ALGEBRA 3°

Álgebra

3

E D U C A C A C I Ó N S E C U N D A R I A

 ÁLGEBRA

3

El libro de ÁLGEBRA 3, para el tercer año de educación secundaria, se complementa con el CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 3  y ha sido elaborado por el Departamento Académico de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima.

Título de la obra:

Álgebra 3

Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria Hernán Hernández Bautista Director Académico: Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista Elvis Valerio Solari Asesor Académico:

Elvis Valerio Solari

Tomas Granados Marcelo Diseño y Diagramación: Eduardo Tomas Norma Guadalupe Guerrero Noel Marco Antonio Lizárraga Podestá Podestá

Corrección de Estilo:

Victor Francisco Bautista Victor Emilio Ventura Ventura Bismarck

Fotografía:

Yuri Hernández Hernánde z Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web

Primera edición: Tiraje:

Setiembre 2015 5000 ejemplares

Editado por: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail:[email protected] Impreso en los talleres gráficos de Corporación Gráfica Navarrete S.A. Carretera Central 759 km 2 Sta. Anita - Lima 43 Impreso en Octubre 2015 Teléfono: (01) 362-0606 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio. Número de Proyecto Editorial: 31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-14416 ISBN: 978-612-4302-02-2

PRESENTACIÓN AL MAESTRO: El Estado Peruano dirige la política educativa a través del Ministerio de Educación. Sin embargo, la tarea de la educación es responsabilidad de todos los peruanos, en especial de los educadores, los educandos, las autoridades educativas y los padres de familia. El Diseño Curricular Nacional (DCN) de Educación Básica Regular, Regular, formulado por el Ministerio de Educación fija el marco de nuestro trabajo educativo, trabajo que desarrollamos con los textos escolares de Matemática Geniomátic de educación secundaria. Compartimos la propuesta de “Ofrecer una educación integral a los estudiantes mediante una formación científica, humanística y técnica. Afianzar su identidad personal social. Profundizar los aprendizajes logrados en el nivel de Educación Primaria. Orientar al desarrollo de capacidades que permitan al educando acceder a conocimientos humanísticos, científicos y tecnológicos en permanente cambio. Formar para la vida, el trabajo, la convivencia democrática, el ejercicio de la ciudadanía y para niveles superiores de estudio. Tenemos Tenemos en cuenta las características, ca racterísticas, necesidades y derechos de los púberes y adolescentes“. La labor docente, particularmente en Matemática, es una tarea apremiante en la que Geniomátic pretende apoyar, por lo que esperamos que este texto sea una herramienta útil y eficiente que aligere el trabajo con sus estudiantes.

AL ESTUDIANTE: ¿Qué piensas de la Matemática? El concepto que tengas de la Matemática es muy importante para tu aprendizaje. Algunos piensan que la matemática es un conjunto de reglas y fórmulas que hay que memorizar para el examen. Otros piensan que es un invento de muchos genios, difícil de comprender. comprender. Ambas ideas pueden perjudicar tu aprendizaje. La matemática es lógica y sentido común. Si en una caja pones 10 manzanas y le agregas 5 más, tendrás 15 manzanas. Si manejo un carro que yendo a 100 kilómetros por hora frena en 50 metros, el sentido común me dice que necesito unos 100 metros por adelante, para que en caso de una emergencia tenga tiempo de reaccionar y frenar con tranquilidad. En caso contrario debo bajar la velocidad. Los conocimientos matemáticos son muy útiles para resolver problemas de cuantificación como calcular áreas de terrenos, cantidad de materiales para construcción, estimar el tiempo de producción de un artefacto, etc. Este libro te ofrece una oportunidad para involucrarte en el maravilloso mundo de las ideas matemáticas, donde no hay límites para tu curiosidad, donde puedes explorar, explorar, imaginar, cuestionar, cuestionar, verificar, verificar, proponer, proponer, preguntar, preguntar, responder preguntas desde tu punto de vista, compartir tus inquiei nquietudes y trabajar en equipo. En este texto encontrarás los conocimientos matemáticos siempre asociados a una aplicación práctica que te servirán de guía para que hagas lo mismo con los ejercicios de la Actividad. Además, cuentas con alcances en la columna derecha, que reforzarán, te ayudarán a recordar y te informarán del tema principal. Los cuatro textos van acompañados por un Cuaderno de Trabajo que contienen ejercicios similares a los de la Actividad y otros, seleccionados en tres niveles de dificultad, para que puedas practicar, practicar, reforzar y profundizar tus conocimientos.

3

3

ESTRUCTURA DEL TEXTO Sección inicial de la unidad Imagen motivadora Fotografía ilustrada que conecta una situación real con el tema de aprendizaje.

Número de la unidad Título de la unidad Imagen secundaria Imagen que muestra un detalle relacionado con el tema de la lectura.

Aprendizajes esperados y actitudes Contiene el listado de las capacidades que desarrollarás en la unidad.

Lectura motivadora Explica la relación entre la Matemática y una situación objetiva. Además formula preguntas que propician el análisis y reexión sobre el tema.

Sección central Número de capítulo Título del capítulo Recuperación de saberes previos Plantea situaciones que te servirán de base para iniciar el tema nuevo. Es algo que conoces o has tratado en los capítulos anteriores.

Formalización Contiene las deniciones y conceptos de los términos matemáticos.

Generación del conicto cognitivo Es una pregunta que tendrás que responder con el desarrollo o al terminar el capítulo.

Información complementaria Lecturas, notas, observación, historias, recursos tecnológicos, que contribuyen a reforzar y recrear el tema.

Problemas Plantea una aplicación desarrollada del tema.

Problemas Plantea una aplicación desarrollada del tema.

Actividad Es un conjunto de preguntas de análisis, reexión, de valoración, demostración, cálculo, búsqueda de relaciones, para que desarrolles, individual o colectivamente, con apoyo de tu profesor o tus compañeros.

Proyecto de aprendizaje Título del proyecto de aprendizaje Situación problemática Describe el tema del proyecto, su relación con la Matemática y el modo cómo abordamos en el proyecto.

Propósito del proyecto Expone los objetivos que se pretenden alcanzar con la realización del proyecto.

4

3

Gráfco ilustrado Actividades Contiene las etapas de ejecución del proyecto, paso a paso, y el tiempo que debe demandar cada etapa. Metacognición Son preguntas de reexión sobre los cono cimientos que has adquirido y tu grado de participación en la ejecución del proyecto.

ÍNDICE SECCIÓN INICIAL Capítulo 01:

01

ACTIVIDAD PROYECTO DE APRENDIZAJE

SECCIÓN CENTRAL Números reales

7

Actividad 01

9

10

Actividad 02

12

Capítulo 03: Expresiones algebraicas Polinomios Polinomios especiales

13

Actividad 03

16

Capítulo 04: Multiplicación algebraica Productos notables

17

Actividad 04

19

Capítulo 05: División algebraica I División de polinomios Métodos de división polinomial Teorema del resto o descartes

20

Actividad 05

22

Capítulo 06: División algebraica II Cocientes notables

23

Actividad 06

25

27

Actividad 07

28

29

Actividad 08

30

31

Actividad 09

34

35

Actividad 10

36

37

Actividad 11

39

40

Actividad 12

42

Sistema de los números reales Capítulo 02:

Exponentes y radicales Leyes de exponentes

NÚMEROS REALES Y POLINOMIOS 6

Capítulo 07:

02

Factorización I Factorización por identidades

Capítulo 08:

Factorización II Método del aspa

Capítulo 09:

Factorización III Método de los divisores binómicos

FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES 26

Capítulo 10: Cantidades imaginarias Unidad imaginaria Potencias enteras de la unidad imaginaria Capítulo 11:

Ecuaciones de 2do grado con una incógnita Resolución de la ecuación cuadrática Capítulo 12:

Ecuaciones II

 

Análisis de las raíces de una ecuación cuadrática Propiedades

Inecuaciones I

PROYECTO DE APRENDIZAJE 43 Resolviendo ecuaciones de 2° grado

45

Actividad 13

46

47

Actividad 14

49

50

Actividad 15

51

52

Actividad 16

53

54

Actividad 17

55

Capítulo 18: Relaciones binarias   Relación Propiedades de las relaciones

56

Actividad 18

60

Capítulo 19: Funciones I   Función Función lineal

62

Actividad 19

65

Funciones II

66

Actividad 20

68

69

Actividad 21

70

71

Actividad 22

73

74

Actividad 23

76

77

Actividad 24

79

Capítulo 13:

03

Ecuaciones I

Inecuaciones de 1° grado con una incógnita Capítulo 14:

Inecuaciones II Inecuaciones de 2° grado con una incógnita

Capítulo 15:

Inecuaciones III Inecuaciones fraccionari as

Capítulo 16:

Valor absoluto I Ecuaciones con valor absoluto

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO 44

04

Capítulo 17:

Valor absoluto II Inecuaciones con valor absoluto

Capítulo 20:

Función cuadrática Gráca de la función cuadrática Capítulo 21:

Funciones III Función raíz cuadrada

Capítulo 22:

FUNCIONES

Funciones IV Función valor absoluto

Capítulo 23:

Funciones V Trazado de grácos de funciones

61

Capítulo 24:

Funciones VI Modelación de funciones

3

5

Unidad

01

Automatización industrial

NÚMEROS REALES Y POLINOMIOS AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL La automatización es un sistema en el que las tareas que habitualmente se realizan con operadores humanos son transferidas a elementos tecnológicos mecanizados. Consta principalmente de dos partes, la parte operativa, que son los elementos que hacen que las máquinas realicen las tareas deseadas, y el mando, que consiste esencialmente en un software controlado por una computadora. Una expresión algebraica representa un número que se obtiene sustituyendo las variables por su s valores. Las operaciones indicadas indican qué operaciones se deben realizar con los valores de las variables para obtener el resultado.  tización de proceso  toma ti Esquema de au to

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 APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza Razonamiento y situaciones demostración

Comunica y Comunicación representa matemática

Elabora y usade Resolución estrategias problemas

• Reconoce a qué conjun- • Clasifica las expresio-

• Emplea diversas es-

nes algebraicas. • Describe los polinomios especiales. • Expresa el desarrollo de una expresión • Usa el valor numérico de algebraica como un una expresión algebraica. producto notable. • Identifica los cocientes • Emplea esquemas para notables. dividir polinomios.

trategias para resolver problemas con teoría de exponentes. • Emplea diversas estrategias para realizar operaciones con expresiones algebraicas, productos notables y división algebraica.

to numérico pertenece un número dado. • Reconoce las propiedades de la teoría de exponentes.

6

3

Razona Valoresyy argumenta actitudes • Propone ejemplos re-

ferentes a los sistemas numéricos. • Explica la importancia de la utilización de la teoría de exponentes, las expresiones algebraicas, productos notables, división algebraica y cocientes notables.

01

       O        L        U        T         Í        P        A        C

NÚMEROS REALES  SISTEMA DE LOS NÚMEROS NÚMEROS REALES ¿Los números racionales pueden expresar la medida de cualquier longitud?

¿Cuántos números enteros hay entre –5 y 5?

{–4; –3; ...; 3; 4}

2

Ten Presente

El número cero (0) es la propiedad del conjunto nulo o vacío.

NÚMEROS NATURALES El número es una propiedad de los conjuntos. Estos conjuntos tienen la propiedad de que entre sus elementos se puede establecer una correspondencia de uno a uno. Esta propiedad se llama "número tres" y se simboliza por "3". Así surgen los números naturales en la historia, cuando el hombre comienza hacer corresponder los diversos conjuntos de su entorno con los dedos de sus manos. Al abstraer la propiedad liberó los dedos y se quedó con los nombres y símbolos que hoy conocemos conocemo s como los números naturales. Posteriormente surgió el cero como una propiedad del conjunto vacío.

Algunos autores no consideran el cero como número natural. Si no consideramos el cero como número natural, no tendría sentido la escritura de los números naturales que contienen cero, como 100; 408; etc.

Conjunto de los números naturales: N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}

NÚMEROS ENTEROS

Nota

En N se puede sumar y multiplicar sin problemas, pero al restar, por ejemplo, 7 – 10, no encontramos la solución dentro N. Denimos el opuesto de un número natural distinto de cero como el mismo

número pero con signo (–). Estos números y el N forman el conjunto de los números enteros. Conjunto de los números enteros:

–3; –2; –1; 0;   1; 2; 3; 4; ...} Z = {...;  Z–

cero

Z+

(enter (enteros os negativ negativos) os) (enter (enteros os positiv positivos) os)

NÚMEROS RACIONALES Al dividir 7 entre 10 no resulta entero. Entonces para todo entero a diferente 1 1 de cero, se dene el inverso de a, denotado por , tal que a · = 1.

Fracción y número racional

Toda fracción es racional pero no todo racional es fraccionario. El número 3/7 es fraccionario y es racional. El número 15/5 es racional pero no es fraccionario, puesto que 15/5 = 3 es entero.

a a Por ejemplo, la división de 7 entre 10, se dene como el producto de 7 por el

inverso de 10, es decir: 7÷10 = 7×

1 10

=

7 10

 (Número racional).

Por lo tanto, los números racionales son todos los que se pueden expresar como la división de un entero entre otro diferente de cero.  a

Conjunto de los números racionales: Q = { / a, b Z  b  0} b

3

7

I   B  I   M E   S  T  R  E 

CAPÍTULO 01

NÚMEROS REALES

NÚMEROS IRRACIONALES

   E    R    T    S    E    M    I    B    I

En un triángulo rectángulo de catetos 1, la hipotenusa resulta 2 , por el teorema de Pitágoras. El número 2  no es racio   2 nal puesto que no existen dos enteros que divididos den 2 = 1,414213562..., A con innitas cifras decimales no periódi0 1 cas. Por lo tanto, 2  se llama, irracional. Algunos números irracionales: 2 , p, 3 , e, log7, ...

B 1 1

2

2

NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales ( R) está conformado por la unión del con junto de los números racionales (Q) y el de los irracionales (I). Conjunto de los números reales: R = Q  I.

 SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES El sistema de los números reales consta de R dotado de las operaciones de adición y multiplicación y la relación de orden mayor que (>), sujetos a un conjunto de propiedades. Problema 1:

Demostración:

Demuestra que el nú-

15 =

mero 15 es racional.

 15 1

. El número 15 se puede expresar como

la división de dos enteros, entonces es racional.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL El valor absoluto de un número real se

 x si x  0 |x| =    –x si x 1   

x N

negativo

x0 = 1

x–1 =

x R

n factores

• Exponente

 x–n =

x  0

fraccionario

1

m n

x x

• 3–2 =

1 3

2

=

  (negativo)par = positivo

=x

m n

 (positivo)impar = positivo

n N  n  2

•

9

45 =

(negativo)impar = negativo •

3

1

n  0

o

Ejemplos:

• (3481)0 = 1

5

43

TEOREMAS

 

1. Bases iguales

(–E)0   –(E)0



 –1

1 •

(–E)par   –(E)par



positivo   negativo −n

x

xn  xm = xn + m

x

n

n

a     b   •      =   

= xn – m x  0

m

 b  

 a  

Ejemplo:

Problema 1:

−

Solución:

Si xy = 5, calcula:

x3 y6 x 6 y 3 ⋅

⋅

⋅

x2 y4 x 4 y 2

( x 3 y 6 )( x 6 y 3 )

⋅

( x 2 y 4 )( x 4 y 2 )

⋅

⋅

x3 x6 y 6 y 3 ⋅

=

⋅

⋅

x2 x4 y 4 y 2 ⋅

⋅

⋅

=

x9y9 x6 y6

=

( xy)9 ( xy)6

= (xy)9 – 6 = (xy)3 = (5)3 = 125 Rpta.: 125

2. Potencia y raíz de raíz

10

• (xm)n = (xn)m = xmn

• {[(xm)n] p}q = xmnpq

• (xm yn z p)q = xmq ynq z pq

•

3

m n

x

=

mn

x

0n = 0

  (positivo)par = positivo

n m x

n

1n = 1

x = n xm

1

x  0, n N

• 53 = 5  5  5 = 125

a1 = a

 3   2 =  7  2        7    3  

EXPONENTES Y RADICALES

Problema 2:

CAPÍTULO 02

Solución:

Si xy = 3, calcula:

x yx x yz y xy y − xz

x yx + yz y xy− xz x yz y − xz

( x y )x + z ( y x )y − z ( x − y ⋅ y x )− z

2

=

Ten Presente

x yz y − xz

= x yx yxy = (xy)xy = 33 = 27 Rpta.: 27

p

n p

( x m )n  ≠ x m

I   B  I   M E   S  T  R  E 

3. Exponente común

(xyz)n = xn ynzn

n xy

= n x n y

n

 x   x n ,  y  0   y   =  y n    

n

x

n

=

x

 ,  y  0

n  y

 y

Datos Problema 3:

Rolución:

Si abc = 2 Calcula:

a3 b 5c 5 a 5 c 5 ⋅

3

a a 3 (bc b c )5 ( ac) 5 3 ( ac)−2 (bc) −3 ( ba) −5

3

⋅

b2

3 =

=

2

−

c

−

2

⋅

b

3

−

c

⋅

−

a15 b 13c 15

3

b

3 ⋅

15 13 15 2 a 3 b 3 c 3 b3

−

5

a

5

b2

=

=

a15

3

13 + 2 a c b 3 5 5

a

b 13

=

10 a 8 b 5c 10

3

−

3

b2

=

3 ⋅

3

7

−

b

8

−

c 15

(abc )5

3

c

3 5

⋅

b2

−

b2

=

2 5 = 32

Rpta.: 32

Exponentes El concepto básico de los exponentes se remonta al menos hasta la antigua Grecia, cuando Euclides usó el término "potencia" para indicar el número de veces que un número debía multiplicarse por sí mismo.

4. Radicales sucesivos n

x

m

y

 p

z

=

n

x

nm

y

mnp

z

4

•

x3 y z =

n

x a ÷ xb ÷ x c

x6 y

24

z

Regla práctica para bases iguales n

=

m

 p

x a xb xc

nmp

am x(  am

+

b ) p+c

=

Problema 4:

Solución:

Reduce la expresión:

 24 8

 x 3 3 x 2 4 x  3  x 2 ÷ x 3 ÷ 4 x 2

 13   

8 x( 3⋅3+ 2) 4+1  13

 24   x( 2⋅2− 3) 4+ 2 

 p

m

nmp

  24

= 

am x(  am

−

b ) p+c

8 x 45  13

 24 6 x 

8 x 45  13

  =  24 6   x 

8 8

=  24 x 39  13

39 8   39  13 ⋅ =  x 24  = x 24 13 = x

Rpta.: x

3

11

CAPÍTULO 02

EXPONENTES Y RADICALES

Problema 5:

Problema 6:

n+1 n+2 Reduce E = 4 n  + n4+ 1 4  + 4

Simplica el valor de la expresión: 8×9×220 N = 30 28×310×208

Solución:

Descomponiendo y factorizando.    E    R    T    S    E    M    I    B    I

E= 4

·41 + 4n·42

n

4  + 4 n

n

·41

Solución:

(4 + 42)

 = 4 n 4 (1 + 4) n

Descomponiendo y factorizando. 8×32×220 28×38×58×32×220 N = (2×3×5)  = 28×310×(22×5)8 28×310×216×58

Reduciendo:

28 10 8 = 224 ×310×5 8  = 24 = 16 2 ×3 ×5

n 2 2 E = 4 n(4 + 4 )  = 4 + 4  = 4  E = 2 4 (1 + 4) 1+4

Rpta.: 16

Rpta.: 2

 Actividad 02 02 1

Resuelve y  expresa  cada

operación en la base

indicada. a)

24 3 ⋅ 16 4

125 ⋅

 b)

2

2 3

25

6

Simplifca

8 +

5

516

7

Reduce:

x⋅ x x

x

⋅

 en base 5

M=

0 , 25 4

−2

−1

b)

4

2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 2 x − 3 + 2 x − 2 + 2 x −1 + 2 x

8

8 3

4

625

Reduce cada expresión:

a)

Calcula el valor de

⋅

 en base 2

( 48)3 3

5

5 2

Reduce aplicando propiedades de potenciación:

Calcula el valor de:

M=

1410 ⋅ 158 ⋅ 212 ⋅ 10 4 14 4 ⋅ 35 5 ⋅ 27 3 ⋅ 343

10 factores 644 744  8

E=

x 2 ⋅ x 2 ⋅ x 2 ... x 2 3 3 3 x34 ... x ⋅ x42 ⋅ x44  14  3

9

5 factores

Reduce la expresión y calcula su valor: a −b

121a

+

a −b

4

Simplifca y calcula el valor de la expresión: n+3 n+1 A = 5 n+2 + 5 n 5  – 5

12

3

10

Reduce la expresión

33 ⋅

a−b

121b

11a + b

x3 x 4 x 6

x −3 , 5

03

       O        L        U        T         Í        P        A        C

EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ¿Cuál de estas exex presiones algebraicas es irracional?

La expresión: (2x + 3 y)2, ¿es un binomio o un trinomio?

2x3 + 3 x3 – 2x

I   B  I   M E   S  T  R  E 

3x3 – 2 3 x + 5x

Un polinomio es toda expresión algebraica racional entera en la que sus coecientes indican el campo en el que está denido y sus variables pue den tomar cualquier valor numérico.

2 7

x2 – 3x denido en el campo racional.

La expresión general de un polinomio en una variable es:

• M(x) = x3 + 3x2 – 2 x denido en el campo real. •

N(x) = 2x4 – 3x3 + 2x–1

no es polinomio, por

Ten Presente

Los polinomios pueden ser de 1 o más variables.

• P(x) = 2x3 – 3x2 + 7 denido en el campo de los enteros. • Q(x) = 5x4 –

2

P(x) = a0xn + a1xn–1+...+ an–1x + an

contener x–1.

Donde: n N: grado del polinomio

VALOR NUMÉRICO

a0: coeciente principal

Calculemos el valor de P(x) = (x – 3)3 + (x – 1)2  para x = 5

an: término independiente a0; a1; ...; an: coecientes

Sustituimos x por 5: P(5) = (5 – 3)3 + (5 – 1)2  P(5) = 24. 



8

16

El valor numérico de un polinomio es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por determinados valores numéricos. Problema 1:

Una partícula se mueve en línea recta según la expresión P( t) = 2t3 – 4t2 + 2, en metros donde t son los segundos que pasa desde el inicio del movimiento. ¿Qué distancia se desplazada entre el tercer y el quinto segundo?

Ejemplo: Grado

P(x) = 3x4 – 5x2 + 2x + 8 Coeciente principal

Coecientes

Término independiente

Polinomio Polin omio mónico

Solución:

Un polinomio es mónico si su

Hasta el 3° segundo: P(3) = 2(3)3 – 4(3)2 + 2  P(3) = 20

coeciente principal es 1.

Hasta el 5° segundo: P(5) = 2(5)3 – 4(5)2 + 2  P(5) = 152

P(x) = x3 – 3x2 – 5x es mónico

Entre el 3° y 5° segundo: 152 – 20 = 132 132 m

5s

152 m 20 m 3s 132 m



Q(x) = 3x3 + x2 – x + 3 no es

mónico

CAMBIO DE VARIABLE Consiste en reemplazar las variables del polinomio por otras variables o expresiones. • P(x) = x2 + 2x – 5  P(x + 1) = (x + 1)2 + 2(x + 1) – 5

3

13

CAPÍTULO 03

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Problema 2:

P( y 5(8) – 3 = 37  y) = 5 y – 3  P(8) = 5(8)

Si P(x + 2) = 5x + 7, calcula P(8).

Método 2:

Solución:

P( x + 2 ) = 5x + 7 

8

Método 1:    E    R    T    S    E    M    I    B    I

P(6 + 2) = 5(6) + 7  P(8) = 37

Hacemos x + 2 = y  x = y – 2 Luego: P( y  y) = 5( y  y – 2) + 7

2

Ten Presente

Rpta.: 37

Términos semejantes

 SUMA DE COEFICIENTES  Y   Y TÉRMINO TÉRMINO INDEPENDIENTE   P(1) = 7(1) 3 + 5(1) – 10  P(1) = 7 + 5 – 10 = 2   P(x) = 7x3 + 5x – 10   3

Sea:

P(0) = 7(0) + 5(0) – 10  P(0) = –10

Suma de

coecientes Término independiente

Dos términos no nulos son semejantes si tienen las mismas variables cada una con el mismo exponente. 3x2 y5 y –8 y5 x2 son semejantes 5x2 y5 y 3x5 y2 no son semejantes

Se observa que: Suma de coecientes:  coef. = P(1)

Término independiente: T.I. = P(0) Problema 3: Calcula

Solución:

 coef. = P(1) = 6(1 – 2) 4 – 2(1 – 3)2  coef. = –2

la  coef. y el

T.I. de:





6

8

T.I. = P(0) = 6(0 – 2)4 – 2(0 – 3)2  T.I. = 78

P(x) = 6(x – 2)4 – 2(x – 3) 3)2





96

18

Rpta.: –2 y 78

GRADO DE UN POLINOMIO

2

Ten Presente

Grado relativo.- El grado relativo respecto a una variable es el mayor ex-

ponente que muestra la variable en el polinomio.

El grado del término independiente de un polinomio no nulo es cero.

  GRx = 5 (G.R. respeto a x)   En P(x, y) = 3x2 y 7 – 2x3 y + 5x 5 y6  

GR y = 7 (G.R. respeto a y)

P(x) = 3x3 + 5x2 + 7 





GA = 3 GA = 2 GA = 0

Grado absoluto.- Para un monomio es la suma de los grados relativos.

Para un multinomio es el grado del término con mayor grado absoluto. GR y

GRx

P(x, y) = 2x2 y5 – x4 y4  + x5 y  GA(P) = 8 

GA = 7





GA = 8

GA = 6

Problema 4:

Solución:

Si el grado de P(x, y) = 3x2 y3 – 5x2 yn es 6, calcula el grado de Q(x, y) = x2n y2 + yn+3 x2

P(x, y) = 3x2 y3  – 5x2 yn 

GA = 5



 2 + n = 6

GA = 2 + n

7 x2 Q(x, y) =  x8 y2 +  y 

n = 4

 GA(Q) = 10

GA = 10 GA = 9

Rpta.: 10

14

3

Cuando no se especica el tipo

de grado se sobreentiende que se trata del grado absoluto.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CAPÍTULO 03

POLINOMIOS ESPECIALES Los polinomios especiales se distinguen por alguna característica especial.

POLINOMIO ORDENADO P(x) = 3 + x2 – 2x3 + x4

ordenado ascendentemente

Q(x) = x5 + 3x3 – x + 2

ordenado descendentemente

Los exponentes de sus variables están ordenados.

           

I   B  I   M E   S  T  R  E 

POLINOMIO COMPLETO P(x) = x4 – 2x + 3 + x2 – 3x3

Este polinomio de grado 4 es completo, porque contiene todos los términos desde grado cero hasta el grado 4.

Ordenando: P(x) = x4 – 3x3 + x2 – 2x + 3 Problema 5:

Solución:

Ordena descendentemente:

Tiene 3 términos, y, por ser completo, es de grado 2. Entonces los exponentes son 0; 1 y 2. Esto es posible sólo si n = 0. Luego: P(x) = 4x2 – 5x + 2 (ordenado)

P(x) = 4x2–n – 5xn+1 + 2xn (n Z) sabiendo que es completo.

POLINOMIO HOMOGÉNEO P(x, y) = 2x5 y  – 3x4 y2 + x3 y3 

GA = 6



GA = 6



GA = 6

Son polinomios de más de una varia ble y más de un término, en el que cada término tiene el mismo grado.

Datos

Problema 6: Calcula m + n para que P( x,  y) = xn ym–1 – mx3–n ym+2 + nxm y4–m sea ho-

mogéneo. Solución:

 + m – 1 = 3 – n + m + 2 n=3

• n

•

3 – n + m + 2 = m + 4 – m 3 – 3 + m + 2 = 4  m = 2

 m + n = 2 + 3 = 5 Rpta.: 5

POLINOMIOS IDÉNTICOS P(x, y) = x2(2 y – y2)

           

P(2; 1) = 22[2(1) – 12] = 4

Q(x, y) = (x2 – x2 y) y  y + x2 y

P(2; 1) = (22 – 22 · 1)1 + 22 · 1 = 4

Gráca de un polinomio de grado 7 en coordenadas cartesianas.

P(x, y)  Q(x, y) idéntico

Cualesquiera sean los valores que demos a x e y, los polinomios P y Q tienen el mismo valor numérico. P y Q son idénticos. Problema 7: Determine a + b + c, si (a + 2)x4 – (1 – b)x2 + 6x

 cx + 5x4 + 8x2.

Solución:

 + 2 = 5  a = 3

• a

•

– (1 – b) = 8  b = 9

• c

 = 6  a + b + c = 18 18 Rpta.: 18 3

15

CAPÍTULO 03

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO 2

Ten Presente

Sea P(x) = (x + 3)2 – (x – 1)2 – 8(x + 1)  P(3) = (3 + 3) 2 – (3 – 1)2 – 8(3 + 1) = 0 





36

4

32

Cualesquiera sea el valor que demos a x, P(x) resulta siempre cero. P( x) es un polinomio idénticamente nulo. P(x)  0    E    R    T    S    E    M    I    B    I

Teorema 1 Para que dos polinomios: P(x) = a0xn + a1xn–1 +...+ an–1x + an Q(x) = b0xn + b1xn–1 +...+ bn–1x + bn

Problema 8: Evalúa las condiciones para que P(x) = (a + 2)x3 – (b + 3)x2 sea idéntica-

sean idénticos se debe cumplir:

mente nulo.

a0 = b0, a1 = b1, ..., an = bn

Solución: •

P(x)  0  a + 2 = 0  – (b + 3) = 0  a = –2  b = –3

Teorema 2

Rpta.: a debe ser –2 y b, –3

El polinomio: P(x) = a0xn + a1xn–1 +...+ an–1x + an es idénticamente nulo, siempre que: a0 = a1 = a2 = ... = an = 0

 Actividad 03 03 1

Clasifca las siguientes expresiones algebraicas:

6

Si el grado del polinomio: P(x) = xn–1 + 4xn – 3 + 5xn – 6 es 5,

a) C(x; y) = x4 y3 z–2 – 3 x3  y

halla su término independiente. 2/3

b) E(x) =

2

x

2/ 3 4

x x

⋅

x3

7

Si el grado absoluto de

4

9

Halla el valor de m para que la expresión: 5

a

m

−2

( a2 ) 

( a ) 9  m

16

m

2−1

 

2/5

25−2

3

−1

sea de 8° grado.

3

x 3 −b y 9

Halla a + b + c,

si P(x) = 1 + axa + bxb + cxc

Los polinomios P(x) = (a – 1)x2 + 3x y Q(x) = 2x2 – (b + 1)x son idénticos. Calcula ba.

n el polinomio P(x; y) = xm ym – 1 – xm + 1 ym – 2 se tiene GRx = 5. Halla el GAP. E

10 5

1

es un polinomio completo y ordenado.

P(x) = ax2a – 1 + bx2a – 3 + cx2a – 5 es 13, calcula a.

2x a y7 −

es homogéneo. Halla a + b.

Si t1 = 4x2a – 1 y6 y t2 = 3 x13 yb – 2 son semejantes, calcula el valor de 5a + b. 8

3

El polinomio P(x; y) =

Calcula E =

a −b

c−b

 si el polinomio

P(x) = a(x + 2)(x – 1) + (x + b)(x + 1) + 3x + c, es idénticamente nulo.

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA 

04

       O        L        U        T         Í        P        A        C

PRODUCTOS NOTABLES ¿Cómo se multiplica (a + b)(c + d)?

¿Qué es una

identidad?

(a + b) (c + d) Recuerda

ac + ad + bc + bd

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

(a + b)(a – b) = a2 – b2

(x + a)(x + b) = x2 + xa + xb + ab  (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

Ejemplos:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

• (x + 5)(x + 7) = x2 + 12x + 35

• (x – 8)(x + 3) = x2 – 5x – 24

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

• (x + 8)(x – 3) = x2 + 5x – 24

• (x – 5)(x – 6) = x2 – 11x + 30

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

Problema 1: Reduce

(x2 + 9x – 3)(x2 + 9x + 4) – (x2 + 9x)2.

Solución:

Para x2 + 9x = a: (a – 3)(a + 4) – a2 = a2  + a – 12 – a2  = a – 12 Reponiendo: a – 12 = x2 + 9x – 12 Rpta.: x2 + 9x – 12 2

Ten Presente

IDENTIDADES TRINÓMICAS (IDENTIDAD DE ARGAN'D) (x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = [(x2 + y2) + xy][(x2 + y2) – xy]

Identidad

= (x2 + y2)2 – (xy)2 = (x2)2 + 2x2 y2 + ( y  y2)2 – x2 y2 = x4 + x2 y2 + y4 De donde: (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2 y2 + y4 (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1

Una identidad algebraica es una igualdad de expresiones algebraicas, que siempre es verdadera cualquiera sean los valores que asuman las variables. Ejemplo:

(x2n + xn yn + y2n) (x2n – xn yn + y2n) = x4n + x2n y2n + y4n

En general:

a(a + b) = a2 + ab

Identidad de Lagrange

Problema 2: Reduce la expresión (x4 – x2 + 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1).

(a2 + b2)(x2 + y2)

Solución:

(x4 – x2 + 1)( 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = (x4 – x2 + 1)(x4 + x2 + 1)2 = x8 + x4 + 1

= (ax + by)2 + (ay – bx)2



Rpta.: x8 + x4 + 1

3

17

I   B  I   M E   S  T  R  E 

CAPÍTULO 04

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA  

TRINOMIO AL CUBO (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)

2

Ten Presente

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc = a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc    E    R    T    S    E    M    I    B    I

Identidad de Gauss Problema 3:

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)  (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

Si: a + b + c = 5 y (a + b + c)(ab + bc + ac) = abc, calcula a3 + b3 + c3. Solución:

Se sabe que: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3( 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc 

53 = a3 + b3 + c3 + 3abc – 3abc

Reemplazando:

Rpta.: 125

IGUALDADES CONDICIONALES    a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac)     a3 + b3 + c3 = 3abc   2 2 2 2  (ab + bc + ac)  = (ab)  + (bc)  + (ac)   2 (a  + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4)

Problema 4: Demuestra que, si a + b + c = 0

 (ab + bc + ac)2 = a2b2 + b2c2 + a2c2.

Demostración:

Recordemos que: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) Entonces:

(ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 + 2(abbc + abac + bcac) (ab + bc + ac)2 = a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2(abc abcdd + abc abcaa + abc abccc) (ab + bc + ac)2 = a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2abc(a + b + c)



0

 (ab + bc + ac)2 = a2b2 + b2c2 + a2c2

L.q.q.d. Problema 5:

Si a + b + c = 0, calcula:

a(b + c ) 2 + b( a + c) 2 + c(a + b) 2 a3 + b 3 + c 3

.

Solución:

Si a + b + c = 0 

  a + b = –c   a + c = –b      b + c = –a  

 (a + b)2 = (–c)2  (a + b)2 = c2  (a + c)2 = (–b)2  (a + c)2 = b2  (b + c)2 = (–a)2  (b + c)2 = a2

Reemplazando en la expresión:

aa 2 a3

+ bb +b

2

3

+ cc +c

3

2

=

a3

+b

3

+c

3

a3

+b

3

+c

3

=1 Rpta.: 1

18

3

 1 2

(a + b + c) 

[(a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2]

 a3 + b3 + c3 = 125

Si a + b + c = 0 

a3 + b3 + c3 – 3abc =

MULTIPLICACIÓN MUL TIPLICACIÓN ALGEBRAICA 

CAPÍTULO 04

Problema 6:

Problema 7:

Reduce la expresión:

Señala el valor numérico de:

M = 32 (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 1

E = (x2 + 5x + 7)2 – (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 20 x para x = 2 .

Solución:

M=

Solución:

32 (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 1

22 – 1 24 – 1 28 – 1 216 – 1 232 – 1 M = 32 232 – 1 + 1  = 32 232  = 2 Rpta.: 2

E = (x2 + 5x + 7)2 – [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] – 20x E = (x2 + 5x + 7)2 – [x2 + 5x + 4][x2 + 5x + 6] – 20x Haciendo x2 + 5x = a E = (a + 7)2 – (a + 4)(a + 6) – 20x E = a2 + 14a + 49 – a2 – 10a – 24 – 20x E = 4a + 25 – 20 x E = 4(x2 + 5x) + 25 – 20 x E = 4x2 + 25 = 4( 2 )2 + 25 = 8 + 25  E = 33 Rpta.: 33

 Actividad 04 04 1

Relaciona las expresiones equivalentes:

1.

x2 – 6x – 7

b) (2x – 3)(2x + 3)

2.

x2 + 6x + 8

c)

3.

4x2 – 9

a)

(x + 4)(x + 2)

(x – 7)(x + 1)

6

  Sean x e y números reales de modo que: x2 + y2 + 5 = 4x + 2 y. Calcula el valor de x3 + y3.

7

Si a + b + c  = 10 y a2 + b2 + c2 = 10, calcula ab + ac + bc.

2

Expresa algebraicamente el área de cada gura: 8

3x – 2

2x + 3 2x + 3 3

Calcula el valor de

A= 3x – 2

16

E

a+b

Determina el valor de 3 3

si 5

3a+3b

=

3

9

 a 3

+b

3

+c

3

3 ab( a + b)

−

Reduce la expresión:

A = (x + 2) (x – 2) (x2 – 2x + 4) (x2 + 2x + 4) + 64

 si:

E = 24(52 + 1)(54 + 1)(58 + 1) + 1 4

Si a + b + c = 0 , calcula el valor de:

,

3  a5 b5 = 1

10

Si a + b + c = 5; a2 + b2 + c2 = 7

y a3 + b3 + c3 = 8, calcula

abc ab + bc + ac

.

Señala el valor numérico de:

M = (x4 – x2 + 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) para x = 4 3 . 3

19

I   B  I   M E   S  T  R  E 

05

       O        L        U        T         Í        P        A        C

DIVISIÓN ALGEBRAICA I

DIVISIÓN DE POLINOMIOS ¿Cuál es el polinomio que satisface la identidad?

   E    R    T    S    E    M    I    B    I

¿Es posible calcular el resto sin efectuar la división de polinomios?

( x  x + 1)3 + ( x  x – 1)3 = 2 xP( x  x)

2

Ten Presente

dividendo

Identidad fundamental:

divisor 

D(x)

d(x)

R(x)

q(x)

  [D(x)]º  [d(x)]º   D(x) = d(x) q(x) + R(x)   [R(x)]º < [d(x)]º

cociente

resto o residuo

Clases de división División exacta (R(x)  0) D(x) = d(x)q(x)

Problema 1:

Solución:

Calcule el resto de la división: 3x 3

2 − 6x

+ 2x − 2

x2 − 3x + 1

3

División inexacta (R(x) 2

3x  – 6x  + 2x – 2 –3x3 + 9x2 – 3x 3x 2 – x – 2 –3x2 + 9x – 3 8x – 5

≡

0)

2

x  – 3x + 1 3x + 3

D(x)

d(x)

R(x)

q(x)

D(x) = d(x)q(x) + R(x)

Resto

Propiedades de grado

MÉTODOS DE DIVISIÓN POLINOMIAL

[q(x)]º = [D(x)]º – [d(x)]º

MÉTODO DE RUFFINI Caso 1.- Para

divisores de la for-

ma:

2 xa

x = –3

Véase a la derecha la división de P(x) = 2x4 + 3x3 – 8x2 + 5x + 1 entre x + 3.

2

3

–8 –8

5

1

–6

9

–3

–6

–3

1

2

–5

cociente

resto

2x3 – 3x2 + x + 2

R = –5

Problema 2:

Solución:

Calcula el valor de a para que la división:

Divisor: x + 4 = 0  x = –4

2x3

+

5x 2

− 10 x +

x+

2a

4

2 x = –4

2

sea exacta.

[R(x)]ºmáx = [d(x)]° – 1

Divisor: x + 3 = 0  x = –3

5

–10

2a

–8

12

–8

–3

2

0

2a – 8 = 0  a = 4 Rpta.: 4

20

3

[P(x)]º = grado de P(x).

DIVISIÓN ALGEBRAICA I

Caso 2.- Para divisores de la forma:

CAPÍTULO 05

Divisor: 2x + 3 = 0  x = –

ax  b

6

5

–4

6

–9

6

–3

6

–4

2

3

3

–2

1

–3

Véase a la derecha la división de: P(x) = 6x3 + 5x2 – 4x + 6 entre 2x + 3.

2

Obsérvese que el cociente se obtiene dividiendo el cociente de la primera etapa

÷2

2

2

cociente

resto

3x2 – 2x + 1

R = 3

 3

entre el denominador de – .

 3

Personaje

MÉTODO DE HORNER Los coecientes de los elementos de

Esquema de Horner 

la división se completan, ordenan y se distribuyen según el esquema de la derecha. Veamos la división de: P(x) = 6x4 + x3 + 5x2 – 10

entre

÷

3 –2 4

La línea discontinua se traza después de dos coecientes del dividendo, contando de derecha a izquierda, porque el divisor es de grado 2.

÷ –3

6

2

Calcula el resto de la división: 3 x3

x2 − 5x + 8 3x2 − 5x + 2 +

(1786 – 1837)

Matemático inglés. A los 14 años se convirtió en maestro, cuatro años después se convirtió en director de la misma escuela en que estudió.

resto

cociente

3x2 + 2x – 4.

Problema 3:

William George Horner

d D i v i d e n d o i v i s o r 

÷ 15

1 –4

5 8 –2

–1

5

0

–10

4 –10

20

–14

10

Solución:

3 5 –2

3

1

1 5 2

–5 –2 10 3

8

Como investigador, sólo tiene en su haber una contribución, el llamado "método Horner". Sin embargo, Horner no fue de los primeros en descubrir este método ya que Zhu Shijie lo había empleado 500 años antes. (http://mardel.bligoo.pe/metodo-de-horner)

–4 4

R = 3x + 4

resto

TEOREMA DEL RESTO O DE DESCARTES Supóngase que queremos hallar el resto de P(x) x – a dividir P(x) entre x – a. Entonces dividimos: R q(x) Si sustituimos x = a en (1), tenemos:  P(x) = (x – a) q(x) + R (1) Se observa que: P(a) = (a – a) q(a) + R 0 El resto de dividir P(x) entre x – a es P(a) P(a) = R 

Problema 4:

Solución:

Calcula el resto de la división

Divisor x – 4  R = P(4)

P(x) = (x – 3)5 – (x – 5)4 + 3x – 2

P(4) = (4 – 3) 5 – (4 – 5) 4 + 3(4) – 2

entre x – 4.

P(4) = 13 – (–1) 4 + 12 – 2 = 10 Rpta.: 10 3

21

I   B  I   M E   S  T  R  E 

CAPÍTULO 05

DIVISIÓN ALGEBRAICA I

Problema 5:

Problema 6:

Halla el valor de "a" y "b" para que la división:

Halla el resto de:

(x4 + 4x3 + 6x2 + ax + b) ÷ (x2 + 2x + 1) sea exacta.

(x + 2)(x + 3) + ( x + 6)(x - 1) x2 + 5x - 2

Solución:

x4 + 4x3 + 6x2 + ax + b x2 + 2x + 1 x4 + 2x3 + x2 x2 + 2x + 1 2x3 + 5x2 + ax 2x3 + 4x2 + 2x x2 + (a – 2)x + b x2 + 2x + 1 r(x) = 0  (a – 4)x + (b – 1)

   E    R    T    S    E    M    I    B    I

a – 4 = 0

Solución:

Por el teorema del resto: x2 + 5x – 2 = 0  x2 + 5x = 2 Entonces: r = (x + 2)(x + 3) + (x + 6)(x – 1) r = (x2 + 5x + 6) + (x2 + 5x – 6) Reemplazando: r = (2 + 6) + (2 – 6) r = 8 + (–4) r = 4

 a = 4 ; b – 1 = 0  b = 1 Rpta.: 4 y 1

Rpta.: 4

 Actividad 05 05 1

Divide e indica el cociente y residuo en:

6

Al dividir 2x3 – x2 + 3x – 2 entre x2 – k  se   se obtiene un residuo cuyo término independiente es 2. Halla k .

7

El polinomio D(x) = 4x4 – 3x3 + 2x2 – x  + 6 se divide entre un polinomio d(x) cuya suma de coecientes es 8. Si el residuo es R(x) = 4x2 – 6x + 2, halla la suma de coecientes del polinomio cociente.

8

Encuentra el residuo de dividir:

(18x3 – 9x2 + 7x – 9) ÷ (6 x2 – 5x + 3) 2

Obtenga la suma de coecientes del cociente de

la siguiente división: (3x4 + 2) ÷ ( x + 2) 3

Sabiendo que el resto de la división: 8 x 5 + 4 x 3 + m x 2 + nx + p 2x 3 + x 2 + 3

(2x44 + 3x37 – 3x8 + 7) ÷ (x7 – 1)

es R(x) = 5x2 – 3x – 7, calcula m + np. 9 4

5

Halla el resto de

Al dividir

6x4

−

( x − 4)80

+

( x − 4)60

x−5

4x 3

+x

2

+ 10x − 2a

3x + 1

Se obtiene resto –1. Halla a.

22

3

+

1

.

Halla el resto de la división: (5 x 4

+

7x2

+

9)

n

−

5x

10

4

(5 x 4 +

7x

+

2

7x2

+

+

7 )2

n+

1

+

15

8

Determina a, b, c si el polinomio:

x5 – 2x4 – 6x3 + ax2 + bx + c es divisible por

(x – 1)(x – 3)(x + 1).

06

       O        L        U        T         Í        P        A        C

DIVISIÓN ALGEBRAICA II COCIENTES NOTABLES (C.N.) ¿Cuál es el desarrollo de las expresiones?

Se puede calcular el coe ciente del término x24 y25 del cociente de ( x50 – y50)÷(x – y) sin efectuar la división?

 x2 + y2

I   B  I   M E   S  T  R  E 

 x3 + y3  x3 – y3

Los cocientes de estas 4 formas de división se pueden calcular sin efectuar la división, por eso se llaman cocientes notables.

xn − yn x−y

 –     –   

,

xn + yn x+y

,

xn

 +    +  

−

yn

,

xn

+

yn

x+y

x−y

 –     +   

 +    –   

Por eso no todas ellas son exactas. Veamos una forma práctica de averiguar cuáles son exactas y qué forma tiene el respectivo cociente. 1. Forma   –    : –   

  xn − yn    exacto  n N, x2 − y2   x−y 2 2 x  – y  = (x + y)(x – y)  = x + y n  2.    x−y    Signos del   x3 − y3   3 3 2 2 2 2 x – y = (x – y)(x + xy + y )  = x + xy + y cociente: + + + ... + x−y

+ 2. Forma   +   :   

xn + yn

x3 + y3

x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) 

x+y

= x2 – xy + y2

3. Forma   –    : +   x2 – y2 = (x + y)(x – y)

4. Forma  +  :  –   

 exacto si n es impar.  Signo del cociente: + – + – ... + x+y

xn

+

yn

x−y



x2

2 −y

x+y

= x – y

  xn − yn     x + y         

 exacto si n es par.  Signo del cociente: + – + – ... –

 nunca es exacto para n N y n  2.

Observación El cociente de

Problema 1:

Solución:

¿Cuál es el mínimo valor que pue3n+2 3n+2 de tomar n para que x  + y x + y sea un cociente notable exacto?

3n + 2 impar y 3n + 2  2

xn ± y n x±y

siempre tiene n términos.

impar

Mínimo valor de n es uno. Rpta.: 1

3

23

CAPÍTULO 06

DIVISIÓN ALGEBRAICA II

TÉRMINO GENERAL DE UN COCIENTE NOTABLE x2 − y2 x−y

   E    R    T    S    E    M    I    B    I

x3 + y3 x+y

xn ± yn

= xn–1  xn–2 y + xn–3 y3 – ...  yn–1   x−y = x + y       Divisor de la forma x – y: Divisor de la forma x + y: +1 xn–k yk ––11 = x2 – xy + y2   tk  = xn–k yk ––11 tk  = (–1) k +1     n, k N, n  k 

Problema 2:

Solución: +1 xn–k yk ––11 Divisor de la forma ( x + y)  tk = (–1)k +1

calcula t30 + t51 en x

84

−

y

t30 = (–1) 31x84–30 y30–1  54 29 33 50  t30 + t51 = –x  y  + x  y 52 84–51 51–1 t51 = (–1) x  y  

84

x+y

.

Problema 3:

Demostración:

Demuestre que la división

Es suciente demostrar que el residuo no es

xn

+

yn

x−y

 es inexacta.

cero. Para ello usaremos el T. del resto. x – y = 0

El cociente notable de la

 y)  x = y  R = P( y

P( y  y) = yn + yn

 R = 2 yn  0,  n N, n  0

Las divisiones de esta forma resultan exactas siempre que: =

a

n b

= k 

Solución:

¿Qué valor debe tener n

para que

x

3n+ 3

x3

−

−

y 16

3n + 3 3

y2

16 =

2

n + 1 = 8

sea un C.N.?

 n = 7 Rpta.: 7

Problema 5:

Solución:

Si al dividir (xa –  yb) entre (x –  y4) se obtiene un cociente notable de 8 términos, halla a + b.

xa – yb x – y4

 a = b =8 1 4  a = 8 ∧ b = 32

 a + b = 8 + 32 = 40 Rpta.: 40

24

3

xn – yn x–y

 b) Un polinomio de n términos completo y ordenado con respecto a ambas variables.

Número de términos del C.N.

Problema 4:

forma:

es: a) Un polinomio homogéneo de grado de homogeneidad (n – 1).

 x m ± y n Divisiones de la forma a  x ± y b

m

Datos

DIVISIÓN ALGEBRAICA II

Problema 6:

Si el cuarto término del desarrollo de es x3 yn, halla (m – n).

 – x – y

xm

 ym

CAPÍTULO 06

Problema 7: Halla n + a en el cociente notable

xn – 64  = x5 + 2x4 + ..... x – a

Solución: Solución:

Del dato:  = 4) tk  = xm–k  yk ––11 (k  = x3 yn = xm–4 y4–1

Del exponente del primer término: 5 = n – 1  n = 6 Del desarrollo del segundo término se deduce que: a = 2

Comparando exponentes: n = 4 – 1  n = 3 m – 4 = 3  m = 7 Luego: m – n = 7 – 3 = 4

Finalmente: T = n + a = 6 + 2  T = 8 Rpta.: 8

Rpta.: 4

 Actividad 06 06 1

Identifca los cocientes notables exactos:

a. c.

x4 − y4

x 3 − 27 x+3

b.

x−y

x6 + 26 x+2

6

x5 − y5

d.

x−y 7

2

número de términos del desarrollo de los siguientes cocientes notables: a. c.

3

−

y6

15 m m

3

+n

10

+n

2

x 25 − y 3 6 − m

x 12 − ( x − y )12

b.

x+y

xn − y 5

2x − y

a 20 − 81 a5 − 3

d.

8

9 4

Si la división

x x

n

−1

2

−1

 genera un cociente notable

5

Si la división

y 6n− 4

x3

−

y2

 genera un cociente

+

( y + 2) 9

x+y

x am − y an x 5 a − y7 a

 es

t17 = x15a y112a, calcula el décimo término.

10 −

( x − 2) 9

Si el décimo séptimo término del cociente nota ble generado por la división

de cuatro términos, halla la suma del tercer y el cuarto término. x7 n+ 2

valor numérico del término quinto del

para x = y = 1.

(x +  y5)

 yb

Halla el

cociente notable generado por

Si al dividir (  + ) entre se obtiene un cociente notable de 15 términos, halla a + b. xa

Halla el término de la posición 3 del cociente no-

table de 5 términos generado por la división:

Determina el x6

4a+8 32 Si la división x 5  – y4  genera un cociente x  – y notable exacto y además, t4 =  f (x; y), halla el valor de f (1; (1; 2).

Halla el valor reducido de:

E=

1+

8

2+

8

22 +

8

23 + ... +

8

215

notable, indica  la cantidad de términos de su desarrollo.

3

25

I   B  I   M E   S  T  R  E 

Unidad

02

Ticrapo - Huancavelica

FACTORIZACIÓN FACTORIZACIÓN Y ECUACIONES PRODUCTO CONSTANTE Si un artículo se ofrece a un precio muy bajo es probable que todos quieran comprarlo y, y, por el contrario, si se lo encarece, probablemente serán pocos los que compren. Lógicamente, al vendedor no le conviene ni lo uno ni lo otro. El producto del precio por el número de artículos es constante, entonces cuando un factor aumenta el otro disminuye. Para cruzar cruzar una cordillera lo ideal sería hacer un túnel, que ahorraría tiempo, pero el mantenimiento y el costo de construir un túnel puede resultar más caro que darse la vuelta por encima. Muchos fenómenos tienen estas características, expresarlo en forma de factores permite analizar los pros y los contras. - ¿Es más conveniente obtener una profesión que requiere mucho esfuerzo u obtener una carrera técnica y empezar a trabajar en poco tiempo? www.ugr.es/~iramirez/PluriMultiInter.doc

 APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones

Comunica y representa

• Interpreta la factoriza-

• Comunica el resultado

ción de polinomios. • Identifica cuándo un número es imaginario. • Determina el conjunto solución de una ecuación lineal y una de segundo grado.

de sus factorizaciones. • Elabora un organizador visual sobre los números imaginarios. • Elabora un resumen sobre las propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática.

26

3

Elabora y usa estrategias • Halla la factorización

de un polinomio por diversos métodos.

•

Realiza operaciones Realiza operaciones con números imaginarios.

• Emplea diversas es-

trategias para resolver ecuaciones lineales y de segundo grado.

Razona y argumenta • Propone conjeturas

para factorizar polinomios. • Argumenta el uso de los números imaginarios. • Explica la importancia

de resolver problemas mediante ecuaciones.

07

       O        L        U        T         Í        P        A        C

FACTORIZACIÓN I MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN ¿Se puede saber cuántos divisores algebraicos tiene x3 y3(x – 1)4( y  y + 1)5?

¿Cuál es el desarrollo de las expresiones?

( x  x – y)2 ( x  x + y)( x  x2 – xy + y2)

Producto notable

(x + y)(x – y) = x2 – y2 Factorización

La factorización es contraria a la multiplicación. Consiste en poner las expresiones en forma de producto de factores.

FACTORIZACIÓN POR IDENTIDADES

x2 – 2xy + y2 = (x – y)2 x2 – y2 = (x + y)(x – y) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)

Uno de los objetos fundamentales del Álgebra es la resolución de ecuaciones. Para resolver ecuaciones unas veces convendrá tener las expresiones en forma de factores y otras veces en forma desarrollada.

Problema 1:

Problema 2:

Factoriza x8 – 1.

Factoriza x2 + y2 – xy(2 + xy).

Solución:

Solución:

x8 – 1 = (x4)2 – (1)2

= x2 + y2 – 2xy – x2 y2 = x2 – 2xy + y2 – x2 y2 = (x – y)2 – (xy)2 = (x – y + xy)(x + y – xy)

= (x4 + 1)(x4 – 1) = (x4 + 1)[(x2)2 – 12] = (x4 + 1)(x2 + 1)(x2 – 1) = (x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x – 1) Problema 3:

Problema 4:

Calcula el números de factores de 8x3 + y3 – 4x2 y – 2xy2.

Factoriza 8x3 + 4x2 + y3 – y2.

Solución:

= (8x3 + y3) + (4x2 – y2)

(8x3 + y3) – (4x2 y + 2xy2) [(2x)3 + y3] – 2xy(2x + y) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – 2xy(2x + y) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2 – 2xy) (2x + y)[(2x)2 – 2(2x) y  y + y2] (2x + y)(2x – y)2 1)(2 + 1) – 1 = 5  # factores = (1 + 1)(2 Rpta.: 5

Ten Presente

Polinomio irreductible

Utilizaremos los productos notables en forma invertida. x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

2

Solución:

Un polinomio es irreductible cuando no se puede expresar como el producto de dos o más factores. 1; 2x – y;  y2 + 1 • x2 + x + 1; Todo polinomio de primer grado o lineal es irreductible. • x + 3; 2x + y; x – y

Factor primo El factor primo de un polinomio es un factor irreductible.

Cantidad de factores Dado P(x) = A(x)a B(x)b C(x)c donde A(x), B(x) y C(x) son factores primos de P(x) entonces: • Número de factores primos = 3 • Número de factores de P(x):

(a + 1)(b + 1)(c + 1) – 1

= [(2x)3 + y3] + [(2x)2 – y2]

Ejemplo:

= (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) + (2x + y) (2x – y)

P(x; y) = x3 y4(x – y)2(x + y)

= (2x + y)(4x2 – 2xy + y2 + 2x – y)

# factores de P(x; y): (3 + 1)(4 + 1)(2+ 1)(2 + 1)(1 + 1)– 1) – 1 = 119

3

27

I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

CAPÍTULO 07

FACTORIZACIÓN I

Problema 5:

Problema 6:

Indica la cantidad de factores primos de:

Halla la suma de sus factores primos de x4 + x2 + 1.

x3 + y3 + 3xy(x + y) + (x + y)2

Solución:

Sumamos y restamos x2 para luego ordenar y formar una diferencia de cuadrados.

Solución:

Agrupamos los dos primeros términos:

Entonces: = x4 + x2 + 1 + x2 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 + 1 + x)(x2 + 1 – x) La suma de los factores es: = (x2 + 1 + x) + (x2 + 1 – x) = 2x2 + 2

= [x3 + y3 + 3xy(x + y)] + (x + y)2 = (x + y)3 + (x + y)2 = (x + y)2(x + y + 1) La expresión tiene 2 factores primos.

   E    R    T    S    E    M    I    B    I    I

 Actividad 07 07 1

Relaciona cada binomio con su expresión facto-

6

P(x) = x8 – 1 e indica  la cantidad de factores primos.

7

Factoriza

rizada:

2

I

4x2 – 25

(2 – 5x)(2 + 5x)

A

II

25 – x2

(2x + 5)(2x – 5)

B

III

4 – 25x2

(5 – x)(5 + x)

C

Agrupa convenientemente y factorza:

Identifca los factores primos y determina el nú-

mero de factores primo de:

y determina  el número de factores

primo de: P(x, y, z) = z2x3 + y3 – z2 y3 – x3 8

Indica el número de factores primos del polino-

mio:

x( y  y2 – z2) + y3 – yz2

3

Factoriza

P(a, b, c) = a2c + ac2 + bc2 + ac + bc – b2c 9

Factoriza el polinomio:

P(x) = (x + 3)(x + 2)(x + 1) + ( x + 2)(x + 1) + ( x + 1)

P(x, y) = 5x2 y(2x + y)3(3x + 1)5

e indica el número de factores primos. 4

Factoriza a2x2

– b2 y2 – a2 y2 + b2x2, agrupando convenientemente y aplicando productos nota bles.

10

Calcula la suma de coecientes del factor primo

del polinomio: P(x) = (x + 4)(x + 1)(x – 2)(x – 5) + 81

5

Determina los valores de x e  y para que el poli-

nomio. P(x, y) = 6x2 y2 – 54x2 – 6 y2 + 54, se anule.

28

3

08

       O        L        U        T         Í        P        A        C

FACTORIZACIÓN II MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN ¿Qué valor debería tomar a para que: x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + a

¿Cuál es el producto de estas multiplicaciones?

( x  x + 3)( x  x – 5)

sea factorizable?

( x  x + a)( x  x + b)

¡!

MÉTODO DEL ASPA 1. Método del aspa simple:

 x2 + 3x – 10

Las expresiones son factorizables por este método siempre que provengan del producto de dos binomios con término común.

 x4 – 2x2 – 35 x2 – 8xy – 15 y2 ax2n + bxn + c

Ilustraremos el método con algunos ejemplos: • x2 – 2x – 15 = (x – 5)(x + 3)

–5 3

x x

• x2 – 2x – 35 = (x – 7)(x + 5)

x − 15 15 2 2x + x − 3 −7

Simplifca

x2 x

+

2

9 xy

+

+ 14y

6 xy

− 7y

2

2

Solución:

• 2x2 – 7x – 15 = (2 x + 3)(x – 5)

• x2 + 9xy + 14 y2 = (x + 7 y)(x + 2 y)

x

3 –5

x x

• 2x2 + x – 3 = (2x + 3)(x – 1)

2x x

3 –1

( 2 x + 3 )( x − 5 ) ( 2 x + 3 )( x − 1)

Ese signicado todavía aparece

en el diccionario de la Real Academia.

7 y 2 y

• x2 + 6xy – 7 y2 = (x + 7 y)(x – y) x x

Reemplazando:

cuando los personajes tienen problemas con los huesos van al algebrista para que se los coloquen. Pero, ¿qué saben los matemáticos de huesos?

también el arte de arreglar las dislocaciones de los huesos.

Solución:

2x

En las páginas del Quijote,

la palabra álgebra signicaba

Problema 2:

2x 2

EL ÁLGEBRA Y EL QUIJOTE

En realidad, nada. Lo que sucede es que antiguamente

–7 5

x x

Problema 1: Reduce

ax2n + bxn ym + cym

Interesante

7 y – y

Reemplazando: =

x−5 x −1

2. Método del aspa doble:

Este método es aplicable a polinomios de 6 términos que tienen una de estas formas.

( x + 7 y )( x + 2y ) ( x + 7y )(x − y)

=

x + 2y x−y

2x2 + 7xy + 3 y2 + 7x – 4 y – 15  Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F  Ax2n + Bxn ym + Cy2m + Dxn + Eym + F

3

29

I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

CAPÍTULO 08

FACTORIZACIÓN II

Procedimientos:

1. Completamos y ordenamos el polinomio a factorizar. factorizar. 2. Se aplica aspa simple entre los primeros tres términos.

1°

2°

3°

4°

5° 6°

2x2 + 7xy + 3 y2 + 7x – 4 y – 15

3. Se aplica aspa simple simple entre los térmi-

3 y

x 2x

nos 3°, 5° y 6°, vericando que haya

aspa simple entre los términos extremos del polinomio y el 4° término.

5 –3

 y

= (x + 3 y + 5)(2x + y – 3)

4. Los factores se toman en forma horizontal. Problema 3: Factoriza:

Problema 4: Indica la mayor suma de coecien-

3x2 + 5xy – 2 y2 – 11x – y + 6 e indique la suma de los términos término s independientes de los factores.

tes de uno de los factores de: 4x2 + 4xy – 15 y2 – 8x + 4 y + 3 Solución:

Solución:    E    R    T    S    E    M    I    B    I    I

4x2 + 4xy – 15 y2 – 8x + 4 y + 3

3x2 + 5xy – 2 y2 – 11x – y + 6 3x x

– y 2 y

–2 –3

(3x – y – 2)(x + 2 y – 3)

2x 2x

5 y –3 y

–3 –1

(2x + 5 y – 3)(2x – 3 y – 1)  

 coef = 4

 coef = –2

 –2 – 3 = – 5 Rpta.: –5

Rpta.: 4

 Actividad 08 1

Factoriza P(x) = x2 + 3x – 18

5

mo de:

e indica la suma de los factores primos. 2

3x2 – 2xy – y2 + 5x – 5 y

Factoriza P(x) = 8x6 – 7x3 – 1 e indica la cantidad

de factores primos cuadráticos.

Factorice e indique la suma de sus factores pri-

6

Determina  un factor de:

3(x – 2 y – 5)2 – 2x + 4 y + 5 3

4

P(x) = x4 – 34x2 + 225 e indica la suma de los factores primos.

Factoriza

7

Si (x + 1) es un factor de x2 + ax + 3, y (2x + 1) es un factor de bx2 – 5x – 3, el valor de a·b es:

8

¿En cuánto disminuye el número de factores primos de (3m – 1)(m – 3)(2m – 5)(6m + 1) si le restamos 20?

9

Factoriza

Expresa en forma factorizada el área de la gura

sombreada. 3x4 + y4

2x2 y 3x4 + y4 2x2 y

30

3

10

x4 + 2x3 + 4x2 + 3x – 28

Factoriza x4 + 2x3 y + 3x2 y2 + 2xy3 + y4

09

       O        L        U        T         Í        P        A        C

FACTORIZACIÓN III MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN ¿Cuántos factores tiene x3 + x2 – 2x – 2 en R?

Si P(2) = 0, ¿qué se puede armar de P( x)?

P( x  x) = x3 – 2 x – 4

MÉTODOS DE LOS DIVISORES BINÓMICOS Este método es aplicable para polinomios en una variable de grado mayor que 2, siempre que admita al menos un factor de primer grado. Raíz de un polinomio.- Dado un polinomio P( x  x) no constante, a es una I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

raíz o cero de P( x  x) si, y solo si, P(a) = 0.

En P(x) = x3 – 2x – 4, P(2) = 2 3 – 2(2) – 4 = 0, entonces 2 es un cero o raíz de P(x). Además, por el teorema del resto, P(x) es divisible entre x – 2, lo que es lo mismo decir que (x – 2) es un factor de d e P(x). Determinación de las posibles raíces racionales de un polinomio P(x):

Precisamente el teorema del resto nos permite obtener los ceros de un polinomio a partir de una lista de los posibles ceros, que resultan de: Posible ceros = 

divisores del término independiente

Nota

divisores del coeciente principal

Ejemplo:

¿PARA QUÉ FACTORIZAR?

Factoricemos P(x) = x3 – 2x2 – x + 2, por el método de los divisores binómicos.

Factorizar nos permite realizar operaciones con expresiones algebraicas. Como los factores están multiplicando, vamos a

Busquemos las raíces a partir de: divisores de 2 Posibles ceros =   =  {1; 2} = {1; –1; 2; –2} divisores de 1 Para x = 1: P(1) = (1)3 – 2(1)2 – (1) + 2 = 0  x – 1 es un factor. Para x = –1: P(–1) = (–1)3 – 2(–1)2 – (–1) + 2 = 0  x + 1 es otro factor.

poder simplicar, calcular el

MCD, resolver ecuaciones de grado superior, gracar funcio-

nes, etc

Para obtener el tercer factor podemos seguir probando con los restantes posibles ceros o dividir sucesivamente P( x) entre x – 1 y x + 1 por el método de Rufni. Optemos por lo último:

1

–2 1 x = 1 1 –1 x = –1 –1 1 –2 x – 2

–1 –1 –2 2

2 –2 0

P(x) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)



3

31

CAPÍTULO 09

FACTORIZACIÓN III

Problema 1:

Problema 2:

Factoriza 2x3 + x2 – 5x + 2.

Factoriza  por

Solución:

divisores binómicos e indique la suma de factores lineales de 3x3 – 23x2 + 44x – 20.

1; 2 

Posibles ceros = 

divisores de 2  =  divisores de 2

{

1; 2 ;



1 2

}

1; 2

Solución:

1; 2; 4; 5; 10; 20 

Posibles  =  divisores de 20  =  ceros divisores de 3 

El otro factor lo obtenemos dividiendo P(x) entre (x – 1): 2 1 –5 2 2 3 –2 x = 1 2 3 –2 0 2x2 + 3x – 2 = (2x – 1)(x + 2)

3

}

El otro factor lo obtenemos dividiendo entre x – 2 por Rufni:

3 x = 2

3



–23

44

–20

6

–34

20

–17

10

0



(x – 2)(3x2 – 17x + 10) = ( x – 2)(3x – 2)(x – 5)

–1 2

x

20

P(1) = 4; P(–1) = –86; P(2) = 0  x – 2 es un factor

 x – 1 es un factor de P(x)

2x

1; 2 ; 4; 4; ...;

1; 3

Para x = 1: 1: P(1) = 2(1)3 + (1)2 – 5(1) + 2 = 0

   E    R    T    S    E    M    I    B    I    I

{

3x x

 P(x) = (x – 1)(2x – 1)(x + 2)

–2 –5

Problema 3:

Problema 4:

Al factorizar el polinomio:

Si x + 7 es un factor de x4 + ax3 – 5x2 + 2ax – 14, halla el factor primo cuadrático.

P(x) = x4 – 5x3 + 3x – 15 se tiene (ax3 + b)(cx + d). Halla a + b + c + d.

Solución:

Si x + 7 es un factor, entonces P(–7) = 0:

Solución:

1; 2; 3; 15 

Posibles ceros = 

divisores de 15  =  {1; 3; 5; 15} divisores de 1

(–7)4 + a(–7)3 – 5(–7) 2 + 2a(–7) – 14 = 0  a = 6

 P(x) = x4 + 6x3 – 5x2 + 12x – 14



1

Como x + 7 es un factor, dividimos entre x + 7:

P(1) = –16; P(–1) = –12; P(3) = –60 1

6 x = –7 –7 1 –1 1 x = 1 1 0 x2 + 2

P(–3) = 192; P(5) = 0  x – 5 es un factor Dividiendo entre x – 5 por Rufni: 1 x = 5

1

–5 5 0

0 0 0 x3 + 3

3 0 3



–15 15 0

–5 12 7 –14 2 –2 0 2 2 0

–14 14 0

Se observa que P(1) = 0



 P(x) = (x3 + 3)(x – 5) ≡ (ax3 + b)(cx + d)



P(x) = (x + 7)(x – 1)(x2 + 2)

Factor primo cuadrático

 a + b + c + d = 1 + 3 + 1 – 5 = 0 Rpta.: 0

32

3

Rpta.: x2 + 2

FACTORIZACIÓN III

CAPÍTULO 09

ARTIFICIOS DIVERSOS Son métodos que pueden ser utilizados para polinomios particulares, estructurando sus términos de modo que sea factorizable por algunos de los métodos estudiados. 1. Cambio de variable

Consiste en sustituir, por una variable, expresiones que se repiten, de modo que el polinomio quede simplicado. Luego, una vez hecha la factorización,

se restituyen las variables originales. Ejemplos:

Factoricemos: P(x) = (x + 2)2 + 3x – 34 P(x) = (x + 2)2 + 3x + 6 – 40 P(x) = (x + 2)2 + 3(x + 2) – 40 Para x + 2 = y: Q( y  y) = y2 + 3 y – 40 = ( y + 8)( y  y – 5)  y  y

8 –5

I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

Restituyendo: P(x) = (x + 2 + 8)(x + 2 – 5)  P(x) = (x + 10)(x – 3) Problema 5:

Problema 6:

Factoriza:

Factoriza:

(x2 – y)[2(x2 – y) + 5z] – 2z[2(x2 – y) + 3z]

P(x; y) = 2(x2 – y)(x2 – y – z) + 3z(x2 – y – 5z)

Solución:

Solución:

Sea x2 – y = a: = a(2a + 5z) – 2z(2a + 3z) = 2a2 + 5az – 4az – 6z2 = 2a2 + az – 6z2 = (2a – 3z)(a + 2z)

Sea x2 – y = a: P(x; y; z) = 2a(a – z) + 3z(a – 5z) P(x; y; z) = 2a2 – 2az + 3az – 15z2 P(x; y; z) = 2a2 + az – 15z2

2a

–3z a 2z Restituyendo: = (2( x2 – y) – 3z)(x2 – y + 2z) = (2x2 – 2 y – 3z)(x2 – y + 2z)

3z –5z P(a; z) = (a + 3z)(2a – 5z) Restituyendo: P(x; y; z) = (x2 – y + 3z)(2(x2 – y) – 5z) P(x; y; z) = (x2 – y + 3z)(2x2 – 2 y – 5z) a 2a

2. Sumas y restas (quita y pon)

Consiste en obtener expresiones factorizables sumando y restando términos covenientemente. Ejemplo:

Factoricemos: P(x) = 9x4 – 16x2 + 4 P(x) = (3x2)2 – + 22 – 16x2 – 12x2 + 12x2 

Para que sea un cuadrado perfecto, debe ser 12x2.

P(x) = (3x2)2 – 12x2 + 22 – 4x2 = (3x2 – 2)2 – (2x)2 P(x) = (3x2 – 2 + 2x)(3x2 – 2 – 2 x) P(x) = (3x2 + 2x – 2)(3x2 – 2x – 2) 3

33

CAPÍTULO 09

FACTORIZACIÓN III

Problema 7: Factoriza

Problema 8:

100x4 + 44x2 y2 + 9 y4

Solución:

(10x2)2 + 44x2 y2 + (3 y2)2 + 16x2 y2 – 16x2 y2

Luego de factorizar indique la suma de coecientes del factor factor no lineal de 7x3 – 3x2 – 3x – 1. Solución:



debe ser  2(10x2)(3 y2)

7x3 +



– 3x2 – 3x – 1 – x3 + x3

debe ser –x3

60x2 y2

= (10x2)2 + 60x2 y2 + (3 y2)2 – 16x2 y2

= 8x3 – (x3 + 3x2 + 3x + 1) = (2x)3 – (x + 1)3

= (10x2 + 3 y2)2 – (4xy)2

= [2x – (x + 1)][4x2 + 2x(x + 1) + (x + 1)2]

= (10x2 + 3 y2 + 4xy)(10x2 + 3 y2 – 4xy)

= [2x – x – 1][4x2 + 2x2 + 2x + x2 + 2x + 1] = (x – 1)(7x2 + 4x + 1)  7 + 4 + 1 = 12 Rpta.: 12

   E    R    T    S    E    M    I    B    I    I

 Actividad 09 09 1

Determina la suma de los factores lineales de:

6

¿Cuántos factores factores primos resulta al factorizar

P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 2

Factoriza por divisores binómicos:

P(x) = x4 + 4 ?

7

sus factores primos.

P(x) = x3 + x2 – 5x – 2 e indique el producto de coecientes del factor cuadrático. 3

Factoriza P(x) = x4 + 5 x2 + 9 y halla la suma de

8

cuántos factores primos lineales resulta al factorizar: Determina

P(x) = x(x + 3)(x2 + 3x + 3) + 2

Luego de factorizar: M(x) = 9x5 – 28x3 + 18x2 + 3x – 2 podemos armar que:

9

1. Tiene 5 factores primos. 2. Tiene 4 factores primos. 3. Todos sus factores primos son lineales.

que resulta de factorizar: P(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1

10 4

Factoriza e indica los factores de:

x3 – 7x + 6

5

Halla la suma de los factores primos del polino-

mio: P(x) = 2x3 – x2 – 2x + 1

34

3

Determina  la suma de coecientes del factor

Determina la

suma de los factores primos que resultan de factorizar: P(x; y) = 4x4 + y4

10

       O        L        U        T         Í        P        A        C

CANTIDADES IMAGINARIAS ¿Cuál es la solución de la ecuación?

¿Cuál es mayor, i o 2i?

 x2 + 4 = 0

Cantidad imaginaria.- Es aquella que resulta de extraer la raíz de índice par

de un número negativo. 1,

Ejemplos:

−

−16

,

2,

4

−

2n − a , a R+ y n Z

−81

UNIDAD IMAGINARIA Es la cantidad imaginaria elemental que resulta de extraer la raíz cuadrada de –1 y se denota d enota por i. •

4 = 2i

•

−

−16

= 4i

1 = i  i2 = –1

−

8=2 2 i

•

−

POTENCIAS ENTERAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA i1 = i

i0 = 1

Se dene:

Observación i + i2 + i3 + i4 = 0

Desarrollemos las potencias de in,  n  Z. 3° Grupo

1° Grupo

2° Grupo

i1 = i

i5 = i4 · i = i

i2 = –1

i6 = i4 · i2 = –1

i3 = i2 · i = –i

i7 = i4 · i3 = –i

i4 = (i2)2 =

 i8 = (i4)2 =

1

i9 = i8 · i = i i10 = i8 · i2 = –1 i11 = i8 · i3 = –i i12 = i8 · i4 = 1 ...................

1

Obsérvese que las potencias de i se repiten cada grupo de 4 . En general las potencias de i sólo pueden tomar uno de estos valores: –1

i

–i

1

En general: in + in + 1 + in + 2 + in + 3 = 0,

 n Z Cuatro potencias enteras sucesivas de i se anulan entre sí. La suma es cero. • i20 + i21 + i22 + i23 = 0 • i47 + i48 + i49 + i50 = 0

o

Cada vez que el exponente de i es múltiplo de 4 (4), la potencia es 1. Cuando o o o es 4 + 1 es i, cuando es 4 + 2 es –1 y cuando es 4 + 3, es –i. Problema 1: Calcula

Problema 2:

E = i50 + i100 + i201

Solución: o

Calcula

M = i + i2 + i3 + ... + i486

Solución: o

• 50 = 4 + 2  i50 = i 4 + 2 = i2 = –1 o • 100 = 4  i100 = i4 = 1 o o • 201 = 4 + 1  i201 = i 4 + 1 = i

 E = –1 + 1 + i = i

M = i + i2 +...+ i4 + i5 +...+ i8 + i9 +...+ i484       

0

0

0

+ i485 + i486

M = i485 + i486 = i484 · i + i484 · i2 



1

1

M = i + (–1) = i – 1 Rpta.: i

Rpta.: i – 1 3

35

I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

CAPÍTULO 10

CANTIDADES IMAGINARIAS

POTENCIAS NEGATIVAS Recuerda

• i–1 = i–1 · i4 = i3 = –i   1 • i–2 = i–2 · i4 = i2 = –1    i  = i

  –1 i  = –i   • i–4 = i–4 · i4 = i0 = 1  • i–3 = i–3 · i4 = i

Problema 3:

i2 = –1

i3 = –i

i–2 = –1

i4 = 1

i–3 = i

• i4 = i8 = i12 = ... = i4k  = 1

i–4 = 1

• Cualquier número multipli-

cado por una potencia de la forma i4k , no se altera.

Problema 4:

1+ i Reduce M = i–23 + 1−i

Efectúa

E

Ejemplo:

= (1 + i)2 + i + 3 i

Solución:

Solución:

• i–23 =  i–24 · i = i

• (1 + i)2 = 12 + 2i +  i2  (1 + i)2 = 2i

1

•

1+ i 1+ i ⋅

1− i 1+ i

i

5 =

2

=

(1 + i) 1−i

2

=

1 + 2i − 1 1 − ( −1)

=

• i + 3 i ⋅ i8

i

=

i + 3 i9

=

i + i3 –i

=

⋅

5 =

i5

=

i

0

(i + 1)2 = 2i (i – 1)2 = –2i

 E = 2i + 0 = 2i Rpta.: 2i

i i4

Nota

–1

 M = i + i = 2i    E    R    T    S    E    M    I    B    I    I

5

Rpta.: 2i

1+i =i 1− i

1−i = −i 1+i

 Actividad 10 10 1

Indica cuántos elementos del conjunto:

5

reduce:

N = { −3 ; 3 −8 ; 4 − 7 ; 5 −1 ; 6 −3} son cantidades imaginarias. 2

A = i25 + i62 + i83 + i96 R = i + i2 + i3 + i4 + ... + i56

6

Calcula:

7

Determina  el resultado de:

Reduce y calcula el valor de:

E= 3

Aplicando potencias de la unidad imaginaria,

−16 +

Señala verdadero

−25 +

−36 −

−81

N = i + 2i2 + 3i3 + 4i4 + 5i5 + 6i6 + 7i7 + 8i8

(V) o falso (F), según corres-

ponda: a. i2000; es equivalente a –1

( )

b. i2223; es equivalente a –i

( )

c. i6666; es equivalente a i

( )

d. i2000; es equivalente a 1

( )

8

Calcula el valor de: 12

14

9

Reduce la expresión:

E = (1 + i)2 + (1 – i)2 + 4

Relaciona correctamente:

A

i 243

i

I

B

i 125

–i

II

C

i 580

1

III

36

3

17

J = i11  + i13  + i15

10

1+ i 1− i + 1−i 1+ i

Determina el valor simplicado de:

E = i− i+5 i

11

       O        L        U        T         Í        P        A        C

ECUACIONES I ECUACIONES DE 2° GRADO CON UN INCÓGNITA ¿Cuándo el producto de dos factores es cero?

Factorice estos polinomios.

2

Ten Presente

2 –

P( x  x) = x

 x – 6 Identidad y ecuación

Q( x  x) = 6 x2 – 16 x + 15

Una ecuación cuadrática o de 2° grado es aquella que se puede reducir a la forma: ax2 + bx + c = 0 Problema 1:

Solución:

Calcula m para que

Una ecuación cuadrática no puede contener un término cúbico: m – 3 = 0  m = 3 La ecuación resulta: 3x2 – 2x + 5 = 0 Rpta.: 3

(m – 3)x3 + mx2 – 2x + 5 = 0 sea de 2° grado.

(x + 2)2 = x2 + 4x + 4 es una identidad porque cualquiera sea el valor que tome x la igualdad se cumple. Mientras que x2 = 3x – 2 es verdadera solo cuando: x = 1  x = 2 Este conjunto de valores se llama conjunto solución: C.S. = {1; 2} Igualdades de este tipo son ecuaciones.

Resolver una ecuación

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA El principio en el que se basa la resolución de ecuaciones cuadráticas es: "El producto de dos factores es cero cuando uno de ellos es cero".

3x2 – 2x – 5 = 0 –5 x 1 (3x – 5)(x + 1) = 0 3x – 5 = 0  x + 1 = 0

Encontrar los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación es resolver la ecuación .

3x

La ecuación cuadrática, como la de la derecha, se factoriza por aspa simple, para expresarla en forma de dos factores, y luego se aplica el principio.

x =

C.S. =

 5

{

3

5 3

Casos particulares •

 x = –1

x2 = 16  x = 

}

Resuelve 6x2 – 17x + 12 = 0

Si una de las raíces de x2 – ax + 6 = 0 es 3, calcule la otra raíz.

•

Solución:



Si x = 3 es raíz 

6x2 – 17x + 12 = 0

x =

 3 2

 x =

Ecuación: x2 – 5x + 6 = 0 x x

3

Rpta.: C.S. =

{ } 3

2

;

4

 x(x + a) = 0 x = 0  x = –a

2x2 – 5x = 0 x(2x – 5) = 0

 x = 0  2x – 5 = 0

–3 –2

x = 0  x =

 (x – 3)(x – 2) = 0  x1 = 3; x2 = 2

 4

x2 + ax = 0

32 – a(3) + 6 = 0

 a = 5

2x –3 3x –4 (2x – 3)(3x – 4) = 0  2x – 3 = 0  3x – 4 = 0

=  4

 C.S. = {4; –4}

Problema 3:

Solución:

16

 x = 4  x = –4

; −1

Problema 2:

e indica su C.S.

x2 = a  x =  a

Rpta.: 2

 C.S. =

 5 2

{ } 0;

5 2

3

3

37

I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

CAPÍTULO 11

ECUACIONES I

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR FÓRMULA GENERAL No todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por aspa simple. Cuando no se puede factorizar, se completa a cuadrados.

ax2 + bx + c = 0

Multiplicamos por 4a: 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

Por ejemplo resolvamos:

2

(2ax)2 + 2(2ax)b + b2 – b2 + 4ac = 0    

x2 + 6x + 7 = 0

T.C.P.

(2ax + b)2 = b2 – 4ac

7 – 32 = 0 x2 + 2(x)(3) + 32 + 

1. Si ∆ = 0, la ecuación tiene dos raíces racionales e iguales.



T.C.P.

2ax + b =  ( x + 3) 2

=

2

 x = –3 + 2  x = –3 – 2

∆ = b2 – 4ac

Problema 4:

Solución:

Resuelve:

( 2 x + 6 )2 −

2. Si ∆ > 0, la raíces son reales. a) Si ∆ > 0 y es e s cuadrado perfecto, las raíces son racionales.  b) Si ∆ > 0 y no es cuadrado perfecto, las raíces son irracionales y conjugadas.

2a

Discriminante:

 C.S. = {–3 + 2 ; –3 – 2 }  C.

2x + 6

b 2 − 4 ac

b 2 − 4 ac

  −b ± x=

x + 3 =  2

   E    R    T    S    E    M    I    B    I    I

3) Si ∆ < 0 las raíces son complejas y conjugadas. =

( x + 4 + 1) 2

2x + 6 = x + 4 + 2 x + 4  + 1

x + 4  = 1

( x + 1)2

=

(2 x + 4 )2

x2 + 2x + 1 = 4(x + 4) x=

 x2 – 2x – 15 = 0

( −2)2 − 4(1)( −15)

−( −2) ±

2(1)

=

2±8 2

 C.S. = {5}

Problema 5:

Solución:

Si x1 y x2 son raíces de:

x  =

x2 – 2x – 2 = 0, calcula x1 – x2.

x  =

( −2)2 − 4(1)(−2)

−( −2) ±

2(1) 2±

12 2

x = 1 

3

=

2±2 3 2

 x1 = 1 +

 x1 – x2 = (1 +

3

3

 y x2 = 1 –

) – (1 –

3

)=2

3 3

Rpta.: 2 3

38

Ten Presente

3

ECUACIONES I

CAPÍTULO 11

Problema 6:

Problema 7:

Indica la menor raíz de la ecuación:

Resuelve:

 x + 1    x – 1   = 1   2     2    2

Solución:

Ordenando y elevando al cuadrado.

Solución:

( 2x + 1  – x – 4 )2 = (3)2 3x – 3 – 2 (2x + 1)(x – 4) = 9 (–2 (2x + 1)(x – 4)) 4))2 = 12 – 3 x 4(2x + 1)(x – 4) = (12 – 3 x)2 8x2 – 28x – 16 = 144 – 72 x + 9x2 x2 – 44x + 160 = 0 (x – 40)(x – 4) = 0

Multiplicando y reduciendo. 1 2 1 x2 –       =   2   2 1 1 x2 –  = 2 2 x2 = 1

De donde: (x + 1)(x – 1) = 0

2x + 1 – 1  – 3 = x – 4

⇒ x = –1 ∨ x = 1

De donde: x = 40

∨ x = 4

Rpta.: 40 y 4

Rpta.: –1

I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

 Actividad 11 1

Resuelve  la

ecuación x2  – 400 = 0 e indica su

7

C. S. 2

Resuelve

3x + 2

tado la mayor raíz.

Indica la menor raíz de la ecuación:

 x +   

  x −   5   

1

8

  = − 1   5   25

1

Resuelve la ecuación e indica la solución entera

de:

2x

x −1 3

x + 3 y da como resul-

−1 =

−

2

=

3x

x +1

Resuelve (x + 3)2 + (x + 4)2 = (x + 5)2 e indica una

raíz.

9

Indica la menor solución de:

(x2 – x)2 – 8(x2 – x) = –12 4

Resuelve la ecuación x2 + 16x + 15 = 0 e indique

la suma de raíces. 5

10

Si las raíces de la ecuación x2 + 1 = 4x, son x1 y x2, donde x1 > x2, calcule x1 – x2.

Resuelve: 1

x = 1+

1

2+

1

1+

1

2+

6

1+

Al resolver: 3x

2

3x2

−

2x + 1

−

2x − 1

=

3x

calcule a·b.

2 +

e indica el valor aproximado de sus raíces.

3x − 2

se obtiene una raíz de la forma

1

a−

6

b

.

3

39

12

       O        L        U        T         Í        P        A        C

ECUACIONES II

ECUACIONES DE 2° GRADO CON UNA INCÓGNITA Resuelva por fórmula general las ecuaciones.

¿Se puede hallar la ecuación a partir de sus raíces?

 x2 – 9 x + 14 = 0  x2 – 4 x + 1 = 0  x2 – 4 x + 7 = 0

ANÁLISIS DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

   E    R    T    S    E    M    I    B    I    I

La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática dependen del valor del discriminante:  = b2 – 4ac

Discriminante:  = b2 – 4ac

A la derecha se presentan las características de las raíces según el discriminante.

III.  b : "a es mayor que b" a < b : "a es menor que b" a  b : "a es mayor o igual que b" a  b : "a es menor o igual que b"

Una inecuación  es una desigualdad que se satisface para un conjunto de valores de la incógnita, el cual se denomina conjunto solución (C.S.). Para resolver las inecuaciones se utilizan las propiedades de las desigualdades:

1.

2.

a < b

a < b

 a + c < b + c

a–1 < 0

si a < 0  si a > 0  a–1 > 0

3.

ac < bc, si c > 0  

   

0 < a < b 

4.

ac > bc, si c < 0  

Definiciones a R es positivo si a  0 a R es negativo si a < 0 a  b  a < b  a = b a  b  a > b  a = b a < b < c  a < b  b < c

1 1 > >0 a

b

1 1 a < b < 0  > a

b

Intervalos • Intervalo cerrado

2

Las inecuaciones de 1° grado son aquellas que se pueden reducir a una de las siguientes formas: ax + b > 0

ax + b  0

ax + b < 0

ax + b  0

7

2  x  7  x [2; 7] • Intervalo abierto

–3

I   I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

5

–3 < x x  –

 1 2

a

•

a x  a  x –∞; a]

9 2

3

45

CAPÍTULO 13

INECUACIONES I

Problema 3: 3x − 1

Si –2 < 2x − 3 5

4

 < 1, ¿en qué intervalo se encuentra

4

−7

<

3

3

3

−

3

3

23 1 ⋅

3 5

<

<

23 −

15

<

2x − 3

5

(3) < (3)  < 0(3) 0(3)

8(2)  x(2) (2) >  > 2(2) 2(2) 16 – 16 – 1  2x – 1 > 1 > 4 – 1

10 <

( 2 x − 3) ⋅ 2x − 3

3

–8(–1) –8(–1)  –x(–1) (–1) >  > –2(–1) –2(–1)

3

(2) < x( 2) < ( 2) 3 −

2−x

–6 – 2  2 – x – 2 < 2 < 0 – 2

5 <

 < 0, ¿en qué intervalo se encuentra

?

 –2(3)  –2(3) 

5

14 −

3x

3

Solución:

3 x − 1   –2(4) –2(4) <  <   (4) <  < 1(4) 1(4)  4  (4)     –8 + 1 < 1 < 3x – 1 + 1 < 1 < 4 + 1

−

Si –2  2x − 1

?

Solución:

7

Problema 4: 2−x

−

3

1 5

15

3

4 <

1 1

3

⋅

3 5

4

≥

<

2x − 1 4 2x − 1 4

>

≤

3 4 15 4

1 <

15

Rpta.:

−

23 15

;

1

Rpta.:

15

3 15  ; 4 5 

 Actividad 13 13    E    R    T    S    E    M    I    B    I    I    I

1

Si 2  x  6, ¿a qué intervalo pertenece 4x + 1?

2

Resuelve la inecuación:

6

 3 x − 3  1 + 1 >  −3 + 7 − 2x  3  3      9   2 4 3  8      2

(x + 2)(x – 1) + 26 < (x + 4)(x + 5) y da el conjunto solución. 3

Resuelve la inecuación

x 2

+

5−x 3

7

Si 4x + 1  –5; 2, halle la variación de

8

Si n > m > 0. Al resolver

1 >

6

e indica el mínimo valor entero que la verica.

4

Si

 −13 20 ∈ ; , ¿a qué intervalo pertene9 x+6  2

Al resolver la inecuación

2

−

2x + 1 3

46

3

+

n

m

+ 2n 2

n

≥

m n

+

x m

3x + 5

.

 se obtie-

 + 5  , donde n > m > 0. 

Determine  el intervalo al que pertenece:

E= + 9  x, se

obtiene C.S. = [2a – 3; +. Calcule el valor de a.

x

1

calcule m2 – 1. 9

x −1

m

ne como C.S. = −∞ ;

3x + 5

ce (x + 2)? 5

Encuentra el valor entero y negativo de x en:

10

5

x

2

+ 25

; x R.

Si F(x) = x2 – 12 x + 100 y G( x) = 43 – 4 x + x2, calcule el mínimo valor de F( x) más el máximo valor de G(x).

14

       O        L        U        T         Í        P        A        C

INECUACIONES II INECUACIONES DE 2° GRADO CON UNA INCÓGNITA ¿Cuál es el conjunto solución de estas ecuaciones?

Si el producto de dos factores es positivo, ¿qué se deduce de los factores?

 x2 – 10 x + 21 = 0 2 x2 – 3 x – 20 = 0

 x2 – 4 x + 1 = 0

Las inecuaciones de 2° grado son aquellas que se pueden reducir a una de las siguientes formas: ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c  0

ax2 + bx + c  0

Historia

Resolución por aspa simple

x2 – 2x – 35  0

Dada la inecuación la factorizamos por aspa simple.

–7 5 (x – 7)(x + 5)  0 P.C. = {7; –5} x x

Los ceros del polinomio factorizado se llaman puntos críticos (P.C.). Se gracan los puntos críticos en la recta real.

En cada intervalo y de derecha a izquierda se colocan los signos +, –, +, alternadamente.

+

– –5

Como el signo es mayor, el C.S. es la unión de los intervalos positivos y por po r ser  incluye los P.C.

+ 7

C.S. = –∞; –5]  [7; +∞

Los símbolos Menor que () aparecen primero en la obra “Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas” (Las artes Analíticas Aplicadas a Resolver las Ecuaciones Algebraicas) de Thomas Harriot, que fuera publicada póstumamente en el año 1631.

Problema 1: Resuelve x2 + 3x – 4 < 0.

Solución:

x2 + 3x – 4 < 0 x x

–1 4

(x – 1)(x + 4) < 0  P.C. = {1; –4} +

– –4

+ 1

C.S. = –4; 1

Resolución por fórmula general

Cuando no se puede factorizar por aspa simple, se calculan los puntos críticos por la fórmula general de la ecuación cuadrática y se procede igual que en el caso anterior.

3

47

I   I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

CAPÍTULO 14

INECUACIONES II

Problema 2:

Problema 4:

Resuelve x2 – 4x – 1 > 0.

Resuelve

Solución:

Solución:

x + 2  < x – 4. 2

x = x =

−( −4) ±

(− 4)2 − 4(1)( −1) 2(1)

4±

20 2

La raíz cuadrada de un número no puede ser negativo ni la expresión dentro de la raíz cuadrada. En consecuencia: x + 2  0

 x – 4 > 0 x  –2  x > 4

x1 = 2 + 5 y x2 = 2 – 5

 P.C. = {2 + 5 ; 2 – 5 } +

– 2– 5

Ten Presente

+

Además:

 a2 < x2 < b2 • a < x < b < 0

 b2 < x2 < a2 •  a R, a2  0

0  x + 2 < x – 4

2+ 5

C.S. = –∞;2 – 5 ∪〈; 2 + 5 ; +∞

(1)

• 0 < a < x < b

Elevando al cuadrado:



( x + 2 )2 < (x – 4)2

x + 2 < x2 – 8x + 16 Problema 3:

x2 – 9x + 14 > 0

Resuelve 3x2 + x – 10  0.

(x – 7)(x – 2) > 0

Solución:

3x2 + x – 10 = (3x – 5)(x + 2)  0 3x

–5 2

x

P.C. =    E    R    T    S    E    M    I    B    I    I    I

{

5 3

}

;  − 2

+

– –2

C.S. =  −2 ; 

P.C. = {2; 7}

–2

+ 5/3

2

Fórmula general de la ecuación cuadrática:

4

ax2 + bx + c = 0

7

La solución es la intersección de (1) y (2): C.S. = 7; +∞

5 3 

Problema 5:

Problema 6:

El conjunto solución de la inecuación (x – a)(x – b) < 0 es 〈3; 5〉. Halle R = 3a – b; si a < b

Resuelva x2 + x + 1 > 0

Solución:

Del conjunto solución se tiene: C.S. = 〈3; 5〉 ⇒ (x – 3)(x – 5) < 0 (x – a)(x – b) < 0

Solución:

Hallando su discriminante: b2 – 4ac = (1)2 – 4(1)(1) = 1 – 4 = –3

es menor que cero, y como el signo de la desigualdad es ">": C.S. = R

Comparando: a = 3; b = 5 Se pide: R = 3a – b = 3(3) – 5 = 9 – 5

⇒ R = 4

Rpta.: 4

48

3

Recuerda Recuerda

(2)

Rpta.: R

x =

−b ±

b 2 − 4 ac 2a

INECUACIONES II

CAPÍTULO 14

Problema 7:

Problema 8:

Si el conjunto solución de la inecuación: x2 – 25 < 0 es 〈a; b〉, halla el valor de la expresión: H = 3a – b + 4

Si x(x – a) ≤ x – 2 tiene por conjunto solución [1; 2]; halla el valor de a.

Solución:

x2 – ax – x + 2 ≤ 0

De la inecuación: x2 – 5 < 0 ⇒ (x + 5)(x – 5) < 0 x = –5 ; x = 5

x2 – x(a + 1) + 2 ≤ 0

+

–

Solución:

Del C.S. tenemos: (x – 1)(x – 2) ≤ 0 x2 – 3x + 2 ≤ 0 Comparando tenemos: a+1=3 a = 2

+

–∞ –5 5 +∞ El conjunto solución es: C.S. = 〈–5; 5〉 De donde se tiene: a = –5 y b = 5 Luego en la expresión pedida: H = 3a – b + 4 = 3(–5) – 5 + 4 ⇒ H = –16

Rpta.: 2

Rpta.: –16

 Actividad 14 14 1

Relaciona cada inecuación con sus puntos críti-

4

Resuelve e indica el C.S. de x2  6x.

5

Resuelve x(x  +

cos. A  x2 – 5x ≤ 0 B  x2 + 4x + 3 > 0 C  x2 – 5x – 6 ≥ 0 2

I II II I

–1; 6 0; 5 –3; –1

3) < 10 e indica  el número de

valores enteros que la verican.

e indica  la suma de valores enteros que la verican la desigualdad x(x + 4) < 32.

6

Resuelve

7

Resuelve x2 – 3x – 1 < 0

8

Calcula la suma de valores enteros que verican la inecuación 2(x – 3)2  x(x – 4) + 18.

9

Si x 2; 5, ¿a qué intervalo pertenece x2 + 2x + 4?

¿Cuáles de las siguientes siguientes armaciones son ver-

daderas?   1. Los puntos críticos de una inecuación ( ) de segundo grado son las raíces del polinomio de segundo grado. 2. Toda inecuación de segundo grado ( ) tiene dos puntos críticos diferentes. 3. En toda inecuación de segundo grado ( ) los puntos críticos pertenecen al C. S. 3

Relaciona  correctamente

cada inecuación con

su conjunto solución: A  x(x + 3) < 0 B  x(x – 3) ≤ 0 C  x(x – 3) < 0

10

I II III

[0; 3]  〈0; 3〉  〈–3; 0〉

La inecuación: ax2 + bx + c < 4x2 – x + 3, tiene como C.S.

0;

2 3

. Calcula el valor de a · b · c.

3

49

I   I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

15

       O        L        U        T         Í        P        A        C

INECUACIONES III

INECUACIONES INECUA CIONES FRACCIONARIAS ¿Cuál es el conjunto solución de estas inecuaciones?

Si el cociente de dos factores es positivo, ¿el producto es positivo o negativo?

( x  x – 2)( x  x – 3) > 0 ( x  x – 1)( x  x + 4)  0 (2 x + 1)( x  x + 3) < 0

Consideremos la inecuación

x−3 x−2

≥0

La inecuación expresa que el cociente de (x – 3) entre x – 2 es positivo o bien cero.

Historia

Podría ser cero siempre que x – 3 = 0, pero x – 2  0 (x = 3  x  2). Si el cociente es positivo, entonces el producto también lo es: x−3 x−2

≥0

El Signo “Menor que” y “Mayor que”.

 (x – 3)(x – 2)   0, con x  2

Obsérvese que la inecuación fraccionaria se ha transformado en una inecuación cuadrática, de las que tratamos en el capítulo anterior. Por lo tanto, una inecuación de la forma resolver como P(x)Q(x) ≷ 0.

   E    R    T    S    E    M    I    B    I    I    I

Problema 1 x+5 Resuelve x−2

≤0

P( x) Q( x )

≷ 0, con Q(x)

–

+

.

0, se puede

+

–5

 Johnson dice, que proba blemente él desarrolló los símbolos «mayor que» y «menor que» a partir de estas relaciones.

2

Resolución:

C.S. = –5; 2

P.C. = {2; –5}, x  2

Sin embargo, Seltman y Mizzy dicen que Harriot no usó los símbolos que aparecen en el trabajo que se publicó después de su muerte.

Problema 2 Resuelve

2x − 1

x+2

>

0

–

+

.

–2

+ 1/2

Resolución: P.C. =

{ } 1

2

, −2 , x

C.S. = –; –2  1/2; +

≠ −2

Problema 3 Resuelve

3x + 1 − 2x + 4

3x + 1

x−2

≤2

x−2

.

x−2

50

−2 ≤

0⇒

x+5 x−2

≤0

P.C. = {–5; 2}, x  2

Resolución: 3x + 1

≤0⇒

3 x + 1 − 2( x − 2 )

x−2

3

+ ≤

0

–5 C.S. = –5; 2

–

+ 2

Según Johnson, mientras Harriot estaba inspeccionando América del Norte, vio a un nativo americano con este símbolo en su brazo:

INECUACIONES III

CAPÍTULO 15

Problema 5

Problema 4 Resuelve

x+1 x +5 − x −2 x +1

≥2

El C.S. de la inecuación

.

Halla a + b.

Resolución:

Resolución:

x +1 x + 5 − −2 ≥ 0 x −2 x+1

3x + 5 3x + 5 – 3 ≤3 ⇒ ≤0 2x + 1 2x + 1

( x + 1)2 − ( x + 5)( x − 2) − 2( x − 2)( x + 1) ( x − 2)( x + 1) 2

−2 x + x + 15

≥

( x − 2)( x + 1)

(2 x + 5)( x − 3)

0⇒

3x + 5 ≤ 3 es 〈– ∞; a〉 ∪ [b; +∞]. 2x + 1

( x − 2)( x + 1)

≥0

≤

–3x + 2 ≤0 2x + 1 3x – 2 ⇒ ≥0 2x + 1

⇒

P.C. 2/3 y –1/2

0

–1/2

P.C. {–5/2; –1; 2; 3}, x  2; –1

2/3

C.S. = – ∞ + –1  ∪ 2  ; +∞ +∞ 2 3 Comparando: a = –1/2 y b = 2/3

+ + + – – –5/2 –1 2 3

a + b = –1/2 + 2/3 =

C.S. = –5/2; –1  2; 3

–1 + 2  = 1 2 3 6

Rpta.: 1/6

 Actividad 15 15

1

Resuelve

ción. 2

3

4

6

x

− 16

>

0

e  indica el conjunto solu-

7

( x − 1)( x − 2) ( x + 1)

≤

x −1

5 1− x

< −2

Resuelve la inecuación

9

Si la inecuación fraccionaria

x−3

−

2

x+2

≥0

.

(n – 1)x2 + (n – 2)x + (n – 2) ≤ 0; n ∈R, x2 + x + 1

?

Determina el conjunto solución de

1

8

¿Cuántos enteros verican verican la la inecuación inecuación fraccio fraccio+

I   I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

0

2x + 1 Resuelve la inecuación fraccionaria ≤ 1  e x −1 indica su conjunto solución.

6

Determina el conjunto:

 A = x ∈R/ 2 1 ≤ 1 x  + 3 x(x + 6)

Resuelve la inecuación

naria

5

9 2

tiene C.S. = { }, halle los valores de n. 1

−

1

x +1 x

>

1. 10

Resuelve

(x2

+ 1)( x − 3)

( x + 2)7

5

≤

0 e indica su C.S.

Resuelve la inecuación fraccionaria:

1  + 1  0 ≥ x x + 1

3

51

16

       O        L        U        T         Í        P        A        C

 VALOR ABSOLUTO I

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO ¿Cuántos números distan 5 unidades del cero en la recta numérica?

5

¿La raíz cuadrada de un número real puede ser negativa?

5



0

Las ecuaciones con valor absoluto son aquellas que contienen términos con valor absoluto en alguno de sus miembros. Para resolver este tipo de ecuaciones se utilizan los siguientes teoremas: 1.

 x = a  x  x =  = –a –a)  a  0  ( x =

| x  x|| = a

Problema 1

ii) 2x – 3 = –(2 – x)

Resuelve |2x – 3| = 2 – x.

|2x – 3|= 2 – x  2 – x  0 x2 5

i) 2x – 3 = 2 – x  x =

3

(1)

Solución: |x2 – 3x + 1|= 3x – 5  3x – 5  0 3

 1,67 (1)

i) x2 – 3x + 1 = 3x – 5

 x =

Definición

    x si x  0 |x| =   –x si x < 0

5 3

Propiedades del valor absoluto

Rpta.: 5/3

(2)

Reduce |x2 – 3x + 1| = 3x – 5.

5

(3)

Solo (2) satisface (1).

Problema 2

x

 x=5

(2) y (3) deben satisfacer (1).

Solución:

   E    R    T    S    E    M    I    B    I    I    I

Recuerda

x2 – 6x + 6 = 0  x = 3  3 (2) ii) x2 – 3x + 1 = –3x + 5 x2 = 4  x = 2

(3)

(2) y (3) deben satisfacer (1): De (2) sólo 3 + 3  y de 3 sólo 2.

 C.S. = {3 + 3 ; 2}

• |a|  0  a R • |a| = 0  a = 0 • |a|2 = a2 • |a| = a2 • |ab| = |a||b| •

a b

a =

b

• |a| = |b|  a = b  a = –b

2.

| x  x|| = |y|

  x2 = y2

Problema 3

Problema 4

Resuelve |3x + 3| = |2x – 2|

Resuelve |x + 2| = |2x – 7|

Solución:

Solución:

(3x + 3)2 = (2x – 2)2 9x2 + 18x + 9 = 4x2 – 8x + 4 5x2 + 26x + 5 = 0

(x + 2)2 = (2x – 7)2 x2 + 4x + 4 = 4x2 – 28x + 49 3x2 – 32x + 45 = 0

5x x

1 5

3x x

(5x + 1) (x + 5) = 0 x = –

 1 5

(3x – 5) ( x – 9) = 0

 x = –5

x =

 1

 5 3

 x = 9  5

 C.S. = {– ; –5}

 C.S. = { ; 9}

5

52

–5 –9

3

3

 VALOR ABSOLUTO I

CAPÍTULO 16

Problema 5

Problema 6

Resuelve la ecuación:

Resuelve la ecuación:

|x + 3| + |2x + 6| = |x + 11| Solución:

||2x + 5| + 4| = 13 Solución:

|x + 3| + 2|x + 3| = |x + 11|

|2x + 5| + 4 = 13

3|x + 3| = |x + 11|

Elevando al cuadrado:

|2x + 5| + 4 = –13

|2x + 5| = 9

2x + 5 = 9 2x = 4 x = 2

9(x2 + 6x + 9) = x2 + 22x + 121 8x2 + 32x – 40 = 0 8x +40 x –1

∨

∨

|2x + 5| = –17

2x + 5 = –9 2x = –14 x = –7

∅

(8x + 40)(x – 1) = 0

 x = –5

∨ x = 1

Rpta.: –7 y 2

Rpta.: –5 y 1

 Actividad 16 16 1

Resuelve |2x – 1| = x.

6

Halla el producto de elementos del C.S. de:

||8x + 3| + 9| = 28 2

Halla el conjunto solución de:

|2x – 5| = 1 – x

7

Determina el

menor de los elementos del C.S.

de: 3

Halla la

I   I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

||x + 3| – 2| = 1

suma de elementos del conjunto solu-

ción de: |2x – 1| = |x + 4| 4

8

|3x + 6| – |x + 2| = |3x – 6|

Resuelve la ecuación: 2x + 5

x−3

Resuelve la ecuación:

=

3

9

Determina el número de soluciones de

|x + 2| + |4x + 8| = |2x –5|

e indica la solución entera.

e indica el menor de ellos. 5

Determina el conjunto solución de:

|x – 2| + |4x – 8| = 20

e indica la suma de elementos.

10

Resuelve la ecuación:

||x2 + 5| – 7| = x

3

53

17

       O        L        U        T         Í        P        A        C

 VALOR ABSOLUTO II

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO ¿En qué intervalo se encuentran los números reales que en la recta real distan menos de 5 unidades del cero?

5

¿Cuál es mayor, la suma de los valores absolutos de 2 números o el valor absoluto de la suma?

5



–5

0

5

Las inecuaciones con valor absoluto son aquellas que contienen términos con valor absoluto en alguno de sus miembros. Para resolverlas debemos hacer uso de las propiedades: propi edades: 1.

| x  x||  a

 –a a  x  a  a  0  –

Problema 1 Resuelve |2x – 3|  x + 2.

Solución:

De (1): x  –2 De (2): –2 – x  2x – 3  x  1/3 De (3): 2x – 3  x + 2  x  5

(2)

x + 2  0





 –2 – x  2x – 3  x + 2

(1)

1 3

–2



(3)

5

C.S. = [1/3; 5]

   E    R    T    S    E    M    I    B    I    I    I

2.

| x  x||  a

 –a a   x  a  x  –

Problema 2

x  6

Resuelve |x + 5|  2x – 1.

 x–

4 3

Solución:

x + 5  2x – 1

3.

| x  x||  |y|

 x + 5  1 – 2x

6

  x2  y2

Problema 3

2x2 + 5x – 3 = (2x – 1)(x + 3)  0

Resuelve |3x + 2| – |x – 4|  0.

2x x

Solución: |3x + 2|  |x – 4|

–1 3 +

(3x + 2)2  (x – 4)2 9x2 + 12x + 4  x2 – 8x + 16 54

–4 3 C.S. = –; 6]

3

–3 C.S. = [–3; 1/2]

P.C. = { 1 ; –3} 2 –

+ 1/2

 VALOR ABSOLUTO II

4.  x  x||a|  0

CAPÍTULO 17

 a = 0   x  0

Problema 5 Resuelve |x2 + 3|  5.

Problema 4

Solución:

Resuelve |x – 2|(x + 2)2 (x + 1)  0.

|x2 + 3|  5  x2 + 3 ≤ –5 ∨ x2 + 3  5

Solución:

 x2 ≤ –8 ∨ x2  2  x2 + 8 ≤ 0 ∨ x2  2

(x + 2)2 = |x + 2|2

 |x – 2||x + 2|2 (x + 1)  0

Observamos que x2 + 8 = 0 no tiene solución en R

 x + 2 = 0  x + 1  0 x = 2  x = –2  x  –1

x – 2 = 0

–2

–1

 x2  2  |x|  2  x ≤ – 2

∨ x

2

–4 –3 –2 – 2 –1 0 1 2 2 3 4

2

C.S. = 〈–∞; – 2] ∪ [ 2; ∞]

C.S. = {–2}  [–1; +

 Actividad 17

1

Resuelve |3x – 1|  5.

6

Halla la variación de

si x  2

3

Resuelve |2x + 5 |  9

e indica el complemento de su conjunto solución.

3 2

.

Si|x|< 3, halla  el intervalo al que pertenece

1 . x – 4 a b

 es:

8

Si

3 − 2x

x −1

 a,  x  [4; 12], halla el menor valor

de a.

Si x  –1; 1, reduce E = |x + 3| + 3 | x – 4| + 2 |x + 1|

5

7

El conjunto solución de la inecuación: |x – 3| > |2x + 1| es a; b. Luego, el valor de

4

1;

J = |2x – 1| + |x – 2|

9

Resuelva x2 +

3 |x| > 10 e indique el número de valores enteros que no puede tomar x.

Si |x – 4|  20 – |12 – 3x|, calcula la suma de valores enteros que la verican.

10

La raíz de la inecuación: 4

x−2

−5 +

8

x+3

− 10 ≤ 0

 es un número:

3

55

I   I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

18

       O        L        U        T         Í        P        A        C

RELACIONES BINARIAS

RELACIÓN ¿Se puede establecer una relación en el mismo conjunto?

¿Cuáles y cuántos son los resultados posibles del lanzamiento simultáneo de un dado y una moneda?

2

Ten Presente

Par ordenado El par ordenado es la abstracción de dos elementos ordenados, tal que cuando se invierte el orden resulta otro par.

PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjuntos no vacíos A y B, el producto cartesiano de A por B, es el conjunto denotado por A×B y formado por todos los pares ordenados (x; y), tal que x A y y B.

Matemáticamente es difícil decir "a primero, luego b". Los matemáticos han encontrado esta forma: Par ordenado

A×B = {(x; y) / x A  x B}

(b; a) = {{b}, {a, b}} Segundo componente

Problema 1

Solución:

Primer componente

B

Representa grácamente

Así:

3

{1; 2; 3; 4; 5} × {1; 2; 3}

2

en el sistema cartesiano.

(b; a) = {{b}, {a, b}}

En consecuencia:

1 1

2

3

4

(a; b)  (b; a), si a  b (a; b) = (b; a)  a = b

A

5

(a; b) = (c; d)  a = c  b = d    E    R    T    S    E    M    I    B    I    I    I

RELACIÓN BINARIA B 4

El gráco representa el producto cartesiano

A×B. (A = {1; 2; 3; 4} y B = {1; 2; 3; 4})

3

En él hemos diferenciado con color rosado un subconjunto R de A×B, con elementos (x;  y) tal que x + y < 6.

2

2

Ten Presente

1

R es una relación de A en B (R: A  B) con regla de correspondencia x + y < 6.

1

2

3

4 A

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una relación R de A en B es cualquier subconjunto de A×B, y se denota por R: A  B.

Relación binaria en A Una relación se puede denir

en el mismo conjunto. Sea A = {1; 2; 3; 4; 5}

Problema 2

Solución:

Sean A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} y B = {1; 2; 3} Graque la relación:

R = {(x; y) A×B / x  y}

56

 y sea R: A  A o R  A2

3

R = {(x; y) A2 / x + y = 6}

B 3

Entonces:

2 1 1

2

3

4

5

6

A

R = {(1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1)}

RELACIONES BINARIAS

CAPÍTULO 18

DOMINIO  Y   Y RANGO RANGO DE UNA RELACIÓN En una relación R de A en B (R: A  B), A es el conjunto de partida y B, el de llegada. En R no siempre participan todos los elementos de A ni todos los de B.

B 4 3 2 1

Ten Presente

Relación en R A

Los elementos de A que intervienen en la relación conforman el dominio dominio y  y los de B, el rango rango..

Problema 3:

2

En el gráco:

Una relación denida en R es

un subconjunto del producto cartesiano R×R o R2, su gráca está contenida en el plano cartesiano.

Dom(R) = {1; 2; 3; 6; 7; 8} Ran(R) = {1; 2; 3; 4}

Solución:

En el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5} se dene la relación:

2

x  y = 2x – 3

3

4

5

R = {(x; y) A2 / 2x – y = 3}.

Dom(R) = {2; 3; 4} Halla el dominio y el rango de R. Ran(R) = {1; 3; 5}

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA RELACIÓN Usualmente una relación se representa grácamente mediante el diagrama

sagital o el cartesiano. R

A

A

B

B

1

2

4 3

Relación de A en B, con elementos discretos. R: A  B

4

3

3

2

R

1

2

X

–2 –1 –1

1 1

2

3 A

1

2

3

I   I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

–2

Relación deni-

da en un mis- Relación de A en B, con elemo conjunto. mentos discretos.

Relación denida

en R. R: A  B A = [–2; 3] B = [–2; 3]

R: A  B

Problema 4:

Y

Solución: Y 2

Determina  el

dominio y rango de la relación: –2

Y 2

R

–1

–2

3 –1

X

3

X

Dom(R) = [–2; 3] Ran(R) = [–1; 0]  [1; 2]

3

57

CAPÍTULO 18

RELACIONES BINARIAS

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES RELACIÓN REFLEXIVA Aquí R1 y R 2, son dos relaciones en A. R1  es reexiva porque todos los elementos de A están relacionados consigo mismo. R2 no es reexiva porque falta el ele mento (1; 1).

A = {1; 2; 3} {(1; 1), 1), (1; 2), (2; (2; 2), 2), (3; (3; 3)} 3)} • R1 = {(1; R1 es reexiva • R2 = {(1; 2), (2; 3), (2; (2; 2), 2), (3; (3; 3)} 3)}

R2 no es reexiva A

A 1

1

R en A2 es reexiva, si  x A (x, x) R

2

Grácamente se conoce cuando to-

dos los elementos de A aparecen con su respectivo bucle.

3

3

2

R1 Todos los elementos de A están con su bucle.

R2 1 está sin  bucle.

Problema 5

R = {(a; 2), (2; b), (3; b), (c, 4)} es una relación reexiva denida en A = {2; 3; 4}. Si a, b y c son diferentes entre sí, calcule ac + b. Solución:

Si b = 2  R = {(3 {(3; 2), (2; 2), (3; 2), (4 (4; 4)} No es reexiva. Si b = 3  R = {(2 {(2; 2), (2; 3), (3; 3), (4 (4; 4)} Sí es reexiva.

 ac + b = 2 · 4 + 3 = 11    E    R    T    S    E    M    I    B    I    I    I

Rpta.: 11

RELACIÓN  SIMÉTRIC  SIMÉTRICA A En R1, 1 está relacionado con 4 y 4 con 1. El 2 está relacionado con 4 y 4 con 2. R1 es simétrica. En R 2, 1 está relacionado con 2 pero 2 no está relacionado con 1. R 2 no es simétrica.

A 1

1 2

A 4

3

R1

4 2

3

R2

R en A2 es simétrica, si  (x, y) R  ( y  y, x) R Problema 6 Calcula x + y para que R = {(2;

3), (3; x), (5; y), (4; 5), (4; 4)} sea simétrica.

Solución:

Como (2; 3) R  (3; 2) R  x = 2     x + y = 2 + 4 = 6 Como (4; 5) R  (5; 4) R   y = 4   

58

3

Rpta.: 6

Nota APLICACIONES Y RELACIONES BINARIAS Para algunos autores la diferencia entre aplicaciones y relaciones binarias está en que las aplicaciones son correspondencias de elementos entre distintos conjuntos, y las relaciones binarias, correspondencias entre elementos de un mismo conjunto.

RELACIONES BINARIAS

CAPÍTULO 18

RELACIÓN TRANSITIVA 2

En R1, 2 está relacionado con 1 y 1 con 4, por consiguiente 2 con 4. R1 es transitiva. 2

1

4

A

Ten Presente

A

2

2

3

3

4 1

En R2, 2 está relacionado con 3 y 3 con 4, pero 2 no está relacionado con 4. R2 no es transitiva.

Si una relación denida en un 1

4

4

R1

R2

Por ejemplo: en el conjunto de los seres humanos denamos la relación "x nació el mismo año que y".

R en A2 es transitiva, si (x, y) R  ( y  y, z) R  (x, z) R Problema 7

La relación: R = {(1; 2), (3; 2), (2; 2)} ¿es transitiva?

Solución: (1; 2)

1

conjunto es de equivalencia, entonces divide al conjunto en clases de equivalencia.

Esta relación es reexiva, (3; 2)

(2; 2)

2

(1; 2)

2

3

(2; 2)

2

2

(3; 2)

Rpta.: Es transitiva

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Una relación es de equivalencia si, y sólo si, es reexiva, simétrica y tran -

sitiva. Problema 8 Demuestra que la relación de semejanza entre triángulos es una relación

simétrica y transitiva, por ende, de equivalencia. Por lo tanto esta relación divide a los seres humanos en clases de equivalencia según el año de nacimiento. Los que nacieron en el año 2000 pertenecen a una clase, los que nacieron en 1980, a otra clase, y así en todos los años. Además, un elemento pertenece a una y sólo una clase.

de equivalencia. Demostración:

-

I   I   I   B  I   M E   S  T  R  E 

Todo triángulo triángulo es semejante a sí mismo. La relación es reexiva. reexiva.

- Si un triángulo T1 es semejante a T2, entonces T2 es semejante a T2. La relación es simétrica. - Si un triángulo T1 es semejante a T 2 y T 2, semejante a T3, entonces T1 es semejante a T3. La relación es transitiva. La relación es reexiva, simétrica y transitiva, en consecuencia, es de

equivalencia. Problema 9

Problema 10

Halla el valor de x + y, (2x – 1; x – y) = (9; 2x – 3)

Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; ...; 10} y B = {1; 2; 3; ...; 14}, halla el dominio y rango de la relación: R = {(a; b) A×B / b = 2a}

Solución:

• 2x – 1 = 9  x = 5 • x – y = 2x – 3  y = –2

Solución:

∴ x + y = 5 + –2 = 3

Los pares que cumplen son: R = {(1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8), (5; 10), (6; 12), (7; 14)} Rpta.: 3

 DR = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} RF = {2; 4; 6; 8; 10; 12} 3

59

CAPÍTULO 18

RELACIONES BINARIAS

Problema 11

Problema 12

Si R = {(2; 3), (3; 2), ( a; a), ( b; b), (3; 4), (2; c)} es una relación transitiva, calcula a · b · c.

Sea el conjunto A = {2; 3; 5} en el cual se dene la relación R = {(x; y)/x + y ≤ 8}, entonces R es:

Solución:

I.

a = 2 a = 3

• (2; 3) ∧ (3; 2)  (2; 2) ∈ R

∨

b = 3 b = 2

• (2; 3) ∧ (3; 4)  (2; 4) ∈ R

(2; c) ∈ R

R es reexiva

II. R es simétrica

III. R es transitiva

IV. R es equivalente

Solución:

R = {(2; 2), (2; 3), (2; 5), (3; 2), (3; 3), 3) , (3; 5), (5; 2), (5; 3)}

c=4

No es transitiva porque está (5; 2) y (2; 5) pero no está (5; 3). Tampoco es reflexiva porque falta (5; 5).

 R = {(2; 3)(3; 2)(2; 2)(3; 3)(3; 4)(2; 4)}

Solo es simétrica.

∨

R = {(2; 3)(3; 2)(3; 3)(2; 2)(3; 4)(2; 4)} ∴a∙b∙c = 2∙3∙4 = 24

Rpta.: 24

 Actividad 18 18 1

Si A×B = {(4; 1), (4; 5), (3; 1), (3; 5), (6; 1), (6; 5)}, halla el número de elementos de (A  B)×B.

7

En A = {a2 – 3 / a Z+  3 < a < 7} se dene la relación reexiva y transitiva:

R = {(13; n), (m; m), (33; p), (m; p), ( p  p; m)}. 2

A y B son dos conjuntos tales que:

Determina

A×B = {(2; c), (a; d), (b; c), (b; 5)} B×A = {(4; a), (c; 3), (d; a), (d; b)} Halla c + d – a – b.    E    R    T    S    E    M    I    B    I    I    I

3

m + n + p; (m, n y p son diferentes entre sí). 8

Si A = {2; x; y} y R = {(2; 2), (2; 6), (4; 6), (4; 4), (6;6)} denido en A×A, es reexiva, calcula x · y.

9

En el conjunto A = {2; 3; 4} se dene la relación relación reexiva:

Determina si son verdaderas (V) o falsas (F).

1. n(A×B) = n(B×A) 2. A×B = B×A 3. (A×B)  (A×C) = A×(B  C)

R = {(2; a), (2; 3), (b; 4), (3; c), (3; 2)}

las siguientes proposiciones. 4

Si: n(A×B) = 2n(B×C) = n(A×C) + 12 = 20, halla

5

Calcula a + b + c.

n(C)

Dados:

n(A) + n( B) .

A = {x N / x2  9} y B = {x Z / |2x – 1| = 3},

10

Según las grácas, ¿cuál representa una relación relación reexiva?

Y

Y

Y

halla n(A×B). 6

Dado el conjunto A = {2; 4; 6} se dene la rela-

ción R simétrica de A en A tal que: R = {(2; 4), (2; 6), ( a; 2), (4; b)}. Halla el valor de a – b. 60

3

(1)

X

(2)

X

(3)

X

Unidad

04

FUNCIONES VESTIMENTA Y TEMPERATURA La vestimenta permite protegerse de las condiciones climáticas del ambiente, en consecuencia, en las zonas frígidas se requiere mayor protección del frío mientras que en los lugares cálidos sólo requiere cubrir las partes necesarias del cuerpo. El volumen de ropa es una función de la temperatura temperatur a del ambiente. En las zonas frígidas no solamente se requiere ropa más gruesa, sino incrementar el número de atuendos, como guantes, gorros, chalina , entre otro.  - ¿De qué crees que depende el desarrollo de un país? http://www.wto.org/spanish/tratop http://www.wto.org/s panish/tratop_s/devel_s/d _s/devel_s/d1who_s.htm 1who_s.htmll

 APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones

Comunica y representa

• Relaciona funciones con • Representa en forma

su dominio y su rango. • Identifica la regla de correspondencia de una función lineal, cuadrática, raíz cuadrada, valor absoluto. • Modela problemas con funciones.

gráfica las funciones. • Elabora un esquema sobre las gráficas de funciones. • Traza la gráfica de una función lineal y afín. • Realiza  desplazamientos de gráficos de funciones.

Elabora y usa estrategias • Emplea diversas estra-

Razona y argumenta • Argumenta el uso de la

tegias para resolver promodelización de funciones en la resolución de blemas con funciones. problemas. Elabora diversas estrategias para identificar • Propone ejemplos los distintos tipos de y contraejemplos de funciones. funciones y gráficas de funciones. • Resuelve  problemas a través de las gráficas de funciones. •

3

61

19

       O        L        U        T         Í        P        A        C

FUNCIONES I

FUNCIÓN ¿Puede una circunferencia ser el gráco de una función?

¿Cuál es el diagrama sagital de estas relaciones?

R1 = {(1; 2), (2; 3), (3; 3)} R2 = {(1; 2), (1; 3), (2; 4)}

Una función es una relación con la particularidad de que no hay dos pares distintos con la misma primera componente.  f 

A

B

1

2

2

3

3

4

 f  es una función. A cada elemento de A le corresponde un solo elemento de B.

A

 g

2

2

3

3

4

Ten Presente

No es función. A 1 le corresponden 2 y 3. (1; 2) y (1; 3) son dos pares diferentes con la misma primera componente.

B

1

2

Problema 1

¿Qué valor debe tomar x + y, para que f  =  = {(2; x + 2), (3; 5), (2; 7), (3; 2 y – 1)},

sea una función? Solución:

    x + y = 5 + 3 = 8 2 y – 1 = 5   y = 3   

•

(2; x + 2) = (2; 7)  x + 2 = 7  x = 5

•

(3; 5) = (3; 2 y – 1) 

Rpta.: 8

DOMINIO  Y   Y RANGO RANGO DE UNA FUNCIÓN

Por ejemplo:  y = 2x – 1 Dando un valor a x se obtiene el valor correspondiente de y.

Solución:

En el gráco determine el domi-

2

nio y rango de la función:

1

Por eso también se expresa así:  f (x) = 2x – 1

2 –2

1 –2

1

–1

3

2

–1

4

1

–1

4

–2

•  y = 2x – 1  y = 2(7) – 1 = 13

  Dom( f   f ) = –2; 4]   Ran( f   f ) = [–3; 2]

3

3

Para x = 7:

–2

62

2

–1

–3 –3

Si (x; y)  f : A  B: A: conjunto de partida. B: conjunto de llegada. x: preimagen o variable independiente.  y: imagen o variable dependiente.

Si (x; y) es un elemento de una función, la regla de correspondencia es el modo cómo están relacionados x e y.

Dominio de f (Dom( f   f )) es el conjunto de valores de x. Rango de f (Ran( f   f )) es el conjunto de valores de  y.

   E    R    T    S    E    M    I    B    V    I

Una función f  de  de A en B, se denota así:  f : A  B

Regla de correspondencia

Si f  es  es una función y (x; y)  f ; entonces:

Problema 2

Notación de una función

•  f (x) = 2x – 1

(7) = 2(7) – 1   f (7) (7) = 13  f (7)

FUNCIONES I

CAPÍTULO 19

CÁLCULO DEL DOMINIO  Y   Y RANGO RANGO DE UNA FUNCIÓN 2

Ten Presente

Analicemos dos casos de cálculo del dominio y el rango: cuando el dominio viene dado con la función y cuando se tiene que aplicar la regla de máximo dominio.

 f (x) =

; –1 < x  9 Función en R

• Cálculo del rango

–1 · 2 < x · 2  9 · 2 –2 – 3 < 3 < 2x – 3  18 – 3

En la función  f  de   de la derecha ya está dado el dominio mediante el intervalo en el que se encuentra x.

−5

5

2x − 3

<

–1 <

El rango debemos buscar, a partir del dominio, el intervalo en el que se encuentra la expresión dada por la regla de correspondencia de la función.

5  2 x − 3 5

≤

15 15

x2 – 4x – 3,

5

 3

 f ) = –1; 3]  Ran( f 

0 – 7  x2 – 4x + 4 – 7  36 – 7

–4  x < 5

–7  x2 – 4x – 3  29

Solución:

 f ) = [–7; 29]   Ran( f 

–4 – 2  x – 2 < 2 < 5 – 2 –6  x – 2 < 3 Regla de máximo dominio

 f (x) =

Dada una función  f (x) en R2  si no se menciona explícitamente la extensión de su dominio, se entiende que x toma todos los valores reales posibles para los cuales existe f (x).

2x − 5

+3

Se debe tener en cuenta:     a  0 en a   a  0

Recuerda

Cálculo del dominio: Problema 4: Calcula el dominio y el rango de

la función f (x) =

 3

4 − x2

x −1

2x – 5  0  x 

• Si

2

si |a|  |b| 0  x  b si |b|  |a|

Cálculo del rango: 2x − 5

 0 

2x − 5

+ 3  3

 f ) = [3; +  Ran( f 

x2  4

  |x|  2  –2  x  2

x  0

  0  x2  a       2

2

Cálculo el dominio:

  a  0     

• Si ab < 0  b  x  a

 5

.

x =a 

 5

 f ) = [ ; +  Dom( f 

Solución:

 4 – x2  0

Se dice que f  es  es una función real de variable real o una función en R o en R2, si su dominio y rango son subcon juntos de los reales.

0  (x – 2)2  (–6)2

Calcula el rango de la función:

f (x) =

5

• Dom( f   f ) = –1; 9]

Cuando el dominio viene dado con la función

Problema 3

 2 x − 3

Ejemplo:

–6  x < 2  0  x2  36 –4  x < 8  0  x2  64

I   V  B  I   M E   S  T  R  E 

Además x  1: –2

1

Dom( f   f ) = [2; 2] – {1} Cálculo del rango: 4−x

2

2



4 − x2

x −1

 0 

3 4 − x2

x −1

 0

 f ) = [0; +   Ran( f 

 0  |x – 1| > 0

3

63

CAPÍTULO 19

FUNCIONES I

FUNCIÓN LINEAL ¿Cómo es el gráco de estas funciones?

¿Puede el gráco de una

función ser un segmento?

 f ( x  x) = 2 x – 3  g ( x  x) = 3 x + 2 4

Una función lineal es aquella cuya regla de correspondencia es un polinomio de primer grado.

1  f (x) = x + 2 2 Y 1

intercepto

 f (x) = mx + b

2

2

pendiente de la recta

Observe el ejemplo de la derecha.

–4

2

1 –3

–2

Ten Presente

X

–1

Función afín

GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN LINEAL El gráco de una función lineal es una recta o una gura geométrica incluida

en ella. Para gracar es suciente obtener dos

 f (x) = x – 1; 0  x < 3

(1) = 1 – 1 = 0  (1; 0)   f (1) (2) = 2 – 1 = 1  (2; 1) x = 2   f (2) x = 1

puntos de paso.

2

En el ejemplo de la derecha, para x = 1 y x = 2, elegidos arbitrariamente, hemos determinado los puntos (1; 0) y (2; 1).

Trazamos la recta que pasa por estos

1

–1

2

3

4

–1

 y = mx + b, b  0

 y = mx

–2

Función afín

Función lineal

Problema 5

Problema 6

Grafca la función: x  f (x) = – + 2; x [1; 4

Si la función  f (x) = 3 x – 2 b pasa por el punto (2; 8), dibuja su gráco.

Solución:

Si (2; 8)  f    f (2) (2) = 8:

  f (x) = 2  (0; 2) 3 (3) = – + 2 = 1 x = 3   f (3) 3  (3; 1)

3(2) – 2 b = 8  b = –1   f (x) = 3x + 2

64

 f (x) = k , k R

2

3

4

5

6

3

7

7

2  f (x) = 2

6

1

4

 (0; 2)  f  Tenemos dos puntos de paso: (2; 8) y (0; 2)

Ejemplos:

8

5

(0) = 2 • Si x = 0   f (0)

 f 

2 1 1

Función constante

Solución:

x = 0    E    R    T    S    E    M    I    B    V    I

 f 

1

puntos y en ella ubicamos el gráco de  f (x), de acuerdo al dominio: 0  x < 3.

3

Muchos autores consideran que la función lineal es sólo aquella que pasa por el origen de coordenadas. A la que no pasa por el origen de coordenadas la llama función afín.

 f 

3 2 1 –1

1

2

–1  f (x) = –1

FUNCIONES I

CAPÍTULO 19

Problema 7 Determina  la regla de corres-

Problema 8 Las siguientes grácas correspon-

pondencia de la función lineal:  f (x) = ax + b cuya gráca es:

den a las funciones:  f 1(x) = ax + 4 y  f 2(x) = 3x – b

2

Ten Presente

Pendiente positiva y negativa

9 2

Puesto que el gráco de una

función lineal:

5

 f (x) = mx + b

1 1

Calcula a + b.

2

Solución:

Solución:

 a + b = 5  b = 5 – a  f (2) (2) = 9  2a + b = 9

(1; 2)  f 1   f 1(1) = 2  a + 4 = 2  a = –2

(1) = 5  f (1)

(1) (2)

(1) en (2): 2a + (5 – a) = 9  a = 4

(1; 2)  f 2   f 2(1) = 2  3 – b = 2  b = 1

En (1): b = 5 – 4  b = 1

 a + b = –2 + 1 = –1

es una recta, ésta tiene una pendiente (grado de inclinación respecto al eje X) dada por m, la cual puede ser positiva o negativa. 3

3

2 1

 f (x) = 4x + 1 Rpta.: –1

2 1

3 1

3

2 2

m =

1

3 2

3

2

m = –

3 2

 Actividad 19 19 1

2

3

Si el conjunto F = {(5; a), (6; 8), (5; 4), (6; a + b)} es una función, calcula a2 + b.

6

 

Dada la función F = {(2; 5), (3; 0), (–1; 6)}, calcula F(2) + 5F(–1) – F(3). Sean los conjuntos si se dene A = {1; 2; 3; 4} y

1 2 3 4 7

  Sea f  una  una función lineal, tal que:  f (–2) (–2) = 2   f (1) (1) = 5

8

Si  f (x) = 2x + 1, determina la gráca de la fun ción g(x) = f ( f   f (x)).

Halla el dominio y el rango de la función:

F(x) = 2 – x − 4 5

X

Esboza su gráca.

F = {(x; y) A×B / y = F(x) = 2x + 1},

4

4 3 2 1

Halla a×b.

B = {3; 5; 7; 9; 11; 13} la función: indica la suma de elementos del rango.

Y

La gura representa el gráco de la función lineal f (x) = ax + b.

9

Calcula la

pendiente que pasa por cada par de

puntos. a) (3; 4) y (0; –2)

b) (–1; 1) y (–2; –3)

Halla el dominio de la función:

F(x) = x − 4 + 4 9 − x

10

Si f (x) = 2 x + 3, determina el dominio de la función h, tal que h(x) =

 1 +  f ( x)

 f ( f ( x) )

.

3

65

I   V  B  I   M E   S  T  R  E 

20

       O        L        U        T         Í        P        A        C

FUNCIONES II

FUNCIÓN CUADRÁTICA ¿Cuál es el valor de la función en los puntos –2; –1; 1 y 3?

¿En cuántos puntos a lo

y

más se cortan los grá -

cos de una función lineal y de una cuadrática?

2 –2 –1

 f (x) = ax2 + bx + c, a, b, c

1 2

x 5 4 3 2 1

 R  a  0

Dom( f   f ) = R El gráfico es una parábola abierta hacia arriba si a > 0, y hacia abajo si a < 0.

y 125304

APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

x

–2 –1 1 2  f (x) = x2

Las cuerdas de un puente forman una función cuadrática.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA y

Para gracar una función cuadrática

2

 f (x) = ax2 + bx + c ó  y = ax2 + bx + c

1

se la debe transformar a la forma:

–1

 = a(x – h)2  y – k  =

1

2

3

x

–1

cuyo vértice está en (h, k ),), y dependiendo de a se abrirá hacia arriba o hacia abajo.

–2

(1; –2)

 

Vértice

 y + 2 = (x – 1)2 Problema 1 Halla la regla funcional del grá -

Problema 2 La gráca de la función

co mostrado:

 f (x) = (x – a)(x – b) es:

y –3

–3 –12  3  5

Solución    E    R    T    S    E    M    I    B    V    I

El vértice está en (–3; –12) y pasa por (0; –3). Sea la función con regla de correspondencia:  = a(x – h)2  y + 12 = a(x + 3) 3)2  y – k  = Como (0; –3)  f   –3 + 12 = a(0 + 3)2  a = 1  y + 12 = 1(x + 3)2  f (x) = x2 + 6x – 3 Rpta.: f (x) = x2 + 6x – 3 66

3

Matemática en la vida

x

Calcula a2 + b2.

Solución

Los ceros de  f (x) son 3 y 5, entonces f (x) = (x – 3)(x – 5)

 f (x) = (x – a) (x – b)  (x – 3) (x – 5)  {a; b} = {3; 5}  a2 + b2 = 32 + 52 = 34 Rpta.: 34

FUNCIONES II

CAPÍTULO 20

Problema 3 Sea  f   R2 una función cuadrática tal que los pares ordenados (–2; 0) y (4; 0) pertenecen a f . Además f (1) (1) = –18. Calcula f (5). (5). Solución

Como (–2; 0) y (4; 0) pertenecen a f (x) entonces f (–2) (–2) = 0 y f (4) (4) = 0, entonces  f (x) = a(x + 2)(x – 4) Además f (1) (1) = –18, entonces  f (1) (1) = a(1 + 2)(1 – 4) = –18  a = 2  f (x) = 2(x + 2)(x – 4)  f (x) = 2x2 – 4x – 16 (5) = 2(5)2 – 4(5) – 16 = 14  f (5) Problema 4 Determina el punto medio del segmento que une los puntos medios de

los vértices de la parábola descrita por las funciones:  f (x) = 5(x – 1)(x – 5) y g(x) = x2 + 4x + 1 Solución

Para hallar las coordenadas de los vértices, debemos completar a cuadrados. 9 + 5 – 9) 9)  y = 5(x – 3)2 – 4  f (x) = 5(x2 – 6x + 9 +  y (x – 3)2  y + 20 = 5(x – 3)2   Vértice: V1 = (3; –20) 



 + 4x + 4 + 4 + 1 – 4  g(x) = x2  y (x + 2)2



 y = (x + 2)2 – 3

 y + 3 = (x + 2)2   Vértice: V2 = (–2; –3)  Punto medio de

V1V2

3 − 2 −20 − 3    1 =    =  , − 23   ,    =   2   2    2 2  

Rpta.: (1/2; –23/2)

Problema 5

Problema 6

Determina los puntos de intersección de las grá -

Determina el vértice de la función cuadrática:

cas de las funciones:

F(x) = 3x2 + 12x – 5

F(x) = 4x2 y G(x) = 3x + 10

Solución:

Solución:

F(x) = 3x2 + 12x + 12 – 17

Como se intersectan ⇒ F(x) = G(x)

F(x) = 3(x2 + 4x + 4) – 17

4x2 = 3x + 10 4x2 –

F(x) = 3(x + 2)2 – 17

3x – 10 = 0

4x

+5 ⇒ x = –5/4

x

–2 ⇒ x = 2

F(x) + 17 = 3( x + 2)2

I   V  B  I   M E   S  T  R  E 

⇒ Vértice: (–2; –17)

Si x = 2 ⇒ F(2) = 4(2)2 = 16 ⇒ (2; 16)  –5    –5  2 25  –5 25   ⇒ x = –5/4 ⇒ F    = 4      =   4 ; 4    4 4 4  –5 25   Rpta.: (2; 16) y   ;   

4 4

Rpta.: (–2; –17)

3

67

 Actividad 20 1

Copia y completa las tablas de las funciones:

a) x = 3x2 + 1 x

La gráca gráca corresponde corresponde a la función función  f (x) = x2 – 7x+ 10.

b) y = x2 – 1

(x; y)

y

6

x

1

1

2

2

3

3

4

4

y

Y

(x; y)

 f 

4 a

2

Determina el vértice de la función cuadrática:

 b

X

Calcula ab.

 

 f (x) = 2x2 + 4x – 6. 7 3

La gráca de la la función f (x) = a(x – b)(x – c) es:

¿Qué ecuación ecuación representa representa la la siguiente siguiente gráca? gráca?

a)  y = x2

(3; 11)

y

(4; 10)

 b) y = x2 – 2 c) y = x2 + 2

(2; 6) –1

(1; 3) x

4

Calcula a2 + b2 + c.

8

Esboce la gráca de la función:  f (x) = x2 – 4x + 3.

5

3

9

Observa la cantidad de cilindros en cada la y

  Sea  f : R  R una función cuadrática tal que los pares ordenados (–1; (–1; 0) 0) y (5; 0) pertenecen a  f. Si además f (6) (6) = –21, calcula f (4). (4). Grafca  las funciones:

 f (x) = (x – 2)2 + 4 y  g(x) = (1 – x)(x – 3).

en cada grupo:  

Luego determina  la menor distancia entre sus respectivas grácas.

fig. 1

fig. 2

fig. 3

fig. 4

a) Si y es el número de cilindros y x es el número de las, establece la regla de correspondencia entre y y x.    E    R    T    S    E    M    I    B    V    I

b) Determine cuantos cilindros se tendrá en la gura 200.

68

3

10

Determina los puntos de intersección de las grá-

cas de las funciones:  f (x) = 6x2 y  g(x) = x + 12.

21

       O        L        U        T         Í        P        A        C

FUNCIONES III FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA ¿Cuál es el dominio de estas funciones?

¿Cómo es el gráco de la función f (x) = x 2 ?

 f ( x  x) =  x − 2  g ( x  x) = 4 − x

Y 3 2 1

 f (x) = x  ; x  0

Dom( f   f ) = [0; +; Ran( f   f ) = [0; +

 f (x) = x

X

Vértice

Problema 1

Problema 3

¿Cuáles de los puntos: (1; 1), (4; 2), (3; 9) y (4; –2)

¿En qué punto se encuentra el vértice del gráco de

pertenecen al gráco f (x) = x ? Solución:

Diferenciemos los puntos de la forma (x; x ) con los de la forma ( x ; x). Los puntos de y = x , son de la forma (x; x ): (1; 1) = (1; 1 ), (4; 2) = (4; 4 ) Rpta.: (1; 1) y (4; 2)

Solución:

Sea (h, k ) el vértice de la función f (x) = x , entonces:  y – k  =  = x − h (–1; 2)  f   2 – k  =  =

1

− −h

 (2 – k )2 = –1 – h (1) h = –1 – (2 – k )2

(2; 3)  f   3 – k  =  = 2 − h   (3 – k )2 = 2 – h h = 2 – (3 – k )2

(2)

(1) = (2): –1 – (2 – k )2 = 2 – (3 – k )2 –1 – (4 – 4k  +  + k 2) = 2 – (9 – 6k  +  + k 2) –1 – 4 + 4k  –  – k 2 = 2 – 9 + 6k  –  – k 2 k  =  = 1  h = –2 ⇒ (–2; 1)

Problema 2 Grafca f (x) = x − 2

la función raíz cuadrada que pasa por los puntos (–1; 2) y (2; 3)?

+ 3.

Solución:

Rpta.: (–2; 1)

Sea f (x) = y = x − 2 + 3   y – 3 = x − 2 El gráco es de la raíz cuadrada pero con vértice

en (2; 3).

Problema 4 Determina el rango de la función:

 f (x) = x − 5 + x2 ; si 5  x  9

6 Solución:

4

• 5  x  9  25  x2  81  f (x) = x − 2 + 3

2

• 5 – 5  x – 5  9 – 5 

(1) 0 ≤

x−5 ≤

4

0  x−5  2 2

4

6

(2)

(1 + 2): 25  x − 5 + x2  83  f ) = [25; 83]  Ran( f 

3

69

I   V  B  I   M E   S  T  R  E 

CAPÍTULO 21

FUNCIONES III

Gracamos para hallar los valores comunes de x.

Problema 5 Halla el dominio de la función:

F(x) = 2 3x – 9 – 9  – 6 – x 6

3

Solución:

Hallando los valores que puede tomar x en cada radicando. 3x – 9 ≥ 0 ∧ 6 – x ≥ 0 3x ≥ 9 –x ≥ –6 x ≥ 3 x ≤ 6

Como los valores de x determinan el dominio: Dom(F) = [3; 6] Rpta.: Dom(F) = [3; 6]

 Actividad 21 21 1

2

y determina  la función raíz cuadrada que corresponde a los valores de la siguiente ta bla: Grafca

x

1

6

13

22

 f (x)

2

3

4

5

7

La gráca de la la función:  f (x) =

ax + b

tiene la forma: Y 3

Indica el dominio y rango de cada función.

a)

2

b) Y

Y

 g(x) = x – 2

 f (x) = x + 3

X

X

13 2

Determina el valor de ab.

X

8

Esboza la gráca de la función:

 f (x) = 1 + x − 2 . 3

Halla el dominio de la función:

F(x) =

12 − x

+

2x − 6

9

.

¿Cuántos puntos en común presentan las grá-

cas de:  f (x) = –x2 + 2x; x R   g(x) = x ; x  0?

4

   E    R    T    S    E    M    I    B    V    I

Esboza el gráco de la función  f (x) determina su dominio.

= x2 − 9 y 10

La gráca de la función de dominio máximo:  f (x) = x − 1 +

5

Construye la gráca de la función:

F(x) = x + 4 .

6

Y

 g(x) = 2 − x + 3.

70

3

a Determina ab + c2.

 es:

 f (x)

c

Esboza la gráca de la función:

5−x

b

X

22

       O        L        U        T         Í        P        A        C

FUNCIONES IV  FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO ¿En qué dieren el grá co de estas funciones?

¿Cuál es la diferencia entre el gráco de f (x) = x – 3 y la de g(x) =|x – 3|?

 f ( x  x) =  x  f ( x  x) = – x

 x si x  0  f (x) = |x| =    –x si x < 0  

Dom( f   f ) = R 

Y

Gráco de

 f (x) = |x|  f (x) = |x|

Ran( f   f ) = R

X

  |x| si x < 2     Grafca  f (x) =  2 2  x < 4  3 x – 4 x  4

2

Problema 1

Ten Presente 5 4

FUNCIONES DE DOMINIO PARTIDO

3

2

2

Solución:

Gracamos independientemente  y =|x|,  y = 2 e  y =

 3 2

–2 –1

x – 4

Son funciones formadas por diferentes reglas de correspondencia para diferentes intervalos del dominio.

1 1

2

3

5

4

6

identicando los tramos de acuerdo al dominio. dom inio.

Ejemplo:

F(x) =

EFECTOS EN EL GRÁFICO DEL VALOR ABSOLUTO cuando se aplica el valor absoluto, a una función lineal, toda la

 y = f (x)

x + 1, si x > 0 x – 1, si x < 0

Su representación gráca es:

y = | f (x)|

parte debajo del eje X se reeja

respecto a dicho eje.

1

Problema 2

Se muestra el gráco de  f (x) = 2x2 – 2. Dibuja el gráco de f (x) =|2x2 – 2|. Y

 y = x + 2

y = |x + 2| 2

2

1

1

–1

2

–2

1 –2 –1

1

2

–2

–1

X

Y

–1

2 1

–2

Solución:

–2 –1

1

2

X

–1

La parte que queda debajo del eje X se reeja respecto a él.

I   V  B  I   M E   S  T  R  E 

–1

 f (x) =|2x2 + 2|

–2

3

71

CAPÍTULO 22

FUNCIONES IV

Problema 3

Solución:

Dibuja el gráco de  y = | f (x)| si el gráco corresponde a y = f (x).

–2

 y =| f (x)|

Y

Y

 y = f (x) –3

 

–1

2

1

–3

X

–2

–1

X

2

1

Problema 4 Grafca  f (x) =||x – 1| – 2|.

Solución:

 y =|x – 1|

 y =|x – 1| – 2

 y =||x – 1| – 2|

Y

Y

Y

X –3 –2 –1

X

1

2

4

3

X

Problema 5

Problema 7

Halla un punto de intersección de las grácas de

Determina  el área de región determinada función F(x) = 3 –|x – 2| y el eje X.

las funciones:  f (x) = x + 1 y g(x) = |x – 2|

Y

por la

F(x) = 3 –|x – 2|

Solución:

x + 1 = |x + 2|

(x + 1 = x – 2 ∨ x + 1 = –[x – 2]) ∧ x + 1 ≥ 0 ( (

1 = –2 1 = –2

∨ x + 1 = –x + 2) ∧ ∨

1 x = ) 2

∧

x ≥ –1

1 x ≥ –1 ⇒ x = 2

Reemplazando el valor de x en f (x):

X Solución:

Hallando los puntos en eje X.  f (x) = 0 ⇒ 3 – |x – 2| = 0

 f (1/2) (1/2) = 1 + 1/2 = 3/2

El punto de intersección es: (1/2; 3/2)

|x – 2| = 3 ⇒ x = 5 y x = –1

Las respectivas coordenadas son (–1; 0) y (5; 0) Problema 6    E    R    T    S    E    M    I    B    V    I

De la gura:

Si f (x) = 3x – 5 calcula el valor de M= f (–1) (–1) + f (10) (10) + f (3). (3).

Y F(x) = 3 –|x – 2| 3

Solución:

 f (–1) (–1) = 3(–1) – 5 = –8

3

 f (0) (0) = 3(0) – 5 = 5  f (3) (3) = 3(3) – 5 = 4

–1

X

6

Luego: M = f (–1) (–1) + f (0) (0) + f (3) (3) = –8 + 5 + 4 = 1 Rpta.: 1

72

5

3

El área es: A = b∙h = (6)(3) ⇒ A = 9 2 2

Rpta.: 9

 Actividad 22 1

  Sea f (x) = |x – 3|.

6

Dibuja el gráco de

 f (x) = |2x + 3| – 5

(3) + f (–3) (–3) – f (2) (2) Calcula f (3)

y calcula el área de la región limitada por el grá2

co y el eje X.

El gráco de f (x) (x) = |x + a|

pasa por el punto (–5; 13). Determina f (a). 7 3

Dibuja el gráco de

 f (x) = |2(x + 3)2 – 4| + 5

Halla el dominio y rango de la función

 f (x) = |x + 3| – 4. 8 4

Halla la regla de correspondencia de la función  f cuya gráca se muestra.

El gráco muestra el gráco de la función f . Determina el dominio y rango de la función  g(x) = | f (x)|

Y 2

Y

3

1

–4

X 5

–2

 f 

 f 

–6

–3

–4

X 9

5

 f 

Halla la regla de correspondencia de la función  f  cuya  cuya gráca se muestra.

El gráco muestra el gráco de la función f . Determina el dominio y rango de la función  g(x) = | f (x)|

Y 2

Y

–3

 f 

3 X  f 

2 10

–2

–1

X

Si f (x) = |x – 3a| + 5 y  f (0) (0) + f (6) (6) = 17, halla el valor de a.

I   V  B  I   M E   S  T  R  E 

3

73

23

       O        L        U        T         Í        P        A        C

FUNCIONES V 

TRAZADO DE GRÁFICAS DE FUNCIONES ¿Cómo es el gráco de estas funciones?

 f ( x)  x) = x = x2

¿En qué dieren los grá(–x) y – f (x)? cos de  f (–

 g ( x)  x) = 2 x2 1 h( x)  x) =  x2 2

En base al gráco de una función elemental  f (x) se puede obtener la gráca de funciones más complejas.

Historia

DESPLAZAMIENTOS Desplazamiento horizontal  y = f (x)

 y = f (x – k )

–k 

k 

Sea la gráca de f (x), y sea k  >  > 0.

 y = f (x + k )

Se desplaza a la derecha al reemplazar x por x – k .

Se desplaza a la izquierda reemplazando x por x + k .

 FUNCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas magnitudes, como la velocidad de un cuerpo en movimiento. El nombre de función la propuso de Leibnitz.

Desplazamiento vertical  y – h = f (x) h

–h Leibnitz

 y + h = f (x)

Sea la gráca de  f (x), y sea h > 0.    E    R    T    S    E    M    I    B    V    I

Problema 1 Grafca la función:

Y

f (x) = x2 + 6x + 7

 y + 2 = (x + 3)2

Y

Solución:

f (x) =  x2 + 6x + 9 + 9 + 7 – 9 y = (x + 3)2 – 2

 y = x2

X –2

 y + 2 = (x + 3)2

74

–3

X

3

2

 f (x) = x  + 6x + 7

FUNCIONES V 

CAPÍTULO 23

REFLEXIÓN Respecto al eje X Y

 y = f (x)

Respecto al eje Y Y  y = – f (x)

X X

(–x)  y = f (–

Nota

Problema 2

Y

Graque la función:

 y = –x

 y = x

Y

f (x) = – 2 − x + 3

1

La gráca de F(x) =  es:

Solución:

Primero gracamos:  y = –  y – 3 = –

−x

Y

Y

 y – 3 = –(x – 2)

3

 y = – –x

, luego

 f 

X

−( x − 2)

x

X

X

1

X

2

–1 1

 f (x) =

–x + 2 + 3

–1

DILATACIÓN ILATACIÓN Y   Y COMPRESIÓN COMPRESIÓN Dada una función  f (x), la gráca de af (x), (a > 0) resulta:

2x2

 f (x) = x2

( ) se comprime Si a > 1  horizontalmente y crece verticalmente.   af (x) se dilata ho  Si 0 < a < 1    rizontalmente y se   achata verticalmente.     af  x         

y se denomina hipérbola

2 f (x) 1  f (x) 2 1 x2 2

Problema 3 Grafca la función  f (x) = 2|x – 2| – 1.

Solución: Hacemos f (x) + 1 = 2|x – 2|   y + 1 = 2|x – 2|. Y  y = 2|x|  = | |  y x Y

Y

 y + 1 = 2|x – 2|

2

X

–1

X Problema 4 Grafca la función  f (x) =

Solución: Y  y = x2

X

 1 2

Gráfico de y =|x| con vértice en (2; –1)

(x + 3)2 – 2.

I   V  B  I   M E   S  T  R  E 

Y

Y  y = 1 x2 2

X

–3 –2

X

X

Gráfico de y = 1/2 x2 con vértice en (–3; –2). 3

75

CAPÍTULO 23

FUNCIONES V

 

Es una parábola cuyo vértice es V( 2 ; 3 2 )

Problema 5 Grafca  aproximadamente la función:

Y

 f (x) = (x – 2 )2 + 3 2

 f (x)

Solución:

En la función cuadrática:

3 2

(x) – k  =  = (x – h)2, el vértice es ( h; k ) y es abierto hacia arriba. Dando forma a la función:

V X

2

 f (x) – 3 2  = (x – 2 )2

 Actividad 23 23 1

2

Dibuja la gráca de la función  f (x) = |x – 1|.

8

Según el gráco compare a y b. Y

Determina el área de la región determinada por la función f (x) = –2x + 6 y los ejes coordenadas.

 f (x) = ax 3

 f (x) = bx

2

2

Según la gráca calcula f (6) (6) + f (2) (2) + f (–2). (–2). Y

X

2  y = f (x)

1

–3

X

9

Se muestra la gráca de  f (x) = x + a + b. Calcula a – b.

la

función,

Y 4

Grafca la función f (x) = (x – 1)2 + 4.

1 5

X

Grafca la función f (x) = |(x + 2)2 – 4|.

2

   E    R    T    S    E    M    I    B    V    I

6

Grafca la función f (x) =||x – 2| – 2| – 2.

7

Halla la regla de correspondencia de la función

cuya gráca se muestra.

10

Halla la regla de correspondencia de la función  f , cuya gráca se muestra.

Y

Y 2

X

2  f 

–1 –4

76

3

X

24

       O        L        U        T         Í        P        A        C

FUNCIONES VI MODELACIÓN DE FUNCIONES La trayectoria que describe una partícula en movimiento, ¿es siempre una función?

¿Qué trayectoria describe un balón lanzado en tiro libre?

Una empresa de comunicaciones lanza una oferta de cable, teléfono e Internet a S / . 70 por los tres primeros meses, pero de 120 soles por mes, a partir del cuarto mes.

400

Calculemos el gasto en estos servicios al cabo de t meses después de adquirido el servicio.

200

En 3 meses se gasta = S / . 70 En t meses (con t > 3) hay (t – 3) meses adicionales.

100 70

Por cada mes adicional se paga S / . 120, entonces por los (t – 3) meses adicionales el gasto es 120 (t – 3). El gasto luego t meses es 70 + 120 ( t – 3) = 120 t – 290.

S / .

300

G( t)

t 3

6 meses

Gastos por servicios de comunicación.

Sea G(t) la función del gasto, en soles, por los servicios de comunicación en un tiempo de t meses, entonces:  70 si 0 < t  3 G(t) =    120t – 290 si 3 < t  

• El volumen de agua en el recipiente es:

Problema 1:

En un recipiente cilíndrico vacío de 50 cm de radio y 40 cm de altura, se suelta agua a razón de 2 litros por minuto. Determina la altura h del nivel de agua en función del tiempo t en minutos. Calcula el dominio de la función. Solución: 2 L/min

40 cm

h 50 cm

•2

L 1000 cm3 min × 1L

= 2000 cm3 / min

p(50)2h = 2500ph Luego: 2500ph = 2000t  h(t) =

5π

t

El volumen del recipiente es: V = pr2h p(50)2 40 = 100 000 p cm3 El volumen de agua no puede superar el volumen del recipiente: 2000t  100 000p  t  50p

• En t minutos ha entrado 2000 t

cm3 de agua y ha alcanzado h cm de altura.

4

Luego: h(t) =

4

t ; 0  t  50p

5 π                                                                                                                

Función

Dominio

3

77

I   V  B  I   M E   S  T  R  E 

CAPÍTULO 24

FUNCIONES VI

Problema 2:

Problema 3:

Arturo tiene 500 amigos en su cuenta de Facebook, y observa que el número de sus amigos aumenta en 50 por semana.

La distancia que recorre un cuerpo que se deja caer libremente

1. Halla el número de amigos al cabo de t semanas. 2. ¿Luego de cuántas semanas tendrá 1000 amigos?

 g es la aceleración de la gravedad y t, el tiempo en segundos.

 1

está dada por d(t) =  gt2, donde 2

Cuando tenga 1000 amigos,

La catarata más alta del Perú es Gocta, con 771 m de altura. Exprese la distancia (en m) en función del tiempo (en s) que recorre una gota de agua desde el inicio de la catarata y el tiempo que tarda en llegar al piso. Considere la aceleración de la gravedad, 10 m/s2?

A(t) = 1000:

Solución:

Solución:

En t  semanas aumenta en 50t, más los 500 que ya tiene, hacen: A(t) = 500 + 50 t

A = # amigos

500 + 50t = 1000  t = 10

d(t) =

 1 2

(10)t2  d(t) = 5t2

Cuando llega al piso d(t) = 771: Rpta.: 1. 500 + 50t;

2. 10 meses

5

= 12,45

Rpta.: d(t) = 5t2, 12,45

Interesante

Las cataratas Yumbilla, de 895,4 m y Gocta, de 771 m de caída se encuentran, respectivamente, en los distritos de Valera y de Cuispes, de la provincia de Bongorá, departamento de Amazonas. Antes del descubrimiento de Yumbilla, Gocta fue considerada la más alta del Perú y la la tercera del mundo. Yumbilla, si bien hoy es la más alta del Perú y, también, la tercera del mundo, consiste en cuatro caídas o saltos. La más alta del mundo es la catarata Salto del Ángel de 972 m (Venezuela) seguida de Tugella Fals de 948 m (Sudáfrica).

• El costo variable es lo que se

Problema 4:

Una empresa que fabrica CD's tiene un costo jo de 50 mil soles y de

200 soles por cada millar de CD's. Exprese el gasto total G en función del número n millares de CD's fa bricados. Además calcule el costo de fabricar un CD cuando produce 500 millares. Solución:

• 200 soles = 0,2 mil soles • El costo jo es lo que gasta la la fáfá   E    R    T    S    E    M    I    B    V    I

771

771 = 5t2  t =

¡!

brica así produzca o no CD's.

gasta exclusivamente en la producción, (por cada millar 0,2 mil soles) entonces en n  millares gasta 0,2 n mil soles. Luego: Costo total = Costo jo + Costo variable

                                                                                                                                                          

G(n) =

50

+

0,2n

Para n = 500 millares: G(500) = 50 + 0,2(500) = 60 mil

Yumbilla

Si 500 millares le cuesta 60 mil, entonces un CD le cuesta: 60 ÷ 500 = 0,12 soles. Rpta.: G(n) = 50 + 0,2n; S / . 0,12

Gocta

78

3

FUNCIONES VI

CAPÍTULO 24

Problema 5

altura 8

Una planta mide 2 cm. Pero en adelante crece 0,5 cm semanalmente. Determina una función afín que dé la altura de la planta en función del tiempo y repre-

crecimiento

6

séntela grácamente. Solución:

4

Altura inicial = 2 cm

2

F(x) = 0,5x + 2

Crecimiento semanal = 0,5 cm

2

4

6

8

10 tiempo

La función es: F(x) = 0,5x + 2

 Actividad 24 24 1

El lado de un cuadrado mide 5 cm. Expresa el aumento del perímetro en función del aumento del lado del cuadrado en x centímetros.

6

 El lado de un cuadrado de 20 cm de lado se aumenta en x cm. Expresa el aumento del área en términos de x.

2

Un kilogramo de azúcar cuesta 2,5 soles. Expresa el valor del azúcar en función del número de kilogramos.

7

  Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 cm. Calcula  la longitud de la hipotenusa en función de la longitud x del otro cateto.

3

El precio P por metro cuadrado de un terreno está dado por P(x) = 800/ x2, donde x es la distancia, en kilómetros, de la ubicación del terreno al centro de la ciudad. ¿Cuánto cuesta 200 m 2 de terreno ubicado a 20 km del centro de la ciudad.

8

En una semicircunferencia de 30 cm de diámetro se toma un punto, a x cm de uno de los extremos del diámetro, desde el cual se traza una perpendicular al arco de la semicircunferencia. Expresa la longitud de la perpendicular en términos de x.

4

  Un vendedor tiene una escala de descuento dada por D(n) = np/50; donde n es el número de artículos que compra el cliente y p, el precio. Un cliente compra 12 artículos de 200 soles y otro, los mismos artículos pero 15 unidades. Determina la diferencia de descuentos que obtienen.

9

Cinco personas contratan un taxi por 40 soles. Cuando x  de las personas no quieren pagar, cuánto más tienen que pagar cada uno de los restantes. Expresa el resultado en términos de x.

10

Entre dos personas pueden realizar una una tarea en 20 horas. Sea x la diferencia de tiempos en horas que tardarían en hacer dicha tarea por separado. Expresa en función de x, el tiempo que demora

5

  Al inicio de las clases el profesor de matemática le dice a sus alumnos que todos tienen 20 en puntualidad, pero que les quitará 0,2 puntos p untos por cada día que lleguen tarde. Expresa el puntaje de cualquier alumno en función del número n de tardanzas.

en hacer la tarea solo el más eciente.

3

79

I   V  B  I   M E   S  T  R  E 

SÍMBOLOS DE LA PATRIA Somos libres, seámoslo siempre, y antes niegue sus luces el sol, que faltemos al voto solemne que la patria al Eterno elevó.

Bandera

Himno Nacional del Perú

Escudo

ACTA DE SUSCRIPCIÓN DEL ACUERDO NACIONAL El 22 de julio de 2002, conscientes de nuestra responsabilidad de alcanzar el bienestar de la persona, así como el desarrollo humano y solidario en el país, los representantes de las organizaciones políticas, religiosas, de la sociedad civil y del Gobierno, sin perjuicio de nuestras legítimas diferencias, hemos aprobado un conjunto de políticas de Estado que constituyen un Acuerdo Nacional, a cuya ejecución nos comprometemos a partir de hoy.

3.- Competitividad del país

Las políticas que hemos acordado están dirigidas a alcanzar cuatro grandes objetivos:

4.- Estado efciente, transparente y descentralizado

• Democracia y Estado de Derecho • Equidad y justicia social • Competitividad del país • Estado eciente, transparente y descentralizado

1.- Democracia y Estado de Derecho Convenimos en que el Estado de Derecho y la democracia representativa son garantía del imperio de la  justicia y de la vigencia de los derechos fundamentales, así como un aspecto esencial conducente a lograr la paz y el desarrollo del país.

2.- Equidad y justicia social Armamos que el desarrollo humano integral, la susuperación de la pobreza y la igualdad de acceso a las oportunidades para todos los peruanos y peruanas, sin ningún tipo de discriminación, constituyen el eje principal de la acción del Estado.

Concordamos que para lograr el desarrollo humano y solidario en el país, el Estado adoptará una política económica sustentada en los principios de la economía social de mercado, rearmando su rol promotor, regulador, solidario y subsidiario en la actividad empresarial.

Armamos nuestra decisión de consolidar un Estado eciente, transparente y descentralizado al servicio de las personas, como sujetos de derechos y obligaciones. Finalmente, nos comprometemos a establecer los mecanismos de seguimiento necesarios para institucionalizar el cumplimiento de las veintinueve políticas de estado del Acuerdo Nacional, mediante la convocatoria a reuniones periódicas nacionales y regionales del Acuerdo Nacional, el establecimiento de una secretaría técnica autónoma, la creación de una ocina estatal de apoyo y enlace, y su difusión permanente a la sociedad en su conjunto. En testimonio de lo cual este Acuerdo Nacional que ahora suscribimos tiene carácter vinculante y quedará abierto a la adhesión de otras fuerzas políticas y organizaciones sociales, comprometiéndonos a observarlo y cumplirlo durante los próximos veinte años. Suscrito en la ciudad de Lima, siendo presidente de la República don Alejandro Toledo Manrique, a los veintidós días del mes de julio del año dos mil dos.