Algebra 1 Apunte I v2.1.
August 1, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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ALGEBRA GEOMETRIA ANALTICA I (1027)
EJIENDO EL ALGEBRA LINEAL
A I. Versión 2.0 – Agosto del 2014
Segundo CUATRIMESTRE del 2014
Julio Bertúa – Marcelo Denenberg
P 1.7 En el ao 2012 se constituy un equipo de investigacin bajo la direccin de la Mg. Sc. Prof. Mara Eugenia Angel formado por un grupo de docentes de la materia Algebra y Geometra Analtica I. El proyecto sobre el cual se ttrabaj rabaj durante el bienio 20122 20122013 013 fue A I A C126 PROINCE con la intencin de actualizar los contenidos, los
objetivos y la metodologa de enseanza de la materia. Simultneamente desde el Departamento de Ingeniera e Investigaciones Tecnolgicas se implement (an en curso) el PEICB, Proyecto Estratgico de Ingeniera para Ciencias Bsicas, con finalidades concordantes. A partir del trabajo conjunto desarrollado se llega a la confeccin de un nuevo diseo curricular con cambios conceptuales y metodolgicos. Para probar el diseo elaborado, se tuvieron en cuenta tres etapas: previa, durante y posterior a la implementacin. En la etapa previa a la implementacin, • se elaboraron y seleccionaron las estrategias referidas al proceso de enseanza aprendizaje, • se confeccion el material prcticoterico a utilizar en el aula y se seleccion y prepar a los docentes que formaran parte del proceso. La etapa de implementacin de dos cursos pilotos pil otos se llev a cabo en el segundo cuatrimestre del 2013, uno a la maana y otro a la noche. En la misma: el aborado en la modalidad de aula taller. • se trabaj con el material elaborado • se evalu al alumno en forma permanente, antes, durante y al finalizar el proceso. • al terminar el curso se tom una encuesta de opinin a los alumnos que intervinieron en la experiencia. •
Finalmente, en la etapa posterior, se llev a cabo el anlisis de los resultados obtenidos por los alumnos, de la encuesta de opinin y de la actividad activi dad realizada por los docentes lo que condujo a la implementacin para todos los cursos de la nueva modalidad desde el primer cuatrimestre del 2014. Los textos del presente ciclo lectivo estn basados en los utilizados en los cursos pilotos pero se han modificado y adaptado de acuerdo a las experiencias recogidas. Queremos agradecer a la directora del proyecto Mara Eugenia Angel, a los integrantes del Grupo de Investigacin y a las docentes participantes de los cursos pilotos: Mariela Glassman, Paula Porco, Julieta Mateucci, Sandra Mendoza y Laura Avila. Avi la. Lic. Julio Berta & Prof. Marcelo Denenberg
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P 2.0 Luego de la experiencia del primer cuatrimestre del 2014 han surgido una serie de cambios: a) Se ha anexado a la unidad II el tratamiento de los mtodos de Gauss y Gauss Jordan con la intencin de resolver sistemas de ecuaciones con mayor nmero d dee ecuaciones e incgnitas lo ms temprano posible. b) Lo anterior facilita el abordaje de la inversa de matrices de orden 3 en adelante. c) Hay un texto introductorio a las simetras sim etras axiales para ayudar al alumno en su ingreso al tema (aunque es tema abordado durante el ingreso). d) Se ha trasladado hacia la unidad III el Las transformaciones lineales y la Geometra en el plano. e) Adems acompaa al texto otro denominado Indicaciones Metodolgicas, Cronograma y Material de apoyo para el Alumno en donde se encontrarn explicaciones y comentarios adicionales, material de profundizacin y actividades que el alumno debiera realizar para complementar su aprendizaje en la clase presencial; dichas actividades las hemos denominado Actividad de refuerzo (AR) y estn sealadas a lo largo del apunte. f) Se tomar un parcialito y un trabajo trabajo grupal cada otras cuatro , referido a los temas vistos en dichas clases (ver Material de Apoyo). Lic. Julio Berta & Prof. Marcelo Denenberg
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I I : I A L I.1 La Geometra de la Imagen. I.1.1 Proyeccin y Traslacin. I.1.1.a Definicin: Operaciones en R2. I.1.1.b. Caractersticas de la Traslacin. I.1.2 Simetra Central. I.1.2.b. Caractersticas de la Simetra. I.1.3 Simetra Axial. I.1.4 Rotacin. I.1.4.a. Caractersticas de la Rotacin I.1.43.b. Comentario I.1.4.c. Rotacin en un ngulo cualquiera. I.1.5 Proyecciones Ortogonales. I.2 Situaciones vinculadas con otras disciplinas y con la vida real. I.2.1 Trfico en la ciudad. I.2.2 Circuitos Elctricos. I.2.3 Balance en ecuaciones qumicas. I.2.4 Tratamiento digital de Imgenes. I.2.5 Modelo de Leontief. I.2.6 Criptografa. I.2.7 Movimientos poblacionales.
II : L G A L R2 R3 II.1.1 Magnitudes escalares y vectoriales. II.1.2 Vectores en R2. II.1.3 Operaciones y propiedades de los vectores en R2. II.1.3.1 Estructura de II.1.4 Equivalencia deEspacio vectoresVectorial. II.1.5 Paralelismo entre vectores II.1.6 Longitud o norma de un vector II.2 Recta por y fuera del origen en el plano II.2.1 Rectas paralelas y perpendiculares II.2.2 Producto escalar de vectores en R2 II.3 El espacio tridimensional (R3) II.4 Rectas en el espacio II.4.1 Rectas paralelas, secantes y alabeadas. II.5 Norma, magnitud o longitud de un vector en R3. II.5.1 Propiedades la norma II.6 Productos entredevectores dede R3un . vector. Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 3
II.6.1 Angulo entre vectores. II.6.2 Producto interior ( escalar punto) en R3. II.6.2.1 Propiedades del producto interior entre vectores (en R3 pero vale para Rn). II.6.3 Proyeccin de un vector sobre una direccin. II.6.4 Desigualdad de CauchySchwartz. II.6.5 Trabajo de una Fuerza. II.6.6 Descomposicin de una fuerza en 2 y 3 direcciones. II.6.7 Producto vectorial. II.6.7.1 Propiedades del producto vectorial entre vectores. II.6.8 Producto mixto II.6.8.1 Interpretacin geomtrica del valor absoluto del producto mixto. II.6.8.2 Condicin de coplanaridad entre tres vectores en R 3 . II.7 Sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas y su geometra. II.8 Matrices. Definicin. Orden. II.8.1 Igualdad entre matrices. II.8.2 Operaciones entre matrices. II.8.3 Aplicaciones de las matrices y de sus operaciones. II.8.3.I Una aplicacin para la vida diaria. II.8.3.II Las matrices en Sociologa. II.8.3.III Cadenas de Markov. II.9 Expresin matricial de un sistema de ecuaciones. II.9.1 El juego de las relaciones en el Algebra Lineal II.10 Inversa de una matriz (primera aproximacin) II.10.1 Propiedades de la inversa II.10.2 La Criptografa y la Inversa de Matrices II.11 Sistema de ecuaciones lineales con 3 o ms incgnitas. Mtodo de resolucin de Gauss y de GaussJordan. II.12 Rango fila de una matriz II.12.1. Teorema de RoucheFrbenius II.12.2. Equivalencia entre sistemas de ecuaciones lineales II.13. Sistemas con parmetros II.14. La inversa de una matriz (segunda aproximacin) II.14.1.Inversa y sistemas de ecuaciones lineales II.15. Las otras miradas sobre un sistema de ecuaciones lineales II.16. Los sistemas de ecuaciones lineales homogneos y no homogneos. II.17 Actividades de repaso y reafirmacin de contenidos c ontenidos II.18 Apndice II.18.1. Otras formas de explicitar una recta en el plano II.18.2. Desafo 1. II.18.3. Mapa Actividad 1 (pg.19). Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 4
U I: I A L Resumen Resumen Se presentan elementos del Algebra Lineal Lineal: algunos objetos a manipular –vectores en el plano-, operaciones entre ellos –suma y producto producto por un escalar-, la adaptación adaptación del concepto de función –aparece la noción de Transformación Lineal- esencialmente ligado a las transformaciones geométricas. Mostramos aplicaciones del A.L. a la vida diaria y a la Tecnología que serán abordadas a lo largo del curso.
El presente recorrido didctico tiene muchos puntos de contacto con situaciones de la vida real. Comencemos con una de ellas para ir complementando nuestros conocimientos previos con los que debemos adquirir a lo largo del cuatrimestre. Esta es una poca donde lo visual tiene un papel preponderante. Seguramente el celular (sobre todo si es de ltima generacin), la computadora o la Play IV no seran lo que son sin la . Sus principios, tcnicas y algoritmos permiten la generacin, manipulacin y utilizacin de imgenes no slo en juegos sino pelculas, dibujo asistido por computadora, visualizacin cientfica, entrenamiento y simulacin, generacin de imgenes mdicas, arquitectura y arte, realidad virtual y aumentada y en nuevos espacios de la informacin.
Pero, ? ? La intencin de este material no es la de un curso de 1 sino la de exponer algunos conceptos y herramientas esenciales que le sirven de sostn.
I.1 L I.1.1 A 1: • Grafica un sistema de coordenadas cartesianas plano (de dos dimensiones) y las unidades del eje horizontal X y vertical vertical Y de igual magnitud. magnitud. • Marca los puntos del plano A=(2; 0) y B=(4; 0) y dibuja el segmento AB que determinan. • Indica grfica y analticamente, completando los espacios en blanco, cada una de las siguientes traslaciones de los A y B: a) tres unidades hacia la derecha A= (2; 0) A= (….. ; ….. ) B= (4; 0) B= (….. ; ….. ) 1
En el libro Computer Graphics and Geometric Modeling, de Max K. Agoston, 2005 SpringerVerlag London Ltd se puede encontrar un curso de Computacin Grfica en donde aparecen herramientas del Algebra Lineal de suma utilidad. Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 5
b) tres lugares para arriba arriba A= (2; 0) A= (….. ; ….. ) B= (4; 0) B= (….. ; ….. ) c) dos lugares hacia la derecha y cuatro lugares para arriba A= (2; 0) A= (….. ; …..) B= (4; 0) B= (….. ; ….. ) Si se selecciona un punto cualquiera U en el segmento AB , el mismo podra notarse: U = (xu; 0) con 2 ≤ xu ≤4 por qu habremos anotado xu?, ayuda esta notacin? •
Aplicando los movimientos de traslacin realizados en a), b) y c) completa U= (….. ; …..) U= (….. ; ….. ) U= (….. ; ….. ) con xu cumpliendo ……..….. qu se podra anotar para los valores de la segunda componente en cada caso? caso?
P Las traslaciones del segmento AB dan por resultado un nuevo segmento en . La longitud de cada nuevo segmento se mantiene invariante luego de una traslacin.
•
Repite lo realizado en la actividad para el segmento CD con C= (1; 3) y D= (2; 5). C= (1; 3) C= (….. ; ….. ) C= (….. ; ….. ) C= (….. ; ….. ) D= (2; 5) D= (….. ; ….. ) D= (….. ; ….. ) D= (….. ; ….. )
Completa para P = (x, y) con x e y cualquier nmero real P= (; ) P= (….. ; …..) Puede notarse que para cada punto (y en cada caso) la traslacin da por resultado un nico punto, es decir que a cada punto le corresponde una nic nicaa imagen al trasladarlo. •
L 2 Focalicemos lo que sigue en la tercera traslacin que llamaremos T por traslacin3. Para los puntos T(A) A, B, C,= D y P aplicando T tenemos: T((2; 0)) = (4; 4)la funcin T(B) = T((4; 0)) = (6; 4) • Completa todos los espacios en blanco T(C) = T((1; 3)) = (….. ; ….. ) , T(D) = T((2; 5)) = (….. ; ….. ) , T(P) = T((x; y)) = (….. ; …..) De esto ltimo se desprende que la traslacin T transforma al punto P en otro punto Pde coordenadas (….. ; …..). Recordar del Curso de Admisin las condiciones de una funcin. Es una relacin entre un conjunto A y un conjunto B de tal forma A A B. 3 Hemos utilizado tres traslaciones: T, T y T.
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Al valor horizontal horizontal de de P se le adicionan 2 unidades y al valor vertical se lo incrementa en 4 unidades! Podra pensarse que la funcin T le adiciona el punto (2; 4) a cada punto inicial obteniendo de esta forma que para el punto P = (x; y) el resultado de la traslacin es (x; y) + (2; 4) = (x+2; y+4) Si la funcin fuera adicionar el punto (a; b) a cada punto inicial, el resultado de la traslacin de a unidades hacia la derecha y b unidades hacia arriba, sera (x; y) + (a; b) = (x+a; y+b) Aplicarle dos veces la traslacin T a un punto cualquiera es lo mismo que adicionarle dos veces el punto (2; 4) (x; y) + (2; 4) + (2; 4) = (x; y) + 2. (2; 4) = (x; y) + (4; 8) = (x+4; y+8) Observamos que (2; 4) + (2; 4) = 2. (2; 4) = (4; 8) O Analicemos ahora otro tipo de funcin en el plano, aquella que a cada punto del plano lo proyecta en uno sobre el eje de abcisas , a saber T(x ; y) = (x ; 0) As T (3 ; 5) = (3 ; 0) , T ( 7 ; 4 ) = ( 7 ; 0) , y as sucesivamente. Por qu podemos decir que es una funcin?
Hallar y representar en un grfico la proyeccin sobre el eje x de los siguientes punto puntoss del plano A = ( 4 ; 3) ; B = ( 2 ; 5 ) ; C = ( 4 ; 1 ) ; D = ( 2 ; 2 ) FUNCIONES CON UNA PARTICULAR CONDICIN Para seguir trabajando con estas funciones ( ( ) ) y analizarlas mas profundamente, vamos a introducir un concepto que relaciona a los puntos del plano R2 y a un ente matemtico llamado vector (que ser estudiado
detalladamente en U II: L G A L R2 R3 ) A cada par ordenado (a ; b ) (que representa a un punto del plano R2 con abcisa a y ordenada b) le asignamos un segmento orientado v que tiene su origen en el punto (0 ; 0) y su extremo en ( a ; b) , donde a y b son nmeros reales.
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Ahora con esta relacin nos es posible definir lo siguiente: I.1.1. D D Para cualquier par de puntos del plano con componentes reales M=(m1; m2) y N = (n1; n2) , asimilados a vectores M y N , que tienen su origen en el ( 0 ; 0 ) y sus extremos en M y N y 4: siendo k un nme nmero ro real cualquiera , se definen las () (1) M ⊕ N = (m1; m2) ⊕ (n1; n2) = (m1 + n1 ; m2 + n2) (2) k M =k
(m1; m2) = (k.m1; k.m2)
) (
Presentadas las dos operaciones queremos ver si se cumplen en T las dos condiciones siguientes que en este momento parecen caprichosas pero tienen un papel preponderante en el Algebra Lineal: I.1.1. a) T( M ⊕ N ) = T( M ) ⊕ T( N ) para cualquier par de vectores M y N b) T(k M ) = k T( M ) para cual nmero k real y cualquier vector M 5 la condicin a) planteamos Para verificar T( M + N ) = T((m1; m2) + (n1; n2)) = T(m1+ n1; m2+ n2) = (m1+ n1; 0) T( M )+ T( N ) = T(m1; m2) +T(n1; n2) = (m1; 0)+ ( n1; 0) = (m1+ n1; 0) . Luego la condicin se verifica. Para la segunda planteamos: T(k. M ) = T(k. (m1; m2)) = T (k.m1; k.m2) = (k.m1; 0) k. T( M ) = k. (T(m1; m2))=k. (m1; 0) = (k.m1; 0) . Y la segunda segunda condicin tambin se cumple.
Pasar lo mismo para T( M )? . Veamos Para verificar si se cumple la condicin a), desarrollamos los dos miembros de la igualdad T( M + N ) = T((m1 + n1 ; m2 + n2)) = (m1 + n1+ 2 ; m2 + n2 +4)
T( M ) + T( N ) = (m1 + 2 ; m2 +4) + (n1+ 2 ; n2 +4) = (m1 + 2 + n1+ 2 ; m2 +4 + n2 +4)= = (m1 + n1+ 4 ; m2 + n2 + 8) y observamos que T( M + N ) ≠ T( M ) +T( N )6 , entonces la condicin a) se cumple.
Qu ocurrir con T(k. M ) = k. T( M )? operador suma ⊕ se aplica a dos vectores –en este caso del plano- mientras que el operador suma “+” efectúa la suma entre dos números reales. Análogamente el producto opera entre un número real y un vector del plano mientras que “.” sólo lo hace entre un par de números reales. 5 único signo “+” y un único “.” , interpretando en ca cada da caso Por abuso de notación de aquí en mas utilizaremos un único cuando estamos sumando o multiplicando números reales entre sí y cuando estamos sumando vectores o multiplicándolos por un escalar real. 4 El
Es bastante evidente la d diferencia iferencia pues la primera co coordenada ordenada es en un caso m1 + n1+ 2 y en otro m1 + n1+ 4; sumar 2 unidades a un nmero (m1 + n1) da distinto que sumar 4 unidades. En situaciones menos claras se debe mostrar un .
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k. M =k. (m1 , , m2) = (k.m1 , , k.m2) T(k. M ) = T((k.m1 , , k.m2)) = (k.m1 + 2, k.m2 + 4) k. T( M ) = k. T((m1 , , m2)) = k. (m1 + 2, m2 + 4) = (k. (m1 + 2), k.(m2 + 4)) = = (k. m1 + k. 2 , k. m2 + k. 4) Los dos recuadros no parecen ser iguales pero que no lo parezcan 7. 8 son diferentes busquemos un . Para que = (1, 1), entonces T((1, 1))= (1+2, 1+4) = (3, 3) Si k= ver 3 y M 3. T( M ) = 3. (3, 3) = (9, 9) 3.M = 3. (1, 1) = (3, 3) T(3. M )= T((3, 3)) = (3 +2, 3 +4 +4)) = (5, 1)
Los dos recuadros son diferentes y por eso la propiedad no es vlida.
AR1
I.1.2 A 2: S C • Para los siguientes puntos obtener los puntos simtricos respecto al origen de coordenadas O, marcarlos en un sistema de coordenadas cartesiano y completar
A= (2; 0) B= (4; 0) H= (2; 5) I = (5, 3) P= (; ) •
Ao= (….. ; …..) Bo= (….. ; …..) Ho= (….. ; …..) Io= (….. ; …..) P= (….. ; …..)
Grafica el segmento HI y comprueba geomtricamente que la realizada lo transforma en otro segmento H 0 I 0 .
Puede notarse, como ocurre con la traslacin, que para cada punto (y en cada caso) la simetra da por resultado un nico punto, es decir que . Analizaremos si la simetra cumple c umple con las dos condiciones presentadas en I.1.1.b. a) S( M + N M+N) = S( M ) +S( N ) para cualquier par de vectores v ectores M y N b) S(k. M ) = k. S( M ) para cual nmero k real y cualquier vector M
a) Sabemos que M + N = (m1 , , m2) + (n1 , , n2) = (m1 + n1 ; m2 + n2) luego S( M + N ) = S((m1 + n1 ; m2 + n2)) = ((m1 + n1) ; (m2 + n2)) = (m1 n1 ; m2 n2) S( M + N ) = (m1 n1 ; m2 n2) como S( M ) = S((m1 , , m2))= (m1 , , m2) y S( N ) = S((n1 , , n2))= (n1 , , n2) Por ejemplo sen2(α) +cos2(α) =1 se cumple para todo nmero ngulo α pero a simple vista no lo parece. 8 Si existe un ejemplo para el cul una propiedad no se cumple puede decirse que la propiedad no es vlida y el mencionado ejemplo se denomina .
7
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se obtiene S( M ) +S( N ) = (m1 , , m2) + (n1 , , n2) = (m1 n1 ; m2 n2) S( M ) +S( N ) = (m1 n1 ; m2 n2) = S( M + N ) √ b) Conociendo k.M = k. (m1 , , m2) = (k.m1 , , k.m2) S(k. M ) = S((k.m1 , , k.m2)) = (k.m1 , , k.m2) = k. (m1 , , m2) = k. S( M ) √ R La simetra S al igual que la proyeccin con las dos I.1.2.. I.1.2.. condiciones I.1.1 . central Representan un ejemplo interesanteT, de uncumplen llamadas T T L (que es uno de los conceptos ms importantes del lgebra Lineal y sobre las que trabajaremos en forma sostenida) A • Para verificar analticamente que el transformado del segmento HI es H 0 I 0 se nos presentan dos interrogantes: a) Cmo se puede representar matemticamente el segmento HI , , que ya no es horizontal como el AB deCmo la actividad b) es que1?efectivamente todos los los puntos intermedios entre H0 e I0 est estnn alineados alineados y forman un segmento? Trataremos de responder a la cuestin ) Cul es la caracterstica esencial de una recta (o de un trozo de ella, como ser un segmento)? Si nos ubicamos en un punto de ella como ser I y nos desplazamos hasta encontrar otro por ejemplo P debemos hacer un desplazamiento horizontal ∆x y uno vertical ∆y. Por ejemplo desde I hasta H sern: ∆x= 3, ∆y= 2. • •
Si ∆x= 1, marcar en el grfico ∆y e indic cul puede ser su valor aproximado. Si ∆y= 1, marcar en el grfico ∆x e indic cul puede ser su valor aproximado.
Se observa que todos los tringulos obtenidos son semejantes y por lo tanto los desplazamientos una una . . As el cociente:
Calculamos ahora ∆x y ∆y para los l os desplazamientos desde I hasta P.
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∆y= y 3;
•
∆x= x(5) = x+5 9
Despej y de la ecuacin anterior y verific que y =
19 2 .x + 3 3
[I.1.2.1]
O sea que un punto P cualquiera que est en el segmento HI , puede escribirse como 19 2 P = (x, . x + ) 3
3
Esto significa que elegido x, el valor de cualquiera sino que es el obtenido con la cuenta indicada. •
Escribe cul es la restriccin para x en el caso del segmento HI . Y la restriccin para y?
Para verificar lo obtenido para P con los puntos I y H que son los extremos del segmento. I: x= 5
→
H: x= 2
→
y=
y=
2 3 2 3
.( −5) + .(−2) +
19 3 19 3
9
= =3 =
3 15 3
= 5 ‼
Ocurrir que si 5 ≤ x ≤ 2 , los valores de y pertenecen al intervalo [3; 5]? Partimos de 5 ≤ x ≤ 2 y multiplicamos por
2 3
la doble inecuacin;
la desigualdad no cambia pues el factor es positivo Sumamos
19 3
a todo no se modifica el sentido
Y obtenemos
5. 10 3
+
2
3 19 3
≤
≤
2 3
2 3
.x ≤ 2.
.x +
9
2
3
3
3= ≤
19 3
.x +
2 3
4 19
≤ +
19 3
≤
3 3 15 3
=5
O sea 3 ≤ y ≤ 5 como era esperable ‼ Vamos a resolver lo propuesto en b) Llamamos S a la simetra central. S(P)= S((x, y))= (x, y) [esta debiera ser la expresin obtenida para P al comienzo de la actividad 2] 19 . x + ) con 5 ≤ x ≤ 2. 3 3 19 19 2 2 19 2 . x + )) = (x, [ . x + ]) = (x, .(− x ) − ) [I.1.2.2] 3 3 3 3 3 3
Sea un punto P en el segmento HI ;; P= (x, S((x,
2
Llamemos χ = x [o sea a cada valor de x la nueva variable χ la almacena con el valor opuesto].
9
Parece traerte confusin el 5 sumando, pero ten en cuenta que x est entre 5 y 2 por lo que al sumarle 5 los desplazamientos horizontales estarn entre 0 y 3. Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 11
Como 5 ≤ x ≤ 2, multiplicando por (1) a la doble desigualdad cambian los sentidos de las mismas, (5) ≥ x ≥ (2) → 5 ≥ x ≥ 2 → 5 ≥ χ ≥ 2 Resulta que reemplazando en [I.1.2.1]
S(P) = (χ ,
2 3
.χ
19 3
) con 2 ≤ χ ≤ 5.
Esta expresin es semejante a [I.1.2.1] con un signo de diferencia en
19 3
.
AR2
I.1.3 A 3: S A El siguiente esquema muestra la de la figura10 ABCD respecto al eje (de simetra) E. La imagen (o simtrico) del punto A es A que se obtiene trazando la recta perpendicular a E que pasa por A y cuya interseccin es M; A se obtiene a una distancia idntica a AM pero del otro lado del eje E (o sea en semiplanos opuestos).
Nosotros abordaremos las simetras axiales Sx y Sy segn los ejes x e y respectivamente. El dibujo siguiente muestra las simetras axiales para un punto Q. Indique las coordenadas del mismo y luego complete la tabla.
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http://www.10endibujo.com/wpcontent/uploads/2014/05/03_simetriaaxial.jpg http://www.10endibujo.com/wpcontent/uploads/2014/05/03_simetriaaxial.jpg Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 12
Punto A= (2; 0) B= (4; 0) H= (2; 5) I = (5, 3) P= (; )
Sx: Simtrico eje x Ax = ( ; )
Sy: Simtrico eje y Ay = ( ; )
E A continuacin y utilizando lo completado en la ltima fila del del cuadro anterior, demuestre que tanto la simetra respecto al eje x como la simetra respecto al eje y son Transformaciones Lineales de R2 interpretando a la bsqueda del simtrico de un punto con la transformacin de su vector asociado. I.1.4 A 4: R
Dados los puntos A= (2; 0) y B= (4; 0), cules sern los transformados de stos al rotarlos desde el punto O origen de coordenadas un ngulo de 90? c oordenadas y completa: • Dibuja en un sistema de coordenadas R90(A) = (…..;…..) R90(B) = (…..;…..) Hacia dnde girar puede ser un interrogante, por convencin se toma
•
y al indicar 90 se est admitiendo sentido positivo
Obtiene, usando la misma rotacin, las imgenes de los puntos K= (x, 0) y J= (0, y) R90(K) = (…..;…..) R90(J) = (…..;…..) • Servir la respuesta si x e y toman valores negativos?
Veamos qu le pasa a un punto genrico P= (x, y) al aplicarle la rotacin. Usando un grfico como ayuda, observamos que α + 90 + β = 180 por lo tanto tanto α + β = 90 (I.1.4.1) Adems como el tringulo POL es rectngulo en L resulta que β + β = 90 (I.1.4.2) De las ecuaciones (I.1.4.1) y (I.1.4.2) sale que α = β En el tringulo POL vale de modo similar que α + α = 90 (I.1.4.3). Y de (I.1.4.1) y (I.1.4.3) obtenemos que α = β Comparando entonces los tringulos POL y POL OP = O ' P ' ; α = β; α = β. Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 13
Por el criterio de congruencia ALA ( ngulolado ngulo) se tiene que ambos tringulos son . De lo anterior resulta que: OL = P' LL' ; PL = L' O . Como vale que OL = x , PL = y ; teniendo en cuenta el signo de las coordenadas coordenadas de P resulta que P = (y, x). Resumiendo R90(P)= R90((x, y))= (y, x) (I.1.4.4) Servir frmula puntos de los cuatro cuadrantes y de los cuatro semiejes? • Toma un la surtido de para puntos y corrobora c orrobora los resultados. Recuperamos lo visto en I.1.1.b. adaptndolo a la rotacin. Comprueba que R90 satisface ambas propiedades. O sea [1.1.4.: a) R90( M + N ) = R90( M ) + R90( N ) para cualquier par de puntos M y N , representados por su vectores respectivos y M N b) R90(k. M ) = k. R90( M ) para cual nmero k real y cualquier punto M representado en este caso por el vector M I.1.4. C Es interesante obtener la expresin conseguida en (I.1.4.4) si supisemos que R90 cumple con [1.1.4.a]. Si fuera el caso tendramos: [hemos disociado la suma de puntos en el plano] R90((x, y)) = R90((x, 0) + (0, y)) = [por la propiedad a) en (I.1.4.a) ] R90((x, 0)) + R90((0, y)) = R90(x. (1, 0)) + R90(y. (0, 1)) = [propiedad b) en I.1.1.a] x.R90((1, 0)) + y.R90((0, 1)) = [propiedad b) en (I.1.4.a) ] x.(0, 1) + y (1, 0) = [transformados del (1, 0) y (0, 1)] (0, x) +(y, 0) = (y, x) [propiedad b) en I.1.1.a] Observar que los datos de las rotaciones dos puntos y que se cumple c umple con [1.1.4.a] fue posibleen obtener el transformado de la rotacin en del del plano. O sea si quisiramos saber la rotacin del punto (4; 5) lo podemos obtener a partir de lo que le ocurri al (1; 0) y al (0; 1). Este hecho y y lo retomaremos a lo largo del curso. AR3 I.1.4. R Obtengamos la rotacin de un ngulo θ cualquiera, usando el supuesto que Rθ cumple con I.1.4.a. Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 14
El punto (1, 0) se traslada al punto M. Por trigonometra la componente horizontal es el cosθ y la vertical senθ. El (0, 1) se desplaza hasta el punto N. Se prueba de manera simil similar ar a lo hecho para obtener (I.1.4.4) que los dos tringulos son semejantes y de all resulta la componente horizontal (senθ) que apunta hacia los x negativos y la componente vertical (cosθ). Resumiendo Rθ((1,0)) = (cosθ, senθ) Rθ((0, 1))= ( senθ, cosθ) Obtendremos la rotacin de un ngulo θ del punto (x, y) a travs de [1.1.4.a]. Rθ((x, y)) = Rθ((x, 0) + (0, y)) = Rθ((x, 0)) + Rθ((0, y)) = Rθ(x. (1, 0)) + Rθ(y. (0, 1)) = x.Rθ((1, 0)) + y.Rθ((0, 1)) = x(cosθ, senθ)+ y ( senθ, senθ, cosθ) = (x.cosθ, x.senθ) + (y.senθ, y.cosθ) = (x.cosθy.senθ, x.senθ + y.cosθ) [1.1.4.5]
C Realizando los grficos correspondientes, comprueba la frmula [ 1.1.4.5] • para los puntos (0,1), (1,0), (1,0) y (0, 1) con θ 1= 90 • para los puntos 2 , 2 ) , − 2 , 2 ) , − 2 ,− 2 ) , 2 ,− 2 ) con θ2= 45 y θ3= 225. • para los puntos anteriores con θ 4= 135. Comenta qu ocurre que te llame la atencin. I.1.5. A 5: P Sean P y P las proyecciones sobre los ejes x e y de un punto en el plano. El siguiente esquema te ayudar a refrescar conocimientos: conocimi entos:
Teniendo en cuenta lo trabajado en las l as actividades anteriores, resolver lo siguiente: Dados los puntos A, B, H, I y Z, mrcalos en un grfico cartesiano, obten las proyecciones sobre los ejes y complet: A= (2; 0) P(A)= (….. ; …..) P(A)= (….. ; …..) B= (4; 0) P(B)= (….. ; …..) P(B)= (….. ; …..) H= (2; 5) P(H)= (….. ; …..) P(H)= (….. ; …..) I = (5, 3) Z= (; )
P(I)= (….. ; …..) P(Z)= (….. ; …..)
P(I) = (….. ; …..) P(Z)= (….. ;…..)
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Comprueba que tanto P como P cumple con I.1.1.b. Si Z = (xz , , yz), encuentra la expresin general de P(Z) y P(Z) de forma anloga a lo realizado en [1.1.4.5] . • Graficar en un sistema de referencia cada proyeccin. AR4 • •
I.2. S Te presentamos las siguientes situaciones que se abordarn durante el curso y que te darn un panorama de las potencialidades que del mismo m ismo podrs obtener. (I.2.1) El esquema muestra el microcentro de la ciudad A y se sealan el nmero de rodados que entraron y salieron de all en una hora. La intencin es encontrar los flujos vehiculares en las cuadras marcadas en gris y numeradas de I a VII.
(I.2.2) C E En el esquema se muestra un circuito elctrico con 2 bateras y 4 resistencias. Se busca encontrar las corrientes que circulan entre los puntos 1 y 2, 3 y 6, 5 y 4 y las cadas de tensin que ocurre en cada una de las resistencias.
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(I.2.3) B La formacin del hidrxido de aluminio est dada por la ecuacin qumica:
En los casilleros blancos van nmeros naturales que hacen cierta a la ecuacin. Cmo hallarlos? (I.2.4) I Ya se ha trabajado con cuestiones cuestiones de traslaciones, simetras, simetras, rotaciones y proyecciones que son tiles en el tratamiento de imgenes. Para un abordaje ms profundo se utilizar el concepto de matriz. Un ejemplo introductorio es el siguiente. Una letra N puede sealizarse del siguiente modo (a continuacin se ha marcado un sistemas de coordenadas):
El corchete con los valores distribuidos all forman (de (de 2 filas y 10 columnas, en este caso). 1 0,25 (de 2 filas y 2 0 1
Se ver en su momento que otra matriz como A=
columnas o de 2x2) al multiplicarla modifica a la letra N as: (I.2.5) M L El Modelo InputOutput es un modelo econmico desarrollado por Wassily Leontief (19051999) por el que obtuvo un Premio Nobel en el ao 1973. A menudo es denominado como modelo de Leontief. El propsito fundamental del modelo IO es analizar la interdependencia de industrias en una economa. El modelo viene a mostrar como las salidas de una industria (outputs) son las entradas otra (inputs), mostrando una interrelacin entre ellas. En la actualidad es uno de modelos econmicos ms empleados en economa. 11 El modelo desarrollado por Wassily Leontief, es una aplicacin interesante de , que fue til para pronosticar los efectos en los cambios de precios o variaciones de las erogaciones gubernamentales sobre la economa. 12
de los las las
http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_InputOutput http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_InputOutput 12 josebarrostroncoso.we josebarrostroncoso.weebly.com/uploads/6/.../aplicacin_de_las_matri ebly.com/uploads/6/.../aplicacin_de_las_matrices.pdf ces.pdf;; Aplicacin de las Matrices Modelos de EntradaSalida de... Jos F. Barros Troncoso. 11
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(I.2.6) C C Compartimos el siguiente texto desde Wikipedia13: C (del griego κρύπτω , oculto, y γράφως , escribir, literalmente escritura oculta) tradicionalmente se ha definido como la parte de la criptologa que se ocupa de las tcnicas, bien sea aplicadas al arte o la ciencia, que alteran las representaciones lingsticas de mensajes, mediante tcnicas de cifrado o codificado, para hacerlos ininteligibles a intrusos (lectores no autorizados) que intercepten esos mensajes. Por tanto el nico objetivo de la criptografa era conseguir la de los mensajes. Para ello se diseaban sistemas de cifrado y cdigos. En esos tiempos la nica criptografa que haba era la llamada . La aparicin de la Informtica y el uso masivo de las comunicaciones digitales han producido un nmero creciente de problemas de seguridad. Las transacciones que se realizan a travs de la red pueden ser interceptadas. La seguridad de esta informacin debe garantizarse. Este desafo ha generalizado los objetivos de la criptografa para ser la parte de la criptologa que se encarga del estudio de los algoritmos, protocolos (se les llama protocolos criptogrficos) y sistemas que se utilizan para proteger la informacin y dotar de seguridad a las comunicaciones y a las entidades que se comunican. Para ello los criptgrafos investigan, desarrollan y aprovechan tcnicas matemticas que les sirven como herramientas para conseguir sus objetivos. Los grandes avances que se han producido en el mundo de la criptografa han sido posibles gracias a los grandes avances que se han producido en el campo de las matemticas y la informtica.
Un esquema bsico es el siguiente14:
Con el uso de y sus operaciones presentaremos un esquema sencillo de cmo y encriptar informacin.
En el siguiente video hay un ejemplo que utiliza elementos de nuestra materia (y de Algebra y Geometra II) http://video.dainutekstai.lt/w.php?a=Ktl7o0EwNDw. http://video.dainutekstai.lt/w.php?a=Ktl7o0EwNDw. 13 http://es.wikipedia.org/wiki/Criptografa http://es.wikipedia.org/wiki/Criptografa 14 www.matem.unam.mx/~rajsbaum/cursos/.../presentacion_seguridad_1.pdf www.matem.unam.mx/~rajsbaum/cursos/.../presentacion_seguridad_1.pdf;; Criptografa Instituto de Matemticas de la UNAM. Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 18
(I.2.7) M En la ciudad Algelin la poblacin era en 2010 de 20 mil habitantes y en los alrededores de 5 mil. Durante ese ao result result que la probabilidad que una pers persona ona se quedara en la ciudad fue de 0,92 (y por lo tanto de 0,08 de que emigrara a las afueras), mientras que el 98% de las personas de los alrededores optaron por permanecer all. Encontrar las poblaciones luego de uno, diez y veinte aos. Existe una situacin de equilibrio? A 1) Se tiene el rectngulo ABCD con A= (3; 2), B= (3; 2) , C= (3; 4) y D= (3; 4). a) Al rectngulo aplique cada c ada una de las siguientes transformaciones. Dibuje en cada caso el original y su transformado. Explique con qu ocurre con la figura original. T1((x, y)) = (3x, y) T2((x, y)) = (⅓x, y) T3((x,y)) = (x, 2y) T4((x,y)) = (x, y) T5((x,y)) = (x, y) T6((x,y)) = (x, y) T7((x,y)) = (4x, 3/2.y) T8((x,y)) = (4x, 3/2.y) T9((x,y)) = (y, x) 2) Si T es una transformacin del plano en s mismo que cumple con T(A+B) = T(A) + T(B) y T(k.A) =k.T(A) para todo punto A, B del plano y kЄR, obtener T((x, y)) si T((1; 0))= (1; 1) y T((0; 1))= (1; 1). Obtenga la imagen por T del tringulo de vrtices (1; 5), (1; 9) y (5; 7). N:: en el apndice (II.18.2.) se encuentra la actividad Desafo 1. N
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U II: L G A L R2 R3 En esta segunda unidad se trabajará sobre puntos en el plano y el espacio, los sistemas de ecuaciones lineales con dos y más incógnitas; vectores, combinación lineal, matrices y transformación lineal. En lo posible, se intentará arribar a los nuevos conceptos de una forma simple y clara pero sin menoscabar su rigurosidad..
II.1.L (R2 ) I Como hemos visto en la unidad anterior, el anlisis de una figura geomtrica se ve facilitado por la introduccin de un sistema de coordenadas, lo que produce la aparicin de frmulas que no son propias de esa figura sino que dependen del sistema de referencia elegido. Por ejemplo la ecuacin de la recta rec ta y= 2x en el sistema (X, Y) toma la siguiente forma15 y un punto P cualquiera que pertenece a la recta toma la forma (x, 2x).
Si el sistema de referencia fuera el X e Y , cmo seran las coordenadas (x, y) de cualquier punto que pertenezca a la recta? E P . Aparece la necesidad de distinguir en cada situacin cules son las propiedades inherentes a la figura de estudio y cules las accesorias producto del mtodo analtico utilizado.
15
Ya sea por una tabla o utilizando la pendiente y ordenada al origen de la recta. Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 20
El clculo vectorial y tensorial responden a esa necesidad y aunque en ellos se utilizan diferentes sistemas de coordenadas, las reglas operatorias son tales que independizan sus propiedades del sistema sistema utilizado; es decir decir sus operaciones y resultados resultados son invariables ante el cambio de coordenadas. A 1 En el siguiente mapa se muestra la Universidad Nacional de La Matanza y sus alrededores
I) Supongamos que la persona A se encuentre en la entrada de la Universidad ((U) U) y quiere dirigirse a la ESSO GNC Liniers Colectora Oeste (E). a) Cul la distancia que los irsepara? b) Cmoesdebiera ser laestimada indicacin para en Globo Globo Aerosttico desde U a E? II.1.1 M Seguramente la parte b) de la actividad ha precisado de la introduccin de un sistema de coordenadas y de la necesidad de indicar all cul es la posicin del punto final E o la de introducir un que que indique en qu sentido y direccin debiera moverse el globo para llegar a destino. Podemos proceder del siguiente modo cuadriculando el mapa:
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a) Cul es la posicin E? b) Dibuja el que que va desde U a E. Este ejemplo muestra la necesidad de introducir cantidades (que se denominan ) que tuvieron caractersticas esencialmente diferentes. En la actividad 1.Ia se tiene una . La respuesta est completamente caracterizada a travs de un nmero real (la intensidad de lo medido) y la unidad de medida (en este caso el metro16). Ejemplos de este tipo de magnitud son la longitud, densidad, temperatura, energa, presin, trabajo mecnico. En la situacin 1.Ib fueron necesarios tres elementos adicionales. Aparte de la unidad e intensidad se debe dar la recta de accin donde se encuentra la ,, el sentido sobre dicha recta y el punto de aplicacin dnde se haya aplicado. Esta magnitud recibe el nombre de . En Fsica abundan los ejemplos de magnitudes vectoriales17 : la posicin, velocidad, aceleracin, cantidad de movimiento, fuerza e intensidad del campo elctrico, entre otros. Cada magnitud vectorial tiene una representacin analtica que en ciertas situaciones tiene correlato geomtrico (slo en una, dos o tres dimensiones) y all se lloo puede representar. En nuestro caso se trat de una medicin indirecta. A partir de cm de nuestro hicimos la equivalencia a metros. Notar que parece que no hicimos ninguna ni nguna suposicin fsica en dicha conversin pero s. Podra indicar cual es? 17 Existe un tercer tipo de magnitud: la tensorial cuyo representante es el . Las mismas van ms all de nuestro curso. Ejemplos de ella son las tensiones internas en cada punto de un cuerpo rgido segn la direccin en que se efecte la fuerza tensionante, la densidad de corriente y el campo electromagntico.
16
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En nuestra actividad 1 tendramos
El dibujado dibujado es la representacin geomtrica mientras su representacin en el de coordenadas es (12; 11,6). El punto E O en yeltermina plano est pensado como unsistema vector que comienza endibujado el (0; 0) origen de coordenadas en E. II.1.2 R2 Trabajando en la recta, el plano o el espacio podemos tener una representacin geomtrica del vector. El vector v est sobre la recta , su punto de aplicacin origen es A y su sentido es uno de los dos posibles desde A (en este caso hacia abajo). El tamao de la representacin tendr correlacin con la intensidad o mdulo del vector. El vector v tambin puede denominarse como AB . El orden es fundamental en la escritura: de izquierda a derecha, . En Fsica aparecen diferentes tipos de vectores: los vectores que son los ya tratados; los vectores donde no es necesario precisar el punto de aplicacin sobre la recta ; llamaremos a todos los vectores con igual tamao, sobre la misma recta y con igual sentido18 observar el grfico 1 los vectores que son los que permiten la equipolencia con aquellos otros que tienen rectas de apoyo paralelas, tienen igual intensidad e igual sentido ver grfico 2; a la equipolencia se la denomina de vectores. o
o
o
18
A los fines f ines de nuestros clculos operaciones la equipolencia implica la igualdad de efectos resultados. Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 23
A partir de ahora nuestro estudio se enfocar sobre los l os . . La de estos vectores es la del conjunto de todos los segmentos orientados de recta equivalentes a un segmento de recta de ese conjunto, llamado del vector. En particular elegiremos como representante al vector equivalente con origen en el punto O (0; 0) del sistema de referencia. En el grfico 2 el representante es v ' ' . A continuacin se har la presentacin de la y de las de los vectores en el plano (R2) y en ms adelante se generalizar lo aprendido. En R2 un vector es un par ordenado de nmeros reales que representa al extremo del vector respecto a un sistema de referencia (O, X, Y); el vector ser v = ( v x ; v y ) donde es la componente sobre la direccin X y es la componente sobre la direccin Y. Si los ejes X e Y son perpendiculares las componentes son las . El punto O = (0; 0) representa al origen de coordenadas pero al mismo tiempo al . A 2 OA representado es el (6; 3). El Se vector pide: a) Dar las coordenadas de los dems vectores con origen en O y extremo final en el punto marcado. b) Obtener los simtricos de a) segn el origen, el eje X y eje Y respectivamente (SO , SX , SY). c) Dibujar el vector HG con G= (2; (2; 1) y H= (4; 3). d) Dibujar e indicar a qu vector w con
origen en O, es equivalente el vector HG Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 24
C
Tomemos un vector como el (4; 3) A partir de lo trabajado en la unidad 1, el mismo puede pensarse como 4. (1; 0) + 3. (0; 1) A los vectores de tamao 1 que estn en la ∧
∧
direccin de los ejes X e Y se los llama i y j . II.1.3 O I Dos vectores v , w son iguales si sus respectivas componentes lo son. O sea si v = ( v x ; v y ) y w = ( w x ; w y ) y adems v = w debe ocurrir que v x = w x y v y = w y .
Hallar k real para que suceda que v = w si v = (k 2 ; 2k + 3) y w = ( 4; 1 + k ) .
S Definimos la suma + entre vectores de R2 del siguiente modo: , vy , wx y wy nmeros reales. s = v + w = (v x ; v y ) + ( w x ; w y ) = (v x + w x ; v y + w y ) con vx , Notar que la suma da un nuevo vector pues al sumar vx con wx y vy con wy obtenemos nuevamente nmeros reales. Se dice que + es una ley de en R2 o que la suma entre vectores es . Geomtricamente la suma se obtiene a travs del : Se traslada a un origen comn ambos vectores y luego se traza por llos os extremos de cada vector una recta paralela al otro formndose un paralelogramo. La diagonal principal forma el vector suma resultante.
Dados los vectores MN y TS con M=(0; 2) , N=(2; 1); S=(4; 1) y T=(2; 1) obtener analtica y grficamente el vector r = MN + TS Revisamos a continuacin algunas algunas :: 1) Es la valer sumaque de vectores ? Debe para cualquier terna? de vectores
u , v y w resulte que
Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 25
u+v + w
= u + v + w w = [(ux; uy) + (vx; vy)] + (wx; wy) =1 (ux + vx; uy+vy) + (wx; wy) u+v + =1 ((ux + vx) +wx; (uy+vy)+ wy) =2 (ux + vx + wx; uy+ vy + wy) [3] donde hemos usado la definicin de suma de vectores (1) y suma de nmeros reales (2) u + v + w = (ux; uy) + [(vx; vy) + (wx; wy)] =1 (ux; uy) + (vx + wx; vy+wy) =1 (ux + (vx +wx); uy+ (vy+ wy)) =2 (ux + vx +wx; uy+vy + wy) [4]
(
)
Como en [3] y [4] coinciden las expresiones se cumple con u + v + w = u + v + w . Probar que valen las siguientes propiedades: , la vector nulo y la existencia del . . 2) Para todo v y w resulta que v + w = w + v . [conmutatividad] 3) Existe un elemento O = (0 ;0) tal que para todo vector v resulte que O + v = v + O = v . [elemento neutro] 4) Cada vector v tiene un vector inverso aditivo u opuesto denotado − v tal que v + − v = − v + v = O [elemento inverso respecto a la suma] : El vector nulo es un vector de caractersticas particulares: su intensidad (mdulo) es
cero pero carece de direccin (recta donde se encuentra tiene infinitas opciones) y de sentido. P Dado v = (v x ; v y ) y αЄR se define el producto de α por v como un nuevo vector α .v donde = α .v = α .( v x ; v y ) = ( α .v x ;α .v y ) como tanto vx , , vy y α ЄR, resulta que las componentes α.vx y α.vy son tambin nmeros reales y tenemos por resultado un vector de R2. α .v
Al relacionar dos conjuntos (R y R2) se trata de una ley de composicin externa de R x R2 → R2.
Sea A= (2; 4) y v = OA . a) Graficar v . b) Obtener analticamente w = 2 .v y u = − ½ .v y graficarlos. c) Qu ocurre con el sentido de v si se lo multiplica por un nmero positivo? Y por uno negativo? d) Qu sucede con el tamao si se lo multiplica por un nmero de valor absoluto mayor que uno? Y entre 0 y 1?
• La operacin producto por un
escalar tiene las siguientes propiedades que
:
1) ∀α , β ε R ∧ ∀v ε R 2 resulta que α.(β. v ) = (α. β). v [asociativa mixta] 2) ∀α , β ε R ∧ ∀v ε R 2 ⇒ (α+β). v = α. v + β. v
[producto distributivo respecto a la suma]
Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 26
II.1.3.1 C Si se tiene un conjunto A con la estructura de cuerpo19 (como los reales) y otro V (por ejemplo R2) y definimos las operaciones + y ∙ como lo hicimos recin; si adems ambas operaciones son cerradas y cumplen las ocho propiedades se dice que V es un A. A. En nuestro ejemplo es R2 un espacio vectorial sobre R (tambin se lo llama espacio vectorial real). La resta de vectores puede considerarse una
combinacin de las dos operaciones indicadas: u - v = u + (- v ). En el esquema se observan los vectores y . Dados y , la diagonal principal del paralelogramo que forman da el vector suma; la otra diagonal da el vector resta siendo la orientacin desde el o al . AR5 II.1.4 E II.1.4 Por lo anterior podemos definir que dos vectores son si si trasladados al origen son iguales. O sea MN es es equivalente a PQ si NM = Q P. La resta nos lleva a un punto del plano T tal que OT sea sea equivalente a MN .. Para el esquema: a) Indicar las coordenadas de M, N, P, Q y T. b) Comprobar que se cumple la equivalencia.
c) Si E= (1; 1), obtener F tal que EF sea equivalente a PM . Graficar ambos vectores. d) Dados los vectores MN yy TS con con M= (0; 2), N= (2; 1), S= (4; 1) y T= (2; 1) hallar analtica y grficamente el vector s = MN + TS A 3 Dados los puntos S= (1; 2), T= (5; 1), U = (3; 3). a) Obtener analtica y grficamente L tal que: OL = 2. OS + + OT 1/3 . OU b) Conseguir tres puntos N, N, N y N tal que cada uno de ellos con S, T y U formen un 19
Queda como tarea la investigacin de este concepto. Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 27
paralelogramo (recuerde la propiedad de la suma). c) Si P= (px , , py) y Q= (qx , , qy) demuestre que el punto medio M del segmento PQ se obtiene efectuando M= . (P+Q). Ayuda: trabajar con el grfico anexo al comienzo de la actividad. II.1.5 P
v = (v ; v )
w
Elegir un vector y considerar los diferentes vectores que se obtienen haciendo w = α. v Tomando por ejemplo α= 2, α= 3, α= ⅓ dar los tres vectores w ( w1 , w2 , w3 ) colineales con v y que tendrn igual o diferente sentido segn sea el signo de α. α. Si se piensa un poco la situacin nos da la idea de cmo ver si los vectores MN yy PQ son paralelos. Para empezar es razonable que los cuatro puntos estn dispersos en el plano y una manera m anera de compararlos es conseguir vectores equivalentes a ambos pero que tengan un origen en comn. a) Cul punto parece el ms adecuado? b) Cmo conseguir vectores equivalentes pero pero con punto de inicio en dicho punto? c) Estando all, qu caracterstica debieran tener los vectores para que resulten paralelos? x
y
A 4 a) Si M= (5; 2), N= (3; 1), P= (4; 0) y Q= (2; 9) compruebe que MN // // b) Obtenga T tal que MP // TN y tengan tengan sentidos sentidos contrarios. contrarios. c) Dados v = (1β; β+2) y w =(2, β). Hallar los valores de β reales para que v y w sean paralelos. Expresar ambos vectores e indicar si conservan (o no) el sentido.
PQ .
II.1.6 L Si v = (v x ; v y ) se puede obtener su longitud que anotamos el Teorema de Pitgoras. Pitgoras. v utilizando el Tomando en cuenta el esquema, en el tringulo inferior la hipotenusa toma valor v y los catetos |vx| y |vy|, donde las barras indican valor absoluto de un nmero real (porqu deben usarse?). 2 2 2 Se tiene v = v x 2 + v y ; como v x 2 = (v x )2 y v y = (v y )2 despejando queda: v =
(v ) + v 2
x
2
( ) y
Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 28
Por ejemplo para v = (3 ; 3. si
3)
w = ( −2 ; − 5)
resulta que
es
w =
=
v
(3 ) 2 +
(− 2 ) 2 + (− 5 )2 =
(3 .
3
= 4 + 25
)
2
=
9 + 9. 3 =
36 = 6;
29 .
Se puede observar que v = (3; 3. 3 ) = 3 .(1; 3 ) = 3.u y es razonable esperar que las longitudes de v y u sea una el triple de la otra. Efectivamente
(
u = 1;
3
) =
(1)2 + (
3
)
2
=
resulta que 6 = 3. 2 como se 4 = 2 ; resulta
estimaba. A 5 a) Si v = (− 5; 0) y u = (4 ; − 3) calcular las normas de los vectores u , v , u + v y u − v . b) Cmo hara para hallar la longitud de un vector MN conociendo M y N? Aplicarlo con M= (5; 2) y N= (3; 1). c) Cules son los valores de x reales para que la distancia de A a B sea 10 sabiendo que A=(x4; 3) y B= (x+4; x2)? d) Obtenga el permetro del cuadriltero RSTU si R= (1; 0), S= (4; 4), T= (5; 4) y U= (0; 8). e) Cmo obtener un vector de tamao uno llamado que sea paralelo a otro no nulo que se haya dado? Ayudarse con v = (5 ; − 12) comprobar el resultado pero no olvide de generalizarlo para cualquier vector (x, y) no nulo.. f) Explique por qu resulta que la norma de cualquier vector no nulo es mayor que cero. g) Demuestre que ∀ v de R2 y c ЄR vale c. v = c . v . h) Explique con sus palabras qu interpreta con la siguiente relacin20: ∀u , v vectores del plano vale u + v ≤ u + v . Nota: aydese con un grfico cartesiano.
AR6
II.2 R . Dado un vector no nulo v = (v x ; v y ) que llamamos consideramos los vectores que se consideramos obtienen al multiplicar a v por cualquier valor real α. O sea w = α. v ; w = α .(v x ; v y ) = (α . v x ; α . v y ) En el grfico se han marcado diferentes puntos que son los extremos de los respectivos vectores w ; el tomar todos los valores posibles de α produce la recta R graficada. Qu ocurrira si pretendemos obtener todos los 20
Se denomina D . Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 29
u = α. v + P
con P =(px , , py) un punto del plano (y que podemos pensar como …..)? Observar el grfico de ayuda. Se ha vuelto a dibujar la recta R dirigida por v y una serie de puntos de ella. A cada uno de stos se le ha sumado el vector libre
t = OP
obteniendo as una
serie de puntos de una recta R paralela a R y que pasa por P. La expresin r: u = α. v + P [II.2.1] o (ux; uy) = α .(v x ; v y ) + ( p x ; p y ) [II.2.2] con αЄR se denomina de la recta r. II.2.2
u x = α .v x + p x II.2 3 y y y u = α .v + p [ . ]
De la expresin [ ] se obtiene que son las las de de la recta. Notar que se tienen ecuaciones ecuaciones21. E 1 ) 1
(2; 3) v = (5; 2). G 1. x = 2 − 5.α
(x; y) = (2; 3) + α. (5; 2) con αЄR o α y = − 3 + 2 . ) D 3 (2; 3).
Si α = 2 se tiene A= (2; 3) + 2.(5; 2) = (8; 1); α = 1, B= (2; 3) 1.(5; 1.(5; 2) = (7; 5); α = , C= (2; 3) +.(5; 2) = (; 2). ) E (68; 24) ?
Para que esto ocurra debe existir un valor de α que cumpla (68; 24) = (2; 3) + α.(5; 2) 68 = 2 5. α → 70/(5) = 14 = α 24= 3 + 2. α → 27/2= 13,5 = α Como α no es el mismo para ambas ecuaciones el punto (68; 24) a la recta. ) ?
En el apndice hemos desarrollado otras formas de expresar las rectas en el plano que no sern profundizadas en el curso.
21
Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 30
x +2y = 0 → usando las ec. paramtricas 2 5.α + 2. (3 + 2.α ) = 0 → 4 α = 0 → 4 = α Luego Q = ( 2 5.(4) 5.(4) ; 3 + 2. (4) ) = (22; (22; 11) efectivamente x +2y da cero C x = 2 − 5.α
podemos despejar α en la primera y luego reemplazar eenn la otra. En α = − 3 + 2 . y Tendramos:
1
α = .(x2)
1
2
5
5
α= x+
→
5
y vinculndola con la segunda: 1
2
2
4
2
11
5
5
5
5
5
2
5 11
5
5
y= 3 +2. ( x + ) = 3 x + = x y= x
que es la de la recta y la que comnmente usamos en la escuela media. Si partimos de la forma explcita, cmo llegamos a la vectorial? 2
11
) = (x, x) + (0,
2
11
5
5
5
52
(x, y) ε r si es de la forma (x, y) = (x, x
2
11
5
5
) = x. (1, ) + (0,
De esta ltima expresin vemos que un vector director es el (1, ) podra serlo
)
5
cualquier mltiplo no nulo, como ser el (5, 2) y un punto de la recta es el (0,
11 5
).
A 6 a) Para las siguientes rectas se pide expresarlas en forma vectorial dando un punto de cada una y un vector director (cuntos vectores directores tiene una recta?). Graficarlas. 1) A: y= ⅓ x + 4
x = − β + 1 y = − 2
2) B:
3) F: Pasa por los puntos (1; 1) y (3; 2)
b) Se tiene una recta como y= .x +. Pasarla a su expresin vectorial e indicar un punto de la misma y un vector director. ∆ y Reescribir a como el cociente de dos dos nmeros reales Δy y Δx [ m = ; Δx≠0] y ∆ x
reconocer que un vector director de la recta es (Δx; Δy) lo cual justifica lo aprendido en la escuela secundaria (y visto en la unidad 1) que para ir de un punto a otro de la recta hay una proporcin que se mantiene constante. Interprete por qu suele llamarse pendiente y ordenada al origen. II.2.1 R Dadas las rectas r: u = α. v + P y r: u = β. v' + P. Tome una hoja y represntelas imaginando e interpretando a v , v' , P y P. Cul estima ser la condicin para que ambas rectas sean sean ?? A partir de lo obtenido analice si las siguientes 4 rectas son paralelas entre s: Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 31
rA: (x; y) = (0; 2) + α. (1; 1) rB: (x; y) = (1; 4) + β. (⅔; ⅔) Graficar cada una de ellas y confirmar su anlisis.
rC: x + y = 6
Analicemos la la en el plano. 1) Supongamos que Ra es una recta horizontal y por ende su perpendicular es una recta R b vertical. Sus ecuaciones pueden escribirse como: Ra: u = λ. (h; 0) + (xa; ya) con h≠0 (por qu?) R b: u = λ. (0; k) + (x b; y b) con k≠0 (por qu?) Los vectores directores de ambas rectas son va =(h; 0) y vb =(0; k) respectivamente. 2) Si Ra no es horizontal resulta que R b no es vertical (o viceversa). Se puede escribir a cada recta del siguiente modo (elegimos la forma explcita para recuperar conocimientos adquiridos en la escuela media y ver que son consistentes con todo nuestro desarrollo vectorial). Ra: y= ma . x + b R b: y= m b . x + b En la escuela la condicin de perpendiculares perpendiculares en R2 1
era que ma. m b = 1 o m b = − . ma
Para justificar lo anterior se trasladan ambas rectas al origen ya que la perpendicularidad no se ver modificada. 1
Sean Ra: y= ma.x , R b: y= − .x las rectas. ma
Las tablas de valores permiten graficarlas 22. Si se comparan los tringulos y DOC(el rectngulos observa que tienen un ngulo AOB congruente recto) y se AB ≅ OC ∧ OA ≅ DC . Por un criterio de congruencia entre tringulos (LAL, ladongulolado) resultan ambos tringulos congruentes. Por lo tanto:
OB ≅ OD α = AOˆ B ≅ C Dˆ O A Bˆ O ≅ C Oˆ D = β
Como la suma de ngulos interiores de un tringulo Tcitamente se ha supuesto m a positivo pero puede rehacerse todo el desarrollo con valor negativo y se llegar a resultados equivalentes y consistentes.
22
Tejiendo el Algebra Lineal - Apunte I - Algebra y Geometría Analítica I – Dto. de Ingeniería – UNLAM 32
vale 180, en OAB queda: α + A Bˆ O + 90 = 180 y por lo anterior α + β + 90 = 180 → α + β = 90 Adems del esquema surge que α+ β + λ = 180 → 90 + λ = 180 → λ = 90 O sea Ra y R bb son perpendiculares como se pretenda probar. Hemos demostrado que si vale la relacin de pendientes resulta que ambas rectas son perpendiculares. Faltara probar que si son perpendiculares la relacin de las pendientes es la dada. Sean Ra: y= ma.x ∧ R b: y= m b.x las rectas por el origen. Si usamos las tablas: Volvemos a tener un llano entre De all sale α + β = 90.
ˆB y BOˆ A . C Oˆ B, DO
∆
Pero como en O A B resulta α + A Bˆ O + 90 = 180 → α + A Bˆ O = 90 ; ∆ ˆ O + 90 = 180 → En O C D D sucede que β + C β + C Dˆ O = 90 Comparando las tres ecuaciones sombreadas se consigue que A Bˆ O = β y C Dˆ O = α Los tringulos tienen un lado de igual longitud (1) y los ngulos adyacentes a los extremos congruentes c ongruentes. (de 90 y C Dˆ O = α ). Por lo tanto resultan congruentes. En particular AB = CO → ma = 1/m b (si ma>0 resulta que m b
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