Algebra 1 - Vezbe 1

Algebra

02.10.2012.

Algebra 1 - Beleške sa vežbi kod Marka Radovanovića – Jelena Kandić

1

Algebra

02.10.2012.

Algebra (A, ω1,ω2,..,ωn), gde je A skup nosač, a ω1,ω2,..,ωn su operacije. Operacija na skupu A tipa k je preslikavanje τ: Ak→A.

Ako je k=0 onda je to neka konstanta. Ako je k=1 u pitanju je unarna operacija. U slučaju kada je k=2 operaciju obično zapisujemo kao  ∗ , a ne ∗ (, ) (Pritom je ∗ neka operacija). Npr. +: N2→N + (2, 3) = 5 To obično zapisujemo kao 2 + 3 = 5. Ovde treba obratiti pažnju na to da je kod nekih operacija bitan redosled operatora. Npr. operacija deljenja na skupu realnih brojeva ÷: (R\{0})2→R\{0}  

≠





Takođe, (⁄)⁄ ≠ ⁄(⁄ )   ≠   Primeri a) Da li je – (oduzimanje) operacija na N? Nije, zato što možemo uzeti neka dva broja iz N, oduzeti jedan od drugog, a da rezultat ne pripada skupu prirodnih brojeva. (npr. 2 – 3 = -1 ∉ N) b) Oduzimanje jeste operacija na Z. c) Deljenje nije operacija na R (ne mogu svaka 2 iz R kad se podele dati neki iz R). Osobine operacija 1) Asocijativnost 2) Komutativnost

(∀, , ∈ ) (∀, )

( ∗ ) ∗ =  ∗ ( ∗ ) ∗ =∗

Definicija Semigrupa je algebra (,∗), gde je ∗ asocijativna operacija na S. *Većina stvaru sa kojima radimo jesu semigrupe, ali ima i izuzetaka. Oduzimanje na skupu Z, na primer, nije asocijativno, tj. ( − ) − ≠  − ( − ) , pa (Z,-) nije semigrupa.

2

Algebra

02.10.2012.

Definicija Monoid je algebra (,∗, ) takva da je (,∗) semigrupa i (∀ ∈ )  ∗  =  ∗  = . Pritom  nazivamo neutralom monoida. ⊗ Neutral u monoidu je jedinstven. Da bismo to dokazali, pretpostavićemo suprotno – da postoji još neki neutral. P.S. Neka je ´ ≠  takođe neutral ovog monoida. Tada iz definicije monoida možemo zaključiti sledeće: ´  ∗  =  ∗ ´ = ´     ! ⇒  = ´ , što je kontradikcija. ∎  ∗ ´ = ´ ∗  =    ´  Definicija Grupa je algebra ($,∗,-1,) takva da je ($,∗, ) monoid, a -1 unarna operacija takva da (∀ ∈ $)  ∗ %& = %& ∗  = . Pritom %& nazivamo inverzom elementa . ⊗ Ako je ' ∈ ( takvo da ) ∗ ' = ' ∗ ) = * ⇒ ' = )%+ P.S.  ≠ %&  ∗  = / ∗  %& (ova donja crta znači da „množimo“ sa desne strane) ( ∗ ) ∗ %& =  ∗ %& Primenimo asocijativnost i neutral... %& %& Primenimo svojstvo inverza...  ∗ ( ∗  ) =   ∗  = %&  = %& što je kontradikcija....∎ Primeri a) (ℕ,+) nije grupa (Pošto skup prirodnih brojeva posmatramo bez nule, onda nemamo neutral). b) (ℤ,+) jeste grupa (0 je neutral, inverz od  ∈ ℤ je −). c) (ℤ,⋅) nije grupa (1 je neutral, ali ne postoji inverz za svaki element tako da pripada skupu celih brojeva). d) (ℚ ∖ 204,⋅) jeste grupa. e) (ℝ ∖ 204,⋅) jeste grupa. f) (ℂ ∖ 204,⋅) jeste grupa. Označavaćemo ℚ ∖ 204 = ℚ* ℝ ∖ 204 = ℝ*... 3

Algebra

02.10.2012.

⊗ ((,∗) je semigrupa, sledeća tvrđenja su ekvivalentna: (1) ((,∗) je grupa. (2) (∀), ')(∃8, 9)) ∗ 8 = 9 ∗ ) = ' (3) Postoji element * tako da je za sve ) ispunjeno ) ∗ * = ) i za sve ) postoji ' tako da je ) ∗ ' = *. Nije potrebno da radimo sve implikacije radi dokaza, dovoljno je (1)⇒(2)⇒(3)⇒(1). (1)⇒(2): Da li postoji : tako da  ∗ : = ?  ∗ : =  /%& ∗ __ (Sada, dakle, “množimo” sa leve strane...) %& ∗ ( ∗ :) = %& ∗  (%& ∗ ) ∗ : = %& ∗   ∗ : = %& ∗  : = %& ∗  Dakle, postoji..... Da li postoji < tako da < ∗  = ? Radi se analogno, “množimo” sa %& sa desne strane i na kraju dobijemo < =  ∗ %& , dakle i traženo < postoji.... (2)⟹(3): Dovoljno je dokazati da postoji  tako da (∀)  ∗  =  (zato što drugi deo tvrđenja (3) očigledno važi ako zamenimo u (2) da je  = , a  = :). Uzmimo da je  = . Iz toga ⇒ (∃)  ∗  = . To sledi direktno iz (2) i odnosi se na jedan konkretan element, a mi treba da dokažemo da to važi za sve . Neka je ∈ $ neki proizvoljni element grupe. Želimo da dokažemo da je ∗  = . Ideja je da zapišemo kao „nešto∗ “ pa da iskoristimo  ∗  = . Postoji  tako da je  ∗  = . ∗  = ( ∗ ) ∗  =  ∗ ( ∗ ) =  ∗  = Dakle, dokazali smo da je ∗  = . (∀)  ∗  =  (ovde je  desni neutral). Da bi ($,∗) bila grupa, treba da dokažemo (3)⇒(1): da je  i levi neutral, tj. da je neutral ( ∗  =  ∗  = ), kao i da postoji inverz. Navešćemo primer da bismo videli da ne mora sve što je desni neutral da bude i levi neutral (naravno, važi i obrnuto). Uzmimo operaciju  ∗  =  u skupu prirodnih brojeva. ∗1=  1 ∗  = 1 = 1 Ovde 1 jeste desni neutral, ali nije levi. Dakle moguće je da  ∗  ≠  ∗  , zato treba da pazimo šta radimo. 4

Algebra

02.10.2012.

Dakle, treba da dokažemo da je  ∗  = . Iz (3) imamo da (∃)  ∗  = . Sada treba da smislimo nešto pametno da uradimo s ovim...U ovom slučaju treba da nastavimo dalje: (∃ )  ∗ =  Iz (3) takođe imamo da važi  ∗  = . ⇒  ∗ ( ∗ ) = ( ∗ ) ∗ =  ∗ =   ∗  =  ∗ ( ∗ ) = ( ∗ ) ∗ =  ∗ =  Dakle,  ∗  =  ∗  = .  ∗  = ( ∗ ) ∗  =  ∗ ( ∗ ) =  ∗  =  Dakle,  ∗  =  , što je trebalo da dokažemo. Znači,  je neutral, a  je inverz (po definiciji). ∎ NAPOMENA: Treba paziti s koje strane se množi, jer ne važi komutativnost! Zadaci ① @, :ℝ ⟶ ℝ

@, (:) = : + 

Dokazati da je $ = C@, : ,  ∈ ℝ,  ≠ 0E grupa u odnosu na kompoziciju funkcija. Ovde su, dakle, elementi grupe – funkcije, a operacija – kompozicija funkcija. (0) Kompozicija jeste operacija. @, , @,F ∈ $ ⇒ @, ∘ @,F ∈ $ H@, ∘ @,F I(:) = @, J@,F (:)K

= @, ( : + L) = ( : + L) +  =  : + L +  = @,FM ∈ $ Pritom je  ≠ 0 jer  ≠ 0 i ≠ 0 (pošto se već nalaze u $). (1) Asocijativnost: (N ∘ O) ∘ ℎ = N ∘ (O ∘ ℎ) - uvek važi (2) Neutral za @, – ako pogledamo izraz koji smo dobili u (0), lako možemo zaključiti da je neutral funkcija @,F kod koje je = 1, a L = 0. Napišimo ipak postupak. @, ∘ @,F = @,FM ( ∗  = ) Da bi @,F bio neutral, treba da bude  =   = L +  Odatle sledi da je = 1, L = 0. 5

Algebra

02.10.2012.

@, ∘ @&,Q = @, @&,Q ∘ @, = @, -nije potrebno ovo proveravati (na osnovu prethodnog tvrđenja). Dakle, neutral je @&,Q. (3) Inverz za @,

@, ∘ @,F = @&,Q   = 1 R ⇒ = 1 ,  = −  L +  = 0   (Ovo možemo tako da zapišemo jer je  ≠ 0). Dakle, inverz za @, je @S,%U . (Ni ovde nije potrebno proveravati da postoji inverz sa T

T

obe strane, takođe zbog prethodnog tvrđenja).

6