Al7ma12tepa0013 Sequence 01

Séquence 1 ère 1

partie :

Deux nouvelles fonctions e 2

partie :

Géométrie plane

3e partie : Un peu de logique

Séquence 1 – MA12

1

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ère 1

partie

Deux nouvelles fonctions Sommaire 1. Pré-requis 2. La fonction racine carrée 3. La fonction valeur absolue 4. Synthèse de la partie 1 de la séquence 5. Exercices d’approfondissement

2

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Séquence 1 – MA12

1 Pré-requis A

Ordre dans


Propriétés

Soient trois réels a, b et c. Si a ≤ b , alors a + c ≤ b + c .

Conséquence

Soient quatre réels a, b, c et d. Si a ≤ b et c ≤ d , alors a + c ≤ b + d . Soient a, b, c de R tels que a ≤ b .
Si

c ≥ 0 , alors ac ≤ bc ,


Si

c ≤ 0 , alors ac ≥ bc .

Soient trois réels a, b et c tels que a ≤ b . a b
Si c > 0, alors ≤ . c c

Remarque

Soient a, b de R , on a : a ≤ b si et seulement si b − a ≥ 0 . Cette remarque peut être utile pour démontrer certaines inégalités.




Exemple 1 Solution

Montrer que pour tout a de R , a 2 + 1 ≥ 2a . Étudions le signe de la différence.

( )

)

)2

On a : a 2 + 1 − ( 2a = a 2 − 2a + 1 = (a − 1 ≥ 0. On en déduit l’inégalité : a 2 + 1 ≥ 2a .

Remarque

Pour résoudre algébriquement une inéquation, on peut :
se ramener à une inéquation du type … > 0 ou … < 0 (bien sûr les inégalités peuvent être larges : ≥ ou ≤ ) ;
tout mettre sur le même dénominateur ;
factoriser ;

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3

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éventuellement, utiliser




un tableau de signes. x x +1 Résoudre l’inéquation : < . x −1 x + 2

Exemple 2

Solution

L’inéquation

x x +1 x x +1 < est équivalente à − < 0. De plus, on a : x −1 x + 2 x −1 x + 2

( x + 1)( x − 1) x ( x + 2) − ( x + 1)( x − 1) x x +1 x ( x + 2) = − = − ( x + 2)( x − 1) x − 1 x + 2 ( x − 1)( x + 2) ( x + 2)( x − 1) =

x 2 + 2x − ( x 2 − 1) 2x + 1 = ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1)

Éudions le signe des différents facteurs. La fonction a définie par a ( x ) = 2x + 1 est strictement croissante (coefficient 1 directeur 2 > 0 ) et s’annule en − . 2 1 1 Ainsi : a ( x ) > 0 si x > − , a ( x ) < 0 si x < − . 2 2 J

+ –O

I

On étudie de même le signe des fonctions qui à x associent respectivement x + 2 et x − 1. On obtient alors le tableau de signes suivant.

x

(2x + 1)

h

−

–2

–

( x + 2)

–

–

0

1 2

0

1

+

+

+

( x − 1)

–

–

–

2x + 1 ( x + 2)( x − 1)

–

+

0

–

+h

+

0

+

Fonction croissante (1 > 0 ) s’annulant en –2

+

Fonction croissante (1 > 0 ) s’annulant en –1

+

On déduit de cette étude l’ensemble des solutions de cette inéquation :  1  S =  −∞ ; −2 ∪  −  ; 1 .  2 

4

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B

Fonctions : rappels et compléments 1. Sens de variation

Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. est croissante sur I si pour tout couple (a  ; b ) d’éléments de I tel que a ≤ b on a f (a ) ≤ f (b ).


f

est strictement croissante sur I si pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que a < b on a f (a ) < f (b ).


f


f

est décroissante sur I si pour tout couple (a  ; b ) d’éléments de I tel que a ≤ b on a f (a ) ≥ f (b ).

est strictement décroissante sur I si pour tout couple (a  ; b ) d’éléments de I tel que a < b on a f (a ) > f (b ).


f

dit que f est monotone (resp. strictement) sur I lorsque f est croissante (resp. strictement) sur I ou lorsque f est décroissante (resp. strictement) sur I.


On

Définitions

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 ∈I.
Si pour tout x ∈I, f ( x ) ≤ f ( x ), alors on dit que f ( x ) est le maximum de f sur I ; 0 0
Si

pour tout x ∈I, f ( x ) ≥ f ( x 0 ), alors on dit que f ( x 0 ) est le minimum de f sur I.




Exemple

Soit f définie sur R par : f ( x ) = ( x − 2)2 − 2 . Pour tout réel x, on a :

f ( x ) = ( x − 2)2 − 2 ≥ −2 = f (2) alors f (2) = −2 est le minimum de f sur R .

2. Parité Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle symétrique par rapport au nombre 0.





Si

pour tout x de I, f ( − x ) = f ( x ) alors f est paire.


Si

pour tout x de I, f ( − x ) = −f ( x ) alors f est impaire.

Interprétation graphique

Notons Cf la courbe représentative de f dans un repère (O , I , J).
Si

f est paire alors Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.


Si

f est impaire alors Cf est symétrique par rapport à l’origine O.

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5

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J M’ O M’

J

I M

O

I

M

Une courbe représentative de fonction paire.

Une courbe représentative de fonction impaire.

3. Autres éléments de symétrie Soit f une fonction définie sur Df . On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , I , J).


Cf admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie si et seulement si : t
Df est symétrique par rapport à a ; t

QPVS
UPVU
SÏFM
h f (a − h ) = f (a + h )

J

O

I

a–h

a

M K

M’

Exemple 3

I a–h

a

Cf admet le point K(a ; b) comme centre de symétrie si et seulement si : t
Df est symétrique par rapport à a ; t

QPVS
UPVU
SÏFM
h

J




que a + h ∈Df ,

a+h




O

tel

tel

que a + h ∈Df ,

f (a − h ) + f (a + h ) =b 2

a+h

Soient f la fonction définie sur R \ { 3} par : f ( x ) = représentative dans un repère (O , I , J).

x 2 − 5x + 7 et C sa courbe x −3


À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique comme GéoGébra, conjecturer

l’existence d’un centre de symétrie K de C et préciser ses coordonnées.  Démontrer la conjecture précédente.

6

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Solution


La figure obtenue à l’aide du logiciel GéoGébra est donnée ci-dessous.

On peut conjecturer que la courbe admet le point K( 3 ; 1) comme centre de symétrie (pour le voir, on peut placer deux points de la courbe qui seraient symétriques et construire le milieu du segment correspondant).  L’ensemble de définition est symétrique par rapport à 3. Pour tout h tel que

3 − h ait un sens, on a : 2 2   f ( 3 − h ) + f ( 3 + h ) 1  ( 3 − h ) − 5( 3 − h ) + 7 ( 3 + h ) − 5( 3 + h ) + 7  = +  2 2 (3 − h ) − 3 (3 + h ) − 3   1  h 2 − h + 1 h 2 + h + 1  =  + 2  −h h   1  −h 2 + h − 1+ h 2 + h + 1 =1 =  2 h  

Ce qui prouve bien la conjecture.

C

Fonctions usuelles : rappels 1. La fonction carré Soit f définie par f ( x ) = x 2. La fonction f est définie sur R . La fonction f est décroissante sur  −∞  ; 0  et croissante sur 0 ; +∞   .

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7

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Sa courbe représentative est une parabole. y 20

10

–2

–4

O

4

2

x

Tableau de variation.

x

h

+h

f 0 Ce qui précède peut s’exprimer de la façon suivante. Si a et b sont positifs alors ils sont rangés comme leurs carrés a 2 et b 2. Si a et b sont négatifs alors ils sont rangés dans l’ordre inverse de leurs carrés a 2 et b 2.

2. La fonction inverse 1 . x La fonction f est définie sur  −∞  ; 0  ∪ 0  ; +∞   que l'on peut écrire R \ {0 } ou R∗ . Soit f définie par f ( x ) =

La fonction f est décroissante sur  −∞  ; 0  et sur 0 ; +∞  . Ce qui précède peut s’exprimer de la façon suivante. Si a et b sont de même signe, alors ils sont rangés dans l’ordre inverse de leurs 1 1 inverses et . a b Sa courbe représentative est une hyperbole.

8

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y

4

2

–6

–2

–4

x

O 2

O

4

6

–2

–4

x

h

0

+h

f

D

Racines carrées




Le nombre a est défini si a ≥ 0 .

( a)

2


Pour

tout a ≥ 0, 


Pour

tout a ≥ 0,  a 2 = a.




= a.

Pour tout b ≤ 0,  b 2 = −b.


Pour

tous réels positifs a et b,


Pour

tous réels a ≥ 0 et b > 0,

ab = a × b . a a = . b b

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9

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2 A

La fonction racine carrée Activités 1. Trouver un carré Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), on considère A(1 ; 0) et B(–1 ; 0). Pour tout point M de la demi-droite [OA), on considère les points N, P et Q définis de la façon suivante. – N est le milieu de [BM]. – Le cercle de centre N passant par B coupe la droite (OJ) en 2 points. L’un a une ordonnée positive, on le note P. – Q est alors le point tel que OMQP soit un rectangle.
Conjecture

a) Faire la figure à l’aide du logiciel GeoGebra. b) Conjecturer l’ensemble des points M tels que OMQP soit un carré.  Étude

On note x l’abscisse de M. Déterminer les coordonnées de N. En déduire les coordonnées de P. Déterminer alors les coordonnées de Q. Que peut-on dire de l’ensemble C des points Q lorsque x décrit 0 ; +∞  ? Sur la figure, faire apparaître C et la droite D d’équation y = x . Montrer que OMQP est un carré si et seulement si x = 0 ou x = 1.

2. Courbes symétriques On considère la fonction f définie sur 0 ; +∞   par f ( x ) = x . On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, I, J). On note, de plus, C la courbe représentative de la fonction carré, C ’ les points de C d’abscisses positives et D la droite d’équation y = x dans ce même repère.
Soient x et y deux réels strictement positifs. On note M le point de coordonnées

( x  ;  y ) et N le point de coordonnées (y ; x ). a) Montrer que le milieu I de [MN] appartient à D.

10

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b) Montrer que OM = ON. c) En déduire que la droite D est la médiatrice de [MN]. On déduit de la question précédente que le symétrique par rapport à D du point de coordonnées ( x  ;  y ) a pour coordonnées ( y  ;  x ).  a) Soit M un point de C ’. Montrer que son symétrique par rapport à D appartient à Cf .

b) Soit M un point de Cf . Montrer que son symétrique par rapport à D appartient à C ’. c) Que peut-on en déduire ?

B

Cours 1. La fonction racine carrée Soit f définie par f ( x ) = x . La fonction f est définie sur 0 ; +∞  , ce que l’on peut écrire Df = R + . Propriété 1

La fonction racine carrée conserve l’ordre, autrement dit elle est croissante sur 0 ; +∞   . Si a et b sont réels positifs alors ils sont rangés comme leurs racines carrées.

Démonstration

Soient a et b deux réels positifs ou nuls tels que : a ≤ b. La fonction carrée est croissante sur 0 ; +∞   et donc rangés comme leurs carrés. De plus : a et b.

( a)

Ainsi :

a ≤ b.

2

= a et

( b)

2

a , b sont positifs, et sont

= b de sorte que : a et

b sont rangés comme

L’exercice suivant propose une autre démonstration de la propriété précédente.


Exemple 4


Soient a et b deux réels strictement positifs. Montrer que ont le même signe.

a − b et a − b

 Conclure.

Séquence 1 – MA12

11

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Solution


On peut utiliser l’expression « conjuguée » de

a − b , c’est-à-dire

a + b ; on a : a−

( b=

a− b

(

)(

a+ b

a+ b

)

) = ( a ) −( b ) 2

2

a+ b

Comme a et b sont strictement positifs, alors que ( a − b ) et (a − b ) ont le même signe.  Si a ≤ b alors a – b ≤ 0 et donc

a −b

=

a+ b 1

a+ b

=

1

a+ b

× (a − b).

> 0. Ce qui prouve bien

a − b ≤ 0, soit  a ≤ b , ce qui prouve bien

le résultat. La courbe de la fonction racine carrée est une portion de parabole. C’est l’image par la symétrie par rapport à la droite d’équation y = x de l’ensemble des points d’abscisses positives de la parabole d’équation y = x 2. x2

5

兹x

x

0 0

2

4

6

8

2. Positions relatives des courbes des fonctions carré, racine carrée et f définie sur
par : f (x) = x. Les positions relatives de ces courbes sont justifiées par les inégalités de la propriété suivante. Propriété 2


Pour tout x de   0  ; 1   , 0 < x 2 < x < x .


Pour

12

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Séquence 1 – MA12

tout x de 1 ; +∞  , 0 < x < x < x 2.

Démonstration

Pour tout x, x 2 − x = x ( x − 1). Ainsi pour tout x > 0, x 2 − x et x − 1ont le même signe.




Donc si x < 1 alors x − 1 < 0 ce qui nous prouve que x 2 − x < 0 et par suite : x2 < x . De même, si x > 1 alors x 2 > x . Pour tout x > 0, x − x = x x − 1 ont le même signe.




)

(

Donc si x < 1 alors suite : x > x .

(

(

)

x − 1 . Ainsi pour tout x > 0, x − x et

)

x − 1 < 0 ce qui nous prouve que x − x < 0 et par

De même, si x > 1 alors

x < x.

On a ainsi prouvé toutes les inégalités de la propriété, illustrées ci-après.




y

y = x2

y=x

y= x

J

x O

C Exercice 1

I

Exercices d’apprentissage Vrai ou faux ? Justifier. a) Si 0 ≤ x ≤ 3 alors 0 ≤ x 2 ≤ 9 b) Si −1 ≤ x ≤ 2 alors 1 ≤ x 2 ≤ 4

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c) Si x ≤ 2 alors x 2 ≤ 4 d) Si x 2 ≤ 4 alors x ≤ 2 e) Si x 2 ≤ 9 alors x ≤ 3 f) Si 0 < x ≤ 3 alors

Exercice 2

x≤ 3

g) Si x > 4 alors

x >2

h) Si x ≥ 1 alors

x ≥ −1.


Donner la contraposée de l’affirmation « Si  Démontrer alors l’affirmation « Si

Exercice 3

x > 3, alors x > 9 ». 1 1 x > 3, alors < ». x 9

Un peu de calculs
Écrire les nombres suivants sous la forme

entiers relatifs, c étant positif. 1 20

;

1

;

2 2− 7

2 −1 2 2 + 7

 On considère a =

(

a d c + où a, b, c, d et e sont des b e

.

17 + 12 2.

)

2

a) Développer 3 + 2 2 . b) En déduire une autre expression de a. c) Montrer que

14

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Séquence 1 – MA12

17 + 12 2 + 17 − 12 2 est entier.

3 A

La fonction valeur absolue Activités 1. Axe routier Nous allons nous intéresser à l’axe routier qui relie Paris et Brest en passant par Chartres, Le Mans, Laval, Rennes, Saint-Brieuc, Guingamp, Morlaix. Nous allons représenter ces villes sur un axe en prendant comme origine Rennes et pour unité le km (on prendra 1 cm pour 50 km sur la figure) et le sens positif est de l’ouest vers l’est. On donne les distances par rapport à Rennes : – à l’est de Rennes ; Paris (350 km) ; Le Mans (156 km) ; Laval (70 km) ; – à l’ouest de Rennes : Saint-Brieuc (98 km) ; Morlaix (188 km) ; Brest (245 km). De plus Chartres se trouve entre Paris et Le Mans et Guingamp se trouve entre Saint-Brieuc et Morlaix.
Faire une figure (l’abscisse de Laval est (+70) et celle de Morlaix est (–188)).  Calculer les distances suivantes : Laval – Paris ; Morlaix – Le Mans ; Saint-

Brieuc – Brest ; Laval – Morlaix.  Les abscisses de Chartres et de Guingamp sont notées x et x ’. Dans quels

intervalles se situent x et x ’ ? Déterminer leur signe.  Exprimer à l’aide de x ou x ’ les distances Chartres – Paris ; Chartres – Laval ;

Chartres – Brest ; Guingamp – Brest, Guingamp – Paris ; Guingamp – Chartres.  Déterminer les abscisses des villes situées à 40 km de Rennes ; à 50 km de

Laval, à 30 km de Chartres.  Représenter sur l’axe tous les points situés à moins de 50 km de Saint-Brieuc ; à moins de 100 km du Mans.

2. Distance entre deux réels Soit D une droite numérique de repère normé (O ; I). Soient M le point d’abscisse x et N le point d’abscisse y. On appelle distance entre les réels x et y, la distance MN ; on la note d( x  ;  y ) ; d( x  ;  y ) étant une distance est positive (ex : d( −2 ; 3) = 5). On admet les propriétés suivantes. t
4J
x ≤ y , alors d( x ; y ) = y − x . t
4J
x ≥ y , alors d( x ; y ) = x − y .

0 –2

I 3

0 5

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Calculer d(–3 ; 7), d(3 ; 9), d(15 ; 31) et d(–27 ; –43).  Montrer à l’aide des deux propriétés précédentes que :

a) d( x  ;  y ) = 0 si et seulement si x = y . b) d( x  ;  y ) = d( x − y  ; 0 ).  Montrer que pour tous x, y, z réels, on a : d( x  ; z ) ≤ d( x  ;  y ) + d( y  ; z ).

B

Cours 1. Valeur absolue et distance

Définition 1

Pour tout réel x, on définit la valeur absolue de x, notée x par : x = d(0  ;  x ). L’activité 1 nous prouve les résultats suivants suivants. Propriété 3

Pour tout réel x,


x ≥0




x = 0 si et seulement si x = 0,




x est égal à celui des deux nombres x et –x qui est positif : si x ≥ 0 si x ≤ 0

Pour tous réels x, y
d(x ; y)

= x −y On en déduit les résultats suivants.

Propriété 4

Pour tout réel x,


−x = x




x2 = x

Propriété 5

Soit r > 0. x = r  ( > 0 ) si et seulement si x = r ou x = −r .

x = y si et seulement si x = y ou x = − y .

16

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Séquence 1 – MA12

x =x x = −x.

2. Propriétés algébriques Propriété 6

Pour tous x, y réels, on a : x × y = x × y .

Démonstration

Le tableau suivant récapitule tous les cas possibles.

y ≥0 y 1. L’inéquation x − 2 > 1 est équivalente à d( x  ; 2) > 1. Le schéma suivant nous permet, alors de conclure : 0

1

2

3

S = ] − ∞  ; 1 [∪] 3 ; +∞ [ (ce qui est hachuré sur le dessin).


Exemple 6 Solution

Résoudre x + 1  = x − 2 . L’équation x + 1  = x − 2 est équivalente à d( x  ; −1) = d( x  ; 2). Ce qui veut dire que x est le milieu de [ −1 ; 2] donc S = {1, 5}.

4. La fonction valeur absolue a. Courbe représentative Notons f la fonction définie sur R, par : f ( x ) = x et C sa courbe représentative dans un repère (O , I , J). Pour tout x ≥ 0, on a : f ( x ) = x = x . Ainsi la portion de C correspondant aux  y = x abscisses positives est la demi-droite définie par :   x ≥ 0 Pour tout x ≤ 0, on a : f ( x ) = x = − x . Ainsi la portion de C correspondant aux  y = x abscisses négatives est la demi-droite définie par :   x ≤ 0 On en déduit l’allure de C.

18

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C

J O

I

b. Sens de variation On déduit de la précédente étude la propriété suivante. Propriété 9

La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur  −∞  ; 0  . La fonction valeur absolue est strictement croissante sur 0 ; +∞   .


Exemple 7

Soit f définie sur R par : f ( x ) = x + x − 2 .
À l’aide d’un logiciel de géométrie ou de la calculatrice, conjecturer l’existence

et la valeur du minimum de f sur R.  Démontrer cette conjecture.

Solution


On obtient la courbe suivante à l’aide d’un logiciel comme GéoGébra (entrer :

f ( x ) = abs( x ) + abs( x − 2)). 6 5 4 3 2 1

Il semblerait que le minimum soit 2 et qu’il soit atteint pour tous les réels de [0 ; 2].

0 –2

0

–1

1

2

3

4

5

–1

Séquence 1 – MA12

19

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 Démontrons ce résultat (démonstration par disjonction de cas).

t
4J
x < 0 alors : x − 2 < 0 d’où :

f ( x ) = x + x − 2 = ( − x ) +  −( x − 2) = −2x + 2 > 2 . t
4J
x > 2 alors : x − 2 > 0 d’où :

f ( x ) = x + x − 2 = ( x ) + ( x − 2) = 2x − 2 > 2 . t
4J
x ∈0  ; 2 alors : x − 2 ≤ 0 d’où :

f ( x ) = x + x − 2 = ( x ) +  −( x − 2) = 2 . Ainsi, pour tout réel x, f ( x ) ≥ 2 et 2 est atteint par f pour tout réel de [0 ; 2] ce qui prouve que 2 est le minimum de f sur R.

C

Exercices d’apprentissage

Exercice 4

Calculer d( 3 + 1 ;  3 − 1) ;  4 − 17  ;  π − 3  ;  −3 − 5  ; −3 + 5 .

Exercice 5

Traduire les termes suivants à l’aide d’une distance :   x − 4  ;  x − a  ;  x + 1  ;  x + 3 − 2 .

Exercice 6

Résoudre a)   x ≤ 2

b)   x + 5 ≤ 3

c)   x +

2 ≤ 1. 3

Exercice 7

On suppose que x ∈[ 3 ; 7]. Calculer x − 3 +   x − 7 .

Exercice 8

Dans le tableau suivant, un réel x vérifie une condition exprimée de 4 manières différentes comme il est indiqué dans la première ligne. Compléter le tableau pour que, sur chaque ligne, les 4 cases expriment la même propriété. Encadrement

intervalle

distance

valeur absolue

−1 ≤ x ≤ 5

x ∈[ −1 , 5]

d( x  ; 2) ≤ 3

x −2 ≤ 3

10 ≤ x ≤ 100

x ∈[5 ; 10] d( x  ; 2 ) ≤ 1

x+

20

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5 ≤3 2

Exercice 9

A et B sont deux points d’une droite graduée, d’origine O, d’abscisses respectives –1 et 2. M

A –1

O 0

B 2

M est un point quelconque de cette droite. On désigne par x son abscisse. Soit f : x 哫 MA + MB.
Représenter graphiquement la fonction f.  Résoudre graphiquement et par le calcul l’équation f (x ) = 4.

Séquence 1 – MA12

21

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4 A

Synthèse de la partie 1 de la séquence La fonction racine carrée Soit f définie par f ( x ) = x . La fonction f est définie sur 0 ; +∞  , ce que l’on peut écrire Df  = R + .

Propriété 1

La fonction racine carrée conserve l’ordre, autrement dit, elle est croissante sur 0 ; +∞  . Si a et b sont réels positifs alors ils sont rangés comme leurs racines carrées. Sa courbe représentative est une portion de parabole. C’est l’image par la symétrie par rapport à la droite d’équation y = x de l’ensemble des points d’abscisses positives de la parabole d’équation y = x 2 . y=x2 y=x 5

y=兹x

x

0 0

B

2

4

6

8

La fonction valeur absolue Définition 1

Pour tout réel x, on définit la valeur absolue de x, notée x par : x = d(0  ;  x ).

22

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Séquence 1 – MA12

Soit r > 0. x = r  ( > 0 ) si et seulement si x = r ou x = −r .

x = y si et seulement si x = y ou x = –y. Soient a de R et r > 0. On a :

x − a ≤ r si et seulement si x ∈ a − r  ; a + r  . L’activité 1 nous prouve les résultats suivants.

Propriété 3 et 4

Pour tout réel x,


x ≥0




x = 0 si et seulement si x = 0,




x est égal à celui des deux nombres x et –x qui est positif :

si x ≥ 0

x =x

si x ≤ 0

x = −x.

Pour tous réels x, y
d(x ; y)

= x −y

Pour tout réel x,



−x = x

x2 = x

La courbe de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites.

C

J O

I

Séquence 1 – MA12

23

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5 Exercice I

Exercices d’approfondissement Soient f définie sur R par : f ( x ) = x + x 2 + 1 et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ,I ,J).   
Montrer que, pour tout réel x,  x + x 2 + 1  − x + x 2 + 1 > 0.     En déduire le signe de f (x).  a) À l’aide d’un logiciel de géométrie ou de la calculatrice, tracer la courbe C

représentative de la fonction f. b) Soient a réel, M et N les points de C d’abscisses respectives –a et a. Faire varier a et émettre une conjecture quant aux positions des droites (MN).  a) Déterminer les coordonnées de M et N.

b) Démontrer la conjecture précédente.

Exercice II

Soit f définie sur [0 ; 1] par : f ( x ) = 2 x − x .
Calculer f (0), f (1) et f (0,25).  À l’aide d’un logiciel de géométrie ou de la calculatrice, tracer la courbe C

représentative de la fonction f.  La courbe C semble être un quart de cercle. Est-ce le cas ? Justifier. (question

de recherche).

Exercice III

On considère le nombre suivant : 1 1 1 1 S= + + +  ... + . 1+ 2 2+ 3 3+ 4 99 + 100
Calculer cette somme à l’aide d’une feuille de calculs.  a) Montrer que pour tout k > 0,

1

k + k +1

b) En déduire que : S = 100 − 1. c) Conclure.

Exercice IV

Soit f définie par : f ( x  ;  y ) =

x +y + x −y

. 2
Calculer f (1 ; 0), f (3 ; 5), f (–2 ; –3) et f (7 ; 7).  On suppose que : x ≥ y . Simplifier f ( x ; y ).  Conclure.

24

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Séquence 1 – MA12

= k + 1− k .

Exercice V


Q désignant un nombre réel, on pose f ( x ) = x − 1 + 2 x − 2 + λ x − 4 pour λ

x ≥ 0.

a) Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice les représentations graphiques des fonctions f2, f3 et f4. b) Suivant ces valeurs de Q, quels sont les réels x pour lesquels fλ ( x ) a une valeur minimale ? c) Justifier ces résultats en simplifiant, suivant les valeurs de x, fλ ( x ).  Dans un camping de bord de mer, l’entrée (E) est à 400 m de la plage (F) ; la guérite du gardien (G) et l’aire de jeux (A) sont respectivement à 100 et 200 m de l’entrée. E

G

A

F

Un campeur désire s’y installer en ayant le moins de pas à faire dans une journée. Sachant que tous les jours il doit aller une fois chez le gardien, deux fois à l’aire de jeux, où doit-il installer sa tente dans chacun des cas suivants : a) Il va deux fois à la plage. b) ll va trois fois à la plage. c) Il va quatre fois à la plage (ou plus ?).

Exercice VI

Le point M de la figure ci-dessous appartient au segment [CD]. Les droites (AC) et (BD) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (CD). AC = 3, CD = 6  et  BD = 2.

A

Existe-t-il un point M minimisant la somme MA + MB?

B

On pose CM = x .
Calculer MA + MB en fonction de x.  Soit f la fonction x 哫 MA + MB.

C

M

D

Construire la représentation graphique de f en déterminant de nombreux points de cette courbe. En déduire alors graphiquement l’existence d’un point M minimisant la somme cherchée.  Soit A’ le symétrique de A par rapport à C, expliquer pourquoi le point M

cherché est aligné avec A’ et B. En déduire le réel x définissant le point M cherché.

Séquence 1 – MA12

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e 2

partie

Géométrie plane Sommaire 1. Pré-requis 2. Vecteurs directeurs d’une droite 3. Décomposition d’un vecteur du plan 4. Synthèse de la partie 2 de la séquence 5. Exercices d’approfondissement

26

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Séquence 1 – MA12

1 Pré-requis A

Équations de droites 1. Équations de droites

Propriété

Dans un repère (O, I, J) du plan, toute droite, non parallèle à l’axe des ordonnées, a une équation unique de la forme y = mx + p , où m et p sont des constantes. Toute droite, parallèle à l’axe des ordonnées, a une équation unique de la forme x = c où c est une constante.

Dans le cours de seconde on avait plutôt choisit d’écrire une telle équation sous la forme y = ax + b . Ici nous changeons de lettres pour désigner les deux coefficients de cette équation. Ça ne change évidemment rien (ce n’est qu’une question de notation), mais c’est pour éviter une confusion dans la suite du cours. Définitions

Si une droite a pour équation y = mx + p dans un repère du plan :
p

est l’ordonnée du point de la droite qui a comme abscisse 0. On l’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite.


m

indique la « pente » de la droite. On l’appelle le coefficient directeur de la droite.

À savoir

Si une droite, non parallèle à l’axe des ordonnées, passe par les points A

(

)

(

)

et B dont les coordonnées sont A x A ; y A et B x B ; y B , alors le coeffiy −y cient directeur de la droite est égal à : m = B A . xB − x A

Séquence 1 – MA12

27

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2. Application géométrique Propriété

Deux droites, non parallèles à l’axe des ordonnées, sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.

B

Vecteurs et colinéarité 1. Translations et vecteurs

Définition



 La translation qui transforme le point A en B est la translation de vecteur AB . Conséquence

Un vecteur est donc un « objet mathématique » qui caractérise une translation. Un vecteur non nul est donc défini par la donnée : t
Eune direction, ici la droite (AB), t
Eun sens, ici de A vers B, t
FU
Eune longueur (on dit aussi une norme), ici AB.

Remarque

Le début du chapitre suivant va vous permettre de mieux comprendre la notion de direction d’un vecteur. Définition





 Soient A, B, C et D quatre points du plan. On a : AB = CD si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu (c’est-à-dire si et seulement si ABDC est un parallélogramme). Commentaire

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Cela correspond au fait que la translation qui transforme A en B est la même que celle qui transforme C en D.



 On peut aussi remarquer que cela signifie que les vecteurs AB et CD , s’ils sont non nuls, ont la même direction (puisque (AB) et (CD) sont parallèles), le même sens (on va dans le même sens de A vers B et de C vers D) et la même longueur (AB = CD).

Séquence 1 – MA12

2. Coordonnées d’un vecteur Définition

  Soit u un vecteur du plan. Les coordonnées du vecteur u sont les


  coordonnées du point M tel que : OM = u . Propriété





 Les coordonnées du vecteur AB sont : AB( x B − x A ; y B − y A où A ( x A ; y A et B( x B ; y B .

)

)

)

Propriété

  Soient u (a ; b et v (c ; d deux vecteurs et k un réel.   Les coordonnées de u + v sont (a + c ; b + d .  Celles de k .u sont (ka ; kb .

)

)

)

)

3. Construction de la somme de deux vecteurs Propriété C


Règle de Chasles

Soient A, B et C, trois points du plan.





 On a : AB + BC = AC. A

B

Propriété
Règle

C

du parallélogramme

D

Soient A, B et C, trois points du plan.





 On a : AB + AC = AD, où D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme. A

B

Séquence 1 – MA12

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4. Colinéarité de deux vecteurs Définition

  Deux vecteurs u et v sont colinéaires si il existe un réel k tel que :     u = k .v ou v = k .u .

Conséquence

Remarque

  Soient u et v deux vecteurs du plan différents du vecteur nul.   Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. Le début du chapitre suivant va vous permettre de mieux comprendre la notion de direction d’un vecteur. Propriété

 Les vecteurs u (a ; b

ad = bc .

Remarque

30

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)

 et v (c ; d

)

sont colinéaires si et seulement si :

Cette propriété vue en seconde sera démontrée à nouveau dans le chapitre suivant.

Séquence 1 – MA12

2 A

Vecteurs directeurs d’une droite Activités 1. Sans coordonnées Classer les droites de la figure ci-dessous en regroupant celles qui sont parallèles.


























 De même, classer les vecteurs A1A 2 , B1B2 , C1C2 , E1E2 , F1F2 , G1G2 , H1H2 ,











 K1K2 , L1L2 et M1M2 en regroupant ceux qui sont colinéaires. d1 B2

B1 K2

C1

d2 d3

d4 E1

A1

d5

E2

K1

C2 F2

d6

L1

M1 G2 G1

F1

A2

M2 H2

L2

d7 d8

H1

d10

d9

2. Avec coordonnées Dans un repère (O, I, J) du plan, on donne les coordonnées des points suivants :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K2 ( −3, 5 ; 3) , L1( −0 , 5 ; 0 , 5) , L 2 ( 2, 5 ; − 1) , M1( −4 , 5 ; 0 ) et  M2 ( 0 , 5 ; − 2, 5).

A1 0 ; 3, 5 , A 2 1; − 0 , 5 , B1 −3 ; 3, 5 , B2 −0 , 5 ; 4 , C1 4 ; 5 , C2 0 ; 2 , E1 4 , 5 ; 3, 5 , E2 −0 , 5 ; 2, 5 , F1 −1; − 1, 25 , F2 2 ; 1 , G1 −3; − 1 , G2 −1, 75 ; − 0 , 75 , H1 2 ; − 2, 5 , H2 −4 , 25 ; − 3, 75 , K1 −2, 5 ; 2, 5 , Voir figure page suivante.

Séquence 1 – MA12

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( ) ( )

) ( ) ( )

En utilisant les coefficients directeurs, classer les droites A1A 2 , B1B2 , C1C2 , E1E2 , F1F2 , G1G2 , H1H2 , K1K2 , L1L 2 et M1M2 en regroupant celles qui sont parallèles.








 De même, en utilisant leurs coordonnées, classer les vecteurs A1A 2 , B1B2 ,





























 C1C2 , E1E2 , F1F2 , G1G2 , H1H2 , K1K2 , L1L 2 et M1M2 en regroupant ceux qui

) ( ) ( ) (

(

) (

) (

sont colinéaires.

C1

d1 d2 B1

A1

d4

E2

K1

K2

d3

B2

d5

C2 F2

J M1

L1 G2 G1

F1

0

E1

d6

I A2

L2 d7 d8

M2 H2

B

H1 d10

d9

Cours 1. Direction de droite. Direction de vecteur a. Direction de droite Lorsque l’on classe des droites en regroupant celles qui sont parallèles, comme dans les activités ci-dessus, on s’intéresse à leur « pente ». En mathématique, on dit qu’on les classe suivant leur direction.

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Séquence 1 – MA12

Définition 1

On dit que deux droites ont même direction si et seulement si elles sont parallèles.

Dans le langage courant, le terme direction, n’a pas tout à fait la même signification qu’en mathématiques. Lorsque vous êtes à Rennes et que vous prenez un TGV Paris-Brest, vous prenez celui en direction de Paris ou celui en direction de Brest. Ce n’est pas la même chose ! En mathématiques, la direction ParisBrest est la même que l’on aille vers Paris ou vers Brest. Ce qui distinguera les deux, toujours en mathématiques, c’est ce que l’on appelle le sens. En mathématiques, on dira : on prend le TGV de direction ParisBrest, dans le sens vers Brest. Les propriétés vues en seconde, et rappelées ci-dessus (pré-requis), permettent d’énoncer la propriété. Propriété 1

Deux droites, non parallèles à l’axe des ordonnées, ont même direction si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. Deux droites parallèles à l’axe des ordonnées ont même direction.

b. Direction de vecteur De la même façon, lorsque l’on classe des vecteurs en regroupant ceux qui sont colinéaires, comme dans les activités ci-dessus, on s’intéresse aussi à leur « pente ». D’ailleurs vous avez pu constater l’analogie entre le travail sur les droites et celui sur les vecteurs, ainsi que l’analogie des résultats trouvés. On dira aussi qu’on les classe suivant leur direction. Définition 2

On dit que deux vecteurs non nuls ont même direction si et seulement si ils sont colinéaires.

On a évidemment la même difficulté avec le langage courant que pour la notion de direction de droite.

Séquence 1 – MA12

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Remarque

Le vecteur nul n’indique aucune direction. On dit qu’il n’a pas de direction (c’est le seul vecteur dans ce cas). Les propriétés vues en seconde permettent d’énoncer la propriété.

Propriété 2

  Dans un repère (O, I, J) du plan, les vecteurs u (a ; b et v (c ; d ont même direction si et seulement si ad = bc .

)

Démonstration

)

  Si les vecteurs u (a ; b et v (c ; d ont même direction, ils sont colinéaires, donc     il existe un réel k tel que : u = k .v ou v = k .u .     Prenons v = k .u (ce serait analogue avec u = k .v ).  Les coordonnées de v vont alors vérifier : c = ka et d = kb.

)

)

On vérifie alors facilement que ad = akb = bc .

)

Réciproquement, si l’on a ad = bc , cela signifie que les coordonnées (a ; b et (c ; d sont proportionnelles (égalité des produit en croix). Il existe donc un réel k tel que : c = ka et d = kb.     Ce qui nous montre alors que l’on a v = k .u et donc que u (a ; b et v (c ; d sont colinéaires.

)

)

Remarque

)

Même si le vecteur nul n’a pas de direction, on considère qu’il a même direction   que tout autre vecteur puisqu’il lui est colinéaire : 0 = 0.u .

2. Vecteurs directeurs d’une droite


 Comme vous l’avez vu dans les activités 1 et 2, le vecteur L1L2 permet de définir la droite d9 puisque les deux



points L1 et L2 sont distincts et sur cette droite (au même titre que le vecteur H1H2 permet de définir la droite d7 , ou autres).


 Mais le vecteur L1L2 suffit aussi pour vérifier que les droites d8 et d10 ont même direction de montrer que les



 que




d9 . Il suffit pour cela par exemple


 vecteurs K1K2 et M1M2 ont même direction que L1L 2 (ce que l’on a fait dans ces activités en classant les vecteurs colinéaires).


 Autrement dit, le vecteur L1L 2 donne la direction les droites d8 , d9 et d10 .


 On dit que L1L2 est un vecteur directeur des droites d8 , d9 et d10 .








 Bien sûr, K1K2 et M1M2 sont aussi des vecteurs directeurs des droites d8 , d9 et d10 .

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Séquence 1 – MA12

Définition 3

 On dit qu’un vecteur non nul u est un vecteur directeur d’une droite d si et seulement si il est colinéaire à un vecteur défini à l’aide de deux points distincts de cette droite.

Remarques

a) Le vecteur nul n’a pas de direction, il n’est donc vecteur directeur d’aucune droite. b) Une droite a une infinité de vecteurs directeurs (tous colinéaires). c) Un vecteur non nul est vecteur directeur d’une infinité de droites (toutes parallèles).




Exemple 1


En reprenant les données de l’activité 2, donner cinq vecteurs directeurs de

la droite d2.  En reprenant les données de l’activité 2, donner cinq vecteurs directeurs de la droite (OJ). Solution








La droite d est définie par les points B1 et B2. Le vecteur B B est donc un 2 1 2





vecteur directeur de cette droite. Mais il en est de même du vecteur B2B1 (qui a même direction).



 Tout autre vecteur colinéaire à B1B2 est aussi un vecteur directeur de la droite










 d2 . C’est le cas des vecteurs E1E2 , G1G2 et H1H2. Mais nous aurions pu tout







 aussi bien prendre les vecteurs 3B1B2 , ou −2B1B2 , ou autres.

 Un vecteur directeur « naturel » de la droite (OJ) est le vecteur OJ. Il en est
























 de même des vecteurs JO, B1G1, B2E2 , L1E2 , OC2 , A1J, IA 2 et H1F2 qui sont

tous colinéaires à OJ puisque leur abscisse est nulle.

Nous venons de définir la notion de vecteur directeur d’une droite. Vous connaissez aussi la notion de coefficient directeur d’une droite (non parallèle à l’axe des ordonnées). Regardons quel lien il y a entre ces deux notions.

Propriété 3

Dans un repère (O, I, J) du plan, si une droite (non parallèle à l’axe des ordonnées) a pour coefficient directeur m (donc une équation de la  forme y = mx + p ), l’un de ses vecteurs directeurs est le vecteur u de  coordonnées : u (1; m .

)

Séquence 1 – MA12

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Démonstration

Pour démontrer cette propriété, nous pouvons envisager de prendre deux points particuliers de cette droite et de regarder quel vecteur directeur cela nous donne, ou prendre deux points quelconques et faire le même travail. Nous ferons les deux démonstrations.


Première démonstration

Considérons les deux points A et B de la droite dont les abscisses dans (O, I, J) sont respectivement 0 et 1. L’ordonnée du point A est : y A = mx A + p = m × 0 + p = p. L’ordonnée du point B est : y B = mx B + p = m × 1+ p = m + p.

)

(

)

(

de la droite est On a donc : A 0

; p et B 1; m + p . Un vecteur

directeur  donc

 le vecteur AB dont les

coordonnées sont : AB( x B − x A ; y B − y A , soit AB(1; m + p − p ). Et donc : AB(1; m ).

)

Ce qui démontre la propriété.


Deuxième démonstration

Considérons deux points A et B de la droite dont les abscisses dans (O, I, J) sont respectivement x A et x B . L’ordonnée du point A est : y A = mx A + p. L’ordonnée du point B est : y B = mx B + p.

)

(

)

(

On a donc : A x A ; mx A + p et B x B ; mx B + p . Un vecteur directeur de la



 droite est donc le vecteur AB dont les coordonnées sont : AB( x B − x A ; y B − y A ,

 soit AB( x B − x A ; mx B + p − mx A − p .

 Donc : AB x B − x A ; m x B − x A . Comme la droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, les abscisses des points A et B sont distinctes. On a donc : x B − x A ≠ 0. 1

 AB. On peut donc prendre comme vecteur directeur de la droite le vecteur  xB − x A Notons-le v .   1 1 xB − x A ; m xB − x A  . Ses coordonnées sont : v   xB − x A  xB − x A  Soit : v (1; m ).

(

)

))

(

)

(

)

(

)

Ce qui démontre la propriété.

Remarque

Vous avez vu en seconde que le coefficient directeur d’une droite peut se lire graphiquement si l’on a tracé la droite. Il suffit, pour ce faire, de prendre sur cette droite deux points dont la différence des abscisses vaut 1. Le coefficient directeur est alors égal à la différence des ordonnées. Sur l’exemple ci-après on a tracé la droite d’équation y = 3x − 1, 5.

(

)

(

Les points A 1; 1, 5 et B 2 ; 4 , 5 différence des abscisses vaut 1.

)

sont deux points de cette droite dont la

On lit directement le coefficient directeur : m = 3.

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Séquence 1 – MA12

Mais on voit

 aussi facilement que le vecteur AB, qui est un vecteur directeur de la

 droite, a pour coordonnées AB(1 ; 3) , ce qui

 correspond bien à AB(1; m ).

B

3

J

O

A

1

I

3. Vecteurs directeurs d’une droite et équations cartésiennes de cette droite Pour établir l’équation d’une droite (non parallèle à l’axe des ordonnées), nous avions l’habitude, jusqu’à présent, d’utiliser deux points de cette droite (voir cours de seconde). Maintenant que l’on connaît la notion de vecteur directeur, on peut envisager de définir une droite par un point et un vecteur directeur (un point seul ne suffit pas, un vecteur directeur seul non plus). En effet, le vecteur directeur nous définit la direction de la droite, et, parmi toutes les droites parallèles ayant cette direction, il en est une seule qui passe par le point donné. Voyons ce que cela nous donne en terme d’équation de droite, d’abord sur un exemple. On travaille dans un repère (O, I, J) du plan. Déterminons une équation de la droite d, passant par le point A ( −2; 1) et le vecteur directeur u ( 4 ; 3 .

)

Prenons un point M( x ; y ) quelconque du plan.




  Ce point appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires.

Séquence 1 – MA12

37

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Il est important de bien comprendre que l’on a une équivalence entre


les  deux  propositions « le point M appartient à la droite d » et « les vecteurs AM et u sont colinéaires ». 


 On dit aussi que la propriété « les vecteurs AM et u sont colinéaires » est une condition nécessaire et suffisante pour que « le point M appartienne à la droite d ».


  Nous allons donc traduire la propriété « les vecteurs AM et u sont colinéaires » par une égalité et nous obtiendrons quelque chose (une égalité) qui caractérisera le fait que « le point M appartient à la droite d ».


  Traduisons le fait que « les vecteurs AM et u sont colinéaires » en utilisant leurs coordonnées.





 Les coordonnées de AM sont : AM( x + 2  ; y − 1).   On connaît celles de u : u ( 4 ; 3 .

)

(

) (

)

Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si : 4 y − 1 = 3 x + 2 . Soit : 4 y − 4 = 3x + 6.

On obtient donc que le point M appartient à la droite d si et seulement si : 4 y = 3x + 10. En divisant par 4 les deux membres de l’égalité, on obtient une égalité ( y = 0 , 75x + 2, 5 ) qui caractérise les points de la droite d et qui est sous une forme connue : c’est l’équation réduite de la droite d. Mais avant de diviser par 4, on avait déjà une égalité ( 4 y = 3x + 10 ) qui caractérisait les points de la droite d. Une telle égalité est appelée équation cartésienne de la droite d. On pouvait d’ailleurs l’écrire autrement, par exemple 4 y − 3x = 10, ou 3x − 4 y + 10 = 0, ou autres. Ce sont aussi des équations cartésiennes de la droite d. Elles sont toutes équivalentes. On remarque que les coefficients de x et y ont un rapport direct avec les coordonnées du vecteur directeur u . Par contre le troisième coefficient (ici 10) n’est pas immédiatement identifiable. Généralisons.

Propriété 4

Dans un repère (O, I, J) du plan, une droite a pour vecteur directeur le vecteur u (a ; b si et seulement si elle a une équation cartésienne de la forme bx − ay + c = 0, a et b n’étant pas nuls tous les deux et c étant un réel quelconque.

)

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Séquence 1 – MA12

Démonstration

Considérons la droite d (qui peut être parallèle  à l’axe des ordonnées) définie par le point A ( x A ; y A et le vecteur directeur u (a ; b . Prenons un point M( x ; y )

)

)

quelconque du plan.




  Ce point appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires. Il est, là encore, important de bien comprendre que l’on a une équivalence entre les deux propositions « le point M appartient à la droite d » et « les vecteurs 


 AM et u sont colinéaires ». 


 La propriété « les vecteurs AM et u sont colinéaires » est une condition nécessaire et suffisante pour que « le point M appartienne à la droite d ». 


 Traduisons la propriété « les vecteurs AM et u sont colinéaires » (par une égalité), nous obtiendrons une égalité qui caractérisera le fait que « le point M appartient à la droite d ».


  Traduisons le fait que « les vecteurs AM et u sont colinéaires » en utilisant leurs coordonnées.





 Les coordonnées de AM sont : AM( x − x A ; y − y A .   On connaît celles de u : u (a ; b .

)

)

(

) (

)

Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si : a y − y A = b x − x A .

On obtient donc que le point M appartient à la droite d si et seulement si : ay − ay A = bx − bx A . Que l’on peut écrire : bx − ay + ay A − bx A = 0. On obtient donc une équation cartésienne de la droite d qui est bien de la forme : bx − ay + c = 0. Le fait que c = ay A − bx A n’est pas très intéressant à retenir.

 Notez bien les rôles distinctifs des coordonnées a et b du vecteur directeur u comme coefficients de x et y dans l’équation et en particulier le fait que c’est l’opposé de a qui est coefficient de y.

Remarques

a) Dans la forme bx − ay + c = 0 on ne retrouve plus les coordonnées du point A.  Donc si l’on connaît A et u on peut obtenir l’équation cartésienne bx − ay + c = 0 (le calcul nous donne c). Par contre, si l’on connaît une équation cartésienne  bx − ay + c = 0 on a directement les coordonnées d’un vecteur directeur u mais pas directement celles d’un point (on les retrouve par calcul). b) Une droite a bien entendu une infinité d’équations cartésiennes puisqu’elle a une infinité de vecteurs directeurs. L’équation réduite y = mx + p est l’une d’entre elles. On peut d’ailleurs retrouver la propriété du paragraphe précédent. L’équation réduite y = mx + p peut s’écrire mx − 1y + p = 0, ce qui nous montre qu’un vecteur directeur de la droite est le vecteur u (1; m .

)

Séquence 1 – MA12

39

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C’est pour cette raison que l’on a changé de notation pour l’équation réduite d’une droite ( y = mx + p au lieu de y = ax + b pour ne pas confondre le rôle des coefficients a et b). c) Il est intéressant de noter que l’obtention d’une équation cartésienne de droite est possible pour une droite parallèle à l’axe des ordonnées (voir dans les exemples ci-dessous). On en déduit que toutes les droites du plan ont des équations cartésiennes. Ce n’est que pour l’équation réduite (de la forme y = mx + p ) que se pose le problème des droites parallèles à l’axe des ordonnées.


Exemples 2


Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère le point A de coordonnées

 
   A 0 , 5 ; 1, 5 et les vecteurs u , v et w de coordonnées u ( 2  ; − 1 , v (1 ; b
 et w (a  ;1 .

(

)

)

)

)

a) Déterminer une équation cartésienne d1, d2 et d3 passant par A  des droites
 et de vecteurs directeurs respectifs u , v et w . b) En déduire l’équation réduite de chacune de ces droites.  Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les droites d , d et d 1 2 3

d’équations cartésiennes respectives : 3x + 4 y + 8 = 0 pour d1, 9 y − 7x = 1 pour d2 et 9 ,1x = 2 + 11, 7y pour d3 . a) Déterminer un vecteur directeur de chacune de ces droites. b) Déterminer si deux d’entre elles sont parallèles. Solutions


a) Pour déterminer une équation cartésienne de la droite d on considère un 1

point M quelconque, de coordonnées M( x ; y ). Ce point appartient à la droite


  d1 si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires. Les coordonnées de





   AM sont : AM( x − 0, 5 ; y − 1, 5) , celles de u : u ( 2 ; − 1 .

(

)

)

)

(

Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si : 2 y − 1, 5 = −1 x − 0 , 5 .

Une équation cartésienne de la droite d1 est donc : 2y − 3 = − x + 0 , 5. Que l’on peut aussi écrire : x + 2y − 3, 5 = 0. Procédons de la même façon, pour obtenir une équation de d2.




  Le point M appartient à la droite d2 si et seulement si les vecteurs AM et v





 sont colinéaires. Les coordonnées de AM sont : AM( x − 0, 5 ; y − 1, 5) , celles de   v : v (1 ; b .

)

(

) (

)

Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si : 1 y − 1, 5 = b x − 0 , 5 .

Une équation cartésienne de la droite d2 est donc : y − 1, 5 = bx − 0 , 5b. Que l’on peut aussi écrire : bx − y + 1, 5 − 0 , 5b = 0. Enfin, pour la droite d3 .

40

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Séquence 1 – MA12





 Le point M appartient à la droite d3 si et seulement si les vecteurs AM et w





 sont colinéaires. Les coordonnées de AM sont : AM( x − 0, 5 ; y − 1, 5) , celles de

 w : w (a ;1 .

)

(

) (

)

Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si : a y − 1, 5 = 1 x − 0 , 5 .

Une équation cartésienne de la droite d3 est donc : ay − 1, 5a = x − 0 , 5. Que l’on peut aussi écrire : x − ay + 1, 5a − 0 , 5 = 0. b) Pour obtenir l’équation réduite des droites, il suffit de transformer les équations cartésiennes obtenues ci-dessus. Pour d1 on a obtenu l’équation 2y − 3 = − x + 0 , 5. On peut l’écrire 2y = − x + 3, 5 ou encore y = −0 , 5x + 1, 75 (en divisant par 2 les deux membres de l’égalité). On obtient l’équation réduite. Pour d2 on a obtenu l’équation y − 1, 5 = bx − 0 , 5b. On peut l’écrire y = bx + 1, 5 − 0 , 5b. On obtient ainsi l’équation réduite. Enfin pour d3 on a obtenu l’équation ay − 1, 5a = x − 0 , 5. On peut l’écrire ay = x + 1, 5a − 0 , 5. Pour obtenir l’équation réduite de d3 il faut diviser par a les deux membres de l’égalité. Attention cela n’est possible que si a ≠ 0. 1 0, 5 . Dans ce cas on obtient l’équation réduite de d3 : y = x + 1, 5 − a a Par contre, si a = 0, il n’y a pas d’équation réduite pour d3 . Il est facile de
 comprendre pourquoi : un vecteur directeur est alors w ( 0 ; 1 , ce qui montre que la droite d3 est alors parallèle à l’axe des ordonnées. Elle n’a donc pas d’équation réduite.

)

 a) Il est facile d’obtenir un vecteur directeur d’une droite lorsqu’on en a une

équation cartésienne. Il faut juste faire attention au rôle de chaque coefficient. Pour d1, d’équation cartésienne 3x + 4 y + 8 = 0 (qui est de la forme bx − ay + c = 0 ), un vecteur directeur est le vecteur u ( −4 ; 3 .

)

Pour d2 , d’équation cartésienne 9 y − 7x = 1, il faut faire attention à l’ordre des termes.  Un vecteur directeur est le vecteur v ( −9 ; − 7 .

)

Pour d3 , d’équation cartésienne 9 ,1x = 2 + 11, 7y , il vaut mieux transformer d’abord l’équation qui peut s’écrire 9 ,1x − 11, 7y − 2 = 0. Un vecteur directeur est
 le vecteur w (11, 7 ; 9,1 .

)

b) Pour déterminer si deux d’entre elles sont parallèles, regardons si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.   Pour d1 et d2 regardons si u ( −4 ; 3 et v ( −9 ; − 7 sont colinéaires.

)

)

Séquence 1 – MA12

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( ) ( )

( )

Regardons donc si −4 × −7 = 3 × −9 ? La réponse est non. Les droites d1 et d2 ne sont pas parallèles. 
 Pour d1 et d3 regardons si u ( −4 ; 3 et w (11, 7 ; 9,1 sont colinéaires.

)

( )

)

A-t-on −4 × 9 ,1 = 3 × 11, 7 ? La réponse est encore non. Les droites d1 et d3 ne sont pas parallèles. 
 Pour d2 et d3 regardons si v ( −9 ; − 7 et w (11, 7 ; 9,1 sont colinéaires.

( )

)

( )

)

A-t-on −9 × 9 ,1 = −7 × 11, 7 ? La réponse est cette fois oui. Les droites d2 et d3 sont parallèles.

Notation

Il est souvent pratique d’envisager l’écriture d’une équation de droite sous la forme la plus simple possible. Au lieu de la noter bx − ay + c = 0, avec l’arrière pensée que l’un de ses vecteurs directeurs est le vecteur u (a ; b , on peut la noter αx + βy + γ = 0, ici avec des lettres grecques pour noter les coefficients, ou plus simplement ax + by + c = 0, mais alors les coefficients a et b ne jouent plus du tout le même rôle que dans l’écriture initiale ; entre autre un vecteur directeur de la droite sera alors le vecteur u ( −b ; a .

)

)

C Exercice 1

Exercices d’apprentissage Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C et D dont les coordonnées sont :

(

) (

) (

)

(

)

A 1; 1, 5 , B 3 ; 0 , 5 , C 3 ; 3, 5 et D 0 ; − 1 .
Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).  Déterminer une équation cartésienne de la droite parallèle à (AB) passant par C.  L’équation 2x + y = −1 peut-elle être une équation cartésienne de la droite

parallèle à (AB) passant par D ?

Exercice 2

Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère la droite d1 dont une équation cartésienne est 7x − 2y = −1.
Déterminer un vecteur directeur de d1.

En déduire le coefficient directeur de cette droite.  Déterminer les coefficients a et b tels qu’une équation cartésienne de cette

droite soit ax + by − 5 = 0.  L’équation −21x + 6 y = −3 est-elle une équation cartésienne de d1 ?

42

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Séquence 1 – MA12

Exercice 3

(

)

Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère le point A x A ; y A et le vecteur  non nul u a ; b .

(

)


Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par A et de vecteur

 directeur u .

 À quelle condition cette droite est-elle parallèle à (OI) ?

À quelle condition est-elle parallèle à (OJ) ?  On suppose qu’elle n’est ni parallèle à (OI), ni parallèle à (OJ).

Déterminer les coordonnées de son point d’intersection avec (OI). Déterminer les coordonnées de son point d’intersection avec (OJ).

Exercice 4

Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C et D dont les coordonnées sont :

(

) (

) (

)

)

(

A 1; 1, 5 , B 3 ; 0 , 5 , C 3 ; 3, 5 et D 0 ; − 1 . On pourra faire une figure.
Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).  La droite (AB) coupe l’axe des abscisses en E et l’axe des ordonnées en F.

Calculer les coordonnées de ces points.  Les droites (AB) et (CD) se coupent en K. Calculer les coordonnées de ce point.

Exercice 5

Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C et D dont les coordonnées sont :

(

) (

) ( )

)

(

A −4 ; − 1 , B −1, 5 ; 3 , C 6 ; 1 et D 3, 5 ; − 3 . On pourra faire une figure.

 1

 On appelle E le point défini par : AE = AB. 3 La droite parallèle à (AC) passant par E coupe la droite (BC) en F. La droite parallèle à (BD) passant par F coupe la droite (DC) en K.
Montrer que ABCD est un parallélogramme.  a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC).

b) En déduire les coordonnées du point F.  Déterminer les coordonnées du point K.  Démontrer que les droites (AC), (EK) et (BD) sont concourantes.

Exercice 6

Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont : A 1; 1, 5 , B 3 ; − 1 et C −1; − 3 . On pourra faire une figure.

(

) (

)

(

)


a) Déterminer les coordonnées du point E milieu du segment [BC].

b) En déduire une équation cartésienne de la médiane issue de A du triangle ABC.

Séquence 1 – MA12

43

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 a) Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de B du triangle

ABC. b) Déterminer les coordonnées du point G, point d’intersection de ces deux médianes.  Démontrer que les trois médianes du triangle ABC sont concourantes.

Exercice 7

Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont :

(

) (

)

)

(

A 1; 1, 5 , B 3 ; − 1 et C −1; − 3 . On pourra faire une figure.

2



1

 On appelle E, F et G les points définis respectivement par : BE = BC, CF = CA 5 3

 3

 et AG = AB. 4
Déterminer les coordonnées des points E, F et G.  Déterminer une équation cartésienne de la droite (AE).

En déduire les coordonnées du point K, point d’intersection des droites (AE) et (BF).  Démontrer que les droites (AE), (BF) et (CG) sont concourantes.

Exercice 8

Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont :

(

) (

)

)

(

A 1; 1, 5 , B 3 ; − 1 et C −1; − 3 . On pourra faire une figure.







 On appelle R et Q les points définis respectivement par : AR = − AB et AQ = a AC a étant un réel différent de ( −1 . Pour la figure éventuelle on fixera une valeur 2 pour a (par exemple a = ). 3
Déterminer les coordonnées des points R et Q.

)

 Déterminer une équation cartésienne de la droite (RQ).

En déduire que le point P, point d’intersection des droites (BC) et (RQ), a pour coordonnées : 3 − 5a −1− 5a xP = et y P = . 1+ a 1+ a  Que se passe-t-il si a = −1?

















 Soit M et N les points respectivement définis par : BM = CQ et AN = CP.

Déterminer les coordonnées des points M et N. Montrer que M, N et R sont alignés.

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Séquence 1 – MA12

3 A

Décomposition d’un vecteur du plan Activités 1. Somme de deux vecteurs Dans un plan, on considère trois points A, B et C non alignés (voir figure cidessous où le quadrillage n’est là que pour faciliter le dessin).

C

A B K














Sur cette figure, construire le vecteur AD, somme des vecteurs AB et AC.



















 Construire deux autres vecteurs AE et AF tels que : AD = AE + AF.





 Peut-on construire encore deux autres vecteurs AG et AH tels que :





 AD = AG + AH ?

 Le point K étant celui placé sur la figure initiale, peut-on construire un vecteur









 AL tel que : AD = AK + AL ?

Séquence 1 – MA12

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2. Construction de parallélogrammes Dans un plan, on considère trois points A, B et C non alignés (voir figure cidessous où le quadrillage n’est là que pour faciliter le dessin).

C

A B K


Sur cette figure, construire le point D tel que ABDC soit un parallélogramme

(attention à l’ordre des points).  Construire deux points E et F tels que AEDF soit un parallélogramme

Peut-on construire encore deux autres points G et H tels que AGDH soit un parallélogramme ? Que remarquez-vous pour les trois parallélogrammes construits ?  Le point K étant celui placé sur la figure initiale, peut-on construire un point L

tel que AKDL soit un parallélogramme ?

3. Somme de deux vecteurs et parallélogrammes  Dans un plan, on considère trois points A, B et C non alignés, et deux vecteurs u  et v non nuls et non colinéaires (voir figure ci-dessous où le quadrillage n’est là que pour faciliter le dessin).

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Séquence 1 – MA12

C

A v

B

u














Sur cette figure, construire le vecteur AD, somme des vecteurs AB et AC.



















 Construire deux autres vecteurs AE et AF tels que AD = AE + AF et tel que



  AE soit colinéaire à u .











 Peut-on construire encore deux autres vecteurs AG et AH tels que AD = AG + AH 

 et tel que AG soit encore colinéaire à u ?











  Construire deux vecteurs AK et AL tels que AD = AK + AL et tel que AL soit  colinéaire à v .











 Peut-on construire encore deux autres vecteurs AM et AN tels que AD = AM + AN 

 et tel que AN soit encore colinéaire à v ?











  Construire deux vecteurs AP et AQ tels que AD = AP + AQ et tel que AP 

  soit colinéaire à u et AQ colinéaire à v .









 Peut-on construire encore deux autres vecteurs AR et AS tels que AD = AR + AS 

 

 et tel que AR soit encore colinéaire à u et AS encore colinéaire à v ?

4. Décomposition d’un vecteur en fonction de deux vecteurs donnés   Dans un plan, on considère deux vecteurs u et v non nuls et non colinéaires (voir figure ci-après où le quadrillage n’est là que pour faciliter le dessin).

Séquence 1 – MA12

47

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D w B A v

C z u




Sur cette figure, décomposer le vecteur AB en somme de deux vecteurs, l’un

  colinéaire à u et l’autre colinéaire à v .



   Écrire alors AB sous la forme : AB = xu + yv où x et y sont deux nombres réels que vous déterminerez graphiquement.

  Faites de même avec le vecteur CD.
     De la même façon, décomposer les vecteurs w et z en fonction de u et v .

B

Cours 1. Décomposition d’un vecteur en fonction de deux vecteurs donnés a. Parallélogrammes à côtés dont la direction est fixée C2

C1

C3

D

A

B3 B1

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Dans les activités précédentes (surtout les activités 2 et 3) nous avons essayé de construire des parallélogrammes dont une diagonale  AD  était connue et dont on imposait éventuellement la direction des côtés.

B2

Séquence 1 – MA12

Nous avons vu que, sans contrainte de direction pour les côtés, il y a une infinité de parallélogrammes possibles.

Avec une direction imposée pour l’un des côtés (représentée sur le graphique ci-contre par la droite d), il y a encore une infinité de parallélogrammes possibles.

C1 C2

D

d

B2

A B1

Mais avec une direction imposée pour chacune des paires de côtés opposés (directions représentées sur le graphique ci-contre par les droites d1 et d2), il n’y a plus qu’un seul parallélogramme possible. C d2 C2

D

A d1 B

Propriété 5

A et D étant deux points donnés dans le plan et d1 et d2 deux droites non parallèles fixées, il n’y a qu’un seul parallélogramme ABDC tel que ( AB soit parallèle à d1 et ( AC à d2 (le parallélogramme est éventuellement aplati si B = A ou C = A).

)

Démonstration

)

Puisque le côté  AB  doit être parallèle à d1, on trace la droite passant par A et parallèle à d1. Cette droite est unique. Puisque le côté  AC  (donc aussi le côté BD  ) doit être parallèle à d2, on trace la droite passant par D et parallèle à d2. Cette droite est aussi unique et non parallèle à la première. Les deux droites tracées se coupent donc en un unique point que l’on notera B. Il n’y a alors qu’un seul parallélogramme dont A, B et D soient trois sommets consécutifs.

Séquence 1 – MA12

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b. Décomposition d’un vecteur en fonction de deux vecteurs donnés La propriété précédente va nous servir pour décomposer un vecteur en somme de deux autres vecteurs dont les directions sont données.

Propriété 6

  Deux vecteurs non colinéaires u
 et v étant fixés, il
n’y a qu’une  seule façon de décomposer un vecteur w sous la forme : w = xu + yv où x et y sont deux nombres réels.

Démonstration




 Pour pouvoir décrire la situation, représentons le vecteur w par AD.

 Puisque l’on veut pouvoir écrire ce vecteur AD sous la forme d’une somme de deux vecteurs, cela signifie que l’on peut construire un parallélogramme

  ABDC dont une diagonale soit  AD  , dont un côté  AB  soit tel que AB = xu et le

  côté  AC  tel que AC = yv .   Comme chacun des vecteurs u et v fixe une direction pour une paire de

 côtés du parallélogramme, et que AD est donné, on sait qu’il n’y a qu’un seul parallélogramme possible (Propriété 5).









 On a alors : AD = AB + AC où les vecteurs AB et AC sont uniques et colinéaires   respectivement à u et v . C

v

u

D

w

w = 2u +3v 3v

A

2u B





   Puisque AB est colinéaire à u , il existe un nombre réel unique x tel que AB = xu .



   Puisque AC est colinéaire à v , il existe un nombre réel unique y tel que AC = yv .

50

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Séquence 1 – MA12


 w On a donc bien montré qu’il existe une seule façon de décomposer le vecteur
   sous la forme : w = xu + yv où x et y sont deux nombres réels.  

( )

c. Coordonnées d’un vecteur dans une base u , v

  On vient de voir que deux vecteurs non colinéaires u et v permettent de

   décomposer, de façon unique, tout vecteur w sous la forme : w = xu + yv où x et y sont deux nombres réels. On caractérise alors cette situation par les définitions suivantes.

Définition 4

  On dit que deux vecteurs non colinéaires u et v forment une base   u , v du plan.
 Lorsque l’on décompose, de façon unique, un vecteur w sous la forme :
   w = xu + yv on dit que les nombres x et y sont les coordonnées du
   vecteur w dans la base u , v .

( )

( )

Remarques

a) C’est cette idée que l’on a déjà utilisée lorsque l’on a défini les coordonnées
 d’un point M, puis d’un vecteur w dans un repère (O,I, J du plan.

)

En effet on définit les coordonnées x et y de M à partir de l’égalité :





OM = x OI + y OJ.




 Ce sont aussi celles du vecteur w lorsque : OM = w . On a utilisé, depuis la classe de Cinquième, sans pouvoir
 le dire,

le fait que lorsque trois points O, I et J sont non alignés, les vecteurs OI et OJ forment une base du plan. b) D’ailleurs, dorénavant, on nommera un repère du plan indifféremment sous


la forme (O,I, J ou O ; OI, OJ lorsque l’on donnera les trois points O, I et J, ou  même O ; i , j quand on donnera l’origine du repère, O, et les deux vecteurs de   base, i et j .

(

)

)

(

)

c) Il est important de bien comprendre que les coordonnées d’un vecteur dépendent de la base à laquelle on se réfère.

Séquence 1 – MA12

51

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2. Application dans le cas où l’on connaît les coordonnées des vecteurs dans un repère du plan


Exemple 3

 Considérons un repère O ; i , j du plan. Dans ce repère on donne deux vecteurs     4  u et v de coordonnées u ( 2 ; − 1 et v  ; 2 . 3    a) Montrer que u et v ne sont pas colinéaires.

 b) On considère le vecteur w de coordonnées w ( 8 ; 4 . Déterminer ses   coordonnées dans la base u , v .

(

)

)

)

( )

Solution

  a) Pour montrer que u et v ne sont pas colinéaires, calculons les produits : 4 4 x  × y  = 2 × 2 = 4 et x  × y  = × ( −1 = − . u v v u 3 3

)

Ils sont différents, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
   b) Pour déterminer les coordonnées de w dans la base u , v , il suffit de trouver
   les deux nombres x et y tels que : w = xu + yv .    Les coordonnées du vecteur xu + yv dans le repère O ; i , j sont     4 xu + yv  x × 2 + y × ; x × ( −1 + y × 2 . 3       4 Soit : xu + yv  2x + y ; − x + 2y  . 3  
   Pour que w = xu + yv il suffit donc que :

( )

)

(

(

(

)

)

)

4 2x + y = 8 et − x + 2y = 4. 3 Pour déterminer x et y il suffit donc de résoudre le système des deux équations ci-dessous.  4 2x + y = 8 équivaut à 3  − x + 2y = 4 

6 x + 4 y = 24 6 x + 2( 4 + x ) = 24 . Soit :  .  y = + x 2 4 y = + x 2 4  

8 x = 16 x = 2 x = 2 . c’est-à-dire  . Soit :  Ce qui nous donne :  2y = 4 + x 2y = 4 + 2 = 6 y = 3
   Les coordonnées du vecteur w dans la base u , v sont : ( 2 ; 3 . On a donc :
   w = 2u + 3v .

( )

52

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Séquence 1 – MA12

)

Propriété 7

 Dans un repère O ; i , j du plan, on donne les coordonnées de deux   vecteurs non colinéaires u et v .
 Si l’on connait les coordonnées d’un vecteur w dans ce même repère, on
   peut déterminer par le calcul les coordonnées de w dans la base u , v .

)

(

( )

Démonstration

Il suffit de refaire le même travail que celui réalisé dans l’exercice précédent.  Considérons le repère O ; i , j du plan. Dans ce repère, on donne les cordonnées     des deux vecteurs non colinéaires u et v : u (a ; b et v (c ; d .

 On considère le vecteur w de coordonnées w (e ; f .
   Pour déterminer les coordonnées de w dans la base u ; v , il suffit de trouver
   les deux nombres x et y tels que : w = xu + yv .    Les coordonnées du vecteur xu + yv dans le repère O ; i , j sont   xu + yv ( x × a + y × c ; x × b + y × d .   Soit : xu + yv (ax + cy ; bx + dy .
   Pour que w = xu + yv il suffit donc que : ax + cy = e et bx + dy = f .

(

(

(

)

)

)

) )

)

)

( )

(

)

)

Pour déterminer x et y il suffit donc de résoudre le système des deux équations ci-dessus, soit : ax + cy = e  bx + dy = f Les  deux nombres a et b ne peuvent  pas être tous les deux nuls (sinon le vecteur u serait nul, donc colinéaire à v , ce qui n’est pas le cas). Supposons que a soit non nul (si c’est b, les calculs sont analogues).  c e x =− y+  ax + cy = e a a  équivaut à   bx + dy = f b  − c y + e  + dy = f a    a Résolvons la deuxième équation :  c e cb eb b  − y +  + dy = f équivaut à − y + dy + = f . a a a  a  ad cb  eb soit (ad − cb y = af − eb. Ce qui donne :  −  y = f − a  a a

)

)

Pour obtenir la valeur de y, il faut diviser par (ad − cb , et donc s’assurer que ce   nombre ne peut pas être nul. Or il ne l’est pas car les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.

Séquence 1 – MA12

53

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On a alors : y =

af − eb . ad − cb

 c e  x = − a y + a Le système initial est donc équivalent à :   y = af − eb  ad − cb  c  af − eb  e ed − cf  x = − + =   a  ad − cb  a ad − cb soit   y = af − eb  ad − cb Il n’est bien entendu pas question de retenir ce résultat. Ce qui est important, c’est de comprendre que l’on a pu, quelle que soit la situation, déterminer les
   coordonnées de w dans la base u , v .

( )

C Exercice 9

Exercices d’apprentissage  
 

 Dans un plan, on considère les vecteurs u , v , w , z et AB figurés sur le graphique ci-dessous.

v

B u A w

z

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Séquence 1 – MA12

Pour argumenter, on s’appuiera uniquement sur le graphique, et vous laisserez les traits de construction nécessaires aux réponses.  
Les vecteurs u et v peuvent-ils former une base du plan ? Si oui, décomposer  

 graphiquement le vecteur AB dans la base u , v et donner ses coordonnées dans cette base. 
  Les vecteurs u et w peuvent-ils former une base du plan ? Si oui, décomposer

 
 graphiquement le vecteur AB dans la base u , w et donner ses coordonnées dans cette base.    Les vecteurs v et z peuvent-ils former une base du plan ? Si oui, décomposer

   graphiquement le vecteur AB dans la base v , z et donner ses coordonnées

( )

( ) ( )

dans cette base. 
  Les vecteurs z et w peuvent-ils former une base du plan ? Si oui, décomposer 


 graphiquement le vecteur AB dans la base z , w et donner ses coordonnées

( )

dans cette base.

Exercice 10

 Dans un plan rapporté à un repère O ; i , j , on donne les coordonnées des

  


  
 vecteurs u , v , w et AB : u ( 2 ; 0 , v (1 ; 1 , w ( 2 ; –1 et AB( 2 ; –1 .  
Les vecteurs u et v peuvent-ils former une base du plan ? Si oui, décomposer,  

 par le calcul, le vecteur AB dans la base u , v en calculant ses coordonnées dans cette base. 
  Les vecteurs v et w peuvent-ils former une base du plan ? Si oui, décomposer, 


 par le calcul, le vecteur AB dans la base v , w en calculant ses coordonnées dans cette base.

)

(

)

)

)

)

( )

( )

Exercice 11

Dans un plan, on considère un parallélogramme non aplati ABCD et les points E

 7





 et F définis par : AE = AB et AF = 1, 75AD. 3




Exprimer DF en fonction de AD.



  Les vecteurs AB et AD peuvent-ils former une base du plan ? Si oui,

décomposer, le vecteur CF dans cette base.

 Décomposer, le vecteur EF dans la même base. Que peut-on en déduire pour les points C, E et F ?

Exercice 12

Dans un plan, on considère quatre points A, B, C et D non alignés et tels que :



 AB = 3CD.

Séquence 1 – MA12

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Construire le point E défini par : EA = 3EC.









 a) Les vecteurs AB et AC peuvent-ils former une base du plan ?





b) Si oui, décomposer, les vecteurs BD et BE dans cette base.  Qu’en déduit-on pour les points B, D et E ?

Exercice 13

Dans un plan, on considère trois points A, B et C non alignés, et le point E tel que

 1

 AE = AB. 3 La droite parallèle à (BC) passant par E coupe (AC) en F. Soit H le milieu du segment [EF] et K celui du segment [BC].




a) Pourquoi les vecteurs AB et AC peuvent-ils former une base du plan ?

b) Décomposer le vecteur EF dans cette base.







  a) Décomposer les vecteurs AH et AK dans la base AB , AC .

(

)

b) En déduire que les points A, H et K sont alignés.

Exercice 14

Dans un plan, on considère trois points A, B et C non alignés, et le point K tel que

 1

 AK = AC. 3 Soit E le milieu du segment [BC] et F celui du segment [AE].




a) Pourquoi les vecteurs AB et AC peuvent-ils former une base du plan ?

 b) Décomposer le vecteur AE dans cette base.



 a) Décomposer le vecteur BF dans cette même base.

b) En déduire que les points B, F et K sont alignés.

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Séquence 1 – MA12

4 A

Synthèse de la partie 2 de la séquence Vecteurs directeurs d’une droite 1. Direction de droite. Direction de vecteur

Définitions 1 et 2


On dit que deux droites ont même direction si et seulement si elles sont parallèles.


On dit que deux vecteurs non

nuls ont même direction si et seulement si ils sont colinéaires.

Propriété 1

Deux droites, non parallèles à l’axe des ordonnées, ont même direction si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. Deux droites parallèles à l’axe des ordonnées ont même direction.

Propriété 2

  Dans un repère (O, I, J) du plan, les vecteurs u (a ; b et v (c ; d seulement si ad = bc .

)

)

ont même direction si et

2. Vecteurs directeurs d’une droite Définition 3

 On dit qu’un vecteur non nul u est un vecteur directeur d’une droite d si et seulement si il est colinéaire à un vecteur défini à l’aide de deux points distincts de cette droite.

Séquence 1 – MA12

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Propriété 3

Dans un repère (O, I, J) du plan, si une droite (non parallèle à l’axe des ordonnées) a pour coefficient directeur m (donc une équation de la forme y = mx + p ), l’un de ses vecteurs directeurs est le vecteur u de coordonnées : u (1; m .

)

3. Vecteur directeur d’une droite et équation cartésienne de cette droite Propriété 4

 Dans un repère (O, I, J) du plan, une droite a pour vecteur directeur le vecteur u (a ; b si et

)

seulement si elle a une équation cartésienne de la forme bx − ay + c = 0, a et b n’étant pas nuls tous les deux et c étant un réel quelconque.

B

Décomposition d’un vecteur du plan 1. Décomposition d’un vecteur en fonction de deux vecteurs donnés

Propriété 5

A et D étant deux points donnés dans le plan et d1 et d2 deux droites non parallèles fixées, il n’y a qu’un seul parallélogramme ABDC tel que ( AB soit parallèle à d1 et ( AC à d2 (le parallélogramme est éventuellement aplati si B = A ou C = A).

)

)

Propriété 6

  Deux vecteurs non colinéaires u et v étant fixés, il n’y a qu’une seule façon de décomposer

   un vecteur w sous la forme : w = xu + yv où x et y sont deux nombres réels.

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Séquence 1 – MA12

Définition 4

  On dit que deux vecteurs non colinéaires u et v forment une base   u , v du plan.
 Lorsque l’on décompose, de façon unique, un vecteur w sous la forme :
   w = xu + yv on dit que les nombres x et y sont les coordonnées du
   vecteur w dans la base u , v .

( )

( )

2. Application dans le cas où l’on connaît les coordonnées des vecteurs dans un repère du plan Propriété 7

 Dans un repère O ; i , j du plan, on donne les coordonnées de deux   vecteurs non colinéaires u et v .
 Si l’on connait les coordonnées d’un vecteur w dans ce même repère, on
   peut déterminer par le calcul les coordonnées de w dans la base u , v .

(

)

( )

Séquence 1 – MA12

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5 Exercice I

Exercices d’approfondissement Dans un plan, on considère un parallélogramme non aplati ABCD et les points E, F, G et H définis par :

 3



 2









 AE = AB, AF = AD, DG = AE et BH = AF. 4 3




a) Pourquoi les vecteurs AB et AD peuvent-ils former une base du plan ?

 b) Décomposer le vecteur AH dans cette base. c) En déduire les coordonnées des points A, B, C, D, E, F, G et H dans le repère



 A ; AB, AD .

)

(

 Dans ce même repère, déterminer une équation cartésienne de la droite (AC),

puis de la droite (EH).  Démontrer que les droites (AC), (EH) et (FG) sont concourantes.

Exercice II

Dans un plan, on considère trois points A, B et C non alignés. Soit I le milieu du segment [BC], J celui du segment [CA] et K celui du segment [AB].




a) Pourquoi les vecteurs AB et AD peuvent-ils former une base du plan ? b) Déterminer les coordonnées des points A, B, C, I, J et K dans le repère



 A ; AB, AC .

)

(

 Dans ce même repère, déterminer une équation cartésienne de la droite (BJ).

En déduire les coordonnées du point d’intersection des droites (AI) et (BJ).  Démontrer que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes.

Énoncer la propriété géométrique démontrée dans cet exercice.

Exercice III

 Dans un repère O ; i , j du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont :

)

(

(

) (

)

(

)

A 1; 1, 5 , B 3 ; − 1 et C −1; − 3 . On pourra faire une figure.

2



1

 On appelle E, F et G les points définis respectivement par : BE = BC, CF = CA 5 3

 3

 et AG = AB. 4




a) Les vecteurs AB et AC peuvent-ils former une base du plan ?





 Si oui, décomposer, les vecteurs AE, AF, et AG dans cette base.



 b) En déduire les coordonnées des points E, F et G dans le repère A ; AB, AC .

(

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Séquence 1 – MA12

)

 Dans ce même repère, déterminer une équation cartésienne de la droite (AE),

puis de la droite (BF).  Démontrer que les droites (AE), (BF) et (CG) sont concourantes.

Exercice IV

 Dans un repère O ;  i , j du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont :

)

(

(

) (

)

)

(

A 1; 1, 5 , B 3 ; − 1 et C −1; − 3 . On pourra faire une figure.







 On appelle R et Q les points définis respectivement par : AR = − AB et AQ = a AC a étant un réel différent de ( −1 . Pour la figure éventuelle on fixera une valeur 2 pour a (par exemple a = ). 3




Les vecteurs AB et AC peuvent-ils former une base du plan ?



 Si oui, décomposer, les vecteurs AR et AQ dans cette base.



 En déduire les coordonnées des points R et Q dans le repère A ; AB, AC .

)

)

(

 Dans ce même repère, déterminer une équation cartésienne de la droite (RQ).

En déduire que le point P, point d’intersection des droites (BC) et (RQ), a pour coordonnées dans ce repère : 1− a 2a xP = et y P = . 1+ a 1+ a







 Soit M et N les points respectivement définis par : BM = CQ et AN = CP.



 Déterminer les coordonnées des points M et N dans le repère A ; AB, AC . Montrer que M, N et R sont alignés.

(

)

Séquence 1 – MA12

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e 3

partie

Un peu de logique Sommaire 1. Introduction – Mode d’emploi 2. Raisonnement et langage mathématiques

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Séquence 1 – MA12

1

Introduction Mode d’emploi

S

avoir argumenter, savoir raisonner logiquement et rédiger une démonstration sont des objectifs qui doivent être atteints en fin de Terminale S.

Ces capacités vont être acquises petit à petit, tout au long de ces deux années en section scientifique. Cette partie du manuel est donc différente des autres. Elle est là pour servir de référence. Vous pourrez vous y reporter pour vérifier l’utilisation dans un raisonnement de certains mots, de certaines expressions, pour revoir la forme d’un raisonnement. Nous vous conseillons de lire une première fois cette partie. Vous saurez ainsi quel est son contenu et ce que vous pouvez y trouver. Il est tout à fait normal de ne pas tout comprendre la première fois. Du temps et de la pratique sont nécessaires pour assimiler ce vocabulaire précis et ces éléments de logique qui sont à la base des raisonnements mathématiques. On donne quelques exemples, mais, bien sûr, le contenu de cette partie n’a d’intérêt que dans son utilisation consciente et même explicite pendant toute l’année, dans le contexte des raisonnements du cours ou dans les exercices. Vous y reviendrez de temps en temps quand vous en sentirez la nécessité ou quand le cours y fera référence. Vous serez peut-être un peu dérouté(e) au premier abord, mais, peu à peu, nous l’espérons, vous apprécierez la clarté et la rigueur qu’apportent aux raisonnements ces précisions du vocabulaire et de la logique. L’objectif est d’être assez à l’aise en fin d’année.

Séquence 1 – MA12

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2 A

Raisonnement et langage mathématiques Notations et langage 1. Notations Nous précisons ici le sens de trois notations.

 L’ensemble vide

■

Définition 1

L’ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l’ensemble vide, il est noté ∅ ou .

{}




Exemple 1

L’équation x 2 + 1 = 0 n’a aucune solution dans ». L’ensemble S des solutions de l’équation est l’ensemble vide et on écrit : S = ∅.

 Inclusion / appartenance

■

Les deux notions d’inclusion et d’appartenance sont proches, mais différentes. Considérons deux points distincts A et B, ainsi que la droite (AB) qu’ils définissent. Le point A est un élément de la droite (AB), on dit que le point A appartient à la droite (AB) et on écrit : A ∈( AB). Le segment [AB] est formé par des éléments de la droite (AB), c’est un ensemble d’éléments de la droite (AB), on dit que le segment [AB] est inclus dans la droite (AB) et on écrit : [ AB] ⊂ ( AB). Vocabulaire et notation

On dit qu’un élément x d’un ensemble E appartient à l’ensemble E, et on note x ∈E. On dit qu’un ensemble F formé par des éléments de l’ensemble E est un sousensemble de E, et on note F ⊂ E.

Remarque

Il existe des ensembles formés d’un seul élément. Prenons un exemple dans le cours de probabilité. On lance un dé cubique. L’ensemble des éventualités (c’est-à-dire l’ensemble des

{

}

résultats possibles) est 1, 2, 3, 4 , 5, 6 .

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Séquence 1 – MA12

« Obtenir un nombre pair » est un événement représenté par l’ensemble 2, 4 , 6 .

{

}

{ }

« Obtenir un multiple de 3 » est l’événement représenté par l’ensemble 3, 6 . « Obtenir un nombre pair et multiple de 3 » est l’événement représenté par l’ensemble 6 qui est l’intersection des deux événements précédents : 2, 4 , 6 ∩ 3, 6 = 6 .

{} } { } {}

{

L’intersection de deux ensembles est un ensemble, donc on distingue ici le résultat 6 et l’événement 6 qui est l’ensemble qui ne contient que la seule éventualité 6. On écrira donc :

{}

{

}

{} {

}

6 ∈ 1, 2, 3, 4 , 5, 6 mais 6 ⊂ 1, 2, 3, 4 , 5, 6 .

2. Avec les mots du langage courant Les raisonnements sont construits avec des mots. Il faut savoir que certains mots du langage courant sont employés en mathématiques dans un sens très précis, et donc un peu différent de l’usage habituel. Pour éviter les ambiguïtés éventuelles, nous précisons le sens mathématiques de quelques mots.

 Ou

■

Dans un restaurant, on peut lire « Menu à 15€ : entrée, plat du jour, fromage ou dessert ». On comprend que, pour 15€, il est exclu d’avoir droit à du fromage et à un dessert. Sur un site internet, on peut lire « si vous avez perdu votre login et/ou votre mot de passe… ». On comprend que la suite de la phrase concerne les malheureux internautes qui ont perdu au moins un de ces deux moyens d’identification. L’utilisation de « et/ou » permet donc d’inclure le cas où les deux situations sont réalisées simultanément. En mathématiques, le mot « ou » est toujours utilisé dans un sens inclusif, c’està-dire qu’il correspond à « et/ou » de l’usage courant. Le mot « ou » dans le menu du restaurant est utilisé dans un sens exclusif. En mathématiques, si on a besoin d’exclure la réalisation des deux possibilités à la fois, on dira, par exemple, « ou bien… , ou bien… ».

 Un : un seul, au moins un, tous !

■

Le mot « un(e) » possède plusieurs sens. Prenons l’exemple de la phrase « une hirondelle est revenue ». On peut vouloir dire qu’on a vu une seule hirondelle (« une » est alors un adjectif numéral, il correspond au nombre 1).

Séquence 1 – MA12

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Mais il s’agit peut-être de dire que le printemps est bientôt là, et il y a peut-être plusieurs hirondelles (« une » est alors un article indéfini, « une » correspond alors à « au moins une »). La propriété de Pythagore « dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés » peut aussi être énoncé en commençant par « quelque soit le triangle rectangle… » ou encore « dans tous les triangles rectangles… ». Ici, le mot « un » signifie « quelque soit », « tous ». Quand vraiment on veut dire « un » au sens de « exactement un » et que l’unicité est essentielle pour le raisonnement on le signifie clairement en mathématiques, par exemple par l’expression « un et un seul » ou « un unique ». Ces trois significations sont clairement différenciée dans l’enseignement supérieur par les notations :  (quelque soit), (il existe au moins un) et ! (il existe un et un seul). Au niveau du lycée, ces notations ne sont pas indispensables et nous ne les utiliserons pas. Le contexte permettra de repérer la signification implicite de « un » sans ambiguïté.

 Nécessaire

■

En mathématiques, le mot « nécessaire » a exactement la même signification que le mot « obligatoire » (c’est le sens de necessarius en latin). Il suffit quelquefois de remplacer mentalement le mot « nécessaire » par le mot « obligatoire » pour mieux comprendre certains raisonnements. « Il faut que… » et « il est nécessaire que… » ont le même sens, donc on peut remplacer « il faut que… » par « il est obligatoire que… ».

 Suffisant

■

Ce mot est très utile et son sens en mathématiques est celui qu’il a dans le langage courant. Attention : dans le langage courant, l’expression « il faut » est parfois employée avec le sens de « il suffit ». On évitera, bien sûr, cette confusion en mathématiques.

 Hypothèse

■

Le mot « hypothèse » est un mot employé en mathématiques depuis l’antiquité. Quand on parle d’hypothèse en mathématiques, on parle d’une donnée d’un raisonnement. C’est un point de départ et on construit un raisonnement logique à partir de ce point de départ. L’usage en sciences physiques est l’usage courant, le mot « hypothèse » a le sens de « supposition ». On cherche à interpréter des observations en construisant un modèle adapté et pour cela on fait des suppositions (des hypothèses). On regarde si les conséquences prévues par le modèle sont réalisées ou pas : on dit que l’on cherche à vérifier les hypothèses ... ce qui n’a pas de sens en mathématiques.

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Séquence 1 – MA12

Complément

Des chapitres très importants des mathématiques ont été crées en partant d’hypothèses parfois étonnantes. Quand une hypothèse est le point de départ d’une partie importante des mathématiques, on utilise plutôt le mot « axiome » ; par exemple, les axiomes d’Euclide sont à la base de la géométrie habituelle. Mais on peut partir d’un autre point de départ : l’axiome « étant donné une droite (D) et un point A extérieur à cette droite, il existe une infinité de droites parallèles à (D) passant par A » permet de construire une géométrie, dite noneuclidienne, cohérente et différente de celle adaptée à notre monde sensible. L’axiome « il existe un nombre dont le carré est égal à −1 » permet de construire un ensemble de nombres qui contient l’ensemble des nombres réels et qui est devenu indispensable aux mathématiciens. Et ces deux théories mathématiques sont très utilisées par … les physiciens ! En mathématiques, au lycée, on emploie un peu moins qu’avant le mot « hypothèse » pour éviter des confusions possibles avec l’utilisation différente qui est faite en sciences physiques.

B

Différents types de raisonnements 1. Implication, condition nécessaire, condition suffisante Pour illustrer le contenu de ce paragraphe, la propriété « si x = 2 alors x 2 = 4 » va servir d’exemple. Cette propriété est une propriété conditionnelle (elle commence par si…) qui peut être exprimée et utilisée de différentes façons : « si x = 2 alors x 2 = 4 », 2
« x = 2 implique x = 4 »,
quand on sait, par ce qui précède que x = 2, on peut continuer le raisonnement par « donc x 2 = 4 »,
« x = 2 ⇒ x 2 = 4 », 2
« x = 4 est une condition nécessaire (obligatoire) pour que x = 2 »,



«

Cas général

x = 2 est une condition suffisante pour que x 2 = 4 ».

Pour passer au cas général, on a besoin d’une définition.

Définition 2

On appelle « proposition » un énoncé qui peut être vrai ou faux. Quand une proposition est de la forme « si… alors… », on dit qu’il s’agit d’une proposition conditionnelle. Quand on sait qu’une proposition est vraie, on l’appellera aussi « propriété ».

Séquence 1 – MA12

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Définition 3

Soit A et B deux propositions telles que « A implique B » est vraie. On dit que B est une condition nécessaire pour que A soit vraie et A est une condition suffisante pour que B soit vraie.

2. Réciproque, contraposée d’une proposition conditionnelle


Exemple 2

Pour illustrer ce paragraphe, la propriété conditionnelle « si x = 2 alors x 2 = 4 » va encore servir d’exemple, cette propriété sera appelée P1. On va énoncer maintenant la proposition réciproque de P1 et la contraposée de P1. La proposition réciproque de P1 est « si x 2 = 4 alors x = 2 », cette proposition est fausse puisque si x 2 = 4 alors x = 2 ou x = −2. La proposition contraposée de P1 est « si x 2 ≠ 4 alors x ≠ 2 », cette proposition est vraie puisque, si la condition x 2 = 4 , qui est nécessaire (obligatoire) pour que x = 2, n’est pas remplie, alors x ne peut pas être égal à 2. Définition 4

Soit A et B deux propositions, on note nonA la négation (la proposition contraire) de A et nonB la négation de B. On considère la proposition P « A implique B » c’est-à-dire « si A est vraie alors B est vraie ». La proposition réciproque de P est « B implique A » c’est-à-dire « si B est vraie alors A est vraie ». La proposition contraposée de P est « nonB implique nonA » c’est-à-dire « si B est fausse alors A est fausse ».

Propriété 1

Une proposition conditionnelle et sa contraposée sont vraies en même temps : si l’une est vraie, l’autre est vraie aussi. Elles sont donc toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses.

Démonstration

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Si cette démonstration vous semble trop abstraite, il suffit d’avoir compris l’argumentation de l’exemple 2 ci-dessus et de l’exemple 3 ci-après.

Séquence 1 – MA12


Premier

cas : on considère une proposition conditionnelle P vraie « A implique B ». On va expliquer que la proposition contraposée P’ est vraie aussi, c’est-à-dire que l’on va expliquer que si la proposition B est fausse, alors la proposition A est nécessairement fausse. En effet, on sait que, quand la proposition A est vraie, la proposition B est obligatoirement vraie, donc si on suppose que la proposition B est fausse alors la proposition A ne peut pas être vraie, elle est donc fausse. On a bien justifié que la contraposée P’ est vraie aussi.


Deuxième

cas : on considère une proposition conditionnelle P , « A implique B », dont la contraposée P’ est vraie. On va expliquer que la proposition P, « A implique B », est vraie, sachant que « nonB implique nonA » est vraie, c’est-à-dire que si A est vraie, alors nonB est fausse (car alors nonA serait vraie ce qui est exclu). Or dire que nonB est fausse, c’est dire que B est vraie. Donc si A est vraie, alors B est vraie. On a bien justifié que la proposition P est vraie.


Les

propositions P et P’ sont donc toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses, car l’une ne peut pas être vraie et l’autre fausse.




Exemple 3

L’énoncé du théorème de Pythagore est « si le triangle ABC est rectangle en A alors AB2 + AC2 = BC2 ». La contraposée a pour énoncé : « si AB2 + AC2 ≠ BC2 alors le triangle ABC n’est pas rectangle en A ». L’implication du théorème est vraie donc sa contraposée aussi d’après la propriété 1 (ou par le raisonnement suivant : si on a AB2 + AC2 ≠ BC2 , alors le triangle ABC ne peut pas être rectangle en A car, alors, d’après le théorème de Pythagore l’égalité serait vraie). Dans les livres de collège, il est écrit que le théorème de Pythagore permet de démontrer deux types de résultats : des égalités entre la somme des carrés des côtés et le carré de l’hypoténuse dans les triangles que l’on sait être rectangles, et il permet aussi de démontrer que des triangles ne sont pas rectangles (en utilisant la propriété contraposée).

Remarque

Cet exemple est moins simple que l’exemple 2 car, ici, la réciproque est vraie et cela peut être source de confusion avec la contraposée.

3. Équivalences


Exemple 4

Pour illustrer le contenu de ce paragraphe, la propriété « x 2 = 4 équivaut à x = 2 » va servir d’exemple. Cette équivalence peut être exprimée de différentes façons (qui seront commentées ensuite) :


« x 2 = 4 équivaut à x = 2 ».

Séquence 1 – MA12

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«

x 2 = 4 ⇔ x = 2 ».


«

x 2 = 4 si et seulement si x = 2 ».


«

x 2 = 4 est une condition nécessaire et suffisante pour que x = 2 ».


«

x = 2 est une condition nécessaire et suffisante pour que x 2 = 4 ».


«

x = 2 c’est-à-dire x 2 = 4 ».


«

x = 2 soit x 2 = 4 ».

Définition 5

On dit que deux propositions A et B sont équivalentes lorsqu’elles sont vraies ou fausses en même temps. On note : A ⇔ B.

Commentaire

Quand deux propositions sont équivalentes, elles contiennent les mêmes informations, dites de deux façons différentes. Cela permet de rédiger en utilisant l’expression « c’est-à-dire » ou encore « soit ».

Remarque

Lorsque deux proposition A et B sont équivalentes, elles sont vraies ou fausses en même temps, donc si A est vraie alors B est vraie, et, si B est vraie A est vraie. L’équivalence A ⇔ B correspond donc aux deux implications vraies simultanément : « A implique B » et « B implique A ». Donc la proposition A est simultanément une condition nécessaire et une condition suffisante pour que la proposition B soit vraie, comme on l’a écrit plus haut dans l’exemple 4. De même l’équivalence A ⇔ B peut s’écrire « A est vraie si et seulement si B est vraie » car « A est vraie seulement si B est vraie » correspond à « A implique B » et « A est vraie si B est vraie » correspond à « B implique A ».

Propriété 2

Une proposition conditionnelle et sa contraposée sont équivalentes.

Démonstration

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On a vu dans la propriété 1 qu’une proposition conditionnelle et sa contraposée sont vraies ou fausses en même temps.

Séquence 1 – MA12

4. Différents types de raisonnements  Raisonnement déductif

■

Il correspond à une implication, ou à une succession d’implications : on a... donc... alors... (on peut avoir l’image mentale d’une cascade). En partant des données, des hypothèses, on arrive ainsi à démontrer une nouvelle propriété.

 Raisonnement par équivalences

■

On utilise le raisonnement par équivalences pour transformer le problème que l’on doit étudier en un problème plus facile à résoudre, en particulier pour :
résoudre
pour

des équations ou des inéquations,

chercher des ensembles de points,


étudier

des propriétés caractéristiques (plutôt en terminale).

On peut être tenté d’utiliser les équivalences de façon inadaptée. Or, bien souvent, c’est un simple raisonnement déductif qui convient : c’est le cas chaque fois que l’on pense « donc ».

 Raisonnement par l’absurde

■

Pour démontrer une propriété « P » le raisonnement par l’absurde consiste à prendre comme hypothèse, comme donnée, « nonP », la proposition contraire de « P ». Le raisonnement que l’on construit ensuite aboutit à une contradiction, une impossibilité. Donc le point de départ ne peut pas être vrai, « nonP » n’est pas vraie, donc « P » est vraie.


Exemple 5 Solution

Démontrer par l’absurde que

2 est un nombre irrationnel.

On part de l’hypothèse que 2 n’est pas un nombre irrationnel, c’est-à-dire que 2 est un nombre rationnel. Cela signifie qu’on peut écrire 2 sous forme d’une fraction irréductible : p 2 = , où p et q sont des entiers naturels non nuls. q p2 En élevant au carré, on obtient l’égalité 2 = 2 , d’où 2q 2 = p 2 . Donc p 2 est un q nombre pair, donc p est aussi un nombre pair (propriété d’arithmétique) et on peut écrire p = 2p ', où p’ est un nombre entier. L’égalité 2q 2 = p 2 devient 2q 2 = (2p ')2 , donc 2q 2 = 4 p '2 et donc q 2 = 2p '2 . Comme on l’a fait pour p, on obtient que q est un nombre pair. On a donc obtenu que les entiers p et q sont tous les deux des nombres pairs ce qui est

Séquence 1 – MA12

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p est irréductible. q Cette contradiction prouve que la donnée de départ du raisonnement est fausse,

impossible puisqu’on a supposé au départ que la fraction

donc la propriété vraie est « 2 est un nombre irrationnel ».

 Raisonnement par disjonction des cas

■

Pour prouver une propriété, on peut être amené à étudier les différents cas séparément. Par exemple, pour montrer qu’une propriété est vraie pour tous les entiers naturels, on peut d’abord démontrer qu’elle est vraie pour tous les entiers pairs, puis démontrer ensuite qu’elle est vraie pour tous les entiers impairs.

 Raisonnement par contraposition

■

La contraposition intervient dans deux types de raisonnements. Comme on l’a vu avec l’exemple du théorème de Pythagore, on peut utiliser dans une démonstration la propriété contraposée d’un théorème qui s’énonce sous la forme d’une implication « si… alors… ». On peut aussi utiliser la propriété 2. Dans un exercice, si on demande de démontrer une implication, on peut choisir de démontrer la contraposée puisque ce sont deux propositions vraies ou fausses en même temps. C’est plutôt en terminale qu’on pourra trouver de telles situations.

 Raisonnement par utilisation d’un contre-exemple

■

Pour démontrer qu’une propriété universelle (c’est-à-dire qui est énoncée pour tout réel x, ou pour tout entier n, ou pour tout point M…) est fausse, on donne un cas particulier qui la met en défaut.


Exemple 6

Sur votre calculatrice, faites apparaître la courbe représentative de la fonction f définie sur » par :

f ( x ) = x 3 + 50 x 2 + 1. On peut penser que, pour tout réel x, on a f ( x ) > 0. Démontrer que c’est faux. Solution

On choisit une valeur particulière de x, par exemple x = −51. Comme on a f ( −51) = ( −51)3 + 50( −51)2 + 1 = ( −51+ 50 )( −51)2 + 1 = −( −51)2 + 1 on en déduit que f ( −51) < 0. On peut donc dire que la propriété « pour tout réel x, f ( x ) > 0 » est fausse. ■

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