Algebra Basica: 04 Sumas y Diferencias de Potencias Iguales

FACTORIZAR SUMAS Y  RESTAS DE POTENCIAS IGUALES DIFERENCIAS DE CUADRADOS Y ALGUNAS VARIANTES DEL PROBLEMA

23/12/2011 VISUALIZACION DEL ALGEBRA BASICA yoseff basserool

Factorizar sumas sumas y diferencias de potencias iguales. iguales. En esta área se deben tener en cuenta los siguientes casos:

Diferencia de cuadrados

Sumas y diferencias de cubos Diferencias D iferencias de potencias pares:

Sumas de diferencias impares:

Sumas y diferencias de potencias iguales Diferencias D iferencias de potencias impares:

Se debe entender que el caso más más general es el de la suma y diferencia de potencias iguales.

En consecuencia los principios que vamos a exponer

a continuación son la base de la factorización de los tres grupos de problemas.

Suma Suma de potencias pares iguales: iguales:

La L as sumas de potencias pares no son as factorizables, por lo general. Si son factorizables nunca pueden Si tener como factor a:

Diferencias Diferencias de potencias pares iguales: iguales:

Esta expresión siempre tiene como factores a:

Y

Y adicionalmente puede tener otros factores.

Sumas Sumas de potencias impares iguales: iguales:

Sii el exponente es impar entonces S la entonces la expresión siempre tendrá como factor a

Y además hay otro otros s factores no binomios

Diferencia Diferencia de potencias impares iguales:

Si el exponente igual es impar entonces la expresión siempre tendrá como factor a:

Y adicionalmente habrá otros factores no binomios.

En E n consecuencia habrá varias situaciones posibles en este tipo de expresiones: Suma de potencias pares no necesariamente necesariamente iguales

Suma de potencias pares iguales

Diferencia de potencias pares no necesariamente necesariamente iguales

Diferencia de potencias pares iguales

Suma de potencias impares no necesariamente necesariamente iguales

Suma de potencias impares iguales:

Diferencia de potencias impares no necesariamente necesariamente iguales

Diferencia de potencias impares iguales

Diferencia D iferencia de cuadrados. Existen varias maneras en que se puede llegar a la conclusión de que los factores f actores de una diferencia de cuadrados es la indicada por la identidad siguiente:

Una de estas formas de prueba es aplicando el método para factorizar un trinomio cuadrático:

Nuestro N uestro problema será factorizar

Lo L o consideraremos como un trinomio cuadrático:

IIdentificamos dentificamos los factores de los extremos:

Los L os productos cruzados de los factores se suman y nos deben dar 0, el término de en medio:

En consecuencia es claro cuáles son los factores:

Un método parecido puede ser aplicado a la hora de factorizar una suma o una diferencia diferencia de cubos, aunque en tales casos lo mejor es utilizar el teorema del factor, debido a que la la expresión es de grado 3.

Sumas S umas y diferencias de cubos. Suma de cubos

Diferencia de cubos

Por ejemplo, en el caso de la suma de cubos: Ell problema es factorizar E la expresión:

Buscamos B uscamos entre los 3

factores de b que conviertan en cero a la expresión:

Entonces E ntonces obtendremos:

Esto nos dice que: Es E s un factor de la suma de cubos.

Ell otro factor se E encuentra por división de la suma de cubos entre entre este primer factor establecido:

Este tipo de razonamiento puede aplicarse para obtener factores de sumas y diferencias de potencias iguales en general. Por ejemplo en el caso de una suma de potencias impares iguales: 5

5

Sacar los factores de a + b : Sabemos que uno de los factores es: El otro factor lo obtenemos por división:

(a + b) (a4-a -a3b+ b+a a2b2-ab -ab3+b4)

En consecuencia la respuesta será: 2 2 (a + b) (a4-a -a3b+a -ab3+b4) b+a b -ab

5

5

Observaremos lo que sucede con a – –  b : Sabemos que uno de los factores es: El otro factor lo obtenemos por división:

(a – –  b) (a4+a +a3b+ b+a a2b2+ab +ab3+b4)

En consecuencia la respuesta será:

(a ––  b) (a4+a +a3b+a2b2+ab +ab3+b4)

Ahora tenemos un patrón para las respuestas de las sumas o diferencias de potencias impares iguales: 5

5

Para P ara la suma:

a +b

Ell primer factor es la suma de las raíces E quintas de los términos: Ell otro factor está : E  ordenado por las potencias de los términos, términos,

(a + b)

+ y –  – alternados, alternados,



con signos



tiene tantos términos como el exponente de la expresión original, original, la suma de exponentes en los términos suma 1 menos que el exponente de los términos originales.



4

3

2

2

3

4

(a -a -a b+ b+a a b -ab -ab +b )

Luego, 5

5

Para P ara la resta: resta:

a – –  b

Ell primer factor es la resta de las raíces E quintas de los términos: Ell otro factor está : E  ordenado por las potencias de los términos, términos,

(a – –  b)

+



todos sus signos son



tiene tantos términos como el exponente de la expresión original, original, la suma de exponentes en los términos suma 1 menos que el exponente de los términos originales.



4

3

2

2

3

4

(a +a +a b+ b+a a b +ab +ab +b )

En general Para t impar

En E n el caso de la diferencia de potencias pares pares iguales en general, general, donde los exponentes son potencias de 2 2.. Vamos a observar un ejemplo práctico p ráctico con:

Esta E sta es una diferencia de potencias pares iguales Factorizando F actorizando la primera vez nos da: Luego vemos que uno de los Luego factores puede ser factorizado otra vez:

(a2+b2)(a2-b -b2) (a2+b2)(a+b)(a )(a+b)(a (a+b)(a-b) -b)

Este tipo de patrón recurrente ocurre con todas las potencias iguales que sean a su vez n

2 a alguna potencia (2 ). Es decir que este tipo de solución se presenta para todas las diferencias de potencias pares de la siguiente forma:

6 6 6 6 Ell caso de factorizar (a E (a + b ) y (a (a - b )

Vamos a ilustrar el proceso para observar otro nivel de complejidad en la factorización de sumas y restas de potencias iguales:

a6 - b6

Puede P uede considerarse como una diferencia de cuadrados: a6 - b6 = (a (a3)2 – (b3)2 –  (b

Lue L uego: uego: go:

3 ((a a3)2 – (b3)2 = (a (a3+b3)(a -b b3) –  (b )(a -

Ahora: A hora:

Tenemos T enemos una suma de cubos por una resta de cubos.

Entonces: E ntonces:

2 2 2 (a+b)(a2-ab+b )(a-b)(a -ab+b )(a -b)(a +ab+b )

Ahora bien:

a6 + b6

Debe considerarse como una suma de cubos cubos:: a6 + b6 = (a (a2)3 + (b (b2)3

Lue L uego: uego: go:

4 ((a a2)3 + ((b b2)3 = (a2+b2)(a -a a2b2+b +b4) )(a -

Resumen de los problemas según su dificultad. Graduar la dificultad de estos problemas ayuda al alumno a tener confianza en su propia capacidad de establecer establecer respuestas acertadas.

Diferencias D iferencias de cuadrados

Diferencias D iferencias de potencias pares iguales iguales (exponentes que son potencias de 2)

Sumas S umas y diferencias de cubos

Diferencias D iferencias de potencias pares iguales en las que aparece iguales aparecerán rán sumas y diferencias de cubos Sumas S umas de potencias pares que deben tratarse como sumas de cubos

Sumas S umas y diferencias de potencias impares iguales

Potencias P otencias pares no iguales

To T odos los casos anteriores pero odos donde las potencias no son iguales Potencias P otencias impares no iguales