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Álgebra Linear e Geometria Analítica
Ana Júlia Viamonte Departamento de Matemática ISEP Setembro de 2011
Conteúdo 1 Matrizes
4
1.1
De nições Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Operações com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.4
Aplicação: tratamento de imagens
Exercícios propostos 1.4.1
2 Determinantes 2.1
2.2
25
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.1.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Aplicação: Cálculo de áreas ou volumes
Exercícios propostos 2.2.1
3 Matrizes inversa 3.1
3.2
37
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.1.1
44
Aplicação: codi cação de mensagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercícios propostos 3.2.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4 Sistemas de equações lineares
52
4.1
De nições Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.2
Método de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1
2
CONTEÚDO
4.3
Método de Gauss e Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.4
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.4.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.5
Aplicação aos Circuitos elétricos
Exercícios Propostos 4.5.1
5 Espaços vetoriais
74
5.1
De nições Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.2
Subespaços
75
5.3
Combinação linear
5.4
Espaço gerado e Conjunto gerador
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.5
Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.6
Base e dimensão de um espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.7
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.7.1
. . . . . . . . . . . . .
91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5.8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpretação geométrica da Independência Linear
Exercícios propostos 5.8.1
6 Transformações lineares
77
98
6.1
De nições Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Matriz de uma transformação linear
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
6.3
Núcleo e imagem de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
6.4
Exercícios resolvidos
109
6.4.1 6.5
Aplicação: matriz Canónica de uma projeção
. . . . . . . . . . . . . . . .
111
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
Exercícios propostos 6.5.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Valores e vetores Próprios 7.1
98
Exercícios resolvidos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115 119
CONTEÚDO
7.1.1 7.2
3
Aplicação: Problemas de misturas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
Exercícios propostos 7.2.1
8 Geometria Analítica
125
8.1
vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
8.2
retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
8.3
Exercícios resolvidos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
8.4
Exercícios propostos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
8.4.1
9 Bibliogra a
156
Capítulo 1
Matrizes 1.1 De nições Gerais De nição 1.1 1. Sejam p; n 2 N, designa-se por matriz do tipo p n (lê-se "p por n"), sobre o corpo K , a uma função de f1; : : : ; pg f1; : : : ; ng em K . Isto é, uma matriz do tipo p n é uma tabela com p linhas ( las horizontais) e n colunas ( las verticais), 2 6 6 6 6 4
a11 a21 ::: ap 1
a12 a22 ::: ap2
::: ::: ::: :::
a1n a2n ::: apn
3 7 7 7: 7 5
2. Neste curso iremos trabalhar sobre o corpo R dos números reais. Representa-se por Mpn (R) o conjunto das matrizes de tipo p n sobre R ou simplesmente, conjunto das matrizes de tipo p n. 3. Sejam A 2 Mpn (R), i 2 f1; : : : ; pg e j e da coluna j de A por
2 f 1; : : : ; n g .
Representa-se o elemento da linha i
aij ou por (A)ij : 4. Seja A 2 Mpn (R). Se p 6= n diz-se que A é uma matriz retangular de tipo p n; se p = n diz-se que A é uma matriz quadrada de ordem n. 5. Chama-se linha i da matriz A, e representa-se por li;A , ou por li se não houver ambiguidade relativamente à matriz, a
li;A = (ai1 ; : : : ; ain ): 6. Chama-se coluna j da matriz A, e representa-se por cj;A , ou por cj se não houver 4
CAPÍTULO 1.
MATRIZES
5
ambiguidade relativamente à matriz, a
cj;A = (a1j ; : : : ; apj ): Notação Usam-se letras maiúsculas para representar matrizes.
j 2 f1; : : : ; ng.
Sejam
A
2 Mpn(R), i 2 f1; : : : ; pg e
Usa-se a seguinte notação:
A = [aij ] 2 Mpn (R):
1 1 3 p5 7 Exemplo: 1 1. A matriz A = 6 4 0 p 1 3=5 2=3 5 2 M34(R). 2 3 0 2= 5 2. A é uma matriz retangular de tipo 3 4. p 3. a23 = 3=5; a14 = 5; a33 = 0. 4. a segunda linha da matriz A é: l2 = (0; 1; 3=5; 2=3). 5. a terceira coluna da matriz A é: c3 = ( 3; 3=5; 0). 2
3
Exemplo: 2 Explicitar a matriz A 2 M33 (R), aij 2 3
= i + j 1.
1 2 3 A= 2 3 4 7 5 é uma matriz quadrada de ordem 3. 3 4 5 6 4
De nição 1.2
1. Dois elementos dizem-se homólogos se são elementos na mesma posição.
2. Sejam A; B 2 Mpn (R). Diz-se que A e B são iguais se e só se os elementos homólogos são iguais, isto é, aij = bij ; 8i; j . "
0 a 2 Exemplo: 3 1. As matrizes A = 1 2 3 a = 2 e b = 3. 2
3
2
#
"
0 2 2 eB = 1 2 b
0 a 2 0 2 2 6 7 6 2. As matrizes A = 4 1 2 3 5 e B = 4 1 2 3 1 2 4 1 2 a2 a2 = 4, isto é, a = 2 e a = 2, ou seja, a = 2.
#
são iguais se e só se
3 7 5
são iguais se e só se a = 2 e
De nição 1.3 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, 1. designam-se por elementos principais da matriz A os elementos aii ; i 2 f1; : : : ; ng.
6
1.1.
DEFINIÇÕES GERAIS
2. chama-se diagonal principal ou diagonal de A a (a11 ; a22 ; : : : ; ann ). 3. chama-se diagonal secundária a (a1n ; a2;n 1 ; : : : ; an1 ). 4. o traço de A representa-se por tr(A) e é igual à soma dos elementos da diagonal principal, isto é,
tr(A) = a11 + : : : + ann =
2
Exemplo:
1 6 6 2 4 Na matriz 6 6 3 4 0
2 1 0 5
3 0 1 6
n X i=1
aii :
3
07 5 77 ; 6 75 1
(1; 1; 1; 1). 2. A diagonal secundária é (0; 0; 0; 0). 3. tr(A) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.
1. A diagonal principal é
De nição 1.4 Seja A 2 Mmn (R), 1. Diz-se que A é uma matriz nula se todos os elementos da matriz são nulos, isto é, se aij = 0; 8i; j . Representa-se esta matriz por 0mn ou, se não houver ambiguidade relativamente ao tipo da matriz, apenas por 0. 2. Diz-se que A é uma matriz coluna se só tem uma coluna, isto é, se n = 1. 3. Diz-se que A é uma matriz linha se só tem uma linha, isto é, se m = 1.
De nição 1.5 Seja A 2 Mnn (R), 1. Diz-se que A é uma matriz diagonal se aij
= 0 quando i 6= j .
2. Diz-se que A é uma matriz escalar se é uma matriz diagonal em que
a11 = a22 = : : : = ann ; 3. Diz-se que A é a matriz Identidade se é uma matriz escalar em que
a11 = a22 = : : : = ann = 1: Representa-se esta matriz por In ou, se não houver ambiguidade relativamente à ordem da matriz, apenas por I .
CAPÍTULO 1.
MATRIZES
7
4. Diz-se que A é uma Matriz triangular superior se aij elementos "abaixo"da diagonal principal são todos nulos.
= 0 quando i > j .
Isto é, os
5. Diz-se que A é uma Matriz triangular inferior se aij elementos "acima"da diagonal principal são todos nulos.
= 0 quando i < j .
Isto é, os
2
3
1 0 0 6 1. A matriz 4 2 3 0 7 5 é uma matriz triangular inferior de ordem 3. 4 5 6
Exemplo: 5 2
3
2
3
1 0 0 7 2. A matriz 6 4 0 3 0 5 é uma matriz diagonal. 0 0 6 1 0 0 6 3. A matriz 4 0 1 0 7 5 é a matriz identidade de ordem 3, I3 . 0 0 1 "
4. A matriz
5 0 0 5
#
é uma matriz escalar.
1.2 Operações com matrizes Adição de matrizes:
A; B 2 Mmn (R). A + B 2 Mmn (R) onde Sejam
Chama-se soma das matrizes
A e B , e representa-se por A B , à matriz
(A + B )ij = (A)ij + (B )ij :
Produto (ou Multiplicação) de uma matriz por um escalar:
A 2 Mmn (R) e 2 R. Chama-se produto (ou multiplicação) da matriz A pelo escalar , e representa-se por A, à matriz de tipo m n tal que
Seja
( A)ij = (A): Obs: 1
1. A adição de matrizes só está de nida se as matrizes forem do mesmo tipo.
2. É sempre possível multiplicar uma matriz por um escalar. 3. Seja A 2 Mmn (R). Em vez de
( 1)A escreve-se apenas A. 4. Sejam A; B 2 Mmn (R). Em vez de A + ( 1)B escreve-se apenas A Teorema 1.1 As operações de matrizes gozam das seguintes propriedades:
B.
8
1.2.
1.
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Propriedade comutativa da adição de matrizes:
8A; B 2 Mmn(R) : A + B = B + A: 2.
:
Propriedade associativa da adição de matrizes
8A; B; C 2 Mmn(R) : A + (B + C ) = (A + B ) + C: 3.
:
Existência de elemento neutro na adição de matrizes
8A 2 Mmn(R) : A + 0mn = A: 4.
Existência de elemento oposto na adição de matrizes
8A 2 Mmn(R) :
:
A + A = A A = 0mn :
5. 8 ; 2 R; 8A 2 Mmn (R)
: ( )A = ( A): 6. 8 ; 2 R; 8A 2 Mmn (R) : ( + )A = A + A: 7. 8 2 R; 8A; B 2 Mmn (R) : (A + B ) = A + B: 8. 8A 2 Mmn (R) : 1A = A: Exemplo: 6 Considere as matrizes: "
1 0 A= 2 4 Tem-se:
#
; B=
"
1 2 3 2
"
#
eC=
#
"
"
1 3 3 1
#
:
#
1 + ( 1) 0 + 2 = 0 2 = B + A; A+B = 2 + 3 4 + ( 2) 5 2 "
#
"
#
1) + 1 (0 + 2) + 3 = 1 5 = A + (B + C ) (A + B ) + C = (1 (2 + 3) 3 (4 2) + 1 2 3 "
#
"
3A = 33 12 33 04 = 36 120 Produto (ou Multiplicação) de matrizes:
AB 2 Mmp (R) onde
(AB )ij =
n X k=1
:
A 2 Mmn (R) e B 2 Mnp (R). Chamamatriz B, e representa-se por AB , à matriz
Sejam
se produto (ou multiplicação) da matriz A pela
#
(A)ik (B )kj :
CAPÍTULO 1.
MATRIZES
9
Obs: 2 1. Só é possível efetuar o produto de duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. 2. Se A 2 Mmn (R) e B 2 Mnp (R) então (AB )ij
= li;A cj;B .
3. O produto de matrizes não é comutativo, isto é, de uma forma geral AB 6= BA
De nição 1.6 Sejam A 2 Mmn (R) e B 2 Mnp (R). Em geral, AB 6= BA. Nos casos particulares em que AB = BA, as matrizes A e B dizem-se permutáveis ou comutáveis. Teorema 1.2
1. 8A 2 Mmn (R); 8B 2 Mnp (R); 8C
2 Mpq (R) : (AB )C = A(BC ):
2. 8A; B 2 Mmn (R); 8C
2 Mnp(R)) : (A + B )C = AC + BC .
3. 8A 2 Mmn (R); 8B; C
2 Mnp(R)) : A(B + C ) = AB + AC .
4. 8A 2 Mmn (R) : AIn = Im A = A 5. 8 2 R; 8A 2 Mmn (R)); 8B 2 Mnp (R) : (AB ) = ( A)B = A( B ):
De nição 1.7 Seja A 2 Mnn (R) e p 2 N. Designa-se por p-ésima potência da matriz A, e representa-se por Ap o produto de A por si própria p vezes. Isto é,
Ap =
p Y k=1
A
Por exemplo A2 = AA, A3 = AAA = A2 A, A4 = AAAA = A3 A
Exemplo: 7 Dadas as matrizes:
A=
"
a b c d e f
#
2
; B=6 4
3
1 2 1 2 75 3 4
eC=
"
1 3 3 1
#
:
Determine AB , BC e C 2 . Resolução:
"
a( d(
#
1) + b 1 + c 3 a 2 + b ( 2) + c 4 AB = 1) + e 1 + f 3 d 2 + e ( 2) + f 4 " # a + b + 3 c 2a 2 b + 4 c = d + e + 3 f 2d 2e + 4 f ; 2 3 2 3 1 1 + 2 ( 3) 1 3 + 2 1 7 1 BC = 6 1 3 2 1 75 = 64 7 1 75 ; 4 1 1 2 ( 3) 3 1 + 4 ( 3) 3 3 + 4 1 9 13
10
1.2.
C 2 = CC =
"
#
"
#
OPERAÇÕES COM MATRIZES
"
1 3 1 3 = 1 1 + 3 ( 3) 1 3 + 3 1 3 1 3 1 3 1 + 1 ( 3) 3 3 + 1 1 " # 8 6 = 6 8 :
#
Obs: 3 A lei do Anulamento do produto não é válida para o produto de matrizes. "
1 1 1. A equação matricial AB = 022 onde A = 1 1
Exemplo: 8
#
eB
=
"
1 1 1 1
#
,
mostra que é possível que o produto de duas matrizes não nulas seja a matriz nula. 2. Sejam
"
#
"
#
0 1 eB= 1 1 : A= 0 1 0 0 2 mostre que:(A + B )2 "6= A2 + 2AB # +B " # 1 0 1 0 : A+B = (A + B ) 2 = 0 1 0 1 " # " # " # " # 0 1 0 0 0 0 1 1 A2 = 2AB = 2 0 0 = 0 0 B 2 = 0 0 0 1 " # 1 2 A2 + 2AB + B 2 = 0 1 .
Resolução
3. Sejam A e B matrizes comutáveis, mostre que :(A + B )2 = A2 + 2AB + B 2 : Se A e B são matrizes comutáveis, então, por de nição, tem-se que
Resolução
AB = BA
(A + B )2 = (A + B )(A + B ) = A2 + AB + BA + B 2 pela de nição de matrizes comutáveis
(A + B )2 = A2 + AB + AB + B 2 = A2 + 2AB + B 2: Matriz transposta:
AT
Seja
A 2 Mmn (R),
e é de nida por
Isto é,
AT
2 Mnm(R) e AT
a matriz transposta da matriz
A
representa-se por
(AT )ij = (A)ji: resulta da matriz
A, trocando as linhas pelas colunas e vice-versa.
Obs: 4 É sempre possível calcular a transposta de uma matriz
CAPÍTULO 1.
Teorema 1.3
MATRIZES
11
1. 8A 2 Mmn (R)
2. 8A; B 2 Mmn (R)
:
, (A T )T
=A
: ( A + B ) T = AT + B T
: (In)T = In 4. 8A 2 Mmn (R); 8k 2 R : (kA)T = kAT 5. 8A 2 Mmn (R) ; 8B 2 Mnp (R) : (AB )T = B T AT 3. 8n 2 N
Obs: 5 Do teorema anterior resulta que:
(AB : : : L)T = LT : : : B T AT : Isto é, a transposta do produto de um número nito de matrizes é o produto das transpostas dessas matrizes por ordem inversa.
De nição 1.8 Designa-se por matriz simétrica, uma matriz quadrada que veri que a condição AT = A. 2
2 1 Exemplo: 9 A matriz A = 6 2 4 1 13 0 2 2 1 1 6 T Resolução: A = 4 1 2 p0 75 = A 1 0 5
3
1 7 p0 5 é uma matriz simétrica. 5
De nição 1.9 Seja A uma matriz quadrada. Designa-se por matriz antissimétrica ou hemissimétrica, uma matriz quadrada que veri que a condição AT = A. Obs: 6
1. Se A é uma matriz simétrica, então aij
2. Se A é uma matriz antissimétrica, então aij 0 ; 8i. 2
0 2 6 Exemplo: 10 A matriz 4 2 0 1 33 2 0 2 1 6 T Resolução: A = 4 2 0 3 75 = 1 3 0 Operações elementares: triz, as seguintes operações:
=
= aji ; 8i; j . aji ;
8i; j
e consequentemente, aii
=
3
1 3 75 é uma matriz antissimétrica. 0 2 3 0 2 1 1 64 2 0 3 75 = A: 1 3 0
Designam-se por operações elementares sobre as linhas de uma ma-
12
1.2.
1. A troca de duas linhas da matriz. A troca das linhas
OPERAÇÕES COM MATRIZES
li e lj
representa-se por
li
$ lj ;
2. A substituição de uma linha por um seu múltiplo não nulo, isto é, a multiplicação dos elementos de uma linha por uma constante não nula. A substituição de se obtém multiplicando todos os elementos de por
li
li
li
por um escalar
li
pela linha que
não nulo representa-se
3. A substituição de uma linha pela sua soma com um múltiplo de outra linha, isto é, a adição, aos elementos de uma linha, os elementos homólogos de outra linha multiplicada por um
li pela linha que se obtém somando os elementos de li aos elementos que se obtêm multiplicando por um escalar os elementos de lj representa-se por li li + lj
escalar qualquer. A substituição de
Obs: 7 Na de nição anterior apenas se fazem referência às operações elementares sobre as linhas de uma matriz. De uma fora análoga poderíamos de nir as operações elementares sobre as colunas de uma matriz. De nição 1.10 Sejam A; B 2 Mmn (R). Diz-se que A e B são matrizes equivalentes se se pode obter uma através da outra através de uma sequência nita de operações elementares. De nição "1.11 # 1. Diz-se que A é uma matriz em escada se A está na forma A = T ou T B A= onde T é uma matriz triangular superior, 0 é uma matriz nula e B é uma
0 0
matriz qualquer.
= In ou A = Ip B 0 0 onde In é a matriz identidade de ordem n,Ip é a matriz identidade de ordem p, 0
2. " Diz-se que # A é uma matriz em escada reduzida se A está na forma A é uma matriz nula e B é uma matriz qualquer.
3. Chama-se caraterística da matriz A à dimensão da matriz identidade que se obtém na forma de escada reduzida equivalente a A (n ou p respetivamente). Representa-se a caraterística de A por c(A).
Teorema 1.4 Seja A equivalente a A.
2 Mmn(R).
Então, existe uma única matriz em escada reduzida que é
Obs: 8 Seja A 2 Mmn (R). Existe uma única matriz em escada reduzida que é equivalente a A, mas existem várias matrizes em escada que são equivalentes a A. 2
Exemplo:
3
0 0 0 3 6 11 Considere a matriz 40 1 1 27 5. Determine uma matriz em escada e a matriz 0 2 2 1
em escada reduzida semelhante a A.
CAPÍTULO 1.
Resolução:
MATRIZES
2
13
3
0 0 0 3 6 7 40 1 1 25 0 2 2 1
2
2
3
0 1 1 2 ! 6 7 l1 $ l2 40 0 0 35 0 2 2 1 2 3 0 1 1 2 ! 60 0 0 3 7 l3 l3 2l1 5 4 0 0 0 3 2 3 0 1 1 2 ! 60 0 0 37 l3 l3 + l2 4 5 0 0 0 0 3
0 1 1 2 6 Esta matriz está em escada 4 0 0 0 3 7 5 0 0 0 0 l2
1=3!l2
2
3
0 1 1 2 6 7 40 0 0 15 0 0 0 0 2
3
0 1 1 0 ! 6 7 l1 l1 2l2 40 0 0 15 0 0 0 0 2 3 1 0 1 0 6 7 c1 $ ! c2 40 0 0 15 0 0 0 0 2 3 1 0 1 0 6 7 c2 $ ! c4 40 1 0 05 0 0 0 0 3 2 1 0 1 0 7 Esta matriz está em escada reduzida 6 4 0 1 0 0 5 e tem caraterística igual a 2, c(A) = 2: 0 0 0 0
14
1.3.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1.3 Exercícios Resolvidos 1. Considere as matrizes
"
1 D= 1
#
A=
2
e E=
"
1 0 1 23 1 1
#
"
;
1 0 2 1 75 0 1
6 4
1 B= 2
#
"
;
3 C= 1
#
;
. Indique se estão bem de nidas as seguintes expressões,
efetuando nesses casos as respetivas operações. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11.
2B 3C B T A; AB T ; ( C T A 2D T A ) T ; AT B ; B T (C + D ); (AE )T ; DT A; A2 ; (AAT )2; 2B + 3 C
Resolução:
" #
1.1.
1.2.
1.3.
AB T
#
"
#
"
9 = 7 3 1
#
:
#
1 =h 1+4 0+2 1 2 i 1
não está bem de nida, pois o número de colunas de
de linhas de
BT ,
A , 3, é diferente do número
1.
"
#
"
#
1 0 1 =h 3+2 0+1 3 1 i CT A = 3 1 2 1 1 h i = 1 1 2 h
1.4.
"
2B 3C = 24 + 93 = 42 " h i 1 0 BT A = 1 2 2 1 h i = 3 2 1 :
i
1 0 1 =h 1+2 0+1 1 1 i=h 1 1 0 i DT A = 1 1 2 1 1 h i h i h i C T A 2D T A = 1 1 2 + 2 2 0 = 3 1 2 h
i
CAPÍTULO 1.
MATRIZES
15
2
3
3 1 75 : 2
(C T A 2DT A)T = 64 2
1.5.
1.6.
1.7.
3
2
3
2
3
1 2 " 1# 1+4 3 6 7 6 7 6 7 T A B =4 0 1 5 = 4 0 + 2 5 = 4 2 5: 2 1 1 1 2 1 " # " # " # 3 + 1 = 4 C +D = 1 1 2 " # h i h i h i 4 B T (C + D ) = 1 2 = = : 4 + 4 8 2 2 3 " # 1 0 1 0 1 64 2 1 75 = AE = 2 1 1 0 1 # " # " 1+0+0 0+0+1 = 1 1 2+2+0 0 1 1 0 2 " # (AE )T = 11 02 " # h i h i h i 1 0 1 = = DT A = 1 1 1 + 2 0 + 1 1 1 1 1 0 2 1 1 .
1.8.
1.9.
A2
= AA
Não está bem de nida pois o número de colunas de
número de linhas de
2
é diferente do
3
1 0 1 64 01 21 75 = AAT = 2 1 1 1 1 " # " # 1 + 0 + 1 2 + 0 1 2 3 = 2+0 1 4+1+1 = 3 6 " # " # " # " # 2 3 2 3 4 + 9 6 18 13 24 (AAT )2 = 3 6 3 6 = 6 18 9 + 36 = 24 45 "
1.10.
A.
A
.
#
.
2
3
1 0 2 6 A=4 0 1 1 7 5 2 0 2 AX = BX
2. Dadas as matrizes
2.1. Mostre que
,
2
3
2
3
1 3 0 6 5 7 6 7 6 B=4 0 4 1 5 eX=4 2 2 4 7 5 2 3 0 3 3 6
.
2.2. Deste exercício poderá tirar alguma conclusão acerca da validade da lei do corte para o produto de matrizes?
16
1.3.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Resolução:
2
2.1.
6+0+6 6 AX = 4 0 + 2 + 3 12 + 0 + 6 2 6+6+0 6 BX = 4 0 + 8 3 12 + 0 + 6
5+0+6 0+2+3 10 + 0 + 6 5+6+0 0+8 3 10 + 0 + 6
3
2
7 + 0 + 12 12 7 6 0+4+6 5=4 5 14 + 0 + 12 3 2 18 7 + 12 + 0 12 7 6 0 + 16 6 5 = 4 5 14 + 0 + 12 18
2.2. A lei do corte não é válida para o produto de matrizes,
11 5 16 11 5 16
3
19 10 75 26 3 19 10 75 = AX 26 AX = BX A 6= B , mas
.
A e B duas matrizes quadradas de ordem n tais que AT A = AAT = I B T B = BB T = I , estude a permutabilidade das matrizes C e D, sendo C = ABAT D = AB T AT .
3. Sendo
Resolução:
CD = (ABAT )(AB T AT ) = AB (AT A)B T AT = A(BB T )AT = AIAT = AAT = I
= ABIBT AT = ABB T AT =
DC = (AB T AT )(ABAT ) = AB T (AT A)BAT = A(B T B )AT = AIAT = AAT = I = CD
= AB T IBAT = AB T BAT =
Logo as matrizes
4. Uma matriz
A
e e
C e D são permutáveis. A AT
diz-se ortogonal se
=I
. Mostre que o produto de duas matrizes
ortogonais é uma matriz ortogonal. Resolução:
A e B duas matrizes ortogonais, então A AT = I e B B T Vejamos que AB também é ortogonal: (AB ) (AB )T = ABB T AT = A(BB T )AT = AIAT = AAT = I:
Sejam
5. Uma matriz quadrada diz-se idempotente se então
I
A também o é.
Resolução:
I A é idempotente se e só se (I (I A)2 = (I A)(I A) = I 2 2 = I , IA = AI = A e Como I I A A + A = I A.
A2
=A
A) 2 = I A. I A A I + A2 A2 = A por A ser
.
=I
Mostre que se
.
A
é idempotente,
idempotente, tem-se:
(I
A )2
=
CAPÍTULO 1.
MATRIZES
17
2 6. Considere a matriz
3
1 1 1 6 7 42 1 15 1 0 1
. Determine a caraterística da matriz, uma matriz em escada
e a matriz em escada reduzida semelhante a Resolução:
2
!
3
!
l1 + l2 ( 1) l2
2 Esta matriz está em escada reduzida
7. Considere a matriz
1 6 62 6 62 4 3
2
1 6 62 6 62 4 3
3
2
3
1 0 0 6 7 40 1 05 0 0 1
3
1 0 0 6 7 4 0 1 0 5 0 0 1
e tem caraterística igual a 3,
c(A) = 3:
3
0 3 17 1 1 177 0 6 275 1 2 2
. Determine a caraterística, uma matriz em escada e a
matriz em escada reduzida semelhante a Resolução:
3
1 175 0 3 1 175 1
1 1 0 6 1 075 40 0 0 1 !
l1 l2
1 1 1 1 1 0
2
l2 + l3 l1 l3
l2 l1
2
2
1 l2 l2 2l1 6 40 l3 l3 l1 0 2 1 ! 6 l3 l3 l2 40 0 2 3 1 1 1 6 1 1 75 4 0 0 0 1
1 1 1 6 7 42 1 15 1 0 1
Esta matriz está em escada
A.
A.
3
0 3 17 1 1 177 0 6 275 1 2 2
l2 l3 l4
l4
l2 l3 l4
!
2l1 2l1 3l1 !
l4 l2
2
1 0 6 60 1 6 60 0 4 0 1 2 1 0 6 60 1 6 60 0 4 0 0
3 7 0 7 3 7 0 0
3
17 177 0 75 1 3
17 177 0 75 0
18
1.3.
2
tica igual a 2,
c(A) = 2: "
8. Dada a matriz
C
métrica
B
e está em escada reduzida. Tem caraterís-
#
1 2 A= 3 5 A = B + C:
, determine uma matriz simétrica
B
e uma matriz antissi-
tais que
Resolução: Se
3
0 3 1 7 1 7 1 77 0 0 0 75 0 0 0
1 6 6 0 6 6 4 0 0
Esta matriz está em escada
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
B
é uma matriz simétrica, então
antissimétrica, então
C=
"
0
d
0
d
"
#
=
"
. Como
#
1 2 = 3 5
"
a b b c
# .
Analogamente se
C
é uma matriz
A = B + C , então
a b b c
#
"
+ 0d d0
#
ou seja
8 > > > > <
1=a 2=b+d > 3=b d > > > : 5=c "
Logo
1 5 =2 B= 5=2 5
, #
8 > > > > < > > > > :
a=1 b=2 d 3=2 d d c= 5
eC=
"
0
1= 2
1= 2 0
,
8 > > > > < > > > > :
a=1 b = 2 d = 2 + 1=2 = 5=2 d = 3 22 = 1=2 c= 5
#
1.3.1 Aplicação: tratamento de imagens A letra
N
da gura 1.1 está determinada por 8 pontos ou vértices.
Figura 1.1: letra N
CAPÍTULO 1.
MATRIZES
19
As coordenadas desses pontos podem guardar-se numa matriz de dados,
D.
vertice
D=
Coordenada x Coordenada y
"
1 2 3 4 5 6 7 8# 0 0:5 6 5:5 :5 0 5:5 6 0 0 0 1:58 6:42 8 8 8
Além desta matriz seria necessária outra matriz onde se especi casse quais os vértices que estavam ligados por meio de linhas, mas neste exemplo vamos omitir essa matriz.
"
D
Qual o efeito de multiplicar
pela matriz
1 0:25 A= 0 1
#
?
Utilizando a de nição de
multiplicação de matrizes, tem-se:
"
#
0 0:5 6 5:895 2:105 2 7:5 8 AD = 0 0 0 1:580 6:420 8 8 8 ou seja efetuamos uma rotação à letra
N
(ver gura 1.2).
Figura 1.2: letra N inclinada
"
Qual será agora o efeito de multiplicar
AD
pela matriz
S
= 0:075 01
# ?
Utilizando a
de nição de multiplicação de matrizes, tem-se:
"
#
0 0:375 4; 5 4:42125 1; 57875 1:5 5; 625 6 S (AD) = SAD = 0 0 0 1:580 6:420 8 8 8 ou seja diminuímos a abertura da letra
N
inclinada (ver gura 1.3).
Figura 1.3: transformação composta de N
20
1.4.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.4 Exercícios propostos 2 1. Dadas as matrizes
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.
3
A=6 4
A+B AB BA A2 + 2A 21 B A B B B T + A + 3I3 :
2
3
1 1 0 1 0 4 7 6 0 2 1 5 e B = 4 2 6 0 75 ; 1 0 3 1 2 8
2
3
2
calcule:
3
2 3 1 1 0 1 6 7 6 A = 4 0 1 2 5 eB = 4 2 1 1 7 5 1 2 3 1 1 0
2. Dadas as matrizes
, mostre que se veri cam as
condições: 2.1. 2.2.
( A + B )T = A T + B T (AB )T = B T AT
3. Dadas as matrizes
3.1. 3.2. 3.3. 3.4.
A=
"
1 0 1 2 1 1
A=
"
,
1 B= 2
0 2 4 1 2 0
5. Mostre que a expressão
Y 2
6. Considere a matriz
2
#
B.
e
# ,
C=
"
3 1
= X 2 + 5X + 2I
#
, calcule
se anula para
3
A2 e A3 : 2 Calcule a matriz A + A I. 4 5 6 2 Deduza A , A e A em função de A , A e I .
"
1 eD= 1
# , calcule
3
0 1 6 B=4 0 1 7 5 2 3
0 0 1 6 A=4 2 1 0 7 5: 1 0 0
6.1. Calcule as matrizes
6.3.
"
BT A C T A + DT A T AT B B T (C + D )
4. Dadas as matrizes
6.2.
#
X=
"
X
tal que
1 1 2 4
# .
2AT + 2X =
CAPÍTULO 1.
7. Sejam
A
MATRIZES
21
2 M23(R), B 2 M32(R) e C 2 M33(R): Quais das seguintes operações são
possíveis?
A + B; A B; B C;
2A;
"
8. Veri que se são permutáveis as matrizes
5B:
B #
1 15 A= 10 4
eB=
"
2 3 2 1
#
:
9. Determine " # todas as matrizes quadradas de ordem 2 que sejam permutáveis com a matriz
1 1 0 1
: 2
3
2
3
1 2 0 0 1 2 6 7 6 A=4 3 1 4 5 eB=4 1 2 3 7 5: 1 2 3 1 0 0 (A + B )2 e A2 + 2AB + B 2:
10. Considere as matrizes
10.1. Calcule
10.2. Que condições deveriam satisfazer as matrizes quadradas
B )2 = A2 + 2AB + B 2 ? 2
A=
11. Dadas as matrizes
que a matriz
3
2 1 1 3 75 0 4
6 4
eB=
"
a
1
A B seja simétrica.
1
13. Considere a matriz
M
=
"
1 1 2 2
8
c
"
12. Veri que que duas quaisquer matrizes da forma são dois números reais.
b
AeB
# , determine
a b b a
de modo que
(A +
a, b, c 2 R de modo
# são permutáveis, onde
aeb
#
:
M 2 . Veri que que M 2 = M . 3 4 Calcule M e M em função de e M .
13.1. Calcule 13.2.
13.3. Deduza da alínea anterior a expressão genérica de
"
14. Deduza
An ,
sendo
1 2 A= 0 1
#
:
15. Uma matriz quadrada diz-se idempotente se
2
15.2. Prove que se 16. Mostre que matriz
A.
3
2 2 4 6 4 75 4 1 3 1 2 3 AB =A e BA=B
15.1. Mostre que a matriz
M n.
A2 = A. é idempotente.
, então
A e B são idempotentes.
A AT e AT A são expressões com signi cado qualquer que seja a ordem da
22
1.4.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
A e B duas matrizes quadradas de ordem n simétricas. Prove que A B é simétrica sse A e B são permutáveis (aplique as propriedades da transposição).
17. Sejam
18. Determine a caraterística das matrizes:
2
3
1 2 3 6 A = 41 1 17 5 0 1 2 19. Determine para que valores de
2 6 4
1 1 1 1
x y
3
2
x y7 5
1 1 1 x 175 1 1 x
x
(b)
1
6 4
3
x
2
3
1 0 1 6 B = 41 1 07 5 0 1 1 e/ou de
y
1.4.1 Soluções 2
1. 1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
0 6 A+B =4 2 2 2 3 6 AB =4 3 2 2 5 BA=6 4 2 9
3
1 4 8 1 75 2 11 3 6 4 14 8 75 6 20 3 1 12 10 6 75 5 26 2 3 2 9 3 A2 + 2A 12 B = 6 18 13 75 4 2 6 7 29 2 3 2 1 4 A B=6 4 1 75 4 2 0 2 5 2 3 21 3 33 7 B B T + A + 3I3 = 6 4 2 45 11 5 32 10 75 2
2. 2.1.
2.2.
3
1 2 2 6 T T T (A + B ) = A + B = 4 3 2 1 75 2 3 3 2 3 5 4 2 (AB )T = B T AT = 64 4 3 1 75 5 1 1
2
3
1 1 1 6 C = 42 2 27 5 3 3 3
as matrizes têm caraterística máxima:
(a)
CAPÍTULO 1.
3. 3.1.
3.2.
MATRIZES
BT A =
h
3 2
C T A + DT A
1
i
2
T
2
23
= 64
3
3 6 T A B=4 2 7 5 1 B T (C + D) = [4] 2 3 0 3= 2 7 X=6 4 2 5 =2 5 5 3 =2
3
4 0 75 4
3.3.
3.4.
4.
5.
Y = X 2 + 5X + 2 I = 2
"
#
0 0 0 0
.
3
2
3
1 0 0 0 0 1 6 7 3 6 2 A =4 2 1 2 5A =4 4 1 2 7 5 0 0 1 1 0 0 A2 + A I = A3 A4 = 2A2 I A5 = 2A2 + A 2I e A6 = 3A2 2I A B; 2A B 5B " # 28 18 AeB AB =BA= 12 34
6. 6.1.
6.2.
6.3.
,
7. Operações possíveis:
8.
e
.
são permutáveis:
" 9. Matrizes da forma:
2 10. 10.1.
10.2.
(A + B )2 = 64
a b 0 a
.
#
.
a; b 2 R.
, com
3
3 10 25 10 29 46 75 0 6 19
,
2
A2 + 2AB + B 2 = 6 4
A e B teriam de ser permutáveis. 2
11. Se
a
= 17=2; b = 6 e c = 15=2
simétrica. 12.
"
13. 13.1.
13.2.
#
3 3 = 3M M2 = 6 6 M 3 = 32 M e M 4 = 33 M .
.
, a matriz
AB
= 64
3
0 8 19 19 28 38 75 6 11 23 18 11=2 4
3
11=2 4 47=2 30 75 30 32
, logo é
24
1.4.
13.3.
14.
M n = 3n 1 M . "
1 2n An = 0 1
#
:
15. 16. 17. 18.
c(A) = 2, c(B ) = 3; c(C ) = 1
19. 19.1. 19.2.
x 6= y. x 2 Rnf 2; 1g.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Capítulo 2
Determinantes De nição 2.1 Seja A uma matriz quadrada. Designa-se por determinante de A e representase por jAj ou det(A) à soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal, xados os primeiros índices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou -, conforme a permutação dos segundos índices seja par ou ímpar.
Obs: 9 Na prática esta de nição é de difícil aplicação e por isso surgiram algumas regras práticas de cálculo de determinantes. 1. Só de de nem determinantes de matrizes quadradas, sendo o seu valor um número real. 2. Seja A = [a11 ], então jAj = a11 . 3. Seja A =
"
#
a11 a12 : Então, jAj = a11 a22 a12 a21 : a21 a22 2
3
a11 a12 a13 6 4. Seja A = 4 a21 a22 a23 7 5 : Então para calcular o determinante de A podemos usar a31 a32 a33 a "Regra de Sarrus" (esta regra apenas se aplica a matrizes de ordem 3): forma-se o determinante da matriz e repetem-se as duas primeiras linhas (ou as duas primeiras colunas). Considera-se a diagonal principal conjuntamente com as outras duas diagonais que lhe são paralelas, e aos produtos dos elementos que nelas guram, atribui-se o sinal +. Considera-se depois a diagonal secundária e as 2 diagonais que lhe são paralelas e, aos produtos dos elementos destas diagonais, atribui-se o sinal -. A soma algébrica dos 25
26
produtos assim obtidos é igual a jAj. Então:
a11 a21
jAj = a31 a11
a12
& &. &. .
a21
.
a22
a23
&.
a32
a33
&.
a12 a22
2 1 1. Seja A = 5 3
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 (a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a21):
a13
&
"
Exemplo: 12
a13
a23 #
: Então: jAj = 6 "
1 1 2. Considere as matrizes de ordem 2. A = 2 3 "
3 1 A+B = 3 0 e
#
#
( 5) = 11: "
2 0 eB= 1 3
; jA + B j = 0
#
: Então:
( 3) = 3
jAj = 3 ( 2) = 5; jB j = 6 0 = 6; jAj + jB j = 1: 2
3
1 0 3 6 3. Seja A = 4 2 1 5 75 Então 1 1 2 jA j =
1 2 1 1 2
& &. &. .
0 1 1 0 1
. &. &. &
3 5 2
= 2 6+0+3+5 0=0
3 5
De nição 2.2 1. Seja A uma matriz de ordem n. Designa-se por matriz complementar do elemento aij , e representa-se por Aij , a matriz que se obtém por supressão da linha li e coluna cj da matriz A. 2. Designa-se por menor complementar do elemento aij , o determinante jAij j.
CAPÍTULO 2.
DETERMINANTES
27
3. Designa-se por complemento algébrico ou cofactor do elemento aij , e representa-se por Aij , o produto do menor complementar por ( 1)i+j , isto é,
Aij = (
1)i+j jAij j:
Teorema 2.1 Teorema de Laplace:Seja A 2 Mnn R e i 2 f1; : : : ; ng. O determinante de uma matriz A de ordem n é igual à soma dos produtos dos elementos de uma la qualquer, por exemplo linha i, pelos respetivos complementos algébricos, ou seja:
jAj = ai1Ai1 + ai2Ai2 + : : : + ainAin =
n X k=1
aik Aik :
Obs: 10 O teorema de Laplace permite, portanto, calcular um determinante de ordem n, à custa de n determinantes de ordem n 1.
Exemplo:
1 2 1 1 3 2 0 0 . 13 Seja = 1 1 1 1 2 1 2 2
Usando o teorema de Laplace para efetuar os
cálculos à custa da segunda linha, obtemos:
= 321 + 222 + 023 + 024 = 3
2 = 3( 1) 1 1 1 + 0( 1)6 1 2
1 1 1 1 4 1 1 + 2( 1) 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 = 3 1 1 1 2 1 2
1 2 1 1 1 + 0( 1)5 1 1 1 + 2 1 2 2 1 1 = 18: 2
Teorema 2.2 (propriedades dos determinantes) Sejam A; B 2 Mnn R. Então: 1. Em geral, jA + B j = 6 jA j + j B j. 2. Se os elementos de uma la (linha ou coluna) são nulos, então jAj = 0. 3. jAj = jAT j 4. Se multiplicarmos uma la por uma constante, o determinante ca multiplicado por essa constante. 5. Ao trocarmos duas las, o determinante troca de sinal. 6. O determinante de uma matriz com duas las paralelas iguais é nulo.
28
7. O determinante de uma matriz com uma la múltipla de outra ou uma la combinação linear de outras é nulo. 8. O determinante de uma matriz A não se altera quando se adiciona a uma coluna (ou linha) de A uma combinação linear de OUTRAS colunas (ou linhas, respetivamente). 9. jA B j = jAj jB j 10. O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) ou diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Obs: 11
1. Seja k 2 R e A uma matriz de ordem n. Então, jkAj = kn jAj.
2. Um dos inconvenientes da aplicação direta do Teorema de Laplace é o facto de exigir a resolução de n determinantes de ordem n 1. No entanto, se conjugarmos as propriedades dos determinantes com o Teorema de Laplace para resolver um determinante de ordem n, podemos resolver apenas um determinante de ordem n 1. Para isso, resolve-se o determinante em duas fases: 2.1. selecionar um la qualquer e, usando as propriedades, anular os seus elementos com exceção de um, 2.2. aplicar o Teorema de Laplace a essa la.
Exemplo: 14
1 jA j = 3 1 0
2 8 1 0
1 1 0 1
= 1 ( 1)
0 4 = 3 l2 5 l3
1+1
1 2 1 0 0 2 2 4 = 0 1 1 3 0 0 1 5
2 2 4 1 1 2 1 1 3 = 2 1 1 3 = 0 1 5 0 1 5
=l
l2 + l1
2
= 2(
l2 3l1 l3 l1
1)1+1
1 1 2 2 0 2 5 = 0 1 5
2 5 = 2( 10 5) = 30: 1 5
CAPÍTULO 2.
DETERMINANTES
29
2.1 Exercícios Resolvidos "
1. Seja
1 1 A= 2 2
#
Resolução:
2 A= 4
#
1 2
. Determine
Resolução:
jAj.
j Aj = 2 4 "
3. Sejam
jAj = 1 1 = 2 2 = 0: 2 2
"
2. Seja
j A j.
. Determine
1 3 A= 2 4
#
Resolução:
1 = 4 ( 4) = 4 + 4 = 0: 2
"
e
2 9 B= 7 20
#
"
#
. Determine
"
j A j j B j e jA B j .
#
"
1 3 2 9 = 23 69 AB = 2 4 7 20 32 98 jA B j = 23 98 32 69 = 46
#
jAj = 1 3 = 4 6 = 2; jB j = 2 9 = 40 63 = 23 2 4 7 20 jAj jB j = ( 2) ( 23) = 46 = jA B j
2
4. Seja
3
1 0 3 6 A=4 2 1 5 7 5 1 1 2
. Determine
jA j.
Resolução:
j Aj =
1 0 3 2 1 5 = 2 6 + 0 + 3 + 5 0 = 8 + 8 = 0 1 1 2 1 0 3 2 1 5
30
2.1.
2
5. Seja
3
1 0 3 7 A=6 4 1 1 1 5 3 2 5
. Determine
Resolução:
jA j =
2
6. Seja
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 1 3 1 1
0 1 2 0 1
jA j.
3 1 = 5 + 6 + 0 9 2 0 = 0 5 3 1
3
1 2 1 17 6 6 3 2 0 0 7 7 A=6 6 1 1 1 1 75 4 2 1 2 2
. Determine
jA j.
Resolução: Aplicando o teorema de Laplace à segunda linha da matriz, obtemos:
1 2 1 1 jAj = 3 2 0 0 = 3A21 + 2A22 + 0A23 + 0A24 = 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 = 3( 1)3 1 1 1 + 2( 1)4 1 1 1 + 0( 1)5 1 1 1 + 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 + 0( 1)6 1 1 1 = 3 1 1 1 = 18: 2 1 2 1 2 2 2
7. Seja
1 6 6 3 A=6 6 1 4 0
3
1 1 1 7 4 1 2 77 1 0 3 75 1 1 2
. Determine
Resolução:
1 jA j = 3 1 0 =l
2 l3
l2 3l1 l3 l1
jA j.
1 1 1 4 1 2 = 1 0 3 1 1 2
1 0 0 0
1 1 1 1 2 5 = 0 1 2 1 1 2
CAPÍTULO 2.
DETERMINANTES
=l
31
l4 l2
4
=l
l4 + l2
4
1 0 0 0
1 1 1 1 2 5 = 0 1 2 0 1 7
1 0 0 0
1 1 1 1 2 5 = 0 1 2 0 0 9
= 1 1 ( 1) 9 = 9 8. Considere as matrizes:
2
3
1 2 3 6 A = 40 2 37 5; 0 0 3
2
3
1 1 1 6 B = 42 2 27 5; 3 3 3 P 2 M33 (R) P sendo
2
3
1 2 1 6 C = 40 0 07 5; 1 1 3
2
uma matriz invertível.
Usando as propriedades dos determinantes, calcule: 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. 8.10. 8.11. 8.12.
jA j. jB j . jC j. jD j. j 2 A j. 2 j A j. jA 3 j . j2 A T A j. jA T A 1 B T j. jA 1DAj. jABCDj. jP 1AP j.
Resolução:
A é uma matriz triangular, jAj = 1 2 3 = 6. Como as colunas de B são iguais, (c1;B = c2;B = c3;B ), tem-se jB j = 0. Como C tem uma linha nula, jC j = 0. Como D é uma matriz diagonal, jD j = 1 2 1 = 2.
8.1. Como 8.2. 8.3. 8.4.
3
1 0 0 6 D = 40 2 07 5; 0 0 1
32
2.1.
8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. 8.10. 8.11. 8.12.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
j 2Aj = ( 2)3jAj = 8 6 = 48. 2jAj = 2 6 = 12. jA3j = (jAj)3 = 63 = 216. j2AT Aj = 23jAT j jAj = 8jAj jAj = 8 6 6 = 288. jAT A 1B T j = jAT j jA 1j jB T j = jAj 1=jAj jB j = jB j = 0. jA 1DAj = jA 1j jDj jAj = 1=jAj jDj jAj = jDj = 2. jABCDj = jAj jB j jC j jDj = 6 0 0 2 = 0. jP 1AP j = jP 1j jAj jP j = 1=jP j jAj jP j = jAj = 6.
2.1.1 Aplicação: Cálculo de áreas ou volumes A é uma matriz quadrada de ordem 2, a área do paralelogramo determinado pelas colunas de A é jdet(A)j. Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, o volume do paralelepípedo determinado pelas colunas de A é jdet(A)j. Se
Calcular a área do paralelogramo determinado pelos pontos
( 2; 2) (0; 3) (4; 1) (6; 4) ,
,
e
.
Figura 2.1: paralelograma
Primeiro vamos determinar os vetores que de nem o paralelogramo. exemplo, o vértice
( 2; 2)
u = (0; 3)
Para isso xemos, por
e obtemos os vetores
( 2; 2) = (2; 5)
e v = (4;
1) ( 2; 2) = (6; 1) "
2 6 A= 5 1 jdet(A)j = j2 30j = 28
O paralelogramo é, então, determinado pelas colunas de Logo a área do paralelogramo é igual a
.
# .
CAPÍTULO 2.
DETERMINANTES
33
2.2 Exercícios propostos 1. Calcule os seguintes determinantes:
1 2 3 2 8 jA j = 3 1 ; jB j = 32 11 52
2. Sem efetuar o cálculo, veri que que o determinante:
3. Calcule o determinante:
1 jC j = 3 1 2
;
2 0 2 0 4 0 0 2 1 5 1 3
2 4 18 1 3 15 1 0 6
é múltiplo de 6.
1 3 7 2 4 5 3 1 1
3.1. reduzindo-o ao cálculo de um único determinante de 2
a
ordem;
3.2. desenvolvendo-o segundo os elementos de uma linha ou coluna.
4. Sem efetuar o desenvolvimento, diga quais os valores de
2 5. Seja
A=
6 6 6 6 4
x que anulam o determinante
2 2
1 2x 1 3 : 1 3
x2
3
1 2 1 1 7 1 1 2 1 77 : 0 1 0 1 75 1 2 2 1
5.1. Determine
jA j.
5.2. Sabendo que
B
= 2A
, determine
1
jB j ,
utilizando exclusivamente as propriedades dos
determinantes.
6. Utilizando as propriedades dos determinantes, mostre que
y x z x z y z y x
=0
se
x+y+z =0
34
2.2.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7. Diga se é verdadeira ou falsa a proposição
8. Sabendo que
a b c
0 0 0 0 0 b 0 = 0 c 0 0 0 0 0 d
a
abcd:
1 1 0 1 = 1 3 1
, calcule o determinante da matriz
2
A=6 4
9. Veri que a igualdade
1 1 1
a b c a2 b2 c2
m
1 3 3a
1 m m 3
0 3b
= (c b)(c
1 3c
1
3 7 5:
a)(b a):
10. Recorrendo exclusivamente às propriedades dos determinantes, mostre que
11. Sejam
A e B duas matrizes tais que
11.1. Calcule o valor numérico de 11.2. Determine o valor de
12. Mostre que se
"
#
3 1 AB = 1 4
13.1.
13.2.
"
e
# .
a:
A é antissimétrica e de ordem ímpar 2p
a 1 xn b x xn+1 c x2 xn+2 0 a1 0 1 2 a2 4 6 2a a3 3 6 2a a4 6 10
2 BA = 1 3 a
jBAj :
13. Calcule os seguintes determinantes, sabendo que
1 5 1 2 10 2 2 3 0 = 2 0 7 2 0 2 1 2 8 1
1
, então
a; b; c 2 Rn f0g.
jAj = 0:
CAPÍTULO 2.
13.3.
ab
DETERMINANTES
1 3 2 21
7 a 2 b 1 b 3
ab
14. Mostre que
2 1 4 17
1 0 + 1 4 1+x x x . . .
35
1 3 2 21
7b 2 1 2a 1 0 a 4 1 2 17 4
a12 a13 : : : a1n 1 0 ::: 0 1 1 ::: 0 . . .
. . .
1
x
..
1
. . .
.
:::
1
= 1 + x(1
a12 )
15. Considere os seguintes determinantes
1 jA j = 5 1 2
2 1 b 5 1 2 1 3 a 3 jB j = 2 3 2 1 1 2 1 b a 1 a b 1 a 1 3 b 1 e
jAj+jB j sem efetuar o cálculo dos determinantes. Em que condições jAj = 6 0?
15.1. Determine 15.2.
16. Mostre, sem efetuar o cálculo do determinante, que:
2 17. Seja
A=
6 6 6 6 4
1 1 1
a b+c b c+a c a+b
=0
3
2 1 3 57 0 1 2 3 77 : 4 1 2 1 75 2 3 1 4
jAj utilizando o desenvolvimento de Laplace ao longo da 2a linha. T Seja B 2 M44 (R) tal que jB j = 1=12: Calcule o determinante de matriz (AB ) .
17.1. Calcule 17.2.
18. Sendo
A uma matriz idempotente, mostre que jAj = 0 _ jAj = 1.
19. Resolva a seguinte equação em ordem a
1 2 x: 0 0
3x 2 2 4 4 4 = 0 0 x 1 0 1 1
36
2.2.
2.2.1 Soluções 1.
2.
3. 4. 5.
6.
jAj = 26, jB j = 14 e jC j = 38.
.
.
7. Verdadeira. 8.
jAj = m.
9. 10. 11. 11.1. 11.2.
jBAj = 3a 2: a = 13=3
12. 13. 13.1. 13.2. 13.3.
= 0: = 0: = 3:
14. 15. 15.1. 15.2. 16.
jAj + jB j = 0: Para a = 6 0 e b 6= 2.
= 0:
17. 17.1. 17.2.
jAj = 60
(AB )T = 5
18. 19.
1 2 3 2 4 18 1 3 15 = 6 1 3 5 1 0 2 1 0 6 jAj = 146 p x = 2 _ x = 3=2 ( a ) jA j = 1 (b) jB1 j = 1=(j2Aj) = 1=16 y x z 1 x z x z y = (x + y + z ) 1 z y z y x 1 y x
x = 2=3 _ x = 1.
.
.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Capítulo 3
Matrizes inversa Obs: 12 A divisão de matrizes não está de nida. No entanto pode de nir-se um conceito semelhante ao de "número inverso". De nição 3.1 Seja A 2 Mnn R. Diz-se que A é uma matriz invertível ou matriz regular ou matriz não singular se existir uma matriz B 2 Mnn R tal que AB = BA = In . Caso contrário diz-se que A é uma matriz não-invertível ou matriz singular. Teorema 3.1 Seja A é uma matriz invertível de ordem n. Então existe uma e uma só matriz B 2 Mnn R tal que AB = BA = In
A admite duas inversas, isto é, sejam X; Y AX = XA = In e AY = Y A = In . Vejamos que X = Y . Demonstração:
Suponhamos que
2 MnnR tal que
Tem-se
X
= XI = X (AY ) = (XA)Y = In Y =Y
porque I é o elemento neutro da multiplicação de matrizes por hipótese
AY
= In
pela propriedade associativa do produto de matrizes por hipótese
XA = In
porque I é o elemento neutro da multiplicação de matrizes
Isto é, existe uma única matriz que satisfaz a condição de invertibilidade.
De nição 3.2 Seja A é uma matriz invertível de ordem n. Chama-se matriz inversa da matriz A, e representa-se por A 1 , à única matriz B 2 Mnn R tal que AB = BA = In . Teorema 3.2 Sejam A e B são matrizes quadradas da mesma ordem, AB BA = I . 37
=
I se e só se
38
Demonstração:
AB = I Analogamente se
Obs: 13
Consideremos
BA = I
e vejamos que então
AB = I .
, (AB )A = IA , A(BA) = A , AI = A , A = A AB = I
então
BA = I , logo AB = I
se e só se
BA = I .
1. Se A e B são matrizes quadradas da mesma ordem e AB = I , então A 1 = B .
2. Se A é a matriz inversa da matriz B , então B é a matriz inversa da matriz A.
Teorema 3.3 1. Seja A uma matriz invertível. Então A 1 também é uma matriz invertível e (A 1 ) 1 = A . 2. Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem e invertíveis. Então a matriz AB ainda é invertível, tendo-se
(AB ) 1 = B
1A 1:
Demonstração: 1. Como
A
é uma matriz invertível, tem-se
1 ) 1 = A. matriz invertível e (A
2.
AA 1
=A
1A = I .
Logo,
A 1 também
é uma
B 1 A 1 = A BB 1 A 1 = AIn A 1 = AA 1 = In B 1 A 1 (AB ) = B 1 A 1 A B = B 1 In B = B 1 B = In 1 = B 1A 1: Logo (AB )
(AB )
Obs: 14
1. Podemos generalizar esta propriedade:
(AB : : : L) 1 = L
1 : : : B 1A 1:
Isto é, a inversa do produto de um número nito de matrizes é o produto das inversas por ordem inversa. 2. Nem toda a matriz quadrada é invertível.
CAPÍTULO 3.
MATRIZES INVERSA
39
Teorema 3.4 Seja A uma matriz de ordem n, invertível. Então 1. In 1 = In .
1 2. (kA) 1 = A 1 ; 8k 2 R n f0g: k
1 3. A matriz AT é invertível e a sua inversa é AT = A 1T : m 4. Se A é invertível, então Am também o é. Tem-se que (Am ) 1 = A 1 .
Demonstração: 1. Como
In In = In , então, por de nição, In 1 = In .
2.
1A
1
k
(kA) = k1 A
(kA) k1 A Conclui-se que
1A
k
1
1 kA = 1 kA 1 A = 1A 1 A = A 1 A = In k
= kA k1 A 1 = k k1 AA 1 = 1AA 1 = AA 1 = In
1 é a inversa de kA.
3.
AT A 1 T = A 1 A T = InT = In A 1 T AT = AA 1 T = InT = In : Logo, a matriz
AT
é invertível e a sua inversa é a matriz
4. Mostre-se por indução em veri ca para
m.
m.
Para
m
=1
AT 1 = A 1 T :
o resultado é imediato.
Suponhamos que se
Então
A 1 m+1 = A 1 A 1 m = A 1 (Am ) 1 = (Am A) 1 = Am+1 1 e, portanto, o resultado também é válido para também o é. Tem-se que
(A m ) 1 =
A
1 m
m + 1.
Logo, se
A é invertível,
então
Am
.
40
De nição 3.3 Uma matriz A, de ordem n diz-se uma matriz ortogonal se AAT
= AT A = In:
Obs: 15 Toda a matriz ortogonal é necessariamente uma matriz invertível, tendo-se A 1 = AT . De nição 3.4 Duas matrizes A e B de ordem n dizem-se matrizes semelhantes se existir uma matriz P , invertível, tal que:
A = P 1 BP
Obs: Duas matrizes semelhantes têm o mesmo determinante, isto é,
jAj = jP 1BP j = jP1 j jB jjP j = jB j jjPP jj = jB j: CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA: Nem toda a matriz quadrada é invertível. Teorema 3.5 Uma matriz quadrada de ordem n é invertível se e só se a sua caraterística é n, isto é se a sua forma em escada reduzida é a matriz identidade. Obs: 16 Se A é uma matriz invertível, há vários processos de calcular a sua matriz inversa, uns mais trabalhosos do que outros. Vamos estudar 3 métodos: 1. Pela De nição; 2. através da Matriz Adjunta; 3. usando as operações elementares.
1. Determinar a matriz inversa a partir da de nição A de nição de matriz invertível ajuda a veri car se uma matriz é ou não invertível, bem como a calcular a respetiva inversa, em caso a rmativo. Porém, tal processo é, em geral, moroso. Com efeito, se
A é uma matriz invertível, de ordem n, a igualdade AA 1 = In , permite determinar a
sua inversa.
"
Exemplo: 15
A 1=
"
#
1 Seja A = 2
1 1
#
. Supondo que A é invertível, a sua inversa será a matriz
a b , tal que AA 1 = A 1 A = I2 . Por exemplo: c d
AA 1 =
"
1 2
1 1
#"
a b c d
#
"
#
8 > > > > <
= 10 01 ) > > > > :
a b 2a 2b
c d
c d
8
8
> =1 > a=1+c a > > > > > > < < =0 , b=d ,> b > =0 > 2 + 2c c = 0 > c > > > > : : =1 2d d = 1 d
= 1 =1 = 2 =1
CAPÍTULO 3.
MATRIZES INVERSA
41
A inversa da matriz A, será a matriz A 1 =
"
1 1 2 1
#
.
2. Determinar a matriz inversa, usando a matriz adjunta De nição 3.5 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se matriz adjunta de A, e representa-se por Adj (A), à matriz transposta da matriz que se obtém substituindo na matriz A os seus elementos pelos correspondentes complementos algébricos. Teorema 3.6
1. Qualquer que seja a matriz A de ordem n, tem-se que
AAdj (A) = Adj (A)A = jAjIn : 2. Se A é invertível, então:
3.
A 1=
1
jAj Adj (A): Uma matriz quadrada A é invertível se e só se jAj = 6 0. 2
Exemplo:
3
1 3 2 6 16 Seja A = 40 1 47 5. jAj = 2 6= 0, logo a matriz A é invertível. 0 0 2 2
1 4 = 2 A11 = ( 1) 0 2 3
4
4
2
4
5
1 3 = 0 A23 = ( 1) 0 0
5
6
Adj (A) = 6 4
1 2 = 4 A32 = ( 1) 0 4 3
2
3
2
3
2 6 14 1 3 7 7 6 7 1 = 1 Adj (A) = 1 6 2 24 0 2 4 5=4 0 1 2 5 0 0 1 0 0 1=2
Teorema 3.7 A 1 =
1
jA j .
1 3 = 1 A33 = ( 1) 0 1
2 0 0 T 2 6 14 7 6 6 2 0 5 = 4 0 2 4 75 14 4 1 0 0 1 3
0 1 = 0 A13 = ( 1) 0 0
1 2 = 2 A22 = ( 1) 0 2
3 2 = 14 A31 = ( 1) 1 4
Logo: A
0 4 = 0 A12 = ( 1) 0 2
3 2 = 6 A21 = ( 1) 0 2
2
3
42
3.1.
Demonstração: Como
Logo
AA 1
Da de nição de matriz inversa,
= In
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
, tiramos que
jAA 1j = jInj = 1.
jAA 1j = jAjjA 1j = 1 e jAj =6 0 por A ser invertível, então jA 1j = jA1 j .
A
1 =
1
jA j .
3. Determinar a inversa, usando as operações elementares Teorema 3.8 A inversa de uma matriz A pode ser calculada efetuando as operações elementares (sobre as linhas) na matriz [ A j I ] até se obter uma matriz na forma [ I j B ]. A matriz B obtida é a inversa da matriz A, isto é, B = A 1 . "
Exemplo: 17
2 5 Seja A = 1 3 "
[ A j I ] = 21 53 10 01
#
.
#
"
#
"
1 5 = 2 1 =2 0 0 1 1 2 l2 2l2 Portanto, A 1 = B =
"
3 5 1 2
#
"
#
1 5 =2 1 =2 0 1 5 =2 1= 2 0 1 3 0 1 0 1 =2 1 =2 1 1 l1 l1 l2 l2 l1 2 " # 1 0 3 5 [I jB ] 0 1 1 2 5 l2 l1 l1 2
#
.
3.1 Exercícios Resolvidos "
1. Seja
1 1 A= 1 2
# . Determine a sua inversa.
[AjI ]= "
Portanto,
A
"
1 1 0 1 " 1 = 2 =3 1 =3
#
1 1 1 0 $ 1 2 0 1 l2 1
0
l 2 +l 1
#
1=3 1=3 $l1 # 1=3 1 =3 .
"
" l1 l2
#
1 1 1 0 $ 0 3 1 1 l2
1 0 2 =3 1 = 3 0 1 1 =3 1 =3
#
1=3l2
CAPÍTULO 3.
MATRIZES INVERSA
2. Dada a equação matricial
1 X )T
(A
43
=B
2
A
, determine
3
3 1 2 7 1=6 4 0 1 0 5 1 1 1
Resolução:
(A
X , sendo "
e
1 0 1 B= 0 1 2
#
1 X )T
=B ((A 1X )T )T = B T A 1X = BT AA 1 X = AB T X = AB T
Determinemos a matriz
A = (A 1 ) 1 : 2
3
3 1 2 1 0 0 6 7 4 0 1 0 0 1 0 5 1 1 1 0 0 1 3
2
l3
l3
l1
1 1 1 0 0 1 ! 6 l1 $ l3 4 0 1 0 0 1 0 7 5 3 1 2 1 0 0 2 ! 01 11 01 00 01 l3 3 l1 6 4 0 2 1 1 0 !2 1 0 1 0 1 l1 l2 6 4 0 1 0 0 1 l3 + 2 l2 0 0 1 1 2
l1 l3 2 Logo
A=6 4
3
1 1 2 0 1 0 75 1 2 3
e por isso
2
X = AB T
3
1 0 75 3 3 1 0 75 3 !2 1 0 0 1 1 2 3 l1 l2 6 7 ( 1) l3 4 00 10 01 01 12 30 5
= 64
3
2
3
2
3
1 1 2 1 0 1 3 7 6 7 6 0 1 0 5 4 0 1 5 = 4 0 1 75 1 2 3 1 2 2 4
44
3.1.
2
1 A=6 40 1 1 1 jAj = 0 1 1 0
3. Seja
3
1 1 0 1 1 2
1 A 1 175 2 1 1 0 1 = 2 + 1 + 0 1 0 0 6= 2 1 0 . Determine
.
, logo a matriz
2
0 1 = 1 A12 = ( 1) 1 2
1)3 1
4
1 1 = 2 A11 = ( 1) 0 2 A21 = (
1 = 2 0 2
A22 = (
1 1 = 0 A31 = ( 1) 1 1
A
A é invertível.
3
0 1 = 1 A13 = ( 1) 1 0
1)4 1
5
1 = 1 1 2
A23 = (
1 1 = 1 A32 = ( 1) 0 1 2
Logo:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3
2
4
1)5 1
6
1 = 1 1 0
1 1 = 1 A33 = ( 1) 0 1
2 1 1 T 2 2 6 7 6 Adj (A) = 4 2 1 1 5 = 4 1 1 0 1 1 1 1 2 3 2 2 2 0 1 1 7 6 1 = 1 Adj (A) = 1 6 2 2 4 1 1 1 5 = 4 1= 2 1 = 2 1 1 1 1 =2 1 = 2
3
0 1 75 1 3 0 1=2 75 1 =2
3.1.1 Aplicação: codi cação de mensagens Pode-se codi car uma mensagem associando a cada letra do alfabeto um número inteiro e enviar a lista de números que substitui a mensagem. A teoria dos determinantes é usada neste contexto para o cálculo de inversas com propriedades especiais.
A mensagem
BOA SORTE!
pode ser codi cada por
3; 1; 5;10; 1; 6; 2;8; 0
onde cada numero representa a letra que está na mesma coluna da tabela:
3
1
5
10
6
2
8
0
B
O
A
S
R
T
E
!
CAPÍTULO 3.
MATRIZES INVERSA
45
(neste exemplo não se codi ca o espaço). Para complicar ainda mais a codi cação da mensagem e para impedir que o código seja quebrado pode-se usar a seguinte técnica: o código que representa a mensagem é colocado nas colunas de uma matriz
A.
No exemplo considerado tem-se
2
3
3 10 2 7 A=6 41 1 85 : 5 6 0 A matriz
A
vai ser pré-multiplicada por uma outra matriz
M.
A matriz
M
deve veri car as
seguintes propriedades:
os elementos de M são números inteiros; det(M ) = 1. Então, tem-se que
M 1
= adj (M )
inteiros.
e os elementos de
2
Seja a matriz
M
dada por
M 1
também vão ser todos números
3
1 0 2 6 M = 40 1 07 5 0 1 1
. Então
os elementos de M são números inteiros; det(M ) = 1. Logo
M
veri ca as condições. Tem-se então:
2
3
2
3
2
3
1 0 2 3 10 2 13 22 2 6 7 6 7 6 MA = 40 1 05 41 1 85 = 4 1 1 87 5 0 1 1 5 6 0 6 7 8 ou seja, a mensagem codi cada que deve ser enviada é:
13; 1; 6;22; 1; 7; 2;8; 8 : O recetor da mensagem consegue descodi cá-la multiplicando-a por
1: Primeiro determinemos M
2
3
1 0 2 1 0 0 7 6 4 0 1 0 0 1 0 5 0 1 1 0 0 1 2 3 1 0 2 1 0 0 ! 0 1 0 0 1 07 l3 $ l3 l2 6 4 5 0 0 1 0 1 1
M 1
pois
M 1 MA
=A
.
46
3.1.
3
2
l1 $ l1 2
Logo
M
3
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 0 0 1 2 2 2!l3 64 0 1 0 0 1 0 75 0 0 1 0 1 1
1 2 2 1=6 0 75 : 4 0 1 0 1 1
Podemos agora descodi car a mensagem da seguinte forma:
2
A=M
3
2
3
2
3
1 2 2 13 22 2 3 10 2 7 6 7 6 1 MA = 6 0 5 4 1 1 85 = 41 1 875 40 1 0 1 1 6 7 8 5 6 0
Obtemos assim a mensagem inicial:
3; 1; 5;10; 1; 6; 2;8; 0 que, utilizando a tabela dos códigos, corresponde à mensagem
BOA SORTE!
A matriz de codi cação
M
pode ser construída a partir da matriz identidade
I,
aplicando,
sucessivamente, operações elementares. A matriz assim obtida vai ter elementos inteiros, veri ca
det(M ) = det(I ) = 1 e M 1 também vai ter elementos inteiros.
CAPÍTULO 3.
MATRIZES INVERSA
47
3.2 Exercícios propostos 2
1. Determine a inversa das matrizes
3
1 2 1 7 A=6 4 2 0 2 5 1 3 1
e
2
3
"
#
1 2 3 7 B=6 4 0 1 2 5: 0 0 1
2. Dadas as matrizes:
2
A=
6 4
3
1 1 2 0 3 0 75 1 4 1
2
B=
3
1 0 2 1 75 3 1
6 4
2 3 1 C= 3 0 2
Calcule:
2.1.
B:C:A
2.2.
jAj
2.3.
A 1 2
3. Considere a matriz
3.1. Determine
3
1 1 1 17 6 6 1 1 1 2 7 7 M =6 6 1 1 a 1 7 5 4 1 b 1 1
.
jM j em função de a e b. Em que condições M é regular?
a = 3 e b = 2. Sendo B e C ) 1 = C 1BC , determine jB j :
3.2. Tome
(
MT
2
4. Seja
3
2 0 3 6 B=4 0 4 2 7 5 0 0 7
matriz
duas matrizes reais de ordem 4 e sabendo que
uma matriz regular. Calcule o determinante da matriz inversa da
B:
A e B são duas matrizes semelhantes se existir uma matriz invertível P 1 que B = P AP . Mostre que se A eB são semelhantes, então jAj = jB j :
5. Dizemos que
6. Considere a seguinte matriz:
6.1. Justi que que a matriz
2
1 6 A=4 2 4
tal
3
0 2 1 3 75 1 0
A é invertível e determine a sua inversa.
6.2. Indique, justi cando, o valor lógico da seguinte a rmação:
(ABC )T
representa uma matriz
31
, onde
B é uma matriz 32 e C
uma matriz
21
48
3.2.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7. Considere as matrizes
2
3
1 1 2 6 C=4 2 1 3 7 5 5 1 0 7.1. Calcule
2 e
3
1 0 1 2 1 0 75 0 0 2
D=6 4
jC j :
7.2. Calcule a inversa de 7.3. Determine a matriz
D: X
que satisfaz a equação:
8. Seja
2
1 6 6 1 A=6 6 3 4 1
8.1. Calcule o determinante de
1 0 0 1
1 2 1 2
(DX + I )T = C: 3
17 1 77 1 75 1
A:
C uma matriz de ordem 4 com jC j = 2 e D uma matriz que se obteve de C por 1 DT : troca da primeira com a segunda coluna. Calcule o determinante da matriz CA
8.2. Seja
9. Uma matriz quadrada
A diz-se involutória se o seu quadrado é igual à matriz identidade.
9.1. Mostre que qualquer matriz involutória é igual à respetiva inversa.
"
9.2. Sendo
A
matricial
uma matriz involutória e
(BA 1) 1 + X T = B
10. Resolva, em ordem a
10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10.10. 10.11.
0 3 B= 1 4 T + B T AT :
#
, calcule
X
que satisfaz a equação
X , cada uma das seguintes equações matriciais:
AX + (X 1 B ) 1 = A (A 1 X + B ) 1 = A
(A 1 X ) 1 + 2 A = B ( X T A) 1 + ( X 1 B T ) T = I A (B + X )T = I (2A 1X ) 1 + B = A AX 1 + (XB 1 ) 1 = A (X T A B )T = CX AX + (X T B )T = C AX + (X T B T )T = A T (A X ) 1B T = (AT ) 1
CAPÍTULO 3.
11. Sendo
C
MATRIZES INVERSA
49
uma matriz invertível, resolva a seguinte equação em ordem a
X:
(ABC 1)T + CXI = C T (AB )T 12. Considere a equação matricial
12.1. Resolva a equação em ordem a
2
12.2. Calcule
X
para
1 X T + (AB ) 1 = A:
(AT )
X. 3
3
1 0 0 6 B=4 0 2 0 7 5: 0 0 3
e "
13. Considere a matriz
Determine a matriz
2
1 0 0 6 A=4 1 1 0 7 5 0 0 1
1 1 A= 0 1 X
#
AT X 1 T
que satisfaz a equação
=
AT 1 .
A matriz
X
é simé-
trica? Justi que. 14. Resolva, em ordem a
X , a seguinte equação matricial:
(B T X 1 )
1 B T C + ( C T B 1 )T
=I
15. Indique, justi cando, o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
15.1. a expressão matricial
1 + A )B
15.2.
c a b f d e i g h
A 1 (AA a b c d e f = g + ka h + kb i + kc
B (AB ) 1 A 1 B de ne a matriz nula.
16. Na codi cação de uma mensagem, é usado o seguinte código:
A
B
C
...
J
K
L
...
1
2
3
...
10
11
12
...
Neste exercício, o espaço não é considerado. A mensagem foi transformada usando a matriz
2
M e foi enviada como
Qual é a mensagem?
= 64
3
1 2 1 1 3 1 75 2 2 1
45; 60; 47; 63; 82; 68; 44; 48; 65
50
3.2.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3.2.1 Soluções 2
1.
3
1=2 5=12 1=3 6 1 A =4 0 1=6 1=3 75 e 1=2 1=12 1=3 2 3 3 3 3 B:C:A = 6 1 2 75 4 5 8 4 1 jA j = 9 2 3 1 =3 1 2= 3 A 1=6 1=3 0 75 4 0 1 =3 1 =3 1 =3 jM j = (a 1)(b 1) M jB j = 1= jM j = 1=2 B 1 = 1= jB j = 1=56
2
B
3
1 2 7 1=6 2 75 : 4 0 1 0 0 1
2. 2.1.
2.2.
2.3.
3. 3.1.
.
3.2.
4.
a; b 6= 1.
é regular se
.
5.
2 6. 6.1.
jAj = 9 6= 0; A 1 = 64
(ABC )T jC j = 24 2 3 1 0 1=2 D 1=6 1 75 4 2 1 0 0 1=2
6.2. Falso. 7. 7.1.
7.2.
1 =3 4 =3 2 =3
8. 8.1. 8.2.
10. 10.1. 10.2. 10.3. 10.4.
.
.
X = D 1 (C T
jA j = 2 . CA
1 DT =
9. 9.1. 9.2.
3
2 =9 1=9 75 1 =9 13
é uma matriz da forma
2
7.3.
2 =9 8 =9 1 =9
X=B 1=
"
3
1 7 =2 9 = 2 6 I) = 4 3 5 8 75 1 3 =2 1 =2
2
.
4 =3 1 1= 3 0
X = (A + B 1 ) 1 A X = A( A 1 B ) X = A (B 2A ) 1 X = (A 1 + B )T
#
CAPÍTULO 3.
10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10.10. 10.11. 11.
MATRIZES INVERSA
X=A T B X = A(A B ) 1 =2 X = A 1 (A + B ) X = (AT C ) 1 B T X = (A + B T ) 1 C X = (A + B ) 1 A X = A T BA
X = 0:
12. 12.1.
X = AT A B 1 A 1 T 2
3
0 2 0 6 X = 4 0 1 =2 0 7 5 0 0 2=3 " # 2 1 X= 1 1 X=C 1 B T
12.2.
13.
14.
51
.
. A matriz
.
15. 15.1. Falsa. 15.2. Verdadeira. 16. BOM ESTUDO
X
é simétrica
(X T = X )
.
Capítulo 4
Sistemas de equações lineares 4.1 De nições Gerais 1. Diz-se que (S ) é um sistema de m equações lineares com n incógnitas x1 ; x2 ; : : : ; xn 2 R e com os termos independentes b1 ; b2 ; : : : ; bm 2 R se (S ) é o sistema:
De nição 4.1
8 > > > > < > > > > :
a11 x1 a21 x1 ::: am1 x1
+a12x2 + : : : +a1nxn = b1 +a22x2 + : : : +a2nxn = b2 +am2x2 + : : : +amnxn = bm
2. O sistema (S ) da de nição anterior admite a forma matricial AX 2
A=
3. No sistema AX
6 6 6 6 4
a11 a21 ::: am1
a12 a22 ::: am2
::: ::: ::: :::
a1n a2n ::: amn
3
2
7 7 7 7 5
6 6 6 6 4
X=
x1 x2 ::: xn
= B , onde:
3
2
7 7 7 7 5
6 6 6 6 4
e B=
b1 b2 ::: bm
3 7 7 7 7 5
= B,
A = [aij ] 2 Mmn(R) é a matriz dos coe cientes. X = [xj ] 2 Mn1(R) é a Matriz ou vetor das Incógnitas. B = [bj ] 2 Mm1(R) é a Matriz ou vetor dos termos Independentes. 2
Aj B =
6 6 6 6 4
a11 a21 ::: am1
a12 a22 ::: am2
::: ::: ::: :::
a1n a2n ::: amn
b1 b2 ::: bm
3 7 7 7 7 5
2 Mm(n+1)(R) é a matriz completa.
4. Designa-se por solução do sistema AX = B qualquer n-úplo ordenado ( 1 ; 2 ; : : : ; n ) 2 Rn que satisfaça todas as equações do sistema. 52
CAPÍTULO 4.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
53
5. Dois sistemas dizem-se equivalentes se todas as soluções do primeiro satisfazem o segundo e vice-versa. 6. Resolver um sistema de equações lineares signi ca determinar todas as suas soluções. Chama-se Conjunto Solução do sistema (S ), e representa-se por CS(S ) , ao conjunto formado por todas as soluções do sistema. 7. Diz-se que sistema de equações lineares (S ) é um sistema possível se ]CS(S ) > 0. 8. Diz-se que sistema de equações lineares (S ) é um sistema possível e determinado se ]CS(S ) = 1. 9. Diz-se que sistema de equações lineares (S ) é um sistema possível e indeterminado se ]CS(S ) > 1. 10. Diz-se que sistema de equações lineares (S ) é um sistema impossível se ]CS(S ) = 0.
Obs: 17 1. Discutir um sistema de equações lineares signi ca efetuar um estudo visando classi cá-lo de acordo com as seguintes de nições:
Sistema de equações
8 > > > > > > < > > > > > > :
Possível
8 > < > :
Determinado ( SPD) - uma só solução Indeterminado ( SPI) - várias soluções
impossível (SI) - não tem soluções
2. Interpretação Geométrica - Dado um sistema de equações com 2 Equações e 2 Incógnitas, (
a11 x1 + a12 x2 a21 x1 + a22 x2
= =
b1 b2
Cada equação representa uma reta no plano no espaço bidimensional. Assim, as soluções do sistema pertencem à intersecção dessas retas.
Um SPD ( sistema com solução única) é representado pela interseção de duas retas concorrentes; Um SPI ( sistema com in nitas soluções) é representado pela interseção de duas retas coincidentes; Um SI ( sistema sem solução) é representado por duas retas paralelas. (
Exemplo: 18 (
1. Resolver o sistema:
2x + y = 5 x 3y = 6
,
(
2x + y = 5 x 3y = 6
12 + 6y + y = 5 x = 6 + 3y
,
(
y = 5 712 x=3
= 1
54
4.1.
DEFINIÇÕES GERAIS
Logo, o sistema tem um só solução, esta é representada pela interseção das retas de equações: 2x + y = 5 e x 3y = 6 ! retas concorrentes.
Figura 4.1:
Interpretação geométrica de um sistema linear de duas equações a duas incógnitas
possível e determinado
(
2. Resolver o sistema: (
2x + y = 5 6x + 3y = 15
2x + y = 5 6x + 3y = 15
,
(
2 x + 5 2x = 5 y = (15 6x)=3 = 5 2x
,
(
5=5 y = 5 2x
Logo, o sistema tem in nitas soluções, estas são representadas pela interseção das retas de equações: 2x + y = 5 e 6x + 3y = 15 ! retas coincidentes.
Figura 4.2:
Interpretação geométrica de um sistema linear de duas equações a duas incógnitas
possível e indeterminado
(
3. Resolver o sistema: (
2x + y = 5 6x + 3y = 10
2x + y = 5 6x + 3y = 10 ,
(
2x + 10=3 2x = 5 y = (10 6x)=3 = 10=3 2x
10=3 = 5 y = 10=3 2x 2x + y = 5 e 6x + 3y =
,
Logo, o sistema não tem solução, de facto as retas de equações:
(
CAPÍTULO 4.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
55
10 ! não se intersectam, retas paralelas não coincidentes.
Figura 4.3: Interpretação geométrica de um sistema linear de duas equações a duas incógnitas impossível
1. Seja AX = B um sistema de m equações lineares com n incógnitas. Então se n > m o sistema não pode ser SPD.
Obs: 18
= B um sistema de n equações lineares com n incógnitas. Se A é invertível, então 1 X = A B.
2. Seja AX
De nição 4.2 1. Designa-se por sistema homogéneo, um sistema de equações lineares cujos termos independentes são todos nulos. 2. Seja (S ) o sistema de equações lineares AX = B , com B 6= 0. Designa-se por sistema homogéneo associado ao sistema (S ), ao sistema AX = 0.
4.2 Método de Cramer De nição 4.3 Chama-se sistema de Cramer a um sistema de n equações lineares a n incógnitas, x1 ; x2 ; : : : ; xn , tal que o determinante associado à matriz do sistema é diferente de zero, isto é, a matriz é regular e a sua caraterística é n. Tal determinante é denominado por determinante do sistema e representa-se por . 8 > > > > < > > > > :
a11 x1 a21 x1 ::: an1 x1
+a12x2 + : : : +a1nxn = b1 +a22x2 + : : : +a2nxn = b2 +an2x2 + : : : +annxn = bn
56
4.2.
= jAj =
a11 a21 ::: an1
a12 a22 ::: an2
::: ::: ::: :::
a1n a2n ::: ann
MÉTODO DE CRAMER
6= 0
Teorema 4.1 Qualquer sistema de Cramer é possível e determinado.
Demonstração:
Consideremos o sistema
AX = B então
A 1 AX = A 1 B
ou seja
In X = A 1 B
Isto é,
X = A 1B
Como
A 1=
então
X = A 1B = 2 6 6 6 6 4
isto é
1 jAj Adj (A) e jAj =
x1 x2 ::: xn 8 > > > > < > > > > :
2
3 7 7 7 7 5
= 1
6 6 6 6 4
A11 A12 ::: A1n
1 Adj (A)B
A21 A22 ::: A2n
::: ::: ::: :::
An1 An2 ::: Ann
3 2 7 7 7 7 5
6 6 6 6 4
b1 b2 ::: bn
3 7 7 7 7 5
x1 = 1 (b1 A11 + b2 A21 + : : : + bn An1 ) x2 = 1 (b1 A12 + b2 A22 + : : : + bn An2 ) ::: xn = 1 (b1 A1n + b2 A2n + : : : + bn Ann )
Estas expressões existem e são bem de nidas, donde se conclui que o sistema é possível e determinado.
Obs: 19 1. As expressões contidas nos segundos membros identi cam-se com os valores dos determinantes que resultam da substituição da coluna relativa aos coe cientes de cada incógnita pela coluna dos termos b1 ; b2 ; : : : ; bn . Representando estes determinantes por
CAPÍTULO 4.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
1; 2; : : : ; n, vem:
8 > > > > < > > > > :
57
x1 = 1 x2 = 2 ::: xn = n
Esta regra é conhecida pela Regra de Cramer: A solução de um sistema de Cramer é constituída por uma sequência de valores, onde o valor de cada incógnita xk é obtido como o quociente de dois determinantes: o determinante do denominador é o determinante da matriz do sistema , e o determinante do numerador é um determinante que se obtém de substituindo a coluna dos coe cientes da incógnita xk pela coluna dos termos independentes B. 2. Se o sistema AX = B for uma sistema de Cramer Homogéneo, isto é, se jAj 6= 0 e os termos independentes forem nulos, então xj = 0; 8j = 1; : : : n e a solução nula é a única solução, ]CS = 1.
Exemplo: 19
1. Os sistemas (
x x
+z = 2 +3y 2z = 0 y
8 > <
e
> :
x 2x x
= 2 = 3 +3y = 4 y +y
não são sistemas de Cramer porque o primeiro tem mais incógnitas que equações e o segundo tem mais equações que incógnitas. 2. O sistema
(
3. O sistema
(
+2y = 1 2x 4y = 2 1 2 Não é um sistema de Cramer pois = 2 4 = 4 + 4 = 0. x
2x
= 3 = 6
y +y
x
2 1 = 2 + 1 = 3 6= 0. Então é um sistema de Cramer porque = 1 1 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > :
x y
= x = = y =
-3 6
2 1
3
1 1
-3 6
3
=
3+6 = 1 3
= 12 3+ 3 = 5
58
4.3.
Logo CS
MÉTODO DE GAUSS E GAUSS-JORDAN
= f(1; 5)g.
4.3 Método de Gauss e Gauss-Jordan Obs: 20
1. É possível estudar o sistema AX
= B através da matriz [A j B ].
2. As operações elementares seguintes, efetuadas sobre o sistema AX
= B,
2.1. troca entre si de duas equações do sistema, 2.2. a multiplicação de ambos os membros de uma equação por uma constante não nula, 2.3. a adição a uma equação de outra depois de multiplicada por uma constante não nula, correspondem às transformações elementares sobre as linhas da matriz [A j B ] e resultam na passagem de um sistema a outro equivalente.
3. As transformações elementares podem também realizar-se sobre as colunas, desde que se tenha em atenção que: 3.1. a troca entre si de duas quaisquer colunas do sistema nunca pode envolver a coluna B , 3.2. a troca entre si de duas quaisquer colunas de A equivale à troca, no sistema, da ordem das incógnitas, pelo que terá de ser acompanhada da correspondente troca das linhas na matriz X . 4. efetuando em [ A j B ] as operações elementares, obtém-se um sistema da forma [ C j D equivalente, onde C é uma matriz em escada equivalente a A.
]
Teorema 4.2 Seja AX = B um sistema de equações lineares com n incógnitas e seja CX = D um sistema equivalente ao sistema AX = B, onde C é uma matriz em escada equivalente a A. Seja:
p = r(A) = r(C ) a caraterística da matriz do sistema, q = r(AjB ) = r(C jD) a caraterística da matriz completa, n o número de incógnitas. Então:
8 > > > > < > > > > :
p=q p=q=n p=q p. Logo o sistema é impossível (SI).
Obs: 21 Uma condição necessária e su ciente para que um sistema seja possível, é que a matriz dos coe cientes e a matriz completa tenham igual caraterística.
60
4.3.
Exemplo: 20
1. Resolver o sistema
2. Resolver o sistema
8 > < > :
x 2x
+y 2y
8 > < > :
x 2x x
MÉTODO DE GAUSS E GAUSS-JORDAN
+4y +3z = 1 +5y +3z = 5 3y 2z = 4
= 4 = 3 3z = 5
z +z
.
.
3. Discutir, em função do parâmetro a 2 R, o sistema
8 > < > :
ax x x
+y +z = 1 +ay +z = a +y +az = a2
Resolução: 1.
1 4 3 1 l l 2 l! 1 4 6 [ A j B ] = 4 2 5 3 5 75 2 l 2 l l 1 64 0 3 3 3 1 1 3 2 4 0 7 3 2 2 !6 1 4 3 1 7 !6 1 l2 1=3 l2 4 0 1 1 1 5 l3 l3 + 7 l2 4 0 0 7 5 3 0 3 2 2 ! 1 1 4 3 1 4 !6 l1 3 l3 6 7 l1 l3 1=2 l3 4 0 1 1 1 5 4 0 1 l2 l2 l3 0 0 1 2 0 0 3 2 !6 1 0 0 3 7 l1 l1 4 l2 4 0 1 0 1 5 0 0 1 2 3
2
A solução do sistema é CS = determinado (p = q = n = 3). 2.
2
1 6 [AjB ]=4 2 0 2 !6 1 l3 l3 + l2 4 0 0
f(3; 1; 2)g.
1 0 2 1 2 0
1 1 3 1 3 0
l1
l1
3
2
3
3 1 3 3 75 5 3 3 4 3 1 1 1 1 75 0 2 4 3 0 7 0 1 75 1 2
A solução é única e o sistema é possível e
4 3 75 l2 l2 5 3 4 5 75 l2 0 2 !6 1 0 l2 4 0 1 0 0
2
!6 1 1
3
1 4 2 l1 4 0 2 3 5 75 0 2 3 5 2 3 1 1 1 4 ! 1=2 l2 64 0 1 3=2 5=2 75 0 0 0 0 3 1=2 3=2 3=2 5=2 75 0 0
CAPÍTULO 4.
Portanto,
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
8 > > <
x
> > :
y
61
8 3 z > + z2 = 32 > < x = 2 2 3z = 5 , > 5 3z > + : y = 2 2 2 2
O sistema é possível e simplesmente indeterminado (2 = p indeterminação é p q = 3 2 = 1. A solução do sistema é
CS = 3.
2
= q < n = 3), e o grau de
3 ; 5 + 3 ; ; 8 2 R : 2 2 2 2 3
2
3
1 1 1 !6 1 a 1 a 7 6 7 [ A j B ] = 4 1 a 1 a 5 l1 $ l2 4 a 1 1 1 5 1 1 a a2 1 1 a a2 3 2 3 !2 1 a 1 a 1 1 a a !6 l2 l2 a l1 6 7 7 4 0 1 a 2 1 a 1 a 2 5 c2 $ c3 4 0 1 a 1 a 2 1 a 2 5 l3 l3 l1 0 1 a a 1 a2 a 0 a 1 1 a a2 a 2 3 a a !6 1 1 l3 l3 + l2 4 0 1 a 1 a2 1 a2 7 5 2 0 0 2 a a 1 a O sistema é SPD se se tem p = q = n = 3. Para isso a diagonal principal só pode conter elementos não nulos, isto é, 1 a 6= 0 ^ 2 a a2 6= 0, ou seja, p 1+8 1 a 6= 1 ^ a 6= 2 13 a 6= 1 ^ a 6= 2 4 ^ a 6= 2 a 6= 1 ^ a 6= 2 2 a 6= 1 ^ a 6= 2 Então se a 6= 1 ^ a 6= 2 o sistema é SPD. a
Vejamos agora como classi car o sistema nas restantes situações: 2
3
1 1 1 1 7 6 4 0 0 0 0 5. 0 0 0 0
= 3,
o
sistema é possível e duplamente indeterminado. A solução geral do sistema é: CS f(1 ; ; ); 8 ; 2 Rg.
=
3.1. Para a
=1
temos o sistema:
2
3
Como
1=p=
q < n
1 1 2 2 6 3.2. Para a = 2 temos o sistema: 4 0 3 3 3 75. O sistema é impossível (2 = p 6= 0 0 0 3 q = 3).
62
4.4.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Conclusão:
a 6= 1 ^ a 6= 2 SPD, a = 1 SPDI, a = 2 SI.
4.4 Exercícios Resolvidos 1. Utilizando a regra de Cramer, resolver o sistema
8 > <
2x y + z = 1 x+y z =2 > : x z=1
é um sistema de Cramer porque
Então
Logo
2 1 1 = 1 1 1 = 2 + 0 + 1 1 0 1 = 3 6= 0 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 = 1 + 0 + 1 1 0 2 = 3 = 1 x= x = 3 3 3 2 1 1 1 1 2 1 1 1 4 + 1 1 2 + 2 + 1 3 y y= = 3 =1 = 3 = 3
2 1 1 1 1 2 1 0 1 = 2 + 0 2 1 0 + 1 = 0 = 0 z= z = 3 3 3 CS = f(1; 1; 0)g .
8 > < 2. Resolver o sistema homogéneo
> :
x 2x x
+2y +z = 0 y 2z = 0 +y = 0
.
CAPÍTULO 4.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
63
Resolução: O sistema dado é um sistema de Cramer porque
1 2 1 = 2 1 2 = 7 6= 0: 1 1 0 CS = f(0; 0; 0)g 8 > x +y z +w = 0 > > > < 2x +y w = 0 > x +y w = 0 > > > : 2x +3y z w = 0
Então, a única solução do sistema é a nula:
.
3. Resolver o sistema de equações homogéneo
Resolução:
2
[AjB ]=
6 6 6 6 4
1 2 1 2
3
1 1 1 07 1 0 1 0 77 1 0 1 0 75 3 1 1 0
2
!6 1 1 1 1 2 l3 l3 + 2 l2 6 6 0 6 l4 l4 + l2 4 0 0 3 0 0 3 2 !6 1 1 0 l1 l1 + l3 6 1 0 6 0 6 l2 l2 2 l3 4 0 0 1 0 0 0 Logo
8 > < > :
1 3 6 6 1 1 2 0
l2 l4
3
1 1 07 l2 1 60 1 2 3 0 77 l3 + l1 6 6 0 2 1 0 0 75 l4 2 l1 4 0 1 1 3 0
l3
3
07 0 77 0 75 0 3 07 0 77 0 75 0
x=0 y w=0 z 2w = 0
!2 1 1 2l 6
2
l4 l3
l1 l2
,
!6 1 1 l4 l3 6 1 6 0 6 1=3 l3 4 0 0 0 0 2 !6 1 0 l1 + l2 6 6 0 1 ( 1) l2 64 0 0 0 0 8 > < > :
3
1 1 07 2 3 0 77 1 2 0 75 0 0 0 3 0 0 07 0 1 0 77 1 2 0 75 0 0 0
x=0 y=w z = 2w
O sistema é possível e simplesmente indeterminado, sendo
CS = f(0; ; 2 ; ); 8 2 Rg:
4.4.1 Aplicação aos Circuitos elétricos Nesta aplicação vai-se analisar como se pode usar a teoria de sistemas de equações lineares para determinar a corrente em cada trecho de um circuito elétrico através das leis de Kirchho. Considere o circuito elétrico ilustrado na Figura 8 A bateria, medida em volt (V), gera uma carga que produz uma corrente.
A corrente sai da
64
4.4.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Figura 4.4: Circuito elétrico
bateria do lado que contém a reta vertical mais longa. As resistências são medidas em ohm As letras maiúsculas representam os nós do circuito elétrico. entre os nós e as setas indicam o sentido de uxo, mas se
A letra
i
( )
.
representa a corrente
i for negativa, então a corrente ui no
sentido oposto ao indicado. As correntes são medidas em ampere. Para determinar as correntes, recorre-se às leis de Kirchho :
1. Em cada nó, a soma das correntes que entram é igual à soma das correntes que saem. 2. Em cada ciclo fechado, a diferença de potencial é zero.
A diferença de potencial elétrico
U
em cada resistor é dada pela lei de Ohm:
U onde
i
representa a corrente em ampere e
R
= iR a resistência em ohm.
Determine-se, agora, as
correntes do circuito elétrico considerado. Da primeira lei de Kirchho obtém-se
i1 i2 + i3 = 0 i1 + i2 i3 = 0
(nó A) (nó B)
Da segunda lei de Kirchho resulta que
4i1 + 2i2 = 8 2i2 + 5i3 = 9
(ciclo superior) (ciclo inferior)
Pode-se representar o circuito elétrico usando a seguinte matriz ampliada:
2 6 6 6 6 4
3
1 1 1 07 1 1 1 0 77 4 2 0 8 75 0 2 5 9
CAPÍTULO 4.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
65
Esta matriz pode ser reduzida à forma escada da seguinte forma:
2 6 6 6 6 4
3
1 1 1 07 1 1 1 0 77 4 2 0 8 75 0 2 5 9 2
3
!6 1 1 1 0 7 l2 l2 + l1 6 0 0 77 6 0 0 6 l3 l3 4l1 4 0 6 4 8 75 0 2 5 9 2 3 0 1 1 1 ! 666 0 2 5 9 777 l2 $ l4 6 4 8 75 4 0 6 0 0 0 0 3 2 0 1 1 1 ! 666 0 2 5 9 777 l3 l3 3l2 6 19 19 75 4 0 0 0 0 0 0 2 3 1 1 1 0 ! 666 0 2 5 9 777 1 l3 19 l3 6 7 4 0 0 1 1 5 0 0 0 0 Resolvendo por substituição ascendente, obtém-se:
8 > < > : Isto é,
i1 i2 + i3 = 0 2i2 + 5i3 = 9 i3 = 1
i1 = 1, i2 = 2 e i3 = 1.
,
8 > < > :
i1 = i2 i3 = 1 i2 = (9 5i3 )=2 = 2 i3 = 1
66
4.5.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4.5 Exercícios Propostos 1. Resolva e classi que os seguintes sistemas:
8 > < 1.1.
> : 8 > <
1.2.
> : 8 > > > > <
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
x+y z =1 2x + y + 3 z = 2 3x + 2 y z = 0
x+y+z =3 3x + y + z = 2 x + 2y + z = 1
2x + 3 y z + t = 1 3x 2 y z t = 0 > x + 3y + z + 2t = 2 > > > : 2y z 2t = 3 8 > < 3x + 2 z = 2 5x + 2 y = 4 > : x 2y + 4 z = 3 8 > < 2x + y + z + v = 1 4x + 2 y + 3 z + 4 v = 3 > : 6x 3y z + v = 1 8 > x y z+t=1 > > > < 2x + 2 y 3 z + 6 t u = 1 > x + 2y z + 4t = 1 > > > : 3x + y 4 z + 7 t u = 0 8 > < 5x 11y + 9z = 1 x 3y + 5 z = 2 > : 2x 4y + 2 z = 1
2. Determine
a 2 R de modo que o sistema 8 > <
3. Considere o sistema
2x + y z = 4 x+y+z =2 > : y + 2z = 3
8 > < > :
x + ay + z = 1 ax + y + z = 2 x + y + az = 3
: Veri que que se trata de um sistema de Cramer
e resolva-o invertendo a matriz dos coe cientes. 4. Considere o seguinte sistema de equações lineares
8 > < > :
seja de Cramer.
x+z =1 2x + y = 2 y 2z = 4
CAPÍTULO 4.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
67
Mostre que se trata de um sistema de Cramer e resolva-o, aplicando as fórmulas de Cramer.
5. Discuta os seguintes sistemas:
8 > < 5.1.
> : 8 > <
5.2.
5.3.
x 2y z = 4 5x + 2 y 5 z = 4 2x 3 y 2 z = a
2x y + z = 1 3x + y = 3 > : ax + 8y 5z = b 8 > < ax + y + z = 1 x + ay + z = a > : x + y + az = a2
8 > < 6. Dado o sistema de equações
> :
x y=3 ; 5y z = 3 a2 x + 4 a 2 y z = a + 1
6.1. Discuta-o em função do parâmetro 6.2. Faça
a;
a = 0 e determine a solução pela regra de Cramer.
7. Usando a regra de Cramer, determine a solução
"
1 2 2 3
1 6
#
do sistema cuja matriz ampliada é
:
8. Seja o sistema:
8 > > > > > > < > > > > > > :
8.1. Para que valores de 8.2. Substitua
(x; y)
a=
x y+z =1 x z=0 2x y = 1 ax + 2y + z = 2 x y+z =b
a e b o sistema é possível e determinado?
4eb=1
9. Calcule os valores reais de
e resolva-o.
a e b que tornam possível e determinado o sistema 8 > > > > <
3 x 7y = a x+y =b > 5x + 3y = 5a + 2b > > > : x + 2y = a + b 1 Para os valores encontrados, determine a solução do sistema.
68
4.5.
10. Considere o sistema de equações lineares nas incógnitas
8 > < > :
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
x, y e z
x + y + 2 z = 1 x + 2 y + z = 1 ; 2 R 2 x + y + z =
A dos coe cientes do sistema. Sabendo que jAj = ( 1)2( +1)2( 2 +2), discuta o sistema em função do parâmetro : Justi que a a rmação Se = 0, a matriz dos coe cientes do sistema é invertível. 1: Fazendo = 0, determine A Determine a solução do sistema para = 0:
10.1. Escreva a matriz 10.2.
10.3. 10.4. 10.5.
11. Dado o seguinte sistema de equações lineares
8 > < > :
x y+z =0 2x y + z = 0 3x + my + 2z = 0
11.1. Discuta o sistema em função do parâmetro
m 2 R:
11.2. Para o caso em que o sistema é simplesmente indeterminado, resolva-o. 11.3. Modi que os termos independentes do sistema de forma a que este seja impossível. Justi que.
12. Discuta, em função do parâmetro
x, y e z :
a, o seguinte sistema de equações lineares nas incógnitas 8 > < > :
x y=1 ax + 4z = a + 1 2x y + 2 z = 4
13. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
8 > < > :
x+y+z =a x + (a + 1) y + z = 1 2x + (a 2) y + 2z = 0
13.1. Discuta-o em função do parâmetro 13.2. Resolva-o para
14. Seja o sistema:
a = 1: 2 6 6 6 6 4
a
0 4 0
a:
3
2
3
1 0 72 x 3 6 0 7 2 1 77 64 y 75 = 66 1 77 6 7 7 0 b 75 z 4 5 1 2 c
CAPÍTULO 4.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
69
a, b e c o vetor (1; 2; 3) é solução do sistema? Existem valores de a, b e c de modo que o sistema homogéneo associado seja indeter-
14.1. Para que valores de 14.2.
minado? 15. Determine
a de modo que o seguinte sistema seja possível e duplamente indeterminado: 8 > > > > < > > > > : 2
16. Considere
3
0 b 0 6 A=4 1 0 0 7 5 0 0 1
,
x 2y + z = 2 2 x 3y + 2 t = 0 x ay z + 2t = y 2z + 2at = 4 2
X=6 4
17. Considere a matriz
x1 x2 x3
3
2
7 5
eH=6 4
2
a
2 3
1 75
. Discuta o sistema
c
AX = H .
3
1 0 0 6 B=4 2 3 4 7 5 1 3 7
17.1. Determine a inversa da matriz
B.
17.2. De na sistema de Cramer. 17.3. Determine as soluções do sistema
BX = C , sendo C T
h
= 1
1 2
i
18. Resolva e classi que o seguinte sistema:
8 > <
2x + 4y = 16 5 x 2y = 4 > : 10x 4y = 3 19. Considere a seguinte matriz:
19.1. Justi que que
2
3
0 5 2 6 A=4 3 0 1 7 5 1 1 0
A é uma matriz regular e determine a sua inversa.
19.2. Considere o seguinte sistema de equações:
8 > <
5y 2z = 4 3x + z = 2 > : x+y =3 Usando a alínea anterior, resolva o sistema dado.
19.3. Resolva a equação matricial
2
X 1 + XB 1 1 = A, sendo B = 6 4
3
0 0 1 2 0 2 75 : 1 3 0
70
4.5.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
20. Resolva os seguintes sistemas aplicando a regra de Cramer:
8 > <
20.1.
20.2.
3x + 2 y + z = 5 2x + 3 y + z = 1 > : 2x + y + 3z = 11 8 > x + y + 2z + 3w = 1 > > > < 3x y z 2w = 4 > 2x + 3 y z w = 6 > > > : x + 2y + 3 z w = 4
21. 21.1. Discuta o sistema, considerando
a e b reais.
8 > < > : 21.2. Resolva-o para
x y + 2z = 1 y + 3z = 3 5x + 8y + az = b
a = 0 e b = 4:
22. Considere o seguinte sistema nas incógnitas
8 > < > :
x, y e z
x 2z = 1 y z=1 x z = 2
22.1. Discuta, sem resolver, o sistema em função dos parâmetros 22.2. Faça
= 12 e = 14
e :
e resolva o sistema para estes valores dos parâmetros.
23. Considere o seguinte sistema:
8 > < > :
x+y z =1 x + ay = 2 ax + y + (b a)z = a + c
23.1. Discuta o sistema para os vários valores de
a = 2; b = agora a = 2; b
23.2. Considerando 23.3. Tomando
1ec= 1 =1ec= 1
associado.
24. Dado o sistema de equações homogéneo
a, b e c:
, resolva o sistema.
8 > > > > < > > > > :
, qual é a solução do sistema homogéneo
x+y+z+t=0 x + ay + 2z + 3t = 0 x + y + az + 4t = 0 x + y + z + at = 0
o sistema dado: 24.1. não admita solução além da nula; 24.2. seja simplesmente indeterminado, e resolva-o neste caso.
, calcule
a de modo que
CAPÍTULO 4.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
71
4.5.1 Soluções 1. 1.1. Sistema de Cramer. Solução: 1.2. Sistema de Cramer. Solução: 1.3. Sistema de Cramer. Solução:
CS = f( 3; 5; 1)g. CS = f( 1=2; 2; 11=2)g. CS = f(1=8; 9=8; 0; 21=8)g.
1.4. Sistema impossível. 1.5. Sistema possível e duplamente indeterminado.
=2; ; 1
2 ; ); 8 ; 2 Rg
CS
Solução geral:
= f(
=2 +
.
1.6. Sistema possível e duplamente indeterminado.
; ; + 3; ; ); 8 ; 2 R.
Solução geral:
CS
= f(4 2
1.7. Sistema impossível. 2.
a 2 R n f 2 ; 1 g.
2
3
1 3 2 2 4 1 75 e X = A 1 2 3
3. Sistema
AX = B : jAj = 5 6= 0; A 1 = 1=5 6 4
4. Sistema
AX = B : jAj = 4 6= 0; CS = f(1; 0; 2g.
5. 5.1. Se
a 6=
6
, o sistema é impossível. Se
indeterminado:
6
CS = f(z; 2; z ); 8z 2 Rg.
= 29 ^ b = 34 f(1 2 ; 3 3 ; ); 8 2 Rg
5.2. Se
a=
a
2
3
4=5 7 1B = 6 4 13=5 5 1=5
.
, o sistema é possível e simplesmente
CS = Se a 6= 29,
, o sistema é possível e simplesmente indeterminado: . Se
a = 29 ^ b 6= 34, o sistema é impossível.
o sistema é possível e determinado (Cramer).
a = 1, o ; ; ); 8 ;
5.3. Se
= f(1 a 6= 2; 1
sistema é possível e duplamente indeterminado:
2 Rg.
Se
a
= 2
, o sistema é impossível.
Se
CS
, o sistema
é possível e determinado (Cramer).
6= 1, o sistema é possível e determinado (Cramer). Se a = 1, o sistema é possível e simplesmente indeterminado: CS = f(12=5+ =5; 3=5+ =5; ); 8 2 Rg.
6. 6.1. Se
a
a = 1, o sistema é impossível. Para a = 0, a solução do sistema é CS = f(11=5;
Se 6.2. 7.
4=5; 1)g
.
CS = f( 9; 4)g a 6= Para a =
5^b=1 4^b=1 a=2^b=4 2 3 1 1 2 7 A=6 4 1 2 1 5 2 1 1
8. 8.1. Para 8.2. 9. Para
10. 10.1.
, o sistema é possível e determinado. , a solução do sistema é
CS = f(4; 7; 4)g:
, o sistema é possível e determinado:
.
CS = f(3; 1)g
72
4.5.
10.2. Se
6= 1,
10.4.
10.5.
CS
= f(1
= 1, o sistema é impossível. Se = 0, jAj = 2 26= 0. 3 1 =2 1 =2 1= 2 1=6 Para = 0, A 1=2 1=2 75. 4 1 =2 1= 2 1 =2 1 = 2 Para = 0, a solução do sistema é CS = f(1; 0; 0)g.
11. 11.1. Se
m 6=
2
= 1, o sistema ; ; ); 8 ; 2 Rg. Se
o sistema é possível e determinado (Cramer).
é possível e duplamente indeterminado:
10.3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Se
, o sistema é possível e determinado (Cramer). Se
m=
2
, o sistema é
possível e simplesmente indeterminado.
m = 2, a solução geral do sistema é CS = f(x; z; z ); 8z 2 Rg. B = [00c]T ; c 6= 0.
11.2. Para 11.3. 12. Se
a 6= 2, o sistema é possível e determinado (Cramer).
13. 13.1. Se
a
6= 0,
Se
a = 2, o sistema é impossível.
o sistema é possível e determinado (Cramer).
Se
a
=0
, o sistema é
impossível. 13.2. Para
a = 1, CS = f(1=2; 0; 1=2)g.
14. 14.1. O vetor
CS = f(1; 2; 3)g é solução do sistema para a =
2 b= 1ec=4 ,
.
14.2. Não. 15. Para
a = 1, o sistema é possível e duplamente indeterminado.
16. O sistema é possível e determinado (Cramer), para e simplesmente indeterminado, para e
c 2 R.
17. 17.1.
2
B 1=6 4
a; b = 0 e c 2 R.
2
uma matriz
3
1 25=9 75 4 =3
X = B 1C = 6 4
.
18. O sistema é impossível.
2
jAj = 1 6= 0; A 1 = 64 2
19.2.
O sistema é impossível se
a=b=0
.
A uma matriz de ordem n e B Cramer se e só se det(A) 6= 0.
19. 19.1.
O sistema é possível
3
1 0 0 10=9 7=9 4=9 75 1= 3 1 = 3 1 =3
17.2. Seja
17.3.
b 6= 0 e a; c 2 R.
X = A 1B = 6 4
3
15 18 75 43
3
1 2 5 1 2 6 75 3 5 15
.
n 1.
O sistema
AX = B
diz-se de
CAPÍTULO 4.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
2 19.3.
20. 20.1. 20.2.
X = A 1 + A 1B = 6 4 CS = f(2; 2; 3)g. CS = f( 1; 1; 0; 1)g.
21. 21.1. Se
a 6=
1
3
10 13 8 11 16 9 75 : 28 40 22
1 ^ b 6= 4 a=0^b=4 6= 1=2 ^ 2 R 1 =4
21.2. Para 22. 22.1. Se
1^b = 4 CS = f(4 5 ; 3 3 ; ); 8 2 Rg
, o sistema é possível e determinado (Cramer). Se
é possível e simplesmente indeterminado:
a=
73
a=
, o sistema .
Se
, o sistema é impossível. , a solução é
CS = f(4; 3; 0)g. = 1 =2 ^ = 1=2 ^ 6= 1=4, o
, o sistema é possível e determinado (Cramer). Se
, o sistema é possível e simplesmente indeterminado.
Se
=
sistema é impossível. 22.2. Para
6= 1 ^ b 6= 1 ^ c 2 R, o sistema é possível e determinado (Cramer). Se (a = 1 ^ b = c) _ (b = c = 1 ^ a 2 R), o sistema é possível e simplesmente indeterminado. Se (a = 1 ^ b = 6 c) _ (b = 1 ^ c 6= 1 ^ a 2 R), o sistema é impossível. Para a = 2; b = 1 e c = 1, a solução é CS = f(2z; 1 z; z); 8z 2 Rg. Para a = 2; b = 1 e c = 1, a solução é CS = f(0; 0; 0)g. Para a = 6 1, o sistema é possível e determinado e a solução única é CS = f(0; 0; 0; 0)g. Para a = 1, o sistema é simplesmente indeterminado, a solução é CS = f( ; ; 0; 0); 8 2 Rg.
23. 23.1. Se
23.2. 23.3. 24. 24.1. 24.2.
= 21 e = 41 , a solução é CS = f(2z + 1; z + 1; z ); 8z 2 Rg.
a
Capítulo 5
Espaços vetoriais 5.1 De nições Gerais De nição 5.1 operações:
1. Seja V um conjunto não vazio sobre o qual estão de nidas as seguintes
8 u; v 2 V , o elemento u v 2 V 8 2 R; 8 u 2 V , o elemento u 2 V
() é uma operação interna e ( ) é uma operação externa. O conjunto V
com estas duas operações tem estrutura de espaço vetorial real se forem satisfeitas as seguintes propriedades: 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8.
8 u; v 2 V; u v = v u; 8 u; v; w 2 V; (u v) w = u (v w) ; 91 0V 2 V; 8 u 2 V; u 0V = u ; 8 u 2 V; 91( u) 2 V : u ( u) = 0V ; 8 2 R; 8 u; v 2 V; (u v) = u v; 8 ; 2 R; 8 u 2 V; ( ) u = u u ; 8 ; 2 R; 8 u 2 V; ( : ) u = ( u) ; 8 u 2 V; 1 u = u, sendo 1 o elemento neutro de R para a multiplicação.
2. Seja V o espaço vetorial de nido anteriormente, chama-se escalares aos elementos de R, chama-se vetores aos elementos de V , chama-se soma de vetores à primeira operação (), chama-se multiplicação de um escalar por um vetor à 2a operação ( ).
Notação 1. Se não causar confusão, em vez de
u v escrevemos u + v; 74
CAPÍTULO 5.
ESPAÇOS VETORIAIS
75
2. Se não causar confusão, em vez de
u ( v) escrevemos u v;
3. Se não causar confusão, em vez de
u escrevemos u;
Exemplo: 21 1. O conjunto espaço vetorial.
Rn = f(x1 ; x2 ; : : : ; xn ); xi 2 Rg com as operações usuais é um
2. O conjunto M22 (R) com as operações usuais é um espaço vetorial.
Teorema 5.1 Seja V um espaço vetorial. Então: 1.
8 2 R; 0V = 0V ;
2.
8 u 2 V; 0u = 0V ;
3.
8 2 R; 8 u 2 V; ( u) = ( )u e ( )( u) = u;
4.
8 2 R; 8 u 2 V; Se ( u = 0V )
5.
8 ; 2 R; 8 u 2 V n f0V g; Se ( u = u)
então ( = );
6.
8 u; v; z 2 V; se(u + v = z)
u) ;
7.
8 u; v; z 2 V; se(u + v = u + z)
então ( = 0
então (v = z
_ u = 0V );
então (v = z );
5.2 Subespaços De nição 5.2 Seja V um espaço vetorial e A um subconjunto não vazio de V . Diz-se que A é um subespaço de V se A é um espaço vetorial. Teorema 5.2 Seja V um espaço vetorial e A um subconjunto não vazio de V . A é um subespaço de V se e só se: 1. 0V
2 A;
2.
8 u; v 2 A; u + v 2 A ;
3.
8 2 R; 8 u 2 A; u 2 A.
Obs: 22 A de nição de subespaço é muito trabalhosa. O teorema anterior apresenta um processo mais prático para veri car se um dado subconjunto é ou não subespaço de um dado espaço vetorial.
76
5.2.
Exemplo: 22 1. Seja A subespaço de R3 .
= f(x; y; z) 2 R3 : x + y = 0 ^ z = yg.
SUBESPAÇOS
Mostrar que A é um
: A é um subespaço de R3 , se se veri carem as condições: Resolução
(0; 0; 0) 2 A. Como 0 + 0 = 0 e 0 = 0, tem-se (0; 0; 0) 2 A. 1.2. 8 u; v 2 A; u + v 2 A: x+y =0^z =y x= y^z =y Logo (x; y; z ) 2 A sse (x; y; z ) = ( y; y; y ). 1.1.
u = (x; y; z ) 2 A; u = ( y; y; y) v = (x0 ; y0 ; z 0 ) 2 A; v = ( y0 ; y0 ; y0 ) u + v = ( y; y; y) + ( y0 ; y0 ; y0 ) = = ( y y0; y + y0; y + y0) = = ( (y + y 0 ); y + y 0 ; y + y 0 ) 2 A 1.3.
8 u 2 A; 8 2 R; u 2 A:
u = ( y; y; y) = ( y; y; y)( ( y); y; y) 2 A
Logo A é um subespaço de R3 .
2. Mostre que F
= fA 2 Mnn(R) :
A = AT g é um subespaço de Mnn (R).
Resolução:
F é um subconjunto de Mnn (R), vejamos que veri ca também os 3 axiomas: 2.1. 0nn 2 Mnn (R) e
0 = 0T logo 0nn 2 F . 2.2. Se A; B 2 F , então A = AT e B = B T . Então, (A + B )T = AT + B T = A + B . Logo A + B 2 F. 2.3. Se A 2 F e 2 R, então A = AT e ( A)T = AT = A. Logo A 2 F . Logo F é um subespaço de Mnn (R). 3. Mostre que F Resolução:
= f(x; y) 2 R2 :
y = 1g não é um subespaço de R2 .
F é um subconjunto de R2 , mas não veri ca os 3 axiomas. Para provar que F não é um
CAPÍTULO 5.
ESPAÇOS VETORIAIS
77
subespaço, basta identi car um axioma que falhe. No entanto veri quemos que falha os 3 axiomas:
= (0; 0) 2= F logo F não é um subespaço de R2, ou 3.2. Sejam por exemplo u = (1; 1); v = (2; 1) 2 F , então u + v = (1; 1)+(2; 1) = (3; 2) 2= F .
3.1. 0R2
Logo F não é um subespaço de R2 , ou
3.3. Se u = (1; 1) 2 F e subespaço de R2 .
= 3 2 R, então 3u = 3(1; 1) = (3; 3) 2= F .
Teorema 5.3 Seja A 2 Mmn (R). Então, CSAX =0 é um subespaço de Demonstração: CSAX =0
é um subconjunto de
Logo F não é um
Rn .
Rn , logo CSAX =0 é um subespaço de Rn , se se
veri carem as condições:
1.
0Rn 2 CSAX =0
?
Como o sistema é homogéneo admite sempre a solução nula, logo 2.
8 u; v 2 CSAX =0; u + v 2 CSAX =0? Se u; v 2 CSAX =0 então, Au = Av = 0.
u + v também é solução do sistema. 3.
Logo
8 u 2 CSAX =0; 8 2 R; u 2 CSAX =0? Sejam u 2 CSAX =0 ; 2 R, então, Au = 0.
0Rn 2 CSAX =0
A(u + v) = Au + Av
Logo
A( u)
.
= 0+0 = 0
= Au = 0 = 0
.
. Logo
Logo
u
também é solução do sistema.
Logo
CSAX =0 é um subespaço de Rn .
5.3 Combinação linear De nição 5.3 Sejam V um espaço vetorial e v; v1 ; v2 ; : : : ; vk linear dos vetores v1 ; v2 ; : : : ; vk se:
2 V . Diz-se que v é combinação
9 1; 2; : : : ; k 2 R : v = 1v1 + 2v2 + : : : + k vk : Obs: 23 Sejam V um espaço vetorial e v; v1 ; v2 ; : : : ; vk dos vetores v1 ; v2 ; : : : ; vk se:
2 V . Diz-se que v é combinação linear
1 v1 + 2 v2 + : : : + k vk = v
é possível.
78
5.4.
Exemplo: 23
ESPAÇO GERADO E CONJUNTO GERADOR
1. O vetor u = (1; 2) é combinação linear dos vetores
(1; 0) e (0; 1), pois
(1; 2) = 1(1; 0) + 2(0; 1): 2. Considerar os vetores u = (1; combinação linear de u e v .
3; 2) e v = (2; 1; 1). Exprimir o vetor w = (2; 5; 4) como
Resolução:
w = 1 u + 2 v
8 > <
(2; 5; 4) = 1(1; 3; 2) + 2(2; 1; 1) , > :
2 6 4
3
2
3
2
1 + 2 2 = 2 3 1 2 = 2 1 + 2 =3 4
5 2
3
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0 8= 5 7 6 7 6 7 6 3 1 5 5 4 0 5 1 5 4 0 1 1=5 5 4 0 1 1=5 75 2 1 4 0 3 0 0 3 0 0 0 3= 5
O sistema é impossível, logo não podemos exprimir w como combinação linear de u e v .
3. Exprimir o vetor w = (1; 7;
4) como combinação linear de u e v.
Resolução:
w = 1 u + 2 v
8 > <
(1; 7; 4) = 1(1; 3; 2) + 2(2; 1; 1) , > 2
3
2
3
: 2
1 2 1 1 1 2 1 6 7 6 7 6 1 7 5 4 0 5 10 5 4 0 4 3 2 1 4 0 3 6 0 Então, w é combinação linear de u e v : w =
1 + 2 2 = 1 3 1 2 = 7 2 1 + 32 = 2 4
3
( 2 1 1 0 3 1 2 75 64 0 1 2 75 , 1 == 2 3 2 1 2 0 0 0 3u + 2 v .
5.4 Espaço gerado e Conjunto gerador De nição 5.4 Sejam V um espaço vetorial e S = fv1 ; v2 ; : : : ; vn g V . Chama-se espaço geradopelo conjunto S , e representa-se por < v1 ; v2 ; : : : ; vn >, ao conjunto de todos os vetores que são combinação linear de v1 ; v2 ; : : : ; vn , isto é,
< v1 ; v2 ; : : : ; vn >= f 1 v1 + 2 v2 + : : : + n vn ; 1 ; 2 ; : : : ; n 2 Rg: Os vetores v1 ; v2 ; : : : ; vn dizem-se geradores de W .
Obs: 24 Cada conjunto só pode gerar um único subespaço.
CAPÍTULO 5.
ESPAÇOS VETORIAIS
79
Exemplo: 24 Sejam u1 = (1; 2; 0) e u2 = (0; 0; 1) vetores de R3 . 1. Determinar o subespaço de R3 gerado por u1 e u2 .
2. v = (1; 2; 1) 2< u1 ; u2 >? 3. w = (1; 1; 1) 2< u1 ; u2 >? Resolução:
1.
< (u1 ; u2 ) >= f 1 (1; 2; 0) + 2 (0; 0; 1) ; 1 ; 2 2 Rg Vejamos qual o espaço gerado pelos 2 vetores:
(a; b; c) = 1(1; 2; 0) + 2(0; 0; 1) 8 > < > :
a b c
= = =
1 1 + 2 0 1 2 + 2 0 1 0 + 2 1
,
8 > < > :
a b c
= 1 = 2 1 = 2
,
8 > < > :
Então o sistema é possível quando b = 2a e por isso,
1 b 2
= a = 2a = c
< u1 ; u2 >= f(a; b; c) 2 R3 : b = 2ag: 2. Como a = 1 e b = 2 = 2 1 = 2a, temos v = (1; 2; 1) 2< u1 ; u2 >. 3. Como a = 1 e b = 1 6= 2 1 = 2a, temos w = (1; 1; 1) 2= < u1 ; u2 >.
De nição 5.5 Sejam V um espaço vetorial e S = fv1 ; v2 ; : : : ; vn g conjunto gerador de V , se V =< v1 ; v2 ; : : : ; vn >. Exemplo: 25 Veri que se, 1.
R2 =< (1; 1); (2; 1) >?
2.
R2 =< (1; 1); (2; 2) >?
Resolução:
1. Vejamos qual o espaço gerado pelos 2 vetores:
(a; b) = 1(1; 1) + 2(2; 1)
V.
Diz-se que S é um
80
5.5.
(
a b
= =
(
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
1 1 + 2 2 1 1 + 2 1
,
a
2 2 2 2 + 2
a b
(
= =
1 + 2 2 1 + 2
= a 2 2 a = a b Então o sistema é possível e determinado e por isso R2 =< (1; 1); (2; 1) > ,
1 b
= =
(
,
1 2
2. Vejamos qual o espaço gerado pelos 2 vetores:
(a; b) = 1(1; 1) + 2(2; 2) (
,
a b
(
= = 1 b
1 1 + 2 2 1 1 + 2 2
= =
a
,
2 2 2 2 + 2 2
a
(
,
a b
(
= = 1 b
1 + 2 2 1 + 2 2
= =
a
2 2
a
Então o sistema é possível se a = b e por isso R2 não é gerado pelos vetores f(1; 1); (2; 2)g.
Obs: 25
1. Dois conjuntos diferentes podem gerar o mesmo espaço;
2. Um subespaço pode ter vários conjuntos geradores.
5.5 Dependência e independência linear De nição 5.6 1. Seja V um espaço vetorial e seja fv1 ; v2 ; : : : ; vn g V . fv1 ; v2 ; : : : ; vn g diz-se um conjunto linearmente independente se 8 1 ; 2 ; : : : ; n 2 R,
1 v1 + 2 v2 + : : : + n vn = 0V
) 1 = 2 = : : : = n = 0:
2. Se fv1 ; v2 ; : : : ; vn g é um conjunto linearmente independente então, os vetores v1 ; v2 ; : : : ; vn dizem-se vetores linearmente independentes.
3. Se fv1 ; v2 ; : : : ; vn g não é um conjunto linearmente independente então é um conjunto linearmente dependente.
4. Se fv1 ; v2 ; : : : ; vn g é um conjunto linearmente dependente então, os vetores v1 ; v2 ; : : : ; vn dizem-se vetores linearmente dependentes.
CAPÍTULO 5.
ESPAÇOS VETORIAIS
81
Obs: 26 Seja V um espaço vetorial e seja S = fv1 ; v2 ; : : : ; vn g V . 1. Diz-se que S é um conjunto gerador de V, se para qualquer vetor u = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 V , o sistema
u = 1 v1 + 2 v2 + : : : + n vn
é um sistema sempre possível. 2. Diz-se que S é um conjunto linearmente independente o sistema
1 v1 + 2 v2 + : : : + n vn = 0V é um sistema possível e determinado. 3. Diz-se que S é um conjunto linearmente dependente o sistema
1 v1 + 2 v2 + : : : + n vn = 0V é um sistema possível e indeterminado.
(1; 2; 0); (0; 2; 1) e (1; 6; 1). 2. Estudar a dependência linear dos vetores (1; 2; 0); (0; 2; 1) e (1; 6; 2).
Exemplo: 26
1. Estudar a dependência linear dos vetores
Resolução:
1. Consideremos o sistema:
1 (1; 2; 0) + 2 (0; 2; 1) + 3 (1; 6; 1) = (0; 0; 0) 8 > < > : 2
l2
1 + 3 = 0 2 1 + 2 2 + 6 3 = 0 2 + 3 = 0
3
2
1 0 1 0 1 0 ! 6 7 6 l2 2 l1 4 0 2 4 2 2 6 0 5 l2 0 1 1 0 0 1 2 3 2 1 0 1 0 1 ! ! 6 6 7 1=2 l2 4 0 1 2 0 5 l3 l3 l2 4 0 0 1 1 0 0 !2
l2 + 2 l3 l1 l1 + l3 l3 ( 1) l3
l2
3
1 0 0 0 6 7 4 0 1 0 0 5 0 0 1 0
1 4 1 0 1 0
3
0 0 75 0 3 1 0 2 0 75 1 0
82
5.5.
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
O sistema é possível e determinado, logo a única solução é a solução nula,
1 = 2 = 3 = 0: Os três vetores são linearmente independentes. 2.
1 (1; 2; 0) + 2 (0; 2; 1) + 3 (1; 6; 2) = (0; 0; 0) 8 > < > : 2
l2
1 + 3 = 0 2 1 + 2 2 + 6 3 = 0 2 + 2 3 = 0 2
3
1 0 1 0 !6 1 0 1 6 7 l2 2 l1 4 0 2 4 4 2 2 6 0 5 l2 0 1 2 0 0 1 2 3 2 2 !6 1 0 1 0 7 !6 1 1=2 l2 4 0 1 2 0 5 l3 l3 l2 4 0 0 1 2 0 0
3
0 0 75 0 3 0 1 0 1 2 0 75 0 0 0
O sistema é possível e indeterminado, existem várias soluções: (
1 + 3 = 0 2 + 2 3 = 0
(
1 = 3 2 = 2 3
Os três vetores são linearmente dependentes.
Teorema 5.4 Seja V um espaço vetorial e sejam v1 ; v2 ; : : : ; vn um conjunto de vetores de V . Então v1 ; v2 ; : : : ; vn são linearmente dependentes sse um dos vetores for combinação linear dos restantes.
v1 ; v2 ; : : : ; vn são linearmente dependentes. com i 2 f1; 2; : : : ; ng tal que 1 v1 + 2 v2 + : : : + n vn = 0V . Demonstração:
Supor que
Então existe
i
6= 0
, ivi = 1v1 : : : i 1vi 1 i+1vi+1 : : : nvn , vi = 1 v1 : : : i 1 vi 1 i+1 vi+1 : : : n vn i i i i e, portanto,
vi é combinação linear dos restantes vetores.
Teorema 5.5 Seja V um espaço vetorial e sejam S1 S = fv1 ; v2 ; : : : ; vn g S2 V . Então
CAPÍTULO 5.
ESPAÇOS VETORIAIS
83
1. Se S é um conjunto linearmente dependente, então, S2 é um conjunto linearmente dependente. 2. Se S é um conjunto linearmente independente, então, S1 é um conjunto linearmente independente. 3. O vetor nulo oV é um vetor linearmente dependente. 4. Se v 6= 0V , então fv g é linearmente independente. 5. Se um dos vetores v1 ; v2 ; : : : ; vn é o vetor nulo, vi fv1; v2; : : : ; vng é linearmente dependente.
= 0v
para algum i
= 1; : : : ; n, então
6. Se num conjunto de vetores não nulos fv1 ; v2 ; : : : ; vn g, pelo menos um é combinação linear dos restantes, os n vetores são linearmente dependentes.
5.6 Base e dimensão de um espaço vetorial De nição 5.7 Seja V um espaço vetorial e fv1 ; v2 ; : : : ; vn g fv1; v2; : : : ; vng constitui uma base de V se
V.
Diz-se que o conjunto
1. fv1 ; v2 ; : : : ; vn gé m conjunto linearmente independente 2. V
=< v1; v2; : : : ; vn >, isto é, fv1; v2; : : : ; vng gera V .
Obs: 27 Seja V um espaço vetorial e seja S = fv1 ; v2 ; : : : ; vn g V . Diz-se que S é uma base de V, se para qualquer vetor u = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) 2 V , o sistema
u = 1 v1 + 2 v2 + : : : + n vn é um sistema possível e determinado.
Teorema 5.6 Seja V um espaço vetorial. Podem existir vários conjunto diferentes que formem uma base de V , mas o número de vetores de qualquer base de V é sempre o mesmo. De nição 5.8 1. O número de vetores da base de V designa-se por dimensão de V e representa-se por dim(V ). 2. Seja V um espaço vetorial e seja S = fv1 ; v2 ; : : : ; vn g uma base de V . Então diz-se que V é um espaço vetorial de dimensão nita. 3. Se V
= f0V g, diz-se que a dimensão de V
é zero, dim(V ) = 0.
Teorema 5.7 1. dim(R2 ) = 2 e fe1 ; e2 g, em que e1 A esta base dá-se o nome de base canónica.
= (1; 0); e2 = (0; 1), é uma base de R2.
84
5.6.
BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL
2. dim(R3 ) = 3 e fe1 ; e2 ; e3 g, em que e1 = (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0); e3 = (0; 0; 1), é uma base de R3 . A esta base dá-se o nome de base canónica. 3. dim(Rn )
= n e fe1; e2; : : : ; eng, em que e1 = (1; 0; : : : ; 0); e2 = (0; 1; : : : ; 0); en = (0; : : : ; 0; 1), é uma base de Rn. A esta base dá-se o nome de base canónica.
4. dim(M"23 (R)) #=
= " 0 0 0 1
E1
6
e
fE"1; E2; E3#; E4; E5; E6g"
1 0 0 ; E = 0# 0 0 " 2 0 ; E = 0 0 6 0 0 0
é uma# base de M " 23 (R) #, em que
0 1 0 ; E = 0 0 1 ; E = 0 0 0 3 4 0# 0 0 0 0 0 1 0 0 0 . A esta base dá-se o nome de base canónica. 1
; E5
=
5. dim(Mnm (R)) = nm.
Exemplo: 27 Considerar os subespaços vetoriais de R4 : 1. S1 = f(a; b; c; d) 2 R4 : a + b + c = 0g.
A dimensão de S1 é igual ao número de variáveis livres (b; c; d), portanto, dim(S1 ) = 3, ou a dimensão de S1 é igual à dimensão de R4 menos o número de condições, dim(S1 ) = 4 1 = 3. Uma base para S1 é um conjunto constituído por 3 vetores linearmente independentes de S1 , que veri cam a condição imposta (o número de vetores da base é a dim(S1 ) e os vetores de S1 são da forma ( b c; b; c; d)) . Por exemplo, fazendo sucessivamente (b; c; d) igual a (1; 0; 0), (0; 1; 0) e (0; 0; 1), obtemos a base:
f( 1; 1; 0; 0); ( 1; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g Vejamos que qualquer vetor v 2 S1 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base, isto é,
v
v
= (a; b; c; d) = ( b c; b; c; d) = = 81( 1; 1; 0; 0) + 2( 1; 0; 18 ; 0) + 3 (0; 0; 0; 1) > > b c = b c( V ) b c = 1 2 > > > > > > < b= < =b 1 ,> 1 > c = 2 = c 2 > > > > > > : d= : =d 3 3 = b( 1; 1; 0; 0) + c( 1; 0; 1; 0) + d(0; 0; 0; 1)
2. S2 = f(a; b; c; d) 2 R4 : a 2b = 0 ^ c = 3dg. A dimensão de S2 é 2 (variáveis livres: b e d ou
4 2 = 2).
CAPÍTULO 5.
ESPAÇOS VETORIAIS
85
vetor genérico:(2b; b; 3d; d) Uma base para S2 , fazendo (b; d) igual a
(1; 0) e (0; 1) obtém-se: f(2; 1; 0; 0); (0; 0; 3; 1)g. 8v 2 S2; v = (a; b; c; d) = (2b; b; 3d; d) = b(2; 1; 0; 0) + c(0; 0; 3; 1) 3. S3 = f(x; y; z ) 2 R3 : 2x + y + z = 0g. A dimensão de S3 é 2 (variáveis livres: x e y ou 3 1 = 2). vetor genérico de S3 : (x; y; 2x y ). Uma base para S3 , fazendo (x; y ) igual a (1; 0) e (0; 1) obtém-se:
8v 2 S3; v = (x; y; z) = (x; y; 2x y) = x(1; 0; 2) + y(0; 1; 1)
Teorema 5.8 Seja V um espaço vetorial e
f(1; 0; 2); (0; 1; 1)g.
dim(V ) = n. Então,
1. Qualquer subconjunto de V com n vetores linearmente independentes é uma base de V . 2. Qualquer subconjunto de V com n vetores linearmente independentes gera V . 3. Qualquer subconjunto de V com n vetores geradores de V é uma base de V . 4. Qualquer subconjunto de V com n vetores geradores de V é um conjunto linearmente independente. 5. Se A V e ](A) = m > n, então A é um conjunto linearmente dependente. 6. Se A V e A é um conjunto linearmente independente, então ](A) n. 7. Se A V e A é um conjunto gerador de V , então ](A) n.
Obs: 28 1. Seja A 2 Mnm (R). Se c(A) linearmente independentes.
= p; p 2 N então A tem p linhas (ou colunas)
2. Seja A 2 Mnn (R). Se c(A) = n, então A tem n linhas (ou colunas) linearmente independentes e det(A) 6= 0.
Exemplo: 28 Determinar se os vetores formam uma base do espaço vetorial R3 : 1.
(1; 2; 1) e ( 2; 3; 1)
2.
(1; 0; 3); (1; 2; 3); (1; 4; 2) e (0; 1; 1)
3.
(1; 1; 1); (1; 0; 1) e (1; 2; 3)
4.
(1; 1; 2); (2; 1; 1) e (3; 3; 0)
86
5.6.
BASE E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL
Os dois primeiros conjuntos de vetores não formam uma base de R3 porque R3 tem dimensão 3 e estas bases teriam de conter exatamente 3 vetores.
O terceiro conjunto forma uma base se e só se os vetores forem linearmente independentes. O estudo da dependência linear dos vetores pode ser feito a partir da determinação da caraterística da matriz A cujas colunas são formadas pelas coordenadas desses vetores. Assim, temos: 2
3
1 1 1 6 A = 41 0 27 5 1 1 3
l2 l3
! 21 1 13 l
l2 1 l3 l1
0 1 175 0 0 2
6 4
Como c(A) = 3, os 3 vetores são linearmente independentes e formam uma base de R3 .
efetuando o mesmo estudo para o quarto conjunto de vetores, isto é, condensando a matriz A cujas colunas são as coordenadas dos vetores dados, obtemos: 2
3
1 2 3 6 A = 41 1 37 5 2 1 0
! 21 2 3 3 l2 l2 l1 6 3 675 l3 40 l3 l3 2 l1 0 3 6
2
3
! 61 2 3 7 l2 40 3 65 0 0 0
l3
Como c(A) = 2, os 3 vetores são linearmente dependentes e não formam uma base de R3 .
Exemplo: 29 Determinar para que valores de k, os vetores (1; 0; k); (0; 1; 0) e (k; 0; 1) formam uma base R3 . É su ciente determinar em que condições os 3 vetores são linearmente independentes, isto é, 2
3
1 0 k 6 7 40 1 05 k 0 1 a caraterística será 3 se
1
2
l3
l3
3
! 61 0 k 7 k l1 40 1 0 5 0 0 1 k2
k2 6= 0 ou seja k 6= 1 ^ k 6=
1:
Teorema 5.9 Seja V um espaço vetorial, B = fv1 ; v2 ; : : : ; vn g V uma base de V e v 2 V . Então, o vetor v pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores v1 ; v2 ; : : : ; vn de B , isto é, existem e são únicos os escalares 1 ; 2 ; : : : ; n 2 R tais que
v = 1 v1 + 2 v2 + : : : + n vn :
CAPÍTULO 5.
ESPAÇOS VETORIAIS
87
Os escalares 1 ; 2 ; : : : ; n chamam-se coordenadas de v em relação à base B , e v pode representar-se como v = ( 1 ; 2 ; : : : ; n )B .
Exemplo: 30 Seja B = f(1; 1; 1); (1; 1; 2); (1; 2; 3)g uma base de R3 . Determinar as coordenadas do vetor v = (3; 4; 1) na base B . Para determinar as coordenadas do vetor v na base B , procuramos três escalares 1 ; 2 e 3 tais que: 2 3
1 1 1 3 (3; 4; 1) = 1(1; 1; 1) + 2(1; 1; 2) + 3(1; 2; 3) 1 1 2 4 75 1 2 3 1 !2 1 1 1 3 3 l2 l2 l1 6 7 4 0 0 1 1 5 l3 l3 l1 0 1 2 2 2 3 1 1 1 3 ! l2 $ l3 6 2 75 4 0 1 2 0 0 1 1 !2 1 1 0 2 3 l2 l2 2 l3 6 7 4 5 4 0 1 0 l1 l1 l3 0 0 1 1 2 3 6 1 0 0 ! l1 l1 l2 6 4 75 4 0 1 0 0 0 1 1 Isto é, 1 = 6; 2 = 4 e 3 = 1. Logo, v = (3; 4; 1) = (6; 4; 1)B . 6 4
5.7 Exercícios Resolvidos 1. Considere o conjunto 1.1. Veri que que
A = f(x; y; z ) 2 R3
:
x + y z = 0g
A é um subespaço.
1.2. Determine a dimensão e uma base de
A
Resolução: 1.1.
A é um subespaço sse 0R3 2 A 0R3 = (0; 0; 0) 2 A porque 0 + 0
0=0
88
5.7.
8 2 R; 8u 2 A ; u 2 A Seja u = (x; y; z ) 2 A então x + y z = 0.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
u = ( x; y; z ) e z ) = 0, ou seja x + y z = 0 e por Mas então
x + y z = 0, então (x + y isso u 2 A 8u; v 2 A ; u + v 2 A Sejam u = (x; y; z ) ; v = (a; b; c) 2 A, então x + y z = 0 e a + b c = 0. Mas então u + v = (x; y; z ) + (a; b; c) = (x + a; y + b; z + c) e como x + y z=0e a + b c = 0, então (x + y z ) + (a + b c) = (x + a) + (y + b) (z + c) = 0, e por isso u + v 2 A Logo A é um subespaço. como
1.2.
dim(A) = 3
1=2
.
A = f(x; y; z ) 2 R3 : x + y z = 0g = f(x; y; z) 2 R3 : z = x + yg = f(x; y; x + y) : x; y 2 Rg Como (x; y; x + y ) = x(1; 0; 1) + y (0; 1; 1), f(1; 0; 1); (0; 1; 1)g. 2. Veri que-se que o conjunto
B
= f(1; 0); (1; 1)g (4; 3)
encontre as coordenadas do vetor
= f(1; 0); (1; 1)g
ou gerarem 2.1.
R2 .
é uma base de
R2
A
pode ser
e em caso a rmativo
nessa base.
Resolução:
B
então uma base para
constitui uma base de
R2 se e só se forem linearmente independentes
Por questões didáticas vejamos que veri cam as 2 condições:
(1; 0) (1; 1) e
são linearmente independentes:
(1; 0) + (1; 1) = (0; 0) ,
(
+ =0 =0
(
, = =0 =0
Logo, os vetores são linearmente independentes. 2.2.
< (1; 0); (1; 1) >= R2 , isto é, B gera R2 : < (1; 0); (1; 1) >=(f(a; b) 2 R2 : (a; b) = (1; 0) + (1; 1)g ( a= + , =a b b= =b Os escalares
e
Portanto, o conjunto
estão univocamente determinados, logo
B = f(1; 0); (1; 1)g é uma base de R2 .
< (1; 0); (1; 1) >= R2 .
CAPÍTULO 5.
ESPAÇOS VETORIAIS
Mostremos que o vetor de
(1; 0) (1; 1) e
(4; 3)
89
se pode escrever de maneira única como combinação linear
:
(
(4; 3) = (1; 0) + (1; 1) , 43 == + , Logo,
(
=1 =3
(4; 3) = 1(1; 0) + 3(1; 1)
3. Considerar os vetores de
R3 : u = (2; 1; 0); v = (1; 1; 2) e w = (0; 3; 4).
R3 gerado pelos vetores u; v e w. 3 Determinar a dimensão do subespaço de R gerado pelos vetores u; v e w .
3.1. Caraterizar o subespaço de 3.2.
u1 = ( 4 ; 3 R gerado pelos vetores u; v e w.
3.3. Averiguar se os vetores
8; 0)
e
u2
= (2; 1; 0)
pertencem ao subespaço de
Resolução: 3.1. Seja
W =< u; v; w >. W
Então:
= f(a; b; c) 2 R3 : (a; b; c) = 1(2; 1; 0) + 2(1; 1; 2) + 3(0; 3; 4)g 8 > < > : 2
a = 2 1 + 2 b = 1 2 + 3 3 c = 2 2 4 3
2 1 6 1 4 1 0 2 2 !6 1 l1 $ l2 4 2 0 2 !6 1 l2 l2 2 l1 4 0 0 !2 1 l2 $ 1=3 l2 6 4 0 l3 $ 1=2 l3 0
3
0 a 3 b 75 4 c 3 1 3 b 1 0 a 75 2 4 c 3 1 3 b 3 6 2b + a 75 2 4 c 3 1 3 b 1 2 23b+a 75 1 2 2c 3 b+a !2 1 0 1 3 l1 $ l1 + l2 6 2b+a 7 2 4 0 1 5 3 l3 $ l3 l2 3 c +4 b 2 a 0 0 0 6
90
5.7.
3 c + 4 b 2a = 0 2a + 4 b + 3 c = 0 6 W =< u; v; w >= f(a; b; c) 2 R3 : 2a + 4b + 3c = 0g
O sistema é possível se Logo,
isto é, se
W
portanto
é igual ao número de variáveis independentes na caraterização de
dim(W ) = 2
, ou a dimensão de
número de condições, portanto
W =< u; v; w >: u1 = ( 4 ;
Logo
e
W
R3 menos o
se veri car, então os vetores pertencem
u1 2= W
22 41 30=4 4+0=0
u2 2 W
4. Determinar a dimensão do subespaço vetorial de
(2; 1; 0)
é igual à dimensão de
8; 0): 2 ( 4) 4 ( 8) 3 0 = 8 + 32 + 0 = 24 6= 0
u2 = (2; 1; 0): Logo
W
dim(W ) = 3 1 = 2
3.3. Se a condição imposta pela caraterização de a
.
.
3.2. A dimensão de
W,
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
w = (5; 1; 6).
R3 , gerado pelos vetores u = (1; 0; 2); v =
Resolução:
2
3
2
3
2
3
1 2 5 ! 61 2 5 7 ! 61 2 57 7 A=6 1 5 l3 $ l3 + 4 l2 40 1 15 40 1 15 l3 $ l3 2 l1 40 1 2 0 6 0 4 4 0 0 0 A caraterística de
5. Determinar
a
A é 2, logo a dimensão do subespaço gerado por u; v e w é 2.
dimensão
do
subespaço
vetorial
(1; 0; 0; 0); v = (3; 2; 5; 4); w = (2; 0; 1; 3) Resolução:
2
3
e
de
t = (1; 2;
R4 ,
1; 1) 2
gerado
pelos
.
3
1 3 2 17 1 3 2 17 6 6 ! 60 2 0 2 77 l $ 1=2 l 660 1 0 177 A=6 2 60 5 1 60 5 175 1 175 2 4 4 0 4 3 1 0 4 3 1 2 3 1 3 2 1 !6 l3 $ l3 5 l2 6 1777 60 1 0 l4 $ l4 4 l2 6 4 75 40 0 1 0 0 3 5
vetores
u
=
CAPÍTULO 5.
ESPAÇOS VETORIAIS
A caraterística de
91
A é 4, logo a dimensão do subespaço gerado pelos vetores é 4.
5.7.1 Interpretação geométrica da Independência Linear Em
R2
um conjunto de 2 vetores é linearmente independente sse os vetores não estão numa
mesma reta quando colocados com os seus pontos iniciais na origem. Logo 2 vetores de
u; v 2 R2
são linearmente independentes se nenhum dos vetores é um múltiplo do outro, isto é, sse não existe
k 2 R tal que u = kv
R3 um conjunto de 3 vetores é linearmente independente sse os vetores não estão num mesmo 3 plano quando colocados com os seus pontos iniciais na origem. Logo 3 vetores de u; v; w 2 R Em
são linearmente independentes se nenhum dos vetores é combinação linear dos restantes.
5.8 Exercícios propostos 1. Averigue quais dos seguintes subconjuntos de 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
A = f(x; y; z ): x + y = 0 ^ z = 1g B = f(x; y; z ): x y = 0 ^ z + y = 0g C = f(x; y; z ): x > 0g D = (x; y; z ): z = 0 ^ x2 + y2 = 1
2. Averigue quais dos seguintes subconjuntos de 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
R3 são subespaços de R3 :
R4 são subespaços de R4
A = f(x; y; z; t): x + y = 0 ^ z = tg B = f(x; y; z; t): x + y + z = 0 ^ t 2 Zg C = f(0; 0; 0; 0)g D = f(x; y; z; t): x + y + z = 1g
w = (2; 1; 5), determine o valor da constante k por forma a ser possível escrever o vetor u como combinação linear dos vetores v e w.
3. Dados os vetores
u
= (1; 2; k)
,
v
= (3; 0; 2)
e
x, y e z de modo que combinação linear dos vetores a = (1; 3; 2) e b = (2; 4; 1):
4. Determine uma condição que relacione
5. Diga quais dos seguintes conjuntos de vetores de 5.1.
f(1; 2; 3); (3; 6; 9)g
o vetor
v
= (x; y; z)
R3 são linearmente independentes.
seja
92
5.8.
5.2. 5.3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
f(1; 2; 3); (3; 2; 1)g f(0; 1; 2); (1; 1; 1); (1; 2; 1)g
6. No espaço vetorial
M22 (R), o conjunto A=
("
1 2 3 1
#
" ,
2 3 3 0
#
" ,
3 4 3 1
#)
é formado por elementos linearmente independentes? 7. Considere o conjunto
A
= 1 + 2x
(conjunto dos polinómios de
o 2
x2 ; 2 x + 3x2 ; 3
grau).
4x + 7x2
Veri que se os elementos de
subconjunto de
A
P2
são linearmente
dependentes.
u e v dois vetores de V . independentes, então u + v e u v também o são.
8. Sejam
V
um espaço vetorial,
Prove que se
u e v são linearmente
9. Averigue se:
A = f(1; 1; 3); (3; 8; 2); ( 2; 8; 4)g é uma base de R3 ; 3 9.2. O conjunto B = f(1; 2; 3); (3; 3; 2); ( 2; 1; 2)g é uma base de R ; 2 10. No espaço vetorial R consideremos as bases B = f(2; 0); (1; 3)g e C = f(1; 3); (2; 4)g e 2 o vetor v = (8; 6) relativamente à base canónica de R . Determine as componentes de v relativamente às bases B e C . 2 11. Determine as componentes (ou coordenadas) do vetor u = (1; 2) 2 R na base B = f(1; 1); (1; 1)g: 3 12. 12.1. Seja B = f(1; 1; 1); (1; 1; 2); (1; 2; 3)g uma base de R . Determinar as coordenadas do vetor v = (3; 4; 1) na base B . 0 3 12.2. Seja agora B = f(0; 0; 1); (1; 0; 1); (0; 1; 0)g outra base de R . Determinar as coordenadas do vetor v na nova base. 3 13. Considere os vetores de R , x = (1; 1; 1), y = (2; 1; 0) e z = ( 1; 0; 1). 9.1. O conjunto
13.1. Mostre que constituem uma base de
R3 :
v = (2; 1; 2) na base fx; y; z g : 3 De na o subespaço de R gerado pelo conjunto fx; y g :
13.2. Determine as componentes do vetor 13.3.
2) f(1; 0; 1); (0; 0; 0); (0; 1; 0)g
13.4. Averigue se o vetor 14. Os vetores
15. Considere o subespaço
pertence ao subespaço gerado pelo conjunto
geram
E
de
fx; yg :
R3 ?
R3 gerado pelos vetores x = (1; 0; 2) e y = (2; 1; 3).
k 2 R de modo que o vetor z = (1; 2; k) pertença a E . 3 Fazendo k = 0, mostre que os vetores x, y e z constituem uma base de R : Determine as componentes de e2 = (0; 1; 0) em relação a essa base.
15.1. Determine 15.2.
w = (0; 1;
CAPÍTULO 5.
16. Seja
ESPAÇOS VETORIAIS
A = (x; y; z ) 2 R3 : x
93
3y + 8z = 0 :
A é um subespaço vetorial de R3 : Determine, justi cando, uma base para A e indique a sua dimensão.
16.1. Mostre que 16.2.
17. Determine os valores de
3 uma base do espaço R .
18. Seja
V
k
para os quais os vetores
V
,
e
formam
Justi que.
= fa = (1; 2; 1); b = (1; 2; 2); c = (3; 6; 4)g
18.1. Averigue se
(1; 1; 1) (2; 1; 1) (k; 0; k)
um conjunto de vetores de
é uma base do espaço vetorial
R3 :
R3 :
a e b: 3 Dê um exemplo de um vetor u de modo que fa; b; ug seja uma base de R :
18.2. Determine o espaço gerado pelos vetores 18.3.
19. Indique o valor lógico de cada uma das a rmações seguintes, justi cando a sua resposta.
S = f(1; t; t): t 2 Rg é um subespaço vetorial de R3 : 3 Os vetores (1; 1; 0), (2; 0; 1) e (4; 4; 0) formam uma base de R : Se os vetores u e v são linearmente independentes, então 2u e u v também o são. u = (1; 0; 0), v = (1; 2; 1), w = ( 1; 0; 1) e t = (2; 1; 1) são vetores linearmente
19.1. O conjunto 19.2. 19.3. 19.4.
independentes. 20. Consideremos os seguintes subespaços de
R4 :
A = (a; b; c; d) 2 R4 : a + b + c = 0 B = (a; b; c; d) 2 R4 : a Determine uma base e a dimensão de 21. Seja
S
o subespaço vetorial de
21.1. Determine a dimensão de
S. Averigue se u = ( 4;
2b = 0 ^ c = 3d
A e B:
R3 gerado por f(0; 0; 1); (2; 4; 0); (1; 2; 1)g: S:
21.2. Caracterize 21.3.
8; 0)
pertence a
S:
B = fu; v; wg uma base de R3 , onde u = (1; 1; 1), v = (1; 1; 0) e w = (0; 1; 1) e S = fa; b; cg uma outra base de R3 , onde a = (0; 0; 1), b = (1; 0; 1) e c = (0; 1; 0): Considere o vetor x = (1; 2; 3)B e determine as suas componentes na base S:
22. Seja
23. Seja
T
= (x; y; z) 2 R3 : x + y + z = 0
. Determine a dimensão e uma base de
T.
24. Indique, justi cando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes a rmações: 24.1. O vetor
(0; 5; 4):
24.2.
(1; 1; 0)
pertence ao subespaço de
R3 gerado pelos vetores (0; 1; 0); (0; 3; 1) e
u; v; w 2 R2 são vetores linearmente independentes.
94
5.8.
24.3. Se
24.4. Se
25. Sejam
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
u e v formam uma base de R2 , então u v; u + v também formam uma base de R2 .
fu; vg é uma base de R2, com u = (u1; u2) e v = (v1; v2), então
u = (2; 0; 1) e v
= ( 1; 3; 1)
vetores de
R3 .
u1 v1 u2 v2
Determine o subespaço de
6= 0:
R3
gerado
pelos vetores dados.
R5
26. Determine a dimensão e uma base do subespaço de
(1; 1; 1; 1; 0)
,
a2 = (1; 1;
1; 1; 1)
,
a3 = (2; 2; 0; 0;
1)
e
gerado pelos vetores
a1
=
a4 = (1; 1; 5; 5; 2): Caracterize o
espaço anterior.
27. Seja
U
= f(x; y; z; t) 2 R4 : x 2z = 0 ^ y = tg
27.1. Mostre que
U
é um subespaço de
U
27.2. Determine uma base de
28. 28.1. Determine o subespaço
S
R4 ?
e a sua dimensão.
de
(4; 2; 2)
R3 , gerado pelos vetores 21 ; 2; 1 , 1; 12 ; 2 e (1; 1; 2):
está em
S:
28.3. Indique, justi cando, a dimensão de
S:
28.2. Veri que se o vetor
.
2 29. Considere a matriz de nida por
A=
6 6 6 6 4
1 1 0 1
2 0 2 0
3
0 17 2 1 77 2 0 75 2 1
29.1. Calcule, usando o método de condensação, a caraterística da matriz
A.
29.2. Diga, justi cando com base na alínea anterior, se os vetores
f(1; 2; 0; 1); ( 1; 0; 2; 1); (0; 2; 2; 0); (1; 0; 2; 1)g são linearmente dependentes.
30. Considere, no espaço vetorial
(2; 2; 1)
R3 , o subespaço F
. Determine uma base de
F
gerado pelos vetores
(1; 0; 1) (0; 2; 1) ,
e
e determine a sua dimensão.
31. Das seguintes frases, diga, justi cando convenientemente, quais são verdadeiras e quais são falsas:
31.1. Sendo
X
um vetor não nulo, o vetor
X
é linearmente dependente.
31.2. Num espaço vetorial de dimensão 5, 3 vetores são sempre linearmente independentes. 31.3. Num subespaço, o número de vetores da base é igual à dimensão do subespaço.
CAPÍTULO 5.
ESPAÇOS VETORIAIS
95
5.8.1 Soluções 1. 1.1. Não. 1.2. Sim. 1.3. Não. 1.4. Não. 2. 2.1. Sim. 2.2. Não. 2.3. Sim. 2.4. Não. 3.
k = 12: u = v + 2w.
4.
x y
2z = 0
.
5. 5.1. Não. 5.2. Sim. 5.3. Sim. 6. Não. 7. Não. 8. 9. 9.1. Não. 9.2. Sim. 10.
v = (2; 3)C = (3; 2)B .
11.
u = (1;
12. 12.1. 12.2.
2) = (3=2; 1=2)B v = (6; 4; 1)B v = ( 2; 3; 4)B0
.
.
.
13. 13.1. 13.2. 13.3.
v = ( 3; 2; 1)fx;y;zg . < x; y >= f(a; b; c) 2 R3 : a = 2b + cg:
13.4. Sim. 14. Não. 15. 15.1. 15.2.
k = 12. e2 = (0; 1; 0) = 1=4x + 1=6y
7=12z
.
96
5.8.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
16. 16.1. 16.2. Base de 17.
A = f(3; 1; 0); ( 8; 0; 1)g; dim(A) = 2.
k 6= 0.
18. 18.1. Não. 18.2. 18.3.
< a; b >= f(x; y; z ) 2 R3 : y = 2xg. Por exemplo: u = (1; 0; 0).
19. 19.1. Falsa. 19.2. Falsa. 19.3. Verdadeira. 19.4. Falsa. 20.
A: de
dim(A) = 3 A = f( 1; 1; 0; 0); ( 1; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g B : dim(B ) = 2 B = f(2; 1; 0; 0); (0; 0; 3; 1)g dim(S ) = 2 S = f(a; b; c) 2 R3 : b = 2ag ; Base de
.
; Base
.
21. 21.1.
.
21.2.
.
21.3. Sim. 22.
x = (1; 2; 3)B = (1; 3; 6)S = (3; 6; 4).
23.
dim(T ) = 2
; Base de
T
= f( 1; 1; 0); ( 1; 0; 1)g
.
24. 24.1. Falsa. 24.2. Falsa. 24.3. Verdadeira. 24.4. Verdadeira. 25. 26.
< u; v >= f(a; b; c) 2 R3 : a + b
2c = 0g V =< a1 ; a2 ; a3 ; a4 >= f(a; b; c; d; e) 2 R5 : b = a ^ c = d = a + 2eg dim(V ) = 2 .
,
27. 27.1. 27.2. 28. 28.1.
dim(U ) = 2 U = f(2; 0; 1; 0); (0; 1; 0; 1)g S = f(a; b; c) 2 R3 : c = 2ag ; Base de
.
28.2. Não. 28.3. 29. 29.1.
dim(S ) = 2 r (A ) = 3
.
.
29.2. Sim. 30.
dim(F ) = 2
, Base de
F
= f(1; 1; 0); (1=2; 01)g
.
.
.
CAPÍTULO 5.
ESPAÇOS VETORIAIS
31. 31.1. Verdadeira. 31.2. Falsa. 31.3. Verdadeira.
97
Capítulo 6
Transformações lineares 6.1 De nições Gerais De nição 6.1 Sejam A e B conjuntos e x 2 A. Diz-se que f é uma função de A em B se associa a cada elemento de A um e um só elemento de B , representando-se por f (x) a imagem de x por f . Chama-se domínio de f ao conjunto A.
Obs: Sejam f uma função de domínio Rn e x = (x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn . Então, a imagem de x por f , pode representar-se por f (x) ou por f (x1 ; : : : ; xn ). De nição 6.2 Sejam V e V 0 dois espaços vetoriais e f uma função de V em V 0. 1. Diz-se que f é uma transformação linear ou aplicação linear ou homomor smo, se
8 u; v 2 V; f (u + v) = f (u) + f (v), 1.2. 8 2 R; 8 u 2 V; f ( u) = f (u). Representa-se por L(V; V 0) o conjunto de todas as transformações lineares de V 1.1.
2.
em V 0.
3. Se f é injetiva, então, diz-se um monomor smo. 4. Se f é sobrejetiva, então, diz-se um epimor smo. 5. Se f é bijetiva, então, diz-se um isomor smo. 6. Se V
= V 0, f diz-se um endomor smo.
Exemplo: 31 Seja V linear.
= V 0 = R2 e f (x; y) = (2x
98
y; 0). Mostre que f é uma transformação
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
99
Resolução:
f é uma transformação linear se: 1.
8 u = (x; y); v = (x0; y0) 2 R2; f (u + v) = f (u) + f (v): f (u+v) = f ((x; y)+(x0 ; y0 )) = f (x+x0 ; y +y0 ) = (2(x+x0 ) (y +y0 ); 0) = (2x+2x0 y y0 ; 0) f (u) + f (v) = f (x; y) + f (x0 ; y0 ) = (2x y; 0) + (2x0 y0 ; 0) = (2x y + 2x0 y0 ; 0) Logo f (u + v ) = f (u) + f (v ).
2.
8 2 R; 8 u = (x; y) 2 R2; f ( u) = f (u) f ( u) = f ( (x; y)) = f ( x; y) = (2( x) y; 0) = (2 x y; 0) f (u) = f (x; y) = (2x y; 0) = (2 x y; 0) Logo f ( u) = f (u).
Mas então, como se veri cam as duas condições, f é uma transformação linear.
Exemplo: 32 Seja V linear.
= V 0 = R2 e f (x; y) = (2x
y; 1). Veri que se f é uma transformação
Resolução:
f é uma transformação linear se: 1.
8 u = (x; y); v = (x0; y0) 2 R2; f (u + v) = f (u) + f (v) f (u+v) = f ((x; y)+(x0 ; y0 )) = f (x+x0 ; y +y0 ) = (2(x+x0 ) (y +y0 ); 1) = (2x+2x0 y y0 ; 1) f (u) + f (v) = f (x; y) + f (x0 ; y0 ) = (2x y; 1) + (2x0 y0 ; 1) = (2x y + 2x0 y0 ; 2) Logo f (u + v ) 6= f (u) + f (v ). Como f não veri ca uma das condições, já não é necessário veri car a outra. No entanto, por questões didáticas, vamos também veri car que f não satisfaz a outra condição:
2.
8 2 R; 8 u = (x; y) 2 R2; f ( u) = f (u) f ( u) = f ( (x; y)) = f ( x; y) = (2( x) y; 1) = (2 x y; 1) f (u) = f (x; y) = (2x y; 1) = (2 x y; ) Logo f ( u) 6= f (u).
Mas então, como não se veri cam as duas condições, f não é uma transformação linear.
100
6.1.
DEFINIÇÕES GERAIS
Teorema 6.1 Sejam V e V 0 espaços vetoriais. T é uma transformação linear de V em V 0 sse
8x; y 2 V; 8 ; 2 R : T ( x + y) = T (x) + T (y): Obs: 29 O teorema anterior indica um processo alternativo à de nição (5:3) de se veri car se uma função é transformação linear. Exemplo: 33 Indique quais das seguintes funções são transformações lineares:
: R2 ! R2, f (x; y) = (x + y; 2x). 2. f : R2 ! R2 , f (x; y ) = (xy; x2 ). 1. f
Resolução:
1. Pelo teorema anterior, f é uma transformação linear se:
8 ; 2 R ; 8 u = (x; y); v = (x0; y0) 2 R2; f ( u + v) = f (u) + f (v) f ( u + v) = f ( (x; y) + (x0 ; y0 )) = f ( x + x0 ; y + y0 ) =
= ( x + x0 + y + y0; 2 x + 2 x0) f (u) + f (v) = f (x; y) + f (x0 ; y0 ) = (x + y; 2x) + (x0 + y0 ; 2x0 ) = = ( x + y; 2 x) + ( x0 + y0; 2 x0) = ( x + y + x0 + y0; 2 x + 2 x0) Logo f ( u + v ) = f (u) + f (v ). Mas então, como se veri ca a condição, f é uma transformação linear.
2. Pelo teorema anterior, f é uma transformação linear se:
8 ; 2 R ; 8 u = (x; y); v = (x0; y0) 2 R2; f ( u + v) = f (u) + f (v) f ( u + v) = f ( (x; y) + (x0 ; y0 )) = f ( x + x0 ; y + y0 ) = = (( x + x0)( y + y0); ( x + x0)2) =
= ( x y + x y0 + x0 y + x0 y0; 2 x2 + 2 xx0 + 2x02) f (u) + f (v) = f (x; y) + f (x0 ; y0 ) = (xy; x2 ) + (x0 y0 ; x02 ) = = ( xy; x2) + ( x0y0; x02) = ( xy + x0y0; x2 + x02) Logo f ( u + v ) 6= f (u) + f (v ). Mas então, como não se veri ca a condição, f não é uma transformação linear.
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
101
Teorema 6.2 Seja T uma aplicação linear de V em V 0. 1. T (0V ) = 0V 0 . 2. 8u 2 V ; T ( u) = T (u). 3. 8u; v 2 V ; T (u
v ) = T (u ) T (v ).
Obs: 30 O teorema anterior apresenta algumas situações em que uma função não é transformação linear. Se T (0V ) 6= 0V 0 , então T não é transformação linear, mas se T (0V ) = 0V 0 não podemos concluir que T é uma transformação linear.
Exemplo: 34 Utilizando o teorema anterior, veri que se é possível concluir que as seguintes funções não são transformações lineares:
: R2 2. T : R2 3. T : R2 4. T : R2 1. T
! R3, T (x; y) = (x; 1; x + y). ! R, T (x; y) = jx yj. ! R2, T (x; y) = (xy; x + y). ! R2, T (x; y) = (2x; 3y).
Resolução:
1. Pelo teorema anterior, T é uma transformação linear se: T (0V ) = 0V 0 .
T (0; 0) = (0; 1; 0) 6= (0; 0; 0) Logo T não é transformação linear.
2. Pelo teorema anterior, T é uma transformação linear se:
8u; v 2 V ; T (u v) = T (u) T (v): Sejam u = (1; 2) e v = (3; 5);
T (u v) = T (1
3; 2 5) = T ( 2; 3) = j 2 ( 3)j = j 2 + 3j = 1
T (u) T (v) = T (1; 2) T (3; 5) = j1
2j j3 5j = 1 2 = 1 6= T (u
v)
102
6.2.
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Logo T não é transformação linear.
3. Pelo teorema anterior, T é uma transformação linear se:
8u 2 V ; T ( u) = T (u): Seja u = (1; 1);
T ( u) = T ( 1 ;
1) = (1; 2);
T (u) = T (1; 1) =
(1; 2) = ( 1; 2) 6= T ( u)
Logo T não é transformação linear.
4. Pelo teorema anterior, T é uma transformação linear se:
T (0V ) =V 0.
T (0; 0) = (0; 0) Logo nada se pode concluir.
8u; v 2 V ; T (u v) = T (u) T (v): Sejam u = (a; b) e v = (c; d);
T (u v) = T (a c; b d) = (2a T (u) T (v) = T (a; b) T (c; d) = (2a; 3b)
2c; 3b 3d) ;
(2c; 3d) = (2a 2c; 3b 3d) = T (u
v)
Logo nada se pode concluir.
8 u 2 V ; T ( u ) = T ( u ): Seja u = (a; b);
T ( u) = T ( a; b) = ( 2a;
3b) ; T (u) = T (a; b) = (2a; 3b) = ( 2a; 3b) = T ( u)
Logo nada se pode concluir. Como a função veri ca as 3 condições nada se pode concluir.
6.2 Matriz de uma transformação linear Obs: 31 No resto do capítulo apenas se vão considerar transformações lineares entre espaços de dimensão nita.
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
103
De nição 6.3 Sejam E e V dois espaços de dimensão nita, T : E ! V uma transformação linear, B = fu1 ; : : : ; un g uma base de E e B 0 = fv1 ; : : : ; vm g uma base de V . Então
91 a11; a21; : : : ; am1 2 R : T (u1) = a11v1 + a21v2 + : : : + am1vm :::
91 a1n; : : : ; amn 2 R : T (un) = a1nv1 + a2nv2 + : : : + amnvm Chama-se matriz da transformação linear f relativamente às bases B e B 0 , e representa-se por AT;BB 0 ( ou ABB 0 se não houver confusão relativamente à transformação), à matriz 2
3
a11 a12 : : : a1n 6 AT;BB0 = ABB0 = 4 : : : : : : : : : : : : 7 5 am1 am2 : : : mn Se E = Rn , V = Rm e B e B 0 são as respetivas bases canónicas, representa-se a matriz da transformação linear por At ou apenas por A, se não houver confusão relativamente à transformação.
Exemplo: 35 Seja T : R3 ! R2 , de nida por T (x; y; z ) = (x; y + z ) uma transformação linear. Determine a matriz da aplicação linear relativamente às bases canónicas de R3 e de R2 . Resolução:
T (1; 0; 0) = (1; 0) T (0; 1; 0) = (0; 1) T (0; 0; 1) = (0; 1)
Logo, a matriz da transformação linear relativamente às bases canónicas é "
#
1 0 0 AT = 0 1 1
:
Obs: 32 1. Sejam T uma transformação linear de Rn em Rm e AT a matriz de T relativamente às bases canónicas. A imagem de u 2 Rn é dada por:
T (u) = AT u 2. Sejam T uma transformação linear de Rn em Rm e AT;BB 0 a matriz de T relativamente às bases B de Rn e B 0 de Rm . A imagem de u 2 Rn é dada por:
T (u)B0 = AT;BB0 uB Exemplo: 36 Seja T uma aplicação linear de R3 em R3 de nida por:
T (x; y; z ) = (2x y z; 2y x z; 2z x y)
104
6.2.
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
1. Determine a matriz da transformação T em relação à base canónica. 2. Use a matriz da transformação linear T para determinar a imagem dos vetores:
u = (1; 1; 1) ; v = (2; 1; 1) ; w = ( 5; 3; 2) Resolução:
1.
T (1; 0; 0) = (2;
1; 1) T (0; 1; 0) = ( 1; 2; 1) T (0; 0; 1) = ( 1; 1; 2)
Logo, a matriz da transformação linear relativamente às bases canónicas é 2
3
2 1 1 AT = 6 175 : 4 1 2 1 1 2 2
2 6 2. T (u) = T (1; 1; 1) = AT (1; 1; 1) = 4 1 1 2 2 6 T (v) = T (2; 1; 1) = AT (2; 1; 1) = 4 1 1
1 2 1 1 2 1 2 2 6 T (w) = T ( 5; 3; 2) = AT ( 5; 3; 2) = 4 1 1
3
2 3
2 3
1 1 0 7 6 7 6 7 15 415 = 405 2 1 0 3 2 3 2 3 1 2 2 7 6 7 6 7 15 415 = 4 15 2 1 1 3 2 3 2 3 1 1 5 15 2 175 64 3 75 = 64 9 75 1 2 2 6
Reciprocamente, dada uma matriz, podemos determinar a aplicação linear representada por essa matriz.
2
Exemplo: 37
3
1 1 1 6 Seja A = 40 1 175 a matriz da aplicação linear f na base canónica de R3. 1 1 0
A lei de aplicação é de nida por
2
32 3
2
3
1 1 1 x x+y+z 6 76 7 6 AX = 40 1 15 4y 5 = 4 y z 7 5 1 1 0 z 2x + y isto é, f (x; y; z ) = (x + y + z; y z; 2x + y ).
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
105
6.3 Núcleo e imagem de uma transformação linear De nição 6.4 Seja T uma transformação linear de E em V . 1. Chama-se imagem de T e representa-se por Im(T ) ao conjunto:
Im(T ) = fT (u) 2 V
:
u 2 E g:
2. Chama-se núcleo de T e representa-se por Nuc(T ) ao conjunto:
Nuc(T ) = fu 2 E Exemplo: 38 Seja T
:
T (u) = 0V g:
: R3 ! R2 de nida por T (x; y; z) = (x + z; x +2y z). Determine:
1. Im(T ); 2. Nuc(T ). Resolução:
1. Im(T ) = fT (x; y; z )
:
x; y; z 2 Rg = f(x + z; x + 2y z ) : x; y; z 2 Rg = = fx(1; 1) + y(0; 2) + z(1 1) : x; y; z 2 Rg =< (1; 1); (0; 2); (1; 1) > Calculemos a caraterística da matriz: "
#
1 0 1 l2 1 2 1
"
! 1 0 1 l2 l1
0 2
#
2
A caraterística da matriz é 2 e por isso os vetores geram R2 . Logo Im(T ) = R2 . 2. Nuc(T ) = f(x; y; z ) 2 R3 : T (u) = (0; 0)g = f(x; y; z ) 2 R3 Temos, então, que resolver o sistema: (
ou seja
tem-se
"
1 0 1 0 1 2 1 0 (
: (x+z; x+2y z) = (0; 0)g
x+z =0 x + 2y z = 0 #
x+z =0 2y 2 z = 0
"
l2
! 1 0 1 l2 l1
0 2
,
8 > < > :
0 2 0
x= y= z = ; 2 R
#
106
6.3.
NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Obs: 33 Seja T uma transformação linear de E em V . Para determinar o núcleo de T , basta resolver o sistema homogéneo associado a AT , isto é, o núcleo é a solução do sistema [AT j0]. Teorema 6.3 Seja T uma transformação linear de E em V . Então: 1. Im(T ) é um subespaço de V . 2. Nuc(T ) é um subespaço de E . 3. Se B = fu1 ; u2 ; : : : ; un g é uma base de E , então, Im(T ) =< T (u1 ); T (u2 ); : : : ; T (un ) >.
Exemplo: 39 Seja T uma transformação linear de R2 em R3 . Determine T sabendo que: 1. T (1; 0) = (1; 1; 0) e T (0; 1) = (0; 1; 1): 2. T (2; 2) = (0; 1; 1) e Nuc(T ) =< (1; 3) >. Resolução:
2
3
1 0 6 2 1. Como (1; 0); (0; 1) é a base canónica de R , temos AT = 41 17 5, logo 0 1 2
3
2
3
1 0 "x# x 6 7 6 T (x; y) = AT (x; y) = 41 15 = 4x + y75 : y 0 1 y Ou seja
T (x; y) = (x; x + y; y):
2. Em primeiro lugar veri quemos que B = f(2; 2); (1; 3)g é uma base de R2 .
2 1 = 6 2 = 4 6= 0 2 3
Logo os vetores são linearmente independentes e como são 2 vetores de R2 também geram R2 . Isto é, B é uma base de R2 . Agora vamos de nir o vetor genérico (x; y ) como combinação linear dos vetores da base B :
(x; y) = (2; 2) + (1; 3) Temos então de resolver o sistema: (
x = 2 + y = 2 + 3
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
ou seja
"
2 1 2 3
107
"
#
! 2 1 x l2 l1
x l2 y
0 2
#
y x
tem-se, então, (
Mas então
8 > <
x y 2 x 3x = = 4 2 2 y x > : = 2
2 + = x , 2 = y x
=
x
y
(x; y) = 3x 4 y (2; 2) + y 2 x (1; 3)
Logo, como T é uma transformação linear,
T (x; y) =
3x
y
T (2; 2) +
y x
4 2 T (1; 3) como Nuc(T ) =< (1; 3) >, então, T (1; 3) = (0; 0; 0), = 3x 4 y (0; 1; 1) + y 2 x (0; 0; 0) = (0; 3x 4 y ; 3x 4 y ) De nição 6.5 Seja T uma transformação linear de E em V . 1. Chama-se caraterística de T, e denota-se por cT à dimensão de Im(T ), isto é,
cT
= dim(Im(T )):
2. Chama-se nulidade de T, e denota-se por nT à dimensão de Nuc(T ), isto é,
nT
= dim(Nuc(T )):
Teorema 6.4 Seja T uma transformação linear de E em V .
= c (A T ): 2. Se dim(E ) = n, então, cT + nT = n: 1. cT
Exemplo: 40 Seja T uma transformação linear de R3 em R2 , de nida por
T (x; y; z ) = (x + y; x + z ) Determine: 1. cT ;
108
6.3.
NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
2. uma base para Im(T ); 3. nT ; 4. uma base para Nuc(T ). Resolução:
1. Como
T (1; 0; 0) = (1; 1) T (0; 1; 0) = (1; 0) T (0; 0; 1) = (0; 1)
, tem-se
"
#
"
1 1 0 l2 AT = 1 0 1 Mas então c(AT ) = 2, logo cT = 2.
! 1 1 0 l2 l1
0
#
1 1
= dim(Im(T ) = 2 e T é uma transformação linear de R3 em R2, conclui-se que Im(T ) = R2 . Pelo que uma base para Im(T ) é por exemplo a base canónica, f(1; 0); (0; 1)g. 3. Aplicando o teorema anterior nT + cT = 3, logo nT = 1. 2. Como cT
4. Para calcular o Núcleo de T temos de resolver o sistema: "
mas então
Logo Nuc(T ) f( 1; 1; 1)g.
#
(
= f(
"
1 1 0 0 l2 1 0 1 0 x+y =0 y+z =0
; ; ) ;
! 1 1 l2 l1
0
,
2 Rg
8 > < > :
0 0 1 1 0
x= y= y = ; 2 R z=y=
#
e por isso uma base para Nuc(T ) pode ser
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
109
6.4 Exercícios resolvidos 2
1. Considere o endomor smo
à base canónica de
1.1. Determine
R3 :
relativamente
T (x; y; z ).
1.2. Mostre que 1.3. Determine
T , de R3 , de nido pela matriz
3
1 1 0 6 AT = 4 2 0 0 7 5 0 0 1
T
é uma transformação linear.
cT e nT .
Resolução: 2
3
2
3
2
3
1.1.
1 1 0 x x+y 6 7 6 7 6 T (x; y; z ) = AT (x; y; z ) = 4 2 0 0 5 4 y 5 = 4 2x 7 5 0 0 1 z z
1.2.
T
.
é uma transformação linear sse
8 ; 2 R; 8u; v 2 R3;
T ( u + v) = T (u) + T (v): Sejam
u = (a; b; c) e v = (a0 ; b0 ; c0 ),
T ( u + v) = T ( (a; b; c) + (a0 ; b0 ; c0 )) = T ( a + a0 ; b + b0 ; c + c0 )
= ( a + a0 + b + b0; 2 a + 2 a0; c + c0) T (u)+ T (v) = (a+b; 2a; c)+ (a0 +b0 ; 2a0 ; c0 ) = ( a+ b; 2 a; c)+( a0 + b0 ; 2 a0 ; c0 ) = ( a + b + a0 + b0; 2 a + 2 a0; c + c0) = T ( u + v): 1.3.
cT
= c (A T )
, logo:
2
3
2
1 1 0 6 7 4 2 0 0 5 l2 0 0 1 Mas então
cT
3
1 1 0 ! 6 2 l1 4 0 2 0 75 0 0 1
l2
= c(AT ) = 3:
Pelo teorema das dimensões temos:
nT + cT
=3 ,
nT
=3
cT
=3 3=0
110
6.4.
2. Considere um endomor smo de
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
T : R3 ! R3 representado pela seguinte matriz 2
3
1 1 1 6 AT = 4 2 2 4 7 5 1 1 2 2.1. Calcule o núcleo de
T , bem como a sua dimensão e indique uma base.
2.2. Calcule a imagem de
T , bem como a sua dimensão e indique uma base.
Resolução: 2.1. Primeiro calculemos
Mas então
Nuc(T ):
2
3
1 1 1 0 6 7 4 2 2 4 0 5 1 1 2 0 !2 1 1 1 l2 l2 2 l1 6 4 0 0 2 l3 l3 l1 0 0 1 3 2 0 1 1 1 ! 0 0 1 07 l2 $ l3 6 5 4 0 0 2 0 !2 1 1 0 l1 l1 l2 6 4 0 0 1 l3 l3 2 l2 0 0 0
(
x+y =0 z=0
,
8 > < > :
Nuc(T ) = f( ; ; 0) ; 2 Rg, nT = 1, base para Nuc(T ) é por exemplo f( 1; 1; 0)g. cT
= c(AT ) = 2:
Calculemos agora
como
(
; ; 0) = ( 1; 1; 0),
Im(T ):
2
1 1 1 6 4 2 2 4 1 1 2 l2 l3
3
0 0 75 0
x= y= z=0 y = ; 2 R
Logo
2.2.
3
0 0 75 0
a b c
3 7 5
!2 1 1 1 a 3 l2 2 l1 6 7 4 0 0 2 b 2a 5 l3 2 l1 0 0 1 c a
uma
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
111
2
l1 l3
Mas então o sistema é possível se
b
2c = 0
Im(T ) = f(a; b; c) 2 R3 ; b Como
3
!6 1 1 1 a 7 l2 $ l3 4 0 0 1 c a 5 0 0 2 b 2a ! 2 1 1 0 2a + c 3 l1 l2 6 7 4 0 0 1 c a 5 l3 2 l2 0 0 0 b 2c logo
2c = 0g = f(a; 2c; c) ;
(a; 2c; c) = (a; 0; 0) + (0; 2c; c) = a(1; 0; 0) + c(0; 2; 1) f(1; 0; 0); (0; 2; 1)g
por exemplo
a; c 2 Rg:
, uma base para
Im(T ) é
.
6.4.1 Aplicação: matriz Canónica de uma projeção l a reta do plano xy que passa na origem e faz um ângulo de com o eixo x positivo, com 0 < < =2. Seja T : R2 ! R2 a transformação linear que transforma cada vetor na sua projeção ortogonal sobre l. Determinar a matriz AT e a imagem de x = (1; 5) quando = =6. Seja
Consideremos os vetores da base canónica de
jjT (e1)jj = cos e Analogamente
R2 , e1 = (1; 0) e e2 = (0; 1).
"
#
"
#
#
"
#
jjT (e1)jj cos = cos2 T (e 1 ) = jjT (e1)jj sen sen cos
jjT (e2)jj = sen e
"
jjT (e2)jj cos = sen cos T (e 2 ) = jjT (e2)jj sen sen2 Logo
AT Quando
=
"
cos2 sen cos sen cos sen2
= =6 como sen(=6) = 1=2 e cos(=6) =
p
3= 2
#
, tem-se
p # 3 =4 3= 4 AT = p 3 = 4 1 =4 "
p # " # " 3+5p3 # 3 =4 3 =4 1 = p 4 T (1; 5) = p 3+5 3= 4 1 = 4 5 4 "
Logo
p p T (1; 5) = 3+54 3 ; 3+5 4
ou seja
Então tem-se
112
6.5.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6.5 Exercícios propostos 2
1. Considere um endomor smo
1.1. Determine o núcleo de
f
f
de nido em
e indique uma base.
1.2. Determine uma base da imagem de 1.3. Determine
f (x; y; z ) e mostre que f 2
2. Considere a matriz
R3 pela matriz
3
0 1 1 6 Af = 4 0 1 1 75 : 2 1 1
f. é uma transformação linear.
3
5 1 1 A= 3 0 2 7 5: 1 0 4 6 4
matriz associada, na base canónica de
T : R3 ! R3
Seja
uma transformação linear cuja
R3 ; é a matriz A= A:
T (1; 0; 2): Determine nT e o Nuc(T ). Determine cT e uma base para Im(T ).
2.1. Calcule 2.2. 2.3. 3. Seja
T : R3 ! R3 a transformação linear de nida por: T (x; y; z ) = (x + 2y z; y + z; x + y
3.1. Mostre que
T
2 z ):
é uma transformação linear.
3.2. Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo de 4. Considere em
T.
R2 os vetores u = (1; 2) e v = (4; 5) e em R3 o vetor w = (1; 0; 0):
4.1. Determine o subespaço
w:
S1 de R2 gerado por u e v e o subespaço S2 de R3 gerado por
4.2. Considere a transformação linear
T : R3 "
canónicas é
Mostre que a imagem e o núcleo de
! R2
0 1 4 0 2 5 T
cuja matriz relativamente às bases
#
são, respetivamente,
S1
e
S2 ,
e indique as
respetivas dimensões.
R2 em R3 de nida por f (x; y) = (x; y; x + y): Determine 2 3 a matriz de f relativamente às bases canónicas de R e R :
5. Seja a transformação linear
f
de
6. Considere a seguinte transformação linear de
R4 em R, de nida por:
f (x; y; z; t) = x + y t 6.1. Calcule
Af :
CAPÍTULO 6.
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
113
Im(f ) e cf . Calcule a Nuc(f ) e nf .
6.2. Calcule a 6.3.
T : R2 ! R2
f (x; y) = (0; x + y): Mostre que se trata de uma transformação linear e determine a matriz AT .
7. Considere a aplicação linear
8. Seja a transformação linear
de nida por
f : R2 ! R3 de nida por
f (1; 0) = (1; 0; 0) e f (0; 1) = (2; 1;
1)
Af . Determine f (x; y ) e f (1; 3):
8.1. Determine 8.2.
T uma transformação linear, T : bkR3 ! R3 , cuja matriz relativamente à base canónica 3 de R é 2 3
9. Seja
1 0 1 0 1 1 75 2 1 3 (0; 1; 3) T: 6 4
9.1. Determine a imagem do vetor
por
T e uma base para o núcleo. Qual é a dimensão de Im(T )?
9.2. Determine o núcleo de 9.3.
10. Considere o endomor smo
f
de nido em
R2 da seguinte forma:
Nuc(f ) = f(x; y) 2 R2 : x + y = 0g e f (1; 2) = (2;
2):
f (0; 1) e f (1; 1): 2 Determine a matriz de f relativa à base canónica de R :
10.1. Determine 10.2. 11. Seja
f
uma transformação linear de
R3 em R4 tal que f (x; y; z ) = (x + y; x + z; 2x; 0):
11.1. Determine o núcleo da transformação. 11.2. Determine a dimensão da imagem da transformação. 11.3. Determine a matriz da transformação
Af
114
6.5.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6.5.1 Soluções 1. 1.1. 1.2. 1.3. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 3. 3.1. 3.2.
4. 4.1. 4.2.
5.
Nuc(f ) = f(x; y; z ) 2 R3 : x = 0 ^ y z = 0g; Base de Nuc(f ) = f(0; 1; 1)g. Base de Im(f ) = f(0; 0; 2); ( 1; 1; 1)g. f (x; y; z ) = ( y + z; y z; 2x + y z ) .
(3; 7; 9) nT = 0 Nuc(T ) = f(0; 0; 0)g cT = 3 Im(T ) = R3 Im(f ) = f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g .
,
.
,
, base de
nT = 0, base de Nuc(T ) = fg; cT = 3, base de Im(T ) = fg. S1 = fgbasede; S2 = fg 2
3
0 0 6 AT = 40 07 5 0 0 h i AT = 0 0 0 0 cT = 3 Im(T ) = fg nT = 0 Nuc(T ) = fg
6. 6.1.
6.2.
,
6.3.
,
7.
.
2
8. 8.1.
8.2. 9. 9.1. 9.2. 9.3. 10. 10.1. 10.2.
11. 11.1. 11.2.
11.3.
.
3
0 0 6 AT = 40 07 5 0 0 f (x; y) = f (1; 3) = T (0; 1; 3) = nT = Nuc(T ) = fg cT = f (0; 1)"= f #(1; 1) = 0 0 Af = 0 0 ,
;
, base de
.
,
;
Nuc(f ) = fg. cf =. 2
0 6 60 Af = 6 60 4 0
0 0 0 0
3
07 077 075 0
.
.
Capítulo 7
Valores e vetores Próprios De nição 7.1 1. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, 2 C. Diz-se que u 2 Cn nf0Cn g é um vetor próprio da matriz A associado ao valor próprio sse
Au = u: 2. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se espetro de A, e representa-se por (A), ao conjunto de todos os valores próprios de A. 3. Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e 2 (A). Chama-se Subespaço próprio do valor próprio , e representa-se por E ou, caso possa haver ambiguidade relativamente à matriz, por E;A , ao conjunto:
E = fu 2 Cn Obs: 34
:
Au = ug
1. Os valores próprios podem ser números reais ou complexos.
2. Os vetores próprios podem ser reais ou complexos. 3. Um vetor próprio é sempre um vetor não nulo, mas
0 pode ser um valor próprio.
4. Cada vetor próprio está associado apenas a um valor próprio, mas um valor próprio pode ter vários vetores próprios associados. 5. O subespaço próprio E é o conjunto de todos os vetores próprios associados ao valor próprio
Teorema 7.1 Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e 2 (A). Então E é um subespaço. Teorema 7.2 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então 2 (A) sse
det(A In ) = 0: 115
116
Demonstração:
Se
2 (A), então existe um vetor u não nulo que veri ca Au = u , Au u = 0 , (A In )u = 0
Como
u não pode ser o vetor nulo, o sistema anterior é possível e indeterminado, logo det(A
In ) = 0.
det(A In ) = 0 o sistema (A In )u = 0 é possível e indeterminado, mas então a equação Au = u tem várias soluções, isto é, existem vetores não nulos u que a satisfazem. Logo é o valor próprio de A.
Analogamente se
Obs: 35 Se é um valor próprio da matriz A, então os vetores próprios associados a são soluções do sistema homogéneo (A I )u = 0. 2
Exemplo: 41 de A. Resolução
Determine os valores e vetores próprios
Comecemos por determinar os valores próprios de A utilizando o teorema anterior:
1
jA I3j = 0 Logo
3
1 0 0 6 Considere a matriz A = 4 0 1 07 5. 1 2 2
1
1
0 2
2
0 0 = (1
)(1 )(2 )
jA I3j = 0 , (1 )2(2 ) = 0 , = 1 _ = 2
Para cada valor próprio, determinemos o subespaço próprio associado:
=1
2
1 6 4 0
1
0 1 2
0 0 2
3
2
3
0 0 0 0 0 ! 7 6 = 1 05 0 0 0 75 4 0 0 1 2 1 0
ou seja, tem-se o sistema 8 > <
0=0 , 0=0 > : x + 2y + z = 0
8 > <
0=0 0=0 > : x = 2y + z E por isso o subespaço próprio associado ao valor próprio = 1 é: E1 = f(2 + ; ; ) ; ; 2 Rg Como dim(E1 ) = 2, há 2 vetores próprios associados ao valor próprio = 1. Para determinar os vetores próprios, determina-se uma base para E1 .
(2 + ;
; ) = (2; 1; 0) + (1; 0; 1)
CAPÍTULO 7.
VALORES E VETORES PRÓPRIOS
117
Logo os vetores próprios associados ao valor próprio = 1 são
f(2; 1; 0); (1; 0; 1)g.
Determinemos agora os vetores próprios associados ao valor próprio = 2 2
1 6 4 0
1
ou seja, tem-se o sistema
0 1 2
8 > <
0 0 2
3
x=0 y=0 x + 2y = 0
> :
2
3
0 1 0 0 0 ! 7 6 0 5 = 2 4 0 1 0 0 75 0 1 2 0 0 ,
8 > < > :
x=0 y=0
0=0 E por isso o subespaço próprio associado ao valor próprio = 2 é: E2 = f(0; 0; ) ; 2 Rg Como dim(E2 ) = 1, há 1 só vetor próprio associado ao valor próprio = 2. Para determinar o vetor próprio, determina-se uma base para E2 .
(0; 0; ) = (0; 0; 1) Logo o vetor próprio associado ao valor próprio = 2 é
f(0; 0; 1)g.
A matriz A tem 2 valores próprios (A) = f1; 2g e 3 vetores próprios, 2 associados ao valor próprio = 1, f(2; 1; 0); (1; 0; 1)g e 1 associado ao valor próprio = 2, f(0; 0; 1)g.
De nição 7.2 Seja A 2 Mnn (R). 1. Chama-se polinómio caraterístico da matriz A ao polinómio det(A 2. Chama-se equação caraterística da matriz A à equação det(A
I ).
I ) = 0.
3. Seja uma valor próprio de A. Chama-se multiplicidade algébrica de à multiplicidade do escalar enquanto raiz da equação caraterística. 4. Seja uma valor próprio de A. Chama-se multiplicidade geométrica de à dimensão do espaço próprio associado ao valor próprio .
Obs: 36 Seja A 2 Mnn (R). Os valores próprios de A são os zeros do seu polinómio caraterístico.
118
"
Exemplo: 42
jA
2 0 Seja A = 2 1
. Determine os valores e vetores próprios de A
2 0 = 0 , (2 In j = 0 , 2 1
Para = 1:
(A
#
"
#
)(1 ) = 0 ) = 1 _ = 2:
"
#
(
0 , 1 0 0 , x=0 )x=0 2 1 0 In )X = 0 , 2 1 1 0 2 0 0 2x = 0
E1 = f(x; y) 2 R2 : x = 0g = f(0; y); y 2 Rg
(0; y) = y(0; 1) Para = 2:
(A
vetor próprio:
f(0; 1)g: #
"
"
#
0 , 0 0 0 , 2x 2 2 0 In )X = 0 , 2 1 2 0 2 1 0
y = 0 ) y = 2x
E2 = f(x; y) 2 R2 : y = 2xg = f(x; 2x); x 2 Rg
(x; 2x) = x(1; 2) vetor próprio:
f(1; 2)g:
A matriz A tem 2 valores próprios (A) = f1; 2g e 2 vetores próprios, 1 associado ao valor próprio = 1, f(0; 1)g e 1 associado ao valor próprio = 2, f(1; 2)g.
Teorema 7.3 Seja A 2 Mnn (R). Então: 1. (A) = (AT ), 2. Se A é uma matriz triangular ou diagonal, os valores próprios de A são os elementos da diagonal principal de A, 3. Se k 2 N e 2 (A), então, k
2 (Ak )
0 2= (A), 5. Se A é invertível e 2 (A), então, 1 2 (A 1 )
4. A é invertível sse
6. os vetores próprios associados a valores próprios distintos são linear,mente independentes, 7. Se A é uma matriz real e simétrica, os seus valores próprios são números reais.
CAPÍTULO 7.
VALORES E VETORES PRÓPRIOS
119
7.1 Exercícios resolvidos 1. Determine os valores próprios e o subespaço próprio associado ao maior valor próprio da
2
matriz
3
3 0 0 6 A = 40 1 175 1 1 1
.
Resolução:
3
0
0 1 = (3
1 1 = jA I j = 0 1 ) 1 1 1 1 1 = (3 ) [(1 )(1 ) 1] = (3 ) (2 2)
2
= 3 =)
6 4
(3
) (2
3
2
2) = 0 3 = 0 _ ( 2) = 0 =3 _ =0 _ =2 0
0
0
0
0
-2
-1
0
1
-1
-2
0
8 > < > :
7 5
x-y-2z=0
6 4 8 > <
-2y-z=0
> :
0=0
E3 = f( 3y; y; 2. Determine
1
-1
-2
0
0
-2
-1
0
0
0
0
0
3 7 5
x=y+2z=y-4y=-3y z=-2y 0=0
2y ) ;
y 2 0, sentido contrário de < 0 a mesma direção de
Figura 8.5: multiplicação de um vetor por um escalar
Obs: 38 Para qualquer vetor ! u , o simétrico de ! u , denotado por ! u , é o vetor que tem ! mesmo comprimento, a mesma direção e sentido contrário ao de u . Segue então, que
! ! u ( ! u)= 0 De nimos a diferença ! u menos ! v , por
! u ! v =! u +( ! v ):
128
8.1.
VETORES
!, Assim, a diferença ! u ! v é um vetor que vai da extremidade de ! v até a extremidade de uv desde que ! u e! v estejam representados por segmentos orientados com a mesma origem.
Figura 8.6: adição e subtracção de vetores
De nição 8.2 Seja V um espaço vetorial. 1. O produto escalar entre os vetores ! u e! v , representa-se por ! u j! v ou por ! u! v é dado por
! u! v = jj! u jj jj! v jjcos() sendo o ângulo formado pelos dois vetores.
O produto escalar sobre V , é uma aplicação que a cada par (! u;! v)2V número real que satisfaz as seguintes propriedades:
V
associa um
1.1. (! u +! v )j! w =! u j! w +! v j! w;
1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
8! u;! v ;! w 2V; ! ! ! ! ! ! ( u )j v = ( u j v ) ; 8 u ; v 2 V ; 8 2 R; ! u j! v =! v j! u ; 8! u;! v 2V; ! ! u j! u > 0 se ! u= 6 0 ! ! ! u j! v = 0 se ! u ?! v _ ! u= 0 _ ! v = 0
2. Chama-se espaço euclidiano, a um espaço vetorial V munido de um produto escalar.
Obs: 39 Em
Rn é usual de nir o seguinte produto escalar:
8! u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ); ! v = (v1 ; v2 ; : : : ; vn ) 2 Rn ; ! u j! v = u1 v1 + u2 v2 + : : : + un vn Em particular, se ! u = (a; b; c) e ! v = (a0 ; b0 ; c0 ) tem-se: ! u j! v = aa0 + bb0 + cc0
CAPÍTULO 8.
Por exemplo,
GEOMETRIA ANALÍTICA
129
(1; 1; 1) j (0; 2; 4) = 1 0 + ( 1) 2 + 1 4 = 2.
De nição 8.3 Seja V um espaço euclidiano. Chama-se norma de um vetor ! u = (u1 ; u2 ; : : : ; un ) 2 ! V , e representa-se por jj u jj, ao número q
jj! u jj = ! u j! u Obs: 40 É possível extrair a raiz quadrada de ! u
j! u pois este número é não negativo.
com o produto escalar dado por 8.9, a norma de ! x
Exemplo: 43 Em dada por
Rn
Por exemplo,em R3 ,
jj(1; 2; 1)jj = 1 + 2 + ( 1) = 6
= (x1; : : : ; xn) é
q
jj! x jj = x21 + x22 + : : : + x2n p 2 2 2 p
Obs: 41 A norma de ! x representa o comprimento deste vetor. Teorema 8.1 Seja V um espaço euclidiano. Tem-se: 1. jj ! u jj = j j 2. 3.
jj! u jj ; 8! u 2 V ; 8 2 R; jj! u jj 0 ; 8! u 2V; ! jj! u jj = 0 sse ! u = 0;
4. j! u 5.
j !v j jj! u jj jj! v jj ; 8! u;! v 2 V (desigualdade de Cauchy-Schwarz); jj! u +! v jj jj! u jj + jj! v jj ; 8! u;! v 2 V (desigualdade triangular);
De nição 8.4 Sejam V um espaço euclidiano e ! u e! v dois vetores de V . Chama-se ângulo ! ! ! ! entre u e v , e representa-se por = \( u ; v ) a ! ! u j v ! ! = \( u ; v ) = arccos ! ! : jj u jj jj v jj
Exemplo: 44 Em R3 com o produto escalar dado por 8.9,
\((1; 2; 1); (0; 1; 3)) =
arccos
1 0 + 2 3 p 1 + 4 + 1 p0 + 1 + 9 = arccos p60 :
130
8.1.
VETORES
Figura 8.7: ângulo entre 2 vetores
De nição 8.5 Seja V um espaço euclidiano. 1. Dois vetores ! u;! v ! ! por u ? v . 2. Um conjunto S
2V
dizem-se ortogonais se ! u
= fu!1; : : : ; u!ng V
3. Um conjunto ortogonal S 1; : : : ; n .
j !v = 0 e, neste caso, denotaremos
diz-se ortogonal se ! ui ?! uj quando i 6= j .
= fu!1; : : : ; u!ng V
diz-se ortonormal se jj! ui jj
=1;
i
=
Exemplo: 45 S = f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g R3 é um conjunto ortonormal com relação ao produto escalar dado por 8.9.
(1; 0; 0) j (0; 0; 1) = 0+0+0 = 0 ; (1; 0; 0) j (0; 1; 0) = 0+0+0 = 0 ; (0; 1; 0) j (0; 0; 1) = 0+0+0 = 0 Logo S é ortogonal,
p p p jj(1; 0; 0)jj = 1 + 0 + 0 = 1 ; jj(0; 1; 0)jj = 0 + 1 + 0 = 1 ; jj(0; 0; 1)jj = 0 + 0 + 1 = 1
Logo S é ortonormal.
!
!
Obs: 42 Se ! u = 0 ou ! v = 0 então ! u ?! v . Se ! u ! ! somente se o ângulo entre u e v é =2.
6= !0 e !v 6= !0 então ! u ?! v se e
Teorema 8.2 Sejam V um espaço euclidiano e S = fu!1 ; : : : ; u!n g V um conjunto ortonormal. Então, S é um conjunto linearmente independente. De nição 8.6 Seja V um espaço euclidiano e ! v ;! u 2 V . Se ! v ! ! ! ortogonal de u sobre v , e representa-se por proj!v u ao vetor
proj!v ! u=
! u j! v ! jj!v jj2 v
6= !0 ,
chama-se projeção
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
131
é um conjunto ortonormal, chama-se projeção ortogonal de ! u ! sobre S , e representa-se por projS u ao vetor
Se S
= fu!1; : : : ; u!ng V
projS ! u=
! ! u j u!1 ! u j u!n ! u + : : : + 1 ! jju1jj2 jju!njj2 un
Figura 8.8:
projeção ortogonal
Exemplo: 46 Seja S = f( p13 ; p13 ; p13 ); ( p12 ; p12 ; 0)g R3 um conjunto ortonormal. Determine a projeção de ! u = (2; 3; 1) 2 R3 sobre S .
projS ! u=
! u j u!1 ! ! u j u!2 ! u + jju!1jj2 1 jju!2jj2 u2
jju!1jj2 = 31 + 13 + 13 = 1 jju!2jj2 = 21 + 12 + 0 = 1
1 1 1 2 3 1 ! u j u!1 = (2; 3; 1) j p ; p ; p = p + p + p = 0 3 3 3 3 3 3 1 1 2 3 5 ! u j u!2 = (2; 3; 1) j p ; p ; 0 = p + p + 0 = p 2 2 2 2 2
Logo
p5 0 1 1 1 1 1 55 ! projS u = ( p ; p ; p ) + 2 ( p ; p ; 0) = ( ; ; 0) 1 1 22
3 3 3
2 2
De nição 8.7 Seja V um espaço euclidiano de dimensão 3, com uma base xa. Dados dois vetores ! u;! v 2 V , chama-se produto vetorial de ! u por ! v e representa-se por ! u ! v ao vetor de nido por: 1. ! u ! v =
!0 se ! u e! v são linearmente dependentes.
2. Se ! u e! v são linearmente independentes, então:
! u ! v ?! u e! u ! v ?! v f! u;! v ;! u ! v g formam uma base
132
8.1.
VETORES
jj! u ! v jj = jj! u jj jj! v jj sen\(! u;! v)
Figura 8.9:
produto vetorial
Obs: 43 Na prática se f! e1 ; ! e2 ; ! e3 g é uma base ortonormada de V , então, se ! u = (u1 ; u2 ; u3 ) ! e v = (v1 ; v2 ; v3 ),
! u ! v =
! ! e2 ! e3
e1 u1 v1
u2 u3 v2 v3
Resolve-se este determinante aplicando o teorema de Laplace à 1a linha, isto é,
! u ! v =
! ! e2 ! e3
e1 u1 v1
u2 v2
u3 v3
u e1 2 v2
=!
u3 ! u1 u3 ! u1 u2 e2 + e3 v1 v3 v1 v2 v3
De nição 8.8 Seja V um espaço euclidiano de dimensão 3, com uma base xa f! e1 ; ! e2 ; ! e3 g. Se ! ! ! u = (u1 ; u2 ; u3 ), v = (v1 ; v2 ; v3 ) e w = (w1 ; w2 ; w3 ) são vetores de V , chama-se produto u1
u2 u3
w1
w2 w3
misto de ! u, ! v e! w ao escalar ! u ! v j! w = v1 v2 v3
Exemplo: 47 Considere os vetores ! u =( ! ! e2 ! e3
e1
1; 1; 2); !v = (0; 1; 2)e! w = (2; 1; 3) 2 R3 .
! 1 2 ! 1 2 ! 1 1 ! ! ! ! ! u v = 1 1 2 = e1 e2 + e3 = 4 e1 + 2 e2 + e3 = (4; 2; 1) 1 2 0 2 0 1 0 1 2
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
133
1 1 2 ! ! ! uv jw= 0 1 2 = 3 + 0 + 4 + 4 2 0 = 3 2 1 3 Obs: 44 1. Geometricamente o módulo do produto vetorial dos vetores ! u e! v é igual à área ! ! ! ! do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores u = AB e v = AC (ver gura 20).
Figura 8.10:
Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial
2. Geometricamente o módulo do produto misto dos vetores ! u, ! v e! w é igual ao volume do ! ! ! paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores u , v e w (ver gura 21).
Figura 8.11:
Interpretação geométrica do módulo do produto misto
134
8.2.
RETAS E PLANOS
8.2 retas e Planos De nição 8.9 1. Consideremos o espaço vetorial V e " = fA; B; C; : : :g um conjunto não vazio. Obtém-se a estrutura de espaço a m associado ao espaço vetorial V , xando uma aplicação de " " em V , que a cada para ordenado de " " faça corresponder um elemento de V . Os elementos de " chamam-se pontos e os de V vetores. 2. Se " é um espaço a m associado ao espaço vetorial V , chama-se referencial a um par ordenado (O; B ) em que O 2 " é a origem e B é uma base de V .
Figura 8.12:
Obs: 45 Considerando o espaço vetorial
pontos no espaço
Rn , tem-se:
!
1. Dados dois pontos A e B podemos de nir um vetor ! u = AB = B
! !0 sse A = B ! ! AB = BA ! ! ! AB + BC = AC
A
2. AB = 3. 4.
Obs: 46 1. Em geometria euclidiana existe uma única reta que passa por dois pontos dados. Para se saber se um ponto está ou não sobre uma reta é necessário encontrar uma propriedade que só os pontos que estão sobre a reta possuem.
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
Figura 8.13:
135
reta que passa em 2 pontos
2. Considere-se no plano a reta que passa nos pontos A e B . O vetor ! u = A B é um vetor que tem a direção dessa reta e qualquer ponto da reta pode ser obtido a partir de um dos pontos dados somando múltiplos deste vetor. 3. Uma reta pode ser de nida por dois pontos ou um ponto e um vetor
De nição 8.10 Sejam A = (a1 ; a2 ) um ponto da reta r e ! u = (u1 ; u2 ) um vetor com a direção da reta. Qualquer ponto P = x; y ) é dado por
(x; y) = (a1; a2) + (u1; u2) ; 8 2 R A uma equação desta forma chama-se equação vetorial da reta.
Obs: 47 Na de nição anterior, se forem dados dois pontos A e B , em vez de um ponto e um vetor, podemos considerar um dos pontos e o vetor formado pelos 2 pontos, por exemplo o ponto A e o vetor ! u = A B. De nição 8.11 1. Sejam A = (a1 ; a2 ) um ponto da reta r e ! u = (u1 ; u2 ) um vetor com a direção da reta. Da equação vetorial da reta resultam as equações paramétricas da reta: (
x = a1 + u1 y = a2 + u2
2. Resolvendo o sistema das equações paramétricas da reta (
x = a1 + u1 y = a2 b + u2
,
(
= =
x a1 u1 y a2 u2
x a1 y a2 = u . Resolvendo esta equação em ordem a y obtemos a u1 2 Equação reduzida da reta obtemos a equação
u y = a2 + ( x a 1 ) 2 u1
= mx + b
136
8.2.
onde m = uu21 e b = a2
a1
RETAS E PLANOS
u2 u1
De nição 8.12 1. Como se vê facilmente m é o valor da tangente do ângulo que a reta faz com o eixo dos xx. A este valor dá-se o nome de declive da reta. 2. Por outro lado o valor b é o valor que se obtém para y quando se faz x = 0. A este valor chama-se ordenada na origem.
Obs: 48 É fácil perceber que: 1. as retas que passam na origem têm equação reduzida y = mx (com exceção do eixo dos yy que tem equação x = 0).
Figura 8.14:
retas que passam na origem
2. 2 retas são paralelas se têm o mesmo declive. A equação geral duma família de retas paralelas é, por exemplo, da forma y = 2x + b. Variando o valor de b consoante o ponto onde a reta interseta o eixo dos yy .
Figura 8.15:
retas paralelas
3. Considerem-se as retas r : P = A + ! u e s : P = B+ ! v . Estas retas são ! ! ortogonais se os vetores u = (u1 ; u2 ) e v = (v1 ; v2 ) forem ortogonais. Ou seja as retas u v são ortogonais se u j v = u1 v1 + u2 v2 = 0. Mas então 1 = 2 . Ou seja, as retas r e s
u2
v1
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
137
de equações reduzidas y = mx + b e y = m0 x + b0 são ortogonais se m =
1.
m0
4. Duas retas concorrentes de nem quatro ângulos, iguais dois a dois (ângulos verticalmente opostos). A soma de dois dos ângulos diferentes é . De ne-se ângulo de duas retas como o menor destes ângulos. A determinação do ângulo de duas retas passa pelo cálculo do ângulo entre dois vetores, um de cada reta. O ângulo obtido pode ser o maior ou o menor dos ângulos, conforme a escolha do sentido dos vetores foi feita. Como os ângulos são suplementares (a soma de dois dos ângulos diferentes é ), obtido o valor de um dos ângulos facilmente se obtém o valor do outro.
Figura 8.16:
retas concorrentes
5. O processo de de nir uma reta no espaço é idêntico ao que foi usado para de nir uma reta no plano.
Exemplo: 48 origem.
1. Determinar a equação da reta paralela à reta 2x + 3y
= 6 que passa na
Resolução:
Começamos por escrever a equação da reta na forma reduzida:
y=
6 2x = 2 2 x 3 3
A reta dada tem declive m = 23 . Como retas paralelas têm o mesmo declive, a família de retas paralelas à reta dada é y = 23 x + b. Como pretendemos a reta que passa na origem, então a equação da reta é
2 x ou 2x + 3y = 0: 3 2. A reta r passa nos pontos (4; 9) e ( 1; 2). A reta s é ortogonal à reta r e passa no ponto (11; 4).Determine uma equação da reta s. y=
Resolução:
Um vetor com a direção da reta r é ! u reta r é m = 11=5.
= (4; 9) ( 1; 2) = (5; 11).
Então o declive da
138
8.2.
Como s é ortogonal a r, s tem declive m0 da forma
y=
=
1
m
5 11 ou seja terá uma equação reduzida
5x + b 11
(11; 4), então 4 = 115 11 + b ,
Como a reta passe no ponto
=
RETAS E PLANOS
b=4+5=9
Então a equação da reta pretendida é
y= De nição 8.13 Consideremos os pontos A (u1; u2; u3).
5x + 9 11
= (a1; a2; a3)
!
1. Dois pontos A e B de nem um vetor AB = B
e B
= (b1; b2; b3)
e o vetor! u
=
A = (b1 a1 ; b2 a2 ; b3 a3 )
2. Dois pontos ou um ponto e um vetor de nem uma reta. Seja A um ponto da reta e seja ! u um vetor com a direção da reta. Se P = (x; y; z ) é um ponto qualquer da reta, a equação vetorial da reta é
P
ou
= A + !u ; 2 R
(x; y; z) = (a1; a2; a3) + (u1; u2; u3) ; 2 R
3. Resolvendo a equação vetorial, obtemos as equações paramétricas da reta: 8 > < > :
x = a1 + u1 y = a2 + u2 z = a3 + u3
4. Resolvendo as equações paramétricas em ordem a obtemos as equações cartesianas da reta:
x a1 u1
= y u a 2 = z u a3 2
3
De nição 8.14 Três pontos dizem-se colineares se existe uma reta que passa nos 3 pontos. Obs: 49 1. Para determinar um plano em R3 são necessários três pontos não colineares, ou um ponto e dois vetores linearmente independentes, ou um ponto e um vetor ortogonal ao plano. 2. Se tivermos três pontos A, B e C não colineares, podemos construir dois vetores linearmente independentes ! u =C Ae! v =B A
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
139
3. Com um ponto e dois vetores linearmente independentes podem obter-se três pontos não colineares.
De nição 8.15 Consideremos o ponto A = (a1 ; a2 ; a3 ) e os vetores linearmente independentes
! v1 = (a; b; c) e ! v2 = (a0 ; b0 ; c0 ).
1. Com o ponto A e os vetores ! u e! v de nimos um plano. Se P qualquer do plano, a equação vetorial do plano é
P ou
= A + !u + !v ;
= (x; y; z) é um ponto
: 2 R
(x; y; z) = (a1; a2; a3) + (a; b; c) + (a0; b0; c0) ;
; 2 R
2. Resolvendo a equação vetorial, obtemos as equações paramétricas do plano: 8 > < > :
x = a1 + a + a0 y = a2 + b + b0 z = a3 + c + c0
3. Resolvendo as equações paramétricas em ordem a e a obtemos a equações geral ou cartesiana do plano:
Ax + By + Cz + D = 0
O vetor de coordenadas ! n = (A; B; C ) é ortogonal ao plano.
Figura 8.17: plano
Exemplo: 49 Considere os pontos A plano que contém os pontos A, B e C .
= (1; 1; 0), B = (0; 1; 1) e C = (1; 0; 1).
Encontrar o
Resolução:
De nir dois vetores linearmente independentes:
! u = B A = (0; 1; 1) (1; 1; 0) = ( 1; 0; 1) e ! v = C A = (1; 0; 1) (1; 1; 0) = (0; 1; 1)
140
8.2.
RETAS E PLANOS
O plano pretendido é o conjunto dos pontos da forma
(x; y; z) = (1; 1; 0) + ( 1; 0; 1) + (0; 1; 1) para algum par de valores reais e . Esta igualdade conduz ao sistema 8 > <
x=1 y=1 z = +
> :
Ou seja
8 > < > :
=1 x =1 y z =1 x+1 y
8 > <
,
> :
=1 x =1 y x+y+z
2=0
Para que este sistema seja possível os valores de x, y e z têm que obedecer à condição x+y +z 0. É essa condição que vai conduzir à equação cartesiana do plano
x+y+z
2=
2 = 0:
Outra hipótese para determinar a equação geral do plano é, utilizar o produto vetorial para determinar um vetor que seja perpendicular aos vetores
! u = B A = (0; 1; 1) (1; 1; 0) = ( 1; 0; 1) e ! v = C A = (1; 0; 1) (1; 1; 0) = (0; 1; 1) ! ! e2 ! e3
e1
e1
1 1 0 1 ! ! 1 0 ! ! ! ! u ! v = 1 0 1 =! e2 + e3 = e1 ( 1) e2 + e3 = (1; 1; 1) 0 1 0 1 1 1 0 1 1 Logo o plano pretendido tem equação geral da forma x + y + z + D = 0
Utilizando o facto de A ser um ponto do plano, determinamos D:
1+1+0+D =0 , ou seja a equação cartesiana do plano é
x+y+z
2 = 0:
De nição 8.16 Duas retas r e s dizem-se: 1. Complanares se existe um plano que as contém.
D=
2
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
141
2. Não Complanares se não existe nenhum plano que as contém.
Figura 8.18: retas não complanares
3. Duas retas complanares dizem-se Concorrentes se têm um e um só ponto em comum.
Figura 8.19: retas concorrentes
4. Duas retas complanares dizem-se Paralelas se têm a mesma direção, isto é, não têm nenhum ponto em comum.
Figura 8.20: retas paralelas
5. Duas retas concorrentes dizem-se Obliquas se o ângulo por elas formado é 0 < < =2 6. Duas retas concorrentes dizem-se Ortogonais se o ângulo por elas formado é = =2
142
8.2.
RETAS E PLANOS
Obs: 50 Posição relativa de retas: duas retas r e s podem ser: 8 > > > > > > < > > > > > > :
Complanares
8 > > > > < > > > > :
Coincidentes
(
Concorrentes
Ortogonais Obliquas
Paralelas
Não complanares
Exemplo: 50 Considere os pontos A = (1; 1; 0), B = (0; 1; 1) e C = (1; 0; 1), o vetor ! u = (0; 1; 1) e as resctas r que passa em A e em B e s que passa em C e tem a direção do vetor !u . 1. Determine a posição relativa das retas r e s.
!
Resolução:
AB = B A = (0; 1; 1)
(1; 1; 0) = ( 1; 0; 1), logo a reta r tem as equações:
(x; y; z) = (1; 1; 0) + ( 1; 0; 1)
ou
8 > < > :
x=1 y=1 z=
A reta s tem as equações:
(x; y; z) = (1; 0; 1) + (0; 1; 1)
ou
8 > < > :
x=1 y= z =1+
Para determinar a posição relativa das duas retas, comecemos por determinar se têm algum ponto em comum 8 > <
1=1 r\s= =1 > : 1+ =
,
8 > < > :
=0 = 1
1 1=0
O sistema é possível e determinado, e por isso as retas têm um ponto em comum:
=0
) (x; y; z) = (1; 1; 0) + ( 1; 0; 1) = (1; 1; 0) + 0( 1; 0; 1) = (1; 1; 0)
ou
=
1 ) (x; y; z) = (1; 0; 1) + (0; 1; 1) = (1; 0; 1) (0; 1; 1) = (1; 1; 0)
Logo são retas concorrentes. 2. Determine uma equação da reta paralela a r que passa em C . Resolução:
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
143
Se a reta é paralela a r e passa em C então tem as equações:
(x; y; z) = (1; 0; 1) + ( 1; 0; 1)
3. Determine a posição relativa das retas r e t
:
8 > < > :
ou
8 > < > :
x=1 y=0 z =1+
x=1 y= z=2
Resolução:
Para determinar a posição relativa das duas retas, comecemos por determinar se têm algum ponto em comum 8 > <
1=1 r\t= =1 > : 2 =
,
8 > < > :
=0 = 1
2+1=0
O sistema é impossível, e por isso as retas não têm pontos em comum, ou são paralelas ou são não complanares. Veri quemos se os vetores com direção das duas retas são paralelos:
! u jj ! w sse 9k 2 R : ! u = k! w Como
! u = ( 1; 0; 1) e ! w = (0; 1; 1)
não existe k 2 R
: !u = k! w
Logo as retas são não complanares.
Posição relativa de planos 1.
Posição relativa entre 2 planos
planos paralelos
Dois planos são considerados paralelos se não possuírem pontos
em comum e se qualquer uma reta pertencente ao plano pertencente ao plano
Planos secantes:
.
for paralela a uma reta
Dois planos são secantes quando a interseção entre eles for uma
reta.
2.
Planos coincidentes:
planos coincidentes equivalem a um mesmo plano.
Posição relativa entre 3 planos Com as equações dos 3 planos podemos formar um sistema de equações com 3 Equações e
144
8.2.
RETAS E PLANOS
Figura 8.21: planos paralelos
Figura 8.22: planos secantes
3 Incógnitas,
8 > < > :
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
= = =
b1 b2 b3
onde cada equação representa um plano no plano no espaço tridimensional.
Assim, as
soluções do sistema pertencem à interseção desses planos.
Os 3 planos intersetam-se num só ponto Os 3 planos têm uma reta comum
$ Sistema Possível e Determinado;
$ Sistema Possível e Simplesmente Indeterminado;
$ Sistema Possível e Duplamente Indeterminado; Os 3 planos não têm pontos comuns $ Sistema Impossível
Os 3 planos são coincidentes
3 planos paralelos; 2 planos coincidentes e paralelos ao 3
o plano;
2 a 2 têm uma reta comum, mas os 3 planos não têm pontos comuns.
posição relativa de uma reta e um plano:
Com as equações do plano e da reta podemos
formar um sistema tem-se então:
A reta é corta o plano num ponto, sistema possível e determinado. A reta pertence ao plano, sistema possível e simplesmente indeterminado. A reta é paralela ao plano, sistema impossível.
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
145
Figura 8.23: planos coincidentes
Figura 8.24: 3 planos com um só ponto comum
Obs: 51 em R3 tem-se: 1. existe um só plano perpendicular a uma reta r e a passar no ponto A, mas existem várias retas perpendiculares à reta r e a passar no ponto A. 2. existe uma só reta r perpendicular a um plano e a passar no ponto A, mas existem vários planos perpendiculares ao plano e a passar no ponto A.
distâncias Quando falamos em distância é sempre a menor distância possível e por isso é sempre medida na perpendicular.
1.
distância entre 2 pontos Sejam A e B representa-se por
2.
d(A; B ) a
A e r, d(A; r):
2.1. Determinar a equação do plano 2.2. Determinar o ponto
P
A e B, e
d(A; B ) = jjB Ajj:
distância entre 1 ponto e 1 reta distância entre
dois pontos. Chama-se distância entre
Sejam
A
um ponto e
uma reta.
Para calcular a
perpendicular a r e que passa em A;
de interseção da reta
2.3. Determinar a distância entre
r
A e P.
r e do plano ;
146
8.2.
RETAS E PLANOS
Figura 8.25: 3 planos com uma reta comum
Figura 8.26: 3 planos coincidentes
3.
distância entre 2 retas Só se calcula a distância entre retas paralelas. retas paralelas. Para calcular a distância entre
Sejam
r e s duas
r e s, d(r; s), xar um ponto numa das retas
e determinar determinar a distância desse ponto à outra reta. 4.
distância entre 1 ponto e 1 plano distância entre
A e , d(A; ):
Sejam
1 plano e
A
um ponto. Para calcular a
r perpendicular a e que passa em A; Determinar o ponto P de interseção da reta r e do plano ; Determinar a distância entre A e P .
4.1. Determinar a equação da reta 4.2. 4.3.
5.
distância entre 2 planos
d( ; )
Sejam
e
os planos têm de ser paralelos.
2 planos. Para calcular a distância entre
Fixar um ponto num dos planos e determinar a
distância desse ponto ao outro plano;
Teorema 8.3 Seja V um espaço euclidiano. Tem-se: 1. d(A; B ) 0 ;
8A; B ;
2. d(A; B ) = 0 ;
sse A = B ;
3. d(A; B ) = d(B; A) ;
8A; B ;
4. d(A; B ) d(A; C ) + d(C; B ) ;
e ,
8A; B; C ;
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
147
Figura 8.27: 3 planos paralelos
Figura 8.28: 2 a 2 têm uma reta comum, mas os 3 planos não têm pontos comuns
Exemplo: 51 Em R3 com o produto escalar usual,
d((1; 2;
p
p
1); (0; 1; 3)) = jj(1 0; 2 1; 1 3)jj = 12 + 12 + ( 4)2 = 18
ângulos 1.
ângulo entre 2 retas:
considerar os vetores diretores de cada uma das retas e determinar
! u e! v os vetores diretores de cada uma das retas, !! r e s, chama-se ângulo entre as retas r e s , e representa-se por = \(r; s) = \( u ; v ) a ! ! u j v = arccos ! ! : jj u jj jj v jj
o ângulo entre esse dois vetores. Sejam
2.
ângulo entre 2 planos:
considerar os vetores normais a cada um dos planos e determinar
! u e! v os vetores normais a cada um dos planos, !! e , chama-se ângulo entre os planos e , e representa-se por = \( ; ) = \( u ; v ) a ! ! u j v = arccos ! ! : jj u jj jj v jj o ângulo entre esse dois vetores. Sejam
3.
ângulo entre 1 reta e 1 planos:
considerar o vetor normal ao plano
e o vetor diretor
! da reta r e determinar o ângulo entre esse dois vetores. Sejam n o vetor normal ao plano e! u o vetor diretor da reta r, chama-se ângulo entre a reta r e o planos , e !! representa-se por = \(r; ) = \( u ; n ) a ! ! u j n = arcsen ! ! : jj u jj jj n jj
148
8.3.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
8.3 Exercícios resolvidos 1. Considere os pontos
A
= (2; 1; 2)
x + 2y + Cz + K = 0 e as retas
= ( 1; 1; 1) 4x 2 y 2 z = 0 s1 = 2x z = 1 B (
e
1.1. Determine uma equação da reta
r que passa em A e B . s1 e s2 .
1.2. Determine a posição relativa das retas
s que corta as retas s1 e s2
1.3. Determinar a equação da reta
(2; 1; 1)
(de equação cartesiana x y+z =1 e s2 = . x + 4y = 5
, o plano
e tem a direção do vetor
.
1.4. Determine os valores de
CeK
1.5. Determine a distância de
de tal forma que a reta
r pertença ao plano .
A a s1 .
Resolução: 1.1. A equação vetorial da reta
r que passa em A e B é: P
Como
!
AB = B A = ( 3;
!; = A + AB
2; 1)
2R
tem-se a equação
(x; y; z) = (2; 1; 2) + ( 3; 2; 1) ;
2R
8 > > > > <
1.2.
4 x 2y 2 z = 0 2x + z = 1 s1 \ s2 = > x+y+z =1 > > > : x + 4y = 5 3 2 2 2 07 1 1 6 0 1 1 77 l $!l 66 2 0 1 1 1 75 1 3 64 4 2 4 0 5 1 4
2
4 6 6 2 6 6 1 4 1 l2 l3 l4
!2 1
l2 2 l1 l3 4 l1 l4 l1
6 6 6 6 4
2
l3 l4
!6 1
l3 l2 l4 5=2l2
6 6 6 4
0 0 0
1 2 2 5
0 0 0 1 2 0 0
3
1 1 2 0
17 1 77 0 75 5 3
1 17 3 1 77 6 4 75 1 4 3 1 17 3 1 77 3 3 75 13=2 13=2
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
149
2
l3 l4
l4
!6 1 1=3 l3 66 0 2=13 l4 64 0 0 2 1 ! 666 0 l4 l3 6 4 0 0
1 2 0 0 1 2 0 0
1 3 1 1 1 3 1 0
3
17 1 77 1 75 1 3
17 1 77 1 75 0
Logo o sistema é possível e determinado e por isso as retas são concorrentes.
1.3. Ponto comum às retas
2
1 6 6 0 6 6 0 4 0
s1 e s2 :
1 2 0 0
3
17 1 77 , 1 75 0
1 3 1 0
8 > < > :
x y+z =1 2y 3 z = 1 z=1
ou seja
8 > < > : Logo a equação da reta é
1.4. A reta
x=1+y z =1 y = ( 1 + 3 z )= 2 = 1 z=1
s que corta as retas s1 e s2 e tem a direção do vetor (2;
(x; y; z) = (1; 1; 1) + (2; 1; 1) ; 2 R: (x; y; z) = (2; 1; 2) + ( 3; 2; 1) ; 2 R x + 2y + Cz + K = 0
r de equação
de equação
1; 1)
pertence ao plano
sse o sistema
8 > > > > < > > > > :
x = 2 3 y = 1 2 z=2 x + 2y + Cz + K = 0
é possível e indeterminado. Isto é, se
2 3 + 2(1 2 ) + C (2
) + K = 0
, ( 7 C ) = 4 2 C K
é possível e indeterminada, ou seja,
(
7 C=0 4 2C K = 0
,
(
C= K=
7 4 2C = 10
150
2.
8.3.
A = (2; 1; 2) e s1 =
(
4x 2y 2 z = 0 2x z = 1
s1 .
Primeiro determinemos o vetor diretor de
A
8 > <
4x 2y 2 z = 0 : > 2x z = 1 , : x=0
B
8 > <
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Para isso vamos determinar 2 pontos de
8 > < > :
y=1 z= 1 x=0
s1
)) A = (0; 1; 1)
8
> 4x 2y 2 z = 0 < y=1 : > 2x z = 1 , > z = 1 )) : : x=1 x=1 s1 ! u = B A = (1; 0; 2)
Então o vetor diretor da reta
B = (1; 1; 1)
é
Mas então o plano perpendicular à reta tem uma equação da forma
x + 2z + D = 0 Como
A pertence ao plano temos
2+4+D =0 , logo o plano perpendicular à reta
D=
6
s1 e que passa no ponto A é x + 2z
6=0
Para determinar o ponto de interseção da reta e do plano comecemos por determinar as equações paramétricas da reta
s1 =
(
4 x 2y 2 z = 0 , 2x z = 1
s1 =
8 > < > :
y = 2x z = 2 z = 2x 1 = 2 x=
2 + 1 = 1 1
Vamos agora determinar o ponto de interseção da reta e do plano:
+ 2(2
1) 6 = 0 , 5 8 = 0 ,
=
8 5
logo o ponto de interseção é
P
:
8 > < > :
y=1 z = 2(8=5) x = 8=5
1 = 11=5
Finalmente a distância é:
d(A; P ) = jjP
p 8 11 2 1 4 1 5 A)) = jj( ; 1; ) (2; 1; 2)jj = jj( ; 0; )jj = + 0 + = 5 5 5 5 25 25 5 r
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
151
8.4 Exercícios propostos 1. Dados os vetores 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.
! u = (1; 1; 1), ! v = (1; 0; 1), e ! w = (0; 1; 1), determine:
! u + 2! v ! 3 u 2!v + 2! w ! ! u j v ! u ! v ! ! u w j! v ! ! O ângulo entre u e v ! ! O ângulo entre u e w
1.8. Um vetor unitário com a direção de de 1.9. Um vetor perpendicular a
! u ea! v
! w
2. Considere os pontos A = (-1, -2, 0), B=(0, 0, 3), C=(2, 4, 9), D=(4, 6, 0).
A, B e C . Veri que se são colineares os pontos A, B e D . ! ! Veri que se são complanares os vetores BC e DC .
2.1. Veri que se são colineares os pontos 2.2. 2.3.
2.4. Determine um vetor que seja perpendicular aos vetores 2.5. Determine um vetor que seja paralelo ao vetor
!
!
!
BC e DC .
BC .
3. Considere os pontos A = (1, 2,1), B = (-1,1,0),C = (0,1, 2), D=(1, 0, 2) e E = (3, 1, 1). Determine, se existir, 3.1. a equação vetorial da reta r que passa em D e em E. 3.2. as equações paramétricas da reta s que passa em A e em B. 3.3. uma equação da reta t que passa em C e em D.
que passa em A, D e em E. a equação cartesiana do plano que contém a reta r e passa em B.
3.4. a equação vetorial do plano 3.5.
3.6. a posição relativa das retas r e s. 3.7. a posição relativa da retas t e do plano 3.8. a posição relativa dos planos
.
e .
3.9. a equação do plano perpendicular a r que contém o ponto A.
que passa em B. a equação da reta perpendicular aos planos e que passa em C.
3.10. a equação da reta perpendicular ao plano 3.11.
3.12. o ângulo entre as retas r e s. 3.13. o ângulo entre os planos
e .
3.14. o ângulo entre a reta t e o plano
.
152
8.4.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3.15. a distância de A à reta t. 3.16. a distância de B ao plano
.
4. Considere os pontos A = (4, -2, 0), B=(0, 0, 3), C=(2, 2, 0), D=(4, 6, 0). Determine:
B e C. ! ! Uma equação da reta s que passa em A e é perpendicular aos vetores BC e DC . Veri que se as retas r e s são complanares e em caso a rmativo determine uma equação
4.1. As equações cartesianas não paramétricas da reta r que passa em 4.2. 4.3.
do plano por elas formado. 4.4. Determine a distância mínima do ponto
5. Considere os planos:
A à reta r.
: kx + ky + z + 1 = 0 : x+y z+k =0 : x ky z + 1 = 0
: kx + 2y + z 1 = 0
k os 3 planos ; ; se intersetam num ponto. Para que valores de k os planos ; ; apresentam dois a dois uma reta comum, mas
5.1. Para que valores de 5.2.
os 3 não se intersetam? 5.3. Considere
k = 2, indique dois planos paralelos e dois planos perpendiculares.
6. Indique o valor lógico da seguinte proposição:
Três pontos colineares de nem dois vetores paralelos. 7. Considere os planos:
: kx + ky + z + 1 = 0 : x+y z+k =0 : x + ky + z = 1
: kx + 2y + z = 0
7.1. Determine, se existirem, os valores de k para os quais os 3 primeiros planos apresentam uma reta comum. 7.2. Determine, se existirem, os valores de k tais que os dois primeiros planos sejam paralelos e os outros dois sejam perpendiculares.
8. Calcular o valor de
x de modo que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
! u = (2; 1; 0); ! v = (6; x; 2) e ! w = ( 4; 0; 1) seja igual a 10.
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
9. Mostre que se os vetores
153
! u e! v são ortogonais então jj! u +! v jj2 = jj! u jj2 + jj! v jj2 :
10. Considere os planos de equação:
: x + 3y
: :
Determine os valores do parâmetro
az = 4
ax + y + az = 0 x + 2ay = a + 2
: 2x
y
2z = 0
a para os quais se tem:
10.1. Os 4 planos intersetam-se segundo uma reta?
e são perpendiculares. Os planos e são coincidentes.
10.2. Os planos 10.3.
11. Considere o plano de equação: 11.1. Paralelo ao plano
: x + 3y
z = 1.
Dê um exemplo de um plano:
.
11.2. Perpendicular ao plano
.
12. No paralelepípedo:
Figura 8.29: paralelepípedo
! = 10cmjj, a reta que passa nos pontos A e C faz um ângulo de 30o com o eixo OY jjBC ! ! ! e jjAE jj = jjAB jj + jjAC jj. Sejam A; B; C; D; E; F; G e H os vértices do paralelepípedo. Considere o referencial o.n. indicado em que a unidade considerada é 5 cm e determine:
A; B; C; E; F . ! Uma equação do plano perpendicular a AB e que passa em C . ! Uma equação da reta paralela a AC e que passa em F .
12.1. As coordenadas dos vértices 12.2. 12.3.
154
8.4.
12.4. A distância do ponto
E
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
ao plano determinado na alínea b).
12.5. A distância da reta determinada na alínea c) à reta que passa nos pontos
k = 0; : x y + z = 0 e Indique, se existirem, os valores de k k e para os quais se tem:
13. Considere os planos
13.1. 13.2.
: 2x + y + 2z
A e E.
: 2x + y + 2z = 0
.
perpendicular a e coincidente com . e têm uma reta comum.
13.3. Dois planos coincidentes e um paralelo.
14. No cubo:
Figura 8.30: cubo
as faces são paralelas aos planos coordenados, a origem do referencial ortonormado coincide com o vértice
H
e a área de cada face é
4 cm2
.
14.1. Determine, justi cando, a equação do plano
M
é o ponto médio do segmento
EF
que passa nos pontos A; G e M , onde
.
Se não fez a alínea anterior, para as alíneas seguintes considere o plano de equação :
x + 2y + z
4=0
14.2. Determine a equação cartesiana do plano 14.3. Determine uma equação da reta
que dista
3 cm
do plano
.
r perpendicular ao plano e que passa na origem.
15. Na pirâmide quadrangular:
DE==OY; EC==OX , A é o vértice da pirâmide e B; C; D, e E são os vértices da base e M é o ponto médio entre E e C e O é o ponto de interseção de EB com CD . Sabendo que !jj = 4 cm , jjAM !jj = 6 cm e que AM ! faz um ângulo de 30o com a base da pirâmide, jjEC determine: 15.1. As coordenadas dos pontos
A; B; C; D, e E .
Para as alíneas seguintes, caso não tenha resolvido a alínea anterior, considere os pontos A = (0; 0; 3); C = ( 2; 2; 0); D = ( 2; 2; 0); E = (2; 2; 0): 15.2. A equação cartesiana do plano
! e que passa em D.
perpendicular a AE
CAPÍTULO 8.
GEOMETRIA ANALÍTICA
155
Figura 8.31: Pirâmide quadrangular
15.3. Uma equação vetorial da reta nos pontos
A e C.
15.4. A distância do ponto
8.4.1 Soluções
r que passa pelo ponto E
A à reta r.
e é paralela à reta que passa
Capítulo 9
Bibliogra a a edição, 2008.
1. Álgebra Linear com Aplicações, Anton, Rorres, Bookman, 8
2. Álgebra Linear e Geometria Analítica, Antonio Monteiro, Gonçalo Pinto, Catarina Marques, McGrawHill, 1997. 3. Álgebra Lineal y sus aplicaciones, David Lay, Prentice Hall, 2001. 4. Álgebra Linear, Lipschutz, S., McGraw-Hill.
156
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