Algebra Contemporanea - Rees, Paul(Author)

álgebra contemporánea

álgebrra coontem mpo orán nea

Primeera edición en españo ol

McG Graw-Hill MÉXIC CO BOGOTÁ GUA ATEMALA LISBOA A MADRID NUEVA A YORK PANAMÁ Á SAN JUAN SAO O PAULO AUCKLA AND HAMBURGO JO OHANNESBURG LON NDRES MONTREAL NUEVA DELHI PARÍS SAN F FRANCISCO SINGAP PUR ST. LOU UIS SYDNEY TOKIO T TORONTO

ALGEBRA CONTEMPORÁNEA Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS Copyright © 1980, respecto a la primera edición en español por LIBROS McGRAW-HILL DE MÉXICO, S. A. DE C. V., Atlacomulco 499-501, Naucalpan de Juárez, Edo. de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. núm. 465 ISBN -968-6046-74- 7 Traducido de la quinta edición en inglés de INTERMEDÍATE ALGEBRA, Copyright © 1978, por McGRAW-HILL, INC., U.S.A. ISBN-0-07-051731-2 1234567890 Impreso en México

PE-80

8912345670 Printed in México

Esta obra se terminó en enero de 1980 en Programas Educativos, S. A., Calz. de Chabacano No. 65-A, México, D. F. Se tiraron 5 000 ejemplares

contenido

Prefacio

1 EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Conjuntos Ejercicio 1.1, 20 problemas Constantes y variables El conjunto de los números reales Ejercicio 1.2, 48 problemas Axiomas para el sistema de los números reales Ejercicio 1.3, 28 problemas . Teoremas acerca del sistema de los números reales Ejercicio 1.4, 44 problemas Operaciones fundamentales de fracciones Ejercicio 1.5, 44 problemas Resumen Ejercicio 1.6, 49 problemas de repaso

2 POLINOMIOS, PRODUCTOS Y FACTORIZACIÓN 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Expresiones algebraicas Adición de monomios y polinomios Símbolos de agrupación Ejercicio 2.1, 60 problemas Productos de monomios y polinomios Producto de dos polinomios Ejercicio 2.2, 52 problemas Productos de binomios especiales Productos que contienen trinomios El cuadrado de un polinomio Ejercicio 2.3, 72 problemas

xi

1 1 7 8 9 12 13 18 19 24 25 28 28 29

31 31 33 36 37 39 40 41 42 46 48 49

vi

CONTENIDO 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17

Factores comunes Factorización por agrupación Ejercicio 2.4, 44 problemas Factores de un trinomio cuadrático Trinomios que son cuadrados perfectos Ejercicio 2.5, 60 problemas Factores de un binomio Trinomios reducibles a la diferencia de dos cuadrados Ejercicio 2.6, 68 problemas Un polinomio dividido entre un monomio Cociente de dos polinomios Ejercicio 2.7, 56 problemas Resumen Ejercicio 2.8, 42 problemas de repaso

3 EXPRESIONES RACIONALES 3.1

Definiciones

3.2 3.3

El principio fundamental de fracciones Multiplicación y división de fracciones Ejercicio 3.1, 64 problemas Mínimo común múltiplo Adición y sustracción de fracciones Ejercicio 3.2, 60 problemas Fracciones complejas Ejercicio 3.3, 44 problemas Resumen Ejercicio 3.4, 27 problemas de repaso

3.4 3.5

3.6 3.7

4 ECUACIONES LINEALES Y DE FRACCIONES 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Oraciones abiertas Ecuaciones Ecuaciones equivalentes Ejercicio 4.1, 40 problemas Ecuaciones lineales Ejercicio 4.2, 48 problemas Ecuaciones fraccionarias Ejercicio 4.3, 52 problemas Solución de problemas con enunciado Ejercicio 4.4, 48 problemas

49 50 51 52 55 56 57 59 60 61 62 65 66 67

69 69 70 72 74 75 77 79 81 84 85 86

88 88 90 92 94 96 98 99 101 102 109

Contenido 4.7 Resumen Ejercicio 4.5, 31 problemas de repaso

vii 114 114

5

EXPONENTES, RAÍCES Y RADICALES 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Leyes de exponentes enteros positivos Ejercicio 5.1, 80 problemas Exponentes enteros negativos Ejercicio 5.2, 72 problemas Exponentes de fracciones Ejercicio 5.3, 68 problemas Leyes de radicales Cambio de orden de un radical Ejercicio 5.4, 72 problemas Racionalización de denominadores binomio Adición de radicales Ejercicio 5.5, 56 problemas Resumen Ejercicio 5.6, 37 problemas de repaso

6 ECUACIONES CUADRÁTICAS

116 116 120 121 125 126 129 130 132 133 134 135 136 137 138

140

6.1

Notas introductorias

140

6.2

Solución por factorización Ejercicio 6.1, 56 problemas Números complejos Solución por el método de completar cuadrados Ejercicio 6.2, 52 problemas Solución por fórmula Ejercicio 6.3, 52 problemas Ecuaciones de forma cuadrática Ejercicio 6.4, 52 problemas Ecuaciones con radicales Ejercicio 6.5, 48 problemas Suma, producto y tipos de raíces Ejercicio 6.6, 48 problemas Problemas que conducen a ecuaciones cuadráticas Ejercicio 6.7, 32 problemas Resumen Ejercicio 6.8, 31 problemas de repaso

141 142 143 144 148 149 151 152 154 155 159 160 162 162 165 168 168

6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

viii

CONTENIDO

7 RELACIONES, FUNCIONES Y GRÁFICAS 7.1 7.2 7.3 7.4 7.S 7.6 7.7 7.8 7.9

8

Relaciones Funciones Ejercicio 7.1, 36 problemas El sistema coordenado rectangular La gráfica de una función y de una relación Funciones lineales Ejercicio 7.2, 28 problemas Algunas funciones especiales Funciones cúbicas y de cuarto grado La inversa de una función Ejercicio 7.3, 52 problemas Resumen Ejercicio 7.4, 29 problemas de repaso

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 8.1

8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

8.7 8.8 8.9

Definiciones y resolución gráfica de dos ecuaciones lineales con dos variables Ejercicio 8.1, 40 problemas Ecuaciones independientes, inconsistentes y dependientes Eliminación por adición o sustracción Eliminación por sustitución Ejercicio 8.2, 44 problemas Tres ecuaciones lineales en tres variables Ejercicio 8.3, 36 problemas Problemas relacionados con sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 8.4, 32 problemas Determinantes de segundo orden y la regla de Cramer Ejercicio 8.5, 48 problemas Determinantes de tercer orden y la regla de Cramer Ejercicio 8.6, 52 problemas Resumen Ejercicio 8.7, 34 problemas de repaso

9 SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS DE DOS VARIABLES 9.1

Gráficas de ecuaciones cuadráticas de dos variables Ejercicio 9.1, 52 problemas

170 170 171 173 174 176 180 181 182 184 186 189 190 190 192 192 197 195 198 200 201 202 205 206 210 214 217 218 224 226 226

229 230 236

Contenido 9.2

9.3 9.4 9.5 9.6

Solución gráfica de dos ecuaciones cuadráticas de dos variables Ejercicio 9.2, 28 problemas Soluciones algebraicas Eliminación por sustitución Ejercicio9.3, 32 problemas Eliminación por adición o sustracción Ejercicio 9.4, 32 problemas Resumen Ejercicio 9.5, 18 problemas de repaso

10 RAZÓN, PROPORCIÓN Y VARIACIÓN 10.1 10.2 10.3

Razón Proporción Ejercicio 10.1, 48 problemas Variación Ejercicio 10.2, 60 problemas

11 SUCESIONES Y SERIES 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

Progresiones aritméticas Ejercicio 11.1, 44 problemas Progresiones geométricas Ejercicio 11.2, 40 problemas Progresiones geométricas infinitas Ejercicio 11.3, 48 problemas Medias aritméticas Medias geométricas Progresiones armónicas Ejercicio 11.4, 32 problemas Resumen Ejercicio 11.5, 28 problemas de repaso

12 TEOREMA DEL BINOMIO 12.1 12.2

La fórmula del binomio El término r-ésimo de la fórmula del binomio Ejercicio 12.1, 72 problemas

ix

237 238 239 239 245 246 249 250 251

252 252 252 255 257 259

263 263 267 269 272 274 276 278 279 280 280 281 282

284 284 287 288

x

CONTENIDO

13 LOGARITMOS 13.1 13.2 13. 3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13.10 13.11 13.12 13.13

290 Aproximaciones Calculadoras y operaciones fundamentales Ejercicio 13.1, 56 problemas Definición de un logaritmo Propiedades de los logaritmos Ejercicio 13.2, 72 problemas Logaritmos comunes o de Briggs Característica y mantisa Dado N, encontrar log N en la tabla o por calculadora Dado log N, encontrar N Interpolación Ejercicio 13.3, 56 problemas Cálculo de logaritmos Ejercicio 13.4, 52 problemas Ecuaciones logarítmicas y exponenciales Las gráficas de y = logbx y de y = bx Ejercicio 13.5, 36 problemas Resumen Ejercicio 13.6, 25 problemas de repaso

14 DESIGUALDADES Y SISTEMAS DE DESIGUALDADES 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6

290 292 292 293 295 298 299 299 301 302 303 305 306 312 313 316 317 317 318

319

Desigualdades lineales de una variable Ejercicio 14.1, 32 problemas Desigualdades no lineales Ejercicio 14.2, 28 problemas Desigualdades lineales que incluyen valores absolutos Ejercicio 14.3, 29 problemas Desigualdades lineales de dos variables Ejercicio 14.4, 28 problemas Programación lineal Ejercicio 14.5, 28 problemas Resumen Ejercicio 14.6, 30 problemas de repaso

319 321 321 326 326 328 328 330 331 334 336 336

Tablas

339

Respuestas

343

Índice

370

prefacio

Al escribir la quinta edición de Algebra Intermedia, hemos considerado cuidadosamente cuáles temas deberían tratarse y cuáles excluirse de ediciones anteriores. También hemos pensado la forma en que deberían presentarse estos temas. Los axiomas del sistema de los números reales, están ahora completos en el capítulo 1. Decidimos omitir el capítulo sobre ecuaciones polinomiales dado que este tema se estudia generalmente en otros cursos. También decidimos incluir todo lo referente a desigualdades en un solo capítulo, a diferencia de las ediciones anteriores en que habían sido tratadas en diferentes capítulos. Hacemos esto con el propósito de obtener una continuidad en el estudio sobre desigualdades de tal manera que sea más fácil concentrarse en ellas. Hemos revisado cuidadosamente todo el libro teniendo en mente la idea de una fácil lectura. Hemos reescrito algunas secciones, incluyendo más ejemplos que ilustren mejor la idea que se busca y hemos incluido más notas explicatorias y más problemas tanto sencillos como complicados. Los temas que han recibido mayor atención son el conjunto de los números reales (Sec. 1.3); los axiomas del sistema de números reales (Sec. 1.4); operaciones fundamentales con fracciones (Sec. 1.6); expresiones algebraicas (Sec. 2.1); factores de un trinomio cuadrático (Sec. 2.11); ecuaciones lineales (Sec. 4.4); números complejos (Sec. 6.3); solución por el método de completar cuadrados (Sec. 6.4); suma de radicales (Sec. 6.7); relaciones (Sec. 7.1); funciones (Sec. 7.4); el inverso (Sec. 7.8); variación (Sec. 10.3) para incluir el cambio de sistema inglés al métrico decimal; series aritméticas (Sec. 11.1); series geométricas (Sec. 11.2); fórmula binomial (Sec. 12.1); notación científica y aproximaciones (Sec. 13.1); logaritmos (Secs.

xii

PREFACIO

13.7 y 13.8); para incluir el uso de calculadoras; gráficas de 3; = Iog6x y de 3) = b" (Sec. 13.12) y todo el capítulo 14 sobre desigualdades y programación lineal. Hemos aumentado el número de problemas en casi un 20% llegando a un número aproximado de 3 400. Al final de cada capítulo hay un resumen y una serie de problemas con más de dos ejercicios cada uno. Los ejercicios constituyen todavía una lección normal aparte y los problemas están en grupos de cuatro parecidos entre sí con excepción de los ejercicios de repaso. Estamos agradecidos con los lectores que nos han enviado sus comentarios. Gracias a ellos hemos podido mejorar el libro más de lo que hubiéramos podido sin su colaboración. Los autores iniciales queremos aprovechar esta oportunidad para dar la bienvenida a Charles Sparks Rees como coautor. Paul K. Rees Fred W. Sparks Charles Sparks Rees

1

el sistema de los números reales

Al abrir un libro técnico o al leer la sección científica de cualquier revista popular, es probable encontrar una proposición o una fórmula o una ecuación expresada con números, letras u otros símbolos matemáticos, por lo que es necesario, entonces, tener ciertos conocimientos sobre álgebra para llegar a entender tales proposiciones. En este libro se presentan temas de álgebra para profundizar en nuestro conocimiento sobre Matemáticas y disciplinas afines La base de nuestro estudio consiste en (1) algunos términos indefinidos, (2) definiciones de algunos términos y operaciones y (3) un conjunto de axiomas. Los axiomas son reglas que se siguen. De éstas se deducen las propiedades de los números, sus operaciones y reglas de procedimiento. El sistema de los números reales se emplea en los primeros capítulos del libro, y a través de éste el concepto y terminología de conjuntos, lo cual se trata en el siguiente capítulo. 1.1

CONJUNTOS

La palabra conjunto es uno de los conceptos útiles y fundamentales en Matemáticas. Esta palabra se usa cotidianamente en frases como "un conjunto de platos", "un conjunto de juego de argolla", "un conjunto de materiales para dibujar" y en otras expresiones en las que se hace referencia a colección de objetos. Se supone que el lector está familiarizado con la palabra colección y entonces un conjunto se define como:

2

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Conjunto

Un conjunto es una colección de objetos bien definidos llamados elementos.

Por "bien definidos" se entiende que existe un criterio que permita hacer una de las decisiones siguientes acerca de un objeto o un elemento, que se denota por a: 1 a pertenece al conjunto 2 a no pertenece al conjunto Si a es un elemento del conjunto S, se dice que a pertenece a S y se escribe a ε S. La notación a ∉ S significa que a no pertenece a S. De este modo a ε {a, b}, a ε {a}, pero a ∉ {b, c}. Ahora se listan tres conjuntos de objetos bien definidos. Cada conjunto se designa por la letra S y se establece el criterio que define a un elemento de S. • S es un equipo de fútbol de la Universidad. El criterio que de termina el pertenecer al equipo es la lista de los jugadores seleccionados por el entrenador. • S es el rebaño de borregos en el pastizal sur del rancho "Las Gardenias". Si un animal es un borrego y está en el pastizal mencionado, es un elemento del conjunto. • S es el conjunto de números naturales menores que 7 y divisibles entre 2. La descripción del conjunto establece el criterio. Los números 2, 4 y 6 son los elementos de S ya que cada uno de ellos es divisible entre 2 y es menor que 7.

Método de listado

Método descriptivo

Como está implícito arriba, para representar un conjunto se usa frecuentemente una letra mayúscula. Un conjunto se describe de dos maneras; en la primera, se listan los elementos del conjunto, como letras, números o los nombres de los objetos, y se encierra la lista entre llaves { }. En la otra manera, se encierra una frase descriptiva entre llaves y con éste se entiende que los elementos del conjunto son ésos y sólo ésos, que satisfacen la descripción. Por ejemplo, si W es el conjunto de los días de la semana, entonces W por el método de listado es: W ={domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado} o W por el método descriptivo se escribe como: W ={x | x es un día de la semana} La línea vertical | se lee "tal que".

Conjuntos igualdad de conjuntos

3

Dos conjuntos son iguales si todo elemento de cada conjunto es un elemento de otro

Para satisfacer la igualdad no es necesario que los elementos de los conjuntos tengan el mismo orden. Por ejemplo, {s, t, a, r} = {r, a, t, s} = {t, a, r, s} En los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B = {a, c, e}, cada elemento de B es un elemento de A. Esto ejemplifica la siguiente definición: Si cada elemento del conjunto B es un elemento del conjunto A, entonces B es un subconjunto de A. Más aún, si cada elemento de Subconjunto B es un elemento de A, pero hay elementos en A que no son elepropio mentos de B, entonces B es un subconjunto propio de A. Subconjunto

Se usa la notación B ⊂ A para indicar que B es un subconjunto de A, y B ⊂ A para denotar que B es un subconjunto propio de A. Ejemplo 1

Si A = {1,2, 3,4,5}, B = {1,2,3,5}, B ⊂ A y B ⊂ A, también C ⊂ B.

y

C = {3,5,1}, entonces

Ejemplo 2

Si T = {x | x es un miembro del equipo de fútbol} y S = {x | x es un miembro que juega atrás}, entonces S ⊂ T. Ahora si B ⊂ A y A ⊂ B , se sigue que cada elemento de B pertenece a A y viceversa. De aquí que, A = B. Por tanto, la definición de igualdad entre A y B puede establecerse como: Si B ⊂ A y A ⊂ B, entonces A =B

(1.1)

Puede suceder que un subconjunto de A sea también un subc onju nt o de B . P or ej e mpl o, si A = { 1, 2 , 3, 4, 5, 6} y B = {2, 4, 6, 8, 10}, entonces el conjunto {2, 4, 6} es un subconjunto de A y de B. A este conjunto se le llama intersección de A y B, de aquí la siguiente definición. La intersección de los conjuntos A y B es denotada por A ∩B y

4

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

intersección de dos conjuntos

consiste en todos los elementos de A que también pertenecen a B. La notación A ∩ B se lee "la intersección de A y B".

Esta definición puede establecerse como:

A ∩ B ={x|x

Ejemplo 3 Ejemplo 4

є

A

y

x є B}

Si A = {a, c, e, g} y B = {c, a, f, e}, entonces A ∩ B = {a, c, e}. Si A = {x | x es un cacique de Puerto Negro} y B = {x | x es un

miembro del Club Cervecero de Puerto Negro}, entonces A ∩ B = {x | x es un cacique y un cervecero de Puerto Negro}. Si en el ejemplo 4, el cacique no es un cervecero; entonces A ∩ B no contiene elementos; éste es un ejemplo de la siguiente definición:

Conjunto vacío o nulo

El conjunto vacío o nulo es denotado por Ø y es el conjunto que no contiene elementos.

Otros ejemplos de conjuntos nulos son 1 {x | x es una mujer que ha sido presidente de México}. 2 {x | x es un entero positivo de dos dígitos menor que 10} 3 {x | x es un gobernador de Veracruz} ∩ {x | x es un gobernador de Jalisco}. Conjuntos ajenos

Conjunto universal

Si S ∩ T = Ø , entonces los conjuntos S y T son conjuntos ajenos. (1.2)

La totalidad de los elementos contenidos en cualquier situación específica se llama conjunto universal, y se designa con la letra U mayúscula. Por ejemplo, los estados de México se clasifican con frecuencia como estados del norte, estados del sur, estados del centro, y de muchas otras maneras. Cada uno de estos conjuntos

Conjuntos

5

es un subconjunto del conjunto universal; en este ejemplo, todos los estados forman el conjunto universal. Otro concepto relacionado con la teoría de conjuntos, es el complemento de un conjunto con respecto a otro. Como un ejemplo, si A = {x | x es un estudiante de una escuela dada}y B = {x | x está en el equipo de fútbol de la escuela}, entonces el complemento de B relativo a A es C = {x | x es un estudiante de la escuela el cual no está en el equipo de fútbol}. Esto es un ejemplo de la siguiente definición:

Complemento de un conjunto

Diagramas de Venn

Unión de dos conjuntos

El complemento del conjunto B con respecto a A se denota por A- B, y A- B = { x \ x

є

A y x ∉B } .

El complemento del conjunto B con respecto al conjunto universal es B' = U – B. De acuerdo con esto, puede decirse A – B como A ∩ B'. Como un segundo ejemplo, se consideran los conjuntos T = {x | x es una estudiante de la escuela C}y S = { x | x pertenece a la última generación de C}, entonces T –S = {x | x es una estudiante no clasificada dentro de la última generación de C}. Nótese que, en este caso, S no es un subconjunto de T. Un método para representar conjuntos y sus relaciones fue inventado por el inglés John Venn (1834-1923), quien utilizó una figura sencilla para representar un conjunto. Se explica el método por el uso de círculos y se define el conjunto universal U como todos los puntos que están dentro de la circunferencia de un círculo C. Los subconjuntos de U se representan por círculos dentro del círculo C. En la figura 1.1 se presentan los diagramas de Venn para A ∩ B, A – B, y la situación en la cual A ∩ B = Ø. Si S = {1,2, 3,4,5, 6} y T = {2,4, 6, 8,10} , los elementos 1, 3 y 5 pertenecen a S pero no a T; los elementos 8 y 10 pertenecen a T pero no a S; y los elementos 2, 4 y 6 pertenecen a ambos S y T. Por tanto, los elementos de V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} están en S o en T o en ambos S y T. El conjunto V se llama unión de los conjuntos S y T; de aquí la siguiente definición: La unión de los conjuntos S y T se denota por S ∪ T y es el conjunto de todos los elementos x tales que x є S o x є T o x є ambos S y T. La notación S ∪ T se lee "S unión T”.

6

EL SISTEM MA DE LOS NÚME EROS REALES

La figura 1.2 muesttra el diagraama de Venn n para la unión de dos conju untos. Los ssiguientes ejjemplos acl aran el conccepto de unión e intersección n de dos conju untos y el com mplemento de d uno relativo a otro.

Ejemplo o5

Si A = {m, { r, t} y B = {r, t, s}, entonces A ∪ B = {m,r, t, s } A ∩ B = {r,t} A – B = {m} B – A= A {s}

Ejempllo 6

Si A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 7}, y C = {3, 4,, 5} , entoncees A ∪ B = {1,2,3,4 4,5,6,7} A∩ B= Ø A – B =A A ∪ C = {1,3,4,5 5} A – C = {1}

Conjuuntos Ejemplo 7

Usando un n diagrama dee Venn, prueb be que

T∪ (S–T) = S ∪T Solucción Se representan S y T por los círcuulos en la figura 1.3. Ahoraa S – T es el conjunto de todoos los puntos en la regiónn sombreada limitada por las dos circunferrencias. Aún más, todos loos puntos en la l región sombreeada junto conn todos los puuntos en T, coonstituyen el conjunto c de tod dos los punttos en la reegión limitadda por las dos d circunfer encias. Por llo tanto, T ∪ (S – T) = S ∪ T.

EJERCICIO 1.1

Operacioones de conjuntos

1 Si A = {2, 3, 4, 7, 8}} y B = {2, 4, 8}, encuentr e A ∪ B, A ∩ B, y A – B. 2 Si A = Ø y B = {1, 3, 5, 7, 9} , encuentre e A ∪ B, A ∩ B, y A – B. 3 Si A = {x { | x es un miembro de la baanda} y B –{xx | x toca la trom mpeta en la baanda} encuenttre A ∪ B, A ∩ B, y A – B B. 4 Si W = {a, c, e , g , h } y P = {b, cc, d, e, f}, encuuentre W ∪ P, P W ∩ P, y W – P. 5 Si C = {x { | x es una cllase de francéss} y D = {x | x es una clase dde álgebra}, enncuentre C ∪ D,, C ∩ D y C – D . 6 Si M = {x | x tiene el pelo p negro} y N = {x | x le gusta g el heladoo de fresa}, enncuentre M ∪ N,

M ∩ N

y M – N.

7 Si A = {x { | x es un uniiversitario peliirrojo} y B = {x { | x es una aluumna pelirrojaa de una escuela mixta}, encueentre A ∪ B, A ∩ B, y A – B. 8 Si A = {x { | x es un sennador que pessa 80 kilos o más} m y {B = x | x es un senaador que pesa meenos de 80 kilo os}, encuentree A ∪ B, A ∩ B, y A – B B. Los siguienttes conjuntos se s utilizan en los problema s 9, 10, 11 y 112: A = {x | x es un número o natural men or que, o iguaal a 11} B = {x | x є A y x no es divisible entre 22} C = { x | x є A y x e s diviisible entre 3}} D = {x | x є A y x no es divisible d entre 33} E = {3, 5, 7, 7 9}

7

8

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

9 Encuentre A∪ C ∪ D ∪ E, A ∩ B ∩ D, y A ∩ D ∩ E.

10 Encuentre (A – C) ∪ (D – E) y 11 Encuentre 12 Pruebe que

(A ∪ B) – (B ∩ C).

(A ∩ C) – (B ∪ D).

C ∪ (D ∩ E) = (C ∪ D) ∩ (C ∪ E).

Usando los diagramas de Venn, demuestre que cada una de las siguientes proposiciones es verdadera.

13 (S – T) ⊂ S 15 T ∩ (T – S) = T – S 17 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 19 A ∩ (B – C) = (A ∩ B) – C

1.2

14 16 18 20

T ∪ (T – S) = T

T ∩ (T ∪ S) = T

D ∪ (E ∩ F) = (D ∪E) ∩ (D∪F) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

CONSTANTES Y VARIABLES De aquí en adelante se usarán letras y otros símbolos para representar números. Los símbolos utilizados de esta manera se llaman variables y su definición es:

Variable y conjunto sustitución

Una letra o un símbolo que representa un número que es un elemento de un conjunto dado es una variable y el conjunto dado es el conjunto sustitución.

Consume

Si el conjunto sustitución para un símbolo dado contiene solamente un elemento, entonces este símbolo es una constante.

Por ejemplo, la letra griega π representa la razón de la circunferencia de un círculo al diámetro, y es aproximadamente igual a 3.1416. Por lo tanto π es una constante ya que sólo hay un número en el conjunto sustitución. También los símbolos para cada número real tales como 2, –3, 3/4 o √3 representan una constante. Asimismo, si υ representad número total de votos registrados en 1970 en la elección presidencial de México, entonces υ es una constante. Sin embargo, si v representa el número total de votos registrados en las elecciones en México, entonces, υ es una variable. Si d representa la distancia en kilómetros entre dos ciudades no especificadas, entonces d también es una variable.

El conjunto de los números reales

9

1.3 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Números naturales Números naturales enteros positivos

Enteros negativos

Cero Enteros

En este libro, se harán muchas cosas con los números reales –sumarlos, multiplicarlos, comparar sus magnitudes, etc—. Para asegurarse qué puede hacerse con ellos y qué no, se presentan algunas suposiciones básicas de los reales a lo largo del capítulo, así como algunas reglas que son consecuencia de estas suposiciones. Se empieza con los números naturales 1 , 2 , 3 , 4, 5 , . . . Los tres puntos significan que hay muchos otros números naturales que siguen el mismo patrón que los cinco primeros, pero hay tantos que no es posible escribirlos todos. Los números naturales son también llamados enteros positivos. Como 5 + 8 = 1 3 y 8 + 13 = 21, la suma de dos enteros positivos cualesquiera es también un entero positivo. Esto no es válido para la diferencia. Aun cuando 15 – 9 es el entero positivo de 6, la diferencia 12 – 19 no es un entero positivo. Se extiende el conjunto a los enteros negativos. – 1, –2, –3, – 4, –5, . . . Estos números son tan importantes como los enteros positivos; por ejemplo al usar un talonario de cheques, midiendo la temperatura por arriba y abajo del punto de congelación, al informar de la pérdida o ganancia de peso y en los cambios de precios en la mercancía. El cero debe incluirse ya que, por ejemplo, 21 – 21 = 0 . El conjunto de los enteros se define como: {. . ., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} = {. . . , –5, –4, –3, –2, –1} ∪ {0} ∪ {1, 2, 3, 4, 5, . . .} y entonces cada entero es por definición un entero positivo o un negativo o cero. Además de sumar y restar enteros, también es posible multiplicarlos y dividirlos. Por ejemplo 2X3 =6

4 X 7 = 28

8÷4 =2

91 ÷ 7 = 13

Algunas veces el resultado de la división no es un entero, obteniéndose números como 7 = 3.5 2

11 = 2.2 5

1 = .33333 … 3

Se tienen también largas divisiones como 72 = .285714285714 •••, donde los puntos indican que la sucesión de dígitos 285714 se repiten siempre. En efecto,

10

EL SISTEM MA DE LOS NÚME EROS REALES

Los númeeros encerrados en los círcculos determiinan el modeelo en el cocientee, y ya que esstán divididoss entre 7 puedde haber a lo más m 6 números diferentes d dee cero en los círculos. Tann pronto com mo se repita unoo de estos núúmeros, por decir d 2, se em mpieza a repeetir el modelo enn el cociente.. Al efecttuar la divisióón 112, se encon ntrará que puueden identificarse a lo más 10 1 números ddiferentes, y

En este caaso sólo se inndican dos de esos númeroos diferentes identificados con círculos, pero se sabíaa desde antes que a lo más m se tendrían 10. 1 Si se conttinuara la divvisión larga paara encontrarr 16 27, se obtendría que el cociennte se repite deespués de 26 ddígitos a lo sum mo, y 19 en 255 la repetición r em mpezaría desspués de 2544 dígitos, cuuando mucho. Número racionall

Si m y n son enteros y n ≠ 0, ento nces m/n se llama númerro racional.

El conjunto de los números reales

11

Los números racionales son llamados así porque son una razón de enteros. Se vio en los párrafos anteriores a esta definición que todo número racional puede expresarse como un decimal cuyos dígitos forman un modelo repetitivo. Esto incluye racionales como 1 3 3 = .333 • • •, y 11 = .2727 • • •, donde la repeticiones obvia, y todos 1 los decimales que terminan como 4 = .25 = .25000 • • • , su repetición se presenta en los ceros finales. La situación opuesta es también verdadera: los dígitos en los decimales forman un modelo que se repite y representan un número racional. Esto puede observarse en los ejemplos 1 y 2 de la 13 sección 11.3, donde se demuestra que .351351351 • • • = 37 . Se ha visto de este modo que un decimal representa un número racional si y sólo si la sucesión de dígitos forma un modelo repetitivo. Ya que en los racionales los decimales muestran un carácter repetitivo, ahora se considerarán decimales que no muestran dicho patrón. Los números 2.03003000300003• • • y .123456789011121314• • • son dos ejemplos. Puede demostrarse que π y √3 no muestran repetición en los decimales.

Número irracional

Un número irracional es un decimal cuyos dígitos no forman un modelo repetitivo.

Se tiene ahora desarrollado todo el camino, desde los enteros positivos hasta números irracionales; es posible entonces escribir la siguiente definición. Números reales

El conjunto de los números reales es Q ∪ I, donde Q = el conjunto de los racionales e I = el conjunto de los irracionales.

Se sigue de las definiciones que un número real es irracional si y sólo si no es un cociente de enteros. El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los decimales. Las relaciones entre algunos subconjuntos de los números reales están representadas en la figura 1.4.

12

EL SISTEM MA DE LOS NÚME EROS REALES

EJERCICIO 1.22

Números reales r

E Efectúe las op peraciones indiicadas en los p problemas 1 a 32. 1 3+11

2 14 + 35

3

32 2 + 51

4 106 6 + 213

5 18 + 37

6 48 + 25

7

47 73 + 768

8 54 47 + 666

11 5 - 9

12 – 9 + 5

13 87-44

9 9-5

14 373 – 212

10 – 5 + 9

15 717– 632

16 55 55–468

17 9 x 4

18 12 x 3

19 18 8 x 20

20 600 x 60

21 18 x 21

22 18 x 22

23 466 x 31

24 63 x 36

25 38 ÷2

26 38 ÷ 4

27 7 ÷3

28 3 ÷7

29

4 5

30

5 9

31

14 9

32

6 11

¿Cuál es el no ombre que mej ejor describe a los números en cada uno d de los problem mas siguientes?

Clasifique cadda proposiciónn dada en los problemas p 37 a 44 como verrdadera o falsaa (R = reales, I = irrracionales, Q = racionales, J = enteros, P = enteros poositivos, N = enteros e negativos). 37

N∩P=Ø

40 P ⊂ Q – J 43 5 x 53 Є Q – J

39

J=P∪N

38

0 ЄQ

41 44

1.41414414 • • • Є I 42 √3 Є R – J 1.2322332223 • • • + 1.3323323332 • • • Є Q

Un cuadrado mágico es un arreglo cuadr drado de númerros en el cual cada renglón, cada columna y cad da diagonal prrincipal tiene laa misma suma.. Demuestre quue cada cuadra ado en los problemass 45 a 48 es un n cuadrado máágico.

Axiomas del sistema de los números reales

45

47

8 1 6 3 5 7 4 9 2 16 2 13 5 11 8 4 14 1 9 7 12

1. 4

Campo

Cerradura

Asociatividad

Identidad

46

3 10 15 6

48

67 13 31 23 10 17 4 11

1 43 37 61 73 7 6 19 18 1 5 13 12 25 24 7

2 14 21 8 20

13

15 22 9 16 3

AXIOMAS DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES El sistema de los números reales puede determinarse a partir de tres palabras: campo ordenado completo. En esta sección se estudiarán los axiomas que definen estas tres palabras. Básicamente, estos axiomas formalizan las propiedades de los números reales. Sin duda alguna, se está ya familiarizado con muchos de ellos. Un campo es un conjunto S con dos operaciones + y • que permiten que dos elementos de S sean sumados o multiplicados. Las leyes que obedecen la adición y multiplicación son como sigue, donde a, b y c son tres números reales cualesquiera: a + b y a • b son números reales

(a + b) + c = a + (b + c) y (a • b) • c = a • (b • c)

Existen elementos únicos 0 y 1 tales que a + 0 = a

para toda a

y b •1= b

Inverso

para toda b

Dada cualquier a, existe un número único – a tal que a + (–a) = 0; y dado cualquier b ≠ 0, existe un número único b 1 tal que b • (b –1 ) = 1

14

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Conmutatividad

a + b = b + a y a • b = b • a

Distributividad

a • (b + c) = (a • b) + (a • c)

Se escribe algunas veces a • b como a X b o ab o (a)( b). Ejemplo 1

Los números reales, con la adición y la multiplicación ordinarias son el ejemplo principal de un campo. Es posible construir campos tales que sus elementos no sean números reales, y que sus operaciones sean diferentes a la adición y a la multiplicación usuales.

Ejemplo 2

Los números racionales con la adición y la multiplicación ordinarias forman también un campo. Se profundizará en la adición y la multiplicación así como en las propiedades de campo de los números racionales en la sección 1.5.

Ejemplo 3

El conjunto {a + b√2 | a y b son racionales} con la adición y la multiplicación ordinarias es un campo. Se verá este campo otra vez en el capítulo 5.

Ejemplo 4

Es posible definir la adición y la multiplicación de puntos en el plano tal que el conjunto de todos los puntos en el plano formen un campo. Para este propósito, se toma (a, h) + (c, d) = (a + c, b + d) y (a, b) • (c, d) = (ac – bd, ad + bc). Hay muchos usos de las propiedades del campo. Para multiplicar 14 y 32, se escribe normalmente 14 32 28 42 448 El motivo por el cual el número 42 se "desplaza" hacia la izquierda, es que se utiliza la ley distributiva y se obtiene 14 • 32 = 14 • (30 + 2) = 14 • 30 + 14 • 2 = 420 + 28; así el procedimiento normal podría escribirse como

Axiomas del sistema s de los n números realess

15

14 32 28 420 448

Sustracciión

Otros ejemplos son 4 • 7 = 7 • 4 y 6 + (8 + 3) = (6 + 8) + 3 (o sea 6 + 11 = 14 + 3 ). Nótese que un cam mpo sólo requ uiere de adiciión y de multtiplicación. Se definne sustracciónn como la operación inverrsa de la sum ma: a – b siggnifica a + (–– b)

Divisiión

(1.3)

y la diviisión se definne (para b ≠ 0)como 0 la opperación inverrsa a la multiplicación: (1.4)

Ley de cancelació ón de la adició ón

Supónngase que a + b = a + c. Entoncess (–a) + (a + b) = (–a) + (a + c); porr tanto (–a + a) + b = ((–a + a) + c, y se sigue quue 0 + b = 0 + c, o b = c. De aquí sse obtiene la a ley de cancelacción de la addición: Si a + b = a + c entonces b = c Esto perrmite trabajarr con signos negativos n [vééanse (1.5) y (1.6)]. A conntinuación see procede a demostrar d quue –(– a) = a

(1.5)

Ya que 0 = a + (–aa), y tambiéén 0 = (–a) + [–(–a)] = [–(–a)] + (–a), se ssigue que a + (–a) = [––(–a)]+ (–a ), y por la leey de cancelaación, a = – ( – a). Tambiénn es cierto que –(a + b) b = –a – b (1.6) En efectto (a + b) + [–(a + b)] = 0, y a + b + (–a – b) = (a + b – a ) – b = ( a – a + b ) – b = ( 0 + b ) – b = b – b = 0 , e n t o n ces a + b + [–(a + b)]= =a + b + (– – a – b)y otraa vez por la ley de cancelaación, –( a + b) = – a – b. Por ejjemplo, 5 = – (–5); – (3 3 + 8) = –3 – 8; y – (2 + 3 + 4) = –2 – 3 – 4 = –9. Para calccular – (a – bb), se escribe

16

EL SISTE MA DE LOS NÚM MEROS REALES

Es posible e combinar m más de dos térrminos. De esste modo,

Campo ordenado o

En la sección s 1.5 see presentan otras de las co onsecuencias de las propiedad des del camp po. Un campo o S es ordena ado si existe un u subconjun nto P (los elem mentos positivos)) de S que sattisface las tre es condicionees siguientes: Si a y b están e en P, en ntonces

a+bЄP

Si a y b están e en P, en ntonces a • b Є P

(1.7) (1.8)

Si c Є S, entonces só ólo uno de lo o siguiente ocurre: o c Є P Tricotomía a

a 0 (o b – a Є

P).

Axiomas del sistema s de los n números realess

17

Si a < b, puede esscribirse tam mbién como b > a. Por taanto 5 < 1 10 y 10 > 5; –15 2 < – 6 y – 6 > –15 21; y 18 > 17.010203 04 • • • . Adem más de poder comparar la magnitud dee dos número os, también es posible p hacerllo sin tener que q considerarr sus signos. Esto se logra utiilizando valores absolutoss.

Valor absolu uto

Si a es cualquier c núm mero real, en ntonces el vallor absoluto de a se escribe como c |a| y see define como o (1.10)

a≤b

De acueerdo con esto o, |7| = 7 yaa que 7 > 0; 0 |–4| = –(– –4) = 4 puesto que q – 4 < 0;; y |0| = 0. Por P tanto, ell valor absolluto de cualquieer número real es una can ntidad positiv va o cero. Si a < b o a = b, see escribe a < b. b Se sigue en ntonces que 4 ≤ 9 y 4 ≤ 4. De la definición dee |a|, se advieerte que |a| ≥ 0 para todo núme n ro real a.. También, – |a| ≤ a ≤ |a|. Por ejemplo, |–3| = 3 > 0, y –|–3| ≤ –3 – ≤ |3|, o sea, –3 ≤ – 3 ≤ 3. Ahoraa, se consideerará el valorr absoluto dee un productto y de una sum ma. Considerando los cuaatro casos diferentes d (a > 0 y b >0; a > 0 y b < 0 ; a < 0 y b > 0; a < 0 y b < 0) pueede demostrarsse que |ab| = |a| • |b|

(1.11)

|a + b| ≤ | a | + |b|

(1.12)

A esta última ú expressión se le co onoce como la desiguald dad del triángulo o. Complecióón

Las respectivas demo ostraciones fo orman parte d de los ejerciccios. Hay muchas m maneeras de defin nir un campo ordenado paara ser completo o. Para est e propósito, es suficieente decir que q la Complección * significca que existe una correspo ondencia uno o a uno entre el conjunto de los reales y el conjunto o de puntos en e una línea (qu ue se extiend de infinitamente a ambos lados, a dereecha e * N. del T. El E término complecióón está aceptado porr la Real Academia. Hasta ahora se habbía venido empleando laa palabra completez..

18

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

izquierda). En la figura 1.5 se indica tal correspondencia. Esto significa que a cada número real es posible asociarle exactamente un punto en la línea y viceversa. Los números racionales no tienen esta propiedad (de ser completos) –hay más puntos en la línea que números racionales–. En otras palabras, si a cada racional se le asocia un punto, podrían colocarse todos los racionales dejando "huecos" en la línea. Uno de ellos ocurriría en y√7: Los números reales son el único campo completo ordenado. EJERCICIO 1.3

Axiomas del sistema de los números reales

¿Cuál axioma de campo es aplicable para cada uno de los siguientes problemas del 1 al 8? 1 3 5 7

3•17=17•3 4.17 + 2.22222 • • • = 6.39222 • • • 1 x 234,567 = 234,567 0 + 97,531 = 97,531

2 4 6 8

(14 + 3) + 20 =14 + (3 + 20) 2 • (4 + 3) = (2 • 4) + (2 • 3) 5 + (–5) = 0 3.4 x 5.67 = 19.278

En los problemas 9 a 16 determine en cada caso si la proposición es falsa o verdadera. 9 La ley asociativa para la multiplicación es verdadera para los racionales. 10 Los números negativos presentan la propiedad de cerradura bajo la suma. 11 |a| = |–a| para todo real a 12 La suma de cualesquiera dos irracionales es irracional. 13 Si a es negativa, entonces –(– a) es negativa. 14 El valor absoluto de |a| es

|a|.

15 –(–a + b) = a + b. 16 Si a < b, entonces – a < b. El número |a – b| representa la distancia de a a b. Verifique esto para los números dados en los problemas 17 a 20. 17 a = 4, b = l

18

a = 2, b = 7

19

20

a = –18, b = –4

a = –5, b = –16

Calcule los números en los problemas 21 a 24.

Teorremas acerca de el sistema de loss números realess

19

21 4– (3 – 2)

22

6 + 2[–4–(–3))]

23

–{2 + 3[–l – (6 + 2)] + 3}

24

4{{–[–2 + 3(–l + 2)] + 6}

25

Demuuestre que si a < b y b < c, entonces a < c.

26

Dem muestre que |aab| = |a| • |b|.

27

Demu uestre que |a + b| ≤ |a| + |bb|.

28

Veriffique los probblemas 25, 26 y 27 cuando a = – 3 y b = 5, y para a = 4 y b = 7. 1.5

TEOREMAAS ACERCA DEEL SISTEMA DE LOS NÚMEROSS REALES Recuérdeese que a X b se escribe por p convenieencia tambiénn como ab o a • b o (a)(b). Aúún más, se deefine a ÷ b o a/b o a(b-1);; por lo tanto, poor definición ,

Por deefinición de lla identidad de la multipllicación, a(1)=a a

(1.13)

para todoo real a. Ahoora se demuesstra que, por la identidad aditiva del cero.. Multiplicación n por Ceroo

a(0) = 0

(1.14)

para toddo real a. 0=0+0 a(0)) = a (0 + 0) a (0) + 0 = a (0) + a (0) 0 = a(0)

po or definición da cero c mu ultiplicación por a d definición de cerro y ley distributiiva ley y de cancelación n para la suma

En palabras, cualquieer número reaal multiplicaddo por cero es e cero. Ejemplo 1

5(1) = 5; 5 6(0) = 0; y 0 x 31 = 0. 0 Ahora, se considerrará el cero en e la divisiónn. En a ÷ b,, se toman los valores de b = 0 y a = 0. 0 Primero, sii b = 0, entonnces se escribe a ÷ 0 que serría lo mismo que a X 0-1. Sin embargoo en los axiomas de campo, ell inverso estáá definido parra todo númeero ex–

20 EL SISTEMA DE LOS NÚM EROS REALES

cepto paraa el 0, o sea qque 0-1 no está definido (vvéase el probblema 44 en los ejercicios e de repaso). División entre Ceroo

a 0

no está definiddo para cualqquier real a

( (1.15)

Ahora, co onsidere a ÷ b, cuando b ≠ 0 y a = 0. Entonces a ÷ b = 0 X b-1 = 0, o sea que cuando el ceero se multipplica por cualquier número el e resultado ees igual a cerro. Por tanto , 0 = 0 si b≠ 0 ( (1.16) b Se prueeba que paraa cualesquierra números r eales a y b, a(–b) = –(ab) –

(1.17)

También es cierto quee (–a)(–b))=ab

(1.18)

La demosttración de (1.18) se deja coomo ejercicio. La cual es siimilar a la siguieente demostrración de (1.17).

Como para p (1.18), nótese n que dee acuerdo conn el modelo – (–8) (3) = –24 4, (–8)(2) = –16, (–8)( 1) = –8, (–88)(0) = 0, s e obtiene (–8 8)(–l) = 8, y (–8)(–22) = 16.

Ejemplo 2

Ley de los signoss para laa Multiplicación n

(3)(–4) = –(3)(4) = –12 (–2)(7) = –(2)(7) = –14 (–3)(–6) = 3(6) = 188 Es posibble establecer la ley de siggnos para la m multiplicaciónn de la siguiente manera: m el prroducto de do os números dif iferentes de ceero es un númerro positivo si ellos tienen el mismo siggno; es un núúmero negativo si s tienen signnos contrarioss.

Teore emas acerca de el sistema de loss números reale es

21

Supóngase que a//b = c. Entonnces a x b-1 = c, o sea que q ax (b x b) b = c x b y a = b x c. c El argumeento va tamb bién al contrar io, entonces si b ≠ 0, a =c si y sóólo si a = bc (1.19) -1

b

Ley de los sig gnos para la divisiión

A partirr del argumennto anterior y de la ley de signos para la multiplicaciión, es posiblle establecer una ley análooga para la diivisión, como siigue, el cociennte de dos nú úmeros diferenntes de cero es e positivo si lo os números tienen el mism mo signo y neegativo si tien nen signos conttrarios.

Ejemplo o3

Se define an dondee n es un enteero positivo, como c sigue:

Por connsiguiente, yaa que la expreesión de la deerecha es el producto de m + n factores, en e donde ca da uno es a, se obtiene Producto de potenciass

Ejemplo o4

aman=am + n

con m y n enteeros positivos

(1.21)

Encuenttre el productto de 4a3 y 6 a5.

Solució ón

Se uttiliza (1.21) para encontrrar la potenccia de una pootencia. Por ejem mplo, 2+2+2 (x2)3 = x 2 • x 2 • x 2 = x2+ = x6

En geneeral,

22

EL SISTEA AAA DE LOS NÚM MEROS REALES

Se obtienee entonces Potencia de una potencia

(xm)n = xm n

x real, m y n cuteros positivoos

(1.22)

Además, ya y que por la ley associativa y los axxiomas de conmuttatividad

se tiene la siguiente leyy para la potencia del prooducto:

(ab)n = anbn

a y b reaales, n entero posittivo

(1.23)

El teoreema que a conntinuación see demuestra sse llama la leey de

los exponeentes para la división. Si m y n son enteeros positivoss, con m > n, se tiene, por (11.19), Ley de exponentes para la división

en donde resta r determiinar x. Ya qu ue m > n y m y n son en nteros positivos, m – n es unn entero posittivo que puedde utilizarse como n exponente . Ahora si se sustituye x en e a n x por a m , se obti ene p la ley de ex ponentes para la por l multiplicació ón p el axioma con por nmutativo yya que n – n = 0

Por tanto, si s x = am – n, eentonces anx = am. La ley de los exponentes para la divvisión queda entonces exppresada com mo: (1.24) Se demosttrará más adeelante que estta ley se cum mple si m < n pero

Teorema as acerca del siistema de los números reales

23

aquí se considera c el caso c particulaar cuando m = n. En este caso, c se obtiene

La definnición es válidda únicamentte para el casso en que n sea un entero poositivo por loo que a0 no tiene sentido; sin embargo,,

de dondee es lógico deefinir a a0 com mo el númeroo 1. Entoncess, con esta definnición, se obbtiene Cero com mo exponentte

Ejemplo o5

a0 = 1

a≠0

(1.25)

23 • 28 • 26 = 2 3 + 8 + 6 = 217

Obsérv vese que – 24 significa el e negativo dde 24 (o sea,, –16), 4 mientra s que (–2) significa (––2)(–2)(–2))(–2) = 16. Si a y b son enterros positivos,, su máximoo común diviisor se representta por (a, b). Éste es el maayor entero qque divide tan nto a a como a b y se encuenntra escribienddo el productto de todos loos factores difeerentes de a y b que son comunes a ambos, a cada factor siendo elevado a la m menor potenciia la cual form ma parte en alguno a de los do os a o b. Ahora 240 = 24 • 3 • 5 y 756 = 22 • 33 • 7, 7 y así (240, 756 6) = 22 • 3 = 12 1 ya que loss factores com munes de 2400 y 756 son 2 y 3, 3 el 2 ocurree en la segunda potencia. Si a y b son enteros positivos, esccribimos [a, b] para represeentar el mínimo común c múltipplo de a y b. Éste es el enntero más peequeño que es unn múltiplo tannto de a como o de b y se encuentra escrib biendo el produccto de todos los factores diferentes dee a y b los cuales ocurren en e alguno de ellos, a o b, cada factor sse eleva a la mayor potencia la cual form ma parte en alguno a de a o b. Al apliccar los factores del d párrafo annterior se obttiene [240, 7556] = 24 • 33 • 5 • 7 = 15,1200.

24

EL SISTEM MA DE LOS NÚME EROS REALES Ejemplo 7

(a) (b) (c) (d)

EJERCICIO 1.44

(24,, 18) = 2 • 3 = 6, y [24,1 8] = 2 3 • 3 2 = 72 puesto quue 24 = 2 3 • 3 y 18 = 2 • 32 (36, 10) = 2, y [36,10] = 2 2 • 3 2 • 5 = 1800 puesto que 36 = 22 • 32 y 10 = 2 • 5 (12,3 30) = 2 • 3 = 6, y [12,330] =2 2 • 3 • 5 = 60 pues to que 2 12 = 2 • 3 y 30 = 2 • 3 • 5 (44, 11) 1 = 11, y [44,11] = 22 • 11 =44 puestoo que 44 = 22 • 111 y 11 = 11

Teoremas relacionados con el sistemaa de los números reales

E Encuentre el resultado r num mérico para loos problemas del 1 al 16.

Determine el resultado r num mérico para loss siguientes prooblemas, usando exponentess

¿Es cierto quee (a, b)[a, b] = ab para enterros positivos cualesquiera c a y b? Verifiqu ue esto con los probleemas 33 a 40. 33

a = 3, b = 5

34

a = 12, b = 8

35

a = 15, b = 10

36

a = 4, b = 30

37

a = 48, b = 20

38

a = 28,, b = 12

3 39

a = 18, b = 32

40

a = 14, b = 211

41 ¿Por qué (0)(5) y

0 5 m n

5

sonn cero, pero nni 0 ni n m

0 0

son cero? c

42 Demuestrre que (x ) = (x ) para doss enteros positiivos cualesquiiera m y n. 43 Demuestrre que (–a)(–b b) = ab.

Operaciones fundamentaless con fraccioness

44

25

Demuesstre la ley de cancelación c paara la multipliccación: Si ab = ac y a ≠ 0, entonces e b = c.

1.6

OPERACIONES FUNDAM MENTALES CON N FRACCIONES S

En esta sección s se traatará con la iggualdad de doos fraccioness, y con la adició ón, sustraccióón, multiplicaación y divisiión de fraccioones. S i a/ b = c/ d, enntonces po r defi ni cióón de l a div vi s ión ab–1 = cdd–1. Multiplicaando por bd y con ayuda dee la ley conmutativa se obtie ne (ab–1) bdd = (cd –l )dbb o ad= bc.. Así (para b ≠ 0 y d ≠ 0), 0 si y sólo si

ad = bc b

(1.26)

Ahora see probará (paara cualquie r e y f difereentes de ceroo) que

Se obtienne la primeraa igualdad en (1.27) si y sóólo si a(be) = b(ae). Por las leyes asociaativa y conm mutativa, la iigualdad es válida. v Puede d emostrarse ttambién que a/b = (a/f)/((b/f)

4

7

1

1

Para sum mar 5 y 5 , es posible escribir la suma como4( 5 ) + 7( 5 ). Esto es como c sumar 4 manzanas y 7 manzanaas, pero se esstán sumando quintos q en vez v de manzzanas. La suuma es 11( 51 ) = 115 . Se podrí a también haaber utilizadoo la ley distrributiva

26

EL SISTTEMA DE LOS NÚ ÚMEROS REALE S

En generral, es posiblee sumar fracciones con el m mismo denom minador de acuerrdo con la sigguiente regla: Suma de fraccioones

(1.28)

Similarm mente, para reestar se tienee

Cuanddo se tienen ddos fraccionees con diferennte denominaador el procedim miento es com mo a continuuación se indica: se emppieza a escribir como c un conj njunto de fracciones igualees con el mism mo de5 3 nominaddor. De acuerrdo con esto,, al sumar 6 + 4 , se escribbe cada fracción con el mismoo denominadoor – el mínimoo común múltiplo de ambos denominador d res–. Ya que [6,4] = 12, sse escribe

La resta se efectúa enn una forma análoga. a

Para multiplicar dos fraccionnes, se proceede como a continuaciónn se indica:

Operacione es fundamentales con fraccion nes

Multiplicació ón de fraccion nes

27

Ahora b–1d–1 = (bd))–1 así que ac a • b–1d–1= (ac)(bd)–1 = ac/bd. Por consiguiente, paara multiplica ar dos fracciones, se escrribe una fracciónn cuyo numeraador es el prooducto de los numeradoress y cuyo denomin nador es eel productoo de los ddenominadorres. En símboloss.

(1.30) Ejemplo o4

Cuanndo se tienen factores com munes en los nnumeradores y en los denominadores, es posible p canceelarlos primeero y a continuación multipliicar los numeradores y deenominadorees resultantess. Ejempllo 5

Para encontrar e el ccociente de dos d fracciones, se escribe Divisióón de fracciones

(1.31) Esto es, para dividirr una fracción n entre otra, se invierte el e denominadorr (sustituya c//d por d/c) y multiplique esto por el numerador. En n otras palaabras, mult iplique el numerador n por el recíprocco en el denoominador.

Ejemplo o6

28 2

EL SISTEM MA DE LOS NÚME EROS REALES

EJERCICIO 1.55

Operacionees fundamentales

E los problem En mas 1 a 8, dem mostrar que caada ecuación es e cierta.

Efectúe las opperaciones inddicadas en los problemas p 9 o 44.

1.77

RESUMEN N Los conju untos se estuddian en la seccción 1.1, que incluye la unión, u intersecciión, complem mento y compplemento rellativo. Para definir d el sistemaa de los númeeros reales, se utilizó el conncepto de conj njunto. Además, los númeroos reales foorman un caampo ordenaado y completo o. Se estableccieron once axiomas a para definir un caampo, tres para definir un caampo ordenaddo y un axiom ma para determinar un campo ordenado completo. Los L decimales forman tam mbién parte de los reales. T Tanto los deccimales repettitivos (racion nales) como loss que no muestran caráctter repetitivoo (irracionalees). El valor abssoluto de un número real también fuee consideradoo. Entre las l propiedaddes más impo ortantes de loos números reales r están: a(b + c) = ab + ac –(–a) = a –(a + b) = – a – b

Resum men

a(1)) = a m n

a a =a

y m+n

a(0) = 0 m m

m

29

para ccualquier reaal a m n

(a ) = amn

a b = (ab)

En estee capítulo fueeron incluidaas la adiciónn, sustracciónn, multiplicación y división de fraccionnes.

EJERCICIO 1.6 1

Repaso

Sea A = {1, 3,5, 7,9}, B = {2,4, 6,8,10}, C = {1,4,7},, D = {4,6, 8},, y U = {1,2, 3,4,5, 6, 7, 8, 9, 10} en los probleemas 1 a 7. 1 Encuen ntre (B ∩ C) ∪ (B–D). 2 Encuenntre (D – C)∪A. 3 Encuen ntre D–(C ∪A). A

4

5 Demuesstre que A ∩ (B ( ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Encuenntre (B ∪ C)'..

6 Demuesstre que (A ∩ C)' = A' ∪ C

7 Demuesstre que D' – B = (D ∪ B)'. B Demuestre que q el númeroo resultante enn cada problem ma del 8 al 11 es 200. 9

8 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8)(9)

11

10 12 + 3 – (4 – 5 – 67 – 8 – 9)

1 + 2 + 34 – (5 – 67 + 8 – 9) 123+ 4–(5–67+89)

Verifique loss cálculos en los problemas 12 a 16. 13

12 12 2 + 5 2 = 1P + T – I 2

33 + 43 + 53 = 63

14 13 + 123 – (93 + 103) = 0 16 (22 – 32)(4 ) 2 – 12) = 52 – 102 17 ¿Es

3 11

racional?

18

¿Es

3 1

un entero? 2

19 ¿Es ciertto que .1212212 222 • • • + .212112111 • • • = 6 ? 20 ¿Es ciee rto qu e 21 Demuesstre que –[–((–3)] = –3. 22 Encuenttre |(l)(–2)(––3)|. 233

Encuenttre |(l)(–2) + (–3)|. (

Exprese cadda número raciional como un decimal repettitivo en los prroblemas 24 a 26.

Simplifique las l expresionees en los probllemas 27 a 34.

30 3

EL SISTEM MA DE LOS NÚME EROS REALES

2 27

(23)(24)

28

(35)(33)

29 9

45/43

30

(32)(22)

3 31

63/23

32

124/44

333

(34)5

34

(54)2

3 35

Demuestree que [8, 12](88, 12) = 96.

S Simplifique lass expresiones en e los problem mas 36 a 42.

43 4 Demuestree que si b ≠ 0 entonces (b – 1 ) –1 = b. 44 4 El siguientte argumento demuestra d el pporqué la divissión entre ceroo no está definnida; justifique cada paso. a =q 0

s significa

a = (0)(q)

Así, si a = 0 entonces tooda q satisface a = (0)(q), pero p si a ≠ 0, eentonces ningu una q satisface a = (0)(q). 45 4 Demuestree que y d).

(ni siquiera bd es el e mínimo com mún múltiplo de d b

46 4 Demuestree que los racionnales satisfaceen las propiedaades de campo.. Note que alguunas de las prop piedades de cam mpo (tales com mo la asociativvidad y conmuutatividad) son "he redadas" de d los reales, enn tanto que otrras (tales comoo la cerradura y las identidades) requieren demostrarse d p para los racionnales. n

47 4 ¿Es cierto que (am ) n = am ? Verifiquee la respuesta cuando a = 4, 4 m = 3, n = 2. 2 48 4 Demuestree que el campoo del ejemplo 3 de la secciónn 1.4 puede orddenarse por máás de una manerra, al demostrrar que

satisfacen n la definición de un campo ordenado. 49 4 Demuestre que el campoo del ejemplo 4 de la secció ón 1.4 puede sser ordenado. SugeS rencia: connsidérese que existe un conjuunto P tal que satisface la definición y conssidere el elemennto (0, 1). El o su negativoo está en P. Obsérvese O quue (0, 1) • (0, 1) = –[(0, 1) • (0, 1) • (0, 1)) • (0, 1)].

2 polinomiios, prroducctos Y faactorizzaciónn

En estee capítulo se estudia la addición, la susttracción, la multiplim cación y la divisiónn de númeross y variables. También se estudia ampliam mente la factoorización, en donde las suumas se expreesan como productos. Cadaa expresión en este capítuulo representaa un número reeal; de este m modo, son em mpleadas lass propiedadess de los número os reales vistaas en el capíttulo 1. 2 2.1

Expresióón algebraiica

Ejem mplo 1

EXPRESSIONES ALGEBRRAICAS Si uno o más númerros o variablees (símbolos ppara los númeeros) son combinnados por meedio de las cu uatro operaciiones fundam mentales, al resuultado se le cconoce como expresión allgebraica, o simple– mente expresión. Cad da una de las siguientes es una expresiónn

32

POLINOMIOS, PRODUCTOS Y FACTORIZACIÓN

Monomio Término

Una expresión algebraica que contiene solamente multiplicaciones de números reales y potencias enteras positivas de variables se llama monomio. En el ejemplo 1, son monomios las expresiones (1), (2) y (3), mientras que ni (8) ni 2x/y lo son. Los monomios en una expresión junto con sus signos respecti– vos son llamados términos de la expresión. Los términos de (5) son

2zy, –6x 2 z, yy Binomio Trinomio Polinomio

Grado

Coeficiente

Ejemplo 2

xy4.

Una suma de dos monomios se llama binomio, y una suma de tres monomios es un trinomio. Así que (4) es un binomio y (5) un trinomio. Una suma (finita) de monomios es un polinomio. Cada una de las expresiones en el ejemplo 1 es un polinomio excepto (8). Las expresiones (2) y (7) son polinomios de una sola variable, mientras que (1), (4), (5) y (6) lo son de distintas variables. Una manera de clasificar los polinomios es por su grado. El grado de un monomio con una sola variable es el exponente de la variable. De este modo, el grado de (2) es 5. El grado de un polinomio de una variable es el grado más grande que tenga cualesquiera de sus términos. Se sigue que el grado de (7) es 4. El grado de una constante como en (3) es cero, excepto el grado de la constante 0 que no está definida. Un polinomio de varias variables puede también considerarse como un polinomio en cualquier combinación de sus variables. De modo que, (6) puede considerarse como un polinomio en x, y y z en x y y, en x y z, o en y y z, o en x, en y, o en z. Su grado en x es 6, en y es 1 y en z es 3. El grado de un monomio de distintas variables es la suma de sus grados en cada una de las variables por separado. Así, el grado de (1) es 3 ya que 1 + 2 = 3; el grado de cada término en (4) es 5; y el grado del primer término en (6) es 7. El grado de un polinomio de distintas variables es el grado mayor de cualesquiera de sus términos. De aquí que, el grado de (4) es 5, y el grado de (6) es 7. El grado de (6) es 6 si se considera éste como un polinomio en x y y. El grado de (5) es 5 en x, y y z, es 5 en x y y, es 3 en x y z y es 2 en x, 4 en y y 1 en z. Si un monomio se expresa como el producto de dos o más símbolos, cada uno de ellos se llama coeficiente del producto de los otros. En 3ab, 3 es el coeficiente de ab; a es el coeficiente de 3b; y b el de 3a. En 3ab, 3 es el coeficiente numérico. Por lo general, cuando uno se refiere al coeficiente del monomio, significa el coeficiente numérico.

S Suma de monom mios y polinomios Términ nos semejan ntes

Ejemp plo 3

2 2.2

33

Dos monomios o dos términos son semejantes si difieren sólo en sus coefficientes numééricos. Los monomios 3a2b y –2a2b son semejantes, s y los términos son análoggos en

SUMA DE D MONOMIOSS Y POLINOMIO OS Al sumar monomioss semejantes se aplica la ley l distributiva a(b + c) c = ab + ac Por la ley conmutat iva, esto pueede escribirsee como (b + c)aa – ab + ac Esto, poor supuesto, es extensivoo a más de doos términos, o sea a(b – c + d) = ab – ac a + ad

Ejemp plo 1 Solucción

Comb bine los térmiinos en 4ab + 6ab – 3ab een un solo térm mino 4ab + 6ab – 3ab = ((4 + 6 – 3)ab = 7 ab

Ejemp plo 2

por el axxioma de la disttributividad ya que 4 + 6 – 3 = 7

Encueentre la suma de d 3a2b, 6a2b,, –8a2b y –5a2b.

Solu ución Se exppresa esta sum ma y se proced de como siguee: 3a2b + 6a2b + (–88a2b) + (–5a2b) 2

= [(3 + 6) + (–8 – 5)]a b

por los axiomas a de asociatividad y disstributividad

2

= [9 + (–l3)]a b = –44a 2 b Si unn polinomio contiene c dos o más conjuuntos de térm minos, se emplean n los axiomaas conmutativvo y distribuutivo para operar los términoos de cada coonjunto, como se muestraa en el ejemp plo 3. Ejemp plo 3

7y2 + 3xy + 4x2 + 5x3 – 2xy + 2x2 – 6x3 – xyy – x2 – 2y2 = 7y2 – 2y2 + 3xyy – 2xy – xy + 4x 2 + 2x 2 – x 2 + 5x 3 – 6x 3 por axioma conmutativo

34

POLINOM MIOS. PRODUCT TOS Y FACTORIZACIÓN

por axioma dis stributivo y el hecho o de que –xy = –1 • xy y y –x 2 = –1 • x 2 sumando ca da coeficiente ya que 0(xy) = 0

El procesoo de sumar doos o más polin nomios hace uuso de los axiomas conmutativvo y distributtivo para la adición. El axiioma conmuttativo permite arrreglar los térm minos en la suma s de modoo que los térm minos semejantes estén juntoss, y el axiomaa distributivo permite comb binar términos semejantes. s Encuentree la suma 3x2 – 2xy + y2, 2xy – 3y2 – 2x 2 2 y 4y2 – 5xx2 + 4xy. Soluciónn Primero se escribe la suma de loss tres trinomiios y entonces se arreglan y operan los términos t com mo sigue:

Ejemplo 4

3x 2 – 2xy + y2 + 2xy – 3y 2 – 2x 2 + 4y 2 – 5x 2 + 4xy = 3x2 – 2x2 – 5x2 – 22xy + 2xy + 4xy 4 + y2 – 3y2 + 4 y2 2 = x (3 – 2 – 5) + xy(–2 x + 2 + 4) 4 + y 2 (l –3 + 4) = x2(–4)) + xy(4) + y2(2) = –4x 2 + 4xy + 2y 2 Este pro oceso justificaa el procedim miento siguientte, que es utillizado muy a mennudo: reescribba las expresiiones de tal foorma que cad da una de ellas essté debajo dee la primera, y al mismo ttiempo arregle los términos de d tal maneraa que los que contienen lass mismas variiables y potencias formen coolumnas vertticales. Finallmente, tracee una línea horizzontal debajoo de la últimaa expresión; entonces com mbine los térmiinos y escrriba el resu ultado debaajo de la línea. l Después de d efectuar laas operacionees, se obtienee 3x2 – 2xy 2 + y2 2 –2x + 2xxy – 3y2 –5x2 + 4xxy + 4y2 –4x2 + 4xyy + 2y2 Ejemplo 5 Soluciónn

Encuentrre la suma dee 3a2 – 2a – 2b 2 2, 2ab – 3bb – 2a2 y 2 4a + 4a – 2b.

3b 2 –

En este prooblema se proocede como se s hizo en el eejemplo 4. Sin n embargo, ya que la primeera expresión n no contiene el término b ni el término ab b y la segundda no contienne el término a ni b2, cuan ndo se escribe el segundo trinoomio debajo del primero, se deja el esp pacio

Sum ma de monomio os y polinomioss

35

de – 2a y – 2b en blannco y se escriiben –36 y 2aab a la derech ha. De esta manera, m se ti ene

De acuuerdo con la definición dee sustracciónn, a – b = a + (–b) Como co onsecuencia de esto, parra la sustracción algebraaica se tiene la regla siguientte: Al restar un número ((o un polinom mio) de otro, se cambia ell signo (o los sig gnos) del susttraendo y ento onces el procceso es análoggo a la adición. Ejemplo 6 Solucióón

Reste 8a2 de 6a2. De acuerrdo con la reggla mencionad da, la soluciónn es 6 a2 + (– 8 a2 ) = 6 a2 – 8 a2 = –2 a2

Ejemplo 7 Solucióón

Reste –4x 4xy de 8xy Si se cam mbia el signo ddel sustraendoo y se suma, sse obtiene –8xxy

– (–4xy) = –8xy + (+4xy) ( = –8 8xy + 4xy = –4xy Ejemplo 8 Soluciónn

Reste 3aa2 – 2a+ 4ab + 3b2 a 4a2 – 2ab – b2 + 2b. Se escribbe primero el m minuendo y se s pone el susstraendo debaajo, de tal maneraa que los térm minos de las dos expresionnes queden juuntos; por tanto 4a 2 – 2abb – b 2 + 2b 3a2 + 4abb + 3b2

minueendo

– 2a

sustraaendo diferencia

Mentalmeente, ahora se cambian loos signos de ccada términoo en el sustraend do, se suman con los térm minos del minuuendo y se escribe el resultado. El probleema resuelto es como siguue:

4 a2 –2ab – b2 + 2bb

3a2 + 4abb + 3b2 – 2a a2 – 6abb – 4b 2 + 2b + 2a

36

POLINOMIOS, PRODUCTOS Y FACTORIZACIÓN

2.3

SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Los símbolos de agrupación ( ), [ ], { }, son usados para hacer que el significado de ciertas expresiones, sea claro y para indicar el orden en el que las operaciones son realizadas. Con frecuencia es conveniente quitar los símbolos de agrupación de una expresión, y para este propósito se usa (1.6) y el axioma de la distributividad. Se explica el procedimiento con dos ejemplos.

Ejemplo 1

Elimine el paréntesis de 3x – (2x + 3y) + 2(3x – 4y) y combine los términos semejantes.

Solución

– (2x + 3y) = –2x – 3y

por (1.6)

y

2(3x– 4y) = 6x – 8y

por axioma de la distributividad

Como consecuencia, 3x – (2x + 3y) + 2(3x – 4y) = 3x – 2x – 3y + 6x – 8y = 3x – 2x + 6x – 3y – 8y por el axioma de la distributividad

= 7x– 11y Este ejemplo aclara el hecho de que si un par de símbolos agrupados precedido por un signo menos no es eliminado, el signo de cada término encerrado por los símbolos debe ser cambiado. Empero, un par de símbolos agrupados precedido por el signo más, puede eliminarse sin afectar los signos de los términos que estén dentro de los paréntesis. Con frecuencia, uno o más pares de símbolos agrupados son encerrados en otro par. En tales casos es aconsejable eliminar primero los símbolos que se encuentran dentro. Ejemplo 2

Elimine los símbolos de agrupación de 3x 2 – {3x 2 –xy– [5(x 2 – xy) – 3(x 2 – y 2 )] + 4xy) – 3y 2

Solución

Se aplica primero el axioma distributivo a la expresión en los paréntesis para obtener 3x2 – {3x2 – xy – [5x2 – 5xy – (3x2 – 3y2)] + 4xy} – 3y2 = 3x2 – {3x2 – xy – [5x2 – 5xy – 3x2 + 3y2] + 4xy} – 3y2 quitando paréntesis

Símbolo os de agrupació ón

37

= 3x 2 – {3x 2 –xy– [2xx 2 – 5xy,+ 3y 2 ] + 4xy} – 3y 2 combinnando términos en los paréntesis cuadrados c 2

= 3x – {3x –xy– 2x + 5xy – 3y 3 2 + 4xy} – 3y 2 quitando parénntesis cuadrados 2

= 3x 2

2

– {x 2 + 8xyy – 3y 2 } –3yy 2 combinando ttérminos en las Ilaaves 2

2

2

= 3xx – x – 8xyy + 3y – 3y 2

= 2x – 8xy

2

quitando llavves combinando térrminos semejantess

Es alg gunas veces úútil introducirr símbolos dee agrupación en e vez de quitarrlos. Ejemplo 3

Todas lass expresiones siguientes soon iguales. 2x–4y + 8t + 3p– –q 2x–4y + 8 t – (–3p + q) 2x–4y– – (–8t –3p + q) 2x – (4 4y –8t–3p + +q) 2x – [4y y – (8t + 3p p – q)]

EJERCICIO 2.1 2

Expresioones algebraicaas

Clasifique caada expresión en los problem mas 1 a 4 comoo monomios, binomios, b trinoomios, polinomios o como ningunno de ésos.

Clasifique caada polinomioo en los proble mas 5 a 8 com mo monomio, binomio o trinoomio, de su grado com mo polinomio y su grado enn y. 5 63x2y3z7

6

x2 + 2y2 – yzz2

7 7x4 y4

8

xxy 2 – yx 3

Combine los términos sem ejantes en los problemas 9 a 24. 9 6a + 4a – 3a

10 10y –5y + 7y

11 7xy – 3xyy + 2xy + 3xxy

12 6ac – 5ac – 4ac – 3ac

13 7ab – 4aac + 3ab + 6aac

14 8x + 2y + 3x – 4xx + 3y

15 –4xy + 2xz 2 – 3yz + 5xz 5 + 7yz

16 –8 + 5ab + 3a – 2 – 5ab

17 a + b – c – 3b + 2c – 5a

18 ab – 2ac + 3bc + 5bc – 2ac + 3ab

19 x + 2xy – 3z +5x + 8z 8 – 4xy

20 2y + 3xz – 4y + 66z – 2xz + 3zz

21 x + y –2 z + 3w –2x + y + 2z–5w

22 2a – 3b + 4c + d – a – 2b – 3c 3 +d

23 3a–2b + c – 4d + 2a+ +6b–3d + 4aa

24 –x + 2y + 3z – x + w – 2y – 2x 2 + 4z

388

POLINOM MIOS, PRODUCT TOS Y FACTORIIZACIÓN

Quite Q los símbollos de agrupacción y combinee los términos semejantes s en los problemass 25 a 36. 25 2 x + y + 2(xx + 2y) – 3(2xx– y) 2 a + 2b + 4(–a 27 4 – 3b) – 2 (2a + 5b)

26 28

2xx – y – (x + 3yy) + 2(2x + 3yy) a + 2x – 4(x – o) – 3(2a + x))

29 2 x + 3[2y –3x – + 4(–x + 2y)] 2

30

2xx – 3y + 6[–x + 3(2x – 5y) + x]

31 3 a + 1 – 2 [ 2 a + 4 – 3 ( – l + 5 a) ] 333 2x + 2{y – [4x – (z + 2y)] 2 + z} – 2yy

32

y – 4 – 3[6 – 2 (–l + 5y) + 3yy – 2]

344

3a – {b – 2[c – 3b + 2((–a + c) + b] + 2a}

355

6d – 4e – {2f+ { 2[– d + e – 2( d– f) ]+ e } + e

36 6 2g – 3{h – 4[i + 2(g – h + 2i) – g] + 2h} + 3i Encuentre E la suuma indicada en e los problem mas 37 a 48. 377 (3b + c – d) d + (2b + 3c – 4d) + (–4bb + 4c – d) 388 (3x 2 + x – 1) 1 + (2x 2 + 3x – 4) + (–4x 2 + 4x – 1) 399 (2p + q – 2r) + (–3p – 2q – r) + (––2p + 3q – r)) 400 (2w – 3x + y) + (2w – 3xx + y) + (–w + 6x + 3y)

Enn los problemas 49 a 60, reste la segundaa expresión dee la primera.

Productos de monomios y polinomios

2.4

39

PRODUCTOS DE MONOMIOS Y POLINOMIOS Los ejemplos del 1 al 4 aclaran el procedimiento para obtener el producto de dos o más monomios.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

(3x2)(4x3) = (3)(4)(x2)(x3) = 12x5

por los axiomas de conmutatividad y asociatividad ya que

2

3

x x =x

5

(2a)(–3b)(4c) = (2)(–3)(4)a • b • c = (–6)(4)a • b • c

por eI axioma de asociatividad y ley de los signos

= –24abc Ejemplo 3

2

3

(–2a )(–8a ) = (–2)(–8)a2 • a3 = 16a5

Ejemplo 4

ya que

(–2)(–8) = 16 y a3 a2=a5

(–3x2y)(–4xy3)(–5x4y2) = (–3)(–4)(–5)(x2x1x4)(y1y3y2) = – 60x2+1+4 y1 + 3+2 = – 60x7y6 Se aplica el axioma de distributividad para obtener el producto de un monomio por un polinomio, como se observa en los ejemplos 5 y 6.

Ejemplo 5

Solución

Encuentre el producto de 2x3y – 5x2y2 + 6xy3 y 3x2y3. Se escribe el producto, se usa la ley distributiva y se procede como sigue: 3x2y3(2x3y – 5x2y2 + 6xy3) = 3(2)x2x3y3y1 + 3(–5)x2x2y3y2 + 3(6)x2x1y3 y3 por las leyes distributiva y conmutativa

= 6x5y4 – 15x4y5 + 18x3x6 Ejemplo 6

por leyes de signos y exponentes

Ejecute la multiplicación indicada (2a3b2 – 4a2b3 + 7ab4)3a2b8 – 2ab4(4a4b – 6a3b2 + a2b3)

Solución

(1)

Aplicando la ley distributiva, los axiomas de asociatividad y con– mutatividad y la ley de los signos, se obtiene (2a3b2 – 4a2b3 + 7ab4)3a2b3 = 6a5b5 – 12a4b6 + 21a3b7 Similarmente, –2ab4(4a4b – 6a3b2 + a2b3) = –8a5b5 + 12a4b6 – 2a3b7 En consecuencia, la expresión (1) es igual a

40

POLINOMIOS, PRODUCTOS Y FACTORIZACIÓN

6 a5 b 5 – 12 a4 b 6 + 21a 3 b 7 – 8 a5 b 5 + 12a 4 b 6 – 2a 3 b 7 = 6a5 b 5 – 8 a5 b 5 – 12a 4 b 6 + 12a 4 b 6 + 21a3b7 – 2a3b7 por los axiomas de asociatividad y conmutatividad 5 5

3 7

= –2a b + 19a b

combinando términos semejantes

El ejemplo siguiente aclara el uso de los axiomas de distributivi– dad eliminando los símbolos de agrupación: Ejemplo 7

Elimine los símbolos de agrupación de 3x 3 – {2x 3 – x 2 y – 3x[x(x – y) – y(2x – y)] + 4xy 2 } – 3xy 2

Solución

(2)

y combine los términos semejantes. Como se ha dicho antes, es aconsejable eliminar primero los símbolos que aparecen dentro de algún otro símbolo. Por tanto, se procede como sigue: La expresión (2) es igual a 3x3 – {2x3 – x2y – 3x [x2 – xy – 2xy + y2]+ 4xy2} – 3xy2 eliminando paréntesis por la distributividad

= 3x 3 – {2x3 – x 2y – 3x [x 2 – 3xy + y 2] + 4xy 2} – 3xy2 combinando términos en los paréntesis cuadrados

= 3x3 – {2x3 – x2y – 3x3 + 9x2y – 3xy2 + 4xy2} – 3xy2 eliminando paréntesis por la distributividad

= 3x3 – {–x3 + 8x2y + xy2} – 3xy2 = 3x3 + x3 – 8x2y – xy2 – 3xy2 = 4x3 – 8x2y – 4xy2

2.5

combinando términos en las llaves eliminando llaves usando (1.6) combinando términos similares

EL PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS

El producto de dos polinomios se obtiene repitiendo la aplicación de los axiomas de distributividad y conmutatividad. El método se explica con el siguiente ejemplo: Obtenga el producto de 3x3 – 4y3 – 6x2y + 2xy2 y 2xy – 5x2 + 3y2 Solución (3x3 – 4y3 – 6x2y + 2xy2)(2xy – 5x2 + 3y 2) = (3x3 – 4y3 – 6x2y + 2xy2)(2xy) + (3x3 – 4y3 – 6x2y + 2xy2)(–5x2) + (3x3 – 4y3 – 6x2y + 2xy2)(3y2) por el axioma de distributividad = 6x 4 y – 8xy 4 – 12x 3 y 2 + 4x 2 y3 – 15x 5

Ejemplo 1

El producto d de dos polinomio os

41

+ 20 0x 2 y 3 + 30x 4 y – 10x 3 y 2 + 9xx 3 y 2 – 12y 5 – 18x 2 y 3 + 6xy 4 por el axioma de distributividaad

= –15xx 5 + 30x 4 y + 66x 4 y – 10x 3 y 2 – 12x 3 y 2 +9x 3 y 2 + 20x 2 y 3 + 4x 2 y 3 – 18x 2 y 3 – 8xy 4 + 66xy 4 – 12y 5

por el axiooma de conmutatividdad para la su ma.

= –15xx 5 + 36x 4 y – 113x 3 y 2 + 6x 2 y 3 – 2xy 4 – 12yy 5 combinanddo términos semejanntes

Este proceso p puedee abreviarse considerablem c mente usandoo el método verrtical como a continuación se explica: primero se arreglan a los térm minos en cadaa polinomio de d tal maneraa que los exponentes de una de las variabbles estén colocados en orden o numériico descendentee. En este casso, el arreglo se s basa en los exponentes de d x y se procedee como sigue::

Por connveniencia all sumar, los términos en los producttos parciales ess posible arreeglarlos de tal manera quee los términoss semejantes foormen colum mnas. Ejemplo 2

Para muultiplicar 2a + 3b y 5a – 7b 7 verticalmente, se escriibe 2a +3b 5a –7b 10a2 + 15ab 1 – 14ab 1 – 21b 2 10a2 + ab – 21b2

EJERCICIO 2.2

Productoo de polinomioss

Encuentre lo os productos inndicados. 1 (5x 3 y 2 )(22x 2 y 4 ) 3 2

4 2

3 (6xy z )((3xy z )

5 5x2(x3 + 2x) 2 7 8xy2(2xy + 4xy2) 9 6xy2z (2x2yz2 – 3x2y2z)

2 (2a2b)(–3ab4)

4 ((–8ax4)(–3a3x5) 4 5 2 6 –6 – x (2 x –x )

8 33ab5(–2a4b + 33a2b2)

10 –10 – x2yz2 (6 xyzz2 – 4xy)

42

POLINOMIOS, PRODUCTOS Y FACTORIZACIÓN

11 (3x2yz – 4xy2z3)(2xy2z4) 4

3 2 2

4 4 3

(4x2y – 2xy2z 4)(–3xz 5)

12 3 2

4

5 3 2

13 3x y(2x y z – 5x y z ) – 5x y z(x yz – 3x y z ) 14 3a3b4c2(6a2b3 – 5a 4c5 + 4b2c3) – 6a2b4c(3a3b3c + 2ab2c4) 15 8p 3q4r 5(4p 2q3 – 3qr 6) – 4p 3q7r 4(8p 2r – 3p 3q – 6q2r 7) 16 4a3b2c4(2 – 3a2b5) + 3a5b6c4(4b + 3a3c) – 2a3bc2(4bc2 – 3a5b5c3) 17 3 + x[–2 + x(4 + x)]

18

19

20

–4 + x{2 + x[–l +x(2 + 3x)]}

21 2x(3x + 1) – 3x(2x – 5)

22

1 + x[–5 + x(–3 + 2x)] 4 + x{–6 + x[3 + x(–4 – 2x)]}

3x(–2x 2 + 4x – 1) + 4x(x 2 + 6x – 5)

23 2x[8x – 3x(x + 3) + 2x2] – 3x2[2 – x(2 + 3x) – x2 + 3x] 24 4x [2 + 5x(–x + 1) – 2x] + 3x [–x + 2(2 + 3x) – 2x 2 ] 25 (2x + 5)(x – 3)

26

(3b – 1)(1 + 4b)

27 ( a – 2b)(2 a – b)

28 (3x + y)(2x – 3y)

29 (x – y)(x + y)

30 (x + y)(x + y)

a)(x – b)

31 (x – y)(x – y)

32 (x –

33 (x + y)3

34 (x – y) 3

35 (x + y)(x2 – xy + y2)

36 (x – y)(x 2 + xy + y 2 )

37 (x – 2y)(x 2 + xy– y 2 )

38 ( a + 4b)(2 a2 – 3 ab – 2b 2 )

2

39 (x – l)(x + 2x – 5)

40 (2x + 3)(3x 2 – 3x + 2)

Multiplique los dos polinomios en cada uno de los siguientes problemas. 41

2x2 – 3xy + y2

42 3x 2 – xy + 2y 2

3x 2 + 2xy – 2y 2 2

2

2x 2 + xy – 3y 2

43 5x + 3xy – y 3x2 – xy + 2y2

44 2x 2 – 3xy + y 2 x2 + 3xy – y2

45 5x 2 + x – 1 2x 2 + 3x + 2

46 4x 2 + x – 2 3x 2 + 2x + 1

47 2x 2 – x – 4 –x 2 + 2x + 3 49

2 a + 3b – 2c

4 a– 2b + 4

3

48

2x 2 – x + 1 –x2 – 3x – 3

50

a 4 – a3 + a 2 – a + 1 a+1

52

x 3 – x 2y + 2xy2 + 2y3

c

51 x – 2x + 4x 2 – 8x + 16

x 2 + xy

x+2 2.6

–

y2

PRODUCTOS DE BINOMIOS ESPECIALES

En la sección 1.5 se mostró cómo se multiplican dos polinomios. En las próximas tres secciones se mostrará cómo es posible

Productos de binomios especiales

43

lograrlo más rápidamente en algunos casos especiales, que surgen muy a menudo en Matemáticas; por lo que, es importante saberlos usar. Los términos correspondientes de los binomios ax + by y cx + dy son semejantes. Su producto se obtiene por el procedimiento que se describe aquí en donde se aplica la propiedad distributiva. (ax + by)(cx + dy) = ax(cx + dy) + by(cx + dy) = acx 2 + adxy + bcxy + bdy 2 = acx2 + (ad + bc)xy + bdy2

por distributividad y conmutatividad

ya que

adxy + bcxy = (ad + bc)xy

Por tanto, se tiene Producto de dos binomios

(ax +by)(cx +dy) = acx2 + (ad + bc)xy + bdy2

(2.1)

Al observar el producto de la derecha, se ve que se obtiene el producto de dos binomios con términos semejantes correspondientes al ejecutar los pasos siguientes: 1 Multiplíquense los primeros términos de los binomios para obtener el primer término del producto. 2 Súmense los productos obtenidos al multiplicar el primer término en cada binomio por el segundo en el otro. Esto da el segundo término en el producto. 3 Multiplíquense los segundos términos en los binomios para obtener el tercer término del producto.

Por lo general, el procedimiento requerido para efectuar esos tres pasos es mental, y el resultado puede escribirse sin necesidad de indicar los pasos intermedios. Esto se muestra con el siguiente ejemplo. Ejemplo 1 Solución

Obtenga el producto de 2x – 5y y 4x + 3y. El producto se escribe como aquí se indica, siguiendo el problema como se indicó y colocando los resultados en las posiciones señaladas por las flechas.

44

POLINO OMIOS, PRODUC CTOS Y FACTORIZACIÓN

La ecuación (2.1) está dada en dos variables, peero se aplica también a una variable si se consideraa que y = 1. De hecho, viene v siendo

(ax + b)((cx + d ) = acx 2 + (ad + bc)x + bdd Ejemplo o2

Soluciión

(2.2)

Encuen ntre (x + 2)(3xx – 5). Por (2..2), se tiene qu ue (x + 2)(3xx – 5) = (1)(3 3)(x 2) + [(l)( –5) + (2)(3)]]x + (2)(–5) = 3x 2 + x – 10 El cuad drado de la su uma de dos números n x y y se expresa como (x + y)2. Puesto P que (xx + y)2 = (x + y)(x + y), en ntonces es po osible aplicar laa fórmula (2. 1) para obten ner (x + y) 2 = (x + y)(x + yy) = x2 + (xy + xyy) + y2 2

= x + 2xy + y

porr (2.1)

2

En consecuencia Cuadrado de d una sum ma

(x + y) 2 = x2 + 2xy + y 2

(2.3)

Similarm mente para Cuadrado de e una diferencia a

(x – y) 2 = x2 – 2xy + y 2

(2.4)

Por tanto se tiene la siiguiente reglaa: El cuadraado de la sum ma (o de la differencia) de dos d números,, es el cuadrado del primero, más (o men nos) el doblee producto deel primero por el segundo, más el cuadrrado del segu undo.

El prod ducto de la su uma y la difeerencia de loss números a y b se expresa como c (a + b))(a – b). Al aplicar la fó órmula (2.1) a este producto, se obtiene

Productos de binomios especiales

45

(a + b)(a –b) = a2 + ab – ab – b2= a2–b2 Por consiguiente: Producto de la suma y la diferencia de dos números iguales

( a + b)(a –b)=a 2 –b 2

(2.5)

Por tanto, se tiene la siguiente regla: El producto de la suma y la diferencia de dos números iguales es igual a la diferencia de sus cuadrados.

Se ilustrará la aplicación de las fórmulas (2.3) y (2.4) y (2.5) con dos ejemplos. Ejemplo 3

Solución

Aplicando las fórmulas (2.3) y (2.4), obtenga el cuadrado de 2a + 5b y el cuadrado de 3x – 4y. (2a + 5b)2= (2a)2 + 2(2a)(5b) + (5b)2 2

2

= 4a + 20ab + 25b

por

(2.3)

por los axiomas conmutativo y asociativo

(3x – 4y)2 = (3x)2 – 2(3x)(4y) + (4y)2 = 9x 2 – 24xy + 16y2 Ejemplo 4

Solución

por (2.4)

Utilizando la fórmula (2.5), obtenga el producto de 3x + 5y y 3x – 5y, y el producto de 104 y 96. (3x + 5y)(3x – 5y) = (3x) 2 – (5y) 2

por (2.5)

= 9x2 – 25y2 Para obtener el producto de 104 y 96, adviértase que 104 = 100 + 4 y 96 = 100 – 4 por tanto (104)(96) = (100 + 4)(100 – 4) = 1002 – 4 2 = 10,000 – 16 = 9984

por (2.5)

Para encontrar (x + y)3, puede escribirse como (x + y2 • (x + y) y se usa (2.3), o podría referirse al problema 33 del ejercicio 2.2. En cualquier caso, se encuentra que

46

POLINOMIOS, PRODUCTOS Y FACTORIZACIÓN

Cubo de una suma

(x +y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3

(2.6)

Escribiendo x – y = x + (–y), se ve que Cubo de una diferencia

(x – y)3 = x

3

– 3x2y + 3xy2 – y3

(2.7)

Dos productos relacionados, que pueden verificarse por multiplicación son Suma de dos cubos

(x + y)(x 2 – xy + y 2 ) = x 3 + y 3

(2.8)

Diferencia de dos cubos

(x – y)(x 2 + xy + y 2 ) = x 3 – y s

(2.9)

Ejemplo 5

(a) (2a + b)3= (2a)3 + 3(2a)2(b) + 3(2a)(b2) + b3 = 8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3 (b) (5a – 2)3= (5a)3 – 3(5a)2(2) + 3(5a)(22) – 23 = 125a3 – 150a2 + 60a – 8 (c)

2.7

(2a + 3c)(4a2 – 6ac + 9c2) = 8a3 + 27c3

PRODUCTOS QUE CONTIENEN TRINOMIOS

Es posible obtener el cuadrado de un trinomio mediante una agrupación adecuada de términos y aplicando (2.3) y (2.4). Se explica el procedimiento con dos ejemplos. Ejemplo 1 Solución

Obtenga el cuadrado de y + z + w usando (2.3) Se tratará z + w como un número sencillo, y se indicará esta intención por el uso de paréntesis, escribiendo y + (z + w). Entonces [y + (z + w)]2 es el cuadrado de la suma de dos números y se puede obtener el cuadrado aplicando dos veces (2.3) como está indicado. (y + z + w) 2 = [y + (z + w)] 2 = y2 + 2y(z + w) + (z + w)2 2

por (2.3)

= y + 2yz + 2yw + z + 2zw + w 2 El cuadrado de un trinomio

Ejemplo 2 Solución

2

(y +z + w) 2 = y 2 +z 2 +w 2 + 2yz + 2yw + 2zw

(2.10)

Obtenga el cuadrado de 2a – 3b – 5c. (a) En esta solución se colocan los primeros dos términos dentro de paréntesis y entonces, se aplica (2.4) para obtener

Productos que contienen trinomios

47

(2a –3b– 5c) 2 = [(2 a – 3b) – 5c] 2

= (2a – 3b) 2 – 2(2a – 3b)(5c) + (–5c) 2 por (2.4) = 4 a 2 – 12 a b + 9b 2 – 20 a c + 30bc + 25c 2

(b)

En esta solución, se utiliza (2.10) con y = 2a, z = –3b, y w = –5c. Entonces

(2a –3b– 5c) 2 = (2a) 2 + (–3b) 2 + (–5c) 2 + 2(2a )(–3b) + 2(2a )(–5c) + 2(–3b)(–5c) = 4a 2 + 9b2 + 25c2 – 12ab – 20ac + 30bc En algunos casos es posible agrupar los términos de dos trinomios de tal manera que uno de ellos sea la suma de dos números, y el otro la diferencia de los mismos dos números. Entonces, el producto puede obtenerse a partir de (2.5) y (2.3) o (2.4). Los siguientes ejemplos muestran tal situación. Ejemplo 3 Solución

Obtenga el producto de 3x + 2y + 5z y 3x + 2y – 5z. Si se escriben los primeros dos términos de cada trinomio entre paréntesis, se obtiene (3x + 2y) + 5z

y

(3x + 2y) – 5z

y se tiene la suma y la diferencia de los mismos dos números. Por tanto, puede obtenerse el producto al emplear primero (2.5) y completar el problema usando (2.3). Por tanto, se tiene

Ejemplo 4 Solución

[(3x + 2y) + 5z] [(3x + 2y) – 5z] = (3x + 2y)2 – (5z)2 por (2.5) = 9x2 + 12xy + 4y2 – 25z2 Obtenga el producto (3a + 4b + c)(3a – 4b – c). Nótese que si se agrupan los primeros dos términos de cada binomio juntos, no se obtiene el producto de la suma y diferencia de los mismos números. Pero, sin embargo, agrupando los términos como [3a + (4b + c)] [3a – (4b + c)], se observa que las expresiones en el primero y segundo paréntesis cuadrados son, respectivamente, la suma y la diferencia de los mismos dos números. Nótese que el paréntesis en el segundo trinomio fue incluido después de un signo menos, y así los signos de todos los términos dentro del paréntesis fueron cambiados. Ahora bien, la resolución puede completarse como sigue (3a + 4b + c)(3a – 4b – c) = [3a + (4b + c)] [3a – (4b + c)] = (3a) 2 – (4b + c) 2

por (2.5)

48

POLINOMIOS, PRODUCTOS Y FACTORIZACIÓN

= 9a 2 – (16b2 + 8bc + c2) 2

2

= 9a – 16b – 8bc – c

2

por (2.3) eliminando paréntesis

2.8

EL CUADRADO DE UN POLINOMIO Es posible utilizar (2.3) y (2.10) para obtener el cuadrado de un polinomio que contiene cuatro términos. El método queda explicado en el ejemplo 1.

Ejemplo 1

Obtenga el cuadrado de x + y + z + w. (x + y + z + w)2 = [x + (y + z + w)]2

Solución

= x2 + 2x(y + z + w) + (y + z + w)2 2

2

= x + 2xy + 2xz + 2xw + y + z

2

+ w2 + 2yz + 2yw + 2zw = x2 + y2 + z2 + w2 + 2xy + 2xz

por (2.3) por la ley distributiva y (2.10)

+ 2xw + 2yz + 2yw + 2zw De este ejemplo y de (2.10) es posible escribir la siguiente regla para obtener el cuadrado de un polinomio: El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de (1) los cuadrados de cada uno de los términos, y (2) dos veces el producto de cada término y la suma de todos los términos que le siguen. En este instante no se está en posición de demostrar si esta regla es válida para polinomios que contienen más de cuatro términos. La utilidad de la regla, sin embargo, justifica el incluirla. Se muestra la aplicación de la regla con el siguiente ejemplo. Ejemplo 2

Obtenga el cuadrado de 2x + 3y – 4z – 2w.

Solución

(2x + 3y – 4z – 2w)2 = (2x)2 + (3y)2 + (–4z)2 + (–2w)2 + 2(2x)(3y – 4z – 2w) + 2(3y)(–4z – 2w) + 2(–4z)(–2w) = 4x2+ 9y2 + 16z2 + 4w2 + 12xy– 16xz – 8xw – 24yz – 12yw + 16zw

Factores comunes

EJERCICIO 2.3

49

Productos especiales

Encuentre el producto indicado en los problemas 1 a 68. 1 (x – l)(x + 3)

2 (x + 2)(x –4)

3 (x + 3)(x + 2)

4 (x–5)(x-3)

5 (2x + 3)(3x–2)

6 (3x – 4)(x + 5)

7 (4x – l)(–2x + 3)

8 (2x – 3)(3x – 4)

9 (2x – y)(3x + y)

10 (x + 2y)(x–4y)

11 (3x + 5y)(2x – 3y)

13 (8k – 3m)(9k – 5m) 16 (7h + 3k)(4h – 7k)

14 (6c – 11d)(2c – 5d) 17 (a + 2b)2

12 (2x + y)(x – 3y) 15 (3a – 10b)(4a + 7b) 18 (3h – k)2

19 (2x + 3)2

20 (3r+t) 2

21 (5m + 2n)2

22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58

(4x –5) 2 352 = (30 + 5)2 952 = (90 + 5)2 412 = (50 – 9)2 (a – 4)(a + 4) (3x – 2y)(3x + 2y) (6m + 5p)(6m–5p) (47)(53) (35)(45) (a + 2b)3 (5x–y)3 (2x – 3)3 (2x + y + 3)2

61 (2x + y + z)(2x + y – z) 64 (a + 2b–c)(a–2b + c)

23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59

(10x + 5)2 452 = (40 + 5)2 482 = (50 – 2)2 682 = (50 + 18)2 (2x + l)(2x – 1) (5a + 2b)(5a – 2b) (102)(98) = (100 + 2)(100–2) (26)(34) (84)(76) (2a – b)3 (5x + 2)3 (3x + 5)3 (a – 2b + 3c)2

62 (x – 3y + 2z)(x – 3y – 2z) 65 ( a + b – c + d)

2

2

24 27 30 33 36 39

(50 + x)2 752 = (70 + 5)2 532 = (50 + 3)2 (x – 3)(x + 3) (b + 2)(b – 2) (4c – 7d)(4c + 7d)

42 (62)(58)

45 (23)(37) 48 (93)(67) 51 (x + 3y)3 54 (3a – 4)3 57 (x + y – 1) 2 60 (2a – b + 2c) 2 63 (a –b + c)(a + b–c) 66 (x – y + z – 1) 2

2

67 (2x + y – a + 3) 68 (x – 2 a + 4b – 5) 69 Verifique la ecuación 70 Verifique la ecuación (2.6). 71 Verifique la ecuación (2.9). (2.4) 72 Verifique el resultado del ejemplo 1 de la sección 2.8 escribiendo (x + y + z + w) 2 = [(x + y) + (z + w)] 2 y desarróllela.

2.9

FACTORES COMUNES

Un número está factorizado si es expresado como el producto de dos o más números. Varias expresiones pueden ser posibles, por 2 ejemplo, 6 = 6 • 1 = 3 • 2 = 9 • 3 . En esta sección se considerarán Factores primo» solamente factores primos. Un número primo es un entero mayor que 1, que no tiene factores excepto él mismo y el 1. Luego, los

50

POLINOMIOS, PRODUCTOS Y FACTORIZACIÓN

Polinomio primo

Factor común

únicos factores primos de 6 son 3 y 2. En esta sección se limitará el estudio a polinomios en donde los coeficientes numéricos son enteros. Ejemplo de tales polinomios son 3x2 + 2x + 1; 4x3 + 2x2y – xy2 + 2y3; y 4ab – 3bc + 3ac + 4cd.Un polinomio con coeficientes enteros se dice que es primo o irreductible si no contiene factores del mismo tipo, excepto él mismo y el 1. Cada término de un polinomio puede ser divisible entre el mismo monomio. Este monomio se llama factor común. Este polinomio–puede ser factorizado al expresarse como el producto del factor común y la suma de los cocientes obtenidos al dividir cada término del polinomio entre el factor común. Este procedimiento se justifica por la distributividad. Si los factores así obtenidos no son primos, se continúa factorizando. Por ejemplo, 204 = 3 • 68 = 3 • 17 • 4 = 3 • 17 • 22 ax + ay – az = a(x + y – z) 6a3b + 3a2b2 – 18ab3 = 3ab(2a2 + ab – 6b2) = 3ab(2a – 3b)(a + 2b) Este método puede extenderse para incluir polinomios en los cuales los términos son polinomios que tienen un factor común que no es un monomio. Por ejemplo, (a + b)(a –b) + 2(a + b) = (a + b)(a – b + 2) (x – l)(x + 2) – (x – l)(2x – 3) = (x – l)[(x + 2) – (2x – 3)] = (x – l)(x + 2 – 2x + 3) = ( x– l) ( –x + 5 )

2.10

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN Con frecuencia, es posible agrupar los términos de un polinomio de tal manera que cada grupo tenga un factor común, entonces el método de factores comunes es aplicable. Se utiliza este método en los tres ejemplos siguientes.

Ejemplo 1

Solución

Factorice ax + bx – ay – by. Obsérvese que los dos primeros términos tienen el factor común x, y el tercero y el cuarto tienen el factor común y. Por tanto, los términos se agrupan como a continuación se indica (ax + bx) – (ay + by)

Factorización por agrupación

51

y se procede como sigue: ax + bx – ay – by – (ax + bx) – (ay + by) = x(a + b) – y(a + b) = (a + b)(x – y)

con x como factor común del primer grupo con ycomún comodol factor común del segundo grupo segundo grupo y con a + b como factores comunes de x(a + b) y y (a + b )

También es posible escribirlo como ax + bx – ay – by = ax–ay + bx– by

ley conmutativa

= a(x –y) + b(x – y) = (x – y)(a + b) Ejemplo 2

factores comunes ley distributiva

Factorice 2x2 + 10x – xy – 5y.

Solución 2x 2 + 10x = 2x(x + 5)

y

–xy – 5y = –y(x + 5), así que

2

2x + 10x –xy–5y = 2x(x + 5) – y(x + 5) = (x + 5)(2x – y) Ejemplo 3 Solución

Factorice a 2 + ab – 2b 2 + 2a – 2b. Ya que

a 2 + ab – 2b 2 = (a + 2b)(a – b)

y

2a – 2b = 2(a – b)

se procede como está indicado a continuación: 2 2 2 2 a + ab– 2b + 2a – 2b = (a + ab– 2b ) + (2a – 2b) = (a + 2b)(a – b) + 2(a – b) = ( a – b ) ( a + 2 b + 2 ) con a – b como factor común f

Ejemplo 4

Factorice 4c2 – a2 + 2ab – b 2.

4c2 – a2 + 2ab – b 2 = 4c2 – (a 2 – 2ab + b2 ) = (2c)2–(a–b)2 = [2c + (a–b)][2c–(a–b)] = (2c + a – b)(2c –a + b) EJERCICIO 2.4 Factorización Solución

En los problemas 1 a 4, factorice cada número en factores primos. 1

18

2

40

3

30

4

84

por (2.4) por (2.5)

52

POLINOMIOS, PRODUCTOS Y FACTORIZACIÓN

Factorice cada expresión en los siguientes problemas. 5 2x + 2y

6 3x – 3a

7 7x + 7t 9 4x + 8y – 16t

8 –3a + 3b 10 6x2 + 3x + 15

11 6xy – 2xz + 8yz

12 5x2 + 5xy – 15y2

13 x2 + xy

14 a3 – 2a

15 x y – xy

16 2b 2 – 5b

17 x 2 n –x n

18 an + 2 – a n

19 3a 2 b – 12ab 2 + 9ab

20 x 2 yz – 2xy 2 z – 3xz

21 3 ( a – b ) – x ( a – b )

22 4a(x + 2y) – b(x + 2y)

23 (a + 3b)(2x) + (a + 3b)(3y)

24 (a + b)(2x + y) – (a + b)(x – 3y)

25 ax + bx + ay + by

26 2ax – 2ay – bx + by

27 2ax + ay – 6bx – 3by

28 6ax – 12ay + 4bx – 8by

29 ax + ay – az – x – y + z

30 3ax + 3ay – 3a – 6bx – 6by + 6b

31 2a x – 4ay + x–2y– 3z– 6 az

32 3ax – 2a – 3bx + 2b – 8 + 12x

2

2

2

– 1

33 2x + 5x– 2xy – 5y

34 3x 2 – 12x + xy – 4y

35 2a + 2b–ab – a 2

36 2ax + 4a 2 + 2a + x

37 x 2 – x + 3x – 3

38 2x 2 – x + 4x – 2

39 2 – 2x + 3x – 3x

2

41 x3 + x2 + x + 1 4

3

42 x 3 – 2x 2 – 3x + 6

2

43 x – x + 2x – 2x

2.11

40 4 + 3x – 6x 2 – 8x 44 –2x 4 + 6x 3 + 10x 2 – 30x

FACTORES DE UN TRINOMIO CUADRÁTICO Un trinomio del tipo px2 + qxy + ry2, donde p, q y r son enteros, es un trinomio cuadrático con coeficientes enteros. En esta sección, se estudia el método para encontrar los dos factores bino– miales del tal trinomio si éstos existen. Hasta que se indique lo contrario, se usará (2.1) para este propósito, se reescribirá el trinomio con los miembros intercambiados.

acx2 + (ad + bc)xy + bdy2 = (ax + by)(cx + dy) (2.1) 2 2 Ejemplo 1 Al aplicar (2.1) para factorizar 3x – 10xy – 8y , es necesario encontrar cuatro números a, b, c y d tal que ac = 3, bd = – 8 y ad + bc = –10. Las únicas posibilidades para ay c son ±3† y ±1, estos números deben tener el mismo signo ya que ac > 0. Las po  sibilidades para b y d son ±4 y +2 ó ±8 y +1, donde los signos dobles significan que si uno de los dos números es positivo, el otro † Este símbolo significa + 3 ó –3.

Factores de un trinomio cuadrático

53

debe ser negativo. Si se tiene a = 3 y c = 1, entonces ad + bc = 3d + b = 10; esto es cierto sólo cuando d = – 4 y b = 2. Por tanto 3x2 – 10xy – 8y2 = (3x + 2y)(x – 4y) Se llama la atención al hecho de que – 3x – 2y y – x + 4y son también factores de 3x2 – 10xy – 8y2, como puede verificarse. Por la distributividad y conmutatividad, sin embargo, (–3x – 2y)(–x + 4y) = –l(3x + 2y)(–l)(x – 4y) = (–l)(–1)(3x + 2y)(x–4y) = (3x + 2y)(x – 4y) Por consiguiente, si el primer término del trinomio es positivo, es posible seleccionar valores positivos para a y c. Aún más, si se hubiera tenido a = 1 y c = 3, entonces ad + bc = – 10; hubiera sido d + 3b = –10, lo cual se cumple para b = – 4 y d = 2, así los factores serían (x – 4y)(3x + 2y), los cuales son los mismos que se obtuvieron antes, excepto que están en orden contrario. Usualmente, si un trinomio es factorizable, los factores pueden encontrarse después de relativamente pocos intentos. Si el primer y último términos del trinomio pueden ser factorizados en más de una manera, varias combinaciones pueden intentarse antes de encontrar la correcta. Si los factores correctos no pueden visualizarse rápidamente, es aconsejable listar los valores correspondientes de a y c y de b y d, y trabajar cada posibilidad sistemáticamente hasta encontrar la combinación correcta. Los trinomios cuadráticos con una variable, px2 + qx + r, pueden ser tratados de una manera análoga. Ejemplo 2

Al escribir 10x2 – 11x – 6 como (ax + b)(cx + d), se necesita ac = 10, ad + bc = –11 y bd = – 6. Si a = 5 y c = 2, entonces se necesita ad + bc = 5d + 2b = – 1 1 , y bd = –6. Éstos se tienen si b = 2 y d = –3, y así 10x 2 – 11x – 6 = (5x + 2)(2x – 3). En el ejemplo 2, si se hubiera escogido a = 2 y c = 5, se hubiera tenido b = – 3 , y d = 2, dando los factores 2x – 3 y bx + 2, los cuales son los mismos que los anteriores excepto por el orden. Puede disminuirse el número de posibilidades que es necesario considerar: ac = 10 que originalmente darían a = 10, 5, 2, 1, – 1, –2, –5, –10. Sin embargo, tomando a y c positivos quedan solamente 10, 5 , 2 , 1 para a y entonces usando 10 y 5 solamente darían todas las posibilidades excepto por el orden.

54 4

POLINOM MIOS, PRODUCT TOS Y FACTORIIZACIÓN

Aun cuaando se hayaan eliminadoo el número de posibilid dades habría connsiderables inntentos y erro ores involucraados. Alguno os polinomios tales como x 2 + 3x + 1 , no tienen factores ax+ + b y cx + d con n a, b, c y d ssiendo todos enteros. Si se s sabe esto de d antemano, puede evitarsee la tediosa búsqueda dee factores. Poor los métodos en e el capítullo 6, puede demostrarse que un trin nomio cuadrático o px2 + qx + r, donde p, q y r soon enteros, puede p facto–rizarrse en términnos con coeficcientes enteroos si y sólo si q2 – 4pr

es un cuadraado perfecto 2

(1) 2

En el ej emplo 2, q – 4pr = (–1 11) – 4(10)((–6) = 121 + 240 = 361 = 1992, los factorees con coeficiientes enteross existen (y se s encontraron). Para x 2 + 33x + 1, se tiene t q2 – 4ppr = 32 – 4((1)(1) = 9 – 4 = 5, 5 que no es un cuadradoo perfecto. A Así que, no ex xisten factores conn coeficientes enteros y no es necesario seguir busccando alguno. En n el ejemplo 1, q2 – 4pr = (–10y)2 – 44(3)(8y) 2 = 1000y2 + 2 96y = 1966y2 = (14y)2, los factoress existen. Es pposible consiiderar también el trinomio del ejemplo 1 co omo un polinoomio en y, a saber, s – 8y2–10xyy + 3x2. En eeste caso q2 – 4pr = (–100x)2 –4(–8)(33x2) = 2 100a 2 + 96xx2 = 196x2 = (14x) ( ; no hacce diferencia si se considerra la x o la 3; como o la variable, ya y que (1) se cumplirá de ambas maneeras o de ningunaa. Ejemplo 3 Soluciónn

Factorice 6x2 + 47xy + 15y2. Refiriéndosse a (2.1) se ve que a, c, b y d debenn tener valorees que satisfacen ac = 6, bd = 15, y ad + bc = 47. L Los valores coorrespondiente s de a y de c son a

6

3

c

1

2

y los de b y d son

donde los valores correespondientes deben d tener los mismos siignos. Ya que, sin s embargo,, ad + bc = 47 es posittivo, y a y c son también poositivos, es posible descarrtar los signos negativos para p b y d. Ahoraa, con a = 6 y c = 1, se obtiene ad + bc = 6d + b = 47. Se verifica que ninnguno de los pares de arriiba de los vallores

Trinomios que son cuadrados perfectos

55

correspondientes de b y d satisface 6d + b = 47. Por tanto, utilizando a = 3 y b = 2 se obtiene 3d + 2c = 47, viéndose otra vez que con d = 1 5 y c = 1 satisface esta ecuación. En consecuencia, se tiene 6x2 + 47xy + 15y2 = (3x + y)(2x + 15y) Ejemplo 4 Solución

Factorice –12x2 + 71xy – 60y2. Refiriéndose a (2.1), se ve que a, c, b y d deben ser escogidos tal que ac = 12 bd = –60 ad + bc = 71 Considerando las posibilidades (12x )(x ), (6x )(2x ) y (4x )(3x ) 12x2 + 71xy – 60y2 = (4x – 3y)(3x + 20y)

2.12

TRINOMIOS QUE SON CUADRADOS PERFECTOS Si un trinomio es el cuadrado de un binomio, se sabe por las fórmulas (2.3) y (2.4) que dos de sus términos son cuadrados perfectos y por tanto positivos; además, el otro término es dos veces el producto de las raíces cuadradas de estos dos. Asimismo, tal trinomio es el cuadrado de un binomio compuesto de las raíces de los dos términos que son cuadrados perfectos del trinomio con el signo del otro término. El trinomio px2 + qx + r es el cuadrado de ax + b, donde a, b, p, q y r son enteros, si y sólo si q 2 – 4pr = 0

(1)

Éste corresponde a la ecuación (1) en la sección 2.11. Así que px2 + qx + r es factorizable si q2 – 4pr es un cuadrado perfecto y px2 + qx + r es un cuadrado perfecto si q2 – 4pr = 0. Factorice cada una de las siguientes expresiones: (a) 4x2 – 12xy + 9y2 (b) 9a2 + 24ab + 16b2 (c) (2a – 3b) 2 – 8(2a – 3b) + 16 Solución

Ya que en (a), q2 – 4pr = (–12y)2 –(4)(4)(9y 2 = 144y2 – 144y2 = 0, se ve que (a) es un cuadrado perfecto. También

56

POLINOMIOS, PRODUCTOS Y FACTORIZACIÓN

4x2 = (2x)2

9y2 = (3y)2

12xy = 2(2x)(3y)

así se tiene 4x2 – 12xy + 9y2 = (2x)2 – 2(2x)(3y) + (3y)2 = (2x – 3y)(2x – 3y) = (2x– 3y)2 (1) Para (b) 9a2 + 24ab + 16b2 = (3a)2 + 2(3a)(4b) + (4b)2 = (3a + 4b)2

(2)

Para (c), puede considerarse como un polinomio en 2a – 3b. Entonces q 2 – 4pr = (–8) 2 – 4(1)(16) = 64 – 64 = 0. Por lo tanto, es un cuadrado perfecto y (2a – 3b) 2 – 8(2a – 3b) + 16 = (2a – 3b) 2 – 2(2a – 3b)(4) + 4 2 = [(2a–3b) –4]2 = (2a – 3b – 4) 2 (3) Nota Un trinomio que es un cuadrado perfecto puede ser factorizado

por el método considerado en la sección 2.11; sin embargo, si un trinomio es un cuadrado perfecto, puede factorizarse más rápidamente por este método.

EJERCICIO 2.5

Factorización de trinomios

En los problemas 1 a 16, determine si los trinomios son o no factorizables en factores con coeficientes enteros. En caso de que sean cuadrados perfectos, escriba CP. No factorice. 1 x2 + 2x + 1

2 x 2 + 2x – 1

3 x2 – x – 12

4 x 2 + x – 12

5 2x 2 – 5x –3

6 3x 2 – 7x + 5

2

2

7 4x – 6x + 3 10 x 2 – 18xy + 81y 2 2

11 x2–7xy+l2y 2 2

13 9a + 24ab + 16b 16

9 x 2 + 8xy + 14y 2

8 5x + 9x –3 2

12 x 2 – 2xy – 42y 2

14 12p + 7pq– 12q

2

15 12b2 – 8bc – 15c2

18m 2 +19mt–12t 2

Factorice cada una de las siguientes expresiones. 17

x 2 + 2x – 15 2

18

x2 + 8x + 12

19 x – 12x + 32

20 x 2 + x – 12

21 2y2 + y – 3

22 3y 2 – y – 4

23 2y2 + dy + 10

24 4y2 – 23y + 15

25

2

8a – 2a – 3

26

4a2 + 28a + 49

Factores de un binomio

27 10a 2 – 29a + 10

57

28 28a 2 + 57a + 14

2

29 6b + 25b + 21 31 54r2 – 147r + 65 33 x 2 – 4xy + 4y 2

30 64p 2 – 16p + 1 32 40y2 + 22y – 35 34 2x2 – 5xy + 2y2

35 4a 2 – 20ab + 25b 2 37 16y2 – 32yz + 15z2 39 30a 2 – 31ab – 12b 2

36 4m 2 + 11mt – 3t 2 38 30x2 + 7xy – 15y2 40 16r 2 + 46rs – 35s 2

41 36x2 – 60xy + 25y2 43 81c2 + 144cd + 64d2

42 96a 2 – 28ab – 55b 2 44 72x 2 – 37xi/ – 24y2

45 x 2 + y 2 + l+2xy + 2x + 2y= (x + y) + 2(x + y) + 1

46 a 2 –2ab +b 2 + 2a–2b +1

47 4x 2 + 4xy + y 2 –8x–4y + 4 49 (y – 4) 2 – 5(y – 4) + 6

48 x2 – 4xy + 4y2 + 8x – 16y + 16 50 (b + 1) 2 – 3(b + 1) – 10

51 53 55 57 59

(a + b) 2 + (a + b) – 2 2x 2 – xy – y 2 – x + y a 2 – 6ab + 9b 2 + ac – 3bc 12a 2 + 24ab + 9b 2 – 6a – 9b x3 + 4x2y + 4xy2 – 2x2 – 4xy

2.13

52 54 56 58 60

(x + y)2 + 3z(x + y) – 10z 2 2x2 + 3xy + y2 + 6x + 3y 2a2 + ab– 10b2 + 6ac + 15bc 4x2 – 8xy + 4y2 + 4xz – 4yz 3b 3 – 3b + 3ab 2 + 3ab

FACTORES DE UN BINOMIO Si se intercambian los miembros de la fórmula (2.5), se obtiene

La diferencia de dos cuadrados

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

(2.5)

En consecuencia, se tiene la siguiente regla para factorizar la diferencia de los cuadrados de dos números: La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de la suma y la diferencia de los dos números.

Se procede a aplicar esta regla en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1

Factorice (a) 49a2 – 16b2 (b) (a + 3b)2–4 (c) x2 – (y + z)2

58

POLINOMIOS, PRODUCTOS Y FACTORIZACIÓN

Solución

(a)

49a2 – 16b 2 = (7a)2 – (4b)2 = (7a + 4b)(7a – 4b)

(b)

(a + 3b) 2 – 4 = (a + 3b) 2 – 2 2 = (a + 3b + 2)(a + 3b – 2)

(c)

x 2 – (y + z) 2 = [x + (y + z)] [x – (y + z)] = (x + y + z)(x – y – z)

La expresión a2 + b2 no puede factorizarse utilizando números reales. La suma y la diferencia de dos cubos pueden expresarse como x 3 + y 3 y x 3 – y 3 , respectivamente. Reescribiendo la ecuación (2.8) se obtiene Suma de dos cubos

x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)

(2.8)

Similarmente, Diferencia de dos cubos

X 3 –y 3 = (x – y)(x 2 +xy + y 2 )

(2.9)

Por tanto, se tienen las siguientes dos reglas: Si un binomio se expresa como la suma de los cubos de dos números, un factor es la suma de esos números. El otro, es el cuadrado del primer número menos el producto de los dos números más el cuadrado del segundo.

Si un binomio se expresa como la diferencia de los cubos de dos números, un factor es la diferencia de los dos números. El otro factor es el cuadrado del primer número más el producto de los dos números más más el cuadrado del segundo.

Ejemplo 2

Factorice

(a) 8x3 + 21 y3 (b) 27a 3 – 64b 6 Solución

(a)

3

= (2x)3 + (3y)3 = (2x + 3y)[(2x)2 – (2x)(3y) + (3y)2] = (2x + 3y)(4x 2 – 6xy + 9y 2 )

8x + 27y

3

Trinomios reducibles a la diferencia de dos cuadrados

(b)

59

27a3 – 64b6 =(3a)3 – (4b2)3 = (3a – 4b2)[(3a)2 + (3a)(4b2) + (4b2)2] = (3a – 4b2)(9a2 + 12ab2 + 16b4).

Nota 1 En el caso de la suma de dos cubos, el signo entre los dos términos del primer factor es más y el signo del término de en medio del segundo factor es menos. Nota 2 En el caso de la diferencia de dos cubos, el signo entre los dos términos del primer factor es menos y el signo del término de en medio del segundo factor es más. Nota 3 En cada caso, el término de en medio del segundo factor es el producto de los dos términos del primer factor (no dos veces el producto). Con frecuencia, los factores obtenidos al aplicar las fórmulas (2.5), (2.8) y (2.9) pueden ser factorizados de nuevo mediante el uso repetido de una o más de estas fórmulas. Ejemplo 3

Factorice

(a) x 6 – y 6 (b) a 8 – y 8

Solución (a)

x6 – y6=(x3)2– (y3)2 = (x 3 – y 3 )(x 3 + y 3 ) 2

(b)

2.14

2

por(2.5) 2

2

= (x – y)(x + xy + y )(x + y)(x – xy + y ) x 8 – y 8 = (x4)2– (y4)2 = (x 4 – y 4 )(x 4 + y 4 ) = (x 2 – y 2 )(x2 + y2)(x4 + y4) = (x – y)(x + y)(x2 + y2)(x4 + y4)

por (2.9) y (2.8) por(2.5) por(2.5) por(2.5)

TRINOMIOS REDUCIBLES A LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS Con frecuencia, es posible cambiar un trinomio a la diferencia de dos cuadrados al sumar y restar un monomio que es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, si se suma 4a2b2 a a4 + 2a2b2 + 9b4 y se resta 4a2b2, se tiene a4 + 2a2b2 + 9b4 = a4 + 2a2b2 + 9b4 + 4a2b2 – 4a2b2 = a4 + 6a2b2 + 9b 4 – 4a2b2

= (a2 + 3b2)2 – (2ab) 2

60

POLINOM MIOS, PRODUCT TOS Y FACTOR RIZACIÓN

Este pro oceso es apliicable sólo sii el trinomio se convierte en un cuadrado perfecto cuaando un mon nomio cuadrrado perfecto o se le suma. Despuéés de que un trinomio haa sido cambiaado a la diferencia de dos cuuadrados, facctorizarse apllicando (2.5)) Ejemplo 1

Soluciónn

Factorice 4x4 – 21x2y2 + 9y4.

(1)

En este trrinomio, 4x4 y 9y4 son cuaadrados perfectos y dos veeces el producto de sus raícess cuadradas es e 2(2x2)(3y2) = 12 x2y2 Ya que –12x2y2 = –21x2y2 + 9x2y2, se tiene un ccuadrado perfe fecto si se suma 9x2y2 al trinnomio (1). Entonces, deebe restarse 9x2y2 para obteener

En ell ejemplo 3aa de la seccióón anterior, se factorizó x6 – y6 com mo una diferenciaa de dos cuaadrados. Pueede también resolverse como una difereencia de cubos escribienddo

EJERC CICIO 2.6

F Factorización dde binomios esppeciales

Verifiqque las expressiones en los siiguientes probblemas.

1 3

(3 2 – 2 2 )(4 2 – 1 2 ) = 14 2 – 11 2 (7 2 – 4 2 )(3 2 – 1 2 ) = 25 2 – 19 2

2 4

(4 2 –2 2 )(5 2 –22 2 ) = 24 2 – 18 2 (82 – 72)(62 – 52) = 832 – 822

Un polinom mio dividido en ntre un binomio o

5 7

(3 2 + 2 2 )(42 + 1 2 ) = 10 1 2 + 112 (62 + 52)(42 + 32) = 92 + 382

6 8

61

(72 + 42)(32 + l2) = 172 + 192 (22 + 52)(22 + 32) = 112 + 162

Factorice las l siguientes expresiones. e 9 12

a2 – 4 y 2 –644z 2

10 b2 – 36 13 25x 2 2 –36y 2

11 14

15 18 21

9x 4 –6 4y 2 100x1000 – 64y64 a3 – 8

16 881c 6 –49d 4 19 64x 6 8 – 25z10 22 b3 + 27

17 20 23

24 b3 + 8 27 125y3 + 8x3 30 y9+ 8 33 27a27 + 216b216

2.155

25 28 31 34

88x3 – 27y3 3 2 216a – 125c3 15 b –8c 9 3 9 + 27y12 343x

x 2 – 4yy 2 121a2 – 289b2 121h12 – 4t6 256a20 – 36b4 8a 3 – 1

26 64a3 + 27b 2 3 29 x6 + 1 32 27m12 + t21 35 512r 2 4 – 27s 6

UN POLIN NOMIO DIVIDIDO ENTRE UN N BINOMIO Se obtien ne el cocientee de dos mono omios que tieenen potenciaas para la mismaa variable exppresándolo prrimero como un producto y después apliicando las leyyes de los expponentes.

62

POLINO OMIOS, PRODUC CTOS Y FACTOR RIZACIÓN Ejemplo 1

escrito como o un producto por la ley de los l exponentes

ya que b° = 1

Si el diividendo es uun polinomio y el divisor uun monomio, se usa la ley disstributiva pa ra obtener ell cociente División de un u polinomio entrre un monomiio

Por lo tannto, si el dividendo es un polinomio p y el e divisor un monomio, el coociente es la ssuma algebraaica de los coccientes obtennidos al dividir ca ada término del dividenddo entre el diivisor. Ejemplo o2 Soluc ción

2.166

COCIENTE DE DOS POLLINOMIOS

En esta sección, s se esstudiará el procedimiento para obtenerr el cociente de dos polinomiios. Se estudian polinomioos en los cualees cada término es e el productoo de un enterro y una o máás potencias enteras e de una vaariable. El grado de un polinomio en cuualquier variaable es el exponeente mayor dde esa variablle en el polinnomio. Por ejjemplo, 3x4 + 2x3y + 5x2y2 +_xyy3 es un polino omio de gradoo 4 en x y de grado g 3 en y. Antes de estudiar eel procedimiento para divvidir un poliinomio entre otro o, considéresee el cociente de 231 y de 55. Por métodoos aritméticos, se tiene.

Cociente de e dos polinomio os

63

En conssecuencia, al dividir 231 en ntre 5, se obtiiene el enteroo 46 y el residuoo 1; asimismoo,

obteniénndose como cociente 2x y residuo 4. Puede verificarse fácilmente que q en cada uno u de los ejjemplos anteriorres, la relacióón siguiente se s satisface: Dividenndo = (divis or) (cocientee) + residuo

(2.11)

ya que 231 = 5(46) + 1

y

6x2 + 4 = (3x)(2x)) + 4

Para dividir d un poolinomio entrre otro, se arrreglan prim mero los términoss en cada uno, de tal mannera que estéén en orden descend dente las potencias dde alguna varriable. Entonnces, se buscaa el cociente, que q es un poliinomio que saatisface la rellación (2.11),, donde el grado del residuo een la variable escogida seaa menor que el e grado del divissor en esa vaariable. Los pasos p formalees en este prroceso de diividir un polinomio entre otrro son los sigguientes: 1 Arregle los términoos del dividendo y el diviisor en potenccias descendeentes de una variable quue aparezcan en cada unoo de los polino omios. 2 Dividda el primer término t del dividendo d enttre el primer término del diivisor para obbtener el prim mer término del cocientee. 3 Multip plique el diviisor por el prrimer términoo del cocientee y reste el prooducto del divvidendo. 4 Trate el residuo obbtenido en ell paso 3 com mo un nuevo dividendo, y repita los pasos 2 y 3. 5 Continúe este proocedimiento hasta h que see obtenga el residuo, esto es, e de menor grado g que el divisor en laa variable escogida. El cocciente puede verificarse usando u la relaación. Divid dendo = (diviisor)(cocientte) + residuoo Se mu uestra el proccedimiento en n los siguienttes ejemplos. Ejempllo 1 Soluciión

Encuenntre el cocientte dividiendo 6x2 + 5x – 1 eentre 2x – 1. Aquí ell dividendo ess 6x2 + 5x – 1, el divisor 2xx – 1, y se busca el cociente que satisfaga la relacción.

64

POLINO OMIOS, PRODUC CTOS Y FACTO ORIZACIÓN

6x2 + 5x – 1 = (2x – 1) (cociente)) + residuo

(1)

Puesto que q el grado ddel dividendo es 2, el gradoo del divisor es e 1 y el grado deel residuo es menor que 1, se sigue qque el grado del cociente ess 1. Por conssiguiente, se escribe el coociente en laa forma ax + b, sustituyendo s o esta expresiión en la ecuación 1, se obtiene o 6x 2 + 5xx – 1 = (2x – l)(ax + b) + residuo

(2)

Ahoraa se divide 6xx2 + 5x – 1 enttre 2x – 1 usaando el processo de la división larga. Si estte proceso se examina dettenidamente se verá que es unna versión coondensada del procedimiennto explicadoo en los pasos deel 1 al 5.

Ejempllo 2 Solucción

Dividaa x3 – 2x2 – x + 2 entre x – 1. Se sig gue el procediimiento generral al escribir

Ya que el residuo es 0, (2.11) dicce que x 3 – 2xx 2 – x + 2 = ((x – 1)(x 2 – x – 2) y por taanto x – 1 es un factor dee x 3 – 2x 2 – x + 2. Ejempllo 3

Divida 22x2 + 5xy – 4yy2 entre 2x – y.

Cociente de e dos polinomio os Solució ón

La ecuaci ón (2.11) est ablece que 2xx 2 + 5xy – 4yy 2 = (2x – y))

Ejemplo 4

(x + 3 y ) – y 2 . Divida 6xx 4 – 6x 2 y 2 – 3y 4 + 5xy 3 – x 3 y entre ––2y 2 + 2x 2 + xy.

Solucióón Se arreglaan los término s en el dividenndo y el divisoor de tal mane ra que las potenccias de x estéén en orden descendente d y se prosigue como sigue:

EJERCICIO 2.7

División de polinomios

Encuentre loss cocientes en los problemaas del 1 al 20.

Demuestre quue la segunda expresión es un u factor del primero p al diviidir el primeroo entre el segundo y asegurando quue el residuo seea cero en loss siguientes prroblemas:

65

6 66

POLINOMIOS, PRODUC CTOS Y FACTORIZACIÓN

2 161; 7 21

22 9622; 13

2 19,175; 59 23

24 16,,928; 46

2 2x 2 – 5x + 3; x – 1 25

26 6a 2 – 5a – 4; 2aa + 1

2 12b2 + 25bbc + 12c2; 4b +3c 27 +

28 3y 2 – 10xy + 3x 2 ; 3y – x

3

2 2

29 6x – 13x y + 8x – 3; 2xx – 3

30 6a 3 – 2a 2 + 4a – 16; 3a – 4

31 6x 3 – 13x 2 y + 8xy 2 – 3y 3 ; 2x – 3y

32 5w3 + 23w2z + 144wz2 + 8z3; w + 4z

3 2a 3 + 3a 2 – 5a – 6; 2a 2 – a – 3 33 3

2

2

3

2

3 6y – 11y d + 7yd – 6dd ; 3y – yd + 2d 35

34 4x 4 + x 3 – 4x 2 + 6x – 3; x 2 + x – 1 2

336 2a4 + a3fo – 4a2b2 + 6ab3 – 3b4; 2a2 + 3aab – 3b2 E los problem En mas del 37 al 52, 5 encuentre eel cociente y ell residuo cuanddo la primera expres sión se divida entre la segunnda.

En los problem E mas del 53 al 56, 5 (a) considerre ambas exprresiones en la vvariable x, (b) consid dere ambas exp presiones en laa variable y. Paara (a) y (b), encuentre el cocciente y el resiiduo al d dividir la prim mera expresiónn entre la seguunda. 53 6x 2 + 11xxy + 11y 2 ;2x + y 54 8x2 – 2xy – 9y 2 ; 2x – 3yy 55 8x4 – 2x3y + x2y2 + 2xy3 + y4; 2x2 – xy + y2 56 6x4 + x3y+ + 15x2y2 + 2xy3 + 12y4; 3x2 + 2xy + 4y2

2.177

RESUMEN En el capítulo 1 se t rabajó, princcipalmente, con c números reales considerándolos com mo constantes. En el capítuulo 2 se conssideran los númeeros reales enn expresioness que contieneen, tanto connstantes como vaariables. De ccualquier form ma, los axiom mas de camppo y las propiedaades de los números n realles son váliddas. La adiciión, la

Resumen n

67

sustracció ón, la multipllicación y la división de m monomios y polinop mios son n tratados en d detalle, al eliiminar e inserrtar los símbo olos de agrupación. La ley d distributiva es particularm mente usada ya y que incluye a la adición y a la multip plicación. Laa multiplicac ción de polinomiios, en generral, precede a los producctos de tiposs especiales de binomios y trinomios. Muchas M de laas fórmulas de d multiplicar son usadas co omo fórmulass para la facttorización. Los factores com munes están iincluidos, com mo también llas reglas que e especifican si los trinomiios pueden ser s factorizad dos. Cómo factori– fa zarlos es algo que tod davía se efec ctúa al tanteo o, pese a que ciertas reglas diisminuyen el número de posibilidadess que necesittan ser considera adas. Se estu udia la divisió ón de dos pollinomios mosstrando cómo se obtiene el cocciente y el ressiduo. Si el reesiduo es cero o, el divisor es un u factor. Al tra abajar con números reales como ex xpresiones, en e este capítulo y a través de el libro, el esstudiante deb be tratar de ver v esta situación n como paralela a los núm meros reales como c consta antes. EJERCICIO 2.8 1

Repaso

¿Cuál es e el grado de 2x 2 2yz – 5xz6 + 8x 8 4y4? ¿Cuál ess su grado en xx? ¿En y ?;¿En z?

Combínense los l términos semejantes en los l problemass 2 al 4. 2 6x + 2y –3z + 8y – 2x + 3z–4y y 3 3x–2y + 4[–x + 3(y – 2x)–3y] – 2x 4 3a + 2{b b – 4[a + 2(2a – b) + b] – –a} + 2b Ejecútense lass operacioness indicadas en los siguientess problemas

68

POLINOM MIOS, PRODUC CTOS Y FACTOR RIZACIÓN

Factortce las expresiones enn los problemaas 19 al 37.

En E los problem mas 38 a 41, enncuentre el cocciente y el residduo al dividir la primera exppresión entre e la segun da. 38 2x2 + 7x + 2, 2x + 3 3

2

2

39 3

2

10x2 + 31xy + 12y2, 2x + 5y

2

40 4 x – 2x y – xy + 14y , x – 4xy + 7y 41 4 x 4 – 3x 3 + 5x 2 – 12x + 1, 1 x 2 – 3x + 1

42 4 Suponga que q p, q y r soon enteros; dem muestre que pxx 2 + qx + r es factorizable ( con 2 coeficienttes enteros) si y sólo si px – qr + r es factoorizable.

3 exppresiones raacionales

Fraccionnes como 12 , 34 , 23 , y 57 ocurren r comúnm mente en aritm mética y aplicadaas constantem mente en la viida cotidiana. Las fracciones algebraicaas son igualm mente importaantes en Mat emáticas e y enn campos en donde d se apliica el álgebraa. Es esenciaal tener la hab bilidad en las operaciones o ccon fraccionees para el deesarrollo en cualesc quiera de estos camppos. En este capítulo c se coonsideran las operaciones básicas b que trratan con fraccciones. 3.1 3

Núm mero racioonal Expreesión racioonal

Numerad dor Denominad dor

DEFINICIO ONES En el cappítulo 1, se trrataron los nú úmeros realess y sus propieedades. Se hará lo l mismo en este capítulo,, excepto quee los númeross reales aparecerrán en formaas más diverssas que anterriormente. Un núúmero racionnal fue definnido como m//n, en dondee m y n son enteeros y n ≠ 0. Se define una u expresiónn racional coomo un cociente de polinomiios P/Q, dondde Q es diferente de cero. Como ejemploss

En una expresión e racional P/Q, a P se le llama el numerado or y a Q el denom minador. Ya que Q no pueede ser 0, enttonces, en el primer ejemplo consideradoo, 2/x, x puedde ser cualquuier real excepto 0. En (4x2 – 3)/(2 – 5x),|x puede ser cualquier c reall excepto 2/5, y en la tercera ex xpresión es neecesario que b ≠ – a.

70 7

EXPRESIONES RACIONA ALES Fracció ón signos de una fracciión

A un número n racion nal o a una expresión raacional se le llama también fracción. f Hay tress signos de una fracción n: el signo d del numerad dor, el signo de denominador, d , y el signo dee la misma fraacción. Cada signo s puede seer + o –, originando ocho posibilidadees diferentes. Las fraccciones

son todas iguales. Por ejemplo, la se egunda y la te ercera son igu uales ya que

Las cuatrro restantes

son tambiién todas iguaales y son los negativos dee las fraccionees en (3.1).

3.2 Princip pio fundamentall de

EL PRINCIIPIO FUNDAMEENTAL DE LAS FRACCIONES La ecuacción (1.26) reepresenta el principio p fund damental de las l fraccion nes. Establecee que, para b ≠ 0 y d ≠ 0

las fraccion nes

Aquí a/b b y c/d son frracciones, y a, a b, c y d so on polinomio os. La con nsecuencia p principal del principio fu undamental de d las fraccionees es la ecuacción (1.27), que q establece que

El principio fundamental f de e las fraccioness

71

Si ésta se s escribe com mo Ley de cancelación

se obtiene la ley de ccancelación, la cual es váálida para –b ≠ 0- y e ≠ 0.

Para reducir una fracción a suu mínima exppresión, se divide el numeraddor y el denom minador entre los factoress que sean com munes a ambos. Si los miembbros de las fracciones f sonn polinomioss, es recomenddable factorizzar cada uno o como un prrimer paso en n la reducción n. Ejemp plo 1

Ejemp plo 2

Ejemp plo 3

Ejemp plo 4

Obsérrvese que al reducir r una fracción fr por medio m de la cancelac ción, el factor comúún para el numerador y para el denom minador debe serr un factor coomún a todo el numeradoor y a todo el denominadorr y no sólo a una parte dee ellos. Por ttanto

ya que x + y es un factor de una parte p solamennte al denominador y al numeerador. Tambbién,

72

EXPRESIO ONES RACIONA ALES

3.3

MULTIPLIC CACIÓN Y DIVISIÓN DE FRAC CCIONES

Para multiiplicar dos fraacciones o ex xpresiones raacionales, se utiliza u (1.30). Dee este modo

Esta reglaa puede extennderse para incluir el prooducto de más m de dos fraccioones: El productto de dos o m más fraccioness es una fraccción cuyo num merador es el producto p de loos numeradorres y el denom minador es el e producto de los l denominaadores. Esta regla se aplica com mo se indica en los siguieentes ejemploos. Ejemplo 1

Obtenga el e producto dee a/b, c/d y (xx – y)/(x + y).

Con freccuencia, el nuumerador y el e denominaddor de un prodducto tienen un factor comúún. En tales casos la fraacción deberíía ser reducida a su mínimaa expresión dividiendo ambos a miem mbros entre el facctor común. En caso de que q sea posibble, se recomienda factorizar los l numeradoores y denom minadores de las fraccionees, antes de escrribir el produucto final; enttonces los facctores que soon comunes al numerador n y al denomin nador del prooducto puedeen detectarse coon facilidad. Ejemplo 2

Ejemplo 3

Obtenga el e producto de d

Obtenga el e producto dee

Multiplicación y divisió ón de fraccione es

73

facctorizando

por ((3.5) dividdiendo el numeradorr y el denominador d entre

(a – 22b)( a + 2b)(2a – b)(a b – 3b)

La divi sión de dos fracciones f see efectúa de m manera análooga a la multipl icación de accuerdo con ( 1:31); o sea

Por tantto, al obtenerr el cociente de dos fracciiones, se mulltiplica el dividenndo por el reccíproco del divisor. d Ejempplo 4

Dividda 3x2/4a entrre 6x3/5a2

74 7

EXPRESIIONES RACIONA ALES

EJERCICIO E 3.1

Reducciónn y multiplicación de fraccionnes

R Reduzca las frracciones a su mínima expreesión en los prroblemas 1 a 20. 2

En los problem mas del 21 al 28, llene correctamente los espacios en bblanco.

Diga si cada una u de las siguuientes expresiiones es falsa o verdadera.

Efectúense lass operaciones indicadas en llos siguientes problemas. p

Mínimo común múltiplo o

3.4

75

MÍNIMO O COMÚN MÚLLTIPLO Como see vio en el cap pítulo 1, fue posible p encon ntrar la suma de d dos o más fraccciones sólo cuando los denominador d res de las fraacciones eran igu uales. Así quee, si los deno ominadores d de las fraccion nes que son sum madas, son differentes, es necesario cam mbiar cada fraacción a una fraccción semejan nte, tal que el denominado or sea igual en e cada uno de los l denominaadores de las fracciones rresultantes. El E denominadorr debe ser el mínimo com mún múltiplo (mcm) de los denominadorres; éste se llama el míniimo común denominador d r (mcd) de las fracciones. Un mú últiplo comú ún para un co onjunto de enteros es un n entero que es divisible entree cada uno dee los enteross del conjunto o. Por

76

EXPRESIONES RACIONALES

ejemplo, 48 es múltiplo común de 2, 3 y 8. También, 24 es un múltiplo común de 2, 3 y 8, y no existe ningún entero menor que 24 que sea divisible entre cada uno de estos tres números. Por lo tanto, 24 es el mínimo común múltiplo de 2, 3 y 8. En aritmética el mcm de un conjunto de enteros se define como el menor entero positivo que es divisible entre cada uno de los enteros del conjunto. Sin embargo, en este capítulo se tratará con polinomios, y no es posible definir el mcm de un conjunto de polinomios de esta manera, ya que el adjetivo "mínimo" no tiene significado cuando se aplica a polinomios. Por tanto, se definirá el mcm para un conjunto de polinomios de la siguiente manera: El mínimo común múltiplo (mcm) para un conjunto de polinomios, es el polinomio P tal que P sea divisible entre cada polinomio del conjunto, y más aún, cada polinomio que es divisible entre cada miembro del conjunto es también divisible entre P.

El adjetivo "mínimo" se refiere al grado del mcm. Para obtener el mcm de un conjunto de polinomios, se expresa primero cada polinomio del conjunto como el producto de potencias de sus factores primos. Entonces, por definición, la proposición siguiente es cierta. El mcm de un conjunto de polinomios debe tener como factores la potencia más alta de cada factor primo que aparezca en cualquier polinomio del conjunto y no debe tener otros factores.

Ejemplo 1 Solución

Encuentre el mcm de (a – 1)2, (a + 1)2 y de (a – 2)(a + 1). Los factores primos diferentes son a – 1 , a + 1 y a – 2. Multiplicando la potencia más alta de cada uno que ocurra da el mcm: (a – 1)2(a + 1)2 (a – 2)

Ejemplo 2

Solución

Encuentre el mcm de los cinco polinomios: x2 – 2xy + y2, x2 + 2xy + y 2 , x 2 – y 2 , x 2 – 3xy + 2y 2 , y 2x 2 + 3xy + y 2 .

Primero se escribe cada uno de estos polinomios en la forma fac– torizada como se indica:

Adición n y sustracción de fracciones

77

x2 – 2xyy + y2 = (x – y)2 x2 + 2xyy + y2 = (x + yy)2 x2 –y 2 = ( x – y)(x + y) 2 x –3xy + 2y 2 = (x – 2y)(x – y) 2x2 + 3xyy + y2 = (2x + y)(x + y) Los faactores prim mos que apareecen son (x – y), (x + y), y (x – 2y), y (22x + y). Sin eembargo, (x – y) y (x + y) y tienen al 2 como exponen nte en el prim mero y segun do polinomioos. Por lo tannto, el mcm es (x ( – y)2(x + y))2(x – 2y)(2x + y). Encuen ntre el mcd dee

Ejempllo 3

Soluciión

Los denoominadores eescritos en fo orma factorizzada son 2x + 1,(3x – 1)2, (22x + 1)(3x – 1), y (x + 1)2(2x + 1)3. Assí que, el mcd de las fraccionnes es (2x + l)3(3x – l)2(x + 1)2

3 3.5

ADICIÓN N Y SUSTRACCIÓN DE FRACC CIONES Se vio en e el capítulo 1 que si las fracciones f tieenen el mismoo denominadorr, entonces ees posible aplicar la ley ddistributiva para p sumarlos y restarlos. P Por ejemplo,

Sum ma de fracciiones

Ahhora bien, la suma de doss o más fraccciones, cuand do sus deno– mina adores son idéénticos, es la fracción f que tiene la sumaa de los numeeradores daddos como el numerador, n y el común denominador d comoo denominaddor.

78

EXPRESIIONES RACIONA ALES

Si los denominador d res de las fracciones que sumarán sonn diferentes, enntonces cada fracción se convierte c a uuna fracción semejante con el mcd comoo nuevo denoominador y see procede com mo en el ejemplo o anterior. Ejemplo 3

Exprese

como una fracción sim mple. Soluciónn El mcd de las fraccio ones dadas ess 12xy. Para convertir lass frac-

ciones daadas a fraccionnes semejantees con 12xy ccomo denomin nador, se usa (3.4) y multtiplicándose cada miembbro de la prrimera fracción por 2y, y de la segunda por p 4x. Por loo tanto, se ob btiene

Ejempllo 4

Simpliifique

para obteener una solaa fracción. Solució ón Los denom minadores sonn x2 – y2 = (xx + y)(x – y);; x(x – y); y x + y.

Luego, ell mcd es x(x + y)(x – y). Por P consiguiente, se multipplica

Adició ón y sustracción n de fracciones

79

el numeraador y el dennominador dee la primera, lla segunda y la tercera fraccción por x, x + y, y x(x – y), respectivaamente, y se lleva l a término la l operación como sigue:

Al sum mar fraccionees, cualquier común denoominador pueede ser utilizadoo, pero mcd m minimiza el proceso p de reeducir los térrminos mínimos.

EJERCICIO 3.2 3

Adición de d fracciones

Encuentre ell mcd de las fra acciones en ca ada uno de loss problemas deel 1 al 12. No sume. s

80

EXPRESIONES RACIONA ALES

Fraccciones compleja as

3.6

81

FRACCIONES COMPLEJJAS Una fraccción complejaa es una fracción en la cual el numerador,, el denomin ador o amboss contienen frracciones. Por ejeemplo.

son fraccciones compleejas. Se sim mplifica una frracción compleja al converrtirla en una fracción f semejantte que no teenga fraccion nes en el nnumerador nii en el denomin ador. Una fraacción compleeja puede redducirse simpli ficando el numerrador y el dennominador y después encoontrando el coociente. Por lo geeneral, el métoodo más eficaz, consta de loos siguientes pasos: p 1

Enc ontrando el m mcm de los de nominadores de las fraccioones que apareccen en la fraccción complejja.

82

EXPRESIONES RACIONA ALES

2 Multip licando los m miembros dee la fracciónn compleja por p el mcm en ncontrado enn 1. 3 Simplifficando el re sultado obtennido en 2. Ejemplo 1

Simplifique

Solución 1

Puesto que el mcm de loos denominad dores es x2, procédase comoo sigue:

Solución 2

Si se simpliifica primero el e numerador y el denominnador por sepaarado, se obtiene

Fracciones complejass Solucción

83

El mcm de los denom minadores es (a ( – l)(a + 2). El procedimi ento es, entonce s, como sigu e:

Ejem mplo 3

En la fracción coompleja

tanto el numerador n como el denominador sonn fracciones complec jas. En tales t casos el e miembro o miembros qque contieneen fracciones complejas c debben antes quue otra cosa, simplificarsee. Si la fracción resultante ess compleja, see continúa el proceso hastta obtener una fracción en donde ya noo aparezcan ffracciones enn el numeradorr ni en el deenominador. A continuaación se proocede a simplificcar la fraccióón compleja anterior. a

84

EXPRESIONES RACIONA ALES

EJERCICIO 3.33

Fraccioness complejas

Simplifique la as fracciones en e los problem mas 1 a 40.

Resumen

85

En cada uno de d los siguienttes problemas, demuestre que el primer núúmero es tan grrande como el segunndo.

3.7 7

RESUMEN N

Se tratan cocientes dee polinomios (expresioness racionales o fracciones) ta al y como see trataron los cocientes paara los entero os (números racionales) en el capítulo 1. 1 El principio fundamen ntal de las fracciiones establecce las condiciiones que deb ben cumplirsse para que dos fracciones f seaan iguales. Essto conduce a la ley de la cancelación. En E el resto deel capítulo see multiplican,, dividen, sum man y restan fra acciones y se simplifican los l resultadoss. También see estudiaron fraacciones máss complicadaas, llamadas ffracciones co omplejas.

86

EXPRES SIONES RACIONA ALES

EJERCICIO 3.4

Repaso

Simplifique las l fracciones en los problem mas del 1 al 3.

Diga si la ecuuación en cadda uno de los s iguientes probblemas es falsaa o verdadera..

Efectúe las operaciones o in dicadas en loss problemas deel 7 al 10.

Encuentre ell mcd de las frracciones en c ada uno de lo s problemas del d 11 al 13.

Sumar las fraacciones en loss siguientes prroblemas.

Simplifique laas fracciones en e los problem mas del 20 al 25. 2

Resumen

87

4 ecuaciones lineales y fraccionarias

Hasta aquí, se ha estado interesado en operaciones formales que siguen reglas establecidas de procedimiento. En este capítulo se investigarán las condiciones sobre las cuales dos expresiones algebraicas son iguales. Por ejemplo, se explicarán los métodos para encontrar el sustituto de x tal que una proposición como 1 /2 (x + 3) = 1/4(x –2) resulte ser verdadera. Una proposición de este tipo se llama ecuación. Una ecuación es un instrumento muy poderoso en Matemáticas y es esencial en el desarrollo y comprensión de problemas en Física, Ingeniería, Ciencias Biológicas y Sociales. 4.1

OPERACIONES ABIERTAS En esta sección se considerarán proposiciones como las siguientes: 5+x=9 x es un entero entre 2 y 6

(1) (2)

x es un color en la bandera de México (3) Ninguna de estas proposiciones es verdadera tal como están expuestas. Sin embargo, (1) es verdadera si x se sustituye por 4; (2) es cierta si x se sustituye por un elemento de {3, 4, 5}; y (3) es verdadera si x se sustituye por algún color del conjunto {verde, blanco, rojo}. Más aún, cada una de las proposiciones (1), (2) y (3) es falsa si x se sustituye por algún otro número o palabra que no esté especificado con anterioridad.

Operaciones abiertas

Variable Conjunto sustitución

Oración abierta

Conjunto verdad

89

En las proposiciones (1) y (2), x representa un número; y en la (3) x representa una palabra. Como se definió en el capítulo 1, a la letra x se le llama variable y puede ser un elemento de un conjunto dado. Al conjunto dado se le llama conjunto sustitución. Las afirmaciones (1), (2) y (3) se llaman oraciones abiertas, su definición es como sigue: Una oración abierta es una afirmación que contiene una variable, que no es verdadera ni falsa, pero se convierte en proposición verdadera o falsa si la variable se sustituye por un elemento escogido de un conjunto sustitución.

T se llama el conjunto verdad para la oración abierta, si ésta se convierte en una proposición verdadera cuando la variable se sustituye por algún elemento de este conjunto y ningún otro elemento.

De acuerdo con esta definición, los conjuntos verdad para las oraciones abiertas (1), (2) y (3) son {4}, {3, 4, 5} y {verde, blanco y rojo}, respectivamente. Otros ejemplos de oraciones abiertas y sus conjuntos verdad son: Oración abierta x es un estado de México más grande que Coahuila x es un color del arco iris

Conjunto verdad {Chihuahua, Sonora} {violeta, índigo, azul, verde, amarillo, naranja, rojo }

x es una mujer que ha sido presidenta de México

Ø

x es un entero impar menor que 10

{1, 3, 5, 7, 9}

90 0

ECUACION NES LINEALES Y FRACCIONARIIAS

x es un eleemento de

4.2

ECUACIONESS Oraciones abiertas de los l tipos

se llaman ecuaciones y su definició ón es como sigue: Ecuación

Raíz Solución

Conjunta C solución

Resolución de la ecuación

Una ecuacción es una oración abieerta que estaablece la igualdad entre dos expresiones. Cada expreesión se llam ma miembro de la ecuación

Si una ecuación es un na proposició ón verdadera después de que q la variable see sustituye por un número específico, en ntonces al nú úmero se le llamaa raíz o solució ón de la ecuación y se dicee que la satisfface. Por ejem mplo, 9 es un na raíz de la ecuación (1)), ya que 3(9 9) –5 = 4 + 2(9). Asimismo, 2 y 5 son raííces de la ecu uación (2), pu uesto que cada miembro m de (2 2) es igual a 1/4 si x se sustiituye por 2, y cada miembro es e igual a 1 si x se sustitu uye por 5. El conjunto o de todas laas raíces de una ecuación se llama conjjunto solución de d la ecuación n.

Al proceedimiento que se emplea para p encontraar el conjunto o solución de una u ecuación n se le llama resolución r d de la ecuación n.

Ecuacione es

Ecuaciión condicion nal Identid dad

91

Como o antes se mencionó, m los l conjuntoos solución de las ecuacionnes (1) y (2) sson {9}y {2,55} .respectivam mente. Sin em mbargo, la ecuacción (3) es unna proposiciónn falsa para ccualquier reemplazo de x, ya que la suma dde un númeroo más 1 no es igual a la del mismo número más 3. Por loo que, el conjjunto solución de la ecuacción (3) es el connjunto vacío Ø. La eccuación (4) ees una proposición verdaddera para cualquier sustitutoo de x, ya que si se suman laas fracciones de la izquierdda de la igualdad d, se tiene la fracción de la derecha. Por P consiguieente, el conjuntoo solución dee la ecuaciónn (4) es el coonjunto de toddos los númeross. Las ecuacioones (1), (2) y (3) se llamaan ecuacioness condicionaless, y la ecuacióón (4) es la identidad. i Dee aquí las siguientes definicioones. Una ecuación e conddicional es unna ecuación cuyo c conjunto solución es un u subconjunnto propio deel conjunto suustitución. Una identidad i es una ecuación cuyo conjuunto soluciónn es el conjuntoo sustitución,, (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 es una identiidad, y también lo es 6x/3 = 2x. Además,,

es una iddentidad, perro 1 no es paarte del conjuunto sustitucción ya que la diivisión entre 0 no es una operación o permitida. Así que, el conjuntoo sustitución es { x | x es real r y diferentte de 1}. Se em mplea la notaciión de conjunntos para dem mostrar que {9 9} es el conjuntoo solución de 3x – 5 = 4 + 2x escribienndo {x | 3x – 5 = 4 + 2x} = {9} pero ppodría decirse que 9 es la soluciónn de la ecuaciónn. Asimismo, puede escribbirse

Incógnita

o simplemente decir que 2 y 5 son n las solucionnes. Ahoraa, se introduce la notaciónn f(x), que se lee “f de x", la l cual es muy importante enn Matemáticaas. En este caapítulo se usaará f(x) para reprresentar una expresión algebraica en xx. Esta notacción se estudiaráá más ampliaamente en un n capítulo possterior en donde se dará unaa interpretaciión más proffunda. Por loo general, en este libro see tratará con ecuaciones condicionales así como los métodos para resolverlas.. La variable en una ecuaciónn se llama, a menudo, la incógnita, y con frecuenncia se mencionnará de esta m manera.

92

ECUACIONES LINEALES Y FRACCIONARIAS

4.3

ECUACIONES EQUIVALENTES El objetivo de resolver una ecuación, es el encontrar un sustituto para la variable que satisfaga la ecuación. Cuanto más simple sea la ecuación tanto más fácil resulta resolverla. Por ejemplo, considere las siguientes ecuaciones 7x – 45 = 5x – 43 2x = 2

(1) (2)

En esta etapa, la única manera mediante la cual puede encontrarse una raíz de la ecuación (1) es adivinar un número, sustituirlo por x y ver si satisface la ecuación. Sin embargo, en la ecuación (2) es obvio que la raíz es 1. Ahora bien, si se sustituye 1 por x en la ecuación (1) y efectuando la operación, se tiene – 38 = –38. Por tanto, 1 es también una raíz de la ecuación (1). No obstante, las ecuaciones (1) y (2) son proposiciones diferentes, cada una de ellas es verdadera si x toma el valor de 1. Dos ecuaciones de este tipo son equivalentes y su definición es como sigue: Equivalente

Dos ecuaciones con igual conjunto solución, se llaman equivalentes. El procedimiento para resolver una ecuación dada, es obtener una sucesión de ecuaciones equivalentes que resulten ser más simples que la anterior, hasta obtener por último una tal que su conjunto solución pueda encontrarse con facilidad. Los siguientes teoremas son esenciales para este propósito.

Ecuaciones equivalentes

Si f(x), g(x), y h(x) son expresiones, entonces las dos ecuaciones f(x) = g(x) y f(x) + h(x) = g(x) + h(x) son equivalentes. (4.1) Si k es una constante diferente de cero, entonces las ecuaciones f(x)=g(x) y k • f(x) = k • g(x) son equivalentes. (4.2) Se aplica este teorema cuando uno o más de los términos constantes o de los coeficientes en f(x) = g(x) son fracciones. Si k es el mcm de los denominadores en la ecuación, entonces k • f(x) = k • g(x) no contendría fracciones. Se utilizará más adelante, en este capítulo, una modificación de (4.2) para resolver ecuaciones fraccionarias, multiplicando por expresiones no constantes las cuales nunca son cero [véase (4.3)].

Ecuaciones equivalentes

93

Las demostraciones de (4.1) y (4.2) dependen de los hechos siguientes, que en realidad son axiomas para los números reales: Si términos iguales se suman a ambos miembros de una igualdad, ésta no se altera. Si términos iguales se restan a ambos miembros de una igualdad, ésta no se altera. Si términos iguales se multiplican a ambos miembros de una igualdad, ésta no se altera. Si términos iguales dividen a ambos miembros de una igualdad, ésta no se altera. Por ejemplo si x = y, entonces x + 2 = y + 2, y si x = y, entonces x –w = y – w. También, si x = y, entonces 5x = 5y [y (0)(x) = (0)(y)]. Finalmente, si x = y, entonces x/8 = y/8 (pero no puede escribirse x/z = y/z si z = 0). Ejemplo 1

Si se empieza con la ecuación 5x + 3 = 4x – 9

(3)

puede sumarse –3 en ambos miembros (o restar 3) de la igualdad. Esto da las ecuaciones equivalentes. 5x + 3 + (-3) = 4x - 9 + (-3) 5x = 4x - 12 en forma análoga ahora se suma – 4x a cada miembro (o se resta 4x) para obtener 5x – 4x = 4x – 12 – 4x x = –12

(4)

Ahora bien, la ecuación (3) es equivalente a la ecuación (4); la solución de (4) es obvia, o sea –12. Puede comprobarse que –12 satisface (3) sustituyendo –12 por x en ambos miembros de (3) y obtener y

5(–12) + 3 = –60 + 3 = –57 4(–12) – 9 = –48 – 9 = –57

El primer paso para resolver la ecuación (3) fue sumarle –3a cada miembro. El efecto fue convertir un + 3 de un lado de la

9 94

ECUACIO ONES LINEALES Y FRACCIONAR RIAS

ecuación a un –3 del otro lado. Con algo de práctica p se esscribe directameente.

5x + 3 = 4x – 9 5x – 4x = –9 – 3 Trasponerr

Ejemplo 2

Este proceeso de escribiir un términoo en el otro laado de la ecu uación después dee cambiar su signo es llam mado trasponeer. Es nada menos m que (4.1) En la ecuación 5x – 7 = 13x + 1 puede trasponerse 5x y 1. Esto da las ecuacionnes equivalenntes –7 – 1 = 13x – 5x –8 = 8x combinando términos – 1 = x dividieendo entre 8 (usando 4.2)

Ejemplo 3 Solución n

Resuelva la ecuación El mcm de d los denom minadores en la ecuación es 12. En consec cuencia, se s procede coomo sigue

Así que, laa solución de lla ecuación ess – 10 fica esto al susstituir 3 . Se verif 10 x por – 3 en la ecuacióón dada encoontrándose quue cada térmiino es igual a – 1. 1 EJERCICIO 4.1

Ecuaciones

Encuentre E el conjunto c verdaad en cada unaa de las oracio ones abiertas ppara los probllemas del d 1 al 12. 1 x es un enntero par posittivo menor quue 10. 2 x es un en ntero positivo que tiene tres letras.

Ecuacione es equivalentes

95

3 x era un territorio t que a partir de 19770 se constituyyó en estado libbre y soberano o de la República Mexicana. 4 x es un estado del sur de México. 5 x fue un presidente p de México del loo. de diciemb re de 1958 al lo. de diciem mbre de 1976. 6 x fue la primera p perso na que caminnó sobre la Lu na. 7 x es el noombre de una cultura c mexicaana prehispánicca y una liga innfantil de béisbbol en el Distritoo Federal. 8 x es un animal a y una herramienta h ppara automóviil. 9 x Є {1, 2, 5, 8} ∩ {2, 3, 3 4, 5} 11 x = 285

10 12

x = {1, 2, 5, 8} D {2, 3, 4, 5} 2x = 466

En cada uno de d los siguientees problemas diga d si es una ecuación conddicional o una identidad.

En los probleemas 21 a 28, demuestre quee el número o números daddos son raíces de las ecuaciones quue le siguen.

Era cada parejja de ecuaciones en los probllemas del 29 al 40, diga si elllos son o no eqquivalentes.

96

ECUAC CIONES LINEAL LES Y FRACCIONARIAS

4..4 Ec uación lineal

ECUACIO ONES LINEALESS Una ecuaación lineal dde una variabl e es una ecuaación del tipo

ax + b = cx + d

(1)

en dond de a, b, c y d, son númeross reales con a o c (o amboos) ≠ 0. Ejemploos 3x–4 = 7x + l

4x–5 = 7

2xx = ll

Primeero se demostr trará cómo se resuelve un ccaso especiall de (1), y despuéés del ejemploo 2, se explicará cómo se reduce r el caso o general a estee caso particcular. Para la l ecuación ax + b = 0

a≠0

(2)

se utilizaan (4.1) y (4..2) para obtenner las ecuacciones equivaalentes

Hasta aq quí se ha demo ostrado que si s (2) tiene una solución, en ntonces ésta deb be ser –b/a. Se verifica que q es una ssolución al sustituir s x por –b b/a en (2) y obteniéndosse

y así, la única soluciión de (2) es –b/a. Ejemplo o1 Soluciión

Resuelvaa 5x + 7 = 0. En esta ecuación e a = 5 y b = 7, y la l solución ess x =

–

7 5

.

Ecuaaciones lineales

Ejemplo 2 Solución n

Resuelvaa La ecuacción equivaleente de 2x/3 = 1 se encueentra sumanddo 1 a 2 2 cada mieembro y desppués multipllicando por 23 para consseguir

Ahora,, regresando a la ecuación n (1), expresándola comoo

y se proccede como enn (2) con a reemplazado ppor a – c y b por p b – d. Ejemplo 3

Encuentre el conjuntoo solución dee 3x – 5 = 4 – 2x

Solución n

Se intercambian térm minos, obteniééndose

9

Por consiiguiente, el coonjunto solucción es { 5 }. Ejemplo 4

Resuelvaa

Solución 1

Intercambbiando términos se obtien ne

Solución 2

97

A contin nuación se multiplica por el mcd, que es 24, da 16x – 188 = 20 – 3x

98

ECUAC CIONES LINEALE ES Y FRACCION NARIAS

16x + 3xx = 20 + 18

intercambianddo

19xx = 38

juntando términos

x= 2

Ejemplo 5

dividiendo enttre 19

Resueelva |x – 2| = 55.

Solucción Ya que | x – 2| es iguual a x – 2 sii x – 2 > 0, y – (x – 2) sii x – 2 < 0, la ecuuación presennte, con valorres absolutos, es equivalen te a las dos ecuacciones.

Por tantoo, las solucioones son 7 y –3, – o sea quee el conjuntoo solución es {77, –3}. EJERCICIO 4.2

Ecuacionnes lineales

Resuelva cada a una de las siiguientes ecua ciones.

Ecuaciones fraccionarias

4.5 Ecua ación fraccioa aria

99

ECUACIO ONES FRACCIO ONARIAS Si al menos m en una fracción apaarece una variiable en el den nomina dor dee la ecuación,, entonces éstta es una ecuaación fraccionnaria. por ejjemplo

no lo ess. Se aplicaa una variantte de (4.2) p ara resolverr una ecuación n fraccionariaa: Ecuacionees equivalentees

Si k(x) es e una expresiión diferente de cero, entonnces la ecuación f(x) = g(x) y k(x) • f (x) = k(x) • g(x) g son equivvalentes. (4.3) Si f(x)) = g(x) es unaa ecuación fraaccionaria, y kk(x) es el mcm m de los denominnadores, entoonces k(x) • f(x) = k(x) • g(x) no con ntendrá fraccion nes. Si la últim ma ecuación es e lineal, pueede resolversee por lo métodoss estudiados en la secciónn 4.4.

Ejemplo o1

Resuelvaa la ecuación

100

ECUACIIONES LINEALES S Y FRACCIONA ARIAS

Solución

Como un primer p paso een la resoluciión se aplica (4.3). Puestoo que el mcm de los denominnadores es 8(xx + 1), sea k(xx) = 8(x + 1)), supóngase qu ue x + 1 ≠ 00, y ahora mu ultiplique cadda miembro de d la ecuación (1) ( por 8(x + 1). Proceddiéndose com mo sigue (2) multipliccando las operaaciones indicaadas por el axioma de distributividad intercam mbiando operanddo términos multipliccando por

1 7

En (1), no es válido dividir entree 0, por tanto o, fue necesarrio suponer qu ue x + l ≠ 0 , o x ≠ –1. Así que, p or (4.3), yaa que k(x) = 8(xx + 1) es dife ferente de cerro, la ecuació ón ( l ) y x = 3 son ecuacionees equivalentees. Para corroborar que 3 ees una raíz de (1) se sustituye x por 3 en la eecuación (1). Al hacer esto o, se encuentrra que cada miem mbro es iguall a 118 . Por tan nto, la raíz dee la ecuación (1) es 3. Ejemplo 2

Solución

Encuentree

El conjun nto requerido es el conjunto o solución de

se usa prim mero (4.3), su uponiendo que x + 1 ≠ 0, multiplicando m o cada miembro por p x + 1 , paara obtener 2 – 3 x – 3 = 4x + 6 Entonces se s procede co omo sigue: –3x – – 1 = 4x + 6

operandoo términos

Ecuaciones s fraccionarias

101

Donde se s encuentra qque x = – 1 es la l única raíz pposible. Sin em mbargo, esta raíz queda exclluida debido a que x + 1 ≠ 0. Por taanto, se concluyye que la ecuaación (3) no tiene raíces, y además

en dond de Ø es el co onjunto vacío o. EJERCICIO 4.3 4

Ecuaciones fraccionaria as

Resuelva las ecuaciones inndicadas en loss problemas 1 a 32.

102 1

ECUAC CIONES LINEAL LES Y FRACCION NARIAS

En los problem E mas 33 a 36, en ncuentre el vallor de b cuanddo x = 5 que es una solución de d las ecuaciones.

D Demuestre quee cada una dee las ecuacionees siguientes no n tiene soluciión.

Resuelva R la eccuación en cad da uno de los pproblemas, deel 45 al 48.

Resuelva la eccuación en cad R da uno delos prroblemas 49 a 52, sumando las expresionees en c cada miembro o de la ecuació ón antes de m multiplicar porr el mcd.

4.6

RESOLUCIÓ ÓN DE PROBLEMAS CON ENUNCIADO El enunciaado de un problema descrribe una situaación en don nde se especifican n cantidades conocidas y desconocidaas, así como algunas relacio ones entre elllas. Si el prob blema es solu uble mediantee una

Resolución de problemas con enunciado

103

ecuaciónn, entonces debe d ser posibble encontrarr dos combinaciones de las caantidades en el problema que sean iguuales, tal que sea posible esccribir una ecuuación. Asim mismo, al mennos una de laas combinacionnes debe conntener la incó ógnita o cantiidad desconoocida. El prrocedimientoo para resolvver un probleema con enuunciado por meddio de una ecuación no sieempre resultaa fácil, y es neecesario practicaar para adquirir cierta haabilidad paraa resolverlos. Se sugiere el siguiente proocedimiento:: 1 Leer el problema con cuidadoo y estudiarloo hasta lograrr entenderlo o con claridadd. 2 Identtificar las caantidades connocidas y lass desconociddas del probllema. 3 Selecccionar una dde las incógnnitas represenntándola por medio de un n símbolo, x; a continuació ón se expresaan las otras inncógnitas en n términos dee este símbollo. 4 Encoontrar qué caantidades o combinacionnes entre elllas son iguales. 5 A paartir de las coombinacionees encontrad as se estableece una ecuacción. 6 Reso olver la ecuacción obtenidaa y verificar eel conjunto soolución en ell problema orriginal. Resullta útil tabulaar los datos especificados en e el problem ma, como se muestra en los ssiguientes ejeemplos, en ddonde se indiican los métodos para resolvver diferentes tipos de prroblemas conn enunciado. Problem mas relacionados con c un movimien nto con velocid dad uniforme

Por lo general, loss problemass relacionadoos con movimiento expresaan una relacióón entre la velocidad (o rappidez), las distancias recorrid das y el perioodo de tiempo o. Las expressiones fundam mentales para ressolver estos problemas p son

en dond de d represeenta la distanncia, v velociidad (o rapiddez) y t tiempo.. Cuando unaa o más de esstas expresionnes se emplean en la resoluciión de un mismo problem ma, las unidaddes deben ser compatibles; esto e es, d y v deben exprresarse en téérminos de laa misma unidad de longitud así a como v y t en la misma unidad de tiempo. t Ejempllo 1

Un gruupo de cazadores realizaron un viaje de 310 millaas en un lapso de 7 horas. Duurante 4 horass viajaron en una supercarrretera y el restoo por una vereda. Si la vellocidad prom medio en la veereda

104

ECUACIONES LINEALE ES Y FRACCIONA ARIAS

fue meno or en 25 milllas por hora que en la supercarreteraa, encuentre la a velocidad p promedio y la a distancia reecorrida para a cada uno de loss caminos. Solución

Las cantid dades descono ocidas son lass dos velocidades y las distaancias recorridass en cada parrte del trayeccto. Sea x = veloccidad por la ssupercarretera en millas por hora Entonces x – 25 = velocidad v a ttravés de la vereda v A continu uación se tabu ulan los dato os del problem ma, con las cantic dades desc conocidas ex xpresadas en términos de x. Adviértase que la ecuació ón d = vt se emplea e para obtener o las diistancias descconocidas. Distan ncia Tiempo t, Velocidad d v, d = vt, v horas millas por hora h milllas En la supeercarretera En la vere eda Total

4 7–4 = 3 7

x x – 25

4x 3(x – 25) 310

La últim a columna m muestra las doos cantidade s que son igu uales: Distanciaa sobre la suppercarretera + distancia a ttravés de la vereda v = distanciia total o 4x + 3(x – 25) = 310 Por tanto,, la ecuaciónn deseada es 4x + 3(x – 25) = 310 y se resuellve como siguue:

Resolución n de problemas con enunciado o

105

De estee modo, 55 m millas por horaa es la velociidad promedio por la supercaarretera. 55 – 25 2 = 30 así quee 30 millas poor hora es la velocidad a través de la vereda; v 4(55) = 220 millas recorridas por p la superccarretera 3(3 0) = 90 millas recorridas a través de la vereda Comprobación Ejemp plo 2

Solucción

220 + 90 = 31 10

Tres aeeropuertos, A A, B y C estáán localizadoos sobre la dirección d norte–ssur. B se encuuentra a 645 millas al norrte de A; C esstá a 540 millas al a norte de B. Un piloto viajó de A a B, en donde se retrasó 2 horas antes de proseeguir su viaje hacia C. Connsidérese quee durante la prim mera parte dell viaje el vieento soplaba desde el sur con una velociddad de 15 milllas por hora, pero, durantte el retraso del d piloto en C el viento comennzó a soplar desde d el norte,, con una veloocidad de 20 milllas por hora.. Si cada viaaje requiere eel mismo perriodo de tiempo, encuentre laa velocidad del d aeroplanoo, que es la velocidad desarroollada por el propulsor. Si se coonsidera x – velo ocidad del avvión relativa al aire, entoncees x + 15 = velocidaad del avión con c respecto a la superficcie de la Tierra mientras quee el viento s oplaba del s ur, y x – 20 = velocidad del d avión relaativa a la supperficie de la Tierra cuando o el viento sooplaba del noorte. Ahora se aplica la fórmula t – d/v para obbtener el tiem mpo requerido o para cada viaje v y se tab bulan los datoos:

106 1

ECUACIONES LINEALES S Y FRACCIONA ARIAS

De acuerddo con el enuunciado del problema, las siguientes caantidades son iguales: Tiempo en e horas de A a B – tiem mpo en hora s de B a C

Por tanto,, la ecuaciónn buscada es

Y se resueelve como siggue:

Comprobacióón

Problemas de trabajo

Ejemplo 3

Solució ón

La velocid dad relativa aal aire es 200 millas m por horra, la velocidaad con respecto a la superficiie de la Tierrra de A a B ees 200 + 15 = 215 millas porr hora, la veloocidad correspondiente de B a C es 2000 – 20 = 180 millas m por h ora, y 645 = 540 = 3. 215 180 Los probllemas relacionnados con laa rapidez de ejecución, pueden resolverse encontrando, primero la fracción f de laa labor realizaada por cada in ndividuo en la l unidad de tiempo t y entoonces encontrrando una relacióón entre las ddiferentes fraccciones. En eeste método la l unidad 1 representa r el trabajo com mpleto. Un agricu ultor puede arrar un campoo en cuatro ddías empleando un tractor. Suu peón puedee arar el mism mo campo en sseis días utilizzando un tractorr más chico. ¿Cuántos díaas se requiereen para el araado, si ellos trabajan juntos? Sea

Resolución de problemas con enunciado o

107

x = núm mero de días rrequeridos paara arar el caampo si ellos trabajan juntos. Ahora se tabulan loos datos y se completa la solución: Agricultor Días reqqueridos para arar el campoo Parte arrada en 1 día

Ayudante

4 1 4

6 1 6

Juntos x 1 x

Las canntidades que son iguales: Parte reealizada en uun día por el agricultor + parte hechaa por el ayudan nte = parte hecha h por am mbos

Comproba ción

Ejemp plo 4

Solucción

En 2 25 días el agriccultor ara 125 ( 41 ) = ara 125 ( 16 ) = 52 ddel campo, y 53 + compleeto.

3 5 2 5

del campo. El ayyudante = 11, o sea el campo

Si en ell ejemplo 3, eel ayudante trabajó un día con c el tractorr chico y despuéss fue ayudaddo por el patrón. ¿Cuánttos días necesitaron para terrminar el traabajo? Ya que el ayudante aró i del cam mpo en 1 día, arar. Seea

5 6

se quedaroon sin

x – núm mero de días requeridos para p terminaar el trabajo. Entoncees x/4 es la pparte arada po or el agriculttor, y x/6 es la parte arada por p el ayudannte. De aquí que,

108

ECUACIONES LINEALES Y FRACCIONARIAS Problemas de mezclas

Muchos problemas comprenden la combinación de ciertas sustancias con concentraciones especificadas, generalmente expresadas en porcentajes, a una mezcla con una concentración requerida de una de las sustancias. Otros implican la mezcla de ciertas mercancías de precios específicos. En tales problemas debe recordarse que la cantidad total de cualquier elemento dado en una mezcla, es igual a la suma de las cantidades de ese elemento en las sustancias combinadas y el valor monetario de cualquier mezcla es la suma de los valores de las sustancias que se combinan.

Ejemplo 5

¿Cuántos galones de un líquido que tiene el 74% de alcohol deben ser combinados con 5 galones de uno que tiene el 90% de alcohol para obtener una mezcla de 84% de alcohol?

Solución

Si x representa el número de galones que se necesitan del primer líquido y recordando que 74% de x es 0.74x, entonces la tabla que muestra los datos del problema se explica por sí misma.

Primer líquido Segundo líquido Mezcla

Número de galones

Porcentaje de alcohol

x 5 x+5

74 90 84

Número de galones de alcohol 0.74x 0.90(5) =4.5 0.84(x + 5)

Cantidades que son iguales Número de galones de alcohol en el primer líquido + número de galones en el segundo = número de galones en la mezcla Por lo que, la ecuación es 0.74x + 4.5 = 0.84(x + 5) y la solución, obtenida por el método usual, es x = 3. Otros problemas en palabras

Hay una variedad extensa de problemas que pueden resolverse por medio de ecuaciones. El acceso fundamental a todos ellos es el mismo y abarcan dos cantidades, una de ellas o ambas incluyen la incógnita, que son iguales.

Ejemplo 6

Encuentre tres enteros impares consecutivos tal que su suma sea 69.

Resolución de d problemas co on enunciado

Solución n

109

Un enteroo impar puedee escribirse coomo 2x + 1, ddonde x es un entero. Entoncess los tres ennteros imparres consecuttivos son 2xx + 1, (2x + 1) + 2 = 2x + 3,, y (2x + 1) + 4 = 2x + 5. P Puesto que su u suma es 69, see tiene (2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 69 6 6x + 9 = 69 6 6x = 60 6 x = 10 De aquíí que los núm meros sean 2x 2 + 1 = 2(100) + 1 = 21,221 + 2 = 23, y 23 + 2 = 2 5.

Ejemploo 7

La Sra. Sánchez S tienee algo de dineero invertido al 5% y $4 000 más que esta cantidad al 7 %. Si su innterés anual de estas doss inversiones ess de $1 120. ¿Cuánto tienne invertido en cada unaa de las tasas?

5 Solucióón Si ella tieene x pesos innvertidos al 5 %, su interéss anual es 100 x. La 7 )( x + cantidad invertida al 7% es x + 4 000, y su intterés es ( 100 4 000). El E interés totaal es $1 120, así

De aquí que ella tienne $7 000 al 5% y $11 0000 al 7%.

EJERCICIO 4.4 4

Problem mas con enunciado

1 Encuenttre tres enteross consecutivoss tales que su suma sea 72. 2 Una ageente de ventas visitó v a 20 clieentes en 3 díass. Si el segundoo día ella visittó a uno más quee en el primer día d y en el tercer día a 3 más que en el seguundo. ¿Cuántass visitas efectuó por día? 3 Dos monnedas raras tiennen un valor de d $90. Si el vaalor de una de eellas es 1 1/2 veeces el valor dee la otra. ¿Cuáánto vale cadaa moneda? 4 Un granj njero utilizó 1 960 9 pies de maaterial para connstruir una cerrca en un terren no rectangularr. Si el ancho del d terreno es 3/4 partes de lo largo, ¿cuáles son sus dimennsiones?

110

ECUACIONES LINEALES Y FRACCIONARIAS

5 Pedro y María tienen un total de $599 en sus cuentas bancarias. Si Pedro tiene $213 más en su cuenta que María, ¿cuánto hay en cada cuenta? 6 David determinó que cuando completó las 14 horas de ese semestre se encontraba a la mitad de horas crédito necesarias para obtener su grado. Si al principio del semestre él hubiera tenido 0.4 de los créditos que él necesitaba, ¿cuántas horas crédito más son necesarias para obtener su graduación? 7 José y Lucy pescaron 21 libras de peces. Si José consiguió 3.4 libras más que Lucy, ¿cuántas libras pescó cada uno? 8 Un oficial de seguridad en determinada compañía encontró que de los 62 accidentes de los vehículos de la compañía durante el año anterior, ocurrieron 8 más cuando el vehículo iba en reversa, que cualquiera otra clase de accidentes combinados. ¿Cuán tos accidentes de vehículos que iban en reversa ocurrieron? 9 Susana, Jorge y Juan trabajaron un total de 21 horas de tiempo extra. Si Susana y Jor– ge trabajaron juntos durante 15 horas y Juan trabajó 2 horas más que Susana, ¿cuán tas horas extras trabajó cada uno? 10 El Sr. Pérez fue multado por ir con 17 millas por hora de exceso de velocidad. Si su velocidad hubiera sido 18 millas por hora más rápido, entonces la velocidad sería el doble que la velocidad permitida. ¿Cuál es la velocidad permitida? 11 Tres de cuatro jugadores de póquer perdieron dinero. El Sr. García perdió la cuarta parte del total en dinero, el Sr. Fernández perdió $10 más que el Sr. García, y el Sr. Blanco perdió $6 más que el Sr. Fernández. ¿Cuánto ganó el cuarto jugador? 12 Un parque de diversiones cobra $1.80 por persona, pero tiene boletos con descuento de $1.55. Si se obtuvieron $635.90 al vender 363 boletos, ¿cuántos boletos, con des cuento, fueron vendidos? 13 La Sra. Martínez, al jugar naipes, tuvo un total de 27 puntos en su mano contando los ases, reyes y reinas usando el sistema de 4 puntos por as, 3 puntos por rey y 2 por reina. Si ella hubiera tenido un as más que reyes y 5 de sus cartas no fueran cartas al tas, ¿cuántos ases hubiera tenido? 14 Un hombre compró un traje en barata con el 10% de descuento y su mujer compró un vestido con el 15% de descuento. El precio original de ambos era de $160 y paga ron $141. ¿Cuál era el precio original del vestido? 15 Magda y Ana en un mes ganaron $30.80 cuidando bebés durante 30 horas. Excepto en un trabajo, en el cual Ana ganó $0.60 por hora, todos los demás fueron remunerados a $0.50 por hora. ¿Cuántas horas trabajó Ana con la paga mayor? 16 Una librería recibió $628.75 en la venta de 470 copias de un libro. Si el libro estaba disponible en edición con pasta gruesa con un precio de venta de $4.00 y en una edición económica con un precio de 75 centavos. ¿Cuántas copias de cada tipo de la edición se vendieron? 17 En la venta anual de dulces, una niña de la organización tenía dos veces más de cajas de mentas que de chocolates surtidos. Después de que ella vendió dos cajas de cada

Resolución de problemas con enunciado

111

tipo de dulces, ella tenía tres cajas más de mentas que de chocolates. ¿Cuántas cajas de dulces quedaron por vender? 18 Durante las primeras 6 semanas de las sesiones de verano en una universidad, había inscritos 3 veces más de estudiantes extranjeros que de estudiantes no–extranjeros. De este número, 6 000 extranjeros y 1 000 no–extranjeros no se inscribieron para la segunda parte de sesiones de verano, pero 9 000 estudiantes de nuevo ingreso no–extranjeros se inscribieron. Si había dos veces más de estudiantes no–extranjeros que extranjeros. ¿Cuál fue la inscripción para las primeras sesiones del verano? 19 En una cierta comunidad, hay 400 republicanos registrados más que demócratas. Si la edad para votar hubiera cambiado de 18 a 21 años, los republicanos y los demócratas hubieran perdido 100 votos cada uno y hubiera habido entonces 7/3 más republicanos que demócratas. ¿Cuántos votos registrados sobre 21 hay en la comunidad? 20 Un hombre obeso pesó lo doble que su esposa. Después de perder 30 libras, él pesó 1 Vé veces más que su esposa. ¿Cuánto pesó su esposa? 21 El segundo número de la combinación para abrir una caja fuerte es lo doble del primero, y el tercer número es 1/4 del segundo. Si la suma de los dos números en la combinación es 42. ¿Cuál es la combinación? 22 La fuente de sodas en un estadio de las pequeñas ligas de béisbol vendió $43.20 durante un juego. Si había 20 billetes de un dólar, 20 monedas de un centavo, 15 monedas de diez más que de a veinticinco y 15 de cinco más que de diez. ¿Cuántas monedas de cinco, de diez y de veinticinco había? 23 Si 20 galones de agua a una temperatura de 65 °C es mezclada con 20 galones de agua a 81 °C. ¿Cuál es la temperatura resultante de la mezcla? 24 Un frasco de 5 litros destinado para contener una solución al 15% de ácido hidroclorhídrico fue encontrada con una solución al 25% de este ácido. ¿Qué volumen debe sacarse del frasco y entonces agregar agua destilada para obtener una solución al 15%? 25 Un grupo de turistas abordó un camión que viajaba a una velocidad promedio de 50 millas por hora para visitar una ciudad; ahí, ellos recorrieron parte de la ciudad a pie. Si ellos caminaron a una velocidad promedio de 3/4 de milla por hora y el lapso total de la excursión fue de 71/2 horas, recorriendo una distancia de 178 millas, ¿qué distancia recorrieron a pie? 26 El grupo de turistas mencionado en el problema 25 realizaron, al día siguiente, una excursión a lo largo de un río a un punto que distaba 100 millas de la ciudad; el regreso a la ciudad lo hicieron en bote. Si la velocidad promedio del bote era 5/8 la del autobús y el viaje en bote fue de 11/2 hora mayor que la del autobús, ¿cuánto tiempo viajó el grupo ese día? 27 El chofer de un vehículo de reparto recorrió 30 millas por una autopista para ir desde un almacén, en el centro de la ciudad, hasta los suburbios en donde entregó paquetes a lo largo de una ruta de 24 millas. Tomó 2 23 horas más entregando paquetes que cuando viajó hacia los suburbios. Encuentre la velocidad promedio en cada parte del

112

ECUACIONES LINEALES Y FRACCIONARIAS

trayecto si se sabe que viajaba a una velocidad de 35 millas por hora más rápido en la autopista que en los suburbios. 28 Un aeropuerto B se encuentra a 90 millas al norte de un aeropuerto A. Un piloto, en una avioneta, viajó de A a B, almorzó y comenzó su regreso a. A; para el mismo lapso que en la mañana, él había recorrido solamente 60 millas al regreso. Si el viento soplaba del sur con velocidad constante de 20 millas por hora durante todo el día, encuentre la velocidad relativa al aire de la avioneta. 29 Dos vecinos cuyos lotes tienen el mismo ancho, tomaron 12 y 16 horas, respectivamente, construyendo las tapias de la parte de atrás de su cercado. ¿Cuánto tiempo les tomaría construir una valla de igual longitud entre sus cercados si trabajaran juntos? 30 Un trabajador voluntario requirió 2 horas para escribir la dirección de un grupo de sobres para un fondo de caridad, mientras que el segundo trabajador requirió 3 horas para el mismo grupo de sobres, ¿cuánto tiempo tomaron los 2 trabajadores para escribir la dirección a un grupo similar de sobres? 31 Un trabajador de mantenimiento necesitó 8 horas para lavar las ventanas de cierto edificio. El mes siguiente su ayudante tomó 10 horas para lavar las ventanas. Si los dos trabajadores lo hicieran juntos, ¿cuánto tiempo tomarían en lavar las ventanas? 32 Juan pudo leer la corrección del periódico de la escuela en 1 hora, mientras que Luisa lo hizo en 11/4 horas. Un día ellos trabajaron juntos por 1/3 de hora y Juan tuvo que dejar a Luisa terminando ella el trabajo. ¿Cuánto tiempo tomó ella para concluirlo? 33 Marta y María trabajaron juntas armando un rompecabezas durante 3 horas. Entonces Marta se fue y María terminó el rompecabezas en 30 minutos. Marta había arma do rompecabezas similares en 6 horas, ¿cuánto tiempo hubiera tomado María para armar sola el rompecabezas? 34 Un trabajador político pudo doblar suficientes boletines para una lista de correspondencia en 10 horas, su esposa pudo hacer el trabajo en 12 horas y su hija en 15 horas. Si ellos trabajaran juntos, ¿cuánto tiempo se hubiera requerido para realizar el trabajo? 35 Tomás, Marco y Beto tenían 900 volantes para distribuir. Cada niño podía distribuir un promedio de 120 volantes por hora. Tomás empezó a las 8:00 a.m., Marco a las 8:30 a.m. y Beto a las 9:00 a.m. ¿A qué hora terminaron? 36 Un agricultor tiene un tanque de almacenamiento para irrigación; puede llenarse en 10 horas por un tubo de entrada y vaciarse en 8 horas. Si al principio del trabajo de irrigación, el tanque está lleno y ambos tubos abiertos, ¿en cuánto tiempo se vaciará el tanque? 37 Tres personas pueden limpiar los cuartos de cierto hotel en 8 horas, pero 2 personas necesitarían 12 horas para limpiar todos los cuartos. Un día dos personas iniciaron el trabajo a tiempo pero la tercera llegó 3 horas más tarde, ¿cuánto tiempo tomaron las tres personas para terminar la limpieza? 38 Un padre y sus dos hijos decidieron instalar un sistema de irrigación en su jardín. El padre tomaría 8 horas para hacer el trabajo, el hijo mayor 12 horas y el pequeño 16

Resolución de problemas con enunciado

113

horas. Ellos empezaron el trabajo juntos, pero después de 2 horas el pequeño se retiró a jugar béisbol y el mayor, 1 hora después, también se retiró. ¿En cuánto tiempo más el padre terminaría solo el trabajo? 39 A los nuevos miembros de una tripulación se les pagó $22.50 por día, a los miembros con experiencia de la misma tripulación, a $25.80 por día. Si el promedio de la paga diaria en la tripulación era de $24 por trabajador y la paga diaria es de $129 contando a los nuevos miembros y miembros con experiencia, ¿cuántos miembros nuevos había en la tripulación? 40 ¿Cuántos galones de una solución salina al 25%, debe mezclarse con 10 galones de una al 15% para obtener una solución al 20%? 41 Una solución al 1% de insecticida fue necesaria para rociar un árbol, pero por un error al mezclarse, el rociador de 8 galones se llenó con una solución al 0.6% de insecticida, ¿qué volumen de solución debe sacarse del rociador y sustituirse con una solución del 8.6% para obtener la concentración deseada inicialmente? 42 Una química mezcló 35 mi de una solución de ácido nítrico al 4% con 65 mi de una solución al 12%. Ella usó una porción de la mezcla y la reemplazó con agua destilada. La nueva solución contenía un 6.9% de ácido nítrico. ¿Qué volumen de solución original fue empleada? 43 En su último viaje del día, un camión de volteo que llevaba una carga de tierra, recorrió 8 millas desde una excavación hasta el lugar de construcción; después de descargar la tierra, el camión fue dejado en su lugar de encierro a 33 millas de distancia. Cuando el camión iba cargado su velocidad era de 2/3 de la velocidad cuando viajaba vacío, siendo el tiempo total de 1 hora; determine las velocidades promedio estándo vacío y cargado. 44 Un señor condujo su automóvil a una velocidad de 30 millas por hora, yendo desde su casa hasta la estación del ferrocarril; ahí, aguardó 40 minutos abordando posteriormente el tren; la velocidad de éste era de 45 millas por hora y se dirigía hacia la ciudad. Si el recorrido total fue de 35 millas realizándolo en 1 hora, ¿qué tan lejos vivía de la estación? 45 El aeropuerto A está localizado a 325 millas al norte de otro en B; a su vez, un aeropuerto C está a 460 millas al este de uno en B. En una avioneta, un piloto, voló de A a B en un día y al día siguiente lo hizo a C. El primer día el viento soplaba desde el sur a 12 millas por hora y desde el oeste a 16 millas por hora durante el segundo día. Determine la velocidad del avión considerando que ambos vuelos tomaron el mismo tiempo. 46 Un camión transportaba a un grupo de albañiles yendo desde el campo de construcción hasta el lugar de trabajo. Seis minutos más tarde, el ingeniero salió del campo en una camioneta rebasando al camión a las 5 millas. El lapso del camión para ir desde el campo al lugar de trabajo fue de 24 minutos y para el de la camioneta fue de 12 minutos; encuentre la velocidad promedio del camión. 47 El Sr. Fernández hizo un préstamo de $1 000 en determinada compañía, aceptando pagarlo en mensualidades iguales más el 1% de interés mensual. Al final del quinto mes, él había pagado un total de $45 de intereses. Encuentre el monto mensual.

114

ECUAC CIONES LINEALES Y FRACCION NARIAS

48 Una mujjer invirtió $1 440 en el cap pital de una co ompañía y $2 160 en el cap pital de otra. El precio p por acciión del segund do capital era 2/4 2 del primerro. El siguientee día el precio deel capital más caro bajó a u una razón de $0.75 $ por accción, mientras que el precio deel otro, aumenttó en $1.50 po or acción. Com mo resultado dee lo anterior, el e valor de la inveersión aumentó ó en $45. Encu uentre el precio o por acción d del capital más caro.

4.77

RESUMEN N Dos ecuacciones son eqquivalentes si s tienen el m mismo conjunnto solución. Las solucionees dadas en (4.1) y (4.2)) son básicass para determinaar si dos ecuaaciones son equivalentes, e establecen laa posibilidad dee sumar la m misma expressión a amboss miembros de d una ecuación y que amboos miembross pueden muultiplicarse por p la misma exxpresión difeerente de cerro. Se estudiian las ecuacciones condicionnales e idéntticas (se trat a básicamennte con ecuacciones condicionnales). Se reesuelven lass ecuacioness lineales y fraccionarias que puedeen transform marse a lineeales. El cappítulo concluye con los probblemas enuncciados, los cuuales pueden resolverse a paartir de ecuacciones lineales.

EJERCICIO 4.55

Repaso

1 Encuentree el conjunto verdad v para laa proposición "H " 2O es el sím mbolo químico para x". 2 ¿Es x2 + 25 = (x + 5)2 una identidad d o una ecuació ón condicionaal? Diga si las siguientes prop posiciones son verdaderas o falsas f

5 Demuesttre que 5 es un na solución de x/5 + 1 = x – 3. 6 Las ecuaciones 6x – 1 = 2x + 3 y x = 1 ¿son equivaalentes? 7 Las ecuacciones 2x 2 – 1 = 3x y 4x 2 – 66x = 2 ¿son eqquivalentes? Resuelva las ecuaciones en n cada uno de los problemass del 8 al 20.

Resumen n

115

21 Demuesttre que no exiiste solución ppara

22 Si Alfred do tiene x monnedas de diez y Beto tiene 3 más que el ddoble de moneedas de diez quee tiene Alfredoo, ¿cuántas moonedas de diezz tiene Beto? 23 Si Alberrto tenía x añoos hace 3 años y ahora tienee dos veces máás años que Paatricia, ¿cuál es la edad de Paatricia? 24 El denom minador de unaa fracción es 3 más que el nuumerador. Si el e numerador y el de nominad dor aumentan en e 1, el valor de d la fracción resulta r ser 1/2. ¿Cuál es la fraacción original?? 25 Una cadena con 24 arggollas se cortaa en 3 partes. Encuentre E el núúmero de argoollas en 2 más de la parte más chica si tiene t d argollas que e cada una de las otras dos partes. 3 26 Un homb bre toma el dooble de tiempoo que una máqquina para reallizar un trabajoo. Juntos puedden efectuar el trabajo en 6 hhoras. ¿Cuánto o tiempo tomaaría el hombre por sí solo para hacer el trabbajo? 27 Una quím mica requiere de d 6 litros de una u solución al a 10% de ácidoo, mezclando dos d soluciones; una al 7% y otra al 12%. ¿¿Cuántos litross de cada una nnecesita para obtener o la soluciión deseada? 28 Resuelvaa s = (a – rl)/ (l – r) para r. 29 Demues tre que a/b = c/d si y sólo ssi (a + c)/(b + d) = c/d. 30 Pruebe (4.1). ( 31 Pruebe (4.2). (

5 exponentes, raíces y radicales

En la ecuación (1.20) se definió el significado de exponente entero positivo y el número a0, a ≠ 0 ; asimismo, se establecieron las leyes respectivas para el producto y cociente de dos potencias enteras positivas para un mismo número; empero, la aplicación de estas leyes y definiciones fue muy limitada. Los campos donde las Matemáticas encuentran aplicación requieren extender el concepto de exponente. En consecuencia, en este capítulo se extenderá la definición de exponente para incluir valores negativos y racionales. Las extensiones se harán de manera tal que las leyes desarrolladas en el capítulo 1 continúen siendo válidas. También se desarrollarán leyes para una potencia de un producto y de un cociente, además de explicar cómo se usan los conceptos y las leyes introducidas con anterioridad así como también la aplicación de los conceptos y leyes aquí introducidas para situaciones que presentan un grado de dificultad mayor que las consideradas en el capítulo 1. 5.1

Potencia n–ésima Base Exponente

LEYES DE EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS Se principiará por repetir la definición de un exponente entero positivo así como las leyes de los exponentes desarrolladas en el capítulo 1. Si n es un entero positivo, entonces el producto a • a • a • • • n veces, se llama la potencia n–ésima de a y se escribe como an . El número a es la base y n es el exponente. En forma simbólica se listan la definición y las leyes desarrolladas en el capítulo 1 para conveniencia del lector.

Leyes de exponentes entteros positivos

117

A conntinuación se establecen trres leyes adiccionales para los exponentes enteros possitivos. Si se aplica la deffinición de unn exponente enntero positivoo al número (a am)n, se obtiene

En conssecuencia, se tiene Potencia de una poten ncia

(am)n = anm

Si se aplica la deffinición a (ab))n, se obtienee

Por tanto, Potencia de un produccto

Puede demostrarse d en forma sim milar que Potencia de un cocien nte

Ahorra se muestraa la aplicacióón de las leyees (5.1) a la (55.7) con algunoss ejemplos.

118

EXPONE ENTES, RAÍCES Y RADICALES

Simplificando

Ejemplo 9

Soluciónn

Se dice quue una expressión que incluuye exponenttes enteros poositi– vos está siimplificada ssi todas las coombinacioness están hechaas, las que puedeen efectuarse con la ayudaa de (5.1) a (5.7). Los proocedimientos esstán explicaddos en los siguientes ejemplos. Simplifiquee

Para simplificar, se eleevará cada prooducto y cociente a la pottencia indicada empleando e (55.5), (5.6) y (5.7), entoncees se aplica (55.2) y por últimoo se reduce a la mínima expresión e utiilizando (5.3).

Si se inntercambian los miembross de (5.6) y dee (5.7), se ob btiene

Leyes de ex xponentes ente eros positivos

119

Esto justifica la práctiica de multip plicar o dividdir las dos baases y entonces elevando el resultado a la l potencia ccomún. Ejemplo 10

Ejemplo 11

Simplifiqque

Simplifiquue

Advertencia 1 Al apllicar (5.5), esté e seguro dde recordar que el exponentee dentro del paréntesis se multiplica por el de affuera y no elevarrlo a la potenncia indicadaa. Así que,

120

EXPONE ENTES, RAÍCES Y RADICALES

Advertenccia 2 Si x a s e multiplica por y b , es p osible indicaar únicamente el e producto, o sea x a y b a menos m que x = y o a = b. Si las bases son iguales, i se utiiliza la base c omún y se sum man los expon nentes. Si los exp ponentes son iguales, se emplea e el expponente comú ún y se multiplican n las bases. Poor consiguientte a2a5 = a5 y a2b2 = (ab)2, como puede verrse de (5.2) y (5.6').

EJERCICIO E 5.1

Exponentees enteros possitivos

E Ejecute las op eraciones indiicadas en los pproblemas dell 1 al 44.

E Exponentes ente eros negativos

5.22

121

EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS En esta sección s se ex xtenderá la definición d de an para inclu uir una -t interpretación de a , een donde t > 0 y a ≠ 0. Si se hace a un lado la restricció ón m > n en lla ley (5.3), se s tiene, ya qu ue – t = t –2tt,

A conttinuación se d demuestra qu ue las leyes (5 5.2) y (5.3) se s satisfacen al considerar c essta interpretacción de expon nentes negativos. A fin de deemostrar que (5.2) se cum mple, es necessario demosttrar que a –t a- r = a –t –r. Por ((5.8) se tiene

Para demostrar d quee (5.3) se sattisface, es necesario demo ostrar que a –t / a- r = a –t–(–r). Aplicando una u vez más (5.8) se obtieene

122

EXPONE ENTES, RAÍCES Y RADICALES

Puesto que las leyess (5.4) a (5.7) se derivaron a partir de las leyes (5.2) y (5.3); ( esto quiere q decir, entonces, qque esas leyyes se cumpliránn cuando se incluyan exp ponentes neggativos, o seea, que las restriccciones impueestas a las leyyes (5.2) a (55.7) se han elliminado; en ellas se pedía que m fuera mayor m que n; lla única restrricción que aún se s tiene es quue m y n seann enteros. En muchas ocasionnes es recom mendable, en caso de tener una fracción como c denom minador, numerador o ambbos, que conttengan exponentes negativos,, transformarrla a una fraccción igual en donde todos loss exponentess resulten seer positivos.. Para lograar este propósitoo se aplica e l principio fundamental f de las fraccciones. Por ejemplo, para coonvertir axb-y/c / zd-w a una fracción igu ual sin exponentees negativos es necesario o, primero, obbservar que b– y • by = b-y+y = b0 = 1. O sea qque si se multtiplican las frracciones daddas por by /by , se obtiene o

Asimismoo, si se multipplica el segunndo miembroo por dw/dw, see obtiene

Esos dos pasos p puedenn combinarsee en una sola operación all multiplicar laa fracción da da por by dw/bby dw resultanndo

Este ejeemplo sugierre seguir el siguiente proocedimiento por el cual una fracción f tal qque el numerrador o el deenominador, o ambos, son monomios que q contienenn exponentess negativos, puede expresarsee como una fracción f iguall con todos loos exponentess positivos.

Exponentes enteros negativos Eliminación de exponentes negativos

Ejemplo 1

123

Para cada potencia negativa de un número que ocurre en el numerador o en el denominador, se multiplican tanto el numerador como el denominador por ese número con el exponente positivo numéricamente igual. Transforme

para obtener una fracción igual pero tal que todos sus exponentes sean positivos. Solución

Ejemplo 2

Las potencias negativas de los números en el numerador y denominador son b–3, c–2, x–1, z–3. Por lo que es necesario multiplicar cada miembro de la fracción dada por b3c2xz3 y obtener

Exprese

como una fracción igual pero que contenga únicamente exponentes positivos.

Solución

124

EXPONENTES, RAÍCES S Y RADICALES

Si el nuumerador y ell denominadoor o ambos soon polinomioss, y si alguno de los dos o am mbos tienen exponentes e neegativos, se utiliza u el princip pio explicadoo con anterioridad para eliminar, dee este modo, loss exponentess negativos. Por P ejemplo,, para transfo ormar (x–1 + y–1)/(x ) –2 – y–2) en una fraccción igual enn donde todoos los exponentees sean positiivos, es necesario notar qque tanto x coomo y aparecen con c exponentte –1 y –2. Po or consiguientte, si se multiiplica la fraccióón por x 2 y 2 /xx 2 y 2 , se obtiiene una fraacción tal quue los exponentees tanto de x como de y son positivoss. Los detallees del proceso so on

Ya que las leyes (5.22) a (5.7) se cumplen c paraa exponentes negativos y poositivos, es pposible, enton nces, empleaarlas para traabajar con potencias combinaadas del mism mo número inndependientem mente de los sign nos de los expponentes. En loos siguientes eejemplos se hará h el mayor núm mero de aplicaciones possibles a las leeyes (5.2) y (5.7) y se expresaarán los resultaados sin exponentes negativvos o cero.

Exponentes entteros negativos

EJERCICIO 5.2 5

125

Exponen ntes negativos

Encuentre ell valor de la exxpresión en caada uno de loss siguientes prroblemas.

Escriba cada a expresión enn los problemaas del 25 al 322 «n denominaadores. Incluyya exponentes negattivos si es neceesario.

Haga todas las l aplicacionees posibles de las leyes (5.2) a la (5.8), 31 exprese los sigguientes problemas de d tal modo quue no contenggan exponentees negativos.

126

EXPONENTES, RAÍCES Y RADICALES

5.3

EXPONENTES FRACCIONA ARIOS Ahora, se extenderá la definición dee an para inclluir situacionnes en las que n sea s una fracciión racional. La extensiónn será hecha de d tal manera quee las leyes (5..2) a la (5.7) se s cumplan. S Si (5.5) se satiisface para m = 1/k y n = kk, entonces se s tiene (a1/k)k = ak/k = a. a En 1/k consecuenncia, se defiine a com o un númerro cuya poteencia k–ésima ess a. A menoos que se añaadan nuevas restriccioness, a1/k puede teneer más de un valor. v Por eje mplo, 161 / 2 ppuede ser 4 o –4 ya 2 2 que 4 = 166 y ( – 4) = 166. Se eliminará esta ambigüüedad al consiiderar las definiciones siguienntes.

Raíz k–ésim ma El número b es una raíz íz k–ésima de a si y sólo si bk – a. Raíz principaal Si existe unna raíz k–ésim ma positiva de a, a se llama raíz íz k–ésima prinncipal de a. Si noo existe una raíz k–ésimaa positiva de a pero existe una negativa, entonces la raíz k–ésimaa negativa es llamada laa raíz k–ésima prrincipal de a. a

Exponentes fraccionarios Radical de orden k Radicando índice

127

Es costumbre escribir para indicar la raíz k-ésirna principal de a. Este símbolo se llama radical de orden k, a es el radicando y k el índice del radical. Si el índice no se escribe, se sobreentiende que es 2. Ahora se está en posición de definir a1/k. La definición es (5.9) Hay una raíz k-ésima positiva de a si a es positiva; por tanto a 1/k es positivo para a > 0. Por ejemplo, 64 1/3 = 4 y 36 1/2 = 6. Puede demostrarse que si a es positiva y k es impar, entonces existe una raíz k-ésima negativa de a. Por ejemplo, (–32)1/5 = –2. Finalmente, no existe una raíz k-ésima real de a si a es negativo y k es par, puesto que una potencia par de cualquier número real diferente de cero es positiva. Por consiguiente, no existe una raíz cuadrada real de –4 y tampoco una raíz cuarta real de –81. En este capítulo se tratará únicamente con números reales; por tanto, no se considerarán raíces pares de números negativos. Si al reemplazar a por bj en (5.9), se encuentra que (b j ) 1/k En consecuencia (bj)1/k es una raíz k-ésima de bj. Ahora bien, si se eleva (b1/k)j a la k-ésima potencia, se obtendrá

Por tanto (bj)1/k y (b1/k)j son ambas raíces k-ésimas de bj, y es posible demostrar † que, excepto por el caso no incluido, las dos raíces tienen el mismo signo y por consiguiente son iguales. Luego, para real, se obtiene Exponentes racionales

Aplicando (5.10) y argumentos paralelos a los considerados es posible demostrar que las leyes de la (5.2) a la (5.7) se cumplen para exponentes fraccionarios, como quedó definido por (5.9). A continuación se trabajará con varios problemas con objeto de ejemplificar los procedimientos a seguir y poder tratar con exponentes fraccionarios. † Véase P. K. Rees, F. W. Sparks y C. S. Rees, Algebra and Trigonometry, 3a. ed., pág. 114, McGraw-Hill Book Company. Nueva York, 1975.

128

EXPONE ENTES, RAÍCES Y RADICALES

91/2, 272/33, y

Ejemplo 1

Determiine

Ejemplo 2

Exprese 2a 2 1/3b2/3

y

(–128)5/7.

3a 2 / 5 /b 3 / 5 con radicales

.

Solución

Ejemplo 3

Encuent re el product o de 3a 2/5 y 22a 1/3 , así com mo también el cociente dee 8x2/3y5/6 y 2x1//2y1/3

Ejemplo 4 Aplique las leyes de los exponentes para p conseguuir todas las comc

binaciones posibles; adeemás expresee el resultadoo sin exponeentes negativos y sin cero en

Exponenttes fraccionarios

EJERCICIO 5.3 5

129

Radicalees y expresionnes exponenciaales

Determine ell número que corresponde c a cada uno de los l problemas, del 1 al 20, siin exponentes o radiicales.

Haga todas las l combinacioones posibles usando u las leyyes de los expoonentes y exprrese cada forma final sin s exponentes negativos y eel cero sin expponentes fraccionarios en ell denominador.

130

EXPONE ENTES, RAÍCES Y RADICALES

5.4

LEYES DE LOS RADICALESS En esta seccción se desarrrollarán y ap plicarán las trees leyes de lo os radicales. Pu uesto que (55.6) y (5.7) valen v para n = 1/k, entonnces

Ahora bienn, consideranndo la relacióón que hay eentre expone ntes fraccionariios y radicalees, es posiblee escribir

Si se reem mplaza m poor 1/j y n por 1/k en (5.5), se tiene (a1/j/j)1/k = 1/jk a ; de aquí a que, en términos de radicales, see obtiene

Leyes de e los radicales

131

Es posible aplicar (5.111) para elim minar factoress racionales del d radicando, para p multipliccar radicales del mismo orden así com mo para insertar factores f al raadicando, co omo se veráá en los siguuientes ejemplos:

La ley (5.12) se em mplea para ob btener el cociiente de dos radicar les del mismo m orden y para racioonalizar denoominadores monom mio, com mo a continuaación se mueestra:

A menud do se necesitaa convertir un n radical conn un radicandoo fraccionario a una fraccióón igual sin que q contengaa radicales enn el de–

132

EXPO ONENTES, RAÍCE ES Y RADICALES S

Racionalización de d un denominado or

nominad dor. Si esto ess hecho, se dice d que el deenominador ha h sido racionaliizado. Para raacionalizar un u monomio en el denom minador, debe mu ultiplicarse ell denominadoor de un radiical de orden n n por los factoores necesarrios para con nseguir que sea una po otencia n–ésima;; por supuestto, se multipllica el numerrador por el mismo factor. De D esta maneera, para raciionalizar el ddenominadorr de

se multipplica el denom minador y el numerador ppor 33ab2, ya que q con esto se logra l que el denominadoor esté a la cuarta potenncia. En consecueencia, se tienne

Ahora bien, para raacionalizar el e denominaador de √2xx/3y, se multiplicca el numeraddor y el denoominador poor 3y y se tieene

5.55 Disminu uir el índicce

CAMBIO DEL D ORDEN DE UN RADICALL

Si el índiice de un raddical puede faactorizarse y si, además, el radicando puuede expresaarse como unna potencia ccon el exponeente de la potenccia igual a unno de los facttores del índiice, entoncess es posible dism minuir el ordden del radiccal. Así,

Cam mbio del orden de un radical

133

Procedimien nto adicion nal

Es poosible obteneer el mismo resultado mediante un procedip miento que q consiste een cambiar dee la forma conn radicales a la l forma con expponentes fracccionarios; se reducen loos exponentees fraccionarios hasta lograar la mínima expresión y entonces se expresa el resultaado con radiccales. Si este procedimiennto se utiliza en e combinaciónn con el ejem mplo anteriorr, entonces

Simplificcar radicaales

En el siguiente ejerrcicio, se empleará la palaabra simplificcar para indicar que q todas lass combinaciones posibles que pueden hacerse al aplicaar las leyes de los exponnentes. El reesultado es para p ser expresaddo sin exponeentes negativoos y sin incluuir el exponennte cero, todos loss denominadores monomiio están para ser racionaliizados y todos loss factores racionales son para p ser eliminnados del rad dicando.

EJERCICIO 5.4 5

Simplificación de radiccales

Simplifique los l siguientes radicales.

1 134

EXPONE ENTES, RAÍCES Y RADICALES

4 47 50 5

R Reduzca el ordden de cada un no de los siguuientes radicalles y simplifiqque.

5.6

RACIONALLIZACIÓN DE D DENOMINADOR RES BINOMIO

El productto de la sumaa y la diferenncia de dos nnúmeros iguaales es el cuadraddo del primeero menos ell cuadrado del d segundo; o sea que el prooducto de √aa + √b y √a – √b es (√a))2 – (√b)2 = a – b. En consecuuencia, si el ddenominadorr de una fraccción es un bin nomio que contiiene radicalles de segu undo orden,, es posiblle racionalizarllas multipliccando cada miembro m de la fracción por p el binomio obtenido al caambiar el sig gno entre los términos en el denominadorr.

Adición de radicales

5.7

135

ADICIÓN DE D RADICALESS Dos o máás términos quue contengann un factor coomún puedenn combinarse a un término úúnico aplicanndo el axiomaa distributivo. Así, por ell axioma distriibutivo Este ejem mplo especifi fica el proceddimiento seguuido por la adición a de radicaales. Es recoomendable simplificar cadda radical quue será sumando o, ya que cuaalquier factorr común seráá, entonces, posible p detectarlo. Por ejempplo,

136

EXPONE ENTES, RAÍCES S Y RADICALES

Puede suceder que los términos quue se sumaránn no contenggan un factor com mún pero son tales t que puedden ser agruppados de tal manera m que existaa un factor común para cada c grupo, ccomo se mueestra a continuación

Al sum mar dos radicaales debe teneerse presente el hecho de que q sólo pueden suumarse si tieneen el mismo ín ndice y el missmo radicandoo. EJERCICIO 5.5

Operacionnes sobre radiccales

Encuentre loss siguientes prroductos.

Resume en

5.88

137

RESUMEN N Se empieeza este capítuulo recordando o la definiciónn de a" para n entero positivo. Entonces see determina el e valor de un u producto y de un cociente para dos poteencias enterass positivas coon una mismaa base, y el valor de d la potencia cero para un número n difereente de cero. Éstos É se escriben en las formass simbólicas.

138

EXPONENTES, RAÍCES Y RADICALES

Entonces see desarrollan fórmulas parra una potencia de una pottencia, una potenciia de un prodducto y de unn cociente, tenniéndose

Despuéés se define la l palabra sim mplificado coomo se aplicaa a términos con n exponentess enteros posittivos en la sección 5.1. En ntonces en la seccción 5.2, se establece la definiciónn de una pootencia negativa de un númeero en la form ma

y se simpplifican las exxpresiones quee contienen eexponentes en nteros. En la sección 5.3 se ddefinen las pootencias y raícces fraccionaarias y se dan las leyes de ra dicales. En este e análisis, se desarrollaan

Finalmentte, se estudiaa la racionalizzación de dennominadores bino– miales y la l adición dee radicales. EJERCICIO 5.66

Repaso

Ejecute las operaciones indiicadas en los problemas E p del 1 al 30, y esccriba el resultaado en una forma sinn exponentes negativos n y sinn exponentes fraccionarios fr een el denomin ador.

Resume en

139

33 Exprese el recíproco o de 4 + 3√2 en la forma a +b√2. 34 Demuestre que el reccíproco de a + b√2 es (a – b√ √2)/(a2 – 2b2).. 35 Demuesstre que los ax xiomas conmu utativo y asociaativo, junto con el axioma diistributivo paraa {a + b√2| a, b racional}, son "heredado os" de los reaales. 36 Demuestre que los ottros axiomas de d los reales qu ue no se menccionaron en el problema 35 también t se cu umplen; por consiguiente, c que {a + b√2 2|a, b racionaal} es un campo.

6 ecuaacionees cuaadráticcas

En el capíttulo 4 se conssideraron pro oblemas que ppueden resolvverse por medio de ecuacionees lineales. Muchos M problemas en Mattemáticas puras así como en sus aplicacio ones conduceen a ecuaciones en las cuales la variable contiene un grado mayoor que 1. En n este capítulo, se s estudiaránn las ecuacio ones en las ccuales aparecce el cuadrado de d la variablle. 6.1

NOTAS INTR RODUCTORIAS Se empezaará con la sigguiente definiición:

Ecuación cuadrática

La ecuacióón f(x) = g(x)) es una ecuacción cuadrátiica en x si (1) una de f(x) y g((x) es un polinnomio de seggundo grado een x y la otra es e un polinomio de primer ggrado en x o es una constante, o (2) am mbas f(x) y g(x)) son polinom mios de segun ndo grado enn x con diferrentes coeficientees de x2.

Cualquier ecuación e de este e tipo pued de escribirse en e la forma ax2 + bx + c = 0 en donde a, b y c son constantes. Las ecuaaciones siguieentes son ejeemplos de cuaadráticas.

Resolución po or factorización

141

Antes de d determinarr la solución de la ecuacióón general cuuadrática, se proocederá a obtener la solucción de ax2 – b = 0. Se prrocede inicialmennte por resolvver para x2 obbteniéndose

Por lo que, tomando la raíz cuadrrada de cadaa miembro, se s obtiene

De aquí quue el conjuntto solución seea {√b/a, – √b/a }. Puede demostrarse que cualq quier ecuacióón cuadráticca es equivalente a una de la forma (x + d) 2 = k. Por P consiguieente x + d = ±√k, k, puesto que (±√k)2 = k y x = –d ± √k. En consecueencia, el conjuntto solución e s {–d – √k, –d – + √k}, y hay h dos soluciones. Ejemplo

6.2

Para reso lver x 2 + 6xx + 7 = 0, see suma 2 a ambos a miem mbros. De esta manera m x2 + 6xx + 9 = 2 y (x + 3)2 = 2, y se sigue qu ue x + 3 = ±√ 2 ó x = ––3 ± √2. RESOLUCIÓ ÓN POR FACTO ORIZACIÓN

Si el miem mbro izquierdo de la ecuación cuadráática ax2 + bx b +c = 0 puedee factorizarsee, las raíces pueden encoontrarse iguaalando cada factoor a 0 y resoolviéndola paara x. Este procedimiento o está justificadoo ya que el prroducto de doos factores ess 0 si cualquieera de ellos es cerro. Ejemplo

Resuelva la ecuación 2x 2 = x + 6 factorizandoo.

Solución

Ya que ningún n miem mbro de la ecuación es 0, 0 se obtienee una ecuación equivalente e c un miem con mbro 0 sumanndo –x – 6 a cada miembro. Esta operacción conducee a la ecuacióón. 2x 2 - x - 6 = 0 O sea quue es posiblee resolverla por factorizaación. El prooceso completo es como siguue:

142

ECUAC CIONES CUADR RÁTICAS

Nota Se desea haacer hincapiéé al lector sobbre el hecho dde que este método m se aplica solamente s cuaando el miem mbro derechoo de la ecuaciión es 0. Si uno de d los factoress del miembro izquierdo es e 0, su producto es 0, sin im mportar el vaalor del otroo factor. Sinn embargo, si el miembro derecho d de l a ecuación no n es 0, comoo en (x – l)(x + 2) = 6 no puede asignarse a arbiitrariamente un u valor al ottro factor sin que al mismo tiempo se especcifique el vallor del otro. Por ejemplo,, si en el ejemploo anterior se cconsidera quee x – 1 = 3, enntonces x + 2 = 2 si su producto es 6. Obvviamente, estas dos condiiciones no puueden satisfacersse para un mismo m valor de d x. EJERCICIO 6.1

Resoluciónn por factorización

Núm meros complejoss

6.33

143

NÚMEROSS COMPLEJOS En la seccción 6.1 se estableció que q toda ecuaación cuadráática es equivalen nte a una eccuación de laa forma (x + d)2 = k y que q las raíces soon x = – d ±√ √k. Si k es unn número neggativo, enton nces √k no es unn número reaal, ya que el cuadrado de d un númerro real diferente de cero es uun número poositivo. En coonsecuencia, deben ignorarsee tales númerros como las raíces cuadrradas de un número n negativo o bien extender la definicción del sistema de los núúmeros reales. See decide por lo último. __ Si i 2 = – 1, entoncces i = √– l. Así, A si n > 0, 0 se define √– √ n para ser √– l √n en donde d i repr esenta √– l. Luego,

El signifiicado de taless números no o fue entendiddo por los prrimeros matemátiicos, quieness los llamabaan imaginarios. Empero, en el siglo XV VIII, Gauss y Argand prop pusieron la rrepresentació ón geométrica de d los númeroos imaginarioos; así que ahhora, estos nú úmeros se aplicann con un siggnificado muyy real en Maatemáticas, Física F e Ingenieríía Eléctrica.

144

ECUACIONES CUADRÁ ÁTICAS

Número o complejo o

Imaginarioo puro o

Un númerro de la form ma a + bi, a y b reales, sse llama núm mero complejo. (6.2) Así que, 3 + 5i es un número com mplejo. Si a = 0 y b ≠ 0, eentonces a + bi es bi y se llama núúmero imaginari o puro. Si b = 0 y a ≠ 0, entonces e el núúmero compllejo se reduce al número n real aa. Por consigu uiente, los núúmeros realess y los imaginarioos puros son subconjuntos del conjunto de los núm meros complejoss a + bi.

Ejemplo

6.4

RESOLUCIÓ ÓN POR EL MÉT TODO DE COM MPLETAR CUAD DRADOS

Como se determinó d enn la sección 6.1, 6 la solucióón de (x + d) d2=k es – d ±√kk y fue obtennida. Es posiible encontrarr la soluciónn de la ecuación cuadrática c geeneral ax 2 + bx + c = 0 sii puede expreesarse como el cuadrado c de un binomio o igual a unna constante.. Para lograrlo see suma – c a cada miem mbro y despuués se divide entre a. De estee modo se obtiene

Del estu udio de produuctos especialles y factorizzación, se sabbe que un trinomiio cuadráticoo con el prim mer coeficientte igual a 1, es un cuadrado perfecto p si ell término con nstante es el ccuadrado de la l mitad del cooeficiente dee x. Si se aplica a este c onocimientoo a la ecuación (1), es neceesario suma r [ 21 (b/a)] 2 = b 2 /4a 2 a cada miembro para p lograr que q el miembbro izquierdoo sea un cuadrado perfecto. Ejemplo 1 Solución

Resuelva x 2 + 6x = 277 completanddo el cuadra do. Puesto quee el coeficieente de x2 esstá dado com mo 1 y el térrmino constante está a la der echa, se sum ma el cuadraddo de la mitaad del coeficient e de x a cadaa miembro de d la ecuaciónn. Así, se obbtiene

Ressolución por el método de com mpletar cuadrad dos

145

Estas sooluciones enccontradas pueeden verificaarse al reemp plazarlas por la ecuación dada. De esta manera, m para x = 3, el miembro m izquierddo es 32 + 6(3) = 27; porr lo que, 3 ess una raíz. Similar mente (-9) ( 2 + 6(-99) =81-54= 27, y –9 quue también es una raíz. Ejemplo o2

Por el método m de coompletar el cuuadrado, resuelva la ecuación 3x - 9 = -x2

Solució ón

(1)

Ya que el primer obbjetivo es traansformar la ecuación (1 1) a una ecuaciónn equivalentte en dondee el miembrro izquierdo sea el cuadradoo de un binomio del tipo x + d y el m miembro dereecho sea una con nstante, debee convertirsee primero (1) ( a una eccuación equivaleente en la cuaal el primer téérmino sea x2, el segundo término t contengaa a x y el miembro deerecho sea una constannte. Por consiguiiente, se sum ma x2 + 9 a cada c miembrro, obteniénddose 3x – 9 + x2 + 9 = – x2 + x2 + 9 o x2 + 3x = 9

El siguiiente paso ess completar el cuadrado sumando [ 12 (3)]2 = a cada miembro, m y así a

Ahora igualando la raíz cuadraada principall* del miem mbro izquierdo a ambas raííces cuadrad as de la dereecha para obbtener

*La pregunnta es: ¿Por qué nno usar ambas raaíces cuadradas deel primer miembrro? La respuesta es que q tal procedimieento dará dos ecuaaciones lineales quue son equivalentees a las obtenidas usaando la raíz cuaddrada principal, ya y que es equ uivalente a

9 4

146

ECUAC CIONES CUADRÁ ÁTICAS

Finalmente, para resolv ver las dos eccuaciones lin neales se tienee

Después se s verifican las raíces su ustituyéndollas por x en cada c miembro de d la ecuació ón (1). Para el e miembro izzquierdo, se tiene t

Ejemplo 3

Solución

Por el méttodo de com mpletar el cuaadrado, resueelva 2 8x – 2 = 3xx

(1)

Otra vez, el e primer objjetivo consisste en transfo ormar la ecuaación (1) a una eccuación equiivalente tal qu ue el miembrro izquierdo sea s el cuadrado de d un binomiio del tipo x + d. En conseecuencia, priimero es necesariio convertir (1) en una ecu uación equivaalente en don nde el primer térm mino de la izzquierda sea x2, el segund do término x,, y el miembro derecho d una constante. Por lo que, se suma – 3x2 + 2 a cada miem mbro y la ecuaación resultan nte se divide entre – 3. Dee esta manera se obtiene

A continuaación se sum ma el cuadrado de la mitad d del coeficieente en x a cadaa miembro y se finaliza ell proceso com mo sigue:

Resoluciión por el método de completa ar cuadrados

147

Ahora se expresa

De esta forma, fo el conjjunto solucióón es Es posiblee verificar quue éste es el coonjunto solucción como siggue: Miembro izquierdo

Miembbro derecho

En conseecuencia, los dos miembroos de la ecuaación son iguaales si

Ejemplo o4

Resue lva la ecuacióón 2x 2 + 9 = 3x.

148

ECUA ACIONES CUADR RÁTICAS

Para com mprobar la so olución, se sustituye 43{l ± i√7) para x en e cada miembro de la ecuaación originaal y obtener los siguientes resultados:

EJERCICIO O 6.2

Soluciión por el métoodo de compleetar el cuadraddo

Resuelva la l ecuación en n cada uno dee los problema as del 1 al 52.

Resolució ón por fórmula

6.5

149

RESOLU UCIÓN POR FÓ ÓRMULA Si se ressuelve la ecuación ax2 + bxx + c = 0

(6.3)

para x, se encuentraa una fórmulla que puedeen ser aplicaada para obtener las raíces dee cualquier eccuación cuad drática; luego o se procede a determinar d laa fórmula ressolviendo (6.3) por el méétodo de complettar el cuadrad do, y después se explicaráá su empleo. ecuación (6.3); rreescribiéndola sumando -c a am mbos miembros

dividiendo cada miembro entre a ≠ 0

sumando

a cada miem mbro

150

ECUAC CIONES CUADR RÁTICAS

Puesto qu ue los dos den nominadores en el segund do miembro son el mismo, en ntonces es po osible escribiir

Fórmula cuadrática

La ecuació ón (6.4) se co onoce como la fórmula cu uadrática. Ex xpresa las raíces de la ecuació ón (6.3) en térrminos de co onstantes y el coeficiente de x2 y x. Para ig gualar los coeeficientes y ell término con nstante en cualquier ecuación cuadrática con aquéllos en e (6.3), es posible p determinaar los valoress de a, b y c y a continu uación aplican ndo la fórmula para p encontraar las raíces de d la ecuació ón. Se aclara el uso de (6.4) co on dos ejemp plos.

Ejemplo 1

Resuelva la ecuación 3x2 – 5x + 2 = 0 utilizando la fó órmula cuadráticaa.

Solución

Para resollver 3x2 – 5xx + 2 = 0 med diante la fórm mula cuadráttica, la ecuación se s compara ccon (6.3) obsservándose q que a = 3, b = –5, y c = 2. O sea que si esstos valores se sustituyen en e (6.4), se obtiene o

*

Aquí se ha supuesto que a ees positivo. Sin em mbargo, si fuese negativo, entoncces √4a2 = 2a, ya que por p definición la raíz cuadrada prin ncipal de un númeero es positiva. En ntonces se tiene

Esta ecuacióón da los mismos valores de x com mo (6.4), pero los vvalores son contrrarios.

Resoluc ción por fórmula a

151

Por tanto o, las solucioones son 32 y 1. 1 El lector debería d verificcar que los dos números n son raíces de la ecuación. e Si los términos en una ecuación dada no occurren en el mismo m orden co omo en (6.3),, entonces es necesario trransformarla en una equivalennte en dondee los términos tengan el orden o deseadoo antes de proceeder con la applicación de la fórmula. Ejemplo 2 Solució ón

Emplean ndo la fórmuula cuadráticaa, resuelva laa ecuación 2 4x = 8xx - 7. El primeer paso paraa resolver la ecuación ess convertirlaa a una equivalente en dondee sus términoos tengan el m mismo ordenn como en (6.3).. Para este prropósito se suma s – 8x + 7 a cada miembro m para conseguir quee 4x2 – 8x + 7 = 0. A Al comparaar esta ecuaciónn con (6.3), oobsérvese quue a = 4, b = – 8 y c = 7. Sise sustituyeen esos valorres en (6.4) see tiene

_ Por con nsiguiente, laas solucionees son El lector deebería verificaar que estos dos d númeross son las raícees de la ecuaciónn. EJERCICIO 6.3 6

Solución por fórmula

Resuelva cadda una de las siguientes ecuuaciones emplleando la fórm mula.

152

ECUA ACIONES CUADR RÁTICAS

6.6

ECUACION NES DE FORMA A CUADRÁTICA A En una eccuación cuad rática, la inccógnita no es necesariameente x. En efecto,, puede ser cuualquier canttidad, pero éssta debe ocurrrir a la segunda potencia; p tam mbién puede ocurrir a la primera. p Así que, (1) es una ecu uación cuadrrática con f(xx) como la in ncógnita. Pueede resolverse f(x) f por cuallquiera de lo os métodos eestudiados y puede entonces resolverse r paara x si f(x) es una expreesión lineal o cuadrática.

Ejemplo 1

Resuelva 4(x 2 – x) 2 - ll(x 2 – x) + 6 = 0 para x.

Solución Se empiezaa resolviendo o para x2 – x, puesto que la l ecuación dada d es cuadráticaa si se conssidera x2 – x como la iincógnita. Ya Y que a = 4, b = –11 y c = 6, la fórm mula cuadráttica da

Ecu uaciones de forrma cuadrática

153

Ahora bien, la solucióón se compleeta a partir dde la ecuación n dada para x hacciendo x2 – x iigual a cada uno u de esos vaalores y resolv viendo para x. De D este modoo,

Por tanto o, los valores de x que satissfacen la ecuaación son 2, 2 –1, 32 , 1 y – /2 . Esta propo osición puede verificarsee sustituyendo estos valores en e la ecuacióón. Ejemplo 2 Solución

Resuelvaa 3x 4 = 2x2 + 1 para x. Ésta es una u ecuación cuadrática con x2 como iincógnita, sieendo la forma esttándar de la ecuación e 3(x2)2 – 2(x2) – 11= 0. De aquíí que,

Por lo q ue, las solucciones para x son 1, –1 , i√3/3, y –ii√3/3., y pueden n verificarse de la maneraa habitual.

Ejemplo 3

Solución n

Resuelva Si se con nsidera (x + 7)/(2x – 1) como la incógnita, enton nces la ecuación resulta ser una cuadráttica. Ahora bien, aplican ndo el método de d factorizaciión, se tiene

154

ECUACIIONES CUADRÁ ÁTICAS

De modo que x + 7 = 2xx - 1 8=x

y y

x + 7 = 3(2x - 1) 10 = 5x

Así que, las solucione s de la ecuacción son x = 8, 2. EJERCICIO 6.44

Ecuacionees de forma cuuadrática

Resuelva cadaa una de las siiguientes ecua ciones.

Ecuacione es con radicales

6.77

155

ECUACION NES CON RADICALES

Ecuacióón Una ecuaación en la ccual alguno de d los miem mbros o amboos contienen unn radical y quue además laa incógnita sse encuentra dentro del radicando se llam ma ecuación radical. r De modoo que √x + 7 – 3 = √2x –17 7 es una ecuaación radical . Si los radicales son de seguundo orden, con frecuenncia resulta posible p resolver la l ecuación. El E método deepende del siiguiente teoreema: Cualquieer raíz de unna ecuación dada d es tambbién una raízz de la ecuación n obtenida al igualar los cuadrados de los miembroos de la ecuación n dada. Demostración Si r es unaa raíz de f(x) = g(x), entoncces f(r) = g(r)), por lo que se s sigue f(r) – g(r)) = 0. Si cadaa miembro dee esta ecuacióón se multiplica por f(r) + g(rr) igualándosse después los productos, se obtiene [f(r) - g((r)] [f(r) + gg(r)] = 0[f(r)) + g(r)] Ahora biien, si se efectúan las muultiplicacionees indicadas, se obtiene f 2 (rr) – g2(r) = 0, y al sumaar g2(r) a cadda miembro resulta f 2 (r) = g2(r). Esto fiinaliza la deemostración, puesto que al reemplazarr x por r en f 2 (x)= g 2 (x) da f 2 (r)= g2((r). El recííproco del teoorema no es cierto, c como puede p observvarse al notar quue –2 es una solución dee x 2 = 4 peroo no de x = 2. 2

156

ECUACIO ONES CUADRÁT TICAS

Como un ejemplo, cuualquier soluución de √x + 7 – 3 = . . . . . . √2x -17 es también solución de (√x + 7 – 3) 2 = (√2x - 17 7) 2. Si una ecuación e conttiene tres o menos, m radicales y todos de d orden 2. Loss pasos para rresolverla sonn los siguienntes: Resolución de una ecuación radical

Nota

Ejemplo 1

1 Obtengaa una ecuacióón que sea eqquivalente a la l ecuación dada d y que tengga un radicaal pero ningúún otro térmiino en uno de d los miembro os. Este procceso se llamaa aislar un radical. 2 Iguale loos cuadradoss de los miem mbros de la eecuación obttenida en el paso 1. 3 Si la ecu uación obteniida en el pasoo 2 contiene uno o más raadicales, repiita el procesoo hasta que laa ecuación no muestre más radicales. La ecuación obtenida se lllama ecuacióón racionalizaada. 4 Resuelvva la ecuaciónn racionalizada. 5 Sustituy ya las raíces obtenidas o del paso 4 en laa ecuación original a fin de d determin ar cuál de estos núm meros satisffacen la ecuacción inicial. El paso 5 es e el fundameental para ressolver una eccuación radicaal, ya que la ecuuación racio nalizada pueede tener raííces que no sean raíces de la ecuación innicial. Se expliica el procesoo con cuatro ejemplos. Resuelva la l ecuación

Solución

Estas raíces se verificaan sustituyenndo cada unaa de ellas porr x en cada miem mbro de la eccuación (1), obteniéndosee

Ecuacioness con radicales

Valor de x

Prim mer miembro

2 1

2 1

157

Segunddo miembro √10- 1 - 1 = 3 - 1 = 2 √5 –1 - 1 = 2 - 1 = 1

Por consiiguiente, puessto que los miembros m prim mero y segunndo de la ecuacióón (1) son igguales para x = 2 y para x = 1, el con njunto solución de la ecuacióón (1) es {2, 1}.

En conseecuencia, ya que el segun ndo miembroo de la ecuaciión (1) es también 4, entonc es 12 es una raíz.

15 58

ECUACIO ONES CUADRÁT TICAS

Puesto quee el miembroo derecho de la l ecuación ((1) no es 2, en ntonces 4 no ess una raíz. Poor consiguien nte, el conjunnto solución de la ecuación (1) es {12}. Ejemplo 3

Resuelva la l ecuación

(1)

Ecuacione es con radicaless

159

Por sustituución en (1) ess posible demoostrar que 3 es una raíz y no lo es.

En conseccuencia, 6 no ees una raíz de la l ecuación (1 ) ya que el miiembro derecho de d la ecuacióón (1) es 5. También, T puedde concluirsee que la ecuación (1) no tienee raíces ya que q el conjunnto de raícess de la ecuación racionalizadaa incluye el conjunto c de raaíces de la eccuación inicial. EJERCICIO 6.5

Ecuacion nes con radicale es

Resuelva las siguientes s ecuaaciones.

16 60

ECUACIO ONES CUADRÁT TICAS

6.8

SUMA, PRO ODUCTO Y TIPO OS DE RAÍCESS A continuaación la ecuaación cuadráttica general aax 2 + bx + c = 0 será considderada así coomo también su suma, prooducto y tipoos de raíces. Si

Suma, producto y tipos de raíce es

161

Ejemplo o1

Sin resoolver, encuenntre la suma y el productoo de las raícees de 2a 2 + 5xx - 8 = 0.

Solució ón

Ya que a = 2, b - 5 , y c = –8, se s tiene que r + s = – b//a = -5/2 y rs = c/a = –8/2 = – 4. Ahora, se s demuestraa el siguientee teorema.

Teorem ma

Si r y s son s raíces de d la ecuacióón ax 2 + bx + c = 0, paraa a ≠ 0, entoncess ax 2 + bxx + c = a(x - r)(x - s)

Demostració ón

(6.7)

Puede esscribirse

al factorrizar a. Apliccando (6.5) y (6.6), puedde sustituirse b/a por – (r + s)) y c/a por rrs. De este modo, m se tienne ax2 + bxx + c = a[x2 – (r + s)x + rss] ax 2 +bxx +c = a(x - r)(x -s)

(6.8)

lo que see deseaba deemostrar. Ejemplo o2

Construyya la ecuaci ón cuadráticca a partir dee las raíces 3 y 1/2. Utilizan ndo (6.8), la ecuación es a(x – 3)(x – 21 ) = 0, en donde d a puede seer cualquier constante. Si S se selecci ona a = 2 se tiene, 2(x - 3))(x - 1/2) = (xx - 3)(2x - 1) = 2x 2 - 77x + 3 = 0 c omo la ecuaciónn deseada. Ahoraa se supondráá que los coeeficientes a, b y c en la ecuación ax2 + bxx + c = 0 son números n raciionales determ minándose ell tipo de raíces para p algunoss intervalos de valoress del discrim minante D = b 2 - 4ac. 1 Si D = 0, entonnces r = –b/22a y s = –b//2a; de aquí que las raíces sean racionaales e igualess. 2 Si D < 0, entoncces √D = √bb 2 – 4ac es uun número im maginario; poor consiguiennte, las raíces son números complejoss conjugados.. 3 Si D > 0, entoncces √D es reaal y diferentee de cero. Sin n embargo, noo necesariam mente es un cuadrado c perrfecto. a Si D > 0 y D es el cuadrrado de un núúmero racioonal, las raícces son racionnales y diferentes. b Si D > 0 y D nno es el cuaddrado de un nnúmero racioonal, las raícces son irraciionales y difeerentes.

162

ECUA ACIONES CUADR RÁTICAS

Ejemplo 3 Solución n

EJERCICIO 6.6

Determin ne los tipos dee raíces de (a)) 4x2 – 12x + 9 = 0, (b) 4x2 – –12x + 11=0, 1 (c) 4x 2 - 12x + 5 = 0, (d) 4x 2 – 12x + 3 = 0. 0 (a) D = (–12) 2 – 4(4)9 = 0; por consiguientee las raíces son s racionaales e iguales. 2 (b) D = (-12) ( - 4(4))11 = -32 < 0; 0 por lo que las raícees son númeeros complejoos conjugadoos. 2 (c) D = (-12) ( - 4(4)55 = 64 = 82; luego las rraíces son raacionales y diferentes. (d) (D) = (-12) 2 - 4(44)3 = 96, no es un cuadrrado perfectoo; así que laas raíces son irracionales y diferentes. Suma, prooducto y tipos de raíces

Sin resolver, determine d la suuma, el produccto y el tipo de las raíces en ccada ecuación dada abajo.

6.99

PROBLEM MAS QUE COND DUCEN A ECUA ACIONES CUAD DRÁTICAS Muchoss problemas con enunciaado, en partiicular aquelllos que tratan con c productoos o cocienttes que contiienen la inc ógnita,

Proble emas que conducen a ecuaciones cuadráticas s

163

incluyenn en su resoluución ecuacio ones cuadrátiicas. El métoodo que se sigue para estableccer la ecuación con la cuaal se resuelveen tales problemaas es el mism mo que el de la sección 4.99; se sugiere al a lector repasar dicha d seccióón. Aquí debbe observarsee que a mennudo un problema que puedee resolversee, por el usoo de una eccuación cuadráticca tiene solaamente una solución úniica, en tanto que la ecuación n tiene dos solluciones. En tales t casos la raíz que no satisface las condiiciones del pproblema se descarta. d Ejemplo 1

Solució ón

Un edificcio rectangular cuya profu undidad es el doble que suu frente, está diviidido en dos partes por una u particiónn que está a 30 pies de la paared frontal y paralela a ella. Si la parte posterrior del edificio tiene 3 500 pies cuadraddos, determiine las dimennsiones del edificcio Sea x = el frrente del edi ficio en piess Entoncess 2x = es la profundiddad en pies También n, 2x – 30 = representaa la longitudd de la parte posterior enn pies ya que la l partición está a 30 pies de la parad d del frente

y

x = es e l ancho de laa parte posteerior En conseecuencia, x(2x – 3 0) = el área de la parte posterior enn pies cuadraados ya que eel área de un rectán ngulo es igual al pro oducto del ancho por p el largo

Por conssiguiente, x(2x – 30) = 3 500

ya que el área á de la parte postterior es 3 500 pies cuadrados c

Esta ecuuación se resuuelve como siigue: ejecuttando las operacion nes indicadas y sum mando -3 500 a cada miembro factorrizando el miembro o izquierdo hacieendo x - 50 = 0 y resolviendo hacieendo 2x - 70 = 0 y resolviendo

164

ECUA ACIONES CUADR RÁTICAS

Sin embaargo, ya que las dimensio ones del edifficio no puedden ser negativass, se elimina – 35 y se tienne x = 50 pies de frennte 2x – 1000 pies de pro fundidad Ejemplo 2

Solució ón

Los periodos de tiem mpo requerid dos por dos pintores p paraa pintar una yardda cuadrada dde piso difierren por 1 minnuto. Juntos pueden pintar 277 yardas cuaadradas en 1 hora. ¿Cuáánto tiempo tomará cada uno o para pintarr 1 yarda cu adrada? Sea x = núm mero de minutos requerido os por el pinttor más rápiddo para pintar 1 yarda cuadrrada Entoncess x + 1 = número dee minutos reqqueridos porr el otro pinttor En conseecuencia, 1

–x = es laa fracción dee una yarda cuadrada c quee el primero puede p pintar en n un minuto y 1

––– e la fraccióón de una yaarda cuadrada que el otroo logra x + 1 = es pintar en n un minuto De aquí que, es la fracción de una u yarda cuuadrada que ambos a pintan en n 1 minuto Sin emb argo, ya quee juntos puedden pintar 277 yardas cuaadradas 9 en 60 minutos, m elloss cubrirán 27 = 20 yardas ccuadradas enn 1 mi60 nuto. Poor lo que

Resolvieendo esta ecuuación, se obttiene

Pro oblemas que cond ducen a ecuacio ones cuadráticas

165

La raízz – 5 , se elim mina ya que ess un tiempo nnegativo y no tiene 9 sentido en e este probleema. Por connsiguiente, x=4

y

x+l=5

Así que, los pintores necesitan 4 y 5 minutos,, respectivam mente, para pinttar una yard a cuadrada.

EJERCICIO 6..7

Problemaas que se resuelven por ecuaaciones cuadrááticas

1 Encuentrre dos número os positivos connsecutivos tal que su produccto exceda a suu suma en 19. 2 Encuentrre un número que es 56 meenos que su cuuadrado. 3 Encuentrre dos númeross pares consecuutivos tal que su s producto seea 30 más que la l mitad del cuaddrado del mayor. 4 Dos núm meros difieren en e 15 y su prodducto es 4 vecces más que suu suma. Encuenntre los números. 5 Encuentrre dos enteros que q difieran enn 5 y la suma de d sus cuadradoos es 25 veces que el menor. 6 La sumaa de un númerro y su recíprooco es 136 . En ncuentre el núúmero. 7 Dos núm meros difieren en 5 y sus reccíprocos difiereen en

1. 10

Enccuentre los núúmeros.

8 La suma de dos númerros es 17 y la ssuma de sus cuuadrados es 1669. Encuentre los números. 9 El númerro de yardas cuuadradas del áárea de un cuadrado excede al número de yardas lineales del d perímetro por 2 300. Enncuentre las dimensiones d d cuadrado. del

166

ECUACIONES CUADRÁTICAS

10 La base y altura de un rectángulo difieren en 5 pies, y la longitud de la diagonal es de 25 pies. Encuentre las dimensiones. 11 Un jardín de flores circular tiene a su alrededor un camino de 2 pies de ancho. Si las áreas combinadas del camino y el jardín son 1.44 veces el área del jardín, encuentre el radio del jardín. 12 El largo de un estanque de peces, rectangular, excede al ancho en 4 pies y el estanque tiene a su alrededor un camino de 4 pies de ancho. Si las áreas combinadas de camino y estanque son de 672 pies cuadrados, encuentre las dimensiones del estanque. 13 Un campo de aviación A está a 660 millas al norte de B. Un avión voló de A a B y regresa en un tiempo de vuelo de 6 32 h. Si el viento soplaba desde el norte a 20 millas/h durante ambos vuelos, encuentre la velocidad con respecto al aire del avión. 14 Un campo de aviación B se encuentra a 480 millas al norte del campo A y el campo C está a 400 al este del B. Un piloto realizó un vuelo a C. Si el viento sopló desde el norte a 20 millas/h durante el vuelo de A a B, pero cambió al oeste a 20 millas/h duran te el retraso: el vuelo requirió en total 6 h, encuentre la velocidad relativa al aire de' avión. 15 Un policía de caminos salió de su cuartel y viajó con velocidad constante durante 28 millas y entonces se le notificó de un accidente. Manejó hasta el lugar del accidente que estaba a 8 millas a una velocidad que era 45 millas/h mayor que su velocidad de crucero anterior. Si habían transcurrido 54 minutos desde que inició su servicio hasta que llegó al accidente, encuentre su velocidad de crucero. 16 Un ranchero recorrió 100 millas hasta una ciudad para recoger un automóvil nueve regresándose al mismo lugar en él. Su velocidad promedio a la ciudad fue de 1C millas/h más que la velocidad de regreso; el recorrido completo lo realizó en 3 23 h, Encuentre la velocidad para cada parte del viaje. 17 Un carpintero y su ayudante pueden construir un garaje en 2 53 días. Cada uno de ellos trabajando por separado construyen garajes similares pero el ayudante requiere dos días más que el carpintero; ¿cuántos días se requirieron para cada construcción 18 Dos hermanos lavaron las paredes de su cuarto en 3 horas. ¿Cuántas horas requerirá cada uno para lavar las paredes de cuartos parecidos si el mayor puede hacer el tra bajo en 2 1/2 h menos que el otro? 19 Un agricultor y su ayudante cada uno conduciendo un tractor, araron un terreno en 6 días. Dos años antes aró el terreno él solo con un tractor más pequeño. Al año siguiente el agricultor aró el terreno en 5 días menos con el tractor grande. ¿Cuántos días se requirieron para cada uno de los dos años? 20 El tubo de salida descarga un depósito de irrigación lleno en 2 horas menos que el tiempo que le lleva llenarlo. Un día al comienzo de la irrigación, cuando el deposite estaba lleno, el campesino abrió ambos tubos y el depósito se vació después de 24 horas. ¿En cuántas horas puede el tubo de entrada llenar de nuevo el depósito si la salida se cierra? 21 Una pieza cuadrada de linóleo era 4 pies más corta que la necesaria para cubrir el piso de un cuarto rectangular con un área de 192 pies cuadrados. Encuentre las dimensiones del cuarto que es necesario para cubrir toda la extensión del piso.

Problemas que conducen a ecuaciones cuadráticas

167

22 Una cuerda de tendedero con una longitud de 35 pies se extiende diagonalmente entre las esquinas de un patio rectangular de servicio. Si el patio está circundado por 98 pies de barda, encuentre sus dimensiones. 23 Las dimensiones de una pintura con marco son de 20 por 18 pulgadas. Encuentre el ancho del marco si su área es 1/4 del área encerrada por él. 24 Una mujer construyó la puerta de un garaje tal que su ancho excedía a su altura en 11 pies; en su construcción utilizó 252 pies lineales de tablas de madera con un ancho de 6 pulgadas. Encuentre las dimensiones de la puerta. 25 Un albañil necesitó de 54 pies lineales de madera para construir el molde de una banqueta de concreto de 4 pulgadas de espesor. Si la banqueta contiene 24 pies cúbicos de concreto, encuentre sus dimensiones. 26 Un abarrotero vendió dos lotes de huevo por $18 y $26, respectivamente; había 10 docenas más de huevos en el último que en el primero. Si el precio por docena de la segunda partida era de 5 centavos más que el de la primera y el precio de cada una era de más de 50 centavos. ¿Cuántas docenas había en cada lote? 27 Los hermanos de una familia compraron un coche usado en $1 200 dividiéndose el costo en partes iguales. Después de 6 meses un hermano dejó la casa vendiéndoles su parte en $240. Si cada una de las partes restantes de cada hermano en esta compra fue de $220 menos que su parte del precio original, encuentre el número de herma nos en la familia. 28 El conductor de un taxi estimó que el costo de manejar su carro hasta una fábrica era de $6 que se dividía en partes iguales entre los pasajeros, incluyéndose él. Cuando dos personas más se unieron al servicio, el costo del viaje por persona se redujo en $0.50. ¿Cuántas personas, incluyendo al conductor, utilizaban, inicialmente, este servicio? 29 Alguien compró dos edificios de apartamentos con valor de $48 000 cada edificio. Había 14 apartamentos en total y el costo por apartamento en un edificio era de $2 000 más que en el otro. ¿Cuántos apartamentos había en cada edificio? 30 Los gastos de una fiesta anual del club se repartían por partes iguales entre los miembros asistentes. En dos años consecutivos los gastos fueron de $100 y $105, respectivamente, y la cooperación correspondiente de cada miembro fue de $0.25 menos en el segundo año. ¿Cuántos miembros concurrieron cada año si la asistencia en el segundo fue de diez veces más que en el primero? 31 Una alberca con 1 800 pies cúbicos de agua puede vaciarse con un gasto de 15 pies cúbicos por minuto más rápido que como se llena. Si se necesitan 20 minutos más para llenarla que para vaciarla, encuentre la rapidez de vaciado. 32 Un contratista, dueño de dos palas mecánicas con diferentes capacidades, aceptó realizar tres trabajos de excavación, cada uno de los cuales requería mover el mismo número de pies cúbicos de tierra. Comenzó dos de los trabajos al mismo tiempo, utilizando la pala grande en el primero y la chica en el segundo. Después de que el primer trabajo fue concluido, comenzó el tercer trabajo (con la máquina grande). 7 días después, cuando el segundo trabajo fue terminado, usó la máquina pequeña para ayudar a ejecutar el tercer trabajo; con las dos máquinas operando, la excavación fue concluida en 8 días. ¿Cuántos días se requirieron para efectuar la primera excavación?

168 1

ECUAC CIONES CUADRÁ ÁTICAS

6.10

RESUMEN La ecuació ón cuadráticca se define como c ax 2 + bx + c = 0 donde d a, b y c soon constantes.. Entonces see estudia la soolución por faactorización, co ompletando el e cuadrado y por fórmuula. La formuula es (– b ± √b 2 – 4ac)/2a. Aplicándola, A , se encuentrra que la sum ma y el producto de d las raíces sson – b/a y c/aa, respectivam mente. Tambbién se encuentra que la ecuaciión con raícess r y s es a(x – r)(x – s) = 0. 0 Más adelante se s encuentra que si los coeficientes c son racionales las raíces son números com mplejos conjugados para D < 0, racio onal e igual para D = 0; real y diferente para p D > 0. Además, A tambbién se determina que las raícces son racioonales y difeerentes si D es el cuadrado de d un númeroo racional. Assimismo, se eestudia, la sollución de ecuacioones con radiicales, ecuaciones de la fforma cuadráática y los probleemas que inncluyen ecu uaciones cuaadráticas paara su resoluciónn.

E EJERCICIO 6.8

Repaso

R Resuelva la ecu uación en cad da uno de los p problemas, deel 1 al 6, por ffactorización.

Resuelva la ecu R uación en cada a uno de los prroblemas del 7 al 12 por el método m de com mpletar e cuadrado. el

R Resuelva la eccuación en cad da problema del d 13 al 20 ap plicando la fó órmula cuadrá ática.

R Resuelva la eccuación en ca ada problema del 21 al 26 para p x.

Resumen

29

9x2 + 12x + 7 = 0

30

169

16x2 - 8x - 5 = 0

31 Dos pintores pueden pintar el exterior de una casa en 6 días si trabajan juntos, ¿cuánto les llevará en realizar el trabajo si trabajan solos y si uno de ellos puede realizar el trabajo en 5 días menos que el otro?

7 relaciones, funciones y gráficas En el capítulo 1 se estudió el concepto de correspondencia uno a uno entre los elementos de dos conjuntos. En este capítulo, se considerará un tipo de correspondencia que comprende el concepto de función. Se emplearán los términos variable y constante; de este modo, se empieza el capítulo con un repaso de las definiciones de estos términos. 7.1 Variable Consume

Dominio

Recorrido

Relación

Dominio

RELACIONES Si un símbolo puede tomar el valor de cualquier elemento de un conjunto, se dice que el símbolo es una variable. Si existe sólo un elemento en este conjunto, el símbolo representa una constante. Si el símbolo A representa la edad de una persona, puede ser cualquier número real, desde cero hasta la edad de su muerte; si ésta representa la edad de la persona al año más cercano, entonces A puede ser un número no negativo de 0 a la edad de la muerte; finalmente, si A es la edad al morir, entonces A es una constante. El conjunto de los valores que una variable puede tomar se llama el dominio de la variable. Si dos variables están así relacionadas, y uno o más valores de la segunda quedan determinados cuando un valor en su dominio se asigna a la primera, se dice, entonces, que hay una relación entre ellas. Al conjunto de valores que toma la segunda variable se le llama recorrido. Cualquier conjunto de pares ordenados de números se llama relación. En consecuencia, {(2, 1), (4, 3), (6, 7), (6, 9)} es una relación, y también {(2,1), (4, 3), (6, 7), (8, 9)}. En una relación, el conjunto de los primeros números en los pares ordenados es el dominio y el conjunto de los números a la de-

Funcion nes Reco orrido

Ejemploo 1

171

recha es el recorrido do, de acuerdoo con las deffiniciones de esos términos establecidas e arriba. La reelación entre dos variabless puede estabblecerse de diiferentes maneraas, incluyenddo una ecuacción que tienee las dos varriables. Si una relación entrre x y y está definida porr y = r(x) = x2 – 1, encuenntre el valor de y para x 3 = 0, 1,3.

Soluc ción

Todo loo que es neceesario efectuaar es reemplaazar x por 0, 1 y 3 en la ecuacción definidaa. Si esto se hace, se tienne, entonces,, que y = r(0) = 02 - 1 = -1 para x = 0, y = r(l) = 1 2 - 1 = 0 cuuando x = 1; y y = r(3) = 32 - 1 = 8 paara x = 3.

Ejemploo 2

Si y2 = 25 2 – x2 definee la relación entre e x y y, enncuentre el vaalor de y que corrresponde a x = 0, 3, 4, 5.

Solución

A fin dee encontrar loos valores desseados de y, ssólo es necessario sustituir x en e la ecuacióón definida paara cada uno de los valorees de x y resolverr la ecuaciónn que resulta para p y. Si estto se hace, see obtiene la siguieente tabla dee valores corrrespondientees de x y y:

7.2 7

FUNCIONES

Si se reffiere al ejempplo 2 de la sección 7.1, se advierte quee hay dos valores de y para alggunos valorees de x. En ell ejemplo 1, empero, hay solaamente un valor v de y parra cada valorr de x.

Fun nción

Si una relación r es taal que existee exactamentte un valor de d y para cada vaalor de x, se ddice que 31 es e una funcióón de x. Así, la ecuación y = 5x – 3 deffine a y com mo una funció ón de x. Como resultado r dee la definición de una función, es factible pensar que q un par de d números ordenados o seea un elemennto de la funciónn. El primer nnúmero en el par ordenaddo es un elem mento x del dom minio D, y el segundo es el e elemento ccorrespondiennte y del recorriddo R. Muy a menudo, la definición dee función se expresa como:

Fun nción

Si D es un conjunto de números, si existe unaa regla de corrrespondencia tal t que paraa cada elemeento x de D queda q determ minado

172

RELAC CIONES, FUNCIO ONES Y GRÁFICA AS

exactamennte un elemennto y y si R es e el conjuntoo de todos loos números y, entonces e el coonjunto de paares ordenadoos {(x, y) | x Є D y y Є R} es una función con dominioo D y recorr ido R. La diferen ncia esenciall entre una relación r y unna función, es e que para una función f puedde haber sóloo un valor enn los segundoos números parra cada número primero dado; mienttras que, parra una relación pueden p existirr varios valoores a la dereecha para un valor dado a la izquierda. i Assí y2 = x es unaa relación perro no una funnción, mientras que, y = √x y y = –√x s on funcionees. La regla que estableece la corresp pondencia y que q determin na a la función e s una ecuaciión que se in ndica por y = f(x). Ejemplo 1

Solución

Encuentree el conjunto de pares ord denados que satisfacen laa función deterrminada por la ecuaciónn y = f(x) = x 2 – x + 1 paara D = {x | x ess un entero y – 1 ≤ x ≤ 3}. 3 Aquí, los únicos númeeros que form man el dominnio son x = –1, 0, 1, 2, y 3; es e necesario enncontrar el vaalor de y que ccorresponde a cada uno de elllos aplicanddo la ecuacióón y = f(x) = x2 – x + 1. Si x = –1, entonces e y =f(-l) = = (-1 ) 2 - (-1) + 1 = 3 . Por t anto, (– 1, 3) ess un elementoo de la funciión. En formaa similar , y = f(0) = 02 – 0+1 = 1, y (0, 1) es otro eleemento de laa función. Dee igual manera see encuentra que f(1) = l,f(2) =3 y f(3) f = 7. Enn consecuencia, la función ees {(-1,3), (0 0,1), (1,1), (22, 3), (3, 7)}

Ejemplo 2

Si D = {1, 3, 6, 10}, determine los l pares orddenados que satisf acen {[ x, f (x) ] | f(xx) = x 2 - 7x– 2 y x Є D }.

Solución n

Aquí es necesario n enccontrar el vaalor de f(x) qque correspoonda a cada elem mento x de D sustituyenddo x en f(x). Así que,

En conseccuencia, la fuunción es {(1, -8), (3, -14),, (6, -8), (10, 28)}. Variablee independientee Variablee dependientee

En la fu unción {(x, y) y | y = f(x)}} definida poor la ecuacióón y = f(x), x es llamada, a menudo, m la variable v indeependiente, y y la variable dependiente. d . Luego la v ariable indeppendiente enn una

funciones

173

función es la variable tal que el conjunto sustitución es el conjunto de los primeros números en los pares ordenados que satisfacen la ecuación. La variable dependiente es una tal que su conjunto sustitución es el conjunto de los segundos números en los pares ordenados. Si el dominio no está especificado, entonces, se sobreentiende que es el conjunto de números reales R. EJERCICIO 7.1

Relaciones y funciones

1 ¿Es {(1, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 6)} una función? ¿Por qué? 2 ¿Es {(7, 1), (8, 2), (6, 3), (9, 3)} una función? ¿Por qué? 3 ¿Es {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 0)} una función? ¿Por qué? 4 ¿Es {(3, 2), (3, -1), (5, .99), (10, 1.01)} una función? Por qué? 5 Encuentre el conjunto de pares ordenados obtenidos al aparear el elemento n-ésimo de {2, 4, 8, 16} con el elemento (n + l)-ésimo de {1, 3, 7, 13, 21}. 6 Encuentre el conjunto de pares ordenados obtenidos al aparear el elemento n-ésimo de {b, a, s, e} con el elemento (4 – n)-ésimo de {b, a, l, l} para n = 1, 2, 3. ¿Es ésta una función? ¿Por qué? 7 Encuentre el conjunto de pares ordenados obtenidos al aparear el elemento n-ésimo de {s, h, e, e, r} con el elemento n-ésimo de {c, l, i,f,f}. ¿Por qué ésta no es una función? 8 Encuentre el conjunto de pares ordenados obtenidos al aparear el elemento n-ésimo de {m, a, t, h} con el elemento (4 – n)-ésimo de {w, h, i, z}, para n = 1, 2, 3. ¿Es ésta una función? 9 ¿Es el conjunto de pares ordenados {(x, x2) | x Є {0, 1, 2, 3}} una función? ¿Por qué? 10 ¿Es el conjunto de pares ordenados {(x, √x) x Є {0, 1, 4, 9}} una función? ¿Por qué? 11 ¿Es el conjunto de pares ordenados ¿Por qué?

{(x, y) | y2 = x, x Є {0, 1, 4, 9}} una función?

12 ¿Es el conjunto de pares ordenados {(x, y) |y2 = x2, x Є {1, 4, 9, 16}} una función? ¿Por qué? 13 Si

f(x) =2x–3, encuentre f(0), f(2), y f(5).

14 Si

f(x) = 6 - 5x, determine f(l), f(3), y f(7).

15 Encuentre

f(-2), f(0), y f(3) si

f(x) = x 2 + x - 2.

16 Encuentre

f(-3), f(l), y f(4) si

f(x) = 2x 2 - 7x + 3.

En los problemas 17 a 20, encuentre el dominio y el recorrido para la función dada. 17 f = { ( x , 2 x + l ) } ; D = {l,3,5,7}

174

RELAC CIONES, FUNCIO ONES Y GRÁFIC CAS

Escriba en forrma completa los l pares ordennados determiinados en cadaa uno de los prooblemas

21 a 28 y digga si es una función. f

21 {(x, 3x - 2) | x es un entero y

- ≤ x < 3} -1

22 {(x, 2x + 1) | x es un entero imparr y 2

23 {(x, x - 3) | x es un entero e y

-6 < x < 0}

-22 ≤ x ≤ 2}

2

24 {(x, 2x - 3x + 4) | x es e divisible eentre 3 y

7.3

-44 ≤ x < 9}

EL SISTTEMA COORDENADO RECTAN NGULAR En esta sección s se inttroduce un paatrón para associar a un paar ordenado de números n un punto p en el plano. Inventaado por el filósofo y matemático francés R René Descarttes (1596-1650), llamadoo el sistema cooordenado carrtesiano o recctangular.

El sistema s coorden nado rectangula ar

Eje. Oriigen Cuadraante

175

A fin de exponer eeste sistema, se construyeen dos líneas perpendicularees en el planoo y se escoge una escala nnumérica. Porr conveniencia estas líneas sson una horiizontal y unaa vertical; la longitud l unitaria en cada unaa es la mismaa (véase figurra 7.1), aunqu ue no es necesariio imponer rrestricciones. Las dos líneeas son llamaadas los ejes coo ordenados, sieendo la línea horizontal ell eje X y la líínea vertical el eje e Y. La inteersección de las dos líneas es el origen y se designa poor O. Los ejees cartesianos separan al plano en cuaatro secciones que q se llamaan cuadrantees. Estos cuaddrantes se nu umeran, contrario os a las maneecillas del relloj, por I, II, III y IV, com mo se indica en la figura 7.11a.

FIGURA 7.1 7

Pla ano cartesiaano

Distanccias dirigiidas

Un planno en el cual llos ejes cartessianos han siddo construido os se llama plan no cartesianoo. Ahora bien, b por connvención se toman t las disstancias horiizontales que med didas hacia laa derecha del eje Y son possitivas y a la izzquierda negativaas. Análogam mente, las distancias vertiicales medid das hacia arriba del d eje X sonn positivas y hacia abajoo negativas. A estas distanciias, por sus siignos, se les llama distancias dirigida as. Finalmente, el primer núúmero de un n par ordenaddo representaa la distancia dirigida d desdee el eje Y hastta un punto, y el segundo número represennta la distanccia dirigida desde d el eje X hasta un puunto. Se sigue, entonces, e quee un par ord denado de núúmeros determ mina de forma única ú un puntto en el planoo. Por ejemplo, (4, 1) deteermina el punto Q. Q en la figurra 7.1b que está e a 4 unidaades a la dereecha del eje y y 1 unidad hacia arriba deel eje X. En forma f similaar, el par ordenaddo ( – 5, –1) ddetermina el punto p S en laa figura 7.1b, que está a 5 unid dades a la izqquierda del ejje Y y una unnidad hacia abajo a del eje X. Recíprocam mente, cada punto p en el plano determ mina un único par p ordenadoo de númeross. Por ejempplo, el puntoo P en la figura 7.1b 7 está a 3 unidades a la l derecha deel eje y y 2 unidades u hacia ab bajo del eje X, X así P deterrmina el par ordenado (3, 2).

176

RELACIONES, FUNCIONES Y GRÁFICAS

Abscisa Ordenada Representación gráfica

7.4

Gráfica de una función

Ejemplo 1

Los dos números de un par ordenado que están asociados a un punto en el plano reciben el nombre de coordenadas del punto. Al primer número se le llama abscisa del punto y es la diferencia dirigida del eje Y al punto. Al segundo número se le llama ordenada del punto y es la distancia dirigida del eje X al punto. El procedimiento para localizar un punto en el plano por medio de sus coordenadas se llama la representación gráfica del punto. La notación P(a, b) significa que P es el punto cuyas coordenadas son (a, b). Para representar gráficamente el punto T( –4, 2) se cuentan 4 unidades hacia la izquierda del origen sobre el eje X y 2 unidades hacia arriba de este punto; así se obtiene el punto T. De forma similar, el punto R( –3, 0) está a 3 unidades a la izquierda del origen sobre el eje X. En general, un punto y sus coordenadas se escriben como P(x, y). LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Y DE UNA RELACIÓN Si se emplea un sistema coordenado rectangular, es posible obtener una representación geométrica o una "descripción" geométrica de una función. Para lograr este propósito, se requiere que cada par ordenado de números (x, y) de una función sean las coordenadas de un punto en el plano cartesiano con x como la abscisa y y como la ordenada. Entonces se define la gráfica de una función como sigue: La gráfica de una función es la totalidad de puntos (x, y) tales que sus coordenadas constituyen el conjunto de pares ordenados de la función, con x un número en el dominio D y y el número correspondiente en el recorrido R. Las gráficas de la mayoría de las funciones que se estudiarán en este capítulo son curvas continuas y suaves*. Cuando se dice que la gráfica de una función es una curva, se quiere decir que el punto determinado por cada par ordenado de números de la función, está sobre la curva y que las coordenadas de cada punto en la curva son un par ordenado de números de la función. Se explicará el procedimiento para obtener la gráfica de una función al indicar los pasos que se siguen en la construcción de la gráfica de la función definida por y = x2 – 3x – 1 para – 2 ≤ x ≤ 5. Adviértarse que esta función es {(x, y) | y = x2 – 3x – 1}

y x pertenece a D = {x | – 2 ≤ x ≤ 5}}

*En este momento no se está en posición de establecer una definición rigurosa de una "curva continua y suave". Sin embargo, para este propósito la siguiente descripción será suficiente. Una curva continua y suave no contiene cortes o huecos y no hay cambios pronunciados en su dirección.

La gráfica de una función y de una relació ón

177

El prim mer paso connsiste en asignnar a x cada uuno de los entteros en D, a coontinuación, calcular el valor correespondiente para y empleanndo la ecuaciión definida y = x 2 – 3xx – 1. Sin em mbargo, antes de hacer esto, es recomenndable hacer una tabla como la mostradaa abajo y reggistrar los vallores obteniddos.

Ahora see calcularán loos valores corrrespondientes de y cuandoo x toma los valorres –2, – 1, 0, 0 1, 2, 3, 4, y 5.

Si se pro osigue, se obbtienen los pares p ordenaados adicionaales (1, -3), (2, –3), – (3, –1), (44, 3), y (5, 9); los resultaddos se escribeen en la tabla:

Cero

Después, se represenntan gráficam mente los punntos (x, y) asíí determinados, como se muuestra en la figura f 7.2. D Debido a que existen pares orddenados paraa valores inteermedios x dde la funciónn es posible uniir los puntoss representaddos gráficam mente median nte una curva suave. Ésta es la porción dee la gráfica ddefinida por y = x2 – 3x – 1 sobre el dom minio especificcado. Ahora se procede a investigar laa naturaleza dde la gráfica cuando x toma vaalores mayorees que 5 y meenores que –22. Para este prropósito se sustituy ye primero x een y = x2 – 3x – 1 por 5 + h y se tiene y = h2 + 7h + 9. De la última ecuuación se obsserva que a m medida que h crece desde ceero, y aumennta desde 9. Así que la ggráfica se ex xtiende hacia arrriba y a la deerecha del puunto (5, 9). De forrma análoga, si se reemp plaza x por ––2 – k, se obbtiene y = k2 + 7kk + 9, por lo que se conccluye que mieentras k crecee desde cero, y crrece desde 9. Por consiguiiente, la gráfica se extiendde hacia arriba y a la izquierdaa del punto ( – 2, 9). Un cerro de una funnción definidda por y = f(xx) es un valo or de la variable independientte x tal que y = 0. De modo que los ceeros de una funciión son las abbscisas de loss puntos en donde d la gráfiica cruza al eje X. Para una eran cantidad d de funciones es posiblee obte-

178

RELACIO ONES, FUNCION NES Y GRÁFICA AS

FIGURA 7.2

Raíces

ner los ceros por métoodos algebraaicos, pero ppara algunas otras funciones es e necesario depender d de métodos m gráfficos. Los cerros de la función {(x, y) | y = x2 – 3x – 1} so on las abscisass de los puntoos A y B en la figgura 7.2 y soon, aproximaadamente, –00.3 y 3.3. Los cerros de una fuunción recibeen el nombre de raíces de la ecuación que q define a la función. Si el do ominio de unna función noo está especiificado, ento onces, debe suponnerse que es el sistema de d los númeroos reales. En tales casos, paraa obtener un conjunto de pares ordenaados con el fin f de construir la gráfica, es aaconsejable empezar e por asignar a a x ennteros pequeños consecutivos c y continuar el proceso hhasta consegu uir un número coonsiderable de d puntos y determinar, d dde esta maneera, la naturaleza de la gráficaa. A veces lo os puntos obbtenidos al assignar enteros con nsecutivos a x no permiteen trazar la cuurva. Por ejem mplo, en la funciión definida por y = 4x2 – 1, si se asiggna a x los ennteros – 1, 0 y 1, se obtienen loos pares ( –1,, 3), (0, –1) y (1, 3). Estos pares determinann los puntos A A, B y C en la l figura 7.3, y es evidente que esos puntoos por sí soloos no muestran la naturalleza de la grááfica. Pueden obbtenerse dos ppuntos más asignando a a x los númeross – 1/2 1 1 1 y /2 dandoo como resultaado los pares (– /2, 0) y ( /2 , 0). Cuando estos puntos se representan r ggráficamentee, se tienen loos puntos D y E así que la gráffica o curva dde la figura 7.3 7 puede dibuujarse. La gráfiica de una fuunción es corttada en un luugar único po or una línea parallela al eje Y, mientras quee la gráfica de d una relacióón es

La a gráfica de una a función y de u una relación

179

cortada en más de un lugar l por unaa o más líneas que son parralelas al eje Y. Ejemplo 2

Trace la gráfica g de y2 = x + 4.

Soluciión Se empieeza por asignaar valores a x y encontrar el valor corrrespondiente parra y. No debee asignarse a x un valor m menor que –4 si y es real. Si see asignan enteeros de –4 a 5,, los valores dde y son como o sigue.

Luego, see localizan loos puntos (x, y) especificaados en la tabbla dibujándosee una curva suave a través de ellos. De esta man nera se consigue la gráfica m mostrada en laa figura 7.4.

180

RELAC CIONES, FUNCIO ONES Y GRÁFIC CAS Ejemplo 3 Solución n

7.55

Función lineaal

Trace la gráfica g de la relación deteerminada porr 4x2 + y2 = 16. Se tabulann los valores correspondieentes a x y a y como siempre, localizándoose los puntoss determinados, se dibuja una curva suuave a través de ellos obteniééndose la grááfica mostradda en la figurra 7.5. La curva se corta en dos d lugares poor alguna línea vertical enntre x = – 2 y x = 2.

FUNCIONES S LINEALES

En Geom metría Analítiica puede dem mostrarse quue si el dominio de la funciónn {(x, y) | y = ax + b} es ell conjunto de los números reales, r su gráfica es una línnea recta. Taal función see llama funciión lineal y suu gráfica quueda determiinada complletamente poor dos puntos. Si la gráfica no n pasa a travvés del origenn o no es paralela a algún eje,, los puntos donde d la gráffica interseca a los ejes se determinan asiignando 0 a x en la ecuacción y = ax + b obteniénddose el punto (0, b) y asignanndo 0 a y se obtiene (–b/a /a, 0). Estos puntos p determinaan la gráfica,, pero se acon nseja calculaar un tercer punto p a modo de verificación.

Fu unciones lineale es

Interseccion nes

Ejempplo Solució ón

181

La abbscisa del punnto donde la línea cruza el eje X se lllama intersección en X y la ordenada del d punto doonde cruza el e eje Y, interseccción en Y. Laa gráfica de {(x, { y) | y = aax} pasa a través del origen, ya y que (0, 0) satisface la ecuación e y = ax. O sea quue es necesario asignar a x ootro número diferente d de 0 para obteneer un segundo punto p y podeer determinarr la gráfica. La grráfica de {(x, y ) | x = a) es la línea pparalela al eje Y a la distancia dirigida dee a unidades de él. La grááfica de {(x, y) | y = b} es la línea paralelaa al eje X y a la l distancia dirigida d de b unidades u de él. Estas gráficass se muestrann en la figuraa 7.6a.

Construiir la gráfica de d la funciónn definida por y = 3x – 9. Se encuentran las inntersecciones asignando 0 a x y resolvviéndola para y y asignando 0 a y, y resolviiéndola para x. Un tercer punto p se encuentrra al asignar 4 a x y se resuelve para y. Así se obbtiene la siguiente tabla:

A contin nuación se reepresentan grráficamente los puntos determid nados po or estos parees de número os, dibujanddo una línea recta a través dee ellos obtenniéndose la grráfica de la figura f 7.6b. EJERCICIO 7.2 7

1

Gráficos

Repressente geométricamente los puntos determinnados por los siguientes parres ordenados dee números: (3, 2), (00, 6), (-2, 4), (-7, 0), (4, 0)), (5, -4), (-6, 0), (-3, -5).

182

RELAC CIONES, FUNCIO ONES Y GRÁFICAS

2 Describa la l línea sobre la l cual cada unno de los siguiientes conjuntoos de puntos esstá localizado: (a) Lass dos coordenaadas de cada punto p son iguales pero de signo s contrarioo, (b) Lass dos coordenaadas son igualees numéricam mente, con la prrimera positivva y la segunda negativaa. (c) La abscisa a de cadda punto es ceero. (d) La ordenada o de cada c punto es 3. 3 Describa la l línea en la cual cada uno de d los siguientees conjuntos dee puntos está loocalizada: (a) Las dos coordenaadas de cada ppunto son iguaales. (b) Las dos coordenaadas de cada ppunto son iguaales y no negattivas. (c) La abscisa a de cadda punto es 4. (d) La ordenada o de cada c punto es –2. 4 Si n es unn número negaativo, dé el cuuadrante en el cual cada unoo de los siguieentes puntos esstá localizado:: (n, 2), (nn, -3), (-n, -1)), (-n, 6), (3, nn), (-2, n), (-n,, -n), (n, -n) Construya la gráfica g de la función f o relacción definida por p la ecuaciónn en cada probblema del 5 al 24.

7.6

ALGUNAS FUNCIONES F ESPPECIALES En esta seccción, se estuddiarán algunass funciones cuyas gráficas no n son curvas conttinuas, y algunnas que sí lo son. s Se empiezza por consideerar

Algunas funcio ones especiales

183

f= {(x, y) y | y = x - 2, x ≥ 1} ∪ {(x x, y) | y = -x + 1, x < 1} La gráfiica está definnida por la eccuaciones y=x-2 y = -x + 1

para x ≥ 1 para x < 1

(1) (2)

La gráficca de y = x – 2 es una líneaa recta con la intersección de x en 2, y la inntersección dee 3) en –2, pero p se está innteresado sóllo en la parte en que q x ≥ 1; de aquí que, la parte de la grráfica es el raayo que empieza en (1, – 1) y se extiende hacia h arriba y a la derechaa como se muesttra en la figuura 7.7. La grráfica de y = –x + 1 es taambién una líneaa, y la parte que interesa es para x < 1; de este modo, m el rayo emppieza en (1, 0) pero sin incluir i este ppunto y se ex xtiende hacia arriba y a la izqquierda segúnn se muestra en e la figura 7.7. 7

Función n paréntesiss

Otra funcción interesannte es la función paréntesiis. Es importaante en la teoría de número s y se repreesenta por {{(x, y) | y = [x]}. Por [x], se s entiende el e mayor enteero que es m menor o igual que el número x. x Así, [ 1/2 ] = 0 ya que ceroo es el mayor entero que es menor o igual a 1/2 ; aún máss [1.8] = 1; [4.01] = 4; [nn] = n si n es entero positivo. Los valoress de y = [x]] para algunos valores de d x se muestran n a continuacción:

184

RELAC CIONES, FUNCIO ONES Y GRÁFIC CAS Ejemplo 1 Solución n

Ejemplo 2

Trace la gráfica g de la función paréntesis y = [[x]. Los valorres de y para diferentes vaalores de x see muestran en e este ejemplo. Adviértase que y tiene el mismo v alor para unna variación de 1 en x, em mpezando coon cada enteero. La gráfiica se muestra en e la figura 7.8. 7

Trace la gráfica de y = |x – 1|. Si se hacce una tabla en la maneraa habitual, em mpezando co on x = – 3 y conntinuando paara x = 4, se obtiene

Ahora bieen, localizanddo los puntoss determinadoos en la tablaa y dibujando una u curva a trravés de elloss, se consiguue la curva dee la figura 7.9. 7.7 7

FUNCIONEES CÚBICAS Y DDE CUARTO GR RADO Ahora, see considerará la ecuación cúbica c y = ax3 + bx2 + cx + d 4 3 la ecuació ón de cuarto grado y = ax + bx + cx2 + dx + e. Haay

y

Funcio ones cúbicas y de e cuarto grado

185

como mááximo 3 valorres de x para un valor dadoo de y en la cú úbica y a lo máss 4 valores dee x para un valor v dado dee 31 en la de cuarto grado o cuártica. Ejemplo 1 Solució ón

Trace la gráfica de y = 6x3 – 11xx2 – 4x + 4 para x entre –1.5 y 2.5. Si se asig gnan los punntos extremos y los enteros en el intervvalo designado a x y se deterrmina cada valor v de y, se obtiene la siguiente tabla.

Se obtiene la curva qque se muesttra en la figuura 7.10 al loocalizar esos punntos y dibujaando una curv va suave a trravés de elloss.

FIGURA 7.10

186

RELACIONES, FUNCIONES Y GRÁFICA AS

Ejemplo 2

Trace la gráfica g de y = 2x4 + 3a3 - 4x2 - 3x + 2 desde x = -2.5 hasta x = 1.5.

Solución

Si se asignnan los puntoss extremos y los l enteros enn el intervalo dado d a x y se callculan los vaalores correspondientes dde y, se obtieene la tabla

Ahora, loccalizando loss puntos y dibujando una curva suave a través de elllos, se obtienne la curva mostrada m en lla figura 7.1 1.

LA

7.8 8

INVERSA DE UNA FUNC CIÓN Se han considerado haasta aquí relacciones, en la sección 7.1, y funciones, enn la sección 7.2. 7 Ahora se s considerarrán las dos reelaciones: f = {(1,2), (3,4), (5, 6))}

y

g = {( 1,2), (3, 4), ( 5, 4)}.

El dominio de cada unna de ellas es {1, 3, 5}, peero el recorriddo de f es {2, 4, 6} 6 en tanto quue el de g es {2, 4}. Si se inttercambian loos elementos primero y seegundo de f, se obtiene

La inversa de una función

187

F = {(2,1), (4, 3), (6, 5,)} Ésta es una función con dominio {2, 4, 6} y recorrido {1, 3, 5}. Sin embargo, si se intercambian los elementos primero y segundo en g, se tiene {(2,1), (4,3), (4.5)}; ésta es una relación y no una función, ya que dos pares tienen el mismo primer elemento 4 y diferentes segundos elementos 3 y 5. Relación inversa Función inversa

E1 conjunto de pares ordenados obtenidos al intercambiar los elementos en cada par ordenado de una función es llamado la relación inversa. Igualmente, si la relación inversa es una función, ésta se llama función inversa. Si la función se designa por f, se utiliza f -1 para representar a la función inversa. Por consiguiente, si / = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)}, entonces, f -1 = {(2, 1), (4, 3), (6, 5)}. Se sigue de la definición de una función que si una función f es tal que no dos de sus pares ordenados con diferentes primeros números tienen el mismo segundo elemento, la función inversa f -1 existe. Si la función es expresada como un conjunto de pares ordenados, entonces la función inversa se obtiene al intercambiar los primeros y segundos elementos de cada par ordenado en f. Si la función se designa por f ={(x, y) | y =f(x)}

Encontrando f

-1

entonces y = f(x) define la función, y x = f(x) define la función inversa ya que tiene el efecto de intercambiar elementos de cada par ordenado. Si x = f(y) puede resolverse para y, la solución está representada por y = f -1 (x), la relación inversa es designada por 1

f -1 = {(x,y)|y=f- (x)} y es la función inversa si y = f -1(x) es una función. Ejemplo 1

Solución

Encuentre la función inversa de f = {(x, y) | y = 3x – 6} y trace las gráficas de la función y su inversa. Puesto que y = 3x – 6 define la función, se sigue que x = 3y – 6 define la relación inversa. Ahora, resolviéndola para y da y = 31 x + 2. En consecuencia, f -1= {(x,y)|y =

1 3

x + 2}

es la inversa, y es una función ya que hay únicamente una y para cada x. Ambas gráficas se muestran en la figura 7.12.

188

RELACIONES, FUNCIONES Y GRÁFICA AS

Ejemplo 2 Solución

Si g = {((x, y ) | y = g(x) g = √x2 + 9}, 9 x ≥ 0,

e encuentre g-1.

La funció ón g está deefinida por la ecuación y = √x2 + 99; por consiguiennte, la inverssa está definnida por x = √y2 + 9 y x ≥ 3. Ahora, ressolviendo estta ecuación para p y se connsigue

Puesto quee g-1 = {(x, y)| y = g-1(x) = √x2 – 9} es lla inversa, y es e una función. Note N que el dominio de g-1 es x ≥ 3, y su recoorrido es y ≥ 0; además a adviértase que ell recorrido dde g es y ≥ 3, y su dominio es e x ≥ 0, quue es el mism mo que el rec orrido de g -11. Las gráfficas de la funnción y y su inversa i se muuestran en la figura f 7.13. Cadda una es la rreflexión de la otra en laa línea y = x. x

La inversa d de una función

EJERCICIO 7.3 7

189

Funcionees especiales e inversas

Construya laas gráficas de las l funciones ddefinidas por las l ecuacioness en los problem mas 1 a 28.

Encuentre la ecuación que define la inverrsa de la funciión definida poor la ecuación en cada problema, dell 29 al 40. Resuelva la ecuacción de la inverrsa para y y enncuentre el dom minio de la inversa.

190

RELA ACIONES, FUNCIIONES Y GRÁFICAS

Encuentre la ecuación e que define d la inverssa de la relación definida po or la ecuación en cada p problema, dell 41 al 44. Dig ga si la inversa a es una funció ón o una relaciión y dé su dom minio.

En cada prob blema del 45 al a 48, demuestre que el dom minio y el reco orrido de f son n el recorrido y el dominio d de f-1, respectivameente.

7.99

RESUMEN N

En la priimera sección de este caapítulo se esttablecen las definiciones dee variable, connstante y relaación. En la ssiguiente seccción se da la defi finición de unna función co omo un caso especial de una u relación y luego l como uun conjunto de d pares ordeenados. Desppués se estudia ell sistema cooordenado recctangular, el pprocedimientto para trazar la gráfica g de unna función, laas gráficas dee algunas fun nciones especialees y finalmennte, la inversa de una funnción. EJERCICIO 7.4

Repaso

1 ¿Es {(2, 1), 1 (4, 2), (6, 3), 3 (5, 5)} una función? ¿Porr qué? 2 ¿Es {(2,, 1), (4, 2), (6, 3), (5, 3)} unaa función? ¿Po or qué? 3 Encuentree el conjunto de d pares orden nados asociand do a cada núm mero impar, en la carátula de un reloj, con n cada número o para que seaa uno más quee éste. 4 ¿Es {(x, x2) | x Є {1, 2, 3, 5}} una fun nción? ¿Por qu ué? 5 ¿Es {(x2, x) x | x Є {1, 2, 3, 5}} una fun nción? ¿Por qué? 6 ¿Es {(x,, y) | y2 = x, x = 1, 2, 3, 5} un na función? ¿P Por qué? 7 Encuentrre el recorrido o de f = {(x, 2x - 1)}, D = {-1, 0, 1, 2} . 8 Si f(x) = 3x 2 - 2x + 5,, encuentre f((2 + h) –f(2). 9 Si

f = {(x, { 3x + 5)}

y

g = {(xx, x + 1)}, D = {-3, -2, -1, 0}, encuentrre f ∩ g

Resumeen

191

Trace la grá áfica de la fun nción definida por la ecuaciión en cada prroblema del 10 0 al 22.

Encuentre la a ecuación quee define la inveersa de la funcción definida een cada problema del 23 al 26. En ncuentre el dom minio de la in nversa.

27 Demuestre que el dom minio y el recorrrido de {(x, y) | y = x2 –1}, D = {0, 1, 2, 4} son s el recorrrido y el domiinio de la funcción inversa, respectivamen r nte. 28 Para f = {(x, y) | y = 2x + 5}, dem muestre que f -1 [f(x)] = f [f -1 (x)] = x. 29 Para f = {(x, y) | y = 3x – 2}, dem uestre que la inversa de f

-1

es f.

8 sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de ecuaciones simultáneas

8.1

Ecuación lineal en dos variables

Solución

La proposición "3 veces un número menos 2 es igual a 7" se transforma en el lenguaje algebraico como la ecuación 3x – 2 = 7; de los métodos del capítulo 4 se sabe que el conjunto solución de esta ecuación es {3}. A fin de expresar la proposición más general "la suma de dos números es igual a 9" como una ecuación, es necesario incluir dos variables, x y y; entonces la ecuación es x + y = 9. Es evidente que pueden tenerse tantos pares de números como se desee que satisfagan la ecuación x + y = 9, porque si se asigna un valor a ;y entonces se resta de 9, se obtiene el valor correspondiente de x. Por ejemplo, si y es 1, x es 8; si y es 5, x es 4. Sin embargo, si también se pide que la diferencia de esos dos números sea 1, entonces, se tienen las dos ecuaciones x + y = 9 y x – y = 1 que deben satisfacerse para un mismo par de números. En este capítulo se explicarán los métodos que demuestran que hay sólo un par de números, x = 5 y y = 4 que satisfacen a la vez ambas ecuaciones x + y = 9 y x – y – 1. El procedimiento para encontrar este par de números se llama resolución de ecuaciones simultáneas. El problema de resolver dos ecuaciones con dos variables, simultáneamente, ocurre muy a menudo en todos los campos en donde el álgebra se aplica. El propósito de este capítulo es presentar los métodos más empleados en donde se tienen dos ecuaciones lineales. DEFINICIONES Y RESOLUCIÓN GRÁFICA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES Una ecuación del tipo ax + by = c, donde a, b y c son constantes arbitrarias y a y fe no son 0, es una ecuación lineal en dos va– Un par ordenado de números, en donde el primero representa un valor para x y el segundo un valor para y, y que satisface una ecuación en dos variables es una solución de la ecuación. Por

Defin niciones y resolu ución gráfica de e dos ecuacion nes lineales con n dos variables

Solución n simultán nea Conjunto solució ón simultán neo Ecuacion nes equivalenttes

193

ejemplo,, cada par ordenado (1, 9), (3, 3) y (4, 0) es una so olución de 3x + y = 12. Un paar ordenado dde números que q satisface cada una de las dos ecuacionnes de dos vvariables es una soluciónn simultánea a de las dos ecuaaciones y el conjunto c de taales pares es el conjunto solución s simultánneo. Por ejem mplo, (5, –3) es e una solucióón simultánea de las ecuacionnes 3x + y = 12 y x –3y = 14. Dos ecuaciones dee dos variablees son equivaalentes si cadda solución de cada una es una soluciónn de la otra. En lass definicioness anteriores see han usado las l letras x y y como variabless. Ésta es la costumbre usual, u pero een ocasiones se emplean ot ras letras talles como u y v o z y w. Con el e fin de resoolver ax + byy = c para y, se escribe prrimero

que es e quivalente a la ecuación inicial ax + by = c

(2)

En el capítulo 7 see estudiaron las l gráficas enn donde pudoo advertirse quee graficar ecuuaciones lineeales es muy fácil; todo loo que se necesitaa es: 1 Encon ntrar al menoos dos soluciiones de la eccuación. 2 Repreesentar gráficamente esas soluciones como puntos en el planoo. 3 Dibujjar una línea a través de esos e puntos.

194

SISTEMAS DE ECUACIO ONES LINEALES S Ejemplo 1

Para la ec uación x + 22y = 5, si x = 1, entonces 1 + 2y = 5, assí que 23) = 4 y y = 2; de modo m que (1, 2) es una soolución. Si x = 4, entonces 4 + 2y = 5, aasí que 2y = 5 –4 = 1 y 3)) = 1/ 2; Por 1o que (4, 1/2) es también unaa solución. Otras O solucionnes son ( –3,, 4) y (7, –1). Poor convenienccia estos punntos se llamann A(1, 2), B(4 4, 1/ 2), C( –3, 4) y D(7, –1). Enntonces la gráffica consiste een la línea quee pasa por esos cuatro c puntoss. Véase la fiigura 8.1. Si la gráfica de d una segunda ecuación e Ax + By = C

(3)

interseca la gráfica dee (2), las coordenadas dell punto de inttersección son los l elementoss del par de solución s simuultánea de (2)) y (3), ya que esse punto estáá en la gráficca de cada eccuación. En consec cuencia, puede usarsee el método gráfico paraa obtener el par p de solución simultánea dde dos ecuaciiones lineales de dos variables. La posibiilidad de quee dos ecuacioones no conteengan una so olución simultáneea se consideerará en la sigguiente secciión. Puesto que la gráficca de una ecu uación lineal en dos variab bles es una línea recta, ésta qqueda complletamente esppecificada po or dos puntos, pero se recom mienda obtenner un tercerr punto a moodo de verificación. Pueden oobtenerse las coordenadass de un puntoo en la gráfica assignando un vvalor a x y reesolviéndola ppara y o asiggnando un valor a y resolviééndola luegoo para x. Si c ≠ 0, ento onces, pueden obbtenerse dos puntos con relativa r facillidad haciend do primero x = 0 y después haciendo y = 0. Un terceer punto se obtiene o haciendo x o y igual a algún valorr diferente dee cero. Ejemplo 2

Resuelva las ecuacionees 3x - 4y = 7 x + 6y = 6

(4) (5)

simultáneeamente por el método grráfico. Solución n

Se asignaa 0 a x y 2 a y en cada una de las ecuac iones, y resoolviéndolas paraa la otra incóógnita y así obtener o las siguientes tab blas de valores coorrespondientes.

Despuéés, se represeentan gráficaamente los puuntos determinados por los paares de los vallores correspo ondientes en ccada tabla, y se di-

Ecuaciones ind dependientes, in nconsistentes y dependientes

195

buja una línea recta a través de caada conjunto de puntos paara obtener las líneas de la figura f 8.2. Sii se observa con c cuidado,, puede advertirsee que estas lín neas se interssecan en un p punto cuyas coordec nadas son n (3, 1/2)- Y aasí, se dice qu ue la solución n simultánea gráfica de las ecu uaciones (4) y (5) es (3, 1/2). La solución se verificaa sustituyendo esos e valores een los miemb bros izquierdo os de las ecuaaciones (4) y (5) de donde De (4) 3(3) - 4(.5 5) 9-2=7

De (5) 3 + 6(.5) 3+3=6

Algunas veces cuand do se gráfica es posible obtener o la so olución exacta co omo en este ejemplo, e pero o a menudo ssólo se obtien ne una aproximaación. Esta aproximació ón se toma, en general, como punto dee partida paraa aplicar lueg go métodos más m refinado os.

FIGURA 8.2

8.2

ECUACION NES INDEPENDIENTES, INCON NSISTENTES Y DEPENDIENTES D S Si las grráficas de doss ecuaciones son paralelass, las ecuacio ones no tienen so olución simulltánea. Asimiismo, si las g gráficas coincciden (o son iguaales), cualquieer solución de d una es una solución de la otra. Si las grááficas no son paralelas ni coinciden, c en ntonces se inteersecan en sólo un u punto. Estto se explica con la definicción siguientte: Dos ecuaaciones lineaales de dos vaariables son iindependientees si su conjunto o solución sim multánea con ntiene solamente un par orrdenado de númeeros, son inco onsistentes si su conjunto solución simu multáneo es el conjunto vacío o Ø, y son dependientes d si cada par que es solución n de una es un u par que es solución de la otra.

196

SISTEM MAS DE ECUACIONES LINEALES S

Ahoraa bien, a contiinuación se da d un criterio que permite decidir cuándo dos ecuacioones son inddependientess, inconsisteentes o dependieentes. Para essto considéreense las ecuaaciones ax + by = c Ax + By = C

(1) (2)

Las gráfi ficas de (1) y (2) intersecaan al eje X enn R(c/a, 0) y S(C/A, 0), respeectivamente; al eje Y en lo os puntos T(00, c/b) y U(00, C/B), respectivvamente, com mo se muestrra en la figurra 8.3. Puedee advertirse que las gráficas de d (1) y (2) son paralelas si los segmen ntos RT y SU sonn paralelos, y esos dos seg gmentos son paralelos p si y sólo si los triánggulos ORT y OSU son igu uales. Los triiángulos son iguales si y sólo o si OR/OS = OT/OU.

FIGURA 8.3

Ahoraa OR/OS = c/a ÷ C/A = Ac/aC, y OT/OU = c/b ÷ C/B = Bc/bC. B En coonsecuencia, OR/OS = O OT/OU si y sólo si Ac/aC = Bc/bC. Si ccada miembroo de la últim ma ecuación se s multiplica poor C/c, se obttiene A/a = B/b. B De aquí que, las gráfficas de (1) y (2) son paralelaas si y sólo sii A /a = B/b. Si además de d A /a = B/b see tiene A /a = B/b - C/c = k, entoncces A = ak y C = ck. Por lo que, C/A = ck/ak = c/aa, y los punttos R y S coinnciden. Luego, puesto p que las gráficas sonn paralelas y tienen un puunto en común, ellas e coincideen. De este mo odo, se tiene este teorema:: Dos ecuuaciones lin eales ax + by b - c y Ax + By - C son Sistem mas independientees, inconsistenttes y dependienttes

independ dientes si y sólo si A/a ≠ B/b inconsisttentes si y sóólo si A/a= B/b B ≠ C/c dependiientes si y sóólo si A/a=B B/b= C/c

(8.1) (8.2) (8.3)

Ecuaciones ind dependientes, in nconsistentes y dependientes

197

Los trees ejemplos siguientes s aclaran la apliccación del teo orema. Ejemplo 1

Las ecuaaciones 2x - 3y = 4 5x + 2y = 8 son indeependientes por p (8.1) ya que q 2/5 ≠ –3/2. Se interrsecan en un puunto.

Ejemplo o2

Las ecuaaciones 3x - 9y = 1 2x - 6y = 2 son incoonsistentes, y a que 3/2 = (–9)/(–6) ≠ 1/2. son paraalelas.

Ejemplo 3

Las lííneas

Las ecuaaciones 2x – 4y = 12 3x – 6y = 18 son depeendientes, yaa que 2/3 = ( –4)/( –6) = 12/18. Las dos gráficas son la mism ma línea.

EJERCICIO 8.1 8

Solución gráfica de sistemas de ecuuaciones

En los proble emas 1 a 12, clasifique c cada a par de ecuaciiones como ind dependientes, inconsistentes o de ependientes.

Las ecuacion nes en los prob blemas 13 a 16 6 son dependien ntes. Verifique e esto al grafica arlas y observe que las dos líneass en cada prob blema son la misma. m 13

2x – 2y= 4 -3x + 3 3y = -6

14

8x + 16y = 20 –6xx – 12y = –15

198

SISTEM MAS DE ECUACIO ONES LINEALES S

Las ecuacioness en los probleemas 17 a 20 sson inconsisten L ntes. Verifiquee esto graficándolas y o obsérvese que las dos líneass en cada probblema son parralelas pero noo coinciden.

Las ecuacionees de los probllemas 21 a 32 son independ L dientes. Resuellva las ecuacioones en cada problemaa graficando y estime cada solución al en ntero más cerccano para cadaa coordenada.

Los problemas 33 a 40 son coomo los del 21 aal 33, pero aho L ora estime cadaa solución a la mitad d entero máss cercano paraa cada coordeenada. del

8.3 3

Eliminación dee una variablee

ELIMINACIIÓN POR ADIC CIÓN 0 SUSTRA ACCIÓN Para resoolver algebraaicamente dos ecuacioness linealmentee independientees de dos varriables, las dos d ecuacionnes se combinnan de modo tal,, que se obtenga una ecuaación de una variable tal que su raíz sea uno u de los núúmeros del paar de soluciónn simultáneaa de las ecuacionees dadas. Esste procedim miento se llam ma eliminación de una variaable. Después de que uno o de los núm meros de la so olución haya sido o encontradoo, el otro se obtiene sustiituyendo el primer p número en e una de las ecuaciones dadas d y se reesuelve la ecuuación resultantee para la varriable restantte.

Eliminación por adición o sustracción

199

Uno de los métodos para eliminar una variable es un proceso llamado eliminación por adición o sustracción. Se explicará éste con dos ejemplos. Ejemplo 1

Encuentre el conjunto solución simultánea de las ecuaciones 2x + 3y = 8

(1)

x-3y = -5

(2)

aplicando el método de eliminación por adición o sustracción. Solución

A fin de resolver (1) y (2) simultáneamente por el método de eliminación por adición o sustracción, se procederá de la siguiente manera: si los miembros, izquierdo y derecho, son iguales de cada ecuación (1) y (2) para algún par de valores de x y y, la ecuación que se obtiene al sumar los miembros correspondientes será válida para el mismo par de valores. Esto es por el hecho que si cantidades iguales se suman en ambos miembros, la igualdad no se altera. Si se suman los miembros correspondientes de (1) y (2), se obtiene 3x = 3; entonces si se divide cada miembro de la última ecuación entre 3, se tiene x = 1. Por tanto, x = 1 es un número en la solución. Ahora se sustituye 1 por x en la ecuación (1) y se resuelve para 31 como sigue:

2 + 3y = 8 3y = 6 y=2

sustituyendo 1, por x en la ecuación 1 surnando –2 a cada miembro dividiendo cada miembro entre 3

En consecuencia, el conjunto solución simultánea de las ecuaciones (1) y (2) es {(1, 2)}. Se verifica esta solución al sustituir 1 por x y 2 por y en el miembro izquierdo de (2 y se obtiene 1 – 6 = –5. Luego, ya que el miembro derecho de (2) es también –5, entonces x = 1, y = 2 satisfacen la ecuación. Ejemplo 2

Resuelva las ecuaciones 3x + 4y = -6 5x + 6y = -8

(3) (4)

por el método de eliminación por adición o sustracción. Solución

En las ecuaciones (3) y (4) ninguna variable se elimina si se suman o se restan los miembros correspondientes. Sin embargo, obsérvese que si los miembros de las ecuaciones (3) se multiplican por 3 y los miembros de la ecuación (4) por 2, se obtienen las ecuaciones (5) y (6) en las cuales los coeficientes de y son iguales.

200

SISTEM MAS DE ECUACIO ONES LINEALES S m multiplicando por 3 lo ecuación (3)

(5)

multiplicando por 2 la ecuación (4)

(6)

r restando la ecuación (6) de la (5) d dividiendo cada miembro m entre -1

Al sustitu uir 2 por x enn la ecuación (3) y resolvieendo para y see tiene 6 + 4y = –6 4y = –12 – y = –3

sustituyendo 2 por x en n la ecuación (3) sum ando -6 a cada miembro m dividiendo cada miembroo entre 4

Por tanto o, el conjuntoo solución sim multánea de llas ecuacionees (3) y (4) es {(2 2, –3)}. Paraa verificar la solución, se sustituye 2 por p xy –3 por y en e el miembro izquierdo de d la ecuaciónn (4) y se obtiiene 5(2) + 6 (-3) = 10 - 18 = -8 De este modo, m ya quee el miembroo derecho dee la ecuación n (4) es también –8, x = 2, y = –3 satisfface la ecuacción. El lecttor debería advertir que un u procedimiiento paralello consiste en multiplicar m la ecuación (3)) por 5 y la ecuación e (4) por p 3y entonces resolver la ecuación resulltante para y después de restar. 8.44

ELIMINAC CIÓN POR SUSSTITUCIÓN Si una dee las ecuacionnes, en un paar de ecuacioones lineales de dos variables,, es fácil de rresolver para una de las vaariables en términos de la otr a, un método muy eficaz para elimi nar una de las l variables es el método dee sustitución. Se listan los pasos del prooceso y después se s ejemplificaan. PASOS EN N LA ELIMINACIÓN POR SUSTTITUCIÓN 1 Resuellva una de las ecuacioness para una variable en térm minos de la otra. o 2 Sustituuya la solucióón obtenida en el paso 1 ppara esa variaable en la seguunda ecuacióón y así obteenga una ecuuación de unna variable. 3 Resuellva la ecuaci ón obtenida en el paso 2.. 4 Sustituuya el valor enncontrado en el paso 3 en la l solución obbtenida en el paso p 1, y resuuelva para laa otra variablle. 5 Escribaa el conjuntoo solución en la forma {(xx, y)}, sustituuyendo x y y por los valorees encontradoos en los pasoos 3 y 4.

Eliminación por sustitución

201

6 Verifiqu ue la soluciónn sustituyendoo los valores para x y y del paso 5 en laa ecuación daada y que no fue utilizadaa en el paso 1. Ejemploo

Resuelva las ecuacionnes 3x + 5y = 5 x + 4y = ll

(1) (2)

simultáneeamente por el método de eliminació n por sustituución. Solución n

Para resolver las ecuaaciones (1) y (2) simultáneeamente por el método de suustitución, obbsérvese que (2) puede resolverse con facilidad para x en términoos de y, y la solución es x = 11 – 4yy

paso 1,, sumando -4 y a cada miembro d e (2)

(3)

A continuuación se proccede con el paaso 2 y el 3, con lo que se obtiene o 3(11 -4y) + 5y = 5 paso 2, su ustituyendo 11 - 4 y por x en (1) 33 – 12y + 5y = 5 por axiomaa distributivo – 12y + 5y = 5–33 s u m a n d o - 3 3 a c a d a m i e m b r o 7y = -28 combinanndo términos y = 4 paso 3, resolviendo para y al ddividir entre –7 cadaa miembro Ahora se sustituye s 4 poor x en la ecuacción (3) comoo se indica en el e paso 4 y se tien ne x = 11 - 16 x = -5 Por consiguiente, el coonjunto soluciión es {(–5, 44)}. Por el passo 6, se verifica laa solución al sustituir los valores v para x y y en el miembro izquierdo o de (1). Así, se obtiene –15 + 20 = 5, y puesto que el miembro derecho de ((1) es tambiéén 5, x = –55, y = 4 satisface la ecuación.. EJERCICIO 8.2

Solución algebraica a de ssistemas de eccuaciones

Resuelva las ecuaciones e en los problemass 1 a 20 simulttáneamente poor adición o su ustracción.

202

SISTE EMAS DE ECUAC CIONES LINEALES S

Como probleemas 21 a 40, resuelva r las ecuaciones de loss problemas 1 a 20 simultá áneamente por sustituución. En los problemas p 41 a 44, resuelva algebraicameente para 1/xy 1/y, y entonces enccuentre x y y.

TRES ECUACIONES LINEEALES EN TRESS VARIABLES 8.5 8 Una ecuuación que ess de la formaa ax + by + czz = d, en donnde a, b, c y d soon constantess ya, b y c differentes de c ero, es una ecuación e lineal en e tres variabbles. Un conjunto de tres valores, unoo para x, uno parra y y uno para z, en el orden o (x, y, zz), que satisffacen la ecuació ón se llama soolución de laa ecuación. Si unn conjunto ssolución sim multánea de un sistema de tres ecuacioones lineales en tres variaables existe, entonces, es posible obtenerrlo por medioo de los siguiientes pasos. Resolución n de un sisttema de tres ecuacio ones linealees de tres varia ables

1 Elim mine una variaable de las ecu uaciones dadaas y por tantoo se obtieneen dos ecuaciiones de dos variables. 2 Resuuelva las dos ecuaciones del d paso 1 sim multáneamennte para las otras variabless. 3 Sust ituya los va lores obteniidos en el paaso 2 en unaa de las ecuaciones dadass y resuelva para p la tercerra variable. El paaso 1 puede efectuarse e de dos manerass. En el ejem mplo 1 se explicaa el método dde adición o sustracción, en tanto quue en el ejemplo o 2 se aplica el de sustitucción.

Ejempllo 1

Resuelvva el siguientte sistema de ecuaciones ssimultáneameente:

Tres ecuaciiones lineales en n tres variables

2x + 3y + 4z = 4 3x - 2y - 6z = 7 5x + 7yy + 8z = 9 Solució ón

203

(1) (2) (3)

Para resolver este sisstema simultááneamente, se selecciona arbitrariament e z como l a primera variable v par a eliminar. En las ecuacion nes (1) y (2) el e mcm de los coeficientes de z es 12. Poor tanto, como enn el paso 1, la ecuación (1)) se multiplica por 3 y la eccuación (2) por 2 y se sumann las ecuacion nes resultantes.

Ya quue el coeficieente de z en la l ecuación (3) es el doble que el coeficiennte de z en laa ecuación (1), se multipliican los miem mbros de (1) por 2 y se restan de d (3) como sigue. s Ésta ess la segunda parte p del paso 1.

Como paso p 2, se resuuelven (6) y (8) ( simultáneeamente para x y y.

Ahorra, puede obteenerse el valor de y al susstituir x = 3 en cualquier eccuación (6) u (8). Se usa lo anterior y se obtiene 3+y=l

o

y=–2

Finallmente, comoo en el paso 3, puede obttenerse el vaalor de z sustituyyendo x = 3 y y = –22 en cualessquiera de las tres ecuacioones dadas. Empleando E laa ecuación (11), se tiene

204

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Así que, la solución es (3, –2, 1). La solución puede verificarse sustituyendo esos valores en cualesquiera de las ecuaciones, (2) o (3). Aplicando (3), se tiene 5(3) + 7(-2) + 8(1) = 15 - 14 + 8 = 9 puesto que el miembro derecho de (3) es también 9, entonces, x = 3, y = –2, z = 1 satisface la ecuación. Ejemplo 2

Solución

Resuelva el siguiente sistema simultáneamente: 3x - y + 2z = 4

(10)

4 x + 2 y -5 z = l l -5x -3y + 8z = -14

(11) (12)

La primera ecuación para y es y = 3x + 2z - 4

(10a)

y sustituyéndola e n ( l l ) y ( 1 2 ) resulta 4x + 2(3x + 2z -4) -5z = 11 -5x - 3(3x + 2z - 4) + 8z = -14

(11a) (12a)

Juntando términos en (11a) y (12a) se obtiene 10x – z = 19 -14x + 2z = -26

(13) (14)

Las ecuaciones (13) y (14) pueden resolverse por cualesquiera de los métodos vistos. Se aplicará el método de sustitución. Resolviendo (13) para z da z = 10x - 19

(13a)

escribiendo esto en (14) -14x + 2(10x-19) = -26

(14a)

-14x + 20x-38 = -26 6x = 12 x=2 Ahora bien, se tiene z = 10x - 19 = 10(2) - 19 = 20 - 19 = 1 de (13a) y y = 3x + 2z–4= 3(2) + 2(1) - 4 = 4 de (10a). De aquí que, la solución sea ( 2 , 4 , 1) y debe ser verificada en cada una de las ecuaciones iniciales, desde la (10) hasta la (12).

Tres ecuacion nes lineales en tres variables

EJERCICIO 8.3

Sistemas de tres ecuaciones lineales

Resuelva los sistemas s de eccuaciones siguientes.

205

206

SISTEM MAS DE ECUACIONES LINEALES S

8.6

PROBLEMA AS RELACIONA ADOS CON SISTEMAS DE ECUA ACIONES LINEA ALES

Muchos problemas p coon enunciado o contienen más m de una caantidad desconoccida; con freecuencia la ecuación e quee se plantea en la resolució ón del probleema resulta ser s más senciilla si se intrroduce más de unna incógnita.. Sin embargoo, antes de quue el problem ma esté completaamente resueelto, el núm mero de ecuaaciones originadas tiene quee ser igual al número de incógnitas em mpleadas. El procedimiento general paraa obtener las ecuaciones es el mismo que el aplicado en la secciónn 4.6, por lo que se sugieere al estudiante repasar estaa sección antees de proseguuir con los sigguientes ejem mplos o en su luggar intentar reesolver los prroblemas dell ejercicio 8.4. Ejemplo 1

Solución n

Un arrenddatario recibiió $1 200 dell alquiler de dos d residenciaas en 1 año; el prrecio del alquuiler de una de d ellas era dde $10 por mees más que la otrra. ¿Cuánto rrecibió el arrendatario porr mes por cadda una si la casaa más cara esstuvo desocuupada 2 mesees? Sea, x = el alqquiler mensuual de la cas a más cara, y

y = el alqquiler mensuual de la otraa, entonces x – y = 10 1

(1)

ya que un na tenía un coosto de $10 poor mes más quue la otra. Ad demás, ya que la primera casaa fue alquiladda durante 10 meses y la ottra por 12 meses, se sabe quee 10x + 12y es e la cantidadd total recibidda. De aquí que,, 10x + 12yy = 1 200

(2)

Ahora, see tienen las eccuaciones (1) y (2) con las incógnitas x y y; se resolveráán simultáneaamente por eliminación e dde y. La resoluución es comoo sigue:

sustituyenndo 60 por x en la ecuaciión (1), se tieene 60 - y = 10

P Problemas relaccionados con sistemas de ecua aciones lineales s

207

Así quee, -y = 1 0 - 60 = -5 0 y y = 50 Por tantto, el beneficcio producidoo mensual fuue de $60 y $50, $ respectivam mente. Ejempl o 2

Solucción

Un com merciante de tabaco mezccló un gradoo de tabaco que q vale $1.40 por libra con otro que valee $1.80 por llibra a fin de obtener 50 libraas de una mezzcla que venddió a $1.56 poor libra. ¿Quéé peso de cada caalidad fue em mpleado? Sea, x = el número n de liibras del de $1.40 empleeado y

y = el número n de li bras del de $1.80 $ empleaado Entoncees x + y = 50

(1)

Ya que había h 50 libraas en la mezclla. Asimismo, 1.40.x es el valor en dólares con la primeera calidad,11,. .1.80y es el vallor en dólarees con la segundaa calidad, y (1.56)50 = 78 es el vallor en dólarees de la mezcla. Por tanto, 1.40x + 1.80y = 78

(2)

Ya que (1) y (2) son las ecuacion nes requeridass, y se resuelv ven eliminandoo x.

Sustituy yendo 20 porr y en la ecuaación (1), se obtiene o x + 20 = 50 x = 30

208

SISTEMA AS DE ECUACIO ONES LINEALES

Puesto quee el comerciannte utilizó 300 libras del dee $1.40 y 20 libras l del de $1.880 en la mez cla. Ejemplo 3

Solución

Dos campoos de aterrizaaje A y B estáán separados por una distancia de 400 milllas; B se encuuentra al este de d A. Un avióón voló de A a B en 2 horas y regresó r nuevvamente a A en21/2 h. Si el viento sop plaba con una velocidad consttante desde ell oeste durantte todo el trayyecto, encuentre la l velocidad del d avión conn respecto al aire en reposso así como la veelocidad del vviento. Sea x = la velo ocidad del avvión con resp pecto al aire en reposo y

y = la veloocidad del viiento Entonces, ya que el vieento soplaba desde el oeste, x + y = laa velocidad ddel avión dee A a B y x –y = la velocidad v de l avión al reg greso. De aquí quue,

A continuuación se muultiplican ambos miembroos de la ecuaación (1) por x + y, así comoo a los de la ecuación (2)) por 2(x – y)) para conseguir 400 = – 2x + 2y

(3)

y

800 = 5x – 5y

(4)

Problemas relacionados con sistemas de ecuaciones lineales

209

Las ecuaciones (3) y (4) se resuelven simultáneamente; como primer paso se elimina y.

De este modo x = 180 Sustituyendo 180 por x en la ecuación (3), se tiene 400= 2(180) + 2y 400 = 360 + 2y 2y = 40 y = 20 Ejemplo 4

Por tanto, la velocidad del avión relativa al aire en reposo fue de 180 millas por hora, y la velocidad del viento 20 millas por hora. Una caja registradora contiene $50 en monedas de cinco, de diez y de veinticinco centavos. Hay 802 monedas en total y 10 veces más de cinco que de diez. ¿Cuántas monedas de cada una hay en la caja registradora?

Solución

Sea q = el número de monedas de veinticinco d = el número de monedas de diez n = el número de monedas de cinco Ahora, se forman las siguientes ecuaciones de q, d y n:

Si se sustituye 10d por n [dado por la ecuación (3)] en las ecuaciones (1) y (2), se obtienen 2 ecuaciones lineales en q y en d. De la ecuación (1) se tiene 25q + 10d + 5(10d) = 5 000

210 2

SISTEMAS DE ECUACIO ONES LINEALES S

la cual redduce a 25q + 60dd = 5 000 También, de la ecuaciión (2) se tieene q + d + 100d = 802 o q + 11d = 802

(5)

puede elim minarse q dee las ecuacioones (4) y (55) como a coontinuación see indica:

Ahora, sustituyendo 7 0 por d en laa ecuación (33), se tiene n = 10(70)) = 700 Finalmentte, sustituyenndo d = 70 en e la ecuacióón (5), se tienne q + 11(70)) = 802 De aquí que, q q = 802 - 770 = 32 En consecuuencia, hay 32 monedas de veinticinco, 70 de diez y 700 de a cincoo en la caja r egistradora. E EJERCICIO 8.4 4

Problema as relacionados s a sistemas de d ecuaciones lineales

1 La suma de d tres númeroos es tres vecess el menor y su u diferencia exxcede a la mitaad del menor en 12. Encuentre los númeross. 2 La suma de d dos número os es el doble qque la diferenciia y el mayor eexcede al mennor en 6. Encuen ntre los númerros. 3 El cocientee de la suma y la diferencia de d los mismos dos d números ees 5, y 3 veces el e número mayyor excede el doble al menoor en 60. Encu uentre los núm meros. 4 La suma de d dos números es 4 veces el menor. Si al número n menor se le suman 15 y al mayor se le restan 13, los l resultados son iguales. Encuentre E los números. 5 Un hombrre invirtió $10 900 en capitall en dos compañías a $55 y $$36 por acción n, respectivameente. Las accioones más carass dan un divideendo anual de $2.50 por accción y la otra un dividendo annual de $1.20. Si el ingreso total de los doos fue de $4000 por año, encu uentre el númeero de accionees que fue com mprada de cadda capital.

Problemas relacionados con sistemas de ecuaciones lineales

211

6 Durante cierto año algunos apartamentos de un edificio se alquilaban por $125 al mes y el resto $160 por mes. El alquiler mensual total fue de $4 900. El siguiente año el alquiler mensual de los apartamentos baratos fue aumentado en $5 y en los otros en $6. Si el ingreso mensual aumentó en $190, ¿cuántos apartamentos de cada tipo hay en el edificio? 7 Las residencias de una nueva colonia fueron evaluadas en $30 000 y $35 000, respectivamente, el valor total de la colonia fue de $3 200 000. Al final de 6 meses, la mitad de las casas más caras y dos tercios de las otras habían sido vendidas. Si la cantidad recibida de las ventas fue de $1 900 000, ¿cuántas casas de cada tipo hay en la colonia? 8 El alquiler mensual de una casa de playa es mayor durante los 3 meses de verano que durante el resto del año. Si está ocupada durante todo el año su alquiler es de $2 700. Sin embargo, en cierto año, por daños de fuego, la casa se ocupó durante dos meses en verano y 5 fuera de temporada con un alquiler de $1 600. Encuentre el alquiler mensual para cada periodo. 9 Dos niños en una canoa remaron 6 millas corriente abajo en 1 hora. En el regreso, ellos remaron con un amigo y con los 3 remando, la velocidad de la canoa relativa al agua en reposo aumentó en 1 milla por hora. Si el regreso tomó un lapso de 2 horas, encuentre la velocidad de la corriente y la velocidad que los dos niños pudieron haber desarrollado relativa al agua en calma. 10 El campo de aterrizaje B está separado una distancia de 960 millas al norte de otro A. Un piloto dejó A para volar a B; 30 minutos después un piloto partió de B para volar a A. Los dos se encontraron después una hora y 50 minutos de la partida del primer avión; el primer piloto llegó a B una hora y 10 minutos más tarde. Si la velocidad respecto al aire de los dos aviones era la misma y el viento soplaba desde el sur a una velocidad constante durante el vuelo, encuentre la velocidad relativa al aire de los dos aviones y la velocidad del viento. 11 El campo de aterrizaje B está a 990 millas al norte del campo A. Un piloto voló de A a B y de regreso; había viento del norte con velocidad constante durante todo el viaje. El vuelo al norte requirió 51/2 horas y el regreso 41/2 h. Encuentre la velocidad respecto al aire del avión y la velocidad del viento. 12 Un aeropuerto B está localizado al oeste de otro A; el campo C se encuentra situado al sur de B. Un piloto despegó de A a las 8:00 a.m., volando hasta B en donde hizo una escala con duración de 3 horas; después voló hasta C, llegando a las 3:00 p.m. El viento soplaba del oeste con una velocidad de 20 millas por hora durante el vuelo en este sentido, pero cambió hacia el norte a 30 millas por hora cuando hacía su escala en B. Si la velocidad del avión con respecto al aire era de 270 millas por hora y la distancia total recorrida fue de 1 080 millas, encuentre la distancia de A a B y de B a C. 13 Un estudiante viajó de la universidad a un aeropuerto en camión que viajaba a 45 millas por hora; después viajó hacia su casa en avión, a 400 millas por hora. El tiempo requerido por el viaje fue de 3 h, incluyendo 24 minutos de espera en el aeropuerto. El precio del transporte por camión era de 5 dólares por milla, el del avión era de 6 dólares por milla; el costo total del viaje fue de $65.35. Encuentre la distancia viajada por cada transporte.

212

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

14 Un ranchero montó a caballo y se dirigió a 6 millas por hora a la oficina del rancho, tomó su coche y con una velocidad de 50 millas por hora se dirigió hacia el aeropuerto, en donde abordó un avión y voló a 300 millas por hora. La distancia total recorrida fue de 340 millas en un lapso de 4 horas. Si él recorrió en el avión el doble de distancia que en el carro, encuentre el lapso empleado en cada uno de los transportes. 15 Una mañana una representante de ventas salió de su casa para visitar a algunos clientes en los pueblos A y B. En la tarde regresó a la casa de B por la autopista. Su velocidad promedio fue de 30 millas por hora en la mañana; en la tarde fue de 65 millas por hora. Si ella viajó un total de 7 horas y estuvo en el camino 3 horas más en la mañana que en la tarde, encuentre la distancia que ella recorrió en cada parte del viaje. 16 Un camión de turismo y un automóvil partieron del hotel a la misma hora, pero viajando en sentidos opuestos, en un circuito escénico. Cuando ellos se encontraron, el camión había viajado 32 millas y el automóvil 48 millas. Encuentre la velocidad promedio de cada uno si el automóvil regresó al hotel 1 hora y 20 minutos antes que el camión. 17 Un hombre cercó una parcela rectangular con uno de los lados cortos sobre la carretera, también dividió el terreno en dos partes, tal que la cerca era paralela a la carretera, el costo de la cerca sobre la carretera era de $0.60 por pie y en los otros lugares de $0.50 por pie. El costo total de la cerca fue de $620 y la cerca sobre la carretera costó $380 menos que el resto. Encuentre las dimensiones de la parcela. 18 Un edificio tiene 80 pies de ancho tal que el lado más largo está con vista a la calle y está dividido en tres partes con divisiones perpendiculares a la pared del frente. La suma de las áreas de las partes pequeñas es igual al área de la parte grande; el perímetro del edificio es de 400 pies. Si las áreas de las partes pequeñas son iguales. Encuentre las dimensiones de cada una de las partes. 19 Los dueños de un centro comercial donde el 70% del área era destinada para estacionamiento, compraron un terreno adyacente y dispusieron 85% para estacionamiento y el resto para construcción. El área total tiene, ahora, 300 000 yardas cuadradas con 75% para estacionamiento. Encontrar el área original y el área del terreno adquirido. 20 El límite situado al sur de un terreno rectangular va de este a oeste; el límite oriente, con una longitud de 600 yardas, está bordeado al norte por otro terreno rectangular con su límite, situado al norte, de 500 yardas de longitud; los límites este de los dos terrenos forman una línea recta. El área combinada de los dos terrenos es de 680 000 yardas cuadradas. Los dos terrenos están cercados en 3 600 yardas tal que no tienen alambrado a lo largo del límite común. Encuentre las dimensiones no conocidas de cada terreno. 21 Un vendedor de automóviles tiene en su lote 45 automóviles entre estándar, deportivos y camionetas. Hay el doble de carros deportivos que de camionetas. Los estándar cuestan $4 000, los deportivos $3 500 y las camionetas $4 200. Si el precio total de los vehículos es de $172 000, ¿cuántos coches hay de cada tipo? 22 Una compradora de algodón no aceptó una oferta de $175 por paca de un lote de algodón. Dos meses más tarde, cuando el precio había subido $5 por paca, vendió el lote por $140 más que si hubiera aceptado la primera oferta. Si, en ese lapso, dos pacas

Problemas relacionados con sistemas de ecuaciones lineales

213

se quemaron, encuentre el número de pacas en el lote original y la cantidad que hubiera recibido de aceptar la primera oferta. 23 El Sr. Sánchez tenía 52 acciones del capital A y 32 acciones del B. Cierto día sus acciones valían $2 810, al día siguiente el precio del capital B bajó I % y el precio de A subió 2% y sus acciones totales valían $31.96 más. Encuentre el valor de cada capital para el primer día considerado. 24 Una familia en vacaciones, viajó un promedio de 220 millas por día con un costo de cinco centavos por milla, sus comidas costaron en promedio $14 por día y el gasto de hoteles fue de $15 promedio por noche. El costo total de las vacaciones fue de $505 y el costo de los hoteles fue $37 más alto que el costo de millas recorridas. Encuentre el número de millas recorridas y el número de noches de estancia en hoteles. 25 Cierto día cuando el depósito de agua estaba lleno, un granjero abrió las llaves de entrada y salida del depósito y éste se vació después de 24 horas. Al día siguiente, cuando el estanque estaba vacío, abrió la llave de entrada dejándola así durante 3 h; luego abrió la de salida y el depósito se vació en 9 h. ¿Cuánto tarda en llenarse el depósito si la salida está cerrada?, y ¿cuánto tardará en vaciarse el depósito si la de entrada está cerrada? 2

26 Dos hermanas cortaron el pasto juntas en 2 9 h, la siguiente semana la hermana mayor trabajó sola por 3 horas y luego la menor terminó el trabajo en 11/4 h. ¿Cuánto le tomaría a cada una cortar el pasto sola? 27 Un vendedor de tabaco mezcló dos tipos de tabaco, uno que costaba $3 y otro $3.50 por libra, respectivamente, obteniendo 20 libras de una mezcla que costaba $3.20 por libra. ¿Cuántas libras empleó de cada tipo? 28 Un viajero salió de su casa con su radiador de 5 galones lleno de una solución que tenía 20% de anticongelante, cuando paró a cargar gasolina descubrió que el radiador tenía una fuga así que el empleado lo llenó con agua. Fue al taller más cercano donde midieron la solución. Después de la compostura se agregó 1/2 galón de una solución con un 56% de anticongelante para lograr que la solución original tuviera la concentración original. Encuentre el número de galones que se perdieron antes de la primera parada y el porcentaje de anticongelante que mostró la prueba. 29 El lunes, Susana, Tomás y Pedro trabajando juntos pulieron el coche de Susana en 11/2 h; el martes Susana ayudó a Pedro a pulir su coche y tardaron 2 horas; el miércoles Pedro y Tomás pulieron el coche de Tomás en 2 1/4 horas. Si todos los coches eran iguales. ¿Cuánto tardaría cada uno en pulir su coche solo? 30 Hay 52 escritorios en 3 oficinas, el número en la segunda oficina es la mitad del número en la primera. La primera oficina tiene 48 pies cuadrados de espacio por escritorio, la segunda 46 pies cuadrados por escritorio y la tercera 45 pies cuadrados por escritorio. Si hay 2 424 pies cuadrados en las 3 oficinas juntas, ¿cuántos escritorios hay en cada una? 31 A un vendedor le dieron de viáticos 10 centavos por milla por uso de automóvil, $10 por día para comidas y $15 por cada noche en hotel. En cierto viaje su gasto fue de $170, recorrió un promedio de 120 millas por día y su cuenta de hoteles fue de $10 más que el gasto en comidas. Encuentre el número de días y el número de millas que viajó, así como el número de noches que pasó en hoteles.

214 2

SISTEM MAS DE ECUACIO ONES LINEALES

3 Una señoraa tenía un totaal de $3 600 enn tres diferenttes cuentas banncarias, los inttereses 32 que recibíía eran de 5 1/2, 5 y 43/4 por ciento, respecctivamente, suu ingreso anuaal total de las tress cuentas era de d $186. Retirró el dinero deel tercer bancoo y depositó laa mitad en cada unno de los otros dos aumentaando su ingresso anual en $44. Encuentre laa cantidad que había h en cada uno de los deepósitos originnales.

8.7 7

DETERMINAANTES DE SEGUUNDO ORDEN Y LA REGLA DE D CRAMER Hasta ahoora se han resuelto sistem mas de ecuaciones linealees, por métodos gráficos, g por adición o suustracción y por p sustitucióón. En el resto del capítulo sse introduce la regla de Cramer, C un cuarto c método paara resolver ssistemas de ecuaciones linneales. En estta sección se reesuelven dos ecuaciones con dos incóógnitas y en la siguiente trees ecuacionees con tres incógnitas. Una nootación llamaada determin nante fue intrroducida inddependientemennte por el m matemático jaaponés Kiow wa en 1683 y por Leibnitz en e 1693. En 1750, Cramer desarrolló el método que utiliza u determinanntes para obttener los conjjuntos soluciión de los sisstemas de ecuacio ones lineales. El arregglo cuadradoo a c

Determinante dee segundo orden n

b d

es un detterminante de d segundo orden. o Repreesenta el binnomio ad – bc, y este binomio se llama ell valor o desaarrollo del deeterminante. Lass letras a, b, c y d son los elementos e dell determinantte. Los términos del d binomio ad –bc son los productos de los elem mentos unidos mediante m flecchas, como se muestraa en el sigguiente diagrama,, en donde addemás se ind dica el signo correspondiiente a cada prodducto con la punta de la flecha.

Desarrollo dee un determinantee

Si en laa ecuación (8.4) se sustituy ye a, b, c y d por 3, 2, 5 y 7, respectivameente, se tienee

Determinante es de segundo orden y la regla de Cramer

215

Ahora se considera eel sistema de ecuaciones llineales ax + by = e

(1)

cx + dy = f

(2)

La soluciión que se oobtiene aplicando el méttodo de adicción o sustraccióón es como siigue multiplicando la ecuación (1) porr d multiplicandoo la ecuación (2) porr b sustrayendo por el axioma distributivo

(3) (4)

ad - bc ≠ o

( 5)

Note que por (8.1)) si ad –bc = 0, 0 las ecuacioones no son independientees. Análoggamente, resoolviendo paraa y se tiene

Ahora, se demuestra que cada un no de los valoores de x y y en las ecuacionees (5) y (6) es el cociennte de dos deeterminantes. Para lograr cum mplir este prropósito, el determinante d se escribe

cuyos elem mentos son loos coeficientes de x y y en llas ecuacionees (1) y (2). El deesarrollo de D es el den nominador enn cada una de las ecuacionees (5) y (6). A contiinuación se sustituye s la columna c de coeficientes de d x en D por la columna de términos co onstantes e y f para obte ner

Finalmennte, se reempplaza la colu umna de coefficientes de y en D por e y f consiguiendo c o

216

SISTEMA AS DE ECUACIO ONES LINEALES

Ahora bien n, refiriéndosse a las ecuac ciones (5) y ((6), se observ va que D es el nu umerador de la fracción en e (5) y D es el numerad dor en (6). En con nsecuencia,

Regla dee Cramerr

El proc cedimiento d dado para ob btener el con njunto soluciión simultáneo de un sistem ma de ecuacio ones lineales se conoce co omo la regla de Cramer C y con nsta de los siiguientes passos: 1 Arregle los términoss de las ecua aciones escrib biendo prime ero los término os en x, despu ués los términ nos de y y fin nalmente los términos con nstantes a la derecha de la igualdad. 2 Escriba el determina ante D, tal qu ue sus elemen ntos sean loss coeficientes de x y y, en e el mismo orden que ocurre en en la ecua ación. 3 Sustituy ya la column na de coeficie entes de x en n D por la co olumna de térm minos constan ntes y obtenga el determin nante Dx 4 Reempllace la colum mna de coeficiientes de y en n D por la co olumna de térm minos constan ntes y obtenga el determin nante Dy 5 Entonce es los elemen ntos en el con njunto soluciión son

Ejemplo

Aplique la a regla de Crramer para ob btener el con njunto solució ón simultáneo de 3x - 5y = -7 2x + 3y = 8

Solución

Los términ nos se arregla an como seña ala el paso 1,, así

De aquí qu ue el conjuntto solución seea

{(1, 2)} .

Determin nantes de segu undo orden y la a regla de Cram mer EJERCICIO 8.5

217

Determ minantes de orrden 2 y la reg gla de Cramerr

Encuentre el e valor de cadda determinannte en los probblemas del 1 al a 20.

Verifique cada ecuación para p los probleemas del 21 al 28 expandienddo los determiinantes y agrupe térm minos iguales.

218

SISTE EMAS DE ECUAC CIONES LINEALE ES

8.88

DETERMINNANTES DE TEERCER ORDEN Y LA REGLA DEE CRAMER El arregllo cuadrado

es un de eterminante de d orden 3. El E desarrollo sse define parra ser el polinom mio cuyos térm minos son dell tipo aibjck como sigu ue. Expansión de un n determinante

El menor de d un elementto

D = a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 – a3b2c1 –a2b1c3 –a1b3c2

(1)

El desarrrollo en esta forma es difí fícil de record dar y fastidiosa para aplicar. Por fortuna, puede expreesarse en térrminos de deeterminantes de d segundo orrden al apliccar un métod do que empleee poca memorizzación. El método incluy ye el conceptto del menorr de un elemento o. El men nor de un eleemento especcificado de un n determinantte D es el determ minante cuyoss elementos son todos los elementos de e D que no están en el mismo renglón o co olumna como el elemento especificado. Se dessignarán los menores de ai, bi, y ci por m(ai), m(b m i), y m(ci), reespectivamen nte, en donde e i = 1, 2 o 3. De acu uerdo con la definición anterior, a

Asimism mo, ya que a3 está en el terrcer renglón y en la primeera columna,

A con ntinuación se demuestra cómo c la expaansión de D en (1) puede ex xpresarse con n la ayuda de menores. Co onsidere el segundo

Determ minantes de terccer orden y la re egla de Cramerr

219

renglón de D, agrupe e los términoss de (1) y factorizando cad da grupo como sig gue

Ahora ad dviértase que e

Al iguall que

En conseecuencia, D = –m(aa2) • a2 + m(b2) • b2 –m(c2) • c2 Ahora se e considera la a tercera colu umna de D y agrupando y factorizando los términos de (1) como o sigue:

Por la a aplicación sucesiva de e este proce edimiento pu uede demostrarsse que la expansión de D, puede expre esarse en térm minos de los meno ores de los e elementos de cualquier re englón o colu umna en cualesqu uiera de las siguientes ma aneras: Primer re englón: Segundo renglón: Tercer reenglón: Primera columna: Segunda columna: Tercera columna: Para utilizar u el dia agrama mosttrado a contiinuación, es conveniente de eterminar de antemano loss signos que tienen que ser colocados an ntes del meno or del elemen nto correspon ndiente:

Ejemplo 1

en términos de los ellementos dell primer reng glón.

220

SISTEMAS DE ECUACIO ONES LINEALES

Solucción y

Ejemploo 2

A finn de emplear ((2), es necesarrio conocer a1, b1, c1, y m(aa1), m(b1,), m(cc1). En D1 se tiene a1 = 3, b1 = 2, y c1 = 4, y

Desarrollle el determinnante

en términnos de los eleementos de laa tercera coluumna y verifiique el resultadoo desarrollánndolo en térm minos del seggundo renglón n. Soluciión

Ya que c1 = 3

c2 = –6

c3 = –2

y los signnos en la terccera columnaa del diagramaa (8) son + , –, – + , se tiene quee,

Los signnos en el seguundo renglón n del diagram ma son –, + , –, y los elementoos son 1, –5, y –6. De estte modo,

Determin nantes de terce er orden y la reg gla de Cramer

221

Si uno o o más de lo os elementos del determin nante son cero o, es recomendable desarrollar el determ minante en ttérminos de los elementos del d renglón o columna qu ue contenga eel mayor núm mero de ceros.

Ejemp plo 3 Desarro olle el determ minante

Solucción Aquí, ell segundo ren nglón contien ne dos ceros. Por consiguiiente, se

utiliza este renglón een el desarrolllo del determ minante. De acuerdo a con (3) y (8), se obtiiene

Conssidere el sisteema de ecuaciiones

En la sección s 8.7 see resolvió un sistema, ecuaaciones (3) y (4), de dos ecua aciones con dos incógnittas por el m método de adiición y sustracciión. Si aquí sse procede en n forma simillar, suponien ndo que D ≠ 0, en ntonces

en dondee D, Dx, Dy, y Dz son los determinantes d s de tercer ord den

222

SISTEM MAS DE ECUACIONES LINEALES

Adviértasse que Dx es eel mismo que D excepto quue para obtenner Dx a1 de D, la primera p colum mna de D, laa cual es a2, se sustituye por p las a 3 d1 columnass de constantees de d2. Los determinantes de Dy y Dx se d3 obtienen análogamentte a partir de D (reemplazzando la prim mera y tercera coolumnas de D con la colu umna de consstantes). Ejemplo 4

Soluciónn

Resuelva laas ecuaciones

Para aplicaar la regla dee Cramer es necesario n connocer el desarrrollo de D, Dx, Dy y Dz. Si se desarrolla d porr el primer reenglón resultaa

Utilizanddo el segundoo renglón Dx resulta

Empleanndo la segunnda columna en D resultaa

Determi nantes de tercer orden y la reglla de Cramer

223

Consideerando la terccera columnaa en Dz resultta

Aplicanndo la regla de Cramer e n (8.5), se obbtiene

Ejemplo o5

Apliquue la regla dee Cramer paraa obtener el coonjunto solucción de 2x + 5y 5 + 3z = 3 x+ y + z = 0 3x- y + 2z = -5 5

Soluciión

El deteerminante form mado con loss coeficientes es

El desarrrollo de D fuue obtenido en n términos dee los elementtos del primer renglón. Al reeemplazar la ccolumna apr opiada de D por la colum mna de las consttantes se obtieene Dx, Dy y Dz. Puesto quue la columnaa de las constantes contiene uun cero, entoonces, cada unno de esos determid nantes see desarrolla een términos de d esa columnna así que caada desarrollo contenía c solam mente dos téérminos. Cadaa determinannte y su desarrolllo respectivo como sigue:

224

SISTEM MAS DE ECUACIONES LINEALES S

Por tantoo, la soluciónn es (1, 2, –33). EJERCICIO 8.6 8

Determiinantes de terrcer orden y la a regla de Cram mer

Encuentre loss valores de loos determinan tes en los prob blemas del 1 aal 20.

Determin nantes de terce er orden y la re egla de Cramerr

225

Verifique las ecuaciones en cada uno de los l problemas del 21 al 28 deesarrollando l as determinantes y combinando términos iguaales.

Aplicando la regla r de Cram er resuelva sim multáneamentte las ecuacionnes en cada un o de los p problemas dell 29 al 48.

226

SISTEM MAS DE ECUACIO ONES LINEALES

Puede demosttrarse que el área á de un trián ngulo con vértiices (a, b), (c, d d), y (e, f) es ell valor absoluto del determinante..

Aplique esta fórmula f en cad da problema deel 49 al 52 parra encontrar ell área del trián ngulo con los vérticces especificad dos en cada prroblema. 49

(2, 3), (-4,-1), (6,-5 5)

50

(2, 4), (-3,-2), (12 2, 16)

51

(2, 4), (-1,6), (5, -3)

52

(-1,,5), (3,0), (7, 2) 2

8.9

RESUMEN N

Los sistem mas de dos eccuaciones lineeales con dos incógnitas y los de tres ecuacciones linealees en 3 incóg gnitas fueronn consideradoos. Los métodos de d solución qque se presenttan, incluyeroon el de la adiición y sustracció ón, el de susttitución y la regla de Craamer. Ademáás, fue considerado el métodoo gráfico en la l resoluciónn de dos ecuaaciones con dos incógnitas. Los L determinnantes de orrden 2 y 3 fueron incluidos a modo de prreludio para que q después ffuera establecida la regla de Cramer. Asiimismo, se incluyeron ddiversos probblemas procedenttes de diferenntes disciplinaas tales que ssu resoluciónn originaba sisteemas de ecuaaciones linealles. EJERCICIO 8.7 7

Repaso

1 D e m u e s t r e q u e 4 x – 1 4 y = 6 y 6 x = 2 1 y + 9 s o n d e p e n d ie n tee s . 2 Demuestree que 9x + 12yy =

– 18y – 112x –16y = 30 son inconsist entes.

Resuelva R los problemas p 3 a 6 gráficamente.

R Resuelva los problemas p 7 a 10 por adición n y sustracción n.

Resumen n

227

Resuelva los problemas 111 a 14 por susttitución.

Resuelva los problemas 155 a 20 por la rregla de Cram mer.

Resuelva los problemas p 21 a 24 por cuallquier método..

25

Resuelv va el sistema 3(x - y) + (-2x + y ) = 2 5(x -y)+ 2(-2x + y) = 1 de dos maneras: (a) mu ultiplique, juntte los términos y aplique el método por su ustitución, (b) Resuelva las ecuaciones p ara x –y y –2xx + y y encue ntre x y y.

Verifíquense las ecuacionees de los probllemas 26 a 30..

31 Un arrendatario recibbió $2 400 porr el alquiler dee dos departam mentos en 1 añño, uno de ellos rentaba mensuualmente $20 más que el otrro. ¿Cuánto recibió al mes por p cada uno si el e departamentto más caro esstuvo desocuppado durante 2 meses? 32 Un drog guista mezcló un u compuesto con valor de $1.40 $ por gram mo con otro co on valor de $1.800 por gramo a fin de obtener 50 gramos de una mezcla quue vendió a $1 1.56 por gramo. ¿Qué cantidaad empleó de ccada compuessto?

228

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

33 Para una fiesta de caridad se vendieron 802 entradas a los precios de 5, 10 y 25. Si se vendieron 10 veces más entradas de $5 que de $10 y el total de la venta fue $5 000, ¿cuántas entradas se vendieron? 34 Encuentre el área del triángulo con vértices en (7, 2), (4, –1), y (3, 6).

9 sisttemass de eccuacioones cuaadráticcas dee doss variiabless La ecuaciión cuadráticca general dee dos variablees es una ecuuación del tipo Ax2 + Bxyy + Cy2 + Dxx + Ey + F = 0

Secciones cónicas

en donde al menos unna de las consstantes, A, B y C es difereente de cero. En Geo ometría Anaalítica queda demostrado que la gráfi fica de una ecuacción cuadráticca de dos varriables es un miembro de la importante clase c de curvaas llamadas seecciones cóniicas, la cual inclui ye el círcculo, la elipsee, la hipérbolla y la paráboola (véase la figura 9.1). En laas dos secciones que sigueen se estudiarrán las graneaas para casos esppeciales de unna ecuación cuadrática c dee dos variablles.

230

SISTEM MAS DE ECUACIONES CUADRÁ ÁTICAS DE DOS VARIABLES

En el resto del capítuulo se considderan los méttodos para reesolver sistemas de dos ecuacciones que al menos una de las expreesiones sea una ecuación e cuaadrática de doos variables.. 9.1

GRÁFICA AS DE ECUACIO ONES CUADRÁTTICAS DE DOS VARIABLES Se considderan las gráffícas de los siiguientes casos especialess de la cuadráticca general: Ecuación ax2 + by2 = c

Gráficaa

a >0

en donde b > 0 c>0

Una eliipse si a ≠ b y un círculo si a = b. Alargada a la dereccha e izquierdda o de arriba aabajo. Véase figura 9.1a y b. b

Gráfica as de ecuacione es cuadráticas d de dos variables

231

Como en el capítullo 7, los pasoos que se siguuen en la con nstrucción de las l graneas soon los siguien ntes: 1 Resuéélvase t la ecuuación para y en términos de x. 2 Asígnense varios vvalores a x, deeterminando el valor correespondiente a y y arregle los pares asoociados de loss valores en foorma tabulaar. 3 Repreeséntense grááficamente loos puntos detterminados por p los pares de valores y dibuje una curva c suave a través de elllos. Se exp plica el métoddo con varioss ejemplos. Ejemploo 1 Solución

Constru uya la gráfica de x2 + y2 = 25 (1) 1 Si se ejecutan lass operacioness sugeridas poor los pasos, se s tiene 2 Asígnnese a x los enteros e de –5 5 a 5, inclusivve, ya que ésste es el domi nio y calcuule cada vallor correspoondiente de y. Por ejempplo, si x = –55, entonces Asim mismo, si x = 2, entonces † Si la ecuación es más fácil de d resolver para x que para y, resuélvase para x. Entonces en los pasos subsecuentes s interrcámbiense x porr y.

232

SISTEMAS DE ECUACIO ONES CUADRÁT TICAS DE DOS VARIABLES V

Cuando un n cómputo siimilar es efecctuado para ccada uno de los otros valorres asignadoss a x y el resuultado se arreegla en la forrma tabular, see tiene:

3 Nótese que q en esta taabla se tienen n dos valoress de 31 para cada c x exceptoo x = –5 y a = 5. El par de valores x = 33, y = ±4 determina los dos puntos (3, 44) y (3, –4). Con estto entendido,, si se repressentan gráficamente los puntos p determinaados por la tabla y se unen u por meedio de una curva suave, se obtiene la grráfica de la figura f 9.2.

FIGUR RA 9.2

Puede verse v fácilmeente que en este e caso la ccurva es un círculo, puesto quue las coordennadas (x, y) de d cualquier punto p P, satisfacen la ecuacióón (1); esto ess, la suma dee sus cuadraddos es 25. Aún n más, viendo la figura, se obbserva que ell cuadrado dee las distanciias OP de P del centro c es x2 + y2. Por estto, cualquier punto cuyass coordenadas satisfagan s la ecuación (1) está a una distancia dee 5 del origen. En geneeral, por un razonamientto similar, se concluye que q la gráfica dee x 2 + y2 = r2 es un círc ulo de radioo r y la gráfiica de ax2 + ay2 = c un círculoo de radio √c//a si a y c tiennen el mismo signo. Ejemplo 2

Construyaa la gráfica dde 4x2 + 9y2 = 36

Gráficas de ecuaciones s cuadráticas de e dos variables Solució ón

233

1 Resolvviendo para y,, se tiene

2 Se notta aquí que si s x2 > 9, el raadicando es nnegativo y y es imaginariio. Por tanto, la gráfica exxiste sólo parra los valores de x de –3 a 3, 3 inclusive. Así A que, se asiigna a x los ennteros 0, ± 1, ±2, ± 3, calcullando el vallor correspoondiente; tam mbién se arrregla el resulttado en una ttabla y se tieene

3 Cuanddo se construyye la gráficaa determinadaa por esta tabbla, se obtienne la gráfica de la figura 9.3.

FIGURA 9.3

Refiriiéndose a la figura 9.1, se presume quue la curva sea s una elipse. La L demostracción que la ecuación e ax 2 + by 2 = c

con a, b y c positivoss siempre deffinen una elippse, está fueraa del alcance dee este libro. S Sin embargo,, la proposiciión es cierta, y es de mucha ayuda reco rdar este h echo cuanddo se trate con c tal ecuaciónn. Ejemploo 3 Solucióón

Construuya la gráfica de la ecuaciónn 3x2 –4y2 = 112. 1 Proccediéndose coomo antes, se tiene

234

SISTEM MAS DE ECUACIONES CUADRÁT TICAS DE DOS VARIABLES V

2 En estee caso, se notta que si x2 < 4, el radicanndo es negativ vo y y imaginnaria. De aquuí que la gráfica no existte entre x = –2 – yx = 2. Sinn embargo, si x es 2 o –2, y es cero. Así, la curva se exxtiende a la deerecha de (2, 0) y a la izq quierda de ( ––2, 0). Por essto, se asignann los valoress ±2, ±3, ±4, ±5, ± ±7, ±9, a x, pro-cediééndose como en e el ejemploo anterior, y obteniéndosse la tabla:

3 Cuandoo los puntos de arriba son representa dos y la gráffica se dibujaa, resulta la ccurva de la figura fi 9.4.

FIGUR RA 9.4

Otra vez,, refiriéndosee a la figura 9.1, 9 se concluuye que la cuurva es una hipéérbola. Este eejemplo ilusstra el hechoo de que si a > 0 y b > 0, una ecuacióón del tipo ax 2 –by 2 = c

define unna hipérbola. Si c es posittivo, la curvaa está en la misma m posición original o comoo en la figuraa 9.4. Sin embbargo, si c es negativo, las dos d ramas de la curva cruzzan el eje Y enn vez del eje X y se abre haciia arriba y abbajo. ECUACIO ONES DEL TI PO y

2

= ax + bx + c

2

o x = ay + byy + c

Gráficas de ecuaciones cuadráticas de e dos variables

Ejempllo 4 Solución

Consttruya la gráficca de

235

x 2 – 4x 4 – 4y – 4 = 00.

Al reso olver la ecuacción x2 – 4xx – 4y – 4 = 0

para y, y resulta

o sea quue pertenece al primer tippo mencionaddo arriba. See evitan las fracciiones si se suustituyen sóloo valores parees para x. Si se usan los valorres –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8 paara x y se procede como an ntes, se obtiene la l siguiente ttabla de los valores v de x y y:

Represen ntando gráficcamente los puntos p y se dibuja d la gráffica, se obtiene la l curva de l a figura 9.5.

FIGURA 9.5 9

Ejemploo 5 Solució ón

Contruyaa la gráfica dee 2y2 + 1 = x + 4y. Ya que esta ecuacióón contiene solamente s térrminos en x,, el álgebra es más m sencilla si s se resuelvee para x en térrminos de y y se obtiene x = 2j/ 2 - 4y + 1 Ahora, see asignan valores a y y se computan loss valores de x. x La siguiente tabla t se obtieene al explearr los valores ––2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, para y:

236

SISTEM MAS DE ECUACIIONES CUADRÁT TICAS DE DOS VARIABLES V

Ahora, rep presentando la gráfica y dibujando d la curva se obtiiene la curva de la l figura 9.6 .

FIGURA 9.6 6

Las cu urvas de las fiiguras 9.5 y 9.6 9 son parábbolas. En Geoometría Analíticaa se demuestrra que una eccuación del ttipo y –ax2 + bx + c define unna parábola abierta haciaa arriba si a es positiva y una parábola abierta haciaa abajo si a es e negativa. A Además, unaa ecuación del tipo x = ay2 + by + c define una parábola abbierta a la derrecha si a es ppositiva y una parábola ab bierta a la izqquierda si a es e negativa. EJERCICIO 9.1

Gráficas de ecuacioness de dos variabbles

Dibújese la grráfica de la función o relaciión definida poor la ecuaciónn en cada uno de d los problemas p deel 1 al 52.

Solución gráfica de d dos ecuaciones cuadráticas de e dos variables

9.2 9

237

SOLUCIÓ ÓN GRÁFICA DE E DOS ECUACIO ONES CUADRÁT TICAS DE DOS VARIABLES

Un conjunto soluciónn simultáneo de un sistem ma de dos ecu uaciones cuadrátiicas de dos vvariables es el e conjunto dde todos los pares p de valores corresponddientes a x y a y que satisfacen las dos ecuacion nes. Ahora laas coordenaddas de cada puunto en la grráfica de una ecuación satisfaccen la ecuación. Por consiiguiente, si laas gráficas de dos d ecuacionnes cuadráticas con dos incógnitas i soon construidas con c respecto al mismo ejee, las coordenadas de cadda punto de la inntersección foorman un paar de solucióón simultáneoo de las ecuacionnes. Ya que esos puntos están e en ambbas gráficas. En consecuenccia, para obteener el conjuunto soluciónn simultáneo o, de un sistema de dos ecuaaciones cuadrráticas de doos variables, gráficamente, se s construyenn las gráficas de las ecuaciiones con resspecto al mismo eje e y se estim man las coorddenadas de suus puntos de interseci ción. Ess fácil y útil eencontrar priimero la interrsección de x y de y, esto es, los puntos donde y = 0 y x = 0. Ejemp plo

Obteng a el conjunnto solución n simultáneeo del sisteema de ecuacionnes y = x2 - 4 9x + 25y2 = 225 por el método m gráficco. 2

Solucción

(1) (2)

Se consstruye la gráffica de la ecuuación (1) utilizando la siguiente tabla:

y así see obtiene la parábola p de la l figura 9.7 . La grráfica de la eccuación (2) ess una elipse, y se obtiene po or medio de la taabla:

2 238

SISTEAA AAS DE ECUACIONES CUADRÁT TICAS DE DOS VARIABLES V

La elipse también t se muestra m en la figura 9.7.

Las doss gráficas se intersecan enn un punto ccuyas coordennadas son (2.5, 2.5), (–2.5, 2.5), (1, –3 3), y(–l, –3) . Por lo tantto, el conjunto solución s simuultáneo de (11) y (2) es {((2.5, 2.5), ( – 2.5, 2.5), (1, –33), ( – 1, –3)} en donde loss elementos soon exactos haasta el primer deccimal. EJERCICIO E 9.2

Solución gráfica g

Encuentre E la solución s exactaa en los probleemas 1 a 8, la solución a la mitad de la unnidad más m cercana en n los problemaas 9 a 16, y el número n de soluciones en los problemas 17 7 a 28.

Eliminación por p sustitución

239

9..3 SOLUCIONNES ALGEBRAICCAS

Conjun nto solució ón

Eliminación de d una variablle

9 9.4

Como see estableció een la sección 9.2, una soluución simultáánea de un sistem ma de dos eccuaciones cuaadráticas de dos variables es un par ordenado de núm meros (x, y) que q satisfacenn cada ecuación. Al conjunto o de pares de números quee satisfacen a mbas ecuacioones en el sistem ma se llamaráá el conjuntoo solución deel sistema. Coomo se muestra en el ejemplo de la sección 9.2; si am mbas ecuacion nes son cuadráticcas, hay norm malmente 4 pares p en el coonjunto solucción de un sistem ma. Sin embbargo, si un na ecuación es lineal y la otra cuadráticca, las gráficcas de las eccuaciones so n una línea recta y una seccción cónica. Ya Y que esas dos d gráficas pueden interrsecarse en al menos dos punttos, hay al meenos dos pares de número os en el conjuntoo solución. El méétodo generall para resolvver un sistem ma de ecuacio ones de dos variaables, con al menos una de las ecuaciones cuadráticca, es el mismo que q el considderado en el capítulo 5. E El primer passo en el método es e combinar las ecuaciones de maneraa tal que sea posible obtener una u ecuaciónn de una sola variable, sienndo cada unaa de sus raíces un número dde un par enn el conjunto solución. A este proceso se le llama elliminación dee una variablee. Después dee que se ha obtennido un númeero de cada par del conjunnto solución, el otro se determ mina por susstitución. Co on frecuenciaa, la eliminacción de una variiable resulta en una ecuaación de cuaarto grado. En E tales casos la compleción c d proceso de resolución requiere del r de métodos m más avannzados de loss que presenttan en este libbro. Sin embaargo, la discusión y los ejerrcicios se ennfocan a probblemas que puedan resolversse por los métodos disponiibles. En el reesto de este capítulo c se considderarán los m métodos algeb braicos que suelen s ser utillizados. ELIMINAC CIÓN POR SUSTITUCIÓN Si en un sistema de ddos ecuacionees de dos variiables, una eccuación

240

SISTEM MAS DE ECUACIO ONES CUADRÁTTICAS DE DOS VA ARIABLES

puede reso olverse para una variable en términos de la otra, essta variable pueede eliminarrse por sustittución. Se suupone que laas variables so on x y y, que una ecuacióón puede ser resuelta para y en términos de d x y que la solución es de d la forma y = f(x). Entoncces, se sustituye y en la otra eecuación por f(x) f obteniénndose una ecu uación que involuucra solamennte x. Se desiignará esta eccuación por F(x) F = 0. Despuéés, se resuelvee F(x) = 0 parra x, y cada raaíz obtenida será s el primer núúmero de cadda par del connjunto soluciión. Se completa el proceso su ustituyendo cada c raíz de F(x) F = 0 en y = f(x)para obtener los valorees corresponddientes de y. Finalmente, F los valores dee x y y se arreglaan en pares de d esta manerra, (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x ( 4, y4), obteniéndoose así el conjuunto solución. Se apliicará el métoodo a tres ejeemplos. El pprimero muesstra el proceso de d resolver unn sistema que contiene unna ecuación lineal de dos varriables y una ecuación cuaadrática de dos d variables. El segundo y tercero t ejempplifican el método m para reesolver un siistema de dos eccuaciones cuadráticas dee dos variablles cuando una u de ellas se reesuelve fácilm mente en térm minos de la ootra. Ejemplo 1

Solución n

Resuelva el siguiente ssistema de eccuaciones: x 2 + 2y2 = 54

(1)

2x – y = –9

(2)

Primero se s resuelve laa ecuación (22) para y y se obtiene y = 2x + 9

(3)

Después se sustituyee y en la ecuaación (1) porr 2x + 9 y ressulta x2 + 2(2xx + 9)2 = 54 la cual see resuelve com mo sigue:

Ahora se sustituye x enn (3) por – 6 y se tiene y = 2(–66) + 9 = –122 + 9 = –3

(4)

Eliminación p por sustitución

241

De forma similar, suustituyendo x en (3) por ––2, se obtienee y = 2(–22) + 9 =–4 + 9 = 5 Por tanto o, el conjunto solución del sistema dadoo es (–2,5)}.

{(–6, –3), –

El passo final es verrificar que caada uno de los pares de núúmeros satisfagaa las ecuacionnes dadas. Essta verificacióón es como sigue: s Verificación

Las grráficas de las ecuaciones e (11) y (2), ambaas con el signnificado geométrico del conjuunto soluciónn, se muestraan en la figuura 9.8. Ejemplo 2

Resuelva ell siguiente sisttema de ecuacciones:

242

SISTEM MAS DE ECUACIONES CUADRÁ ÁTICAS DE DOS VARIABLES

Solucción

Primeero se resuelvve la ecuación n (2) para y y se tiene y = –x 2 – x – 1

(3)

Después se s sustituye eel miembro derecho d de la ecuación (3)) por y en (1) y se s obtiene 4x 2 – 2xx(–x 2 – x – 11) – (–x 2 – x – 1) 2 = –55 Se ejecutan las operacciones indicaadas en la últiima ecuación n y sumando 5 a cada miem mbro de la eccuación resuultante, se tieene –x 4 + 3xx 2 + 4 = 0

(4)

Ésta es una ecuación de forma cuaadrática y se resuelve com mo sigue:

Finalmen nte, se sustituuye cada uno de los valorees anteriores de x en la ecuación (3) para oobtener los vaalores corresppondientes a y. y Este procedim miento conduce a los sigu uientes resultaados.

En co nsecuencia, el posible conjunto c sollución es {(2 2, –7), ( – 2, –3)), (i, –i), {–i, i)}. Estas solluciones puedden verificarsse de la manera usual. u Ya que las coordennadas de cuaalquier puntoo en el planoo cartesiano son n números reales, (i, –i) y (–i, i) no reppresentan pun ntos

Eliminación por sustitución

243

en la grráfica de alguuna ecuaciónn, aunque sattisfacen cadaa una de las ecuacciones. Las grráficas de las ecuaciones e (1) y (2) se mueestran en la figuraa 9.9. En la figgura se ve quee (2, –7) y ( – 2, –3) son los puntos de interssección de lass gráficas perro (i, –i) y (–ii, i) no son puuntos de ningunaa de ellas.

Ejemplo 3

Resuélvaase el siguiennte sistema dee ecuaciones por sustitucióón: xy = 2 15x + 4y2 = 64 2

Solución

(1) (2)

La ecuaación (1) puedde resolverse con c facilidad para p 31 en térm minos de x. La soolución es (3) Ahora bien, b puedde eliminars e y al sustittuirlo por 2//x en la ecuaciónn (2). Así se obtiene

244

SISTEMA AS DE ECUACIO ONES CUADRÁTIC CAS DE DOS VA ARIABLES l a cu al s e res r uel ve p ara x c o m o s ig ue e:

Despuéss se sustituyee cada valor para p x en la eecuación (3) y por consiguiennte se obtienen los valores respectivos dde y. Este proocedimiento da:

En conseccuencia, el coonjunto solucción es

El conjuunto soluciónn puede verifiicarse sustituyyendo x y y por p los miembros apropiados de cada par de números en e el conjuntto solución de las l ecuacionees (1) y (2). Las L gráficas dde estas ecuacciones son mostrradas en la fi gura 9.10.

Eliminación n por sustitución

(–

FIGURA 9.1 10

EJERCICIO 9.3 9

Solución por sustitucióón

Resuelva los siguientes parres de ecuacioones por sustitu ución.

245

246

SISTEM MAS DE ECUACIONES CUADRÁÁTICAS DE DOS VARIABLES V

9.5

ELIMINA ACIÓN POR AD DICIÓN 0 SUST TRACCIÓN

En esta sección se esstudiarán dos clases de parres de ecuacio ones en las cualees el primer paso en su reesolución es eliminar unaa de las variables por adiciónn o sustracción. El métoodo se justifiica mediante el siguiente aargumento. Si x = p y y = q satisfacen cada c una de llas ecuaciones Ax 2 + Bxy B + Cy 2=F F 2 2 ax + bbxy+ cy =f

(9.1) (9.2)

entoncees (p, q) tambbién satisfaceen la ecuacióón

Esta prooposición se sigue del heecho que (p, q) satisface (9.1) y (9.2) se tiene M(Ap2 + Bpq + Cq2) = mF

y

n(app 2 + bpq + cqq 2 ) = nf

En conssecuencia, si (x, y) se susstituye por (pp, q), el miem mbro izquierdo de (9.3) es igual i a mF ± nf, y por consiguiente (pp, q) satisfacenn la ecuaciónn. Entonces, el primer obbjetivo es esccoger la variablee que va a elim minarse. Ento onces, si es poosible, escoger m y n que (9.33) no contengga esa variab ble. Dos ecuaciones e ddel tipo Ax2 + Cy2 = F see resuelven simultás neamennte eliminánddose primero una u de las variables por addición o sustraccción y entoncces resolviénddose la ecuacción restante para la otra varriable. El valoor de la otra variable v se enncuentra por sustitución.

i '

Eliminación por adición o sustracción

Ejemploo 1

247

Resuélvvase el siguientte sistema de ecuaciones: e

Por tanto,, si x es igual a 3 o – 3, entonnces y es iguall a ± 1. De estee modo, el conjunnto solución ees {(3,1), (3, ( –1), (–3, 1), (–3, –1))} La figura 9.11 muestraa la gráfica de las dos ecuaciiones dadas y las l coordenaadas de los puuntos de interssección.

248

SISTEM MAS DE ECUAC CIONES CUADRÁ ÁTICAS DE DOS VARIABLES

El prim mer paso en la resoluciónn simultáneaa de dos ecuaaciones del tipo Ax A 2 + Cy2 + D Dx = F conssiste en eliminnar y2 por addición o sustraccióón. Entoncess el proceso de resolución puede term minarse empleand do el métodoo que se sigue en el ejempplo 2. Ejemplo 2

Resuelvaa el siguiente sistema de eccuaciones. 3x2–2y2–6x = –23 x2 + y2 – 4x = 13

Solucióón

(1) (2)

Ya que cada c una de las l ecuaciones dadas conntienen y2 y ningún n otro término que incluuya a y, se elim mina y2 y se ccompleta la so olución como siguue:

Solu ución por adició ón y sustracción n

En consecuencia, si x = –

1 5

249

, enton nces

Por tantoo, el conjuntoo solución es

Las gráficcas de las eccuaciones (1)) y (2) se muestran en la figura f 9.12.

EJERCICIO 9..4

Solución por adición y ssustracción

Resuelva cad da sistema de ecuaciones e daddos abajo por adición y susttracción.

250

SISTEMA AS DE ECUACIO ONES CUADRÁT TICAS DE DOS VARIABLES V

9.6

RESUMEN La primeraa sección está dedicada a trrazar las gráfiicas de varios casos especiales de la cuaddrática generral Ax2 + Bxy B + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Enntonces, se muestra cóm mo encontraar una aproximaciión a la soluución simultáánea de un ppar de cuadrráticas trazando laas gráficas y eestimándose las l coordenaddas de los punntos de intersecciónn. En las seccciones que siiguen se mueestra cómo reesolver cuadráticass de tipos especiales por métodos m algebrraicos.

E EJERCICIO 9.5

Reposo

R Resuelva gráficcamente el parr de ecuacionees en los probllemas 1 a 6.

R Resuelva por su ustitución el paar de ecuacionees en los probleemas 7 a 12.

Resumenn

251

Resuelva el par de ecuacio ones en cada prroblema del 133 a 18 por adición y sustracción.

10 razóón, prroporcción y vaariación En círcu ulos educativvos, uno oye con frecuenccia el términno CI, o cocientee de inteligenncia. En un taaller mecánicco uno puedee oír referirse a la relación dde engranes. Los ingenierros de camino os están interesaddos en los grrados de las carreteras c y loos carpinteros continuamente tratan conn la inclinación de un techho. Cada unaa de las palabrass en itálicas es el cociente de dos númerros y es la meedida de algunos casos particculares. Por ejemplo, e el CI C es una medida de habilidaad mental y eel grado de una u carreteraa y la inclina ción de un techoo son medidass de una penddiente. En estte capítulo se estudia el conceepto de razón y se está inteeresado, en paarticular, en pares p de númeross que varían de manera tal t que sus r azones o prooductos nunca c ambian. 10.1 1

RAZÓN La razónn del númeroo a al númeroo b, para b ≠ 0, 0 se define como c el cocientee a/b, el cuall puede escri birse como

Represennta la parte de d a que corrresponde a una u unidad dee b. De modo quue, 60 centaavos/12 huev vos indica quue un huevo cuesta 60/12 ceentavos = 5 centavos, y $5 700/10 meses impliica una cuota dee $570 por m mes. Si a y b tienen lass mismas dim mensiones, enntonces, es neecesario expresarrlas en términnos de una misma m unidadd antes de quee se establezcaa una razón enntre ellas. Así, si se quieree la razón de 3 pies a 9 pulgaddas, se tiene que q expresar 3 pies en térm minos de pulggadas o 9 pulgad das en términnos de pies antes de form mar su razónn. Si se hace estto, se tiene 336 pulgadas//9 = 4. 10.2 2

PROPORC CIÓN Cuando se aplican las razones a problemas, es frecuennte encontrar situaciones s enn que dos razo ones son iguaales. La propoosición

Proporción Proporcción

Extrem mos Med dios

253

de que dos d razones ssean iguales se s llama una proporción. p Así A que, si a/b y c/d son iguaales, se escrib be

y la pro oporción se llee "a dividid do entre b es igual a c dividido d entre d" o "a es a b ccomo c es a d". d Una propo orción es en realidad r una ecuaación fraccio onaria o una ecuación quee incluye fraccciones. No impo ortando cuál de las formaas se use, se dice d que ay d son los extremos y b y c son los medios. A con ntinuación see presentan algunas a prop piedades de las l proporcionees que facilittan el trabajo o con proporrciones y sus aplicaciones. Si se multiplica caada miembro o de (10.1) p por bd, se tien ne

y, dividiiendo los miembros de cada c fracción n entre su facctor común, se ve que

Esto pueede expresarsse en palabraas como siguee: En cu ualquier prop porción, el prroducto de lo os extremos es igual al produ ucto de los m medios. Ejemploo 1 Solución

Encuen ntre x si x/15 5 = 2/5. Si se ap plica (10.2) a la ecuación dada, se tien ne 5x = (15 5)(2)=30 x=6

dividiendo cada miembro entre 5

Ahoraa se desarrollan otras dos proporcioness de (10.1). Si S se suma 1 a cada c miembrro de (10.1), se obtiene

254

RAZÓN, PROPORCIÓN Y VARIACIÓN

Entonces , ya que a/bb + 1 = (a + b)/b y c/d + 1 = (c + d)/d, se tiene

En forma similar, s al resstar 1 de cad da miembro dde (10.1) y sim mplificando, see obtiene

Si ahora se igualan los cocientes de loos miembros ccorrespondienttes de (1) y (2), adviértase a quee

Ahora puedde establecersse la siguientee propiedad:

Ejemplo 2

Solución

Encuentre a y b si

Si a/b – c//d, entonces por (2) se tiiene

En consecuuencia, sustituuyendo los vallores dados para a – b, c, y d, se obtienne

En consecu uencia, b = 24

por (10.2)

Finalment e, ya que a – 6 = 1 2 y 6 = 24,se siggue que a – 24 = 12 1 a = 36 3 Media, tercera y cuarta proporcional

Si c = b en a/6 = c/dd, entonces b se llama la media propporcional a o entre a y b, y d es la terccera proporciional a a y b. b Si

Proporció ón

c≠b y c. Ejemploo 3 Soluciión

Ejemplo 4 Solución

Ejemplo 5 Solució ón

EJERCICIO 10.1 1

en a/b = c/dd, entonces d es la cuartaa proporcionnal a a, b

Encuenntre la media proporcionaal entre 2 y 112.5. Si la meedia proporccional buscad da se represeenta por x y se s hace uso de la l definición, se tiene

Encuentrre la tercera proporcionaal a 2 y 6. Si se reppresenta la teercera proporrcional por xx, se tiene

Encuenttre la cuarta proporciona p al a 3, 4 y 5. Si x reprresenta la cuuarta proporccional, entonces

Razón y proporción

Exprese la razón indicadaa como una fraacción en probblemas 1 a 12 y simplifique.. 1

12 díass a 3 días

2 10 gataas a 2 gatas

3

40 años a 25 años

4 78 piess a 12 pies

5

2 semaanas a 4 días

6 12 yard das a 9 pies

7

$1.75 a 7 monedas dee a 5 centavos

8 6 monnedas de veinnticinco a 5 dee diez

9

1.6 milllas a 256 yard das

10 10 cuartos a 4 galonnes

9 mesees a 3 años

12 2 280 segundos a 1..3 horas

11

255

256

RAZÓN,, PROPORCIÓN N Y VARIACIÓN

E Encuentre el vaalor de la razó ón indicada en los problemass 13 a 16 e inteerprete el resultado. 1 13

517 millaas a 11 horas

14 $16 320 0 a 12 meses

1 15

39 "perro os calientes" a 13 niños

16 342 milllas a 18 galonnes

1 ¿Cuál es ell calor específfico de una susstancia si 8 callorías produceen un aumento en la 17 temperaturra de un bloquue de 25 gramoos en 1°C? El calor específicco de una sustaancia es el númeero de caloríaas necesario ppara aumentarr la temperatuura de un gram mo en 1°C. 1 Encuentre la pendiente de 18 d la inclinacióón de un techoo si el tejado que q mide 17 pies de largo está a 8 pies más allto en un extreemo que en el otro. o La pendiente es la distaancia que el tech ho se eleva poor unidad de ddistancia horizzontal. 1 La tangentte de un ángullo agudo de unn triángulo rectángulo es laa razón de las longi19 tudes del lado l adyacentee y el opuestoo. Encuentre laa tangente de uun ángulo agu udo si el lado op uesto tiene unna longitud dee 5 pulgadas y la hipotenussa 13 pulgada s. 2 La gravedaad específica de 20 d un cuerpo ees la razón del peso del cuerppo al peso de un u volumen iguaal de agua. Enccuentre la gravvedad específicca de una sustaancia si 1 pie cúbico c de agua peesa 62.5 librass. E Encuentre el valor de x en loos problemas 21 a 28.

E Encuentre la cu uarta proporcioonal para los nnúmeros especif ificados en los problemas 29 a 32. 2 29

2, 5, 4

30

5, 2, 2.5

31

4, 7, 12

32

9, 12, 15

Encuentre E la teercera proporrcional para ell par de númerros en los prooblemas 33 a 36. 3 33 3

1,2

34

3,9

35

2,3

36

8,5 8

E Encuentre la media m proporciional para el par p de númeroos en cada prooblema del 37 al 40. 3 37

1,9

38

2,8

39

12,27

40

9 9,16

4 Si x:y = 5:1, 41 5 y x – y = 12, encuentre x y 31. 4 Si x:y = 2:1, 42 2 y x – y = 7, encuentre x y y. 4 Si x:y = 5:3, 43 5 y x + y = 16, encuentrre x y y. 4 Si x:y = 12:7, y x + y = 19, encuenntre x y y. 44 4 Si el soniddo de un silbato de vapor se escuchó a 3 267 45 2 pies del treen después de 3 segundos. ¿C Cuánto tiempoo tardó en esccucharse a 5 445 4 pies del trren? 4 ¿Cuántos gramos 46 g de agu ua pueden vapoorizarse con 6 456 calorías si s se sabe que 4 304 calorías pu ueden vaporizar 8 gramos?

Variación

257

47 ¿Cuánto cemento debe emplearse para obtener 216 pies cúbicos de concreto si se ocupan 14 sacos para 4 yardas cúbicas? 48 Si un plano de una casa está dibujado a escala de 1/2 pulgada por pie, ¿cuáles son las dimensiones de una casa rectangular si el plano del piso se muestra en una hoja de 20 X 30 pulgadas?

10.3 Variación proporcional directa

Constante de proporcionalidad

VARIACIÓN

Si dos variables están relacionadas tal que una de ellas es siempre una constante por la otra, entonces se dice que la primera varía directamente con la otra. Esto puede escribirse simbólicamente como y = kx. La constante k se llama la constante de proporcionalidad o de variación.

Ejemplo 1

En forma simbólica exprese el hecho que W varía directamente al variar t y encuentre la constante de proporcionalidad si W = 20 para t = 4.

Solución

Por la definición anterior, puede escribirse W – kt ya que W = 20 para t – 4, esto puede escribirse en la forma 20 = k4; por tanto, k = 5 y la ecuación de variación es W = 5t.

Variación proporcional inversa

Si dos variables están relacionadas tal que una de ellas es una constante dividida entre la otra, entonces se dice que la primera varía inversamente con la otra. Esto puede ponerse en forma simbólica como y = k/x, en donde k es la constante de proporcionalidad.

Ejemplo 2

Establezca simbólicamente que L varía inversamente con y y encuentre la constante de proporcionalidad si L = 7 para y = 4.

Solución

Usando la definición de variación inversa, puede escribirse L = k/y. Ahora bien, poniendo los valores correspondientes de L y y en esta ecuación, se obtiene 7 = k/4. Por consiguiente k = 28, y por la ecuación que expresa la variación se tiene L = 28/y.

Variación conjunta

Si tres variables están relacionadas tal que una de ellas es una constante por el producto de las otras dos, se dice que la primera varía conjuntamente con las otras dos.

258

RAZÓN N, PROPORCIÓN N Y VARIACIÓN

Esta propo osición puedde escribirse como Z = kxxy. Ejemplo 3

Exprese laa proposiciónn que V varíaa conjuntameente con L y W en forma sim mbólica y enccuentre k si V = 420 paraa L = 10 y W = 7.

Solución

Si se aplicca la definiciión de variacción conjuntaa, entonces, puede p escribirse V = kLW. C Cuando los valores v dadoss de V, L, y W se escriben en e esta ecuacción resulta 420 4 = k(10)(77) = 70k. Así que, k = 6, y laa ecuación qque establecee la variacióón es V = 6L W.

Ejemplo 4

El total de gasolina connsumida por un u automóvill que viajó coon rapidez unifforme varía conjuntament c te con la disttancia recorrrida y con el cuadrado de la velocidad. v Si un automóviil consume 5 galones al recoorrer 100 milllas a 40 millaas por hora. ¿Cuánto consu umirá recorrienddo 80 millas a 55 millas por p hora?

Solución

El primer paso consistte en escribirr la ecuaciónn de variación. En donde el número n de gaalones de gassolina consum mido se repreesenta por g, el número n de m millas recorriddas por S y laa velocidad por p r; entonces

Finalmentee, puede encoontrarse el vaalor deseado de g sustituyyendo s = 80 y r = 55 en estta ecuación, ya que son un par de vaalores corresponddientes. Por esto,

Ejemplo 5

La carga que q puede sooportar una viga v rectanggular de un ancho a dado varíaa directamentte con el espeesor de la vigga e inversam mente con la longgitud entre loos soportes. Si S la carga quue puede sopportar una viga dee un ancho dado que tienee 10 pies de largo l y 5 pulggadas de profunddidad es de 2 400 libras, determine laa carga que puede p soportar un na viga del m mismo materiial y ancho sii es de 8 pulg gadas de profunddidad y 16 piies entre sus soportes.

Variación n

Solucción

259

Sea

d = el número n de puulgadas del espesor e de laa viga s = el núúmero de piees entre los soportes s L = el número n de liibras de la caarga que pueede soportarr Entoncees, por la deefinición de variaciión

Y si ahoora se hace usso del conjuntto de valores correspondieentes de d, s y L,, se obtiene

k = 960 9

resolvien ndo para k

Por consiguiente, la ecuación quee establece laa variación ess

sustituyyendo d = 8 y s = 16, see obtiene

= 3 84 40 Por tantto, la carga qque puede sooportar es de 3 840 librass. EJERCICIO 10.2 1

Variacióón

1 Exprese las l siguientes proposiciones p c como ecuacionees: (a) f varía directamente conn q; (b) a variia inversamentee con b; (c) x vvaría conjuntam mente con y y z;; (d) y varía direectamente con el cuadraddo de w e inverrsamente con v. v 2 Si y varíaa directamentee con x y es 18 cuando x = 6, encuentre el vvalor de y si x = 2. 3 Si w varíía directamentee con x y es 24 cuando x = 4, encuentre el vvalor de w si x = 5. 4 Dado quee y varía inveersamente con x y y = 6 cuanndo x = 3, encuuentre el valor de d y cuando x = 9. 5 Si w varíaa inversamente con y y es iguaal a 12, cuando y = 3, encuentree el valor de w si s y = 18. 6 Si y varíaa conjuntamentte con x y w y es 36, cuando x = 3 y w = 2, encuentre el vaalor de y si x = 5 y w = 4. 7 Dado quue x varía conju untamente conn w y y y tambbién que x = 600, cuando w = 3 y y = 5, enncuentre el vallor de x si w = 4 y y = 7.

260

RAZÓN, PROPORCIÓN Y VARIACIÓN

8 Dado que w varía directamente con el producto de x y y e inversamente con el cuadrado de z; además w = 4 cuando x = 2, y = 6 y z = 3; encuentre el valor de w cuando x = l , y = 4, y z = 2. Es posible convertir unidades de un sistema de medidas a otro mediante varios cambios sucesivos entre unidades conocidas. Por ejemplo, para convertir millas a centímetros se sabe que 5 280 pies

12 pulgadas

2.54 centímetros

1 milla = 1 milla

= 1 6 0 934.4 centímetros 1 milla

1 pie

1 pulgada

Cambie la medida en los problemas 9 a 16 del sistema métrico o inglés al otro usando el hecho que el número de centímetros en una longitud varía directamente con el número de pulgadas en él y es 2.54 por una pulgada. También use 1 metro = 39.97 pulgadas. 9 1 pulgada 13

1 500 metros

10

6 pulgadas

11

1 pie

12

1 yarda

14

Imilla

15

100 metros

16

220 yardas

Cambie el peso de cada problema del 17 al 24 del sistema en el cual está dado (métrico o inglés) al otro haciendo uso del hecho que el peso de un objeto en gramos varía directamente con el peso en libras y es 453.6 gramos por libra y es 2.204 libras por 1 kilogramo. 17

1 libra

21

31 kilogramos

18

1 onza 22

1 gramo

19

3 libras

23

787.3 gramos

20 35.2734 onzas 24 1 984 gramos

Use el hecho que 1 cuarto = 0.9463 litros para cambiar el número en los problemas 25 a 28 al otro sistema de medida. 25

1 galón

26

1 litro

27

15 cuartos

28

21 litros

La temperatura en grados centígrados varía de acuerdo con "Fahrenheit menos 32"y es 10°C para 50°F [simbólicamente C = k(F – 32)]. Cambie de F a C o de C a F en los siguiente problemas. 29 77°F 33 25°C

30 34

22°F 40°C

31 35

–40°F 100°C

32 36

0°F 10°C

Use f = 2C + 30 como una aproximación para F = 1.8C + 32, una relación exacta, y encuentre f y F para cada valor de C dado en los problemas del 37 al 40. 37

30°

38

20°

39

5o

40

–5o

41 El área de un rombo varía conjuntamente con la longitud de las diagonales. Si el área de un rombo con diagonales 3 y 4 pulgadas es de 6 pulgadas cuadradas, encuentre el área de otro rombo cuyas diagonales son de 2 y 5 pulgadas. 42 Cuando se agrega aluminio a un exceso de ácido clorhídrico, la cantidad de hidrógeno producida varía directamente con la cantidad de aluminio agregado. Si 18 gramos de aluminio produce 2 gramos de hidrógeno, ¿cuánto hidrógeno puede ser producido al agregar 63 gramos de aluminio a un exceso de ácido clorhídrico?

Variación

261

43 El interés simple ganado en un tiempo determinado varía conjuntamente con el capital y la tasa de interés. Si $600 devengaron $108 al 6%, encuentre el interés devenga do para el mismo tiempo por $810 al 5%. 44 La resistencia que ofrece el aire a un objeto que se mueve es, aproximadamente, proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto. Compare la resistencia que ofrece el aire a un automóvil que viaja a 30 millas por hora con aquella de un automóvil que viaja a 60 millas por hora. 45 De acuerdo con la ley de Boyle, el volumen de una masa confinada de gas varía inversamente con la presión, sujeto a que la temperatura sea constante. Si una masa de gas tiene un volumen de I litro bajo una presión de 76 centímetros de mercurio, ¿cuál es su volumen bajo una presión de 38 centímetros de mercurio? 46 La cantidad de pintura necesaria para pintar la superficie de una columna cilíndrica varía conjuntamente con el radio y la altura de la columna. Compare la cantidad de pintura precisada para pintar un poste de 5 pies de alto y de radio 1/2 pie con aquélla requerida para un poste de 6 pies de altura y de radio 1/3. 47 El volumen de gas que se descarga a través de un tubo horizontal en un tiempo dado, bajo presión y gravedad específica constantes, varía inversamente con la raíz cuadrada de la longitud del tubo. Si 246 pies cúbicos de gas se descargan en una hora a través de un tubo de 2 500 pies de largo, ¿qué volumen será descargado en una hora por un tubo de 3 600 pies de largo? 48 El peso de un cuerpo sobre la superficie de la Tierra varía inversamente con el cuadrado de la distancia del cuerpo al centro de la Tierra. Si un niño pesa 121 libras en la superficie, ¿cuánto pesaría a 400 millas sobre la superficie? Supóngase que el radio de la Tierra es de 4 000 millas. 49 La cantidad que una barra se doblará bajo una fuerza aplicada varía inversamente con el ancho de la barra cuando el espesor y longitud de la barra permanecen constantes. Si una barra de 2.5 pulgadas de ancho se doblará 7 grados bajo cierta fuerza, ¿cuál es el ancho de una barra del mismo material, longitud y espesor que se doble 5 grados bajo la misma fuerza? 50 La potencia que una flecha en rotación puede transmitir seguramente, varía como el cubo del radio de la flecha y el numere de revoluciones que la flecha da por minuto. Compare la carga que puede soportar una flecha con un radio de 2 pulgadas girando a 600 revoluciones por minuto con otra que tiene un radio de 3 pulgadas y gira a 800 revoluciones por minuto. 51 El peso de la línea de un tendedero varía conjuntamente con la longitud y el cuadrado del diámetro. Si el peso de una línea de 36 pies y 1/4 de pulgada de diámetro es de 5.4 libras, encuentre el peso de una línea de 48 pies y 1/8 de pulgada de diámetro. 52 En el océano, el cuadrado de la distancia, en millas, del horizonte, varía con la altura, en pies, de un observador sobre la superficie del agua. Si una mujer de 6 pies en una tabla puede ver 3 millas, ¿qué tan lejos puede ver si se encuentra en la cubierta de un barco que tiene 48 pies de la altura con respecto al nivel del agua? 53 La potencia disponible de un chorro de agua varía conjuntamente proporcional con el cubo de la velocidad del agua y con el área de la sección transversal del chorro.

262

RAZÓN, PROPORCIÓN Y VARIACIÓN

Compare la potencia de un chorro con otro que se mueve dos veces más rápido a través de una tobera que tiene la mitad del área. 54 La fuerza centrífuga de un punto de un cuerpo que gira varía con el radio del círculo en el cual el punto C se mueve. Si la fuerza centrífuga es de 450 libras cuando el radio es de 12 pulgadas, ¿qué valor tiene el radio si la fuerza es de 375 libras? 55 La fuerza del viento sobre una superficie plana perpendicular a la dirección del viento varía con el área de la superficie y el cuadrado de la velocidad del viento. Cuando el viento sopla a 8 millas por hora la fuerza sobre una señal de camino de 8 X 6 pies es de 7.5 libras. ¿Cuál es la fuerza sobre una ventana de 3 X 4 pies cuando el viento sopla a 16 millas por hora? 56 La carga de fractura, de una columna de sección transversal circular, varía como la cuarta potencia de su diámetro e inversamente con el cuadrado de su altura. Si I 953 toneladas fracturan una columna de 1 pie de diámetro y 15 pies de altura, encuentre la carga de fractura de una columna de 4 pulgadas de diámetro y 5 pies de altura. 57 Una de las leyes de Kepler establece que el cuadrado del tiempo, en días, que requiere un planeta para efectuar una revolución alrededor del Sol varía directamente como el cubo de la distancia promedio del planeta al Sol. Si Marte está a 1 1/2 veces más lejos del Sol, en promedio, que la Tierra. Encuentre el número aproximado de días para ejecutar una revolución alrededor del Sol. 58 La potencia necesaria para operar un ventilador varía como el cubo de la velocidad. Si 2 caballos de potencia ocasionan que un ventilador gire a 600 revoluciones por minuto, encuentre la velocidad que resulta cuando se aplica 1/4 de caballo de potencia? 59 El tiempo de exposición necesario para lograr un buen negativo fotográfico varía directamente como el cuadrado del número f del lente de la cámara. Si con una 1 exposición de 50 de segundo se consigue un buen negativo con f16, ¿qué tiempo de exposición sería necesario para una abertura de f8? 60 La cantidad de aceite que consume un barco que viaja a una velocidad constante, varía conjuntamente con la distancia recorrida y el cuadrado de la velocidad. Si un barco usa I 500 barriles de aceite y recorre 480 millas a 25 nudos, ¿qué velocidad uniforme tenía el barco si cubrió 450 millas y consumió 1 080 barriles de aceite?

11 sucesiones y series

Conjunto

Sucesión Serie

11.1 Progresiones aritméticas

Di fe recia común

Se llama conjunto a una colección de números. Si cada elemento de un conjunto tiene un lugar definido en el conjunto, se tiene una sucesión. A la suma indicada de una sucesión se le llama serie. Si se estuviera interesado en sucesiones sólo como un pasatiempo, entonces, podrían encontrarse muchas de sus propiedades intrínsecas. Pero si ahora se está interesado en las sucesiones por su uso en Matemáticas y sus aplicaciones, entonces, pueden encontrarse propiedades y aplicaciones muy interesantes. Este capítulo se dedica a estudiar dos tipos de sucesiones: las sucesiones Aritméticas que ocurren en problemas relacionados a la producción de alimentos y en el análisis del movimiento de un cuerpo en caída libre que inicialmente se encontraba en reposo. Sucesiones Geométricas que ocurren en el crecimiento de la población, desintegración radiactiva e interés devengado sobre dinero. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Una progresión aritmética es una sucesión de números relacionados entre sí tal que cada elemento después del primero puede obtenerse del inmediato anterior sumándole un número fijo. A este número fijo se le llama la diferencia común. Así que, la progresión aritmética de siete términos con el primero 3 y la diferencia común 4 es la siguiente: 3, 3 + 4 = 7, 7 + 4 = 11,11 + 4 = 15, 15 + 4 = 19, 19 + 4 = 23, y 23 + 4 = 27. Esta progresión puede escribirse como 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27. Muchos problemas sobre progresiones aritméticas tratan con cuatro o más de las cinco cantidades • El primer término en la progresión, simbolizando por a1 • El n–ésimo o último término, representado por a n • La diferencia común d

264

SUCESIONES Y SERIES S

• El núm mero de térmiinos n • La sum ma de los térm minos s Se desa arrollarán laas fórmulas que permiteen determin nar las otras dos, si tres de esttas cantidade es son conocidas. La prim mera de esas fórm mulas expresa a el último (n–ésimo) ( té érmino en fu unción de a1 d y n. n Por el uso de d la definiciión de una progresión aritm mética de n términos con el p primer términ no a1 y la diiferencia com mún d, puede con nstruirse la siiguiente tabla:

En consec cuencia, el n n–ésimo o últtimo término de una prog gresión aritmética a cuyo primeer término es a1 y diferenccia común d es an= a1 + (n – 1)d Ejemplo 1

Solución

(11.1)

Encuentree el último téérmino de unaa progresión aritmética cuuand o a1 = – 2 , d = 3 , y n = 6. Podría en contrarse el sexto términno con ayudaa de la definnición, pero en su lugar se apliccará (11.1). Sii se sustituyenn los valores dados, d se obtienee a6 = –2 + (6 – 1)3 = –2 + 15 = 13

Ejemplo 2

Si el primeer término de una progresióón aritmética es – 3 y el octtavo es 11, encuenntre d y escribba los ocho téérminos de la progresión.

Solución n

En este prroblema, a1 = –3 , n = 8 , y a8 = 11. Si estos valoores se sustituyenn en (11.1), sse obtiene 11 = –3 + ( 8 – 1) d

o

1 1 = –3 + 7d

De aquí que, q –7d = –144

y

d = 2

Por tantoo, ya que a1 = –3, los primeros ochho términos de la progresióón deseada soon –3, –1, 1, 3, 5, 7, 9, 1 1. A fin dee obtener la fóórmula para laa suma s de loos n términos de una progresiónn aritmética en la cual el primer téérmino es a1 y la diferenciaa común es d, adviértase que q los términnos en la proggresión son a1, a1 + d, a1 + 2d,, y así suceesivamente, hhasta llegar a l

Progresio ones aritméticas s

265

último téérmino, el cuual por la fórm mula (11.1) ees an = a1+ (n – 1)d. De moddo que, s = a1 + ( a1 + d) + ( a1 + 2d) + • • • + [ a1 + (nn – 1)d]

(1)

Puesto que q hay n térrminos en la ecuación (1) y cada uno de ellos contienee a a1 puedenn rearreglarsee los términoss y escribir s como s = nal + [1 + 2 + • • • + ( n – 1)]]d

(2)

Ahora, si s se invierte el orden de los términoss en la progreesión al escribir an como el prrimer términoo, entonces, ell segundo térrmino es an – d, ell tercero es an – 2d, y así hasta h llegar aal n–ésimo térrmino el cual por (11.1) es an – (n – 1)(d). Poor lo que la suuma puede escribirse como s = an + (an – d) + (aan – 2d) + • • • + [an – (n – l)(d)] A contin nuación se coombinan los an's y el d's, se obtiene s = na n – [1 + 2 + • • • + (n–1)]d d

(3)

Finalmente, si se suuman los miembros correspondientess de las ecuacionnes (2) y (3), se tiene 2s = na1 + nan + 0

y ya que los coeficientes del término entre paréntesis en llas ecuaciones (2) y (3) tienen signos s opuestos

= n(aa1 + an) Dividien ndo entre 2, sse obtiene la fórmula

(11.2) Ésta tam mbién puede expresarse en e la forma (11.3) al sustittuir a n por a1 + (n – 1)d. Ejempllo 3

Encuenttre la suma dee todos los en nteros pares del d 2 al 1 000 inclu– sive.

Solucción

Ya que los enteros ppares 2, 4, 6,, etc., tomados en orden, forman una proogresión arittmética con d = 2, entoonces, puedee usarse (11.2) con c a1 = 2, n = 500, y an = 1 000 para obtener la suma deseadaa. La sustitución de esos valores v en (11.2) resulta

266

SUCESIO ONES Y SERIES

Ejemplo 4

Solución

Un hombrre compró unn automóvil usado u por $1 100 y acordóó con dar $100 como c pago innicial y $100 por mes más un interés deel 6% sobre saldoos insolutos hhasta que el valor v del auto móvil sea paggado. ¿Cuánto lee costará el ccarro? La tasa dee interés al 66% por año es 0.5% por mes. Por loo que, cuando él efectúa su prrimer pago deespués del innicial, él debeerá un mes de intterés sobre $11 000, o (0.005)($l 000) = $5.00. Ya que q él paga $100 de principal o capital mennsual, su interrés mes por mes m se reduce en 0.5% de $10 0 o $0.50. El pago final seerá de $100 más m el interés de $100 $ por 1 mees, el cual es $100.50. $ Por llo tanto, sus pagos p constituyeen una proggresión aritm mética con a 1 = $105, a n = $100.50, y n = 10. Por tanto, por (1 1.2) la suma de sus pagos es

Así que, el e costo total del automóvvil será de $11127.50 Si cualeesquiera tres de a 1 , an, n,dd, y s se conoocen, las otraas dos pueden enncontrarse ussando(ll.l)y ( 11.2) u ( l l . 3). Si, despuués de sustituir laas cantidadess conocidas, hay h solamentte una desconnocida en cualesqquiera de lass ecuaciones (11.1), (11.22) u (11.3), puede p usarse esaa ecuación ppara encontrrar la desco nocida. Entoonces, pueden enncontrarse lass otras incógnnitas aplican do otra de laas tres fórmulas. Ejemplo 5 Solución n

Encuentree d y s si a 1 = 4, n = 10,

y

a n = 449.

Ya que hayy sólo una inccógnita d resttante, despuéss de que los vaalores se sustituyyen en (11.11), entonces, puede aplicaarse ésta parra encontrar d. De este moddo, sustituye ndo resulta 4 9 = 4 + (1 0 – l )d = 4 + 9 d Por tanto . 9d = 45 y d=5 Ahora, si se sustituye este valor paraa d y los valores dados paraa a 1 y n en (11.3) o los valore s dados para n, a 1 , y a n en e (11.2), resstando solamentee s como inc ógnita. Si se emplea (11.22), se obtien e

Progressiones aritméticass

267

Ejemplo o6

Encuenttre a 1 y n si a n = 23, d = 3, 3 y s = 98. Enncuentre tam mbién los términoss.

Solució ón

Si se susstituyen los vvalores dadoss en cualquierra de (11.1), (11.2) u (11.3), se s obtiene unna ecuación de dos variables; por loo que es necesariio resolver el e par de ecu uaciones sim multáneas ressultantes después de sustituirrlos en dos cualesquiera c de (11.1), (11.2) ( y (11.3). Si S se usan lass primeras doos, se obtienne

Se empieza por resolver (1) paraa a 1 . Así se oobtiene a 1 = 23 – (n – 1)3 = 26 – 3n

(3)

El siguieente paso es sustituir estoo por a 1 en (22). Por tanto resulta

De aquí que, 196 = 499n – 3n 2

3n 2 – 49n + 196 = 0

or

Por tantto, por la ecuuación cuadrrática,

Debe deesecharse 283 ppuesto que ell número de términos de una sucesión no n puede ser una fracciónn. El valor dee a1 puede seer ahora obtenidoo de (3) y es 226 – 3(7) = 5. En consecuencia, los térm minos de la sucessión son 5, 5 + 3 = 8, 111, 14, 17, 200, 23. EJERCICIO 11.1 1

Progre esiones aritmétticas

Escriba los términos t de laa progresión aaritmética que satisfacen lass condiciones en cada uno de los problemas p del 1 al 8. 1

a 1 = 1, d = 2, n = 6

2

a 1 = 7, d = –22, n = 5

268 3 5 7

SUCESIONES Y SERIES S

a 1 = 12, d = –3, n = 7

4

a 1 = –5,d= 4 , n = 4

a 1 = 2, segundo s térm mino 6, n = 5

6

a 1 = 7, tercer térrmino 5, n = 6

Segundo o término 6, cu uarto término 10, n = 7

8 Tercer término 7, séptimo térm mino 15. n = 7

En los problem mas 9 a 32, encuentre el valo or de cualquieera de a 1 , an, n n, d,y s que no estén dados.

33 Encuentree la suma de lo os 17 enteros positivos más pequeños mú últiplos de 3. 34 ¿Cuál es la l suma de loss enteros múlt iplos de 7 entrre 6 y 99? 35 Encuentree la suma de to odos los enterros de dos dígiitos múltiplos de 9. 36 Encuentree la suma de to odos los entero os múltiplos dee 17 desde el 3 34 al 187 inclu usive. 37 Si una mááquina cuesta $8 400, se deeprecia un 29% % durante el p primer año, 24 4% en el segund do, 19% a lo laargo del tercerro y así hasta el sexto año d de su vida útill. Encuentre su u valor de des echo. 38 Una ingen niera hizo $3 700 7 el primer año después de d su graduaciión en 1948. Si S ella recibió un n aumento de $800 $ al final d de cada año, ¿ccuál fue su sueeldo al princip pio de su veintiu unavo año de trrabajo? ¿Cuál fue el ingreso que ella tuvo durante sus prrimeros 20 añ os de trabajo como ingenie ra? 39 Un estudiiante mal prep arado pero cap paz y aplicado o obtuvo 51 en n el primero dee seis exámenes de álgebra. ¿C Cuál fue su pro omedio si su caalificación fue mejor por 9 puntos en cada prueba p subsecu uente compar ándola con la inmediata an terior? 40 El primero de dos correedores viaja 40 01 yardas por minuto, m mientrras que el otro corre a una rapiidez uniforme durante cada minuto pero corre c 52 yardaas más cada minuto m que en el inmediato antterior. ¿Quién ganará una caarrera de una m milla si el seg gundo avanza 31 11.5 yardas en n el primer miinuto?

Progresione es geométricas

269

41 Los tres dígitos de un número formaan una progressión aritméticaa. ¿Cuál es el número si éste au umenta en 594 4 al intercamb iar las unidad es y las centen nas? 42 Encuentrre x tal que x + 1, x + 7y x + 13 formen un na progresión aritmética. 43 Encuentrre x y y tal quee x, y y x + y + l formen unaa progresión aaritmética con suma 13x. 44 Determin ne x tal que 3xx + 2, x 2 – x; y 2x 2 – 6x + 1 formen una prrogresión aritm mética. 11..2 Progresión geométrica Razón comúnn

PROGRESIONES GEOMÉTTRICAS

Una prog gresión geom métrica es una a sucesión dee números relacionados de taal forma quee cada eleme ento después del primero o puede ser obten nido del inm mediato anterrior multipliccándolo por un número fijo o. Este númeero fijo es lla amado la razzón común. De D este modo, laa progresión geométrica de d siete térm minos con el primer término 3 y la razón ccomún 2 es 3, 3(2) = 6, 6(2) = 12, 12(2 2) = 24, 24(2) = 48, 48(2) = 96, y 96(2) = 192. Much os problemaas de progreesiones geom métricas trat an con cuatro o más de las ccinco cantidaades • • • • •

El prim mer término de la progreesión se repreesenta por a1 El n–éésimo o últim mo término see representa por an La razzón común r El núm mero de térm minos n La sum ma de los térrminos s

Se desarrollarán las l fórmulass que permi tan determin nar las otras doss si tres de esstas cantidades son conoccidas. La prim mera de estas fórm mulas da el ú último (n–ésim mo) término en e función dee a1, r, y n. Si se emplea la deefinición de una progresión geométricca de n términoss con el prim mero a1 y raazón común r, entonces, puede construirrse la siguien nte tabla:

En conseecuencia, el n n–ésimo o úlltimo término o de una prog gresión geométriica siendo ell primer térm mino a1 y razó ón común r es e

an = a1rn-1 Ejemplo 1

Solució ón

(11.4)

Encuenttre el último término de una u progresión geométricca para a1 = 3, r = 2, y n = 5. Podría encontrarse e eel quinto térm mino usando la definición n pero

270

SUCESIONES Y SERIES S

en su lugar se usará (11.44). Si se sustiituyen en éstaa los valores dados, se tiene a 5 = (3)(2 2 5–1 )=(3)(2 4 ))=48 Para enncontrar la fóórmula de la suma para unna progresión geométrica y como primeer término a1 y razón coomún r, se obbserva que los térrminos en la pprogresión sonn a1, a1r, a1r2, y así hasta lleegar al n–ésimo término t a1rnn-1 obtenido por p (11.4). P or lo que,

s = a 1 + a 1 r + a 1 r 2 + • • • + a1rn-1

(1)

y multiplicando por r,

rs = a1r + a1r2 + a1r3 + • • • + a1rn-1 + a1rn

(2)

Ahora, reestando cadaa miembro dee (2) del mieembro corresspondiente de (1), se tiene

Por consigguiente, la suuma de una progresión geoométrica de n términos siendo el primeero a1 y razónn común r ess

n

La formaa de esta fórm mula puede caambiarse al eescribir a1r como n-1 ra1r = ran y así obbteniendo, po or (11.4)

Ejemplo 2 Solución n

Encuentree la suma de los primeros seis s términos de la progressión 2, –6, 18 , . . . En esta prrogresión a1 = 2, r = –3, y n = 6. De m modo que, si se s sustituyen n esos valoress en (11.5), se s obtiene

Progresion nes geométricas

271

Ejemploo 3

El primeer término dee una progresión geométrrica es 3; el cuarto término es 24. Encueentre el décim mo término y la suma de los primeros 100 términos.

Solucióón

Para encoontrar el décimo término o la suma, es nnecesario connocer el valor de r. Este valor puede obtennerse consideerando la proggresión formada por p los primeeros cuatro térrminos. Entonnces, se tienee a1 = 3, n = 4, y a1 = 24. Si esoos valores se sustituyen enn la fórmula (11.4), resulta 3r 3 = 24

24 = 3r 4 – 1 De aquí r3 = 8 y

r=2

Ahora, empleando e d nuevo (11 .4) para a = 3, r = 2 y n = 10, de se obtienne 1 a10 = 3(210–1 ) = 3(29) = 3(512) = 1 536

Por tantoo, el décimo término es 1 536. A fin de obtener s, se usa (11.5), para a1 = 3, r = 2, y n = 10 obteniénddose

Si tress cualesquieraa de s, n, a1, r, y an son cconocidos, loos otros dos puedden determinnarse utilizanndo (11.4) y (11.5) o (111.6). Si después que q las cantiddades conocidas se sustituuyen, hay sollamente una descconocida en alguna de (1 11.4), (11.5) u (11.6), en ntonces puede ussarse esa ec uación para encontrar l a incógnita. O sea que puedde encontrarrse la otra inncógnita emppleando otra de las tres fórm mulas. Ejemploo 4 Solución

Encuentrre r y n si a1 = 2, an = 162, y s = 242. Si se susttituyen los vallores dados enn (11.6), r es la l única incóggnita, y (11.6) lleega a ser

272 2

SUCESIO ONES Y SERIES

Si luego s e sustituye a1 = 2 y a n = 1 62 como dad as, en compaañía de r = 3, en (11.4), se ti ene

Ejemplo o5

Encuent re a1 y an si r = 2, s =

1 127, y n = 7.

Solució ón Puesto qu ue ambas inccógnitas estáán en las ec uaciones (11 1.4) y

(11.6) y sólo una en ((11.5), se usaará (11.5) parra determinaar a1 y luego usarr (11.4) paraa encontrar an. Si se sustiituye en (11.5), se obtiene

Ahora biien, sustituy endo r = 2 y n = 7 como o dados, juntto con a1 = 1, en (11.4) resulta an = 1(26) = 64 E JERCICIO 11.2 2

Progresio ones geométric cas

Esscriba los térm minos de la p rogresión geoométrica que satisface s las condiciones c enn los prroblemas 1 a 8. 1 a1 = l , r = 2 , n = 6 2 a1 = 7, r = –2, n = 5 3 5 7

a1 = 12, r = –3, n = 6 a1 = 2, seggundo términno 6, n = 5 Segundo téérmino 6, cuarrto término 24 4, n=7

4 6 8

a1 = –5, r = 4,, n = 4 a1 = 7 , tercerr término 7, n = 6 T Tercer término o 8, sexto téérmino 64,

n=8

Progresion nes geométricas s

273

Encuentre cualesquiera c d s, n, a1, r, y an que sean faltantes en ccada uno de lo de os problemas del d 9 al 32.

33 Si fuera posible ahorraar 1 centavo eel primer día del d mes, dos ceentavos el seg undo día, 4 centav os en el terceroo, y así sucesivvamente, ¿en qué q día se llegaaría a ahorrar laa suma de un millóón de dólares?? ¿En qué día se lograría suumar un millóón de dólares al ahorro total? 34 Once perrsonas están peescando desde un muelle. El primero p obtienne $2 000, el seegundo $4 000, el tercero t $8 0000 y así sucesivvamente. ¿Cu ántas persona s millonadas hay h en el grupo? 35 El númeero de bacteriaas en un cultivoo se triplica caada dos horas. Si al principi o había n de un peeriodo de 24 horas, h ¿cuántaas había al priincipio del sigguiente perioddo? 36 Un hom mbre otorgó enn testamento uuna tercera paarte de su proopiedad a un amigo, a la tercera parte p restante a otro y así haasta que el quiinto amigo reccibió $800. ¿Cuuál era el valor dee su propiedadd? 37 Si 1, 4 y 19 se suman a tres términoos consecutivoos de una proggresión aritméttica con d = 3, se obtiene una progresión p geoométrica. Enc uentre la proggresión aritméética y la razón coomún de la proogresión geom métrica. 38 Si 3, 3 y 7 se restan de d tres términoos consecutivoos de una proggresión geoméétrica con razón coomún 2, se obbtiene una proogresión aritm mética. Encuenntre la progressión geométrica y la diferenciia común de l a progresión aritmética. 39 ¿Para quué valores de k son k, 3k – 2 , y bk – 2 térm minos consecuttivos de una p rogresión geométriica? 40 Si 1(y – x), 1/2y, y 1 /(y – z) formaan una progreesión aritméticca, demuestree que x, y y z form man una progreesión geométrrica.

274

SUCES SIONES Y SERIE ES

11.33

PROGRESSIONES GEOMÉÉTRICAS INFINIITAS En esta sección s se esttudia la suma de una proogresión geom métrica para la cuual la razón coomún se encuuentra entre – 1 y 1 el núm mero de términos aumenta inddefinidamentte. Como eje mplo, se connsidera la sucesióón (1) Aquí a – 1 y r = 21 . S Sea s(n) la rep presentaciónn para la sumaa de los primeross n–términos de la progressión (1) y se tabulan los valores v correspoondientes de n y s(n) parra n = 1, 2, 33, . . . . 7.

Los valorres tabuladoss muestran quue a medida que q n crece de 1 a 7, s(n) se accerca cada veez más y máss al número 22. A continuación se demuestrra que esto ess cierto a meddida que n creece más allá de 7 al sustituir a 1 por 1 y r por 1 en (111.5). Esta s ustitución d a 2

Ahora bien, si se seelecciona n suficientemeente grande, puede lograrse que 1/2n-1 seaa menor que Є. seleccionaddo de antemaano. De aquí quee, para el val or escogido de n, s(n) diifiere por 2 para p un número menor que e. e Esta situacción se describe en el leenguaje matemático por la prooposición, "ell límite de s(nn) cuando n tiende a infinito es e 2" y la prooposición se abrevia como lím s(n) = 2 n→∞

Ahora, se considerra una progreesión con | r | < 1, y se prueba que el lím mite de la sum ma s cuando n tiende a infinnito está dadaa por la fórmula

Nótese que q en la proogresión (1), a1 = 1 y r = esos vallores en (11.77), se obtiene s = 2.

1 2

, y si se su ustituyen

Prog gresiones geomé étricas infinitas

275

La deemostración dde (11.7) sigu ue. Sea s(n) eel número quee representa laa suma de loss primeros n términos de una progresiión para | r | < 1. Entonces, ppor (11.5),

y esto puede ser exppresado en laa forma

Después notando quue el binomioo 1 – rn en (22) difiere de 1 por rn. Aún máás, si | r | < 1, entonces | r | > | r21 > | r3|> • • • > | rn |, y puede ser probbado † que escogiendo re r suficienteemente grand de, | rn | puede ser s hecho m menor que cualquier c núúmero positi vo pre– asignadoo. Por esto, ppara este valoor y valores mayores de n, n 1 – rn difiere de 1 por uuna cantidad que es meenor que el número pre–asiggnado. De aqquí que, lím (1 – r n ) = 1 n→∞

Ahora, regresando r a la fórmula (2) y compleetando la dem mostración se sigue: s

El lectorr debería repaasar la parte de la secciónn 1.3 sobre deecimales repetitiv vos y números racionales. Cualqquier fracciónn decimal qu ue no terminna con una su ucesión repetitivva de dígitos iindefinidamente es una prrogresión geoométrica para r iggual a una ppotencia de diez d de un eentero negativo. Por ejemplo,, 0.3333 • • •

= 0. 3 + 0.03 + 0.003 0 + 0.0 003 + . . .

Aquí a 1 = 0.33 y r = 0.1 † P. K. Reees, F. W. Sparks y C. S. Rees, "Allgebra and Trigon nometry", 3a. ed.., pág. 451, McGraw––Hill Book Compaany, Nueva York. 1975.

276

SUCESIONES Y SERIES S

Exprese 0.999 • • • com mo un númerro racional.

Ejemplo 1

Ésta es la progresión ggeométrica in nfinita

Solución

0.9 + 0.009 + 0.009 + • • • para a1 = 0 . 9 y r = 0.09/0.9 = 0.1; de aquí por (11.7)

Ejemplo 2

Encuentree el número racional rep presentado por 0.351351 1351. Este decim mal repetidoo que no term mina es igual a

Solución n

0.351 + 0.000351 0 + 0.00000035 51 + • • • Ahora bieen, es claro que q a1 = 0.3551 y r = 0.0001; de este modo m

Un conjun nto de accionnes de una mina m se donaroon a un coleggio. El dividendoo del primer aaño fue de $22 500 y de aqu quí en adelantte para cada año siguiente fuue de 80% de d la cantidaad recibida el e año inmediatoo anterior. ¿C Cuánto recibiió el colegio??

Ejemplo 3

En este problema p a1 = $2 500 y r = 0.8. En coonsecuencia,

Solución n

EJERCICIO 11.3

Progresiones geométrricas infinitas

Escriba E los prrimeros cuatro o términos de las progresio ones en los prroblemas 1 a 4 y encuentre c la sum ma de las progrresiones geoméétricas infinitass que se describen en los prob blemas 1 a 16.

13 a1 = 12,

segundo término – 6

15 1 Segundo téérmino 9, cuarrto término 4

14 Segun ndo término 2 2, tercer términ no 1 16 Terccer término 14 4, quinto térmiino 1

Progresiones geomé étricas infinitas

277

Exprese cad da una de las siguientes s fraccciones decima ales repetidas como un núm ero racional. 17 .333 • • •

18 .7 777 • • •

19

.555 • • •

20 .888 • • •

21 .7 757575 • • •

22

.363636 6•••

23 .272727 • • •

24 .9 939393 • • •

25

21.3513 351 • • •

26 3.102102 • • •

27 2 2.3078078 • • •

28

7.83463 346 • • •

Encuentre la suma de todoss los números de d la forma dada en los prob lemas 29 a 36 provisto p que n sea un entero positivvo.

37 ¿Si una bola b rebota 4 de la distanciia total de don nde cayó, ¿quéé tanto recorreerá si se 7ra de 9 pies? deja cae r de una altur 38 Si los pu untos medios de los lados d de un cuadrad do se unen en orden, se forrma otro cuadrado o. Si se empieeza con un cu uadrado que su u lado mide 8 pulgadas y se s forma una suceesión de cuad drados de la m manera menciionada. Encu entre la sumaa de sus áreas. 39 Encuentrre la suma de los perímetro os de los cuad drados en el prroblema 38. 40 Encuent re la suma dee las diagonaales de los cu uadrados en e l problema 3 8. Cada cuadrado o tiene dos diaagonales. 41 Una niñaa recibió $1 20 00 el día de su n nacimiento, y 3 más en cadaa cumpleaños que q en el 4 preceden nte. ¿Aproxim madamente cu uánto habrá reecibido de essta fuente cuaando las mujeres de la vecinda d empezaron a considerarlaa como una mu ujer vieja? 42 El asientto de un colum mpio describe un arco de 10 0 pies de longiitud en su prim mera columpiadaa y cada arco siguiente s es 78 tan largo com mo el inmediatto anterior. ¿Q Qué tanto se habrá movido el asiiento antes dee que el colum mpio quede en reposo? 43 Suponga que las papass en almacenaamiento se enccogen 2 cada semana tanto como la 3 inmediatta anterior. Si un abarrotero almacena mill libras de pap as cuando el precio p es de n centtavos por libraa y si el peso d disminuyó a 90 00 libras duran nte la primera semana, ¿para qu ué intervalo dee n puede perrmitirse reteneerlas hasta quee el precio se eleve a n + 1 ceentavos por librra? 44 Una subd división se hacce de tal forma que contendráá 96 lotes. Si laa ganancia en el e primer lote vend dido es de $8 800 y en cadaa uno de los otros o la ganan ncia es de 96 % de la cantidad del inmediat o anterior, ¿ap proximadamen nte cuál fue l a ganancia dee la subdivisión completa? 45 S i

x > 0 , encuentra la suma de

46 Si

x > 3,

encuentree la suma de

278

SUCESIONES Y SERIES

11.4

MEDIAS ARITMÉTICAS A Los térmiinos entre el primero y últtimo de una progresión arritmética se llaaman medias aritméticas. Si la progressión contienee solamente tres términos, eel término meedio se llamaa media aritm mética del primeero y último. Pueden obttenerse las m medias aritm méticas entre doss números ussando primero (11.1) paara obtener d; d entonces lass medias pueeden calcularrse a partir dde la definiciión de progresiónn aritmética. Si la progressión consta dde los tres térm minos a1, m, y a3, entonces ppor (11.1), a 3 = a 1 + (3 – 1)d = a 1 + 2d De aquí que, q

Por tanto, queda demoostrado lo sigguiente: Med dia aritméticca

La meddia aritméticaa de dos núm meros es iguaal a la mitad de d su suma.

Ejemp plo

Inserte 5 medias aritm méticas entre 6 y – 10.

Solució ón

Ya que see deben enconntrar 5 mediaas entre 6 y –110, deberán teenerse siete térm minos en totall. Por eso, n = 7, a1= 6, y an = –10. Assí, por (11.1), see tiene –10 = 6 + (7 – 1)d De este modo, m 6d = –166 y la proggresión consta de

Medias geométricas

11.5 5

279

MEDIAS GEOMÉTRICAS

A los térrminos que sse encuentra n entre el prrimero y últiimo de una progrresión geoméétrica se les llama mediass geométricaas. Si la progresióón consta de sólo s tres térm minos, entoncces al términoo medio se le llam ma media geoométrica de loos otros dos. A fin de obttener la media geeométrica enttre a1 y an, es e necesario emplear e (11.44) para encontrarr el valor de rr, entonces laas medias pu eden calcularrse con base en la l definiciónn de progresió ón geométricca. Si hay sóólo tres términos en la progreesión, entoncces, por (11.44), a3 = a1r2 De modo o que,

Así el seg gundo términno o media geeométrica enntre a1 y a3, es e

De lo antterior queda demostrado el siguiente resultado: Medias geométricas

Ejemplo 1 Solución n

Las medias geométriccas entre dos cantidades son s más y meenos la raíz cuad drada de su pproducto. Encuentre cuatro meddias geométricas entre 3 y 96. Una proggresión geoméétrica que em mpieza con 3, y finaliza con 96; para 4 térrminos interm medios contiiene 6 términnos. De este modo, a1 = 3, y an = 96. Por lo que, por (11.4), 96 = 3r6-1 Así que,

En consecuencia, las 4 medias geo ométricas enntre 3 y 96 soon 6,

12,

24,

48

280

SUCESIONES Y SERIES S Ejemplo 2 Solución

Encuentree las medias geométricas de

1 2

y 81 .

Por la pro oposición vistta antes del ejemplo e 1, lass medias geométricas de 21 y 81 son

± 11.6 6 Progresión armónica

Mediass armónicass

PROGRESIO ONES ARMÓNIC CAS

Una prog gresión armónica es unna sucesión de d números cuyos recíprocoos forman unaa progresión aritmética. D De acuerdo con c es1 tol, 31 , 15 , 71 , 91 , y 11 soon los términ nos de una pprogresión arrmónica, ya quee sus recíproccos 1,3, 5, 7, 7 9, y 11 form man una prog gresión aritméticaa. El nombre de progresió ón "armónicaa" se emplea puesto que las cu uerdas de unn material y tamaño t dados emiten un sonido placentero si sus longgitudes formaan una progreesión armónica. Un estudio más m amplio puuede encontrrarse ya sea een una encicloopedia o en un liibro sobre arrmónicas. Los térrminos que se encuentraan entre dos términos dee cualquier progresión armóónica se llam man los medioos armónicoss entre esos dos. Ellos puedenn determinarse a partir dee la progresió ón aritmética associada. 1 2

y

1 14.

Ejemplo o

Encuéntrrense tres m medias armón nicas entre

Solución n

Se usaránn los recíprocoos de los térm minos dados como el primeero y el quinto dee una progreesión aritméttica, y obtenner las tres medias m aritméticaas entre ellos; se obtienenn las medias aarmónicas deeseadas tomando los recíprocoos de las meddias aritméticaas. Los térmiinos de la progressión aritméticca asociada son 2 y 14, los recíprocos de 21 y 1 . Ya qu ue si se pidenn tres medias aritméticas entre e 2 y 14, enton14 ces, debee usarse a 1 = 2, n = 5, y a n = 14. A Ahora, emplleando (11.1), see tiene 14 = 2 + (5 – 1)d = 2 + 4d Por tantoo, d = 3, y la s medias arittméticas sonn 2 + 3 = 5 , 5 + 3 = 8 , y 8 + 3 = 11. En cconsecuenciaa, las medias armónicas son s los 1 d recíprocoos 15 , 81 , y 11 de 5, 8 y 11.

E EJERCICIO 11.4

Medías y progresiones s armónicas

Clasifique la prrogresión en loos problemas 1 a 16, y de los dos términos ssiguientes paraa cada C u una.

Resumen

281

Inserte el núm mero especificado de mediass entre los térm minos dados enn los problemaas 17 a 28. 17 Dos aritm méticas entre 3 y 9

18 Tres med dias aritméticaas entre 1 y 13 3

19 Cuatro arritméticas entrre 2 y 17

20 Cinco aritméticas entrre –4 y 14

21 Uno geom métrica entre 2 y 8

22 Dos geom métricas entree 3 y 81

23 Tres geom métricas entre

1 4y

64

24 Cuatro geométricas g enntre 3 y –486

25 Cinco geo ométricas entrre 128 y 2

26 Tres geométricas entree 162 y 2 81

27 Cuatro geeométricas enttre 3 125 y 1

28 Dos geom métricas entree 64 y

1 8

29 Encuentrre el cuarto térrmino de una pprogresión arm mónica si el téérmino cero y quinto términos son 1 y 1 . 5

9

30 Encuentrre el tercer térm mino de una prrogresión armónica si el prim mero y el cuarrto son

1 2

y 1. 25

31 Encuentrre el quinto término de una progresión arrmónica si el segundo y el tercero t son -1 y 1. 32 Encuentrre el séptimo término t de unaa progresión armónica a si el primero y el cuarto

son – 1 y 5

11.7 7

1. 7

RESUMEN N

En este capítulo c se deefinen las proogresiones arritmética, geoométrica, geom métrica infinitta y armónicaa, además de desarrollar las l fórmulas para el último término de cada uno de loss dos tipos y la suma de los trees primeros ttipos. Esas fó órmulas son

282

SUCES SIONES Y SERIE ES

Finalmente se defineen y determinnan las mediaas aritméticaas, geométricass y armónicass. EJERCICIO 1 1.5

Reposo

1 ¿Cuáles son los cinco términos de una u progresiónn aritmética para p a 1 = 2 y d = 31 ? 9 y r = 2 ¿Cuáles son los seis téérminos de unna progresión geométrica paara a1 = 16

3 Si los dos primeros térm minos de una progresión p arm mónica son 1 y guientes cuatro?

3, 5

2 3

?

¿cuáles son n los si

4 Demuesttre que si x, y y z son térmiinos consecutiivos de una progresión geométrica, entoncess 1/x, 1/y y 11/z son términnos consecutivvos de otra. 5 Si –1 y 1 son los dos primeros térm minos de una progresión ariitmética, encu uentre el sexto térrmino y la sum ma de los seis primeros. 6 Si – 1 y 1 son los dos primeros térm minos de una progresión p geoométrica, encu uentre el sexto térrmino y la sum ma de los prim meros seis. 7 Si – 1 y 1 son los doss primeros térm minos de una progresión arm mónica, encueentre los primeross seis términoss. 8 Si el segundo y cuarto o términos de una u progresión aritmética, sson 53 y 57 ,y n = 5, en cuentre d, d a1, an, y s. 9 Si el seguundo y quinto términos de una progresión geométrica soon 2 y cuentre a1, an y s.

16 27

y n = 6, en-

10 Encuentrre el valor de k tal que 2k + 1,, 3k – 2, y 5k – 7 formen una progresión ariitmética. 11 Encuentrre todos los valores v de k taal que k + 1 . 5 k – 1, y 11k + 5 form men una progresió ón geométricaa. 12 Encuentrre todos los vaalores de k tal que q 1/(2k + 1)), l/(3k – 1), y 1/(5k – 3) form men una progresióón armónica. 13 Encuentrre la suma de todos los enteeros de 3 a 47 inclusive. 14 Encuentrre la suma de los primeros siete múltiploos de 3, empezzando con 9. 15 Encuentrre la suma de los l primeros siete enteros po otencias de 3, principiando con 9. 16 Encuentrre la suma de todas las fraccciones de la forma f ( 32 )n paara n entero po ositivo. 17 Exprese 0.4545 • • • coomo un númeero racional. 18 Demuestre que si a, b, c están en proogresión aritméética y x es cuualquier númerro real,

Resumenn

283

entoncees a + x, b + x, x c + x tambiién es una pro ogresión aritm mética, como loo es ax, bx, cx. 19 Desmueestre que a2, b2, c2 es una progresión p geoométrica si a, b, c lo es. 20 Demuesstre que si a2, b2, c2 es unaa progresión arritmética, entoonces a + b, a + c, b + c es unaa progresión armónica. a 21 Demuesstre que 53 , 56 , 152 , 24 es una prrogresión geom métrica y que 5 , log 24 es e una progressión aritmética (véase capíttulo 13).

log 53 , logg56 , log 12 5

5

22 Demuesstre que, para cualesquiera c ddos números po ositivos a y b, su media aritm mética es mayor que q su media geométrica g y que la diferenncia es 23 Encuenttre tres medias geométricass entre 2 y 32. 24 Encuenttre tres mediaas aritméticas entre 2 y 32. 25 Encuen ntre tres medi as armónicass entre

1 2

y

1 . 32 2

Clasifique la a progresión en e los problem mas 26 a 28 y de los siguienntes dos términnos.

12 teoreema del d binnomioo

En los cappítulos anteriiores se desarrrollaron las fórmulas parra obtener el cu uadrado y ell cubo de unn binomio. Enn este capítuulo se desarrollarrá la fórmulaa del binomiio, la cual exxpresa la n–éésima potencia de d un binomiio como un polinomio. p Essta fórmula se s conoce como la fórmulaa binomial y tiene muchaas aplicacion nes en Matemáticcas más avannzadas y en disciplinas d enn donde se applican las Matem máticas. Por ejemplo, se usa mucho en Probabillidad, Cálculo y en Genética. El polinomio dado por laa fórmula se llama el desarroollo de una p otencia de un binomio. 12.1

LA FÓRMULA BINOMIAL Por la mu ultiplicación aactual puedenn obtenerse llos desarrolloos siguientes de d la primeraa, segunda, tercera, cuartta y quinta potencias de x + y:

Al referirse a esos deesarrollos, puuede fácilmeente verificarrse el hecho de que q las siguieentes propiedaades de (x + yy)n existen cu uando n = 1, 2 , 3, 4, y 5: 1 El prim mer término en el desarrollo es xn 2 El seguundo término es nx"-1 y. 3 El expoonente de x deecrece en 1 y el exponente de y crece enn 1 al proseguirsse de términoo en término.

La fórm mula binomial

285

4 5 6 7

Hay n + 1 términoos en la exp ansión. El (n + l)–ésimo téérmino o el último ú es yn El n–éésimo o el peenúltimo térm mino del desaarrollo es nxyyn-1 Si se multiplica m el coeficiente de d cualquier término por el exponente de x en ese téérmino y el prroducto se divvide entre el número n del término en el desarrollo, se consiguee el coeficien nte del próxim mo término. 8 La sum ma de los expponentes de x y y en cualqquier términoo es n. Si se supone s que eestas propieddades se cumplen para tod dos los valores enteros de n, eentonces, pueden escribirsee los primeros cinco términoss del desarrolllo de (x + y))n como siguee:

Si se conntinúa este prooceso hasta lllegar al w–ésiimo término el cual es n–ésimo término: t

nnxyn-1

por la propiedad 6

y finalm mente se llegaa al último, o el (n + l))–ésimo términno:

yn

por la l propiedad 5

La sumaa de estos térm minos es el desarrollo d de (x – y)n). Estoo es

Factoriall

Si, sinn embargo, se s introduce la notación de factorial, puede escribirsee esta ecuación en una forma más com mpacta. Por n factorial, paraa n un entero positivo, se quiere q decir qque el produccto de n y todos los l enteros ppositivos men nores que n, y se escribee n! Siguiendo esto, 2! = 2 X 1, 3! = 3 X 2 X 1, y 4! = 4 X 3 X 2 X 1.

286

TEOREM MA DEL BINOMIO O

Aún máss, 4 X 3 X 2 = 4 X 3 X 2 X 1 = 411,3 X 2 = 3 X 2 X 1 = 31 y 2 = 2 X 1 = 2!. Ahora bien, b puede escribirse e (1) en la forma

Fórmulaa binomiaal

Ejemplo 1 Solució ón

si se defiine 1! igual a 1. La fórmu ula (12.1) se llama la fórm mula bi– nomial y la proposició ón que dice que q esto es ciierto se llamaa el teorema dell binomio o binomial. b La demostraciónn del teorem ma no se dará. Encuéntrese el desarrrollo de (a + b) 6 usando (12.1) Únicameente se requ iere aplicar (12.1) para x = a, y = b,, y n = 6 y enton nces simplifiicar. Por (12..1), se tiene

expresió ón obtenida all simplificar los coeficien ntes. En mu uchos casos los l coeficien ntes pueden ccalcularse usaando la propiedaad 7. Si esto es hecho, es necesario prroceder con cuidado c ya que un n error en cualquier coefiiciente afectaa automáticam mente a todos loss que le sigueen.

Ejemplo o2 Solución

Desarrólllese (a + 3b))5. Para con nseguir el desarrollo sólo se necesita uusar (12.1) para p x= a, y = 3b, 3 y n = 5. Así que,

después de simplificaar los coeficieentes. Ejemplo o3

Desarrolle

(2a – 5b) 5 4

El r-ésimo término de la fó órmula binomial

Solucción

287

Se neccesita solameente usar (12..1) para x = 22a, y = – 5b, y n = 4. Haciendo H estto, se tiene

despuéss de simplificar los coeficieentes. 12.2

EL r-ÉSIM MO TÉRMINO DEE LA FÓRMULA BINOMIAL

En la úlltima secciónn, se encontróó cómo obtenner el desarrollo de un binomio y mediantte la propieddad 7 se dem mostró cómo obtener cualquiier término del d inmediatoo anterior a él. Ahora, see pondrá atención para obtenner cualquier término espeecífico sin reeferencia de ning gún otro térm mino. Para lograrlo se exxaminará la fórmula binomiaal (12.1) y see harán algunnas observacioones. Primeroo, nótese que el coeficiente c n del penúltim mo término puede escribirrse como n(n – l))(n – 2) • • • (33)(2)/(n – 1)!, y que el coeeficiente 1 deel último términoo puede exppresarse en la forma n((n – 1)(n – 2) • • • (3)(2)(ll)/n!. Entoncees es fácil veer que despuéés del primerr término xn, 1 El exxponente dell segundo térrmino y del binomio b siem mpre es menoor en uno quue el número del término en el desarrrollo. 2 El ex xponente dell primer térm mino x del binnomio es sieempre n dism minuido por eel exponente del segundo término. 3 El deenominador dde cada coeficciente es el faactorial del exxponen te deel segundo téérmino del biinomio. 4 El nu umerador de cada coeficieente es el prooducto de unoos pocos enterros consecutivvos que el núúmero del térm mino, y empiieza con n. Si se decide llamaar al término general el r--ésimo término y entonces se usa del 1 al 4 como arriba, se enncuentra quee para el r-ésimoo término dell desarrollo: 1 El exponente e del segundo térrmino y del binomio b es r – 1. 2 El exponente e deel primer térm mino x del b inomio es n-(r-l) = n - r + l 3 El denominador d del coeficien nte es (r – 1)! 4 El numerador n d el coeficientte es n(nn - l)(n - 2) • • • (n - r + 2) 2

2 288

TEOREMA A DEL BINOMIO

En con secuencia, eel r-ésimo téérmino de la expansión de d (x

– y)nes

El coeficieente numéricoo tiene r – 1 factores f en ell numerador y el denominad dor. Se definne 0! = 1. Ejemplo

Encuentree el quinto térrmino del desarrollo para (a + 5b)6.

Soluciónn

Puede usaarse (12.2) o llos pasos emp pleados para obtenerlo, paara x = a, y = 5b, n = 6, y r = 5. Se tiene

EJERCICIO E 12.1

La fórmula binomial

D Desarróllese el e binomio en cada c uno de loos problemas 1 a 40.

Aproxímese el número en cada problema ddel 41 al 48 su A umando los cuuatro primeross térm minos de un deesarrollo binom mial. 4 41

1.034 = (11 + .03)4

422

1.055

43

1..076

44

1.064

4 45

.985 = (1 - .02)5

466

.966

47

.9954

48

.975

El r-ésimo té érmino de la fó órmula binomia al

289

Encuéntrensse los primeross cuatro términnos en el desarrrollo del binom mio en los pro oblemas 49 a 56.

Encuentre el término especcificado del d esarrollo en cada c problemaa del 57 al 72.. 57 Cuarto téérmino de (x + 2y) 9

58 Quinto Q términoo de (2x - y) 14

59 Sexto térrmino de (3x - 2a) 11

60 Seexto término de d (4x + 3y)122

61 Octavo téérmino de (x2 - 3y) 10

62

C uarto término de (2x 3 + y) 7

63 Sexto térm mino de (2a + x2)7

64

C uarto términoo de (3a - y 3 ) 9

65 Término de en medio de d (a + 3y) 8

66

T érmino de en medio de (2a – b) 6

67 Término de en medio de d (2x - 5y) 4

68

T érmino de en medio de (3xx + 2b) 10

69 El término de (2x – 5y)5 que tiene x3

70 El término de (xx + 3y) 7 que tiiene y 5

71 El términno de (2x2 – 3y) 6 que tiene x4

72

El término de (55x + 2y3 ) 8 quee tiene y9

13 logaritmos

Los logaritmos, inventados en el siglo XVII, son muy útiles y eficientes en la computación aritmética, muy importantes en la aplicación de las Matemáticas a la Química, Física e Ingeniería e indispensables para algunos temas de Matemáticas avanzadas. En este capítulo se desarrollarán algunas propiedades de los logaritmos y se demostrará cómo son empleados en la computación numérica. También se usan los logaritmos para obtener los conjuntos solución de ciertos tipos de ecuaciones. La teoría de los logaritmos se basa en las leyes de los exponentes y al lector se le aconseja revisar ahora estas leyes. Es posible que el principal uso inicial de los logaritmos fue como ayuda en computación. Hoy se ha extendido su uso para las computadoras y las calculadoras, como se apuntará en este capítulo en varios puntos. Sin embargo, todavía es importante estudiar los logaritmos y sus propiedades a fin de simplificar expresiones complicadas, así como para resolver ecuaciones tales como 5x = 30, para expresar leyes naturales (tales como crecimiento y desintegración, valores del pH en Química, severidad de temblores por los números de Richter) y para entender la relación inversa entre logaritmos y exponentes. 13.1

Notación científica

APROXIMACIONES En este capítulo se tratará sobre cálculos que dependan de aproximaciones. Por esto, es aconsejable saber cómo se indica la exactitud de un número aproximado y saber cuántos dígitos (cifras significativas) o lugares decimales han de incluirse en el resultado de un cálculo que tiene aproximaciones. Un número está en notación científica si un punto decimal es colocado después del primer dígito diferente de cero y el número resultante se multiplica por cualquier potencia entera de 10 es necesario para conseguir que el número sea de tamaño apropiado.

Aproximaciones

291

Así, 8.643 está en notación científica así como también uno de los números del 1 al 10, incluyendo al 1 pero no 10. Ejemplo 1 Solución

Redondeo

Ejemplo 2 Solución

Ejemplo 3 Solución

Ejemplo 4

Solución

Adición de aproximaciones

Escriba 3 498 y 0.01776 en notación científica. Si se pone un punto decimal en 3 498 después del primer dígito diferente de cero, se tiene 3.498, esto debe multiplicarse por 105 para obtener el mismo número. De este modo, 3.498(10)5 es la notación científica para 3 498. De forma similar, la notación científica para 0.01776 es 1.776 ( 1 0 - 2 ) . Si un número dado contiene más dígitos o cifras significativas de los que se van a usar, es necesario un método para reducir el número de dígitos, o sea, para redondear. El procedimiento usual para redondear un número de más de n dígitos a n dígitos es escribir el número en notación científica, eliminando todos los dígitos a partir del n-ésimo, y aumentando el n-ésimo por 1 si el (n + l)-ésimo es 5, 6, 7, 8, o 9. Redondee 38.47 y 0.25938 a tres dígitos. En notación científica 38.47 = 3.847(10), entonces, quitando el 7, notando que 7 ≥ 5, y aumentando el tercer dígito por 1 da 3.85(10). La notación científica para 0.25938 es 2.5938(10-1). Ahora, quitando el 38 se obtiene 2.59(10-1) como la aproximación de tres cifras significativas para 0.25938. Para encontrar el producto de dos números aproximados ambos de n dígitos, se efectúa la multiplicación y se redondea el resultado a n dígitos. Si un factor está correcto en n dígitos y el otro a más de n + 1 dígitos, se redondea el segundo a n + 1 dígitos, se ejecuta la multiplicación y se redondea el resultado a n dígitos. Encuentre el producto de F = 23.4 y S = 1.7869. Ya que Fes correcto a 3 dígitos y S a cinco, se redondea S a 3 + 1 = 4 dígitos y se tiene S = 1.787. De este modo, FS = (23.4)(1.787) = 41.8158 = 4.18(10) después de redondear a tres dígitos. Encuentre el cociente de las aproximaciones N = 38 y D = 58.714. Ya que N está dado a los dígitos y D a cinco, se redondea a 2 + 1 = 3 dígitos y se tiene D = 5.87(10). Por tanto, N/D = 38/5.87(10) = 0.647 = 6.5(10-1) después de redondear a dos dígitos. Al sumar los números aproximados, se está interesado en la precisión de los cálculos; por consiguiente, se concentra en las

292

LOGARITMOS

porciones decimales de los números. Si las porciones decimales de los sumandos contienen el mismo número de dígitos, se suma y se conserva la porción decimal. Si un sumando contiene n dígitos en la porción decimal y otros contienen más de n + 1 dígitos, se redondea el de n a n + 1 dígitos, se efectúa la suma y se redondea la porción decimal de la suma a n dígitos. Ejemplo 5 Solución

13.2

Operaciones fundamentales

Encuentre la suma de F = 3.81, S = 17.6 y T = 2.736. Se debe redondear T = 2.736 a dos cifras significativas en la porción decimal. Por tanto, se obtiene T = 2.74. Ahora, F + S + T = 3.81 + 17.6 + 2.74 = 24.15 = 24.2 después de redondear la porción decimal a un dígito. Se sigue un procedimiento similar en la sustracción. CALCULADORAS Y OPERACIONES FUNDAMENTALES

Hay calculadoras que son demasiado grandes para caber en un cuarto ordinario y calculadoras que caben en la palma de la mano. Muchas operaciones, incluyendo las complejas, pueden ejecutarse en algunas de las pequeñas. Hasta este momento se está interesado solamente en la adición, multiplicación, sustracción y división. Para sumar M y N en una calculadora, oprima M para que aparezca en la pantalla, oprima el botón + y luego el botón N apareciendo en la pantalla y oprímase el botón = . Si esto es hecho, el valor de M + N aparecerá en la pantalla. Las otras tres operaciones se realizan de igual manera.

Ejemplo

Encuentre el producto de M = 2.31 y N = 48.3 usando una calculadora si se dispone de una.

Solución

Se ejecutan las operaciones siguientes en el orden indicado: Muéstrese M, oprímase el botón X , muéstrese N y oprímase el botón = , y el producto MN = 111.573, este es el valor si M y N son exactos, pero si son aproximaciones debemos redondear el producto a tres dígitos y entonces tendremos MN = 112, ya que 2.31 y 48.3 son correctos a tres dígitos.

EJERCICIO 13.1

Aproximaciones

Exprese el número en cada problema del 1 al 16 en notación científica. 1 3

3284 685 713

2 4

731.5 1234.67

5

0.5984

6

0.004862

Definición de un logaritmo 7 0.0001405

293

8 0.070

9 8 470; el cero no es significativo

10 8 470; el cero es significativo

11 21 000; los ceros son significativos

12 21 000; el primer cero es significativo

13 6 480; el cero es significativo

14 6 480; el cero no es significativo

15 2 786 000; los ceros no son significativos

16 2 786 000; los primeros dos ceros son significativos

Redondee el número en cada problema del 17 al 32 a cuatro dígitos significativos y entonces a tres cifras significativas. 17 48.4612

18 873.847

19 27.1573

20 0.0187608

21 697 824

22 89 412

23 500 817.84

24 7 235 485

25 8968.805

26 407.6481

27 237 649.4

28 18 985.02

29 36.354

30 36.345

31 80.256

32 37.850

Ejecute las operaciones indicadas en los problemas del 33 al 56 suponiendo que los números son aproximaciones. Entonces redondee cada resultado al número propio de dígitos o lugares decimales y expréselo en notación científica. 33 (8.1)(1.2)

34 (.64)(9.7)

35 (78)(235)

36 (493)(8.1)

37 (4.7)(4754)

38 (4.7)(4.745)

39 (23.9)(1.8763)

40 (93.8)(.60305)

41

÷ 3.8 ÷ 3.7 4.83 ÷ 70.345

÷ 27 ÷ 27.31

42 7.9

43 576

45 184.5

46 6.7

48

49 4.3 + 5.74 - 1.87

51 11.43+1.706 - 2.305

52 23 .9 -1 3.76 + 4.61

53 3.5 + 2.86 - 4.702

54 7.896 - 2.73 + 4.9006

55 28.1-5.963 + 3.147

56 19.315 + 11.289 - 24.7

13.3

82 ÷ 27

44 89.3

÷ 4.9 ÷ 25 . 9

47 90 . 3 2 4

50 7.41 - 2.3 + 5.76

DEFINICIÓN DE UN LOGARITMO En la introducción de este capítulo se estableció que la teoría de los logaritmos se basa en las leyes de los exponentes. Esto resulta de la relación entre logaritmos y exponentes establecidas por la siguiente definición:

Logaritmo

El logaritmo L de un número N de base b (donde b > 0, b ≠ 1) es el exponente que indica la potencia a la cual la base b debe elevarse a fin de producir N.

294

LOGARITTMOS

La abreviacción de la fr ase "logaritm mo de base b de N" es loggb N. En términoos de esta ab reviatura, la definición anterior a puedde establecerse como c sigue: log b N = L si y sólo sii b L = N, parraN > 0, b > 0, b ≠ 1 (113.1) Usando esta definicióón adviértase que blogbN = N, ya que logbN = L; por tanto, t log2 64 = 6 log4 64 = 3 log8 64 = 2 log16 64 = 32 lo g b l = 0

yoque 24 = =64 3 yaque4 = 64 ya que 82 = =64 33/2 1/2 ya que 16 = (16 ) = 43 = 64 ya que b0 = 1, b ≠ 0

Por el uso u de (13.1),, también puede verse qu ue log6¿L = L;; de modo que Si log 3 N = 4, entoncces N = 3 4 = 81 Si log b 125 5 = 3, entoncces b 3 = 125 = 53 y b = 5 Si log 16 4 = L, entoncces 16 L = 4 = 16 1/2 y L =

1 2

Se ve de estos ejemplos que un logaaritmo puedee ser entero o fraccionario. En E efecto, pu uede ser, y a menudo lo es, e irracional. Aún más, en mu uchos casos, si dos de tress letras en (133.1) se conoccen, la tercera pueede encontraarse por inspección. Ejemplo 1 Solución

Ejemplo 2 Solución

Encuentre el valor de N en log 7 N = 2. Usando (1 13.1), se tienne 7 2 = N; por p tanto, N = 49. Encuentre el valor de b si log b 125 5 = 3. Usando (13.1), se tienee resolviendo par ara b

B|empio 4 Solución

Encuentre el valor de a si log27 3 = a. a Otra vez usando u (13.1)), se tiene 27a = 3

Propiedades de un logaritmo

295

1

y, ya que 271/3 = 3, se sigue que 27a = 271/3 y a = 3

13.4

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Ahora se aplicarán las leyes de los exponentes y la definición de logaritmo para desarrollar tres propiedades importantes de los logaritmos. En la próxima sección se mostrará cómo se usan esas propiedades en computación numérica. Primero, se demostrará cómo encontrar el logaritmo de un producto de dos números en términos de logaritmos de los dos números. Si Logb, M = m y logb, N = n

(1)

entonces, por (13.1), se tiene M = b m y N = bn

(2)

Por tanto, MN = (bm)(bn) = bm+n

y logbMN = m + n

por(13.1)

Por tanto logbMN = logbM + logbN

por (1)

(13.2)

En consecuencia, se ha demostrado el siguiente teorema: Logaritmo de un producto

Ejemplo 1

El logaritmo de un producto de dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de los números. Si log10 3 = .4771 y log102 = 0.3010 entonces log10 6 = log10 (3 x 2) = log10 3 + log10 2 = 0.4771 + 0.3010 = 0.7781

296

LOGAR RITMOS

Este teeorema puedee extenderse a 3 o más n úmeros por el e siguiente proceso: logb MNP P = logb (MN)(P) = logb MN + logb P = Iogb M + logb N + logb P Otra vez. usando la r elación (2) se s tiene

Por tanto o, se ha demo ostrado el sig guiente teorem ma: Logaritmo de d un cocientte

Ejemplo 2

El logariitmo de un co ociente de do os números po ositivos es ig gual al logaritmo o del dividen ndo menos el logaritmo deel divisor.

Si log10 3 = 0.4771 y log g10 2 = 0.3010 0 entoncess log10 1.5 = log10 3 2

= log10 3 - lo og10 2 = 0.4771 - 0.3010 = 0 .1761 Finalm mente, si am mbos miembr os de k–ésima a potencia, see obtiene M k = (b m ) k = b km

M = bm

se elev van a la

Propiedades de un logaritmo

297

De aquí que, logb Mk =km

por (13.1)

y

logb Mk =k logb M

por (1)

(13.4)

Por lo que el siguiente teorema queda demostrado: Logaritmo de una potencia

Ejemplo 3

El logaritmo de una potencia de un número positivo es igual al producto del exponente de la potencia y el logaritmo del número.

Si log10 3 = 0.4771 entonces log10 32 = 2 log10 3 = 2(0.4771) = 0.9542

Noto

Ya que una raíz de un número puede expresarse como una potencia fraccionaria, el último teorema puede aplicarse para encontrar el logaritmo de una raíz de un número. Así que,

Logaritmo de una raíz

(13.4a)

Ejemplo 4

TEOREMAS DE CÁLCULO

Para conveniencia del lector, las propiedades anteriores se repiten en forma simbólica.

298

LOG GARITMOS

EJERCICIO 13.2

Logarittmos y exponenciales

Cambie la proposición p enn cada problema del 1 al 166 a la forma loogarítmica usaando la ecuación (13.1).

Cambie la proposición p enn cada proble ma del 17 al 32 a la formaa exponenciall usando (13.1).

Determine L, L n o b en caada problema ddel 33 al 56 de d tal manera que q la proposición sea verdadera.

Use log l02 = 0.3010, log 100 3 = 0.4771, y log 10 5 = 0.69990, sólo con las ecuacionees (13.2), (13.3), (13.4 4) y (13.4a) parra encontrar eel logaritmo dee base 10 de lass combinacion nes de los números en cada problem ma del 57 al 722.

Característica y mantisa

13.5 Logaritmos comunes o de Briggs

299

LOGARITMOS COMUNES 0 DE BRIGGS Con anterioridad se mencionó que el empleo de logaritmos resulta eficaz para efectuar cálculos numéricos; aquí se hará uso de logaritmos de base 10 para este propósito. Los logaritmos de base 10 se conocen como logaritmos comunes o de Briggs. Por métodos elementales no es posible calcular el logaritmo común de un número que no sea una potencia entera o raíz de 10; empero, se han preparado tablas que permiten obtener una aproximación decimal para el logaritmo de cualquier número positivo. En la notación de un logaritmo común suele omitirse el subíndice que indica la base, o sea que, al escribir logN = L, se sobreentiende que la base es 10. Si c es un número real, entonces 10c es positivo. Por tanto, el logaritmo común de cero o de un número negativo no existe como un número real.

13.6 Posición de referencia

CARACTERÍSTICA Y MANTISA Si se expresa un número positivo N = 1 en notación científica, se dice que el punto decimal está en la posición de referencia y se tiene N = N' (10c)

(1)

en donde 1 < N' < 10 y c es un entero. Se consideran las siguientes tres situaciones: 1 Si N ≥ 10, entonces en la ecuación (1), c ≥ 1. Por ejemplo, 231 = 2.31(102). 2 Si N < 1, entonces c < 0. Por ejemplo, 0.0231 = 2.31(10 -2 ). 3 Si < N < 10, entonces en la ecuación (1), N = N' y c = 0. Por ejemplo, 2.31 = 2.31(10°) Ahora, si se igualan los logaritmos comunes de los miembros de la ecuación (1), se obtiene log N = log N' + log 10c = log N' + clog 10 = log N' + c

por (13.2) por (13.4) ya que log 10 = 1

300

LOGARITMOS

Así que, se tiene log N = c + log N

por el axioma conmutativo de la suma

(2)

Ya que 1 < N' < 10, se sigue que 10° < N' < 101, y esto implica 0 < logN' < 1. De la tabla I en el apéndice, puede obtenerse una aproximación decimal al logaritmo común de cualquier número entre 1 y 10, correcto a cuatro lugares decimales. En consecuencia, al referirse a la ecuación (2), obsérvese que el logaritmo común de cualquier número positivo no igual a 1 puede expresarse, aproximadamente, como un entero c más una fracción decimal no negativa log N'. Ya que 1 = 10°, se sigue que log 1 = 0. Así, para log 1, el entero positivo es cero y la fracción decimal es cero. Ahora, se está en posición de establecer las siguientes definiciones:

Característica Mantisa

Si el logaritmo común de un número positivo se expresa como un entero más una fracción decimal no negativa, al entero se le llama la característica del logaritmo y la fracción decimal es la mantisa. En la expresión log N de la ecuación (2), la característica es el entero c, y la mantisa es el número no negativo log N'. Así que, se ha demostrado que c es numéricamente igual al número de dígitos entre la posición de referencia y el punto decimal en N, y éste es positivo o negativo de acuerdo con el hecho de que si el punto decimal está a la derecha o a la izquierda de la posición de referencia. Por tanto, se tiene la siguiente regla para determinar la característica del logaritmo común de un número positivo:

Valor de la característica

Ejemplo 1

La característica del logaritmo común de un número positivo N es numéricamente igual al número de dígitos entre la posición de referencia y el punto decimal de N y es positivo o negativo de acuerdo con lo siguiente: si el punto decimal está a la derecha o a la izquierda de la posición de preferencia. La posición de referencia de 236.78 está entre el 2 y el 3. Por tanto hay dos dígitos, 3 y 6, entre la posición de referencia y el punto decimal. Puesto que el punto decimal está a la derecha de la posición de referencia, la característica del logaritmo común de 236.78 es positiva. Es 2.

Dado n, encontrar log n en la tabla o por calculadora

301

Ejemplo 2 La característica del logaritmo común de 2.3678 es cero ya que el

punto decimal está en la posición de referencia. Ejemplo 3

El punto decimal para 0.0023678 está a tres lugares a la izquierda de la posición de referencia. Por tanto, la característica de log 0.0023678 es -3. Puesto que la posición del punto decimal en el número N afecta sólo el entero c en la notación científica para N, y ya que la mantisa de log N es log N', la mantisa de log N depende sólo de la sucesión de dígitos en N. Si N ≥ 1, la característica de log N es cero o un entero positivo. Por tanto, log N puede escribirse como un número único. Por ejemplo, si la mantisa de log 23 678 es 0.3743, entonces log 236.78 = 2 + 0.3743 = 2.3743; y log 2.3678 = 0 + 0.3743 = 0.3743. Sin embargo, para encontrar el logaritmo de un número positivo menor que 1, la situación es diferente. Por ejemplo, log 0.0023678 = -3 + 0.3743 = -2.6257 = -2 -0.6257. Ahora la fracción decimal – 0.6257 es negativa y en consecuencia no es una mantisa. Se usa el siguiente recurso para tratar con tales situaciones. Si la característica de log N es – c, en donde c > 0, se expresa – c en la forma (10 – c) –10; entonces se escribe la mantisa a la derecha de 10 – c. Por ejemplo, para expresar log 0.0023678 en la forma 7.3743 - 10, ya que la característica es -3, y (10 – 3) - 10 = 7 – 10. Similarmente, log 0.23678 = 9.3743 – 10, log 0.023678 = 8.3743 - 10, y log 0.0000023678 = 4.3743 – 10.

13.7

Uso de tablas

DADO N, ENCONTRAR LOG N EN LA TABLA 0 POR CALCULADORA

La mantisa del logaritmo de un número ya no depende de la posición del punto decimal, como se señaló al principio del capítulo, corriendo la posición del punto decimal es equivalente a multiplicar por una potencia entera de 10 y por consiguiente, sólo afectada a la característica. La mantisa se determina por la sucesión de dígitos y puede encontrarse por el uso de una tabla tal corno la tabla I en el apéndice. De esta tabla pueden encontrarse hasta 4 cifras significativas para la mantisa del logaritmo de un número de 3 dígitos. Para obtener la mantisa del logaritmo de tal número, los primeros dos dígitos del número se encuentran en la columna encabezada por N a la izquierda de la página; luego conseguir la columna encabezada por el tercer dígito y en la línea que contiene los primeros dos dígitos. Si se continúa con este procedimiento, para encontrar log 327, en la tabla I se busca la intersección de 32 y debajo del 7 en-

302

LOGARITMOS

Log N de una calculadora

13.8 Encontrando N si log N está dado

contramos 5 145, así log 327 = 2.5145, ya que la característica es 2 y el punto decimal que es una parte de cada mantisa no está impresa. Además, para obtener log 0.914, se busca la intersección de 91 y debajo del 4 encontrándose 9 609; por tanto log 0.914 = 9.9609 - 10, ya que la característica es -1 = 9 - 1 0 . Dado N, puede encontrarse log N mediante el empleo de una calculadora. En algunas de ellas se pone N en la pantalla, se oprime el botón F, y oprime el botón de log. El valor de log N aparece en la pantalla. A fin de encontrar log 327 usando una calculadora, se pone 327 en la pantalla oprimiéndose a continuación los botones de F y log. Cuando esto se ha ejecutado, 2.514548 aparece en la pantalla. De aquí que, redondeando a cuatro lugares decimales, se ve que log 327 = 2.5145 como fue encontrado usando tablas. Esto es log N, y no la mantisa de log N, que aparece. Si 0 < N < 1, entonces log N como se obtiene de la calculadora es un número negativo; pero, si se desea, puede escribirse como un entero positivo más una fracción positiva menos un entero positivo. Así, log 0.357 está dado como –0.447331, este puede redondearse y escribirse como –0.4473 = 9.5527 – 10 al sumar –0.4473 a 10 – 10. DADO LOG N, ENCONTRAR N Si log N está dado y la mantisa está en la tabla, los primeros dos dígitos de N se encuentran a la izquierda de la mantisa y el tercer dígito por encima de la mantisa. La posición del punto decimal está determinado por el valor de la característica. Así, si log N = 1.9212, primero se encuentra 9 212 en el cuerpo de la tabla. Ésta es en la columna encabezada por 4 y en la línea para 83 en la columna N. Por tanto, la sucesión de dígitos en N es 834. La característica de log N es 1. De aquí que, N = 83.4. Si log N está dado y la mantisa no está en la tabla y se quiere N solamente a tres dígitos, se encuentra la mantisa en la tabla que está cerca a la mantisa dada de log N; entonces se usa el valor correspondiente de N. Si la mantisa de log N está a la mitad de dos números, se usa el valor de N que corresponde al número mayor. De acuerdo con esto, se ve que si log N = 0.4822, entonces el número en la tabla que está cercano a él es 4 829; la sucesión correspondiente de dígitos es 304. Además, N = 3.04 ya que la característica es cero. Si log N = 1.1804, la mantisa está a la mitad de 1 790 y 1 818; de aquí que la sucesión de dígitos empleada es 152, y N = 15.2 debido a que la característica es 1. El procedimiento anterior usa las tablas para encontrar N si se conoce log N. De acuerdo con (13.1), la relación entre N y log N puede escribirse como N = 10logN

Interpolación

303

El número N es algunas veces llamado antilogaritmo de log N. Si la calculadora con el botón de 10x está disponible, puede fácilmente encontrarse N si log N está dado. Todo lo que es necesario hacer es poner el valor de log N en la pantalla y oprimir los botones F y 10x. Si esto es hecho, el valor de N aparece en la pantalla. Por ejemplo, para encontrar N si log N = 1.8623 entra 1.8623, oprimir los botones F y 10x, y leer 72.83025 en la pantalla. Redondeando a tres dígitos, se tiene N = 72.8 No todas las calculadoras tienen el botón de 10x. Si éste es el caso, y la calculadora tiene el botón 10x el procedimiento para encontrar N entonces es necesario realizar un paso adicional que para aquellas que se requieren cuando el botón 10x se tiene. Por razones no consideradas en este libro, debe multiplicarse log N por 2.3026, metiendo el producto, y entonces oprimir los botones F y e x así como se haría si se tuviera el botón N. Así, si log N = 1.8688 y se quiere N pero no se tiene el botón 10x , la entrada a las pantallas es 1.8688, multiplicándolo por 2.3026 y obteniéndose 4.3031 en la pantalla, entonces se oprimen los botones F y ex para obtener N = 73.9 después de redondear. No todas las calculadoras tienen el mismo número de dígitos en los cálculos internos; así que, pueden aparecer resultados diferentes si se consideran más de tres o cuatro dígitos. 13.9

INTERPOLACIÓN Muy a menudo se necesita el valor del logaritmo de un número que no se lista en la tabla o se quiere la sucesión de dígitos que corresponden a la mantisa que no está en la tabla. En estas circunstancias se recurre a un procedimiento que se conoce como interpolación lineal. Se explicará el procedimiento aplicándolo para la obtención de la mantisa del log 2 537 y en el análisis se empleará ml N para representar "la mantisa del log N". Ya que 2 570 < 2 573 < entonces

2 580

ml 2 570 < ml 2 573 < ml 2 580 Aún más ml 2 580 = ml 258 y ml 2 570 = ml 257

304

LOGAR RITMOS

Ahora bieen, sea ml 2 573 = ml 2 5700 + c encontránndose el valorr de c por el siguiente proocedimiento::

Los númerros a la dereecha e izquieerda de los paréntesis p en este diagrama son s las difereencias de loss números coonectados poor los paréntesis. Esas diferencias son approximadameente proporciionales. Por tannto,

se sigue quue

Por consigguiente, ml 2 573 = 0.4099 + 0.0005 = 0 .4104 Además, puesto p que el punto decimal de 2 573 esstá a tres lugaares a la derechaa de la posicción de refereencia, la carracterística deel logaritmo ess 3. De aquí que, log 2 573 = 3.4104 Se usa el e mismo prinncipio para obbtener N si log N está dado o y ml N no apareece en la tablla. Se aclara el e método al encontrar el valor de N si lo g N = 1.28669. La mantisa 0.2869 noo está en la tabla; t pero las dos d mantisas más cercanaas a ella son 0.2856 y 0.2878. Aquí, 0.28 856 = ml 1 930, y 0.2878 8 = ml 1 940. Sea n el núúmero compuesto o de los cuattro dígitos dee N, entoncess se encuentrra n y finalmentee se coloca ell punto decim mal en la posiición indicadda por la caracterrística, obtenniéndose así N. Ya que 0.2856 < 0.2869 < 0..2878 entonces 1 930 < n < 1 940

Interpolación

305

Ahora seea n = 1 9300 + c y se dettermina c com mo sigue:

Ya que la razón es dde las diferen ncias a la dereecha e izquieerda de los paréntesis son prroporcionaless, se tiene

Esto imp plica, n = 1 930 9 + 6 = 1 936 Puesto que q la caractterística de loog N = 1.28869 es 1, se pone el punto deecimal a la dderecha de 9 en 1 936 y sse obtiene N = 19.336 No haay necesidadd de interpolaar en caso dee usarse una calculac dora. Baasta con sólo poner todos los dígitos dde log N o de N en la pantallaa y se procedee como se ex xplicó con annterioridad. Así, A si N = 27.563, se encuenttra log N entrrando N a la ppantalla, opriimiendo los boto ones F y log N, leyéndosse 1.440326 en la pantalla. Para cuatro luugares decim males log 27.5 563 es 1.44033. Aún más, si log N = 2.83226, se introdduce, oprimieendo los bottones F y 100x, para determinnar N = 680.171. Si la callculadora no ttiene el botón n 10x, es necesariio multiplicarr por 2.3026 antes de oprrimir el botónn ex.

EJERCICIO 13.3

Núme eros y logaritm mos de números

Encuentre el e logaritmo común del núm mero en los prooblemas 1 a 1 6. 1 5

38.7 731 9 0.246 1 0.0101

2 6

5.96 9.92 10 0 0.0808 14 4 0.477

3 7

809 8 4 40.7 11 0.00531 0 15 0.0329 0

4 8

73.8 29.9 12 0.483 16 0.67 74

306

LOGARITMOS

Redondee el número en cada problema del 17 al 24 a cuatro cifras significativas y encuentre su logaritmo común. 17

49.314

18

783.26

19

9.8247

20

34.712

21

0.81153

22

0.061795

23

0.00024681

24

0.59868

Si log N es el número en cada problema 25 a 40, encuentre N a tres dígitos. 25

1.3263

26

2.8457

27 .6551

28

1.9562

29

0.8476

30

1.4082

31 2.1399

32

.6232

33

9.9149 - 10

34

8.5866 - 10

35 7.3729 - 10

36

8.9657 - 10

37

7.8640 - 10

38

9.9221 - 10

39 8.5745 - 10

40

9.2707 - 10

Use interpolación para encontrar el logaritmo del número en cada problema 41 a 48. Se tiene calculadora o puede disponerse de alguna, úsela para verificar el resultado. 41

45.23

42

781.6

43

2.037

44

5784

45

0.3248

46

0.06062

47

0.8205

48

0.009179

Use interpolación para encontrar N a cuatro dígitos si el número dado en cada problema 49 a 56 es log N. 49

1.4431

50

3.1486

51

.5773

52

2.8715

53

9.7137 - 10

54

8.2345 - 10

55

7.7777 - 10

56

9.3424 - 10

13.10

CÁLCULO DE LOGARITMOS Como se estableció anteriormente, una de las aplicaciones más inmediatas y útiles de los logaritmos es en el campo de computación numérica. Se explicará presentando los métodos implicados mediante varios ejemplos. Antes de considerar problemas específicos, se desea nuevamente llamar la atención de que los resultados obtenidos por medio de tablas de cuatro lugares, son correctos a lo más a cuatro lugares. Si los números en un problema de cálculo contienen tres lugares, el resultado depende sólo de tres lugares. Si un problema, en particular, contiene una combinación de tres y cuatro lugares, no puede esperarse que el resultado tenga significado para más de tres lugares por lo que se redondea a tres lugares. Por tanto, en los problemas que siguen, no se obtendrán resultados con más de cuatro lugares diferentes de cero y en algunas ocasiones ni aun ésos. Las tablas que proporcionan más de cuatro lugares existen. Si los resultados son necesarios a más de cuatro lugares estas tablas deben emplearse. Los métodos que se presentan pueden aplicarse a cualquier tabla.

Cálculo de logaritmos

307

A conntinuación see presentan algunos a ejem mplos con explicaciones qu ue aclaran loos métodos, usando u logarritmos, para obtener o (1) produ uctos y cocieentes, (2) poteencias y raícces, y (3) las resoluciones dee problemas vvarios. En tod dos los probleemas de cálcu ulo se aplicann las propiedaades de los logarritmos desarrrollados en laa sección 13..5 para encon ntrar el logaritmoo del resultaddo. Entonces el valor del rresultado pueede obtenerse de d la tabla. PRODUCTOOS Y COCIENTEES Ejemplo 1 Solucióón

Encuentrre el valor de R = (8.56)(3.47)(198). Ya que R es igual al pproducto de tres t números, log R es igu ual a la suma de los logaritmoos de los tress factores. Poor esto, se obttiene el logaritmoo de cada faactor, se sum man obteniénddose así log R. Entonces puuede usarse laa tabla para obtener o R. Anntes de regresar a la tabla, se recomiendaa hacer un bosquejo b deejando espaccios en blanco para escribir llos logaritmoos encontraddos. Tambiénn se recomiendaa arreglar el bosquejo b tal que sea posiible sumar loos logaritmos enn columna. S Se sugiere el siguiente plaan:

Ahora, laas característticas entran en e los espacioos en blanco o, o sea

Luego o, se regresa a la tabla parra obtener lass mantisas, y así encontradaa cada una, colocarla c en el espacio coorrespondiennte. Entonces se efectúa la ssuma y finalm mente se deteermina R porr el método de la sección 133.8. La solucción completta es

308

LOGAR RITMOS

Nota a

Ejemplo 2

Solución n

Cada uno o de los nú meros en ell problema ccontiene sóllo tres dígitos. De D este moddo, puede detterminarse R para tres dígitos. d Puesto quue la mantisaa 7 695 está entre las do s entradas 7 694 y 7 701 esttando más cerrca de la prim mera que de la segunda, los primeros trees dígitos dee R son 588 correspondientes a la mantisa m 0.7694. La L característiica de log R es 3. De aquíí que el punto o decimal está a tres lugarees a la derech ha de la posición de referrencia. Por lo quee, se usa la nootación cientíífica y se mulltiplica por 10 03 para poner el punto decim mal. Se ha procedido p conn el plan de resolución en tres ocasionees a fin de mostrar cómo apaarece en la conclusión c dee cada paso. En la práctica, sólo es necessario escribirrlo una vez, yya que los esspacios originaless son sólo neccesarios paraa efectuar todas las operaciones. Use logaaritmos para encontrar R,, en donde

En este problema p R ess un cocientee en el cual el dividendo y el divisor sonn el producto de dos númeeros. Por lo que q se sumarrán los logaritmo os de los doss números en n el dividendoo y en el div visor, y luego se restará la últtima suma dee la primera obteniéndose o e así R. Se sugierre seguir el siiguiente esquuema para laa resolución:

_____ la suma entra e aquí

___ _____ la suma entra e aquí ________

aquí entrra la resta de las do os sumas

Cálculo o de logaritmos

309

Despu ués de que las caracteríssticas han siddo registradaas y las mantisass encontradass en sus lugarres respectivoos, el problem ma se finaliza coomo sigue:

No ota

Ejemploo 3

El logaritmo del divvisor resulta ser 12.5993 – 10. Por taanto, la caracteríística es 2. A Así que, de accuerdo con el procedimieento anterior, see quita el 10 y el primer dígito d en 12 antes de conncluir la resolucióón. Use logaaritmos para evaluar

Solució ón

Al llevvar a cabo la sustracción indicada, com mo en (7.32664 – 10) – (9.46331 – 10), se obtiene un número n negattivo, en este caso – 2.1367. Conque, se ssumará 10 – 10 para obteener -2.1367 = -2.1367 + 10 - 10 = 7.8633 - 100 Ejemplo 4 Solució ón

Use logaaritmos para obtener el vaalor de R = (3.74)5. log R = log (3.74)5 = 5(log 3.74) = 5(0.5729) = 2.8645 Esto impplica R = 7 32.

Potencia as y raícces

Tambiénn es posible obtener o la raíz de un númeero por medio de logaritmos. El métodoo se muestra en el siguiennte ejemplo:

310

LOGARITMOS Ejemplo 5 Solución

Evalúe Si se reesscribe el probblema en forrma exponenccial, resulta R = (62.33)1/3 De este modo, m

Por conssiguiente, R = 3.96. En la apllicación de loogaritmos a problemas en los l que se desea obtener la raíz de una fracción f racioonal, entoncees, se aplica un u procedimiennto similar all empleado en n el ejemplo 3 para evitar una situación compleja. Ejemploo 6

Usando logaritmos evalúe

Solució ón

Si se efeectúa la divissión indicada, se obtiene log R = 1.4663 -1.66667 = -0.2004 = -0.2004 + 10 - 10 = 9.7996 - 10 El últim mo logaritmo eestá en la form ma acostumbbrada y, consuultando la tabla , se encuentrra que R – 0 .631. Problema as miscelán neos

Much hos problemaas de cálculo o requieren uuna combinacción de los proccesos de multtiplicación, división, d elevvación a poteencias y extracción de raíces. A continuacción se muesttra el procediimiento general para resolveer problemas de tal índolee.

Ejemploo 7

Use log aritmos paraa encontrar R si

Solucción

Ya quee todos los nnúmeros en este problem ma contienenn cuatro dígitos, el valor de R se obtendráá con cuatro cifras signifiicativas. Tambiéén, es necesarrio interpolarr para obteneer las mantisaas. Los

Cálculo o de logaritmos

311

pasos paraa la resolucióón están indiccados en la forma f sugerid da siguiente:

Ahora bien, b las carracterísticas entran en los l lugares apropiados, lueego se regressa a la tabla para p obtenerr las mantisass y se coloca cadda una de ellaas en el lugarr correspondiiente para después completar la resoluciónn. Entonces el e plan apareece de la siguuiente manera:

Productos por calculadora

Todas laas operacionees que han siido ejemplifiicadas en estaa sección utilizando logaritm mos pueden ser realizadas con una caalculadora. Paraa multiplicar M por N utilizando una calculadora se registra cuallquiera de loss dos, se opriime el botón X , a continu uación se registraa el otro núm mero, se oprim me el botón = y se lee entonces el productto que aparecce en la pantaalla. Un proccedimiento siimilar se utiliza para p obtener el cociente de d dos númerros. La mayoría de las calculaadoras poseeen un botón para p obtenerr raíz cuadradda directamentee; si la calculadora de quee se dispone tiiene tal botónn todo lo que se necesita n paraa obtener √N N es registrar N, oprimir F y el botón √ , leyéndose √N en la paantalla. Las dificultades mencionadas en e los ejemplos 3 y 6 no ocurren cuaando se utilizza una calculadorra. Se requierre de cierta habilidad h paraa realizar la comc † Nótese quee aquí se suma 100 – 10, así que puede restar 5.14822. ‡Aquí se sum ma 40 – 40, así qu ue puede dividirsse entre 5.

312

LOG GARITMOS

binacióón de operaciiones del ejerrcicio 7. Si se dispone de una calculadorra, el lector puuede divertirse con ella verrificando los resultados r de los ejemplos e 1 al 7. Recuérdesse que tanto ell uso de la calculadora como el e de la tabla I dan aproxim maciones; de aaquí que las respuestas r encontrradas por ambbos métodos no necesariam mente coincidden entre ellas. EJERCICIO O 13.4

Cálcu los

Use logariitmos o una calculadora paraa ejecutar los cálculos indiccados en los prroblemas del 1 al 52 2. Llevándolo al a número justificado de ciffras significatiivas.

Ecuaciones lo ogarítmicas y exxponenciales

13.11 Ecuación exponencial Ecuación logarítmica

313

ECUACIONE ES LOGARÍTMIC CAS Y EXPONEN NCIALES

Una ecuación recibe el nombre de ecuación e exp ponencial si la variable apaarece en un no o más exponentes e y una ecua ación logarítmica si la variab ble es parte de d un númerro cuyo logarritmo x será tomad do. En conseccuencia, 2 X = 5 y x 3-1 = 5 x+y son ecuaciiones exponenciaales, y log2 x + lo og2(y - 1) = 2 es una ecu uación logaríttmica. En geneeral, las ecu uaciones exponenciales y logarítmicaas no pueden resolverse por los métodoss estudiados con anteriorridad. Empero, muchas m de esttas ecuacionees pueden ressolverse apliccando las propieedades de l os logaritmo os. Los ejem mplos sigui entes muestran el e procedimi ento.

Ejemplo 1

Solución

Ejemplo 2 Solución n

Resuelva la l ecuación

Primero see igualan los logaritmos de d los miembrros de la ecu uación procediénd dose luego, ccomo se indicca.

Resuelva log6 (x + 3) + log 6 (x - 2) 2 = 1. Aplicand do el teorem ma para el logaritmo l dee un produccto al miembro izquierdo dee la ecuación n dada, se obtiene log6 (x + 3)(x - 2) = 1

314

LOGA ARITMOS

Ya que, Por (13.1) o las operacionees indicadas ejecutando

Al resolvver esta ecuaación, se obtiiene x = – 4 y x = 3, peroo no –4 puede addmitirse com mo una raíz yaa que en ese caso x + 3 sería negativo, pero p el logariitmo de un número n negattivo no se haa definido. Por lo l que, el coonjunto solucción es {3}. Ejemploo 3

Resuelvaa las ecuacionnes exponenciales 5x – 2y = 100 1

(1)

y 32x – y = 10

(2)

para x y y. Soluciión

Si se iguualan los logarritmos de los miembros dee las ecuacionnes (1) y (2), see obtiene

Multipllicando cadaa miembroo de (4') poor 2 del mie mbro corresppondiente dee (3'), se obtiiene -3x = -11.331 x = 0..4437

y resttando

Ecuacione es logarítmicas y exponenciales

315

Sustituyeendo este valoor por x en (31) y resolvienndo para y, se tiene -2y = 2. 861-0.44377 = 2.4 4173 Por tantoo, y = -1.2009 Esto implica que, el cconjunto soluución del sisteema es { 0.44437, -1.209} . Ejemplo 4

Resuelva simultáneamente las ecuacciones

52x+3y = 120

(1)

y 23x+5y = 30 3 Solucióón

(2)

Si se tom ma el logaritm mo de cada miiembro de (1)), se obtiene (2x + 3y) log 5 = log 120 1

(3)

Similarm mente, de (2), se tiene (3x + 5y))log2 = log3 0

(4)

Por tanto o,

A continnuación se elimina y e ntre (3') y (4'), restand do del quíntuploo de (31), miiembro a mieembro, el tripple de (4'). De D esta forma se obtiene x = 5(2.99746) - 3(4.99069) = 0.1523 Si este valor v se sustiituye en (3'), se consiguee 2(0.1523) + 3y = 2.9746; por p tanto y = 0.8900, y la solución es (0.1523, ( 0.89900).

316

LOGAR RITMOS

13.122

US GRÁ ÁFICAS y = loog b Y y = b x En muchaas ocasiones lla gráfica de y = logbx reesulta ser muy y útil. A continuuación se elabbora una tabla de valoress correspond dientes de x y y = log l bx, para b = 10, se graficcan los puntos así determinnados, se traza una u curva suuave y conttinua que paase por elloss, obteniéndosee finalmente la gráfica dee y = log10 x. A esta curvaa se le da el nom mbre de curvaa logarítmica a. Si arbitrariiamente se assignan los valoress 0.01, 0.1, 0.55, 1, 2, 5, 10, 16, 1 20, y 25 a x y se consultta una tabla de loogaritmos parra encontrar el valor correspondiente de 31, se obtiene

En conseccuencia, la grráfica de y = log10 x es com mo se muestrra en la figura 13..1. La rapidezz de crecimieento de x depeende del valo or de la base. El lector, despuués de resolvver los probllemas 33 a 36 3 del ejercicio 13.5, se percaatará de que cuanto mayoor sea el valor de b, menor serrá la rapidez de crecimiennto de la curvva; además, cuanto c mayor seaa el valor de bb, menor seráá el valor de y para un valoor dado de x (si b > 1).

Resumen n

317

A conntinuación see hará uso dee la definición de un núm mero para converttir la ecuaciión y = log b x a forma exponenciall. O sea by = x . Esta ecuacióón determina la misma rellación entre x y y que la enco ontrada para y = log b x; por lo que, ambas gráfi ficas son equivaleentes. Si en x = by se intercambian i x y y, se en ncuentra que y = bx es la inverrsa de y = logb x . En conseecuencia, la grráfica de y = bx está en la m misma posicióón respecto aal eje Y de laa misma manera que y = log b x lo está relaativa al eje X. X Una u otra pueden obtenerrse por refleexión en la línea deterrminada porr y = x. Ambas se muestran en la figuraa 13.1. EJERCICIO 13.5

l bN, b ≠ 10, log

, ecuacionees exponencial y logarítmicaas

En cada problema del 1 al 24, encuenntre el valor de x exactamennte o a cuatro o dígitos.

Resuelva el siguiente parr de ecuacionees simultáneam mente.

Trácelas grááficas de las doos curvas definnidas por las ecuaciones e en ccada problemaa del 33 al 36.

13..13

RESUM MEN Este caapítulo está basado b en la definición

3 318

LOGARITMOS

logb N = L si y sólo sii b L = N,

p para b > 0, b ≠ 1

(13..1)

Se sigue que q blogbL = L L. Los teorem mas sobre co mputación son

También se s hace uso ddel redondeo y la notacióón científica como c fueron connsideradas en las secciones 13.1 y 13.22 dándose las definiciones de d característiica y mantisaa en la seccióón 13.7. En variias ocasioness se señala có ómo las operaaciones efectuuadas aplicandoo logaritmos ppueden tambbién realizarsee por calculaadora. EJERCICIO E 13.6

Repaso

Redondee el núúmero en cada problema del 1 al 4 a tres cifras significattivas y expréseelos en R n notación cientíífica. 1

786.291

2

786.928

3

5715

4

80225

Ejecute E las opeeraciones indiccadas en los prroblemas del 5 al 10. Entoncces redondee al a número m apropiaddo de dígitos y expréselos enn notación cienntífica. 5 (78.2)(4.7)

6

(8.418)(644)(3.72)

8 58.37 ÷ 302

9

2.3 + 4.67 - 1.805

7

99..35 ÷ 1.46

10 72..3 + 21.75 - 377.846

111 Exprese 34 = 81 en forma logarítmica. 112 Exprese log2 32 =5 en form ma exponenciaal. 133 Resuelva loggb 81 = 4 para b.

14 Resuelvaa log 5 125 = L para L.

155 Encuentre N si log6 N = 3. 3 Ejecute E las opeeraciones indiccadas en los prroblemas 16 a 21 usando loggaritmos o unaa calculadora. c

14

desigualdades y sistemas de desigualdades En capítulos anteriores se han estudiado las ecuaciones, ahora se tratarán las desigualdades. Una igualdad puede considerarse como una proposición que tiene dos expresiones iguales, y una desigualdad se considera una proposición que tiene una cantidad mayor o igual que otra. Después de estudiar las desigualdades, se trabajará con los sistemas de desigualdades y se introducirá a la programación lineal. 14.1

Desigualdad

Desigualdad lineal

Conjunto solución

Equivalencia

DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE

Una proposición de la forma f(x) > g(x) o f(x) > g(x) o f(x) < g(x) o f(x) < g(x) es llamada una desigualdad. Si f(x) o g(x) es un polinomio de grado 1 y el otro es una constante o un polinomio de grado 1 con coeficientes diferentes de x en f y g, entonces se tiene una desigualdad lineal. En consecuencia, 3x – 1 > x + 3 y 4x + 7 < 8x + 5 son desigualdades lineales, pero 3x + 4 < 3x + 9 no lo es. El conjunto de sustituciones para x para el cual una desigualdad es una proposición verdadera, se llama el conjunto solución de la desigualdad. Así, x > 3 es el conjunto solución de la desigualdad 2x + 1 > 7. Con frecuencia este conjunto se representa en la forma {x | 2x + 1 > 7} = {x | x > 3}. Los procedimientos para encontrar el conjunto solución de una desigualdad son muy parecidos a aquéllos para encontrar el conjunto solución de una ecuación. El concepto de desigualdades equivalentes es necesario y utilizado; por esto, se considera ahora este tema. Se empieza por establecer que dos desigualdades son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Se dan algunos teoremas relacionados a las desigualdades equivalentes.

320 0

DESIGUALDADES Y SISTEM MAS DE DESIGU UALDADES Teoremas en conjuntos equivalentes

Si f(x), g(x),, y h(x) son eexpresiones valuadas parra los reales, entonces cadaa una de las ssiguientes es equivalente a f(x) > g(x)): f(x) + h(x) > g(x) + h(x)) f(x) • h ( x ) > g(x) • h(x) ppara {x | h(x) > 0} f(x) • h(x)g(xx) y k • f(x) > k • g(x) son equivalentes. e (14.2 2a) Si c es una constante neegativa, enton nces f(x) > g g(x) y c f(x) < c • g(x) son equivalentess. (14.3a) Proposicion nes análogas son verdadeeras para f(x)) < g(x). La desigu ualdad (14.1) algunas veeces se expreesa en la forrma: una misma cantidad c pueede ser sumad da a cada mieembro de la desd igualdad sin afectar la dirección o sentido de ella. También, (14.2) y (14 4.3) pueden ser combinaadas: El senttido de una desd igualdad no o se altera al multiplicarlla por una caantidad posittiva, pero sí cuan ndo se multip plica por unaa negativa. Las demo ostraciones de d los teorem mas anterioress son similarees a los correspo ondientes parra las ecuacio ones y no se darán. Ejemplo 1

Ya que x2 + 2 > 0 paraa valores realles de x, y 3xx + 1 > 3x – 4, se sigue de (14.2) que (xx2 + 2)(3x + 1) 1 > (x2 + 2)((3x - 4).

Ejemplo 2

Encuentre el e conjunto so olución de 6xx – 1 > 2x + 7.

Solución

6xx - 1 > 2x + 7

la desigualdad

6x – l – 2x + l > 2x + 7 – 2x + l 4x > 8 x>2

por (14.1) para a h(x) = -2x + 1

combinando 1

por (14.2a) para k = 4

En consecueencia, el conjjunto solució ón es {x | x > 2}. Ejemplo 3

Para resolveer –2x < 4, podría escriibirse -2x + 2x – 4 < 4 + 2x - 4 - 4 < 2x – 0

y

3x + 5 < 0

(1)

y

3x + 5 > 0

(2)

asimismo 2x - 1 < 0

simultáneam mente. Si se suma 1 a cada c miembrro de la prim mera desigualdad d en (1), y–5 a cada miem mbro de la seggunda, se obtiene 2x > 1 y 3x < – 5 ; esto implica que, x > 12 y x < – 53 . Por tantto la parte del conjunto solución de la ecuuación que prroviene de (11) es

Ahora bien,, resolviendoo las dos dessigualdades ssimultáneameente en (2), se o btiene x < 12 y x > – 53 . E n consecuenncia, la partee del conjunto so olución de laa desigualdadd dada que vviene del parr de desigualdad des en (2) es

Finalmente,, el conjunto solución coompleto de laas desigualdaades dadas es la unión de loss conjuntos en e (3) y (4); ppor tanto, ess

Ejemplo 2 Solución

Encuentre el e conjunto soolución de (22x – 7)(3x + 5) > 0. Puesto que el miembro iizquierdo de la desigualdaad es el produ ucto de dos facto ores lineales,, éste será poositivo si am mbos factores son positivos o si ambos sonn negativos. Por consiguuiente, se obttiene una parte de la soluciónn deseada por resolución simultánea 2x – 7 > 0

y

3x + 5 > 0

(5)

Así, se tienee

Nótese que buscada es

Se ve que una partee de la solución

Desigualdades no lineale es

323

Para encontrar e la pparte restantee de la solucióón deseada se s pone 2x – 7 < 0 y 3x 3 + 5 0 para x < – 35 y para x > 72 , como se en ncontró por la soolución algebbraica.

FIGURA 14 4.1

Ejemplo 3 Solució ón

Encuenttre el conjunnto solución de (2x - 5)(33x - 4)(4x + 1) > 0. El miem mbro izquierddo de las ecuuaciones dadaas es el prodducto de tres facto ores lineales; esto es, es poositivo si los ttres son positiivos o si dos son negativos y eel otro positivvo.

324

DESIGU UALDADES Y SIS STEMAS DE DES SIGUALDADES

Si los tres son posittivos, se tiene 2x - 5 > 0 3x - 4 > 0 4x + 1 > 0

(7)

Si se suma an 5, 4, y – 1,, respectivam mente, a las tre es desigualdad des, se obtiene 2x > 5

3x > 4

4x > -1

Cada mie embro de cad da desiguald dad es ahora a dividido en ntre el coeficientte de x en la desigualdad d para obtene er Si x > 52 , entonces, e esto es autom máticamentte mayor qu e 43 y 1 – 4 . En co onsecuencia, la parte dell conjunto so olución de la as desigualdades cuando se c consideran lo os tres factore es positivos es e 5

{x|x > 2 }

(7')

Otra parrte del conju unto solución es la parte común c de las soluciones de las l desiguald dades obtenid das al pedir qu ue el primer factor f sea positiv vo y los otross dos negativ vos. Así, se ob btiene (8)

La parte común c o intersección de e esos tres co onjuntos es Ø , ya que un nú úmero mayorr que 52 no pu uede ser al mismo m tiemp po menor que - 14 Una terrcera parte de e la solución se obtiene piidiendo el segundo factor possitivo y los ottros dos nega ativos. Así, se e tiene

La interse ección de eso os tres conju untos es tamb bién Ø , ya que q un número no n puede ser simultánea amente may yor que 43 y menor m q u e - 14 La partte final del co onjunto solución de la de esigualdad da ada se obtiene cu uando se conssidera que el último factorr sea positivo o y los otros dos negativos. A Así, se tiene (10)

Desigualda ades no lineales s

325

5

Ya que,, automáticam mente un núm mero es mennor que 2 si e s menor 4 que 3 , la l interseccióón de las solluciones de ((10) es Finalm mente, el connjunto soluciión de la dessigualdad es la l unión de los conjuntos daddos por (7') y (10'), puestoo que las desigualdades (8) y (9) conduccen a Ø Por tanto el conjunto c desseado es

Solucción gráffica

La desiggualdad dada puede resoolverse gráfi camente al trazar t la gráfica de d y = (2x – 5)(3x 5 – 4)(4x + 1) encontraando los valoores de x para y > 0 comoo se requieree en el probleema. Para trazar t la gráfi fica, nótese quue y = 0 si 2x – 5 = 0 o 3x – 4 = 0 o 4xx + 1 = 0 . L os valores coorrespondienntes de x sonn 52 , 43, y – 14 . La gráfica pueede ser dibujjada rápidam mente escogieendo un valor dee x que sea menor m que – 14 por decir allgo x = – 1; un u valor 4 1 de x enttre – 4 y 34 , por ejemplo o x = 0; un vvalor de x enntre 3 y 5 5 , tóme ese 2; y un vvalor de x mayor m que 2 ; tómese x = 3. Para 2 cada x, se s encuentra el valor corrrespondiente de y empleando y = (2x – 5))(3x – 4)(4x + 1). Esto daa la tabla de valores

De laa 1figura 14.22, se observa que y > 0 ssi x > 2.5 o si s x está 4 entre – 4 y 3 , com mo se obtuvoo por la solucción algebraiica.

Es fáácil verificar esta soluciónn asignando un valor a x en cada intervallo de la solucción y sustitu uyendo este vvalor por x en n la des5 igualdaad dada. Se uusará x = 3 y a que es mayyor que 2 , assimismo x = 0 y a que está enntre – 14 y 43 . Para x = 3 , la desigualddad da-

326 3

DESIGUA ALDADES Y SIST TEMAS DE DESIGUALDADES

da se co nvierte en [(2)(3) - 5 ][(3)(3) - 4][(4)(3) 4 + 1] = (1)(5)(13)) > 0 como erra de esperarse. De la missma manera, si x = 0, la desiggualdad resullta ser (–5)(––4)(1) > 0. E EJERCICIO 14.2

Desigualdades no lineaales

E Encuentre el co onjunto soluciión de las desiigualdades en los problemaas del 1 al 28.

14.3

DESIGUALD DADES LINEALEES QUE INCLUYYEN VALORES ABSOLUTOS

Si se emp plea la definicción de valorr absoluto de un número se s advierte quee una desiguaaldad del tipo

requiere quue ax + b esté entre c y – c; por esto, si see sustituye porr x que satisface tanto t ax + b < c comoo ax + b > –c, satisfarrá (1). Por tanto, El conjuntto solución dee (1) es la inttersección {x | ax + b < c} ∩ {x | aax + b > – c) = {x | – c < axx + b < c} Ejemplo o 1 Resuelvaa |3x - 4| < 5..

Desiguald dades lineales que incluyen valores absoluto os Solución n1

327

Esta dessigualdad se ssatisface si x satisface tannto a 3x - 4 < 5 como a 3x - 4 > -5. Así, la solución es {x | 3x -4 < 5 } ∩ {x | 3x - 4 > -5}. Ahora, sumando 4 a cada miiembro de ccada desiguaaldad y dividienndo entre 3, oobsérvese quue es la sollución deseadda.

Solución n2

Si se divvide cada miem mbro de |3x – 4| < 5 entre 33, se tiene |x – 43 | < 53. Po or esto, la disstancia entre x y 43 es me nor que 53 , como c se muestraa en la figuraa 14.3.

FIGURA 14 4.3

Ejemplo o2 Soluciión

Resuelvva |-2x + 7| < 9. Esta dessigualdad se satisface si, tanto t –2x + 7 < 9 como –2 2x + 7 > –9 se saatisfacen, y ppor tanto si ambas a –2x < 2 y –2x > – 16 son satisfechhas. Ahora, dividiendo entre –2 ccada desiguaaldad y cambianndo el sentiddo de cada una u cumpliendo con (14 4.3a) se encuentra que {x | – 1 < x < 8} es e el conjuntoo solución. Si se aplica la deffinición de valor absolutoo a |ax + b|> c

c> >0

(2)

se encuuentra que (22) se satisfacce si ax + b > c o ax + b < – c. En consecuencia

Solución de d

|ax + b|> >c

Ejemplo o3 Solución n1

El conj unto solucióón de (2) es la unión de {x | ax + b > c)

y

{x | ax + b < – c)

Resuelv va |3x + 2| > 4. Si se applica la definnición de vaalor absoluto de un númeero a la ecuaciónn dada, adviéértase que se satisface si 33x + 2 > 4 o 3x + 2 < –4; ahora resolvi iendo este paar de desigualldades, se enccuentra 2 que x < –2 y x > 3 . Por tanto,, la solución deseada es

328

DESIGU UALDADES Y SIS STEMAS DE DES SIGUALDADES

Solución 2 Función objetivo

Si se divid de cada miem mbro de la dessigualdad enttre 3, se obtieene 2 4 2 2 |x + 3 | > 3 . Ya que |x + 3 | = |x - (- 3 )|, l a distancia de d x de 2 4 – 3 debe ser s mayor quue 3 , com mo se muestrra en la Fig. 14.4.

Ejempllo 4 Solució ón

EJERCICIO 144.3

Resuelva |–5x + 7| > 2. Si se apliica la definiciión de valor absoluto a a la desigualdad, se satisface sii –5x + 7 > 2 o –5x + 7 < -2; ahora suumando – 7 a cada miembro de éstos y dividiendo entre –5, se encuentra que q se satisfacen n por x < 1 y x > 95 , respectivamente. Por taanto el conjunto solución de la desigualdaad es {x | x < 1} ∪ {x | x > 59 }. Desiguaaldades y valorres absolutos

Resuelva cadaa una de las siiguientes desiggualdades.

14.44

DESIGUALLDADES LINEA ALES DE DOS VARIABLES V Se empeezará por enccontrar, cómo o indicar grááficamente, el e conjunto sollución de unaa desigualdad d lineal de dos d variables. Cualquier tal desigualdadd lineal es eq quivalente a una de las formas f y > ax + b, y < ax + b, x > a, o x < a. A vecees puede incluuirse el signo de igualdad, coomo en x ≥ a, y el resultado r se llama

Desigualda ades lineales de e dos variables

329

todavía una u desigualdad, por el hecho h de quee ésta es una combinación de d una ecuac ión y una deesigualdad. A fin de encontrarr el conjuntoo solución de d y ≥ ax + b, primero se dibuja una línnea representtada por y = ax + b. Entonces, si P(x, y) está en esta líínea y si y' > y, se sigue que q P(x, y') está e por encima de d la línea. A Aún más, ya que q y' > y y y = ax + b, se s sigue que y' > ax + b. E En consecueencia, el connjunto solucción de y ≥ ax + b es el conju unto de todoss los puntos een la gráficaa de y = Solución de álogamente ees posible dem mostrar y ≥ ax + b ax + b y por encima de ésta. Aná y de que el co onjunto solucción de y ≤ axx + b es el coonjunto de toodos los y ≤ ax + b puntos en n la línea reppresentada poor y = ax + b y abajo de ella. e Siguiendo con esta discusión, laa gráfica de y ≤ 0.3x – 1 coonsta de todos los puntos en la línea cuya eccuación es y = 0.3x – 1, y abajo a de ella, com mo se indicca en la figgura 14.5 mediante el área á no sombrea da.

FIGURA 14.5

Solucción simultánea

Ejemp plo

Solució ón

Ahora se considerarrá cómo deterrminar la regiión en la cuall P(x, y) se encuen ntra si (x, y)) satisface caada conjunto de dos o más m desigualdadees. A fin de lograrlo, se empieza dibbujando cadaa línea, entonces indicando cada c región para p la cual P P(x, y) debe estar y finalmente determinaar la interseccción de estas regiones. Encuenttre la región limitada porr x ≤ 1 , y ≥ 0, y ≤ 3x– 1, y y ≤ .5x + 1, y determinne sus vérticees. Como está indicado aarriba, se em mpieza por traazar las líneaas representadas por x = 1, y = 0 , y = 3x – 1, 1 y y = 0.5x + 1, como se muestra en la figuura 14.6. Entoonces se indiccan las regionnes limitadass por las cuatro desigualdadess observándoose la interseección de ésstas. Se encuentraan las coordeenadas de los vértices de esta e región

330 3

DESIGUA ALDADES Y SISTTEMAS DE DESIG GUALDADES

al resolverr simultáneam mente las ecuuaciones de laas líneas que intersecan a los vértices. Assí, se resuelvee y = 3x – 1 y y = 0.5x + 1 simultáneam mente para enncontrar las coordenadas de D. Estas son x = 0.8 y y = 1.4, escribbiéndose D(00.8, 1.4). De forma similaar, los 1 otros vérttices son A( 3 , 0) B(l, 0)) y C(l, 1.5).

FIGURA 14.6

Región convexa a Polígono convexoo

Si todoos los puntos del segmento o de la línea P PQ están en una u región cuan ndo P y Q se encuentren en e ella, la reggión es llamaada región convvexa. La fronntera se llamaa polígono coonvexo si la región r está acotaada por segm mentos de línea. Así, la reggión ABCD enn la figura 14.77a es una reggión convexaa y la de la figura 14.76 no es convexa. Un círculo y su interior forman una región conveexa.

FIGURA 14..7

EJERCICIO 144.4

Polígonoss convexos

Use flechas para p indicar laa mitad del pllano determinado por la deesigualdad en cada p problema del 1 al 4. 1

x≥2

2 y ≤ -1

3 3x + y ≤ 6

4

2x - y ≤ 4

Prog gramación linea al

331

Muestre la región r convexaa determinada por el conjuntto de desigualddades en cada problema p del 5 al 16.

Demuestre que q el polígonoo con vértices en e los puntos de d cada probleema del 17 al 20 2 no es convexo. 17 (-1, -1), (3, 1), (1, 1), (2, 4)

18

(1, -2), (5, 0),, (2, 1), (1, 3)

19 (3,-2),, (6,-1), (5, 3)), (3,0), (0,0) 20 (0, 3), (1,-1), (5, 0), (0, 4), (-2, ( 1) Encuentre loos vértices de la región poliggonal determinnada por las ddesigualdades en cada problema del d 21 al 28.

14.5 Máxim mo Mínim mo Extremo os

Programació ón

lineal

PROGRA AMACIÓN LINEEAL Si en un na función ex xiste un valorr que sea el m más grande, éste es llamado o el máximo. Al valor máás pequeño de d una funció ón, si existe un no, se le llamaa el mínimo. Los L dos son a menudo llam mados los extreemos. Siguiend do las definic ciones, el valo or mínimo de y = f(x) = 5x + 2, para –1 ≤ x ≤ 3, ocur re para x = – –1 y es –3; asimism mo, el máxim mo ocurre parra x = 3 y ess 17. Si un problema inccluye dos varriables x y y y las condicio ones que restring gen (x, y) a un na región S que q está deterrminada por un conjunto de e desigualdad des lineales, entonces la d determinació ón de (x, y)tal qu ue una combiinación lineall dada de x y y es un extrremo es llamadaa programaciión lineal. Laas desigualdades que deterrminan

332

DESIGUALDADES Y SISTE EMAS DE DESIGU UALDADES Restricciones Soluciones factibles

Teorema sobre extremos

Ejemplo 1

Solución n

la región S son llamadaas restriccionnes; la región S es llamaada el conjunto de d solucioness factibles, y la función lineal que es e un extremo ess llamada la ffunción objeetivo. Ahora see establece unn teorema, siin demostraciión sobre pro ogramación lin neal dándose dos ejemplos. Si S es un polígono connvexo, si f(x, y) = ax + by + c tiene dom minio S y si B es una fronteraa poligonal dee S, entonces f tiene un mááximo y un míni mo y cada uuno ocurre en n un vértice de B. Encuentre el máximo y el mínimo de d f(x, y) = 3xx + 5y – 4 parra la región conn vértices en (3, 1), (2, 4 ), (0, 2), y (11, 1). La funciónn f es lineal y la región coon vértices enn los puntos dados d es convexaa, como se advierte a en laa figura 14.8; por tanto, por p el teorema, lo os valores mááximo y míniimo ocurren een los vérticees. En consecuenncia, se evaluuará f(x, y) en e cada vérttice. Se encu uentra que f(3, 1 ) = 3(3) + 55(1) - 4 = 10 0; f(2, 4) = 222; f(0, 2) = 6; y f(l, 1) = 4. En consecueencia, el máx ximo es 22 y ocurre en (2,, 4), y el mínimo es 4 y ocurrre en (1, 1).

FIGURA 14.8

Ejemplo 2

Un zapaterro fabrica bottas, zapatos de d hombre y de mujer y puede p producir 6000 pares en la l unidad de tiempo. El zzapatero man nufacturó 150 paares para hom mbre y 240 paares para mujer y puede veender a lo más 1000 pares paraa hombre y 300 pares parra mujer, ¿cuántos pares de caada tipo debeen ser produucidos para obtener la mááxima ganancia, si s la gananciaa en botas ess de $4 por p ar, la del parr para hombre es de $2.50 y $1.75 por par de d zapatos dee mujer?

Progra amación lineal Soluciión

333

Si x repreesenta el núm mero de pares de botas fabrricadas y y el número de paress de zapatoss para hombrre, entonces 600 – x – y es el número de pares dee zapatos paara mujer manufacturad m os. Por tanto, la ganancia en n dólares es 4x 4 por las botas, 2.5x porr los zapatos de hombre, y 1..75(600 – x – y) por los dee mujer; de aq quí que, la ganan ncia total es f(x, y)= 4x + 2.5y + 1.75(600 - x - y) Esta funcción objetivo está sujeta a las siguientess restricciones, impuestas por p el enunciiado del prob blema: y ≥150

ya a que hay hechos 150 pares para hombre

600 – x – y ≥ 240 ya a que hay hechos 240 pares para mujer

x ≤ 100

ya a que no más de 100 pares de bota as pueden venderse

y ≤ 300

ya a que no más de 300 pares para ho ombre pueden venderse

x ≥ 0, y ≥ 0, 600 - x - y ≥ 0

ya q u e to d o s l o s t i p o s s o n para venta

Estas resstricciones esttán mostradas en la formaa gráfica en laa figura 14.9. Laa gráfica de 600 6 – x – y ≥ 0 no se m muestra ya qu ue esta igualdad d se satisface automáticam mente si 600 – x – y ≥ 240 0.

334

DESIGUALDADES Y SISTEMAS DE DESIGUALDADES

Después de que la región de soluciones factibles es encontrada, se obtienen las coordenadas de los vértices por resolución simultánea de cada par de ecuaciones las cuales determinan las líneas que se intersecan en el vértice. Así, se resuelven y = 300 y x + y = 360 simultáneamente para obtener las coordenadas de los vértices arriba a la derecha. De esta manera se encuentra que los vértices están en (60, 300), (0, 300), (0, 150), (100, 150), y (100, 260), y se muestran en la figura 14.9. Se debe evaluar la f u nc i ó n o b j e t i v o f ( x , y ) = 4 x + 2 . 5y + 1. 7 5( 6 0 0 - x - y) para las coordenadas de cada vértice a fin de encontrar los extremos. Evaluando en (60, 300), se encuentra que f(60, 300) = 4(60) + 2.5(300) + 1.75(600 - 60 - 300) = 240 + 750 + 1.75(240) = 240 + 750 + 420 = 1 410 Similarmente f (0, 300) = 1 275; f(0, 150) = 1 162.50; f(l00, 150) = 1 387.50; y f(100, 260) = 1 470. Por consiguiente, la ganancia máxima es obtenida si 100 pares de botas, 260 pares para hombre y 600 – 100 – 260 = 240 para mujer son manufacturados. Ejemplo 3 Solución

Repita el ejemplo 2, excepto que la ganancia en un par de zapatos para mujer es $2.75 en lugar de $1.75. Debido al supuesto cambio de la ganancia, el total está dado por g(x, y)=4x + 2.5y + 2.75(600 – x – y) Ésta debe ser evaluada para los valores de x y y en cada vértice de la región de soluciones factibles así hasta encontrar la ganancia máxima y el número de pares de cada tipo de zapatos requerido para obtenerla. Por sustitución, se encuentra que g(0, 300) = 4(0) + 2.5(300) + 2.75(600 – 0 – 300) = 1 575; g(0, 150) = 1 612.50; g(100, 150) = 1 737.50; g(100, 260) = 1 710; y g(60, 300) = 1 650. Por tanto, la ganancia máxima se obtiene si 100 pares de botas, 150 pares para hombre y 600 – 100 – 150 = 350 pares de mujer son manufacturados.

EJERCICIO 14.5

Programación lineal

En cada problema del 1 al 8, encuentre el máximo y el mínimo de f para la región poligonal con los vértices especificados. 1 f(x,y) = 7x + 2y -4;(2,0),(4,7),(l,3) 2 f(x, y) = 4x + 3y - 2; (1,1), (2,4), (3,2) 3 f(x, y) = 8x - 3y - 7; (2,1), (5,2), (3,4)

Progra amación lineal

335

En cada probblema del 9 al 16, encuentre los extremos de d f para la reggión poligonal convexa determinadaa por las desiggualdades daddas. Encuentree dónde ocurree cada extrem mo. 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Un sastrre tiene 160 unnidades de maaterial y 210 unidades u de trrabajo disponible para usar en cierto c periodo de tiempo. Éll puede hacer trajes del tipoo A o del tipo B o ambos. ¿Cuuántos de cada tipo debe haacer para teneer una gananccia máxima si él gana $10 en caada traje del tipo A y $4 en ccada uno del tippo B? ¿Cuál ess la ganancia máxima? m Supongaa que un trajee del tipo A reequiere 2 uniddades de mateerial y 14 de trabajo, mientrass que un traje tipo B usa 4 unidades de material m y 2 de d trabajo. 18 Repita el' e problema 17 excepto qque la ganan cia del traje del tipo A ess $12. 19 Repita ell problema 17 excepto que enn este caso se cuenta c con 1844 unidades de trabajo. t 20 Repita ell problema 17 excepto que lla ganancia en cada traje dell tipo A es de $11 $ y en cada unoo del tipo B ess de $10. 21 Un agriccultor cultiva trrigo y maíz. El E trigo requierre 9 unidades de d insecticida y 6 unidades dee fertilizante por p acre, mienttras que el maaíz necesita 7 unidades u de caada uno. ¿Cuántos acres de cadda uno debe plantar para obbtener la máxiima ganancia si la ganancia poor acre de trigoo es de $32 y ppor acre de maaíz es de $29? Suponga que él é cuenta con la tieerra suficiente, 715 unidadess de insecticida y 640 unidaddes de fertilizaante. ¿Cuál ess la ganancia? 22 Repita ell problema 21 excepto que eel trigo requierre 8 unidades de insecticida y 6 unidades dee fertilizante por p acre. 23 Repita ell problema 21 excepto que laa ganancia porr acre de trigo ees de $38 y porr acre de maíz de $31. 24 Repita ell problema 21, excepto que laa ganancia porr acre de trigo es e de $29 y porr acre de maíz de $32. 25 Un horteelano tiene 47 acres disponiibles para planntar pimienta, lechuga y tom mates. Él piensa que q puede obteener una ganaancia de $400 en lechuga poor acre, $300 en pi-

336

DESIGU UALDADES Y SIS STEMAS DE DES SIGUALDADES

mienta y $350 $ en tomattes. Él no podrría cuidar más de 20 acres dee pimienta, ni más de 26 acres de lechuga o más de 17 dde tomate. ¿C Cuántos acres de cada uno deben sembrars e para obteneer la máxima gganancia? 26 Repita el problema 25 excepto que la ganancia por acre de tom mate es de $42 25. 27 Repita el problema 25 excepto e que el hortelano noo puede cuidarr más de 22 acres de lechuga. 28 Repita el problema 25 excepto que eel hortelano annticipa una ganancia de $50 00 por acre de p imienta. 14.6 6

RESUMEN N

Este capíttulo trata conn desigualdaddes lineales. La L primera parte es acerca de desigualdadees lineales dee una variablle, sección 14 4.1. Se dan tres teoremas quee permiten resolver tales ddesigualdadees. Los teoremas incluyen la ssuma de una constante a cada miembrro y la multiplicaación de los m miembros porr un número ppositivo o neggativo. Después se estudian desigualdadees no linealees que resultan del producto o cociente dee dos o más faactores linealees. La resolucción de tales desiggualdades esttá basada sobbre estudios de d las gráficaas y de las desiguualdades y en el hecho de que q el produccto o cocientee de un número i mpar de núm meros negatiivos es negaativo, mientras que otros prod ductos o cociientes de núm meros negativvos o positivvos son positivos. Luego se reesuelven desigualdades quue incluyen valores v absolutos demostrandoo que tal situuación es anááloga a resolvver dos desigualdades linealees que no incluyan vvalores absoolutos. Finalmennte, se preseenta la progrramación linneal para reesolver simultáneeamente un conjunto c de desigualdades d s de dos variaables. EJERCICIO 14 4.6

Repaso

R Resuelva la desigualdad d en n cada problema del 1 al 166.

Resumen

337

Dibuje los polígonos conveexos con vérticces como se esp specifican en loos problemas 17 1 y 18 y con lados coomo los dados en los problem mas 19 3? 20. 17 19

(2, 1), (8 ( - 3), (10, 6)

18

( 4), (-5, -77), (9, -2), (100, 6) (-2,

20 21 Demuesttre que el pollígono con véértices en (1, 5), (5, 1), (4 , –3), y (6, 2) no es convexo. 22 Demuesttre que la interrsección de doos regiones connvexas es tam mbién convexa. Encuentre loos vértices de la región poliigonal determ minada por lass desigualdadees en los problemas 233 y 24. 23 24 25 Encuentrre el extremo de d (3, -1), ( 6 , 0 ) , y (8, 5). 5

f(x, y) = 5x + 3y – 2 en la región con vértices en e (2, 3),

26 Encuentrre los extremos de f(x, y) = 1 3x + 7y – 4 en la región poliggonal determinnada por x + y ≤ 13, – x + y ≤ 1, x + 3y ≥ 7, 7 y 3x – 5y ≤ 7. 27 Un consttructor tiene 269 2 unidades de madera y 208 2 unidades de ladrillo addemás de otros maateriales para la construccióón de casas. Él É puede consstruir una cassa tipo A usando 9 unidades de madera m y 16 uunidades de ladrillo y él obt endrá una gannancia de $3 200 poor cada casa. Él É también pueede construir unna casa tipo B usando 14 uniidades de madera y 8 unidades dee ladrillo y él oobtendrá $2 9000 en cada unaa de éstas. ¿Cuuántas de cada tipoo debe construuir para obtenner la máxima ganancia? 28 Repita e l problema 277 excepto quee la ganancia es de $4 000 en una casa tipo A y $1 800 en e una tipo B. 29 Repita ell problema 27 excepto que 193 unidades de madera esttán disponiblees. 30 Demuesttre que (2x – l)(3x + 7) < 0 ti ene las mismaas soluciones qque < 0.

(2x – l)/(3x + 7)

tablas TABLA I

Logaritmos comunes

TABLA II

Potencias y raíces

340

TABLA AS

TABLA I

10 11 12 13 14

Logaritmos coomunes

0000 0 0414 4 0792 2 1139 9 1461 1

0043 0453 0828 1173 1492

0086 0492 0864 1206 1523

0128 0531 0899 1239 1553

0170 0569 0934 1271 1584

0212 2 0607 7 0969 9 1303 3 1614 4

0253 0645 1004 1335 1644

0294 0 0 0682 1 1038 1 1367 1 1673

0334 0719 1072 1399 1703

0374 0755 1106 1430 1732

1790 2068 2330 2577 2810

1818 2095 2355 2601 2833

1847 2122 2380 2625 2856

1875 2148 2405 2648 2878

1903 3 2175 5 2430 0 2672 2 2900 0

1931 2201 2455 2695 2923

1959 1 2 2227 2 2480 2 2718 2 2945

1987 2253 2504 2742 2967

2014 2279 2529 2765 2989

3032 3243 3444 3636 3820

3054 3263 3464 3655 3838

3075 3284 3483 3674 3856

3096 3304 3502 3692 3874

3118 8 3324 4 3522 2 3711 1 3892 2

3139 3345 3541 3729 3909

3160 3 3 3365 3 3560 3 3747 3 3927

3181 3385 3579 3766 3945

3201 3404 3598 3784 3962

3997 4166 4330 4487 4639

4014 4183 4346 4502 4654

4031 4200 4362 4518 4669

4048 4216 4378 4533 4683

4065 5 4232 2 4393 3 4548 8 4698 8

4082 4249 4409 4564 4713

4099 4 4 4265 4 4425 4 4579 4 4728

4116 4281 4440 4594 4742

4133 4298 4456 4609 4757

4786 4928 5065 5198 5328

4800 4942 5079 5211 5340

4814 4955 5092 5224 5353

4829 4969 5105 5237 5366

4843 3 4983 3 5119 9 5250 0 5378 8

4857 4997 5132 5263 5391

4871 4 5 5011 5 5145 5 5276 5 5403

4886 5024 5159 5289 5416

4900 5038 5172 5302 5428

5453 5575 5694 5809 5922

5465 5587 5705 5821 5933

5478 5599 5717 5832 5944

5490 5611 5729 5843 5955

5502 2 5623 3 5740 0 5855 5 5966 6

5514 5635 5752 5866 5977

5527 5 5 5647 5 5763 5 5877 5 5988

5539 5658 5775 5888 5999

5551 5670 5786 5899 6010

6031 6138 6243 634.5 6444

6042 6149 6253 6355 6454

6053 6160 6263 6365 6464

6064 6170 6274 6375 6474

6075 5 6180 0 6284 4 6385 5 6484 4

6085 6191 6294 6395 6493

6096 6 6 6201 6 6304 6 6405 6 6503

6107 6212 6314 6415 6513

6117 6222 6325 6425 6522

15

1761 1

16 17 18 19

2041 1 2304 4 2553 3 2788 8

20

3010 0

21 22 23 24

3222 2 3424 4 3617 7 3802 2

25

3979 9

26 27 28 29

4150 0 4314 4 4472 2 4624 4

30

4771 1

31 32 33 34

4914 4 5051 1 5185 5 5315 5

35

5441 1

36 37 38 39

5563 3 5682 2 5798 8 5911 1

40

6021 1

41 42 43 44

6128 8 6232 2 6335 5 6435 5

45

6532 2

46 47 48 49

6628 8 6721 1 6812 2 6902 2

6542 6637 6730 6821 6911

6551 6646 6739 6830 6920

6561 6656 6749 6839 6928

6571 6665 6758 6848 6937

6580 0 6675 5 6767 7 6857 7 6946 6

6590 6684 6776 6866 6955

6599 6 6 6693 6 6785 6 6875 6 6964

6609 6702 6794 6884 6972

6618 6712 6803 6893 6981

50 51 52 53 54

6990 0 7076 6 7160 0 7243 3 7324 4

6998 7084 7168 7251 7332

7007 7093 7177 7259 7340

7016 7101 7185 7267 7348

7024 7110 7193 7275 7356

7033 3 7118 8 7202 2 7284 4 7364 4

7042 7126 7210 7292 7372

7050 7 7 7135 7 7218 7 7300 7 7380

7059 7143 7226 7308 7383

7067 7152 7235 7316 7396

Tablas TABLA I

LOGARITMOS COMUNES (continuación)

341

342

TABLA AS

resspuesstas

EJERCICIO 1.1 1 A, {2, 4, 8}, {3, 7} 2 B B, Ø, Ø 3 A, B, {xx | x Є A y no toca una trom mpeta} 5 {x | x esttá en una clasee de francés o en una clase de álgebra o een ambas }, {x | x esttá en una clasee de francés y en una de állgebra}, {x | x Є C pero no es una u clase de áálgebra} 6 {x | x tienne el pelo negrro o le gustan los helados dee fresa o amboos} {x | x Є M y le gusta ell helado de freesa} {x | x Є M pero no le gusta g el heladdo de fresa} 7 A, B, { x | x es un estuddiante pelirrojjo} 9 A, {1,5, 7, 11}, {5, 7}} 10 A A-C, {6} 11 {1,2,4,5,6,7,8,10,11} EJERCICIO 1.2

EJERCICIO 1.3 1 Ley con nmutativa parra la multiplicación 2 Ley asoociativa para la adición 3 Ley de la cerradura para p la adicióón 5 Identiddad de la multtiplicación 6 Inverso aditivo a 7 Identiddad de la adicción 9 Verdaderro 10 Verdadeero 11 Verdaddero 13 Verdaddero 14 Verdaadero 15 F Falso 21 3 22 4 23 22

344

RESPU UESTAS

EJERCICIO 1.4

EJERCICIO 1.5

EJERCICIO 1.6

EJERCICIO 2.1 1 5

Binom mio, binomio Monom mio, 12, 3

EJERCICIO 2.2

2 6

Ningunoo, polinomio Trinomioo, 3, 2

3 Trino mio, ninguno o 7 Mono mio, 8, 0

Respuestas

EJERCICIO 2.3

345

346

RESPU UESTAS

EJERCICIO 2.44

EJERCICIO 2.5

EJERCICIO 2.6

Respuesttas

EJERCICIO O 2.7

EJERCICIO 2.8

347

348

RESPUES STAS

EJERCICIO 3.1

EJERCICIO 3. 2

Respuestas

EJERCICIO 3.3 3

349

350

RESPUE ESTAS

EJERCICIO 3.44

EJERCICIO 4.11 1 5 6 10 14 18 30 34 38

{2, 4, 6, 8} 2 {1, 2, 6, 6 10} {López Mateos, M Díaz Ordaz, O Echevverría} {Neil Arm mstrong} 7 {Mayya} {{2,5}} 11 {285} Condicionnal 15 Identiidad Identidad 19 Condiicional No 31 Sí No 35 Sí No 39 No

EJERCICIO 4.2

3 {Baja Californnia Sur, Q Quintana Roo}} 9 {2,5} 13 C Condicional 17 C Condicional 29 S Sí 33 S Sí 37 N No

Respuesttas

351

EJERCICIO 4.3 4

EJERCICIO 4.4 1 7 9

23,24 4,25

2

5,6,9

3

$36, $54

5

$173, $ $386

6

140 horas

Lucy, 8.8 libras; José 12.2 libras Susan na, 4 h; Juan 6 h; Jorge, 11 h

11

$104

19

1000

EJERCICIO 4.5 4

EJERCICIO 5.1

13

4

14 21

$100 0

12, 24, 6

10 15

8 horas 22 2

35 milllas por hora 1 17

8

18 8

16,000

50 de veiinticinco; 65 de d diez; 80 de cincco

352 3

RESPUE ESTAS

E EJERCICIO 5.2

EJERCICIO 5. 3

Respuesta as

EJERCICIO 5.4 5

EJERCICIO 5.5

353

3 354

RESPUESTA

E EJERCICIO 5.6

EJERCICIO E 6.1

EJERCICIO E 6.2

Respuestas s

EJERCICIO 6.3 6

EJERCICIO 6.4 6

EJERCICIO 6..5

355

356

RESPUE ESTAS

EJERCICIO 6.66 1 3 6 9 11 14 17 19 22 25 27 30

4, 4, racioonal e igual -2, 1, raciional e igual -3/2, 9/16 , racional e iggual 0, 4, compplejo conjugado 0, 16, com mplejo conjugado 3, 5/2, com mplejo conjugaado 7/2, 3, racional y diferennte -5/3, -4, racional r y difeerente 11/15, 2/15, racional y diferente d 2, –1, irraccional, diferennte –6, 6, irraccional y difereente 3, 1, irraciional y diferennte

2 5 7 10 13 15 18 21 23 26 29 31

6, 9, racionall e igual 4/3, 4/9, racioonal e igual -5, 25/4, rac ional e igual 0, 9, complejo conjugado 4/3, 5/9, com mplejo conjugaado -1,13/16, com mplejo conjuggado 5/3, 2/3, raci onal y diferennte 7/6, 1/3, racional y diferennte 1/15, -2/5, racional r y diferrente 4, 1, irracionnal y diferentee 4/3, 2/9, irraccional y difereente -2/5, -1/5, irrracional y differente

EJERCICIO 6.77 1 5 9 13 17 21 25 29

5, 6 5, 10 50 por 50 yardas y 200 millass por hora 4,6 4 por 12 pies p 3 por 24 pies p 6, 8

EJERCICIO 6.88

2 6 10 14 18 22 26 30

8, -7 3/2,2//3 15 por 20 pies 180 millas m por horaa 5 horras, 7.5 horas 28 poor 21 pies 30, 400 50, 600

3 8, 10; -6, -8 7 5, 10;-10,-5 11 10 pies 15 35 millas por hoora 19 10, 15 23 1 pulgada 27 4 31 455 pies cúbicos por p m minuto

Respuesta as

22 4,3/2,1,,-3/2 23 1/7,3 27 5/4, -3/8 8, racional y diferente d 30 1/2, -5/16, irracional y diferente

25 29 31

357

1,-5/11 26 2 -4/3,7/9, co omplejo conju ugado 10 días, 15 5 días

EJERCICIO 7.1 7 1 No, más que un segu undo miembro o para alguno primero 2

Sí, ning gún primer (m miembro) tienee más que un segundo miem mbro

3 5 7

Sí, ning gún primer miiembro tiene más m que un seegundo miemb bro {(2, 3), (4, 7), (8, 13),, (16, 21)} 6 {(b, l), (a, a), (s, ( b)}, sí {(.s, c), (h, l), (e, i), (e, f), (r, f)}; hay h dos segun ndos elementoss i y f para el primer p elementto e 9 Sí, ning gún primer eleemento tiene m más que un seg gundo elemen nto 10 Sí, ning gún primer eleemento tiene m más que un seegundo eleme nto 11

No, algu unos primeross elementos tieenen dos o máás segundos ellementos

EJERCICIO 7.2 7 2 (a) La biisectriz del seg gundo y cuarto cuadrantes; (b) la bisectrizz del cuarto cu uadrante; (c) el eje Y; (d) la línea de tres unidades arriiba y paralelaa al eje X 3 (a) La biisectriz del priimer y tercer cuadrantes; c (b)) la bisectriz d del primer cuaadrante; (c) la lín nea paralela al eje Y y de cuaatro unidades a la derecha dee éste; (d) la lín nea pa ralela all eje X y de do os unidades ab bajo 25

x = -2,, y = 6

26

x = 2.5, y = -5 -

EJERCICIO 7.3 7 29 x = y + 1, y = x — 1, todos los núm meros ≥ 3 30 x = –y + 3, y = –x + 3, 3 todos los núúmeros no neggativos

27

x = -4, - y = -4

358

RESPUE ESTAS

EJERCICIO 7.4 1 2 3 5 6 7

Sí, hay exactamente e u y para cadda x una Sí, hay exactamente e u y para cadda x una (1, 2), (3,, 4), (5, 6), (7, 8), 8 (9, 10), (11, 12) Sí, hay exactamente e una u y para cadda x No, hay más de una y para cualquieer valor de x {-3,-1,1 1,3} 9

{(-2,-1)}}

EJERCICIO 8.1 1 Independiente 6 Dependiiente 11 Inconsisstente 25 (1,0) 30 (-2, -55) 35 (1,5/2) EJERCICIO 8..2

2 Independiiente 7 Inconsistennte 21 (4,5) 26 6 (-6,-4) 311 (-4,4) 377 (1/2,1/2)

3 9 22 27 33 38

Dependiente Independientte (2, -1) (4,1) (3/2,7/2) (1,3/2)

5 Dep pendiente 10 Deppendiente 23 (-44,2) 29 (1,7 7) 34 (5/2 2, 1) 39 (1,,-1)

Respues stas

359

EJERCICIO 8.3 8

EJERCICIO 8.4 1 7 10 13 14 15 17 19 21 22

48,24 2 18,6 1 3 36,24 5 100,,150 6 20, 15 40 a $355 000; 60 a $330 000 9 2 millas por hora, h 4 millass por hora 300 milllas por hora, 20 2 millas por hhora 11 200 millas poor hora, 20 milllas por hora 27 millaas por autobúss, 800 millas ppor avión 1 1 En cabaallo, 22 h; po r carro, 2 h; por avión, 1 hora En la mañana m 150 miillas; en la tarrde, 130 millaas 300 por 200 2 pies 18 30 por 80 pie s, 60 por 80 pies p 20 000 yardas y cuadraddas, 10 000 yaardas cuadradaas 15 estánndar, 20 autom móviles deporttivos y 10 cam mionetas 10 pacas, $17 500 23 A $38.50, B $225.25

25 8 horas,, 6 horas 26 La niña más grande, 4 horas; la niiña pequeña, 5 horas 27 8 libras de grado de $3.50, $ 12 librras de grado de d $3 1

29 Sue, 42 horas; Bill, 30 24, 12, 16

EJERCICIO 8.. 5

3

35

horas; Tom, 6 hora s 31 5, 600, 4

3 360

RESPUESTAS

EJERCICIO 8.66

EJERCICIO 8.77

EJERCICIO 9.22

E EJERCICIO 9.3

Respuesttas

EJERCICIO 9.4 9

EJERCICIO 9.5 9

361

3 362

RESPUES STAS

E EJERCICIO 10.11

E EJERCICIO 10.22 1 (a) p = kq

(b) a = k/b

2 6

3

9 2.54 centím metros

30 10

1 1 640.4 yard 13 das

14

1 453.6 gramo 17 os

18

21 2 68.324 libraas

22

(cc) x = kyz

(d) u = kkw2 /v

5

6

2

120

15.24 centímetros 1 60 09.3 metros 28.35 5 gramos

7

15 5

109.4 yardaas

19 9

1 360.8 grramos

0.00 02204 libras

23 3

1.7357 lib bras 14.19 litro os

2 3.7852 litro 25 os

26

1.057 cuartos

27 7

2 25°C 29

30

-50//9°C

31 1

-40°C

3 77°F 33

34

104°°F

35 5

212°F

3 90°, 86° 37

38

70°, 68° 6

39 9

40°, 41°

4 5 pulgadas cuadradas 41

42

7 graamos

43 3

$121.50

57 7

670

45

2 litros

46 La segundaa parte requierre 54 más que la l primera 47 7

205 pies cú úbicos

49

3.5 pu ulgadas

50 La carga dee la primera ess dos terceras que 5 q la segundaa 5 1.8 libras 51 5 El segundo chorro tiene 4 veces más la potencia que el primero 53 5 10 pulgadas 54 5 300 rpm 58

E EJERCICIO 11.11

55

1 112

11 1 30.48 centím metros

15 lib bras 59

1/200 segundos s

Respuesstas

363

EJERCICIO 11.2

EJERCICIO 11.3

EJERCICIO 11.4 1 Progressión aritméticaa, 17, 21 3 Progressión aritméticaa, 22, 27 6 Progressión geométricca, 48, 96

2 5 7

Progresióón aritmética, —10, —14 Progresióón geométrica,, 162, 486 Progresióón geométricaa, 16, —32

364

RESPUES STAS

9 Progresión n geométrica, 4, 4 –2 11 1 Progresión geométrica, 1/5, 1 1/25 14 4 Progresión n armónica, 1/23, 1/28

E JERCICIO 11.5

E EJERCICIO 12.1

10 13 15

Progresión geeométrica, 3, –1 – Progresión arrmónica, 1/13 3, 1/16 Progresión arrmónica, 6/11, 6/13

Respuestass

EJERCICIO 1 3.1

EJERCICIO 133.2

365

366

RESPU UESTAS

EJERCICIO 133.3

EJERCICIO 133.4

EJERCICIO 133.5

Respuesta as

EJERCICIO 13.6 1

EJERCICIO 14.1

EJERCICIO 14.2

367

368

RESPUE ESTAS

EJERCICIO 14.3

E EJERCICIO 14.44 21 (0, 3), (1, -2), - (3, 2) 23 (-3, 2), (33,1), (2,-1) 26 (-2, 0), (33, 2), (3,-3), (00,-4)

22 25 27

(1, 3), (4, 1)), (2, -2) (0, 3), (2, 1), (0,-2), (-3, 0) 0 (-1, 0), (0, -11), (2, 0), (3, 1)), (0, 2)

EJERCICIO 14..5 1 2 3 5 6 7 9 11 14 17 19 21 22 23 25 26 27

El máxim mo de 38 ocurrre en (4.7); ell mínimo de 9 en (1, 3) El máxim mo de 18 ocurrre en (2, 4); el e mínimo de 5 en (1, 1) El máxim mo de 27 ocurrre en (5, 2); el e mínimo de 5 en (3, 4) El máxim mo de 27 ocur re en (1, 5); eel mínimo de 8 en (2, 1) El máxim mo de 101 ocuurre en (11. 2) ; el mínimo de d 41 en (4, 3) El máxim mo de 80 ocur re en (5, 7); eel mínimo de 21 en (2, 2) 45 1 11 3 en(l,2),,18en(7,5) 10 -14en(-3, 00) 7 en( 7 , 7 ) 14 en(0, 3),43en(5,4) 3 13 -l en(l, 0), 220en(3, 3) 74 4 -5 en(0,00),41en(8,2) 15 5 en(5 , 1), 4 6en(5, 3) 10 de tipoo A, 35 de tipoo B, $240 18 10 de tipo A, A 35 de tipo B, B $260 8 de tipo A, 36 de tipoo B, $224 25 acres de d trigo, 70 accres de maíz, $2 830 75 acres d de trigo, 415 acres de maíz,, $2 919.29 2 7 25 acres de d trigo, 70 accres de maíz, $3 120 26 acres de d lechuga, 4 de pimienta, 17 de tomate, $17 550 26 acres de d lechuga, 4 de pimienta, 17 de tomate, $18 825 22 acres de d lechuga, 8 de pimienta, 17 de tomate, $17 150

Respuesta as

369

EJERCICIO O 14.6

25 El mínnimo de 10 ocuurre en (3, –11); el máximo de 53 en (8, 5) 5 26 El mínnimo de 23 ocuurre en (1, 2)); el máximo de d 141 en (9, 4) 27 Cinco del d tipo A, 16 del d tipo B 29 Nueve ddel tipo A, 8 deel tipo B

Índice analítico

Abscisa, 176, 181 Adición, 13 de aproximaciones, 291 axioma de asociatividad de la, 13 axioma de cerradura de la, 13 axiomas de conmutatividad de la, 13 axiomas de distributividad de, 14 cero en la, 13-14 de fracciones, 26 de monomios, 33, 291-292 de polinomios, 33, 39-49 de radicales, 135 teorema de cancelación para la, 15 Agrupación, símbolos de, 36 Aproximaciones, 290 Axioma de asociatividad: de la adición, 20 de la multiplicación, 13 Axioma de cerradura: de la adición, 13 de la multiplicación, 13 Axioma de conmutatividad: de la adición, 13 de la multiplicación, 13 Axioma de distributividad, 14 Axioma de tricotomía, 16 Axiomas: de la adición, 13 de la multiplicación, 13 para el sistema de los números reales, 13

Base de logaritmos, 293 Binomio(s):

definición de un, 32 factores de un, 57 producto de dos, 43 valores máximo y mínimo de un, 331 Calculadoras, 292, 311 Cálculo logarítmico, 306 Cambio de orden de un radical, 132 Campo, 13, 16 Característica, 300 cálculo de, 301 negativa, 301 Cero: como exponente, 23 definición de, 9 de una función, 177 en la adición, 15 en la multiplicación, 19 en la división, 20 Cifras significativas, 291 Cociente: de dos fracciones, 34, 71 de dos polinomios, 64 de dos radicales, 134-135 logaritmo del, 296 potencia del, 117 Coeficiente, 32 Compleción, 17 Conjunto: complemento de un, 51 definición de, 1, 263 método descriptivo, 2 método listado, 2 notación para, 2 nulo, 4 solución, 90, 239 sustitución, 8

ÍNDICE ANALÍTICO

universal, 4-5 vacío, 4 Conjunto solución: de una desigualdad, 319 de una ecuación, 90 de un sistema de ecuaciones cuadráticas, 239 Conjunto solución simultáneo, 193 Conjuntos, 1 ajenos, 4 diagramas de Venn para, 5 equivalencia de, 3 igualdad de, 3 intersección de, 3 unión de, 5 Constante, 8. 170 de proporcionalidad, 257 de variación, 257 Conversión de expresiones exponenciales, 121-122 Coordenadas, 176 Correspondencia uno a uno, 16 Cuadrado: de un binomio, 44 de un polinomio, 48 de un trinomio, 46 Cuadrantes, 175 Cuarta proporcional, 255 Cubo: de una diferencia, 46 de una suma, 46 Decimal, repetición, 11 Denominador: definición de, 13 mínimo común, 75 Desarrollo: de orden, 3, 218 de un determinante de orden, 2, 214 en términos menores, 218 Desigualdades, 319 cuadráticas, 322 equivalentes, 319 fraccionarias, 321 lineales, 319

371

método algebraico para resolver, 320 método gráfico para resolver 323 sistema de, 328 Desigualdades lineales, 319, 326 de dos variables, 328 Determinante (s): de orden, 2-3, 214, 218 uso de, en resolución de ecuaciones, 216 Diagramas de Venn, 6 Diferencia: común, 263 de dos cuadrados, 57 de dos cubos, 58 Discriminante, 161 Distancia dirigida, 175 División, 49 de fracciones, 27, 72 ley de los exponentes para la, 22 ley de los signos para la, 21 de polinomios, 62 de potencias, 116 de radicales, 134 entre un monomio, 61 Dominio, 170 Ecuaciones: condicionales, 91 conjunto solución de, 90 definición de, 90 de forma cuadrática, 152 dependientes, 196 equivalentes, 92, 99, 193 exponenciales, 313 fraccionarias, 99 idénticas, 91 inconsistentes, 196 independientes, 196 lineales, 96 de dos variables, 196 sistema de, 196 solución gráfica, 192 de tres variables, 196 logarítmicas, 313

372

índice analítico

radicales, 155 raíces de, 90 resolución de problemas con, 102, 162 sistemas de, 192 sistemas de dos ecuaciones lineales, 193 sistemas de tres ecuaciones lineales, 202 Ecuaciones cuadráticas: definición de, 140 discriminante de, 161 de dos variables, 237 forma general de las, 236 gráfica de, 230 fórmula para, 150 raíces: naturaleza de, 161 producto de, 161 suma de, 161 simultáneas, 237 sistemas de, 236-237 solución algebraica, 239 solución gráfica de, 237 solución de: completando el cuadrado, 143 por factorización, 141 por la fórmula cuadrática, 149 Ecuaciones lineales: problemas que conducen a, 102, 206 sistemas de, 192 de dos variables, 192 de tres variables, 217-218 de una variable, 96 Ecuaciones simultáneas, 192 Eje X, 175 Eje Y, 175 Ejes coordenados, 175 Eliminación: por adición o sustracción, 198, 246 por sustitución, 200, 239 Elipse, 229 Enteros: conjunto de, 9

negativos, 9 positivos, 9 Equivalencia de conjuntos, 2 Exponente (s): cero, 23 en la división, 22 entero positivo, 22, 116 fraccionario, 126 leyes de los, 22, 117 negativo, 121 racional, 127 Expresión: definición de, 31 irreductible, 50 Expresiones algebraicas, 31 Extremos, 253 teorema de, 332 Factor, 27 primo, 50 de un trinomio cuadrático, 52 Factores: por agrupación, 50 de un binomio, 57 comunes, 49 de la diferencia de dos cuadrados, 57 de la diferencia de dos cubos, 46 de la suma de dos cubos, 52 de trinomios cuadráticos, 52 Factorización, 46 Fórmula: del binomio, 287 cuadrática, 150 Fórmula del binomio, 286 término r-ésimo de la, 288 Fracciones, 70 adición de, 26 cociente de, 75 condición de igualdad de dos, 70 definición de, 69 denominadores de, 69 división de, 27, 72 ley de cancelación, 71 miembros de, 69

ÍNDICE ANALÍTICO

multiplicación de, 27, 72 numeradores de, 69 operaciones fundamentales de, 25 principio fundamental de, 70 producto de, 27 reducción de, 72 signos de, 70 suma de, 77 sustracción de, 26 Fracciones complejas, 81-83 Función: cero de una, 177 definición de, 171 dominio de la, 170 especial, 182 gráfica de una, 176 inversa de una, 186-187 lineal, 180 objetiva, 332 paréntesis, 183 recorrido de una, 170, 186-188 valor de una, 172 Grado de un polinomio, 32, 62 Gráficas: de cónicas, 230 de cúbicas, 184 de ecuaciones cuadráticas de dos variables, 236 de ecuaciones de cuarto grado, 184 de funciones, 176 Hipérbola, 229 definición del símbolo, 143144 Identidad, definición de, 13, 91 Igualdad: de dos conjuntos, 3 de fracciones, 70 Incógnita, 91 índice de un radical, 127 Interpolación, 303

373

Intersección de conjuntos, 3 Intersecciones, 181 Inverso: de una función, 186 de un número, 13 Ley de signos: para la división, 21 para la multiplicación, 20 Leyes: de exponentes, 22 de radicales, 130 Logaritmo: base del, 293 característica de un, 300 común, 299 definición de, 293 de base, 12, 299 de Briggs, 299 de cualquier base, 293 de un cociente, 293 de un producto, 295 de una calculadora, 301 de una potencia, 297 mantisa del, 300 propiedades del, 295 Mantisa, definición de, 300 Media: aritmética, 278 geométrica, 279 Menor de un elementos, 218 Método descriptivo, 2 Mínimo común denominador, 74 Mínimo común múltiplo, 75 Monomio (s): adición de, 33 definición de, 32 Multiplicación: axioma de asociatividad de la, 13 axioma de cerradura de la, 13 axioma de conmutatividad de la, 14 axioma de distributividad de la, 14

374

índice analítico

ceros en la, 19 de fracciones, 72 ley de exponentes para la, 21 ley de signos para la, 20 de polinomios, 39 de radicales, 132 teorema de cancelación para la, 48, 71 Múltiplo, 14 mínimo común, 75 Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, 160 Negativo de un número, 9 Notación: científica, 290 de fracciones, 285 de funciones, 172 factorial, 285 Numerador, 69 Número (s): imaginario, 143 irracional, 11 natural, 9 negativo, 9 para ordenado de, 170 positivo, 9 primo, 50 racional, 10 real, 9, 11, 19 recíproco de un, 13 redondeo de un, 258 valor absoluto de un, 17 Oración abierta: conjunto verdadero para la, 89 definición de, 89 Ordenada, 176 Ordenada al origen Y, 181 Origen, 175 Operaciones con fracciones, 25 Par ordenado de números, 170 Parábola, 230 Paréntesis, 36 Plano cartesiano, 174 Polinomio (s): adición de, 33

cuadrado de un, 48 definición de, 32 dividido entre un monomio, 61 grado de un, 32, 62 irreducible, 50 multiplicación de, 40 suma de, 40 Posición de referencia del punto decimal, 299 Potencia: de un cociente, 118 de un número, 21 de una potencia, 22, 118 de un producto, 22, 118 Potencias y raíces, tablas de, 342 Principio fundamental de las fracciones, 70 Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones, 206 Problemas con enunciados, 206 Producto, 21 de binomios especiales, 42 de dos binomios, 42 de dos monomios, 39 de dos polinomios, 40 de dos potencias, 21 de dos radicales, 134 de dos trinomios, 46 de fracciones, 27 de raíces de una ecuación cuadrática, 160 de la suma y diferencia de dos números, 45 logaritmo del, 295 potencia del, 22 Programación lineal, 331 Progresiones aritméticas, 263 diferencia común de, 263 suma de, 265 último término de, 264-265 Progresiones armónicas, 280 Progresiones geométricas, 269 infinitas, 274 razón común de las, 269 suma de, 270 último término de las, 270 Propiedades: de las proporciones, 254-255 de los logaritmos, 295

ÍNDICE ANALÍTICO

Proporción, 254 Proporcional: cuarta, 255 media, 254-255 tercera, 254 Punto decimal, posición de referencia del, 299 Racionalización: de denominadores, 132-133 de ecuaciones, 155 Radicales: adición de, 135 división de, 133 índice de, 126 leyes de los, 130 multiplicación de, 135 orden de los, 127 cambio, 132 Radicando, 127 Raíces: imaginarias, 161 naturaleza de las, 160 producto de las, 160 suma de las, 160 Raíz cuadrada, 127 Raíz k-ésima, de un número, 126 principal, 126 Razón, 252 común, 269 Recorrido, 170 Redondeo de un número, 291 Regla de Cramer, 216, 221 Relación, definición de, 170 Relaciones de orden, axiomas para, 16-17 tricotomía, 16 Remoción de símbolos de agrupación, 36 Representación gráfica de un punto, 176 Resolución de problemas con ecuaciones, 102-103 Restricciones, 332 Secciones cónicas, 229, 231 Series, 263

375

Símbolos de agrupación, 36 remoción de, 36 Simplificación de expresiones exponenciales, 123, 127 Sistema coordenado cartesiano, 174 Sistema coordenado rectangular, 174 Sistema de números: racionales, 10-11 reales, 11-12 Sistemas: de desigualdades lineales, 328 de ecuaciones lineales, 196, 201, 214 Solución gráfica: de desigualdades, 323 de dos ecuaciones cuadráticas de dos variables, 237 de ecuaciones lineales, 192 Subconjunto, 3 propio, 3 Sucesión, 263 Suma: de dos cubos, 46 de fracciones, 77 de polinomios, 40 de radicales, 135 Sustracción, 15, 26, 77 Sustraendo, 15 Tablas: de logaritmos comunes, 340 de potencias y raíces, 342 logarítmicas, uso de, 301 Teorema del binomio, 286 Teorema de cancelación: de la adición, 15 de la multiplicación, 49, 71 Teorema de extremos, 332 Tercera proporcional, 254 Término, 32 Término general de la fórmula del binomio, 287 Término r-ésimo de la fórmula del binomio, 287-288 Trinomio cuadrático, 52 factores de un, 52

376

Índice analítico

Trinomios: definición de, 32 factores de, 52 producto de dos, 46 que son cuadrados perfectos, 55 reducción a la diferencia de dos cuadrados, 59 Unión de conjuntos, 5 Valor absoluto, 17 Valor máximo de un binomio, 331

aritmético, 278 geométrico, 279 medios, 253 Valor mínimo de un binomio, 331 Valor numérico, 16-17 Variable: definición de, 8, 70 dependiente, 172 independiente, 172 Variación, 257 conjunta, 257 constante de, 257 proporcional directa, 257 proporcional inversa, 257

Definiciones, Axiomas y Teorremas

(4.1) Si f(x)), g(x), y h(x) x) son expressiones, enton nces f(x) = g((x) y f(x) + h(x) = g(x)) + h(x) son n ecuacioness equivalentees (4.2) si k ess una constaante diferentee de cero, en ntonces f(x) = g(x) y k • f((x) = k • g(x) son ecuaciones equivaleentes (4.3)

Si k(xx) es una exp presión difereente de cero, entonces f(x) x) = g(x) y k(x) • f(x) = k(x) • g(x) son eccuaciones eq quivalentes

(6.4) Las raíces r de la eccuación de seegundo grado o son (6.5) La su uma de las raaíces es r + s = – b/a (6.6) (6.7)

El pro oducto de lass raíces es

rrs – c/a

2

ax + bx + c = a((x – r)(x – s)

(8.1) Las ecuaciones e lineales son in ndependientees si y sólo ssi A/a ≠ B/b (8.2) Las ecuaciones lin neales son inco onsistentes si y sólo si A/a = B/b ≠ C/c (8.3) Las ecuaciones e lin neales son deependientes si s y sólo si A//a – B/b = C//c (8.4) R e g l a d e C r a m e r :

Si f(x), g(x) son funcionnes de valor rreal, y si f(x)) > g(x), entoo nces (14.1) f(x) + h(x) > g(xx) + h(x) (14.2) f(x)hh(x) > g(x)h(xx) for {x | h(xx) > 0} (14.3) f(x)hh(x) < g(x)h(xx) for {x | h(xx) < 0}

Conversióón Métrica

1 metro = 100 centím metros = 39.37 pulgadass I kilómeetro = 1 000 metros = 0..621 milla 1 kilograamo = 2.2055 libras 1 litro = 1.057 cuarrtos 1 pulgadda = 2.54 cenntímetros 1 milla = 1.609 kilóómetros 1 libra = 1 6 onzas = 453.6 gram mos 1 galón - 3.785 litroos