Algebra 3°

 

  ALGEBRA  

COLEGIO “WILLI “WILLIAM AM PAREDES”

MONOMIO Es un término algebraico raciona racionall entero. Ejem: 1) p(x,y,z) =  – 4x 5y4z2 

2) p (x,y) = 2x 2y

 Al expresar p(x,y,z) indicamos que es monomio de 2 variables. Todo polinomio posee 2 grados:

Grado Absoluto  M (x,y)  = 4x 4 y 6 

Grado Relativo  N (x,y) = 6x 3 y 4 

G A = 4+6 = 10

G R x = 3

G R y = 4

Ejemplo: 1) En el siguiente monomio: M (x,y) = 2x a+2 y 3 e ess de Hallar a

G A = 10

PROBLEMAS PARA LA CLASE M(x,y)=   (a+b)x 2a-4yb-3 

(1) En el sigu siguiente iente mon monomio: omio: a+3 6 M(x,y) = 4x y  es de G A = 12. Hallar “a”  a) 18

b) 10 c) 2

a) 20

d) 3 e) 1

(2) En el sigu siguiente iente mon monomio: omio: n+4 5 M(x,y) = 4x y  , su G A = 16. Hallar “n”  a) 5

b) 6

c) 7

a) 6

b) 8

c) 10

d)12 e) 14

(4) Hallar “n” si el grado absoluto es 24  M(x,y) = 3 4x2n-2y6 a) 10

b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

(5) En el monomio: Hallar “n” si  G.Rx = 15 2n-3 5 M(x,y) = 3a x y a) 8

b) 9

c) 10

b) 12 c) 13

b) 11 c) 12

d) 30 e) 31 GR y = 10 d) 14 e) 15

(10) Si: M(x,y) = (a 2 + b 2)x3a+b y2a+5b  Hallar el coeficiente si: GRx = 10, GR y = 11 a) 10 b) 8

c) 6

d) 4

e) 2

(11) En: M(x,y) = (a+3b)x 2a+3b ya+b  Si el coeficiente es 11, GA = 23. Hallar GRy  a) 3

b) 5

c) 7

d) 9

(12) Hallar el coe coeficiente ficiente del m monomio: onomio: M(x,y) = (a,b)x2a+1 . y 3b-5 Sabiendo que: G.Rx = 7 d) 14 e) 15

a) 3

b) 6

c) 9

d) 7

(7) Hallar el coefic coeficiente. iente. Si G Rx = 12 G R y = 14 en: Jr. Bolognesi 161 HUANTA

e) 11

e) 11 e) 12

(6) Si P(x,y,z)  = 6a 2x4 ym+3 z5  Hallar “m” si G R y = 16 a) 10

b) 25 c) 28

(9) Hallar GRx en: M(x,y) = 5x 2n-1 yn+5  Si a) 9

(3) Calcular “n”, si el G A = 12, en:   M(x,y) = 3x n-4y6 

d) 25 e) 26

(8) En el monomio: M(x,y) = (3a –b)xa-b yb+7  Hallar el coeficiente si: GRx = 8 ; GR y = 9 a) 20

d) 8 e) 9

b) 22 c) 24

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e) 4

 

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COLEGIO “WILLI “WILLIAM AM PAREDES”

TAREA DOMICILIARIA M(x,y) = (a + b)x a+1yb-3 

(1) En el sigu siguiente iente mon monomio: omio: M(x,y) = 3x a+2y5  Hallar “a” si GA = 18  a) 10

b) 11 c) 12

a) 14 d) 14 e) 15

(2) En el sigu siguiente iente mon monomio: omio: 4 2 n+6 6

M(x,y) =

3 asixGAy=  20  Hallar “n” a) 6

b) 8

c) 10

d) 14 e) 16

(3) En el monomio: M(x,y) = 2x n+7y4  b) 4

c) 6

d) 8 e) 10

(4) En el monomio: M(x,y) = -3 2x2n-8y4  Hallar “n” si GRx = 20 a) 6

(8) En el mono monomio: mio: M(x,y) = (2a +b)xa-5yb+4  Calcular el coeficiente si: GR x  = 2, GR y  = 6 a) 14

a) 10

b) 18 c) 10

c) 6

d) 7 e) 8

(6) Si. M(x,y,z) = 7a 2x3ym+2z3  Calcular “m” si respecto de “y” 

el

grado

b) 5

b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

c) 6

d) 7 e) 8

b) 6

c) 8

d) 9

e) 10

(11) En el monomio: M(x,y) = (2a  – b)x 2a+by3a-b  Calcular el coeficiente si: GRx = 7, GR y = 8 a) 5

relativo

es 10 a) 4

d) 17 e) 18

d) 12 e) 14

GA = 9 en:   (5) Hallar “n”3 si: 2n-4 5 M(x,y) = 2 x y  

b) 4

b) 15 c) 16

(10) En el monomio: M(x,y) = 5x n+2yn+7 Calcular el valor de GR x, siendo GRy  = 11 a) 4

a) 2

d) 23 e) 24

(9) En el monomio: M(x,y) = 4x n-6y4n  Calcular: GRy , si GR x = 4

Hallar “n” si GA = 15 

a) 3

b) 18 c) 22

b) 7

c) 8

d) 12 e) 13

(12) En el monomio: M(x,y) = (a + b 2 +1)x a-by5a+b  GRx = 6, GR y=   12, hallar el coeficiente

(7) Hallar el coeficiente si GRx  = 10 y GR y  = 12 en:

a) 6

b) 7

c) 10

d) 11 e) 13

POLINOMIOS   uma limitada de monomios, no semejantes. Concepto.S Ejem: 4x2y3 + 2x 4y2 –   – x 3y , x5 + x 3 + 2x + 1

Notación:

P(x)  , N (x,y) 

Donde las variables son x ó x, y

Grado Absoluto: P(x) = x 7 + x 5 + 4 ,

GA = 7

P(x,y) = x ny5 + x 4y + y8 , GA = 17 Jr. Bolognesi 161 HUANTA

Ejem: P(x,y) = 2ax 2y + 5mx + ay Las variables x e y.

Grado Relativo: P(x,y) = 2x 3y5  –   – 4x 4y3   – –  1 y 5   TELEF: 066402103

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x 4 , GR y = 5 Ejemplos:

 GR x =

(2) En el polinomio: P(x,y) = 7x 2yb+4   – – 5x 3yb-1   – – x 2yb+7  Hallar “b” si GR y = 10

(1) En el siguiente polinomio: P(x) = x a+1 + 2x a-3 + 7x a+5  Calcular el valor de “a” si: GA = 14 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1) corresponda: Colocar verdadero o falso según P(x) = 4x 4 –    – 5x 6 + 2x 2 + 6 I. El polinomio es de grado 4 ( ) II. El término indepen independiente diente es 6 ( ) III. La suma de coeficientes es 7 ( ) 2) En el siguiente polinomio:

P(x,y) = ax a-4 + 3x ay3 + 2y 6  Calcular la suma de sus coeficientes. Si: GA = 12 a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16 8) Indicar la suma de coeficientes del polinomio:

P(x) = x a+5 + 6x 2a-3 –   – 5x 2a+4

P(x,y) = ax a-4yb –2 + bx a+2yb   – – 4x a-2yb+3

Calcular el valor de “a”. Si: GA = 14 

Siendo GA = 8

a) 2

a) 1

b) 3

c) 4

d) 5 e) 6

P(x) = 2x a-2 + 6x a-4 + 8x a-6  Calcular el valor de “a”. Si: GA = 13 

b) 14 c) 13

c) 3

d) 4

e) 5

9) Calcular el valor de “n” en:   n n  P(x,y) = 6x 2y3 + 2x 2y3 + 1, siendo: G.A = 4

3) En el siguiente polinomio:

a) 15

b) 2

d) 10 e) 12

4) En el polinomio: P(x,y) = x 2ay4 –   – 3x 2ay6 –   – x 2a 

a) 6

b) 8

c) 4

d) 5 e) 2

10) Determine el mayor grado relativo de una de sus variables: P(x,y) = x 3k-1y k+1  + x 2k+3y2k+5 + x k+2y3k-4

Calcular el valor de “a” GA = 20  

Sabiendo que GA del polinomio es 16.

a) 7

a) 5

b) 8

c) 10

d) 11 e) 14

P(x,y)=   (2n-1)x

P(x,y) = x 2a+4 y – 7x a-5y2 –   – 8x a-3y2  Calcular el valor de “a” si G.Rx = 10

b) 5

c) 3

d) 9

e) 10

2 b+2 2 b+3 P(x,y) = 5x 3yb+6 –    – 4x y    – –  x y  

Calcular el valor de “b” GR y = 12

b) 6

d) 11 e) 13

3n-5 2

  + 2ny

 

8+2n  3

 

Calcular “n”: Si G.Ry = 6

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

12) Hallar la suma de coeficientes si:

6) En el polinomio polinomio::

a) 4

c) 9

11) En el siguiente polinomio:

5) En el polinomio polinomio::

a) 4

b) 7

c) 8

P(x,y) = a3y4   – – 3x a+3y8 + 2x a+1y11 Si: G.Rx  –   – G.R y = 1 a) 3

b) 2

c) 4

d) 6

e) N.A.

d) 10 e) 12

7) En el polinomio polinomio:: Jr. Bolognesi 161 HUANTA

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TAREA DOMICILIARA 1) Colocar verdadero o falso según ccorresponda orresponda:: 5 3 2 P(x,y) = 3x  –    – 2x  + 3x  + 7 I. El polinomio es de grado 5 ( ) II. El término independ independiente iente es 3 ( ) III.La su suma ma d de e coe coeficientes ficientes es 1 15 5( ) 4 ficientes 2) P La(x) = su suma ma5 +d de e5xcoe coeficientes del polinomio: 4x  –   – 6x 3 –   –(  7-n)x + 3n es de 16

Señalar el término independiente: a) 3

b) 4

c) 5

d) 6 e) 9

Calcular el valor de “b” GRy = 15 a) 10

b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

8) En el polinomio polinomio:: P(x,y) = nx n-3 + 2x ny2 + 4yn Calcular la suma de sus coeficientes, si: GA = 8 a) 10 b) 11 c) 12 d)14 e) 15 9) Indicar la suma de coe coeficientes ficientes del p polinomio: olinomio:

3) En el siguiente polinomio: P(x) = x 2ya + 2x a-3 –   – 5 a+5  Calcular el valor de “a” si GA = 13 

P(x,y) = ax a-2yb + bx a+3yb+1 + 3x a-1yb-2

a) 8

Siendo: GA = 10

b) 9

c) 10

d) 11 e) 12

a) 3

4) En el polinomio polinomio:: P(x,y) = x 2ya + 2x 3ya –   – 5 a+5 

b) 5

c) 1

10) Calcular el valor de “n” en: 

Calcular el valor de “a” si GA = 8  

n

a) 2

b) 3

c) 1

d) 0 e) 4

a) 10

Calcular el valor de “a” GA = 9  

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

b) 12 c) 13

11) Señalar la suma de coeficientes del polinomio: n

n

a) 19 b) 17 c) 15 12) En el polinomio:

Calcular la suma de coeficientes .

 y P(x,y) = 3 _x_  n-1   + 4__

Si GRy = 10 b) 1

c) 2

d) 14 e) 9

P(x) = nx2 + 2nx 3 + 3x 7-n  –   – 4x n-5, si: G.Rx = 6

6) En el polinomio polinomio:: P(x,y) = x 7 –   – 4x 2yb + by b+3 

a) 0

n

P(x,y) = 2x 4y2 + 2x 3y3 + 3. Si: G.A = 9 Siendo: n < 15

5) En el polinomio polinomio:: P(x,y) = x 3ay2 –   – 2x 3ay3 –   – x 3a  a) 1

d) 9 e) 12

d) 6

e) 4

Si: G.R y = 1

Determine “n” 

a) 3

7) En el polinomio polinomio::

15-n 

d) 13 e) 11

b) 5

c) 7

d) 9

P(x,y) = 6x 2yb+3 + x 3yb+4 + x 4yb+5 

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e) 11

 

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OPERACIONES CON POLINOMIOS SUMA Ó ADICIÓN DE POLINOMIOS Que es lo mismo que reducir términos semejantes, para esto se escriben uno a continuación de otro: Ejemplo: Efectuar: P(x) = 7x  (7x

5 +

Recordando:: a(b+c) = ab + ac Recordando

P(x) + Q (x) si: 3x

3 –   – x 2 +

1 , Q (x) = 8x

MULTIPLICACIÓN MULTIPLICACIÓ N DE POLINOMIO POLINOMIOS S

3  –   – 5x 2 +

Ejem: Efectuar:

9

5

2  + 3x 3 –   – x 2 + 1) + (8x 3   – – 5x  + 9)

RESTA O SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Para ello se suma con el opuesto del otro, el resultado es la diferencia.

P(x) . Q (x) si: P(x) = -2x 3 

Q (x) = 3x + y 2   – –  2

DIVISIÓN DE POLINOMIOS Efectuar :

M + ( – S) = D

1. (35x7y15 + 40x 10y11 –   – 55x 12y17) : –   – 5x 3y4 

Ejem: Efectuar: P(x) –   – Q (x) si: 3 2 P(x) = 7x  –   – 8x  –    – 10 , Q (x) = 6x 2   – – 5

PROBLEMAS PARA LA CLASE (1) Sumar los sigu siguientes ientes monom monomios: ios: M(x,y) = ax 2y3z5 , N (x,y) = bx 2y3z4  Indicar su coeficiente.

(3) Sea: P(x) = 2x(x - 1) + 5 R = x2   – – x + 4 Hallar: P(x) – 2R(x)

a) a+b b) az5 + bz c) a-b d) az5 –   – bz 4 e) az5 + bz 4  (2) Indicar cual de llas as siguientes monomios es correcta: I. 3x2 + 2x 2 + bx 2 = 7x 2 , b>30 II. 7x2 + 2x 2 + 5x 3 = 14x 3  III. 3x2 + 5x 3 + 7x 4 = 15x 9 

a) –3 d) 13 sumas de

b) –2 e) -13

c) 3

(4) Se tiene: M(x) = 3x 2 + 2x + 1 N(x) = 7x 2 + 2x + 3 Se sabe que: 2M(x) + 3N (x) = ax 2 + bx + c   Indicar “a+b+c”

a) solo I b) solo II c) I y II d) I y III e) ninguna (5) Del gráfico rrelacionar elacionar A co con nB

a) 10

b) 20 c) 30

a) 10 b) 20 c) 30 ax y +7x y

x

8x2+mx2+nx 2  

3x3y2 

 A

ax3

3

B

M=p+q+r pqr b) 5

c) 7

d) 9

e) 6

(8) Hallar la expr expresión esión equivalente más simple de:

Hallar: E = 5P(x) + 3Q (x)  –   –19 x Jr. Bolognesi 161 HUANTA

d) 40 e) 50

(7) Se realizan las siguientes suman de términos semejante semejantes: s: a b c px  + qx  + rx  = 5pqrx b , indicar:

a) 3

(6) Dados los polinomios: P(x) = 3x+2 , Q (x) = 5x+3

d) 40 e) 50

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a) 0

 A = 3(x+7y) –4  (2x+5y) + 6x_ 3(x+y) + 4(x+3y) –  2(x+2y)  – 6y a) x+y

b) x/y c) x-y d) 1

e) 1/5

b) –1

c) –2

d) 2

e) 1

(15)Dada la igualdad: (2x + 3)(4x2 –   – 6x + 9) = ax 3 + bx 2 + c Hallar: a.b.c

(9) En la siguiente adición de monomios: mx2 + m   x4-a  = bx b-3 , indicar: 4

a) 1 d) 0

b) 2 e) N.A.

c) 3

E =  _  m________ +a+b-2 a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

(16)La suma de coeficientes del d el producto: (x2 –   – 2x  – 1) . (x 2 + 3x), es: a) –10 d) 2

(10) Determina el valor de las siguientes expresión: 3

 –3x [2x – 3]

(11) Efectúa las siguientes multiplicaciones. m ultiplicaciones. I.

II.

a) a4  d) a4 +2b 4 

(x + 2y) (x – 3y) + 6y  

a) x4 –   – 5x 2 + 4 4 c) x  –   – 4  – 4 e) x4 + 5x 2  –

(4x3y3z) (2x3y2), es: b) 8x6y5z e) 6xyz

c) 6x6y5z

(13) Sea U(x) = 2x3 + x 2 + 1x  – 1 5 3 – x + 1 N(x) = x3 + x 2   – Hallar la suma de coeficientes de 15U(x) + 5N(x) a) 41

b) 21 c) 1

d) –1 e) 11

(14) El resultado del producto: 4x2   – 4

 – 1 x

4

b) a 4 +b 2  e) b 4

b) x 4 + 5x 2 + 4 d) x 4 –    – 4x + 4

(19)Dada la igualdad: (3xayb) (4x3y4) (cx2yc) = mx7y13 Calcular: a+c+m a) 40

b) 41

c) 43

d) 42

e) N.A.

(20)Indicar el mayor m ayor coeficiente co eficiente del resultado que se obtiene al multiplicar: (a2 + ab + b 2) (a – b) a) 1 d) –3 e) 0

3

c) a 2

(18)El producto de: (x + 1) (x – 2) (x  – 1) (x + 2), es:

(12) El resultado de:

a) 6x9y6z d) 8x9y6z

c) –8

(17)Reduce la expresión:  ______________________ E =  (a  – b)(a + b)(a 2 + b 2) + b4

2

(x + 1) (x + 2) – x(x + 3)

b) 7 e) 4

b) 3

c) –1

Hallar la suma de coeficientes

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TAREA DOMICILIARIA 1. Multiplicar: 2x + 3y4  por 5x 2   –  y. Indicar el menor coeficiente del resultado. a) 10 b) –2 c) 15 d) –3 e) 1 2. Efectuar: 3x(x + 3) (x  –  2) (x + 1). Indicar el mayor coeficiente del resultado. a) 318 d) –

b) e) 6 1

c) –15

Determinar: m + n + p b) 6

c) 8

a) 0 d) 1

b) 2 c) x 2 e) 2+ 2x+ 2x

b) 2 c) a2  e) 6a2 –2b –2c2 

E = 2(x2 + x  –1)+3(x2 –   – x +1)  –5 x2 –   – 1 x  – 2

5

2 – 5y   b) 10x 2   – 2 2 – 4y   d) x    –

a) 7x d) 11

b) 2x2  –   –1 e) 0

c) x2 + x +1

13. Reducir : M = 5a (b+c) –5  b(a+c)  – 5c(a+b) a) –8bc b) –10bc d) bc+ab e) 5bc – ab

b) 10x3y – 3x 2y d) 10x2y – 3x 3y

7. Si efectuamos: (2xm   –  3x n)(xa   –  x b), uno de los términos del resultado es: m-b a) 2xma  b)  –2x   c) 3x n+a  n+b m+b d) –3x   e)  –2x

c) bc

14. Reducir : M = 5a (b+c) –5  b(a+c)  – 5c (a+b) a) 0 b) 2x+y-z d) xy+yz+xz e) 1

c) x2+y2+z2 

15. Simplificar :

8. Reducir: (x + 3)(x – 2)  – (x  – 3)(x + 4) b)  –6 e) –18

d) 4 e) 5

12. Reducir :

6. Simplificar: (2x3 + 5xy) (x  – y)  – (x 3 + xy)(5x  – 5y)

a) 2x –18  18 d) 18

c) 3

E = 1 + x – x 2  F = x2   – – x  – 1

a) 0 d) 2ª

a) 27 b) 33 c) –15 d) 21 e) –16 5. Reducir la expresión: (x + y) (x – y) + (3x  – 2y) (2y + 3x)

a) 3x3y + 10x2y c) 3x2y + 10x3y e) 3x3y + 3x2y

b) 2

11. Efectuar  M  –S   si se cumple que: 2 2 M = 3a    – – b  – c   2 2 S = b + c   –   –  3 a  

d) 0 e) 18

2 – 5x    – – 7x + 4, 4. Si se tiene: P(x) = 2x 5   – 2 Q(x) =  –3x    – – 4 Calcular: P(x)  .Q(x)  Indicar la suma de coeficientes del resultado.

a) 10x2 + 4y 2  2 – 5y   c) 2x2   – 2 e) 9x2   – – y

a) 1

10. Efectuar  E + F, si:

3 3 4 3. Al multiplicar: (3x2    – –  5xy + y ) ( –2x y ) se obtiene el siguiente resultado: 5 4 4 5 3 7  –  m x y  + n x y    –  p x y  .

a) 2

9. ¿Cuántas  de las siguientes expresiones son términos algebraico algebraicos? s?  _ _ _ 2   7 2 3 2 2 3x  ;  – 1 ab  ;  7 x y z ; 0,2x  ; 5x

c) 6

(a+b)x + (b+c)y-(a(b+c)y-(a-b)x+(b-c)y b)x+(b-c)y a) 2b(x+y) d) xa – yb yb

b) 2a(x-y) e) 0

c) xa + yb

CAPÍTULO I Jr. Bolognesi 161 HUANTA

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MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Es la operación que consiste en hallar una expresión denominada producto. Recordando:

am x a n = a m x n

a) Multiplicación de Monomios

b) Multiplicación de Monomio por Polinomio

1.  – 3x 4  . 5x =  –15x5 

Efectuar: 1.  – 3a 4b (a + b) = –3a5b – 3a 4b2 

2 7 2.  – 4x 4  .   – –3x  . x = 12x  

3.  – 1 x 3y . – 3 xy 3  x 8x = 3x5y4  2 4

2.  –x2 (-x 3 + x 2) = x5 –   – x 4 

c) Multiplicación de Polinomios Ejemplo: 1. (x + 5) (x + 3) = x2 + 3x + 5x + 15 2  – y   2. (2x – y) (x 2 + y) = 2x 3 + 2xy  – yx 2  –

POTENCIACIÓN POTENCIAC IÓN DE POLINOMIOS Ejemplo: 1. (5x + 3)2  = (5x + 3) (5x + 3) = 25x 2 + 15x + 15x + 9 = 25x2 + 30x + 9 2. (x + 2) (x + 2) (x + 2) = (x + 2)3  (x2 + 2x + 2x + 4) (x + 2) (x2 + 4x + 4) (x + 2) =

x 3 + 4x 2 + 4x + 2x 2 + 8x + 8 x3 + 6x 2 + 12x + 8

RESOLVER Bloque  I: 1. Determina el valor de las siguientes expresión: 3

a)  –3x [2x – 3]

4. El resultado del producto: 4x2   – 4

 – 1 x 3

a) 0

b) –1

4

Hallar la suma de coeficientes

2. Efectúa las siguientes multiplicaciones. 2

c) –2

d) 2

e) 1

a) (x + 2y) (x – 3y) + 6y   5. Dada la igualdad: (2x + 3)(4x2 –   – 6x + 9) = ax 3 + bx 2 + c Hallar: a.b.c

b) (x + 1) (x + 2) – x(x + 3) 3. El resultado de:

a) 1 d) 0

(4x3y3z) (2x3y2), es: a) 6x9y6z d) 8x9y6z

b) 8x6y5z e) 6xyz

b) 2 e) N.A.

c) 3

c) 6x6y5z 6. La suma de coeficientes del producto: (x2 –   – 2x  – 1) . (x 2 + 3x), es:

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a) –10 d) 2

b) 7 e) 4

c) –8 9. Dada la igualdad: (3xayb) (4x3y4) (cx2yc) = mx7y13 Calcular: a+c+m

7. Reduce la expresión:  ______________________ E =  (a  – b)(a + b)(a 2 + b 2) + b4 a) a4  d) a4 +2b 4 

b) a 4 +b 2  e) b 4

a) 40

b) 41

c) 43

d) 42

e) N.A.

c) a 2 10. Indicar el mayor coeficiente del resultado que se obtiene al multiplicar: (a2 + ab + b 2) (a – b)

8. El producto de: (x + 1) (x – 2) (x  – 1) (x + 2), es: 2 – 5x  + 4 a) x4   – 4 c) x   –   – 4 4 e) x  + 5x 2   – – 4

a) 1 d) –3

b) 3 e) 0

c) –1

b) x 4 + 5x 2 + 4 – 4x + 4 d) x 4   –

TAREA DOMICILIARIA  16. Multiplicar: 2x + 3y4  por 5x 2    – –  y. Indicar el menor coeficiente del resultado. a) 10 b) –2 c) 15 d) –3 e) 1 17. Efectuar: 3x(x + 3) (x  –  2) (x + 1). Indicar el mayor coeficiente del resultado. a) 3 b) 6 c) –15 d) –18 e) 1 3 4 –2x y ) 18. Al multiplicar: (3x2   –  5xy + y 3) (  – se obtiene el siguiente resultado: 5 4 4 5 3 7  –  m x y  + n x y    –  p x y  .

Determinar: m + n + p a) 2

b) 6

c) 8

d) 0 e) 18

21. Simplificar: (2x3 + 5xy) (x  – y)  – (x 3 + xy)(5x  – 5y) a) 3x3y + 10x2y c) 3x2y + 10x3y e) 3x3y + 3x2y

b) 10x3y – 3x 2y d) 10x2y – 3x 3y

n a b  – 3x )(x   –  – x ), uno de los 22. Si efectuamos: (2xm  – términos del resultado es: a) 2xma  b)  –2xm-b  c) 3x n+a  d) –3xn+b  e)  –2xm+b

23. Reducir: (x + 3)(x – 2)  – (x  – 3)(x + 4) a) 2x – 1 18 8 d) 18

b)  –6 e) –18

c) 6

2 19. Si se tiene: P(x) = 2x 5   – – 5x    – – 7x + 4, 2 Q(x) =  –3x    – – 4 Calcular: P(x)  .Q(x)  Indicar la suma de coeficientes del resultado.

a) 27 b) 33 c) –15 d) 21 e) –16 20. Reducir la expresión: (x + y) (x – y) + (3x  – 2y) (2y + 3x) 2

2

2  + 4y 2 a) 10x c) 2x    – – 5y     2 – y e) 9x2   –

2

2

  – –2   b) d) 10x x 2   – – 4  y  5y  

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CAPÍTULO II

PRODUCTOS NOTABLES Son casos especiales que se presentan dentro de una multiplicación en los cuales se puede obtener en forma directa el producto sin necesidad de efectuar la operación. Se presentan los siguientes casos:

1. BINOMIO AL CUADRADO. (Trinomio cuadrado perfecto)

2. BINOMIO AL CUBO 3

3

3

(a + b)  = a  + b  + 3ab(a + b) (a – b) 3 = a 3 –   – b 3 –   – 3ab(a  – b)

(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2   2 – 2ab + b   (a – b) 2 = a 2   –

3. DIFERENCIA DE CUADRADOS Por deducción:

(a + b) (a – b) = a 2 –   – b 2  

2

1   1  2  x     x  2  2    x    x 

PARTE PRÁCTICA Bloque I 1) Sabiendo que:  A = (x + 4)(x – 6) B = (x – 7) 2 Hallar: E = A – B + 73 a) 72x d) 12x

b) 6x e) 9

5) Reducir: J = (2x + 3y) 2 –   – (4x 2 + 9y 2)

c) 5x

a) 8x2  d) 12x

b) 9y 2  e) 12xy

c) 6xy

2) Si: x + y = 9, entonces: E = (2x-y)2 + 3x(2y-x) + 6, es: a) 81 d) 37

b) 83 e) a-2b

c) 19

3) Determinar el valor simplificado de: (a + b)2   – – 2ab a) a2  b) b 2  d) a2 + b 2  e) (a + b) 2

c) 2ab

a) 10 d) 17

4) Sea: a + b = 8. a.b = 15 Hallar: a2 + b 2 a) 34

b) 23

c) 12

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6) Simplificar:  _ _ 2  _ _ 2  G = (5 + 2)  –  ( 5 –  2) b) 3 e) 20

c) 14

7) Indicar el coeficiente de “x” al efectuar: (2x + 3)3 d) 7

e) 31

a) 8 d) 17

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b) 12 e) 20

c) 36

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a) 2

b) 4

c) 6

d) 8 e) 10

8) Reducir:  _ _ 4(3 + 1)(3 – 1)

K=  _ a) 22 d) 2

_ b) 3 e) 8

c) 1 11) Si sabemos que: Hallar: a + b a) 5

9) Sea_

 x 

a) 64 d) 52

1  x

 4 , hallar:

  1

 x    3

b) 12 e) 62

 x

3

b) 6

a2 + b 2 = 25, y ab = 12 c) 7

d) 37

e) 3

d) 8

d) 7

 

c) 76

12) Sea:  x 

1

2

 

 x

 x

a) 9

1

 3 , hallar:  x  b) 3

c) 6

10) Calcular:

 x  102    x   62   3x  

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TAREA DOMICILIARIA 1) Reducir: 2 2 2 (x + 3)2   – – (x + 2)  + (x + 4)    – – (x + 5)

a) 0 d) –3

b) –1 e) –4

c) –2

2) Simplificar la expresión:

9) Efectuar: a) 8  _ d) 25

c) 2x + 2

3 (a + b)3   – – (a  – b)   se obtiene: (a + b) – (a  – b)

a) –1

b) 1 2

d) 1

e) 1

b)  –2a2b2  d) 3a2 + b 2

(x + 1)(x + 2) – (x + 3)(x + 4) + 4(x + 1)

5) Sabiendo que: a + b = 6; a.b = 7 Hallar: a2 + b 2 b) 36 e) 24

c) 49

6) Si se cumple que: a – b = 8; a.b = 11 Calcular el valor de a 2 + b 2  a) 64 d) 22

b) 42 e) 12

c) 86

c) 12x+8

12) Si:

  a + b = 7   a . b = 10; hallar a 2 + b 2  a) 29 d) 109

b) 49 e) 69

c) 39

13) Sabiendo que:

  a + b = 5   a 2 + b 2  = 13; hallar “ab”   a) 2 d) 8

b) 4 e) 9

a) 41 d) 72

Hallar “a.b” 

b) 7,5 c) 25 e) 18  _ _ _ 2 2  ( 5 + 2)  –  ( 5 –  2) _ _ b) 85 c) 45 _ e) 22

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b)  –6 e) –4x – 10

c) 6

14) La suma sum a esde 16. dosCalcular númerosla es 5 3dey sus su producto suma cuadrados.

a2 + b 2 = 10 a+b=5

8) Reducir:  __ a) 410  __ d) 810

a) 2x – 5 d) 5

 _

7) Si sabemos que:

a) 15 d) 12,5

c) 1

11) Reducir:

4) Si: x + 1 = 3, determinar: x2 + 1 x x2  _ a) 2 b) c) 3 d) 16 e) 7

a) 22 d) 14

c) 2

2 (2x + y)2  –  – (2x  – y) 8xy

3) Al efectuar:

2 – 2b   a) 2a2   – c) 2ab e) 4ab

b) 16 _ e) 5

10) Reducir:

(2x + 1)2   – – (2x) 2 a) (4x + 1) b) 4x – 1 d) x + 1 e) x – 1

 _ _   2  _ _   2 (5 + 3) + (5 –  3)

b) 43 e) 36

c) 75

15) El cuadrado de la suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 6. Calcular el producto de dichos números. a) 4 d) 2

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b) 3 e) 1

c) –2

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CAPÍTULO III

MISCELÁNEA DE PROBLEMAS Bloque   I  Desarrolla cada uno de los siguientes productos notables: 1. (x + 5) (x + 3) =

13. Reducir:  ______________________ 2

(x + 2)(x + 8) – (x + 5)  + 10 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. (x + 7) (x + 1) = 3. (m + 5) (m – 2) = 4. (m + 2) (m – 6) =

14. Calcular el área de la siguiente figura: 5. (2x + 5)2 = x –11

6. (3x – 2) 2 =

x+7

7. (5x + 3y)2 = a) x2 + 4x + 77 c) x2 –   – 4 4xx + 77 e) 1

8. (x + 3) (x – m) =

b) x 2 + 4x  – 77 d) x 2 –   – 4x  – 77

9. Reducir: (x + 4)(x - 4) – x 2  a) 16 d) 20

b) –16 e) 0

c) –20 15. Determinar el área del siguiente rectángulo:

10. Simplificar: (x + 3)(x + 4)  – (x + 1)(x + 6) a) 6 b) 12 c) –6 d) –12 e) 0

2x+ 3 2x+10 a) b) c) d) e)

11. Simplificar: (x + 5)2  – (x + 6)(x + 4) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2x2 + 26x + 30 4x2 + 26x + 30 4x2 + 30x + 26 2x2 + 30x + 26 30

16. Hallar: (a   b)  2  4ab ; si a < b

12. Calcular: (n + 2)(n + 7) – (n + 3)(n  – 3)  – 23 a) n

b) 7n

d) 9n

e) 0

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c) 3n

a) a+b  ___

b) b-a

d) a-b

e) a-b

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 ___ c) a+b

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TAREA DOMICILIARIA  5. Calcular la suma de áreas de:

1. Simplificar:  __________________ (x + 3)2   –– (x + 2)(x + 4) a) 1 d) 4

3-x

b) 2 e) 4

c) 3 x – 3

2. Reducir: (a + 1)(a – 2)(a  – 1)(a + 2) 2 a) a4   – – 5a  + 4 4 2 – 5a    – – 4 c) a    – e) 0

x+5

b) a 4 + 5a 2   – – 4 4 2 d) a  + 5a  + 4

x +5

3. ¿Cuál es la la suma de áreas de las figuras?

x-3 x – 7

9 –x

a) x2 –   – 5 55 5 b) x 2 + 55 d) x – 5 55 5 e) 3

9+x

6. Reducir:  ____________________  (a+2) (a-2) (a 2+22) + 16

x+3

b) a2 

a) a x+3 2

b) 2x  + 6x + 90 – 6x + 90 d) 2x2   –

4. Calcular la suma de áreas de las figuras: 4-x x+4

d) 4

e) 8

d) ¼

e) 1/8

(2x+m)2 –   – (2x-m) 2 4xm a) 1

b) –1

c) ½

8. Sea:

x+1=3 x Hallar: x3 + 1 x3

a) 2 d) 6

b) 4 e) N.A.

c) 5

9. Sea: x2 + 1 = 7, hallar: x 3 + 1 x2   x3

x – 2

a) 3 x+8 a) 2x d) 5x

c) a 4 

7. Reducir:

2

a) 81 + x   c) 6x + 81 e) 6x + 90

c) x + 55

b) 3x e) 6x

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b) 9

c) 8

d) 27

e) 64

10. Sea: a2 + b 2 = 13, hallar: a 3 + b 3; si a.b = 6 c) 4x

a) 25

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b) 35

c) 15

d) 20

e) 216

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CAPÍTULO IV

DIVISIÓN DE POLINOMIOS DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO Recuerda la división de bases iguales

Efectuar : 3 4 – 5x y   2. (35x7y15 + 40x 10y11  –   – 55x 12y17) :   –

Se debe comparar con una división

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO Nota:

  Se tiene que ordenar en forma descendente   En caso de no estar completa se completa con “0”   Ejemplos: 1) Dividir: 3x3 + 4x 2   – – 5x + 3 : x  – 2 –5 3x3 + 4x 2   – 5x   x+3 | x  – 2____ 3 2 2 -3x  + 6x   5x  + 10x + 15 10x2   – – 5x -10x2 + 20x 15x + 3 -15x + 30 33

Q(x) = 5x 2 + 10x + 15 R(x) = 33

RADICACIÓN RADICA CIÓN DE POLINOMIOS (sólo con monomios) Para extraer raíz enésima de un monomio, se extrae la raíz de coeficiente y de la parte literal empleando exponente fraccionario.  _________ ___ __ ___ 3 15 18 3 3 5 3 18    –8x  . y   =    –8 . x   .  y  –  –  _______ 3 15 18 5 6    –    –8x y   =  –2x  . y  

PRÁCTICA EN CLASE 1. Efectuar: 1) (-16x4) : (2x)

2. Efectuar: 1) (5a7 –   – 10a 3 + 15a 2) : (-5a2)

2) (-8y10) : (-4y) 3) (40z10) : (5z2) 4) (x75) : (x17)

2) (-18m7n8 + 21m 5n10) : (-3m2m3)

3) (a2b3 + a 3b2) : (ab)

5) (-a48) : (a12) 6) (-a48 : a 17)

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   – x 7y8) : (-x2y2) 4) (x8y7 –

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4. Efectuar:  ____ 1) 3 8x 12 

3. Efectuar: 1) (x – 20 + x 2) : (5 + x)

2) (2x5 + x 3 + 2 + 3x) : (1 + x)

 ______   –27a15   –

2)

3

3)

5

3) (2x4 + 3  – x  – 2x 3) : (x + 2)

 ________  –   –32x10y40 

2 4) (2 + 2x3   – – x ) : (x – 1)

 _____ 4)  81m 20 

5) (3x + 6 – 3x 3 + 6x 5) : (x + 1) 5)

 ________   –64y27z18   –

3

 ____ 6)  16x 2 

 

TAREA DOMICILIARIA 1. Efectuar:

3. Efectuar:

1) (15x7y8) : (-3xy3  2) (24m10n20) : (-8m9n11)  _ _ 18 10 –52 x ) : (  – –2 x ) 3) (  – 4) (a25b17) : (a12b) 5) (-42a8b5c7) : (-7abc5) 6) (-144x25y32z) : (+6x13y12z)

1) (5 + 2x4 + 3x 6 –   – 3x 3) : (x – 2) 6 8 2 2  – 5x ) : (x  + 2) 2) (x +   1 + 3x   – 3) (0,5x –  1 + 2 x 3) : (x  –  1) 3 2

4) [2x3 + 6x + 3 + 3x 2 + x 4(x + 1)] : (1 + x + x 2)

5) [13x + x2(x3  + x + 1) + 8x 4] : (1 + x2 + 6x)

2. Efectuar: 1) (-100a10 + 80a 7) : (5a5)

70 30 15 18 10 18 2) (20x40y80z100   – – 60x y  + 16x y ) : (-4x y )

9 12 4 5 3) (16a7b5c8 + 18a 6b10c9   – – 14a b ) : (-2a b )

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4. Efectuar:  ________ 5 25 5    –243x y   1)  –  _______ 5 2)  243x 5y25   _________ 3    –1000a9b30  3)  –

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_____ 4)  a 5b5c5  __________ 5)  100x 72y46z2  _________ 3    –8m15n42p6  6)  – 5

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CAPÍTULO V

MÉTODO DE HORNER Para esto se tiene que tener en cuenta que debe ser completo y ordenado. D I V I S

D I V I D E N D

O

  Los coeficientes del dividendo van con su propio signo.   Los coeficientes del divisor van con el signo

O R

cambiado a excepción del primero. C O C I E N T E

Residuo

Ejemplo: 1) Dividir:

5 2 x6 + 6x 3   – – 2x    – – 7x    – – 4x + 6 4 2 x    – – 3x  + 2

METÓDO DE RUFFINI Es un caso particular del método de Horner , se aplica en general para dividir un P (x)  entre un divisor que adopte la siguiente forma (x + b)

Gráficamente: D I V I D E N D

O

C O C I EN T E

RESTO

Término independiente del divisor con el signo cambiado.

Ejemplo: Efectuar :

1) Completar en el problema:

3 3x6 + 2x 4  –  – 3x  + 5 x – 2

5

12

  Q (x) = __________________________ Rg = _______________ Jr. Bolognesi 161 HUANTA

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PROBLEMAS PARA LA CLASE Bloque I En los siguientes ejercicios, calcular el cociente y residuo: 1. 2x3 + 5x 2 + 3x  – 2 = x+1

7. Sabiendo que la división: 3x4 + x 2 –   – x + n + 1 , es exacta, hallar “n” 

3

2

x+1 b) –6 e) 5

a) 1 d) 4

– 2x  + 5x  – 10 = 2. 7x    – x – 1

3. 28 x4 + 51x 3 + 74x 2 + 55x  – 12 = 4x2 + 5x + 6

c) 3

8. Dividir: 4x3 –   – 5x 2 + 3x  – 3, 3, e indicar x – 1 su residuo. a) 1

b) –1

d) – 1 2

e) 0

c) 1 2

– 5x + 6, su residuo es: 4. Al dividir 3x2   – x – 1

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3 9. Al dividir, su cociente es: 6x3 + x + 2x 4 + 3 x+3

5. Al dividir 4x2 + 2x 3 + 3x + 6, su cociente es: x+2 a) x2   – – 3 b) 2x 2   – – 3 3 2 d) 2x  + 3 e) 2x  + 3

a) 2x2 + 1 b) 2x 4 + 1 d) 2x3 –   – 1 e) 2x 4 –   – 1

c) 2x 3 + 1

c) 2x + 3

10. Completa el siguiente diagrama y luego indica el producto de valores hallados 6. Hallar la suma de coeficientes del cociente que resulta de dividir:

+ 1

-3

-4

6

-8

x3 + 5x 2 + 10x + 1 x2 + 2x + 1 a) 1 d) 4

b) 2 e) –6

-2

c) 3

2 a) –12

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3 b) 12 c) 1

-4 d) 16 e) 0

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TAREA DOMICILIARIA  1. Dividir: x3  + x 2   –  x  –  2, e indicar el término x – 1 independiente de su cociente. a) 2 d) 8 2.

b) 4 e) 10 2

c) 6

3

Dividir: x   + 2x    –  5x + 2 e indicar la suma de x + 2 coeficientes del cociente. a) 1 d) –2

b) –1 e) 0

2 2x3 –    – 5x  + 2x  – a x – 1 sea exacta.

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

7. Determinar el valor de “n” si la división:      – 5x + (n  – 7) 2x3 + x 2 – x+2 c) 2 tiene residuo nulo.

3. Indicar la suma de coeficientes coeficientes del cociente al dividir: 2 3x3   – – 32x  + 52x  – 63 x – 9

a) 5 d) –10

6. Hallar “a”, para que la división:

b) 10 e) 0

a) 9 d) 8

b) 2 e) 7

c) 5

8. Sabiendo que la división: 3x4 + x 2 + 5x + (2n  – 3) x+1

c) –5

es exacta, determinar el valor de “n”  

4. Completar el siguiente diagrama de Ruffini: 2

3

-3

-5 9

2

-3

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

6 -12

6

-2

12

Luego, indicar la suma de valores hallados. a) 0 b) 20 c) 8 d) 14 e) 12 5. Completar el siguiente diagrama y luego indica el producto de los valores hallados: +1

-3

-8

-4

6

-6

3

-4

-2 2 a) –12 d) 16

b) 12 e) 0

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8

c) 1

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CAPÍTULO VI

TEOREMA DEL RESIDUO Este teorema, permite calcular en forma directa el residuo de la división de un P (x)  de cualquier grado entre un divisor que adopte la forma: ax + b a y b son coeficientes x es variable O sea el residuo:

R=

   

 P  

b 

 

a 

Si hacemos que (ax + b) sea igual a cero tendremos Despejando x:

 ax

+b=0

x = – b a

Ejemplos: 1) Halla el residuo: P(x) = 3x 3 + x +1 3x – 6   3x  – 6 = 0 3x = 6  x = 2 Reemplazamos este valor x = 2 en P(x); el cual será el residuo pedido. P(x) = 3x 3 + x + 1 P(2) = 3(2) 3 + (2) + 1

P(x) = x 4 + 3x  – x 3 + 1 b) –17 e) 38

c) 42

2) ¿Cuánto hay que aumentar a P(x)  para que al dividirlo entre (x  – 2) el resto sea 24? 5

2

3

– 5 + x  + 2x   P(x) = 2x    –

a) 19 d) 21

b) 79 e) 13

c) 11

3) ¿Cuánto se debe debe disminuir disminuir a P(x)  para que al dividirlo entre (x + 1) el resto sea nulo? 2 P(x) = x 6 + 2x 4   – – 1 + x

a) 3 d) –2

b) -3 e) 2

c) –1

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[x3 + 5x 2 + 10x + 10] : [x 2 + 2x + 1] a) 1 d) 4

b) 2 e) –6

c) 3

6) ¿Cuánto le debemos aumentar al coeficiente del término cuadrático de P(x)  para que dicho polinomio sea divisible por (x + 1)? P(x) = 2x 4 + x 3 + 4x 2 + 1 a) –2 d) 2

b) –1 e) –6

c) 4

7) Calcular el residuo de dividir: x73 + 2x 49 + x  – 1 7x + 7 a) –1 d) 8

b) –7 e) –5

c) 5

488 17  – 1 ; x  + 7x  + 1 (x + 1)200 + 3x 3  – 2x + 4 2x + 2

(x + 3)12 + 2x  – 7 4x + 8 b) 4 e) –12

5) Hallar la suma de coeficientes coeficientes del cociente que resulta de dividir:

8) Hallar el mayor de los residuos en las siguientes divisiones:

4) Calcular el residuo de dividir:

a) 8 d) –10

3x4 + 4x 3  –  – 3x + 1 2x – 2

MISCELÁNEA DE PROBLEMAS 

1) ¿Cuánto debemos aumentar al polinomio P(x) para que al dividirlo entre (x+1) el residuo resulte ser 40?

a) –42 d) –20

P(2) = 27 2) Hallar el residuo de:

c) 6

a) –2 d) –5

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b) –24 e) 8

c) 1

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9) Hallar el residuo de dividir:

13) Calcular el resto en:

2 2 (3x8 + x 6   – – 5x  + 1) : (x  + 2)

a) 26 d) 18

b) 37 e) 55

4x40 + 8x 39 + 1 x+2 c) 51 a) 1 d) 4

10) Calcular a  para que P (x)  sea divisible por (x + 2) 3

4

2

2x  + 3x2x –+ 5x4  + 2n, es exacta: a) –1

b) –3

c) 2

d) 3

e) 4

15) Determinar “n” para que:  

11) Calcular el residuo de dividir:

2 3x3 –    – 17x  + 27x + n + 8, tenga como residuo x – 4 16

12 8 2 2 [x16   – – 2x  + 2x    – – 3x  + 1] : [x    – – 1]

b) –3 e) –4

c) 3

14) Hallar “n”, sabiendo que:  

2

P(x) = 3x  + 2x + x  + a + 1 a) 13 b) 23 c) 11 d) 10 e) 12

a) –2 d) –5

b) 2 e) 5

c) –1 a) –10

b) –20 c) 10

d) 20

e) 0

12) ¿Cuánto se debe aumentar al coeficiente de x en: P(x) = 3x 4    – –  2 + x  –  3 x  para que al dividir P (x) entre (x + 1) el residuo sea 16? a) –12 d) –10

b) –15 e) –20

c) –11

CAPÍTULO I  INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior nos entrenamos en el manejo de productos con expresiones algebraicas, mediante la aplicación de ciertas reglas.  Ahora nos interesa realizar el procedimiento contrario, es decir, que dado una expresión algebraica, hallaremos los factores que la componen, a este proceso se le conoce con el nombre de Factorización. Es de suma importancia el dominio de la factorización en todo proceso matemático, ya que permite simplificar su desarrollo.

FACTORIZACIÓN CONCEPTO: Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada en factores primos. CÁLCULO DEL NÚMERO DE FACTORES ALGEBRAICOS En general: Si:

N = Am . B n . C p  

N . Fp = (M + 1) (n + 1)(P + 1)  – 1 Ejem: 1) ¿Cuántos factores tiene la siguiente expresión? P = x3 (x + 1) 2 (x  – 3) 4 Jr. Bolognesi 161 HUANTA

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  N . F p = (3 + 1)(2 + 1)(4 + 1)  – 1 = 4 . 3 5 - 1 N . Fp = 60  – 1 = 59 factores. MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Estudiaremos aquí tres métodos básicos:

1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN: a) Factor Común Monomio Ejemplo: Factorizar: mx + my + mz mx + my + mz = m(x + y + z) Factor Común

Observación: Si el factor común es un letra con diferentes exponentes en todos los términos, extraemos dicha letra con su MENOR EXPONENTE. b) Factor Común Polinomio Ejemplos: (1) Factorizar: (a + b)x2 + (a + b)y + (a + b)z (a + b) está como factor en cada uno de todos los términos, luego (a + b) es el Factor Común Polinomio: (a + b)x2 + (a + b)y + (a + b)z = (a + b)(x 2 + y + z) PRÁCTICA  I.

Factoriza los siguientes polinomios: (1)

ax + bx

(2)

my – mz

(3)

x2a + x2b

(4)

(5)

3

3

(6)

a3x – a 2y

(7)

a2 + a

(8)

a3 + a 2 + a

(9)

a2b + b

m y+mt

a2x + ay

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(16) 2mn + n3  (10) x2y – y  – zy (11) x2 + 2x

(17) 5xy + 3y – ym

(12) a3 + 5a 2 + 3a

(18) x4 + 2x 3 –   – x 2 

(13) z3 + 3yz 2   – – z

(19) 6a8 –   – a 6 

(14) x2 + x

(20) 10x9 –   – 9x 10 

– xy  – 5x (15) x3   –

II.

Factorizar los siguientes polinomios: (1) (x – y)a + (x  – y)b (6) (a + b + c)x + (a + b + c)y (2) (a + b)m2 + (a + b)n (7) (m3 + n 4)a4 –   – (m 3 + n 4)b3 

(3) (x + y)a3 + (x + y)b 2  (8) (x + y)3 –   – (x + y) 4z

(4) (a + 2b)x4 + (2b + a)y 3  (9) (m + n – 1)x 2 + (m + n  –1  )x  – (m + n  – 1)  

2

2

2

2

2

2

(5) (m  + n )x  + (m  + n )y   (10) (a2 + b 2)3a + (a2 + b 2)5c + (a2 + b 2)2  Jr. Bolognesi 161 HUANTA

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TAREA DOMICILIARIA I. Factoriza los siguientes polinomios 1) 3xy + 5xyz

9) a8 + 12a 6 –   – 18a 4 + 24a 2 

2) 7abc – 5abc 2 

10) 5a4b4 + 25a 8b3 –   – 30a 9b4 

3) 6m2n – mn 2 

11) (x + y)(a + b) + (x + y)(m + n)

4) x2y + xy2 

5) a3b – ab 3 

12) (m2 + n)(x  – y)  – (m 2 + n)(2x + 5y)

13)

(x + y + z + w)a5  –  – (x + y + z + w)(b + c)

14)

(a + b + 1)2 –    – (a + b + 1)(x  – 2) + (a + b + 1)

15)

(x4 –   – t) 3y2 –   – (x 4 –   – t)(y  – 1) + (x 4 –   – t)(y  – 2)

4 6) 2a4b – 4ab 4   – – 6a b4 

– 3xy 3z + 2x3yz 7) 5xyz3   –

3 2 – 2x  + x   8) 2x5 + 3x 4   –

16) (y2 + y + 7) 2c2 –   – (y 2 + y + 7)(c  – 3) + y 2 + y + 7  

c) Agrupación de Términos En polinomios donde todos los términos NO TIENEN factor común, podríamos agrupar sólo aquellos términos que los tengan para aplicar luego Factor Común Polinomio. Ejemplos: Jr. Bolognesi 161 HUANTA

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(1) Factorizar: E = am – bm + an  – bn Solución: Dos términos no tienen m como factor común, pero sí los dos primeros.  Así mismo, todos los términos no tienen n como factor común, pero sí los dos últimos. Entonces, extraemos el factor común m  a los dos primeros y el factor común n  a los dos siguientes términos. Es decir: E = am – bm + an  – bn E = m(a – b) + n(a  – b) Observa que ahora podemos aplicar FACTOR COMÚN POLINOMIO, entonces decimos que la AGRUPACIÓN FUE CONVENIENTE; si no llegamos a esta situación, debemos ensayar otra forma de agrupar los términos, o en todo caso, cambiar de método. E = (a – b)(m + n) (2) Factorizar:

F = a3 + a 2 + a + 1

Solución. Los cuatro términos no tienen factor común, pero si agrupamos los dos primeros y los dos últimos, encontraremos como factor común polinomio a ( a2 + 1 ), el cual puede ser escrito también así +( a 2 + 1 )

  Agrupamos los dos primeros y los dos últimos términos:

F = (a 3 + a 2) + (a + 1)

  Extraemos factor común a2 en el polinomio del primer paréntesis: F = a 2(a +1) + (a + 1)   Extraemos factor común (a + 1) en todo el polinomio F: (3) Factorizar:

F = (a + 1)(a 2 + 1)

– x  – 1 G = 2x3 + 2x 2   –

Solución: Para cambiar de signos a un polinomio sólo tenemos que encerrarlo en un paréntesis, precedido del signo negativo.  – a + b =  – (+a  – b) ó  – (a  – b)  Así: En nuestro problema, si agrupamos los dos primeros y los dos últimos términos va a ser necesario cambiar de signos a estos dos últimos términos para conseguir finalmente el factor común (4) Factorizar: H = 2a – 3b  – 4ac + 6bc

Solución  Observa con mucho cuidado:

Todos los términos no tienen factor común, pero sí los dos últimos, los cuales tienen a c como factor común. Además 4 y 6 pueden ser escritos como 2 x 2 y 2 x 3 respectivamente, lo que significa que el factor común de los 2 últimos será 2c. Para que en todo el polinomio H haya un factor común polinomio, conviene que en los dos últimos términos el factor común sea el opuesto de 2c, es decir  –2c.

  Agrupando los dos últimos términos, vamos a extraer el factor común  –2c: H = (2a – 3b)  – 2c(2a  – 3b)   Extraemos factor común polinomio:

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H (2a  – 3b)(1  – 2c)

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PRÁCTICA I.

Cambiar de signos a los siguientes polinomios (o “factorizar el signo –  ”) 

(1)  –a –b

(13)  –2y2 –    – 5y + 1

(2)  –x –y

(14)  –7m8 + 6m 5 –   – 2

(3)  –3x – m

(15) 3x3 –   – 5x 2 + 1

(4)  –2a + b

(16) 7x – 5y  – 3z

(5)  –x2   – – 1

(17) 3x – 5y + 1

(6)  –2x + 1

2  – m   (18) 6mn – n 2  –

(7)

1 – 3a

2    – 2ab + b   (19) a2 –

(8)

– x  – 1 x2   –

2    – b   (20) a2 –

(9)

2x – 3y  – 2

3 (21) a3 –    – b  

(10) 3a – m + 1

(22) a3 + b 3 

2 (11) x4   – – x    – – 1

2 2 (23) a3 –    – 3a b + 3ab  –   – b 3 

(12)  –3x – y + z

(24) x2 –   – 5x + 6

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II.

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Factorizar los siguientes polinomios por Agrupación de Términos: (1)

xy – zy + xt  – zt (14) y + 3axy + 3axz + z

(2)

a2b + a2c + d2b + d2c

(15) z + 3axy + y + 3axz (3)

5

3

2

x  + x  + x  + 1 (16) ax + a + bx + b

(4)

2 a5 + a 3   – – 2a    – – 2

2 (17) a2 –    – 3m + a n – 3n

(5)

ab + bc + xa + xc (18) a2m – 3n  – 3m + a 2n

(6)

mn + 1 + 2amn + 2a

(7)

x + y + 3xz + 3yz

(8)

x + 3xz + y + 3yz

(19) ax + bx – cx + ay + by b y  – cy

(20) 3mx – 2nx + 3my  – 2ny

3 2 3 (21) 7ay2 –    – 5bx  + 7by   –  – 5ax  

(9)

x + 3yz + y + 3xz

(10) 2m2n + 2m 2 + n + 1

(22) 3az – 3bz  – 3z  – 3at + 2abt + 2t

(11) n + 2m2 + 1 + 2m 2n

(23) am2 + bm 2 + an 2 + bn 2 

(12) 2m2n + n + 2m 2 + 1

(24) bm2 + bn 2 + am 2 + an 2 

(13) 3axy + 3axz + y + z Jr. Bolognesi 161 HUANTA

(25) .x2m2 + x 2t2 + y 2m2 + y 2t2  TELEF: 066402103

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(26) y2t2 + x 2m2 + y 2m2 + x 2y2 

(29) 5a2x + 3a2y – 5b 3x – 3b 3y

3 5 3 – t x    – – 3t   (27) w2x5 + 3w 2   –

(30) 2a2y – 2b 2y – 2cy  – a 2 + b 2 + c

(28) ax – ay  – cx + cy + bx  – by

2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES Este método se basa en los PRODUCTOS NOTABLES, a los que también se les llama IDENTIDADES ALGEBRAICAS, es decir: Si se nos proporciona un polinomio cuya forma conocemos, podemos escribir la multiplicación indicada de factores que le dio origen. Consideremos 4 de estas identidades: a) Diferencia de Cuadrados (DC) n – b ) a2n   –  b 2n  = (a n + b n)(an   –

/ n  |N

La expresión factorizada, se lee así: “Suma

an bn  Ejemplos: (1) Factorizar:

de

las

raíces

cuadradas

multiplicada por la diferencia de las mismas”  2 x4   – – y  

Solución:

PRÁCTICA  1) Extraer la raíz cuadrada de las siguientes expresiones algebraicas: (Considerar sólo la raíz positiva) EXPRESIÓN RAÍZ EXPRESIÓN RAÍZ EXPRESIÓN RAÍZ ALGEBRAICA CUADRADA ALGEBRAICA CUADRADA ALGEBRAICA CUADRADA 4x2

100x2y6

(3x – y) 8

(yz)2

25a8b6c4

(5a - 2b2)4

y4 

9x 8y26 

(m 2 –   – 5b) 8

16z10

a6b8c10

(a – b  – c 2)10

36x2y2

(x + y)6

(a4 + 1) 6

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ALGEBRA 

2) Factorizar: (1)

1 – x 2 

(13) (x + 3)2 –   – 16

(2)

16 – y 2 

 – 25 (14) (2a – 1) 2  –

(15) 9 – (x 2 + 1) 2  4

(3)

2

– b   a    –

(16) a2 –   – (b 2 + 1) 2  (4)

2 4x2   – – y  

(17) 4 – (5  – x) 4  (5)  –a2 + b 2  (18) 1 – (a  – b) 2  (6)

2 – 9y   25x2   –

(7)

2 – b   35a8   –

(8)

100 – y 8 

(19) (a + 2b)2 –   – 36

(9)

1 – 25x 6 

(20) x2y2 –   – a 4b4 

(10) 36 – z 10 

(21) (a + b – c) 2 –   – 100

2 (11) (m – 1) 2   – – n  

(22) (a + b + c)2 –   – (x + y  – z)

2 (12) 49x4   – – 4y  

(23) (x – y  – z 2)2  –  – 100

TAREA DOMICILIARIA  Factorizar: (1)

(2)

(3)

2 – n)    – – 49 (m2   –

(4)

2    – 1)  – (7x2 –   – y 4 

(5)

(3mn – n 2)2 + t 8 

(3x – y) 2   – – 64

2 (a – 5x 2)2   – – y  

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(6)

2 (x + y)2   – – (m + n)  

(7)

2 (a + 2b)2   – – c  

(8)

18 –  z   (3x – y) 4   –

(10) x4y10z2 –   – 1

(11) 9 – 4a 2b4c6 

2

2

   – (c + 2d)   (12) (a + 2b)  –

(9)

(xy)2  –   – (ab) 2 

(13) 1 – (xyzw) 8 

b) Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) a2n  + 2a nbn  + b 2n  = (a n + b n)2 

an 

/ n  |N

bn 2anbn

Ejemplos: E = 25 + 20y + 4y2 

(1) Factorizar:

Solución:

PRÁCTICA  I.

Completar el siguiente cuadro:

Polinomio a Factorizar x2 + 6xy + 9y 2

Raíz Raíz cuadrada Doble del cuadrada del del 3° término producto de 1° término (a) (b) ayb x

3y

2(x)(3y) = 6xy

¿Es TCP?

Polinomio factorizado

Si

(x + 3y)2 

– 10a + 1 25a2   –

m16 + 4m 8 + 4 x2 + x + 1 3 49x6   – – 70x  + 25

9x20 + 6x 10y3 + y 6 2 – 20xy  + 4 25x2y4   –

a4 + a 2 + 1 20 3 6 x40   – – 2x y  + y

a2 + 4ab + 4b 2

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II.

ALGEBRA 

Factorizar: (1) x2 + 10x + 25 (12) 6x2y3 + 9 + x 4y6 

(2) x2   – – 12x + 36 2

– 4x + 1 (3) 4x    –

(13) x2 + y 4 –   – 2xy 2 

(4) 49a2   – – 28a + 4

3 2 (14) 4x6 + 9y 4  –  – 12x y  

(5) 9t2 + c 2   – –6   tc

(15) 144 + a24 –   – 24a 12 

– 10xy (6) x2 + 25y 2   –

(16) 2xa + x 2a + 1

(7) 48m3 + 64m 6 + 9

(17) m16 + 2m 8t2 + t 4 

2 – 14mn   (8) m2 + 49n 4   –

(9)

(18) (t + 5)2  –  – 2(t + 5) + 1

100x2 + 1  – 20x

(19) 49 + 4(m + 3)2 –    – 28(m + 3)

(10) 4a16 + b 2 + 4a 8b

(20) 60(m – 7) + 100(m  – 7) 2 + 9

(11) 2y2 + 1 + y 4 

TAREA DOMICILIARIA  (1) 4x10  –   – 12x 5 + 9

2

(5) (y + 2)2 + 6(y + 2) + 9 (6) (z + 3)2 + 16  – 8(z + 3)

4

(2) 12y  + 1 + 36y   (7) 1 + 4(x – 3) 2 –   – 4(x  – 3)

(3) 20x5y2 + 4x 10 + 25y 4 

(8) 25 – 20(y  – 1) + 4(y  – 1) 2  (4) (x + 5)2 + 2(x + 5) + 1

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(9) 12(1 – z) + 1 + 36(1  – z) 2 

(10) 9 + 12(5x + 1) + 4(5x + 1)2 

3. MÉTODO DE ASPAS a) Factorización por Aspa Simple: ¿En qué consiste esta prueba?

Factorizar : Es decir:

10x2 + 23x + 12 10x2  + 23x + 12 5x 2x

+4 +3

Ejemplo: (1) Factorizar:

2 2 M = 3a2b4   – – 8ab c + 5c  

Solución 

  Aplicamos la prueba del aspa:

M =

3a 2b4   – 8ab 2c + 5c2      3ab2   – 5ac ab2   – c

  – 5c)(ab 2 –   – c)   Escribimos el polinomio factorizado: M = (3ab 2 –

b) Factorización por Aspa Doble  Aplicamos este método en polinomios de SEIS términos que tengas la siguiente forma:  Ax2n + Bx nyn  + C + Cy 2n  + Dx nzn + Ey nzn  + Fz 2n 

/ n  |N

Ejemplos: 2 – 5xz + 11yz  – 3xz   (1) Factorizar: E = 2x2 + xy  – 6y 2   –

Solución    Aplicando dos veces la prueba del aspa simple: E = 2x2 + xy  – 6y 2 –   – 5xy + 11yz  – 3z 2        – 3 2x 3yy +z x + 2y  –3z

  Escribimos el polinomio factorizado como la multiplicación de dos factores de tres términos cadaindicad uno, así: Jr. Bolognesi 161 HUANTA

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E = (2x – 3y + x)(x + 2y  – 3z) FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES FACEBOOK:CWILLIAMPAREDES

 

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(2) Factorizar:

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2 F = 6x2   – – 11xy + 3y  + 7x  – 7y + 2

Solución 

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PRÁCTICA  I.

Factorizar por Aspa Simple: (1)

x2 + 9x + 8

(11) m4 –   – 16  – 6m 2 

2

(2)

a  + 2a  – 35  

(3)

m2   – – 8m + 12  

(4)

21 + x2 –   – 10x  

(5)

– 6c  – 27 c2   –

(6)

8t + t2 + 15

(12) 6m2 –   – 7m + 2

(13) 14x2 + 29x  – 15

(14) x2 + 10x 4  –  – 2

(15) 7m2 + 4 + 3m 4 

(16) 3x7 + 10x14 – 1

(7)

2x – 3 + x 2 

(8)

x4 + x 2   – – 6

(9)

3 t6   – – 6t  + 5

(17) 15t4 –   – 39t 2 –   – 16

(18) 2a2 + 8a 4 –   – 3

(19) 4 + 24x10 –   – 35x 5 

5 (10) a10   – – a    – – 20

(20) 15a4 + a 2b – 6b 2 

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10

(23) 3a2 + 5ab  – 2b 2 

5

(21) 6x    – – 5x    – – 6

(24) 21m8 –   – 17m 4n + 2n2 

2 (22) 10x2y + 10x4   – – 6y  

II.

Factorizar por Aspa Doble: (1)

x2 + xy  – 2y 2 + 11yz  – 2xz  – 15z 2 

(6)

2  – ab + 11a  – 6b  + 13b  – 5 10a2  –

(2)

2 2 – 3xy  – 3z    – – 2y    – – xz 7yz + 2x2   –

(7)

2x2 –   – 5xy + 2y 2 –   – 3y  – 2

(3)

2 a2 + 7ab  – 4ac + 10b 2   – – 11bc + 3c  

(8)

14m2 + 3mn + m  – 5n 2 + 8n  – 3

(4)

2 2 x2   – – 2y  + 6z    – – xy + 5xz  – yz

(9)

2 2a2 + 3ab + ac  – 2b 2  –  – 3bc  – c  

(5)

2x2 + 4xy  – 11x  – 6y 2 + 7y + 5

(10) 6x2 –   – xy  – y 2 + 5y  – 6

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PROBLEMAS PROPUESTOS  (1)

Si factorizamos ac4x4y  –  ab 4c4y, ¿cuántos factores primos se obtiene? a) 5 d) 7

(2)

b) 7 e) 1

b) 5 e) 1

b) 3 e) Ninguno

a) 3 d) 6

b) 4 e) 3

(9)

(13) ¿Cuántos factores primos lineales se obtiene al factorizar P(x)? P(x) = x4 + 1  – 2x 2

c) 1

a) 2 d) 4

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c) 3

(14) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar la siguiente expresión?

c) 2

a) 2

b) 1

c) 3

d) 4

e) Ninguno

(15) Uno de los factores que se obtiene al factorizar: 2  – 4) + (1  – 2a ) F = a2 (9a 2  – es: a) (a2 + 1) c) (a + 1) e) (a2 + 2)

c) 3

b) (3a 2 –   – 1) d) (a – 1)

(16) ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene la siguiente expresión? 5 E = x3y2  –  – y

P (a,b) = 4a2b2 + 12ab 3 + 9b 4 b) 2 e) Ninguno

b) 1 e) Ninguno

E = 2(a + b)xy + (a + b)y2 + ax 2 + bx 2

¿Cuántos factores primos lineales lineales se obtiene al factorizar P(a,b)?

a) 1 d) 4

c) 5

b) 3x4  c) (1 + 3x 4) e) (1 + 3x)

a) 1 d) (1 – 3 3x) x)

2 2 2 2 2 2 F = a2x2   – – b x    – – a y  + b y  

b) 2 e) 5

b) 2 e) 4

P(x) = x4 + 6x 8 + 9x 12

c) 3

¿Cuántos factores de primer grado se obtiene al factorizar la expresión F?

a) 1 d) 4

c) 3

(12) Dar un factor de P(x) si:

En el problema anterior, ¿cuántos factores primos de primer grado hay? a) 1 d) 5

(8)

b) 5 e) 6

b) 2 e) Ninguno

(11) En Álgebra, factor (primo y no primo) de un polinomio es otro polinomio de grado diferente de cero que divide exactamente al primero, razón por la cual a un factor se le conoce también con divisor . Según eso, ¿cuántos factores tiene el polinomio factorizado: (a + 2b)2 (2a + b)?

– y) b) (x    – d) (x – y 2)

¿Cuántos factores primos de 2° grado se obtiene al factorizar: a4m + a4n – b 4m – b 4n? a) 2 d) 4

(7)

a) 1 d) 4

2

¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar: 2 2 – ay    – – by ? ax2 + bx 2   – a) 1 d) 4

(6)

c) 6

Uno de los factores que se obtiene obtiene al 9 – y  es: factorizar x9   – a) (x + y) c) (x2 + xy + y 2) e) (x – y) 2

(5)

c) 6

Dar la cantidad de factores primos que 8 –  y   se obtiene al factorizar x8   – a) 8 d) 4

(4)

c) 4

¿Cuántos factores primos hay en la expresión x – y 8? a)8 d) 4

(3)

b) 6 e) 3

(10) ¿Cuántos factores primos de segundo grado se obtiene al factorizar P(x)? 4 2  – 10x  + x   P(x) = 25x6  –

c) 3

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a) 2

b) 3

d) 5

e) 1

c) 4

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(17) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x,y)? 3

6

(20) Dado el siguiente polinomio: F = (x + y)z3 + x + y

7

P(x,y) = (x – y)x  + xy    – – y   a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

la división F : P debe ser tal que el residuo sea CERO. ¿Cuál de los siguientes polinomios puede ser tal expresión P?

c) 3

(18) Dado el siguiente polinomio en x: 2 – x P(x) = x8   – ¿Cuál de los siguientes polinomios no es divisor de P(x)? a) x d) (x2 + 1)

   – z + 1) a) (z2 –

b) (z  – 1)

2  y c) (x ) e) (z –  +y)1)

   – y) d) (x  –

2

b) (x – 1) 1) c) (x + 1) e) (x 4 + x 2 + 1)

(19) Dado el siguiente polinomio en a: 7 – 7a P(a) = 7a16   –

¿Cuál de los siguientes polinomios divide exactamente a P(a)? b) (a 2 + a + 1) – a + 1) d) (a 2   –

a) (a – 2 2)) c) a8  e) (a + 1)

PRÁCTICA DOMICILIARIA 

(1) Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de: – 17x 72 + x2   –

a) 72 d) –17

P(x) = 4x2 + x 4 –   – 5

b) 15 e) –9

c) 9 a) 1 d) 0

(2) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar P(x,y)? P(x,y) = 2x3y – 5x 2y – 3xy a) 1 d) 4

b) 2 e) ninguno

b) (x 2 + 1) e) (2x + 1)

a) 2 d) 4

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b) 3 e) ninguno

c) 1

(7) ¿Cuántos factores primos de 3° grado se obtiene al factorizar: 3 3 2x6y3 –    – 13x y  –   – 24y 3 ? a) 2 d) 5

a3bc – a 2b2c – 6ab 3c b) 2 e) 5

c) 3

c) (x + 1)

(4) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar?

a) 1 d) 4

b) 5 e) 4

(6) ¿Cuántos factores primos de segundo grado se obtiene al factorizar    – 3y 2 ? 9y6 + 26y 4 –

c) 3

(3) Uno de los factores que se obtiene al 2 – 1)  – (x  + 3) es: factorizar (5x4   – a) (x – 2 2)) 3 d) (x  + 2)

(5) Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de P(x) si:

b) 3 e) 1

c) 4

(8) ¿Cuántos factores primos lineales se obtiene al factorizar 4x4y + 4y – 17x 2y ?

c) 3

a) 1 d) 4 TELEF: 066402103

b) 2 e) 5

c) 3

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ECUACIONES Concepto: Es una igualdad de 2 expresiones algebraicas que se verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas. Ejem: 3x + 2

=

primer término

4x + 1

, para x = 1

segundo término

3(1) + 2 5

= =

4(1) + 1 5

CLASES DE ECUACIONES I.

Ecuaciones compatibles: Es aquella cuyo conjunto solución tiene por lo menos un elemento. Éstas a su vez pueden ser:

II. Ecuación incompatible: Denominado también absurdo o inconsistente; es aquella cuyo conjunto no presenta ningún elemento. X2 + 5x + 1 = x 2  + 5x + 3, 1 3x  

x(x + 3)+ 2 = 3(x + 1) + x 2  2   3

III. Ecuaciones equivalentes:  Dos ecuaciones son equivalentes si sus conjuntos solución poseen los mismos elementos. 4x – 8 = x + 7  

x=5

2x + 8 = 20 – 3x

x=5

 

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE EN IR  Ejemplos: 1) Resuelve: 7x – (2x  –  6) = (x + 1)  – (3x + 2) 7x – 2x + 6 = x + 1  – 3x  – 2   7x =  –7 x = –1

2) Resolver: x2 + 5x  – 3 = x(x + 1)  – 2

3) Despejar “x” en:  ax + b = cx + d

4) 5m(x – 1)  –  (7x + m) = nx + 1

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Nota.- Resolver una ecuación equivale a despejar la incógnita, por lo cual daremos los pasos necesarios para que “x”   aparezca una sola vez vez en uno uno de los miembros de la formación.  

despejar “x” 

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Resolver : 5) (x + 2)(x – 2) + 3x  – 1 = 2 + x(x + 2)

6) ¿Cuál es el valor de x que hace que P(x) se anule? P(x) = 2x 3 + 52  –  1  –  x6 – 2

7) Calcular el valor de x, para el cual, la siguiente fracción no está definida: 6x – 5 5x –  3  –  x  –  x 3 4 6 12  _ 8) Resolver: 3x – 3 = 3 (3 – x)

EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver las ecuaciones siguientes: (1)

(2)

(3)

(4)

(8x + 4) – (5x  – 6) = x + ( –3x + 20) (7)

3x(x + 2) – 9 = 3x 2 + 4(x  – 2)

(8)

(x + 5)(2x –  4) = x(2x + 1)

(9)

x – 2(x  – 3) = 4x 2 –   – (x + 3)(4x  – 1)

12 + 2x – (10 + x) = 4 + (5x  – 6)

2x – ( –6 + 3x) = 4x + x – (5x + 4)

3(2x + 2) = 9(x – 1) (10) (x + 3)2 = (x  – 2) 2 

(5)

5(x + 7) = 4x – 2(x  – 13) (11) 9x(x – 1) = x + (3x  – 2) 2 

(6)

24 – 4(x + 3) = 2(10x  – 6) (12) 4x2 –   – (2x + 1) 2 =  –13

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(20) x  –  1 + x = 2 + 3x 2 10 5 5

(13) (x + 4)(x – 4) = x 2   – – 2(x  – 2)

(21) x + 2x + 1 = 5x  – 3

2

(14) (x – 1)   –   – (x  – 3)(x  – 3) = 0

6

12

4

(15) (x + 4)(x – 2) = 6 + x(x  – 5)

(22) x – 5  –  x = 2 2 5

(16) 12x – (2x + 3) 2 = 8x  – (2x  – 5)(2x  – 3)

(23) x + 2 + x – 4 = 1 3 6

(17) (3x – 1)(3x + 3) = (3x + 2)(3x  – 2)

(24) x – x  – 2 + 1 = 5x 2 7 14

(18) x – x + 5 = 3x 2 2

(25) x – 3  –  x = 2  –  x + 1 4 6 12

(19) 7 + x –  3x = 0 3 2

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CAPÍTULO III

PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES (Enunciados Verbales) EXPRESIÓN SIMBÓLICA DE ENUNCIADOS VERBALES Expresar simbólicamente un enunciado verbal es traducirlo al lenguaje simbólico, donde los números y la variable se vinculan mediante operaciones para formar una ecuación. En el cuadro siguiente se muestran algunos ejemplos de la expresión matemática de problemas sencillos.

Elección de la variable y su Ecuación relación con los datos El duplo de un número x representa el número aumentado en 4 es igual a 16 2x es duplo 2x + 4 es su duplo aumentado en 2x + 4 = 16 4. La mitad de un número x representa el número disminuido en 3 es igual a 2 x es su mitad x – 3 = 2 2 2 x – 3 es su mitad disminuido en 3 2 El triple de un número x representa el número aumentado en su mitad es 7 3x es su triple 3x + x = 7 3x 2 en + x es su triple aumentado 2 su mitad La suma de dos números enteros x representa el número menor consecutivos es –17 (x + 1) es su consecutivo x + (x + 1) = –17 Problemas

1.

2.

3.

4.

5.

6.

La edad de un padre es el x representa la edad del hijo cuádruplo de la de su hijo y 4x es la edad del padre ambas edades suman 45 años x + 4x es la suma de las edades Juan tiene 10 soles más que x representa el dinero de Pedro Pedro, Carlos tanto como Juan y (x + 10) es el dinero de Juan Pedro juntos y el dinero de los (2x + 10) es el dinero de Carlos tres suman 100 soles

x + 4x = 45

x + (x + 10) + (2x + 10) = 100

EJERCICIOS DE AFIANZAMIENTO (1) Calcular el número cuyo triple disminuido en siete unidades resulta 326.

4 años, ¿qué edad tuvo Maritza el anteaño pasado?

(2) Hallar el número cuyo duplo aumentado en su mitad da como resultado 90.

(6) La suma de las edades de Héctor y Octavio es 26, si la diferencia de estas edades es 2 años, ¿cuál será la diferencia de estas edades dentro de 17 años?

(3) El triple de la edad de José aumentado en un año, es igual al duplo de su edad aumentado en 13 años. ¿Cuál será la edad de José dentro de 13 años?

(7) La suma de 2 números es 300 y su diferencia 42; ¿cuál es el número mayor?

(4) Alberto tiene 6 años menos que que Víctor. Si la suma de ambas edades es 16 años, ¿cuál es la edad de Víctor dentro de 2

(8) La edad de Ernesto es el triple de la de Jaimito; si ambas edades suman 52 años, ¿cuántos años cumple Jaimito el próximo

años? (5) La edad de Maritza y de Gladys suman 20 años. Si Maritza es mayor que Gladys por

año? (9) Al comprar un libro, un buzo y una mochila pagamos por todo S/. 50. Si el buzo

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cuesta 6 veces lo que cuesta la mochila y el libro cuesta S/. 15 menos que el buzo; calcular el precio de la mochila.

(10) Al preguntársele a un hombre por su edad, responde: “Si al triple de mi ed ad le quitas 12 años, obtendrás lo que me falta para tener 100 años”. ¿Qué edad tenía

hace 12 años?

TAREA DOMICILIARIA (1) Pedro tiene 6 años menos que Víctor. Si la

(9) Si la suma de 2 números es 352 y la

suma de ambas edades es de 18 2 años. ¿Cuál es la edad de Víctor dentro años? a) 10 d) 13

b) 12 e) 9

c) 14

(2) La suma de dos números es 300 y el mayor es mayor por 42. ¿Cuál es el mayor? a) 129 b) 87 c) 171 d) 180 e) 150 (3) La edad de Ernesto es el triple al de Jaime si ambas suman 52 años. ¿Cuántos años tendrá Ernesto el otro año? a) d) 13 39

b) e) 26 50

diferencia es 24. Hallar el mayor. a) 180 b) 164 c) 184 d) 188 e) 160 (10) La edad de Ena y Lucía suman 20 años. Si Ena es mayor por 4 años, ¿qué edad tenía Ena el anteaño pasado? a) 16 d) 22

a) d) 21 28

b) 10 e) 2

c) 12

a) 50 d) 44

b) 19 e) 23

c) 21

(7) Si al triple de mi edad le quitas 12 años, obtendrás lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tenía hace 12 años? a) 28 d) 30

b) 16 e) N.A.

c) 23

b) 53 e) N.A.

c) 55

(13) El mayor de 3 números es el doble del segundo y mayor en 20 que el primero, si suman 100. Hallar el segundo.

(6) David es 3 años mayor que su esposa, si ambos suman 41 años, ¿cuántos tendrá David el otro año? a) 18 d) 20

b) e) 22 29

(12) La edad del abuelo es 5 veces la edad del nieto. Si ambos suman 66 años. ¿Cuánto tiene el abuelo?

a) 7 b) 12 c) 14 d) 21 e) 25 (5) 2 números consecutivos pares suman 22. Hallar el menor. a) 8 d) 14

c) 20

(11) Entre Abelardo y Tina tienen S/. 50.00. Si  Abelardo tiene 8 soles menos, ¿cuánto tiene Tina?

c) 30

(4) El mayor de 2 números es 3 veces el menor. Si la suma es 28, hallar el mayor.

b) 18 e) 24

a) 23 d) 28

b) 24 e) 29

c) 48

(14) 3 números consecutivos suman 42. Hallar la suma de los dos primeros. a) 25 d) 28

b) 26 e) 30

c) 27

(15) El duplo de mi edad más 13 años es igual al triple más uno. Hallar mi edad.

c) 40 a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

(8) La suma de dos números es 300. Si el doble del menor excede en 40 al mayor aumentado en 80. ¿Cuál es el número menor? a) 120 d) 170

b) 140 e) 160

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c) 130

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SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS  Forma General: ax + by = c dx + ey = f  

Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el valor de las incógnitas que satisfagan simultáneamente a las ecuaciones o demostrar que tal sistema no tiene solución.

Ejemplo: Resolver:

x + y = 12 2x – y = 15

,

los valores que satisfacen para x e y son: x=9 e y=3

y comprobamos: 1° Ecuación: 2° Ecuación:

(9) + (3) = 12   2(9) – (3) = 15  

12 = 12 15 = 15

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN a) Métodos detransformar Reducción:el sistema en una ecuación con una solo incógnita. Consiste en b) Método de Sustitución: Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir esta expresión en la otra ecuación, con lo cual obtendremos una sola ecuación con una incógnita cuya solución ya nos es familiar. c) Método de igualación: Este método consiste en despejar en ambas UNA DE LAS INCÓGNITAS, para luego IGUALAR los miembros bajo el siguiente criterio. Si

x = x =

 

 

 

 =  

Ejem: (1) Resolver: x + 2y = 13 3x – y = 11

..... (1) ..... (2)

Despejamos x de (1)

 

x = 13  – 2 2yy

.... (3)

Despejamos x de (2)

 

x = 11 + y 3

.... (4)

igualamos (3) y (4) 13 – 2y = 11 + y 3

 

39  – 64 = 11 + 4  –7y = –28

en (3)

 

x = 13  –2  (4) x = 13 – 8 = 5

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PROBLEMAS PROPUESTOS I)

Hallar los valores de x e y en cada caso: Método de reducción

Método de reducción

a)

d)

x + y = 42 2x – y = 24

3x – 2y = 24 2x + 2y = 26

Método de igualación Método de igualación e) b)

x + 2y = 54

x + y = 45 x – 2y = 12 2x – y = 15

Método de sustitución Método de sustitución c) 2x + 4 = 78

f)

x + y = 124 2x –y = 20

2x – y = 22

1)

La suma de 2 números es 41 y la diferencia es 21 indicar el producto de ellos. a) 410 d) 31

b) 200 e) N.A.

4)

Luego de resolver el sistema 3x + y = 16 3x – y = 14

c) 310

Hallar “m”, si se cumple 

2)

Con el sistema mostrado 2x + y = m + 3 3x – y = 8

mx + (m – 1)y = 5 a) 1 d) 2

Hallar “m”, si x = 5 

a) 24 d) 10 3)

b) 12 e) 5

c) 14

5)

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Después de hallar x e y en:

Calcular “b” en la relación: 

Hallar “m”, si: y = x + 1 

b) 2 e) –1

c) –1

4x + 3y = 25 3x + 4y = 24

Dado el sistema en x e y mx + y = 10 x+y=7

a) 1 d) –3

b) 0 e) 6

b (x + y) + 2b = 9 c) 3

a) 1 d) 2 TELEF: 066402103

b) 0 e) –2

c) –1

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6)

Resolver el siguiente sistema: x + 2y – z = 2 2x + 3y + z = 11 3x + 2y – z = 4 (2) – (1)   (3) – (2)  

..... ..... .....

(1) (2) (3)

3x + 5y = 9  –5x – 5y = 15  –2x = –2

x=4 y=8

7)

Resolver: x + 2y = –3 2x + y = 0

8)

Resolver: 10x + 1 = 7y 3(x – 1) = y

9)

Resolver: x – y/5 = 1 x/5 + y = 27/5

10) Resolver: m = 2n 5m – 4n = 3/5

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Estas ecuaciones se llaman también ecuaciones cuadráticas.

ECUACIONES COMPLETAS 1) Resolución por factorización:

Ejemplo: Resolver:

x2   – – 5x + 4 = 0  –4 x    –1 x

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x  – 4 = 0  x 1 = 4 x – 1 = 0  x 2 = 1

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x2   – – 3x  – 10 x  – 5 x 2

 

x  – 5 = 0  x 1 = 5 x + 2 = 0  x 2 =  –2

2) Resolución por Fórmula General:  x



b

b

2

 4ac

2a

 

– 4ac Donde: D = b2   –

 

 x



b

Ejem:

 D

2a

 

– 5x + 4 = 0 x2   –

a = 1; b = –5; c = 4

EJERCICIOS  Resolver las siguientes ecuaciones: 1) x2   – – x = 0

6) x2 + 2 = 5 (x 2 + 1)

– 16 = 0 2) x2   –

7) 3x2 + 5x = 7

2

2

2

– 5x = 0 3) x    –

   – 2) 8) 2(x  + 1) = 5(x  –

4) 2x2  –   – 1 = x 2 + 24

9) 5(2x2 + 1) = 3(4x 2 + 1)

5) 3x2 + 8x = 5x 2   – – x

10) 7(x2 + x) = 2(3x 2 + 4x)

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13) (2x + 3)2 = 9 + x

11) 6x(x + 1) = 5(x2 +x)

14) (5x + 2)2 = 4(5x + 1) 12) (x + 2)(x – 2) = 5

I.

Resolver las siguientes ecuaciones: (1)

x2  –   – x = 0

(9) (2)

2x2 + 9 = 3(x 2 + 3)

x2  –   – 16 = 0

(10) 2(x2 + 1) = 5(x 2 –   – 2) (3)

x2 = 16

(4)

x2  –   – 5x = 0

(11) 5(2x2 + 1) = 3(4x 2 + 1)

(5)

2 2x2   – – 1 = x  + 24

(12) 7(x2  + x) = 2(3x 2 + 4x)

(13) 6x(x + 1) = 5(x2 + x) (6)

– x 3x2 + 8x = 5x 2   –

(14) 4x2 –   – 9 = 0 (7)

x2 + 2 = 5x = 5(x 2 + 1)

   – 9x = 0 (15) 4x2 –

(8)

3x2 + 5x = 7(x 2 + x)

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(16) 2x2 + 50 = 0 (22) (5x + 1)x = x + 2 (17) 2x2 + 50x = 0 (23) (2x + 3)2 = (9 + x) (18) 3x2   – – 24x = 0 (24) (3x – 1) 2 = (2x + 1) (19) 3x2 + 24 = 0 (25) (5x + 2)2 = 4(5x + 1)

(20) (x + 2)(x – 2) = 5 (26) (3x – 2) 2 = 5  – 12x

(21) (3x – 1)(3x + 1) = x 2  II. Dadas las siguientes ecuaciones, resolver empleando fórmula general: (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

x2 + 5x + 2 = 0

(6)

x2 + 6x + 2 = 0

(7)

2x2 + 9x + 1 = 0

(8)

3x2 + 7x + 2 = 0

(9)

x 2  + x + 5 = 0

x2 + 7x + 5 = 0

x2 + 4x  – 1 = 0

x2 + 8x + 9 = 0

x2 + x  – 2 = 0

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(10) x2 + 5x + 7 = 0 (16) x2 –    – 8x + 16 = 0

(11) 3x2 + 2x  – 1 = 0 2

   – 6x + 3 = 0 (17) 3x  –

(12) 2x2 + 3x + 1 = 0 (18) 4x2 –   – 20x + 25 = 0

(13) 2x2 + 3x  – 1 = 0 (19) x2 + 10x + 25 = 0

2

(14) 3x  + 7x + 5 = 0

(15) 4x2 + 12x + 9 = 0 III. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones empleados Factorización. (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

x2 + 3x + 2 = 0

(6)

9x2 + 6x + 1 = 0

(7)

25x2 –   – 10x + 1 = 0

(8)

4x2 –   – 12x + 9 = 0

(9)

30x2 + x  – 1 = 0

3x2 + x  – 4 = 0

x2  –   – 8x  – 9 = 0

– 5x + 2 = 0 2x2   –

5x2 + 4x  – 1 = 0

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(10) 20x2   – – x  – 1 = 0 (18) 4x2 –   – 21x + 5 = 0

(11) 15x2 + 8x + 1 = 0 2

(19) 5x  + x  – 6 = 0 (12) 15x2 + 2x  – 1 = 0 (20) 5x2 + x  – 4 = 0

(13) 5x2   – – 12x + 4 = 0 (21) 7x2 + 8x = 16

2

(14) 6x  + 13x + 6 = 0 (22) 4x2 + x = 18

(15) 2x2 + 17x + 21 = 0

(23) 5x2 + 2x = 24

– 17x + 21 = 0 (16) 2x2   –

(24) 3x2 –   – 2x = 21

(17) 3x2 + 19x + 6 = 0

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(25) 7x2 –   – 5x = 2

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NATURALEZA DE LAS RAÍCES La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, depende del valor del DISCRIMINANTE (D). Analicemos tres casos: 1. Si D > 0

Discriminante Positivo.

Entonces las raíces son REALES y DIFERENTES. Es decir: Dada la fórmula general:

b  x

2. Si D = 0



 D

 

2a

Discriminante nulo, entonces las raíces son REALES e IGUALES. 

Es decir: Dada la fórmula general:

 x

Si D = 0

 x

Es decir:

 x

b





 D

 

2a

b 0 2a



b 2a

 

 

Como a y b son reales entonces x tiene valor real. 3. Si D < 0 Determinante negativo. Entonces las raíces NO SON REALES (o no existen en el conjunto de los números reales) sino que son COMPLEJAS y CONJUGADAS.

Ejemplo: En la ecuación x 2  –   – 6x + 25 = 0

  Los coeficientes son:

a=1

b =  –6

c = 25 el DISCRIMINANTE es: D = b2 –    – 4ac 2 D = ( –  –6)  –   –  4(1)(25)  – D = 64, es decir D < 0

lo que significa que las raíces no son reales, sino COMPLEJAS y CONJUGADAS

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Dada la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0, podemos hallar la suma, diferencia, producto y suma de inversas de las raíces sin resolver  dicha ecuación empleando las siguientes propiedades. 1°

 x1

  x   2  

2°

 x1

   x  2 

3°

 x1   x    2

4°

1  x1



 1

 x 2

c a

b a

 

 D a

 

Donde x1  y x2  son las raíces o soluciones; a, b  y c  son los coeficientes de la ecuación; D  es el Discriminante en la fórmula general

 



b c

 

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FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Vamos a proceder ahora un tanto a la inversa; es decir: si se nos diera las raíces x 1 y x 2  ¿Cuál es la ecuación que queda satisfecha con estas raíces? Citemos la fórmula general:

ax2 + bx + c = 0

  Dividimos la ecuación entre a:

ax2  + bx + c = 0 a a a a x 2  + b x + c = 0 a a

  Arreglemos el término central, así:

 x

2

  b      x    a 

c a

 0 

  Si asignamos las letras S  y P  a la suma y al producto de las raíces respectivamente, nuestra ecuación quedaría así:    – Sx + P = 0 x2 – Esta última formula nos servirá para la formación de una ECUACIÓN CUADRÁTICA a partir de la suma (S) y el producto (P) de las raíces.

PRÁCTICA I.

Marcar con un aspa indicando la la naturaleza de las raíces de la ecuación ecuación respectiva:

N°

ECUACIÓN

1

x + 5x + 6 =0

2

x + 5x – 6 = 0

3

3x + x + 1 = 0

4

2x  – 5x + 2 = 0

5

2x +2x +2x + 5 = 0

6

x + 5x + 7 = 0

7

9x + 30x + 25 = 0

8

25x2 + 10x + 1 = 0

9

49x2 + 14x  – 1 = 0

10

5x + 9x – 2 = 0

11

x + x – a = 0; a > 0

12

ax + x + 1 = 0; a > 1

13

x + ax + 1 = 0; a > 2

14

(a + 1) 1)xx + ax – 1 =0

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D>0 RAÍCES REALES DIFERENTES

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D=0 RAÍCES REALES IGUALES

D 0 ax + b < 0

Para resolver inecuaciones de primer grado seguimos los siguientes pasos:

Ejemplo 1: Resolver :

5x – 7 < 7x  – (x + 1)

 S oluci ón :

 –   

0

Ejemplo 2: 

3

Resolver en |N

(x – 7) (7 + x) + 2x (x + 1) < x(3x + 1)  – 42 Recordar: 2 (a – b) (a + b) = a 2   – – b   2 – b   (a – b) (a + b) = a 2   –

Solución: x2  –   – 49 + 2x 2 + 2x < 3x 2 + x  –  42 Reduciendo términos semejantes: 3x2 + 2x  – 49 < 3x 2 + x  – 42 x – 49 + 42 < 0 C. S. = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Ejemplo 3: ¿Cuál es el mayor valor entero qué satisface la inecuación? 1      x  1 x3     2 x  1  6 3 2

PROBLEMAS  – INECUACIONES DE PRIMER GRADO BLOQUE I a) 5 d) 8

1) Resolver:  x

 

2 1  3

x

 3  4 

2

Señale el menor valor entero de “x”  

b) 6 e) 9

c) 7

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ALGEBRA 

COLEGIO “WILLI “WILLIAM AM PAREDES”

Indique la suma de los valores de “x”  

2) Resolver: 4 x  2  



x

5

1 2

a) 60 d) 21

 4 

Indique el menor valor entero que toma “x”  

a) 3 d) 6

b) 4 e) 2

c) 5

1



 x  

9

2



8

x

7 3

 3 

b) 10 e) 1

c) 9

4) Resolver:  x

8) Señale la suma de los valores enteros y positivos que toma “x” de manera que se

verifique la relación:

a) 1 d) no existen

el menor valor entero de “x” es:  

a) 11 d) 8

c) 80

   1     3 x  1   2 x 4 3    3 4   7          

3) Al resolver:  x

b) 56 e) 40

1

  x   3   3    x  5   2   4  

b) 10 e) 2

c) –1

9) Hallar el intervalo inecuación:

solución

de

la

3x(x + 1) + 2x(x + 2) < 5x(x + 3)  – 24 a)  –  –   ; 3  

b)  –   –   ;  –3]

c)  –  –   ;  – 3  

d)  –   –   ; 3]

e) 3 ; +  

Señale el mayor valor entero de “x”  

BLOQUE II

a) 0 d) 3

1) ¿Cuál es el intervalo solución de la siguiente inecuación?

b) 1 e) 4

c) 2

3 x  2

5) ¿Cuál será el número entero mayor que cumplirá con la relación? a)

  x   1     x   2  2   7     5 7 4         a) 4

b) 6

d) 5

e) 3

3 1



6 x    3 5

;   



9x  1 2

 3 

b)  1 ;

1

3

c) 0; c) 8

 

3

1

1 1 d)  ;     3 3  

 

3

e)  1  ;     3

2) Luego de resolver la inecuación: 6) Resolver en |N.   x   1    x    2    x   6  3   2     6   15   5 2 10             Dar como respuesta la suma de los valores que puede tomar “x”   a) 36 d) 4

b) 21 e) 6

c) 12

7) Resolver la inecuación en |N. 2 x  1 3 x   1 4 x  3   6  5

10

1   x    2  1   x   1    1       5   2   4   3   3   6  

1   x   3 

a)  –  –  ; 3  d) 0; 2]

b) 2; 3  e) [2; 6 

c) 0; 2 

3) El mayor valor entero que cumple la relación:

  x      x   1   1  1   1  2   3  3.   4  2  

25

a) 8

b) 32

c) 18

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COLEGIO “WILLI “WILLIAM AM PAREDES”

d) 2

e) 5

a) 1 d) 4

4) La raíz cuadrada del mayor número número entero que satisface la inecuación que se indica

    1   x    1   x   1       2   3 ; es: 6  2   2  5  3  10   1   x

a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

1 2



9) Al resolver la inecuación: 6x – 45  15x  – 12  14x  – 11 ¿Cuántos

valores

a) 2 d) 5

 2     x  3  

 x

3

5

x

4

6

a)   – [–8; +  

b) [1/5; +  

c) [5 ; +  

d)    – –  ; – 5]

 

a(x – a)  – b(x  – b)  0 Donde:

– 4 (4x + 3) (9x – 1)  – (6x  – 1)      – –  ; 0] a) [0; +   b)   –

a = – 

d) [  –1/35 –   

4

6

a) 1; 5  d) 1; 4]

 

2 x  1 3



x

1 2

2 

c) [2; 5  

b) [2; 4] e) {3}

9



c) [ –  –3 ; +  

d)  –   –  ; – 3]

1



a  2 ; siendo a > 0 2a  1  x

a) a; a + 1  c) a + 1; +    –  ; a + 1  e)  –

b) a; +   d) a; 1 

3) Si el intervalo solución del sistema: a(x – 2) > a + 3 b(x + 1) < 2b + 5

8) Resolver: 2 x  3

b)  –  –  ; 3]

a

 2;

5 

a) [3; +  

 x

7) Resolver el sistema de inecuaciones.

1

5+1

e)  –   –  ; a – b] 2) Resolver la inecuación:

–  ; 1/35] e)    –

 x

se

1) Resolver:

2



“x”

c) 4

b=2+

c) [1/35; +  

de

BLOQUE III

6) Resolver:

1

enteros

b) 3 e) 6

e)    – –  ; – 1/5]

 x

c) 3

verifican?

c) 4

5) Resolver:  x

b) 2 e) 5

es 4; 6. Hallar (a + b)2, siendo: a > b > 0.  x

1 5

 

 2;

3 x  2 5



x

2 3

 4 

a) 1 d) 25

b) 4 e) 16

c) 9

Indicar el número de valores enteros que la verifican.

PROBLEMAS  – INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO   BLOQUE I – x  – 20 < 0 1) Resolver: x2   –

a) |R d)  

 – 4; 5   b)  – e)  –  –  ; – 4  

2) Resolver: x2 + x  – 72  0

 – 5; 4   c)  –

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ALGEBRA 

COLEGIO “WILLI “WILLIAM AM PAREDES”

–  ; –9]  [8; +   b)   – d)   – [–7; 6 

a) |R c) [  – –7; 6] e)  

3) Resolver: x2   9 a) x  3      – –3 c) x  3 e) |R

b) –3  x  3 d) x    – –3

–1; 1] a)   – [–7; 7] b)  [ – c)   – –  ; –7]  [7; +   d) |R e)  

5) Resolver: –x2 + 7x  0

5 c)  ;    3 

d)  ;2   3 

e)

5 3

b)   – [–7; 7] e)   – –  ; 0]

b) x  6

c) [7; +  

d)

5

b)   – –  ; 3] d)   – –  ; 8]

b) x  |R d) x  |R  – {0}

3]

3 5 2

c)

;

 ;

 

4 3

 

2

;  

a) |R d)

3

b)   ;  

b) [  – –1; 1]

c)

 ; 3 2  

e)

 ;

3 3

 

2 2

4) Resolver: (ax  – b) 2    (bx  – a) 2; siendo: 0 < a < b. c)  –  –  ; 0 

b) |R

d) 0; +   e) [ –1; 1] 5) Resolver ax2  + bx + a < bx 2  + ax + b; siendo: 0 < a < b. a) {1} b) |R d) 0; +   e) [0; 1]

 –  ; 0  c)  –

d) [2+   3 ; + ]

c) [  – –3; 3]

6) Resolver:

e)   – –  ; 2+   3 ]

x(x + 2)(x + 4) + 6 > (x + 1)(x + 3)(x + 5) + 9

10) Resolver: (x – 4) 2   9 a) [1; 2] d) [1; 8]

4

a) {1}

9) Resolver: x2   –  4x + 1   0; indicar su intervalo solución. 3;2+

b)

c)  –2  x  6

2 8) Resolver: (x2   – – 9)    0

a) [2 – 

 

3) Resolver: 2x2 + 4x + 3 < 0

2

a) x = 3  x =  – 3 c) x     e) x  3

5

5 3   ; 4 2 4

d) x  --2 2 e) |R 7) Resolver: (x  –  5) 2    4; indicar un intervalo solución. a)   – –  ; – 4] 4] c)   – –  ; – 1 1]] e) |R

5 

; 2  

a)  ; c)

6) Resolver: (x – 2) 2   16 a) x  2

b)

2) Resolver: 8x2   –  22x + 15 > 0; indicar un intervalo.

4) Resolver: x2   49

a) [0; 7] d)   – –  ; 7]

3  ;    2

a) [2; +  

b) [1; 6] e)   – [–3; 3]

c) [1; 7]

a)  –  –  ; –3 

b)  –  –2; +  

c)  –  – 3;  –2 

d)  –  –  ; –2 

e)  –  – 3; +  

BLOQUE II 2

1) intervalo. Resolver: 3x    –  11x + 10 < 0; indicar un

7) Resolver el sistema: x2 < 36 ... (1) x2   4x ... (2)

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ALGEBRA 

COLEGIO “WILLI “WILLIAM AM PAREDES”

Indique el número de valores enteros que verifica. a) 1 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

2

2

2x  + x  – 1 < x    – – 6x + 17  x    – – 5x + 20 Dar como respuesta la suma de los valores enteros que verifican. a) 45 d) 36

b) 48 e) 35

c) {  – –3}

– 4   3 x + 12  0 10) Resolver: x    –

b) |R+ 

d) {2   3 }

e) |R – {2   3 }2

2 5 b)  ;    5 2 d)  

e) |R  –  ax + b < 0, presenta 3) Si la inecuación: x2   – como solución x   3; 5. Hallar “2a + b”  

a) 23 d) 15

2

a) |R

2 5 5  c) |R –      2

c) 44

9) Resolver: (x + 3)2 >  –193 a) |R b) |R – { –3} d)   – –  ; +3  e)   – –3; +  

2) Resolver: 25x2 –   – 20x + 4 > 0 a) |R –     

8) Resolver: 2

e)  –  – 5; 1    {5}

d) |R – { – 1 1}}

c) [0; +  

b) 18 e) 24

c) 31

4) Si:   x   |R, se cumple: x 2  + 2x + r   0; obtener el menor valor entero de “r”   a) – 2 b) 1 d) 5 e) 6 5) Resolver:

c) 3

   – 5x + 4 < 0 x2 – 2

BLOQUE III 1) Resolver: (x + 5)(2x + 1) > (x + 5)(x + 2); indicar su conjunto solución. a)   – – 5;  – 1   b) 1; +   –  ; – 5     1; +   c)   –

x  + 6  – 5x < 0 a) x     b) x  |R c) x   2; +   d) x   2; 3  e) x   1; 2    3; 4  6) Resolver: 5x – 1 < (x + 1) 2 < 7x  – 3; indicar un intervalo solución. a)  –  –  ; 2  c) 2; 4  e)  –  –  ; 2    4; +  

b) 4; +   d) 1; 5