ÁLGEBRA 1° - 2017
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libro de algebra primer año...
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Índice Unidad I Capítulo 1
Números enteros
4
Capítulo 2
Definiciones algebraicas I
7
Capítulo 3
Definiciones algebraicas II
10
Capítulo 4
Teoría de exponentes I
13
Capítulo 5
Repaso I
16
Capítulo 6
Teoría de exponentes II
19
Capítulo 7
Teoría de exponentes III
22
Capítulo 8
Teoría de exponentes IV
25
Capítulo 9
Notación de polinomios
28
Unidad II Capítulo 10
Cambio de variable utilizando la notación de polinomios
31
Capítulo 11
Grados de un monomio
34
Capítulo 12
Grados de un polinomio
37
Capítulo 13
Polinomios especiales
40
Capítulo 14
Multiplicación algebraica
43
Capítulo 15
Repaso II
45
Capítulo 16
Productos notables I
49
Capítulo 17
Productos notables II
52
Unidad III Capítulo 18
Productos notables III
55
Capítulo 19
Productos notables IV
58
Capítulo 20
División algebraica I
61
Capítulo 21
Repaso III
64
Capítulo 22
División algebraica II
67
Capítulo 23
División algebraica III
70
Capítulo 24
División algebraica IV
74
Capítulo 25
Factorización I
78
Unidad IV Capítulo 26
Factorización II
81
Capítulo 27
Factorización III
84
Capítulo 28
Repaso IV
87
Capítulo 29
Factorización IV
90
Capítulo 30
Factorización V
93
Capítulo 31
Fracciones algebraicas I
96
Capítulo 32
Fracciones algebraicas II
99
Capítulo 33
Fracciones algebraicas III
102
Álgebra
1
Capítulo
Números enteros Problemas para la clase 1. Calcula:
8. Efectúa: (15 – 5) ÷ (–7 + 5)
5–4+6–3 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
2. Calcula:
b) 11 e) 14
c) 12
–9 – 6 – 3 + 10 b) 10 e) –8
c) –28
b) 12 e) 11
c) 10
(–3)(–2) – (+2)(–4) + (–1)(–3) b) 17 e) 23
c) 14
6. Efectúa: 10 (6 – 12) + (3 – 5)(–2) b) –55 e) –58
c) –56
7. Calcula: (14 – 2 + 1)(–6 + 4 (–3) a) 193 d) –234
b) 78 e) 214
c) –78
A
I
Propiedad conmutativa
2 + –3 = –3 + 2
B
II
Propiedad asociativa
7 + –7 = 0
C
(–4+6)+–2=–4+(6+–2)
D
a) b) c) d) e)
AIII AIV AIII AII AIII
TRILCE
BII BII BI BI BI
CIV CI CII CIV CIV
Propiedad III del elemento neutro aditivo Propiedad IV del inverso aditivo
DI DIV DIV DIII DII
12. Dadas las siguientes temperaturas de cinco dias de la semana registradas en cierta ciudad del centro del Perú, responde: Temperaturas
mínimo °C
4
c) –3
5+0=5
máximo °C
Colegios
b) –2 e) –5
11. Relaciona adecuadamente:
5. Efectúa:
a) –54 d) –57
c) 13
[(–3)(–4) + (–1)(+2) – (1)(–2)] ÷ (+2)(–2) a) –1 d) –4
(–4)(+2) + (+3)(–1)
a) 18 d) 19
b) 12 e) 15
10. Calcula:
4. Efectúa:
a) –11 d) –10
c) –3
A = – (–1 + 2) – (–1 –3) B = – (–3 – 5) – (–2 – 7) Halla: B – A a) 11 d) 14
3. Calcula
a) –12 d) –10
b) –5 e) –9
9. Si se sabe que:
3 – (–2) + 4 – (–3) a) 10 d) 13
a) –4 d) –8
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
8 0
10 3
0 –1
–3 –7
15 7
Central: 6198-100
Álgebra I. ¿Qué día se produjo la menor de las temperaturas mínimas? II. ¿Cuál fue la mayor de las temperaturas máximas? a) Miércoles – 10 c) Jueves – 15 e) Jueves – 8
b) d)
Lunes – 15 Miércoles – 7
13. Indique la alternativa correcta, tal que verifique las siguientes proposiciones: I) + 9 +
=5
II) +1 +
= –3
III)
19. Si: x=2 ; y=5, calcula el valor de: {x – (x – y)} ( x – y) a) –14 d) –16
b) –13 e) –17
c) –15
20. Calcule el valor de la siguiente suma: 2016 – 2015+2014 – 2013+...+4 – 3+2 – 1 a) 1016 d) 1008
b) 2008 e) 10 008
c) 108
21. Se definen los siguientes operadores: a ⊗ b = ab + b a # b = 2a – 4b
+ (–8) = 0
a) I –4 – II –2 – III 8
Siendo "a" y "b" números enteros, calcula el valor de:
b) I 0 – II 4 – III 8
(2 ⊗ 5) # (–2)
c) I –4 – II –4 – III 8
a) 36 d) 37
d) I 4 – II –4 – III +8
14. Una sustancia química que se encuentra a 5° bajo cero se calienta en un mechero hasta que alcanza una temperatura de 12° sobre cero. ¿Cuántos grados subió? b) 5 e) 3
c) 7
15. Efectúa:
- "7 + 65 - (- 7 - 2)@, + 5 - "69 - (14 - 5) + 3@ - 5 , - 8
a) –20 d) –23
b) –21 e) –24
c) –22
b) 2 e) 5
c) 3
17. Efectúa: (- 16 - 4) ' (- 8 + 6) (+ 12) ' (- 4 - 2) a) –4 d) –7
b) –5 e) –8
c) –6
18. Dada la siguiente sucesión numérica: ... –7, –4, –1, 2, 5, ... ¿Cuál es la suma del número entero precedente a –7 con 5? a) –1 d) –4
www.trilce.edu.pe
b) –2 e) –5
–32
x
63
–9
–7
a) –12 d) 20
c) –3
8
–4
b) 8 e) 4
6
2
c) 12
23. Calcula: (443676 – 883712) (3×4+6 (–2)) a) 663781 d) –13
16. Efectúa: - 5 - "(+ 4)(- 2) - 64 - (- 1)(- 3@, a) 1 d) 4
c) 38
22. Halla "x":
e) I –4 – II 4 – III 8
a) 12 d) 17
b) 360 e) 44
b) –134677 e) está muy difícil
c) 0
24. Una escalera tiene 21 escalones. Martín comienza a contar los escalones de abajo hacia arriba, y Miguel los cuenta de arriba hacia abajo. Ambos se encuentran en un escalón que, para Martín, es el número 10. ¿Qué número tiene este escalón para Miguel? a) 12 d) 13
b) 14 e) 10
c) 11
25. La suma de los primeros cien enteros positivos pares, menos la suma de los primeros cien enteros positivos impares, es: a) 0 d) 10100
b) 50 e) 15150
c) 100
Primer año de secundaria
5
1
Capítulo
Practica en casa 1. Calcula: (+9) – (–5) + (+6) – (–8)
10. Si: M = (–5)(–3) + (–2)(+3) + (+5)(–4)
2. Calcula: (–5) – (–9) + (–4) – (+7)
N = 8 – {3 – (–3)(5 – 7)} 3. Efectúa: (–4)(–3) – (+5)(–3) + (–2)(–3) 4. Efectúa: 5 (3 – 8) + (2 – 4)(–3)
Halla: M × N 11. Efectúa: (–9 + 6) + [{(–15):(–3)} –4] × (–3)
5. Reduzca: (–3)(–6+9) – (2–6)(–4) 12. Efectúa: (–5)(–2) – [(–2)(+3) + (–5)(–3)]
6. Calcula: (5 – 3+2) × (–4 + 1 – 3) 7. Efectúa: (–13 – 5) ÷ (–11+2)
13. Siendo: B = (+4)(–3) + [(–12) : (–2)] Halla: B ÷ (–3)
8. Si se sabe que: A = –4 – 3 – 2 – 5
14. Dado: A = (–4 + 5)(–3)(+2) + 1
B=2+4–8
Halla: (–7 + 2) : (A)
Halla: A × B
15. Efectúa: (- 23 - 5) : (7 - 19 +5) 36 : (- 6 - 3)
9. Si: P = – (–2 +3) – (–4 –3)
Q = – (–2 – 6) – (–4 – 8)
Halla Q – P
Tú puedes 1. L os números enteros x e y satisfacen 2x = 5y. Sólo uno de los siguientes números puede ser x + y. ¿Cuál? a) 2011 d) 2008
b) 2010 e) 2007
c) 2009
2. Los enteros negativos han sido coloreados de rojo, azul o verde: –1 es rojo, –2 es azul, –3 es verde –4 es rojo, –5 es azul, –6 es verde y así sucesivamente. ¿De qué color puede ser la suma de un número rojo y un número azul? a) b) c) d) e)
rojo o azul solo verde solo rojo solo azul imposible determinarlo.
3. ¿En cuál de las siguientes expresiones se puede reemplazar cada 8 por un 5 y obtener el mismo resultado? Colegios
6
TRILCE
8 + 8 a) 8 + 8 c) 8+8 – 8+8
8 b) 8. 8 + 8 d) (8 + 8 – 8) . 8
+8-8 e) 8 + 8 - 8 8 4. Sean m y n enteros positivos, totales que 19≤m ≤49 y 51≤n≤101. ¿Cuál es el mayor valor m+n ? posible para la expresión m + 11 a) 49
b) 50
d) 60
e) 70
c) 53
5. Dada la sucesión: 2 × 21; 3×22; 2 ×23; 3×24; 2×25; ... ¿Cuál es el cociente entre los términos que ocupan las posiciones 20 y 21 en ese orden? 33 c) 61 a) 60 41 b) 41 41 59 17 d) 41 e) 41
Central: 6198-100
Capítulo
2
Definiciones algebraicas I Problemas para la clase 1. L a palabra álgebra es de origen ... a) americano b) alemán c) egipcio d) árabe e) quechua 2. x + x + x es equivalente a: a) 2x b) x3 d) x
e) 0
3. x . x . x . x es equivalente a: a) 4x b) x4 d) 4x4
c) 3x
c) 2x4
e) x
4. x . x . x + x . x . x es equivalente a: a) 2x3 b) 3x2 c) 2x d) 3x
e) 0
5. –5x6 + 5x6 es equivalente a: a) 10x6 b) 25x6 c) 10x12 d) 25x12
e) 0
6. Señale el coeficiente del término algebraico: –3x4 y5 a) 4 b) 5 c) –3 d) 3
e) 1
7. Señale la parte literal del término algebraico: 2x9 y4 z a) xyz b) x9y4z c) x4y9z d) xyz2
e) 2
8. Señale la suma de exponentes de la parte literal del término algebraico: 4x5y2 a) 9 b) 7 c) 6 d) 11
e) 8
9. Indique el coeficiente del término algebraico: (–2)(–3)xz a) 3 b) 6 c) 9 d) 8 www.trilce.edu.pe
e) 10
10. Indique la suma del coeficiente con el exponente de la parte literal del término algebraico que se obtiene de: (4×2 - 11).x.x.x...x.x 1 44 4 2 44 43 10 veces
a) 7
b) 9
d) 12
e) 14
c) 10
11. De las expresiones algebraicas: 2 7 • 2x y • x+y+z 3 2
• –3x y ; x–y ¿Cuántas son monomios? a) 1 b) 2 d) 4 e) 0 12. Indique cuáles son monomios: • –x+y 2 10 • 4 xy • –3xyz
–1 2
a) –x+y c) –3xyz 2
c) 3
b) 4 xy –1
10
d) –x+y; x+y+z
10
e) 4 xy ; –3xyz
–1
13. Señale cuántos binomios tenemos en: 8 • 3xyz 2 • x–y+z • x+y 2 2 5 • x y +z a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
14. Indique cuáles son binomios: 2 8 • x +y • x+y+z 2
• x +1 2 11
• x y 2
a) x +y 2
8
2
b) x +1 2
d) x +1; x +y
8
2 11
c) x y
e) x+y+z
Primer año de secundaria
7
2
Capítulo
15. Señale cuántos trinomios tenemos: 8 3 • 2x y z
21. Si la siguiente expresión algebraica es un monomio. Calcula: n (n+5). 2 5
2 9
• 3xy+z+y
x y + (n – 3) x y
• 12xy
a) 0 d) 8
2
2
• x +y +z
2
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
16. Señale el coeficiente de: 4 3 15 (6+10 ÷ 2+3) x y z a) 11 d) 12
b) 7 e) 20
c) 17
18. Señale el coeficiente de: 3 3 3 2x y + 2x y + 2x y + ... 80 veces 3
b) 80x y
d) 84x y
c) 84
19. Señale el coeficiente: 3x + 3x + 3x + ... + 3x + x + x + x + .... + x 4 2 4444 43 1 444444 2 4 44444 3 1 4444 17 veces
50 veces
b) 170 e) 170x
c) 150x
20. Señale la suma del coeficiente con el exponente de x, luego de reducir: 8 8 8 x + x + x + .... 180 veces a) 8 8 d) 180x
a) –1 d) –3
b) 2 e) –4
c) –2
24. Dada la expresión algebraica 2 3 2 x +y +z Las letras x; y, z, representan el valor de una cantidad. Señale (V) o (F). I. x puede representar una velocidad
e) 160
a) 150 d) 167
c) –4
23. Dado el polinomio: 2 3 n x +y +x ¿Cuál puede ser el valor de "n"?
20 veces
3
b) 4 e) –5
c) 13
17. ¿Cuál es el coeficiente de: x + x + x + x.... + x 1 44444 2 44444 3
a) 80
c) 3
22. Dado el monomio: 3 8 2 9 3 8 ky z + 2y z + 4 y z Hallar: k+1 a) 5 d) –3
b) 8 e) 14
a) 16 d) 18
b) 5 e) 24
b) 180 8 e) 188x
c) 188
II. y puede representar el valor de una temperatura III. z puede representar el valor de un rendimiento a) VVV d) VVF
b) FFF e) FVV
c) VFV
25. Señale la expresión reducida del siguiente monomio: (n - 5)x2 y2 + 2x3 yn + 2x3 yn + 2x3 yn + ..... + 2x3 yn 1 4444444444 2 4444444444 3 50 veces
3 5
a) 50x y 3 5 d) 100x y
3 6
3 6
b) nx y 3 5 e) 2x y
c) 100x y
Practica en casa 1. Señale los monomios: 2 5
6 2
5
4x y ; –2x z ; x–y ; 4 xyzw 2. Señale cuántos binomios tenemos: 3
2 3
xy ; x+y; y +3; x y ; 2x – 3y
Colegios
8
TRILCE
3. Indique los trinomios: 2
2
2 xyw ; xyz ; x+y+z ; x – y – z
3
4 5
4. En el término algebraico: 4 x y z Señale la parte literal
Central: 6198-100
Álgebra 5. Sumar los coeficientes de los siguientes términos algebraicos 2
5 2
3 3
4 x y ; 5x y ; 6x y
6. Sumar los coeficientes de los siguientes términos 5 algebraicos: –3 xy ; –2 yz ; x y
12. Dado el trinomio: 2 x + ky + 3 z + 5x + 8y Hallar: K – 1 13. De los siguientes números: 1 , –3, 4 2 ¿Cuál puede ser un valor de "n" dado el polinomio: 10 n 12 x +y +z ?
2
7. Señala el coeficiente de: (–3)(–11) x y 2
3
8. Halla el coeficiente de: (–2) (2) zw 9. Indique el coeficiente de: x + x + x + .... + x 1 4444 4 2 4444 43
14. Halla el coeficiente: 4x + 4x + 4x + ...... + 4x + x + x + ...... + x 1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 3 1 4 4 44 2 4 4 44 3 23 veces
45 veces
15. ¿Qué cantidades puede representar x, y, z en la expresión algebraica: x2+y2+z2 • La estatura de una persona • El número de personas en un salón • El amor que siente una persona.
43 veces
10. Indique el coeficiente de: 2 2 2 5x + 5x + 5x + .... 99 veces 11. Dado el monomio: 2 2 2 2 4 y z + (K – 4) x y Hallar: K+2
Tú puedes 1. Sumar los exponentes de los siguientes términos algebraicos. 2 3 20 3x ; 4x ; 5x ; .... 22x a) 20 d) 220
b) 200 e) 240
c) 210
d) 8
2. Sumar los coeficientes de los siguientes monomios: 2 3 10 x ; 4x ; 9x ; .... 100 x a) 110 d) 385
b) 240 e) 421
c) 380
3. Halla el valor de la suma de coeficientes incrementado en "a" unidades. 2 3 9 y ; 4y ; 9y ; .... ay a) 350 d) 366
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b) 360 e) 285
4. Si la siguiente expresión es un monomio: 4x4ym–3 + (m – 5) . 2x Determine la suma de los exponentes de sus variables. a) 2 b) 4 c) 6 e) 10
5. Si la expresión: mx4 y6 + mx4 y6 + ... + mx4 y6
1 4444444444 2 444444444 43 m veces se reduce a 625x4y6.
Halla m a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
c) 362
Primer año de secundaria
9
3
Capítulo
Definiciones algebraicas II Problemas para la clase 1. El coeficiente y la parte literal del término algebraico: –8x3y5 son respectivamente: a) –8, xy
b) –8, x e y
d) 8, xy5
e) 8, x3y5
c) –8, x3y5
2. Indique la operación mal efectuada: I) x + x + x + x = 4x II) x . x . x . x . x = x5 III) x + x + x + x + x + x = x6 a) I
b) II
d) Todos
e) ninguna
c) III
b) II
d) No hay
e) Todas
c) III
4. Indique el término algebraico que no es semejante a los demas. a) 8x3y4
b) –3x3y4
d) 81x3y2
e)
c) 45y4x3
3 x3 y4
5. Reduzca: 4x + 5x – 3x a) 6x
b) 3x
d) 2x
e) 7x
c) x
b) –4x6
d) –4x3
e) 4x2
c) –4x2
b) 4xy2
d) –6xy2
e) 5xy2
Colegios
10
TRILCE
c) 2xyz
d) 0
e) –x2yz + xy2z
9. Si los términos algebraicos: 4xm ; 5x14 son semejantes. Halla el valor de m. a) 14
b) 16
d) 9
e) 20
c) 5
a) –8x2y
b) 4x2y
d) 8xy2
e) 0
c) –8xy2
11. Reduzca: 3xy + 2xy – (4xy – 7xy) a) 6xy
b) 7xy
d) 9xy
e) 10xy
c) 8xy
12. Reduzca: 5mn - 63mn + ^5mn - 13mnh@
a) 6mn
b) 8mn
d) 11mn
e) 12mn
c) 10mn
13. Siendo: A = 5xy – 4xy – 2xy B = –xy + 3xy – 4xy a) 3xy
b) 2xy
d) xy
e) 5xy
c) –xy
14. Siendo: P = 5xy3 – 3xy3 – xy3 Q =–xy3 – 4xy3
7. Reduzca: 10xy2 –16xy2 a) 6xy2
b) –2x2yz
Halla: A – B
6. Reduzca: 7x2 – 8x2 – 3x2 a) –4x
a) 2xyz
10. De: –4xy2 restar 4xy2.
3. Indique lo correcto: I) 4x + 3x = 7x2 II) 9x2 – 9x2 =18x2 III) 10x3 – 12x3 = –2x3 a) I
8. Reduzca: –2x2yz + x2yz – 4xy2z + 5xy2z
c) –6xy
Halla: Q – P a) –4xy3
b) –6xy3
d) –5xy3
e) 4xy3
c) –6x3y
Central: 6198-100
Álgebra 15. Sean los términos algebraicos semejantes 3xa–1yb
A= Halla: a – b.
B=
–7x4y5
P= axa–1 y7 Q=bx6yb+2
a) –2
b) –1
d) 1
e) 2
c) 0
16. Sabiendo que: T = –x2 + 3x – 4 M= –2x + x2 +5 a) x
b) x + 1
d) x – 1
e) x + 2
son semejantes, calcula la suma de sus coeficientes. a) 10
b) 11
d) 13
e) 14
c) 12
21. Reduzca la siguiente expresión:
Halla: T + M c) x + 3
17. Teniendo en cuenta que: A = –2x3 +2x – 3 B = –x3 + 2x – 1
- 64x5 - ^2x - "8 - 3x5 + 2x2 , - 2xh@ + 8 + 2x2
a) 4x5
b) 3x5
d) –x5
e) x5
c) 2x5
22. Reduzca la siguiente expresión: x100 – 4x + 3 + 2(x100 – 4x + 1) – 3x100+12x
Halla: A – B a) –x3+x+2
a) 1
b ) 2
d) 4
e) 5
c) 3
23. Sea la sucesión de polinomios: P1 = x – 2x2 P2 = 3x – 4x2 P3 = 5x – 6x2 Determine la suma de los veinte primeros.
b) –x – x3 + 1 c) –x3 – 2
…
d) –x3 – x +2 e) –x3 – x – 2
a) 400x – 410x2
18. Siendo: P = 4x5 – x + 1 Q=5x5 + x – 1
b) –420x2 – 400x c) –420x2 + 400x
Halla: 5P – 4Q a) 9 – 9x
b) 9 + 9x
d) 9x – 9
e) –9x + 19
19. Sabiendo que: A= x2 + 5x – 3 B= x2 + 2x – 7 C= 4x2 – 19x + 2 Halla: A + B – C a) –2x2
20. Si los términos de variables x e y:
– 16x+10
b) –2x2 +16x –10 c) –2x2 – 26x+12
c) x + 9
d) –420x + 400x2 e) 400x – 390x2 24. Al sumar los términos: x9 + 2x9 + 3x9 + ... + nx9 se obtuvo 55x9 indique n2. a) 76
b) 81
d) 100
e) 196
c) 49
25. El largo de un rectángulo mide (10x + 4y). Si su perímetro mide (48x + 12y). ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo?
d) –2x2 – 26x+12
a) 2(7x – y) b) 2(7x + y) c) 2(y + x)
e) –2x2+26x – 12
d) 2(x+7y)
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e) 2(x – 7y)
Primer año de secundaria
11
3
Capítulo
Practica en casa 1. Reduzca: 2 2 2 10x + 5x – 8x
9. Sean los términos semejantes: n–2 m–3 T (x; y) = 9 x y 4 5 Q (x; y) = 13 x y Halla: m – n
2. Reduzca: 5 5 14 xy – 19 xy
10. Sabiendo que: 5 3 P(x) = –x + 8x – 9 3 5 Q(x) = –4x + x + 7 Halla: P(x) + Q(x)
3. Reduzca: 2 2 –4 ab + 2 a b – 5 ab – 3 a b 4. Si los términos algebraicos: n
A(x) = –11x ∧ B(x) = 5x
30
Son semejantes. Halle el valor de n. 5. Reduzca: 11 abc – (3 abc – 4 abc – 5 abc) 5
6. De –40 ab restar 30 ab
11. Teniendo en cuenta que: 2 A(m) = –4m + 5m – 11 2 B(m) = –m + 3m + 3 Halla: A(m) – B(m) 12. Reduzca la siguiente expresión: R (x; y) = 4x – 5y + 2x + 3y + 3x – 2y 13. Reduzca la siguiente expresión: 2 3 2 3 2 E(m;n;p)=5m np–9pn +4m np+4n p– 11m pn
5
14. Efectúa: 6 6 6 6 5 ab – 11ab – (3ab – 7 ab )
7. De 56 xyz restar –xyz 8. Siendo: A (a; b) = 11 ab – 8 ab – ab B (a; b) = –ab + 4 ab – 5ab Hallar: A – B
3
15. Si: P(x) = 8x – 3x 3 Q (x) = –4x – 14x 5 3 R(x) = x + 2x Halla: P(x) + Q(x) + R(x)
Tú puedes 1. Si al reducir los términos algebraicos semejantes: 5xb + ax3 se obtiene 11x3, calcula el valor de: a+b. a) 2 b) 5 c) 6 d) 3
e) 4
2. Sean las expresiones: A= 4x3 +2x2 – 5x + 6x600 B=x40 – 2x40 + x40 Obtenga: A . B a) 0 b) 1 d) 3
c) 2
d) 3
e) 7
Colegios
12
TRILCE
b) x – 1,4y + 3,2 d) 1,4x – y + 3,1
t2 = bxn
t1 + t3 = acxn
t3 = cxp
t2 + t3 = bcx
Calcula:
3. Si: 4xm + 3bx4 ≡19x4 entonces m + b es igual a: b) 9
a) 1,4x + y – 3,2 c) 1,4x + 2y – 3,2 e) x – y – 3,2
5. Sean los términos semejantes: t1 = axm Si: t1 + t2 = abxp
e) 4
a) 4
4. Reduzca: 0,4x –[(1,2 + 0,6y) + (2,5 – x)] – (–0,5 – 2,6y)
ab + ac + bc a+b+c c) 10
a) 1
b) 2
d) 3/2
e) 2/3
c) 3
Central: 6198-100
Capítulo
4
Teoría de exponentes I Problemas para la clase 1. Efectúa: 43 – 2 5 a) 31
7. Reduzca: b) 32
d) 34
c) 33
e) 36
x 40 + x10 − x30 x50 x20 x 40 a) x4 b) x–10 d) x10
2. Si:
e) x20
8. Reduzca:
x.x.x.x.x=
2
= m.m.m.m...m 1 4 4 44 2 4 4 44 3
x5 . x–3 . x10 a) x3 b) x4
entonces:
d) x6
50 veces
a)
= 5x ;
= m50
b)
=
x5
= 50m
c)
= x5 ; x5
;
d)
=
;
e)
= x5 ;
=
e)x7
50sumandos 50 a) x b) x150
m50
d) 50x3
= 50m50
c) –110
e) –97
e) 30x6
10. Reduzca: x5 + x6 ; x ! 0 x -3 x -2 a) x8 b) 2x8 d) 2x4 2
0
50 + (–11)0 – 90 – 45 a) –2 b) –1
c) –3
e) 2
5. Efectúa: (–3)3 – (–2)2 a) –23
b) 5
d) –31
e) –12
c) 2x16
e) x10
c) –13
a) 3
b) 5
d) 8
e) 9
c) 7
c) x6
e) x7
12. Reduzca: (–x)40 . x51 . (–x)21 . (–x)20 a) –x48 b) –x10 d) –x132
m3 – 1
0
x9 . x-3 . x5 ; x ! 0 x -4 a) x3 b) x5 d) x4
6. Si luego de reducir la expresión: x3 .x8 se obtiene xm. Calcula: x9
c) –x144
e) –x37
13. Halle el valor numérico de la expresión: x6 – y3 cuando x = –2 ∧ y = –4. a) 64 b) 32 c) 128 d) 1024
e) 512
14. Si: xx = 3, halla el valor de xx+1. a) 6x b) 2x c) 3x d) 4x
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c) 50x
11. Reduzca:
4. Efectúa:
d) 1
c) x5
9. Reduzca: + x.x.x + ... + x.x.x x.x.x 1 44444444 2 44444444 3
= m + 50
3. Calcula: (–4)2+(–5)3 – (–1)7 a) –108 b) –109 d) –100
c) x5
e) 9x Primer año de secundaria
13
4
Capítulo
20. Reduzca: 3x + 1 + 3x 3x - 1 + 3x a) 1
15. Reduzca: 50 veces 644444444 4744444444 8 5 5 x + x + x5 + ... + x5 + x5 3 70
x .x.x
a) 25
b) 50
d) 50x5
e) 100
c) 50x
43
011
. x7
76
0
. x(–1) . xm ;m ! 0
a) x
b) –x
d) 3x
e) x2
c) 3
e) 6
21. Reduzca: 2x + 2 + 2x + 1 + 2x 2x - 2 + 2x - 1 + 2x
16. Reduzca: x(- 1)
d) 5
b) 4
c) 2x
17. ¿Cuántos números enteros existen tal que su cuarta potencia sea igual a 16? a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) No existen tales números
a) 6
b) 7
d) 4
e) 9
c) 8
22. Resuelva: = 16 + 16 + ... + 16 + 16 2.2.2...2.2 1 444 2 444 3 1 4444444 2 4444444 3 (3x - 9)veces
256 veces
a) 5
b) –7
d) 3
e) 6
c) 7
23. Si: mm = 3, halla el valor de m+1
18. Reduzca: 230 + 227 226 a) 16
b) 18
d) 6
e) 8
c) 4
19. Si se cumple que: 10 + 210 + 210 + ... + 210 + 210 = a a0 2 14444444444 244444444443 1024 sumandos
Halla a2 + a + 1 a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
c) 7
mm a) 9
b) 6
d) 27
e) 24
c) 81
24. Si: 5n=2 y 2m=3; calcula: 5n + 1 + 2m + 1 5n + 1 –2m + 1 a) 7 b) 2 3 d) 6 e) 4
c) 5
25. Halla "x" en: 2x–2 + 2x+2 + 2x–3 + 2x+3 = 198 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
e) 7
Practica en casa 2
1. Efectúa: (–10) – (–3) 5
2. Efectúa: (–2) + (–3) 3. Reduzca: x
13
.x
11
4
3
.x
Colegios
14
TRILCE
0
8 6 7. Reduzca: x10 . x14 ; x ! 0 x .x
31
30 4. Reduzca: x50 ; x ! 0 x
5. Reduzca: 11(− 8)
0
6. Efectúa: 9x + (17x) ; x ! 0
2 30 8. Reduzca: x6 . x − 3 . x 4
9. Reduzca: m . m . m . m + m . m . m . m
0
Central: 6198-100
Álgebra 4
10. Reduzca: x7 + x5 ; x ! 0 x− 3 x− 5 8
8
13. Efectúa: (–4) – (–2)
8
11. Reduzca: x +3x +5 x ; x .x
2 14. Reduzca: (− x)3 x4
x!0
3
8
; x≠0
3
3
6
4
7
12. Reduzca: a . b . a . b . a
0
8 −2 3 15. Reduzca: x . x − 3 . x ; x ! 0 x
6
Tú puedes 1. Reduzca: 20173x–3 + 20173x + 20173x - 5 20173x - 8 + 20173x - 5 + 20173x - 10 a) 20173
b) 20176
d) 20178
e) 20178
c) 20175
x+1
+ x3x
a) 4
b) 12
d) 16
e) 15
2x = 2x + 2 a) –1 b) 0 d) 2
c) 1
e) 3
5. Sabiendo que n∈N, halla el valor de x, tal que verifique la ecuación:
2. Si: xx = 2, halla el valor de: xx
4. Halla "x" en:
c) 9
+ x + x4+ x1 444444 ... + x + x = x.x.x...x.x 2 4444444 3 1 44 4 2 44 43 n veces
n veces
n-2 n - 1 n c) n a) n n b) 2
3. Con respecto a la ecuación: xx = 16 a) Presenta solución única.
n n-2 d) n n - 1 e)
b) Presenta más de una solución. c) No hay solución que la verifique. d) Una solución es x = 2 e) b y d.
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Primer año de secundaria
15
5
Capítulo
Repaso I Problemas para la clase 1. Efectúa: 4 – 15 – 20 + 10 a) –19 b) –26 d) –21
d) –abc8
e) –23
2. Efectúa: –13 – 12 + 33 – 25 a) 17 b) –24 d) 30
c) –24
c) –25
e) 13
b) –3a
d) –a10
e) 4a10
5. Calcula: (–5)3 – (–9)2 a) –400 b) –196 d) –44
c) a10
c) –206
e) 66
6. Reduzca: –14x4y5 + 9x4y5 – 4x4y5 a) 25x4y5
b) 19x4y5
d) –9x4y5
e) 8x4y
c) –4x4y5
7. Reduzca: a2b – 3a2b + 5ab2 – 4ab2 a) –2a2b – ab2 b) –2a2b + ab2 c) –a2b
8. Si los términos algebraicos: 40xnym–1 ; 2x8y4 son semejantes. Halla "m . n". a) 30 b) 40 c) 50
16
TRILCE
0
c) x9 = _______ d) b4 . b6 . b5 = _______
11. Teniendo en cuenta que: A = –4x5 – 8x – 2 B = –2x5 + 4x – 6 Halla: A – B a) –2x5+3 b) –2x5+x+1 c) –2x5 –12x+4 d) –2x5 – x2+8 e) –8x3 – 2x2 – 2 12. Si se cumple que: 7xm + ax4 se reduce a 13x4. Calcula el valor de: m+a-1 a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
13. Reduzca: 5x – {–2x – [x – 2y]} + 2y a) x b) 7x
e) 70
d) 12x+12 15. Calcula:
c) 4
c) 6x
e) 9x
14. De: (8x – 11) restar: (1 – 4x) a) x – 12 b) 11x – 1
e) 3a2b
Colegios
10. Completa en cada caso: a) (–x)4 = _______
d) 8x
d) –3ab2
d) 60
e) 3abc8
5 6 7 e) m .m9 .m = _______ ; m ≠ 0 m
4. Reduzca: 8a10 + 5a10 – 7a10 – 9a10 a) –3010
c) –2abc8
b) –3x0 = _______ ; x ≠ 0
e) 19
3. Efectúa: (–4)(3) + (–2)(–5) – (–3)(5) a) 9 b) 10 c) 11 d) 12
9. De 8abc8 restar 10abc8. a) 2abc8 b) abc8
c) 12x –12
e) 10x –3
(–3) 0 –1
2017(–2016) a) 2017
b) 2016
d) 2015
e) 2019
c) 2014
Central: 6198-100
Álgebra 16. Reduzca: x
62
.x
−33
0 54
.x
;x ! 0
a) x6
b) x14
d) x18
e) x3
17. Reduzca: 2
21. Simplifica: 2n + 4 − 2 . 2n + 2 ;n d N 2 . 2n + 3 1 1 a) b) 4 2 1 d) e) 4 3 22. Reduzca: 4x + 1 + 4x 4x + 4x - 1 a) 1/2 b) 1/3
2
c) x40
3
x(- 4) . x-5 . x2 ;x≠0 x-6 a) x2
b) x3
d) x5
e) x6
c) x4
d) 1/5
18. Halla "x", si: 5x+3 + 5x+2 + 5x+1 + 5x+1 = 157 a) 1 b) –2 c) –1 d) 3
d) 5
e) 6
e) 4
100 veces
19. Dados: P=(c – 1)x2 + 3x + 3y Q=5x2 – 3(x+y) Si: P – Q es equivalente a 6x + 6y, halla el valor de c. b) 3
c) 1/4
23. Si se sabe que: A = x + x2 + x3 + x4 + x5 + ... B = x . x . x . x ... x . x 1444 42444 43
e) 0
a) 2
c) 2
c) 4
20. Sustraer la suma de 3ab – 6 con de a2. a) –a2 + 5ab – 2 b) –3a2 + 5ab –1 c) 3a2 + 5ab+ 1 d) –3a2 + 5ab+1 e) –2a2 + 5ab+1
3a2
– 8ab + 5
0
Determina el equivalente de A – (A5 – B) a) 100 b) x4 c) x100 d) 100x
e) 2
24. Si al reducir la expresión: ^x 4 yh . =
3x 4 y –3 z G 6x 8 y 2 z 4
1 . ymzn. 2 Determine el valor de m2+n3. se obtiene a) –9
b) –10
d) –12
e) –13
c) –11
25. Reduzca: 23x + 2 + 23x + 4 + 23x + 3 2x + 1 . 2x . 2x + 1 a) 6 b) 9 d) 10
c) 8
c) 7
Practica en casa 3 2 4
3 2 4
3 2 4
7
1. Reduzca: 5x y z +2x y z – 9x y z 5
5
5
5. De: 9mnp resta 15mnp 5
2. Reduzca: 4am – [8am – (7am – 11am )] 4 b–2
3. Si: 9x y Halla:
; es semejante con: –13x
a+b
4. Si: 8 A(x) = –4x + 23 8 B(x) = –30 + 5x Halla: A(x) + B(x) www.trilce.edu.pe
a–2
y
7
6. Restar: –5xw de 200wx 2
2
7. De: (5xy + 4xz ) restar (2xz – 2xy) 8. Reduzca: 4a.a.a+5a.a.a–2a.a.a 9. Efectúa: 8
• (–m) = 7
• (–3) = Primer año de secundaria
17
5
Capítulo
10. Efectúa:
12. Reduzca:
0
• 3 + 2
2
=
0
• (–4) + (–2) • –23 . x • 711
2
x 4 . x5 . x11 ; x ! 0 x13
=
0
=
0
; x!0
6
6
Calcular el valor de: 3 m + n − 5
=
11. Efectúa: 5
n
13. Si se cumple que: 11x + mx = 18 x
14. Reduzca: 6
8
• x . x . x . x
9
4m5 + m5 + m5 + m5 ; m ! 0 14 m3 . m2
=
20 14 9 • m13 + m 7 + m2 m m m
;m≠0
=
15. Reduzca: x.x.x + x.x.x + x.x.x + ... + x.x.x 1 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 44 3 30 sumandos
Tú puedes 1. Lucía le informa a Guillermo lo siguiente: "Me casaré contigo cuando cumpla "M" años"; sabiendo que: M=
10r + 3 − 10r + 2 10r
A los cuantos años se casará Lucía. a) 25
b) 30
d) 40
e) 50
c) 35
2. Determine el volumen de la caja:
x8
9
x
x4 a) x12
b) x17
d) x21
e) x25
Colegios
18
TRILCE
c) x36
3. Sea el binomio: 2
ax4 + (bb – a)x3 + 2x2 – 16x4 + bx + 5x Hallar el máximo valor que toma cuando x es reemplazado por el valor de b. a) 2 b) 22 c) 24 d) 120
e) 18
4. Calcula el valor de 2 x + 4 + 36 . ^2x - 2h E = x+5 − 2 ^2 x + 3 h − 4 ^2 x + 1 h − 6 ^2 x - 1 h 2 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
5. Reduzca: xn + 3 . xn + 3 . xn + 3 ... (n + 5) veces xn + 7 . xn + 7 . xn + 7 ... (n + 1) veces a) x4 b) x8 c) x6 d) x9
e) x10
Central: 6198-100
Capítulo
6
Teoría de exponentes II Problemas para la clase 1. Efectúa: 3+5−6 7 7 7 a) 1/7
b) 2/7
d) 4/7
c) 3/7
e) 5/7
b) 5/12
d) 5/7
e)
3. Efectúa: 2 − 11 + 1 3 2 6 a) –14/3 d) –2
7 12
b) –7/2
c)
17 12
c) –7/3
e) –1/6
4. Efectúa: 4–1 – (–3)–1 2 1 1 a) b) c) 7 12 6 7 5 d) e) 12 12 5. Efectúa: (–5)–2 – 52 − 24 –624 –23 b) c) 25 25 25 −1 2 d) e) 25 25 6. Reduzca: (x2)5 . (x3)6 a) x17 b) x16 c) x28 a)
d) x19
e) x20
7. Reduzca: ^x-4h-3 . ^x2h 6 2
d) 22m
d) x14
e) x–10
e) x12y4
c) 2m
e) 0
15 4 − ^− h2 7 54 a) 30
b) 31
d) 34
e) 36
c) 32
11. Efectúa: 1 −1 1 −1 8 4 B + 88 B a) 11 d) 16
b) 13 e) 12
c) 15
a) 33/144 d) 19/144
b) 11/144 e) 13/144
c) 7/144
13. Calcula: 5 −3 83 B a) 7/125 d) 27/125
b) 11/125 e) 13/125
c) 17/125
12. Calcula: –2 –2 3 –4
14. Reduzca: 2 52 3 25 (x y ) . (x y ) 18 19
;x ! 0
b) x–4
c) x2y24
10. Reduzca:
a) x y 17 20 d) x y
x 4 .^x5h a) x3
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d) x12y24
b) x36
9. Reduzca: 2m . 3 m – 6 m a) 1 b) –1
2. Efectúa: 2+3 3 4 a) 5/6
8. Efectúa: (x2 . y4)6 a) y36
19 20
18 19
b) x y 17 29 e) x y
c) x y
b) 5 e) 1
c) –1
15. Calcula: c) x–14
5− 4
0
a) 2/5 d) 1/5
Primer año de secundaria
19
6
Capítulo
16. Halla el equivalente de: –3 (xy) ; xy ! 0 3 3
a) x y
b)
3 –3
1 x y
c)
3
1 x y
3 3
3 3
d) x y
e) x /y
17. Reduzca: 1810 − 1020 910 a) 1 d) 4
c) 3
18. Reduzca:
16 26 4 8 4(x ) + 5x . x – 6 . x 4 ; x ! 0 x 12 12 12 a) 2x b) 3x c) 15x 12 12 d) 6x e) 4x
20 veces
x15 . 9x15 . 9x15 ... 9x15E ;9 1 44444 4 2 44444 43 4
10 veces
a) x 10 d) x
5
a) 3/5 d) 2/7
b) 4/9 e) 1/3
5
; x≠0 7
c) x
b) 11/3 e) 13/3
c) 19/3
c) 2/5
24. Reduzca: 205 1024 # 125
25. Reduzca:
b) x 12 e) x
c) 5/4
23. Reduzca: 2 − 3 + (− 3) − 2 − 1 + (2012) 0 9 a) 3/8 b) 9/8 d) 1/2 e) 3/7
a) 5 d) 625
20. Calcula: –1 –2 –1 (4 – 4 ) a) 17/3 d) 16/3
c) y
22. Calcula: −1 −2 −1 R = ; 8 25 B + 8 5 B E 11 3
b) 2 e) 5
19. Reduzca: x8 . 3x8 . 3x8 .... 3x8 ;3 1 44444 2 44444 3 E
21. Reduzca: (x2 y5) 4 (x3 y2) 3 ; xy ≠ 0 x17 (y 4) 5 3 4 a) y b) y 6 7 d) y e) y
=
b) 25 e) 3125 −1
m− 1 + n− 1 G m− 1 − n− 1
c) 125
; m≠n≠0
a) n − m m+n
b) m n
c) m + 1 m−n
d) m + n n–m
e) m + n n
Practica en casa −1 −1 1. Efectúa: ` 1 j + ` 1 j 3 8
2. Calcula: 2
–2
–5
; xy ! 0
31 + 8 x10 x 5 5 5 5 . . .... 2 x 2 x 2 x 2 x ;1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 E 20 veces 9. Reduzca: ; x≠0 8 8 8 8 4 x . 4 x . 4 x ... 4 x ;1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 E 37
8. Reduzca: 5(x ) + 9x 52
–4
5 7. Reduzca: 185 − 240 6
–2
−2 3. Calcula: 811B 5 4
6. Halla el equivalente de: (xy)
3 24
4. Reduzca: (a . b ) (a b )
10
.x
11
10 veces
5. Calcula: 4
Colegios
20
TRILCE
− 50
10. Calcula: (5
–1
–2 –1
–5 )
Central: 6198-100
Álgebra (x2 y5) 4 (x3 y2) 4 11. Reduzca: 4 13 2 10 ; xy ≠ 0 x . x . (y )
14. Reduzca:
205 1000 # 128 −1
−1 −1 15. Reduzca: = a − 1 + b − 1 G a −b
−1
−1 −2 12. Calcula: R = ;` 25 j + ` 5 j E 16 3
; a≠b≠0
13. Reduzca: 2–3 + 8 + (–5) –2 – 1 + (2013) 0 25
Tú puedes
1. Simplifica:
4. Calcula:
1 1 −3 1 1 − 8 9 B8 3 B − 8 B 8 B 1 8 B 9 3
a) 9 d) 27
3
b) 9 e) 1/9
c) 1/3
x 2x x 2. Efectúa: ` 2 j . ` 9 j . ` 8 j 3 4 27
a) 2/3 d) 9/4
b) 3/2 e) 4/9
3. Si se sabe que: x 2 = 5 .......... (1) y 3 = 7 .......... (2) xy Calcula: A = x6 y 7 .5 a) 0 b) 1 d) 3 e) 4
www.trilce.edu.pe
53 + 52 + 5 + 1 5 + 5− 2 + 5− 1 + 1 −3
c) 1
a) 5 d) 625
b) 25 e) 3125
c) 125
5. Si: m m n 10 = x . y n
n
10 = x . y
m
Indica el valor de: xy a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
c) 2
Primer año de secundaria
21
7
Capítulo
Teoría de exponentes III Problemas para la clase 1. Calcula: 64 + 4 81 − 3 125 − 5 32 a) 1 b) 2 d) 4
8. Reduzca: 7 x 14 + 3 x 6 + 5 x 10 c) 3
e) 5
2. Calcula: 3 − 64 − 5 − 32 + 7 − 1 a) –4
b) –3
d) 1
e) –1
b) 31
d) 29
e) 28
c) –5
16 − 8
c) 32
11
10. Reduzca: 5+ 5+ 5+ 5 a) 20 b) 625
(811/2) . (− 8) 2/3
d) 4
e) 5
c) 3
a) 33
b) 34
d) 37
e) 38
1 2
(16 × 9)
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
7 .5 6 .5 2
a) 10 d) 15
b) x y
8 9
e) x y
a) x y
5 15 d) 5 42 e)
d) x y
7. Efectúa:
d) 2
Colegios
TRILCE
b) 12 e) 14
3 5
5 84 c) 5 12 a) 5 112 b)
81 − 3 a) 0
1/2
c) 13
13. Reduzca: 5 x20 . y30
6. Efectúa:
3
c) 36
12. Calcula:
^ − 64h + 49
3
c) 23
16 5 d) 4 5 e)
5. Efectúa:
22
3
11. Efectúa: b) 2
5
e) –x2
5 7 d) 6 3, 5 e)
1 3
a) 1
1 3
d) 4x2
c) 2x2
6 11 c) 6 10 a) 6 9 b)
4. Efectúa: 1 2
b) 3x2
9. Efectúa:
3. Efectúa: 144 − 8 . 3 − 8 + 4 16 a) 30
a) x2
4 6
6 7
c) x y
10 6
14. Efectúa: 21 ^3 ab h . ^ ab h4
32 2 b) –1 e) –2
c) 1
8 8
b) a b
10 10
e) a b
a) a b
d) a b
7 7
9 9
c) a b
11 11
Central: 6198-100
Álgebra 15. Calcula: 1253
21. Sea:
− 20
A = 64 − 4
a) 2 d) 7
b) 3 e) 9
− 3 −1
c) 5
B = 12527 Halla: (B+3)(A) a) 1 d) 4
16. Si "x" es un número positivo, reducir: 6
x12 + 5 x10 + 9x 4
a) 4x
2
b) 6x
d) 5x
2
e) 11x
17. Reduzca: 4
625 x − a) 20x
2
d) 23x
2
36x6 9x 2
2
c) 9x
3
; x!0
b) 21x e) 24x
2
c) 22x
a) x
x 48 +
2
d) 2x
2
x.5 y b) 3 x . 3 y
c) 3 x . 15 y
d) 3 x . 4 y
e) 3 x . 7 y 23. Efectúa: x5 . x7 1/12
5 3
2
b) 3x
2
e) 7x
2
c) 5x
2
19. Calcula: − 1/2 10 . 3 64 + 4 . 8 16 B 125 121 a) 14 d) 18
b) 19 e) 21
c) 20
3
c) 0,3
3
c) x
17/12
y!0 3 b) 5 x y
x y
d) 3 3 y 25. Efectúa:
e)
3 c) 15 x y
x y
x: x ; x > 0 x
b) 3 x
d) 6 x
e) 4 x
a) b) 0,15 ! e) 0, 5
b) x 17/12 e) x
24. Efectúa: x 3 ; 5 y a)
20. Efectúa: 0,5 (0,25) a) 0,25 d) 0,5
11/12
a) x 5/12 d) x
x30
c) 3
a) 3 x . 5 y
6
18. Efectúa: 3 4
b) 2 e) 5
22. Efectúa:
2
2
2
− 2 −1
c) 5 x
Practica en casa 1. Calcula:
• 3 − 1000 =
9
=
• 5 1024
=
3. Efectúa: U = 169 − 5 . 3 − 64 + 4 16
• 3 343
=
4. Efectúa las siguientes potencias:
• 7 167
=
•
2. Calcula:
1/2
• (–125)
• 5 − 32
=
• 7 − 1
=
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• 36
• –81
3/2
= 1/3
= =
Primer año de secundaria
23
7
Capítulo
5. Efectúa: • 4 8 . 4 3 . 4 11 •
5 5
64 2
= =
12 • 6 21
=
• 3 4 13
=
6. Efectúa: (144
1/2
) . (–27)
7. Calcula: (4 × 16 × 25)
6 4
11. Efectúa:
x96 +
8 5
x80
12. Efectúa: 3 a 5 b
2/3
13. Efectúa:
1/2
x. x
14. Efectúa: 3 x : z
8. Reduzca: 7 x28 . y 42 . z 49
−3 9. Calcula: 8 1 B 125
81 x10 ; x ! 0 9x 2
400 x8 −
10. Reduzca:
15. Efectúa:
− 20
x.
3
x2 . 4 x3
Tú puedes 2 1. Reduzca: ;
18
a) –1 d) –x
8
b) 1 2 e) x
4. Calcula el mayor valor de n, si:
4/3
8(x 4) 642B . x164 E
; x>0 c) x
n + 1/3 2. Efectúa: 3 − 1 . 3 3 − 1 . 3 ; n∈,n≥2 1 . n 3n2 3 a) 1 b) 2 c) –1 d) 4 e) 3
3. Simplifica: a) 1 d) n
Colegios
24
TRILCE
n nn
n nn nn + n n
n
b) 0 e) –n
.
n + nn
1n 8n B c) –1
(n n )
1 n n
1 + 1/4 1/10
1 + 1/2 1 + 1/3E B = ;;8621 + 1/1@
a) 3 4
b) 2
d) 3 20
e) 5 3 4
E
c) 3 16
5. Luego de reducir: 3 4
a
4 3
a3
3
a 4 a3
4
a a2 a 3 a2 Dar el exponente de "a". a) 13 72 15 d) 72
b) 13 71 e) 11 70
c) 11 73
Central: 6198-100
Capítulo
8
Teoría de exponentes IV Problemas para la clase 1. Calcula el valor de: 9
8. Reduzca:
−2−1
x. x. x
1 1 1 b) c) 9 2 3 1 1 d) 6 e) 4 2. Calcula el valor de: a)
− −1 9 2
27 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
1 1 1 a) b) c) 4 2 16 1 d) e) 2 3 4. Halla el valor de: -16-4 -
1
a) 2
b) 3
d) 9
e)
c) 4
5. Reduzca: 3x
x+1
33 a) 1
b) 3
d) 27
e) 81
c) 9
6. Reduzca: 2m+1 52m a) 5
b) 1
d) 5–1
e) 6
7. Reduzca: 3
a)
1 - 3m 4
2
12
.
2
c) 5
4m - 1
12 2 c) 12 41 3 b)
12 5 d) 12 6 e)
www.trilce.edu.pe
9. Reduzca: 3
m3 m3 m a) m5/27 b) m7/27 d) m17/27 3
−2 −2
1 8 81 B
8 15 d) 8 x7 e) x
c) m11/27
e) m13/27
10. Reduzca:
3. Determina el valor de: 16
8 71 8 9 a) 8 x5 b) x c) x
x2 4 x3 5 x 4
60 61 60 13 a) 60 x59 b) x c) x
d) 60 x159 e) 60 x17 11. Reduzca: 5x + 2x 5 -x + 2 -x a) 2x d) 4x 12. Reduzca: 7n + 3n n 7 -n + 3 -n a) 20
b) 5x e) 20x
b) 21
d) 23
e) 24
13. Reduzca: x2n + x3n x -2n + x -3n a) xn
b) x2n
d) x4n
e) x5n
14. Halla "x" en: 3x+2+3x+1+3x = 39 a) 1 b) 2 d) 4
c) 10x
c) 22
c) x3n
c) 3
e) 5
Primer año de secundaria
25
8
Capítulo
20. Reduzca:
15. Halla "x" en: 4x–2+4x–1+
4x
5
A = 9 : 3 243 : 358 a) 11 b) 9
= 21
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
d) 27
22x+1 = 4x + 64 b) 1
d) 2
e) 3
e) 18
21. Reduzca: x x2 3 x
16. Obtenga el valor de "x" en la ecuación: a) 1/2
c) 10
c) 5/2
6 x 4 x c) a) 12 x5 b) 6 5 d) 12 x7 e) x
17. Si: 4n+4n +4n+4n =22008
22. Halla el valor de x + y si: 23x . 3 y + 4 = 8 - x 2x + 1 3 .2 2 a) 4 b) 3
Halle "n": a) 1001
b) 1002
d) 1004
e) 1005
c) 1003
d) 1
2x–5+ 2x–4+2x–3+2x–2 – 2x–1 = –2 b) 5
d) 7
e) 8
d) 6
c) 6
^- 5h2 = - 5
....
0
( )
II. ^ 8 - 2 2 h = 1 III. 5–1+5–1+
5–1+5–1+
a) FFV
b) FVF
d) VFF
e) VFV
....
( )
5–1=50 ....
( )
c) FVV
e) 27
24. Calcula x x si se verifica que: x ^ 4 3 h = 9 . 28
19. Indica verdadero (V) o falso (F): I.
e) 0
23. Si: (4x)x =64. Halla el valor de xx. a) 4 b) 2 c) 8
18. Halla "x" en: a) 4
c) 2
a) 2
b) 21/2
d)
e) 1
3
c) 3 3
25. Si se cumple que: x
x2x = x5, el valor de 4x2x es: a) 100 b) 5 c) 25 d) 75
e) 125
Practica en casa x+3 + 5x + 2 1. Simplifica: E = 5 5x + 1
5. Reduzca: 16 4
2
2. Si: x =4, donde x es un número natural. 8 –4 Calcula: x + x
3. Calcula el valor de: x
64
2
Colegios
26
TRILCE
3n
6. Si: x =5, reducir: x –100
7. Calcula el valor de "x", en:
05 8 @7
4. Sabiendo que: 2 = 6. Calcular: 2
n
− 8 − 1/3
x+1
3
4x = 2x . 3 2
2x + 1 8. Calcula el valor de: 2 x 4 − 1/2 9. Calcula: 8 9 B + 3− 1 25
Central: 6198-100
Álgebra 10. Si: A = 7 x . 7 x . 7 x .... 7 x , Hallar: 1 44444 2 44444 3
A
28 factores
5 10 5 15 11. Reduzca: 8 a . 8 a a16 . a24
−2
12. Reduzca: A = ;` 1 j 6
3 1/n 13. Efectúa: ^n b2n h^bnh . ^b − 1h donde: n ∈ ; n ≥ 2 y b ! 0
= 2 14. Efectúa: '84 2 B
2
1
2
G
− 2 1/2
+ ` 1j E 8
2
2
2 3 xh ^x 15. Efectúa: x a .xa . xa .... a x a + a + a + .... + a
1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 "a" sumandos
Tú puedes 1. Si: 5
2
x
= 625
4. Dada la ecuación: x+1 y+1 y x 5 –2 = 5.2 – 2.5 Calcula el valor de: M = 5x +2 – 2y
y
Calcula el valor de: E=
x-2
y
a) –1 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
2n # 6n + 3 3n + 1 # 4n b) 8 e) 48
c) 72
3. ¿Cuántas parejas (x; y) de números reales positivos satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: xx + y = y3 ) x+y y = x6 . y3 a) 6 d) 1
www.trilce.edu.pe
b) 12 e) 4
c) 0
5. Sea la siguiente sucesión: x1 = 4 x3
2. Calcula el valor de:
a) 9 d) 16
b) 2y e) 2
a) 5 d) 1
c) 5
x2 =
4
x3 4 x3
x3 =
4
x3
4
x3 4 x3
h Calcula x10. a) c)
46−1 6 x 4 48−1 8 x 4 410−1 410
b)
47−1 7 x 4
d)
49−1 9 x 4
e) x
Primer año de secundaria
27
9
Capítulo
Notación de polinomios Problemas para la clase 1. Si: P(x) = 3x2. Calcula P(–4) a) 49 b) 36 d) 144
c) 72
e) 48
2. Si: P(x; y) = 4x – 3y. Calcula: E = P(2; –5) a) 16 b) 18 c) 24 d) 23
e) 32
3. Sabiendo que: P(x; y; z) = x2 – y3 + 2z. Calcula: M = P(1; –2; 3) a) 11 b) 15 c) 1 d) –1
-x 5. Calcula "P(5m)". Si: P(x) = +3m. 5 a) m+4 b) m c) 2m e) –3m
6. Si: P(x+2) = 4x – 6. Calcula: P(5). a) 14 b) 15 c) 6 d) 9 e) 10 7. Si: Q(2x – 1) = 3x – x2. Calcula: Q(3) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
8. Si: R 8
x + 1B = x3 - 1 3 Calcula: R(2)
a) 120
b) 125
d) 124
e) 116
Colegios
28
TRILCE
a) 96
b) 95
d) 1022
e) 74
c) –3
10. Halla el término independiente del siguiente polinomio: P(x) = (2x + 3)4 . (x + 1)5 + 6 a) 87
b) 44
d) –42
e) 43
c) 81
11. Sabiendo que: P(x) = 3x + 4.
e) 4
4. Resuelva las siguientes ecuaciones: z+3 = * x+4=7 * 2y – 3=3 * 3 2 a) x = 1 y = 3 z = 3 b) x = 2 y = 2 z = 4 c) x = 3 y = 3 z = 3 d) x = 4 y = 2 z = 3 e) x = 5 y = 3 z = 1
d) –5m
9. Calcula la suma de coeficientes del siguiente polinomio: P(x) = (x+1)5 + (6x – 4)6 –x
c) 7
Obtenga P[P +P ] (1) (0) a) 19
b) 27
d) 37
e) 40
c) 33
12. Sean las polinomios: H(x) = 4x – 3 y Q(x) = 1 – 2x Calcula: H[Q ] +Q[H (1)
(–2)]
a) 14
b) 16
d) 20
e) 22
c) 18
13. Sea: P(x+3)=x2 – 3x + 6, presenta la condición: P(7)= m+1. Calcula P(m). a) 30
b) 36
d) 60
e) 16
c) 20
14. Sea P(x) un polinomio que cumple las siguientes condiciones: ax + 30 P(x - 4) = y P(- 9) = 5 4 Calcula el valor de "a" que verifique dichas condiciones. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
e) 4
Central: 6198-100
Álgebra 15. Si: P x + 1 y - 1 = xy . Calcula P(5; 3). E ; ; 2
2
a) 36
b) 49
d) 83
e) 63
c) 47
16. Sea el polinomio: P(x) = 2x5 + x2 – x + 3 + m Si: P(1) = 14 + 2P(0). Calcula m + 15. a) –15 b) 0 c) 15 d) 8
e) –8
17. Sabiendo que el polinomio: P(x) = (4x + 3)2(x – 5) + 9 + a presenta como suma de coeficientes –180. Calcula "a". a) 10 b) 6 c) 7 d) –9
e) –6
18. Sea el polinomio: P(2x – 1) = (3x+1)4(5x – 1)6 – 10242 Calcula: P(1) a) 0 b) 1024 c) –1024 d) –1
e) 1
19. Si: P(x) = 4P(x) – 9 – 3x. Calcula: P(2). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
20. Sabiendo que: H(x) = x40 – 8x37+x Calcula: H(H(H(H(2)))) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
21. Si: P(x) = P(x – 1)+1 y P(3) = 4. Calcula P(0) a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
22. Si: f(x – 1) = 2f(x – 2) – 1; f(–3) = 2. Hallar f(0) a) 1 b) 2 c) 8 d) 9
e) 12
23. Calcula: E = P(3)+P(10), sabiendo que: 2x - 3 ; si x 2 5 P(x) = ) x - 2 ; si x # 5 a) 18 b) 19 c) 16 d) 20
e) 17
24. Sabiendo que: P(x) – P(x–1) =x+1 Calcula: P(3) – P(1). a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
e) 10
25. Si: P(x)=10x – 4P(x) Calcula: P(2) a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Practica en casa 1. Sea P(x; y) = 7x – 2y. Calcula P(1; 2)
7. Calcula la suma de coeficientes del polinomio: 10 6 P(x) = (2x–1) (x+1)
2. Si: P(x) = 3x+2. Calcula M = P (1) P (0)
8. Halla el término independiente de: 30 4 P(x) = (5x–1) (x+2) –10
3. Calcula: P(2a). Si: P(x) = x + a 2
9. Si: P(x) = 3mx+9, hallar "m", si para x=3. P(x) vale 0
4. Si: P(x) = x+a. Calcula: P (2a) P (4a)
10. Sea: P(x+1) = x + 2x + 4, presenta: P(2) = m–2, calcular: "m+2"
5. Sabiendo que: P(x) = 3x+2a, toma el valor de 17 para x=5. Calcula "a". 6. Si: P(3x+2)=x+6, calcula: P(8) + P(0,5)
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2
11. Sea: P(x–2) = mx + 4 4 Donde: P(0) = 12 , calcular: m + 1 2
Primer año de secundaria
29
9
Capítulo
12. Si: P( x – 3 3
;
y+4 ) 4
= x+y
Calcula: P(3; 1) 13. Sea el polinomio: 4 3 5 P(x) = x – 3x + 2x + m Si: P(1) = 12. Calcula "m"
14. Si: P( 7x2− 3 ) = 7x Calcula: P(5)
2
15. Sea: P(x) = x – 3x + 1 Calcula: P(m–3) + P(m+3)
Tú puedes 1. Si: P(x – 1) = x1000 – 1024x990 + 5x + 4. Calcula la suma de coeficientes de P(x). a) 12 b) 13 c) 14 d) 15
e) 16
2. Si el término independiente del polinomio: R(x) = (5x + 4)k–2 +x(x2 – x + 1) es 10242. Halla el valor de K. a) 10 b) 7 c) 19 d) 12
e) 21
3. Se define una expresión matemática tal que cumpla la siguiente condición: P(x – 1) – 2P(x)+P(x+1) = 2x P(- 2) + P(2) Calcule el valor de: P(–1) + P(1) a) –2 b) –1 c) 0 d) 1
Colegios
30
TRILCE
4. Si: P(x) = (1 – x)(4 – x)(9 – x) ... (10000 – x) P(625) + P(900) Calcula: P(444) a) –1 b) 466 c) 389 d) 0
e) 44
5. Si el polinomio: P(x) = a(x – 3)2 + b(x – 2)2 + c(x – 1)2 se anula para cuando x = 4 a+b Calcula: b + 3c a) –4 b) –3 c) –2 d) –1
e) –6
e) 2
Central: 6198-100
Capítulo
10
Cambio de variable utilizando la notación de polinomios Problemas para la clase 1. Reduce: 4(m – 3) – 2(m – 6) a) m b) 2m d) 4m
e) 6m
2. Reduce: –5(2m – 1) + 2(5m + 3) a) 10 b) 13 d) 19
c) 3m
d) x – 8 c) 11
e) 20
3. Despeja "x" en la siguiente ecuación: x – 2 = 4m a) 4m b) 4m – 2 c) 4m+2 d) m+2
e) 2m
4. Despeja "x" en la siguiente ecuación: x–3=m–1 a) m – 4 b) m+2 c) m – 3 d) m+4
e) m
e) 3m – 13
6. Si: P(x) = –8x+5. Determine P(2m – 1). a) 8 – 16m b) 13 – 16m c) 16 – 16m d) 14 – 16m e) 15 – 16m 7. Sabiendo que: P(x) = 2 – x. Calcula: P(m – 3) – P(m+3)+6 a) 15 b) 13 d) 12
d) x+6 www.trilce.edu.pe
e) x+8
e) x – 9
d) x+4
c) x+3
e) x+5
11. Sean los polinomios: P(x) = 3x – 7 F(x) = –2x – 1 Determine: P(F(m)) a) –7m+2 b) 5m – 3
c) –m+4
e) –6m – 10
12. Sean los polinomios: P(x) = 2x – 10 F(x+3) = x – 1 Determine: P(3m) – 3F(2m) a) 2
b) 1
d) 5
e) 3
c) 4
13. Sean los polinomios: P(x) = 3x – 1 F(x) = 4x –5 Calcula: M = P(F(x)) – F(P(x)) c) 14
e) 11
8. Si: P(x – 2) = x + 4 además: P(H(x)) = x + 9 Obtenga: H(x) a) x+9 b) x+3
c) x+3
10. Si: F[H(x)] =3x + 2 además F(x+1) = 3x – 1 Obtenga H(x). a) x+1 b) x+2
d) –2m – 6
5. Si: P(x) = 3x – 4. Determine P(m – 3). a) 3m – 6 b) 3m – 5 c) 3m – 4 d) 3m – 9
9. Si: P(F(x)) = x – 3 y P(x+1) = x + 8 Obtenga F(x). a) x – 10 b) x – 3
a) 14
b) –19
d) –7
e) –15
c) –13
14. Si: P(x – 1) = x+5. Obtenga P(x) c) x+5
a) x+4
b) x+5
d) x+7
e) x+8
c) x+6
Primer año de secundaria
31
10
Capítulo
15. Si: P(x + 1) = x – 3. Obtenga P(x). a) x – 3 b) x – 6 c) x – 2) d) x – 4
e) x – 5
16. Si: P(x – 1) = 4x. Obtenga P(x). a) 4x b) 4x+4 c) 4x+2 d) 4x – 4
e) 4 – 4x
17. Si: P(x+4)=3x – 1. Obtenga P(x). a) 3x – 10 b) 3x – 8 c) 3x – 9 d) 3x – 13
e) 3x – 12
18. Si: P(2x) =2x – 3. Obtenga P(x+4) a) x b) 2x c) x+1 d) 2x+1
e)x+4
19. Si: P(x+4)=x – 3 F(x – 1)= 2x – 8 Calcula: P(F(m+3)) a ) 5m – 3 b) 2m – 7 d) 3m – 5
c) 4m+6
e) 7m – 1
20. ¿Para que valor de "m" se cumple: P(m)=f(m) ? Si: P(x)=3x – 7 F(x – 2)=x+5 a) 5 b) 4 c) 9 d) 7
21. Si: P(x)= 7x – 9 y P(F(x)) =4x – 12 Calcula: 7F(x)+3 a) 7x – 2
b) 4x
d) 2x – 5
e) x+3
c) 6x
22. Si: P(x) = 3mx+1 F(x) = x – 3 ¿Para qué valor de m se cumple: P(2(F(x))= 2P(x) – 19? a) 6
b) 1
d) 4
e) –2
c) –3
23. Si: P(x2 – x+1)=x2 – x+4. Obtenga: P(m+3) a) m+4
b) m+5
d) m+7
e) m+8
24. Si: P(x – 3)= 4 – x. Obtenga: P(2x – 5) a) 6 – 2x b) 4 – x d) 7 – x
c) 5 – 3x
e) 2 – 4x
25. Si: H(x5 – x+3) = x5 – x + 3 Obtenga: H(H(x)) a) x b) x2 d) x+1
c) m+6
c) x5
e) x – 1
e) 8
Practica en casa 1. Si: P(x) = 3x – 1 Calcula: P(m+2)
2. Si: P(x) = –x+1 Calcula: P(m–1) 3. Si: P(x) = 2x – 4 Calcular: P(2m–1) – P(2m+1) 4. Si: P(x) = 7x – 4 Calcula: P(m+2) – P(m) 2
5. Si: P(x) = x + 3 F(x) = 2x + 4 Calcula: P(F(0))
Colegios
32
TRILCE
6. Sean los polinomios: P(x) = 4x – 3 F(x) = –2x + 4 Calcula: F(P(m)) 7. Sean los polinomios: P(x) = 5 – x F(x) = 2x – 1 Calcula: P(F(m)) 8. Sean los polinomios: P(x) = x+9 G(x) = 2x – 4 Calcula: 6 P(3m) – 9 G(m) 9. Si: P(x+1) = x – 1 F(x+3) = 2x – 7 Calcula: P(F(m)) Central: 6198-100
Álgebra 10. ¿Para qué valor de "m" se cumple: P(m) = F(m) Si: P(x) = 4 –x F(x) = x – 12
13. Si: P(x) = 7x – 1 F(x) = 5 – 2x Expresar P(x) en términos de F(x)
11. Sean los polinomios: P(x) = x + 3
14. Si: P(2x+3) = 3x – 1 Calcula: P(P(P(7)))
F(x) = 2x – 3 Calcula: M = P(F(x)) – F(P(x))
15. Si: P(2x+3) = 3x+1
12. Si: P(x) = 3x – 4
Calcula: P(P(P(7)))
F(x) = 5x – m Calcula "m" para que: P(P(1)) = F(3) – 14
Tú puedes 2
2
4. Sea: P(3x+1) = x – 4
1. Sea: P(x) = 4x – 3 ; x H 0 Calcula: P ( x ) + 3 2 a) x+3
b) x
d) 2x
e)
4
Calcula: M = P (7) − P (− 2) 3 c)
x –3
x /2
b) –6x+3 e) –8x+3
b) 9 e) 6
c) 1
5. Sean: P(x+1) = 4x – 7 ∧
2. Si: P(x) = –2x + 1 Calcula: P(P(P(x))) a) 5x–3 2 d) x –3
a) 3 d) 12
G(x – 3) = –3x + 5 3
c) 8x +1
Calcula: P(x) + G(x) + 15 a) x d) x+3
b) –4 e) x–6
c) 12
3. Sea: P(2x–3) = 2x+5 Calcula el valor de "x" que verifica: P(3x) + P(4x) = 65 a) 5 d) 9
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b) 8 e) 7
c) 6
Primer año de secundaria
33
11
Capítulo
Grados de un monomio Problemas para la clase 1. Resolver las siguientes ecuaciones: m+3 = 12 2x + 7 = 19 y dar el valor de m.x a) 9 b) 6 c) 53 d) 54
e) 63
2. Indique el coeficiente del siguiente término algebraico: T(x; y) = 4mx2y4 a) 4 b) 4m c) x d) y
e) x2y4 5
4
3. Reduzca la expresión: (x4) . (x2) . a) x9 b) x20 c) x8 d) x28
e) 2x28 7 (x3)
4. Reduzca la expresión: . 10 12 12 10 a) x y b) x y d) x21y20
c) x7y20
5. El grado de un monomio está relacionado con: a) El coeficiente del monomio. b) Los exponentes solo de las variables. c) Los exponentes del coeficiente. d) Los exponentes del coeficiente y la parte literal. e) Con la fiebre de las manos.
d) 5
c) 6
Colegios
34
TRILCE
Cumple: GA = 30+a Calcula: GR(x) . GR(y) a) 349
b) 350
d) 352
e) 353
9. Sea M(x; y) = 2ax
c) 351
a+3 4+a
y
con coeficiente 12. Calcula GA. a) 15
b) 16
d) 18
e) 19
c) 17
10. Halla el GA de: M(x; y) = 2 (x ) (y ) a) 60
b) 61
d) 63
e) 64
c) 62
11. En el siguiente monomio: M(x; y) = 3x Se sabe que GA=15, hallar; GR(x) a) 6 d) 10
b) 13 e) 8
a+3 4
y
c) 11 4 7
m+2 3
12. Si los monomios: M(x; y) = x y ; N(x; y) = x y presentan igual GA. Determine el valor de "m". a) 8 d) 10
b) 14 e) 6
c) 3
a) 10 d) 13
b) 2 e) 14
c) 15
n
14. Si: P(x) = 3mx , presenta grado 5 y coeficiente 2 15. Calcular (m+n)
4 a+3
d) –9
y
13. Calcula: GR(x) + GA del monomio: a+2 4+a P(x; y) = 5ax y , si el GR(y) = 6
e) 4
7. Si: N(x; y) = –2ax y cumple: GA=12 Calcular el coeficiente a) –6 b) –7
a+3 2a+7
45 67
10 (y2) .
e) x4y6
6. Sea el monomio: a+3 a+4 M(x; y) = 4x y Si: GA = 17 Calcula: GR(x) a) 8 b) 7
8. Sea el monomio: P(x; y) = x
c) –8
a) 101 d) 102
b) 103 e) 100
c) 104
e) –10
Central: 6198-100
Álgebra 4 m+2
15. Si el GR(x) = m–5 de: M(x; y) = 5x y Calcula: GA a) 13 d) 14
b) 17 e) 16
c) 15
16. Sean los monomios 4 m+2 P(x; y) = 7x y 4 m+2 G(x; y) = 2mx y 4 m+2 Tales que al restar generan el monomio: x y Según ello, calcula: GA(P) a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
17. El monomio: M(x; y) = 5ax presenta un coeficiente –10 Calcula el GR (x) GR (y)
y
b) 2 e) 5
c) 3
b) 12 e) 14
c) 9
22. Si: GR(x) = 7, determina el GA de: 2 3a+1 2a–1
M(x; y) = –5a x
y
a) 8 d) 12
b) 11 e) 10
c) 9
23. Dado: a+1 5–a a–1
y
z
GA=8, calcula GR(z) b) 4 e) 3
24. En A(x; y) = (a–1) x
c) 2
a+1 a–2
y
se cumple:
Coeficiente + GR(x) = 6, halla GA.
18. Para el monomio: R(x; y) = 4mx y cuyo GA=13. Calcular la suma de coeficientes de R(x; y) y el GR(x) b) 14 e) 18
c) 20
19. Sea: M(x; y) = 5x y Calcula GA, si GR(x) = GR(y) b) 14 e) 8
a) 1 d) 8
b) 6 e) 5
c) 7
25. El monomio: a 2a
3
3a
25
a2
M(x; y) = 4 (x ) . (xy) . (y ) . (xy ) . (x )
Cumple: GR(x) = GR(y), entonces calcular el
4a–2 a+4
a) 10 d) 16
a) 10 d) 15
a) 1 d) 5
3m–3 2m+1
a) 19 d) 16
5+m 2m–3
M(x; y) = x y Se verifica: GR(x) = GR(y) – 4
F(x; y; z) = –x 4–a a+5
a) 1 d) 4
21. Para qué valor de "m" el monomio:
coeficiente. c) 12
a) 16 d) 2048
b) 1024 e) 64
c) 49
3m–1 2m–7
20. Sea: P(x; y) = –mx y Un monomio que cumple: GA=17. Calcula: E = GR(x) . GR(y) a) 42 d) 5
b) 10 e) 70
c) 16
Practica en casa 1. En el siguiente monomio: a+2 7 M(x; y) = 5x y Se sabe que GA=19, halla GR(x)
3. Calcula: GR(x) + GA del monomio: 5+a 3+a P(x; y)=4ax y Si el GR(y)=10
2. Si los monomios: 5 6 m+2 4 P(x; y)=4x y ; N(x; y)=x y Presentan igual GA. Halla "m"
4. Si: P(x) = 4mx , presenta grado 7. Calcula el coeficiente.
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m
Primer año de secundaria
35
11
Capítulo
6 m
5. Si el GR(x) = m+2 de M(x; y) = 4x y Calcula el GA. 6. En el monomio: P(x; y) = (n–3)x GR(x) + GR(y) + 5 = 19 Calcula el coeficiente. 7. El monomio: F(x; y) = 3ax
11. Para que valor de "m" el monomio: 3+m 2m–4 M(x; y) = x y , verifica: GR(x) = GR(y)
4+n n
y , se cumple:
13. Si el GR(x)=12, determina el GA de: 2a+4 a M(x; y) = 2x y
7–a a+1
y
Presenta coeficiente 9. Calcula: GR (x) GR (y)
2a a+4
m+2 3m–1
8. Para el monomio: P(x; y) = 5mx y , cuyo GA=21, calcula la suma del coeficiente de P(x; y) y el GR(x). 2a–1 a+3
9. Sea el monomio: N(x; y) = 3x y Se cumple: GR(x) = GR(y), calcula: GA 4m m+1
10. Sea: M(x; y) = –mx y cumple GA=21, calcula: E = GR(x) × GR(y)
a+5 a a+4
12. Dado: F(x; y; z) = –3x yz Donde: GA=15, calcula GR(z)
14. En P(x; y) = (2a–3) x y , cumple: Coeficiente + GR(y) = 13, halla GA. 15. Del monomio: 23 5m 23 3 2m M(x; y) = 4m(x ) . (x ) . (xy ) . (y ) se cumple GR(x)=GR(y). Calcula el coeficiente.
, un monomio que
Tú puedes 4+m n–2
1. Si los monomios M(x; y) = 4mx y ∧ n–4 m–1 N(x; y) = nx y , cumplen que la suma de coeficientes aumentado en el GA de M(x; y) resulta igual al GA de N(x; y) disminuido en 3n y aumentado en 27. Calcular "m+n" a) 4 d) 12
b) 8 e) 6
c) 5
2. Calcula GR(x) + GR(y), si el monomio: P(x; y) = (m+n)x coeficiente 10. a) 30 d) 29
2m+2n m+n–3
y
b) 27 e) 25 4 7
presenta un c) 22 4 7
4 7
4n
3m
5
7
4. Al multiplicar (x ) . (y ) . x . y , se reduce 21 40 a un monomio: M(x; y) = x y , según ello, calcula "m + n" a) 15 d) 56
b) 19 e) 39
c) 44
5. Si los coeficientes de los monomios: a a+b 4 b ab 6 M(x; y) = (2 – 1) x y ∧ N(x; y) = (3 –2) x y , son iguales y enteros. Calcular el máximo valor que toma el GR(x) del monomio M(x; y). a) 6 d) 4
b) 2 e) 1
c) 5
3. Si se cumple: (5–n)x y +(7–2n)x y =–24x y Calcula el GR(x) del monomio: 2 n+3 4+n
P(x;y) = n x a) 12 d) 18
Colegios
36
TRILCE
y
b) 10 e) 16
c) 15
Central: 6198-100
Capítulo
12
Grados de un polinomio Problemas para la clase 1. Sea el polinomio P(x; y) = 4x5y3 + 3x6y7 – 2016x9y Calcula: GA + GR(x) + GR(y) a) 26 b) 28 c) 29 d) 31
e) 34
2. Sea el polinomio: Q(x; y) = xy4 – 3x5y6 + 8x4 Calcula: GR(x) – GR(y) a) 1 b) 0 d) –1
d) 11
c) –2
e) 3
3. El grado del polinomio R(x; y) = 41xn+1y2 – 307xn –1y; n∈+ es: a) n –1 b) n c) n+1 d) n+2
e) n+3
4. Si: GA = 12 en el polinomio: P(x; y) = xa+2y – 1024x4y2. Calcula el valor de "a". a) 4 b) 6 c) 7 d) 9
e) 10
5. Determina el grado relativo con respecto a "x" en el siguiente polinomio: 2 Q(x; y) = 4x2y6 +3a2x3y4x5 – 4y6(x2) a) 5 b) 4 c) 8 d) 9
e) 3
6. D etermina el grado absoluto del siguiente polinomio: P(x; y) = 4x6y2+3a3x5y – 11b2x4y3 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
e) 10
7. A partir del siguiente polinomio P(x; y; z) = x2y4z5 – 3x3yz2 +y2z GR (x) + GR (y) + GR (z) determine: GA (p) + 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 www.trilce.edu.pe
e) 5
8. Determina el grado absoluto del siguiente polinomio: 2 0 R(x; y) = 4(x2)4y5x – 43x2(y2) x3 – x7y3 a) 10 b) 14 c) 9 e) 21
9. Si el grado del siguiente polinomio: P(x; y) = x4ym+2 – 2x5y7 es 20. Calcula el valor de "m". a) 13 b) 14 c) 15 d) 16
e) 17
10. Dado el polinomio: R (x; y) = `x3 yj`x3 yj`x3 yj ...`x3 yj - 4x20 y21 1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 44 3
10 veces
Halla: GR(x) + GA(R) a) 70 b) 71 d) 73
c) 72
e) 74 5 6
3 4
6 3
11. Si: P(x; y) = 3x y – 2x y – x y Presenta GR(x) = m+3 Calcula "m". a) 3 d) 1
b) 6 e) 2 4
3
c) 4 n 7
12. Si: P(x; y) = 4x +ny – 2x y Presenta GA + GR(y) = 25 Calcula "n–2" a) 11 d) 6
b) 13 e) 7
c) 9
13. Para: m+2 m–1 m m–2 m+3 m+1 Q(x; y) = x y +2x y –3x y Tenemos que: GA = 12 Halla "m" a) 1 d) 5
b) 4 e) 3 a+1 b–1
c) 2 a+2 b–2
14. Si: M(x;y) = x y +2x y Además: GR(x)=7 ; GR(y) = 3 Calcula "ab" a) 20 d) 18
b) 28 e) –14
–x
a+3 b–3
y
c) 16
Primer año de secundaria
37
12
Capítulo
15. En el polinomio: m+1 3 m+4 8 m+2 10 P(x,y) = 3x y + 2x y + mx y + Donde m ∈ ; Hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio, si se sabe que el GR(x) es igual a "7". a) 12 d) 7
b) 9 e) 8
c) 10
16. Dado el polinomio: a a+1 2a a+3 a–6 a+7 2a a+2 P(x;y)=2x y +5x y –ax +ay +7x y Si su grado absoluto es 33; calcular el grado relativo a "x" y el grado relativo a "y". a) 20 y 17 d) 15, 20
b) 18 y 17 e) 19, 16
c) 17, 17
17. Calcula el valor de m+n con la condición de que el polinomio. 2m+n–4 m+n+2
P(x;y)=x
y
2m+n–3 m+n+1
+x
y
2m+n–2 m+n
+x
y
Sea de GA=28 y la diferencia de grados relativos a "x" e "y" sea igual a 6. a) 17 d) 10
b) 15 e) 9
c) 13
18. A partir del siguiente polinomio: P(x) = 4x + 5. Determine el grado del polinomio P(P(x)) a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 6 19. Sean los monomios: P(x) = 4x5 ∧ Q(x) =–3x3 Determine el grado de P(x)+Q(x) a) 3 b) 5 c) 8 d) 2 e) –12
21. Sean los polinomios: P(x)=x5+4x3 – 2x Q(x)=x5+3x2+x+1 Determine el grado de P(x) – Q(x). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 22. Sean los polinomios: P(x; y)= x2y+xy2 Q(x; y)=xy+y3 Determine el grado de P(x; y) – Q(x; y) a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5 23. Determine el grado de P(x); si: P(x) ≡ Q(x) . R(x) ; si Q(x) = 5x4 R(x) = 3x14 a) 16 b) 18 c) 19 d) 20
e) 22
24. Determine el grado de P(x): si se sabe que P(x) ≡ 4Q(x)+5R(x); sabiendo que: Q(x) = x3+5x6 R(x) = 3x2 – 4x6 a) 1 b) 4 c) 3 d) 6
e) 21
25. Determine el grado del siguiente polinomio: (x4+x3+2)(x10 – x+1)+x7 a) 11 b) 7 c) 22 d) 14
e) 18
20. Sean los monomios: P(x; y) = 3x2y3 ∧ Q(x; y) =51x3y4 Determine: GR(x)+GR(y) del polinomio R(x; y) si: R(x; y) ≡ P(x; y)+Q(x; y) a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
Practica en casa 7
4
1. Sea el polinomio: P(x) = x – 2x + 3 A : grado del polinomio B : números de términos del polinomio Calcula: A × B
Colegios
38
TRILCE
2. Se sabe que en el polinomio: a 4 2 P(x) = 3x + 2x – 5a + x + x El grado del polinomio es igual al número de términos, según ello calcular el término independiente.
Central: 6198-100
Álgebra m 7
5 4
3. Sea el polinomio: P(x;y) = 3x y + 2x y – 3xy
a b+3
a+4 b+1
5+a b+4
P(x; y) = x y – 2x y –x y Presenta GR(y)=8, GR(x)=6, calcular "ab".
Cuyo GA=12. Calcular "m" 3 5
10. En el polinomio:
4 n+2
4. El polinomio: P(x; y) = 2x y – 3x y
4 5
3 a+3
5. Si: P(x; y) = x y
5 6
5
– 2x y
a–1 a
6. En: M(x; y)= (x3 y2) 5 (x3 y2) 5 (x3 y2) 5 .... (x3 y2) 5 1 44 444444 2 44444444 3
13 5
2 6
n+5 4
y
3 m
4 m
Siendo: Q(x; y) = 2 (x y) – 3 (x y) 6
14. Dado el polinomio: n n+2
P(x;y)=5x y
2n n+4
+5x y
–ax
n–5
+ay
n+8
2n n+3
+7x y
Si su grado absoluto es 37; calcular el grado relativo a "x" y el grado relativo a "y".
4 6
8. Si: G(x; y) = 3x y – 5x y Presenta GA + GR(y) = 30, calcula "n". m+3 m+1
a+1 a–3
13. Halla "m", si GA=45
30 veces
7. Si: P(x; y) = 4x y – 7x y – 3xy Presenta GR(x) = m–2 Calcula "m"
a+1 a
12. Si: Q(x; y) = 3x y +2x y –3x Si: GR(x)=5, calcular GR(y)
Presenta GA=12, calcular GR(y)
Halla GA.
a+2 3
11. El polinomio: P(x; y) = x y – 2x y –3x y Presenta: GA=15, calcular "a+3"
Presenta GR(y) = 12, calcular: GA.
m–2 m–1
9. Si: Q(x;y)=x y +2x y Presenta GA=18, halla "m"
–3x
m+3
15. Calcular el valor de “a+b” con la condición de que el polinomio. y
P(x;y)=x
2a+b–3 a+b+3
y
+x
2a+b–2 a+b+2
y
+x
2a+b–1 a+b
y
Sea de GA=31 y la diferencia de grados relativos de "x" e "y" sea igual a 3.
Tú puedes 1. Si: al polinomio: P(x; y) = nxmyp+mxm – 1 yp – 1+xn – 8 le restamos 10x3y4 su grado absoluto disminuye. ¿Cuál es el valor del menor de los grados relativos? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
e) 4
2. Calcula el grado de: P(x; y; z; ...) = 4a2x3y5z7... de 13 variables a) 199 b) 198 c) 196 d) 195
e) 189
3. Del polinomio: P(x; y) =35xn+3ym–2z6–n+xn+2ym–3 se sabe que: GA(p)=11 ; GR(x) – GR(y)=5 Luego: 2m+n es: a) 5 b) 15 c) 10 d) 25 www.trilce.edu.pe
4. Sea el polinomio: 12
R (x; y) = x5 y7 - n + xn y n - 4yn - 2 Hallar su grado absoluto, tal que el grado relativo con respecto a "y" sea el menor posible. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
e) 10
5. Determina el grado del polinomio P(x) sabiendo que el grado P2(x) . Q3(x) es igual a 21; además el grado de P4(x) . Q2(x) es 22. a) 2 b) 5 c) 3 d) 7
e) 1
e) 12 Primer año de secundaria
39
13
Capítulo
Polinomios especiales Problemas para la clase 1. Indica el mayor coeficiente y el grado del siguiente polinomio: P(x) = 5x+11 – 3x2+4x2 a) 11; 1 b) 11; 2 c) 11; 3 d) 4; 1
e) 5; 3
2. Determina el grado absoluto del siguiente polinomio: P(x; y) =4x6y7+8x7y5 – 31x4y9 a) 10 b) 9 c) 11 d) 13
e) 12
3. Determina el valor del término independiente del siguiente polinomio de quinto grado. P(x)=5xm–1+4x2+m+1 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
e) 9
4. Resuelva la siguientes ecuaciones: m+3 = 11 2n – 1 = 27 3b – 9 = 0 a) m=6; n=11; b=1 b) m=7; n=12; b=2 c) m=8; n=14; b=3 d) m=8; n=15; b=–3 e) m=7; n=14; b=2 5. Indica qué polinomio es homogéneo: a) P(x; y) = 5x4+2xy2 – 3xy3 b) Q(x; y) = 4x5+5y5 – 3y5x c) R(x; y) = 9x2y+3xy2 – xy d) S(x; y) = 5xyz+8xyz2 – 20x e) T(x; y; z) = 7x2yz+3xyz2 +y4 6. Indica qué polinomio es completo: a) P(x) = 5x4+2x2 – 1 b) Q(x) = x3+x4 +8x – 3 c) R(x) = 1006x+x2 – 2016 d) S(x) = x9+x8+x6+3x4 – 2 e) T(x) = x2+x+x3 Colegios
40
TRILCE
7. Indica qué polinomio es ordenado: a) P(x) = 4x4+5x5+3x – 1 b) Q(x) = x6 – 3x5+8x+4x4 c) R(x) = 200x d) S(x) = 1+x+x2+m ; m ≠ 0 e) T(x) = x4+x2+20 8. Indica qué polinomio es completo y ordenado: a) P(x) = 20x+x3+x4 b) Q(x) = 13x+9x2+2016x4 c) R(x) = 30x4 – 3x3+2x2+x –1 d) S(x) = x5 – 3x2+4x – 20 e) T(x) = x3+2x+30 9. Indica qué polinomio es idéntico al polinomio: Q(x)=4(x+3) a) 4x+3 b) 4x+12 c) x+34 d) 4x – 12
e) 3x+12
10. Si se cumple que los polinomios: P(x)= 3x2+5 Q(x)=(m – 2)x2+n+3 son idénticos. Halla: m.n a) –10 b) 4 c) 20 d) 10
e) 14
11. Sea el polinomio homogéneo: P(x; y) =ax2y7+(b – 1)xay8+2x5yb Halla la suma de sus coeficientes. a) 9 b) 11 c) 12 d) 13
e) 6
12. Sea el polinomio completo y ordenado en forma decreciente: P(x)=xm – 1+xn – 3+xp – 2+xq – 1+mnpq Calcula P(0) a) 64 b) 32 c) 120 d) 128
e) 240 Central: 6198-100
Álgebra 13. Si se cumple que: x(x+2)+3 ≡ ax2+bx+c. Calcula a+b+c a) 7 b) 6 c) 5 d) 8
e) 9
14. Si el siguiente polinomio es idénticamente nulo: P(x)=(a – 1)x3+(b – 1)x2+(c – 4)x+d – 2 Calcula: 3 abcd a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
15. Dado el polinomio completo: P(x)=x2 – x4 – 2x+xn+2+xn+7 Obtenga "n". a) 1 b) 2 c) 4 d) 5
e) 3
16. Halla la suma de coeficientes en el siguiente polinomio: P(x; y) =2ax7ya+3+3x18y12 – 5aya+10 Sabiendo que es homogéneo. a) 27 b) –10 c) 13 d) 12
e) –57
17. Indica qué polinomio es homogéneo y además completo y ordenado respecto a una de sus variables. a) P(x; y)=5x3y5+2y8 – 3xy7+14x2y6 b) P(x; y)=5x3y5+4y8 – 2x7y+21x6y2 c) Q(x; y)=x3y6+2y9+3x2y7+31xy8 d) R(x; y)=x3y5+2x2y6 – 4xy7+5y8 e) S(x; y)=x3+y3+x2+y2+x+y b 18. Determina el valor de a + c , si: el siguiente polinomio es completo y ordenado: a - 1 + xb - 2 + xc - 3 + ... + 2016 P (x) = x1 4444444444 4 2 4444444444 43 15 términos
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
19. Calcula m+n+p, si P(x) ≡ Q(x) siendo: P(x) = 4x2+3x+2 Q(x)=(m+n –1)x2+(n – p+2)x+p – m+4 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
www.trilce.edu.pe
e) 8
20. Sea el polinomio completo y ordenado: P(x)=8xn – 2+9xn –3+...+xm –10 de grado "m – 2". Halla m+n+grado de P(x). a) 17
b) 16
d) 21
e) 20
c) 28
21. Halla la suma de coeficientes del polinomio homogéneo: P(x; y) =xn+3y2n–1+(a+b)xny12+(n–1)xayb a) 17
b) 16
d) 21
e) 20
c) 22
22. Si el siguiente polinomio: P(x; y) =3x3a – 9+xa+b –3+6(x2)4b+a–c es completo y ordenado ascendentemente. Calcula a+b+c. a) 1
b) 3
d) 10
e) 15
c) 6
23. Dados los polinomios idénticos: P(x; y)=(a – b)x3+(b – c)y3 Q(x; y)=(c – a)(x3+y3) ; c ≠ 0 Determina: a + 2b 3c a) 1 b) 2 d) 4
c) 3
e) 5
24. Si el polinomio: P(x; y) = (a – 4)xy2+(a+b –20)x2y se anula para cualquier valor que se les asigne a sus variables. Determina ab . a) 4
b) 8
d) 64
e) 72
c) 16
25. De la siguiente identidad: (x+1)5+(x–1)5 ≡ 2x5+ax3+10x+b Calcula el valor de: (a – 18)(b+3) a) 4
b) 6
d) 8
e) 0
c) –4
Primer año de secundaria
41
13
Capítulo
Practica en casa
1. Indica que polinomio no es homogéneo. a) P(x; y) = x7y3+x3y7 – x4y6+x10 b) R(x; y) = x9y7– x7y9+x10y6 c) S(x; y) = 3x3+2y3+z3 d) T(x; y) = x8– 2x4y4+y8 e) M(x; y) = x3y10+2x5y8 2. Si: P(x)=4+x – x2+9xm Q(x)=xn+3x3+x2 – 6x+1 son polinomios completos y ordenados. Halla m+n. 3. Si: 5x2+2x+3 ≡ (a+1)x2+bx+c. Halla a+b+c. 4. Si: (3 –
a)x2+bx
6. Se cumple que: 2
(a+1) x + (b–1) x + (c+2) x + d – 1 ≡ 0 Halle: a + c b+d 7. Sea el polinomio homogéneo: a–2 7
19
b 15
y – x y+x y
b
c
m+1
n–2
p–5
q–6
9. Si: P(x) = x +x +x +x Es completo y ordenado en forma decreciente, determine m+n+p+q 2
10. Si: x(3x+2)+1 ≡ ax + bx+c Halle: a+b + c 11. Sea el polinomio idénticamente nulo: 10 9 8 P(x)=(a1–10)x +(a2–9)x +(a3–8)x +...+(a10–1)x 2
5. Un polinomio P(x) completo de grado 8 presenta _________ términos.
P(x;y) = x
3
Halle: a1 + a2 + a3 + ... + a10
es nulo; halle a – b.
3
a
8. Si: P(x) = x + x + x + x – x Es completo y ordenado. Hallar a+b+c
; halle: a+b
12. Si: P(x; y) = xn y3 + x7 + xm yn es homogéneo, halle: m . n 13. Si el polinomio: m–5 m–4 m–3 m–2 m–1 P(x) = x +x +x +x +x Es completo y ordenado, halle "m" 14. Si: 2 2 (a – 5)x + (2b – 3)x + 3c – 5 ≡ 3x + 5x + 4 Halle: (a–b) c + b (a – c) 2
15. Si: P(x) = (a+b) x + (b – c) x + c – 3 Es idénticamente nulo. Halle: b − a c
Tú puedes 2
2
1. Si: P(x; y) = 2xa − 2 y + x2 y + xyb − 7 Es homogéneo, halle el mínimo valor para "a+b" a) –6 d) –3
b) –5 e) –2
c) –4
2. En el polinomio completo y ordenado: 2
3
a
P(x) = x(a + 3) + xa (a + 1) + x(7 − a) − 2 + .... + a Halle el término independiente donde a > 0 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
3. Si el polinomio de segundo grado: 3 2 P(x) = (3 a + 1) x + (3 – a) x + 4x – a Es idéntico al polinomio: r Q(x) = (mx + n) , halle: E = m + n – a + r a) 1 d) 4 Colegios
42
TRILCE
b) 2 e) 5
20
19
18
4. Si: P(x) = 20 x + 19x + 18x + ... + x Es idéntico a: 20 19 Q(x)=(a1–a2)x +(a2–a3)x +....(a20–a21)x y además: a1 + a21 = 310, halle a21 a) 40 d) 70
b) 50 e) 80
c) 60
5. Si el polinomio: n/5 7–n n–2 P(x) = (a – n) x + (b – a) x + (c – 2b) x Es idéntico a: c–2 a n–4 Q(x) = –x + (a–1) x – 3x Halle: a+b+c+n a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
c) 3
Central: 6198-100
Capítulo
14
Multiplicación algebraica Problemas para la clase 1. Opera en cada caso: a) (4)(–10) = ______ b) (–7)(–3) = ______ c) (–32)(11) = ______ 2. Efectúa en cada caso: a) x . x2 . x3 = ______ b) m4 . m3 . m2 = ______ 3. Reduzca en cada caso: a) (xy)(xy2) = ______ b) (x3y2)(xy4z2) = ______ 4. Calcula el producto de la siguiente multiplicación: (4x) . (–3x2) a) –12x3 b) 12x2 c) –12x2 d) 10x2
e) x4
5. Calcula el producto de la siguiente multiplicación: (2x2)(3x3)(–4y5) a) 24x5y5 b) –24x5y5 c) 48x11y5 d) –48x5y4
e) 16x4y6
6. Calcula el producto de la siguiente multiplicación: 4x2 . (x3 – 3x) a) 4x5+3x b) 4x5 –3x c) 4x5+4x3 d) 4x5 –12x3 e) 4x6 –12x2 7. Calcula el producto de la siguiente multiplicación: xyz . (x+y – z) a) xyz+y – z b) x2yz+y – zx c) x2yz+xyz – z d) xyz+xy2z – x2yz e) x2yz+xy2z – xyz2 8. Efectúa: (3x + 5)(2x – 4) a) 6x2+2x – 20 b) 5x2 – 2x – 20 c) 6x2+2x+20 www.trilce.edu.pe
d) 5x2+2x+20 e) 6x2 – 2x – 20 9. Calcula el producto de la siguiente multiplicación: (2x+y)(3x – y) a) 6x2+xy – y2 b) 6x2 – xy+y2 c) 6x2+xy – 2y2 d) 6x2 – xy+2y2 e) 6x2+2xy – y 10. Efectúa: (x5+3)(x5 – 3) + 81 a) x20 b) x10 d) x25
c) 2x10
e) 3x10
11. Señale el producto de: (2x3)(3x4)(2x5) a) 12 b) 12x60 d) 12x10
e) 12x12
12. Señale el producto de: (–3x3)(–2x5)(–5x6) a) 6x15 b) 30x14 d) –6x15
c) 6x7y10
e) 18x7y11
14. Señale el producto de: (–4x4z5)(2y3z2) a) 8x4y3z5 b) –8x4y3z5 d) x4y3z7
c) 10x10
e) –30x14
13. Señale el producto de: (3x2y3)(2x5y8) a) 6x2y3 b) 6x2y11 d) 6x7y11
c) 6x12
c) –8x4y3z7
e) –x4y3z7
15. Determina el producto de: 2x2(3x3+4x4 – 5) y señala el coeficiente del término de mayor grado. a) 6 b) 10 c) 8 d) 24
e) 11 Primer año de secundaria
43
14
Capítulo
21. Halla "a+b+c", si:
16. Reduzca: (3x+2)(2x+5)+2x(5x–3) 2
2
(3x+7)(2x–5) ≡ ax + bx + c 2
a) 16x +10
b) 16x +7x+10
2
2
c) 6x +15x+10
d) 16x +13x+10
2
a) –35 d) –30
b) 35 e) 29
c) 30
22. Halla m–n, si:
e) x +19x
2 3
5
5
2 8
7 3
2x y (3x +y ) ≡ mx y + nx y 17. Al multiplicar: (3x – 5)(2x+1) y adicionarle: 7x+5 se obtiene: a) 6x
2
2
b) 6x +10
d) –6x
2
e) x
2
c) 6x –1
2
a) 4xy
3
b) 10xy
3
d) 8xy
3
e) 15xy
3
c) 4
2
2
23. Si: (4x–2y)(3x+4y) ≡ ax + by + cxy a) 1 d) 4
c) 7xy
3
19. Señale el coeficiente del término de primer 2 grado del producto de: (3x +1+2x)(x+2) b) 3 e) 6
c) 4
20. Calcula el coeficiente del término de tercer 3 2 grado de: (3x + 2x–7)(2x +5–x) a) 4 d) 17
b) –4 e) N.A.
Halla: (a–11)(b+9)(c–9)
18. Reduzca: 2 3 3 4 2 (2x+3y)(3x +5y )–(6x +15y +9x y)
a) 2 d) 5
a) 4 d) 5
b) 12 e) 19
b) 2 e) 5
c) 3
24. Reduzca la siguiente expresión: (x5+2017x3+3)(x5+2017x3+8)–(x5+2017x3)2 –11(x5+2017x3) a) 20 b) 23 c) 22 d) 24
e) 28
25. Reduzca: (x2+x+1)(x2 – x+1)(x4 – x2+1) – x4(x4+1) a) 0 b) 1 c) 3 e) x2
d) x
c) 15
Practica en casa 2
5
1. Efectúa: (2x )(3x y) 4 5
9. Efectúa: (3x+2y)(5x–7y) 2
2. Efectúa: (–3x y )(–5x y) 3
2
5
3. Efectúa: (2x y)(3x z)(4x y) 4. Efectúa: (–7xy)(–3yz)(2zw) 4
4 2
2
12. Halla "a+b+c", si:
2
n
5
4
13. Si: x (2x+3) ≡ ax +bx , calcula: a+b+n
7. Efectúa: 2xy (3x +2y +2xy)
14. Reduzca: xy(xy+z)+3z(yx+1) – (xy)(xy)
8. Efectúa: (x+y)(2x–y)
15. Reduzca: (x+1)(2x+1)+(x–1)(2x–1)+x(x+1) – x
Colegios
44
2
2
11. Efectúa: (x +x+1)(x –x+1)
2
6. Efectúa: x y (xy + x y –5z) 5
2
(x+3)(2x–5) ≡ ax +b+cx
3
5. Efectúa: x (2x –x+5) 8 4
3
10. Efectúa: (x +2x–7)(x +3x–1)
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra
Tú puedes 1. Si: xx =
2 ; halla el menor valor de: 2
x (x+1) – x (x+3) + x (x+2) a) 1/2 d) 1/4
b) 1/32 e) 1/8
c) 1/16
2
(x+1)(2x–1)+(x–1)(2x+1)–4x +x
a) 5 d) 2
a) 3 d) 2
2
e)
2 –2
a+1
c) 5
b) 2abc
c) –2
n
2
c) 3abc
2 2 2
d) 4abc
2 +2 b)
2
b) 4 e) 1
a) abc
e) a b c n
3
5. Si: x (x –1) + (a–4)(x+2) = (x –x) Halla: "a+n" a) 9 d) 10
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5
4. Reduzca: 2 2 2 2 2 2 ab(ab+c)+ac(ac+b)+bc(bc+a)–a b –a c –b c
2. Halle el valor numérico de: para x =
5
3. Si: (2x+1) (3x+2) = (6x +2+7x) Halla "a".
b) 6 e) 12
5
c) 8
Primer año de secundaria
45
15
Capítulo
Repaso II Problemas para la clase 1. Si: P(x) = 4x + 3 Determine: P(m+3) a) 2m – 4 b) 5m – 3 d) 3m – 6
e) m+8
2. Si: P(x) =3x – 6 Determine: P(2m – 1) a) 2m – 1 b) 3m – 7 d) m – 3
c) 6m – 9
c) 24
e) 29
4. Sabiendo que: P(x) = –x+2 Calcula: P(m – 3) – P(m+3) + 6 a) 15 b) 13 d) 12
d) –49
e) 6m+4
3. Sabiendo que: P(x) = 4x – 7 Calcular: P(m+3) – P(m – 4) a) 20 b) 28 d) 30
c) 4m+15
c) 14
e) 11
e) 4
6. Sean los polinomios: P(x) = –2x+3 F(x) = –3x+1 Calcula: F(P(–2)) a) –14 b) –20 d) 18
e) 11
11. Si: F(x; y)=x4ya+2 – 2x5y7 Presenta GA = 20, hallar "a". a) 3 b) 8 c) 14 e) 24 1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 44 3
c) 32
e) –10
Su grado es: ______ La suma de coeficientes es: _______ El término independiente es: ______
TRILCE
d) 7
12. En: R(x; y)= `x3 yj`x3 yj`x3 yj ...`x3 yj
Presenta _____ términos
46
e) 10
10. Sea el polinomio: P(x; y) =4xmy2+3x5y3 – 6x4y5 Cuyo GA = 13, calcula "m – 3". a) 9 b) 8 c) 10
d) 16
7. Sea el polinomio: P(x) = x4+3x5 – 2x+6 Completar según corresponda:
Colegios
e) –32
9. Al sumar los polinomios: P(x)=x5+x4+3xm – 2x – 1 y F(x)=x5+x4 – nx6 – 2x+p Se observa que el resultado es un polinomio de 6 términos y de grado 9. Calcular el grado del polinomio P(x). a) 10 b) 12 c) 9 d) 6
5. Si: P(x) =3x+1 y F(x) = 4x – 3 Calcula: P(F(1)) a) 9 b) 3 c) 6 d) 5
8. Del polinomio: M(x) = 4xa+3x2+2x – 7a Su grado es igual al número de términos, según ello, calcular el término independiente. a) 7 b) –28 c) 4
20 veces
Halla GA. a) 20
b) 80
d) 108
e) 16
c) 40
13. Sea el polinomio: P(x, y)=2xa+5ya–1+3xa–2ya+9+4xa+7ya–2 De grado absoluto "33", calcular el valor de "a". a) 11 b) 13 c) 14 d) 15
e) 17
Central: 6198-100
Álgebra 14. Dado el polinomio P(x, y)=7x2ym+3+4x5ym–4+3x4ym+5+x6ym–2 Si: GR(x) + GR(y) + GA = 32 Halla "m". a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
e) 8
15. Halla: a+b+c en el siguiente polinomio homogéneo: P(x; y) = 10xa+6 – 2axb+a+xcyc – x2yb+2 a) 5 b) 6 c) 15 d) 20
e) 23
16. Si el polinomio: P(x)=18xa –18+32xa–b+15+18xc–b+16 Es completo y ordenado en forma ascendente. Calcula (a+b+c) a) 88 b) 32 c) 36 d) 68
e) 92
17. Halla la suma de coeficientes en el siguiente polinomio: P(x; y)=2ax7ya+3+3x18y12 – 5aya+10 Sabiendo que es homogéneo. a) 27 b) –10 c) 13 d) 12
e) –57
18. Sea el polinomio completo y ordenado: P(x)=xm+5+xm+4+xm+3+xm+2+mxm+1 Determine la suma del término independiente con "m". a) –1 b) 0 c) –2 d) 1
e) 2
19. Si se cumple que: x(x+2)+3 ≡ ax2+bx+c Halle: a+b+c a) 6 b) 7 d) 11
20. Sean: P(x)=3x2+x+5; q(x)=axn–1+bx+5 Polinomios idénticos. Halle a+b+n a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
c) 7
21. Señale el producto: (–3x3)(–2x5)(–5x6) a) 6x15
b) 30x14
d) –6x15
e) –30x14
c) 10x10
22. Señale el producto: (3x2y3)(2x5y8) a) 6x2y3
b) 6x2y11
d) 6x7y11
e) 18x7y11
c) 6x7y10
23. Señale el producto: (–4x4z5)(2y3z2) a) 8x4y3z5
b) –8x4y3z5 c) –8x4y3z7
d) x4y3z7
e) –x4y3z7
24. Determine el producto: 2x2(3x3+4x4 – 5) y señale el coeficiente del término de mayor grado. a) 6
b) 10
d) 24
e) 11
c) 8
25. Determine el producto: –3x2y3 (2x2y3 – 4x5y5) y señale el coeficiente del término de menor grado. a) –6
b) 10
d) 12
e) –12
c) 15
c) 8
e) 13
Practica en casa 1. S: P(x) = 3x – 1 Calcula: P(m+2)
4. Si: P(x)=7x – 4 Calcula: P(m+2) – P(m)
2. Si: P(x) = –x+1 Calcula: P(m–1)
5. Dado: F(x; y; z) = –3xa+5yaza+4 Donde: GA = 15, calcula GR(z)
3. Si: P(x) = 2x – 4 Calcula: P(2m – 1) – P(2m+1)
6. Si el GR(x) = 12, determina el GA de: M(x; y)=2x2a+4ya
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Primer año de secundaria
47
15
Capítulo
7. En P(x; y) =(2a – 3) x2aya+4, cumple: Coeficiente + GR(y) = 13, halla GA.
11. Si: (3 – a)x2+bx ≡ 0, halle: a – b
8. Del monomio: M(x; y) =4m(x2)3 . (x5)m . (xy2)3 . (y3)2m se cumple GR(x) = GR(y). Calcula el coeficiente.
12. Efectúa: (3x+2y)(5x – 7y)
9. Si:
P(x) = 4+x – x2+9x3+6xa; Q(x)=xm+7x4 – x3+x2 – 6x+1
Son polinomios completos y ordenados. Halle: a+m 10. Se cumple que: 5x2+2x+3 ≡ (a+1)x2+bx+c Halle: a+b+c
13. Efectúa: (x3+2x – 7)(x2+3x – 1) 14. Efectúa: (x2+x+1)(x2 – x+1) 15. Halla "a+b+c", si: (x+3)(2x – 5) ≡ ax2+b+cx
Tú puedes 1. Sea: P(2x – 3)=2x+5 Calcula el valor de "x" que verifica: P(3x)+P(4x) = 65 a) 5 b) 8 c) 6 d) 9
e) 7
2. Al multiplicar (x4)n . (y3)m . x5 . y7, se reduce a un monomio: M(x; y)=x21y40, según ello, calcula "m+n". a) 15 b) 19 c) 44 d) 56
e) 39
4. Halle el valor numérico de: (x+1)(2x – 1)+(x–1)(2x+1) – 4x2+x para x = 5 + 2 a) 5 b) c) –2 2 d) 2
e) 2 –2
5. Si: xn(x2 –1)n+(k – 7)(x+2) = (x3–x)5 Halla: "k+n" a) 9 b) 6 c) 8 d) 10
e) 12
3. Si los coeficientes de los monomios: M(x; y)=(2a – 1)xa+by4 ∧ N(x; y)=(3b–2)xaby6, son iguales y enteros. Calcular el máximo valor que toma el GR(x) del monomio M(x; y). a) 6 b) 2 c) 5 d) 4
Colegios
48
TRILCE
e) 1
Central: 6198-100
Capítulo
16
Productos notables I Problemas para la clase 1. Desarrolla: (x+4)2 a) x2+16
8. Reduzca: (x+2y)2+(x – 2y)2 – 8y2 a) x2 b) 2x2
b) x2+4x+16
d) 4x2
c) x2+8x+16 e) x+16 2. Desarrolla: (m+6)(m – 6) a) m2+36
d) x4
c) m2 – 12m
b) 3x9 – 21x3y+49y2
– 36
c) 9x6 – 42xy+49y2
5)2
d) 9x6 –42x3y+49y2 e) 9x9+42x3y+49y2
b) x2 – 25 c) 3x2 – 25 d) 9x2
11. Efectúa: (6a2+2)(2 – 6a2)
– 30x + 25
a) 36a4 – 4 b) 4 –36a2
e) 3x2 – 30x + 25 4. Desarrolla: (9y+7)(9y – 7) a) 81y2 – 49 b) 9y2 – 49 d) y2
– 49
e)
c) 9y2 – 2
c) 2x2+y2
d) 9 www.trilce.edu.pe
c) 4ab
e) 8
c) 14
c) –34
e) 2x2
d) 16 13. Reduzca:
e) 0
2 + 2 7. Reduce: (x 4) x–(x–4) a) 16 b) 15
12. Efectúa: (x+3)(x – 3) – (x+5)(x – 5) a) 2x2+34 b) 8x
d) 2x2+2y2 e) 2x2+3y2 6. Efectúa: (a+b)2 – (a – b)2 a) a2 – b2 b) ab
c) 4 – 36a4
d) 36a4 – 4 e) a4 – 36
81y2+49
5. Efectúa: (x+y)2+(x – y)2 a) x2+y2 b) 4xy
d) 2ab
e) y4
a) 3x6 – 42x3y+49y2
– 36
3. Desarrolla: (3x – a) 9x2 – 25
c) x3
10. Desarrolla: (3x3 – 7y)2
b) m2 – 6
e) m2
e) x2+y2
9. Efectúa: (x+y)(x – y)(x2+y2)+y4 a) x b) x2
d) x2+4x+4
d) m2+12m
c) 3x2
2 + (3x - 2) 2 − 8
^3x + 2h
a) 5
3x2 b) 6
d) 8
e) 9
c) 7
14. Efectúa: (x3+3yz)2 – (3x2 – zy)2 – 2yz . (3x3+3x2+4yz) a) x2 – 9x b) x6 – 9x4 c) x4 – 9x2 d) x6+9x4
e) x5 – x4 Primer año de secundaria
49
16
Capítulo
15. Calcula: ` 7 + 2 j` 7 - 2 j` 3 + 1j` 3 - 1j a) 10 b) 12 c) 15 d) 8 16. Calcula: a) 10 d) 19
e) 6 `
2
2
7 + 3j +` 7 - 3j b) 15 c) 20 e) 35
17. Indica la alternativa que contenga un trinomio cuadrado perfecto: a) x2+64+2x b) x2+16 – 4x c) x2+9+16x d) x2 – 8x + 8 e) x2+16+8x 18. Indica la alternativa que no contenga un trinomio cuadrado perfecto. a) 4x2+25 – 20x b) x2+6x+9 c) m2 – 10m + 25 d) y2+100y+2500 e) x2+xy+y2 19. Qué término hay que adicionarle a la siguiente expresión para que se convierta en un trinomio cuadrado perfecto: x2 – 20x? a) 9 b) 81 c) 100 d) 49
e) 36
20. Si el polinomio: x2 – 12x+40 se puede expresar de la siguiente forma: (x – b)2+k donde b y k son números enteros positivos. Halla b . k a) 20 b) 21 c) 22 d) 23
21. Si el polinomio: 4x2+12x+3 se puede expresar de la siguiente forma: (2x+h)2 – k donde h y k son números enteros positivos. Halla: h2+k2. a) 40 b) 43 c) 45 d) 48
e) 51
22. Si: 3x+5y = 14 Determina el valor numérico de: (3x+2y)(3x – 2y)+y(29y+30x) a) 144 b) 76 c) 121 d) 196
e) 200
23. Calcula: 16 ^3h^5h^17h^257h + 1 a) 16 b) 4 d) 3
c) 2
e) 6
24. Si: a+b=6 ∧ ab=2, relacione cada expresión con su respectivo valor numérico dadas las anteriores condiciones I. a2+b2 A) 1016 II. a4+b4 B) 32 a) IA IIB b) IB IIA c) IA IIA d) IB IIB
e) IA II no tiene opción
25. Siendo "x" un número mayor que otro "y" tal que: x+y=5 ∧ xy=2 Halla el valor de (x – y)2 a) 10 b) 13 c) 15 d) 17
e) 19
e) 24
Practica en casa 1. Desarrolla: (m+8)2 2. Desarrolla: (z+11)(z – 11) 3. Desarrolla: (5x – 4)2 4. Desarrolla: (13x – 10)(13x+10) 5. Efectúa: (m+n)2+(m–n)2 6. Efectúa: (r+p)2 – (r – p)2 Colegios
50
TRILCE
7. Reduzca:
2 - ^m - 5h2
^m + 5h
10 m
8. Efectúa: (m+n)(m – n)(m2+n2)(m4+n4)+n8 9. Desarrolla: (5x4 – 3z2)2 10. Efectúa: (x+5)(x – 5) – (x – 6)(x+6) 11. Calcula: ` 8 + 6 j` 11 - 2 j` 8 - 6 j` 11 + 2 j Central: 6198-100
Álgebra 14. Si: x2+y2=82; x+y=10. Calcula xy.
12. Calcula: 8 ^2h^4h^10h^82h + 1
15. Si: x+ 1x . Calcula: x2+ 12 x
13. Si: a+b = 9 y ab = 2. Calcula a2+b2
Tú puedes 2
1. Reduzca:
8− 1
6(x + 1) 2 (x − 1) 2 (x2 − 1) 3 (x2 + 1) 5 (x 4 − 1) 3@ 2
a) x 4 d) x
8
b) x 16 e) x
c) 1
2. Calcula: 16
b) 2 e) 8
www.trilce.edu.pe
b) 6 e) 64
–1 2
–1 2
(x+x ) + (x–x ) a) 81 d) 36
b) 94 e) 9
1 8x (x − 1 + x ) − x B
a (a + 2) + 1
c) 3
3. Halla el valor numérico de: 4 4 (a+b) (a–b) para: a = 3 + 2 2 ; b = 3 − 2 2 a) 8 d) 48
+1
c) 46
5. Halla "a" (a > 0)
3 # 5 # 17 # 257 + 1
a) 1 d) 4
4. Si: x + 1 = 5x
a) 1 d) 9
b) 2 e) 8
= ( x + 1)18 ( x − 1)18 c) 3
c) 24
Primer año de secundaria
51
17
Capítulo
Productos notables II Problemas para la clase 1. Obtenga el trinomio cuadrado perfecto que desarrolla la siguiente potencia: (x+5)2 a) x2+25 b) x2+15 c) x2+10x+25 d) x2+5x+25 e) x2+25x+10 2. Obtenga el trinomio cuadrado perfecto que desarrolla la siguiente potencia: (m2 – 3n)2 a) m4+9n2+mn b) m2+6m2n+9n2 c) m2+9n2 –
6m2n
d) m4+9n2 – 6m2n e) m4+9n2+6m2n 3. Obtenga el trinomio cuadrado perfecto (TCP) que desarrolla la siguiente potencia: (3x2+5y3)2 a) 9x4+25y6 b) 9x4+30x2y3+25y6 c) 9x4+30x3y2+25y6 d) 9x4+30x2y3+y6 e) 9x4+15x2y3+5y6 4. La raíz cuadrada de: 25x4 es: a) 5x b) 5x2 c) 25x d) 5x4
e) 25
5. El doble del producto que resulta de la multiplicación de las raíces cuadradas de los términos: 9x2 ; 16y6 es: a) 12xy b) 12x2y c) 24xy3 d) 24xy
Colegios
52
TRILCE
e) 24x2y3
6. Completa: *
81m2 = _____________
*
36y2 = _____________
*
4a2 b6 = _____________
7. El trinomio: x2+6xy+9y2 es equivalente a: a) (x+y)2 b) (x+3y)2 c) (x – 3y)2 d) (3x+y)2
e) (3x – y)2
8. El trinomio: 4a2+12ab+9b2 es equivalente a: a) (2a+b)2 b) (a+3b)2 c) (2a+3b)2 d) (2a+5b)2 e) (a+9b)2 9. El trinomio: 9x2 – 6x+1 es equivalente a: a) (3x+1)2 b) (3x+1)(3x –1) c) (3x+1) d) (9x – 1)2 e) (3x – 1)2 10. El trinomio: a4+25b4 – 10a2b2 es equivalente a: a) (a –15b2)2 b) (a2+5b)2 c) (a+5b2)2 d) (a2–5b2)2 e) (a2–5b)2 11. Si los polinomios: P(x) = (5x+3)2 Q(x)=ax2+bx+c son equivalentes. Halla ab+c. a) 759 b) 781 c) 769 d) 799
e) 802
12. Si: (3x+2y)2 ≡ Ax2+Bxy+Cy2 Halla: A.B+C a) 98 b) 96 d) 112
c) 104
e) 117
Central: 6198-100
Álgebra 13. Dado: 9x2+18xy, indique que monomio se debe agregar para que se convierta en TCP. a) y2 b) 6y2 c) 36y2 d) 9y2
e) 25y2
14. Dado el binomio: a4+4b4, si al adicionarle el monomio ka2b2 se convierte en un TCP, señale k. a) 2 b) 4 c) 8 d) 16
e) 1
15. Dado: x2+4xy+9y2, la expresión que se debe adicionar para que se convierta en un TCP. a) xy b) 2xy c) 3xy d) 4xy
e) 6xy
16. Si: 4x20+12x10y14+9y28 ≡ (Axm+Byn)2 Halla: A+B+m+n a) 29 b) 30 c) 28 d) 31
e) 32
17. Exprese al trinomio: x2+6x+1 en la forma: (x+h)2+k, donde h y k son constantes. a) (x+3)2 – 4 b) (x – 3)2 – 8 c) (x+3)2 – 6 d) (x – 3)2 – 6 e) (x+3)2 – 8 18. Exprese al trinomio: 4x2 – 12x en la forma: (2x – h)2+k, donde h y k son constantes. De como respuesta h+3k a) –24 b) –25 c) –26 d) –27
e) –28
19. Halla el valor de "x" que verifica que: x2 – 6x + 9 = 0, sabiendo que si: A∈ ∧ A2=0 A=0 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
21. Halla el valor de m y n respectivamente, tales que verifique que: m2 – 4m+4+n2 – 2n+1=0 sabiendo que Si A, B∈ ∧ A2+B2=0 A=0 y B=0 a) m=1; n=1 b) m=2; n=1 c) m=3; n=1 d) m=4; n=1 e) m=5; n=–1 22. Halla el valor de x . y, sabiendo que se verifica que: x2 – 6x+y2 – 4y+13=0 además: Si A,B∈ ∧ A2+B2=0 A=0 y B=0 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
e) 6
23. Si: 4x2 –12x+m ≡ (2x – n)2 Calcula: m+n a) 15 b) 12 d) 9
c) 7
e) 4
24. Si los siguientes polinomios P(a; b) ≡ (2+2a+2b+ab) . ab+a2+b2 Q(a; b) ≡ (ma+nb+pab)2 son idénticos. Halla 3m+5n – 2p a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
e) 8
25. Si: 2mx2+2nx+p Es un TCP, señale la relación entre: m, n y p a) 9n2=4mp b) 9n2=8mp c) 3n2=4mn d) 3n2=5mp e) 9n2=2mp
e) 5
20. Halla el valor de "x" que verifica que: 4x2+4x+1=0, sabiendo que si: A∈ ∧ A2=0 A =0 1 −1 a) − 1 4 c) 5 2 b) −1 d) − 1 6 e) 3
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Primer año de secundaria
53
17
Capítulo
Practica en casa 1. Si el trinomio x2+10x+25 es equivalente a (x+k)2. Determine el valor de k.
9. Hallar el valor positivo de "K" 2 2 x – 11 xy + 9y + Kxy es un TCP
2. Si: (5x – 3y)2 ≡ mx2+nxy+py2 Halla el valor de (m+n).p
10. Reduzca: 2 2 (x+y) +(x–y) +(1+x)(1–x)+(1+y)(1–y)–2 Indique a qué expresión se debe agregar para que se obtenga un TCP.
3. Dado: 4x2+9y2, indique que monomio se debe agregar para que dicha expresión se convierta en un TCP. 4. Si: x2+8x+1 ≡ (x+h)2+k entonces 5h+3k es igual a: 5. Obtenga dos números reales x e y tales que ambos verifiquen la siguiente igualdad: x2+y2 – 8x+6y+25=0 2
2
4
2
6. Si: (5x +3y) ≡ Mx + Nx y + Py Halla: M + N + P
2
2
2
11. Halla "K", si: (a+3b) + (a+b) + Kb Es un TCP
2
12. Si: a+b = 3 ab = 1 4 4 Halla: a + b 13. Si: 2 2 2 2 2 2 4a +4ab+b +25x +30xy+9y ≡(Ma+Nb) +(Ax+By) Halla: M + N + A + B 14. Si:
2
7. Dada la expresión: 25x + 10 xy Indique qué monomio se debe agregar para que la expresión se convierta en un TCP 4 4
4
2 2 2
8. Dada la expresión: 6 a + y + K a y 2 Halla K , si es un TCP
4
2 5
10
2
3
32
2
52
6
x –14x y +49y +36a –12ab +b ≡ ≡(Ma+Nb ) +(Ax +By ) Halla: (M – N + A – B) 14
7 4
8
m
n2
15. Si: 9x +42x y + 49y ≡ (Ax +By ) Señale: A + B + m + n
Tú puedes 2
1. Si: 2mx + 3nx + p Es un TCP, señale la relación entre: m, n y p a) 9m2=4np b) 3n2=4mp c) 9n2=8mp d) 9n2=4mp e) n2=4mp 2. Halla "K", si: 2 2 (m+2n) –(m–2n) +m(m+2n)+2n(m+2n)+Kmn Es un TCP multiplicado por 3. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 3. Halla "p", si: 2 22 2 2 4 4 4 2 2 (x +y ) + (x+y) (x–y) –(x +y )+px +2x y es un TCP Colegios
54
TRILCE
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
4 4. Si: x + 1 = 4 . Halla: x + 14 x x
a) 195
b) 196
d) 181
e) 173
c) 194
5. Si: ( 5 x + 2 y) 2 + ( 5 x − 2 y) 2 + Kxy Es un TCP. Halla P( 10 ) en P(x) = Kx + 1 a) 40
b) 41
d) 43
e) 45
c) 42
Central: 6198-100
Capítulo
18
Productos notables III Problemas para la clase 7. Desarrolla: (2m+5)3
1. Desarrolla: (x + 1)3 a) x3+1
a) 8m3+125+30m
b) x3+3x+1
b) 8m3+60m2+150m+125
c) x3
– 3x+3x – 1
d) x3
3x2+3x+1
–
c) m3+125m d) 8m3+125
e) x3+3x2+3x+1
e) 8m3+125+30m
2. Desarrolla: (x+1)(x2 –x+1) a) x3+3x2+3x+1
8. Efectúa: (2x+1)(4x2 – 4x + 1) – 1
b) x3+3x+1 c) x3+1
a) 2x3
b) 6x3
d) x3 – 1
d) 9x3
e) 18x3
e) x3+3x2+1
9. No es correcto que:
3. Relaciona: I. (x+8)(x – 5) II. (x+6)(x – 3) III. (x – 8)(x+5) a) IA IIB IIIC
A) B) C) b) IB IIC IIIA
c) IC IIB IIIA
d) IB IIA IIIC
x2 – 3x – 40 x2+3x – 40 x2+3x – 18
e) IC IIA IIIB
b) x3 – 6x2 – 12x – 8 d) x3 – 6x2 + 12x – 8
c) (x – y)(x2+xy+y2) ≡ x3 – y3 d) (x+8)(x+5) ≡ x2+40 e) (x – 7)(x – 3) ≡ x2 – 10x+21
e) x4
11. Efectúa
e) x2+8
2
(x+2)(x –2x+4) – x
5. Efectúa (x+7)(x+3) – (x+5)2+9 a) 1 b) 2
3
c) 3
e) 5
6. Efectúa: (m+n)(m2– mn+n2) – (m – n)(m2+mn+n2) a) m3 b) n3 c) 2m3
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b) (x+y2)(x – y2) ≡ x2 – y4
d) x3
c) x3 – 8
d) 2n3
a) (x+y)3 ≡ x3+3x2y+3xy2+y3
10. Reduzca: ^x + 1h^x - 1h^x 4 + x2 + 1h + 1 x4 a) x b) 1 c) x2
4. Desarrolla: (x – 2)3 a) x3 – 6x + 12x2 – 8
d) 4
c) 8x3
a) x –8 d) 6
3
b) 8 2 e) x –8
c) –3x
12. Efectúa 2
2
(x–3)(x +3x+9)–(x–2)(x +2x+4) 2
a) 2x d) –12x
b) –19 2 e) x +1
c) 12x
e) m3+n3 Primer año de secundaria
55
18
Capítulo
13. Efectúa:
19. Calcula:
2
(3 3 - 1) (3 4 - 3 2 + 1) (3 9 + 3 3 + 1) (3 2 + 1)
2
(x+1)(x –x+1)+(x–1)(x +x+1) 2
a) 2x b) 2 3 3 d) –2x e) 2x 14. Si: A = (x+1)(x+4) B = (x+3)(x+2) C = (x+5)(x–2) D = (x+2)(x+1) Halla: A – B + C – D a) –12 d) –14
c) –2
c) 12
b) –22 e) 4
c) –25
d) 3
e) 6
c) 2
21. Calcula: a) 12
b) 10
d) 2
e) 7
c) 6
(3 2 - 1) 3 + 3 3 2 (3 2 - 1)
c) 18
3
(x+2) – x – 8 2
a) 0
b) 16x+x –8 2
c) 12x+ 2x – 8
a) 0
b) 2
d) 1
e) –2
c) –1
3
23. Si a+b=4 y ab=2. Calcula a +b
17. Efectúa:
d) 12x+6x
e) 12x
2
a) 40
b) 43
d) 46
e) 52
3
c) 49 3
24. Si x2 + y2 = 18 + xy ; x+y= 2 . Calcula x +y a) 5 d) 9
b) 6 e) 4 3
3
c) 7
3
25. Si x–y=2; x –y =40. Calcula 3xy
18. Efectúa: 2
(x–1) + 3x + 1 2
3
a) 3x +3x
b) x +3x
c) 3x
d) 3x
e) x
b) 4
22. Calcula:
b) 17 e) 20
3
a) 16
(3 5 + 3 2) 3 - 3 3 10 (3 5 + 3 2)
16. Si: x + y = 3 xy = 1 3 3 Halla: x + y
3
c) 15
(3 2 - 1) (3 2 + 1) (3 16 + 3 4 + 1)
15. Reduzca: 2 2 2 2 2 2 4 (a +8)(a +3)–(a +4)(a +7)+(a +5)(a –5)–a
a) 16 d) 19
b) 12 e) 6
20. Calcula:
b) –2 e) –10
a) –4 d) –29
a) 10 d) 8
3
a) 16
b) 14
d) 15
e) 17
c) 18
2
Practica en casa 1. Efectúa: 2 (x+5)(x –5x+25) – 125
4. Reduzca: (a+4)(a+2)–(a+7)(a–1)+(a+3)(a–2)–(a+6)(a+1)
2. Reduzca: 2 2 (x+4)(x –4x+16)+(x–4)(x +4x+16)
5. Reduzca:
3. Efectúa: 2 2 (x–4)(x +4x+16) – (x–1)(x +x+1)
6. Efectúa:
Colegios
56
TRILCE
(xy+1)(xy+7)+(xy+2)(xy–10)+2(3+xy)(3–xy)
(5+y)(5+3y)–(2+3y)(2+5y)+12(y+1)(y–1)–9
Central: 6198-100
Álgebra 7. Efectúa: 2 2 (x –2x+4)(x+2)+(x–2)(x +2x+4)
12. Si: x + 1 = 3 x 3 Hallar: x + 13 x
8. Efectúa: 3 3 (x–3) – x + 27
13. Calcula: (3 5 − 1) (3 9 − 2 3 3 + 4) (3 25 + 3 5 + 1) (3 3 + 2)
9. Efectúa: 3 (x+1) – 3x – 1
2
2
14. Si: x +y = 12 – xy; x – y = 3 3 Calcula: x – y
10. Si: a+b=2 ab=3 3
Hallar: a +b
3 3
Calcula: xy
ab = 3 3
Halla: a – b
3
15. Si: x+y=5; x + y = 35
11. Si: a – b = 5
3
3
Tú puedes 1. Reduzca: ( a + 1) ( a − 1) (a2 + a + 1) − ( b + 1) ( b − 1) (b2 + b + 1)
a) a d) a–b
b) b e) a3 – b3
c) a+b
4. Reduzca: 2 2 (x –4)(x–3)(x+1)–[x(x–1)–4] a) 4 d) 2
b) –4 e) 6 2
2. Calcula: 3
^3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 h − 9^3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 h
a) 3 d) 0
b) 6 e) 12
c) 9
c) 0
2
5. Si: (ab) +(cd) =3 y abcd=2 Calcula: 6 6 6 6 a b +c d a) –6 d) –12
b) –8 e) –7
c) –9
2 3. Si: `x + 1 j = 3 (x>0) x Halla: x5 + 15 x
a) a d) 7
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b) – 3 e) 6
c)
3
Primer año de secundaria
57
19
Capítulo
Productos notables IV Problemas para la clase 1. Efectúa: 2 2 (a + 3)(a – 3)
9. Reduzca: 3 3 3 (x+1) + (x–1) – 2x
a) a4
b) a4 – 9
d) a+9
e) a4
2. Efectúa: 2 4 2 (a + 1)(a – a + 1) a) a4 b) a4+1 d) a6
–1
e)
c) a2 – 9
c) a6+1
a9+1
3
a) x2 – 4 d) x2–
TRILCE
2
2
b) –8 e) –14
2
4x2–
c) x2– 2x+4
4x+1
c) –2
2
2
c) x2 – 4x – 21
e) 3x2 –7
e) –2x3
2x2
– 34
a) 12x d) 6x
b) 0 e) 7
2
c) –4
13. Efectúa:
8. Reduzca: (x+1)(x+5)+(x+3)(x–9) a) 2x2 – 10 b) 2x2 – 11 c) 2x2 – 22
58
e) –8x
(x + 6x + 3)(x + 6x + 7) – (x + 6x + 5)
7. Reduzca: 2 2 (x+3)(x –3x+9) + (x–3)(x +3x+9) a) x3 b) –x3 c) 2x3
Colegios
d) –6x
c) –5x
12. Efectúa:
b) x2+4
– 24 e)
b) 4x
a) –6 d) –18
6. Reduzca: (x+1)(x–1)+(x+2)(x–2)+(x+3)(x–3) a) 3x2 b) 3x2 – 14 c) 3x2 –1
d) 2x2
a) x
2
d) x2+4x–21 e) x2 – 21x
d) –x3+9
e) 2x2
(a+2)(a–2)(a +4)– (a + 2 )(a – 2 )
5. Efectúa: (x + 3)(x – 7) a) x2 – 21 b) x2 – 10x
d) 3x2 – 6
d) 2x2
c) 3x3
11. Reduzca:
2
4x+4 e)
b) 6x2
10. Reduzca: (x+4)(x–4) – (x+8)(x–2)
3. Efectúa: (a + 2) a) a3+8 b) a3+8+6a(a+2) c) a3+12a2+6a+8 d) a3+6a2+12a+8 e) b y d 4. Efectúa: (x – 2)
a) 6x
2
2
2
(x + x + 2)(x + x – 2) – (x + x) 2
a) 2x d) –4x
b) –4 e) 4
2
c) 12x
14. Efectúa: 2
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – (x +5x+5) 2
a) 2x d) –1
2
b) 2 3 e) 2x
c) –2x
b) –18 e) 15
c) 27
15. Si:
a+b=3
ab = 5 3
Halla: a + b a) 18 d) –27
3
Central: 6198-100
Álgebra 2
21. Si: x – 3x + 1 = 0
16. Si: x + 1 = 3 ; obtenga: x3 + 13 x x a) 0
b)
d) 2 3
e) –2 3
Calcula: x3 + 13 x
c) – 3
3
17. Reduzca: 3
3
2
2
(a+b) +(a–b) +2a(5b –a ) 2
2
a) 6 ab 2 d) 4 ab
b) 16 ab 2 e) 12 ab
18. Reduzca:
c) 10 ab
5− 1
a) x d) 1
b) x e) 0
+1 c) x
2
b) x e) 12xy
d) 18
e) 27
22. Reduzca: (x+3)(x+5)+(x+4)(x–6)+(x–7)(x+1) a) 3x
2
2
2
2
2
b) 10x 2 e) –8x
c) 12x
2
x + 3 xy + 9y = 17 ............ (1) x = 5 + 3y ..... (2) 3
Halla: x – 27y + 11 b) 86 e) 80
2
2
2
a) 85 d) 96
c) 12x
24. Si: x – 4x + 1 = 0 Calcula: x2 + 12 + x3 + 13 x
a) 75 d) 60
x
b) 72 e) 48
2
3
c) 3x –24
e) 3x –16
25. Si: x + 1 =
2
b) 3x –10
a) 0 2 d) 8x
20. Si: 2
c) 12
23. Reduzca: (x+1)(x+3)+(x+3)(x+2)–(3+5x)(3–2x)
3
19. Efectúa: 2 (x+y–3)(x–y+3) + (y–3) a) 0 2 d) 10y
b) 24
d) 3x –17
6(x − 1) 2 (x2 + x + 1) 2 (x3 − 1) 3@ 2
2
a) 10
c) 66
5x
Calcula: x + 16 x 6
a) 16 d) 15
b) 14 e) 19
c) 18
c) 95
Practica en casa 1. Reduzca: 2 2 2 (x+3)(x–3)(x +9)–(x + 5 )(x – 5 )
5. Si: a + b = 5 ab = 7 3 3 Halla: a + b
2. Reduzca:
6. Si: x + 1 = 5; halla: x3 + 13 x x
6(x + 2) 2 (x − 2) 2 (x2 − 4) 5@
1/7
+ ( 3 x + 1) ( 3 x − 1) + 5
3. Efectúa: 2 2 2 2 (x – x + 5)(x – x + 7) – (x – x + 6)
7. Reduzca: 3
3
(a+2b) + (a – 2b) + 2a ( 5 b+a)(
5 b–a)
8. Efectúa: 4. Efectúa: 2 2 2 2 (x – 3x + 5)(x – 3x – 5) – (x – 3x – 5) + 50
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(a – b + 6)(a – b – 6) – (a – b)
2
Primer año de secundaria
59
19
Capítulo
2
2
9. Si: x + 5xy + 25 y = 10
13. Reduzca: (3+x)(3+2x)+(5+2x)(5–3x)+(3x–7)(2x+5)
x = 3 + 5y 3
3
Halla: x – 125y + 10 10. Calcula el valor de: (3 2 + 3 3 )(3 4 − 3 6 + 3 9 ) + (3 4 − 3 3 )(3 16 + 3 12 + 3 9 )
2
11. Si: x – 5x + 1 = 0 Calcula:
x3+
2
14. Si: x – 6x + 1 = 0 Calcula: x2 + 12 + x3 + 13 x x 2
15. Si: x + 1 =
3x Calcula: x + 16 x
1 x3
6
12. Reduzca: (a+11)(a+5)+(a–3)(a–2)+(a+9)(a–20)
Tú puedes –1
5
1. Si: a+a = 8 . Halla: a +a
–5
4. Reduzca: 2 2 4 2 8 4 8 8 (x –x+1)(x +x+1)(x – x +1)(x – x +1)–x (x +1)
a) 29 2
b) 45 2
c) 50 2
d) 58 2
e) 56 2 2. Efectúa, utilizando productos notables: 25
3 # 5 # 17 # 257 + 1
a) 1,7 d) 1,2
b) 1,4 e) 1,3
c) 1,1
a) 1 2 d) x
b) 0 e) x
c) x
4
5. Halla el valor numérico de: 3 E = x – 3x + 15 para: x= 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 a) 20 d) 17
b) 21 e) 19
c) 20
3. Halla el valor numérico de: 4 4 (x+y) – (x–y) Para: x= 7 + 2 ; y= 7 − 2 a) 12 47
b) 112 47
d)
e) 100 47
Colegios
60
TRILCE
47
c) 112 7
Central: 6198-100
Capítulo
20
División algebraica I Problemas para la clase 1. Opera en cada caso: a) +15 = ________ c) --20 2 = ________ 2. Efectúa: 10 a) x 3 = ________ x
- 12 = ________ b) + 4
d) x2+6x2 5 b) x3 = ________ x
3. Dado el polinomio: P(x)=3x+8x2+7x3 – 4 entonces su grado es: a) 1 b) 2 d) 4
c) 3
4. Reduzca en cada caso: a) 5x+2x – 4x = __________ b) 3x2 – 11x2 = __________ 5. En la siguiente división algebraica: x2+2x x+1 x+1 –1 ______________ ______________ ______________ ______________
6. A partir de la siguiente división: x3 + 6x2 + 11x + 7 x2 + 3x + 2 Se pide indicar el grado del cociente: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
7. Obtenga el cociente luego de efectuar: 8x6 4x2 a) 2x3 b) 2x4 c) 4x4 d) 4x3 www.trilce.edu.pe
e) 2x
e) x – 6
9. Obtenga el cociente luego de efectuar: x2 + 3x + 1 x+1 a) x b) x – 1 c) x+1 d) x+2
e) –4
El dividendo es: El divisor es: El cociente es: El residuo es:
8. Obtenga el cociente luego de efectuar: x3 + 6x2 x a) x2+6 b) x2+6x c) x+6
e) x – 1
10. Obtenga el residuo luego de efectuar: 2x2 + 13x–4 2x–1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5 4 7
5
11. Efectúa: (–12x y ) ÷ (3xy ) a) 4xy
7
b) –3x y
3 2
e) 4x y
d) –4x y 12. Efectúa: 24 a 4 b3 − 8 a3 b2 a) 3 ab d) –8 ab
2 3
4 7
c) 6x y
4 5
b) –4 ab e) –3 ab
c) 8 ab
13. Efectúa: 3 2 (x + 10x – 4x) ÷ (x) 2
b) x – 10x – 4
2
d) x +10x–4
a) x – 10x + 4 c) x +10x+4
2 2
2
e) x +10x 14. Efectúa: 4x3 + 6x2 − 8x 2x 2
a) x +3x–8 2
c) 2x +3x–4
2
b) 2x +3x–8 2
d) x +3x–4
2
e) 2x –3x+4
Primer año de secundaria
61
20
Capítulo
2
15. En una división exacta, el divisor es (x +5) y el cociente es (x+1). Hallar el dividendo. 3
3
2
a) x +x+5
b) x +x +5x+5
c) x +x +5
d) x +5
3
2
13
16. Al dividir (12x ) entre (6x ), el grado del cociente es 7. Calcular el valor de "m". a) 9 d) 12
b) 10 e) 13 4 7 3 − 18x y z 17. Efectúa: 6xyz2 a) 3xyz
b) –3xy
3 6
5
3 5
c) 3x y
23. Al dividir (x
18. ¿Por cuál polinomio debe multiplicarse (6y z ) 5 3
para obtener (–54xy z )? b) 6xy z 3 6
c) –9xy z
d) –3–x y z
5
e) 3x3y z 19. Efectúa:
6x 4 y − 9x3 y2 + 12x2 y3 3xy
3
2
a) 2x –3x y+4xy 3
c) 3x –3xy+y 3
2
3
2
b) –2x +3x y–4xy
2
3
d) 6x +xy+y
2
e) –x +3x y+4xy
2
2
2 3 5
20. ¿Por cuál polinomio debe multiplicarse (4x y ) 4 5
3 7
5 9
para obtener (16x y – 28x y +8x y ) 2
2
b) 4x–7y +2y
2 4
d) 4x+7y –2y
a) 4x+7y +2x 2
2
2
c) 4x–7y +2x y 2
e) 4x+7y –2x
3 2
4
b) 110 e) 140 m+2
+3x
n–5
c) 120
+8x
p+1
3
y ordenado. Calcular:
mn + np + mp − 1
b) 3 e) 9
c) 5
24. Halla el término lineal del cociente que se genera al dividir el polinomio: P(x) = 10x4+6x3 – 37x2+36x–1 entre 5x2 – 7x+3 a) x b) 2x c) 3x d) 4x
e) 5x
25. Si la división: 8x5 - 2x4 + x3 - ax2 + 2x + 5 4x - 3 genera como cociente a Q(x) y un resto igual a 2, indicar el valor que adopta: Q(1)+a. a) 12 b) 7 c) 5 d) 10
e) 0
4
2
Practica en casa 1. En la siguiente división: 3
2
2x +x + 3x + 1
2. A partir de la siguiente división:
x+1 2
2x – x + 4 –3
5
4
2
x + 2x – x +3 2
x – 2x + 1 El grado del cociente es:
El cociente es:
Colegios
62
TRILCE
3
–7x ) entre (x )
el cociente obtenido es un polinomio completo a) 1 d) 7
2
2
8 b
22. Al dividir: (x y +x y ) entre (x y ) se obtiene
a) 100 d) 130
3 2
a) 9xy z
a 7
c) 2
el valor de "a × b".
e) 3x y z
2
b) 1 e) 4
un polinomio homogéneo de grado 13. Calcular
c) 11
3 5
d) –3x y z
4 p
a) 0 d) 3
e) x +5x+5 m+8
m 18
(–12x y ) entre (nx y ), calcular el valor de "p–(m+n)"
3
3
3 7
21. Si (–4x y ) es el cociente que resulta de dividir
Central: 6198-100
Álgebra 7
4
3. Efectúa: (18x ) ÷ (9x )
3 a 4 b5 11. Efectúa: 4a b − 12 2 2a b
10 4. Efectúa: − 15 m4 −5 m 8
4 2
12. ¿Qué polinomio debe multiplicar a (x y ) para 5 3
6 4
obtener (3x y + 8x y )?
5
4
5. Efectúa: (x + 8x ) ÷ (x )
4 6
13. Si (3x y ) es el cociente que resulta de dividir a b
2 3
(12 x y ) entre (4x y ), entonces:
4 3 6. Efectúa: x + 3x − 5x x
a=
7. En una división exacta, el divisor es (x+3) y el cociente es (x+9). Calcular el dividendo.
b= a 7
2 3
8. Al dividir (20x
m+7
5 4
4 6
obtiene: mx y + nx y . Luego:
3
) entre (5x ), el grado del
cociente es 10. Calcular el valor de "m".
9. Efectuar:
9 b
14. Al efectuar (12 x y + 18 x y ) ÷ (6 x y ), se
− 21 x 4 y7 3 x3 y6
a=
m=
b=
n = a
10
13 b–3
15. Al efectuar (x +5y +x y
4 8
) ÷ (x y )
Se obtiene un polinomio homogéneo de grado 15. Luego: 4 9
10. ¿Qué monomio debe multiplicar a (8x y ) para 9 13
obtener (–32x y )?
a= b=
Tú puedes 1. En una división exacta, el dividendo es 3 2 2 (x +6x +5x+p), el divisor es (x +m) y el cociente es (x+q). Calcular el valor de m+p+q a) 34 d) 41
b) 36 e) 44
c) 38
2. Si los cocientes de la siguientes divisiones: Bx A y CxB representan términos semejantes. AxB BxC Calcular el valor de: A + C B a) –1 b) 2 c) –2 d) 1 e) 0 A
B
C
3. Si se cumple: Mx – Nx = 5x Calcular el cociente de la siguiente división: (3A + 7B) xM (6B − C) xN 4 5 a) 8x b) x c) 2x 6 d) 3x e) 1 www.trilce.edu.pe
4. En una división, se tiene: Dividendo = P(x) Divisor
2
= x – 6x + 5
Cociente = Q(x) Residuo
= ax + b
Si se cumple: P(5) – P(1) = 12, calcular el valor de "a". a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3 3
5. Al dividir un polinomio P(x) entre x , el resto es: 2
x +x+7, halle su término independiente. a) 0 d) 4
b) 2 e) 7
c) 3
Primer año de secundaria
63
21
Capítulo
Repaso III Problemas para la clase 2
3
1. Efectúa: (x+5) – x (x+10)
13. Reduzca: (2m+1) –6m(2m+1)–1 3
2
3
a) m
2
2. Efectúa: (y–7) – (y–8) + 2y
3
d) 8m
2 2 3. Reduzca: (m + 5) + (m2 − 5) − 50 ; m ≠ 0 m
e) 16m
c) 4m 3
3
14. Desarrolla: (7x–5y) –105xy(7x–5y)+125y a) x
2 2 4. Reduzca: (x + 9) 2 − (x − 9) 2 ; x ≠ 0 (x + 1) − (x − 1)
3
b) 2m
3
d) (8x)
3
b) (6x)
3
e) (9x)
3
3
3
c) (7x)
2
15. Reduzca: (x–8)(x+4) – (x+2) + 16+ 8x 2
a) –20 d) –21
5. Reduzca: (x+3)(x–3)(x +9) + 81 6. Efectúa: (x + 4)
3
7. Efectúa: (m – 5)
3
b) –22 e) –23
16. Reduzca: (x + 1 ) 2 − (x − 1 ) 2 x x a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
a) 4x 9. Reduzca: (m–6)(m+7) + m (m+1)
2
d) 64x
b) 16x 2
3
11. Desarrolla: (5m+4) 2
3
2
b) 25m +40m+16
2
c) 5m +20m+16
2
d) 25m +16
2
e) 25m +40m+4
b) 7m –9
2
d) m –9
2
e) 49m –42m+9 Colegios
64
TRILCE
2
4
a) 10
b) 15
d) 25
e) 30
19. Desarrolla: (a + b + c) 2
2
2
2
2
2
2
2
a) a +b +c
d) a +b +2abc
2
c) 49m +42m+9
2
2
c) 20
2 2
2
2
b) a +b +c –abc
c) a +b +c +2(ab+bc+ac)
2
a) 49m –9
c) 32x
18. Reduzca: (x + 5) – x – 5x (2x + 1) + 5x
2
a) m +16
c) 3
2
e) 128x 2
10. Reduzca: (x+1) + (x–1)
x!0
17. Reduzca: (4x + 2003) 2 + (4x − 2003) 2 − 4006
8. Desarrolla: (x+5)(x–8)
12. Desarrolla: (7m–3)
c) –24
2
2
2
e) a +b +c +a+b+c
2
2
20. Reduzca: 6(x + 8) (x + 5) − (x + 7) (x + 6) + x @2 − (x + 2) 2 a) –4x d) –32x
b) –8x e) –24x
c) –16x
Central: 6198-100
Álgebra 2
21. Si: x + 3x = 8, hallar el valor numérico de:
27. Reduzca: (x2 + 2y) (x2 − 2y) + (x2 + 2y) 2 − 2x 4 x2 y a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
(x+1)(x+2)(x+5)(x–2) a) –10 d) –40
b) –20 e) –50
c) –30
22. Si: a + b = 5
28. Si: x + y = 5
ab = 2 2
Halla: a + b
2
a) 20
b) 21
d) 23
e) 24 2
23. Si: x+y=3, reducir: (x+y) – x (9y+x ) – y a) –1 d) 2
b) 0 e) 3 3
Halla x – y ;
c) 22
3
3
c) 1 3
2
b) 12x e) 30x
c) 18x
2 25. Si: m + 2 = 5 , Halla: m + 42 m m a) 19 b) 20 d) 22 e) 23
26. Reduzca: 2
a) x 8 d) x
x>y
a)
21
b)
20
d)
6
e)
17
c)
31
29. Si: x + y = 7
24. Reduzca: (x+2) + (x–2) – 2x (x –12x) – 24x a) 6x d) 24x
xy = 1
c) 21
2
xy = 20 y Halla: x + y x a) 3/20 d) 7/20
b) 9/20 e) 13/20
4 1 30. Si: x + 1 = 5 , Halla: x + 2 x x a) 21 b) 22 d) 24 e) 25
c) 11/20
c) 23
(x + 1) (x − 1) (x2 + 1) (x 4 + 1) + 1 4
b) x 16 e) x
c) x
6
Practica en casa 1. Desarrolla: (7n+2)
2
2 2 6. Reduzca: ` 4x + 1 j − ` 4x − 1 j x x
x !0
2. Desarrolla: (5x – 3)
2
7. Reduzca: (3x + 1005) 2 + (3x − 1005) 2 − 2010
3. Desarrolla: (4x – 5)
2
8. Reduzca: (x +3) – x – 3x (2x + 1)
4. Desarrolla: (5x – 11y)
2
2
9. Desarrolla: (x+y+2)
2
2
5. Reduzca: (x–6)(x+2)–(x+2) +10
4
2
10. Reduzca: 6(x + 4) (x + 7) − (x + 5) (x + 6) + x @2 2
11. Si: x + 5x = 60, hallar el valor numérico de: (x+2)(x+4)(x+1)(x+3)
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Primer año de secundaria
65
21
Capítulo
14. Reduzca:
12. Si: a+b=7 ab = 2 2 2 Halla: a + b
3
3
3
(x+2) + (x – 2) – 2x + 24x
2
2 15. Si: x+ 3 = 5, Halla: x + 92 x x
13. Si: x + y = 3 3
2
Reduzca: (x+y) – y (9x + y ) – x
3
Tú puedes 1. Si: x – 3y = 5
Halla el valor numérico de: (x + 5) (x − 5) y (2x − 3y) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Si el polinomio: 2 2 P(x; y) = 25x + 4axy + 16y Es un trinomio cuadrado perfecto. Hallar el máximo valor que toma "a". a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
Colegios
66
TRILCE
b) 122 e) 125
a) 10
b) 12
d) 9
e) 16
(ab ! 0) c) 4
5. Simplifica: A=(a+b+c)(a+b+d)+(a+c+d)(b+c+d)–
c) 11
–(a+b+c+d) a) ab+cd
3. Si: x + 1 = 3, Halla: x5 + 15 x x a) 121 d) 124
2 2 4. Calcula: 2 a + b + 3a + 4b ab b a 2 Sabiendo que: (a+b) = 4 ab
d) ab+c
2
b) ab–cd
c) ab–c
2 2
e) a b –cd
c) 123
Central: 6198-100
Capítulo
22
División algebraica II Problemas para la clase 1. Efectúa las siguientes operaciones: a) 4 + 5 =
b) –3+8 =
c) 4 – 3 =
d) 5 – 8 =
6. La división: 6x 2 + 5x + 7 2x + 3 Se representa mediante el siguiente esquema de Horner: 2 3
2. Efectúa las siguientes operaciones: a) (+4)(–5) =
b) (12) ÷ (3) =
c) (–3)(+2) =
d) (–8) ÷ (2) =
6
5
7
¿Cuál es el error? 3. Dado el polinomio: 4 2 P(x) = 5x + 3x + 6x + 1
7. El siguiente esquema corresponde a una división efectuada por el método de Horner:
Completa: a) Coeficiente principal =
3 2
b) Grado del polinomio = c) Término independiente = d) Suma de coeficientes =
9
–3 6
5 2
3
1
7
Señala: a) El cociente
=
b) El residuo
=
4. En la siguiente división: 2x 2 + 3x + 5 x+2 El dividendo es
:
El divisor es
:
5. El polinomio: 4
3
2
P(x) = x + 8x – 5x + x + 7 Está completo y
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respecto a la variable.
• Dada la siguiente división x 2 + 7x + 1 x−2 8. El cociente es
:
9. El residuo es
:
10. La siguiente división: x 2 − 3x + 5 x−4 ¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta Primer año de secundaria
67
22
Capítulo
18. Calcula el cociente de la siguiente división: 6x3 + 19x2 + 18x + 9 3x + 5
2 11. Luego de efectuada la división: x + 5x − 4 x −1 Completar: 2
a) Dividendo
= x + 5x – 4
a) 2x +3x+1
2
b) x +2x+1
b) Divisor
=
c) x +2x+3
d) 2x +x+3
c) Cociente
=
e) 3x +2x+1
d) Residuo
=
2
Dividendo
A
7
Divisor
B
x+2
Cociente
C
x+3
Residuo
D
x +5x+13
19. Calcula el residuo de la siguiente división: 4x3 + 5x2 − 2x − 3 4x − 3 a) 9 b) 12 c) 3 d) 0 e) 6 20. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división x3 + 5x2 − 6x + 1 ? x2 − x − 1 a) x+7 b) x+6 c) x+5 d) x+4 e) x+3
2
2 13. Luego de efectuar la división: x + 7x + 13 x+5 Indicar verdadero (V) o falso (F)
21. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división:
a) El dividendo es
: x + 7x + 13
2
(
)
b) El divisor es
: x–5
(
)
c) El cociente es
: x–2
(
)
d) El residuo es
: 3
(
)
14. Obtener el residuo de la siguiente división: 4x 2 − 5x + 9 x−3 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 2 15. Luego de efectuar: 6x + 7x + 2 2x + 1 Indicar el cociente
b) 3x+2 e) 3x+4
c) 2x+3
b) 5 e) 8
c) 6
17. Obtener el cociente de la siguiente división: x3 + 5x2 + 6x + 8 x+4 2
b) x –x+2
2
2
a) x +x+2 c) x +x–2
3x3 + 2x2 + 6x + 13 x2 − x + 2 a) 3x+5 b) 5x–3 d) 5x+3 e) 0
c) 3x–5
22. Luego de efectuar la siguiente división: 6x3 − 25x2 + 3x − 5 , el cociente es: 3x 2 − 5x + 2 a) 2x+5 b) 2x–5 c) –2x+5 d) –2x–5 e) 5x+2 3 2 23. Luego de efectuar: 5x + 42x + 7 − 2x x +1−x
Indica el residuo
2 16. Si el residuo de la división: 6x − 11x + m 3x − 1 Es 4, calcula el valor de "m"
a) 4 d) 7
2
2
2 12. Luego de efectuar la división: x + 5x + 13 x+2 Relacionar correctamente
a) 3x–2 d) 2x–3
2
2
d) x –x–2
a) 4x+2 d) 2x+4
b) 5x+3 e) 3x+5
c) 0
3 x2 + Ax + B 24. Si la siguiente división: x + 7 2 x + 2x − 1
Es exacta, calcula: A + B a) 3 d) 9
b) 4 e) 10
c) 7
4 3 2 25. Si la división: x + 3x 2+ 5x + Ax − B x +x−2
es exacta, calcula A+ B a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
c) 11
2
e) x +x+1
Colegios
68
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 8. Calcula el cociente de la siguiente división: x3 + 4x2 + 6x + 9 x+3
2 1. Luego de efectuar la división: x + 2x + 5 x−1 Completar:
a) Cociente b) Residuo
= =
9. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división: 2x3 + x2 + 3x + 2 x−1
2 2. Luego de efectuar la división: x + 4x + 5 x+3 Relacionar correctamente:
10. Halla el residuo de la siguiente división: 3x3 + 8x2 + 7x + 6 3x + 2
Dividendo
A
x+1
Divisor
B
2
Cociente
C
x +4x+5
Residuo
D
x+3
2
11. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división: x3 + 3x2 + x − 2 x2 + x − 1
2 3. Luego de efectuar la división: x + 6x + 8 x+2 Indicar verdadero (V) o falso (F)
a) El cociente es b) El residuo es c) La división es exacta
: x+4 : 16
( ( (
) ) )
4. Calcula el residuo de la siguiente división: x 2 − 3x + 2 x−6 2 5. Luego de efectuar: 5x − x + 2 , Indica el cociente x−1 6. Obtener el cociente de la siguiente división: 6x 2 + 5x − 4 2x − 1
3 2 12. Luego de efectuar la división: 5x +212x + x + 3 x + 2x − 1 El residuo es: 2 3 13. Luego de efectuar: 7x − 22+ 12x − 7x 3x + x − 2 Indicar el residuo 3 2 14. Si la siguiente división: x + 27x + Ax + B x + 5x − 3 Es exacta, calcula el valor de "A+B"
15. Dada la división exacta: 2x 4 − 9x3 + 2x2 + 8Ax + B x 2 − 5x + 1 Calcula el valor de "A + B"
2
7. Si el residuo de la división: x − 5x + m x−3 Es 3, calcula el valor de "m"
Tú puedes 1. Calcula "m+n+2" si la división: 6x5 − 17x 4 + 7x3 + mx2 + nx + p , es exacta 3x3 − 4x2 + 5x − 7 a) 22 b) 18 c) –11 d) 25 e) 28 2. Si el residuo de la siguiente división: 3x5 − 8x 4 − 5x3 + 26x2 + mx + n x3 − 2x2 − 4x + 8 Es –5x+2, calcula 2m+n" a) –20 b) –50 c) –3 d) –40 e) –70 3. Al efectuar la siguiente división: 6x3 − 12x2 + 4Ax + A , 3x 2 + 3 El residuo toma la forma "mx+m". Calcula el valor de "A+m" a) 10
b) 24
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c) 30
d) 31
e) 32
4. Calcula la suma de coeficientes del cociente de: 6x5 − x 4 + 4x3 − 10x2 + Ax − 6 3x − 2 Sabiendo que el residuo de la división es 2. a) 1 d) 5
b) 2 e) 7
c) 4
5. Calcula el cociente de la siguiente división exacta: ax 4 + (a − b) x3 + bx2 + (b − c) x + c ; ax2 − bx − c b ∧ c son números reales no nulos. 2
2
a) ax + bx + c
b) x + x – 1
c) ax + x + b
d) x + bx + c
2
2
2
e) x – bx – c Primer año de secundaria
69
23
Capítulo
División algebraica III Problemas para la clase 1. Efectúa las siguientes operaciones: a) 7 – 2
=
b) –4 + 5
=
c) – 6 – 2
=
d) 2 – 5
=
6. La división: x2 − 8x + 10 x+3 se efectúa mediante el siguiente esquema de Ruffini: 1
–8 10
3 Es correcto?
2. Efectúa las siguientes operaciones: a) (5)(2)
=
b) (3) (–4)
=
c) (–2)(–3)
=
d) (–1) (5)
=
7. El siguiente esquema corresponde a una división efectuada por el método de Ruffini: 2 –3
7
5
–6 –3 2
1
2
Señala: 3. Ordene el polinomio en forma descendente: 3
&
P(x) = 5 + x – 6x + x P(x) =
2
• Dada la siguiente división: 2
3x − 5x + 7 x−2
a) Cociente b) Residuo
8. El siguiente esquema de Ruffini: 7 1 7
Contesta las siguientes preguntas:
: :
–2
5 –10
7
5
B
5
A
0
Calcula: "A + B"
4. El dividendo es
:
El divisor es
:
• A partir de la siguiente división: 2x 2 − 5x + 3 x −1 Responde:
5. El cociente es
:
El residuo es
:
9. El cociente es: 10. La división, ¿es exacta o inexacta?
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70
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Álgebra 17. A partir del siguiente esquema de Ruffini:
2 11. Luego de efectuar la división: x + 2x − 9 x−3 Completa:
5 1
a) Dividendo = b) Divisor
= x–3
c) Cociente
=
d) Residuo
=
a
2 –3
5 b d 5 7
c
e
Calcula el valor de: (b+c+e) ÷ (a+d)
2 12. Luego de efectuar la división: x + 7x + 14 x+2 Relacionar:
a) 1
b) 2
d) 4
e) 6
c) 3
18. El cociente de la siguiente división: 3x3 + 2x + 3 x−2 es:
Dividendo
A
x+2
Divisor
B
4
Cociente
C
x +7x+14
a) 3x – 6x + 14
Residuo
D
x+5
c) 3x – 6x – 14
2
2
b) 3x + 6x + 14
2
2
d) x + 1
2
2
e) 3x + 6x – 14
2 13. Luego de efectuar la división: 3x − 7x + 6 x+1 Indicar verdadero (V) o falso (F) 2
19. Calcula el residuo de la siguiente división:
a) El dividendo es
: 3x + 7x + 6
(
)
b) El divisor es
: x–1
(
)
c) El cociente es
: 3x + 4
(
)
d) El residuo es
: 10
(
)
14. Calcula el cociente de la siguiente división: x3 + 3x2 − 13x − 15 x+5
e) 4
15. Halla el residuo de la siguiente división: 2x3 − x2 + 3x − 2 x+2 c) 29
16. Obtener la suma de coeficientes del cociente de: 2x2 + 3x + 4x3 + 7 x+1 a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
2x3 + 7x2 − 2x + m x+3
d) 3
2
e) 30
20. Si el residuo de la siguiente división:
b) 1
e) x – 2x – 1
d) –29
e) 8
a) 0
d) x – 2x – 3
b) –28
d) 7
c) 6
2
2
a) 28
b) 5
Es igual a 17, calcula el valor de "m".
b) x – 2x + 3
c) x + 2x + 3
a) 4
2
2
a) x + 2x + 1
2x 4 + 3x3 − x2 + 2x + 6 x+2
c) 5
c) 2
3 2 21. Al efectuar la división: x + 5x + mx + 15 x+2 El término independiente del cociente es 8. Calcula: m + residuo
a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
22. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división: 3x3 + 8x2 + 7x + 6 3x + 2 2
b) x + 2x + 1
2
d) x +2x – 1
a) x – 2x + 1 c) x – 2x – 1
2 2
2
e) x + 1
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Primer año de secundaria
71
23
Capítulo
23. Halla el residuo de la siguiente división: 3x 4 − 2x3 + 6x2 + 11x + 10 3x − 2 a) 21 b) 20 c) 23 d) 24 e) 25
24. De la siguiente división: ax3 + (b − a) x2 + (3c − b) x + 5c x−1 Calcula el valor de "a+b", si la suma de coeficientes del cociente es 51, y el residuo de la misma es 56. a) 13 d) 41
b) 24 e) 50
c) 30
Practica en casa 1. Luego de efectuar la división:
6. Calcula el cociente de la siguiente división: 2x3 + x2 − 7x − 6 x−2
2
x + 9x + 20 x+6 Completar: a) Cociente
:
b) Residuo
:
7. A partir del esquema de Ruffini: 5 –1
2. Luego de efectuar la división:
5
2
x − 5x + 7 x−3
3
B
–5
1
–4
–1
A
3
Calcula el valor de A + B
Relacionar correctamente:
8. El cociente de la siguiente división:
Dividendo
A
x–3
Divisor
B
1
Cociente
C
x –5x+7
Residuo
D
x–2
3x3 + 2x2 + 3 ; es: x+2
2
9. Calcula el residuo de la siguiente división: 3x 4 + 5x3 − 10x2 + 7x + 4 x+3
3. Luego de efectuar la división: 3x 2 + 2x − 5 x−1 Indicar verdadero (V) o falso (F):
10. Si el residuo de la siguiente división:
a) El cociente es
: 3x+5
(
)
b) El residuo es
: 10
(
)
(
)
c) La división es exacta
2x3 + 9x2 + 3x + A x+2 Es igual a 20, calcular el valor de "A" 11. En el siguiente diagrama de Ruffini: 1
4. Obtenga el cociente de la siguiente división: 3
4
2
x + 5x − 10x − 8 x−2
A 1
2
–3
2
1
B
0
3
0
C
Calcula el valor de "A+B+C"
5. Halla el residuo de la siguiente división: 2x3 + x2 + 3x + 10 x+1 Colegios
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Álgebra 12. Al efectuar la división:
14. Luego de efectuar la siguiente división:
x3 + 6x2 + Ax + 30 x+4 El término independiente del cociente es 7 Calcula: A + residuo 13. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división 3
2
mx3 + (n − 3m) x2 + nx + 5 x−3 El residuo obtenido es 41, calcular "m" si la suma de coeficientes del cociente es 18. 15. A partir de la división: (A − 5) x3 + (B − A) x2 + (C − B) x + A + B x−1
2x + 3x + 3x + 7 ? 2x + 1
Obtener la suma de coeficientes del cociente, si el residuo es igual a 14.
Tú puedes 1. Calcula el valor de:
3. Calcula el cociente de la siguiente división:
4A − B + 7B + 2A B A
x36 − 5x18 + 8 x9 + 2
Si luego de efectuar:
a) x – 2x – x + 2
Ax3 + 3x2 − 5x − B x−2
b) x
27
+ 2x
c) x
27
– 2x9 + 2
d) x
27
– 2x
18
–x +2
e) x
27
– 5x
18
+4
3
El residuo obtenido es "7B+2" a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
exacta efectuada por el método de Ruffini: G
E
F
A
B
C
E
B
D
B
A
F
A A
Indica el cociente de la división: 3
2
a) x + x + x + 1 3
2
b) –x + x – x + 1 3
2
c) 2x – x + x – 1 3
2
d) –x – 2x + x – 1 3
2
e) x – x + x – 1
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18
9
+x +2 9
4. Al efectuar la división:
2. El siguiente esquema representa una división
A
2
Ax 4 + (A − A2 + 1) x3 + x2 − A2 x + A2 − 7 x − A +1 La suma de coeficientes del cociente y residuo obtenidos es cero. Calcular el valor de "A". a) –1 d) 2
b) 0 e) 3
c) 1
5. Si Q(x) es un polinomio que representa el cociente de la siguiente división: AMx3 + (AP + BN) x + BP + (AN + BM) x2 Ax + B El cuál verifica: Q(1) = 0, calcular el valor de: 4M + N + P + M + 8N + P + M + N + 14P M N P a) 18 d) 23
b) 19 e) 27
c) 21
Primer año de secundaria
73
24
Capítulo
División algebraica IV Problemas para la clase 1. Efectúa las siguientes operaciones: a) 8 – 5
=
6. Efectúa las siguientes operaciones:
b) 1 – 6 + 7 =
c) (3)(–5) =
d) (–4)(–2)
=
2
a) (5) + 8 = 2
b) (3) – 2 (4) – 1 = 3
c) (4) – 5 (8) + 10 = 2. Efectúa las siguientes operaciones a) (3)
2
c) (–5)
= 2
b) (4)
=
3
d) (–2)
= 3
=
7. Sabiendo que: x–A=0
x=A
x+A=0
x = –A
Calcula "x" en las siguientes ecuaciones:
3. Efectúa: 2
a) x – 3 = 0
x=
3
b) x – 5 = 0
x=
c) x – 4 = 0
x=
d) x – 1= 0
x=
a) (5) – 10 = b) (2) – 5 (2) + 4 = 4. Si: x – A = 0
x=A
Calcula "x" en las siguientes ecuaciones: a) x – 4 = 0
x=
b) x – 8 = 0
x=
c) x + 5 = 0
x=
5. Luego de efectuar la división: 6x2 − 5x + 7 , completa: x −1
8. Calcula el residuo de la siguiente división: x2 − x + 5 x−2 Residuo = 9. Obtener el residuo de la siguiente división: x2 + 5 x−3
Dividendo = Divisor
=
Cociente = Residuo
=
10. La siguiente división: x 2 − 3x + 2 x−2 ¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta
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Álgebra 11. Dada la siguiente división: x 2 − 5x + 7 x−2 Completa: a) Dividendo = b) Divisor = c) Divisor = 0 x = d) Residuo = 12. Relacionar correctamente:
18. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división x5 + x3 + 8 x+1 a) 0 d) 5
A
x=4
x+4=0
B
x = –7
x+7=0
C
x = –4
x–4=0
D
x=7
13. Dada la siguiente división: x 2 − 2x + 8 x−1 Indicar verdadero (V) o falso (F):
a) –3 d) 5
b) 4 e) –5
c) 0
20. Halla el residuo de la siguiente división: (3x − 2) 5 + 8x − 4 x−1 a) 0 b) 2 c) 5 d) 7 e) 8 21. Si el residuo de la siguiente división:
2
a) El dividendo es : x –2x+8 ( ) b) El divisor es : x+1 ( ) c) Su divisor =0 x = 1 ( ) d) El residuo es : 11 ( ) 14. Obtener el residuo de la siguiente división: x2 − 8 x−3 b) –2 e) –1
c) 3
19. Si la división: x3 + 5x + A − 13 x−2 Es exacta, calcular el valor de "A"
x–7=0
a) 0 d) 1
b) 1 e) 6
c) 4
15. Calcula el residuo de la siguiente división: x2 + x + 1 x−2 a) 6 b) 7 c) –7 d) –8 e) 0
(x − 2) 7 + Ax − 1 x−3 Es igual a 15, calcular el valor de "A" a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
22. Obtener el residuo de la división: (x2 − 8) 4 + 7 (x − 2) 3 − x x−3 a) 0 b) 2 c) 5 d) 7 e) 8 23. Luego de efectuar la división: 5x7 + (M − 1) x 4 − 2 x−1 Se obtiene por residuo 14, calcular "M" a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
16. Halla el residuo de la siguiente división: x3 − 5x + 2 x−2 a) –4 b) –1 c) 0 d) 2 e) 3
24. Halla el residuo de la siguiente división: 5x10 + x8 − 2x2 + 10 x2 − 1 a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
17. Halla el residuo de la siguiente división: x3 + 2x2 − 7 x+1 a) –3 b) 4 c) –5 d) 6 e) –6
25. Calcula el residuo de la división: (x2 + x + 4) 2 + (x2 + x + 3) 4 + x2 + x + 6 x2 + x + 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
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Primer año de secundaria
75
24
Capítulo
Practica en casa
1. Dada la siguiente división: x2 − x + 9 x−2 Completar: a) Dividendo = b) Divisor = c) Divisor = 0 x = d) Residuo =
7. Halla el residuo de la siguiente división: x3 + 10 x+1 8. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división: x3 + x2 + 3 x+1 9. Si la división: x3 + 4x + A − 8 x−1 Es exacta, calcular el valor de "A".
2. Relacionar correctamente: x+6=0
A
x=5
x–5=0
B
x = –6
x+5=0
C
x = –5
x–6=0
D
x=6
10. Halla el residuo de la siguiente división: (x − 1) 4 + 2x + 3 x−2
3. Dada la siguiente división:
11. Si el residuo de la siguiente división: (x − 4) 3 + Ax − 1 x−5 Es igual a 35, calcular el valor de "A".
x 2 − 3x + 6 x −1 Indicar verdadero (V) o falso (F) 2
a) El dividendo es : x –3x–6
(
)
b) El divisor es
(
)
(
)
12. Obtener el residuo de la división: (x2 − 3) 5 + 5 (x − 1) 3 − x x−2
(
)
13. Luego de efectuar la división:
: x–1
c) Su divisor =0
x = 1
d) El residuo es : 4
4. Obtener el residuo de la siguiente división: x2 − 10 x−4 5. Halla el residuo, luego de efectuar: x 2 + 3x + 1 x−4
14. Halla el residuo de la siguiente división: 13x14 − 7x10 + 5x6 + 1 x2 − 1
6. La siguiente división:
15. Calcula el residuo de la siguiente división:
x3 − 5x − 12 x−3 ¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta:
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2x10 + (M − 5) x7 − 3x x−1 Se obtiene por residuo 9, calcular "M".
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(x3 + x − 6)10 + 4 (x3 + x − 5) 3 + 8 x3 − 7 + x
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Álgebra Tú puedes 1. Si el residuo de la siguiente división: 1 + 2x + 3x2 + 4x 4 + ..... + nxn − 1 x−1 2 Es igual a "n –7n" Calcular: n 5 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
4. Luego de efectuar la siguiente división: Mx2M + 13 + (4M + 3) xM + 17 − M (x + 1) 2 + 2 x−1 El residuo obtenido es 8. Calcular el valor de M. a) 1 d) 4
2. Calcula el residuo de la siguiente división: x3n + 15 + 7n2 xn + 5 − 5nx2n + 10 xn + 5 − 2n 3 a) 0 b) n 3 3 d) 3n e) 4n
c) 2n
3
b) 2 e) 5
c) 3
5. Halla el residuo de la siguiente división: (x + n) (x − n − 1) (x − n − 2) (x + n + 1) x2 − x − n2 2 a) n b) 3n c) n +2 2 d) 3n+2 e) 3n +2n
3. Halla el residuo de la siguiente división: x999 x99 − 10 9 9 9 9 a) 9x b) 7x c) 6x 9 9 e) 4x d) 7 x
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Primer año de secundaria
77
25
Capítulo
Factorización I Problemas para la clase 1. Factoriza el siguiente polinomio: P(x) = x2+3x e indique un factor primo. a) x b) x2 c) x– 3 d) x+1
e) 3x
2. Factoriza el siguiente polinomio: P(x)=x4 – x3+5x2 e indica un factor primo a) x2 b) x2+x+5 c) x2 – x+5 d) x2+x – 5 e) x(x2 – x+5) 3. Factoriza el siguiente polinomio: Q(x)= 3x4 – 21x2 e indica un factor primo a) 3x b) 3x2 c) x d) x2 – 21
e) x – 7
4. Factoriza el siguiente polinomio: R(x)=15x6 – 5x5+5x4 e indica el número de factores primos a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
e) 6
5. Factoriza el siguiente polinomio: P(x; y)=x3y+xy2 e indica un factor primo. a) x+y b) xy c) x+y2 d) x2+y
e) x+2y
6. Factoriza el siguiente polinomio: P(x; y)=5x2y2 – 5xy3+15x2y3 e indica un factor primo. a) 5x2 b) y2 c) x–y+3xy e) x+y–3xy e) xy 7. Factoriza el siguiente polinomio: P(x)=x2. (x – 5)+a . (x–5) e indica un factor primo a) x2 b) x – 5 c) x+a d) x+5
Colegios
78
TRILCE
e) x+a
8. Factoriza el siguiente polinomio: R(x; y)=x(xy+2)+y(xy+2) e indica un factor primo. a) x+2 b) xy+y c) xy+1 d) x – y
e) xy+2
9. Factoriza el siguiente polinomio: M(x)=x2(x+3) – m(x+3) + x + 3 e indica un factor primo. a) x2 – m b) x+m c) x2+m–1 d) x2– m+1 e) x2+x+3 10. Factoriza: P(x; y)=x2(x+3y)+5y(x+3y) – x – 3y e indica el factor primo trinomio. a) x2 – 5y+1 b) x2+5y – 1 c) x2+y – 1 d) x2 – y + 1 e) x2+5y – 3 11. Factoriza: P(x)=x3+5x2+7x+35 e indica un factor primo. a) x2+7 b) x2+5 d) x2+1
c) x2+3
e) x
12. Señale un factor primo de: P(x; a; b; c)=a2b2+a2c2+x2b2+x2c2 a) a2+c2 b) b2+x2 c) b2+c2 d) a2+x
e) b+c
13. Señale un factor primo de: y2 – yz+x2y – x2z a) y – z2 b) y+x2 d) y2+x2
e) y+z
14. Señale un factor primo de: R(x; y; z) = x2+xy+xz+yz a) y+z b) x d) x+z
c) y2+x
c) y
e) z
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Álgebra 15. Factoriza: P(x; y) = x5+x3y3+m2x2+m2y3 e indica el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
16. Factoriza: P(x; y) = x3+x2y+xy2+y3 e indica un factor primo. a) x2 b) x d) x2+y
d) 4
c) y2
e) x2+y2
d) nx+my e) x+ny
d) 2x – y
e) x – 2y
23. Indica la suma de los factores primos del siguiente polinomio: P(x)=(x+3)(x+2)+(x+5)(x+4) – 3(x+4) a) 3x+9 b) 3x+8 c) 3x+7 d) 3x – 8
e) 3x+1
24. Un factor de: b(a+6c)+2ac+3b2 es: a) a+b b) b+c c) a+3b c) y+2x
e) x – 2y
19. Factoriza y señala un factor primo de: P(x; y) = x17y21+x8y26 a) x8+y5 b) x9+y5 c) x9+y6 d) x5+y9
e) 5
22. Factoriza: P(x; y)=3x3+3x2 – yx2 – yx – (y – 3x) e indica el factor primo binomio. a) x – y b) 3x+y c) 3x – y d) x+y
17. Factoriza: P(x; y; m; n)=mnx2+mny2+xym2+xyn2 e indica un factor primo. a) x+y b) m+n c) mx+y 18. Factoriza: P(x; y)=2x3+2xy2 – x2y – y3 e indica un factor primo. a) x+y b) x – y
21. Luego de factorizar el siguiente polinomio: P(x; y)=x4y3+x3y4+x3y3+x2y4 e indica cuantos factores primos presenta. a) 1 b) 2 c) 3
d) a+3b
e) a+3b
25. Señale un factor primo de: P(a; b; x; y) = (ax+by)2+(ay – bx)2 a) ax+by b) ay – bx c) a2+x2 d) b2+y2
e) a2+b2
e) x9+y7
20. Señale un factor primo de: P(x; y; z) =x3y+x2yz+x4z+x3z2 a) x+y b) x+z2 c) y+z d) x+yz
e) y+xz
Practica en casa 1. Factoriza: P(x) = x4+6x2
6. Factoriza: Q(x; y)=3x2y2 – 3xy3+9x3y2
2. Factoriza: Q(x)=x5 – x4+7x3
7. Factoriza: P(x)=x3(x – 4)+7(x – 4)
3. Factoriza: R(x)=5x5 –10x3
8. Factoriza: Q(x; y)=x(xy+1)+(xy+1)
4. Factoriza: S(x)=16x15 –4x10+8x6
9. Factoriza: T(x)=x2(x – 5) – 4(x – 5)+x(x – 5)
5. Factoriza: P(x; y)=x3y+xy3
10. Factoriza: P(x; y)=x2(x+y)+5y2(x+y) – x – y
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Primer año de secundaria
79
25
Capítulo
11. Factoriza: R(x)=x3+5x2+3x+15
14. Factoriza: P(x)=(x–5)(x–3)+(x+2)(x–4)+(x+2)
12. Cuántos factores primos presenta el siguiente polinomio: P(x)=(x+3)(x+7)+(x+5)(x+2) – 2x – 4
15. Factoriza: b(a+3b+9a)+3a2
13. Factoriza: P(a; b)=a6b7+a5b9
Tú puedes
1. Sea P(x) un factor primo del polinomio: Q(x)=x2(x3 – 1)+x2+x+1 Halla el máximo valor de P(1). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
2. Indica el factor primo binomio del siguiente polinomio: P(a; b)=a2+4ab – ac+3b2 – bc a) a+2b b) a+b c) a – b d) 2a – b
4. Indica la suma de factores primos de: P(x)=(x+3)(x+7)+(x+5)(x+2) – 2x – 4 a) 3x+6 b) 3x+9 c) 3x+12 d) 3x+7
e) 3x+8
5. Un factor primo de: P(x; y)=3x6 – 7x5y+6xy3 – 14y4 es: a) 3x+7y b) 7x+3y c) x+7y d) x3+2y5
e) x5+2y3
e) a+b – c
3. Indica un factor primo del siguiente polinomio: P(x; y)=(x+y)2+(x – y)2+x3+xy2 a) x+2 b) x – 2 c) x2+y2 d) xy2
Colegios
80
TRILCE
e) b ó c
Central: 6198-100
Capítulo
26
Factorización II Problemas para la clase 1. Factoriza: P(x)=x2 – 4x+4 e indica un factor primo. a) x
b) x – 1
d) x – 3
e) x – 4
c) x – 2
d) 10x+z
2. Factoriza: Q(x)=x2+10x+25 e indica un factor primo a) x
b) x+5
d) x+34
e) x+3
c) x+10
b) 3x
d) 3x–7
e) x – 7
c) 3x – 14
b) (5x+3)2 c) (5x+3)(5x+3)
d) 4
d) 5x – 3 5. Factoriza: H(x)=x2 – 36 e indica un factor primo d) (x – 6)2
e) (x+6)2
c) x+36
6. Factoriza: M(x)=4x2 – 25 e indica un factor primo a) 4x – 5
b) (2x+5)2 c) 4x+5
d) 2x – 5
e) (4x – 5)2
7. Factoriza: P(x)=81x2+18x+1 e indica un factor primo a) 9x
b) x+9
d) 9x – 1
e) (9x+1)2
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e) x – 2 del
e) 5
12. Luego de factorizar: R(x)=25x7+30x6+9x5 e indica el factor primo que mas se repite. a) x b) 5x c) 5x – 3
e) b y c son correctas
b) x – 6
e) 10x – y
11. Indica el número de factores primos siguiente polinomio: P(x; y)=x3y – 6x2y2+9xy3 a) 1 b) 2 c) 3
a) 5x+3
a) x – 36
e) x – 10z
10. Factoriza: P(x; z)=x2(x2–z2)+4x(x2–z2)+4(x2–z2) e indica el factor primo repetido. a) x+z b) x – z c) x+4 d) x+2
4. Factoriza: P(x)=25x2+30x+9
c) x – z
9. Factoriza: (25x2 – y2)(x2+2xy+y2) e indica la suma de sus factores primos. a) 11x+y b) 11x – y c) 11x d) 10x+y
3. Factoriza: 9x2 – 42x+49 e indica un factor primo. a) 9x
8. Factoriza: P(x; z)=100x2 –z2 e indica un factor primo. a) x b) 10x
c) 9x+1
d) 5x+3
e) 3x+5
13. Luego de factorizar: x2+2x+1 – y(x+1) indica un factor primo. a) x – y – 1 b) x+y – 1 d) x – y+2
e) x – y
14. Luego de factorizar: x2 – 4xy+4y2+xz –2yz indica un factor primo. a) x+2 b) x+4 d) x–z
c) x – y+1
c) x–2y
e) x+z–y Primer año de secundaria
81
26
Capítulo
15. Luego de factorizar: x4+4x2+4+x3+2x; indica un factor primo a) x2+x+1 b) x2+x+2 c) x2+x+3 d) x2+1
e) x2+3
16. Luego de factorizar: x2 – 6xz+9z2+xy – 3yz indica un factor primo a) x – z b) x+9 d) x+yz
d) (x+2y+2)(x+2y – 2) e) (x+y+1) c) x – 3
e) x – 3z
e) 2x+5
18. Factoriza: x4 – y4 e indica el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
19. Factoriza: x6 – y10+x8 –(xy)5 e indica un factor primo. a) x – y5 b) x2 – y5 d) x – y
c) x3 – y5
e) x
20. Factoriza: P(x; y)=x2+4xy+4y2 – 3x2 – 6xy e indica un factor primo. a) y – x b) 2y – xc c) 2y – x d) x+2y
b) (x+y+2)2 c) (x+2y+1)2
17. Halla la suma de los factores primos del polinomio: P(x)=x4–50x2+625 a) 2x b) x+5 c) x2 d) 2x – 5
21. Factoriza: (x+2y)2+4(x+2y)+4 a) (x+2y+2)2
e) 2y
22. Factoriza: P(x; y)=x2 – xy+2x – y + 1 e indica un factor primo. a) x+y+1 b) x – y + 1 c) x – y – 1 d) x+y – 1
e) x – 1
23. Factoriza: P(x)=x2(x+5)2+6x(x+5)+9–5x(x2+5x+3) e indica un factor primo. a) x2+1 b) x2+2 c) x2+5 d) x2+3
e) x2+9
24. Se sabe que:(ax+by+c), es un factor primo del polinomio: P(x; y)=(3x+2y)2+8(3x+2y)+16 Halla: a+b+c. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
e) 9
25. Si un factor del polinomio: P(x)=x10+7x9+6x5+21x4+9 es de la forma: ax5+bx4+c Halla: a+b+c a) 3 b) 6 c) 9 d) 11
e) 13
Practica en casa 1. Señala el número de factores primos de: 4 3 4 42 x + 2 x y + (xy )
2
5. Factoriza: x + 2x+1 – 5(x+1) 2
2. Señala un factor primo de: 3 3 6 6 3 3 a +b +a +b +2a b
6. Factoriza: x – 10x + 25 +7(x–5) 2
7. Factoriza: (x + 3) + 2(x + 3) + 1 3. Señale un factor primo de: 8 4 16 8 8 4 a +b +a +b +2a b 4. Sumar con coeficientes de un factor primo de: 4 4 2 2 2 x + 25y + 10 (xy) – x – 5y Colegios
82
TRILCE
2
8. Factoriza: (x + 5) + 8(x + 5) +16 2
2
2
9. Factoriza: (x + x) + 10 (x + x) +25
Central: 6198-100
Álgebra 4
2
3
10. Factoriza: x +2x + 1 +x +x
14. Factoriza: 2
2
2
P(x)=a (a+3) +10a(a+3)+25–4a(a +3a+5) 2
2
11. Factoriza: x – 6xy + 9y + xz – 3yz 2
2
12. Luego de factorizar: x +4xy+4y – 5x(x+2y); indique la suma de sus factores primos. 2
15. Se sabe que: (ax + by + c), es un factor primo del polinomio: 2
P(x,y) = (5x + 3y) + 12 (5x + 3y) + 36 Halla: "a + b+ c"
2
13. Factoriza: a – 4ab + 4b +ac – 2bc
Tú puedes 1. Señale un factor de: P(y)=(y+1)(y+2)(y+3)(y+4) + 1 a) c) e)
2
4. Un factor primo del polinomio: 2
2
y +y+1 2 y +y+4 2 y +y+2
b) y + 5y + 3 2 d) y + 5y + 5
2
16
a) 2x
16
2
a) x 2 d) –2x
2
c) 3x
3. Señale el número de factores primos de: 4 4 2 2 P(x; y)=(x+y) – (x–y) + 16 x y a) 1 d) 4
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b) 2 e) 5
2
16
16
16
b) 2x 2 e) –3x
32
b) 2x –2 16
16
c) 2 (x +y ) 2. Señale el término cuadrático de un factor primo 3 2 de: x4 – 8x +16x + 2x (x – 4) + 1
16
(x–y)(x+y)(x +y )...(x +y )+y +2x +1; es:
e) 2y
d) x +1
16
5. Señale un término del factor primo de: 2 2
2
2
2
2
a (a +1)+b (b +1)+2ab(ab+1)+(a+b)(2a +2b ) a) a
3
b) 2a
d) a
2
e) b
2
c) 2b
2
3
c) 3
Primer año de secundaria
83
27
Capítulo
Factorización III Problemas para la clase 1. Factoriza: x2+2xy+y2 a) x2+y2
b) x(x+y)
c) x2+xy+y2
d) (x+y)2
b) (x – 3)2 c) (x+3)2
e) (x+y)(x –y)
d) x2 – 9
2. Factoriza: m2 – 10m+25
e) x(x – 6)+9
a) m2+25
9. Factoriza: 25x2 – 20x+4 a) (5x+2)2
b) (m+5)(m – 5) c) m(m – 5)
b) (5x – 2)2
d) m(m – 10)+25
c) (25x – 2)2
e) (m – 5)2
d) (5x – 4)
3. Factoriza: a2 – b2 a) 2a – 2b
b) (a – 2b).a c) (a+b)(a – b)
d) a2+b2
e) (a – b)2
4. Factoriza: x2+6xy+9y2 a) x2+9y2
b) (x+3y)2
c) x2+3y2
d) (x – 3y)2
5. Factoriza:
–
d) (a+b) . c e) (a+b – c)(a – c+b)
b) m2+49n2
c) (m+7n2)(m–7n2) d) (m+7n)(m – 7n)
e) (m – 7n)2
6. Factoriza: x2 – 25y2 a) (x+5y)2
b) (x – 5y)2
d) (x–y)(x+5) e) (x+y)(x –5) 7. Factoriza: 9x2 – 49m2 a) (7x+3m)(7x – 3m) b) (3x+m)(3x – m) c) (3x+7m)(3x – 7m)
11. Factorizar y señalar un factor: 2
2
x + y + 2xy – z a) x+y d) x–y+z
2
b) x–y e) x–y–z
2
12. Señale un factor de: 4a – 12ab + 9b – c a) 2a+3b
b) 2a–3b
d) 2a–3b–c
e) 2a+3b–c
2
c) 2a+3b+c
13. Suma los coeficientes de un factor primo de: (x+y)(x–y)+z(2y–z) a) 0
b) 1
e) (9x+7)(x – 7m2)
d) 3
e) 4
TRILCE
c) x+y+z
2
c) (x+5y)(x–5y)
d) (3x+7)(3x – 7m2)
Colegios
84
10. Factoriza: (a+b)2 – c2 a) (a+b – c)2 c) (a+b+c)(a+b – c)
49n2
a) m2–7n2
e) (5x+2)(5x – 2)
b) (a+b+c)2
e) (x+3y)(x–3y) m2
8. Factoriza: x2 – 6x+9 a) (x–3)(x+3)
c) 2
Central: 6198-100
Álgebra 2
2
14. Luego de factorizar: x – (x + z) ,
21. ¿Cuántos factores primos tiene: 8
e indicar un factor primo
x – 16
a) x – z
b) x + z
c) x – 2z
d) 2x + z
e) x + 2z 2
2
15. Señale un factor de: 4x + 4x – 4z + 1 a) 2x+2z+1 2
b) 2x–z+1
2
d) 2x –z +1
a) 2
b) 1
d) 5
e) 6
22. Factoriza e indicar un factor primo: 2
c) 2x–z +1
4
2
2
2
2
16. Factoriza: (x+2) – (2x+3) ; e indicar un factor
8 2
2
b) x +2
2
c) x +z+2
2
d) x +z +2
e) x –z
23. Factoriza:
primo a) 3x+5 d) x–1
b) 2x+7 e) x+2
c) 2x–1
2
2
2
2
P(x; y) = (9x – 4y )(x – 25 y ) a) 3 d) 2
b) 4 e) 1
c) 5
Indicando el número de factores primos b) 2 e) 5
c) 3
19. Señala el número de factores primos: 2
2
(a +b +2ab) – x
4
a) 2
b) 3
d) 5
e) 1
2
2
4
4
b) 2
d) 6
e) 7
c) 4
24. Factoriza: 14
2
– x – 6x – 9
Indicando el número de factores primos
2
P(x; y) = 9x + 1 – 6x – 9y a) 1 d) 4
2
a) 1
P(x) = x
18. Factoriza: 2
2
P(x; y) = (36x – 25 y )(x – 4y )(x – 4y ); Indicar el número de factores primos.
17. ¿Cuántos factores primos hay en la expresión:
2
2
(x +4x +4) – z a) x +z
e) x+z 2
c) 4
c) 4
20. ¿Cuántos factores primos lineales (1er. grado) se
obtenidos: a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
25. Factoriza: 2
2
2
P(a; b; c) = 9a + 3a – 4b + 2b – c – c + 4bc Indicando un factor primo a) 3a + 2b – c
b) 3a – 2b + 8c
c) a – b + c
d) a + b + c
2
2
2
e) a – 2b + 4c
obtienen al factorizar: 4
4
2
P(a; b) =a – b – a + b a) 0
b) 1
d) 3
e)
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2
c) 2
Primer año de secundaria
85
27
Capítulo
Practica en casa 2
1. Factoriza: 2 2 2 x +49y z + 14xyz – 9
9. Factoriza: (5x + 3) – (3x – 5)
2. Factoriza: 2 2 23 9a + 25b – 30ab – (z )
10. Factoriza: 8 8 4 4 P(x, y) = x – y – x + y
3. Factoriza: 2 3 2 3 5 3 5 (x +y )(x –y ) + z (2y – z )
11. Factoriza: x +2xy+y – z
2
4. Sumar los factores primos de: (4a+7b)(4a–7b) – 3c (3c+14b)
2
2
12. Factoriza: 2 2 4 2 2 4 P(a, b,c) = a – 6ab +9b – b +4bc – 4c
5. Señale los factores primos de: 4 2 8 9x + 6x – 16 z + 1 6. Factoriza: 4x –(x + 5)
2
2
13. Factoriza: 2 2 2 2 4 4 P(x,y) = (49x –4y ) (x – 9y ) (x – 81y )
2
14. Factoriza: 10 2 P(x) = x – x – 10x – 25
7. Factoriza: 4 4 P(x,y) = x – y
15. Factoriza: 2 2 2 P(a,b,c)= 4x + 2x – 9y + 3y – z – z + 6yz
8. Factoriza: 2 2 2 2 P(x,y) = (25x – 4y ) (x – 36y )
Tú puedes 1. Suma los factores primos de: 4 2 2 4 4 4 x +6x y + 4y – x y – 1 2
2
2
a) 2(x +y ) 2
4. Factoriza y resta los factores primos: 4 4 a b + 64
2
c) 2 (x +2y )
2
b) 2 (2x +y )
a) 2ab
d) 2xy
d) 8ab
2 2
e) 2x y
2
2
2
2
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 6ab
2 2
e) 2a b
5. Suma los factores primos de: 6 5 4 x + 2x + x – 9
2. ¿Cuántos factores primos tiene: (a + b – c – 1) – 4 (ab+c)
b) 4ab
3
3
a) 2 (x – x)
2
3
c) 3
b) 2 (x +3) 2
c) 2 (x + x )
3
d) 2 (x +x)
e) 2 (x+1)
3. Señale la suma de coeficientes de un factor de: 2 (x+1)(x +2x)(x+3)+(1+z)(1–z) a) 2
b) 3
d) 5
e) 10
Colegios
86
TRILCE
c) 4
Central: 6198-100
Capítulo
28
Repaso IV Problemas para la clase 1. Dada la siguiente división:
En los siguientes ejercicios, calcular el cociente y residuo:
2x 4 − 2x3 + 7x2 − 4x + 6 x−5 Completar:
6. Dividir: x3 + x2 + 2x − 2 x−1
El grado del polinomio dividendo es : El grado del polinomio divisor es
:
El grado del polinomio cociente es
:
2. Completa los recuadros en el siguiente esquema de división: 1
3
1
1
1
–2 1
0
3. Completa los recuadros en el siguiente esquema de división: –8 1/5
7
1
–1 –2
1
15 –5 –10
9. Dividir 3x 4 + x3 + 6x2 + 5x − 1 3x + 1 10. Dividir: 2x3 + x2 − 5x + 2 x+1
3
a) 2x –1
2
x − 7x + 5x + 2 x−2 Relacionar:
3
d) x –1 A –8
Polinomio cociente
B x–2
Residuo
C x –7x +5x+2
3
D
x2
3
3
2
b) x –4x+5
2
2
2
d) 2x –4x+5
– 5x – 5
2
c) 2x –5 2
e) x +4x–5 4 3 13. Dividir: x + 5x − 9 x−3 E indicar el término independiente del cociente.
x +2x –5x+2, el cociente x –x–2 y el residuo
a) 72
b) 71
8. Calcular el divisor
d) 75
e) 76
2
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2
c) x –3
e) 2x +1
a) 2x +4x–5
5. Si en una división sabemos que el dividendo es 3
3
b) x +1
3 12. Dividir: 2x − 3x + 1 , Indicar su cociente x+2
Polinomio divisor
Polinomio dividendo
8. Dividir 2x3 + 5x2 + 3x − 2 x+1
4 3 11. Luego de dividir: 2x + 6x + x + 3 x+3 Indicar su cociente
4. En la siguiente división: 3
7. Dividir: 2x3 − x2 + 5x + 6 2x + 1
c) 73
Primer año de secundaria
87
28
Capítulo
5 4 14. Halla el resto en: 8x + 16x − 5x + 9 x+2
a) 17 d) 20
b) 18 e) 21
2 4 3 20. Halla el resto en: x − x − 6x + 6x + 3x ; 2x − 1
c) 19
4
3
15. Halla el residuo en: 5x + 16x − 8x + 2 x+3 a) –2 d) 1
b) –1 e) 2
c) 0
2
b) 2x +4
2
2
e) 2x +5
8x 4 + 5x2 + 2x3 + 3x + 6 2x + 1 b) 5
d) 7
e) 8
b) 13
d) 17
e) 19
c) 6
2
Indicar
3
su
b) 64x –52x2–26x+12
a) –64x +52x–27 2
2
c) 64x –27
d) 64x –52x+26
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
24. Calcula (b – a) si la división: x 4 + 2x3 − 5x2 + ax + b ; es exacta: x+1
c) 15
3 4 19. Dividir: 40x − 2x + 8 − 128x , 2x + 1 cociente
a) 1
23. Determina el valor de "n", si la división presenta residuo nulo. 2x3 − 5x2 − 7x + (n − 6) x−3 a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
4 2 18. Calcula el resto en: 27x + x − 6x + 15 3x − 1
a) 10
e) –5
22. Halla "m", para que la división: 3x3 − 5x2 − x + m ; sea exacta: x−1
2
c) 2x +7
17. Halla la suma de coeficientes del cociente en:
a) 4
d) –4
c) –3
3x3 + 52x − 63 − 32x2 −9 + x
2
d) 2x +3
b) –2
21. Indica la suma de coeficientes del cociente luego de dividir:
2 3 16. Al dividir: 4x + 2x + 3x + 6 ; x+2 el cociente es:
a) 2x +1
a) –1
a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
c) 5
25. Sabiendo que la división es exacta: 3x 4 − 2x3 − 5x2 + ax − 8 x−2 2
Halla: a +1
3
e) –64x +52x–27
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Practica en casa 1. Completa el siguiente diagrama de Ruffini 2
3
–3
–5 9
2
–3
6 12 –2 12
3. Dividir: 2x 4 + 2x3 − 14x − 5 x−3 E indicar el término independiente del cociente. 4. Halla el residuo en:
3 2 2. Halla el resto en: x − x + x − 30 x−2
Colegios
88
TRILCE
3x 4 − 5x + 2 x+2
Central: 6198-100
Álgebra 5. Halla el resto de dividir:
11. Dada la división exacta: 3x3 − 2x2 − 15x − 18 x−3 2 Indicar el cociente disminuido en 3x +6
x9 + x 8 + x 2 + x + 1 x+1 2 6. Halla el residuo: 3x − 5x + 6 x−1
12. Calcula el valor de "m", si la división: 2x3 − (m − 2) x2 + 5 es exacta; x+1
7. Al dividir: 4x2 + 2x3 + 3x + 6 x+2 Indicar su cociente
13. Señala el resto en: 2 x 4 + x3 − 8 x2 + 2x + 32 x+ 2
8. Halla el resto en: 2x3 − 3x2 + x + 1 x−1
4 2 14. Dividir: 27x − 6x + x + 15 3x − 1 Dar la suma de coeficientes del cociente.
9. Dada la división exacta: 3x 4 − 2x3 + ax2 − x − 2 x−2
15. Indica el residuo en: x 4 − 1 + 2x 2 − 3x x+2
10. Halla el resto de dividir: x9 + x 8 + x 2 + x + 1 x−1
Tú puedes 1. En la siguiente división: 36
x
35
+x
4. Halla el resto en la siguiente división:
34
+ x + ... + x + m x+1 Calcula el valor de "m" si el residuo es –6 a) –4 d) –7
b) –5 e) –8
c) –6
a) 6 d) 9
2. Al dividir: nx3 + n2 x2 − nx + n3 + n2 x+n+1 Se obtiene que la suma de coeficientes del cociente es igual a f(n). Calcular: f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(10) a) 383 d) 386
b) 384 e) 387
x5 + nx + 2 x−1 Sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es 10.
c) 385
b) 7 e) 10
5. Halle el residuo en: x1001 − x700 + 2 x−1 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
c) 8
c) 3
3. Determina el resto en: 6x8 + 4x5 + (n + 1) x2 − n 10x − 10 a) 10 d) 13 www.trilce.edu.pe
b) 11 e) 14
c) 12
Primer año de secundaria
89
29
Capítulo
Factorización IV Problemas para la clase 1. Factoriza en cada caso: a) x3+8 ≡ ________________ b) y3 – 27 ≡ ________________ 2. Factoriza en cada caso: a) x2+10x+24 ≡ ________________
8. Factoriza el siguiente polinomio: P(x; y) = 8x3+27y3 e indica un factor primo. a) 2x – 3y
b) x+3y
d) 2x+3y
e) 3x+2y
9. Factoriza:
b) x2 – 5x+6 ≡ ________________
x9 – y 6
c) x2+2x – 35 ≡ ________________
a) (x2+y3)(x2 – y3)
d) x2 – 7x – 8 ≡ ________________
b) (x3– y2)(x6+x3y2 – y4)
3. Factoriza: x3+1 a) (x+1)(x2+1) c) (x+1)(x2 –x+1)
c) 3x – 2y
c) (x3 – y2)(x6+x3y2+y4) b) (x – 1)(x2+1)
d) (x3 – y2)(x6 – x3y2+y4)
d) (x–1)(x+1)
e) (x2+y3)(x4 – x3y3+y8)
e) (x+1)2
10. Factoriza el siguiente polinomio: Q(x)=x4+2x2 – 15
y3
4. Factoriza: – 125 a) (y+5)(y2–5) c) (y – 5)3
b) (y – 5)(y2+5y+25) d) (y – 5)(y – 5)
e) (y – 5)(y2+25)
e indica la suma de factores primos. a) 2x2+1
b) 2x2
d) 2x2+2
e) 2x2+3
c) 2x2+5
11. Señale el factor primo repetido de: 5. Factoriza en cada caso: a) P(x)=6x2+13x+6 b) Q(x)=2x2 – 11x+5 6. Un factor primo del polinomio: P(x; y) = x3+8y3 es: a) x2 – xy+y2 b) x2
–
xy+4y2
c) x2+2xy – 4y2 d) x2+2xy+4y2 e) x2 – 2xy+4y2 7. Un factor primo del polinomio: P(x) = 6x2 – x – 2 es: a) 2x –1 b) 3x+2 c) x – 1 d) x+2 Colegios
90
TRILCE
3
3
6
(a – 1)(a – 8)(a – 1) a) a+1
b) a+2
c) a–2
3
d) a–1
e) a –1
12. Factorizar e indique un factor de: 3
3
2
a – b + a + ab + b
2
2
a) a+b+1
b) a –ab+1
d) a–b+1
e) a+b
c) a–b–1
13. ¿Cuántos factores primos tiene: 6
a – 64 a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
e) 3x – 2 Central: 6198-100
Álgebra 14. Factoriza y señale un factor: 4
2 2
x + x y – 2y
20. Indique un factor primo de:
4
2
2
a + b + 2 (ab–a–b) – 35 2
a) x2 – 2y2
b) x – y
a) a+b
b) a+b+7
c) x2+y2
d) x+y
d) a–b+7
e) a–b–7
e) x – y
2
21. Suma los factores primos de: 4
2
4x – 17x + 4
15. Señale un factor de: 3
c) a+b–7
3
2 2
a + b + ab (3a + 3b – a b ) a) a+b
b) a–b
d) a+b–ab
e) a+b+1
c) a+b+ab
a) 2x
b) 4x
d) 5x
e) 6x
c) 3x
22. ¿Cuántos factores primos tiene: 2
16. Indique un factor de: 2
3
2
(4x +4x+1)(2x+1) – y – 8 – 6y – 12y a) 2x–y
b) 2x+y
d) 2x+y–1
e) 2x+y+1
c) 2x–y–1
2
2
2
(x +5x+6)(x –5x+6)(x –3x–10)(x +3x–10) a) 8x d) 5x
b) 3x e) 6x
c) 4x
2
2
(6x +19x+15)(10x +11x–6)(21x –26x+8) a) 2x+8
b) 2x+6
d) 3x+2
e) 5x+8
c) 3x+1
d) 5
e) 6
www.trilce.edu.pe
2
2
2 2
(x – ab) – (a–b) x a) x–a
b) x+a
d) x+b
e) x–ab
c) x–b
3
3
x (x+1) – 8 a) x+1
b) x–2
d) x+3
e) x–3
6
x – 9x + 8 b) 3
e) 6
c) x–1
4
3
2
a – 30a + 27a + 300a – 1000
3
a) 2
d) 5
c) 4
25. Suma los factores lineales:
19. ¿Cuántos factores primos tiene: 6
b) 3
24. Señale un factor primo de:
18. Suma 2 factores primos de: 2
a) 2
2
23. Señale cuál no es un factor primo de:
17. Suma los factores primos de: 2
2
[x + ab] – [(a+b) x]
c) 4
a) 2a+3
b) 2a+1
d) 2a–1
e) 2a+5
c) 2a–3
Primer año de secundaria
91
29
Capítulo
Practica en casa
1. Factoriza: 3 x +1
8. Sumar los factores lineales de: 3 3 6 3 (a – 27)(a – 125)(a – 9a +8)
2. ¿Cuántos factores primos tiene: 2 (x +4x+3)(x2+5x+6)
9. Suma los factores primos de: 4 2 2 4 9x – 82 x y + 9y 10. ¿Cuántos factores primos tiene: 2 2 32 4 6 2 3 2 (x + a b ) – (a + b + 2a b ) x
3. Factoriza e indica los factores primos: 3 3 1000x – m
4
2
22
11. Factoriza: x – (2ax + a – b )
4. Factoriza: 2 6x – 13x – 5
2
4
2
24 4
12. Factoriza: (x – ab) – (a – b ) x
5. Factoriza: 3 (a+b) + 1
13. Suma los factores primos de: 2
2
2
2
(x +15x+14)(x +9x+18)(x –10x+21)(x +11x–12)
6. ¿Cuántos factores primos tiene: 6 x – 28x3+27
14. ¿Cuántos factores lineales tiene: 3 3 3 3 x (x + a + b) + a b
7. Sume los factores primos de: 2 (2x+3y) – 5(3y+2x) – 14
15. Factoriza: 2 (ax + bx + cx) – (ax + cx)(a+b+c) + ac
Tú puedes 1. Señale un factor primo: 2 2 6 3 (a+b) [(a+b) + (c +bc+ac)3] + x +c a) a+b+x d) a+b+c+x
b) a+b+x
2
2
c) a+x
2
e) b+x
b) 2 e) 2x
a) 2x d) 5x
b) 3x e) 6x
c) 4x
5. Suma los coeficientes del factor trinomio: 3 6 9 2 3 x + y + z – 3xy z
2. Resta los factores primos de: 2 x (x+7) + a (2x + 7) + a + 10 a) 1 d) x
4. Resta los factores primos de: 4 2 x + 5x + 9
c) 3
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
3. Señale un factor de: 3 2 3 2 (a +1) x + (a+1) x – a (3x – 1) + a a) (a+1)x + a
b) ax–1
c) (a+1)x–a
d) x–a
e) ax+1 Colegios
92
TRILCE
Central: 6198-100
Capítulo
30
Factorización V Problemas para la clase 1. Completa en cada caso: a) Divisores de 2 = ___________________ b) Divisores de 3 = ___________________ c) Divisores de 6 = ___________________ d) Divisores de 15 = ___________________ 2. Relaciona: Polinomio Término independiente A) x4+3x2+11 I) 6 3 B) x – 7x+6 II) 8 C) x3+8+9x2 III) 11 a) AI BII CIII
b) AIII BI CII
c) AIII BII CI
d) AIII BIII CI
6. Evalúe si el polinomio: P(x)=x3 – 6x2+11x – 6 se anula para x = 3. a) Si se anula. b) No se anula c) Tal vez d) No se sabe e) Muy difícil 7. Complete la siguiente tabla que nos brinda información de un polinomio del tercer grado P(x), cuyo coeficiente principal es 1: Cero de P(x)
e) AI CI BII
2
3. Determine losa posibles valores enteros que anulan al siguiente polinomio: P(x) =x3 – 3x2 – x+3 a) ±{1} b) ±{3} c) ±{1; 3} d) ±{1; 2}
Factor de P(x)
e) ±{1; 4}
4. Determine los posibles ceros del siguiente polinomio: P(x) = x3+4x2 – 3x+10 a) ±{1; 2; 10} b) ±{1; 2; 5; 10} c) ±{1; 5; 10} d) ±{1; 10} e) ±{1; 10; 20; ......} 5. Evalúe si el polinomio: P(x)=x3 – 6x2+11x – 6 se anula para x = 2. a) Si se anula.
–3 –4 8. Evalúe si (x – 1) es factor del polinomio: P(x) = x3 – 7x2+5x+1 a) Si es factor b) No es factor c) Tal vez d) Nunca será e) Es probable 9. Evalúe si (x+2) es factor del polinomio: Q(x)=x3+5x2 – 4x – 20 a) No es factor b) Quizá
b) No se anula.
c) Nunca será
c) Si y 2 es cero de P(x)
d) Si es factor
d) No se puede
e) Es probable
e) a y c www.trilce.edu.pe
Primer año de secundaria
93
Capítulo
10. Indica un factor primo de: P(x) = x3 – 3x2+5x – 3 a) x+1 b) x–1 d) x – 3
19. Suma los factores primos de: 3
c) x+3
e) x+5
11. Señale un factor primo de: Q(x)=x3+7x2 – 5x – 3 a) x2+x+1 b) x2+7x+3 c) x2+8x+3 d) x2+5x+3 e) x2+8x–3 12. Indica el número de factores primos del siguiente polinomio: P(x)=x3 – 6x2+11x – 6 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
e) 5
c) x – 3
2
b) –17 e) 15
2
a) 4x
3
b) 4x
5
d) 4x
2
e) 4x
4
c) 4x
6
21. Señale el término cuadrático de un factor primo 4
3
de: x – 7x + 19x + 2 2
b) –3x 2
e) x
2
c) –5x
2
2
22. Suma dos de los factores primos de: 2
a) 2x+5
b) 2x–7
d) 2x–6
e) 2x
c) 2x+7
23. Suma los factores primos de:
3
x – 5x + 12 2
a) x + 3x + 4
b) x +3x+5
c) x –3x–4
d) x +3x–5
2
2
3
c) 17
15. Señala el factor primo de mayor grado:
2
4
x + 3x – 2x – 9x – 2
3
primo de: x – 5x + 11x + 17
2
c) 3x+4
x – 10x + 31x – 30
14. Señale el término independiente de un factor a) –1 d) 16
b) 3x+5 e) 3x+2
20. Multiplica los términos de un factor primo de:
d) –7x
e) x – 4 3
a) 3x+3 d) 3x+6
a) –x
13. Indica un factor primo de: Q(x)=x3+3x2 – 4x – 12 a) x+6 b) x – 6 d) x+3
2
x + 6x + 11x + 6
e) x –3x+4
2
2
x (x+1)(x+2)+(x+3) – (x–3) – 30x + 12 a) 3x+2
b) 3x–2
d) 3x–3
e) 3x–1
c) 3x+3
24. Suma los factores primos lineales de: 6
4
2
x – 2x – 11x + 12 16. Suma los coeficientes del factor primo no lineal: 3
2
x + x – 12 a) 1 d) 9
b) 4 e) 10
c) 7
a) 2x
b) 3x
d) 2x–2
e) 2x+2
25. Un factor del polinomio: 2
17. Halla el valor numérico de un factor primo de: 3
x – 13x – 12, para x=11 a) 7 d) 13
b) 9 e) 15
c) 4x
c) 18
3
2
P(x)=x(x – a )+(ax) – a(x2 – x+a) a) x2+ax+a
b) x2 – ax– a
d) x2–a2x – a
e) x2+a3x+a
c) x2–a2+a
18. Si (x–3) es un factor de: 3
2
x + (K+1)x – (5K+3) x – 7K – 1 Señale la suma de los otros dos factores primos. a) 2x+5
b) 2x+6
d) 2x+4
e) 2x+8
Colegios
94
TRILCE
c) 2x+7
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 3
2
3
2
3
2
1. Factoriza: x + 4x + 8x + 5
9. Suma los coeficientes del factor no lineal de: 4
3
2
x + x + 3x + 10x + 7
2. Factoriza: x – 12x + 18 x – 7 10. Factoriza: 2 2 2 2(x–2)(x +2x+4) – (x+2)(x –2x+4)+(x–7) –49
3. Factoriza: x + 5x – 12 3
4. Factoriza: x + 6x – 7
11. Factoriza:
5. Halla el valor numérico de un factor primo de: 3
2
x + x – 33x + 63, para x=13 3
12. Señale el término lineal de un factor de: 4
es (x+1), señale el otro factor:
2
3
2
13. Un factor de: x + (4K + 1) x + 13 Kx + 24 es (x+2), calcule los otros dos factores
7. Suma los factores primos de:
14. Halla los factores lineales de: 6 4 2 x + 17x – 12x – 6
2
x + 10x – 13x – 22 8. Suma los factores lineales de: 3
3
x – x – 5x – 6x + 11
2
6. Si un factor de: ax + 2ax + 11x – 3
3
2 2 (x + 3)6x (x – 3) + 5@ + 3 ;` x + 1j + ` x – 1j E – 5 3 3
15. Suma los factores primos de: 6 4 2 x – 14x + 49x – 36
2
x + 4x – 11x – 30
Tú puedes 1. Suma los factores lineales de: 3 3 2 2 2 x (x–6) + 7x (x–6) + 11x – 66x + 5 a) 2x–1
b) 2x–3
d) 2x–7
e) 2x–9
c) 2x–6
2. Señale el factor repetido de: 3
2
2
x + 11x y + 40xy + 48y a) x+3y d) x+4y
e) x+4y
7
6
5
4
3
2
x +6x +11x +6x +x +6x +11x+6 a) 3x+5
b) 2(3x+2)
d) 3x+5
e) 3(x+2)
c) 3(3x+2
5. ¿Cuántos factores cuadráticos tiene
3
b) x+y
4. Suma los factores primos lineales:
x c) x+2y
2
36
+ 5x
a) 1 d) 4
24
+ 3x
12
–9
b) 2 e) 5
c) 3
3. Señale el factor cuadrático primo: 3 2 2 x – ax + x + a – a (x+1) 2
b) x –a
2
e) x +a
a) x +1 d) x +1–a
www.trilce.edu.pe
2
2
c) x +1+a
2
Primer año de secundaria
95
31
Capítulo
Fracciones algebraicas I Problemas para la clase 2
1. Factoriza: P(x) = 3x – ax
9. Indique cual de las siguientes expresiones son fracciones algebraicas::
2
P(x) = x − 4 x
2
Q(a) = m − 3 a
2. Factoriza: Q(x) = x – 36 3. Factoriza: R(x) = x –3x – 4 3
2
4. Factoriza: S(x) = x – 9x + 26 x – 24 3
5. Factoriza: M(a; b) = a + 8b
3
10. Simplifica: 2 R (x) = x2 − 25 x + 5x
6. Dados los monomios: 8 M(x)=x 4 N(x) = x Halla el MCM(M; N) y MCD(M; N) respectivamente. a) x4; x8
b) x; x4
d) x8; x
e) x4; x3
a2 + y2 5
S(x; y) =
c) x8; x4
11. Sean los polinomios: 6 4 P(x) = x (x–1) 4 8 Q(x) = x (x–1) Halle el MCM de P y Q a) x(x–1) 6
d) x (x–1)
7. Dados los monomios:
8
b) x (x–1)
6
4
4
6
e) x (x–1)
4
c) x (x–1)
8
4 3
M(x; y) = x y
5 2
12. Sean lo polinomios:
3
P(x) = x . (x+2)
P(x; y) = x y
Q(x; y) = x y
9
5
6
Halla el MCM(P; M; Q) y MCD(P; M, Q) respectivamente.
S(x) = x . (x+2) Halla el MCD de P y S
a) x4y3; x3y b) xy; xy2
a) x (x+2)
7
6
b) x (x+2)
5
6
5
9
e) x (x+2)
5
6
c) x5y3; xy3
d) x3y5; x3y e) x5y3; x3y
d) x (x+2)
8. Dados los polinomios: P(x) = x(x–3) + 4 (x–3)
2
R(x) = x –16
2
2
S(x) = x +5x+4 Halla el MCD de R y S
Halla el MCD(P; Q) a) x+4
b) x+3
d) x+1
e) x – 1
Colegios
TRILCE
7
c) x (x+2)
13. Sean los polinomios:
Q(x) = x – 9
96
7
c) x – 3
a) x+4 d) x–1
b) x–4 e) x–8
c) x+1
Central: 6198-100
31
Álgebra 14. Sean los polinomios: R(x) = 2x+1 S(x) = x–3 Halle el MCD y MCM de R y S, respectivamente: 2
2
a) 1; 2x +5x–3
b) 0; 2x –x+3
2
2
c) –1; 2x +5x–3
d) 1; 2x –5x – 3
2
e) 1; 2x +2x–1 15. Indique la alternativa que contenga una fracción algebraica: a) x + 5 103
b) x + 4 2 x2 + 5 e) 30
2 d) x + 5 x
c) x − 3 4
16. ¿Cuál es la condición para "x", tal que la fracción algebraica: F (x) = x + 3 , se encuentre bien definida 2x − 4 a) x=2 c) x=4 b) x≠2 e) x=3 d) x≠4 x+5 2x + 10 b) e)
17. Simplifica: a) 1 –1 d) 4
–1
2 –1 5
4x − y + 3z 8x − 2y + 6z b) 1/3 e) 1/6
c) 3
–1
c) 1/4
3x + 3y 5x − 5y − x+y x−y b) –2 c) –3 e) –5
19. Simplifica: T (x; y) = a) –1 d) –4
x2 − y2 +y x+y 21. Reduzca: F (x; y) = 3x –1 –1 a) 2 b) 3 –1 –1 d) 4 e) 6
c) 3
c) 4
–1
2 22. Simplifica: x −23x − 4 x −1 Luego, indique la suma del numerador y el denominador de la fracción irreductible.
a) x–5 d) 2x–3
b) 2x–4 e) 2x–6
c) 2x–5
2 23. Reduzca: T (x) = e x2 – 9 – 3 – 4x o x x x – 3x 2 a) x b) 3x c) x d) 4x e) 5x
24. Sin importar que valor numérico tomen la variables de la siguiente fracción algebraica: F (x; y) =
mx2 + by2 + p 2x 2 + 3y 2 + 5
Ésta siempre se reduce a 2. Halle el valor de m+n+p.
18. Simplifica: F (x; y) = a) 1/2 d) 1/5
20. Reduzca: E (x) = 2x − 8 x−4 x−4 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
a) 5 d) 25
b) 10 e) 30
c) 20
x3 − 6x2 + 11x − 6 + 5x x−1 25. Simplifica: 3x2 + 18 –1
–1
a) 2 –1 d) 6
b) 3 –1 e) 7
c) 5
–1
Practica en casa 1. Sean: 7 9 3
P(x; y; z) = x y z
3 10 8
Q(x; y; z) = x y z Calcule: MCM MCD
2. Indique que fracción es algebraica (x!5; x!–6) x + 7 ; x − 2 ; 5x − 3 x−5 x+6 2−1 www.trilce.edu.pe
3. ¿Qué fracción hay que extraer para que las fracciones sean homogéneas x ; x−1 ; 5 ; 2 x − 2 −2 + x x − 2 2 − x 4. Calcule el valor que no debe tomar "x" para que la fracción algebraica: F(x) = x x+3 5. Simplifica:
x 2 − 7x x − 6x − 7 2
Primer año de secundaria
97
31
Capítulo
6. Sean:
12. Sean: 7
5
P(x) = x (x+1) (x–2) 4
4
6
Q(x) = x (x+1) (x–2)
5
y
8
6
B(x) = (x+3) (x+7)(x+2)
9
3
Si el MCD de los polinomios A(x); B(x) es:
Halle: MCM MCD
m
7. Sean: F(x)= x − 7 ; G(x) = 2 x+3 5−x Indique qué valor debe tomar "x" para que las fracciones sean homogéneas. 4 2 8. Simplifica: x 3(x − 8x + 15) , x ! 0; 5; –3 x (x − 5) (x + 3)
10. Simplifica: (x + 3) (x + 6) (x − 5) (x − 8) ; x ! − 6; 5; − 8; − 3 (x − 5) (x + 8) (x + 6) (x + 3)
13. Indique el valor de "x" que hace que las fracciones: x +1 ; x − 1 , sean homogéneas x (x − 2) + 5 x (x − 3) + 9
15. Luego de simplificar: x (x − 3) F(x) = (x − 3) (x + 5) G(x) = (x − 7) (x − 5) ; x ! − 5, 3, 7 (x + 5) (x − 7)
11. Halle el MCM de los polinomios: n–4
n
(x+3) (x+7) , calcule: E = m+n
2 14. Simplifica: x −2 5x − 6 , x ≠ 0,6 x − 6x
2 9. Simplifica: x2 − 25 ; x ! 0, 5 x − 5x
n m+5
4
A(x) = (x+3) (x+7) (x–2)
m–3
P(x; y) = x y (x+1) (y–3) n+3 m+2 n–2 m–7 Q(x; y) = x y (x+1) (y–3)
Halle el MCD de los denominadores
Tú puedes mx + ny , se 12x + 3y reduce a una constante para cualquier valor que tomen sus variables. Hallar el valor de: m + 1 n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
1. Si la fracción algebraica: F (x; y) =
2. Simplifica:
a 4 + 4 − 2 ; a 2 − 1E a−1 (a − 1) 2 + 1
a) a 4 d) a
3
b) a e) –a
c) a
2
3. Simplifica: (x > 0) 1 E = `1 + 1 j`1 + 1 j`1 + 1 j .... `1 + x x+1 x+2 x + 100 j a) c) e)
Colegios
98
–1
x (x+1) –1 x (x–1) –1 x (x+102)
TRILCE
4. Simplifica: (a ≠ ±b) E = c 2 a + b 2 mc 2 a − b 2 m a + 2ab + b a − 2ab + b a) (a –b )
2
2 –2
b) (a –b )
2
24
e) (a –b )
d) (a –b )
2
2 –3
2
2 –1
2
2 –2
c) (a –b )
a 4 + a2 + 1 − a2 − 1 2 5. Reduzca: a − a 2+ 1 (a + 1) − (a − 1) 2 a) 2
–1
b) 3
–1
d) 5
–1
e) 6
–1
c) 4
–1
–1
b) x (x+101) –1 d) x (x+100)
Central: 6198-100
Capítulo
32
Fracciones algebraicas II Problemas para la clase 1. Efectúa: 2x+6 – (7x+2)
2. Reduzca: 5 (x–2)–3(x–2) x − 1; x son fracciones homogénea. x+2 x+a Halle "a".
3. Si:
4. Indique que fracción de las dadas a continuación es algebraica: F(x) = x 3 2 Q(m) = m a
E(x; y) = x y 5. Suma: x + 10 − x 5 5 6. Calcula: 5 + x + 3 − x ; x ! 0 x x
7. Calcula: x + 3 − x − 6 ; x ! 0 x x
8. Luego de sumar: 1 − 1 ; Indicar el numerador x x+1 (x ≠ 0; –1)
x + 2 ; (x ≠ –2) x+2 x+2
10. Calcula:
11. Reduzca: x + 5 + x + 1 ; x ! − 3 x+3 x+3 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
12. Reduzca: 2x2 + 5 − x2+ 3 ; x ! ! 2 x −4 x −4 a) (x–2) d) x–2
–1
–2
b) (x–2) 3 e) (x–2)
2
c) x –2
13. Calcula: x − 4 − 5 + 4x ; x ! 3 x+3 x+3 a) –1 d) –4 14. Efectúa:
b) –2 e) –5
c) –3
2 + 3 ; x ! !1 x−1 x+1
a) x − 1 x
b) 5x2 − 1 x −1
d) x + 1 5x
e)
15. Calcula:
c) 5x2 + 1 x −1
5x x2 − 1
1 +x x+5
2 a) x + 5 x+5
2 b) x + 5x + 1 x+5
2 d) x + 1 x+5
2 e) x + 10 x+5
2 c) x − 5x + 1 x+5
9. Suma: x + 2 + x + 2 ; (x ≠ –2) x−5 5−x
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Primer año de secundaria
99
32
Capítulo
16. Suma: x + 1 con x − 1 ; x ! ! 1 x−1 x+1 2x 2 x2 − 1 d) 22x x −1 a)
2 b) 2 (x2 + 1) x −1
21. Calcula: x2 − 2 + (x − 21) (x − 4) ; x ! 0 ; 2, 4 x − 2x x − 4x c)
2x 2 x −1
2 e) 2 (x2 − 2) x −1
22. Reduzca:
17. Reduzca: x + 1 + x + 2 − 3 + 2x ; x ! 5 x−5 x−5 x−5 a) 0
b) x
d) x–5
e)
c) –x
x x−5
b) 2 e) 5
c) 3
b) x + 1 3 e) 3 + x 3
b) 8 e) 20
2x2 − 50 − 10x ; x ! ! 5, 0 x (x + 5) x2 − 25
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
a) 1 d) –2
c) 3
b) –1 e) 3 –1
–1 –1
c)
c) 2
. (a+b)
(a ≠ 0 ∧ b ≠ 0) x x+1
20. Si se cumple que: A + B = 8 x − 2 ; x ! 1, − 2 x + 2 x − 1 x2 + x − 2 Hallar: A . B a) 4 d) 16
c) 3
24. Calcula: E = (a +b )
19. Efectúa: 3 + x − 1 ; x ! 1, 0 x x−1 x−1 a) 3 x d) 3 + x x
b) 2 e) 5
2 23. Reduzca: ax2 + a2 + 2ax + 2x x −a x − ax a − x
18. Efectúa: x + 8 − 5 + x + x − 7 ; x ! 4 x−4 x−4 x−4 a) 1 d) 4
a) 1 d) 4
c) 12
a) a d) a
b) ab 2
e) ab
c) b 2
25. Calcula: 1 1 −1 1 x 2 − 2x ` x − 1 + x + 1j + 2x − 2x a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
Practica en casa 1. Calcula: 3 − x + 2x − 3 ; x ! 0 x x
5. Reduzca:
2. Calcula: 5 − x − 5 ; x ! 0 x x
6. Reduzca: 2x + 10 + x + 11 ; x ! − 7 x+7 x+7
3. Efectúa: 1 − 1 ; x ! 0 x x 2 2 4. Efectúa: x + 7 + 7 + x ; x ! 3 3−x x−3
Colegios
100
TRILCE
x 2 + x ; x ! 0, − 1 x2 + x x2 + x
7. Efectúa: x − 2 + 1 ; x ! − 1 x+1
8. Efectúa: x + 2 − x − 2 ; x ! ! 2 x−2 x+2
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Álgebra 9. Si se cumple:
13. Reduzca:
A + B = 5 x − 1 ; x ! − 1, 2 x + 1 x − 2 x2 − x − 2
a2 + b2 + b a (a + b) b (a + b) a
donde a+b ≠ 0 ∧ a, b ≠ 0
Halla: A.B 14. Calcula:
10. Reduzca:
2 (a − 1 + b − 1) (a − 1 . b − 1) ( a + ab ) − 1 a a
x + 1 − 5 ; x ! 5, − 2 x−5 x+2 x−5
15. Reduzca:
11. Reduzca: 2x − 3 + 6 − x − x + 3 ; x2+x–1 ! 0 x + x − 1 x2 + x − 1 x + x2 − 1 2
1 1 − 1 x 2 − x 4x + x 2 ` x − 2 − x + 2 j − 4 + 4x
12. Calcula: 4x3 + 12x − 36 ; x ! ! 3, 0 x (x + 3) x2 − 9 2
Tú puedes 1. Reduzca la suma de fracciones algebraicas: 2x + 3y − 6z x (y − x) − 5z + 6z − 3y − 2x 5z + x (x − y) a) –3 d) 1
b) –2 e) 2
x −x 4. Si: F(x) = 5 − 5 2 Calcula: F (x) F (2x)
c) –1
x
2. Luego de reducir las fracciones algebraicas: x 2 + x + 1 − x 2 + 2 + 2x − 1 2x 2 + x 2x2 − x − 1 x2 − x Indica la suma denominador a) x+1 d) x+2
del
b) x+3 e) x+4
numerador
c) x+5
3. Suma: S = 1 + 1 + 1 + .... + 21 2 6 12 n +n Donde n ∈ N n n+1 d) n n−1 a)
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b) n + 1 n e) n − 1 n
con
–x –1
–x
x –1
x
–x –1
a) (5 +5 )
b) (5 –5 )
c) 5
–x
d) (5 –5 )
e) 5
x
el 5. Si: 1 = 1 − 1 ; x, y, z ! 0 z y x Calcula:
E=
a) x d) –1
x − z − xz x − y y − z y2 b) 0 e) y
c) 1
c) 1
Primer año de secundaria
101
33
Capítulo
Fracciones algebraicas III Problemas para la clase 1. Simplifica: x + 1 ; x ! !1 x2 − 1 2. Simplifica: x 2 + 5x ; x ! − 5 x+5 3. Efectúa: x − 5 x−8 x−8 4. Simplifica: x − 2 x − 2 −1 ` x j` x j 5. Suma: 1 + 1 x 6. Multiplica: x . x+1 y x+2 7. Multiplica: x . x+1 x−1 x+2 8. Multiplica: x − 1 . 2x x−3 x+1 9. Divida: x ' x+5 x+5 x−6
11. Efectúa: E = ` x + 1j`1 + 3 j : x ! − 1, 2 x+1 x−2 a) x + 1 x−2 d)
x x−2
Colegios
102
TRILCE
e)
c) x + 2 x−1
2x x−2
12. Reduzca: x2 − 4 . x2 − 25 + 10 − 3x x−5 x+2 2 a) x b) x d) 2x
c) x
3
e) x–2
13. Divida: x − 2 ' x − 2 x+3 x−1 a) x − 1 x d) x − 1 x−3
b) x − 1 x+1 e) x − 1 x+3
c) x + 3 x−1
14. Sean:
A (x) =
x . x + 1 ; x ! 1, 2 x−1 x−2
B (x) = x + 1 . x x−1 x−2 Determina: A (x) B (x)
a) 1
b) 2
d) –x
e) x+1
15. Efectúa: 10. Divida: 1 x 3 x
b) 2x + 1 x−2
c) x
1 ; x ! 0, − 1 1 + x− 1
a) x + 1 x x d) − 1 x
x x+1 e) x − 1 x+1 b)
c)
x x−1
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Álgebra 16. Efectúa: 1 1+ 1 x y a)
x+y xy
b)
x+y x
d)
xy x+y
e)
x x+y
c)
y x+y
21. Efectúa: c a) 1 d) x
17. Calcula: 1+ 1 x 1 1− x b) x + 1 x−1
d) x − 1 x+1
e) x − 1 x+2
c)
x x−1
x+y
1 −
a) y d) 4y
+ x #4 2y H b) 2y e) 5y
c) 3y
19. Reduzca: 1 ' x+1 a) 1 d) –x
1−
1 x+1 x b) 2 e) 3
b) x e) x+1 1
1−
a) x d) 0
2
1 x−y
–1
a) x d) 2x
23. Calcula:
18. Reduzca:
> 1
x+y + x m ' (x + y) 1 + xy − 1 b) 2 e) y
c) ab
c) 3
1+ 1 x +1 x 1 + 22. Calcula: x+1
x x+1
a)
a−b +1 a 20. Reduzca: + b ' a−b a+b −1 a+b a−b a) a/b b) a/2 d) b/a e) 1/b
−x
b) x–1 e) –x
c) 1
24. Si: a+b+c=0 Calcule: a+b + b+c a + c b + a # (a + c) # (a + b) c2 + ab a) 1 d) –c
c) x
1 1+ 1 x
c) 1
b) –1 e) a
c) –b
x + 1+ x − 1 25. Reduzca: x − 1 x + 1 − 1 1−x − 1+x 1+x 1−x 2 a) (x + 1) 2x 2 d) (x − 1) 2x
b) x − 1 2x 2 e) (x + 2) 2x
c) x + 1 2x
Practica en casa x ' x−1; x!2 x−2 x−2
5 1. Multiplica: x3 . x ; y ! 0 y y
4. Divida:
2. Multiplica: x − 1 . x + 2 ; x ! 0 x x
x 3 5. Divida: ; x ! 0, 1 x x−1
3. Multiplica:
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5x . x − 2 3x + 1 x + 2
2 2 6. Calcula: x − 9 . x − 4 ; x ! 3, − 2 x+2 x−3
Primer año de secundaria
103
33
Capítulo
7. Divida: x − 11 ' x ; x ! − 5 x+5 x+5
−1
−1 12. Calcula: c 1 + x m x
x x 8. Divida: + 1 ; x ! 0, − 1 x
9. Calcula:
a+b -1 +b 13. Reduzca: a - b a-b +1 a a+b
1 ; x ! 0, 1 1−1 x
10. Sean: A(x) = x + 1 . x−5 x B(x) = − 7 . x−5
; x ≠ {0, –1}
1− 1 x +1 14. Efectúa: x − −11 ; x ! 0, 1 x
x−7 x−1 x+1 ; x−1
x ! 5, 1 −1
−1 15. Reduzca: c 1 − a m a
Calcula: A ÷ B
−1
− ^1 − a − 1h
1− 1 x ; x ! 0, − 1 11. Reduzca: 1+ 1 x
Tú puedes 1. Si: aK =S aaa....a ; bK =S bbb....b K digitos
K digitos
Calcula: a b a b a b 4 c 1 + 2 + ... + 100 mc 1 + 2 + ..... + 100 m b1 b2 b100 a1 a2 a100 a) 5 d) 1000
b) 10 e) 200
c) 100
2 2 2. Reduzca: (3a + 2b) 2 − (3a − 2b) 2 (2a + 3b) − (2a − 3b) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. De la expresión: 1 x =1 + 1 1+ 1+ 1 1+ 1
4. Si: x = a + 1 ; y = ab + a ab + 1 ab + 1 x+y−1 Calcula: x−y+1 a) a
b) b
d) 1
e) 2
c) a+b
a + 1 2 3a + 3 ` 3a − 1j − 3a − 1 − 4 5. Calcula: R = 2 3 ` a + 1 j − 13a + 13 + 4 3a − 1 3a − 1 a) 1
b) a
d) 3a
e) –1
c) 2a
...
Se puede afirmar que: 2
b) x –x+1=0
2
d) x –1=0
a) x –x–1=0 c) x +x+1=0
2 2
2
e) x +2x–1=0 Colegios
104
TRILCE
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