Algebra Completo Anual Aduni 2014

ANUAL

s

Preguntas Propuesta

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Álgebra A) 2/3 B) 1 C) 1/2 D) 1/6 E) 2

Conjuntos numéricos y Operaciones básicas

1. Dadas las siguientes proposiciones

– 2 ∈ Z 0 ∈ N 1/2 ∉ Q  0, 3 ∈ Q Z ⊂ R 3 4 ∈ I ¿cuántas son verdaderas?

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2. Dados los números

6. ¿Cuánto le falta al número

  3 1 S =  ÷  − 0, 3 5 2



para que sea igual a la unidad? A) 1/10 B) 1/15 C) 2/5 D) 2/15 E) 3/10

7. En Q se define el operador * por

x=9 – (6 – 5) – (– 2 – 1) y=5 – (– 7)+3 – (– 2) halle el valor de y – x. A) 11 B) 17 C) 6 D) 1 E) – 6



8. Si Alejandra tuviera 8 años menos tendría 35, y si Ulises tuviera 10 años más tendría 25. ¿Cuántos años es más joven Ulises que Alejandra?

4. Calcule el número que falta.

• 12+ ×4=120 •  ÷ 2 – 3=12 Dé como respuesta la suma de los números encontrados. A) 36 B) 72 C) 62 D) 70 E) 57

...

5. Dados los números

A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

a=20 ÷ 5+4 –17 b = 8 + 4 · ( −2 ) + 4 ÷ 2 − 2 halle el valor de a+b. A) – 4 B) – 2 C) 2 D) 5 E) – 5

1 2 1 3 1 1 + + ; B= × + 2 3 6 2 6 2 calcule el producto AB. A=

 1  1 calcule el valor de  2 *  +  3 *  .  3  2 A) 10 B) 8 C) 5 D) 3 E) 2/3

3. Sean los números

a * b=ab+a+b.

Leyes de exponentes I

9. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? −2

 1 +  3

−3

 1 +  4

−4



 1 I.   2



3 + 53  + 53 + ... + 53 = 513 II. 5  

= 287

510 sumandos



(

III. ( x 2 )

)

3 2

32

= x2

A) solo II B) ninguna C) todas D) I y II E) solo I 2

para todo x ∈ N – {1}

Álgebra 10. Si se cumple que

A) 3 B) 2 C) 3/2 D) 1/3 E) 2/3

2 · 2 · 2 ·...· 2 = 213− x 

( 2 x +1) factores

calcule el valor de x2.

16. Si se cumple que

A) 3 B) 2 C) 8 D) 16 E) 4





x

= 273 , ¿cuánto vale x?

10 factores   5 × 5 × ... × 5 × 157 4 2

(3 )

Leyes de exponentes II

15

×5

17. Señale el valor de verdad de las siguientes afir-

A) 25 B) 3 C) 15 D) 5 – 1 E) 25/3

12. Simplifique la expresión x

3 x +2 − 9 2

2 x +1

A) – 2/3 B) – 1/3 C) – 1/2 D) 2/3 E) 1/3

11. Calcule el valor reducido de M. M=

39

maciones. 1

 1 I.   3

−9 2

= 27

−1 2m ( 0, 0001) II.

3 x −2 A) 81 B) 27 C) 80 D) 26 E) 72

−m

= 1000

3 33 · 5 + 3 4 3 · 5 = 7 3 5 III.



e indique la secuencia correcta.

13. Calcule el valor de M. M=

4

A) VVV B) FVV C) VFV D) VFF E) FVF

4

7 ( 30 ) + 3 ( 30 ) 2 25 · 34 · 53 · (10 )

A) 1 B) 2 C) 4 D) 1/2 E) 1/4

−2 −1    1  1 −  −1  1 − 2   1   1 2 +   +  S =   3  2  4 

(10 )0

A) 300 B) 265 C) 641 D) 275 E) 263

15. Si se cumple que

2   2 3  y    x ( xy2 ) · y −1  · 2   x 



x

x

m x m17+5 x = m23

con m > 0, determine el valor de x2+5x.

14. Calcule el valor de S.



18. En la ecuación exponencial

(m ≠ 1) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 2

19. Si 3 x equivale a 5, calcule el equivalente de

−1

= x m · y n+1

calcule el valor de m · n – 1. 3

 x 1    25 x − 6 

x2

− 1.

A) 1 B) 2 C) 5 D) 6 E) 3

Álgebra 20. Si se cumple que  1 1  2 

Productos notables I

4x

   4

=

25. Si se cumple que

2 , 2

x2+x+1=0 reduzca la expresión [5(x2+x)]3+[(x+4)(x – 3)]2

¿cuánto vale x? A) 1/2 B) 2/3 C) 1/4 D) 1/3 E) 1/8

A) 44 D) 121

x · 3 x2 · x3 4

x· x· x

x2+8x+16=0; y2+4x+4=0 indique el valor numérico de xy.

A) 16

; si x > 0

–1

A) x D) x3

D) − B) x

C) x E) 1

2

que la igualdad

( 0,1)− m · ( 0, 01)−2 m 0, 001 = 10 ? 11 12

D)

12 11

B) −

11 15

C)

11 8

E) −

11 12

UNMSM 2009 - I

23. Si x = 3 2 · 3 2 · 3 2... , calcule el valor aproximado x . de 18



...

A) 0, 2  D) 0, 3

B) 0,3

C) 0,2 E) 0,9

24. Calcule el valor aproximado de 2 + 42 + 42 + 42 + ... A) 1 D) 6

B) 4

B)

1 16

1 16

C) – 16 E) 8

27. Si 2x – 2 – x=3, determine el valor de (42x+1)/4x.

22. ¿Qué valor debe tomar m para que se verifi-

A)

C) 169 E) 64

26. Si se cumple que

21. Simplifique la expresión 3

B) – 125

A) 7 D) 8

B) 11

C) 12 E) 16

28. Simplifique la siguiente expresión. ( a + 2 b )2 − ( 2 a + b )2 ;b≠ a ( b + a )( b − a ) A) 1 D) –1

B) 2

C) 3 E) – 2

29. Simplifique la expresión

1 2 3 + − 5+ 2 3+ 2 5+ 3 B) 2

A) 3 D) 1

C) 5 E) 0

30. Reduzca la expresión ( a + b )4 − ( a − b )4 ( a − b)2 + 2ab

C) 2 E) 3

A) – ab D) 8ab

B) ab

4

C) 2ab E) 4ab

Álgebra 31. Si se cumple que 2

x indique el valor numérico de  + 5  . 5  A) 25 D) 10 000

B) 625

C) 100 E) 0

a – b=6 a2 – b2=84 determine el valor de a+b+ab. B) 14

C) 54 E) 64

Productos notables II

33. Si m > 0, reduzca

m2 + m−2 + 4 ( m + m−1 ) + 6 ÷ ( m + m−1 + 2 )

A) 2 D) 1/2

34. Si

B) 1

C) 4 E) 1/4

a + b + c a2 + b2 + c2 = =4 2 3

B) 12

{(1+

C) 26 E) 52

}

2 ) − 5 2 ÷ ( 2 + 1) ( 2 − 1)

A) 9 D) 2

B) 5

C) 7 E) 1

Claves

5

C) 30 E) 27

4 = 2, halle el valor de x3. x B) – 1

C) – 27 E) – 2

38. Determine el valor numérico de J para n=17. J = 3 ( n2 + 1) ( n4 − n2 + 1) − 1 A) 17 D) 225

B) 625

C) 169 E) 289

39. Si a = 1 − 2, b = 2 + 4 4 determine el valor de

y c=– 3,

a2 c2 b2 + + . bc ab ac

B) 0

C) 7 E) 6

40. Si n y m son números reales, determine el va-

35. Reduzca la siguiente expresión 3

B) 33

A) – 3 D) – 8

A) 1 D) 3

halle el valor de ab+ac+bc. A) 24 D) 13

A) 32 D) 24

37. Si x +

32. Si se cumple que

A) 40 D) 12

1 3 determine el valor de a3 – b3.

36. Si a − b = 3 ∧ ab = ,

x − 10 x + 25 = 0

lor de n+m si se sabe que n2 – 4n+4m2=– 4m – 5 A) 1 B) – 1 C) 1/2 D) 5/2 E) 3/2

Álgebra 6.

Expresiones matemáticas

1.

x

f(x)=3

determine el valor reducido de la expresión

A) x –1 D) 2x+1

M=f(10) f (5) f (–11) B) 9

D) 3

2.

Si P( x ) =

C) 81 E) 243

7.

K=P(1)+P(2)+P(3)+... P(8)

3.

C)

8.

Se define la expresión P(n)=an+bn; a ≠ b reduzca la expresión

B) a8

D) b8

4.

C) a8+b8 E) 0

Sea E una expresión matemática de modo que E(x; y)=x+y – E(x; y)+1. Calcule el valor de E(1; 2)+E(3; 4). A) 9/2

B) 6

D) 9

5.

...

C) 8 E) 10

Definimos la expresión A como  x 2 ; si 0 ≤ x ≤ 3 A( x ) =  2; si 3 < x < 5 Determine el valor de A(A(2))+A(A(1))+A(3). A) 8 D) 14

B) 10

C) 12 E) 9

C) 16 E) 11

Se define la siguiente expresión matemática A(x+1)=A(x)+x+2 tal que A(0)=3 determine el valor de A(10). A) 68 D) 18

(a – b)P(1)P(2)P(4)+b8 A) a8 – b8

B) 7

Polinomios I

2 −1

E) – 2

C) x+2 E) x –2

Sea P(x – 2)=5(x – 3)4+x

A) 9 D) 15

indique el valor reducido de

B) 2

B) x+1

determine P(2)+P(0).

x +1− x

A) 2 D) 2 2

P(x)=(x – 2)2+(x+1)2+R(x)

tal que P(2)=13 ∧ P(–1)=10 indique R(x)

Dada la expresión exponencial

A) 27

Sea R(x)=ax+b y

9.

B) 70

Dado el polinomio

C) 78 E) 66

2

P(x)=((n+1)2 –16)x10 – n +(n+3)xn – 2+n determine el valor de P(1)+P(2) si n es impar. A) 9 D) 2

B) 0

C) 24 E) 10

10. Sea P(x) un polinomio cuadrático de coeficiente principal 1 tal que P(0)=4 ∧ P(2)=14, indique P(1) A) 8 D) – 8

B) 4

C) 16 E) 0

11. Dada la expresión f(x+1)=3x+5 tal que f(g(x))=3x –1, indique g(10). A) 1 D) 0

B) 9

6

C) – 9 E) 20

Álgebra 16. Si f(x –1)=x2+2x y

12. Dada la expresión matemática

f(a) – f(b)=b – a

P(x+1)=x(x+2)

¿Cuál es el valor de a+b+5?

determine P(x).

A) 0

A) (x –1)(x – 2)

B) 5

D) 1

B) x2

E) – 2 UNMSM 2004 - II

2

C) x –1 D) x2 – 22

Polinomios II

E) x(x –1)

17. Sea P un polinomio constante, de modo que

13. Se sabe que

P ( 11) + P( 2)

=1 )+4 P (

A(x)=2x+5 y A(B(x+1))=x+4 determine B(x). A)

x −1 2

D)

x−2 3

C) –1

B)

x−2 2

C)

x +1 2

E)

x −1 3

14. Dada la expresión matemática L(x+1)=(x+2)2+2010

determine el equivalente de L( x ) − L( x − 2) 4 A) x –1

B)

x 2

C) 4x

D) x

E) 1

15. Dada la expresión P de modo que

P(x)=(2x+1)(22x+1)(23x+1)...(210x+1)

determine el equivalente de P( 2 x ) P( x ) 210 x − 1 210 x 1 C) 2x + 1 2x 1

A)

211 x − 1 2x − 1

D)

211 x + 1 211 x 1 E) 2x + 1 2x 1

B)

7

E) – 7

Álgebra 21. Si f(1)=0 tal que f(x)=x4+(n – 4)x3 – 5x2+n;

División algebraica I

determine el término independiente de dicho

25. Si la división

polinomio.

( x − 2)10 + x7 + 12 A) – 4

B) – 5

x2 + 1

C) 5

D) 6

E) 4

genera un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3, entonces, determine la suma de

22. Con respecto al polinomio

coeficientes del resto.

P(x)=(x –1)6 – x5+x2+2

Indique verdadero (V) o falso (F) según co-

A) 6

rresponda.

D) 9

I. Es de grado 6. II. La suma de coeficientes es 2. III. Su término independiente es 2. A) VVF

B) FFV

C) FVV

D) VVV

E) FVF

23. Dado el polinomio P(x –1)=2x2+(x – 2)6+x – 5, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

B) 7

E) 10

26. Determine el resto de la siguiente división. ( x − 1)8 + x 4 + 1 x( x − 1) A) 2x+1

2

6

III. P(n)=2(n+1) +(n –1) +n – 4. A) FFF

B) FFV

D) VVV

C) VFV E) FVV

24. Dada la secuencia de polinomios P1(x)=1 P2(x)=2x+1

E) x+1

27. Si al efectuar la división 6 x 4 − 7 x 3 − 4 x 2 + 10 x − 3 3 x2 + x − 2 de obtiene como cociente y resto a q(x) y R(x) respectivamente, halle q(x)+R(x). A) 2x2 B) x2+6x C) 2x2+2 D) 2x2+6x+2 E) 3x+2

que genera la siguiente división.

P4(x)=4x3+3x2+2x+1

15 x 5 + 1 + 2 x + x 2 + 2 x 4

 Calcule la diferencia entre, la suma de coefi-

5 x3 − x2 + 2x

cientes del polinomio P10(x) y el término inde-

A) x2+5x+1

pendiente de polinomio P12(x).

B) 2x2+5x C) x2 – x

A) 66 D) 56

B) 21

C) 2

28. Determine la suma del cociente con el resto

P3(x)=3x2+2x+1

...

B) 2x

D) 1

I. Su término independiente es – 5. II. La suma de coeficientes es 5.

C) 8

C) 64

D) x2+5x

E) 54

E) x2+3x 8

Álgebra 29. Si la división

División algebraica II

x n + ( n − 3) x 3 + x − 2 x2 − 1

33. Determine el coeficiente del término lineal

genera un cociente de grado 3, determine dicho cociente.

del cociente que genera la siguiente división. 14 x 5 + 3 + x − 2 x 4 + 7 x 3 − 8 x 2 7x − 1

A) x3+x+3 A) – 7

B) x3+3x

B) 7

D) 1

C) x3+3x2+1 D) x3+2x

C) 2 E) –1

34. Determine la suma del resto con el término

E) x3+3

independiente del cociente de la siguiente di-

30. Determine el valor de 2b+a, si se sabe que la siguiente división es exacta.

visión. x 9 − x7 − 2 x 6 − 3 x 5 − 4 x 4 − ... − 8 x−2

a + bx + 2 x 3 + 3 x 4 x2 + x − 2

A) 21

B) 20

D) 18 A) 6

B) 4

C) 2

D) 3

31. Al

D(x)=2x12 – 5x 9+x6+3x3+5

6

3

en-

tre x – 3x +2 se obtiene como cociente a n

5

3

q(x)=ax +bx +cx +d; entonces, ¿cuál es el valor de n+a+b – c – d? A) 10

B) 12

C) 8

D) 5

E) 7

32. Calcule el valor de a para que el polinomio 6x4+11x3+ax2 – 7x – 3a sea divisible por 2

3x +4x+5. A) 1 B) 2 C) 3

3 x 4 + ax 3 + 12 x 2 + bx + 2 3x − 1 se obtiene un cociente tal que sus coeficientes son números impares consecutivos. Halle el resto. A) 3

B) 6

D) 12

C) 9 E) 1

36. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

( x + 3)7 + ( x + 1)5 + x es – 2. x+2 x10 + 2 x 8 − x + 2 es 4. II. El resto de x −1 3 x10 − x 9 + 2 III. El resto de 3x − 1 I. El resto de

D) 4

A) FVV

E) 5

D) VFF

9

E) 17

35. Al efectuar la división

E) 0 dividir

C) 19

B) VFV

C) VVF E) VVV

Álgebra 37. Halle el residuo de la siguiente división

39. Si el resto de

x 4 − 81 x2 + 9

P( x ) P( x ) es 2, es 1 y el resto de x x −1

determine el resto de la división

A) x2+9 B) 0

P( x ) x2 − x

.

A) x –1

C) x2 – 9

B) x+1

D) x2 – 3

C) 2x

E) x2+3

D) 2x+1

38. Determine el resto de la siguiente división.

( x 2 − 3)5 + x 4 + x 3 + x − 10 x2 − 4

E) 3x+1

40. ¿Qué condición debe cumplir los números

A) 17

reales b y c para que el polinomio x2+bx+c se

B) – 3

divisible por x –1?

C) 2x+5 D) 5x+7

A) b – c=1

E) 7x+5

D) b – c= –1

B) b+c=1

C) c – b=2 E) b+c= –1

Claves ...

01 - C

06 - D

11 - B

16 - A

21 - E

26 - C

31 - E

36 - E

02 - A

07 - C

12 - C

17 - D

22 - A

27 - A

32 - E

37 - B

03 - B

08 - A

13 - B

18 - C

23 - E

28 - D

33 - E

38 - D

04 - B

09 - C

14 - D

19 - A

24 - E

29 - B

34 - C

39 - B

05 - C

10 - A

15 - E

20 - E

25 - C

30 - B

35 - C

40 - E

10

Álgebra 6.

Factorización I

Determine un factor primo del siguiente polinomio.

1.

P(a; b; x)=(ax – 3b)2 – (bx – 3a)2

Factorice el siguiente polinomio. P(a; b; c)=a2+ab+ac+a+b+c

A) x+a

A) (a+b+c)2 B) (a+b)(a+c)

7.

C) a(a+b+c)

A) – 1

B) 2

D) 4

8. C)

D) 5

factores primos que presenta [P(x)]m+1. A) 3

B) 9

D) 2

C) 6 E) 4

Respecto al polinomio sobre Z 2

2

R(a; b)=3a +a b+2ab+6a+b+3

...

Si f(x) es el factor primo de mayor término

A) 2007 B) 2008 C) 2009 D) 2010

E) 10

factores primos, determine el número de

E) 3

halle el valor de n.

C) 4

Si el polinomio P(n)=n 3+2n 2+n+2 tiene m

C) 1

P(x)=x2+2 nx – 1+n2 y, además, f (1)=2012,

Si f (x; y)=ax+by es un factor primo del polino-

B) 2

B) 0

independiente del polinomio

3

E) 5

A) 1

– 2y2)2 – x2 y2, calcule el

D) 2

mio Q(x; y)=2x3y2 – 2x2y+xy2 – x2y3, evalúe f (a; b).

5.

2

¿Cuántos factores primos tiene el siguiente po-

A) 1

4.

y)=(x

mayor valor de f(1; – 1).

T(a; b)=a3+a2b+ab2+b3

3.

Si f (x; y)=ax+by; a > 0 es un factor primo del

E) (a+1)(a+b)(b+1)

linomio?

C) a – 3 E) a – b

polinomio Q(x;

D) (a+1)(a+b+c)

2.

B) x – a

D) x+b

E) 2011

9.

Halle la suma de los términos independientes de los factores primos del polinomio P. P(x)=a2b2x2+(a3+b3)x+ab A) a2+1 B) a+2b C) a+b D) a2+b2 E) 2a+b

indique lo correcto.

10. Si f (x)=x – 2 es un factor primo del polinomio A) Admite un factor primo cuadrático.

P(x)=ax3 – 2ax2+a2x – 8, determine el menor

B) Admite tres factores primos.

valor de a.

C) Admite solo un factor primo lineal. D) Admite dos factores primos lineales.

A) – 4

E) No admite factores primos.

D) 2

B) – 2

C) – 1 E) 4

11

Álgebra 16. Factorice el polinomio P(x)=x3 – 2x2 – 5x+6

Factorización II

indique la menor suma de coeficienes de un

11. Si (x2+a) es un factor del polinomio

P(x)=x3+x2+9x+9, entonces halle el valor de a.

factor primo. A) – 4

A) 9 D) – 1

B) – 9

C) 1 E) 3

12. Si el polinomio P(x)=x3+βx2 – x+1 tiene una raíz entera, entonces halle el valor de β. A) 1 D) – 1

B) 2

C) – 2 E) – 3

13. Halle el equivalente de la expresión P(x)=x3 – 3x+2

B) – 2

D) 1

C) 0 E) 3

17. Halle un factor primo del siguiente polinomio T(x)=2x3 – 3x2 – 8x – 3

A) 2x+1

B) 2x – 1

D) x – 1

C) x+3 E) 2x+3

18. Si 2 es una de las raíces del polinomio P(x)=2x3 – x2 – 5x+m

Halle el factor primo de mayor suma de coeficientes de P(x).

A) (x+1)(x – 1)(x+2) B) (x 2 – 2x+2)(x+1) C) (x – 1)2(x+2) D) (x 2+2x+2)(x – 1) E) (x2 – 2x – 2)(x+1)

A) x – 2

B) x – 1

D) x+1

C) 2x+1 E) x+2

19. Respecto al polinomio sobre Q R(x)=x3+2x – 1

14. Si 2 es raíz del polinomio

P(x)=x 3+3x2 – 6ax+2a indique el factor primo de mayor suma de coeficientes.

indique lo correcto. A) Admite 3 factores primos. B) Admite un factor primo lineal y otro factor primo cuadrático.

A) x – 2 B) x 2+5x – 2 C) 2x – 1 D) x 2+5x – 1 E) x 2 – 5x – 2

C) Admite dos raíces racionales iguales. D) f (x)=x+1 es un factor primo. E) R(x) es primo sobre Q.

20. Respecto al polinomio sobre Q

15. Halle la suma de los factores primos del poli-

S(x)=x4+2x3+2x2+3x – 2

nomio P(x)=x – x – x+1.

indique lo correcto.

A) 3x – 1 B) 2x+1 C) 3x+1 D) 2x – 1 E) 2x

A) No es factorizable.

3

2

B) Es factorizable por aspa doble especial. C) Admite una raíz igual a 2. D) Admite dos factores primos cuadráticos. E) Un factor primo es de tercer grado. 12

Álgebra Introducción a los números complejos

C) 1+2i D) – 1 – 2i

21. Determine el valor reducido de la expresión i+2i2+3i3+4i4

A) 2 – 2i D) 0

B) 2+2i

22. Dado el complejo –1

–2

–3

C) 4+2i D) – (2 – i) C) 1 E) –i

E) – 2(2+i)

28. Respecto al número complejo z= – 5+12i

23. Si los números complejos z=(a+b)+yi; w=x+(a – b)i son iguales y, además, a2+b2=8, indique el valor de x2+y2. B) 4

P=(1 – i)2+(1 – i)4

B) 4 –2i

–5

B) 0

A) 1 D) 16

27. Reduzca la siguiente expresión

A) 2+i –4

z=1+i +i +i +i +i calcule Re(z)+Im(z). A) –1 D) i

C) 2i E) – 2i

E) 2i

C) 8 E) 8

indique lo incorrecto. A) z= – (5+12i) B) z*=5 –12i C) z = 165 + 16 D) Im(z)=12i E) Re(z)+Im(z)=7

29. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. p: si z=1+i, entonces, z2=2i

∧ z2=b+4i calcule el valor de a+b si se sabe que z1(1– i)=(1+i) z2

...

A) 1 D) 2

B) 0

C) –1 E) 3

26. Determine el valor reducido de la expresión 2

q: si z=1– i, entonces, z3=– 2+2i z r: si z=1+i, entonces, = i z s: si z=1– i, entonces, z4=( z )4 A) VVVV

B) VFVF

D) VFFF

C) VFVV E) VFFV

30. Sea Z=3+2i; W=2 – i indique el valor reducido de la expresión

R=(2+i) – 2(2+i)

F=Z · Z+W · W

A) 1 – 2i B) – 1+2i

D) – 20

A) 18

B) – 18

C) 20 E) 13

13

Álgebra 35. Dada la ecuación

Ecuaciones

b(x+a) – a[b – (x – b+a)+a]=a2; b ≠ 0.

31. Si 2 es solución de la ecuación polinomial de variable x. 2x3 – ax2+ax – 2=0, deermine el valor de a. A) 7

B) 6

C) 5

D) 4

Si luego de despejar la incógnita x en la ecuación se obtiene la expresión 2 – a, entonces el valor de a es A) 1

E) 3

D) −

32. Si a es solución de la ecuación x2 – x+3=0

determine la expresión equivalente a a5. A) a –17 B) a+17

B) – 1 1 2

C)

1 2

E) 3

36. Resuelva la ecución lineal siguiente x+2 x+3 = 3 2 A) {– 1}

C) 2a+17 D) 2a –1

B) {– 5}

E) a+15

C) {1} D) {– 1}

33. De la siguiente ecuación de x:

E) {– 5}

n(n – 1)x=(n2+n – 2)n

indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si n=0, es compatible determinado. II. Si n=1, es consistente.

37. Sean las siguientes expresiones A=3 – {x – 4(3 – x)} – ( – x+3) B=4x – 2(x – 5) – ( – 2x+7)

III. Si n=– 2, es compatible indeterminado.

¿Cuál debe ser el valor de x para obtener A=B?

A) VVV

A) 0

B) FVF C) VFV

D)

D) FVV E) FFF

9 8

8 9

C) − E)

9 8

15 8

38. Resuelva la siguiente ecuación lineal

34. Despeje la incógnita x en la siguiente ecuación a(x – a)+2bx=b(b+2a+x), si se sabe que a ≠ – b. A) a + 1 2

B)

2

B) a+b

C) a +b

2

E) a2+b2+2ab

D) ab

14

x x x x  1  1  1 + + + = 1 +  1 +  1 +  2 6 12 20  2   3   4   25  A)   8 D)

1 6

B)

28 2

C) 6 E) {6}

Álgebra 39. Se tiene que la ecuación

43. De la siguiente pareja de ecuaciones cuadráticos

2x + 5 x + 4 x = +1 + 11 7 3

presenta como conjunto solución a CS={a}. Determine el valor de a4 – 2a2+1. A) 49

B) 9

D) 144

C) 242

3 x 2 − 5 x + 2 = 0  2 6 x − 67 x + 42 = 0 Calcule la raíz en común. A)

E) 64

21 2

B)

2 3

D) 2

C) 1 E) – 1

40. Determine la solución de la ecuación de incógnita x. n

n+1

k=1

i =1

1 4

B)

44. Si a y b son raíces de la ecuación cuadrática

x + ∑ ( x + k) = ∑ i

A)

D) −

2x2 – 6x+8=0. Determine el valor de 1 2

1 2

A) – 1

C) 1 E) −

1 4

Ecuación cuadrática I

41. Si x1 es una de las raíces de 12x2 – 4x – 16=0, entonces, indique lo correcto. A) 2 x1 + 3 =

C)

10 3

E)

3 2

45. Si x2+x+1=0 tiene raíces a y b. Indique el valor de (a+b)+(a2+b2)+(a3+b3) A) 1

B) 2

C) 10 E) 0

halle el mayor valor de x15 x23 – x25 x13.

25 = 3

A) 20 2

B) 18 2

D) 24 2

C) 12 2 E) 0

47. Si x1 ∧ x2 son raíces de la ecuación

42. Calcule la mayor raíz de la siguiente ecuación cuadrática. (x – 3)(x – 5)=2(x – 3)

D) 11

3 4

x2 – 6x+1=0

E) x1 ∉ Q

A) 6

6 5

C)

46. Si x1 ∧ x2 son raíces de la ecuación

D) 3 3 x1 + 4 = 3

...

1 5

D) – 1

2  B)  x1 +  ∈ Z+ 3  x12

D)

B)

B) 7

2 2 + . a b

x2 – 4x+2=0, halle el valor de x12 x2 + 3 x1 + 2 + 3 x2 x2 x1

C) 9

A) 32

E) 3

D) 24

B) 64

C) 16 E) 48

15

Álgebra 48. Si la ecuación cuadrática

A) 15

x2 – (m+3)x+m+3=0

B) 18

tiene CS={ab+1; ab}

C) 23

calcule la suma de valores que toma m. A) –1

B) – 2

E) 31

C) – 3

D) – 4

D) 27

E) – 5

50. Si x1 ∧ x2 son las raíces de la ecuación

x2+px+25=0 tal que 5x1=x2, indique el mayor valor de p.

49. Si la ecuación cuadrática (13 – m)x2 – x+(mn+n+m)=0 tiene raíces recíprocas y además {m; n} ⊂ Z+ ∪ {0}, calcule la suma de valores

A) 5 5

que puede tomar (m+n).

D) − 5 5

B) − 6 5

C) 6 5 E)

5

Claves 01 - D

08 - D

15 - E

22 - B

29 - C

36 - B

43 - B

02 - B

09 - C

16 - B

23 - D

30 - A

37 - B

44 - E

03 - D

10 - B

17 - A

24 - C

31 - A

38 - A

45 - E

04 - D

11 - A

18 - C

25 - C

32 - E

39 - E

46 - D

05 - D

12 - D

19 - E

26 - B

33 - B

40 - C

47 - A

06 - E

13 - C

20 - E

27 - E

34 - B

41 - B

48 - B

07 - E

14 - B

21 - A

28 - A

35 - A

42 - B

49 - C

16

50 - C

Álgebra C) x2 – 3x+4=0 D) 3x2 – 12x+5=0 E) x2 – 6x – 5=0

Ecuaciones cuadráticas II

1.

¿Para qué valores del parámetro k la ecuación b x 2 − 7 x + = 0 presenta raíces reales y diferentes? 4 A) b > 49 D) b > 50

2.

B) 8 y – 4

B) VVF

...

5.

C) – 3,5 E) – 4,5

Determine una ecuación cuadrática de raíces 2 2 ∧ x1 x2

tal que la ecuación x2 – 4x+2=0 posee raíces x1 ∧ x2. A) x2 – 6x+1=0 B) 2x2 – 8x+4=0

7.

Si las ecuaciones cuadráticas (m – 1,5)x2 – (n – 1)x+5=0 (m+3)x2 – (n+2)x+2=0 son equivalentes, calcule el valor de n – m. A) 1 D) 4

8.

C) VFV E) VFF

{}

B) – 7,5

A) x2 – 3x+1=0 B) 4x2 – 11x+8 C) 2x2 – 3x+11=0 D) 8x – 22x+15=0 E) x2 – 5x+7=0

C) – 8 y – 4 E) – 6 y 2

Determine el menor valor de k para que la ecuación 2x2 – (k – 0,5)x+4,5=0 1 . presente como conjunto solución a CS = α A) – 5,5 D) – 2,5

Halle la ecuación cuadrática de raíces x1 + 1 x +1 ∧ 2 x1 x2 si x2 – 3x+4=0 tiene como CS={x1; x2}

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. 5 3 I. La ecuación x 2 − 5 x + = 0 presenta raí3 5 ces reales y diferentes. 3 6 2 x + = 0 presenta raíII. La ecuación x 2 + 4 3 9 ces reales pero iguales. 1  III. La ecuación nx 2 + nx +  n +  = 0 no tiene so 2 luciones reales para cualquier valor n ∈ Z+. A) FVV D) VVV

4.

C) b < 50 E) b < 49

Determine los valores del parámetro k de modo que la ecuación x2+kx+k+8=0 presente raíces iguales. A) 8 y 4 D) 6 y – 2

3.

B) b ∈ R

6.

B) 2

Si a es la raíz común que presentan las ecuaciones x2+(m3+1)x – 15=0 x2 – (23 – m3)x+12=0 determine la suma de las raíces no comunes. A) 9 D) – 1

9.

C) 3 E) 5

B) – 9

C) 1 E) 0

Si la ecuación x2 – 3x+(2n – 1)=0 tiene raíces positivas, calcule la variación de n. A) n ∈

1 13  ; 2 8 

B) n ∈ −∞;

13  8 

C) n ∈ R D) n ∈

1 ;1 2

E) n ∈

1 ;+∞ 2 17

Álgebra 10. Si las siguientes ecuaciones presentan una raíz en común 5x2+ax – 1=0 5x2+4x+b=0 determine dicha raíz. A)

a−4 b+1

B)

a≠4 b≠–1

a b

C) 1

C) 5 E) 10

es una de las raíces de la ecuación 3x3+ax+b= – 8x2 de coeficientes racionales.

11. Resuelva la siguiente ecuación polinomial x3 – 3x2 – 25x+75=0

A) 10 D) – 15

B) 20

C) 30 E) 18

17. Dada la ecuación x3 – 6x2+mx+2n=0; m, n∈R

A) { – 1; 1; 0} B) {3; 5; 7} C) { – 2; 0; 1} D) { – 5; 3; 5} E) { – 3; – 2; 1}

de raíces x1, x2 y x3 calcule el valor de x12 + x22 + x32 si se sabe que x1=4+i. A) 17 B) – 2 C) 34 D) –1 E) 15

12. Sean x1, x2 y x3 las raíces de la ecuación x3 – kx2+15kx – 3=0. Calcule el valor de k si se sabe que 1 1 1 + + = 35 x1 x2 x3

18. Se sabe que 1+ 2i es una de las raíces de la

B) 2

ecuación polinomial 2x3+ax2+bx+6=0; {a; b} ⊂ R Entonces, ¿cuál es el valor de a3+a2+2?

C) 7 E) 9

13. Calcule el valor de l si se sabe que la ecuación x3+7x2 – lx – 27=0 tiene raíces en progresión geométrica. B) – 19

3

3

C) – 156 E) 106 18

B) 2

C) 3 E) – 2

que su conjunto solución es CS={– 2; 2; 5}

3

determine el valor numérico de a +b +c . B) 52

A) 1 D) 4

19. Indique la ecuación polinomial de grado 3 tal

C) 3 E) 21

14. Si a, b, c son raíces de la ecuación x3+mx+52=0;

A) – 52 D) 156

B) – 3

16. Determine el valor de b si se sabe que (2 − 3 )

b−1 E) a−4

Ecuaciones de grado superior

A) 27 D) 17

x3 – 5x2+11x – 10=0 indique la suma de soluciones no reales.

A) 3 D) – 5

b+1 D) a−4

A) 3 D) 1

15. Dada la ecuación polinomial

A) x3+5x2 – 4x+20=0 B) x3 – 5x2 – 4x – 20=0 C) x3 – 5x2 – 4x+20=0 D) x3+5x2 – 4x – 20=0 E) x3 – 5x2+4x – 20=0

Álgebra 20. Si los números – 3 y – 5 son raíces múltiples del polinomio P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d, indique el valor numérico de a+b+c+d.

A) 576 D) 0

B) 575

C) 577 E) 1

Ecuación bicuadrada y fraccionaria

calcule el valor de E = x13 + x23 + x33 + x43 + x12 + x22 + x32 + x42 + x1+ x2 + x3 + x4

A) 0

B) – 2

C) 2

D) 1

E) 4

25. Determine la suma de la mayor y menor solución de la ecuación bicuadrada

21. Resuelva la siguiente ecuación 4

x4 – (4a2+9)x2+36a2=0;

si a > 1,5

2

3x – 39x +108=0 A) 2a+3 A) {– 3; 3; – 2; 2}

{ { {

} } }

1 1 B) 3; − ; − 3; 3 3 1 1 C) 2; − 2; − ; 2 2

E) 0

x2 + x − 2 x2 − x − 2 + = x−2 x −1 x +1 A) {– 2}

E) {}

B) {2} C) {2; – 2}

22. Dada la ecuación bicuadrada 4

2

D) {0; 2}

2

x – (b+6)x +4b =0 calcule el valor positivo de b si se sabe que la diferencia de dos de sus raíces opuestas es 2. A) 2/3

B) 3

D) 5/4

C) – 6 E) 1

2009x4 – 2007x2+1=0 calcule el valor de

≠ 2

24. Dada la ecuación bicuadrada x4 – x2+5=0 de raíces x1, x2, x3 y x4

x +1 x + =2 x −1 x − 2

{} { }

{ }

2 3

B) −

3 2

2 3

C) E)

{} {} 1 3 3 2

28. Halle el conjunto solución de la ecuación

x12009+ x22009+ x32009+ x42009 B) 2007

27. Determine el conjunto solución de la ecuación

D) −

de raíces x1, x2, x3 y x4

A) 2009

E) {2; – 2; 1}

A)

23. Dada la ecuación

D) sen

C) 2a – 3

26. Resuelva la siguiente ecuación

3 3 D) 1; − 1; − ; − 2 2

...

B) 2a

D) – 2a – 3

x2 − x − 2 C) senp E) cosp

x2 − 3 x + 2

= 3.

A) {1; 2} B) f C) {1} D) { – 1; – 2} E) {4; 5} 19

Álgebra 29. Resuelva la siguiente ecuación fraccionaria. x2 − 4 x2 + x − 2 + = x2 + 3 x − 5 x−2 x+2 A) {0; – 3} D) {2}

B) {}

C) { – 3; 2} E) { – 3}

30. Determine la solución de la siguiente ecuación x+4 x−4 8 5 + = − +2 x−4 x+4 x−4 x−6 A) 48/5 D) 42/9

B) 34/5

A)

1 2a + 1

D)

1 a +1

B)

10 2a + 1

Sistema de ecuaciones lineales

10 2a − 1

E)

5 a −1

34. Dado el sistema de ecuaciones 1  x +  3 −  x

a =4 y a = 12 y

determine el valor de C) 36/7 E) 68/3

C)

A) 12

1 . x

B) 1/12

D) 0

C) 1/4 E) 3

35. Dado el sistema de ecuaciones  x + 5 y + z = 14  2 x + 2 y + 3 z = 15 3 x − y + 2 z = 7 

31. Si el sistema lineal 2 x − y = 9  x y  3 + 5 = 7

indique la suma de componentes de su solución.

tiene solución (x0; y0), calcule el valor de

( x0 − y0 )2 + 1.

A) 5

B) 7

D) 6 A) 5 D) 26

B) 10

C) 17 E) 1

32. Si (2; y0) es solución del sistema 5 x − y = b   x + 3 y = 14 calcule el valor de M. 1

 .. ( y0 −10 )  9 ( y0 − 2 ) .   y M = 2007( 0 −1)  +b A) 2007

B) 2010

C) 2013

D) 2015

E) 2009

33. Del siguiente sistema lineal de incógnitas x e y.  ax + 3 y = 8  x + 6y = 6

C) 9 E) 10

36. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones 2 x + 3 y + z = 13  3 x + y − z = 21 x − 3y − z = 5  A) CS={(6; 1; – 2)} B) CS={(1; 6; – 2)} C) CS={(0; 0; 0)} D) CS={} E) CS={(x; 3x; 5x) / x ∈ R}

37. Si el sistema lineal de coeficientes reales  x + (3a + 2b) y = 9  2 2 2 x + ( a + b + 13) y = 18

tiene más de una solución, calcule el valor de

determine el valor de x. (a ≠ 0 ∧ a ≠ 1/2) 20

E) 0

3b . 2a

Álgebra 38. Calcule el valor de a para que el sistema ( a + 2) x + y = 3  6 x + ( a + 1) y = 2 ( a + 2) se incompatible. A) 2 D) – 1

B) – 4

C) 1 E) – 3

39. Determine el valor de n para que el siguiente sistema de incógnitas x e y sea indeterminado ∧ n≠0  nx + (2 n + 1) y = 7 n − 1  3 nx + 15 y = 20 n − 1  A) – 1 D) 4

B) 2

C) – 2 E) 1

43. Dados los intervalos S=〈3; 8〉 y T=〈– 5; 7]. Halle la suma de los valores enteros de T – S. A) 0 D) – 7

B) – 6

C) – 3 E) – 4

44. Sean los intervalos A=〈– 2; 4〉, B=〈5; 8] y C=〈1; 7] Determine (A ∪ B) – C A) 〈– 2; 1〉 ∪ [7; 8] B) 〈– 2; 1] ∪ 〈5; 7〉 C) 〈1; 4〉 ∪ 〈5; 7] D) 〈– 2; 1] ∪ 〈7; 8] E) [4; 5]

40. Si sumo el triple de mi edad con las edades de mi papá y mamá, se obtiene 123 años. Pero si al quíntuple de mi edad le resto la suma de las edades de mi papá con mi mamá, resulta 5 años. ¿Qué edad tengo? A) 14 D) 17

B) 15

C) 16 E) 18

Introducción a los números reales

41. Sean M=[ – 1; +∞〉 y N=〈– 3; 3〉 dos intervalos. Halle la suma de los elementos enteros de M ∩ N. A) 1 D) 4

B) 2

42. Dados los conjuntos

...

C) 3 E) 0

45. Dados los conjuntos M={x ∈ R / – 5 < x ≤ 2} N=〈2; 8〉 Indique cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas. I. M – N=〈– 5; 2] II. N – M=〈2; 8〉 III. M ∩ N={2} A) solo I B) solo II C) todas D) I y II E) II y III

46. Determine el cardinal de (A – B) ∩ C si se sabe

P={x ∈ R/–1 ≤ x < 3} Q={x ∈ R/3 ≤ x < 5} halle P ∪ Q.

que

A) 〈 – 1; 5〉 B) [ – 1; 3] C) 〈 – 1; 5] D) [ – 1; 5〉 E) f

C = { x ∈ Z − 4 ≤ x ≤ 13}

A = { x ∈ R − 5 ≤ x ≤ 1 ∨ 3 < x} B = { x ∈ R − 4 < x < 7}

A) 6 D) 7

B) 9

21

C) 10 E) 8

Álgebra 47. Determine el complemento del siguiente conjunto. A=(〈– ∞; 2] ∪ [5; +∞〉 ∪ {3}) – {6}

49. Dado el conjunto M={(2x+1) ∈ R / (1 – x) ∈ 〈– 1; 1〉} escríbalo como intervalo.

A) 〈2; 5〉 – {3} B) 〈2; 6] – {3} C) 〈2; 5〉 – {6} D) 〈2; 3〉 ∪ 〈3; 5〉 ∪ {6} E) 〈2; 6〉 – {3}

A) M=〈– 3; 1〉 B) M=〈1; 5〉 C) M=〈– 2; 0〉 D) M=〈0; 2〉 E) M=〈– 1; 3〉

48. Se tiene que

50. Dados los intervalos no vacíos

A={x ∈ R / x ≥ 3 ∨ x < – 2} B={x ∈ R / – 3 < x ∧ x ≤ 7} Halle A ∩ B.

A=[2n – 1; n2〉 y B=〈n+1; 9〉 si A ⊂ B, halle los valores de n.

A) A ∩ B={x ∈ R / – 3< x < – 2 ∧ 3 ≤ x ≤ 7} B) A ∩ B={x ∈ R / – 2< x < 3 ∧ 3 ≤ x ≤ 7} C) A ∩ B={x ∈ R / – 3< x < – 2 ∨ 3 ≤ x ≤ 7} D) A ∩ B={x ∈ R / – 3 ≤ x < – 2 ∨ 3 ≤ x ≤ 7} E) A ∩ B={x ∈ R / – 3 ≤ x < – 2 ∧ 3 ≤ x ≤ 7}

A) n ∈ 〈2; +∞〉 B) n ∈ 〈0; 3] C) n ∈ 〈2; 3〉 D) n ∈ 〈0; 2] E) n ∈ 〈2; 3]

Claves 01 - E

08 - D

15 - A

22 - D

29 - E

36 - A

43 - E

50 - E

02 - B

09 - A

16 - B

23 - C

30 - E

37 - C

44 - B



03 - D

10 - D

17 - C

24 - C

31 - B

38 - B

45 - D

04 - A

11 - D

18 - E

25 - E

32 - C

39 - B

46 - E

05 - B

12 - C

19 - C

26 - A

33 - C

40 - C

47 - D

06 - B

13 - E

20 - B

27 - E

34 - D

41 - B

48 - C

07 - B

14 - C

21 - A

28 - B

35 - D

42 - D

49 - B

22

Álgebra 6.

Desigualdades I

1.

Halle el intervalo de variación de (3 – 5x) si se sabe que (2x – 1) varía en el intervalo [– 5; 1〉. A) [–2; 13〉 B) 〈– 13; 2] C) 〈– 2; 13] D) 〈– 1; 12] E) 〈– 3; 13]

2.

A) VFV B) FFF C) VVF D) FVV E) FFV

Dado el conjunto M = {(1 − 2 x ) ∈R /( x − 1) ∉ 1; + ∞ } ;

si M ⊂ R–, halle su mayor longitud posible.

A) 2 D) 3

3.

B) – 3

Si 2 −

7.

C) 1 E) 0

1 ≤ 0; determine los valores de x. x

1 2 C) 0 < x ≤ 2

B) x ″

8.

D) 0 < x ≤

4.

Determine la variación de N =

Se sabe que –2 ≤ x < –1 ∧ –2 < y ≤ 2 Halle la variación de x2+y2+1. A) 〈2; 9] B) 〈1; 8] C) 〈2; 8] D) 〈1; 9] E) [2; 9〉

A) x ≤ 2

1 2  1  E) x ∈ 0; ; 2  2 

Indique verdadero (V) o falso (F), según corresponda, si se sabe que – 2 ≤ x x(π – 5) A) – 1 < x < 1 B) x < 0 ∨ x > 1 C) x < 0 D) x > 1 E) – 1 < x < 0

14. Resuelva la siguiente inecuación lineal en x (a – 2)x2+ax > x – (a2+a+1)

A) CS=〈– 3; +∞〉 B) CS=〈7; +∞〉 C) CS=〈3; +∞〉 D) CS=〈3; 7〉 E) CS=〈– 7; +∞〉

E) 1 24

Álgebra 20. Si el conjunto solución de la inecuación cuadrática (x+1)2< n es S=〈m; 2〉, calcule el valor de mn. A) – 36

B) – 4

C) 0

D) 12

E) 16

21. Si la inecuación cuadrática 2x2 – 2ax+b ≤ 0 tiene conjunto solución unitario, calcule el valor de a2/b. A) 1

B) 2

C) 1/2

D) 3/2

E) –1

Inecuaciones fraccionarias

25. Determine cuáles de los siguientes polinomios son siempre positivos para todo x ∈ R.  P( x ) = x 2 + x + 1   2 Q( x ) = x − 3 x + 1  2 T( x ) = x − 2 x − 1

A) solo P B) P y Q C) Q y T D) P, Q y T E) ninguno

22. Al resolver la inecuación cuadrática

ax2+bx+c ≤ 0 por el criterio de los puntos críticos se obtiene + –∞

+

– –2

1

B) –1

D) 1

C) 1/2 E) 2

23. Si la ecuación cuadrática x2+mx+(m+3)=0

no tiene raíces reales, halle los valores de m. A) m ∈〈2; 6〉 B) m ∈〈– 6; 2〉 C) m ∈〈– 2; 2〉 D) m ∈〈– 2; 6〉 E) m ∈〈– 6; – 2〉

...

24. Si el intervalo I=〈x2 – 2; 2x+1] es no vacío, halle el intervalo el cual pertenece x.

A) x ∈ 〈– 1; 3〉 B) x ∈ 〈– 1; 4〉 C) x ∈ 〈– 3; 1〉 D) x ∈ 〈1; 3〉 E) x ∈ 〈0; 3〉

3 x2 − 2x + A) CS =

+∞

es decir, CS=[– 2; 1]. Calcule el valor de b/c. A) – 1/2

26. Resuelva la siguiente inecuación cuadrática. 1 >0 2

2; 3

B) CS = −∞; 2 ∪ 3; + ∞ C) CS = R −

{

2; 3

}

D) CS=f E) CS=R

27. Calcule el menor valor entero de m que verifica 5 x2 + x + m

> 0;  x ∈R

A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

28. Si la inecuación fraccionaria

( n − 1) x 2 + ( n − 2) x + ( n − 2) x2 + x + 1

≤ 0; n ∈R

tiene CS={ }, halle los valores de n. A) n ∈〈1; +∞〉 B) n ∈〈2; +∞〉 C) n ∈〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈2; +∞〉 D) n ∈〈– ∞; – 2〉 E) n ∈〈– ∞; –1〉 25

Álgebra 29. Sea S el conjunto solución de la inecuación 2x −1 ≤ 1, indique la alternativa fraccionaria x +1 correcta.

inecuación fraccionaria 1− x 1 − >0 . x +1 x A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 3 E) 5/2

A) S=〈– ∞; 2] – {–1} B) 〈– 1; 1〉 ⊂ S C) S=〈– 1; +∞〉 D) S ⊂ 〈– 1; 2〉 E) S=[1; 2]

32. Respecto a la inecuación fraccionaria

30. ¿Cuántos enteros verifican la inecuación fraccionaria

31. Calcule la longitud del conjunto solución de la

6 5 + < −2 ? x − 1 1− x

3x +1 x +1 ≤ x − 3 x −1

indique lo correcto.

A) 0

A) No tiene soluciones enteras. B) La menor solución es cero. C) La suma de soluciones enteras es cuatro. D) El conjunto solución es unitario. E) No tiene soluciones negativas.

B) 1 C) 2 D) 3 E) más de tres

Claves 01 - C

05 - D

09 - D

13 - D

17 - E

21 - B

25 - A

29 - B

02 - D

06 - A

10 - C

14 - E

18 - D

22 - A

26 - E

30 - A

03 - C

07 - A

11 - B

15 - D

19 - B

23 - D

27 - B

31 - A

04 - C

08 - C

12 - D

16 - B

20 - A

24 - A

28 - B

32 - E

26

Álgebra Expresiones irracionales

1.

5.

Halle el C.V.A. de la expresión f. f( x ) = 4 − x 2

Resuelva la ecuación irracional 1 + 2+ x + x = 3 2+ x − x A) {1/2} B) {1/4} C) {2} D) {4} E) φ

A) C.V.A.=〈– ∞; 2] B) C.V.A.=〈– 2; 2〉 C) C.V.A.=[– 2; +∞〉 D) C.V.A.=[– 2; 2]

6.

Si α es solución de la ecuación

E) C.V.A.=[0; 2]

2.

2x + 2 + x − 2 x2 − x − 2 + = 2 x +1 x2 −1

Determine el conjunto de valores admisibles

determine el valor de α2+α+1.

de la expresión matemática g. g( x ) = 3 + 15 + 2 x − x 2

A) 5 D) 7

A) 〈 – ∞; 3〉 ∪ 〈5; +∞〉

7.

B) [ – 3; 5]

E) 〈3; +∞〉

B) A=〈0; +〉 C) A=[0; 2〉 D) A=[0; +〉 E) A=〈1; 2〉

calcule el recíproco de un elemento de S.

8. B) 2

D) 5/2

4.

Resuelva la inecuación irracional 3

x 3 + x 2 + 1 ≤ ( x + 1) y determine la cantidad de número enteros que no son soluciones.

C) 2/5 E) 1

Resuelva la ecuación irracional

A) 2 D) 4

2x +1+ x = 1

...

{ }

1 2 B) CS={0; 4}  1  C) CS = − ; 1  2  D) CS={0} 1 E) CS = − ; 1 2

B) 1

C) 3 E) 0

Valor absoluto I

A) CS = −

{ }

x + 1) ( x − 2) < 0}

A) A=〈0; 2〉

Dado el conjunto  1  S =  x +  ∈R 2 x − 1 = x x  

A) 1/2

(

escríbalo como intervalo.

D) 〈 – ∞; 5〉

3.

C) 9/4 E) 2

Dado el conjunto A = { x ∈R

C) 〈3; 5〉 – {4}

B) 8

9.

Si x ∈〈1; 2], calcule el menor valor de x − 3 + x +1 f( x ) = 1− x A) 1/2 D) 3

B) 2

27

C) 3/4 E) 4

Álgebra 10. Determine el valor reducido de la expresión F. 4 − 2x + 3x − 6 F= ; ∀x ∈ R − {2} x−2 +2 −2

A) 1 D) 4

B) x+3

S = {x ∈ Q 2 x − 1 = x + 2 }

C) x – 2 E) 5

11. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones I.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) más de tres

16. Luego de resolver la ecuación

x2 + 2x + 1 = x + 1

x −4 −2 x −5 = x −4 x −4

II. |x – 3|=|3 – x| III. |x +4|=x +4 2

15. Halle el cardinal del conjunto S.

2

IV. Si |x3+1|=e – p

se obtiene CS={α}, calcule el valor de 2α+4.

→ CS ≠ f

A) 15 D) 20

A) VVVV B) FVVF C) VVVF

C) 18 E) 5

Valor absoluto II

D) VFVF E) FVVF

17. Determine el número de enteros que verifican

12. Determine la suma de las soluciones de la ecuación modular siguiente.

|3|x+1|+1|=13 A) 2 D) – 2

B) 10

B) 0

C) 1 E) – 1

13. Si a, b y c son soluciones no negativas de la ecuación ||x – 3|–5|=2, ¿cuánto vale a+b+c?

la siguiente inecuación.

3 1 − x + x2 + 1 ≤ 7 + x2 A) 5 D) 3

B) 6

C) 4 E) 2

18. Al resolver las inecuaciones  x − n ≤ 3   x + 2 ≥ 3 se obtiene como conjunto solución a

A) 12 D) 2

B) 16

C) 6 E) 10

14. Resuelva la ecuación ||x|– 4|=3x – 1

A)

{ }

D)

{}

−5 4 ; 4 5

CS={– 5; 1}. Determine el valor de n. A) 3 D) – 1

B) 2

C) –2 E) 0

19. Al resolver la inecuación

{ }

4 B) 1; 5

5 4

28

C)

{}

E)

{ }

4 5

2 4 ; 1; 5 5

m 0 ≤ |x – 5| ≤ 2x, se obtiene CS =  ; + ∞ tal n

E) 4

Álgebra 20. Determine el complemento del conjunto solu-

Logaritmos

ción de la siguiente inecuación.

25. Determine el valor reducido de la expresión J.

x −1 + 5 − 3 > 5

J = log( 5 + 2

A) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈4; +∞〉

(

3 − 2)

A) 2 B) –1/2 C) 1/2 D) –1 E) –1/4

B) [– 2; 4] C) 〈– 2; 4〉 D) 〈– ∞; – 2] ∪ [4; +∞〉 E) 〈– 2; 4]

21. Resuelve la inecuación siguiente. 3 − 6 x + 12 x − 6 < 45

26. Determine el valor aproximado al centesimal de n si se sabe que n

 1   = 2. 5 Considere que log2=0,30.

A) {– 2; 3} B) {– 2; – 1; 0; 1; 2; 3} C) 〈– 2; 3] D) [– 1; 2]

A) – 0,43

E) 〈– 2; 3〉

B) – 0,41

22. Al resolver la inecuación x|x|– 4 ≤ 0 se obtuvo como conjunto solución al intervalo 〈 – ∞; 3a+5b]. Calcule el valor de 6a+10b. A) 3/2 D) 3/5

6)

B) 5/3

C) 2 E) 4

23. Resuelve la inecuación 2

x − 5 − x − 5 ≤ 56 e indique cuántos enteros son soluciones.

C) – 0,44 D) – 0,4 E) – 0,47

27. Calcule el valor de M. M=

9

9

 1

∑ log  k  + ∑ log ( k + 1)

k=1

k=1

A) –1 B) 0 C) 1 D) 2

A) 15 D) 14

...

B) 16

C) 17 E) 13

E) 2

28. Si n es un número entero positivo y

24. Resuelva la inecuación

2log2 4 − 1 = log2 2 + log2 4 + log2 8 + ... + log2 2 n

x ≤4 x−3

halle el valor de log 1 4. n

e indique cuántos enteros no son soluciones. A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) más de 4

A) – 2 D) – 2/3

B) – 1/2

C) 2 E) – 1 UNMSM 2012 - II

29

Álgebra 29. Dados los números a; b ∈ 〈0; 1〉 ∪ 〈1; +∞〉 y que verifican log b a + log a b = 8, calcule el

(

valor de log b a2 A) 4 D) 24

)2 + (loga b2 )2 .

B) 6

C) 12 E) 36

1 1+ xy

D)

2 1+ xy

B)

log y x + log x y

log3 8 × log5 9 × log7 25 log 2 × log3 10 × log7 9

A) 12 D) 6

A)

x 1+ y

C)

y 1+ x

E)

3 1+ xy

32. Determine el valor de log x y si se cumple que

30. Simplifique la expresión M. M=

∧ y = log5 3 calcule log125 en términos de x e y.

31. Si se cumple que x = log9 4

log x y − log y x

B) 7

C) 8 E) 5

A) 2 D) 5

=

13 12

B) 3

C) 4 E) 6av

Claves 01 - D

05 - B

09 - E

13 - B

17 - A

21 - E

25 - B

29 - D

02 - B

06 - D

10 - E

14 - D

18 - C

22 - E

26 - A

30 - D

03 - A

07 - C

11 - C

15 - C

19 - C

23 - C

27 - C

31 - E

04 - D

08 - B

12 - D

16 - A

20 - B

24 - A

28 - A

32 - D

30

Álgebra Ecuaciones logarítmicas

1.

6.

log x = log x

Calcule el valor de A.   1  A = antilog  1   log3    + co log 3 ( log5 (125 )  81    

es CS={a; b}, halle el valor de alogb+bloga. A) 104 D) 1

 2

A) 15 D) 18

2.

( x2 +1)

A) R D) {1}

7.

B)

4

C) {0; 1} E) φ

8.

C) 1,4 E) 0,5

B) 1

C) 2 E) 4

Con respecto a la ecuación logarítmica 2(logx)2 – 5logx+2=0 indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. La suma de soluciones es 5/2. II. El producto de soluciones es 1. III. El producto de soluciones es 100 10.

B)

{ } 1 1 ; 16 2

1 2

C)

{ } { } 1 1 ; 8 16

E) 16;

A) 1 D) 0

1+ 5 2 B) 3

C) 2 E) 4

Teoría de funciones Dados los conjuntos M={x ∈ Z / –1 ≤ x ≤ 3} N={y ∈ Z / 0 < y< 3} indique lo correcto. A) M×N ⊂ Z B) n(M×N)=12 C) (– 1; 0) ∈ M×N D) (3; 3) ∉ M×N E) M×N=N×M

10. Dada la función A) VFV B) VFF C) VVF D) FFV E) FVF

1 4

Determine el número de soluciones que presenta la siguiente ecuación logarítmica. logφ(x+3)=logφ(x2+1)

¿Cuántas soluciones tiene la siguiente ecuación?  x   x + 1 log2  =2  + log0,5   x + 1  x  A) 0 D) 3

...

1 1 ; 2 4

D) 8;

9.

5.

{ } { }

donde φ = 3

C) 2 E) 10

Resuelva la siguiente ecuación logarítmica. log x 2·log x 2 = log8 x 2

A) B) R– {0}

B) 102

2

= 2x

Determine la solución de la siguiente ecuación. log 3 + 1 = log20 x + 1 log 2 + 1 A) 3 D) 1,5

4.

C) 17 E) 19

Determine el conjunto solución de la siguiente ecuación. eln

3.

B) 16

Si el conjunto solución de la ecuación

f={(1; a), (1; 3), (2; 4), (2; b), (3; 4)} halle Dom(f) ∩ Ran(f) A) {3; 4} D) {2}

B) {2; 3}

31

C) {3} E) {1}

Álgebra 11. Si el conjunto de pares ordenados de componentes reales f={(2; 5), (– 1; 3), (2; 2a – b), (–1; a – b), (a+b2; a)} es una función, halle la suma de los elementos del rango. A) 7 D) 4

B) 6

C) 5 E) 10

12. Si el siguiente diagrama representa a una función, determine la sumas de los elementos de su rango. h

A

6

A) 5 D) 18

B) 6

C) 17 E) 22

13. Dada la función f={(4; 5), (1; 5), (2; 8), (3; 7), (m; n+2)} tal que f(1)=2m+n y f(2)=3n – m calcule f(m)+f(n). A) 3 D) 10

B) 5

C) 7 E) 12

14. Si f es una función definida por f={(x; y) ∈ z×z / y=2x+1}, calcule el valor de f( 2) + f( f(1) ) − 2 f( 0) . 2 f( 3) + f( 0) A) 3/2 D) 3/5

B) 47

B) –1/5

C) 1/3 E) 2/3

15. Sea f: A → R una función tal que A={– 3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}; f(x)=x2 – 1. Determine la suma de los elementos del rango de f. 32

C) 49 E) 36

16. Dada la función

f={(1– t2; t2+1) / t ∈ 〈– 1; 1〉} halle su regla de correspondencia. A) y=x+2 B) y=–x+2 C) y=x – 2 D) y=2x – 1 E) y=2 – x Funciones reales

B 8+m 10 – m 4

4

A) 45 D) 51

17. Sea f: A → B una función tal que x B={3; 4; 5; 6; 7} y f( x ) = + 1. Calcule la suma 2 de los elementos del dominio de f. A) 38 D) 39

B) 40

C) 41 E) 42

18. Halle el dominio de la función f. f( x ) =

x2 1− x

A) 〈0; 1〉 B) 〈– ∞; 1] C) 〈0; 1] D) 〈– ∞; 1〉 E) 〈– ∞; 0]

19. Halle el dominio de la función f. f( x ) = x + 4 + − x A) [0; 4] B) [– 4; 0] C) [0; 2] D) 〈– 4; 0〉 E) [– 4; – 1]

Álgebra 20. Dados los conjuntos

A={x ∈ Z+/ 3 < x < 9}

A)

Y

B)

Y

B={5; 6; 7; 8; 9; 10} X

y la función f: A → B tal que f(x)=x+1,

X

halle Ran f. C)

A) {5; 6; 7; 8}

Y

B) {5; 9} C) {5; 6; 7; 8; 9}

X

D) {4; 5; 6} E) {5; 6; 7; 8; 9; 10}

21. Sea f: 〈3; 10] → R

D)

E)

Y

Y

x → 2x – 1 Halle el rango de f.

X

X

A) 〈3; 10] B) 〈5; 21]

24. Si f es una función tal que

C) 〈5; 19] D) 〈3; 19]

Y

E) 〈6; 19]

22. Sea f : 〈– 1; 1〉 → R una función tal que f( x )

3

x+2 = . Halle su rango. 1− x 1

A) Ran f=〈– 1; 1〉 B) Ran f = −∞; −

1 2

1 1 C) Ran f = − ; 2 2

...

x0

–2

D) Ran f =

1 ;+∞ 2

E) Ran f=R

+

Calcule el valor de x0. 3 x0 f( − 2) + f( 4 ) + f( x0 ) = 4 f( 0 ) + f( x ) 0

A) 2 B) 4 C) 1/2

23. Indique cuál de las siguientes gráficas no representa una función.

D) 1/4 E) 1

33

4

X

Álgebra 28. Esboce la gráfica de la función

Funciones especiales I

f(x)=Ax+B, tal que

25. Dada la gráfica de la función f

f(2)=3 y f(3)=2f(4)

halle Ran f – Dom f. Y 2

Y

A)

B)

–5 –2

–1

1

X

Y

5

A) φ B) {– 2; – 1} C) 〈– 2; – 1〉 D) 〈1; +∞〉 E) 〈– ∞; 2〉

X D)

26. Si f es una función tal que f(x)=n – n; n ∈ Z / f(1)+f(2)+f(3)+...+f(10)=20 calcule f(n). B) 2

C) 4 E) 10

B)

Y

5

X

X

 1; x ≤ 0 f( x ) =  − x ; x > 0

g(x)=2x – 6, ∀ x ∈ R Y

Y

29. Esboce el gráfico de la función f.

27. Determine la gráfica de la función g

A)

E)

Y 5

+

A) 0 D) 5

X

X C)

2

Y

5

A)

g

Y

B)

Y

X g

C)

Y

X

C)

Y

g X

X

D)

X

X

Y

E)

D)

Y

X

E)

Y

X

g

g 34

X

Y

X

Álgebra 30. Calcule el área de la región encerrada por la gráfica de la función f(x)=4 – |x+1| y el eje de abscisas. A) 16 u2 D) 8 u2

B) 18 u2

C) 14 u2 E) 15 u2

31. Del gráfico tenemos la función f.

x2 − 4 y el gráfico x−2 de la función g(x)=2x; se cortan en

12 f(x)=|x – a|+b

A) un punto de abcisa 2. B) un punto cuya abcisa es 0. C) ningún punto. D) dos puntos equidistantes del eje y. E) dos puntos equidistantes del origen.

b

...

A) 16 B) 0 C) 12 D) 5 E) 7

32. El gráfico de la función f( x ) =

Y

a

Calcule el valor de a+b.

X

Claves 01 - A

05 - D

09 - D

13 - E

17 - B

21 - C

25 - C

29 - D

02 - D

06 - C

10 - C

14 - E

18 - D

22 - D

26 - B

30 - A

03 - D

07 - D

11 - E

15 - C

19 - B

23 - D

27 - B

31 - C

04 - B

08 - C

12 - D

16 - B

20 - C

24 - A

28 - D

32 - C

35

Álgebra 3.

Funciones especiales II

1.

Esboce la gráfica de la función f(x)=4x(x – 2)+3

A)

Y

B)

Determine la regla de correspondencia de la función cuadrática representada en el siguiente gráfico. Y

3

Y –2

X

–1

X

X

A) y=x2 – 4x+3 C)

Y

B) y=2x2 – 8x+3 C) y=2x2+8x+3 D) y=x2+4x+3

X

D)

E) y=2(x+2)2 E)

Y

4.

Y

Y

X

X

2.

Si f es una función tal que f(x)=a – x2, calcule las coordenadas del punto P.

y=x+2 P

Sea f(x)=x2 – 4x+3 una función cuya gráfica se muestra a continuación

f

Y

 1  A) P =  −  2 

c

a

...

 1 1 B) P =  − ;   4 2

b

X

 1 3 C) P =  − ;   2 2

indique el valor numérico de b3+a2+c.

 1 7 D) P =  −   4

A) 31

 1 3 E) P =  − ;   2 4

D) 17

B) 27

C) 36 E) 30

36

X

Álgebra 5.

7.

Dada la gráfica de la función f(x)=x2+ax – b

Dada la gráfica de las funciones f( x ) = x − a + 1 y g( x ) = x − 1 ∀ x ∈ dominio maximal de f. Y n

Determine la secuencia correcta luego de de-

2

terminar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

m

X

indique el valor numérico de a+n+m.

I. b < 0 2

II. a +4b < 0

A) 6

III. a < 0

B) 7

A) VVF

B) VFF

D) FFF

6.

C) 16

C) VVV

D) 8

E) FVF

E) 7/2

Esboce la gráfica de la función f.

8.

f( x ) = 1 + x − 2

un intervalo solución.

A) Y

A) 〈0; 1]

B) Y

B) 〈– ∞;0〉 C) 〈1; +∞〉

2

1

D) [0; +∞〉 1

2

X

E) 〈– 3; 1〉

X

Funciones exponenciales

C) Y

9.

1 X E)

Y

A) 〈2; 16]

Y

B) 〈2; 16〉 C) [2; 16]

1

1 2

Determine el rango de la siguiente función f(x)=2logx ∀ x ∈ 〈10; 104]

2 D)

Resuelva la inecuación x 2 +1 ≤ x + 3 e indique

D) 〈1; 4] 2

X

37

X

E) 〈1; log105]

Álgebra  1

10. Sea f( x ) =   2

x2

14. Determine el conjunto solución de la inecuación

∀ x ∈ 2; 6 ]

tal que Ran(f )=[a; b〉 indique 20 ab . A) 4

B) 1/2

D) 8

C) 1/4

1     5− x + 3

∀ x tal que |x – 3| ≤ 2. Determine Ran(f ). A) [1; 32]

1   – 1}   B =  x ∈R log 1 x > − 2   3

27. Una caja rectangular abierta, con volumen

2 m3, tiene una base cuadrada. Indique el área superficial de la caja como una función (f) de

halle A ∩ B. A) 〈3; 9〉

la longitud de uno de los lados de la base. 1 B) ;9 3

D) 〈2; 3〉

...

C)

1 ;3 3

E)

1 1 ; 9 3

24. Resuelva la inecuación logarítmica. 1+log2(x+1) < x e indique un intervalo solución A) 〈–1; 3〉 B) 〈0; 3〉

A) f( x ) = x 2 +

8 x

B) f( x ) = x 2 +

4 x

C) f( x ) = x 2 + D) f( x ) = x 2 + E) f( x ) = x 2 +

8 x2 2 x 2 x2 40

Álgebra 28. Un automóvil WHW tiene un valor inicial de

considere que la temperatura normal del cuer-

$16 000 y se deprecia en forma lineal durante

po humano es de 37 ºC. Indique el valor de ab.

10 años, con un valor de desecho de $4000. Determine el valor del automóvil al final del

A) 200

séptimo año.

B) – 198 C) 198

A) $12 000

D) – 200

B) $12 800

E) 176

C) $13 000 D) $14 000

Problemas diversos

E) $13 200

31. Indique el menor número M con la propiedad 29. En una comunidad de 8000 personas, la velocidad con la que se difunde un rumor es conjun-

que para todo x ∈ R. 1+6x – x2 ≤ M

tamente proporcional al número de personas que lo han escuchado y al número de perso-

A) 8

nas que no lo han escuchado.

B) 9

Cuando 20 personas han escuchado el rumor

C) 10

éste circula a una velocidad de 200 personas

D) 11

por hora. ¿Qué tan rápido circula el rumor

E) 12

cuando lo han escuchado 500 personas?

32. Determine el conjunto solución de la ecuación x2 − 4 3 = x; x ∈ Z x+3 2

A) 4699 personas por hora B) 500 personas por hora C) 5000 personas por hora D) 1500 personas por hora

A) {– 1; – 8}

E) 7980 personas por hora

B) {– 8}

30. Un empresario industrial fue encontrado asesinado en su casa. La policía llegó a la escena a las 11:00 p. m. La temperatura del cadáver en ese momento era de 31 ºC y una hora después era de 30 ºC. La temperatura de la habitación en que se encontró el cadáver era de 22 ºC.

C) {– 1} D) f E) {1; 8}

33. Determine la suma de soluciones de la ecuación 2x + 3 = x − 2 + 2

El modelo matemático para nuestro problema forense, de acuerdo a la ley de enfriamiento

A) 3

de Newton es

B) 11

– kt

C) 13

T=ae

+b

donde T: temperatura del cuerpo b: temperatura ambiente

41

D) 14 E) 24

Álgebra 34. Sea P(x)=x9+x8+x7+...+x+1

36. Dada la función

indique el valor de P(2).

f( x ) = log 1 (1 − x 2 ) 2

A) 1024

halle su dominio.

B) 1023 C) 123

A) 〈– 4; – 1〉

D) 1025

B) 〈– 2; – 1]

E) 2048

C) 〈0; 1〉 D) 〈– 1; 1〉

35. Sea F: R → R una función tal que:

E) 〈– 1; 0]

F(1 – x) – 2F(x)=2x – 2; ∀ x ∈ R Halle la gráfica de la función F. Y

A)

B)

F

37. Determine el número de pares ordenados (x; y)

X

el sistema X

F

C)

de componentes enteros positivos que verifican

Y

A) 0

Y

C) 2

sistema de ecuaciones

E)

Y

E) 4

38. Si el par ordenado (n; n – 1) es solución del

X

2 x + 3 y = m − 1   x + 5y = m

Y

indique el valor de m+n.

F X

X

F

...

B) 1

D) 3

F

D)

2 y − 3 ≤ x   x−y≤0

A) – 16

B) 0

C) 8

D) 16

E) 12

Claves 01 - D

06 - C

11 - E

16 - D

21 - E

26 - D

31 - C

36 - D

02 - A

07 - A

12 - B

17 - B

22 - B

27 - A

32 - C

37 - E

03 - D

08 - A

13 - A

18 - D

23 - B

28 - E

33 - D

38 - D

04 - C

09 - A

14 - C

19 - C

24 - E

29 - A

34 - B

05 - C

10 - C

15 - C

20 - A

25 - C

30 - C

35 - B

42