ÁLGEBRA 5° CATÓLICA - 2017
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Descripción: libro pre catolica...
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Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA
Quinto Católica
Índice Semana 1 Exponentes y radicales........................................................................................... 4 Semana 2 Operaciones con polinomios.................................................................................. 8 Semana 3 Operaciones con polinomios: Productos notables................................................... 13 Semana 4 Operaciones con polinomios: Factorización.......................................................... 16 Semana 5 Operaciones con polinomios: Expresiones racionales............................................ 20 Semana 6 Repaso: Operaciones con polinomios..................................................................... 24 Semana 7 Teoría de ecuaciones: Ecuaciones de primer grado................................................ 27 Semana 8 Teoría de ecuaciones: Ecuaciones de segundo grado............................................. 31 Semana 9 Teoría de ecuaciones: Sistema de ecuaciones........................................................ 35 Semana 10 Teoría de ecuaciones: Planteo de ecuaciones I...................................................... 39 Semana 11 Teoría de ecuaciones: Planteo de ecuaciones II..................................................... 43 Semana 12 Repaso I.................................................................................................................. 47 Semana 13 Funciones I............................................................................................................. 50 Semana 14 Funciones II............................................................................................................ 56 Semana 15 Funciones III........................................................................................................... 60 Semana 16 Funciones IV........................................................................................................... 64 Semana 17 Repaso II................................................................................................................ 69 Semana 18 Repaso III............................................................................................................... 73
ÁLGEBRA Semana 19 Leyes de exponentes............................................................................................... 77 Semana 20 Polinomios............................................................................................................. 81 Semana 21 Productos notables................................................................................................. 86 Semana 22 División de polinomios........................................................................................... 90 Semana 23 Repaso IV............................................................................................................... 95 Semana 24 Factorización.......................................................................................................... 98 Semana 25 Expresiones racionales............................................................................................ 102 Semana 26 Operaciones con polinomios.................................................................................. 106 Semana 27 Repaso de ecuaciones de primer grado.................................................................. 109 Semana 28 Repaso de ecuaciones de segundo grado................................................................ 113 Semana 29 Repaso de sistemas de ecuaciones.......................................................................... 117 Semana 30 Repaso V................................................................................................................ 121 Semana 31 Desigualdades – Inecuaciones de primer grado..................................................... 124 Semana 32 Inecuaciones II....................................................................................................... 128 Semana 33 Repaso de funciones I............................................................................................. 132 Semana 34 Repaso de funciones II........................................................................................... 137 Semana 35 Repaso de funciones III.......................................................................................... 142 Semana 36 Repaso VI............................................................................................................... 147
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 1
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
EXPONENTES Y RADICALES POTENCIA DE POTENCIA
POTENCIACIÓN La POTENCIACIÓN es aquella operación matemática que consiste en multiplicar un elemento llamado BASE tantas veces como lo indica otro elemento llamado EXPONENTE. Así: xn = P; P ∈ IR; n ∈ ZZ Donde:
“x” es la base “n” es el exponente “P” es la enésima potencia de “x”
EXPONENTE NATURAL
xn =
x; si: n = 1 x . x . x . … . x; si n ∈ IN; n ≥ 2 1442443 “n” veces “x”
EXPONENTE NULO: ∀ x ∈ IR – {0} x0 = 1
(xm)n = (xn)m = xmn IMPORTANTE: (xm)n ≠ xm Ejemplos: OO
(x2)3 = x6
RADICACIÓN LA RADICACIÓN es aquella operación matemática en la cual, dados dos números llamados CANTIDAD SUBRADICAL e ÍNDICE, se puede encontrar otro número llamado RAÍZ. Así: n
x = y ⇔ yn = x ∧ n ∈ IN; n ≥ 2
Donde: n: es el índice del radical (n > 1) x: es el radicando o cantidad subradical y: es la enésima raíz de “x”
m
n m x
EXPONENTE NEGATIVO 1 ∀ x; y ∈ IR – {0} x x–n =
= x n ; n ∈ IN; n ≥ 2
POTENCIA DE UNA RAÍZ n m x
1n 1 = n x x
x –n y n yn = = n y x x
MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES
n
(x .
=
xn
xn
m
;x>0
xy =
n
n
x. y
x nx y=ny
;y≠0
mn p
x=
mnp
x
RADICALES SUCESIVOS .
yn
POTENCIA DE UN COCIENTE n
x
RAÍZ DE RAÍZ
POTENCIA DE UN PRODUCTO
x = n ;y≠0 y y
TRILCE Católica
n
= xm – n x ≠ 0
y)n
n
RAÍZ DE UN COCIENTE
xm . xn = xm + n DIVISIÓN DE BASES IGUALES
=
RAÍZ DE UN PRODUCTO
TEOREMAS
xm xn
3
x2 = x8
OO
EXPONENTE FRACCIONARIO
NOTA: 00 es indeterminado
x–1 =
n
m m
n
p
mnp
x(an + b)p + c
n
p
m a x
.
xa xb xc = xa yb zc =
mn b y
.
mnp
zb
4
Álgebra Problemas para la clase 1.
Simplificar:
2.
C. 84 D. 72
C. 8 D. 12
13. Calcular: R =
5
16
5
16
A A A
n n n
3.
Reducir: – A. B.
4.
c3
Simplificar: P =
9.
. (x–4)
2
2n + 3n + 5n + 10–n + 15–n
–1 2–1 2
1 D. 3
A. 27 B. 18
TRILCE Católica
3 3
5) .
8
5.
11
5.
16
11
5.
5
16
C. 250 D. 500 a–b
2a + b . 3a + 2b . 3a + b 22a . 3b + 2a . 32b 1 2 3 D. 2 C.
3
3
3
4+2 4+2 4+…∞
C. 4 D. 2 2 3
3
2÷ 2 ÷
3
2÷
3
3
2÷
4
2 6
A. 4 3 B. 2
C. 2 4 D. 2
21. Si: xn.ym = 10n ... (1) xm.yn = 10m ... (2)
C. 4 D. 2 9n + 1 31 + n
11
A. 1 B. 2 20. Reducir:
xa xb xc 10. Calcular: S = a b b . b c c . c a a x x x
4
C. 3 D. 4
19. Calcular aproximadamente: L =
C. 5
A. 1 B. 3
c ; halle el equivalente redu-
C. b D. c
B. 2
1 –1 2 –2 16 + + –2 Efectuar: K = + 34 3 7 9
11. Hallar “5n + 2”; si: n
A. abc B. a
A. 1
C. 50 D. 60
1 4 1 B. 2
7
b
18. Calcular: E =
6–n
A.
b=
A. 20 B. 50
C. x32 D. x–32
A. 20 B. 30
5
9
ac
17. Efectuar:
(x–5)–1 . x(–3) . (x–1)–2
A. x5 B. x–5 Simplifica: n
2
a=
A. 1 B. 2
C. 64 D. 128 10
3
92x + 138x 16. Simplificar: A = x 69x + 46x
x +1
. x–2
C. A D. An
15. Sabiendo que: cido de: E= 3
Si: xx = 2; hallar: E = x4x + x
(x3)
n–1
A. A n+1 B. A
5
C. 8 D. 7
–2
8.
– 2 . 2a13 a b
3x – 8 – xx Hallar “x” en: x – 1 x = x; si x ≠ –1; 0; 1 xx – x
A. 16 B. 32 7.
C. D.
5b8c4 25b15c4
.
c2 4
C. 2 D. 1
A. 12 B. 5 6.
b2c 5
Hallar “x” en: 3x + 2 + 3x + 1 + 3 x – 1 = 111 A. 4 B. 3
5.
2
5 . – a2b3 . – 3 a 4
b10c5 b10c4
16 … C. 4 D. 16
14. Calcular: T =
C. x4 D. x5 2a2b 3
5
A. 1 B. 2
x2 . x4 . x6 . x8 . x10 Si: x ≠ 0, reducir: x . x3 . x5 . x7 . x9 A. x2 B. x3
90 – 90 – …
A. 9 B. 10
104 . 303 . 423 54 . 250 . 602 . 702
A. 10 B. 20
90 –
12. Calcular: E =
y
hallar: (xy) x =
C. 33 D. 11
n
27
A. 1010
1
B.
1 10 10
C.
1 10 10
D.
1010
1
5
Ciclo
Católica
22. Reducir:
x
b3x – y . 3x
2x
bx + 4y
3
bx + 3y
6
6
C. b3 b 6 D. b4 b
A. b b 6 B. b 2 b
1 1 –2 – 1 4
30. Reducir: A. B.
23. Si: A = 4
B=
1 1 –3 343
1 –1
1.
hallar: AB 1 2 B. 32 24. Reducir:
D. 16
2.
a2016 + b2016 a–2016 + b–2016 1 ab a D. b
B. a + b 14 12 6+ . 2– 2 6 25. Reducir: 14 12 2+ . 6– 6 2 1 9 1 B. 3 A.
3.
4.
3
Simplificar: 53
50
34
+ 23
14
7
C. 7 D. 13
3n – 1 + 3n + 3n + 1 Simplificar: E = n – 4 3 + 3n – 3 + 3n – 2 C. 33 D. 3–5
Reducir:
x x
4
x
x
8
x C. x2 D. x5
Determinar el valor de:
C. 3 C=3
D. 9
2 xn xn
C. D.
5.
28. Reducir:
1 2 B. –1 A. –
C. 2 D. 4
6.
29. Siendo: x ≠ 0; simplificar la siguiente expresión:
A. x B. –x
3 3
Simplificar: 3 3
7.
x xx –x
C. x2 1 D. x
3 33 33 33 39
2–1
A. 27
C. 81
B. 1
D. 3
–x
xx
1 2 D. 1 C.
22
A. 1 B. 2
x x x x
(n – 1) factores
Hallar: A/B
2 2 –1
2
(n – 2) factores
B xn + 2 . xn + 2 . xn + 2 . … xn + 2 = 1444442444443
C. b = 6a D. b = 27a 2
Sabiendo que:
la relación que existe entre “a” y “b” es:
2
C. 3 D. 4
xn – 1 . xn – 1 . xn – 1 . … xn – 1 A = 1444442444443
n xn xn(n + 1)
a
A. b = 3a B. b = 9a
1 2 5 –2 –1 3 –1 –1 + 3– + 5 2 8
A. 1 B. 2
ab–1 1 27. A partir de la igualdad: a + b b –1 = 9 a b 3
6
1 27 D. 3 C.
9
A. 3 B. 3–3
calcular: AB
E=
3 – 27
A. x B. x4
x x… x 26. Si: A = x . x x . x x x … 14243 “n” radicales –1 –2 –3 –n B = x2 . x2 . x2 … x2
xx
3
C.
A. ab
A. B.
9.
A. 133 B. 125
C. 8
2016
3
3
3
Tarea domiciliaria
1–3 2 4
A.
9
9 3
3
3
Calcular: A. 2 B. 3
4
3
3 27 81
3
24 25
C. 1 D. 8
TRILCE Católica
Álgebra (3n + 6) veces
8.
(2n + 3) veces
64748 64748 x.x.x…x x.x.x…x 1 Calcular: E = . . n+2 x14243 .x.x…x x6 x (4n – 2) veces
A. x3 B. x2 9.
Reducir: F = 5n
C. 5 D. 10 x3
36n + 1/2 6.
16. Al reducir:
6–n
5 5 5
4m
4.
63 125 64 D. 125 C.
17. Reducir: E =
C. 3 D. 4 3
3
.
3.
2 n n 3
3–n
A. 3 1 B. 3
; se obtiene:
3
C. 3 D. 27 mn–1 n
x
n 2n 3 x x
xm A. 0 B. 1
…
C. 2 D. 3
2m + 3 . 72m + 1 – 2m + 1 . 72m E = m + 5 2m 2 . 7 – 2m + 1 . 72m + 1
TRILCE Católica
D. 3m
3x sumandos 644474448 6+6+6+…+6 P= 3x + 2 – 3x + 1 C. 2,3x D. 3x + 1
A. 1 B. 3x 19. M = (
5
x )(
58
x )(
8 11
x ) … ∞ factores
3
n m x
6
A. x B. 3 x
2 xm
14. Calcular el valor de la expresión:
A. 1 B. 2
C. 2m
18. Reducir la expresión: C. a5/4b–m/40 D. a3/4bm/40
12. Al simplificar: F =
9m + 18m + 27m 18m + 12m + 6m
2 3 3 B. 2
11. Simplificar: T = 4 a3b–m/10
n+1 9 4
m
A.
–3 ab–m/10
A. a3/4b–m/40 B. a5/4bm/40
x3 ; el exponente de “x” es:
1 5 12 B. 25
2m + 1
m+2
x3
A.
C. 6 D. 36
A. 1 B. 2
13. Simplificar: E =
A. 0 B. 1
C. xn D. x3n
A. 1 B. 6 10. Efectuar: R = m
5x – y + 1 15. Simplificar: E = x – y y – x 5 +1
20. Simplificar: A. 11 B. 12
C. x 9 D. x 11 12
12 11
12
1111
11
1212 C. 1 D. 132
C. 3 D. 2m
7
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 2
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
OPERACIONES CON POLINOMIOS EXPRESIÓN ALGEBRAICA
B. Grado Absoluto:
Es un conjunto de letras y números donde las variables están relacionadas con cualquiera de las seis operaciones aritmétin cas (+; –; ÷; ×; ()n; ); en un número limitado de veces.
Es la suma de los grados relativos.
Ejemplos:
Sea: R(x; y; z) = 2x4y5z3
E(x) = x3 – 2x + E(x, y) =
3
Q(x) = x4 – seny P(x) = x4 + x2 + senx R(x) = 1 + x + x2 + x3 … G(x) = x2 + 2x
x
2xy + 3x y–1
Ejemplo:
GA = GRADO DE UN POLINOMIO A. Grado Relativo
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y es el mayor valor de los grados relativos de la variable en cada término.
Es una expresión algebraica donde no están presentes las operaciones de adición y sustracción.
Ejemplo:
Ejemplo: M(x, y) = – Coeficiente
4x5y3
Sea: P(x, y) = 3x3y5 – 7x2y9 + 5x7
Exponentes
GR(x) =
Variables
B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)
TÉRMINOS SEMEJANTES
Es el mayor de los grados absolutos de cada término.
Dos o más términos serán semejantes si los exponentes de las respectivas variables son iguales.
Ejemplo:
Ejemplos:
Si: F(x; y) = 2x2y3 – 7x6y + 4x4y4
P(x; y) = 4x2y7 ∧ Q(x; y) = –2x2y7 → P(x; y) = 5x2y3 ∧ S(x; y) = 2x2y3 → 4x3 2x3 M(x; y) = – 2 ∧ N(x) = 2 → y y
GA = POLINOMIO EN UNA VARIABLE Un polinomio en una sola variable tiene la siguiente forma general:
POLINOMIO Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables están afectadas solo de exponentes enteros no negativos.
P(x) = b0xn + b1xn – 1 + …+ bn – 1x + bn x: b0, b1, ... , bn: b0: bn:
Ejemplos: P(x; y) = 5x3y7 → (monomio) R(x; z) = 2x2z + 5z5 → (binomio) F(x) = 3 – 5x + 3 x2 → (trinomio)
Variable de “P” Coeficientes Coeficiente principal (C.P.) Término independiente (T.I.)
NOTA: OO
GRADO DE UN MONOMIO
Término independiente: (T.I.) T.I.(P) = bn = P(0)
A. Grado Relativo OO
Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable. Ejemplo: Sea: P(x; y; z) =
GR(y) =
Suma de coeficientes (Σcoef.) Σcoef.(P) = b0 + b1 + … + bn = P(1)
VALOR NUMÉRICO (V. N.) 5x5y3z
GR(x) =
TRILCE Católica
GR(y) =
GR(z) =
Es el valor que se obtiene de una expresión al realizar las operaciones que en ella se indica, luego de haber asignado a sus variables, valores determinados.
8
Álgebra NOTA:
Ejemplo:
Un polinomio en dos variables, si está ordenado decrecientemente respecto a una de ellas y si es homogéneo estará ordenado crecientemente respecto a la otra variable.
Sea: P(x) = 2x2 + 2 Hallar el V. N.: de P(2)
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO
POLINOMIOS ESPECIALES POLINOMIO MÓNICO
Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros. Ejemplo:
Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal uno se le denomina mónico.
P(x) = (n – m) x2 + (p – q)x; si es idénticamente nulo:
Ejemplos: OO OO OO
POLINOMIOS IDÉNTICOS
A(x) = 1 + x2 + 3x B(x) = 7 – 2x2 + x3 C(x) = x
Dos polinomios son idénticos si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales.
POLINOMIO ORDENADO
Ejemplo:
Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente. Ejemplos: OO
P(x) =
P(x) = ax2 + bx + c Q(x) = dx2 + ex + f P(x) = Q(x); si se cumple: a = d; b = e; c = f
Problemas para la clase 4x4
+
12x2
– 3x + 7
1.
Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a “x”. OO
A. 5 B. 8 2.
POLINOMIO COMPLETO
OO
7x2
A(x) = + 12x – + 16 B(x, y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Si un polinomio tiene una sola variable y además es completo, entonces el número de términos será igual a su grado aumentado en una unidad.
4.
Ejemplo: 23x8y7
15x15
13y15
P(x, y) = + – – 123 123 123 123 15 15 15 15 P(x) = 7xy3 + 8x2y2 123 123
4 4
TRILCE Católica
Dado el monomio: M(x, y) = 4mnx2m + 3ny5n – m Se tiene: GA(M) = 10 y GR(x) = 7
A. 2 B. 4 5.
3x3y12
C. 8 D. 3
Señalar su coeficiente.
Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.
Siendo: G(x) = x Además: P(x) + Q(x) = 2x2 + 8 P(x) – Q(x) = 8x
A. 1 B. 4
POLINOMIO HOMOGÉNEO
OO
C. 21 D. 22
Calcular: G[Q[P(0)]]
NOTA:
OO
Si: P(x – 2) = x + 1 P[Q(x)] = 5x + 9
A. 19 B. 20 3.
4x3
C. 10 D. 3
Indicar: Q(3)
Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el de grado cero. Ejemplos:
Hallar el valor de “b” para que el grado de: P(x, y) = (3abx3b + 3y2) sea 20.
P(x, y, z) = 21xz4 – 34x5y2z + 41x7y4
Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a “x” e “y”, además es ordenado descendentemente respecto a “z”.
OO
n–m=0⇒m=n p–q=0⇒p=q
C. 8 D. 64
Si el polinomio: P(x; y) = 7xa + 5 yb – 1 +
3 xa + 2yb + 1 – xa + 3yb + 2
tiene: GA = 16 y GR(x) = 12; hallar: a – b A. 6 B. 2
C. 4 D. 3
9
Ciclo
Católica
6.
Halla “m + n”, si el polinomio: P(x; y) = 4xm+2 yn–4 + 4xm+2 y2n+4 + xm+2 yn+3
P(x) = 4(x – 1)2(x + 3)4(2x + 1)3(x + a); es –972;
es de grado absoluto igual a 16 y grado relativo a la variable “y”, igual a 8.
hallar la suma de coeficientes de: Q(x) = (6x + a)2 + (x – 1)7
A. 4 B. 8 7.
15. Si el término independiente del polinomio:
C. 12 D. 15
Calcular la sumatoria de los coeficientes del desarrollo del siguiente polinomio: P(x – 1) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m – x2 + 4; m ∈ Sabiendo que es cuádruplo de su término independiente. A. 512 B. 256
8.
C. 128 D. 32
A. 3 B. 6
C. 9 D. 12
16. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. P(x; y) = 2x3y – 3x2y2 es homogéneo. II. Si un polinomio está ordenado, también está completo. III. Dos polinomios son idénticos, si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales. IV. Se cumple que P (0) = Suma de coeficientes y P (1) = Término independiente. A. Solo I B. II, III y IV
Halla “mn” si el polinomio:
C. I, II y III D. I y III
17. Si: P(x) = mx2 + 3x + 5n; n ∈
2 2 P(x; y) = 5xn – 4ny3 + 8xm – 6mym – 21 + 2x7y8
Es homogéneo, si: m; n ∈ A. 54 B. 36 9.
x a 3
C. 56 D. 72
Dado el polinomio: P(x) = (x – 3)3 + 2(x + 1)4 – (x – 2)2 + 6; hallar la suma del término independiente con la suma de coeficientes. A. –4 B. –8
C. 6 D. 9
10. Hallar el valor de “n” si: T(x) = 3
4
(2a)6x2n + 1 b8xn 4c2x3n – 4
; es de
grado 3. A. 2 B. 3
C. 12 D. 8
C. –8 D. –7
11 – n
A. 132 B. 121
m
ym–10 + 7x13–ny13–m + 8xn–9y 4 C. 130 D. 140 5
3
13. Si el grado de la expresión algebraica:14x2. 2x4 mx 3xm, es 4; halla “m”. A. 24 B. 26
C. 34 D. 30
14. Hallar “a + b”, sabiendo que: P(x; y) = xa – 2bya + b – 5xbya + 2b + 7xa – by8 Es un polinomio homogéneo. A. 4 B. 6
10
C. 8 D. 10
P(x) 3a –7
Hallar “a”, si “a” es entero positivo A. –5 B. 5
C. 1 D. 10
18. Si “P(x)” y “Q(x)” son polinomios de primer grado con coeficientes naturales, determinar: Q[P(4)]; conociendo Q(4) = 19; P[Q(x) – 3] = 20x + 8 A. 100 B. 105
C. 1 D. 115
Q(x) = m(xm)6x5n + p + n(xm)4x6n + 4p + p(xm)5x4n + 5p + (xm)6x5n + ... Si: m, n, p ∈
12. Dado el polinomio; hallar “mn”: P(x; y) = 5x 5
+
19. Calcular el número de términos del siguiente polinomio completo y ordenado:
11. Si el polinomio: P(x; y) = 3x2 + mx – 2ny – ax2 + 3x – 4y, es idénticamente nulo; hallar: 2a + 3m + 2n A. 2 B. 6
ym∈
+.
A. 81 B. 82
C. 83 D. 76
20. Siendo: P(x) = (x – 2)[p(x + 2) + q] + rx, equivalente a: Q(x) = 4x2 + 15x – 34; calcular: p + q + r A. 19 B. 13
C. 9 D. 6
21. Halla el valor de “n” para que la expresión: 3 sea de grado 2. A. 7 B. 6
7
xn – 2 x3n 4 n+1 x
C. 8 D. 5
22. Si: F(x) = ax + b; F(F(F(x))) = 64x + 105; además: F(5) = mn, calcular: E = A. 2 B. 4
mn
C. 5 D. 7
TRILCE Católica
Álgebra x2
23. Si: P(x + 1) = +x+1 Q(x + 2) = ax2 + bx + c P(x – 1) = Q(x)
Tarea domiciliaria 1.
hallar: A = a + b + c A. 0 B. 1
24. Dado P(x) = (2x – 1)17 + (x – 1)15 + 2a + 3; si su término independiente es 5; hallar la suma de sus coeficientes.
2.
25. Dado el polinomio: P(x) = (x + 1)n + (3x + 1)n + (5x – 1)n + b con término independiente 5 y suma de coeficientes 38. Hallar: P(–1) C. 38 D. 42
3.
Si: P(x) = x3 + ax2 – bx + c; P(0) = 5, P(1) = 9; P(2) = 25; hallar: a . b . c
Indicar la suma de coeficientes del polinomio:
n
M(x; y; z) = A. 3 B. 5
Si la suma de todos los exponentes del polinomio es 54, calcular el valor de: A = a + b + c + d + e 5.
6.
C. 10 D. 14 b
xb .
b
xb + c .
c
c
xa + c ?
A. 7 B. 13
n
P(x) = (x2 + 2) . (x4 + 4) . (x8 + 8) … (x2 + 2n))
8.
9.
A. ae a C. e
TRILCE Católica
1 e D. –ae B.
C. 2; –5 D. –2; 5
C. 12 D. 13
C. 21 D. 22
Si el polinomio: P(x) = 3xm – 10 + 2xm – n + 5 + xp – n + 6; es completo y ordenado en forma descendente, hallar (m + n – p) A. 14 B. 16
30. Si: F(x) = ex + ax; F(4) = 1
F(1)
C. 6 D. 4
1 Sea la expresión: P(x) = 1 + ; encontrar: x
A. 1 B. 20
C. 26 D. 112
F(7) – F(3)
2
y2m . zm
P(1) . P(2) . P(3) … P(20)
29. Hallar “n” si el término independiente del siguiente polinomio es 2325.
Hallar: 3
3
Si: ... 3xayb + 5xa – 1y4 + 7x3yc ...
A. 10 B. 11 7.
C. 29 D. 33
A. 25 B. 325
x12
Son términos consecutivos de un polinomio ordenado, homogéneo y completo: Hallar “a + b + c”.
28. Si el trinomio: xa + b + yb + c + za + c ; es homogéneo de grado 10, ¿de qué grado será el monomio: a
m n
Determinar los valores de “m” y “n” en el siguiente polinomio homogéneo:
A. 5; –2 B. 2; –5
b a a 5 cxb + a + a + axa + 2a + bx2a + 26 – 3xc – 1 + … + abc
a
m
P(x; y) = x3m + 2ny4 + 3x2m – 1y–3n + 5x2myn + 7
27. Dado el polinomio ordenado y completo:
A. 13 B. 12
C. 3 D. 4
Si la expresión: Xn – 1 . y26 + x3 . ym – 1, se reduce a un monomio, hallar el grado absoluto de la expresión:
P(x, y) = xa + yb + c + xbyc + xcyb + xdyc + xeyd
Hallar el término independiente.
C. 225 D. 0
A. 1 B. 2 4.
C. 25 D. 27
C. 12 D. 4
P(x) = (5x4–3)n +(4x5–3)n–1+(7x3–5)n–2+5(x7+1)n–2(x–2)
26. Dado el polinomio homogéneo:
A. 23 B. 24
; calcular “E” donde: E = Q[Q[Q(25)]] x+1
A. 15 B. 75
C. 8 D. 5
A. 36 B. 40
x–1
A. 0 B. 5
C. 2 D. 3
A. 2 B. 3
Si: Q(x) =
C. 18 D. 20
Si la expresión: A(x, y, z) = xm + nyn + pzp + m es de grado 18, y los grados relativos a “x”, “y”, “z” son tres números consecutivos (en ese orden), calcular: E = mnp A. 9 B. 12
C. 24 D. 28
11
Ciclo
Católica
10. En: P(x) = 2xa – 1 + (d + 5)xb – 1 + 5xc + 2 Si: P(1) = 14; P(2) = 576 y los grados de sus términos son consecutivos en forma creciente, hallar “a + b + c + d”. A. 17 B. 14
C. 24 D. 35
11. Los polinomios:
Son idénticos, si: a < 0; hallar: n – a C. 15 D. 10
12. Calcular “A + B” sabiendo que: x3 + 2x2 – 1 = (x + 1) [Ax2 + B(x – 1)] A. 0 B. 1
P(x, y, z) = 5x2m+3 (3yn+1 – xm–1 + zk–2) A. 15 B. 14
C. 13 D. 12
16. Si se multiplica “n” polinomios de grado “n” cada uno, y se sabe que el resultado es un polinomio completo, entonces el número de términos del polinomio producto es:
P(x) = (x + 2)2 + ax + 7n Q(x) = (x + a)2 + nx + 2
A. 24 B. 36
15. Calcular el valor de “k + m + n”, si “P” es homogéneo y de grado 17, en:
C. 2 D. 3
A. 2n – 1 B. 4n – 3
C. n2 + 1 D. 3n + 2
17. Halle la suma de coeficientes del polinomio homogéneo: 3 3 P(x, y) = 5(a + n)xn y5n + 2 – 2(2a – 4b – n2)x3n + n y8 – 5(b + n2 – 2n)(xy)a + 3b
A. 39 B. 40
C. 38 D. 41
18. Hallar el menor grado de homogeneidad en el siguiente polinomio (a, b, c, m, n, p ∈ N): a
13. Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo:
A(x, y, z) = ab xb y2n +
P(x) = (a + c – 3abc)x2 + (a + c – 6abc)x + (b + c – 7abc); abc ≠ 0
A. 14 B. 15
Calcular: M = A. 1 B. 16
abc –2 a+b+c C. 25 D. 64
14. Si se cumple la siguiente identidad: m(x – 2) + n(x + 1) ≡ 4x – 17; hallar: m – n A. 4 B. 10
b
yc z3m +
c
za x4p
C. 12 D. 13
19. Hallar el grado de: P(x; y; z; w) = x a A. a B. a2
1 a 3a 1 z w y3
3 1 1 – a–1
C. a – 1 D. 1
20. En la siguiente expresión: a2 + a + 1 a3 – 1 x
C. 5 D. 6
.
1 + a 2a2 – 1 x
1 – a a2 – a x
tiene el grado igual a 13; hallar “a”. A. 5 B. 7
12
C. 8 D. 10
TRILCE Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 3
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
OPERACIONES CON POLINOMIOS: PRODUCTOS NOTABLES Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de multiplicación.
NOTA: Sean: a; b; c ∈ IR y m; n ∈ IN
PRINCIPALES IDENTIDADES
a2n + b2m = 0 ⇒ a = b = 0 a2
Trinomio cuadrado perfecto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – OO
b)2
=
a2
– 2ab +
b2
+
b2
+ c2 = ab + bc + ac ⇒ a = b = c
EQUIVALENCIA DE GAUSS a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)[a2 + b2 + c2 – (ab + bc + ac)]
Identidades de Legendre: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
Problemas para la clase
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 1.
Diferencia de cuadrados: (a + b)(a – b) =
a2
–
A. 61 B. 20
b2
Desarrollo de un binomio al cubo:
2.
Reducir:
A. 100 B. 120
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) 3.
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
Si: x +
4.
Si: x +
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Desarrollo de un trinomio al cubo:
5.
(a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2) – 2(a3 + b3 + c3) + 6abc
6.
7.
(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
I. a3 + b3 + c3 = 3abc II. a2 + b2 + c2 = – 2(ab + ac + bc) III. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2
TRILCE Católica
C. 3 D. – 3
Si: x +
1 = 5; hallar: x3 – x–3 x
Reducir:
C. 125 D. 110 16
(5)(13)(97)(38 + 28) + 216
8.
C. 1 D. 5
Si: x2 + 4y2 = 4xy; halla: E = A. 4 B. 2
IGUALDADES CONDICIONALES Si: a + b + c = 0 se cumple:
1 1 = 3; hallar: x2 – 2; x > 1 x x
A. 2 B. 3
Identidad trinómica (Argan´d): (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
C. – 112 D. 112
A. 140 B. 120
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc
2 = 1; hallar: (x – 3)(x + 2)(x – 4)(x + 3) x
A. 3 5 B. – 3 5
Desarrollo de un trinomio al cuadrado: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
C. 12 D. 22
A. – 1 B. 1
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 Multiplicación de binomios con término común:
C. 57 D. 14
M = (a + 2)(a + 3)(a + 4)(a + 5) – (a2 + 7a)(a2 + 7a + 22)
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Suma y diferencia de cubos:
Si: a + b = 3 y ab = 1; hallar: a4 + a2 + a + b2 + b + b4
De la ecuación: A. 1 B. 2
6x2 + 8y2 2xy + x2
C. – 3 D. 1 1 1 4 (a + b)n + 1 + = ; reducir: n n + 1 a b a + b a + bn + 1 C. 2 D. 0
13
Ciclo
Católica Si: x ; y ∈ IR, además: x2 + y2 + 10 = 6x + 2y; calcular:
9.
A. 1 B. 2
x+y x–y
C. 3 D. 6
10. Calcular : xy + xz + yz, si: x + y + z = 4 y x2 + y2 + z2 = 8 A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
11. Si: x; y ∧ z ∈ IR; x2 + 5y2 + z2 = 4xy + 2yz; hallar: E=
3x3
3xyz + x2y + z2y
A. 5 B. 2
x 2y x + = 2; calcular: 2y x y
A. 1 B. 64
14.
1 1 x3 + x2 + 2 + 3 x x C. 4 D. 5
x+y9 x–z7 z–x8 + + 2z z–y z–y
A. 3 B. 1
C. – 1 D. 0
16. Si: x2 + y2 + z2 = xy + yz + xz; hallar: E =
2xy + 8yz 3z2 +2y2
C. – 3 D. – 5
A. 1 B. 3
16
(x2 – y2)3(x4 – 2x2y2 + y4)
C. 6 D. 36
19. Si: x; y ∈ IR cumple la igualdad: 2x2 – 4x + 4 + y2 – 2xy = 0. x
Dar el valor de: y3 – 4 A. 0 B. 1
14
C. 3 D. 2
C. 1 D. 2
C. 17 D. – 17
24. Sabiendo que: (x + y)2 + 1 = (x + 1)(y + 1); x ≠ y x2(x – 1) Calcular: K = 2 y (y – 1) A. 2 B. 1
3 2 2 B. 3 A.
17. Si: a4 + b4 = 343 y ab = 3; halla “a + b”, si: a < 0
18. Si: x2 + 12y = (y + 6)2; hallar:
3(x8 + y8) x2 y2 – = 3(x – y); hallar: K = (x2y2)2 y x
1 2 D. – 1 C.
(a + b)3 + (b + c)3 + (a + c)3 (a + b)(b + c)(a + c)
C. 3 D. 4
a3 + b3 + c3 + d3 Calcular el valor de: E = 2 a + b2 – c2 – d2
C. 1 D. 3
A. – 343 B. – 19
C. 6 D. 2
26. Dados: a, b, c, d ∈ R; tales que: a + b + c + d = 0 c+d=–1
C. – 1 D. 3
A. 2 B. 0
A. 0 B. 1
A. 1 B. 2
a+b a–c d–a + + c+d d–b b–c
A. – 3 B. 1
hallar: (a – b + c)2 + (a + b – c)2 + (a – b – c)2
25. Siendo: a + b + c = 0, calcular: E =
15. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d) calcular: M =
21. Si: a2 + b2 + c2 = 2 ab + bc + ac = 3
A. 21 B. 0
Si se cumple que: (x + y + 2z)2 + (x + y – 2z)2 = 8z (x + y) hallar: E =
C. 12 D. 16
23. Si: x > y; además: x + y = xy + 3 = 5; indicar el valor de: A = x2 + x + y2 – y – 21
13. Sabiendo que: x2 – 3x + 1 = 0
A. 2 B. 3
A. 4 B. 8
A. 4 B. 6
8
C. 256 D. 128
Calcular el valor de: A =
a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac
22. Si:
C. 6 D. 10
12. Si se cumple:
20. Si: a – b = b – c = 2; hallar el valor de:
1 2 D. 1 C.
27. Proporcionar la raíz cuadrada de: (a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac)2 – (a + b + c)2 (a2 + b2 + c2) A. a + b + c B. 2(ab + bc + ac)
C. ab + bc + ac D. a2 + b2 + c2
28. Si: ax + by = 3; ay – bx = 4; a2 + b2 = 5; entonces: x2 + y2, resulta: A. 2 B. 3 29. Si:
(a + 1)2 + (b + 1)2 1 1 + = 1; hallar el valor de: a 2b 2 + 2 a b
1 2 B. 1 A.
C. 4 D. 5
C. 2 D. 3
TRILCE Católica
Álgebra 30. Siendo: a + b + c = 1; ab + ac + bc = 0; abc ≠ 0 hallar:
A. 64 B. 28
(ab)2 + (bc)2 + (ac)2 abc
A. 2 1 B. 2
2.
3.
C. x + 1 D. 3x (1 – x) b+
b2 – a2 .
A. b B. a 4.
b–
C. D.
b2 – a2; a > 0
a b
Simplificar: Z = (x2 + x + 4)(x2 + x + 2) – (x2 + x + 8)(x2 + x – 2) A. 8 B. 16
5.
Reducir: P = (x +
C. 24 D. 18 2)3
– (x –
A. 4 B. 6 6.
Simplificar: R = (x + y + 1)(x + y – 1) – (x – y + 1)(x – y – 1)
9.
C. 4xy D. 2xy
Si: a + b = 1; a2 + b2 = 3; hallar: P = (a + 1)(b + 1) A. 4 B. 1
8.
–
12x2
C. 10 D. 16
A. xy B. x + y 7.
2)3
A. 7 B. 1 13. Si: x +
Reducir: (x – 1)3 – x3 + 1
Reducir: W =
C. 4bc D. 4abc
12. Efectuar: E = (x2 + 5x + 5)2 – (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
C. 0 D. 1
A. x B. 2x
C. 3 D. 2
Si: a + b = ab = 3; calcular:
C. – 2 D. 3 1 1 1 = 4; hallar: x2 + x + 2 + x x x
A. 16 B. 18 14. Si: a + b = 5; A. 5 B. 7
C. 14 D. 10 a–b a– b
2
= 11; hallar: ab C. 9 D. 11
15. Si: a – 1 + b – 1 = 4(a + b) – 1, calcular: E = A. 1 B. 2
16. Si: a4x + a – 4x = 34; calcular: R = ax – a – x A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
17. Efectuar: E = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – (x2 + 7x + 11)2 A. x2 – 7 B. x2 – 1
C. – 1 D. 1
18. Si: x + x – 1 = 5; calcular: x6 + x – 6 A. 12 B. 15
C. 16 D. 18
y2 + 1 y x2 + 1 19. Si: xy = 1; hallar: K = x 2 x + 1 + y2 + 1 Además: x; y ∈ IR ∧ x; y > 0
A. 1 B. 2
A. 1
C. – 3 D. – 6 1 1 = 4, calcular: x3 + 3 x x
A. 26 B. 18
TRILCE Católica
C. 52 D. 36
a b 2a + b + + b a a + 2b
C. 3 D. 4
R = a(a + a2 + a3) + b(b + b2 + b3)
Si: x +
si: a > b
C. 26 D. – 28
A. 4ab B. 4ac
Reducir: C = [(m + n)2 – (m – n)2]2 – 16m2n2 A. mn B. m + n
+
b3;
11. Efectuar: E = (a + b + c)(a + b – c) – (a – b + c)(a – b – c)
C. –2 D. –1
Tarea domiciliaria 1.
10. Si: a + b = 4; ab = 3; hallar: W =
a3
B. – 2
C. 2 1 D. 2
1 20. Si: x2 + 1 = – x; hallar: x37 + 49 x A. 1 B. 0
C. –1 D. 2
15
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 4
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
OPERACIONES CON POLINOMIOS: FACTORIZACIÓN FACTOR ALGEBRAICO
AGRUPACIÓN
Un polinomio “F” no constante será factor algebraico de “P” si y solo si “P” es divisible por “F”.
Consiste en agrupar términos convenientemente tratando que aparezca algún factor común.
Ejemplos:
Ejemplos:
OO
P(x) = (x + 2)3(x + 1)2 Son factores algebraicos de P(x): OO
________________________________________
OO
________________________________________
1.
Factorizar: x2 + x + xy + y – xz – z
2.
Factorizar: x2 + ax + x + xy + ay + y
IDENTIDADES (Productos Notables)
FACTOR PRIMO
Consiste en utilizar los productos notables adecuados para poder factorizar los polinomios.
Un polinomio “F” será primo de otro polinomio “P” si “F” es factor algebraico de “P” y primo a la vez.
Ejemplos:
Ejemplos: OO
P(x) = (x + 2)3(x + 1)2(x + 5)6
1.
Factorizar: x4 – y4 = (x2 + y2)(x + y)(x – y)
2.
Factorizar: x6 – y6
Son factores primos de “P(x)”: _____________________ OO
P(x) = (x)(x + 2)6(x – 1)2
ASPA SIMPLE
Son factores primos de “P(x)”: _____________________
Forma general de polinomio a factorizar: m, n ∈ IN
FACTORIZACIÓN
P(x, y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m
Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias. Multiplicación P(x) = x2 + 3x + 2 ≡ (x + 1)(x + 2)
P(x) = Ax2n + Bxn + C Ejemplos: 1.
Factorizar: 2x2 + 7xy + 6y2
2.
Factorizar: (x + y)2 – 2 (x + y) + 1
Factorización CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS FACTOR COMÚN Consiste en buscar factores comunes a todos los términos de un polinomio para luego extraerlos a su menor exponente. Ejemplos: 1.
Factorizar: P(x, y) = 2x2y + 3xy2 + xy
TEOREMA Sean “f(x)” y “g(x)” polinomios primos y primos entre sí, tal que: n
p
P(x) = f(x) . g(x) I. II.
Números factores primos = 2 Números factores algebraicos = (n + 1)(p + 1) – 1
Ejemplo: Sea: P(x) = (x + 2)3(x + 4)
2.
Factorizar: A(x, y) = (x + 2)y + (x + 2)x + (x + 2)
TRILCE Católica
I. II.
Números factores primos = Números factores algebraicos =
16
Álgebra MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS
2.
Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado que aceptan factores de primer grado. Factorizar: P(x) =
x3
+
4x2
(x – 3)(x – 2)(x – 1) + (x – 2)(x – 1) – (x – 1) A. 2 B. 3
+x–6 3.
0
4.
P(x) = Factorizar: P(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24
5.
P(x) =
6.
MÉTODO DEL QUITA Y PON
7.
1
↓
↓
P(x) = 1 + x + x2 + x3
x2
1
A. 1 B. 3
= 2x2
x4 + 2x2 + 1 – x2 1442443
8.
(x2 + 1)2 – x2
⇒ x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) 2.
Factorizar: 1 + 4n4 + 4n4
↓
↓
1
2n2
2
1 2n2 =
A. x + m B. n + m 4n2 4n2
(1 + 2n2)2 – (2n2)2 (1 + 2n2 + 2n)(1 + 2n2 – 2n) ⇒ 1 + 4n4 = (2n2 + 2n + 1)(2n2 – 2n + 1)
Problemas para la clase Factorizar: P(x) = 1)(x2
A. (y + + 1) B. (y – 1)(x + 1)
TRILCE Católica
y–
x2
C. 4 D. 5
10. Factorizar: mn x2 + mx + nx + 1, e indicar un factor.
1 + 4n2 + 4n4 – 1442443
x2
C. 2 D. 3
Factorizar: E = a5 + a2b3 – a3b2 – b5 e indicar el número de factores primos. A. 2 B. 3
1
1.
9.
C. 4 D. 2
Factorizar: 8x6 + 7x3 – 1; e indicar el número de factores primos que son trinomios. A. 0 B. 1
(x2 + 1 + x)(x2 – 1 – x)
C. 5 D. 4
¿Cuántos factores primos presenta el polinomio “P(x)”?
x4 + x2 +
2 x2 1
C. a + b – m D. b – m
¿En cuántos factores primos se puede descomponer: x12 – 1? A. 3 B. 2
Factorizar: x4 + x2 + 1
C. 4 D. –4
Al factorizar: a2 + 2ab – m2 + b2; uno de sus factores es: A. a + b B. a – b – m
0
C. x + z + zy D. x + z
Al factorizar el polinomio: x2 – y2 + 2yz – z2 – 8x + 16; la suma algebraica de los términos independientes de los factores primos es: A. –8 B. 8
2
C. 4 D. 5
Uno de los factores de: zy + xy – x – z; es: A. x + 1 B. xy + xz + zy
1
1.
El número de factores primos de:
+y–1 C. (y – 1)(x2 + 1) D. (y – 1)(x2 – 1)
C. x + n D. mx + 1
11. Factorizar: 5r(p4 + q) – p2(r2 + 25q). Luego indique un factor primo. A. 5p2 + r B. p2 – 5q
C. rp – q D. 5p2 – r
12. Indicar el factor primo de segundo grado de: P = x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 A. x2 B. 2x2
C. x2 + 1 D. x2 – 1
13. Luego de factorizar: (x + 1)4 – 5(x + 1)2 + 4; indicar la suma de sus factores primos. A. 4(x + 1) B. 2(x + 1)
C. 3(x + 1) D. 4x
17
Ciclo
Católica
14. Factorizar: x4 + x3 + 4x2 + 2x + 4; y dar como respuesta el número de factores primos que se obtienen. A. 3 B. 1
OO
A. a2 + b B. a + b
C. 4 D. 2
15. Si: W = (x – 3)(x – 5)(x – 7)(x – 9) +16; equivale a una expresión de la forma: (x2 + bx + c)2, indicar como respuesta el valor de “b”. A. –8 B. –12
25. Factorizar: a2b + a2 + a + 2ab + b + b2 + ab2; e indicar un factor primo.
C. –10 D. –14
26. Factorizar: (x2 + 3x + 1)2 – 3x2 – 9x – 13; e indicar la suma de los factores lineales. A. 2x + 3 B. 2x + 5
A. 2 B. 3
A. x2 + x + 1 B. x2 – x + 1
C. 4 D. 5
C. 4 D. 5
18. Indicar la mayor suma de coeficientes de uno de los factores primos: 6x4 + 5x3 – 14x2 + x + 2 A. 4 B. 5
C. 6 D. 2
19. Al factorizar: x3 + x2 – 12x – 12; se obtiene: (x – a)(x – b)(x – c); si: a < b < c, calcular: b2 – 2ac A. 15 B. 25
C. 20 D. 30
20. Factorizar: P(x; y; z) = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2. Luego indicar el número de factores primos. A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
A. x2 + x + 1 B. x2 – x + 1
C. 2xy – 1 – x D. 2xy – 1
22. Luego de factorizar: P(x) = x2 + 5x + 4 Q(x) = x2 – 2x – 3 R(x) = x6 – 4x4 – x2 + 4
C. x2 – x – 1 D. x2 + x – 1
29. Factorizar: x3 + y3 + z3 + x (y2 + z2) + y (x2 + z2) + z(x2 + y2); luego indicar un factor: A. x + y + z B. xy + xz + yz
C. xyz D. xyz + 1
30. Factorizar: 1 – abc+ (ab + bc + ac) – (a + b + c); e indicar el número de factores primos: A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
Tarea domiciliaria 1.
Factorizar: –m – n + x(m + n) A. (m + n)(x + 1) B. (m + n)(2 – x)
2.
3.
C. (m + n)(x – 1) D. (m + n)(x – 2)
Factorizar: A(x, y) = (x + y)(x – y) + 2x + 1; e indicar la suma de factores primos. A. 2x + 1 B. 2x + 3
21. Factorizar: P(x; y) = 4x2y2 – x2 + 1 – 4xy. Indicar un factor. A. x + y B. x – y
C. x2 – x – 1 D. x2 + x – 1
28. Factorizar: x5 + x – 1; e indicar un factor.
17. x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 A. 2 B. 3
C. 2x – 3 D. 2x – 5
27. Factorizar: x5 + x4 + 1; e indicar un factor.
Factorizar e indicar el número de factores primos en:
16. x3 + 2x2 – x – 2
C. b + 1 D. a + b + 1
C. 2x – 1 D. 2x + 2
Indicar un factor primo de: E = ap2x – apx2 + ap – bx + bp – ax + bp2x – bpx2 A. p + x B. px + 1
C. a – b D. px – 1
Indique el factor primo en común.
Luego de factorizar: (x2 + 7x + 5)2 + 3x2 + 21x + 17; indicar un factor primo.
A. x – 1 B. x – 3
A. x + 7 B. x + 1
4.
C. x – 2 D. x + 1
23. Indicar la cantidad de factores primos del polinomio:
5.
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
24. Factorizar: P(x) = x4 + 6x2 + 25. Indicar un factor primo. A. x2 +x + 1 B. x2 – x + 1
18
C. x2 + 2x – 5 D. x2 – 2x + 5
Factorizar: abx2 – (2a – 3b)x – 6; e indicar el término independiente de uno de los factores. A. –1 B. 3
P(x) = (x2 – x)2 – 14x(x – 1) + 24 6.
C. x2 + x + 1 D. 2x + 1
C. 2 D. –6
Factorizar e indicar un factor de: (a + b)(b + c) + (b + c)(a + c) + (a + c)(a + b) – (ab + bc + ac) A. a – b + c B. a – b – c
C. a + b – c D. a + b + c
TRILCE Católica
Álgebra 7.
= x3 – 2x2 – 5x + 6. La suma de coeficientes
Factorizar: F(x) de uno de sus factores primos es: A. 1 B. 3
8.
9.
A. a + b B. a2 + ab + b2
C. 5 D. 7
Factorizar: F(x) = 6x3 – 19x2 + 15x – 2. La suma de sus factores primos es: A. 6x – 4 B. 8x – 4
C. 3x + 2 D. 3x + 7
Indicar un factor primo de: F(x, y) = x3 +x2 + x2y + y2 + 2xy A. x2 + y B. x2 + y2 + y
A. 4x + 1 B. 4x + 3
C. 2x D. 2x + 3 (x2
x)3
(x2
x)2
2(x2
C. 1 D. –2
12. Dar la suma de los factores primos de: x(x + 4)(2x – 11) + 12x + 48 C. 4x – 3 D. 3x + 7
13. Uno de los factores de: x6 – x2 – 8x – 16; es: A. B.
x3 x3
–4 – 2x + 4
TRILCE Católica
C. D.
x2 x3
(1 + a) + ab(a + b)
C. a + ab + b D. a + a2b2 + b
A. 6x B. 10x
C. 8x D. 20x
16. Indicar el número de factores luego de factorizar: x7 + x6 – x5 – x4 – x3 – x2 + x + 1 A. 12 B. 23 OO
C. 18 D. 15
Factorizar e indicar uno de los factores primos en:
17. 4a16 + b8
11. Factorizar: F(x) = – – – – – x). Indicar el valor numérico de un factor primo, para: x = 2. A. 4 B. 5
+ b) +
b3
15. Factorizar: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 3; e indicar la suma de los términos lineales de sus factores primos.
C. x + y2 D. x2 + x + y
10. Factorizar: P(x) = x2(x2 + 3)2 – (3x2 + 1)2. La suma de factores primos lineales es:
A. 4x + 7 B. 3x – 7
14. Dar un factor primo de:
a3(1
+ 2x – 4 –x–4
A. (2a8 – 2a4b2 + b4) B. (2a8 – 2a4b2 + 3)
C. (2a8 – 2a4b2) D. (2a8 – 2a4b2 + 3b2)
18. n4 + 2n2 + 9 A. (n2 – 2n + 6) B. (n2 – n + 3)
C. (n2 – 2n + 3) D. (n2 – 2n3 + 3)
19. Hallar la mayor suma de coeficientes de uno de los factores primos de: 4m4 – 29m2 + 25 A. 4 B. 5
C. 6 D. 2
20. Descomponer e indicar uno de los factores: x(y2 + z2) + y(x2 + z2) – z(x2 + y2) – 2xyz A. x + y B. x + z
C. y + z D. x + y + z
19
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 5
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
OPERACIONES CON POLINOMIOS: EXPRESIONES RACIONALES MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M. C. D.) Dados dos o más polinomios no constantes, llamaremos máximo común divisor al factor común de menor grado.
Problemas para la clase 1.
Ejemplo: Sea P(x) = (2x + 7)4 (x – 1)2 (3x – 1) Q(x) = (2x – 1)5 (3x – 1)2 (x – 1)3
∴M.C.D (P, Q) = ____________________________
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Simplificar:
C. 0 D. 1 x3 + 4x2 – 21x x3 – 9x x–7 x–3 x+7 D. x+3 C.
Hallar el MCD de:
8.
Simplificar e indicar el numerador que resulta:
Reducir: R = A. 0 B. x
32a2 – 2 48a2 + 44a + 8
C. 8a – 2 D. 1
Hallar el valor de: A. 1 B. xy
9.
A = 20x4 + x2 – 1 B = 25x4 + 5x3 – x – 1 C = 25x4 – 10x2 + 1 C. 5x – 1 D. 5x2 – 1
A. 4a + 1 B. 4a – 1
DIVISIÓN
TRILCE Católica
a2 – b2 ab – b2 – ab ab – a2
A. 5x2 + 1 B. 5x + 1
MULTIPLICACIÓN
D2 (x)
Simplificar:
x+7 x–3 x2 + 7 B. 2 x –9
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
N1 (x) N2 (x) N1 (x) D2 (x) = ÷ = ;N ≠0 N2 (x) D1 (x) D2 (x) D1 (x) N2 (x) 2(x)
1 4 D. 1 C.
A.
Sean D1(x) y D2(x) ≠ 0; se cumple:
N1 (x) D1 (x)
a 2 a+1 = ; ¿cuánto valdría: ? b 3 2b + 3
a b b B. a
N Denotado: (x) D(x)
N1 (x) N2 (x) N1 (x) N2 (x) . = D1 (x) D2 (x) D1 (x) D2 (x)
Si:
C. x – 2 D. x2(x + 2)(x – 2)
A.
FRACCIONES ALGEBRAICAS
N1 (x) N2 (x) N1 (x) D2 (x) ± N2 (x) D1 (x) ± = D1 (x) D2 (x) D1 (x) D2 (x)
A = x2 + 2x B = x3 – 2x2 C = x2 – 4
1 3 2 B. 3
∴M.C.M. (P, Q) = ______________________________
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Hallar el MCM de:
A.
Sean los polinomios:
Una fracción algebraica se define como la división indicada de dos polinomios “N(x)” y “D(x)”, siendo “N(x)” no nulo y “D(x)” polinomios no constantes.
C. x(x – 4)(x + 2) D. x – 3
A. x(x + 2)(x – 2) B. x
Ejemplo:
P(x) = (2x – 1)(4x + 3)3(x – 1)2 Q(x) = (3x + 1)(x – 1)(4x + 3)2
A = x2 – 2x – 8 B = x2 – x – 12 C = x3 – 9x2 + 20x
A. x – 4 B. x + 2
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M. C. M.) Dados dos o más polinomios, el M.C.M. es el polinomio múltiplo común y no común de mayor grado.
Hallar el MCD de:
(3x + 2y)2 – (3x – 2y)2 (2x + 3y)2 – (2x – 3y)2 C. 24 D. 12
2x3 x2 x2 – 2 + x+1 x –1 x–1 C. x2 D. x + 1
20
Álgebra 1 1 10. Si: a + b = 10 y ba = 5; calcular: 2 + 2 a b A. 2 B. 2,1
20. Efectuar el producto:
C. 7,5 D. 3,6
A. 1 B. 3
a x – x a 11. Simplificar: E = a 1+ x C. – 1 a+x D. a
m+2 m+1 3m + 2 B. 2m + 1
C. – 1 x+1 D. x–1
B. 0
5 C. 4(a + 1) 3a D. a+1
4 A. 7(a + 1) 4a + 1 B. 2(a – 1) 3 2 + x x2 1 2 – x x2
1–
x+1 2 x+1 B. x–1
D.
x–1 x2 + 2
A. 2 B. x + 1
7x + 26 A B 16. Si: 2 = + ; hallar: x + 7x + 10 x + 2 x + 5 A. 1 B. 2
A2 + B2
17. Descomponiendo en fracciones parciales; hallar “A – B”. 6x – B A B = + x2 – 4 x – 2 x + 2 C. 0 D. 4
3x 2 18. Simplificar: R = + ; e indicar el numerador x – 5 x2 – 25 resultante. A. 5x + 10 B. 5x + 3
A. 2( x – B. 1
C. x + 5 D. 5x + 4
y)
TRILCE Católica
a+5 2(a – 1) a+5 D. 2(a + 1) C.
1 1 b2 – a2 ab + b2 a + + 2 2 + 3– 2 b a ab3 a b ab C. b D. 3a
(a – b)(a2 – b2 – c2 – 2bc)(a + b)(a + b – c) 2(a + b + c)(a2 + c2 – 2ac – b2)(b2 – a2) 1 2 D. a + b C.
A. 2 B. –
1 2
26. Simplificar:
1 – a–1 –1 – (1 – a–1)–1 a
a–1 a B. a + 1
C. a a D. a–1
A.
A. – 4 B. – 2
y
a–5 2(a + 1) a+5 B. a+1
S=
C. 3 D. 5
x+
a3 – 25a – 8a2 – 10a
25. Hallar el resultado de simplificar:
C. 1 D. x
–
2a3
A. 3 B. a
(x2 – 3x – 4)(x2 – 5x + 6) (x2 – 6x + 8)(x2 – 2x – 3)
x–y
a+b c+b a+b D. b–c C.
A.
R=
C. x – 1
19. Simplificar:
1 m
24. Indicar el numerador que resulta de simplificar:
A.
15. Simplificar:
a–b b+c a+c B. a+b 23. Simplificar:
1+
C.
A.
3 1 4 – – 2a + 2 4a – 4 8 – 8a2
1
a(a + c) + b(c – b) c(a + c) + b(a – b)
22. Simplificar:
A. 1
1 1+
2m + 1 3m + 2 3m + 1 D. m+1
A.
x+1 x–1 – x–1 x+1 12. Simplificar: x – 1 x + 1 – x+1 x–1
14. Simplificar:
C. 0 D. 2x
21. Simplificar la expresión: 1 +
A. 1 a–x B. a
13. Simplificar: B =
1+x 1–x 3 x – + –x 1 – x 1 + x 4x 4
x–y x–
y C. 0 D. –2 y
27. Hallar el valor simplificado de:
x y D. 1
A. xn + yn
C.
B. xy 28. Simplificar: M =
x2n – y2n xn – yn
a2b2 b2c2 c2a2 + + (a – c)(b – c) (b – a)(c – a) (c – b)(a – b)
A. a + b + c 1 B. ab + ac + bc
C. ab + ac + bc D. abc
21
Ciclo
Católica
29. Reducir:
a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
1 A. – 3 B. – 3
1 C. 3 D. 3
30. Si: a + b + c = 0; calcular: P=
(a – b)2 (b – c)2 (c – a)2 + + 2 2 ab(c – 4ab) bc(a – 4bc) ac(b2 – 4ac)
A. 2 B. 4
2a a–b 2(a2 + b2) D. a+b C.
2 + 2a 2 + 2a + 1+a Simplificar: 1 – a 2 + 2a 2 + 2a – 1+a 1–a 1–a a D. 1
1 a 1 + 2a B. 2a A. –
C.
La suma de dos números es 15 y su producto 54, entonces la suma de sus recíprocas es: 1 10 5 B. 18
1 18 2 D. 9
A.
4.
Efectuar:
C.
Simplificar: 1 a–b a–b B. a+b A.
6.
x C. x(x + 1) 1 – 2 x –x D. –a –a +
–b –b +
–a –
–b
1 a+b a+b D. a–b C.
x2 – x – 12 x2 – 1 Simplificar: 2 . 2 x +x–2 x + 4x + 3 x+4 A. x–2 4–x B. x–2
22
1+
1
1
1–
1 x
1+
1
2+
1 x
C. 0 D. – x
Simplificar: K =
x 1+
x
1+
+ 1 x
A. 1 B. 0
1–x x2 + 1 x– x2 + x C. –1 D. 2x
¿Cuál será aquel polinomio que con: P(x) = (x2 – 9)2(x + 2) tenga como M.C.D. = x2 + 5x + 6;
A. 3 B. 16
C. 48 D. 96
10. Reducir: P =
x–2 x+2 – 4 6
x – 10 12 x – 10 B. 6
2x – 11 12 x–8 D. 12
A.
C.
1 A B 11. Si: 2 = + ; hallar “A ÷ B” n –1 n+1 n–1 A. 1 1 B. 2
C. – 1 1 D. – 2
12. Hallar el MCM de:
x–4 C. x+2 x+2 D. x–4
A = x2 – 4x + 3 B = x2 + 4x + 3 C = x4 – 10x2 + 9 D = x3 – 9x + x2 – 9
y dar como respuesta la suma de sus factores primos. A. 2x B. 3x
1 1 – x x–1
x A. x + 1 1 B. x2 – 1
5.
1
además: m.c.m. = x4 – 13x2 + 36? (Dar como respuesta al polinomio evaluado en cero).
a b +1 1– b a Simplificar: + a b –1 1+ b a 2b a+b 2(a2 + b2) B. a2 – b2
3.
8.
9.
A.
2.
Efectuar: A =
A. 1 B. x
C. 1 D. 0
Tarea domiciliaria
1.
7.
C. 4x D. 5x
13. Hallar el valor numérico de: R = x2 + 2 para: x = A. 2 B. 2 3
3+
2–
1 3+
2
C. D.
3 3+1
x+1 x–1 – 2 14. Efectuar: A = x – 1 x + 1 x + 1 x x+1 x–1 + x–1 x+1 A. 2 B. 1 15. Simplificar: A. 2 B. 1
C. – 1 D. 0 x2 + 7x + 12 4x2 + 9x + 2 – 2 x2 + 2x – 3 x +x–2 C. – 1 D. – 3
TRILCE Católica
Álgebra 16. Hallar el valor numérico del MCD de los polinomios para: x = 3.
A. 4 B. 8
P(x) = x4 + 2x2 – 3 Q(x) = x4 + x3 – x2 – x R(x) = x3 – 7x – 6 A. 1 B. 2
a b c 4abc 18. Sabiendo que: = = , calcular: R = b c a (a + b)(b + c)(a + c)
C. 3 D. 4
19. Si: M = a +
C. 2 1 D. 2 1 b+
17. Luego de simplificar: (a2 – 2ac + c2 – b2)(a2 + 2ab + b2 – c2) (b2 – 2bc + c2 – a2)(a2 – b2 – c2 – 2bc) Indicar la diferencia entre el numerador y denominador. A. 2b B. 2c
C. 2a D. 0
Determinar:
1 a+
;N=b+
1 a+
1
b+
1
M N a b D. 1
A. a
C.
B. b 20. Reducir: Q =
(x + a + b + c)(x + a + b + d) – c.d (x + a + b + c + d)
A. x + a + b B. x – a – b
TRILCE Católica
1
C. x + a – b D. x – a + b
23
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 6
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
REPASO: OPERACIONES CON POLINOMIOS Problemas para la clase 1.
Sabiendo que: 2a × 3b = 24 2b × 3a = 54 Calcular: E = (a + b)a – b A. 2 B. 4
2.
C. 8 D. 16
(m + 2) Si: F(x – 1) = 21 + x.x; resolver para “m”: = 16 m+3 A. 5 B. 2
3.
C. 3 D. 0
Efectuar: Q =
b b–a x
.
2b 4a + b x
4b 4a + 5b x
A. x 4 B. x 4.
Si: P(x) =
C. x D. x2 (2x + 1)2 – 1 ; calcular: E = P(x + 1) – P(x – 1) – 2x 8
A. 5 B. 7 5.
C. 8 D. 1
Si: F(x) = (x – 1)2 + a F – F(x + 2) Entonces, determinar: M = (x) x A. 4 B. – 4
6.
C. 1 D. – 2
Si: P(x + 2) ≡ 6x + 1 P[Q(x)] ≡ 12x – 17
7.
C. 7 D. 9
C. 24 D. 36
10. Determinar el grado del siguiente polinomio: n
P(x, y) = xn – 4y2
+1
n
– xn – 5y4
+1
– xn + 2yn + 3
Además: 6 < GR(x) < 12 A. 13 B. 17
C. 21 D. 25
11. Si el grado absoluto de “P” es 11; hallar el valor de “n”. P(x, y) = x3n – 1yn – 2x2n – 3y2n + xn – 3y3n A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
12. Indicar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio homogéneo: 2 2 P(x, y) = (n2 + 1)xnyn + 2 + (n – 1)xn – 3y2n
A. 5 B. 15
C. 20 D. 30
13. Calcular “m + n + p” si se cumple que: m(x – 2)2 + n(x – 2) + p = 3(x – 4)2 – 2(x – 6) + 7 C. 16 D. 18
14. Si el polinomio: P(x) = ax2n + 1 + axm + ... + axa – 4 + axa – 5; es completo, ordenado y tiene (3n – 15) términos, calcular la suma de sus coeficientes. C. 140 D. 124
15. ¿Qué cantidad debe agregarse a: 1 + x (x + 1)(x + 2)(x – 1); para que sea igual a: (x2 + x + 1)2?
Además: P[Q(x)] = Q[P(x)] Se cumple:
8.
A. 16 B. 12
A. 260 B. 180
Si: P(x) = ax + b Q(x) = bx + a (a ≠ b)
A. a – b = 0 B. a – b = 1
El grado absoluto del monomio: M = abx2a + bya + 2b; es 45. Además el grado relativo de “x” es al grado relativo de “y” como 2 es a 3. Hallar el coeficiente del monomio.
A. 12 B. 13
Calcular: Q(5) A. 3 B. 5
9.
C. a + b = 1 D. a + b = 0
Si: P(x) = 2x3yn – 2 Q(x) = axmya + 1
A. x2 + 4x B. x2 + x
C. 4x2 + 4 D. 4x2 + 4x
16. Si la expresión en variables “x” e “y” es: (a + 1) x2 + (5a – 3) xy2 + (2a + 3)y4
P(x) + Q(x) = 7x3yn – 2; hallar: a + m + n
es un trinomio cuadrado perfecto; hallar “a”, si a ∈
A. 11 B. 13
A. 9 B. 3
TRILCE Católica
C. 14 D. 16
C. 18 D. 27
24
+
.
Álgebra 17. Efectuar: M = ( 3 + 1)( 5 + 1)( 15 – A. 7 B. 8
5–
3 + 1)
28. Hallar “m” si:
C. 9 D. 10
2x 13x + 3y 18. Si: (x – y)3 = x3 – y3; x > 0 e y > 0; calcular: y x
A. 2 B. 3
A. 1 B. 2
x2 y2 x y + – – xy + y2 xy + x2 y x x y y D. x C.
A. 0 B. – 1
19. Si: x + x–1 = 4; hallar: x – x–1. C. 4 3 D. – 3 3
C. 4 D. 3
29. Reducir:
C. 4 D. 5
A. 2 3 B. 3 3
x
30. Reducir: 1+
20. Si: a + b + c = 0; hallar:
C. 0 D. – 1
A. 1 + a B. 1 + a – x
C. 2a + x D. 1 – a – x
24. Factorizar: F(x) = (x2 + 8)2 – 6x(x2 + 8) – 27x2
C. 14 D. 16
27. Si: x =
1.
2.
TRILCE Católica
C. Disminuye en 4 1 D. Disminuye en 8
Si: P(x + 3) = 3x – 5 P[Q(x)] = 6x + 4 Hallar: Q(–3)
C. 4x + 6 D. 4x – 2
A. 0 B. 1 3.
b c c D. b C.
B. 2 4.
C. 2 D. 3
Hallar un polinomio “P(x)” de segundo grado, sin término independiente, que cumpla: P(x) – P(x – 1) = x; indicar el coeficiente de “x” en el polinomio: A. –
C. 3x D. x + 10
b + b2 + 4c2 1 ; hallar: x – 2c x
B. b – c
x ¿En cuánto varía el valor de “M” en la expresión: M = + 3; 2 si “x” disminuye en dos unidades? A. Disminuye en 1 B. Aumenta en 1
3 1 x + 10 – – 2x – 4 x + 2 2x2 – 8
A. b + c
1 8 1 D. 3 C.
Tarea domiciliaria
y dar como respuesta la suma de los factores.
A. 0 B. 2x
[f(x)f 2 ]2 – 2x + 1; halla: f(x + 1) – f(x – 1)
1 2 1 B. 4
P(x) = 4x2 – (x – 2)2
26. Efectuar:
x2
A.
25. Factorizar: Q(x) = P(x) + 6x – 4; sabiendo que:
A. 4x – 6 B. 4x + 2
(a2 + x2)2 – a2x2 a6 – x6
C. a2 D. x + a
32. Si: f(x) =
Indicar la suma de coeficientes del factor primo cuadrático. A. 10 B. 12
C. 1 D. x2
1
Señalar un término de un factor primo. C. 3ab D. ac
1 x
1–x x2 + 1 x– 2 x +x
A. x B. 1
23. Factorizar: F(x) = x2 – 2acx + a2(c2 – b2)
A. ax B. ab
+
Dar como respuesta el numerador resultante.
C. x – y D. x + y + z
22. Un factor de: P(x; a) = 1 – a2 + (1 + ax)2 – (a + x)2; es:
1+
31. Simplificar: E =
21. Indique el factor primo de mayor número de términos en: x3(y – z) + y3(z – x) + z3(x – y) A. y – z B. x – z + y
x
A. x B. 0
(a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 – (a2 + b2 + c2) A. 1 B. ab + bc + ac
5x – 7 ≡ m + n 2x2 – 5x + 2 2x – 1 x – 2
1 2
C. 0 1 D. 2
Si: P(x) = A(x – 3)(x – 2) + B(x – 2)(x – 1) + C Q(x) = 2x2 + 1 son idénticos; halla el valor de: (A + B)C. A. 64 B. 256
C. 128 D. 512
25
Ciclo
Católica
5.
El costo de producción “C” de “x” artículos está dado por C = CVx + CF. Cuando se producen 120 artículos, el costo es $4080 y cuando se producen 200, el costo es $6000. ¿Cuál es el costo cuando se producen 90 artículos? A. $3080 B. 3360
6.
7.
C. 3240 D. 3400
A. x2 – xy + y2 B. x + xy + y2
A. 261 B. 126
A. 2 B. 3
C. 136 D. 23
La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de sus cuadrados. C. 28 D. 21
Si se cumple: que: 2a +
A. 21 B. 24
1 = 5, encontrar el valor de: a
C. 23 D. 22
a b – 3 = b – 3 ; hallar el valor de: b a M = (a – b + c)3 – (a – b – c)3 Sabiendo que: a
C. b3 D. 2c3
A. 0 B. a3 10. Si: x + y + z = 0; calcular: R=
(x + y – 2z)3 + (y + z – 2x)3 + (z + x – 2y)3 ; xyz ≠ 0 xyz
A. 9 B. 27
C. – 27 D. – 81
11. Simplificar: (x3 – 3x)2 – [(x + 1)(x – 1)]2(x + 2)(x – 2) A. 4 B. 1 12. Si x =
y=
C. 3 D. 2 a–
2ab –
b2
a + 2ab – b2
A. a + b B. a2 – b2
26
C. 4 D. 5
15. ¿Cuántos factores primos binomios se obtienen al factorizar: R = xn + 2 – axn + 1 + bxn + 1 – abxn? A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
16. Efectuar: Q =
C. a – b D. a2 – b
x+1 x2 + 2 2x + 2 – x–2 x– x+1
A. x B. 1 17. Si:
A=
C. – 1 D. x + 1 2 2 x+y ∧ B = x + y , siendo “A” y “B” números xy x–y
positivos; hallar el valor numérico de: E = (A – 1)(B – 2) A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
18. Si: F(x) = 3x + 4; halla “z” en: F(5z) – F(z – 1) = 15 A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
1 n 3m + 2n 3m – n x y ; tiene como 5 grado absoluto 8 y el grado respecto a “y” es 1. Hallar el coeficiente del monomio.
19. La expresión: Q = 25m –
1 5 B. 5 A.
20. Dado que:
calcula “xy”: si a > b
C. x2 – xy + y D. x2 + xy + y2
14. ¿Cuántos binomios se obtienen de la factorización de: a8 – x4? 81
4a4 + 1 a2
9.
Señalar un factor primo.
La suma de dos números es 23 y la suma de sus cuadrados es 277. Hallar su producto.
A. 31 B. 27 8.
13. Factorizar: F(x, y) = x4y + 2x3y2 + xy4 + 2x2y3
C. 25 D. 1 9x – 14 A B = + 6x2 + 7x – 3 ax – 1 bx + 3
hallar: A + a + b . B A. 0 B. 10
C. 7 D. 16
TRILCE Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 7
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
TEORÍA DE ECUACIONES: ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIÓN
Ejemplos:
Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos una variable y que se verifica para un determinado conjunto de valores asignados a sus variables.
OO
x3 – 5x2 + 3 = 0
�
5 1 + =0 x x–2
OO
Ejemplos:
Es aquel valor que toma la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad. Ejemplo: x3 = x
1.
Es la reunión de todas las soluciones particulares que presenta la ecuación. Ejemplo: x3 = x ⇒ C.S. = {
OO
3x + 9 = 0 ⇒ C.S. = {–3}
OO
7x – 5 = 0 ⇒ C.S. =
5 7
Problemas para la clase
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN (C.S.)
}
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SEGÚN SUS SOLUCIONES ECUACIÓN COMPATIBLE
A. Ecuación compatible determinada Es aquella que tiene un número limitado de elementos en su conjunto solución.
2.
3.
4.
Resolver: (x + 1)(2x + 5) = (2x + 3)(x – 4) + 5 C. 2 D. – 2
Resolver en “x”: a
x x –4 –b –4 =0 3 3
Resolver:
C. 7 D. a + b x+3 x–1 x+6 – = 2 4 3
A. 1 B. 3 5.
6.
Ejemplos: x=x x+2=x+2
C. 1 D. 10
A. 12 B. 1
B. Ecuación compatible indeterminada Es aquella que tiene un número ilimitado de elementos en su conjunto solución, y es de la forma: 0x = 0
x 4 = , el valor de “x” es: x–1 5
A. – 1 B. 1
Ejemplo: x2 – 1 = 0 ⇒ C.S. = {1; –1}
En la siguiente expresión: A. – 4 B. 5
Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución. Se subdivide en:
3(x2 + 9) 2x + 3 x + 6 = + x2 – 9 x–3 x+3
A. 0 B. Absurdo
C. – 3 D. 3
La solución de la ecuación:
111 x – 1 – 1 – 1 = 0; es 333
A. 1 B. Absurdo
C. 39 D. 45
ECUACIÓN INCOMPATIBLE Es aquella que no tiene ningún elemento en su conjunto solución, es decir, su conjunto solución es vacío.
A. a + 12 B. 12
TRILCE Católica
7.
Resolver:
C. – 1 D. – 3
¿Cuál es el valor de “x” que resulta al resolver la ecuación: x+a a – x 7a –6+ = ? 2 5 10
OO
2.
1 =0 x+2
ax + b = 0 ; a ≠ 0
x–3–x=0
OO
OO
Es aquella ecuación polinomial de la forma:
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
1.
0x = 5
ECUACIÓN LINEAL (Ecuación de primer grado)
Ejemplos:
OO
C. a + 20 D. 20
27
Ciclo
Católica
8.
Resolver: 5[x + 10 – (2x + 1)] = 3(x – 1) – 4(2x + 5) 1 2 1 B. 6 A.
9.
C. Absurdo D.
1 4
18. Resolver:
x–1 x–6 x–5 x–2 + = + x–2 x–7 x–6 x–3 9 2 11 D. 2
A. 4
C.
B. 5
El valor de “x” que satisface la ecuación: 3 3
=2
3
x+1– x–1
A. B. C. D.
1 =2 1 1 + 2 x 1 C. 2 2 D. 3
A. 1 B. 2 11. Resolver:
4 – 2x 2 –1= x–1 x–1
A. 1 B. 2 12. Resolver:
2x + a b – x 3ax + (a – b)2 – = ab b a C. ab D. 2b
14. ¿Para qué valor de “x” se verifica: (n + 1 + x)2 – (n + x)2 = 2n + 199? A. 66 B. 99
C. 39 D. 90
1 1 3 15. Resolver: 2 – = x + 3x – 28 x2 + 12x + 35 x2 + x – 20 A. 4 B. – 3
C. 3 D. – 4
16. ¿Qué valor de “x” verifica la siguiente igualdad: x – x2 – 21 = 7? A. 5 B. No existe tal valor
1 A. 2 B. 4
28
3 3+
3
3 x+ 4
=
C. – 3 D. – 4 3
3+
x+1–
5 2 5 B. 3
3
1 2x + 2 C. 2 1 D. 4
x–1=1
5 4 4 D. 5
A.
C.
21. Si: a; b ≠ 0, qué relación debe de existir entre ellos para a b que la ecuación: (x – a) = (x – b); sea incompatible. b a A. 2a – b = 0 B. a + b = 0
C. a – b = 0 D. a2 – 3b = 0
A. 10 B. 15
3
x+ 5–
3
x = 25; es:
C. 20 D. 30
23. ¿Para qué valor del parámetro “n” la ecuación: 2nx – 3 3nx – 2 + = 2n + 1 x–1 x+1
C. – 8 D. 4
A. b B. 2a
17. Resolver:
20. Resolver la ecuación:
3
2–x 3–x 3 x–4 x–5 + + = + 3 4 4 5 6
A. – 4 B. 8
C. 2 D. 3
22. La solución de la ecuación: 5 + C. No tiene solución D. – 1
13. Despejar “x” de:
9x2 + 5x + x2 + 7 = 1 + 2x
A. 6 B. 9
Es menor que 1 Está comprendido entre 1 y 1,1 Es mayor que 2 Está comprendido entre 1,1 y 1,2
10. Resolver: 1 +
4x2 + x +
19. Resolver:
3
x+1+ x–1
se reduce a una de primer grado en “x”? 1 –3 1 B. 2 A.
C. – D.
1 3
1 2
1
24. Resolver:
1
x2 – 2x + 14 2 x2 + 4x + 2 2 + 2 =2 2 x + 4x + 2 x – 2x + 14 5 2 D. 3 C.
A. 1 B. 2
25. ¿Para qué valor del parámetro “n” la ecuación en “x”: 8nx + 2n – 9 = nx + 2(x + n + 7); será incompatible? 7 2 2 B. 7
3 7 7 D. – 2
A.
26. La ecuación: solución a:
C.
x + 1 x + 5 2x2 – x – 11 + = 2 , admite como x – 5x + 6 x–3 x–2
A. 3 B. No tiene soluciones
C. 2 D. {2; 3}
27. Resolver: 2x + 3 + 3x + 2 – 2x + 5 = 3x A. 3 B. 2
C. 3 D. 4
TRILCE Católica
Álgebra 28. Resolver:
n n
n
x+a+ x–a n
x+a– x–a
a(an + 1) an – 1 a B. an + 1
a+1 =a–1
8.
an + 1) an – 1 a(an – 1) D. an + 1
A.
C.
x3 + mx2 + nx + p x2 + mx + n 29. Despejar “x” de: 3 = x + ax2 + bx + p x2 + ax + b b–m n–a b–n B. m–a
b+n m+a b+n D. m–a
A.
30. Resolver:
3
C.
2 5+ x –
3
6
2 5 – x = 20 – x
A. 4 B. 1
C. 9 D. 16
x+1 x–1 – 1 Resolver: x – 1 x + 1 = 2 x+1 1– x–1 A. – 0,2 B. – 0,5
9.
Resolver:
C. – 0,25 D. 0,25 5x – 2 3x + 4 7x – 5 – = –1 2 3 4
Dar como respuesta “6x”. A. – 3 B. – 1
C. 3 D. – 2
10. Resolver:
5x – 2 x – 1 7x – 2 = + 3 2 6
A. 2 B. – 2
C. 0 D. Absurdo
11. Al despejar “x”:
Tarea domiciliaria
m2x + n(m – n) = (m – n)(3m + 4n) + n2x; se obtiene: 1.
Resolver:
x–2=–2
A. 6 B. 4 2.
Si: x –
C. No tiene solución D. 2 1 x = ; entonces “x” es igual a: a a
–1 a–1 1 B. +1 a
1 a–1 1 D. a
A.
3.
Hallar “x”:
C.
0,03 1/6 = x 2/9
1 A. 2 1 B. 13 4.
7 Si: = x
5.
D.
1 25
0,49; el valor de “x” es: C. 10 D. 7
Si la ecuación: (n – 2)x2 + 3x + 1, es de primer grado en “x”, es necesario que “n” sea: A. 1 B. – 2
6.
7.
C. – 1 D. 2
2–x 2–x 7 Resolver: + = 3 4 4 A. – 3 B. – 1
TRILCE Católica
12. Proporcionar la solución de la ecuación: 1111 x–2 –2 –2 –2=0 5555 A. 156 B. 1650
C. 3 D. – 2
C. 1560 D. 1460
13. ¿Cuál es el valor de “x” que satisface: 21 +
13 +
7+
A. 0 B. 1
3+
x = 6?
C. – 1 D. 2
14. Resolver:
x+
2x – 1 +
A. 121 B. 211
x + 12 – 5 2x – 1 = 19 2 C. 112 D. 221
15. Resolver la siguiente ecuación en “x”: x – ab x – ac x – bc + + =a+b+c a+b a+c b+c A. a2 + b2 + c2 B. a + b + c
C. ab + bc + ac D. a + 2b + 3c
16. Al resolver la ecuación: 1–
5 1 Resolver: 2 = x –1 x–1 A. 10 B. – 10
C. n D. 3m
31 + C. 25
A. 14 B. 10
A. 3 B. m
2 3+
4
6 5– x–2 7+ x+4
=1–
2 3+
5–
4
7+
6 x–7 x+2
el valor de “x” es: C. 4 D. – 4
A. – 4 B. – 8
C. 8 D. 4
29
Ciclo
Católica
1 3 1 17. Resolver: 2 – = x + 3x – 28 x2 + 12x + 35 x2 + x – 20 A. – 4 B. f
C. 3 D. – 3
18. El valor de “x” que verifica la siguiente ecuación: 12
x + 2)(x – 4) x + 4)(x – 7) –1 =7 – 1 , es: (x + 3)(x – 5 (x + 5)(x – 8
A. – 25 B. – 20
30
C. Imposible D. 25
19. Hallar “x” en:
5+x+ 5–x
5+x– 5–x el valor de “101x”. A. 100 B. 202
= 10, y dar como respuesta
C. 101 D. 200
20. ¿Para qué valor de “x” se cumple: 2x + 2 x–2 x+4 – = ? 9x2 – 4 9x2 + 12x + 4 9x2 – 4 A. – 2 B. 2
C. Incompatible D. 0
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Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 8
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
TEORÍA DE ECUACIONES: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Es aquella ecuación polinomial de la forma:
OO
Diferencia de raíces (D): (x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1x2
ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0
S2
A. RESOLUCIÓN 1.
OO
Por factorización
D2
–
= 4P
Reconstrucción de la ecuación: x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0
Ejemplo:
x2 –
Resolver: 6x2 – 17x + 12 = 0
Sx
+ P
=0
RAÍCES SIMÉTRICAS Si “x1” y “x2” son raíces simétricas se cumplirá: x1 = A; x2 = – A 2.
b ⇒ x1 + x2 = 0 ⇒ – = 0 ⇒ b = 0
Por fórmula general Sea: P(x) =
ax2
a
+ bx + c / a ≠ 0
RAÍCES RECÍPROCAS
“Fórmula general de la ecuación cuadrática” x1, 2 =
–b±
Si “x1” y “x2” son raíces recíprocas se cumplirá: x1 = A; x2 =
b2 – 4ac 2a
Ejemplo:
⇒
En una ecuación cuadrática de la forma: ax2 + bx + c = 0; se tendrá una raíz nula: x = 0, si se cumple que:
B. DISCRIMINANTE (∆)
D = b2 – 4ac
c=0 ECUACIONES EQUIVALENTES
C. NATURALEZA DE LAS RAÍCES ax2 + bx + c, (a > 0) OO
Si: ∆ > 0 → Las raíces son reales y diferentes.
OO
Si: ∆ = 0 → Las raíces son reales e iguales.
OO
Si: ∆ < 0 → Las raíces son complejas y conjugadas.
Si las ecuaciones de segundo grado tienen las mismas raíces se cumplirá: a1x2 + b1x + c1 = 0
(1)
a2x2 + b2x + c2 = 0
(2)
a1 b1 = = a2 b2
D. PROPIEDADES GENERALES OPERACIONES BÁSICAS CON RAÍCES Sea: ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0, de raíces: x1; x2
Producto de raíces (P): x1x2 = P =
TRILCE Católica
Resolver: 3(3x – 2) = (x + 4)(4 – x) A. 2; 1 B. 2; – 1
b a 2.
c a
c1 c2
Problemas para la clase 1.
Suma de raíces (S): x1 + x2 = S = –
OO
⇒ c=a
RAÍZ NULA
Resolver: x2 – 2x + 2 = 0
OO
c =1 a
⇒
x1x2 = 1
1 A
C. 2; – 11 D. – 2; 11
Resolver la ecuación: A. 3; 4 B. 11; –
11
5 1 – =1 x x+2 C. 1 + D. 1 +
2; 1 – 2 11; 1 – 11
31
Ciclo
Católica
3.
Resolver en “x”:
x 2x 5a2 + = x + a x – a 4(x2 – a2)
a a , 2 3 B. 2a, 3b
5a a , 6 2 a D. 2a, 2
A.
4.
C. –
x2 – x + 3 1 Resolver: 2 = ; e indicar una raíz. x + 5x + 1 3 A. – 2 B. – 4
5.
C. 4 D. 2
La solución de la ecuación: A. 0 B. 2
6.
2x +
Hallar el valor de “P” de tal manera que la ecuación:
tenga el producto de sus raíces igual a dos veces su suma.
8.
C. 3 D. 4
C. – 11 D. 11
Siendo “x1” y “x2” las raíces de la ecuación: 2mx2 + 2(m + 1)x + (m – 1) = 0 Calcular “m” si se cumple la siguiente relación:
Señale como respuesta el valor de: mm + 2m
9.
C. 0 D. 8
reales si una de sus raíces es: 5 –
3
C. x2 – 10x – 22 = 0 D. x2 + 10x – 22 = 0
10. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes enteros cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la ecuación: 5x2 – 7x + 13 = 0. Indicar el coeficiente de su término independiente. A. 25 B. – 91
C. 91 D. 100
11. Encontrar el valor de “p” si una raíz es el doble de la otra en la ecuación: x2 + 6x + p = 0 A. 2 B. 6
32
C. 25 D. 27
x2 – (m – 1)x + m + 1 = 0 Calcular el valor de “m” si: A. 3 B. 5
C. 4 D. 8
1 1 2 + = x1 x2 3 C. 4 D. 6
15. Halle los valores de “m” para que la ecuación: (m + 3)x2 – 2mx + 4 = 0 tenga una única solución. C. 2 D. – 2
16. Si “x1” y “x2” son las raíces de la ecuación: x2 – 5x + 3 = 0; x + x1 x1 + x2 hallar el valor de: 2 + x1 x2 9 5 25 B. 3 A.
15 9 8 D. 3 C.
17. Calcular “m” de modo que la suma de los cuadrados de las raíces de: x2 – (m – 2)x + m – 3 = 0; sea igual a 2. C. 4 D. 6
18. Sea la ecuación: x2 – (n – 4)x + n – 5 = 0. Hallar el valor de “n” para que la diferencia de raíces sea 2. A. 3; 6 B. 4; 5
Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes A. x2 + 10x + 22 = 0 B. x2 – 10x + 22 = 0
A. 24 B. 26
A. 3 B. 5
x1 x2 + = 7; m > 0 x2 x1
A. – 3 B. 5
C. 2x2 – 4x + 3 = 0 D. x2 – 4x + 1 = 0
13. Si “x1" ∧ “x2” son las raíces de la ecuación: x2 – 5x – 3 = 0; calcular el valor de: x1(x1 – 1) + x2(x2 – 1)
A. Más de una B. – 6
Calcular “m” si en la ecuación: 2x2 + (m – 1)x + (m + 1) = 0; sus raíces difieren en 1. A. 1 B. 6
3)
A. x2 – 4x + 2 = 0 B. x2 + 4x – 1 = 0
6x2 + 1 = x + 1; es:
2Px2 – 4Px + 5P = 3x2 + x – 8
7.
raíz: (2 +
14. Si “x1” y “x2” son las raíces de la ecuación:
C. 0; 2 D. 0; – 2
A. 1 B. 2
12. Determine la ecuación de segundo grado que tiene por
C. 6; 2 D. 4; 8
19. Calcular “m” si la ecuación: x2 + (m + 1)x + m + 3 = 0; 1 1 3 tiene raíces “x1” y “x2”, tal que: + =– x1 x2 4 A. 5 B. 3
C. 4 D. 2
20. Si “r” y “s” son las raíces de la ecuación x2 – 4x + 1 = 0; 1 1 halle la ecuación cuyas raíces sean: r2 + y s2 + r s A. x2 – 18x + 54 = 0 B. x2 – x – 2 = 0
C. x2 + x – 1 = 0 D. x + 3 = 0
21. Sabiendo que las raíces son recíprocas, hallar “k” en: (2k + 2) x2 + (– 1 – 4k) x + k – 2 = 0; k ≠ – 1 A. 4 B. 2
C. – 4 D. – 2
TRILCE Católica
Álgebra 22. ¿Para qué valor de “m” la ecuación:
Tarea domiciliaria
x2 – 2(3m + 1) x + 7(2m + 3) = 0; tendrá sus dos raíces iguales? A. 5; 2 3 B. 1; – 2
10 C. 2; – 9 D. 3; – 1
1.
2.
3.
A. 5 B. – 1
4.
C. 3 D. – 3
25. Halle la suma de valores de “m” de tal manera que la ecuación: (m + 1)x . (5x – 2) + 1 = 0; se verifique para un solo valor de “x”. A. 5 B. 3
5.
6.
A. 1 B. – 1
7.
8.
30. Resolver:
Sabiendo que las raíces de la ecuación:
TRILCE Católica
C. 3 D. 5
C. 3 y 9 D. 4 y 12
Si en una ecuación: x2 + mx + n = 0, “m” y “n” son raíces; los valores de “m” y “n” en este orden son: C. – 1 y 2 D. 1 y – 2
Si (a; b) es el conjunto solución de la siguiente ecuación:
determinar el valor de “k”, para que: a2 + 5ab + b2 = 28 A. ± 5 B. ± 4 9.
C. ± 1 D. ± 2
Calcular el valor de “a” en la ecuación:
(3 – x)3 + (4 + x)3 = 7; e indicar una raíz. (3 – x)3 + (4 + x)3
A. 2 B. 4
C. 2 D. – 3
x2 – (k – 3) x + 2k + 5 = 0
29. Resolver: x2 – 5x + 2 x2 – 5x + 3 = 12 C. 3 D. 6
Si una de las raíces de la ecuación: x2 + (a + 3)x + a + 2 = 0; es (– 6); calcular la otra.
A. 1 y 2 B. 2 y 1
C. 2 1 D. – 2
A. 1 B. 5
C. {a, b} D. {1, 1}
A. 1 y 3 B. 2 y 6
C. V V V D. V F V
x2 + 8x + 17 x – 3 2 28. La solución de la ecuación: 2 = ; es: x – 6x + 10 x + 4
x a 1 + = (a + b)b x(a + b) b
son números enteros y una de ellas es el triple de la otra, hallar dichas raíces.
27. Si: x2 + bx + c2 = 0; b, c ∈ N, indicar el valor de verdad en:
A. V F F B. V V F
Resolver:
C. {– 18, 3} D. {18, – 3}
x2 – (3n – 2)x + n2 = 1
C. 4 D. – 2
I. Si: c = 0; una de las raíces es cero. II. Si: b = 0; entonces una de las raíces es “c”. III. Si: b > c > 0; entonces no existen raíces reales.
x 1 x x+6 – = + x–6 2 6 6–x
A. 4 B. – 1
x2 – 5x + 2 12 – x2 – 5x + 2 = 2 x2 – 5x + 2 A. – 6 B. – 4
D. 2
A. {a, 1} B. {b, 1}
C. – 3 D. 10
26. Determinar la menor de las raíces de:
Resolver:
C. – 3
A. {3, 9} B. {18, 3}
(7a – 2) x2 – (5a – 3) x + 1 = 0 8bx2 – (4b + 2) x + 2 = 0 admiten las mismas raíces, entonces el valor de “a + b” es:
4x2 – 3x + 5 Una raíz de las siguientes ecuaciones es: 2 =2 x – 2x + 13 A.
C. – 6 D. 12
24. Si “a” y “b” son números reales de manera que las ecuaciones:
C. 61 D. 2 61
7 2 7 B. – 2
una raíz de la ecuación (I) es la mitad de una raíz de la ecuación (II), luego el valor de “k” es igual a: A. 8 B. 6
x–2 x+2 + = 3 e indicar la mayor raíz. x+2 x–2
A. 5 B. 2 5
23. En las siguientes ecuaciones: x2 – 5x + k = 0 ... (I) x2 – 7x + k = 0 ... (II)
Resolver:
ax2 – (a – 5)x + 1 = 0 si se cumple que: x1 x2 = x1 – x2 A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
33
Ciclo
Católica
10. Indicar para qué valor de “n” las raíces “x1" ∧ “x2” de la ecuación: 4x2 + nx + 5 = 0, verifican: 3x1 + x2 = – 8 x1 + 3x2 = – 4 A. – 12 B. – 6
A. x2 – 10x + 36 = 0 B. x2 – 18x + 45 = 0 C. 6 D. 12
11. Si “x1" ∧ “x2” son raíces de la ecuación: 2x2 – x + 3 = 0; 1 1 calcular: + x1 x2 1 3 1 B. 2 A.
1 3 1 D. – 2 C. –
12. ¿Para qué valor de “n” las raíces de la ecuación: x3 + 3x n – 1 = ; son simétricas? 5x + 2 n + 1 A. 5 B. 3 13. Si las ecuaciones:
C. 4 D. 2 (2m + 1)x2 – (3m – 1)x + 2 = 0 (n + 2)x2 – (2n + 1)x – 1 = 0
son equivalentes; calcular el valor de “m”. A. – 9 B. 9
C. 6,5 D. – 6,5
14. Determinar uno de los valores de “p” para que en la ecuación: x2 – px + 2 = 0; la suma de los cubos de las raíces sea igual a – 4. A. 1 B. 3
34
15. Sabiendo que el cociente de las dos raíces de una ecuación de segundo grado es 5 y que la diferencia de las mismas es 12, escribir dicha ecuación.
C. 2 D. 4
16. Resolver: solución.
2x – 3 +
A. 2 B. 21 17. Resolver: A. 6 B. 12
C. x2 – 18x + 31 = 0 D. x2 – 6x + 7 = 0 4x + 1 = 4; e indicar la mayor C. 7 D. 42
2x + 1 +
x – 8 = 3; una raíz es: C. 8 D. 18
18. Sabiendo que las raíces de la ecuación: x2 – (5m – 1)x + 10m = 0 son ambas positivas y que además su diferencia es igual a 5; el valor de la suma de estas raíces será: A. 3 B. 9
C. 5 D. 11
19. Dada la ecuación: x2 – 2ax + 8a – 18 = 0, determinar el valor de “a” para el cual la suma de las inversas de las raíces sea 1. A. 3 2 B. – 5
C. 4 3 D. – 4
20. La ecuación: x2 + bx + c = 0; tiene raíces “r” y “s”. La ecuación que tiene raíces 1/r2 y 1/s2, será: A. B. C. D.
c2x2 + (2c – b2) x + 1 = 0 cx2 + (2c – b2) x + 1 = 0 c2x2 + (2c2 – b) x + 1 = 0 c2x2 + (2c2 – b) x – 1 = 0
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TEORÍA DE ECUACIONES: SISTEMA DE ECUACIONES B. SISTEMAS INCOMPATIBLES
SISTEMAS LINEALES Se llama sistema de ecuaciones, o, sistema de ecuaciones simultáneas al conjunto de dos o más ecuaciones que se verifican para un mismo valor de la, o, las incógnitas.
Son aquellos que no admiten solución alguna. Generalmente en estos sistemas el número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas.
Ejemplo:
Luego entonces para un sistema:
El sistema:
3x + 2y = 7 5x – y = 3
Ax + By = C Dx + Ey = F 3x + 2y = 7 …………(I) 5x – y = 3 …………(II)
Consta de dos ecuaciones:
A B C = ≠ D E F Por ejemplo:
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS LINEALES
2x + y = 4 ; al resolver obtenemos: C.S. = f 2x + y = 3
A. SISTEMAS COMPATIBLES
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Es aquel sistema de ecuaciones que sí admite soluciones. Estas a su vez podrán ser: 1.
A continuación veremos diversos métodos para encontrar la solución, si la hay, de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. En general, cualquier sistema puede resolverse por cualquiera de los métodos descritos, pero en la práctica, dependiendo de la forma que tengan las ecuaciones, será mas fácil aplicar un método que los otros, por ello es bueno que dominemos todos y saber sacarle provecho a cada uno de ellos en los casos particulares.
Sistema compatible determinado Es aquel que presenta un número finito de soluciones. Puede observarse que en estos sistemas existen igual número de ecuaciones que de incógnitas. Luego entonces para un sistema:
Estos métodos son:
Ax + By = C Dx + Ey = F
OO
A B C ≠ ≠ D E F Por ejemplo:
x+y=2 –x + y = – 4
al resolver obtenemos: C.S. = (–1; 3) 2.
OO OO
Método de Igualación Método de Sustitución Método de Reducción
SISTEMAS NO LINEALES Es un conjunto de dos o más ecuaciones en el cual las expresiones matemáticas que intervienen en el sistema pueden ser algebraicas o no algebraicas, como:
Sistema compatible indeterminado Es aquel que presenta un número infinito de soluciones. Un sistema de este tipo se reconoce cuando existen más incógnitas que ecuaciones. Luego entonces para un sistema: Ax + By = C Dx + Ey = F A B C = = D E F Por ejemplo:
x+y=2 –x – y = – 2
al resolver obtenemos: C.S. =
TRILCE Católica
x2 + y2 = 16 x+y=5
;
x–y=5 ;… x+y=5
Para resolver este tipo de sistemas no existe un método general, sin embargo de acuerdo a la forma que presenta el sistema, se resolverá utilizando capítulos anteriores ya vistos como productos notables, factorización, diversos artificios.
Problemas para la clase 1.
Resolver:
2 x + 3 y = 12 x– y=1
Dar como respuesta el producto de las soluciones. A. 1 B. 4
C. 16 D. 36
35
Ciclo
Católica
2.
Dado el sistema:
4x – 4y = 14 ; hallar: x – y –3x + 3y = 16
A. 2 B. –2 3.
C. 30 D. 20
Calcular el valor de “z” en el siguiente sistema: x y z = = 6 3 18 3x + 5y + z = 34 A. 4 B. 8
4.
C. 10 D. 12
Calcular “m” sabiendo que el sistema mostrado es compatible indeterminado: (m – 2)x + 2y = 3 (m + 3)x + 4y = m – 1 A. 1 B. 2
5.
C. 6 D. 7
Resolver y dar el valor de:
x y
1 1 + =a x–y x+y 1 1 – = b; (a ∧ b ≠ 0) x–y x+y a b D. 1 C.
A. a + b B. a – b 6.
Resolver:
3(x + 2y) + 2(2x – y) = 13 5(2x + y) – 3(x + 3y) = 29
e indicar: “x + y”
8.
Si la siguiente tabla:
C. 3 D. 4 x y
indicar “x + y + z” A. 16 B. 26
2x + y + z = 8 5x – 3y + 2z = 3 7x + y + 3z = 20
indicar “x y z” A. 1 B. 2
C. 3 D. 6
x + y + z = 10 y + z + w = 15 12. Siendo: x + z + w = 14 x + y + w = 12 w+z Calcular: xy A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
20 10 + =9 x + 3 y –1 13. Resolver el sistema: 10 2 – =1 x+3 y–1 e indicar el valor de “x + y”. A. 3 B. 4 14. Siendo:
C. 5 D. 7 (x + 1)(y + 1) = 6 (y + 1)(z + 1) = 8 (x + 1)(z + 1) = 12
b 2
–1 2a
A. 2 B. 3
A. 13 1 B. 3
B. ab
C. 6 D. 3
5x + 3y + 3 =2 7 + 2y + 7 ; obtener (x – y) Dado el sistema: x2x –y+4 19 =4 2x + y – 7 C. 5 D. –5 x+ y+ z+
y = 5... (1) z = 7... (2) x = 8... (3)
C. 6 D. 8
15. El producto de las soluciones del sistema: A. 1
Resolver el sistema:
C. 36 D. –26
11. Resolver el sistema:
satisface a: y = 5x + a + b; calcular “x”, cuando: y = 12
A. 1 B. –1
9.
x+y–z=6 2x – y + z = –3 4x + 2y – 3z = 4
Calcular: “xyz” (x, y, z > 0)
A. 1 B. 2 7.
10. Resolver:
x–1 + y–1 = a x+y=b
a b b D. a C.
16. Dado el sistema:
2ax – b2y = ab 2x + by = a
Calcular “y”. a b a(a – b) B. b(a + b) A.
17. Resolver:
a–b a+b b(a – b) D. a(a + b) C.
5xy = 12(x + y) 5yz = 18(y + z) 13xz = 36(x + z)
e indique el valor de “z – x – y”
y dar como respuesta el producto de sus soluciones.
A. 15 B. 16
A. 24 B. 54
36
C. 17 D. 12
C. 36 D. 216
TRILCE Católica
Álgebra x + y + z = 9..... (1) 18. Resolver el sistema: x + y – z = 3..... (2) x – y + z = –1... (3)
26. Hallar “m” para que el sistema: (2m + 1) x + 5y = 7 (m + 2) x + 4y = 8
e indique el producto de “xyz”. A. 15 B. 6
19. Hallar: E = x + y + z, si “x”, “y” y “z” son los valores positivos que cumplen con el sistema: x y z 2 = = ; x + y2 + z2 = 1 2 3 6 3 5 17 B. 4 A.
13 3 11 D. 7 C.
1 1 1 + = x y 12 1 1 1 + = y z 20 1 1 1 + = x z 15
20. Hallar “x” en:
A. 5 B. 10 21. Resolver:
A. 1 B. 2 xy 6 xz 3x + 4z = 27. Indicar “y” si: 6 yz 3y + 5z = 6 5x + 4y =
A. 48 B. 80
x2 + xy + y = 121 y2 + xy + x = 61
A. a B. a + 1
(a + b)x + (a – b)y = a + b (a – b)x – (a – b)y = a – b
A. 216 B. 120
x2 + y2 = 45 x + y x – y 10 + = x–y x+y 3
C. a + b D. a – b
3x + ay + z = 0 2x – 5y + 3z = 0 x–y+z=0 A. 1 B. 2
obtener:
e indicar:
x + y = 7 xy y – x = xy
1.
Resolver: A. 2 B. 3
2.
TRILCE Católica
C. 6 D. 12
¿Para qué valor de “m” el sistema tiene infinitas soluciones?
A. –1 B. –2 3.
C. –3 D. –4
¿Qué valor no debe tomar “a” para que el sistema sea compatible determinado? (a + 1)x + 4y = 6 (a + 2)x + 6y = 18
x–1 y–2
A. 3 B. 4
2x – y = 1 ; hallar “x. y” x + 3y = 11
(m – 2)x + 5y = 6 5mx + 15y = 18
C. 4 D. 5 x + 2y + 8xy = 9 x – 2y = 1
C. –5 D. –6
Tarea domiciliaria
x–1 + y–1
A. 2 B. 3 25. Resolver:
A. 10 B. 0
C. 3 D. 4
24. Resolver el sistema:
C. 256 D. 144
30. Hallar la suma de raíces del sistema:
y obtener: “x + y”
23. Determinar el valor de “a” para que el siguiente sistema de ecuaciones sea indeterminado:
C. a – 1 D. a + 2
29. Resolver: x3 – y3 = 224; x – y = 8. Indicar el producto de las raíces.
C. –23 D. –17
A. 1 B. 2
C. 60 D. 36
Señalar el valor de: y–1; a ≠ 1
C. 15 D. 20
A. –14 B. –5
C. 3 D. 4
ax + y + z = 1 28. Resolver: x + ay + z = a x + y + az = a2
hallar la suma de las menores raíces.
22. Resolver:
sea incompatible.
C. 18 D. 24
C. 5 D. 6
A. –4 B. 1
C. –8 D. 0
37
Ciclo
Católica
4.
¿Qué valor debe tomar “m” para que el sistema sea incompatible? ( 3 – m)x + 5y = 4 (m – 2)x + 2y = 6 16 A. 7 16 B. – 7
5.
Resolver:
A. –5 B. –3
15 C. 7 7 D. 16
13. Resolver:
y dar como respuesta la suma de sus soluciones.
6.
Resolver:
y dar como respuesta la diferencia de sus soluciones.
7.
Hallar “y”:
1 2 D. 2 C.
8.
Hallar “x” en:
9.
1 5x + y = 3 3
1 3 ; hallar “xy”
38
C. 4 D. 5
A. – 2 B. –1
C. 0 D. 1 ax + by = a2 + b2 bx + ay = 2ab
y dar como respuesta la suma de sus soluciones. A. a – b B. a + 2b
x
3
7
y
5
11
C. 6 D. 8 x–1 1 = y+1 7 x + 1 1; hallar: E = = y–1 3 C. 3 D. 4
C. a + b D. 2a – b
19. Hallar el valor de “x – y” en el sistema de ecuaciones:
satisface a la ecuación: y = 2ax + b; hallar “y” cuando: x = 1
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
x(x + y + z) = 48 y(x + y+ z) = 12; (x, y, z > 0) z(x + y + z) = 84
18. Resolver:
2 –3 D. –2 C.
10. Si el siguiente cuadro:
11. Resolver el sistema:
A. 2 B. 3
17. Encuentra el valor de “y” en:
–2xy – y = –
2 3 3 B. 2
A. 2 B. 4
(x + 1)(y + 1) = 24 15. Hallar “x” (x; y; z > 0) en el sistema: (x + 1)(z + 1) = 18 (y + 1)(z + 1) = 12
C. 6 D. 7
A.
C. 25 D. 16
A. 2 B. 3
x 4 = y 7 3x + 2y = 26
Resolver el sistema:
3x 2y 2 b + a
(x + y)(y + z) = 0 (x + y)(x + z) = 3 ; y hallar: M = x2 – y2 (x + z)(y + z) = 0
C. 4 D. 5
A. 4 B. 5
ax + by = 2ab bx + ay = a2 + b2
16. Resolver el siguiente sistema:
x+2 5 y+2=7 x+y=8
A. 2 B. 3
14. Resolver:
C. 25 D. 34
A. 1 B. 9
3x – (4y + 6) = 2y – (x + 18) 2x – 3 = x – y + 4
B. –1
25x – 9y = 81 ; y señalar “x + y”. 5 x – 3 y = 3
y señalar el valor de: E =
74 C. 31 31 D. 74
A. –3
C. 2 D. 3
A. 9 B. 16
10x + 9y = 4 8x – 15y = –1
5 A. – 6 1 B. – 6
12. Resolver:
x+y 2 =– x–y 7; hallar “x”. 8x + y – 1 =2 x–y–2
3 4x + 2y – 5 2x – y = 2 7 4x + 2y + 2 2x – y = 32 A. –1 B. 1
C. 0 D. 2
20. Calcular el producto de los dos valores reales de “y” en: x2 + 3xy = 14 y2 + 2xy = 16
x+y A. –8 B. –14
C. –24 D. –30
TRILCE Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 10
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
TEORÍA DE ECUACIONES: PLANTEO DE ECUACIONES I Una de las habilidades más importantes en la resolución de problemas es la destreza, para traducir un problema dado en nuestro idioma, al lenguaje matemático. Lenguaje escrito (Palabras)
Lenguaje matemático (Forma simbólica)
TRADUCCIÓN
Dentro de ocho años, la edad de Pedro será la que Juan tiene. Dentro de 15 años Pedro tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. ¿Cuál era la suma de las edades de Pedro y Juan, cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro? A. 17 años B. 25
4.
EJEMPLOS FORMA VERBAL
3.
FORMA SIMBÓLICA
C. 9 D. 24
La edad de María es el triple de la de Rosa más 15 años y ambos suman 59 años. Dar como respuesta la suma de las cifras de la edad de Rosa.
OO
El triple del número
________________
OO
“x” es dos veces “y”
________________
El triple del número, disminuido en 8
________________
El número de peras excede al de manzanas en 4
________________
Un obrero trabajó durante dos meses con su hijo en una misma obra. El primer mes, por 14 días del padre y 24 del hijo recibieron S/ 118; el segundo mes por 21 días del padre y 19 del hijo recibieron S/ 143. ¿Cuál es la diferencia de jornales diarios del padre y del hijo?
La mitad de los 3/4 de lo que tienes
________________
A. S/ 3 B. 1
OO
OO
OO
OO
OO OO
OO
OO
OO
–– ––
5.
________________
9 menos dos veces un número
________________
“M” excede en tres unidades a “N”
________________
A. S/ 5; S/ 110; S/ 150 C. S/ 10; S/ 110; S/ 150 B. S/ 10; S/ 120; S/ 160 D. S/ 5; S/ 120; S/ 160
La suma de dos números al cuadrado
________________
Suma de los cuadrados de dos números
________________
La inversa o el recíproco de un número
________________
7.
La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar el número menor. C. 90 D. 49
Se tiene S/ 1470 en billetes de S/ 20 y S/ 50. Si en total hay 42 billetes, ¿cuántos son de S/ 20? A. 21 B. 19
TRILCE Católica
C. 15 D. 17
Un patio tiene forma rectangular, si tuviera tres metros más de largo y cuatro metros más de ancho, sería 192 m2 más grande. Si tuviera cuatro metros menos de largo y tres metros menos de ancho, sería 158 m2 más pequeño. Hallar las dimensiones del patio. A. 15 y 45 B. 30 y 20
8.
Leer y comprender el enunciado. Seleccionar los datos. Establecer la ecuación o enunciado para luego resolverlo.
A. 43 B. 45 2.
C. 4 D. 5
Para ganar S/ 240 en la rifa de una radio y una plancha se hicieron 100 boletos. Si solo pudo vender 44 boletos, lo que originó una pérdida de S/ 40. Hallar el precio de cada boleto y los precios de los premios, si además se sabe que la radio cuesta S/ 40 más que la plancha.
6.
2 3 3 B. 5 9.
C. 10 y 40 D. 20 y 50
Una fracción ordinaria vale 1/2, si se aumentan dos unidades a su numerador, y vale 1/4. Si ese aumento se hace al denominador, ¿cuál es la fracción? A.
Problemas para la clase 1.
C. 12 D. 15
La cuarta parte de mi edad es tanto como el cuádruple de tu edad
RECOMENDACIONES PARA PLANTEAR UNA ECUACIÓN ––
A. 1 B. 2
3 10 4 D. 5 C.
Averiguar para qué número de tres cifras se verifica que la cifra de las centenas, sumada con la de las unidades, es igual a 9; que la diferencia de estas cifras da las cifras de las unidades y que la diferencia entre las cifras de las centenas y decenas es el doble de esta última. A. 263 B. 623
C. 362 D. 632
10. Para el transporte de tierras se dispone de 130 vehículos, entre carretillas, carros y triciclos, siendo el número de
39
Ciclo
Católica estas últimas el doble que el de carros. Entre todos los vehículos tienen 270 ruedas. Calcular el número de cada uno de estos medios de transporte. A. B. C. D.
Carretillas = 70; Carros = 20; Triciclos = 40 Carretillas = 20; Carros = 40; Triciclos = 70 Carretillas = 30; Carros = 50; Triciclos = 50 Carretillas = 40; Carros = 20; Triciclos = 70
11. En un examen de admisión, el número de preguntas es 140, la calificación es de 4 puntos por respuesta correcta y –1 por cada respuesta equivocada. Si Ángela ha obtenido 335 puntos y ha respondido todas las preguntas, ¿en cuántas acertó? A. 15 B. 135
C. 125 D. 95
12. Una cierta tarea puede ser hecha por Aldo y Paul en 12 horas; por Aldo y Ernesto en 20 horas y por Paul y Ernesto en 15 horas. Encontrar el tiempo que tardaría en hacer la tarea trabajando los tres juntos. A. 30 h B. 60 h
C. 15 h D. 10 h
13. Se gasta diariamente en una fábrica, para jornales de los operarios, hombres, mujeres y chicos, S/ 714. Cada hombre gana diariamente S/ 10; cada mujer, S/ 8 y 5 cada chico. Se sabe que el número de mujeres es 2 más que el séxtuplo del número de hombres, y que el de chicos es 6 menos que el duplo del número de mujeres. Averiguar el número de operarios de cada clase. A. B. C. D.
14. Para ganar S/ 2000 en la rifa de una grabadora se imprimieron 640 boletos, sin embargo, sólo se vendieron 210 boletos; originándose una pérdida de S/ 150. Hallar el valor de la grabadora en soles. C. S/ 1500 D. S/ 1200
15. Maribel va al cine con sus primas y al querer sacar entradas para mezanine de S/ 30 cada una, observa que le falta dinero para 3 de ellas, por tal motivo tiene que sacar entradas de S/ 15 cada una, entrando todas al cine y sobrándole aún S/ 30 para las gaseosas. ¿Cuántas primas fueron al cine con Maribel? A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
16. Un asunto fue sometido a votación entre 600 personas y se perdió; habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el doble de votos por el que había sido perdido y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión? A. 160 B. 180
C. 40 D. 150
17. Un comerciante compró cierto número de unidades de un artículo por un total de S/ 720. Hallar el número de unidades que compró sabiendo que al venderlas a S/ 40 cada
40
A. 26 B. 25
C. 24 D. 20
18. Un camino se puede recorrer en cinco horas con cierta velocidad en kilómetros por hora. El mismo camino se puede hacer en una hora menos, aumentando en un kilómetro por hora la velocidad. Determinar la distancia del camino. A. 16 km B. 20 km
C. 18 km D. 25 km
19. En una reunión unos empiezan jugando, charlando otros y bailando la cuarta parte de los reunidos, después cuatro de ellos dejan el juego por el baile, uno deja la charla por el juego y dos dejan el baile por la charla, con lo cual resulta entonces que bailan tantos como juegan y juegan tantos como charlan. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión? A. 20 B. 24
C. 16 D. 27
20. La suma de las tres cifras de un número es 10. La suma de la cifra de las centenas y de las decenas excede en 4 a la cifra de las unidades, y la suma de las cifras de las centenas y de la cifra de las unidades excede en 6 a la cifra de las decenas. El número es: A. 523 B. 253
C. 325 D. 235
21. Un remero navega hacia un lugar que dista 48 km del punto de partida y regresa en 14 horas. Él observa que puede remar 4 km, siguiendo la corriente en el mismo tiempo que 3 km en contra de la corriente. Hallar la velocidad del remero.
H = 38; M = 70; Ch = 6 H = 70; M = 38; Ch = 6 H = 6; M = 38; Ch = 70 H = 70; M = 6; Ch = 38
A. S/ 1000 B. S/ 2000
una obtiene una ganancia igual al dinero que le costaron ocho de ellas.
A. 1 km/h B. 8 km/h
C. 6 km/h D. 7 km/h
22. Un deportista apuesta a tirar al blanco con la condición de que por cada tiro que acierte recibirá “a” soles y pagará “b” soles por cada uno de los que falle. Si después de “n” tiros ha recibido “c” soles, ¿cuántos tiros dio en el blanco? A. (c + an)/(a + b) B. (c – an)/(a + b)
C. (c + bn)/(a + b) D. (c – bn)/(a + b)
23. Se tiene dos secretarias, la primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 20 cartas por hora. Si la primera empieza a las 8 a.m. y la segunda recién a las 11 a.m., ¿a qué hora las dos secretarias han escrito igual número de cartas? A. 12 p.m. B. 10 p.m.
C. 8 p.m. D. 11 p.m.
24. Dos campesinas llevaron al mercado 100 huevos en total; una de ellas tenía una cantidad de huevos mayor que la otra, no obstante ambas obtuvieron de la venta iguales sumas de dinero. Una de ellas le dijo a la otra: “Si yo tuviese la cantidad de huevos que tu tienes obtendría 15 soles”. La segunda contesto: “Y si yo tuviese la cantidad 2 que tú tienes, obtendría por ellos 6 soles”. ¿Cuántos 3 huevos tenía cada campesina? A. 40 y 60 B. 20 y 80
C. 30 y 70 D. 10 y 90
TRILCE Católica
Álgebra 25. Un comerciante compra telas de dos calidades por S/ 300; de la primera calidad adquiere seis metros más que de la segunda. Si por la tela de la primera calidad hubiera pagado el precio de la segunda, su costo hubiera sido S/ 180 y recíprocamente, si por la tela de la segunda calidad hubiese pagado el precio de la primera, su costo hubiera sido de S/ 120. ¿Cuántos metros adquirió de cada calidad? A. 24 y 18 B. 30 y 24
C. 18 y 12 D. 36 y 30
26. En una reunión se cuentan tantos caballeros como tres veces el número de damas, después se retiran ocho parejas, el número de caballeros ahora es igual a cinco veces el número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente? A. 16 B. 48
C. 30 D. 25
27. La suma de tres números cuadrados consecutivos es igual a 30 veces la raíz cuadrada del intermedio, aumentado en 2. Hallar el menor. A. 81 B. 64
C. 45 D. 40
29. Dos comerciantes que han adquirido ocho y cinco docenas de blusas de la misma calidad respectivamente tienen que pagar impuestos por dichas compras. Como no poseen suficiente dinero el primero paga con seis blusas y le dan S/ 30 de vuelto, el segundo paga con cuatro blusas y recibe S/ 32 de vuelto. ¿Cuál es el valor de cada blusa? A. S/ 53 B. 47
C. 50 D. 45
30. Del problema anterior, ¿cuál es el impuesto a pagar por cada blusa? A. S/ 3 B. 5
C. 4 D. 6
Tarea domiciliaria 1.
Una tarea pueden hacer “A” y “B” en 12 horas, “A” y C”” en 20 horas; “B” y “C” en 15 horas. Calcular el tiempo que tardará “C” en terminar la tarea solo. A. 20 h B. 60
2.
C. 50 D. 40
Si compro 10 naranjas me faltan S/ 100 para comprar cuatro más, pero si solo compro seis naranjas, me sobran S/ 200, entonces el dinero que tengo es: A. S/ 200 B. 150
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C. 350 D. 300
En una familia, el padre gana S/ 105 por hora, y la madre S/ 95. Después de haber trabajado ambos 25 días, el padre que ha trabajado en cuatro horas más por día que la madre ha recibido S/ 11 750 más que ella ¿cuántas horas diarias ha trabajado el padre? A. 12 B. 9
4.
5.
C. 94 D. 120
¿Qué número hay que restarle al numerador de la fracción 7/15 para que su valor sea 1/3? A. 3 B. 2
9.
C. 20 D. 24
Se ha vendido la quinta parte, la tercera parte y la cuarta parte de una pieza de tela, quedando aún 26 metros. ¿Cuántos metros se han vendido? A. 96 B. 49
8.
C. 50 D. 60
La suma de la tercera parte y la cuarta parte de un número es igual a su mitad más 2. ¿Qué número es? A. 12 B. 16
7.
C. 5 D. 6
Si de un número se resta 10, el resultado es igual a los 3/4 del número, ¿cuál es el número? A. 30 B. 40
6.
C. 8 D. 10
Dos cajas rectangulares tienen el mismo volumen. Las dimensiones de una de ellas son: 12; 16 y “x”. Las dimensiones de la otra son: 16; 20 y “x – 2”, el valor de “x” es: A. 3 B. 4
C. 100 D. 121
28. En un salón de la academia TRILCE, el día de hoy faltaron cinco alumnos por problema de salud. Si los asistentes se sientan cuatro alumnos en cada carpeta, faltarían tres alumnos para que todas las carpetas estén llenas. Pero si se sientan tres alumnos por carpeta se quedarían alumnos alumnos de pie. Hallar el número total de alumnos del salón. A. 12 B. 50
3.
C. –2 D. 4
Gasté $4, luego los 2/3 del resto; quedándome todavía la quinta parte de lo que tenía al principio. ¿Cuánto tenía? A. $10 B. 20
C. 16 D. 24
10. La suma de tres números consecutivos es 180, hallar el mayor de los números. A. 60 B. 59
C. 62 D. 61
11. ¿Qué número hay que sumarle a los dos términos de la fracción 3/10 para que el valor de ella sea 1/2? A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
12. Hallar el doble de cierto número donde la suma de su mitad, cuarta y octava parte, resulta dicho número disminuido en una unidad. A. 1 B. 4
C. 8 D. 16
13. Un holgazán duerme tantas horas del día como las que no duerme. ¿Cuántas horas permanece despierto diariamente? A. 4 B. 8
C. 10 D. 12
41
Ciclo
Católica
14. Preguntando a un alumno por su nota en un examen, responde: “Si cuadruplico mi nota y resto 40 tendría lo que me hace falta para obtener 20”. ¿Qué nota tiene? A. 10 B. 12
C. 14 D. 15
15. El tiempo máximo que debe tardarse en resolver este problema se descompone del modo siguiente: 1/25 del total en leerlo, 1/4 en plantearlo, 41/100 en operarlo y minuto y medio en su comprobación. ¿Qué tiempo tardaría? A. 3 min 1 B. 3 min 13
C. 5 min 1 D. 3 min 11
16. Un profesor propone a su alumno 48 problemas con la condición de que por cada problema bien resuelto recibirá 15 soles y por cada problema mal resuelto devolverá al profesor 25 soles. ¿Cuántos problemas ha resuelto bien si el profesor no debe nada al alumno, ni el alumno al profesor, sabiendo que el alumno ha resuelto todos los problemas. A. 18 B. 24
42
C. 30 D. 28
17. Divide el número 180 en dos partes, tales que dividiendo la primera entre 25 dé lo mismo que dividiendo la segunda entre 20. Una de las partes es: A. 80 B. 100
C. 60 D. “A” o “B”
18. En una granja hay 92 patas y 31 cabezas. Si solo hay patos y conejos ¿cuál es la diferencia entre el número de estos animales? A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
19. Con 12 monedas en total, unas de 50 céntimos y otras de 20 céntimos, se quiere pagar una deuda de S/ 3,60. ¿Cuántas monedas de cada clase se utilizarán? A. 3 y 9 B. 5 y 7
C. 4 y 8 D. 10 y 2
20. La edad de Gaby y la edad de Marcos son actualmente como 5 es a 4. Si hace tres años era como 7 es a 5, ¿cuál será la relación de sus edades dentro de 20 años? 7 4 15 B. 14 A.
30 27 27 D. 30 C.
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ÁLGEBRA Semana 11
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TEORÍA DE ECUACIONES: PLANTEO DE ECUACIONES II
restantes con un aumento de tantas veces 42 dólares como pinturas le robaron. El resultado de todo esto fue que no tuvo pérdida ni ganancia. ¿Cuántas pinturas le robaron a Estroncio?
Problemas para la clase 1.
Un comerciante se niega a vender en S/ 150 000 un cierto número de pacas de algodón. Dos meses más tarde, cuando el precio ha subido S/ 50 por paca las vende en S/ 151 900. Si en el transcurso de los dos meses se destruyeron dos pacas ¿cuántas pacas vendió? A. 100 B. 98
2.
Se compra dos piezas de alambre que juntas miden 12 m. El metro de cada pieza costó un número de soles igual al número de metros de la pieza. Si una pieza costó ocho veces más que la otra, ¿cuál es la diferencia entre la medida de las dos piezas? A. 9 m B. 5
3.
C. 18; $ 5 D. 15; $ 6
En una bodega compré dulces por un dólar. Cuando me retiraba, el vendedor me dijo: “Si se lleva usted 10 más se los doy todos por dos dólares y se ahorra 80 centavos por docena”. ¿Con cuántos dulces me estaba retirando? A. 3 B. 7
8.
C. 40 D. 30
Los gastos de una excursión son $ 90. Si desisten de ir tres personas, cada una de las restantes tiene que pagar $ 1 más. ¿Cuántas personas van a la excursión y cuánto pagó cada una? A. 18; $ 10 B. 18; $ 12
7.
C. 8 D. 6
Si por $900 dieran seis licuadoras más de las que dan, la docena costaría $90 menos, ¿cuánto vale cada licuadora? A. $25 B. 37,5
6.
C. 5/3 cm D. 10 cm
A un obrero se le paga S/ (x + 200) por hora donde “x” es el número de horas que trabajó en el día. Cierto día le dieron una bonificación de S/ 551 y recibió entonces S/ 2000. ¿Cuántas horas trabajó ese día? A. 9 B. 7
5.
C. 3 D. 6
Un trozo de alambre de 5 cm se corta en dos partes de tal modo que el área del cuadrado que se forma doblando una parte tiene cuatro veces al área del cuadrado que se forma doblando la otra parte. La longitud de la parte más larga es: A. 5 cm B. 10/3 cm
4.
C. 40 D. 38
C. 5 D. 9
Estroncio, el traficante, compra 30 pinturas a 1050 dólares cada una; le robaron unas cuantas y vendió las
TRILCE Católica
A. 15 B. 5 9.
C. 20 D. 25
La diferencia entre las edades de Luis y Carlos es siete años. Si al cuadrado de la edad de Carlos se le suma el triple de la edad de Luis, se obtiene 361. Hallar el producto de sus edades. A. 368 B. 408
C. 380 D. 428
10. La longitud de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el área se hace el doble. Hallar la suma de las dos dimensiones del terreno original. A. 30 m B. 90
C. 45 D. 75
11. Se tiene un paralelepípedo rectangular, en el cual el ancho y el largo son el doble de la altura. Si cada una de sus tres dimensiones se incrementa en una unidad, su volumen aumenta en 428 m3. ¿Cuál es la altura del paralelepípedo original? A. 6 m B. 12
C. 7 D. 14
12. Una persona vende un libro en S/ 24, perdiendo un porcentaje sobre el costo del libro igual al número de soles que le costó el libro.¿Cuál es el menor costo del libro? A. S/ 10 B. 40
C. 30 D. 50
13. La suma de dos números es “a” y su producto “b”. Hallar la diferencia de los cuadrados de dichos números. A. a a2 – 4b B. a a2 + 4b
C. a(a – 2b) D. a(a + 2b)
14. Un terreno tiene forma rectangular. Si tuviera 5 m más de largo y 5 m más de ancho, su área se duplicaría. Si tuviera 3 m menos de largo y 3 m menos de ancho, el área disminuiría en 66 m2. Señala las dimensiones del terreno. A. 15 m y 5 m B. 20 y 5
C. 15 y 7 D. 5 y 10
15. Una marquesa y una duquesa dedicaban S/ 7600 cada una para socorrer con la misma limosna a un cierto número de pobres. La duquesa socorre a 150 pobres más que la marquesa, pero ésta da a cada pobre S/ 1,5 más que la duquesa. ¿Cuántos pobres son socorridos por la marquesa? A. 700 B. 850
C. 800 D. 900
43
Ciclo
Católica
16. Tenía cierta suma de dinero. Ahorré una suma igual a la que tenía y gasté S/ 50; luego ahorré una suma igual al doble de lo que me quedaba y gasté S/ 390. Si ahora no tengo nada, ¿cuánto suman las cifras del número que representa la cantidad que tenía al principio? A. 8 B. 10
C. 9 D. 11
17. Se tiene 48 palitos de fósforos divididos en tres grupos. Del primer grupo se pasan al segundo tantos palitos como tiene este; luego del segundo grupo se pasan al tercero tantos palitos como tiene este y lo mismo se hizo del tercero al primero, resultando al final los tres grupos con igual cantidad de palitos. ¿Cuántos palitos tenía inicialmente el primer grupo? A. 16 B. 28
C. 20 D. 22
18. Un coche va por una carretera a velocidad constante. En un momento dado pasa por delante de un poste kilométrico que tiene un número de dos cifras. Al cabo de una hora pasa por delante de otro poste que curiosamente tiene las mismas dos cifras pero en orden inverso. Su sorpresa fue mayor cuando una hora después pasa delante de otro poste que lleva las mismas cifras separadas por un cero. ¿A qué velocidad iba el coche? A. 30 km/h B. 45
C. 50 D. 60
19. Pablito tiene dos recipientes con vino y agua; uno con 120 litros que contiene 42 litros de vino puro y otro con 190 litros, que contiene 133 litros de vino puro. ¿Cuántos litros debe intercambiar Pablito para que las mezclas resultantes contengan la misma cantidad de agua? A. 30 B. 35
C. 40 D. 45
20. El producto de tres números consecutivos es “n” veces la suma de los mismos. Si el menor de estos números disminuido en dos es igual a “ n”; hallar: (n + 1)(n + 2). A. 110 B. 272
C. 240 D. 306
21. Se tiene cajas de lapiceros que contienen cierta cantidad de lapiceros cada una. Si la cantidad de cajas se duplica, se tendría 72 lapiceros más. Si la cantidad de cajas se aumenta en 2 (respecto a la original) y la cantidad de lapiceros por caja disminuye en 3, se tendría 90 lapiceros. ¿Cuántas cajas había inicialmente? A. 2 B. 4
C. 3 D. 6
22. La empresa ABC alquila automóviles con una tarifa de $120 semanales más $0,50 por kilómetro recorrido. Otra empresa PQR cobra $180 semanales más $0,25 por kilómetro recorrido, pero el cliente tiene 40 kilómetros de recorrido gratis. ¿Cuántos kilómetros semanales es necesario recorrer en uno de estos automóviles alquilados para que sea indistinto escoger una de las dos empresas. A. 150 km B. 200
44
C. 180 D. 210
23. En la repartición de una herencia, a cada hermano le correspondió $12 600. Pero, como uno de ellos falleció, su parte fue repartida entre los demás, en forma equitativa, recibiendo cada uno de los restantes $13 500. ¿Entre cuántos hijos se repartió la herencia? A. 14 B. 16
C. 15 D. 17
24. Un grupo de monos está dividido en dos bandos: la octava parte de ellos al cuadrado se solaza en el bosque, mientras que los otros doce juegan en el campo. La mayor cantidad de monos que podemos contar es: A. 32 B. 48
C. 40 D. 56
25. Un comerciante vende 50 planchas a S/ 180 cada una y estima que podría vender una plancha más por cada S/ 3 de descuento en el precio y recibir la misma cantidad de dinero. ¿Cuántas planchas más puede vender? A. 6 B. 10
C. 8 D. 12
26. Cuando un comerciante se enteró que el precio del saco de arroz iba a subir $3 por unidad, decidió comprar un número determinado de sacos por $300. Si este comerciante hubiera comprado con el nuevo precio; hubiera adquirido cinco sacos menos por la misma cantidad de dinero. ¿Cuántos sacos compró? A. 20 B. 30
C. 25 D. 35
27. Una persona compró cierto número de caballos por $2000. Si se le murieron dos caballos y vendió el resto a $60 más de lo que le costó cada uno, ganando únicamente $80, calcula el producto de las cifras del número de caballos que compró. A. 0 B. 4
C. 1 D. 6
28. Al multiplicar dos números positivos, uno de los cuales es mayor que el otro en 10 unidades, un alumno cometió un error disminuyendo en cuatro la cifra de las decenas en el producto. Al dividir (para comprobar el resultado), el producto obtenido por el menor de los factores, obtuvo 39 de cociente y 22 de residuo. Señala el menor de los factores. A. 11 B. 31
C. 21 D. 41
29. Se han comprado cierto número de metros de tela por S/ “m”. Si cada metro hubiera costado S/ “a” menos, se hubiera tenido con el mismo dinero “b” metros más. Si “x” es el número de metros que se compraron inicialmente, la ecuación que resuelve este problema es: A. B. C. D.
bx2 + abx – bm = 0 ax2 + bmx – am = 0 ax2 + abx – bm = 0 ax2 – abx + bm = 0
TRILCE Católica
Álgebra 30. En lugar de caminar a lo largo de dos lados de un rectángulo (lado menor y mayor), Ricardo, decide hacerlo por la diagonal, ahorrándose así de caminar la mitad del lado mayor. Hallar la razón entre el lado menor y el lado mayor del rectángulo. 1 A. 2 3 B. 4
2 C. 3 4 D. 5
Tarea domiciliaria 1.
El producto de dos números es igual a 135 y su diferencia es igual a 6. Hallar la suma de los números. A. 16 B. 24
2.
La diferencia de dos números es a su producto como 1:24. La suma de estos números es a su diferencia como 5:1. Hallar los números. A. 12 y 8 B. 14 y 6
3.
C. 4 D. 5
El ancho de un campo rectangular es 4 m menor que su largo. Si se incrementan ambas dimensiones en 4 m, el área se duplicaría, ¿cuál es el ancho del campo? A. 4 m B. 8 m
8.
C. 120 D. 100
El doble del cuadrado de un número natural disminuido en tres unidades es igual al quíntuplo del mismo número, ¿cuál es este número? A. 3 B. 2
7.
C. 4 D. 9
Hallar una fracción tal que si se le agrega su cuadrado, la suma que resulta es igual a la misma fracción multiplicada por 110/19. Dar como respuesta la suma de los términos de la fracción. A. 91 B. 110
6.
C. 15 D. 20
Hallar tres números consecutivos de modo que el mayor entre el menor es igual a los 3/10 del número intermedio. Dar como respuesta la suma de cifras del mayor elevado al cuadrado. A. 5 B. 7
5.
C. 24 y 1 D. 6 y 4
1 ¿Cuál es el número que multiplicado por 3 da un pro3 ducto igual a la novena parte de su cuadrado más 25? A. 10 B. 30
4.
C. 40 D. 20
C. 12 m D. 10 m
Compré cierto número de objetos por $240, si hubiera comprado tres objetos más por el mismo dinero, cada objeto me hubiera costado $4 menos. ¿Cuántos objetos compré y a qué precio? A. 15 y $ 16 B. 10 y $ 24
TRILCE Católica
C. 12 y $ 20 D. 16 y $ 15
9.
Entre cierto número de personas compran un auto que vale $ 1200. El dinero que pone cada persona excede en 194 al número de personas ¿Cuántas personas compraron el auto? A. 8 B. 6
C. 9 D. 10
10. Con S/ 3125 se puede hacer tantos montones de monedas de S/ 5 como monedas tenga cada montón ¿Cuál es el valor de cada montón? A. 125 B. 625
C. 25 D. 150
11. Una compañía de 180 soldados está dispuesta en filas. El número de soldados por fila excede en ocho al número de filas ¿cuántos soldados por fila hay? A. 15 B. 16
C. 18 D. 20
12. Dos campesinas llevaron al mercado 100 huevos en total. Una de ellas tenía una cantidad mayor de huevos que la otra, no obstante ambas obtuvieron de la venta iguales sumas de dinero. Una de ellas dijo a la otra: “Si yo tuviera tus huevos obtendría 15 soles”. La segunda le contestó: “Y si yo hubiera llevado la misma cantidad de huevos que tú; 2 hubiera obtenido por ellos 6 de soles”. ¿Cuántos huevos 3 tenía la campesina que más huevos llevó? A. 70 B. 90
C. 60 D. 80
13. Cierto grupo de estudiantes acordaron comprar una colección de libros en $ 1200, pero como dos de ellos desistieron, cada uno de los restantes pagó $ 50 más. ¿Cuántos compraron dicha colección? A. 6 B. 12
C. 8 D. 10
14. Se compra “x” borradores a “x” soles cada uno; “(x + 10)” cuadernos a “(x + 10)” soles cada uno “4x” lapiceros a “4x” el par, si se gastó en total S/ 250, ¿qué cantidad se compró de cada cosa? A. B. C. D.
3 borradores, 12 cuadernos y 13 lapiceros 3 borradores, 13 cuadernos y 12 lapiceros 4 borradores, 14 cuadernos y 16 lapiceros 5 borradores, 15 cuadernos y 20 lapiceros
15. El precio de una docena de caramelos es cinco más que el número de caramelos que compré. Hallar el número de caramelos si en total pagué S/ 28. A. 12 B. 16
C. 18 D. 10
16. En un partido de fútbol entre la “U” y Alianza Lima, se realizan apuestas entre 8000 personas. Al comenzar, las apuestas favorecen a Alianza Lima en la proporción de 3 a 2. Luego, durante el partido, algunas personas cambiaron de opinión, con lo que las apuestas quedaron al final a favor de la “U” en la proporción de 4 a 1. ¿Cuántos hinchas de Alianza se pasaron a la “U”? A. 500 B. 1200
C. 700 D. 1800
45
Ciclo
Católica
17. Un animador de televisión debe obsequiar pelotas a un grupo de niños invitados. Entregó nueve a cada uno y aún le quedan 42 pelotas, pero le faltarían 14 pelotas para regalar 17 a cada niño. ¿Cuántas pelotas debe recibir cada niño, para que no sobre ni falte? A. 12 B. 14
C. 13 D. 15
18. En una habitación hay un total de 90 focos, de los cuales cierto número están prendidos. Si después se prenden tantos focos como el número de focos prendidos excede al de los apagados, resultando el número de focos prendidos el doble de los apagados, ¿cuántos focos estaban prendidos inicialmente? A. 20 B. 40
46
C. 30 D. 50
19. Se reparte S/ 3600 entre cuatro personas de tal manera que a la segunda le corresponde los 3/5 de lo que le corresponde a la primera, a esta la tercera parte de lo que le corresponde a la tercera persona, quien recibe S/ 200 más que la cuarta persona. ¿Cuánto recibe la segunda persona? A. S/ 500 B. 300
C. 1500 D. 1300
20. ¿En qué tiempo hacen “A”, “B” y “C” un trabajo juntos. Si “A” puede hacerlo solo en 6 horas más, “B” en una hora más y “C” en el doble de tiempo? 2 hora 3 3 B. 2 A.
C. 2 D. 1
TRILCE Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 12
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
REPASO I Problemas para la clase 1.
2 2 Si: 4x – 7x + 10 = 3x – 8x + 15; un valor de “x” es:
A. 2 B. 3 2.
C. 4 D. 5
Si la ecuación de primer grado: (x – a)(2x + 1) + bx2 + 8x + 5 + a = 0 no tiene solución real, hallar “a + b”. 9 2 B. 5
5 4 D. 6
A.
3.
4.
C.
A. 1 B. 2
C. 4 D. ab
Si: a + b = 1; hallar: B =
a2 + b2 a3 + b3 – 2 3 1 6 1 D. – 6 C.
1 2
(a + b)3 + (a – b)3 Reducir: P = – 3b2 2a C. a3 D. b2
Hallar un polinomio “P(x)” de segundo grado, sin término independiente, que cumpla: P(x) – P(x – 1) = x; indicar el coeficiente de “x” en el polinomio.
B. 2
1 2
C. 0 1 D. 2
Siendo “x1” ∧ “x2” las raíces de la ecuación: 5x2 – 23x + 11 = 0; 3x1 + 1 3x2 + 1 el valor de: . ; es: 2x1 – 9 2x2 – 9 17 35 143 B. 35 A.
Sabiendo que:
153 35 173 D. 35 C.
a + b +c = 1 ab + bc + ac = 2
determinar el valor de: 3(a4 + b4 + c4) – 4(a3 + b3 + c3) A. 0 B. –1
TRILCE Católica
C. 23 D. 17
5–
24 +
7+
40 .
7 – 2 10
C. 3 D. 4
10. El costo de producción “C” de “x” artículos está dado por: C = CVx + CF. Cuando se producen 120 artículos, el costo es $4080 y cuando se producen 200, el costo es $6000. ¿Cuál es el costo cuando se producen 90 artículos? A. $3080 B. 3320
C. 3360 D. 3240
11. Sabiendo que: a + b + c2 = ab + 1 (b ≠ 1 ∧ a ≠ b)
A. 1 B. –1
A. –
8.
5+2 6.
A. 1 B. 2
A. a B. a2
7.
E=
Reducir: W =
B.
6.
Calcular:
(a + b + c)2 – (a + b – c)2 Simplificar: Q = bc + ca
A. 1
5.
9.
(b – 1)2 a–1 + (b – 1)2 – c2 a – b C. 2 D. –2
x+y x2 + y2 ;B= , siendo “A” y “B” números x–y xy positivos, halla el valor numérico de: E = (A – 1)(B – 2)
12. Si:
A =
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
13. Al factorizar: x4 – 3x3 + 8x – 24; la suma de factores lineales es: A. 2x – 3 B. 2x + 2
C. 2x – 1 D. 2x + 1
14. Al factorizar: (x + y)2 + x2y2 – 2xy(x + y); uno de los factores que se obtiene es: A. x + y + xy B. x – y – xy
C. x + y – xy D. x – y – 2xy
15. Si a, b ∈ IN; a2 + b2 + a + b + 2ab = 42; calcula “a + b”. A. 6 B. 7
C. 5 D. 4
16. Raúl compra 24 lápices y 32 borradores. Con la misma cantidad de dinero podría comprar 6 lápices y 68 borradores. ¿Cuántos lápices compraría con el mismo dinero? A. 40 B. 44
C. 48 D. 36
17. El producto de las horas transcurridas y las que faltan por transcurrir en el día es 140. Si se sabe que ya es más del mediodía, ¿cuánto falta para las 11 p.m.? A. 7 horas B. 9 horas
C. 8 horas D. 12 horas
47
Ciclo
Católica cuando se siembran 80 árboles?
18. En una caja chica entran 40 cuadernos y en una caja grande el triple. El número de cajas grandes que tengo es igual a las 2/5 del número de cajas chicas. ¿Cuántas cajas tengo en total, si guardé 5280 cuadernos? A. 72 B. 52
C. 84 D. 60
19. Para cercar un terreno cuadrado de área “A” m2, se requiere “x” m de cerca. ¿Cuántos metros de cerca necesi4A 2 tan para cercar un terreno cuadrado de m de área? 9 2x 3 x D. 4
x 3 3x B. 4
C.
A.
20. Si compro “a” libros iguales, me sobra “b2” soles. Si compro “b” libros, me sobra “a2”soles. ¿Cuánto tengo? A. (a + b)2 B. (a – b)2 21. Si:
6x2
22. Resuelve:
C. 3 D. –3
A. 110 B. 95
23. Obtener el MCM de: A = x3 + 3x2 – 4 B = x3 + x2 – 8x – 12 C = x3 – 5x2 + 7x – 3
A. 60 ú 80 B. 70 ú 80
A. B.
1 15 1 45
A. 11 640 B. 12 060
A. 400 B. 500
1.
2.
Efectuar: E =
48
x–
x2 + y9 .
3
3.
x2 + y9
1
2 8+
6+4 2
C. 3 D. 4
6x + 12 x+1– 1 1 x+2 – x+y+z x–y+z x – 5 Simplificar: Q = + 1 1 11x – 22 – x–4+ x–y+z z+x+y x–2 x+7 A. 2x B. 1
4.
x+
C. –y3 D. y3
Calcular el valor de: W = A. 1 B. 2
Si: f(x) = A. 2 B. 5
5.
C. x + y D. 2 x + 2, si x ≥ 0 ; halla: f(6) + f(0) + f(–2). x – 3, si x < 0 C. 3 D. 7
¿Para qué valor de “a” el siguiente sistema es incompatible?
C. a – b D. 2 – a
26. Un árbol de limones produce anualmente 240 limones. Sin embargo cuando en un área de 10 km2 se siembran más de 50 árboles, la producción de cada árbol disminuye en tres limones por cada árbol adicional a 50 que se siembre. ¿Cuántos limones se producen en 10 km2,
3
3+
calcular en función de “a” y “b” el valor de:
A. a B. b
C. 600 D. 100
A. x B. x2
25. Si “x1” y “x2” son raíces de la ecuación cuadrática:
x – 1 x2 – 1 E= 1 + x1 x2
x + y = 32... (1) x + y = 31... (2)
Tarea domiciliaria
C. 11 860 D. 12 180
ax2 – abx + b = 0
1 30 1 D. 75 C.
30. Calcular “xy” a partir de: x + y+
C. 5 D. 6
24. Una fotocopiadora cuesta 420 dólares. Por cada copia se cobra 12 centavos de sol. Si el dólar equivale a 3,48 soles, ¿cuántas copias se debe sacar para recuperar la inversión?
C. 60 ó 70 D. 70 ó 90
29. Al vender los 2/5 de los libros que compré, gano la tercera parte y al vender el resto, pierdo la quinta parte. ¿Qué fracción gané?
Indicar el número de sus factores primos. A. 3 B. 4
C. 80 D. 100
28. En el problema 26, ¿cuántos árboles se han sembrado en 10 km2, si la producción total de limones en esa área es 12 600?
(x + 5)(2 – x) ≥0 x(x + 3)(1 – x)
]–∞; –5[ ∪ [–3; 0[ ∪ ]1; 2] [–5; –3[ ∪ ]0; 1[ ∪ [2; ∞[ ]–∞; –5[ ∪ ]–3; 1[ ∪ [2; ∞[ ]–5; –3[ ∪ ]0; 1[ ∪ ]2; ∞[
C. 9000 D. 15 000
27. En el problema anterior, cuando se siembran “x” árboles en 10 km2, cada árbol produce 90 limones. Halla “x”.
5 A B = – ; calcular: A + B. + 13x + 6 3x + 2 2x + 3
A. 5 B. –2
A. B. C. D.
C. a2 – ab + b2 D. a2 + ab + b2
A. 12 000 B. 19 200
ax – 3y = 8 4x + 5y = 20 9 5 7 B. – 5 A. –
11 5 12 D. – 5 C. –
TRILCE Católica
Álgebra 6.
Al racionalizar
x x+h+
x
, el denominador resultante es:
A. 2x B. 2x + h 7.
C. h D. x
B. 8.
Halla el valor de “R”, si:
R+2 2 a+
A. 2 B. 2 9.
Según la condición:
=
A. 5 B. 4
1 2a –
a
a+b+
c–b
a+b–
c–b
+
a+b–
c–b
a+b+
c–b
=3
a + 6b 5c C. 2 D. 1
10. Determinar “m” para que en la cuadrática en “x”: x2 – 8x + m = 0, la suma de los cuadrados de sus raíces sea 34. A. 8 B. 13
C. 15 D. 17
11. Calcular “m” en la ecuación: x2 – 8x + m = 0; si sus raíces verifican 3x1 – 4x2 = 3 A. 16 B. 12
C. 8 D. 15
12. Si “a”, “b” y “x” son números reales diferentes de cero, en a a b b la ecuación: 1 – + 1 – = 1; hallar el valor de “x”. b x a x A. a + b B. a – b
C. ab D. a2 + b2
13. Resuelve: (x + 1)(x + 2) + (x – 3)(x – 1) = 7 1 ± 17 A. 4 1 ± 15 B. 4
TRILCE Católica
1 ± 13 C. 4 1 ± 17 D. 2
C. 25 D. 20
16. Juan tiene (2x – 4); (x + 2) y (x – 2) billetes de S/ 10; S/ 20 y S/ 50 respectivamente. ¿Cuánto tendrá ahorrado, si al cambiarlos en billetes de S/ 100 se obtuvo el mismo número de billetes de S/ 50 que tenía inicialmente?
C. 3 D. 3
a > c > b > 0, calcular: A. 3 B. 5
2a
C. 4b2 = 9c D. b2 = 8ac
15. Cierto número de libros se ha comprado por S/ 100. Si el precio por el libro hubiese sido un sol menos, se tendría cinco libros más por el mismo dinero. ¿Cuántos libros se compró?
1 C. 0; 4 1 D. ]–∞; 0[ ∪ ; +∞ 4
1 ; +∞ 4
sea la mitad de la otra, la relación entre los coeficientes debe ser: A. 2b2 = 9ac B. 2b2 = 9a
Resuelve: 0,25 x–1 > 1 A. ]–∞; 0[
14.
Para que una de las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0;
A. S/ 800 B. 250
C. 240 D. 980
17. El jardinero “A” planta rosas más rápidamente que el jardinero “B”, en la proporción de 4 a 3. Cuando “B” planta “x” rosas en una hora, “A” planta “x + 2” rosas. ¿Cuántas rosas planta “B” en cuatro horas? A. 6 B. 8
C. 32 D. 24
18. La diferencia entre las edades de Luis y Carlos es siete años. Si al cuadrado de la edad de Carlos se le suma el triple de la edad de Luis, se obtiene 361. Hallar el producto de sus edades. A. 368 B. 408
C. 380 D. 428
19. La longitud de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el área se hace el doble. Hallar la suma de las dos dimensiones del terreno original. A. 30 m B. 60 m
C. 90 m D. 45 m
20. Se tiene un paralelepípedo rectángulo, en el cual el ancho y el largo son el doble de la altura. Si cada una de sus tres dimensiones se incrementa en una unidad, su volumen aumenta en 428 m3. ¿Cuál es la altura del paralelepípedo original? A. 6 m B. 12
C. 16 D. 7
49
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 13
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
FUNCIONES I Par Ordenado
OO
Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden: (a; b) Primera componente
Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. OBSERVACIONES: 1.
(a; b) ≠ (b; a); no es conmutativa Si: (a; b) = (c; d) a = c ∧ b = d
Ejemplo:
DEFINICIÓN
De la función: F = {(4; 1), (6; 2), (3; 7)}
Sean “A” y “B” dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser: A = B) llamaremos función definida en “A” a valores en “B” (función de “A” en “B”) a toda relación: f ∈ A × B, que tiene la propiedad: (a; b) ∈ f y (a; c) ∈ f entonces: b = c Es decir, una función “f” es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.
OO OO OO
2.
f b A
B
OO OO
Se lee “f” es una función de “A” en “B”.
3.
Ejemplos: f
a b c
B 1
OO OO
f B A →
f
N a b c d
f
S a
f = {(1; c), (2; d), (3; b)} es función Siendo: a ≠ b ≠ c, diremos:
b
f S M →
c
f = {(1; b), (2; a), (2; c)}
Conjunto de preimágenes RANGO DE UNA FUNCIÓN Conjunto de imágenes
Ejemplo: De la función: F = {(4; 1), (6; 2), (3; 7)}
Siendo: a ≠ b ≠ c, diremos: f N M →
(2; a) ∈ F ∧ (2; 5) ∈ F → a = 5 (3; b + 1) ∈ F ∧ (3; 6) ∈ F → b + 1 = 6 b=5 a + b = 10
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN OO
Siendo: a ≠ b ≠ c, diremos:
f = {(a; 1), (b; 1), (c; 1)} es función
1 2 3
2
Resolución:
f: A → B
a
1
(a; b) ∈ F y (a; c) ∈ F → b = c
Si: F = {(2; a), (3; b + 1), (2; 5), (3; 6), (7; 2a – 1)} es función, calcular “a + b”
Si “f” es una función de “A” en “B” se designa por:
M
(4; 1) ∈ F → F(4) = 1 (6; 2) ∈ F → F(6) = 2 (3; 7) ∈ F → F(3) = 7
Ejemplo:
NOTACIÓN
M
(x; y) ∈ F → y = F(x), donde: x: preimagen de “y” y: imagen de “x” mediante “F”.
Funciones
A
Si: a ≠ b ≠ c, luego no es función porque se repite la primera componente. Si: a = c ≠ b, es función.
Segunda componente
PROPIEDADES: 1. 2.
OO
Quinto Católica
OO OO
4.
Dominio de F = Dom(F) = {4; 6; 3} Rango de F = Ran(F) = {1; 2; 7}
y = F(x): Se le llama regla de correspondencia de “F”. Ejemplo: Dado F(x) = 2x + 1; con Dom(F) = {4; 6; 0} OO OO OO
x = 4 → F(4) = 2(4) + 1 = 9 x = 6 → F(6) = 2(6) + 1 = 13 x = 0 → F(0) = 2(0) + 1 = 1 Luego: F = {(4; 9), (6; 13), (0; 1)}
TRILCE Católica
50
Álgebra x2
REGLA DE CORRESPONDENCIA
E. Para la función: f(x) = 2 x +1
Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (Df), y una regla que permita asignar para cualquier x ∈ Df, su imagen f(x). OO
Resolución:
Ejemplo: Hallar el dominio en las siguientes funciones: A. f = {(2; 3),(4; 5),(6; 3),( – 2; a)} GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN B. f(x) =
x–2
Sea “f” una función real, la gráfica de “f” es el conjunto G, de todos los puntos (x; y) en el plano, tal que “x” está en el dominio de “f” e “y” es la imagen de “x” por “f”, es decir: G = {(x; y) ∈ R2/ y = f(x), x ∈ Df}
C. f(x) =
x–2 3 + x+5 x–3
OO
Una gráfica cualquiera será función; si y sólo si, al trazar una paralela al eje “y” corta a la gráfica en un sólo punto. Ejemplo:
OO
A. “F(x)” es función; L 1, la recta paralela corta a la gráfica en solo un punto.
Ejemplo: Hallar el rango de las siguientes funciones:
y L1
A. f = {(2; 3), (4; 6), (5; 7), (7; 6), ( – 2; 3)}
F(x)
x
B. Sea: f(x) = x2
B. “G(x)” no es función; L 2, la recta paralela corta a la gráfica en más de un punto. OO
y
Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las más conocidas: OO
OO
L1
Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta rango, se despeja “x” en función de “y”. Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desigualdades.
x G(x)
C. Para la función definida por: g(x) = 2x2 + 3x + 2; x
∈
Resolución:
Problemas para la clase 1.
D. Para la función definida por: h(x) = x2 – 4x + 7; x ∈ [2; 3]
¿Cuáles de las siguientes relaciones, representan funciones? OO OO OO
Resolución:
OO OO
R1 = {(4; 2), (5; 8), (9; 2), (3; 7)} R2 = {(2; 8), (3; 9), (2; 7), (9; 5)} R3 = {(5; 4), (6; 8), (7; 8), (2; 8)} R4 = {(9; 6), (7; 4), (7; 8), (7; 3)} R5 = {(6; 3), (6; 3), (6; 3), (9; 8)}
A. R1, R2 B. R1, R3, R5
TRILCE Católica
C. R2, R4 D. R4, R5
51
Ciclo
Católica
2.
Si el siguiente diagrama corresponde a una función: f A
•2a •1 •7
1• 2• 5• 7•
B
•3a – 5 •9
Entonces, la suma de elementos del rango de “F” es: A. 27 B. 22 3.
C. 16 D. 15
10. Sea la función definida por: f = {(3; 9), (a – 1; b), (3; 2a – 1), (b; 2b + 3), (9; b + 1)} si: f(f(f(4))) = b + 1, entonces el valor de “b” es: A. 5 B. 6
11. ¿Cuáles de las siguientes gráficas no son funciones? y
I.
4.
C. 12 D. 15
x
y
III.
y
IV. x
representa una función, calcular “ab”. A. 18 B. 9
y
II. x
Si el conjunto de pares ordenados: F = {(1; 2a + 1), (a; b – 1), (1; a + 4), (3; 5), (4; 6)}
C. 4 D. 3
x
y
V.
y
VI. x
Dada la función:
x
F = {(5; 8), (5; a – 1), (3; 2b), (10; 1), (3; b + 7)} A. II B. III y V
Calcular: E = F(a – 6) + F(b + 3) A. 12 B. 13 5.
C. 14 D. 15
C. I, III, VI D. III y VI
12. Hallar la longitud del segmento PQ en la gráfica mostrada. y
Si el conjunto de pares ordenados:
P
F = {(2; a2), (2; 16), (8; a + b), (8; 6), (b; 5)} representa una función, indicar la suma de elementos del dominio. A. 16 B. 18 6.
C. 3 D. 4
si: F(2 + F(n)) = a – 1; hallar el valor de “n”. A. 3 B. 4
C. 7 D. 5
Sea “f(x)” una función, cuya regla de correspondencia es: y = f(x) = mx + n; tal que: f(4) = 1; 2f(2) = 3f(3), entonces podemos afirmar: A. f(2) = 2 B. f(10) = 5
9.
Q -1
x
4
f(x) = x3- 9x
13. Hallar “ab”, de la gráfica: y
f(x) = ax3+ b
Sea “F” una función definida por: F = {(7; 3a – 1), (a; a – 1), (3; a – 2), (4; a + 2),(5; 2a)}
8.
36 28 20 21
Si la relación: F = {(3; a2), (a; a + 1), (2; 5), (3; a + 2)}, es una función, calcular el valor de: E = F[F(a) + 2] – F(2 – a) A. 1 B. 2
7.
C. 20 D. 22
A. B. C. D.
C. f(– 2) = 7 D. f(2) + f(8) = 3
Dada la siguiente función: f(x) =
ax + 5; x ≥ 4 3bx – 7; x < 4
A. B. C. D.
1 4 6 8
f = {(x; y) ∈ R × R / f(x) = 3x + 2} g = {(4; n), (7; n + 1), (n + 1; 5)} si: f(4) + g(g(a)) = 19 Hallar el valor de “a”.
A. 4 B. 6
A. 4 B. 7
52
x
14. Sean las funciones definidas por:
Sabiendo que: f(6) – f(2) = 2(7 – 3b). Calcular: f(f(12)) C. 8 D. 10
(1;2)
(0;a)
C. 11 D. 5
TRILCE Católica
Álgebra 15. Sea la función “f”, cuya regla de correspondencia es f(x) = ax + b. Halle el valor de “a”, tal que:
C. 12 D. 21
Calcular: DOM(F) ∩ RAN(G) 4
9–x ; x – 5 y dar como respuesta el número de elementos enteros del dominio.
16. Hallar el dominio de la función: F(x) =
A. 9 B. 10
x+1 +
y 8
]– 5; 9[; ]– 7; 8[ [– 5; 9]; [– 7; 8] [– 2; 3]; [4; 8] ]– 5; 3]; [– 7; 4]
C. [– 1; 2[ D. [– 1; 2]
24. Dada la función: F(x) = 2x2 + 3x + 2; x ∈ IR a ; + ∞ . Calcular el valor de “a”. a+1
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
25. Dada la gráfica de F(x), se cumple: DOM(F) ∩ RAN(F) = [a; b[ ∪ [c; d].
4
Calcular “a + b + c + d”
–5 –2
3
9
x
y 5
–7
18. A partir de la gráfica de la función F (x) , calcular DOM(F) ∩ RAN(F), e indicar la suma de elementos enteros del conjunto pedido. 4
A. B. C. D.
A. ]– 1; 2[ B. ]– 1; 2]
Donde RAN(F) =
C. 11 D. 12
17. Dada la gráfica de la función “F(x)”, obtener el dominio y rango.
A. B. C. D.
2–x ; G(x) = x2 + 6x + 8; ∀ x ∈ IR x–2
F(x) =
f(x + y) = f(x) + f(y)....... (1) f(2) + f(5) = 42............ (2) A. 7 B. 4
23. Dadas las funciones “F” y “G” de variable real:
A. B. C. D.
2
0 1 13 – 13
–7
–2
1 –1
y
7
x
–5
3
–4 –3 –2 0
26. ¿Cuántos enteros presenta el dominio de la función? –6
–2
4
7 x
3 2 B. IR – {– 3}
6x + 1 2x – 3
3 2 D. IR – {3}
A. IR –
C. IR – –
20. Hallar el rango de: F(x) = x2 – 6x + 5; x ∈ IR A. ]– ∞; – 4] B. [– 4; +∞[
C. ]– ∞; 4] D. [4; + ∞[
21. Hallar el rango de: F(x) = – x2 – 4x – 7; x ∈ IR A. [– 3; + ∞[ B. [3; + ∞[
C. ]– ∞; 3] D. ]– ∞; – 3]
22. Obtener el número de elementos enteros del dominio de la función: F(x) = A. 7 B. 6
TRILCE Católica
3–x+ 3+x x2 – 1 C. 5 D. 4
3x –x + 2 + x – 10 x – 7
A. 6 B. 7
–3
19. Hallar el rango de la función: F(x) =
F(x) = 4
C. 8 D. 9
27. ¿Cuántos enteros presenta el dominio de la función? 4
F(x) = –x2 + 7x – 6 +
1 x–4
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
28. Sea la función F(x) = – 2(x – 4)2 + 8; cuyo dominio pertenece al intervalo: [a; 4]. Hallar “a + b”, sabiendo que el rango está dado por: [6; b] A. 5 B. 6
C. 9 D. 11
29. Conociendo que: f(x + 3) = 4x + 9 y que: g(h) = ah2 + bh + c; determinar los valores de “a”, “b” y “c” respectivamente,
si se conoce que: g(f(x – 2) + 11) ≡ 16x2 + 12x – 10; y dar como respuesta: (b + c)a A. 7 B. – 7
C. 10 D. – 10
53
Ciclo
Católica
30. Si “k” es el mínimo de la función: F(x) = x2 + x + 1 y “p” es el máximo valor de “G(x)”; siendo: G(x) + 3x2 + 1 = 6x. p Indicar el valor que adopta: k 4 3 3 2 3 B. 3 A.
C.
8 3
6.
A. [– 3; 7] – {1} B. [– 3; – 1[ ∪ ]1; 7] 7.
D. 2–1
I. F = {(2; 3), (2; 4), (3; 4)} II. G = {(3; 1), (– 1; 4), (4; 3)} III. H = {(– 2; 2), (– 1; 3), (2; 3), (4; 2)}
2.
C. I, III D. II y III
Sea la función: f(x) = (x + 1)2 – (x – 1)2 – 4x. Hallar: f( 3 +
2–
5)
A. 1 B. 0 9.
C. D.
x
1
0
F(x)
8
5
F = {(3; 2a + 3b); (– 1;5); (a + b; 3); (6; 7); (3; 4); (2; 2a – b); (a2 + 2b; 4); (2; – 4)}
Luego el producto de “a” y “b” es:
C. {– 3; 3} D. {1}
Dada la función: H = {(2; m – n), (3; m + 2n), (4; 3), (3; 8)} Si: H(2) = 2; hallar (m + n) A. – 4 B. 6
C. 3 D. 2
Dados los esquemas:
–1 2+
3
La tabla muestra los valores hallados para la función:
F(x) = ax2 + b;
A. {– 1; 1} B. {3; 5}
4.
8.
C. 3 D. 4
Dado el conjunto de pares ordenados:
Hallar “a” y “b” para que “F” sea una función, dar como respuesta: DomF ∩ RanF
3.
2 – x; x ≥ 0 x + 3; x < 0
A. 1 B. 2
¿Cuál o cuáles de los siguientes conjuntos representa a una función?
A. Solo I B. Solo II
De la función: F(x) =
C. [– 3; 7] – {–1; 1} D. 〈– 3; 7〉 – { – 1; 1}
Hallar: F(F(3)) + F(F(– 2))
Tarea domiciliaria 1.
3 4 Determinar el dominio de F(x) = x + 3 + 7 – x – 2 x –1
A. 15 B. 12
C. 20 D. 9
x+6 10. Dada la función: H(x) = ; si: DOM(H) = ]2; 3]; hallar x+1 el menor valor de la función. A. 3 9 B. 4
C. 2 8 D. 3
11. Hallar el dominio de la función: F(x) = x3 + 3x2 + 3x – 3. Si su rango es: RAN(F) = ]– 5; 60]; dar como respuesta el número de valores enteros que posee. A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
12. Si: f(3x – 1) = 6x + 7 y f(g(x) + 5) = 2x + 3; señalar: g(x) A. x – 7 B. x – 8
C. x – 5 D. x – 6
13. Sean “f” y “g” dos funciones: f(x) = ax + 3 y g(x) = bx + a. Si: f(2) = 13; g(1) = 13, hallar “ab”. A. 5 B. 40
G(F(1)) + F(1) calcular: E = F(3) + G(F(3)) 3 A. 8 5 B. 8 5.
7 C. 8 9 D. 8
Determinar el dominio de: h(x) = x2 + x + 1 A. IR B. [–∞; 1]
54
C. f D. [1; +∞]
C. 8 D. 20
14. Sean “f” y “g” dos funciones: f(x) = ax2 + 5; g(x) = bx + 6. Si: (2; 17) pertenece a la función “f” y f(3) = g(1), hallar “a + b”. A. 26 B. 28
C. 27 D. 29
15. Dada: f(5x – 3) = 10x – 2; hallar: f(f(2)) A. 8 B. 16
C. 12 D. 20
TRILCE Católica
Álgebra 16. Determine el dominio de la siguiente función: g(x) =
4x + 1 3x + 2 – 2x + 3 5x – 1
3 5 3 B. IR – – ; –2 5 A. IR – 2;
3 1 C. IR – – ; 2 5 D. IR – {4; 1}
17. Hallar el dominio de la función: F(x) = el menor valor entero positivo. A. 3 B. – 3
B. IR – {3}
TRILCE Católica
A. 2 B. 4
+ 4x, calcular el máximo
C. 8 D. 0
20. Si el conjunto: A = {1, 3; 5} es el dominio de las funciones “F” y “G” definidas por: * F(x) = px – q * G(x) = {(p + q; 2), (1; 4), (3; 1), (1; q)} Entonces la suma de los elementos del rango de “F” es:
C. – 2 D. 2
18. Hallar el rango de la función: F(x) = A. IR – { – 3}
x+2 y dar x2 + x – 6
19. Sea la función: H(x) = 4 – valor de su rango.
x2
A. 0 B. – 3 3x + 5 x+3
C. IR – { – 5} 5 D. IR – – 3
C. – 4 D. – 1
3 21. Sea la función: F = (x, y) ∈ IR2 / y = 2 ; se sabe que x +9 su rango es: ]a; b]. Hallar: 9b + a A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
55
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 14
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
FUNCIONES II 1.
Función constante
Además puede observarse que “x1” y “x2” son raíces de: ax2 + bx + c = 0
y
y = F(x) = c; c ∈ IR
Dom(F) =
y = F(x) = C
“c” constante real Dom(F) = IR Ran(F) = {C}
c
Ran(F): considerando que F(x) = y, podemos hallar el rango de la función utilizando la siguiente relación: b2 – 4a(c – y) ≥ 0
x
2.
Función lineal
5.
y = F(x) = ax + b
y = F(x) = |x|
y
a, b ∈ IR; a ≠ 0 Dom(F) = IR Ran(F) = IR
b
|x| =
y = ax + b
a
y
1.
La gráfica de la función: F(x) = – 2x + 4, se muestra en la figura. Se pide calcular: ab.
A. B. C. D.
x
a = 45°
a
4 6 16 8
b
Función cuadrática
2.
y = F(x) = ax2 + bx + c; a, b, c, ∈ IR ∧ a ≠ 0
1 3 1 B. 4
y = a(x – h)2 + k
3.
–b –D donde: h = ; k = 2a 4a
x
Sea la función lineal: F(x) = ax + b; tal que cumple: F(b) = 15 y F(–b) = 9. Calcular la pendiente de la gráfica de “F(x)”. A.
completando cuadrados:
1 5 1 D. 6 C.
Se tiene una función lineal “F”, de tal forma que se cumple: F(0) = F(2) – 16 Si la gráfica pasa por el punto (0; 7), obtener la regla de correspondencia de “F”.
siendo (h; k) vértice de la parábola. a0
y = |x|
Dom(F) = IR Ran(F) = [0; + ∞〉
x
Es un caso particular de la función lineal cuando: a = 1 ∧b=0
4.
y
donde:
a = pendiente o inclinación de la recta a = Tana; b = intercepto con el eje “y” 3.
Función valor absoluto
(Cóncava hacia abajo)
4.
C. F(x) = – 8x – 7 D. F(x) = 8x + 7
Si “h” es una función lineal de pendiente 3 e intersección con el eje “y” igual a 5, hallar la regla de correspondencia de la función “g(x)”, si: g(x) – x = h(1) + h(x + 1) A. g(x) = 4x + 4 B. g(x) = 4x + 16
C. g(x) = 4x + 12 D. g(x) = 3x + 13
56
Álgebra 5.
6.
Obtener el área de la figura formada por la gráfica de la 10 – 2x función: F(x) = y los ejes cartesianos. 5
las gráficas de las funciones “g” e “i”, hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos “P” y “Q”.
A. 5 u2 B. 10
A. y =
Obtener el vértice de la parábola, cuya gráfica está representada por: F(x) = – x2 + 6x – 10. Dar como respuesta el producto de sus coordenadas. A. 3 B. – 3
7.
C. 15 D. 40
C. – 2 D. 2
Dada la función: f(x) = 2x2 + 4x + 8, indique si los enunciados son verdaderos (V) o falsos (F), respectivamente, si f: IR → IR. I. La gráfica de la función “f” corta al eje de las abcisas. II. La función “f” es positiva para: x ∈ [5; 10]. III. Ran(f) = [– 1; ∞[. A. F V F B. F F V
8.
La gráfica de la función: F(x) = x2 + bx + c es una parábola que pasa por los puntos: (0; 2) y (1; 5). Luego el valor mínimo de la función es: A. 2 B. 1
9.
C. V V V D. F F F
C. D.
13. Hallar el rango de la función cuadrática: G(x) = x2 – 10x + 3, cuyo dominio es: [0; 10] A. {3} B. [ – 22; 3]
C. [3; 5] D. [ – 25; 3]
14. Consideremos la función cuadrática “F”; tal que: F(x) = ax2 + b ∧ F(0) = 2; F(1) = 1. Hallar: F( 2 ) A. 1 B. – 1
C. 2 D. 0
15. La función cuadrática: f(x) = – 2x2 + 12x + 1; tiene un máximo o un mínimo. ¿Cuál es su valor? A. Un mínimo, 19 B. Un máximo, 19
C. Un máximo, 3 D. Un mínimo, 3
16. Graficar: F(x) = x2 + 2mx + m2; si: m < 0 y
A.
y
C.
10. Sean las funciones: f(x) = x2 – 2x – 3 g(x) = x + p Cuyas gráficas se cortan en dos puntos, tales que al unirse forman la diagonal de un cuadrado. Si uno de los puntos mencionados es (3; 0); hallar el área de dicho cuadrado. C. 9 D. 12
x
x y
B.
C. 3 D. 2
A. 3 u2 B. 6
15 7 x– 4 2 15 1 D. y = x – 4 2 C. y =
–2 –1
Se tienen las funciones: F(x) = x2 – 4x + 5 y G(x) = x – 1, cuyas gráficas se cortan en los puntos “A” y “B”. Se pide obtener la suma de las ordenadas de dichos puntos. A. 5 B. 4
15 7 x+ 2 2 15 1 B. y = x + 2 2
y
D.
x
x 17. Hallar el área de la región sombreada: y A. B. C. D.
F(x) = x2 – 4x – 12
28 40 18 80
8 x
11. Hallar la relación que deben cumplir “m” y “n” para que las gráficas de: 18. Sea la función definida por: f(x) = –
x2
F(x) = +x+m G(x) = n – 3x se intercepten en un solo punto. A. m + n = 2 B. m + n = 4 12. Dadas las funciones:
C. m – n = – 2 D. m – n = – 4 f(x) = 3x + 1 g(x) = – x + 6 h(x) = 2x + 7 i(x) = 4
Si “P” es el punto de intersección de las gráficas de las funciones “f” y “h”, y “Q” es el punto de intersección de
TRILCE Católica
17 2 17 51 x – x+ . 16 8 16
Hallar la suma de todos los valores naturales del rango de “f”. A. 7 B. 9
C. 8 D. 10
19. Sea “F” una función constante tal que:
F(n + 1) + F(n – 1) =3 Fn – 2
Calcular: F(n2) – F(2n) + F(2) + F(1) A. 6 B. 12
2
C. 18 D. 24
57
Ciclo
Católica II. La gráfica de: f(x) = ax2 + bx + c, x ∈ IR no corta al eje “x”. III. Si: a > 0, entonces “f” no tiene valor máximo
20. ¿Para qué valor de “m” la gráfica de la recta: G(x) = – x – m x2 es tangente a la parábola: F(x) = ? 8 A. – 2 B. – 4
A. V V V B. F V F
C. – 1 D. 2
21. La gráfica de una función cuadrática intercepta al eje “y” en el punto: y = 15; además tiene por vértice a (2; – 5). Hallar las coordenadas donde la función intercepta al eje “x”. Dar como respuesta la suma de elementos de dichas coordenadas. A. 4 B. 6
C. V V F D. F V V
28. Dadas las funciones:
se elige “p”, de manera que sus gráficas tengan un único punto en común. Entonces, las coordenadas (x; y) de dicho punto son:
C. – 1 D. 2
A. (0; 0) B. (1; 1)
22. Hallar la ecuación de la parábola graficada más abajo si el punto (3; 2) pertenece a ella y su rango es el intervalo: 1 – ;+∞. 4
C. (– 1; 3) D. (1; 3)
29. La figura muestra el gráfico de la función f(x) = ax2 + bx + c, siendo – 1 su valor mínimo. Si: g(x) = 3x – f(x), entonces: f(3) + g(2) es igual a:
y
A. B. C. D.
x2 – 3x + 2 = y y = x2 + 3x + 2 y = x2 – 3x – 2 2x2 + 3x + 2 = y
y
(2; 0)
A. B. C. D.
x
–6 9 –3 6 O –1
23. Dada la función cuadrática: f(x) = (x + a)2 – 6a. Hallar el mínimo valor de “f(x)” para que (8a – 21) sea la imagen de 2. A. – 18 B. – 30
C. – 15 D. – 24
24. Sea: f(x) = x2 – 2ax + 2a + 3, una función; cuya gráfica es: A. B. C. D.
Calcular:
con el eje de las ordenadas. 9b3 2 u a 2a 2 B. u 9b3
2b3 2 u 9a 3 9b 2 D. u 2a
A. 0
x
3
25. Marque verdadero (V) o falso (F):
C.
Tarea domiciliaria
I. Si: F(x) = x2 – 1, entonces: DF = IR II. Si: F(x) = x2 – 1, entonces: RF = IR III. El RF = [– 1; + ∞[; si: F(x) = x2 – 1 A. V F V B. F F V
1.
C. V V F D. F V F
Graficar: F(x) = 3x + 2 A.
y
B.
2.
f
27. Sean: a, b, c ∈ con a ≠ 0. Si: ∆ = b2 – 4ac < 0; determinar el valor de verdad de las afirmaciones siguientes.
58
y
D. x
x
I.
x
y
y 2 4 6 8
y
C. x
26. Sea: f(x) = – 2x + 8; determinar el área máxima del rectángulo que se encuentra inscrito entre la gráfica de la función “f(x)” y los ejes coordenados.
A. B. C. D.
x
f(x) = abx – b2; ab > 0 g(x) = 2b2
b
b
2
30. Hallar el área de la región formada por las gráficas de las funciones:
y
1 2 3 4
f(x) = 2x2 – 3x + 4 g(x) = – 7x2 – 3px + p
La gráfica de f(x) = ax2 + bx + c, x ∈ IR corta al eje “x” en al menos un punto.
x
Calcular “m”, si para: f(x) = se realiza la tabulación. x f(x) A. 1 B. 2
1 3
4 2
a , definida para: x ≠ – b x+b –11 m C. D.
................ ................ –3 –4
TRILCE Católica
Álgebra 3.
Hallar los puntos de intersección de las gráficas de: f(x) = x2 – 2x + 3 y g(x) = 5x – 9 e indicar la suma de coordenadas de uno de ellos. A. 7 B. 8
4.
x2
Luego de graficar: F(x) = – + 6x – 14, se obtiene una parábola cuyo vértice está dado por el par ordenado (a; b). Calcular: a + b. A. 8 B. 2
5.
C. 15 D. 16
C. D.
–2 –8
G(5) = 17; G(2) = 6 + G(0); calcular: G(7)
6.
7.
8.
9.
C. 2 D. 3
C. 25 D. 15
Sea: f(x) = – x2 + 8x – 7 una función tal que el máximo valor de “f(x)” es “b” y f(a) = b; halle “ab”. A. 36 B. 54
C. 45 D. 63
10. Hallar el área de la región sombreada: y
A. B. C. D.
F(x) = x2 + 9
81 u2 27 9 36
x
11. Sabiendo que “F” es una función lineal de pendiente 3 e intersecta al eje “y” en 5; obtener la regla de correspondencia de la función G(x), si: G(x + 12) – x = F(1) + F(– 0, 3). A. G(x) = x + 12 B. G(x) = – x + 12
C. G(x) = x D. G(x) = – x
12. Calcular el rango de: F(x) = x2 + 8x + 20 A. ]4; + ∞[ B. ]– ∞; 4[
TRILCE Católica
14. Si: F(x) = Ax + B + 2; se sabe que la gráfica F(x) pasa por el punto (8; 38) y por el punto (0; – 2).Calcula: A + B A. –2 B. 1
C. 3 D. 5
A. [–2, 2] B. ]0, +∞[
–4x ; x ∈ IR 1 + x2 C. ]–1, 1[ D. ]–∞, 0[
C. [0, 28] D. [3, 6]
17. Hallar la ley de correspondencia de la gráfica mostrada: y
C. 9 u2 D. 15 u2
Dada las funciones: f(x) = x2 + 2x + 5 y g(x) = 3x + 11; hallar la suma de las ordenadas de los puntos de intersección de las gráficas de “f” y “g”. A. 1 B. 26
C. [0; 12] D. ]– 4; 12]
A. [28, + ∞[ B. [3, + ∞[
Si la función “f” es cuadrática y f(–7) = f(9); halle la abcisa del vértice de la gráfica de la función. A. 0 B. 1
A. {12} B. [– 4; 12]
16. Hallar el rango de: F(x) = x2 – 10x + 28
C. 22 D. 23
Hallar el área de la región formada por la gráfica de la función: F(x) = – x + 6 con los ejes coordenados. A. 18 u2 B. 20 u2
obtener el rango
15. Hallar el rango de: F(x) =
Sea “G(x)” una función lineal que verifica:
A. 20 B. 21
13.
Sea la función: F(x) = x2 – 8x + 12; cuyo dominio es: [0; 8]
A. 3x – 5y – 15 = 0 x y B. + =1 5 3 3 C. y = x + 3 5 D. 3x + 5y + 15 = 0
5
x
–3
18. La regla de correspondencia de la función cuya gráfica se muestra, es: y 8
4 A. y = – (x + 3)2 + 8 9 2 B. y = – (x + 3)2 + 8 9 1 C. y = – (x + 3)2 + 8 9 4 D. y = – (x + 3)2 + 8 3
4
x
–3
19. La figura representa la gráfica de una función cuadrática con vértice (3; – 2). Hallar el valor de: E = m2 + n2 y
A. B. C. D.
6 10 20 18
(5; 6)
m
20. En el gráfico, hallar: n +
A. B. C. D.
–1 0 –2 1
n
x
3m 2 2
y = F(x) = 3x + b
(m; n)
y (0; 2)
x
C. ]– ∞; 4] D. [4; + ∞[
59
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 15
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
FUNCIONES III 7.
Problemas para la clase 1.
Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4; 5} y dadas las funciones definidas en “A”. f = {(1; 4), (a; 2), (4; 1), (3; 2), (2; 3)} g = {(1; a), (3; 3), (4; 3), (5; 5), (2; 5), (1; c – 2)} hallar “a . c”. A. 15 B. 14
2.
C. 12 D. 8
A. $220 B. 250
En la gráfica siguiente, hallar el intervalo para el cual: f(x) > 0.
3.
[4; 8] ]–∞; 4] ∪ [8; +∞[ ]–∞; +∞[ ]–∞; 4[ ∪ ]8; +∞[
8
4
H
x
G
A
B
C
4 5 6
4 6 5
16 25 36
Si: f(x + 3) = x2 – 1; halla: A. m + 1 B. m
6.
C. 57 D. 48
Al producir y vender “x” artículos, la utilidad en dólares x2 está dado por: U(x) = – + 40x – 25. Si hubiera vendido 4 el doble de lo que vendí, la utilidad habría sido $325 más. ¿Cuántos artículos vendí? A. 15 B. 20
5.
C(x) , 3 donde C(x) en soles es el costo de producir “x” unidades de cierto producto. Si el costo promedio de producir “x” unidades 200 de dicho producto es: C(x) = 30 + ; responder: x 8.
C. 25 D. 10 f(m + 2) – f(2) m–2 C. m – 2 D. m + 2
Rolando paga, por un consumo de 60 kw.h de luz, S/ 24 y, por 150 kw.h, paga S/ 55,5. ¿Cuánto pagará Rolando por un consumo de 210 kw.h, si la relación entre el consumo en kw.h y el pago, en soles, es lineal? A. S/ 80 B. 74,5
TRILCE Católica
C. 81,5 D. 76,5
Hallar el costo de producir 30 unidades de dicho producto. A. S/ 900 B. 1600
Hallar: P = H(H(4)) + G(H(5)) + G(6)
4.
ENUNCIADO (PREGUNTAS 8, 9 y 10)
De las funciones:
A. 55 B. 59
C. 240 D. 280
Se define el costo promedio como la función: C(x) =
y
A. B. C. D.
En un condominio cerca de la Universidad Católica se está ofertando el alquiler de mini departamentos, la cual tiene 56 mini departamentos. Se pensó alquilarlos a $180, a este precio se lograría alquilar todos, sin embargo, la crisis mundial ha obligado a reajustar los precios por lo que cada incremento en $10 respecto al inicial se dejaría de alquilar 5 mini departamentos. Si finalmente solo se alquilaron 21 mini departamentos, ¿cuál fue el precio final de cada uno de los mini departamentos?
9.
C. 300 D. 1100
Si se ha producido 30 unidades, ¿cuál es el costo de producir la unidad 31 A. S/ 20 B. 30
C. 40 D. 1130
10. El costo fijo es aquel que no depende de la cantidad producida. Halle el costo fijo. A. S/ 200 B. 500
C. 30 D. 100
11. La resistencia de un material de aluminio está dada por la 10 función: f(x) = x(12 – x). Siendo “x” el peso ejercido so9 bre el material, ¿para qué peso la resistencia es máxima? A. 15 B. 10
C. 12 D. 6
12. La ganancia de cierta compañía está dada por: G(x) = – 2x2 + 60x + 1500 Encontrar la ganancia máxima. A. 1945 B. 1950
C. 1955 D. 1960
13. Se va a cercar un terreno rectangular situado a la orilla de un río y no se necesita cercar al lado de este. El material para construir la valla cuesta $8 el metro para los extremos y $12 por metro, para el lado paralelo al río. Si se utilizarán $3600 de material para vallas, hallar la expresión del área del terreno que pueda de-
60
Álgebra marcarse con los $3600 de material y designado por “x” a los laterales. 4 A. – x + 300 3 4 B. – x2 + 300 3
4 C. – x + 300x2 3 4 D. – x2 + 300x 3
14. Del problema anterior; calcula la longitud del lado paralelo al río, de tal forma que el área sea máxima. A. 112,5 m B. 110
C. 150 D. 115
ENUNCIADO 2 (PREGUNTAS 15 y 16) La cantidad “q” de unidades de un artículo, que compra el público, depende del precio de venta “p” (en soles), de cada artículo, de acuerdo a la función: q(p) = 420 – 5p 15. ¿Cuál es el precio que maximiza el ingreso de un comerciante que vende este artículo? A. S/ 48 B. 84
C. 42 D. 60
16. ¿Cuál es el ingreso máximo que puede obtener un comerciante que vende este artículo? A. S/ 4410 B. 8820
C. 7420 D. 17 640
17. Se sabe que la cantidad de accidentes en una fábrica depende linealmente de la cantidad de obreros que siguen estrictamente las reglas de seguridad. En cierto mes, se registró que de los 180 obreros solo 10 % seguía estrictamente las reglas de seguridad, además hubo 15 accidentes. Sin embargo, en el siguiente mes, el 60 % de los obreros cumplieron con las reglas de seguridad y los accidentes ese mes fueron 9. Halla la relación que existe entre la cantidad de accidentes y el número de obreros que cumplieron con las normas de seguridad. 1 81 x+ 15 5 1 B. y = – x + 18 2 A. y = –
2 C. y = – x + 15 3 1 D. y = – x + 24 4
18. Si f(x) = 3x + c; f(f(f(c))) = 160; halla “c”. A. 4 B. 12
C. 8 D. 16
19. Se desea cercar un terreno rectangular que colinda con una avenida. La pared hacia la avenida cuesta S/ 20 por metro, las no colindantes a la avenida cuestan S/ 10 el metro, si el área del terreno es de 300 m2 y el costo de la cerca no debe exceder a S/ 900, el lado colindante a la avenida varía entre: A. 20 y 90 m B. 0 y 20 m
C. 20 y 45 m D. 10 y 20 m
20. En un hotel, si el costo del alquiler de una habitación es de $30 por noche, se alquilan 80 habitaciones, si se cobran $ 5 más por noche, se alquilaría 10 habitaciones menos, ¿cuál sería el costo de cada habitación para que el hotel obtenga el mayor ingreso y cuál es ese monto? A. $30 y $1500 B. $35 y $2450
TRILCE Católica
C. $32 y $2000 D. $37 y $3250
21. La gráfica de una función cuadrática “f(x)” pasa por los puntos: A(1; – 1), B(2; 5) y C(0; 5). Determina la ecuación de la función. A. y = (x – 4)2 + 4 B. y = (x – 2)2 + 1
C. y = 6(x – 1)2 – 1 D. y = 2(x – 3)2 + 4
22. Una plancha rectangular de aluminio de 50 cm de largo y 30 cm de ancho se usa para construir un recipiente. Esto se hace cortando en cada esquina cuadrados de lado “x”, luego doblándolos para formar el recipiente prismático. Halla el volumen del recipiente si su área lateral es la máxima posible. A. 1440 cm3 B. 2440
C. 3000 D. 1680
23. Se tiene un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 10 cm, y los lados iguales 13 cm, en el cual se ha inscrito un rectángulo donde uno de sus lados está sobre la base del triángulo. Calcula el área del rectángulo si es la máxima posible. A. 15 cm2 B. 30
C. 14 D. 20
24. Las ventas mensuales de “x” unidades de cierto artículo cuando su precio unitario es “p” soles están relacionadas por p = 200 – 3x. El costo de producir “x” unidades del mismo artículo está dado por C = 600 + 5x soles. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse para que las utilidades mensuales sean mayores que 2400 soles? A. B. C. D.
Entre 15 y 20 unidades Entre 20 y 35 unidades Entre 25 y 40 unidades Entre 30 y 45 unidades
25. Un alambre de longitud “L” ha de ser cortado en dos partes, uno de los cuales será para formar una circunferencia y otra para formar un cuadrado. Dónde se ha de cortar para que la suma de las áreas del círculo formado y el cuadrado sea lo menor posible:
pL p+2 pL B. p+4 A.
C. D.
4L
p+4 L
p+4
26. La utilidad de producir y vender “x” cientos de artículos es una función cuadrática: U(x) ( en miles de soles). Cuando se producen y se venden 400 artículos se obtiene una utilidad máxima de 29 000 soles, si no se produce ningún artículo se pierde 3000 soles, halla la suma de coeficientes de U(x). A. 20 B. 29 27. En la gráfica: Si: f(x) = x2 – 8x + b g(x) = mx + 4 hallar la pendiente de la recta. A. 2 1 B. 3
C. 11 D. 29 000 y
f
g (6; A) 4 2 x
C. 1 4 D. 3
61
Ciclo
Católica
28. ¿A qué función cuadrática le corresponde la siguiente gráfica? y
A. B. C. D.
f(x) = – 2x2 – 4x – 2 f(x) = – x2 + 2x + 2 f(x) = – 2x2 + 4x + 4 f(x) = – 2x2 + 4x + 2
(1; 4)
M 4 M B. 2
El vértice de la parábola es: V(3; 10) El vértice de la parábola es: V(–3; 10) y se abre hacia arriba. III. El vértice de la parábola es: V(–3; 10) y se abre hacia abajo.
(0; 2) x
C. D.
A. Solo I B. Solo II 6.
M
p+4
7.
M
p+2
0;
n2 4
B. ]0; n2]
Tarea domiciliaria 1.
La utilidad que se obtiene al producir y vender maletas x2 en determinada empresa está dada por: U(x) = – + 40x 10 donde “x” representa el número de maletas y “U(x)” está dada en soles. Hallar la utilidad al vender 60 maletas. A. S/ 1840 B. 2060
2.
4.
C. 100 D. 200
En el problema anterior, ¿entre qué valores debe estar el número de maletas, si la utilidad debe ser como mínimo S/ 3000? A. 150 ≤ x ≤ 350 B. 80 ≤ x ≤ 280
C. 120 ≤ x ≤ 320 D. 100 ≤ x ≤ 300
Las gráficas corresponden a las funciones: f(x) = – x2 + 3x ∧ g(x) = x2 Si la máxima longitud vertical “d” se encuentra en la abscisa “a”, calcular “a”.
A. 1 3 B. 2 2 C. 3 3 D. 4
62
Cuando una empresa produce “q” artículos, su costo es: C = 7q + 60, y al vender “q” artículos, su ingreso es: I=
g d
f a
q2 + 15q 10
I.
La mayor cantidad de artículos que hace que la empresa gane 60 es 60. II. La ganancia máxima es 80 III. Los artículos que se producen para obtener la ganancia máxima son 40. A. Solo II B. II y III
x
C. I y II D. I y III
10. En la empresa César Spa el empleado que recién ingresa cobra $450 y el empleado con cinco años de antigüedad recibe un sueldo de $560. Asumiendo que el sueldo del empleado es función lineal de la antigüedad. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: OO
y
C. 2000 D. 6000
Indicar cuál(es) enunciado(s) es(son) correcto(s):
En el problema anterior, si se quiere obtener la máxima utilidad posible, ¿cuántas maletas hay que producir y vender? A. 60 B. 80
3.
C. 1960 D. 2040
C. 54,25 D. 56,25
El costo de producción de un artículo está dado por la expresión: C(x) = x2 – 12x + 80; donde “C(x)” es el costo en miles de dólares para producir “x” miles de unidades. ¿Cuántas unidades se deben producir para obtener el menor costo posible? A. 1000 B. 3000
9.
C. 24 u2 D. 60 u2
Se quiere construir un jardín que tenga la forma de un sector circular con un perímetro de 30 m. Hallar el mayor área posible de dicho jardín. A. 56 m2 B. 55
8.
C. ]0; n2[ n2 D. 0; 4
C. Solo III D. Ninguna
Halle el área de la región triangular formado por las rectas y = – x – 1; y = 2x – 13 y el eje de las ordenadas. A. 16 u2 B. 36 u2
30. La función: y = F(x) expresa el área de un rectángulo de base “x” cuya longitud del perímetro es “2n”, (n > 0). Indicar el rango de la función “F”. A.
Si: f(x) = – x2 – 6x + 1; ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. II.
29. Una puerta en forma rectangular, termina en forma de media circunferencia. El perímetro de la puerta es “M”. Determinar la longitud de la base de la puerta de tal forma que el área de la misma sea máxima. A.
5.
OO OO
La regla de correspondencia de dicha función es: f(x) = 22x + 450 Alguien con siete años de antigüedad cobrará: $604 La variación del sueldo de un empleado en un año $20
A. V V V B. F V V
C. V V F D. F F F
11. En una compañía los costos de producir “x” muebles están dados por: c(x) = ax + b. Cuando se producen 20 y 32 muebles los costos son $1560 y $2040, respectivamente. ¿Cuál es el costo de producir 40 muebles? A. $3120 B. 2520
C. 2840 D. 2360
TRILCE Católica
Álgebra 12. La utilidad obtenida por una empresa al fabricar y vender “x” artículos está dada por: U(x) = x2 + 14x – 168. ¿Cuántos artículos debe fabricar y vender para ganar $ 744? A. 24 B. 20
C. 18 D. 16
13. Si:
f
b
g
5 x
C. 10 D. 15
C. 120 ≤ x ≤ 320 D. 100 ≤ x ≤ 300
18. La función: f(x) = ax2 + bx + a + b; tiene valores: f(0) = 12 y f(–1) = 14. Calcular “f(2)”.
14. Determinar la ecuación de la recta cuya gráfica se presenta. y
A. 20 B. 40
C. 30 D. 50
19. Hallar el área de la región limitada por las rectas: x + y = 11; x – y = 3 y los ejes de coordenadas cartesianas. x
–5 –3
TRILCE Católica
C. 100 D. 200
17. ¿Entre qué valores debe estar el número de maletas, si la utilidad debe ser como mínimo S/ 3000? A. 150 ≤ x ≤ 350 B. 80 ≤ x ≤ 280
y f(–5) + g(–5) = 10, determinar “b”.
C. S/ 1960 D. S/ 2040
16. Si se quiere obtener la máxima utilidad posible, ¿cuántas maletas hay que producir y vender? A. 60 B. 80
–5
A. 3y + 5x = 15 B. 5y – 3x = 15
15. La utilidad que se obtiene al producir y vender maletas x2 en determinada empresa está dada por: U(x) = + 40x 10 donde “x” representa el número de maletas y U(x) está dada en soles. Halla la utilidad al vender 60 maletas. A. S/ 1840 B. S/ 2060
y
A. 0 B. 5
ENUNCIADO 3 (PREGUNTAS 15; 16 y 17)
C. 5y + 3x = – 15 D. 3y – 5x = – 15
A. 28 u2 B. 44,5 u2
C. 49 u2 D. 65 u2
1 1 20. Si la función: F(x) = – ; tiene por rango al intervalo x 3x + 1 ]– ∞; 2] y por dominio: ]–∞; –a[ ∪ ]–2a2; 0[ ∪ ]a; +∞]. Calcular el valor de: 6a2 + 1. A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
63
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 16
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
FUNCIONES IV DEFINICIÓN
FUNCIÓN SURYECTIVA, SOBREYECTIVA O EPIYECTIVA
Una función “F” se llama inyectiva, univalente o uno a uno; cuando cada elemento del rango es imagen de un solo elemento del dominio.
Dada la función “f”, donde: F = A → B; A ⊂ IR ∧ B ⊂ IR se dice que “F” es suryectiva si el rango o imagen de “F” coincide con el conjunto de llegada, es decir:
Por ejemplo:
“F” es suryectiva ↔ RF = B
F1 = {(1; 2), (3; 5), (7; –1), (5; 2)}
→ No es inyectiva
FUNCIÓN BIYECTIVA
F2 = {(3; 5), (4; 7), (5; 6), (9; –1)}
→ Sí es inyectiva
F3 = {(1; 4), (5; 6), (6; 3), (9; 6)}
→ No es inyectiva
Dada la función “f”, donde: F = A → B, A ⊂ IR ∧ B ⊂ IR se dice que “F” es biyectiva si y solo si “F” es inyectiva y suryectiva a la vez.
Ahora bien, para que una función “f” tenga inversa, esta debe ser previamente una función inyectiva. Graficamente una función es inyectiva cuando toda recta horizontal (paralela al eje “x”) corta a la curva que representa a la función en un solo punto. Por ejemplo: y
EJERCICIOS RESUELTOS 1.
Hallar el valor de “m” y “n”, sabiendo que la función es inyectiva. f = {(5; –1), (–3; 2), (2m – n; –1), (n – m, 2)}
y
A. 1 B. 5
C. 2 D. –1
Resolución: x
Como es inyectiva se cumple: f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
x
Luego: OO OO
Sí es inyectiva
No es inyectiva
(5; –1) = (2m – n; –1) ⇒ 2m – n = 5................. (a) (–3; 2) = (n – m; 2) ⇒ n – m = –3..................... (b)
Resolviendo el sistema:
y
m=2 n = –1
∴ m + n = 2 + (– 1) = 1 2.
x
Algunas funciones no son inyectiva en todo su dominio, pero sí lo son en algún tramo de ella, por ejemplo:
x
TRILCE Católica
A. V F F B. V V V
C. F V V D. V F V
Resolución:
y
En [0; +∞〉: es inyectiva
Si tenemos la función. f: ]–3; –1[ → ]0; 8[ / f(x) = x2 – 1, podemos afirmar: I. Es sobreyectiva II. Es biyectiva III. Es univalente
No es inyectiva
En 〈–∞; 0]: es inyectiva
Clave A
En 〈–∞; +∞〉: no es inyectiva
I.
Probemos si es sobreyectiva:
OO
En el dominio: –3 < x < –1
1 < x2 < 9 0 < x2 – 1 < 8 0 < f(x) < 8
∴ El rango es ]0; 8[ Luego es sobreyectiva (V)
64
Álgebra II.
OO
Como es sobreyectiva, habrá que probar que es inyectiva solamente para que sea biyectiva. Graficamos: f(x) = x2 – 1
Problemas para la clase 1.
y
¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función inyectiva? y
–1
1
y
A.
x
C. x
–1
x y
y Luego restringimos para el dominio y realizamos la prueba de la línea horizontal.
B.
D.
2.
–3
–1
x
x
y
¿Cuál de los siguientes diagramas de flecha representa una función suryectiva?
A.
0
3• 5•
x
•6 •8 •9 •7
C.
2• 3• 5•
•6 •7 •8
–1
B.
Como corta en un solo punto es inyectiva.
Dada la función suryectiva: F: [–1; 2] → B / F(x) = x2 + 2. Hallar “a + b”, si: B = [a; b] A. 4 B. 9
3.
4.
En el dominio: –1≤x≤2 0 ≤ x2 ≤ 4 2 ≤ x2 + 2 ≤ 6 2 ≤ F(x) ≤ 6
4.
Clave C.
5.
6.
C. 7 D. 5
7.
3a – 1 = 8 → a = 3 3b – 1 = 11 → b = 4
∴ a + b = 7
TRILCE Católica
C. P(x) = 3x + 2 D. h(x) = 3
Clave C
C. F F V D. F V F
Sea la función f: [1; 4] → [a; b] tal que: f(x) = x2 – 2x + 3. Si “f” es suryectiva, calcular: a . b C. 22 D. 24
Sea la función: g: [–3; 4] → [m; n] tal que: g(x) = x2 – 4x – 6. Si “h” es suryectiva, calcular “m + n”. A. 10 B. 5
Como “f(x)” es biyectiva s cumple:
OO
4•
•1 •5 •9
Al graficar: f(x) = x2 – 4x + 5, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
A. 20 B. 18
Resolución:
OO
2•
¿Cuál de las siguientes funciones es biyectiva?
A. V F V B. F V V
Calcular "a + b" para que f: [a; b] → ]8; 11[ sea biyectiva siendo: f(x) = 3x – 1 A. 8 B. 6
D.
I. “f” es inyectiva II. “f” es biyectiva III. “f” es inyectiva, si: x ∈ [0; 2]
∴ El rango es [2; 6] = B ⇒ a = 2 ∧ b = 6; luego, a + b = 8.
•5 •6 •8
A. f(x) = x2 – 2x + 1 B. g(x) = x2 + 1
C. 8 D. 10
Resolución: OO
2• 3•
∴ Es biyectiva (V) 3.
1•
C. –15 D. –5
3 x–2 tal que: h(x) = . 8 x+3 Si “h” es suryectiva, calcular “b – a”. Sea la función: h: [a; b] → –4; A. 10 B. 5
C. –15 D. 7
65
Ciclo
Católica
8.
6 Sea la función f: [3; 4] → [c; d] tal que: f(x) = 2 . x – 2x – 2 Indicar el valor de “c . d”, si “f” es suryectiva. A. 6 B. 7
9.
suryectiva, calcular: A. 2 B. 3
A. 0 B. 1
C. 5 D. 8
Sea g: [m; n] → [3; 5] tal que: g(x) =
x – 2. Si “g” es
n–m
I. f(x) = – x – 1, es inyectiva II. g(x) = (x – 3)2 + 2, es inyectiva III. h(x) = x3, es inyectiva C. V V F D. V V V
Si: x ∈ ]0; + ∞[; entonces la función f(x) =
1
, es x
C. V V F D. V V V
12. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? f: IR+ → [1; + ∞[, tal que: f(x) = x2 + 1; es inyectiva g: IR+ → [1; + ∞[, tal que: g(x) = x + 1; es inyectiva 4 x+1 III. h: ]3; 7[ → ] ; 2[ tal que: h(x) = ; es inyectiva 3 x–1 I. II.
A. I B. II
A. 5 B. 8
19. Dada la función suryectiva: f: [–1; 2] → B; tal que f(x) = x2 + 1. Calcular: a + b; si: B = [a; b].
C. I y II D. Todas
C. 2 D. 3
14. Sea la función f: [1; 3] → [–13; 3], tal que: f(x) = ax2 + b. (a < 0). Calcular “a + b”, si “f” es biyectiva. A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
4x 15. Sea f: IR → B tal que: f(x) = 2 . Determina “B”, de x +4 manera que “f” sea suryectiva. A. [–1; 1] B. [–1; 3]
C. [1; 2] D. [1; 4]
16. Sea la función g: [a; 2] → [b; 46] tal que: g(x) = x2 – 4x + 1. Calcular el valor de “a + b”, si “g” es biyectiva. A. –10 B. –9
66
C. –8 D. –5
C. 6 D. 8
A. 9 B. 20
C. 23 D. 25
21. Sea f: [8; a] → [b; 60]; tal que f(x) = x2 – 12x + 32. Hallar “a + b” para que “f” sea biyectiva. A. 14 B. 13
C. 15 D. 18
22. Si la función f: [–2; 3[ → [m; n[; definida por: f(x) = 2x2 – 4; es suryectiva, calcular: “m + n”. A. 9 B. 10
C. 12 D. 13
23. Calcular “a + b” para que g: [a; b] → [–1; 5[; sea biyectiva si g(x) = 3 x – 1. A. 100 B. 105
C. 126 D. 135
24. Si la función f: [–3; 6[ → [3a; b + 3]; tal que “f” es sobreyectiva.
13. Indicar el valor de “ab”; para que la función f: [a; 2] → [2; b] tal que: f(x) = (x – 1)2 + 2 sea biyectiva A. 4 B. 1
C. 9 D. 10
20. Dada la función biyectiva: f: ]–1; 2[ → ]m; m + n[; tal que f(x) = x2 + 4x + 9, calcular: “n – m”.
inyectiva x–3 II. g(x) = ; es inyectiva x+1 III. f(x) = –x + 2; es inyectiva A. F V F B. F V V
18. Hallar el valor de x2 + y2, si la siguiente función es inyectiva:
A. 4 B. 5
11. indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.
C. –1 D. 2
f = {(5; –1), (–3; 2), (2x – y; –1), (y – x; 2)}
C. 4 D. 5
10. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
A. V F V B. F V V
x 17. Sea f: IR → [a; b] tal que: f(x) = 2 . Indicar “b – a”, si x +1 “f” es suryectiva.
f(x) =
–x2; – 3 ≤ x ≤ 2 2x – 4; 2 < x ≤ 6
Calcular: ab A. 10 B. –10
C. –5 D. –15
25. Si la función f: [a; b] → [m; n]; es biyectiva tal que: f(x) =
(x – 2)2; – 5 ≤ x < 2 – x – 2; 2 ≤ x ≤ 6
Calcular: m + n A. 38 B. 40
C. 47 D. 50
26. Sea la función f: ]–2; +∞[ → B; tal que: 6x 7 – ;–2 1, determinar los valores que puede tomar “x”. A. [1; 2] 12 B. ;2 7
12 ;2 7 D. D. [1; 2[ C.
12. Sea “P(x)” un polinomio cúbico que cumple las siguientes condiciones: I.
P(–x) = – P(x), para cualquier “x” 1
II. P(x) = x4P x para cualquier “x” diferente de cero III. P(1) = 4 Determinar “P(x)”. A. x3 + 3x2 + 1 B. 2x3 + 3x2 – x + 3 13. Si el binomio: P(x) =
C. 4x3 – 2x2 – x + 4 D. 2x3 + 2x a
xa + b +
b
xb + c es homogé-
neo de grado 10; ¿de qué grado será el monomio: P(x) =
a
xb .
a
xc ?
A. 18 B. 81
C. 90 D. 19
14. Si: P(3x + 1) = 15x – 4; hallar: P(2x + 3). A. 10x + 6 B. 10x + 8
C. 10x D. 5x 5
15. Hallar el valor de “x” en: 3 A. 4 B. 6
4
1 16 8
=
30
2x – 45
C. 9 D. 8
16. Un polinomio de grado 4 tiene solo dos términos. Se sabe que el coeficiente del término de mayor grado es igual a 1 y que P(x) nunca toma valor cero. Hallar: P(3) – P(2). A. 1 B. 0
C. 15 D. 65
69
Ciclo
Católica
17. Si se cumple que: x4 + y4 = xy3 + x3y, con: x ≠ y; hallar el 3 x x valor de: M = + – 1 y y A. 0 B. – 1
C. 1 D. – 8
18. Un polinomio de segundo grado, de variable x, se anula para los valores de: x = 4 y x = 3. Si la suma de coeficientes del polinomio es 18; hallar el valor numérico del polinomio para x = 2. A. 10 B. 6
C. 4 D. 8
19. Factorizar: P(x; z) = [(x + z)(x – z) + 1]2 – 4x2; e indique el número de factores primos A. 2 B. 5 20. Si:
C. 4 D. 3
b2 a2 + c2 = a + c – b; hallar: E = 2 2b a + c2
A. 1 B. 2
1 2 1 D. 4 C.
21. Dos tanques iguales tienen un desagüe cada uno desaloja todo su contenido en 8 horas y 6 horas respectivamente. Estando llenos ambos tanques se abren los desagües. ¿Después de cuánto tiempo el volumen de líquido en uno de ellos será el triple que el del otro? A. 5 h B.
21 4
26 C. 5 16 D. 3
22. Dos caños llenan un depósito en 20 horas. Si el segundo caño, que llena el depósito en más tiempo, fuera desagüe, el depósito tardaría en llenarse 52 horas. ¿En qué tiempo llena el depósito el segundo caño?. A. 65 h B. 50
C. 100 D. 70
23. Son más de las 2:00 p.m. sin ser las 3:00 p.m. de esta tarde, pero dentro de 40 minutos faltará para las 4:00 p.m. el mismo tiempo que han transcurrido desde la 1:00 p.m. hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es? A. 2:20 p.m. B. 2:30 p.m.
C. 2:10 p.m. D. 2:40 p.m.
24. Factorizar: E = x3 + xy2 + x2(y + z) + xy(x + z); e indique uno de sus factores. A. y B. x + y + z
C. x + z D. y + z
25. Si: (a + b)3 = a3 + b3 donde: ab ≠ 0, determinar el equi(a + b)5 + a5 + b5 valente reducido de: (a + b)6 + a6 + b6 A. – 1 B. 10
70
C. C. 0 D. D. 2
26. Resolver: x2 + 2x + 2 x2 + 8x + 20 x2 + 4x + 6 x2 + 6x + 12 + = + x+1 x+4 x+2 x+3 A. {2: 0} 1 B. 3; – 5
C.
5 – ;0 2
D. {6; 0}
27. Se tiene la ecuación cuadrática: x2 – px + 6 = 0 con raíces: 1 1 x1 ∧ x2, se cumple: 2 + 2 = 13. Calcular “P” (P > 0) x1 x2 36 A. 6 B. 2 28. Resolver:
xy + x + y = 23 xz + x + z = 41 yz + y + z = 27
C. 1 D. 5
y obtener: xyz; (x, y, z > 0) A. 24 B. 30
C. 60 D. 90
29. En base a la ecuación cuadrática en “x”: bx2 – (b2 + a)x + b(a – c2) = 0; {a; b; c} ∈
.
Dar el valor de verdad de: I. Sus raíces son reales. II. Sus raíces pueden ser iguales. III. Sus raíces son imaginarias. A. V F V B. V F F
C. F V V D. V V F
30. Si al factorizar: x 3 – 2x 2 – 25x + 50; se obtiene (x + a)(x + b)(x + c), donde: bc > 0; hallar: ac + ab. A. 25 B. 35 31. Si: 28
–27–1/3
C. – 35 D. – 25 –1
= 4x ; hallar “x”.
1 2 B. 1 A.
C. 2 D. 4
32. Si: a(x + 1)2 + b(x – 1)2 + c(x2 – 1) = x2 + 2x + 5; hallar: a + b. A. 3 B. 1
C. 2 D. 0
33. En el mes de agosto, Luisa sumó a los años que tiene los meses que ha vivido, obteniéndose como resultado 147. ¿En qué mes nació Luisa? A. Febrero B. Abril
C. Marzo D. Mayo
34. Si “x” personas pagan en partes iguales un auto que vale “p” soles y se sabe que si hubieran ido “a” personas, cada una de las restantes habría pagado “b” soles más, ¿cuál de las siguientes ecuaciones sirve para hallar el número de personas original? A. bx2 – abx – ap = 0 B. bx2 + abx + ap = 0
C. bx2 – abx + ap = 0 D. bx2 + abx – ap = 0
TRILCE Católica
Álgebra 35. Calcular el valor de “n”, si dado: P(x) = nx + 3; se verifica: P(x) + P(2x) + P(3x) = 30x + m. A. 1 B. 4
2.
36. Reduce: Q =
+
m–n
3.
m–n n 6 9
3m + n
A. 4 B. 5 3x; hallar:
A. 1 B. – 1
3(2 +
2x5 3) 1 + 10 x +1
4.
C. 11 D. 12
3 2 B. 2 5.
y
40. Calcular el valor de “m” si el sistema es indeterminado.
C. 0 D. 1
x2 + (a + b)x + 3 x2 + (c + d)x + 4 41. Resolver para “x” en: 2 = x + (a + b)x + 1 x2 + (c + d)x + 2 1 a–c si: ≠ 1. Dar el valor de: E = x d–b C. a + b – c – d D. 1
A B C 5x2 – 3 42. De la igualdad: = + + x(x + 1)(x – 1) 3 x + 1 x – 1 Calcular el valor de: A + B – 2C C. 2 D. 3
Tarea domiciliaria 1.
Simplificar:
TRILCE Católica
C. 12 D. 0 2; xy = 3, entonces hallar:
C. 0 4 D. – 3
7.
C. 2x D. 2(a + x)
Si: x = 5 + xy, y = 2 + xy; hallar: x6 – 9x2y2 – y6 A. 9 B. 3
9.
C. (x – 1)3(x + 1)2 D. (x – 1)4(x + 1)
Factorizar: ax(ax – 2) – (x2 – 1) + a(2x – a), y señala la suma algebraica de sus factores. A. 2a B. a + x
8.
C. 3a – c + 2 D. 5a + 5b
C. 18 D. 27
Un traficante compra 30 pinturas a $ 1050 cada una. Le robaron unas cuantas y vendió las restantes con un aumento de tantas veces $ 42 como pinturas le robaron. Si al final no tuvo pérdida ni ganancia, ¿cuántas pinturas le robaron? A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
10. Enrique cancela una deuda con 28 billetes de S/ 10 y S/ 5. ¿Cuánto dinero pagó con billetes de S/ 10, si el monto de la deuda fue de S/ 200? A. S/ 75 B. 100
C. 150 D. 120
11. Resolver en”x” e “y”: ax + y = b2 + a ; x + by = b3 + 1
(a + b)(a3 – b3) + (a – b)(a3 + b3) a 4b 4
A. 4 B. 1
a2 b2 + b a
Factorizar: x5 – x4 – 2x3 + 2x2 + x – 1 A. (x – 1)2(x + 1)3 B. (x – 1)(x + 1)4
(m – 1)x + (m + 1)y = 2(m2 – 1) (m2 – 1)x + (m2 + 1)y = 2(m3 – 1)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
La suma de los factores primos en:
A. 3a + 2b + 3 B. 3b + 2a
C. 90 D. 96
A. 0 B. ab + dc
+ y2 – 2z2
(a2 – c2 + 2a – 2c)2 – (a + c + 2)2 es:
6.
4x + 9y – 12 xy = 7
A. – 1 B. – 2
Si sabemos que: x + y =
A.
39. Halla el valor de “y” en el sistema (x > y)
A. 25 B. 49
= 0; hallar:
x2
P = xy – 1 + yx – 1
38. En la agencia de investigación han de resolver cierto número de misiones pero disponemos de un número de agentes tal que, si encargamos una misión a cada agente sobran “x” misiones; pero si damos “x” misiones a cada agente se quedan “x” agentes sin misión. Si agentes y misiones suman menos de 15, indique cuántos agentes y misiones son en total.
x + y – 2 xy =
z)2
Si: a + b = 6; a2 + b2 = 12; hallar: 35 6 3 B. 2
C. 0 D. 2
A. 15 B. 14
+ (x –
A.
C. 6 D. 7
37. Si: x2 + 1 =
+ (y –
z)2
A. 0 B. 1
C. 3 D. 5 m–n m 9
Si: (x –
y)2
C. 2 D. a2 + b2
e indicar la suma de las soluciones A. b2 – 1 B. b2 + a
C. 1 + b2 D. a2 + 1
71
Ciclo
Católica
OO
En una empresa transnacional el obrero que recién ingresa cobra $ 450 y el obrero con cinco años de antigüedad recibe un sueldo de $ 560. Asumiendo que el sueldo del obrero es lineal en función de la antigüedad.
12. Hallar la regla de correspondencia de dicha función. A. f(x) = 22x – 450 B. f(x) = 10x + 250
C. f(x) = 22x + 450 D. f(x) = 10x – 250
13. ¿Cuánto cobrará alguien con siete años de antigüedad? A. $ 712 B. 604
C. 768 D. 624
14. Rosa tiene 60 años. Su edad es el triple de la edad que tenía Elena cuando Rosa tenía la cuarta parte de la edad que tiene Elena. ¿Cuál es la edad actual de Elena? A. 64 B. 32
C. 16 D. 8
15. Ernesto decide entrar al mundo de los negocios y compra un lote de camisas a $ 7,5 c/u, regalándole 4 por cada 19 que compre y recibiendo en total 391 camisas. Él, a su vez, decide venderlas a $ 10 c/u, ofreciendo regalar 3 por cada 14 camisas que le compren. Si al final no le quedó ninguna camisa, ¿cuál fue su ganancia en esta, su primera experiencia como negociante? A. $ 977,5 B. 799,5
C. 797,5 D. 77,5
16. Hallar “x” en: xx – 1 =
2 1 2
A. 1
C.
B. – 1
D. –
1 2
17. Simplificar: F =
z3(x – y)3 + x3(y – z)3 + y3(z – x)3 (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
A. xyz B. xy/z
C. x2 D. z/xy
18. Dado el polinomio: P(x; y) = 6xm – 2yn + 5 + 3xm – 3yn + 7xm – 1yn + 6 halla “m” y “n”, respectivamente, si el grado absoluto es 17 y el grado relativo a “x” es 6. A. 2 y 3 B. 5 y 7
C. 3 y 9 D. 7 y 5
19. Si: xx = b + 1; simplificar: E = A. b + 1 B. x
20. Resolver el sistema:
x+1 xx
(b + 1)
x(b + 1)
C. 2x D. xx + 1 x + 2 x + y + z = 18 y – 3 x + y + z = –5 z–
x+y+z=2
e indicar el valor de: x . y . z A. 140 B. 280
72
C. 560 D. 240
TRILCE Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 18
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
REPASO III 6.
Problemas para la clase 1.
José le pregunta a su hermano: “¿Cuántas figuritas tienes” y su hermano le contesta: “Tengo tantas decenas de figuritas como el número de docenas, más cuatro”. ¿Cuál es la suma de cifras de la cantidad de figuritas que tiene el hermano de José? A. 5 B. 8
2.
A. 17 B. 8 3.
7.
La madre de Carla tiene el triple de la edad que tenía Carla, cuando ella tenía la edad que tiene Carla hoy. Cuando Carla tenga la edad que tiene su madre, la suma de sus edades será de 140 años. Hallar el producto de sus edades. C. 2400 D. 1800
Relaciona la gráfica con su regla de correspondencia.
C. 8680 D. 8700
La utilidad de una empresa, en miles de soles, está dada por la siguiente expresión: u(x) = – x2 + 26x – 70. Donde “x” representa la cantidad de unidades producidas y vendidas. Determinar cuál es la mayor cantidad de unidades que se deben producir y vender para tener una utilidad de 50 mil soles. A. 20 B. 3
8.
C. 14 D. 17
En la función: f(x) = – x2 + x – 2; hallar el siguiente conjunto: A = {x ∈ ZZ / f(x – 1) ≤ f(x) < f(x + 1)}
C. 16 D. 10
A. 1200 B. 2000 4.
A. $9210 B. 8430
C. 9 D. 6
Andrés ha anotado 20 goles en 150 partidos de fútbol. Si en los siguientes partidos que jugará él anota dos goles por partido, ¿en cuántos partidos más el número total de goles anotados por Andrés será la cuarta parte del número de partidos jugados?
¿Cuál es la máxima utilidad que podría obtener?
C. ZZ+0 D. ZZ–
A. {0; 1} B. {1} 9.
Si la función está definida por f(x) = – 2x2 + 16x – 16; 1 ≤ x < 5, hallar: Ran(f) – Dom(f) A. [5; 16] B. [– 2; 1[ U [5; 16]
C. [ – 2; 5[ D. [1; 16[
10. Dada la función “f”: f(x) = (a – b)x3 + (c – d)x2 + (b – c)x + (a – d);
a.
b.
c.
si: f(0) = 0; f(1) = 0; f(2) = 0; hallar: a – b. A. 12 B. 6
C. 18 D. 2
11. Dada la siguiente gráfica: I. f(x) = 3(x – 1)2 – 1 II. f(x) = – 2(x – 1)2 + 2 III. f(x) = 2(x – 1)2 – 2 A. aI, bII, cIII B. aI, bIII, cII
6 4 3
C. aIII, bI, cII D. aIII, bII, cI
–6
ENUNCIADO 1 (PREGUNTAS 5 Y 6) OO
q2 + 60q – 300; (en dólares) 10
–2
2
4
6
–3
La utilidad que obtiene una empresa en la producción y comercialización de “q” unidades de un producto es: U=
5.
–4
2
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F), respectivamente:
¿Cuántas unidades debo producir y vender para ganar $3860?
I.
f(– 2) = 2
III. f(2) . f(–3) = 8
II.
f(2).f(5) < 0
IV. f(6) = f(f(– 3)) + 2
A. 60 o 540 B. 80 o 520
A. F V F V B. F V V V
TRILCE Católica
C. 70 o 530 D. 90 o 510
C. F V V F D. V F F F
73
Ciclo
Católica
12. Del problema 11, el dominio de la función es: A. B. C. D.
]– 6; 6] ]– 6; 6] – {– 4; – 2; 0; 2} ]– 6; 6] – { – 4; – 2; 0} ]– 6; 6] – {– 4; – 2; 0; 2; 6}
13. Del problema 11, el rango de la función es: A. ]– 3; 6] B. [– 3; 6] – {2}
C. [ – 3; 6] – {2; 3} D. [ – 3; 6]
14. Se tienen dos velas de igual tamaño que tienen una duración de 4 y 3 horas, respectivamente. Si las velas se encienden simultáneamente, ¿al cabo de cuánto tiempo el tamaño de una de ellas será el doble de la otra? A. 2 h 24 min B. 2 h 30 min
C. 2 h 48 min D. 2 h 12 min
15. La raíz cuadrada de la suma del cuádruple de un número con 4 es igual a la suma de dos con la raíz cuadrada del doble del número. Si el número es positivo, hallar la raíz cúbica del número. A. 4 B. 0
C. 2 D. 8
Determinar el valor de verdad de los enunciados siguientes: I. m ∈ ]– 2; – 1[ II. No existe “m” real. III. Existen dos valores enteros de “m”. C. F F V D. V F V
17. Si “f” y “g” son dos funciones afines tales que: f(2) = 8; g(1) = 2 y f(g(2)) = 14; hallar: f(g(3)). A. 14 B. 16
C. 18 D. 20
18. Sea “f” una función definida por la ecuación: f –f f(x + 1) = 3x + 9; hallar: (x + h) (x – h) f(f(2)) h 3 h B. 6 A.
h 7 D. h C.
19. Si la ecuación del gráfico es: y = ax2 + bx + c; a ≠ 0. ¿Cuál de los siguientes enunciados son correctos?
B. –
21. Se muestra la gráfica de una parábola y una recta que se interceptan en un solo punto, determinar el valor de: E = a + b + c + m + n + p y = ax2 + bx + c
A. B. C. D.
y = mx + n
–5 –1 1 2
2
(a; p)
–5
22. Dadas las funciones “f” y “g” de variable real, tales que:
entonces: Ran(f) ∩ Ran(g), es: A. B.
12 3 2 13 ; 3 4 2;
C. D.
2 13 ; 3 2 1 13 ; 2 4
23. Sea la función f: R → R, tal que: f(ax + b) = a2x2 + 2abx + 1 f(bx – a) = 9x2 – bx + c Determinar el valor de: E = 6 31 18 B. 283 A.
ab ; a > 0; b > 0. c 6 31 18 D. – 283 C. –
24. Si “f” es una función constante: f = {(ab; a – b), (a + b; b); (a; 1), (3b; a – 1)}, determinar: E = a2 + b2 A. 2 B. 4
E=
74
513 5
C. 5 D. 9
25. Si f: R → R; es una función constante no nula, calcular el valor de:
I. c > 0 ∧ ∆ > 0 II. ∆ < 0 ∧ b > 0 III. ∆ < 0 ∧ a.b.c < 0
A. Solo III B. Solo II
20 3 46 D. – 3 C. –
A. 4
f(x) = – x2 + 3x + 1 g(x) = 3x2 + 2x + 1
16. Sean: g(x) = x + m f(x) = x2 + 1 g(f(m – 2)) = f(g(5))
A. V F F B. V V F
2 20. La gráfica de la función: f(x) = x2 + bx + c, intercepta al 3 eje x en los puntos (– 2; 0) y (5; 0) y al eje y en el punto (0; k). Determinar el valor de: E = b + c + k
C. I y II D. Todas
f(f(7)) + 4f(2000) 3f(4) + 17(f(f(–2)))
A. 4 B. 5
1 4 D. 8 C.
TRILCE Católica
Álgebra x5
26. Sea: P(x) = – ax + b; un polinomio con coeficientes naturales. Si “P(x)” es divisible por (x – c)2, siendo “a” el menor valor posible, hallar “a.b.c” A. 7 B. 10
C. 18 D. 20
27. El valor mínimo del trinomio: y = 2x2 + bx + p, ocurre para x = 3. Sabiendo que uno de los valores de “x” que anulan ese trinomio es el doble del otro, dar el valor de “p”. A. 32 B. 64
4.
5.
1 1 1 1 + + + = 0; siendo: b ≠ ±a ∧ b ≠ ±c b+a b–a b+c b–c
a2 + c2 calcular: b2
T=a+b+m+n+p+q y
A. B. C. D.
6.
Artículo
Precio de venta unitario ($)
Costo por “x” unidades ($)
Chip tx4
200 – 3x
650 + 5x
7.
8.
Si “f” es una función definida por: f(x) = mx + n, cuya gráfica pasa por el punto (– 2; – 1) y es tangente a la gráfica de la función “g”; g(x) = – x2 + 3. Calcular: E = m.n
3.
C. 60 D. 40
En una conferencia el número de varones es al de damas como 7 es a 5; si el exceso del número de varones respecto al de damas es un número de dos cifras consecutivas, ¿hallar el máximo número de damas que pudieron asistir a la conferencia? A. 85 B. 140
TRILCE Católica
C. 170 D. 245
p
q
x
9.
C. 31 D. – 25
C. 30 D. 40
Los obreros, “A” y “B” trabajaron el mismo número de días. Si “A” hubiese trabajado un día menos y “B” 7 días menos, entonces “A” habría ganado $ 72,00 y “B” $64,80. Si al contrario “A” hubiese trabajado 7 días menos y “B” un día menos, “B” habría ganado $32, 40 más que “A”. ¿Cuánto suman sus sueldos diarios, si estos son distintos? A. 4,8 B. 6,6
C. 28 D. 30
Hallar los puntos de la parábola: y = x2 + 2x + 25, en los que las rectas tangentes a dicha parábola pasan por el origen. Dar como respuesta la suma de las coordenadas de dichos puntos. A. 100 B. 80
n
Un tesorero tiene que repartir en partes iguales $480 000 de utilidades de una compañía entre sus socios, pero al hacerlo no va a considerar a 20 socios que ya se habían retirado. Luego de hacer la rectificación cada uno de los socios activos recibirá $4000 más. ¿Cuántos socios tiene actualmente la compañía? A. 20 B. 25
C. 30 a 34 D. 30 a 35
Tarea domiciliaria
2.
m
→ ; f(x) = – x2 + 3x + 1; → ; g(x) = 3x2 + 2x + 1
A. 30 B. 35
¿Cuántas unidades de este artículo deberán venderse para que la utilidad no sea menor a $2500?
A. 24 B. 26
(a; b)
Si: Ranf ∩ Rang = [a; b]; entonces, hallar: E = 12(b – a)
30. El siguiente cuadro muestra la información de uno de los artículos ofrecidos por la empresa PCSA.
1.
8 12 15 17
Dadas las funciones: f: g:
C. 4 D. 5
A. 31 a 34 B. 31 a 35
Dadas las funciones:
cuyos gráficos se muestran, determinar el valor de:
C. 30 D. 50
A. 2 B. 3
C. 2 D. 3
f(x) = x2 + 2x – 3 g(x) = x2 – 10x + 21
28. Poncho compra tantos polos como el doble del costo de cada uno de ellos, pierde la cuarta parte del total y el resto las vende en 10 soles más que el valor del costo de cada uno de los polos. Calcular la cantidad total de polos de tal forma que la utilidad sea máxima.
29. Si:
Si las raíces de la ecuación en “x”: – 3x + m + 1 = 0 son complejas, determinar el mínimo valor entero de “m”. A. 1 B. 0
C. 16 D. 128
A. 10 B. 15
x2
C. 5 D. 7,2
Una máquina nueva produce en 60 min cierto número de artículos, y una máquina usada demora 80 min para producir cuatro artículos menos. ¿Cuántos artículos produce la máquina antigua en 40 min si en producir cada uno de los artículos demora 2 minutos más que la nueva? A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
10. Se tiene la siguiente relación lineal: y = ax + b. Si al aumentar la variable “x” en 5 unidades, la variable “y” aumenta en 7,5. Además, para el valor de x = 3, y vale 7,5. Hallar la relación lineal. A. y = 2,5x + 1,5 B. y = 1,5x + 2,5
C. y = 2,5x + 3 D. y = 1,5x + 3
75
Ciclo
Católica
11. ¿A qué función cuadrática corresponde la siguiente gráfica? y
I. f(– 5; 9) . f(–2) < 0 II. f(8) = 5 III. f(5) = f(11)
(1; 4)
(0; 2)
A. V V V B. V F V x
A. f(x) = – 2x2 – 4x – 2 B. f(x) = – x2 + 2x + 2
C. f(x) = – 2x2 + 4x + 4 D. f(x) = – 2x2 + 4x + 2
A. 20 B. 11
C. 29 D. 29 000
En las preguntas del 27 al 30 utiliza la gráfica de la función “f”.
5 5 –6
A. 10 B. 14
–3 –2
8
–4
11 f
C. 0 D. 5
17. Un grupo de amigos decide comprar un microbús valorizado en $12 000. Si el dinero que tiene que aportar cada uno de ellos excede en 988 al número de contribuyentes, ¿cuántos de ellos hicieron la compra? A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
18. Dos mecánicos trabajando juntos pueden reparar un tranvía en 12 horas. El primero de ellos trabajando solo puede hacer el trabajo en 10 menos que el segundo. ¿En cuántas horas reparará 2 tranvías, trabajando solo, el segundo de ellos? A. 24 h B. 48
8
–9
C. F V V D. F F V
16. Determina: 3f(–5)
12. La utilidad de producir y vender “x” cientos de artículos es una función cuadrática U(x) (en miles de soles). Cuando se producen y se venden 400 artículos se obtiene una utilidad máxima de 29 000 soles, si no se produce ningún artículo se pierde 3000 soles, halle la suma de coeficientes de “U(x)”.
OO
15. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:
C. 32 D. 60
19. Un terreno rectangular mide 40 m de largo por 26 m de ancho. Si se aumentan sus dimensiones en una misma cantidad de modo que el área aumenta en 432 m2, determinar el nuevo ancho del terreno. A. 30 m B. 32
C. 31 D. 33
20. De las gráficas, determinar el valor de: E = a + h + k 13. Determinar el dominio de la función “f”. A. [– 9; 11] – {8} B. [– 9; 11]
y = x2
C. [– 9; +∞[ – {8} D. [– 9; +∞[
V y = ax2 – 2ahx + ah2 + k
14. Determinar el rango de la función “f”. A. [– 4; 8] – {5} B. ]– ∞; 8] – {5}
(3; 0)
C. [– 4; 8] D. ]–∞; 8]
y=–x+2
A. – B.
76
7 4
7 4
C. – D.
1 4
1 4
TRILCE Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 19
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
LEYES DE EXPONENTES Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación.
Nota: OO
bn ≠ bn . m
POTENCIACIÓN
4.
Potencia de una multiplicación.
Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otras expresiones llamadas base y exponente. Notación:
m
(ab)n = anbn 5.
Potencia de una división.
a: base n: exponente P: potencia
xn = P
a n an = n ,b≠0 b b
Definiciones
Nota:
EXPONENTE NATURAL
OO
an
a; si n = 1 a . a … a; si n ≥ 2 14243 “n” veces
=
EXPONENTE CERO
bm
a0 = 1
00 no está determinado.
n
b=r⇔
rn
m
a–n
1n
1 = n= a a
x
= by = z
n: Índice (n ≤ 2; n ∈ N) b: Radicando r: Raíz n-ésima principal de “b”
=b
m
se define: a n = n am
Si a n existe en
Teoremas:
NOTA:
Si
0–n no existe
1.
TEOREMAS:
n
ay
n
b existen, entonces se cumple:
Raíz de una multiplicación: n
Sean “a” y “b” números reales y “m”, “n” enteros positivos, entonces se cumple: Multiplicación de bases iguales.
2.
n
División de bases iguales. am an
= am – n a ≠ 0
Potencia de potencia. (bm)n = bm.n = (bn)m
TRILCE Católica
n
3.
ab =
n
n a. b
Raíz de una división:
an . am = am + n
3.
m
EXPONENTE FRACCIONARIO:
Si: a ≠ 0 ∧ n ∈ N, se define:
2.
=b
Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo.
EXPONENTE NEGATIVO
1.
p
Es una operación matemática que consiste en hacer corresponder dos números llamados índice y radicando con un tercer número llamado raíz, el cual es único, según:
NOTA:
OO
n
Radicación en IR
Si: a ≠ 0 se define:
OO
Si “b” es un número real y m, n, p son enteros, entonces:
a = n b ; si b ≠ 0 b a
Raíz de una radicación:
Nota: m OO
OO
m
n
p
a
b
q
aa bb cq = am . bm . n. cm . n . p n
aa ab =
m . n an + b a
77
Ciclo
Católica 7x + 21x –4 y 15y – 25y –3 12. Reducir: E = x + 21x + 63x 75y – 125y
Problemas para la clase 1.
0
Calcular: M = 30 + 50 – 71 + 57 A. 0 B. 2
2.
C. 1 D. 3
Simplificar: E = (– 23)2 + (– 22)3 A. 27 B. 212
3.
C. 0 D. 26
Señala el exponente de “x” luego de reducir: M = x2
–14
. (x2)
–16
Efectuar:
C. – 1 D. 2 –2
x3 x–5
–1
. x–2
80
. x–4
2
. x–3 . x–1
A. 1 B. x32 5.
6.
Reducir: E =
3m + 4 . 9m + 2n 27m – 2 . 81n + 2
16–m . 2–6 . 42 (22)
–2m
. 23 . 16–1 1 2 D. 2m C.
1 –4–2 64
78
C. 1 D. 4
16. Simplificar: W =
5(2x + 2) – 2x + 4 + 6(2x – 1) 2x + 5 – 15(2x) – 2(2x + 3) C. 6 D. 8
17. Si: ab = 1; calcular el valor de:
C. 4 D. 8 –3 (–27)(–27)
+
1 –1 1–3
3
2
x–2x
+
1 –1 1–4
4
C. 380 D. 287
x
81 . 9x – 3 . 9x 18. Reducir: A = x 3 . (32x + 3) 27 26 26 B. 27
18 7 26 D. 15
A.
C.
19. Simplificar: P =
4
82 .
5
3
8.
A. 2 B. 16
A. x B. x2
87 C. 4 D. 8
3
x2 .
3
3 x2 .
x2
.
81 3 2 80 x
C. xx D. xx – 1
A. x B. x2 21. Simplificar:
–1
C. – 3 1 D. – 3 1 –1 – 2
C. b D. ab
20. Reducir: S =
–1
1 A. 3 B. 3
A. 180 B. 200
2n –1 . 8n + 2 – 16n + 1 (4n + 1)2
15. Simplificar: R =
A. 1 B. a
C. 9 1 D. 3
1 2
C. 5 D. 45
3
A. 1 B. 2
11. Sumar: K =
458 . 7511 . 2257 315 . 518
26
5
C. 2 D. 4
10. Simplificar: M =
14. Reducir: S =
M = (ab)a . (ba)b . [(aa)b]a . [(bb)a]a; a ≠ 0 ∧ b≠ 0
B. 2 Reducir: K =
C. 4 D. 16
2
A. 1
9.
A. 2 B. 8
4
(34) . (35)
Simplificar: E =
ab
13. Si: ab = bb = 2; hallar: bab .
A. 5 B. 7
(32) . (33)3
1 A. 9 B. 27 8.
–2
C. 15 D. 27
Simplificar: G =
C. 125 D. 200
A. 0 B. 2
38 210 Reducir: E = 5 + 3 3 4 . (–2)3
A. 1 B. 3 7.
2
C. x D. x–17
A. 10 B. 25
A. 81 B. 206
A. 75 B. 15
3
–1 . x2 ;x≠0
A. 0 B. 1 4.
0
40
x38 .
30
x58 .
50
x98 .
300
x600
C. xx D. x20
a2014 + b2014 22. Reducir: S = 2014 –2014 ; ab > 0 a + b–2014 A. ab a B. b
C.
b a
D. a + b
TRILCE Católica
Álgebra anbn + ancn + bncn 23. Reducir: S = n a–n + b–n + c–n A. anbncn B. a2b2c2
24. Simplificar:
3.
2 5 B. 2
C. abc D. an + bn + cn 1+
1 1 1 2 1+3 1+ 4
xn
1+
…
1 n–1
xn
25. Reducir: S =
4.
5.
2n + 5 – 9 . 32n + 1 n– 2 3 26. Después de simplificar: E = 24 . 3n + 4
se obtiene:
6.
7.
n
1
3x + 1 + 3x + 2 + 3x + 3 + 3x + 4 + 3x 28. Reducir: K = x – 1 3 + 3x – 2 + 3x – 3 + 3x – 4 + 3x C. 9 D. 81 2 2
2
A. 256 B. 4
K=
xn .
C. 16 D. 512
n
2 xn .
n
3
xn … (x4)
n
16
xn
n4
A. x6 B. x8
C. x12 D. x21
Tarea domiciliaria Simplificar: S = a3x + 2 . ax – 2 . a4 – 4x; a ≠ 0 A. a3 B. a2x 2.
Calcular: P =
x x x Si: xx = 4; hallar el valor de: E = xx + x
C. 4 D. 16
Simplificar: E =
1516 . 3311 . 7717 . 8413 . 1044 520 . 1430 . 3040 . 1128 C. 2 D. 4
C. a4 D. ax + 1 a6 . a8 . a10 ;a≠0 a5 . a9
A. a11 B. a9
TRILCE Católica
C. a10 D. a8
5x2a +
Reducir: E = a – b
3xa + b
5xa + b
+
A. 1 B. 2x 9.
Calcular: R = 649
–2–1
C. 2 D. 4
10. Reducir: P =
3
–1
642
–2
+ 162
A. 1 B. 3
1 –2–1 (–27)–3 64
–1
C. 2 D. 4 3
x2 .
3 9 x
x5 .
A. 1 B. x2 13. Reducir: E =
C. x D. x3 x. 4
x.
3 3
x. x.
4
x x C. x D. x3
3
x A. B. x2 14. Reducir: E = 8–27 A. 0,25 B. 0,5
–1
– 83
C. 2 D. 4
A. 1 1 B. 2 12. Simplificar:
3x2b
C. x x D. 2
11. Simplificar: E =
nn n n
1.
C. 9 D. 30
8 2 2 2
2
3m + 3m + 1 – 3m – 1 3m – 2
A. 1 B. 3
30. Simplificar; x ≠ 0 n
8.
C. 80 D. 150
29. Simplificar: K =
Reducir: E =
A. 1 B. 3
2n + 5 204n + 12 27. Calcular: E = n + 7 4 – 7(22n + 9)
A. 4 B. 27
C. 27 D. 8
A. 2 B. 8
C. 3 D. 9
A. 50 B. 200
3n + 3 – 3n + 1 3 . (3n – 1)
A. 33 B. 27
C. x4y3 D. x3y4
A. 3 1 B. 3
Simplificar: M = A. 3n B. 24
(x4)2 . (y3)2 . (x2)4 . (y3)3 (x2)4 . (y2)3 . (x2)2 . (y3)2
A. x4 B. y3
C. 1 5 D. 2
A.
C. x3 D. x4
A. B. x2
10m – 6m 25m – 15m
Reducir: P = m
–9–4
–0,5
C. 0,75 D. 2,5
79
Ciclo
Católica x3
15. Simplificar: P =
5 5 5
x3
;x≠0
18. Si: x1 = 2; x2 =
x3
Encuentra el valor de: E =
A. x1/5 B. x12/25
C. x63/125 D. x64/125 1 3
16. Efectuar: E =
–
1 –1 3
–
1 64
A. 2 B. 5
–3–1
+
1 4
C. 3 D. 6
–
11 12 2 4
A. 2 B. 8 19. Simplificar: E =
7
x.
1 2 1 B. 5 A.
80
3
x.
7
x.
3
20. Simplificar: S =
x…∞ 1 3 1 D. 7 C.
A. 1 B. 9
2 2 2; ...
(x4)2 . (x11)2 x3 . x10 C. 4 D. 16
m–1
8m + 8m
8m – 1 +
m–1
A. 1 B. 4
17. Señala el exponente final de “x” en: E=
2 2; x3 =
8
C. 2 D. 8 m+1 81 4
9.
.
9.
9m
1 3m
9–m C. 3 D. 18
TRILCE Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 20
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
POLINOMIOS En matemática, generalmente usamos símbolos para representar elementos arbitrarios de un conjunto. Por tanto, la notación x ∈ IR, significa que “x” es un número real, aunque no especifique un número real en particular. Un símbolo literal que se usa para representar cualquier elemento de un conjunto dado, se llama variable. Las últimas letras del alfabeto tales como: x, y, z, w, …, se emplean a menudo como variables. En cambio, el numeral que se utiliza para indicar un elemento fijo de un conjunto numérico se llama constante. En una expresión matemática las variables y constantes se diferencian al usar la notación matemática, lo cual consiste en indicar los símbolos que representan a las variables dentro de un paréntesis.
POLINOMIO Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables están afectadas solo de exponentes enteros positivos. Ejemplos: OO
P(x; y) = 5x3y7 → (monomio)
OO
R(x; z) = 2x2z + 5z5 → (binomio)
OO
F(x) = 3 – 5x + 3x2 → (trinomio)
GRADO DE UN MONOMIO
Ejemplo:
A. Grado Relativo
E(x; y; z) = 5x + 3ay2 + 2bz3 OO
Las variables son: __________
Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable.
OO
Las constantes son: _________
Ejemplo:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Sea: P(x; y; z) = 5x5y3z
Es un conjunto de letras y números donde las variables están relacionadas con cualquiera de las 6 operaciones aritméticas n (+; –; ÷; ×; ()n; ); en un número limitado de veces. Ejemplos: OO
OO OO
OO
GR(x) =
OO
GR(y) =
GR(z) =
B. Grado Absoluto Es la suma de los grados relativos.
E(x) = x3 – 2x + 3 x 2xy + 3x E(x, y) = y–1 Q(x) = x4 – seny
OO
P(x) = x2 + x2 + senx
Ejemplo:
OO
R(x) = 1 + x + x2 + x3 …
Sea: R(x; y; z) = 2x4y5z3
OO
G(x) = x2 + 2x
OO
GA =
TÉRMINO ALGEBRAICO
GRADO DE UN POLINOMIO
Es una expresión algebraica donde no están presente las operaciones de adición y sustracción.
A. Grado Relativo
Ejemplo: M(x, y) = – 4x5y3 Coeficiente
Exponentes Variables
TÉRMINOS SEMEJANTES
Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada término. Ejemplo: Sea: P(x, y) = 3x3y5 – 7x2y9 + 5x7 OO
Dos o más términos serán semejantes si los exponentes de las respectivas variables son iguales. Ejemplos:
GR(x) =
OO
Es el mayor de los grados absolutos de cada término.
P(x; y) = 4x2y7 y Q(x; y) = – 2x2y7 →
Ejemplo:
OO
P(x; y) = 5x2y3 y S(x; y) = 2xy7 →
Si: F(x; y) = 2x2y3 – 7x6y + 4x4y4
4x3 2x3 M(x; y) = – 2 y N(x) = 2 → y y
TRILCE Católica
GR(y) =
B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)
OO
OO
OO
OO
GA =
81
Ciclo
Católica
POLINOMIO EN UNA VARIABLE
POLINOMIO COMPLETO
Un polinomio en una sola variable tiene la siguiente forma general:
Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el de grado cero.
P(x) = b0xn + b1xn – 1 + ... + bn – 1x + bn x: Variable de “P” b0, b1, …, bn: Coeficientes b0: Coeficiente principal (C. P.) bn: Término independiente (T. I.)
Ejemplos: OO
A(x) = 4x3 + 12x – 7x2 + 16
OO
B(x, y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Nota:
Nota:
Término independiente: (T. I.)
Si un polinomio tiene una sola variable y además es completo, entonces el número de términos será igual a su grado aumentado en una unidad.
T. I. (P) = bn = P(0) •Suma de coeficientes (Σ coef.)
Σcoef. (P) = b0 + b1 + … + bn = P(1)
VALOR NUMÉRICO (V. N.) Es el valor que se obtiene de una expresión al realizar las operaciones que en ella se indica, luego de haber asignado a sus variables, valores determinados. Ejemplo: Sea: P(x) =
Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad. Ejemplo: OO
+2 , hallar el V. N: de “P(2)”. x+1
POLINOMIO MÓNICO Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal 1 se le denomina mónico. Ejemplos:
P(x, y) = 123 3x3y12 + 123 23x8y7 – 123 15x15 – 123 13y15 Grado → 15
OO
2x2
POLINOMIOS ESPECIALES
15
15
15
R(x) = 123 7xy3 + 123 8x2y2 Grado → 4
4
Nota: Un polinomio en dos variables, si está ordenado decrecientemente respecto a una de ellas y si es homogéneo estará ordenado crecientemente respecto a la otra variable. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros.
x2
OO
A(x) = 1 +
OO
B(x) = 7 – 2x2 + x3
OO
POLINOMIO HOMOGÉNEO
+ 3x
Ejemplo: OO
C(x) = x
P(x) = (n – m)x2 + (p – q)x; si es idénticamente nulo: n–m=0⇒m=n
POLINOMIO ORDENADO
p–q=0⇒p=q
Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente.
POLINOMIOS IDÉNTICOS
Ejemplos:
Dos polinomios son idénticos si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales.
OO
OO
P(x) = 4x4 + 12x2 – 3x + 7
Ejemplo:
Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a “x”.
OO
q(x) = dx2 + ex + f
P(x, y, z) = 21xz4 – 34x5y2z + 41x7y4 Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a “x” e “y”, además es ordenado descendentemente respecto a “z”.
82
p(x) = ax2 + bx + c
OO
p(x) = q(x) si se cumple: a = d; b = e; c = f
TRILCE Católica
Álgebra 10. Si en el polinomio:
Problemas para la clase 1.
La suma de los monomios: (ax m y 7 z 3 ; bx m y n z a ) es (3ax5ynza). Hallar: a – b + m – n A. – 4 B. – 6
2.
C. – 5 D. 7
Dado el polinomio; hallar “mn” en: m 11 – n P(x; y) = 5x 5 ym – 10 + 7x13 – ny13 – m + 8xn – 9y 4 A. 132 B. 121
3.
C. 130 D. 140
Hallar “n”, si la expresión es de grado ocho: P(x) =
[(xn – 2)3 . x2n – 3]2 . x4 [(xn)2 . x4]2
A. 2 B. 3 4.
T(x) = 3
4
xn + 1
5.
6.
Dado: el polinomio: P(x) = (x – 3)3 + 2(x + 1)4 – (x – 2)2 + 6. Hallar la suma del término independiente y la suma decoeficientes. C. 6 D. 9
Dado: P(x) = (2x – 1)17 + (x – 1)15 + 2a + 3; si su término independiente es 5; hallar la suma de sus coeficientes. A. 2 B. 3
7.
C. 5 D. 8
P(x) = 4(x –
+ 3)(2x +
1)3(x
+ a) es 36,
hallar la suma de coeficientes de: Q(x) A. 3 B. 6 8.
x+1
2x + 1 y además: F(F(x)) = 3 el valor de: x–2 2 (x – 4)x – 5; es:
E =
A. 1 B. – 1 9.
= (6x – a)2 + (x – 1)7
C. 9 D. 12
Si: F(x) =
C. 2 D. No existe en IR
Hallar “m + n”, si el polinomio: P(x; y) =
4xm + 2yn – 4
+
4xmyn + 4
TRILCE Católica
C. 4 D. 5 3
A. 24 B. 34
C. 26 D. 30
C. 1 D. 10
14. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? P(x; y) = 2x3y – 3x2y2 es homogéneo. Si un polinomio está ordenado, también está completo. III. Dos polinomios son idénticos, si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales. IV. Se cumple que: P (0) = Suma de coeficientes y P (1) = Término independiente, I. II.
C. II, III y IV D. I y III
15. Hallar (a + b), sabiendo que: P(x; y) = xa – 2bya + b – 5xbya + 2b + 7xa – by8, es un polinomio homogéneo. A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
16. Si el polinomio: P(x; y) = 3 xm – 2yn – 1(x7 + y2n – 3), es un polinomio homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 16; hallar “mn”. A. 30 B. 20
C. 35 D. 41
17. Hallar “nm” si el polinomio: +
xm + 2yn + 3
Sea de grado absoluto igual a 16 y grado relativo a la variable “y”, igual a 8. A. 4 B. 9
A. 1 B. 2
A. Solo I B. I, II y III
Si el término independiente del polinomio: 1)2(x
11. Si al polinomio: P(x; y) = nxm – 1yp + 1 + mxm – 2yp + xn – 10, le restamos 14x2y3 su grado absoluto disminuye.¿Cuánto vale el G.R.(x)?
A. – 5 B. 5
C. 8 D. 5
A. – 4 B. – 8
C. 17 D. 21
13. En: P(x) = mx2 + 3x + 5n; n ∈ ZZ y m ∈ ZZ+. Además: P(a) = 3a; P(3) = – 7. Hallar “a”, si “a” es entero positivo.
; sea de grado 2.
A. 7 B. 6
A. 15 B. 16
5
Halle el valor de “n” para que la expresión: x3n
Se verifica que la relación entre los grados relativos de ‘‘x’’ e ‘‘y’’ es 2 y además que el menor exponente de ‘‘y’’ es 3; hallar su grado absoluto.
12. Si el grado de la expresión algebraica: 14x2 2x4 mx 3xm es 4; hallar “m”.
C. 4 D. 5
7 xn – 2
P(x, y) = 4xm + n – 2ym – 3 + 8xm + n + 5ym – 4 + 7xm + n – 6ym + 2
C. 12 D. 15
2 2 P(x, y) = 5xn – 4ny3 + 8xm – 6mym – 21 + 2x7y8
Es homogéneo, si: m; n ∈ N A. 54 B. 36
C. 56 D. 72
83
Ciclo
Católica
18. Se tiene: (a – 4)xy2 – (20 – b)x2y + ax2y ≡ 0. Determinar: ab A. 4 B. 8
C. 16 D. 64
27. Calcular el número de términos del siguiente polinomio completo y ordenado: P(x; y) = m(xm)6x5n + p + n(xm)4x6n + 4p + p(xm)5x4n + 5p + (xm)6x5n + … Si: m, n, p ∈
19. Si: “P(x)” es idénticamente nulo, hallar “a – b” en:
A. 81 B. 82
P(x – a) = b(x + 2) + a(x + 3) + 2 A. – 1 B. – 2
C. – 3 D. – 4
P(x) = (x2 + x + 3)(a – b) + (x2 + x + 4)(b – c) + (x2 + x + 5)(c – a) es idénticamente nulo, el valor de [(b + c) ÷ a] es: C. 2 D. – 2
A. 19 B. 13
A. 2n + m = 3 B. n2 – m = 3
ax4 + 6ax3 + (bx + 1)2 ≡ 4x4 + 6ax3 + 25x2 – 10x + 1; el valor de (a + b) es:
22. Si el polinomio: el valor de (2m – 3n). A. 0 B. 1
+
5x3y3)
P(x) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m – x2 + 4; m ∈ IN.
A. – 5 B. 5
1.
C. 3 D. 2 2.
(x + 1)[A(x + 2) + B(x – 2) – 3x] + 15x ≡ (x – 2)[3x + C(x + 2)]
C. 22 D. 23
3.
4 (2a)6x2n + 1
b8xn
4c2x3n – 4
4.
26. Si “P(x)” y “Q(x)” son polinomios de primer grado con coeficientes naturales, determinar:
A. 100 B. 105
84
C. 110 D. 115
Si: P(2) = 4, calcular el valor de “a”, donde:
A. 1 B. – 2
; es
C. 3 D. 8
Q[P(4)]; conociendo: Q(4) = 19; P[Q(x) – 3] = 20x + 8
C. 11 D. 13
P(x) = (a – 1)x2 + ax + a + 1
de grado 3. A. 2 B. 12
C. 3 D. 5
Si los términos: A = mxm + 3; B = (m + 2)x3m – 7; se pueden reducir a uno solo; señalar la suma de sus coeficientes. A. 10 B. 12
Se verifica para todo “x”.
25. Hallar el valor de “n”, si: T(x) = 3
Los dos términos siguientes son semejantes: 12x7m + 1y2; 15x6m + 5y2. Calcular el valor de “m”. A. 2 B. 4
24. Calcular “A + B + C”, si:
A. 20 B. 21
C. – 3 D. 3
Tarea domiciliaria
23. Un polinomio “P(x)” de tercer grado, cumple con la siguiente condición: P(x) – P(x – 1) ≡ 2x(3x + 2); hallar el coeficiente de “x” en el polinomio “P(x)” A. 5 B. 4
Hallar la suma de sus coeficientes sabiendo que el término independiente es 36.
es completo, hallar
C. 2 D. 3
C. n2/m = 3 D. 2n – m = 3
30. Dado el polinomio:
C. 9 D. – 9 xmyn(4x4y2
C. 9 D. 6
29. Sean los polinomios “P(x)” y “Q(x)”, de grados absolutos P2 “n” y “m” respectivamente. Si el grado absoluto de: (x); Q(x) es 3, entonces se puede afirmar que:
21. Si se cumple la identidad:
A. 1 B. – 1
C. 80 D. 76
28. Siendo: P(x) = (x – 2)[p(x + 2) + q] + rx; equivalente a: Q(x) = 4x2 + 15x – 34. Calcular: p + q + r
20. Si el polinomio:
A. 1 B. – 1
+
Dado P(x) = x4 + ax2 + bx, si: P(2) = 36 y la suma de sus coeficientes es igual a la suma de sus exponentes, hallar “ab”. A. 5 B. 7
5.
C. – 1 D. 2
C. 6 D. 8
Si: P(2x – 5) = 3x2; hallar: P(3). A. 4 B. 16
C. 12 D. 48
TRILCE Católica
Álgebra 6.
Si: P(x + n) = 2x2 – nx – 2n2 + 4; n ∈ P(n) = – 4; hallar: P(1). A. – 4 B. 0
7.
Si: P(x + 2) = x + P(x); P(3) = 1, calcular el valor de: P(5) + P(1) C. 0 D. 2
El término independiente y la suma de coeficientes de P(x) = x4 + ax2 + 5x + b son – 2 y 7 respectivamente. Hallar el valor de: 5a + b A. 5 B. 17
9.
; y además
C. – 20 D. 20
A. – 4 B. 4 8.
–
Si la suma de coeficientes del polinomio: P(x) = (4x3 + 3)(5x7 – 7)n – 4 + (8x – 9)10 es 449; entonces el valor de “n” es:
10. Encuentra el valor de “n” si el monomio: 7xn + 3y5zn – 2 es de grado 12.
n
1 . 9mx3m + 2ny5m – n; 2 cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a “x” es 14. 16 81 9 B. 16
81 16 16 D. 9
A.
C.
12. Calcular “m.n”, si:
es de: GA = 20 y GR(y) = 8 C. 90 D. 80
13. Dada la expresión algebraica: 6xm – 2yn + 5
+
3xm – 3yn – 8xm – 1yn + 6.
Hallar “mn”, si su grado absoluto es 17 y el grado relativo a “x” es 6. A. 30 B. 36
TRILCE Católica
C. 24 D. 10
15. En el polinomio homogéneo: P(x, y) = xm + 2y3 + xn – 1ym + xn + 3
A. 2 B. 0
C. – 1 D. D. 4
16. En el polinomio homogéneo: P(x; y) = xm + yn + p + xnyp + xpyn + xqyr + xryq
A. 12 B. 18
C. 15 D. 27
P(x; y) = (xn + 2 + xn + 1 . yn + yn + 1)n; de modo que su grado absoluto exceda en 9 unidades al grado relativo a “y”. A. 1 B. 3
C. 2 D. 4
18. Si el polinomio ordenado, decreciente y completo: P(x) = x2a + 1 + 2xb + 3 – 3xc + 2 + …; tiene “2c” términos. Hallar “a + b + c”.
P(x, y) = 2xm + 1yn – 2 – 5xm + 2yn – 1 + 7xm + 3yn – 3
A. 19 B. 20
A. 12 B. 15
17. Hallar el valor de “n” en el polinomio:
C. 3 D. 7
11. Hallar el coeficiente de: M(x; y) =
sea de: GA = 28 y la diferencia de su GR(x) con el GR(y) es igual a 6.
la suma de todos sus exponentes es 54. Hallar el valor de: E = m + n + p + q + r.
C. 6 D. 10
A. 2 B. 5
P(x, y) = xm + n + 3yn – 2 + xm + n + 1yn + 4 – xm + n – 1yn + 1
encuentra el valor de: 2m – n
C. 13 D. 25
A. 5 B. 8
14. Hallar el valor de “m + n” para que el polinomio:
C. 35 D. 42
A. 12 B. 14
C. 13 D. 15
19. Si los polinomios: P(x) = ax2 + (b – 1)x + c + 1 Q(x) = 3x2 + 6x + 12 son idénticos, hallar: c – (a + b) A. – 1 B. 2
C. 1 D. 3
20. Sabiendo que: P(x) = 4x2 – 1, encuentra el valor de: P – P(x – 1) M = (x + 1) x . [P(1) – P(0)] A. 8x B. 4x
C. –4 D. 4
85
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 21
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
PRODUCTOS NOTABLES Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva por la forma que presentan. 1.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
IDENTIDADES DE LEGENDRE
OO
Si: m = 1; n = 0: (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
DIFERENCIA DE CUADRADOS 9.
(a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 + (ay – bx)2 + (bz – cy)2 + (az – cx)2
(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2) DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO (a + b + (ab + bc + 4.
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a
10. IDENTIDAD DE GAUSS a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
+ b + c)
DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO
11. IDENTIDADES ADICIONALES: (a + b + c)(ab + bc + ca) = (a + b) (b + c) (c + a) + abc
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 OO
(a + (a – OO
5.
6.
(a + b)(b + c)(c + a) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc
IDENTIDADES DE CAUCHY b)3 b)3
= =
a3 a3
+ b3 + 3ab(a + b) – b3 – 3ab(a – b)
(a – b)(b – c)(c – a) = ab(b – a) + bc(c – b) + ca(a – c) 12. IGUALDADES CONDICIONALES:
RELACIONES PARTICULARES
Si: a + b + c = 0; se verifican las siguientes relaciones notables:
(a + b)3 + (a – b)3 = 2a(a2 + 3b2) (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
OO
a2 + b2 + c2 = – 2(ab + bc + ca)
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
OO
a3 + b3 + c3 = 3abc
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
OO
a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 = (a2 + b2 + c2)2
DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO Según Cauchy, se puede escribir así:
Problemas para la clase 1.
Halle:
Otras formas más usuales del desarrollo:
(a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2) – 2(a3 + b3 + c3) + 6abc
TRILCE Católica
a–b c–d
A. 2 B. – 1
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ca) – 3abc
Si se cumple la siguiente condición: (a + b + c + d)2 = 4(a + c)(b + d)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3bc(b + c) + 3ca(c + a) + 6abc OO
IDENTIDADES DE LAGRANGE (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay – bx)2
Multiplicando miembro a miembro las identidades “I1” e “I2”.
c)2
Formas particulares más usuales: Si: m = 1; n = 1: (x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
(a + b)(a – b) = a2 – b2
3.
IDENTIDAD TRINÓMICA DE ARGAND (x2m + xmyn + y2n)(x2m – xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n
I1: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) I2: (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 2.
IDENTIDADES DE STEVIN (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
8.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 OO
7.
2.
C. 1 D. – 2
Si: a + b = 4; ab = 3, hallar: W = a3 + b3; si: a > b. A. 64 B. 28
C. 26 D. – 26
86
Álgebra 3.
Si: x +
–1 1 1 = 2; hallar: xx + x + 2 x x
A. 1 B. 2 4.
C. 3 D. 4
Efectuar: E = (a + b + c)(a + b – c) – (a – b + c)(a – b – c) A. 4ab B. 4ac
5.
C. abc D. 4bc
Reducir: (x + y – z)(x – y – z) – (x – z)2 A. y2 B. – y2
6.
15. Si: (a + 2 ab + b)(a – 2 ab + b) = 0, calcular:
Dados:
C. z2 D. – z2 A = (x + 1)(x + 4) – (x + 3)(x + 6) B = (x + 2)(x + 5) – (x + 4)(x – 1)
Calcular: A + B A. – 4 B. – 1 7.
C. 0 D. 1
Calcular: ab + bc + ac, si: a + b + c = 5 ∧ a2 + b2 + c2 = 7 A. 10 B. 18
8.
C. 9 D. 11
Si: a + b + c = 3……………(1) a2 + b2 + c2 = 9……………(2) calcular: (a +
b)2
+ (b +
c)2
A. 9 B. 12 9.
C. 15 D. 18
Hallar el valor de: Si: y =
3
+ (a +
c)2
0,3 ; x =
y)3
(x + – (x – 3y–2 + x–2 0,2
A. 0,12 B. 1,2
C. 0,6 D. 0,06 x3
10. Si el polinomio: P(x) = de un binomio al cubo:
+ mx2 (x + 2)3,
A. 27 B. 35 11. Efectuar: E =
y)3
+ nx + p es el desarrollo hallar el valor de: pn – m
C. 90 D. 45 (x2
A. 7 B. 1
+ 5x +
5)2
– (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) C. – 2 D. 0
12. Si: E = (x + 1)(x – 2)(x + 3)(x – 4) + A E = (x2 – x – 7)2 Hallar “A”. A. 7 B. 25
C. 24 D. 49
13. Si: a4x + a–4x = 34, calcular: R = ax – a–x A. 1 B. 2 14. Si:
C. 3 D. 4
2a3 + 3a2b 1 1 4 + = , hallar: E = 3 b + 4ab2 a b a+b
A. – 1 B. 2
TRILCE Católica
C. 1 D. 3
E=
a + 5b a3b + b4 + 3 a + b ab + a2b2
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
1 1 16. Si: x4 + 4 = 194, hallar el valor de: x2 + 2 x x A. 12 B. 13
C. 15 D. 14
17. Si: a4 + b4 = 343 ∧ ab = 3; hallar: a + b; si: a < 0 C. 5 D. – 5
343
A. – B. 3
18. Si se cumple que: p2 + 5x2 + 2y2 + z2 = 4px + 2xy + 2yz Calcular:
8xyz p3
A. 1 B. 8
C. 4 D. 2
19. Si: a – b = b – c = 2; hallar el valor de: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac A. 4 B. 8
C. 12 D. 16
20. Si: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac; ∀ a, b ∧ c ∈ calcular:
an + 5bn + 3cn bn
A. 3 B. 2
C. 4 D. 1
21. Si se cumple: calcular:
a2 b2 – = 3(a – b) b a
(a4 + b4) . (a3 + b3) a7 + b7
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
22. Si: m + n = 5 mn = 2 calcular: L = m2 + m3 + m4 + n2 + n3 + n4 A. 603 B. 573 23. Si: x =
3
C. 495 D. 549 16 + 8 5 +
calcular: E = A. 6 B. 7
3
16 – 8 5
x3 + 12x + 4 C. 8 D. 9
24. Si se cumple: x2 – 3x + 1 = 0; calcular: A. 2 B. 4
x7 – x5 + x3 x5
C. 6 D. 8
87
Ciclo
82 +
Católica
25. Si: x + y + z = 0; calcular:
3.
(x + y – 2z)3 + (y + z – 2x)3 + (z + x – 2y)3 xyz A. 9 B. 27
3; b = 1 – 2 3 ∧ c =
3 –3
a(a + 1)(a – 1) + b(b + 1)(b – 1) + c(c + 1)(c – 1) a(bc + 1) + b(ac + 1) + c(ab + 1)
4.
C. 2 D. 3 (a3 + b3 – c3)2 , cuando: 3a2b2
a = 13; b = 17; c = 30
2.
Si: a + b = ab = 3; calcular: R = a(a + a2 + a3) + b(b + b2 + b3) A. 1 B. 2
8.
Si: x +
C. – 3 D. – 6 1 1 = 4; calcular: x3 + 3 x x C. 52 D. 36
Si: a–1 + b–1 = 4(a + b)–1; calcular: E =
5
x+
A. x2 – 7 B. x2 – 1
x2 – y10
x–
12. Si: A + B =
C. – 1 D. 1 8 ; A.B = 2
hallar: A6 + B6 A. 8 B. – 8
C. 6 D. 8
C. – 16 D. 16
13. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d) calcular: M =
A. mn B. m + n
A. – 3 B. 1
88
5
C. x2 – 1 D. 0
Reducir: C = [(m + n)2 – (m – n)2]2 – 16m2n2
A. 2a B. 0
x2 – y10 .
11. Efectuar: E = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – (x2 + 7x + 11)2
1 – ab 3+a+b
Reducir: M = ( a + b –
a b 2a + b + = b a a + 2b
C. 3 D. 4
A. y2 B. x2
a2 + c2 a+c 2(a + b) D. a+c C.
Tarea domiciliaria 1.
7.
C. 3 D. 2
10. Simplificar:
12(3 + a)(3 + b)(3 + a + b) + (ab + 1)(ab – 1) = 0
A. 2 B. 4
Si: a + b = 1; a2 + b2 = 3; hallar: P = (a + 1)(b + 1)
A. 1 B. 2
30. Si: a,b ∈ IR + además:
calcular: S =
C. 4xy D. 2xy
A. 4 B. 1
9.
4b2 calcule: 2 a + c2
B. 2
Simplificar:
A. 26 B. 18
1 1 1 1 + + + =0 b+c b–c b–a b+a
a2 + ab a+c
C. 10 D. 16
R = (x + y + 1)(x + y – 1) – (x – y + 1)(x – y – 1)
C. 2500 D. 2400
29. Si “a”, “b” y “c” están relacionadas por:
A. 2
5.
6.
1 1 – ab 1 1 – bc 1 1 – ac simplifica: N = + + a a+b b b+c c a+c
A. 2700 B. 2600
Reducir: P = (x + 2)3 – (x – 2)3 – 12x2
A. xy B. x + y
27. Si: a + b + c = 0; abc ≠ 0 ab2 + bc2 + ca2 = 3abc
28. Hallar el valor numérico de: K =
C. 24 D. 18
A. 4 B. 6
C. 3 D. 6
A. – 3 B. 4
Simplificar:
A. 8 B. 16
Simplificar:
A. 1 1 B. 2
16 + 8 5
Z = (x2 + x + 4)(x2 + x + 2) – (x2 + x + 8)(x2 + x – 2)
C. – 27 D. – 81
26. Si se sabe que: a = 2 +
3
C. 0 D. 1 a – b)( a + b + C. 2b D. 2a + 2b
a – b)
14. Si: x + x–1 = A. 12 B. 15
a+b a–c d–a + + c+d d–b b–c C. – 1 D. 3 5 , calcular: x6 + x–6 C. 16 D. 18
TRILCE Católica
Álgebra 15. Simplificar:
18. Reducir: P =
(a – b)(a + b – c) + (b – c)(b + c – a) + (c – a)(c + a – b) A. 0 B. abc 16. Si:
C. bc D. ac 3(x8
y8)
+ x2 y2 – = 3(x – y); hallar: K = (x2y2)2 y x
A. 4 B. 6
C. 1 D. 0
17. Si se cumple que: (x + y + 2z)2 + (x + y – 2z)2 = 8z(x + y) x+y9 x–z7 z–x8 hallar: E = + + 2z z–y z–y A. 3 B. 1
TRILCE Católica
C. – 1 D. 0
(a + b + –
4c)2
4a)2
+ (b + c – + (c + a – 4b)2 2 2 2 a +b +c
si se sabe que: a + b + c = 0 A. 1 B. 9
C. 16 D. 25
19. Si: a + b + c = 0; calcular: E = A. 1 B. – 1
a2 + b2 + c2 ab + ac + bc
C. 2 D. – 2
20. Si: a2 + b2 + c2 = 49. Calcular: C = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 – (a + b + c)2 A. 49 B. 6
C. 7 D. 36
89
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 22
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
DIVISIÓN DE POLINOMIOS Operación algebraica definida para polinomios ordenados en forma descendente que consiste en hallar dos polinomios llamados cociente y residuo a partir de otros dos llamados dividendo y divisor. IDENTIDAD FUNDAMENTAL
OO
OO
Pasos a seguir:
D(x) = d(x)q(x) + R(x)
1. 2.
También: D(X) R = Q(x) + (X) d(x) d(x)
3.
Donde: OO OO
D(x): ______________ d(x): ______________
Todos los polinomios (D, d, q, R) tienen que ser polinomios completos y ordenados en una sola variable. Para dividir mediante este método solamente se utilizarán los coeficientes.
OO OO
q(x): ______________ R(x): ______________
Ejemplo: x3 + 3 ≡ (x + 1)(x2 – x + 1) + 2 123 123 14243 D(x) d(x) q(x) R(x)
4.
Coeficientes del dividendo ordenado en forma decreciente en una variable, completo o completado. Coeficientes del divisor ordenado en forma decreciente en una variable, completo o completado, con signo contrario, salvo el primero. Coeficientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal. Coeficientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas finales una vez obtenidos los coeficientes del cociente.
ESQUEMA GENERAL 1
CLASES OO
División Exacta: R(x) ≡ 0 D(x) ≡ d(x)q(x)
OO
← Línea divisoria
2
División Inexacta: R(x) ≠ 0 D(x) ≡ d(x)q(x) + R(x) 3
PROPIEDADES 1.
2.
[q(x)]º = [D(x)]º – [d(x)]º
4
Observación:
x5 + x4 + 7 Ejemplo: 2 x + 2x + 6
La línea divisoria se colocará separando tantos términos de la parte final del dividendo como grado del divisor.
[qº(x)] = 5 – 2 = 3
Ejemplo:
[R(x)]º < [d(x)]º
Dividir:
x6 + 2x5 + 8 Ejemplo: 3 x + 6x + 1
Colocamos los coeficientes del dividendo y divisor.
El grado del residuo podría ser: OO OO OO OO
Grado 2 de forma: Ax2 + Bx + C Grado 1 de forma: Ax + B Grado 0 de forma: A División exacta: 0
MÉTODO DE HORNER También conocido como el método de la división sintética, debiendo cumplirse las siguientes condiciones:
TRILCE Católica
x4 – 3x3 + 5x2 – 3x + 4 x2 – 3x + 4
1
1
–3
5
–3
4
1
0
1
0
0
3 –4 ×
Como el divisor es de grado 2, trazamos la línea divisoria 2 lugares hacia la izquierda.
90
Álgebra Ejemplo:
← 1 3 –4 ×
1
–3
5
3
–4
0
0
0
÷
1
3
–4
0
1
0
0
÷ ÷ 1
–3
4
Dividir:
8x4 + 10x3 – x + 5 4x – 3
Colocamos los coeficientes del dividendo e igualamos a cero el divisor. 4x – 3 = 0
q(x) = 1x2 + 0x + 1 = x2 + 1
La división es exacta.
÷4
Ejemplo:
10
0
–1
5
6
12
9
6
8
6
12
8
11
2
4
3
2
↓
x = 3/4
R(x) = 0x + 0 = 0
8
Luego:
10x5 + 3x4 – 17x3 – x2 – 5 Dividir: 3x2 + 2x3 – x – 2
q(x) = 2x3 + 4x2 + 3x + 2 R(x) = 11 Ejemplo: Dividir:
3x4 + 5x3 – 6x2 + 18 x+2
Resolución:
q(x) = 5x2 – 6x + 3 R(x) = – 6x2 – 9x + 1 MÉTODO DE RUFFINI Es un caso particular del Método de Horner. Se aplica para dividir un polinomio “D(x)” entre un divisor que tenga o adopte la forma lineal: d(x) = Ax + B, A ≠ 0
q(x) = 3x3 – x2 – 4x + 8
Pasos a seguir: 1. 2. 3. 4.
Coeficientes del dividendo ordenado de forma decreciente, completo o completado, con respecto a una variable. Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero. Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por (2) y colocando en la siguiente columna. Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna.
R(x) = 2 TEOREMA DEL RESTO Nos permite hallar el resto de una división, sin efectuarla: Enunciado: En toda división de la forma: P(x) ÷ (Ax + B), el residuo es igual B al valor numérico de “P(x)” cuando: x = – A.
ESQUEMA GENERAL Es decir: 1
P(x) ⇒ Resto = P –B Ax + B A
REGLA PRÁCTICA PARA CALCULAR EL RESTO DE UNA DIVISIÓN 2
I. II.
3
4
Observación: Si el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad, el coeficiente obtenido se deberá dividir entre este valor.
TRILCE Católica
El divisor se iguala a cero. Se elige una variable conveniente y se despeja esta variable. III. La variable elegida se busca en el dividendo para reemplazarlo por su equivalente, luego se realizan las operaciones indicadas y obtenemos el resto. Ejemplo: 1.
Hallar el resto en:
x3 – 3x2 + 3x – 1 x+2
91
Ciclo
Católica Resolución:
6.
Hallar la suma de coeficientes del cociente: 2x4 + 3x3 + x2 + 2x + 5 2x + 1 A. 4 B. 3
7.
R = – 27 2.
Halle el resto en:
x60 + x24 + x18 + x6 + x2 – 1 x4 + 1
C. 1 D. 6
Hallar el término independiente del cociente, luego de dividir: 6x4 – 4x3 + x2 + 10x – 2 3x + 1 A. 1 B. 2
Resolución:
8.
C. 3 D. 4
Hallar el resto en:
x3 – 3x2 + 3x – 1 x+2
A. – 20 B. – 27 9.
R = x2 – 1
C. – 26 D. – 25
Calcular: S = mn2; si el polinomio:
Observaciones:
P(x) = 6x4 + 5x3 + 2mx – 3n es divisible entre: 2x2 + x + 3
1.
A. – 25 B. 25
2.
Si al dividendo y al divisor se le multiplica por un polinomio no nulo, entonces el cociente no se altera pero el resto queda multiplicado por dicho polinomio. Si al dividendo y al divisor se le divide por un polinomio no nulo, entonces el cociente no se altera pero el resto queda dividido por dicho polinomio.
Problemas para la clase 1.
Calcular la suma de coeficientes del cociente de dividir: 4x4 – 5x3 – 2x2 + 3x – 1 x2 – 2x – 1 A. 15 B. 20
2.
Luego de dividir:
3.
x5 – 3x2 + x + 1 ; hallar el residuo. x2 + x – 1
Hallar “A + B” si al dividir:
C. 9x D. 9x + 5 2x4 + x3 + 3x2 + Ax + B x2 – 2x + 1
El resto resulta: 2x + 3 A. – 2 B. – 1 4.
5.
C. 1 D. 2
A 2x4 + 3x3 + x2 + Ax + B Hallar “ ” si la división: , es exacta: B x2 + 2x + 3 A. 1 B. – 1
C. 2 D. – 2
Hallar el valor de “AB” si la división es exacta:
92
A. – 3 B. 0
C. 2 D. 5
11. Hallar el resto en:
x80 + x60 + x40 + x20 + 3 x4 + 1 C. 2 D. 1
12. Halle el resto de:
x2n + 3 + 3x2n + 2 – x2n + 4 + 5x – 2 x–1
A. 5 B. 3
C. 6 D. 7
13. Halle el resto de dividir: A. 2x + 1 B. x + 5 14. Al dividir:
x25 + x37 + x7 + 2 x2 + x + 1 C. 3x + 2 D. 2x – 1
8x4 + 18x3 + ax2 + bx + c 2x + 3
Los coeficientes del cociente disminuyen de 1 en 1. Hallar (a + b + c) si el resto es (– 8). A. 2 B. 3
C. 16 D. 4
15. Indicar la suma de coeficientes del cociente al dividir: nx4 – x3 + 3nx – 3 nx – 1
Ax4 + Bx3 + 7x2 + 4x + 3 3x2 + x + 3 A. 81 B. 27
6x4 – x3y – 6x2y2 + 5xy3 – y4 , 2x2 + xy – 2y2 es igual a 16 cuando “y” es igual a:
10. El residuo de la división:
A. 4 B. 3 C. 5 D. 25
A. 9x + 6 B. 9x – 5
C. 24 D. 20
C. 16 D. 25
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
TRILCE Católica
Álgebra Sabiendo que los coeficientes del cociente son los primeros números naturales positivos y consecutivos, además el residuo es: 3x + 1
16. Calcule: P( 3 + 2 ) P(x) = ( 3 –
2 )x5 – 2 2 x3 – 2 6 – 1
A. 1 B. 2
17. Si: P(x) = 15x4 + 7x3 + Ax2 + Bx + C se divide entre F(x) = 5x2 – x + 3; se obtiene un cociente cuyos coeficientes van disminuyendo de 1 en 1, a partir del primero, y un residuo: R(x) = 2x + 5. Calcule: A + B + C A. 2 B. 27
A. 10 B. 9
C. 4 D. 6
C. 20 D. 0
18. Calcular “a” si la suma de coeficientes del cociente es 161, tal que el resto es 16.
25. ¿Cuál es el valor positivo de “a” para que el polinomio: x3 + (a2 + a – 1)x2 + (a – 1)x + a, sea divisible entre (x + 2)? 5 2 3 B. 4 26. En la división no inexacta:
C. 3 D. 4
C. 2x D. 5x
A. x + 2 B. x + 3
ax5 + 2(3 + a)x4 + (12 – a)x3 – (6 – b)x2 + b(2x – 1) x2 + 2x – 1 Da un cociente que evaluado para: x=2 da 39; además: {a; b} ∈ +. A. 4 B. 6
12x4 – Ax3 + Bx2 – 31x – 15 4x2 – 5x – 3
A. 2n – 1 B. 2n
C. 7 D. 8
23. Hallar el residuo luego de dividir: ax5 + (a2 + 1)x4+ (2 – a)x3 + a3x2 – 2ax + 1 x+a+1 A. a B. – a
Ax5 + Bx4 + Cx3 + Dx2 + Ex + F 2x2 – x – 1
TRILCE Católica
xn + 1 + xn + nx + n xn + n + 1
es: R(x) = (n – 15)x – 1, hallar “n” A. 14 B. 15
C. 16 D. 17
Tarea domiciliaria 1.
C. a2 D. – a2
24. Calcular: “A + B + C + D + E + F” en la división:
C. 8 D. n
30. Si el residuo de la división:
es exacta. A. 5 B. 6
x2n – 2nx + 2n – 1 ; n ∈ ZZ+; n ≥ 2 x2 – 2x + 1
Indique la media aritmética de todos los coeficientes del cociente.
3x5 + ax3 + bx2 – x + 2 ; el residuo es: 5x – 10 x2 + 3
22. Calcular: “A – B” si la división:
C. 8 D. 10
29. Dada la división exacta:
21. Determinar: “a + b”, sabiendo que al dividir:
C. 10 D. 11
C. 2x + 1 D. 2x – 1
28. Calcular (a + b), si la división:
El cuádruple del resto es igual a nueve veces la suma de coeficientes del cociente. Hallar: a
A. 8 B. 9
C. 0 D. 1
27. Sea “P(x)” un polinomio tal que al dividirlo entre (x – 1) se obtiene resto 4 y al dividirlo entre (x – 3) se obtiene residuo 6. Determinar el resto de dividirlo entre: x2 – 4x + 3
axa – 1 + (2a – 1)xa – 2 + (3a – 2)xa – 3 + … + (a2 – a + 1) ax – 1
C. 8 D. 6
x4 + 4dx3 + 6ax2 + 4bx + c x3 + 3dx2 + 3ax + b
Calcular: ab – cd
20. Si en la división:
A. 10 B. 9
C.
A. – 2 B. – 1
19. Halle el resto que resulta al dividir: (x + 3)4(x + 5)2 entre (x + 4)(x + 1). A. 128(x + 4) B. 85x + 341
5 4 3 D. 2
A.
ax51 + 2bx + 2b – a x–1 A. 1 B. 2
C. 4 D. 7
Hallar la suma de coeficientes del cociente de la siguiente 2x4+ 5x3 – 2x2 + 4x + 8 división: 2x2 + x – 2 A. 2 B. 5
2.
Indicar el resto en: A. 1 B. 2
C. 7 D. 9 2x4+ 5x3 – 4x2 – 3x + 1 x+3 C. 3 D. 4
93
Ciclo
Católica
3.
En el siguiente esquema de una división de polinomios en “x” por Horner, halle el resto: a
a
b
b
a
b
c
c
b
b
a
b
A. 7x + 11 B. 3x + 1 4.
c
c2
(b + 2c) (a +
c2)
Hallar la suma de coeficientes del cociente de:
Hallar el residuo de la división:
6.
C. – 6x2 – 9x + 1 D. x – 2
Calcular: “A + B” si la división:
x4 + 2x3 + 5x3 + Ax + B x2 + x – 2
7.
Si la división:
C. 9 D. 5
8.
x4 + 4x3 + x2 + Ax + B x2 + 3x + 1
9.
x4
3)x2
+ (p – +q+3 x2 + x + 1
C. – 1 D. 8
6x5 – 17x4 + 7x3 + mx2 + nx + p , es exacta. 3x3 – 4x2 + 5x – 7 C. 25 D. 28
10. En la división exacta, halle (b + c), donde: A. 8 B. 3
94
C. 5 D. 9
15. En la división:
C. – 5 D. 2 ax5 – 3x4 + x3 – bx + b (x – 1)2
El resto es idénticamente nulo. Hallar: a + b C. 4 D. – 1
x3 + bx2 + 5x x2 + 3x + c
(x – 1)7(4x – 5)2 (x – 1)(x – 2)
C. 9x – 9 D. 3x + 3
A. 2 B. 4
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 21 (x + 2)(x + 6) C. 6 D. 8
18. Al efectuar la división del polinomio “P(x)” por (x2 + 1), se obtiene como residuo: (x – 2). Encontrar el residuo de dividir el cubo del polinomio “P(x)” entre (x2 + 1). A. 11x + 2 B. 11x – 2
Encontrar el valor de “m + n + p” si la división:
A. 22 B. 18
A. 13 B. – 12
17. Calcular el resto en:
es exacta. A. – 2 B. 2
C. 9 D. 1
A. 9 B. 9x + 9
C. 24 D. 36
Dividir y hallar (p + q) si la división:
Se obtiene como resto: R(x) = m2x + n10; m ∈ ZZ+ ∧ n ∈ ZZ. Calcular: m . n
16. Calcular el residuo al dividir:
es exacta, indique “AB”. A. 10 B. 12
9x4 – x2 + mx + n 3x2 – 2x – 1
A. 1 B. 3
Tiene por resto: (3x + 14) A. 7 B. 12
C. 30 D. 154
14. Dado el polinomio: P(x) = x3 + Ax2 + Bx, divisible entre: x2 + 3x – 4; entonces calcule el valor de “C” si la división: P(x) + C es exacta. x–2
10x5 + 3x4 – 17x3 – x2 – 5 Luego de dividir: 2x3 + 3x2 – x – 2
A. 2x + 6 B. 2x + 1
A. 36 B. 25
A. – 3 B. 4
C. 10 D. 20
6x4 – ax3 + bx2 + 10x 3x2 – 2x + 1
El resto es: R(x) = x + 2; indique “ab”
13. Al efectuar:
2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x + 6 2x – 1
5.
C. 0 D. 4
12. En la siguiente división indicada:
C. 2x + 1 D. 3
A. 6 B. 8
x4 – 4x3 + 6x2 – (a + 2)x + b + 3 ; deja por resto: – 27x – 11 x2 + 2x + 1 A. 3 B. – 3
c c
b
11. Dividir y hallar (a + b) si la división:
C. 11x – 1 D. x – 11
19. Determinar el valor de “K” para que el coeficiente del término lineal del cociente entero sea (– 45) en la división: 2x5 – 6x3 + Kx2 – 7 x–3 A. 81 B. – 81
C. 72 D. – 72
20. Si el resto en:
P(x) [P ]4 es 3, calcular el resto de: (x) x+1 x+1
A. 343 B. 27
C. 9 D. 81
TRILCE Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 23
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
REPASO IV n–1
Problemas para la clase 1.
Reducir: M =
3 8
7 – 22 .
24
2.
Calcular: S =
a–b
72a + 21
3
73 8
.
72
73
7
a–b
72b
C. 15 D. 20
– – – Calcular: T = [64 3 + (– 32) 5] 3
3 1
P(x; y) = xa – 2yb + 5 + 2xa – 3yb + 7xa – 1yb + 6
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
Donde: G.A. = 17 ∧ G.R.(x) = 4. Calcular: (a – b)2
Calcular: I =
3
2–2
4
23
3
5
27
A. 1 B. 4
240
3
3
2 P(x; y) = xn – 2y – 4xn yn + y5 – n
3
3
x.
x…
x
P(x; y) = axa
a
x
x
b
+
A. x B. 2x
El valor de “n” si: P(x) = A. 1 B. 2
a+b b
x
x Calcular:
x C. 2 D. – x n–1 n x
x12n
C. 3 D. 4
C. 3 D. 4
a+1
C. 10 D. 11
P(3) + P(–1) P(2014) + P(2015)
A. 2014 B. 2015
es de cuarto grado.
grado 13.
TRILCE Católica
3
+ bya + cxb
14. Sea: P(x) = 2 + x2013 – 3x2012
a
Calcular el valor de “n”, si: P(x) = (x A. 1 B. 2
a–5
A. 8 B. 9
1 1 1 + = a b a +b
a+b
C. 10 D. 12
13. Hallar “a + b”, si el polinomio es homogéneo.
C. x9 D. x–4
Sabiendo que:
Reducir: N =
A. 8 B. 9
x–3 ÷ –1 x. x… x x 1442443 44 radicales
Efectuar: A =
C. 9 D. 16
12. Calcular el grado absoluto del polinomio.
3
C. 4 D. 1
A. x6 B. x
8.
10. En el polinomio: P(x; y) ≡ 2xn + 3ym – 2z6 – n + xn + 2ym + 3
11. Dado el polinomio:
45 factores 6447448
7.
C. 30 D. –36
A. 5 B. 10
C. 7 D. 2
3
6.
A. 8 B. 16
el G.A. = 16; G.R.(x) – GR(y) = 5. Calcular el valor de:
7a + b
A. 2 3 B. 2 2
5.
Si el monomio: x 3 es de grado 5, hallar “n”.
2m + n + 1
a–b
1
4.
7–2 +
24
C. 2 D. 4
A. 1 B. 10 3.
24
73 .
A. 0 B. 1
9.
C. 2013 D. 0
15. Si: P(x + 4) = 2x + 3; además: P(F(x) + 1) = 6x2 + 5. Calcular: F(2)
nn – 1
)(xn)(x); es de
A. 7 B. 8 16. Si: P(2x + 3) = 2 A. 79 B. 81
C. 12 D. 16 x+2 ; calcular: P(1)P(2)P(3)P(4) … P(79) 2x + 3 C. 80 D. 82
95
Ciclo
Católica
17. Si: F(x + 3) = x + F(x) ∧ F(2) = 1, hallar: F(–1) + F(5) A. – 2 B. 5
27. Si: a2 + b2 + c2 + 10 = 2(2a + 5c – 5) + 6(b – 3)
C. – 1 D. – 3
indique el valor de: A. 2,8 B. 18
18. Si: P(2x + 3y; x + 2y) = x3 + y3, hallar: P(13; 7) A. 124 B. 126
C. 120 D. 128
((x2)n + 2 – 2x2n + 1)(x3 – 2)2n + x2n+ 1 x2 + x + 1
2 P(x) = 5x6 + 2xa – 3 + 3xb – 4
Para: n ∈ N
Calcule el coeficiente principal de: P(x) + a + b C. 23 D. 20
A. 0 B. 1
P(x) = (a + 5)x4 + (b – 2)x2 + (c – 1)x + m
A. – 21x + 9 B. 12x + 3
Si la suma de sus coeficientes es 3 además: P(0) = 1, C. 1 D. 2
A. 7 B. 8
21. Dado el polinomio: P(x – 1) = x3 – 5mx2 + 10. Si el término independiente es 1, la suma de sus coeficientes será:
1.
1 22. Si: x2 + 1 = 3x, hallar: 2(x4 + x3 + x2 + x + 1) x
23. Si:
x3
/
( 7 +
Indicar el valor de: x
B. 25. Si:
x11
2.
x
x
5 )( 7 –
x
5 ) = 2x
5 4 1 D. 2 C.
5 2 y2 + y + 1 + x +
3.
4.
A. 2 1 B. 3
y2 + y + 1 – x; x ≠ 0
Calcular: A. 2 B. 5
96
5.
C. 3 D. 6
26. Si: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)2; {a, b, c} ∈ a2 + b2 + c2 a5 + b5 + c5 a3 + b3 + c3 a4 + b4 + c4 C. 3 D. 1
a5 12
1 + 2a 1 + 2–a
Reducir: R = a
C. 3 D. 4
7n + 3n Calcular: S = n –n 7 + 3–n C. 21 1 D. 7 2
2
n n Simplificar: T = n2 10 2 – 6 2 n 25 – 15n
A. 0,2 B. 0,4
y2 + y + 1 – x = 6x
y2 + y + 1 + x –
a3 .
C. a3 a11 D. a47
C. 0,6 D. 0,8 5
calcular:
4
A. 7 B. 3
7x –1 4
3 4
a2 .
A. 1 B. 2
C. – 4 D. – 1 x
3
12
+ – 1 1 4 – = ; indicar el valor de: 3 x y x–y y + x7 – y11
24. Sea: x ∈
A.
y7
Reducir: N = A. a47 46/12 B. a
C. 10 D. 9
A. 1 B. 2
C. 9 D. 10
Tarea domiciliaria
C. 38 D. 18
A. 36 B. 11
C. – 20x + 11 D. 2x + 1
30. Sea: P(x) = x5 + ax + b, un polinomio con coeficientes enteros positivos. Si “P(x)” es divisible entre (x – c)2, entonces el menor valor de (a + b + c) es:
calcular: [P(3) – P(2)] + a + b
A. – 22 B. – 12
C. 2 D. x + 1
29. Al dividir “F(x)” entre (4x2 – 9)(x + 3); se obtuvo como residuo 2(x – 3)2. Hallar el residuo de dividir “F(x)” entre (2x2 + 9x + 9).
20. Si el polinomio cuadrático y mónico.
A. 4 B. – 1
C. 3,6 D. 3,8
28. Calcular el resto de dividir:
19. Sabiendo que el polinomio se reduce a un monomio:
A. 25 B. 10
a2 + b2 + c2 a+b+c
Reducir: R =
6 6 5
5
6 6
6 5
6
A. 1 B. 2 6.
C. 3 5 D. 6
Si: aa = a + 1 calcular el valor de: E = A. aa B. a
a
aa
(a + 1)(a + 1) C. aa – 1 D. aa + 1
TRILCE Católica
Álgebra 7.
Hallar: a + b
14. Reduzca:
ax2 + bx + 7 ≡ k(3x2 – 2x + 1) A. 4 B. 5 8.
C. 6 D. 7
9.
P(x) =
– x + 2) + b(2x – 1) –
A. 5 B. 6
c(x2
– x) – 6x
2 M(x, y, z) = xn + 2 + pyn – nzp – 1; (m, n, p) ⊂ ZZ+
GRy (M) = 12; GRz (M) = 3. Calcular: GA (M) C. 31 D. 22
11. El grado del polinomio homogéneo: R(x, y, z) = ax3yaz2 + bxby6z – cxyzc es 10; entonces, la suma de los coeficientes será: C. 9 D. 12
12. Si: P(x) = (m – 1)x3 + (n – 2)x2 + (p + 3)x + 5 + n es un polinomio lineal, tal que: P(5) = 42, calcular “m – n – p”. A. 2 B. 4
C. 3 D. –5
13. Dado el polinomio: P(x; y) =
6xm – 2yn + 5
6n + 1
; n ∈ IN – {1}
1 6 4 D. 2 C.
(3 + 2)(32 + 22)(34 + 24)(38 + 28)(316 + 216) + 232 C. 3 D. 27
a b 9ab + = 2; halla: E = 2 . b a 3a + b2
A. 1 3 B. 2
9 C. 4 D. 2
17. Si: x + y = 6 xy = 7 hallar: x3 + y3 A. 40 B. 60
C. 80 D. 90
18. Si la división es exacta en:
mx4 + nx3 – 2x2 – 3x – 2 4x2 + x – 1
Determinar: m – n A. 18 B. 20
C. 22 D. 25
19. Al dividir: (x2 + 5x + 7)39 – 3(x2 + 5x + 5)41 + (x + 1)(x + 4) + 7 x2 + 5x + 6 Da como resto a:
+
3xm – 3yn
+
7xm – 1yn + 6
hallar “m” y “n”, respectivamente, si el grado absoluto es 17 y el grado relativo a “x” es 6. A. 2 y 3 B. 5 y 7
24n + 4n
A. 9 B. 81 16. Si:
10. Si en el monomio:
A. 4 B. 0
n
13 3 1 B. 3
16
C. 7 D. 8
A. 25 B. 12
n
15. Halla el valor de:
C. – 1 D. 3
Hallar “a + b + c”, si el polinomio es idénticamente nulo. a(3x2
2n + 3–n +
A.
Calcular: m + 2n en: m(x + n) + n(x + m) ≡ 3x – 56 A. – 3 B. – 2
n
A. – 6 B. 7
C. 4 D. 9
20. Si: “R(x)” es el resto de dividir: (x2 – 3)8 + (x2 – 2)4 + (x2 – 1)2 + x3 x2 – 3
C. 3 y 9 D. 7 y 5
Hallar: R(– 1) A. 1 B. 2
TRILCE Católica
C. 3 D. 4
97
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 24
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
Factorización FACTOR ALGEBRAICO
AGRUPACIÓN
Un polinomio “F” no constante será factor algebraico de “P” si y solo si “P” es divisible por “F.
Consiste en agrupar términos convenientemente tratando que aparezca algún factor común.
Ejemplos:
Ejemplos:
OO
1.
P(x) = (x + 2)3(x + 1)2
x2 + x + xy + y – xz – z
Son factores algebraicos de “P(x)”: ________________ FACTOR PRIMO
2.
Un polinomio “F” será primo de otro polinomio “P” si “F” es factor algebraico de “P” y primo a la vez. Ejemplos: OO
P(x) = (x + 2)3(x + 1)2(x + 5)6 Son factores primos de “P(x)”: ____________________
OO
Factorizar:
Factorizar: x2 + ax + x + xy + ay + y
ASPA SIMPLE Forma general de polinomio a factorizar: m, n ∈ IN. P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m
P(x) = (x)(x + 2)6(x – 1)2 Son factores primos de “P(x)”: ____________________
P(x) = Ax2n + Bxn + C Ejemplos: 1.
FACTORIZACIÓN
2x2 + 7xy + 6y2
Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias. Multiplicación
Factorizar:
2.
P(x) = x2 + 3x + 2 ≡ (x + 1)(x + 2)
Factorizar: (x + y)2 – 2(x + y) + 1
Factorización
CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS
TEOREMA Sean “f(x)” y “g(x)” polinomios primos y primos entre sí, tal que:
FACTOR COMÚN
n
Consiste en buscar factores comunes a todos los términos de un polinomio para luego extraerlos a su menor exponente. Ejemplos: 1.
P(x; y) =
2.
i. ii.
Números factores primos = 2 Números factores algebraicos = (n + 1)(p + 1) – 1
Ejemplo:
Factorizar: 2x2y
p
P(x) = f(x) . g(x)
+
3xy2
+ xy
Sea: P(x) = (x + 2)3(x + 4) i. ii.
Números factores primos = _______________________ Números factores algebraicos = ___________________
Factorizar:
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS
A(x; y) = (x + 2)y + (x + 2)x + (x + 2)
Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado que aceptan factores de primer grado.
TRILCE Católica
98
Álgebra Factorizar:
2.
P(x) = x3 + 4x2 + x – 6
= x6 – x2 + 2x(x4 – 1) + (x4 – 1); indicando
Factorizar: P(x) el factor primo que más se repite. A. x2 + 1 B. x – 1
3.
1 0
4.
Factorizar:
Factorizar: F(x) = (x + 1)7(x2 + 1)10 – (x + 1)5(x2 + 1)11, indicando un factor primo. A. x – 1 B. x + 2
P(x) = ___________________________________________
P(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24
5. 0
C. 2x D. x
Factorizar: P(x; y) = xm + n + ym + n + (xy)m + (xy)n, indicando un factor primo. A. xn + yn B. xn + ym
2
C. x + 1 D. x + 2
C. x + y D. x – y
Factorizar: S(n) = (n + 3)(n + 2)(n + 1) + (n + 2)(n + 1) + (n + 1)
P(x) = ____________________________________________
indicando el factor que más se repite.
MÉTODO DEL QUITA Y PON
A. n + 4 B. n + 1
1.
Factorizar:
6.
x4 + x2 + 1 x2
7.
1 = 2x2
2 x2
x4 + 2x2 + 1 – x2 14243 (x2 + 1)2 – x2 8.
Factorizar: 1
+
9. 1
2n2
A. 2 B. 3
(1 + 2n2)2 – (2n2) (1 + 2n2 + 2n)(1 + 2n2 – 2n) ⇒ 1 + 4n4 = (2n2 + 2n + 1)(2n2 – 2n + 1)
Problemas para la clase Factorizar: x8y12z8 – 2x7y13z8 + x6y14z8; indicando un factor primo. A. x2 + y2 B. x – y
TRILCE Católica
C. 3 D. 4
10. Factorizar: P(x; y) = 54x6y2 + 38x3y2 – 16y2; indicando el número de factores primos.
1 + 4n2 + 4n4 – 4n2 14243 (1 + 2n2)2 – 4n2
1.
C. 8x + 6y D. 8x – y
Factorizar: P(a) = (8a3 – 27)(8a3 + 27); indicando el número de factores primos. A. 1 B. 2
2 1 2n2 = 4n2
C. – 2x D. – 6x
Factorizar: S(x; y) = 4(x + 3y)2 – 9(2x – y)2; indicando un factor primo. A. 8x + 3y B. 8x – 3y
4n4
C. 2(a + b) D. 2(a – b)
Factorizar: P(x) = 9x4 – 9x2 + 6x – 1; indicar un término de un factor primo. A. 2x B. 3x
(x2 + 1 + x)(x2 + 1 – x) ⇒ x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) 2.
Factorizar: F = (a – b)2 – (c – d)2; indicar la suma de factores primos. A. 2a B. 2b
1
C. n + 3 D. n + 2
C. x + 2y D. x – 2y
C. 4 D. 5
11. Factorizar: P(x; y) = 36x4 – 109x2y2 + 25y4; indicando el número de factores primos. A. 5 B. 3
C. 4 D. 6
12. Factorizar: P(x) = x4 – 15x2 + 44; indicando el número de factores primos. A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
99
Ciclo
Católica
13. Factorizar: P(x) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x – 4) – 112; indicando un término de un factor primo. A. 4x B. – 4x
A. B. C. D.
C. 3x D. – 3x2
14. Factorizar: P(x) = 6x2n + 1 + 5xn + 1 – 6x; indicando un factor primo. A. xn + 3 B. 2xn + 7
25. Factorizar: P(x) = x5 + x – 1
C. 2x3n + 1 D. 2xn + 3
26. Factorizar: P(a; b; c) = 3(ac2 + b2c + a2b) + 9(a2c + c2b + b2a) + 28abc
15. Factorizar: P(x; y) = (x – y)3 – (x – y)2 – 2(x – y); indicando un factor primo. A. x – y + 3 B. x – y + 2
A. 2x + 3y – 1 B. x – y + 1
indicando la suma de factores primos.
A. x + 2 B. x + 1
F(x, y, z) = x6y + x4z3 – x6z + y6z – x4y2z – x2y5 – y4z3 + x2y4z
C. x + y + z D. x – y – z
(1 + x)(1 + y)(1 – x)(1 – y) (1 + x)(1 + y)(x – y)(x – 1) (x – 1)(x – y)(y – 1)(x) (1 + x + y)(1 – x + y)(1 + x – y)
19. Factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo. A. – 3 B. 0
Indicar un factor primo. A. x4 – y4 B. x2 – yz – z2
A. xy B. – xy
21. Factorizar: M(x) = x3 – 13x + 12. Indicar un factor. A. x + 3 B. x + 1
A. B. C. D.
A. 6 B. 8
A. x + 1 B. x – 1
100
C. 7x D. x2
Señale un factor primo de: 3nx2 – 4(n – 3)x + n – 4 A. x + n B. nx + 1
2.
3.
C. 2x – 1 D. 2x + 2
Luego de factorizar: (x2 + 7x + 5)2 + 3x2 + 21x + 17, indicar un factor primo. A. x + 7 B. x + 1
4.
C. 3x + n D. 3x – 1
Factorizar: A(x; y) = (x + y)(x – y) + 2x + 1; e indicar la suma de factores primos. A. 2x + 1 B. 2x + 3
C. x + 2 D. x + 3
24. Factorizar: A(x) = x4 + 2x2 + 9. Indicar un término de un factor primo. A. x B. 8x
1.
C. 10 D. 12
23. Factorizar: F(x) = x5 + 4x4 – 10x2 – x + 6. Indicar el factor que más se repite.
(a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c) (a – b)(b – c)(c – a)(a – b – c) (a – b)(b – c)(c – a) (a + b + c)(a + b)(b + c – a)
Tarea domiciliaria
C. x – 4 D. x + 4
22. Factorizar: R(x) = x3 + 10x2 + 31x + 30. Indicar la suma de términos constantes de sus factores primos.
C. x2y2 D. x2 + y2
30. Factorizar: F(a; b; c) = a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)
C. 2 D. – 4
C. – 7 D. 4
C. x – z D. x2 + z2
29. Factorizar: F(x; y) = x4 + y4 + 2xy(x2 + y2) + 3x2y2, indicar un término de un factor primo.
20. Factorizar: M(x) = x3 – 5x2 – 2x + 24. Indicar la suma de términos independientes. A. – 3 B. – 5
C. x – 1 D. x – 2
28. Factorizar:
18. Factorizar: P(x; y) = (1 + xy)2 – (x + y)2 A. B. C. D.
(a + b + 3)(b + c + 3)(c + a + 3) (3a + b)(3b + c)(3c + a) (a + 3b)(b + 3c)(c + 3a) (a + b)(b + c)(c + a)
27. Factorizar: S(x) = (x + 1)4 + (x + 2)3 + (x + 3)2 – 7(x + 2) + 2. Indicar el factor que más se repite.
C. x + y + 2 D. x – 2y – 3
17. Factorizar: P(x; y) = 6x2 – 3y2 – 2z2 – 7xy – xz + 7yz
A. 5x – 2y + z B. 5x – 2y – z
A. B. C. D.
C. x – y + 1 D. x – y – 8
16. Factorizar: F(x; y) = 6x2 – 6y2 – 13x – 13y + 5xy + 5; indicando un factor primo.
(x2 – x + 1)(x3 + x2 – 1) (x2 + x + 1)(x3 + x2 – 1) (x2 – x + 1)(x3 + x2 + 1) (x2 + x + 1)(x3 + x2 + 1)
C. x2 + x + 1 D. 2x + 1
Luego de factorizar: ab(m + 1)(m – 1) – (a – b)(a + b) m, uno de los factores es: A. am – b B. bm – a
C. ab – m D. ab + m
TRILCE Católica
Álgebra 5.
Indicar un factor primo de: A. a + b + c B. a + b – c
6.
–
b3
C. a – b – c D. a – b + c
C. x – a D. 1 – ax
(a2
C. 2 D. – 6
C. x + n – 1 D. nx + 1
Factorizar: 1 – abc + (ab + bc + ac) – (a + b + c), e indicar el número de factores primos. A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
10. Factorizar e indicar un factor de: (a + b)(b + c) + (b + c)(a + c) + (a + c)(a + b) – (ab + bc + ac) A. a – b + c B. a – b – c
C. a + b – c D. a + b + c
11. Factorizar: a(b + c)2 + b(a + c)2 + c(a + b)2 – 4abc; e indicar la suma de sus factores. A. 2(a + b + c) B. 2(ab + bc + ac)
C. a + b + c D. ab + bc + ac
12. Factorizar: x(xy + z2 – x2) + y(xy + z2 – y2); e indicar uno de los factores. A. x + y B. y + z
C. z + x D. x + y + z
A. 2 B. 3
a 2b2
b)(a3
–
b3);
e indicar
C. 4 D. 5
14. Indicar la mayor suma de coeficientes de uno de sus factores primos: (x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) A. 30 B. 3
C. 4 D. 31
15. Factorizar e indicar uno de sus factores primos de: 2[4x(x – 1) + 1](x – 2) + 2(3x – 2) A. x + 1 B. x – 1 OO
C. x + 2 D. x – 2
Factorizar e indicar el número de factores primos
16. x3 + 2x2 – x – 2 A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
17. x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
18. Indicar la mayor suma de coeficientes de uno de los factores primos: 6x4 + 5x3 – 14x2 + x + 2 A. 4 B. 5
C. 6 D. 2
19. Indicar el factor primo de segundo grado de: P = x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 A. x2 B. 2x2
C. x2 + 1 D. x2 – 1
20. Luego de factorizar: (x + 1)4 – 5(x + 1)2 + 4; indicar la suma de sus factores primos. A. 4(x + 1) B. 2(x + 1)
TRILCE Católica
b 2 )2
13. Factorizar: + – – (a – el número de factores primos.
Al factorizar: nx2 – (n2 + n)x – x + n2 + n; se obtienen dos factores lineales, indicar un factor. A. x + n B. nx – n – 1
9.
+
b2)
Factorizar: abx2 – (2a – 3b)x – 6; e indicar el término independiente de uno de los factores. A. – 1 B. 3
8.
+ bc) +
c(a2
Factorizar: a(1 – x3) – x(a2 + a – x) + 1; e indicar el factor binómico. A. 1 + x B. ax + 1
7.
a(a2
C. 3(x + 1) D. 4x
101
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 25
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
EXPRESIONES RACIONALES MÁXIMO COMÚN DIVISOR. (M. C. D.) Dados dos o más polinomios no constantes, llamaremos máximo común divisor al factor común de menor grado.
Problemas para la clase 1.
Hallar el MCD de los polinomios:
Ejemplo:
P(x) = (x + 2)2(x – 3)4(x + 1) Q(x) = (x + 2)5(x – 3)5(x + 6)
Sea: P(x) = (2x + 7)4(x – 1)2(3x – 1)
A. (x + 2) B. (x + 2)(x – 3)
Q(x) = (2x – 1)5(3x – 1)2(x – 1)3
∴M.C.D. (P, Q) = __________________________
2.
Dados dos o más polinomio, el m.c.m. es el polinomio múltiplo
A. B. C. D.
común y no común de mayor grado. Ejemplo: P(x) = (2x – 1)(4x + 3)3 (x – 1)2
Q(x) = (3x + 1)(x – 1)(4x + 3)2
3.
FRACCIONES ALGEBRAiCAS
Denotado:
Hallar el MCD de los polinomios:
A. x + y B. x – y
Una fracción algebraica se define como la división indicada polinomios no constantes.
(x + 2)5(x – 3)5(x + 1)(x + 6) (x + 2)4(x – 3)4(x – 2) (x + 1)6(x – 1)6 (x + 2)2(x – 3)4
P(x; y) = x3 – xy2 + x2y – y3 F(x; y) = x3 – xy2 – x2y + y3 C(x; y) = x4 – 2x2y2 + y4
∴ M.C.M. (P, Q) = _________________________________
de dos polinomios “N(x)” y “D(x)”, siendo “N(x)” no nulo y “D(x)”
Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 2)2(x – 3)4(x + 1) Q(x) = (x + 2)5(x – 3)5(x + 6)
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. (M. C. M.)
Sean los polinomios:
4.
N(x) D(x) 5.
Sean “D1(x)” y “D2(x)” ≠ 0 ; se cumplen: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: N1(x) N2(x) N1(x)D2(x) ± N2(x)D1(x) ± = D1(x) D2(x) D1(x) D2(x) MULTIPLICACIÓN:
DIVISIÓN:
x+2 x+3 x+3 B. x–2
N1(x) D1(x) N1(x) N2(x) N1(x)N2(x) N2(x) = D1(x) ÷ D2(x) = D1(x)D2(x); N2(x) ≠ 0 D2(x)
TRILCE Católica
7.
C. a – 2b D. a + 2b
(x2 – 9)(x – 1) Simplificar: F(x) = 3 x – 6x2 + 11x – 6 A.
N1(x) N2(x) N1(x)N2(x) . = D1(x) D2(x) D1(x)D2(x)
C. (a2 – b2)2 D. (a2 – b2)3
Indicar el MCD de los polinomios: A(a, b) = a2 + ab – 6b2 B(a, b) = a2 – ab – 2b2 C(a, b) = a2 – 4ab + 4b2 A. a + b B. a – b
6.
C. x2 – y2 D. (x + y)(x – 3y)
Calcular el MCM de: A(a, b) = a2 – b2 B(a, b) = a2 – 2ab + b2 C(a, b) = a2 + 2ab + b2 A. a – b B. (a + b)3
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
C. (x + 2)2(x – 3)4 D. (x + 1)(x – 3)
Reducir: M = 2b a b B. 2a A.
x–2 x+3 x+1 D. x–1 C.
ab + b2 ab – b2 + ab + a2 a2 – ab b a D. b C.
102
Álgebra 8.
Reducir:
2x2 x2
x2
– 10x + 16x + 15 + 2 – 25 x + 6x + 5
A. 0 B. 1 9.
C. 2 D. 3
2 x2 + x – 2 Reducir: 2 ÷ x 2+ 7x + 12 x + 2x – 3 x + 6x + 9
Dar como respuesta la diferencia entre el denominador y el numerador de la fracción resultante. A. 2 B. – 2
C. 4 D. – 4
10. Simplificar: E = 1 –
x x 1+ x+a a
1 a 1 B. x A.
C. a D. 1
11. Reducir: A =
m3 m2 1 1 – – + m–1 m+1 m–1 m+1
A. m + 2 B. m2 + 2
C. m – 2 D. m2 + 1
12. Simplificar: S = A. B.
1 x x 2xy + + 2 x – y x + y x2 – y2
1 x+y 1 x–y
x C. x–y x D. x+y
1 1 1 13. Reducir: M = + + (x – 1) 3x + 3 2x – 2 x2 – 1 2x + 1 x–3 5x + 7 B. 6(x + 1)
5x + 7 6(x – 1) x+1 D. x–2
A.
C.
1
14. Reducir: E = b – 1–
1–
A. 0 B. 1
1
1 1–b C. 2 D. 3
(a + b)3 – (a – b)3 – 2b3 15. Reducir: E = (a + b)3 + (a – b)3 – 2a3 b a a D. b C.
A. 1 B. – 1
a2 (a + x)2 (a + y)2 16. Simplificar: F = + + xy x2 – xy y2 – xy A. 1 B. 0
C. a D. axy
17. Reducir: E = para x =
18. Efectuar: F(x) =
ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2) ab(x2 – y2) + xy(a2 – b2)
a+b a–b ;y= a b
b a B. a + b A.
TRILCE Católica
1+
1
1+
+ 1 y
3 1–
1 1–1 x
2x + 4 2x + 1 1 D. – 2 C.
A. 1 B. 2
5x – 11 , se obtuvo sumando las fraccio2x2 + x – 6 A B nes: y . Los valores de “A” y “B” son: x + 2 2x – 3
19. La fracción:
A. 5; – 11 B. – 11; – 5x
C. – 1; 5 D. 3; – 1
x3 + x2 x2 + 4x + 3 x–1 20. Reducir: 2 + – x – 2x 2 + x – x2 –2+x A. x + 1 B. x – 1 21. Efectuar: E =
C. x D. 1 y+z x+z x+y + + (x – y)(x – z) (y – z)(y – x) (z – x)(z – y)
A. 1 B. 0
C. x + y + z D. x2 + y2 + z2
22. Calcular el verdadero valor de la expresión: 3 1 E= 2 – ; para: x = 2 x – x – 2 x2 – 3x + 2 1 2 3 B. 4
2 3 1 D. 6
A.
C.
(a + b)x + (b – c)y ; es independiente cx – ay de “x” e “y”, entonces el valor constante que toma esta es:
23. Si la fracción: F(x; y) = A. 1 1 B. 2 24. De la igualdad:
C. – 1 1 D. – 2 5x2 – 3 A B C = + + x(x + 1)(x – 1) x x + 1 x – 1
Calcular el valor de: A + B – 2C A. 0 B. 1 25. Efectuar el producto:
C. 2 D. 3 1+x 1–x 3 x – + –x 1 – x 1 + x 4x 4
A. 1 B. 3
C. 0 D. 2x
26. Calcular el verdadero valor que toma la fracción: x–4 x – 1 , para: x = 2 F(x) = x+6 x– x+2 x+
A. 0 C. a – b a D. b
3
B.
2 5
16 5 4 D. 5 C.
103
Ciclo
Católica
27. Sabiendo que: a2 + b2 + c2 = 3 ab + bc + ac = 0 Calcular: S =
7.
a4 – (bc)2 b4 – (ac)2 c4 – (ab)2 + + a(a – b – c) b(b – a – c) c(c – a – b)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 9
1 1 1 28. Reducir: S = + + (a – b)(a – c) (b – a)(b – c) (c – a)(c – b) A. 0 B. 1
A. 2 B. 2,1
8.
29. Si: a + b + c = 0 Calcular: P =
30. Reducir:
c)2
C. 0 D. 8 a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
1 A. – 3 B. – 3
1 C. 3 D. 3
Tarea domiciliaria 1.
Simplificar:
a2 – b2 ab – b2 – ab ab – a2
a b b B. a A.
2.
D. 1
x3 + 4x2 – 21x Simplificar: x3 – 9x x+7 x–3 x2 + 7 B. 2 x –9
x–7 x–3 x+7 D. x+3 C.
Hallar el MCD de: A. 5x2 + 1 B. 5x + 1
4.
A = 20x4 + x2 – 1 B = 25x4 + 5x3 – x – 1 C = 25x4 – 10x2 + 1 C. 5x – 1 D. 5x2 – 1
Simplificar e indicar el numerador que resulta: 32a2 – 2 48a2 + 44a + 8 A. 4a + 1 B. 4a – 1
5.
6.
C. 8a – 2 D. 1
Hallar el valor de: A. 1 B. xy Reducir: R = A. 0 B. x
104
a x – Simplificar: E = x a a 1+ x
9.
C. – 1 a+x D. a
x+1 x–1 – Simplificar: x – 1 x + 1 x–1 x+1 – x+1 x–1 A. 1 B. 0
C. – 1 x+1 D. x – 1
10. Simplificar: B =
(3x + 2y)2 – (3x – 2y)2 (2x + 3y)2 – (2x – 3y)2 C. 24 D. 12
x2 2x3 x2 – 2 + x+1 x –1 x–1 C. x2 D. x + 1
3 1 4 – – 2a + 2 4a – 4 8 – 8a2
4 7(a + 1) 4a + 1 B. 2(a – 1)
5 4(a + 1) 3a D. a+1
A.
11. Simplificar:
C.
3 2 + x x2 1 2 – x x2
1–
C. 0
A.
3.
a)2
(a – (b – (c – + + ab(c2 – 4ab) bc(a2 – 4bc) ac(b2 – 4ac)
A. 2 B. 4
C. 7,5 D. 3,6
A. 1 a–x B. a
C. 2 D. 3
b)2
1 1 Si: a + b = 10; ba = 5, calcular: 2 a + b2
x+1 2 x+1 B. x–1 A.
12. Simplificar:
C. x – 1 D.
x–1 x2 + 2
(x2 – 3x – 4)(x2 – 5x + 6) (x2 – 6x + 8)(x2 – 2x – 3)
A. 2 B. 1
C. x D. x + 2
1 A B A 13. Si: 2 = + ; hallar: n –1 n+1 n–1 B. A. 1 1 B. 2
C. 0 D. – 1
14. Efectuar el producto: 1+x 1–x 3 x – + –x 1 – x 1 + x 4x 4 A. 1 B. 3
C. 0 D. 2x 1
15. Simplificar la expresión: 1 + 1+ m+2 m+1 3m + 2 B. 2m + 1 A.
1
1+
1 m
2m + 1 3m + 2 3m + 1 D. m+1 C.
TRILCE Católica
Álgebra 16. Simplificar:
a(a + c) + b(c – b) c(a + c) + b(a – b)
a–b b–c a+b B. c+b
b–c a–b a+b D. b–c
A.
17. Simplificar:
C.
2a3
a3 – 25a – 8a2 – 10a
a–5 A. 2(a + 1) a+5 B. a+1
a+5 C. 2(a – 1) a+5 D. 2(a + 1)
18. Indicar el numerador que resulta de simplificar: R=
2 + 2a 2 + 2a + 1+a 19. Simplificar: 1 – a 2 + 2a 2 + 2a – 1+a 1–a 1 a 1 + 2a B. 2a A. –
20. Simplificar: A. B.
x+4 x–2 4–x x–2
1–a a D. 1 C.
x2 – x – 12 x2 – 1 . 2 x2 + x – 2 x + 4x + 3 x–4 x+2 x+2 D. x–4 C.
1 b2 – a2 ab + b2 a 1 + + 2 2 + 3– 2 ab ab3 a b b a
A. 3 B. a
TRILCE Católica
C. b D. 3a
105
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 26
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
OPERACIONES CON POLINOMIOS Problemas para la clase 1.
Calcular el grado del polinomio: 8
P(x; y) = 4xn – 2 + xy5 – ny4 – n A. 4 B. 6 2.
C. 5 D. 3
Indicar el coeficiente del monomio: M(x) = 2nx5
3
x2n xn si su grado es 2n. (n ∈ ZZ+).
A. 6 B. 12 3.
C. 21 D. 24
Dar la suma de coeficientes del siguiente polinomio ordenado y completo. 3 3 P(x) = (a2 – b2)xa + b – (a – b)xa + b + ab
A. 20 1 B. – 3 4.
1 4 1 D. – 4 C.
Dados los polinomios P(x); Q(x), tal que los grados de [P3(x) . Q2(x)]; [P(x) . Q3(x)]; son 22 y 12 respectivamente. Hallar el grado de: H(x) = P2(x) . Q3(x) + P3(x) . Q3(x) A. 40 B. 24
5.
Sea “P” un polinomio, tal que: P(2 – x) ≡ P(– x) + x – (P(1 – x)), si la suma de coeficientes de “P” es “k” y su término independiente es 2k. Además: P(2) = 4 – k. Calcule P(2) + k. A. 2 B. 4
6.
8.
C. 7 D. 13
En el polinomio: P(x + 1) = (3x + 2)2n(5x + 7)2(4x + 7), se observa que: 3(Scoef.) = 343 veces el término independiente. Calcular el valor de “n”. A. 3 B. 8
7.
C. 22 D. 10
C. 1 D. 4
9.
¿Qué valor debe tener “m”, para que: 5x2 + 2x – 4 sea divisor de: 5x3 – m(x2 + x – 1)? A. 23 B. 16
C. 2 D. 8
10. Calcular (A + B – C), si la siguiente división: Ax5 + Bx4 + Cx3 + 27x2 + 19x + 5 es exacta. 4x3 + 3x + 1 A. 41 B. 21
C. 11 D. 10
11. Al dividir un polinomio P(x) entre x + 2, se obtiene como resto – 6 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. El resto de dividir dicho polinomio entre x – 1 es: A. 4 B. 2
C. 5 D. 3
12. Qué valor adquiere
n + 19 x19 – nx + k , si la división 2 es k+1 x – 2x + 1
exacta. A. 1 B. 2
C. 19 D. 38
13. Determinar el resto de dividir: (x – 2) 3(x + 2) entre (x – 2)(x – 3). A. – 50 B. – 50x + 100
14. Hallar el resto de dividir: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)(x – 6) entre x2 – 7x + 11 A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
15. Hallar el residuo de dividir: A. 2x – 1 B. 3x + 2
16. Si: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 es divisible por (x – a); (x – b) y (x – c) en forma indistinta, halle el residuo de: P(x) ;a≠b≠c 1 1 1 – – x– ab bc ca
A. 2 B. 0
A. 1 B. 2
ax5 – 5x4 – ax3 + mx2 – ax + p es x4 – kx2 – 1 exacta. Hallar: E = mk – p La división siguiente:
A. 0 B. – 1
TRILCE Católica
C. 2 D. 1
(x – 2)2015 + (x – 1)2014 + 7 (x – 2)(x – 1) C. 2x – 4 D. 2x + 4
Sabiendo que: F(x) = – x2 + x + m y G(x) = x + 3; hallar “m” de manera que: F(G(F(2))) = – 1. Indicar el mayor valor. C. 1 D. – 1
C. 50x – 100 D. 5x – 10
C. 0 D. 3
17. Factorizar e indicar un factor primo de: a3 + 9b3 + 3(a2b + ab2) A. (a2 – 3b) B. (a2 + 3b)
C. (a + 3b) D. (a – 3b)
106
Álgebra 18.
Factorizar 30x4 – 92x2 + 32 e indicar un término independiente y el coeficiente principal de uno de ellos. A. 10 y – 8 B. 10 y 3
29. Efectuar: M =
C. – 8 y 3 D. 6 y 4
19. Factorizar e indicar el término independiente de uno de los factores primos de grado “n” en: P(x) = xm + 2n + 7xm + n + 10xm. A. 0 B. 1
A. x B. y
A. 5 B. – 5
C. 2 D. – 2
7x – 1 ; se obtuvo sumando las fraccio1 – 5x + 6x2 A B nes ; ; calcular (A . B) 1 – 3x 1 – 2x A. 20 B. – 20
1.
2.
A. (x + 5) B. (x + 6)
3.
C. (x + 7) D. (x + 8)
C. (3x + 2y) D. (y + 6x) x4
4.
A. 1 B. 2
5.
x.
x.
C. 25 D. 28 (xy)2[x2y2]4[x3y3]3 (xy)18
Si el polinomio completo es de (4 + a) términos.
6.
3x4 – x3 + 2x2 + ax +a ; el residuo x2 + x – 1 no es de primer grado. Hallar el valor de “a”.
Luego dar como respuesta la suma de los factores primos 7.
A. (a + b + c) B. (a – b – c)
TRILCE Católica
D. (ab + c)
Calcular el resto de dividir: A. 126n7 B. 3n7
28. Factorizar e indicar un factor primo en: 8.
C. 23 D. 24
En la siguiente división:
A. 12 B. 11
A(a, b, c, d, e) = a3b3 + a2b2c + a2b2d + abcd
a2 – b2 – c2 + 2(a + b – c + bc)
C. 2 D. 4
Halle el grado absoluto del polinomio:
A. 21 B. 22
27. Factorizar:
C. 3ab + c + d D. a + b + c
x C. y D. xy
Sabiendo que es homogéneo y además GRx(S) es menor que GRy(S) en dos unidades.
a4 – 2(b2 + c2)a2 + (b2 – c2)2
A. ab + c + d B. ab + cd
xm = x5; x > 0
S(x; y) = 7xm + nyn + 2xm + 6yn + 4
C. 3 D. 4
C. a + b – c D. 4a
3
A. 0 B. 3
26. Señalar la suma de los factores primos de:
A. a + b + c B. 2a + 3b + 4c
C. m3 D. m4
Calcular “m” en:
Reducir: M =
21
Hallar el valor de “a”.
C. 3 D. 6
25. Factorizar: P(x, a, b) = x2 + 2ax + 2b(x + a) + a2 + b2, luego indicar la multiplicidad de un factor primo.
3
P(x) = 2ax2a + (2a – 1)x2a – 1 + (2a – 2)x2a – 2 + ...
2x2
24. Factorizar: P(x) = + + 9 e indicar la suma de los términos independientes de los factores primos. A. 1 B. 2
m )2 m )
A. 2 B. 1
23. Factorizar: R(x; y) = 4x4 + 15x2y2 – 54y2 e indicar un factor primo lineal A. (x + 6y) B. (2x + 3y)
73 3 (
A. 20 B. 24
22. Un factor primo repetido en: P(x) = (x + 5)(x + 6)(x + 7) + (x + 5)(x + 6) + x + 5 es:
Reducir: L = ( A. m B. m2
F(x, a) = (x2 – 3ax + a2)2 + ax(2x2 – 6ax + 2a2), se obtiene: C. 2(x2 – ax + a2) D. x2 – 3ax + a2
C. – 5 D. – 4
Tarea domiciliaria
21. Luego de sumar los factores primos de:
A. 2(x – a)2 B. 2x2 + 3ax – a2
C. xy D. 0
30. La fracción
C. 2 D. 3
20. Factorizar: A(x; y) = (x – 3)2 – 2(x – 3)(y – 2) – 3(y – 2)2. Luego dar como respuesta la suma de los términos independientes de cada factor primo
x+y x+y –1 –1 xy–1 + 1 + yx–1 + 1 + x + y
C. 13 D. 16 (x + n)7 – x7 – n7 x + 2n C. 62n7 D. 128n7
Calcular el resto de dividir: x160 + x5 + 2x13 – 1 entre x4 – 1 A. 3x B. 2x – 1
C. 2x + 1 D. 3x – 1
107
Ciclo
Católica
9.
El polinomio P(x) es divisible por 5x2 + 16x + 12, entonces, el residuo que se obtiene de dividirlo entre x + 2 es: A. P(2) B. 2
C. 5x D. 0
10. Factorizar: F(x; y) = x5 – 8x2y3 – x3y2 + 8y5 e indicar un término de uno de sus factores primos A. x3 B. 2x2y
C. 2xy D. 4y2x
11. La suma de los factores primos que se obtiene al factorizar: F(x, y, z) = x2 + y2 – z2 – 2xy + 18z – 81, es: A. 2x + y B. 2x – 2y 12. Resolver:
C. 2xy D. 3x – y
x+2 x–5 2 – (x + 3x – 4) x–1 x+4
A. 12x + 3 B. 12x
D. 3
13. Factorizar: P(x; y) = 12(x + 3)(y + 3)(x + y + 3) + x2y2 Indicar el número de factores primos. A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
14. Factorizar: P(x) = x8 + x4 + 1. Indicar el número de factores primos. A. 1 B. 2
108
C. 3 D. 4
15. Factorizar: P(x) = x4 + 10x2 + 49. Indicar un factor primo. A. x2 + 2x + 7 B. 20x
C. x2 – x + 1 D. x2 + 7x + 2
16. Factorizar: M(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24. Indicar un factor primo. A. x + 5 B. x + 10
C. x + 9 D. x + 4
17. Factorizar: P(x) = 4x6 – 28x5 + 35x4 + 35x3 – 49x2 – 7x + 10. Indicar un factor primo. A. 2x + 1 B. 2x – 7 18. Simplificar: S = 1 x+y x+3 B. x–2 A.
C. 2x – 3 D. 2x + 5 x 1 x 2xy + + 2 x – y x + y x2 – y2 x–2 x+3 x+1 D. x–1 C.
(x2 – 9)(x – 1) 19. Simplificar: F(x) = 3 x – 6x2 + 11x – 6 x+2 x+3 x+3 B. x–2 A.
20. Simplificar: F = A. 1 B. 2
x–2 x+3 x+1 D. x–1 C.
a2 (a + x)2 (a + y)2 + + xy x2 – xy y2 – xy C. a D. axy
TRILCE Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 27
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
REPASO DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIÓN
ECUACIÓN INCOMPATIBLE
Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos una variable y que se verifica para un determinado conjunto de valores asignados a sus variables.
Es aquella que no tiene ningún elemento en su conjunto solución, es decir, su conjunto solución es vacío.
Ejemplos:
Ejemplos: OO
0x = 5
OO
1 =0 x+2
OO
x3 – 5x2 + 3 = 0
OO
5 1 + =0 x x–2
ECUACIÓN LINEAL (Ecuación de 1er grado)
OO
–3 x–3–x=0
Es aquella ecuación polinomial de la forma: ax + b = 0 ; a ≠ 0
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Ejemplos:
Es aquel valor que toma la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad.
OO
x2 = 9
1.
7x – 5 = 0 ⇒ C.S. = {5/7}
Hallar “x”: 2x – 7{(2x + 4) – 3(x + 2)} = 3x – (– (– x)) + 8
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN (C.S.)
A. –
Es la reunión de todas las soluciones particulares que presenta la ecuación.
B. 2.
Ejemplo: OO
OO
Problemas para la clase
Ejemplo: OO
3x + 9 = 0 ⇒ C.S. = {– 3}
x3 = x ⇒ C.S. = {
}
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SEGÚN SUS SOLUCIONES
7 5
6 11
Si al resolver: 4x – (2x + 3)(3x – 5) = 49 – (6x – 1)(x + 2), se obtiene la fracción irreductible x = a/b entonces a + b es: A. 12 B. 13
3.
ECUACIÓN COMPATIBLE
II.
A. Ecuación compatible determinada
C. 10 D. 14
Averiguar la verdad (V) o falsedad (F) de cada proposición. I.
Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución. Se subdivide en:
6 7 6 D. – 11 C. –
La solución de la ecuación: x – x2 – 8 = 4 es x = 3.................................................................. ( ) 2x + 5 x + 2 La ecuación: es compatible dex+3 =x+3 terminada.......................................................... ( )
Es aquella que tiene un número limitado de elementos en su conjunto solución.
III. La ecuación: 2x + x = x – 4 tiene solución única................................................................. ( )
Ejemplo:
A. V V F B. V F V
OO
x2 – 1 = 0 ⇒ C.S. = {1, – 1}
B. Ecuación compatible indeterminada
4.
Es aquella que tiene un número ilimitado de elementos en su conjunto solución. Ejemplos: OO OO OO
0x = 0 x=x x+2=x+2
TRILCE Católica
Calcular “x” de: 3(x – 4) + (x + 3)(x – 7) = (x + 5)2 – 3, e indicar el valor numérico de: E = x + 1x + 7 A. 16 B. – 4
5.
C. F V V D. F F F
C. – 5 D. 6
Hallar “x”: (3x – 1)(x2 + 2) – x2(x – 13) = 2x3 – 3(x – 4x2) + 1 A. 3 B.
1 9
C. – D.
1 3
1 3
109
Ciclo
Católica
6.
¿Qué tipo de ecuación es: A. B. C. D.
7.
Resolver para “x”:
2x – 1 x – 1 x 2x – 3 x + = + – 3 2 6 4 3
1 10 19 B. 10
C. 2a D. – a
En la ecuación: 2[a(x + b) + b(x + a)] = (x + a)(x + b) – x2, se obtiene para “x” el valor: 4ab a–b 3ab B. a–b
15. Resolver: A.
a–1 1 + x = 3a – 2 a 2
3ab a+b 5ab D. a+b
A.
9.
x + 6 = 1?
Compatible determinada Compatible indeterminada Incompatible No es ecuación
A. a a B. 2 8.
x+1–
C. –
16. Resolver:
C. –
D. 10 1 1 1 1 + – = 2x 4 10x 5
A. – 1 B. – 2 17. Hallar “x” de:
C. 2a D. a + 1
10. Resolver para “x”: (a + x)2 – a(a – 1) = x2 + a2 a+1 2 a–1 B. 2 A.
C. a 1–a D. 2
11. Para qué valor de “x” en términos de “a” y “b” se obtiene A = B; donde: A = 2[a(x + b) + b(x + a)] B = (x + a)(x + b) – x2 ab a+b 3ab B. – a+b A. –
12. Resolver:
3ab a–b 3ab D. a+b
18. Resolver: 1 +
7 2 13 B. 4 A. –
C. D.
– 7 3
19 6
13. Indicar el valor de “x” que haga posible la igualdad. 2 x+2 x (x – 1) – = – (x – 5) 3 4 2 74 11
A. 7
C.
B. 8
D. 10
14. Despejar el valor de “x” para que verifique: x+1 4 3 8 + = + x + 2 2x + 1 5 4x + 2 1 4 1 B. 2 A.
110
2 3 1 D. 5 C.
a(a – x) b(b + x) – =x b a C. a D. b 1 =2 1 1 +1 1 2 + 2 x
1 3 B. 3
2 3 D. – 3
A.
C.
19. Resolver para “x”:
ax bx + 2ab = + a2 – b2 a+b a–b
A. a2 + b2 B. a2 – b2
C. 2a2 + b2 D. a2 + 2b2
20. Hallar “x” para obtener A = B donde: A=
C.
2x – 3 x + 1 x – 1 – = 3 10 6
C. – 6 D. – 8
A. a + b B. a – b
Hallar “x”, si: (a – 1)(x + a) – 2a(a – 1) = 2a(x – a) A. a B. – a
19 18
x+7 x+5 x+3 x+9 3 + 5 ;B= 3 + 5 2– 2– 2– 2– 2x – 3 x–4 2x – 3 x–4
3 7 7 B. – 3
3 7 7 D. 3
A. –
C.
21. Dado: ax + b = 0; a ≠ 0, si “b” aumenta en 2 ¿en cuánto aumenta “x”? A. – B.
3 b
2 a
22. Resolver: 4x +
4 b 5 D. b C.
12 – 4x = 5x – 4; indicar el conjunto
solución. A. 2 B. 4
C. 8 D. f
x+1 x–1 – 1 23. Resolver: x – 1 x + 1 = 2 x+1 1– x–1 A. – 0, 2 B. – 0, 5
C. – 0, 25 D. 0, 25
TRILCE Católica
Álgebra x–1 x–6 x–5 x–2 + = + x–2 x–7 x–6 x–3
24. Resolver:
2.
9 2 11 D. 2
A. 2 B. 5
C.
A. 4 B. 5
3.
C. 3 – b D. a + 3
4.
1 2
C. – D.
(a + (a –
– –
(a2 (a2
+ +
b2)x b2)x
1 3
1 2
– 2abx + ab(a + b) = + 2abx – ab(a – b)
A. – a
5.
28. Hallar “x” en:
a2 a2
6. + ab – a – b + a – b – ab
2 m+n 6 B. m+n
7.
3 m+n 5 D. m+n C.
8.
30. La solución de la ecuación en “x”: a+x b+x x–a x–b + = + 1 + a + ab 1 + b + ab 1 – a + ab 1 – b + ab A. ab B. ab + 1
C. ab – 1 D. a + b + ab
Tarea domiciliaria 1.
Al resolver: 2x – 5 = x – (7 – x), la ecuación es: A. B. C. D.
compatible. compatible indeterminada. incompatible. compatible determinada.
TRILCE Católica
Resuelve en “x”:
Resolver:
a – 1 1 3a – 2 2 + = ;a≠ a 2 x 3 C. – a D. 2a
x + a – b x + b – a b2 – a2 – = ;a≠b a b ab C. ab D. a – b
De la ecuación lineal mostrada: (m2 – 1)x + 14 m x – m + 8 + = 6 6 3 ¿Qué se puede afirmar respecto del parámetro “m” si esta admite solución única?
x + a x – a 4bx + a – b – = x–a x+a x2 – a2 C. b 1 D. 4
C. 4 D. 2
A. a + b B. 2(a + b)
29. Sabiendo que a ≠ b, resolver la ecuación:
A. a a+b B. 4
5 1 5 1 +x–3 =1 x–2 12 3 8 2
A. a a B. 2
m m+n n = – mx – 1 (m + n)x – 1 nx – 1
A.
Resolver: 1 A. – 4 B. – 2
C. ab a D. – b
B. a + b
4 b 2 D. – a C. –
B. – ab
27. Resolver la ecuación en “x”: b)x2 b)x2
Calcular el valor de “x” en:
A. a
se reduce a una de 1er grado en “x”?
B.
a–1 a+2 a+2 D. a–1 C.
(a + b)x + (a + 4) = (a – b)x + (a – 4); b ≠ 0
2nx – 3 3nx – 2 + = 2n + 1; x+1 x–1
1 3
Resolver en “x”: a(x + a) – x = a(a + 1) + 1, si a ≠ 1 A.
26. ¿Para qué valor del parámetro “n” la ecuación:
A. –
C. 7 D. 10
a+1 a–1 a+1 B. a+2
x 1 x a+3 25. Resolver: 2 + – = a + ab x + 3 ax + 3a ax + 3a + bx + 3b A. – a B. b – 3
Si la ecuación: ax + b = a – bx + 7x – 3 es compatible indeterminada, calcular el valor de “ab”.
A. m ≠ 4 B. m ≠ – 2 9.
C. m ≠ 2 ∧ m ≠ – 2 D. m ≠ 2
1
x(x – 2) + 72 7 x2 + 4x + 2 Resolver: 42 = 7 2 + x + 2(2x + 1) x2 – 2x + 49 A. 16 B. 47
47 – 6 47 D. 6 C.
10. Indicar verdadero (V) o falso (F) en cada proposición: 10 5x La ecuación: 2 = es compatible dex – 4 4 – x2 terminada............................................................ ( ) II. La ecuación: (2x – 3)2 = 4(x – 1)(x – 2) + 1 es compatible indeterminada.................................. ( ) III. La ecuación: x + 2 = x + 2 tiene solución única................................................................... ( ) I.
A. F F F B. V V V
C. F V V D. F V F
111
Ciclo
Católica
11. Resuelve en “x”: (a + b) A. 2 B. 3
a + bx a – bx a – bx – = ; a+b a–b a–b C. 4 D. 5
OO
Resolver las siguientes ecuaciones en “x”:
15.
x + m x + n m2 + n2 – = – 2; m ≠ n m n mn A. m + n B. m – n
12. Resuelve en “x”: x–a x–a–1 x–b x–b–1 x–a–1–x–a–2=x–b–1–x–b–2 a+b 2 a+b B. 3 A.
a+b+3 2 a+b+2 D. 2
16.
17.
x2 – 6x + 10 x – 3 2 13. La solución de la ecuación: 2 , es: x + 8x + 17 = x + 4 A. – B. 2
1 2
C. – 1 D. – 2
14. Encuentre un valor para “a”, para el cual la ecuación en a–2 2 “x” no tienen solución: x–1=x+1 A. 1 B. – 1
C. 4 D. – 4
x+2 x+3 = x+4 x+5 A. 5 B. 10
C.
C. 29 D. 30
10 3x 7 + – =3 x2 – 9 x + 3 x – 3 A. – 3 B. – 1
112
C. 3 D. 1
1 + 3 + 5 + … + (2x – 1) 28 2 + 4 + 6 + … + 2x = 29 A. 27 B. 28
20.
C. – 4 D. 6
3(x2 + 9) 2x + 3 x – 6 = + x2 – 9 x–3 x+3 A. IR B. IR – {– 3; 3}
19.
C. f D. 15
2x – 5 2(x – 1) 3 3(2x – 15) 2x – 6 + x – 3 = 8 + 4x – 12 A. – 7 B. 5
18.
C. n – m D. m
C. 1 D. 2
TRILCE Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 28
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
REPASO DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Es aquella ecuación polinomial de la forma:
OO
Reconstrucción de la ecuación: x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0
ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0
x2 –
Resolución: 1.
Sx
+ P
=0
RAÍCES SIMÉTRICAS
Por factorización
Si x1 y x2 son raíces simétricas se cumplirá: x1 = A x2 = – A
Ejemplo:
b ⇒ x1 + x2 = 0 ⇒ – = 0 ⇒ a
Resolver: 6x2 – 17x + 12 = 0
b=0
RAÍCES RECÍPROCAS 2.
Por fórmula Sea P(x) =
ax2
Si x1 y x2 son raíces recíprocas se cumplirá: x1 = A x2 =
+ bx + c / a ≠ 0
b ⇒ x1 + x2 = 1 ⇒ – = 1 ⇒
Fórmula general de la ecuación cuadrática
x1, 2 =
–b ±
a
b=a
RAÍZ NULA
b2 – 4ac 2a
En la ecuación cuadrática de la forma: ax2 + bx + c = 0, se tendrá una raíz nula x = 0, es decir se cumplirá:
Ejemplo: Resolver: x2 – 2x + 2 = 0
c=0
DISCRIMINANTE (∆)
ECUACIONES EQUIVALENTES Si las ecuaciones de segundo grado tienen las mismas raíces se cumplirá:
∆ = b2 – 4ac NATURALEZA DE LAS RAÍCES ax2
a1x2 + b1x + c1 = 0 a2x2 + b2x + c2 = 0
+ bx + c, (a > 0)
OO
Si ∆ > 0 → las raíces son reales y diferentes
OO
Si ∆ = 0 → las raíces son reales e iguales
OO
Si ∆ < 0 → las raíces son complejas y conjugadas
Sea: OO
Suma de raíces (S):
1.
+ bx + c = 0; a ≠ 0 de raíces x1, x2
OO
Producto de raíces (P):
OO
Diferencia de raíces (D):
x1x2 = P =
–
b a
2.
= 4P
Resolver: 5x2 + 7x + 1 = 0. Señalar la suma de soluciones. 7 5 1 B. 5
3.
D2
C. – 8 D. 6
1 5 7 D. – 5
A.
c a
(x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1x2 S2
En la ecuación: x2 + 6x – m = 0; hallar “m”, si una raíz es – 2. A. – 1 B. – 4
x1 + x2 = S = –
c1 c2
Problemas para la clase
A. OPERACIONES BÁSICAS CON RAÍCES: ax2
(1) (2) a1 b1 = = a2 b2
PROPIEDADES GENERALES:
C. –
Resolver: 3x2 – 6x – 1 = 0 A. 3 ± 2 3
C.
B. 3 ± 3
D. 2 ± 3 3
3
3
TRILCE Católica
1 A
3± 3 3
3
113
Ciclo
Católica
4.
Si la ecuación: (b + 5)x2 + 3bx + b = 0, presenta raíces iguales. Hallar “b”. A. 6 B. – 2
5.
C. 4 D. 8
Formar una ecuación de segundo grado, sabiendo que sus raíces son: x1 = 7 + 2; x2 7 – 2 x2
A. – 14x + 49 = 0 B. x2 – 14x + 45 = 0 6.
x2
C. – 14x + 47 = 0 D. x2 + 14x – 47 = 0
En la siguiente ecuación, hallar la suma de raíces: x(x + 2) + 5 = 3(2 – x) + x A. 2 B. – 2
7.
Resolver la ecuación: x2 – 7x + 12 = 0 y dar como respuesta el producto de las raíces dividido entre la suma de las raíces. 7 12 12 B. 7 A.
8.
7 12 12 D. – 7
B.
25 9
9 25 1 D. 4 C.
Dada la ecuación: 9x2 + 5x + 1 = 0 con raíces “x1” y “x2”. Calcular “k”, si: 3(x1x2)k – 4 = 1 9 A. 2 7 B. 2
5 C. 2 D. 4
10. Hallar el valor de “k” que hace que la suma de las raíces de la ecuación: x2 + kx + 2x – k2 + 4 = 0 sea igual al producto de las mismas. (k < 0) A. – 3 B. – 2
C. 0 D. – 1
11. Hallar “m”, si la ecuación presenta raíz doble. x2 – (m + 1)x + 25 = 0 A. 1 B. 2
C. 3 D. 9
12. Si la ecuación: ax2 + bx + c = 0, tiene raíces simétricas “x1” y “x2”, calcular: M = x12001 + x22001 A. 0 B. – 1
C. – 2 D. 2
13. Calcular la suma de raíces de la ecuación: x2 – ∆x + ∆ = 0 ∆ > 0. ∆: Discriminante. A. 3 B. F. D.
114
A. 1 B. –1
C. 4 D. –2
15. Formar una ecuación de segundo grado que tenga por una de sus raíces: – 5 + 7 4
8x2
A. + 20x + 9 = 0 B. 16x2 + 20x + 9 = 0
C. 5 D. – 2
C. 8x2 + 40x + 9 = 0 D. 16x2 + 20x + 18 = 0
16. Formar la ecuación de segundo grado, si tiene por raíces: M ± M2 – 1 A. 2x2 – Mx + 2 = 0 B. 2x2 – 4Mx + 2 = 0
C. 2x2 – 2Mx + 1 = 0 D. 2x2 – 2Mx + 2 = 0e)
17. Indique el mínimo valor entero que puede tomar “a” para que una de las raíces de la ecuación:
C. –
Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10. (m – 2)x2 – (m + 5)x + 8 = 0 A. 25
9.
C. 4 D. – 4
14. Determinar el valor de “p” para la siguiente ecuación: x2 – 6x + 4 + p = 0 sabiendo que la diferencia de sus raíces es 2.
x2 + (3 – 2a)x – 6a = 0 sea mayor que 18. A. 8 B. 9
C. 10 D. 7
18. Si “a” y “b” son raíces de la ecuación: x2 – 6x + c = 0, a2 + b2 + 2c es igual a: entonces el valor de: M = 9 A. 3 B. 6
C. – 6 D. 4
19. Hallar el valor de “k”, en la ecuación: (k – 1)x2 – 5x + 3k – 7 = 0 para que una de las raíces de la ecuación sea la inversa multiplicativa de la otra. A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
20. Para que una de las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0, sea el triple de la otra, entonces la relación de coeficientes es: A. 16b2 = 4ac B. 3b2 = 16ac
C. 16b2 = 3a D. 9b2 = 16ac
21. Sea la ecuación cuadrática: x2 – mx + m – 1 = 0, indicar la diferencia entre el mayor y menor valor de “m”, si el discriminante es igual a la suma de raíces. A. 2 B. 3
C. 1 D. 0
22. Calcular el valor de “m” no nulo para que una raíz de la ecuación (1) sea el triple de una raíz de la ecuación (2). x2 – 11x + m = 0... (1) x2 – 9x + m = 0... (2) A. 12 B. 24
C. 18 D. 26
TRILCE Católica
Álgebra 23. Calcular “a/b”, si las ecuaciones:
2.
A. 2, 1 B. 2, –11
2ax2 – (8b – 3)x + 18 = 0 x2 – (2b + 5)x + 6 = 0 son equivalentes (tienen las mismas raíces). 1 6 3 B. – 2
3.
1 2 9 D. – 2
A.
C. –
Resolver: (x + 3)2 + (2x – 5)2 = 3(x – 1) + 23, e indicar una raíz.
B. –
C. a D. 3a
4.
Resolver: x + x – 2 = 4 A. – 3 ∨ – 6 B. 3 ∨ 6
5.
Resolver: A. B.
x2 + 3x n – 1 = son simétricas. 5x + 2 n + 1 C. 3 D. 2
6.
2
C. 21 D. 23
28. Si “p” y “q” son las raíces reales de la ecuación: x2 + x – 1 = 0 y las raíces de la ecuación cuadrática: x2 + ax + b = 0; son: 1 1 x1 = p – ; x2 = q – . Hallar “ab”. q p C. 8 D. – 8
A. a + b B. c
1 1 1 1 + = – a+b c x+a+b+c x
C. – (a + b) D. 1
30. Si: a1 y a2 son raíces de la ecuación:
x2
– 2px + 4q = 0
Además b1 y b2 son raíces de la ecuación: x2 + px + q = 0. Hallar el valor de: E =
(a1)2 + (a2)2 (b1)2 + (b2)2
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
Tarea domiciliaria 1.
TRILCE Católica
C. 2 5 D. 2 61
La solución de la ecuación:
2x +
6x2 + 1 = x + 1, es:
C. 2 D. 0; – 2
Resolver: x + 2x + 1 = 5
8.
Resolver:
2x – b 2bx – b2 = 2 3x
A. 2b, b b b B. , 3 2 9.
C. 4 D. –4
2b b , 3 2 D. – b, 2b C.
Determinar la menor de las raíces de: x2 – 5x + 2 12 – x2 – 5x + 2 2 = x2 – 5x + 2 A. –6 B. 4
10. Si: x2 + bx + c2 = 0; b, c ∈ es verdadera:
C. 7 D. –2 . Indicar cuál de las siguientes
I. Si: c = 0 una de las raíces es cero. II. Si: b = 0, entonces una de las raíces es “c”. III. Si: b > c > 0, entonces no existen raíces reales. A. V F F B. V V V
C. V V F D. V F V
11. Resolver: 3x2 – 4x + 34 + 3x2 – 4x – 11 = 9 5 3 5 B. 3 y – 3 A. 3 y
5 3 5 D. –3 y – 3 C. – 3 y
12. Resolver: x2 – 5x + 2 x2 – 5x + 3 = 12
Resolver: x(x + 3) = 5x + 3 A. 3, –1 B. –3, 1
7.
C. 3x2 + 7x + 5 = 0 D. x2 + 2x + 3 = 0
29. Hallar una de las soluciones de:
5 61
A. 144 B. 144 ∨ 4
27. Dada la ecuación: 5x2 + 7x + 3 = 0. Determinar la ecuación de segundo grado que tiene por raíces las inversas de las raíces de la ecuación.
A. 6 B. – 6
x–2 x+2 + = 3 e indicar la mayor raíz. x+2 x–2
2
Calcular el valor de: M = x1(x1 + 1) + x2(x2 + 1).
A. x2 + 7x + 5 = 0 B. 2x2 + 7x + 5 = 0
C. 3 ∨ – 6 D. 3
A. 0 B. 0; 2
26. Si “x1” y “x2” son las raíces de la ecuación: x2 – 3x + 1 = 0. A. 6 B. 19
7 5 2 D. – 5 C.
7 5
25. Para qué valor de “n” las raíces de la ecuación:
A. 5 B. 4
C. 2, –1 D. – 2, 11
A. –2
24. Sean “S” y “P” la suma y el producto de raíces de la ecuación de incógnita “x”: (k – a)(x2 – x) = – (k + a) si: S < P; son números consecutivos. Hallar “k” en función de “a”. A. – a B. 2a
Resolver: 3(3x – 2) = (x + 4)(4 – x)
C. 3, 1 D. –3, –1
A. 1 B. 3
C. 5 D. 6
115
Ciclo
Católica
13. Calcular “m” si en la ecuación: 2x2 + (m – 1)x + (m + 1) = 0, sus raíces difieren en 1. A. 1 B. – 1
C. 6 D. 11
14. Siendo “x1” y “x2” las raíces de la ecuación: 2mx2 + 2(m + 1)x + (m – 1) = 0 Calcular “m” si se cumple la siguiente relación: x1 x1 x2 + x2 = 7; m > 0
17. ¿Para qué valor de “m” la ecuación: x2 – 2 (3m + 1) x + 7 (2m + 3) = 0, tendrá sus dos raíces iguales? A. 5; 2 B. 4; –2
10 C. 2; – 9 3 D. 1; – 2
18. En las siguientes ecuaciones: x2 – 5x + k = 0 …… (I) x2 – 7x + k = 0 …… (II)
Señale como respuesta el valor de: mm + 2m
una raíz de la ecuación (I) es la mitad de una raíz de la ecuación (II), luego el valor de “k” es igual a:
A. –3 B. 0
A. 8 B. – 6
C. 5 D. 8
15. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes reales si una de sus raíces es 5 – 3. A. x2 + 10x + 22 = 0 B. x2 – 10x + 22 = 0
C. x2 – 10x – 22 = 0 D. x2 + 10x – 22 = 0
16. Sabiendo que las raíces de la ecuación: x2 – (3n – 2)x + n2 = 1 son números enteros y una de ellas es el triple de la otra, éstas son: A. 1 y 3 B. 3 y 9
116
C. 6 D. 12
19. Sea el polinomio P(x) = – x2 + kx – 3. Si P(1) = 6, ¿qué valor no puede tomar el polinomio? A. 0 B. – 3
C. 10 D. 25
20. El producto de los valores de K para que la ecuación: 3x2 + 4 (x – 1)K + 2x = 0, tenga solución única es: A. – 4 1 B. 4
1 C. 2 D. 2
C. 2 y 6 D. 4 y 12
TRILCE Católica
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TRILCE
ÁLGEBRA Semana 29
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
REPASO DE SISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMAS LINEALES Se llama sistema de ecuaciones, o, sistema de ecuaciones simultáneas al conjunto de dos o más ecuaciones que se verifican para un mismo valor de la, o, las incógnitas.
Luego entonces para un sistema:
Por ejemplo:
5x + 2y = 7 5x – y = 3
Consta de 2 ecuaciones: 5x + 2y = 7........................ (I) 5x – y = 3........................ (II)
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS LINEALES SISTEMAS COMPATIBLES Es aquel sistema de ecuaciones que si admite soluciones. Estas a su vez podrán ser: 1.
Sistema Compatible Determinado
Al resolver obtenemos: C.S = f MÉTODOS DE SOLUCIÓN A continuación veremos diversos métodos para encontrar la solución, si la hay, de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. En general, cualquier sistema puede resolverse por cualquiera de los métodos descritos, pero en la práctica, dependiendo de la forma que tengan las ecuaciones, será mas fácil aplicar un método que los otros, por ello es bueno que dominemos todos y saber sacarle provecho a cada uno de ellos en los casos particulares.
OO OO OO
Luego entonces para un sistema: Ax + By = C Dx + Ey = F
SISTEMAS NO LINEALES
x+y=2 ; –x + y = 4
x2 + y2 = 16 ; x+y=5
Al resolver obtenemos: C.S. = {–1; 3} Sistema Compatible Indeterminado Si presenta un número infinito de soluciones. Un sistema de este tipo se reconoce cuando existen más incógnitas que ecuaciones. Luego entonces para un sistema:
Ax + By = C Dx + Ey = F
Problemas para la clase 1.
Resolver el sistema:
5x + 3y = 8 3x + 2y = 3
Dar el valor de “xy”. A. 20 B. – 25
x+y=2 ; –x – y = –2
Al resolver obtenemos: C.S. =
x – y = 5; … x+y=5
Para resolver este tipo de sistemas no existe un método general, sin embargo de acuerdo a la forma que presenta el sistema, se resolverá utilizando capítulos anteriores ya vistos como productos notables, factorización, diversos artificios.
A B C = = D E F Por ejemplo:
Método de Igualación. Método de Sustitución. Método de Reducción.
Es un conjunto de dos o más ecuaciones en el cual las expresiones matemáticas que intervienen en el sistema pueden ser algebraicas o no algebraicas, como:
A B C ≠ ≠ D E F
2.
2x + y = 4 ; 2x + y = 3
Estos métodos son:
Si presenta un número finito de soluciones. Puede observarse que en estos sistemas existen igual número de ecuaciones que de incógnitas.
Por ejemplo:
Ax + By = C Dx + Ey = F
A B C = ≠ D E F
Ejemplo: El sistema:
Quinto Católica
2.
Si el sistema:
C. – 56 D. – 63 (2a + 5)x + 5y = 7a 3x + (a + 2b)y = 7
SISTEMAS INCOMPATIBLES
admite infinitas soluciones. Calcular: M = ab – aba
Son aquellos que no admiten solución alguna. Generalmente en estos sistemas el número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas.
A. – 150 B. – 90
TRILCE Católica
C. 90 D. 150
117
Ciclo
Católica
3.
Dar el valor o valores de “n” que hacen que el sistema: 3x + (n – 1)y = 12 (n + 6)x + 6y = n sea inconsistente. A. 1; 3 B. 3
4.
C. 3; – 8 D. – 8
x+y–z=3 Resolver el sistema: x – y + 2z = 8 z2 – 4 = 5 indicar el número de soluciones. A. 3 B. 2
5.
C. 5 D. 4
Resolver el sistema:
A. 3 B. 2
C. 4 D. 5
Si el siguiente sistema admite como solución: x = 2; y = 3. Hallar “a + b”. ax – y = 1 bx – 2y = 4 A. 3 B. – 2
7.
C. – 4 D. 7
(a + 1)x + 5y = 7 Calcular “a”, para que el sistema: x+y=5 5x – 3y = 9 tenga solución única.
Resolver:
C. – 2 D. 4 x y 1 – = 4a 9b 6 x y 14 + = 6a 5b 15
Resolver el sistema:
B. a – b
118
A. 3 B. – 3
C. 1 D. – 1
13. De las relaciones mostradas: x+y y+z z+x = = 3 5 4 7x + 5y + 11z = 300 Indicar el valor de “z”. A. 6 B. 12
C. 24 D. 18
14. Siendo (x0, y0, z0) la solución del sistema: donde además: “x0”, “y0”, “z0” ∈ A. 3 B. 5
x + y = 12 y + z = 8 xz = 21
+. Calcular: x + y + z 0 0 0
C. 10 D. 15
15. Resolver en
+
x(x + y + z) = 6 y(x + y + z) = 12 z(x + y + z) = 18
A. 3 B. 2
C. 4 D. 5 x+y–
3
C. 2b D. 6a
A.
C.
x . (1 + 2y) = 20 2 2x + 1 . (1 – y) = – 8
7 2 2
2 2
B.
9 2 2
D.
5 2 2
C. 3 D. 4 1 1 + =a x – y x + y 1 1 – =b x – y x + y
y dar como respuesta el valor de: A. a + b
x+y+z=6 12. Hallar un valor de “x” en: x2 + y2 + z2 = 14 xz + yz = (xy + 1)2
x–y =3 16. Resolver: 3 x + y + 3 x – y x2 + y2 = 65
e indicar el valor de: xy.
10. Resolver:
15 2 15 D. 4 C.
indicar el valor de “y”.
A. 3b B. 3a
1 A. 2 B. 2
7 4 7 B. 2 A.
3
Hallar “y”.
9.
Hallar el valor que toma “x” en la solución.
y dar como respuesta el valor que toma “y”.
A. 6 B. – 5 8.
x2 – y2 = 9 x+y=6
x2 – x = 6 x2 + x = 15 – x
e indicar la solución.
6.
11. Si:
2 x + 3 y = 14 4x – 9y = – 56
xy del sistema:
A. 7,5 B. 5,2
C. 8 D. 4,5
18. Para qué valor del parámetro “k” el sistema:
x y.
b a a D. b C.
17. Hallar el valor de
(2k – 1)x + y = k x + ky = 2k – 1 tiene infinitas soluciones. A. – 1 B. 1
C. – D.
1 2
1 2
TRILCE Católica
Álgebra
19. Resolver el sistema:
x+y+z 1 = x+a a x+y+z 1 = x+b b x+y+z 1 = x+c c
(x + y)(y + z) = 0 26. Dado el sistema de ecuaciones: ( x + y)(x + z) = 3 (x + z)(y + z) = 0 Indicar: M = x2 – y2 A. 2 B. 3
indicar el valor de “x”. c a+b+c+1 a B. a+b+c–1
b a+b+c–1 a D. a+b+c+1
A.
20. Resolver:
C.
Si: “x”, “y”, “z” ∈
28. Resolver: C. – a – 2 (a + 1)2 D. a+2
A. a + 1 B. a – 1
2 3 B. 1 29. Resolver:
C. –1 3 D. 2 x2 + xy + y2 = 151 x + y = 14; x > y
dar el valor de “x + 3y”, si: x > y.
C. 3 D. 4 x2 + y2 = 29 x+y=3
x y z 1 = = = y+z x+z x+y x+y+z
A.
Hallar el número de elementos del conjunto solución. A. 1 B. 2
C. 2x – y D. x – 2y
Hallar “x”.
.
x2 + xy + y2 = 4 x + xy + y = 2
22. Resolver:
A. 6 B. 5
A. 1 B. 2
C. 3 D. – 10
x–1 + y–1 + z–1 = 1 xy + xz + yz = 27 x+y+z=9 A. 1 B. 2
C. 3 D. 6 xy + x + y = 23 xz + x + z = 41 yz + y + z = 27
x>y>0 A. 156 B. 176
1.
25. Resolver:
3x – 5y = 5 y Hallar “ ” en: 4x + 3y = 26 x
C. 14 18 D. 5 =m+n
2.
x y + m + n m – n x y + = 2m m n
TRILCE Católica
C. m(m – n) D. n(m + n)
C.
5 3
Hallar “y” en:
2x + 5y = –24 ; 8x – 3y = 19
A. – 5 B. – 3
3.
Hallar “x”. A. m(m + n) B. n(m – n)
2 3 3 D. 5
A. 2 B.
B. 10
C. 196 D. 216
Tarea domiciliaria
xz y
A. 15
x + y – 2 xy = y
4x + 9y – 12 xy = 7
23. Hallar “x”, para valores enteros positivos.
Hallar:
C. 24 D. 7
30. Encuentra el valor de “x” en:
Hallar “xy”.
24. Resolver:
.
A. 1 B. 2
Hallar “z”
x + y + z = 1 2xy = z2 + 1
27. Hallar el valor de “z” en:
ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a2
21. Resolver el sistema en
C. 4 D. 5
C. – 1 D. 1
1 3 x– y=4 4 2 Hallar “x” en: ; 2x + 3y 1 = 4 2 A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
119
Ciclo
Católica
4.
Encontrar el valor de “y” en el sistema de ecuaciones simultáneas: 1 – 7y = 1 x 2 + 7y = 5 x 1 7 B. 1
5.
(2m – 1)x + y = 3 Si el sistema: es incompatible. Hallar “m” mx + 2y = 8 1 A. 2 2 B. 3
6.
3 C. 2 5 D. 2
Para qué valores de “m” el sistema: no tiene solución. A. ± 2 1 B. ± 2
7.
mx + y = 1 x + 4my = 3m + 4,
C. ± 1 1 D. ± 4
Luego de resolver:
(a – b)x + by = a2 x + y = a . Calcular: M = ab – xy b2
A. a B. a2 8.
ab a+b ab2 B. a2 + b2
C. D. ab
x–a y+a – =2 Resolver el sistema: b a x + y = 2a y encontrar el valor de: E = x2 + y2 + 2(a2 – b2) A. a2 B. 3a2
9.
En el sistema:
C. 2a2 D. 4a2 5x – 2y = m x + 9y = m.
¿Qué valor debe asignarse a “m” para que “x” exceda en 7 a y? A. 40 B. 47
C. 53 D. 55
1 1 5 + = 10. Hallar “x”: x y 6 7 5 11 – = x y 6 A. 0 B. 1
C.
13. Señala el valor de “x” en:
3 x + y – 7 + 2 x – y – 4 = 13 2 x+y–7– x–y–4=4
A. 8 B. 10
C. 12 D. 14
5 1 17 + = 14. Hallar “xy” en: x y 6 2 6 + =3 x y A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
15. Encontrar el valor de “2y” en:
2 x + y + 3 + 3 x – y + 3 = 17 3 x + y + 3 + 2 x – y + 3 = 18
A. 3 B. 5
C. 7 D. 9
16. Encontrar el valor de “x” en:
x + y – 2 xy =
y
4x + 9y – 12 xy = 7
;
donde: x > y > 0 A. 156 B. 176 17. Resolver:
C. 196 D. 216 (x + y + 3)2 – 2x – 2y = 6 x2 + y2 = 6
Hallar x + y. 3 2 225 B. 16
17 4 169 D. 4
A.
C.
x+y+z=6 18. Resolver: x – y + 2z = 5 x – y – 3z = – 10 y dar como respuesta el producto de sus soluciones.
C. 2 D. 3
a2 b2 – =a+b x – a y +b 11. Resolver: 2a – 3b b – =2 x–a y+b
A. – 6 B. – 4
C. 4 D. 6
19. Hallar “x” en:
C. 3(a – b) D. 4(a + b)
2x – y = 1 x + 2y = 8
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
obtener: x + y A. 2(a – b) B. 3(a + b)
a+b ab ab D. 2 a + b2
A.
C. 2 1 D. 2
A.
1 1 (x – y) + (x + y) = –1 b 12. Encontrar el valor de “y” en: a 1 1 (x + y) – (x – y) = 1 ; a b
20. Si x, y ∈
+:
(4x + y)x – y = 9
x–y
324 = 32x2 + 16xy + 2y2
hallar uno de los valores de “xy”. A. 1 B. –1
120
C. 2 1 D. 3
TRILCE Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 30
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
REPASO V Problemas para la clase 1.
Resolver:
x+2 x+3 x+4=x+5
2.
Indicar la suma de soluciones de: x2(x
2–x 2–x – 5) + = 16(x – 5) + x–4 x–4
A. 5 B. 4 3.
C. – 1 D. – 4 x–3+
Resolver: A. 2 B. 3
4.
2x + 2 2 – 5 C. 4 D. 1
n x Hallar “x” en: m + = m x mx + n n m + 1 n B. m – 1 A.
5.
x–2=
m n + 1 n D. 1–m C.
Proporcionar la mayor solución en: 6x2 + 15x + 49 = 2x2 + 5x + 7 9 2 5 D. 2 C.
A. 1 B. 2 6.
Resolver:
1 1 9 + (2x + 3a + 4b) = x + 3a x + 4b 2
Indicar una solución: A. 4b – 6a B. 6a – 4b 7.
Si: x =
B. b – c 8.
C. 2a – 3b D. 3a2 – 8b2
b + b2 + 4c2 1 , hallar: x – 2c x
A. b + c
b c c D. b C.
Sean “a”, “b” “c” números reales positivos con respecto a la ecuación: x2 + (a + b + c)x + ac = 0. Dar el valor de verdad: I. Tiene raíces reales. II. Sus raíces son positivas. III. Sus raíces pueden ser iguales. A. F F F B. V V F
TRILCE Católica
Dentro de 30 años tendré el triple de la edad que tuve hace 20 años. ¿Cuántos años tengo? A. 40 B. 45
C. f D. 5
A. 10 B. 12
9.
C. V F F D. V F V
C. 50 D. 55
10. ¿Dentro de cuántos años tendrás la edad que yo tendré cuando tú tengas 20 años, si ahora tengo 20 años y tú 15 años? A. 5 años B. 15 años
C. 10 años D. 3 años
11. En una pequeña reunión se observa que el número de mujeres es tanto como 2/3 del número de hombres disminuido en 1. Si en total se han contado 153 apretones de mano al saludarse, ¿cuántas mujeres asistieron? A. 12 B. 10
C. 11 D. 7
12. Vendo 2 autos a “N” soles cada uno. Si en uno gano 1/6 de su costo y en el otro pierdo 2/9 de su costo, ¿cuánto gané o perdí? A. Perdí S/ N/7 B. Gané S/ N/5
C. Gané S/ N/7 D. Perdí S/ N/6
13. Rosa tiene 60 años. Su edad es el triple de la edad que tenía Elena cuando Rosa tenía la cuarta parte de la edad que tiene Elena. ¿Cuál es la edad actual de Elena? A. 64 B. 32
C. 16 D. 8
14. Por 7 camisas y 8 pantalones pagué S/ 514. Para comprar 10 camisas y 7 pantalones tendría que agregar S/ 21 al monto anterior. ¿Cuánto cuestan 2 camisas y un pantalón? A. S/ 67 B. S/ 89
C. S/ 82 D. S/ 90
15. Si la ecuación: Kx2 + (2k + 1) x + K = 0, tiene raíces iguales, hallar el producto de las raíces de la siguiente ecuación: (4k + 3)y2 + 3ky – 4k2 + 9 = 0 35 8 35 B. 4
35 8 35 D. – 4
A.
C. –
16. Dadas las ecuaciones: x2 + px + q = 0 x2 + p'x + q' = 0 x2 + p” x + q” = 0 Hallar: E =
p + p’ + p” q + q’ + q”
Sabiendo que: p y q; p' y q'; p” y q” son raíces de la primera, segunda y tercera ecuación respectivamente. A. – 1 B. 1
C.
1 2
D. –
1 2
121
Ciclo
Católica
17. Sean a; b raíces de la ecuación: 4x2 – 2x + 3 = 0, determinar la ecuación en “y”, cuyas raíces sean: (2a – 1) y (2b – 1). A. y2 + y + 3 = 0 B. y2 – y – 1 = 0
Admiten una raíz común:
C. (2n + m)/3 años D. n(m + 2) años
19. César tiene un almanaque en el que cada hoja representa un día del año. ¿Qué día del año 2014 marcará la hoja del almanaque cuando el número de hojas arrancadas por César exceda en 2 a los 3/8 del número que faltan por arrancar. A. 10 de Abril B. 11 de Abril
C. 11:00 p.m. D. 11:30 p.m.
A. –36 B. –28
3
28. Si las raíces de la ecuación: ax2 – b(b – 2 a)x + 2b2 = 0 están en la relación de “p” a “q”.
a 3b C. (1 – a)2 a 3b D. (1 – a)3
B.
25. Resolver: x2 6 – x + A. {–7; 7} B. {–7}
122
C. D.
a3 – b3 + c3 abc
52 2 22 3
1 1 = 49 6 – x + x+7 x+7 C. {7} D. {6}
b2 a C. 6 D. 3
A. 4 B. 4,25
C. 4,5 D. 3,75
30. Hallar “x” en: 3 x + 1 + 3 x – 1 = 2(3 x + 1 – 3 x – 1) 14 12 14 B. – 13
1 13 2 D. 1 13 C. 1
Tarea domiciliaria 1.
Resolver:
6+
2+
x=3
A. 25 B. 49 2.
Resolver:
C. 18 D. 4 2x – 1 + 6 = 3
A. 4 B. – 4 3.
C. Incompatible D. Indeterminado
Resolver: 3(x – 1) + 6x2 + 3 = 3x(2x + 1) C. indeterminado 1 D. – 2
A. 1 B. 2
1 a(x + 2) = [b(2x + 5) – c] 3
53 8 12 3
q + p
29. Dos caminantes recorren cada uno 34 km. Si una persona tiene una velocidad que es un cuarto de kilómetro por hora mayor que la otra, y se demora media hora menos que ésta, hallar la velocidad del más veloz. (En km/h).
24. Dada la ecuación indeterminada en “x”:
A.
p + q
A. 2 B. 4
3
23. Hallar el valor de “x”: a(x + b) = x + + xb2 – x2b
Calcular el valor numérico de: R =
C. –16 D. –18
A.
C. 35 D. 15
1 A. 1 – a2 b3 B. (1 – a)2
27. Si: {x1; x2} son las raíces de la cuadrática: x2 + 3x + 1 = 0, entonces el valor de: (x1x1 + x2x2)(x1x2 + x2x1)
C. 11:00 p.m. D. 11:30 p.m.
22. Una lancha se desplaza 5 horas río abajo para ir de una ciudad “A” a una ciudad “B”. El recorrido de vuelta lo realiza en 7 horas. ¿ Cuántas horas requiere otra lancha para ir de “A” hacia “B” si su velocidad ordinaria es igual que la velocidad de la corriente? A. 12 B. 17,5
C. –3 D. –4
Calcular: E =
21. Una persona multiplica la fecha de su nacimiento por 12 y el número del mes por 31. Si la suma de estos productos es 103, determinar la fecha de nacimiento de dicha persona. A. 6 de enero B. 10:30 p.m.
A. –1 B. –2
C. 12 de Abril D. 13 de Abril
20. Preguntándole a Sandra por la fecha, ésta respondió: Es Octubre y quedan del mes 215 horas menos de las ya transcurridas, ¿a qué hora se le hizo la pregunta? A. 10:00 p.m. B. 10:30 p.m.
4x2 = (m – 2)(1 – 2x) 4x2 = 2x – m
C. y2 + 3y = 0 D. y2 + 1 = 0
18. La edad promedio de “n” alumnos en un salón de clase es 4m años; en dicho salón estudian un grupo de trillizos. Si ninguno de los alumnos es mayor de “m” años, ¿cuál es la edad mínima que puede tener uno de los hermanos? A. m(n + 1) años B. mn + 2 años
26. Para que valor de “m” las cuadráticas en x:
4.
Resolver:
3x – 1 – x – 3 = 0
A. 1 B. Absurdo 5.
Resolver: raíz.
x x–2 5 – = , dar como respuesta la mayor x–2 x 2
9 + 41 5 7 + 40 B. 5 A.
C. – 1 D. Indeterminado
3 + 41 5 9 + 40 D. 5 C.
TRILCE Católica
Álgebra 6.
Resolver:
2x – 5 2(x – 1) 3 3(2x – 15) + = + 2x – 6 x–3 8 4x – 12
A. {–7} B. {–6} 7.
x2 – 4x + 5 x+32 Resolver: 2 = x + 6x + 10 x – 2 A. 1 1 B. 2
8.
x2 x2
C. – D. 2
– 6x + 4 – 6x – 4
C. D.
x2 x2
+ 6x + 4 + 6x – 4
Una raíz mayor que 2 Una raíz menor que –1 Una raíz entre 3/2 y 2 Una raíz entre –1 y 0
10. En la ecuación: x2 – px + 36 = 0, determinar “p” tal que se 1 1 5 tenga: + = , donde “r”, “s” son las raíces de dicha r s 12 ecuación de segundo grado. Dar como respuesta la suma de las cifras de “p”. A. 15 B. 6
C. 1 D. 4
11. Si subo una escalera de 5 en 5, doy 4 pasos más que subiendo de 6 en 6. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? A. 60 B. 120
C. 190 D. 100
12. Hallar “k” si: x2 – 15 – k(2x – 8) = 0, tiene raíces iguales. A. 5 B. 1
C. 6 D. 7
13. Hallar “c” para que en la ecuación: x2 – 8x + c = 0, una raíz sea el inverso multiplicativo de la otra. A. –1 B. 1
A. 6; – 2 B. 1; 2
1 2
Al resolver la ecuación: 3x(x – 1) = 5(x – 1), se obtiene: A. B. C. D.
(m + 3)x2 – 2mx + 4 = 0 tenga una única solución. C. 3; 4 D. 0; 5
16. Sabiendo que las raíces de la cuadrática en “x”:
Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes racionales tal que una de sus raíces sea 3 – 5 A. B.
9.
C. {6} D. {4}
15. Hallar los valores de “m” para que la ecuación:
C. 16 D. – 16
x2 + bx + 30 = 0, son positivas y la diferencia entre ellas es 7, halle el valor de “b””. A. 13 B. –13
C. 5 D. –5
17. ¿Para cuántos valores naturales de a, la ecuación de segundo grado, (a – 3)x2 + 3x + 2 = 0, tiene soluciones reales? A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
18. Hallar “x”: 4x – 5 2x + 3 4x – 5 – – =0 15x2 + 7x – 2 12x2 – 7x – 10 20x2 – 29x + 5 A. 3 B. 6
C. – 3 D. – 6
19. Calcular n – m, sabiendo que las siguientes ecuaciones tienen las mismas raíces:
(m – 2)x2 – (m + 2)x – (n3 + 6) = 0 (m – 1)x2 – (m2 + 1)x – (4n3 – 4) = 0
Nota: Considerar el mayor valor posible para “m”. A. –1 B. 1
C. 2 D. 3
20. En la ecuación: x2 – 3x + q = 0, uno de los valores que permite que la suma de los cuadrados de las inversas de sus raíces sea 1 es: A. –5 B. –3
C. 0 D. 3
14. Determinar el valor de “ λ ” para que la ecuación: 2λx2 + bx – λ2 + 3 tenga raíces recíprocas. (Indicar el mayor valor) A. –3 B. 1
TRILCE Católica
C. 3 D. –1
123
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 31
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
DESIGUALDADES – INECUACIONES DE PRIMER GRADO DESIGUALDAD
Ejemplo:
Es una comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de desigualdad: >: “mayor que” , n ∈
INTERVALO ACOTADO:
2.
x>y⇔x±n>y±n
3.
Si x < y ∧ m > 0 ⇒
mx < my x y < m m
4.
Si x < y ∧ m < 0 ⇒
mx > my x y > m m
5.
Sea: x < y (donde x, y tiene el mismo signo), entonces:
Si los extremos son números reales (finitos) que a su vez serán: A. Intervalo Abierto Es un intervalo en el cual no se considera a sus extremos. Ejemplo: x –∞
–3
7
+
+∞
1 1 > x y
Luego: x ∈ ]–3; 7] ó – 3 < x < 7 B. Intervalo Cerrado Es un intervalo acotado en el cual se consideran a los extremos. Ejemplo:
6.
Si: x > y ∧ y > z ⇒ x > z
7.
Si: xy > 0 (x e y tiene el mismo signo), es decir: (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0)
8.
(x < 0 ∧ y > 0) ∨ (x > 0 ∧ y < 0)
x –∞
–10
Si: xy < 0 (x, y tienen signos distintos), es decir:
3
+∞
9.
Si:
x (a Si: (a – b)x < b – a ⇒ x > 1 Si: (b – a)x < a – b ⇒ x < – 1 x Si: < a2 + ab + b2 ⇒ x < a3 – b3 b–a
A. 1 B. 3 5.
C. a = 0; b = 16 D. a = 2; b = 14
Si: –3 < x < 2; además: a ≤ x2 – 2x – 4 < b hallar la ecuación de segundo grado que tengo raíces “a” y “b”. A. x2 – 6x = –55 B. x2 – 6x = 55
TRILCE Católica
A. –3 B. –6
B. C. Solo II D. Todas
C. x2 + 6x = –55 D. x2 + 6x = – 55
x 1 1 – > 2x + , que valor no puede 2 4 3
tomar “x”.
A.
Son verdaderas: A. Solo I B. Solo III
C. 18 D. 17
C. –8 D. 0
12. Al resolver en IR: –
I. Si a < b ⇒ a + c < b + c II. Si a < 0 ⇒ – a > 0 III. (a + b)2 ≥ 2ab
4.
A. 20 B. 19 11. Luego de resolver:
¿Cuántas son verdaderas? A. 0 B. 2
Si: x ∈ ]–2; 3[, además: a ≤ x2 + 2x + 3 < b; hallar “a + b”.
11 1 < 2x + < 4, el conjunto solución es: 2 2
7 ;3 4 7 4
13. Resolver:
7 ;3 4
D.
–3;
7 4
7x – 5 ≥1 9
A. x ∈ ]–∞; 2] B. x ∈ ]–∞; –2] 14. Resolver:
C.
C. x ∈ [2; +∞[ D. x ∈ [–2; +∞[
11(x – 1) + 4 < 13 2
A. x ∈ ]–∞; 3[ B. x ∈ ]–∞; –3[
C. x ∈ [–3; +∞[ D. x ∈ [3; +∞[
15. Resolver: 2(x + 1) – 3(x – 3) + 5(x – 2) > 9 A. x ∈ ]–∞; 2[ B. x ∈ ]2; + ∞[
C. x ∈ ]–2; +∞[ D. x ∈ ]–2; +∞[
16. Resolver: (x + 1)(x + 3) – (x + 8)(x – 6) ≥ 6(x + 7) + 1 A. x ∈ ]–∞; –2[ B. x ∈ [–2; +∞[
C. x ∈ [2; +∞[ D. x ∈ ]–∞; 2]
17. Resolver: (x – 2)(x – 3) + (x – 5)(x + 7) ≤ 2(x – 3)2 – 2 A. x ∈ ]–∞; –5] B. x ∈ [–5; +∞[ 18. Resolver:
x x x + + ≥ 21 2 4 8
A. x ∈ [24; +∞[ B. x ∈ [–24; +∞[ 19. Resolver:
C. x ∈ ]–∞; 24] D. x ∈ ]–∞; –24]
x 3 – 2x x – 8 + + ≤2 5 10 30
A. x ∈ ]–∞; 59] B. x ∈ [59; + ∞[ 20. Resolver:
C. x ∈ ]–∞; 5] D. x ∈ [5; +∞[
C. x ∈ ]–∞; –59] D. x ∈ [–59; +∞[
167 2x – 3 4 – 3x 1 – 9x > – + >–2 24 12 8 3
58 59 58 B. x ∈ –3; – 59 A. x ∈ –3;
58 ; +3 59 58 D. x ∈ ; +3 59 C. x ∈ –
125
Ciclo
Católica
21. Resolver: 3x + 4 ≤ 2x + 10 < 5x + 8 A. B.
2 ;6 3 2 ;6 3
2 ;6 3 D. IR C.
Tarea domiciliaria 1.
1 1 > a b 2 II. Si: a < 0 ⇒ a > a3 III. Si: a ∈ IR – ⇒ a > a – 1 I.
22. Resolver: 3x + 4 ≤ 2x + 8 ≤ 2x + 6 C. ]4; +∞[ D. ]–∞; 4[
A. IR B. f
23. Resolver: 2x + 10 ≤ 2x + 12 ≤ x + 11
2.
2x – 5 < 3 C. 15 D. 25
25. Resolver: 4 – x ≤ 2x – 6 A. B.
10 ;4 3 10 –3; 3
3. 10 ;3 3 D. IR C.
B.
9 ;8 5 1 ;0 4
27. Resolver:
3x – 4
4
0,8 4
7 12 12 B. x < 7
>
4
1 9 ; 4 5
Dadas las siguientes proposiciones, indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a ∈ IR; 0 < a < 1 ⇒ a – 1 > 1 ∀ {a; b} ⊂ IR se tiene: si: 0 < a < b entonces: a
5.
1 1 ; 11 7 1 1 – ; 2 6
3 2 3 D. x > – 2
A. B.
C. x <
6.
C. 3 D. 4
7.
A. 6 B. 7
126
8. C. 8 D. 9
2 2 – ; 5 5 2 –3; 5
C.
2 ;3 5
D.
–3; –
2 5
Resolver: 3(x – 5) – 4(4 – 3x) > 2(7 – x) – 3 (x – 5)
Resolver: 2(1 – x) + 3(2 – 5x) > – 9 A. x ∈ ]–∞; – 1[ B. x ∈ ]–∞; 1[
30. Si: a2 + b2 + c2 = 1 (abc ≠ 0); hallar el mínimo valor de: 1 1 1 + + a2 b2 c3
D.
1 1 ; 5 3 1 3 ; 12 4
A. x ∈ ]3, 7[ C. x ∈ ]3, + ∞[ B. x ∈ ]–∞, 3[ ∪ ]5, + ∞[ D. x ∈ ]3, 5]
29. Hallar “m” en: a3 + b3 + c3 ≥ mabc, siendo: {a; b; c} ⊂ IR+ A. 1 B. 2
C.
3x + 4 < – 2x + 6
4 0,256x – 4 0,1254x – 2 28. Resolver: 6 4 3x – 4 0,0625 < 0,52x – 3
3 2 2 B. x < – 3
1 , a qué intervalo pertenece: 2x + 3
Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación:
3
A. x < –
C. V V V D. V F F
Si x ∈ ]2, 4[ y luego A.
0,8 5
7 12 12 D. x > 7
A. x <
C. 4 D. 5
I. II.
C. ]–∞; 8] D.
Si: a < b ∧ c < d ⇒ a + c < b + d Si: a < b ∧ c < d ⇒ ac < bd Si: a ≤ b ∧ a = b ∧ a < b Si: b ≥ 0 ∧ a2 ≤ b ⇒ – b ≤ a ≤ – b (a + b)2 > 0
A. 1 B. 2
26. Resolver: 4x – 1 – 8 – x < 0 A.
C. F V V D. V F F
¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas para números reales? I. II. III. IV. V.
24. Calcula la suma de todos los valores enteros de “x” en:
A. 13 B. 18
Si: a < b ⇒
A. V V V B. V F V
C. f D. IR
A. ]–∞, –1] B. [–1; 1]
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
C. x ∈ ] – 1; + ∞[ D. x ∈ ]1; + ∞[
Resolver: 2(2x + 1) + 3(3x – 4) – 6(4 – 3x) ≤ – 3 A. x ∈ ]–∞; –1[ B. x ∈ ]–∞; 1[
C. x ∈ ]–1; + ∞[ D. x ∈ ]1; + ∞[
TRILCE Católica
Álgebra 9.
Resolver:
15. Resolver: – 2 < – 4 + 3x ≤ 5
2x 5x 7x + – < 77 3 6 12
A. x ∈ ]– ∞; 84[ B. x ∈ [–84; +∞[
C. x ∈ ]84; +∞[ D. x ∈ ]–84; +∞[
5 3 1 10. Resolver: (12x – 18) – (10 – 20x) + (22 – 99x) > 7 6 5 11 A. x ∈ ]–∞; 2[ B. x ∈ [–2; +∞[
C. x ∈ ]–2; +∞[ D. x ∈ ]2; +∞[
11. Indicar el menor valor entero que satisface: x – 3 5x – 7 2x – 3 3x – 1 + > + 5 3 2 4 A. 8 B. 9
C. 10 D. 11
12. Hallar el mayor valor entero que satisface: x–1 x–2 x–3 x–4 + ≤ + 2 3 4 5 A. 2 B. 1
C. 0 D. –1 2x – 1 3x – 2 2x + 1 2 + > + 5 6 2 3
A. x ∈ ]–17, ∞[ B. x ∈ ]–∞, –17]
C. x ∈ ]–∞, –18〉 D. x ∈ ]–∞, –17[
1 ∈ 1 ; 1 , entonces: x ∈ [m; n]. Halle: mn. 2x + 8 12 6
A. 2 B. –2
16. Resolver:
2x + 4 ≤ 3x + 6 ≤ 5x – 10
A. [– 2, ∞[ B. [8, +∞[
C. [–8, +∞[ D. f
17. Resolver: 3x + 4 ≤ 2x + 8 ≤ 2x + 6 A. IR B. ]4, ∞[
C. ]–∞, 4[ D. f
9 18. Si: a ∈ IR – {0} y K = a2 + 2, luego podemos afirmar que: a A. K ≥ 3 B. K ≥ 6
C. –15 D. –6
K = 12
C. K ≥ 10 D. K ≥ 16
a2 b2 +3 b a
Donde: a; b ∈ IR, ab ≠ 0 A. 8 B. 18
C. 12 D. 10
20. Si: a; b y c ∈ IR, se tiene que: E=
a2 + b2 b2 + c2 a2 + c2 + + ab bc ac
Entonces se cumple: A. E ≥ 3 B. E ≥ 16
TRILCE Católica
1 ;3 x∈ 3 2 D. –3; x∈ 3 C.
19. Indicar el menor valor de que puede tomar “k” si:
13. Resolver la inecuación:
14. Si:
2 ;3 3 B. x ∈ ]3, +∞[ A. x ∈
C. E ≥ 12 D. E ≥ 6
127
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 32
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Quinto Católica
INECUACIONES II MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
Problemas para la clase
Es utilizado para analizar la variación de los signos de los factores lineales (de coeficientes reales) en una multiplicación indicada (polinomio factorizado). Para un polinomio P(x) = ax2 + bx + c ≥ 0 y (∆ > 0) este método es el más indicado.
1.
A. x ∈ ]–∞, 2[ ∪ ]5, +∞[ C. x ∈ [5, +∞〉 B. x ∈ [2, 5] D. x ∈ 〈∞, 2〉 2.
Ejemplo: Sea P(x) = (x – 3)(x + 1)(x – 6), las raíces son: –1, 3, 6.
3.
Factor x+1 x–3 x–6 Zona x < –1 –1 < x < 3 3 0 A. B. C. D.
Ubiquemos estos valores en la recta real. Las raíces del polinomio particionan a la recta IR en 4 zonas (intervalos). Analicemos las variaciones.
Resolver: x2 – 7x + 10 ≤ 0
x ∈ ]–∞, –9[ ∪ ]5, +∞[ x ∈ ]–∞, –15[ ∪ ]3, +∞[ x ∈ [–9, 5] x ∈ [–15, 3[
Luego de resolver: –x2 – 2x + 35 > 0, se puede afirmar que: A. 1 < x < 3 B. –5 < x < 5
P(x) 4.
Resolver: 3x2 – 10x ≤ – 3 A.
1 ;3 3
B. f –∞
–1
3
6
+∞
5.
Si tratará de resolver P(x) > 0, tendríamos que el:
NOTA. Cuando formamos la inecuación polinomial los valores de las raíces del polinomio toman el nombre de puntos críticos.
6.
TEOREMAS DEL TRINOMIO (+/–) Si el polinomio P(x) = ax2 + bx + c; {a, b, c} ⊂ IR tiene discriminante: (∆ < 0) A. (a > 0)
B. (a < 0)
8.
⇒ P(x) < 0; ∀ x ∈ IR
Son de la forma: af(x) > ag(x) ∨ af(x) < ag(x); a ≠ 1 1° caso: Si: a > 1, entonces se cumple: af(x)
ag(x)
> ⇔ f(x) > g(x) af(x) < ag(x) ⇔ f(x) < g(x) 2° caso:Si: 0 < a < 1, entonces se cumple: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x) af(x) < ag(x) ⇔ f(x) > g(x)
TRILCE Católica
9.
C. [–8; 4] D. IR
Resolver: x2 + 4x + 4 < 0 A. ]–∞, –2[ B. f
INECUACIONES EXPONENCIALES
C. f D. ] 5, –∞[
Al resolver en IR: x2 + x – 8 ≥ x – x2 – 10, el conjunto solución es: A. {–8; 4} B. f
⇒ P(x) > 0; ∀ x ∈ IR
C. IR D. {–1}
Resolver: x2 + 10x + 27 < 0 y dar como respuesta el conjunto solución. A. IR B. ]–∞, 5[
7.
1 ;3 3 D. ]–∞, 3[ C.
Al resolver en IR: x2 + 2x + 1 ≤ 0, el conjunto solución es: A. f B. IR – {–1}
C.S. =
C. –2 < x < 3 D. –7 < x < 5
C. ]–∞, –2] D. ]–2, +∞[
Resolver: x2 + 4x + 2 ≥ 0, indicando luego como respuesta un intervalo. A. ]–∞, –2 + 2] B. [–2 – 2, –2 + 2]
C. [– 2 – 2, ∞[ D. [– 2 + 2, ∞[
10. Resolver: x2 + 8x + 20 > 0 y dar como respuesta el conjunto solución. A. IR B. f
C. ]–∞, 2[ D. ] 2, 2 + 3[
128
Álgebra 11. Resolver: A. B. C. D.
x2
+ 2x – 24 ≥0 x2 + x – 2
x ∈ ]–6, – 2[ ∪ [5, + ∞[ x ∈ ]–∞, – 6] ∪ ]– 2, 1[ ∪ [4, + ∞[ x ∈ ]–6, – 2[ ∪ ]– 2, 1[ x ∈ ]–∞, – 6[ ∪ ]– 2, 1[ ∪ [4, + ∞[
12. Resolver: (x – 3)(x + 5)(2x – 7)(x – 4)(x – 2)2 < 0 A. ]3, 5[ ∪ ]7, ∞[ 7 B. ]–5, 3[ ∪ , 4 2 13. Resolver: A. B. C. D.
C. ]–3, 5[ ∪ ]6, 7[ 7 D. ]–5, 3[ ∪ , 4 – {2} 2
(x + 2)(x – 5)(x – 7) ≤0 (x + 1)(x + 3)
x ∈ ]–∞, –1[ ∪ ]3, 5[ x ∈ ]–∞, –1[ ∪ [5, 7] x ∈ ]–∞, –1[ ∪ [5, 7] – {–2} x ∈ ]–∞, –3[ ∪ ]–2, –1[ ∪ [5, 7]
14. El menor número natural par “x” que verifica la inecuación: (x – 4)(x + 2)(x – 5) ≤ 0, es: (x + 6)(3 – x) A. 1 B. 2 15. Resolver:
C. 3 D. 4 1997(x – 2)7(1 – x)(3x – 1)8 ≤0 1998
1 ∪ ]2, ∞[ 3 B. ]–∞, 1] ∪ [2, ∞[ A.
1 ∪ [2, ∞[ 3 D. ]–∞, 1]∪ ]3, ∞[
–∞,
C.
–∞,
16. Resolver: 2x2 – 6x + 6 < 0 3– 3 3+ 3 , 2 2 3– 3 B. x ∈ –3, 2 A. x ∈
C. x ∈ f D. x ∈ ]–∞, 3[ ∪ ]2, + ∞[
17. Resolver: x3 + x2 ≥ 9x + 9 A. [– 3, –1] ∪ [3, ∞[ B.
C. ]– ∞, 3[ ∪ ]4, ∞[ D. [1, 3] ∪ ]3, ∞[
18. Resolver: x3 – 3x2 – 13x + 15 > 0 A. B. C. D.
x ∈ ]– 3, 1[ ∪ ]5, + ∞[ x ∈ ]– 3, –1[ ∪ ]5, + ∞[ x ∈ ]– 4, 2[ ∪ ]5, + ∞[ x ∈ ]– 7, 2[ ∪ ]3, + ∞[
19. Resolver: x4 – 4x3 – x2 + 16x – 12 > 0 A. B. C. D.
x ∈ ]–∞, –2[ ∪ ]1, 2[ ∪ ]3, +∞[ x ∈ ]–∞, –4[ ∪ ]1, 3[ ∪ ]4, +∞[ x ∈ ]–∞, –5[ ∪ ]–3, –2[ ∪ ]1, 4[ x ∈ ]–5, –3[ ∪ ]1, 5[
20. Resolver: (x – 3)3(x2 – 1)2(x – 1)5x(x – 10)6 > 0 A. x ∈ ]–∞, 1[ ∪ 2,
3 5
B. x ∈ ]0, 1[ ∪ ]3, + ∞[ – {10} C. x ∈ ]0, 1[ ∪ ]3, + ∞[ D. x ∈ ]–1, 0[ ∪ ]1, 3[
TRILCE Católica
21. Se desea saber el mayor número de postulantes que hay en un aula, si al doble del número de éstos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si al triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del número aumentado en 16. A. 23 B. 22
C. 21 D. 20
22. Se tiene un número de dos cifras. El duplo de la cifra de las decenas, restado de la cifra de las unidades es mayor que 5, y la diferencia entre 14 veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es menor que 112. ¿Cuál es el número? A. 18 B. 81
C. 41 D. 14
23. Tres individuos cuentan el número de piezas que por minuto fabrica una máquina. El primero contó la mitad menos tres, el segundo contó la sexta parte y 12 piezas y el tercero contó la cuarta parte y 10 piezas. Si el primero contó más piezas que el segundo pero menos que el tercero, ¿qué número de ellos arroja la máquina? A. 46 B. 48
C. 50 D. 52
24. Un escolar encola de nuevo todos sus sellos en otro álbum similar. Si pega 20 sellos en cada hoja, entonces no le alcanza el álbum, si pega 23 sellos, le sobrará por lo menos una hoja vacía y si al escolar se le regala igual álbum con 21 sellos en cada hoja, el escolar tendrá 500 sellos. ¿Cuántas hojas tiene el álbum? A. 15 B. 14
C. 13 D. 12
25. La edad de Gabriel es un número de dos cifras; la cifra de las decenas excede en 2 a la cifra de las unidades, y el triple de la cifra de las decenas, aumentado en el cuádruple de la cifra de las unidades resulta mayor que 48. Calcula la edad que tuvo Gabriel hace 32 años. A. 46 años B. 65 años 26. Resolver:
x+2 x – 5 (0,2)4x + 1 62 , –2 ∪ ]5, + ∞[ 17 B. x ∈ ] – 62, – 3[ ∪ ]4, + ∞[ C. x ∈ ] – 15, – 6[ ∪ ]3, + ∞[ 1 D. x ∈ – , 3 ∪ ]5, + ∞[ 5
7.
A. x ∈ –
A. 4 < n < 5 B.
1 5 0 A. x ∈ ]–1, 3[ B. x ∈
2.
3 ; +3 2
1 3 C. x ∈ – ; 2 2 3 D. x ∈ –3; 2
De las siguientes inecuaciones: I. x2 – 4x + 3 ≥ 0 II. x2 – 2x + 1 ≥ 0 III. x2 + 6x + 12 ≥ 0 Indicar cuál de ellas tienen el mismo conjunto solución. A. I y II B. II y III
3.
Resolver:
4.
Resolver: A. B. C. D.
5.
6.
B. C. D.
130
x+9 ≥0 x–1
x+1 x < 2–x 3+x
x ∈ 〈–∞, –3〉 ∪ 〈2, + ∞〉 x ∈ 〈–∞, 3〉 ∪ 〈5, + ∞〉 x ∈ 〈3, 4〉 ∪ 〈5, + ∞〉 x ∈ [–3, 2]
Resolver: A.
C. x ∈ ]–∞, 2[ ∪ ]8, + ∞[ D. x ∈ ]–∞, 3[ ∪ ]5, + ∞[
x ∈ ]–∞, 9] ∪ [1, +∞[ x ∈ ]–∞, – 6[ ∪ ]2, +∞[ x ∈ ]–∞, – 9] ∪ ]1, +∞[ x ∈ ]–∞, – 9[ ∪ ]1, +∞[
Resolver: A. B. C. D.
C. III y I D. I, II y III
x–8 3/16, se verifique para todo valor real de “x”? 1 3 C. – < n < 4 4 1 3 D. x + 4
32x – 334 – x > (32x + 1)x – 2 35x – 1
2+1 2–1 x∈ ; 5 5 –1 – 33 –1 + 33 x∈ ; 4 4 x ∈ ]3, – 3[ 1 x∈ ;3 2
A.
–∞; –
B.
3 ;2 8
3 8
C.
3 ;∞ 8
D.
–∞; –
3 8
11. ¿Qué condición debe satisfacer el parámetro “a” para que cualquier que sea el valor real asignado a “x” el trinomio x2 + 2x + a, sea mayor que 10? A. a > 7 B. a >11
C. a < 5 D. 2 < a < 7
12. Calcular el conjunto de valores de “x” para los cuales el número: N = x2 – 5x + 4 es real. A. ]–∞, 1[ B. ]–∞, 4]
C. [4, ∞[ D. ]–∞, 1] ∪ [ 4, ∞[
x 1 2x 13. Resolver: 2 + ≥ x – 5x + 6 2x 3 – 4x + x2 A. x ∈ 〈–∞, – 4〉 ∪ 〈3, 2〉 B. x ∈ 〈 2 + 1,5〉 ∪ 〈6, + ∞〉 –3 – 17 C. x ∈ –3; ∪ 0; –3 + 17 ∪ 〈1, 2〉 2 2 –3 – 17 –3 + 17 D. x ∈ –3; ∪ ; 0 ∪ 〈1, 2〉 2 2 14. Resolver la inecuación, siendo “a” un número positivo: x 2a 8a2 – < 2 x – a x + a x – a2 A. ]–2a, –a[ B. ]a, 4a[
C. ]–2a, –a] ∪ ]a, 3a[ D. ]a, 5a[
15. Calcular “m” si la ecuación: x2 – 2(m – 1)x + 4m – 7 = 0 tiene raíces reales. A. ]–∞, 2] ∪ [4, ∞[ B. [2, 4]
C. ]–∞, 2[ ∪ ]4, ∞[ D. [–2, ∞[
1 ≥1 16. Resolver el sistema: x – 6 x 5 ≤ 8 – x < 10 e indicar el único valor entero de su conjunto solución. A. – 2 B. – 1
C. 0 D. – 3
TRILCE Católica
Álgebra 17. Resolver el sistema para valores enteros y positivos: x + y > 76 x – y < 10 x + 2y < 112 Hallar x + y A. 34 B. 77
C. 43 D. 100
18. Hallar el menor número natural que verifica: x2 – 12x + 32 > 0 x2 – 13x + 22 < 0 A. 2 B. 4
TRILCE Católica
C. 3 D. 9
19. Las edades de dos hermanos suman 18 y la de su padre es 28 años; se sabe que la edad del mayor es menor que el doble de la edad del menor, además el doble de la edad del mayor aumentado en la edad del menor resulta mayor que la edad del padre. ¿Cuál es la edad del menor? A. 4 años B. 7 años
C. 6 años D. 9 años
20. Si un número natural se multiplica por otro que lo excede en 5, el producto será mayor que 14. Pero, si dicho número se multiplica por otro que sólo lo excede en 4, el producto será menos de 45. Hallar la suma de los números que cumplen con esta condición. A. 6 B. 8
C. 7 D. 9
131
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 33
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
REPASO DE FUNCIONES I PAR ORDENADO
f
M
Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden:
S a b c
1 2
f S M →
(a; b) Primera componente
Segunda componente
f = {(1; b), (2; a), (2; c)}
PROPIEDADES: 1. 2.
OO
(a; b) ≠ (b; a)(no conmutativa) Si: (a; b) = (c; d) a = c ∧ b = d
OO
Si: a ≠ b ≠ c, luego no es función por que se repite el primer componente. Si: a = c ≠ b, es función.
Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.
Funciones DEFINICIÓN
OBSERVACIONES:
Sean “A” y “B” dos conjuntos no vacíos (pudiendo ser: A = B) llamaremos función definida en “A” a valores en “B” (función de “A” en “B”) a toda relación: f ∈ A × B, que tiene la propiedad:
1.
x: preimagen de y y: imagen de x mediante F.
(a; b) ∈ f y (a; c) ∈ f entonces: b = c Es decir, una función “f” es un conjunto de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.
Ejemplo: De la función: F = {(4; 1), (6; 2), (3; 7)} (4; 1) ∈ F → F(4) = 1 (6; 2) ∈ F → F(6) = 2 (3; 7) ∈ F → F(3) = 7
NOTACIÓN Si “f” es una función de “A” en “B” se designa por:
2.
f
f: A → B Se lee “f” es una función de “A” en “B”.
b A
Si: F = {(2; a), (3; b + 1), (2; 5), (3; 6), (7; 2a – 1)} es función, calcular “a + b”
B
Resolución:
Ejemplos:
OO
f
B
a b
OO
Siendo: a ≠ b ≠ c, diremos: f B A →
1
c
3.
2 3
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
RANGO DE UNA FUNCIÓN
f 1
(2; a) ∈ F ∧ (2; 5) ∈ F →a=5 (3; b + 1) ∈ F ∧ (3; 6) ∈ F → b + 1 = 6 → b = 5 Finalmente: a + b = 10
Conjunto de preimágenes
f = {(a; 1), (b; 1), (c; 1)} es función M
(a; b) ∈ F y (a; c) ∈ F → b = c Ejemplo:
a
A
(x; y) ∈ F → y = F(x), donde:
N a b c d
Conjunto de imágenes
f N M →
Ejemplo: De la función: F = {(4; 1), (6; 2), (3; 7)} Dominio de F = Dom(F) = {4; 6; 3}
f = {(1; c), (2; d), (3; b)} es función
Rango de F = Ran(F) = {1; 2; 7} 4.
y = F(x) se le llama Regla de correspondencia de “F”. Ejemplo: Dado F(x) = 2x + 1, con Dom(F) = {4, 6, 0} OO
TRILCE Católica
x = 4 → F(4) = 2(4) + 1 = 9
132
Álgebra OO OO
x = 6 → F(6) = 2(6) + 1 = 13 x = 0 → F(0) = 2(0) + 1 = 1
Solución: d.
Luego: F = {(4; 9), (6; 13), (0; 1)}
Para la función definida por: h(x) = x2 – 4x + 7; x ∈ [2; 3] Solución:
Regla de Correspondencia Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (Df), y una regla que permita asignar para cualquier x ∈ Df, su imagen f(x). OO
Ejemplo: Hallar el dominio en las siguientes funciones: a.
e.
f = {(2; 3), (4; 5), (6; 3), (–2; a)}
Para la función: x2 f(x) = 2 x +1 Solución:
b.
f(x) =
Gráfica de una función c.
f(x) = +
Sea “f” una función real, la gráfica de “f” es el conjunto G, de todos los puntos (x; y) en el plano, tal que “x” está en el dominio de “f” e “y” es la imagen de “x” por “f”, es decir: G = {(x; y) ∈ IR2/ y = f(x), x ∈ Df}
Ejemplo:
Una gráfica cualquiera será función; si y sólo si, al trazar una paralela al eje “y” corta a la gráfica en un sólo punto.
Hallar el rango de las siguientes funciones:
Ejemplo:
a.
a.
OO OO
f = {(2; 3), (4; 6), (5; 7), (7; 6), (–2; 3)}
F(x) es función L1, la recta paralela corta a la gráfica en sólo un punto. y
b.
L1 F(x)
Sea: f(x) = x2
x
b. OO
Tenemos varias formas de hallar rangos, presentaremos las más conocidas: OO
OO
c.
G(x) no es función L2, la recta paralela corta a la gráfica en más de un punto. y
L2
Cuando tenemos una función donde su dominio no presenta rango, se despeja “x” en función de “y”. Cuando tenemos un intervalo como dominio usamos desigualdades. Para la función definida por: g(x) = 2x2 + 3x + 2; x ∈ IR
TRILCE Católica
x G(x)
133
Ciclo
Católica
Problemas para la clase 1.
8.
¿Cuál o cuáles de los siguientes conjuntos representa a una función?
2.
F = {(3; 2a + 3b), (–1; 5), (a + b; 3), (6; 7), (3; 4), (2; 2a – b), (1 + 2b; 4), (2; – 4)} Hallar “a” y “b” para que “F” sea una función, dar como respuesta: DomF ∩ RanF
3.
y
B.
9.
4.
C. 3 D. 2
Cuál debe ser el valor de “k” para que la siguiente relación sea una función:
y 5
5.
C. 2 D. 3
Calcular “mn” en la función:
E = {(2; 5), (m2 + n2; m), (–1; –3),(2; 2m – n), (–1; n – m), (8; 8)} A. 1 B. – 1 6.
C. 3 D. – 2
Dadas las funciones: F = {(2; 6), (3; b), (3; a – b), (d; a)} G = {4; d + 1), (4; 6), (p; b)} Calcular: F(2) + F(d – 2) – F(d) + G(p) A. 2 B. 4
7.
C. 6 D. 8
Sea la función “f” cuya regla de correspondencia es: f(x) = ax + b. Halle el valor de “a”, tal que:
x
G
F
2
2 1
3
calcular: E =
F(3) + G(F(3)
3 8 5 B. 8
7 8 9 D. 8 C.
–2x + 3, si x < 1 4x – 3, si x ≥ 1
Señalar el valor de E = f(–3) + f(2) – f(f(0)) A. 5 B. 9
C. 7 D. 18
11. Sean “f” y “g” dos funciones: f(x) = ax2 + 5 y g(x) = bx + 6. Si (2; 17) pertenece a la función f y f(3) = g(1). Hallar a + b A. 26 B. 28
C. 27 D. 29
12. Dada la función: g(x) = nx2 + m se sabe que; g(1) = 8 y g(3) = 16. Dar el valor de: m2 + 1. A. 1 B. 25
C. 50 D. 48
13. Si f( x – 1) = 3x + 5, entonces f(2x + 1) es: A. 3(x + 1)2 + 5 B. (x + 1)2 – 5
C. 12(x + 1)2 + 5 D. 4(x + 1)2 – 5
14. Hallar la longitud del segmento PQ en la gráfica mostrada. y
C. 12 D. 21
6
G(F(1)) + F(1)
A.
10. Sea f(x) =
4
x
f(x + y) = f(x) + f(y)....... (1) f(2) + f(5) = 42............ (2) A. 6 B. 4
→
5
R = {(2; 5k – 1), (7; k), (2k2 – 2; 3), (7; 8 – 3k)} A. 0 B. 1
y
D.
Dados los esquemas:
Si H(2) = 2; hallar (m + n) A. –4 B. 6
x
x
C. {–3,3} D. {1}
Dada la función: H = {(2; m – n), (3; m + 2n), (4; 3), (3; 8)}
y
C.
x
C. I, III D. II y III
Dados el conjunto de pares ordenados:
A. {–1,1} B. {3, 5}
y
A.
I. F = {(2; 3), (2; 4), (3; 4)} II. G = {(3; 1), (–1; 4), (4; 3)} III. H = {(–2; 2), (–1; 3), (2; 3), (4; 2)} A. Sólo I B. Sólo II
¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función?
A. B. C. D.
36 28 20 21
P
Q y
–1
4
f(x) = x3 – 9x
134
TRILCE Católica
Álgebra mx2
15. Si: f(x) = + nx + p y f(1) = 1; f(2) = 4; f(–3) = 9; hallar: 2m + 3n + p A. 1 B. 2
C. –2 D. –3
16. Hallar el dominio: g(x) = A. B.
–2 7 2 7
3 – 5x 7x + 2 C. IR – – 2 7 2 D. IR – 7
26. Conociendo que: f(x + 3) = 4x + 9 y que: g(h) = ah2 + bh + c, determinar los valores de “a”, “b” y “c” respectivamente, si se conoce que: g(f(x – 2) + 11) ≡ 16x2 + 12x – 10 A. 1; 3; –10 B. 1; 1; –10
27. Si “k” es el mínimo de la función: F(x) = x2 + x + 1 y “p” es el máximo valor de G(x); siendo: G(x) + 3x2 + 1 = 6x. p Indicar el valor que adopta: k 4 3 3 2 3 B. 3
A. IR – {2; 3} B. IR
C. IR – {3} D. IR – {2}
x y A. 13 1 B. 3
C. IR – {0; 4; –5} D. IR +
19. Calcular el dominio: f(x) = x2 – 5x A. ]–∞; 0] ∪ [5; +∞[ B. [0; 5]
C. ]0; 5[ D. IR
21. En la función: f(x) =
C. x ∈ [–5; 6] D. x ∈ IR x+1 , determinar el dominio. x–2
A. ]–∞; 2] B. ]–∞; 1] ∪ ]2; +∞[
A. IR+ B. IR –
C. [5; +∞[ D. [–5; +∞[
C. [12; +∞[ D. [3; +∞[
24. Sean “f”, “g” y “h” funciones de ZZ en ZZ, tales que: f(x) = 2x – 3; g(x) = x – 5; h(x) = 4x Se sabe que: f(a) = – 9; g(b) = a h(f(a)) = c Hallar: a + b + c A. –35 B. 35
Tarea domiciliaria 1.
TRILCE Católica
Determine el valor de “m.n”, si se cumple que: (m + n; 3) = (9; 2m – n) A. 10 B. 20
2.
C. 30 D. 40
De las siguientes relaciones: R1 = {(1; 2), (4; 2), (2; 2), (3; 4), (4; 4)} R2 = {(1; 3), (3; 1), (4; 5), (5; 4)} R3 = {(1; 4), (2; 4), (3; 5), (5; 7), (6; 6)} R4 = {(2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5)} R5 = {(2; 5), (3; 4), (2; 5), (5; 7)} ¿Cuántas son funciones? A. 2 B. 3
3. C. II y III D. Todas
C. ]0, 4] 3 D. 1; 2
B. [–1, 0]
25. Sea F una función definida en por: f(x + 2) = f(x) + f(2), ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?
A. I y II B. I y III
D. 9 y 4
A. [0, 1]
C. –37 D. 37
I. f(0) = 0; II. f(2) + f(–2) = 0; III. f(0) = 4f(2)
D. 3
30. Dada la siguiente función de variable real cuya regla de correspondencia es: F(x) = 1 + x – x2. Indicar su conjunto de imágenes:
23. Hallar el rango de la función: f(x) = 3x2; x ∈ [–2; +∞〉 A. [0; +∞[ B. [2; +∞[
–1 2a
C. 6
A. 9 y –16 B. 4 y –16
C. ]–∞; –1] ∪ ]2; +∞[ D. [–1; 2[
22. Determinar el dominio de: f(x) = x – 5 + 6
b 2
29. Dada la función: F = {(x; bx + x2) / x ∈ IR}. Se sabe que (8; 0) ∈ F. Halle el máximo y mínimo de “F” en el intervalo [–1; 5].
20. Determinar el dominio de: g(x) = 30 – x – x2 A. x ∈ [– 6; 5] B. x ∈ IR – 〈– 6; 5〉
3
D.
28. Si la siguiente tabla satisface a: y = 5x + a + b, calcular “x”, cuando y = 12.
3x – 2 18. Hallar el dominio: f(x) = 3 x + x2 – 20x A. {0; 4; 5} B. IR – {0; 4; 5}
C. 2–1
A.
17. Determinar el dominio de la siguiente función: 4x h(x) = 2 x – 5x + 6
C. 4; 6; 7 D. 9; 16; –10
C. 4 D. 5
De la función: F = {(2; 2a), (2; a2), (a; b), (a + 2; b), (4; 4)}. Hallar: a + b A. 4 B. 2
C. 6 D. Hay 2 correctas
135
Ciclo
Católica
4.
3 Determinar el dominio de: h(x) = 4 x + 3 + 7 – x – 2 x –1 A. [–3; 7] – {1} B. [–3; 7] – [–3; 7]
5.
Determinar el rango de la función: g(x) = x2 + 6x + 4 A. ]–∞; –5[ B. [–5; +∞[
6.
Hallar el rango de: F(x) = A. [0; + ∞[ B. ]0; + ∞[
9.
C. ]–20; 16] D. ]–16; 20[
Determinar el rango de: F(x) = 17 – x – 4 A. [4; + ∞[ B. [17; + ∞[
8.
C. [–5; +5] D. ]–∞; –5]
Sea la función: F: R → R/y = F(x) = 16 – 4x – x2; x ∈ [–8; 2[. Determinar el rango de dicha función: A. [–20; 16[ B. ]–20; 16]
7.
C. [–3; 7] – {–1; 1} D. 〈–3; 7〉 – {–1; 1}
Dada la función: F(x) = [–6, –2[ A. ]–4, 32] B. ]0, 32]
C. ]–∞; 17] D. [–17; 17] x+1 x–2
B.
9 ;5 4 1 ;5 4
C. IR D. [0; ∞[ – {1} x2 – 4; hallar F(A), donde: A = C. ]0, 32] D. ]0, 32[
C. D.
1 ;1 4 9 ;4 4
11. El rango de la función: F(x) = 2 – 3x, donde: x ∈ 〈–2; 4], es: A. [3; 6〉 B. 〈–6; 4〉
C. [–10; 8〉 D. [–8; 12〉
x2 + x + 1 12. Hallar el rango de la siguiente función: f(x) = 2 x –x+1 A. B.
136
1 ;2 3 1 ;3 3
C. D.
Si: t ∈ 1;
x2; x ∈ [0; 2〉 2x + 1; x ∈ [2; 5〉
3 ; hallar: f(2t – 1) – f(2t2). 2
A. 14 B. 2t – 1
C. –4t D. t2
14. Determinar el dominio de la función F, donde: A. ]0; ∞[ B. [0; ∞[
C. [0; 4] D. [0; 4[
15. S i : F ( x ) = 5 x – 1 y G ( x ) = n x + m , c a l c u l a r : M = F(G(n)) – G(F(m)) + G(b) + G(a), sabiendo además que los pares ordenados: (1; b), (1; n + 3), (2; a), (2; m – 1) son elementos de “F”. A. 24 B. 28
D. 12
16. Determine el rango de: f(x) =
2x + 8 10. Hallar el rango de la función: f(x) = x + 3 . Si: Domf = ]–2; 5[ A.
13. Si tenemos: f(x) =
1 ;6 3 1 ;9 3
A. IR – {3} B. IR – {–3} 17. Hallar el dominio, si: f(x) = A. ]–1; 1[ B. [–1; 1[
4 – 3x x+2
C. ]–∞; –5[ ∪ ]–5; +∞[ D. IR – {–5} 1 1 – x2 C. ]–1; 1] D. [–1; 1]
18. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: 1 → Dom(F) = – 1 4x2 – 4x + 1 2 4x + 13 II. F(x) = → Ran(F) = – – 4 –3x + 21 3 III. F(x) = 49 – x2 → Dom(F) = [–7; 7] I.
F(x) =
A. V V F B. V F V
C. V V V D. F V F
19. Si el rango de: F(x) = 33x + 21 es el intervalo [–639; –45], obtener el dominio. A. [–1; 17] B. [–4; 7]
C. [–2; 10] D. [–20; –2]
20. Hallar el rango de la función: F(x) = 2x2 + 3x + 2 A. y ∈ IR B. y ∈ IR +
7 ; +∞ 8 1 D. y ∈ ; +∞ 4 C. y ∈
TRILCE Católica
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 34
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
REPASO DE FUNCIONES II FUNCIÓN LINEAL Es la función determinada por la siguiente regla de correspondencia:
Solución:
y = f(x) = mx + b; m ≠ 0
Despejando “y”: y = – 2x + 4
Dominio : R Rango : R m : pendiente de la recta b : intercepto con el eje y (ordenada en el origen) La gráfica de la función lineal es una recta: OO
Graficar la función: y + 2x – 4 = 0
f(x) = – 2x + 4 m = –2; b = 4 f(x) = 0 ⇒ –2x + 4 = 0 x=2
f(x) = –2x + 4 ⇒ Su gráfica es:
Si m > 0, la recta sube hacia la derecha
y
y
(0, 4) b
q
x
–b m OO
(2, 0)
x
Si m < 0, la recta baja hacia la derecha Casos especiales:
y b
OO
q –b m
Si m = 0 →
f(x) = b
Función Constante
Su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por el punto (0; b)
x
y
Para hallar el intercepto con el eje X debemos hacer: f(x) = 0
b
Ejemplo 1: x
Graficar la función: y – x – 4 = 0 Dom: R Ran: y = b
Solución: Despejando “y”: y = x + 4 f(x) = x + 4 ⇒
OO
m = 1; b = 4 f(x) = 0 ⇒ x + 4 = 0 x = –4
Si m = 1, b = 0 → f(x) = x
Función Identidad
Su gráfica es una recta que biseca, al I y III cuadrante. y
Su gráfica es: y
45º
(0; 4)
(–4; 0)
x
x
Dom: R Ran: R
Ejemplo 2:
TRILCE Católica
137
Ciclo
Católica 5.
Problemas para la clase 1.
Indique cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función lineal: 2y = 8x + 6. y
A.
y
C.
x
7.
x
2.
8.
y
2
9.
x
¿Cuál de los gráficos representa a: y =f(– x)? y
2
1
–2
y
D. –2
4.
¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de las rectas “L1” y “L2”; si “L1” resulta de unir A(0; 6) con B(6; 0) y “L2” resulta de unir C(0; 3) con D(8; 3)?
x
–2
1
2
3
y
–5
4
7
10
x
y
y
5
x
y
A.
C.
–3
5
x
y = F(x) = 3x + b (0, 2)
y
B.
D. 5
(m, n)
x
5
y y
x
5
x
x
12. Hallar el área limitada por el eje de las ordenadas y las funciones: f(x) = x y g(x) = – 6
3m 2 Hallar: n + 2
138
C. y = 2x + 3 D. y = 3x + 1
x2 – 25 11. Graficar la función: F(x) = x – 5
En el gráfico:
A. –1 B. 0
C. (3; 1) D. (–3; 1)
A. y = 4x – 1 B. y = x + 3
Hallar la Ley de correspondencia de la gráfica mostrada. A. 3x – 5y – 15 = 0 3 B. y = x + 3 5 x y C. + =1 5 –3 D. 3x + 5y + 15 = 0
C. –5 D. 3
La regla de correspondencia de la función lineal es:
1
x –1
3.
En el problema anterior, calcular f(–2)
10. Dado el siguiente diagrama, tabular:
x
–1
x
y
B.
C. –x + 1 D. x + 1
A. (1; 3) B. (3; 3)
y
C. 2
Hallar la función lineal f(x), tal que: f(0) + f(1) = 0 y f(–1) = 3.
A. –3 B. 5
1
–2
2 2 x+ 5 15 2 D. y = – x + 1 5 C. y = –
A. –2x + 1 B. x
Si la gráfica adjunta representa: y = f(x)
A.
Hallar la regla de correspondencia de la función lineal 1 1 ; cuya gráfica pasa por los puntos: 2 3 y (3; 0) 2 x+1 15 2 2 B. y = x – 5 15
y
D.
C. –x + 2 D. x + 2
A. y =
x
y
B.
A. –2x + 2 B. x 6.
x
Hallar la regla de correspondencia de la función lineal que pasa por los puntos: (–1; 3) y (2; 0)
C. –2 D. 1
A. 36 u2 B. 18 u2
C. 15 u2 D. 24 u2
TRILCE Católica
Álgebra 13. Encontrar la función lineal “f” tal que: f(2) = 3..................................................... (1) f(3) = 2f(4)................................................ (2) A. f(x) = –2x + 1 B. f(x) = –x + 4
C. f(x) = –x + 5 D. f(x) = –3x – 4
14. Si “h” es una función lineal de pendiente 3 e intercepto con el eje “y” 5. Hallar la regla de correspondencia de la función g(x) si: g(x) – x = h(1) + h(x + 1) A. 4(x + 1) B. 4(x + 3)
y
y = – 5x + k x
C. 20 D. 25
16. Sea la función f(x) = IR → IR Además: f(x) = ax + b f(b) = 15 f(– b) = 9 Calcular la pendiente de la gráfica de f(x) 1 3 1 B. 4
1 5 1 D. 6 C.
17. Dada la función “G” con regla: G(x) = ax + b tal que (2, 3) y (3, 4) la satisfacen. Hallar un punto que le pertenezca. A. (9, 10) B. (3, 5)
C. (11, 10) D. (11, 9)
18. Dada la función “F” tal que: F(4) = 1; 2F(2) = 3F(3). Además: F(x) = ax + b. Luego podemos afirmar: A. F(2) = 2 B. F(2) + F(8) = 3
C. F(10) = 5 D. F(–2) = 7
19. Si: F(x + y) = F(x) + F(y) F(2) + F(5) = 42 Calcular la pendiente de la función lineal F(x). A. 7 B. 4
TRILCE Católica
C. 5 D. 6
F(7) = 13
II.
F(0,5) = 0
III. F(2 – x) = 1
Son verdaderas: A. Solo I B. Todas
C. Solo I y III D. Solo I y II
21. Si; F(x) = ax + b si: F(0) = 2 ∧ F(1) = 6, luego es cierto que: C. F(4) = 16 D. F(4) = 14
22. El nivel de contaminación de una ciudad a las seis de la mañana es de 30 partes por millón y crece en forma lineal a razón de 25 partes por millón cada hora. Halle la ecuación que relaciona la contaminación C (partes por millón) con t (horas transcurridas del día) y calcule la contaminación a las 4 del a tarde, en partes por millón. A. 250 B. 280
y = – 2x + k
A.
I.
A. F(3) = 14 B. F(3) = 12
C. 4(x + 4) D. 3x + 12
15. Si el área del triángulo, cuya región sombreada es 60 m2. Indicar el valor de “k”; k > 0
A. 10 B. 15
20. Sea la función afín F, con regla: y = 2x – 1; entonces de las afirmaciones:
C. 550 D. 240
23. Dadas las funciones: f(x) = 3x + 1 g(x) = – x + 6 h(x) = 2x + 7 i(x) = 4 Si “P” es el punto de intersección de las gráficas de las funciones “f” y “h”, y “Q” es el punto de intersección de las gráficas de las funciones “g” e “i”, halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos “P” y “Q”. 15 7 x+ 2 2 15 1 B. y = x + 2 2 A. y =
15 7 x+ 4 2 15 7 D. y = x – 4 2 C. y =
24. Rolando paga, por un consumo de 60 kw.h de luz, S/ 24 y, por 150 kw.h, paga S/ 55,5. ¿Cuánto pagará Rolando por un consumo de 210 kw.h, si la relación entre el consumo kw.h y el pago, en soles; es lineal? A. 80 soles B. 74,5 soles
C. 81,5 soles D. 76,5 soles
25. Si: x+y=7 xy = 12 Hallar: x2 + y2 A. 41 B. 42
C. 43 D. 44
26. Hallar el área de la región formada por las gráficas de las funciones: f(x) = abx – b2; ab > 0; g(x) = 2b2 con el eje de las ordenadas. 9b3 2 u a 2a B. 9b3 A.
2b3 9a 9b3 D. 2a C.
27. Si: F(x) = Ax + B + 2, se sabe que la gráfica F(x) pasa por el punto (8; 38) y por el punto (0; –2). Calcular A + B. A. – 2 B. 1
C. 3 D. 5
139
Ciclo
Católica
28. Sea la función constante: F(x) = kx + m2 + 1 ∀ x ∈ R. Cuando: x = 30, F(x) = 10, m ∈ Z+ Calcular:
4.
F(n + 1) + F(n – 1)
m 3
A. 0 B. 1
F(n) – 2 2
C. –1 D. 3000
29. Un contrato de conexión a internet cuesta $ 20 mensuales más $ 0,60 por cada hora de conexión. a) ¿Qué cantidad debe pagar un usuario que ha utilizado el servicio 15 horas en el último mes?, b) ¿Y si ha usado la conexión durante 10 h 35 min? Dar como respuesta la suma de ambas cantidades. A. $ 26,35 B. 29,35
Sea “F” una función constante tal que:
Calcular: F(n2) + F(2n) + f(2) + F(1) A. 6 B. 12 5.
C. 18 D. 24
Graficar, F(x) = 3x – 2 y
y
A.
C. 43,35 D. 55,35
C.
x
x
30. En el contrato de trabajo, a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas: I. II.
Sueldo fijo mensual de $ 1000. Sueldo fijo mensual de $ 800 más el 20% de las ventas que haga.
y
B.
C. 1000 D. $ 900
6.
Tarea domiciliaria 1.
D.
x
x
¿A cuánto tienen que ascender sus ventas para ganar lo mismo con las dos modalidades del contrato? A. $ 800 B. $ 1200
y
Dada la siguiente función: f(x) = x3 – 10 000x2 – 10 002x + 9 999
La gráfica de la función F(x) = – 2x + 4, se muestra en la figura:
Calcular el valor de f(10 001) A. – 3 B. – 1
y a
7. b
C. – 2 D. 0
Dada la gráfica de f y
x
c 3
Se pide calcular: ab. A. 4 B. 6 2.
Se tiene una función lineal “F”, de tal forma que cumple: F(0) = F(2) – 16 Si la gráfica pasa por el punto (0; 7), obtener la regla de correspondencia de F. A. F(x) = 2x + 7 B. F(x) = 8x – 7
3.
1
C. 16 D. 8
C. F(x) = –8x – 7 D. F(x) = 8x + 7
x
–2
Si su rango es: ]–∞; a[∪]0; b[∪]5; +∞[. Hallar: c + b – a A. 0 B. 4
C. 8 D. 10
Obtener el área de la figura formada por la gráfica de la 10 – 2x función F(x) = 5 y los ejes cartesianos. A. 5 u2 B. 10 u2
140
C. 15 u2 D. 40 u2
TRILCE Católica
Álgebra 8.
14. El rango de la función: F(x) = 2 – 3x, donde x ∈ ]–2; 4[; es:
Dada la gráfica de la función “f”: y f –2
A. [3; 6〉 B. [–6; 4〉
10 1
15. Si: F(x) = 5x – 1 y G(x) = nx + m. Calcular:
–1
1
x
–1 –2
M = F (G(n)) – G(F(m)) + G(b) + G(a) Sabiendo además que los pares ordenados: (1; b), (1; n + 3), (2; a), (2; m – 1) son elementos de F.
Hallar Ran(f) ∩ Dom(f) A. [–2; 1] B. ]–2; 10[ 9.
C. [–10; 8〉 D. [–8; 12〉
C. [–2; 2[ D. [–2; 10]
y
A. [–1; 17] B. [–4; 7]
f 1
2
x
C. 4 D. 5
10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(–1; 2) y Q(5; 2) A. y = 5x + 7 B. y = 2 – x
C. y = 3x D. y = 2
11. Sea F(x) = 2mx + 5 una función. Si el par ordenado (2; 3) es un elemento de la función, entonces el valor de “m” es: 1 2 –3 B. 4 A.
C. [–2; 10] D. [–20; –2]
17. Si la siguiente tabla satisface a: y = 5x + a + b, calcular “x”, cuando y = 12
c
A. 2 B. 3
C. 20 D. 12
16. Si el rango de: F(x) = 33x + 21 es el intervalo [–639; –45], obtener el dominio.
Sea: f(x) = ax + b. Hallar: a + b + c 4
A. 24 B. 28
3 4 –1 D. 4 C.
12. Sean “f”, “g” y “h” funciones de Z en Z, tales que: f(x) = 2x – 3; g(x) = x – 5; h(x) = 4x
x
b
–1
y
2
2a
A. 13 1 B. – 3
C. 6 D. 3
18. Si: G(x + 2) = 2x – 7 G(F(x)) = 6x + 10 Determinar: F(x) A. 3x – 6 B. 3x + 6
C. 4x + 6 D. 4x – 6
19. Al colgar diferentes pesos de un muelle, este se va alargando según los valores que indica esta tabla:
PESO, x(g)
0
2
5
10
LONGITUD, y(cm)
5
6
7,5
10
Se sabe que: f(a) = – 9 g(b) = a h(f(a)) = c
Determina cuánto se alarga el muelle cuando se ha colgado 20 gramos.
Hallar: a + b + c
A. 10 cm B. 15 cm
A. –35 B. 35
C. – 37 D. 37
13. Sea F una función definida en Z por: f(x + 2) = f(x) + f(2). ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. f(0) = 0 II. f(2) + f(– 2) = 0 III. f(0) = 4f(2) A. I y II B. II y III
TRILCE Católica
C. 25 cm D. 20 cm
20. Halla la ecuación de la recta que pasa por P(7,4) y Q(–3, –1). 1 1 A. y = x + 2 2 1 1 B. y = x – 2 2
–1 1 x+ 2 2 –1 1 D. y = x– 2 2 C. y =
C. I y III D. Todas
141
Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 35
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Quinto Católica
REPASO DE FUNCIONES III 5.
Función cuadrática
La gráfica de la función: F = {(x; y) ∈ R2/y = x2 – 1} es: y
y = F(x) = ax2 + bx + c; a, b, c ∈ R ∧ a ≠ 0
y
A.
C.
completando cuadrados:
x
y = a(x – donde h =
h)2
+k
x
–b D siendo (h; k) el vértice de la parábola. ;k= 2a 4a
a>0
y
a>0
y
y
B.
D.
y
x
k h
x1
x1
x
x2
x
h
x2
x
6.
k
y
(cóncava hacia arriba)
(cóncava hacia abajo)
A. B. C. D.
Además puede observarse que x 1 y x 2 son raíces de ax2 + bx + c = 0 Dom(F) = R Ran(F): considerando que F(x) = y, podemos hallar el rango de la función utilizando la siguiente relación:
7.
2.
Hallar el intercepto de la gráfica correspondiente a la función: f(x) = (x + 3)(x – 5) con el eje “x”. A. 3 y 5 B. –3 y –5
3.
8.
y
TRILCE Católica
C. V(1; 3) D. V(–3; –1)
y 3
1
A.
5 x C.
–4
x y
y
C. 6 D. –12
Hallar el vértice de la parábola correspondiente a la función: y = 2x2 + 4x – 1 A. V(–1; –3) B. V(–1; 3)
P(2; 4)
Graficar: f(x) = x2 – 6x + 5
Hallar el intercepto de la gráfica correspondiente a la función: f(x) = (x – 2)(x + 6) con el eje “y”. A. 12 B. –6
4.
C. 3 y –5 D. –3 y 5
Hallar “m”, si la gráfica de la función cuadrática:
A. 1 B. 5 1 C. 5 D. –5
Un punto “P” pertenece a la gráfica de la función cuadrática: y = x2 + 18x + 15. Si dicho punto “P” tiene por abscisa –2, ¿cuál es su ordenada? C. –17 D. 17
x
(m; n)
F(x) = 2x2 + 3x – 2m, es:
Problemas para la clase
A. –15 B. –16
1 2 3 5 (p; q)
b2 – 4a(c – y) ≥ 0
1.
A continuación se da el gráfico de la función “F” con regla: y = (x – 1)2 – 1. Hallar el valor de: m + n + p2 + 2q2
3
B.
–4
5 x D.
–5
–3 –1
x
–4
142
Álgebra 9.
Hallar el área de la región sombreada:
16. El punto P(2; b) pertenece a la función cuadrática: f(x) = 2x2 + 5x – 1; calcular “b”.
y
A. B. C. D.
A. 11 B. 13
u2
8 16 u2 32 u2 12 u2
F(x) =
–x2
+ 4x + 5
C. 15 D. 17
17. En la figura se muestran las gráficas de las funciones: 3
x
10. La resistencia de un material de aluminio está dada por la 10 función: f(x) = x(12 – x); siendo “x” el peso ejercido sobre 9 el material, ¿para qué peso la resistencia es máxima? A. 6 B. 10
F(x) =
x2 ; G(x) = –x – m 8
F(x)
C. 12 D. 15
11. Un hombre dispone de 40 m de alambrado para cercar un jardín rectangular. Sabiendo que solo debe colocarla sobre tres lados porque el cuarto limita con su casa, determinar el área máxima que puede cercar. A. 120 m2 B. 180 m2
C. 200 m2 D. 240 m2
entonces “m” es igual a: A. – 2 B. – 4
12. Hallar el valor de “p” si al graficar la función: F(x) = x2 + (p – 1)x +
p2 4
B. C. D.
C. – 1 D. 2
18. En base al gráfico, halle el menor valor entero que tomaría “b”.
se obtiene: A.
G(x)
y
1 2 1 16 1 18 1 4
y
x (x0; y0)
F(x)
– 1 x2 + bx – 2 2
x
13. Si: b < 0; la gráfica de la función: y = x2 + 2bx + b2 es: y
A.
A. –3 B. –2
y
C. x
x y
y
B.
D.
x
x
19. Sean las funciones: f(x) = 2x2 + 4x – 30 g(x) = –3x2 – 6x + 24 donde:
y N(n; p)
3 –3 2 –2
TRILCE Católica
f
C. – 46 D. 46
15. Hallar “ab”, si el gráfico de la función: f(x) = –x2 + 2x + 3; es aproximadamente: A. B. C. D.
b = mín (F) p = máx (G)
Hallar la distancia de “M” a “N”
14. La gráfica de la función: y = x2 + bx + c, intersecta al eje “x” en los puntos (–2; 0) y (5; 0) al eje “y” en el punto (0; m). Hallar: b + c + m. A. 23 B. –23
C. –1 D. 0
g
x
M(a; b)
y a
b
x
A. 21 B. 34
C. 59 D. 61
143
Ciclo
Católica
20. Sea la función: F(x) = a(x – h)2 + k; a ≠ 0. Indicar verdadero (V) o falso (F):
25. Dada la función: F(x) = a2x + b; cuya gráfica se muestra, b hallar “ac”
I. ak > 0 → “F” no tiene raíces reales II. k = 0 → “F” tiene dos raíces iguales III. ak < 0 → “F” tiene dos raíces reales y diferentes A. F F V B. V F F
C. V V F D. V V V
21. En la figura se muestra la gráfica de: y = –x2 + 6x – 5; y un rectángulo inscrito con lados paralelos a los ejes coordenados. Hallar la expresión para el área de dicho rectángulo.
6 A. B. 3 2 C. – 3 D. 3 3
2 1 –3
c
x
–2
26. Hallar “m” para que la gráfica de la función: f(x) = x2 + 3mx + 4m + 1; sea:
y
A. B. C. D.
y
(3 – x)(–x2 + 6x – 5) 2(3 – x)(–x2 + 6x – 5) (3 – x)(x2 – 6x + 5) 2(3 – x)(x2 – 6x + 5)
y
3
x
A. B. C. D.
–3 –2 1 2
y = f(x) x
22. Hallar la longitud de la cuerda común de las funciones: 27. El gráfico siguiente corresponde a una función cuadrática: F(x) = ax2 + bx + c; con vértice “V”; hallar “abc”.
F(x) = 2x2 – 22; G(x) = –x2 + 5 A. 4 u B. 6 u
C. 8 u D. 10 u
23. Si: F(x) = ax2 + bx + c, a > 0; además: Rango(F) = [1; +∞[; F(0) = 2 Hallar:
91a2 – 5b4 11ab2
1 4 1 B. 2 A.
C. 2
y
A. B. C. D.
–2 –1 1 2
x (0; – 1) V(1; –2)
28. Dada la función cuadrática: F(x) = ax2 + b, cuya gráfica se muestra calcular “abc”.
D. 4
24. Siendo: f(x) = x2 – ax + b, cuya gráfica es:
c
–4
A. B. C. D.
3
y
–2
–20 20 18 –12
x
–9
–24
h
–h V
Vértice de la parábola
29. A partir del gráfico expresar la medida de la región rectangular “A” de base “x” en función de la medida de dicha base. 3 (5x – 24)x 14 4 B. x(24 – 5x) 5 1 C. x(12 – x) 12 5 D. x(24 – 5x) 12
y
A. Además: 2 ≤ a2 – 4b ≤ 6; hallar el área máxima de la región sombreada. A. 6 u2 B. 7 u2
144
C. 8 u2 D. 9 u2
6
A x
x
8
TRILCE Católica
Álgebra 30. Indicar verdadero (V) o falso (F):
8.
I. Cuando: F(x) = x2 – 1; entonces: DF = R II. Si: F(x) = x2 – 1; entonces: RF = R III. El RRF = [–1; +∞〉; si: F(x) = x2 – 1 A. VFV B. FFV
Señale el dominio de la función F cuyo gráfico está dado: y 3
A. B. C. D.
C. VVF D. FVF
[–1; 3] [–3; 2] [–1; 2] ]–3; 2]
1
Tarea domiciliaria 1.
(–3; 1)
Dada la función cuadrática: f(x) = ax2 + 4ax + 7, si el vértice es (h; – 5); halla h + a. A. 1 B. –1
2.
C. 0 D. 2
Dada la ecuación cuadrática: f(x) = (x + a)2 + a, encontrar el mínimo valor de f, para que 3 sea la imagen de 3. A. –3 B. –1
3.
7.
x2 2
x
a
C. 14 D. 17
C. 49 D. – 49
y
A. B. C. D.
2 3 1 4
1 1 ; 2 3 D. (–1; 1) C.
y = F(x) = x2 – 4x + 1: ∀ x ∈ [–1; 3] es de la forma [a; b]; luego b – a es: C. 2 D. 9
m
n
x
(p; q)
13. Con la información del problema anterior, señale el valor de p2 + 2q2. A. 3 B. 6
El rango de la función F, con regla
TRILCE Católica
A. 7 B. 14
x
x x + 1
A. 4 B. 0
x
12. A continuación se da el gráfico de la función F, con regla: y = (x – 1)2 – 1. Hallar el valor de “m + n”.
¿Cuál de los siguientes puntos no está en la gráfica?
A. (0; 0) 1 B. – ; –1 2
y
D.
11. En la función: f(x) = (x – a)2 + b, el valor de “x” que hace que la función acepte a 7 como mínimo valor, es 7. Hallar “ab”.
Indicar cuántos puntos de la forma (a; b) donde: a y b ∈ Z se encuentran dentro de la zona limitada por las funciones: F(x) = (x + 2)(x – 2) y G(x) = (2 + x)(2 – x)
y=
x
y
f(x) = 5 –
a
6.
x
B.
D. R–0
3 2 –1 –2
A. 21 B. 19
y
C.
El área de la figura sombreada es de a m2. Calcular el valor de “a”.
A. B. C. D.
C. Un máximo, 3 D. Un mínimo, 3
10. Graficar: F(x) = x2 + 2mx + m2, si: m < 0
Hallar el rango de: F(x) = x2 – 6x + 10, si su dominio está dado por: x ∈ [–2; 1[
y
5.
A. Un mínimo, 19 B. Un máximo, 19
A.
C. ]5; 26]
x
La función cuadrática: f(x) = –2x2 + 12x + 1, tiene un máximo o un mínimo. ¿Cuál es su valor?
y
C. –6 D. B y C
A. ]4; 25] B. [–5; –2[ 4.
9.
2
–1
C. 9 D. 19
14. Determinar los coeficientes m y n para que la parábola y = x2 + mx + n pase por los puntos de intersección de la recta y = – 2x + 8 con los ejes coordenados. A. m = – 6; n = – 8 B. m = 6; n = – 8
C. m = – 6; n = 8 D. m = 6; n = 8
15. De la función P(x) = 4x2 – 16x + 17, indicar por qué cuadrantes pasa. A. I y II B. III y IV
C. II y III D. I y III
145
Ciclo
Católica
16. Hallar el valor máximo de: F(x) = 4x(– x + 8) A. –64 B. –16
C. 64 D. 16
17. Dada la función F: [–5; 3〉 → R → R, cuya regla de correspondencia es: F(x) = x2 – 2x – 13. Calcular la suma del máximo y el mínimo valor entero de la función. A. 10 B. 8
C. 7 D. 5
19. La gráfica de la función f(x) = x2 – 2mx + m se encuentra por encima del eje de las abscisas. Entonces, podemos afirmar que: A. m < 0 ∨ m > 1 B. m > 0
20. Sea: f: R → R; una función definida por: f(x) = ax2 + d; 11 además: f(1/2) = y su gráfica es: 2 y
18. El valor mínimo del trinomio y = 2x2 + bx + p ocurre para x = 3. Sabiendo que uno de los valores de x que anulan ese trinomio es el doble del otro. Dar el valor de p. A. 32 B. 64
C. –1 < m < 0 D. 0 < m < 1
(0; 5) x
C. 16 D. 128 Hallar “ad”. A. 12 B. 15
146
C. 10 D. 4
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Colegios
TRILCE
ÁLGEBRA Semana 36
Tu mejor opción de ingreso a CATÓLICA
Quinto Católica
REPASO VI Problemas para la clase 1.
Si: 28
–27–1/3
–1
= 4x ; halla “x”.
1 2 B. 1 A.
2.
C. 2 D. 4
Si: a(x + 1)2 + b(x – 1)2 + c(x2 – 1) = x2 + 2x + 5. Hallar a + b. A. 3 B. 1
3.
C. 2 D. 0
Si se cumple que: x4 – y4 = xy3 + x3y, con x ≠ y; halle el valor de: k= A. 0 B. – 1
4.
Si:
B. 2
1 2 1 D. 4 C.
Factorizar: E = x3 + xy2 + x2(y + z) + xy(x + z) e indicar uno de sus factores. A. y B. x + y + z
8.
C. 4 D. 3
a2 + c2 2b2 = a + c – b; hallar: E = 2 ; a; b; c ∈ IR 2b a + c2
A. 1
7.
C. 4 D. 8
Factorizar: P(x; z) = [(x + z)(x – z) + 1] – 4x2, e indicar el número de factores primos. A. 2 B. 5
6.
C. 1 D. – 8
Un polinomio de segundo grado, de variable x, se anula para los valores de x = 4 y x = 3. Si la suma de coeficientes del polinomio es 18; halle el valor numérico del polinomio para x = 2. A. 10 B. 6
5.
3 x y + –1 y x
C. x + z D. y + z
Si f(x) = – x2 – 6x + 1, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. II.
El vértice de la parábola es V(3; 10) El vértice de la parábola es V(–3; 10) y se abre hacia arriba. III. El vértice de la parábola es V(–3; 10) y se abre hacia abajo. A. Solo I B. Solo II
TRILCE Católica
C. Solo III D. Ninguna
9.
Dos tanques iguales tienen un desagüe cada uno desaloja todo su contenido en 8 horas y 6 horas respectivamente. Estando llenos ambos tanques se abren los desagües. ¿Después de cuánto tiempo el volumen de líquido en uno de ellos será el triple que el del otro? A. 5 h B. 21/4 h
C. 26/5 h D. 16/3 h
10. Halle el área de la región triangular formado por las rectas y = – x – 1; y = 2x – 13 y el eje de las ordenadas. A. 16 u2 B. 36 u2
C. 24 u2 D. 60 u2
PREGUNTAS 11 Y 12 La cantidad “q” de unidades de un artículo, que compra el público, depende del precio de venta “p” (en soles), de cada artículo, de acuerdo a la función: q(p) = 420 – 5p 11. ¿Cuál es el precio que maximiza el ingreso de un comerciante que vende este artículo? A. 48 soles B. 84 soles
C. 42 soles D. 60 soles
12. ¿Cuál es el ingreso máximo que puede obtener un comerciante que vende este artículo? A. 4410 soles B. 8820 soles
C. 7420 soles D. 17 640 soles
13. Dos caños llenan un depósito en 20 horas. Si el segundo caño, que llena el depósito en más tiempo, fuera desagüe, el depósito tardaría en llenarse 52 horas. ¿En qué tiempo llena el depósito el segundo caño?. A. 65 h B. 50 h 14. Sean:
C. 100 h D. 70 h g(x) = x + m f(x) = x2 + 1 g(f(m – 2)) = f(g(5))
Determine el valor de verdad de los enunciados siguientes: • • •
m Є ] – 2; – 1[ No existe m real. Existen dos valores enteros de m.
A. VFF B. VVF
C. FFV D. VFV
15. Si f y g son dos funciones afines tales que: f(2) = 8; g(1) = 2 y f(g(2)) = 14; halla f(g(3)). A. 14 B. 16
C. 18 D. 20
147
Ciclo
Católica
16. Sea “f” una función definida por la ecuación: f(x + 1) = 3x + 9; f –f hallar: (x + h) (x – h) f(f(2)) h 3 h B. 6
h 7 D. h
A.
22. Si:
1 1 1 1 + + + = 0; siendo b ≠ ±a ∧ b ≠ ±c b+a b–a b+c b–c
Calcular:
C.
17. Si la ecuación del gráfico es: y = ax2 + bx + c, a ≠ 0
a2 + c2 b2
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
23. Los obreros, “A” y “B” trabajaron el mismo número de días. Si “A” hubiese trabajado un día menos y “B” 7 días menos, entonces “A” habría ganado $ 72,00 y “B” $ 64,80. Si al contrario “A” hubiese trabajado 7 días menos y “B” un día menos, “B” habría ganado $ 32,40 más que “A”. ¿Cuánto suman sus sueldos diarios, si estos son distintos? A. 4,8 B. 6,6
¿Cuál de los siguientes enunciados son correctos?
C. Solo I y II D. Todas
18. Dadas las funciones f y g de variable real, tales que: f(x) = – x2 g(x) = 3x2
+ 3x + 1 + 2x + 1
entonces, Ran(f) ∩ Ran(g) es: A. [2; 12/3] B. [2/3; 13/4]
C. [2/3; 13/2] D. [1/2; 13/4]
19. Si f: R → R es una función constante no nula, calcular el valor de: E=
f(f(7)) + 4f(2000) 3f(4) + 17f(f(–2))
A. 4 B. 5
24. Una máquina nueva produce en 60 min cierto número de artículos, y una máquina usada demora 80 min para producir 4 artículos menos. ¿Cuántos artículos produce la máquina antigua en 40 min si en producir cada uno de los artículos demora 2 minutos más que la nueva? A. 6 B. 7
I. c > 0 ∧ ∆ > 0 II. ∆ < 0 ∧ b > 0 III. ∆ < 0 ∧ a.b.c < 0 A. Solo III B. Solo II
C. 5 D. 7,2
C. 8 D. 9
25. Se tiene la siguiente relación lineal y = ax + B. Si al aumentar la variable x en 5 unidades, la variable y aumenta en 7,5. Además, para el valor de x = 3, y vale 7,5. Hallar la relación lineal. A. y = 2,5x + 1,5 B. y = 1,5x + 2,5
C. y = 2,5x + 3 D. y = 1,5x + 3
26. La utilidad de producir y vender x cientos de artículos es una función cuadrática U(x) (en miles de soles). Cuando se producen y se venden 400 artículos se obtiene una utilidad máxima de 29 000 soles, si no se produce ningún artículo se pierde 3 000 soles, hallar la suma de coeficientes de U(x). A. 20 B. 11
C. 29 D. 29 000
PREGUNTAS 27, 28 Y 30 1 4 D. 8 C.
Según la gráfica:
8
20. Dadas las funciones: f: R → R / f(x) = – x2 + 3x + 1 g: R → R / g(x) = 3x2 + 2x + 1
5
Si Ran f ∩ Ran g = [a; b]; hallar: E = 12(b – a) A. 30 B. 35
C. 31 D. – 25
21. Poncho compra tantos polos como el doble del costo de cada uno de ellos, pierde la cuarta parte del total y el resto las vende en 10 soles más que el valor del costo de cada uno de los polos. Calcular la cantidad total de polos de tal forma que la utilidad sea máxima. A. 10 B. 15
148
C. 30 D. 50
–9
–6
–3
5
8
–2
11 f
–4
27. Determine el dominio de la función f A. [–9; 11] – {8} B. [–9; 11]
C. [–9; +∞[ – {8} D. [–9; +∞[
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Álgebra 28. Determine el rango de la función f A. [– 4; 8] – {5} B. ]–∞; 8] – {5}
8.
C. [– 4; 8] D. ]–∞; 8]
29. Indicar el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. I. f(–5,9) × f(–2) < 0 II. f(8) = 5 III. f(5) = f(11) A. V V V B. V F V
C. F V V D. F F V
C. 0 D. 5
a2
35 6 3 B. 2 2.
b2
Si a + b = 6 y a2 + b2 = 12; hallar b + a A.
Si sabemos que x + y =
C. 12 D. 0 2 y xy = 3 entonces hallar:
3.
C. 0
4 D. –3
La suma de los factores primos en: (a2 – c2 + 2a – 2c)2 – (a + c + 2)2 es: A. 3a + 2b + 3 B. 3b + 2a
4.
5.
C. 2x D. 2(a + x)
Si: 5 + xy, y = 2 + xy; hallar: x6 – 9x2y2 – y6 A. 9 B. 3
7.
C. (x – 1)3(x + 1)2 D. (x – 1)4 (x + 1)
Factorizar: ax(ax – 2) – (x2 – 1) + a(2x – a) y señala la suma algebraica de sus factores. A. 2a B. a + x
6.
C. 3a – c + 2 D. 5a + 5b
Factoriza: x5 – x4 – 2x3 + 2x2 + x – 1 A. (x – 1)2(x + 1)3 B. (x – 1)(x + 1)4
C. 18 D. 27
Un traficante compra 30 pinturas a $ 1 050 cada una. Le robaron unas cuantas y vendió las restantes con un aumento de tantas veces $ 42 como pinturas le robaron. Si al final no tuvo pérdida ni ganancia, ¿cuántas pinturas le robaron? A. 1 B. 2
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¿Para qué valores de “m” ∧ “n” las raíces de la ecuación: x2 + 7mx + n = 0, son: m, – n – 1? 1 1 ; 4 2 1 1 B. –4; –2
A. 85 B. 140
C. 3 D. 5
1 1 ;– 4 2 1 1 D. – 4; 2 C.
C. 170 D. 245
11. Si las raíces de la ecuación en “x”: x2 – 3x + m + 1 = 0 son complejas, determinar el mínimo valor entero de “m”. A. 1 B. 0 12. Luego de resolver: (7 + 2x)3 + x
P = xy – 1 + yx – 1 3 A. 4 B. 2
9.
C. S/ 150 D. S/ 120
10. En una conferencia el número de varones es al de damas como 7 es a 5; si el exceso del número de varones respecto al de damas es un número de dos cifras consecutivas, ¿hallar el máximo número de damas que pudieron asistir a la conferencia?
Tarea domiciliaria 1.
A. S/ 75 B. S/ 100
A.
30. Determinar 3f(–5) A. 10 B. 14
Enrique cancela una deuda con 28 billetes de S/ 10 y S/ 5. ¿Cuánto dinero pagó con billetes de S/ 10, si el monto de la deuda fue de S/ 200?
A. 4 B. –27
C. 2 D. 3 x + 6 x + 7 x + 3 x + 10 + = + , indicar: x+2 x+3 x–1 x+6
2 C. D. 3 3
13. Un grupo de amigos decide comprar un microbús valorizado en $ 12 000. Si el dinero que tiene que aportar cada uno de ellos excede en 988 al número de contribuyentes, ¿cuántos de ellos hicieron la compra? A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
14. Dos mecánicos trabajando juntos pueden reparar un tranvía en 12 horas. El primero de ellos trabajando solo puede hacer el trabajo en 10 menos que el segundo. ¿En cuántas horas reparará 2 tranvías, trabajando solo, el segundo de ellos? A. 24 h B. 48 h
C. 32 h D. 60 h
15. Un terreno rectangular mide 40 m de largo por 26 m de ancho. Si se aumentan sus dimensiones en una misma cantidad de modo que el área aumenta en 432 m2, determinar el nuevo ancho del terreno. A. 30 m B. 32 m
C. 31 m D. 33 m
16. Una empresa fabrica los productos “A” y “B”. El costo de fabricar cada unidad de “B” es $ 2 menos que el de fabricar cada unidad de “A” y los costos de producción de “A” y “B” son de $ 1200 y $ 800 respectivamente. ¿Cuántas unidades se fabricaron en total si se elaboraron 20 unidades menos de “B” que de “A” y/o además la producción
149
Ciclo
Católica total debe ser mayor de 200 unidades? A. 210 B. 220
C. 240 D. 270
17. Dada la ecuación: x2 – 2ax + 8a – 18 = 0. Determinar el valor de “a” para el cual la suma de las inversas de las raíces sea 1. A. 3 B. 4
2 C. –5 3 D. –4
19. Determinar uno de los valores de “p” para que en la ecuación: x2 – px + 2 = 0, la suma de los cubos de las raíces sea igual a – 4. A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
20. Al despejar “x”: m2x + n(m – n) = (m – n)(3m + 4n) + n2x; se obtiene: A. 3 B. m
C. n D. 3m
18. La ecuación x2 + bx + c = 0 tiene raíces r y s. Una ecuación que tiene raíces 1/r2 y 1/s2 es: A. B. C. D.
150
c2 x2 + (2c – b2) x + 1 = 0 c x2 + (2c – b2) x + 1 = 0 c2 x2 + (2c2 – b) x + 1 = 0 c2 x2 + (2c2 – b) x – 1 = 0
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