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AL2 – Vecteurs - Cours et exercices d’autonomie -
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs
AL2 - Vecteurs - Cours -
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs
1 VECTEURS 1.1 1.2
3
CADRE MATHEMATIQUE DEFINITIONS ASSOCIEES ET PROPRIETES
3 7
2 CALCUL VECTORIEL ET APPLICATIONS 2.1 2.2 2.3
PRODUIT SCALAIRE PRODUIT VECTORIEL APPLICATIONS GEOMETRIQUES
10 10 11 14
3 CHAMPS ET OPERATEURS 3.1 3.2
15
DEFINITIONS OPERATEURS DIFFERENTIELS DU 1ER ORDRE
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15 15
Mathématiques – AL2 - Vecteurs
1 Vecteurs Pour repérer la position d’un point sur une carte, nous devons la munir d’une origine et d’un système de coordonnées ; il en est de même si on veut caractériser un déplacement d’un point vers un autre (mis à part que cette fois la position de l’origine est une donnée superflue) : la notion de vecteur a été créée pour cela (deux pas vers l’est, cinq pas vers le sud…). « Naturellement », on a été conduit à introduire les notions de matrices dans le cadre des calculs de changements de base. Elles ont ensuite été utilisées lorsqu’on a abordé des opérateurs travaillant dans l’espace à trois dimensions, puis étendues à n dimensions par exemple dans les calculs aux éléments finis. En sciences et techniques de l’ingénieur vous utiliserez fréquemment ces outils mathématiques, par exemple * en mécanique : - changements de repère, - étude du mouvement d’un point dans l’espace, des forces… * en électricité : - diagrammes de Fresnel, étude des quadripôles électriques, - détermination de la force produite par un champ magnétique… Dans ce chapitre on sera amené à travailler dans un espace à deux dimensions (classiquement : un plan) ou trois (notre espace physique). Dans ces espaces, nous aurons besoin pour nous repérer d’autant de coordonnées qu’il y a de dimensions. Aussi souvent que possible, des définitions, résultats ou calculs généraux seront illustrés par des schémas en deux ou trois dimensions. Nous travaillerons avec deux types d’objets : des vecteurs (assimilables à des listes de nombres réels) et des nombres réels seuls (que nous nommerons aussi « scalaires »)
1.1 Cadre mathématique 1.1.1 Bipoint Soit deux points A et B. Le bipoint (A, B) est le couple formé de ces deux points (le terme couple contient la notion d’ordre). Dans le bipoint (A, B) A est l’origine, B est l’extrémité. Soit quatre points A, B, C et D coplanaires. Dire que les bipoints (A, B) et (C, D) sont équipollents, c’est dire que les milieux des segments [AD] et [BC] sont confondus. B D M
On a alors : AB = CD ; AC = BD ; (AB)//(CD) ; (AC)//(BD) ABDC est ainsi un parallélogramme
A C
Cette définition est intuitive et fait appel au bon sens géométrique, en deux ou trois dimensions.
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs 1.1.2 Segment On appelle segment [A, B] l’ensemble des points de la droite (AB) situés entre A et B. La droite (AB) est automatiquement munie de deux sens : « de A vers B » et « de B vers A », et il existe ce qu’on nomme des segments orientés : par exemple AB , ensemble des points du segment, orienté de A vers B. 1.1.3 Vecteur « Définition géométrique » La définition de Vecteur (du latin vector venant de vehere, transporter) : Dans le plan ou l’espace, on nomme vecteur AB l’ensemble de tous les bipoints équipollents au bipoint (A, B). Le vecteur AB ne représente donc pas une position, mais un déplacement (à partir de n’importe quelle origine) : Une distance : AB ; Une direction : orientation de la droite (AB) dans l’espace ; Un sens : de A vers B. AB
×B
AB
A× AB
AB
AB
A partir de maintenant, il devient indispensable de relier la notion de vecteur à celle de coordonnées : un déplacement est quantifiable si tant est que l’on ait un « quadrillage » de notre espace par des séries d’axes parallèles, orientés et munis d’une échelle. Définition générale : Un vecteur, que l’on notera d’une manière générale u , se définit par une liste ordonnée de nombres réels, appelés coordonnées du vecteur :
u1 u2 u = . . Le nombre n est la dimension du vecteur. . u n
x x Dans le plan, en dimension 2, on notera u = , et dans l’espace, de dimension 3, u = y . y z
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs 1.1.4 Espace Vectoriel de dimension n Ensemble E de tous les vecteurs d’une dimension n fixée, muni d’une loi de composition interne (addition vectorielle, notée +) qui en fait un groupe commutatif et d’une loi de composition externe (produit d’un vecteur par un scalaire, notée . ou ×) qui associe à un nombre réel a et à un élément u de E le vecteur a .u , élément de E encore. * Addition vectorielle :
u1 v1 u1 + v1 u v u +v 2 2 2 2 Soit u = et v = , alors u + v = . . . un vn un + vn 0 0 Elément neutre : le vecteur nul 0 = : u + 0 = u . 0 Dans des domaines physiques, la somme de plusieurs vecteurs porte le nom de résultante. * Produit d’un vecteur par un scalaire (nombre réel ici) : Du latin scala : échelle
a × u1 u1 u a × u2 2 Soit u = et un réel a, alors a.u = ... . ... un a×u n On s’autorisera écrire ce produit a × u ou même au . Propriétés immédiates : Quels que soient les réels a et b et quels que soient les vecteurs u et v de E,
a ( bu ) = ( ab ) u ( a + b ) u = au + bu
a ( u + v ) = au + av 1.u = u
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs 1.1.5 Base dans un Espace Vectoriel de dimension n 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 Les vecteurs , , , ..., forment dans E ce qu’on appelle une base : 0 0 0 ... ... ... ... 0 0 0 0 1 ensemble de n vecteurs de E dans lequel tout vecteur u peut se décomposer de manière unique en une somme de n composantes : 1.
1 0 0 0 u1 0 1 0 0 u 2 0 0 1 0 u = . = u1 . + u2 . + u3 . + ... + un . . 0 0 0 ... . ... ... ... 0 u n 0 0 0 1
( )
En dimension 2, une base du plan est i, j avec 1 0 5 i = et j = . Le vecteur u = s’écrit 0 1 −2 dans cette base comme une somme unique de ses deux composantes : u = 5i − 2 j .
(
)
En dimension 3, une base de l’espace est i, j , k avec
1 0 0 i = 0 , j = 1 et k = 0 . 0 0 1 4 Le vecteur u = 5 s’écrit dans cette base comme 2 une somme unique de ses trois composantes : u = 4i + 5 j + 2k .
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs 1.1.6 Repère Dans un espace physique, il est nécessaire de repérer les positions d’objets fixes. On choisira donc arbitrairement un point origine O (dont on décidera que toutes les coordonnées valent 0) puis une base de vecteurs. La liste (origine, base) est nommée repère et permet d’attribuer à tout point M de l’espace une liste unique de coordonnées, puisque ce seront celles, par définition, du vecteur OM .
1.2 Définitions associées et propriétés 1.2.1 Relation de Chasles * Soit, dans un repère, trois points A, B et C. Alors on a :
2.
AB + BC = AC Relation de Chasles
En effet dans notre espace physique un vecteur exprime un déplacement. « Se déplacer de A vers B puis de B vers C », c’est « se déplacer de A vers C ». L’addition vectorielle est un cumul de déplacements. xB − x A * Une conséquence de la relation de Chasles en dimension 3 : AB = yB − y A z −z 3. B A
− x A xB xB − x A En effet, grâce à la relation de Chasles : AB = AO + OB = −y A + yB = yB − y A −z z z − z A B B A * On démontre aisément que l’addition vectorielle : - est commutative : OA + AB = AB + OA
(
) (
)
- est associative : OA + AB + BC = OA + AB + BC - possède un élément neutre : OA + 0 = OA - permet d’exprimer l’opposé d’un vecteur : Dire que v est l’opposé de u , c’est dire que u + v = 0 . On notera donc - u l’opposé de u Les coordonnées de - u sont alors les opposées de celles de u . et on aura également : − AB = BA et 0 = AA . On définit donc aussi la soustraction vectorielle : u − v = u + ( −v ) .
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−u1 −u2 −u = : −u n
Mathématiques – AL2 - Vecteurs 1.2.2 Norme d’un vecteur
u = u12 + u22 + ... + un2
Par définition, c’est la moyenne quadratique de ses coordonnées : Remarques : - Il en découle que a.u = a × u et que 0 = 0 .
- Dans un espace de dimension n quelconque, la distance AB est par définition la norme du vecteur AB . Pour n = 3 : AB = AB =
( xB − xA ) + ( yB − yA ) + ( zB − zA ) 2
2
2
- On appelle module le résultat d’un tel calcul (norme = module d’un vecteur, module d’un nombre complexe, valeur absolue = module d’un réel). - Dans un plan muni d’un repère à angles droits, la distance AB devient la longueur du segment [AB] (théorème de Pythagore). - déf : une base normée contient uniquement des vecteurs de norme 1 (ce qui est le cas dans les bases présentées au-dessus).
1.2.3 Colinéarité 4. Dire que deux vecteurs
u et v sont colinéaires ,
c’est dire qu’il existe un réel a non nul tel que v = a.u
Cette définition introduit la notion de parallélisme d’objets dans un espace et définit dans un plan ou dans l’espace une direction par la connaissance d’un vecteur directeur dont tous les multiples sont portés par des droites parallèles (dire que deux droites ont même direction, c’est dire qu’elles sont parallèles). Cette notion de parallélisme est donc propre à (c’est une propriété de) la proportionnalité des coordonnées de deux vecteurs.
−2 6 * Exemple : u = 1, 5 et v = −4, 5 1 −3 sont colinéaires (donc de même direction) car v = −3u . On l’a visualisé en 1.1.4, dans le plan : le produit d’un vecteur par un réel est un vecteur de même direction que le premier. Attention, il n’est pas forcément de même sens : v = a.u et u sont de sens contraires ssi a < 0.
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs 1.2.4 Coplanarité Dans un espace à trois dimensions au moins, on énonce la condition nécessaire et suffisante pour que trois vecteurs représentent une seule et unique direction planaire (dimension 2) : 5.
Dire que trois vecteurs u , v et w sont coplanaires , c’est dire qu’il existe un couple (unique, d’ailleurs) (a, b) de réels non tous nuls tels que w = a.u + b.v .
w est ce qu’on nomme une combinaison linéaire de u et de v . Au vu de la définition d’une base : a et b sont les coordonnées du vecteur w dans la base ( u , v ) .
w = −3u + 2v v u
6.
Deux vecteurs non nuls forment une base du plan ssi ils ne sont pas colinéaires Trois vecteurs non nuls forment une base de l’espace (n = 3) ssi ils ne sont pas coplanaires.
1.2.5 Vecteurs et parallélogrammes Dire que ABCD est un parallélogramme, c’est dire, par définition, que AB = DC . Conséquence : les quatre points A, B, C et D sont coplanaires. Propriétés : - Diagonales : AB + AD = AC et on rappelle que AD − AB = BD - Centre : Si I est le milieu de [BD], alors il est aussi celui de [AC]. Justification : d’une part, AB + AD = AC par définition du point C ; d’autre part, AB + AD = AI + IB + AI + ID = 2AI car I est le milieu de [BD] ; donc AC = 2AI : I est le milieu de [AC]. I est appelé centre du parallélogramme.
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C B I D A
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2 Calcul vectoriel et applications 2.1 Produit scalaire Il s’agit d’une opération entre deux vecteurs, notée , renvoyant un scalaire comme résultat. 2.1.1 Définition Soit deux vecteurs u et v de coordonnées (ui)1≤i≤n et (vi)1≤i≤n. 7.
Leur produit scalaire est le nombre réel :
u ⋅v =
i=n
∑uv i =1
i
i
Remarque : On définit aussi la norme d’un vecteur comme étant le nombre réel positif :
u =
u ⋅u
Lois de calcul avec le produit scalaire:
u ⋅ v = v ⋅u
;
u ⋅ ( a.v ) = ( a.u ) ⋅ v = a × ( u ⋅ v )
Attention :
;
(u + v ) ⋅ w = u ⋅ w+ v ⋅ w ;
0⋅u = 0
( u ⋅ v ) .w ≠ ( v ⋅ w) .u ≠ ( u ⋅ w) .v
2.1.2 Orthogonalité Dire que deux vecteurs sont orthogonaux, c’est dire que leur produit scalaire est nul. 8.
u ⊥ v ⇔ u ⋅v = 0
Base orthonormée : 1 0 0 Les vecteurs , 0 : 0
0 1 0 , 0 : 0
0 0 1 , ..., 0 : 0
0 0 0 forment dans E une base orthonormée : : 0 1
Base : Tout vecteur se décompose de manière unique selon ces n vecteurs, Orthogonale : leurs produits scalaires deux à deux sont nuls, Normée : leur norme vaut 1.
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs 2.1.3 Angle de vecteurs Le produit scalaire nous permet de déterminer l’angle géométrique entre deux vecteurs, qui
( )
définissent un plan que nous munirons d’une base orthonormée i, j
à angle droit, où
u1 v1 1 0 i = et j = . Soit dans cette base les deux vecteurs u = et v = . 0 1 u2 v2 9.
Leurs modules sont : ρu = u = u12 + u22 et ρv = v = v12 + v22
( )
Leurs arguments sont : θu = ( i , u ) et θv = i , v
v = ρv .cos θv u = ρu .cos θu et 1 , donc : On a : 1 v2 = ρv .sin θv u2 = ρu .sin θu u ⋅ v = ρu cos θu .ρv cos θv + ρu sin θu .ρv sin θv = ρu ρv ( cos θu .cos θv + sin θu .sin θv ) = ρu ρv cos (θv − θu )
En notant ϕ l’angle ( u , v ) , nous obtenons :
u ⋅ v = u × v × cos ϕ
De cette expression, on déduit immédiatement : * Inégalité de Schwarz : ( u ⋅ v ) ≤ ( u ⋅ u ) × ( v ⋅ v ) 2
( )
* Critère d’orthogonalité : (angle droit… si i, j est aussi à angle droit !)
u ⊥v
⇔
u ⋅v = 0
⇔
cos ϕ = 0
⇔
ϕ=
π [ π] 2
2.2 Produit vectoriel Il s’agit d’une opération entre deux vecteurs, notée ∧ , renvoyant un vecteur comme résultat. 2.2.1 Définition Le produit vectoriel de deux vecteurs, en dimension 3, est le vecteur : 10.
u2v3 − u3v2 w = u ∧ v = u3v1 − u1v3 u v −u v 1 2 2 1
(
)
Propriété : dans toute base i , j , k ,
i ∧ j = k,
j ∧k = i, k ∧i = j
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs Cette formulation n’est pas très aisée à retenir ! Voici un moyen mnémotechnique pour réaliser cette opération : 1. Répéter la 1ère ligne des coordonnées sous la 3ème ligne 2. La 1re coordonnée du résultat est le déterminant formé par les coordonnées 2 et 3 3. La 2de coordonnée du résultat est le déterminant formé par les coordonnées 3 et 1 4. La 3ème coordonnée du résultat est le déterminant formé par les coordonnées 1 et 2 Exemples : 11.
−1 5 2 1 −1 ∧ 3 = 5 2 5 2 2 2 1 −1
3 2 −1 × 2 − 5 × 3 −17 2 = 5×1 − 2 × 2 = 1 1 7 2 × 3 − ( − 1 ) × 1 1 3
2.2.2 Colinéarité Dire que deux vecteurs sont colinéaires, c’est dire que leur produit vectoriel est nul. 12.
u / /v ⇔ u ∧ v = 0
2.2.3 Base directe Une base ( u , v , w ) de l’espace est dite directe, par convention, lorsque ses trois vecteurs respectent la « règle des trois doigts » de la main droite ( u pour le pouce, v pour l’index, w pour le majeur). Soit deux vecteurs u et v , non colinéaires, d’un espace vectoriel E de dimension 3.
(
)
Dans une base directe i , j , k , l’orientation du système ( u , v , u ∧ v ) est directe.
(
)
Dans une base indirecte i , j , k , l’orientation du système ( u , v , u ∧ v ) est indirecte.
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs 2.2.4 Propriétés géométriques du produit vectoriel
x x′ 0 Soit deux vecteurs dans un plan i, j : u = y , v = y′ . On a : w = u ∧ v = 0 0 0 xy′ − x′y Une relation en découle : Utilisons les coordonnées polaires de u et v . u ∧ v = w = 4k 13. ρ cos θ ρ ′ cos θ ′ ′ u = ρ sin θ , v = ρ sin θ ′ 0 v = 1, 5i + 2 j 0 u = 2i 0 u ∧v = 0 ρρ ′ cos θ sin θ ′ − ρρ ′ sin θ cos θ ′
( )
0 0 ′ 0 0 = ρρ ′ = ρρ sin θ ′ cos θ − cos θ ′ sin θ sin (θ ′ − θ ) Nous déduisons la relation suivante pour calculer le module du produit vectoriel :
u ∧ v = u × v × sin ϕ On admettra que dans tous les cas le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires est orthogonal au plan défini par ces deux vecteurs.
Lois de calcul avec le produit vectoriel :
u ∧ ( a.v ) = ( a.u ) ∧ v = a. ( u ∧ v ) ; v ∧ u = − ( u ∧ v ) u ⋅ (u ∧ v ) = v ⋅ (u ∧ v ) = 0
le produit vectoriel de deux vecteurs est orthogonal à chacun d’eux. En reprenant la formule du produit scalaire vous pourrez retrouver l’identité de Lagrange :
u ∧ v + (u ⋅ v ) = u 2
2
2
v
2
2.2.5 Produit mixte Le produit mixte de trois vecteurs u , v , et w est le réel ( u ∧ v ) ⋅ w .
Trois vecteurs non nuls sont coplanaires ssi leur produit mixte est nul.
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs
2.3 Applications géométriques Aire du parallélogramme B
Trois points A, B, C de l’espace de coordonnées connues définissent le parallélogramme ABDC par l’intermédiaire des vecteurs AB et AC . A
(
14.
D
C
H
)
L’aire de ABDC vaut AC×BH, donc AC×AB×|sin AC , AB |, c’est à dire AB ∧ AC . Aire du triangle L’aire du triangle ABC se calcule donc par
1 AB ∧ AC . 2
Volume du parallélépipède Soit le parallélépipède de bases parallèles et isométriques ABDC et SB’D’C’ telles que AS = BB′ = CC′ = DD′ .
B’
AC ∧ AB S
La hauteur de ce volume se mesure orthogonalement au plan (ABC) – direction représentée par le vecteur unitaire k de la
(
)
D’
C’ B
D
k
figure ci-dessous - et vaut : AS×|cos AS, k |,
A
c’est à dire AS ⋅ k .
C
On remarque ensuite que AB ∧ AC et k sont colinéaires.
(
)
Alors son volume est la valeur absolue du produit mixte AB ∧ AC ⋅ AS
Volume de la pyramide S forme avec le parallélogramme ABDC une pyramide. Trois pyramides de même volume, dont SABDC, remplissent exactement notre parallélépipède. 1 Ainsi, le volume de la pyramide SABDC est : AB ∧ AC ⋅ AS 3
(
)
Volume du tétraèdre Soit le tétraèdre de base le triangle ABC et de sommet S. Son volume est
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(
)
1 AB ∧ AC ⋅ AS 6
Mathématiques – AL2 - Vecteurs
3 Champs et opérateurs 3.1 Définitions 3.1.1 Champ scalaire : fonction de points Etant donné un point M de coordonnées x, y et z dans un espace à trois dimensions, on peut définir une fonction scalaire f des trois variables qui sont les coordonnées de M. On pourra l’écrire : f (M) = f ( x, y, z ) Exemple : potentiel électrique en un point de l’espace : fonction de la position de ce point. 3.1.2 Champ vectoriel : coordonnées fonctions de points Etant donné un point M de coordonnées x, y et z dans un espace à trois dimensions, on peut définir trois fonctions scalaires P, Q, R des trois variables x, y et z. Ces trois fonctions sont les trois coordonnées d’un vecteur V au point M. P ( x, y , z ) On pourra l’écrire : V (M) = Q ( x, y, z ) R ( x, y , z ) Exemple : champ électrique en un point : vecteur dont les coordonnées sont des fonctions de la position de ce point.
3.2 Opérateurs différentiels du 1er ordre 3.2.1 L’opérateur nabla L’opérateur nabla, noté ∇ , est un opérateur de dérivation partielle applicable « sous forme vectorielle ». En dimension 3, il se note : ∂ ∂x ∇= ∂ ∂y ∂ ∂z
Attention : ce n’est pas un vecteur ! (à titre de comparaison, l’opérateur somme
∑
n’est pas un nombre)
L’opérateur nabla est un objet mathématique qui va agir – par dérivation – sur l’objet que l’on placera à sa droite (à l’instar de ∑ , qui additionne les termes que l’on écrira à sa droite)
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs 3.2.2 Gradient d’une fonction d’un point Soit un champ scalaire : une fonction f de trois variables, définie et différentiable en un point M. On définit le vecteur gradient de f en M : 15.
grad f ( M0 ) =
∂f ∂f ∂f ( x0 , y0 , z0 ) .i + ( x0 , y0 , z0 ) . j + ( x0 , y0 , z0 ) .k ∂x ∂y ∂z
L’opérateur « gradient » s’applique à un scalaire. Son résultat est un vecteur. exemple : en électrostatique, on a : E (M ) = − grad V (M ) Règles de calculs que vous démontrerez à titre d’exercice :
grad ( f1 + f2 ) = grad ( f1 ) + grad ( f2 ) ; grad ( λ f ) = λ.grad ( f ) ∀λ ∈ ℝ grad ( f1 f2 ) = f2 .grad ( f1 ) + f1 .grad ( f2 ) U = U 1 + Cste ⇔ grad (U ) = grad (U1 ) exemples
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs 3.2.3 Divergent d’un vecteur fonction d’un point Soit un champ vectoriel : V , dont les coordonnées sont définies et différentiables en un point M. On définit le divergent (ou la divergence) de V en M : 16.
L’opérateur « divergent » s’applique à un vecteur. Son résultat est un scalaire. Règles de calculs que vous démontrerez à titre d’exercice :
( ) ( ) ( ) ; div ( f .V ) = f .div ( V ) + grad ( f ) ⋅ V div V1 + V2 = div V1 + div V2
( )
( )
div λ .V = λ .div V
exemples
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∀λ ∈ ℝ
Mathématiques – AL2 - Vecteurs 3.2.4 Rotationnel d’un vecteur fonction d’un point Soit un champ vectoriel : V , dont les coordonnées sont définies et différentiables en un point M. On définit le vecteur rotationnel de V en M : 17.
L’opérateur « rotationnel » s’applique à un vecteur. Son résultat est un vecteur. Règles de calculs que vous démontrerez à titre d’exercice :
( ) ( ) ( ) ; rot ( λ V ) = λ rot ( V ) rot ( f V ) = f rot ( V ) + grad ( f ) ∧ V div ( V ∧ V ) = V ⋅ rot ( V ) − V ⋅ rot ( V ) ; div ( rot ( V ) ) = 0 rot V1 + V2 = rot V1 + rot V2
1
2
2
1
1
2
exemples
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(
; rot grad ( f
)) = 0
Mathématiques – AL2 - Vecteurs
AL2 - Vecteurs Séance d’autonomie - Exercices -
Page 1 sur 6 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs
1 Calcul vectoriel 1.1 Coordonnées, norme
(
)
Dans un espace à trois dimensions, soit un repère orthonormé O; i , j , k .
1 0 1 −1 0 −1 Considérons les points suivants : A 1 , B 1 , C 0 , D −1 , E −1 , F 0 0 1 1 3 −1 −2 1.1.1 Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants
OA
OB
AB
CA
BC
BD
AD
EC
ED
1.1.2 Calculer la norme (ou module) des vecteurs suivants
OA
BD
AD
1.2 Décomposition, repérage 1.2.1 Faire une lecture graphique des coordonnées des vecteurs u , v et w .
a.
c.
b.
d.
Page 2 sur 6 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie – Rev 2014
AE
Mathématiques – AL2 - Vecteurs 1.2.2 Décomposer les vecteurs u dans les bases données
a.
b.
c.
d.
1.3 Produit scalaire 1.3.1 Calculer les produits scalaires suivants (relativement aux points définis en 1.1) a. CA ⋅ BC
b. BD ⋅ AD
c. BC ⋅ EC
1.3.2 Déterminer, dans le plan, les vecteurs orthogonaux aux vecteurs suivants : 2 a. OA = 5 1.3.3
1 b. X = −6
x c. u = y
0 1 d. OA = 2 et OB = 0 5 1
Calculer l’angle entre les vecteurs suivants
1 −1 a. OA = , OB = −1 1
2 4 b. u = , v = 3 −5
1 −2 d. OA = 2 , OB = 2 3 1
0 1 e. u = 2 , v = 0 5 1
6 + 2 3 c. u = , v = 6 − 2 −1
Page 3 sur 6 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs
1.4 Produit vectoriel 1.4.1 Calculer les produits vectoriels entre les vecteurs donnés, dans cet ordre :
1 −1 a. OA = −1 , OB = 1 0 0
2 4 b. u = 3 , v = −5 0 0
1 −2 c. X = 2 ,Y = 2 3 1
1 x d. AB = 2 , CD = y −1 z
1.4.2 Déterminer les vecteurs orthogonaux aux vecteurs suivants :
2 a. OA = et dans le plan xOy 5 0 1 c. OA = 2 , OB = 0 5 1
x b. u = et dans le plan xOy y 1 d. u = 2 3
1.5 Applications géométriques
(
)
Dans un espace à trois dimensions, soit un repère orthonormé O; i , j , k .
1 0 1 3 0 Considérons les points suivants : A 1 , B 1 , C 0 , D 1 , E 4 0 1 1 2 −1
Page 4 sur 6 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs 1.5.1 Angles a. Calculer l’angle BAC puis l’angle BAE b. Calculer l’angle CAE. Remarque ? 1.5.2 Coplanarité Vérifier, par deux produits mixtes différents, que les points A, B, C et E ne sont pas coplanaires. 1.5.3 Aires a. Calculer l’aire du triangle ABC b. Calculer l’aire du triangle DCE 1.5.4 Volumes a. Calculer le volume du tétraèdre DABE b. Calculer le volume de la zone située entre le triangle ABC et le plan quadrillé (en imaginant une projection orthogonale de ce triangle sur ce plan).
2 Opérateurs différentiels 2.1 Gradient 2.1.1 Démontrer les formules suivantes a. grad (U 1 + U 2 ) = grad (U 1 ) + grad (U 2 ) avec U1 et U2 fonctions de x, y, z b. grad ( λU ) = λ.grad (U ) avec U fonction de x, y, z et λ constante réelle c. grad (U1U2 ) = U1.grad (U2 ) + U2.grad (U1 ) avec U1 et U2 fonctions de x, y, z 2.1.2 Calculer les gradients des fonctions proposées a. U(M) = x + y + z b. f (M) = c. f (M) =
x2 + y 2 + z 2 xy 2 z
2.2 Divergent 2.2.1 Démontrer les formules suivantes
(
)
( )
( )
a. div V + W = div V + div W
Vx ( x, y, z ) Wx ( x, y, z ) avec V = Vy ( x, y, z ) et W = Wy ( x, y, z ) V ( x, y , z ) W ( x, y , z ) z z
( ) ( ) avec λ ∈ ℝ c. div ( f V ) = f div ( V ) + grad ( f ) ⋅ V b. div λ V = λ div V
Page 5 sur 6 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs 2.2.2 L’écoulement d’un fluide soumis à certaines conditions est modélisé en chaque point x3 y − z M(x, y, z) de l’espace par son champ de vecteurs vitesses : V (M) = z 2 + y 2 − x . yz − z 1) a. Déterminer le vecteur vitesse V ( A ) où A est le point (-1, 1, 2). b. Déterminer la valeur de la vitesse en ce point, donc la norme du vecteur V ( A ) .
(
)
2) a. Donner, en fonction des variables, l’expression de div V ( M) . b. Montrer que ce divergent vaut 5 au point A. c. Etablir une relation nécessaire entre les variables x et y pour que le divergent prenne la valeur 5. d. Représenter graphiquement l’ensemble D5 des points de l’espace physique de dimension 3, en lesquels le divergent vaut 5.
2.3 Rotationnel 2.3.1 Démontrer la formule suivante
( )
( )
rot f V = f .rot V + grad ( f ) ∧ V 2.3.2 Calculer les rotationnels des vecteurs donnés
x3 y − z a. V (M) = z 2 + y 2 − x yz − z
x − y − z b. V (M) = y − x − z z − x− y
y2 z 2 xy c. V (M) = z 2 − xy 2 z
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs
AL2 - Vecteurs Séance d’autonomie - Corrigés des exercices -
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs
1 Calcul vectoriel 1.1 Coordonnées, norme
(
)
Dans un espace à trois dimensions, soit un repère orthonormé O; i , j , k .
1 0 1 −1 0 −1 Considérons les points suivants : A 1 , B 1 , C 0 , D −1 , E −1 , F 0 0 1 1 3 −1 −2 1.1.1 Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants
1 OA = 1 0
0 OB = 1 1
0 1 0 −1 −1 AB = AO + OB = OB − OA = 1 − 1 = 1 −1 = 0 1 0 1 − 0 1
1 −1 0 CA = OA − OC = 1 − 0 = 1 0 −1 −1
1 − 0 1 BC = OC − OB = 0 −1 = −1 1 −1 0
−1 − 0 −1 BD = OD − OB = −1 −1 = −2 3 −1 2
−1 − 1 −2 AD = OD − OA = −1 − 1 = −2 3−0 3
1 − 0 1 EC = OC − OE = 0 + 1 = 1 , 1 + 1 2
−1 − 0 −1 ED = OD − OE = −1 + 1 = 0 3 +1 4
0 −1 −1 AE = OE − OA = −1 −1 = −2 −1 − 0 −1
1.1.2 Calculer la norme (ou module) des vecteurs suivants
1 OA = 1 0
OA = 12 + 12 + 02 = 2
−2 AD = −2 3
AD = 22 + 22 + 32 = 17
−1 BD = −2 2
BD = 12 + 22 + 22 = 3
Page 2 sur 17 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie Corrigés – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs
1.2 Décomposition, repérage 1.2.1 Faire une lecture graphique des coordonnées des vecteurs u , v et w .
a. Chaque vecteur se décompose aisément sur le quadrillage. −3 1 4 u = 2 j − 3i = ; v = i + 3 j = ; w = 4i = 2 3 0
b.
Attention aux sens et aux longueurs unités ! 1 1, 5 0 u = i + 3 j = ; v = − j + 1, 5i = ; w = −4 j = 3 −1 −4
c. Il faut tenter de suivre des axes parallèles aux vecteurs de la base pour décomposer nos vecteurs. On arrive facilement à former le vecteur v en plaçant bout à bout i et 2 j ; de même, on forme le vecteur w en plaçant bout à bout i et − j . Le vecteur u est un cas plus difficile : à partir de son origine, parcourons −i ; il nous reste à nous déplacer de trois carreaux vers le haut pour arriver à l’extrémité de u . Or, i + 3 j représente le déplacement de quatre carreaux vers le haut ; on en déduit que 3 1 9 u = −i + ( i + 3 j ) = − i + j . 4 4 4 −0, 25 1 1 u = ; v = ; w= 2, 25 2 −1 d. (A, B, C, D, E et F sont les projetés orthogonaux des extrémités des vecteurs sur le plan quadrillé)
Page 3 sur 17 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie Corrigés – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs
4 La composante verticale de u vaut 2k . Sur le plan quadrillé, AB = 4i − j . Donc u = −1 . 2 5 La composante verticale de v vaut 2k . Sur le plan quadrillé, CD = 5i − 2 j . Donc v = −2 . 2 −4 , 5 La composante verticale de w vaut −3k . EF = −4, 5i − 2 j . Donc w = −2 . −3 1.2.2 Décomposer les vecteurs u dans les bases données
a. u x = OA cos α
u y = OA sin α
OA cos α cos α ⇔ u = = OA OA sin α sin α
b.
u x = OA sin α u y = OA cos α
c. u x = OA cos α
u y = −OA sin α
OA sin α sin α ⇔ u = = OA OA cos α cos α
OA cos α cos α ⇔ u = = OA −OA sin α − sin α
d.
u x = − AB sin α u y = − AB cos α
− AB sin α − sin α ⇔ u = = AB − AB cos α − cos α
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs
1.3 Produit scalaire 1.3.1 Calculer les produits scalaires suivants (relativement aux points définis en 1.1)
a.
b.
c.
0 1 CA ⋅ BC = 1 ⋅ −1 = 0 × 1 + 1 × ( −1) + ( −1) × 0 = −1 −1 0 −1 −2 BD ⋅ AD = −2 ⋅ −2 = ( −1) × ( −2 ) + ( −2 ) × ( −2 ) + 2 × 3 = 12 2 3 1 1 BC ⋅ EC = −1 ⋅ 1 = 1 × 1 + ( −1 ) × 1 + 0 × 2 = 0 0 2
1.3.2 Déterminer, dans le plan, les vecteurs orthogonaux aux vecteurs suivants : 2 a. OA = 5 x Ce sont les vecteurs OM = tels que : OM ⋅ OA = 0 soit : 2 x + 5 y = 0 y x 1 2 Ainsi nous avons : y = − x donc : OM = 2 ou encore : OM = x 2 − x − 5 5 5 1 5 c’est à dire l’ensemble des vecteurs colinéaires à : 2 ou encore − −2 5 1 b. X = −6 6y Selon le même principe que ci-dessus : x − 6 y = 0 donc : OM = : y 6 l’ensemble des vecteurs colinéaires à : 1 x c. u = y λ λ x Considérons v = . Il doit vérifier λ x + µ y = 0 soit µ = −λ donc v = x . λ − y µ y
Page 5 sur 17 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie Corrigés – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs ky y On peut poser par exemple λ = ky , il vient alors v = =k : − kx −x y −y l’ensemble des vecteurs colinéaires à : , ou à , ce qui revient au même. −x x Vous pouvez vérifier que cela s’applique aux deux cas précédents. 0 1 d. OA = 2 et OB = 0 5 1
x On cherche à déterminer u = y qui soit à la fois orthogonal à OA et OB , z
5 y=− z 2 y + 5z = 0 2 soit : , d’où : x+ z =0 x = −z
u ⋅ OA = 0 u ⋅ OB = 0
−z 5 il vient u = − z . Solutions : l’ensemble des vecteurs colinéaires à : 2 z
1.3.3
2 5 −2
Calculer l’angle entre les vecteurs suivants
1 −1 a. OA = , OB = −1 1 OA ⋅ OB = 1×( −1) + ( −1) ×1 = −2 ; OA = 12 + 12 = 2 ; OB = 12 + 12 = 2 .
−2 = −1 ⇔ θ = π [2π] Ces deux vecteurs sont colinéaires : OB = −OA 2× 2 2 4 b. u = , v = 3 −5
cos θ =
u ⋅ v = 2× 4 + 3×( −5) = −7 ; u = 22 + 32 = 13 ; v = 42 + 52 = 41 . −7 cos θ = = −0, 303204 ⇔ θ = ±1, 87885 rad = ±107, 65° 13 × 41 6 + 2 3 c. u = , v = 6 − 2 −1
(
) ( 2) +(
)
u ⋅ v = 3 6 + 2 − 6 − 2 = 18 + 6 − 6 + 2 = 18 + 2 = 4 2 ; u =
(
6+
v = 3 + 12 = 2 .
2
6− 2
)
2
cos θ =
= 6 + 2 6 2 + 2 + 6 − 2 6 2 + 2 = 16 = 4 ; 4 2 2 = 2×4 2
⇔ θ =±
π rad = ±45° 4
Page 6 sur 17 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie Corrigés – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs
1 −2 d. OA = 2 , OB = 2 3 1 OA ⋅ OB = 1× ( −2) + 2×2 + 3×1 = 5 ; OA = 12 + 22 + 32 = 14 ; OB = 22 + 22 + 12 = 9 = 3 . 5 = 0, 445435 ⇔ θ = ±1, 10914 rad = ±63, 55° 3 14 0 1 e. u = 2 , v = 0 5 1
cos θ =
u ⋅ v = 0 ×1 + 2 × 0 + 5× 1 = 5 ; u = 02 + 22 + 52 = 29 ; v = 12 + 02 + 12 = 2 .
cos θ =
5 = 0, 656532 ⇔ θ = ±0, 85548 rad = ±48, 96° 2 × 29
1.4 Produit vectoriel 1.4.1 Calculer les produits vectoriels entre les vecteurs donnés, dans cet ordre : −1 1 0 0 −1.0 − 0.1 0 1 −1 1 −1 0 0 = 0. ( −1) − 1.0 = 0 = 0 a. OA = −1 , OB = 1 : OA ∧ OB = −1 ∧ 1 = 0 0 0 0 1 −1 1.1 − ( −1) . ( −1 ) 0 1 −1 −1 1 Ce produit est nul, ce qui est normal puisque les deux vecteurs sont opposés, donc colinéaires.
2 4 3.0 − 0.( −5) 0 2 4 u ∧ v = 3 ∧ −5 = 0.4 − 2.0 = 0 b. u = 3 , v = −5 : 0 0 0 0 2.( −5) − 3.4 −22 Les deux vecteurs sont dans le plan (xOy) et leur produit vectoriel est dans la direction (Oz). 1 −2 1 −2 2.1 − 3.2 −4 c. X = 2 ,Y = 2 : X ∧ Y = 2 ∧ 2 = 3.( −2) −1.1 = −7 3 1 3 1 1.2 − 2.( −2) 6
1 x 2z − ( −1) y y + 2z 1 x d. AB = 2 , CD = y : AB ∧ CD = 2 ∧ y = −1x −1z = −x − z −1 z 1y −2x y − 2x −1 z
Page 7 sur 17 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie Corrigés – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs 1.4.2 Déterminer les vecteurs orthogonaux aux vecteurs suivants :
2 a. OA = et dans le plan xOy 5 Si OM est dans le plan xOy, et non colinéaire à OA , alors leur produit vectoriel suit la 0 direction (Oz), s’écrivant V = 0 . Si de plus OM et OA sont orthogonaux, alors les c 2 0 5c 5 vecteurs OM possibles sont les vecteurs OA ∧ V . OM = 5 ∧ 0 = −2c = c −2 . 0 c 0 0 x b. u = et dans le plan xOy y x 0 yc y Même raisonnement : v = y ∧ 0 = −xc = c −x 0 c 0 0
0 1 c. OA = 2 , OB = 0 : 5 1 0 1 2 OM = c.OA ∧ OB = c. 2 ∧ 0 = c. 5 5 1 −2 1 d. u = 2 3 Déterminons un vecteur v1 orthogonal à u , par exemple en calculant u ∧ i : 1 1 0 v1 = u ∧ i = 2 ∧ 0 = 3 . 3 0 −2 Il nous reste à rechercher tout vecteur w tel que w ∧ v1 soit colinéaire à u : − c x 0 2 y + 3z 2 y + 3 z = c c −2y z = w ∧ v1 = y ∧ −3 = −2 x ; w ∧ v1 = c.u ⇔ −2 x = 2c ⇔ 3 ⇔ w= y z 2 −3 x −3 x = 3c x = −c c − 2y 3
(on remarque qu’effectivement, pour c = 0, w est colinéaire à v1 , ce qui est conforme à w ∧ v1 = c.u = 0 ) Page 8 sur 17 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie Corrigés – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs
1.5 Applications géométriques
(
)
Dans un espace à trois dimensions, soit un repère orthonormé O; i , j , k .
1 0 1 3 0 Considérons les points suivants : A 1 , B 1 , C 0 , D 1 , E 4 0 1 1 2 −1
1.5.1 Angles a. Calculer l’angle BAC puis l’angle BAE −1 0 ˆ = arccos 1 = π ≈ 1, 0472 rad AB ⋅ AC = 0 ⋅ −1 = 1 ; AB = AC = 2 ; BAC 2 3 1 1 −1 −1 ˆ = arccos −2 ≈ 2, 0113 rad AB ⋅ AE = 0 ⋅ 3 = −2 ; AB = 2 , AE = 11 ; BAE 22 1 −1 b. Calculer l’angle CAE. Remarque ? 0 −1 ˆ = arccos −4 ≈ 2, 5921 rad AC ⋅ AE = −1 ⋅ 3 = −4 ; AC = 2 , AE = 11 ; CAE 22 1 −1 ˆ ≠ BAE ˆ + BAC ˆ , ce qui signifie que les points A, B, C et E ne sont pas coplanaires. CAE
Page 9 sur 17 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie Corrigés – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs 1.5.2 Coplanarité Vérifier, par deux produits mixtes différents, que les points A, B, C et E ne sont pas coplanaires. 0 −1 −1 −2 −1 AC ∧ AE ⋅ AB = −1 ∧ 3 ⋅ 0 = −1 ⋅ 0 = 1 ≠ 0 1 −1 1 −1 1
(
(
)
1 1 0 2 0 EC ∧ EA ⋅ EB = −4 ∧ −3 ⋅ −3 = 1 ⋅ −3 = −1 ≠ 0 2 1 2 1 2
)
1.5.3 Aires a. Calculer l’aire du triangle ABC −1 0 1 1 2 2 2 3 AB ∧ AC = 0 ∧ −1 = 1 ; aire ( ABC ) = 1 +1 +1 = 2 2 1 1 1 b. Calculer l’aire du triangle DCE 2 −1 −6 1 2 2 2 126 CD ∧ CE = 1 ∧ 4 = 3 ; aire (DCE ) = 6 +3 +9 = 2 2 1 −2 9
1.5.4 Volumes a. Calculer le volume du tétraèdre DABE −1 2 −1 0 −1 1 1 1 1 V= AB ∧ AD ⋅ AE = 0 ∧ 0 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = × 12 = 2 6 6 6 6 0 −1 1 2 −1
(
)
b. Calculer le volume de la zone située entre le triangle ABC et le plan quadrillé (en imaginant une projection orthogonale de ce triangle sur ce plan). Nommons B’ et C’ les projetés orthogonaux de B et C sur le plan quadrillé. La forme dont on doit calculer le volume est une pyramide de base rectangulaire BB’C’C et de sommet A. 1 1 0 −1 0 1 1 1 1 1 V = BA ∧ BC ⋅ BB′ = 0 ∧ −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ 0 = × 1 = 3 3 3 3 3 −1 −1 −1 0 −1
(
)
Page 10 sur 17 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie Corrigés – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs
2 Opérateurs différentiels 2.1 Gradient 2.1.1 Démontrer les formules suivantes a. grad (U 1 + U 2 ) = grad (U 1 ) + grad (U 2 ) avec U1 et U2 fonctions de x, y, z
grad(U1 +U2 ) =
∂ (U1 +U2 ) ∂ (U1 +U2 ) ∂ (U1 +U2 ) .i + .j + .k ∂x ∂y ∂z
∂ (U1 ) ∂ (U2 ) ∂ (U1 ) ∂ (U2 ) ∂ (U1 ) ∂ (U2 ) = + + + .i + . j + .k ∂x ∂y ∂y ∂z ∂x ∂z ∂ (U1 ) ∂ (U1 ) ∂ (U1 ) ∂ (U2 ) ∂ (U2 ) ∂ (U2 ) = .i + .j + .k + .i + .j + .k ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z = grad(U1 ) + grad(U2 ) b. grad ( λU ) = λ.grad (U ) avec U fonction de x, y, z et λ constante réelle
grad ( λU ) =
∂ ( λU ) ∂ ( λU ) ∂ ( λU ) ∂ (U ) ∂ (U ) ∂ (U ) .i + .j + .k = λ .i + λ . j +λ .k ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
∂ (U ) ∂ (U ) ∂ (U ) =λ .i + .j + .k = λ.grad (U ) ∂ x ∂ y ∂ z c. grad (U1U2 ) = U1.grad (U2 ) + U2.grad (U1 ) avec U1 et U2 fonctions de x, y, z
grad (U1U2 ) =
∂ (U1U2 ) ∂ (U1U2 ) ∂ (U1U2 ) .i + .j + .k ∂x ∂y ∂z
∂U ∂U ∂U ∂U ∂U ∂U = U1 2 +U2 1 .i + U1 2 +U2 1 . j + U1 2 +U2 1 .k ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂U ∂U ∂U ∂U ∂U ∂U = U1 2 .i +U1 2 . j +U1 2 .k + U2 1 .i +U2 1 . j +U2 1 .k ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂U ∂U ∂U ∂U ∂U ∂U = U1 2 .i + 2 . j + 2 .k +U2 1 .i + 1 . j + 1 .k ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x = U1.grad (U2 ) +U2.grad (U1 ) 2.1.2 Calculer les gradients des fonctions proposées a. U(M) = x + y + z
1 ∂U ∂U ∂U ∂U ∂U ∂U grad (U ) = .i + .j + .k ; =1 =1 = 1 ; grad (U ) = i + j + k = 1 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z 1
Page 11 sur 17 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie Corrigés – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs b. f (M) = x2 + y 2 + z 2 ∂f 2x = = ∂x 2 x2 + y 2 + z 2
grad ( f ) =
x x2 + y 2 + z 2
x x2 + y 2 + z 2
;
∂f = ∂y
y
.i +
x2 + y 2 + z 2
.j +
y x2 + y 2 + z 2 z x2 + y 2 + z 2
; .k =
∂f = ∂z
z x2 + y 2 + z 2
x.i + y. j + z.k x2 + y 2 + z 2
=
OM OM
xy 2 c. f (M) = z
∂f y 2 = ∂x z
;
∂f 2 xy = ∂y z
;
y2 z y2 2 xy xy 2 2 xy ; grad ( f ) = .i + . j − 2 .k = z z z z 2 − xy 2 z
∂f − xy 2 = 2 ∂z z
2.2 Divergent 2.2.1 Démontrer les formules suivantes Vx ( x, y, z ) Wx ( x, y, z ) a. div V + W = div V + div W avec V = Vy ( x, y, z ) et W = Wy ( x, y, z ) V ( x, y , z ) W ( x, y , z ) z z ∂ ( Vx + Wx ) ∂ ( Vy + Wy ) ∂ ( Vz + Wz ) + + div V + W = ∇ ⋅ V + W = ∂x ∂y ∂z ∂V ∂V ∂V ∂Wx ∂Wy ∂Wz = x+ y+ z+ + + = div V + div W ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
(
)
( )
(
)
(
( )
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
b. div λ V = λ div V
( )
avec λ ∈ ℝ
div λ V = ∇ ⋅ λ V =
∂ ( λ Vx ) ∂x
+
∂ ( λ Vy ) ∂y
+
∂ ( λ Vz ) ∂z
∂V ∂Vy ∂Vz =λ x + + = λ div V ∂z ∂x ∂y
( )
c. div f V = f div V + grad ( f ) ⋅ V
∂ ( f Vx ) ∂ ( f Vy ) ∂ ( f Vz ) + + ∂x ∂y ∂z ∂V ∂V ∂f ∂f ∂V ∂f = f x + Vx + f y + Vy + f z + Vz ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
div f V = ∇ ⋅ f V =
∂V ∂V ∂V ∂f ∂f ∂f = f x + y + z + Vx + Vy + Vz = f div V + grad ( f ) ⋅ V ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z
( )
Page 12 sur 17 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie Corrigés – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs 2.2.2 L’écoulement d’un fluide soumis à certaines conditions est modélisé en chaque point x3 y − z M(x, y, z) de l’espace par son champ de vecteurs vitesses : V (M) = z 2 + y 2 − x . yz − z 1) a. Déterminer le vecteur vitesse V ( A ) où A est le point (-1, 1, 2).
( −1 )3 − 2 −3 V ( A ) = 22 + 12 − ( −1) = 6 0 2−2 b. Déterminer la valeur de la vitesse en ce point, donc la norme du vecteur V ( A ) . V ( A ) = 32 + 62 = 45 = 3 5
(
)
2) a. Donner, en fonction des variables, l’expression de div V ( M) .
∂ ∂x x 3 y − z div V (M) = ∂ . z 2 + y 2 − x = 3 x2 y + 2 y + y − 1 = 3 ( x2 + 1) y − 1 ∂y yz − z ∂ ∂z
(
)
b. Montrer que ce divergent vaut 5 au point A.
( ) (
)
En A, div V = 3 ( −1) + 1 1 − 1 = 6 − 1 = 5 . 2
c. Etablir une relation nécessaire entre les variables x et y pour que le divergent prenne la valeur 5. 3 ( x2 + 1 ) y − 1 = 5 ⇔ 3 ( x 2 + 1 ) y = 6 ⇔
y=
6
3 ( x + 1) 2
⇔
y=
2 x +1 2
d. Représenter graphiquement l’ensemble D5 des points de l’espace physique de dimension 3, en lesquels le divergent vaut 5.
Page 13 sur 17 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie Corrigés – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs 2 , dans laquelle la coordonnée z n’intervient x +1 pas. Autrement dit : pour toute cote z fixée, l’ensemble des points M tels que 2 y= 2 est le même, sur le plan parallèle à (xOy) et de cote z. x +1
div(M) = 5 équivaut à la relation y =
2
Etudions dans le plan (xOy) la fonction x ֏ y =
2 . x +1 2
Cette fonction est simple, ainsi nous nous passerons de sa dérivée. Elle est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à (Oy) ; lorsque |x| augmente, y diminue, donc y est maximal en x = 0 et ymax = 2 ; on constate aussi que y tend vers 0 lorsque |x| tend vers l’infini. La courbe de cette fonction dans le plan (xOy) est :
Puisqu’elle se superpose à elle-même, à l’identique, lorsque nous envisageons toute valeur de z, l’ensemble D5 est un « rideau » de génératrices parallèles à (Oz), chacune contenant un point de la courbe ci-dessus.
Page 14 sur 17 AL2 - Vecteurs – Exercices Autonomie Corrigés – Rev 2014
Mathématiques – AL2 - Vecteurs
représentation de l’ensemble D5
z
y
x
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Mathématiques – AL2 - Vecteurs
2.3 Rotationnel 2.3.1 Démontrer la formule suivante
( )
( )
rot f V = f .rot V + grad ( f ) ∧ V ∂ ( f Vz ) ∂ ( f Vy ) ∂V ∂f − f z+ V −f ∂z ∂y ∂y z ∂y ∂ fV ∂ f V ( ) ( ) ∂V ∂f x z rot f V = ∇ ∧ f V = − = f x + Vx − f ∂z ∂x ∂z ∂z ∂V ∂ ( f Vy ) − ∂ ( f Vx ) f y + ∂f Vy − f ∂y ∂x ∂x ∂x
( )
( )
∂Vy ∂z ∂Vz ∂x ∂Vx ∂y
∂f Vy ∂z ∂f − Vz ∂x ∂f − Vx ∂y
−
∂Vy ∂f ∂Vy ∂f ∂Vz ∂V ∂f ∂f −f + Vz − Vy f z − f f Vz − Vy ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂Vx ∂Vz ∂f ∂f ∂Vx ∂Vz ∂f ∂f = f −f + Vx − Vz = f −f Vx − Vz + ∂x ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂f ∂Vy ∂Vx ∂f ∂Vx ∂f ∂f ∂Vy Vy − Vx −f + Vy − Vx f −f f ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ∂Vz ∂Vy ∂f − y ∂ ∂z ∂x V ∂Vx ∂Vz ∂f x − ∧ Vy = f .rot V + grad ( f ) ∧ V = f . + ∂x ∂y ∂z V ∂Vy ∂Vx ∂f z − ∂ ∂y ∂z x
( )
2.3.2 Calculer les rotationnels des vecteurs donnés x3 y − z a. V (M) = z 2 + y 2 − x yz − z
∂ ∂x x3 y − z z − 2 z − z rot V = ∂ ∧ z 2 + y 2 − x = −1 − x3 = −1 − x3 ∂y yz − z −1 − 0 −1 ∂ ∂z
( )
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x − y − z b. V (M) = y − x − z z − x− y ∂ ∂x x − y − z −1 + 1 0 rot V = ∂ ∧ y − x − z = −1 + 1 = 0 = 0 ∂y z − x − y −1 + 1 0 ∂ ∂z
( )
y2 z 2 xy c. V (M) = z 2 − xy 2 z y 2 2 xy 2 xy ∂ − 2 + 2 ∂x z z 2 z2 0 y 2 xy y rot V = ∂ ∧ = − 2 + 2 = 0 = 0 ∂y z z z 0 2 ∂ xy 2 y 2 y − ∂z − 2 z z z
( )
Remarque : V (M) était ici le vecteur gradient obtenu en exercice 2.1.2.c.
(
)
Or, la toute dernière formule du cours affirme que dans tous les cas rot grad ( f ) = 0 . Notre résultat est donc logique.
Vous pouvez bien sûr tenter de démontrer cette dernière formule !
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