ALGEBRA (Agosto Set)4

ALGEBRA -AGOSTOSETIEMBR ESACO OLIVEROS PRIMARIA

ALGEBRA

4º PRIM.

ALGEBRA .

OPERACIONES CON MONOMIOS (continuación)

.

,

Multiplicación de Monomios

,

División de Monomios

PRODUCTOS NOTABLES ,

Cuadrado de un Binomio

SACO OLIVEROS

ALGEBRA

4º PRIM.

OPERACIONES CON MONOMIOS (continuación) MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS: Para multiplicar monomios debemos multiplicar los coeficientes y aplicamos la multiplicación de bases iguales, es decir, sumamos los exponentes de las variables en común. Ejms.: (7 m ) (4 m ) = 28m2

1. 4

3x . 2x 2.

m1 . m1 = m1+1 = m2

5

= 6x9

x4 . x5 = x4+5 = x9

( 8 a 5 b 4) ( 2 a 4 b 3 ) 3. 4.

5.

= (9 m 4 n 2 ) ( 4 m 5 n . p )

( x 5 y 3) ( x y ) ( x 2 y 9 )

16a9b7 = 36m9n3p

= x8 y13

a5 . a4 = a9 ; b4 . b3 = b7 m4 . m5 = m9 n 2 . n = n 3 p está solo se escribe igual. Agrupamos las letras iguales.

P R A C T IQ U E M O S

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4º PRIM.

DIVISIÓN DE MONOMIOS: Para dividir monomios debemos dividir los coeficientes y aplicamos la división de bases iguales, es decir, restamos los exponentes de las variables en común. Ejms.: 25m 1. 2.

4

3 6 x 4y 5

5m

2

 5m2  m4  m2  m4 2  m2

1 2 x 2y 3



3x2y2  x4  x2  x4 2  x2 ;

3.

54a2b3  9a2b2  6b  a2  a2  a0  1 ; b3  b2  b

4.

100a5m4n5 n5 4 3 5 4 4 3  10 a mn  a  a  a ; m  m  m ;  n3 3 2 2 10am n n

5.

48x5y6 z  8x4 z 6 6xy

y5  y3  y53  y2

y6 x5  x4 ; 6  y0  1 ; z  x y se escribe igual.

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4º PRIM.

E

C

PRODUCTOS NOTABLES SACO OLIVEROS

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4º PRIM.

Son aquellos que nos ayudan a resolver en forma directa multiplicaciones de expresiones algebraicas (polinomios). Existen varios casos de productos notables, pero nosotros aprenderemos un caso. El Cuadrado de un Binomio: El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del priemr término más o menos el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término_ Existen dos casos que son: 2

2

(a + b ) = a + 2 a b + b

2

2

2

(a – b ) = a – 2 a b + b

2

Por lo visto sólo cambia el signo. Veamos el desarrollo de estos productos: (a+b)2 = (a+b) (a+b), entonces

a+b a+b ab + b2

a2 + ab a2 + 2ab+ b2 (a – b)2 = (a – b) (a – b) entonces:

a–b a–b – ab+b2 a2 – ab

a2 – 2ab+b2 Ahora comprendiste, este producto notable nos ayudará a resolver esta multiplicación en forma directa y práctica. Sólo debemos tener en cuenta cuando es + o –.

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4º PRIM.

Ejemplos: Todo esto lo conocemos, recordemos la teoría de exponentes y la multiplicación de monomios. 2 2

2

3

3 2

(7 x ) + 2 (7 x ) (6 y ) +

 7x

2

1.

(6 y )

 6y3   4 9 x 4 + 8 4 x 2 y 3 + 3 6 y 6 2

(8 m 4)2 – 2 (8 m 4) (3 n 5) +

2.

(8m4  3n5 )2  6 4 m 8 – 4 8 m 4 n 5 + 9 n 1 0 2

3 2

2

3

(x y ) + 2 (x y ) (8 ) +

3.

(3 n 5) 2

(8 )

2

(x2y3  8)2  x 4 y 6 + 1 6 x 2 y 3 + 6 4 4

3 2

4

3

5

5 2

(5 m n ) – 2 (5 m n ) (2 y ) + (2 y )

4.

(5m4n3 – 2y5 )2  2 5 m 8 n 6 – 2 0 m 4 n 3 y 5 + 4 y 1 0

P R A C T IQ U E M O S Efectuar: 2 1. (x  2y)

=

2 2. (3m  2)

=

2 3. (4m  5)

=

2 2 2 4. (a  b )

=

2 5. (4x  5y)

=

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4 2 6. (7xy  1)

=

10 2 7. (m  2n)

=

3 4 2 8. (9a  2x )

=

2 9. (y  9)

=

4º PRIM.

10 5 6 2 10. (x y  2m ) =

B Resolver: 2 2 1. (3x  2)

=

2 2. (x  5y)

=

3 2 3. (9a  1)

=

2 4. (8x  3y)

=

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4º PRIM.

16 2 5. (x  2)

=

2 2 6. (ab  x )

=

3 8 2 7. (11m  4n )

=

2 2 8. (2a  b )

2 9. (9xy  5ab)

4 5 2 10. (5x y  1)

=

=

=

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ALGEBRA

4º PRIM.

ÁLGEBRA

FACTORIZACIÓN

F

Factor Común Monomio

F

Factor Común Polinomio

F

Diferencia de Cuadrados

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ALGEBRA

4º PRIM. FACTORIZACIÓN

La Factorización consiste en transformar la suma o resta de un polinomio en un producto de dos o más factores. Existen varios casos, pero nosotros estudiaremos 3 de ellos que son: 1.

Factor Común Monomio

2.

Factor Común Polinomio

3.

Diferencia de Cuadrados

1.

FACTOR COMÚN MONOMIO: Consiste en factorizar el monomio en común, es decir, hallar el M.C.D. de los coeficientes y colocar la variable que se repite con su menor exponente. Ejemplos: Factorizar

1)

2)

m x + n x = x (m + n )

5a2b  10a3b2  5a2b(1  2ab)

Hallamos el M.C.D. de 5 5 - 10 5 1 - 2

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ALGEBRA

4º PRIM.

Comprobamos esta factorización: 2

5a b 2 5a b

3

10a b 2 5a b

+

2

1 + 2 a b  q u e d a n d o e s te r e s u l t a d o

la f a lt a 1 6

2

5

3

5

2

x y + x y = x y (x + y )

3)

la f a lt a 1

4 m 2 n 2 (3 n  6 m 2 n 3  2 m 3 ) 4)

12m2n3  24m4n5  8m5n2  12 - 24 - 8 6 - 12 - 4 3 - 6 - 2

2 2

4

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B SACO OLIVEROS

ALGEBRA

2.

4º PRIM.

FACTOR COMÚN POLINOMIO: Consiste en factorizar el polinomio en común, es decir, el polinomio que se repite. Ejemplos: Factorizar 1)

2)

3)

4)

m (x – y ) + n (x – y ) = (x – y )(m + n )

E l F.C .P. e s (x – y )

5 (a + b ) + y (a + b ) = (a + b ) (5 + y )

6 (m – n ) + p (m – n ) – 4 (m – n ) = (m – n )(6 + p – 4 ) = (m – n )(2 + p )

2(a  b  c)  y(a  b  c)  (a  b  c)(2  y)

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4º PRIM.

5) (x  m)  n(x  m)  (x  m)(1  n) 3 3 3 6) a(x  1)  (x  1)  (x  1)  (a  1)

7) x(m 5)  (m 5)  y(m 5)  (m 5)(x  1  y)

(  b)  (a  b)  (a  b)(8  m  1)  (a  b)(m  7) 8) 8(a  b)  ma B IE N . ¡A h o r a t e to c a a t i !

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4º PRIM.

B

3. DIFERENCIA DE CUADRADOS: Consiste en hallar la raíz cuadrada de ambos términos y colocar el producto de la suma por la diferencia de dichos términos.

A h o r a n o s to c a FA C T O R IZ A R u n a D IF E R E N C IA D E C UAD RAD O S

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ALGEBRA

a2  b

a

2

4º PRIM.

N o o l v i d e s q u e la d e u n a p o te n c ia e s la m ita d d e l e x p o n e n te .

 (a  b )(a  b )

b

Ejemplos: Factorizar: x x

4

3 6 a 10

49

2

7

2.

6a5

2

16m4  25n8  (4m2  5n4 ) (4m2  5n4 )

16  4m 2

4.

3 6 a 1 0  4  (6 a 6  2 ) (6 a 5  2 )

 4 9  (x  7 ) (x  7 )

x

1.

3.

2

25  5m 4

a6  100b12  (a3  10b6 ) (a3  10b6) a3

100

a3

10b6

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ALGEBRA 5.

4º PRIM.

121x10  64y6  (11x5  8y3) (11x5  8y3) 121  11x5

¡ Q u é fá c i l ! ¡A H O R A T Ú !

64  8y3

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N o o lv id e s q u e d e b e s tra b a ja r c o n o r d e n y li m p i e z a

B

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4º PRIM.

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