Ajuste de Curvas

 

 

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 J osep oseph h Fourie Fourierr (1768-1830) Matemático francés nacido en Auxerre y formado en el monasterio de Saint-Benoît-sur-Loire. Enseñó en la Escuela Escuela Normal Normal (1795), (1795), donde había había estu estudiado, diado, y en la Escuela Escuela Politécnica Politécnica de P arís desde 1795 hasta 1798, en que se unió a la campaña de Napoleón en Egipto. Después de volver a Francia, en 1802, publicó un importante material sobre las antigüedades egipcias, y fue hasta 1815 prefecto del departamento de Isère. Fue nombrado barón por Napoleón en 1808. En 1816 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias y en 1827 de la Academia Francesa. Su fama proviene de sus trabajos sobre matemáticas y sobre física matemática. En su tratado Teoría analítica calor (1822), empleópueden unas series trigonométricas (series de Fourier) mediante las cuales lasdel funciones discontinuas expresarse como la suma de una serie infinita de senos y cosenos. Amplió con éxito estos procedimientos al estudio analítico del calor.

CAPITULO SEIS

AJ UST USTE E DE CU CURVAS RVAS AJ USTE DE DE CURVAS, IN INTERPOLA TERPOLACIÓ CIÓN NYA APR PROX OXIM IMACION ACIONES ES

 Y

 Y

 Y =f(X) =f(X)

 Y =f(X) =f(X)

X

X Regresión

Interpolación

Las técnicas que se han desarrollado para ajustar datos a curvas son: la regresión, empleada cuando hay un grado significativo de error en los datos; con frecuencia los datos ex experim periment entales ales s son on de esta clase. A diferencia de la interpolación que se utiliza cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos que estén, relativamente libres de error.

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6.1. .1. OBJ ETIVOS Objetivo General Al completar la cuarta unidad, el estudiante habrá refinado en gran forma su competencia para ajustar curvas con datos reportados. En general, manejará las técnicas, habrá aprendido a avalar la confiabilidad de sus resultados y será capaz de seleccionar el método (o métodos) para cualquier problema particular que involucre un ajuste de curvas. Objetivos Objetiv os Espe Es pecíficos cíficos Comprender la diferencia fundamental entre regresión e interpolación. Reconocer situaciones donde sean apropiadas las regresiones lineales, polinomiales, múltiples y no lineales. Entender la analogía entre el polinomio de Newton y la expansión de la serie de Taylor y cómo se relaciona el error al truncamiento. Reconocer las capacidades y riesgos asociados con la extrapolación. 6.2. .2. TEMAS P ARA CONSULTA 6.2.1. Regresión. Regr egresión esión lineal. Ajuste de curvas no lineales con una función de potencia. Ajuste de curvas con un polinomio de orden superior. Ajuste de curvas con una combinación lineal de funciones conocidas. 6.2.2.. P ol 6.2.2 olinomios inomios e interpolaci interpolación. ón. Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton. Polinomio de interpolación de Lagrange. Otros métodos. 6.3. INTRODUCCIÓN TEÓRICA El método más simple para ajustar a una curva los datos es ubicar los puntos y después dibujar una una línea que visualment visualmente e conform conforma a a los datos. Aunque ésta es una operación válida cuando se requiere una estimación rápida, los resultados son dependientes del punto de vista subjetivo de la persona que dibuja la curva. Su primera situación en el ajuste de curvas podría haber sido determinar valores intermedios a partir de datos tabulados (por ejemplo, de tablas de interés para ingeniería ingenierí a económica, o part partir ir de tablas de vapor p para ara ttermodinám ermodinámica ica). ). E n lo que resta res ta de su carrera, usted tendrá frecuentes oportunidades oportunidades para estimar valores interm int ermedios edios de dichas tablas. Aunque m muchas uchas de las amplias propied propiedades ades usadas

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en la ingeniería han sido tabuladas, hay muchas más que no están disponibles en esta forma conveniente. Los antecedentes matemáticos como prerrequisitos para interpolación se encuentran en el material sobre las expansiones de la serie de Taylor y las diferencias finitas divididas. La regresión por mínimos cuadrados requiere de información inform ación ad adicional icional del campo campo de la estadística. Si u usted sted conoce estos conceptos de la media, desviación estándar, suma residual de los cuadrados, distribución normal e intervalos de confianza, puede pasar directamente al estudio de esta sección, de lo contrario necesita un repaso de estos temas.

6.4 .4.. REGRES REGR ESIÓN IÓN POR MÍNI MÍNIMOS MOS CUADRADOS CUADRA DOS Un ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es mediante 2, y2), ..., (xn, yn) (x1,es: y1), y (x= el ajuste de un de observaciones: una lílínea nea recta. Laconjunto expr expresi esión óndematem mpares atemática ática para esta últ última ima a0 + a1x + e,  a donde a0 y a1 son coeficientes que representan el intercepto y la pendiente, respectiva, y e es el error, o residuo, entre el modelo y las observaciones, las cuales se pueden representar al reordenar la ecuación ¿?? como e = y  a0  a1x . Así, el error o residuo es la discrepancia entre el valor real y y el valor aproximado a0 + a1x, predicho por la ecuación lineal.

6.4.1. Criterios para un mejor ajuste Una estrategia para ajustar a la ¿mejor? línea

a través de los datos podría ser minimizar la suma de los errores residuales para todos los datos disponibles, como en

n

n

e i 1 i

(y i 1

a x ) , donde n =núm número ero tot total al de puntos.

a

i

1 i

0

  Otro criterio lógico podría ser minimizar la suma de los valores absolutos de las discrepancias, como en

n

n

ei i 1

yi a0 a1xi .

i 1

Pero este no es el único criterio, una tercera estrategia para ajustar a la mejor línea es el criterio minimax. E n est esta a técnica, técnica, la línea se elige de de m manera anera que minimice la máxima distancia que tenga un punto individual desde la línea. Debería observarse que el principio minimax es no es adecuada para regresión, ya que tiene una excesiva influencia en puntos fuera del conjunto; es decir, un solo

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punto con un gran error, pero algunas ocasiones es muy adecuada para ajustar una simple función a una complicada función (Carnahan, Luther y Wilkes, 1969). Una estrategia que supera los defectos de los procedimientos mencionados es  la ycalculada con el minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre la ymedi edida da la modelo lineal: n

n 2

Sr

ei i 1

yi ,medida

yi,modelo

n

2

i 1

2

yi a0 a1xi  

(6.1)

i 1

Este criterio tiene varias ventajas, entre ellas el hecho de que se obtiene una línea única para para un cierto conjunto conjunto de datos. Antes de analizar analizar esas propiedades, propiedades, veremos una técnica para determinar los valores de a0  y a1  que minimizan la ecuación. 6.4.2. Ajuste por mínimos cuadrados de una línea recta Para determinar los valores de a0  y a1, la ecuación 6.1 es diferenciada con respecto a cada coeficiente: Sr a0

2

Sr a1

2

yi a0 a1xi  

(6.2)

yi a0 a1xi xi  

(6.3)

Observe que hemos simplificado los símbolos de la sumatoria; a menos que se indique otra cosa, todas las sumatorias son de i = 1 hasta asta n. Al fijar esas derivadas igual a cero, resultará en un mínimo Sr. Si se hace esto esto,, las ecu ecuaciones aciones se pueden expresar como: yi

0 0

yi xi

a0

a1xi   a1xi2  

a0xi

(6.4) (6.5)

Ahora si hacemos que a0  = n na a0, podemos expresar las ecuaciones como un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (a0 y a1): na0 xi a0

xi a1 xi2 a1

yi  

(6.6)

xi yi  

(6.7)

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Éstas son llamadas ecuaciones normales, y pueden ser resueltas en forma simultánea: a1

n

xi yi 2 n xi

xi

xi

yi ,

(6.8)

a0 y a1x , donde y y x son las medias de y y x, respectivamente.

6.5. .5. LINEARIZACIÓN D DE E REL RELACIONES ACIONES NO LLINEALE INEALES S La regresión lineal proporciona una técnica poderosa que ajusta a la mejor línea los datos. Sin em embargo, bargo, está predicha predicha sobre el hecho de de que la relación ent entre re las variables dependient dependientes es e indepen independient dientes es es lineal. Éste no es siem siempre pre el caso, y el primer paso en cualquier análisis de regresión debería ser gratificar e inspeccionar formausar visual para asegurarnos se puedelos usar un modelo lineal. Para otros, seen puede transformaciones parasi expresar datos en una forma que sea compatible con la regresión lineal. Un ejemplo es el modelo exponencial y = a1ebx, donde a1 y b son constantes. Otros casos se observan en la figura 8. 6.6. .6. INTERPOLACIÓN INTERPOLA CIÓN Y AP ROXIMACIÓN ROXIMACIÓN POLINOM POLINOMICA ICA Usted a menudo habrá tenido la oportunidad de estimar valores intermedio entre datos precisos precisos.. El m método étodo más común común que que se usa par para a este p propósito ropósito es la interpolación interpolació n del polinomio. Recuerde que la form formula ula general para un polinomio 2 n -ésimo  orden es: f(x) = a0 + a1x + a2x  + +anx . de n-ésimo Para n+1 puntos, hay uno y sólo un polinomio de orden n que pasa a través de todos los punt puntos. os. P or ejemplo, ejemplo, hay una sólo una línea rect recta a (es decir, un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos (vea figura 9a). De manera manera similar, únicamente una parábola conecta un conjunto de tres puntos (ver figura n-é ésim simo  9b). Interpolación polinomial consiste determinar el único polinomio de norden que ajuste n+1 puntos. Este polinomio entonces proporciona una fórmula para calcular valores intermedios interm edios.. Aunque hay uno y só sólo lo un polinomio de nn-és ésiimo orden que ajusta n+1  puntos, existe una variedad de formatos matemáticos en los cuales este polinomio puede expresarse.

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a)

b)

c)

Figura 8. Ejemplo de interpolación polinomial: a) de primer orden (lineal) conectando dos puntos, b) de segundo orden (cuadrática o parabólica) enlazando tres puntos y c) de tercer orden (cúbica) conectando cuatro puntos. y

y

y y a3

b

y=a1eb

a)

x

    n    ó    i   c   a   z    i   r   a   e   n    i

y=a2x     n    ó    i   c   a   z    i   r   a   e   n    i

b)

b x x

Lny

c)

   L

1/y

Log y

I ntercepto cepto = Lna1

Pendiente = b

Pendiente = b

Pendiente = b/a3

x

d)

x

    n    ó    i   c   a   z    i   r   a   e   n    i

   L

   L

x

1/x

Log x

e)

I ntercepto cepto = Log a2

f)

I ntercepto cepto = Log 1/a 1/a3

Figura 9. a) La ecuación exponencial, b) la ecuación por potencias, c) la ecuación de razón de de crecim crecimiento iento satur saturado. ado. Los incisos incisos d), e) y f) son versiones versiones linearizadas de estas ecuaciones producto de transformaciones simples. Es muy común en las aplicaciones de la ingeniería requerir predicciones de un grupo de datos discretos. Una función de ajuste a los datos dados es una técnica muy común para resolver el problema y es conocida más como interpolación.

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Dentro de la interpolación existen muchos métodos de realizarla, los más usuales y sencillos son las aproximaciones algebraicas, es decir un conjunto de funciones n

de forma P(x)reales. = a0 + a1x + ... +anx  donde n es un entero no negativo y a0 ... an  sonlaconstantes

6.6.1 6.6 .1.. P ol olinomio inomio de Taylor Condiciones para P(x): Puede aproximarse uniformemente a una función continua. En un intervalo dado existe un polinomio P(x) que está cerca de la función que se desee. Realizar aproximaciones con polinomios facilita el cálculo de derivadas e integrales en caso de necesitarlas.  Teorema: El polilin  Teo nomio de de enési sim mo grado que m me ejor jor se aproxima a la fu fun nci ció ón f   cerca de x0 tendrá tantas derivadas en x0 como sea posible que coincidan con las de f. Esto define prácticamente lo que se conoce como el polinomio de Taylor: (n) P(x)= f(x0) + f(x0)(x-x0) + f(x0)(x-x0)2/2! +... + f (n) (x0)(x-x0)n/n!

(6.9)

Por tanto el polinomio de Taylor es muy útil para interpolar datos cuando de intervalos pequeños se trate, ya que se requiere el conocimiento de valores de la función f   y y sus derivadas en un punto muy cercano al punto de interés. 6.6.2 6.6 .2.. P ol olinomio inomio de L agra agrange nge Este técnica tiene la virtud de encontrar polinomios de aproximación determinarse son simplemente especificar algunos puntos en el planoque porpueden os cuales deben pasar. La idea general del polinomio de Lagrange es construir un polinomio a lo sumo de grado n  que coincida con los n+1  puntos de f. Cada término del polinomio es básicamente el resultado de la construcción sucesiva de interpolaciones lineales. P(x P(x)= f(xk)Ln,k n,k(x) donde Ln,k para a cad cada i k n,k(x) = (x-xi)/(xk-xi) par

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6.6.3 6.6 .3.. Diferencias Dividas Esta técnica aespartir útil para determinar una Son representación de un polinomio interpolante de datos tabulados. métodos deexplícita fácil computo y pueden usarse para aproximar derivadas e integrales. La fórmula de diferencia dividida interpolante de Newton parte del mismo polinomio interpolante de Lagrange, donde se redefine el polinom polinomio io P com como: o: P(x) =f [x0] + f   [x [x0,x1,.,xk](x-x0).(x-xkk-1 1) donde f  [x  [xi,xi+1,....,Xi+k] =(f   [x [xi+1,....,Xi+k]  f  [x  [xi....,Xi+k-1]) / (xi+k-xi)

(6.10)

Existen también dos versiones de esta fórmula que son las fórmulas de diferencia progresiva y regresiva regresiva de Newton. La prim primera era se expresa como: ( )

(

0

),

dond donde e (s k) es la notación de coeficiente b binom inomial: ial:

0

(

1) .

1)....( !

(6.11)

La diferencia regresiva es análoga a la anterior fórmula: ( )

( 1)

(

) 

(6.12)

0

6.6.4 Interpolación de Hermite El polinomio interpolante de Hermite es el resultado de una generalización de los polinomios de Taylor y Lagrange mediante el concepto del os denominados polinomios osculantes. El polinomio de Hermite H(x) logra coincidir no solo con f   en todos los puntos x0,x1,....xn sino también sus primeras derivadas. Condiciones Si f  es   es continua y definida en [a,b] y x0,....xn pertenece a [a,b] y son distintos, el único polinomio de menor grado que coincide con f   y y f   en en x0,....,xn es un polinomio de grado a lo más 2n+1 tal que:

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1

( )

(

)

,

( )

'(

0



,

( )

[1 2(

,

( )

(

)



,

( )

0

) ' )

2

,

,

(

)

2

,

 

( )

(6.13)

( )

Este método requiere determinar y evaluar los polinomios de Lagrange y sus derivadas, lo cual hace que le procedimiento sea tedioso, aún para valores pequeños de n. 6.6.5. Interpolación del Trazador Cúbico Los polinomios de grado mayor tienen naturaleza oscilatoria y fluctuaciones sobre una porción pequeña del intervalo estudiado puede inducir cambios muy grandes sobre un rango considerable, restringen el uso cuando se aproximan muchas de las funciones en situaciones físicas reales. La técnica llamada aproximación polinómica segmentaria busca resolver este problema dividiendo el intervalo de la función f  en  en una colección de subintervalos y construir polinomios aproximadamente diferentes en cada uno. La aproximación de este tipo más empleada es la interpolación cúbica de trazador. Esta técnica requiere que en el intervalo el polinomio sea diferenciable continuamente y que además tenga segunda derivada. Pero a pesar de esta condición, el trazador cúbico no supone que las derivadas del interpolante coinciden con las de la función. Dada una función f definida en [a,b] y un conjunto de números, llamados los nodos, a=x0