Algebra de Baldor

ALGEBRA

a

. baldor

ito y el conteo del núm ero d e anim ales que pojcian; así surgió la A ritm ética. El origen del A lgebra os posterior. Pasaron cientos do siglos p a ra q u e el h o m ­ bre alcansara un concepto ab stracto del núm ero, baso indispensable para la form ación d e la ciencia algebraica.

CONCEPTO DE NUMERO EN LOS PUEBLOS PRIM I­ TIVOS ( 2 5 ,0 0 0 - 5 ,0 0 0 A. C. I M td it y contar lucron la i p rim e n ) « ti v id jd o t m ito m iH c a t del hom bre p ri­ m itivo. H aciendo m arcas e n los troncos de los árboles lograban, esto s prim aros pueblos, la modJelén del trem ­

PRELIMINARES O

ALGEBRA C4 la ram a di* Ja M a tem ática a la b a se y h a la a ltu r a , la fó rm u la / r e p r e s e n ta rá d e u n m o d o g e n e r a l‘el á r e a d e c u a lq u ie r r e c tá n g u lo , p u e s el á re a d e u n re c ­ tá n g u lo d a d o se o b t e n d r á c o n s ó lo s u s t i tu i r A = b x h ~ 3 m X 2 m = 6 m *. b y h e n la fó r m u la a n te r i o r p o r stis v a lo re s en el c aso d a d o . A si, si la b ase d e u n rec„ ta n g id o es 3 n i. y su a l t u r a 2 m ., su á r e a se rá : / E l á re a d e o t r o r e c tá n g u lo c u y a b ase f u e r a 8 m . y su a l t u r a 3J m . se ría : / ( 5)

A = b x h —8 m . x 3 í m .= 2 8 r a .*‘. < )

SIGN O S D EL A LG EB R A

lx>s sig n o s e m p le a d o s e n A lg e b ra son d e tre s clases: ra c ió n , S ig n o s d e R e la c ió n y S ig n o s d e A g ru p a c ió n .

S ignos d e O p e ­

©

SIGN O S DE O PERA CIO N E n A lg e b ra se v e rific a n c o n las c a n tid a d e s las m ism a s o p e ra c io n e s q u e e n A ritm é tic a : S u m a , R e s ta , M u ltip lic a c ió n , D iv is ió n , E le v a c ió n a P o te n ­ c ia ; y E x tr a c c ió n d e R a íc e s, q u e se in d ic a n co n los sig n o s sig u ie n te s: E l S ig n o d e la S u m a es + , q u e se Ice m ás. A sí a - r b se le e " a m ás b " . < ) l.n el C ap (ó tin u la i iilM cbtaiut

X V I I ! . p ág in a 270, se c u n d ía am p lia m e n te todo Jo relacio n ad o con U i

E l S ig n o d e la R e s ta es —, q u e se le e m e n o s . A sí. a — b se le e " a m e ­ nos b". E l S ig n o d e la M u ltip lic a c ió n e s X , q u e se le e m u ltip lic a d o p o r . Así. a X /; se le e "a m u ltip lic a d o p o r b " . E n lu g a r d e l s ig n o x s u e le e m p le a rs e u n p u n t o e n tr e lo s fa c to re s y ta m b ié n se in d ic a la m u ltip lic a c ió n c o lo c a n d o los fa c to re s e n t r e p a ré n te s is . A sí, a . b y («)(í>) e q u iv a le n a a X b . E n tr e fa c to re s lite r a le s o e n t r e u n f a c to r n u m é r ic o y u n o lite r a l el s ig n o d e m u ltip lic a c ió n s u e le o m itir s e . A si a b e e q u iv a le a a x . b x .c - , 5x y e q u iv a le a 5 X x X y . E l S ig n o d e la D iv is ió n es -t-, q u e se le e d iv id id o e n t r e . A sí, a + b se le e ‘‘r v a lo r d e $90. ¿ C u á n to tie n e ? T e n i e n d o ' $130, p a g o $60; lu e g o , se q u e d ó co n $50. D e sp u é s h a c e u n g a sto d e $95 y c o m o s ó lo tie n e $50 in c u r r e e n u n a d e u d a d e $45. P o r lo ta n to , tie n e a c tu a lm e n te — $-15. R . m-

E JE R C IC IO

1

l’e th o d e b ía U n h o m b re l-'.xprnAr su T n if n $200.

(10 bolívares y recib ió 320. E x p resar su estado económ ico. q u e ten ia 1170 sucres h izo u n a com pra p o r valor d e 1515. estad o económ ico. C obró $50 y pagué d eu d as p o r $169. ¿C u án to tengo?

C M - T W A D t-S P O S IT IV A S Y H E Q A T I V A S

4. ó. 0 7. 8.

•

] I

C o m p ro ro p a s p o r v a lo r de 665 soles y alim e n to s p o r 1178. Si después re c ib o 22B0. ¿cuál es m i estad o económ ico? T e n ia $20. P ag u é $10 q u e d e b ia , después cobró $40 y lu eg o h ice gastos p o r. $75. ¿ C u á n to tengo? E n riq u e hace m ía c o m p ra p o r $67; después recibe $72; luego hace o lía c o m p ra p o r 516 y después recib e $2. E xpresar su estado económ ico. D espués d e re c ib ir 200 colones h ag o tres gastos p o r 78, 61 y 93. R ecibo e n to n c e s 41 y lu e g o h ag o u n n u ev o g asto p o r 59. ¿ C u á n to tengo? P e d ro ten ia tre s d e u d a s d e $45, $66 y $79 resp ectiv am en te. E ntonces re c ib e $200 y hace u n gasto de $10. ¿C uánto tiene?

2 ) A las 6 a . m . e l te r m ó m e tr o m a r c a —4 o. A la s 9 a . in . h a s u b id o 7 o y d e s d e e s ta h o r a h a s ta las 6 p . n i. lia b a ja d o 1 1 ° . E x p r e s a r la te m p e ­ r a t u r a a las 5 p . m . A las 6 a . tu . m a rc a —4 " . C o m o a las 9 a. m . h a s u b id o 7 ° , s ie te d iv is io n e s d e la escala d e s d e — 4 ° h a c ia a r r i b a y te n d r e m o s c e ro ( + 3 ° ) ; c o m o d e s d e e sta h o r a h a s ta la s 5 p- n i. h a b a ja d o I P , 11 d iv is io n e s d e la esc a la d e s d e + 3 °. h a c ia a b a jo lle g a re m o s a g o , a las 5 p . u i. la te m p e r a t u r a e s d e — R. fl»1 2.

3 4l\.

6.

7.

8.

9.

c o n ta m o s 3 ° so b re c o n ta n d o 8 ,:. L u e ­

E JE R C IC IO 2 A lar. ■) a . m . el te rm ó m e tro m a rra 1 1 2 o y d e esta h o ra a las 8 p . tu. ha b a ja d o 15°. E x p resar la te m p e ra tu ra a las 8 p . ni. A las 6 a. tn. el te rm ó m e tro m a rc a —3 o. A las 10 a . m . la tem p e ratu ra es 8 ° más alta y desd e esta h o ra hasta las 9 p. m. ha b a ja d o 6 o. E xpresa! la te m p e ra tu ra a las 0 p. m . A la l p . u». el te rm ó m e tro m a rc a + 1 5 ° y a las 10 p . m . m arca —3°. ¿ C u án to s g rad o s lia b a ja d o la te m p eratu ra? A Jas 3 a. ni. el te rm ó m e tro m arca —8o y al m e d io d ía + 5 ° . ¿C uántos g ra d o s lia su b id o la te m p e ra tu ra ? A las '$ a. ni. el te rm ó m e tro m arca —J D; a las 9 a. m . h a su b id o 7 ° ; a las 4 p. m . h a su b id o 2 ° m ás y a las 11 p . m . h a b ajarlo 11°. E xpresar la te m p e ra tu ra a las 11 p . ni. A las 6 'a . m . d te rm ó m e tro m a rc a —8o. D e las 6 a . m . a las 1.1 ¡l.m . su b e a razón de -1 ^ p o r h o ra . E x p re sa r la te m p e ra tu ra a las 7 a.n»., a las 8 a. tu . y 3 las 11 a . m . A las 8 a. m . el te rm ó m e tro m a re a —I o. D e las 8 a .m . a las 11 a . ni. b aja a razó n d e 2 C p o r h o ra y de 11 a .m . a 2 p . m . su b e a razón d e 3 o jhji h o ra . E x p resar la te m p e ra tu ra a las 10 a .m ., a Jas I I a.n»., a las 12 a .m , y a las 2 p . m. El d ía 10 de d ic ie m b re u n b a rc o se h a lla a , 5 6 1 al oeste del prim er m e rid ia n o . D el d ía 10 al 18 re c o rre 7o h a c ia ? e l este. E x p resar su Ion g itu d este día. El d ía p rim e ro de fe b re ro la situ a c ió n d e u n b arc o es: 71° de lo n g itu d oeste y 15° de la titu d su r. D el d ía p rim e ro al 26 h a re c o rrid o 5' hiiciu el este y su la titu d es en to n c e s de 5o m ás al sur. E x p resar su situ ació n el «lía 26.

12

®

AHit'IIHA

JO. El d ía ¡3 de m ayo la situ ació n d e u n v iajero es 18° d e lo n g itu d este y 65 ° de la titu d n o rte . D el d ía 5 a l 31 h a re c o rrid o 3 C h acia el este y se h a acercado 4 o al Ecuador. E x p resar su situ ación el d ía 31. 11. U n a ciu d ad fu n d a d a e l añ o 75 A . O. fue d e stru id a 135 años después. E x p resar la fech a de su destrucción. 3) U n m ó v il r e c o r r e 40 n i. e n lín e a re c ta a la d e re c h a d e u n p u n ­ to A y lu e g o r e tr o c e d e e n la m ism a d ir e c c ió n a ra z ó n d e 15 m . jto r s e g u n ­ d o . E x p r e s a r a q u é d is ta n c ia se h a lla d e l p u n to A a l c a b o d e l l ' \ 2 '1, 3'.* y 4V s e g u n d o . El m ó v il h a r e c o r r id o 40 m . a la d e r e c h a d e l p u n to / f ; lu e g o , su p o ­ sició n es + 40 nt-, to m a n d o c o m o p o s itiv o el s e n tid o d e iz q u ie rd a a d e re c h a . E n to n c e s e m p ie z a a m o v e rse d e la d e r e c h a h a c ia la iz q u ie r d a ( s e n tid o n e g a tiv o ) a ra z ó n d e 15 m . p o r s e g u n d o ; lu e g o , e n e l p r i m e r s e g u n d o se a c e rc a 15 m . a l p u n t o A y c o m o e s ta b a a 40 m . d e ese p u n to , .se h a lla a 40 — 15 = 25 m . a la d e r e c h a d e A ; lu e g o , su p o sic ió n es I 25 m . R. E n e l 29 s e g u n d o se a c e rc a o tr o s 15 n i. al p u n to A ; lu e g o , se b a ila rá a 25 — 15 = 10 m . a la d e re c h a d e A ; s u p o s ic ió n a h o r a es -I- .1(1 m . R. E n el 3W- s e g u n d o r e c o rre o tro s 15 m . h acia A , y c o m o e s ta b a a 10 m . a la d e r e c h a d e A , h a b r á lle g a d o a l p u n t o A (c o n 10 tn .) y r e c o r r i­ d o 5 m . a la iz q u ie r d a d e A , es d e c ir, 1 0 - 1 5 = - 5 m . S u p o sic ió n a h o r a es - 5 m . R. E u el 4‘* s e g u n d o re c o r r e o tr o s 15 tn . m á s h a c ia la iz q u ie rd a y r o m o ya e s ta b a a 5 m . a la iz q u ie r d a d e A , se b a ila r á al r a b o d e l 49 s e g u n d o a 20 m . a la iz q u ie r d a d e A , o sea - 0 — 1 5 = - 2 0 tn .; lu e g o , su p o sic ió n a h o r a e s — 20 tn. R .

m-

E JE R C IC IO IS E N T IO O

3

P O S I T IV O :

DE

IZ Q U IE R D A

A

D ERECH A

Y

DE

A B A JO

A

A R R IB A I.

1. E x p resar q u e u n m óvil se h a lla a 32 m . a la d e re c h a del p u n to A ; a 16 ni, a la izq u ierd a de A . 2. E x p re sa r q u e la p a rte d e u n poste q u e sobresale del su elo es 10 m , y tie n e e n te rra d o s 4 m . 3. D espués d e c a m in a r 50 m . a la derecha del p u n to A rec o rro 85 m . cu se n tid o c o n trario . ¿A q u é d istan cia m e h a llo a h o ra d e A'< Si corre* a la izq u ierd a del p u n to ¡i a razó n d e í> ni. p o r segundo, Ja q u é d istan cia d e B m e h allaré al c ab o d e 11 segs.? 5. D os co rred o res p a rte n del p u n to A e n sen tid os opuestos. El q u e corre h acia la izq u ierd a de A va a 8 ni. p o r scg. y el q u e co rre h acia la derecha va a 9 ni. p o r scg. E x p resar sus d istan cias del p u n to A al cabo d e 6 seg. 6 P a rtie n d o d e la lín e a de salida hacia la d erech a u n co rre d o r da dos vueltas a u n a pista d e 400 nt. d e lo n g itu d . Si yo p a rto d el m ism o p u n to y doy 3 v u eltas a la pista e n se n tid o co n tra rio , ¿qué distancia hem os recorrido? 7. U n poste de 40 pies d e lo n g itu d te n ía J 5 pies so b re el suelo. Días después se in tro d u je ro n 3 pies más. E x p resar la p a rte q u e sobresale y la e n te rra d a .

C A H T IO A O ÍS POSITIVAS Y M Í C A T IV A Í

g. 3 10. 1L. 12.

13.

14-

•

I 3

U n m óvil reco rre 55 m . a la d erech a d el p u n to A y luego en la m ism a d irecció n retro ced e 52 m . ¿A q u e d istan cia se h a lla de A ? U n m óvil reco rre 32 m . a la izq u ierd a del p in ito A y luego retrocedí en la m ism a d irección 15 m . ¿A q u e d istan cia se h a lla de A e U n m óvil recorre 35 ni. a la d erech a d e ¡i y luego retro ced e en la misin.i d irecció n -17 m . ¿A q u é distan» ia se h a lla cíe JJ? U n m óvil recoi r e 3!) m . a la izq u ierd a d e M y luego retro ced e en t.i m ism a d irección 5(j m . ¿A q u é d ista n c ia se Italia d e Ai? A p a rtir del p u n to H u n a p erso n a reco rre 00 m . a la d erech a y re tro re d e , en la m ism a d irecció n , p rim e ro :'iS m . y luego 3G m . ¿A q u é discm riii se h a lla de /í? U n m óvil recorre 72 m . a la d erech a de A y en to n ces em pieza a re tro ­ ced er en la m ism a d irecció n , a razó n de 30 m . p o r scg. E xpresar m i d ista n c ia del p u n to A al c a b o del l, 4, 3, 2, 1; el p o lin o m io o* —a^b -I- a t y — a b 3 4- b* es c o m p le to re s p e c to d e a y b. P o lin o m io o r d e n a d o c o n r e s p e c to a u n a le tr a e s u n p o lin o m io e n el c u a l los e x p o n e n to s d e u n a l e n a e sc o g id a , lla m a d a le tr a o r d e n a tr i/, v a n a u m e n t a n d o o d is m in u y e n d o . A sí. e l p o lin o m io x* - -1xB-I- 2 x 2 — 5 x + 8 e stá o r d e n a d o e n o r d e n d e s ­ c e n d e n te c o n r e la c ió n a la le tr a o r d e n a t r i / x ; e l p o lin o m io — 2n*fi i Imi'I* r>a-b* -I- Znb* — I/' e stá o r d e n a d o e n o r d e n d e s c e n d e n te re s p e c to d e la le tra o r d e n a tr iz a y e n o r d e n a s c e n d e n te r e s p e c to d e la le tr a o r d e n a t r i / b. O r d e n a r u n p o lin o m io es e s c r i b i r su s té r m in o s d e m o d o q u e los cx|x> n e m e s d e u n a le tr a e sc o g id a c o m o le tr a o r d e n a tr iz q u e d e n e n o r d e n d e s r e n d e n te o a s c e n d e n te . A si. o r d e n a r el p o lin o m io —5 x 8+ x ° - 3 x - l- x 4- x :'+ (! e n o r d e n d e s c e n d e n te c o n r e la c ió n a x se rá e s c r ib ir x 5+ x l —5x3 x - —3x + (¡. O r d e n a r el p o lin o m io x*y — 7 x 2y3 — !5xn 4-Gxy* + y 3 — x 'y - e n o r d e n as­ c e n d e n te c o n re la c ió n a x se rá e sc rib irlo : ‘ Cx)'1— 7 x * y t— x 3y J -I x l y

18

•

ALQCBRA

( 2 6 i T é r m i n o in d e p e n d ie n te «le u n p o lin o m io c o n re la c ió n .« u n a le tra es e l te r m i n o q u e n o tie n e d ic h a le tra . A sí, e n el p o lin o m io a 1 —a - •}• 3a — 5 e l t é r m in o in d e p e n d ie n te c o n r e la c ió n a la a es 5 p o r q u e n o tie n e a: c ji x* — Ox3 + 8xa — 9x + 20 e l té r m i­ n o i n d e p e n d ie n te e s 2 0 ; e n a s - «2¿ -1- '¿ab'1 -f- b ” el té r m in o in d e p e n d ie n te c o n re la c ió n a la a es b \ y e l t é r m in o in d e p e n d ie n te c o n re la c ió n a la b es o3. E l té r m in o in d e p e n d ie n te c o n r e la c ió n a u n a le tr a p u e d e c o n s id e ra rs e q u e tie n e esa le tr a c o n e x p o n e n te c e ro , p o r q u e c o m o se v e rá m á s a d e la n te , to d a c a n tid a d e le v a d a a c e r o e q u iv a le a 1. A sí, e n e l p r i m e r e je m p lo a n te r io r , — 5 e q u iv a le a — 5 n u, y e n e l ú l t i ­ m o e je m p lo , e q u iv a le a a"b3. & 1.

E JE R C IC IO 6 A te n d ie n d o a si tie n e n o no d e n o m in a d o r lite ra l y a si tie n e n o n o r a d i­ cal, dígase d e q u e clase son los p o lin o m io s siguientes: a) aJ+ 2 « --U a . c) V ü »- x/ZT— 2c -1- V ti. “ > 4’ + -V;

2 .

■V

5.

ü. 7.

- .ornios: a) 3fl“ó + 4 « » -5 6 » . d ) 4 « - 5 ft+ 6 r 3- 8d , - 6 . b) «*—«3Í> t-fl-U'-'-l-aU3. c) y* ~ a yt +o?y:' —a iyx—a ,y+ ya. c) x5—ó x 4+ afrx 3+«Z>8x2. f) —&♦. d) 5«-rC«8—9«2+G. c) -x ^ y -’-Kv' "+3x'ly'!—s d y + x 2)-*. f) —3 m ,t’n * + 4 m , 2«!‘—8m *n4- lllm !,ne I-»’ m ,sn. O rd e n a r los sig u ien tes polinom ios respecto «le c u a lq u ie r le n a e n orden ascendente: a)