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“Innova Schools”
Del cole io a la
Mes: Abril 2013
NIVEL: SECUNDARIA
ÁLGEBRA. SEMANA Nº 01
CUARTO GRADO
NÚMEROS COMPLEJOS II Números Complejos Sea: z = a + bi Entonces: 2. Operaciones con Complejos.
1. Módulo de un Complejo. z
a
2
b
2
División: Para dividir dos números complejos se multiplica por la conjugada del divisor al dividendo y divisor.
Ejemplo: Sea: z = 3 + 2i Entonces:
Ejemplo: 2
z
3
z
13
2
2
Sea: z1 = a + bi ^ c + di
Sea: z1 = 5 + 3i
Entonces: z1 a bi c di
Entonces: z1
(5)2
z1
34
32
z2 z1
Propiedades del Módulo.
c di c di
z1
z2
ac adi bci bdi2 c2
d2 i 2
( ac bd) (bc ad)i
z2 c 2 d2 Potenciación: Para elevar un número complejo en la forma binomial se efectúa por productos notables.
Sea z; z1: z2 números complejos. 1.
Ejm:
z 0
(1 2i) 2
2. z
2
z z
(1) 2
1 4i 4
2(1)(2i) (2i) 2
3 4i
3. z
z
z
(3 2i) 3 (3) 3 3(3) 2 (2i) 3(3)(2i) 2 (2i) 3
4.
27 54i 36 8i
z1 z 2
z1 z 2
z1
| z1 |
(1 i) 4
| z2 |
5
9 46i
5.
z2
(1 i)
6.
zn
z
(1
i) 2
2
2
[ 2i] 2
(1 i)
( 2i)( 2i)(1 i)
(1 i)
2
4
(1 i)
4 (1 i)
n
4 4i
7. n
z
n
z (raíz aritmética)
4to Grado de Secundaria
Lideres en Educación Educación 1
“Innova Schools”
Del cole io a la ( 2 i)
6
( 2 i) 6
Mes: Abril 2013
(2
[4 4i i 2 ]3
[ 3 4 i] 3
( 3) 3
27 108i 144 64 i
i)
2 3
3(3) 2 ( 4 i) 3(3)( 4 i) 2
( 4 i) 3
117 44 i
TALLER Nº 01 1. Determinar el módulo: z = 6 + 8i
5. Calcular: i
2. Determinar el módulo: z = (3 + 4i) (1 + i)
5
i
6. Sea: z = 2 + i Hallar: 2 z 3 i
3. Resolver: (1 + 3i)2 =
7. Determinar el módulo: 2 2 4
i
3i
(2 - 4i)2 =
8. Calcular "n"
4. Resolver: 2i 1i
[ (1 + i)4 + (1 - i) 4 ]n = 64
5i 2i
9. Hallar "n", para que al dividir: imaginario puro.
Lideres en Educación 2
+ +
el resultado sea un
4to Grado de Secundaria
“Innova Schools”
Del cole io a la
Mes: Abril 2013 + 10. Hallar "a", para que al dividir: − ; sea un número real.
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Si: 3
a bi
m ni
d)
{a; b; m; n} Reales.
Además: i2 = 1 Calcular:
+√
e) i
6. Siendo "z" un número complejo, calcular: M = 1 + z 2 - 1 - z 2
a b 1 3 3 1 m n
a) 3i d) 3i
b) 1 e) 3
Si: Re(z) = 7 a) 25 d) 28
c) -1
2. Si ‘‘z’’ y ‘‘v’’ son números complejos. Calcular:
b) 26 e) 29
7. Efectuar: ab i
2z 3 v Im 3z 4 v 3z 4 v
Im
5z v
a) 3 d) 3
1 abi
b) 1 e) 0
c) 1
a) 1 d) 2i
3. Sean: z1; z2 C reducir: z1
1
Re z
a) 1 d) 3
z2
2
z2
z1
z2
Re z1 z
2
z1
i 1
1
d)
+ −
i
a b 2i a b 3i
2
a) 1 b) 2 Lideres en Educación
a (b 8)i a bi
;
a b c)
IR
60
a bi
1
i
1
i
c)
b
ai
Es un imaginario puro; entonces: a) a = 1 d) a = 0
− +
+1
b) b = 1 c) a = 1 e) b = 0 a = 0
10. El valor de la expresión:
6
3i
b) 3 e) 24
1 1
5. Efectuar: 1
; z2
i
b) i e)
9. Si el complejo:
i 1
1
a) 1
c) 2i
i 1
1
1 mni
b) i e) 0
a) 30 d) 10
4. Calcular: 1
mn i
e imaginario puro respectivamente. Hallar el valor de: R = a - b; ab 0 Donde:
c) 2
1
8. Sabiendo que: z 1 y z2 representan un número real puro
2
b) 1/2 e) 1/3
S
c) 27
6
1
3i 2
d)
30
3i
b) 1 2 3i
a) 1 c) 3
3i
3
1
es: c) 1
e) 1 + i
4to Grado de Secundaria 3
“Innova Schools”
Del cole io a la
1003
Mes: Abril 2013 k
i
1i S 2 a) - ik
b) - 1
d) (-1)k+1i
e) 2i
k 1
E
1. Si "k" es un entero no negativo, calcular:
2 i i2 i3
4k 6
(i
a) - 1
1)
b) 1
c) 1/2
1
d) - 1/2
c) (-1)ki
e)
2i
TAREA DOMICIL 2. Calcular:
1. Determinar el módulo de: Z = (2 + 3i)(4 + i) a) 5√ 2 d) 41
b) √ 41 e) 50
c)
10i
√ 5
a) 1 + i d) 1 + i
2. Sea: z = 3 + 2i ^ w = 1 + i
b) 6i
d) 9i
e) 15i
a) d)
c) 14i
√ 130 √ 133
a) 10 d) 60
b) 5 + 14i e) 14i
2 3i z 2
3
3
3i
1i a) 120i d) 120
z1 z2
11. b) 4/3 e) 1/3
c) 1
5 mi 2 3i
a) 10 d) 1/3
a) 6 d)
2 2i
b) 40 e) 80
c) 20
b) 10i e) 100
c)
120
b) 1 e) 256
c)
256
12. Hallar el módulo de:
c) 5/3
Z
6. Hallar el valor de "a", si el complejo:
es un imaginario puro.
b) 10/3 e) 2/3
z
√ 38
Si ‘‘i’’ es la unidad imaginaria, al efectuar la siguiente operación: 2(1 + i) 16 (1 i)16; se obtiene: a) 0 d) 512
5. Determinar el valor de "m", si el complejo: z
c)
10. Sea: z = 3 + 2i Hallar: z4 1
Determinar:
a) 5/3 d) 2/3
1 i
c) 5 + 14i
4. Sea: 2
√ 118 √ 138
[]
b) e)
Z (3 4i) 1 3i 2 2
Determinar: 17
z1
c)
9. Determinar el módulo de:
3. Sea: z1 = 2 + 3i ^ z 2 = 4 i
a) 5 14i d) 5 14i
b) 1 i e) a ó c
8. Halle el modulo del complejo ‘‘z’’, si al dividirlo entre 3 2i y al cociente sumarle 4 se obtuvo 5 + 3i.
Hallar: z2 + w3 3 a) 3i
2i
7. Calcular el valor de:
a 4i 3 2i
b) -2 e) 2
a) 29√ 29 d) 5√ 29
es un número real.
1
(5
2i)3
b) e)
√ 29 19√ 29
2
1 2
c)
i
2√ 29
13. Determinar el número de valores de "2m" para los cuales: G = (m + i) 4 IR.
c) -1
Siendo: √ 1 =
4to Grado de Secundaria
Lideres en Educación 4
“Innova Schools”
Del cole io a la
Mes: Abril 2013 1
a) 1 d) 4 14.
b) 2 e) Infinito
c) 3
z
a) 3
Para que valor de "a" real no nulo, positivo z = (a + i)3 resulta un imaginario puro. a) 9 d) √ 3
d)
c) √ 3
b) 3 e) 27
1
6
4i
−
25
z
b) 4 e)
1
1
z
3i
√
5
+
c)
15. Hallar "z" si cumple:
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 02
CUARTO GRADO
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR FÓRMULA GENERAL Ecuaciones de Segundo Grado
x
2
b
x
a
b
4a
Son aquellas ecuaciones de la forma: x
ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0
x
Donde: a ⇒ Coeficiente del Término cuadrático. b ⇒ Coeficiente del Término lineal. c ⇒ Término independiente.
2
2a b
2a b
2
4a 2
b
2 2
4a
2 2
b
a
b
2
c
2
c a
4 ac 2
4a
Sacamos raíz cuadrada y despejamos el valor de ‘‘x’’: b 2a
x1,2
b2
4ac 2a
b2 2a
4ac
Presentando una solución general que es: x1;2
b
b
2
4ac
x1,2
2a
1) Resolver: 3x2 + 5x + 1 = 0
Luego las raíces son:
b
b
2
... l.q.q.d
Ejemplo:
Donde: b2 - 4ac = △ se denomina: Discriminante
x1
b
4 ac
x2
2a
b
b
2
4 ac
Resolución: Comparando: a = 3, b = 5, c = 1
2a
Luego reemplazando en la solución general: Demostración: Sea la ecuación cuadrática. ax2 + bx + c = 0; a 0
x
Dividimos entre ‘‘a’’:
x
x
2
b
a
x
c
a
0
Formamos trinomio cuadrado perfecto sumando: A ambos miembros de la ecuación
5
52
4 (3)(1)
2(3) 5
13
6
Las raíces son:
x1
5 13 5 13 x2 6 6
2) Resolver: 4x2 - 9x + 5 = 0 Resolución: Comparando: a = 4, b = 9, c = 5 Luego reemplazando en la solución general:
4to Grado de Secundaria
Lideres en Educación 5
“Innova Schools”
Del cole io a la x x
Mes: Abril 2013
( 9) ( 9) 2
Sea: (x - 1); x ; (x + 1) tres números consecutivos, debemos hallar "x + 1" (piden el mayor)
4 ( 4 )(5)
2( 4 )
Del enunciado:
9 1
( x 1) x ( x 1)
8
x
Las raíces son: x1
9
8
1
x2
5
4
x2
9
1
8
2
63x , como x
0:
1 63
64
0
( x 8)( x 8)
0
x1
1
Problema: El producto de tres números enteros consecutivos (no nulos) es 63 veces el intermedio. Hallar el mayor de ellos. Resolución:
8 x2
8
Si: x = 8 el mayor será x + 1 = 7 Si: x = 8 el mayor será x + 1 = 9
TALLER 1. Resolver: x2 - 4x + 1 = 0
5. Calcular "m", si el discriminante de la ecuación: x2 + 5x + m = 2 es igual a 9
2. Resolver: x2 = 2√ 2x + 7 6. Resolver: 2x 3 x 1
x2 x
3. Resolver: (x + 1)2 + (x - 2) 2 = 6 7. Resolver: (x + 2) (x + 3) = 4
4. Calcular el discriminante: x2 = 7x - 9 8. Resolver: (x + 2)3 + 4 = x3 + 8
4to Grado de Secundaria
Lideres en Educación 6
“Innova Schools”
Del cole io a la
9. Resolver: 2x - 13 =
Mes: Abril 2013 10.Resolver: x2 + x + 1 = 0
−+
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Hallar los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene 10cm, sabiendo que uno de dichos catetos es igual a la semisuma de la hipotenusa y el otro cateto. a) 5 y 12 d) 10 y 24
b) 6 y 8 e) 18 y 24
5. La diferencia de dos números es a su producto como 1 es a 24. La suma de estos números es a su diferencia como 5 es a 1. Hallar los números. a) 2 y 24/23 d) 9 y 6
c) 12 y 18
rectangular?
del cuadrado. b) 80 e) 45
a) 60 m2 d) 64
c) 60
b) 50 e) 70
c) 65
7. Resolver:
3. Al resolver: x2 + x - 1 = 0 Se obtiene como raíces a x1x2 (x 1 > x2) y al resolver: 2x2 - 2x - 5 = 0, se obtiene como raíces a: x 3x4 (x3 > x4)
1 x
1 6
x
1 3
x
1 4
a) -9/2 b) 2/9 d) No tiene solución.
Entonces ordenar las raíces de menor a mayor.
x
5
c) 1/3
8. Dada la ecuación: 2x
a) x1; x3; x2; x4 c) x2; x4; x1; x3
c) 12 y 8
6. El largo de un rectángulo excede al ancho en 12m. Si cada dimensión se aumenta en 3m su superficie es igual a 133m2. ¿Cuál es el área inicial de la región
2. Un terreno cuadrado se vende en dos lotes, el primero es un rectángulo, uno de los lados mide 30m y el otro 3/5 del lado del cuadrado, el segundo lote se vende en S/. 12400 a razón de S/. 2,50 el m 2. Calcular el lado
a) 70 d) 65
b) 24 y 18 e) 33 y 6
b) x1; x2; x3; x4 d) x2; x1; x4; x3
x
3
1
2 x x
Donde ‘‘m’’ es una solución.
e) Ninguna es correcta. Hallar: m4 4. El cuadrado de la suma de las dos cifras que componen un número es igual a 121. Si a este cuadrado le restamos el cuadrado de la cifra de las decenas y el doble del producto de las dos cifras, se obtiene 81. ¿Cuál es el número? a) 83 d) 29
b) 74 e) 82
a) 1 d) 4
b) 2 e) -2
c) -4
9. Resolver y dar una solución: x
c) 92
2
a) 9/4
8x 9
b) 81/4
2x
c) 2500
4to Grado de Secundaria
Lideres en Educación 7
“Innova Schools”
Del cole io a la
d) 5184
e) 9/2
a) 1 d) 4
5. Resolver la ecuación: x 2 - (2+i)x + 2i = 0, e indicar una de sus raíces a) i d) -1 + 2i
b) 1 + 2i e) -3 - i
Mes: Abril 2013
b) 2 e) 0
c) 3
11. Si "x" es un número complejo, la parte imaginaria de una de las soluciones de: x
c) i + 2
2
4x
6
0
1
10. Dada la ecuación:
a)
2
b) -1
c)
d)
1
2
1
1
(a + b)x2 (a2 b2)x + (a b) = 0 Sabiendo que el discriminante es: a 2 b2.
2
e)
2
2
2 2
Hallar: N
b
2
a
5
2
TAREA DOMICIL
1. Resolver:
100x2 400x + 91 = 9
x2 x 3 = 0
e indicar el valor de la menor raíz. e indicar el valor de la mayor raíz. 9. Resolver: 2. Resolver:
mx2 nx p = 0
x2 5x + 5 = 3
e indicar la menor raíz, siendo "m", "n" y "p" los 3 primeros números primos respectivamente.
e indicar el simétrico de la menor raíz. 3. Hallar ‘‘ab’’ si al resolver:
10. Resolver: (2x 3)2 + 5(x 1) = 3(x2 1)
2 4x + x 2 = 0 La menor raíz adopta la forma:
b
3
e indicar el mayor valor que adopta la incógnita.
a5
4. Resolver:
11. Resolver:
3x2 - 5x + 1 = 0
200x2 300x + 101 = 201
e indicar el inverso multiplicativo de la menor raíz.
e indicar el doble de la suma de la mayor raíz con el simétrico de la menor raíz
5. Resolver: x
x
1
x
4
12. Resolver:
Indicar la menor raíz.
2x
2
x
2x
2
x
4
10
6. Resolver:
3x2
5x 1 0
13. Hallar el valor de "x" en:
e indicar el recíproco de la mayor raíz
x
1 1 1 ...
7. Resolver: 2(x + 1)(x + 2) (x + 3)(x + 4) = 2
14. Indicar una raíz de la ecuación:
e indicar la mayor solución
abcx2 abc a2x = xb 2c2 2abc Siendo: abc 0
8. Resolver:
4to Grado de Secundaria
Lideres en Educación 8
“Innova Schools”
Del cole io a la
Mes: Abril 2013
15. Resolver: (p - 2)x2 - px + 1 = 0 Siendo: ( p * (p * ( p * (p + 1)))) = 17 De acuerdo a la operación arbitraria definida por: a * b = a + b, indicar el inverso aditivo de la menor raíz.
18. Un número excede a otro en 6, además el producto de ambos es 135. Indicar el mínimo valor que adopta la suma de dichos números. 19. El doble del cuadrado de un número entero, aumentado en 7, es igual al quíntuplo del exceso de 2 sobre dicho número. ¿Cuál es el número?
16. Resolver: 17. Hallar el menor valor que asume un número cuyo cuadrado disminuido en 63 es igual a su doble. 1
1
1
3
2
6
1
1
x
x
3
x
4
x
x
1
1
13
9
6 x
18 2
x
x
5
NIVEL: SECUNDARIA
SEMANA Nº 03
CUARTO GRADO
PROPIEDADES DE LAS RAICES
Producto de raíces:
Propiedades de Segundo Grado Dada la ecuación:
x1 x 2
c
a
ax2 + bx + c = ; a Sabemos que sus raíces son:
x1
b b2
4 ac
2a
; x2
Sumándolas: se anularía √ x1
x2
b
b
2a
b b2
4 ac
2a
4 quedando:
2b
2a
x1
x2
b
a
Multiplicándolas: en el numerador tendríamos una diferencia de cuadrados.
Observación:
2
2 ( b) 2 b 4 ac b 2 b 2 4 ac 4 ac x1 x 2 2a 2a 4a2 4a2 c x1 x 2 a
1. Raíces Simétricas: Llamamos así a las raíces cuya suma es cero. x1
Estamos demostrando dos propiedades que nos permiten calcular la suma y el producto de raíces de la ecuación, sin necesidad de resolverla.
x2
x1
b
x2
0
2. Raíces Recíprocas: Llamamos así a las raíces cuyo producto es la unidad.
Suma de raíces: x1
x 2 son simétricas, si: x1
x 2 son recíprocas, si: x1 x2
1
a
4to Grado de Secundaria
Lideres en Educación 9
“Innova Schools”
Del cole io a la
Mes: Abril 2013
x1 x 2 x1 x 2
Ejemplos:
1) Determinar la suma de los valores de ‘‘k’’ que hacen que la suma de las raíces de la ecuación:
(k 2) 1
k 2
x2 + kx + 2x - k 2 + 4 = 0
4 k 2 1
k 2 4 k 2
k 6 0
Factorizando por aspa simple tenemos:
Sea igual al producto de las mismas.
(k
Resolución: Dando forma a la ecuación:
3)(k
3
2)
0
k
k
Piden:(-2 3)
2
1
1x2 + (k + 2)x + (4 k 2) = 0 Dato:
2) Determinar el valor de ‘‘p’’ en la ecuación x2 6x + 4 + p = sabiendo que la diferencia de sus raíces es 2.
(a b) 2
0 m 1 8 2m 0
2m 8 m
Resolución: Para hallar o usar la diferencia de raíces, recordemos una de las identidades de Legendre: (a b)2
(8 2m)
4
Reconstrucción de una ecuación de 2do grado conociendo sus raíces:
4ab
Dadas las raíces "x1" ^ "x2", la ecuación que posea éstas raíces será:
Para nuestro caso: (x1 + x2)2 (x1 x2)2 = 4x1x2 Luego: 2
6 4 p ( 2) 2 4 1 1
Entonces: 36 4
x2
( x1
x 2 ) x ( x1 x 2 ) 0
4 ( 4 p)
84p 4
p Ejemplos:
3) Hallar el valor de ‘‘m’’ para que las raíces de la ecuación: x
2
5x
3x
2
m 1 m 1
1. Formar la ecuación de 2do grado que tenga por raíces 3/2 y 4.
sean simétricas .
Resolución: Sean: x 1 = 3/2; x2 = 4
Resolución: efectuando:
Tendremos que: x 1 + x2 = 5/2; x1x2 = 6
(m + 1)x2 + 3(m + 1)x = 5(m 1)x + 2(m 1)
La ecuación será: 5 x 2 x ( 6) 0 2
Reduciendo términos semejantes.
Para que los coeficientes sean enteros multiplico por 2. 2x2 - 5x - 12 = 0
(m + 1)x2 + (8 - 2m)x 2(m 1) = 0 Como las raíces son simétricas:
x1
x2
0
2. Formar la ecuación de 2do grado con coeficientes enteros, si una de sus raíces es 3 2 .
4to Grado de Secundaria
Lideres en Educación 10
“Innova Schools”
Del cole io a la ( x 3)
Resolución: 1er Método: como una raíz es irracional la otra raíz será: 3 2 de donde: x1 x 2 6;
x
3
2
2
x1 x 2
3
2
2
x2
6x 9 2
x2
6x 7 0
x
3
3
2
x
x
2
2
5i
5i
Elevando al cuadrado:
.
(x
2
Resolución: lo haremos con el 2do método:
La ecuación será: x2 6x + 7 = 0
x
2
3. Formar la ecuación de 2do grado con coeficientes reales, si una de sus raíces es 2 + 5i.
7
2do Método: buscando que eliminar la Tenemos:
Mes: Abril 2013
2
x2
2
x2
4x
4x
2) 2
4
29
( 5 i) 2
25
0
Elevando al cuadrado:
TALLER Nº 03 1. Si: "x1" y "x2" son raíces de la ecuación: 2x2 - 5x + 9 = 0 Calcular: x1 + x2 + x1 . x2
5. Hallar "a", si: (a - 4)x2 - (2a - 5)x + 2a - 1 = 0 posee raíces recíprocas 2. Determinar "k" para que la suma de raíces: (k - 4)x2 - (k - 3)x + 7k 2 = 0 ; sea 2
6. Si "x1" y "x2" raíces de la ecuación: 2x (x - 3) = 7 Obtener:
3. Determinar "a" para que el producto de raíces: (a - 5)x2 + (2a - 3)x + a + 7 = 0 ; sea 4
1 x1
1 x2
7. Si "x1" y "x2" raíces de la ecuación: x2 + 2x = 5 Calcular: x1 - x2
4. Hallar "a", si: 3x2 - (15a - 45)x + 7 = 0 posee raíces simétricas.
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8. Formar la ecuación: x1 = - 3 ; x 2 = - 7 10. Formar la ecuación de segundo grado con coeficientes reales, si una de sus raíces es: 2 + 3i
9. Formar la ecuación de segundo grado con coeficientes 3
enteros, si una de sus raíces es: 4 -
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Sean ‘‘a’’ y ‘‘b’’ las raíces de x2 + 2006x + 1996 = 0. Calcular: M = a 2 + b2 + a2b2 + 2ab(a + b + 1) a) 90 d) 110
b) 95 e) 120
cantidad de sumandos considerados. Hallar el valor de ‘‘n’’. a) 3 b) 17 c) 5 d) 14 e) 16
c) 100
6. Las raíces de la ecuación en "x": m 1x2
2. Siendo "a" ^ "b" raíces de la ecuación: x 2 + 1 = 5x. Formar la ecuación cuadrática que tenga como conjunto solución:
a) 0 d) -2
b) x 2 + 5x + 3 = 0 d) x 2 10x + 4 = 0
3
1x
a) x2 + 16 = 0 c) x2 x + 2 = 0
( x1
a) 32 d) 83
b) x2 2x + 16 = 0 d) x2 2x + 4 = 0
b2 )x 2
2(a b) x (a b) 0
b) (b - a)-1 e) 1
3)
1 (x 2
3) 5
b) 43 e) 123
c) 51
c = 0; Calcular: A = (ax 1 b)(ax2 b) a) –b/a d) a/c
para que sean
raíces simétricas? a) (a + b)-1 d) a + b
5
8. Si: "x1" ^ "x2" son las raíces de la ecuación: ax 2 bx +
4. ¿En cuánto hay que disminuir las raíces de la ecuación:
c) -1
1
e) 2x2 + x + 1 = 0
(a 2
b) 1 e) 2
1
3
0
Hallar:
3. Formar la ecuación de segundo grado en ‘‘x’’ cuyas raíces sean los cuadrados de las raíces de: x
m 1; m
7. Dado: x2 + 3x + 1= 0; cuyas raíces son "x 1", "x2"
e) x2 + 10x 4 = 0
3
x
Son "a" y "b". Indicar el valor de: m(1 - m); si: a + b = ab.
1 1 a ; b b a
a) x2 + 3x + 5 = 0 c) x2 6x + 1 = 0
m 2x
b) ac e) -a/c
c) –c/a
9. Si las ecuaciones: x2 + px + q = 0.........(1)
c) (a - b)-1
x2 + ax + b = 0 ... ....(2) Admiten una raíz común. La ecuación de segundo grado cuya raíz doble es la raíz común de las 2 ecuaciones anteriores es:
5. Al sumar los cuadrados de los ‘‘n’’ primeros números enteros positivos se obtuvo como suma once veces la
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10.
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2 2 2 p) x + 2(a p)(b q)x + (b q) = 0 2 2 2 p) x 2(a p)(b q)x + (b q) = 0 2 2 2 b) x 2(a p)(b q)x + (b q) = 0 2 2 2 b) x + 2(a p)(b q)x + (b q) = 0 + b)2x2 2(a + b)(b q)x + (b + q) 2 = 0
a) 4 d) 0
c) 6
a'x2 + b'x + c' = 0
Indicar la relación correcta entre los coeficientes para que estas tengan exactamente una raíz común.
Determinar: a - b - c c)
b) 5 e) 8
12. Sean las ecuaciones: ax2 + bx + c = 0
x2 + x + a = 0 x2 + cx + b = 0 También poseen exactamente una raíz real común.
b) 2 e) 2
x2 - 3x + q = 0
Determinar "q", de tal manera que estas dos ecuaciones tengan una raíz común.
Sean "a", "b" y "c" números reales, tales que las ecuaciones: x2 + ax + 1 = 0 x 2 + bx + c = 0 poseen exactamente una raíz real común y las ecuaciones:
a) 1 d) 1
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x2 - 7x + 12 = 0
a) b) c) d) e)
3
(ac' - ca')2 = (ab' - ba') (bc' - cb') (ac' - cb')2 = (ab' - bc') (ac' - bc) (ac)2 - (bc)2 = a'c'b' a' + b' + c' = a + b + c a' + b + c' = a + b' + c
11. Se tienen las ecuaciones:
TAREA DOMICILIARIA Nº 03
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1. Calcular ‘‘m’’, si las raíces de la ecuación dada son iguales: mx2 + (2m 6) x + (m 5) = 0 2. Calcular ‘‘m’’, si las raíces de: (m 3)x2 + mx + 3 = 0 Son iguales. 3. Si las raíces de: (5m 1)x2 + (m 7)x + (2m 6) = 0 Son iguales pero de signos contrarios, hallar el valor de "m". 4. La ecuación: (2m 8)x2 + 3(m + 4)x + (m
7) = 0
Tiene raíces simétricas, calcular "m" 5. Determinar ‘‘m’’, si las raíces de: (m 1)x2 + (3m 4)x + (2m
10) = 0
Son recíprocas. 6. Si las raíces de la ecuación dada son inversas multiplicativas, halle "m". 3(m 4)x2 - (5m + 8)x + (58 2m) = 0 7. Hallar ‘‘k’’, si la suma de raíces de: (k 1)x2 8kx + 4 = 0 es 10 8. Hallar ‘‘k’’, si el producto de raíces de: 3x2 5x + 2k
7 = 0 es 5
9. Calcular ‘‘m’’, si la diferencia de raíces de: 2x2 + 3x m = 0 es 4,5 10. Hallar ‘‘m’’, si la diferencia de raíces de: 3x2 8x + m = 0 es 2/3 11. Si "x1" y "x2" son raíces de: mx2 + 8(m 1)x 2m = 0
Además: . 1 x1
1 x2
3, halle ' ' m' '
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12. La suma de inversas de las raíces de: (k 1)x2 (2k 8)x + (k + 6) = 0 es 3 Hallar el valor de ‘‘k’’.
13. Sean "x1" y "x2" las raíces de: 3x2 + 7x + 2k = 0 Hallar ‘‘k’’, si: (x1 + 3)(x2 + 3) = 0 14. Sea "x1" y "x2" raíces de: x2 3mx + 2m = 7 Si: (x1 + 2)(x2 + 2) = 45 Calcular "m". 15. Sean "R" y "S" raíces de: 2x2 + (m 7)x + m = 8 Si: 1 R
1
S
2
Calcular "m" 16. Sean "x1" y "x2" raíces de: x2 + 5x + p =3 Si: x 12
x 22
17
Calcular "p". 17. Hallar "m", si la suma de cuadrados de las raíces de: x2 7x + m = 0 es 33 18. Si la suma de cuadrados de las raíces de la ecuación dada es -17, hallar "m". x2 + 5x + m = 1
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