular a la recta 2x + y = 2; que contenga el punto (-3,0)

68. Perpendicular a la recta x - 2 y = -5 ; que contenga el punto (0,4)

69. Perpendicular a la recta x = 8; que contenga el punto (3,4)

70. Perpendicular a la recta y = 8; que contenga el punto (3,4)

E n los problem as 71-90, encuentra la pendiente y la intersección en y de cada recta. D ibu jo la gráfica de la recta.

71. y = 2 x + 3

72. y = - 3 * + 4

73. j y = x — 1

74. j * + y = 2

75. y = —x + 2

77. * + 2y = 4

78. —x + 3y = 6

79. 2x - 3y = 6

80. 3* + 2y = 6

81. x + y = 1

82. x — y = 2

83. * = - 4

84. y = - 1

85. y = 5

86.

87. y - x = 0

88. x + y = 0

89. 2y - 3* = 0

90. 3* + 2y = 0

1

76. y = 2x + —

* =

2

\

E n los problemas 91-100, (a) encuentra las intersecciones de la gráfica de cada ecuación y (b) dibuja la gráfica de la ecuación.

\ 91. 2x + 3y

94. 6x -

= 6

4y

= 24

97. =-x + \ y = 1

2

37

98.

a:

92. 3* - 2y = 6

93. - 4 x + 5y = 40

95. 7x + 2y = 21

96. 5x + 3y = 18

- -y = 4

99. 0.2* - 0.5y = 1

100. -0 .3 * + 0.4y = 1.2

102. Determina una ecuación para el eje y.

101. Determina una ecuación para eje x.

E n los problem as 103—106, se dan las ecuaciones de dos rectas. Determina si las rectas s.on paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

103. y = 2* - 3 y = 2* + 4

104. y = \ x - 3 y = -2 * + 4

105. y = 4* + 5 y = -4 * + 2

106. y = —2* + 3

E n los problemas 107—110, escribe una ecuación de cada recta. Expresa tus respuestas usando ya sea la form a general o la form a pendiente-ordenada de la ecuación de una recta, la que prefieras.

107.

110.

109.

108.

-2

-2

-2

180

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

Aplicaciones y extensiones (a) Escribe una ecuación lineal que relacione el cargo men­ sual C, en dólares, con el número x de kilowatts-hora usados en un mes, O s x s 600. (b) Dibuja la gráfica de esta ecuación. (c) ¿Cuál es el cargo mensual por usar 200 kilowatts-hora? (d) ¿Cuál es el cargo mensual por usar 500 kilowatts-hora? (e) Interpreta la pendiente de la recta.

111. Geometría Usa las pendientes para demostrar que el triángulo cuyos vértices son (-2,5), (1,3) y (-1,0) es un triángulo rectángulo.

112. Geometría Usa las pendientes para demostrar que el cua­ 113.

drilátero cuyos vértices son (1,-1), (4,1), (2,2) y (5,4) es un paralelogramo. Geometría Usa las pendientes para demostrar que el cua­ drilátero cuyos vértices son (-1,0), (2,3), (1,-2) y (4,1) es un rectángulo.

114. Geometría Usa las pendientes y la fórmula de la distancia para demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son (0,0), (1,3), (4,2) y (3,-1) es un cuadrado.

115. Renta de camiones Una compañía de renta de camiones renta un camión de mudanzas por un día y cobra $29 más $0.20 por milla. Escribe una ecuación lineal que relacione el costo C, en dólares, de rentar el camión con el número x de millas manejadas. ¿Cuál es el costo de rentar el camión si se manejan 110 millas? ¿Si se manejan 230 millas?

116. Ecuación de costo Los costos fijos de la operación de un

F u e n te : C o m m o n w e a lth E d is o n C o m p a n y , e n e ro , 2 0 1 0 .

120.

Tarifas eléctricas en Florida La compañía de Luz y Fuer­ za de Florida proporciona electricidad a clientes residencia­ les por un cargo mensual al consumidor de $5.69 más 8.48 centavos por kilowatt-hora hasta 1000 kilowatts-hora. (a) Escribe una ecuación lineal que relacione el cargo men­ sual C, en dólares, con el número x de kilowatts-hora usados en un mes, 0 < x £ 1(XX). (b) Dibuja la gráfica de esta ecuación. (c) ¿Cuál es el cargo mensual por usar 200 kilowatts-hora? (d) ¿Cuál es el cargo mensual por usar 500 kilowatts-hora? (e) Interpreta la pendiente de la recta. F u e n te : F lo rid a P o w e r & L ig h t C o m p a n y , f e b r e r o , 2 0 1 0 .

negocio son los costos en los que se incurre sin tomar en cuenta el nivel de producción. Estos incluyen renta, salarios fijos y costos de renta de maquinaria. Los costos variables de la operación de un negocio son los costos que pueden cambiar con el nivel de producción. Los costos variables incluyen materias primas, salarios por hora y electricidad. Considera que un fabricante de pantalones tiene costos fijos de $500 y costos variables de $8 por cada par de pantalones que fabrica. Escribe una ecuación lineal que relacione el costo diario C, en dólares, de la manufactura de pantalones con el número x de pantalones fabricados. ¿Cuál es el costo de manufacturar 400 pares de pantalones? ¿740 pares?

122. Medición de temperatura La escala Kelvin (K) para me­

117. Costo de manejar un auto El costo anual fijo por tener un

123. Rampa de acceso Se construye una rampa de acceso

auto pequeño es de $1289, suponiendo que el auto está com­ pletamente pagado. El costo de manejar el auto es de aproxi­ madamente $0.15 por milla. Escribe una ecuación lineal que relacione el costo Cy el número x de millas manejadas por año.

de madera para poder llegar a una plataforma que está a 30 pulgadas sobre el suelo. La rampa cae 2 pulgadas por cada 25 pulgadas de huella.

121. Medición de temperatura La relación entre grados Celsius (°C) y Fahrenheit (°F) para medir la temperatura es lineal. Determina una ecuación lineal que relacione °C y °F si 0 C corresponden a 32°F y 100°C corresponden a 212°F. Usa la ecuación para encontrar la medida en grados Celsius de 70' F. dir temperatura se obtiene al sumar 273 a la temperatura en Celsius. (a) Escribe una ecuación lineal que relacione K y °C. (b) Escribe una ecuación lineal que relacione K y °F (Ver el problema 121).

F u e n te : w w w .p a c e b u s .c o m

118. Salario de un vendedor de autos Dan recibe $375 por se­ mana por vender autos nuevos y usados en una distribuido­ ra de Oak Lawn, Illinois. Además, recibe 5% de la ganancia en cualquier venta que realice. Escribe una ecuación lineal que represente el salario por hora S de Dan cuando ha teni­ do ventas que generan una ganancia de x dólares.

119. Tarifas eléctricas en Illinois La compañía Commonwealth Edison proporciona electricidad a los clientes residenciales por un cargo mensual al consumidor de $10.55 más 9.44 centavos por kilowatt-hora hasta 600 kilowatts-hora.

(a) Escribe una ecuación lineal que relacione la altura v de la rampa sobre el suelo y la distancia horizontal x de la plataforma. (b) Encuentra e interpreta la intersección en .r de la gráfica de tu ecuación. (c) Los requerimientos de diseño estipulan que la huella máxima debe ser de 30 pies y que la pendiente máxima sea de una caída de 1 pulgada por cada 12 pulgadas de huella. ¿Esta rampa cumplirá con los requisitos esta rampa? Explica. (d) ¿Qué pendientes se pueden usar para obtener la el­ evación de 30 pulgadas y todavía cumplir con los re­ querimientos de diseño? F u e n te : w w w .a d a p tiv e a c c e s s .c o m /w o o d _ r a m p s .p h p

124. Uso de cigarros Un informe en la base de datos Child Trend indica que en 1996,22.2% de los estudiantes del gra­ do 12 hacían uso diario de cigarros. En 2006. 1221% de los estudiantes del grado 12 hacían uso diario de cigarros.

i S E C C IÓ N 2.3

¡2 * (a) Escribe una ecuación lineal que relacione el porcentaje

< = -1 | (f ) y = 3x -5 (g) y = 2x + 3 (h) y = —3x + 3 130. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene la gráfica de la fi­ gura? (Puede haber más de una respuesta). (a) 2x + 3y = 6 (f) y = - 2 x -1 (b) 2 x - 3 y = 6 (g) y = - | jc + 10 (c) 3x + 4y = 12 (h) y = x + 4 (d) x - y = 1 (e) x - y = - 1 131. La figura muestra la gráfica de dos rectas paralelas. ¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones puede tener tal gráfica? (a) x - 2y = 3 (d) x - y = - 2 x + 2y = 7 2x - 2y = - 4 (b ) x+ y =2 (e) x + 2y = 2 x + y = —1 x + 2y = -1 (c) x - y = - 2 x -y = 1 132. La figura muestra la gráfica de dos rectas perpendiculares. ¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones puede tener tal gráfica? (a) y - 2 x = 2 (d) y - 2x = 2 x + 2y = -1 y + 2x = - í (b) y - 2x = 0 (e) 2x + y = - 2 2y+ x = -2 2y + x = 0 (c) 2 y - x = 2 2y + x = —2

133.

m

es la pendiente El símbolo que se usa para denotar la

pendiente de una recta es la letra m. Investiga el origen de este simbolismo. Empieza por consultar un diccionario de francés y busca la palabra monter. Escribe un breve ensayo de lo que encuentres.

134. Grado de un camino El término

grado se usa para des­ cribir la inclinación de un camino. ¿Cómo se relaciona este

término con la noción de la pendiente de una recta? ¿Es muy empinado un grado de 4%? Investiga los grados de al­ gunos caminos en las montañas y determina sus pendientes. Escribe un breve ensayo de lo que encuentres.

135. Carpintería Los carpinteros usan el término

declive para describir la inclinación de escaleras y techos. ¿Cómo se relacionan el declive y la inclinación? Investiga declives comunes usados para escaleras y techos. Escribe un breve ensayo de lo que encuentres.

136. ¿Se puede escribir la ecuación de cualquier recta en forma pendiente-ordenada? ¿Por qué? 137. ¿Tiene toda recta exactamente una intersección con x y una con y? ¿Existen rectas que no tienen intersecciones?

138. ¿Qué puedes decir de dos rectas que tienen pendientes iguales e intersecciones con y iguales? 139. ¿Qué puedes decir al respecto de dos rectas que tienen la misma intersección con y? Considera que la intersección con y no es 0. 140. Si dos rectas diferentes tienen la misma pendiente pero di­ ferentes intersecciones con x , ¿pueden tener la misma in­ tersección con y? 141. Si dos rectas diferentes tienen la misma intersección con y pero diferente pendiente, ¿pueden tener la misma intersección con x?

142. ¿Qué forma de la ecuación de una recta prefieres usar? Justifica tu posición con un ejemplo que demuestre que tu elección es mejor que otras. Da tus razones.

143. ¿Dónde está el error? Se le pide a un estudiante que en­ cuentre la pendiente de la recta que une a (-3,2) y (1,-4). 3 Él dice que la pendiente es —. ¿Es correcto esto? Si no, ¿dónde está el error?

182

CAPÍTULO 2

Gráficas

Ejercicios Interactivos Pregunta a tu profesor si el applet que se da a continuación es de interés para ti. 144. Pendiente Abre el applet de la pendiente. Mueve el punto B alrededor del plano cartesiano con el cursor. (a) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (2,7). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (b) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (3,6). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (c) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (4,5). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (d) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (4,4). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (e) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (4,1). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (f) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (3,-2). ¿Cuál es la pendiente de la recta? (g) Mueve lentamente a B al punto donde la coordenada en x sea 1. ¿Qué le pasa al valor de la pendiente cuando la coordenada x se aproxima a 1? (h) ¿Qué se puede decir de una recta cuya pendiente es positiva? ¿Qué se puede decir de una recta cuya pendiente es negativa? ¿Qué se puede decir de una recta cuya pendiente es 0? (i) Considera los resultados de los incisos (a) a (c). ¿Qué se puede decir sobre la inclinación de una recta con pen­ diente positiva si se incrementa la pendiente? (j) Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (3,5). ¿Cuál es la pendiente de la recta? Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (5,6). ¿Cuál es la pendiente de la recta? Mueve a B al punto cuyas coordenadas sean (-1,3). ¿Cuál es la pendiente de la recta?

2.4 Círculos P rep aració n p ara e sta sección Antes de empezar, repasa lo siguiente: • Completar cuadrados (capítulo R, sección R.5, p. 56) \

• Método de la raíz cuadrada (sección 1.2, pp. 94-95)

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 185. OBJETIVOS 1 Escribir la forma estándar de la ecuación de un círculo (p. 182) 2 Representar un círculo gráficamente (p. 183) 2 Trabajar con la forma general de la ecuación de un círculo (p. 184)

1 Ecuación en form a estándar de un círculo Una ventaja de un sistema de coordenadas es que nos permite traducir una proposi­ ción geométrica a una proposición algebraica y viceversa. Considera, por ejemplo, la siguiente proposición geométrica que define a un círculo.

D E FIN IC IÓ N Figura 49

y.

Un círculo es un conjunto de puntos en el plano xy que se encuentran a una distancia fija r de un punto fijo \h ,k). La distancia fija r se llama radio y el punto fijo (h, k) se llama centro de un círculo. __^

(x. y)

T

\

f

La figura 49 muestra la gráfica de un círculo. Para determinar la ecuación, sean (x,y) las coordenadas de cualquier punto en un círculo de radio r y centro (h,k). En­ tonces la distancia entre los puntos (x,y) y (h,k) siempre tiene que ser igual a r. Esto es, por la fórmula de distancia

v ___/

\/(x - h )2 + (y - k ) 2 = r o equivalentemente, (x - h)2+ (y - k)2= r2

D E FIN IC IÓ N

La forma estándar de la ecuación de un círculo con radio r y centro (h ,k ) es ( x - h ) 2+ ( y - k)2= r2

( 1 ) -J

♦

S E C C IÓ N 2.4

TEO REM A

Circuios

183

La forma estándar de una ecuación de un círculo de radio r con centro en el origen (0,0) es 5i '

x* + v* = r

i

J D E F IN IC IÓ N

Si el radio r —1, el circulo cuyo centro está en el origen se llama círculo unitario y tiene la ecuación x2+ y2= 1

J Ver figura 50. Observa que la gráfica del círculo unitario es simétrica con respecto al eje x, al eje y y al origen.

Figura 50 Círculo unitario x1+ y2= 1

EJEM P LO 1

Form a estánd ar de la ecuación de un círculo Escribe la forma estándar de la ecuación de un círculo de radio 5 y centro (-3,6).

Solución

Al usar la ecuación (1) y sustituir los valores r = 5, h = -3 y k = 6 tenemos (x - h)2+ (y - k)2= r2 (.x + 3)2+ (y - 6)2= 25 Resuelve ahora el p r o b l e m a 7

, 2 Gráfica de un círculo EJEM P LO 2

G ráfica de un círculo Dibujo la gráfica de la ecuación:

Solución

(x + 3)2+ {y - 2)2= 16

Dado que la ecuación está en la forma de la ecuación (1), su gráfica es un círculo. Para dibujar la gráfica de la ecuación, compara la ecuación dada con la forma estándar de la ecuación de un círculo. La comparación nos da información acerca del círculo. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16 (x - ( 3 ))2 + (y - 2)2 = 42 ¡ t t (x - h)2 + {y - k )2 = r

Figura 51

Observamos que h = -3, k = 2 y r = 4. El círculo tiene su centro en (-3,2) y un radio de 4 unidades. Para dibujar la gráfica de este círculo, primero traza su centro (-3,2). Como el radio es 4, podemos localizar cuatro puntos en el círculo si trazamos puntos 4 unidades a la derecha, cuatro a la izquierda, arriba y abajo a partir del centro. Estos cuatro puntos se pueden usar como guías para obtener la gráfica. Observa la figura 51. Resuelve ahora

los

problemas

23

incisos

(a )

y

(b )

184

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

Intersecciones de un círculo

EJEM PLO 3

Para el círculo (x + 3)2 + (y - 2)2= 16, determina las intersecciones de sus gráficas, sí existen.

Solución

Ésta es la ecuación que discutimos y representamos gráficamente en el ejemplo 2. Para encontrar las intersecciones en x, si existen, hacemos y = 0. Entonces (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16 (x + 3)2 + (0 - 2)2 = 16

y - o

(x + 3)2 + 4 = 16

S im p lifica.

(x + 3)2 = 12

S im p lifica.

x + 3 = ± V l2

A p lica el m é to d o de la ra íz c u a d ra d a .

x = - 3 ± 2 \/3

R e su elve p a ra x.

Las intersecciones c o n x son —3 — 2 \ / 3 ~ —6.46 y - 3 + 2 V 3 ~ 0.46. Para determinar las intersecciones con y, si existen, hacemos x = 0. Entonces (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16 (0 + 3)2 + (y - 2)2 - 16 9 + (y - 2)2 - 16 (y - 2)2 = 7 y - 2 = ±V 7 y = 2 ± V7 Las intersecciones con y son 2 - V 7 ~ -0.65 y 2 + V 7 « 4.65. Observa de nuevo la figura 51 para verificar la localización aproximada de las intersecciones. " " ■ ■ “^ R gíu glvgah ora

ir

el

problema

23

(c)

Trabaja con la form a general de la ecuación de un círculo Si eliminamos los paréntesis de la forma estándar de la ecuación del círculo dado en el ejemplo 2, obtenemos (x + 3)2+ ( y - 2 ) 2=16 x 2+ 6x + 9 + y 2—4y + 4 = 16 que al simplificar es equivalente a x 2 + y 2+ 6x - 4y —3 = 0

(2)

Se puede demostrar que cualquier ecuación de la forma x 2+ y 2 + ax + by + c —0 tiene una gráfica que es un círculo o un punto, o no tiene gráfica alguna. Por ejemplo, la gráfica de la ecuación x2 + y 2= 0 solo es el punto (0,0). La ecuación x2 + y 2 + 5 = 0 o t 2 + y2 = -5 , no tiene gráfica, ya que la suma de los cuadrados de números reales nunca es negativa. D E F IN IC IÓ N

Cuando una gráfica es un círculo, la ecuación x 2+ y2 + ax + by + c —0 se conoce como la forma general de la ecuación de un círculo. Resuelve ahora

el

problema

13

S E C C IÓ N 2.4

Círculos

185

Si una ecuación de un círculo está en la forma general, usamos el método de completar cuadrados para poner la ecuación en forma estándar lo que nos permitirá identificar su centro y su radio.

EJEM P LO 4

G ráfica de un círculo cuya ecuación está en la form a general Dibuja la gráfica de la ecuación x2 + y2+ 4x - 6y + 12 = 0

Solución

Agrupa los términos que tengan x, agrupa los términos que tengan y y coloca la cons­ tante del lado derecho de la ecuación. El resultado es (x2 + 4x) + (y2- 6y) = —12 Ahora, completa el cuadrado de cada expresión en paréntesis. Recuerda que cual­ quier número que sumes del lado izquierdo de la ecuación también se tiene que su­ mar del lado derecho. (x2 + 4x + 4) + (y2 - 6y + 9) = -1 2 + 4 + 9

F ig u r a 5 2

y

(-2, 4)

- /H

(-3.3)4 / y \ ( - 2 ,3 )1

i

-

(x + 2)¿ + (y — 3 Y — 1

(-2,2) 1 -3

1

= 9

- 4

Factoriza.

Esta ecuación es la forma estándar de la ecuación de un círculo de radio 1 y centro (-2 ,3 ). Para hacer la gráfica de la ecuación usa el centro (-2 ,3 ) y el radio 1. Ver figura 52.. 1

1 * 1 X

Resuelve ahora

1

EJEM P LO 5

el

problema

27

U so de un dispositivo para tra z a r gráficas para obtener la representación de un círculo Dibuja la gráfica de la ecuación x 2+ y 2= 4

Solución

Esta es la ecuación de un círculo con centro en el origen y radio 2. Para dibujar la gráfica de esta ecuación, resuelve para y. x 2 + y2 = 4

_ 4 —x y„2¿ — y = ± w 4 — X2

Resta x2 en cada lado. Aplica el método de la raíz cuadrada para resolver para y.

Se tienen que dibujar las gráficas de dos ecuaciones: primero traza la gráfica de Yx - V 4 - jc2 y después, la de y 2 = —\ / 4 - x 2 en la misma pantalla cuadrada. (El círculo aparecerá como óvalo si no usas una pantalla cuadrada). Observa la figura 53.

2.4 Evalú a tu e n ten d im ien to "¿Estás listo?" L a s respuestas se dan al fin a l de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. Para completar el cuadrado de x 2 + l(k, debes (sumar/restar) el núm ero________ (p. 56)

Conceptos y vocabulario 3. Verdadero o fa ls o

___________________________________________________________ __

Toda ecuación de la forma

5. Verdadero o fa ls o

El radio del círculo x 2+ y2= 9 es 3.

x2 + y2 +

6. Verdadero o fa ls o

El centro del círculo (x + 3)2+ (y - 2)2= 13 es (3,-2).

ax + by + c = 0 tiene un círculo como gráfica.

4.

2. Usa el método de la raíz cuadrada para resolver la ecuación (x - 2)2= 9. (pp. 94-95)

Para un círculo, el -_______ es la distancia del centro a cualquier punto del círculo.

186 C A P ÍT U L O 2 Gráficas Ejercicio s_________________________ ______________ ____________________________ E n los problemas 7—10, determina el centro y el radio de cada círculo. Escribe la form a estándar de la ecuación.

E n los problemas 11-20, escribe la form a estándar y la form a general de la ecuación de cada círculo de radio r y centro (h ,k). Dibuja la gráfica de cada círculo.

11. r = 2; ( h, k) = (0,0)

12. r = 3; ( h, k) = (0,0)

15. r = 5; ( h, k) = (4,-3)

16. r = 4; (h,k) = (2,-3)

19.

r - |;

(A. *) - ( |. o)

\ l 3 . r = 2; ( h , k ) = (0,2)

14. r = 3; ( h , k ) = (1,0)

17. r = 4; (A,*) = (-2,1)

18. r = 7;(h,k) = (-5,-2)

r - 1-; (* ,* )-( o ,- i)

20.

E n los problemas 21-34, (a) determina el centro (h, k) y radio r de cada círculo, (b) dibuja la gráfica de cada círculo y (c) encuentra las intersecciones si existen.

\

21. x2 + y 2 = 4

22. x2 + (y - l ) 2 = 1

24. 3(x + í)2 + 3{y - l) 2 = 6

25. x2 + y 2 - 2x - 4y - 4 = 0

26. x2 + y 2 + 4x + 2y - 20 = 0

27. x 2 + y2 + 4x - 4y - 1 = 0

28. x2 + y2 - 6x + 2y + 9 = 0

29.

30. x 2 + y2 + x + y - - = 0

31. 2x2 + 2y2 - 12* + 8y - 24 = 0

32. 2X2 + 2 / + 8x + 7 = 0

33. 2x¿ + 8* + 2y L = 0

34. 3*2 + 3y2 — Í2 y = 0

1

\

23. 2{x - 3)2 + 2 / = 8

jc2

+ y2 - x + 2y + 1 = 0

E n los problemas 35-42, determina la form a estándar de la ecuación de cada círculo.

35. Centro en el origen y que contenga el punto (-2,3)

36. Centro (1,0) y que contenga el punto (-3,2)

37. Centro (2,3) y tangente al eje x

38. Centro (-3,1) y tangente al eje y

39. Con puntos terminales del diámetro en (1,4) y (-3,2)

40. Con puntos terminales del diámetro en (4,3) y (0,1)

41. Centro (-1,3) y tangente a la recta y = 2

42. Centro (4,-2) y tangente a la recta x = 1

E n los problemas 43-46, asocia cada gráfica con la ecuación correcta.

(a) ( x - 3 ) 2+ (y + 3)2= 9

(b) (x + 1 )2+ ( y - 2 ) 2= 4

43.

44.

4

6

(c) ( x - 1)2 + (y + 2)2 = 4 45.

4

(d) (.t + 3)2+ (y - 3)2= 9 46.

6

O U

4

S E C C IÓ N 2.4

Círculos

187

A p lica cio n e s y e x te n sio n e s________________ 47. Determina el área del cuadrado en la figura.

51. Satélites meteorológicos La Tierra está representada en un mapa de una porción del sistema solar como si su superficie fuera un círculo con la ecuación . r + y 2+ 2 t + 4y - 4091 = 0. Un satélite meteorológico circula 0.6 unidades sobre la Tierra con el centro de su órbita circular en el centro de la Tierra. Deter­ mina la ecuación para la órbita del satélite en este mapa.

48. Determina el área de la región sombreada de la figura, si suponemos que el cuadrilátero dentro del círculo es un cua­ drado.

52 . La

recta tangente a un círculo se puede definir como la rec­ ta que intersecta al círculo en un solo punto, llamado punto de tangencia. Observa la figura.

i Q

Rueda de la fortuna La primera rueda de la fortuna fue construida en 1893 por el constructor de puentes George W. Ferris, en Pittsburgh, Pensilvania. Originalmente se fabricó para la Feria Mundial de Chicago, pero posterior­ mente fue reconstruida para la Feria Mundial de San Luis en 1904. Tenía una altura máxima de 264 pies y la rueda te­ nía un diámetro de 250 pies. Determina una ecuación para la rueda si el centro de la rueda está en el eje y. F u e n te : in v e n to r s .a b o u t.c o m

50. Rueda de la fortuna En 2008, el Volador de Singapur se inauguró como la rueda de la fortuna más grande del mun­ do. Tiene una altura máxima de 165 metros y un diámetro de 150 metros, con una rotación completa que toma aproxi­ madamente 30 minutos. Determina una ecuación para la rueda si el centro de la rueda está en el eje y. F u e n te : W ik ip e d ia

Si la ecuación del círculo es x 2 + y 2 = r2 y la ecuación de la recta tangente es y = m.x + b, demuestra que: (a) r ( l + rn2) = b2 [Sugerencia: La ecuación cuadrática x 2+ {mx + b) 2= r 2tiene exactamente una solución]. (b) El punto de tangencia es

- r 2m r2

b

'T

(c) La recta tangente es perpendicular a la recta que con­ tiene el centro del círculo y el punto de tangencia.

53. El método griego El método griego para determinar la ecuación de la recta tangente a un círculo usa el hecho de que en cualquier punto de un círculo las rectas que contie­ nen el centro y la recta tangente son perpendiculares (ver el problema 52). Usa este método para determinar una ecua­ ción de la recta tangente al círculo x 2 + y 2 = 9 en el punto

(L2V2). Usa el método griego descrito en el problema 53 para determinar una ecuación de la recta tangente al círculo x 2 + y 2- 4 x + 6y + 4 = 0 en el punto (3, 2V2 - 3). Consulta el problema 52. La recta x - 2y + 4 = 0 es tangente al círculo en (0,2). La recta y = 2x - 7 es tangente al mismo círculo en (3,-1). Encuentra el centro del círculo. Determina la ecuación de la recta que contiene los centros de dos círculos x 2+ y 2- 4 x + 6y + 4 = 0

y x 2'+ y 2+ 6x + 4y + 9 = 0

Si se pone a girar un círculo de radio 2 a lo largo del eje x , ¿cuál es la ecuación para el recorrido del centro del círculo? Si la circunferencia de un círculo es 6-tr, ¿cuál es su radio?

188

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

E x p lic a c ió n d e c o n c e p t o s ; d is c u s ió n y e s c r it u r a

59. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la gráfica mostrada? (Puede haber más de una respuesta). (a) (x - 2)2+ (y + 3)2= 13 (b) (x - 2)2+ (y - 2)2= H (c) (x - 2)2+ (y - 3)2 = 13 (d) (x + 2)2+ ( y - 2 ) 2= 8 (e) x 2 + y2- 4x - 9y = 0 (f) x 2 + y 2 + 4x - 2y = 0 (g) x2+ y2- 9 x - 4 y = 0 (h) x2+ y2- 4 x - 4 y = 4

60. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones uirrcvpondc a la gráfica mostrada? (Puede haber más de una respuesta), (a) (x - 2j ‘ + y2= 3 (b) (x + 2)2+ y2= 3 (c) x 2 + ( y - 2)2= 3 (d) (x + 2)2+ y2= 4 (e) x2 + y 2 + lOx +16 = 0 (f) x2+ y2+ 10x-2y = I (g) x2+ y2+ 9x + 10 = 0 (h) x2+ y2-9 x - 10 = 0

61. Explica cómo se puede usar el centro y radio de un círculo para dibujar la gráfica de un círculo. 62. ¿Dónde está el error? Un estudiante estableció que el centro y radio de la gráfica cuya ecuación es (x + 3)2 + (y - 2): = 16 vm (3,-2) y 4 respectivamente. ¿Por qué es esto incorrecto? E j e r c ic io s in t e r a c t i v o s ______________________ Pregunta a tu profesor si los applets siguientes son de interés para ti.

63. Centro de un círculo A bre el applet de “Círculo: el papel que juega el centro”. Pon el cursor en el centro del círculo y manten apretado el botón del mouse. Mueve el centro alrededor del plano cartesiano y observa como cambia la ecuación del círculo. (a) ¿Cuál es el radio del círculo? (b) Traza un círculo cuyo centro esté en (1,3). ¿Cuál es la ecuación del círculo? (c) Traza un círculo cuyo centro esté en (-1,3). ¿Cuál es la ecuación del círculo? (d) Traza un círculo cuyo centro esté en (-1 ,-3 ). ¿Cuál es la ecuación del círculo? (e) Traza un círculo cuyo centro esté en (1,-3). ¿Cuál es la ecuación del círculo? (f) Escribe algunas oraciones que expliquen el papel que juega el centro del círculo en la ecuación del círculo. 64. Radio de un círculo A bre el applet “ Círculo: el papel que juega el rad io”. Coloca el cursor en el punto B y mantén apretado el botón del mouse. Mueve el punto B alrededor del plano cartesiano.

(a) ¿Cuál es el centro del círculo? (b) Mueve el punto B en el plano cartesiano directamente sobre el centro de manera que le radío del círculo sea 5. (c) Mueve el punto B en el plano cartesiano directamente sobre el centro de manera que le radio del círculo sea 4, (d) Mueve el punto B en el plano cartesiano directamente sobre el centro de manera que le radio del círculo sea 3. (e) Encuentra las coordenadas de dos puntos con coorde­ nadas de números enteros en el cuarto cuadrante, en el círculo que resulta en un círculo de radio 5 con centro igual al que encontraste en el inciso (a). (0 Usa el concepto de simetría con el origen, recta vertical que pasa por el centro de un círculo y recta horizon­ tal que pasa por el centro de un círculo para encontrar otros tres puntos con coordenadas de números enteros en los otros tres cuadrantes que caen en el circulo de radio cinco con centro igual al que encontraste en el inciso (a).

R e s p u e s t a s a lo s e j e r c ic io s d e la s e c c ió n " ¿ E s t á s L is t o ? "

1. suma; 25

2. 1-1,5)

2.5 Variación OBJETIVOS 1 Construir un modelo usando variación directa (p. 189) 2 Construir un modelo usando variación inversa (p. 189) 3 Construir un modelo usando variación conjunta o combinada (p. 190)

J

Cuando se desarrolla un modelo matemático para un problema de la sida real, con frecuencia se involucran relaciones entre cantidades que se expresan en términos de proporcionalidad: La fuerza es proporcional a la aceleración. Cuando un gas ideal se mantiene a temperatura constante, la presión y el volu­ men son inversamente proporcionales. La fuerza de atracción entre dos objetos celestes es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. El ingreso es directamente proporcional a las ventas.

SECCIÓN 2Ü

, I m *

Variación

189

Cada una de las proposiciones anteriores ilustra la idea de variución o de cómo una cantidad varía en relación a otra. Las cantidades pueden variar directamente, inver­ samente o conjuntamente.

1 Construcción de un m odelo m ediante el uso de variación directa D E F IN IC IÓ N

Sean ,v y y dos cantidades. Entonces y varía directam ente con x o y es directa­ m ente proporcional a .v, si existe un número k diferente de cero tal que y = kx

Figura 54 i

=

kx;k

Al número k se le llama constante de proporcionalidad.

> 0,x 2 0

La gráfica en la figura 54 ilustra la relación entre y y x y si y varía directamente a x y k > 0, x a 0. Observa que la constante de proporcionalidad es, de hecho, la pen­ diente de la recta. Si sabemos que dos cantidades varían directamente, entonces el saber el valor de cada cantidad en una instancia nos permite escribir una fórmula que es verdadera en todos los casos.

EJEM P LO 1

Pagos de hipoteca El pago mensual p de una hipoteca varía directamente con la cantidad prestada B. Si el pago mensual en una hipoteca a 30 años es de $6.65 por cada $1000 prestados, determina una fórmula que relacione el pago mensual p con la cantidad prestada B para un hipoteca en estas condiciones. Después, determina el pago mensual p cuando la cantidad prestaba B es de $120,000.

Solución

Como p varía directamente a B , sabemos que p —kB para alguna constante k. Como p = 6.65 cuando B = 1000, se sabe que 6.65 = A:( 1000)

(120 000,798)

k — 0.00665

R e so lv e r p a ra k.

Como p = kB, 40 80 120 160 Cantidad prestada (000)

B

p = 0.00665B Especialmente, cuando B = $120,000, p = 0.00665($120,000) = $798 La figura 55 ilustra la relación entre el pago mensual p y la cantidad prestada B. -Resuelveahora

los

problemas

3

y

21

Figura 56 y = - ; k > 0 ,x > 0

2 Construcción de un modelo m ediante el uso de variación inversa

x

Sean x y y dos cantidades. Entonces y varía inversamente con .r o y e s inversa­ m ente proporcional a x, si existe una constante k diferente de cero tal que ^ =

La gráfica de la figura 56 ilustra la relación entre y y x si y varía inversamente con x y k > 0, x > 0.

J

190

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

Peso máximo que puede cargar un pedazo de madera de pino

EJEM PLO 2

Observa la figura 57. El peso máximo W que puede cargar un pedazo de madera de pino de 2 pulgadas por 4 pulgadas varía inversamente a su longitud /. Los experimen­ tos indican que el peso máximo que puede cargar un pedazo de madera de pino de 2 por 4 y 10 pies de largo es 500 libras. Escribe una fórmula general que relacione el peso máximo W (en libras) con la longitud / (en pies). Determina el peso máximo W que puede cargar si tiene una longitud de 25 pies.

Figura 57

Solución

Como

W

para alguna constante

varía inversamente a /, sabemos que

k.

Como

W =

500 cuando /= 10, tenemos que

k =

Como

W =

5000

k T

Figura 58

W =

5000 /

Especialmente, el peso máximo de 25 pies de largo es

W

W =

que puede cargar un pedazo de madera de pino

5000 = 200 libras 25

La figura 58 ilustra la relación entre el peso

Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

W

y la longitud /.

31

3 Construcción de un modelo mediante el uso de variación conjunta o combinada Cuando una cantidad variable Q es proporcional al producto de dos o más variables, decimos que Q varía conjuntamente con estas cantidades. Por último, pueden ocurrir combinaciones de variación directa y/o inversa. A esto se le conoce como variación

combinada.

EJEM PLO 3

Pérdida de energía a través de una pared La pérdida de energía a través de una pared varía conjuntamente con el área de la pared y la diferencia entre la temperatura interior y exterior y varía inversamente respecto al grosor de la pared. Escribe una ecuación que relacione estas cantidades.

Solución

Empieza por asignar símbolos para representar las cantidades: L A =

Pérdida de energía Área de la pared

T d

= Diferencia de temperatura = Espesor de la pared

Entonces

donde

k

es la constante de proporcionalidad.

S E C C IÓ N 2.5

Variación

191

En la variación directa e inversa las cantidades que varían pueden estar elevadas a alguna potencia. Por ejemplo, en el siglo XVII, Johannes Kepler (1571-1630) descu­ brió que el cuadrado del periodo de revolución T alrededor del Sol variaba directamen­ te con el cubo de su distancia media a al Sol. Esto es, T 2 = k a 3, donde k es la constante de proporcionalidad.

EJEM PLO 4

Fuerza del viento en una ventana La fuerza F del viento sobre una superficie plana colocada en ángulo recto respecto a la dirección del viento varía conjuntamente con el área A de la superficie y el cuadra­ do de la velocidad v del viento. Un viento de 30 millas por hora que sopla sobre una ventana que mide 4 pies por 5 pies tiene una fuerza de 150 libras. Ver figura 59. ¿Cuál es la fuerza sobre una ventana, que mide 3 pies por 4 pies, causada por un viento de 50 millas por hora?

Solución

Como

F

varía conjuntamente

a A y v 2,

tenemos

F —k A v 2

donde k es la constante de proporcionalidad. Se dice que = 4-5 = 20 y v = 30. Entonces

F ig u ra 5 9

F —

150 cuando

A

150 = A:(20)(900) Viento k

Como F

F = kó V , F = 150, A = 20, v= 3 0

1

-

120

= k A v 2, F

=

120

A v2

Para un viento de 50 millas por hora que sopla sobre una ventana de área = 3 • 4 = 12 pies cuadrados, la fuerza F es

A

F =

Resuelve ahora

e l

120

(12) (2500) = 250 libras

p r o b l e m a

39

2.5 Ev alú a tu en te n d im ie n to Conceptos y vocabulario 1.

Si x y y so n d o s c a n tid a d e s , e n to n c e s y e s d ir e c ta m e n te p r o p o r c io n a l a * si e x is te u n n ú m e r o k d ife r e n te d e c e r o

1.

tal q u e ___________

Verdadero o falso Si y v a ría d ir e c ta m e n te c o n k x, e n to n c e s y = —, d o n d e k e s u n a c o n sta n te .

r e s p e c to a

Ejercicios En los problemas 3—14, establece una fórmula general para describir cada variación. \ i . y varía d ir e c ta m e n te c o n x\y = 2 cuando x = 10 4 . v varía d e d ir e c ta m e n te 5.

A

7.

F varía

9. z

varía d ir e c ta m e n te c o n

in v e r sa m e n te c o n

x2\ A = 4ir c u a n d o x = 2

6.

V V a ría

d2; F = 10

8.

y

cuando

d=

5

varía d ir e c ta m e n te c o n la su m a d e lo s cu a d r a d o s

de

x y y; z = 5

cuando

x-

3 y

y=

4

10 .

c o n f; v = 16 c u a n d o

d ir e c ta m e n te c o n

t=2

x3; V = 36n c u a n d o x =

varía in v e r sa m e n te c o n V r ; y

= 4 cu an dox = 9

T varía c o n ju n ta m e n te c o n e l c u b o d e la raíz x y e l cu a d ra d o d e d \ T - 18 c u a n d o x = 8 y d =

de

3

3

192

C A P ÍT U L O 2

11. M varía

Gráficas

d ire c ta m e n te c o n el cu a d ra d o d e

de

in v e r sa m e n te c o n la raíz cu a d ra d a d e

x, M —2 4

cu an d o

x —9

y

d —4

12 . z varía d ir e c ta m e n te co n la su m a d el c u b o d e x y co n el c u a d r a d o d e y; z = 1 c u a n d o x —2 y y - 2

13. 14.

E l cu a d ra d o d e

T varía

d ir e c ta m e n te co n el c u b o d c a e in v e r sa m e n te c o n el c u a d r a d o d e

E l cu b o d e z varía d ir e c ta m e n te co n la su m a d e lo s c u a d r a d o s d e

x y y', z

= 2 cu an do

d ,T —2 c u a n d o a -

yd - 4

2

x —9 y y —4

Aplicaciones y extensiones En los problemas 15—20, escribe una ecuación que relacione las cantidades. 15. Geometría E l v o lu m e n V d e una e sfe r a varía d ir e c ta m e n ­ 25. Física: estiramiento de un resorte La e lo n g a c ió n E d e una b á scu la d e r e so r te varía d ir e c ta m e n te c o n e l p e s o a p lica d o te co n e l cu b o d e su ra d io r. La c o n sta n te d e p r o p o r c io n a li­ W (v e la fig u r a ). Si E = 3 c u a n d o W = 2 0 , d e te r m in a £ cu a n ­ dad e s -j-, d o W= 15.

16. Geometría c

E l cu a d ra d o d e la lo n g itu d d e la h ip o te n u sa

d e un triá n g u lo re c tá n g u lo varía c o n ju n ta m e n te c o n la

su m a d e lo s cu a d ra d o s d e las lo n g itu d e s d e su s c a te to s

b. L a

ay

c o n sta n te d e p r o p o r c io n a lid a d e s 1.

17. Geometría

E l área

A

d e un triá n g u lo varía c o n ju n ta m e n ­

te c o n la lo n g itu d d e la b a se

by

d e la altu ra

h. L a

W

c o n sta n te

d e p ro p o rcio n a lid a d e s —.

18. Geometría

E l p erím e tr o

26. Física: vibración de una cuerda p

u n a c u e r d a c o n te n s ió n c o n s ta n te varía in v e r sa m e n te co n

w. La

la lo n g itu d d e la cu e r d a . Si la c u e r d a tie n e 4 8 p u lg a d a s d e

ta m e n te co n la su m a d e las lo n g itu d e s d e su s la d o s / y c o n sta n te d e p ro p o r c io n a lid a d e s 2 .

19. Física: ley de Newton

La fu erza

la r g o y v ib ra 2 5 6 v e c e s p o r s e g u n d o , ¿ cu á l e s la lo n g itu d de

F (e n

n e w to n s ) d e a tra c­

ció n en tre d o s c u e r p o s varía c o n ju n ta m e n te c o n su s m a sa s

m y M (e n

d

(e n m e tr o s) e n tr e e llo s. L a c o n sta n te d e p r o ­

p o rcio n a lid a d es

G=

periodo

El

simple cu a n d o

vertical es m en o r a 5 o. E l p e r io d o

Tde

e l á n g u lo c o n la

2tt

varía d ir e c ta m e n te c o n la ca n tid a d p resta d a

B.

c o n la c a n tid a d p resta d a

B

si la ca n tid a d p r esta d a

22. Pago de hipoteca

B es

para u n a h i­

$ 1 4 5 ,0 0 0 .

B

si la ca n tid a d p resta d a

23. Física: objetos en caída

B es

C o n sid e r a q u e la d e m a n d a

D

d e d u lc e s e n e l

p.

c in e v e n d e 156 b o lsa s d e d u lc e . E x p r e sa la d e m a n d a d e d u lc e s en té r m in o s d e su p r e c io . (b ) D e te r m in a e l n ú m e r o d e b o lsa s d e d u lc e s q u e s e v e n d ­ er á n si e l p r e c io a u m e n ta a $ 3 p o r b o lsa . E l tie m p o

t que

te to m a lle g a r a la

s.

(a ) C o n sid e r a q u e te to m a 4 0 m in u to s lle g a r a la e s c u e la

s

c u a n d o tu v e lo c id a d p r o m e d io e s d e 3 0 m illa s p o r h ora. q u e c a e u n o b je to

e s d ir e c ta m e n te p ro p o r c io n a l al c u a d r a d o d e l tie m p o

t

E x p r e sa e l tie m p o q u e te to m a lle g a r a la e s c u e la en

de

té r m in o s d e la v e lo c id a d p r o m e d io .

la caíd a. Si un o b je to c a e 16 p ie s en 1 se g u n d o , ¿ q u é tan

(b ) C o n sid e r a q u e tu v e lo c id a d p r o m e d io e s d e 4 0 m illa s

le jo s ca e rá e n 3 se g u n d o s? ¿ C u á n to tie m p o le to m a r a ca e r 64 p ies?

24. Física: objetos en caída

29. Demanda

e s c u e la v a ría in v e r sa m e n te c o n tu v e lo c id a d

$ 1 7 5 ,0 0 0 .

L a d ista n c ia

d e lib ras d e a lm e n d r a s q u e s e c o m p ra r o n . D e s p u é s ,

30. Manejar a la escuela

para u n a h ip o te c a

c o n e s a s c o n d ic io n e s . D e s p u é s , d e te r m in a el p a g o m en su a l

p

A

(a ) C u a n d o e l p r e c io d e lo s d u lc e s e s d e $ 2 .7 5 p o r b o lsa , el

p d e u n a h ip o te c a v a ­ p resta d a B. Si e l p a g o m e n su a l

c o n la ca n tid a d p resta d a

d e lib ra s d e a lm en d r a s q u e

c in e e s tá in v e r sa m e n te r e la c io n a d a c o n su p r e c io

ta d o s, d eter m in a la e c u a c ió n lin e a l q u e r e la c io n a e l p a g o

p

A

d ras c o m p r a d a s fu e 3.5.

d e u na h ip o te c a a 15 a ñ o s e s $ 8 .9 9 p o r ca d a $ 1 0 0 0 p r e s­ m e n su a l

E l c o s to C d e a lm e n d r a s to sta d a s varía

d ir e c ta m e n te c o n e l n ú m e r o

d e te r m in a e l c o s to C c u a n d o e l n ú m e r o d e lib ras d e a lm e n ­

E l p a g o m e n su a l

ría d ir e c ta m e n te la ca n tid a d

g d e g a lo ­ R c u a n d o el

el n ú m ero

n ú m e r o d e g a lo n e s d e g a so lin a v e n d id o s e s 10.5.

ro

Si e l p a g o

p o te c a c o n e s a s c o n d ic io n e s . D e s p u é s , d e te r m in a e l p a g o

p

R con

n e s d e g a so lin a . D e s p u é s , d e te r m in a e l in g r e so

u n a e c u a c ió n lin e a l q u e r e la c io n e e l c o s to C c o n e l n ú m e ­

d e p resta d o s, d eter m in a la e c u a c ió n lin ea l q u e re la c io n a el

m en su a l

g a lo n e s

lib ra s d e a lm e n d r a s to sta d a s q u e s e c o m p r ó e s 5. d eter m in a

m en su a l d e u na h ip o te c a a 3 0 a ñ o s e s $ 6 .4 9 p o r ca d a $ 1 0 0 0

p

g de

d e g a so lin a q u e se v e n d e n . Si e l in g r e so e s S 47 .4 0 c u a n d o el

se c o m p r e n . Si e l c o s to e s d e $ 2 3 .7 5 c u a n d o e l n ú m e r o d e

tud / (e n p ies). L a co n sta n te d e p ro p o rcio n a lid a d e s — — . V 32 Pago de hipoteca E l p a g o m e n su a l p d e u n a h ip o te c a

p a g o m e n su a l

E n la e s ta c ió n S h ell d e la e sq u in a ,

d ir e c ta m e n te c o n e l n ú m e r o

28. Ecuación d e costo

un p é n d u lo sim p le (e n

se g u n d o s) varía d irecta m e n te a la raíz cu ad rad a d e su lo n g i-

©

R varía

lin ea l q u e r e la c io n e e l in g r e so

d e un p é n d u lo e s el

tiem p o req u erid o para una o sc ila c ió n , g e n e r a lm e n te n o s referim o s al p én d u lo c o m o

27. Ecuación de ingresos

n ú m e r o d e g a lo n e s v e n d id o s e s 12 , d e te r m in a una e c u a c ió n

6 .6 7 X 10~u .

20. Física: Péndulo simple

u n a c u e r d a q u e vib ra 5 7 6 v e c e s p o r s e g u n d o ?

el in g r e so

k ilo g ra m o s) e in v e r sa m e n te c o n el c u a d r a d o d e

la d istan cia

L a ra zó n d e v ib ra c ió n d e

d e un r e c tá n g u lo varía c o n ju n ­

p o r h o ra . ¿ C u á n to te to m a r á lle g a r a la e s c u e la ? *

L a v e lo c id a d v d e un o b je to en

ca íd a e s d ir e c ta m e n te p r o p o r c io n a l al tie m p o

t de

la ca íd a .

Presión

E l v o lu m e n

V de

u n g a s q u e s e m a n tie n e a te m ­

p era tu ra c o n s ta n te e n u n c o n te n e d o r c e r r a d o varía in v e r ­ sa m e n te c o n su p r e s ió n

P.

S i e l v o lu m e n d e l g a s e s d e 6 0 0

Si, d e s p u é s d e 2 s e g u n d o s la v e lo c id a d d e l o b je to e s d e 6 4

c e n tím e tr o s c ú b ic o s (cnv1) c u a n d o la p r e s ió n e s d e 150 m ilí­

p ie s p o r s e g u n d o , ¿ cu á l se rá su v e lo c id a d d e s p u é s d e 3 s e ­

m e tr o s d e m e r c u r io (m m H g ). d e te r m in a e l v o lu m e n c u a n ­

g u n d o s?

d o la p r e s ió n e s d e 2 0 0 m m H g.

t S E C C IÓ N 2.5

32. ~Resistencia

i en

193

u n c ir c u ito e s in v e r s a m e n te

lib ras c u a n d o la v e lo c id a d d e l v ie n to e s d e 22 m illa s p o r h ora,

. p r o p o r c io n a l a su r e s is te n c ia Z m e d id a e n o h m s. C o n sid e r a

d e te r m in a la fu e rz a so b r e u n á rea d e u n a su p e rficie d e 47 .1 2 5

q u e c u a n d o la c o r r ie n te e n u n c ir c u ito e s d e 3 0 a m p e r e s la

p ie s cu a d ra d o s c u a n d o la v e lo c id a d d e l v ie n to e s d e 36.5 m i­

r e siste n c ia e s d e 8 o h m s. D e t e r m in a la c o r r ie n te e n e l m is­

lla s p o r hora.

L a c o r r ie n te

m o c ir c u ito c u a n d o la r e s is te n c ia e s d e 10 o h m s.

33. Peso

39. Caballos de fuerza

L o s c a b a llo s d e fu e r z a (h p ) q u e un e je

E l p e s o d e u n o b je to s o b r e la su p e r fic ie d e la T ier ra

p u e d e tra n sm itir d e m a n e r a se g u r a v a ría n c o n ju n ta m e n te

v a ría in v e r s a m e n te c o n e l c u a d r a d o d e la d ista n c ia al c e n tr o

c o n su v e lo c id a d (e n r e v o lu c io n e s p o r m in u to , rp m ) y e l

d e la T ierra . S i M a ría p e s a 125 lib ra s c u a n d o e s tá e n la s u ­

c u b o d e su d iá m e tr o . S i u n e je d e c ie r to m a te ria l d e 2 p u l­

p e r fic ie d e la T ier ra (3 9 6 0 m illa s d e l c e n tr o ), d e te r m in a su

g a d a s d e d iá m e tr o p u e d e tra n sm itir 3 6 h p a 7 5 rp m , ¿ q u é

p e s o si M a ría e s tu v ie r a e n la c im a d e l M o n te M c K in le y (3 .8

d iá m e tr o d e b e te n e r e l e je p a ra tra n sm itir 4 5 h p a 125 rpm ?

m illa s d e la su p e r fic ie d e la T ie r r a ).

34. Intensidad de la luz

40. Química: ley de los gases

L a in te n sid a d / d e la lu z (m e d id a e n

E l v o lu m e n

d ire cta m e n te co n la tem p era tu ra

Te

V d e un

gas id eal varía

in v er sa m e n te co n la p re­

ta n cia al fo c o . C o n sid e ra q u e la in te n sid a d d e u n f o c o d e 100

P. E scrib e una e c u a c ió n q u e r e la c io n e a V, T y P u sa n d o k c o m o co n sta n te d e p ro p o rcio n a lid a d . Si u n cilin d ro co n tie n e

w a tts a u n a d ista n cia d e 2 m e tr o s e s d e 0.0 7 5 p ie s -c a n d e la .

o x íg e n o a u n a tem p era tu ra d e 3 0 0 K y u na p resió n d e 15 at­

p ie s - c a n d e la ) varía in v e r sa m e n te c o n e l cu a d ra d o d e la d is­

sió n

m ó sfe ra s, e n un v o lu m e n d e 100 litros, ¿cu ál e s la co n sta n te d e

D e te r m in a la in te n sid a d d e l f o c o a u n a d ista n c ia d e 5 m etro s.

35. Geometría

V de

E l v o lu m e n

h.

p ro p o rcio n a lid a d

u n c ilin d r o circu la r r e c to v a ­

ría c o n ju n ta m e n te c o n e l c u a d r a d o d e su r a d io ij

Variación

ry

V.

p istó n se in tro d u ce e n un cilin dro y

tem p era tu ra a 3 1 0 K , ¿cu ál e s la p resió n d el gas?

la c o n s ta n te d e p r o p o r c io n a lid a d e s p. V e r la figu ra. E s ­

c r ib e u n a e c u a c ió n p ara

k ? Si u n

d ism in u y e e l v o lu m e n o c u p a d o p o r e l gas a 8 0 litros y e le v a la

su altu ra

41. Física: energía cinética

L a en e r g ía cin é tic a

K

d e u n o b je to

e n m o v im ie n to varía c o n ju n ta m e n te c o n su m a sa

my

e l cu a ­

d ra d o d e su v e lo c id a d v. S i u n o b je to q u e p e sa 25 k ilo g ra m o s y se m u e v e a u n a v e lo c id a d d e 10 m e tr o s p o r se g u n d o tie n e u n a en e r g ía cin é tic a d e 125 jo u le s , d e te r m in a su en er g ía c in é ­ tica c u a n d o la v e lo c id a d e s 15 m e tr o s p o r se g u n d o .

42. Resistencia eléctrica de un alambre

L a r e siste n c ia e l é c ­

trica d e u n a la m b r e varía d ir e c ta m e n te c o n la lo n g itu d d el

36. Geometría

a la m b r e e in v e r sa m e n te c o n e l c u a d r a d o d e l d iá m e tr o E l v o lu m e n

V de

u n c o n o circu la r r e c to varía

d e l a la m b r e. S i u n a la m b r e d e 4 3 2 p ie s d e lo n g itu d y 4 m ilí­

c o n ju n ta m e n te c o n e l c u a d r a d o d e su r a d io r y su altu ra h. 77 L a c o n sta n te d e p r o p o r c io n a lid a d e s V e r la figura. E s c r i­

m e tr o s d e d iá m e tr o tie n e u n a r e siste n c ia d e 1.24 o h m s, d e ­

b e u n a e c u a c ió n para

te r m in a la lo n g itu d d e u n a la m b r e d e l m ism o m a te ria l cu ya

V.

r e siste n c ia s e a 1 .4 4 o h m s y c u y o d iá m e tr o se a 3 m ilím etro s.

43. Medición de la tensión en materiales

L a te n sió n e n el m a te ­

rial d e u n a p ip a su jeta a p resió n in tern a varía co n ju n ta m en te c o n la p r e sió n in tern a y e l d iá m e tr o in te rn o d e la p ipa, e in ­ v e r sa m e n te c o n el e s p e so r d e la p ipa. L a te n sió n e s 100 libras p o r p u lg a d a cu ad rad a c u a n d o e l d iá m e tr o e s d e 5 p u lgad as, e l e s p e so r e s d e 0.75 p u lg a d a s y la p resió n in tern a es d e 25 libras p o r p u lg a d a cu ad rad a. D e te r m in a la te n sió n cu a n d o la p r e sió n in tern a e s d e 4 0 libras p o r p u lg a d a cu ad rad a, si el

37. Peso de un cuerpo ,

d iá m e tr o e s d e 8 p u lg a d a s y e l e s p e so r e s d e 0 .5 0 pulgad as.

E l p e s o d e u n c u e r p o e n la su p e r fic ie

d e la T ierra v a ría in v e r sa m e n te c o n e l c u a d r a d o d e la d is­

44. Carga segura para una viga

L a m á x im a ca rga se g u r a para

ta n cia al c e n tr o d e la T ierra . Si u n c u e r p o p e sa 55 lib ras

u n a v ig a r e cta n g u la r h o r iz o n ta l varía c o n ju n ta m e n te c o n el

c u a n d o e s tá a 3 9 6 0 m illa s d e l c e n tr o d e la T ie r r a , ¿ c u á n to

a n c h o d e la viga y al cu a d ra d o c o n e l g ro so r d e la viga,

p esa r á c u a n d o e s té a 396 5 m illa s d e l c e n tr o ?

e in v e r sa m e n te c o n su lo n g itu d . Si u n a viga d e 8 p ies p u e d e

38. Fuerza del viento en una ventana

L a fu erza q u e e je rce e l v ie n to en u na su p erficie p la n a varía c o n ju n ta m e n te co n

cargar h asta 7 5 0 libras c u a n d o la v ig a tie n e 4 p u lgad as d e a n ­

e l área d e la su p erficie y e l c u a d ra d o d e la v e lo c id a d d e l v ie n ­

para u n a vig a sim ilar d e 10 p ie s d e largo, 6 p u lg a d as d e a n ch o

to . Si la fu erza so b re un á rea d e 2 0 p ies cu a d ra d o s e s d e 11

y 2 p u lg a d a s d e esp e so r?

c h o y 2 p u lg a d a s d e e sp e so r , ¿cu ál e s la carga segu ra m áxim a

E x p li c a c ió n d e c o n c e p t o s : d is c u s ió n y e s c r it u r a 4 5 . E n e l sig lo X V I I J o h a n n e s K e p le r d e sc u b r ió q u e e l cu a d ra ­ d o d e l p e r io d o T d e la ro ta c ió n d e u n p la n e ta a lr e d e d o r d el S o l varía d ir e c ta m e n te c o n e l c u b o d e su d ista n c ia m e d ia

4 7 . U s a u n a situ a c ió n q u e n o s e h a y a d isc u tid o e n e l te x to para escrib ir u n p r o b le m a d e la v id a rea l q u e cr ea s q u e in v o lu cra d o s v a r ia b le s q u e varían in v e r sa m e n te . In te rc a m b ia tu p ro ­ b le m a c o n e l d e o tr o e s tu d ia n te para r e so lv e r y co m e n ta r.

a

al S o l. V e a la b ib lio te c a e in v e stig a e s ta le y y la s o tra s d o s le y e s d e K e p le r. E scrib e u n b r e v e e n s a y o a ce rc a d e las le y e s y d e la im p o r ta n cia h istó ric a d e K e p le r. 4 6 . U s a u na situ a c ió n q u e n o se h a y a d isc u tid o e n e l te x to para escrib ir un p r o b le m a d e la v id a rea l q u e cr ea s q u e in v o lu cra d o s v a ria b le s q u e va ría n d ir e c ta m e n te . In te rc a m b ia tu p r o ­ b le m a c o n e l d e o tr o e s tu d ia n te para r e so lv e r y co m e n ta r .

48.

U s a u na situ a ció n q u e n o se h a y a d iscu tid o e n el tex to para escribir un p ro b lem a d e la vid a real q u e crea s q u e in volu cra tres v a ria b les q u e varían co n ju n ta m en te. In tercam b ia tu p ro ­ b lem a c o n e l d e o tr o e stu d ia n te para re so lv e r y com en tar.

194 CAPÍTULO 2

Gráficas

REPASO DEL CAPÍTULO C osas q u e d e b e s sab er

Fórmulas F órm u la d e la d istan cia (p. 151)

d = \ / ( * 2 - * i) 2 + t e

( x\

F órm u la d el p u n to m e d io (p. 154)

P en d ien te (p. 167)

+ *2 y i + yi\

V 2 ’

( x , y )

y\)2

~

m - Z?— Zl s i x

2

J

* x 2; in d e fin id a si x , = x 2

X2 - X] R ec ta s p aralelas (p. 175)

P e n d ie n te s ig u a le s (m , = m 2) y d ife r e n te s in te r se c c io n e s co n

y (b, * b2) V a ria ció n d irecta (p. 189)

y -k x

V a ria ció n in versa (p. 189)

k

Ecuaciones de rectas y círculos R ec ta vertical (p. 171)

x = a\ a e s

la in te r se c c ió n c o n x

R ec ta h o rizo n ta l (p. 172)

y = b\ b e s

la in te r se c c ió n c o n

F orm a p u n to -p e n d ie n te d e la e c u a c ió n d e una recta (p. 172)

y-

y, =

m(x -

x ,);

m es

y

la p e n d ie n te d e la re cta , (x ^ y ,) e s un

p u n to e n la recta F orm a p en d ie n te-o rd e n a d a d e la e c u a c ió n d e u n a recta (p . 172)

y = mx + b\ m e s

la p e n d ie n te d e la r e cta ,

la in te r se c c ió n c o n

b es

y

F orm a g en era l d e la ec u a c ió n d e u na recta (p . 174)

Ax + By + C; A, B, n o

F orm a está n d a r d e la e c u a c ió n d e u n círc u lo (p . 182)

x 2+

y1= 1

F orm a g en er a l d e la ec u a c ió n d e un círc u lo (p . 184)

x 2+

y2+ ax + by + c = 0, c o n

p u e d e n se r a m b a s 0

r e str ic c io n e s e n

a, b y

c A

O b j e t iv o s Sección D ebes p o d e r...

2.1 2.2

2.3

U sa r la fó rm u la d e d ista n cia (p . 151)

1 -3

l( a ) —6(a ), 4 8 , 4 9 (a ), 50

U sa r la fó rm u la d e p u n to m e d io (p . 153)

4

l ( b ) - 6 (b ), 50

R ep r e se n ta r e c u a c io n e s g r á fic a m e n te tra z a n d o p u n to s (p . 157)

1 -3

7

E n co n tra r in te r se c c io n e s a p artir d e una gráfica (p . 159)

4

8

3

E n co n tra r in te r se c c io n e s a p artir d e u n a e c u a c ió n (p . 160)

5

9 -1 6

4

P rob ar la sim etría d e u n a e c u a c ió n c o n r e sp e c to al e je x , al e je y y al o rig en (p. 160)

6 -9

9 -1 6

5

S a b er r e p r esen ta r gráficas d e e c u a c io n e s c la v e (p . 163)

1 0 -1 2

i 2 1 2

1 C alcu lar e in terp reta r la p e n d ie n te d e u n a recta (p . 167)

1 ,2

2 R ep re se n ta r gráficas d e recta s d a d o un p u n to y la p e n d ie n te (p . 170)

3

4 5 ,4 6 l ( c ) - 6(c ), l ( d ) 6(d ), 4 9 (b ), 51 47

3

D e te r m in a r la e c u a c ió n d e u n a recta v er tica l (p .1 7 0 )

4

29

4

U sa r la fo rm a p u n to -p e n d ie n te d e u na recta; id e n tific a r re cta s h o r iz o n ta le s (p. 171)

5 ,6

2 7 ,2 8

5

D e te r m in a r la e c u a c ió n d e una recta d a d o s d o s p u n to s (p . 172)

7

3 0 -3 2

8

2 7 , 2 8 ,3 0 - 3 6

8

3 7 -4 0

9

4 1 -4 4

1 0 ,11

3 3 ,3 4

1 2 ,1 3

3 5 ,3 6

1

1 7 -2 0 , 50

2 ,3

2 1 -2 6

4

2 3 -2 6

6 E scrib ir la e c u a c ió n d e u n a recta e n fo rm a p e n d ie n te -o r d e n a d a (p . 172) 7

Id en tifica r la p e n d ie n te e in te r se c c ió n e n y d e u n a recta a partir d e su e c u ­ a ció n (p. 173)

8 R ep r e se n ta r grá fica s d e recta s escr ita s e n la fo rm a g e n e r a l u sa n d o in te r se c ­ c io n e s (p . 174) 9 2.4

Ejem p lo s Ejercicio s de repaso

D e te r m in a r e c u a c io n e s d e re cta s p a ra le la s (p . 175)

10 D e te r m in a r e c u a c io n e s d e re cta s p e r p e n d ic u la r e s (p . 176) 1 E scrib ir la fo rm a está n d a r d e la e c u a c ió n d e un c írc u lo (p . 182) 2 R ep r e se n ta r g r á fic a m e n te a un círc u lo (p. 183) 3

T rabajar c o n la fo rm a g e n e r a l d e la e c u a c ió n d e un c írc u lo (p . 184)

Repaso del Capítulo

M Sección D ebes p o d e r... i

2 .5

E jem plos Ejercicios de repaso 5 2 , 5 3 ,5 5

C o n stru ir un m o d e lo u sa n d o v a r ia c ió n in v er sa (p . 189)

1 2

C o n stru ir un m o d e lo u sa n d o v a r ia c ió n co n ju n ta o c o m b in a d a (p . 190)

3 ,4

55

1

C o n stru ir un m o d e lo u sa n d o v a ria ció n d ire cta (p . 189)

2 3

195

54

Ejercicios de repaso En los problemas 1-6 , determina lo siguiente para cada par de puntos: (a) La distancia entre los puntos

8. H a z u n a lista d e las in te r s e c c io n e s d e la si­ g u ie n te gráfica.

(b ) E l p u n t o m e d i o d e l s e g m e n to d e r e c ta q u e c o n tie n e lo s p u n to s (c) L a p e n d ie n te d e la re c ta q u e c o n tie n e lo s p u n to s (d ) I n te r p r e ta la p e n d ie n te q u e d e te r m in a s te en e l in c is o (c) 1.

( 0 ,0 ); ( 4 ,2 )

2 . ( 0 ,0 ); ( - 4 , 6 )

3.

( 1 ,- 1 ) ; ( - 2 , 3 )

4 . ( - 2 , 2 ) ; ( 1 ,4 )

5.

( 4 ,- 4 ) ; ( 4 ,8 )

6. ( - 3 , 4 ) ; ( 2 ,4 )

7.

D ib u ja la grá fica d e

It

y=

a :2 +

4 tr a z a n d o p u n to s

En los problemas 9-16, haz una lista de las intersecciones y prueba la simetría con respecto al eje x y y al origen.

.

9.

2x = ^y2

; i 3 . >> -

y* + 2 ^

+ 1

10.

y = 5x

11.

x2 +

4 y2 = 16

14.

y = x3 -

15.

x2 + x + y2 + 2y

= 0

12.

9x2 - y2 = 9

16.

x2 + 4x + y2 - 2y =

0

En los problemas 17-20, determina la forma estándar de la ecuación del círculo cuyo centro y radio se dan a continuación. 17. (h,k) = ( - 2 , 3 ) ; r = 4 18. (h,k) = (3 ,4 ); r = 4 19. (h,k) = ( - 1 , - 2 ) ; r = 1 20. (h,k) = ( 2 ,- 4 ) ; r = 3 En los problemas 21—26, encuentra el centro y radio de cada círculo. Dibuja la gráfica de cada círculo. Encuentra las intersecciones de cada círculo, si existen. 21. x2 + {y -

l )2 = 4

24. x2 + y2 + 4x \

-

22.

4y -

( x + 2 )2 +

25. 3x2 +

1 = 0

3 y2

y2 = 9 - 6x +

23.

x2 +

y2 - 2x + 4y - 4

26. 2x2 + 2y2 - 4x

12y = 0

= 0

= 0

En los problemas 27-36, determina una ecuación de la recta cuyas características se dan. Expresa tu respuesta usando ya sea la forma general o la forma pendiente-ordenada de la ecuación de una recta, la que prefieras. 27. P e n d ie n te = - 2 ; q u e c o n te n g a e l p u n to ( 3 , - 1 ) 28. P e n d ie n te = 0; q u e c o n te n g a e l p u n to ( - 5 , 4 ) , 29. 31.

30. In te rse cc ió n

V ertica l; q u e c o n te n g a e l p u n to ( - 3 , 4 ) In te r se c c ió n c o n

y=

—2; q u e c o n te n g a e l p u n to

33.

P a ra lela a la recta 2jc + 3 y = - 4 ; q u e c o n te n g a e l p u n to ( - 5 , 3 )

34.

P a ra lela a la recta

35.

P er p e n d ic u la r a la recta

36.

P er p e n d ic u la r a la recta 3 x

x + y = 2; q u e x+y=

32. Q u e

( 5 ,- 3 )

co n

x = 2; q u e co n te n g a

el p u n to ( 4 ,- 5 )

c o n te n g a lo s p u n to s ( 3 , - 4 ) y (2 ,1 )

c o n te n g a e l p u n to ( 1 , - 3 ) 2; q u e c o n te n g a e l p u n to ( 4 , - 3 )

- y = -4 ;

q u e c o n te n g a e l p u n to ( - 2 , 4 )

En los problemas 37-40, determina la pendiente e intersección en y de cada recta. Haz una gráfica de la recta y marca las intersecciones. 37. 4x - 5y

= -2 0

38.

3* + 4y

=

1

12

1

1

3

39. - x - - y = - -

1

40. - - x + - y =

En los problemas 41—44, determina las intersecciones de la gráfica de cada recta. !

i

41. ,

2x -

3y = 12

42. * - 2y = 8

í

i

43. -x + - y = 2 '

i

i

44 . - x - - y = l

0

196

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

45.

B o sq u eja una gráfica d e y =

46.

B o sq u eja una gráfica d e

47.

y

52.

x3.

B.

Si el p ago

d e p r é sta m o , d e te r m in a la e c u a c ió n lin ea l q u e re la c io n a el p a g o m en su a l

D em u estra q u e lo s p u n to s

A=

(3 ,4 ),

B=

D em u estra q u e lo s p u n to s

( -1 ,1 ) y C = ( -2 ,3 )

m en su a l

A = (-2 ,0 ), B = ( -4 ,4 )

y C = (8 ,5 )

53.

co n e l m o n to d e l p r é sta m o

p cuando

e l m o n to

E c u a c ió n d e In g r e so s el in g re so

B para

R varía

B d el

p r é s ta m o e s $ 1 6 5,000,

E n la e s ta c ió n E s s o d e la esq u in a,

d ir e c ta m e n te c o n e l n ú m e r o

lin ea l q u e r e la c io n e e l in g r e so

R con

L o s p u n to s term in a le s d el d iá m e tr o d e un círcu lo so n ( - 3 , 2 )

R cuando

el

n ú m e r o d e g a lo n e s d e g a so lin a v e n d id o s e s 1 1 .2 . 54.

P e s o d e un c u e r p o

El p e s o d e un c u e r p o varía in v ersa m en ­

te co n el cu a d ra d o d e su d ista n cia al c e n tr o d e la T ierra. Su­

U sa n d o sus p en d ien tes, d em u estra q u e los p u n to s

C= ( 8, - 1 ) están

g a lo n es

el n ú m e r o g d e g a lo ­

n es d e g a so lin a . D e s p u é s , d e te r m in a el in g r e so

la ec u a c ió n están d a r d e e s te círcu lo.

g de

n ú m e r o d e g a lo n e s v e n d id o s e s 13, d e te r m in a u n a ec u a c ió n

vértices.

y ( 5 ,- 6 ) . D eter m in a el c e n tr o y el rad io d el círcu lo. E scrib e

una h i­

d e g a so lin a q u e s e v e n d e n . Si e l in g r e so e s $4 6 .6 7 c u a n d o el

(b ) P or m ed io d e las p e n d ie n te s d e las recta s q u e u n en lo s

£ = ( 6, 1 ) y

p

p o te c a co n e s a s c o n d ic io n e s . D e s p u é s , d eter m in a e l pago

(a ) P or m e d io d el r e cíp r o co d el teo r em a d e P itágoras

51.

d e una h ip o te c a va

H a z una gráfica d e la recta co n p e n d ie n te - q u e c o n te n g a el

son lo s vértices de un trián gu lo rectá n g u lo en d o s form as:

50.

p

m en su a l d e una h ip o te c a a 3 0 artos e s $ 8 5 4 .0 0 p or $ 1 3 0 / / / )

son los vértices d e un trián gu lo isó sceles. 49.

E l p a g o m en su a l

= V x

p u n to ( 1 , 2 ). 48.

P a g o d e h ip o te c a

ría d ir e c ta m e n te c o n e l m o n to d e l p r é sta m o

A = (2 ,5 ),

en una recta.

p o n ie n d o q u e el rad io d e la T ierra e s d e 3 9 6 0 m illas, ¿cu án to p esará un h o m b re a una altura d e 1 m illa so b re la su perficie d e la T ierra si p esa 2 0 0 libras en la su p e rficie d e la T ierra?

55. T ercera le y d e K e p le r d el m o v im ie n to p la n e ta r io d o d el p erio d o d e re v o lu c ió n

T de

La tercera ley d e K c p le r d el m o v im ie n to p la n e ta r io e s ta b le c e q u e e l cu a d ra ­

un p la n e ta varía d ir e c ta m e n te co n el c u b o d e su d ista n c ia m e d ia

a al

S o l. Si la d ista n cia m ed ia

d e la T ierra al S ol e s d e 93 m illo n e s d e m illa s, ¿cu ál e s la d ista n cia m ed ia d el p la n e ta M e rc u r io al S o l. d a d o q u e M e rc u r io tien e un “a ñ o ” d e 88 días?

56.

57.

D esa r ro lla cu a tro p r o b le m a s q u e se te p u e d e p ed ir q u e re su e lv a s d a d o s d o s p u n to s ( - 3 , 4 ) y ( 6 .1 ) . C a d a p r o b lem a d e b e ten er un c o n c e p to d ife re n te . A se g ú r a te d e q u e tus in d ic a c io n e s se d en d e m a n era clara. D e sc r ib e cad a una d e las sig u ie n te s grá fica s e n el p la n o xy. Ju stifica tu d esc rip ció n . (a )

jc =

0

(b ) y = 0

(c )

x +y = 0

(d ) x y = 0

( e ) jr + y - = 0

58. C o n sid era q u e tie n e s un c a m p o recta n g u la r q u e r e q u ie re ser re g a d o . T u siste m a d e rie g o c o n s is te e n un b r a z o d e lo n g itu d v a ­ riable q u e gira d e m a n era q u e el p atrón d e r ie g o se a un círcu lo . D e c id e d ó n d e p o n e r e l b ra zo y q u é lo n g itu d d e b e te n e r para q u e e l ca m p o se rieg u e c o m p le ta m e n te d e m a n era e fic ie n te . ¿ C u á n d o e s d e s e a b le u sar m á s d e u n b ra zo ? [S u geren cia: U sa un siste m a d e c o o r d e n a d a s re cta n g u la r es e n la p o sic ió n q u e s e m u e str a e n las figu ras. E scrib e las e c u a c io n e s para lo s círcu lo q u e fo rm en lo s b ra zo s d e rieg o .]

y -

CHAPTER

*To Test Prep

EXAMEN DEL CAPÍTULO 'En los problemas 1-3. lisa P, - {l,3) y

V

V ID E O S 1

8. E sc r ib e la form a g e n e r a l d el c ír c u lo c o n c e n tr o en ( 4 , - 3 ) d e

P , = (5, - / ) .

ra d io 5.

1.

D e te r m in a la d ista n c ia d e P , a P „

2.

D e te r m in a e l p u n to m e d io d e l s e g m e n to d e recta q u e u n e a

i.

**, y pv (a ) D ete r m in a la p e n d ie n te d e la recta q u e c o n tie n e a P , y P ,.

9.

10.

H a z u n a g rá fica d e y = . r - 9 tr a z a n d o lo s p u n to s.

5.

B o s q u e ja la g rá fica d e

y2 = x.

p e r p e n d ic u la r q u e c o n te n g a al p u n to (0 ,3 ) .

11. Resistencia debida a un conductor

La re siste n c ia (en

o h m s) d e un c o n d u c to r circu la r varía d ir e c ta m e n te c o n la

6. H a z u na lista d e las in te r s e c c io n e s y p ru eb a la sim etría:

d ista n c ia d el c o n d u c to r e in v e r sa m e n te c o n e l cu a d ra d o d el

+ y = 9.

ra d io d el c o n d u c to r . Si 5 0 p ie s d e a la m b r e c o n un rad io de

6 x 10"' p u lg a d a s tie n e n una re siste n c ia d e 10 o h m s, ¿cuál se rá la re siste n c ia d e 100 p ies d el m ism o a la m b re si e l rad io se in c r e m e n ta a 7 x 10 3 p u lg a d a s?

E scrib e la form a p e n d ie n t e - o r d e n a d a d e la recta c o n p e n ­ d ie n te - 2 q u e c o n tie n e al p u n to ( 3 .- 4 ) . H a z la g rá fica d e la

j '

Para la recta 2.v + 3y = 6 , e n c u e n tr a una recta p a ra lela q u e c o n te n g a al p u n to ( 1 , - 1 ) . T a m b ié n e n c u e n tr a una recta

4.

7.

E n cu en tra el ce n tr o y rad io d el círculo.v: + y 2 + 4 . v - 2 y - 4 = 0. D ib uja la gráfica d e e s te círculo.

(b ) In terp reta e sta p e n d ie n te .

jt

Los videos de preparación para examen del capítulo son soluciones paso a paso disponibles en el DVD de Recursos en Video, en ntyMÜá¡L¿ | o en el canal de YouGUJ de este texto. Consulta la página de recursos del estudiante para ver la dirección exacta de la página Web para el canal de YouTube de este texto.

recta.

'REPASO ACUMULATIVO En los problemas 1-8, determina las soluciones reales de cada ecuación.

1. j 3.

3,r - 5

2.

= 0

2 jt — 5 jc -

3=

0

i 5 ,.r + 2x + 5 = 0

7.

|.t

-

2| = 1

. r - .t -

12 = 0

4. x2 - 2x

-

6. V l x

+

1= 3

+

4x

8.

V .T

2

= 2

En los problemas 11-14, resuelve cada desigualdad. Haz una grá­ fica del conjunto solución. 11. 2.t — 3 < 7 12. - 1 < .t + 4 < 5 - 2|

< 1

14. |2 + jc| >

D e te r m in a la d ista n c ia e n tr e lo s p u n to s P = ( - 1 , 3 ) y

Q = ( 4 .- 2 ) . D e te r m in a ta d e P a Q.

16.

= 0

En los problemas 9 y 10, resuelve cada ecuación en el sistema de números complejos. 9 . x2- - 9 10. .r2 - 2 r + 5 = 0

13. |*

15.

¿ C u á l d e lo s sig u ie n te s p u n to s e stá e n la g rá fica d e y =

jc3 -

3.r + 1?

(a ) ( - 2 , - 1 )

17. 18.

e l p u n to m e d io d e l s e g m e n to d e re c ­

(b ) ( 2 ,3 )

(c ) ( 3 ,1 )

B o sq u e ja la g ráfica d e y = a:3. D e te r m in a la e c u a c ió n d e la recta q u e c o n tie n e lo s p u n to s ( - 1 , 4 ) y ( 2 , - 2 ) . E x p r e sa tu r e sp u e sta e n fo rm a d e p e n d ie n ­ te - o r d e n a d a .

19.

D e te r m in a la e c u a c ió n d e la recta p erp en d icu la r a la recta

y = 2x + \

q u e c o n tie n e al p u n to (3 ,5 ) . E x p re sa tu resp u esta

e n form a p e n d ie n te -o r d e n a d a y d ibuja la gráfica d e la recta.

20.

T ra za la gráfica d e la e c u a c ió n

x2+ y2- 4x + 8y

-5

=0

3

PROYECTO DEL CAPÍTULO Proyecto del capítulo basado en Internet. Predicción del desempeño olímpico L a

m ed id a d el d e s e m ­

p e ñ o h u m a n o e n e l tie m p o a v e c e s sig u e u na fu erte rela ció n lin ea l p or p e r io d o s r a z o n a b le m e n te p e q u e ñ o s. E n 2004 lo s J u e g o s O lím p ic o s d e V e r a n o reg resa ro n a G r ec ia , el h ogar de lo s J u e g o s O lím p ic o s a n tig u o s y lo s p rim er o s J u e g o s O lím p ic o s m o d e r n o s. L o s d a to s a c o n tin u a c ió n r e p r esen ta n lo s tie m p o s (e n h o ra s) d e lo s h o m b re y m u jer es g a n a d o r e s d el m aratón.

1

Año

Hombres

Mujeres

1984

2.16

2.41

1988

2.18

2.43

1992

, 2.22

2.54

1996

2.21

2.43

2000

2.17

2.39

r ú e n le : w w w .h ic k o k s p o r ts .c o m /h is to r y /o lm ta n d f.s h tm l

197

198

C A P ÍT U L O 2

Gráficas

1. T o m a n d o el a ñ o c o m o la v a ria b le in d e p e n d ie n te y el v a lo r

4.

q u e rela cio n a n esta s v a ria b les (h a z lo se p a r a d o para h o m ­

5.

¿ S ervirían tu s e c u a c io n e s para p r ed ec ir lo s tie m p o s ga n a ­

b res y m u jeres) u sa n d o lo s d a to s d e lo s a ñ o s 1992 y 1996.

d o r e s d el m a ra tó n e n lo s J u e g o s O lím p ic o s d e 21 0 4 ? ¿Por

C om p ara las e c u a c io n e s y c o m e n ta las sim ilitu d e s o d ife ­

q ué o por q ué no?

rencias. 2.

R e p ite las p a rtes 1 y 3 u sa n d o lo s d a to s para lo s a ñ o s 1996 y 20 0 0 . ¿ C ó m o s e c o m p a ra n tu s r e su lta d o s?

d e l tie m p o d e lo s g a n a d o r es, d eterm in a e c u a c io n e s lin e a le s

In terp reta las p e n d ie n te s d e tus e c u a c io n e s e n la p arte 1.

6. E s c o g e tu e v e n t o fa v o r ito d e lo s J u e g o s O lím p ic o s d e in­ v ie r n o y e n c u e n tr a el v a lo r g a n a d o r ( e s t o e s , la d istan cia,

¿ T ien en una in terp re ta c ió n ra z o n a b le las in te r se c c io n e s en

tie m p o o a lg o sim ila r ) en d o s J u e g o s O lím p ic o s d e in v iern o

y? ¿P or q u é o p or q u é n o?

a n te r io r e s a 2 0 0 6 . R e p ite las p a rtes 1 a 3 u sa n d o el e v e n to

3. U s a tus e c u a c io n e s para p red ec ir e l tie m p o d el g a n a d o r en las O lim p ia d a s d e 2004. C om p ara tus p r e d ic c io n e s c o n el resu lta d o real (2 .1 8 h oras para h o m b re s y 2 .4 4 h oras para m u jeres). ¿ Q u é tan b ien p red ijero n tus e c u a c io n e s lo s tie m ­ p o s g an ad ores?

q u e s e le c c io n a s te y lo s a ñ o s y co m p a ra co n lo s resu lta d o s r e a le s d e lo s J u e g o s O lím p ic o s d e T u rín , Italia.

I

K

Funciones y sus gráficas Contenido 3.1 3 .2 3 .3 3 .4

Funciones Gráfica de una función Propiedades de las funciones Directorio de funciones; funciones definidas por partes

3 .5 3 .6

Técnicas para elaborar gráficas: transformaciones Modelos matemáticos: construcción de funciones

• • • •

Repaso del capítulo Examen del capítulo Repaso acumulativo Proyectos del capítulo

Elección de un plan de teléfono celular i La mayoría de los consumidores primero escogen una compaj ñía de teléfonos celulares y después escogen un plan apropiado que ofrece esa compañía. La elección del tipo de plan depenI de del uso del teléfono. Por ejemplo, ¿son importantes los I mensajes de texto? ¿Cuántos minutos piensas usar el telé! fono? ¿Quieres un plan que te permita navegar por la red? Las matemáticas que aprenderás en este capítulo te pueden ayudar a elegir el mejor plan para tus necesidades. -Verproyecto con base en Internet del capítulo-

En este capítulo veremos un tipo especial de ecuación que involucra dos variables, llamada función. Este capítulo expone lo que es una función, explica cómo hacer gráficas de funciones, las propiedades de las funciones y cómo usar funciones en problemas aplicados. Aparentemente la palabra función fue introducida por Rene Descartes en 1637. Para él, una función simplemente quería decir cualquier potencia entera positiva de una variable x. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quien siempre hizo énfasis en el lado geométrico de las matemáticas, usó la palabra función para denotar cualquier cantidad asociada con una curva, como las coordenadas de un punto en la curva. Leonhard Euler (1707-1783) usó la palabra para denotar cualquier ecuación o fórmula que incluyera , variables y constantes. Su idea de una función era similar a la que se ve con mayor frecuencia en los cursos que preceden al cálculo. Más tarde, el uso de funciones en ecuaciones de investigación de flujo de energía llevó a una definición muy amplia, gracias a Lejeune Dirichlet (1805 -1859), quien describió una función como una correspondencia entre dos conjuntos. Ésta es la definición que usaremos aquí.

199

200

C A P ÍT U L O 3

Fundones y sus gráficas

3.1 Funciones P r e p a r a c ió n

p a r a e s t a s e c c ió n

A n te s d e e m p e z a r , r e p a s a lo s ig u ie n te :

In terv a lo s (se c c ió n 1.5, pp. 120—121)

E v a lu a c ió n d e e x p r e s io n e s a lg e b r a ic a s, d o m in io d e u na v a ria b le (c a p ítu lo R , se c c ió n R .2 , pp. 2 0 - 2 3 )

R eso lu ció n de d esig u a ld a d es (sec ció n 1.5, pp. 1 2 3 -1 2 6 )

\

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 210.

OBJETIVOS 1 Determinar si una relación representa una función (p. 200) 2 Determinar el valor de una función (p. 203) 3 Determinar el dominio de una función definida por una ecuación (p. 206)

4 Formar la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones (p. 208j

1 Determinar si una relación representa una función Frecuentemente encontramos situaciones donde una variable está ligada de alguna manera al valor de otra variable. Por ejemplo, el nivel de educación de una persona está relacionado con su ingreso anual. El tamaño del motor está ligado con el kilome­ traje que da un auto. Cuando el valor de una variable está ligado al valor de otra varia­ ble, tenemos una r e la c ió n . Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos. Si x y y son dos elementos de estos conjuntos y si existe una relación entre x y y, entonces decimos que x corresponde a y o que y depende de x , y lo escribimosx —* y . Hay diversas maneras para expresar relaciones entre dos conjuntos. Por ejemplo, la ecuación y = 3jc —1 muestra una relación entre x y y. Establece que si tomamos un número x , lo multiplicamos por 3 y le restamos 1, obtenemos el valor correspon­ diente de y. En este sentido jc sirve como la entrada de la relación y y como la salida de la relación. También podemos expresar esta relación como una gráfica, como se muestra en la figura 1. Una relación no solo se puede expresar en forma de gráfica o como una ecua­ ción, sino que también se puede expresar con una técnica llamada m a p e o . Un mapa ilustra una relación mediante el uso de un conjunto de entradas y dibujos de flechas hacia el elemento correspondiente en el conjunto de salidas. Los pares ordenados se pueden usar para representar x —* y como (jc, y ).

Figura 1

EJEM PLO 1

Mapas y pares ordenados como relaciones La figura 2 muestra una relación entre estados y el número de representantes que tiene cada estado en la Cámara de Representantes. A la relación se le puede llamar “número de representantes”.

Figura 2 Estado Alaska

Número de Representantes ---- *■ 1

Arizona — -____ California Colorado-------Florida Dakota del Norte

— ^ 7 -'*■ 8

¿0 53

En esta relación Alaska corresponde al número 1, Arizona corresponde al número S. etc. Si usamos los pares ordenados, esta relación se puede expresar como {(Alaska,!), (Arizona,8), (California,53), (Colorado.7), (Florida. 25). (Dakota del Norte.l)}

SECC IÓN Al Fundón«

■gura 3

FVrsonj

Numero {»(«fónico

201

Uno de los conceptos más importantes en álgebra es el de f u n c ió n . Una función es un tipo especial de relación. Para entender la idea de una función, volvamos a observar la relación del ejemplo 1. Si preguntamos, "¿cuántos representantes tiene Alaska?”, punirás responder "1”. De hecho, cada entrada de e s ta d o corresponde a una sola salida de numero d e r e p r e s e n ta n te s . Consideremos una segunda relación donde tenemos una correspondencia entre cuatro personas y sus números telefónicos. Ver figura .V Observa que Coleen tie­ ne dos números telefónicos. Si te preguntan, "¿cuál es el número telefónico de Collccn?”. no puedes asignarle un único numero. Veamos otra relación. La figura 4 es una relación que muestra una correspondencia entre a n im a le s y su e s p e r a n z a de vida. Si te piden que determines la esperanza de vida de un perro, responderías "II artos". Si te piden que determines la esperanza de vida de un conejo, todos responderíamos "7 artos”. Figura 4 Esperanza de vida —

Ammal !

.

PljFfQ

«|0 !___________

I

Observa que las relaciones presentadas en las figuras 2 y 4 tienen algo en común. ¿Qué es? Lo que tienen en común es que cada entrada corresponde exactamente a una salida. Esto nos lleva a la definición de fu n c ió n .

DEFINICIÓN

Sean X y >' dos conjuntos no vacíos.* Una fundón de A' a Y es una relación que asocia a cada elemento de A’ exactamente un elemento de Y . __j El conjunto A' se llama dominio de la función. Para cada elemento .v en .V. el ele­ mento y en >' se llama valor de la función en x o la imagen de r. El conjunto de todas las imágenes de los elementos en el dominio se llama rango de la función. Ver figura 5. Dado que puede haber elementos en V' que no estún en la imagen de alguna x en A', el rango de una función puede ser un subconjunto de Y . como se ve en la figura 5. No todas las relaciones entre dos conjuntos son funciones. El siguiente ejemplo muestra cómo determinar si una relación es una función.

EJEM PLO 2

Determinar si una relación representa una función Determina cuáles de las siguientes relaciones representan una función. Si la relación es función, determina su dominio y rango. (a) Ver figura 6. Para esta relación, el dominio representa el número de calorías en un emparedado de un restaurante de comida rápida y el rango representa el con­ tenido de grasa (en gramos).

Figura 6

Calorías

Grasa

/ u (en quilates) de diamantes talla pera y el rango representa su precio íen dólares).

Figura 7 Gasolinera

Solución

(a) La relación en la figura 6 es una función debido a que cada elemento del dominio corresponde exactamente a un elemento del rango. El dominio de la función es {470, 670,630,540, 360) y el rango de la función es {31.40. 39. 29. 16). (b) La relación en la figura 7 es una función debido a que cada elemento del domi­ nio corresponde exactamente a un elemento del rango. El dominio de la función es {Mobil, Shell, Sunoco, 7-Eleven). El rango de la función es {2.69. 2.71. 2.72). Observa que es aceptable que más de un elemento del dominio corresponda al mismo elemento en el rango (Shell y 7-Eleven venden gasolina a S2.72 por galón). (c) La relación de la figura 8 no es una función debido a que cada elemento del do­ minio no corresponde exactamente a un elemento del rango. Si escogemos el dia­ mante de 0.71 quilates del dominio, no podemos asignarle un precio único. •

Resuelve ahora

r

r En palabras r Para una función, ninguna enr trada tiene más de una salida. r El dominio de una función es el conjunto de entradas; el rango re el conjunto de salidas.

EJEM PLO 3

Precio regular por galón

Figura 8 ! urntr. litado am fxrrmrvi de Diamond* .cam

el

p r o b l e m a

15

La idea detrás de una función es su capacidad para hacer predicciones. Si se conoce la entrada, podemos usar la función para determinar la salida. Con “no fun­ ciones" no tenemos esta capacidad para predecir. Observa de nuevo la figura 7. Las entradas son {410, 580, 540, 750, 600, 430). La correspondencia es n ú m e r o d e g r a m o s d e g r a s a y las salidas son (19, 29, 24. 33, 23). Si preguntas “¿cuántos gramos de grasa tiene un emparedado de 410 calorías?", podemos usar la correspondencia para con­ testar “19". Observa ahora la figura 8. Si te preguntan, “¿cuál es el precio de un dia­ mante de 0.71 quilates?”, no puedes dar una única respuesta debido a que tenemos dos salidas por una sola entrada "0.71". Por esta razón, la relación de la figura 8 no es una función. También podemos pensar en una función como un conjunto de pares ordenados (,v,y) en el que ningún par ordenado tiene el mismo primer elemento y el segundo elemento diferente. El conjunto de todos los primeros elementos x es el dominio de la función y el conjunto de todos los segundos elementos y es el rango. Cada elemen­ to x en el dominio corresponde exactamente a un elemento y en el rango.

Determinar si una relación representa una función Determina si cada relación representa una función. Si es una función, indica su do­ minio y rango. (a) {(1.4), (2,5), (3.6), (4.7)) (b) {(1,4). (2,4), (3.5). (6.10)) (c) {(-3,9), (-2.4), (0.0), (1.1). (-3,8))

S E C C IÓ N 3.1

Solución

Funciones

203

(a) Esta relación es una función debido a que no existen pares ordenados con el mis­ mo primer elemento y segundo elemento diferente. El dominio de esta función es (1,2,3,4} y su rango es (4,5,6,7). (b) Esta relación es una función debido a que no existen pares ordenados con el mismo primer elemento y segundos elementos diferentes. El dominio de esta función es (1,2,3,6} y el rango es (4,5,10). (c) Esta relación no es una función debido a que existen dos pares ordenados, (-3,9) y (-3,8), que tienen el mismo primer elemento y diferente segundo elemento. En el ejemplo 3 inciso (b), observa que 1 y 2 en el dominio tienen la misma ima­ gen en el rango. Esto no viola la definición de una función; dos primeros elementos diferentes pueden tener el mismo segundo elemento. Una violación de la definición ocurre cuando dos pares ordenados tienen el mismo primer elemento y diferente segundo elemento, como en el ejemplo 3 inciso (c).

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

19

Hasta ahora hemos mostrado cómo identificar cuando una relación es una fun­ ción para relaciones definidas por mapeos (ejemplo 2) y pares ordenados (ejemplo 3). Pero las relaciones también se pueden expresar como ecuaciones. A continuación analizaremos las circunstancias en las que las ecuaciones son funciones. Para determinar si una ecuación donde y depende de x es una función, gene­ ralmente lo más sencillo es resolver la ecuación para y . Si cualquier valor de x en el dominio corresponde a más de un valor de y , la ecuación no define una función; de otra forma, sí define una función.

EJEM PLO 4

Determinar si una ecuación es una función Determina si la ecuación y = 2 x - 5 define una función de x .

Solución

EJEM PLO 5

La ecuación nos dice que tomemos una entrada de x , la multipliquemos por 2 y le res­ temos 5. Para cada entrada x , estas operaciones dan una sola salida de y . Por ejemplo, si x = 1, entonces y = 2(1) - 5 = -3. Si x = 3, entonces y = 2(3) - 5 = 1. Por esta razón, la ecuación es una función.

Determinar si una ecuación es una función Determina si la ecuación x 2 +

Solución

y1=

1 define a y como función de x.

Para determinar si la ecuación x 2 + y 2 = 1, la cual define un círculo unitario, es una función, resolvemos la ecuación para y . x2 + y 2= 1 y2 = "1 - x 2 y =

± V l - x2

Para valores de x entre -1 y 1, obtenemos dos valores de y . Por ejemplo, si x = 0, entonces y = ±1, así que resultan dos salidas para la misma entrada. Esto quiere decir que la ecuación x 2 + y 2 - 1 no define una función.

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

33

2 Determina el valor de una función Generalmente las funciones se denotan por letras como / , F , g , G y otras. Si / es una función, entonces para cualquier número x en su dominio la imagen correspondiente en el rango se designa con el símbolo f ( x ) , que se lee como “/ de x " o como “/ en x". Nos referimos a f ( x ) como el valor de / en el número x\ f ( x ) es el número que resulta

204

C A P ÍT U L O 3

Fundones y sus gráficas

cuando se aplica la función / al valor dado de x; f ( x ) es la salida que corresponde a .r o la imagen de x ; / ( x ) no quiere decir “/ multiplicado por x ”. Por ejemplo J a función

dada en el ejemplo 4 se puede escribir como y

= f(x)

= 2 x -5. Entonces / (

2

) = ~ 2.

La figura 9 ilustra algunas otras funciones. Observa que en cada función, por cada x en el dominio existe un valor en el rango.

(a) f(x) = x 2

Domain

(c) Figura 10

(b) F(x) = 1

Range

Domain

g(x) = Vx-

Range

(d) G(x) = 3

A veces es útil pensar en una función / como una máquina que recibe como entra­ da un número del dominio, lo manipula y da un valor de salida. Ver figura 10. Las restricciones a esta máquina de entrada/salida son las siguientes:

Entrada de x

l

1. 2.

Solo acepta números del dominio de la función. Por cada entrada hay exactamente una salida (la cual se puede repetir para dife­ rentes entradas).

Para una función y = /(* ), la variable x se llama la variable independiente, debi­ do a que se le puede asignar cualquiera de los números permisibles del dominio. La variable y se llama variable dependiente, debido a que su valor depende de .t. Se puede usar cualquier símbolo para representar a las variables dependientes e independientes. Por ejemplo, si / es la f u n c ió n c ú b ic a , entonces / se puede escribir como /(*)= x 3 o f ( t ) = t3 o f ( z ) = z 3. Las tres funciones son lo mismo. Cada una nos dice que elevemos al cubo la variable independiente para obtener la salida. En la práctica, los símbolos que se usan para las variables dependiente e independiente se basan en el uso común, como usar la C para el costo en los negocios. La variable independiente se llama también el argumento de la función. El pen­ sar en la variable independiente como un argumento puede facilitar el encontrar el valor de la función. Por ejemplo, si / es la función definida por /(.v) = . r \ entonces / nos dice que elevemos el argumento al cubo. Por lo tanto /(2 ) quiere decir que ele­ vemos 2 al cubo, f ( a ) quiere decir que elevemos a al cubo y f ( x + h ) quiere decir que elevemos la cantidad x + h al cubo.

EJEM PLO 6

Encontrar los valores de una función Para la función / definida por f ( x )

= 2x2-

3x, evalúa

0 0 /(3 )

(b) f ( x ) + /( 3 )

(c) 3/(.r)

(d)/(-.r)

0 0 -/0 0

(0/(3*)

(g) /(* + 3)

(h )

f(x

+

h) - f ( x )

h*0 h

SECCIÓN 3.1 Fundones S o lu c ió n

205

( a ) S u s titu y e 3 p o r .t e n la e c u a c ió n p a ra f , f ( x ) = 2 t 2 - 3 a , p a ra o b te n e r / ( 3 ) = 2 (3 )2- 3 (3 ) = 1 8 - 9 = 9 L a im a g e n de 3 es 9. ( b ) f { x ) + / ( 3 ) = ( I r ’ - 3.v) + ( 9 ) = 2 r - 3 a + 9 ( c ) M u lt ip lic a la e c u a c ió n p a ra / p o r 3. 3 / (.v ) = 3 ( 2 r - 3.v) = 6 a 2 - 9 a ( d ) S u s titu y e - v p o r x e n la e c u a c ió n p a ra / y s im p lific a .

x) = 2 ( - .v ) : - 3 ( - a ) = Z r + 3 a

Observa aquí el uso de los paréntesis.

( e ) - / ( a ) = - ( 2 r - 3 a ) = - 2 v 2 + 3a ( f ) S u s titu y e 3 a p o r

a

e n la e c u a c ió n p a ra / y s im p lific a .

/ ( 3 a ) = 2 (3 a ) 2 - 3 (3 a ) = 2 (9 a ) 2 - 9 a = l& t 2 - 9 a (g ) S u s titu y e

a

+ 3 por

a

e n la e c u a c ió n p a ra / y s im p lific a .

/ ( .v + 3 ) = 2 ( a + 3 )2 - 3 ( a + 3 ) = 2 ( a 2 + 6a + 9 ) - 3a - 9 = 2 t 2 + 1 2 t + 18 - 3 a - 9 = Z r 2 + 9a + 9 ( h ) / ( a + h) - / (

a

) = [ 2 ( a + h ) 2 - 3 ( a + //)] -

h f{x + h)

[2 . a2 - 3 a ]

h

|

2(x + h)¿ - 3(x + h) 2 ( .r 2 + 2 x/i + /i2) - 3 a - 3 h — 2 x 2 + 3 a

h

=

=

Simplifica.

2 a 2 + 4 x h + 2 h 2 — 3/j - 2 a 2 ^

_ 4 a h + 2h 2 -

3h

Distribuye y combina términos semejantes.

Combina términos semejantes.

h _ h {4a + 2 h - 3 )

=

Factoriza la h.

h Elimina las h dividiéndolas.

= 4 a + 2/ j — 3

O b se r v a e n e s te e je m p lo q u e / ( a L a e x p r e s i ó n e n e l in c is o

(h) s e

+ 3) ¥=f (x)

lla m a

+

^_J

/( 3 ) , / ( - a ) # - / ( a ) y 3 / ( a ) ^ / ( 3 a ).

cociente de diferencias d e / ,

u n a e x p r e s ió n

im p o r t a n t e e n c á l c u lo .

Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

3 9

y

7 5

L a m a y o r ía d e la s c a l c u la d o r a s t i e n e n t e c la s e s p e c i a l e s q u e t e p e r m it e n e n c o n t r a r e l v a lo r d e a lg u n a s f u n c i o n e s q u e s e u s a n f r e c u e n t e m e n t e . P o r e j e m p l o , d e b e s p o d e r e n c o n t r a r la f u n c ió n c u a d r á t ic a / ( a ) = a 2, la f u n c ió n d e r a íz c u a d r a d a / ( a ) = V a , la f u n c ió n r e c íp r o c a / ( a ) = — = a -1 y m u c h a s o t r a s q u e d is c u t ir e m o s m á s a d e la n t e e n e s t e lib r o ( c o m o e l ln a y lo g a ). V e r if ic a e n tu c a lc u la d o r a lo s r e s u lt a d o s d e l e j e m p lo 7 q u e s e d a a c o n t in u a c i ó n .

206

C A P ÍT U L O 3

Funciones y sus gráficas

Determinar valores de una función en una calculadora

EJEM PLO 7

(a)

f ( x ) = x2

/ ( 1.234) = 1.2342 = 1.522756

(b)

F ( x ) = ]-

F(

(c)

g(x) = V x

1

0.8103727715 1.234 g( 1.234) = VË234 « 1.110855526 1.234) =

COMENTARIO Las calculadoras gráficas se pueden usar para evaluar cualquier función que quieras La figura 11 muestra el resultado obtenido en el ejemplo 6 Inciso (a ) por una calculadora gráfica Tl-d¿ Plus con la función a ser evaluada, f(x) = 2x* - 3 x en Yj.

Figura 11

Y i (3 >

Pioti Pioti Plot3 W iB 2X *-3 X nY2 = nY3 = nY h= s Y e= sYfi = nY? =

9

Forma implícita de una función

0

COMENTARIO La forma explícita de una función es la forma que requiere una calculadora gráfica.

En general, cuando una función / está definida por una ecuación en x y en y , decimos que la función / se da de forma implícita. Si es posible resolver la ecuación para y en términos de x, entonces escribimos y = f ( x ) y decimos que la función se da de forma explícita. Por ejemplo,

Forma implícita

Forma explícita

3jc + x2 -

y y

xy

y -

5

y = 6

~

f ( x) =

~3x

+

5

= /(* ) - *2 - 6

= 4

/ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- '

RESUM EN

Hechos importantes acerca de funciones

(a) Para cada x en el dominio de una función / , existe exactamente una imagen f ( x ) en el rango, sin embargo, un elemento del rango puede ser el resultado de más de una x en el dominio. (b) / es el símbolo que usamos para denotar a la función. Es el símbolo de la ecuación (regla) que se usa para obtener a partir de una x en el dominio, una f ( x ) en el rango. (c) S i y = f ( x) , entonces x es la variable independiente o argumento de / , y y es la variable dependiente o el valor de / en x. v ________________________________________________________________________________________________________________________________________^

3 Dominio de una función definida por una ecuación Frecuentemente el dominio de una función / no está especificado, en cambio se da solamente la ecuación que define la función. En esos casos acordamos que el dominio d e / es el conjunto más grande de números reales para los cuales el valor de f ( x ) es un número real. El dominio de una función / es el mismo que el dominio de la variable .v en la expresión f ( x ) .

EJEM PLO 8

Encontrar el dominio de una función Encuentra el dominio de cada una de las siguientes funciones: 3.t (a) f ( x ) - .v2 + 5.v (b) g ( x ) = .y2 - 4 (c)

h(t) =

V 4 - 3/

(d) F(.v) =

V 3. y + 12 .Y - 5

S E C C IÓ N 3.1

■yo

Solución En palabras

'

r El dominio g que encontramos en C el ejemplo &b es {xlx ^ -2 , x # 2}. r

E s ta notación se lee, “el dominio de la función g es el conjunto de todos los números reales x tales que x es diferente de - 2 y x es diferente de 2.”

Funciones

207

(a) La función nos dice que elevemos un número al cuadrado y después le sumemos cinco veces el número. Como estas operaciones se pueden realizar con cualquier número real, concluimos que el dominio de / es el conjunto de los números reales. (b) La función g nos dice que dividamos 3jc entre x 2- 4. Como la división entre 0 no está definida, el denominador x 2 - 4 no puede ser 0, entonces x no puede ser igual a - 2 o 2. El dominio de la función g es { jc|jc^ -2 , x ^ 2}. (c) La función h nos dice que saquemos la raíz cuadrada de 4 - 3/. Pero solo los nú­ meros no negativos tienen raíces cuadradas reales, así que la expresión bajo la raíz cuadrada (el radicando) debe ser no negativa (mayor o igual a cero). Esto requiere que 4 - 3í > 0 -3 í > -4 t

4 =£ T

{'M}°

El dominio de h e s .

el intervalo ( —oo —

(d) La función Fnos dice que saquemos la raíz cuadrada de 3jc + 12 y dividamos este resultado entre x - 5. Esto requiere que 3 x + 12 > 0, así que x > -4 y también que x - 5 9* 0, entonces x ^ 5. Si combinamos estas dos restricciones, el dominio de F es { jc|jc5 :-4 , x ^ 5 } .

Para las funciones que estudiaremos en teste libro, los siguientes pasos pueden ser útiles para encontrar el dominio de las funciones definidas por una ecuación y cuyo dominio es un subconjunto de los números reales.

Encontrar el dom inio de una función definida por su ecuación 1. Empieza con el dominio como el conjunto de los números reales. 2. Si la ecuación tiene denominador, excluye cualquier número que haga que el denominador sea igual a cero. 3. Si la ecuación tienen un radical de índice par, excluye cualquier número que haga que la expresión dentro del radical sea negativa.

-Resuelve ahora

el p r o b l e m a

51

Si x está en el dominio de una función / , decimos que / está definida en x o que / ( jc) existe. Si x no está en el dominio de / , decimos que / no está definida en je o X

que / ( jc) no existe. Por ejemplo, si / ( jc) = —r-----, entonces /(O ) existe, pero / ( l ) y jr — 1

/(-1 ) no existen. (¿Entiendes por qué?) No hemos dicho mucho acerca de determinar el rango de una función. Dire­ mos más sobre esto cuando veamos la gráfica de una función en la siguiente sección. Cuando una función está definida por una ecuación, puede ser difícil encontrar el rango. Por lo tanto, en general será suficiente para nosotros con determinar única­ mente el dominio de la función cuando la función esté definida por una ecuación. Expresaremos el dominio de una función mediante el uso de desigualdades, notación de intervalos, notación de conjuntos o palabras, lo que sea más conveniente. Cuando usamos funciones en problemas aplicados, el dominio puede estar res­ tringido por consideraciones físicas o geométricas. Por ejemplo, el dominio de la fun­ ción / definida por / ( jc) = jc2es el conjunto de todos los números reales. Sin embargo, si / se usa para obtener el área de un cuadrado cuando se conoce la longitud jc de un lado, entonces debemos restringir el dominio de / a los números reales positivos, debido a que la longitud de un lado nunca puede ser 0 o negativa.

208

C A P ÍT U L O 3

Funciones y sus gráficas

Determinar el dominio de una aplicación

EJEM PLO 9

Expresa el área de un círculo como función de su radio. Determina el dominio.

Solución

Ver figura 12. La fórmula para el área A de un círculo de radio r e s A = irr2. Si usamos r para representar la variable independiente y A para representar la variable depen­ diente, la función que expresa esta relación es A{r)

= 7rr2

Aquí el dominio es {r\r > 0}. (¿Puedes ver por qué?)

.

Observa en la solución del ejemplo 9 que el símbolo A se usa de dos formas: se usa para nombrar la función y para representar la variable dependiente. Este doble uso es común en aplicaciones y no debe causar dificultad alguna.

Resuelve ahora

EL

89

PROBLEMA

4 Forma la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones Ahora introducimos algunas operaciones con funciones. Veremos que las funciones, como los números, se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Por ejemplo, si f(x) = x2 + 9 y g(x) = 3x + 5, entonces f(x)

La nueva función y

=

+

g(x)

=

(x 2 + 9)

+

(3jc+ 5) = x2 + 3x + 14

x2 + 3x + 14 se llama la función s u m a f + g. De forma similar,

f(x) -g{x) - (x2 + 9)(3x + 5) = 3x3 + 5jc2 + 27x + 45

La nueva función y = 3x3 + 5x2 + 27x + 45 se llama la función producto f-g. A continuación se dan las definiciones generales.

DEFINICION r r c r r r

En palabras Recuerda que el eímbolo D representa la intersección. Quiere decir que debes encontrar los elementos comunes en ambos conjuntos.

DEFINICION

Si / y g son funciones: La s u m a / + g se define como (/ +

g)(x) = f ( x) + g(x)

El dominio de / + g consiste en los números x que están en el dominio de ambas. f y g. Esto es, el dominio de / + g = dominio de / fl el dominio de g. La d i f e r e n c i a f - g es la función definida por ( f - g)(x) = f( x) - g(x)

El dominio de f - g consiste en los números .v que están en el dominio de ambas, f y g. Esto es, el dominio de / - g = dominio de / fl el dominio de g.

DEFINICION

El p r o d u c t o / * g es la función definida por ( f mg)(x) =f ( x) *g( x)

-----------------------J El dominio de f - g consiste en los números x que están en el dominio de ambas. / y g. Esto es, el dominio de f - g = dominio de / H dominio de g.

t S E C C IÓ N 3.1

Funciones

209

%

DEFINICIÓN

/

El cociente - es la función definida por g

/(* )

g( x ) * o

g(x)

f

El dominio de —consiste en los números x para los cuales g(jc) ^ 0 y que están en £ el dominio de ambas, / y g. Esto es, /

el dominio de

EJEM PLO 10

= {.r |g(x) ^ 0} f l dominio de / f l dominio de g.

o

Operaciones con funciones Sean / y g dos funciones definidas como

f(x) =

1

y

g(x) = ov” /

x + 2 '

x —

1

Determina las siguientes operaciones y el dominio en cada caso.

(t>) (/ - g)(*)

(a) ( / + g)(x)

Solución

( c ) (f ' g ) ( x )

x 12 + \ / i es la suma de f [ x) = x} y g( x) - V x . I H X

\

m

’

=

** ~ J- es el cociente de f ( x x

)=

x1 - 1 y

g (x ) = x 7 *

1.

2+ I

R ESUM EN Una relación entre dos conjuntos de núm eros reales de tal forma que cada x en el primer conjunto, el dominio, tiene exactamente un núm ero y correspondiente en

Función

el segundo conjunto. F.I rango es el conjunto de valores y de la función que son las imágenes de los valores

x en el dominio. Una función f puede estar definida im plícitamente por una ecuación que inclusa x y y, o explícitamente si se escribe y = f(x). Dom inio no espccificudo

Si una función f está definida por una ecuación y no tiene dom inio especificado, en ­ tonces el dominio se considerará como el conjunto más grande de núm eros reales para los cuales la ecuación define un número real.

Notación de funciones

y

= /(*)

/ es un símbolo para la función. x es la variable independiente o argumento, y es la variable dependiente. a ) es el valor de la función en x. o la imagen de x.

/(

3.1 Evalúa tu en ten d im ien to "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al filial de estas ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. La d esig u a ld a d - 1 <

x<

3 se p u e d e escrib ir e n n o ta c ió n d e

in terv a lo s c o m o __________ ( pp. 120 - 1 2 1 ) 2. Si x = - 2 , el v alor d e la e x p r e sió n 3.v 2 - 5.v +

3. El dominio de la variable en la expresión ----- es 1

---------------- (P P . 2 0 - 2 3 ) e s __________

(pp. 2 0 - 2 3 )

4

4. Resuelve la desigualdad: 3 - 2* > 5. Dibuja la gráfica del conjunto solución. (pp I23-126>

Conceptos y vocabulario 5.

Si / e s una fu n ció n d e fin id a p o r la e c u a c ió n y = / ( . i ) , e n ­ to n c e s

x

se llam a la v a r i a b le __________ y y e s la v a ria b le

6. El co n ju n to d e to d a s las im á g e n e s d e e le m e n to s e n el d o m i­ n io d e una fu n ció n se lla m a __________ 7. Si el d o m in io d e / so n to d o s lo s n ú m er o s re a le s en e l in te r ­ v a lo [0 ,7 ] y el d o m in io d e y so n to d o s lo s n ú m e r o s r e a le s en el in terv a lo [ - 2 ,5 ] , el d o m in io d e / + ros rea les en el in t e r v a lo __________

g(x) ____ 0 q u e

g so n

to d o s lo s n ú m e ­

8 está n e n el d o m in io d e a m b a s ____ y

9 . Si /( .v ) = .i + 1 y g(jr) =

10. 11.

V e rd a d e ro o f a l s o

14.

V e rd a d e ro o f a l s o

x\

e n t o n c e s __________ = i ' - ( i - 1)

Toda relación c-s una función V e rd a d e ro o f a l s o El dominio de ( / «cMi) cv>nsistc en k*s números ,vque están en el dominio de ambas/y g. 12. V e rd a d e ro o f a l s o La s anable independiente a seccs se conoce como el argumento de la función. 13. V e rd a d e ro o f a l s o Si no se especifica el dominio para la función /. entonces se considera que el dominio de f es el conjunto de los números reales.

es {.v|.v * *2}.

El dominio de la función

= —--- 4

S E C C IÓ N 3.1

211

Funciones

Ejercicios En los problemas 15-26, determina si cada relación representa una función. Indica el dominio y rango de cada función. \

15.

Persona

Cumpleaños

17.

Horas trabajadas

16.

Padre

18.

Salario

Hija

Nivel de estudios

Ingreso promedio

{ ( 2 , 6 ), ( - 3 , 6 ), (4 , 9 ) , ( 2 , 1 0 ) }

20.

{ ( - 2 , 5 ) , ( - 1 , 3 ) , (3 , 7 ) , ( 4 , 1 2 ) }

21.

{ ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , (3 , 3 ) , ( 4 , 3 ) }

22.

{ ( 0 , - 2 ) , ( 1 ,3 ) , ( 2 ,3 ) , ( 3 ,7 ) }

23.

{ ( - 2 , 4 ) , ( - 2 , 6 ), ( 0 , 3 ) , (3 , 7 ) }

24.

{ ( - 4 , 4 ) , ( - 3 , 3 ), ( - 2 , 2 ) , ( - 1 , 1 ) , ( - 4 , 0 ) }

25.

{ ( - 2 , 4 ) , ( - 1 , 1 ) , ( 0 ,0 ) , ( 1 ,1 ) }

\l9 .

26.

{ ( - 2 , 1 6 ) , ( - 1 , 4 ), ( 0 ,3 ) , ( 1 ,4 ) }

En los problemas 27-38, determina si la ecuación define a y como una función de x. 21. y = x2

28. y

31. y2 = 4 —x2

32. y = ± V í - 2x

35. y = 2x2 - 3 x + 4

36. y

=

x2

30. y

29. y = 1

34. x + y2 = 1

\,3 3 . x =

3x - í

37. 2xl

* + 2

= |*|

+ 3 / = 1

38. *2

(f) fi *

(g) f i 2*)

4y2 = 1

-

En los problemas 39-46, determina lo siguiente para cada función: (a) / ( 0) \

(b) / ( l )

3 9 . / ( * ) = 3JC2 +

(c)f(-í)

2x

40.

- 4

(d)f(-x) / ( * ) = - 2 *2 + * -

44. / ( * ) = V * 2 + *

43- / ( * ) = M + 4

(e)-f(x) 1

41. f(x)

=

45. /( * ) =

+ 1)

x2 + 1 2x + 1 3x - 5

(h) f{x

42. /( * ) =

+

h)

x2 - 1 * + 4

1

46. / ( * )

(x + 2Y

En los problemas 47-62, determina el dominio de cada función. 41. \ s i .

/(* ) = -5 * + 4

48. f{x) = x2 + 2

g (x ) =

52. h(x) =

x2 -

16

2x *2 - 4

56. G(*) = V i - *

55. h{x) = V 3 * - 12

49. f(x)

=

53. E{x)

=

57. f(x)

=

x2 + 1

x

—2

*

+ *

3

50. f(x) =

x +4 * - 4x x

,

54. G(x) = —3-------58. f{x)

=

62. h(z)

=

V* - 9 59. p{x) =

* -

60. q { x ) = V - x - 2

1

/ o í problemas 63-72, para las funciones dadas f

=

Vt - 4 3r - 21

(b ) ( f - g ) ( x )

(c) (f-g)(x)

( d ) ( ^ j ( x)

(e)(f + g)(.3 )

( f ) i f~g)i 4 )

( g ) i f ’g)i 2 )

W (0 (!)*

/( * ) = 3* + 4;

65. / ( * ) = * -

1;

g (* ) =

2x

g (jc) = 2 *2

-

3

Vx - 4 Vz + 3 z - 2

y g, determina lo siguiente. Para los incisos (a)-(d), determina también el dominio.

(a ) i f + g)(x)

\.6 3 .

l

61. P(t)

x2

x2 + 1

6 4 . / ( * ) = 2 * + 1;

66. / ( * ) = 2 *2 + 3;

g (* ) = 3* - 2 g (* ) =

4x3 +

1

212

C A P ÍT U L O 3

67. f ( x) =

V *;

69. f ( x)

1

s

71. f(x) 73.

=

Funciones y sus gráficas

68.

g{x) = 3 x - 5

2x +

= —— 3x -

3

, ,

g(x) =

2

4x 3x - 2

D a d a / ( * ) = 3* + 1 y ( / + g ) ( * ) = 6 - ^ * , d eter m in a la fu n ción

g(x) = x

= |* |;

70. f(x) =

g(x) = ^

+

f(x)

72,

/ ( * ) = V * + 1;

74.

D a d a /(* )

75.

f{x)

79. f(x)

j?(*) = \

-

determina la fu n c ió n g.

g.

£ En los problemas 75-82, determina el cociente de diferencias de f, es decir, determina Asegúrate de simplificar. \

g(x) = V4~-~*

V x ^ l;

76. f(x)

4x + 3

=

=

80. /( * ) =

= *

-3 * + 1 1

x + 3

f ( x + h) - f(x) -------------- ------------ ,

h * 0 , para cada función.

77. /( * ) = x2 - x + 4

78. f(x) = 3x2 - 2 x + 6

81. /(* ) = V *

82. /(* ) = V * + 1

[Sugerencia: R a c io n a liz a el n u m er a d o r .]

Aplicaciones y extensiones f(x) = 2x3+ Ax2+ 4 * -5 y f (2)- 5, ¿cu ál e s el v a lo r d e .4 ? 84. Si / ( * ) = 3x2- Bx + 4 y / ( - 1 ) = 12, ¿cu ál e s el v a lo r d e fí? 83.

N d e u n id a d e s h a b ita c io n a le s (e n m i­ n c u a r to s, d o n d e r e s un e n te r o y 2 ^ r s 9.

re p r e se n ta el n ú m e r o

Si

llo n e s ) q u e tie n e n

(a ) Id en tific a las v a ria b le s d e p e n d ie n te e in d e p e n d ie n te .

85.

.

86

87.

Si / ( * ) =

j y /(O ) = 2, ¿cu ál e s e l v a lo r d e

Al

(b ) E v a lú a

Si / ( * ) = ^

Si / ( * ) =

^ ^ y /(2 ) =

¿cu ál e s e l v a lo r d e

B2

95.

2X — A x_ 2

88 .

A

Geometría

y /(^ ) =

¿cu ál e s e l v a lo r d e

Al

¿E n

Efecto de la gravedad en la Tierra

H(x)

Geometría

E x p resa el área

A

E x p re sa e l á rea

Construcción de funciones Construcción de funciones

(b ) ¿ C u á n d o e stá a 15 m e tr o s d e altu ra la p ied ra ? ¿ C u á n d o

A

e s tá a 10 m e tr o s? ¿ C u á n d o e stá a 5 m etro s? (c )

d e un triá n g u lo re c tá n g u lo

E x p re sa e l sa la r io n e to

G

de

96.

T iffa n y , una v e n d e d o r a p or

¿ C u á n d o lle g a la p ied ra al su e lo ?

Efecto de la gravedad en Júpiter

Si u n a p ied ra c a e d e sd e

u n a altu ra d e 2 0 m e tr o s e n e l p la n e ta J ú p iter, su altura

H

(e n m e tr o s) al tran scu rrir * s e g u n d o s e s a p ro x im a d a m en te //( * ) = 20 - 1 3 * 2 (a ) ¿ C u á l e s la altu ra d e la p ied ra c u a n d o * = 1 se g u n d o ? ¿ C u a n d o * = 1.1 se g u n d o s? ¿ C u a n d o * = 1.2 se g u n d o s?

artícu lo v en d id o . E x p resa su sa la rio n e to G c o m o fu n ció n d el n ú m ero d e a rtícu lo s v e n d id o s *.

(b ) ¿ C u á n d o está a 15 m e tr o s d e altura la p ied ra ? ¿ C u á n d o

Población como función de la edad

(c )

P(a) = 0 .0 1 5 a 2-

La fu n ció n

4 .9 6 2 a + 2 9 0 .5 8 0

R ep re sen ta la p o b la c ió n P (e n m illo n e s) d e e s ta d o u n id e n ­ se s q u e tien en a o m ás a ñ o s d e ed a d . (a ) Id en tifica las va ria b le s d e p e n d ie n te e in d e p e n d ie n te . (b ) E v a lú a P (2 0 ). P ro p o rc io n a una e x p lic a c ió n v er b a l d el sig n ifica d o d e P ( 20 ). (c )

94.

= 2 0 - 4 .9 .r

¿ C u a n d o * = 1.3 se g u n d o s?

co m isió n , gan a $100 c o m o sa la rio b a se m ás $10 p o r ca d a

93.

m etro s)

d e un re c tá n g u lo c o m o fu n ­

una p erso n a q u e gan a $10 p or h ora c o m o fu n ció n d el n ú m e ­ ro d e h oras trabajad as *.

92.

H (e n

¿ C u a n d o ,r = 1.1 se g u n d o s? ¿ C u a n d o , t = 1.2 se g u n d o s?

y fi?

isó s c e le s c o m o una fu n ció n d e la lo n g itu d * d e u n o d e su s la d o s igu ales.

91.

Si una p ied ra c a e d e sd e

(a ) ¿ C u á l e s la altura d e la p ied ra c u a n d o .r = 1 se g u n d o ?

ció n d e su lo n g itu d * , si la lo n g itu d d el re c tá n g u lo e s el d o ­ b le d e su an ch o.

90.

N( 3 ).

al transcurrir * s e g u n d o s e s a p r o x im a d a m e n te

y / ( l ) n o e s tá d e fin id a , ¿ cu á le s so n lo s v a lo res d e

P r o p o r c io n a u na e x p lic a c ió n v erb a l d el

u n a altu ra d e 2 0 m e tr o s a la T ierra , la altura

d ó n d e n o está d efin id a / ?

\8 9 .

N( 3 ).

sig n ific a d o d e

E va lú a P (0 ). P r o p o r c io n a u na e x p lic a c ió n v er b a l d el sig n ifica d o d e P{ 0 ).

Número de cuartos N(r)

La fu n ció n

= - 1 . 4 4 r + 1 4 .5 2 r - 14.96

e s tá a 10 m e tr o s? ¿ C u á n d o e stá a 5 m etro s? ¿ C u á n d o lle g a la p ied ra al su e lo ?

S E C C IÓ N 3.1

fj.

‘Casto de viaje transatlántico

U n B o e in g 7 4 7 cru za el

HM). Crímenes

C

V(x) re p r esen ta el n ú m er o d e crí­ x y P(x) rep resen ta el p ro p ied a d c o m e tid o s en el a ñ o x.

m e n e s v io le n to s c o m e tid o s e n el a ñ o

O c é a n o A tlá n tic o (31XX) m illa s) c o n u n a v e lo c id a d a é r e a d e 5 0 0 m illa s p or h ora. E l c o s to

C o n sid e ra q u e

213

Funciones

n ú m er o d e c r ím e n e s a la

(e n d ó la r e s) p o r p a sa je r o

D e te r m in a una fu n ció n /'q u e re p r e se n te e l total co m b in a d o

e s tá d a d o por C (.v ) = 100 +

x

lo

d e c r ím e n e s v io le n to s y c r ím e n e s a la p ro p ied a d en el a ñ o .r.

36,(XX) + -

101. Cuidud» de la salud

C o n sid e r a q u e

P(x) r e p r esen ta

el p o r­

c e n ta je d e in g r e so s q u e se g a sta e n c u id a d o s a la sa lu d en el d o n d e .v e s la v e lo c id a d e n tierra (v e lo c id a d a é r e a ± v ie n to ).

año

(a ) ¿ C u á l e s e l c o s to p o r p a sa je r o p ara c o n d ic io n e s sin

una fu n c ió n / / q u e r e p r e s e n te lo s g a sto s to ta le s en cu id a d o

e /(.v) r e p r e se n ta e l in g r e so e n e l a ñ o .v. D e te r m in a

a la sa lu d e n el a ñ o .v.

v ie n to ? (b ) ¿ C u á l e s e l c o s to p o r p a sa je r o c o n un v ie n to e n co n tra

(c )

x

102. Impuestos

C o n sid e r a q u e

x a n te s

r e p r e se n ta el in g r e so d e un

¿ C u á l e s e l c o s to p or p a sa je r o c o n un v ie n to d e c o la d e

lo s im p u e s to s d e e sa p e r so n a en e l a ñ o .v. D e te r m in a una fu n ció n

(d ) ¿C u ál e s e l c o s to p or p a sa je r o c o n u n v ie n to e n co n tra d e 100 m illa s p o r h ora?

98. Area de sección transversal

E l á rea d e la s e c c ió n tra n sv er­

A(x)

q u e r e p r e s e n te lo s in g r e so s n e to s to ta le s d e la

x.

103. Función de ganancias C o n sid e r a q u e la g a n a n cia R d ó la r e s d e v e n d e r x te lé fo n o s c e lu la r e s, e n c e n te n a s,

en

R(x) = - 1 . 2 r

+

220.V.

es

E l c o s to C , en d ó la r e s, d e v e n d e r .t

te lé fo n o s c e lu la r e s e s C (x ) = 0 .0 5 x ' - 2 x 2 + 6 5 x + 500.

= 4 . v v l - .v: , d o n d e .v r e p r e s e n ­

(a ) D e te r m in a la fu n ció n d e g a n a n c ia s,

ta la lo n g itu d , en p ies, d e la m itad d e la b a se d e la viga. V e r

P(x) = R(x) - C(x).

(b ) D e te r m in a la g a n a n c ia si .r = 1500 te lé fo n o s ce lu la r e s

figura. D ete r m in a e l área d e la se c c ió n tran sversal d e la viga

v e n d id o s.

si la lon gitu d d e la m itad d e la b a se d e la viga e s d e la sig u ie n ­ (c )

te form a:

In te rp re ta

P( 15).

104. Función de ganancias

(a ) U n te r c io d e un p ie.

re p r esen ta

p e r so n a (in g r e so s d e sp u é s d e p agar im p u e s to s) e n e l a ñ o

sal d e u n a v ig a co r ta d a d e un tr o n c o d e 1 p ie d e ra d io está d a d a p or la fu n ció n

N

d e lo s im p u e s to s y

T(x)

in d iv id u o al a ñ o

100 m illa s p or h ora?

d ó la r e s, d e v e n d e r (b ) La m itad d e un p ie. (c)

l(x)

d e 5 0 m illa s p o r h ora?

x

en d ó la r e s, d e v e n d e r

D o s te r c io s d e un p ie.

C o n sid e r a q u e la g a n a n cia R , en r e lo je s e s

x r e lo je s

R(x) =

(a ) D e te r m in a la fu n ción d e la ga n a n cia , (b ) D e te r m in a la gan a n cia si

4(x) = 4 x \ / l - x 2

(c)

3 0 x . E l c o s to C,

e s C(.v) = O .lx 2 +

x = 30

P(x) =

Ix + 400. R(x) - C (.t).

re lo jes v en d id o s.

In terp reta P (3 0 ).

105. A lg u n a s

fu n c io n e s

f(a + b)

=

f(a)

+

/

f(b)

tie n e n

la

p r o p ie d a d

de

para cu a lq u ie r n ú m e r o real

que

a y b.

¿ C u á le s d e las sig u ie n te s fu n c io n e s tie n e n esta p ro p ied a d ?

99.

1

Economía

La

tasa de participación e s e l n ú m e r o

(a )

h(x) = Ix

(b ) g ( x ) = x 2

(c )

F(x)

(d )

= 5 jc -2

G(x) =

1

de p erso­

n as d e la fu erza lab oral d iv id id a e n tr e la p o b la c ió n civ il ( e x ­ c lu y e n d o m ilita re s). S e a e n el a ñ o

x y P(x)

L(x) e l

ta m a ñ o d e la fu erza lab oral

la p o b la c ió n civ il e n e l a ñ o

x.

D e te r m in a

u na fu n ció n q u e r e p r e s e n te la tasa d e p a rticip a c ió n fu n ció n d e

R com o

x.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 106. ¿ S on las f u n c i o n e s / ( x ) =

x-

1y

g(x)

—1 = -------- — lo m ism o ?

108. E n cu en tra una fu n ció n

x

E x p lica .

H q u e m u ltip liq u e un n ú m e r o x p or 3, x y d ivid a el resu ltad o en tre tu edad.

d e sp u é s reste el c u b o d e

107. In v estig a c u á n d o , h istó r ic a m e n te , a p a r e c ió p o r p rim era v e z e l u so d e la n o ta c ió n d e fu n c io n e s

y - f(x).

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?'

i. (-13)

2.21.5

3 . { jc | jc =5^—4}

4. {x\x <

- ! } - . ----- f-1

214

C A P ÍT U L O 3

Funciones y sus gráficas

3.2 Gráfica de una función P

r e p a r a c ió n

•

\

para

esta

s e c c ió n

A n te s d e e m p e z a r , r e p a s a l o s ig u ie n te :

Gráficas d e ecuaciones (se c c ió n 2.2, pp. 1 5 7 -1 5 9 )

•

I n te r se c c io n e s (s e c c ió n 2 ,2 , pp. 159-1 6 0 )

Resuelve ahora los problemas d e la sección "¿Estás listo?" d e la página 218.

OBJETIVOS 1 Identificar la gráfica de una función (p. 214) 2 Obtener información a partir de o sobre una gráfica o función fp. 215)

En aplicaciones, una gráfica frecuentemente demuestra con mayor claridad la rela­ ción entre dos variables de lo que lo haría una ecuación o una tabla. Por ejemplo, la tabla 1 muestra el precio promedio de la gasolina en una gasolinera particular en Texas (para los años 19X0-2(X)9 ajustada por inflación, basada en dólares de 2(MPi). Si trazamos estos datos y luego conectamos los puntos, obtenemos la figura 13. Tabla 1

F ig u ra n

Año

Precio

1980

3.41

1981 1982

3.26 3.15

1983 1984

2.51

1985

Precio

Año

Precio

1990 1991

2.25

2000

1.85

1.90

2001

1.40

1992

1.82

2002

1.86

1993 1994

1.70

1.79

1.85

2003 2004

1995

1.68

2005

1.87

2006 2007

2.62

2008

2.10

2009

2.45

Año

2.51 2.46

1986 1987

1.63 1.90

1996 1997

1988

1.77

1998

1.65 1.50

1989

1.83

1999

1.73

Precio promedio de la venta de gasolina (dólares de 2008)

2.13 2.60 3.29

Fílenle: http://www.randomuseless.info/gnsprice/gaspricc.hlml

En la gráfica podemos ver que el precio de la gasolina (ajustado por inflación) cayó de 19X0 a 19X6 y subió rápidamente de 2003 a 2007. La gráfica también muestra que el precio más bajo ocurrió en 2001. Adquirir información como ésta a partir de una ecuación requiere hacer ciertos cálculos. Observa de nuevo la figura 13. La gráfica muestra que para cada fecha en el eje horizontal existe un solo precio en el eje vertical. La gráfica representa una función, aunque la regla exacta para ir de fecha a precio no se da. Cuando una función está definida por una ecuación en x y v. la gráfica de la fun­ ción es la gráfica de la ecuación, es decir, el conjunto de puntos (x.v) en el plano y\ que satisface la ecuación.

Identificación de la gráfica de una función r En palabras r Si cualquier recta vertical in-

^ tersecta a una gráfica en más de un punto, la gráfica no es la

r gráfica de una función. TEO REM A

No toda colección de puntos en el plano .yv representa la gráfica de una función. Recuerda, para que sea una función, cada número .v en el dominio tiene exactamente una imagen y en el rango. Esto quiere decir que la gráfica de una función no puede tener dos puntos con la misma coordenada .v y diferente coordenada y. Por lo tanto, la gráfica de una función debe satisfacer la siguiente prueba de la recia vertical. P ru e b a d e la re cta v e rtic a l

Un conjunto de puntos en el plano jry es la gráfica de una función si y solo si toda recta vertical intersecta a la gráfica en un punto a lo más. __j

S E C C IÓ N 3.2

EJEM PLO 1

215

Gráfica de una función

Identificación de la gráfica de una función ¿Cuál de las gráficas de la figura 14 son gráficas de funciones?

Figura 14 y 4

; /

y3 ■ !

j l

_____

_J

f

^ H v í)

f

-4

3*

-3

(a) y = x2

Solución

f

.i i i

4

x

yj(1, - 1 ) I

4M

~3

6 x

i

h

*

----

-* !i i

fi i i

(d) x 2 + y 2 = 1

(c) x = y 2

(b) y = x 3

-1V

Las gráficas en la figura 14(a) y (b) son gráficas de funciones debido a que cada línea vertical intersecta a cada gráfica en a lo más un punto. Las gráficas en la figura 14(c) y (d) no son gráficas de funciones, debido a que hay una recta vertical que intersecta a cada gráfica en más de un punto. Observa que en la figura 14(c) la entrada 1 co­ rresponde a dos salidas, -1 y 1. Es por esto que la gráfica no representa una función.

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

15

2 Obtener información a partir de o sobre una gráfica de una función Si ( x , y ) es un punto en la gráfica de una función / , entonces y es el valor de / en x, esto es, y = f { x ) . También, si y = / ( x), entonces (x,y) es un punto en la gráfica de / . Por ejemplo, si (-2,7) está en la gráfica de / , entonces /(- 2 ) = 7 y si /(5 ) = 8, entonces el punto (5,8) está en la gráfica de y = /(x ). El siguiente ejemplo ilustra cómo obtener información acerca de una función si se da su gráfica.

EJEM PLO 2

Obtener información de una gráfica de una función Sea / la función cuya gráfica se da en la figura 15. (La gráfica de / puede representar la distancia y a la que se encuentra un péndulo respecto a su posición de reposo en el tiempo x. Los valores negativos de y indican que el péndulo está a la izquierda de la posición de reposo y los valores positivos de y indican que el péndulo está a la dere­ cha de su posición de reposo).

F igu ra 15

(0,4)

(4-rr, 4)

(2tt, 4)

(a) ¿Cuál es el valor de /(O), / 0 j ^ J y /( 3 tt)? : W ,°) / , :

\

fe ,°) /

fe o ) \

K *-4 )

,

f e o )

r*

(3ir, -4 )

Solución

(b) ¿Cuál es el dominio de /? (c) ¿Cuál es el rango de /? (d) Enumera las intersecciones. (Recuerda que éstos son los puntos, si existen, don­ de la gráfica cruza o toca los ejes de coordenadas). (e) ¿Cuántas veces la recta y = 2 intersecta la gráfica? (f) ¿Para qué valores de x f ( x ) = -4? (g) ¿Para qué valores de x f ( x ) > 0? (a) Dado que (0 , 4 ) está en la gráfica de / , la coordenada y igual a 4 , es el va­ lor de / en la coordenada x igual a 0 , esto es, / ( O ) = 4 . De manera simio r»

lar, encontramos que cuando

x

= — , entonces

y

=

0, así que /

Cuando x = 3 v , entonces y = -4 , por tanto, / ( 37t) = -4. (b) Para determinar el dominio de / , observamos que los puntos en la gráfica de / tienen incluso, coordenadas x entre 0 y 47r, y que para cualquier número x entre 0 y 477, existe un punto (jc, f ( x ) ) en la gráfica. El dominio de / es {x|0 < x < 47t} o el intervalo [0, 47t],

216

C A P ÍT U L O 3

Fundones y sus gráficas

(c) Todos los puntos en la gráfica tienen coordenadas e incluso, entre - 4 y 4, y para | cada número y , existe cuando menos un número x en el dominio. El rango de / ; es { y |- 4 i£ y < 4 } o el intervalo [-4,4]. (d) Las intersecciones son los puntos

0, observa la figura 15 y determina los valores de x de 0 a 47 T, para los cuales la coordenada y es positiva. Esto ocurre en „

\ , , í3 v

5 tt

°’ 27u ( ,T - T jc

K

< — o

2

-, 47T

3 tt

7T

p ara 0 <

I tt

U

. Si usamos la notación de desigualdades, f ( x ) >0 I tt

577

— 2

— 2

< x <

o —- <

jc

2

< 477.

Cuando la gráfica de la función está dada, su dominio se puede ver como la som­ bra creada por la gráfica en el eje x por rayos verticales de luz. Su rango se puede ver como la sombra creada por la gráfica en el eje y por rayos horizontales de luz. Usa esta técnica para la gráfica que se da en la figura 15.

Resuelve ahora EJEM PLO 3

9

el p r o b l e m a

y 13

Obtener información de la gráfica de una función Considera la función:

ft \

/(* ) =

x

+

1

x

+

2

(a) Determina el dominio de / . (b) ¿El punto ^ 1 ,

está en la gráfica de /?

(c) Si x = 2, ¿a qué equivale / ( jc)? ¿Qué punto está en la gráfica de /? (d) Si f ( x ) = 2, ¿a qué equivale .y? ¿Qué punto está en la gráfica de /? (e) ¿Cuáles son las intersecciones en .v de la gráfica de / , (si existen)? ¿Qué punto o puntos están en la gráfica de /?

Solución

(a) El domino de / es {x | x ^ -2}. (b) Cuando x = 1 , entonces ft \

/(* )

=

/ ( 1) =

El punto ^ 1 , (c) Si x

=

x

+

jc

+ 2

1

1 + 1

2

1 + 2

3

está en la gráfica de / ; el punto ^ 1, ^ no lo está,

2, entonces f(x)

=

m

=

X + 1 .v + 2

2 + 1

2 + 2 El punto [ 2, - Iestá en la gráfica de / . {

4

(d) Si /(.c) = 2, entonces /(-v ) = 2 jc

+ 1

JC

+ 2

= 2

3 4

4

S E C C IÓ N 3.2

x + \ = 2(x + 2) .v + l = 2v + 4 x = -3

Gráfica de una función

217

Multiplica ambos lados por x + 2. Elimina los paréntesis. Resuelve para x.

Si /(.v) = 2. entonces .v = -3. El punto (-3.2) está en la gráfica de / . (e) Las intersecciones con .v de la gráfica de f son las soluciones reales de la ecua­ ción f ( x ) = 0 que están en el domino de / . La única solución real de la ecuación / ( * ) = —■ -+ ^ = (). es x = - l . así que -1 es la única intersección con

x.

Como

/( - 1 ) = 0, el punto (-1,0) está en la gráfica de / .

— EJEM P LO 4

Resuelve ahora

EL

problema

2 5

Función de costo promedio El costo promedio C de la fabricación de x computadoras por día se da por la función C(.v) = 0.56.r - 34.39.V + 1212.57 +

20,000

Determina el costo promedio de la fabricación de: (a) (b) (c) (d) ^ (e)

Solución

30 computadoras por día 40 computadoras por día 50 computadoras por día Haz una gráfica de la función C = C (.v), 0 < .v < 80 Crea una TABLA con TblStart = 1 y ATbl = 1. ¿Qué valor de x minimiza el costo promedio?

(a) El costo promedio de la fabricación de x = 30 computadoras es C(30) = 0.56(30)^ - 34.39(30) + 1212.57 +

20,000

30

= $1351.54

(b) El costo promedio de la fabricación de x = 40 computadoras es C(40) = 0.56(40)2 - 34.39(40) + 1212.57 +

20,000

40

= $1232.97

(c) El costo promedio de la fabricación de x = 50 computadoras es C(50) = 0.56(50)2 - 34.39(50) + 1212.57 + Ver figura 16 para la gráfica de

C

20,000

50

$1293.07

= C(x).

Con la función C = C(.t) en T, creamos la tabla 2. Bajamos hasta encontrar un valor de x para el cual Y x sea el más pequeño. La tabla 3 muestra que fabricar jc = 41 computadoras minimiza el costo promedio a $1231.74 por computadora.

Figura 16 4000

Tabla 2

Tabla 3

X ÏÏ1 21179 1 1114b 2 77B1.1 3 G4B4 4 S0S4.fi 5 43S9.7 6 JBSfi.4 7 V i B . 5 6 X 2 - 3 4 .39X...

Vi X 1240.7 3B 39 1235.9 1233 40 nreftj 41 1232.2 42 1234.4 43 123B.1 44 V 1 = 1 2 3 1 .7 4 4 8 7 8 0 5

-Resuelve ahora

el p r o b l e m a

31

218

C A P ÍT U L O 3

Fundones y sus gráficas

RESUMEN Grúficu de unu fundón

El conjunto de puntos

que satisfacen la ecuación y = f i x ) .

Prueba de la recta vertical

Un conjunto de puntos es la gráfica de una función siempre y cuando cualquier recta vertical intersecte la gráfica en a lo más un punto.

( x, y )

3.2 Evalúa tu en ten d im ien to ____________ "¿Estás listo?" Las respuestas se (lan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. Las intersecciones de la ecuación x: _______ (pp. 159-160)

+

4y2 = 16 son

2.

V e rd a d e ro o f a l s o El punto (-2.-6) = 2y -2. (pp 157159)

está en la gráfica d e

la ecuación x

Conceptos y vocabulario

3. Un conjunto de puntos en el plano xy son la gráfica de una función si y solo si cualquier línea______ intersecta la gráfica en solo un punto. 4 . Si el punto (5,-3) es un punto en la gráfica de /, entonces / ( -------- ) = ----------

5. Encuentra a tal que el punto (-1,2) esté en la gráfica de /(x) = ax2 + 4.

6.

V e rd a d e ro o f a l s o

Una función puede tener más de una

intersección con y. 7. 8.

La gráfica de una función y = f i t ) siempre cru/a el eje v. V e rd a d e ro o f a l s o La intersección en y de la gráfica de la función y = /(.r). cuyo dominio son lodos los números reales, es /(O). V e rd a d e ro o f a l s o

Ejercicios

^.9. Usa la gráfica dada de la función / para responder los incisos (a)-(n).

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

Encuentra /(O) y /(-6). Encuentra /(6) y /(11) ¿/(3) es positiva o negativa? ¿/(-4) es positiva o negativa? ¿Para qué valores de x, f(x) = 0? ¿Para qué valores de .v, / (.v) > 0? ¿Cuál es el dominio de /? ¿Cuál es el rango de /? ¿Cuáles son las intersecciones con .v? ¿Cuáles son las intersecciones con y?

(k) ¿Qué tan seguido la recta y = ^ intersecta la gráfica? (l) ¿Qué tan seguido la recta .v= 5 intersecta la gráfica? (m) ¿Para qué valores de x , f ( x ) = 3? (n) ¿Para qué valores de .v, /(.v) = -2?

10. Usa la gráfica dada de la función / para responder los inci­ sos (a)-(n).

(a) Encuentra f (0) y f (6). (b )

(c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n)

E n c u e n tr a /(2 ) y / ( - 2 )

es positiva o negativa? «'/(-l) es positiva o negativa? ¿Para qué valores de t. /(.r) = 0? ¿Para qué valores de x. f (.i) < 0? ¿Cuál es el dominio de f? ¿Cuál es el rango de f? ¿Cuáles son las intersecciones con x? ¿Cuáles son las intersecciones con y? ¿Qué lan seguido la recta v = -1 intersecta la gráfica'1 ¿Qué tan seguido la recta .v= 1 intersecta la gráfica? ¿Para qué valores de v. / (x) = 3? ¿Para qué valores de x. /( x ) = -2? ¿ f(^ )

S E C C IÓ N 3.2

Gráfica de una función

219

los problemas 11-22, determina si la figura mostrada es la gráfica de una función usando la prueba de la recta vertical, lo es, úsala para determinar:

p

) El dominio y el rango. * 7 + T

g rá fica d e / ? (c ) S i

y,

g rá fic a d e / . Y2 -f- 2

(a ) E l p u n to ( - 1 , 2 ) , ¿ e s tá e n la g rá fic a d e / ? (b ) Si

In d ic a la s in te r s e c c io n e s c o n

¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to o p u n to s

(a ) E l p u n to ^

1 ^ , ¿ e stá e n la g rá fic a d e / ?

e s tá n e n la grá fica d e / ? (b ) Si x = 0, ¿q u é e s / ( x ) ? ¿ Q u é p u n to está e n la gráfica d e / ?

(d ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e / ? ( e ) Indica las in terseccio n es co n (f)

x, si e x iste n , d e la gráfica d e / .

(c ) S i

/ ( * ) = - 3 x 2 + 5x (a ) E l p u n to ( - 1 , 2 ) , ¿ e s tá en la g rá fic a d e / ? (b ) Si

x-

- 2 , ¿a q u é e q u iv a le / ( x ) ? ¿ Q u é p u n to e s tá e n la

(d ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e / ? ( e ) In dica las in te rse cc io n es co n x, si ex iste n , d e la gráfica d e / . (f)

In d ic a las in te r s e c c io n e s c o n

2 7 - / ( * ) = -jc t t T + i (a ) E l p u n to ( - 1 ,1 ) , ¿ e s tá e n la g rá fica d e / ?

e s tá n e n la grá fica d e / ?

x, si ex iste n , d e la gráfica d e / .

(b ) Si x -

-

(a ) E l p u n to ( 3 ,1 4 ) , ¿ está e n la g rá fica d e / ? (b ) Si x - 4 , ¿a q u é e q u iv a le / ( x ) ? ¿ Q u é p u n to e s tá e n la

(c ) Si f ( x) = 1, ¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to o p u n to s e stá n e n la g rá fica d e / ? ( e ) Indica las in te rse cc io n es co n x, si ex iste n , d e la gráfica d e / . (f) In d ica la s in te r s e c c io n e s c o n y, si e x is te a lgu n a, d e la g rá fica d e / .

gráfica d e / ?

=

¿a q u é e q u iv a le / ( * ) ? ¿ Q u é p u n to e stá e n la

(d ) ¿C u á l e s e l d o m in io d e / ?

7^6

(c ) Si / ( x )

2,

g rá fica d e / ?

In d ica la s in te r s e c c io n e s c o n y , si e x is te a lg u n a , d e la gráfica d e / .

2s- / w

si e x is te a lg u n a , d e la

2x2

( c ) Si / ( x ) = - 2 , ¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to o p u n to s (d ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e / ? (e ) Indica las in terseccio n es c o n

y,

g rá fic a d e / .

grá fica d e / ?

(f)

= i , ¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to o p u n to s

e s tá n e n la g rá fica d e / ?

g rá fica d e / . 24.

f(x')

In d ica las in te r s e c c io n e s c o n y, si e x is te a lg u n a , d e la

2, ¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to o p u n to s

e s tá n e n la grá fica d e / ?

2* . M

-

~

220

C A P ÍT U L O 3

Funciones y sus gráficas ( d ) ¿C u á l e s e l d o m in io d e / ? ( e ) Indica las in te rse cc io n es co n

(a ) E l p u n to ( I _ ^ \ ¿ está en la gráfica d e / ? \2’ 3) (b ) Si x = 4, ¿a q u é e q u iv a le / ( * ) ? ¿ Q u é p u n to e stá e n la

( f)

x, si e x iste n , d e y, si e x is te

In d ic a la s in te r s e c c io n e s c o n

la gráfica d e / . a lg u n a , d e la

g rá fica d e / .

gráfica d e / ? (c ) Si f(x) = 1, ¿a q u é e q u iv a le x ? ¿ Q u é p u n to o p u n to s está n en la gráfica d e / ?

Aplicaciones y extensiones______________________ -------- -- ---------------------------------------------------------------------------------------------F u en te: T h e P h y s ic s o f F o u l S h o ts,

2 9 . T iros libres D e acu erd o co n el físico P eter B ran cazio, la cla ­ ve d e un tiro libre ex ito so en el b a sq u etb o l está en el arco del . tiro. B rancazio d eterm in ó q u e el án g u lo ó p tim o d el arco d e s­

Discover, V ol. 2 1 , N o . 10,

O c t o b e r 2000.

>31.

M o v im ie n to d e una p e lo ta d e g o lf

S e g o lp ea una p elo ta de

g o lf co n una v elo cid a d inicial d e 130 p ies p or se g u n d o con

d e la línea d e tiro libre e s d e 45 grados. E l arco tam b ién d e ­ p en d e d e la velocid ad a la q u e se lanza la p elota. Si un ju gad or

una in clin ación d e 4 5 ° e n la h orizon tal. E n física, se esta b lece

lanza un tiro libre, aven ta n d o la p elo ta co n un án g u lo d e 45

q u e la altura

h de

la p e lo ta d e g o lf está d ad a p or la fun ción

-32x2

grados d esd e una p osició n d e 6 p ies so b re el su e lo , e n to n c e s la trayectoria d e la p elo ta se p u e d e m o d ela r p or la fu n ción ,

h(x) donde

h es

W

44x2

donde

= ------- j— I- * + 6

la altura d e la p e lo ta so b re el su e lo ,

x es

■

x es

l

W

+ x

la d ista n c ia h o riz o n ta l q u e la p e lo ta ha recorrido.

la d is­

tancia hacia a d ela n te d e la p e lo ta e n fr e n te d e la lín ea d e tiro libre y v es la v elo cid a d in icial a la q u e se lan za la p e lo ta en p ies p or se g u n d o . C o n sid era q u e un ju g a d o r lan za u n a p e lo ­ ta co n una v elo cid a d in icial d e 28 p ies p o r se g u n d o . (a ) D e te r m in a la altu ra d e la p e lo ta c u a n d o h a v ia ja d o 8 p ie s e n fr e n te d e la lín e a d e tiro lib re. (b ) D e te r m in a la altu ra d e la p e lo ta c u a n d o h a v ia ja d o 12 p ie s e n fr e n te d e la lín e a d e tiro lib re. (c ) E n cu en tra p u n to s a d ic io n a le s y h a z u n a g rá fica d e la tra y ecto ria d e la p e lo ta . (d ) E l c e n tr o d e l aro e stá 10 p ie s so b r e e l s u e lo y 15 p ie s m ás d e la n te d e la lín e a d e tiro lib re. ¿ C a er á la p e lo ta e n la ca n a sta ? Si n o , ¿ c o n q u é v e lo c id a d in icia l s e d e b e (a ) D e te r m in a la a ltu ra d e la p e lo ta c u a n d o h a re co r rid o 100 p ies.

lan zar la p e lo ta para q u e e n tr e e n la ca n a sta ? F u en te: T h e P h y s ic s o f F o u l S h o ts ,

Discover, V ol. 21, N o . 10,

(b ) ¿ C u á l e s la a ltu ra c u a n d o h a r e c o r r id o 3 0 0 p ies?

O c to b e r 20 0 0 .

3 0 . T iro s d e a b u e lita

(c ) E l ú ltim o ju g a d o r d e la N B A e n u sar

un tiro p or d e b a jo d e l b r a z o (u n tiro d e “ a b u e lita ” ) fu e el d e la n te r o R ick B arry , q u e p e r te n e c e al S a ló n d e la F a m a y s e retiró en 1980. B a rry c r e e q u e lo s ju g a d o r e s a c tu a le s d e la N B A p o d ría n in c r e m e n ta r su p o r c e n ta je d e tiro s li­ b res si u saran tiro s p o r d e b a jo d el b ra zo . C o m o e s o s ti­ ros se lan zan d e sd e u n a p o sic ió n m á s b aja, e l á n g u lo d el tiro se d e b e in crem en ta r . Si un ju g a d o r la n za u n tiro li­ b re “d e a b u e lita ” , so lta n d o la p e lo ta a un á n g u lo d e 7 0 g ra d o s d e sd e u na p o sic ió n d e 3.5 p ie s so b r e e l s u e lo , la tra y ecto ria d e la p e lo ta s e p u e d e m o d e la r p o r la fu n c ió n

136x2 h(x) = --------, ----- 1- 2.1x + 3 .5 , d o n d e h e s la altura d e la v p elo ta sob re el su elo , x e s la distancia hacia a d ela n te d e la p e ­ lota en frente d e la lín ea d e tiro libre y v e s la v elo cid a d inicial co n la q u e la p elo ta se lanza en p ies p o r seg u n d o . (a ) E l c e n tr o d e la ca n a sta e stá a 10 p ie s so b r e e l s u e lo y 15 p ie s fr e n te a la lín e a d e tiro lib re. D e te r m in a la v e lo c i­ d ad in icial c o n la q u e se tie n e q u e la n za r la p e lo ta para q u e e n tr e en la ca n a sta .

¿ C u á l e s la altu ra c u a n d o h a r e c o r r id o 5 0 0 p ies?

(d ) ¿ Q u é tan le jo s s e g o lp e ó la p e lo ta ? ¡i£^ ( e ) U s a un d is p o s itiv o p ara e la b o r a r g rá fica s p ara o b te n e r i:; 1

la r e p r e s e n ta c ió n d e la fu n c ió n (f)

m in a r la d ista n c ia q u e la p e lo ta h a r e c o r r id o c u a n d o la a ltu ra d e la p e lo ta e s d e 9 0 p ies.

(g) C re a u n a T A B L A c o n T b lS ta r t = 0 y A T bl = 25. D e n tro d e lo s 25 p ie s m á s c e r c a n o s , ¿ q u é tan le jo s lle g a la p e lo ta a n te s d e q u e a lc a n c e su a ltu ra m á x im a ? ¿C u ál e s la altu ra m á x im a ? (h ) A ju sta e l v a lo r d e A T b l h a sta q u e d e te r m in e s la d is­ ta n c ia , d e n tr o d e 1 p ie , q u e la p e lo ta re co r re a n te s d e a lc a n z a r su altu ra m á x im a . 3 2 . Á r e a d e s e c c ió n tra n sv er sa l

1 p ie e s tá d a d a p o r la fu n c ió n

A(x)

=

4 . r V l - .r2,

d o n d e .v r e p r e s e n ta la lo n g itu d , e n p ie s , d e la m ita d d e la b a se d e la v ig a . V e r figu ra. A(x) = 4 x \ / l — x 2

la v e lo c id a d q u e e n c o n tr a ste e n e l in c is o (a ). D e te r m in a la altu ra d e la p e lo ta c u a n d o h a r e c o r r id o 9 p ie s fre n te a la lín e a d e tiro lib re. (d ) E n c u e n tr a p u n to s a d ic io n a le s y h a z u n a g rá fic a d e la tra y e cto ria d e la p e lo ta d e b a sq u e tb o l.

E l á rea d e la s e c c ió n tra n s­

v e r sa l d e u n a v ig a q u e s e co r ta d e u n tr o n c o c o n ra d io d e

(b ) E scrib e la fu n ció n d e la tr a y e c to r ia d e la p e lo ta u sa n d o (c )

h = lt(x).

U s a u n d is p o s itiv o p ara e la b o r a r g rá fica s para d e te r ­

x

.

K

S E C C IÓ N 3.2

)

J a ) D e te r m in a e l d o m in io d e

\

(b ) U s a un d is p o s itiv o p ara h a c e r g r á fic a s p ara o b te n e r la

2J

A.

r e p r e s e n ta c ió n d e la fu n c ió n (c )

221

(a ) S i A m y p e s a 1 2 0 lib ra s al n iv e l d e l m ar, ¿ c u á n to p e sa

A

e n P ik e ’s P e a k , e l c u a l, e s tá 1 4 ,1 1 0 p ie s so b r e e l n iv e l d e l m ar?

= A (.v).

(b ) U s a un d isp o sitiv o para h a cer gráficas para o b te n e r la re­

C re a u n a T A B L A c o n T b lS ta r t = 0 y A T b l = 0.1 p ara

(c )

tran sversal? ¿ C u á l d e b e se r la lo n g itu d d e la b a se d e la

Costo de un viaje transatlántico

W c o n fo r m e h ca m b ia

d e 0 a 5 m illas.

(d ) ¿ A q u é a ltu ra p e sa r á A m y 11 9 .9 5 lib ras?

U n B o e in g 7 4 7 cr u z a el

d e 5 0 0 m illa s p o r h o ra . E l c o s to C (e n d ó la r e s ) p o r p a sa je ­

C rea u n a T A B L A c o n T b lS ta rt = 0 y A Tbl = 0.5 para v er c ó m o varía el p e s o

viga para m a x im iza r e l á rea d e la s e c c ió n tra n sv ersa l? O c é a n o A tlá n t ic o (3 0 0 0 m illa s) c o n u n a v e lo c id a d a é r e a

m = 120 libras.

p resen ta c ió n d e la fu n ció n W = VV^). U sa

0 < . v < 1 . ¿ Q u é v a lo r d e * m a x im iza e l á rea d e la se c c ió n

3.

Gráfica de una función

( e ) ¿ E s r a z o n a b le tu r e sp u e sta d e l in c is o (d )? E x p lic a .

35.

ro e s tá d a d o p o r

L a g rá fic a d e d o s fu n c io n e s , / y g , s e ilu stra a c o n tin u a c ió n . U s a la g rá fic a p a ra c o n te s ta r lo s in c is o s ( a ) - ( f ) .

3 6 ,0 0 0 C ( . v ) = 100 + - ^ + donde

x es

x

la v e lo c id a d e n tierra (v e lo c id a d a é r e a ± v ie n to ).

(a ) U s a u n d is p o s itiv o p ara h a c e r g r á fic a s p a ra o b te n e r la r e p r e s e n ta c ió n d e la fu n c ió n C = C (x ). ( b ) C rea u n a T A B L A c o n T b lS ta r t = 0 y A T b l = 50. (c )

D e n tr o d e la s 5 0 m illa s p o r h o r a m á s c e r c a n a s, ¿ q u é v e lo c id a d e n tierra m in im iz a e l c o s to p o r p a sa je r o ?

Efecto de la elevación en el peso

Si u n o b je to p esa

m libras

al n iv el d el m ar, e n to n c e s su p e s o VT (e n libras) a u n a altura de

h m illas so b re

el n iv el d el m ar se da a p ro x im a d a m en te por

W(h)

=

(

mI

4000 4000 +

h

(a )

( / + g )(2 )

(b ) ( / + g ) ( 4 )

(c)

( f - g ) ( 6)

(d) ( g - / ) ( 6)

(e)

(/-g )(2 )

( f) ( £ ) ( 4 )

xplicación de conceptos: discusión y escritura 6.

1.

D e s c r ib e c ó m o p r o c e d e r ía s p a ra e n c o n tr a r e l d o m in io y r a n g o d e u n a fu n c ió n si s e te d a su grá fica . ¿ C ó m o c a m b ia ría tu e s tr a ­ te g ia si s e te d a la e c u a c ió n q u e d e fin e la fu n c ió n e n lu g a r d e su g rá fica ? ¿C uántas in terseccio n es en

x p uede

ten er la gráfica d e una fu n ción ? ¿C uán tas in terseccio n es e n

y p u e d e ten er la gráfica d e una función?

¡8. ¿ U n a g rá fica q u e c o n s is te e n u n s o lo p u n to , e s u n a fu n c ió n ? ¿ P u e d e s esc r ib ir u n a e c u a c ió n d e d ic h a fu n c ió n ? ¡9. R e la c io n a ca d a u n a d e la s s ig u ie n te s f u n c io n e s c o n la g rá fic a q u e m e jo r d e sc r ib a la situ a c ió n .

10.

(a ) E l c o s to d e co n stru ir u n a c a sa c o m o fu n c ió n d e su á rea. (b ) L a a ltu ra d e u n h u e v o q u e s e d e ja c a e r d e u n e d ific io d e 3 0 0 p ie s c o m o fu n c ió n d e l tie m p o . (c)

L a altu ra d e u n a p e r s o n a c o m o fu n c ió n d e l tie m p o .

(d ) L a d e m a n d a d e B ig M a c s c o m o fu n c ió n d e l p r e c io . ( e ) L a a ltu ra d e u n n iñ o e n u n c o lu m p io c o m o fu n c ió n d e l tie m p o .

R e la c io n a ca d a u n a d e la s s ig u ie n te s fu n c io n e s c o n la grá fic a q u e m e jo r d e sc r ib a la situ a c ió n . (a ) L a te m p e ra tu r a d e un ta z ó n d e so p a c o m o fu n c ió n d e l tie m p o . (b ) E l n ú m e r o d e h o ra s d e lu z al d ía e n u n p e r io d o d e 2 a ñ o s. (c ) L a p o b la c ió n d e F lo r id a c o m o fu n c ió n d e l tie m p o . (d ) L a d ista n c ia v ia ja d a e n a u to c u a n d o se m a n e ja a u n a v e lo c id a d c o n sta n te c o m o fu n c ió n d e l tie m p o . ( e ) L a altu ra d e u na p e lo ta d e g o lf q u e s e g o lp e a c o n u n p a lo # 7 d e h ie r r o c o m o fu n c ió n d e l tie m p o

222 41.

C A P ÍT U L O 3

Funciones y sus gráficas

sear. S a le d e su casa, ca m in a 2 cu a d ra s en 5 m in u to s a una

(d ) (c)

v e lo c id a d c o n sta n te y s e da cu e n ta d e q u e o lv id ó cerrar

(f)

la p u erta. E n to n c e s B árbara co r re a su ca sa e n 1 m in u to .

(g ) D e f = 4 .2 a / = 5.3

C u a n d o e stá en su p u erta , le to m a 1 m in u to en c o n tr a r las

(h ) ¿ C u á l fu e la m a y o r d ista n c ia a la q u e K e v in e s tu v o de

C o n sid e ra la sig u ie n te situ a ció n : B árbara d e c id e ir a p a ­

lla v e s y cerrar la p u erta . B árbara ca m in a 5 cu a d ra s en 15 (i)

m in u to s y d e sp u é s d e c id e trotar a casa. L e to m a 7 m in u to s llegar a casa. T raza una gráfica d e la d ista n cia d e B árbara

44.

D e / = 2 .8 a / = 3 D e / = 3 a / = 3 .9

D el

= 3 .9 a

t=

4 .2

su ca sa ? ¿ C u á n ta s v e c e s r e g r e só K e v in a su ca sa ?

La s ig u ie n te g rá fic a r e p r e s e n ta la v e lo c id a d

v

(e n m illas

p o r h o r a ) d e l c o c h e d e M íc h a e l c o m o fu n ció n d e l tie m p o /

d e sd e su casa (en cu a d ra s) c o m o fu n ció n d el tie m p o . 4 2 . C o n sid e ra la sig u ie n te situ a ció n : A J a y n e le g u sta ir e n b i­

(e n m in u to s).

cicle ta p or el b o sq u e. E n la reserv a d e b o sq u e , s e su b e a su b icic le ta y a sc ien d e p o r un c a m in o in c lin a d o d e 2000 p ie s en 10 m in u to s. D e s p u é s baja p o r e l c a m in o in c lin a d o en 3 m in u to s. L o s s ig u ie n te s 5 0 0 0 p ie s so n d e te r r e n o p la n o y cu b re la d ista n cia e n 2 0 m in u to s. D e sc a n s a 15 m in u to s. D e s p u é s J a y n e viaja 1 0,000 p ie s en 3 0 m in u to s. T ra za una gráfica d e la d ista n cia q u e reco rre J a y n e (e n p ie s) c o m o 43.

fu n ció n d el tiem p o . L a sig u ie n te gráfica r e p r e se n ta la d ista n c ia

d (e n

m illa s) a

la q u e K ev in se e n co n tr a b a d e ca sa c o m o fu n c ió n d el tie m ­ po

t

(a ) ¿ E n q u é in te r v a lo d e tie m p o M ic h a e l e s ta b a v ia ja n d o

(en h o ra s). R e s p o n d e las p r e g u n ta s b a sá n d o te en la

m á s rá p id o ?

gráfica. E n lo s in ciso s ( a ) - ( g ) , ¿ cu á n ta s h o ra s p a sa ro n y

(b ) ¿ E n q u é in te r v a lo o in te r v a lo s d e tie m p o M ich a el ten ía

q u é tan lejo s esta b a K e v in d e ca sa e n e s te tie m p o ?

v e lo c id a d c e r o ? (c)

¿ C u á l fu e la v e lo c id a d d e M ic h a e l e n tr e 0 y 2 m in u to s?

(d ) ¿C u ál fu e la v e lo c id a d d e M ich a el e n tr e 4 .2 y 6 m in u to s? ( e ) ¿C u ál fu e la v e lo c id a d d e M ich a el e n tr e 7 y 7.4 m in u to s? (f) 45.

¿ M ic h a e l lle v a b a v e lo c id a d c o n s ta n te ?

D ib u ja {.vi—3 s

la

g rá fic a

x s 8, x *

de

una

fu n c ió n

cu yo

d o m in io

5) y c u y o r a n g o e s { y l-1 :£ y ^ 2 .

¿ Q u é p u n to s e n e l r e c tá n g u lo - 3 s

jt

y*

es 0).

< 8 . - 1 ^ y — 2. n o

p u e d e n e s ta r e n la g r á fic a ? C o m p a r a tu grá fica c o n la d e o tr o s e s tu d ia n te s . ¿ Q u é d ife r e n c ia s e n c u e n tr a s? 46.

(b ) D e f = 2 a f = 2.5 (c ) D e

t = 2.5

a

t-

¿ E x is te a lg u n a fu n c ió n cu y a g rá fic a s e a sim é tr ic a c o n r e s­ p e c to al e je

2.8

xl

E x p lic a .

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. ( - 4 , 0 ) , ( 4 ,0 ) , ( 0 , - 2 ) , (0 , 2 )

2. F a lso

3.3 Propiedades de las funciones P

r e p a r a c ió n

para

esta

s e c c ió n

Antes de empezar, repasa lo siguiente:

In te rv a lo s (s e c c ió n 1.5, p p. 1 2 0 -1 2 1 )

•

In te r se c c io n e s (s e c c ió n 2 .2 , p p . 1 5 9 -1 6 0 ) P e n d ie n te d e u n a recta (s e c c ió n 2 .3 , p p. 1 6 7 -1 6 9 )

^

Resuelve ahora los

p r o b le m a s d e la s e c c ió n

O BJETIV O S

F o rm a p u n to - p e n d ie n t e d e u n a r e c ta (s e c c ió n 2 .3 , P- 171)

•

S im e tr ía ( s e c c ió n 2 .2 . p p . 1 6 0 -1 6 2 )

"¿Estás listo?" d e la p á g in a 2 3 0 .

1 Determinar funciones pares e impares a partir de una gráfica (p. 223)

2 Identificar funciones pares e impares a partir de una ecuación (p. 224) Usar una gráfica para determinar si una función es creciente, decreciente o constante (p. 224) 4 Usar de una gráfica para localizar máximos y mínimos locales (p. 225) 5 Usar de una gráfica para localizar el máximo y mínimo absoluto (p. 226)

|*Í 6 Usar de un dispositivo para elaborar gráficas para aproximar máximos y mínimos locales y determinar si una función es creciente o decreciente (p. 228) Encontrar la tasa de cambio promedio de una función (p. 228)

S E C C IÓ N 3.3

Propiedades de las fundones

223

Para obtener la gráfica de una función y = /(.r), es útil saber ciertas propiedades que tie­ ne la función y el impacto de estas propiedades en la forma en la como se verá la gráfica.

>; 9

li t

Determinar funciones pares e impares a partir de una gráfica Las palabras par e impar, cuando se aplican a la función / , describen la simetría que existe en la gráfica de la función. Una función / es par si y solo si, el punto (.v, y) está en la gráfica de / y entonces el punto (-.v,_v) también está en la gráfica. Usando notación de funciones definimos una función par de la manera siguiente:

DEFINICIÓN

Una función / es par si, para cualquier número .r en su dominio, el número - x también está en el dominio y

/(-•O = /(-O

-------------------------------------------------------J Una función / es impar, si y solo si, un punto (x,y) está en la gráfica de / y enton­ ces (-.r,-y) también está en la gráfica. Usando notación de funciones definimos una función impar de la manera siguiente:

DEFINICIÓN

Una función / es im par si para cada número x en su dominio, el número - x también está en el dominio y

/(-*)= - m

-------------------------------- J Consulta la página 162, donde se dan las pruebas de simetría. Los siguientes re­ sultados son evidentes.

TEOREM A

Una función es par si y solo si su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Una función es impar si y solo si su gráfica es simétrica con respecto al origen.

J

EJEM PLO 1

Determinación de funciones pares e impares a partir de la gráfica Determina si cada una de las gráficas dadas en la figura 17 es la gráfica de una función par, una función impar o una función que no es ni par ni impar.

Figura 17

(a) La gráfica en la figura 17(a) es la de una función par, ya que su gráfica es simétri­ ca con respecto al eje y. (b) La función cuya gráfica está dada en la figura 17(b) no es ni par ni impar, ya que la gráfica no es simétrica con respecto al eje y, ni es simétrica con respecto al origen. (c) La función cuya gráfica se muestra en la figura 17(c) es impar, ya que su gráfica es simétrica con respecto al origen.

Resuelve ahora

el

problema

21

( a ) , (b)

y

(d)

224

C A P ÍT U L O 3

Funciones y sus gráficas

Y

Identificar funciones pares e impares a partir de la ecuación Identificar funciones pares e impares algebraicamente

EJEM PLO 2

Determina si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las dos. Después determina si la gráfica es simétrica con respecto al eje y o con respecto al origen. (a) f ( x ) =x 2- 5 (b) g (x) = x ’ -1 (c) h(x) = 5x3- x (d) F(x) = \x\

Solución

(a) Para determinar si / es par, impar o ninguna de las dos, sustituye x por - x en f ( x ) = x 2- 5 . Entonces f ( - x ) = (-x)2- 5 = x 2- 5 = f ( x ) Como /( - * ) = /(* ), concluimos que / es una función par y la gráfica de / es simé­ trica con respecto al eje y. (b) Sustituye x por - x en g(x) = x 2 -1. Entonces g(-x) = (-x)2- 1 = -x 3- 1 Como g(-x) i 1g(jc) y g(-x) # -g(x) = - ( x 2- 1) = - x2 + 1, entonces concluimos que g no es ni par ni impar. La gráfica de g no es simétrica con respecto al eje y y tampoco es simétrica con respecto al origen. (c) Sustituye x por -x en h(x) = 5x3 - x. Entonces h (-x) = 5(-x)2-

(-* )

= -5x2 + x = -(5 jc3- x) = -h(x)

Como h(-x) = -h(x), h es una función impar y la gráfica de h es simétrica con respecto al origen. (d) Sustituye x por -x en F{x) = \x\. Entonces F(-x) =

| - jc| = |- 1 l- W = |* | =

F(x)

Como F(-x) = F(x), F es una función par y la gráfica de F es simétrica con respec­ to al eje y.

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

3 3

3 Uso de una gráfica para determinar si la función es creciente, decreciente o constante Considera la gráfica que se da en la figura 18. Si la observas de izquierda a derecha notarás que partes de la gráfica van hacia arriba, partes van hacia abajo y partes son horizontales. En tales casos, se describe la función como creciente , decreciente o cons­ tante, respectivamente.

EJEM PLO 3

Determinar funciones crecientes, decrecientes o constantes a partir de su gráfica ¿En qué partes es creciente la función de la figura 18? ¿En qué partes es decre­ ciente? ¿En qué partes es constante?

S E C C IÓ N 3.3

Solución

Propiedades de las funciones

225

P a r a c o n t e s t a r la p r e g u n t a d e s i u n a f u n c ió n e s c r e c ie n t e , d e c r e c ie n t e o c o n s t a n t e u s a m o s d e s i g u a l d a d e s e s t r i c t a s q u e i n c l u y e n l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e jc o u s a m o s i n ­

DVERTENCIA Describimos el com>rtamiento de una gráfica en térmi)s de su s valores en x. No digas que gráfica de la figura 18> es creciente ¿I punto al punto. Mejor di que es •eciente en el intervalo ( - 4 ,0 ) . ■

t e r v a lo s a b ie r t o s * d e c o o r d e n a d a s x . L a f u n c ió n c u y a g r á f ic a e s t á d a d a e n la f ig u r a 18 e s c r e c i e n t e e n e l i n t e r v a l o a b i e r t o ( - 4 , 0 ) o p a r a - 4 < jc < 0 . L a f u n c i ó n e s d e c r e c i e n t e e n l o s i n t e r v a l o s a b i e r t o s ( - 6 , - 4 ) y ( 3 , 6 ) o p a r a - 6 < x < - 4 y 3 < jc < 6 . L a f u n c i ó n e s c o n s t a n t e e n e l in t e r v a lo a b ie r t o ( 0 , 3 ) o p a r a 0 < x < 3.

E n s e g u id a se d a n d e f in ic io n e s m á s p r e c is a s :

DEFINICION ES

U n a fu n c ió n / e s y

jc 2

7, c o n

en

.c, <

U n a fu n c ió n / e s de

jc ,

y

jc 2

en

creciente jc , ,

e n u n in t e r v a lo a b ie r t o

7 si

en

7, l o s

jc ,

t e n e m o s / ( j c , ) < / ( jc 2) .

decreciente e n

u n in t e r v a lo a b ie r t o

7si

7, c o n jc , < jc 2, t e n e m o s / ( j c , ) > / ( jc 2) . constante e n u n i n t e r v a l o a b i e r t o 7 s i

U n a fu n c ió n / e s jc

p a r a c a d a e le c c ió n d e

p a r a c u a lq u ie r e le c c ió n

p a r a t o d o s lo s v a lo r e s d e

v a l o r e s d e / ( jc ) s o n i g u a l e s .

___^

L a f ig u r a 1 9 ilu s t r a la s d e f in ic io n e s . L a g r á f ic a d e u n a f u n c ió n c r e c ie n t e s u b e d e iz q u ie r d a a d e r e c h a , la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n d e c r e c ie n t e b a ja d e iz q u ie r d a a d e r e c h a y la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n c o n s t a n t e se m a n t ie n e a u n a a lt u r a c o n s t a n t e .

Figura 19

/

/

'\

¡f(x,) I X, I r*---------------

y

y

y.

i i i ¡f(x2) I

i \

f(Xi)¡

X2

I

X |

(a) Para x , < x 2 enl, f ( x , ) < f ( x 2); f es creciente enl

1 1 ]f(x,)

I f ( x 2) ¡

*1

I

*2 I1

\

x*

X >>1I

l1-^í -----------------

(c)

(b)

P a ra x , < x 2 enl, f ( x , ) > f ( x 2); f es decreciente eri

Resuelve ahora

el

problema

11, 13,15,

y

1 0 1 ¡f(x2) x*2

x

1---------------- ► !

Para to dax enl, los valores de f son ¡guales;f es constante eri

21 ( c )

4 Uso de una gráfica para localizar máximos y mínimos locales C o n s i d e r a q u e / e s u n a f u n c i ó n d e f i n i d a e n u n i n t e r v a l o a b i e r t o q u e c o n t i e n e a c. S i e l

f

v a lo r d e / e n c e s m a y o r o ig u a l q u e lo s v a lo r e s d e / e n

7, e n t o n c e s

/ t i e n e u n m ín im o

lo c a l e n c \ V e r f i g u r a 2 0 ( b ) .

Figura 20

ftiene un mínimo local ene.

*El intervalo abierto (a , b ) consiste en todos los números rea les x para los cuales a < x < b . t Algunos textos usan el térm ino r e la tiv o en lugar de lo c a l.

226

C A P ÍT U L O 3

Funciones y sus gráficas

DEFINICIONES

Una función / tiene un máximo local en c si existe un intervalo abierto / que contenga a c, tal que para toda x en / , f ( x ) < /(c ). /(c ) se llama valor máximo local de /. Una función / tiene un mínimo local en c si existe un intervalo abierto I que contenga a c, tal que para toda x en / , f ( x ) s : /(c ). f ( c ) se llama valor mínimo local de /.

iI

J

Si / tiene un máximo local en c, entonces el valor de / en c es mayor o igual que los valores de / cercanos a c. Si / tiene un mínimo local en c , entonces los valores de f e n c son menores o iguales que los valores de / cercanos a c. La palabra l o c a l se usa para sugerir que esto solo sucede cerca de c , es decir, en un intervalo abierto que contiene a c, en el que el valor de f ( c ) tiene estas propiedades.

EJEM PLO 4

Encontrar máximos y mínimos locales a partir de la gráfica de una función y determinar en dónde la función es creciente, decreciente o constante

Figura 21

La figura 21 muestra la gráfica de la función / . (a) ¿En qué valores de x , si existen, tiene / un máximo local? Enumera los valores máximos locales. ? (b) ¿En qué valores de x , si existen, tiene / un mínimo local? Enumera los valores mínimos locales. (c) Encuentra los intervalos en los que / es creciente. Encuentra los intervalos en los que / es decreciente.

ADVERTENCIA El valor en y es el va­ lor máximo local o valor mínimo local y tiene lugar en algún valor de x. Por ejemplo, en la figura 21 decimos que f tiene un mínimo local en 1 y el valor máximo local es 2.

■

El dominio de / es el conjunto de los números reales. (a) / tiene un máximo local en 1, ya que para toda x cercana a 1, tenemos que f ( x ) < / ( 1). El valor máximo local es /(1 ) = 2. (b) / tiene mínimos locales en -1 y en 3. Los valores mínimos locales son /( - 1 ) = 1 y / (3) = °. (c) La función cuya gráfica se da en la figura 21 es creciente para todos los valores de x entre -1 y 1 y para todos los valores de x mayores a 3. Es decir, la función es creciente en los intervalos (-1,1) y (3,oo) o para -1 < x < 1 y x > 3. La función es decreciente para todos los valores de x menores que -1 y para todos los valo­ res de x entre 1 y 3. Es decir, la función es decreciente en los intervalos (-o o ,-l) y (1,3) o para x < - l y l < x < 3 .

------Resuelve ahora

el

problema

17

y

19

Figura 22

5 Uso de una gráfica para localizar el máximo y mínimo absoluto Observa la gráfica de la función / de la figura 22. El dominio de / es el intervalo cerrado \a, b] . Además, el valor más grande de / es f ( u ) y el valor más pequeño de / es f ( v ) . A estos se les llama respectivamente m á x i m o a b s o lu to y m ín i m o a b s o lu to de / en [a, b \

dominio: [ a , b] para toda xen [a, b], f(x) < f(u) para toda xen [a, b], f(x) =» f(v) máximo absoluto: f(u) mínimo absoluto: f(v)

DEFINICIÓN Sea / una función definida en un intervalo I . Si existe un nú­ mero « e n / para el cual / ( x ) < / ( u ) para toda x en / , entonces f ( u ) es el máximo absoluto d e / en I y decimos que el máximo absoluto de/ se encuentra en u. Si existe un número v en I para el cual f ( x ) a f ( v ) para toda x en /, entonces / ( v ) es el mínimo absoluto de / en / y decimos que el mínimo absoluto de f se encuentra en v.

;

S E C C IÓ N 3.3

Propiedades de las funciones

227

Algunas veces, al máximo absoluto y mínimo absoluto de una función / se les llama valores extremos de / en I. El máximo absoluto o el mínimo absoluto de una función / pueden no existir. Veamos algunos ejemplos.

EJEM PLO

Encontrar el máximo absoluto y el mínimo absoluto a partir de la gráfica de una función Para cada gráfica de una función y = f ( x ) de la figura 23 encuentra el máximo abso­ luto y el mínimo absoluto, si existen.

Solución

(a) La función / cuya gráfica se da en la figura 23(a) tiene al intervalo cerrado [0,5] como dominio. El valor más grande de / es /(3 ) = 6, el máximo absoluto. El valor más pequeño de / es /(O) = 1, el mínimo absoluto. (b) La función / cuya gráfica se muestra en la figura 23(b) tiene como dominio {jc11 < ;c ^ 5, x ^ 3}. Observa que excluimos al 3 del dominio debido a que hay un “hoyo” en (3,1). El valor más grande de / en su dominio es /(5 ) = 3, el máximo absoluto. No existe mínimo absoluto. ¿Puedes ver por qué? Al trazar la gráfica y acercarte al punto (3,1), no hay un valor más pequeño. [¡En cuando creas haber encontrado el valor más pequeño, puedes trazar un punto aún más cercano a (3,1) y obtener un valor aún más pequeño!] (c) La función / cuya gráfica se da en la figura 23(c) tiene como dominio al intervalo [0,5]. El máximo absoluto de / es /(5 ) = 4. El mínimo absoluto es 1. Observa que puedes encontrar el mínimo absoluto 1 en cualquier número del intervalo [1,2]. (d) La gráfica de la función / que se ilustra en la figura 23(d) tiene como dominio el in­ tervalo [0,oo). La función no tiene máximo absoluto, el mínimo absoluto es /(O) = 0. (e) La gráfica de la función / de la figura 23(e) tiene como dominio a {jc|1 s x < 5, x * 3}. La función / no tiene mínimo absoluto ni máximo absoluto. ¿Puedes ver por qué?

En cálculo existe un teorema con condiciones que garantizan que una función tendrá un máximo y un mínimo absoluto.

TEOREM A

Teorema del valor extremo Si / es una función continua* cuyo dominio es un intervalo cerrado [«, b], en­ tonces / tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto en [a, b].

J

Resuelve ahora

el

problema

45

♦Aunque se requiere de cálculo para dar una definición precisa, diremos por lo pronto que una función continua es aquella cuya gráfica no tiene saltos u hoyos y se puede trazar sin levantar el lápiz del papel.

228

C A P ÍT U L O 3

Fundones y sus gráficas

% 6 Uso de un dispositivo para elaborar gráficas para aproximar máximos locales y mínimos locales y para determinar dónde es creciente y dónde es decreciente una función ( lateralmente se requiere de cálculo para localizar los valores exactos en los que una función / tiene un máximo local o un mínimo local. Sin embargo, se puede usar un dispositivo para elaborar gráficas para aproximar estos valores usando las caracterís­ ticas MAXIMUM y MINIMUM.

EJEM PLO 6

Uso de un dispositivo para elaborar gráficas para aproximar máximos locales y mínimos locales y para determinar dónde es creciente y dónde es decreciente una función (a) Usa un dispositivo para hacer gráficas para obtener la representación de f ( x ) = fu' - 12.v + 5 para -2 < x < 2. Estima dónde f tiene un máximo local y don­ de f tiene un mínimo local. (b) Determina dónde es / creciente y dónde es decreciente.

Solución

(a) Los dispositivos para elaborar gráficas tienen una característica que encuentra el punto máximo o mínimo de una gráfica dentro de un intervalo dado. I raza la gráfica de la función / para -2 < x < 2. I-as instrucciones MAXIMUM y MINI­ MUM requieren que primero determinemos el intervalo abierto / Después el dispositivo para elaborar gráficas aproximará el valor máximo o mínimo en el intervalo. Al usar MAXIMUM encontramos que el valor máximo local es 11.53 y se da cuando .i = -0.82. redondeado a dos lugares decimales. Ver figura 24(a). Al usar MINIMUM, encontramos que el mínimo local es -1.53 y se da cuando .v = 0.82. redondeado a dos lugares decimales. Ver figura 24(b). 30

30

-10

-10

Figura 24

(«)

(b)

(b) En las figuras 24(a) y (b) vemos que la gráfica de f es creciente de .r = -2 a x = -0.82 y de x = 0.82 a x = 2. por tanto. / es creciente en los intervalos (-2 .-0 82) y (0.82.2) o para -2 < .v < -0.82 y 0.82 < .v < 2. La gráfica es decreciente de .r = -0.82 a x = 0.82. por tanto, f es decreciente en el intervalo (-0.82.0.82) o para -0.82 < x < 0.82.

^

Resuelvo ahori o phobum* 53

7 Encuentra la tasa de cambio promedio de una función En la sección 2.3 vimos que la pendiente de una recta se puede interpretar asmo la tasa de cambio promedio. Para encontrar la tasa de cambio promedio de una función entre cualesquiera dos puntos en su gráfica, calcula la pendiente de la recta que contiene los dos puntos.

DEFINICIÓN

Si a y />. íí * ó. son el dominio de una función y = dio d e /d e a a b se define como Tasa de cambio promedio =

Av A.v

f(x).

la tasa de cambio prome­

f(b )-f(a ) b

- ti

a *■ b

(1)

J El símbolo Ay en (1) es el "cambio en y” y A.v es el "cambio en v". La tasa de cambio promedio de / es igual al cambio en y dividido entre el cambio en .v.

i S E C C IÓ N 3.3

EJEM PLO 7

Propiedades de las funciones

229

Encontrar la tasa de cambio promedio Encuentra la tasa de cambio promedio de f ( x ) = 3.v2: (a) De 1 a 3 (b) De 1 a 5 (c) De 1 a 7

Solución

(a) La tasa de cambio de f ( x ) = 3.v: de 1 a 3 es Ay = /( 3 ) ~ / ( ! ) = 27 - 3 = 24 _ A.v 3 -1 3 -1 2

Figura 25

(b) La tasa de cambio de f ( x ) = 3.v2 de 1 a 5 es Ay = /( 5 ) ~ / ( l ) = 7 5 - 3 A.v 5-1 5-1 (c) La tasa de cambio de /(.v) = 3jv2 de 1 a 7 es Ay

/( 7 ) ~ / ( l )

147-3

Ax

7-1

7-1

Observa la figura 25 para la gráfica de f ( x ) - 3x2. La función / es creciente para .v > 0. El hecho de que la tasa de cambio promedio sea positiva para toda x v x v x x^ x 2 en el intervalo (1,7) indica que la gráfica es creciente en 1 0 Si x < 0

Cuando se define una función con diferentes ecuaciones en diferentes partes de su dominio, se le llama función definida por partes.

EJEM PLO 3

Análisis de una función definida por partes La función / se define como - 2 jc + 1 Si —3 < jc < 1 Si te = 1 /(*) = < 2 x2 Si x > 1 (a) Determina / ( —2), /(1 ) y /(2 ). (c) Localiza las intersecciones. (e) Usa la gráfica para encontrar el rango de / .

Solución

(b) Determina el dominio de / . (d) Traza la gráfica de / . (f) ¿Es / continua en su dominio?

(a) Para determinar /(-2 ) observa que cuando x = -2 la ecuación para / está dada por f ( x ) = -2x + 1. Entonces /(-2 ) = —2(—2) + 1 = 5 Cuando x = 1, la ecuación para / es f ( x ) = 2, Esto es, /(l) = 2 Cuando x = 2, la ecuación para / es f (x) = x 2. Entonces /(2 ) = 22 = 4

240

c a f ît

U LO 3

Fundones y sus gráficas

(b) Para determinar el dominio de / , observa su definición. Como / está definida para toda x mayor o igual a -3, el dominio de / es {x\x a -3} o el intervalo [-3,-x). (c) La intersección en y de la gráfica de la función es /(O). Como la ecuación para / cuando x = 0 es f ( x ) = -2x + 1, la intersección en y es /(O) = -2(0) + 1 = 1 . Las intersecciones en x de la gráfica de una función / son las soluciones reales de la ecuación f ( x ) = 0. Para encontrar las intersecciones en x de / , resuelve f ( x ) = 0 para cada “parte” de la función y después determina si los valores de x, si existen, satisfacen la condición que define a la parte. f(x) = 0 -2x + 1 = 0 -3 < -2 jc = -1 1

a

f(x) =0 1

La primera posible intersección en x, x = satisface la condición -3 £ x < 1, por 1 , 2 lo tanto x = - es una intersección en x. La segunda posible intersección en x, Figura 41

x = 0, no satisface la condición x > 1, entonces x = 0 no es una intersección en x. La única intersección en x es - . Las intersecciones son (0,1) y

2

a«)

(d) Para trazar la gráfica de / , trazamos “cada parte”. Primero, la recta y = -2x + 1 y conservamos solo la parte para la cual -3 ^ x < 1. Después trazamos el punto (1,2) debido a que, cuando x = 1, f ( x ) = 2. Por último, trazamos la parábola y = x 2 y conservamos solo la parte para la cual x > 1. Ver figura 41. (e) De la gráfica podemos concluir que el rango de / es {y[y > -1} o el intervalo (-l,oo). (f) La función / no es continua debido a que hay un “salto” en la gráfica en x = 1.

Resuelve ahora EJEM PLO 4

EL P R O B L E M A 2 9

Costo de la electricidad En el verano de 2009, la compañía Duke Energy suministró electricidad a residencias en Ohio por un cargo mensual al consumidor de $4.50 más 4.2345? por kilowatt-hora (kWhr) por los primeros 1000 kWhr suministrados en el mes y 5.3622? por kWhr para todo uso por encima de 1000 kWhr en el mes. (a) ¿Cuál es el cargo por el uso de 300 kWhr en un mes? (b) ¿Cuál es el cargo por usar 1500 kWhr en un mes? (c) Si C es el cargo mensual de x kWhr, desarrolla un modelo que relacione el cargo mensual y los kilowatt-hora usados. Esto quiere decir que expreses C como fun­ ción de x. Fuente: Duke Energy, 2009.

Solución

(a) Para 300 kWhr, el cargo es de $4.50 más 4.2345? = $0.042345 por k\Vhr. Esto es. Cargo = $4.50 + $0.042345(300) ) = $17.20 (b) Por 1500 kWhr, el cargo es $4.50 más 4.2345? por kWhr por los primeros 1000 kWhr más 5.3622? por kWhr por los 500 kWhr por encima de 1000. Esto es. Cargo = $ 4 . 5 0

+ $ 0 .0 4 2 3 4 5 (1 0 0 0 )

+ $ 0 .0 5 3 6 2 2 (5 0 0 )

= $ 7 3 .6 6

(c) Sea * el número de kilowatts-hora que se usaron. Si O ^ .v s 1 0 0 0 . el cargo men­ sual C (en dólares) se puede encontrar multiplicando .v veces $ 0 . 0 4 2 3 4 5 y su­ mando el cargo mensual al consumidor de $ 4 . 5 0 . Por lo tanto, si 0 ^ x ^ 1 0 0 0 . entonces C(x) = 0 .0 4 2 3 4 5 .V + 4 .5 0 .

S E C C IÓ N 3.4

Directorio de fundones; funciones definidas por partes

241

Para .v > l(HX), el cargo es 0.042345( 1000) + 4.50 + 0.053622(.v - 1000), debido a que .v - 10(X) equivale al uso por encima de los 1000 kWhr, lo cual cuesta $0.053622 por kWhr. Es decir, si x > 1000, entonces C(.v) = 0.042345(1 (XX)) + 4.50 + 0.053622(.r - 1000) = 46.845 + 0.053622 (.t - 1000) = 0.053622t- 6.777 La regla para calcular C obedece dos ecuaciones: 500 1000 Uso(kWhr)

1500 x

= (°-042345* + lo.053622.V -

C(.r)

4.50 6.777

Si 0: .v < 1000 Si * > 1000

El modelo

Ver figura 42 con la gráfica

3.4 Evalúa tu entendimiento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de los ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 3. Indica las intersecciones de la ecuación y = x3 - 8. (pp. 159-160)

1. Bosqueja la gráfica de y = V i. (p. 163) 2. Bosqueja la gráfica de y = —. (pp. 164-165)

Conceptos y vocabulario 7. Verdadero o falso La función de raíz cúbica es impar y es decreciente en el intervalo (- 00, 00). 8. Verdadero o falso El dominio y el rango de la función recíproca es el conjunto de todos los números reales.

4. La función / (jc) = .r es decreciente en el intervalo________ 5. Cuando se definen funciones por medio de más de una ecuación, se llaman funciones-----------------6. Verdadero o falso La función cúbica es impar y es cre­ ciente en el intervalo (- oo,oo).

Ejercicios En los problemas 9-16, asocia cada gráfica con su función. A. Función constante

B. Función identidad

C. Función cuadrada

D. Función cúbica

E. Función raíz cuadrada

F. Función recíproca

G. Función valor absoluto

H. Función raíz cúbica

\ 9.

\

10

.

\ ll.

\ 13.

\

14.

\

15.

En los problemas 17-24, bosqueja la gráfica de cada función. Asegúrate de marcar tres puntos en la gráfica.

17. f { x ) = x

18. f (x) = x2

19. f (x) = x3

20. f{x) = V x

21. / ( * ) = 7

22.f(x) = M

23. f(x) = V i

24. f (x) = 3

x 25. Si f(x) = < 2 2x + 1 determina (a) /(-2) 27. Si/(* ) = U

- 4

_

2

determina (a) /(0)

-3x 26. Si f{x) = < 0 2x2 + 1

Si x < 0 Si x = 0 Si x > 0 (b) /(0)

determina (a) /(-2)

(c) /(2)

Si —1 < x 2 Si 2 < x < 3 (b )/(l)

(c)/(2)

Si x < -1 Si jc = —1 Si x > -1 (b )/(-l)

(c)/(0)

Si—2 < x < 1 Si 1 < x < 4 (d)/(3)

determina (a) /( - l)

(b)/(0)

(c )/(l)

(d)/(3)

242

C A P ÍT U L O 3

Fundones y sus gráficas

En los problemas 29-40: (a) Determina el dominio de cada función, (d) A partir de la gráfica, encuentra el rango. 2x

Si x s* 0

-2 x - 3 . J1+ x 35. /(x ) = < , x2 38./(x ) =

[2 - x .V x

(c) Traza la gráfica de cada función.

(b) Localiza cualquier intersección, (e) ¿Es f continua en su dominio? 30. f(x)

3* ■( 4

33. f(x) =

Si x s -2

Si x * 0 Si a: = 0

x +3 5 „-x + 2

Si x < 0 Si x 0

n 36. f(x) = < X tfx

Si -3 s x < 1 Si x > 1

39. / ( a ) = 2 ent(x)

3 l . f ( x) = ( ~ 2X + 3 1 \3x - 2

Si -2 s x < Si x = 1 Si x > 1

2x + 5 34. /(* ) = , -3 - 5 a:

Si x < 0 37./(x ) = | Si Jt > 0

|x| x3

S,x 0

Si - 2 ^ x < 0 Si x > 0

40. /(x ) = ent(2x)

En los problemas 41-44, se da la gráfica de una función definida por partes. Escribe una definición para cada función. 41. 42. 44. y 43. y 2 ( 2 , 1)

(-1,1)'

( 2. 1 )

(

\

2

\

( 2.

2)

_ \( 1 .1 )

( - 1. 1) \ J______L

-2

(

__ 1____ 1___ , 1

J______L

2 x

0 , 0)

1

(0, 0)

"2

1 r 2 x

1 -2

1

^ (0, 0)

\

(2 . 0) *

-t?

2 *

"2

/ ( - 1, - 1)

45. Si /(x) = ent(2x), determina (a)/(1.2)

(b)/(1.6)

4 6 . Si / ( x ) = en t^

(c)/(-1.8)

( a ) / ( 1 .2 )

d e te r m in a

(b)/(1.6)

(c) /(-1.8)

Aplicaciones y extensiones 47. Servicio de teléfono celular Sprint PCS ofrece un plan mensual de teléfono celular por $39.99. Éste incluye 450 minutos a cualquier hora y cobra $0.45 el minuto por cada minuto adicional. La siguiente función se usa para calcular el costo mensual de cada usuario: | 39.99 Si 0 < x < 450 (0.45x - 162.51 Si x > 450 donde x es el número de minutos incluidos usados. Cal­ cula el costo mensual del teléfono celular para el uso del siguiente número de minutos: (a) 200 (b) 465 (c)451 C(x) =

F u en te: S p r in t P C S

48. Estacionamiento en el Aeropuerto Internacional O'Hare La tarifa F (en dólares) de estacionamiento a corto plazo (no más de 24 horas) por estacionarse x horas en el estacio­ namiento principal del Aeropuerto Internacional O'Hare se puede modelar por la función 3 Si 0 < x £ 3 5 ent (x + 1) +1 Si 3 < x < 9 ,50 Si9 0, la gráfica de la nueva función y = f ( x - h) es la gráfica de / corrida horizontalm ente a la dere­ cha h unidades. Si el argumento x de una función / se sustituye por jc + h, h > 0, la gráfica de la nueva función y = f ( x + h) es la gráfica de / corrida horizontalm ente a la izquierda h unidades.

Traslación horizontal a la izquierda Usa la gráfica de / ( jc)

Solución

=

jc2

para obtener la gráfica de g(.r) =

(jc

+ 4)2.

Una vez más, la función g(jc) = (jc + 4)2es básicamente la función cuadrada. Su gráfica es la misma que la de / , excepto que está corrida 4 unidades horizontalmente a la izquierda. Ver figura 48.

Resuelve ahora

el

problema

43

S E C C IÓ N 3.5

Técnicas para trazar gráficas: transformaciones

247

Observa la diferencia entre traslaciones horizontales y verticales. La gráfica de /(.v) = V x + 3 se obtiene al correr la gráfica de y = V x, 3 unidades hacia a r r ib a , porque evaluamos primero la función raíz cuadrada y después sumamos 3. La gráfica de g ( x ) = V x + 3 se obtiene al correr la gráfica de y = V x, 3 unidades a la iz q u ie r ­ d a , porque sumamos 3 unidades a x antes de evaluar la función de raíz cuadrada. A veces se combinan traslaciones horizontales y verticales.

I EJEM PLO 5

Combinación de traslaciones verticales y horizontales Traza la gráfica de la función /(x ) = (x + 3)2- 5

Solución

Trazaremos la gráfica de / por pasos. Primero observa que la regla para / es básica­ mente la función cuadrada, así que empieza con la gráfica de y = x2 como se muestra en la figura 49(a). Después, para obtener la gráfica de y = (x + 3)2, corre la gráfica de y = x2, 3 unidades horizontalmente a la izquierda. Ver figura 49(b). Por último, para obtener la gráfica de y = (x + 3)2 - 5, corre la gráfica de y = (x + 3)2, 5 unidades verticalmente hacia abajo. Ver figura 49(c). Observa los puntos trazados en cada gráfica. Es útil usar puntos clave para poder visualizar las transformaciones que se han llevado a cabo.

y

Aerifica:

Traza la gráfica de Y 1 = f {x) = (x + 3)2- 5 y compara con la gráfica de la figura 49(c).

En el ejemplo 5, si se hubiera realizado la traslación vertical primero, seguido de la traslación horizontal, se habría obtenido la misma gráfica. Inténtalo.

Resuelve ahora

EL P R O B L E MA 4 5

2 Gráfica de funciones usando compresiones y estiramientos EJEM PLO 6

Estiramiento vertical Usa la gráfica de /(x ) = |x| para obtener la gráfica de g(x) = 2|x|.

Solución

Para ver la relación que hay entre las gráficas de / y g, crea la tabla 10, dando pun­ tos de cada gráfica. Para cada x, la coordenada y de un punto en la gráfica de g es 2 veces más grande que la coordenada y correspondiente en la gráfica de / . La gráfica de /(x ) = |x| se estira verticalmente por un factor de 2 para obtener la gráfica de g(x) = 2|x| [por ejemplo, (1,1) está en la gráfica de / , pero (1,2) está en la gráfica de g]. Ver figura 50.

248

C A P ÍT U L O 3

Funciones y sus gráficas

Tabla 10

y = f(x) X

EJEM PLO 7

=

y = g (x )

M

= 2 |x |

-2

2

4

-1

1

2

0

0

0

1

1

2

2

2

4

Compresión vertical Usa la gráfica de f ( x ) = \x\ para obtener la gráfica de g(x) = - \x [

Solución

Para cada x, la coordenada y de un punto en la gráfica de g es ^ de la coordenada y correspondiente en la gráfica de / . La gráfica de f ( x ) = \x\ se comprime verticalmente por un factor de - para obtener la gráfica de g(x) = —\x\ [por ejemplo, (2,2) está en 2 2 la gráfica de / , pero (2,1) está en la gráfica de g]. Ver tabla 11 y figura 51. Figura 51

Cuando el lado derecho de una función y = f ( x ) se multiplica por un número positivo a, la gráfica de la nueva función y = af(x) se obtiene al multiplicar cada coordenada y en la gráfica de y = f ( x ) por a. La nueva gráfica es una versión verticalm ente com prim ida (si 0 < a < 1) o verticalm ente estirada (si a > 1) de la gráfica de y = f(x).

Resuelve ahora

el

problema

47

¿Qué sucede si el argumento x de una función y = f ( x ) se multiplica por un nú­ mero positivo a creando una nueva función y = f { ax ) l Para encontrar la respuesta, observa la siguiente exploración.

i*%] Exploración L ü í T raza la gráfica d e las sig u ien tes fu n cio n e s en la m ism a p antalla:

y, = f (x) = V i

Y2 = f(2x)

= V 2x

V3 = f ( V ) =

Crea una tabla de valo res para e xp lo rar la relación e n tre las co o rd en ad as x y

Resultado D ebes

^

y d e cada fu n ció n .

h ab e r o b ten id o las gráficas en la fig ura 52. V er tabla 12(a). O b serva q u e (1 ,1 ), (4 ,2 ) y

(9 ,3 ) son punto s en la gráfica de T) = V x . A d em ás, (0 .5 ,1 ), (2 ,2 ) y (4 .5 ,3 ) son p u n to s en la gráfica de

Y2 = % / Íx . Para una co o rd en ad a y dada, la co o rd en ad a x en la gráfica d e Y2 es ^ de la co o rd en ad a x

i S E C C IÓ N . U

X 0

Tabla 12 -JT x

.5 1 2 H H.5

Vx A

Vi 0 i

1.H1S2 2 2.1213 3

9

Técnicas para trazar gráficas: transform aciones

Vi X 0 0 i 1 1 S1H2 2 1 2 2.020*1 0 3 5 *1.2*126 10 V3BT 0 o , equivalentem ente,x < 0. Para obtener la gráfica de f { x ) = V ^ x . empezamos con la gráfica de y = V x , como se muestra en la figura 57. Para cada punto (.v,_y) en la gráfica de y = V x , el punto (-.r.,v) está en la gráfica de y = V - x . Obtén la gráfica de y = reflejando la gráfica de y = V x en el eje _v. Ver figura 57.

Cuando se conoce la gráfica de la función _v = /(.r), la gráfica de la nueva fun­ ción y = f ( - x ) es la reflexión en el eje y de la gráfica de la función y = f(x).

4 S E C C IÓ N 3.5

Técnicas para trazar gráficas: transformaciones

251 'v

" R E S U M E N D E T É C N IC A S P A R A T R A Z A R G R Á F IC A S Para representar gráficas:

Traza la gráfica de f y:

Cambio funcional en f ( x )

Traslaciones verticales y - f (.v) + k, k > 0 y = /(. y) - k , k > 0

Sube k unidades la gráfica de / . Baja k unidades la gráfica de / .

Suma k a f(x). Resta k de f(x).

Traslaciones horizontales y = f ( x + h), h > 0 y = f ( x - h), h > 0

Corre la gráfica de / h unidades a la izquierda. Corre la gráfica de f h unidades a la derecha.

Sustituye x por x + h. Sustituye x por x - h .

Multiplica cada coordenada y en y = f ( x ) por a. Estira la gráfica de / verticalmente si a > 1. Comprime la gráfica de / verticalmente si 0 < a < 1.

Multiplica f ( x ) por a.

Multiplica cada coordenada .y de y = f ( x ) por a Estira la gráfica de / horizontalmente si 0 < a < 1. Comprime la gráfica de / horizontalmente si a > 1.

Sustituye x por ax

Refleja la gráfica de / en el eje x.

Multiplica f { x ) por -1.

Refleja la gráfica de / en el eje y.

Sustituye x por -x.

Compresión 0 estiramiento y = af(x), a> 0

y = f(ax), a> 0

Reflexión en el eje x y =-fix) Reflexión en el eje y y=H-x) \___________________________

EJEM PLO 11

J

Determinar la función obtenida a partir de una serie de transformaciones Determina la función que se representa gráficamente después de aplicar las siguien­ tes tres transformaciones a la gráfica de y = \x\. 1. Correr 2 unidades a la izquierda. 2. Correr 3 unidades hacia arriba. 3. Reflejar en el eje y.

Solución

1. Correr 2 unidades a la izquierda: sustituye x por x + 2. 2. Correr 3 unidades hacia arriba: suma 3. 3. Reflejar en el eje y: sustituye x por

Resuelve ahora

el

problema

27

y y y

\ x

+

2|

|x + 2| + 3 ¡-je + 2| + 3

252

C A P ÍT U L O 3

Fundones y sus gráficas

EJEM PLO 12

Combinación de procedimientos para trazar gráficas 3 Traza la gráfica de la función f ( x ) = • ■_ -

Solución

+ l . Determina el dominio y el rango d e / . 1. Ahora usa los siguientes pasos para

Es útil escribir / como / ( x) obtener la gráfica de / : P

a so

1:

y - — x

Función recíproca

paso2: ^=3- (j)=! P

P

a so

a so

3:

4:

y =

---------- --

y=

3 ---------- -x - 2

Multiplica por 3, estiramiento vertical de la gráfica de y =

por

un factor de 3. Sustituye x por x - 2; traslación horizontal 2 unidades a la

x -1

derecha. +

1

Suma 1; traslación vertical 1 unidad hacia arriba.

Ver figura 58. Figura 58

El dominio de y = —es {.r|jt * 0} y su rango es {y[y * 0}. Como nos trasladamos 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba para obtener / , el dominio de / es { jc|jc ^ 2 } y su rango es {y|y * 1}. . Si siguiéramos otro orden en los pasos que se dieron en el ejemplo 12, también obtendríamos la gráfica de / . Por ejemplo, intenta lo siguiente: P

a so

1:

y =

P

a so

2:

y

P

a so

3:

Función recíproca Sustituye x por x - 2, traslación horizontal 2 unidades a la

=

derecha. Multiplica por 3, estiramiento vertical de la gráfica de

y =

v = — ---- por un fa cto r de 3. x - 2 r

* P

a so

4:

y =

4- 1

Suma 1. traslación vertical 1 unidad hacia arriba.

Sugerencia: Aunque podemos alterar el orden en el que se llevan a cabo las transformaciones, considera usar el siguiente orden: 1. Reflexiones 2. Compresiones y estiramientos 3. Traslaciones

S E C C IÓ N 3.5

[ EJEM PLO 13

253

Técnicas para trazar gráficas: transformaciones

Combinación de procedimientos para elaborar gráficas Traza la gráfica de la función /(.v) = V l de / .

Solución

4- 2. Determina el dominio y el rango

x

Debido a que las traslaciones horizontales requieren de la forma

-

x

h,

empezamos

escribiendo /(.v) como /(.v) = V 1 - x + 2 = V - ( x - 1) + 2. Ahora usa los si­ guientes pasos: P

a so

1:

y= Vx

Función raíz cuadrada

P

a so

2:

y= V - x

Sustituye x por -x, refleja en el eje y.

y = \ / —( x — 1 ) =

PASO 3:

Sustituye x por x - 1, traslación horizontal

\ / 1 — X

1 unidad

a la derecha. PASO 4 :

y =\ / l — x + 2

Suma 2. traslación vertical 2 unidades hacia arriba.

Ver figura 59.

Figura 59

y\

y\

"

^

„

y

y\

5

5

5

^ ( ¿ 4 )

5 JO , 3)

J r 4 ,2 )

- ^ ( 1 .2 )

JO . 1) 1 1 1 1 1 5 (0 .0 )

(\

i

i

(a) v = f x

i

i r 5 *

i -5

) > , . 1 1 1 1 1 . 5 x (0 ,0 )

.W

Sustituye x p o r - x . refleja en el eje y

1 1 1 1 1 -5

(b) y = 'T^x S u stitu yexp o rx — 1.( c ) traslación horizontal de 1 unidad a la derecha_

i

i

i

- ( Î , 0)

i

r

i

5 x

_5

i

i

i

i

1 1 1 1 1 r 5 x

y = V - ( x - 1) Sum a2, (d) y = V1 - x + 2 =y _ x + 1 traslación

La gráfica es una parábola con inter­ sección. (tí, tí)

y t(x) -- b ( 0 .6 ) X

Función cúbica (p. 237) /< * ) = * ’

Función reciproca (p. 238)

«*>* í

m

=m

f ( x ) = ¿Cx

264

C A P ÍT U L O 3

Funciones y sus gráficas

Cosas que debes saber Función (pp. 201-203)

U n a r e la c ió n e n tr e d o s c o n ju n to s d e m a n e ra q u e ca d a e le m e n to x e n el p rim er c o n ju n to , el d o m in io , c o r r e s p o n d e a e x a c ta m e n te un e le m e n to d e e l c o n ju n to d e v a lo r e s

y

y

d e la fu n c ió n para lo s v a lo r e s d e

e n e l s e g u n d o c o n ju n to . E l ra n g o e s

x en

el d o m in io .

U n a fu n ció n ta m b ién se p u e d e c a r a cter iz a r c o m o un c o n ju n to d e p a res o r d e n a d o s ( x,y ) en lo s q u e n in g ú n p rim er e le m e n to se a so c ia c o n d o s s e g u n d o s e le m e n to s d ife r e n te s .

Notación de funciones (pp. 203-206)

y=f(x) f e s e l s ím b o lo d e fu n ció n . x e s el a r g u m e n to o v a ria b le in d e p e n d ie n te . y e s la v a ria b le d e p e n d ie n te . / ( x ) e s e l v a lo r d e la fu n ció n en x o la im a g en

x.

de

U n a fu n c ió n / se p u e d e d e fin ir im p líc ita m e n te p o r una e c u a c ió n q u e in c lu y e m e n te e s c r ib ie n d o

Cociente de diferencias de/ (pp. 205 y 234)

f(x

Dominio (pp. 206-208)

Si n o e stá e s p e c ific a d o , e l d o m in io d e u n a fu n c ió n

+

h)

-

f(x)

h

o e x p líc ita ­

h* 0

m á s g r a d e d e n ú m e r o s r e a le s para lo s c u a le s

Prueba de la recta vertical (p. 214) Función par/ (p.223)

f(-x)

= / ( x ) para to d a

Función impar/ (p. 223)

/(-x )

= -f(x)

Función creciente (p. 225)

xyy

y = /(x ).

f(x)

f,

d e fin id a p o r u n a e c u a c ió n , e s e l co n ju n to

e s un n ú m e r o real.

U n c o n ju n to d e p u n to s e n e l p la n o e s la g rá fica d e u n a fu n c ió n si y s o lo si to d a recta vertica l in te r se c ta la g rá fica e n a lo m á s un p u n to .

x d el

para to d a

d o m in io ( - x ta m b ié n d e b e e sta r e n e l d o m in io ).

x d el

d o m in io ( - x ta m b ié n d e b e e sta r en e l d o m in io ).

U n a fu n c ió n / e s c r e c ie n te e n un in te r v a lo a b ie r to

I si

para to d a x , y

x2e n

/ , c o n x , < x . te n e m o s

q u e / ( x , ) < / ( x 2).

Función decreciente (p. 225)

U n a fu n c ió n / e s d e c r e c ie n te en un in te r v a lo a b ie r to

I si

p ara t o d a x , y x , e n /, c o n x , < x , t e n e ­

m o s q u e / ( x , ) > / ( x 2).

Función constante (p. 225)

U n a fu n c ió n / e s c o n s ta n te e n un in te r v a lo a b ie r to

1 si

p ara to d a x e n / . lo s v a lo r e s d e / ( x ) so n

ig u a les.

Máximo local (p. 226)

c o n te n g a a

c de

U n a fu n c ió n / tie n e un m ín im o lo c a l e n c si e x is te un in te r v a lo a b ie r to / q u e c o n te n g a a

c de

U n a fu n c ió n / tie n e un m á x im o lo c a l e n m a n e ra q u e , p ara to d a x e n / ,

Mínimo local (p. 226)

f(x)

c si

e x is te un in te r v a lo a b ie r to

1 que

:£ / ( c ) .

m a n e ra q u e , para to d a x e n / , / ( x ) s / ( c ) .

Máximo absoluto y mínimo absoluto (p. 226)

S e a / u n a fu n c ió n d e fin id a e n un in te r v a lo /. Si e x is te u n n ú m e r o

u e n I para

e l cu a l

f(x) ^

/ ( « ) p ara to d a x e n /, e n t o n c e s / ( « ) e s e l m á x im o

a b s o lu to d e / e n / y d e c im o s q u e e n c o n tr a m o s e l m á x im o a b s o lu to d e / e n Si e x is te u n n ú m e r o

v

e n / para e l cu a l

f(x)

a b s o lu to d e / e n / y d e c im o s q u e e n c o n tr a m o s e l m á x im o a b s o lu to d e / e n

Tasa de cambio promedio de una función (p. 228)

L a ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e / d e

\y

u. f(v) v.

s / ( t > ) para to d a x e n / . e n to n c e s

a a b es f(b)

-

e s e l m ín im o

f(a)

Objetivos Sección 3.1

D eb es p o d e r...

Ejercicio s de rep aso

D e te r m in a r si u n a r e la c ió n r e p r e s e n ta u n a fu n c ió n , (p . 2 0 0 )

1 -5

1 ,2

E n co n tra r e l v a lo r d e u na fu n c ió n , (p . 2 0 3 )

6 ,7

3 - 8 , 2 3 .2 4 .7 1 ,7 2

/

E n con trar el d o m in io d e una fu n ción d efin id a p o r una ec u a c ió n , (p . 2 06)

8 ,9

9 -1 6

/

F orm ar la sum a, d iferencia, p rod u cto y co c ie n te d e d o s fun cion es, (p. 208)

10

1 7 -2 2

/

Id en tific a r la g rá fica d e u n a fu n c ió n , (p . 2 1 4 )

1

4 7 -5 0 /( a H f )

/

2

3.2

Ejem p los

2 5 (a -f).

3.3

, 3'

2 6 (a -f).

O b ten er inform ación a partir d e o sob re la gráfica d e una función, (p. 215)

2 -4

D e te r m in a r fu n c io n e s p a res e im p a r es a p artir d e su grá fica , (p . 2 2 3 )

1

2 7 (f), 2 8 (f)

Iden tificar fu n c io n e s p a res e im p a r es a partir d e una e c u a c ió n , (p . 2 2 4 )

2

2 9 -3 6

3

2 7 ( b ) , 2 S (b )

U sa r una g ráfica para d e te r m in a r si u n a fu n c ió n e s c r e c ie n te , d e c r e ­ c ie n te o c o n sta n te , (p . 2 2 4 )

2 7 (a ).

2 7 ( e ) .2 7 ( g ) .2 S ( a ) .2 S ( e ) . 2 S (g )

Repaso del Capítulo

D eb es p o d e r...

Sección

0]

Ejem p los

Ejercicio s de rep aso

/

U s a r u n a g rá fica p ara e n c o n tr a r m á x im o s y m ín im o s lo c a le s , (p . 2 2 5 )

4

2 7 (c ), 2 8 (c )

S

U sa r u na gráfica para en co n tra r m á x im o s y m ín im o s a b so lu to s, (p. 226)

5

2 7 (d ), 2 8 (d )

6

3 7 - 4 0 , 7 4 (d ), 7 5 (b )

/

265

U s a r un d is p o s itiv o para e la b o r a r g rá fic a s p ara a p ro x im a r m á x im o s y m ín im o s lo c a le s y p a ra d e te r m in a r si u n a fu n c ió n e s c r e c ie n te 0 d e c r e c ie n te , (p . 2 2 8 )

3 .4

/

E n c o n tr a r la ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e u n a fu n c ió n , (p . 2 2 8 )

7 ,8

4 1 -4 6

/

T ra za r g rá fic a s d e la s fu n c io n e s d a d a s e n e l d ir e c to r io d e fu n c io n e s ,

1 ,2

5 1 -5 4

3 ,4

6 7 -7 0

(p . 2 3 4 )

3.5

/

T ra za r g rá fic a s d e fu n c io n e s d e fin id a s p o r p a rtes, (p . 2 3 9 )

/

T ra za r g rá fic a s d e fu n c io n e s u sa n d o tr a sla c io n e s v e r tic a le s y h o r iz o n ­

2 5 (f), 2 6 (f), 2 6 (g ), 55,

1 -5

5 6 ,5 9 -6 6

ta le s. (p . 2 4 4 )

/

T ra za r g rá fic a s d e fu n c io n e s u sa n d o c o m p r e s io n e s y e s tir a m ie n to s ,

6-8

2 5 (g ), 2 6 (h ), 5 7 ,5 8 ,6 5 ,6 6

(p . 2 4 7 )

/

T ra za r g rá fic a s d e fu n c io n e s u sa n d o r e fle x io n e s e n e l e je

xy

e n e l e je

2 5 (h ), 5 7 , 6 1 ,6 2 , 66

9 -1 0

y. (p . 2 5 0 ) 3 .6

7 3 -7 5

1 -3

C o n stru ir y a n a liza r fu n c io n e s , (p . 2 5 7 )

/

Ejercicios de repaso En los problemas 1 y 2, determina si cada relación representa una función. Para cada función, indica el dominio y rango. 1.

{ ( - 1 , 0 ) , ( 2 , 3 ) ,( 4 ,0 ) }

2 . { ( 4 ,- 1 ) , ( 2 , 1 ) ,( 4 ,2 ) }

En los problemas 3-8, determina lo siguiente para cada función: (c)f(-x) (a)f( 2 ) ( b) f ( - 2 )

( e ) f ( x - 2)

(d)-f(x)

5.

1

(f)f(2x)

f(x) = \ / * 2

- 4

4'

6. f{x) =

— 4|

7.

f(x) -

x2 - 4 x2

V 8- / ( * ) - x2 _ 9

En los problemas 9-16, determina el dominio de cada función.

9-

m - 739

10 . f(x)

12 . f(x) = V x + 2 15.

f(x)

=

x2 + 2x - 3

En los problemas 17-22, determina f 17.

f(x) = 2 - x;

20.

f(x) = 3x\

g(x)

+

= 3* + 1

g (x ) = 1 +

x

+

x2

,,

x

13.

h(x)

16.

F(x) =

g, f - g, / • g y L g 18.

f(x)

3x2 x - 2

ll.f(x) = Vl^ ~x

Vx \x\

14. g ( * ) = —

= ——

x2 - 3x - 4

para ca d a par d e fu n c io n e s . In d ica e l d o m in io d e ca d a una.

=

2x

-

1;

g (x ) =

2x +

I

... x + 1 1 21. / ( * ) = 7---i-; g W = x - 1

19.

f{x) = 3x2 + x

22 - / ( * ) =

En los problemas 23 y 24, determina el cociente de diferencias de cada función f, esto es, determina f(x + h ) ~ f(x)

23.

f{x) = - 2 X 2 + x

+ 1

h* 0

24.

f{x)

=

3x2 - 2x

+ 4

+ 1;

«W

g(x) = 3x = ~

266 25.

C A P ÍT U L O 3

Fundones y sus gráficas

U s a n d o la gráfica d e la fu n c ió n / q u e s e da:

26.

U s a n d o la g rá fica d e la fu n c ió n

g que

s e da:

(a ) D e te r m in a e l d o m in io y e l ra n g o d e (b )

g.

D e te r m in a g ( - l ) .

(a ) D e te r m in a e l d o m in io y e l ra n g o d e / . (c ) In d ic a las in te r se c c io n e s. (b ) In d ica la s in te r se c c io n e s. (d ) ¿P ara q u é v a lo r d e (c ) D e te r m in a / ( - 2 ) . (d ) ¿P ara q u é v a lo r d e ( e ) R e s u e lv e

f(x)

( e ) R e s u e lv e

x, f(x)

g(x)

> 0.

= -3 ? (f) T r a za la g rá fica d e

y = g(x -

2 ).

(g ) T r a za la g rá fica d e

y = g(x)

+ 1.

(h ) T r a za la g rá fica d e

y - 2g(x).

> 0.

( f) T ra za la g rá fica d e y = (g ) T ra za la g rá fica d e = (h ) T ra za la g rá fica d e

f(x -

x, g(x) = - 3 ?

3).

x'j

y - -f(x).

En los problemas 27 y 28, usa la gráfica de la función f para determinar: (a) El dominio y el rango de f. (b) Los intervalos en donde f es creciente, decreciente o constante. (c) Los valores mínimos locales y los valores máximos locales. ¡

(d) El máximo absoluto y el mínimo absoluto. (e) Si la gráfica es simétrica con respecto al eje x, al eje y y al origen. (f) Si la función es par, impar o ninguna de las dos. (g) Las intersecciones, si existen.

En los problemas 29-36, determina (algebraicamente) si la función dada es par, impar o ninguna de las dos. 2 9 . f ( x ) = *3 33.

4x

30. g ( x ) =

G(x) = 1 - x + x3

34.

4 + x2 1 + x4 1 + x + x2

H(x)

1

1

X

X

~3 1 .

h(x)

-= — 1 +' - 1r +1 11

32. F (x ) = \ / l

35.

f{x)

=

36. g ( x ) =

1 + x2

- x 3

f En los problemas 37-40, usa un dispositivo para hacer gráficas para obtener la representación de cada función en el intervalo que se indica. Aproxima cualquier valor local máximo y valor local mínimo. Determina dónde es creciente la función y dónde es decreciente. 37. 39.

f(x) = 2x3 — 5 *

+ 1

( -3 ,3 )

f(x) = 2x4 - 5x3 + 2x + 1

( - 2 , 3)

38.

f(x) = - x 3 + 3x - 5

40.

f(x) = - x 4 + 3x3 - 4x + 3

(-3 ,3 ) (-2 ,3 )

En los problemas 41 y 42, determina la tasa de cambio promedio de f: (a) De 1 a2 ( b) De Oa l (c) De 2 a 4 4 1 . f(x) = 8x2 - x 4 2 . f{x) = 2x3 + x En los problemas 43-46, determina la tasa de cambio promedio de 2 a 3 para cada función f. Asegúrate de simplificar. 43.

f { x) = 2 - 5x

44.

f(x)

=

2x2 +

7

45.

f(x)

= 3 jc - 4 *2

46.

f(x) = x2 -

3.v + 2

267

Repaso del Capítulo %

En los problemas 47-50, ¿la figura que se muestra es la gráfica de una función?

En los problemas 51-54, bosqueja la gráfica de cada función. Asegúrate de marcar al menos tres puntos. 51.

f { x)

= \x\

f ( x) = V x

52.

53.

f ( x) = V x

54.

f ( x) = -

En los problemas 55-66, traza la gráfica de cada función usando técnicas de traslación, compresión o estiramiento y reflexiones. Iden­ tifica cualquier intersección en la gráfica. Indica el dominio y, basándote en la gráfica, determina el rango. 55.

F(x)

= |.r| - 4

59.

h(x)

=

53.

h{x)

= ( jc -

Vx

1

-

l )2 + 2

56.

f { x) = |jc|

60.

h(x)

= Vx -

64.

h(x)

= ( jc +

+ 4

5 7 . g ( x ) = —2 |jc|

1

2)2 - 3

58.

g(x) = -\x\ f { x)

= ~Vx

61.

f { x) = V i - x

62.

65.

g(x)

66. g(x) = ~2(x + 2)3 - 8

=

3(x

-

l )3 + 1

+ 3

En los problemas 67-70, (c) Traza la gráfica de cada función.

(a) Determina el dominio de cada función.

(b) Localiza las intersecciones.

(d) Basándote en la gráfica, determina el rango.

(e) ¿Es continua f en su dominio?

67.

J3jc

f{x)

\x + 1 X

69.

Si - 2 < x < 1

f(x)

= < 1

3jc

Si

jc

68. f{x) = <

> 1

Si - 4 < * < 0

x Si x Si

70.

= 0

r/

\

S i / ( 1 ) = 4, d e te r m in a

A.

Ax

’

©

x

1

x

< 0

Si - 2 s jc < 2

2x - 1

Si jc > 2

g e s tá

d e fin id a p o r

,

+ 5

N

6 7 ^ 1

Si g ( - l ) = 0, d e te r m in a

U n a p á g in a c o n d im e n s io n e s d e 8

1

2

'

(a ) D e sa r r o lla un m o d e lo q u e e x p r e s e e l á rea

A

74.

A.

C o n str u c c ió n d e u n a ca ja cerra d a

S e r e q u ie r e q u e una

caja cerra d a d e b a se cu a d ra d a te n g a un v o lu m e n d e 10 p ies c ú b ic o s. (a ) C o n str u y e u n m o d e lo q u e e x p r e se la ca n tid a d

d e la p a r­

x

d el

b o rd e.

A.

la lo n g itu d

A

de m a­

1 p u lg a d a , 1.2 p u lg a d a s y 1.5 p u lg a d a s d e a n ch o .

x de

un la d o d e la b a se cu a d rad a.

(b ) ¿ C u á n to m a te ria l se n e c e sita para u n a b a se d e 1 p ie p o r 1 p ie? (c ) ¿ C u á n to m a te ria l s e n e c e sita p ara u n a b a se d e

(c ) D e te r m in a e l área d e la p a rte im p r esa para b o r d e s d e

Q (d ) R e a liz a la gráfica d e la fu n c ió n

8

teria l q u e s e u sará para h a cer tal caja c o m o fu n ció n d e

te im p r esa d e la p á g in a c o m o fu n c ió n d e l a n c h o

(b ) In d ica e l d o m in io y e l ra n g o d e

A

s W ’= 7 + 7 g(x)

a lr e d e d o r d e la p a rte im p r e sa e n la p á g in a , c o m o se

v e e n la figura.

<

S i jc > 0

U 2 <

7 2 . U n a fu n c ió n

p u lg a d a s p o r 11 p u lg a d a s tie n e u n b o r d e d e a n c h o u n ifo r ­ me

3x -

-3

Si

> 0

7 1 . U n a f u n c i ó n / e s t á d e fin id a p o r

D is e ñ o d e p á g in a

f(x) =

1

* -

2

p ies

p o r 2 p ies? ^ (d ) T raza la gráfica d e

A = A(x).

A = A(x).

¿P ara q u é v alor d e

x, A

es

m ás p eq u e ñ a ? 7 5 . U n re c tá n g u lo tie n e un v é r tic e e n el cu a d ra n te I d e la gráfi­

8^ pulgada

y = 10 - x 2, o tr o e n el o r ig e n , o tr o en la p arte p o sitiv a x y o tr o e n la p arte p o sitiv a d el e je y. E x p r e sa el á rea A d el r e ctá n g u lo c o m o fu n ció n d e x.

ca d e

d el e je (a ) 11 pulgada

^ (b ) E n c u e n tr a e l á rea m á x im a q u e se p u e d e en cerrar en e s te re ctá n g u lo .

Lo s v id e o s d e p re p a ra ció n p ara e x a m e n d el c a p ítu lo so n so lu ­ c io n e s p aso a p a so d isp o n ib le s e n el D V D d e R ecu rso s e n V id eo ,

CHAPTER

en

* r 0 Test Prep

EXAMEN DEL CAPITULO•

la p á g in a d e re cu rso s d el e s tu d ia n te p ara v e r la d ire c ció n exacta

V ID E O S 1

W

1. D e te r m in a si ca d a r e la c ió n r e p r e s e n ta u n a fu n c ió n . Para

M yM a'tíüai l o e n el ca n a l d e Y o u ffflfi d e e ste te x to . C o n su lta

d e la p á g in a W e b p ara el ca n a l d e V o u T u b e d e e ste te x to .

'• 6. U s a un d is p o s itiv o p ara h a cer g rá fica s p ara o b te n e r la re­

f(x) = - jt4 +

2 jc3 +

4x2 -

ca d a fu n c ió n , in d ica e l d o m in io y e l ra n g o .

p r e s e n ta c ió n d e la fu n c ió n

(a ) { ( 2 ,5 ) , ( 4 ,6 ) , ( 6 ,7 ) , ( 8, 8)}

in te r v a lo ( - 5 , 5 ) . A p r o x im a c u a lq u ie r v a lo r m ín im o local y

2 en el

c u a lq u ie r v a lo r m á x im o lo c a l r e d o n d e a d o s a d o s lu gares (b ) { ( 1 ,3 ) , ( 4 ,- 2 ) , ( - 3 , 5 ) , ( 1 ,7 ) }

d e c im a le s. D e te r m in a d ó n d e e s c r e c ie n te la fu n ció n y d ó n ­ d e e s d e c r e c ie n te . 7.

,

,

J 2 jc + 1

C o n sid e r a la fu n c ió n g ( x ) =

'

\ [x

Si

- 4

jc

< —1

S i jc ^ - 1

(a ) T r a za la g rá fica d e la fu n ció n . (b ) In d ic a la s in te r se c c io n e s. (c ) D e te r m in a

g(- 5 ).

(d ) D e te r m in a g (2 ).

8. P ara la fu n c ió n / ( x) = 3x2 - 2x + 4 , d e te r m in a la ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e / d e 3 a 4. 9.

Para las fu n c io n e s

f(x)

= 2x2+ 1 y

g(x) - 3 x - 2 ,

d eter m in a

lo sig u ie n te y sim p lifica:

(a) (b ) (c )

10.

f - g

f-g f(x + h ) - f ( x )

R e a liz a la gráfica ca d a fu n ció n u sa n d o las téc n ica s d e trasla­ c ió n , c o m p r e sió n o e stir a m ie n to y r e fle x io n e s. E m p ie z a co n la gráfica d e la fu n ció n b á sica y m u estra to d a s las etap as. (a )

h (;c)

(b )

11.

La

=

-2(x

+ l )3 + 3

g ( * ) = |* + 4| + 2 ta sa

tu d ia n te

de

in te r é s v a r ia b le

ca m b ia ca d a

en

un

p r é s ta m o

de

es­

1 d e ju lio , b a sa d a e n la tasa

d e p r é s ta m o s p r e fe r e n c ia le s d el b a n c o . P ara lo s a ñ o s d e

En los problemas 2-4, determina el dominio de cada función y evalúa cada función en x - -1.

1 9 9 2 -2 0 0 7 , e s ta ta sa se p u e d e a p ro x im a r p o r e l m o d e lo

r{x)

= - 0 .1 1 5 ; r + 1.183 jc + 5 .6 2 3 , d o n d e

añ os d esd e 1992 y 2. 4.

f(x)

= V 4 - 5*

h{x)

x - 4 x2 + 5x -

=

3. g ( * ) = ^ + 2 |

r es

x

es el núm ero de

la ta sa d e in te r é s c o m o p o rce n ta je.

y (a ) U s a u n d is p o s itiv o para e la b o r a r g rá ficas para estim a r la ta sa m á s alta d u r a n te e s te p e r io d o . ¿ E n q u é a ñ o se

36

d io la ta sa d e in te r é s m á s alta?

5 . U s a la gráfica d e la fu n c ió n / y:

(b ) U s a e l m o d e lo para e stim a r la ta sa e n 2 0 1 0 . ¿ P a rece r a z o n a b le e s te v a lo r? F u en te: R e s e r v a F e d e r a l d e E E .U U

12.

U n a p ista d e h ie lo tie n e la fo r m a d e un r e c tá n g u lo c o n s e ­ m ic ír c u lo s a lo s la d o s. L a lo n g itu d d el r e c tá n g u lo e s d e 20 p ie s m e n o s q u e e l d o b le d e l a n c h o . E l e s p e s o r d e l h ie lo es d e 0 .7 5 p u lg a d a s. (a ) C o n str u y e u n m o d e lo q u e e x p r e s e e l v o lu m e n h ie lo c o m o u n a fu n c ió n d e l a n c h o

V

d el

x.

(b ) ¿ C u á n to h ie lo h a y e n la p ista si e l a n c h o e s d e 90 p ies?

(a ) E n cu en tra e l d o m in io y e l ra n g o d e / . (b ) In d ica las in te r se c c io n e s. (c ) D e t e r m i n a / ( l ) . (d ) ¿P ara q u é v a lo r o v a lo r e s d e (e ) R e s u e lv e

268

f(x)

< 0.

x, f(x) -

-3 ?

Proyectos del Capitulo

269

REPASO ACUMULATIVO »____ ___________________________ / /i los problemas l-A determina las salaciones reales de cada ecuación.

x

1.

3.i — S = 10

2. 3 .r —

= 0

3.

.vI.2 - Kv - 9 * 0

4. fu*’ - 5.v + • ! = ( )

5.

\lx

6. \ 2 v~+ 3 = 2

En los problemas I l-l-I, realiza la gráfica de cada ecuación. I I . 3jt - 2 y = 12

12. x

13. . r + (y - 3): = Ib

14.

15. + 3| * 4

2 - 3.t > 6

8. |2 r - 5 | < 3

9 . |4.r

+ 1| /

16.

P ara la e c u a c ió n 3 .r - 4 v = 12, d e te r m in a las in te r se c c io n e s

f\ -

D e te r m in a la fo rm a p e n d ie n te -o r d e n a d a d e la e c u a c ió n d e

En los problemas 17-1 ó, realiza la gráfica de cada función.

7

= (-2 ,-3 ) a

V*

la recta q u e c o n tie n e lo s p u n to s ( - 2 , 4 ) y ( 6, 8 ).

17.

10. ( a ) D e te r m in a la d ista n c ia d e

y =

f

y re v isa su sim etr ía .

En los problemas 7 -9 . resuelve cada desigualdad. Traza la gráfi­ ca del conjunto solución. 7.

=

f(x)

= ( jt +

2f

- 3

( 3 ,- 5 ) .

( b ) ¿ C u á l e s e l p u n to m e d io d e l s e g m e n t o d e recta d e P. a / -

18. f(x)

= ^

19. f ( x ) =

( c ) ¿ C u á l e s la p e n d ie n te d e la recta q u e c o n t ie n e lo s p u n ­

Si .v =s 2 Si .t > 2

to s / ’, y P ;?

PROYECTO DEL CAPÍTULO 3.

C o n sid e r a q u e p ie n sa s u sar 5 0 0 m in u to s c o n plan d e te x to s y d a to s ilim ita d o s. ¿ C u á l se ría e l c o s to m en su a l d e ca d a plan q u e e s tá s c o n sid e r a n d o ?

4.

C o n sid e r a q u e p ie n sa s u sar 5 0 0 m in u to s c o n te x to s ili­ m ita d o s y 2 0 M B d e d a to s. ¿ C u á l sería el c o s to m en su a l d e ca d a plan q u e e s tá s c o n sid e r a n d o ?

5.

C o n str u y e un m o d e lo q u e d esc rib a e l c o s to m en su a l C c o m o fu n ció n d el n ú m e r o d e m in u to s

m

u sa d o s s u p o ­

n ie n d o q u e tie n e s te x to s ilim ita d o s y 2 0 M B d e d a to s al m e s para ca d a plan q u e e stá s c o n sid e r a n d o .

6.

H a z u na gráfica d e la fu n ció n d el p r o b le m a 5.

7.

B asad o en tu u so particular, ¿cuál e s el m ejor plan para ti?

8.

A h o r a crea una hoja d e cá lcu lo E x c el para analizar lo s d iv erso s p la n es q u e está s an alizan d o. C o n sid era q u e q u ieres un plan q u e ofrezca 700 m in u to s co n un co s to de m in u tos a d icio n a les d e $0.40 p or m in u to por un total de $39.99 al m es. A d e m á s, q u ieres tex to s ilim itad os, lo cual cu esta $20 al m es y un plan de d a to s q u e ofrezca h as­ ta 25 M B al m es, co n el c o s to de cad a M B ad icion al de

I. Escoger un plan de teléfono celular Ju n ta

in fo r m a c ió n d e

$0.20. C o m o la estructura d e co sto s d e los p lan es d e te lé ­

tu fa m ilia , a m ig o s o a g e n c ia s d el co n su m id o r . D e s p u é s e s ­

fo n o s celu la res se basa en fu n cio n es d efin id as p or partes,

c o g e una co m p a ñ ía d e t e lé fo n o s c e lu la r e s q u e te p a rezca

n ece sita m o s p ro p o sicio n e s “si-e n to n c e s” en la hoja de

q u e o fr e c e el m ejo r se r v ic io . U n a v e z q u e la h a y a s s e le c ­

cá lcu lo para analizar el c o s to d el plan. U sa la hoja de cá l­

c io n a d o , in v estig a lo s d ife r e n te s tip o s d e p la n e s q u e o fr e c e

cu lo q u e se da a co n tin u a ció n c o m o gu ía para desarrollar

la co m p a ñ ía v isita n d o su p á g in a W eb .

tu hoja d e cálcu lo. In clu ye e n tu hoja una variedad de

1.

p o sib les m in u tos y d a to s u sa d o s c o m o ayu da para tom ar

C o n sid e ra q u e p ie n sa s u sar 4 0 0 m in u to s sin p lan d e

. una d ecisió n acerca d e q ué plan e s m ejor para ti.

te x to s o d e d a to s. ¿C u á l se ría e l c o s to m en su a l d e cad a p lan q u e e stá s co n sid e r a n d o ? 2.

9.

C o n sid e ra q u e p ie n sa s usar 6 0 0 m in u to s c o n p lan d e te x to s lim ita d o s p e r o sin d a to s. ¿C u ál se ría el c o s to m en su a l d e ca d a p lan q u e e s tá s c o n sid e r a n d o ?

E scrib e un p árrafo d e fe n d ie n d o tu e le c c ió n d el plan q u e m ejo r sa tisfa ce tus n e c e sid a d e s.

10.

¿E n q u e se p a rec en lo s la z o s “s i-e n to n c e s ” a una fu n ­ c ió n d e fin id a p o r p a rtes?

270

C A P ÍT U L O 3

Funciones y sus gráficas

C

B

A

m

D

J

i $

39.99

2

Cargo m ensual

3

Número de m inutos disponibles asignados

700

4

Número de minutos disponibles usados

700

5

Costo por minuto adicional

$

0.40

6

Costo mensual de mensajes de texto

$

20.00

7

Costo mensual por plan de datos

$

9.99

8

Datos asignados por mes (MB)

25

9

Datos usados

30 $

10 Costo por MB de datos adicional

0.20

11 12 Costo de minutos del teléfono

=IF(B4 D ( p ) . (c) Haz una gráfica de S = S ( p ) , D = D { p ) y marca el precio de equilibrio. (a) Para encontrar el precio de equilibrio, resuelve la ecuación 60p

S(p)

=

D{p).

900 = —15p + 2850 S(p) ==6 0 - 90 0 :

-

D(p) =: —15p+ 2 650

3750 Suma 9 0 0 de cada lado.

15p =

3750

Suma 15pde cada lado.

50

Divide cada lado entre 75.

P =

+

60p =

l

Solución

El precio de equilibrio es de $50 por teléfono celular. Para encontrar la cantidad de equilibrio, evalúa ya sea S { p ) o D ( p ) en p - 50. 5(50) = 60(50) - 900 = 2100 La cantidad de equilibrio es de 2100 teléfonos celulares. A un precio de $50 por teléfono, la compañía producirá y venderá 2 1 0 0 teléfonos cada mes y no tendrá escasez o exceso de inventario. (b) La desigualdad S ( p ) > D ( p ) es 60p - 900 > -15 p + 2850

S(p)

> P(P)

60p

>

-15 p + 3750

Suma 9 0 0 de cada lado.

75p

>

3750

Suma 15p de cada lado.

50

Divide cada lado entre 75.

p >

Si la compañía cobra más de $50 por teléfono, la oferta excederá la demanda. En este caso, la compañía tendrá un exceso de teléfonos en su inventario.

278

C A P ÍT U L O 4

Funciones lineales y cuadráticas

(c) La figura 5 muestra las gráficas de S marcado.

= S{p) y D

=

D (p)

con el punto de equilibrio

Resuelve ahora el problema 39

4.1 Evalúa tu entendimiento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1.

T ra za la gráfica d e

y = 2x -

3. (p p . 1 5 7 - 1 6 4 )

4 . R e s u e lv e 60 jt - 9 0 0 = - 1 5 * + 2 8 5 0 . (p p . 8 2 - 8 7 ) 5 . Si f ( x ) = x 2- 4, d e t e r m i n a / ( - 2 ) . (p p . 2 0 0 - 2 0 8 )

2 . D e te r m in a la p e n d ie n te d e la re cta q u e u n e lo s p u n to s ( 2 ,5 )

6. V erd a d ero o f a l s o L a g rá fic a d e la fu n c ió n f ( x ) = x 2 e s c r e ­

y ( - 1 , 3 ) . (p p . 1 6 7 - 1 7 5 ) 3 . D e te r m in a la tasa d e c a m b io p r o m e d io d e

f(x) = 3x2-

2, de

b, m

e s la

c ie n te e n e l in te r v a lo (0 ,o o ). (p p . 2 1 4 - 2 1 7 )

2 a 4. (p p . 2 2 2 -2 3 0 )

Conceptos y vocabulario 7 . P ara la gráfica d e la fu n c ió n lin e a l / ( x ) = m x + __________ y

b es

10.

l a ____________

V e rd a d e ro o f a l s o L a p e n d ie n te d e u n a r e cta n o v er tica l e s la ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e u n a fu n c ió n lin ea l.

8. Para la gráfica d e la fu n c ió n lin e a l H(z) = - 4 z + 3 , la p e n ­

y

d ie n te e s __________ y la in te r se c c ió n e n

11.

in crem en ta rá en 2 .

9 . Si la p e n d ie n te m d e la g rá fica d e u n a fu n c ió n lin e a l e s __________ , la fu n c ió n e s c r e c ie n te e n su d o m in io .

V e rd a d e ro o f a l s o S i la ta sa d e c a m b io p r o m e d io d e una fu n c ió n lin e a l e s -2-, e n t o n c e s si y s e in c r e m e n ta e n 3 . .r se

e s ____________

12.

V e rd a d e ro

o fa ls o

La

ta sa

de

c a m b io

p r o m e d io

f{x) = 2x + 8 e s 8 .

Ejercicios En los problemas 13-20, se da una función lineal. (a) Determina la pendiente e intersección en y de cada función. (b) Usa la pendiente y la intersección en y para hacer la gráfica de la función lineal. (c) Determina la tasa de cambio promedio de cada función. (d) Determina si la función lineal es creciente, decreciente o constante. \l3 .

f(x)

=

2x +

3

14- / ( * ) = 4 * ~ 3

5 jc - 4

17.

h(x)

= —3.r + 4

19.

p{x)

=

= — —* + 4

18.

F(x)

=

20.

G(x)

= -2

15.

g(x) =

16.

h(x)

4

-x

+ 6

En los problemas 21-28, determina si la función que se da es lineal o no lineal. Si es lineal, determina su pendiente. 3

3—

T,37— 22.

II -s

\2 l.

X

X

y

=

Hx)

23.

y

X

=

Hx)

24.

X

y

=

Hx)

-2

4

-2

1/4

-2

-8

-2

-4

-1

1

-1

1/2

-1

-3

-1

0

0

-2

0

1

0

0

0

4

1

-5

1

2

1

1

1

8

2

-8

2

4

2

0

2

12

de

X

-2

-2 6

-2

-1

-4

-1

0

2

279

Funciones lineales y sus propiedades X

II

X

II

S E C C IÓ N 4.1 X

y = f[x)

-4

-2

8

-2

0

- 3 .5

-1

8

-1

1

y = f(x)

0

-3

0

8

0

4

- 2 .5

1

8

1

9

-2

2

8

2

16

1

-2

1

2

-1 0

2

Aplicaciones y extensiones 29.

f(x) = 4x - 1 y g (x ) = -2x + 5. f(x) = 0. (b ) R e s u e lv e f(x) > 0. (c ) R e s u e lv e f(x) = g (x). (d ) R e s u e lv e f(x) ^g(x). ( e ) R e a liz a la g rá fica d e y = f(x) y y = g (x ) y m a rca e l p u n to q u e r e p r e s e n ta la s o lu c ió n d e la e c u a c ió n f(x) = g ( x ) . C o n sid e r a q u e f(x) = 3 x + 5 y g (x) = - 2 jc + 15. (a ) R e s u e lv e / ( x ) = 0. (b ) R e s u e lv e f(x ) < 0. (c ) R e s u e lv e f(x ) = g ( x ) . (d ) R e s u e lv e f(x) >: g ( x ). ( e ) R e a liz a la grá fica d e y = / ( x ) y y = g (x ) y m a rca e l p u n to q u e r e p r e s e n ta la s o lu c ió n a la e c u a c ió n f(x) = g (x ).

C o n sid e r a q u e (a )

30.

31.

34.

P ara lo s in c is o s (a ) y (b ), u sa la sig u ie n te figura.

R e s u e lv e

P ara lo s in c is o s ( a ) - ( f ) , u sa la s ig u ie n te figu ra.

(b ) R e s u e lv e la 35.

32.

f{x)

= 50 .

f(x) = g {x). ec u a c ió n : f(x) ^ g ( * ) .

(a ) R e s u e lv e la ec u a c ió n :

(a )

R e s u e lv e

(c )

R e s u e lv e / ( x ) = 0.

(d ) R e s u e lv e / ( x )

(e)

R e s u e lv e / ( x) ^ 8 0 .

(f) R e s u e lv e 0 < / ( x ) < 80.

P ara lo s in c iso s (a ) y (b ), u sa la s ig u ie n te figura.

(b ) R e s u e lv e / ( x ) = 80.

> 50. (a ) R e s u e lv e la ec u a c ió n :

P ara lo s in c is o s ( a ) - ( f ) , u sa la sig u ie n te figu ra.

(b ) R e s u e lv e la ec u a c ió n : 36.

(a )

R e s u e lv e g ( x ) = 2 0 .

(c ) R e s u e lv e (e) 33.

g(x) = 0. g (x) s 60.

R e s u e lv e

f(x) =g(x). g(x) ^ f(x) 20. g (x ) <

(f) R e s u e lv e 0 <

60.

f(x) = g(x). g(x) < f(x) ^ h (x). c o s to C en d ó la r e s d e

(a ) R e s u e lv e la ec u a c ió n :

P ara lo s in c is o s (a ) y (b ), u sa la s ig u ie n te figura.

(b ) R e s u e lv e la ec u a c ió n : 37.

R e n ta d e a u to s E l ren tar un c a ­ m ió n d e m u d a n z a s p o r un d ía se m o d e la p or la e c u a c ió n C(.v) = 0.25.t + 35, d o n d e

x es

el n ú m er o d e m illas m anejadas.

(a ) ¿C u á l e s e l c o s to si m a n e ja s

x = 40

m illas?

(b ) Si e l c o s to d e ren tar el c a m ió n e s d e $80, ¿cu á n ta s m illas m a n e ja ste? (c ) C o n sid e ra q u e n o q u ie r e s q u e el c o s to e x c e d a $100. ¿C u á l e s el m á x im o n ú m e r o d e m illas q u e p u e d e s m a n e ­ (a ) R e s u e lv e la ecu a ció n : (b ) R e s u e lv e la ec u a c ió n :

f(x) = g(x). f(x) >g(x).

jar? (d )

¿C u á l e s e l d o m in io d e C?

280 38.

c a p í 'I

U l,() 4

Fundones lineales y cuadráticas

( 'lir io s telefónico*« El c o s to m en su a l

C,

( a ) ¿ C u á l e s e l d o m in io im p líc ito e n e s ta fu n ció n lin ea l?

e n d ó la r e s, p o r lla ­

ib ) ¿C u á l fu e e l im p u e s to al lu jo d e lo » Y a n k c c s d e N u e v a

m a d a s in te r n a c io n a le s d e un c ie r to p lan d e te lé fo n o c e lu la r s e m o d e la p or la fu n ció n

C(x) =

x

0 .3 8 * + 5 , d o n d e

Y ork cu y a n ó m in a d e s u e ld o s fu e d e $171,1 m illo n e s?

e s el

( c ) H a z la g rá fica d e la fu n c ió n lin ea l.

n ú m e r o d e m in u to s u sa d o s. (a ) ¿C u á l e s e l c o s to si h a b la s p o r te lé fo n o p o r

x=

( d ) ¿C u á l e s la n ó m in a d e s u e ld o s d e un e q u ip o q u e p aga un

5 0 m in u ­

im p u e s to al lu jo d e $ 1 1 .7 m illo n e s?

tos? ( b ) C o n sid e ra q u e tu factu ra m en su a l e s d e $ 2 9 .3 2 . ¿ C u á n ­ to s m in u to s u sa ste el te lé fo n o ? (c ) C o n sid e ra q u e tu p r e s u p u e s to p e r m itid o e s $ 6 0 al m e s p or e l te lé fo n o . ¿C u á l e s el n ú m e r o m á x im o d e m in u to s q u e p u e d e s h ablar? (d ) ¿C'uál e s el d o m in io d e C s i un m e s tie n e 3 0 d ía s? V 39.

O fe r ta y d e m a n d a C o n sid e r a q u e la o fe r ta

I) d e

Sy

la d e m a n d a

p la y er a s en un c o n c ie r to e stá n d a d a s p o r las s ig u ie n te s

fu n cio n es:

donde

p

S(p)

= - 2 0 0 + 50 p

D(p)

= 1000 - 25p

El punto en el que las ganancias de una compañía son cero se llama punto de equilibrio ¡‘ara tos problemas 4 ? y 44, sea f< las nanatu ¡as de una compañía, C los costos de la compañía y x el número de unidades producidas y vendidas cada día. ( a) Determina el punto de equilibrio de la compañía, es decir, determina x tal que H = C. (b) Dctermina los valores de x tales que R(x) > Cíxj. Esto representa el número de unidades que la compañía debe vender para tener una ganancia. R(x) = Kx C(x) = 4 .5 * + 17.500 44. R(x) = 12x C(x) = I U r + 15.000

e s e l p r e c io d e las p la y er a s. \

45.

(a ) D e te r m in a e l p r e c io d e e q u ilib r io para p la y e r a s en e s e c o n c ie r to . (b ) D e te r m in a lo s p r e c io s para lo s c u a le s la d e m a n d a e s

8

c o m p a ñ ía e s c o g e d e p r e c ia r la c o m p u ta d o r a u sa n d o un m é ­ to d o d e d e p r e c ia c ió n e n lín e a recta a lo la r g o d e 3 a ñ o s.

m a y o r q u e la o fe r ta .

( a ) E sc r ib e un m o d e lo lin ea l q u e e x p r e s e e l v a lo r c o n ta b le

(c ) ¿ Q u é c r e e s q u e pasará ta rd e o te m p r a n o c o n e l p r e c io

V de

d e las p la y er a s si la d e m a n d a e s m a y o r q u e la o fe r ta ? 40.

O fcrtu y d e m a n d a C o n sid e r a q u e la o fe r ta

D

Sy

(c ) H a z la gráfica d e la fu n c ió n lin ea l. ( d ) ¿C'uál e s e l v a lo r d e la c o m p u ta d o r a d e s p u é s d e 2 a ñ o s? ( c ) ¿ C u á n d o ten d rá la c o m p u ta d o r a un v a lo r d e $2 0 0 0 ?

S(j)) = -2CHK) + 3(XX)p 46.

D(/j ) = 10,(XX) - 1000/?

ju e g o d e b é isb o l.

i

un m é to d o d e d ep recia ció n en lín ea recta a lo largo d e 10 años. (a ) E sc r ib e un m o d e lo lin e a l q u e e x p r e s e e l v a lo r c o n ta b le

V de

m a y o r q u e la o fe r ta .

la m á q u in a c o m o fu n c ió n d e su e d a d x .

( b ) ¿ C u á l e s e l d o m in io im p líc ito d e la fu n d ó n q u e e n c o n ­

(c ) ¿ Q u é c r e e s q u e p asa rá ta rd e o te m p r a n o c o n e l p r e c io

tra ste e n el in c iso (a )?

d e lo s h o t d o g s si la d e m a n d a e s m a y o r q u e la o fe r ta ?

(c ) H a z la g rá fica d e la fu n c ió n lin ea l.

T(x) = 0 .1 5(.r - 8 3 5 0 ) + 8 3 5 r e p r e se n ta T d e una p e r s o n a so lte r a c u y o in ­ e s d e x d ó la r e s p o r in g r e so s e n tr e $ 8 3 5 0

( d ) ¿C u á! e s e l v a lo r d e la m á q u in a d e s p u é s d e 4 a ñ o s?

Im p u e s to s La fu n ció n

( e ) ¿ C u á n d o ten d rá la m á q u in a un v a lo r d e $ 7 2 .0 0 0 ?

la factu ra p or im p u e s to s

46.

F u n d ó n d e c o s to L a fu n c ió n d e c o s to m á s sim p le e s la fu n ­

y $ 3 3 ,9 5 0 , in c lu id o , en 2009.

c ió n d e c o s to lin e a l. C(.v) =

Fuente: Servicio de Impuestos Internos de E.U.

en y.

¿C u ál e s la factu ra d e u n a p e r s o n a so lte r a si e l in g r e so

mx

+

b.

d o n d e la in te r s e c d ó n

r e p r e s e n ta e l c o s to fijo d e m a n e ja r un n e g c id o y la

m

r e p r e s e n ta e l c o s to d e c a d a o b je to p r o d u d d o .

C o n sid e r a q u e un fa b r ica n te d e b ic ic le ta s tie n e c o s to s fijos d ia r io s p o r $ 1 8 0 0 y p ro d u c ir c a d a b ic ic le ta c u e s ta $90.

n e to a ju sta d o e s d e $20,(XX)? (c ) ¿C u á l e s la v a ria b le in d e p e n d ie n te y cu á l e s la v a ria b le

(a ) E scrib e un m o d e lo lin ea l q u e e x p r e s e e l c o s to C d e fa ­ b ricar ,v b ic ic le ta s al d ía.

d e p e n d ie n te ? (d )

b.

p e n d ie n te

(a ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e e sta fu n c ió n lin ea l? (b )

C o n sid era q u e una com p añ ía

$120,(XXI. La co m p a ñ ía e s c o g e d e p r e d a r la m áquina u san d o

(b ) D e te r m in a lo s p r e c io s para lo s c u a le s la d e m a n d a e s

g r e s o n e to a ju sta d o

D e p r e d a c ió n en lin ca recta

acaba d e com p rar una m áqu ina n u ev a para su fábrica por

e s e l p r e c io d e un h o t d o g .

(a ) D e te r m in a el p r e c io d e e q u ilib r io para h o t d o g s e n el

41.

x.

tra ste e n e l in c is o (a )?

la d e m a n d a

d e h o t d o g s en un ju e g o d e b é isb o l e s tá n d a d a s p o r las

p

la c o m p u ta d o r a c o m o fu n c ió n d e su ed a d

( b ) ¿ C u á l e s e l d o m in io im p líc ito d e la fu n ció n q u e e n c o n ­

s ig u ie n te s fu n cio n es:

donde

D e p r e c ia c ió n e n lín e a r e cta C o n sid e r a q u e u na co m p a ñ ía a ca b a d e co m p ra r una c o m p u ta d o r a n u e v a por $3 0 0 0 . La

H a z u na gráfica d e la fu n c ió n lin ea l so b r e e l d o m in io e s ­

( b ) H a z la g rá fica d e l m o d e lo . (c ) ¿ C u á l e s e l c o s to d e fab ricar 14 b ic ic le ta s e n un d ía?

p e c ific a d o e n e l in ciso (a ). ( e ) ¿ C u á l e s e l in g r e so n e to a ju sta d o d e u n a p e r s o n a so lte r a

(d ) ¿ C u á n ta s b ic ic le ta s s e p u e d e n fab ricar p o r S3~S0? F u n c ió n d e c o s to C o n su lta e l p r o b le m a 4 7 . C o n sid e r a q u e

si su factu ra d e im p u e s to s e s d e $ 3 7 0 7 .5 0 ?

e l d u e ñ o d e un e d ific io in c r e m e n ta la re n ta al fa b rica n te d e 42.

Im p u e sto al lu jo E n 2 0 0 2 las ligas m a y o r e s d e b é is b o l firm a ­

b ic ic le ta s e n $100 al m es.

ron un a c u e r d o la b o ra l c o n lo s ju g a d o r e s. E n e s te a c u e r d o ,

(a ) S u p o n ie n d o q u e e l fa b r ic a n te a b re su n e g o c io 2 0 d ía s al

cu a lq u ier

e q u ip o

cu y a

n ó m in a

de

s u e ld o s

e x c e d ie r a

$136.5 m illo n e s e n 2 0 0 6 ten d r ía q u e p a g a r un im p u e s to al lu jo d e 40% (p o r se g u n d a s o fe n s a s ). L a fu n c ió n lin ea l

T(j))

= Q.40(p - 136.5) d escrib e e l im p u e sto al lu jo

e q u ip o cu ya n ó m in a d e su e ld o s fue

Fuente: Grandes ligas de béisbol

p (e n

T de

un

m illo n e s d e d ó la re s).

m e s, ¿ c u á le s so n lo s n u e v o s c o s to s fijo s d ia rio s? (b ) E scrib e un m o d e lo lin ea l q u e e x p r e se e l c o s to C d e fabri­ car .v b ic ic le ta s en un d ía c o n e l in c r e m e n to d e la renta. (c ) H a z la g rá fic a d el m o d e lo . ( d ) ¿ C u á l e s e l c o s to d e fa b rica r 14 b ic ic le ta s e n un d ía ? ( e ) ¿ C u á n ta s b ic ic le ta s se p u e d e n fa b rica r p o r $3 7 8 0 ?

S E C C IÓ N 4.1

281

Funciones lineales y sus propiedades

%

49. Renta de camiones %

50. Larga distancia

l i n a c o m p a ñ ía d e re n ta d e c a m io n e s

U n a c o m p a ñ ía d e t e lé fo n o s o fr e c e un p lan

ren ta un c a m ió n p o r un d ía p o r $ 2 9 m á s $ 0 0 7 p o r m illa.

d e larga d ista n c ia q u e c u e s ta $5 m ás $ 0 .0 5 p or m in u to .

(a ) E scribe un m o d e lo lineal q u e relacione el co sto C. en dólares,

(a ) E scrib e un m o d e lo lin e a l q u e r e la c io n e e l c o s to C , en

d e rentar el cam ión co n el n ú m ero x d e m illas m anejadas.

d ó la r e s, c o n lo s m in u to s

( b ) ¿ C u a l e s e l c o s to d e ren ta r e l c a m ió n si s e m a n e ja n 110

(b )

x para

h ablar.

¿C u á l e s e l c o s to p o r h a b la r 105 m in u to s? ¿ 1 8 0 m in u to s?

m illa s? ¿ 2 3 0 m illa s?

láctica mixta 51. Desarrollo de un modelo lineal a partir de datos g u ie n te s d a to s r e p r e s e n ta n e l p r e c io p y la d e m a n d a

L o s si­

52. Desarrollo de un modelo lineal a partir de datos

p o r día

L o s si­

g u ie n te s d a to s r e p r e se n ta n las d iv e r sa s c o m b in a c io n e s d e

(/ d e un m o n ito r L C D d e 2 4 ” .

r e fr e s c o y h o t d o g s q u e p u e d e co m p r a r Y o la n d a c o n $ 6 0 en un ju e g o d e b é isb o l.

Precio, p (en dólares)

Demanda, q

150

100

20

0

200

80

15

3

250

60

10

6

300

40

5

9

(a ) T ra za lo s p a res o r d e n a d o s

(px]) e n e l p la n o c a r tesia n o . q e s u n a fu n c ió n lin e a l d el

(a ) Traza los pares o rd en ad os (s,/i) en el p lano cartesiano. (b ) D e m u e str a q u e e l n ú m e r o d e h o t d o g s

(b ) D e m u e s tr a q u e la d e m a n d a p r e c io

p.

(d )

p

y

h que

se co m p ra n

e s u n a fu n c ió n lin e a l d e l n ú m e r o d e r e fr e sco s

s.

(c ) D e te r m in a la fu n c ió n lin e a l q u e d e sc r ib e la rela ció n

(c ) D e te r m in a la fu n c ió n lin e a l q u e d e sc r ib e la r e la c ió n en tr e

Hot dogs, h

Refresco, s

q.

e n tr e (d )

¿ C u á l e s e l d o m in io im p líc ito d e la fu n c ió n lin ea l?

s y h.

¿C u á l e s e l d o m in io im p líc ito d e la fu n ció n lin ea l?

( e ) C o n str u y e la g rá fica d e la fu n c ió n lin ea l e n e l p la n o ca r­

( e ) C o n str u y e la grá fica d e la fu n c ió n lin e a l e n e l p la n o ca r­

te sia n o q u e h ic iste e n e l in c iso (a ).

te s ia n o q u e h ic is te en e l in c is o (a ). (f) In terp reta la p e n d ie n te .

(f) In te rp re ta la p e n d ie n te .

(g ) In terp reta lo s v a lo r e s d e las in te r se c c io n e s.

(g ) In terp reta lo s v a lo r e s d e las in te r se c c io n e s.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 53.

¿ C u á l d e la s s ig u ie n te s fu n c io n e s p u e d e te n e r la g rá fica q u e

54.

¿ C u á l d e la s sig u ie n te s fu n c io n e s p u e d e te n e r la gráfica q u e

s e m u estra ? (P u e d e h a b e r m á s d e u n a r e sp u e sta .)

s e m u e str a ? (P u e d e h a b e r m á s d e u n a r e sp u e sta .)

(a )

(a) f(x) = 3x +

/(x ) = 2 x - 7

1

(b ) g W = - 3 x + 4

(b ) g ( * ) = - 2 x + 3

(c) H(x) = 5 (d ) F(x) = 3x + 4

(c)

(e) G(x) = \ x + 2

(e) G(x) = - § * +

(d )

H (x ) = 3

F(x) = - 4 x - \

55.

¿ B a jo q u é circu n sta n cia s e s im p a r u n a fu n c ió n lin ea l / ( x) — mx + í>? ¿ P u e d e u n a fu n c ió n lin ea l a lg u n a v e z se r par?

56.

E x p lic a c ó m o s e p u e d e u sar la g rá fica d e

f(x) = mx + b para

r e so lv e r

mx + b >

0.

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?"______________________________________ i.

3.

18

4.

{5 0 }

5.

0

6.

V erdad ero

282

C A P ÍT U L O 4

Funciones lineales y cuadráticas

4.2 Modelos lineales: construcción de funciones lineales a partir de datos P r e p a r a c ió n

para esta

SECCIÓN A n t e s d e e m p e z a r , r e v is a lo sig u ie n te :

C o o r d e n a d a s r e c ta n g u la r e s (s e c c ió n 2 .1 , p p. 1 5 0 - 1 5 1 )

R e c ta s (s e c c ió n 2 .3 , p p . 1 6 7 - 1 7 5 )

F u n c io n e s (s e c c ió n 3 .1 , pp. 2 0 0 - 2 0 8 )

\

Resuelve ahora lo s

p ro b le m a s d e la s e c c ió n

"¿Estás listo?" d e la p á g in a 2 8 5 .

OBJETIVOS 1 Trazare interpretar diagramas de dispersión (p. 282) 2 Distinguir entre relaciones lineales y no lineales (p. 283)

3 Usar un dispositivo gráfico para encontrar la recta de mejor ajuste (p. 284)

1 Trazar e interpretar diagram as de dispersión En la sección 4.1 construimos modelos lineales a partir de descripciones verbales. Tam­ bién se pueden construir modelos lineales ajustando una función lineal a los datos. El primer paso es trazar los pares ordenados usando coordenadas rectangulares. La gráfica resultante se llama diagrama de dispersión.

EJEM PLO 1

Trazo e interpretación de diagramas de dispersión En el béisbol, el porcentaje en base de un equipo representa el porcentaje de veces que los jugadores llegan a la base. Los datos que se dan en la tabla 6 representan el número de carreras anotadas y y el porcentaje en base x para equipos de la Liga Na­ cional en la temporada 2008 de béisbol.

Equipo

Porcentaje en base, x

Carreras anotadas, V

[x, y)

A tlanta

34.5

753

(3 4 .5 ,7 5 3 )

San Luis

35.0

779

(3 5 .0 ,7 7 9 )

Colorado

33.6

747

(3 3 .6 ,7 4 7 )

H ouston

32.3

712

(3 2 .3 ,7 1 2 )

Filad elfia

33.2

799

(3 3 .2 ,7 9 9 )

San Francisco

32.1

640

(3 2 .1 ,6 4 0 )

Pittsbu rgh

32.0

735

(3 2 .0 ,7 3 5 )

Florida

32.6

770

(3 2 .6 ,7 7 0 )

C ach o rro s d e C h ica g o 35.4

855

(3 5 .4 ,8 5 5 )

A rizo na

32.7

720

(3 2 .7 ,7 2 0 )

M ilw au kee

32.5

750

(3 2 .5 ,7 5 0 )

W ashing to n

32.3

641

(3 2 .3 ,6 4 1 )

C in cin n a ti

32.1

704

(3 2 .1 ,7 0 4 )

San D iego

31.7

637

(3 1 .7 ,6 3 7 )

M ets de N ueva Yo rk

34.0

799

(3 4 .0 ,7 9 9 )

Los A ngeles

33.3

700

(3 3 .3 ,7 0 0 )

Basado en información de la página Web http://www. baseball-reference.com. A Sports Reference, LLC. F u en te:

(a) Traza un diagrama de dispersión de los datos, tomando el porcentaje en base como la variable independiente. Itey (b) Usa un dispositivo gráfico para trazar un diagrama de dispersión. I :il (c) Describe lo que sucede con las carreras anotadas conforme se incrementa el por­ centaje en base.

\ S E C C IÓ N 4.2

Solución

Modelos lineales: construcción de funciones lineales a partir de datos

283

(a) Para trazar el diagrama de dispersión, traza los pares ordenados de la tabla 6 con el porcentaje en base como la coordenada x y las carreras anotadas como la coor­ denada y . Ver figura 6 (a). Observa que los puntos en el diagrama de dispersión no están conectados. (b) La figura 6 (b) muestra el diagrama de dispersión usando una calculadora gráfica TI-84 Plus. (c) Podemos ver en los diagramas de dispersión que conforme se incrementa el porcentaje en base, la tendencia es que el número de carreras anotadas también se incremente.

1

Carreras anotadas vs. porcentaje

Figura 6

900

31 600

(b)

Resuelve ahora

el

pro b lem a

i i (a )

2 Distinguir entre relaciones lineales y no lineales Observa que los puntos de la figura 6 no siguen una relación lineal perfecta (como lo hacen en la figura 3 de la sección 4.1). Sin embargo, los datos muestran un patrón lineal. Hay nu­ merosas explicaciones sobre por qué los datos no son perfectamente lineales, pero una ex­ plicación sencilla es el hecho de que otras variables, además del porcentaje en base, juegan un papel en determinar las carreras anotadas, como el número de home runs anotados. Los diagramas de dispersión se usan para ayudarnos a ver el tipo de relación que existe entre dos variables. En este texto analizaremos una variedad de diferentes relaciones que pueden existir entre dos variables. Por ahora nos concentraremos en distinguir entre relaciones lineales y no lineales. Ver figura 7.

Figura 7

(a) Lineal

(b) Lineal

(c) No lineal

(d) No lineal

y = mx+ b, m> 0

y = mx+ b, m< 0

EJEMPLO 2

Distinguir entre relaciones lineales y no lineales

(e) No lineal

Determina si la relación entre dos variables de la figura 8 es lineal o no lineal. Figura 8

(a)

(b)

(c)

(d)

284

capli UI.O4

FlintIoneslineale»ycuadrAtlcsi

Solución

(a) Lineai

(b) No lineai

iti) No lineai

(c) No lineai

Resuelva ihopi u m o iu m * 5 fin esta sección estudiaremos datos cuyos diagramas de dispersión implican que existe una relación lineal entre las dos variables. Considera que un diagrama de dispersión de un conjunto de dalos parece estar linealmente relacionado como en la figura 7ía) o (b). Podemos m«>dclar los dalos si determinamos una ecuación de una recta que relacione las dos variables, Una forma de obtener un modelo para tales datos es tra/ar una recta entre dos punten en un diagrama de dispersión y determinar la ecuación de la recta.

EJEM PLO 3

Determinar un modelo para datos relacionados llnealmente Usa los datos en la tabla 6 del ejemplo 1 para: (a) Selecciona dos puntos y determina una ecuación de la recta que contenga los do» puntos. (b) I laz la gráfica de la recta en el diagrama de dispersión que obtuviste en el ejem­ plo 1 inciso (a).

Solución

(a) Selecciona dos puntos, digamos (32.7.720) y (35.4.855). La pendiente de la recta que une los puntos (32.7.720) y (35.4.855) es m —

855 - 720 35.4 - 32.7

135 = 50 2.7

La ecuación de la recta con pendiente 50 y que pasa por (32.7.720) se encuentra usando la forma punto pendiente con n i - 50. x, =32.7 y y, = 720. y - y = m(x - x,) y - 720 = 50(x - 32.7) y _ 720 = 5U.v - 1635 y = 5Qx -9 1 5

fonr.M punto-pendente ae * 'veis * - 327. y, - 720. ir » SO El meado

(b) La figura 9 muestra el diagrama de dispersión de la gráfica de la recta que encon­ tramos en el inciso (a). Figura 9

\

Carreras anotadas vt. porcentaje

Selecciona otros dos puntos y completa la solución. Haz la gráfica de la recta en el diagrama de dispersión que obtuviste en la figura 6.

Resuelva ahora n

problema i i

i n c i s o s

(b) v (c)

3 Uso de un dispositivo gráfico para encontrar la recta de mejor ajuste El modelo que obtuvimos en el ejemplo 3 depende de la selección de punios, los cuales, varían de persona a persona. Asi que el modelo que encontramos puede ser

S E C C IÓ N 4.2

Modelos lineales: construcción de funciones lineales a partir de datos

285

diferente del modelo que tú hayas encontrado. Aunque el modelo del ejemplo 3 pa­ rece ajustarse bien a los datos, puede haber otro modelo que se “ajuste mejor”. ¿Crees que tu modelo se ajuste a los datos de mejor forma? ¿Existe una r e c ta d e m e jo r a ju s te ? Resulta que existe un método para encontrar un modelo que ajusta de mejor manera los datos relacionados linealmente (llamado recta del mejor ajuste).*

EJEM P LO 4

Encontrar un modelo para datos relacionados linealmente Usa los datos en la tabla 6 del ejemplo 1. (a) Usa un dispositivo gráfico para determinar la recta de mejor ajuste que modele la relación entre porcentaje en base y carreras anotadas. (b) Haz una gráfica de la recta de mejor ajuste en el diagrama de dispersión obte­ nido en el ejemplo Ib. (c) Interpreta la pendiente. (d) Usa la recta de mejor ajuste para predecir el número de carreras que un equipo anotará si su porcentaje en base es de 34.1.

Solución Figura 10

LinReg y=ax+b a=40.85323343 b = -6 1 7 .6635283 r 2= . 5634233101 r = .7506152877

Figura 11 900

(a) Los dispositivos gráficos contienen programas que encuentran la recta de mejor ajuste para una colección de puntos en un diagrama de dispersión. Al ejecutar el pro­ grama LINear REGression obtenemos los resultados que se muestran en la figura 10. La salida que da el dispositivo muestra la ecuación y = a x + b , donde a es la pen­ diente de la recta y b es la intersección en y . La recta de mejor ajuste que relaciona el porcentaje en base con las carreras anotadas se puede expresar como la recta: = 40.85x- 617.66

y

El modelo

(b) La figura 11 muestra la gráfica de la recta de mejor ajuste, junto con el diagrama de dispersión. (c) La pendiente de la recta de mejor ajuste es 40.85, lo que implica que por cada 1 por ciento que incremente el porcentaje en base, las carreras anotadas se incre­ mentan 40.85, en promedio. (d) Si x - 34.1 en la ecuación de la recta de mejor ajuste, obtenemos y - 40.85(34.1) - 617.66 « 775 carreras.

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

11

(d>y (e)

¿La recta de mejor ajuste efectivamente parece tener un buen ajuste? En otras palabras, parece que la recta describe fielmente la relación entre el porcentaje en base y las carreras anotadas? Y, ¿qué tan “buena” es esta recta de mejor ajuste? Observa de nuevo la figura 10. El último renglón de salida es r = 0.751. Este número, llamado coeficiente de correlación, r, - 1 < r < 1, es una medida de la fuerza de la relación lineal que existe entre dos variables. Entre más cerca esté | r | de 1, es más perfecta la relación lineal. Si r está cerca de 0, hay poca o ninguna relación lineal entre las variables. Un valor negativo de r, r < 0, indica que conforme x incrementa, y disminuye; un valor positivo de r, r > 0, indica que conforme x incrementa, y también incrementa. Los datos que se dan en la tabla 6, que tienen un coeficiente de correlación de 0.751, indican una relación lineal con pendiente positiva.

4.2 Evalúa tu entendimiento "¿Estás listo?" Las respuestas se dan alfinal de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee laspáginas marcadas entre paréntesis. l . T r a z a lo s p u n to s ( 1 ,5 ) , ( 2 ,6 ) , ( 3 ,9 ) , ( 1 ,1 2 ) e n e l p la n o ca r te-

2 . D e te r m in a la e c u a c ió n d e la recta q u e c o n tie n e lo s p u n to s

sia n o . ¿L a re la c ió n { ( 1 ,5 ) , ( 2 ,6 ) , ( 3 ,9 ) , ( 1 ,1 2 ) } e s u n a fu n -

( 1 ,4 ) y ( 3 ,8 ) . (p p . 1 6 7 -1 7 5 )

ció n ? (p p . 150 y 2 0 0 - 2 0 8 )

Conceptos y vocabulario__________ 3.

U n ________ sirve para a y u d a r n o s a v er e l tip o d e r e la c ió n q u e p u e d e e x istir en tre d o s v a ria b le s.

4.

Verdadero o falso

E l c o e fic ie n te d e c o r r e la c ió n es una m e ­

d id a d e la fu erza d e la r e la c ió n lin ea l e n tr e d o s v a ria b le s y d e b e esta r e n tr e - 1 y 1 , in clu id o s.

♦No analizaremos las matemáticas detrás de las rectas de mejor ajuste en este libro.

286

C A P ÍT U L O 4

Funciones lineales y cuadráticas

Ejercicios____________________________________________________________________________________________ En los problemas 5-10, examina el diagrama de dispersión y determina si el tipo de relación es lineal o no lineal.

\

5.

6- y

y

35 30 25

14 12 10

20

15

8 6

10

4-

5

-

2

J__I__I__I__I__I__I__L_*.

5 10152025303540 *

-

-

•

j _ i_i_i_i_i_i_ 0 2 4 6 8 10121416 X

8. 50

30

20

En los problemas 11-16, (a) Traza un diagrama de dispersión. (b) Selecciona dos puntos del diagrama de dispersión y determina la ecuación de la recta que contiene los puntos seleccionados. (c) Construye la gráfica de la recta que determinaste en el inciso (b), en el diagrama de dispersión. jl'.j (d) Usa un dispositivo gráfico para encontrar la recta de mejor ajuste. (e) Usa un dispositivo gráfico para trazar el diagrama de dispersión y construir la gráfica de la recta de mejor ajuste.

Vil.

3 4

5

y

4 6

7 10 12 14 16

X

-2

y

7

14.

-1

6

0

7

8

9

X

12.

15.

1 2

6 3 2 0

3

5

7

9

11 13

V 0

2

3

6

9

X

13.

11

X

-2 -1

Y -4

X

-2 0

-1 7

-15

-1 4

-1 0

Y

100

120

118

130

140

16.

0 1 2 0

1 4

5

X

-3 0

-2 7

-25

-2 0

-1 4

Y

10

12

13

13

18

A plicaciones y extensiones

17. Caramelos Los siguientes datos representan la masa gramos) de diversas barras de caramelo y el nú­ © (en mero de calorías correspondiente.

Masa, X

Calorías, y

Hershey's Milk Chocolate’

44.28

230

Nestle's Crunch’

44.84

230

Butterfinger’

61.30

270

Baby Ruth'

66.45

280

Almond Joy’

47.33

220

Twix’ (with Caramel)

58.00

280

Snickers'

61.12

280

Heath'

39.52

210

xjr Barra de caramelo

Fuente: Megan Pocius, estudiante de Joliet Junior College

(a) Traza un diagrama de dispersión de los datos y toma la masa como la variable independiente. (b) ¿Qué tipo de relación parece existir entre la masa de una barra de caramelo y el número de calorías? (c) Selecciona dos puntos y determina un modelo lineal que contenga los puntos.

18.

(d) Construye la gráfica de la recta en el diagrama de dis­ persión que trazaste en el inciso (a). (e) Usa el modelo lineal para predecir el número de calo­ rías en una barra de caramelo que pesa 62.3 gTamos. (f) Interpreta la pendiente de la recta que determinaste en el inciso (c). Pasas Los siguientes datos representan la masa (en gra­ mos) de una caja de pasas y el número de pasas en la caja.

£Masa (en gramos), w

Número de pasas, N

42.3

87

42.7

91

42.8

93

42.4

87

42.6

89

42.4

90

42.3

82

42.5

86

42.7

86

42.5

86

Fuente: Jennifer Maxwell, estudiante de Joliot Junior College

S E C C IÓ N 4.2

Modelos lineales: construcción de funciones lineales a partir de datos

(a) Traza un diagrama de dispersión de los datos tomando la masa como la variable independiente. (b) ¿Qué tipo de relación parece existir entre la masas de una caja de pasas y el número de pasas? (c) Elige dos puntos y encuentra un modelo que contenga los puntos. (d) Construye la gráfica de la recta en el diagrama de dis­ persión que trazaste en el inciso (b). (e) Usa el modelo lineal para predecir el número de pasas . en una caja que pesa 42.5 gramos. (f) Interpreta la pendiente de la recta que determinaste en el inciso (c). Juegos de video y promedio escolar El profesor Grant Alexander quería encontrar un modelo lineal que relacione el número de horas que un estudiante utiliza juegos de video cada semana, h, con el promedio escolar, G, del es­ tudiante. Él obtuvo una muestra aleatoria de 10 estudiantes de tiempo completo en su universidad y le pidió a cada es­ tudiante que indicara el número de horas que pasa jugando con juegos de video y su promedio escolar. Horas de videojuegos ¿- a la semana, A

Promedio escolar, G

0

3.49

0

3.05

2

3.24

3

2.82

3

3.19

5

2.78

8

2.31

8

2.54

10

2.03

12

2.51

(a) Explica por qué el número de horas que se juegan con videojuegos es la variable independiente y el promedio escolar es la variable dependiente. (b) Usa un dispositivo gráfico para trazar un diagrama de dispersión. (c) Usa un dispositivo gráfico para determinar la recta de mejor ajuste que modela la relación entre el número de horas de videojuegos cada semana con el promedio es­ colar. Expresa el modelo usando notación de funciones. (d) Interpreta la pendiente. (e) Haz una predicción para el promedio escolar de un es­ tudiante que utiliza videojuegos 8 horas cada semana. (f) ¿Cuántas horas crees que un estudiante juega con vide­ ojuegos que tiene un promedio escolar de 2.40? Altura vs. circunferencia de la cabeza Un pediatra quería en­ contrar un modelo lineal que relacionara la altura de un niño, H, con la circunferencia de la cabeza, C. Escogió 9 niños alea­ toriamente entre sus pacientes, midió su altura y la circunfe­ rencia de su cabeza y obtuvo los datos que se muestran. Sea H la variable independiente y C la variable dependiente. (a) Usa un dispositivo gráfico para trazar un diagrama de dispersión. (b) Usa un dispositivo gráfico para determinar la recta de mejor ajuste que modele la relación entre la altura y la circunferencia de la cabeza. Expresa el modelo usando notación de funciones. (c) Interpreta la pendiente. (d) Haz una predicción acerca de la circunferencia de un niño que mide 26 pulgadas de altura.

287

(e) ¿Cuál es la altura de un niño cuya circunferencia de la cabeza es de 17.4 pulgadas? Altura, H (pulgadas)

h |

Circunferencia de la cabeza, C(pulgadas)

25.25

16.4

25.75

16.9

25

16.9

27.75

17.6

26.5

17.3

27

17.5

26.75

17.3

26.75

17.5

27.5

17.5

Fuente: Denise Slucki, estudiante de Joliet Júnior College

21. Demanda de pantalones El administrador de Levi-Strauss quiere encontrar una función que relacione la demanda D de pantalones de hombre con p , el precio de los pantalones. Los siguientes datos se obtuvieron con base en el historial de precios de los pantalones.

(a) La relación definida por el conjunto de pares ordena­ dos (p ,D ), ¿representa una función? (b) Traza un diagrama de dispersión con los datos. (c) Usando un dispositivo gráfico, determina la recta de mejor ajuste que modele la relación entre el precio y la cantidad de demanda. (d ) Interpreta la pendiente. (e) Expresa la relación que determinaste en el inciso (c) usando notación de funciones. (f) ¿Cuál es el dominio de la función? (g) ¿Cuál será la demanda de pantalones si el precio es de $28 por par? 22. Mercadotecnia y ganancias por ventas Una compañía de mercadotecnia quiere encontrar una función que relacione las ventas S de un producto y A, la cantidad gastada en promover el producto. Los datos se obtienen de experiencias pasadas. La promoción y las ventas se miden en miles de dólares.

*

Gastos de promoción, A

Ventas, S

20 22

335 339

22.5 24

338 343

24

341

27

350

28.3

351

288

capí

lili.O 4

fundones lineales y cuadráticas

(a) La relación definida por el conjunto de pare» ordena­ dos (/I..V), ¿representa una función? (b) Traza un diagrama de dispersión de los datos. (c) Usando un dispositivo gráfico, determina la recta de mejor ajuste cpic modele la relación entre gastos de promoción y ventas.

(d) Interpreta la pendiente, (e) Expresa la relación que determinaste en el intivj (c) usando notación de funciones. (í) ¿Cuál es el dominio de la función? (g) Haz una predicción vibre las ventas si los gastos de promoción vm de $25,000,

E x p li c a c ió n d e c o n c e p t o s : d is c u s ió n y e s c r it u r a

2.L Kriuri de la madre vx. Síndrome de Down Un biólogo

24.

25. 26. 27.

quiere saber cómo afecta la edad de la madre a la tasa de incidencia de Síndrome de Down. Los datos en la tabla representan la edad de la madre y la tasa de inci­ dencia del Síndrome de Down por 1000 embarazos. Traza un diagrama de dispersión lomando la edad de la madre como la variable independiente. ¿Tiene sentido determinar la recta de mejor ajaste para estos datos? ¿Por qué? Determina la recta de mejor ajuste para los pares or­ denados (1,5) y (3.X). ¿Cuál es el coeficiente de co­ rrelación para estos datos? ¿Por qué es razonable este resultado? ¿Qué implica un coeficiente de correlación de 0? Explica por qué no tiene sentido interpretar la inter­ sección con y en el problema 17. Consul(aclproblcm al9.Resuelve(7(/i) O.Daunaintcrpretación de este resultado. Determina G (0). Da una interpretación de este resultado.

27 r~ l

1------

E d ad d e la

In c id e n c ia d e S ín d ro m e

m adre, x

de Down. y

33

24

34

31

35

4

36

5

37

67

38

83

39

10

40

13.3

41

167

42

222

43

28 6

44

333

45

50

lu e n le : l lo o k . i B

Aaociaiion. 249

.

Journal o f the American Medical

21134- 2038, 1983.

R e s p u e s t a s a lo s e j e r c ic io s d e la s e c c ió n " ¿ E s t á s li s t o ? "

i.

No. porque la entrada 1 corresponde a dos salidas diferentes.

y 12

2.

y = 2x + 2

-

96

-

3-

4.3 Funciones cuadráticas y sus propiedades P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n

A m e s 0. Si el vértice es el punto más alto (a < 0), entonces

~ e s el valor m áxim o de /. Si el vértice es el punto más bajo (a > 0),

entonces / ( - — ] es el valor m ínim o de /.

EJEM PLO 7

Encontrar el valor máximo o mínimo de una función cuadrática Determina si la función cuadrática f(x ) = x2 - 4x - 5 tiene un valor máximo o mínimo. Después, determina el valor máximo o mínimo. Compara f(x ) = x 2 - 4x - 5 con f(x ) = ax2 + bx + c. Entonces a = 1. b = -4 y c = -5. Como a > 0, la gráfica de / abre hacia arriba, así es que el vértice es un punto mínimo. El valor mínimo se encuentra en =

-

2a

~

~4

2 ( 1)

1 a = 1, b = - 4 El valor mínimo es / ( - ¿ ) = / (2 ) = 2 ; - 4 ( 2 ) - 5 = 4 - 8 - 5 = - 9

............

Resuelve ahora n

problema s s

f ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

RESU M EN

Pasos para construir la gráfica de una función cuadrática f[x) = axl + bx + cta^Q

O pción 1

Paso 1: Completa el cuadrado en .v para escribir la función cuadrática de la form a/(.r) = a(x - h ) 2 + k. Paso 2: Haz la gráfica de la función por etapas usando transformaciones. O pción 2

P aso 1: Determina si la parábola abre hacia arriba (a > 0) o hacia abajo (a < 0). P aso 2: Determina el vértice Paso 3: Determina el eje de simetría, x = - —- .

2a

Paso 4: Determina la intersección con v ,/(0), y las intersecciones con .v. si existen.

(a) Si b2- 4«c > 0, la gráfica de la función cuadrática tiene dos intersecciones con x, las cuales, se en­ cuentran resolviendo la ecuación ax2+ bx + c = 0. (b) Si b2- 4ac = 0, el vértice es la intersección con x. (c) Si b2- 4í/c < 0, no hay intersecciones con x. Paso 5: Determina un punto adicional usando la intersección con v y el eje de simetría.

v.

Paso 6: Traza los puntos y dibuja la gráfica.

j

S E C C IÓ N 4.3

Funciones cuadráticas y sus propiedades

297

4.3 Ev a lú a tu e n te n d im ie n to '¿Estás listo?” Las respuestas se dan alfinal de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee laspáginas marcadas entre paréntesis. 1. Indica las intersecciones de la ecuación y = x2 - 9. (pp.159-160) 2. Determina las soluciones reales de la ecuación 2x2+ 7x - 4 = 0. (pp. 92-99)

3. Para completar el cuadrado de x2 - 5.v, suma el número (p. 56) 4. Para trazar la gráfica de y = {x - 4)2, corre la gráfica de y = x2 una distancia d e _______ unidades a la ________ (pp. 244-253)

Conceptos y vocabulario 5. La gráfica de una función cuadrática se llama________ 6. La recta vertical que pasa por el vértice de una parábola se llama________ 7. La coordenada en x del vértice de f(x) = ax2 + bx + c, a ^ 0, es________

8. Verdadero o falso La gráfica de f(x) = 2x2+ 3x - 4 abre hacia arriba. 9. Verdadero o falso La coordenada y del vértice de f(x) = -x 2+ Ax + 5 es /(2). 10. Verdadero ofalso Si el discriminante b2- 4ac=0, la gráfi­ ca de/(x) = ax2+ bx + c, a ^ 0, tocará al eje x en su vértice.

Ejercicios En los problemas 11-18, asocia cada gráfica con cada una de las siguientes funciones. 11./(* ) = x2 - 1

12./(*) = - x 2 - 1

is -f{x) = x2 - 2 x + 2

16-f(x ) = x2 + 2x

13.f(x ) = x2 - 2x + 1 17.,f(x ) = x2 - 2 x

14.f(x ) = x2 + 2x + l 1S‘f(x ) = x2 + 2x + 2

2 x

En los problemas 19-30, construye la gráfica de la función f partiendo de la gráfica de y =x2y usando transformaciones (traslación, compresión, estiramiento y/o reflexión). [Sugerencia: Si es necesario, escribe /d e la forma f(x) = a(x - h)2+ k.] 19./W =

20. f ( x ) = 2x2 + 4

21. f ( x ) = (x + 2)2 - 2

22. f x = x - 3 2 - 10

23f( x ) = x2 + 4x + 2

24. /(* ) = x2 - 6x - 1

25. /(* ) = 2x2 - 4x + 1

26. / x - 3X2 + 6x

27 f ( x ) = - x 2 ~ 2 x

28. f { x ) = _ 2 * 2 +

+ 2

29. / ( * ) = -gx1 + x - 1

30. f{x) - - x 2 + - x - 1

E n los problemas 31-46, (a) construye la gráfica de cada función cuadrática determinando si ésta abre hacia arriba o hacia abajo e indica su vértice, eje de simetría, intersección en y, intersecciones en x, si existen, (b) Determina el dominio y el rango de la función, (c) Determina dónde la función es creciente y dónde es decreciente, y 31 . f { x ) =

X2

+ 2x

32. f { x ) = x2 - 4x

33. f j x ) = - x 2 - 6x

3 5 . / ( jc) = x 2 + 2 x - 8

36. f(x) = x 2 - 2 x - 3

\

37.

39. f(x) = 2X2 - x + 2

40. f{x) = 4 x 2 - 2 x + 1

\

41. f(x) = - 2 x 2 + 2 x - 3

43 .f(x) = 3 x 2 + 6 x + 2

44. f(x) = 2x2 + 5 x + 3

f{x)

=

x2

+

2x

+ 1

45. f ( x ) = - 4 x 2 - 6 x + 2

34. f ( x ) = - x 2 + 4x 38. f(x) = x2 + 6 x + 9 42. f{x) = - 3 x 2 + 3 x - 2 46. f(x) =

3x2

-

8x + 2

298

C A P ÍT U L O 4

Funciones lineales y cuadráticas

En los problemas 47-52, determina la función cuadrática cuya gráfica se da.

52.

y

En los problemas 53-60, determina, sin hacer las gráficas, si la función cuadrática dada tiene un valor máximo o un valor mínimo y después determina el valor. S3.f(x) = 2x2 + 12* 54. /(* ) = ~2x2 + 12* \^55. /(* ) = 2X2 + 12* - 3 5 6 ./(* ) = 4X2 - 8* + 3 57./(*) = - x 2 + 10* - 4

58. /(* ) = ~2x2 + 8* + 3

59.

/( * ) = -3X2 + 12* + 1

60. f(x ) = 4X2 - 4x

A plicaciones y extensiones 61.La gráfica de la función /(*) = ax2+ bx + c tiene un vértice en (0,2) y pasa por el punto (1,8). Determina a, b y c.

62.La gráfica de la función f(x) = ax2+ bx + c tiene un vértice en (1,4) y pasa por el punto (-1, -8). Determina a ,byc.

En los problemas 63-68, Para las funciones dadas f y g: (a) Traza la gráfica d e fy g en el mismo plano cartesiano. (b) Resuelve f(x) = g(x). (c) Usa el resultado del inciso b para marcar los puntos en la intersección de las gráficas de f y g. (d) Sombrea la región para la cual /(*) > g(x), es decir, la región debajo d e fy por encima de g. 63. /(* ) =

2* - 1; g(*)

=

*2 - 4

66.

/(*)

=

-2 * - 1;

g(*)

= x2-

9

64. /(* ) = - x 2 + 4; g(x) = -2* + 1

67. f ( x ) = - x 2 + 9; g{x) = 2* + 1

65. / M =

68. /(* ) = - x 2 + 7* - 6; g(x) = x2 + x - 6

- x 2 + 5*; g(*) = *2 + 3*- 4

Resuelve los problemas 69 y 70 usando lo siguiente: Una función cuadrática de la forma /(*) = ax2+ bx + c con b2- 4nc > 0, también se puede escribir de la forma /(*) = a(x - rf)(x - r2), donde r, y r, son las intersecciones con x de la gráfica de la función cuadrática. 69. a) Determina la función cuadrática cuyas intersecciones con * son -3 y 1 con a = 1; a = 2; a = -2; a = 5. (b) ¿Cómo afecta el valor de a las intersecciones? (c) ¿Cómo afecta el valor de a el eje de simetría? (d) ¿Cómo afecta el valor de a al vértice? (e) Compara la coordenada * del vértice con el punto me­ dio de las intersecciones en *. ¿Qué puedes concluir? 70. (a) Determina la función cuadrática cuyas intersecciones con * son -5 y 3 con a = 1; a = 2; a = -2; a = 5. (b) ¿Cómo afecta el valor de a las intersecciones? (c) ¿Cómo afecta el valor de a el eje de simetría? (d) ¿Cómo afecta el valor de a al vértice? (e) Compara la coordenada * del vértice con el punto me­ dio de las intersecciones con *. ¿Qué puedes concluir?

71. Considera que /(*) = x2+ 4* - 21 (a) ¿Cuál es el vértice de/? (b) ¿Cuáles son las intersecciones con * de la gráfica de f! (c) Resuelve /(*) = -21 para *. ¿Qué puntos están en la gráfica de f! (d) Usa la información obtenida en los incisos (a) (c) para hacer la gráfica de /(*) = jt + 4* - 21. 72. Considera que /(*) = *: + 2x - 8 (a) ¿Cuál es el vértice de /? (b) ¿Cuáles son las intersecciones con * de la gráfica de/? (c) Resuelve /(*) = -8 para *. ¿Qué puntos están en la gráfica de /? (d) Usa la información obtenida en los incisos (a) (c) para hacer la gráfica de /(*) = .r + 2v - 8.

S E C C IÓ N 4.3

73. Determina el punto en la recta v = .v que esté más cerca de - (3.1). [Sugerencia: Expresa la distancia d del punto a la recta como una función de x y después encuentra el valor míni­ mo de [d(x)]2). 74. Determina el punto en la recta v = x + 1 que esté más cer­ ca de (4.1). 75. Maximizar el ingreso Considera que un fabricante de se­ cadoras de gas ha encontrado que cuando el precio unita­ rio es p dólares, el ingreso R (en dólares) es R(p) = -4 /r + 4000/> ¿Qué precio unitario debe establecer para maximizar el ingreso de las secadoras? ¿Cuál es el ingreso máximo? 76. Maximizar ingresos La compañía John Deere ha encon­ trado que el ingreso, en dólares, de la venta de cortadoras de pasto es una función del precio unitario p, en dólares, que cobra. Si el ingreso R es

299

(c) ¿Cuántos relojes se deben vender para maximizar la ganancia? ¿Cuál es la ganancia máxima? (d) Da una explicación razonable de por qué las respues­ tas que encontraste en los incisos (a) y (c) difieren. Explica por qué una función cuadrática es un modelo razonable para el ingreso. Negocios El ingreso R diario que se alcanza por la venta de x cajas de dulces se da por R(x) = 9.5.v - 0.04.r. El costo dia­ rio Cde vender.v cajas de caramelos es C(.v) = 1.25.x 4- 250. (a) ¿Cuántas cajas de caramelos se deben vender para maximizar el ingreso? ¿Cuál es el ingreso máximo? (b) La ganancia está dada por P(x) = R(x) - C(.v). ¿Cuál es la función de ganancia? (c) ¿Cuántas cajas de dulces se deben vender para maxi­ mizar la ganancia? ¿Cuál es la ganancia máxima? (d) Da una explicación razonable de por qué las respues­ tas que encontraste en los incisos (a) y (c) difieren. Explica por qué una función cuadrática es un modelo razonable para el ingreso. Distancia de frenado Una relación aceptada entre la distan­ cia de frenado d (en pies) y la velocidad de un auto, v, (en mph), es d = 1.1v + 0.06ir en concreto seco y sin inclinación. (a) ¿Cuántos pies tomará a un auto que viaja a 45 mph frenar en concreto seco y sin inclinación? (b) Si ocurre un accidente a 200 pies enfrente de ti, ¿cuál es la velocidad máxima a la que puedes ir para no es­ tar involucrado? (c) ¿Qué puede representar el término l.lu? Fuente: mvw2.nsta.org/Energy/fnJbraking.html Nacimientos de madres solteras En los Estados Unidos, la tasa de nacimientos B de mujeres solteras (nacimientos por cada 1000 mujeres solteras) para mujeres cuya edad a se modela por la función B(a) = - 0.27a2+ 14.23a - 120.16. (a) ¿Cuál es la edad de mujeres solteras con mayor tasa de nacimientos? (b) ¿Cuál es la mayor tasa de nacimientos de mujeres sol­ teras? (c) Evalúa e interpreta B(40). Fuente: United States Statistical Abstract, 2009 Determina una función cuadrática cuyas intersecciones con * sean -4 y 2 y cuyo rango sea [-18,00). Determina una función cuadrática cuyas intersecciones con x sean -1 y 5 y cuyo rango sea (- 00,9]. Sea f(x) = ax2+ bx + c, donde a, b y c son enteros impares. Si x es un entero, demuestra que f(x) tiene que ser un entero impar. [Sugerencia: x es un entero par o un entero impar.]

80.

R(P) = - \ p 2 + 1900p ¿qué precio unitario p debe cobrar para maximizar sus in­ gresos? ¿Cuál es el ingreso máximo? 77. Minimización del costo marginal El costo marginal de un producto se puede pensar como el costo de producir una unidad adicional del producto. Por ejemplo, si el costo marginal de producir el producto número 50 es de $6.20, cuesta $6.20 elevar la producción de 49 a 50 unida­ des. Considera que el costo marginal C (en dólares) para producir .t mil reproductores de mp3 se da por la función C(.r) = .r - 140.r + 7400 a) ¿Cuántos reproductores se deben fabricar para mini­ mizar el costo marginal? b) ¿Cuál es el costo marginal mínimo? 78. Minimización del costo marginal (Consulta el problema 77) El costo marginal C (en dólares) de fabricar x teléfo­ nos celulares (en miles) está dado por C(.t) = 5x2- 200.r + 4000 a) ¿Cuántos teléfonos celulares se deben de fabricar para minimizar el costo marginal? b) ¿Cuál es el costo marginal mínimo? 79. Negocios El ingreso mensual R alcanzado por la venta de x relojes se calcula por R(x) = 75x - 0.2x2. El costo men­ sual C de vender x relojes es C(;c) = 32t + 1750. a) ¿Cuántos relojes se deben vender para maximizar el ingreso? ¿Cuál es el ingreso máximo? b) La ganancia se da por P(x) = R(x) - C(x). ¿Cuál es la ' función de ganancia?

Funciones cuadráticas y sus propiedades

82.

82.

83. 84. 85.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 86. Desarrolla una función cuadrática que abra hacia abajo y tenga sólo una intersección en x. Compara la tuya con la

de otros en la clase. ¿Cuáles son las similitudes? ¿Cuáles son las diferencias? 87. En los mismos ejes de coordenadas, traza la gráfica de la fa­ milia de parábolas f ( x ) = x 2+ 2x + c, para c = -3 ,c = 0 y c = l. Describe las características de un miembro de esta familia. 88. En los mismos ejes de coordenadas, traza la gráfica de la familia de parábolas f ( x ) - x 2 + 2x + c, para b = -4, b = 0 y b = 4. Describe las características generales de esta familia.

89. Di cuales son las circunstancias que hacen que la gráfica de una función cuadrática f ( x ) = x 2+ 2x + c no tenga inter­ secciones en x. 90. ¿Por qué abre hacia arriba la gráfica de la función cuadrá­ tica si a > 0 y hacia abajo si a < 0 ? 9 j. ¿Puede tener una función cuadrática un rango de ( 00, 00)? Justifica tu respuesta. 92 . ¿Cuáles son las posibilidades para el número de veces que se intersectan las gráficas de dos funciones cuadráticas?

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo? 1. (0,-9), (-3 ,0 ), (3,0)

2.

j-4 ,ij

3.

ti 25 4

4. 4; derecha

300

c.’A

pili II,O 4

Tunt lonni lineales y cuadrática*

4.4 Construcción de modelos cuadráticos a partir de descripciones verbales y de datos Ames de empezar, repasa lo siguiente:

P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s e c c ió n

•

\

Solución de problemas (sección

1.7, pp. 134-140)

• Modelos lineales: construcción de funciones lineales a partir de dalos (sección 4.2, pp 2K2 2K5)

Resuelve ahora los

p rob lem as de la secció n " ¿ E s tá s listo ? " de la página 305.

OBJETIVOS 1 Construir modelos cuadráticos a partir de descripciones verbales (p. 300) ** 2 Construir modelos cuadráticos a partir de datos (p. 304)

En esta sección primero discutiremos modelos con la forma de una función cuadrá­ tica cuando se da una descripción verbal del problema. Terminaremos la sección ajustando una función cuadrática a los datos, que es otra forma de crear modelos. Cuando un modelo matemático está en la forma de una función cuadrática. Las propiedades de la gráfica de la función cuadrática pueden proporcionar información importante acerca del modelo. En particular podemos usar la función cuadrática para determinar el valor máximo o mínimo de una función. El hecho de que la gráfica de una función cuadrática tenga un valor máximo o mínimo nos permite contestar preguntas que involucran optimización, es decir, encontrar el valor máximo o mínimo en modelos.

1

Construcción de m odelos cuadráticos a partir de descripciones verbales En economía, el ingreso R . en dólares, se define como la cantidad de dinero que se recibe por la venta de un artículo y es igual al precio unitario de venta p. en dólares, del artículo multiplicado por el número x de unidades vendidas. Es decir. R - xp La ley de la demanda establece que p y x están relacionadas: conforme una in­ crementa, la otra disminuye. La ecuación que relaciona a p y a x se llama ecuación de demandu. Cuando la ecuación de demanda es lineal, el modelo de ingreso es una función cuadrática.

EJEM PLO 1

Maximización del ingreso El departamento de publicidad de Texas Instruments ha encontrado que. cuando se venden ciertas calculadoras a un precio /» por unidad, el número x de calculadoras vendidas está dada por la ecuación de demanda

.v = 21.000- 150/ j (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

Solución

Determina un modelo que exprese el ingreso R como función del precio p. ¿Cuál es el dominio de R ' l ¿Qué precio unitario se debe de usar para maximizar el ingreso? Si se cobra este precio, ¿cuál es el ingreso máximo? ¿Cuántas unidades se venden a este precio? Traza la gráfica de R . ¿Qué precio debe cobrar Texas Instruments para juntar por lo menos Só75.000 de ingreso?

(a) El ingreso

es R = x p , donde .v = 21.000 - 150/>. R = xp = (21 .(XX) - 150p) = -150p : + 21 .(XX)/» El irodeio R

(b) Como .v representa el número de calculadoras vendidas, tenemos x ^ 0. entonces 2UXX) - 150/» •> 0. Al resolver esta ecuación lineal encontramos que /»s 140. Ade­ más, Texas Instruments solo cobra un precio positivo por la calculadora, entonces p > 0. Combinando estas desigualdades, el dominio de R es {/>!() < /> < 40}.

S E C C IÓ N 4.4

Construcción de modelos cuadráticos a partir de descripciones verbales y de datos

301

(c) La función R es una función cuadrática con a = -150, b = 21,000 y c = 0. Como a < 0, el vértice es el punto más alto en la parábola. El ingreso R es máximo cuando el precio p es

i

b _

21,000

21,000

2a j _ 2 (-1 5 0 ) " ~ -300

$70.00

a = - 1 5 0 , b = 21,000

(d) El ingreso máximo R es R (7 0 ) = —150(70)2+ 21,000(70) = $735,000

(e) El núm ero de calculadoras vendidas está dado por la ecuación de dem anda x = 21,000 - 150p. A un precio de p = $70, x - 21,000-150(70) = 10,500 calculadoras vendidas. (f) Para hacer la gráfica de R , traza la intersección (140,0) y el vértice (70,735000). Ver figura 23.

Precio p por calculadora (dólares)

(g) Traza la gráfica de R = 675,000 y R(p) - -150/72 + 21,000/7 en el mismo plano de coordenadas cartesianas. Ver figura 24. Encontramos dónde se intersectan las gráficas resolviendo 675,000 = -150/72+ 21,000/7 Suma 15O/?2 - 21,OOOp en ambos lados.

150/72 - 21,000/7 + 6 7 5 ,0 0 0 = 0

p 2— 140/7 + 4500 = 0

Divide ambos lados entre 150.

(p - 50)(p - 90) = 0

Factoriza.

p = 50 Op

=

90

Usa la propiedad de producto cero.

F ig u ra 2 4

fíi 800,000T 700.000 600.000 | 500,000 5 . 400,000 |

300,000

1 “ 200,000 100,000

P Precio p por calculadora (dólares)

Las gráficas se intersectan con (50, 675,000) y (90,675,000). Basándonos en la gráfica de la figura 24, Texas Instruments debería cobrar entre $50 y $90 para ganar por lo menos $675,000 en ingresos.

Resuelve ahora

el

problema

3

302

C A P ÍT U L O 4

Funciones lineales y cuadráticas

EJEM PLO 2

Maximización del área que encierra una cerca Un granjero tiene 2000 yardas de cerca para rodear un campo rectangular. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que encierra el área mayor?

Solución La figura 25 ilustra la situación. La cerca disponible representa el perí­ metro del rectángulo. Si x es la longitud y w es el ancho, entonces 2* + 2 w

=

2000

( 1)

El área A del rectángulo es A -xw Para expresar a A en términos de una sola variable, resuelve la ecuación (1) para w y sustituye el resultado en A = xw. Entonces A involucrará solo una variable x. [También puedes resolver la ecuación (1) para x y expresar A en términos de w. ¡Inténtalo!] 2x + 2w - 2000 2v = 2000 - 2x w —

2000 - 2x

= 1000 - x

Entonces el área A es A = xw = *(1000 - x ) = - x 1+ 1000x Ahora, A es una función cuadrática de x.

Figura 26

A ( x ) = - x 2+ 1000x

a = —1, b = 1000, c = 0

La figura 26 muestra la gráfica de A{x) = - x 2+ 100(k. Como a < 0, el vértice es un punto máximo en la gráfica de A. El valor máximo se encuentra en b 1000 X = “ 2Í = " 2 R ) =50° El valor máximo de A es A -

b 2a

= A(500) = -5 0 0 2 + 1000(500) = -250,000 + 500,000 = 250,000

El mayor rectángulo que se puede encerrar por 2000 yardas de cerca tiene un área de 250,000 yardas cuadradas. Sus dimensiones son de 500 yardas por 500 yardas,

Resuelve ahora

EJEM PLO 3

EL P R O B L E M A

7

Análisis del movimiento de un proyectil Se dispara un proyectil desde un acantilado 500 pies sobre el agua con una inclinación de 45° con la horizontal, con una velocidad inicial de 400 pies por segundo. En física, está establecido que la altura h del proyectil sobre el agua se puede modelar por —32jc2 h( x) = ------- r + x + 500 V’ (400)2 D onde x es la distancia horizontal del proyectil a la base del acantilado. Ver figura 27.

Figura 27

ft(x) 2500

2000 1500

1000 500

X

\

/ ’ 45°° 1000

2000

3000

4000

5000

x

SECCIÓN 4.4 Construcción de modelos cuadrátlcos a partir de descripciones verbales y de datos

303

(a) Determina la altura máxima del proyectil. (b) ¿Qué tan lejos partiendo de la base del acantilado el proyectil caerá al agua?

Solución

(a) La altura del proyectil está dada por una función cuadrática h (x ) = ^^4 + -t + 500 = ~ ^ - x 2 + x + 500 ' (400)* 5000 Queremos determinar el mayor valor de h. Como a < 0, el valor máximo se obtiene en el vértice, cuya coordenada en x es b

1

5000

2500

La altura máxima del proyectil es /i(2500) = ^ ¿ j ( 2500)2 + 2500 + 500 = —1250 + 2500 + 500 = 1750 ft (b) El proyectil caerá al agua cuando su altura sea cero. Para encontrar la distancia x recorrida, resuelve la ecuación - 1 ■, h (x) - — —x2 + x + 500 = 0 v ' 5000 El discriminante de esta ecuación cuadrática es

62 -

Visualizando el concepto

" ‘ 2 - 4( ^ ) < 5°°> - 1 A

Traza la gráfica de

Entonces

*» - i i ^ - ' + 500 0 £ x < 5500

Usa MAXIMUM para encontrar la al­ tura máxima del proyectil y usa ROOT o ZERO para encontrar la distancia de la base del acantilado a donde cae al agua. Compara tus resultados con los que obtuvimos en el ejemplo 3.

- b ± V b 2 - 4ac - 1 ± V Ë 4 _ f -458 2a ~ J ____ 1 _ \ ^ 15458 V 5000/ Descartamos la solución negativa. El proyectil caerá al agua a una distancia de aproximadamente 5458 pies de la base del acantilado.

Resuelve ahora EJEMPLO 4

P R OB L E MA 11

El puente Golden Gate El puente Golden Gate es un puente colgante que abarca la entrada a la bahía de San Francisco. Sus torres gemelas de 746 pies de alto están a 4200 pies de distancia una de la otra. El puente está suspendido por dos cables enormes de más de 3 pies de diá­ metro, la pista de 90 pies de ancho está a más de 220 metros sobre el agua. Los cables tienen forma parabólica* y tocan la superficie del camino en el centro del puente. Determina la altura del cable sobre el camino a una distancia de 1000 pies del centro.

Solución

Ver figura 28 de la página 304. Empieza por seleccionar la posición de los ejes de coordenadas de manera que el eje x coincida con la superficie del camino y el origen coincida con el centro del puente. Como resultado, las torres gemelas serán vertica­ les (altura 746 - 220 = 526 pies sobre el camino) y estarán localizadas a 2100 pies del centro. Además, el cable, que tiene forma de parábola, se extenderá de las torres, se abrirá hacia arriba y su vértice estará en (0, 0). Esta elección de localización de los ejes nos permite identificar la ecuación de la parábola como y = ax2, a> 0. Observa que los puntos (-21,000, 526) y (2100, 526) están en la gráfica. *Un cable suspendido por dos torres toma la forma de catenaria, pero cuando se suspende del cable una pista horizontal, el cable toma la forma de una parábola.

304

C A P ÍT 1)1,0 4

Fundones lineales y cuadráticas

Basándonos en estos hechos, podemos determinar el valor de a en y = ax1. y = ax1 526 = «(21(X))2

x

=

2100, y

=

526

526 “

~

(21ÍXJ)2

La ecuación de la parábola es 526

7

,

(2100)2

La altura del cable cuando x = l(XX) es y = —1-----^(l(XX))2 ~ 119.3 pies 7

(21ÍX))2

El cable está a 119.3 pies sobre el camino a una distancia de UXXJ pies del centro del puente.

J Resuelve ahora

el

problema

13

2 Construcción de m odelos cuadrátícos a partir de datos En la sección 4.2 encontramos la recta de mejor ajuste para datos que parecen estar linealmente relacionados. Se mencionó que los datos también pueden seguir una re­ lación no lineal. Las figuras 29 (a) y (b) muestran diagramas de dispersión que siguen una relación cuadrática.

Figura 29

EJEMPLO 5

y=ax2 + bx+c.a> O

y= ax2 + bx+ c. a < O

(a)

(b)

Ajuste de una función cuadrática a los datos Los datos de la tabla 8 representan el porcentaje D de la población que está divor­ ciada para varias edades .v en 2(X)7. (a) Traza un diagrama de dispersión de datos tomando la edad como la variable independiente. Comenta acerca del tipo de relación que puede existir entre la edad y el porcentaje de la población divorciada. (b) Usa un dispositivo gráfico para encontrar la función cuadrática de mejor ajuste que modele la relación entre la edad y el porcentaje de la población que está divorciado. (c) Usa el modelo que determinaste en el inciso (b) para aproximar la edad para la cual es mayor el porcentaje de la población divorciada. (d) Usa el modelo que determinaste en el inciso (b) para aproximar el mayor por­ centaje de la población divorciada. (e) Usa un dispositivo gráfico para trazar la función cuadrática de mejor ajuste en el diagrama de dispersión.

S E C C IÓ N 4.4

Tabla 8

Construcción de modelos cuadráticos a partir de descripciones verbales y de datos

305

^ Porcentaje de divorciados, D ?

22

0.8

21

2.8

32

6.4

37

8.7

42

12.3

50

14.5

60

13.8

70

9.6

80

4.9

Fuente: United States Statistical Abstract, 2009

S o lu c ió n

(a) La figura 30 muestra el diagrama de dispersión, a partir del cual, parece que los datos siguen una relación cuadrática, con a < 0. (b) Al ejecutar el programa QUADratic REGression obtenemos los resultados que se muestran en la figura 31. La salida del dispositivo nos muestra la ecuación y - ax2 + bx + c. La función cuadrática de mejor ajuste que modela la relación entre la edad y el porcentaje de divorciados es D{x) = —0.0136*2 + 1.4794* - 26.3412

90

donde a representa la edad y D representa el porcentaje de divorciados. (c) Basándonos en la función cuadrática de mejor ajuste, la edad con el mayor por­ centaje de divorciados es b_ 2a

Figura 31 QuadReg y=ax2+bx+c a= - . 0136351781 b=1.47938 947 c= -2 6 .3 4 1 1 7 4 6 2

El modelo

1.4794 2 (—0.0136)

54 año

(d) Evalúa la función de D (x) en * = 54. Z)(54) = —0.0136(54)2 + 1.4794(54) - 26.3412

13.9 por ciento

De acuerdo con el modelo, las personas de 54 años tienen el porcentaje más alto de divorcios con 13.9 por ciento. (e) La figura 32 muestra la gráfica de la función cuadrática que determinaste en el inciso (b) trazada en el diagrama de dispersión.

Figura 32 17

90

Observa de nuevo la figura 31. La salida dada por la calculadora gráfica no incluye r, el coeficiente de correlación. Recuerda que el coeficiente de correlación es una medida de la fuerza de- una relación lineal que existe entre dos variables. La calcu­ ladora gráfica no da una indicación de qué tan bien se ajusta la función a los datos en términos de r debido a que una función cuadrática no se puede expresar como función lineal. O T s s s a s - -

Resuelve ahora

el

problema

2 5

4.4 Evalú a tu en ten d im ien to *1 "¿Estás listo?" L a s respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis.

1. Traduce la siguiente oración a una ecuación matemática: El ingreso total R de la venta de * hot dogs es $3 veces el número total de hot dogs vendidos, (pp. 134-140)

2. Usa un dispositivo gráfico para determinar la recta de me­ jor ajuste para los siguientes datos: (pp. 282-285) X

3

5

5

6

7

8

V

10

13

12

15

16

19

306

CAPÍTULO 4 Funciones lineales y cuadráticas

A plicaciones y extensiones \ 3 , Maximizarión del ingreso El precio/? (en dólares) y la cantidad x vendida de un producto obedecen la ecuación de demanda p = —- x + 100 o (a) Determina un modelo que exprese el ingreso R como función de x. (Recuerda, R = xp) (b) ¿Cuál es el dominio de R? (c) ¿Cuál es el ingreso si se venden 200 unidades? (d) ¿Qué cantidad x maximiza el ingreso? ¿Cuál es el in­ greso máximo? (e) ¿Qué precio deberá cobrar la compañía para maximizar el ingreso? 4. Maxiinización del ingreso El precio p (en dólares) y la can­ tidad x vendida de un producto obedecen la ecuación de demanda

9. Encerrar el área mayor con una cerca Un granjero que tiene 4000 metros de cerca quiere encerrar una parcela rectangular que tiene un río como una de sus fronteras. Si el granjero no cerca el lado del río, ¿cuál es el área más grande que se puede encerrar? (Ver figura)

4000 - 2x

p = - | jc + 100

5.

6.

\7 .

8.

(a) Determina un modelo que exprese el ingreso R como función de x. (Recuerda, R=xp) (b) ¿Cuál es el dominio de R? (c) ¿Cuál es el ingreso si se venden 100 unidades? (d) ¿Qué cantidad x maximiza el ingreso? ¿Cuál es el in­ greso máximo? \ (e) ¿Qué precio deberá cobrar la compañía para maximizar el ingreso? Maxiinización del ingreso El preciop (en dólares) y la cantidad x vendida de un producto obedecen la ecuación de demanda jc= -5/? + 100 0 0, la gráfica abre hacia abajo si a1< 0

0

Uno de los objetivos de esta sección es analizar la gráfica de una función po­ linomial. Si llevas un curso de cálculo, aprenderás que la gráfica de toda función polinomial es suave y continua. Por suave se entiende que la gráfica no tiene esquinas o picos, por continua se entiende que la gráfica no tiene saltos u hoyos y se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. Ver figuras l(a) y (b).

(a)

(b) No puede ser la gráfica de una

Gráfica de una función polinomial: suave, continua

función polinomial

Funciones de potencias Empezaremos el análisis de la gráfica de una función polinomial con \as funciones de potencias, que son un tipo especial de función polinomial. D E F IN IC IO N

r En palabras r

Una función de p o te n c ia s e s t á

r

definida por un so lo monomio.

Una función de potencias de grado

n

es una función de monomios de la forma

/( * ) = ax" donde a es un número real, a ^ 0 y n > 0 e s u n entero.

( 2)

J

CAPÍTULO s Funciones racionales y pollnomlales A continuación se dan algunos ejemplos de funciones de potencias. f ( x ) = 3x

f(x) = -5 x 2

grado 1

grado 2

f ( x ) = «jc3

/ ( x) = - 5 x 4

grado 3

grado 4

La gráfica de una función de potencias de grado 1, f (x) = ax, es una línea recta con pendiente a, que pasa por el origen. La gráfica de una función de potencias de grado 2,J'(x) = ax2, es una parábola con vértice en el origen, que abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. Si sabemos cómo hacer la gráfica de una función de potencias de la forma f (x) = x", tal vez una compresión o estiramiento o una reflexión en el eje x nos permi­ tirá obtener la gráfica de f>(x) = ax". Por lo tanto, nos enfocaremos en hacer gráficas de funciones de potencias de la forma / ( x) = x". Comenzaremos con funciones de potencias de grado par de la forma f (x) = x", n s 2 y con n par. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales y el rango es el conjunto de todos los números reales no negativos. Esta función de po­ tencias es una función par (¿puedes ver por qué?), así que su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Su gráfica siempre contiene al origen y a los puntos ( - 1 .1 ) y (1.1). Si n = 2, la gráfica es la parábola y = x 2 que abre hacia arriba, con vértice en el origen. Si ti > 4, la gráfica de f (x) = x", con ti par, estará más cerca del eje x que la parábola y = x 2, si - 1 < j c < l , j c ^ 0 y más lejos del eje x que la parábola v = x 2. si x < - 1 o si x > 1. La figura 2(a) ilustra esta conclusión. La figura 2(b) muestra las gráficas d c y = xAy y = x* para comparar. f(x) =xn

F ig u ra 2

y=xB

y-x4

X II o ■

X II o w

X II o in

10~8

0.0000656

0.0039063

O

En la figura 2 podemos ver que conforme incrementa n, la gráfica de /(.x) = xn. n > 2 y n par, tiende a hacerse más plana cerca del origen y a incrementar muy rápido cuando x está lejos de 0. Para n muy grandes, puede parecer que la gráfica coincide con el eje x cerca del origen, pero esto no sucede: realmente la gráfica toca al eje x solo en el origen (ver tabla 2). Además para n muy grande puede parecer que para x < - 1 o .v > 1 la gráfica es vertical, pero no lo es; solamente incrementa muy rápido en estos intervalos. Si agrandáramos las gráficas lo suficiente, estas distinciones se­ rían muy claras.

O C N I O

3.487-10~”

0.000001

f(x) = X40

ic r 40

1.216 • 10 21

9.095-10“'3

f{x) = X8 II

322

Visualización del concepto Traza la gráfica de V, = x4, Y2 = x8 y = x'J usando el rectángulo de visualización -2 ^ x < 2, -4 £ y < 16. Después, traza de nuevo la gráfica de cada una usando el rectángulo -1 £ x £ 1, 0 £ y £ 1. Observa la figura 3. Usa la función TRACE sobre una de las gráficas para que verifiques que para x cercanas a 0 la gráfica está por encima del eje x para x > 0 la gráfica es creciente.

S E C C IÓ N 5.1

Funciones y modelos polinomiales

323

F ig u r a 3

(a)

J P ro p ie d a d e s de las fu n cio n e s de potencias, f (x) = x n, d o n d e n es un e n te ro p o s itiv o par F ig u ra 4

1. f e s una función par, así que su gráfica es simétrica con respecto al eje y.

y=xn

2. Su dominio es el conjunto de todos los números reales. Su rango es el con­ junto de los números reales no negativos.

/?> 5

n impar

y

iy = x 3

3

3. La gráfica siempre contiene los puntos (- 1 ,1 ) , (0,0) y (1,1). 4. Conforme incrementa el exponente n, la función crece más rápido cuando x < —1 o * > 1; pero para x cercana al origen, la gráfica tiende a aplanarse y a estar más cerca del eje x.

■

i

i

i

.

■>

1.1)

r - / (0, 0)

,

,

.

3

x

i

>X

/

Hf r

-3

F ig u ra 5

1

l

i

-3

BT

7 (1 .1 )

i (0,0)

i ‘

3

ps

H .- D f

I

II >< c

y y=x9 3

-3

-

Ahora consideraremos las funciones de potencias de grado impar de la forma / ( x) = xn, n > 3 y n impar. El dominio y el rango de f e s el conjunto de los números reales. Esta función es una función impar (¿puedes ver por qué?), de tal forma que, su gráfica es simétrica con respecto al origen. Su gráfica siempre contiene al origen y los puntos ( - 1 , - 1 ) y (1,1). La gráfica de f (x) = x'\ cuando n - 3 se ha mostrado varias veces y se repite en la figura 4. Si n > 5, la gráfica de/ ( x) = xn, con n impar, estará más cerca del eje x que la d e y = x 3s i - l < j c < l y más lejos del eje x que la de y = jc3 si x < - 1 o si x > 1. La figura 4 también ilustra esta conclusión. La figura 5 muestra la gráfica de y = x5 y la gráfica de y = x 9 para poder com­ parar. Parece como si cada gráfica coincidiera con el eje x cerca del origen, pero no es así; cada gráfica cruza al eje x en el origen. Además parece que si x incrementa, la grá­ fica se vuelve vertical, pero esto no sucede; las dos gráficas crecen muy rápidamente.

Visualización del concepto Traza la gráfica de / = x3,' Y2 = x7 y Y3 - x" usando el rectángulo de visualización -2 £ x < 2, -16 < y ^ 16. Después, traza de nuevo cada gráfica usando el rectángulo -1 £ x £ l , - 1 < y < 1. Observa la figura 6. Usa la función TRACE sobre una de las gráficas para que verifiques que la gráfica es creciente y cruza el eje x en el origen.

-16

(a)

-1

/3 = xn

(b)

J

324

C A P ÍT U L O 5

Funciones racionales y polinomiales

Resumiendo: P r o p ie d a d e s d e la s fu n c io n e s d e p o t e n c ia s , f (x) = x", c o n n u n e n t e r o p o s itiv o im p a r

1. / e s impar, por lo tanto su gráfica es simétrica con respecto al origen. 2. Su dominio y rango son el conjunto de todos los números reales. 3. Su gráfica siempre contiene los puntos ( - 1 , -1 ) , (0,0) y (1,1). 4. Conforme crece el exponente n, la función crece más rápidamente cuando

pero para x cercanas al origen, la gráfica tiende a aplastarse y está más cerca del eje x.

jc<

- 1 ojc>1;

2 Gráfica de funciones polinom iales usando transform aciones El uso de los métodos de traslación, compresión, estiramiento y reflexión que estu­ diamos en la sección 3.5 junto con las propiedades que acabamos de presentar, nos permitirá obtener las gráficas de funciones polinomiales que son transformaciones de funciones de potencias. EJEM PLO

2

G r á f i c a d e u n a f u n c ió n p o l in o m ia l u s a n d o t r a n s f o r m a c io n e s

Traza la gráfica de: f (x) = 1 - x 5

Solución

Es útil reescribir/co m o f (x) = - x 5 + 1. La figura 7 muestra las etapas que se re­ quieren.

Figura 7

hacia arriba

EJEM PLO

3

y = -x 5+ 1 = 1 -x 5

G r á f i c a d e u n a f u n c ió n p o l in o m ia l u s a n d o t r a n s f o r m a c io n e s

Traza la gráfica de:

Solución

(c)

— (b) y = —x

(a) y = x 5

f(x) = - ( x - l)4

La figura 8 muestra las etapas que se requieren.

Figura 8

Multiplicar por compresión por un factor de Í

Sustituir x por x —1; correr 1 unidad a la derecha

(b)

(a) y = x 4

Resuelve ahora

los

(c) y = l ( x - 1)4

y = ( x - 1)4

problemas

27

y

33

S E C C IÓ N 5.1

Funciones y modelos polinomiales

325

3 Identificación de los ceros reales de una función polinom ial y su m ultiplicidad La figura ó muestra la gráfica de una función con cuatro intersecciones con x. O b­ serva que en las intersecciones con .v, la gráfica debe cruzar o tocar al eje x. Por lo tanto, entre intersecciones con x consecutivas, la gráfica está por encima del eje x o por debajo del eje x.

Si se factoriza completamente una función polinomial/, es fácil encontrar las in­ tersecciones de la gráfica en x si resolvemos la ecuación f (x) = 0 y usamos la propie­ dad de producto cero. Por ejemplo, si f (x) = (x - l)2(.v + 3), entonces las soluciones de la ecuación f(x)

=( x - l ) 2(.t + 3) = 0

son 1 y - 3 . Esto e s ,/( l) = 0 y / ( —3) = 0. DEFINICIÓN

S i/e s una función y r es un número real para el cual f{r) = 0, entonces r es un cero real de /. __j Como consecuencia de esta definición, las siguientes proposiciones son equiva­ lentes. 1. r es un cero real de la función polinomial/. 2. r es una intersección en x en la gráfica d e /. 3. x —r es un factor d e/. 4. r es una solución de la ecuación f (x) = 0.

Por lo tanto, los ceros reales de una función polinomial son las intersecciones con x de su gráfica y se detérminan al resolver la ecuación f(x) = 0.

EJEM PLO

4

D e t e r m i n a r u n a f u n c ió n p o l in o m ia l a p a r t i r d e s u s c e r o s

(a) Determina una función polinomial de grado 3 cuyos ceros son - 3 , 2 y 5. (b) Usa un dispositivo gráfico para trazar la gráfica de la función polinomial que determinaste en el inciso (a) para verificar tu resultado. S o lu c ió n

(a) Si r es un cero real de una función polinomial /, entonces x - r es un factor de /. Esto quiere decir que x - ( - 3 ) = jc + 3, x - 2 y . x - 5 s o n factores de /. Como resultado, cualquier función polinomial de la forma / ( x) = a(x + 3)(x - 2)(x - 5) donde a es un número real diferente de cero, es candidato. El valor de a causa un estiramiento, compresión o reflexión, pero no afecta las intersecciones con x en la gráfica. ¿Puedes saber por qué?

326

C A P ÍT U L O 5

Funciones racionales y polinomiales

Figura 10

(b) Escogemos trazar la gráfica d e /c o n a = 1. Entonces 40

/( x ) = (x + 3 )( je - 2)(x - 5) = x3 - 4x2 - U x + 30 La figura 10 muestra la gráfica de /. Observa que las intersecciones con x son - 3 ,2 y 5.

Visualización del concepto Traza la gráfica de la función que determinaste en el ejemplo 4 para a = 2 y a = -1. ¿El valor de o afecta a los ceros de fl ¿Cómo afecta el valor de a a la gráfica de f?

J

-Resuelve ahora

el

problema

4i

Si el mismo factor x - r ocurre más de una vez, a r se le llama cero repetido o múltiple d e / . Para mayor precisión, damos la siguiente definición.

D EFIN ICIO N

Si (x - r)m es un factor de una función polinom ial/ y (jc —r)m+1no es un factor d e /, entonces r se llama un cero de multiplicidad m d e /.*

J

E JE M P L O 5

Identificación de ceros y sus multiplicidades Para la función polinomial f ( x ) = 5(x - 2)(x + 3)2 x — 2 es un cero de multiplicidad 1 debido a que el exponente en el factor de x - 2 es 1. - 3 es un cero de multiplicidad 2 debido a que el exponente en el factor x + 3 es 2. ^ es un cero de multiplicidad 4 debido a que el exponente en el factor x - —es 4. •J «—

-Resuelveahora

el p r o b l e m a

49(a)

Considera que es posible factorizar completamente una función polinomial y como resultado, es posible localizar todas las intersecciones con x en su gráfica (los ceros reales de la función). Estas intersecciones con x dividen al eje x en intervalos abiertos y, en cada intervalo, la gráfica de la función polinomial estará por encima o por debajo del eje x. Veamos un ejemplo.

E JE M P L O 6

Gráfica de una función polinomial usando sus intersecciones con x Para la función polinomial:

/ ( .x) = x2(x — 2)

(a) Determina las intersecciones con x y en y de la gráfica de /. (b) Usa las intersecciones con x para determinar los intervalos en los que la gráfica de / está por encima del eje x y los intervalos en los que la gráfica de / está por debajo del eje x. . -v - jo ;

Solución

(c) Localiza otros puntos en la gráfica y conecta todos los puntos trazados con una curva suave y continua. (a) La intersección con y es/(O) = 02(0 - 2) = 0. Las intersecciones con .v satisfacen la ecuación f ( x ) = x \ x - 2) - 0 de donde determinamos que x2 — 0

O

x = 0

o

X

2

=

0

x = 2

Las intersecciones con x son 0 y 2. ♦Algunos libros usan los términos

raíz múltiple y raíz de multiplicidad m.

4 SECCIÓN 5.1 Funciones y modelos polinomiales

327

(b) Las dos intersecciones con .v dividen al eje x en tres intervalos: ( - o o ,0 )

(0,2)

(2,oo)

Como la gráfica de / cruza o toca al eje x sólo en x = O y x = 2, se deduce que la gráfica d e /e s tá por encima del eje x [/(.r) > 0] o por debajo del eje x, [f(x) < 0] en cada uno de los tres intervalos. Para ver dónde cae la gráfica, solo necesitamos escoger un número en cada intervalo, evaluar a h í / y ver si el valor es positivo (por encima del eje .r) o negativo (por debajo del eje jc). Ver tabla 3. (c) Al construir la tabla 3, obtuvimos tres puntos adicionales de la gráfica: ( - 1 , -3 ), (1, - 1 ) y (3, 9). La figura 11 ilustra estos puntos, las intersecciones y la curva suave y continua (la gráfica de / ) que los conecta.

Figurali

Tabla 3 0

2

In tervalo

(-oo, 0)

(0,2)

(2, oo)

N úm ero esco g id o

-1

1

3

f(1) = - 1

n 3) = 9

V a lo r d e

f

f(~ 1) =

“ 3

Lo ca lizació n en la gráfica

Por debajo del ejex

Por debajo del ejex

Por encima del ejex

P u n to en la g ráfica

( - 1 .- 3 )

( 1 ,- 1 )

(3,9)

Observa de nuevo la tabla 3. Como la gráfica de/(;c) = x 2(x - 2) está por debajo del eje x en ambos lados de 0 , la gráfica dt f t o c a al eje x en x - 0 , un cero de multi­ plicidad 2. Como la gráfica de /e s tá por debajo del eje x para x < 2 y por encima del eje x para x > 2, la gráfica de / cruza al eje x en x = 2, un cero de multiplicidad 1. Esto sugiere los siguientes resultados: S i r e s u n c e r o d e m u lt ip lic id a d p a r

El signo de f (x) no cambia de un lado a otro de r.

La gráfica / toca al eje x en r.

S i r e s u n c e r o d e m u l t i p l i c i d a d im p a r

El signo de f(x) cambia de un lado a otro de r.

Resuelve ahora

el p r o b l e m a

La gráfica/ cruza al eje x en r.

49(b)

Com portam iento cerca de cero La multiplicidad de un cero se puede usar para determinar si la gráfica de una función toca o cruza el eje x en el cero. Sin embargo, podemos conocer más acerca del com­ portamiento de la gráfica cerca de sus ceros que solo si la gráfica cruza o toca el eje x. Considera la función f (x) = x \ x - 2) cuya gráfica se da en la figura 11. Los ceros d e /s o n 0 y 2. La tabla 4 en la página 328 muestra los valores de f (x) = x \ x - 2) y y = —2jc2 para x cercanas a 0. La figura 12 muestra los puntos (-0 .1 , -0.021), (-0.05, -0.0051), etc., que están en la gráfica de/(jr) = x 2(x - 2) junto con la gráfica de y = - 2 jc2 en el mismo plano cartesiano. De la tabla y la gráfica podemos ver que los puntos en la gráfica de f(x) = x \ x - 2) y los puntos en la gráfica de y = - 2 x 2 son

328

c a p ít

U LO 5

Fundones racionales y pollnomlales

f{x) = x2(x - 2)

-0.1

-0.021

-0.02

-0.05

-0.005125

-0.005

-0.03

-0.001827

-0.0018

-0.01

-0.000201

-0.0002

0

F ig u ra 12

y = -2x2

X

0

0

0.01

-0.000199

-0.0002

0.03

-0.001773

-0.0018

0.05

-0.004875

-0.005

0.1

-0.019

-0.02

indistinguibles cerca de x = 0. Entonces y = - 2 x 2 describe el comportamiento de la gráfica de f (x) = x 2(x - 2) cerca de x = 0. Pero, ¿cómo supimos que la función f (x) = x 2(x - 2) se comporta como y = - 2 x 2 cuando x es cercana a 0? En otras palabras, ¿de dónde salió y - - 2 x 2l Como el cero, 0, viene del factor x 2, evaluamos todos los factores en la función / en 0 con la excep­ ción de x 2. f ( x ) = x 2(x — 2) — 2) =

— 2x2

El f a c t o r x 1’ d a origen al c e r o , a s í que c o n se rv a m o s el f a c t o r

y h acem os x =

O en

lo s f a c t o r e s r e s t a n t e s

O.

p a ra e n c o n t r a r el co m p o rta m ie n to c e r c a d e

Esto nos dice que la gráfica de /(.t) = jc2(jc - 2) se comportará como la gráfica de y = - 2 x 2 cerca de .v = 0. Ahora analizaremos el comportamiento de f (x) = x2(x - 2) cerca de .r = 2, el otro cero. Como el cero, 2, se obtiene del factor x - 2, evaluamos todos los factores de la función en 2 con la excepción de x - 2. f ( x ) = *2(v * 2'-(x -

2)

'

El f a c t o r x -

2 d a o r i g e n al cero, a s í que co n s e rv a m o s

el f a c t o r x -

2 y h a c e m o s x = 2 en lo s f a c t o r e s r e s t a n t e s

p a ra e n c o n t r a r el c o m p o r t a m i e n t o c e r c a d e 2.

= 4(.v - 2 ) De tal forma, que la gráfica d e/(.r) = x 2( x - 2) se comportará como la gráfica de y = 4 ( x - 2) cerca de x = 2. La tabla 5 confirma que f ( x ) = x 2( x - 2) y y = 4 ( x - 2 ) tienen valores similares para.v cerca a 2. La figura 13 muestra los puntos (1.9, - 0 .3 6 1 ) , (1 .9 9 , - 0 .0 3 9 6 ), etc., que están en la gráfica de f ( x ) — .v:(.v - 2) junto con la gráfica de y = 4 (.r - 2) en el mismo plano cartesiano. Observamos que los puntos en la gráfica de f ( x ) = x 2( x - 2) y los puntos en la gráfica de y = 4 (.v - 2) son indistinguibles cerca de .v = 2. Por lo tanto, y = 4 (.v - 2), es una recta con pendiente 4, que describe el comportamiento de la gráfica de/(.v) = .r(.v - 2) cerca de x = 2. Tabla 5

Figura 14 y J__I__L

com o cerca de x = 0

2, 0)

I»

J . _______________

Se com p orta y =-2x2

(

f 2 -4

X

f(x) = x^x - 2)

y - 4(x - 2)

1.9

-0.361

-0.4

1.99

-0.0396

-0.04

1.999

-0.003996

-0.004

2

0

0

2.001

0.004004

0.004

2.01

0.0404

0.04

2.1

0.441

0.4

Figura 13 y

_

0.4 /y= 4(x-2 )

0.2 A

\

J9

¿i

l

f

I

1

T) 2.1

1

1

2.2

1

r

X

-0.2 -0.4

S e co m p orta com o y = 4 (x - 2 ) c e rca de x = 2

La figura 14 ilustra cómo usamos esta información para empezar a trazar la grá­ fica de f (x) = x 2(x - 2).

S E C C IÓ N 5.1

Funciones y modelos polinomiales

329

• La multiplicidad de un cero real determina si la gráfica cruza o toca el eje x en cero. • El comportamiento de la gráfica cerca de un cero real determina cómo toca o cruza la gráfica al eje x.

*

Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

4 9 ( 0

Puntos de inflexión ¿ ^O b serv a de nuevo la figura 11 de la página 327. No podemos estar seguros de qué tan ^ abajo llega la gráfica entre x = 0 y x = 2. Pero sabemos que en algún lugar del inter­ valo (0.2) la gráfica d e /d e b e cambiar de dirección (de creciente a decreciente). Los puntos en los cuales la gráfica cambia de dirección se llaman puntos de inflexión. En cálculo se dan técnicas para localizar estos puntos. Así que no pediremos la localiza­ ción de puntos de inflexión en nuestras gráficas. Sin embargo, usaremos el siguiente resultado de cálculo que indica el número máximo de inflexiones que puede tener la gráfica de una función polinomial.

TEO REM A

P u n to s d e in fle x ió n

Si / es una función polinomial de grado n, entonces la gráfica de / tiene n - 1 puntos de inflexión. Si la gráfica de una función polinomial /tie n e n - 1 puntos de inflexión, el gra­ do de / es por lo menos n.

Por ejemplo, la gráfica de f (x) = .v2(.v - 2) que se muestra en la figura 11 es la gráfica de una función polinomial de grado 3 y tiene 3 - 1 = 2 puntos de inflexión: uno en (0,0) y el otro en algún lugar entre x = 0 y x = 2. Con base en el teorema, si la gráfica de una función polinomial tiene tres puntos de inflexión, el grado de la función debe ser al menos 4.

Exploración Se puede usar un dispositivo gráfico para localizarlos puntos de inflexión de una gráfica. Traza la gráfica de = x2(x - 2). Usa MINIMUM para localizar el punto de inflexión para 0 < x < 2. Ver figura 15.

Figura 15

_______________________________________________________________J Resuelve ahora

EJEMPLO 7

el

p r o b l e m a

49

(d)

I d e n t if ic a c ió n d e la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n p o l in o m ia l

¿Cuáles de las gráficas de la figura 16 pueden ser la gráfica de una función polino­ mial? Para las que pueden serlo, indica los ceros reales y el grado mínimo que puede tener la función polinomial. Para las que no pueden serlo, indica por qué no.

330

C A P ÍT U L O 5

Funciones racionales y polinomiales

Solución

(a) La gráfica en la figura 16(a) no puede ser la gráfica de una función polinomial debido a que tiene un salto en x = - 1 . Recuerda que la gráfica de una función polinomial es continua, sin saltos u hoyos. (b) La gráfica en la figura 16(b) puede ser la gráfica de una función polinomial de­ bido a que la gráfica es suave y continua. Tiene tres ceros reales, en - 2 ,1 y 2. Como la gráfica tiene dos puntos de inflexión, el grado de la función polinomial debe ser al menos 3. (c) La gráfica en la figura 16(c) no puede ser la gráfica de una función polinomial debido a que tiene un pico en x - 1. Recuerda que la gráfica de una función po­ linomial es suave. (d) La gráfica en la figura 16(d) puede ser la gráfica de una función polinomial. Tie­ ne dos ceros reales, en - 2 y en 1. Como la gráfica tiene tres puntos de inflexión, el grado de la función polinomial es al menos 4. i Resuelve ahora

El

PROBLEMA

61

Com portam iento term inal Un último comentario respecto a la figura 11. Para valores muy grandes de x, ya sean positivos o negativos, la gráfica de f (x) = x 2(x - 2) se ve como la gráfica de y = x3. Para ver por qué, escribim os/en la forma f(x) =

- 2) =

- 2*’ = * > (l - f )

Ahora, para valores muy grandes de x, ya sean positivos o negativos, el término 2 —está cerca de 0. Así que para valores grandes de x x / ( x) = x3 - 2x2 = jc3( l - ^

~ .V3

El comportamiento de la gráfica de una función para valores grandes de x, ya sean positivos o negativos, se conoce como comportamiento terminal.

TEO REM A

C om p o rta m ien to term in al

Para valores grandes de x, ya sean positivos o negativos, la gráfica de una fun­ ción polinomial r

r En palabras r

El co m p o rta m ie n to te rm in a l de

r

una función polinomial s e p a re ce

r

a su té rm in o principal.

/ ( * ) = a„xn + a„-\xn 1 + ••• + a\X + a0 se parece a la gráfica de la función de potencias y = an-x

JJ

Por ejemplo, si f ( x ) = - 2 jc3 + 5.v2 + .v - 4, entonces la gráfica d e /s e compor­ tará como la gráfica de y = -2.v3 para valores muy grandes de .v, ya sean positivos o negativos. Podemos ver que las gráficas d e /y y = —Iv3 “se comportan” de la misma manera si consideramos la tabla 6 y la figura 17.

S E C C IÓ N 5.1

Tabla 6

X

y

f(x)

331

= -2 x 3

10

-1,494

-2,000

100

-1,949,904

-2,000,000

500

-248,749,504

-250,000,000

1,000

-1,994,999,004

-2,000,000,000

Observa que medida que x se vuelve un número positivo más y más grande, los valores de / se vuelven números negativos más y más grandes. Cuando esto sucede, decimos que / no está acotada en la dirección negativa. En lugar de usar palabras para describir el comportamiento de la gráfica de la función, explicaremos su com­ portamiento usando notación. Podemos simbolizar “el valor de / se vuelve un nú­ mero negativo más y más grande a medida que x se vuelve un número positivo más y más grande” escribiendo f (x) — oo cuando x -* oo (que se lee “los valores de / tienden a infinito negativo a medida que x tiende a infinito”). En cálculo, se usan límites para esta idea. Ahí, usamos el simbolismo lím f ( x ) = -o o , que se lee “el x-»°° límite de f (x) cuando x tiende a infinito es igual al infinito negativo”, para decir que f ( x ) - * — oo cuando x - * oo. Cuando el valor de un límite es infinito, quiere decir que los valores de la función no están acotados en la dirección positiva o negativa y le llamamos al límite un límite infinito. Cuando analizamos los límites con x no acotada en la dirección negativa o en la dirección positiva, nos referimos a los límites en el infinito. Observa de nuevo las figuras 2 y 4. Con base en el teorema anterior y el análisis de funciones de potencias, el comportamiento terminal de una función polinomial solo puede ser de 4 maneras. Ver figura 18.

¿ A

J

Comportamiento terminal f(x) = anxn + an_ 1xn 1 +

Figura 18

Funciones y modelos polinomiales

f(x) — oo cuando /(x)-*-oo cuando

f(x) -«-oo cuando

f(x) -*-oo cuando

1+ 3-|X + 3q

X-*-—00 .

f{x)~* -oo cuando

X-*-—00

X-*-oo

X-*-oo

(a)

(b)

(C)

(d )

n> 2 par; an> O

n > 2 par; an< O

n> 3 impar; an> O

n > 3 impar; an< O

Por ejemplo, si f ( x ) = ~ 2x4 + x3 + 4jc2 - I x + 1, la gráfica d e /s e parecerá a la gráfica de la función de potencias y = - 2 x 4 para valores grandes de \x\. La gráfica d e /s e comportará como la figura 18(b) para valores grandes de |*|. « » -« -» 'R esu elve ah o ra EJEMPLO 8

el

p r o b l e m a

49(

e )

I d e n t if ic a c ió n d e la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n p o l in o m ia l

¿Cuál de las gráficas de la figura 19 puede ser la gráfica de f ( x ) = x4 + 5.x3 + 5.x2 — 5jc — 6?

332

C A P ÍT U L O 5

Funciones racionales y polinomiales

La intersección con y de / e s /(O) = - 6 . Podemos eliminar la gráfica en la figura 19(a), cuya intersección con y es positiva. No tenemos ningún método para encontrar las intersecciones con x de / así que investigaremos los puntos de inflexión de cada gráfica. C o m o /e s de grado 4, la grá­ fica d e /tie n e al menos 3 puntos de inflexión. Eliminamos la gráfica de la figura 19(c) debido a que esa gráfica tiene 5 puntos de inflexión. Ahora veamos el comportamiento terminal. Para valores grandes de x, la gráfica d e /s e comportará como la gráfica de y = x 4. Esto elimina la gráfica de la figura 19(d) cuyo comportamiento terminal es como la gráfica de y = - x \ Solo la gráfica de la figura 19(b) puede ser (y de hecho es) la gráfica de f (x) - x* + 5jc3 + 5x2 — 5x —6. j

S o lu c ió n

....... 11 - Resuelve ahora

el p r o b l e m a

R ESUM EN Gráfica de una fundón polinomial fM =

65

axn+

+ ... +

a¿< + aQ

a ±

0

Grado de la función polinom ial/: n La gráfica es suave y continua. Número máximo de puntos de inflexión: n — 1 En un cero de multiplicidad par: la gráfica de / toca el eje x. En un cero de multiplicidad impar: la gráfica d e /c ru z a el eje x. Entre los ceros, la gráfica d e /e s tá por encima o por debajo del eje x. Comportamiento terminal: para valores grandes de |*|, la gráfica d e /s e comporta como la gráfica de y - ax?.

4 A nálisis de la gráfica de una función polinom ial EJEMPLO 9

C ó m o a n a l iz a r la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n p o l in o m ia l

Analiza la gráfica de la función polinomial / ( jc) = (2x + 1)(jc - 3)2. S o lu c ió n p a s o a p a s o

Paso 1: Determina el comportamiento terminal de la gráfica de la función.

Expande la función polinomial para poderla escribir en la forma / ( x) = anx n + a,,-!*"-1 + ••• + a^x + a0 f ( x ) = (2* + 1)(* - 3)2 = ( 2 x + 1 ) (te2 - 6 x + 9 ) = 2x3 -

1 2 x 2 + 18jc + x 2 — 6 x + 9

= 2x 3 — l l x 2 + 12x +

9

Multiplica. Combina términos semejantes.

La función polinom ial/es de grado 3. La gráfica d e /s e comporta como v = Zv5 para valores grandes de |jc|. Paso 2: Determina las

La intersección con y es /(O) = 9. Para encontrar las intersecciones con x, resolvemos

Intersecciones con x y en y de la gráfica de la función.

/ ( * ) — 0. / (- f) = 0

(2 jc + 1)( jc - 3)2 - 0 2x + 1 = 0 x -

2

o

(x - 3)2 = 0

o

x - 3 = 0 x =3

Las intersecciones con x son -

* S K C I Ó N 5.1 3 : P » t*rm ìiM lo * ( « r o * è t 4/u»'«.' >ón j #u muHIplk'íJjut ÜM t * r. ■* lnf(.vmj»vl l j g^Afie-A cruza o te c a il f j i n fn cad a lwtt y morirlo* polinoml.ilr*

333

Li» ceri« de / son » - y 3. LI cero - * cs un cero de multiplicidad I. así que la «■

umero . t e p u n t o * .l e in fle x ió n en

Como la función polinontial es de grado 3 (paso I ), la gráfica de la función tendrá al menos 3 - 1 ■ 2 puntos de inflexión.

I j j r j f i o . i l dr> l a f u n c i ó n .

Pa*o 5: Petermlnj el com pon

Las dos intersecciones en \ son - - y 3.

.amiento tie Id gráfica de

f cere* .le Id interjección en *.

Cerca de • * : f ( x ) = (2a + I )(x - 3)2 =» (2.r + I) (2x + I)

Cerca de 3:

f(x)

©

25 25 ■ V +7 = (2.r + l)(.r - 3)2

Una recta con pendiente

25

* (2*3 + l)(.v - 3): = 7(.r - 3)* Paso 6: Junta toda la información de loe pasos 1 al 5 para obtener la gráfica de f.

Una parábola que abre hacía im b i

La figura 2()(a) ilustra la información que obtuvimos en los pasos I al 5. Evaluamos/ en - 1, 1 y 4 para ayudarnos a establecer la escala en el eje y. La gráfica de / se mues­ tra en la figura 2()(b).

F ig u ra 20

(a) 1

....... ’■

R E S U M E N Análisis de la gráfica de una función polinomial Paso 1:

Determina el comportamiento terminal de la gráfica de la función.

Paso 2:

Determina las intersecciones con .r y con y de la gráfica de la función.

Paso 3:

Determina los ceros de la función y su multiplicidad. Usa esta información para determinar si la gráfica cruza o toca el eje .r en cada intersección con .v. Paso 4: Determina el número máximo de puntos de inflexión en la gráfica de la función. Paso 5:

Determina el comportamiento de la gráfica cerca de cada intersección con .v.

Paso 6:

Usa la información en los pasos l al 5 para trazar la gráfica completa de la función.

334

C A P ÍT U L O 5

Funciones racionales y polinomiales

EJEMPLO

A n á lis i s d e la g r á f ic a d e u n a f u n c ió n p o l in o m ia l

10

Analiza la gráfica de la función polinomial /( x ) = x2(x - 4)(x + 1) S o lu c ió n

P aso 1: Comportamiento terminal: la gráfica de /s e parece a la gráfica de la función de potencias y = x4 para valores grandes de [x|. P aso 2: La intersección con y es /(O) = 0. Las intersecciones con x satisfacen la ecuación f ( x ) = x 2(x - 4)(x + 1) = 0 Por lo tanto, x2 = 0

o

x - 4 = 0

o

x = 0

o

x = 4

o

x + 1= 0 x = -1

Las intersecciones con x con - 1 , 0 y 4. P aso 3: La intersección 0 es un cero de multiplicidad 2, por lo tanto, la gráfica de / tocará el eje x en 0; 4 y - 1 son ceros de multiplicidad 1, así que la gráfica de /c ru zará el eje x en 4 y - 1 . P aso 4: La gráfica de/tendrá a lo mucho tres puntos de inflexión. P aso 5:Las tres intersecciones con x son - 1 , 0 y 4. Cerca d e -1 :

/( x ) = x2(x - 4)(x

+

1) «

( — 1)2( —1

- 4)(x

Cerca de 0:

/ ( x ) = x2(x — 4)(x

+

1) ~

x2(0 — 4 ) ( 0

Cerca de 4:

/ ( x ) = x2(x - 4)(x + 1) « 42(x — 4)(4 + 1) = 80(x - 4)

+

1)

+ 1) = —5(x

+

= — 4x2

1)

Una r e c t a con

pendiente

-5

Una p aráb o la que a b re h a cia ab ajo Una r e c t a con pendiente

50

P aso 6: La figura 21(a) ilustra la información que se obtuvo en los pasos 1-5. La gráfica d e /s e muestra en la figura 21(b). Observa que evaluam os/en - 2 , ——, 2, y 5 para ayudarnos a establecer la escala en el eje y.



J

H Exploración Traza la gráfica de V, = x2(x —4)(x + 1). Compara lo que ves con la figura 21 (b). Usa MAXIMUM/MINIMUM para localizar los tres puntos de inflexión. i Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

69

t S E C C IÓ N 5.1

Funciones y modelos polinomiales

335

Para las funciones polinomiales que no tienen coeficientes enteros y para funcio­ nes polinomiales que no se pueden factorizar fácilmente, al iniciar el análisis usamos un dispositivo gráfico. Esto se debe a que la cantidad de información que se puede obtener de un análisis algebraico es limitada.

1*

EJEMPLO

11

Cómo usar un dispositivo gráfico para analizar la gráfica de una función polinomial Analiza la gráfica de la función polinomial / ( * ) = *3 + 2.48x2 - 4.3155* + 2.484406

Solución paso a paso P a s o 1: Determina el comportamiento terminal de la gráfica de la función.

La función polinom ial/es de grado 3. La gráfica d e /s e comporta como y = *3 para valores grades de |*|.

P a s o 2 : Traza la gráfica de la función usando un dispositivo gráfico.

Ver figura 22 para la gráfica de /.

Usa un dispositivo gráfico para aproximar las intersecciones en x y en y de la gráfica.

La intersección con y es /(O) = 2.484406. En los ejemplos 9 y 10, se factorizó la función polinomial y por eso fue fácil encontrar las intersecciones * algebraicamente. Sin embargo, no es tan evidente como factorizar/en este ejemplo. Por lo tanto, usaremos la característica ZERO (o ROOT o SOLVE) del dispositivo gráfico y encontramos que la única intersección con * es —3.79, redondeada a dos lugares decimales.

P aso 3:

Usa un dispositivo gráfico para crear una tabla para encontrar puntos en la gráfica alrededor de cada intersección con x. P aso 4:

15

F ig u ra 2 2

La tabla 7 muestra valores de * de cada lado de la intersección con *. Los puntos ( —4, —4.57) y ( —2, 13.04) están en la gráfica, Tabla 7 -4 •2

kffl -4.574 13.035

V iB X A3 + 2 .4 l3 X £-4 ...

5: Aproxima los puntos de inflexión de la gráfica. P aso

Usa la información en los pasos 1 al 5 para tra z a r a mano la gráfica completa de la función.

P aso 6 :

A partir de la gráfica d e /q u e se muestra en la figura 22, podemos ver q u e /tie n e dos puntos de inflexión. Usando MAXIMUM, un punto está en ( —2.28, 13.36), redon­ deado a dos lugares decimales. Usando MINIMUM, el otro punto está en (0 .6 3 , 1), redondeado a dos lugares decimales. La figura 23 muestra la gráfica de /u san d o la información de los pasos 1 al 5. F ig u ra 2 3

yi

(-2.28,13.36)

Comportamiento terminal: se parece a y =x 3

(-2,13.04)-

(0, 2.484406)

336

C A P ÍT U L O 5

7: E n c u e n t r a el rango d e la fu n ció n . P aso

P aso

d:

Funciones racionales y polinomiales do m inio y el

U s a la g r á f ic a p a ra

d e t e r m in a r d ó n d e e s c r e c ie n t e la

El dominio y el rango d e /e s el conjunto de todos los números reales. Con base en la gráfica, / es creciente en los intervalos (-o o , -2 .2 8 ) y (0.63, oo). A dem ás,/es decreciente en el intervalo (-2.28,0.63).

fu n ció n y d ó n d e e s d e c r e c ie n t e .

Uso de un dispositivo gráfico para analizar la gráfica de una función polinomial P aso 1 :

Determina el comportamiento terminal de la gráfica de la función.

P aso 2 :

Traza la gráfica de la función usando un dispositivo gráfico.

P aso 3 :

Usa un dispositivo gráfico para aproximar las intersecciones con x y con y de la gráfica.

P aso 4 :

Usa un dispositivo gráfico para crear una tabla y encontrar los puntos en la gráfica alrededor de cada intersección con x.

P aso 5 :

Aproxima los puntos de inflexión de la gráfica.

P aso 6 :

Usa la información en los pasos 1 al 5 para trazar a mano la gráfica completa de la función.

P aso 7 :

Encuentra el dominio y el rango de la función.

P aso 8 :

Usa la gráfica para determinar dónde es creciente y decreciente la fun­ ción.

'Resuelve ahora

EL

PROBLEMA

87

Construcción de m odelos cúbicos a partir de datos En la sección 4.2 encontramos la recta de mejor ajuste a partir de datos y en la sección 4.4 encontramos la función cuadrática de mejor ajuste. También es posible encontrar funciones polinomiales de mejor ajuste. Sin embargo, la mayoría de los estadísticos no recomiendan encontrar las funciones polinomiales de mejor ajuste de grado ma­ yor que 3. Si se tienen datos que siguen una relación cúbica, estos se deben ver como la figura 24(a) o (b).

Figura 24

y =

ax3 + bx2 + ex + d, a >

0

y = ax3 + bx2 + ex + d, a <

(a) EJEMPLO

12

0

(b)

Función cúbica de mejor ajuste Los datos en la tabla 8 representan el costo semanal C (en miles de dólares) de im­ primir x miles libros de texto. (a) Traza un diagrama de dispersión de datos tomando x como la variable indepen­ diente y C como la variable dependiente. Comenta el tipo de relación que puede existir entre las dos variables x y C. (b) Usando un dispositivo gráfico, encuentra la función cúbica de mejor ajuste C = C(x) que modele la relación entre el número de libros de texto y el costo. (c) Traza la gráfica de la función cúbica de mejor ajuste en un diagrama de dispersión. (d) Usa la función que encontraste en el inciso(b) para predecir el costo de imprimir 22 mil libros de texto a la semana.

t S E C C IÓ N 5.1

Funciones y modelos polinomiales

337

Solución

Tabla 8 Numero de libros de texto, x

Costo, C

0

100

5

128.1

10

144

13

153.5

17

161.2

18

162.6

20

166.3

23

1789

25

190.2

27

221.8

(a) La figura 25 muestra el diagrama de dispersión. Puede existir una relación cúbica entre las dos variables. (b) Al ejecutar el programa CUBIC REGression, obtenemos los resultados que se muestran en la figura 2b. La salida que da el dispositivo gráfico muestra la ecua­ ción y = u.v' + bx: + c.v +

m (el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador), entonces R es impropia. Aquí se usa la división larga.

(a) Si

n - m

(el grado del numerador es igual al grado del denominador), el cociente que se obtiene será el an

número — , y la recta y bm

an = —

es una asíntota horizontal.

(b) Si n = m + 1 (el grado del numerador es uno más que el grado del denominador), el cociente que se obtiene es de la forma a x + b (una función polinomial de grado 1 ) y la recta y - a x + b es una asíntota oblicua. (c) Si n > m + 2 (el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en dos o más), el cociente que se obtiene es una función polinomial de grado 2 o mayor y R no tiene una asíntota horizontal ni una asíntota oblicua. En este caso para valores muy grandes de |jc|, la gráfica de R se comportará como la grá­ fica del cociente. Nota; La gráfica de

5 .2

una función racional tiene o una asíntota horizontal o una oblicua o no tiene asíntotas ni horizontales ni oblicuas.

■

E v a lú a tu e n t e n d im ie n t o

"¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1.

Verdadero o falso

E l c o c ie n t e d e d o s e x p r e s io n e s p o li­

n o m ia le s e s u n a e x p r e s ió n r a c io n a l, (p p . 6 2 - 6 9 )

2.

¿ C u á l e s e l c o c ie n te y e l r e sid u o c u a n d o e n tr e *3 -

x2 +

3x* -

jc2 s e

d iv id e

3 . T r a za la g rá fica d e

4.

1. (p p . 4 4 - 4 7 )

y

= —. (p . 164)

C o n str u y e la g rá fic a d e

y

=

2(x + l )2 -

3 u sa n d o tra n sfo r­

m a c io n e s. ( p p . 2 4 4 - 2 5 1 )

Conceptos y vocabulario 5.

Verdadero o falso

E l d o m in io d e to d a fu n c ió n r a c io n a l

9.

6. Si c u a n d o x - » -oo o c u a n d o x -* oo, lo s v a lo r e s d e R(x) tie n d e n a u n n ú m e r o fijo L , e n to n c e s la r e cta ___________________ 7.

Si c u a n d o

x tie n d e

y

=

L es

___________________ d e la g rá fica d e

x = c es R.

L a g rá fica d e u n a fu n ció n racion al

L a g rá fica d e u na fu n ció n ra cio n a l

p u e d e in te r se c ta r a u n a a sín to ta v er tica l.

11.

Si u n a fu n c ió n r a c io n a l e s p ro p ia , e n t o n c e s __________________ e s u n a a sín to ta h o r iz o n ta l.

u n a ______________

___________________ d e la g rá fica d e

12. Verdadero o falso

Si e l g ra d o d e l n u m e r a d o r d e u na fu n ­

c ió n r a c io n a l e s igu al al g ra d o d e l d e n o m in a d o r , e n to n c e s

8. Para u na fu n ció n ra c io n a l R, si e l g ra d o d e l n u m e r a d o r e s m en o r q u e e l g ra d o d e l n u m e r a d o r , e n to n c e s

10. Verdadero o falso

una

R.

a a lg ú n n ú m e r o c, lo s v a lo r e s d e

| R(x) | —» oo, e n to n c e s la recta

Verdadero o falso

p u e d e in te r se c ta r a la a sín to ta h o r iz o n ta l.

e s e l co n ju n to d e t o d o s lo s n ú m e r o s r e a le s.

R

es

la ra z ó n d e lo s c o e fic ie n te s p r in c ip a le s g en er a la a sín to ta h o r iz o n ta l.

S E C C IÓ N S.2

Propiedades de las funciones racionales

351

Ejercicios En los problemas 13-24, determina el dominio de cada función racional. 13.

R{x) =

4.r j: -

3

(jc + 3 ) (4 -

jc)

jc

R(x) =

R(x)

17.

F(x)

20.

4 - 8

jc -

\

15.

H(x)

18.

Q(x) =

=

1)

2x2 - 5x -

3

-4 x 2 (x - 2){x +

4)

~ * ( 1 - x) 34

+ 5x - 2

3x2 + x

R(x)

x4 - 1 3 (4 -

3

*23. R(x)

+ 1

4

5x2 3 + x 3x(x -

6

19.

14.

“ • " W

x

- 6) 24.

4 ( 4 - 9)

F(x)

- T T T -2 (4

~ 4)

3 ( 4 + 4 jc + 4 )

En los problemas 25-30, usa la gráfica que se da para determinar (e) Las asíntotas oblicuas, si existen

(a) El dominio y rango de cada función

(b) Las intersecciones, si existen

(d) Las asíntotas verticales, si existen

(c) Las asíntotas horizontales, si existen 27.

En los problemas 31-42, construye la gráfica de cada función racional usando transformaciones. 31.

F{x)

= 2 + -

35.

H{x)

=

G(x) =

3 4 . / í ( jc) = -

= 3 + ^

36. G (x ) =

+ 1

1 +

Q(x)

j:

2

-2 jc

39.

32.

x

40.

(x

- 3 )2

F(x)

37.

Ryx) =

(* + 2

1

= 2 ------— r V 3 AT + 1

41.

R(x)

-1 jc2

+ 4 jc + 4

jc2

- 4

= ------ j JC

38.

R(x)

42.

R(x) =

1

= — =-rr + 1 x- 1 j:

- 4

352

c a p í t u i X) 5

Funciones racionales y pollnomlales

En los problemas 4.1-54, determina las asíntotas vertical, horizontal y oblicua, si existen, de cada función racional. \

\

43.

47.

R(x) = T(x)

=

51. R(x) =

3a

x +

44.

4

a4 a:4

-

R(x)

3ac + 5

=

4«. P(x) = —

4a2

x

I

6a:2 + 7a - 5

-

1

-

4x

45. H(x) =

49. (?( a ) =

8a 2 + 26x - 7

52. R(x) =

3a: + 5

\

x - 6

-

1

53.

a1 - 8 xL —5 a 4-

2a 2 -

5x^ 1 2

= 4 1

S I.

3 a 2 - 11a - 4 a4

G '( a ) =

A4 + I c u ) - -¡r r ir -

6

;

- 1

54. F( x) =

A2 - A

Í Í Ü

2a2 + 7a + 5 a4

- 16

a2

- 2a

A plicaciones y extensiones 55. Gravedad

E n física e stá e s ta b le c id o q u e la a c e le r a c ió n

d e b id a a la g ra v e d a d ,

g

(e n m /s2), a una altu ra

h

c ió n d e

so b re el n iv el d el m ar e stá d a d a p o r

g(l') =

RVÁc o m o

(a ) H a z /f, = 10 o h m s y traza la g rá fica d e

m e tr o s

fu n ­

Rr

(b ) D e te r m in a e in te rp re ta c u a lq u ie r a sín to ta d e la gráfica q u e o b tu v is te e n e l in c is o (a ).

3 .9 9 X 1 0 14

( c ) Si

h)2

(6 .3 7 4 X I0 6 +

R2 =

2 V 7 'Í|, ¿ q u é v a lo r d e

Rt d ará

un v a lo r d e

R

igu al a 17 o h m s?

Puente: en. wikipedia.org/wiki/Series_and_parallel_árcuiis

d o n d e 6 .3 7 4 x 1 0 a e s el ra d io d e la T ier ra e n m etro s. (a ) ¿C uál e s la a ce le r a c ió n p o r la g ra v ed a d al n iv el d el m ar?

ft5H. Método de Newton p(x) = anx"

(b ) La T o r r e W illis en C h ic a g o , Illin o is, m id e 4 4 3 m e tr o s

E n c á lc u lo a p r e n d e r á s q u e . si

an~\Xn~^

+

+ ••• +

a ,a

+ oo

d e altu ra. ¿C u ál e s la a c e le r a c ió n p o r la g ra v e d a d e n la e s u na fu n c ió n p o lin o m ia l. e n to n c e s la d eriv a d a d e

p a rte m ás alta d e la T o r r e W illis? (c ) La cim a d el M o n te E v e r e st e stá a 8 8 4 8 m e tr o s so b r e el

p'(x)

=

nanx"~'

(n

+

-

l)fl„ _ 1.t/l' 2 + ••• +

2azx

p(x)

es

+ a,

n iv e l d el m ar. ¿C u á l e s la a c e le r a c ió n p o r la g ra v e d a d

El método de Newlon e s un m é to d o e fic ie n te para aproxim ar

en la cim a d e l M o n te E v e r e st? (d ) D e te r m in a la a sín to ta h o r iz o n ta l d e ( e ) R e s u e lv e

g(h)

g(h).

las in te rse cc io n es co n

p( a ).

= 0. ¿ C ó m o in te r p r e ta s tu re sp u e sta ?

56. Modelo de población

x (o

ce r o s rea les) d e una fun ción , c o m o

L o s s ig u ie n te s p a so s d e sc r ib e n e l m é to d o d e N e w to n .

P a so 1: S e le c c io n a un v a lo r in icia l para x 0 q u e e s té cerca

S e d e sc u b r ió u na e s p e c ie rara d e

d e la in te r se c c ió n c o n a q u e se b u sca.

in s e c to en la se lv a tro p ica l d el A m a z o n a s . Para p r o te g e r a la e s p e c ie , lo s e c o lo g is ta s d e c la r a r o n al in s e c to e n p e li­

P a so 2: D e te r m in a lo s v a lo r e s d e

a

u sa n d o la re la c ió n

g ro d e e x tin c ió n y lo tr a n sp o r ta r o n a un á rea p r o te g id a . L a p o b la c ió n

P d el

in s e c to

t m eses

d e s p u é s d e h a b e r sid o

P

tra n sp o r ta d o e s

d e c im a le s q u e q u ie ra s. P a so 3: E l c e r o a p r o x im a d o se rá

(a ) ¿ C u á n to s in s e c to s se d e sc u b r ie r o n ? E n o tra s p a la b ra s,

t = 0?

C o n sid e r a la fu n c ió n p o lin o m ia l

(b ) ¿C u ál será la p o b la c ió n d e s p u é s d e 5 a ñ o s? (c ) D e te r m in a la a sín to ta h o riz o n ta l d e

P{t). ¿C u ál e s

R

.

p(x)

=

a5 -

7 a - 40.

(b ) ¿ A q u é c o n c lu sió n p u e d e s lle g a r a ce rca d e un c e r o d e p ? E x p lic a .

S a b e m o s p o r la le y d e

O h m para c irc u ito s q u e la r e siste n c ia to ta l

a

(a ) E v a lú a p ( 5 ) y p ( - 3 ) .

la p o ­

b la ció n m a y o r q u e p u e d e m a n te n e r e l área p ro teg id a ?

57. Resistencia en circuitos paralelos

a,

y An+1 q u e c o n c u e r d e n c o n e l n ú m e r o d e lu g a res

2 + O.Olí

¿cu ál era la p o b la c ió n c u a n d o

- 1, , 29, . . .

^

( v„)

h a sta q u e o b te n g a s d o s v a lo r e s c o n s e c u tiv o s d e

5 0 (1 + 0.5r)

P( 0 =

p(Xn)

_

+1

(c ) U s a el m é to d o d e N e w to n para a p ro x im a r una in te r­

de dos com ­

s e c c ió n c o n

p o n e n te s c o n e c ta d o s e n p a r a le lo e s tá d a d a p o r la e c u a c ió n

a,

r, - 3

< r<

5, d e

p(x)

a cu a tro lu gares

d e c im a le s. j6j (d ) U sa un d is p o s itiv o g r á fic o para o b te n e r la gráfica d e

Rtot d o n d e /?, y

p(.x) y para

R\ + R2

v er ifica r tu r e sp u e sta d e l in c is o (c).

( e ) U s a n d o un d is p o s itiv o g r á fic o , e v a lú a

p(r)

para v er ifi­

car tu re su lta d o .

so n las r e siste n c ia s in d iv id u a le s.

Explicación de conceptos: discusión y escritura 5 9 . Si la gráfica d e u n a fu n c ió n ra c io n a l

R tie n e

la a sín to ta v e r ­

61.

m in a d o r d e 60.

R.

E x p lic a p o r q u é .

Si la gráfica d e u na fu n c ió n r a c io n a l rizo n ta l

y

62.

R tie n e

= 2, e l g ra d o d el n u m e r a d o r d e

g ra d o d el d e n o m in a d o r d e

R.

la a sín to ta h o ­

R

E x p lic a p o r q u é.

e s igu al al

¿ P u e d e la g rá fica d e u n a fu n c ió n ra c io n a l te n e r u n a a sín to ­ ta h o r iz o n ta l y u n a a sín to ta o b lic u a ? E x p lica .

tical a = 4, e l fa cto r a - 4 d e b e e sta r p r e s e n te e n e l d e n o ­

D e sa r r o lla u n a fu n c ió n r a c io n a l q u e te n g a a y = 2 v + 1 c o m o u n a a sín to ta o b lic u a . E x p lic a la m e to d o lo g ía q u e u sa ste .

I S E C C IÓ N 5.3

Gráfica de una función racional

353

Respuesta a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?"

5.3 Gráfica de una función racional P r e p a r a c ió n

•

ESTA SECCIÓN A n t e s d e e m p e z a r , r e p a s a l o s i gu i e nt e :

para

I n te r s e c c io n e s (s e c c ió n 2 .2 , p p . 1 5 9 -1 6 0 )

\ Resuelve ahora lo s

p ro b le m a s d e la s e c c ió n

"¿Estás listo?" d e

la p á g in a 3 6 5 .

OBJETIVOS 1 Análisis de la gráfica de una función racional (p. 353) 2

Resolver problemas aplicados que involucren funciones racionales (p. 364)

1 A n á lis is d e la g rá fic a d e u n a fu n c ió n ra c io n a l Anteriormente comentamos que el cálculo proporciona las herramientas necesarias para trazar la gráfica de una función polinomial con exactitud. Lo mismo se aplica para funciones racionales. Sin embargo, podemos recopilar información de sus gráfi­ cas para tener una idea de la forma general y la posición de la gráfica. EJEM P LO 1

C ó m o analizar la gráfica de una función racional Analiza la gráfica de la función racional:

Solución paso a paso P a s o 1: F a cto riza el numerador y denominador de R. Determina el dominio de la función racional.

R{x)

El dominio de P a s o 2 : Escribe

R en su s térm inos

mínimos.

Localiza las in te rse c­ ciones de la g ráfica. Determina el comportamiento de la gráfica de R cerca de cada intersección con x, usando el mismo procedi­ miento que para funciones polinomiales. Traza cada intersección con x e indica el comportamiento de la gráfica cerca de ella. Paso

3:

R

es {*|* ^ - 2 ,

x2 x

4

(x + 2)(x

-

2

)

# 2}.

Como no hay factores comunes entre el numerador y denominador, términos mínimos.

R

está en sus

Como 0 está en el dominio de R , la intersección con y es R ( 0) = - . Las intersecciones con x se determinan por medio de los ceros reales del numerador de R que estén en el dominio de R . Al resolver* - 1 = 0, el único cero real del numerador es 1, así que la única intersección con * de la gráfica de R es 1. Analizamos el comportamiento de la gráfica de R cerca de * = 1: Cerca de 1:

* -

R{x) =

1

_

( * + 2 ) ( jc - 2 ) *

* -

1

_

(1 + 2 ) ( 1 - 2 ) “

1 3 *

j

Traza el punto (1, 0) y dibuja una línea que pase por (1, 0) con pendiente negativa. Ver figura 32(a) en la página 355.

Fundones racionales y polinomiales

tlc a le s . Traza cada a s ín to ta vertícal usando una línea punteada.

P a s o 5 : Localiza las a sín to tas ho­ rizontales o las a sín to tas oblicuas, si existen. Determina los puntos, si existen, en los cuales la gráfica de R intersecta a esta asíntota. Tra­ za las asín to tas usando una línea punteada. Traza cualquier punto en el que la gráfica de R intersecte a la asíntota.

Las asíntotas verticales son los ceros del denominador con la función racional en sus términos mínimos. Con R escrita en sus términos mínimos, encontramos que la gráfica de R tiene dos asíntotas verticales: las rectas x - - 2 y x = 2. Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, R es propia y la recta y = 0 (el eje jc) es una asíntota horizontal de la gráfica. Para determinar si la gráfica de R intersecta a la asíntota horizontal, resuelve la ecuación R ( x ) = 0:

jc

- 1 = 0 jc

= 1

La única solución es jc = 1, así que la gráfica de en ( 1 , 0 ). P a s o 6: Usa los ceros del nume­ rador y del denominador de R para dividir el eje x en intervalos. D eter­ mina en dónde la gráfica de R e stá por encima o por debajo del eje x escogiendo un número en cada in­ tervalo y evaluando ahí R. Traza los puntos que e n co n tra ste .

intersecta a la asíntota horizontal

R

Los ceros del numerador, 1, y los ceros del denominador, - 2 y 2, dividen al eje jc en cuatro intervalos: ( - o o ,- 2 )

(- 2,1 )

(1 , 2 )

( 2 ,o o )

Ahora construye la tabla 11.

-2

1

2

(-oo, -2 )

( - 2, 1 )

Número escogido

-3

0

Valor de R

/?(—3) = - 0.8

«(O) = 7 4

Localización de la gráfica

Por d eb ajo

Por e n cim a

Por debajo

Por encim a

del eje x

del e je x

del eje x

del e je x

X

(»■i)

(W)

(3 ,0 .4 )

Punto en la gráfica

00 Ö 1 ro

Intervalo

(2, oo)

( 1 , 2) 3

3

2



- y

tiende a y = 2

no está definida

S E C C IÓ N 5.3

Gráfica de una función racional

363

-(3,1)— y =

^

Exploración Traza la gráfica de

2X2 — 5x •+■ 2 / 3\ R(x) = ------ ------------. ¿Pu edes v e r el hoyo en ( 2 - ]? A plica T R A C E en la gráfica.

V

X2 - 4

'4 /

¿O b tu viste un ERROR en x = 2? ¿Estás co n ven cid o d e q u e se re q u iere un an álisis algeb raico de una fu n ció n racional para po d er in terp reta r co rre ctam en te la gráfica o bten id a con un disp o sitivo gráfico?

j

Como muestra el ejemplo S, los ceros del denom inador de una función racional generan las asíntotas verticales o los hoyos en la gráfica.

*"’™ EJEM P LO 6

i—Resuelve ahora

el

problema

33

C o nstrucción de una función racional a p artir de su gráfica Determina una función racional que pueda tener la gráfica que se muestra en la figura 41.

en sus términos mínimos determina las intersecciones en x de su gráfica. La gráfica que se muestra en la figura 41 tiene intersecciones en x en - 2 (multiplicidad par, la gráfica toca el eje x ) y 5 (multi­ plicidad impar, la gráfica cruza el eje x). Así que una posibilidad para el numerador es p { x ) = ( x + 2 ) 2( x —5). El denominador de una función racional en sus términos mínimos determina las asíntotas verticales de su gráfica. Las asíntotas verticales de la gráfica son x = - 5 y x - 2. Como R ( x ) tiende a 00 por la izquierda de x - - 5 y R ( x ) tiende a - 0 0 por la derecha de x = - 5 , sabemos que (;t + 5) es un factor de multiplicidad impar en q { x ) . Además, R ( x ) tiende a - 0 0 por ambos lados de x = 2, entonces (* - 2) es un factor

364

C A P ÍT U L O 5

Fundones racionales y polinomiales

de multiplicidad impar en q ( x ) . Una posibilidad para el denominador es q ( x ) (x

- 2)2. Hasta ahora tenemos

R(x)

= ( x + 5)

{ x + 2)2( jc - 5) = -------------------- r. { x + 5)(jr - 2 ) ¿

La asíntota horizontal en la gráfica que se da en la figura 41 es y = 2, entonces sabemos que el grado del numerador debe ser igual al grado del denominador y el 2 cociente de los coeficientes principales debe ser Esto nos lleva a

Figura 42 5

1

2{x

+ 2)2( jc - 5)

R(x) =

(x + 5)(x - 2 ) ¿

10 \ % S ' Verifica:

j

La figura 42 muestra la gráfica de R en un dispositivo gráfico. Dado que la figura 42 se parece a la figura 41, hemos encontrado una función racional para R la cual se observa en la gráfica de la figura 41.

Resuelve ahora

el

problema

45

2 R e so lu c ió n d e p ro b le m a s a p lic a d o s q u e in v o lu c ra n fu n c io n e s ra c io n a le s

EJEMPLO 7

D eterm in a el costo m ínim o de una lata La compañía Reynolds Metal fabrica latas de aluminio con forma cilindrica, con una capacidad de 500 centímetros cúbicos

litro^. Las partes superior e inferior de las

latas están hechas de una aleación de aluminio especial que cuesta 0.05tf por centí­ metro cuadrado. Los lados de las latas están hechos de un material que cuesta 0.02c por centímetro cuadrado. (a) .*e¿¡ (b) (c) (d) Solución (a)

s

Figura 43

Parte superior

Expresa el costo del material para la lata como una función del radio r de la lata. Usa un dispositivo gráfico para obtener la gráfica de la función C = C(r). ¿Qué valor de r dará como resultado el costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo? La figura 43 ilustra los componentes de una lata en forma de cilindro circular recto. Observa que el material requerido para producir una lata cilindrica de altura h y radio r consiste en un rectángulo de área 2 n h r y dos círculos, cada uno de área n r . El costo total C (en centavos) de fabricar la lata es C = costo de la parte superior e inferior + costo de la parte lateral = 2(ttr2) (0.05) + (2-irr/i) (0.02) Área total de Costo/Unidad parte superior de área e inferior

Área total CoetolUnidad de la parte de área lateral

= O.IOtit2 + 0.04-nr/f Pero tenemos la restricción adicional de que la altura h y el radio r se deben de escoger de manera que el volumen V de la lata sea 500 centímetros cúbicos. Como V = n ^ h , tenemos que , , 500 500 = Ttr'h entonces h = — t trr

Figura 44 60

10 o

Si sustituimos esta expresión por /?, el costo C, en centavos, como función del radio r es __ O.lOirr3 + 20 , 500 ,. 20 O .IO C(r) " u t 2 + 0 . 0 4 n r * — r = 0 . 1 0 -nr" + — Tir2 f (b) Observa la figura 44 para la gráfica de C = C(r). (c) Usando el comando MINIMUM, el costo es mínimo para un radio de aproxima­ damente 3.17 centímetros. (d) El costo mínimo es C(3.17) ~ 9.47 é|

Resuelve ahora

el

problema

55

S E C C IÓ N 5.3

365

Gráfica de una función racional

>'3 E v a l ú a t u e n t e n d i m i e n t o '¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas ■ntre paréntesis. — 1

1.

D e te r m in a la s in te r s e c c io n e s d e la g rá fica d e la e c u a c ió n y =

—z------- . (p p . x - 4

1 5 9 -1 6 0 )

Conceptos y vocabulario 2.

5.

Si e l n u m e r a d o r y e l d e n o m in a d o r d e u n a fu n c ió n r a c io ­

3.

Verdadero o falso

L a g rá fica d e u n a fu n c ió n ra c io n a l a l­

g u n a s v e c e s tie n e un h o y o .

n al n o tie n e n fa c to r e s c o m u n e s , la fu n c ió n ra c io n a l e s

x(x

«. m

L a g rá fica d e u n a fu n c ió n ra c io n a l n u n ca in te r se c ta la a sín ­

- 2)2

to ta _______________. 4.

Verdadero o falso

(a ) D e te r m in a e l d o m in io d e

L a g rá fic a d e u n a fu n c ió n ra c io n a l a l­

R. x d e R.

(b ) D e te r m in a las in te r s e c c io n e s e n

g u n a s v e c e s in te r se c ta u n a a sín to ta o b lic u a .

Ejercicios En los problemas 7^44, sigue los pasos 1 al 8 en las páginas 355-356 para analizar la gráfica de cada función. V 7.

R(x)

11J5.

=

* + 1 jc( at

X3 -

x2 -

1

x4 -

16

H(x) = - 4---------

x2 + x - 1 2 x —4

27.

R(x)

31.

R(x) =

34.

R(x)

=

37.

R(x)

=

40.

f(x) = 2x + ^

43. / (

jc)

=

=

=

20.

G{x)

=

24.

H(x) =

28.

R{x)

x(x -

=

\ l 3 .

6

-

x3 + 1 2 „

G(x)

16.

x2 + 2x 3x x2 - l

v '

19. G(x) = 23.

6 x1 - x

12 . f? (x ) = 1

9.

(x - l)(x + 2)

+ 4)

- 7 T 7

H(x) =

8. R(x) =

x2 +

4

x4 -

1

x2 - x x +

12

-

P(x)

=

x2 + 3x - 10 x2 + 8jc + 15 x2 + 5x + 6 x + 3

+ -y

+

17.

R(x) =

21.

R{x)

=

25.

F(x)

=

29.

F{x)

=

32.

R(x)

=

35.

R(x)

=

38.

R(x )

=

41.

f(x) = x2 + -

44.

f{x) = 2 x + ^

x(x -

R{x)

=

!4 .

Q{x)

=

R{x)

=

26.

F{x)

=

30.

G(x) =

18.

- y - --------- -x + x - 6

(x -

1 )(^2 - 4 )

x2 - 3 x - 4 x + 2 x2 + x - 12 x + 2

- 3)

2x2 - Ix + 6 x2 + x - 3 0 x + 6 1

22.

x -

1

4- 1

x x2 + x - 12 R(x) = x2 - 4 -4 ( jc +

X

R(x) =

x2 + x - 12 x2 - x - 6

36.

R(x) =

8x2 + 26x + 15 2x2 — jc — 15

39.

f(x) = x

42.

f(x) = 2x2 +

—

l)(x2 -

x2 + 3x + 2 x - 1 x2 - x - 12

\3 3 .

4 )2

6*2 - Ix - 3

o

x2 + 1

2 jc + 4

10.

2 jc + 4

5

(X + 3)3

x

=

(x - l)(x + 2)(x

l )2

3* + 3

R(x)

+

1

x 16

En los problemas 45-48, encuentra una función racional que pueda tener la gráfica dada. (Puede existir más de una respuesta). 46.

y=1

x = -1

x = 1

1

9)

366

C A P ÍT U L O 5

Funciones racionales y polinomiales

A plicaciones y extensiones 49. Concentración de un fármaco

d e l s o n id o d e u n a fu e n te ( s) q u e o y e un o b se r v a d o r

L a c o n c e n tr a c ió n C d e

c ie r to fá rm a co en e l to r r e n te sa n g u ín e o d e un p a c ie n te

t

h o ra s d e s p u é s d e q u e s e le in y e c te e s tá d a d a p o r

c (0 =

q u e a m b o s, la fu e n te y e l o b se r v a d o r s e e stá n en m o v i­ m ie n to en la m ism a d ir e c c ió n , la r e la c ió n e stá d a d a p or

t 2t2

+ 1

(a ) D e te r m in a la a sín to ta h o r iz o n ta l d e

C(t).

¿ Q u é p a sa

c o n la c o n c e n tr a c ió n d e l m e d ic a m e n to c o n fo r m e se

donde

/ ' = to n o q u e p e r c ib e e l o b se r v a d o r

in c r e m e n ta t?

I

(b ) U s a n d o tu d is p o s itiv o g r á fic o , o b té n la g rá fic a d e

C = C{t).

J a

/

= to n o rea l d e la fu e n te

v

= v e lo c id a d d e l s o n id o e n e l aire (co n sid era 7 7 2 .4 m p h )

(c ) D e te r m in a e l tie m p o e n e l q u e la c o n c e n tr a c ió n e s m á s

v0 =

alta.

50. Concentración de un fármaco

v

L a c o n c e n tr a c ió n C d e

c ie r to fá rm a co e n e l to r r e n te sa n g u ín e o d e u n p a c ie n te

t

b u la n cia (c o n sir e n a ) q u e s e a ce rc a a ti p o r d etrá s. E l to n o

(a ) E sc r ib e u n a fu n c ió n / ' ( « , ) q u e d esc rib a e s ta situ a ció n .

25

(b ) S i / ' = 6 2 0 H z, d eterm in a la v elo cid a d d e la am bulancia. (a ) D e te r m in a la a sín to ta h o r iz o n ta l d e C (f). ¿ Q u é p a sa c o n la c o n c e n tr a c ió n d e l m e d ic a m e n to c o n fo r m e se

j'jj (c) U s a un d isp o s itiv o g r á fic o para o b te n e r la gráfica d e la fu n c ió n .

in c r e m e n ta /?

(d ) V e r ific a tu r e sp u e sta d e l in c iso (b ).

(b ) U s a n d o tu d is p o s itiv o g r á fic o , o b té n la g rá fic a d e

C=C( t ) .

Fuente: ivwiv. kettering.edu/~drussell/

(c ) D e te r m in a e l tie m p o e n e l q u e la c o n c e n tr a c ió n e s m ás

Minimización del área de superficie

alta.

Costo mínimo

= v e lo c id a d d e la fu e n te

rea l d e la sir e n a e s d e 6 0 0 H e r tz (H z ).

50r

t2 +

S

v e lo c id a d d e l o b se r v a d o r

C o n sid e r a q u e v a s p o r e l c a m in o a 4 5 m p h y o y e s u n a a m ­

h o ra s d e s p u é s d e q u e s e le in y e c te e stá d a d a p o r

c(r) =

(o)

c u a n d o u n o o lo s d o s e stá n e n m o v im ie n to . Si s u p o n e m o s

U n ite d P arcel S erv i­

c e te ha c o n tr a ta d o para d ise ñ a r u n a caja cerrad a co n una S e q u ie r e ce rc a r u n á rea re c ta n g u la r s itu a ­

d a ju n to a un río, n o s e n e c e s ita ce r c a d e l la d o d e l río. E l

Q

b a se cu a d ra d a q u e te n g a u n v o lu m e n d e 10.000 p u lg a d a s cú b ica s. V e r ilu stra c ió n .

á rea q u e s e q u ie r e ce rc a r e s d e 1000 p ie s cu a d r a d o s. L a ce rc a p ara e l la d o p a r a le lo al río c u e s ta $5 p o r p ie lin e a l y

y

la ce rc a para lo s o tr o s d o s la d o s c u e s ta $8 p o r p ie lin eal; lo s p o s te s d e las e s q u in a s c u e s ta n $25 c a d a u n o . S e a

x

la

lo n g itu d d e u n o d e lo s la d o s p e r p e n d ic u la r e s al río. (a ) E s c r ib e u n a fu n c ió n C (* ) q u e d e sc r ib a e l c o s to d el p r o y e c to .

(a ) E x p r e sa e l á rea d e su p e r fic ie de

(b ) ¿ C u á l e s e l d o m in io d e C? (c ) U s a un d isp o s itiv o g r á fic o p ara o b te n e r la g rá fic a d e C = C(jr).

S de

la caja c o m o fu n ció n

x.

(b ) U s a n d o u n d isp o s itiv o g r á fic o , o b té n la gráfica d e la fu n c ió n q u e d e te r m in a ste e n e l in c is o (a ). (c ) ¿ C u á l e s la c a n tid a d m ín im a d e c a r tó n q u e s e p u e d e

(d ) D e te r m in a las d im e n s io n e s p ara la ce rc a m á s b arata.

Fuente: www.uncwil.edu/courses/mathlllhb/PandR/rational/rational.html 52. Efecto Doppler

x

E l e fe c to D o p p le r (n o m b r a d o a sí p o r

C hristian D o p p le r ) e s un c a m b io e n e l to n o (fr e c u e n c ia )

u sar para co n stru ir la caja? (d ) ¿ C u á le s so n las d im e n s io n e s d e la caja q u e m in im iz a n e l á rea d e su p e r fic ie ? ( e ) ¿ P o r q u é U P S p u e d e e sta r in te r e s a d o e n d iseñ a r u na caja q u e m in im ic e e l á rea d e su p e r fic ie?

I S E C C IÓ N 5.3

54. Miniinización del área de superfìcie

U n ite d P a rc el S e r v i­

367

Gráfica de una función racional

56. Material necesario para hacer un tambo

S e r e q u ie r e q u e

c e te h a c o n tr a ta d o p ara d ise ñ a r u n a caja a b ie r ta c o n u n a

un ta m b o d e a c e r o c o n fo rm a d e c ilin d r o circu la r r e c to te n ­

b a se cu a d ra d a q u e te n g a u n v o lu m e n d e 5 0 0 0 p u lg a d a s c ú ­

ga un v o lu m e n d e 100 p ie s c ú b ic o s.

b ica s. O b se r v a la ilu stra c ió n .

y

X (a ) E x p r e sa e l á rea d e su p e r fic ie de

S de

la caja c o m o fu n c ió n

jc.

j*íj (b ) U s a n d o u n d is p o s itiv o g r á fic o , o b té n la g rá fic a d e la fu n c ió n q u e d e te r m in a s te e n e l in c is o (a ). (c ) ¿ C u á l e s la ca n tid a d m ín im a d e c a r tó n q u e s e p u e d e u sar para co n stru ir la caja? (d ) ¿ C u á le s so n la s d im e n s io n e s d e la ca ja q u e m in im iz a n e l á rea d e su p e r fic ie ? ( e ) ¿ P o r q u é U P S p u e d e e sta r in te r e s a d o e n d ise ñ a r u na caja q u e m in im ic e e l á rea d e su p e r fic ie ?

55. Costo de una lata

S e r e q u ie r e q u e u n a la ta c o n fo rm a de

(a ) E x p r e sa la c a n tid a d d e m a te ria l

c ilin d r o circu la r r e c to te n g a u n v o lu m e n d e 5 0 0 c e n tím e ­ tro s c ú b ic o s. L a p a rte su p e r io r y la p a rte in fe r io r e stá n h e ­ ch a s d e un m a te ria l q u e c u e s ta 6(2 p o r c e n tím e tr o cu a d ra d o

cilin d ro .

d e 3 p ies? d e 4 p ies? (d ) ¿ C u á n to m a te ria l s e r e q u ie r e si e l ra d io d e l ta m b o es

(a ) E x p r e sa e l c o s to to ta l C d e l m a te ria l c o m o fu n c ió n d el H

r d el

(c ) ¿ C u á n to m a te ria l s e r e q u ie r e si e l ra d io d e l ta m b o es

c e n tím e tr o cu a d ra d o .

r d el

r e q u er id a para h a ­

(b ) ¿ C u á n to m a te ria l se r e q u ie r e si e l r a d io d e l ta m b o e s

y lo s la d o s e s tá n h e c h o s d e u n m a te r ia l q u e c u e s ta 4(2 p o r

ra d io

A

c e r el ta m b o c o m o fu n c ió n d e l r a d io

d e 5 p ie s?

cilin d r o . (C o n s u lta la fig u ra 4 3 ).

(b ) T raza la grá fica d e C =

C(r).

¿P ara q u é v a lo r d e

r es

H

( e ) T r a za la gráfica d e

A = A(r).

¿P ara q u é v a lo r d e

r, A

es m ás p eq u eñ a?

m ín im o e l c o s to d e C?

Explicación de conceptos: discusión y escritura 57.

q u e te n g a u n a a sín to ta v er tica l e n

H a z la grá fica d e ca d a u n a d e la s s ig u ie n te s fu n cio n es:

x

= - 5 y otra en

y q u e te n g a u n a a sín to ta h o r iz o n ta l e n

y

x=6

= 3. C o m p a ra tu

fu n c ió n c o n la d e un c o m p a ñ e r o . ¿ E n q u é d ifier en ? ¿ C u á ­ le s so n su s sim ilitu d e s?

61. C rea una fu n c ió n ra c io n a l q u e te n g a las s ig u ie n te s ca ra c­ terística s: q u e cr u c e e l e je

x = 1 u n a a sín to ta v e r tic a l? ¿ P o r q u é n o ? ¿ Q u é p asa x = 1? ¿ A q u é c o n c lu s ió n p u e d e s lle g a r a cerc a d e xn - 1 y - x - \ ' n > 1 un e n te r o , para x = 1 ? ¿Es

para

58.

a sín to ta h o r iz o n ta l e n

-2 ,

2. D a le tu fu n c ió n ra cio n a l a un

cas: tres c e r o s r e a le s, u n o d e m u ltip lic id a d 2 ; in te rse cc ió n

y

e n 1 ; a sín to ta s v e r tic a le s,

2x

x

=

-2y x = 3 y

a sín to ­

+ 1. ¿ E s ú n ica e sta fu n ció n racion al?

C o m p a ra tu fu n ció n co n la d e o tr o s e stu d ia n tes. ¿ Q u é será

¿ Q u é sim ilitu d e s o b se r v a s? ¿ Q u é d ife r e n c ia s? 5 9 . E sc r ib e a lg u n o s p á rra fo s q u e p r o p o r c io n e n u n a e str a te g ia g e n e r a l para h a cer la g rá fica d e u n a fu n c ió n ra c io n a l. A s e ­ g ú ra te d e m e n c io n a r lo sig u ie n te: p ro p ia , im p r o p ia , in te r ­

ig u a l e n la d e to d o s? A g r e g a a lg u n a s ca ra cterística s c o m o sim etría o n om b rar lo s c e r o s rea les. ¿ C ó m o m o d ific a e s to la fu n c ió n ra cio n a l?

63. E x p lic a las circu n sta n cia s b ajo las c u a le s la gráfica d e una

s e c c io n e s y a sín to ta s. C rea u n a fu n ció n ra c io n a l q u e te n g a las sig u ie n te s ca r a c­

x en 2, que

to q u e e l e je

x en

—1 ,

Respuesta al ejercicio de la sección "¿Estás listo?" o , y , ( lo) , ( - lo)

x en

y q u e ten g a una

r a c io n a l p o r escr ito .

ta o b lic u a y =

1.

y=

x = 1

62. C rea una fu n c ió n ra cio n a l c o n las s ig u ie n te s ca ra cterísti­

H a z la gráfica d e ca d a u n a d e la s s ig u ie n te s fu n cio n es:

terísticas: q u e cru ce e l e je

3 , q u e to q u e el eje

c o m p a ñ e r o y p íd e le su s c o m e n ta r io s acerca d e tu fu n ció n

con

60.

x en

q u e ten g a una a sín to ta v er tica l e n

fu n ció n ra cio n a l p u e d e te n e r un h o y o .

368

C A P ÍT U L O 5

Funciones racionales y polinomiales

5.4 Desigualdades polinomiales y racionales P

r e p a r a c ió n

para esta

S E C C IÓ N A n t e s d e e m p e z a r , r e p a s a l o s i g u i e nt e :

R e s o lu c ió n d e d e sig u a ld a d e s lin e a le s (s e c c ió n 1.5,

•

p p . 1 2 3 -1 2 5 )

\ Resuelve ahora los

R e s o lu c ió n d e d e sig u a ld a d e s cu a d rá tica s (s e c c ió n 4 .5 , pp. 3 0 9 -3 1 1 )

p ro b lem a s d e la se c c ió n

"¿Estás listo?" d e

la p ág in a 371.

OBJETIVOS 1 Resolver desigualdades polinomiales (p. 368)

2 Resolver desigualdades racionales (p. 369)

1 R e so lu c ió n d e d e s ig u a ld a d e s p o lin o m ia le s En esta sección resolveremos desigualdades que involucren funciones polinomiales de grado 3 y mayor, junto con desigualdades que involucren funciones racionales. Para ayudarnos a entender el procedimiento algebraico para resolver tales desigual­ dades, usaremos la información obtenida en las tres secciones anteriores acerca de gráficas de funciones polinomiales y racionales. Este enfoque sigue la misma metodo­ logía que usamos para resolver desigualdades que involucran funciones cuadráticas. EJEM P LO 1

Solución de una desigualdad polinomial usando su gráfica Resuelve (x + 3)(x - l ) 2 > 0, trazando la gráfica d e f ( x ) =

Solución

(x

+ 3)(x - l ) 2.

Traza la gráfica de f(x) - ( jc + 3)(jc - l ) 2 y determina los intervalos de x para los cuales la gráfica está por encima del eje x. Estos valores de x dan como resultado una f(x) positiva. Usando los pasos 1 al 6 de la página 333, obtenemos la gráfica que se muestra en la figura 45.

En la gráfica podemos ver qu e f ( x ) > 0 para - 3 < . x < l o . c > l . E l conjunto solución e s { x | - 3 < j r < l o x > l o usando la notación de intervalos ( - 3 , 1 ) U (1, oo). |

Resuelve ahora

el

problema

9

Los resultados del ejemplo 1 nos llevan al siguiente enfoque para resolver des­ igualdades polinomiales y racionales algebraicamente. Considera que la desigualdad polinomial o racional está en alguna de las formas f(x)

<

0

/(* ) >

0

f(x)

<

0

f(x)

>

0

S E C C IÓ N 5.4

Desigualdades polinomiales y racionales

369

Determina los ceros de / s i / e s una función polinomial y determina los ceros del nu­ merador y del denominador si / es una función racional. Si usamos estos ceros para dividir la recta de los números reales en intervalos, sabemos que en cada intervalo la gráfica de /e stá por encima del eje x \ f ( x ) > 0] o por debajo del eje .v [/(.v) < ()|. En otras palabras, hemos encontrado la solución de la desigualdad. EJEMPLO 2

C ó m o reso lver una desigualdad polinomial algebraicam ente Resuelve la desigualdad x 4 >

Solución paso a paso

x

algebraicamente y traza la gráfica del conjunto solución.

Reordena la desigualdad para que el 0 este1 en el lado derecho.

Paso 1: E s c rib f la desigualdad de manera que la expresión polinomial

>

f e sté en el lado izquierdo y el cero e sté en el lado derecho.

.v4 -

.V

.r > 0

R esta x en ambos lados de la desigualdad.

Esta desigualdad es equivalente a la que queremos resolver. Determina los ceros reales de f ( x )

Paso 2: Determ ina los cero s re a ­ les (in terseccio n es con x de la g rá ­ fic a ) de f.

= x* - x .t 4 -

resolviendo x 4 -

,t = 0

O

.V — 1 = 0

=

o

x

x

0

La ecuación .t2 + Paso 3: Usa los ceros que d e te r­

x

=

1) ( .v2 + .v + 1) = 0

Factoriza la diferencia de dos cubos.

O

Igualaacerocadafactoryresuelve.

.V + .V + 1 = 0

1

+ 1 = 0 no tiene soluciones reales. ¿Puedes ver por qué?

(-o o ,0 )

Paso 4: Escoge un número en cada intervalo, evalúa f en ese número y determ ina si f es positiva o ne­

(0,1)

(l,oo)

Selecciona un número de prueba en cada intervalo que determinaste en el paso 3 y evalúa/(.v) = x* - x en cada número para determinar si f ( x ) es positiva o negativa. Ver tabla 16.

gativa. S i es positiva, todos los valores de f en el intervalo son positivos. S i f es negativa, todos los valores en el intervalo son ne­ gativos.

0

1

Intervalo

( - 00, 0)

(0 ,1 )

(1, 00)

Número escogido

-1

1 2

2

Valor de f

f(- 1 ) = 2

f( 2) <

Positiva

Conclusión

N O T A S i la desigualdad no es e s ­

t r ic t a ( £ o s ) , incluye la s solu­ ciones de f ( x ) = O en el conjunto solución. ■

-

2-1 0 1 2

Factoriza x.

Usa los ceros para separar la recta de los números reales en tres intervalos:

m inaste en el paso 2 para dividir la re cta de los números reales en intervalos.

Figura 46

0.

* = 0

.v (.t 3 — 1) = 0 .v(.v -

x =

i ) ~

Negativa

= 14

¿ Positiva

Como queremos saber dónde es positiva f ( x ) , podemos concluir que f ( x ) > 0 para todos números x para los cuales jc < 0 o x > 1. Como la desigualdad original es estricta, los números x que satisfacen la ecuación x 4 = ,v no son soluciones. El con­ junto solución de la desigualdad x 4 > x es (.v| x < 0 o x > 1 } o, usando notación de intervalos, ( - o o , 0 ) U (1, °°). La figura 46 muestra la gráfica del conjunto solución. j ■

«

-Resuelve ahora

el

p r o b l e m a

21

2 R e so lu c ió n d e d e s ig u a ld a d e s ra c io n a le s De la misma forma que presentamos un enfoque gráfico para ayudarnos a entender el procedimiento algebraico para resolver desigualdades que involucran funciones

370

C A I’ ÍT U L O 5

Fundones racionales y pollnomlales

polinomiales, presentaremos un enfoque gráfico que nos ayudará a entender el proce­ dimiento algebraico para resolver desigualdades que involucren expresiones racionales.

EJEMPLO 3

Solución de una desigualdad racional usando su gráfica Resuelve

Solución

x ^

-

1

trazando la gráfica de

^

Traza la gráfica de

-

x K (x) =

x2 -

1

R(x)

\

y determina los intervalos de x en los que la gráfi-

4

ca está por encima o por debajo del eje dan como resultado

x íi(x) =

¿Entiendes por qué? Estos valores de x x - 1 positiva o cero. Hicimos la gráfica de R \ x ) = — - en el x.

ejemplo 1, sección 5.3 (pp. 353-354). Reproducimos la gráfica en la figura 47.

En la gráfica podemos ver que R ( x ) s 0 para - 2 < x ^ 1 o x > 2. El conjunto solu­ ción es {.v| —2 < a < 1 o .v > 2} o, usando notación de intervalos, ( - 2 , 1 ] U (2. 3 c).

Resuelve ahora

el

33

problema

Para resolver una desigualdad racional algebraicamente, seguiremos el mismo en­ foque que usamos para resolver una desigualdad polinomial algebraicamente. Sin em­ bargo, también debemos identificar los ceros del denominador de la función racional, debido a que el signo de una función racional puede cambiar en cualquier lado de una asíntota vertical. Te puedes convencer de esto si ves la figura 47. Observa que los valores de la función son negativos para .v < - 2 y positivos para x > - 2 (pero menor que 1 ).

EJEM PLO 4

Solución paso a paso Paso 1: Escribe la desigualdad de manera que la expresión racional f e sté en el lado izquierdo y el cero e sté en el lado derecho.

C ó m o reso lver una desigualdad racional algebraicam ente 3 algebraicamente y traza la gráfica del conjunto

Resuelve la desigualdad solución.

Reordena la desigualdad para que el 0 esté en el lado derecho. 4.v + 5 > 3 x + 2 4.v + 5 - 3 2: 0 Resta 3 en ambos lados de la desigualdad. x + 2 4.V + 5

.v + 2

------------- 3 * ---------- — U x + 2 x + 2

4.v + 5 - 3.v x + 2

6

> 0

X - 1 —— > U

x + 2

Multiplica 3 p o r ------- .

f

f

x+

2

Escríbelo como un solo cociente.

Combina términos semejantes.

i S E C C IÓ N 5.4

’aso 2 : Determ ina los cero s reaes (in te rse ccio n e s en x d e la gráfi-

El cero de f ( x ) =

X — 1 ■■ es

Desigualdades polinomiales y racionales

1. A dem ás,/no está definida para x

=

371

-2 .

;a ) de f y los números reales para os cuales f no e s tá definida. ?a so 3 : Usa los ceros y los valores ndefinidos que d eterm in aste en el oaso 2 para dividir la re c ta de los números reales en intervalo s.

Usa el cero y el valor indefinido para separar la recta de los números reales en tres intervalos,

Paso 4 : Escoge un número en cada intervalo, evalúa f en ese número y determ ina si f es positiva o ne­ g ativa. S i f es positiva, todo s los valores de f en el Intervalo son positivos. S i f es negativa, todos los valores de f en el intervalo son negativos.

Escoge un número de prueba en cada intervalo que determinaste en el paso 3 y evax —1 lúa /( x ) = --------en cada número para determinar si /(x ) es positiva o negativa. x + 2

'

00’

¿ ,1)

\

'

00)

Ver tabla 17. Tabla 17

-2

1

(-o o ( -2 )

Número escogido

-3

Valor de f

f{~ 3) = 4

O

(1,oo)

Intervalo

Conclusión

Positiva

Negativa

2 I NJ |

*- 1-tfII

5

II

(-2 ,1 ) 0

Positiva

Como queremos saber dónde /(x ) es positiva o cero, podemos concluir que /(x ) > 0 para todos los números x para los cuales x < - 2 o x > l . Observa que no in­ cluimos - 2 en la solución porque - 2 no está en el dominio de/. El conjunto solución 4x + 5 de la desigualdad — s 3 e s { x |x < - 2 o x > 1 }, usando notación de interva­ F ig u ra 4 8 ___U -i

1—4

-4

-2

i

i

f_ i

0

2

i

los, (- o o , - 2 ) U [1, oo). La figura 48 muestra la gráfica del conjunto solución.

l

4

Resuelve ahora

RESU M EN P aso 1:

3 9

p r o b l e m a

Pasos para resolver desigualdades polinomiales y racionales algebraicamente

Escribe la desigualdad de manera que una expresión polinomial o racional / esté en el lado izquierdo y cero esté en el lado derecho en alguna de las siguientes formas: /(*)>

P aso 2 :

e l

i

0

/( * ) — 0

/(*)<

0

f(x)

<

0

Para expresiones racionales, asegúrate de que el lado izquierdo esté escrito como un solo cociente y encuentra el dominio de/. Determina los números reales en los cuales la expresión / e s igual a cero y si la expresión es racional, los números reales en los que la expresión / no está definida.

P aso 3 :

Usa los números que determinaste en el paso 2 para separar la recta de los números reales en intervalos.

P aso 4 :

Escoge un número de cada intervalo y evalúa / en ese número. (a) Si el valor d e /e s positivo, entonces/(x) > 0 para todos los números x en el intervalo. (b) Si el valor de / es negativo, entonces /( x )

>

0 para todos los números x en el intervalo.

Si la desigualdad no es estricta (> o < ), incluye las soluciones de /(x ) = 0 que estén en el dominio d e / en el conjunto solución. Asegúrate de excluir los valores de x donde/no esté definida. -

------

------- —.. .....

1

' — ... .

1 - " —.. —*

5 .4 E v a l ú a t u e n t e n d i m i e n t o _____________ ________________________________________________________________ "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1.

R e s u e lv e la d e sig u a ld a d 3 - 4 x > 5. H a z la g ráfica d el co n ju n to so lu c ió n , (p p . 1 2 3 -1 2 5 )

2.

R e su e lv e la d e sig u a ld a d x 2 - 5x < 24. H a z la gráfica d el co n ju n to so lu c ió n , (p p . 3 0 9 -3 1 1 )

372

c a p ít U LO 5

Funciones racionales y pollnomlales

Conceptos y vocabulario 3.

V e rd a d e ro o f a l s o -2 <

x

U n n ú m e r o d e p ru eb a p a r a e l in te r v a lo

4. V erd a d ero o f a l s o

< 5 p u e d e ser 4.

e n c im a d el e je

x

La gráfica d e

para

x<

s 0 o

x 2

*

está por

x > 3, a sí x ------- - s 0 e s x - 3

q u e e l co n ju n to

0 o

so lu c ió n d e la d esig u a ld a d

{x\x

f(x)

3 }.

Ejercicios En los problemas 5-8, usa la gráfica de la función para resolver la desigualdad. 5. (a) f(x) > 0 6. (a ) f(x) (b) / w < o

< 0

(b ) / ( x) > 0

En los problemas 9-14, resuelve la desigualdad usando la gráfica de la función. [Sugerencia: L as g rá fica s se tra za ro n e n lo s p r o b le m a s 6 9 - 7 4 d e la s e c c ió n 5 .1]. \ 9 .

11. 13.

R e s u e lv e

f(x)

< 0, d o n d e

f ( x ) = a 2( a

R e s u e lv e

f(x)

^ 0, d o n d e

f(x)

R e s u e lv e

f(x)

£ 0, d o n d e

f(x)

-

3 ).

= (x + 4 ) (x -

10. R e s u e lv e 2 ) 2.

= - 2 ( a : + 2 )(.v - 2 ) \

f(x)

s

12.

R e s u e lv e / ( . r ) > 0 . d o n d e

14.

R e s u e lv e

f(x) <

f(x)

0. d ond e

0. d o n d e

f(x)

= a ( x + 2 ) 2. = (.r -

f(x) =

l ) ( x + 3 ) 2.

- ^ ( j r + 4 )(.r -

l ) 3.

En los problemas 15-18, resuelve la desigualdad usando la gráfica de la función. [Sugerencia: L as g rá fica s se tra za ro n e n lo s p r o b le m a s 7 - 1 0 d e la s e c c ió n 5 .3].

15. 17.

R e s u e lv e R { x )

R e s u e lv e

R(x)

>

0, donde R ( x )

^ 0, d o n d e

R(x)

= =

'V + * ,v ( j: + 4 ) 3.v + 3

16.

R e s u e lv e R ( x )

18.

R e s u e lv e

R(x)

<

0. donde

R(.x) = —------ * vx 1

s

0. donde

R(x) —

2x

2.v + 4 '

+ 4

•v -

1 ‘

En los problemas 19-48, resuelve cada desigualdad algebraicamente. 19.

( jc - 5 )2(.v + 2 ) < 0

22. a:3 + 8jc2 < 0

25. {x -

l) (.v -

2)(x

- 3) < 0

28. x3 + 2.v2 - 3.v > 0

20. (,v - 5)(.v + 2)2 > 0

\ 2 1 . .r3 - 4.v2 > 0

2 3 . 2.r* > - 8.v2

24. 3 a-3 < - 1 5 . r

26. (x +

27. a-3 - 2a-2 - 3.v > 0

1 ) ( .V + 2 )(.v + 3 ) < 0

29. a:4 > a-2

30. v4 < 9a-2

,- + 1

Desigualdades polinomiales y racionales

x + 1 x - 1

V

\ 3 3 . ----- - > 0

32. x3 > 1

%

34.

„

1

2

x - 2

3.v -

jr - 4 4 1 . -------- — < 2

42. ------- - > 1

..

x - 4

xix2 +

l)(x -

44.

9

2)

46.

1 )U + 1)

1

2x + 4 x 2(3 + x ) ( x + 4 )

5

x - 3

>

x

45.

+ 1

(■* + 5 ) ( x -

47. -------- r------------ < 0 x3 -

1)

(2 - x)3(3x - 2)

(3 - x ) 3( 2 x + 1)

> 0

1

x + 4 x - 2

x + 2

x - 4

-

\3 9 .

(.v + 5 )2

> 1

(* -

a:

38. ~ ^-------> 0

37 * - ^ r * °

43.

36. ----------------- s 0

.V

(-v -2 )2

40. ^

(-V - 3 ) ( x + 2 )

3 5 . (' - 1)(' + 1 ) S Q

^> 0 .v + 1

373

48. -------- r------------ < 0

X3 + 1

1

Práctica mixta En los problemas 49-60, resuelva cada desigualdad algebraicamente. 49.

( x + 1 ) ( jc - 3 ) ( x -

52.

.T2 + 3 x > 10

53.

55.

3 ( x 2 - 2 ) < 2 ( x - l )2 + x 2

56.

58.

50.

5) > 0

12

(2 x -

1) (x + 2 )(x + 5) < 0

51. 7 x - 4 > - 2 x 2

^ 4

= 2

54. £ ^ 1 . - 2 x + 2

x -

3

(x - 3 )(x + 2) < x 2 + 3x + 5

57. 6x - 5 < -

x

59. x 3 - 9 x < 0

x 4--- < 7 x

60. x 3 - x > 0

A plicaciones y extensiones 61. ¿P ara q u é n ú m e r o s p o s itiv o s e x c e d e r á e l c u b o d e un n ú ­ m e r o cu a tro v e c e s su c u a d ra d o ? 62.

¿P ara q u é n ú m e r o s p o s itiv o s e l c u b o d e u n n ú m e r o será m e n o r q u e e l n ú m er o ?

63.

¿ C u á l e s e l d o m in io d e la fu n c ió n / ( x ) = V x 4 - 16?

64.

¿ C u á l e s e l d o m in io d e la fu n c ió n / ( x ) = V x 3 - 3 x 2?

65.

¿ C u á l e s e l d o m in io d e la fu n c ió n / ( x ) =

66.

z l, x + 4'

i-

x 3 j ¿ C u á l e s e l d o m in io d e la fu n c ió n / ( x ) =

g(x)

= —2 x 2 + 2

69. / ( x ) = x 4 - 4 g (x ) = 3x2

71. Costo promedio

x + 4'

73. Salto en Bungee

L a c o stu m b r e d e q u e una p e r so n a sa lte

d e sd e u n lu g a r e n a lto a m a rra d o d e un a c c e s o r io fle x ib le , tu v o su o r ig e n e n la isla d e P e n te c o s té s en el P a cífic o , se in tr o d u jo a la cu ltu ra o c c id e n ta l e n 1979 p o r el C lu b de D e p o r te s P e lig r o so s d e la U n iv e r s id a d d e O x fo rd . U n p a ­ B u n g e e e s q u é ta n to se estira rá e l co r d ó n en la p arte baja d e la ca íd a . L a rig id e z d e l c o r d ó n e stá r e la c io n a d a co n la ca n tid a d d e e s tir a m ie n to p o r la e c u a c ió n 2 W(S +

L)

68. f(x) = x 4 - 1

g(x) = x - l 70. / ( x ) = x 4 g (x ) = 2 - x2 C o n sid e ra q u e el c o s to d ia rio C d e fabri­

car b ic ic le ta s e stá d a d o p o r C (x ) = 8 0 x + 50 0 0 . E n to n c e s . 80 x + 5000 e l c o s to p r o m e d io d ia rio C e s tá d a d o C ( x ) = ------------------ • ¿ C u á n ta s b ic ic le ta s se d e b e n p ro d u c ir ca d a d ía para q u e el c o s to p r o m e d io n o se a m a y o r q u e $ 100 ?

72. Costo promedio

¿ C u á n ta s b ic ic le ta s se d e b e n p ro d u c ir ca d a d ía para q u e el c o s to p r o m e d io n o se a m a y o r q u e $ 100 ?

rá m e tr o im p o r ta n te q u e se d e b e sa b er a n te s d e saltar d el

99

En los problemas 67-70, determina dónde la gráfica de f está por debajo de la gráfica de g resolviendo la desigualdad f(x) ^ g(x).. Traza las gráficas de f y g juntas. 67. / ( x ) = x 4 - 1

c o s to p r o m e d io d ia rio C a h o ra e s C ( x ) = -------- —-------- .

C o n su lta el p r o b le m a 7 1 . C o n sid e r a q u e

e l g o b ie r n o im p o n e un im p u e s to d ia rio d e $1000 al fa b ri­ c a n te d e b ic ic le ta s d e m a n e ra q u e e l c o s to C d e fabricar x b ic ic le ta s ah ora e stá d a d o p o r C (x ) = 8 0 x + 6000. E l

donde

W = K = L = S =

p e s o d e la p e r so n a q u e sa lta (lib ras) rig id e z d e l c o r d ó n (lib ra s p or p ie) lo n g itu d lib re d el co r d ó n (p ie s) e s tir a m ie n to (p ie s)

(a ) U n a p e r so n a d e 150 lib ras q u ie re saltar d e una p la ta ­ fo rm a am arrada a un c o r d ó n d e 4 2 p ies. Si la rigid ez d el co r d ó n n o e s m e n o r q u e 16 libras p or p ie, ¿cu á n to se estirará el co r d ó n ? (b ) Si lo s r e q u isito s d e seg u rid a d n o p erm iten q u e la p er­ so n a q u e sa lte se a c e rq u e m á s d e 3 p ie s al s u e lo , ¿cuál e s la altura m ín im a q u e se re q u ie re para la p la ta fo rm a d el in c iso (a )?

Fuente: American Institute ofPhysics, Physics News Update, No. 150, November 5, 1993.

374

C A P ÍT U L O 5

Funciones racionales y polinomiales

74. Fuerza gravitacional

m o s, la m a sa d e la lu n a e s d e 7 .3 4 9 x 10 22 k ilo g ra m o s y la

S e g ú n la le y d e N e w to n d e g r a v ita ­

c ió n u n iv e rsa l, la fu erz a a tra ctiv a

F e n tr e

d o s c u e r p o s está

d ista n c ia m e d ia d e la T ierra a la lu n a e s d e 3 8 4 ,4ÍX) k iló m e ­

dada por

tros. Para un o b je to e n tr e la T ierra y la lu n a, ¿ q u é tan lejos

F= G

d e la T ier ra e s m a y o r la fu e rz a d e la lu n a so b r e el o b jeto

m\m2

q u e la fu erza d e la tierra so b r e e l o b je to ?

Fuente: www.solarviews.com;en.wikipedia.org donde

mv m2 =

75. Visita de campo

las m a sa s d e lo s d o s c u e r p o s

r

=

d ista n c ia e n tr e lo s d o s c u e r p o s

G

=

c o n s ta n te g r a v ita c io n a l

L a Sra. W e st h a d e c id id o llev a r a su gru-

p o d e 5 o a u n a o b ra d e te a tr o . E l a d m in istra d o r d el tea tro a c c e d ió a d e sc o n ta r $ 0.20 d el p r e c io reg u la r d e l b o le to de $ 4 0 p o r ca d a b o le t o v e n d id o . E l c o s to d el c a m ió n , $500, se

= 6 .6 7 4 2 X 1 0 - 11 N • m 2 k g ~2

d iv id irá e q u ita tiv a m e n te e n tr e lo s e s tu d ia n te s. ¿ C u á n to s

C o n sid e r a q u e un o b je to v iaja d ir e c ta m e n te d e la T ierra

e s tu d ia n te s d e b e n a sistir p ara q u e e l c o s to p o r e s tu d ia n te

a la lu n a. L a m a sa d e la T ierra e s d e 5 .9 7 4 2 x 10 24 k ilo g ra -

se a m e n o r q u e $40?

Explicación de conceptos: discusión y escritura 76.

77.

D e s a r r o lla u na d e sig u a ld a d q u e n o te n g a so lu c ió n . D e s a ­

para o b te n e r

rro lla u n a q u e te n g a e x a c ta m e n te u n a so lu c ió n .

[x\x s

L a d e sig u a ld a d

x4 +

1 < - 5 n o tie n e so lu c ió n . E x p lic a p o r

79.

qué. 78.

x + 4

m u ltip lic a n d o a m b o s la d o s d e la d e sig u a ld a d p o r

+

4 <

0. E s to le d io c o m o so lu c ió n

E sc r ib e u n a d e sig u a ld a d ra c io n a l c u y o c o n ju n to so lu c ió n s e a {jc| - 3 <

U n e s tu d ia n te tra tó d e r e so lv e r la d e sig u a ld a d ^

x

- 4 ) . ¿ E stá en lo c o r r e c to e l e s tu d ia n te ? E x p lica .

x

< 5).

^ 0

x -

3

Respuestas a Sos ejercicios de la sección "¿Estás listo?' 1.

x <

2.

- 00.

-2

-

{jc|—3 < x ^ 8 } o [ - 3 , 8] —|-

1-1 0

5.5 Los ceros reales de una función polinomial P R E P A R A C IÓ N P A R A E S T A S E C C IÓ N

Antes de empezar, repasa lo siguiente:

E v a lu a c ió n d e fu n c io n e s (s e c c ió n 3 .1 ,

D iv is ió n d e p o lin o m io s (c a p ítu lo R ,

p p .2 0 3 -2 0 6 )

s e c c ió n R .4 , p p . 4 4 - 4 7 )

F a c to r iz a c ió n d e p o lin o m io s (c a p ítu lo R ,

C e r o s d e u n a fu n c ió n cu a d rá tica

s e c c ió n R .5 , p p . 4 9 - 5 5 )

(s e c c ió n 4 .3 , p p . 2 9 2 -2 9 3 )

D iv is ió n sin té tic a (c a p ítu lo R , s e c c ió n R . 6, p p . 5 8 - 6 1 )

Resuelve ahora los

p ro b lem a s d e la se c c ió n " ¿E stás listo ? " d e la p á g in a 384.

OBJETIVOS 1 Usar los teoremas del residuo y del factor (p. 375) 2 Usar el teorema de los ceros racionales para enumerar los ceros racionales posibles de una fundón polinomial (p. 378) Determinar los ceros reales de una función polinomial (p. 378) Solución de ecuaciones polinomiales (p. 381) Usar el teorema para cotas en ceros (p. 381) Usar el teorema del valor intermedio (p. 382)

E n la s e c c i ó n 5 .1 p u d i m o s id e n t i f i c a r l o s c e r o s r e a l e s d e u n a f u n c ió n p o l i n o m i a l d e ­ b i d o a q u e la f u n c i ó n e s t a b a e n f o r m a f a c t o r iz a d a o s e p o d í a f a c t o r iz a r f á c i l m e n t e . P e r o , ¿ c ó m o e n c o n t r a m o s lo s c e r o s r e a le s d e u n a f u n c ió n p o lin o m ia l si n o e s tá f a c t o ­ r iz a d a o n o s e p u e d e f a c t o r iz a r f á c i l m e n t e ?

S E C C I Ó N 5.5

375

Los ceros reales de una función polinomial

Recuerda que si r es un cero real de una función polinomial/, entonces f { r ) = 0 , r es una intersección con x de la gráfica de / x - r es un factor de f y r es una solu­ ción de la ecuación f ( x ) = 0 . Por ejemplo, si x - 4 es un factor de / entonces 4 es un cero real de f y 4 es una solución de la ecuación f ( x ) = 0 . Para funciones polinomiales y racionales, hemos visto la importancia de los ceros reales para su represen­ tación gráfica. Sin embargo, en la mayoría de los casos, los ceros reales de una fun­ ción polinomial son difíciles de encontrar usando métodos algebraicos. No tenemos fórmulas agradables como la fórmula cuadrática para encontrar los ceros de funcio­ nes polinomiales de grado 3 o mayor. Existen fórmulas para resolver cualquier ecua­ ción polinomial de tercer o cuarto grado, pero son bastante complicadas. No existen fórmulas generales para ecuaciones polinomiales de grado 5 o mayor. Para mayor información, consulta el comentario histórico al final de esta sección. 1 U so d e lo s te o re m a s d e l re s id u o y d e l fa c to r Cuando dividimos una función polinomial (el dividendo) entre otra (el divisor), ob­ tenemos un cociente polinomial y un residuo, siendo el residuo la función polinomial cero o una función polinomial cuyo grado es menor que el grado del divisor. Para verificar nuestro trabajo, realizamos la siguiente operación (Cociente)(Divisor) + Residuo = Dividendo Esta rutina para comprobar es la base de un famoso teorema llamado el algorit­ mo* de la división para funciones polinomiales, el que en seguida estableceremos sin dar su demostración. TEO REM A

Algoritmo de la división para funciones polinomiales Si /(. y) y g(x) denotan funciones polinomiales y si g(x) es una función polino­ mial cuyo grado es mayor que cero, entonces existen funciones polinomiales únicas q(x ) y r ( x ) tales que /(* )

g(x)

r(x)

= q{x) +

o

f(x)

g{x)

t

=

q (x )g (x ) + r(x) t

í

dividendo cociente divisor

(1)

t

residuo

donde r ( x ) es la función polinomial cero o un polinomio de grado menor al grado de g ( x ) .

J

r(x)

En la ecuación (1), f ( x ) es el dividendo, g(.t)es el divisor, q ( x ) es el cociente y es el residuo. Si el divisor g(jt) es una función polinomial de primer grado de la forma g(x) = x -

c

es un número real

c

entonces el residuo r ( x ) es o la función polinomial cero o un polinomio de grado 0 . Como resultado, para tales divisores, el residuo es algún número, digamos R , y f ( x ) = (x -

c)q(x) + R

(2 )

Esta ecuación es una identidad en x y es verdadera para todos los números reales x. Considera que x - c. Entonces la ecuación (2) se vuelve /( c ) = (c -

c)q(c) + R

f(c) = R

*Un algoritmo es un proceso sistemático en el que ciertos pasos se repiten un número finito de veces. Por ejemplo, la división larga es un algoritmo.

376

C A PÍT U L O 5

Funciones racionales y polinomiales

Sustituye / ( c) por R en la ecuación (2) para obtener + /( c )

f ( x ) = (x ~ c)q(x)

(3)

Acabamos de demostrar el teorem a del residuo. T E O R E M A D E L R E S ID U O

EJEMPLO 1

Sea / una función polinomial. Si f ( x ) se divide entre x es/(c).

entonces el residuo

Uso de teo rem a del residuo Determina el residuo si / ( x ) = (a)

Solución

- c,

x

- 3

x3

-

(b)

4x2 x

5 se divide entre

+ 2

(a) Podemos usar la división larga o la división sintética, pero es más fácil usar el teorema del residuo, que dice que el residuo es/(3 ). /( 3 ) - (3 ) 3 - 4(3 ) 2 - 5 = 27 - 36 - 5 = -1 4 El residuo es -1 4 . (b) Para determinar el residuo cuando dividimos f ( x ) entre x + 2 = x - (- 2 ) , evalúa / ( - 2 ). / ( —2) - ( —2 ) 3 - 4 ( - 2 ) 2 - 5 = - 8 - 16 - 5 = -2 9 El residuo es -2 9 .

|

Compara el método usado en el ejemplo la con el método usado en el ejemplo 1 del capítulo R, sección R.6 . ¿Qué método prefieres? Da tus razones.

Sj COM ENTARIO Un dispositivo gráfico proporciona o tra forma de determ inar el valor de una fun­ gí ción usando la c a ra c te rís tic a eVA LU Eate. Consulta tu instru ctivo para los detalles. Después verifica los re su ltad o s del ejemplo 1. ■

Una consecuencia útil e importante del teorema del residuo es el teorem a del factor.

TEO REM A D EL FA C TO R

Sea / una función polinomial. Entonces f(c) = 0.

x

-

c

es un factor de f ( x ) si y solo si j

El teorema del factor consiste en dos proposiciones separadas: 1. Si /(c ) = 0, entonces x - c es un factor de f ( x ) . 2. Si x —c es un factor de f ( x ) , entonces /(c ) = 0.

La demostración requiere de dos partes. D em ostración

1. Considera que /(c ) = 0. Entonces, por la ecuación (3), tenemos /(*) =

(x ~ c)q(x)

para alguna función polinomial q(x). Esto es, x —c es un factor de f ( x ) . 2.

Considera que x q tal que

- c

es un factor d e/(x). Entonces existe una función polinomial f ( x ) = (x ~ c)q(x)

SEC C IÓ N

lo* erro* reales de una función polinomi.il

377

Sustituyendo.t por c, encontramos que

* (c -

f(c)

■ ()•) tienen signos opuestos, existe por lo menos un cero real entre a y b.

J

S E C C IÓ N 5.5

E JE M P L O 8

Los ceros reales de una fundón polinomlal

383

Uso del teorema del valor intermedio para determinar un cero real Demuestra que f(x ) = x 5 - x 3 - 1 tiene un cero entre 1 y 2.

Solución

E v a lú a /e n 1 y en 2. / ( i) = - i

y

/( 2 ) = 23

Com o/(1 ) < 0 y /(2 ) > 0, podemos concluir por el teorema del valor intermedio que la función polinom ial/tiene por lo menos un cero entre 1 y 2. . ahopa EL PR0BLEMA 77

Veamos la función polinomial del ejemplo 8 más detalladamente. Con base en el teorema de los ceros racionales, ±1 son los únicos ceros racionales posibles. Como /(1 ) # 0, podemos concluir que el cero entre 1 y 2 es irracional. Podemos usar el teo­ rema del valor intermedio para aproximarlo.

Aproximación de los ceros reales de una función polinomial P aso 1 :

P aso 2 : P aso 3 :

P aso 4 :

Determina dos enteros consecutivos a y a + 1 tales que /te n g a un cero entre ellos. Divide el intervalo [«, a + 1] en 10 subintervalos iguales. E v alú a/en cada punto terminal de los subintervalos hasta que aplique el teorema del valor intermedio, entonces este subintervalo contiene un cero. Repite este proceso empezando con el paso 2 hasta que obtengas la precisión deseada.

Aproximación de un cero real de una función polinomial

E JE M P L O 9

f(x ) = x 5 - x3 - 1 tiene exactamente un cero entre 1 y 2. Aproxímalo correctamente a dos lugares decimales.

Solución

Divide el intervalo [1,2] en 10 intervalos iguales: [1,1.1], [1.1,1.2], [1.2,1.3], [1.3,1.4], [1.4,1.5], [1.5,1.6], [1.6,1.7], [1.7,1.8], [1.8,1.9], [1.9,2], Ahora determina el valor de / e n cada punto terminal hasta que aplique el teorema del valor intermedio. f(x) = x5 - x 3 - l

COM ENTARIO La característica de TABLA de una calculadora gráfica facilita considerablemente los cálcu­ los de la solución del ejemplo 9. ■

/(1 .0 ) = - 1

/(1.2) = -0.23968

/(1 .1 ) = -0.72049

/(1.3) = 0.51593

Podemos terminar aquí y concluir que el cero está entre 1.2 y 1.3. Ahora divide el intervalo [1.2,1.3] en 10 subintervalos iguales y e v alú a/en cada punto terminal. /(1220) = -0.23968

/(1.23) » -0.0455613

/(1.21) « -0.1778185

/(1.24) « 0.025001

/(1.22) » -0.1131398 Podemos concluir que el cero está entre 1.23 y 1.24, y así, corregido a dos lugares decimales, el cero es 1.23. F ig u ra 5 0

^ Exploración Examinaremos la función polinomial f que se dio en el ejemplo 9. El teorema de cotas en los ceros nos dice que todo cero está entre —2 y 2. Si hacemos la gráfica de f usando - 2 < x < 2 (ver figura 50), vemos que f tiene exactamente una intersección en x. Usando ZERO o ROOT, determinamos que este cero es 1.24, redondeado a dos lugares decimales. Corregido a dos lugares decimales, el cero es 1.23. Zero X=Í.Z36E0£?

J

v=o

-Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

89

384

CAPÍTULO 5

Funciones racionales y polinomiales

Existen muchos otras técnicas numéricas para aproximar los ceros de una fun­ ción polinomial. La que se da en el ejemplo 9 (una variación del método de bisección) tiene la ventaja de que siempre funciona, se puede programar fácilmente en una computadora y cada vez que se usa se logra otro lugar decimal de precisión. Observa el problema 115 para el método de bisección, el cual, pone al cero en una sucesión de intervalos, donde cada nuevo intervalo es la mitad de la longitud del intervalo anterior.

Comentario histórico Existen fórm ulas para resolver ecuaciones polinomiales de

E

solución en su libro Ars Magna (1545) dando el crédito a Tartaglia

tercer y cuarto grado y, aunque no son muy prácticas, tienen

pero comprom etiendo el secreto. Tartaglia explotó en amargas re­

una historia interesante.

crim inaciones y cada uno escribió folletos que reflexionaban acerca

En los años 1500 en Italia, los concursos de m atemáticas eran

de las matemáticas, el carácter moral y la experiencia del otro.

un pasatiempo popular y las personas que tenían métodos para

La ecuación de cuarto grado fue resuelta por un estudiante de

resolver problemas los m antenían en secreto. (Las soluciones que

Cardano, Lodovico Ferrari, y su solución también fue incluida, con

ya se habían publicado eran del conocim iento general). Niccolo de

crédito y esta vez con permiso, en el Ars Magna.

Brescia (1499-1557), com únm ente conocido como Tartaglia ("el

Se hicieron intentos para resolver la ecuación de quinto grado

tartam udo"), poseía el secreto para resolver ecuaciones cúbicas (de

en formas similares, pero todas fallaron. Al inicio del siglo xix, P.

tercer grado), lo cual, le daba una ventaja clara en los concursos.

Ruffini, Niels Abel y Evariste Galois encontraron formas de mostrar

Girolamo Cardano (1501-1576) descubrió que Tartaglia poseía el

que no es posible resolver ecuaciones de quinto grado por medio

secreto y, como estaba interesado en las cúbicas, se lo pidió a Tarta­

de una fórmula, pero las pruebas requerían de la introducción de

glia. Tartaglia dudó por algún tiempo, pero finalm ente hizo que Car­

nuevos métodos. El método de Galois se convirtió en una gran parte

dano jurara guardar el secreto y bajo juram ento a la media noche y

del álgebra moderna.

a la luz de las velas le dijo el secreto. Entonces Cardano publicó la

Problemas históricos Los problemas 1-8 desarrollan la solución de Tartaglia-Cardano de la ecuación cúbicay muestran por qué no es muy práctica.

4. Usa la solución para Hdel problema 3 y la ecuación H3 + K3 = - q para dem ostrar que

1. Demuestra que la ecuación cúbica general y 3 + by* 2+ cy + d = 0 1 se

puede

transform ar

en

una

ecuación

de

la

forma

b

x3 + px + q = 0 usando la sustitución y = x — —. 2. En la ecuación x 3 + px + q = 0, sustituye x por H + K. Sea 3 HK = - p y demuestra que H3 + K3 = -q .

5 . Usa los resultados de los problemas 2 al 4 para demostrar que la solución de x 3 + px + q = 0 es

3. Con base en el problema 2, tenem os dos ecuaciones 3H K = - p

y

H3 + K3 = —q

Resuelve para K en 3 HK = - p y sustituye en H3 + K3 = -q. Después demuestra que

6 . Usa el resultado del problema 5 para resolver la ecuación x 3 - 6x - 9 = 0.

7. Usa una calculadora y el resultado del problema 5 para resolver la ecuación x 3 + 3x - 14 = 0.

8 . Usa los métodos de esta sección para resolver la ecuación x 3 +

[Sugerencia: Busca una ecuación que sea de forma cuadrática].

5 .5

3x — 14 = 0.

E v a lú a tu e n t e n d im ie n t o

"¿Estás listo?"

L a s respuestas se d a n al final de estos ejercicios. Si obtienes u n a respuesta incorrecta, lee las páginas m a r c a d a s

entre paréntesis.

1. D eterm ina/(-l) si/(x) = 2x 2 2. Factoriza la expresión 6x2 + x —

x. 2.

(pp. 203-206) (pp. 49-55)

3. Determina el cociente y residuo si 3.v4 - 5.r3 + Ix - 4 se divide entre x —3. (pp. 44^17 o 56-61) 4. Determina los ceros de/(.v) = .v2 + .v —3. (pp. 292-293)

S E C C IÓ N 5.5

385

Los ceros reales de una función polinomial

..Conceptos y vocabulario ,4

5. En el p ro ceso d e la d ivisión p olin om ial (D iv iso r ) (C o c ie n te ) + _______________= _______________ .

9.

6. C u an d o se d ivid e una función p olin om ial / en tre a + c , el resid u o e s _________________ .

10.

Si / e s una función p olin om ial y .v - 4 es un factor de / , en to n ces / ( 4 ) = _________________ . V e r d a d e r o o falso

y si / ( 2 ) = 5, en to n c es

7. Si una fu n c ió n /, cu yo d o m in io es tod os los n úm eros reales, e s par y si 4 es un cero de / , e n t o n c e s _________________ es

5

/(-v) x - 2

tam b ién un cero. 8.

Si / e s una función p olinom ial de grado 4

V e r d a d e r o o falso T od a función polin om ial de grado 3 con c o e ficie n te s reales tien e exactam en te tres cero s reales.

= P(x) +

.v - 2

d on d e p (x ) es una función polinom ial de grado 3.

Ejercicios En los problemas 11-20, usa el teorema del residuo para determinar el residuo cuando f ( x ) se divide entre x - c. Después usa el teorema del factor para determinar si x - c es un factor de f ( x ) .

\

11. f ( x ) = 4a3 - 3.r - 8.r + 4; a - 2

12. f ( x ) = - 4 a3 + 5a2 + 8; a + 3

13. f ( x ) = 3a4 - 6 .r - 5.r + 10: .v - 2

14. / ( a )

= 4a4 - 15.v2 - 4; a - 2

15. /(.x)

=

3a6 + 82a3 + 27; a + 3

16. / ( a )

=

17. f { x )

=

4a6 - 64.v4 + a2 - 15; a + 4

18.

/(.v) = x b - 16a4 + a2 - 16; a + 4

20.

/ ( a ) = 3a4 + a3 - 3a + 1; a + -

19.

/ ( a ) = 2a4 - a3 + 2a - 1; a - -

2xb - 18.v4 +

a2

- 9;

a

+ 3

En los problemas 21-32, indica el número mínimo de ceros reales que puede tener cada función polinomial. No trates de determinar los ceros. 21. / (

a)

= -4

a7

+ x3 - x 2 + 2

22.

/ ( a) = 5a4 + 2a2 - 6a - 5

23.

/ ( a ) = 2a6 - 3a2 - a + 1

24. / (

a)

= - 3 a5 + 4 a 4 + 2

25.

/ ( a) = 3a3 - 2a2 + a + 2

26.

/ ( a ) = -A3 - A2 + A + 1

27. / (

a)

= -

28.

/ ( a) = a4 + 5a3 - 2

29.

/ ( a) = A5 + A4 + A2 + A + 1

30. / (

a)

=

31.

/ ( a) = a6 - 1

32.

/ ( a) = a6 + 1

a4

+

a2

- 1

-r5 - A4 + A3 - A2 + A

1

E n los problemas 33-44, enlista los ceros racionales posibles de cada función polinomial. No trates de determinar los ceros.

\

2a2 + 3

33.

/ ( a) = 3a4 - 3a3 + a2 - a + 1

34. / ( a ) =

a5

36.

/ ( a ) = 2a5 - a4 - a2 + 1

37. / ( a ) =

- 4 a3 -

a2

+

39.

/ ( a) = 6a4 - a2 + 9

40. / ( a ) =

- 4 a3 +

a2

+ a + 6

42.

/ ( a) = 3a5 - a2 + 2a + 18

43. / ( a ) = 6 a 4 + 2 a 3 - a 2 + 20

- a4 +

a

+

2

35. / ( a) = a5 - 6a2 + 9a - 3 38. / ( a) = 6a4 - a2 + 2 41.

/ ( a) = 2a5 - a3 + 2a2 + 12

44.

/ ( a) = - 6 a3 - a2 + a + 10

E n los problemas 45-56, usa el teorema de los ceros racionales para encontrar todos los ceros reales de cada función polinomial. Usa los ceros para facto rizar f en los números \

45. / ( a ) =

a3

+

2a2 - 5a - 6

46. / ( a ) =

a3

+ 8 a 2 + 11a - 20

48. / ( a ) =

2a3 +

a2

+

2a + 1

49. f ( x ) = 2a3 - 4a2 - 10a + 20

51. / ( a ) =

2a4 +

a3

-

7a2 - 3a + 3

52. / ( a )

= 2a4 -

54. / ( a ) =

a4

55. / ( a )

= 4a4 + 5a3 + 9a2 + 10a + 2

- a 3 - 6a 2

+ 4a + 8

a3

-

5a2 + 2a + 2

47. / ( a )

= 2a3 -

a2

50. / ( a )

= 3a3 +

6a 2 -

53. / ( a ) = 56. / ( a )

E n los problemas 57-68, resuelve cada ecuación en el sistema de los números reales. \

57. A4 59.

a3

+ 2a2 - 4a - 8 = 0

3a3 + 4a2 - 7a + 2 = 0

58.

2a3 + 3a2 + 2a + 3 = 0

60. 2a3 - 3a2 - 3a - 5 - 0

a4

+

a3

-

+ 2a - 1 15a - 30

3a2 -

a

= 3a4 + 4a3 + 7a2 +

+ 2 8a

+ 2

386

CAPÍTULO 5 Funciones racionales y polinomiales

61. 3x3 - x2 - 15x + 5 = 0

62. 2x3 - llx 2 + lOx + 8 = 0

63. x4 + 4x3 + 2x2 - x + 6 = 0

64. x4 - 2x3 + 10x2 - 18x + 9 = 0

, 2 , 8 65. x3 - -x 2 + -x + 1 = 0 3 3

3 66. x3 + -x 2 + 3x - 2 = 0

67. 2x4 - 19x3 + 57x2 - 64x + 20 = 0

68. 2x4 + x3 - 24x2 + 20x + 16 = 0

En los problemas 69-76, determina las cotas de los ceros reales de cada función polinomial. \ 6 9 . f (x) = x4 - 3x2 - 4

70. /(x ) = x4 - 5x2 - 36

71. /( x ) = x4 + x3 - x — 1

72. /(x ) = x4 - x3 + x - 1

73. /( x ) = 3x4 + 3x3 - x2 - 12x - 12

74. /(x ) = 3x4 - 3x3 - 5x2 + 27x - 36

75. /( x ) = 4x5 - x4 + 2x3 - 2x2 + x - 1

76. f (x) = 4x5 + x4 + x3 + x2 - 2x - 2

En los problemas 77-82, usa el teorema del valor intermedio para demostrar que cada función polinomial tiene un cero en el intervalo dado. \ 7 7 . /( x ) = 8x4 - 2x2 + 5x - 1; [0,1]

78. /(x ) = x4 + 8x3 - x2 + 2; [-1,0]

79. /( x ) = 2x3 + 6x2 - 8x + 2; [ - 5 ,- 4 ]

80. /(x ) = 3x3 - lOx + 9; [-3, -2]

81. / ( x ) = x5 - x4 + 7x3 - 7x2 - 18x + 18; [1.4,1.5]

82. /(x ) = x5 - 3x4 - 2x3 + 6x2 + x + 2; [1.7,1.8]

En los problemas 83-86, cada ecuación tiene una solución r en el intervalo indicado. Usa el método del ejemplo 9 para aproximar esta solución corregida a dos lugares decimales. 83. 8x4 - 2x2 + 5x - 1 = 0; 0 < r < 1

84. x4 + 8x3 - x2 + 2 = 0; -1 < r < 0

85. 2x3 + 6x2 - 8x + 2 = 0; -5 < r < -4

86. 3x3 - lOx + 9 = 0; -3 < r < -2

En los problemas 87-90, cada función polinomial tiene exactamente un cero positivo. Usa el método del ejemplo 9 para aproximar el cero corregido a dos lugares decimales. 87. f (x) = x33 +' x2 "2+1x" - 4

88. /(x ) = 2x4 + x2 - 1

\,89 . /(x ) = 2x4 - 3x3 - 4x2 - 8

90. /(x ) = 3x3 - 2x2 - 20

Práctica m ix ta -----------En los problemas 91-102, traza la gráfica de cada función polinomial. 91. /(x )

=x3 + 2x2 - 5x - 6

92. /(x ) = x3 + 8x2 + llx - 20

93. /(x ) = 2x3 - x2 + 2x - 1

94. f(x)

=2x3 + x2 + 2x + 1

95. /(x ) = x4 + x2 —2

96. /(x ) = x4 - 3x2 - 4

97. /(x )

= 4x4 + 7x2 - 2

98. /(x ) = 4x4 + 15x2 - 4

99. /(x ) = x4 + x3 - 3X2 - x + 2

100. /(x ) = x4 - x3 - 6x2 +4x + 8

101. /(x ) = 4x5 - 8x4 - x + 2

102. /(x ) = 4x5 + 12x4 - x - 3

Aplicaciones y extensiones 103. Determina k tal que f(x) = x3 - kx2 + kx + 2 tenga el fac­ tor x - 2. 104. Determina k tal que /(x) = x4 - kx3 + kx2 + 1 tenga el factor x + 2. 105. ¿Cuál es el residuo cuando /(x) = 2x20 - 8x10 + x —2 se divide entre x - 1? 106. ¿Cuál es el residuo cuando/(x) = -3 x 17 + x9 - x5 + 2x se divide entre x + 1?

107. Usa el teorema del factor para demostrar que x - c es un factor de x" - c" para cualquier entero positivo n. 108. Usa el teorema del factor para demostrar que x + c es un factor de x" + c" si n > 1 es un entero impar. 109. Una solución de la ecuación x3 - 8x2 + 16x - 3 = 0 es 3. Determina la suma de las soluciones restantes. 110. Una solución de la ecuación x3 + 5x2 + 5x - 2 = 0 es -2. Determina la suma de las soluciones restantes.

i S E C C IÓ N 5.6

l í l . Geometría

Ceros complejos: teorema fundamental del álgebra

387

¿Cuál es la longitud de la orilla de un cubo si, después de que se corta una rebanada de 1 pulgada de ancho de un lado, el volumen restante es de 294 pulgadas cúbicas?

Ahora, como p es un factor de los primeros n términos de esta ecuación, p también debe ser un factor del termino a^q". Como p no es factor de q (¿por qué?), p debe ser factor de af). De forma similar, q debe ser un factor de an.]

¿Cuál es la longitud de la orilla de un cubo si su volumen se puede duplicar al incrementar 6 centímetros en una orilla, incrementar 12 centímetros en una segunda orilla y disminuir 4 centímetros de la tercera orilla?

115. Método de bisección para aproximar ceros de una función/ Comenzamos con dos números enteros conse­ cutivos, a y a + 1, tales que f(a ) y f{a + 1) tengan signos opuestos. Evalúa / en el punto medio m x de a y a + 1. Si

113. Sea/(.r) una función polinomial cuyos coeficientes son nú­ meros enteros. Considera que r es un cero real de / y que el

/(m ,) = 0, entonces m, es el cero d e / y con eso termina­ mos. De otra manera, /(m ,) tiene signo opuesto a f ( a ) o a f(a + 1). Considera que f(a) y /(/w ) tienen signo opues­ to. Ahora e v a lú a /e n el punto medio m2 de a y mx. Repi­ te este proceso hasta que obtengas el grado de precisión deseado. Observa que cada iteración pone al cero en un intervalo cuya longitud es la mitad del intervalo anterior. Usa el método de bisección para aproximar el cero de f(x) = &c4 - lx 2 + 5x - 1 en el intervalo [0,1] corregido a tres lugares decimales.

112. Geometría

coeficiente principal de / e s 1. Usa el teorema de los ceros racionales para demostrar que r es un número entero o un número irracional. 114. Demuestra el teorema de los ceros racionales. [Sugerencia: Sea —>donde p y q no tienen factores comu-

1 tiene por lo menos un cero complejo. i -J No demostraremos este resultado, debido a que la demostración va más allá del objetivo de este libro. Sin embargo, usando el teorema fundamental del álgebra y el teorema del factor, podemos demostrar el siguiente resultado:

TEO REM A

Toda función polinomial compleja / ( . y ) de grado n > 1 se puede factorizar en factores lineales (no necesariamente diferentes) de la forma f{x)

= a„(x

- r,)(.v -

r2) ......... ( x

- r„)

n

(2)

donde a n, rv rr . . . , rn son números complejos. Esto es, toda función polinomial compleja de grado « > 1 tiene exactamente n ceros complejos, los cuales se pueden repetir.

J

D em ostración

Sea f(x)

= íz„. v " +

«„-i-v" 1 + ••• + axx +

ÍI0

Por el teorema fundamental del álgebra, / tiene por lo menos un cero, digamos Entonces, por el teorema del factor, ,v - r, es un factor, y

rr

f ( x ) = (x - ri)qi(x) donde q^x) es una función polinomial compleja de grado n - 1 cuyo coeficiente principal es a n. Repitiendo este argumento n veces, llegamos a / ( . y ) = (. y -

r ,)(x - r2 ) ............(-v “ rn )q„(x)

d o n d e q n(x) e s u n a f u n c ió n p o lin o m ia l c o m p le j a d e g r a d o n — n = 0 c u y o c o e f ic ie n t e e s a n. E s t o e s ,' q1n'(.y') = a nx° = a n J y en to n c es / ( . y ) = a „(. y -

r,)(.Y -

r2)

............(. y -

r„)

Podemos concluir que toda función polinomial/ ( . y ) de grado n > te n ceros (no necesariamente diferentes).

1

tiene exactamen­ ■

*Gauss dio cuatro demostraciones diferentes para este teorema, la primera en 1799 fue el tema de su tesis doctoral.

< S E C C IÓ N 5.6

J

Ceros complejos: teorema fundamental del álgebra

389

Uso del teorem a de pares conjugados Podemos usar el teorema fundamental del álgebra para obtener información útil acerca de los ceros complejos de funciones polinomiales cuyos coeficientes son nú­ meros reales.

T EO R EM A DE PARES C O N JU G A D O S

Sea /(.v) una función polinomial cuyos coeficientes son números reales. Si r = a + bi es un cero de / el conjugado complejo r = a - bi también es un cero d e /. En otras palabras, para funciones polinomiales cuyos coeficientes son números reales, los ceros complejos se dan por pares conjugados. Este resultado no debe ser muy sorprendente, debido a que las soluciones complejas de una ecuación cuadrática se dan por pares conjugados. D em o stració n

Sea / ( .t ) =

a „xn + an-\ x " ~ {

+ ••• +

cixx + a 0

donde a . a ....... an son números reales y a í 0. Si r = a + bi es un cero de / entonces /( r ) = f ( a + bi) = 0, entonces a„r" +

+ ••• + axr + a0 = 0

Obten el conjugado en ambos lados para tener a„r" + an-\r n~x + ••• + a tr + 2 par

Pasa por ( - 1 ,1 ) , (0,0), (1,1) Función par Decreciente en (-oo, 0), creciente en (0, oo)

f(x)

= r " ,f i> 3

Dominio: todos los números reales. Rango: todos los números reales

impar

Pasa por (—1, -1 ), (0, 0), (1,1) Función impar Creciente en (-oo, oo)

Función polinomial (pp. 320, 329-331) Dominio: todos los números reales

f{x) = anxn + a,,-!*"-1 + • • • + a\X + aQ, an

0

A lo más n - 1 puntos de inflexión Comportamiento terminal: se comporta como y = a x n para |.r| grandes

Ceros reales de una función polinomial / (p. 325)

Números reales para los cuales/( y) = 0; los ceros reales de / son las intersecciones en / de la gráfica de / .

Función racional (pp. 343-350) R(x)

P(x)

p, q son funciones pclinomiales y q no es el cero polinomial.

Dominio (y | í/( y) ¥= 0) Asíntotas verticales: con R(x) en sus términos mínimos, si q(r) = 0 para algún número real, entonces x = re s una asíntota vertical. Asíntota horizontal u oblicua: Ve el resumen en la página 350.

Teorema del residuo (p. 376) Teorema del factor (p. 376) Teorema de los ceros racionales (p. 378)

Si una función polinomial / ( . y ) se divide entre .y - c, entonces el residuo es f(c).

x - c es un factor de una función polinom ial/( y) si y solo si /(c ) = 0. S e a /u n a función polinomial de grado 1 o mayor de la forma /(y)

= a,,x" + a„-\xn~x + • •• + a^x + a0

a„ *

0,

a0 *

0

p

donde cada coeficiente es entero. Si —, en sus términos mínimos, es un cero racional s problemas 23-34, comenta acerca de cada función racional siguiendo los ocho pasos que se dan en la página 336. 2 3 . R(x) = —-----

2 7 . R(x) = ■ / X x -

3 1 . R( a) =

a

2 8 . R{x) =

6

- 6

2a 4 (a -

4- A

2 4 . R(x)

x¿ - 6 v + 9

3 2 . R(x) = -y

1)-

25.

aj

a

/ / (a ) =

26.

/ / (A ) -

r

A - 1

A (A - 2 )

.r 2 9 . F(x) = ~2 A* - 4 33. G ( a ) = —

- 9

+ 2 _

3a 3

3 0 . F(x)

x2 - 4

(a -

l)2

(a -

l)2

3 4 . F(a) = - ¡ — A - 1

A' - A - 2

En los problemas 35-44, resuelve cada desigualdad. Haz la gráfica del conjunto solución. 35.

a-3

+

a2

< 4v + 4

36. a3 + 4a 2 > a + 4

6

37. a

39. ^

40.

“ < 2

1 - A

„ A2 - 8 a + 12 4 3 . - - - - =- - - - - - - - - > 0 a 2 - 16

1

38. - A r - < 1 1 - 3a

A + 1

3 - 2a ------- - > 2 2a + 5 a (a2

+ 3

4 , . (* - 2 )(y

A - 3

42. — ----- — < 0

. 1> a 0

a (a

- 5)

+ a - 2)

4 4 . — r- - - - - - - - - - - - < 0 A- + 9 a + 20

En los problemas 45-48, encuentra el residuo R cuando f(x) se divide entre g(x). ¿Es g un factor de f? 45. / ( a ) = 8 a 3 - 3 a2 + a +

4;

g ( x) =

47. / ( a ) = a 4 - 2 a-3 + 15a - 2; 49.

g {x )

=

x

-

1

x + 2

Determina el valor de / ( a ) = 12a6 - 8 a4

g{x) = x

46. / ( a ) = 2 a 3 + 8 a2 - 5 a + 5; 48. / ( a ) = a 4 - a 2 + 2 a + 2;

g (x ) =

a

-

2

+ 1

+ 1 en a = 4.

50. Determina el valor de / ( a ) = - 1 6 a3 + 18a2 -

a

+ 2 en a = - 2 .

51. Enlista todos los ceros racionales posibles

de / ( a ) = 12a8 -

52. Enlista todos los ceros racionales posibles

de / ( a ) = - 6 a5 + a4 +2 a 3—a + 1.

a7

+6 a4- a3 + a - 3.

En los problemas 53-58, usa el teorema de los ceros racionales para determinar todos los ceros de reales de cada función polinomial. Usa los ceros para factorizar f en los números reales. i

53.

/ ( a ) = a 3 - 3a 2 - 6 a + 8

54. / ( a ) = a3 -

55.

/ ( a ) = 4 a 3 + 4 a 2 - 7a + 2

56.

/ ( a ) = 4 a 3 - 4 a 2 - 7a - 2

57.

/ ( a ) = a 4 - 4 a 3 + 9 a 2 - 20 a + 20

58.

/ ( a ) = a 4 + 6 a 3 + 11a 2 + 12a + 18

a2

- 10a - 8

En los problemas 59- 62, resuelve cada ecuación en el sistema de las números reales. 59. 2 a 4 + 2 a 3 -

11a 2 + a - 6 = 0

60.

61. 2 a 4 + 7 a 3 +

a2

62. 2 a 4 + 7 a 3 - 5 a 2 - 28 a - 12 = 0

- 7a - 3 = 0

3a 4 + 3a 3 -

17a 2 + a - 6 = 0

En los problemas 63-66, determina las cotas de los ceros reales de cada función polinomial. 63.

= a 3 - a 2 -- Ar /(a) = 4 a -+l 2

64. / ( a ) = a 3 + a 2 -

65.

/ ( a ) = 2 a 3 - 7a 2 -

66. / ( a ) = 3 a 3 - 7 a 2 - 6 a + 14

10a + 35

10 a - 5

En los problemas 67-70, usa el teorema del valor intermedio para demostrar que cada función polinomial tiene un cero en el intervalo dado. 67. / ( a ) = 3 a 3 - a 69.

1;

[ 0 ,1 ]

/ ( a ) = 8 a 4 - 4 a 3 - 2 a - 1;

68. / ( a ) = 2 a 3 - a 2 - 3; [0 , 1]

70.

[ 1 ,2 ]

/ ( a ) = 3 a 4 + 4 a 3 - 8 a - 2;

[ 1 , 2]

396

C A P ÍT U L O 5

Funciones racionales y polinomiales

En los problemas 71-74, cada función polinomial tiene exactamente un cero positivo. Aproxima el cero corregido a dos lugares deci­ males. 71. f(x) = x3 - * - 2

72. f (x) = 2x3 - x2 - 3

73. f(x) = 8x4 - 4x3 - 2x - 1

74. / ( x) = 3x4 + 4x3 - 8 x - 2

En los problemas 75-78, se da información acerca de una función polinomial compleja f(x) cuyos coeficientes son números reales. Determina los ceros restantes de f. Después determina una función polinomial con coeficientes reales que tenga los ceros. 75. Grado 3;

ceros: 4 + i, 6

76. Grado 3;

ceros: 3 + 4i, 5

77. Grado 4;

ceros: i, 1 + i

78. Grado 4;

ceros: 1,2,1 + i

En los problemas 79-86, determina los ceros complejos de cada función polinomial f(x). Escribe f en su forma factorizada. 79. f{x) = x3 - 3x2 - 6x + 8

80. f{x) = x3 - x2 - 10jc - 8

81. f (x) = 4x3 + 4x2 - I x + 2

82. f (x) = 4x3 - 4x2 - l x - 2

83. f (x) = x4 - 4x3 + 9x2 - 20x + 20

84. f(x) = x4 + bx3 + \\x 2 + \2x + 18

85. f (x) = 2x4 + 2x3 - llx 2 + x - 6

86. f (x) = 3x4 + 3x3 - \lx 2 + x - 6

87. Hacer una lata Se requiere que una lata con forma de ci­ lindro circular recto tenga un volumen de 250 centímetros cúbicos. (a) Expresa la cantidad A de material para hacer la lata como función del radio r del cilindro. (b) ¿Cuánto material se necesita si la lata tiene 3 centíme­ tros de radio? (c) ¿Cuánto material se necesita si la lata tiene 5 centíme­ tros de radio? |^j (d) Haz la gráfica de A = A ( r ) . ¿Para qué valor de r es más pequeña A l 88. Modélalo: tasas de pobreza Los siguientes datos repre­ sentan el porcentaje de familias en los Estados Unidos cuyo ingreso está por debajo del nivel de pobreza.

(b) Escoge una función de mejor ajuste para estos datos (li­ neal, cuadrática o cúbica) y usa esta función para prede­ cir el porcentaje de familias de los EE.UU. que estaban por debajo del nivel de pobreza en 2005 (t = 16). (c) Traza la función de mejor ajuste en el diagrama de dis­ persión que trazaste en el inciso (a). 89. Desarrolla una función polinomial con las siguientes carac­ terísticas: grado 6; cuatro ceros reales, uno de multiplicidad 3; intersección en y 3; se comporta como y = -Sx6 para valores grades de |.tl. ¿Es única esta función polinomial? Compara tu función polinomial con la de otros estudiantes. ¿Qué términos serán iguales en las de todos? Agrega algu­ nas características, como la simetría o nombrar los ceros reales. ¿Cómo modifica esto la función polinomial? 90. Desarrolla una función racional con las siguientes carac­ terísticas: tres ceros reales, uno de multiplicidad 2; inter­ sección en y 1; asíntotas verticales .r = -2 y x = 3: asíntota oblicua y = 2x + 1. ¿Es única esta función racional? Com­ para tu función racional con la de otros estudiantes. ¿Qué términos serán iguales en las de todos? Agrega algunas ca­ racterísticas, como la simetría o nombrar los ceros reales. ¿Cómo modifica esto la función racional? 91. La ilustración muestra la gráfica de una función polinomial. (a) ¿Es par o impar el grado de la función polinomial? (b) ¿Es positivo o negativo el coeficiente principal? (c) La función, ¿es par, impar o ninguna de las dos? (d) ¿Por qué .v2es necesariamente un factor de la función polinomial? (e) ¿Cuál es el grado mínimo de la función polinomial? (f) Desarrolla cinco funciones polinomiales diferentes cuyas gráficas puedan verse como la que se muestra. Compara las tuyas con las de otros estudiantes. ¿Qué similitudes ves? ¿Qué diferencias?

Año, í

P o rce n ta je p o r d e b a jo d e l n ivel d e p o b re z a , p

1990,1

10.9

1991,2

11.5

1992,3

11.9

1993,4

12.3

1994,5

11.6

1995,6

10.8

1996,7

11.0

1997,8

10.3

1998,9

10.0

1999,10

9.3

2000,11

8.7

2001,12

9.2

2002,13

9.6

2003,14

10.0

2004,15

10.2

Fuente: Departamento de Censo de EE.UU

£¡ (a) Traza un diagrama de dispersión de datos con un dis­ positivo gráfico. Comenta acerca del tipo de relación que parece existir entre las dos variables.

Los videos de preparación para el examen del capítulo son soluciones paso a paso disponibles en el DVD de recursos en video, en MyMatíÍLab\, o en el canal de YotlGÜEB' de este

¥ -

texto. Consulta la página de recursos del estudiante para ver la dirección exacta de la página Web para el canal de

EXAM EN D EL C A P ÍT U LO 1. Obten la gráfica de/(.v) = (x - 3)4 - 2 usando transforma­ ciones.

YouTube de este texto.

En los problemas 5 y 6, determina el dominio de cada función. Encuentra cualquier asíntota horizontal, vertical u oblicua.

2. Para la función polinomial g ( x ) = 2.v3 + 5.v2 - 28.r - 15,

(a) Determina el número máximo de ceros reales que puede tener la función. (b) Determina las cotas en los ceros de la función. (c) Enlista los ceros racionales posibles. (d) Determina los ceros reales de g. Factoriza g en los nú­ meros reales. (e) Determina las intersecciones en x y en y de la gráfica de g. (f) Determina si la gráfica cruza o toca el eje x en cada intersección en x. (g) Determina la función de potencias a la que se parece la gráfica de g para valores de | jc| grandes. (h) Determina el comportamiento de la gráfica de g cerca de cada intersección en .v. (i) Junta toda la información para obtener la gráfica de g. 3. Encuentra los ceros complejos de f ( x ) = x 3 - 4x2 + 25.v - 100.

4. Resuelve 3x3 + 2x - 1 = 8x2 - 4 en el sistema de los nú­ meros complejos.

5. g(x) 6. r(x) =

2x~ - I4x + 24 .v2 + 6.v - 40

■t2 + 2x - 3 x + 1

7. Bosqueja la gráfica de la función en el problema 6. Marca todas las intersecciones, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

En los problemas 8 y 9, escribe una función que cumpla con las condiciones dadas. 8. Función polinomial de cuarto grado con coeficientes rea­ les; ceros: - 2 ,0 ,3 + i. 9. Función racional; asíntotas: y = 2, x = 4; dominio: {*1* * 4, x * 9}

10. Usa el teorema del valor intermedio para demostrar que la función/(x) = -2 x2 - 3.t + 8 tiene al menos un cero real en el intervalo [0,4],

x +2 11. Resuelve------ - < 2 x - 3

1 REPASO A CU M U LATIVO ____________ 1. Determina la distancia entre los puntos P = (1, 3) y x y haz la gráfica del conjun­ to solución. 3. Resuelve la desigualdad x 2 - 3.v < 4 y haz la gráfica del conjunto solución. 4. Determina una función lineal con pendiente —3 que con­ tenga el punto ( -1 ,4 ) . Haz la gráfica de la función. 5. Determina la ecuación de la recta paralela a la recta y = 2x = + 1 y que contenga el punto (3, 5). Expresa tu respuesta en forma pendiente-ordenada y haz la gráfica de la recta. 6. Traza la gráfica de la ecuación y = x 3. 7. La relación {(3, 6)',(1,3),(2,5),(3, 8)), ¿representa una fun­ ción? ¿Por qué o por qué no? 8. Resuelve la ecuación x 3 - 6x2 + 8x = 0. 9. Resuelve la desigualdad 3.r + 2 ^ 5.v — 1 y haz la gráfica del conjunto solución. 10. Determina el centro y radio del círculo x 2 + 4x + y 2 - 2y - 4 = 0. Traza la gráfica del círculo. 11. Para la ecuación y = x 2 — 9x, determina las intersecciones y prueba su simetría. 12. Determina la ecuación de una recta perpendicular a 3x - 2y = 7 que contenga el punto (1, 5). 13. La siguiente gráfica, ¿es una función? ¿Por qué o por qué no?

14. Para la función /(.v) ■x2 + 5x - 2. determina (b) f ( - x ) (a) /(3 ) (d) / ( 3x) (c) - /( * ) f ( x + h) - f(x) (e)

7 ---------- h * 0

15. Contesta las siguientes preguntas acerca de la función /w = 7 ^ 7 a) ¿Cuál es el dominio de /? b) El punto (2, 6), ¿está en la gráfica de /? c) Si x = 3, ¿a que es igual f(x)1 ¿Qué punto está en la gráfica de /? d) Si f(x) = 9, ¿a qué es igual xl ¿Qué punto está en la gráfica de /? e) ¿Es / una función racional o polinomial?

16. Traza la gráfica de la función/(.v) = -3.v + 7. 17. Traza la gráfica de f{x) = 2X1 - 4x + 1 determinando si su gráfica abre hacia arriba o hacia abajo y determinando su vértice, eje de simetría, intersección en y e interseccio­ nes en .v, si existen.

18. Determina la tasa de cambio promedio de f(x) = x2 + 3x + 1 de 1 a 2. Usa este resultado para determinar la ecua­ ción de la recta secante que contenga (1,/(1)) y (2,/(2)).

19. En los incisos (a) al / d e la página 398, usa la siguiente grá­ fica.

397

398

c a p ít

U LO 5

Funciones racionales y polinomlales

(a) Determina las intersecciones. (b) Basándote en la gráfica, indica si la gráfica es simétrica con respecto al eje x, al eje y y/o al origen. (c) Basándote en la gráfica, indica si la función es par, im­ par, o ninguna de las dos. (d) Indica los intervalos en los que / es creciente. Indica los intervalos en los que /e s decreciente. (e) Indica los números, si existen, en los que/tiene un va­ lor máximo local. ¿Cuáles son estos valores máximos locales? (f) Indica los números, si existen, en los que /tiene un valor mínimo local. ¿Cuáles son estos valores mínimos locales? 20. Determina algebraicamente si la función /(*) = x 25X' - 9q es par, impar o ninguna de las dos. 21. Para la función f(x)

2x + 1 si • { - 3x + 4 si

-3 < x < 2 x£2

(a) Determina el dominio de /. (b) Localiza las intersecciones.

(c) Traza la gráfica de la función. (d) Basándote en la gráfica, determina el rango. 22. Construye la gráfica de la función f(x) - —3( x + 1)2 + 5 usando transformaciones. 23. Considera que f(x) = x2 - 5x + 1 y g(x) = -4x - 7. (a) Determina / + g e índica su dominio. (h) Determina e indica su dominio. K 24. Ecuación de demanda El preciop (en dólares) y la canti­ dad x vendida de cierto producto obedecen la ecuación de demanda

(a) Expresa el ingreso R como función de x. (b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 100 unidades? (c) ¿Qué cantidad x maximiza el ingreso? ¿Cuál es el in­ greso máximo? (d) ¿Qué precio debe cobrar la compañía para maximizar el ingreso? 1

PR O YEC TO S D EL C A P ÍT U LO 3. Determina la función lineal de mejor ajuste. Traza la grá­ fica de la función lineal de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. Para hacer esto en Excel, haz clic en cualquier punto con datos en el diagrama de dispersión. Ahora haz clic en el menú de “Gráfico", selecciona “Línea de ten­ dencia" en la región del análisis, selecciona “Más opciones de línea de tendencia". Selecciona el botón de “Lineal" y selecciona “Presentar ecuación en el gráfico". Ver figura 52. Mueve la ventana de opciones de línea de tendencia hacia un lado y verás la función lineal de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. ¿Crees que la función describe con precisión la relación entre la latitud y la duración del día?

Figura 52

j))} Proyecto con base en Internet. I. Duración del día Ve a http://en.wikipedia.org/wiki/ Latitude y lee acerca de la latitud hasta el subtítulo “Efec­ to de la latitud”. Ahora ve a http://www.orcliidciiltitrc.coni/ COD/daylcngtli.litndtióON. 1. Para un día en especial del año, escribe en una ta­ bla la duración del día para el ecuador ((LN). 5°N, 10°N,..., 60°N. Ingresa los datos en una hoja de cálculo de Excel, en una calculadora gráfica TI o en otra hoja de cálculo capaz de determinar funciones lineales, cuadráticas y cúbicas de mejor ajuste. 2. Traza un diagrama de dispersión de datos con la latitud como la variable independiente y la duración del día como la variable dependiente usando Excel, una calculadora gráfica TI u otra hoja de cálculo. El proyecto del capítulo 4 describe cómo hacer un diagra­ ma de dispersión en Excel.

Formal Timdhne

L.

i

j 4. Determina la función cuadrática de mejor ajuste. Tra1 " za la gráfica de la función cuadrática de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. Para hacer esto en Excel, haz clic en cualquier punto con datos en el diagrama de dispersión. Ahora haz clic en el menú “Gráfico”, seleccio­ na “Línea de tendencia” en la región del análisis, selec­ ciona “Más opciones de línea de tendencia”. Selecciona el botón de “Polinomial” y establece “orden” igual a 2. Selecciona “Presentar ecuación en el gráfico”. Mueve la ventana de opciones de línea de tendencia hacia un lado y verás la función cuadrática de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. ¿Crees que la función describe con preci­ sión la relación entre la latitud y la duración del día? 5. Determina la función cúbica de mejor ajuste. Traza la grá­ fica de la función cúbica de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. Para hacer esto en Excel, da clic en cualquier punto con datos en el diagrama de dispersión. Ahora da clic en el menú "Gráfico”, selecciona “Línea de tenden-

Proyectos del capítulo

399

cia” en la región del análisis, selecciona “Más opciones de línea de tendencia". Selecciona el botón de “Polinomial” y establece “orden” igual a 3. Selecciona “Presentar ecua­ ción en el gráfico”. Mueve la ventana de opciones de línea de tendencia hacia un lado y verás la función cúbica de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. ¿Crees que la función describe con precisión la relación entre la latitud y la duración del día? 6. Cuál de los tres modelos parece ajustar mejor los datos? Explica tus razones. 7. Usa tu modelo para predecir las horas de luz en el día que seleccionaste para Chicago (41.85 grados de latitud norte). Ve al Oíd Farmer’s Almanac o a alguna página Web (como http://astro.unl.edu/classaction/animations/coordsmotion/day lighthoursexplorer.html) para determinar las horas de luz en Chicago para el día que seleccionaste. ¿Cómo se comparan los dos?

El siguiente proyecto está disponible en el Centro de recursos del profesor (IRC por sus siglas en inglés): II. Teoría de ecuaciones Se pueden encontrar los coeficientes de una función polinomial si se conocen sus ceros, una ventaja de usar polinomios al modelar. Cita: Excel © 2010 Microsoft Corporation. Usado con permiso de Microsoft.

I

■

Funciones exponenciales y logarítmicas Contenido 6.1 6 .2 6 .3 6 .4 6 .5

Funciones compuestas Funciones inyectivas; funciones inversas Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Propiedades de los logaritmos

6 .6 6 .7 6 .8

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales Modelos financieros Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial; ley de Newton; modelos de crecimiento y decaimiento logísticos

6 .9

• • • •

Construcción de modelos exponenciales, logarítmicos y logísticos a partir de datos. Repaso del capitulo Examen del capitulo Repaso acumulativo Proyecto del capitulo

Depreciación de autos Estás listo para comprar tu primer auto. Sabes que los autos se devalúan con el tiempo debido a la depreciación y que diferentes autos tienen diferentes tasas de deprecia­ ción. Así que debes investigar las tasas de depreciación para los autos que estés considerando comprar. Después de todo, entre menor sea la tasa de depreciación, mayor será el valor del auto el año siguiente. — V e r e l p r o y e c t o c o n b a s e e n I n te r n e t d e l c a p itu lo —

En este capítulo estudiaremos dos funciones trascendentales: la función exponencial y la función logarítmica. Estas funciones se dan frecuentemente en una amplia variedad de aplicaciones, como biolog a quími­ ca, economía y psicología. El capítulo comienza con un análisis de funciones compuestas, funciones ¡nyectivas y funciones inversas, conceptos que se necesitan para ver la relación entre las funciones exponenciales y logarítmicas.

400

S E C C IÓ N 6.1

Funciones compuestas

401

6.1 Funciones compuestas P

r e p a r a c ió n

p a r a

e s t a

s e c c ió n

Antes de empezar, repasa lo siguiente:

Determinación del valor de una función (sección 3.1, pp. 203-206) Dominio de una función (sección 3.1. pp. 206-208)

\

Resuelva ahora los problemas de la sección " ¿ E s tá s listo ? " de la página 406.

OBJETIVOS 1 Formar una función compuesta (p. 401) 2 Determinar el dominio de una función compuesta (p. 402)

1 Form ar una función com puesta Considera que un buque petrolero tiene una fuga de petróleo y quieres determinar el área de la mancha de petróleo alrededor del buque. Ver figura 1. El petróleo se fuga del buque de manera que el radio circular de la mancha de petróleo alrededor del barco se incrementa a una tasa de 3 pies por minuto. Por lo tanto, el radio r de la mancha de petróleo en un tiempo t, en minutos, está dado por r(t) = 31. Entonces, después de 20 minutos el radio de la mancha es r(20) = 3(20) = 60 pies. El área A del círculo es una función del radio r dada por A (r) = irr2. EL área de la mancha circular de aceite después de 20 minutos es ,4(60) = ir(60)2 = 360077 pies cuadrados. Observa que 60 = r(20), entonces ,4(60) = A (r(20)). ¡El argumento de la función A es la salida de una función! En general podemos encontrar el área de la mancha de petróleo como una fun­ ción del tiempo t evaluando A(r(t)) y obtener ,4(r(/)) = A(3í) = n(3t)2 - 9 n t2. La función A (r(/)) es un tipo especial de función llamada función compuesta. Como otro ejemplo, considera la función y = (2x + 3)2. Si escribimos y = / ( » ) = 1(2 y » = SÍX) = 2.v + 3, entonces, por un proceso de sustitución, pode­ mos obtener la función original: y - f ( u ) - f ( g { x ) ) = (2* + 3)2. En general, considera que / y g son dos funciones y que x es un número en el dominio de g. Al evaluar g en x, obtenemos g(x). Si g(x) está en el dominio de / , entonces podemos evaluar / en g(x) y obtendremos la expresión f(g(x)). La corres­ pondencia de .v a /(g(.v)) se llama función compuesta f ° g.

F ig u ra 1

D E F IN IC IÓ N

Dadas dos funciones/ y g, la función compuesta, que se denota por / ° g (y s e lee “/ compuesta con g” ), está definida por (/ ° g)(x)=f(g(x)) El dominio de / ° g es el conjunto de todos los números x en el dominio de g tal que g(jc) está en el dominio de / . Observa cuidadosamente la figura 2. Solo aquellas x en el dominio de g para las cuales g(jc) está en el dominio de / pueden estar en el dominio de / ° g. La razón es que si g(jc) no está en el dominio de / , entonces f (g( x) ) no está definida. Por lo tanto, el dominio de / ° g es un subconjunto del dominio de g y el rango de / ° g es un subconjunto del rango de / .

402

C A P ÍT U L O 6

Funciones exponenciales y logarítmicas

La figura 3 proporciona una segunda ilustración de la definición. Aquí x es la entrada de la función g, produciendo g(x). Entonces g(x) es la entrada de la función / , produciendo f(g(x)). Observa que la parte “interior” de la función g en f (g(x)) se resuelve primero.

Figura 3 ENTRADA x

EJEM P LO 1

SALIDA f(g(x))

Evaluación de una función com puesta Considera que f ( x ) = 2x2- 3 y g(x) = 4x. Determina: (a) ( / - g)( 1)

Solución

(b) (g - / ) ( ! )

(c) ( / o / ) ( - 2 )

(d) (g ° g ) H )

(a) (/ ° g)( 1) = /(g (3 )) - /(4) = 2*42 - 3 = 29 t

í

g (x ) = 4 x

fl¡x) = 2X2 -

3

^0) = 4 (b) (g ° / ) ( 1 ) = g ( / ( l ) ) = g ( - l ) = 4• ( —1) = - 4 t t ffx) = 2X2 — 3 g(x) = 4x ffl) = -1 (c) ( / o / ) ( - 2 ) = / ( / ( - 2 ) ) = /( 5 ) = 2 -5 2 - 3 = 47 T /f-2) = 2 (-2 )2 - 3 = 5 (d) (g 0 g ) ( “ l) = g ( g ( - l ) ) = g ( —4) = 4 - ( - 4 ) = - 1 6

Figura 4

f 3(-1) = - 4 COMENTARIO Las calculadoras gráficas se pueden usar para evaluar funciones com puestas.' 5ea Y = f(x) = 2X2 - 3 y Y = g(x) = 4x. Entonces, usando una calculadora gráfica TI-54 Plus. ( f ° ^)(1) se determina como se ve en la figura 4. Observa que éste es el resultado que obtuvimos en el ejemplo 1a. ■

a

Resuelve ahora & 2

EJEM P LO 2

e l

n

p r o b l e m a

Determ inar el dom inio de una función com puesta D eterm inación de una función com puesta y su dominio

Considera que f ( x ) = x 2+ 3x - 1 y g(x) =2x + 3. Determina:

(a) / ° g

(b) g ° /

Después determina el dominio de cada función compuesta.

Solución

El dominio de / y el dominio de g es el conjunto de todos los números reales. (a) ( / - g)(x) = / ( g ( * ) ) - f(2x + 3) = (2.v + 3)2 + 3(2.v + 3) - 1 t f(x) = x2 + 3 x - 1

= 4jc2 + 12.v + 9 4- 6x + 9 - 1 = 4.v2 + 18.v + 17 Como el dominio de ambas / y g es el conjunto de todos los números reales, el dominio de / ° g es el conjunto de todos los números reales. * Consulta el instructivo de tu calculadora para las teclas apropiadas.

SECCIÓN 6.1 Funciones compuestas

403

(b) (g o f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g(.v2 + 3.v - 1) = 2(.v: + 3x - 1) + 3

r

g(x) = 2 x + 3

= 2.r2 + 6.v - 2 + 3 = 2.x2 + 6x + 1 Como el dominio de ambas / y g es el conjunto de todos los números reales, el dominio de g ° / es el conjunto de todos los números reales. Observa de nuevo la figura 2 de la página 401. Cuando determines el dominio de la función compuesta ( / 0 g)(.v) = /(g(.v)), ten en mente las siguientes dos cosas acerca de la entrada x. 1. Cualquier x que no esté en el dominio de g debe ser excluida. 2. Cualquier .v para la cual g(.v) no esté en el dominio de / debe ser excluida.

EJEM P LO 3

En co n trar el dom inio de f ° g 1 y g(x) x +2

Encuentra el dominio de / ° g s i/(.v )

Solución

=

Para ( / ° g)(.v) = f(g(x)), observa primero que el dominio de g es {*1*^ 1}, así que excluye el 1 del dominio de / 0 g. Después, observa que el dominio de / es {x|x # - 2}, lo que significa que g(x) no puede ser igual a -2 . Resuelve la ecuación g(x) = - 2 para determinar qué valores adicionales de .v excluir. 4 x - 1 4= 4= 2 jc = x = --------- =

-2

jj(x) = - 2

- 2 ( x - 1) - 2 jc + 2 -2 -1

También excluye -1 del dominio d e / 0 g. El dominio d e / 0 g e s { x \ x ^ - l , x ^ 1}. > / V e r if ic a :

definida,

entonces

P ara* = -1 , g ( - l ) = - ^ = - 2 , y ( / ° g )(—1) = / ( g ( - l ) )

/ ( 2) no

Para

x

=

1,

g(jc) = ------ - no x - 1 ( / ° g)(-r ) = /(# (* )) no está definida.

está

está definida.

Resuelve ahora EJEM P LO 4

EL

PROBLEMA

21

D eterm inar una función com puesta y su dominio 1 +

Considera que f ( x ) = Determina:

4

y g(x) =

(a) / ° g

(b) / 0 /

Después determina el dominio de cada función compuesta. El dominio de f e s { x \ x * - 2 } y el dominio d e g e s { x \ x * l } . - 1 1 (a) ( / 0 8)(x) = / ( * ( * ) ) = / x - i / -4 4 + 2(x - 1)

Solución

1^ 1

f[x) = ------x + 2

t

+2

x - 1 2x + 2

jt - 1 2(x + 1)

í

x —1 Multiplica por ' ' x - !

En el ejemplo 3, determinamos que el dominio de / ° g es { x \ x * - \ , x * 1}.

404

C A P ÍT U L O 6

Funciones exponenciales y logarítmicas

También pudimos haber determinado el dominio de / 0 g encontrando pri­ mero el dominio d e g: {jcIjc^ I } . Excluimos el 1 del dominio d e / ° gcom o resul­ tado. Después observamos / ° g y notamos que x no puede ser igual a -1 , debido a que x = -1 da como resultado una división entre 0. Así que también excluimos -1 del dominio de / ° g. Por lo tanto, el dominio de / ° g es { x \ x ¿ - \ , x * 1}. (b) ( / ° f ) ( x ) = / ( / ( * ) ) = /

x + 2

+2

t x +2

*00

=

x +2 1 + 2(x + 2) t

Multiplica por

x + 2

x + 2 2x + 5

x + 2 x + 2'

El dominio de / ° / consiste en todas las x en el dominio de / , {*1 jc ^ -2} para las cuales /w

t

= * + 2 * -2

X + 2

-2

1

- 2 (x + 2 )

1

-2 x - 4

2x

-5 5

2

o, equivalentemente, 5 X / - -

El dominio de / 0 / es < x - 2 }' También pudimos haber determinado el dominio de / ° / si reconocemos que - 2 no está en el dominio de / y por lo tanto debe ser excluido del dominio de / ° / . Después, si observamos / ° / notamos que x no puede ser igual a ¿Puedes ver por qué? Por lo tanto, el dominio d e / ° f e s

x * -

5 x * —2 2’ }■

4TC===_ . Regue|ve ahopa Los pROBLEMAS 3 3 Y 3 5

Vuelve a ver el ejemplo 2, donde se ilustra que, en general, / 0 g ^ g 0 / . A ve­ ces / ° g es igual a g ° / , como se ve en el siguiente ejemplo.

EJEM P LO 5

D em ostración de que dos funciones com puestas son iguales Si / ( x) = 3x - 4 y g(x) = —(x + 4), demuestra que ( / ° g)(x) = (g 0 / ) ( * ) = * para toda jc en el dominio de / 0 g y de g 0 f .

Solución

( / 0 g){x) = f ( g ( x ) ) 'x + 4 =f 3 = 3 =

jc

jc

+ 4

1 X + 4 0(x) = g ( * + 4 ) = —

- 4

+ 4 - 4 =

jc

Sustituye g(x) en la regla para f, f(x) = 3 x — 4.

S E C C IÓ N 6.1

V^sualización del concepto

Funciones compuestas

405

(g ° /) ( * ) = g ( f ( x ) )

Usando una calculadora gráfica, sea

= g(3x - 4)

f{x) = 3 x - 4

——[(3jc — 4) + 4]

Sustituye f(x) en Ia regla para g, g(x)

= flx) = 3x —4 y2 =

g M

= —(x +

4).

= j( x + 4)

= |( 3 x ) - x

Y3= f ° g,Y* = g ° f

Usando el rectángulo de visualización -3 < x < 3, -2 < y < 2, traza la gráfi- Podemos concluir que ( / ° g )(x ) = (g ° f ) ( x ) = x . ca solamente de Y} y YA. ¿Qué es lo que ves? Usa TRACE para verificar que . En la sección 6.2 veremos que existe una relación importante entre las funciones Y3 = Y4 . '

J / y g para las cuales ( / ° g)(x) = (g ° f ) ( x ) = x .

Resuelve ahora

e l

p r o b l e m a

45

Aplicación de cálculo ftC Algunas técnicas de cálculo requieren que seamos capaces de determinar los com•4 ponentes de una función compuesta. Por ejemplo, la función H( x ) = V x + 1 es la composición de las funciones / y g, donde f ( x ) = V x y g(x) = x + 1, debido a que H( x ) = ( / o g )(x ) = f ( g ( x )) = f ( x + 1) = V * + 1.

EJEM PLO 6

D eterm in ar los com ponentes de una función com puesta Determina las funciones / y g tal que / ° g = H si H(x) = (jc2+ 1)50.

Solución

La función H toma x2 + 1 y la eleva a la potencia 50. Una forma natural de descom­ poner H es elevar la función g(x) - x2 + 1 a la potencia 50. Si hacemos f ( x ) - xso y g(x) = x 2+ 1, entonces

F ig u ra 5

'

( / 0 8 )(V = f ( g ( x ) ) - f ( x 2 + 1)

% (x )) = f(x 2 + 1)

= (X2 + 1)50

50

= ( jc2 + 1)JU = H( x )

H(x) =(x2 +1)50

Ver figura 5. Se pueden determinar otras funciones / y g para las cuales / ° g - H en el ejem­ plo 6. Por ejemplo, si f ( x ) - x 2y g(x) = (x2+ 1)25, entonces \50

_ ( / 0 g)(x) = f ( g ( x ) ) = f ( ( x 2 + l ) 25) = [(x2 + l)\25i2 25]2 = (x2 + 1)

Aunque las funciones f y g que se determinaron en el ejemplo 6 no son únicas, gene­ ralmente existe una selección “natural” de / y g que primero viene a la mente.

EJEM PLO 7

D eterm inar los com ponentes de una función com puesta Determina las funciones f y g tales que / ° g = H si H( x ) =

Solución

Aquí H es el recíproco de g(x) = x + 1. Si hacemos f ( x ) = - y g(x) = x + 1, encon­ tramos que (/ ° s ) M = -Resuelve ahora

el

f{g(x)) = f(x

problema

53

+ 1) = Y V i = H ('r)

406

CAPÍTULO 6 Funciones exponenciales y logarítmicas

6.1 Evalú a tu e n ten d im ien to "¿Estás listo?"

La s respuestas se dan al fin a l de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas

entre paréntesis.

1. Determina el valor de /(3) si / ( x ) = - 4 x 2 + 5x. (p p .203-206)

x - i 3. Determina el dominio de la función f ( x ) = x 2 - 25 (pp. 206-208)

2. Determina el valor de /( 3 ac) si f ( x ) = 4 - 2jc2. (pp. 203-206)

Conceptos y vocabulario 4. Dadas dos funciones/ y g, la_________________ , que se 6. Verdadero o falso El dominio de la función compuesta denota por / o g, está definida por / ° g(x) = ________ ( / 0 #) (ac) es igual al dominio de g(x). 5. Verdadero o falso f{g{x))=f(x)-g(x).

Ejercicios E n los problemas 7 y 8, evalúa cada expresión usando lo valores que se dan en la tabla.

(a) ( / 0 g)(l) (c) ( * « / ) ( - 1 ) (e) (g 0 g)(~ 2)

(b) ( f o g ) ( - 1)

(b) ( / ° g)(2)

-1

(a) ( / o g)(l) (c) (g o f ) ( 2)

-8

(e) (g ° g)(l)

(0 ( / 0 /)(3)

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

flx)

-7

-5

-3

-1

3

5

7

3

0

-1

0

3

8

-3

-2

-1

0

1

2

3

f{x)

n

9

7

5

3

1

g [x)

-8

-3

0

1

0

8

g M

X

-3

E n los problemas 9 y 10, evalúa cada expresión usando las gráficas de y = f ( x )

9. (a) (g o / ) ( - ! )

(b) (g ° /)(0)

(c) ( / o * ) ( - l)

(d) ( / ° g)(4)

10. (a) (g o /)(1)

(b) (g ° /)(5)

(c) ( / ° *)(0)

(d) ( / o g)(2)

(d) (g ° /)(0) (0 ( / » / ) ( - ! )

(d) (g ° /)( 3 )

y y = g (x ) que se muestran en la figura.

/os problemas 11-20, para las funciones f y g dadas, determina:

(a) ( / ° g)(4)

V 11.

f ( x ) — 2x\

W (g ° / ) ( 2 ) g ( x ) = 3a:2 +

1

fe ;

( / ° /) ( ! )

(g 0 g)(0) 12. f { x ) = 3a: + 2; g(.r) = 2 . ^ - 1

frf>

1 13. f ( x ) = 4ac2 - 3; g(Ar) = 3 - ~ x 2

14. f ( x ) = 2,v2; g(x) = 1 - 3X2

15. f ( x ) = V x-, g(x) = 2x

16. f ( x ) = V x + 1; g(.r) = 3.v

17-

f{x) =

19- /

w

1 | ac|;

18. f ( x ) = \x - 2 |; g(.v) = - 3

g (A t) =

= 7TT;

a :2

=

+

.x- + 2

1

20. /( . y) = a:3/2; g(.v) =

E n los problemas 21-28, determina el dominio de la función compuesta f ° g.

.r + 1

. S E C C IÓ N 6.1

Í 'a M

-

407

24 / ( t >* 7 + T « « - !

«(■') = - -

2f. /(.i /os problemas 29-44. para las funciones dadas f y g, determina: (a) f ° g

v

(b) g ° /

(c) f o /

(d) g o g

Indica el dominio de cada función compuesta. 2 9 . /(.r) = 2jc + 3; g(.t) = 3.v

30.

31. /(.r) = 3jc + 1; g(.t) = .r

32. /(.c) =

33.

f{x)

.35.

/(* ) -

= .r ;

g( x)

= .r2 + 4

/ ( jc )

g(x) = 2 x - 4

= -x; x

+ 1; g(x) = x 2 + 4

34. / ( . x) = x 2 + 1;

g( x) - \

g(.v) = 2.v2 + 3

“ •/w = 7T 3; sW " - !

x 3 7 . / (. r ) = —

; g (x )---

39. /(.r) = V i;

g(.r) = 2.v + 3

4

38- / w = 7 T 3 ; * W - § 40. / ( .c ) = V

41. f (x) = jc2 + 1; g(.v) = V .r - 1

42. / (

4 3 ./( ,) = 7 r í;

44- /(* ) = — — JC -

jc)

=

.

* =

7

= !

jc2

- 2;

jc

g(jc) = 1 — 2 jc

+ 4;

g(x)

2.c - 1

. .

= V

jc

jc

- 2

+ 4

«(■*) = 2.c - 5

2

En los problemas 45-52, demuestra que ( / ° g)(x) - (g ° /)(.v) =.v. V 45. f(x ) = 2x;

g(x)

48. f(x) = x + 5;

g (x ) =

51. / ( .r ) = a x + b\

46. f(x) = 4 jc;

=

jc

49. / ( jc) = 2* — 6;

- 5

1

g (.c ) = — (x — b)

g(x)

a ^

g(x) = - ( jc + 6) 52- /(*) =

0

4 7 . / ( jc) = jc3;

= -x

g (jc ) = V i

5 0 . / ( jc) = 4 - 3jc;

g(.t) = -(4 - x)

g(x) = j

¿í £>i los p r o b l e m a s 53-58, determina funciones f y g tales q u e f ° g = H. \

5 3 . / / ( j c ) = (2 jc + 3 ) 4

54. / / ( jc ) = (1 +

55.

/ / ( jc) = \ A 2 + 1

56. H ( x ) =

57.

/ / ( jc) = |2 jc + l |

58. H ( x ) = \2x2 + 3|

jc 2)

3

V1

~ *2

It

í Aplicaciones y extensiones

____________________________________

59. Si / ( jc) = 2jc3- 3jc2+ 4jc- 1 y g(jc) = 2, determina el valor de ( / ° g ) M y (g ° /)(*)•

65.

Área de superficie de un globo El área de superficie 5 (en metros cuadrados) de un globo aerostático está dada por S ( r ) = 477-r2

60. Si / ( jc) = * * | , determina ( / 0 f)(x).

donde r es el radio del globo (en metros). Si el radio r se incrementa con el tiempo t (en segundos) de acuerdo con

61. Si / ( jc) = 2jc2 + 5 y g(jc) = 3x + a, determina a tal que la gráfica de / ° g cruce el eje y en 23. 62. Si / ( jc) = 3jc2 - 7 y g(jt) = 2 x + a, determina a tal que la gráfica de / 0 g cruce el eje y en 68.

2 ,

la fórmula r(t) = - r , r> 0 , determina el área de superficie 5 del globo como función del tiempo t.

66. Volumen de un globo El volumen

V (en metros cúbi­ cos) del globo aerostático del problema 65 está dado por 4 , V( r) = —7rr. Si el radio r es la misma función de t que en * ^ el problema 65, determina el volumen V como función del tiempo t.

En los problemas 63 y 64, usa las funciones f y g para determinar:

(a) f ° g

(b) g ° f

(c) el dominio de f ° g y de g « / (d) las condiciones para las cuales / ° g = g ° / 63. / ( jc) = aje + b\ g(jc) =cx + d „, , ax + b 64 n x ) = 7 m - s{x)~ mx

67.

Producción de automóviles El número N de automó­ viles producidos en cierta fabrica en un día tras t horas de operación está dada por N(t) = lOOr - 5í2, 0 s r < 10.

408

C A P ÍT U L O 6

Funciones exponenciales y logarítmicas

Si el costo C (en dólares) de producir N autos es C(N) = 15,000 + 8000/V, determina el costo C como fun­ ción del tiempo t de operación de la fábrica. 68. Inquietudes ambientales La mancha de petróleo que se derrama de un buque tiene la forma de un círculo. Si el radio r (en pies) de la mancha después de t horas es r{t) = 20()V/, determina el área A de la mancha de petró­ leo como función del tiempo t. 69. Costo de producción El precio p, en dólares, de cierto producto y la cantidad x vendida obedecen la ecuación de la demanda p = —\ x + 100 0 x 400 4 Considera que el costo C, en dólares, de producir* unida­ des es Vi C = — - + 600 25 Si suponemos que todos los artículos producidos se ven­ den, determina el costo C como función del precio p. [Sugerencia: Resuelve para * en la ecuación de la deman­ da y después forma la composición.] 70. Costo de un producto El precio p , en dólares, de cierto producto y la cantidad * vendida obedecen la ecuación de la demanda p = - j x + 200 0 < * < 1000 Considera que el costo C, en dólares, de producir * unida­ des es vJC c = -¡ó - + 400 Considerando que todos los artículos producidos son ven­ didos, determina el costo C como una función del precio p. 71. Volumen de un cilindro El volumen V de un cilindro cir­ cular recto de altura h y radio re sV'= nFh. Si la altura es el doble del radio, expresa el volumen V como función de r. 72. Volumen de un cono El volumen V de un cono circular 1 , recto es V = - i r r h. Si la altura es el doble del radio, ex­ presa el volumen V como función de r.

Cambio de divisas Los comerciantes frecuentemente com­ pran moneda extranjera con la esperanza de ganar dinero cuando el valor de la moneda cambie. Por ejemplo, el 5 de junio de 2(X)9, un dólar de EE.UU. podía comprar 0.7143 euros y un euro podía comprar 137.402 yenes. Sea /(*) el número de euros que puedes comprar con * dólares y sea g(x) el número de yenes que puedes comprar con * euros. (a) Determina una función que relacione los dólares y los euros. (b) Determina una función que relacione los euros y los yenes. (c) Usa los resultados de los incisos (a) y ib) para deter­ minar una función que relacione los dólares y los ye­ nes. Esto es, determina (g ° f)(x)=g(f(x)). (d) ¿Cuánto es g(/(1000))? 5 74. Conversión de temperatura La función C(F) = - ( F- 32)

Q

convierte una temperatura en grados Fahrenheit, F. a una temperatura en grados Celsius, C. La función K(C) = C + 273, convierte una temperatura en grados Celsius a una temperatura en Kelvin, K. (a) Determina la función que convierte una temperatura en grados Fahrenheit a una temperatura en Kelvin. (b) Determina 80 grados Fahrenheit en Kelvin. 75. Descuentos El fabricante de una computadora ofrece des­ cuentos en el modelo del año anterior de la computadora. El primer descuento es una bonificación de $200 y el segun­ do descuento es de 20% menos en el precio regular, p. (a) Escribe una función / que represente el precio de oferta si solo se aplica la bonificación. (b) Escribe una función g que represente el precio de oferta si solo se aplica el descuento del 20%. (c) Determina / 0 g y g ° f. ¿Qué representa cada una de estas funciones? ¿Qué combinación de descuentos representa una mejor oferta al consumidor? ¿Por qué? 76. Si / y g son funciones impares, demuestra que la función compuesta f ° g también es impar. 77. Si / es una función impar y g es una función par. demuestra que las funciones compuestas / ° g y g ° f son ambas pares.

Respuestas a los ejercidos de la sección "¿Estás listo?" 2. 4 - 18.v2

1. -21

3. {-v|.y ^ -5 , .v * 5}

6.2 Funciones inyectivas; funciones inversas P

r e p a r a c ió n

p a r a

e s t a

s e c c ió n

Antes de empezar, repasa lo siguiente:

• Funciones (sección 3.1, pp. 200-208) • Funciones crecientes/decrecientes (sección 3.3, pp. 224-225) \

• Expresiones racionales (capítulo R. sección R.7. pp. 62-69)

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 417. OBJETIVOS 1 Determinar si una función es inyectivaíp. 409) 2 Determinar la función inversa de una función definida por un mapa o un conjunto de pares ordenados (p. 411) 3 Obtener la gráfica de la función inversa a partir de la gráfica de la función (p. 413) 4 Determinar la función inversa de una función definida por su ecuación, (p. 414)

S E C C IÓ N 6.2

Funciones inyectivas; funciones inversas

409

1 Determ ina si una función es inyectiva En la sección 3.1 mostramos cuatro formas diferentes de representar una función como (1) un mapa, (2) un conjunto de pares ordenados, (3) una gráfica y (4) una ecuación. Por ejemplo, las figuras 6 y 7 ilustran dos funciones diferentes represen­ tadas como mapas. La función de la figura 6 muestra la correspondencia entre los estados y su población (en millones). La función de la figura 7 muestra la correspon­ dencia entre animales y su esperanza de vida (en años).

Figura 6 Estado

Figura 7 Población (en millones)

Esperanza de vida (en años)

Animal

Considera que le pedimos a un grupo de personas que nombren el estado que tiene la población de 0.8 millones basándose en la función de la figura 6. Todos en el grupo responderían Dakota del Sur. Ahora, si le pedimos al mismo grupo de per­ sonas que nombren el animal cuya esperanza de vida es de 11 años basándose en la función de la figura 7, algunos responderían perro y otros responderían gato. ¿Cuál es la diferencia entre las funciones de las figuras 6 y 7? En la figura 6, podemos ver que no existen dos elementos en el dominio que correspondan al mismo elemento del rango. Este no es el caso de la figura 7: dos diferentes elementos del dominio corres­ ponden al mismo elemento del rango. Las funciones como la de la figura 6 tienen un nombre especial.

D E F IN IC IÓ N

r r En palabras r Una función no es inyectiva r si dos diferentes entradas corresponden a la misma r salida.

Una función es inyectiva si cualesquiera dos entradas diferentes del dominio corresponden a dos diferentes salidas del rango. Esto es, si .v, y x 2son dos entra­ das diferentes de una función / , entonces / es inyectiva si /(* ,) # f { * 2).

Dicho de otra forma, una función / es inyectiva si ninguna y del rango es la ima­ gen de más de una x en el dominio. Una función no es inyectiva si dos elementos di­ ferentes del dominio corresponden al mismo elemento del rango. Así que la función de la figura 7 no es inyectiva porque dos elementos diferentes en el dominio, perro y gato, ambos corresponden a 11. La figura 8 ilustra la diferencia entre funciones inyec­ tivas, funciones no inyectivas y relaciones que no son funciones.

(a)

Función inyectiva: cada x en el dominio tiene una y solo una imagen en el rango.

(b)

No es una función inyectiva: y, es la imagen de ambas x , y x ,.

(c ) No es una función: x , tiene dos imágenes,

y,

yy2.

410

C A P ÍT U L O 6

Funciones exponenciales y logarítmicas

EJEM P LO 1

D eterm inar si una función es inyectiva Determina si las siguientes funciones son inyectivas. (a) Para la siguiente función, el dominio representa la edad de cinco hombres y el rango representa su colesterol HDL (por sus siglas en inglés) (mg/dL). Colesterol HDL

Edad

(b) {(-2, 6), (-1 ,3 ), (0,2), (1,5), (2,8)}

Solución

(a) La función no es inyectiva porque hay dos entradas diferentes, 55 y 61, que co­ rresponden a la misma salida, 38. (c) La función es inyectiva porque no hay dos entradas diferentes que correspondan a la misma salida.

Resuelve ahora

LOS

PROBLEMAS

11

Y

15

Para funciones definidas por una ecuación y = /( .x) y para las cuales la gráfica de / se conoce, existe una prueba sencilla, llamada la prueba de la recta horizontal, para determinar si / es inyectiva.

TEO R EM A Figura 9 f(x,) = f(x2) = h y x } ^ x2;fnoes una fundón inyectiva.

Prueba de la recta horizontal Si toda recta horizontal intersecta la gráfica de la función / en a lo mucho un punto, entonces / es inyectiva.

J

La razón de que esta prueba funcione se puede ver en la figura 9, donde la recta horizontal y = h intersecta la gráfica en dos puntos diferentes, (.r,, h) y (.r,. h). Como h es la imagen de ambas, x ] y .y , y .v, * .v2, / no es inyectiva. Basándonos de la figura 9 podemos explicar la prueba de la recta horizontal de otra manera: si la gráfica de cualquier recta horizontal intersecta la gráfica de una función / en más de un punto, entonces / no es inyectiva.

EJEM P LO 2

U so de la prueba de la recta horizontal Usa la gráfica de cada función para determinar si la función es inyectiva. (a) f ( x ) = x 2 (b) g { x ) - x 3

Solución

(a) La figura 10(a) ilustra la prueba de la recta horizontal para f ( x ) = x2. La recta horizontal y = 1 intersecta la gráfica de / dos veces, en (1,1) y en (-1 ,1 ), así que / no es inyectiva. (b) La figura 10(b) ilustra la prueba de la recta horizontal para g(.r) = x \ Como toda recta horizontal intersecta la gráfica de g exactamente una vez, g es inyectiva.

* S E C C IÓ N 6.2

Funciones inyectivas; funciones inversas

411

Figura 10

(a)

Una recta horizontal intersecta la gráfica dos veces, f no es ¡nyectiva.

Resuelve ahora

EL

(b)

Toda recta horizontal intersecta la gráfica exactamente una vez, g es inyectiva.

PROBLEMA

19

Observa más cuidadosamente la función inyectiva g(x) = x \ Esta función es una función creciente. Como una función creciente (o decreciente) siempre tendrá valo­ res de y diferentes para valores de x diferentes, se puede concluir que una función que es creciente (o decreciente) en su dominio también es una función inyectiva.

TEO REM A

Una función que es creciente en un intervalo I es una función inyectiva en /. Una función que es decreciente en un intervalo I es una función inyectiva en /.

2

D E F IN IC IÓ N C

r En palabras r Considera que tienes una r función inyectiva f donde la r entrada 5 corresponde a r la salida 10. En la función r inversa f~\ la entrada 10 le r corresponde a la salida 5.

r

EJEM P LO 3

Determ ina la función inversa de una función definida por un mapa o un conjunto de pares ordenados Considera que / es una función inyectiva. Entonces, para cada x en el dominio de / , existe exactamente una y en el rango (porque / es una función); y para cada y en el rango de / , existe exactamente una .v en el dominio (porque / es in­ yectiva). La correspondencia del rango de / al dominio de / se llama la función inversa de / . Se usa el símbolo / “' para denotar la función inversa de / .

J

Analizaremos cómo determinar las funciones inversas para las cuatro represen­ taciones de funciones: (1 ) mapas, (2) conjuntos de pares ordenados, (3) gráficas y (4) ecuaciones. Empezaremos encontrando las funciones inversas de funciones represen­ tadas por mapas o por conjuntos de pares ordenados.

Determinar la función inversa de una función definida por un mapa Encuentra la función inversa de la siguiente función. Sea el dominio de la función ciertos estados y sea el rango la población del estado (en millones). Indica el dominio y el rango de la función inversa. Estado

Población (en millones) -

W ashington------

—

Dakota del Sur

— 0.8

►

Tennessee

•

6.1

8.3

Carolina del Norte

Solución

6.2

In d ia n a-----------

—

5.8

La función es inyectiva. Para encontrar la función inversa, intercambiamos los elementos del dominio con los elementos del rango. Por ejemplo, la función recibe como entrada a

412

C A P ÍT U L O 6

Fundones exponenciales y logarítmicas

Indiana y como salida 6.2 millones. Así que la función inversa recibe como entrada 6.2 millones y como salida a Indiana. A continuación se muestra la función inversa. Población (en millones)

Estado

6.2

Indiana

61

Washington

0.8

Dakota del Sur

8.3

Carolina del Norte

5.8

Tennessee

El dominio de la función inversa es {6.2, 6.1, 0.8, 8.3, 5.8). El rango de la función inversa es {Indiana, Washington, Dakota del Sur, Carolina del Norte, Tennessee}. , Si la función f es un conjunto de pares ordenados (jc. y), entonces el inverso de / , que se denota como / ', es el conjunto de pares ordenados (y, x ).

EJEM P LO 4

D eterm in ar la función inversa de una función definida por un conjunto de pares ordenados Determina la función inversa de la siguiente función inyectiva: {(-3, -27), (-2 . -8 ). ( - 1 ,- 1 ) , (0. 0), (1. 1). (2,8). (3, 27)} Indica el dominio y el rango de la función y su función inversa.

Solución

La función inversa de la función dada se determina intercambiando las entradas de cada par ordenado y, por lo tanto, está dada por {(-27, -3 ), (-8 , -2 ), (-1 , -1 ). (0.0), (1.1). (8, 2). (27.3)} El dominio de la función es (-3 , -2 , -1 , 0. 1, 2. 3}. El rango de la función es { -2 7 ,-8 , -1 ,0 ,1 ,8 , 27}. El dominio de la función inversa es {-27. -8 .-1 .0 .1 .8 .2 7 } . El rango de la función inversa es {-3, -2 . -1 ,0 ,1 ,2 .3 } . ^

Resuelve ahora F ig u ra 11

Dominio de f

Rango de I

l o s

p r o b l e m a s

1

f(x)'

y

29

Recuerda que si f es una función inyectiva. tiene una función inversa Ver figura 11. Con base en los resultados del ejemplo 4 y de la figura 11. tenemos ahora dos hechos aparentes acerca de una función inyectiva, / y su función inversa /'*. Dominio de / = Rango de / 1

ADVERTENCIA |Ten cuidado! f~' es un símbolo para la función inversa de f. El -1 usado en f~' no es un exponente. Esto es, f~' no es igual al recíproco de f; no es igual a

25

Rango de f = Dominio de

Observa de nuevo la figura 11 para visualizar la relación. Si empezamos con .r, aplica / y después aplica f ~ \ para obtener .v de nuevo. Si empezamos con x. aplica y después aplica / para obtener el número x de nuevo. De manera simple, lo que hace / lo deshace f ~l y viceversa. Observa la siguiente ilustración. Apioí i

AfXiCÍ f

fix)

Entrada .v del dominio de / A p lic -í f ~ '

Entrada .v del dominio d e / 1

rV u » = v A p»*CJ f

r '( .v )

"

En otras palabras. f ' ( f{x) ) = .v,

donde x está en el dominio de f

f ( f ' ( v)) = .v,

donde .v está en el dominio de

n r \ x ) ) = .v

i

SECCIÓN 6.2 Funciones inyectivas; fundones inversas

413

Considera la función f ( x ) = 2v, en la que multiplica el argumento x por 2. La función inversa / 1 deshace todo lo que hace / . Así que la función inversa de / es f~ \x )

Figura 12

=

-x ,

la cual, divide el argumento entre 2. Por ejemplo, / ( 3) = 2(3) = 6 y

6) = ^(6) = 3, así que / 1deshace lo que hizo / . Podemos verificar esto demos­

1 1(x) =2x

trando que / ' '( / ( * ) ) = r ‘( 2.v) = ^(2x) = .vy / ( / " '( * ) ) =

r ' ( 2x) =*(2x) =x

= 2 ^ * ) = x.

Ver figura 12.

EJEMPLO 5

D eterm in ar funciones inversas (a) Verifica que la función inversa de g(x) = x3 sea g_1(x) = v x demostrando que g *(g(x)) = g '(.v3) =

= x

para toda .Ven el dominio de g

g(g- , (x)) = S Í ^ x ) = ( \^¡r)3 = x

para toda .v en el dominio de g~'

1 (b) Verifica que la función inversa de f ( x ) = 2 x + 3 sea / l(x) = - ( x - 3) demos­ trando que r \ f ( x ) ) = /~ '(2 .x + 3) = t [(2 j: + 3) - 3] = r( 2 x ) = x

/(r‘w)=/(ju-3))=2

para toda x en el dominio de /

+ 3 = ( x - 3 ) + 3 = x para toda x en el dominio de / “' .

D eterm in ar funciones inversas

EJEMPLO 6

Verifica que la función inversa de f ( x ) — — X

JL

sea / _1(^) = — + 1. ¿Para qué vaX

lores de.v, f ~' { f { x ) ) =x 2 ¿Para qué valores de x, f{f~'(x)) = x l

Solución

El dominio d e / es

1} y el dominio d e / -1 es {.v|x^0}. Ahora

/ _1(/(-r )) = /

= — |------ f 1 = x — 1 + 1 = x

siempre y cuando x ^ 1

x - 1 /( / - • ( x ) ) = f ( — + l j = —------------ = y = x - + 1- 1 x

Resuelve ahora Figura 13

el

p r o b l e m a

siempre y cuando x ^ O

33

3 Obtención de la gráfica de la función inversa a partir de la gráfica de la función Considera que (a, b) es un punto en la gráfica de una función inyectiva / definida p0r y = /(x ). Entonces b = f{a). Esto quiere decir que a = f~'(b), entonces (b, a) es un punto en la gráfica de la función inversa La relación entre el punto (a, b) en f y el punto (b, a) en / _1 se muestra en la figura 13. El segmento de recta con puntos terminales (a, b ) y (b, a) es perpendicular a la recta y = x y está bisecada por la recta y = x. (¿Puedes ver por qué?) Se puede concluir que el punto (b , a ) en / “' es el reflejo en la recta y = x del punto (a, b) e n /.

TEO REM A

La gráfica de una función inyectiva / y la gráfica de su función inversa / 1son simétricas con respecto a la recta y =x.

J

414 c Ai’f'i'Ui,() 6 Fundón«exponencial«»»ylogarítmica» La lisura 14 ilustra este resultado. Observa que una ve/ que se conoce la gráfica de /', se puede obtener la gráfica de f 1reílejando la gráfica de / en la recia y i

EJEM P LO 7

G raficar la función inversa La gráfica de la figura 15(a) es de una función invectiva y su función inversa.

Solución

=

Tra/a la gráfica de

Empieza por añadir la gráfica de y = x a la figura 15(a). Como los puntos (-2 . -1 ). (-1 .0 ) y (2. 1) están en la gráfica de / . los puntos ( - 1 .- 2 ) , (0 .-1 ) y (1.2) deben estar en la gráfica de f '. Tomando en cuenta que la gráfica de / 1es la reflexión en la reda y = .r de la gráfica de / . traza f '. Ver figura 15(b).

Resuelve ahora I I P R O B l i M A 4 3 D e te rm in a r la fu n c ió n in v e rs a d e u n a fu n c ió n d e fin id a p o r u n a e c u a c ió n El hecho de que las gráficas de una función invectiva f y su fundón inversa / sean simétricas con respecto a la recta y = v nos da más información. Nos dice que pode­ mos obtener f ' intercambiando los papeles de x y de y en f . Observa de nuevo la figura 14. Si / está definida por la ecuación v = /( • » )

entonces / 1está definida por la ecuación

v =f i y ) La ecuación .v = f(v) define a f 1¡ni/)l(ciuuncnt 0 ,

intercambia las variables a y y. El resultado es

a-

y

2

y &0

Esta ecuación define (implícitamente) a la función inversa.

S E C C IÓ N 6.2 P

a so

2:

Funciones inyectivas; funciones inversas

417

Resuelve para y para obtener la forma explícita de la función inversa. Como solo se obtiene una solución para y: y = V x . Entonces / _l(.v) = V a .

y — 0.

P a so 3: y / V erifica:

/''(/(■ < )) = / '(■>•-) =

\ f x * =|.v| = ,t

/ ( r ' W ) = / ( V Í ) = ( V Í ) ! = .v La figura 17 ilustra las gráficas de f ( x ) = a2, x > 0. y f ~ \ x )

= Vx.

RESUMEN 1. Si una función / es invectiva, entonces tiene una función inversa / “'. 2. El dominio de / = rango de / '; el rango de / = dominio de / 3. Para verificar que f ' es la función inversa de / , demuestra que /~'(/(.v)) / ( / ’(.v)) = .v para toda .v en el dominio de /"'. 4.

Las gráficas de / y de /~ * son simétricas con respecto a la recta y

=x

para toda .v en el dominio de / y

= x.

v__________________________________________________________________________________________________________________________________________

6.2 Ev alú a tu e n te n d im ie n to "¿Estás listo?" Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtienes una respuesta incorrecta, lee las páginas marcadas entre paréntesis. 1. E l c o n ju n to d e p a re s o r d e n a d o s { ( 1 , 3 ) , (2 . 3 ) , ( - 1 , 2 ) } , ¿ e s u na fu n c ió n ? ¿ P o r q u é sí o p o r q u é n o ? (p p . 2 0 0 -2 0 0 8 ) 2.

+ 1

4. S im p lifica : ■

c r e c ie n te ? ( p p . 2 2 4 -2 2 5 ) 3.

-. (p p . 6 2 - 6 9 )

¿ D ó n d e e s c r e c ie n te la fu n c ió n / ( a ) = a :? ¿ D ó n d e e s d e ­

¿C uál es el d o m in io d e / ( . r ) =

A2 ,

x-

1

* --------— ? (pp. 2 0 0 -2 0 8 ) + 3 a - 18

Conceptos y vocabulario__________________________ 5.

Si a , y

a,

so n d o s en tr a d a s d ife r e n te s d e u n a fu n c ió n / , e n ­

8. Si / ”' d e n o ta la fu n ció n in v ersa d e / , e n to n c e s las gráficas d e / y /" ' so n sim é tr ic a s co n r e sp e c to a la r e c t a ------------------

to n c e s / e s in y ec tiv a s i ------------------------------

6. Si to d a recta h o riz o n ta l in te r se c ta la g rá fica d e u n a fu n ció n

9 . Si el d o m in io d e u na fu n ció n in y e c tiv a / e s [4, o o ), e l ran go d e su fu n c ió n in v ersa , / ' ' , e s ________________

/ en n o m á s d e un p u n to , / e s u n a f u n c ió n -------------------------

7. Si / e s u n a fu n c ió n in y e c tiv a y / ( 3 ) = 8, e n to n c e s

10. Verdadero o falso

Si / y

g so n

fu n c io n e s in v er sa s, e l d o ­

m in io d e / e s el m ism o q u e e l ra n g o d e

/ “’(»)=-------------

g.

Ejercicios________________________________________ En los problemas 11-18, determina si la función es inyectiva. \,1 1 .

\l5 .

Dominio

{ ( 2 , 6 ), ( - 3 , 6 ), ( 4 , 9 ) , ( 1 , 1 0 ) }

17. { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 ,1 6 ) , ( 3 , 8 1 ) }

Rango

12.

Dominio

16.

{ ( - 2 , 5 ) , ( - 1 , 3 ) , ( 3 , 7 ) , ( 4 ,1 2 ) }

18.

{ ( 1 , 2 ) , (2 , 8 ), ( 3 ,1 8 ) , ( 4 ,3 2 ) }

Rango

co m

418

CAPÍTULO 6 Fundones exponenciales y logarítmicas

En los problemas 19-24, se da la gráfica de una fundón f. Usa la prueba de la recta horizontal para determinar si f es inyectiva. 19.

y

20.

J

J

/ l co 1

23.

yj

24.

j

...

1

1

x

-

3'

-----1-----_i_____________________________ 1___1___ __ i___1

-3

co 1

\ ? y »

1

1

i

y i

3\

9

i

3

-3

co

- 31// I

1\

co

y /

3

-3

1» 3 x

En los problemas 25-32, determina la función inversa de cada función inyectiva. Indica el dominio y el rango de cada función inversa. \ 25.

Precipitación anual (pulgadas)

Localidad Monte Waialeale, Hawái

460.00

Monrovia, Lib eria- - - - -

202.01

Pago Pago, Sam oa Americana

196.46

Moulmein, B urm a- - - - - - - - - -

191.02

Lae, Papua Nueva Guinea

182.87

26.

Ganancia neta doméstica (en millones)

Título u o Ic í j u u ld A Ju v

L a U U C I 1a

C/101

Ep iso d io Uno - la Amenaza Fantasma

e, 1. 61oXUdWíi6SU6 i3rQ U 6

04U U

UU luSICO

00 O/

F u e n te : I n fo r m a tio n P le a s e A lm a n a c

vpOOU

*

F u en te: I n fo r m a tio n P le a s e A lm a n a c

27.

Costo mensual de seguro de vida

Edad

F u e n te :

28.

Estado

Tasa de desempleo

F u e n te : U n ite d S ta te s S ta tis tic a l A b s tr a c t

eterm.com

\ 2 9 . { ( - 3 , 5 ) , ( - 2 , 9 ) , ( - 1 , 2 ) , ( 0 ,1 1 ) , ( 1 , - 5 ) }

\

>

CO 1

co

___ 1__

___1___1___ __ £ __1___I l

-3 22.

y

\

___1___ 1___1_^

-3

21.

y

3 1 . { ( - 2 , 1 ) , ( - 3 , 2 ) , ( - 1 0 , 0 ) , (1 , 9 ) , ( 2 , 4 ) }

3 0 . { ( - 2 , 2 ) , ( - 1 , 6 ) , ( 0 , 8 ) , (1 , - 3 ) , ( 2 , 9 ) } 3 2 . { ( - 2 , - 8 ) , ( - 1 , - 1 ) , ( 0 ,0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 8 ) }

En los problemas 33-42, verifica que las funciones f y g sean las funciones inversas una de la otra, demostrando que f{g[x)) = x y g{f(x ) ) = x. Indica todos los valores de x que se deben excluir del dominio de f y del dominio de g. 3 3 . / ( x ) = 3 * + 4;

35.

f{x)

= 4* -

37. / ( x ) = x 3 -

» •/(* )=

g (x ) = | ( x

- 4)

3 4 . f{x)

=

3

2x\

-

8; g ( x ) = - + 2

3 6 . f(x) = 2x + 6 ;

8; g(x) = V x + 8

3 8 . f(x)

7X ; g ( x ) = ~X

a -i ¿r \ 2x + 3 4 L /(* ) = x + 4 ;

, , 4x - 3 g (Jc) = 2 - x

=

( jc

40. / ( .y ) = x ; 42. / ( x ) =

-

g(x) = - ~ { x g (x )

=

2 ) 2, .V 3 : 2 ;

-

^x - 3 g (.v )

=

g (x ) = x

2x + 3 ;

* (* ) =

3)

l - 2x

Vx

+

2

S E C C IÓ N 6.2

Funciones inyectivas; funciones Inversas

¿lijos problemas 43-48, se da la gráfica de una función invectiva f. Traza la gráfica déla función inversa f sugerencia), se da también la gráfica de y = x.

419

Por conveniencia (y como

En los problemas 40-60, la función f es invectiva. Determina su función inversa y verifica tu respuesta. Traza la gráfica de f, f x en los mismos ejes de coordenadas.

y

y =

49. V ? l. 53. 55. 57.

f{x) = 3x f(x) =

4.V + 2

f{x) = x3 - \ f{x) = x2 + / ( . x) =

59- / ( * ) =

4

.v > 0

*

50.

f(x)

= - 4 .r

52.

f(x)

= 1 - 3.t

54.

f(x) = x3 +

56.

f(x) = x2 + 9

58.

f(x) = - - x

60.

JZ~2

f{x)

1 * > 0

4 x + 2

En los problemas 61-72, la función f es inyectiva. Determina su función inversa y verifica tu respuesta.

\

61.

f{x)

63.

f(x) =

65.

f(x)

67.

f(x) =

69.

f(x)

=

7L

f{x)

=

=

=

3 +

62.

f{x)

72.

f(x) =

2- x 2x 6 4 . f{x) = x - 1 3x + 1 66. f(x) = x 2x - 3 68. f(x) = x + 4 —3x - 4 7 0 . f(x) = x - 2

x

3x x + 2 2x 3x - 1 3~r + 4

2x - 3 2x + 3 x + 2 x2 —4 ~ h T Jr> 0

x2 + 3 x > 0 3x2

Aplicaciones y extensiones 73.

U s a la gráfica d e y =

f(x)

d a d a e n e l p r o b le m a 43 para

ev a lu a r lo sig u ien te: (a ) / ( - 1 ) 74.

76.

(b ) / ( 1 )

U s a la gráfica d e y =

(c ) / - * ( 1 )

f(x)

(d ) / ' • ( 2 )

d a d a e n e l p r o b le m a 4 4 para

ev a lu a r lo sig u ien te: (a ) / ( 2 )

(b ) / ( 1 )

7 5 . Si / ( 7 ) = 13 y / e s in y ec tiv a , ¿a q u é eq u iv a le / “'(1 3 )?

77.

Si

g( - 5 )

= 3 y / e s in y ec tiv a , ¿a q u é e q u iv a le g ~ '(3 )?

E l d o m in io d e u na fu n ció n in y ec tiv a / e s [5, oo) y su ran go e s [ - 2 , o o ). In d ica e l d o m in io y ra n g o d e

f~K

7 8 . E l d o m in io d e u na fu n ció n in y ec tiv a / e s [0, oo) y su ran go (c ) / - ( O )

(d ) / - > ( - 1 )

e s [5, o o ). In dica el d o m in io y ra n g o d e / “'.

420 79.

C A P ÍT U LO 6

Funciones exponenciales y logarítmicas

E l d o m in io d e u na fu n c ió n in y c c tiv a

g es

( - oo, 0] y su ran ­

g o e s [0, oo ). In d ica el d o m in io y el ra n g o d e 80.

El d o m in io d e una fu n ció n in y c c tiv a

g es

85.

g

[ 0 ,1 5 ] y su ra n g o

U n a fun ción

y=J'(x) e s c r ec ie n te

'?

en el cu ad ran te II, ¿en q u é cuad ran te está la gráfica d e / '?

en el in terv a lo ( 0 ,5 ) . ¿ Q u é

y =f

87.

L a fu n c ió n

f(x)

= |j t | n o e s in y ec tiv a . D e te r m in a una r e v

'( jc)?

tricció n a p ro p ia d a e n el d o m in io d e / d e m a n era q u e la

U na función y=f{x) es d ecrecien te en el intervalo ( 0 ,5 ) . ¿ Q u é

n u e v a fu n c ió n r e su lta n te se a in y ec tiv a . D e s p u é s d eterm in a

c o n c lu sio n e s p u e d e s sacar acerca d e la gráfica d e 82.

f

86. U n a función f tien e una fun ción inversa. Si la gráfica d e / está

e s ( 0 , 8 ). In dica el d o m in io y el ra n g o d e g ' 1. 81.

U n a fun ción / tien e una fu n ción inversa. Si la gráfica d e / está en el cu ad ran te I, ¿en q u é cu ad ran te está la gráfica d e

con clu sion es p u ed es sacar acerca d e la gráfica d e

y=f

83.

D e te r m in a la fu n ció n in v ersa d e la fu n c ió n lin ea l

84.

D e te r m in a la fu n ció n in v er sa d e la fu n ció n

la fu n c ió n in v er sa d e / .

'(* )?

88. La fu n ció n f(x) = x* n o e s in y e c tiv a . D e te r m in a una res­ tricció n a p ro p ia d a e n el d o m in io d e / d e m a n era q u e la

f(x) = mx + b m * 0 f(x) =

x2 0

V r2 -

n u e v a fu n c ió n r e su lta n te se a in y c c tiv a . D e s p u é s d eterm in a la fu n ció n in v ersa d e / .

< r < r

En aplicaciones, los símbolos que se usan para las variables independientes y dependientes generalmente se basan en el uso común. Así que en lugar de usar y = f(x) para representar una función, un problema aplicado puede usar C = C(q) para representar el costo C de fabricar q unidades de un producto, debido a que en economía se usa q para la producción. Por esto, la notación inversa f ’ que se usa en un problema de matemáticas puras no se usa cuando se determinan las funciones inversas en problemas aplicados. En este caso, la función inversa de una función como C = C(q) será q = q(C). Entonces, C = C(q) es una función que representa el costo C como función de la producción q, mientras que q = q(C) es una función que representa la producción q como función del costo C. Los problemas 89-92 ilustran esta idea. 89.

Distancia de frenado de un vehículo

T o m a n d o e n c u e n ta

d

(e n p ie s ) q u e n e c e sita

el tie m p o d e r e a c c ió n , la d ista n c ia

un a u to para d e te n e r s e c o m p le ta m e n te c u a n d o viaja a

(a ) E x p re sa la tem p e ra tu r a e n g ra d o s C e ls iu s C c o m o una fu n c ió n d e la tem p e ra tu r a e n g ra d o s F a h r en h e it

r

(b ) V e r ific a q u e C =

(a ) E x p re sa la v e lo c id a d

r

fu n c ió n d e la d ista n c ia

q u e n e c e s ita para d e te n e r s e

Impuestos sobre el ingreso

T(g)

r = r(d) se a la fu n c ió n in v er sa d e d = d{r), r(d(r)) = r y d(r(d)) = d.

L a fu n c ió n

= 4 6 7 5 + 0 .2 5 (g - 3 3 ,9 5 0 )

r e p r e se n ta e l im p u e s to fe d e r a l so b r e e l in g r e so

d e m o str a n d o q u e

in g r e so n e to m o d ific a d o a ju sta d o e s 3 3 ,9 5 0 < g < 8 2 ,2 5 0 .

fu e d e 3 0 0 p ies.

(a ) ¿ C u á l e s el d o m in io d e la fu n c ió n 7 7 (b ) D a d o q u e el im p u e s to

L a c ir c u n fe r e n c ia

T que

se d e b e p a g a r e s u na fu n ­

ta d o g , d e te r m in a el ra n g o d e la fu n c ió n im p u e s to fe d e r a l so b r e e l in g r e so

(a ) E x p re sa la cir c u n fe r e n c ia C d e la c a b e z a c o m o fu n c ió n d e la altu ra 77. (b ) V er ifica q u e C = C (/7 ) se a la fu n c ió n in v er sa d e 77 = 77(C ), dem ostrando que 77(C (77)) = 77y C (77(C )) = c a b e z a d e un n iñ o q u e m id e 2 6 p u lg a d a s d e altura. U n m o d e lo p ara e l p e s o c o r p o r a l

W para h o m b r e s (e n k ilo g r a m o s) h (e n p u lg a d a s) e stá d a d o p o r

c o m o fu n c ió n d e

h c o m o fu n c ió n d e l p e s o W. V e r ific a q u e h = b(W) se a la in v er sa d e W = W(h), d e m o str a n d o q u e h(W(h)) =h y W(h{W)) = W.

(d ) ¿C u ál e s la altu ra d e un h o m b r e q u e tie n e u n p e s o id ea l d e 80 k ilo g ra m o s?

Impuestos sobre el ingreso

T{g) =

L a fu n ció n

1670 + 0 . 1 5 ( g - 1 6 ,7 0 0 )

r e p r e se n ta e l im p u e s to fe d e r a l so b r e e l in g r e so

T (e n

d ó la ­

r e s ) e n 2 0 0 9 , q u e d e b e p a g a r u n a p areja q u e d ecla ra c o n ­ ju n ta m e n te , c u y o in g r e so n e to m o d ific a d o a ju sta d o e s g d ó la r e s, d o n d e 1 6 ,7 0 0 < g s 6 7 ,9 0 0 .

Tque

s e d e b e p a gar e s u na fu n ­

ta d o g , d e te r m in a e l ra n g o d e la fu n c ió n

T.

(c ) D e te r m in a e l in g r e so n e to a ju sta d o g c o m o fu n ció n d el im p u e s to fe d e r a l so b r e e l in g r e so

T.

¿ C u ál e s e l d o m i­

n io y e l ra n g o d e e sta fu n ció n ?

95. Gravedad en la Tierra

Si u n a p ied ra c a e d e u na altura d e

100 m e tr o s a la T ier ra , la altu ra 77 ( e n m e tr o s) d e s p u é s d e

[Nota: E l p e s o co r p o r a l id e a l W para m u je r e s ( e n k ilo g r a ­ m o s) c o m o fu n ció n d e la altu ra

h

(e n p u lg a d a s) e s tá d a d o

+ 2 .3 (/i - 6 0 )]

92. Conversión de temperatura

¿ C u ál e s e l d o m i­

c ió n lin ea l c r e c ie n te d e l in g r e so n e to m o d ific a d o ajus­

(b ) E x p re sa la altu ra

W(h) = 45.5

94.

(b ) D a d o q u e e l im p u e s to

= 5 0 + 2 .3 (/i - 6 0 )

(a ) ¿C u ál e s el p e s o id e a l para un h o m b r e q u e m id e 6 p ies?

p or

T.

(a ) ¿C u á l e s e l d o m in io d e la fu n c ió n 7 7

la altu ra

W(h)

T.

n io y e l ra n g o d e e sta fu n ció n ?

C.

(c ) H a z u na p r e d ic c ió n a ce rc a d e la c ir c u n fe r e n c ia d e la

id e a l

d ó la r e s, d o n d e

(c ) D e te r m in a e l in g r e so n e to a ju sta d o g c o m o fu n ció n d el

7 7 (C ) = 2 . 1 5 C - 10.53

91. Peso corporal ideal

dó­

c ió n lin e a l c r e c ie n te d e l in g r e so n e to m o d ific a d o ajus­

C d e la c a b e z a d e un n iñ o e stá r e la c io n a d a c o n la altu ra 77 d el n iñ o (a m b a s e n p u lg a d a s) m e d ia n te la fu n c ió n

(c )

g

a u to v iajab a si la d ista n c ia q u e n e c e s itó para d e te n e r s e

Altura y la circunferencia de la cabeza

T (en

la r e s) e n 2 0 0 9 , q u e d e b e p a g a r u n a p e r so n a so lte r a cu y o

(c ) H a z u n a p r e d ic c ió n a ce rc a d e la v e lo c id a d a la q u e un

90.

F(C(F) ) = F.

d o s F a h r e n h e it? 93.

c o m p le ta m e n te . (b ) V er ifica q u e

C ( F(C)) = C y

(c ) ¿C u ál e s la tem p e ra tu r a e n g ra d o s C e ls iu s si e s 70 g ra ­

9 0 .3 9

a la q u e via ja un a u to c o m o

d

F.

se a la fu n c ió n in v ersa d e

F=F(C), d e m o str a n d o q u e

m illa s p o r h ora e s tá d a d a p o r la fu n c ió n

d(r) = 6 . 9 7 r -

C(F)

t se g u n d o s

e s a p r o x im a d a m e n te 77(r) = 1 0 0 - 4 . 9 F

(a ) E n g e n e r a l, la s fu n c io n e s cu a d rá tica s n o s o n in v e c ti­ L a fu n c ió n

F(C)

=

co n v ie r te la tem p e ra tu r a d e C g r a d o s C e lsiu s a F a h r en h e it.

:C

+ 32

v a s. S in e m b a r g o , la fu n c ió n 77 e s in y e c tiv a . ¿ P o r q u é ?

F g ra d o s

(b ) D eter m in a la fu n ción inversa d e 77 y verifica tu resultado. (c ) ¿ C u á n to tard ará u n a p ied ra e n c a e r SO m etro s?

S E C C IÓ N b J 9Gt Periodo de un péndulo

E l p e r io d o

T

(en se g u n d o s) de

97.

421

Funciones exponenciales

D ada

un p é n d u lo sim p le c o m o fu n c ió n d e su lo n g itu d / ( e n p ie s )

ax + b ex + (I

/(•v)

e s tá d a d o p or d e te r m in a / '(.v). Si

* : ”\Z S

c * 0,

¿ b a jo q u é c o n d ic io n e s en

a, b, c

y d./ =/•■?

( a ) E x p r e sa la lo n g itu d / c o m o fu n c ió n d e l p e r io d o

T.

(b ) ¿C u án to m id e un p én d u lo cu y o p erio d o es d e 3 segu n d os?

Explicación de conceptos: discusión y escritura 98.

¿ P u e d e n se r ig u a le s u n a fu n c ió n in v e c tiv a y su fu n c ió n in ­ v er sa ? ¿ Q u é d e b e se r c ie r to a c e r c a d e la g rá fica d e / para

101. T o d a fu n c ió n im p ar, ¿ e s in y e c tiv a ? E x p lica .

C(g) r e p r e se n ta e l c o s to C , en d ó la r e s, d e g a u to s. E x p lic a lo q u e r e p r e s e n ta C 1(8 0 0 ,0 0 0 ).

102. C o n sid e r a q u e

q u e e s to su c e d a ? D a a lg u n o s e je m p lo s q u e a p o y e n tu c o n ­

fabricar

c lu sió n . 103. E x p lic a p o r q u é s e p u e d e u sar la p ru eb a d e la recta h o ri­ 9 9 . T ra za la grá fica d e u n a fu n c ió n in v e c tiv a q u e c o n te n g a lo s

z o n ta l para id e n tific a r fu n c io n e s a p artir d e una gráfica.

p u n to s ( - 2 . - 3 ) . ( 0 , 0 ) y ( 1 , 5 ) . A h o r a traza la g rá fica d e su fu n c ió n in v ersa . C o m p a r a tu g rá fic a c o n las d e o tr o s e s tu ­ d ia n te s . C o m e n ta las sim ilitu d e s. ¿ Q u é d ife r e n c ia s v e s? 100. D a un e je m p lo d e una fu n c ió n c u y o d o m in io se a e l c o n ju n ­ to d e lo s n ú m e r o s r e a le s y q u e n o se a c r e c ie n te ni d e c r e ­ c ie n te e n su d o m in io , p e r o q u e se a in v e c tiv a .

[Sugerencia: U sa u na fu n c ió n d e fin id a p o r p a rtes].

Respuestas a los ejercicios de la sección "¿Estás listo?" 1. S i, para ca d a en tra d a

x e x is te

u n a sa lid a

y.

4

2.

C r e c ie n te e n ( 0 , 00); d e c r e c ie n te e n ( - 00, 0 )

3.

{.r|.r * - 6 , x * 3 }

'

6.3 Funciones exponenciales P r e p a r a c ió n p a r a e s t a s ec c ió n Antes de empezar, repasa lo siguiente: • • •

\

E x p o n e n te s (c a p ítu lo R , s e c c ió n R .2 , pp. 2 1 - 2 4 y

T a sa d e c a m b io p r o m e d io (s e c c ió n 3 .3 ,

s e c c ió n R . 8, pp. 7 3 - 7 7 )

pp. 2 2 8 -2 3 0 )

T é c n ic a s para co n str u ir gráficas: tr a n sfo r m a c io n e s

F u n c io n e s cu a d rá tica s (s e c c ió n 4 .3 , pp. 2 8 8 -2 9 6 )

(s e c c ió n 3 .5 , pp. 2 4 4 - 2 5 3 )

F u n c io n e s lin e a le s (s e c c ió n 4 .1 , pp. 2 7 2 -2 7 5 )

R e s o lu c ió n d e e c u a c io n e s (s e c c ió n 1.1, pp. 8 2 -8 7 y

A s ín to ta s h o r iz o n ta le s (s e c c ió n 5.2,

s e c c ió n 1.2, p p. 9 2 - 9 9 )

pp. 3 4 5 -3 4 6 )

Resuelve ahora los problemas de la sección "¿Estás listo?" de la página 432. O B JETIV O S

1 Evaluar funciones exponenciales (p. 421) 2 Representar funciones exponenciales gráficamente (p. 425)

3 Definir el número e(p. 428) 4 Resolver ecuaciones exponenciales (p. 430)

1 E v a lu a r fu n c io n e s e x p o n e n c ia le s w E n e l c a p í t u l o R , s e c c i ó n R . 8, d i m o s u n a d e f i n i c i ó n p a r a e l e v a r u n n ú m e r o r e a l

a

a

u n a p o t e n c i a r a c io n a l. B a s á n d o n o s e n e s a d is c u s ió n , d i m o s s ig n i f i c a d o a e x p r e s i o n e s d e la f o r m a

ar d o n d e la b a s e

a

e s un n ú m e r o r e a l p o s itiv o y e l e x p o n e n te

P e r o , ¿ c u á l e s e l s i g n if ic a d o d e el e x p o n e n te

x

a\

d o n d e la b a s e

a

r es

u n n ú m e r o r a c io n a l.

e s un n ú m e r o rea l p o s itiv o y

e s u n n ú m e r o ir r a c io n a l? A u n q u e u n a d e f i n i c i ó n r ig u r o s a r e q u ie r e

m é t o d o s d i s c u t i d o s e n c á l c u l o , la b a s e d e la d e f i n i c i ó n e s f á c il d e e n t e n d e r : s e l e c c i o n a u n n ú m e r o r a c io n a l

r que

s e f o r m e a l tr u n c a r ( r e m o v e r ) t o d o m e n o s u n n ú m e r o f in i t o

d e d í g i t o s d e l n ú m e r o ir r a c io n a l

jc.

E n t o n c e s e s r a z o n a b le e s p e r a r q u e

422

C A P ÍT U L O 6

Funciones exponenciales y logarítmicas

Por ejemplo, considera el número irracional tt = 3.14159.... Entonces una aproxi­ mación de a n es a n « a3-14 donde se han eliminado los dígitos después de la posición de centésimas del valor para tt. Una mejor aproximación sería f l ' W f l 3-1415 9

donde se han eliminado los dígitos después la posición de cien milésimos. Si conti­ nuamos de esta forma, podemos obtener aproximaciones de a n hasta cualquier grado de precisión que deseemos. La mayoría de las calculadoras tienen una tecla | x y | o una tecla de signo de in­ tercalación [ a x,

A

| para trabajar con exponentes. Para evaluar expresiones de la forma

ingresa la base a, después presiona la tecla |

xy

| (o la tecla |

A

|), ingresa el expo-

nente x y presiona | = | (o | ENTER |).

EJEM P LO 1

U so de una calculadora para evaluar potencias de 2 Usa una calculadora para evaluar: (a) 21,4 (b) 21'41 (c) 21'414

Solución

(d) 214142

(e) 2

(a) 214 « 2.639015822

(b)

(c) 21,414 « 2.66474965

(d) 214142 « 2.665119089

V2

(e) 2

2 1Al

V2

« 2.657371628

í 2.665144143

-Resuelve ahora el problema i s Se puede demostrar que las leyes conocidas de los exponentes racionales tam­ bién funcionan para exponentes reales.

TEO REM A

Leyes de los exponentes Si s ,

t, a

y b son números reales con a ( r t v) ' -

II

i-A

< f ' d = a s+r

>

0yb

>

a st

a * = —S = a

0, entonces (,a b ) s = a s - b s

(i)'

( 1) -

■

J

In tro d u c c ió n al c r e c im ie n to e x p o n e n c ia l le

Considera que una función / tiene las siguientes dos propiedades: 1. El valor de / se duplica con cada incremento de 1 unidad en la variable indepen­ diente x. 2. El valor de / en x = 0 es 5, entonces /(O) = 5. La tabla 1 muestra los valores de la función / para x = 0 ,1 ,2 , 3 y 4. Buscamos una ecuación y — f ( x ) que describa a esta función / . El hecho clave es que el valor de / se duplica por cada incremento de 1 unidad en .v.

Tabla 1 X

f(x)

0

5

1

10

2

20

3

40

4

80

/( 0 ) = 5 /O ) = 2 /(0) = 2*5 = 5 • 21 / ( 2) - 2 /(1 ) = 2(5 -2 ) == 5*22

Duplica el valor d e f en O para obtener el valor en 1. Duplica el valor de f en 1 para obtener el valor en 2.

/ ( 3) = 2 /(2) = 2(5 *22) = 5 *23 /(4 ) = 2 /(3) = 2(5 *23) = 5*24 Este patrón nos lleva a /w

-

2f(x -

>.V-1 \ _

I S E C C IÓ N y

D E F IN I C I Ó N

Fundones exponenciales

423

Una función exponencial es una función de la forma _______________________________________ / ( . v ) =

_______________________________________

donde ti es un número rea! positivo ( í/ > 0). a ¿ 1 y C # 0 es un número real. El dominio de / es el conjunto de todos los números reales. La base a es el factor de crecim iento, y como /(O) = C a ° = C, a C le llamamos el valor inicial. A D V E R TE N C IA Es Im p o rta n t« distin g u ir una función de potencias, a (x ) = n s 2 . un e n te ro , d e una función exponencial, ff x ) = C * a \ a * 1. a > O. En una función d e potencias, la base es variable y el exponente es una c o n s ta n te . En una función expo­ nencial. la base es una c o n s ta n te y el exponente es una variable. ■

En la definición de una función exponencial, excluimos la base a = 1 porque esta función es simplemente la función constante f ( x ) = C* l' = C. También debemos ex­ cluir las bases que sean negativas; de otra manera, tendríamos que excluir muchos va­ lores de .v del dominio, tales como ,r = ^ y ,v = - , [Recuerda que ( - 2 ) 1/2 = \ / - 2 , _____ 2 4 (_3)3/4 _ -\j/(_3)3 = etc., no están definidos en el conjunto de los números reales]. Por último las transformaciones (traslaciones verticales y horizontales, re­ flexiones, etc.) de una función de la forma f ( x ) = Cu' también representan funciones exponenciales. Algunos ejemplos de funciones exponenciales son /(■O = 2'

f(jr) = ( i ) ' + 5

G(.v) = 2 - 3 * - J

Observa que para cada función, la base de la expresión exponencial es una constante, y el exponente contiene una variable. Observa que en la función, f ( x ) = 5 • 2 \ la razón de las salidas consecutivas es constante para incrementos de 1 unidad en la entrada. Esta razón equivale a la cons­ tante 2, la base de la función exponencial. En otras palabras, /(I )

5 -2 1

/(O)

5

.

í(2)

5 -2 2

m

5 -2 1

,

/( 3 )

5 -2 J

/( 2 )

5*22

,

Esto nos lleva al siguiente resultado.

TEO R EM A

Para una función exponencial f ( x ) = número real, entonces /(•v +

r r

Ca\

1)

donde

a >

/(.v + 1) =

0 y a # 1, si .y es cualquier

af{x)

f(x)

En palabras

J

f~ P ara cam bios d e 1 unidad en

la e n tra d a d e x d e una función r exponencial f( x ) = C • a \ la r razón d e salid as consecutivas r es la c o n s ta n te a.

r

Demostración

r

EJEM P LO 2

Cax

/( * + ! )

/(-v)

+

l

=

a t+1

x = a1 -

a

Cax

Id e n tific a c ió n de fu n cio n e s lin e a le s o e x p o n e n c ia le s Determina si la función dada es lineal, exponencial o ninguna de las dos. Para las que son lineales, determina una función lineal que modele los datos. Para aquellas que son exponenciales, determina la función exponencial que modele los datos. (c)

(b)

(a) X

-1 0

y 5 2

X

y

-1

32

o-

y

X -1

2

16

0

4

1

7

1

-1

1

8

2

-4

2

4

2

11

3

-7

3

2

3

16

424

C A P ÍT U L O (> Fundones exponenciales y logarítmicas

Solución

Para cada función, calcula la lasa promedio de cambio de y con respecto a x y la ra­ zón de salidas consecutivas. Si la tasa de cambio promedio es constante, entonces la función es lineal. Sí la razón de salidas consecutivas es constante, entonces la función es exponencial.

(b)

(a) Ver tabla 2(a). La tasa de cambio promedio por cada incremento de 1 unidad en x es -3 . Por lo tanto, la función es una función lineal. En una función lineal la tasa de cambio promedio es la pendiente m, entonces m = -3 . La intersección en y, / \ es el valor de la función en .v = 0. entonces b = 2. La función lineal que mejor modela los datos es /(.v) = m x + /> = -3.v + 2. (b) Ver tabla 2(b). Para esta función, la tasa de cambio promedio de -1 a 0 es 16 y la tasa promedio de cambio de 0 a 1 es —8. Como la tasa de cambio promedio no es constante, la función no es lineal. La razón de salidas consecutivas para un incremento de 1 unidad en las entradas es una constante.

Como la razón de

salidas consecutivas es constante, la función es una función exponencial con fac­ tor de crecimiento de 0 para toda x , el rango de / es (0, oo). Por esto podemos concluir que la gráfica no tiene intersecciones en x , y, de hecho, la gráfica estará por encima del eje x para toda jc. Como indica la tabla 3, la intersección en y es 1. La tabla 3 también in­ dica que cuando jc —» - oo los valores de f { x ) = 2 X se acercan más y más a 0. Podemos concluir que el eje x ( y = 0) es una asíntota horizontal de la gráfica cuando x —> —oo. Esto nos da el comportamiento terminal de jc grandes y negativas. Para determinar el comportamiento terminal de jc grandes y positivas, observa de nuevo la tabla 3. Cuando jc —s»oo, / ( jc) = 2X crece muy rápidamente, haciendo que la gráfica de / ( jc) = 2X se eleve muy rápidamente. Es evidente que / es una función creciente y, por lo tanto, es inyectiva. Usando toda esta información trazamos algunos puntos de la tabla 3 y los conec­ tamos con una curva suave y continua, como se ve en la figura 18.

Como veremos, las gráficas que se ven como las de la figura 18 se dan muy fre­ cuentemente en una variedad de situaciones. Por ejemplo, la gráfica de la figura 19

426

C A I’ ÍT U I.O 6

Fundones exponenciales y logarítmicas

¡lustra el número de suhseriptores de teléfono# celulares al final de cada año de 1985 a 2008. Podemos concluir de esta gráfica que el número de subscriptores de teléfono# celulares crece e x p o n e n c ia lm e n te . Figura 19

Número de lubicriptoret de teléfonos celulares el final del aAo

Año Fuente: 1. Esas funciones son funciones crecientes y, por lo tanto, invectivas. Sus gráficas están por encima del eje .r. pasan por el punto (0,1) y a partir de ahí, se elevan muy rápidamente cuando .r —* x . Cuando x —* - x . el eje x ( v = 0) es una asíntota horizontal. No existen asíntotas verticales. Por último, las gráficas son suaves y continuas, sin esquinas ni saltos. La figura 20 ilustra las gráficas de dos funciones exponenciales más cuyas bases son mayores que 1. Observa que entre más grande es la base, más empinada es la gráfi­ ca cuando .v > 0 y cuando x < 0. entre más grande es la base, más cerca está la ecuación del eje x.

Visualización del concepto Traza la gráfica de Yt= 2’ y compara con lo que ves en la figura 18. Borra la pantalla y traza la gráfica de Y, = 3’ y Vj =6‘ y compara lo que ves con la figura 20. Borra la pantalla y traza la gráfica de V, = 10* y = 100*.

P ro p ied ad es de la función exp on en cial ffx) = < f, a > 1

Figura 21

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales o ( - x . oc). usando notación de intervalos; el rango es el conjunto de todos los números reales positivos o (0. oc). usando notación de intervalos. 2. No existen intersecciones en .v. la intersección en v es 1. 3. El eje .v (y = 0) es una asíntota horizontal cuando .v —* - oc í lim ir1 = 0 . 4. f { x ) = a \ donde a > 1. es una función creciente e invectiva.

5. La gráfica de / contiene los puntos (0.1). ( l.a ) y 6. La gráfica de f es suave y continua, sin esquinas ni saltos. Ver figura 21. Ahora considera f ( x ) = a \ cuando ( ) < « < ! .

4 S E C C IÓ N 6 J

EJEM P LO 4

427

Fundones exponenciales

G r á fic a d e u n a fu n ció n e x p o n e n c ia l

Obtén la gráfica de la función exponencial: / ( . t)

S o lu c ió n

El dominio de /(.v)

consiste en todos los números reales. Como anterior-

T a b la 4

mente. localizamos algunos puntos en la gráfica creando la tabla 4. Como

J

>

0

/ 1v X

para toda .v. el rango de / es el intervalo (0, oo). La gráfica está por encima del eje x y por lo tanto, no tiene intersecciones en x . La intersección en y es 1. Cuando .v —> - oo,

M - (i) (-)

-10

.,0 »

/(.v) =

- 8

El eje x (y = 0) es una asíntota horizontal cuando x —» oo. Es evidente que / es una función decreciente y por lo tanto, es inyectiva. La figura 22 ilustra la gráfica.

/i V»

-3

(i)

crece muy rápidamente. Cuando.r—»oo, los valores de f ( x ) tienden a 0.

/I\-J

-2

6 )

- 4

/IV ’

G) G) -

-1 0

(1 \ _ i \2 > ~ 2

1

(V f - i \2/

4

GB

3 10

a partir de la gráfica de y =

Pudimos haber obtenido la gráfica de y =

/ 1 \ ’° ( - 1 * 0.00098

2X

l\.t

usando transformaciones. La gráfica de y de la gráfica de y =

21

-

2

x

es una reflexión en el eje y

(sustituye x por - x ) . Ver figuras 23(a) y (b).

Figura 23

Visualización del concepto Usando un dispositivo gráfico, traza la gráfica simultáneamente de: (a)

y, = 3', Y

2

(b) y, = 6', y

2

/i y

-G) -(¿y

Concluye que la gráfica de y2 =

La gráfica de

,

para a >0 es la reflexión en el eje y de la gráfica de y, = 0".

f(x)

de la figura 22 es representativa de todas las funcio­

nes exponenciales de la forma f { x ) = a \ cuando Ü< a < 1. Esas funciones son decre­ cientes e inyectivas. Sus gráficas están por encima del eje .v y pasan por el punto (0,1). La gráfica se eleva rápidamente cuando x —> -oo. Cuando .v —» oo, el eje x (y = 0 ) es una asíntota horizontal. No existen asíntotas verticales. Por último, las gráficas son suaves y continuas, sin esquinas ni saltos.

428

C A P ÍT U L O 6

Funciones exponenciales y logarítmicas

Figura 24

La figura 24 ilustra las gráficas de dos funciones exponenciales más cuyas bases están entre 0 y 1. Observa que una base más pequeña da como resultado una gráfica que es más empinada cuando x < 0. Cuando x > 0, la gráfica de la ecuación con la base menor está más cerca del eje x.

P ro p ie d a d e s de la fu n ció n e xp o n e n cia l f(x) = a“, 0 < a < 1

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales o (—o o , o c ) , usando notación de intervalos; el rango es el conjunto de todos los números reales positivos o (0, o o ) usando notación de intervalos. 2.

No existen intersecciones en x , la intersección en y es 1.

3. El eje x (y = 0) es una asíntota horizontal cuando x —1►4. / ( * ) = a \

0<

a <

oo

J linwr* = 0j.

1, es una función decreciente e inyectiva.

5. La gráfica de / contiene los puntos ^ -1 ,

(0,1) y (1 , a ) .

6. La gráfica de / es suave y continua, sin esquinas ni saltos. Ver figura 25.

EJEM P LO 5

G ráficas de funciones exponenciales usando transform aciones Traza la gráfica de f ( x ) zontal de / .

Solución

= 2~'-3y

Empieza con la gráfica de y =

(a) y = 2*

2\

Sustituir x por - x , reflejar en el eje y.

determina el dominio, el rango y la asíntota hori­

La figura 26 muestra las etapas.

(bt '

’

v —2 y

*

Restar 3. correr 3 unidades hacia abajo.

iq \

y = 2 x

—3

Como ilustra la figura 26(c), el dominio de f ( x ) = 2 x— 3 es el intervalo ( - o o , rango es el intervalo ( - 3 , o o ) . La asíntota horizontal de / es la recta y = - 3 . Resuelve ahora

el

problema

oo)

y el .

41

3 D e fin ic ió n d e l n ú m e ro e Como veremos en seguida, muchos problemas que se dan en la naturaleza requieren del uso de una función exponencial cuya base es un cierto número irracional, simbo­ lizado por la letra e.

S E C C IÓ N 6 J

Funciones exponenciales

429

A continuación se da una forma de llegar a este importante número e.

tr -

El núm ero e está definido como el número al que la expresión

D EFINICIÓ N

aT

se aproxima cuando limites como

n

—* oo. En cálculo, esto se expresa usando notación de

e

= lim ( 1 + -i v n j

J La tabla 5 ilustra lo que sucede con la expresión (2) cuando n toma valores cada vez más grandes. El último número en la columna derecha de la tabla está corregido a nueve lugares decimales y es igual que la entrada que se da para e en tu calculadora (si se expresa correctamente hasta nueve lugares decimales). La función exponencial f ( x ) = e \ cuya base es el número e , se da con tanta fre­ cuencia en aplicaciones que, comúnmente, se refiere a ella como la función exponen­ cial. La mayoría de las calculadoras tienen la tecla] e x |o | exp(.v) , que se puede usar para evaluar la función exponencial para un valor dado de x * n 1 2 5 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 1,000,000,000

T a b la 6

1 n

1 + i n

(•*;)■

1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 10‘ 9

2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 1 + 10 9

2 2.25 2.48832 2.59374246 2.704813829 2.716923932 2.718145927 2.718268237 2.718280469 2.718281827

X

e*

-2

e’ 2 « 0.14

-1

e~' « 0.37

0

e °* 1

1

e' « 2.72

2

e2 « 7.39

y II

Figura 27

I (2, e2) 6

Visualización del concepto

3

H - j ) > no.1)

Traza la gráfica de /, = e" y compara lo que ves con la figura 27. Usa eVALUEate o TABLE para verificar los puntos en la gráfica que se muestran de la figura 27. Ahora traza la gráfica de Y2= 2"y Y%= 3’ en la misma pantalla que T, = e. Observa que la gráfica de Yy= e" está entre estas dos gráficas. 1

O

1

ro

Ve | Il 1 o

Ahora usa tu calculadora para aproximar e ' para .v = -2 , x = -1, x = 0, x = 1 y x = 2, como hicimos para crear la tabla 6. La gráfica de la función exponencial /(.v) = e x se da en la figura 27. Como 2 < e < 3, la gráfica de y - e ' está entre las gráficas de y = 2X y y = 3'. ¿Puedes ver por qué? (Consulta las figuras 18 y 20).

EJEM PLO

I . 3 x

6

G rá fic a d e fu n cio n e s e x p o n e n cia le s u san d o tra n sfo rm a c io n e s Traza la gráfica de / ( jc) = zontal de / .

S o lu ció n

- e '~ y

Empieza con la gráfica de y

= ex.

y determina el dominio, el rango y la asíntota hori­ La figura 28 muestra las etapas.

* Si tu calculadora no tiene una de estas teclas, consulta tu instructivo.

430

C A P ÍT U I -O 6

Funciones exponenciales y logarítmicas

Figura 28

Como ilustra la figura 28(c), el dominio de f ( x ) = - e * 3 es el intervalo (-oo, 0 y a * 1, se llaman ecuaciones exponenciales. A veces esas ecuaciones se pueden resolver aplicando apropiadamente las leyes de los exponentes y la propiedad (3): r r En palabras

Si

c C uando dos expresiones r exponenciales con la m ism a base son ¡guales, entonces sus exponentes son Iguales.

EJ E MPL O 7

íi"

=

a'\

entonces

u = v.

(3)

La propiedad (3) es una consecuencia del hecho que las funciones exponenciales sean inyectivas. Para usar la propiedad (3). ambos lados de la igualdad tienen que estar escritos con la misma base. R e so lu c ió n d e e c u a c io n e s e x p o n e n c ia le s Resuelve cada ecuación exponencial. (a) 3A+1 = 81

S o lu c ió n

(b) 42a_1 = 8I+3

(a) Como 81 = 34, escribimos la ecuación como 3,+l = 81 = 3 4 Ahora tenemos la misma base, 3. en ambos lados. Haz los exponentes iguales uno al otro para obtener x + 1= 4 x =3 El conjunto solución es {3}. (b)

42í_1 = 8V+3 ( 22)(2.r-i) = (23)

4 = 2^:3 = Z5

22(2.r-l) _ 2 3( c+3)

(* ')• =

2(2.v - 1) = 3(.V + 3)

S¡au = a', e n to n c e s u = v.

4.v - 2 = 3.v + 9 .v =

11

El conjunto solución es {11}.

Resuelvo ahora

el

. problema

63

S E C C IÓ N 6 J

EJEM P LO 8

Funciones exponenciales

431

Resolución de una ecuación exponencial Resuelve: e'*2 = ( 0

f ~e~

A plicaciones y extensiones 101. Ó p tic a

S i un s o lo v id r io b lo q u e a e l 3% d e la lu z q u e

p asa p o r é l, e l p o r c e n ta je

p

d e lu z q u e p a sa p o r

n v id rio s

s u c e s iv o s e s tá d a d o a p r o x im a d a m e n te p o r la fu n c ió n

p(n) =

s u c e s iv o s ? L a p r e s ió n a tm o sfé r ic a

p

en un g lo ­

b o o a v ió n d e c r e c e c o n fo r m e se in c r e m e n ta la altu ra. E sta p r e s ió n , m e d id a e n m ilím e tr o s d e m e r c u r io , s e r e la c io n a

h (en

k iló m e tr o s ) so b r e e l n iv e l d e l m a r p o r

la fu n ció n

p(h) =160e~°USh (a ) D e te r m in a la p r e s ió n a tm o sfé r ic a a u n a altu ra d e (b ) ¿ C u á l e s la p r e s ió n a u n a altu ra d e 10 k iló m e tr o s (m á s d e 3 0 ,0 0 0 p ie s )?

p, e n d ó la r e s, d e x a ñ o s se m o d e la co n p{x) = 1 6 ,6 3 0 (0 .9 0 )*

E l p r e c io

C iv ic D X se d á n d e

u n a u to H o n d a

(a ) ¿ C u á n to co sta r á u n C iv ic D X se d á n d e 3 a ñ o s? (b ) ¿ C u á n to co sta r á un C iv ic D X se d á n d e 9 a ñ o s?

104. Cicatrización de las heridas

L a cic a tr iz a c ió n n o rm a l d e la s h erid a s se p u e d e m o d e la r p o r u n a fu n c ió n e x p o n e n ­ cial. Si A0 r e p r e s e n ta e l á rea o r ig in a l d e la h erid a y A e s ig u a l al á rea d e la h erid a , e n to n c e s la fu n c ió n

A(n)

= j 4 0e~°-35n

d e sc r ib e e l área d e la h erid a d e s p u é s d e n d ía s d e u n a h e ­ rida q u e n o e s té in fe c ta d a , lo cu a l, retra sa ría la c ic a tr iz a ­ c ió n . C o n sid e r a q u e la h erid a te n ía o r ig in a lm e n te u n área d e 100 m ilím e tr o s cu a d ra d o s. (a ) S i la h erid a s e e s tá c ic a tr iz a n d o , ¿ q u é ta n g ra n d e será e l á rea d e la h erid a d e s p u é s d e 3 d ía s? (b ) ¿ Q u é tan g ra n d e se rá d e sp u é s d e 10 d ías? 1 0 5. Medicamentos

(a ) D e te r m in a la p r o b a b ilid a d d e q u e un a u to lle g u e en lo s 10 m in u to s d e s p u é s d e las 12:00 p .m . ( e s d ecir, a n ­ te s d e las 12:10 p .m .). (b ) D e te r m in a la p r o b a b ilid a d d e q u e u n a u to lle g u e en lo s 4 0 m in u to s d e s p u é s d e la s 12:00 p .m . ( e s d ecir, a n ­ te s d e las 12:40 p .m .). (c ) ¿ A q u é v a lo r e s tie n d e F c u a n d o t se v u e lv e n o a c o ta ­ d a e n la d ir e c c ió n p o sitiv a ? j^j (d ) T ra za la g rá fica d e T u s a n d o un d is p o s itiv o g rá fico , ( e ) U s a n d o IN T E R S E C T , d e te r m in a c u á n to s m in u to s se n e c e sita n para q u e la p r o b a b ilid a d se a d e 50% .

L a fu n c ió n

E n tr e las 5:00 p .m . y las 6:00 p .m . lo s a u to s lle g a n a J iffy L u b e c o n u n a tasa d e 9 a u to s p o r h o ra (0 .1 5 a u to s p o r m in u to ). L a sig u ie n te fó rm u la d e p r o b a b ilid a d s e p u e d e u sar para d e te r m in a r la p ro b a b ili­ d ad d e q u e un a u to lle g u e a t m in u to s d e las 5:00 p.m .:

F(t)

S e p u e d e u sar p ara d e te r m in a r e l n ú m e r o d e m ilig r a m o s D d e c ie r to m e d ic a m e n to q u e e s tá e n e l to r r e n te sa n g u í­ n e o d e un p a c ie n te h h o r a s d e s p u é s d e q u e e l m e d ic a m e n ­ to se a a d m in istra d o . ¿ C u á n to s m ilig r a m o s esta r á n p r e s e n ­ te s d e sp u é s d e 1 h ora ? ¿ D e s p u é s d e 6 h o ra s?

106. Esparcimiento de rumores

U n m o d e lo p ara e l n ú m er o d e p e r s o n a s e n u n a c o m u n id a d u n iv e rsita r ia q u e h an

o íd o c ie r to ru m or es

N = P{ l - é C

),M)

d o n d e P e s la p o b la c ió n to ta l d e la c o m u n id a d y d e s el n ú m e r o d e d ías q u e han p a sa d o d e sd e q u e e m p e z ó el ru ­ m or. E n u n a c o m u n id a d d e 1000 e s tu d ia n te s, ¿ cu á n to s e s tu d ia n te s habrán o íd o e l ru m o r d e sp u é s d e 3 d ías?

\

107. Probabilidad exponencial

Entre las 12:00 p.m. y la l:00p.m. los autos llegan al autobanco de Citibank con una tasa de

= 1-

e-°'5'

(a ) D e te r m in a la p r o b a b ilid a d d e q u e lo s 15 m in u to s d e s p u é s d e las 5:00 te s d e las 5:15 p .m .). (b ) D e te r m in a la p r o b a b ilid a d d e q u e lo s 3 0 m in u to s d e sp u é s d e la s 5:00

un a u to lle g u e en p .m . ( e s d ecir, a n ­ u n a u to lle g u e en p .m . (e s d ecir, a n ­

te s d e las 5:30 p .m .). (c ) ¿ A q u é v a lo r e s tie n d e F c u a n d o t se v u e lv e n o a c o ta ­ da e n la d ir e c c ió n p o sitiv a ? (d ) T r a za la g rá fica d e T u s a n d o un d isp o s itiv o g rá fico . (e ) U s a n d o I N T E R S E C T , d e te r m in a c u á n to s m in u to s se n e c e sita n para q u e la p ro b a b ilid a d se a d e 60% .

109. Probabilidad de Poisson

E n tr e las 5:00 p .m . y las 6:00 p .m ., lle g a n lo s a u to s al A u to M a c c o n u n a tasa d e 20 a u to s p o r h ora. L a s ig u ie n te fó rm u la d e p ro b a b ilid a d se p u e d e u sar para d e te r m in a r la p r o b a b ilid a d d e q u e x a u to s lle ­ g u e n e n tr e las 5:00 p .m . y las 6:00 p .m .

D(h) = 5 éT°-4/’

N

d e las 12:00 p.m.:

108. Probabilidad exponencial

2 k iló m e tr o s (m á s d e u n a m illa ).

103. Depreciación

t m in u to s 1 - e~°u

b ilidad d e q u e un a u to lle g u e a T(r) =

s u c e s iv o s ? (b ) ¿ Q u é p o r c e n ta je d e lu z p a sa rá a tr a v é s d e 25 v id rio s

c o n la altura

la d e p rob ab ilid ad se p u e d e usar para d eterm in ar la p ro b a ­

1 0 0 (0 .9 7 )"

(a ) ¿ Q u é p o r c e n ta je d e lu z p a sa rá a tr a v é s d e 10 v id rio s

102. Presión atmosférica

6 a u to s p or hora (0.1 a u to p o r m in u to ). L a sig u ien te fórm u ­

n/ ,

P(x)

=

20xe~20 x\

donde

x\ = x- (x (a ) D e te r m in a g u e n en tre (b ) D e te r m in a g u e n e n tr e

la las la las

-

1 ) • (x - 2 ) ........ 3 * 2 * 1

p ro b a b ilid a d d e q u e x = 15 a u to s lle ­ 5:00 p .m . y las 6:00 p.m . p ro b a b ilid a d d e q u e x = 2 0 a u to s lle ­ 5:00 p .m . y las 6:00 p.m .

110. Probabilidad de Poisson

L a g e n te lle g a a la fila para la Montaña Rusa Demon c o n u n a tasa d e 4 p erso n a s p or m in u to . L a sig u ie n te fó rm u la d e p ro b a b ilid a d se p u e d e u sar para d eter m in a r la p ro b a b ilid a d d e q u e x p erso n a s lle g u e n e n el sig u ie n te m in u to .

P(x)

4 V =

x\

436

U LO 6

c a p ít

Funciones exponenciales y logarítmicas

114. Corriente en un circuito R C

donde

x\ = x ‘ (x -

1 ) • ( jc — 2 ) ........ 3 - 2 - 1

x=5

(a ) D e te r m in a la p ro b a b ilid a d d e q u e

p e r so n a s lle ­

g u en en el s ig u ie n te m in u to .

x = 8 p e r so n a s

(b ) D e te r m in a la p ro b a b ilid a d d e q u e

lle ­

i

po

(e n m ic r o se g u n d o s) e n un c ir c u ito

R

e n una re siste n c ia

/ =

La h u m e d a d

RC q u e

con siste

(e n o h m s ) , una c a p a cita n cia

m ic r o fa r a d s) y una fu erza e le c tr o m o tr iz

g u en en el s ig u ie n te m in u to .

111. Humedad relativa

La e c u a c ió n q u e rige la

ca n tid a d d e c o r r ie n te / (e n a m p e r e s) d e s p u é s d el tiem ­

E (e n

C

íen

v o lts ) es

£ . e - i/ (* C )

re la tiv a e s la razón

(e x p r e sa d a c o m o p o r c e n ta je ) d e la c a n tid a d d e v a p o r d e a g u a en e l aire y la ca n tid a d m á x im a q u e p u e d e r e te n e r a u na tem p e ra tu r a e s p e c ífic a . La h u m ed a d re la tiv a ,

R,

se

d e te r m in a u sa n d o la s ig u ie n te fórm u la: 4221

R donde

T es

4221

= lo ( r 1459.4 0 + 459.4

+2

la tem p e ra tu r a d el aire (e n °F ) y

D es

la te m ­

p eratu ra d el p u n to d e c o n d e n s a c ió n (e n ° F ). (a ) D e te r m in a la h u m e d a d r e la tiv a si la te m p e r a tu r a d el aire e s d e 50° F a h r e n h e it y la tem p e ra tu r a d el p u n to

(a ) Si

d e c o n d e n s a c ió n e s d e 4 1 ° F a h r en h e it. (b ) D e te r m in a la h u m e d a d r e la tiv a si la tem p e ra tu r a d el

120 v o lts,

R=

2 0 0 0 o h m s y C = 1.0 m icrofarad .

(t =

(c ) ¿C u ál e s la h u m ed a d re la tiv a si la tem p e ra tu r a d el aire y la tem p e ra tu r a d e l p u n to d e c o n d e n s a c ió n so n ig u a les?

0 )? ¿ D es­

p u é s d e 1000 m ic r o se g u n d o s? ¿ D e s p u é s d e 3 0 0 0 m i­

aire e s 68° F a h r e n h e it y la tem p e ra tu r a d el p u n to d e c o n d e n s a c ió n e s d e 5 9 ° F a h r en h e it.

c r o se g u n d o s? (b ) ¿ C u á l e s la c o r r ie n te m á x im a ?

I=

(c ) T ra za la g rá fica d e e sta fu n c ió n

t so b r e e l e je x. v o lts. R = 1000 o h m s

so b r e el e je (d ) Si

112. Curva de aprendizaje

E=

¿ cu á n ta c o r r ie n te /, flu y e in ic ia lm e n te

C o n sid e r a q u e un e s tu d ia n te t ie ­

E=

120

y

/ , ( / ) , m id ie n d o /

y

y C = 2 .0 m icrofarad s.

¿ cu á n ta c o r r ie n te / , flu y e in ic ia lm e n te ? ¿ D e s p u é s

n e q u e a p ren d er 5 0 0 p a la b ra s. Si e l e s tu d ia n te a p r e n d e 15

d e 1000 m ic r o se g u n d o s? ¿ D e s p u é s d e 3 0 0 0 m icro-

p a la b ra s e n 5 m in u to s, la fu n c ió n

se g u n d o s? ( e ) ¿ C u á l e s la c o r r ie n te m á x im a ?

L ( /) = 5 0 0 ( l - e 0«’61')

L

a p ro x im a e l n ú m e r o d e p a la b r a s a p ren d erá en

q u e e l e s tu d ia n te

(a ) ¿ C u á n ta s p a la b ra s a p r e n d e r á d e s p u é s d e 3 0 m in u to s? (b ) ¿ C u á n ta s p a la b ra s a p r e n d e r á d e s p u é s d e 6 0 m in u to s?

113. Corriente en un circuito R L

t

I (e n

L a e c u a c ió n q u e rige la

a m p e r e s) d e s p u é s d e l tie m p o

(e n s e g u n d o s ) en un c ir c u ito

c o n s is te en u na re siste n c ia

L

/ , ( f ) en lo s m ism o s

e je s d e c o o r d e n a d a s q u e / , ( / ) .

t m in u to s.

ca n tid a d d e c o r r ie n te

I=

(f) T ra za la g rá fica d e la fu n c ió n

R

RL

d e p rim er o r d e n q u e

115. Si / e s una fu n c ió n e x p o n e n c ia l d e la fo rm a f(x) = C • a' c o n fa cto r d e c r e c im ie n to d e 3 y / ( 6 ) = 12, ¿a q u é e q u iv a le /( 7 )?

116. Otra fórmula para e

U s a u n a c a lc u la d o r a para o b te n e r

lo s v a lo r e s d e

(e n o h m s ) , una in d u cta n c ia

(e n h e n r y s) y u na fu e rz a e le c tr o m o tr iz

E (e n

v o lts ) e s p ara

/ = f [ 1 -