Aeroelasticità e Acustica Nelle Strutture Aerospaziali by de Rosa

Aeroelasticità e Acustica nelle Strutture Aerospaziali appunti e spunti per discipline affascinanti

Torino, 2013

Sergio De Rosa PASTA-Lab Laboratory for Promoting experiences in Aeronautical STructures and Acoustics Dipartimento di Ingegneria Industriale Sezione Aerospaziale Università degli Studi di Napoli "Federico II" Via Claudio 21, 80125 Napoli, Italia [email protected]

Indice 1)  Inquadramento Generale (Interazione FluidoStruttura). 2)  Onde, Guide d’onda e Modi Propri di un Sistema Lineare. 3)  Sistema Tubo e Pistone. 4)  Introduzione all’Aeroelasticità. 5)  Instabilità Supersonica di un Pannello. 6)  Aeroelasticità Dinamica di un Profilo. 7)  Aeroelasticità Statica di Modellli Alari 2D e 3D. 8)  Cenno alle Forze Aerodinamiche Instazionarie 9)  Il Problema del Flutter (e la Risposta Dinamica). 10)  Buffett, Gallopping, Vortex shedding, Stall flutter. 11)  Metodi (Statistici) Energetici per Sistemi Lineari. 12)  Approccio modale per interpretazioni energetiche (EDA). 13)  Similitudini 14)  Introduzione al FEM spettrale. 15)  Cenni di Acustica (e AcustoElasticità) Interna dei Velivoli 16)  Potenza Acustica Radiata da Componenti Strutturali Piani. 17)  Un Modello Aero(Idro)Acusto-Elastico Completo: risposta di pannelli sotto l’azione dello strato limite turbolento 18)  Rappresentazioni Universali dei Dati AeroAcusto-Elastici.

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 

Inquadramento Generale (Interazione FluidoStruttura). Onde, Guide d’onda e Modi Propri di un Sistema Lineare. Sistema Tubo e Pistone. Introduzione all’Aeroelasticità. Instabilità Supersonica di un Pannello. Aeroelasticità Dinamica di un Profilo. Aeroelasticità Statica di Modellli Alari 2D e 3D. Cenno alle Forze Aerodinamiche Instazionarie Il Problema del Flutter (e la Risposta Dinamica). Buffett, Gallopping, Vortex shedding, Stall flutter. Metodi (Statistici) Energetici per Sistemi Lineari. Approccio modale per interpretazioni energetiche (EDA). Similitudini Introduzione al FEM spettrale. Cenni di Acustica (e AcustoElasticità) Interna dei Velivoli Potenza Acustica Radiata da Componenti Strutturali Piani. Un Modello Aero(Idro)Acusto-Elastico Completo Rappresentazioni Universali dei Dati AeroAcusto-Elastici.

84

R. L¨ ohner et al. CFD DNS Biomedical Applications

LES RANS

Advanced Aero/Hydroelasticity

Euler Conjugate Heat Transfer

Full Potential

Classic Aero/Hydroelasticity

Potential/ Acoustics No Fluid

Shock−Structure Interaction

CSD Rigid Walls

Ridid Body (6 DOF)

Modal Analysis

Linear FEM

Non−Linear FEM

Rupture/ Tearing

Prescribed Flux/Temperature Network Models

Thermal Stress Fatigue

Linear FEM Nonlinear FEM CTD

Fig. 2. CFD/CSD/CTD Space

CFD DNS

Arterial Flows Tents Parachutes Airbags

LES RANS Chip Cooling Engine Cooling Underhood Flows

Flutter Buzz Whipping

Euler Full Potential

Aerodynamics Galloping Noise Flutter

Potential/ Acoustics No Fluid Extrusion Material Forming

Blast−Structure Weapon Fragmentation

Rigid Walls

Ridid Body (6 DOF)

Modal Analysis

Linear FEM

CSD Non−Linear FEM

Prescribed Flux/Temperature Network Models Linear FEM

High Performance Engines High Mach Nr. Vehicles

Nonlinear FEM CTD

Fig. 3. CFD/CSD/CTD Application Areas

Rupture/ Tearing

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 

Inquadramento Generale (Interazione FluidoStruttura). Onde, Guide d’onda e Modi Propri di un Sistema Lineare. Sistema Tubo e Pistone. Introduzione all’Aeroelasticità. Instabilità Supersonica di un Pannello. Aeroelasticità Dinamica di un Profilo. Aeroelasticità Statica di Modellli Alari 2D e 3D. Cenno alle Forze Aerodinamiche Instazionarie Il Problema del Flutter (e la Risposta Dinamica). Buffett, Gallopping, Vortex shedding, Stall flutter. Metodi (Statistici) Energetici per Sistemi Lineari. Approccio modale per interpretazioni energetiche (EDA). Similitudini Introduzione al FEM spettrale. Cenni di Acustica (e AcustoElasticità) Interna dei Velivoli Potenza Acustica Radiata da Componenti Strutturali Piani. Un Modello Aero(Idro)Acusto-Elastico Completo Rappresentazioni Universali dei Dati AeroAcusto-Elastici.

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 

Inquadramento Generale (Interazione FluidoStruttura). Onde, Guide d’onda e Modi Propri di un Sistema Lineare. Sistema Tubo e Pistone. Introduzione all’Aeroelasticità. Instabilità Supersonica di un Pannello. Aeroelasticità Dinamica di un Profilo. Aeroelasticità Statica di Modellli Alari 2D e 3D. Cenno alle Forze Aerodinamiche Instazionarie Il Problema del Flutter (e la Risposta Dinamica). Buffett, Gallopping, Vortex shedding, Stall flutter. Metodi (Statistici) Energetici per Sistemi Lineari. Approccio modale per interpretazioni energetiche (EDA). Similitudini Introduzione al FEM spettrale. Cenni di Acustica (e AcustoElasticità) Interna dei Velivoli Potenza Acustica Radiata da Componenti Strutturali Piani. Un Modello Aero(Idro)Acusto-Elastico Completo Rappresentazioni Universali dei Dati AeroAcusto-Elastici.

1 La risposta di un oscillatore semplice e di un tubo

Si vuole analizzare l’interazione fluido-struttura tra un pistone e un tubo, valutando la variazione delle frequenze proprie del pistone per effetto della presenza di un fluido all’interno del tubo. Si analizzano prima il pistone e il tubo presi singolarmente, dopodich´e si analizza il sistema accoppiato.

1.1 Equazioni omogenee del sistema acustoelastico Scriviamo le equazioni omogenee del pi´ u semplice sistema acustoelastico, rappresentato in Figura 1.1: un oscillatore meccanico accoppiato ad un tubo di lunghezza L.

Figura 1.1: sistema acustoelastico costituito da un oscillatore meccanico accoppiato con tubo di lunghezza L. L’oscillatore ´e rappresentato da una massa e una rigidezza concentrati, indicati rispettivamente dai simboli m e k, mentre nel tubo, allineato secondo un asse di riferimento x, ´e presente un fluido di velocit´a caratteristica c e di densit´a ⌦ 1 . 1

Si potrebbe schematizzare anche il fluido con propriet´ a concentrate, perdendo per´ o la componente spaziale che si vuole analizzare in questa trattazione.

4

1 La risposta di un oscillatore semplice e di un tubo

L’incognita meccanica ´e lo spostamento x del pistone mentre l’incognita acustica ´e la pressione p(x, t), dove il simbolo t denota la variabile temporale. Si osservi che stiamo analizzando un sistema strutturale a propriet´ a concentrate (pistone) che interagisce con un sistema acustico a propriet´ a distribuite (tubo) attraverso un’area A (sezione del tubo e del pistone). Il sistema di equazioni che descrive il comportamento del sistema ´e x(t) + kx(t) = p(x, t)A ✏m¨ ⌃ 2 p(x,t) ⌃x2

=

2 1 ⌃ p(x,t) c2 ⌃t2

(1.1)

Nella prima equazione del sistema (3.3) ´e possibile identificare l’effetto del fluido sulla struttura, ovvero la forza agente sul pistone generata dalla pressione del fluido sulla sezione A. L’effetto reciproco, ovvero quello della struttura sul fluido, si vede nella condizione al contorno del tubo alla sezione x=0 1 dp ⇤⇤ = x ¨(t). (1.2) ⇤ ⌦ dx x=0 La (1.2) relaziona il gradiente di pressione con l’accelerazione del pistone alla sezione x = 0: se il pistone accelera verso destra (¨ x(t) > 0), a x = 0 il fluido dp espande ( dx |x=0 < 0). Sull’altra estremit´a del condotto (x = L), supponiamo che il tubo ´e chiuso, e quindi la seconda condizione al contorno ´e dp ⇤⇤ = 0. ⇤ dx x=L

(1.3)

Prima di analizzare il sistema acustoelastico completo, si analizzano prima il pistone ed il tubo singolarmente. In tal modo, ´e possibile evidenziare gli effetti che l’accoppiamento comporta sulle frequenze proprie dei due sistemi.

1.2 L’operatore strutturale: il pistone 1.2.1 Analisi modale ´ opportuno richiamare brevemente i concetti base dell’oscillatore armonE ico, non soggetto ad alcuna forzante, mediante l’analisi modale. Analisi modale reale Nel caso di oscillatore non smorzato, l’equazione del sistema (in assenza di forzante) ´e m¨ x(t) + kx(t) = 0. (1.4) Scegliendo soluzioni armoniche del tipo

1.2 L’operatore strutturale: il pistone

x(t) = Xej⌅t

5

(1.5)

´e possibile esplicitare l’equazione secolare ↵ 2 mX j⌅t + kX j⌅t = 0

↵ 2 m + k = 0.

(1.6)

Dalla (1.6) ´e possibile ricavare la pulsazione naturale dell’oscillatore ad un grado di libert´a  k ↵0 = (1.7) m e quindi la frequenza propria dell’oscillatore  1 k f0 = . (1.8) 2 m Analisi modale complessa: oscillatore con smorzamento viscoso Se ´e presente uno smorzamento viscoso (vedi Capitolo 4), l’equazione omogenea associata diventa m¨ x(t) + bx˙ + kx(t) = 0

(1.9)

dove b ´e il coe⌅ciente di smorzamento viscoso. In questo caso, mediante la scelta di soluzioni armoniche complesse (p numero complesso) x(t) = Xept

(1.10)

l’equazione secolare diventa mp2 + bp + k = 0

p=

b±

b2 2m

4km

.

(1.11)

Si definisce per comodit´a uno smorzamento critico bcr , che permette di discriminare le varie possibilit´a di moto. Esso ´e funzione dei parametri strutturali, al pari della pulsazione naturale. bcr = 2 km

⌃=

(1.12)

b b = bcr 2 km

(1.13)

b = 2⌃↵0 m

(1.14)

Dalla (1.13) ´e possibile ricavare

e pertanto si riscrive la (1.11) come

6

1 La risposta di un oscillatore semplice e di un tubo

p1,2 = ↵0

⌘

⌃±

La soluzione della (1.9) ´e quindi del tipo

◆ ⌃2

✓ 1 .

(1.15)

x(t) = X1 ep1 t + X2 ep2 t .

(1.16)

Al variare del valore di ⌃, ´e possibile classificare le soluzioni del sistema come riportato in Tabella 1.1. Tabella 1.1: classificazione delle soluzioni. Regime (⇥)

Tipologia delle radici complesse coniugate

Prima radice ⇧ ⌃ ⌥ ⇤0 ⇥ + j 1 ⇥ 2

Seconda radice ⇧ ⌃ ⌥ ⇤0 ⇥ j 1 ⇥ 2

subcritico critico (⇥ = 1)

reali coincidenti

⇤0 [ ⇥]

⇤0 [ ⇥]

supercritico

reali distinte

⇤0

(⇥ < 1)

(⇥ > 1)

⇧

⇥+

⌥

⇥2

1

⌃

⇤0

⇧

⌥

⇥

⇥2

Ovviamente, le diverse tipologie di radici al variare di ⌃ comportano la variazione del tipo di moto dell’oscillatore, come riportato in Tabella 1.2. Tabella 1.2: risposta strutturale al variare di ⌃. Tipo di moto (⇥) Periodico smorzato (⇥ < 1) aperiodico (⇥ = 1) aperiodico (⇥ > 1)

Forma risolutiva ⇥ ⇧ 2 x(t) = e( ⇤0 t) X1 e(j⇤0 t 1 ) + X2 e( ⇧ ⌃ ⌥ ⇥ Y1 e( ⇤0 t) cos j⇤0 t 1 ⇥ 2 + ⌅ x(t) = Xe(

j⇤0 t

⇥

1

2)

⌃

=

⇤0 t)

⇥ ⇧ x(t) = e( ⇤0 t) X1 e(⇤0 t ⇧ ⇤ ⌥ e( ⇤0 t) X1 cosh ⇤0 t ⇥ 2

2

⇥ ⌃ 2 1) + X 2 e( ⇤0 t = ⌅ ⇤ ⌥ 1 + X2 sinh ⇤0 t ⇥ 2 1)

1

⌅⌃

In Figura 1.2 sono rappresentati due esempi di risposta temporale di un oscillatore con smorzamento viscoso: nel caso subcritico (⌃ < 1) il sistema oscilla per un certo tempo prima di fermarsi; nel caso supercritico (⌃ > 1) il sistema non oscilla, ma torna in un tempo breve nelle condizioni di equilibrio.

1

⌃

1.2 L’operatore strutturale: il pistone

(a) Caso subcritico, ⇥ < 1.

7

(b) Caso supercritico, ⇥ > 1.

Figura 1.2: esempi di risposta temporale di un oscillatore con smorzamento viscoso. Analisi modale complessa: oscillatore con smorzamento strutturale L’altro modello di smorzamento pi´ u comune ´e quello cosiddetto strutturale (vedi Capitolo ??), in cui si considera lo smorzamento proporzionale alla rigidezza della struttura secondo un coe⌅ciente immaginario j⌥. In questo caso, l’equazione omogenea associata dell’oscillatore ´e m¨ x(t) + k[1 + j⌥]x(t) = 0.

(1.17)

Scegliendo ancora soluzioni armoniche complesse del tipo x(t) = Xept

(1.18)

mp2 + [1 + j⌥]k = 0

(1.19)

l’equazione secolare diventa

da cui si ricava p2 =

k [1 + j⌥] m

p2 = ↵02 [1 + j⌥].

(1.20)

1.2.2 Risposta strutturale dell’oscillatore con forzante periodica L’analisi della risposta strutturale serve per inquadrare un possibile passaggio da un modello all’altro di smorzamento. Oscillatore non smorzato L’equazione del sistema ´e m¨ x(t) + kx(t) = f (t).

(1.21)

Scegliendo soluzioni armoniche del tipo (1.5) e una forzante armonica f (t) = F ej⌅t

(1.22)

8

1 La risposta di un oscillatore semplice e di un tubo

l’equazione (1.21) diventa ( m↵ 2 + k)X = F

(1.23)

e quindi la risposta strutturale ´e X=

1 F 2 m ( ↵ + ↵02 )

x(t) =

(

F m ↵2 +

↵02 )

ej⌅t .

(1.24)

La funzione di trasferimento ´e H(↵) =

(

↵2

1 . + ↵02 )

(1.25)

Oscillatore in presenza di smorzamento viscoso Ripetendo i passaggi svolti nel caso di oscillatore non smorzato, ´e possibile scrivere anche la risposta strutturale del sistema in presenza di smorzamento viscoso x(t) =

(

↵2

+

F m 2 ↵0 ) +

2j⌃↵0 ↵

ej⌅t .

(1.26)

´ interessante riportare la funzione di trasferimento per analizzare dove lo E smorzamento influenza la risposta dell’oscillatore. Essa ´e data dalla H(↵) =

( ↵2 +

F m ↵02 ) +

2j⌃↵0 ↵

(1.27)

In Figura 1.3 ´e riportato l’andamento della funzione di trasferimento per un oscillatore avente una pulsazione propria ↵0 = 55rad/sec per tre valori di ⌃.

Figura 1.3: funzione di trasferimento di un oscillatore con smorzamento viscoso (↵0 = 55rad/sec) per diversi valori di ⌃.

1.2 L’operatore strutturale: il pistone

9

Dall’esame della Figura 1.3, si evince che lo smorzamento ´e importante solo in un intorno della frequenza risonanza. La larghezza di questo intorno, denominata f , aumenta all’aumentare del livello di smorzamento. Si analizzano ora le singole componenti della funzione di trasferimento in presenza di smorzamento viscoso, per un valore fissato di ⌃. In Figura 1.4 sono rappresentate: • • • •

h(↵, 0.02), ovvero la funzione di trasferimento completa dell’oscillatore con ⌃ = 0.02; hK (↵, 0.02) = ⌅12 , ovvero la componente della funzione di trasferimento 0 dovuta alla rigidezza; hM (↵, 0.02) = ⌅12 , ovvero la componente della funzione di trasferimento dovuta alla massa; hD (↵, 0.02) = 2j 1⌅0 ⌅ , ovvero la componente della funzione di trasferimento dovuta allo smorzamento.

Figura 1.4: componenti della funzione di trasferimento per smorzamento viscoso ⌃ = 0.02.

Dalla Figura 1.4 ´e possibile osservare che: • • •

per basse frequenze (↵ ⌃ ↵0 ), la risposta ´e controllata dalla rigidezza; per alte frequenza (↵ ⌥ ↵0 ), ´e la massa a determinare il livello della risposta; in prossimit´a della frequenza di risonanza (↵ = ↵0 ), l’elemento determinante ´e il livello di smorzamento.

Oscillatore in presenza di smorzamento strutturale Nel caso di smorzamento strutturale, la risposta strutturale dell’oscillatore ´e

10

1 La risposta di un oscillatore semplice e di un tubo

x(t) =

↵2

(

+

F m ↵02 )

+ j⌥↵02

ej⌅t

(1.28)

e la funzione di trasferimento ´e x(t) =

(

↵2

1 . + ↵02 ) + j⌥↵02

(1.29)

Valgono le stesse osservazioni fatte nel caso di smorzamento viscoso, ovvero lo smorzamento influisce solo in prossimit´a della frequenza di risonanza. 1.2.3 Forza dissipative Nel caso di smorzamento viscoso, la componente dissipativa delle forze di richiamo ´e data da FDV (t) = bx(t) ˙ = j↵bx(t) = 2jm⌃↵↵0 x(t)

(1.30)

mentre nel caso di smorzamento strutturale ´e FDS (t) = j⌥kx(t) = j⌥↵02 mx(t).

(1.31)

´ evidente che la forza dissipativa dovuta all’adozione di uno smorzamento E strutturale non dipende dalla frequenza, mentre l’adozione del modello viscoso ´e connessa ad una funzionalit´a lineare con la frequenza di eccitazione. ´ interessante confrontare le due forze forze dissipative, al fine di trovare E un legame che permetta il passaggio da un modello di smorzamento all’altro. Rapportando membro a membro le (1.31) e (1.30), risulta FDS (t) ⌥↵02 ⌥ = = . FDV (t) 2⌃↵↵0 2⌃ ⌅⌅0

(1.32)

Quando le due componenti dissipative si eguagliano, si ottiene la relazione per passare da un modello di smorzamento all’altro (ovvero da ⌃ a ⌥ e viceversa): 1=

⌥ 2⌃ ⌅⌅0

⌃=⌥

↵0 . 2↵

(1.33)

In condizioni di risonanza (↵0 = ↵), risulta ⌃=

⌥ . 2

(1.34)

1.3 L’operatore acustico: il tubo Il tubo ´e un sistema monodimensionale in cui viaggiano onde longitudinali con una velocit´a c che dipende dal mezzo (per l’aria, c ´e la velocit´a del suono). L’equazione di partenza per l’analisi del problema ´e l’equazione delle onde

1.3 L’operatore acustico: il tubo

11

Figura 1.5: analisi del rapporto delle forze dissipative in funzione della frequenza.

2

p(x, t) =

1 ⌘ 2 p(x, t) c2 ⌘t2

(1.35)

dove: • • • • •

c ´e la velocit´a caratteristica di propagazione dell’onda longitudinale; 2 ´e l’operatore di Laplace; t ´e la variabile temporale; x ´e la variabile spaziale; p(x, t) ´e la grandezza perturbata dal passaggio dell’onda, ovvero ´e una variazione di pressione.

Poich´e il sistema considerato ´e monodimensionale, la (1.35) si pu´o scrivere come ⌘ 2 p(x, t) 1 ⌘ 2 p(x, t) = 2 . (1.36) 2 ⌘x c ⌘t2 Ipotizzando che il sistema tubo sia conservativo, ´e possibile disaccoppiare la dipendenza spaziale da quella temporale, ovvero p(x, t) = P (x)T (t).

(1.37)

Mediante la (1.37), ´e possibile semplificare la (1.36) in P ⇥⇥ (x)T (t) =

1 P (x)T ⇥⇥ (t) c2

P ⇥⇥ (x) 1 T ⇥⇥ (t) = 2 P (x) c T (t)

(1.38)

A⌅nch´e sia verificata l’eguaglianza (1.38), i due rapporti devono essere costanti, per cui T ⇥⇥ (t) = ↵2 (1.39) T (t)

12

1 La risposta di un oscillatore semplice e di un tubo

P ⇥⇥ (x) ↵2 = 2. P (x) c

(1.40)

Avendo supposto il sistema conservativo, ´e su⌅ciente analizzare solo la variazione spaziale della pressione. La soluzione della (1.40) ´e del tipo P (x) = P1 sin

↵ ⇥ ↵ ⇥ x +P2 cos x = P1 sin(kx)+P2 cos(kx) = P1 e c c

jkx

+P2 ejkx

(1.41) dove k = ⌅c ´e il numero d’onda. Le costanti P1 e P2 sono determinate dalle condizioni al contorno. In particolare, le condizioni al contorno possono essere: • • • •

P (0) ⇤ = P0 , ovvero tubo aperto in x = 0; dP ⇤ = Q0 , ovvero tubo chiuso in x = 0; dx ⇤ x=0

P (L) ⇤ = PL , ovvero tubo aperto in x = L; dP ⇤ = QL , ovvero tubo chiuso in x = L. dx ⇤ x=0

Analizziamo tre tra le quattro possibili combinazioni. 1.3.1 Caso 1: tubo chiuso-chiuso In questo caso, le condizioni al contorno sono: dP ⇤⇤ =0 ⇤ dx x=0 dP ⇤⇤ =0 ⇤ dx x=L P ⇥ (x) = kP1 cos(kx) kP2 sin(kx) ⇥

P (0) = kP1 cos(k0) ⇥

P (L) = kP1 cos(kL)

(1.42) (1.43) (1.44)

kP2 sin(k0) = 0

(1.45)

kP2 sin(kL) = 0

(1.46)

Dalla (1.45) si ricava che P1 = 0. Dalla (1.46), ´e possibile ricavare gli autovalori k. kP2 sin(kL) = 0 kL = i (1.47) i (1.48) L con i {0, 1, 2, . . . N }. Dalla (1.48) si calcolano le frequenze naturali del sistema tubo chiuso-chiuso ic ↵i = (1.49) L ic fi = (1.50) 2L con i {0, 1, 2, . . . N }. La variazione di pressione ´e pertanto possibile scriverla come ki =

1.3 L’operatore acustico: il tubo

P (x) =

⇣

P2,i cos(ki x).

13

(1.51)

i=0

´ interessante calcolare il passo in frequenza (distanza modale) ⇧f , ovvero E la distanza tra un modo e quello successivo. ⇧f = fi+1

fi =

(i + 1) (i) c c= 2L 2L

(1.52)

L’inverso della distanza modale ´e la densit´a modale n=

2L c

(1.53)

mediante la quale ´e possibile calcolare in modo statistico quanti modi risuonano in un dato intervallo in frequenza f . N=

f· n =

f

2L c

(1.54)

´ evidente che, a parit´a di f , il numero di modi risonanti aumenta con la E lunghezza del dominio e diminuisce con l’inverso della velocit´a caratteristica. Ad esempio, nell’intervallo (0; 10000)Hz, un dominio monodimensionale di sezione costante e lunghezza pari a L = 1m presenta all’incirca: • • •

60 modi, se pieno d’aria (c ⇧ 340m/sec); 20 modi, se pieno d’acqua (c ⇧ 1000m/sec); 4 modi, se d’alluminio o d’acciaio (c ⇧ 5000m/sec).

1.3.2 Caso 2: tubo aperto-aperto In questo caso, le condizioni al contorno sono: P (0) = 0

(1.55)

P (L) = 0

(1.56)

P (0) = P1 sin(k0) + P2 cos(k0)

(1.57)

P (L) = P1 sin(kL) + P2 cos(kL) = 0

(1.58)

Quindi

Dalla (1.57) si ricava che P2 = 0 e pertanto si ritrovano le condizioni (1.48), (1.49), (1.50), (1.66) del paragrafo precedente, con la sola esclusione del caso i = 0 (soluzione rigida): ⇣ P (x) = P1,i sin(ki x). (1.59) i=1

14

1 La risposta di un oscillatore semplice e di un tubo

1.3.3 Caso 3: tubo aperto-chiuso In questo caso, le condizioni al contorno sono le (1.55) e (1.43), per cui P (0) = P1 sin(k0) + P2 cos(k0) = 0 P ⇥ (L) = kP1 cos(kL)

kP2 sin(kL) = 0

(1.60) (1.61)

Dalla (1.60) si ricava che P2 = 0. Dalla (1.61), ´e possibile ricavare gli autovalori k cos(kL) = 0 kL = + i (1.62) 2 con i {0, 1, 2, . . . N }. Noti i numeri d’onda, ´e possibile calcolare le frequenze proprie del tubo aperto-chiuso ↵i =

⇥ c 1 +i L 2

(1.63)

⇥ c 1 +i (1.64) 2L 2 {0, 1, 2, . . . N }. La risposta del sistema ´e pertanto ancora esprimibile ⇣ P (x) = P1,i sin(ki x). (1.65) fi =

con i come

i=0

Dal confronto degli autovalori e delle frequenze proprie del tubo apertochiuso con quelli del tubo aperto-aperto e chiuso-chiuso, risulta che essi sono differenti. Calcolando la distanza modale tra due modi successivi anche per il sistema tubo aperto-chiuso, risulta che esso resta invariato rispetto ai casi precedentemente analizzati. ⇧f = fi+1

fi =

⇥ c 1 +i+1 2L 2

⇥ c 1 c +i = 2L 2 2L

(1.66)

Pertanto, pur cambiando le frequenze naturali, la densit´a modale resta immutata. 1.3.4 Spazio dei numeri d’onda e riepilogo delle frequenze naturali In tutti i casi esaminati, lo spazio dei numeri d’onda pu´o essere rappresentato come una retta in cui i modi sono equispaziati, con un intervallo ⇥ k = 2L . Riepilogando le frequenze naturali per i casi analizzati: • • •

ic tubo chiuso-chiuso fi = 2L , con i {0, 1, 2, . . . N }; ic tubo aperto-aperto fi = 2L ⌅, con i⇧ {1, 2, . . . N };

tubo aperto-chiuso fi =

c 2L

1 2

+ i , con i

{0, 1, 2, . . . N }.

In tutti i casi analizzati, sono costanti sia l’intervallo nello spazio dei numeri ⇥ c d’onda k = 2L che il passo in frequenza ⇧f = 2L .

1.4 Operatore acustoelastico

15

1.4 Operatore acustoelastico Una volta analizzati singolarmente l’operatore strutturale e quello acustico, ´e possibile esaminare l’operatore accoppiato acustoelastico. Date la (3.3) e le condizioni al contorno (1.2) e (1.3), assumiamo soluzioni armoniche del tipo x(t) = Xej⌅t (1.67) p(t) = P (x)ej⌅t

(1.68)

P (x) = P1 sin(kx) + P2 cos(kx)

(1.69)

Conseguentemente

P ⇥ (x) = kP1 cos(kx)

kP2 sin(kx)

(1.70)

Dalla prima equazione del sistema accoppiato (3.3) si ricava che X=

A m

P (0) . ↵ 2 + ↵02

(1.71)

Dalle condizioni al contorno imposte sul tubo kP1 cos(k0) kP1 cos(kL)

2

(0) A kP2 sin(k0) = ⇤⌅⌅2P+⌅ 2 0 m kP2 sin(kL) = 0

(1.72)

2

P2 A kP1 + ⇤⌅ =0 ⌅ 2 +⌅02 m kP1 cos(kL) kP2 sin(kL) = 0

In conclusione, si ottiene il seguente sistema risolvente ⌦ ↵ ⇤⌅ 2 P2 A k P1 0 2 2 ⌅ +⌅0 m = . 0 P2 cos(kL) sin(kL)

(1.73)

(1.74)

Scartando la soluzione banale (P1 = P2 = 0), scriviamo l’equazione secolare k sin(kL)

cos(kL)

A ⌦↵ 2 =0 2 2 ↵ + ↵0 m

tan ↵

L⇥ ⌦↵c A = 2 . c ↵ ↵02 m

(1.75)

Poich´e la (1.75) ´e un’equazione trascendente, non esiste la soluzione in forma chiusa e pertanto bisogna studiarla graficamente. Denominando: ⇥ • ⌅(↵) = tan ↵ Lc il membro dipendente dall’operatore acustico; A • q(↵) = ⌅2⇤⌅c⌅2 m il membro dipendente dall’operatore strutturale; 0

16

1 La risposta di un oscillatore semplice e di un tubo

Figura 1.6: studio grafico dell’equazione trascendente per il calcolo degli autovalori del sistema acustoelastico. in Figura 1.6 ´e riportato un andamento qualitativo di una generica risoluzione grafica. Gli autovalori del sistema acustoelastico sono dati dall’intersezione delle curve ⌅(↵) e q(↵). La Tabella 1.3 riporta una semplice analisi parametrica del problema, in cui la parte acustica ´e inalterata, mentre l’operatore strutturale viene opportunamente variato. Ci´o allo scopo di parametrare le frequenze naturali accoppiate in funzione di ↵2 m ⇥ = 02 . (1.76) ⌦c L Dalla tabella, si osserva chiaramente come i soli modi (e frequenze) interessati all’accoppiamento sono sempre il modo (unico) strutturale ed uno dei modi acustici; in particolare, si genera uno split della prima frequenza acustica, mentre le altre frequenze restano praticamente inalterate. Ci´o ´e legato al fatto che l’accoppiamento qui presentato ´e solo dinamico, e non ´e presente alcuna componente geometrica: quest’ultima entra in gioco quando anche l’operatore strutturale ´e decomposto secondo frequenze proprie e modi che si dispiegano nello spazio. Invece, nell’ambito della trattazione, si ´e considerato il pistone rigido e pertanto parliamo solo di accoppiamento dinamico.

1.5 Valutazione dell’accoppiamento Un primo modo per valutare l’effetto dell’accoppiamento in modo ingegneristico ´e basato sull’utilizzo di un paramentro statico, detto ⇤, che non tiene conto delle frequenze naturali disaccoppiate. Esso ´e cos´ı definito

1.5 Valutazione dell’accoppiamento

17

Tabella 1.3: effetto dell’accoppiamento sulle frequenze naturali acustiche in funzione del parametro ⇥.

=

2 ⇤0 m ⇥c2 L

Frequenze proprie [Hz] Disaccoppiate Accoppiate Strutturali Acustiche 0.0

0.0 18.7 137.3 272.6 408.4 544.3 680.3 816.2

136 = 0.045

272 408 544 680 816

13.7

0.0

0.0 127.6 146.3 272.9 408.5 544.3 680.3 816.2

136 = 4.588

272 408 544 680 816

137.6

0.0

0.0 135.4 238.0 274.7 408.7 544.4 680.3 816.2

136 = 13.95

272 408 544 680 816

240.0

⇤=

⌦A c2A ⌦S c2S

(1.77)

dove i pedici A e S sono relativi rispettivamente alla parte acustica e a quella strutturale e c e ⌦ sono rispettivamente la velocit´a caratteristica e la densit´a dell’operatore a cui si riferiscono. Per ⇤ ⌃ 1, l’effetto del fluido sulla struttura pu´o essere trascurato. Nel caso analizzato in questo capitolo, abbiamo un sistema strutturale a propriet´a concentrate ed ´e facile dimostrare che ⇥ ´e leggibile come un ⇤ 1 . L’introduzione del parametro ⇤ permette anche il confronto tra gli effetti di due fluidi differenti, per fissati parametri strutturali. Ad esempio, andiamo a confrontare aria (⇤ar ) e acqua(⇤ac ): ⇤ar =

⌅ ⌦ c2 ⇧ S S ⌦ar c2ar

1

(1.78)

18

1 La risposta di un oscillatore semplice e di un tubo

⇤ac =

⌅ ⌦ c2 ⇧ S S ⌦ac c2ac

1

(1.79)

Risulta evidente che l’accoppiamento ´e sempre pi´ u importante all’aumentare della densit´a di massa corrispondente. Rapportando membro a membro la (1.79) e la (1.78) ⌦S c2S ⌅ ⌦S c2S ⇧ ⇤ac = ⇤ar ⌦ar c2ar ⌦ac c2ac

1

=

⌦ac c2ac . ⌦ar c2ar

(1.80)

Considerando i valori tipici di aria e acqua (cac ⇧ 3car e ⌦ac ⇧ 1000⌦ar ), si ha ⇤ac ⇧ O(104 ) (1.81) ⇤ar da cui si deduce che l’accoppiamento tra una data struttura ed un gas ´e quattro ordini di grandezza minore del corrispondente tra la stessa struttura ed un liquido, come era lecito e naturale aspettarsi.

1.6 Ancora sull’analisi modale accoppiata Consideriamo ancora il sistema 3.3, le condizioni al contorno (1.2) e (1.3) e le soluzioni armoniche (1.67) e (1.68). Nello spazio, consideriamo ora due onde armoniche, una retrocedente e l’altra antecedente, in senso complessivo (senza cio´e considerare la sola parte reale o quella immaginaria): P (x) = P1 ej⌅x + P2 e P ⇥ (x) = jkP1 e⌅x

j⌅x

(1.82)

jkP2 e⌅x .

(1.83)

Essendo sempre valida la (1.71), dalle condizioni al contorno del tubo ´e possibile scrivere 2

⇤⌅ A jkP1 jkP2 = (P1 + P2 ) ⌅ 2 +⌅02 m jkL jkL P1 e P2 e =0

Introducendo la variabile =

⌦↵ 2 A ↵ 2 + ↵02 m

si ottiene il seguente sistema risolvente ⌃ ⌥ jk + jk + P1 P2 ejkL e jkL

(1.84)

(1.85)

=

0 0

(1.86)

Scartando ovviamente la soluzione banale (P1 = P2 = 0), scriviamo l’equazione secolare.

1.6 Ancora sull’analisi modale accoppiata

e

jkL

( + jk) + ejkL (

( + jk) cos(kL)

19

jk) = 0

( + jk)j sin(kL) + (

jk) cos(kL) + (

jk)j sin(kL) = 0 (1.87) A questo punto, ´e necessario annullare contemporaneamente e separatamente la parte reale e quella immaginaria: cos(kL) + k sin(kL) + cos(kL) + k sin(kL) = 0 jk cos(kL) j sin(kL) jk cos(kL) + j sin(kL) = 0 2 cos(kL) + 2k sin(kL) = 0 0=0

(1.88)

Dal sistema (1.88) si ricava che tan(kL) =

k

tan(kL) =

⌦c↵ A ↵ 2 + ↵02 m

ritrovando, come era lecito aspettarsi, il risultato espresso dalla (1.75).

(1.89)

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 

Inquadramento Generale (Interazione FluidoStruttura). Onde, Guide d’onda e Modi Propri di un Sistema Lineare. Sistema Tubo e Pistone. Introduzione all’Aeroelasticità. Instabilità Supersonica di un Pannello. Aeroelasticità Dinamica di un Profilo. Aeroelasticità Statica di Modellli Alari 2D e 3D. Cenno alle Forze Aerodinamiche Instazionarie Il Problema del Flutter (e la Risposta Dinamica). Buffett, Gallopping, Vortex shedding, Stall flutter. Metodi (Statistici) Energetici per Sistemi Lineari. Approccio modale per interpretazioni energetiche (EDA). Similitudini Introduzione al FEM spettrale. Cenni di Acustica (e AcustoElasticità) Interna dei Velivoli Potenza Acustica Radiata da Componenti Strutturali Piani. Un Modello Aero(Idro)Acusto-Elastico Completo Rappresentazioni Universali dei Dati AeroAcusto-Elastici.

Introduzione all’Aeroelasticità Sergio De Rosa Dipartimento di Ingegneria Industriale Sezione Aerospaziale Università degli Studi di Napoli Federico II

2

Una Prima Definizione

•  L Aeroelasticità è la disciplina che tratta lo studio degli effetti delle forze aerodinamiche sulle strutture elastiche. •  Applicata ? Se ascolto dimentico, se vedo ricordo, se faccio capisco.

3

Risposta a Ciclo Aperto (Open Loop)

Carico (Input) Struttura (Sistema)

Nei sistemi a ciclo aperto lineari, non c è possibilità di indeterminazione: una volta assegnato il sistema, ed il suo ingresso sia una quantità nota, l uscita è univocamente determinata.

Esempi: Risposta Statica

{ F} = [ K]{ x}

Spostamento (Output)

Risposta Aeroelastica

[ M]{q} + [ K∗ ]{q} = [A (q )]{q} + {FD }

4

Risposta a Ciclo Chiuso (Closed Loop) Le condizioni finali possono essere equilibrate (quale tipo di equilibrio ?), ma possono condurre il sistema verso una divergenza (statica e/o dinamica) della risposta. Carichi Incrementali

Carichi

Sistema

Risposta

5

Profilo Elastico Torsionalmente (1/2) θ=θ0*exp(-jωt)

U α"

θ"

mθ"

θ"

Angolo d Attacco

α"

Profilo Elastico

Profilo Rigido

Rigidezza Torsionale

Portanza

6

Profilo Elastico Torsionalmente (2/2) •  Momento Aerodinamico dovuto all incremento di Portanza: ΔM =ΔL*a •  Momento di Richiamo Elastico: ΔMθ=mθ*θ"

A) ΔM e ΔMθ hanno lo stesso verso (Effetto Stabilizzante)" B) ΔMθ =0 (Indifferenza dell Effetto) C) ΔM e ΔMθ hanno verso opposto (Effetto Instabilizzante) C1) ΔM < ΔMθ (il profilo raggiunge l equilibrio)" C2) ΔM = ΔMθ (il profilo è in equilibrio indifferente)" C3) ΔM > ΔMθ (il profilo diverge)" " ""

7

Schema Funzionale in una Generica Condizione di Volo Meccanismo d Interazione Aeroelastica di tipo Dinamico Forze Aerodinamiche Instazionarie da Flusso Perturbato (raffiche, turbolenze, ecc.)

Comportamento Dinamico delle Strutture

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Flusso Separato (sulle superfici portanti)

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Vibrazioni Strutturali

8

Meccanismi Funzionali: Flutter (Vibrazione Autoeccitata)

Comportamento Dinamico delle Strutture

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Vibrazioni Strutturali

9

Meccanismi Funzionali: Risposta Dinamica

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Flusso Perturbato (raffiche, turbolenze, ecc.)

Comportamento Dinamico delle Strutture

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Vibrazioni Strutturali

10

Meccanismi Fuzionali: Buffetting

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Flusso Separato (sulle superfici portanti)

Forze Aerodinamiche Instazionarie da Vibrazioni Strutturali

Comportamento Dinamico delle Strutture

11

Il Concetto di Operatore

•  Semplicisticamente l operatore è un algoritmo matematico che trasforma una grandezza in ingresso in una in uscita. •  Suddivisione degli Operatori: –  Strutturale –  Inerziale –  Smorzamento –  Aerodinamico

Operatore Aeroelastico

12

Operatori Strutturali Lineari

•  Classificazione degli operatori lineari: –  strutturale: esplicita la risposta del sistema per la parte proporzionale agli spostamenti –  inerziale: esplicita la risposta del sistema per la parte proporzionale alle accelerazioni –  smorzamento viscoso: esplicita la risposta del sistema per la parte proporzionale alle velocità

 + cx + kx F = mx

13

Triangolo dell Aeroelasticità di Collar (1946)

A

E

I

14

Ramo A-E

! D Divergenza ! EC Efficacia dei Comandi ! IC Inversione dei Comandi ! DCE Distribuzione del Carico sul Velivolo Elastico ! SSE Stabilità Statica del Velivolo Elastico

15

Punto A e Ramo A-I ! DCR Distribuzione del Carico sul Velivolo Rigido ! SSR Stabilità Statica del Velivolo Rigido

! SDR Stabilità Dinamica del Velivolo Rigido

16

Ramo I-E

! ID Impatto Dinamico ! V Dinamica delle Strutture o Meccanica Vibratoria

17

. . . si entra nel triangolo AEI

! F Flutter ! B Buffetting ! RD Risposta Dinamica ! S DE Stabilità Dinamica del Velivolo Elastico

18

Triangolo dell Aeroservoelasticità

à cit sti ela vo

E

ser

ae roe las tic ità

A

aeroservodinamica

S

19

Triangolo dell Aeroacustoelasticità

s cu a tic

S

r oa ae

ae roe las tic ità

A

A

acustoelasticità

20

Tetraedro Aerotermoelastico di Garrick AHE HEI

Influenza della Temperatura sull Aeroelasticità Statica Influenza della Temperatura sulla Dinamica delle Strutture

Influenza della Temperatura

AHI sulla Stabilità del Velivolo

A H

E

I

21

Formulazione Simbolica dell Equazione Generale dell Aeroelasticità (1/3)

•  A(q) d2q/dt2+ B(q) dq/dt + C(q) q=A(q) q+QD –  A è l operatore inerziale –  B è l operatore di smorzamento –  C è l operatore di rigidezza –  A è l operatore aerodinamico –  Q è l operatore di disturbo (non dipende da q) –  q è la coordinata generalizzata.

•  Non è stata fatta alcuna ipotesi restrittiva per questa rappresentazione formale

22

Equazione Generale dell Aeroelasticità (2/3) Ipotesi : Linearità degli Operatori A,B, e C

(A+B+C)q=A(q)q+QD ed esplicitando le funzionalità col tempo:

d 2q dq A 2 +B +Cq = A( q )q + Q D dt dt Si può anche esplicitare analogamente l’operatore aerodinamico:

d 2q dq ( A − A) 2 + ( B − B) + ( C − C)q = Q D dt dt

23

Equazione Generale dell Aeroelasticità (3/3) Formulazione Matriciale:

([ A ] − [ A]){q}

+ ([ B] − [ B]){q }

+ ([ C] − [ C ]){q}

In corsivo è sempre indicato l operatore aerodinamico corrispondente.

= {Q D }

24

Esempi di Specializzazioni in Forma Matriciale

([A] − [ A]){q} + ([ B] − [ B]){q } + ([C] − [C]){q} = 0

Flutter

([ C] − [ C]){q} = {Q D }

Aeroelasticità Statica Divergenza

([ C] − [ C]){q} = 0

Stabilità Dinamica del Velivolo Rigido (a e b)

([ A] − [ A]){q} − [ B]{q } − [ C]{q} = {Q D } [ A]{q} = [ C]{q} + {Q D } Dinamica delle Strutture

[ A]{q} + [ B]{q } + [ C]{q} = {Q D }

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 

Inquadramento Generale (Interazione FluidoStruttura). Onde, Guide d’onda e Modi Propri di un Sistema Lineare. Sistema Tubo e Pistone. Introduzione all’Aeroelasticità. Instabilità Supersonica di un Pannello. Aeroelasticità Dinamica di un Profilo. Aeroelasticità Statica di Modellli Alari 2D e 3D. Cenno alle Forze Aerodinamiche Instazionarie Il Problema del Flutter (e la Risposta Dinamica). Buffett, Gallopping, Vortex shedding, Stall flutter. Metodi (Statistici) Energetici per Sistemi Lineari. Approccio modale per interpretazioni energetiche (EDA). Similitudini Introduzione al FEM spettrale. Cenni di Acustica (e AcustoElasticità) Interna dei Velivoli Potenza Acustica Radiata da Componenti Strutturali Piani. Un Modello Aero(Idro)Acusto-Elastico Completo Rappresentazioni Universali dei Dati AeroAcusto-Elastici.

2 L’instabilit´ a dinamica (flutter supersonico) di un pannello

Si vuole analizzare la risposta di un pannello sottile lambito da un lato da un flusso supersonico, mentre dall’altro c’´e un volume in quiete. Si parla di aeroelasticit´ a non portante poich´e il flusso lambisce una sola faccia del pannello, e quindi non pu´ o generare portanza. Si scriveranno prima le equazioni del pannello isolato e successivamente si inserir´ a l’aerodinamica per risolvere il problema aeroelastico. Questo schema ´e stato sviluppato con la collaborazione dell’Ing. Ernesto Monaco.

2.1 Equazioni del moto di un pannello sottile Scriviamo le equazioni del moto per un pannello sottile non smorzato, caricato da una distribuzione di pressione generica p(x, y, t). Sia il pannello sottile di lati di lunghezza a e b, lungo gli assi x e y rispettivamente, in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz .

Figura 2.1: pannello aeroelastico e relativo sistema di riferimento. L’equazione del pannello sottile ´e

22

D

2 L’instabilit´ a dinamica (flutter supersonico) di un pannello

h⇣ @ 4 i @4 @4 ⌘ @ 2 w(x, y, t) + + w(x, y, t) + ⇢s h + p(x, y, t) = 0 (2.1) 4 2 2 4 @x @x @y @y @t2

o equivalentemente

Dr4 w(x, y, t) + m

@ 2 w(x, y, t) + p(x, y, t) = 0 @t2

(2.2)

dove: • • • • • • • •

w(x, y, t) ´e lo spostamento incognito del pannello; x e y sono le coordinate spaziali; t ´e la coordinata temporale; ⇢s ´e la densit´ a di massa del pannello; h ´e lo spessore del pannello; D ´e la rigidezza flessionale del pannello per unit´a di apertura; p(x, y, t) ´e il carico di pressione che agisce sul pannello; m = ⇢s h ´e la massa del pannello.

2.1.1 Soluzione dell’equazione omogenea associata Supponendo che il pannello sia incernierato sui quattro lati (spostamenti e loro derivate seconde nulli), gli spostamenti del pannello sono cos´ı esprimibili: w(x, y, t) =

1 X 1 X p=1 r=1

sin

⇣ p⇡x ⌘ a

sin

⇣ r⇡y ⌘ b

qpr (t)

(2.3)

o equivalentemente w(x, y, t) =

1 X 1 X

pr (x, y)qpr (t)

(2.4)

p=1 r=1

dove pr (x, y) l’autovettore del problema omogeneo. Dalla (2.4) si comprende come si sia passati da una variabile tridimensionale w(x, y, t) al prodotto di due variabili: • •

pr (x, y) sono gli autovettori, che sono noti (avendo imposto le condizioni al contorno); qpr (t) ´e la variabile lagrangiana modale, dipendente solo dal tempo.

Gli autovettori soddisfano ovviamente l’equazione omogenea associata Dr4

pr (x, y)

2 !pr m

pr (x, y)

=0

dove gli autovalori !pr (pulsazioni proprie) sono dati da s D h⇣ p⇡ ⌘2 ⇣ r⇡ ⌘2 i 2 !pr = + ⇢s h a b

(2.5)

(2.6)

2.1 Equazioni del moto di un pannello sottile

23

con p, r 2 {1, 2, . . . , N }. Si osservi che per denotare un singolo autovettore pr (x, y) occorre una coppia di interi (p, r), che definisce in modo univoco un modo proprio di vibrare del pannello e la corrispondente pulsazione propria. In particolare la coppia d’interi (p, r) rappresenta il numero di semionde flessionali sviluppate secondo gli assi x e y, rispettivamente, come mostrato nella Figura 2.2.

Figura 2.2: autovettore

p=1,r=3 (x, y)

L’espansione modale qui presentata ´e applicabile anche a casi in cui le condizioni al contorno del pannello siano diverse da quelle del semplice appoggio. In tal caso, l’intero procedimento ´e approssimato (sviluppo di Rayleigh - Ritz) in quanto sia l’espansione dei modi spaziali sia le autosoluzioni temporali sono grandezze approssimate. Si noti inoltre che spesso ´e arduo classificare i modi propri mediante il conteggio delle semionde in due direzioni ortogonali: basti pensare che il pannello, in generale, potrebbe non essere dotato di regolarit´a geometrica. Pertanto, l’espansione modale esatta presentata in questo capitolo ´e possibile solo in pochi casi. 2.1.2 Soluzione dell’equazione completa Nel paragrafo precedente, si ´e delineata una procedura per modellare l’operatore strutturale, trovando una soluzione per l’equazione omogenea associata. Si cercano ora soluzioni modali anche per l’equazione completa, in cui ´e presente un generico carico di pressione p(x, y, t). I passi da eseguire sono, in sequenza: 1. 2. 3. 4.

sostituire l’espansione modale (2.3) nell’equazione del moto (2.1); moltiplicare l’equazione cos´ı ottenuta per un nuovo autovettore mn (x, y); integrare sul dominio spaziale, ovvero sull’area del pannello; per la propriet´ a di ortogonalit´a dei modi propri, le soluzioni non nulle si hanno solo se p = m e r = n.

24

2 L’instabilit´ a dinamica (flutter supersonico) di un pannello

Per ogni modo proprio considerato, si ottiene un’equazione del tipo Z aZ b 2 mpr q¨pr (t) + mpr !pr qpr (t) = p(x, y, t) pr (x, y) dx dy. (2.7) 0

0

Si noti che al secondo membro della (2.7) compare la capacit´a che la generica distribuzione di pressione p(x, y, t) ha di compiere lavoro sul modo proprio mn (x, y). Al primo membro troviamo i termini modali, in particolare: •

la massa generalizzata, data da Z aZ b mprmn = ⇢s h pr (x, y) 0

0

= mpr = ⇢s h

Z aZ 0

•

mn (x, y) dx dy

=

b

1 [ pr (x, y)] dx dy = ⇢s hab. 4 0

(2.8)

2

Quindi, la massa generalizzata ´e pari ad la rigidezza generalizzata, data da

1 4

della massa totale del pannello;

2 kpr = mpr !pr .

(2.9)

2.1.3 Carico di pressione puntuale Nello sviluppo e↵ettuato sinora, la pressione ´e stata considerata un carico arbitrario e non specificato. Consideriamo il caso in cui la pressione sia di origine meccanica e puntualmente agente sul pannello in un punto (xF , yF ), ovvero p(x, y, t) = f (t) (x xF ) (y yF ). (2.10) Nella (2.10) si ´e fatto uso della funzione di Dirac (x xF ). In questo caso, la (2.7) diventa Z aZ b 2 mpr q¨pr (t) + mpr !pr qpr (t) = f (t) (x xF ) (y yF ) pr (x, y) dx dy. 0

0

(2.11)

Risolvendo, si ottiene 2 mpr q¨pr (t) + mpr !pr qpr (t) =

f (t) sin

⇣ p⇡x ⌘ F

a

sin

⇣ r⇡y ⌘ F

b

.

(2.12)

A questo punto, si ricercano soluzioni armoniche per la (2.12), imponendo che: qpr (t) = Apr e f (t) = F e

j!t

j!t

(2.13) (2.14)

p ´ facile dimostrare che la soluzione dell’equazione completa ´e con j = 1. E data dall’espansione

2.2 Aerodinamica instazionaria

w(x, y, t) = e

j!t

1 X 1 X

Apr sin

p=1 r=1

= Fe

j!t

1 X 1 sin X p=1 r=1

⇣

⇣ p⇡x ⌘

p⇡x a

a ⌘

sin

25

⇣ r⇡y ⌘

= b ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ (2.15) p⇡xF r⇡yF sin r⇡y sin sin b a b . 2 mpr !pr mpr ! 2

Dato che la massa generalizzata ´e costante, come dimostrato nella (2.8), si pu´ o semplificare ulteriormente la (2.15), ottenendo in conclusione ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ 1 X 1 sin p⇡x sin r⇡y sin p⇡xF sin r⇡yF X a b a b 4F w(x, y, t) = e j!t . 2 ⇢s hab !pr !2 p=1 r=1

(2.16) Per regolare il comportamento in condizioni di risonanza (! = !pr ), ´e necessario introdurre uno smorzamento; il metodo pi´ u semplice per introdurre lo smorzamento del pannello nel modello analitico ´e quello di considerare un modulo di elasticit´ a complesso. Nel caso in esame, si definisce una rigidezza flessionale complessa D(1 + ⌘), dove ⌘ il coefficiente di smorzamento. In tal caso, la risposta del pannello in presenza di smorzamento ´e pari a ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ 1 X 1 sin p⇡x sin r⇡y sin p⇡xF sin r⇡yF X a b a b 4F e j!t . w(x, y, t) = 2 2 ) + j⌘! 2 ⇢s hab (! ! pr pr p=1 r=1 (2.17)

La (2.17) ´e l’equazione del pannello nelle ipotesi di pannello: • • •

isolato; forzato, con un carico puntuale in (xF , yF ); smorzato (che ´e l’ipotesi pi´ u forte per il modello di smorzamento assunto).

2.2 Aerodinamica instazionaria Nello sviluppo presentato al paragrafo precedente, si ´e supposto che il carico di pressione sia un termine noto, indipendentemente dalla sua origine. Si cercano adesso delle espressioni che rendano il fenomeno fisico dell’accoppiamento dei moti del pannello investito da una corrente di note propriet´a. Impostiamo, quindi, l’operatore aerodinamico da accoppiare poi a quello strutturale, in vista del modello aeroelastico completo. Per trovare un’espressione delle forze aerodinamiche generalizzate, ovvero il secondo membro della (2.7), bisogna scrivere l’equazione di↵erenziale che regola il potenziale di velocit´a per piccoli disturbi di un fluido irrotazionale, inviscido, parallelo all’asse x. Tale equazione ´e 2 ⌘ 1 ⇣ @2 @2 2@ r2 = + 2U + U (2.18) C @t2 @t@x @x2 dove:

26

• • •

2 L’instabilit´ a dinamica (flutter supersonico) di un pannello

´e il potenziale di velocit´a; U ´e la velocit´ a della corrente asintotica; C ´e la velocit´ a della corrente asintotica. Le condizioni al contorno per il potenziale sono: |z!1 = 0 (

@ |z!0 = @z

condizione asintotica @w @t

+U

@w @x ,

0,

sul pannello fuori dall’area del pannello

(2.19) (2.20)

A parte la condizione asintotica, ´e necessario so↵ermarsi sulla condizione al contorno definita sul pannello, che risulta essere una condizione di accoppiamento. Essa ´e indicativa dell’interazione del fluido con il pannello in vibrazione, poich´e la vibrazione del pannello determina un disturbo sulla velocit´ a del fluido che lo lambisce. In particolare, la velocit´ a sul pannello ´e data dalla somma di due contributi: • •

@w @t ,

dovuta alla condizione di continuit´a, secondo cui una particella di fluido sul pannello ha una velocit´a pari alla velocit´a di vibrazione del pannello stesso; U @w e la componente convettiva, dovuta al fatto che c’´e un flusso di @x , che ´ massa che lambisce il pannello con velocit´a U .

Al di fuori dell’area del pannello, la corrente ´e indisturbata, e pertanto il pannello definisce uno schermo (ba✏e) di disturbo. La soluzione del problema pu´o essere trovata adottando una doppia trasformata di Fourier (una rispetto alle coordinate spaziali ed una rispetto alla coordinata temporale) sia dell’equazione (2.18) che delle relative condizioni al contorno. A questo punto, ´e necessario introdurre un legame tra il potenziale di velocit´ a della corrente e la pressione, ovvero del carico aerodinamico che agisce sul pannello. Si introduce pertanto la relazione di Bernoulli p=

⇢f

⇣@

@t

+U

@ ⌘ @x

(2.21)

dove con ⇢f si ´e indicata la densit´a di massa del fluido considerato. Nel caso di moto supersonico, in particolare per M1 > 1.5, ´e possibile semplificare la relazione di Bernoulli, descrivendo la distribuzione di pressione mediante la Piston Theory, che costituisce un notevole vantaggio. La Piston Theory ´e un modello locale tale che il carico agente in un punto del pannello ´e indipendente da quanto accade negli altri punti, come se su ognuno di essi agisse un pistone ad esercitare la pressione. Questo tipo di approccio fornisce una relazione tra lo spostamento w(x, y, t) del pannello, ovvero l’operatore strutturale, e la pressione p(x, y, t), ovvero l’operatore aerodinamico. In particolare, ´e possibile scrivere:

2.2 Aerodinamica instazionaria

not stationary piston theory

p=

stationary piston theory

p=

@w ⌘ +U @t @x ⇣ @w ⌘ ⇢f C U @x ⇢f C

⇣ @w

27

(2.22) (2.23)

Il vantaggio dell’utilizzo della Piston Theory ´e che, mediante alcuni passaggi matematici, si giunge a scrivere la parte aerodinamica associata alla vibrazione del pannello, cio´e la distribuzione di pressione, nelle stesse coordinate modali utilizzate per l’equazione del pannello. Utilizzando le (2.3),(2.7),(2.22), ´e possibile ottenere: 2 mpr q¨pr (t) + mpr !pr qpr (t) + ⇢f U 2 Qpr (t) = 0

dove Qpr (t) =

Z aZ 0

b 0

p(x, y, t) ⇢f U 2

pr (x, y) dx dy.

(2.24)

(2.25)

La matrice Qpr ´e una matrice modale, e rappresenta il lavoro che la dis´ una matrice tribuzione di pressione p(x, y, t) svolge per il modo proprio pr . E piena, nella quale: • •

sulla diagonale, troviamo il lavoro che la distribuzione di pressione p(x, y, t) dovuta al modo ij svolge sul modo ij stesso; fuori dalla diagonale, troviamo il lavoro che la distribuzione di pressione p(x, y, t) dovuta al modo ij svolge sul modo mn , con (i, j) 6= (m, n);

Pertanto, per descrivere ogni termine della matrice Qpr sono necessari 4 indici, poich´e il termine Qprmn esprime il lavoro compiuto dalle forze aerodinamiche dovute al modo pr-simo del pannello per gli spostamenti associati al modo mn-esimo. La forza generalizzata relativa al modo pr-esimo del pannello Qpr ´e data dalla somma dei contributi dei lavori compiuti dalle forze aerodinamiche di tutti i modi mn-esimi del pannello, ovvero: Qpr =

M X N X

Qprmn

(2.26)

m=1 n=1

Grazie alla Piston Theory, la matrice Qpr pu´o essere scomposta in una parte statica ed una dinamica, ottenendo Qpr =

M X N h X

m=1 n=1

M X N h i X i (d) Q(s) qmn (t)Sprmn + q˙mn (t)Dprmn . prmn + Qprmn = m=1 n=1

(2.27) Nella (2.27), la matrice Spr ´e la matrice statica, legata all’e↵etto aerodinamico stazionario, ed ´e rappresentativa della rigidezza introdotta dalla parte aerodinamica (si parla di matrice di rigidezza aerodinamica generalizzata); la matrice Dpr ´e la matrice dinamica, legata all’e↵etto aerodinamico instazionario, e tiene conto dello smorzamento introdotto dalla parte aerodinamica (matrice di smorzamento aerodinamico generalizzata).

28

2 L’instabilit´ a dinamica (flutter supersonico) di un pannello

Utilizzando la (2.22), ´e possibile andare a calcolare le matrici Spr e Dpr . Indicando con M1 il numero di Mach della corrente asintotica, ´e possibile scrivere:

Sprmn =

1 M1

1 = M1

Dprmn =

Z aZ

"Z0

b

@

0

b

sin 0

1 (U )(M1 )

1 = (U )(M1 )

pr (x, y)

@x ⇣ r⇡y ⌘ b

Z aZ

"Z0

⇣ n⇡y ⌘ b

dy

#"

=

p⇡ a

Z

a

cos 0

Dprmn =

(

a

sin

⇣ m⇡x ⌘ a

dx

#

(2.28)

pr (x, y) mn (x, y) dx dy 0

sin

⇣ r⇡y ⌘ b

sin

⇣ n⇡y ⌘ b

= #"Z

a

dy

sin

0

Risolvendo gli integrali (2.28) e (2.29), si ottiene: ( 0 ⇣ ⌘h Sprmn = (m p) cos[⇡(m+p)]+(m+p) cos[⇡(m p b M1

⇣ p⇡x ⌘

b

b

0

sin

mn (x, y) dx dy

4

(m p)(m+p)

⇣ p⇡x ⌘ a

p)] 2m

i

sin

⇣ m⇡x ⌘ a

dx

#

(2.29)

se r 6= n o p = m se r = n o p 6= m (2.30)

0 ab 4(U )(M1 )

⌘ Dpr

se r 6= n o p 6= m se r = n o p = m

(2.31)

La novit´ a dell’approccio e↵ettuato sta nell’utilizzare la base modale per sviluppare sia l’operatore strutturale che quello aerodinamico. Infatti, grazie all’ipotesi di lavoro della teoria del pistone, le equazioni si presentano tutte in funzione degli spostamenti del pannello, espressi dall’unica variabile modale q(t).

2.3 Equazioni aeroelastiche ´ possibile a questo punto impostare il problema aeroelastico nella sua E forma pi´ u immediata, sfruttando le relazioni sin qui ottenute. In particolare, considerando i modi del pannello con ordine massimo N lungo x ed M lungo y, ´e possibile scrivere un’equazione di questo tipo: 2 mpr q¨pr (t) + mpr !pr qpr (t) + ⇢f U 2

M X N h X

m=1 n=1

i qmn (t)Sprmn + q˙mn (t)Dprmn = 0

(2.32)

2.3 Equazioni aeroelastiche

29

con p 2 {1, 2, . . . , N } e r 2 {1, 2, . . . , M }. Si ricorda che, anche se di difficile lettura, il doppio indice ´e strettamente necessario in quanto la coppia d’interi definisce univocamente il modo del pannello. In forma matriciale, la (2.32) diventa: 9 8 9 2 2 38 !1,1 0 . . . 0 q¨1,1 (t) > q1,1 (t) > > > > > > > > > > > > 6 7> > > .. .. .. < = < = 6 7 . 1 1 0 . . . 0 . . 6 7 ab⇢s h[I] + ab⇢ h = s 6 7 .. .. .. > > > > 4 4 > > > > 4 5 . . . . . . . . . . > > > > . . > > > > : ; : ; 2 0 0 . . . !N,M q¨N,M (t) qN,M (t) 9 8 9 2 38 S1,1 1,1 . . . . . . S1,1 N,M > q1,1 (t) > q˙1,1 (t) > > > > > > > > > > 6 7> > > .. .. .. .. < = ⇢ U ab > < = 6 7 . . . . . 0 . . f 26 7 ⇢f U 6 [I] 7> .. .. .. .. . > > > M1 4 > > > 4 5> > > > > . . . . .. . . . > > > > : ; : ; SN,M 1,1 . . . . . . SN,M N,M qN,M (t) q˙N,M (t) (2.33) dove [I] ´e la matrice identica. Dalla (2.33) ´e possibile notare alcuni fatti salienti: •

• • • • •

per U = 0 il sistema d’equazioni si disaccoppia totalmente, ottenendo tante equazioni ad un grado di libert´a quanti sono i modi del pannello scelti per la rappresentazione del fenomeno (scompare il problema aerodinamico, e resta il problema strutturale lineare); ´e solo grazie all’aerodinamica che il sistema d’equazioni di↵erenziali ordinarie del secondo ordine omogeneo ´e tale; il sistema, in generale, ammette delle (auto)soluzioni dipendenti da U (e quindi da M1 ); le matrici [S] e [D] al secondo membro, come gi´a accennato, possono essere definite rispettivamente come matrici di rigidezza e di smorzamento aerodinamiche; [D] ´e diagonale; [S] non ´e diagonale, e quindi non ´e possibile disaccoppiare i modi propri. L’analisi modale in questo caso non permette il disaccoppiamento delle equazioni, ma permette comunque di esprimere anche le forze aerodinamiche generalizzate mediante la stessa coordinata lagrangiana utilizzata per la risposta del pannello.

Si deduce pertanto che l’interazione fluido-struttura al variare della velocit´ a determina una variazione delle propriet´a del pannello in termini di rigidezza e smorzamento che pu´ o portare ad un’instabilit´a aeroelastica. L’analisi dell’instabilit´ a aeroelastica consiste nel ricercare quelle velocit´a in corrispondenza delle quali: •

si annulla la rigidezza del sistema aeroelastico, ed in questo caso parliamo di divergenza (instabilit´a statica);

30

•

2 L’instabilit´ a dinamica (flutter supersonico) di un pannello

si annulla lo smorzamento del sistema aeroelastico, ed in questo caso parliamo di flutter (instabilit´a dinamica).

2.4 Sistema ad un grado di libert´ a Per comprendere meglio il significato dei singoli operatori e dei calcoli da e↵ettuare, ´e opportuno partire dal sistema aeroelastico pi´ u semplice, in cui si considera solo il primo modo del pannello (quindi con p = r = 1). L’equazione del sistema ´e 1 1 2 ab⇢s h¨ q1,1 (t) + ab⇢s h!1,1 q1,1 (t) + ⇢f U 2 S1,1 4 4

⇢f U ab q˙1,1 (t) = 0. M1 4 (2.34) Dato che S1,1 1,1 = 0, dividendo primo e secondo membro per ab 4 e ponendo per semplicit´ a q1,1 ⌘ q e !1,1 ⌘ ⌦, la (2.34) diventa: 1,1 q1,1 (t)

+

⇢s h¨ q (t) + ⇢s h⌦ 2 q(t) + ⇢f C q(t) ˙ =0

(2.35)

dove chiaramente C = MU1 ´e la velocit´a del suono della corrente asintotica. Si cercano soluzioni armoniche del tipo q(t) = q0 e t . L’equazione secolare a cui si perviene ´e h ⇣⇢ C ⌘ i f 2 + + ⌦ 2 q0 = 0 (2.36) ⇢s h da cui si ricava

=

1 ⇣ ⇢f C ⌘ ± 2 ⇢s h

s

⇣ ⇢ C ⌘2 f ⇢s h

4⌦ 2 .

(2.37)

Dall’esame (2.37)⌘si pu´o dedurre che si ottengono autovalori comp⇣ della ⇢f C 2 lessi solo se ⇢s h < 4⌦ 2 . In tal caso, gli autovalori sono necessariamente complessi coniugati a parte reale negativa. Allo stesso tempo, ´e possibile constatare che nel caso di autovalori puramente reali, essi sono certamente minori di zero (al massimo nulli). Si ricordi a questo punto che per come si ´e sviluppata la procedura di estrazione degli autovalori, la condizione necessaria affinch´e si abbia instabilit´a aeroelastica (panel flutter ) ´e che la parte reale dell’autovalore deve essere positiva, ovvero Re( ) > 0. Sulla base delle precedenti considerazioni, ´e possibile a↵ermare che: • • •

non ´e verificabile un’instabilit´a instazionaria aeroelastica dei pannelli ad un grado di libert´ a; il sistema in queste approssimazioni non dipende dalla velocit´a del flusso; se si esplicitasse l’operatore stazionario associato alla Piston Theory, nel caso di sistema ad un grado di libert´a scomparirebbe del tutto la parte aerodinamica.

2.5 Sistema a due gradi di libert´ a

31

2.5 Sistema a due gradi di libert´ a Si esamino ora un sistema aeroelastico instazionario in cui si considerano solo i primi due modi del pannello (p = 1, 2; r = 1). L’equazione del sistema ´e  ⇢  2 ⇢ 1 1 ! 1 0 q¨1,1 (t) q1,1 (t) ab⇢s h + ab⇢s h 1,1 2 = 0 1 q¨2,1 (t) 0 !2,1 q2,1 (t) 4 4  ⇢  ⇢ ⇢f U ab 1 0 q˙1,1 (t) S S q1,1 (t) ⇢f U 2 1,1 1,1 1,1 2,1 . (2.38) S2,1 1,1 S2,1 2,1 q2,1 (t) M1 4 0 1 q˙2,1 (t) Dato che S1,1 1,1 = S2,1 ponendo per semplicit´ a • • • •

2,1

= 0, dividendo ambo i membri per 14 ab⇢s h e

q1,1 ⌘ q1 ; q2,1 ⌘ q2 ; !1,1 ⌘ ⌦1 ; !2,1 ⌘ ⌦2 ;

la (2.38) diventa ⇢

⇢f C q¨1 (t) + q¨2 (t) ⇢s h

⇢



q˙1 (t) q˙2 (t)

 ⇢f U 2 4 ⌦12 0 0 + 0 ⌦22 S ⇢s h ab 2,1

1,1

S1,1 0

2,1

!⇢

q1 (t) q2 (t)

=

⇢

(2.39) Si cercano ancora soluzioni del tipo q(t) = q0 e t . L’equazione secolare ´e la seguente ⇣

2

+

⌘⇣ ⇢f C + ⌦12 ⇢s h

2

+

⌘ ⇢f C + ⌦22 ⇢s h

⇣ ⇢ U 2 4 ⌘2 f S2,1 ⇢s h ab

Dalla (2.30), ´e possibile calcolare S1,1 2,1 = do nell’equazione secolare (2.40), si ricava: ⇣

2

+ ⇣

⌘⇣ ⇢f C + ⌦12 ⇢s h 2

+

2

+

⌘⇣ ⇢f C + ⌦12 ⇢s h

S2,1

11

=

1,1 S1,1 2,1 2 b 3 M1 .

= 0.

(2.40) Sostituen-

⌘ ⇣ ⇢ U 2 4 ⌘2 ⇣ 2 b ⌘2 ⇢f C f + ⌦22 + = 0 (2.41) ⇢s h ⇢s h ab 3 M1 2

+

⌘ ⇣ ⇢ U C 8 ⌘2 ⇢f C f + ⌦22 + =0 ⇢s h ⇢s ha 3

(2.42)

La (2.42) ´e un’equazione del quarto grado biquadratica caratterizzata da soluzioni note e dipendenti da: • • •

caratteristiche del pannello; quota (densit´ a e velocit´ a caratteristica del suono); velocit´ a asintotica.

0 . 0

32

2 L’instabilit´ a dinamica (flutter supersonico) di un pannello

´ possibile quindi e↵ettuare analisi parametriche delle variazioni degli auE tovalori di flutter. Quella che in questo ambito si ritiene pi´ u facilmente interpretabile permette di inseguire i valori delle parti reali e immaginarie dei quattro autovalori per un fissato numero di Mach al variare della velocit´a del fluido. In altre parole, al variare della velocit´a asintotica, la quota (e quindi la velocit´ a caratteristica del suono) varia in maniera tale che il numero di Mach si mantenga costante. Da un punto di vista matematico, ci´o corrisponde nel sostituire nell’equazione (2.42) C = MU1 , considerare il numero di Mach come una costante assegnata e U unica variabile indipendente del problema. Si osservi che l’autovalore ´e pari a = ⌘ + j!. I risultati ottenuti sono mostrati dalle Figure 2.3 e 2.4, in cui sono riportati rispettivamente gli andamenti di frequenze naturali ! = Im( ) e smorzamenti Re( ) ⇣ = Im( a asintotica. ) del sistema aeroelastico con la velocit´ ´ facilmente verificabile che i quattro autovalori del problema aeroelastico E sono caratterizzati da parti reali e parti immaginarie a due a due uguali e opposte tra loro, ovvero si ritrovano le stesse soluzioni mediante uno sfasamento di 180 gradi. Inoltre, ´e immediato constatare che le due soluzioni corrispondono per U = 0 (operatore aerodinamico assente) agli autovalori puramente strutturali. In tale ottica, ´e possibile interpretare l’analisi aeroelastica come la variazione degli autovalori strutturali dovuta ad un disturbo esterno di tipo aerodinamico. Dalla Figura 2.3 risulta che all’aumentare della velocit´a, le frequenze proprie del sistema convergono ad un unico valore. Giunti alla velocit´a di coalescenza, i modi propri sono in grado di scambiarsi energia. Questa ´e una condizione necessaria ma non sufficiente per avere panel flutter. La condizione fondamentale ´e riportata nella Figura 2.4: l’aumento di velocit´a fa cambiare con continuit´ a lo smorzamento aerodinamico (lo smorzamento strutturale ´e

Figura 2.3: frequenze naturali del sistema instazionario al variare della velocit´a a Mach fissato (M1 = 2).

2.5 Sistema a due gradi di libert´ a

33

Figura 2.4: smorzamenti del sistema instazionario al variare della velocit´a a Mach fissato (M = 21 ). nullo in quanto si considera la struttura conservativa), ed in corrispondenza della velocit´ a di coalescenza uno dei due smorzamenti prima si annulla, poi diventa positivo. La frequenza di coalescenza e la corrispondente velocit´a sono denominate di flutter , ed in accordo con quanto detto prima ´e possibile a↵ermare che la condizione di panel flutter si raggiunge quando il disturbo aerodinamico annulla lo smorzamento complessivo del sistema e porta a coalescenza le parti immaginarie dei due autovalori (pulsazioni). Fisicamente, in corrispondenza della velocit´ a di flutter i modi del pannello si accoppiano per via aerodinamica (ad esempio, il modo (1,1) introduce una distribuzione di pressione che lavora per il modo (2,1)), e quindi sono in grado di scambiarsi energia. Di conseguenza, il fluido invece di estrarre energia dalla struttura (dissipandola), la rifornisce di quest’ultima (permettendo l’accoppiamento tra i modi) proprio in corrispondenza di una frequenza propria del sistema accoppiato, creando una tipica situazione di instabilit´a dinamica. Esaminiamo ora il sistema aeroelastico stazionario in cui si considerano ancora solo i primi due modi del pannello (p = 1, 2; r = 1). L’equazione del sistema ´e simile alla (2.38), con la sola di↵erenza che non ´e presente il termine instazionario q. ˙  ⇢  2 ⇢ 1 1 !1,1 1 0 q¨1,1 (t) q1,1 (t) ab⇢s h + ab⇢s h = 2 0 1 q¨2,1 (t) 0 !2,1 q2,1 (t) 4 4  ⇢ q1,1 (t) 2 S1,1 1,1 S1,1 2,1 = ⇢f U S2,1 1,1 S2,1 2,1 q2,1 (t)

(2.43)

Mediante le stesse assunzioni utilizzate per scrivere la (2.39), ´e possibile riscrivere la (2.43) come

34

2 L’instabilit´ a dinamica (flutter supersonico) di un pannello

Figura 2.5: frequenze naturali del sistema stazionario al variare della velocit´a a Mach fissato (M = 21 ).

Figura 2.6: smorzamenti del sistema stazionario al variare della velocit´a a Mach fissato (M = 21 ). ⇢

q¨1 (t) q¨2 (t)



 ⇢f U 2 4 ⌦12 0 0 + 0 ⌦22 ⇢s h ab S2,1

1,1

S1,1 0

2,1

!⇢

q1 (t) q2 (t)

=

⇢

0 . (2.44) 0

Cercando ancora soluzioni armoniche per la (2.44), e calcolando i termini della matrice [S], l’equazione secolare a cui si giunge ´e la seguente: ⇣

2

+ +⌦12

⌘⇣

2

⌘ ⇣ ⇢ U C 8 ⌘2 f + +⌦22 + = 0. ⇢s ha 3

(2.45)

A questo punto, ´e possibile svolegere un’analisi analoga a quella fatta per il sistema instazionario, diagrammando nelle Figure 2.5 e 2.6 l’andamento di

2.6 Generalizzazione

35

pulsazioni e smorzamento in funzione della velocit´a del fluido (a numero di Mach fissato). Le dimensioni caratteristiche del pannello e del fluido sono inalterate rispetto al caso instazionario. I risultati dimostrano che modellando l’operatore strutturale mediante solo due gradi di libert´a ´e possibile ricavare una velocit´ a d’instabilit´ a aeroelastica anche in condizioni aerodinamiche puramente stazionarie. L’unica variazione significativa rispetto al caso stazionario e che lo smorzamento non subisce variazioni fino alla velocit´a di flutter (dato che la struttura ´e conservativa e non ´e presente la matrice di smorzamento aerodinamico [D]). Limiti della trattazione del sistema a due gradi di libert´ a ´ opportuno evidenziare che l’analisi e↵ettuata, per quanto particolarE mente utile da un punto di vista teorico per chiarire i meccanismi dell’instabilit´ a in questione, potrebbe portare a deduzioni errate se non interpretate adeguatamente. L’approccio utilizzato nell’analisi parametrica delle variazioni degli autovalori consiste nel fissare il numero di Mach supersonico a priori e ´ chiaro a questo collegare la variazione di velocit´a con quella della quota. E punto che, se si andasse ad indagare a quale quota si otterrebbe la velocit´a di flutter per il fissato numero di Mach, potrebbe risultare che tale fenomeno avvenga ben oltre l’atmosfera terrestre per alcune configurazioni geometriche del pannello scelto. Un tale risultato ´e chiaramente privo di riscontro fisico avendo scelto come densit´ a del fluido quella dell’aria. Inoltre, si deve notare che superata la frequenza di flutter una delle due soluzioni armoniche tende a zero, ovvero il sistema si porta in una condizione di divergenza statica (la frequenza di flutter tende ad una condizione in cui l’autovalore corrispondente ´e nullo): ci´o ´e un’approssimazione introdotta dal modello a pochi gradi di libert´a.

2.6 Generalizzazione In forma matriciale, la relazione generale per un numero T = N · M di modi presenti nel sistema ´e mg [I]{¨ q (t)} + mg [⌦]{q(t)} + ⇢f U 2 [S]{q(t)} + ⇢f U 2 [D]{q(t)} ˙ = {0} (2.46) dove con [I] si ´e indicata la matrice identica, con [⌦] la matrice diagonale delle pulsazioni naturali al quadrato. Ordinando i termini, ´e possibile scrivere [I]{¨ q (t)} +

⇣⇢ U2 ⌘ ⇢f U 2 f [D]{q(t)} ˙ + [S] + [⌦] {q(t)} = {0}. mg mg

(2.47)

Una scrittura comoda e formalmente pi´ u corretta ´e la seguente: [I]{¨ q (t)} + [B(U )]{q(t)} ˙ + [C(U )]{q(t)} = {0}.

(2.48)

36

2 L’instabilit´ a dinamica (flutter supersonico) di un pannello

Riportiamo l’esame degli autovalori. Ci´o ´e possibile riscrivendo interamente il problema, passando per´o ad un problema a 2T gradi di libert´a nello spazio degli stati (raddoppia l’ordine del sistema di equazioni di↵erenziali, ma ci si riconduce ad un problema di estrazione degli autovalori perfettamente simmetrico).  ⇢  ⇢ ⇢ [0] [I] {¨ q (t)} [I] [0] {q(t)} ˙ 0 + = (2.49) [I] [B(U )] {q(t)} ˙ [0] [C(U )] {q(t)} 0 ⇢ {q(t)} ˙ Ponendo {z(t)} = = {Z}e t , ci si riconduce al problema agli {q(t)} autovalori (2.50). !   ⇢ [0] [I] [I] [0] 0 + {Z} = [I] [B(U )] [0] [C(U )] 0 

[0] [I] [I] [B(U )]

1





 [0] [I] [0] [I] + [I] [B(U )] [I] [B(U )]

[I] [0] = [0] [I]



1



[I] [0] = [0] [C(U )]

[B(U )] [ C(U )] = [I] [0]

⇢

0 0

⇢

0 0 (2.50)

Si osservi che nei passaggi precedenti si sono considerate le sub-matrici come fossero scalari. 1 L’implementazione della (2.50) in un foglio di calcolo permette di analizzare diversi casi di panel flutter. In particolare, nel paragrafo successivo vengono riportati diversi risultati, relativi a casi di↵erenti, ottenuti mediante un foglio elettronico Mathcad.

2.7 Soluzioni di riferimento Nel seguito sono riportate alcune soluzioni di riferimento relative ad un pannello: • • • •

in alluminio (modulo di Young E = 7.102 · 1010 P a, modulo di Poisson ⌫ = 0.33); di lati a = 20in, b = 14in e spessore h = 0.041in; con smorzamento strutturale ⌘S = 0.01; lambito da una corrente supersonica (M1 = 2) con densit´a ⇢f = 0.525kg/m3 e velocit´ a caratteristica del suono pari a cf = 340m/s.

La di↵erenza tra i casi proposti sta nel tipo di modello (stazionario o instazionario) e nel numero T di modi scelto. 1

In particolare, si ha che



01 1b

1

=



b1 1 0

2.7 Soluzioni di riferimento

37

2.7.1 Modello stazionario, T = 2 Dalla Figura 2.7, si comprende come in prossimit´a della velocit´a di flutter le frequenze naturali vanno a coalescenza, allontanandosi dalle frequenze strutturali. Dalla Figura 2.8, invece, si evince come i valori degli smorzamenti modali sono inizialmente pari allo smorzamento strutturale ⌘s e non subiscono variazioni fino alla velocit´ a di flutter, in corrispondenza della quale uno dei due diviene positivo.

Figura 2.7: frequenze naturali al variare della velocit´a (T = 2, stazionario).

Figura 2.8: smorzamenti al variare della velocit´a (T = 2, stazionario).

2.7.2 Modello instazionario, T = 2 Dal confronto tra la Figura 2.9 e la Figura 2.7, risulta che le frequenze naturali hanno lo stesso andamento con la velocit´a sia nel caso di modello stazionario che di modello instazionario. Diverso il comportamento dello

38

2 L’instabilit´ a dinamica (flutter supersonico) di un pannello

smorzamento. Infatti, mentre nel modello stazionario alle basse velocit´a gli smorzamenti del sistema aeroelastico restano costanti e pari allo smorzamento strutturale, nel caso di modello instazionario essi deviano dallo smorzamento strutturale per e↵etto delle forze aerodinamiche che hanno un e↵etto smorzante. Anche in questo caso, comunque, in corrispondenza della velocit´a di flutter uno degli smorzamenti diventa positivo, e quindi si passa in una condizione di instabilit´ a aeroelastica.

Figura 2.9: frequenze naturali al variare della velocit´a (T = 2, instazionario).

Figura 2.10: smorzamenti al variare della velocit´a (T = 2, instazionario).

2.7.3 Modello stazionario, T = 6 Nella Figura 2.11 sono rappresentati le frequenze naturali relative al primo, ´ possibile evincere che secondo e sesto modo proprio del sistema aeroelastico. E

2.7 Soluzioni di riferimento

39

quando il sistema considerato ha pi´ u gradi di libert´a, pu´o capitare che non tutti siano influenzati dall’aerodinamica. Si osserva infatti che la pulsazione naturale corrispondente al sesto modo proprio di vibrare del sistema aeroelastico resta insensibile alle variazioni di velocit´a, restando constantemente pari alla pulsazione naturale del pannello. Pertanto, questo modo non scambia energia con altri modi. Al contrario, le pulsazioni relative ai primi due modi propri di vibrare vanno a coalescenza all’aumentare della velocit´a. Dalla Figura 2.12, in cui sono riportati gli smorzamenti relativi ai primi due modi propri di vibrare del sistema, ´e possibile osservare che in corrispondenza della velocit´ a di flutter, lo smorzamento del secondo modo proprio diventa positivo. La particolarit´ a rispetto al caso proposto nel paragrafo 2.7.1 ´e che il gradiente di ⌘2 ´e molto elevato, ed ´e rappresentativo di un flutter di tipo esplosivo.

Figura 2.11: frequenze naturali al variare della velocit´a (T = 6, stazionario).

Figura 2.12: smorzamenti al variare della velocit´a (T = 6, stazionario).

40

2 L’instabilit´ a dinamica (flutter supersonico) di un pannello

2.7.4 Modello instazionario, T = 6 Per quanto riguarda le frequenze, vale quanto detto nel paragrafo precente. Per quanto riguarda gli smorzamenti, essendo un modello instazionario, le forze aerodinamiche hanno un e↵etto smorzante alle basse velocit´a. In prossimit´ a della velocit´ a di flutter, l’andamento degli smorzamenti cambia, ed in particolare quello relativo al secondo modo proprio di vibrare diventa molto rapidamente positivo, e data l’elevata pendenza della curva si pu´o parlare ancora di flutter esplosivo.

Figura 2.13: frequenze naturali al variare della velocit´a (T = 6, instazionario).

Figura 2.14: smorzamenti al variare della velocit´a (T = 6, instazionario).

1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  8)  9)  10)  11)  12)  13)  14)  15)  16)  17)  18) 

Inquadramento Generale (Interazione FluidoStruttura). Onde, Guide d’onda e Modi Propri di un Sistema Lineare. Sistema Tubo e Pistone. Introduzione all’Aeroelasticità. Instabilità Supersonica di un Pannello. Aeroelasticità Dinamica di un Profilo. Aeroelasticità Statica di Modellli Alari 2D e 3D. Cenno alle Forze Aerodinamiche Instazionarie Il Problema del Flutter (e la Risposta Dinamica). Buffett, Gallopping, Vortex shedding, Stall flutter. Metodi (Statistici) Energetici per Sistemi Lineari. Approccio modale per interpretazioni energetiche (EDA). Similitudini Introduzione al FEM spettrale. Cenni di Acustica (e AcustoElasticità) Interna dei Velivoli Potenza Acustica Radiata da Componenti Strutturali Piani. Un Modello Aero(Idro)Acusto-Elastico Completo Rappresentazioni Universali dei Dati AeroAcusto-Elastici.

Studio Aeroelastico Dinamico di un Profilo Indice 1. INTRODUZIONE .................................................................................................... 2! 1.1 Equazioni del Moto ..................................................................................................... 2! 1.2 Adimensionalizzazione................................................................................................ 4!

2. OPERATORE STRUTTURALE ............................................................................. 6! 2.1 Analisi delle Autosoluzioni ......................................................................................... 6! 2.2 Risposta Forzata ........................................................................................................ 10!

3. OPERATORE AERODINAMICO 2D, INCOMPRIMIBILE, INSTAZIONARIO12! 3.1 Operatore Aerodinamico Instazionario Completo..................................................... 12! 3.2 Operatori Aerodinamici Quasi-Stazionari ................................................................. 14!

4. CONDIZIONI D’INSTABILITÀ (FLUTTER) ..................................................... 16! 4.1 Il Ruolo della Fase in un Sistema Monodimensionale .............................................. 16! 4.2 Il Ruolo della Fase in un Sistema Bidimensionale .................................................... 17! 4.3 Modello di PINE per il Flutter .................................................................................... 19! 4.4 Ricerca del Flutter ..................................................................................................... 20! 4.4.1 Metodo Vg ....................................................................................................................... 20! 4.4.3 Metodo p-k ...................................................................................................................... 21!

APPENDICI ............................................................................................................... 22! A. Funzione di Theodorsen ...................................................................................................... 23! B. Grafico dei Coefficienti Aerodinamici Instazionari Bidimensionali Incomprimibili .......... 24! C. Funzione di Sears ................................................................................................................ 28! D. Riepilogo delle Equazioni del Flutter in Forma Quasi-Stazionaria ................................... 29! E. Riepilogo delle Equazioni del Flutter in Forma Completa ................................................. 29!

1

1. Introduzione In queste note s’imposterà l’analisi di uno dei più semplici sistemi aeroelastici, in cui vi la possibilità di un’instabilità dinamica. 1.1 Equazioni del Moto Consideriamo un’ala infinitamente lunga, in cui le uniche rigidezze siano quelle flessionale (nel piano xz) e torsionale (intorno all’asse y). Tali rigidezze siano rappresentate da elementi noti e concentrati nell’asse elastico, e denotate dai simboli kh e k , rispettivamente. α

Fig.1: Schema del Profilo e dei Centri Caratteristici

z,w

U∞

configurazione di equilibrio iniziale

x,r O b

b ba h

bxα

CM AE AC

h(t) α(t)

generica configurazione deformata all’istante t Ricordiamo che se denominiamo u, v, e w gli spostamenti dei punti dell’ala in un riferimento Oxyz, dovremo essere capaci di ottenere la seguente relazione:

2

u ( x, y, z, t ) = u ( x, y, z, q1 , q 2 ,…, q N ) v( x, y, z, t ) = v( x, y, z, q1 , q 2 ,…, q N ) . w ( x, y, z, t ) = w ( x, y, z, q1 , q 2 ,…, q N )

(1)

dove con q i (con i ∈ N) si è indicata l’i-ma coordinata generalizzata. Il generico spostamento secondo l’asse z, nel caso d’ala infinitamente lunga, sarà quindi esprimibile secondo le uniche due incognite cinematiche:

w ( x, t ) = −h ( t ) − r tan(α( t )) .

(2)

L’ultima relazione, nel caso di piccoli disturbi (ovvero piccoli spostamenti e angoli d’attacco) diverrà:

u ( x, t ) = 0 v( x , t ) = 0

.

(3)

w ( x, t ) = −h ( t ) − rα( t ) Per completezza si è riscritto l’insieme completo degli spostamenti alari. Lo spostamento flessionale h, è stato assunto positivo verso il basso, mentre la torsione α, positiva oraria. Una possibile scelta (tra le infinite) delle coordinate generalizzate o lagrangiane è data proprio da h ed α. Scriviamo le energia potenziale e cinetica del sistema in esame:

U( t ) =

1 1 k h h( t ) 2 + k α α( t ) 2 , 2 2

b

T( t ) =

b

2 1 1  2   w ( x , t ) dm = h ( t ) + r α ( t ) dm . 2 −∫b 2 −∫b

[

]

(4)

(5)

In particolare, essendo il sistema a massa omogenea, si ha: b

2 1  2 1 h ( t ) dm = m h ( t ) ; ∫ 2 −b 2

[ ]

[ ]

b

b

1 [rα ( t )]2 dm = 1 [α ( t )]2 ∫ r 2 dm = 1 I α [α ( t )]2 ; ∫ 2 −b 2 2 −b

(6)

b

∫ rα (t )h (t )dm = α (t )h (t )S

α

.

−b

dove I è il momento d’inerzia di massa del segmento alare intorno all’asse elastico, e S è il momento statico del segmento alare rispetto all’asse elastico. Si ricordi che essendo m la massa del segmento alare: α

α

S α = mx α b ⇒ x α =

Sα , mb

(7)

e quindi x (positivo per centro di massa dietro all’asse elastico) è la distanza in semicorde tra centro di massa ed asse elastico. Applicando le equazioni di LAGRANGE1, otterremo le volute equazioni del moto, per le due coordinate generalizzate h ed α: α

1

Le equazioni di LAGRANGE per un insieme di N coordinate generalizzate, si esprimono come segue:

3

-m +S , α

Sα * &h( t ) # -k h % "+ I α () $α  ( t )! +, 0

0 * & h ( t ) # &Q h ( t ) # % "=% ". k α () $α( t )! $Q α ( t )!

(8)

Per brevità di scrittura, salvo dove strettamente necessario, si ometterà d’ora in poi di indicare la dipendenza temporale. Notiamo che le matrici dei coefficienti non sono consistenti come dimensioni2, infatti: [m]=[ML-1], [S ]=[M], [I ]=[ML], [h]=[L], [kh]=[FL-2], [k ]=[F], [Qh]=[FL-1], [Q ]=[F]. α

α

α

α

1.2 Adimensionalizzazione Prima di esplicitare gli operatori aerodinamici e di disturbo, conviene passare ad una opportuna adimensionalizzazione delle eq.(9). E’ ora conveniente esprimere le rigidezze mediante le pulsazioni naturali del sistema strutturale disaccoppiato (S =0): α

ω2h =

k kh ; ωα2 = α . m Iα

(9)

A questo punto dividendo la prima delle eq.(8) per il termine πρb2b e la seconda per πρb2b2, si otterrà:

0 m . πρb 2 . . Sα ./ πρb 3

0 mω 2h Sα   'h $ . πρb 3 + ! ! . πρb 2 + + Iα +& b # . ! !  " %α . 0 πρb 4 +, /

' Q $ 0 +' h $ ! h 3 ! + ! ! ! πρb !# . (10) 2 &b# = & I α ωα + !α ! ! Q α ! % " !% πρb 4 !" πρb 4 +,

Le coordinate generalizzate sono ora entrambe adimensionali così come i coefficienti delle matrici e le forze generalizzate. Introduciamo i gruppi adimensionali:

m =µ πρb 2

Sα x mb = α 3 = x αµ 3 πρb πρb

Iα mb 2 rα2 I = = rα2 µ; rα2 = α 2 4 4 πρb πρb mb

.

(11)

Si noti che: ρ è la densità del fluido alla quota considerata ed è [ρ]=[ML-3]; r è il raggio d’inerzia della sezione alare misurata in semicorde; µ è il rapporto di massa della sezione alare. Si può allora riscrivere l’intero sistema come segue: α

01 µ. /x α

 x α - '! h $! 0ω2h & # + µ. rα2 +, ! b ! /0 %α "

' Qh $ h ' $ 0 - ! ! !! πρb 3 !! #. +& b # = & rα2 ω2α , ! α ! ! Q α ! % " !% πρb 4 !"

(12)

Imponiamo che la forma temporale delle soluzioni e dei termini noti siano assegnati:

∂ ( ∂T & ∂t &' ∂q i

2

% ∂U ∂W ## + = con i ∈ {1,2… N} ∂ q ∂ q i i $

Ciò può non essere un problema sostanziale, ma lo è sicuramente dal punto di vista formale. Inoltre, l’utilità dei termini matriciali è proprio quella di poter comparare tra loro i singoli coefficienti, cosa che è possibile solo se essi vengono resi tutti omogenei.

4

h( t ) = h 0 e pt α( t ) = α 0 e pt

Q h ( t ) = Q h 0 e pt , Q α ( t ) = Q α 0 e pt

(13)

con p∈C e [p]=[T-1]. In tal modo si avrà la forma definitiva delle equazioni del moto per il problema in esame:

0 26 1 . µp 4 . 5x α /

2 h

xα 3 6ω + µ 4 rα2 12 50

' Qh0 $ h ' $ 0 3 - ! 0 ! !! πρb 3 !! #. 1 +& b # = & rα2 ω2α 2 +, ! α ! ! Q α0 ! % 0" ! 4 % πρb !"

5

(14)

2. Operatore Strutturale 2.1 Analisi delle Autosoluzioni L’operatore strutturale bidimensionale in oggetto è molto semplice e permette delle facili considerazioni. Consideriamo l’eq. omogenea associata al problema completo retto dall’eq.(15):

0 1 + &' h 0 #' &0# / ) % b " = % ". rα2 ω2α 0 )* ' α ' $0! $ 0!

xα 1 4ω2h + µ2 rα2 /0 30

. 24 1 , µp 2 , 3x α -

(15)

Per l’assenza di termini dissipativi di qualsiasi natura, le autosoluzioni non potranno che essere che di tipo armonico, tali quindi da verificare p=jω. Le soluzioni esisteranno, com’è ben noto, se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti è nullo:

xα # &ω2h + µ$ rα2 !" %0

&1 − µω $ %x α 2

0 # ! = 0. r ω2α " 2 α

(16)

Risolvendo l’equazione secolare (biquadratica), le soluzioni (in termini di ω2) sono le seguenti:

ω12, 2 ω 2h

=

- ωα2 1 + ++ 2 , ωh

* (( ± )

2

& - ωα2 *# - ωα2 $1 + ++ 2 ((! − 4++ 2 $% , ω h )!" , ωh & x α2 # 2 $1 − 2 ! % rα "

* & x α2 # (( $1 − 2 ! ) % rα "

.

(17)

L’annullarsi del momento statico (x =0), il braccio sussistente tra centro di massa ed asse elastico (centro di rotazione della sezione considerata), disaccoppia completamente i due gradi di libertà strutturali, come d’altronde era già ovvio dato che x compare solo nei termini fuori della diagonale della matrice di massa; le forze non producono alcuna rotazione elastica e viceversa, i momenti non provocano flessione. Le pulsazioni naturali sono allora date da: α

α

ω12, 2 ω 2h

= x α =0

1 ω2 1 + // α2 0 ωh

. ,, ± -

+ 1 ωα2 )1 − // 2 )* 0 ω h 2

6

.( ,,& -&'

2

$ 1 ! 2 = # ωα . !" ω 2h

(18)

Per la ricerca degli autovalori, indeterminati a meno di una costante, si utilizza la prima delle eq.(16) da cui α 0 b / h 0 = ( −1 / x α )(1 − ω2h / ω2 ) ; imponendo arbitrariamente che i due autovettori abbiano h0/b=1 si ha che:

& Φ = $− 1 $ % xα E’ facile altresì dimostrare che: Φ x

1

2 h 2 1

, ω **1 − + ω α =0

1

) '' (

# 1 , ω )! . *1 − '! − x α *+ ω '("

&1 0# =$ !. %0 1 "

2 h 2 2

(19)

Il seguente foglio Mathcad riporta un

grafico dell’eq.(18), in altre parole le pulsazioni naturali strutturali accoppiate, in forma adimensionale. E’ stato posto, per brevità di scrittura:

7

ωα ≡ ζ; ωh

xα =≡ ξ . rα

Studio delle Autosoluzioni Strutturali

s 1( ζ , ξ ) ζ

1

ζ

2

1

ζ 1

2 2

2 4. ζ . 1

ξ

2

2 ξ .2

0.11 , 0.15 .. 9

s 2( ζ , ξ )

1

ζ

2

ζ

2 2

1

100

100

10

10

s 1( ζ , 0.3)

1

2 4. ζ . 1

ξ

2

2 ξ .2

s 1( ζ , 0 ) 1

s 2( ζ , 0.3)

1

s 2( ζ , 0 )

0.1 0.01

0.1

0.1

1

0.01

10

0.1

ζ

0.5 , 0.45 .. 0.5

1

15

0.9

s 1( 1 , ξ ) 10

s 2( 1 , ξ ) 0.8

s 1( 3 , ξ )

0.7 0.6

10

ζ

ξ

s 2( 3 , ξ )

1

0.5

0

5

0

0.5

0.5

ξ

0 ξ

Utilizziamo ora Mathcad per la ricerca delle autosoluzioni strutturali.

8

0.5

Studio dell'Operatore Strutturale Omogeneo µ ωh

40

xα

0.2

rα

rad 10. sec

ORIGIN

0.6222 ωn rad 100. sec

ωα Matrice di Massa 1 M

2

K

2

sec

eig

2

ωh

2

ωn

ωn

2 2 r α .ω α

1 M .K

D

i

rad

Matrice di Rigidezza

xα

xα rα

0.

1

eigenvals( D)

1 .. 2 Φ eig =



9.93 107.628

eigenvec D , eigi sec

2

Φ =

Matrice di Massa Generalizzata T Φ . M. Φ =

0.035 0.977

Matrice di Rigidezza Generalizzata

1.014 0 0

0.999 0.215

T Φ . K. Φ =

0.556

9

10.065 0 0

59.799

sec

2

2.2 Risposta Forzata

Risposta Forzata Diretta dell'Operatore Strutturale Smorzato 40

µ

xα

10.

ωh

0.2

rα

rad

b F

T1

ρ

0.75. m

F. 0.5. m

Mo

F 3

2 ω .µ.M

Dyn( ω )

π . ρ. b µ . K. ( 1

( 1).

1 M

Mo

T2

π . ρ. b

res( ω )

rad 100. sec

4

xα

xα rα

2

kg 1.225. 3 m

j

1

η

0.01

Matrice di Rigidezza 2

K

ωh

2

ωn

j. η) ω

T

1

rad 0. sec

ωn

Matrice di Massa

newton 1. m

Dyn( ω )

0.6222

ωα

sec

ORIGIN

2

ωn

2 2 r α .ω α

ωh ωh , .. ω α . 2 8 7

Coordinate Fisiche Adimensionali

1

0.1

0.01 res( ω ) 1 res( ω ) 2

0.001

1 10

1 10

1 10

4

5

6 0

0.5

1 ω ωα

10

1.5

2

Risposta Forzata Modale dell'Operatore Strutturale Smorzato 40

µ

T1

1.

0.2

rα

rad 10. sec

ωh

F

xα

newton

ωα

b

0.75. m

ρ

1.225.

Matrice di Massa

3

D

1 M .K

η

0.01

Mo

T2

M 4

π . ρ. b

eig

eigenvals( D) Φ



xα rα

Φ

rad 0. sec

j

1

Matrice di Rigidezza 2

xα

ωh

K

2

2

ωn

eigenvec D , eig1

Φ



2

ωn

2 2 r α .ω α

eigenvec D , eig2

Matrice delle Forze Generalizzate

Matrice di Massa Generalizzata Mg

3

1

ωn

kg m

1

F π . ρ. b

rad 100. sec

F. 0.5. m

Mo

m

0.6222

ORIGIN

T.

Fg

M. Φ T Φ .( 1

Matrice di Rigidezza Complessa Generalizzata K g Fg

k

x( k , ω )

. ω2

Mg

k, k

ω

Kg

k, k

T Φ .T

j. η) . K. Φ

ωh ωh , .. ω α . 2 8 7

Coordinate Modali

10

1 x( 1 , ω ) x( 2 , ω )

0.1

0.01

0.001

0

0.5

1 ω ωα

11

1.5

2

3. Operatore Aerodinamico 2D, Incomprimibile, Instazionario 3.1 Operatore Aerodinamico Instazionario Completo Si devono esprimere le forze aerodinamiche (la portanza ed il momento) agenti sul sistema in esame. Si formulerà la classica ipotesi di regime incomprimibile in modo da utilizzare la rappresentazione di THEODORSEN, attraverso la sua funzione C(k). La frequenza ridotta è stata indicata come sempre con k,

k=

ωb . U

(20)

Per il sistema in esame, le forze siano considerate positive se verso l’alto e i momenti positivi se antiorari. Al secondo membro delle equazioni del moto si ha, quindi:

' Qh0 $ ' − L $ !! πρb 3 !! !! πρb 3 !! & Q # ≡ & M #. ! α 04 ! ! ! !% πρb !" !% πρb 4 !"

(21)

Il momento è valutato intorno all’asse elastico:

M ≡ M AE = M AC + L( 1 2 + a h )b .

(22)

Separiamo per entrambe le caratteristiche aerodinamiche, i due contributi dovuti al campo circolatorio e a quello a circolazione nulla:

L = L( NC) + L(C) ;

M = M ( NC) + M ( C) .

(23)

In particolare, le forze ed i momenti assumeranno le seguenti espressioni:

 ; L( NC ) = πρb 2 Uα + h − a h bα

(

)

L( C ) = 2πρUbC( k )[ Uα + h + (1 2 − a h )bα ] ; (24)

 α *  − 1 2 Ubα − b 2 '% M ( NC) = πρb 2 (a h b Uα + h − a h bα 8 & . (25) ) M ( C) = 2πρUb 2 ( 1 2 + a )C(k ) Uα + h + ( 1 2 − a )bα

(

)

h

[

h

]

Si noti che riscrivendo opportunamente le espressioni precedenti, si possono separare i contributi dovuti alla flessione ed alla torsione, nelle componenti di massa, rigidezza e smorzamento aerodinamici. Facciamolo solo per la portanza:

12

 + [πρb 2 U]α + [(1 2 − a h )b2πρUbC( k)]α + L = [−a h bπρb 2 ]α . (26) [2πρUbC( k) U]α + [πρb 2 ]h + [2πρUbC( k)]h L’espressione precedente può facilmente essere utilizzata per estrarre i coefficienti aerodinamici quali c lα , c lα , c lα , c lh , c lh , c lh .In tal modo alcuni autori preferiscono esprimere le cosiddette derivative di flutter, ossia i coefficienti aerodinamici instazionari. Si noti inoltre che per ah=-1/2 (l’oscillazione avviene intorno al fuoco aerodinamico), si annulla la parte circolatoria del momento; ciò significa che la portanza (per la sua parte circolatoria) è situata effettivamente ad un quarto della corda del profilo (centro aerodinamico, il luogo nel quale il momento aerodinamico non cambia al variare dell’angolo d’attacco). E’ il caso di riportare l’espressione della funzione C(k) e gli andamenti della parte reale e della parte immaginaria, ricordando che: −1

[

]

C(k) ≡ F(k) + jG(k) = H1( 2) (k) H1( 2) (k) + jH (02) (k) . In appendice è riportata la classica rappresentazione, come parti reale ed immaginaria in funzione della frequenza ridotta. Imponiamo che la forma temporale delle coordinate generalizzate sia questa volta:

h ( t ) = h 0 e jω t

α( t ) = α 0 e jωt ,

(27) così da ottenere:

'- j $ h0 * !+ k α0 − b + a h α0 ( + ! ) L ! 2 !, =ω & # 3 πρb !2C( k ) - 1 α + j h 0 1 + 42 1 − a 1/ j a α * ! ; h h 0( + k2 0 !% b k 32 0k , ) !"

'- jα 0 $ h0 jα 0 α 0 * 2 ! +a h k − a h b + a h α 0 − 2 k + 8 ( + ! ) M ! 2 !, =ω & #; 4 πρb α h j α * 1 j 1 4 1 4 1 !2C(k )2 + a / 0 + 0 + 2 − a / 0 ! h + 2 h ( !% b k 32 32 0, k 0 k ) !"

(28)

(29)

e quindi:

. L 1 = ω2 ,− 1 + 2C( k ) 3 πρb k -

'h $ j . 1 41 1 j ++ ! 0 ! + a h + 2C( k) , 2 + 2 − a h / a h )) & b # ; (30) k 32 0k -k ** !% α0 !"

. , M 41 1 j 2 = ω , − a h + 2C( k )2 + a h / 4 πρb , 32 0k , -

j j 1 + 2 + ah − + + ) '! h 0 $! k 2k 8 )& b # 41 1. 1 4 1 1; j + ) ! α(31) 2C( k )2 + a h / , 2 + 2 − a h / ) % 0 !" 32 0- k 32 0 k * )*

ah

In termini matriciali:

13

' L $ !! πρb 3 !! C lh 2. & M #=ω , -C mh ! ! 4 !% πρb !"

C lα + '! h 0 $! & b #. C mα )* ! α ! % 0"

(32)

3.2 Operatori Aerodinamici Quasi-Stazionari Gli operatori aerodinamici cosiddetti quasi-stazionari, sono esprimibili semplicemente considerando quelli circolatori, in cui la funzione C(k) sia posta pari ad un valore unitario reale:

& -1 * # L( QS) = 2πρUb $ Uα + h + + − a h (α b! ; ,2 ) " %

(33)

-1 *& -1 * # M ( QS) = 2πρUb 2 + + a h ($Uα + h + + − a h (α b! . ,2 )% ,2 ) "

(34)

Notiamo che le approssimazioni quasi-stazionarie hanno un ordine d’importanza relativa:

L( QS )

& # $ -1 * ! = 2πρUb $ U α + h + + − a h (α b ! , ed analogamente per il momento.  ) ! $Stazionario Quasi −StazionarioI ,2 Quasi − Stazionari oII " %

E’ facile a questo punto costruire una tabella di tali coefficienti: L(QS) M(QS) h

h h

2πρUb

2πρUb 2 ( 1 2 + a h )

-

-

α

2πρU 2 b 2πρUb 2 [( 1 2 − a h )]

2πρU 2 b 2 ( 1 2 + a h ) 2πρUb 3 1 4 − a 2h

-

-

α  α

(

)

In termini matriciali, e consistentemente con quanto fatto in precedenza, avremo:

. L( QS ) + (( πρb 3 (( 2 (QS) - ( QS ) * = ω A (M ( (, πρb 4 ()

[

[A ] (QS)

& $ =$ $

%$. h0 + ( ( -b* (, α0 ()

]

2j k 2( 1 2 + a h )

j k

2 j # + (1 − 2a h ) 2 ! k k ! j #! &1 1 (1 + 2a h )$ 2 + ( 2 − a h ) ! k "!" %k

. (35)

Cerchiamo di capire la congruenza formale e dimensionale con le relazioni ben note dell’aerodinamica stazionaria. La portanza stazionaria per unità d’apertura è espressa come segue:

L(S) =

1 1 ρV 2 (c)c lα α = ρV 2 (2b)c lα α = ρV 2 bc lα α . 2 2

Considerando nel nostro caso, la portanza legata al solo angolo d’attacco: 14

(36)

L( QS) = πρb 3

2 2 2 ω α = πρb 3 2 V 2 α = 2πρbV 2 α , 2 k b

Ricordando che il profilo, per le ipotesi fatte, è una lastra piana( c lα

(37)

= 2π ), si avrà pertanto:

L(S) = ρV 2 bc lα α = 2πρV 2 bα = L( QS) ,

(38)

come ci si aspettava.

I coefficienti aerodinamici instazionari e quasi-stazionari, resi correttamente dimensionali, sono utilizzabili analogamente a quanto fatto nel caso stazionario. In appendice C sono riportati i grafici di tali coefficienti secondo dei fogli Mathcad.

15

4. Condizioni d’Instabilità (Flutter) 4.1 Il Ruolo della Fase in un Sistema Monodimensionale C’è un modo molto semplice per identificare ed inquadrare il fenomeno del flutter bidimensionale. Supponiamo, infatti, che il profilo sia rappresentato da una lastra piana ad angolo d’attacco nullo e che l’unico modo sia rappresentato da una flessione intorno all’asse elastico:

h( t ) = Re{h 0 exp( jωt )}.

(39)

Inoltre, consideriamo la generazione di forze aerodinamiche instazionarie, nella forma più semplificata possibile, in altre parole consideriamo la variazione d’angolo d’attacco come dovuta al solo modo elastico considerato:

α( t ) =

1 dh ( t ) 1 = Re{h 0 jω exp( jωt )}. U ∞ dt U∞

(40)

L’unico lavoro aeroelastico presente nel sistema sarà dato da:

dΠ = − L h dh = − L h

dh 1 dt ⇒ Π = − dt T

T=

2π ω

∫ 0

) dh ( t ) & Re{L h ( t )}Re ( %dt . (41) ' dt $

È stata considerata come unica forza aerodinamica, la portanza. Possiamo esprimerla come rapporto, r, della portanza istantanea rispetto al quella che si otterrebbe per un moto del profilo a velocità costante, h = h 0 ; inoltre si deve tenere presente che l’aerodinamica introduce uno smorzamento e ci sarà quindi un ritardo (o un anticipo) nella portanza prodotta dalla data variazione d’angolo d’attacco:

& h # 1 L h ( t ) = L0 ( t )r exp( jψ), L0 ( t ) = ρU 2∞Sc lα $$ 0 !! . 2 % U∞ "

(42)

Pertanto, risolvendo l’integrale si avrà:

π Π = − ρU ∞Sc lα ωh 02 r cos ψ . 2

(43)

Il segno del lavoro ci dice se l’oscillazione estrae energia dal fluido o viceversa: affinché si manifesti il flutter è necessario che sia Π>0. I valori di r e ψ sono, in generale, funzioni di REYNOLDS e MACH.

16

La funzione riportata nel grafico seguente è esprimibile grazie alle relazioni precedentemente introdotte. Si tratta, infatti, in questo caso, di esprimere solo i contributi dovuti alla flessione:

L h πρbU 0 b 2

γ(k) =

L( QS)

= − k 2 + 2C( k ) jk ;

L ( QS )

L

≡ r exp( jψ) =

h πρbU 0 b 2

= 2 jk

(44)

jk jk + C( k ) = + F( k ) + jG( k ) ; (45) 2 2

I raggi uscenti dall’origine del sistema di riferimento definiranno in modo univoco r e ψ. Si noti che per k=0, il valore di r è unitario mentre ψ è nullo. Fig. 2: Andamento della Funzione γ(k) sugli assi Reale ed Immaginario 2

1

r ( ) Im γ ( kk ( i) )

ψ 0

1

2

0

0.5

1

1.5

( ) Re γ ( kk ( i) )

2

4.2 Il Ruolo della Fase in un Sistema Bidimensionale Atteso dal paragrafo precedente che non vi può essere un’instabilità monodimensionale per configurazioni in cui la derivata del coefficiente di portanza è positiva, esaminiamo in cui i gradi di libertà siano due. Abbiamo le deformate di flessione e torsione del profilo alla stessa frequenza d’oscillazione: si può dimostrare che questa è condizione necessaria per l’esistenza del flutter. Il lavoro che occorre considerare è quello della portanza: T=

Π=

2π ω

∫L 0

T= α

h dt +

2π ω

∫L

h

h dt .

(46)

0

Gli altri contributi della portanza sono trascurabili. Si noti che il secondo integrale nell’espressione del lavoro è sempre negativo (cfr. paragrafo precedente). Il primo termine è nullo se h ed α sono in fase, ed è maggiore di 0 se h ed α hanno una fase di π/2. Ciò significa che solo se i due modi del profilo sono sfasati di un dato angolo sussisterà la 17

possibilità dell’insorgere del flutter. Le figure seguenti riportano in modo semplificato lo schema fisico. Fig. 3: Fase Nulla.

h = sin ( ωt ), α = sin ( ωt )

ωt

π/4

0

π/2

3π/4

π

5π/4

Velocità

3π/2

7π/4

2π

Profilo (Lastra Piana)

Portanza

Fig. 4: Fase di π/2.

h = cos(ωt ), α = sin (ωt )

ωt

0

π/4

π/2

3π/4

π

Velocità

5π/4

3π/2

7π/4

2π

Profilo (Lastra Piana)

Portanza

È inevitabile che, anche in presenza di smorzamento strutturale, l’unico operatore che potrà introdurre una fase variabile tra i modi del profilo è quello aerodinamico: tale sfasamento sarà funzione della frequenza ridotta e quindi della velocità di volo.

18

4.3 Modello di PINE per il Flutter Rinunciamo all’approccio dimensionale per seguire l’impostazione formale di Pine. In questo caso si considera come unico operatore aerodinamico, la portanza stazionaria:

, m Sα ) & h( t ) # ,k h *S ' %  " + * 0 ( t)! + + α I α ( $α

0 ) & h( t ) # ,0 − Scl α ) &0# = % " , (47) % "−q k α '( $α( t ) ! *+0 2Sebclα '( $0!

dove il simbolo q denota la pressione dinamica per unità di apertura, [FL-3]. Quindi:

-mp 2 + k h + 2 , Sα p

* & h # &0# S α p 2 + qScl α (% " = % " , I α p 2 + k α − 2qSebcl α ) $α ! $0!

(48)

per ottenere l’equazione secolare:

a 4 p4 + a 2 p2 + a 0 = 0 con a4 =

.

(49)

a2 = a0 = Discutiamo le possibili radici in base al segno dei coefficienti: a4 Δ a0 a2 Soluzioni

Tipo di Moto

>0 >0

0 >0 pI,1 = +jω1 pI,2 = -jω1 pI,2 = +jω2 pI,2 = -jω2 Armonico

Tipo di Stabilità Neutrale Controlla la tabella sulla divergenza

> 4108 ðon Þ&4 > > > > > < 8 &8 Snw ¼ 110 ðon Þ > > > > > > 7 &3 > : 210 ðon Þ

oh Uc 0:07 o

oh Uc

o0:07;

oh Uc

o0:21;

ð21Þ

4 0:21;

and they are drawn for comparison in Fig. 8, along with the experimental measurements. Although these frequency regions cannot be recast exactly in terms of the ratio between the bending and the convective wavenumbers, some general considerations can be drawn. In particular, for low values of o*, the first relations of Eq. (21)

E. Ciappi et al. / Journal of Fluids and Structures 32 (2012) 90–103

101

Fig. 10. Dimensionless plate displacement (Eq.(16)).

Fig. 11. Dimensionless plate displacement (Eq. (19)).

represent the amplitude of the response for frequencies that are around the coincidence frequency i.e., for values of kB =kc ( 1. The second and the third relations represent the amplitude of plate response in correspondence of frequencies for which the ratio kB =kc ( 1. It is straightforward now to introduce what already presented in Fig. 2, derived with reference to Eq. (19). This relationship is based on the balance between the input power and the energy content of the structural domain. In fact, it is the only dimensionless form directly involving the structural damping. Eq. (19) is shown in Fig. 11 when applied to the four sets of experimental data set. The experimental results, in this dimensionless form, are perfectly in agreement with those analytical presented in Fig. 2 and show a good collapse. It is worthwhile to recall that the analytical results are based on the Corcos TBL model and on structural and flow characteristics different from the experimental ones. The dimensionless curves of the experimental data separate in the low frequency bandwidth as already shown in the analytical results. It is possible to check that, in logarithmic scale, the experimental measurements collapse on a simple curve Snw ¼ 3:310&1 ðon Þ&4:8

oh Uc

40:04:

ð22Þ

102

E. Ciappi et al. / Journal of Fluids and Structures 32 (2012) 90–103

Some remarks are needed about this regression: (i) the power of the dimensionless frequency is not equal to four because the g function includes the average value of the joint acceptance integral, which is a function of frequency, too; (ii) the law has been obtained by using the analytical responses presented in Fig. 2. At this time, some considerations on the usefulness and practical relevance of dimensionless relations can be done. As already underlined in this work, scaling laws for the power spectral density of WPF exist and are well established. Analytical expressions for pressure PSD make use of some basic TBL mean flow parameters such as the boundary layer thickness and the friction velocity. Thus, starting from the desired test conditions in terms of material properties, geometrical configurations and undisturbed flow velocity and, assuming that the convection velocity can be represented as a constant fraction of U, it is possible, from the knowledge of d and ut only, to give a quick estimate of the amplitude of the structural response spectra in the whole frequency range. It is not worthwhile to recall that Eq. (21) are obtained by invoking a dimensional analysis; on the contrary, Eq. (19) comes from an energy-based formulation. For all the results presented herein, the structural response has been considered a mean one, obtained through an average over the acquired locations. 4. Concluding remarks In this work the scaling laws for the response of an elastic thin plate excited by a steady turbulent boundary layer are derived. These laws are based on both a pure dimensional analysis and an energy response formulation. Simple analytical expressions for the dimensionless curves are provided and more important, the proposed scaling laws are used for representing a quite large amount of experimental data. These experimental data set involves four types of plates in air and in water flow, excited by a turbulent boundary layer, thus representing a severe test data set. With this data, it is shown, that all the presented experimental measurements collapse very close one to each other according with the dimensionless functions selected for the power spectral densities of the structural displacements. Then, the proposed representations could be usefully utilized to perform preliminary predictive steps. In fact, it has been demonstrated that it is possible to obtain an estimate of the power spectral densities of the displacement response in the whole frequency range, starting from the desired test conditions i.e. material properties, geometrical characteristics and flow velocities, from the knowledge of the boundary layer thickness and of the friction velocity necessary to define the pressure power spectral density. In this regard, it has been shown that both the relations obtained using dimensional analysis (Eq. (14)) as well as energy response formulation (Eq. (19)) produce a quite good collapse of all data sets. On the other hand, Eq. (19) describes the dependence between non-dimensional frequency and non-dimensional acceleration response with one simple expression valid in the whole frequency range providing a very quick estimate of the structural response. Notwithstanding, the use of Eq. (14) should be preferred for all cases where damping value is not easy to be identified for example when the considered panel is a section of a real and complex structure (ship, airplane, etc.). At this stage, the main aim has been to test the possibility to get a universal representation of the response able to include the fluid-structure coupling in all frequency and wavenumber ranges. It is evident that many other points remain to be investigated in order to widen the significance of the representation and thus to extend the proposed dimensionless forms to a more complicated structural components. References Abraham, B.M., 1998. Direct measurements of the turbulent boundary layer wall pressure wavenumber-frequency spectra. Journal of Fluids Engineering 120, 29–39. Buckingham, E., 1914. On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Physical Review 4, 345–376. Bull, M.K., 1996. Wall pressure fluctuations beneath turbulent boundary layers: some reflections on forty years of research. Journal of Sound and Vibration 190, 299–315. Chase, D.M., 1980. Modelling the wavevector-frequency spectrum of turbulent boundary layer wall pressure. Journal of Sound and Vibration 70, 29–67. Choi, H., Moin, P., 1990. On the space-time characteristics of wall pressure fluctuations. Physics of Fluids A 2, 1450–1460. Ciappi, E., Magionesi, F., De Rosa, S., Franco, F., 2009. Hydrodynamic and hydroelastic analyses of a plate excited by the turbulent boundary layer. Journal of Fluids and Structures 25, 321–342. Corcos, G.M., 1964. The structure of the turbulent pressure field in boundary-layer flows. Journal of Fluid Mechanics 18, 353–379. Cremer, L., Heckl, M., 1987. Structure borne sound, 2nd Ed. Springer-Verlag, ISBN: 0-387-18241-1. Davies, H.G., 1971. Sound from turbulent-boundary-layer-excited panels. Journal of the Acoustical Society of America 49, 878–889. De Rosa, S., Franco, F., 2008. Exact and numerical responses of a plate under a turbulent boundary layer excitation. Journal of Fluids and Structures 24, 212–230. Elishakoff, I., 1983. Probabilistic Methods in the Theory of Structures. John Wiley & Sons, New York. Efimtsov, B.M., 1982. Characteristics of the field of turbulent wall pressure fluctuations at large Reynolds numbers. Soviet Phisics—Acoustics 28, 289–292. Finnveden, S., Birgersson, F., Ross, U., Kremer, T., 2005. A model for wall pressure correlation for prediction of turbulence-induced vibration. Journal of Fluids and Structures 20, 1127–1143. Goody, M., 2004. Empirical spectral model of surface pressure fluctuations. AIAA Journal 42, 1788–1794. Graff, K.F., 1991. Wave motion in elastic solids. Dover Publications, New York. Graham, W.R., 1997. A comparison of models for the wavenumber frequency spectrum of turbulent boundary layer pressures. Journal of Sound and Vibration 206, 541–565. Hambric, S.A., Hwang, Y.F., Bonness, W.K., 2004. Vibrations of plates with clamped and free edges excited by low-speed turbulent boundary layer flow. Journal of Fluids and Structures 19, 93–110.

E. Ciappi et al. / Journal of Fluids and Structures 32 (2012) 90–103

103

Hong, C., Shin, K.K., 2010. Modelling of wall pressure fluctuations for finite element structural analysis. Journal of Sound and Vibration 329, 1673–1685. Ichchou, M.N., Hiverniau, B., Troclet, B., 2009. Equivalent ‘rain on the roof ’ loads for random spatially correlated excitations in the mid frequency range. Journal of Sound and Vibration 322, 926–940. Keith, W.L., Hurdis, D.A., Abraham, B.M., 1992. A comparison of turbulent boundary layer wall-pressure spectra. Journal of Fluids Engineering 114, 338–347. Lee, Y.T., Blake, W.K., Farabee, T.M., 2005. Modeling of wall pressure fluctuations based on time mean flow field. Journal of Fluids Engineering 127, 233–240. Lyon, R.H., De Jong, R.G., 1995. Theory and Application of Statistical Energy Analysis. Butterworth-Heinemann, London. Magionesi, F., Ciappi, E., 2010a. Characterisation of the response of a curved elastic shell to turbulent boundary layer. In: Proceedings of the Seventh International Symposium on Fluid–Structure Interactions, Flow–Sound Interactions, and Flow-Induced Vibration & Noise, Montreal, Canada. Magionesi, F., Ciappi, E., 2010b. Experimental investigation of turbulent boundary layer excitation acting on the sonar dome. In: Proceedings Internoise 2010, Lisbon, Portugal. Peltier, L.J., Hambric, S.A., 2007. Estimating turbulent-boundary-layer wall-pressure spectra from CFD RANS solutions. Journal of Fluids and Structures 23, 920–937. Schlichting, H., 1978. Boundary Layer Theory. McGraw-Hill, New York. Totaro, N., Robert, G., Guyader, J.L., 2008. Frequency averaged injected power under boundary layer excitation: an experimental validation. Acta Acustica 94, 534–547. Totaro, N., 2004. Caracterisation de Sources Aerodynamiques et Sous-structuration Pour la Method SEA. Ph.D. Thesis, INSA, Lyon, France, 04 ISAL 010.