Algebra Abstracta - 3a Ed. - Fraleigh

sabcn, en aritmetica de fracciones sucede que n ~ / n= r/s si y solo si rns = nr.. Eslo nos da un crilerio mas eficaz para resolver nueslro problema, a sabet,

-

Denotemos por a h el hecho de que a esli en la misma celda-que h para una particion dada de un conjunto que contenga tanto a a como a h . Es claro que siempre se satisfacen las propiedades siguientes:

--

-

a a. El elemento a esta en la misma celda que el mismo. S i a b enronces b a. Si a esta en la misma celda que 6, entonces h esta en la n,isma celda que a. Si a b y h c, enronces a C. Si a esta en la misma celda que b y h esta en la misma celda que c, enlonces a esta en la misma celda que c.

-

-

-

El siguiente teorema es lundamental; afirma que una relacion entre elemenlos de un conjunto que satislace las tres propiedades recien descritas. produce una particibn natural del conjunto. Muchas veces, exhibir una relacion con estas propiedades, es la Iorma mas concisa de describir una particion de un conjunto, y es por esla razon que analizamos ahora este material.

-

Teorema 0.1 Sea S un conjunro no uacio y sea una relacidn enrre elemen10s & S que satisface lar propiedades siguienres: I (Reflexividad)a a para rodas 10s a E S. 2 (Simerria) Si a b, enronres b a. 3 (Transirividad) Si a by b c, enronces a c. Enronces, produce una parricibn natural de S , donde

-

-- -

--

-

--

es la celda que conriene a a pora roah las a E S. Reciprocamenle, -ada parricibn de S & lugar a una relacidn norural que sarisface las propiedades reflexha, simdrrica y rransiriua si se define a b como a E 6. Demosrraci6n Ya hemos demostrado la parte ccreciproca), del teorenm. , Para la afirmacibn directa. solo Ialta demostrar que las celdas definidas por ci = { x E S I x a] si consliluyen, en electo, una p-rtici6n de S, esto es. que todo elemento de S esta en exacramena una celda. Sea a E S. Entonas a € ci, por la condicion I, de modo que a esta en a1 menos una celda. Supongamos ahora que a tambien esluviera en la celda 6. Es necesario mostrar que ii = 6 c o m o conjuntos; esto mostraria que a no puede estar en mas de una czlda. Para ello mostramos que cada elemento de ii esta en 6 y cada elemento de 6 esta en o'. Sea x E ii. Entonces, x a. Pero a E 6, luego a b; entonces, por la condicion transitiva (3),x b de modo que x E 5. Asi, ci es parte de 6. Sea ahora y e 6. Entonces y b. Pero a 6, de manera que a b y, por simetria (2), b a. Entonces, pot transitividad, y a, de modo que y E i. De aqui

-

-

-

-

-

Operaclones binarias

LC&I cs el ingrediente bhsim del Upbra? El primer contacto de un nifio con el Blgebra se da cuando se le e n s e a~ sumar y multiplicar niimeros. Analicemos lo que en realidad suaede. Supongamos que ustodes visitan una civilizaci6n desconocida en un mundo deseonocido y observan a una criatura de cse mundo, en un salon de clases, ensmiando a sumar a otras criatuns. Supongamos a d r m b que ustedcs ignoran que el grupo apmnde a sumar, usledes simplemente crthn colocados en esa habitati6n como observadom y se pide h a a r un informe sobn lo que ban visto exactamente. El maestro m i t e unos ruidos que suenan aproximadamente como glup, poir. Los alumnos mponden bimr. A continuaci6n el maestro dice ompl. gafi y 10s alumnos mponden poil. iQuC a t h n hacicndo? Usteds no pueden informar que estkn sumando ncmeros, p u a ni siquiera wben que 10s sonidos represeatan n h r o s . Naturalmcntc, ustedcs mmprenden que existe mmunicac i b . Todo lo que pueden decir con scguridad es que e t a s criaturas conocen alguna ngla, de manera que al dcsignarse ciertos p a r a de cows en su lenguaje. una d s p h de otra, como glup, poir, eUos puoden ponerse de acuerdo en una mpuesta, b h t . Este proceso es igual al que ocurre en un aula de primer a80 a1 ensefiar a sumar; el maestro dice cuarro, side y 10s alumnos responden once. De este modo, al a n a l i r la suma y la multiplicacion de nttmeros, vemos que la suma es bkicamente una regla que sc aprmde y que nos permite asociar a cada dos nbmeros en un orden dado, un nbmem w m o mpuesta. La multiplicacibn tambitn es una regla, pero diferente. Por dltimo, d t e s e que a1 jugar con 10s estudiantes, 10s maestros deben tener algo de cuidado a a r c a de 10s pares de cosas que dicen. Si de repente un maestro de primer ado dice diez, cielo, 10s pobres

1.2 OEFlNlClON Y PROPIEDADES

11

alumnos se confundiran. La regla ata delinida solo para pares dr rlenientos dcl mismo mnjunto.

1.2

DEFlNlClON Y PROPIEDADES

Corno rnalematicos, tralernos de recoger la parte rnedular de esras ide;~sbhsicas en una delinicion util. Como ya dijirnos en Is seccion introductorin. no inlentamos definir un conjunto. D e i m k i h Una opcrauidn bimuia en un majunto, es una regla quc asigna a cada par ordenado de clernentos de un conjun~o.algun dcrnento dcl conjunto.

La palabra ordenudo es rnuy importante en esta definition. pucs da la posibilidad de que el elernento asignado al par (a, h) pueda scr dilcrc~i~c del elemenlo asignado al par (h, u).Tambikn tuvimos cuidado de no deoir quc ;I cada par ordenado de elemenlos sc le asigna orro o un rercer elemento. pucs quercmos permitir casos tales como 10s que ocurren en la surna de nurneros. dondc a (0. 2) se le asigna el numero 2. En las primeras secciones denotaremos por a . h al elemenlo asig~lndo;II par (a, 6) por *. Si en un analisis simullaneo hay difcrentes operacioncs hinc~rii~s. st usadn subindices o supraindices en para distinguirlos. El melodo mas iniportante para describir una operacibn binaria particular en un conjunto d:ido es el de caracterizar al elemento a * h asignado a cada par ((I, h) meciin~~lc ilguna propiedad delinida en lirminos de a y h. Ejemplo 1.1 [jefinase en Zt una operacion binaria r por u . 11 quc cs igual al minim0 cntre 9 y h o a1 valor combn si u = h. Asi, 2 I I = 2: 15 1 0 = 10 y 3.3 = 3.. Ejemplo 13 Lklinase en Z' una operilcion binaria *' mediante 2*'3=2;25*'10=25y 5*'5=5.

11 r ' h

= u. Asi,

Eplnplo 1 3 Dcfinase en Z+ una operacion binaria *" mediantc r r *" h = = (a h) 2 donde esta definida en el ejemplo 1.1. Asi, 4 *" 7 = k 25 *" 9 = I I y 6 *" 6 = 8. m

+

Quizi les parque estos ejemplos no son imporlantes, p r o pienxnlo hien. Supngamos que van a una tienda a comprar una deliciosa barra dc chocvlnte. Supngamos que ven dos bsrrarj idknticas, la eliqueta de una dicc 996 y la etiqueta dc la otra d i a 94C. Por supuesto, toman la de 94$. St1 c:~pacid:ld para saber cuil quieren depende del hecho dc que alguna vez en su viJa :~prcndicronI;I operacion binaria del ejemplo 1 .I. Er una operucii,n nrll!, i n r ~ r n r r o ~Asi ~ r ~~nismo, ~.

la operacion binaria r' del ejemplo 1.2 claramente depende de la habilidad para distinguir orden. A menudo se ilustra la importancia del orden pensando en el lio que resultaria si trataran de ponerse primer0 10s zapatos y despuks 10s calcetines. No deben apresurarsc a descartar algunas operaciones binarias creyendo que son de poca importancia. Es claro que las operaciones usuales de suma y multiplicacion de numeros lienen una importancia practica bien oonocida por todos. Escogimos 10s ejemplos 1.1 y 1.2 para demostrar que una operacibn binaria puede o no depender del orden del par dado. Asi, en el ejemplo 1.1, a h = h . a para toda a, h~ Zt, y en el ejemplo 1.2 eslo no sucede, pues 5 *' 7 = 5 pero 7 r' 5 = 7. Supongarnos ahora que se desea considerar una expresion de la lorma a r b r c. Una opcracibn binaria r pcnnite combinar s61o dos clernentos y aqui hay tres. Las maneras obvias de inlentar combinar 10s tres elementos son ( a 6 ) c o a (6 c). Con definida oomo en el ejemplo 1.1, (2 5) r 9 se calcula 2 r 5 = 2 y despuks 2 r 9 = 2. Asi mismo, 2 r (5 9) se calcula 5 9 = 5 y despub 2 r 5 = 2. De aqui que (2 r 5) 9 = 2 r (5 r 9) y se observa facilmente que para esla l

de manera que no existe ambiguedad al escribir a h* c. Pero para ejemplo 1.3

r"

del

mientras que

Asi, ( a 8'' h) r"c no neoesariamente es igual a a *"(h*"c) y la expresion a *"h *"c puede ser ambigua. DeIinki4n Una operacion binaria r en un conjunlo S es conmvrativa si (y solo si) a r h = h r a para toda u. h S. La operacion r es asociariva si (y solo si) (a b) c = u (h r c ) para toda a, h, c E S. Como sefialamos en la seccion introductoria, es costumbre en matematicas omitir las palabras y sblo side una definicion. Se entiende que las definiciones son siempre afirmaciones del tipa si y solo si. Los reorema no siempre son afirmacioI nes del rip0 si y s6lo si y dichu conurncibn nunca se usa pora reoremas.

No es dificil moslrar que si es asociativa, entonces expresiones mas largas como a 8 h c d no son ambiguas. Para prop6sitos de calculo, 10s parkntesis pueden insertarx dc cualquier modo: el resultado final de dichos calculos seri el mismo.

1.4 ALCUNAS PALABRAS DE ADVERTENCIA

1.3

13

TABLAS

Para un conjunto finito, tambitn se puede definir una operacion binaria en el conjunto, mediante una tabla. El ejemplo siguiente muestra cbmo l o haremos en este libro. Ejemplo 1.4 la regla

La tabla 1.1 define la operaci6n binaria

en S = {a. h, r ) mediante

(iisimo lugor en la izquierda) (j-tsimo lugar arribo) = = (lugar en el i k i m o renglcin y j-sima columna dc! cuerpo & la tabla). Asi, a r b = c y b r a = a de modo que

r

no es conmutativa.

Tabla 1.1

$# c

c

b

o

E l estudiante puede observar Ucilmente que una operacibn binario definida mediante UM rabla es conmutarha si y scilo si la tabla es sim2rrica con respecto a la diagonal que empieza en la esquina superior izquierda de la rabla y rermina en la e s q u b trjerior derecha. Suponemos siempre que 10s elementos del eonjunto estsn listados en la parte superior de la tabla en el mismo orden en que eslhn listados a'la izquierda. Con exccpcion del 1.4, nuestros ejemplos de operaciones binarias sc han definido en conjuntos de numeros. Es importante comprender que las operaciones binarias pueden delinirse en cualesquiera wnjuntos. En efecto, estudiaremos muchas operaciones binarias importantes en conjuntos cuyos elementos no son numeros. Algunos de 10s ejemplos dados mis adelante consisten en wnjuntos cuyos elementos son funciones. Suponemos que 10s ertudiantes estan hmiliarizados con ciertas funciones por sus cursos de d c u l o , entre ouos. Comprendemos que quizi por el momento no entiendan el concept0 de funcion; y mas adelante diremof algo sobre ello. Sin embargo. ya queremos ligar 10s conceptos recitn presentados con las matemiticas que ya saben.

1.4 ALGUNAS PALABRAS DE ADVERTENCIA Partiendo de su propia cxperiencia., e l autor sabe del caos que puede rcsultar si a un estudiante se le pide definir alguna operaci6n binaria en un conjunto. ObsEr-

14

OPERAClONES BINARIAS

vese que al definir una operacibn binaria seguros de que

en un conjunto S debemos estar

I se asigrlc e.raclarllcnlc un clrrrlenro a cada par ordcnado posible dc clcnirnro dc S, 2 para coda par adr~radodr clcrrrcnro.r flr S, r l el',frrorto asignado ~,.rfk1.n S.

Con respecto a la condicibn 1, 10s esludiantes suelen dar reglas que asignan u n elemenro de S a la amayorias de 10s pares ordenados, pero para algunos parcs la regla no delermina ninglin elernento. En este caso, no se ha detinido r. Tambien puede suceder que para algunos pares, la regla asigna cualquiera enye varios ekmentos de S, esto a,existe arnbigiedad. En caw de ambigiiedad. no u t P bien definida. Si se viola la condici6n 2, enlonces S no u cerrado bnjo *. Ilustrarernos ahora algunos intentos por definir operaciones binarias en conjuntos. Algunos son fallidos, como se setlala. Puesto que no se compararan las operaciones, denotaremos lodas por *. Ejemplo I S En Q, udefinasea por a r b = alb. Aqui, no rsrd drfinida ya que csta regla no asigna un nurnero racional al par (2.0).

.

Qmplo 1.6 En Q ' definasc r por o b = a/h. Aqui se satisfamn las condiciones 1 y 2 y r es una operacibn binaria en Q+.

.

Ejemplo 1.7 En Z+ udelinasew por a h = olh. Aqui se viola la condicibn 2, pues 1 + 3 no esd en Z'. Asi, noes una operacibn binaria en Z * ya que Z' !to es cerrado bop *. rn Ejcmplo 1.8 Sea S el wnjunto de tcdas las funciones w n valores reales definidas para todos 10s nimeros reales. Dzlinase r corno la surna usual de dos funciona, esto es,f g h donde h(x) = f ( x ) g(.r) para l; g E S y x E R. Esta ddinicibn de r satisfaa las condiciom 1 y 2 y nos da una operacibn binaria en S.

-

+

Ejcmplo 1.9 Sea Scorno en el ejemplo 1.8, ddinase wrno el producto usual de dos funciones, =to cs,f wg = h donde h(x) = f(xlg(x) Di nuevo esta definition es b u m y da una operaci6n binaM en S. rn Ejemplo 1.10 Sea S como en el ejemplo 1.8. udelinaser r wmo el cociente usual defpor g, esto a , / * g = h donde h(x) = f(x)/&). Aqui se viola la condicibn 2, ya quc las funcioncs en S deben esrar definidas para r&s 10s nlimeros reales y para algunag 6 S. g(x) sera a r o para algunos valores de x en R y h(.r)no estaria definida en csos nhrneros en R. POI ejemplo, si f(x) = w s x y g(x) = s2enlonces h(0) no esth delinida, de modo que h + S.. Ejemplo 1.11 Sea S wmo en el ejemplo 1.8; delinase)>* p o r f r g = h donde k es una funcibn mayor que f y g. Esta ccdeliniclbn* es completarnenle inutil. En

primer lugar, no se ha dclinido lo que signitica que una funcion sea mayor que otra. Airn si se hubiera hecho, cuelquier detinicion razonable conduciria a la existencia de muchas lunciona mayores que f y que g y no esroria- hien

.

dfinida.

Ejemplo 1.12 Sea S un wnjunlo lormado par veinte personas, todas ellas con dilerente eslalura. Definase por a b = r donde c es la persona mas alta de las veinte en S. Esta es una operacibn binaria wrrecta en el conjunto, aunque no sea particularmente interesante. Ejemplo 1.13. Sea Scomo en el ejemplo 1.12, ( por a h = c donde c a la persona mis baje en S que es mas dta quc a y que b. Esta no esrd definido pues si a o b a la persona mas alta del conjunto, a b no n t i determinada.

Ejercldos

. .

1.1 Sea la opcradbn binaria

ddinida en S = {a, b, c, d, c} mediante h tabla 1.2.

el r a dc la labla. b) CalcGlac ( a . b) c y a (b c) dc la tabla. jSe puede dccir. wn base en a t e dlculo, que a asocLtiva? C) CalcGlese (b d ) r c y b (d. c) de la labla jSe puede decir, con base en este dlculo, que s asociativa? d) jAcaso r ca cmmulativs? jPor quM a) CakGlac b 4 c c y [(a c)

. .

.

b

b

c

a b

d e

b d

c b

b b

a

a d c

1.2 Complktese la labla 1.3 de manera quc sc ddina una opcracibn binaria wnmutativa en S = {a, b, c. d l .

T a w 1.3

1.3 S=

.

La tabla 1.4 puede complelarse para definir una operacion binaria asociativa en h. 1.. 11.). Suponpase quc eslo es posihle y llcnensc 10s lugares vados.

t;:

{(I.

Tabla 1.4

h

h

c

u

i,

d ~ t Icd

.

dadas a continuacibn, d a una 1.4 Delerminesc si cada una de las dcliniciona dc operacion binaria en el conjunto dado. En caw, dc que no sea una operacion binaria, diga si las condicioncs I o 2 o ambas, de la sewion 1.4, sc violan. En Z', d d n a s e por a r h = a - b. En Z f , dclinase por a r b = 6. EnR,dctinax*poro*b=a-6. En Z', definase por a b = c, dondc c es el mcnor entcro mayor quc a y que b. En Zf,d@inase por a * h =?, dondc E cs al mcnos 5 unidadcs mayor quc a + b. r) En Z', ddinase p o r n b = c, dondc c es el mayor cntero menor quc el product0 dc

a) b). cj d) e)

. .

a y b.

'13 Pruebcx quc si es una operacion binaria en un wnjunto S, asociativa y conmutativa, c n t o n a s

( a * b ) . ( r * d ) = [(drc).a]*b para toda a, b, c, ~ E SSupbngase . que la ley asociativa sc cumplc w m o cn la dcfinicibn, solo para ternas. a t o a , supbngase sdlo

para toda .r, I: r

E

S.

1.6 Para toda operacion bioaria tativa y cull cs asociativa.

dcfinida a continuacidn, dctcrminese cual

r

a wnmu-

a) b) C) d) c)

EnZ,ddnax.pora*b=a-b. En Q,delinasc r por a r b = a b + I En Q.delinaw par a r b = 0612. En Z', d d n a x por a r b = Yb. En Z', detinase por a . b = 6.

1.7

‘False o

-

a) Si es cualquier operacion binaria en cualquicr conjunto S, e n t o n a s a . u = a para toda a E S. b) Si es cualquier opcracibn binaria conmutativa en cualquicr wnjunto S, cntonces a . (b r ) = (h E) 111 para toda a. b. C E S.

vcrdadcro?

-

-

C) Si r es cualquier opcracion binaria asociativa en cualquier conjunto S. entonces o r ( b r c ) = ( b * c ) * a p a r a t o d a e b,ceS. d) Las Gnicas opcraciones binarias importantes son aquellas defin~dasen-conjunlos de numcros. e) Una opcracion binaria r cn un conjunto Scs conmulativa s i cxistc u, b E S tal que a o b = h r a . f) Toda opcracion binaria dcliniaa en un conjunto dc un solo clcmcnlo es conmutativa y asocialiva. g) Una opcracion binaria cn yn copjunto S asigna al menos un elernento de S a rodo par ordenado de elemenlos de S. h) Una opcracion binaria en un conjunto S asigna a lo mas un elemenlo dc S a todo par ordcnado dc elernentos de S. i) Una opcracion binaria en unconjunto Sasigna exactamente un elerncnto de S a todo par ordenado dc elernentos dc S. j) Una opcracion binaria en un conjunto S pucde asignar mas de un elcmento de S a algun par ordenado de elementos dc S.

. .'

1.8 U s e un conjunlpdilerente a los descritos en 10s ejemplos del libro y que no sea un wnjunto dc numcros. Ddinanse dos opcraciones binarias dilercntes y en cstc conjunto. Asegurcsc que d conjunto este bien dermido. .

.

.

.

1 9 Sea S un conjunto con exactamente un demmto. iCuPntas bpcradones binarias dilerentes pueden definirse en S? Rcspbndasc a la prcgunta si S lienc 2 elementos; si ticne 3 elernentos; s i liene n elernentos. 1.10 jCu8ntas opcraciones binarias wnrnutativas difercntcs pueden dcfinirse en un conjunto dc 2 elerncntos?; Len un conjunto de 3 clemcntos?; Len un conjunlo de n elementofl 1.11 Obshvesc que Ias operacionca binarias + y +' en41 wnjunto {a, b ] dadas por las tablaa

b

o

b

proporcionan e l m h o lipo de esfrunura algebraica en {a, b ) en el sentido de quc si w reexrite la tabla para *'

es wrno la de

d o que l m papcles de a y b estan intcrcambiada.

.

Dese una delinicion natural del wnceptodc que dos opcraciones binarias y 4' en el m i m o wnjunto dan es1mcrura.r algebroicm del mum0 ripo, y que gcneralia esla oboervacion. b) ~ C d n l o slipos difercntcs de estructuras algebraicas cstan dadm por las 16 opcracioncs binarias difermta posibles, cn un conjunto dc 2 elemmtosl

a)

Continuernos el anilisis dc necstra cxpcricncia con el Algebra. Una vcz quc dominamos 10s problemas de calcular sumas y muitiplicaciones de nhmeros mtuvimos m condicionm dc aplicar atas operaciones binarias a la solucion de problemas. A menudo lor problemas llevaban a ecuaciones quc contcnian algun numero desconocido x quc era ncaario determinar. Las ccuacioncs mis scnciUas son las lineales dc las formas a + x = b para la operacibn de suma y ax = b para la multiplicacibn. La ecuaci6n lineal aditiva sicmpn tiene solucibn numtrica; tambib la multiplicativa, siemm que a f 0. En efecto, la nccesidad de soluciones de las ccuaciona lineales aditivas como 5 x = 2 a una magnlfica motivacibn para 10s nirmeros negntivos Dc manera similar, la nemidad de nhmeros rationales sc muestra mediante ecuaciones como Zx = 3, y La ncccsidad del numero mmplejo i sc muestra mcdiante la ccuaci6n x' = - 1. QuisiCramos ser capaces de m d v e r &uacioncs lineales que contengan operaciona binarias. Sin embargo, a t o no cs poaible para toda operacibn binaria. Por ejemplo, la a u a c i b a x = a no ticne soluci6n m S = {a, b, c ) para la operaci6n dcl ejemplo 1.4. Vcamos c u i k s son h propiedada de la operacion de suma de los enteros Z que nos pcrmiten resolver la ecuacion 5 x = 2 en 2. No debcmos ncurrir a la resta, p u a lo que nos ocupa es la soluci6n en tirminos de una sola operacion binaria, en es(c caso, la suma. Los pasos para la solucion son 10s siguientes:

+

+

cs(4 dado

5 + x = 2 -5+(5+x)= - S t 2 (-5 5) x = -5 2

+ +

+

sumando-5 kyasociativa

2.2 DEFlNlClON Y PROPIEDAOES ELEMENTALES

0 + x = -5+2 2 x = -5 x = -3

+

19

calculando-5+5 propiedad del 0 calculando -5 + 2

Estrictamente. no hemos mostrado aqui que -3 es una solucion. sino que es la unica posibilidad de solucion. Para mostrar que -3 es una soluci6n. basta calcular 5 + (-3). Puede bacersc un analisis similar para la ecuacibn 2x = 3 en 10s ndmeros rationales: Zx = 3 f(2x) = f{3) ( 1 . 2 ) ~= f .3 I.x=t.3 x =f.3 x=j

esta dado multiplicando por b y asociativa calculandof~2 propiedad del 1 calculando i . 3

f

Vcamos qu6 propiedads deben tencr un conjunto S y una operacibn binaria pcrmitir la imitacibn de este procadimiento en una ecuacibn a x = b para a, b e S. Es b&sii para el procedimiento la existencia de un elemento e en S mn la propiedad de que e * x = x para toda XES.En el ejemplo aditivo, 0 dacmpe~ibelpapel de e. y el I en el ejemplo multiplicativo. Despub, narsitamos un clemmto d en S que tenga la propiedad de que d a = e.. En el ejemplo aditivo - 5 dcscmpeao e! papel de d, y en el ejemplo multiplicativo lo hiio f. Por ultimo, neasitamos la k y asociativa. El m t o cs cucstibn de dlculos. Se puede observar Wlmente que para m l v e r la ecuacibn x a = b (hay que m r d a r que a x no neccsariarnente es igual a x a ) nos gustaria tener un elemento e en S t a l q u e x s e = XparatodaslasxcSy u n a d e n S t a l q u e r * Z = e.Contodas estas propiedada de en S stariamos seguros de pcder resolver ecuaciones lineala. Estas son pruisamente laa propiedada dc un grupo. + en S para

D C T I

binaria 9, '3,

'3,

'

+

Un gnrpo (G,*) es un conjunto C,junto w n una operacibn en C,tal que se satisface los siguientes axiomas:

La operacibn binaria es asociativa. Existe un elemento e en G tal que e + x = x e = x para todas las x E G:(Este elemento e a un ekmento identidod para * en 13.) Para cada a en G existe un ekmento d en G con la propiedad de que d a = a a' = e. (El elemento a' es un imrcrso & a respccto a +.)

R d l d e u quc IM4- indicln qus ic sli ddinicndo un itmino. V k s l inllirno piirralo ds la mxibn 0.1. h r tanlq un &mulo M e d a d pm UM opracib binaria en un mnjunto S a cualquiu s b l o r quc salidaga e. r = x r = r p r a lodas Isr raS.

20

CRUWS

Muchos libros incluyen otro axioma para un grupo, a saber, que G sea cerrado bajo la oprracidn 0 , es decir, que (a h ) G~para todas las a, b E G. Para nosolros, esta es una consecuencia de la dejinicicin de operation binaria en G. Debemos sefialar en este momenlo, que seremos descuidados con la notacion. ObsCrvese que un grupo no solo es un conjunto G. MAS bien, que un grupo (G, 0 ) consta de dos entidades, el wnjunto G y la opcracion binaria en G. Hay dos ingredientes. Denotar al grupo por el simbolo de wnjunlo G es logicamente incorrecto. Sin embargo, conforme se avanza en la teoria, las exlcnsiones logicas de la notacion (G, *) se vuelven tan voluminosas que dilicultan la lectura de la exposicion. En algun momento, todos 10s autores se rinden, descuidan la notaci6n y denotan al grupo solo por in letra G. Decidimos reconooerlo y ser desc~~idados desde el principio. Sin embargo, insistimos en quc a1 hablar de un grupo espccilico G, debe aclararse cual sera la operaci6n del grupo en G, pues un conjunto wntiene gran variedad de posibles opcraciones binarias delinidas, constituyendo gmpos diferentes. Algunas v m s emplearemos la notacibn (C. *) por razones de claridad en nuestros analisis Teorema 2.1 Si G es w g m p con una operaci6n binaria *, enlonces lar leyes de cancelacih iyuierda y &reek se cumplen en C, es decir, a b = a a c implica b = c y b r a = e r a implica b = cpara a, b, CEG. Demoslrocidn Sup6ngase que o b = a c. Entonas, pot Y, existe a' y

Por la ley asociativa (d r a) b = (a' a) l c.

Por la dd~nicidnde a' en Y, d r a = e, luego

Por la definition de e en Y, b=c

.

En forma aniloga, de b o = c a podemos deducir que b = c multiplicando por a' por la derecha y usando l a axiomas de grupo. Ndtese que fue necesario usar la dejnici6n de grupo para probar este leoremn, Teorema 2.2 Si G es un grupo con operacwn binaria r y si a y b son elementos ~ l e s q u i e r ade G, enronces lar ecuaciones linedes a* x = b y y r a = b tienen soluciones lhicas en G.

Notese que

Demmrrucion

a r /a' I b) = (a Ia') h = e* h =b

.

ley asociativa definition de o' propiedad de o

Por tanto, I = d h es una solution de a .Y = h. De manera analoga. != h r 11' es una solucion de ?. u = b. Para mostrar que J. es unica. supbngase que J' r a = h y J., r o = h En~onces. J ' * u = ,I., r a y por el ieorema 2.1 y = y,. La unicidad de .r se prueba de mnnera similar. Claro que para probar la unicidad en el ultimo teorema pudimos haber seguido el misrno procedimiento empleado para molivar la definicibn de grupo que mueslra que si N .v = h entoncs .r = a' r h. Sin crnbargo, prelerimos ilustrar la manera usual de probar que un objeto es unico. Supongamos que se tienen dos de dichos objelos, y que es necesario probar que deben ser el misrno. Nolese que las soluciones .\- = o' r h y !. = b r d no son necesariamente iguales a rnenos que r sea conmutativa.

.

Delinicibn Un grupo G es abrliano si su operacion binaria

r es

conmulativa.

Pongarnos algunos ejemplos de conjuntos con operaciones binarias aue dan grupos y otros quc no dan grupos. Ejemplo 21 El conjunto Ztcon la operacion elemcnto identidad para + en Zt.

+ noes un grupo. No existe un >

Ejernplo 2.2 El conjunto de todos 10s snteros no negatives (incluycodo el 0) con sigue no siendo grupo. Existe un elemento identidad 0,p r o no la operaci6n un inverso para 2.

+

+

Ejemplo 2 3 El conjunto Z con la operaci6n es un grupo. Se satidacen todas las condiciones de la definicion. El grupo es abeliano. Ejemplo 2.4 El conjunto Z f con la operacion de mul1iplicaci6n noes un grupo. Existe una identidad, el I, pero no hay inverso para 3. Ejemplo 25 El conjunto Q t con la operacion multiplicaci6n es un grupo. Se

satisfacen todas las wndiciones de la delinicion. El grupo es abeliano. Ejemplo 2.6

Definase

en Q' por o h = 4 2 . Entonces <

.-.."

y tarnbien

Por tanto,

es asocialiva. Es claro que

para todas las a E Qt de modo que 2 es un elernenlo identidad para ultimo,

*. Por

de manera que a' = 4/a es un inverso de a. De aqui que Qi con la operaci6n es un g r u p . Existe otro resultado acerca de gmpos que desearnos probar en esta scccibn. Teorema 2.3

En un grupo G con operacibn r huy una solo identidad e ral q u ~

para rodas las x E G. De la misrna manera, para cada a s G exirre un solo elemenlo a' to1 que daa=a*d=e. En resumen, la identidad y 10s inwrsos son ainicos en un grupo. Demostracibn Sup6ngase que e a x = x r e = x y ~ a m b i hque e , r x = x r e , = = x para todas las X E G . DCjcnse competir a r y e,. Considerando e como identidad, e r e , = e,. Pero considenindo e , unno identidad e r e, = e. Por tanto. e , = e . e , = e,

y la idcntidad en un grupo cs unica. Sup6ngase ahora que a' r a = a r a' = e y que a" r a a.a"

=aa

a" = e. Entonm

= ara' = e

y, por el teorerna 2.1,

a"

= a',

dc rnanera que el inverso de a a un grupo es Gniw. Para su informacibn, qucrernos haccr notar quc las estruauras algebraicas forrnadas por conjuntos con operaciones binarias en las cuales no se cumplen rodos

2.3 CRUPOS FlNlTOS Y TABIAS DE CRUPO

23

10s axiomas de grupo, tambikn sc estudian ampliamente. De eslas estructuras mas dkbiles, es el semigrupo, un conjunto w n una operacibn binaria asociativa, la q&, quizi haya acaparado mas atencibn. Recientemente se han estudiado tarnbih las .. estructuras no asociativas. Por ultimo, es posible dar axiomas formalmente mas dkbiles para un grupo (C, *) a saber:

I

La operacion binaria

en G es asociativa.

2 Existe una identidad izquierda e en G tal que e r x = x para todas las x e G. 3 Para cada a € G existe un inverso izquierdo a' en G tal que a' a = e

A partir de esta definicibn de wr solo lado podemos probar que la identidad izquierda tambien es una identidad derecha y que un inveno izquierdo tambikn es un inverso derecho para el mismo elemento. Por tanto, no deberiamos decir que estos axiomas son mPs dkbiles, pues dan lugar a las misrnas estructuras llamadas grupos. Es posible que en algunos casos sea mas facil corroborar estos ariomos izquierdos, que wrroborar los axiomas vcilidos para 10s dos lados. Desde luego, a ficil dcducu por sirnetria que tambib hay a x i o m derechos para un gmpo.

Hasta ahora nuestros ejemplos han comspondido a grupos inAn~tos,esto es, de grupos donde el wnjunto G time un nirmero infinito de elementos. El estudiante se preguntari si puede existir una estructura de grupo en algun conjunto Anito; la rspuesta es si, y ciertamente, dichas cstructuras son rnuy importants. Puato que un grupo debe tener al rnenos un elemento, a saber, la identidad, el wnjunto m b pequefio que puede dar lugar a un grupo es un conjunto {e} de un elemento. La unica operacibn binaria posible en {e} s t & definida por e e = e. El atudiante pucde wrroborar de inmediato que se cumplen 10s tres axiomas de grupo. En cada grupo, el elemento identidad cs siempre su propio inverso. Tratemos de constmir una estructura de grupo en un conjunto de dos elementos. Como uno de 10s elementos debe desempeiiar el papel de identidad, digamos que el wnjunto a { e a ; . Busquemos una tabla p r a una operacibn binaria en {e, a ] que dC una cslructura de grupo. Cuando demos una tabla para una operacibn de grupo. siempre colocaremos 10s elementos en la parte superior, hacia la derecha. en el mismo ordcn en que 10s colocamos del lado izquierdo, hacia abajo, colocando en primcr lugar la identidad, como en la tabla siguiente:

Como e sera la identidad, entonces

para todas bas X E (e, a ] , y nos vemos obligados a llenar la labla de la manera indicada mbs adelante, si es quc va a dar un grupo.

Ademas, o debc tener un inverso a' tal que

En nuestro caso d debe ser e o a. Puesto que obviamente d = e no funciona. debemos tener a' = a de tal modo que debemos completar la tabla de la siguiente manera:

Se satisfaoen asi todos 10s axiomas de grupo. excepto, quiza, la ley asociativa.

Veremos adelante, en una situation mas general, que esta operacibn es asociativa. Ustedes pueden aceptarlo en este momento, o hacer el tedioso trabajo de corroborar todos 10s casos. Con base en estos ejemplos, podremos enumerar algunas condiciones que una tabla que defina una operacibn binaria en un wnjunto finito debe satisfacer. para dotarlo de una estructura de grupo. Es necesario que algiin elemento del conjunto, que siempre dcnotaremos por e, a c t h como identidad. La condicion e x = x significa que el rengl6n de la tabla que contiene a e en el extremo iquierdo, debe contener exactamente 10s elementos que aparecen hasta arriba de la tabla, en el mismo orden. En forma aniloga, la condicibn r e = r signilica que la columna de la tabla bajo e, debc conlener precisamenre 10s elementos que apaen el extremo izquierdo, en el mismo orden. El hecho de que cada elemento a tenga un inverso derecho y un izquierdo, quiere decir que en el renglon frente a a debe apareoer el elemento e y que en la columna bajo a debe aparecer e en primer lugar. Asi, e &be aparecer en cada renglon y en cada columna. Sin embargo, podemos mejorar esto. Por el teorema 2.2, no solo tienen soluciones unicas las ecuaciones a r x = c y g * a-= r , sino tambien las ecuacio-

2.3 CRUPOS FlNlTOS Y TABLA5 DE CRUPO

25

nes a . = b y y r a = b. Por un argument0 analogo, esto significa que cudu elemcnto b del grupo &he aparecer una y solo m a wz en cada renglon y en cada colvmna & la rahla. De manera reciproca, supongamos que una tabla para una operacion binaria en un conjunto finito es tal, que hay un elemento actuando como identidad y que cada elemento del conjunto aparece precisamente una vez en cada renglon y en eada columna. Se puede vcr entonces, que la estructura es de grupo si y s61o si sc cumple la ley asociativa. Si una operacion binaria r esta dada por una tabla, por lo comdn es laborioso verifiear quc se cumple la ley asociativa. Si la operacion se define mediante alguna propiedad que caracteriza a a * b, suele ser ficil verificar el cumplimiento de la ley asociativa. Aiortunadamente, este segundo caso rcrulta x r el mas frecuente. Se ha visto que hay esencialmente un solo grupo de dos elementos, en el sentido de que si denotamos 10s elementos por e y a colocando primer0 a la identidad e, la tabla debe ser asi

Supongamos que un conjunto tiene tres elementos. Como antes podemos h a a r el conjunto (e,a, b). Para que e sea una identidad; en este conjunto, una operacibn binaria * d e b tencr una tabla como se muestra en la tabla 2.1. Quedan cuatro lugares por llenar. El atudiante puede ver de inmediato que la tabla 2.1 debe completarse como x m u s t r a en la tabla 2.2, si cada renglon y cada rolumna debe contener pmisamente una vez cada elemento. De nuevo se pide aoeptar, sin demostracion, el hecho de que esta operacion a asociativa, de modo que si da una atructura de p p o en G = {e, a, b ) . Tabla 2.2

Bi,. Supongamos ahora que G' es cualquier otro grupo de t r a elementos e imaginemos una tabla para G' donde la identidad aparece en primer lugar. Debido a que pudimos llenar la tabla para G = {e, a, h ) de una sola manera. vemos que si llamamos e a la identidad de G', a a1 siguiente elemento y h al ultimo, la tabla de G' que resulte seri lamisma que lade G. En otras palabras, las caractensticas es~ructuralesson las mismas para ambos grupos; un grupo se veri

eraclamente igual a olro con so10 carnbiar el nornbre a sus elementos. Por runto, c~uul~syubro rlos grupos dc ires eCmenros son es~rucruralmenfeel mismo. Esta es nucslra introduccion al concepto de isomorfisrno. Los grupos C'y C' son isomorJiis. Algunas veces esle concepto parece algo dilicil a 10s estudiantes. N o se lratara aqui, rnPs adelanle l o harernos de rnanera prccisa.

I1 Paracada operacibn binaria 8 delinida en el conjunto xitalado digase cubndo r dota al conjunlo de una atrunurs de grupo. Lk no resultar gmpo, d& el primer arioma en e l orden 9 , ; Y,; Y,; de la .ccribn 2.2 que no sz cumpla. a) b) C) d) e) f

DcFinase en Z por a. b = ah DcFinau*enZporo.b=a-b DcFinaserenR'pora*b = a b Delinase*enQporo*b= ab DcFinase en el mnjunto de todos lor nurneros reales distinlm de cero por a r b = ab M~nase*enCpora*b=a+b

L2 ConsidCrense nuutros axiomas 9,;9, y YI, para un grupo. Fitin dados en el orden 9,9,9,. Otros posibla 6rdenes para cnunciarlos son Y19,Y,; Y,9,9,; 9,9,9,;9,9,9, y 9,3,9,. Dc ulos =is 6rdena posibles, precisamente tm son aceptables para una ddinicion. iQut ordenu no son aceptables y por qui? (RccuCrdex que la mayoria de los profesom pregunta la ddinicibn de grupo cuando menos en un examen.)

2 3 Muktruc mtdiante dlculos y por el leorema 2 3 que s i G a un grupo con operacibn binaria 0 , e n t o n q para todas las a, b E C, kncmos que (a b)' = b'r a'. 'CuIl seria una e x p d 6 n anhloga pam (a b' c)'? 24 P d a s c de la riguknte manera para rnostrar que hay doa t i p difercntes posibles de Bhucntm dc grupo en un mnjunto de cuatro elmmtos. Sea el wnjunto {e, a, b, c} w n la identidad e p a n la opcraci6n del grupo. Enton~ala tabla dc grupo dcbe wrncnzar mmo sc muestra en la tabla 23

Tabla 2.5

El cuadro marcado mn la interrogaci6n no puede llenarsc con a. Lkbc llenarsc ya sea m n la identidud e o con un elcmento difercnte de e y dc a. Enel Lltimo caso no sc pierde gcnedidud a1 suponer que ate elemento a b. Si estc cuadro sz lkna con e, la tabla puedc m m p b n c cntonar de dos maneras, para dar un gmpo. Encuhtrenx estas dos tablas. (No es neaaario corroborar la ley asociativa.) Si se llena el cuadro con b. entonca se pude mmpletar la tabla de un solo rnodo para dm un grupo. EncuCntm mta tabla.

(Tampom aqui a neccsario corroborar la ley asccialiva.) Dc las Ires tablas obtenidas, dor dan el mismo t i p de atructura de grupo. Delenninese cuala son y mutstrese de qu.5 mancra dekria cambiar el nombre de lor elemenlos de una tabla para que ambas x a n la misma $00 conmuutivos todos 10s grupos de 4 elementos? 725 MuCslnse que ri G n un grupo finito con identidad e y con un numero par dc ckmcntos, mtonas eriste a r , en G, tal que a a = e.

+

26 ~ F a l r o vcrdadero?

-

a) Un grupo puede tener m8s dc un clemcnto identidad.

- b) Cualcsquien dos grupos de t m elementos son isomodos. - c) En un p p o , cada suacibn lineal timc rolucibn. - d) Ln nclitud mmcta k n t e a una definidbn cs manorizarln de manera que pucda

lucgo rrplirla p a l a h por palabra mmo rim m d texto. c) Cualquier definicibn de grupo dada por alguna penona cs corrects sicmpre que lo que rca grupo x @ n su M ~ n i c i b bsca grupo tambibn xgun la definicibn del libm. I) Cualquier detinicib dc grupo dada por alguna persona es correcta siempre que csa pcmna muestrc que todo lo que satisfaa su ddnicibn tambitn satisface la dd libm y vicmrro - g Todo p p o finito de t r e elemmtos como mkirno ca abeliano. - h) Una scuacibn de la fonna a . x b = c siempre tienc solucibn unim cn un Vpo. - i) El conjunto vacio pucde consideram como grupo. - j) Hasta ahom, cn el libm no x ban pracntado jemplos de grupos no abelianm

-

.

27 Dtae m a u b h para una operacibn binaria en el mnjunto {r.a, b) de t m elementos que cumph Ios uiomas 9, y Y, de p p o . pero no d axiom 9 , . 28 Dc m r d o mn d cjcrcicio 1.9. hay 16 opraciona binarias posiblcs en un mnjunto de 2 elementos. iCdntPa docan . Iconjunto de cslructura dc grupo? ~Cuhtasde 1.s 19,683 opmcioars binariu posibles en un conjunto & 3 clementas dotan . Iconjunto & una estnwbun dc gnIp.31

7.9

Sea S d conjunto dc todas lor numeros m l a exapto

- 1. Dclinax

.

en S por

.

a) MuWrrrt quc & una operocibn binarin en S. b) Mvtstrac quc (S. * ) a un grupo. c) b c u t o l m c la rducibn de la auacibn 2 r x r 3 = 7 m S. 2.10 Sea R* el wnjunto de todos los n6mcros m a l a exapto d 0. Ddinase a . b = Mb. a) MuQtrrsc que r & UM opcracibn binaria asociativa en R*.

b) Mubtrac quc site una identidad iquierda para dcmento en I*. c) Con au opem56n binaria, ~sR* un gmpo? d) Eapllqust la impoluncia de estt ejcrcicio. 2.11

r

cn R* por

y un inverso dcrecho para d a

Si s UM opcracib binaria en un wnjunto S, un ekmcnto x de S es idernpateme

pn r si x . x = x. Rutbcsc quc un grupo time exsctamente un elemento idempotcnte.

(Pucden usarsc los teomnas quc ya sc han dcmostrado en el terio.)

1 1 2 MuCItrtse que lodo grupo G con identidad es ateliano. [Sugerencia: considerese (ob)'.]

e lal

que x x = P para tadas las x s G,

1 1 3 Prutbcse que un conjunto G,junto con una operaci6n binaria en G que satisface 10s axiomas izquierdos 1, 2 y 3, dados al final de la seccion 2.2, es un gmpo. 214 PruCbese que un conjunto no vacio G junta can una operacibn binaria que las ecuaciones a

x = b y y * a = b tienen soluciones en G para todas las a, b, s

en G tal

G.

a un grupo. [Sugerencia: urcrc el ejcrcicio 2.13.1 215 Las siguientes udeliniciormu de grupo, quc deberln critiurse. oe han reproducido

literalmente, induyendo onografla y puntuacibn, de l a e d m e n a de alguna alumnos. a) Un g u p o G cs un conjunto de elementas junto con una operacion binaria satisfacen las siguienta condiciones r cs asociativa Existe e E G tal que e

tal que se

x = x r e = x = identidad.

Para toda a e G existe un a' (inverso) la1 que

b) Un grupo a un conjunto G tal que La operacibn en G u asokativa. existe un elemento identidad (e) en G. para toda a l G,e ~ i s t eun a' (inverso para cada elemento) c) Un ~ r u c8 p un conjunto con una operacion binaria tal quc csth dd~nidala opracibn binaria existc un inverso existe un clemento identidad d) Un conjunto G rc llama un grupa sobre la operacibn binaria a,b,e G

Operacibn binaria u d a t i v a bajo la suma existe un elemento { e ) tal quc

Para todo elemento a e~isteun elmento d la1 que

r

tal que para todas las

Subgrupos

Es el momento de explicar algo de terminologia y notaciones convencionales usadas en la teoria de grupos. Por regla general, 10s a1gebrista.s no usan un simbolo especial para denotar una operacion binaria diferenle de la suma y multiplicaci6n usualed Se aferran a la notacion wnvencional de la suma y la multiplicaci6n e incluso llaman la operacion suma o muitiplicacibn, dependiendo del simbolo usado. Es obvio que el simbolo para la suma es + y la multiplication se denota w n la yuxtaposici6n de 10s factores sin un punto, si es que no hay confusi6n. Asi, en lugar de la notaci6n a b usanmos ya sea a + b que se lee #la sum dc c i y bn o ab que se lee #el produclo dc a y 6 1 . Hay una espxie de acuerdo entre caballeros en cuanto a que el simbolo + se use s61o para designar operaciona wnmutativas. Los algebristas se sienten muy incomodos cuando ven a + b # b + a. Por csta raz6n. a1 desarrollar nuestm tcoria de grupos, en una situacih general donde la operation pueda &r o no conmutativa, usarcmos siempre la notacibn multiplicativa. Los matemhticos usan w n rrccuencia el simbolo 0 para denorar una identidad aditiva y el simbolo I para dcnotar una identidad multiplicativa, aunque en realidad no se denoten 10s enteros 0 y I . Claro que si alguien habla al mismo tiempo de ntimems, podria haber conCusi6n, y se prefiere el uso de simbolos como e o u wmo elementos identidad. Por tanto, una tabla para un grupo de Ires elementos sc veria mmo la tabla 3.1 o bien, wmo dicho grupo es conmutativo, se veria mmo la tabla 3.2. En situacioncs generales seguiremos usando r para denoiar el elemento identidad de un grupo.

Tabla 3.2

b

b

O

a

Se acostumbra denotar el inverso dc un clemento a en un grupo, con a-' en notaci6n multiplicativa, y w n -a en notaci6n aditiva. En adelantc usaremos cstas notaciones en lugar &I simbolo a'. Exp!iquemos un tirmino mas, que se usa tanto, quc amcrita una definici6n apartc.

Defia*ib. Si G cs un g u p o finito, cntonas el ordm JGIde G a el nGmero de elemcntos en G. En general, para cualquier conjunto linito S, (SJes el nhmero de elementas en S. Por Gltimo, en lugar de la frase con la operacibn binaria & usaremos la palabra bajo, asi que ael grupo R con la operacibn binaria dc sums* se conviertc en *el grupo R bajo la sumam.

HabrAn notado que hcmos icnido a vars grupos wntcnidos en gnrpos mayors. Por ejcmplo, el grupo Z bajo la suma csti wntcnido cn el grupo Q bajo la suma, el cual a su vez *it&conlmido en el grupo R bajo la suma Cuando vemos al gntpo