Algebra de Matrices

ALGEBRA DE MATRICES Explicaciones generales matriz 3 x 4

fila

columna

El primer número nos inica el número e !ilas "#e tiene la matriz$ El seg#no inica la cantia e col#mnas "#e tiene la matriz$ E%emplo& 3 4 1 2   3 filas 7 8 5 6  La matriz es 3 x 4 9 10 11 12    

4 columnas

Si la matriz es A las posiciones e caa número son ai % i es la !ila ' % '  % es  es la col#mna one se enc#entra posicionao el número en la matriz A$ Si la matriz es B las posiciones e caa número son (i % i es la !ila ' % '  % es  es la col#mna one se enc#entra posicionao el número en la matriz B$ E%emplos&

 a11   A = a21  a31

a12 a 22 a32

b11   B = b21  b31

a13 

 a23  a33  

b12 b22 b32

b13 

  b33  

b23

En la sig#iente matriz inica la posici)n el número circ#lao$ 2 1 5 6  A =   9 10  13 14

3

4

 7 8  11 12  15 16

2 __________  7 __________  9 __________  14 __________ 

S#ma e matrices *ara poer s#mar matrices e(en e tener el mismo oren+ am(as matrices e(en tener el mismo número e !ilas ' col#mnas$ De!inici)n e s#ma& Si A , -ai % %.. mxn

'

B , -(i % %.. mxn

entonces s# s#ma es es A /

B , -ai % / (i % %.. mxn$

E%emplo& S#ma las matrices A / B  A

=

1

3  B

5

7

=

1+5=6

5

7

1

3

4

8

5

7

+

5

7

4

8

=

6

Suma a 

/

( 

Suma a 

/

( 

Suma a 

/

( 

Suma a 

/

( 

3 + 7 = 10 1

3

5

7

1

3

5

7

+

+

5

7

4

8

5

7

4

8

=

=

6

10

6

10

9

5+4=9 1

3

5

7

+

5

7

4

8

=

6

10

9

15

7 + 8 = 15 *ropieaes&  A + ( B + C )

Le' asociati0a Le' conm#tati0a

 A +  B

= (  A +  B ) + C 

=  B +

A

Elemento ne#tro 0

0

0

0

+

1

2

3

4

=

1

2

3

4

*ro#cto e #n escalar De!inici)n& Si 1A , 1-ai %. mxn De(es m#ltiplicar caa número e la matriz por el escalar$ E%emplo& 2pera A  A

=

1

5 2 A

3

4

=

1

5

3

4

2

=

2

10

6

8

In0erso aiti0o -resta.  A

=

−3 −1

2 4

 B

=

−4

5

−1

2

2pera A 5 B  A −  B

=

2

−3

4

−1

−

−4

5

−1

2

=

6

−8

5

−3

El oren es ig#al "#e en la s#ma pero e(es

!i%arte m#' (ien en los signos$

627A DE TRABA72 En caa e%ercicio realiza& a. A / B

.

.

 A

 A

=

=

1

2

3

4

−1

0

3

3

 A

8.

 A

:.

 A

=

=

=

=

8

−2 3.  A = − 4

4.

 B

−3

4

9

6

7

−1

−4

2

0

1

−2

−1

2

 B

0

=

 B

=

−

−9

4

0

3

1

−1

1

4

6

−8

7

0

5

0

3

4

3

2

−1

2

−2

=

2

=.

 A

=

−5 −2

−5

−3 −8

 B

=

1

 B

=

5

 B

=

−7

7

0

 A

−9

5

−5

o e la matriz e la resp#esta$

Matriz A

Matriz B

3x4 8x: 8x3 ;x< 4x 8x; 3x 4x3 x8

?se p#ee m#ltiplicar@

Tama>o e resp#esta

4x8 :x 4x: ota e m#e(les $*or caa  %#ego e alco(a en cao(a les pagan 8HH si es e cero les pagan 4HH ' si es e pino tratao les pagan HH$ A contin#aci)n estJn las matrices A ' B "#e representas s#s pro#cciones en enero ' !e(rero$ La matriz K es la matriz pago#nia$

ro$uccin enero ,  José  Pedro  Arturo

Caoba  2   1   1

ro$uccin fe!rero -

 Pino  Caoba

Cedro

  4   3 

0

3

1 2

Salario ni$a$  Pino

Cedro

1

2

2

0

2

1

Calc#le las sig#ientes matrices ' ecia "#e representan$ a.  AX  (.  BX  c.  A +  B D.

3

 Cedro 3    Pino 4 

(  A +  B )  X  

E0alúa la expresi)n matricial

3   A = 2  4

−3 6 2

7 

 9  − 2 & - =  3   1 5  

5

 8

7

1

2

  6 

E0alúa& a.  A 2

+  B

2

(. 3 A −  BA

c.  A2

− 5 B

.  A +  A 2

+  B +  B



 Caoba

2

500 400 100