ALG Sebastian Lazo

6.

8.1 9. 10.

L\'rcIV DE CONJUNTOS I.\TERSECCIÓNDE CONJUNTOS COMPLEMENTODE UN CONJUNTO D] FERENCIADE CONJUNTOS guÉrntct DTFERENCTA DE coNJUNTos LEYESDE OPERACIONESCON CONJUNTOS CARDINALDE UN CONJUNTO PROPIEDADES PRODUCTOCARTESIANO

nqnnaóu DEuNcoNJUNTo EJERCIAOS

CAPITULOIII,

54 54 55 56 57 58 6I 62 65 68 70

OPERACIONESALGEBMICAS

r.

mrnooucctóu

],1

LEYESDE LOSEXPONENTES

2. 2.r. 2.2 2.2.r

nxpnnsñu ALGEBRAT:A rÉnm¡tostLGEBRArcos rÉnmNossIMEJANTES nnoucctóN oo rÉnm¡vos;EMEJANTES

3. 3.1 4,

POLINOMIO GMDO DE LASEXPRESIONES ALGEBRAICAS OPERACIONESCON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

4.3. 4.3.1 4,3.2 ,, 5.1. 5.2

otvtstóN otvtstót¡ o¿ poLINoMIos: uÉrooo N¡RMAL y DE HzRNER TEOREMADEL RESIDUO PRODUCTOSYCOCIENTESNOTABLES PRODUCTOSNOTABLES COCIENTESNOTABLES EJERCIAOS

4.r. ,qotctóur susrn¿cctó¡'t 4.2. uuntpuc.¿ctó¡,t

6. 6.r.

p,¿crontz.¿ctóN FACTzR couú¡'t

6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6,9. 6.]0.

TNNOMIOSQUE SONCUADMDOS PERFECTOS DIFERENCIADE DOSCUADMDOS POLINOMTOS QUE SONCUBOSPERFECTOS SUMA Y DIFERENCIADE DOSCUBOS TRINOMIODE LA FORMA ¡2 + px + q TRINOMIODE LA FORMA vv'.+ px * q FACTONZACIONPORADICION YSUSTMCCION BINOMIOS. FACTONZACIÓ¡,IPONDIVISORES FACTONZACIONESADICIONALES

uÁxtuo couú¡¡ otvtsonv uiutuo couúN uútrrpLo z. 7.r. uÁxtuo couúu ntwsoR:M.C.D. 7.2. uiruuo couú¡¡uútrtPLo:m.c.m.

8.

ALGEBRAICAS FRACCIONES

8.r. 8.2 8,3.

,qntaó¡¡ v susrrucaó¡,t DEFMCCIzNES nr, gupurtc¿ctó¡,t PRTNCTPrc r ntrtstów DEFRACCIzNES MULTTzLICAcIóN

8.4. 9. 9.1.

FMCCIONES COMPUESTAS RADICALES RACIONALIZAAÓNNUDENOMINADOR EJERCI9IOS

80 80 84 85 86 87 87 88 9I 9I 93 95 96 r00 IOI 102 107 il0 t20 120 t) l

122 123 , ),1

125 127 t29 t30 t32 I35 t35 136 137 137 139 t4I t42 143 r45 r48

T CAPITULOIV

DE ECUAC]OJ'ES ECUACIONESY SISTEMAS

LA ECUACION ECUACIONESLINEALESCON UNAINCÓGNITA SISTEMADE ECUACIONESLINEALES DETERMINANTES,REGLADE CRAMER DETERMINANTEDE SEGUNDOORDEN DETERMINANTEDE TERCERORDEN ECUACIÓNCUADRÁTICACON UNAINCÓGNITA RESOLUCI ÓN POR FACTONZACIÓN RESOLUCIÓNPORMEDIO DE TJNAFÓRMULA PROPIEDADESDE LASRAICES ECUACIONESREDUCIBLESA LA FORMACUADPJíTICA SISTEMASDE ECUACIONESDE SEGUNDOGRADO PLANTEODE PROBLEMAS EJERCIAOS

CAPITULOV. I. 2. 2.1. 2.2. 2.2,1. 2.2.2. 2.2.3. 2,2.4. 3. 3.t. 3,2, 4. '

, 2. 2.1 2.2 3. 3.1. 3.2 3.3. 4.

DESIG UALDADESE I NECUACIONES

AXIOMASDE ORDENDE LOSNÚMEROSREALES DESIGUALDADES DESIGUALDADESABSOLUTAS INECUACIONES INECUACIONES LINEALES INECUACIONESPOLINÓMICAS INECUACIONESFRACCIONARIAS INECUAC]ONES CONMDICALES VALORABSOLUTO TEIREMASsÁstcos CON VALORABSOLUTO ECUACIONESE INECUACIONES SISTEMASDE INECUACIONES EJERCIC]OS

CAPITULOVI

pnoc nnsñ ¡'t.l ntru Éuc,e suMADEUNApnocnnsñ¡'tmtruÉruc.t AvruÉrucos MEDros pnoc nrsñ ¡,tc nou Érp.tc,s suMADEUNApnocnasñNcnouÉruc's. MEDrosctouÉrrucos

LAsuMADEUNApnocndgó¡,¡cnouÉrmc,qINFINITA pnoc nnst ó¡,t,q n*tóNt c,q

t.1 1.2 2. 2.1

239 239 241 243 244 246 248 249 251 f

EJERCIAOS

I.

207 207 208 209 209 2t0 2t4 2t7 2t9 219 220 225 228

PROGRESIONES

SUCESIONES

CAPITULO VII,

164 t61 i6i l6i66 t-ú t75 175 176 t78 t8I r85 i,89 r92

COMBINATORIA

DEL CONTEO PRINCIPIOS BASICOS PN NCrPrc DE MULTIPuc,¿c tó¡v PNNCIPrcna rotctó¡'t FAcroRrALDE uN ¡túu¿no PROPIEDADES DELOSFACTONALES

(.

LOGICA

Ejemplo:

proposición Simbolizarla siguiente " si Pablo no ha venido entoncesno ha recibido la carta o no está interesadoen el asunto". Lasproposiciones simplesquecomponenson: p:

" Pabloha venido"

q:

" Pabloha recibidola carta"

r:

en el asunto" " Pabloestáinteresado

sesimboliza - p + (- q v - r) luego,la proposición compuesta 4,1.

TABL/I DE VALORESDE VERDAD

depende de los valoresde verdadde las El valorde verdadde unafórmulaproposicional proposicionessimplesque la componen.Es decir, se debe analizartodaslas posibles quela componen, se lascuale's de valoresde verdadde lasproposiciones combinaciones dan en las primerascolumnas.Por tanto, si en una formula proposicionalintervienen "n" proposicionessimplesdiferentes,entoncesen la tablade valoresde verdadhabrá2n combinacionesdiferentes.Así, para dos proposicionesse tiene 22 = 4 posibles etc. de V y F. Paratres,23:8 combinaciones, combinaciones

Ejemplo:

Construirla tabladeverdadde la proposición - p -+ (- q y - r). Como en la proposición dada intervienen 3 proposiciones simples, entoncesse analizará23 = I

renglones.Esto es:

!0

ALGEBRA

p

q

r

-p

V

V

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

F

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

F

V

V

F

V

V

-)

(q v r)

R

Luego, los valores de verdad de la formula proposicionalse encuentranen la columnaR.

4.2.

CLASIFICACIONDE

FORMUL/ISPROPOSrcIONALES

Las fórmulas proposicionales(las proposicionescompuestas)se clasifican, según sus valoresde verdad,en Tautología,Contradiccióny Contingencia.

4.2.1TAUTOLOGIA Es una fórmulaproposicionalque es verdaderaparacualquier valordeverdadde lasproposiciones quela componen.

LOGICA

Ejemplo:

ll

La tabla de verdadde [(- p -+ q)

p

q

V

^

- q ] -+ p, es:

-p t(-p

-+

q)) q

A

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

V

F

F

V

.F

q ql

-)

p

F

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

,--l--l

ttl

---+/\2ny x > 5

5.

x*3

--¡xl y

5.

x*y

v

D e m o stra r:rvs

b)

2+x*2 vy*2

+ 3v x>2

Demostrar:r v s

l.

p +-C

1.

p- + - A

2.

A n -B

2.

- q+ B

3;

(-p vq )+(rn t)

3.

- p+r

4.

B vD

4.

Av- B

5.

A -+(C v-D )

5.

q+ r

D e m ostra r: x*3 l.

x:3 +y

2.

x:y

3.

x l5

vy*l

b)

Dem ostr ar :x:5v z>5 l.

x*7) zfx

2.

xy

x>y -+x>4

2,

x>4- + yfl

3.

x>4 -)x:5

3.

x>y- + x> 4

4.

xx)-+yy

6.

x>y-)y

6.

y=3 - + y>l

*.2

1

v x:

, '

y

Demostrarlavalidezde los siguientes razonamientos: 78.

Si la ballenaesun mamíferoentonces tomaoxígenodel aire.Si tomasu oxígeno del aire,entonces no necesitabranquias. La ballenaes un mamíferoy habitaen el océano.Portanto,habitaenel océanoy no necesita branquias.

79.

quedacomoestaba.Si Si la enmienda no fue aprobada entonces la constitución la constituciónqueda como estaba,entoncesno podemosañadir nuevos miembrosal comité. Podemosañadirnuevosmiembrosal comitéo el informe se retrasaráun mes. Pero el informe no se retrasaráun mes. Por tanto. la enmiendafue aprobada.

80.

Negarlassiguientes proposiciones: a)

Vx:

p (x)v-q (x);

b)

3x/p( x) v- q( x)

c)

Vx:

p(x) -+ q (x) ;

b)

3x/p( x) e- q( x)

43

LOGICA

81.

Expresar las siguientes proposiciones en forma simbólica, negarlas. ) retraducirlasal lenguajecomún: a)

El cuadradode todo número enteroes mayor que l.

b)

Existen númerosnaturalescuyo cubo aumentadoen I es igual al cubo del siguiente.

82.

c)

Hay jóvenesque no estudianni trabajan.

d)

Todo el que estudiatriunfa.

e)

Ningún cuentode hadases una historiacierta.

0

Ningunacosaes alavez redonda

g)

Nadie es totalmentejuicioso o totalmenteestúpido.

h)

Existe algún número real que es menor que su parte entera

Deducir las siguientes conclusiones de las premisas dadas, dando una demostraciónformal completaen la forma típica.

a)

b)

D e m o stra3r:+4 l) - + x< I

4.y=0ex

¡ y

4. x= 2y- +x< y

D e mo stra r:5 +2 *4 +3 l . Vx: x1 2 >4 vx+|

99.

l) b)

b)

y+ y

/ x+ 3

2 . Y y:5 +y< 4 +3 ->5 *y l 4

2. VuVv:u- 3 < v- + 3 *v> u

3 . 5 +l *7

3. ( 3+3) - 3