Álgebra 2 de secundaria

Álgebra

Intelectum Álgebra

IX Indicadores de logro

Unidad 1

Unidad 2

• Identifica los elementos de una expresión exponencial y analiza los diversos teoremas. • Calcula resultados aplicando propiedades básicas sobre exponentes. • Evalúa las leyes de una ecuación exponencial (bases iguales, exponentes iguales y semejanza). • Utiliza las propiedades sobre teoría de exponentes para la resolución de ecuaciones exponenciales. • Analiza las clases de expresiones algebraicas: monomio y polinomio, además define el grado relativo y absoluto de un polinomio y su valor numérico. • Completa polinomios y calcula su valor numérico. • Analiza los polinomios al calcular su valor absoluto y relativo. • Identifica los principales productos notables. • Simplifica expresiones utilizando productos notables. • Identifica el algoritmo de Horner y Ruffini para la división de polinomios. • Aplica técnicas de división de polinomios (Horner y Ruffini).

ALTITUD DE UN CUERPO Valiéndonos del álgebra para una circunstancia real, las ecuaciones exponenciales son aplicadas modelando diversas situaciones esto particularmente a situaciones físicas como la velocidad, aceleración, presión y altitud. Estos modelos matemáticos nos permiten entender dicho fenómeno y de esta manera lograr una predicción en el futuro. Tal es por ejemplo el caso que se presenta el poder determinar la altitud de un avión en un momento determinado considerando para ello, en tal instante, su presión atmosférica a una determinada altitud(P), la presión atmosférica al nivel del mar(Po) y la temperatura del aire(T,ºC): P=

Po ; a,b y c ! N H bT a +c

• Analiza el desarrollo de los cocientes notables. • Utiliza los principales cocientes notables en la resolución de problemas. • Divide expresiones algebraicas aplicando cocientes notables. • Identifica los casos para aplicar los métodos de factorización. • Aplica el método del aspa simple o doble para determinar los factores primos de expresiones algebraicas. • Evalúa el algoritmo del MCM y el MCD al aplicarlo. • Aplica y calcula la definición de MCD y MCM comparando dos o más expresiones algebraicas. • Discrimina entre fracción impropia y compleja, evalúa el procedimiento utilizado en los problemas. • Identifica los radicales semejantes y radicales homogéneos, además evalúa la construcción del factor racionalizante. • Homogeniza radicales en la resolución de problemas. • Identifica la clasificación de números complejos. • Utiliza propiedades para simplificar o calcular expresiones imaginarias.

Contenido: Unidad 1

Unidad 2

• Teoría de exponentes.

• Cocientes notables.

• Ecuación exponencial.

• Factorización.

• Polinomios.

• MCD - MCM y fracciones algebraicas.

• Productos notables. • División de polinomios.

Unidad 3 • Ecuaciones de primer grado. Planteo de ecuaciones.

• Radicación - Racionalización. • Números complejos.

Unidad 3 • Evalúa la naturaleza de la raíz o solución de las ecuaciones. • Utiliza procedimientos aritméticos para resolver ecuaciones de primer grado. • Discrimina entre el método de sustitución, igualación y reducción para la resolución de sistemas de ecuaciones. • Comprende el uso de las matrices en los sistemas de ecuaciones lineales y las define correctamente dentro de una ecuación matricial. • Interpreta geométricamente las soluciones de los sistemas de ecuaciones según su naturaleza y los resuelve aplicando el método de reducción, sustitución o el método de igualación. • Aplica el método de factorización o la fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado. • Identifica variables dentro de un enunciado y las expresa utilizando ecuaciones de primer o segundo grado. • Identifica intervalos acotados, no acotados, abiertos y cerrados. • Identifica las distintas propiedades sobre intervalos. • Expresa gráficamente los diferentes tipos de intervalos. • Determina el conjunto solución de las inecuaciones.

Unidad 4 • Valor absoluto.

• Logaritmos. • Sistema de ecuaciones lineales. • Funciones. • Ecuaciones de segundo grado. • Progresiones. Planteo de ecuaciones. • Desigualdades e inecuaciones.

Unidad 4 • Evalúa la aplicación de valor absoluto y analiza las ecuaciones de primer y segundo grado que utilizan valor absoluto. • Aplica las definiciones de valor absoluto dentro de ecuaciones. • Evalúa las diversas propiedades de logaritmos. • Utiliza la definición de logaritmos en las ecuaciones para calcular el valor de la incógnita. • Discrimina entre relación y función, además identifica el dominio y el rango de una función. • Identifica y define las funciones especiales (lineal, constante, de identidad, valor absoluto, cuadrática y de proporcionalidad). • Diferencia gráficamente una función de una relación utilizando diagramas de Venn. • Representa diversas funciones en el plano cartesiano según su regla de correspondencia. • Determina el dominio y el rango de distintas funciones. • Identifica los elementos de una progresión aritmética y geométrica.

unidad 1

Teoría de Exponentes POTENCIACIÓN

La potenciación es aquella operación matemática que consiste en multiplicar un número llamado base tantas veces como lo indica otro número llamado exponente.

5 veces 2 5 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

Exponente bn = p

Base

Atención Veamos algunos ejemplos:

Potencia

30 veces 5 . 5 ... 5 . 5 = 530

Exponente natural

18 veces m . m ... m . m = m18

n veces

bn = b . b ...  b . b

Exponente cero:

; b ! R; n ! N; n 2 0

Exponente negativo:

0

a =1 ; a!0

x a-x = c 1 m = 1x a a

Ejemplos: 1. 70 = 1

2. (-2)0 = 1

0

0

1 3. d 1 n = 1 4. d- n = 1 7 4

Ejemplos: 1. 4

-1

;a ! 0 Nota

1

= d1 n = 1 4 4

Ley de signos para el caso de la potenciación:

2 2 -2 2. c 3 m = 1 = c 2 m 2 3 f3 p 2

par

(+) = + Base positiva

TEOREMAS Teorema 1: Multiplicación de bases iguales x

y

Teorema 3: Potenciación de una multiplicación x

x+y

a .a =a Ejemplos: 1. x2 . x3 . x5 = x2 + 3 + 5 = x10 2. b3 + x . b- 2x . bx + 1 = b3 + x - 2x + x + 1 = b4

Teorema 2: Potencia de potencia

(a . b) = a . b

2. ((a2)5)3 = a2 . 5 . 3 = a30 3. ^b h =

10 . 1 b 5

=b

2

Teorema 5: Potenciación de una división

Ejemplos: 2 2 2 1. a x k = x 2 = x 3 9 3 3 5 15 ^x3h5 x 2. f 4 p = 4 5 = x20 y y ^y h

Base negativa

impar

 (+) = + Base positiva

Ejemplos: -1

1. 9 2

13

1

= ab

Base positiva

c f =g

1 2

=ab

= 9 2 = _3 2 i = 3 1

2 2 2 2. 4 = 4 = 4 = 16 10

Potencia positiva

Exponente impar (+4)3 = (+4)(+4)(+4) = 64

Teorema 6: Exponentes sucesivos a

Potencia positiva

Base negativa

ax = ax - y ; a ! 0 ay

de =f bc

Potencia positiva

Exponente par (-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81

Teorema 4: División de bases iguales

x

Potencia positiva

Base positiva par

1. (a2.b)3 = a6 . b3 2. (a4.b5)x = a4x . b5x

a a a k = x ; b!0 b b x

Exponente par (+2)4 = (+2)(+2)(+2)(+2) = 16

(-) =  +

Ejemplos: 10 1. x 3 = x10 - 3 = x7 x x 2. ax - 2 = a 2 a

1. (x3)4 = x3 . 4 = x12 1 10 5

x

Ejemplos:

(ax)y = axy Ejemplos:

x

Potencia positiva

g =h

Potencia positiva

impar (-) = -

= ah

Base negativa

Potencia negativa

Exponente impar (-5)3 = (-5)(-5)(-5) = -125

Base negativa

Potencia negativa

1

2 2 2 3. 8 = 8 = 8 = 64

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

5

La suma de un número limitado de sumandos se expresará de la siguiente manera:

Recuerda

• 2 sumandos: 2 + 2 = 2 (2) • 3 sumandos: 7 + 7 + 7 = 3 (7) 3 veces 2 veces

Ten presente la ley de signos para la radicación: impar

3

5

+8 = + 2 impar

3

+ 100 = + 10

4

La radicación es aquella operación matemática en la cual, dados dos números llamados cantidad subradical e índice, se requiere encontrar otro número llamado raíz. Índice

+ 16 = + 2

Simplificación directa de los radicales. 7

• •

3

•

9

p^p + 1h

250 =

3

=9

p

5 .2 =

3

3

5 .

m n

6

10 .3 =

6

3.10

a ! R ; m; n ! Z+ / n $ 2 Ejemplos:

6

3

1. 5 2 =

x

2

3

7

9 =

7

2

3.7

.9 =

7

9.2

n m

a = n am

x

6

Raíz de raíz

Exponente fraccionario

Ejemplo 3 =

Raíz

5 3 5 4 1. 25 = 5 & 25 = 52 2. 8 = 2 & 8 = 23 3. 81 = 3 & 81 = 34 4. - 32 = -2 & -32 = (-2)

2

Para colocar un número dentro de un radical: Se multiplica el índice con el exponente del número:

6

bb = =a a

Ejemplos: 3 3

= 53 2

10

nn

Cantidad subradical

a7 = a

p+1

     2010 veces

RADICACIÓN

- 27 = - 3

+ =+

Ejemplos:

• a2010 + a2010 + ... + a2010 = 2010a2010

• xy + xy + xy + ... + xy = z(xy) = xyz "z" veces

+ 32 = + 2

- =-

Ejemplos: 3 -1 = -1 par

Otros casos:

+ =+

Ejemplos:

• n sumandos: x + x + ... + x = n  x n veces

21

Ejemplos: 4 5

3

2

5     2.  x =

5

x4

3 5

x = 15 x

2.

4

a 3 = 4m a 3

ab = n a . n b

n

Ejemplos: a 3 .b.c 5 =

1. 2.

1.

5

3

8mn =

5

a3 . b . c5 5

5

8 . m. n

m

Raíz de una fracción

Raíz de un producto n

a = nm a

3

a = b

a b

n n

; b!0

Ejemplos: 1.

3 5 2. x x 3 =3 6 3 6

5 = 3

Efectuar 1. Expresa 43 # 82 # 164 como una potencia de 2. ¿Cuál es el exponente final de 2?

8. Evalua: 12^3-1 + 2-1h

2. Expresa 34 . 93 . 275 como una potencia de 3 e indicar el exponente final obtenido.

9. Calcula: ^- 2h3 + ^- 2h3 - ^- 2h2

2

3

5

3. Expresa 6 . 6 . 12 . 18 como producto de potencias de 2 y 3. Indicar la suma de exponentes de 2 y 3. 4 6 8 4. Reduce: 4 .56 . 86 16 . 12

^2 4 + 3 # 23h3 5. Calcula: 5 2 + 3 5 + 15 2 32

6. Calcula: 4 4 22 -2 -2 7. Reduce: c 12 m + c 12 m 3 4

6

Intelectum 2.°

2

2

3 10. Calcula: 2 2 22 2 -2 11. Simplifica: c 2-3 m c 4-4 m 4 2

-5

-3 12. Calcula: d 2-2 n 4

3 -4 13. Evalua: d 8 -5 nd 410 n 16 2 2

3 2 14. Calcula: 2 . 22 24

3

3

x

Problemas resueltos 1

1

5

-3 -2 2 Halla el valor de: M = ;c 1 m + c 1 m E 3 3

i)

Resolución: Aplicamos la propiedad del exponente negativo: 1 2 2

1 2

M = 6^ 3 h3 + ^ 3 h @ = 627 + 9@ = 36 M = 36 `M=6

De las proposiciones determina cuáles son verdaderas:

-1

c

Calcula: S = 27 3 +

5 5 = 5

2

ii)

2

1

22 = 4 4

iii)

2

2

2 2

=2

Resolución:

1 2

Usamos la propiedad del exponente fraccionario: i) ii)

2

5

5

1 -2 1 -2 m -c m 10 8

iii)

Resolución:

5

5

5 5

2

2 2

55 = 5 5

2

22 = 2 2

2

2 2

2

=2

1

= 5 5 (F) 1

= 2 2 = _2

1

2. 1 1 2i 2

= 4 4

(V)

2 2

2 2 2

= 2 = 2 (V)

` Son verdaderas ii y iii.

1 c m 3

2 2 S = 27 + c 10 m - c 8 m 1 1 S = 3 27 + 100 - 64 S = 3 + 36

6

Ordena de forma decreciente. A = 12

`S=9

34

14

B = 23

C = 31

42

D = 43

21

A = 41

32

Resolución: 3

Calcula: M = 52

20090

Recuerda que en estos casos de exponentes sucesivos para su reducción se toman los números de dos en dos de arriba hacia abajo.

-3 + 2014 + c 1 m 2

Resolución:

50

A = 12 B= 2

3

21

M = 5 + 20141 + d 2 n 1

4

Calcula: A =

7

5 . 4n - 1 2 + 4n - 2 2n - 2

` A=2

=4

= 31 = 3

32

= 49

19

= 41 = 4

Reduce:

1

Expresamos en fracciones las bases: 1

2 2 -1 -2 W = c 1 m c 3 mc 5 m c 5 2 m 10 10 10 10

Usamos la propiedad del exponente negativo: 1m = a-m a 1

W = 10 . 3 . 10-1 (5 . 10-1)-2 (52. 10-2) 2 Usamos la propiedad de potencia:

Operamos adecuadamente:

=

=4

= 23 = 8

116

Resolución:

2 2n . 5 . 2-2 2n -2 2 ^2 + 2-4h

1 1 + 4 16

=3

31

W = (0,1)-1 (0,3)(0,5)-2 (0,25) 2

Extraemos factor común 22n en el numerador y denominador del radicando:

A=

32

=2

Luego, en orden decreciente será: DBECA.

5 . 2 2n - 2 2n - 2 2 + 2 2n - 4

5 4

1 3 2

E = 41

Expresamos en función de una base común:

A=

2 1 4

D= 4

Resolución: A=

=1

4 3 1

C= 3

M = 5 2 + 2014 + 8 M = 25 + 2014 + 8 ` M = 2047

34

W = 3 . 10 . 10-1 . 5-2 . 102 . 51 . 10-1 5 4

4 1 + 16 16

=

5 4 = 5 16

5 . 16 4.5

A bases iguales los exponentes se suman: W = 3 . 5-2 + 1 . 101 - 1 + 2 - 1 W = 3.10 = 6 5 `W=6

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

7

ECUACIÓN EXPONENCIAL ECUACIONES EXPONENCIALES

Nota En la ley de semejanza o analogía se pueden presentar los casos: b

b

x

a

&x=a

• x = a • • xx + 1 = bb + 1 • x

&x=b

1

1

^x + 1hx

1 c + 1mb & x = 1 =c mb b b

Ejemplos de aplicación de las ecuaciones exponenciales: Bases iguales

Son aquellas ecuaciones que presentan a la(s) incógnita(s) en el exponente o en la base. Para resolver una ecuación exponencial debes tener presente los siguientes casos:

I. Ley de bases iguales





2 x 2 3 c m =c m 3 3

También: Si: a ≠ b ≠ 0 y ax = bx ⇒ x = 0

Casos a presentarse en el transcurso de la resolución de una ecuación exponencial.

a+1

=7

a + 1 = 0

Si: xa = ya ⇒ x = y ; a ≠ 0

Ecuaciones lineales

Exponentes iguales 3

Si en una igualdad de dos potencias los exponentes son iguales, entonces sus bases también serán iguales. Así:

III. Ley de semejanza o analogía   Si: xx = aa ⇒ x = a  ; x ≠ 0; 1

x=3

a+1

Si: xa = xb ⇒ a = b  ; x 2 0; x ≠ 1

II. Ley de exponentes iguales



x c 2 m = 8 3 27

Si en una igualdad de dos potencias las bases son iguales, entonces sus exponentes también serán iguales. Así:

Caso I

a = -1

Caso II

Ecuación lineal de la forma:



bb = 256



bb = 44

Ecuación lineal de la forma:

x !b =c a a

Analogía o semejanza

ax ! b ! dx ! e = gx ! h c f k Ejemplo: x + 1 + 2x - 1 = 5x + 1 4 3 6

Cuya solución es:

b=4

x = ac " b Ejemplos: 1. x - 5 = 1 3 3

• Multiplicamos en aspa:

2. n + 1 = 12 5 5

x = 3(1) + 5

• Multiplicamos las constantes 3 y 4 con cada término y simplificamos denominadores: 3x + 3 + 8 x - 4 = 5x + 1 2

n = 5(12) - 1

` x = 8

3 _ x + 1 i + 4 _ 2x - 1 i = 5x + 1 4.3 6

` n = 59

• Reducimos términos semejantes: 11x - 1 = 2(5x + 1) 11x - 1 = 10x + 2 ` x=3

Efectuar Halla x en cada caso: 1.

8

2x = 16 x

9.

3x = 81 x

17. 49x = 343 x

25. 3x - 1 = 5x - 1

2.

3 = 27

10. 2 = 128

18. 81 = 27

26. 7x + 4 = 13x + 4

3.

5x = 125

11. 9x = 27

19. 125x = 3125

27. xx = 4

x

x

x

4.

7 = 49

12. 27 =9

20. 216 = 36

28. xx = 3125

5.

6x = 216

13. 4x = 32

21. x3 = 216

29. (x - 1)(x -1) = 27

x

x

5

6.

5 = 625

14. 25 = 125

22. x = 32

30. (2x - 8)(2x - 8) = 256

7.

2x = 64

15. 36x = 216

23. (x - 1)3 = 27

31. 8 x - 1 = 32

8.

7x = 343

16. 27x = 81

24. (2x - 3)3 = 8

32. 16x - 2 = 32

Intelectum 2.°

x

Problemas resueltos 1

Halla n. 7n + 3 + 7n = 16 856

6

Resolución: n+3

Resolución:

n

7 + 7 = 16 856 7 . 73 + 7n . 1 = 16 856 7n(73 + 1) = 16 856 & 7n . 344 = 16 856 & 7n = 49

3n . 33 + 3n . 1 = 756 3n(33 + 1) = 756 3n . 28 = 756 3n = 756 28 3n = 27 = 33 ` n=3

n

2

` n=2

Halla n. 4n + 2 = 16n - 1 7

Resolución: 4

n+2

= 16

Calcula x. B3

2x + 1

= B 27

2x + 1

n-1

23

8

= B27

x-1

& 3 2 x + 1 = (3 3) x - 1 & 2 x + 1 = 3 (x - 1 )

4

9

11 = 11

` x=5

x-3 7

= a2 & x - 3 = 2 7 x - 3 = 14 ` x = 17 a

x-1 3

=5

x-1 3

x-1=0 `x=1

5

Resolución:

x-1 3

x-1 = 0 3

11 8 + 11 x = 113 & 11 8 + 11 x = 113 (11 x + 11 2) 11 x + 11 2 11 8 + 11 x = 11 x + 3 + 115 11 8 - 115 = 11 x + 3 - 11 x 5 11 (113 - 1) = 11 x (113 - 1)

ax - 3 = a2

=5

Como (4 ! 5); según la ley de exponentes iguales:

11 8 + 11 x = 11 11 x + 11 2

7

x-1 3

Resolución:

Halla x.

Resuelve:

Calcula x. 4

& 32x + 1 = 27x - 1

Resolución:

5

= 512 = 29

3n - 1 = 9 = 3 2 n-1=2 `n=3

` x=4

3

= 512

Resolución:

2x + 1 = 3x - 3

4

n-1

x –1

Resolución: B3

Calcula n. 23

n-1

(22)n + 2 = (24)n - 1 & 22n + 4 = 24n - 4 & 2n + 4 = 4n - 4 8 = 2n ` n=4 3

Halla n. 3n + 3 + 3n = 756

x

Resuelve: 25x + 2 = 1253

Resolución:

52(x + 2) = 59 & 2(x + 2) = 9 & 2x = 5 `x=5 2 10 Determina el valor de x: xx = 256

Resolución: xx = 256 = 44

Según la ley de semejanza o analogía: x=4

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

9

POLINOMIOS Expresión algebraica

Recuerda A las cantidades desconocidas se les llama variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras (las últimas del alfabeto):

Conjunto de números y letras relacionados entre sí por los operadores matemáticos de la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y/o radicación, en un número limitado de veces. Ejemplos: 1. R(x; y; z) = 33x3 + 5xyz2 + 21yz3

2. S(x; y) = 2x + 1 + 7 y

3. T(x; y) = 21 3 y + 12 + 4x2z y

....w; x; y; z.

Clases de expresiones algebraicas 1. Por su forma o naturaleza Expresión algebraica racional: es aquella que luego de ser reducida o simplificada la expresión, todas las variables en el numerador tienen exponentes enteros. Expresión algebraica racional entera: sus exponentes de las variables son números naturales (N). Ejemplo: 121x3 - 21y 2 2 3 3 • P(x; y; z) = 24x2 + 3-2 + + 20 & P(x; y; z) = 24x + 3y + (121x - 21y)z + 20 y z-3 Expresión algebraica racional fraccionaria: cuando por lo menos una de sus variables tiene exponente entero negativo (Z-) en el numerador. Observación Antes de clasificar a una expresión algebraica, es necesario simplificarla.

Ejemplo: • T(x) = x20 + 1 x3 + 2zx -2 5

• Z(x; y) = 102 + 2x3y-2 + 1 & Z(x; y) = 10x -2 + 2x3y -2 + x -1 y -1 xy x

Expresión algebraica irracional: cuando por lo menos una de sus variables tiene exponente fraccionario o signo radical. Ejemplo: • A(x) = x3 + 10x +

Exponente fraccionario 1

x 2 + 12 + 1 1 x x 2

& A(x) = x3 + 10x +

7

x 2 + x-2 + x

2. Por su número de términos

Atención

R(x,y) = x 3 y

7

30

& R(x,y): no es un monomio; es       un término algebraíco.

Monomio (1 término): es aquella expresión algebraica racional en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplos: • P(x; y) = x2y10

• T(x) = 1 x3 5

• S(x; y; z) = 2xy2z3

Polinomio

Es una expresión algebraica racional entera, de dos o más términos. Forma general (respecto a una sola variable): Nota Todo polinomio de acuerdo a su número de términos recibe el nombre particular de: • 1 término: 21x2 y3 (monomio) • 2 términos: 9x7 - 35xyz (Binomio) • 3 términos: 3x2 - 7xy2 + 100 (Trinomio) 3

2

• 4 términos: 6x - 3x + x - 7 (Cuatrinomio) • 5 términos: (Quintinomio) • 6 términos: (Sextinomio) • n términos: (Polinomio)

10 Intelectum 2.°

P(x) = a0xn + a1xn - 1 + a2xn - 2 + ... + an - 1x + an Donde: a0, a1, a2, ... , an - 1, an: coeficientes a0 ! 0: coeficiente principal an: término independiente (coefciente final)

n: grado del polinomio (n ! Z+) x: variable

Notación polinomial

Se utiliza para indicar a las variables de un polinomio. Ejemplos: • T(x,y) = 21x2y3 + 3y2 + 3x2y7 • P(x) = 4 x4 + 2x2 + 1 3 3 Se lee: P de x o polinomio P de variable x. Se lee: T de x e y o polinomio T de variables x e y.

x

Grado de las expresiones algebraicas Esto es característica de las expresiones algebraicas enteras (exponentes de las variables enteras y positivas, Z+).

Tipos de grados

Recuerda Grado, es el exponente de las variables, más no así el exponente de las constantes o parámetros.

Grado relativo (GR): referido a una letra o variable de una expresión algebraica. Grado absoluto (GA): referido a todas las letras o variables de una expresión algebraica.

Grado de un monomio Grado relativo

Grado absoluto

Así: M(x; y; z) = a2x2y10z20 & GR(x) = 2 ; GR(y) = 10 ; GR(z) = 20

Así:

Respecto a una variable, es el exponente de dicha variable.

Está dado por la suma de los grados relativos de las variables. M(x; y) = 3 x7y2 & GA(M) = GR(x) + GR(y) = 7 + 2 = 9 7

Grado de un polinomio Grado relativo

Respecto a una variable, está dado por el mayor exponente de dicha variable en el polinomio. Sea: P(x; y) = x5 y30 + 2x4y10 + 14x20y & GR(x) = 20; GR(y) = 30

Recuerda

Grado absoluto

Es el término de mayor grado absoluto. Sea: P(x; y; z) = 3xyz10 + x8y2z5 + 1 xy2z & GA(P) = 15 3 GA = 12 GA = 15 GA = 4

GR(x) : grado relativo respecto a la variable x. GA(M): grado absoluto del monomio M.

Atención El grado de una constante siempre es cero:

Valor numérico

Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables de una expresión algebraica por valores determinados.

2

Z(x) = 22 & GA(Z) = 0

Ejemplo: P(x; y; z) = x2 + 10x3yz + xy2z3. Hallar: P(1; 2; 3) & P(1; 2; 3) = (1)2 + 10(1)3(2)(3) + (1)(2)2(3)3 = 1 + 60 + 4(27) ` P(1; 2; 3) = 169

Cambio de variable

Asi como las variables pueden reemplazarse por números, también pueden ser reemplazadas por otros polinomios. Caso I: Ejemplo: Si: P(x + 3) = 4x3 + 2x + 1 Determina P(4)

Caso II: Ejemplo: Si: P(x) = 2x + 11

Resolución: Resolvemos la ecuación: x+3=4&x=1

Resolución: Reemplazamos x por x + 7 en P(x):

Reemplazamos: P(1 + 3) = P(4) = 4(1)3 + 2(1) + 1

P(x) = 2x + 11

` P(4) = 7

= 2x + 14 + 11 ` P(x + 7) = 2x + 25

Calcula: P(x + 7)

P(x + 7) = 2(x + 7) + 11

Polinomios especiales

Caso III: Ejemplo: Si: P(x + 3) = 3x + 4 Determina: P(2x - 5)

Atención Ten en cuenta siempre las siguientes propiedades del grado absoluto (GA):

Resolución: Se reemplaza x + 3 por 2x - 5 previa preparación del polinomio: P(x + 3) = 3(x + 3 - 3) + 4 & P(2x - 5) = 3(2x - 5 - 3) + 4 = 6x - 20

1. Si: P(x) = (axm + b) (cxn + d)

También: x + 3 = 2x - 5 & x = 2x - 8 & P(2x + 5) = 3(2x - 8) + 4 = 6x - 20

3. Si: G(x) = (9xm + 1)n

GA(P) = m + n a

2. Si: H(x) = 10xb + 8 12x + 2 GA(H) = a - b

GA(G) = m . n 4. Si: P(x) =

Es un caso particular de aquellos polinomios que tienen ciertas características que se diferencian de los demás, pueden ser por los exponentes de sus variables o por la ubicación de los términos.

a

b

5x + 6

GA(P) = b a

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

11

1. Polinomio homogéneo Este polinomio tiene como característica que los grados absolutos de todos sus términos son iguales. Ejemplo: M(x; y; z) = 2x3yz5 + 3z9 - 21x5y4 + xyz7     GA = 9 GA = 9 GA = 9 GA = 9

El grado de homogeneidad de M es 9.

2. Polinomios idénticos

Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos del mismo grado los coeficientes de sus términos semejantes son iguales. Atención

Sea: ax2 + bx + c = mx2 + nx + p &  

Ten presente los valores numéricos notables:

a = m; b = n ; c = p

Ejemplo: Sea: 10x2 - 7xy2 + cxy = -ax2 + bxy2 - xy, calcula: a + b + c Se cumple: a = -10 ; b = -7 ; c = -1 & a + b + c = -18

Sea el polinomio: P(x) Suma de coeficientes: / Coef. (P) = P(1)

3. Polinomio idénticamente nulo

Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables. En todo polinomio idénticamente nulo reducido, sus coeficientes son iguales a cero.

Término independiente:

Si: ax2 + bx + c / 0 &

TI (P) = P(0)

a = 0; b = 0; c = 0

Ejemplo:

Si el polinomio: P(x; y) = (a + 2)x2y + (b - 1)xz + (c - 7)xy es idénticamente nulo. Halla: a bc Resolución: Si el polinomio es nulo, entonces: a = -2; b = 1; c = 7

Nota

Luego: a = - 2 = - 2 bc 7 _1 i_ 7 i

Si se tiene un polinomio completo en una variable el número de términos es equivalente al grado aumentado en la unidad.

` a =- 2 bc 7

4. Polinomio completo

Si: P(x) es completo & N.º términos (P) = Grado + 1 Ejemplo: P(x) = x16 + x15 + ... + x2 + x + 1 GA(P) = 16 & N.º términos (P) = 16 + 1 = 17

Un polinomio será completo con respecto a una variable, si dicha variable posee todo los exponentes, desde el mayor hasta el exponente cero, inclusive. Ejemplo: 3

Mayor

Menor

4

0

2

P(x) = 2x + x + x

- 2x + 6x

& P(x) es completo.

5. Polinomio ordenado

Un polinomio será ordenado con respecto a una variable si los exponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo a partir del primer término. Ejemplo: P(x) = x8 + x5 - 2x4 + 5x - 2 Es un polinomio ordenado descendentemente (los exponentes de x disminuyen a partir del primer término).

Efectuar Grupo I

Grupo II

Halla la adición en cada caso.

Halla la sustracción en cada caso.

1. 3x2 + x + -1 + -5x + x2+ -6 3

2

2

3

3

2. 5x + x - 6 + x + 3x - x + 5x - 1 + x + x + 5 3. 3ab + -6b + -7 + -5ab - 8 + 7b + 6ab + 18b + -6 4. 0,6x7 + -6,5x3 + x + -10 + 7,2x7 + 3,2x + 15 + -3,4x3 + 6,2x7 + -8 5. 16mn2 + -m2n + 8 + -15m2n +-6mn2 + -10 + -7mn2 + -m2n + 15

12 Intelectum 2.°

1. 5 7 m10 - (-6 7 m10) 2. 0,73xy2 - 1 xy2 2 3. mn3 - d- 7 n mn3 2 4. 0,5 xyz - (-0,78xyz) 5. 3 7 abc2 - (-8 7 abc2)

Problemas resueltos 1

Sea R un polinomio que verifica: R(3x + 2) = 9x2 + 6x + k + 10 Donde el término independiente de R(x) es 12. Halla: R(5)

3

Calcula: (/coef. - 23)2

Resolución:

El término independiente se calcula cuando: 3x + 2 = 0 & x = - 2 3 2 TI(R) = R(0) = 9 d- 2 n + 6 d- 2 n + k + 10 = 12 3 3

Del polinomio completo, notamos el aumento sucesivo de sus exponentes, empezando por el uno: p - 10 = 1 & p = 11 La suma de coeficientes está dado por: /Coef. (M) = M(1) = 3 - 2 + 7 + 6 + p = 25

                       & k = 2

Si: x = 1

Nos piden:

` R(5) = 9(1)2 + 6(1) + 2 + 10 = 27

(/Coef. -23)2 = (25 - 23)2 = 22 = 4

Dado el polinomio cuyo grado de homogeneidad es 31: Z(x, y) = ax4a + 3b + 2 ya + bx4a + 3b + 1ya + 1 + (a-b + b-b) xa + 5b + 35y4a - 2b - 33 Además, el grado relativo a “x” es al grado relativo de “y” como 4 es a 1. Determina la suma de sus coeficientes.

` (/Coef. - 23)2 = 4

4

Determina: b a l b

b

Resolución:

Por ser un polinomio homogéneo se cumple: 5a + 3b + 2 = 31 (dato) 5a + 3b = 29 ...(1)

Agrupamos adecuadamente los términos semejantes: K(x; y) = [(a + b)x3y4 - 30x3y4] - [(b - a)x4y3 + 10x4y3] K(x; y) = (a + b - 30)x3y4 - (b - a + 10)x4y3 Según condición del problema:    K(x,y) = 0

...(2)

(a + b - 30)x3y4 - (b - a + 10) x4y3 = 0

De (1) multiplicamos miembro a miembro por 5: 25a + 15b = 145 ...(3)

Se cumple que: a + b - 30 = 0 b - a + 10 = 0 a = 20 / b = 10

De (2) multiplicamos miembro a miembro por 3: 9a - 15b = 93 ...(4) Sumamos miembro a miembro (3) y (4): (25a + 15b) + (9a - 15b) = 145 + 93  34a = 238 a=7 Reemplazamos el valor de “a” en (1): 5(7) + 3b = 29 b = -2 Nos piden: /Coef. = a + b + [a-b + b-b] = 7 - 2 + 7-(-2) + (-2)-(-2)       = 5 + 49 + 4 = 58 ` /Coef. = 58

Del polinomio idénticamente nulo: K(x; y) = (a + b)x3y4 - (b - a)x4y3 - 30x3y4 - 10x4y3

Resolución:

Por condición del problema: GR (x) = 4 & a + 5b + 35 = 4 & 3a - 5b = 31 GR (y) 1 a+1 1

Se presenta el siguiente polinomio completo: M(x) = 3 - 2xp - 10 + 7xp - 9 + 6xp - 8 + pxp - 7

Resolución:

2

x

Nos piden: 10

a b 20 10 b l = d n = 2 = 1024 b 10 ` b a l = 1024 b b

5

Calcula (mn) sabiendo que el polinomio es homogéneo. P(x; y) = 6xmy6 + 3 x10y4 - 2x3y2+n

Resolución: m + 6 = 14 = 3 + 2 + n &m=8/n=9 ` mn = 72

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

13

6

Sea el monomio: 2 n M = x 2 y 5 _ x 2 y i _ xm y i

10 Si: F(x) = nx + 5

Si el GR(x) = 10 y el GA(M) = 19, halla: mn

Halla m si se verifica: n

Resolución:

F(x) + F(2x) + F(3x) = 30x + m

n M = x2 y5 ^x2 yh ^xm yh 2

Resolución:

F(x) = nx + 5 F(2x) = 2xn + 5 F(3x) = 3xn + 5

M = x2 y5 x4 y2 xmn yn

M = x2 + 4 + mn y5 + 2 + n M = x6 + mn y7 + n GR(x) = 6 + mn = 10 & mn = 4 GA(M) = 6 + mn + 7 + n = 19 GA(M) = 6 + 4 + 7 + n = 19 & n = 2 / m = 2 Piden: mn = 22 = 4 7

M = x 2 x 2m x3m

M = x2 x2m x3m = x2 + 5m

Si: P(x) = x Halla: P(3)

- 3x

+1

Resolución:

P(x) = x2001 - 3x2000 + 1 Para: x = 3 & P(3) = 32001 - 3 # 32000 + 1 P(3) = 32001 - 32001 + 1 = 1 9

n

5

P (x; y) = 4xm + 1 yn - 2 + 6xm + 2 yn - 1 + 6xm + 3 yn - 2

Del dato: 2 + 5m = 5 & m = 3 5 2000

`  m = 15 = 3

11 Halla (m - n) si el polinomio P es de grado absoluto 20 y de grado relativo a y igual a 8.

Resolución:

8

De donde: 6n = 30 & n = 5 Además: m = 15

Halla m si el monomio es de quinto grado.

2001

Reemplazamos: nx + 5 + 2nx + 5 + 3nx + 5 = 30x + m 6nx + 15 = 30x + m

Si se cumple: P(a) = a ; P(a - b) = b; P(a - c) = c Además: P(x) = P(x - b) + P(x - c) - 2P(P(2x - a)) Calcula a en términos de b y c.

Resolución:

Datos: P(a) = a; P(a - b) = b; P(a - c) = c

Resolución:

Del polinomio: P (x; y) = 4xm + 1 yn - 2 + 6xm + 2 yn - 1 + 6xm + 3 yn - 2     GA = m + n - 1 GR (y) = n - 2

GA = m + n + 1 GR (y) = n - 1

El mayor GA: m + n + 1 = 20 m + n = 19

...(1)

Además el mayor GR(y) = n - 1 = 8 & n = 9 Reemplazamos en (1): m + n = 19 & m + 9 = 19 & m = 10 Por tanto: m - n = 1 12 Sea: P(x) = (a + 3)xa + 3x + 5 un polinomio cúbico; calcula su coeficiente principal.

Además: P(x) = P(x - b) + P(x - c) - 2P(P(2x - a))

Resolución:

Sea: x = a P(a) = P(a - b) + P(a - c) - 2P(P(a)) b c a b c + 3P(a) = b + c & a = 3

Por dato, P(x) es de grado 3: & a=3

14 Intelectum 2.°

GA = m + n + 1 GR (y) = n - 2

P(x) = (a + 3)xa + 3x + 5

Nos piden coeficiente principal de P(x): a + 3 Entonces: 3 + 3 = 6

x

PRODUCTOS NOTABLES Concepto

Son resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva; todo ello es posible por la forma en que se presentan los factores. Es importante para el alumno reconocer estas formas matemáticas, para lograr ello le proporcionaremos un resumen completo de los llamados productos notables.

Observación (a - b)2 = (b - a)2

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES 1. Binomio suma o diferencia al cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio cuadrado perfecto



Ejemplo: Ejemplo: • ( 2 + 1)2 = ( 2 )2 + 2( 2 )(1) + 12

• (2a - 1)2 = (2a)2 - 2(2a)(1) + 12

Atención

= 4a2 - 4a + 1

= 2 + 2 2 + 1 = 3 + 2 2

Como: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ...(α)

2. Identidades de Legendre

(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)



(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ...(β)

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

(α) + (β): (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

Ejemplo: Ejemplo: • (x + 3m)2 + (x - 3m)2 = 2(x2 + (3m)2) = 2(x2 + 9m2) • (3m + 2n)2 - (3m - 2n)2 = 4(3m)(2n) = 24mn

(α) - (β):

3. Diferencia de cuadrados

De este modo se demostró la veracidad de las identidades de Legendre.

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Ejemplos: • (x2 + 1)(x2 - 1) = (x2)2 - 12 = x4 - 1



(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

• ( 7 + 2)( 7 - 2) = ( 7 )2 - 22 =7-4=3

• (5n + 3m)(5n - 3m) = (5n)2 - (3m)2 = 25n2 - 9m2 4. Identidad de Stevin (producto de binomios con un término común) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab



Ejemplos: • (x + 7)(x + 1) = x2 + (7 + 1)x + (7)(1) = x2 + 8x + 7 • (x - 2)(x + 5) = x2 + (-2 + 5)x + (-2)5 = x2 + 3x - 10

Atención Como: (a + b)3 = a3 + 3a2b +

(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc



Ejemplo: • (x + 2)(x + 1)(x + 7) = x3 + (2 + 1 + 7)x2 + (2(1) + 2(7) + 1(7))x + 2(1)(7)          = x3 + 10x2 + 23x + 14

(a - b)3 = a3 - 3a2b +

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2)



(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Ejemplo: Ejemplo: • (2x + 2)3 = 8x3 + 24x2 + 24x + 8 • (a - 2)3 = a3 - 6a2 + 12a - 8 Corolario: (a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2)

3ab2 - b3 ...(ii)

(i) + (ii):

5. Desarrollo de un binomio al cubo

3ab2 + b3 ...(i)



(i) - (ii): (a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2) De este modo se demuestra el corolario del desarrollo de un binomio al cubo.

(a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

15

6. Identidades de Cauchy (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) Ejemplo: Ejemplo: • (2x + m)3 = (2x)3 + m3 + 3(2x)(m)(2x + m) • (a2 - b)3 = (a2)3 - b3 - 3(a2)(b)(a2 - b)      = 8x3 + m3 + 6xm(2x + m)                = a6 - b3 - 3a2b(a2 - b) 7. Producto de un binomio por un trinomio Suma de cubos Diferencia de cubos (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 Ejemplo: Ejemplo: • (x + 2)(x2 - 2x + 4) = x3 + 23 = x3 + 8 • ( 7 - 2)( 7 2 + 7 (2) + 22) = ( 7 )3 - 23 = 7 7 - 8 Recuerda Que a la identidad de la Cauchy también se le denomina: forma semiagrupada de un binomio al cubo.

8. Desarrollo de un trinomio al cuadrado • Forma desarrollada (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca • Formas abreviadas (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab - bc - ca) (a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(-ab + ac - bc) (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2(ab + ac - bc)

9. Identidad de Argand (x2m + xmyn + y2n)(x2m - xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n • Casos particulares (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1 (x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

Efectuar 1.

(x - 3)2 =

12. (a + 5)(a - 5) =

23. (x + 9)(x - 6) =

2.

(x + 8)2 =

13. ( 3 + 1)2 =

24. (x + 10)(x - 2) =

3.

(x + 9)2 =

14. ( 5 - 2 )2 =

25. (x + 12)(x - 8) =

4.

(5 - x)2 =

15. ( 7 + 2 )2 =

26. (x + 2 - y)2 =

5.

(8 - x)2 =

16. ( 13 + 1)2 =

27. (a - 2 + 3)2 =

6.

(x + 2)3 =

17. ( 2 - 1)2 =

28. (x2 + b + 1)(x2 - b + 1) =

7.

(x + 3)3 =

18. (x + 9)2 - x2 =

29. (5y + 2x - 1)2 =

8.

(x + 4)3 =

19. ^ 3 + 1h^ 3 - 1h =

30. (b2 + b + 1)(b2 - b + 1) =

9.

(x - 6)3 =

20. ^5 + 13 h^5 - 13 h =

31. (x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) =

10. (x + 10)(x - 10) =

21. (x + 8)(x + 2) =

32. (x + xy + y)2 =

11. (x + 2)(x - 2) =

22. (x + 2)(x + 3) =

33. (x6 + x3y4 + y8) (x6 - x3y4 + y8) =

16 Intelectum 2.°

Problemas resueltos 1

5

Si: x + y = 3 2 x.y=2 Calcula: x2 + y2

(x + y)2 = (3 2 ) 2

Resolución:

a + b + c = ( 5 - 3 2 + 1) + (3 2 - 4) + (3 - 5 )

x2 + 2xy + y2 = 18

a+b+c=0

x + 4 + y = 18

& a3 + b3 + c3 = 3abc

` x2 + y2 = 14

Reemplazamos: E = 3abc = 3 6abc 6

2

2

2

Calcula: a3 + b3 Si: a + b = 4 y a . b = 2

Resolución:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 4 43 = a3 + b3 + 3 . 2 . 4 3

6

M = (x + 5)2 + (x + 3)2 - 2(x + 4)2 + 1

3

M = x2 + 10x + 25 + x2 + 6x + 9 - 2(x2 + 8x + 16) + 1

` a3 + b3 = 40

M = 2x2 + 16x + 34 - 2x2 - 16x - 32 + 1

Si: x = 3 9 + 3 3 + 1 y =3 3 -1

`M=3

M = 34 - 32 + 1

7

Halla: xy

Si: x + 1 = 11 x Calcula: x 2 + 12 x

Resolución: y . x = (3 3 - 1) (3 9 + 3 3 + 1)

Resolución:

(3 3 ) 3 - (1) 3

2

1 2 d x + n = (11) x

y.x=3-1

4

` E = 1 = 0, 5 2 Reduce: M = (x + 5)2 + (x + 3)2 - 2(x + 4)2 + 1

Resolución:

64 = a + b + 24

3

Si: a = 5 - 3 2 + 1 b =3 2 -4 c = 3- 5 3 3 3 Calcula: E = a + b + c 6abc

Resolución:

` xy = 2

x 2 + 2x d 1 n + 12 = 121 x x

Si: x + y = 2 5

x 2 + 2 + 12 = 121 x ` x 2 + 12 = 119 x



x

x.y=3

Halla: M = x 2 + y 2 + 2

Resolución: (x + y)2 = (2 5 ) 2 x2 + 2x . y + y2 = 20 6 x2 + 6 + y2 = 20 & x2 + y2 = 14 ` M = 14 + 2 = 4

8

Si: x3 + y3 = 28 xy(x + y) = 12 Calcula: x + y

Resolución: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) (x + y)3 = 28 + 3(12) (x + y)3 = 64 ∴x + y = 4 ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

17

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Concepto

Recuerda Propiedades generales de los polinomios. Sea: D°: Grado del dividendo  d°: Grado del divisor Q°: Grado del cociente R°máx.: grado máximo del residuo Luego: • Q° = D° - d° • R°máx. = d° - 1

Operación definida para polinomios de una variable cuya finalidad es obtener el cociente y el residuo a partir del dividendo y el divisor. Identidad fundamental: D(x) = d(x)Q(x) + R(x)

Elementos: D(x) : dividendo d(x) : divisor Q(x): cociente R(x): resto o residuo

Técnicas de división Horner Empleado para la división de polinómios de cualquier grado (incluso: D°(x) < d°(x)). Ubicación de los COEFICIENTES en el esquema: NO cambia de signo el 1.er coef. D I V Cambian de signo por (-1) I S O R

D

I

V

I

D

E

N

• En el ejemplo, la segunda raya vertical se traza contando dos espacios desde la derecha, pues el divisor es de segundo grado. • Se debe colocar un cero en el término x3 del dividendo, ya que éste no aparece.

O

# lugares = d°(x)

El número de espacios son iguales COCIENTE

Observación

D

RESTO

IMPORTANTE: • Los polinomios deben estar ordenados en forma descendente respecto a una sola variable y si faltase alguna completar con ceros. • Si existen dos o más variables, asumir sólo a una de ellas como tal, y las demás harán el papel de números o constantes. Ejemplo: 5 5 4 4 2 2 Dividir: 4x a + 32x2 a2 + 16x a + xa + 9 2x a + 4xa + 3

Resolución: • Completamos con ceros el término cúbico y asumiendo como variable a x:

4x5 a5 + 32x 4 a 4 + 0x3 a3 + 16x 2 a 2 + xa + 9 2x 2 a 2 + 4xa + 3

• Disponemos de los coeficientes: :

: 24a4 -54a3 88a2 2a2

4a5

2a3 # -4a 2a3 #

32a4

0a3

-8a4

-6a3

16a2

a

9

-48a3 -36a2

-3

108a2

81a -176a -132

18 Intelectum 2.°

2a3

12a2

-27a

44

x3

x2

x

TI

-94a -123 x

TI

x

Por lo tanto: Q(x,a) = 2x3a3 + 12x2a2 - 27xa + 44 R(x,a) = -94xa - 123

Ruffini

Se emplea cuando el divisor toma la forma: ax ! b o axn ! b Si el divisor es de la forma: axn ! b, hacemos el siguiente cambio: xn = y Esquema de resolución: DIVISOR

 

 D I V I D E N D O

ax ! b = 0 x=" b a Primer coef. del divisor: a

Observación

Coeficientes del cociente alterado

RESIDUO

Verdaderos coeficientes luego de dividir por “a”.

Ejemplo: 9 6 3 Efectúa: 12x + 16x3 + 9x + 12 y verifica si es exacta. 3x + 4

• Cuando las potencias de la variable del dividendo son múltiplos de la potencia de la variable del divisor binomio, se podrá aplicar el cambio de variable. • El cociente será un polinomio en el cual sus potencias irán disminuyendo de acuerdo al exponente del divisor.

Resolución: • Según el cambio recomendado: x3 = y • Expresamos el dividendo en función de x3: D(x) = 12(x3)3 + 16(x3)2 + 9(x3) + 12 • Reemplazamos el cambio de variable: 3y + 4 = 0

12

16

9

12

-16

0

-12

12

0

9

0

4

0

3

2

y

TI

y=-4 3

12y3 + 16y 2 + 9y3 + 12 3y + 4

:3

y Luego: Q(y) = 4y2 + 3 Como: y = x3 entonces: Q(x) = 4(x3)2 + 3

` Q(x) = 4x6 + 3 R(x) = 0 (división exacta)

Teorema del resto Nos ayuda a obtener el resto de una división sin desarrollarla. Enunciado de Descartes: Sea:

P_ x i una división polinómica & R = P d" b n ax ! b a

Regla práctica: 1. El divisor igualamos a cero: ax ! b = 0 2. Despejar la variable: x = " b a ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

19

Si: axn ! b = 0 &

xn = " b a



No extraer raíces

3. Reemplazamos el valor de x o xn en el polinomio (dividendo) y el valor obtenido es el RESIDUO de la división. Ejemplo: Recuerda A. Para determinar la suma de coeficientes de un polinomio entero en x: P(x) se hace: S coef.P(x) = P(1) B. Para determinar el término independiente de dicho polinomio se hace: TI = P(0)

16 8 4 Calcula el resto de: x - 6x 4 - 12x + 9 x -3

Regla práctica: 1. Divisor igual a cero: x4 - 3 = 0 2. Despejamos x4 tenemos: x4 = 3 3. Reemplazamos en el dividendo; previamente hacemos: D(x) = (x4)4 - 6(x4)2 - 12(x4) + 9 Luego: R(x) = 34 - 6(3)2 - 12(3) + 9 = 81 - 54 - 36 + 9 = 0 ` R(x) = 0 (división exacta)

Divisibilidad

Se dice que un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio d(x) si y solo si la división P(x) : d(x) es exacta, es decir, el resto es cero (R(x) = 0) ; además, se establece que d(x) es un factor o divisor de P(x). P(x) es divisible por d(x) + P(x) = d(x)Q(x) Ejemplo: (x3 - a3) es divisible por (x - a), ya que: x3 - a3 = (x - a)(x2 + xa + a2)

Teoremas

I. Si un polinomio P(x) se anula para x = a (P(a) = 0) & P(x) es divisible por (x - a). Además: x = a es un cero o raíz de P(x). P(x) = (x - a)Q(x) Ejemplo: P(x) = x3 + 2x2 - 3 se anula para x = 1. P(1) = (1)3 + 2(1)2 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 & P(x) es divisible por (x - 1). ` P(x) = (x - 1)Q(x) II. Si un polinomio P(x) es divisible por separado por los binomios (x-a), (x-b) y (x-c); entonces será divisible por el producto de ellos, es decir: Atención El proceso inverso también se cumple, osea si un polinomio P(x) es divisible por el producto (x + a)(x + b)(x + c) entonces, P(x) es divisible por cada uno de sus factores.

Si: P(x) = (x - a)Q1(x) & R(x) = 0 P(x) = (x - b)Q2(x) & R(x) = 0 P(x) = (x - c)Q3(x) & R(x) = 0 &

20 Intelectum 2.°

P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)Q(x) / R(x) = 0

x

Problemas resueltos Luego: Q(a, b) = 3a2 - 2ab + 5b2 R(a, b) = 9ab3 - 15b4

HORNER 1

Calcula a/b si el resto de la división: 6x 4 - x3 + ax - b 3x 2 + x - 4 Es: 4 - 5x

RUFFINI 3

Resolución:

▪▪ Completamos el término cuadrático con cero: 3

6

-1

-1

0

-2

8 1

+4

a

-1

3

8x 6 + 6x 5 + 3x 4 + 4x 2 - x + 2 x- 1 2

-b   Qº = Dº - dº    = 4 - 2   Qº = 2

-4

x- 1 =0 2

 TI

8



▪▪ El resto de la división se expresa como: R(x) = (a - 7)x + (12 - b) ▪▪ Comparamos los términos lineales y las ctes: R(x) = (a - 7)x + (12 - b) = -5x + 4 a - 7 = -5 / 12 - b = 4 a = 2 / b=8

3

0

4

-1

2

4

5

4

2

3

1

10

8

4

6

2

3

/Coef. Q(x) = 8 + 10 + 8 + 4 + 6 + 2 = 38 `  /Coef. Q(x) = 38

Luego: a = 2 = 1 b 8 4

4

Luego de dividir: 8x 4 + 2x 2 - 3 2x 2 - 1

` a =1 b 4

Calcula la suma de coeficientes del cociente.

Efectúa: 12a 4 - 23a3 b + 51a 2 b 2 - 30ab3 + 20b 4 4a 2 - 5ab + 7b 2

Resolución: ▪▪ Hacemos: x2 = y &

e indica el cociente y el resto.

Resolución:

▪▪ Según las propiedades; respecto a la letra “a”: Qº(a) = Dº(a) - dº(a) = 4 - 2 = 2 Rºmáx. = dº(a) - 1 = 2 - 1 = 1 ▪▪ Como esta completo y ordenado respecto a la letra “a”: 4

6

El coeficiente de “x” en el divisor es “1”, luego los coeficientes del cociente quedan como estan indicados.

▪▪ Por dato: R(x) = -5x + 4

2

8

x= 1 2

  Rºmáx. = 1

a - 7 12 - b x

Resolución:

▪▪ Completando el dividendo, luego por Ruffini:

  Rºmáx. = dº - 1     = 2 -1

12

-3 2

Calcula la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división:

12

-23b

2

51b

+5b

15b  -21b2

-7b2

 -10b2

3

-30b

20b

+

+

4

2

8y 2 + 2y - 3 2y - 1

▪▪ Por Ruffini: 2y - 1 = 0 y= 1 2 :2

14b3 25b3

-35b4

3

-2b

5b2

9b3

-15b4

2

a

TI

a

TI

a

Obtenemos:

8_x2i + 2_x2i - 3 2_x2i - 1

▪▪ Cociente: Q(y) = 4y + 3

8

2

-3

4

3

8

6

0

4

3

y

TI

▪▪ Reponiendo: y = x2: Q(x) = 4x2 + 3

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 1

21

Nos piden: /Coef. Q(x) = 4 + 3 = 7

2

2

TEOREMA DEL RESTO

4

n+1

= 2 n + 1 = 2

a bases iguales igualarse exponentes

2

`n=1

Calcula “a” en la siguiente división exacta: DIVISIBILIDAD

x18 - 2x9 - 3x6 + x3 + a x3 - 1

7

¡No! Extraer raíces.

Resolución:

▪▪ Según la regla práctica: 1. Divisor igual a cero: x3 - 1 = 0 2. Despejar la variable: x3 = 1 3. Reemplazamos el valor de “x3” en el polinomio dividendo, para ello expresamos: 36

33

32

3

D(x) = (x ) - 2(x ) - 3(x ) + (x ) + a R(x) = (1)6 - 2(1)3 - 3(1)2 + 1 + a = 1 - 2 - 3 + 1 + a = a - 3



x - 2 es 14. n x2 - 4

Resolución: n

1. Divisor igual a cero: x 2 - 4 = 0

1 n

n

2. Despejar el término: x 2 = 4 & x = 4 2 3. Reemplazamos, en el dividendo:

= b 4

▪▪ Del problema: P(x) = (x - 2)Q2(x) + R(x)

...(2)



En (1): P(2) = (23 - 25(2) + 42)Q1(x) = 0

...(3)

En (2): P(2) = (2 - 2)Q2(x) + R(x) = R(x)

...(4)

Un polinomio P(x) de cuarto grado es divisible separadamente entre (x2 + 1) y (x2 + 2x + 2). Si se divide P(x) entre (x3 - 1) el resto es: 6x2 + 6x + 8, luego el término independiente del polinomio es:

Resolución:

▪▪ La regla práctica nos dice:

-2

1 2n 2 2n l

...(1)

▪▪ Ambas expresiones (1) y (2) conforman el polinomio P(x), luego para: x = 2

8

2 2n

2 2n

▪▪ Por teorema se cumple: P(x) = (x3 - 25x + 42)Q1(x) & R(x) = 0

Observemos de (3) y (4) : ` R(x) = 0

Calcula “n”, si el resto de la división:

R(x) = _ x i

Sea “P” un polinomio en x, divisible por (x3 - 25x + 42). ¿Cuál será el residuo al dividir P(x) entre (x - 2)?

Resolución:

▪▪ Una división es exacta cuando R(x) = 0. R(x) = a - 3 = 0 `a=3 6

= 2

2n + 1 = 4

` /Coef. Q(x) = 7

5

2n + 1

▪▪ Por teorema: k P(x) = (x2 + 1)(x2 + 2x + 2) . Q1(x) 4.º grado 4.º grado grado 0 ▪▪ Además: P(x) = (x3 - 1)Q2(x) + (6x2 + 6x + 8)

-2

...(1)

...(2)

▪▪ Recordamos teoría de exponentes: (am)n = am . n Bases iguales, restar exponentes

▪▪ Para : x = 1 En (1) : P(1) = (12 + 1)(12 + 2(1) + 2) . k P(1) = 2(5)k = 10k ...(3)

R(x) = 4

En (2) : P(1) = (13 - 1)Q2(x) + 6 (1)2 + 6(1) + 8

2 2n 2 n

= 4 2

-2

2n - n

n

2n

- 2 = 4 2 - 2 = _2 2 i - 2 n

n+1

R(x) = 2 2 . 2 - 2 = 2 2

-2

▪▪ Por dato: R(x) = 14 a sumar el 2.º miembro R(x) = 2 2

n+1

- 2 = 14

▪▪ Por transposición de términos: 2

22 Intelectum 2.°

2n + 1

P(1) = 20 ...(4) ▪▪ De (3) y (4) : P(1) = 10k = 20 & k=2 ▪▪ Con este valor el polinomio P(x) toma la forma: En (1): P(x) = (x2 + 1)(x2 + 2x + 2)2 ▪▪ De aqui calculamos el término independiente TI cuando x = 0: TI = P(0) = (02 + 1)(02 + 1)(02 + 2(0) + 2)2

= 16

` TI = 4

unidad 2

Cocientes Notables Concepto

Toman este nombre porque su cálculo se realiza en forma directa, sin necesidad de efectuar la división polinómica. Representación general: xn ! an x!a

Atención Para que sea un cociente notable (CN): • El resto debe ser nulo (división exacta).

Siendo: x; a, las bases n ! N - {0; 1}

• Las bases deben ser iguales. • Los exponentes en el dividendo, deben ser iguales.

Casos a estudiar

n

x !a x!a

n n Caso I: x - a

n

x-a

Verificamos si la división es exacta por el teorema del resto. Regla práctica: 1. Divisor igual a cero:

x-a=0

2. Despejamos la variable:

x=a

3. Reemplazamos en el dividendo: R(x) = an - an = 0 Si: R(x) = 0, entonces es un cociente notable; n ! N - {0; 1} Obtenemos su desarrollo general por Ruffini: x-a=0

1

x=a 1

0

0

...

0

-an

a

a2

... an - 2 an - 1

an

a

a2

... an - 2 an - 1

0 " División exacta

xn - 1 xn - 2 xn - 3 Luego:

0

x

Observación Si

TI

xn - an = xn - 1 + xn - 2 a + xn - 3 a2 + ... + xan - 2 + an - 1 x-a

&

Observa que: Si el divisor es de la forma x - a, los signos de los términos serán positivos. - = + + + + ... + + (n: par o impar)

&

p

r

q

s

x !y x !y

es CN:

p r = =n q s R(x) = 0

n: (n.º de términos) R(x): residuo

-

Ejemplo: x3 - a3 = x2 + xa + a2 x-a También se verifica el proceso inverso, veamos algunos ejemplos: 2 - 2 • a + b = a b a-b 2 2 - 2 • x + 7 = x 7 = x 49 x-7 x-7

• x3 + x2y + xy2 + y3 =

x4 - y4 x-y

• x3 + 2x2 + 4x + 8 Dándole una forma adecuada: 4 4 - 4 x3 + x2(2) + x(2)2 + 23 = x 2 = x 16 x-2 x-2

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 2

23

Observación En el desarrollo de: n

n

x + a = + - + -... x+a Los términos de lugar par son negativos y los de lugar impar son positivos. & tk = (+) si k impar. tk = (-) si k par. tk: término de lugar k.

xn + an x+a

Caso II:

Verificamos si la división es exacta por el teorema del resto. Regla práctica: 1. Divisor igual a cero: x+a=0 2. Despejamos la variable: x = -a 3. Reemplazamos en el dividendo: R(x) = (-a)n + an Para n = impar, si R(x) = -an + an = 0, entonces es un cociente notable; n ! N - {0; 1} Por Ruffini obtenemos su desarrollo general: x+a=0

1

x=-a 1

0

0

0

....

-a

a2

-a3

...

-a

a2

-a3

Luego:

x

TI

+ +

son + - + - ... - + (n: impar)

También se verifica el proceso inverso: Ejemplos: 3 + 3 • x2 - 5x + 25 = x2 - x(5) + (5)2 = x 5 x+5 3 = x + 125 x+5

• a6 - 2a5 + 4a4 - 8a3 + 16a2 - 32a + 64 Dándole una forma adecuada: a6 - a5(2) + a4(2)2 - a3(2)3 + a2(2)4 - a(2)5 + (2)6 7 7 + 7 + = a 2 = a 128 a+2 a+2

7 + 7 • x6 - x5a + x4a2 - x3a3 + x2a4 - xa5 + a6 = x a x+a

Caso III:

En el caso III, si n es impar, la división no es un cociente notable, ya que el residuo es diferente de cero (0).

División exacta

x5 + a5 = x4 - x3a + x2a2 - xa3 + a4 x+a

En: x + a ; si n es par. x+a

Nota

0

Ejemplo:

n

& No es CN; R(x) ! 0

-an - 2 an - 1

xn + an = + xn - 1 - xn - 2 a + xn - 3 a2 - ... - xan - 2 + an - 1 x+a

Observa que: Si el divisor es de la forma x + a, los signos de los términos n

an

0

-an - 2 an - 1 -an

xn - 1 x n - 2 x n - 3 x n - 4



Atención

0

xn - an x+a

Verificamos si la división es exacta por el teorema del resto. Regla práctica: 1. Divisor igual a cero: x+a=0 2. Despejamos la variable: x = -a 3. Reemplazamos en el dividendo: R(x) = (-a)n - an Para n = par, si R(x) = an - an = 0, entonces es un cociente notable; n ! N - {0; 1} Por Ruffini obtenemos su desarrollo general: x+a=0

1

x = -a 1 Luego:

24 Intelectum 2.°

x

n-1

0

...

-a

a2

... an - 2 -an - 1 an

-a

a2

... an - 2 -an - 1

x

n-2

x

n-3

0

x

0

-an

0

TI

xn - an = +xn - 1 - xn - 2 a + xn - 3 a2 - ... + xan - 2 - an - 1 x+a

0

División exacta

x

Observa que: Si el divisor es de la forma x + a, los signos de los términos

+

= + - + - ... + - (n: par)

Ejemplo: 4 - 4 • x a = x3 - x2a + xa2 - a3 x+a

Atención

También verifica el proceso inverso:

n

2 - 2 • a - b = a b a+b

• 27z3 - 9z2 + 3z - 1 = (3z)3 - (3z)2 (1) + (3z) (1)2 - (1)3

6 - 6 • x5 - x4 a + x3a2 - x2 a3 + xa4 - a5 = x a x+a

Caso IV:

27z3 - 9z2 + 3z - 1 =

4 _ 3z i - 1 = 81z 1 3z + 1 3z + 1 4

n

En el desarrollo: x - a x+a

Término de lugar par: (-) Término de lugar impar: (+)

xn + an x-a

Verificamos si la división es exacta por el teorema del resto. Regla práctica: 1. Divisor igual a cero: x-a=0 2. Despejando la variable: x=a 3. Reemplazando en el dividendo: R(x)= an + an Si n = par o impar, el resto no se anula: R(x) = an + an = 2an ! 0; no es cociente notable.

Cálculo de un término cualquiera de lugar “k” del cociente notable

Veamos el desarrollo: xn ! an = xn - 1 ! xn - 2 a ! xn - 3 a2 ! ... ! xan - 2 ! an - 1 x!a

Nota Para aplicar la fórmula de tk, la división debe tener la

= xn - 1 a0 ! xn - 2 a ! xn - 3 a2 ! ... ! xan - 2 ! x0 an - 1





t 1

t 2

t 3

tk

tn - 1

n

n

forma: x ! a x!a

tn

El término de lugar k “tk” toma la forma: tk = ! xn - k ak - 1

(Término general contando de izquierda a derecha)

Donde: “k” es el lugar que ocupa el término, asimismo “x” y “a” son las bases del cociente notable, donde solo en el dividendo están afectadas por el exponente n. Convención para los signos: • •

Atención Término general contando de derecha a izquierda: tk = (signo)xk - 1yn - k El signo se analiza según el caso.

Si el divisor es x - a & tk = + (siempre) Si el divisor es x + a, entonces: Si k impar & tk = + Si k par & tk = -

Ejemplo:

5 + 5 Dado el cociente notable x a ; halla t4 y t3. x+a

Observamos que el divisor es x + a. Nos piden: • t4, significa que k es par, entonces:

t4 = -x5-4 a 4-1 t4 = -xa3 • t3, significa que k es impar, entonces: t3 = + x5-3a3-1 t3 = + x2a2

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 2

25

Problemas resueltos 1

Desarrolla e indica el 3.er término. 8

Haciendo lo mismo para el divisor: x4 + x2 + 1 = (x2)2 + (x2)1 + 1= (x2)2 + (x2)1 (1)1 + (1)2 bases

12

m -y m2 + y3

_ x 2i - _1 i3 3



Resolución:

=

Buscamos bases así como exponentes iguales: m8 - y12 _m 2i - _y3i = m2 + y3 m2 + y3 4



4

x -1

6 = x2 1 x -1

Reemplazamos en la expresión inicial: 16

14

12

4

2

x + x + x + ... + x + x + 1 = x4 + x2 + 1

Verificamos si es cociente notable: 1. Divisor igual a cero: m2 + y3 = 0 2. Despejar la expresión: m2 = -y3 3. Reemplazamos en el dividendo: R(m2) = (-y3)4 - y12

R x18 - 1 S 2 S x -1 S 6 S x -1 S T x2 - 1

H

=

_ x6i - 13 = (x6)2 + (x6)1(1) + (1)2 = x12 + x6 + 1 x6 - 1

Por dato del problema: x12 + x6 + 1 = x2a + xa + b

= (m2)3 - (m2)2 (y3) + (m2) y6 - y9

x2(6) + x(6) + 1 = x2(a) + x(a) + b & a = 6; b = 1

= m6 - m4y3 + m2y6 - y9

Nos piden calcular:

2.º

3.º

b+1

4.º (término)

` El 3.er término es m2 y6.

3

Si al efectuar: x16 + x14 + x12 + ... + x 4 + x 2 + 1 , se obtiene una expresión de x4 + x2 + 1

la forma x2a + xa + b Calcula:

b+1

_ x6 - 1ia x 2 - 1 k

16 + x14 + x12 + ... + x 4 + x 2 + 1 = 12 + 6 + & x x x 1 x4 + x2 + 1

El desarrollo de este cociente notable será: 4 4 _m 2i - _y3i 4-1 4-2 4-3 2 3 = _m 2i - _m 2i _y3i + _m 2i _y3i - _y3i m2 + y3

1.º

_ x18 - 1ia x 2 - 1 k

3

=

Luego: R = 0 & Es cociente notable: caso III

2

2

a + b + 2 = 1+1 6 + 1 + 2 = 9 = 3

Efectúa: 7 7 + M = x 1 + x 1 - 2x6 - 2x4 - 2x2 x+1 x-1

Resolución: La primera fracción es el caso II y la segunda fracción es el caso I de cocientes notables; según su desarrollo establecemos: (ten cuidado con los signos de los términos).

a+b+2

Resolución: Empleando el proceso inverso de solución para un cociente notable: x16 + x14 + x12 + ... + x4 + x2 + 1 Buscamos términos iguales a: x2 (x2)8 + (x2)7 + (x2)6 + ... + (x2)2 + (x2)1 + 1 2

Los exponentes de “x ” disminuyen de uno en uno, observa también que todos los términos son positivos: caso I de cocientes notables. Por consiguiente: 9 _ x 2i - _1 i9 28 27 26 22 21 (x ) + (x ) + (x ) + ... + (x ) + (x ) + 1 = x2 - 1 Son las bases 18

x16 + x14 + x12 + ... + x4 + x2 + 1 = x 2 1 x 1

26 Intelectum 2.°

M = (x6 - x5(1) + x4(1)2 - x3(1)3 + x2(1)4 - x(1)5 + (1)6) + (x6 + x5(1) + x4(1)2 + x3(1)3 + x2(1)4 + x(1)5 + (1)6)

- 2x6 - 2x4 - 2x2

M = x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1 + x6 + x5 + x4 + x3

+ x2 + x + 1 - 2x6 - 2x4 - 2x2

Reduciendo términos semejantes: M = (x6 + x6 - 2x6) + (x5 - x5) + (x4 + x4 - 2x4) + (x3 - x3) + (x2 + x2 - 2x2) + (x - x) + (1 + 1) M = x6(2 - 2) + x5 (1 - 1) + x4 (2 - 2) + x3(1 - 1) + x2(2 - 2) + x(1 - 1) + 2 M = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 `M=2

x 4

Simplifica: 10

8

6

4

7

2

xm - y54 tiene 6 términos. x 5 - yn

+x +x +x +x +1 P= x x4 + x2 + 1

Resolución:

Resolución:

Empleando el proceso inverso de solución, buscamos “x2” en el dividendo y el divisor: 6 _x2i - 1 P=

_ x2i + _ x2i + _ x2i + _ x2i + _x2i + 1 5

4

3

2

1

=

_ x 2i + _ x 2i + 1 2

1

m = 54 = 6 5 n

x2 - 1

&

_x2i - 1 3

Caso I CN

2 12 _ x6i - 1 1 = _ x6i + 1 P = x6 1 = 6 x -1 x -1

` m + n = 39 8

10 + x8 + x6 + x 4 + x2 + 1 = 6 + `P= x x 1 x4 + x2 + 1

Damos la forma de un CN:

78 + 76 + 74 + + 4 + 2 + E = x38 x36 x 34 ... x 4 x 2 1 x + x + x + ... + x + x + 1



37

2

1

` TI = n2n - 1

_ x 2i + _ x 2i + _ x 2i + ... + _ x 2i + _ x 2i + 1 18

17

_ x 2i - 1

2

1

40

E=

80 _ x 40i - 1 = x 40 - 1 = 40 = x 40 + 1 20 x -1 x -1 _ x 2i - 1 x2 - 1

x2 - 1

Caso I CN

` E = x40 + 1 6

Halla n en el cociente notable:

P(x)

P(0) = 2n - 1 + 2n - 1 + ... + 2n - 1 + 2n - 1

_ x 2i + _ x 2i + _ x 2i + ... + _ x 2i + _ x 2i + 1 19

n

& TI de P(x) = P(0) = (2)n - 1 + (2)n - 2 . 2 + ... +(2) . 2n - 2 + 2n - 1

Expresando “E” en función de “x2”: 38

_ x + 2 i - 2n (x + 2) - 2

Su desarrollo: (x + 2)n - 1 + (x + 2)n - 2 . 2 + ... + (x + 2) . 2n - 2 + 2n - 1

Resolución: E=

Determina el TI del cociente: n _ x + 2 i - 2n x

Resolución:

Simplifica:

39

m 54 =6 / =6 5 n m = 30 / n = 9

x2 - 1



5

Halla (m + n), si el cociente notable:

2

9

n términos

Halla el valor de E = d a

27x3 (3x) a - (2y) 2a + b -b 2 n , si 3 9x 2 - 16y 4

es un cociente notable de 9 términos.

Resolución: Le damos forma de cociente notable: _ 3 x i (3 x ) a - _ 2 y i 3

2a + b

_ 3x i - _ 2y i 2

4

=

_ 3x i

3+a

- _ 2y i

_ 3x i - _ 2y i 2

x5n + 3 - y5 (n + 6) xn - 1 - yn + 2

El cociente notable tiene 9 términos: 3 + a = 2a + b = 9 2 4

Resolución:

Efectuamos: 3 + a = 18 & a = 15 2a + b = 36 & b = 6

Por ser CN, se cumple: 5 (n + 6 ) + & 5n 3 = n+2 n-1 5n2 + 13n + 6 = 5n2 + 25n - 30 6 + 30 = 25n - 13n 36 = 12n ` n = 3

2a + b 4

Nos piden: 2 - 2 - 2 E = d a b n = d 15 6 n = d 9 n = 9 3 3 3 `E=9 ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 2

27

FACTORIZACIÓN

Concepto Recuerda

Es un proceso mediante el cual un polinomio se expresa como la multiplicación de factores primos.

• Un polinomio está definido en un campo numérico si todos sus coeficientes pertenecen a dichos campos. C(x;y) = 5ix2 + 2 xy3 - 2xy2 7 Está definido en C. • Generalmente la factorización se realiza en los racionales (Q). Q = ' 2 ; 3 ; -2; -1; 0; 5; 20;...} 3 5

Metodologías de factorización A) Factor común (agrupación de términos) Pasos a seguir: • Verificar si toda la expresión presenta factores repetidos en varios términos, si estuviesen elevados a exponentes, elegir las bases comunes afectadas con el menor exponente. • Si luego de verificar la expresión no se encuentran factores comunes, se agrupa los términos en forma conveniente de tal manera que se genere algún factor común o alguna identidad. • Extraemos el factor común y el factor que quede se determina dividiendo los términos de este con el factor común que se extrajo. Factoriza los siguientes ejemplos:

1. P(x; y) = 3x2y3 - 6xy2 + 11x2y

2. P(x) = x2n + 1 + 5x2n + 2 - xn

Resolución: • Extraemos el factor común: xy P(x; y) = xy(3xy2 - 6y + 11x)

Resolución: • Extraemos el factor común: xn P(x) = xn(xn + 1 + 5xn + 2 - 1)

3. P(a; b) = 5a5b + 10a3b3 - a4b2 - 2a2b4 + 5a4b2 + 10a2b4 - a3b3 - 2ab5 • Extraemos el factor común monomio “ab” de toda la expresión: P(a; b) = ab(5a4 + 10a2b2 - a3b - 2ab3 + 5a3b + 10ab3 - a2b2 - 2b4) Atención Un factor primo en los racionales es aquel que admite dos divisores: a la unidad y la misma expresión. • x2 - 16 (no es primo). Se puede expresar como: (x + 4)(x - 4) • x + 3 sí es un factor primo. No es factorizable en los racionales (Q). • x2 - 7 es factor primo en Q. No es factor primo en R; ya que:

x2 - 7 = (x +

7 )(x -

7)

Factores primos en R.

Ten en cuenta que la variable no está debajo del signo radical.

• Agrupamos en la forma señalada para luego factorizar convenientemente: P(a; b) = ab((5a4 + 5a3b) + (10a2b2 + 10ab3) - (a3b + a2b2) - (2ab3 + 2b4)) = ab(5a3(a + b) + 10ab2(a + b) - a2b(a + b) - 2b3(a + b)) • Extraemos factor común (a + b): P(a; b) = ab(a + b)(5a3 + 10ab2 - a2b - 2b3) • Agrupamos en forma señalada convenientemente: P(a; b) = ab(a + b)((5a3 - a2b) + (10ab2 - 2b3)) = ab(a + b)(a2(5a - b) + 2b2(5a - b))



• Extraemos el factor común (5a - b): ` P(a; b) = ab(a + b)(5a - b)(a2 + 2b2)

B) Identidades Es la aplicación inmediata de algunos productos notables: I. Trinomio cuadrado perfecto (tcp) II. Diferencia de cuadrados a2 - b2 = (a + b)(a - b)

a2 ! 2ab + b2 = (a ! b)2 Ejemplo: 16x4 + 8x2y2 + y4 = (4x2)2 + 2(4x2)(y2) + (y2)2 = (4x2 + y2)2

Ejemplo:

III. Diferencia de cubos

IV. Suma de cubos

4x2 - y4 = (2x)2 - (y2)2 = (2x + y2)(2x - y2)

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) Ejemplo: 3

Ejemplo: 3

3

3

343x - 8y = (7x) - (2y)

28 Intelectum 2.°

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

= (7x - 2y)(49x2 + 14xy + 4y2)

8c9 + 27 = (2c3)3 + 33 = (2c3 + 3)(4c6 - 6c3 + 9)

x

C) Aspa simple Se utiliza para factorizar particularmente polinomios de la forma:

P(x) = Dx2n ! Exn ! F

P(x; y) = Dx2m ! Exmyn ! Fy2n



, donde m; n ! Z+

O cualquier otra expresión que se amolde a dichas formas.

Nota Factorización por adición y sustracción: Factoriza: x4 + 1

Pasos a seguir: • Descomponer los extremos. • Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al término central.

x4 + 2x2 + 1 - 2x2 (x2 + 1)2 - 2x2 (x2 + 1 + 2x)(x2 + 1 - 2x)

Ejemplos: 1. P(x) = 5x8 + 8x4 + 3

2. A(x; y) = 6x4 - 17x2y - 14y2

• Descomponemos los términos extremos y efectuamos en aspa:

• Descomponemos los términos extremos y efectuamos en aspa:

P(x) = 5x8 + 8x4 + 3

A(x; y) = 6x4 -17x2y - 14y2

+3

3x4

x4 +1

+5x4



5x4

+ 2y

4x2y

- 7y 2x2

-21x2y



+8x4

3x2

-17x2y

• Tomamos los factores en forma horizontal:

• Tomamos los factores en forma horizontal:

` P(x) = (5x4 + 3)(x4 + 1)

A(x; y) = (3x2 + 2y)(2x2 - 7y)

D) Aspa doble Se emplea para factorizar polinomios de dos variables necesariamente y que tenga seis términos que se adecuen a la forma general: M(x; y) = Ax2m + Bxmyn + Cy2n + Dxm + Eyn + F

Recuerda Cuando el tercer término tiene signo (-), los signos son distintos para sus respectivos factores primos.

, donde m; n ! Z+

Pasos a seguir: • Ordenar el polinomio de acuerdo a esta forma general. • De faltar algún término, este se reemplazará en su lugar por ceros. • Se trazan dos aspas simples entre los términos Ax2m / Cy2n; Cy2n / F • Se traza un aspa grande entre los extremos Ax2m / F • Se verifican las aspas simples y el aspa grande.

Nota

• Se toman los factores en forma horizontal. Ejemplo: Factoriza B(x; y) = -21 + 9x + 30x2 + 4xy -13y - 2y2 Resolución: Siguiendo los pasos: B(x; y) = 30x2 + 4xy - 2y2 + 9x - 13y - 21 10x -2y -7 (I)

3x

(Il) y

(Ill) 3

A los términos:

(I) Aspa simple entre los términos (30x2; -2y2): (3x)(-2y) + (10x)(y) = 4xy (II) Aspa simple entre los términos (-2y2; -21): (-2y)(3) + (y)( -7) = -13y

Ax2m; Cy2n; F También se les llama términos fijos.

(III) Aspa grande entre los términos (30x2; -21): (10x)(3) + (3x)(-7) = 9x ` Tomando los factores en forma horizontal: B(x; y) = (10x - 2y - 7)(3x + y + 3)

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 2

29

Problemas resueltos 1

Determina el número de factores primos de: M(q) = q8 - 82q4 + 81

5

Factoriza P(x; y) = 3x2 - 5xy - 2y2 e indica el factor primo con mayor suma de coeficientes.

Resolución: Por el método del aspa simple: 8

Resolución:

4

P(x; y) = 3x2 - 5xy - 2y2 3x +1y

M(q) = q - 82q + 81 q4 -81 -81q4 4 q -1 -q4 -82q4

1x -2y P(x; y) = (3x + y)(x - 2y)

M(q) = (q4 - 81)(q4 - 1)

Piden el factor primo con mayor suma de coeficientes: (3x + y) & !coef. = 4

Desdoblamos las diferencias de cuadrados: M(q) = (q2 + 9)(q2 - 9)(q2 + 1)(q2 - 1)

= (q2 + 9)(q + 3)(q - 3)(q2 + 1)(q + 1)(q - 1)

6

` El número de factores primos es 6. 2

Resolución: Por aspa doble:

Factoriza P(x; y) = x3y - xy3 e indica los factores primos.

6x2 + xy - 2y2 + 9x - y + 3 3x   + 2y      +3

Resolución: Aplicamos el método del factor común: 3

P(x; y) = x y - xy 2

Factoriza la siguiente expresión: E(x; y) = 6x2 + xy - 2y2 + 9x - y + 3

2x     - y      +1

3

E(x; y) = (3x + 2y + 3)(2x - y + 1)

2

P(x; y) = xy(x - y ) P(x; y) = xy(x + y)(x - y) Sus factores primos son x; y; x + y; x - y 3

7

Resolución:

Factoriza M(a; b) = 64a7b7 - ab13 Da como respuesta la suma de los factores primos binomios.

Aplicamos el método de identidades: Q(a; b) = a2 - c2 + b2 - 2ab Q(a; b) = a2 - 2ab + b2 - c2

Resolución: Aplicamos agrupación de términos y el método de identidades:

Q(a; b) = (a - b)2 - c2

M(a; b) = ab7(64a6 - b6)

Q(a; b) = (a - b + c)(a - b - c)

7

32

32

M(a; b) = ab ((8a ) - (b ) )

Nos piden: a - b + c + a - b - c = 2a - 2b

M(a; b) = ab7(8a3 - b3)(8a3 + b3)

M(a; b) = ab7(2a - b)(4a2 + 2ab + b2)(2a + b)(4a2 - 2ab + b2)

Piden: 2a - b + 2a + b = 4a 4

Factoriza Q(a; b) = a2 - c2 + b2 - 2ab Da como respuesta la suma de los términos de los factores primos.

Factoriza P(x) = x2 + (b - a)x - ab e indica un factor primo.

Resolución: Por el método del aspa simple: P(x) = x2 + (b - a)x - ab x - a x b

= (x - a)(x + b)

` Un factor primo es (x - a).



30 Intelectum 2.°

8

Factoriza F(x; y) = (xy)2 + x2y + xy2 + 2xy + x + y + 1 e indica el factor primo de segundo grado.

Resolución: Reordenamos convenientemente para aplicar identidades y el método del factor común: F(x; y) = (xy)2 + 2(xy) + 1 + xy(x + y) + (x + y) F(x; y) = (xy + 1)2 + (x + y)(xy + 1) F(x; y) = (xy + 1)(xy + 1 + x + y) F(x; y) = (xy + 1)(x(y + 1) + (y + 1)) F(x; y) = (xy + 1)(y + 1)(x + 1) ` El factor común de grado 2 es (xy + 1).

x

Máximo Común Divisor (MCD) Mínimo Común Múltiplo (MCM) Fracciones Algebraicas Máximo común divisor (MCD)

Es aquella expresión de mayor grado posible contenida como factor un número entero de veces, en dos o más expresiones algebraicas. La expresión algebraica deducida debe tener mayor coeficiente numérico.

Procedimiento

a) Se factorizan las expresiones. b) El MCD estará formado por los factores comunes con su menor exponente.

Atención El MCD de dos o más números es el mayor coeficiente numérico: Así: • Divisores de 27: 1; 3 ; 9 ; 27 • Divisores de 45: 1 ; 3 ; 5; 9 ; 15; 45

Ejemplo: M(x) = 32x2(x2 + 1)(2x + 1)3(x + 7)2 = 25 . x2(x2 + 1)(2x + 1)3(x + 7)2

& MCD(27;45) = 9

N(x) = 56x(x2 + 1)7(2x + 1)2(x + y - 7) = 7 . 23 . x(x2 + 1)7(2x + 1)2(x + y - 7) & MCD(M;N) = 23x(x2 + 1)(2x + 1)2 (factores comunes a M y N).

Mínimo común MÚLTIPLO (mcm)

Es aquella expresión de menor grado posible que contiene un número entero de veces como factor a dos o más expresiones algebraicas. La expresión algebraica deducida debe tener menor coeficiente numérico.

Procedimiento

a) Se factorizan las expresiones. b) El MCM estará formado por los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo: M(x;y) = 9xy2 (x2 + y)3 (x - y)(x + y2)4 N(x;y) = 7x3y3 (x + y)(x - y)(x + y2)10 (x - 3y) & MCM(M;N) = 63x3y3 (x - y)( x + y2)10 (x + y) (x - 3y)(x2 + y)3

Propiedades

1. Si dos o más expresiones son primos entre sí, su MCD es la unidad y su MCM el producto de ellos.

2. Dados dos expresiones algebraicas E y F, su MCD por su MCM es igual al producto de EF.

Ejemplo: E = 14 = 2 # 7; F = 15 = 3 # 5 & MCM(E;F) = (2 # 7) # (3 # 5) = 210                         E   F Divisores de E: 1 ; 2; 7; 14 Divisores de F: 1 ; 3; 5; 15

& MCD(E;F) = 1

MCD(E;F) MCM(E;F) = E.F



Así: • Múltiplos de 7: 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56

Ejemplo: E = 2 = 21 MCD(E;F) = 2  / MCM(E;F) = 22 2

Atención El MCM de dos o más números es el menor múltiplo de ellos que sean iguales.

2

F = 4 = 2 MCD(E;F) . MCM(E;F) = 2 # 2 = 8 = E.F

• Múltiplos de 4: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32 & MCM(7;4) = 28

Fracciones algebraicas Clases Fracción impropia Es cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

Fracciones complejas Cuando al menos uno de sus términos es una expresión fraccionaria.

Ejemplos:

Ejemplos:

3 x + 1 ; x3 + 3x - 1 ; 121x ; x + 2y 2 y + x 1 x 1 x +1

3x - 1 - 1 + 1 1+ 2 2x + 1 1+ 1 x x2 + 1 x ; 3 1 3x - 2 + x+ x-1 3x + 2 x ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 2

31

Operaciones con las fracciones algebraicas

Comúnmente se presentan una suma o diferencia de fracciones, para ello haremos el producto en aspa y luego multiplicamos los denominadores.

Nota 1. 

2. 

Veamos:

1 =n 1 n

• A - B = AN BM M N MN

1 1 =1 n n n

• A = A .B-1 B

n

-n y n y 4.  c x m = c m = n y x x

A B = AD • BC C D

• M ' P = d M nd Q n = M . Q N Q N P N.P

m 2 + n 2 - mn x x x

   =

+ •  C + D = CQ DP P Q PQ

También se presentan: n

3.  c x m = xn y y

5. 



m 2 + n 2 - mn x

•  

1 =- 1 M-N N-M

•  d A nd C n = A . C B.D B D

•  

-M =- M = M N N -N

•   A = AC B B C

Ejemplo: Simplifica la siguiente fracción algebraica: + 1 M = x + 2 2x x + 3 x + 4x + 3 x + 1 Se observa adición de fracciones algebraicas. Encontramos el MCM de los denominadores, para ello primero factorizamos el denominador cuadrático: x2 + 4x + 3 & (x + 3)(x + 1) x 3 x 1 Luego el MCM de los denominadores es: (x + 3)(x + 1) Entonces: 2 x (x + 1) + 2x + 1 (x + 3) (x + 3) (x + 1) = x + 4x + 3 = =1 + 1 = M = x + 2 2x x + 3 x + 4x + 3 x + 1 (x + 3) (x + 1) (x + 3) (x + 1) (x + 3) (x + 1) Por lo tanto: M = 1

Efectuar Grupo I 1. Indica el MCD de: A = (x + 3)4(x + 5)6 B = (x + 5)2(x + 3)8 2. Indica el MCM de: A = x3y4z6 B = x5y2z4 3. Halla el MCD de: A = x2 - y2 B = x2 - 2xy + y2 4. Halla el MCM de: A = x2 - y2 B = x2 + 2xy + y2 5. Si el MCD de: A = 6xm + 1y n  –  2 B = 4xm + 3yn  – 4

32 Intelectum 2.°

es px4y2. Calcula: m . n . p 6. Si el MCM de: A = 6xm  –  5yn  +  3 B = 4xm  – 1yn  +  1 es: px4y4. Calcula: m + n + p 7. Siendo: A(x) = x2 + 3x - 10 B(x) = x4 - 25x2 C(x) = x3 + 4x2 - 5x Halla el MCD(A; B; C). 8. Siendo: A(x) = x4 - 5x3 + 6x2 B(x) = x3 - 4x2 + 4x C(x) = x3 - 6x2 + 9x Halla el MCM(A; B; C).

Grupo II 9. Simplifica: x2 - y2 S= x-y 10. Reduce: 2 U = x 25 x-5 11. Simplifica: 2 + R= x2 1 2x + 2 12. Simplifica: 2 T = 3x3 3x2 2x - 2x 13. Reduce: 2 - + M = x 4x 4 x-2

14. Simplifica: x 2 + 2xy + y 2 A= x+y 15. Reduce: 2 B = x 2 2x2 x -2 16. Simplifica: + I = 4x 4 2x + 2 17. Reduce: T = 1 1- 1 x 18. Reduce: 1 R = 1+ 1 1-x 19. Reduce: 1 M = 1+ 1 1- 1 x

x

Problemas resueltos 1

Halla el MCD de:

Resolución:

A = 3x5y2z3k5

E=

B = 2xyzk C = 5xzk

+ E= a c a-b

Resolución:

` a + c - (a - b) = a + c + b - a = b + c

5 2 3 5

A = 3x y z k ; B = 2xyzk y C = 5xzk ` MCD(A; B; C) = xzk 2

6

Halla el MCD de 2x4y2z2; 8x2z6; 6x5y7z4.



2 - 8 - 6 1

4

A(x) = x2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) -3 x x -2

2

B(x) = x2 + 2x - 8 x +4 x -2 B(x) = (x + 4)(x - 2)

3

` MCD(2x 4 y 2 z 2 ; 8x 2 z 6 ; 6x 5 y 7 z 4 ) = 2x 2 z 2 Halla el MCD de: A(x) = x2 - 4 B(x) = x2 - x - 6 C(x) = x2 - x - 6

& MCD(A(x); B(x)) = (x - 2) (factor común) & MCM(A(x); B(x)) = (x - 3)(x - 2)(x + 4) (contiene a ambos polinomios) 7

Resolución: A(x) = x2 - 4 = (x + 2)(x - 2) B(x) = x2 - x - 6     x -3     x 2 B(x) = C(x) = (x - 3)(x + 2)

4

Sean a y b ! Z. x - 11 ; determina a y b. Si: a + b = 12 2x - 1 x - 3 2x 2 - 7x + 3

Resolución: Operamos las fracciones: a _ x - 3 i + b _ 2x - 1 i x - 11 = 12 _2x - 1i_ x - 3i 2 x 2 - 7x + 3

Nos piden: MCD(A; B; C) = x + 2

2x - 1 (factorizamos por x - 3 aspa simple)

Simplifica la expresión:

ax - 3a + 2bx - b = 12x - 11 _2x - 1i_ x - 3i _2x - 1i_ x - 3i

2 - 2 - 2 M = a b - ab b 2 ab ab - a

& (a + 2b)x - 3a - b = 12x - 11 & a + 2b = 12 / -3a - b = -11 ` a = 2 / b = 5

Resolución: 2 - 2 b _a - bi = a 2 - b 2 + b _b - ai M= a b ab ab a _b - ai a _b - ai 2 2 2 - 2 - 2+ 2 M= a b + b = a b b = a = a ab a ab ab b `M= a b

5

Determina el MCD y MCM de: A(x) = x2 - 5x + 6 y B(x) = x2 + 2x - 8

Resolución:

Resolución:

3

a _a + b i + c _a + b i _a + bi_a - bi

Luego de simplificar: 2 + + + E = a ab2 ac2 bc , halla la diferencia entre el numerador y a -b el denominador.

8

Determina el MCM y MCD de: xn - 2y-2; xn - 3y-3 / xn - 1y-1

Resolución: Ordenamos: xn - 1 ; xn - 2 ; xn - 3 y y2 y3 & MCM = 1 . xn - 1 y Múltiplo de los 3 términos

& MCD = 13 . xn - 3 y Divisor de los 3 términos

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 2

33

RADICACIÓN - RACIONALIZACIÓN Radicación

Es aquella operación algebraica que consiste en hallar una expresión numérica llamada raíz, conocidas dos cantidades denominadas índice y cantidad subradical.

Recuerda • Los elementos de un radical: Símbolo radical

Índice n

n

• Teoremas: p

a = ^n a h p

n

p

2. n ab = n a . n b m

n p

4.

n

a = b

5.

n

3.

a=

a = n

m

mnp

a

a; b ! 0 b

n

n.m

6. ap n b = 7.

Llamamos radical simple a la expresión

a=b

Subradical Raíz o enésima radicando

1. a n =

Radical

n

a

a , cumpliéndose que:

a = b & bn = a ; n ! N; n $ 2

Las cantidades “a y b” serán positivas siempre que “n” sea un número par.

Clases de radicales Radicales semejantes Estos tienen la misma expresión subradical y el mismo índice. Ejemplo: Los radicales 121 7 x + y ; 7 7 x + y ; - 7 x + y Por tener la misma expresión subradical x + y, así como el mismo índice 7.

Radicales homogéneos Estos se caracterizan por tener el mismo índice. Ejemplos: • •

7; 9

1; 2

87 ; 9

x + y son homogéneos de índice 2.

101 ;

9

b son homogéneos de índice 9.

Transformación de radicales dobles a radicales simples

m

Radicales de la forma:

np

a b

m

n

m

a = a = m a ;a 2 0

A! B

Los radicales de la forma A ! B , siendo A y B números racionales positivos (Q+) pueden tomar la forma: x! y &



...(1)

A - B = x - y

...(2)

A+ B = x + y

Para hallar los valores de x e y se siguen los siguientes pasos: 1. Sumamos miembro a miembro (1) y (2), elevamos al cuadrado; luego tenemos: ( A + B + A - B )2 = (2 x )2 & 2A + 2 A 2 - B = 4x &

+ A2 - B x= A 2

2. En forma análoga, ahora restamos y posteriormente elevamos al cuadrado: ( A + B - A - B )2 = (2 y )2 & 2A - 2 A 2 - B = 4y & Nota Cuando el radicando A2 - B es un cuadrado perfecto, dará una raíz exacta que se le llamará C, de forma que: C=

2

A+C ! 2

Ejemplo: Transforma a radicales simples: 5 + 24 Resolución: • Hacemos: 5 + 24 = A + B = x + y ; A = 5 / B = 24

A -B

Luego (1) y (2) quedará: A! B =

- A2 - B y= A 2

A-C 2

• Luego reemplazamos: 5 + 24 = Radicales de la forma:

5 + 5 2 - 24 + 2 x

5 - 5 2 - 24 = 3 + 2 2 y

A!2 B

Cuando un radical doble es de la forma A ! 2 B se pueden determinar dos números x e y que cumplan con las siguientes relaciones: x + y = A / xy = B

34 Intelectum 2.°

x

x + y ! 2 xy = x ! y

Así se verificará que: Ejemplo:

Atención

Transforma a radicales simples: 10 - 84

En las operaciones con radicales ten en cuenta los siguientes procedimientos.

Resolución: Dándole la forma adecuada 10 - 84 = 10 - 2 21

• Para introducir factores en una raíz Los exponentes de los factores quedan multiplicados por el índice del radical.

= 7 + 3 - 2 7.3

Según las relaciones establecidas 10 - 84 = 7 - 3

Así:

Racionalización

5

5 2 5 xy2z 5 3xyw = 5 x ay k z 3xyw

Es el proceso de transformación ya sea del numerador o denominador irracional en otra equivalente que tenga numerador o denominador racional, respectivamente.

Factor racionalizante (conjugado del denominador)(FR)

Lo común es racionalizar denominadores, para ello es suficiente multiplicar los dos términos de una fracción por un número racional convenientemente elegido, este número toma el nombre de factor racionalizante. Fracción a racionalizar:

a

N ; siendo a Pb

2



b

5

6 11 5

3x y z w

• Para extraer factores de una raíz Se considera aquellos factores que sus exponentes son mayores o iguales al índice del radical. Así: 2 8 4 2

x y z w = 8 x x ay k y z w 8

A la fracción planteada multiplicamos sus términos por el siguiente FR: _a P a - b i & aN a P Pb _ P a - b i Nota que los exponentes de P: b y a - b suman “a” (índice del radical). a

=





a-b

11 20 2

3

8 3

= xy

28

3 4 2

x y z w

3

3

Ejemplos: 1. 2.

3.

1 = 1 . 72 - 1 = 7 7 7 7 72 - 1 3

9

20 = 20 3 103 - 2 = 20 3 10 = 20 3 10 = 2 3 10 f p 3 23 3 10 10 2 10 2 3 103 - 2 10 10 ab = 7 5 2 a b c

9

9 9-7 9-5 9-2 9 2 4 7 ab a b c = ab a b c = f p abc a7 b5 c 2 9 a9 - 7 b9 - 5 c9 - 2

Fracción a racionalizar:

2m

9

a 2 b 4 c7 c

Ejemplos: 1.

2.

a " 2m b

&

2m

(a + b)(a - b) = a2 - b2

^ 2m a " 2m b h N 2m a! b ^ 2m a " 2m b h

el cual en este caso se puede presentar como:

^2m a + 2m b h^2m a - 2m b h

= m a -m b

4 4 4 4 4 4 11 - 4 7 = 4_ 11 - 7 i = 4_ 11 - 7 i 11 + 7 f p d n 11 + 7 11 - 7 11 - 7 11 + 4 7 4 11 - 4 7

4

4 = 11 + 4 7

=

4 _ 4 11 - 4 7 i_ 11 + 7 i 4 _ 4 11 - 4 7 i_ 11 + 7 i = = _ 4 11 - 4 7 i_ 11 + 7 i 4 11 - 7

4

El siguiente producto notable: Diferencia de cuadrados

N ;m!N a ! 2m b

Se multiplica el numerador y denominador por la “conjugada”: 2m

Recuerda

18 18 13 - 10 = 18 _ 13 - 10 i = 6 _ 13 - 10 i = d n 13 - 10 13 + 10 13 + 10 13 - 10

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 2

35

Problemas resueltos 1

3 M = 353 49 - 5 3 49 73

Transforma: M = 14 + 180 a radical simple.

Resolución:

3 M = 35 49 - 5 3 49 = 5 3 49 - 5 3 49 7

M = 14 + 2 # 9 # 5 # 2 = 14 + 2 45

&M=0

& 14 = 9 + 5 / 45 = 9 # 5

6

`M= 9 + 5 = 3+ 5

2

R = 7 + 2 12 + 7 - 2 12

Efectúa:

Resolución:

Y = 7 + 2 10 - 5

Dando uso a la transformación de radicales dobles a radicales simples, tenemos:

Resolución:

7 = 5 + 2 / 10 = 5 # 2

R= 7+2 4#3 + 7-2 4#3

& 7 + 2 10 = 5 + 2

R = _4 + 3i + 2 4 # 3 + _4 + 3i - 2 4 # 3

`Y= 5 + 2 - 5 = 2

3

R = _ 4 + 3i+_ 4 - 3i

Transforma a radicales simples:

R=2+ 3 +2- 3 =4

A = 9 + 72

` R=4

Resolución: + 9 2 - 72 = 9 + 9 = x= 9 6 2 2

7

- 9 2 - 72 = 9 - 9 = y= 9 3 2 2

El valor equivalente de

Racionaliza: 23 27 + 2 50

Resolución:

` A= x + y = 6 + 3

4

Calcula:

23 23 = 27 + 2 50 25 + 2 + 2 25.2

3 + 1 - 2 2 es: 2- 3



=

Resolución: Dando forma: 3 +1 -2 2 = 3 1 # 2-2 2 2 Racionalizando: Operamos:

5

3 +1 -2 2= 6 + 2 -2 2 3 -1 3 -1 2

_ 6 + 2 i_ 3 + 1i -2 2 _ 3 - 1i_ 3 + 1i

8

23 # (5 - 2 ) = 5 - 2 (5 + 2 ) (5 - 2 )

Efectúa: 6 -1 7 - 40 + 3 - 8 + 12 - 140

Resolución: 6 -1 7 - 40 + 3 - 8 + 12 - 140

3 2 + 6 + 6 + 2 -2 2 = 4 2 +2 6 -4 2 = 2 6 = 6 2 2 2

Dando forma:

Efectúa: M = 335 - 5 3 49 7

Pasamos a radicales simples:

Resolución: 3 2 M = 35 # 3 7 - 5 3 49 3 7 # 72

36 Intelectum 2.°

6 -1 7- 2 10 + 3- 2 2 + 12- 2 35 6 ( 7 + 1) 6 -1 = -1 ( 7 - 1) ( 7 + 1) 5 - 2+ 2-1+ 7 - 5  

=

6 ( 7 + 1) -1 = 7 6

x

NÚMEROS COMPLEJOS Cantidad imaginaria

Nota

Es el número que resulta de extraer la raíz de índice par a un número real negativo. 2n

- N = 2n N 2n - 1 = 2n N i = i 2n N

La unidad imaginaria es el número que resulta de extraer la raíz cuadrada al negativo de la unidad.

+

N!R n ! z+

Ejemplos: 1. - 4 = 4 - 1 = 2i

3.

2. - 81 = 81 - 1 = 9i

4. 10 - 59 049 = 10 59 049 10 - 1 = 3i

6

-1 = i

- 64 = 6 64 . 6 - 1 = 2i

(notación universal)

Potencias enteras de la unidad imaginaria

Estudiaremos el comportamiento de in, n ! Z+. Veamos los grupos de 4:

i9 = i2(4) . i = i i10 = i2(4) . i2 = -1 i11 = i2(4) . i3 = -i i12 = i2(4) . i4 = 1 h h h

i5 = i4 . i = i i6 = i4 . i2 = -1 i7 = i4 . i3 = -i i8 = i4 . i4 = 1

i1 = i i2 = -1 i3 = i2 . i = -1 . i = -i i4 = i3 . i = -i . i = -i2 = 1

Podemos apreciar que: • Las únicas potencias que se obtienen cada cuatro grupos son: i, -1, -i, 1. • La unidad imaginaria i elevada a un múltiplo de cuatro siempre es 1. Con estas apreciaciones se deducen las siguientes propiedades:

Observación Raíz cúbica de la unidad

Propiedades 1.

z3 = 1 & z =

i4n = i4 = 1

3.

2. i4n + k = i4n . ik = ik

i + i2 + i3 + i4 = 0

4. En general:

4n + 1 =i ; & Si: k = 1 & i

Si: k = 2 & i4n + 2 = i2 = -1 ; Si: k = 3 & i4n + 3 = i3 = -i

3

1

1

in + in + 1 + in + 2 + in + 3 = 0

5.

1+i = i 1-i

6.

i + i2 + i3 + i4 + i5 + ... + i4n = 0

1 - i =- i 1+i

3

1=

-

1 i 3 + 2 2

-

1 i 3 2 2

conjugadas

Ejemplos: • i7 + i8 + i9 + i10 = 0 • i-10 + i-9 + i-8 + i-7 = 0 • i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + ... + i216 = 0 • i-1 + i-2 + i-3 + i-4 + i-5 + i-6 + ... + i-1284 = 0

Números complejos

Un número complejo z es aquel que está formado por la unión de una parte real y otra imaginaria. Veamos su notación y respectivas partes: z = a + bi = (a; b) = Re(z) + Im(z)i

;ayb!R

Donde: a = Re(z): parte real del número complejo z. b = Im(z): parte imaginaria del número complejo z.

Ejemplos: • z = 3 + 2i = (3; 2)

• z = (-5; 0) = -5 + 0i = -5

• z =

Re(z) = 3 / Im(z) = 2

Re(z) = -5 / Im(z) = 0

Re(z) = - 1 / Im(z) = 3 2

-1 + 3 i = d 1; 3 n 2 2

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 2

37

Clasificación de los números complejos Atención

I. Complejos iguales

• A la representación a + bi también se le conoce como: FORMA CANÓNICA DE UN NÚMERO COMPLEJO.

Dos números complejos son iguales si tienen iguales tanto sus partes reales como imaginarias. M + Ni = P + Qi & M=P / N=Q

2

- 1. - 1 = i . i = i = -1

• •

- 1. - 1 ! ^- 1h^- 1h = 1 = 1

Este error se evita representando a los números complejos en la forma a + bi.

• Sobre el campo de los números complejos (C) se verifican las leyes conmutativa, asociativa, distributiva respecto a la adición y multiplicación.

Complejos especiales A) Complejos conjugados

II. Complejo nulo

i

z = 0 + 0i = 0

Ejemplos: • z = 5 - 8i • z = d 1 ; 2

Ejemplos: • a = 0 + 0i • b = 0 • c = 0i

= (-1) i ; 6n ! Z

(4° ! K)n =

4° ! Kn; n par 4°

n

! K ; n impar

Complejo: z = a + bi Complejo opuesto: z* = -a - bi

• z = - 3 + 3i & z* = 3 - 3i • z = 4 - i & z* = - 4 + i

Representación gráfica de un número complejo

Dado el número complejo en su forma binómica: z = a + bi; este puede ser representado en su forma cartesiana: z = (a; b) y Eje imaginario Módulo de un número complejo: Sea: z = (a; b) = a + bi Im(z) z = (a; b)

b

Observaciones A la representación cartesiana de un número complejo también se le denomina plano de Gauss.

& z = 5 + 8i 2 & z = 1; 2 n d n 7 2 7

B) Complejos opuestos Ejemplos:

Ejemplos: • c = 5 + 0i = 5 • d = - 7

Si n ! Z y K ! r se cumple:

Complejo: z = a + bi Complejo conjugado: z = a - bi

Es aquel cuyas partes real e imaginaria son nulas.

z = a + 0i = a; 6a ! R

n n

z = 0 + bi = bi; 6b ! R - {0} • E = 0 + 7i = 7i • F = 10 i • Z = 7i

Ejemplo: R = -5 + 2i y S = -5 + 2i & R = S

Es aquel cuya parte imaginaria es nula.

-n

Es aquel cuya parte real es nula. Ejemplos:

III. Complejo real o puramente real

Nota

IV. Complejo imaginario puro

Afijo

El módulo de z representado por |z| estará dado por: |z| = a 2 + b 2 Ejemplo:

o Polo

a

x Eje real Re(z)

• T = 2 - 3i & |T| = _ 2 i + _- 3i = 13 2

2

oz : radio vector del complejo z.

Operaciones con números complejos

Dados los complejos: z1 = a + bi y z2 = c + di, definimos las operaciones:

I. Suma z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Nota 2

Z . Z = |Z|

z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Ejemplo: • (2 + 3i) + (-7 + 2i) = (2 - 7) + (3 + 2)i = -5 + 5i

Ejemplo: • (10 - 3i) - (7 + 2i) = (10 - 7) + (-3 - 2)i = 3 - 5i

III. Multiplicación

IV. División

z1 . z2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i Ejemplo: • (1 + i)(2 + 3i) = (1.2 - 1.3) + (1.3 + 1.2)i = -1 + 5i

38 Intelectum 2.°

II. Resta

z1 a + bi ac + bd bc - ad = = 2 + i z 2 c + di c + d2 c2 + d2 Ejemplo: 3.1 + 2_- 2i 2.1 - 3_- 2i + + • 3 2i = i =- 1 + 8 i 5 5 1 - 2i _1 i2 + _- 2i2 _1 i2 + _- 2i2

x

Problemas resueltos 1

Calcula: K = i5

55

7

Resolución:

Resolución: c 55 = 5 a = (4° + 1)a = 4° + 1 & K = i 4 + 1 5

2

Halla la parte real de z = ((i - 1)

-1

+ 1)

z = i 1 = 1 - 1 = 1 - i2 i i i 3

Sabemos: si z = a + bi & z = a 2 + b 2

`K=i

z = 52 + 42 | z | = 25 + 16

-1

; si i = - 1 .

Resolución: -1 -1 z = d 1 + 1n = d i n i-1 i-1

8

z=1+i Piden: Re(z) = 1

Reduce: _2 - 3ii_- 1 + 5ii z2 = 1+i

Donde: 3k = 3 & k = 1 2n = 4k ` n = 2 13 _1 + ii = 13 1+i

z2 =

- 2 + 10i + 3i - 15i 2 1+i

z2 =

z2 =

- 2 + 13i - 15 _-1i 13 + 13i = 1+i 1+i

` z2 = 13

Simplifica: + k=1 i -1 i 1-i 1+i

De la igualdad: 3 + (3y + 2x)i = x + 6i

` x - 2y = 3 - 2(0) = 3

Resolución:

+ + E = 18 12i 6ni 4n 52 (6n - 12) i + E = 18 4n + 52 52

Resolución:

_3 - 2aii _4 + 3ii 12 + 6a + _9 - 8ai i = $ 2 _ 4 - 3i i _ 4 + 3i i 4 2 - _ 3i i

Por dato: el cociente debe ser un número real. _ 9 - 8a i + Entonces: E = 12 6a + i 25 25 0 9 & 9 - 8a = 0 ` a = 8

10 Halla el opuesto y conjugado del siguiente número complejo: M = 4 - 5i

Resolución: M = a + bi & opuesto = M* = - a- bi conjugado = M = a - bi

Calcula n si E es un número complejo real. + E = 3 ni 6 + 4i + E = 3 ni 6 + 4i (3 + ni) (6 - 4i) E= 62 + 42

Halla el valor de a para que el siguiente cociente sea un número real. E = 3 2ai 4 - 3i

_ b b ` b a

Halla x - 2y, si: 3yi + 3 + 2xi = 8i + x - 2i; {x; y} 1 R

Resolución:

6

9

E=

+ Sabemos que: 1 i = i / 1 i = -i ` k = i - (-i) = 2i 1+i 1-i

Luego: & x = 3 / 3y + 2x = 6 3y + 2(3) = 6 & y = 0

Halla n si el siguiente número es imaginario puro. 3 + 2ni 4 - 3i + Sea: z = 3 2ni = ki; (imaginario puro) 4 - 3i 3 + 2ni = 4ki - 3ki2 3 + 2ni = 3k + 4ki

Resolución:

5

` z = 41

Resolución:

Resolución:

4

Calcula el módulo del siguiente complejo: z = 5 + 4i

Por dato: E debe ser un complejo real. Luego: 6n 12 = 0 52 6n - 12 = 0 6n = 12 `n=2

` M = 4 + 5i / M* = -4 + 5i 11 Calcula z = a + bi, si Im(z) = 2Re(z) y

z-1 = 1 z-7

Resolución: z - 1 = 1 & |z - 1| = |z - 7| z-7 |(a - 1) + bi| = |(a - 7) + bi| (a - 1) 2 + b 2 = (a - 7) 2 + b 2 a2 - 2a + 1 = a2 - 14a + 49 12a = 48 & a = 4 Además: b = Im(z) = 2Re(z) = 2(4) b = 8 ` z = a + bi = 4 + 8i ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 2

39

unidad 3

ECUACIONES DE PRIMER GRADO PLANTEO DE ECUACIONES Solución o raíz de una ecuación algebraica

Es aquel valor que toma la variable y que verifica una determinada ecuación. Atención Una igualdad es la relación de dos expresiones las cuales se verifican para un mismo valor. A=B

Así:

• Absolutas (identidades) Verifica siempre para cualquier valor de sus variables. Así: 2

(a + b)(a - b) = a - b Si: a = 5 / b = 2

& (5 + 2)(5 - 2) = 52 - 22 21 = 21



Resolver una ecuación consiste en hallar todas las soluciones de dicha ecuación.

Tipos de ecuaciones

Existen dos clases de igualdades:

2

Ejemplo: x = 10, es una solución o raíz de la ecuación, ya que: En la siguiente ecuación: 10x - 30 = x + 60 10(10) - 30 = 10 + 60 er 1. miembro 2.° miembro

• Relativas (ecuaciones) Verifica solo para algunos valores atribuidos a su variable. Así: 7x + 2 = 3x - 2 Verifica solo para: x = -1

Ecuaciones algebraicas Una ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales u otros. Así: x2 - 3x + 1 = 0 Ec. polinomial 10 + 3 = 0 Ec. fraccionaria x - 1 2x + 1 3

Ecuaciones no algebraicas 3x - x3 - 2 = 0 Ec. exponencial 2logx - 1 = 0 Ec. logarítmica tanx - 1 = 0 Ec. trigonométrica

x + 1 - x - 1 = 0 Ec. irracional

Ecuaciones equivalentes

Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones. Ejemplo: Sea la ecuacion: x+3 = x -3 • 2 5 + x 3 - x = -3 2 5 5x + 15 - 2x = -30 3x = -45 x = -15

Generalmente para resolver ecuaciones, elaboramos una lista de ecuaciones equivalentes (cada una más sencilla que la precedente), terminando con una ecuación cuya solución podemos hallarla con facilidad.

Principios generales para la solución de ecuaciones 1. Si sumamos o restamos una misma expresión (numérica o algebraica definida) en ambos miembros de la ecuación, obtendremos otra ecuación equivalente a la primera. Ejemplo: En la ecuación real: 9x - 7 = 6x + 5 Restamos a ambos miembros la expresión 6x, asimismo, sumamos a ambos miembros 7 y obtenemos la ecuación equivalente; veamos: (9x - 6x) - 7 + 7 = (6x - 6x) + 5 + 7 (Ecuación equivalente) 3x = 12, solución: x = 4 2. Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una ecuación por una expresión que representa un número real distinto de cero; en esta situación suceden dos casos: a) Si dicha expresión es un valor constante, tanto para la multiplicación y división, tendremos en este caso ecuaciones equivalentes. b) Si la expresión contiene una incógnita, es posible que se introduzcan soluciones extrañas para el caso de la multiplicación y eliminando o cancelando soluciones para el caso de la división.

40 Intelectum 2.°

x

Ecuaciones de primer grado

Se denomina así a aquella ecuación polinomial de una variable, que se reduce a la siguiente forma general: 

ax + b = 0

donde despejando la variable x obtenemos: x = - b a

Análisis de la ecuación: ax + b = 0

Atención Las ecuaciones atendiendo a sus tipos de soluciones se clasifican en:

I. Si: a ! 0 / b ! 0, la ecuación es: compatible determinada y su solución:

• Compatibles Cuando por lo menos tienen una solución.Además, estas se subdividen en:

x = - b es única. a II. Si: a = 0 / b ! 0, la ecuación es: incompatible y no tiene solución: x ! { } o x ! Q

Determinadas Si tiene un número finito de soluciones.

Ejemplos: + 1. Halla el valor de x en la ecuación: 3x 1 = 3 2x - 1 7 Resolución:

Multiplicamos en forma conveniente por 7(2x - 1); donde x ! 1 , miembro a miembro quedandonos: 2 7(3x + 1) = 3(2x - 1)

Indeterminadas Si tiene un número infinito de soluciones. • Incompatibles o absurdas Aquellas que no tienen solución.

21x + 7 = 6x - 3 Transponemos términos: 21x - 6x = -3 - 7 Despejamos la variable:

15x = -10 x = -  2 3

La solución de la ecuación compatible determinada es: -  2 3 + + + 2. Da el valor de x en: x 1 + 3x 1 = x 2 + 2x 3 6 3 2 3 Resolución: Multiplicando ambos miembros por el MCM de los denominadores (6): x + 1 + 2(3x + 1) = 3(x + 2)+ 2(2x - 3)  x + 1 + 6x + 2 = 3x + 6 + 4x - 6 En ambos miembros, reducimos términos semejantes: 7x + 3 = 7x + 0 Transponemos términos:

Si se multiplica a ambos miembros por una expresión, estos deben considerarse diferente de cero: Por ello, en el ejemplo 1:

7x - 7x = -3

Hallamos el valor de la incógnita:

Nota

2x - 1 ! 0 & x ! 1 2

0x = -3 & x ! Q

La ecuación es incompatible, no tiene solución, ya que no existe algún número que multiplicado por cero nos da como resultado tres. 3. Resuelve la siguiente ecuación: (x + 2)2 + (x + 3)2 + 5x = (x - 1)2 + (x - 7)2

Nota

Resolución: Desarrollamos cada binomio al cuadrado: (x2 + 4x + 4) + (x2 + 6x + 9) + 5x = (x2 - 2x + 1) + (x2 - 14x + 49) Reducimos términos semejantes en ambos miembros de la ecuación: 2x2 + 15x + 13 = 2x2 - 16x + 50 La transposición de término es equivalente a decir: restamos 2x2 a ambos miembros de la ecuación, a su vez, sumamos 16x a ambos miembros de la ecuación y por último restamos 13 a ambos miembros de la ecuación:

Si hay denominadores con valores constantes, los eliminamos todos multiplicando por el MCM (mínimo común múltiplo) de los denominadores a ambos lados de la ecuación.

2x2 - 2x2 + 15x + 16x + 13 - 13 = 2x2 - 2x2 - 16x + 16x + 50 - 13 = 0 =0 =0 =0 31x = 37

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 3

41

Despejamos la variable, en este caso dividimos ambos miembros entre 31: 31x = 37 31 31

Recuerda

La solución de la ecuación compatible determinada es: 37 31

Los pasos a seguir para resolver ecuaciones:

Planteo de ecuaciones

PASO 1

En el planteo de ecuaciones el punto clave es el de INTERPRETAR Y TRANSFORMAR ENUNCIADOS verbales a un conjunto simbólico que contienen variables, signos de colección y signos de operación.

Desarrolla las diferentes operaciones indicadas relacionadas con la variable.

Números enteros consecutivos Representación:

PASO 2

x; x + 1; x + 2; x + 3; ...

;x!Z

Ejemplos: 1. Escribe cinco números enteros consecutivos, empezando con el 3.

Reduce términos semejantes en cada miembro de la ecuación.

Resolución: x; x + 1; x + 2; x + 3; x + 4 3; 4 ; 5 ; 6 ; 7

PASO 3

2. La suma de dos números enteros consecutivos es 11. Determina el mayor.

Realiza la transposición de términos. PASO 4 Despeja la variable luego de reducir términos semejantes.

Resolución: Interpretamos y transformamos el enunciado: La suma de dos números enteros consecutivos es 11. x + (x + 1)  = 11 x + (x + 1) = 11 2x + 1 = 11 & x = 5 El mayor de los números: x + 1 = 5 + 1 = 6 3. La suma de seis números cosecutivos dan como resultado N = 8a ; donde N es un cuadrado perfecto, determina el segundo número. Resolución: Sean los números: x; x + 1; x + 2; x + 3; x + 4; x + 5 La suma: 6x + 15 dato: 6x + 15 = 8a = 81 (cuadrado perfecto) & 6x = 66 & x = 11 Piden: x + 1 = 12

Efectuar Resuelve las siguientes ecuaciones: 1. (6x + 7)(5x - 4) = 6(5x2 - 1) 2. 2x + 19 = 7x + 5 3 3. 5 + 2 = 952 2x 3 x 2x 9 +2 =1 4. 5x - 13 3 5. x + 2x = 2 + 10x 3 5 15 6. x - x = x - 9 2 4 7. 3 + 3x - 2x = x + 13 7 15 3 3

42 Intelectum 2.°

+ 8. x 3 - x 1 = x + 1 4 2 6 9. 7x - 7 = 1 - x 10. 5x - 7 = 101x - 103 11. 3x - 1 = x + 2 + x 12. 5x - 1 = x + 9 2 2 13. x + 3 = 3x - 1 2

x

Problemas resueltos 1

Resuelve: 1 x + 1 + 1 x + 1 = 1 _ x - 1i d n d n 2 3 4 4 2

4

Resolución:

Resolución:

Sabemos que x = 3. Reemplazamos: 3m + m2 = m2 - m + 2  3m + m = 2

1 d 2x + 1 n + 1 d 4x + 1 n = 1 _ x - 1 i 4 2 2 3 4 2x + 1 + 4x + 1 = x - 1 4 12 4

6x + 3 + 4x + 1 = x - 1 12 4

5

10x + 4 = 3x - 3

` m = 0,5

Calcula m, si la ecuación: mx + 3 = 2x + 4; es incompatible. mx + 3 = 2x + 4 mx - 2x = 1 (m - 2)x = 1

x = -1 ` CS = {-1}

x =

6

Determinamos el común denominador: 36 12 _ x - 1i + 6 _ x - 2i + 4 _ x - 3i x - 4 = 36 12

19x = 24 

En un examen de 70 preguntas, por cada respuesta correcta se gana 5 puntos y por cada respuesta incorrecta se pierde 2 puntos. ¿Cuántas respuestas correctas tuvo Luis, si obtuvo 140 puntos?

Resolución:

12x - 12 + 6x - 12 + 4x - 12 = 3(x - 4) 22x - 36 = 3x - 12



1 m-2

Si es incompatible: m-2=0& m=2

Resuelve: x-1 + x-2 + x-3 = x-4 3 6 9 12

Resolución:

3

  4m = 2  m = 2 4

Resolución:

7x = -7

2

Determina m si la ecuación: mx + m2 = m(m - 1) + 2 presenta como solución a 3.

n.º preguntas correctas: C ; n.° preguntas incorrectas: 70 - C &  5 . C - 2 . (70 - C) = 140

` x = 24 19

 

Resuelve: 1 1 1 1 x < < < < 9 - 1 C- 1 A- 1 A- 1 A - 1 = 0 3 3 3 3 3

5C - 140 + 2C = 140 7C = 280  C = 40

` n.º preguntas correctas es 40.

Da el valor de: x + 1 7

Resolución: 1 1 1 1 x -1 -1 -1 -1 -1 = 0 < < < 9 C F F F 3 3 3 3 3                               3 × 1 < 1 < 1 < x - 1 - 1 F - 1 F - 1 F = 1 × 3 3 3 3 9 3                    1 < 1 d x - 4 n - 1 F - 1 = 3 3 3 9 3                    3 # 1 < x - 4 - 1 F = 4 # 3 3 27 9

        x - 13 = 12 27 9      x = 121 27 9

                  & x = 363 ` Piden: x + 1 = 364

La base de un rectángulo es 12 m mayor que su altura. Si el perímetro es 64 m, encuentra las dimensiones.

Resolución: H H + 12

Perímetro = 64 m Suma de lados del rectángulo = 64 m & 2H + 2(H + 12) = 64 H + H + 12 = 32 & H = 10 m Dimensiones del rectángulo: ▪▪ Altura: H = 10 m ▪▪ Base: H + 12 = 10 + 12 = 22 m

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 3

43

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Nota • El orden de una matriz está dado por la representación m # n donde: m: número de filas n: número de columnas. Luego, para los ejemplos citados: A es una matriz de orden 2 # 3. B es una matriz de orden 3 # 3. • A las matrices se les encierra entre paréntesis o corchetes: 35 1 35 1 C=f p=> H - 10 9 9 - 10 9 9

Matriz

Es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas. Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas. Ejemplos: J 5 - 1 18 N f B = KK 8 10 3 OO f1 filas 2 K O L 7 20 21 P3 # 3 f3

f1 10 - 1 3 p A=f filas 15 2 1 2 # 3 f2 c1

Orden de la matriz

c2 c3

columnas



Orden de la matriz

c1 c2 c3 columnas

Igualdad de matrices

Dadas las matrices del mismo orden (2 # 3): m m m M = f 1 2 3p m 4 m5 m6

2#3



/

n n n N = f 1 2 3p n 4 n5 n6

2#3

Estas matrices serán iguales (M = N) si sus elementos correspondientes son iguales. Así: m1 = n1 ; m2 = n2 ; m3 = n3 m4 = n4 ; m5 = n5 ; m6 = n6

Recuerda • Una matriz cuadrada es aquella donde el número de filas es igual al número de columnas. Diagonal secundaria J 3 2 10 N M=K 2 1 1 O KK OO L- 1 3 15P Diagonal principal M es una matriz de orden 3 # 3 o simplemente una matriz de orden 3.

Determinante

Es la relación funcional que aplicada a una matriz cuadrada la transforma en un escalar (número real). Se le representa encerrando los elementos de la matriz entre dos barras verticales: Notación: |A|; D(A); Det(A)

Desarrollo de un determinante de orden 2 De la matriz de orden 2:

con signo cambiado (-)

a b a b & p& A = A=f c d c d con su propio signo (+)

|A| = ad - bc

Desarrollo de un determinante de orden 3 por menores complementarios De la matriz de orden 3: Ja b c N M = KK d e f OO & Siempre toma en cuenta los signos “asumidos” a la matriz: O K Lg h k P

Observaciones • La regla de LAPLACE (menores complementarios) se utiliza para hallar determinantes de cualquier orden. • Para aplicar la regla de LAPLACE, se recomienda elegir la fila (o columna) que presente más ceros.

44 Intelectum 2.°

J+ - + N K O K- + - O K O L+ - + P

Ahora: • Elige una fila o columna (cualesquiera) la que se llamará: línea fija. • Cada elemento de la línea elegida es multiplicado por un determinante cuyos elementos están fuera de las líneas fija y móvil. Ejemplo:

-7 3 -1 1 0 6 2 4 3 Resolución: J+ - + N • Cuadro de signos: KK - + - OO K O L+ - + P c2 • Tomamos como referencia la segunda columna (c2). • Calcula el determinante de:

x

-7 3 -1 -7 -1 -7 -1 1 6 • 1 0 6 = -3 2 3 + 0 2 3 - 4 1 6 2 4 3

Atención

= -3(1(3) - 2(6)) - 4((-7)6 - (-1)1) = -3(3 - 12) - 4(-42 + 1) = 191

Resuelve el mismo ejemplo, pero ahora tomando como referencia la segunda fila (debes obtener el mismo valor de la determinante).

Del ejemplo:

Sistema de ecuaciones lineales

Es el conjunto de ecuaciones que se verifican simultáneamente para los mismos valores de sus incógnitas. Representación normal:

a1x + b1y = c 1 a2x + b2y = c 2

• Cada elemento de la línea fija es multiplicada por el determinante que resulta de eliminar la fila y columna correspondientes al elemento:

Donde: a1, b1, c1 y a2, b2, c2 ! R.

1.° elemento línea fija: 3 -7 3 -1 1 6 1 0 6 & 2 3 2 4 3 2.° elemento línea fija: 0 -7 3 -1 -7 -1 1 0 6 & 2 3 2 4 3

Interpretación geométrica A) Sistema compatible (consistente) Cuando existe solución: si las rectas se cortan, el sistema lineal tiene una única solución dado por la intersección de estas. En este caso las ecuaciones son independientes.   a1 b ! 1 a2 b2 Ejemplo:

Resolución:

y

2 2

B) Sistema compatible indeterminado Cuando existe más de una solución: si las rectas son coincidentes el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones que están representadas por todos los puntos de la recta. En este caso las ecuaciones son dependientes. a1 b c = 1 = 1 a2 b2 c2 Ejemplo: Resuelve: x - y = 5 7x - 7y = 35 Resolución:

Ejemplo:     

(4; 2) Única solución x 4 6

-2

a1 b c = 1 ! 1 b1 b2 c2

y

x-y=2 x-y=5

7x - 7y = 35 -5

Recuerda • Para graficar rectas en el plano xy solo tienes que encontrar las intersecciones de las rectas con los ejes x e y, respectivamente. Así: Para: x + y = 6 1. Hacemos y = 0 & x = 6 Intersección con el eje x. 2. Hacemos x = 0 & y = 6 Intersección con el eje y.

Resolución: y

10 3

y

x + 3y = 10

6

Intersección (x = 0) eje y Intersección (y = 0) eje x

2 6

10

x

6

x

2x + 6y = 12

Resolución de sistemas de primer grado Ejemplo: Se define la operación * mediante: x*y = x + y + xy Entonces la solución del sistema de ecuaciones: 1*x + (-1)*y = 6 2*x + 3*y = 2 es:

x

5

Resuelve: x + 3y = 10 2x + 6y = 12

1. Método de sustitución

-7 3 -1 -7 -1 1 0 6 & 1 6 2 4 3

6

Resuelve: x + y = 6 x - y = 2

C) Sistema incompatible (imposible, absurdo, inconsistente) Cuando no tiene solución: si las rectas son paralelas el sistema de ecuaciones no tiene solución, en este caso las rectas nunca se cortan (no hay puntos en común). En este caso las ecuaciones son independientes.

3.° elemento línea fija: 4

x+y=6

Nota • Conjunto solución es el conjunto de valores que toman las incógnitas para los cuales se verifica el sistema. Así para los ejemplos mostrados en la interpretación geométrica: A. CS = {(4; 2)} B. CS = R C. CS = ∅ (conjunto vacío)

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 3

45

Resolución: Hacemos uso del operador * formamos el sist. lineal: 1*x + (-1)*y = 6 1 + x + 1(x) + -1 + y + (-1)y = 6 1 + x + x -1 + y - y = 6 2x = 6              & x = 3 ...(1) 2*x + 3*y = 2 2 + x + 2x + 3 + y + 3y = 2       & 3x + 4y = -3 ...(2)

Nota • Los sistemas equivalentes son aquellos que a pesar de tener ecuaciones diferentes aceptan las mismas soluciones. • Se denomina ecuaciones independientes si los coeficientes de una misma incógnita no son proporcionales.

2. Método de igualación Ejemplo: Si se cumple que: mx + my + nx - ny - 15x - 7y = 0 para todo valor real de x e y. Entonces el valor de mn es: Resolución: • Con la condición del problema formaremos nuestro sistema de primer grado: Como x e y puede tomar cualquier valor real; asumimos por conveniencia: 1.° x = 0, y = 1 2.° x = 1, y = 0 mx + my + nx - ny - 15x - 7y = 0    ...(1)

Atención Ecuación simétrica de una recta no vertical. Se tiene la recta no vertical que corta a los ejes en los puntos (a; 0) y (a; b).

• Haciendo x = 0; y = 1 en (1): m(0) + m(1) + n(0) - n(1) - 15(0) - 7(1) = 0  0 + m + 0 - n - 0 - 7 = 0 m - n = 7 ...(2)

y (0; b)

L (a; 0)

El sistema lineal está formado por las ecuaciones (1) y (2): x = 3 ...(1) 3x + 4y = -3 ...(2) Sustituyamos (1) en la ecuación (2): 3(3) + 4y = -3 4y = -9 - 3 y = -3 ` CS = {(3; -3)}

x

Tiene como ecuación: x y 1 + = a b Ecuación simétrica de la recta L.

• Haciendo x = 1; y = 0 en (1): m(1) + n(0) + n(1) - n(0) - 15(1) - 7(0) = 0 m + 0 + n - 0 - 15 - 0 = 0 m + n = 15 ...(3)

• Despejando de las ecuaciones (2) y (3) la variable m: m = 7 + n ...(4) m = 15 - n ...(5) • Las dos expresiones (4) = (5) de la variable despejada: 7 + n = 15 - n 2n = 8 n = 4 ...(6) • Sustituimos el valor de n en (4): m = 7 + n m =7+4 m = 11 • Nos piden el valor de m . n: `  m . n = 11 . 4 = 44

3 Método de reducción Ejemplo:

1 1 a b 1 0 p, C = f p Sean las matrices: A = f p , B = f 1 3 c d 0 1 Si AB = C, entonces el valor de a - b + c - d es: Resolución: • De la condición AB = C 1 1 a b 1 0 p= f p f pf 1 3 c d 0 1 Atención • Para multiplicar matrices considera el siguiente procedimiento: Sean A y B matrices cuadradas de orden 2: a b e f A=f p / B=f p c d g k a b e f AB = f pf p c d g k ae + bg af + bk p =f ce + dg cf + dk

46 Intelectum 2.°

a+c b+d 1 0 f p= f p a + 3c b + 3d 0 1

• Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (5) y (3): -2a = -3 & a = 3 ...(6) 2 • Sustituyamos la solución obtenida (6) en (1): a+c=1 3 + c = 1 & c =- 1 2 2

• Las matrices son iguales entonces sus elementos correspondientes también serán iguales: a + c = 1 ...(1) b + d = 0 ...(2) a + 3c = 0 ...(3) b + 3d = 1 ...(4)

• Hacemos lo mismo para el sistema formado ahora por (2) y (4): b + d = 0 ...(2) 2.° Sistema b + 3d = 1 ...(4)

• Desarrollamos el sistema formado por (1) y (3): a + c = 1 ...(1) 1.er sistema a + 3c = 0 ...(3) • Multiplicamos la ecuación (1) por (-3) miembro a miembro: -3a - 3c = -3 ...(5) a + 3c = 0 ...(3)

Se deja para el alumno hacer los pasos (3), (4), (5) y (6): b = - 1 / d = 1 2 2 • Nos piden: a - b + c - d = 3 - d- 1 n + d- 1 n - 1 2 2 2 2 = 3 +1 -1 -1 =1 2 2 2 2

x

Problemas resueltos 1

Resuelve el sistema: 5x + 3y = 36 7x + y = 28 Luego halla m, si cumple: mx + (m + 1)y = 37

Resolución:

5x + 3y = 36   ...(1) 7x + y = 28    ...(2)

Multiplicamos por 2 a (4) y por 3 a (3): 15x + 6y = 150 (-) 4x + 6y = 84 11x = 66 x = 6

Evaluamos x = 3 en (2): 7(3) + y = 28 y = 7

Multiplicamos por 3 a (2): 5x + 3y = 36 21x + 3y = 84

Operamos (1) y (2) resulta: 5x + 2y = 50 ...(3) 2x + 3y = 42 ...(4)

Reemplazamos: & m(3) + (m + 1)(7) = 37 3m + 7m + 7 = 37         10m = 30 `m=3

(-)

-16x = -48 x = 3

5

Evaluamos x = 6 en (4): 2(6) + 3y = 42 3y = 30 y = 10 ` y - x = 10 - 6 = 4

Calcula m: 14m + n = 15 8m - 3n = 5

Resolución: 2

Calcula (x + y) en: 3x + 7y = 17 2x + 5y = 12

14m + n = 15 8m - 3n = 5

Resolución:

3x + 7y = 17 ...(1) 2x + 5y = 12 ...(2) Multiplicamos por 3 a (2) y por 2 a (1): 6x + 14y = 34 6x + 15y = 36 (-) -y = -2       y=2 3

Evaluamos el valor de y en (2): 2x + 5(2) = 12 2x = 2 x = 1 `x+y=2+1=3

Resolución:

Calcula x: 9y - 2(x + 1) = 17 12y + (x + 1) = 41 De (1 ) y (3): 9y - 2x = 19 24y + 2x = 80     33y = 99 y = 3

9y - 2(x + 1) = 17 12y + (x + 1) = 41 & 9y - 2x - 2 = 17 9y - 2x = 19    ...(1)

& 12y + x + 1 = 41 12y + x = 40

...(2)

Calcula (y - x) en: x + y = 5 2 5

Resolución:

7 (+)

x +y =7 3 2

x + y = 5    ...(1); 2 5

x + y = 7 ...(2) 3 2

Multiplicamos por 8 a (1) y por 3 a (2): 16x + 24y = 112 (+) 12x - 24y = 0  28x = 112 x=4

Calcula x: 12x + 4y = 40 8x - 9y = 15

Resolución: 12x + 4y = 40 8x - 9y = 15

...(1) ...(2)

Luego y = 3 en (2): 12(3) + x = 40    ` x = 4

Multiplicamos por 2 a (2): 2 . (12y + x) = 2 . 40 24y + 2x = 80 ...(3)

Multiplicamos por 3 a (1): 42m + 3n = 45 (+) 8m - 3n = 5 50m = 50 m = 1

Calcula x: 2(x + 1) + 3(y - 1) = 13 4(x + 1) - 8(y - 1) = 12

2(x + 1) + 3(y - 1) = 13 4(x + 1) - 8(y - 1) = 12  & 2x + 2 + 3y - 3 = 13     2x + 3y = 14 ...(1) & 4x + 4 - 8y + 8 = 12       4x - 8y = 0 ...(2)

Resolución:

4

6

...(1) ...(2)

8

Multiplicamos por 9 a (1) y por 4 a (2): 108x + 36y = 360 (+) 32x - 36y = 60  140x = 420  x = 3

Halla x: 4x + 5y = 29 6x + y = 37

Resolución: 4x + 5y = 29 6x + y = 37

...(1) ...(2) ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 3

47

Multiplicamos por 6 a (1) y por 4 a (2): 24x + 30y = 174 (-) 24x + 4y = 148      26y = 26      y = 1 9

Evaluamos y = 1 en (2): 6x + 1 = 37 6x = 36  x = 6

Resolución: 4x + 3y = 7 & x =

Resuelve: x + 1 x = 11 x x+2

7x - 5y = 43 & x =

Resolución:

*

2 0 1

& |A| = -2

-1 -2



2x - y = 4 ...(1) x + 2y = -3 ...(2) De la ecuación (2) despejamos x: x = -3 - 2y

3 1 -1 5 -1

3 4

|A| = -2(3) + 0 - 1(7)

` |A| = -13 11 Resuelve por el método de sustitución: 6x + 3y = 5 ...(1) 3x + 12y = 13 ...(2)

Resolución:

De la primera ecuación tenemos: 6x + 3y = 5 3y = 5 - 6x y = 5 6x ...(3) 3

Luego reemplazamos el valor de x en (3): y = 5 6x 3 5 y = - 2d 1 n 3 3

Sustituyamos en la ecuación (2): 3x + 12 d 5 6x n = 13 3

y=1

3x + 4(5 - 6x) = 13 3x + 20 - 24x = 13 21x = 7 & x = 1 3

48 Intelectum 2.°

49 - 21y = 172 + 20y     -41y = 123 & y = -3

2x - y = 4 e indica xy 2 . x + y =- 3

Aplicamos el método de sustitución, en el sistema:

V 3 W 4W W 5 W X 4 1 +0 5 -2

43 + 5y 7

7 - 3y 43 + 5y = 4 7

Resolución:

10 Halla el determinante de: R V S 1 2 3W A = S -1 0 4 W SS W -2 1 5 W T X R S 1 A = S -1 SS -2 T

7 - 3y 4

13 Resuelve:

(x + 1)(x + 2) - x2 = 11 x2 + 2x + x + 2 - x2 = 11          3x = 9           `x=3

Resolución:

12 Halla y por el método de igualación: 4x + 3y = 7 7x - 5y = 43

Entonces: x= 1 / y=1 3

Ahora, sustituimos este valor en la ecuación (1): 2x - (-2) = 4 2x + 2 = 4 & x = 1 ` xy2 = 1(-2)2 = 4

Ahora reemplazamos en la ecuación (1): 2(-3 - 2y) - y = 4 -6 - 4y - y = 4 -5y = 10 & y = -2 14 Resuelve: 2y - x = 1 * e indica x 2 y 2 . 2x + y = 8

Resolución: Por el método de igualación: 2y - x = 1 ...(1) 2x + y = 8 ...(2) De la ecuación (1) despejamos y: + y= 1 x 2 De la ecuación (2) despejamos y: y = 8 - 2x Igualamos las dos ecuaciones, tenemos: 1 + x = 8 - 2x & 1 + x = 16 - 4x 2 5x = 15 & x = 3 Reemplazamos este valor en la ecuación (1): 2y - 3 = 1 & y = 2 ` x2y2 = 32 . 22 = 36

x

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO  PLANTEO DE ECUACIONES ecuaciones DE SEGUNDO GRADO

Nota

Son aquellas que se adecuan a la expresión: 2

ax + bx + c = 0

• A las ecuaciones de segundo grado también se les denomina ecuaciones cuadráticas.

; a ! 0 Donde: a: coeficiente principal ax2: término cuadrático bx: término lineal c: término independiente

• Ecuación de 2.° grado Completa: ax2 + bx + c = 0

Cálculo de las soluciones de la ecuación incompleta I. De la forma: ax2 + c = 0

Incompletas: ax2 = 0

Ejemplo: determina las soluciones de la ecuación 3x2 - 147 = 0 • Simplificamos coeficientes: x2 - 49 = 0 Otro procedimiento 2 • Luego de simplificar coeficientes: x2 - 49 = 0 • Despejamos la variable: x = 49 • Por diferencia de cuadrados: (x + 7)(x - 7) = 0 • Sacamos raíz cuadrada: x = ! 7 • Cada factor igualamos a cero: x + 7 = 0 0 x - 7 = 0 • Soluciones: x1 = -7 0 x2 = 7 • Soluciones: x1 = -7 0 x2 = 7 II. De la forma: ax2 + bx = 0 Ejemplos: resuelve las ecuaciones 1. 15x2 + 35x = 0 • Simplificamos coeficientes: 3x2 + 7x = 0 • Extraemos factor común x: x(3x + 7) = 0 • El producto es cero, esto indica que cualquiera de sus factores es cero: x = 0 0 3x + 7 = 0 x = 0 0 x = - 7 3 • Soluciones: x1 = 0 0 x2 = - 7 3

2. -17x2 + 10x = 0 • Multiplicamos por (-1): 17x2 - 10x = 0 x(17x - 10) = 0 & x = 0 0 17x - 10 = 0

ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0

Observación • Todas las soluciones en estas ecuaciones se darán en los reales. x2 = -3

& x = ! -3 (No es un número real)

& No tiene solución en R.

• Soluciones:

x1 = 0 0 x2 = 10 17

Cálculo de las soluciones de la ecuación completa De la forma:

ax2 + bx + c = 0

; a!0

I. Por factorización (aspa simple) Luego de emplear el aspa simple quedan dos factores, cada uno de ellos se iguala a cero, resultando de esta manera las dos soluciones. Ejemplo:

Recuerda

2 Resuelve: x + x = 1 + 3x 2 6 5 5

Resolución: • Multiplicamos en aspa el primer miembro de la ecuación y factorizamos 1 en el segundo: 5 6x 2 + 2x = 1 _1 + 3xi 12 5

Discriminante (T) = b2 - 4ac

• Factorizamos por el aspa simple: 15x2 - 13x - 6 = 0 +1 +5x 3x 5x -6 -18x

Si: T > 0 & x1 ! x2; x1 / x2 ! R T < 0 & x1 y x2 ! C T = 0 & x1 = x2; x1 / x2 ! R

-13x

• Lo que divide pasa al otro lado de la ecuación a multiplicar: 30x2 + 10x = 12 + 36x

• Los factores igualamos a cero: 3x + 1 = 0 0 5x - 6 = 0

• Reducimos términos semejantes y dividimos entre dos: 15x2 - 13x - 6 = 0

• Soluciones: x1 = - 1 0 x2 = 6 3 5

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 3

49

II. Por aplicación de la fórmula general Se recurre a esta forma cuando el trinomio no es factorizable por el método del aspa simple.

Observación Del ejemplo, observamos que: x1 = 1 0 x2 = - 1 5 x1 ! x2

Fórmula de Carnot:

x=

- b ! b 2 - 4ac 2a

Ejemplo: Determina el conjunto solución de: 5x2 = 1 + 4x

Se concluye: Si: T > 0 las raíces que se obtiénen son reales y diferentes.

Resolución: • Adecuamos a la expresión general: 5x2 - 4x - 1 = 0 • Identificamos las constantes: a = 5; b = -4; c = -1 • Reemplazamos en la fórmula de Carnot: x=

- _- 4i ! _- 4i - 4 _ 5 i_- 1i 2_ 5 i 2

• Determinamos sus raíces: + x = 4 ! 16 20 = 4 ! 6 10 10 +6 4 x1 = 0 x2 = 4 6 10 10 x1 = 1 0 x2 = - 1 5 • Su conjunto solución será: CS = (- 1 ; 1 2 5

Propiedades de las raíces

Nota Expresión general ecuación cuadrática:

de

la

ax2 + bx + c = 0

Dada una ecuación de segundo grado se tiene: Suma de raíces Producto de raíces c x1 + x2 = - b x1 . x2 = a a

Atención La representación de 2 números (Z+) consecutivos impares se da como: 2x - 1 ; 2x + 1 o también: x ; x+2 6 x: impar

Planteo de ecuaciones Sobre números enteros consecutivos Ejemplo: Encuentra dos números enteros positivos consecutivos impares, tales que el cuadrado del segundo menos el primero sea 212. Resolución: • Sean los números: x y x + 2 • Según el enunciado: (x + 2)2 - x = 212 x2 + 3x - 208 = 0 x +16 x -13 x = -16 " Z+ (x + 16)(x - 13) = 0 x = 13 • Los números serán: x = 13 x + 2 = 15

• Usamos la otra representación: 2x - 1 y 2x + 1 • Del enunciado: (2x + 1)2 - (2x - 1) = 212 2x2 + x - 105 = 0 2x +15 x -7 x = - 15 " Z+ 2 (2x + 15)(x - 7) = 0 x=7 • Los números serán: 2x - 1 = 13 2x + 1 = 15

Sobre datos numéricos Observación • En el último ejemplo, nota la diferencia: & El 2.° número es multiplicado por 3, más que el 1.°. 3(2N - 5) + N & El 2.° número es multiplicado por 3 más que el 1.° 3((2N - 5) + N)

50 Intelectum 2.°

Ejemplo: Un segundo número es 5 menos que el doble del primero. Si el segundo número es multiplicado por 3 más que el primero, el resultado es 21. Encuentra el menor de los números enteros. Resolución: • Sean los números: 1.er número = N / 2.° número = 2N - 5 • Del enunciado: El 2.° número es multiplicado por 3 más que el primero, el resultado es 21 & 3((2N - 5) + N) = 21 & 3N - 5 = 7 & N = 4 • Por último, el menor de los números es: 2N - 5 = 2(4) - 5 = 3

Problemas de aplicación 1. Resuelve:

3x 2 - 12 - x = 0

Resolución: 3x2 - 12 = x  3x2 - 12 = x2      2x2 = 12          x = ! 6

x

Resolución: Dato: tengo x

2. Determina el valor de a si -5 es solución de: x2 + ax + 10 = 0 Resolución: Si -5 es solución; verifica la ecuación:   & (-5)2 + (11 - 5) + 10 = 0       25 - 5a + 10 = 0         -5a = -35          a = 7 3. Si m y n son raíces de: x2 - 10x + 2 Calcula m2 + n2 Resolución: Sabemos que: (m + n)2 = m2 + 2mn + n2 ... (I) Por definición m + n = - b (a = 1; b = -10) a (- 10) m + n = = 10 1 m . n = c (c = 2 ; a = 1) a m.n= 2 =2 1 En (I): (10)2 = m2 + 2(2) + n2

4. Jesús tiene la mitad de lo que tengo y Mery el triple de lo que Jesús tiene. Si tengo x, ¿cuánto tiene Mery?

96 = m2 + n2

Jesús tiene: x 2 3 Mery tiene: x 2 5. El séxtuplo de un número aumentado en 8 excede en 2 al número 70, determina el número. Resolución: Sea N el número: 6(N + 8) - 2 = 70  6(N + 8) = 72 N + 8 = 12       N = 4 6. Un número es a 7 como 6 es a 12 veces dicho número, disminuido en 3. Determina el número si es positivo. Resolución: Sea el número: x

El número es a 7: x 7 4 4 es a 12 veces el número, disminuido en 3: 12x - 3 6 & x = & 12x2 - 3x = 42 7 12x - 3 12x2 - 3x - 42 = 0   4x     7    3x   -6 x = - 7 0 x = 2   4      `  x = 2

Efectuar 1. Resuelve: x2 + 11x + 24 = 0

6. Resuelve: 2x2 - 7x + 3 = 0

12. Resuelve: 9x - 18 - x2 = 0 Indica la suma de sus raíces.

2. Resuelve: x2 + 3x - 1 = 0 Indica la mayor raíz.

7. Resuelve: 3x2 - 2x - 6 = 0

13. Resuelve: x2 = 16x - 63

3. Resuelve: x2 + 3x - 5 = 0 Indica la menor raíz.

8. Halla la mayor raíz al resolver: 6x2 – 11x + 3 = 0

14. Resuelve: x + 11 = 10x2 Indica la menor raíz.

9. Halla la mayor raíz al resolver: 10x2 - x - 2 = 0

15. Resuelve: 48 - x2 + 8x = 0 Indica la suma de sus raíces.

4. Resuelve: x2 + 2x - 5 = 0

10. Halla la menor raíz de: x2 - 2x - 1 = 0

5. Resuelve: x2 + 4x - 3 = 0

11. Halla la menor raíz de: x2 - 6x + 6 = 0

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 3

51

Problemas resueltos 1

Resuelve: 2x2 - 11x - 13 = 0 e indica la menor raíz.

De (I) y (II): 2

A B d n = & 3A 2 = 16B 4 3

Resolución:

2x2 - 11x - 13 = 0 2x -13 -13x (+) 1x +1 2x -11x

5

Resolución:

& (2x - 13)(x + 1) = 0

2

D=5

Entonces: 2x - 13 = 0 0 x + 1 = 0 2x = 13 x2 = -1 13 x1 = 2

2

6

Halla el CS de: x2 - 2 x - 5 = 0

` La menor raíz es: -1

Resolución:

Resuelve: x2 - 5x = 0

x1; 2 =

Usamos la fórmula general:

x - 5x = 0 Factorizamos: x(x - 5) = 0 & x = 0 0 x - 5 = 0 x = 5 ` CS = {0; 5}

2!

2 - 4 _- 5i = 2 ! 22 2 2 2

+ 22 ` CS = ( 2 ; 2

2

7

Halla el discriminante de la ecuación: mx2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

2 - 22 2 2

Resuelve: 4x2 - 28x + 49 = 0

Resolución:

Resolución:

4x2 - 28x + 49 = (2x - 7)2 & 2x - 7 = 0 x = 7/2

De la ecuación: mx2 + (2m -1)x + m - 1 = 0

` CS = ( 7 2 2

T = b2 - 4ac

8

T = (2m - 1)2 - 4m(m - 1) T = 4m2 - 4m + 1 - 4m2 + 4m

Encuentra dos números enteros negativos consecutivos, cuyo producto sea igual a 132. Determina el número mayor.

Resolución:

`  T = 1 4

- 4(2)(1) = 25 - 8 = 17 2 0

Por lo tanto, tiene raíces reales diferentes.

Resolución:

3

Indica la naturaleza de las raíces de: 2x2 + 5x + 1 = 0

Sean los números consecutivos negativos: x; x + 1(x < 0) 2

La ecuación: x - Ax + B = 0 , tiene una raíz que es el triple de la otra, luego A y B están relacionadas por:

Resolución: De la ecuación: x2 - Ax + B = 0 Dato: x1 = 3x2 Sabemos que: (*) x1 + x2 = -(-A) . 3x2 + x2 = A & x2 = A 4

...(I)

(*) x1x2 = B .

3x2 . x2 = B & x 22 = B 3

52 Intelectum 2.°

...(II)

Por condición, su producto es 132: x(x + 1) = 132 x2 + x - 132 = 0 x -11 x +12 (x - 11)(x + 12) = 0 x = 11 0 x = -12 x = 11; no cumple con la condición. Los números negativos consecutivos serán: x = - 12 x + 1 = -12 + 1 = -11 ` -11 (número mayor)

x

DESIGUALDADES E INECUACIONES

Desigualdad

Nota

Es aquella comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de desigualdad (, #, $). La relación “mayor o igual que” ($) se define como:

a$b , a>b 0 a=b

La relación “menor o igual que” (#) se define como:

a#b,a: “mayor que” Estrictas 3 0 7 = 3 Es suficiente que se verifique una de las relaciones de orden. • 9 # 9 , 9 < 9 0 9 = 9

Intervalos

Es el conjunto de todos los números reales que están comprendidos entre dos extremos (pueden ser finitos o infinitos). Se presentan de dos formas:

1 Intervalo acotado

Cuando sus extremos reales son finitos, pueden ser: I. Intervalo cerrado Se consideran a los extremos finitos.

-3

a

b

x ! [a; b] , a # x # b

III. Intervalo semiabierto por la derecha

-3

+3

a

b

x ! Ga; bH , a < x < b

+3

;a b , am < bm a>b, a < b m m

• Multiplicamos a ambos miembros de la inecuación por el MCM (5; 3) = 15 de los denominadores:

2. 6a; b ! R / m ! R, se cumple:

      15 c 4x + 1 m > 15 c 3x - 2 m 5 3

a>b,a!m>b!m

 12x + 3 > 15x - 10

3. Si a y b tienen el mismo signo, se cumple:

• Sumamos(- 15x) a ambos miembros de la inecuación:

12x - 15x + 3 > 15x - 15x - 10 -3x + 3 > - 10

• Sumamos(-3) a ambos miembros de la inecuación:

      -3x + 3 - 3 > - 10 - 3        -3x > - 13

• Multiplicamos por d- 1 n a ambos miembros de la inecuación: 3

    d- 1 n_- 3xi < d- 1 n_- 13i 3 3

a bm a>b, a > b m m 5. Regla de los signos de la multiplicación:

 & x < 13 3

ab > 0 + ((a > 0 / b > 0) 0 (a < 0 / b < 0)) ab < 0 + ((a < 0 / b > 0) 0 (a > 0 / b < 0)) 2n 6. x $ 0 ; 6x ! R; n ! Z+

7. 6a, b, c ! R+ y n ! Z+, se cumple:

• El conjunto solución está dado por:

CS = x ! - 3; 13 3

• Nos piden el complemento del conjunto solución:

` CS = x ! < 13 ; + 3

• Gráficamente:

a > b , a2n > b2n 2n 2n 2n * c b2n + 1 2n + 1

3

b

9. 6a; b; c, d ! R, se verifica: a>b c>d a+c>b+d 10.Regla de los signos de la división a < 0 + ((a < 0 / b > 0) b 0 (a > 0 / b < 0)) a > 0 + ((a > 0 / b > 0) b 0  (a < 0 / b < 0))

Es aquella agrupación de inecuaciones cuyas soluciones verifica simultáneamente a cada inecuación.

Sistema expresado en función de una sola incógnita 1.° caso: 6a; b; c y d ! R

a < cx + d < b

Ejemplo: Determina los valores de x que satisfacen a la limitación siguiente: -6 < x + 4 < -1 Resolución: Sumamos -4 a cada uno de los miembros de la inecuación:

-6 - 4 < x + 4 - 4 < 1 - 4 -10 < x < - 5 Consideramos solo valores enteros, consideramos los que satisfacen x = {-9; -8; -7; -6} a la inecuación: 2.° caso: 6a; b; c; d; e y f ! R Ejemplo:

ax + b < cx + d < ex + f

Determina el conjunto solución de: x + 1 < x 5 < x + 2 4 2 3

54 Intelectum 2.°

x

Resolución: Resolvemos por separado; luego intersecamos las soluciones de (I) y (II):

 

(II)          x +1 < x-5 < x +2 4 2 3 (I)

Multiplicamos a cada miembro de la inecuación (I) por el MCM de sus denominadores (MCM(4;2) = 4).

    x + 1 < x - 5 4 2 4` x + 1j < 4 c x - 5 m 4 2

Atención A las operaciones con intervalos.

 x + 4 < 2x - 10 Sumamos (-2x) y (- 4) a la vez a cada miembro de la desigualdad: x - 2x + 4 - 4 < 2x - 2x - 10 - 4         -x < -14

1. Unión de intervalos

Multiplicamos por -1 a ambos miembros:



Multiplicamos a cada miembro de la inecuación (II) por el MCM de sus denominadores (MCM (2; 3) = 6):

(-1)(-x) < (-1)(-14)      x > 14          ... (l)

A , B = {x ! R / x ! A 0 x ! B}

x-5 < x +2 2 3

Graficamos:

6 c x - 5 m < 6` x + 2j 2 3

 -3 -3

Sumamos (-2x) y (15) a la vez a cada miembro de la desigualdad: 3x - 2x - 15 + 15 < 2x - 2x + 12 + 12  x < 24    ...(ll) Intersecamos los conjuntos (I) y (II): (II)

-3

(I)

14

24

A + B = {x ! R / x ! A / x ! B}

Sean: A = G1; 3] / B = [2; 4H Graficamos:

-3 1

3

4 +3

3. Diferencia de intervalos A - B = {x ! R / x ! A / x " B} Sean: A = G-1;7H / B = G-10; 1H

5x - 3y > 2 2x + y < 11 y>3

Graficamos:

-3 -10

Resolución:

Sumamos miembro a miembro: las desigualdades (4) y (5):

2

A + B = [2; 3]

&

Ejemplo: exámen de admisión UNI 2006-II (matemática) Halla el valor de E = 4x + 3y, donde x e y son los valores enteros que satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones:

Multiplicamos por 5 a la inecuación (2) miembro a miembro:

10 +3

x ! G14; 24H

En este caso se tiene que realizar transformaciones adecuadas para obtener el sistema expresado en función de una de sus incógnitas luego determina su conjunto solución, haciendo los reemplazos adecuados deduciremos el conjunto solución de los otros.

Multiplicamos por (-2) a la inecuación (1) miembro a miembro:

5

2. Intersección de intervalos

+3

Sistema expresado en función de dos o más incógnitas

En el sistema de inecuaciones; téngase en cuenta que: {x; y} ! Z

1

A , B = [-3; 10H

&

  3x - 15 < 2x + 12

El conjunto solución estará dado por:

Sean: A = [-3; 5] / B = G1; 10H

5x - 3y > 2 2x + y < 11 y > 3

7 +3

4. Complemento de un intervalo A' = {x / x ! R / x " A}

(-2)(5x - 3y) > (-2)(2) -10x + 6y < -4

...(4)

5(2x + y) < 5(11) 10x + 5y < 55

...(5)

11y < 51 y < 4, 6

1

A - B = G1; 7H

&

...(1) ...(2) ...(3)

-1

Sean: A = [-1; 3H ; A' = ? Graficamos:

-3

-1

3

+3

A' = G-3; -1H , [3; +3H

...(6) ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 3

55

De (3) y (6) obtenemos el valor entero de y:

Nota Considerar las siguientes propiedades fundamentales de las desigualdades: • Si multiplicamos por un número negativo; la desigualdad cambia de sentido. • Solo se pueden sumar desigualdades que tengan un mismo sentido.

3 < y < 4; 6 & y = 4

Reemplazando (7) en (1) y (2):

2,8 < x < 3,5 &x=3

Nos piden el valor de:

E = 4x + 3y E = 4(3) + 3(4) = 24

...(7)

Gráfica de una inecuaciÓn lineal

Pasos a seguir:

1. Considera a la desigualdad como una igualdad. 2. Si la inecuación es lineal, esta es una recta; su gráfica se realiza son dos puntos. 3. Evalúa la inecuación cuando consideramos el punto (0; 0) = (x; y) u otros puntos adecuadamente. Si es verdadera la relación, sombrear el semiplano que contiene al punto, lo cual verifica la inecuación; si es falsa la solución será el semiplano no considerado. 4. Por último el conjunto solución del sistema estará dado por la intersección de los semiplanos.

Observaciones • Si la inecuación contiene los símbolos > o -6 ...(1) 2x + 3y $ 6 ...(2) Resolución: • Graficamos (1): 3x - 2y > - 6 I. 3x - 2y = -6 II. Los dos puntos donde la recta corta a los ejes son: Para x = 0 & y = 3 & 1.° punto: (0; 3) Para y = 0 & x = -2 & 2.° punto: (-2; 0) La recta la trazamos con líneas punteadas (>):

y (0; 2)

y (0; 3)

Recuerda • El conjunto solución de una inecuación es un semiplano. • El conjunto solución de un sistema de inecuaciones vendrá hacer la intersección de todos los semiplanos.

Para x = 0 & y = 2 & 1.° punto: (0; 2) Para y = 0 & x = 3 & 2.° punto: (3; 0) La recta la trazamos con una línea continua ($):

(-2; 0)

Esta región representa la solución de la inecuación (1) x

III. Evaluamos para: (x; y) = [0; 0] que se encuentra en el semiplano inferior. 3x - 2y > -6 & 3(0) - 2(0) > -6 & 0 > - 6 (V) Por consiguiente sombreamos el semiplano inferior.

III. Evaluamos para: (x; y) = (0; 0) que se encuentra en el semiplano inferior. 2x + 3y $ 6 & 2(0) + 3(0) $ 6 & 0 $ 6 (F) Por consiguiente sombreamos el semiplano superior.

IV. Por último intersecamos los dos semiplanos:

En la gráfica de la inecuación (1), podríamos haber elegido, por ejemplo, el punto (-3; 0) que pertenece al semiplano del lado izquierdo, evaluando resulta: 3x - 2y > -6 & 3(-3) - 2(0) > -6 & -9 > -6 (F)



Esto indica que el semiplano que se debe sombrear es el del lado derecho.

(0; 3)

56 Intelectum 2.°



Gráfica de una inecuación cuadrática

(ax2 + bx + c; a; b; c ! R) Se realizan los mismos pasos que el caso anterior. Ejemplo 1: Determina el conjunto solución de la inecuación: y > x2 - 4x - 21 Resolución: I. y = x2 - 4x - 21

y

(0; 2)

I. 2x + 3y = 6 II. Puntos de corte con los ejes:

...(i)

x

(3; 0)



• Graficamos (2): 2x + 3y $ 6 Nota

Esta región representa la solución de la inecuación (2)

Esta región representa la solución del sistema de inecuaciones (3; 0)

x

x

II. En este caso la inecuación es cuadrática, luego: El coeficiente del término cuadrático es positivo, en este caso la parábola abre hacia arriba. La abscisa del vértice es 2 (lo determinamos a partir de la fórmula -b/2a). Sustituyamos este valor en (i) determinamos que la ordenada del vértice es: -25 (y = (2)2 - 4(2) - 21 = 4 - 8 - 21 = -25)

y 7

2 −3

Nota

x

• La circunferencia tiene por ecuación: x2 + y2 = r2 r: radio de la circunferencia

La curva de la parábola corta al eje x en -3 y 7, al eje y en -21. Estos datos son suficientes para graficar la parábola.

y

III. Evaluamos para (x; y) = (0; 0) obtenemos: 0 > - 21 (V) este punto se encuentra en la zona interna de la parábola por consiguiente la solución de la inecuación está conformada por aquellos puntos internos de la parábola.

r x

-21

B)

y

x2 + y2 = 9



y

y

3

D)

x

E)

y

x

3

x

x

x

Si se presenta como una inecuación: x2 + y2 < 9

C)

y

r

-25

Ejemplo 2: examen de admisión UNI 2002-II (matemática) Dadas las siguientes inecuaciones: x2 - y < 0; x + 4 < 3y, y < x + 2 entonces los pares (x; y) que satisfacen estas inecuaciones están representadas por la región sombreada: A)

y

y

x x

Resolución: Ahora grafica las inecuaciones lineales: x + 4 < 3y; y < x + 2 Basta con que determinemos las coordenadas de dos de los puntos para cada uno de ellos. x + 4 < 3y (líneas punteadas) y < x + 2 (líneas punteadas) x - 3y + 4 = 0: d0; 4 n y (-4; 0) 3 x - y + 2 = 0: (0; 2) y (-2; 0) y

Observaciones La curva de la parábola del ejemplo (1) la realizamos con líneas punteadas ya que la desigualdad contiene el símbolo >. La ecuación más simple de una parábola es:

y

y

(0; 2)

y = x2

(0; 4 ) 3 x

(-4; 0)

Evaluamos: (x; y) = (0; 0) & x + 4 < 3y & 4 < 0 ...(F)

(-2; 0)

x

x

• Una de las inecuaciones del ejemplo 2 tiene la forma conocida de la parábola (simple): y > x2 que tiene por gráfica: y

Intersecamos los tres gráficos: y

x2 - y < 0 x + 4 < 3y y 0 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c $ 0 0 ax2 + bx + c # 0

;a!0

Método de los puntos críticos (T > 0)

Tómese en cuenta los siguientes pasos para dar solución a este tipo de inecuaciones. Atención • El punto de intersección P se determina si solucionamos el sistema conformado por: x - 3y = -4 x = -1; y = 1 x - y = -2 • El punto (x; y) = (-1; 1) cumple también con la ecuación: y = x2

I. Se verifica que el coeficiente principal (a) sea positivo, si es negativo cambiar de signo a todos los términos de la desigualdad, no olvidar que en el segundo miembro figure el cero. II. Factoriza el trinomio y asi determina sus raíces denominadas ahora: puntos críticos. III. Se ubican en forma ordenada los puntos críticos en la recta numérica real para analizar los signos del trinomio. IV. Marca de derecha a izquierda y en forma alternada los signos: + - + - ... V. Si el sentido de la desigualdad final es: > o $: la solución será todas las zonas positivas y si < o #: la solución será todas las zonas negativas. Ejemplo: examen de Admisión UNI 2007-II (matemática) Halla la intersección de los conjuntos: P = {x ! R / x2 - 2x + a $ 0} y Q = {x ! R / x2 - ax - 2a2 # 0} Donde: 3 # a < 1 4

Recuerda Para determinar las raíces de un trinomio, se puede emplear según el caso: A) Aspa simple, o la B) Fórmula general (cuando el trinomio no es factorizable) x = -b !

2

b - 4ac 2a

Resolución: • Analicemos el primer conjunto P: x2 - 2x + a $ 0 Su coeficiente principal es positivo:

Para calcular los puntos críticos empleamos la fórmula general, x = 1 - 1 - a 1 obteniéndose: x2 = 1 + 1 - a Ubica los puntos críticos en la recta real: (Observa que: 1 + 1 - a 2 1 - 1 - a por ello el mayor está a

1+ 1-a

Marcamos con los signos respectivos:

+

-

-3 1 − 1 - a

• Usamos la fórmula general para el trinomio del conjunto P: - ^- 2h ! ^- 2h2 - 4^1ha 2

x1 = 1 - 1 - a / x2 = 1 + 1 - a x2 2 x1

Nota Usamos el método del aspa simple para el trinomio del conjunto Q: x2 - ax - 2a2 # 0 x -2a x

-3 1 − 1 - a

a

(x - 2a)(x + a) # 0 PC: x2 = 2a / x1 = -a

58 Intelectum 2.°

+3

la derecha y el menor a la izquierda).

Nota

x=

x2 = 1x2 (1 > 0)

+

1+ 1-a

+3

La desigualdad final tiene sentido $; por ello consideramos las P: x ! G-3; 1- 1 - a ] , [1 + 1 - a ; +3H zonas positivas que son el conjunto solución del conjunto P: • Analizamos igual que el caso anterior, el conjunto Q: x2 - ax - 2a2 # 0 Su coeficiente principal es también positivo: x2 = 1x2 (1 > 0) Sus puntos críticos se obtienen si empleamos el método del aspa x1 = - a / x2 = 2a simple: Ubicamos los puntos en la recta numérica:

-3

Marcamos los signos respectivos:

+

-3

2a

-a -

-a

+3

+

2a

+3

La desigualdad final tiene sentido #; consideramos solo la zona Q: x ! [-a; 2a] negativa: • Lo que queda es hacer la intersección de los conjuntos, pero hay un detalle el cuál es la relación de orden de los puntos críticos, es decir: ¿1 - 1 - a 2 -a? o ¿1 - 1 - a 1 -a?   o   también: ¿1 + 1 - a 2 2a? o ¿1 + 1 - a 1 2a?

x El dato: 3 # a < 1 nos ayudará a despejar estas dudas de la siguiente manera: 4 El intervalo a donde pertenece -a es:

-1 < - a # - 3 4

...(1)

Multiplicamos por -2 miembro a miembro:

3 # 2a < 2 4

...(2)

Sumamos 1 a cada miembro de la desigualdad (1):

-1 +1 < 1 -a # 1 - 3 4 0 1 x + 2 x2 - 4 2 - x

c)

x + x x - 3 x - 2 2x - 3 e)

5 (x - 2) 2 (x - 3) $3 x+2 x+3

f)

1 + 3 < 5 + 7x - 15 2 x - 3 2 x 2 - 3 x x 3x - 2x 2

g) x +

+

a > 0 / b2 - 4ac # 0

x-2 > 4

h)

x - 1 > 3 + 3x - 2

i)

2x - 6 + x + 14 $ 5

j)

p q $2 + p-x q-x

k)

2 - 42 + 20 # 0 1 - x 1 + 4 x 1 + 2x

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 3

59

Problemas resueltos 1 Si 3 < x + 2 # 4 ; calcula la variación de (x2 + 2x). x+1

Resolución:

+ + 3< x 1 1 #4 x+1

3 3 d a - b nx # 0 b

20&x x 2 + 2x $ - 8 4 9 ` (x 2 + 2 x ) ! < - 8 ; - 3 4 9

2

Por lo tanto en (1):

Elevamos al cuadrado: 1 > x 2 + 2x + 1 $ 1 4 9

1 #4 x+1

4

+ B = (2x + 1/ x + 1 $ 2x 4 2 3 Si E = (A + B), calcula la suma de los cuadrados de los valores enteros que admite E.

Calcula el complemento de A , B.

Resolución:

Resolución: 4x # -10 & x #

A = ( x - 1 / 2x - 2 #

-5 2

En el conjunto B: 2x $ 19 - 13 = 6 & x $ 3

3x # 12 x#4

A,B

 x - 1 # 3 3

& A = G-3; 3]

(A , B)’ - 5/2

B = ( 2x + 1 / x + 1 $

3

2x + 4 2 3

3x + 3 $ 2x + 4

` CS = - 5 ; 3 2

 x $ 1 2x + 1 $ 3 & B = [3; +3H

Resuelve para x:

3 3 b 2 + _1 + 4xi _a - b i # a / a 1 b 1 0 b a2 a2 b

E = A + B = {3} & Piden: (3)2 = 9

Resolución: b 2 + a3 - b3 _1 + 4xi # a b a2 a2 b b 2 + a 3 - b 3 + 4x a 3 - b 3 # f 2 p a2 a2 b a b 2 2 3 - 3   b 2 + a - b 2 + 4x f a 2 b p # b a a a b

x+82 2

4x - 4 # x + 8

- 5/2

3

Sean los conjuntos: + A = ( x - 1/ 2x - 2 # x 8 2 2

Sea: A = {x ! R / 4x + 10 # 0} y B = {x ! R / 13 $ -2x + 19}

En el conjunto A:

f

3

3

5

Resuelve: 4x2 - 12x + 9 $ 0

a b

Resolución:

a b

(2x)2 - 2(2x)(3) + 32 $ 0

a -b x # 0 p a2 b

60 Intelectum 2.°

...(2)

3 - 3 Además, b < 0, entonces en (2): a b 2 0 b

Invertimos: 1 > x+1 $ 1 2 3

+ Si: 3 < x 2 # 4 x+1

3 < 1+

Del dato: a < b & a3 < b3 & a3 - b3 < 0



4x2 - 12x + 9 $ 0;

...(1)

(2x - 3)2 $ 0; se verifica 6 x ! r ` CS = r = G-3 ; +3H

x 6



Resuelve: 2

y

x - 3x + 2 > 0 x 2 + 3x - 2

(1; 0)

Resolución:

& (x - 1)(x - 2)(x + 1)(x + 2) > 0 Por puntos críticos: x = 1; x = 2; x = -1; x = -2

-3

-2



-1

1

+ 2

+3

` x ! G-3; -2H , G-1; 1H , G2; +3H 7

Halla el menor valor de N, 6x ! R. -13-x2 - 4x # N



Gráfica de x2 + y2 = 42  (r = 4) y

+

-

x

Evaluamos para: x - y > 0 1 - 0 > 0 1 > 0 ...(V) & Sombreamos el semiplano lado derecho.

Por condición: (x - 1) (x - 2) >0 (x + 1) (x + 2)

+

Gráfica de x = y

Resolución: Multiplicando por (-1): x2 + 4x + 13 $ -N (x)2 +2(2)(x) + 4 + 9 $ -N (x + 2)2 + 9 $ -N

x

(0; 0)



Evaluamos para: (x; y) = (0; 0) (punto interno de la circunferencia)

x2 + y2 - 16 > 0 -16 > 0 ...(F)

& Sombreamos fuera de la circunferencia.



Intersecamos: x2 + y2 = 16 / x = y y

x2 + y2 = 16

0 2

(x + 2) = 0; para que N cumple la condición de valor mínimo. Entonces: 9 # -N & N $ -9 ` El menor valor de N es: -9 8

La representación gráfica de los puntos (x; y) que satisfacen la inecuación: x-y 2 0 es: x + y 2 - 16

x x=y

• Determinamos la gráfica del conjunto B: M < 0: x - y < 0 & x - y = 0 & x = y N < 0: x2 + y2 - 16 < 0 & x2 + y2 = 16 Siguiendo la misma analogía que el caso anterior:

2

Resolución: La gráfica que representa a la inecuación lo determinaremos haciendo la unión de los conjuntos A y B (A , B). x-y = M 20 x 2 + y 2 - 16 N Según la propiedad de los signos de la división: M  2 0 , ((M 2 0 / N 2 0) 0 (M 1 0 / N 1 0) N   A  B • Determinamos la gráfica del conjunto A: M > 0: x - y > 0 & x - y = 0 & x = y N > 0: x2 + y2 - 16 > 0 & x2 + y2 = 16

y

x=y

x2 + y2 = 16

x

Uniendo los gráficos de los conjuntos A y B, resulta: y

x

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 3

61

unidad 4

VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN

Observación El valor absoluto de un número real cualquiera será siempre positivo. Por consiguiente: |x| = -9 no tiene solución

El valor absoluto de un número real x se define como aquel número real no negativo que se denota por |x| donde: |x| = x; si x $ 0 -x; si x < 0 Ejemplos:

x; x $ 2 x - 2 + 2; x - 2 $ 0 1. |x - 2| + 2 = & |x - 2| + 2 = - x; x < 2 - (x - 2) + 2; x - 2 < 4 0 2 x - 7 + 3 - x2 - 1; x - 7 $ 0 & |x - 7| + 3 - (x2 + 1) = - x + x - 5; x $ 7 2. |x - 7| + 3 - (x2 + 1) = - x2 - x + 9; x < 7 -(x - 7) + 3 - x2 - 1; x - 7 < 0

Ecuaciones que incluyen valor absoluto

Sean x y a expresiones algebraicas, que cumplen los siguientes teoremas: |x| = a , (a $ 0) / (x = a 0 x = -a) Ejemplos: 1. Resuelve: |x - 10| = 9 Recuerda Las siguientes propiedades de valor absoluto: 1. |x| $ 0; 6 x ! R 2. |x| = 0 + x = 0 3. |xy| = |x||y|; 6 x; y ! R 4.

x x ; y!0 = y y 2

2

5. |x | = x ; 6 x ! R 6.

x 2 = |x|; 6 x ! R

7. |x| = |-x|, 6 x ! R 8. |x + y| # |x| + |y|; 6 x; y ! R (Desigualdad triangular)

Observación Considera también: a) |x + y| = |x| + |y|; si x.y $ 0 b) |x + y| < |x| + |y| ; si x.y < 0

|x| = |b| , (x = b 0 x = -b) Ejemplos: 1. Resuelve: |10x + 2| = |4x - 20| Resolución: • Factorizamos en forma conveniente: 2|5x + 1| = 2|2x - 10| |5x + 1| = |2x - 10|

Resolución: • Aplicamos la propiedad: x - 10 = 9 & x = 19 0 x - 10 = - 9 & x = 1 • El conjunto solución es: {1; 19} 2. Resuelve: |x + 6| = 2x - 10 Resolución: • Aplicamos la condición: 2x - 10 $ 0 & 2x $ 10 & x $ 5 • Aplicamos la propiedad: x + 6 = 2x - 10 0 x + 6 = - (2x - 10) 6 + 10 = 2x - x 0 x + 6 = - 2x + 10 x = 16 0 x = 4 3 • Descartamos x = 4 por no satisfacer la 3 condición: x $ 5 • El conjunto solución es: {16}

• Aplicamos la propiedad: 5x + 1 = 2x - 10 0 5x + 1 = - (2x - 10) x = - 11 0 x = 9 3 7 11 9 CS = (- ; 2 3 7 2. Resuelve: |2x - 1| = |3x - 4| Otra forma de solución: • Elevamos al cuadrado ambos miembros: |2x - 1|2 = |3x - 4|2 (2x - 1 + 3x - 4)(2x - 1 - 3x + 4) = 0 (5x - 5)(3 - x) = 0 (x - 1)(x - 3) = 0 x-1=0 0 x-3=0 x=1 0 x=3 CS = {1; 3}

Inecuaciones que incluyen valor absoluto

Sean x y b expresiones algebraicas, entonces ten presente los teoremas: |x| < b , (b > 0) / (-b < x < b) |x| # b , (b $ 0) / (-b # x # b)

62 Intelectum 2.°

...(1) ...(2)

Ejemplos: 1. Resuelve la inecuación: |x - 6| < 9 Observamos que toma la forma del teorema (1), la expresión algebraica está expresada por x - 6: |x - 6| < 9 Aplicamos el teorema (1): -9 < x - 6 < 9 Sumamos 6 a cada parte:-9 + 6 < x - 6 + 6 < 9 + 6 -3 < x < 15 El conjunto solución es: CS = G-3; 15H, observa la figura I. 2. Resuelve la inecuación: |5x - 2| # 3x + 4 Resolución: Toma la forma del teorema (2), las expresiones algebraicas para este caso son: x " 5x - 2 y b " 3x + 4: |5x - 2| # 3x + 4 Aplicamos el teorema (2): (3x + 4 $ 0) / (-(3x + 4) # 5x - 2 # 3x + 4)

x Atención La desigualdad |x| # b para b $ 0, según los teoremas, se puede escribir como: x $ -b / x # b

El segundo paréntesis se puede escribir de otra forma: d x $ - 4 n / (5x - 2 $ - 3x - 4 / 5x - 2 # 3x + 4) 3 Reducimos términos semejantes en el segundo paréntesis: d x $ - 4 n / (8x $ -2 / 2x # 6) 3 Despejamos x: d x $ - 4 n / (x $ - 1 / x # 3) 4 3 El conjunto solución es CS = b , x < - b 0 x > b ...(3) |x| $ b , x # - b 0 x $ b ...(4) Ejemplos: 1. Resuelve la inecuación: |x + 8| $ 12 Resolución: Toma la forma del teorema (3), la expresión algebraica está expresada por x + 8: |x + 8| $ 12 Aplicamos el teorema (4): x + 8 # - 12 0 x + 8 $ 12 Restamos 8 de cada parte y simplificamos: x + 8 - 8 # - 12 - 8 0 x + 8 - 8 $ 12 - 8 x # - 20 0 x $ 4 El conjunto solución es: CS = G-3; -20] , [4; +3H, observa la figura III.

-3

-4 3

3

-1 4

La representación de un número (a) positivo es: a>0

Dividimos la primera desigualdad entre 3: 3x # 1 0 x $ 3 3 3 x# 1 3

0 x $ 3

Nota Figura III -3

-20

4

El conjunto solución es: CS = - 3; 1 F 0 7 3; - 3 . Observa la figura IV. 3



1 3

Figura IV -3

A−B -3

3

+3

Nota

3. Si se tienen los conjuntos: A = < 1 ; + 3 / B = 73; + 3 . Determina el conjunto A - B. 3 Resolución: Veamos gráficamente.

+3

Observación

2. Resuelve la inecuación: |2x - 2| $ x + 1 Resolución: La inecuación toma la forma del teorema (4), las expresiones algebraicas en este caso son x " 2x - 2 y b " x + 1: |2x - 2| $ x + 1 Aplicamos el teorema (4): 2x - 2 # - x - 1 0 2x - 2 $ x + 1 Reducimos términos semejantes: 2x - 2 + x + 2 # - x - 1 + x + 2 0 2x - 2 - x + 2 $ x + 1 - x + 2 Simplificamos: 3x # 1 0 x $ 3

Simplificamos:

+3

+3

1 3

3

+3

Según el gráfico no toma el valor de 3: A - B = < 1 ; 3 3 ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

63

Problemas resueltos 1

Resuelve: |3x + 1| # |x + 6| + |2x - 5|

B = {x ! R / |2x - 1| # x}

Resolución:

& x $ 0 / {-x # 2x - 1 # x}

|3x + 1| # |x + 6| + |2x - 5|

x $ 0 / {-x # 2x - 1 / 2x - 1 # x}

Recuerda: |a + b| # |a| + |b|, 6 a; b ! R

|2x - 1| # x

x $ 0 / {x $ 1 / x # 1} 3 1 B = < ; 1F 3

(Desigualdad triangular)

Como: 3x + 1 = (x + 6) + (2x - 5)

Nos piden: A + B

Entonces: |(x + 6) + (2x - 5)| # |x + 6| + |2x - 5| ` Cumple con la propiedad para todo      x ! R. 2

Indica un intervalo solución de: 1 # 1 # 1 x 2 x +3 x +1

` A+B=Q 5

Resolución:

Resolución: 1 # 1 # 1 x 2 x +3 x +1

De la inecuación: |x - 5| < |x - 7|

Invirtiendo toma la siguiente forma: |x| $ 2|x| + 3 $ |x| + 1 |x| $ |x| + 1 ` x!Q 3

De la inecuación: (|x| + 1)(2x + 1)(|x| + 3) $ 0 + (son siempre positivos) 2x + 1 $ 0 & x $ - 1 2 ` x ! 7} B = {x ! R / |2x - 1| # x} Halla A + B.

Resolución: Si: A = {x ! R / |4x - 1| > 7} |4x - 1| > 7 4x - 1 > 7 0 4x - 1 < -7 x>2 0 x< -3 2 3 A = G-3; H , G2; +3H 2

64 Intelectum 2.°

Halla el CS de la inecuación: |x - 5| < |x - 7|

6

Si b > 0 y además |x - a| < 2b, halla la variación de: b x - a + 3b

Resolución: Tenemos: |x - a| < 2b; b > 0 Por ser valor absoluto se cumple: -2b < x - a < 2b Sumamos 3b: 3b - 2b < x - a + 3b < 2b + 3b     b < x - a + 3b < 5b 1 1 1 11 5b b x - a + 3b Multiplicamos por b: b 1 b 1b 5b b x - a + 3b b 1 1 11 5 x - a + 3b `

b ! G1/5; 1H x - a + 3b

x

LOGARITMOS

DeFINICIÓN

Dado un número real b positivo diferente de la unidad llamado base y un número N real positivo; se denomina logaritmo del número N en base b y se expresa logb N al exponente x (real) al cual hay que elevar la base para obtener el número. x

logb N = x , N = b

log N b

Su aplicación es: log 2 3 =

• 3

log 13 9

• 9

Propiedades generales de los logaritmos

• ^- 4h

2.

logb b = 1

3.

logb _MNi = logb M + logb N ; M; N > 0

4.

logb d M n = logb M - logb N N

6.

^-4h

10

No está definido, ya que la base es negativa.

logb M = logbn Mn ; M > 0, n ! R

x

; M; N > 0

5. Regla del sombrero

2

= 13

log

Si: b > 0 / b ! 1 logb 1 = 0

De las siguientes propiedades, veamos sus aplicaciones: N=b

Elementos: N: número, N > 0 (real positivo) b: base del sistema de logaritmos (b > 0 / b ! 1) x: logaritmo, x ! R

1.

Atención

logb Nn = n logb N

7. logb M = logn b n M

;n!N/n$2 M>0

8.

logbn Mm = m logb M ; n; m ! R / n ! 0 n

9.

logN Nm = m ; N ! R+; N ! 1 /     m ! R

logb b = x Su aplicación es:

4

• log5 625 = log5 5 = 4 8

• log2 256 = log2 2 = 8 • log0, 2 0,008 = log0, 2 ^0, 2h3 = 3

; n ! R; N > 0

Cambio de base

Consiste en calcular el logaritmo de un número en una base en función de otra base donde los logaritmos son conocidos, es decir: log a N =

logb N logb a





Propiedades 1.

log a b =

1 logb a

; a; b ! R+ - {1}

2. Cociente de logaritmos

log a N logb N

= log a b

N: número, N > 0 b: base del logaritmo conocido a: base del logaritmo desconocido a / b > 0 / a; b ! 1 3. Regla de la cadena

Nota

a) Cerrada:

logb a log a c logc N = logb N

b) Abierta:

logb a logc b logb c = logb a

n

logb M = alogb Mk ! logb M n

n

4. Potencia logarítmica

+ alogc b = blogc a ; donde: a; b > 0 ; c ! R - {1}

Cologaritmo

Es el logaritmo de la inversa del número en la misma base. co logb N = logb d 1 n = - logb N ; donde: N > 0; b > 0 / b ! 1 N Ejemplos: • colog72401 = - log72401 = -4



• colog40,25 = - log40,25 = -(-1) = 1

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

65

Antilogaritmo

Nota Los principales sistemas de logaritmos son: Sistema de logaritmos decimales, vulgares o de Briggs Es el sistema en el cual la base es el número diez. Notación:

Es el número que dio origen al logaritmo que se tiene como dato y se obtiene elevando la base a dicho número. antilogbx = N = bx Ejemplos:

• antilog5(-2) = 5-2 = 1 25



• antilog23 = 23 = 8

Propiedades

log10N logN y se lee: logaritmo decimal de N. Partes de un logaritmo decimal Todo logaritmo decimal presenta una parte entera y una parte decimal; donde la primera se denomina CARACTERÍSTICA y la segunda, solo cuando es positiva, se llama MANTISA.

1.

antilogb(logbN) = N

e = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... 1! 2! 3! 4! = 2,718 281 82 ... logeA lnA

Se lee: logaritmo natural o logaritmo neperiano de N.

logb(antilogbx) = x

x ! R; b > 0 / b ! 1

Ejemplo: • log7(antilog710) = 10

Se denominan ecuaciones logarítmicas a aquellas que tienen la incógnita dentro de un logaritmo como número o base. Para resolver estas ecuaciones se tienen que cumplir con las condiciones impuestas en la definición. Siendo: b > 0 / b ! 1 La ecuación: logbA(x) = logbB(x) se resuelve por medio de las relaciones: A(x) > 0 / B(x) > 0: CVA / A(x) = B(x)

Característica: 2 Mantisa: 0,845098 ... donde:

Usa como base del sistema el número trascendente e, cuyo valor aproximado es:

2.

Ecuaciones logarítmicas

Se tiene que:

Sistemas de logaritmos neperianos o naturales

N > 0; b > 0 / b ! 1

Ejemplo: • antilog5(log52) = 2

Así: log700 = 2,845098 ...

Notación:

Donde: x ! R, b > 0 / b ! 1

Ejemplo: Resuelve la siguiente ecuación: x + log1424(1 + 2x) = xlog1424712 + log142472 ¿Cuál es el número de soluciones? Resolución: La expresión se puede escribir como: x + log1424(1 + 2x) = xlog1424 d 1424 n + log142472 2 Hacemos uso de la propiedad de la división para logaritmos: x + log1424(1 + 2x) = xlog14241424 - xlog14242 + log142472 1 El logaritmo de la base del logaritmo es igual a uno: x + log1424(1 + 2x) = x - log14242x + log142472 División de logaritmos en el segundo miembro: log1424(1 + 2x) = log1424 d 72x n & 1 + 2x = 72x 2 2 Igualamos cada factor a cero: (2x)2 + 2x - 72 = 0 &

(2x + 9)(2x - 8) = 0

Por lo tanto, la ecuación tiene una única solución. Como: 2x + 9 > 0 & 2x - 8 = 0 & 2x = 23 & x=3

Efectuar

Atención Considera las siguientes propiedades para la resolución del ejemplo: 1. 2.

log M = logM - logN N M; N > 0 log A = 1 A

;A>1

3. nlogA = logA

n

;n!N A>1

66 Intelectum 2.°

Grupo I 1. Calcula: M = log232 + log381-log100 P = log464 - log525 + log10

Grupo II Calcula x en cada caso: 1. log5 + log153 + log2 + log155 = logx9

2. Halla x en logx16 = 2

3. log3(5 - x)- log311 = log36 - log3(x + 12)

3. Halla x en log2 a x - 3 k = 4 2 4. Halla x en log5 d 4x - 7 n = 2 3 5. Resuelve 7

log7 (x 4 + 2x2 - 14)

=1

2. log3(x + 2)- log35 = log37 - log3x 4. log26 . log36 - log32 - log23 5. log7[log2(log5x)] = 0 6. (4 - x)log85 = 5 7. log2[log2(x - 3)] = 2

x

Problemas resueltos 1

Dato: 5b = 10 Tomamos logaritmo en base 5:

Simplifica: 2

log 8log43 3

Resolución: 2log38

log43



= 2log43 .

=

log 23 2 22 =

log43

` 2log38

2

log 8 log 8 3 =2 4 3 log 2 2 2

2

=

(Regla de la cadena) 3 22

=2 2

5

(logbx)-1 = b-1

x = bb Reemplazamos: M = logb[-(-logbantilog bb)]

M = logb[logb(bb )]

M = logb[logb(b ) ]

M = logb[b ]

Resuelve: logx3 . log x 3 + log 3

2

logc a . log a c M = 402 . 1 44 2 44 3 2 1 ` M = 201

=0

Luego determina el producto de sus raíces.

6

Resolución: Llevando a base 3 tenemos: log3 3 log3 3 log3 3 + =0 . log3 x log x log x 3 3 3 81 1 . 1 1 + =0 log3 x log3 x - log3 3 log x - log 3 4 3 3 Llamaremos: B = log3x 1 . 1 + 1 =0 B B-1 B-4 -1 1 = B-4 B2 - B B - 4 = B - B2 & B2 = 4 ` B = 2 0 B = -2 4

3

De la ecuación:

 7 2log8 (2x + 15) A = 4x + 13 3

  7 2log23 (2x + 15) A = 4x + 13 3

▪▪ log3x = 2 & 32 = x & x1 = 9 -2

▪▪ log3x = - 2 & 3 = x & x2 = 1/9 Nos piden: x1 . x2 ` x1 . x 2 = 9 . 1 = 1 9

Dato: 2a = 10 Tomamos logaritmos en base 2: log22a = log210 & alog22 = log210 & a = log210

Calcula x: 7 2log 8 (2x + 15) A = 4x + 13

Resolución:

;

Luego reemplazamos:

Si: 2a = 5b = 10. Calcula 1 + 1 a b

Resolución:

c

M = 402logca . 1 logac 2

2

x 3 81

Calcula: M = logba2010 . log b . log a c 5

logb a . logc b 1 M = 2010 . 1 44 2 44 3 . 2 log a c 5 logc a

`M=2 3

1 + 1 = log 10 = 1 10 a b

Aplicamos propiedades de los logaritmos a cada factor de la expresión M: 1 M = 2010 . logba . 1 logcb . logac 2 5

antilogb(-logbbx) = b-1

bb

`

= log10(2 . 5)

Resolución:

Aplicamos definición de cologaritmos: antilogb(-logblogbx) = b-1

b

  

Piden: 1 + 1 = 1 + 1 a b log2 10 log5 10

Resolución:



blog55 = log510 & b = log510 1

= 23 = 8 = 2 2

Si: antilogbcologblogbx = b-1 Calcula: M = logb(-cologbantilogxb)

log55b = log510

Aplicamos cambio de base en el denominador: 1 + 1 = log 2 + log 5 10 10 a b

7

2

3 1 log (2x + 15) E 3 2

= 4x + 13

3. 1 log 2 (2x + 15) 3

= 4x + 13 = 4x + 13 2 2x + 15 = 4x + 13 `x = 1 2

log 2 (2x + 15)

Calcula x si: log5x = a; log(x - 1) = b. Además: a - b = 1

Resolución: Datos: log5x = a log(x - 1) = b a-b=1 Reemplazamos a y b: log5x - log(x - 1) = 1

5x = 10 x-1 x = 2(x - 1) x = 2x - 2 `x=2

log d 5x n = log10 x-1

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

67

FUNCIONES Definiciones previas Producto cartesiano

Sea el par ordenado (a; b); el producto cartesiano es un conjunto de pares ordenados.

Observación A#B!B#A Par ordenado (a; b) . . 1.a 2.a componente

Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 3; 5} y B = {m; n} El producto cartesiano es: A Ç B = {(1; m), (1; n), (3; m), (3; n), (5; m), (5; n)} Gráficamente: y Par ordenado (5; n)

n

n(A # B): se lee cardinal o n.° de elementos de A # B.

m 1

3

5

x

Donde: n(A # B): se lee n.° de elementos de A # B Además:

n(A # B) = n(A) . n(B)

; donde n(A): n.° de elementos de A n(B): n.° de elementos de B

Del ejemplo: n(A # B) = n(A) . n(B) = 3 # 2 = 6 elementos

Relación

Si se tienen 2 conjuntos no vacíos, la relación R es un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos. R1A#B Ejemplo: Sean los conjuntos: M = {5; 4; 3; 2} y N = {7; 9}

Nota Al conjunto de partida se le conoce como dominio de una relación. Al conjunto de llegada se le conoce como rango de una relación.

M # N = {(5; 7), (5; 9), (4; 7), (4; 9), (3; 7), (3; 9), (2; 7), (2; 9)} R = {(4; 7), (4; 9), (3; 7), (2; 7)} es una relación; se encuentra incluido en M # N Se puede representar en un diagrama sagital: Donde: Dominio de R: M = {4; 3; 2} Rango de R: N = {7; 9}

N 4 3 2

Conjunto de partida

Recuerda Toda función es una relación pero no toda relación es una función.

R M 7 9 Conjunto de llegada

definición de Función

Es una relación entre 2 magnitudes. Si f es una función de A en B, se representa f: A " B Si f es una función que depende de una variable x, se representa: y = f(x) Donde:

i) f 1 A # B / ii) Si (a; b) y (a; c) ! A # B & b = c

Ejemplos: Sean A = {a; b; c} y B = {1; 2; 3} & A # B = {(a; 1), (a; 2), (a; 3), (b; 1), (b; 2), (b; 3), (c; 1), (c; 2), (c; 3)} 1. f1 = {(a; 2), (b; 2), (c; 1)}; ¿es una función? Se observa que f1 1 A # B, a cada primera componente le corresponde un único valor.

68 Intelectum 2.°

x

Mediante un diagrama: Nota

f1 A

B

a b c

2 1

A cada elemento A le corresponde una única imagen o segunda componente en B. ` f1 es una función.

También podemos reconocer a una función como una dependencia. Ejemplo: • La distancia recorrida en un determinado tiempo. • El costo de un producto en relación a su peso.

2. f2 = {(a; 2), (b; 1), (b; 3), (c; 1)}; ¿es una función? Se observa que: f2 1 A # B, y a la primera componente b le corresponde diferentes segundas componentes. ` f2 no es función. Mediante un diagrama: f2

Observación

A

B

a b c

1 2 3

Analiza los siguientes ejemplos y sabrás cómo reconocer una función.

A un elemento de A le corresponden 2 valores distintos en B. ` f2 no es función.

Ejemplos: 1. La relación: f1 = {(3; 10), (2; 9), (1; 10)}

Regla de correspondencia

f1

Sea una función f definida por:

A

f = {(x; y) ! A # B / y = f(x)}

B 5 7 9 10

3 2

Donde y = f(x): se le conoce como regla de correspondencia y está representado por una ecuación que indica cómo varía “y” en función de “x”. Ejemplo: Sean: A = {7; 8; 9} y B = {10; 9; 0} Determina f = {(x; y) ! A # B / y = x + 1}

1

& Es una función. 2. La relación: f2 = {(7; 12), (5; 8), (5; 12), (5; 13)}

Resolución: Determinamos primero A Ç B A Ç B: {(7;10), (7; 9), (7; 0), (8; 10), (8; 9), (8; 0), (9; 10), (9; 9), (9; 0)}

f2 M

N 7

y = x +1, (x; y) x Luego: .   . x: valores de A & x = 7 & y = 8, (7; 8) " A # B x = 8 & y = 9, (8; 9) ! A # B x = 9 & y = 10, (9; 10) ! A # B

8

-1

12

5

13

& No es una función 3. La relación: f3 = {(a; m), (b; n), (c; p)}

` f = {(8; 9), (9; 10)}

f3

P

Reconocimiento y gráficos de una función 1. Mediante una tabla de valores Ejemplo: Michel compró una papaya de 3 kg a S/.12, representa en una tabla y en un gráfico el costo por kilogramo. Resolución:

costo (S/.)

4

8

12

16

20

Kilos

1

2

3

4

5

y = f(x); donde: y: costo x: kilo

m

b

n

c

p

& Es una función.

f(x)

20

Costo

Q a

16



12 8 4 1 2 3 4 5

kilos (kg)

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

69

2. Mediante una ecuación o regla de correspondencia Ejemplo: Grafica y = 3x - 1 Resolución: Tabulamos valores, ubicamos los puntos (x; y) y unimos los puntos. y 8

f(x) = 3x - 1

Atención Observa y analiza:

5

i) Sea f(x) = {(3; 4), (7; 5), (10; 9); (m; 4)} una función. Como: f(3) = 4 & m = 3

x

y = 3x - 1

Domf(x) = {3; 7; 10}

-3

-10

Ranf(x) = {4; 5; 9}

-2

-7

-1

-4

0

-1

& f(x) = {(2; 4), (3; 9)}

1

2

& Domf = {2; 3} / Ranf = {4; 9}

2

5

3

8

f(7) + f(10) = 5 + 9 = 14

ii) Si A = {2; 3; 5} y

B = {4; 8; 9; 10} (f)x = {(x; y) ! A # B / y = x2}



2 -3 -2 -1 0 -1

1 2 3

x

-4

-7



-10

Dominio y rango de una función Dominio

El dominio de una función f(x) son los valores que toma la variable independiente x. En un subconjunto de A # B el dominio son las primeras componentes o conjunto de partida. Notación: Domf o Df.

Rango

El rango de una función f(x) son los valores que toma la variable dependiente y. En un subconjunto de A # B el rango son las segundas componentes o conjunto de llegada. Notación: Ranf o Rf. Atención Si el dominio de una función coincide con el conjunto de partida se le conoce como aplicación. Sea f: A " B Si: Domf = A & f es una aplicación

Ejemplos: 1. Si f = {(3; 5), (4; 7), (4; m), (6; 1)} es función, determina el valor de m, Domf y Ranf. Resolución: Como f es función: (4; 7) = (4; m)

Domf = {3; 4; 6} / Ranf = {5; 7; 1} & 7 = m 2. Sean: A = {3; 7; 9} y B = {4; 14; 18} Si f es una función definida como: f = {(x; y) ! A # B / y = 2x} Determina su dominio y rango. Resolución: De la regla de correspondencia: x 3 7 9

y = 2x 6 14 18

(x; y) (3; 6) " A # B (7; 14) ! A # B (9; 18) ! A # B

& f = {(7; 14), (9; 18)} Los x de f son 7 y 9 ` Domf = {7; 9} Los y de f son 14 y 18 ` Ranf = {14; 18}

70 Intelectum 2.°

& f = {(3;5),(4;7),(6;1)}

Su gráfica: y 18 14

7

9

x

3. Determina el rango de la función: f(x) = 3x - 2; x = {2; 3; 4} Resolución: Para: x = 2 & f(x) = 3(2) - 2 = 4 x = 3 & f(x) = 3(3) - 2 = 7 x = 4 & f(x) = 3(4) - 2 = 10 Entonces: Ranf = {4; 7; 10} 4. Sea la función: G = {(2; 11); (5; a - 2b), (-4; 7); (2; 3a - 5b); (5; 4)} Halla: a

b

... (1) ... (2)

Importante Gráficamente se reconoce a una función con un trazo vertical, el cual solo debe cortar a la gráfica en un solo punto. Ejemplos:

Entonces el rango de H(x) es: G-5; -2H

y

6. Sea la función h(x), determina su dominio y rango, si: h(5) = 9 / h(-4) = -5 y

Resolución: Determinamos los pares ordenados con iguales primeras componentes: (2; 11) y (2; 3a - 5b); (5; a - 2b) y (5; 4) Por ser función: 3a - 5b = 11 (a - 2b = 4)3

x

5. Halla el rango de la función: H(x) = 1 x - 4; x ! ]-3; 6[ 3 Resolución: Del dominio: -3 < x < 6 -1 < x < 2 3 -5 < x - 4 < -2 3

x

h(x)

Es función

x

5 -4

Resolución:

Multiplicamos la ecuación (2) por 3 y le restamos (1), luego obtenemos b = -1. En (1): 3a - 5(-1) = 11 a = 11 5 = 2 3 Reemplazamos los valores: ab = 2-1 = 1 2

y

y

9

x

Rango [-4; 9]

-5

5

x

Es función

-4 Dominio [-5; 5]

y

Función real de variable real

x

Son aquellas funciones donde su dominio y rango están incluidos en los reales. Si y = f(x) & Domf 1 R; Ranf 1 R

Dominio y rango de funciones reales de la forma: f(x) =

No es función

P_ x i Q_ x i

Para hallar el dominio, se toman todos los valores de x excepto cuando Q(x) = 0. Para hallar el rango, se despeja y en función de x y se procede como la premisa anterior. Ejemplos: Halla el dominio y el rango de: f(x) = x 6 ; g(x) = 2 1 x-2 x - 3x + 2 Resolución: • f(x) = x 6 x-2

& x-2!0 & x!2

` Domf: R - {2} Calculamos el rango: 2y - 6 y = x 6 & yx - 2y = x - 6 & x = x 2 y-1 Luego y - 1 ! 0 & y ! 1

Nota La función que relaciona el área de un círculo y su radio es: A(R) = pR2

R

` Ranf: R - {1}

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

71

Nota Método de los puntos críticos • Se toman los de signos positivos (+) si la ecuación es mayor o igual a cero $ 0 Por ejemplo: (x - 3)(x - 5)(x) $ 0 x - 3 = 0; x - 5 = 0, x = 0 x = 3; x = 5, x = 0 -

+

-

0

3

• Si el signo de la desigualdad es menor o igual a cero (# 0); se toman los valores negativos (-); por ejemplo: (x - 3)(x + 5) # 0 -

+

yx2 - 3yx + 2y - 1 = 0, y ! R



& T = (-3y)2 - 4(y)(2y - 1) $ 0

Se observa: (x - 2) ! 0 / (x - 1) ! 0 & x ! 2 / x ! 1



9y2 - 8y2 + 4y $ 0



y2 + 4y $ 0

y(y + 4) $ 0 Puntos críticos: y = 0 / y = -4

Calculamos el rango: y = 2 1 x - 3x + 2

+ 5

-5

Despejamos: yx2 - 3yx + 2y = 1

` Domf: R - {2; 1}

& CS = [0; 3] , [5; +3H

+

• g(x) = 2 1 x - 3x + 2 & factorizamos por aspa simple: x -2 & (x - 2)(x - 1) x -1

+ -3

-4

+ 0

+3

` Ranf: ]-3; -4] , [0; +3[



Dominio y rango de funciones de la forma: f(x) = Q_ x i ; n ! R+, n: par Para hallar el dominio se hace Q(x) $ 0 y se toman los valores de x que cumplan tal condición.

3

& CS = [-5; 3]

Para hallar el rango, se forma la ecuación Ejemplo: Halla el dominio y el rango de f(x) =

Q_ x i a partir de la restricción de x.

x-4.

Resolución: Dominio de f(x): x - 4 $ 0 & x $ 4 ` Domf = [4; +3H Rango de f(x): x $ 4 & x - 4 $ 0 & Nota

Dominio y rango de funciones de la forma: f(x) =

Función creciente F(x)

y

x - 4 $ 0 ` Ranf = [0; + 3H n

Q_ x i ; n ! R+ / n: impar

Domf = R / Ranf = R Ejemplos:

x2 x1 Crece

f(x)

x

Función lineal:

f(x) y

-b a Si: f(x) = f(0) = y & y = b

Si: f(x) = 0 & x =

Máximo relativo Mínimo relativo a f(x)

a

y f(x) b

x

x1 x2 Decrece

x2 > x1 & f(x2) < f(x1)

b

f(x) = ax + b

Sus interceptos se hallan resolviendo: f(x) = 0 y evaluando f(x) = f(0) = y

Función decreciente

y

• f(x) = 5 x Domf: R; Ranf: R

Tipos de funciones

x2 > x1 & f(x2) > f(x1)

f(x)

• f(x) = 3 x Domf: R; Ranf: R

Máximo relativo (b) f(x) x Mínimo relativo (a)

72 Intelectum 2.°

x

-b a

Ejemplo: Grafica y = 2x + 6

y

Interceptos: f(x) = 0 f(0) = y

0 = 2x + 6 x = -3 & (-3; 0) ! y y = 2(0) + 6 y = 6 & (0; 6) ! y

y = 2x + 6 (0; 6)

(-3; 0)

x

Función constante:

f(x) = x

Función identidad:

f(x) = k

Su gráfica es una recta diagonal.

Su gráfica es una recta horizontal.

y

y

y=x

y1

y=k

k

x

x

45°

Donde x ! R.

x1

x

Donde: x1 = y1

De la definición de valor absoluto sabemos que: |a| = a; |a| = - a;

f(x) = |x|

Función valor absoluto:

Recuerda

si a $ 0 si a < 0

Ejemplos: |7| = 7 |-7| = -(-7) = 7 |-3| = -(-3) = 3

x; x $ 0 Donde se cumple: |x| = -x; x < 0

Entonces el valor absoluto de un número es siempre positivo y su gráfica está sobre el eje x.

y



Donde: f(x1) = f(-x1)

Atención

Ranf(x): R+ 45° Domf(x): R -x x 1

Sea la función cuadrática: f(x) = ax2 + bx + c

1

Si a > 0:

Función cuadrática:

f(x) = ax2 + bx + c

f(x): función polinomial Si: a ! 0 Su gráfica, al tabularla, forma una parábola.

Donde: Domf = R Ranf = [k; 3H

y

Si a < 0: F(x) tiene un máximo

h= b 2a

2 También k = c - b 2a

x

h

Es de la forma:

y - k = a(x - h)2 Donde (h; k) es el vértice de la parábola.

Función de proporcionalidad inversa Es aquella función que presenta la forma:

y = kx

y= k x

Ejemplo: y = 4x x

y = 4x

-2

-8

-1

-4

0

0

1

4

2

8

4



Ejemplo: y = x2 + 6x + 10 y = (x + 3)2 + 1

;x!0

y - 1 = (x + 3)2

Ejemplo: y = 4 x

y 8

-1

1

2

x

-4

Donde y / x aumentan o disminuyen en la misma proporción.

x

y = 4/x

-4

-1

-2

-2

1

4

2

2

4

1

Nota La función cuadrática también se puede expresar así:

Funciones de proporcionalidad Función de proporcionalidad directa

la parábola se abre hacia abajo

(Para hallar k se evalúa h en f.)

k = f(h)

vértice (h; k)

k

la parábola se abre hacia arriba

F(x) tiene un mínimo

y - 1 = 1(x - (-3))2 k

y

a = 1 > 0 la parábola se abre hacia arriba.

2 1 -2

h

Se observa: h = -3; k = 1

4

-4

a

y

1 2 -1 -2

4 x

(−3; 1)

1

−3

x



Donde si y aumenta x disminuye en igual proporción y viceversa.

La gráfica posee un mínimo en (h; k) = (-3; 1)

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

73

Problemas resueltos 1

Si el conjunto: H = {(-5; a + 1), (-2; b - 7), (-2; 9), (-5; 10)} es una función, indica el valor numérico de a + b .

5

Resolución: Por dato del dominio tenemos: -3 # x # 2 -2 # - x # 3 -6 # -3x # 9 -4 # 2 - 3x # 11 ` RanF = [-4; 11]

Resolución: Para ser una función debe cumplirse las siguientes igualdades: ▪▪ (-5; a + 1) = (-5; 10) a + 1 = 10 & a = 9 ▪▪ (-2; b - 7) = (-2; 9) b - 7 = 9 & b = 16 ` 2

Sea la función F(x) = 2 - 3x; si el DomF ! [-3; 2], indica el rango:

Si F(x) es una función lineal, entonces los interceptos con los ejes son:

a + b = 25 = 5

F(x) = 0 = 2 - 3x & x = 2 ; F(x) = y = 2 - 3(0) & y = 2; 3 (0; 2) ! F(x) 2 d ; 0 n ! F(x) 3

Si: B = {0; 2; 4; 6} y C = {0; 2; 8; 18; 32} Determina la función, dominio y rango de: F = {(x; y) ! B # C / y = 2x}

Gráficamente:

F(x)

Resolución: x

y = 2x

(x; y)

0

0

(0; 0) ! B # C

2

4

(2; 4) " B # C

4

8

(4; 8) ! B # C

6

12

(6; 12) " B # C

(0; 2) x 2 d ; 0n 3

6

F = {(0; 0), (4; 8)} & DomF = {0; 4} ; RanF = {0; 8} 3

DomF = {7; -3; 0; 5} RanG = {5; -3; 1; -1}

f(3) = 6(3)2 - 10(3) + 4 = 28 f(-2) = 6(-2)2 - 10(-2) + 4 = 48 ` f(3) + f(-2) = 28 + 48 = 76 7

Resolución: Sea: f(x) = ax + b De los datos: f(1) = 3 = a(1) + b ... (1) f(3) = -7 = a(3) + b ... (2) De (2) - (1): -10 = 2a    & a = -5 Reemplazando en (1): b = 8 ` f(x) = - 5x + 8

Halla el dominio y rango de: f(x) = 3x 2 x-1

Resolución: Analizamos el denominador para determinar el dominio: x-1!0 & x!1 Entonces: Domf(x) = R - {1} Para el rango: y = 3x 2 & yx - y = 3x - 2 x-1 y-2 x = y-3 Donde: y - 3 ! 0 & y ! 3 Entonces: Ran(x) = R - {3}

74 Intelectum 2.°

Si f(x) es una función lineal, determina su regla de correspondencia. Si f(1) = 3 y f(3) = -7

& DomF + RanG = {5; -3} 4

Siendo: f(x) = 6x2 - 10x + 4 Calcula: f(3) + f(-2)

Resolución:

Sean las funciones: F = {(7; 4), (-3; 1), (0; 3), (5; 4)} G = {(-1; 5), (7; -3), (10; 1), (3; -1)} Determina: DomF + RanG

Resolución:

y

8

Sea la función: H (x): *

x - 1; x $ 0 x 2; x 1 0

Determina: H (7) + H (- 2) H (3 )

x Resolución: Observamos que si el dominio es mayor que cero: H(x) = x - 1 & H(7) = 7 - 1 = 6 H(3) = 3 - 1 = 2 Si el dominio es menor que cero: H(x) = x2 & H(-2) = (-2)2 = 4 H (7) + H (- 2) 6 + 4 = =5 ` H (3 ) 2 9

16 & 2 # 16 = 32 = 10, 6 3 3 3



2 11 Grafica e indica el máximo valor que toma: f(x) = -x - 3x2

Determina la regla de correspondencia de g(x): y

g(x)

x

5 2

-3

` El área de la figura es: 16 3

Resolución:

f(x) = -3x2 - x ; es una parábola a b Determinamos el vértice (h; x): - _- 1i =- 1 h =- b = 6 2a 2 _- 3i 2

k = f(h) =f(-1/6) = -3 d- 1 n - d- 1 n 6 6

Resolución:

Observamos que g(x) es una función lineal: & g(x) = ax + b (forma general) Notamos también que la función pasa por: (0; -3) y d 5 ; 0 n 2 Evaluamos en la función:

-3 = a(0) + b ... (1) (-) 5 0 = a d n + b ... (2) 2 5 -3 = - a 2 a = 6 ; en (2): 6 d 5 n + b = 0 5 5 2 b = -3 6 ` g(x) = x - 3 5

.

10 Determina el área de la figura sombreada: y B

1 2 3 4

2x2 + 4x + 16 3 x



k =- 1 + 1 12 6



k= 1 6

a < 0 & la parábola se abre hacia abajo: y 1 6

fmax. 1/6

Si f(x) = 0 & x = 0 & pasa por el origen x

−1 6

12 Grafica f(x) y g(x) y determina los puntos de corte. f(x) = - 1 / g(x) = |x| - 2

Resolución: Para determinar el punto de intersección se igualan las funciones: f(x) = g(x) & -1 = |x| - 2 |x| = 1 &x=!1 Luego, los puntos de intersección o puntos de corte son: (1; -1) y (-1; -1) Gráficamente:

y

y = |x|

Resolución:

g(x) = |x| - 2

Hallamos el punto B: B: (2; y) & y =   

- 2 (2) 2 + 4 (2) + 16 3

y = 16 & B = d2; 16 n 3 3

-2

1

-1

(-1;-1)

-1 -2

2

(1;-1)

x f(x) = -1

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

75

PROGRESIONES

Idea de progresión

Martín se prepara para entrar a una competencia de ciclismo, el primer día recorre 5 km, el segundo recorre 400 m más que el primer día, el tercer día 800 m más y cada día que pasa recorre 400 m más que el día anterior. A) Determina cuántos metros recorre el día 15 y el día 30. B) ¿Cuántos kilómetros recorrerá al cabo de un mes?

Nota Series: Es una sumatoria de términos a1 + a2 + a3 + ... + an =

n

/ ak

k=1

Series notables: Sumatoria de los n números naturales. n

/k = 1 + 2 + 3 + ...+ n =

k=1

n^n + 1h 2

Sumatoria de los n primeros números naturales pares n

/ 2k = 2 + 4 + 6 + ... + 2n

k = 1

  = n(n + 1)

Sumatoria de los n primeros números naturales impares n

/ 2k - 1 = 1 +2 3 + 5 + ... +2n - 1

k = 1

=n

Resolución: 1.er día: 5000 + (1 - 1)400 = 5000 m 2.° día: 5000 + (2 - 1)400 = 5400 m 3.er día: 5000 + (3 - 1)400 = 5800 m h ley de formación día n: 5000 + (n - 1)4000 A) Los metros que recorre los días 15 y 30 son: Día 15: 5000 + (15 - 1)400 = 10 600 m Día 30: 5000 + (30 - 1)400 = 16 600 m Por lo tanto: Fin de mes: n = 30 & 5000(30) +

B) Para saber el recorrido en un mes: 1.er día: 5000 + (1 - 1)400 2.° día: 5000 + (2 - 1)400 sumamos 3.er día: 5000 + (3 - 1)400 4.° día: 5000 + (4 - 1)400 h h n-ésimo día n: 5000 + (n - 1)400 n(5000) + 400(0 + 1 + 2 ... + n - 1) Suma de los n - 1 números naturales. _n - 1i n & / = 5000n + 400 2

400 _29i 30 = 174 000 m ó 174 km 2

Definiciones previas Sucesiones

Es el conjunto de términos ordenados de acuerdo a una ley o regla. Ejemplos: -4; -2; 0; 2; es una sucesión finita cuya regla de formación es: 2n - 6 1; 4 ; 6 ; ... es una sucesión infinita cuya regla de formaci{on es: 2n 3 4 n+1

Progresiones

Es una sucesión especial, existen varias formas de progresiones.

Debes saber que Si la razón de una progresión aritmética es: • Positiva, r > 0 & PA es creciente. • Negativa, r < 0 & PA es decreciente.

Las principales son: • Progresión aritmética • Progresión geométrica • Progresión armónica

Progresión aritmética (PA)

Es la sucesión donde cualquiera de sus términos a partir del segundo disminuido por su respectivo antecedente, nos da una constante llamada razón. Ejemplo: -13; -9; -5; -1; ... Entonces, es una PA de razón: -9 - (-13) = 4 -5 - (-9) = 4 constante -1 - (-5) = 4

Forma general de una PA : t1; t2; t3; ... ; tn +r +r

76 Intelectum 2.°

Donde: t1: primer término. tn: término enésimo (último término). r: razón (constante).

x

En toda PA se cumple: t2 - t1 = t3 - t2 = ... = tn - tn - 1 = r En general:

Nota

r = tn - tn - 1

En una PA finita la suma da los términos equidistantes nos da un valor constante.

Término de lugar k (k-ésimo término) de una PA

De la forma general de la PA:

t1 = t1 t2 = t1 + r t3 = t1 + 2r h h tk = t1 + (k - 1)r

Sea la PA: : t1; t2; t3; ...; tn - 2; tn - 1; tn & t1 + tn = t2 + tn - 1 = t3 + tn - 2 ...



Ejemplo: En la siguiente PA determina r; el término de lugar 10 e indica si es PA creciente o decreciente. :-2; 4; 10; ... ; 304

Recuerda Medios aritméticos o diferenciales Son los términos de una progresión aritmética comprendidos entre los términos extremos.

Resolución: • Como es PA, entonces la razón es: 4 - (-2) = 6 ó 10 - 4 = 6 • El término de lugar 10: t10 = t1 + (10 - 1)r   .     . -2  6 Reemplazando: t10 = -2 + (9)6 = 52 • Es una PA creciente (r 2 0)

Número de términos de una PA n=

tn - t1 +1 r

Donde: tn: último término t1: primer término r: razón de la PA

Ejemplo 4; 7; 10; 13; 16 3 medios aritméticos

Suma de los n términos de la PA Sn = t1 + t2 + t3 + ... + tn &

Sn = d

t1 + tn nn 2

Si reemplazamos: tn = t1 + (n - 1)r & Sn = d

2t1 + _n - 1i r nn 2

Interpolación de medios aritméticos

Interpolar m medias aritméticas entre dos términos tn y tk, consiste en formar una PA cuyo primer término es t1 y el último tn, además el número de términos es m + 2. Para la interpolación es necesario calcular la razón de interpolación. t -t r = n 1 +1 m+1

Observación Si una PA posee un número impar de términos: :t1; t2; ... tn para n impar

Ejemplo: Interpola 4 medios aritméticos entre los números 3 y 28.

& tc: término central tc = c

Resolución: Sabemos que: t1 = 3; tn = 28 Por dato: m = 4 Entonces n.° de términos es: m + 2 = 4 + 2 Hallamos la razón: r = 28 - 3 = 5 4+1 Interpolamos: 3; 8; 13; 18; 23; 28

t1 + tn m 2

sn = tc # n

Progresión geométrica (PG)

Es una sucesión de términos en la que la división de dos términos consecutivos cualesquiera nos da un valor constante llamada razón geométrica. Sea la PG: :: t1; t2; t3; ...; tn #q #q ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

77

Atención A las progresiones geométricas también se les conoce como progresiones por cociente.

Donde: t1: primer término tn: término enésimo o último término q: razón n: n.° de términos t2 t3 = ... = q Donde se cumple: t1 t 2

En general

q=

tk tk - 1

; donde q es la razón geométrica

Entonces la PG se puede escribir así: :: t1; t1q; t1q2; ...; t1qn - 1 Ejemplos: • 7; 14; 21; ... & q = 2 (PG creciente q > 1) • 81; 27; 9; ... & q = 1/3 (PG decreciente 0 < q < 1) • 3; -6; 12; -24 ... & q = -2 (PG oscilante q < 0)

Término de lugar k de una PG tk = a1qk - 1

Suma de las k primeros términos de una PG

Nota Término central de una PG Sea la PG de n términos (n impar) t1; t2; ... ;tn &

tk: término k-ésimo o término de lugar k

tc =

Sk = t1 + t1q + t1q2 + t1q3 + ... + t1qk - 1; ... Sk = t1(1 + q + q2 + q3 + ... + qk - 1) Cociente notable

t1.tn

Sk =

t1

_qk - 1 i q - 1 ; donde k: n.° de términos

Ejemplo: • Término de lugar 15 (término k-ésimo): tk = t1qk - 1 & t15 = 3(2)15 - 1 & t15 = 3(2)14

Sea la PG: :: 3; 6; 12; ... Determina la razón, el término de lugar 15 y la suma de los 10 primeros términos de la PG.

• La suma de los 10 primeros términos es:

Resolución: Observación • 9; 3; 1; ... • 1 ; 1 ; 1 ; ... 4 16 32 Son PG de razón q (0 < q < 1) cuya suma se calcula así: 9 27 • = 2 1- 1 3 1 4 = 1 • 1 - 1 12 4

La razón se determina dividiendo dos términos consecutivos: & r= 6 =2 3 Sea la PG: t1; t2; ... ; tn - 1; tn; ... Çq



Çq





&

Slímite =

t1 1 q

_q10 - 1i 3 _210 - 1i & S10 = q-1 2-1

S10 = 3(210) - 3 = 3069

Suma límite de una PG decreciente e infinita

Producto de los k términos de una PG Pk =

^t1 .tkhk

donde: 0 < q < 1

Interpolación de medios geométricos

Interpolar m medios geométricos entre los números t1 y tn es formar una progresión geométrica cuyo primer término es t1, el último tn y el número de términos es (m + 2). Para poder interpolar se debe calcular la razón de interpolación. t q = m+1 n t1 Ejemplo: Interpola tres medios geométricos entre 2 y 32. Resolución: Se tiene: t1 = 2; tn = 32 y m = 3 Reemplazando obtenemos el valor de la razón: q = 3 + 1 32 = 2 2

78 Intelectum 2.°

S10 = t1

Interpolamos: 2; 4; 8; 16; 32 medios interpolados

Problemas resueltos 1

De las siguientes progresiones, determina t10, S10 y el número de términos. A) 7; 16; 25; 34; ...; 133

!

B) 0,3 ; 1; 3 ; ...; 3

Entonces:

` a13 = d 16 n .312 = 3 6 = 729 3

Resolución: A) 7; 16; 25; 34; ...; 133 es una PA ▪▪ r = 16 - 7 = 9 Entonces: t10 = 7 + (9)9 t10 = 88 _88 + 7i 10 = 475 ▪▪ S10 = 2

4



Se sabe: a +a tc = d 1 n n = 20 2 Además: S15 = tc .n = d

5

Resolución:

▪▪ tn = 1 . (3)n - 1 3

Por fórmula de suma límite sabemos: a Slímite = 1 1- q

316 = 3n - 2 & n - 2 = 16 n = 18 términos

Por fórmula sabemos: a (qn -1) a (211 - 1) Sn = 1 & 2047 = 1 q -1 2 -1    & a1 = 1 Luego hallamos el término 11: 11 - 1

a11 = 1(2)

& an = 1024

` a1 + an = 1025 3

Slímite =

En la PG: : : 1 ; 1 ; ... 729 243 Calcula a13.

Resolución: Sabemos que: a1 = 1 / q = 3 729

1

1

f 1- 1 pf 1- 1 p 2 3

Slímite = (2)( 3 ) 2

La razón de una PG es 2; el número de términos es 11 y la suma de ellos es 2047. Halla la suma de los extremos.

Resolución:

Calcula: S = d1 + 1 + 1 + ... nd1 + 1 + 1 + ... n 2 4 3 9

316 = 1 . 3(n - 1) 3

2

a1 + an n n = 20 # 15 = 300 2

` S15 = 300

10 ! -1n ▪▪ S10 = 1 d 3 = 9841,3 3 3-1



Sabiendo que el término central de una PA de 15 términos es 20. Calcula S15.

Resolución:

▪▪ n = 133 7 + 1 = 15 términos 9 B) 1 ; 1; 3; ...; 316 es una PG 3 ▪▪ q = 1 = 3 1 3 Entonces: t10 = 1 (3)9 = 38 3

1 .312 729

a13 = a1.q12=

16

x

6

` Slímite = 3

Interpola 10 términos diferenciales entre 2 y 123 y encuentra el quinto término.

Resolución:

Sea la progresión aritmética: : 2 ; ... ; 123     10 términos Por fórmula: r = 123 2 = 121 & r = 11 11 10 + 1 Piden el quinto término: an = a1 + (n - 1)r a5 = 2 + (5 - 1)11 = 2 + 44 a5 = 46

ÁLGEBRA - TEORÍA UNIDAD 4

79

7

Determina el valor de: S = 7 + 14 + 21 + 28 + ... + 70

Resolución:

S = 7 + 7(2) + 7(3) + 7(4) + ... +7(10) S = 7(1 + 2 + 3 + 4 + ... +10) (10) (11)     2 S = 7 # 10 # 11 = 385 2 8

Determina el valor de x. 4 + 6 + 8 + ... + x = 108

Resolución:

Aplicamos suma de términos: + Sn = d x 4 n n = 108 ... (1) 2 Hallamos el n.°: de términos (n) de la PA de razón 2. n= x 4 +1 = x 4 +1 2 2 Reemplazamos el valor de n en (1): d

x + 4 nd x - 4 + 1 n = 108 2 2

(x + 4)(x - 2) = 4 #18 2 números que 24#18 se diferencian en 6

& x + 4 = 24

i = 12

/ 3i .

i=3

& M = d 140 n 20 = 1400 2 N es una suma de una PA de razón 7:   N = d 70

+7 70 - 7 + 1 = 10 nn ; n = 2 7

& N = 77 . 10 = 385 2 ` M + N = 1400 + 385 = 1785 11 Halla el valor de: S = 0,4 + 0,25 + 0,128 + ...

Resolución:

S = 1 + 1 + 1 + ... 2 4 8 1 1 S= 2 = 2 =1 1 1- 1 2 2

(suma límite)

12 Determina el primer término de una PA si el séptimo término es 37 y el undécimo 49.

Resolución:

t7 = t1 + 6r = 37

... (1)

t11 = t1 + 10r = 49

... (2)

(2) - (1) :

4r = 12



r=3



t1 = 37 - 18 ` t1 = 19

13 Resuelve la siguiente suma en función de x: + x5 + ... + xn ; además indica el valor de n. S = 1x 4+4x344 2 4 4 44 3

Resolución: i = 12

) / 3i = 31 4(34) +434(44) 4+4 32(54) +4...4 +4 43 (412 43

i=3

+   M = d 127 13 n n ; n = 127 13 + 1 = 20 2 6



Indica el valor de

M es una suma de una PA de razón 6:

En (1): t1 + 6(3) = 37

` x = 20 9

Resolución:

3 (31 4+444+4452+4...4+ 12) 4 44 3 (12 + 3) 10

i = 12

/ 3i = 3 # 15 # 10 = 450

i=3

10 Halla el valor de M + N; si: M = 13 + 18 + 24 + ... + 127 N = 7 + 14 + 21 + ... + 70

80 Intelectum 2.°

15 tér min os

Resolución: Determinamos n. Los exponentes forman una PA: & n 1 + 1 = 15 2

& n - 1 = 28 n = 29

Luego; resolvemos la suma; es una PG de razón x2: & x + x3 + x5 + ... + x29 =

x a_ x 2i - 1 k 15

2

x -1

16 = x2 - x x -1