Algebra de Proposiciones

 

1

IPESM   I 

Instituto Privado de Estudios Superiores de Misiones MATERIA: MATEMATICA I / INTRODUCCION A LA MATEMATICA

 APUNTE DE LA UNIDAD I: NOCIONES DE LOGICA EN MATEMATICA

1 INTRODUCCION A LA LOGICA La lógica es una ciencia formal y una rama importante dentro de la filosofía que estudia los métodos y principios para distinguir entre un razonamiento bueno o correcto, del malo o incorrecto.

La Lógica Tradicional emplea métodos de razonamientos consistentes en una línea argumentativa con transmisión de contenidos. A partir de finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX se desprende una rama de la lógica tradicional, la cua cu al ut utiiliza liza una estr truc uctu tura ra fo form rmal al y estri stric cta para la con ondu ducc cció ión n de dell ra razo zona nami mien ento to,, a tr trav avés és de dell em empl pleo eo de simb simbol olog ogía ía (n (núm úmer eros os o le letr tras as)) y procedimientos o reglas estrictas (tablas de verdad) para determinar la validez o no de dicho razonamiento, a partir de aquí podemos asociar a esta rama de la lógica como Lógica en Matemática dado que la matemática es, como todos sabemos, una ciencia formal y estricta

El estudio de la lógica tiene como compenentes fundamentales a las premisas y a las conclusiones. Toda premisa a su vez tiene su raíz conformaciónal en las pr prop opos osic icio ione nes, s, po porr lo ta tant nto o pa para ra un ad adec ecua uado do es estu tudi dio o de la ló lógi gica ca es fundamental entender la estructura de las proposiciones.

 

2

2 ALGEBRA DE PROPOSICIONES 2.1 INTRODUCCION Una  proposición  proposición   se define como todo enunciado que expresa algo sobre lo que se pueda decir si es verdadero o falso falso.. La característica fundamental que tiene todo enunciado enunciado es que o bien es verdader verdadero, o, o bien es falso, pero nunc nunca a ambas cosas.

Las proposiciones se simbolizan con letras minúsculas que suelen ser  p,  p, q, r, s, ….

 A los estados de verdadero o falso que puede tener una proposición se les denomina valor de verdad o verdad o valor lógico de esa proposición

Ejemplos: •

“El 8 es un numero par”. Es una proposición, y es verdadera

•

“Posadas es la capital de Corrientes”. Es una proposición, y es falsa

•

En general, las frases interrogativas, admirativas e imperativas no son proposiciones, dado que no admiten valores verdaderos o falsos. Por  ejemplo “¿Como te llamas?”; “¿Donde vas?”; “Sube aquí ahora mismo!!”

2.2 CONCEPTO DE CONECTIVOS LOGICOS Son So n elem elemen ento tos s qu que e se ut util iliz izan an pa para ra en enla laza zarr va varia rias s pr prop opos osic icio ione nes s o pa para ra modificar el valor de verdad de una proposición. En la siguiente tabla se indican los conectivos lógicos a utilizar 

Conectivo

Símbolo

Nombre

y o o…,pero no ambos no si…,entonces… …si y solo si…

Λ

Conjunción Disyunción inclusiva Disyunción exclusiva Negación Condicional Bicondicional

ν ν ~p (no p)

→ ↔

 

3

2.3 TIPO DE PROPOSICIONES Se pueden considerar dos tipos principales de proposiciones:

2.3.1 Proposiciones simples: Son aquellas proposiciones proposiciones que no pued pueden en desc de scom ompo pone ners rse e en otra otras s ma mas s se senc ncil illa las s o si simp mple les. s. Es de deci cir, r, no ti tien enen en conectivos lógicos. Por ejemplo: “Juan esta flaco”; “Andrea es alta” 2.3.2 Proposiciones compuestas: Son aquellas proposiciones que pueden reducirse o descomponerse en otras más simples o sencillas. Se las reconoce porq po rque ue ut util iliz izan an co cone nect ctiv ivos os lógi lógico cos. s. Po Porr

ej ejem empl plo: o: “Jua “Juan n

es esta ta fl flac aco o

y

enfermo”;”Andrea es alta y linda”; “Marcos estudia o trabaja”

Las proposiciones compuestas se las simboliza con letras mayúsculas: P, Q, R, S,…..

La propiedad fundamental de las proposiciones compuestas es que su valor de verdad esta determinado por completo por el valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que lo componen y por el modo como se las reúne para formar el enunciado compuesto

Los estados de verdad y falsedad de las proposiciones se suelen representar  por medio de las tablas de verdad

2.3.3 OTROS CONCEPTOS PROPOSICIONALES Son n pr prop opos osic icio ione nes s qu que e se su supo pone nen n 2. 2.3. 3.3. 3.11 Axio Axioma mass o post postul ulad ados os:: So

verdaderas y que por tanto se admiten sin demostración. Por ejemplo, “toda línea esta formada por un conjunto infinito de puntos”; “La recta es el camino mas corto entre dos puntos”

2.3.3.2 2.3.3 .2 Teoremas: Teoremas: So Son n prop propos osic icio ione nes s qu que e se de dedu duce cen n a pa part rtir ir de un unos os axiomas y de otros teoremas o postulados

 

4

2.4 TABLAS DE VERDAD DE LOS CONECTIVOS  Aquí se estudiaran los posibles valores lógicos que adoptan las proposiciones compuestas como resultado de enlazar proposiciones simples por medio de conectivos lógicos.

2.4.1 CONJUNCION

Dos proposiciones simples o enunciados cualesquiera se pueden combinar por  medio de la letra o conectivo “y” para formar una proposición compuesta o enunciado compuesto, que se llama conjunción de los primero enunciados. Dada Da da do dos s pr prop opos osic icio ione nes s si simp mple les s cu cual ales esqu quie iera ra de deno nota tada das s po por  r   p y q, simbólicamente se describe a la conjunción por p por  p Λ q, se lee “  p p y q”

Ejemplo: sea p sea p “Hoy es un día soleado” y sea q “Hoy hace frío”. Entonces p Λ q establece el siguiente enunciado compuesto “Hoy es un día soleado y hace frío” El valor de verdad de la proposición o enunciado compuesto  p Λ q resulta verdadero si  p es verdadero y q es verdadera, en cualquier otro caso  p Λ q re resu sult lta a fa fals lso. o. Es de deci cir, r, la co conj njun unci ción ón de do dos s en enun unci ciad ados os es ve verd rdad ader era a solamente si cada componente es verdadero. Esto se refleja en la siguiente tabla de verdad p V V

q V F

pΛq V F

F F

V F

F F

2.4.2 DISYUNCION INCLUSIVA

Dos proposiciones simples o enunciados cualesquiera se pueden combinar por  medio de la letra o conectivo “o” para formar una proposición compuesta o enunc enu nciad iado o co compu mpuest esto, o, que se llama llama dis disyu yunci nción ón inc inclus lusiva iva o sim simple plemen mente te disy disyun unci ción ón de los los prim primer ero o en enun unci ciad ados os.. Da Dada da do dos s pr prop opos osic icio ione nes s simp simple les s cualesquiera denotadas por  p por  p y q, simbólicamente se describe a la disyunción por p por  p ν q, se lee “ p  p o q”

 

5

Ejemplo: sea p sea  p “Hoy estudiamos informática” y sea q “Hoy nos vamos al cine”. Entonces p ν  q establece el siguiente enunciado compuesto “Hoy estudiamos informática o nos vamos al cine”

El valor de verdad de la proposición o enunciado compuesto  p ν  q resulta verdadero si  p es ve verdadero verda rdade dero ro o q es ve verd rdad ader era a o si am ambo bos s  p y q son verdaderos, entonces p entonces  p ν  q es verdadero; en otro caso  p ν q resulta falso. Es decir, la disyunción de dos enunciados es falsa solamente si cada enunciado componente es falso. p V V F F

q V F V F

pνq V V V F

2.4.3 DISYUNCION EXCLUSIVA

La disyunción exclusiva de dos proposiciones es una proposición compuesta que resulta verdadera cuando lo es una y solo una de las dos proposiciones que la constituyen, y falsa en caso contrario.

Se representa por  p por  p ν q y se lee “ p  p o-exclusiva q” o “  p p o q, pero no ambas”

La característica fundamental de la disyunción exclusiva es que solo se puede cumplir una de las proposiciones integrantes, pero no ambas a la vez. Ejemplo: sea  p “Tomamos mate” y sea q “Tomamos café”. Entonces p ν  q establece el siguiente enunciado compuesto “o tomamos mate o café”

Ejemplo: sea p sea  p “Vamos en ómnibus” y sea q “Vamos en avión”. Entonces p ν  q establece el siguiente enunciado compuesto “o vamos en ómnibus o vamos en avión”; obsérvese que el primer “o” únicamente sirve para reforzar el sentido exclusivo, pero no es necesario

 

6

p V

q V

pνq F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

2.4.4 NEGACION

Dado un enunciado p, se puede formar otro enunciado que se llama negación de  p,  p, escribiendo “Es falso que…” antes de  p o, cuando resulte procedente hacerlo, insertar en p en  p la palabra “no”. Simbólicamente se denota la negación por ~ p ~  p   Ejemplo: Sea p Sea p:: 3+3 = 7; la negación se expresa como a) es falso que 3+3 = 7 o bien b) 3+3 no es 7 Ejemplo; a) Es falso que Posadas es la capital de Corrientes b) Posadas no es la capital de Corrientes

El valor de verdad de la negación de un enunciado depende de la siguiente condición: •

Si p Si p es verdadero, entonces ~ p ~ p es falso

•

Si p Si p es falso, entonces ~ p ~  p es verdadero

Por lo tanto su tabla de verdad se escribe de la siguiente manera

2.4.5 CONDICIONAL

p V

~p F

F

V

 

7

Se representa simbólicamente por:  p→  p→q, y se lee de alguna de las siguientes formas, •

 p entonces q

•

 p implica q 

•

 p es suficiente para q 

•

q es necesario para p para  p

 A p  A p  se lo denomina “antecedente”  “antecedente” y y a q “consecuente” 

El condicional p condicional  p→ →q es verdadero a menos que p sea verdadero y q sea falsa. Es decir que un enunciado verdadero no puede implicar uno falso. Aquí vemos la condición “necesaria” que se establece de q a  p. Si pretendemos que la condicional sea verdadera, siendo el antecedente verdadero, necesariamente q debe ser verdadera, verdadera, en caso contrario no existiría condicional y por lo tanto esta es falsa, es decir que no se puede condicionar algo que no existe. La condición que se establece de p a q es “suficiente” en el sentido que representa lo “mínimo adecuado” para que se pueda cumplir q cumplir  q

La tabla de verdad de la condicional expresa lo siguiente p V

q V

p→q V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

De p a q se establece una condición minima o suficiente

Ejemplos: “Si el día esta lindo, entonces me voy a jugar al fútbol” “Si llueve, entonces no voy a la l a escuela” “Si el día esta soleado, entonces iremos al campo”

2.4.6 BICONDICIONAL

 

8

Se representa simbólicamente a los enunciados bicondicionales por medio de  p↔  p↔q, se lee como “ p,  p, si y solo si, q” Si p Si  p y q tienen el mismo valor de ve verdad, rdad, entonces el enunciado bicondicional  p↔q es verdadero; si  p y q tienen valores de verdad opuestos el enunciado  p↔q es falso. En este caso existe una condición mutuamente necesario entre  p y q, es decir que una no puede existir sin la otra. Su tabla de verdad expresa lo siguiente p V

q V

p↔q V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Ejemplos: “Un triangulo es equilátero si y solo si tiene los tres lados iguales” “Hoy voy a jugar al fútbol si y solo si el día esta lindo”  

2.5 OPERACIONES PROPOSICIONALES Y TABLAS DE VERDAD En esta sección se estudiara la forma de deter determinar minar el valor de verda verdad d de las proposiciones compuestas, compuestas, a través de sus tablas de verdad.

 A una proposición compuesta se la suele representar de manera polinómica de la siguiente forma: P (p, q, r,….), Q (p, q, r…) donde decimos que P  y Q son proposiciones compue com puesta stas s con confor formad mados os por la var variab iables les  p, q, r,….. que a su vez son proposiciones simples.

La ta tabl bla a de ve verd rdad ad de un una a prop propos osic ició ión n co comp mpue uest sta a es esta tabl blec ece e la re rela laci ción ón existente entre el valor de verdad de esa proposición compuesta P (p, q, r,….) y los valores de verdad de sus variables variables p,  p, q, r,….  r,…. 

2.5.1 REGLAS PARA DETERMINAR LA TABLA DE VERDAD

 

9

1) Se deter determin mina a la canti cantidad dad de varia variable bles s o pro propos posici icione ones s sim simple ples s de qu que e consta la proposición compuesta 2) Se d debe ebe rea realiz lizar ar e ell ca calcu lculo lo 2n para determinar el numero de filas del que cons co nsta tara ra la tabl tabla a de ve verd rdad ad,, si sien endo do n el nu nume mero ro de pr prop opos osic icion iones es si simp mple les s o va vari riab able les s inte interv rvin inie ient ntes es.. Po Porr ej ejem empl plo o si in inte terv rvie iene nen n tr tres es 3

variables o proposiciones simples, la cantidad de filas será de 2 = 8 filas o casos. En el caso de dos variables, el numero de filas será de 2 2 = 4 3) Se arma la tabla col coloc ocand ando o las varia variable bles s en las pri primer meras as colu columna mnas s y luego se ubican tantas columnas como variables y conectivos lógicos exista, comenzando desde la primera variable 4) En la prim primera era pro propos posici ición ón de la tabl tabla a se coloc colocan an la mita mitad d de todo todos s los casos posibles con V y la otra mitad con F. En la segunda proposición de la tabla se coloca alternativamente 2V y 2F. En la tercera proposición se coloca alternativamente V y F, y así se repite sucesivamente en las restantes columna. Si solo se tienen dos proposiciones, a la segunda le corresponde V y F alternativamente en todas las columnas

Ejemplos de aplicación Sean Se an las sig siguie uiente ntes s pro propos posici icione ones s com compue puesta stas, s, co const nstruy ruya a su tab tabla la de verdad 1) ~p  Λ q p V V F F

q V F V F PASOS

~ F F V V 2

p V V F F 1

Λ

q V F V F 1

F F V F 3

  La tabla queda finalmente p

q

V V F F

V F V F

2) ~ (p→ ~ q q))

~p Λ q F F V F

 

10

p V V F F

q V F V F

~ V F F F 4

PASOS

p V V F F 1

p

q

V V F F

V F V F

→ F V V V 3

~ F V F V 2

q V F V F 1

~ (p→ ~ q) V F F F

3) (p  Λ q) → (p ν q) p q V V V F F V F F PASOS

p V V F F 1

Λ

2

q V F V F 1

p

q

V V F F

V F V F

→

3

p V V F F 1

ν

2

q V F V F 1

(p Λ q) → (p ν q)

4) (p→ ~q) ν r  p V V V V F F F F

q V V F F V V F F PASOS p

r V F V F V F V F

p V V V V F F F F 1 q

→ F F V V V V V V 3

~ F F V V F F V V 2 r

q V V F F V V F F 1

ν V F V V V V V V 4

r V F V F V F V F 1

(p→ ~q) ν r

 

 

 

11

V F V V V V V V

V F V F V F V F

V V F F V V F F

V V V V F F F F

2.6 TAUTOLOGIAS Y CONTRADICCIONES Se definen los siguientes tipos de proposiciones según los valores de su tabla de verdad: •

Una proposición es una tautología cuando todos los valores de su tabla de verdad son verdaderos. Es decir que la tautología es una proposición siempr sie mpre e ver verdad dadera era ind indepe ependi ndient enteme emente nte de los val valore ores s de ver verdad dad o falsedad de las proposiciones simples que la constituyen. Por ejemplo, la proposición p proposición  p ν ~ p es una tautología dado que así lo revela su tabla de verdad p V F

•

~p F V

p ν ~p V V

Una proposición es una contradicción cuando todos los valores de su tabla de verdad son falsos. Por lo tanto es falsa, independientemente de los valores de verdad o falsedad de las proposiciones simples que la constituyen. Por ejemplo, la proposición p proposición p Λ ~ p es una contradicción

•

p

~p

p Λ ~p

V F

F V

F F

Una proposición es indeterminada cuando en su tabla de verdad hay valores verdaderos y falsos. Por lo tanto, su valor lógico depende de los valo va lore res s de ve verd rdad ad o fals falsed edad ad de la las s pr prop opos osic icio ione nes s simp simple les s qu que e la constituyan

2.7 EQUIVALENCIA LOGICA

 

12

Dos proposiciones P (p, q, r,….) y Q (p, q, r,….) se dicen lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. Se denota la equivalencia entre P  P y y Q por medio de P  P ≡ ≡ Q  Dada la proposición (p→q)  Λ ( q→p), q→p), su tabla de verdad expresa lo siguiente p V V F F

(p→q) Λ (q→p), V F F V

q V F V F

Mientras que la tabla de verdad de la proposición proposición p↔q  p↔q expresa p V V F F

q V F V F

p↔q V F F V

Por lo tanto al ser sus tablas de verdad idénticas, ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, quiere decir que se cumple (p→q)  Λ ( q→p) q→p) ≡ p↔q O bien se puede representar esta equivalencia como

P

Q

Para la equivalencia lógica se pueden enunciar los siguientes teoremas

•

•

P ≡ Q, Q, si y solo si la proposición P ↔ Q es una tautología Si P  P y y Q son ambas tautologías o bien ambas contradicciones, entonces P ≡ Q  Q 

2.8 IMPLICACION LOGICA

 

13

Cuando una condicional es una tautología, es decir, cuando nunca es falsa, se dice que es una implicación lógica. Dicho de otra forma: una proposición compuesta P  P implica implica lógicamente a otra Q (P

Q), cuando si P  P es es verdadero, entonces Q es verdadero

Dada la propo proposició sición n  p→ (p ν q), q), su tabla de verdad expresa que es una tautología p V

q V

p→ (p ν q) V

V

F

V

F

V

V

F

F

V

Entonces P  P implica implica lógicamente a ( p  p ν q), q), es decir que se cumple P  

2.9 PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

(p ν q),

 

14

Es po posib sible le est establ ablece ecerr una ser serie ie de pro propie piedad dades es que se cum cumple plen n par para a las proposiciones lógicas y a partir de las cuales nos permiten estructurar a las mismas, misma s, facilit facilitando ando su utiliz utilizació ación. n.

Estas pro propieda piedades des se repre representa sentan n en la

siguiente tabla, donde T  T simboliza simboliza Tautología y C  C Contradicción Contradicción

Disyunción

Propiedad Idempotenci

Conjunción

pνp=p

a

pΛp=p

pνq=qνp

Conmutativa

pΛq=qΛp

pν(qνr)=(pνq)νr

Asociativa

p Λ ( q Λ r ) = ( p Λ q ) Λ r 

pν(pΛq)=p

Absorción

pΛ(pνq)=p

pν(qΛr)=(pνq)Λ(pνr) Disyunción respecto a

Distributiva

conjunción p ν ~p = T

pΛ(qνr)=(pΛq)ν(pΛr) Conjunción respecto a disyunción p Λ ~p = C

Negación

T, tautología pνC=p

C, contradicción

Identidad

pΛT=p

Identidad de

pνT=T

pΛC=C

TyC Negación de

~C=T

TyC Doble negación

~T=C

~ (~ p)= p Leyes de ~(pνq)=~pΛ~q

Morgan

~(pΛq)=~pν~q

El signo igual puede ser interpretado como equivalente

2.10 PROPOSICIONES TAUTOLOGICAS MÁS IMPORTANTES p→q

~pνq

Condicional

 

15

p↔q

(p→q)Λ(q→p)

p→q

~q→~p

Contraposición

q↔p

Conmutativa del bicondicional

p↔q

[(p → q) Λ p]

q

[(p → q) Λ ~ q]

~p

[(p ν q) Λ ~q]

p

[(p ν q) Λ ~p]

q

p

Bicondicional

Modus ponendo ponens Modus tollendo tollens Silogismo disyuntivo

(pνq)

(pΛq)

p

(pΛq)

q

 Adición Simplificación

2.11 RAZONAMIENTO VALIDOS DEDUCTIVOS Un razonamiento es el proceso consistente en partir de una serie de hipótesis denominada premisas, que se suponen verdaderas, y obtener finalmente una proposición denominada conclusión 

Cuando Cua ndo el raz razona onamie miento nto se com compon pone e de tre tres s pro propos posicio iciones nes,, que pue puede den n llamarse premisa mayor, premisa menor y conclusión, y ésta se deduce de la mayor por medio de la menor, a este razonamiento de denomina silogismo

Una de las formas para demostrar la validez o invalidez de un razonamiento es aplicando el procedimiento de las tablas de verdad

Validez de razonamientos: Método de las tablas de verdad Se procede procede de la siguiente m manera anera

 

16

1) Se forma la las s tablas d de e verda verdad d de todas p premis remisas as y de la conc conclusio lusiones nes 2) Se elimi eliminan nan tod todas as aque aquella llas s lín líneas eas en la que alg alguna una prem premisa isa sea fals falsa, a, dado dad o que las pre premis misas as por def defini inició ción n son sie siempr mpre e ver verdad dadera eras. s. Se marcara con el símbolo “•“ aquella premisa que permita eliminar una línea dada 3) Ob Obse serv rvan ando do las las fi fila las s resu resulta ltant ntes es y la co colu lumn mna a co corre rresp spon ondi dien ente te a la conclusión: a) Tod odos os

los los

cas asos os

“V “Ver erda dad der eros os”: ”:

ra raz zon ona ami mie ent nto o

Válido. El

razonamiento esta bien hecho b) Tod Todos os los cas casos os “Fa “Falso lsos”: s”: raz razona onamie miento nto Inválido o no Válido. El razona raz onamie miento nto est esta a mal hec hecho ho,, aqu aquíí ocurre ocurre que la co concl nclus usión ión contraria es verdadera c) Cas Casos os “Ver “Verdad dadero ero y Fals Falso”: o”: raz razona onamie miento nto Inválido o no Válido. El razonamiento no vale y la conclusión no puede extraerse de las premisas de partida d) Ni Ning ngun una a fi fila la resu result ltan ante te::

ra razo zona nami mien ento to

Inconsistente. El

razonamiento no vale, pues las premisas se contradicen

EJEMPLO Estudiar la validez del razonamiento siguiente: (p → q) ν r  r   

q

P

Solución

Premisas

Conclusión

 

17

Las proposiciones encima de la raya horizontal son las premisas, mientras que debajo colocamos la conclusión.  Aplicando el método de las tablas de verdad p

q

r

r

 q

—

—

p→q

(p→ q) ν r  

p

—

— —

V

V

V

F•

F

V

V

V

V

F

V

F•

V

V

V

F

V

F•

V

F

V

V

F

F

V

V

F

F•

F

V

V

F•

F

V

V

F

V

F

V

F•

V

V

F

F

V

F•

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

V

 A las premisas se les coloca una línea horizontal inferior, mientras que a la conclusión se coloca una doble línea. Con el símbolo”•” se coloca las premisas de valor falso eliminadas.

Por consiguiente al quedar una línea V, estamos en el caso a), es decir el razonamiento es Válido