ALGEB 03-SR

III. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es una combinación de constantes y variables en cantidades finitas, relacionadas por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, sin variables en los exponentes. Ejemplo: xyz

;

3 4 -5 x y ; x4 + x + 2

2

Variable.- Es un símbolo que puede ser sustituido por un elemento cualquiera de un conjunto de números. Ejemplos : x ; y ; z ; etc

2 3 xyz-2 ; 3 2

3.2. CLASES

2. TÉRMINO ALGEBRAICO Es una combinación de constante y variables relacionadas por las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación en sus bases y en cantidades limitadas. Ejemplo: 2x3

;

5 abc4 ; 3xa+2 ya+3 a  N 2

2.1. ELEMENTOS ALGEBRAICO

a)

1 + x + x2 + x3 + x4 + ...............

b)

2x + 3x + 4x

3

-2

7 , etc

NOTA.- Las expresiones que no cumplen con la definición anterior, reciben el nombre de EXPRESIONES TRASCENDENTES (no algebraicas). Ejemplo:

DE

UN

TÉRMINO

exponente

Constante.- Es un símbolo numérico. Ejemplos : 5 ; 9 ;

P(x)  Se lee P de “x” (x  variable) P(x, y)  Se lee P de “x, y” (x, y  variable)

11 3 xyz-2 ; 2 2

;

A). EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Cuando las variables no están afectadas por el signo radical ni al exponente fraccionario. A su vez pueden ser: RACIONALES ENTERAS.Cuando los exponentes de las variables son números enteros positivos, no hay variables en el denominador. Ejemplos: x3yz ;

2 a3 + 5b2 c4 ; x5 + 3y7 – 12z9

RACIONALES FRACCIONARIAS.- Cuando por lo menos hay una variable en el denominador o las variables del numerador están afectadas al menos de un exponente entero negativo. Ejemplo:

MONOMIO.- Tiene un término algebraico. Ejemplo: 3x ; 5x2 ; 7/2 x2y5 ; etc BINOMIO.- Tiene dos términos algebraicos unidos por suma o diferencia. Ejemplo: x + 5 ; 3x2 + y2 ; 5/3 x2 + 7x9 ; etc TRINOMIO.- Tiene tres términos algebraicos. Ejemplo: x2+5x+6 ; x2–6x+9 ; x2–xy+y2 ; etc

x2 y3

Solución: 2 3(2) (3) = 36

6. OPERACIONES ADICIÓN .- Se escriben las expresiones algebraicas unas a continuación de otras con sus propios signos y luego se reducen los términos semejantes, si los hay. SUSTRACCIÓN.- Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y luego se reducen los términos semejantes, si los hay.

PROBLEMAS RESUELTOS 4. GRADO

coeficiente

parte literal (variable)

2.2. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen la misma PARTE LITERAL. Ejemplo:

1 2 x yz 3

;

3 x2yz

; -2x2yz

Tienen en común : x2y z 1.1. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS De acuerdo a la forma de sus variables pueden ser:

POLINOMIO CERO.- Todos su coeficientes con cero “0”.

Para x = 2 ; y =3

Observación: Dos o más términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes, para lo cual se suman o restan los coeficientes y se escribe la misma parte literal. Ejemplo: Reduce: E = 4x2y – 6xy2 – 8x2y + xy2 – 5 – 2 E = 4x2y – 5xy2 – 7

3. POLINOMIO: Es una expresión algebraica finita de la forma: a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn Donde: a0 ; a1 ; a2 ; a3 ; . . an son números reales y se llaman coeficientes. xn es la variable; n  N. 3.1. NOTACIÓN Se denota con letras mayúsculas y las variables con letras minúsculas. Ejemplo.

Es una característica de las expresiones algebraicas relacionada con los exponentes: Grado Absoluto (G.A.).- Se refiere a todas las variables. Grado Relativo (G.R.).- Se refiere a una de las variables. 4.1. GRADO DE UN MONOMIO * G.R = es el exponente de la variable. * G.A = es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: 9 5 P(x; y) = 3x y GR(x) = 9 GR(y) = 5 GA(P) = 9 + 5 = 14 4.2. GRADO DE UN POLINOMIO G.R. = El mayor exponente de cada variable. G.A. = Es el mayor grado de sus términos. 9 2 7 15 8 13 P(x, y) = 5x y + 3/2 x y - 8x y  GR(x) =9 GR(y) = 15 GA(P) = 7 + 15 = 22

5. VALOR NUMÉRICO Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables, de una expresión algebraica, por valores determinados. Ejemplo: 2 Halla el V.N de 3x y

12

1.- Calcula la suma de coeficientes de los siguientes términos semejantes, sabiendo que la única variable es x. 3a xa5 ;  7ax 8 Solución: Son semejantes, entonces los exponentes son iguales:  a + 5 = 8 a = 3 Luego la suma de los coeficientes es: 3a + -7a = -4a pero a = 3 Luego: -4a = -4(3) = -12 2.- Calcula “a” si el término 37 x3a y2 es de grado 14. Solución: La suma de los exponentes es 14. 3a + 2 = 14 3a = 12  a = 4 3.- Halla m en el siguiente polinomio, si tiene grado absoluto igual a 10. m+6 m+7 P(x) = 7 + 5x – 3x Solución: Tomamos el mayor exponente entre m + 6 y m + 7, entonces el mayor es m + 7. Luego, igualamos a 10. m + 7 = 10 m=3

Solución: 4.- Del siguiente polinomio, se conocen los siguientes datos: GR(x) = 7; GR(y) = 8 m+1 m n n+2 P(x,y) = 2x – 3x y + 5y ¿Cuál es el GA del polinomio? Solución: En P(x,y) el mayor exponente de “x” es: m+1 m+1=7m=6 De igual forma, el mayor exponente de “y” es n + 2.  n + 2 = 8 n = 6 Luego, el grado absoluto de P(x,y) es: m + n Es decir: 6 + 6 = 12 5.- Dado: 3 2 3 2 2 2 2 M(x, y) = (((x y ) x y) xy ) Halla su grado absoluto: Solución: Resolvemos los exponentes de x [(3 x 3 + 2) x 2 + 1] x 2= 46 Ahora de y: [(2 x 3 + 1)x 2 + 2] x 2 = 32  G.A. = 46 + 32 = 78 6.- Halla el GR y GA del monomio: 2 3 5 12 M(x, y) = a b x y Solución: Son variables solo x, y por lo tanto G.R(x) = 5 G.R(y) = 12 G.A = 5 + 12 = 17

2

5(2) (1) = 5(4)(1) = 20 8.- Si: m = ½ ; b = 2 ; c = 3 Calcula: 4m 3 12bc 2

5 M(x, y) =  7 x 2 ywt 3

2 3 216  2(6)  12

a) 1

1 1 9.- Si : a = 3 ; b = 4 ; c = ; d = 3 2 1 m=6 ; n= 4 ab ac bd Calcula:   n d m

Solución:

3 x 13 4 x 12 3x 4   1 1 6 4 2 3x4x4+2-

2 = 6

b) 2

c) 5

d) 6

c) 7

d) 9

m+2

;

e) 8

3).-Calcula el valor de t+10 si los siguientes términos son semejantes. t+65 0,45a ; -5 41a72 b) 17

c) 18

d) 19

e) 20

a) 1

a) 15

b) 175 e) 255

c) 3

d) –2

e) 5

b) 2

b) 11

d) 4

8-c

y

e) 5

c) 9

d) 7

b) 11

c) 12

c) –1

a

d) 4

a+1

e) 2

9

–y

b) 5

c) 4

d) 3

e) 2

2

d) 10

2

H(x) = 3x + 5x + 7 a) 8

b) 15

c) 12

d) 13

e) 17

16).- Calcula la suma de coeficientes del polinomio: 3 2 W(x) = 4x – 5x + 3x – 1 a) 7

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

17).- Halla la suma de coeficientes de : 2

H(x) = 4x + 8x + 9

e) 5

W(x) = 8x – 4x + 8x – 6 a) 17

b) –3

15).- Halla la suma de coeficientes de :

c) 3

3

7 xm5  2xm  0,2xm 6

c) 215

10).- Calcula la suma de coeficientes del polinomio:

a) 8

b) 15

c) 12

d) 21

e) 17

NIVEL II e) 14

II).- Resuelve. 2

11).- Calcula el valor de “a”, si se sabe que t1 y t2 son términos semejantes. t1 = 2 11xa 6 a) 19

b) 4

d) 4

P(x) = 0,25x – 2x

9).- Calcula “a+b” en el siguiente monomio, si además se sabe que GRx = 15; GRy =10. a+b b+8 M(x, y) = -3/5 2 x . y

4).-Halla m si el siguiente monomio es de 2° grado: M(x) = -7 7 xm3 a) 5

a) 1

2

8).- Halla “t” en el siguiente monomio si se conoce que es de séptimo grado respecto a ”x” y que su G.A. es 12:

e) 7

c) 3

.y

M(x, y) = 15 11 x

2).-Calcula : m + 1, sabiendo que 0,2y -5 11y 8 son términos semejantes: b) 6

P(x) =

a) 6 a) 375 d) 225

1).-¿Cuál es el valor de “a” si se sabe que los términos 6 7 xa3 ;  5 2 x12 son semejantes?

b) 2

14).-Halla “a” si GR(x) = 6 en:

t+c

b) 9

a) 1

7).- Calcula el coeficiente del siguiente monomio sabiendo que es de octavo grado. 2 a+1

149 3

e) No tiene

13).-Si el polinomio es de octavo grado, calcula el valor de “m”.

I).- Subraya la alternativa correcta.

a) 16

d) 4

12).-Calcula el valor de “m”, si se sabe que el monomio M(x, y, z) = 3 7 xmy2z4 es de noveno grado.

6).- Halla el valor de m, si se sabe que el siguiente monomio es de noveno grado respecto a “y” y de sexto grado respecto a “x”. M(x, y) =  5 3 xm  t y t  7 a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 8

NIVEL I

a) 8

c) 3

M(x, y) = 15a x

PROBLEMAS PROPUESTOS

a) 5 7.- Si : a = 2 ; b = 1 Halla: 2 5a b Solución: Reemplazamos y operamos.

5).- Calcula el grado del siguiente término:

 1 4  3 12 x 2 x 32 2

e) –5

13

b) 11

c) 13

t2 = 0.3x9 d) 15

e) 18

1).- Halla los V.N. de 3x ; para : x = 2 2).- Halla los V.N. de:

3 2 y ; para : y = -5 5

3).- Halla los V.N. de: -4xy ; para: x = -3 ; y = -2

2

4).- Halla los V.N. de: x – 5 ; para : x = 3 3

5).- Halla los V.N. de: x – 3x ; para : x = -3 2

2

16).- Si: P(x) = 5x + 7x – 12

III).- Subraya la alternativa correcta.

Calcula : P(1)P(1)

2

6).- Halla los V.N. de: x + 2xy + y ; para: x = -5 ;y=5

NIVEL III

a) 1

b) –1

d) –2

c) 2

1).- Si P(x) = e) 0

2

2

7).- Halla los V.N. de: x + 8xy – 2 ; para: x =2 ; y = 1/8 Si : a = 3 ; b = 4 ; c = 1/3 ; d = 1/2 m=6;n=¼

a) 6

Calcula: F(2)

2).- Si: P(x) = 2x – 3x + 2x + 2x – 3 Halla: P(-1)

2

b) 20

c) 10

d) 22

e) 24

3 1 18).- Si P(x) = 2x + x 3 + 5 3

a) 1

b) 1/3

c)

18 5

d)

20 3

e) N.A.

2

a) 838

b) 816

c) 812

a) 1 d) 828

e) -810

2

12).- Si: P(x) = 3x + x –3

a) 3

b) 5

c) 18

d) 1

4

e) 0

d) 5 5

2

3

14).- Dado: P(x) = 10x – 13x + x – 6 Calcula: P(1) a) –8

b) 5

2

d) –4

e) N.A.

3

c) 328

d) 315

d) 14

e) 1

b) –2

c) ½

c) 3

d) 6

e) –1/2

d) 4

e) 5

b) 2x e) y

b) y

c) 2a – c

c) x-y

c) –y

d) -x

b) 2x + y e) y

c) x - y

CLAVES DE RESPUESTAS

ba+x

c) 5a

d) 0

e) x

7).- Simplifica: 2m - m – n ) – ( m + n)  b) n

c) 2m

d) m+n e) m – n

8).- Simplifica: --3x+(-x -2y+3)+-(2x+ y)+(-x – 3)+2 – x-y b) y e) -4

c) -x

9).- Simplifica: d) 728

a) - +(-a) + --b+c - + (-c)

e) -710

e) 414 a) a

14

b) – b

c) 2a

d) b

NIVEL I 1) b 5) c 9) a 13) e 17) d

2) c 6) b 10)d 14) b

NIVEL II 1) 2) 5) 6) 9) 10) 13) c 14) a 17) b 18) b 21) d 22) d

3) b 7) a 11) d 15) b

4) 8) 12) 16)

a d c b

3) 7) 11) a 15) a 19) b 23) a

4) 8) 12) 16) 20)

d a c

e) 0

6).- Reduce: 3a + - 5x - -a + 9x - a  x ) + 13x

a) x d) –2y

2

c) 712

a) x

a) m

23).- Halla: P(2) + P(10) si:

b) 716

a) x - 6 d) y - 5

a) a

Calcula: P(-3) b) 2

b) 2a – b e) 2a+2c –c

a) a + c d) a –2b

3

2

a) 768 b) 396

c) 13

P(x) = 7x + 5x – 10

15).- Dado: P(x) = 7x + 4x + 24 Halla: P(4) a) 392

b) 12

22).- Si: P(x) = 2x + 5x + 1

a) 1 c) 16

e) -12

x–(x–y)

2

e) N.A.

d) 9

5).- Simplifica:

P(x) = 1 + x + 2x + 3x a) –1

c) 9

e) -55

21).- Halla : P(1) + P(-1) si se sabe que:

2

Halla P(1) b) 12

c) –109 d) 55

2

13).- Dado: P(x) = 7x – 3x + 6 – x

a) 8

b) 109

20).- Si f(x) = x + x + 1 Halla: f(3) a) 9

Calcula: P(P(P(1)))

a) 2y – z d) x

3

4) Simplifica: 5x + ( -x – y) - -y + 4x  + x - 6

2

19).- Si: P(x) = x – 3x + 1 Calcula: P(-9)

P(x) = 7x + 5x – 10

c) 12

e) 2

3).- Resuelve: a +( b – c ) + 2a - ( a + b )

10).- Calcula el V.N. de: b  6m 11).- Halla: P(3) + P(10) si:

b) -10

4

d) 1

2

Calcula: P(0) c m  2 d n

c) 4/3 5

a) -15

2

9).- Calcula el V.N. de:

Halla: P(7) b) 8

los signos de colección y

-x - - (x+y) - -x + (y-z) - (-x+y) - y

17).- Si F(x) = 5x + 2x – 4,

a) 21

8).- Calcula el V.N. de: a – 2ab + b

x 1 x 1

10).- Suprime luego reduce:

e) 8a

NIVEL III 1) c 2) e 5) b 6) c 9) d 10) a

3) c 7) c

4) a 8) e