Advanced Engineering Mathematics Solution

CHAPTER

1

Ɨ��� áà Ϛ•ÏņƖ Ɨá

2

õ à Ϛ•ÏņƖƂƖ á ćņÎ Š–šÏņƖ â Ɓ

ƖÏ ƒáć Ï Ɨá

Ï

Ɨ��� áà Ɩƃà Ɩ îÏ

õ à Ɩƃ

à Ɩ ÏîÏ

ƂƖ á

Ƃ Ɩ Þƃ ßá ƃƖ ć ƂƖ

õ ƃ Ƃƒá ƃ â Ɓ á ƃ ƒ

õ Ñƃ

àƖ

âƁ

Ɨ á ƁƃƖ

Ƃ à ÎíÒƖ Þƃ ßáà ÎíÒƃà ÎíÒƖ ć ƂƖ Ɨá

à Ɩ ÏîÏ

ƒ

Ɨ á Ɓƃà ÎíÒƖ

Š–šƖƂƖ á Ïƃà Ɩ Þà Š–šƖ ⠚•Ɩßâ Ɓ

Ɨ ��� á ƃƖ â ÞƖ â ƁßƃƖ á ƃƖ â Ɨ Ɨ á ÞƖ â ƁßƃƖ Î ƗÞ×ßá Ɓ á ć Ï

Ƃ Ƃ ޚ•Ɩßá Š–šƖ ć ފ–šƖßáà š•Ɩ ć ƂƖ ƂƖ

Î Ɨ á Ɩ â ć ƃƖ Ï

Þ

ß

ƂÏ ƂÏ áà Þ ß ÞŠ–šƖßáà Š–šƖ š•Ɩ š•Ɩ ć ć ƂƖÏ ƂƖÏ Ɨ á ſš•Ɩ â ƀŠ–šƖ Î š•ÒíÎÐƖ â Ɓ õ Š–šÒíÎÐƖƂƖ á ć ÒíÎÐ

Ɨá

Ɨ������ á ƃà ×íÏƖ

õ ƃ ƂƖ áà Òƃ â ſ â ſßƂƖ á ÏÒƃ Ɨ��� á õ Þà Òƃ à ×íÏƖ

Ɨ��� á

à ×íÏƖ

à ×íÏƖ

Ɨá

à ×íÏƖ

õ ÞÏÒƃ

à ×íÏƖ

à ×íÏƖ

áà ÎÏÒƃ

â ſƖ â ƀ

â ſƖ â ƀßƂƖ

ÑƖ ÑƖ Ɨ��� á ćá ć ć Ï Ɨ öÑƖ â Ɓ

ſ â ć ƖÏ â ƀƖ â Ɓ Ï

ƗÏ à ÑƖÏ á Ɓ

Ɨ ��� áà ÑƁƃà ÑƖ áà ÑÞƗ à ×íÐÒßáà ÑƗ â ÎíÑ

ƗÞÎßá Ñ

Ɓ á ÎÓ à Ñ á ÎÏ ƗÏ à ÑƖÏ á ÎÏ

Ɨ á Ɓƃà ÑƖ â ×íÐÒ ƗÞ×ßá Ɓâ ×íÐÒ á Ï

Ɨ á öć ÑƖÏ â Ɓ

ƗÏ à ÑƖÏ á Ɓ

Ɓ á ÎíÓÒ à ÑƖ

Ɨ á ÎíÓÒƃ

â ×íÐÒ

Ɓƃà Ɩ Î Î á ć à ć á Ɨ à ƗÏ Ɨ��� á ć ÞÎ â Ɓƃà Ɩ ßÏ Î â Ɓƃà Ɩ ÞÎ â Ɓƃà Ɩ ßÏ Ɨ ��� áà ÒƁƖƃ Ɨ á Ɓƃ

à ÏíÒƖ Ï

Î Ɨá ć â Î Ɓƃà Ɩ

áà ÒƖƗ

à ÏíÒƖ Ï

ƗÞ×ßá Ɓ á ņ

à ÏíÒƖ Ï

ƗÞ×ßá ×íÏÒ

Ɨ á ņƃ

ƁáÐ

Î ×íÏÒ á ć ÎâƁ Î Ɨá ć Î â Ðƃà Ɩ

ƖÏ Ɨá ć Ñ Ɨ á ×íÒƃà Ɖƒ Ɖ á ÎíÑ _Î×à ÎÎ šŒŠà Î ×íÏÒƅ

3 à Ɖƒ

Î ƒ á ć “•Ï á ÑíÖÒ _Î×Î× ÞšŒŠßá ÎÒÔ×í×ÞƗƃſƐß Ɖ Ɨ ��� á ÏƁš•Ɩ Š–šƖ á ÏƁš•Ï Ɩ Š–›Ɩ á ÏÞƗ à Ñß Š–›Ɩ

Ɨ á Ɨ× ƃà Ɖƒ

Ï

Ɨ×

Ɨ á Ɓš• Ɩ â Ñ Î Ɨ ćņ á × Ï

Þ ß

ÐíÓƂſƗ Î Ɨ á Ɨ× ƃà ÐíÓƉ ć Ï ×

× á Ɓâ Ñ

Î Ɖ á ć “•Ï á ×íÎÖÏÒ ÐíÓ

Ɨ áà њ•Ï Ɩ â Ñ

Ɓ áà Ñ

Ɨ á Ɨ× ƃà ×íÎÖÏÒƒ Ɨ á ƃà ×íÎÖÏÒ á ×íÕÏÑÖ

Ɨ× á Î ƒ á Î

Ɨ á ƃà Ô×íÏÔÔÑ á ×

ƒ á ÐÓÒ

ƗÞ×ßá ×

Ɨ��� á ƅ Ɨ���Þ×ßá ×

Ɨ���Þ×ßá ƁÎ á ×

Ɨ��� á ƅƒ â ƁÎ Ɨ��� á ƅƒ Î Ɨ á ć ƅƒÏ â ƁÏ Ï

ƗáƁ

ƗÞ×ßá ƁÏ á ×

Î Ɨ á ć ƅƒÏ Ï

Ɨ��� á ×

Ɨ��� á ƉƗ

Ï

Ɓà Ɓ á × Ɓá× Ɨá×

ƗÞ×ßá Ɨ×

ƁáÎ

ƗáÎ

Ɨ á ƁƖ à ƁÏ ì Ɨ��� á Ɓ

Î ƗÞÎÕ×××ßá ć Ɨ× Ï

Ɨ á Ɨ× ƃƉƖ ÎÕ×××Ƅƒ

Ɨ���Ï à ƖƗ��� â Ɨ á ƁÏ à ƁƖ â ÞƁƖ à ƁÏ ßá × ÐÒ×××Ƅƒ

Ɨ á ƁƖ à ƁÏ

Î ć Ñ Î ƗÞÐÒ×××ßá ć Ɨ× Ñ

ƖÏ Ɩ Ɨ á ć ì Ɨ��� á ć Ñ Ï ƖÏ ƖÏ ƖÏ Ɨ���Ï à ƖƗ��� â Ɨ á ć à ć â ć á × Ñ Ï Ñ

Ɨ ��� á Ƅ ÞƖìƗ ß

1.2 Geometric Meaning of y = f (x, y). Direction Fields

×íÏÒ á ×íÒƃ

4

Ɨ��� á Š–šņƖ

Î Ɨ á ć š•ņƖ â Ɓ ņ

Ɨ��� áà ÒƗÎîÏ

öć Ɨ â ćƖ á Ɓ

Ò Ï

Ɨ���Þƒßá ƔÞƒß Ɨ���Ɨ á Ïì ƗÞ×ßá Ï

ƗÏ á у â Ñ

Ɨ á ƒ Ɨ���ì ƗÞÎßá Î

Ɨáƒ

5

Ɩ Ɨ��� áà ć ÖƗ

ņ Ɨ á š•Þ ć à ƒß Ñ

ç

ç

Î Ɨ��� áà ć Ɨ Ï

ņ Ɨ á š•Þ ć à ƒß Ñ

ç

ÏƖ â ÎÕƗƗ��� á ×

ç

ƂƔ Ƌƅ à ƀƔÏ á Ƌ ć Ƃƒ Ƌ á Îì ƀ á Îì ƅ á ÖíÕ

ƂƔ á× ć Ƃƒ

ƂƔ ÖíÕ à ƔÏ á ć Ƃƒ

Ɣ á öć ÖíÕ á ÐíÎÞƋîƑß

Ɨ��� á Ɨ â Ɩ à Ò = Ɩ = Ïì à Î = Ɨ = Ò

ƌ W X Y Z [ \ ] ^ _ ` XW

Ɩƌ

Ɨƌ

WUW WUX WUY WUZ WU[ WU\ WU] WU^ WU_ WU` XUW

XUWWW XUXWW XUXYW XUZZX XU[][ XU]XX XU^^Y XU`[` YUX[[ YUZ\_ YU\`[

Ɨ XUWWW XUXW\ XUYYX XUZ\W XU[`Y XU][` XU_YY YUWX[ YUYY] YU[]W YU^X_

ƃƐƐƍƐ WUWWW WUWW\ WUWXX WUWX` WUWY_ WUWZ_ WUW\X WUW]\ WUW_Y WUXWY WUXY\

1.2 Geometric Meaning of y = f (x, y). Direction Fields

ƖÏ â ÖƗÏ á Ɓ

Î ƗÏ â ÞƗ���ßÏ á Îì ƗÞ×ßá ć öć Ï

6

ƌ W X Y Z [ \ ] ^ _ ` XW

ƌ W X Y Z [ \ ] ^ _ ` XW

Ɩƌ

Ɨƌ

WUWW WUWX WUWY WUWZ WUW[ WUW\ WUW] WUW^ WUW_ WUW` WUXW

XUWWW XUWXW XUWYW XUWZW XUW[X XUW\X XUW]Y XUW^Y XUW_Z XUW`[ XUXW\

Ɩƌ

Ɨƌ

WUW WUX WUY WUZ WU[ WU\ WU] WU^ WU_ WU` XUW

WUWWW WUWWW WUWWX WUWW\ WUWX[ WUWY` WUW\X WUW_X WUXX` WUX]] WUYYW

Ɨ XUWWW XUWXW XUWYW XUWZW XUW[X XUW\X XUW]Y XUW^Z XUW_Z XUW`[ XUXW\

ƃƐƐƍƐ WUWWW WUWWW WUWWW WUWWW WUWWW WUWWW WUWWW WUWWW WUWWW WUWWW WUWWX

Ɨ WUWWW WUWWW WUWWZ WUWW` WUWYW WUWZ_ WUW]Z WUW`] WUXZ] WUX_[ WUYZ_

ƃƐƐƍƐ WUWWW WUWWW WUWWY WUWW[ WUWW] WUWW` WUWXY WUWX\ WUWX^ WUWX_ WUWX`

ƌ W X Y Z [ \ ] ^ _ ` XW

Ɩƌ

Ɨƌ

WUW WUY WU[ WU] WU_ XUW XUY XU[ XU] XU_ YUW

XUWWW XUWWW WU``_ WU`^Z WU_\W WU\\[ WUY[^ WUXYW WUW]\ WUWZ^ WUWYZ

Ɨ XUWWW WU[WY WUX_] WUW`\ WUW\Z WUWZX WUWX` WUWXZ WUWW_ WUWW] WUWW[

ƃƐƐƍƐ WUWWW WU\`_ WU_XY WU_^_ WU^`^ WU\YZ WUYY_ WUXW_ WUW\] WUWZX WUWX`

Ɨ ƗÐ ƂƗ áà ƖÐ ƂƖ Ɨ��� á Ɨ

õ Ɨ ƂƗá õ à Ɩ ƂƖ ì Ð

Î ƂƗ á ƂƖ ć Ɨ

Ñ

Î Ñ Î Ɨ áà ć ƖÑ â ƁÝ ć Ñ Ñ

ƖÑ â ƗÑ á Ɓ Ɩ

Ɨáƃ

“•çƗçá Ɩ Ɩ

ÑƖÐ â ÑƗÐ Ɨ��� á ×

Ɨ á ƃ âƁ Ɩ

Ɨ��� á ƃ á Ɨ à Ɓ

Ɓd×

Ɩ

Ɨ á ƃ âƁ

Š–šÏ ƗƂƗ á ƂƖ

Π⠊–šÏƗ ƂƗá õ ƂƖ õć Ï Î Î Ɨ â ć š•ÏƗ á Ɩ â Ɓ ć Ï Ñ

Ɨ��� á њŒŠÏ ÞÏƖ â Ɓßà Ñ á ћˆ•Ï ÞÏƖ â Ɓßá ÞƗ â ÑƖßÏ Ɨ Ɠá ć Ɩ

Ɨ á ƖƓì Ɨ ��� á Ɠ â ƖƓ ��� Ɠ��� á ƓÏ

Î Î Ɨ��� â ć Ɨ��� Š–šÏƗ á Î ć Ï Ï Ɨ��� Š–šÏ Ɨ á Î

àƖ Ɨá ć ƖâƁ

Î ņ Š–šÏņƖ ƂƗ á ć ƂƖ ć Ɨ š•ÏņƖ ņ Š–šÏņƖ ƂƖ õ ćÎƗ ƂƗá õ ć š•ÏņƖ

Î “•çƗçá ć “•çš•ÏņƖçâ ƁÝ Ï

ƗÏ á Ɓš•ÏņƖ ÏƗƗ ��� á ÏƁņ Š–šÏņƖ

Ɨ

àƁ Ɨ��� á ć ÞƖ â ƁßÏ à ƁƖ á ƖƗ��� ƗÏ â Ɨ á ć ÞƖ â ƁßÏ Ɨ Ɠá ć Ɩ

Ɨ á ƖƓì Ɨ ��� á Ɠ â ƖƓ ���

ƗÏ Ɨ ��� á ƁņƗ Š–šÏņƖ ƁƗ��� š•ÏņƖ á ƁņƗ Š–šÏņƖ Î Ï Ɨ áà ÎÕƖ â ƁÝ ć Ï

ƗƂƗ áà ÐÓƖƂƖ Ï

ƖƓ��� á Î Î ƂƓ á ć ƂƖ Ɠ á “•çƖçâ Ɓ Ɩ Ɨ á Ɩ “•çƖçâ ƁƖ

Ï

Ɨ Ɨ��� á “•çƖçâ Î â Ɓ á Î â ć Ɩ

ÐÓƖ â Ɨ á Ɓ ÔÏƖ â ÏƗƗ��� á × Î Î Î ƂƗ á ƃÏƖ à Î ƂƖ à ć á ć ƃÏƖ à Î â ƁÝ ć Ɨ Ï ƗÏ

Î Î ƂƗ áà ć ƂƖ ć Ɨ Ɩ

“• çƗçáà “•çƖçâ ƁÝ Ɓ Ɨá ć Ɩ

àÏ Ɨá ć ÏƖ à Î âƁ ƃ

Ɓ ƗÞÑßá ć á Ó Ñ

ÏÞÏƃÏƖ à Î ß á ƃÏƖ à Î ƗÏ Ɨ��� á ć ÞƃÏƖ à Î â ƁßÏ Ɨ Ɠá ć Ɩ

Ɨ á ƖƓì Ɨ ��� á Ɠ â ƖƓ ���

ÏÑ Ɨá ć Ɩ Î ƂƗ á ƂƖ ć â Î ÑƗÏ

Î ˆ™Š›ˆ•ÞÏƗßá Ɩ â ƁÝ ć Ï

Ɠ��� á ÏƖ š•Ï Ɠ Ï

Î Ɨ á ć ›ˆ•ÞÏƖ â Ɓß Ï

Ï

ŠšŠ ƓƂƓ á ÏƖƂƖ à Š–›Ɠ á Ɩ â Ɓ

Î ƗÞÎßá ć ›ˆ•ÞÏ â Ɓßá × Ï

Ɠ á ˆ™ŠŠ–›Þà ƖÏ à Ɓß Ɨ á Ɩ ˆ™ŠŠ–›Þà ƖÏ à Ɓß

Î Ɨ á ć ›ˆ•ÞÏƖ à Ïß Ï

Ɓ áà Ï ÏƖÏ Ɨ��� á ˆ™ŠŠ–›Þà ƖÏ à Ɓßâ ć Ï Î â Þà ƖÏ à Ɓß

ŠšŠÏ ƗƂƗ á šŒŠÏ ƖƂƖ à Š–›Ɨ á ›ˆ•Ɩ â Ɓ

Ɨ Ɨ Î â Þà Ɩ à Ɓß á Π⠊–› ć á ŠšŠÏ ć Ɩ Ɩ Ï

Ï

Ɠ á Ɨ â ÑƖ

ņ à Š–› ć á ›ˆ•× â Ɓ Ï

Ï

Ɨ Ɨ Ɨ��� á ć â ÏƖÏ š•Ï ć Ɩ Ɩ

Þ ß

à Š–›Ɨ á ›ˆ•Ɩ

Ɓá× Î ƂƐ áà σƂƒ ć Ɛ Ɠ��� á Ɨ��� âÑ

Ɨ á ϛˆ•ÞÏƖ â Ɓßà ÑƖ

“•çƐçáà ƒÏ â ƁÝ à ƒÏ

Ɛ á Ɓƃ

Î ƂƓ á ƂƖ Ɠ��� á ƓÏ â Ñ ć ƓÏ â Ñ Î Ɠ ˆ™Š›ˆ• ć á Ɩ â ƁÝ Ɠ á ϛˆ•ÞÏƖ â Ɓß ć Ï Ï

Ɓ á ÏÑ

ƐÞ×ßá Ɓ á Ɛ× Ɛ á Ɛ× ƃ ƗƂƗ áà ÑƖƂƖ

àƒ

Ï

Î Ï Ɨ áà ÏƖÏ â ƁÝ ć Ï ÑƖÏ â ƗÏ á Ɓ

7 1.3 Separable ODEs. Modeling

Š–šÏƗ á Š–šÏ Ɨ à Î

àÎ Ɠá ć ƖâƁ

Î Î ƂƓ á ƂƖ à ć á Ɩ â Ɓ ć Ɠ ƓÏ

ÎÓ â Ö á Ɓ Ï

ſ ƑÞƒßá ć ƒÏ â Î×Ð ƒ â Ɓ Ï

Ï

ÑƖ â Ɨ á ÏÒ Ɣ á ƖâƗàÏ Ɣ ��� á ƔÏ â Î

8

Ɣ��� á Î â Ɨ���

ſ ƑÞƒßá ć ƒÏ â Î×Ð ƒ Ï

ƑÞ×ßá Ɓ á ×

ƂƔ á ƂƖ ˆ™Š›ˆ• Ɣ á Ɩ â Ɓ ć ƔÏ â Î

ſ Ö ZÎ×Ó Ï Ƒ á Î×Ð ƒ â ć ƒÏ á Î×Ð ZÎ×à Ð â ć ÞÎ×à Ð ß á ÒíÒ ” Ï Ï

Ɣ á ›ˆ•ÞƖ â Ɓß Ɨ á ›ˆ•ÞƖ â Ɓßà Ɩ â Ï ƗÞ×ßá Ï â ›ˆ•ÞƁßá Ï Ɓá×

¯ Ƃ¯ áà ć ć ƂƎ Ǝ

Ɨ á ›ˆ•Ɩ à Ɩ â Ï

Ɨ Ɠá ć Ɩ

Ƃ¯ ƂƎ áà ć ć ¯ Ǝ

Ɨ á ƖƓì Ɨ ��� á Ɠ â ƖƓ ��� Ɠ��� á ÐƖÏ Š–šÏ Ɠ

šŒŠ ƓƂƓ á ÐƖÏ ƂƖ ›ˆ•Ɠ á ƖÐ â Ɓ

¯á ć

Ɨ á Ɩ ˆ™Š›ˆ•ÞƖÐ â Ɓß

Î Ɨ��� á Ɨ¢ ƌ à Ɨ¨ Ɠ ƒ áà ć Ɨ Ï××

ƗÞÎßá ˆ™Š›ˆ•ÞÎ â Ɓßá × Ɨ á Ɩ ˆ™Š›ˆ•ÞƖÐ à Îß ƗÞƖ× ßá Ɨ×

Ɨ

ƗÞ×ßá Ɨ× á Î×× Ɨ á Î××ƃ

Ɨ

õ ƅÞƕßƂƕ á õ Ɨ×

Ɩ

ƄÞƒßƂƒ

ƗÞÓ×ßá Î××ƃ

Ɩ×

­Þ×ßá Ò

Ɨ

Ɨ á Ɓƃƒ “• Ï

“•ç­ à ÏÏçá Ɖƒ â Ā Ɓ

ƗÞÏßá Ɓƃϓ• Ï á ÑƁ á ÑƗÞ×ß

­Þ×ßá ÏÏ â Ɓ á Ò ­ÞÓ×ßá ÏÏ â Ɓƃ

ƗÎ

ƗÏ

Ɨ

Ó×Ɖ

ƒ nÒÕךŒŠ Ɨ��� áà šƗ “•Ɨ

Ɨ��� á ƗÎ à ƗÏ á ƉƀƗ à ƉƂƗ á ÞƉƀ à ƉƂßƗ ƂƗ áà šƂƒ ć Ɨ “•Ɨ

Ɖ ƀ à Ɖ Ƃß ƒ

Ē× Ɖƀ ï ƉƂ ĕ ĕ Ĕt Ɖƀ ð ƉƂ

“•Þ“•Ɨßáà šƒ â Ā Ɓ ÞƗ ð Îß “•Ɨ á Ɓƃà š ƒ

“”Ɨ á ēƁ Ɖƀ á ƉƂ

Ɨ á ƃƁƃ

Ɨ á Ɨ× ƃà ×í×××ÎÏÎЃ

Ɖƒ

Ɨ á Ɨ× ƃ

ÓÖíÒÜ

ſÞƒßá Ɣ���Þƒßá Ƒ���Þƒß Ƒ���Þƒßá ſ

ƔÞ×ßá Î×Ð

ƑÞ×ßá ×

Ƒ���Þƒßá ſ

ƔÞƒßá Ƒ���Þƒßá ſƒ â ƀ Ð

ƔÞ×ßá ƀ á Î×

Ƒ���Þƒßá ſƒ â Î×Ð

àšƒ

Ɨ��� á ƉƗ

Ɨ

ƑÞƒß ƔÞƒßá Ƒ���Þƒß

Ɨ á ƃƁƃ

àšƒ

Î Ɨ á Ɨ× ƃÎ×Ɖ ć Ï ×

Î×Ñ à Î×Ð á Ö ZÎ×Ó ”ŠÏ ſá ć Î×à Ð ƒ

á ÎÏ

­ á ÏÏ à ÎÔƃà ×í××ÕÕу

Ɖƀì ƉƂ

ƗÞÐ×××ßá Ɨ× ƃà ×íÐÓÐÖ n×íÓÖÒ

Ɓ áà ÎÔ

Î Î× Ɖ á ć “• ć áà ×í××ÕÕÑ Ó× ÎÔ ÏÎíÖ á ÏÏ à ÎÔƃà ×í××ÕÕу

ƒG t

­ á ÏÏ â ƁƃƉƒ

­ á ÏÏ â ƁƃƉƒ

ƗÞÑßá Ɓƃѓ• Ï á ÎÓƁ á ÎÓƗÞ×ß

Ɨ á ƁƃÞ

á ÔÑí×Õ

Ƃ­ á ƉƂƒ ć ­ à ÏÏ

ÏƁ á ƁƃƉ ì Ɖ á “•Ï

ƗÎ á ƉƀƗ ì ƗÏ á ƉƂƗ

Ð àć Î×

­ÞÓ×ßá ÎÏ

Ɨ á ƁƃƉƒ ƗÞÎßá ÏƗÞ×ß

Î à ćƒ Ï××

Ƃ­ á ƉÞ­ à ÏÏß ć Ƃƒ

ƒ Ɨ��� á ƉƗ

¯á ć

Ɓ Ǝ

Ɠ á ˆ™Š›ˆ•ÞƖÐ â Ɓß

Ɓ áà Î

Ɓ Ǝ

“•ç¯çáà “•çƎçâ Ā Ɓ

Ï

Î Ɖ áà ć “•Ï áà ×í×ÓÖÐÎ Î× Ɨ á Ɨ× ƃà ×í×ÓÖÐ΃ Î Ɨ á Ɨ× ƃà ×í×ÓÖÐ΃ ć Î×× ×

“•Î×× ƒ á ć nÓÓíє• ×í×ÓÖÐÎ Ò×Ü

ÏÒÜ

Ƒ á ƃ×íÎÒŋ > Î××× ć Ƒ×

ÎÏíÒÜ ÓíÏÒÜ

ŋ > ÑÓíÎÒ nÔíÐÐÞÏņß

ÐíÎÏÒÜ

Ɛ

ÎíÒÓÏÒÜ ×íÔÕÎÏÒÜ

ƖÏ â ƗÏ á ƐÏ

ÖÖÜ ÎÜ

ÏƖ â ÏƗƗ��� á ×

9 1.4 Exact ODEs. Integrating Factors

Ɩ Ɨ��� áà ć Ɨ ƖƗ á Ɓ ƂÎ ƂÎ ð ƂÏ á ÎÖ×à ÎÎ× á Õ×

ƂÏ

­ ­ á ÎÖ×â ƂÎ ð ÎÖ×â Õ× á ÏÔ× ÏÎÏ ƂƗ Ɣá ć Ƃƒ

Ɨ

ſ Ɨ á ſƖ ƃ

Ɨ��� á ſ

Ɩ

ƖÏ ƖÐ ƃƖ á Î â Ɩ â ć â ć âz ÏØ ÐØ à ƖÏ

ƃ

ƂƔ ƂÏ Ɨ ſ á ćá ć Ƃƒ ƂƒÏ

Î Î á Î à ƖÏ â ć ƖÑ à ć ƖÓ âz ÏØ ÐØ Î Î Î Ɨ á Ɓâ Ɩ à ć ƖÐ â ć ƖÒ à ć ƖÔ âz Ð Î× ÑÏ

ƂƔ ſ á ć á Ôƒ à ƅ Ƃƒ

Ô Ɣ á ć ƒÏ à ƅƒ â Ɓ Ï

š ›

Ɔ��� áà ÏÓíÒÓ ć öć Ɔ

ƂƗ Ô Ɣ á ć á ć ƒÏ à ƅƒ Ƃƒ Ï

Ɣ× á ×

ƗÞ×ßá ×

› šá Ò

› á ņƐÏ á ņÞ« Ï à Þ« à ƆßÏ ßá ņÞÏ«Ɔ à ƆÏ ß

Ô Î Ɨ á ć ƒÐ à ć ƅƒÏ Ó Ï

à ÑÏíÏÔ ć öƆ Ɔ��� á ć Ï«Ɔ à ƆÏ

Ɨ Ɨ��� á ƅ ć á ƅÞſßá Ɩ

Þ ß

ƅ ƅ š•ķ

Ð

Ò

Ñ Ï ć ć «Ɔ Ï à ć Ɔ Ï áà ÑÏíÏÔƒ â ĀƁ ć Ð Ò ƒá×

Þ

Ƒ á ÎíÓ×ÎÒƒÏ ƒ á öć Î×îÎíÓ×ÎÒ á ÏíÒ×

Î×

ƒ á ×í×ÏÏΫ

Ƒ á ×íÎÒƑŋ

Ð

Ò

ß

Ò ć Ï Ò ć

ƒ á ×í×ÏÏÎÞÎ××ß Ï nÏÏÎךŒŠnÐԔ•

Þ

Ò

« Î ÎÑ ć Ñ ƒ Ɔ á ć á ć ć« Ï à ć« ć Ï ÑÏíÏÔ ÎÒ Ð Ï

Þ

«

ß

á ×í×ÎÏÓ«

Ɣ á ÐíÏ×Ð ZÏíÒ× á Õí×ÎޔŠß ×íÎÒ

Ò

Î ÎÑ ć Ñ Ï ć ć ƒ á ć ć « Ï à ć «Ɔ Ï â ć Ɔ Ï ÑÏíÏÔ ÎÒ Ð Ò

ƂƔ á ƅ š•ķà ×íÏ×ƅ Š–šķ á ÐíÏ×Ð ć Ƃƒ

Ɣ á ÐíÏ×Ѓ

ÎÑ ć Ā Ɓá ć « Ï ÎÒ

Ɔá«

ƅ Š–šķ

×íÏ×

ÞÏ«öć Ɔ à Ɔöć Ɔ ßƂƆ áà ÑÏíÏÔƂƒ

Ò

Ɨ á ſƖ Ɨ áſ ć Ɩ

š

Ô Î Ɨ á ć ƒÐ à ć ƅƒÏ â Ā Ɓ Ó Ï

Ô Î ƗÞÎ×ßá ć ZÎ××× à ć ZÖíÕ ZÎ×× nÓÔÔ ” Ó Ï

Ò ć Ï

Þ ß

Ð ć Ï

Ò ć Ï

Þ ßß

Ï « âć ć Ò Ï

ƒÞƆ á Ò×ì « á Î××ßnÎÏÓךŒŠnÏЕ

ƂƑ á ×íÎÒƂŋ Ƒ á Ƒ× ƃ×íÎÒŋ ć Ƒ

ŋG×

Ş Ş ÞÏƖƗßá ÏƖ á ć ÞƖÏ ß ć ŞƗ ŞƖ Ɠá

Ɨ Ɨ��� áà ć Ɩ

Ɨ â ƖƗ��� á ×

Ş Ð Ş ÞƖ ßá × á ć ÞƗÐ ß ć ŞƗ ŞƖ

õ ÏƖƗƂƖâ ŋÞƗßá Ɩ Ɨ â ŋÞƗß Ï

ŞƓ á ƖÏ â ŋ���ÞƗßá ƖÏ ć ŞƗ ƖÏ Ɨ á Ɓ

ŋÞƗßá Ɓ

Ɠá

õ Ɩ ƂƖâ ŋÞƗßá ćÎÑ Ɩ â ŋÞƗß Ð

Î ŋÞƗßá ć ƗÑ Ñ

Ñ

ŞƓ á ŋ���ÞƗßá ƗÐ ć ŞƗ

Î Î Ɠ á ć ƖÑ â ć ƗÑ á ƁÝ Ñ Ñ

Ş Ɩ Ş Þƃ Š–šƗßáà ƃƖ š•Ɨ á ć Þà ƃƖ š•Ɨß ć ŞƗ ŞƖ

ƖÑ â ƗÑ á Ɓ

Ş Ş Þš•Ɩ Š–šƗßáà š•Ɩ š•Ɨ á ć ފ–šƖ š•Ɨß ć ŞƗ ŞƖ

10

Ɠá

õ š•Ɩ Š–šƗƂƖâ ŋÞƗßáà Š–šƖ Š–šƗ â ŋÞƗß

ŞƓ á Š–šƖ š•Ɨ â ŋ���ÞƗßá Š–šƖ š•Ɨ ć ŞƗ

Ş Ðľ Ş Þƃ ßá ÐƃÐľ á ć ÞÐƐƃÐľ ß ć Şľ ŞƐ

õƃ

ƂƐâ ŋÞľßá Ɛƃ â ŋÞľß ŋÞƗßá Ɓ

ƃƖ Š–šƗ á Ɓ Ş Ş ÞÏƃÏƖ Š–šƗßáà ÏƃÏƖ š•Ɨ á ć Þà ƃÏƖ š•Ɨß ć ŞƗ ŞƖ

àÏ ƂƖá ƃ õć Ɩ

Ÿ á ŒŸ—

ÏƖ

ƃÏƖ Š–šƗ á Ɓ

ƃ Š–šƗ á Î Š–šÞƖ â Ɨß Ɨ Š–šÞƖ â ƗßƂƖ â ã Ɨ Š–šÞƖ â Ɨß⠚•ÞƖ â Ɨß ä ƂƗ á ×

à ϓ• Ɩ

á Ɩà Ï Ş ã Ɨ Š–šÞƖ â Ɨß ä á Š–šÞƖ â Ɨßà Ɨ š•ÞƖ â Ɨß ć ŞƗ Ş á ć ã Ɨ Š–šÞƖ â Ɨß⠚•ÞƖ â Ɨß ä ŞƖ

Ï

Ï

Ï

Ɠá

õ Ɨ Š–šÞƖ â ƗßƂƖâ ŋÞƗßá Ɨ š•ÞƖ â Ɨßâ ŋÞƖß

ŋÞƗßá Ɓ

ŞƓ á š•ÞƖ â Ɨßâ Ɨ Š–šÞƖ â Ɨßâ ŋ���ÞƖß ć ŞƗ á š•ÞƖ â Ɨßâ Ɨ Š–šÞƖ â Ɨß

ƗÏ Ɩ à ć á Ɓ ƖÏ à ƗÏ á ƁƖ Ɩ

ŋÞƗßá Ɓ

Ş Ş ã ÐÞƗ â ÎßÏ Ɩà Ñ ä á ÓÞƗ â ÎßƖà Ñ á ć ã à ÏƖà Ð ÞƗ â Îß ä ć ŞƗ ŞƖ

õ ÐÞƗ â Îß Ɩ

Ï àÑ

Ɨ š•ÞƖ â Ɨßá Ɓ ϊ–šƖ Š–šƗƂƖ à š•Ɩ š•ƗƂƗ á ×

ƂƖâ ŋÞƗßáà ÞƗ â ÎßÏ Ɩà Ð â ŋÞƗß

Ş Þϊ–šƖ Š–šƗßáà ϊ–šƖ š•Ɨ ì ć ŞƗ Ş Þà š•Ɩ š•Ɨßáà Š–šƖ š•Ɨ ć ŞƖ

ŞƓ áà ÏÞƗ â ÎßƖà Ð â ŋ���ÞƗßáà ÏƖà Ð ÞƗ â Îß ć ŞƗ à ÞƗ â ÎßÏ Ɩà Ð á Ɓ

ŋÞƗßá Ɓ

Ş Ş ÞÏƖ ›ˆ•Ɨßá ÏƖ šŒŠÏ Ɨ ì ć ޚŒŠÏ Ɨßá × ć ŞƗ ŞƖ Ï

à Š–šƖ š•Ɨ ƂƖá ƃ õć à š•Ɩ š•Ɨ

ƖÏ

Ï

ÏƖƃƖ ›ˆ•ƗƂƖ â ƃƖ šŒŠÏ ƗƂƗ á ×

Ɠá

õ ÏƖƃ

Ɩ

Ï

Ï

›ˆ•ƗƂƖâ ŋÞƗßá ƃƖ ›ˆ•Ɨ â ŋÞƗß

Ï Ï ŞƓ á ƃƖ šŒŠÏ Ɨ â ŋ���ÞƗßá ƃƖ šŒŠÏ Ɨ ć ŞƗ

ŋÞƗßá Ɓ

ƖÏ

ƃ ›ˆ•Ɨ á Ɓ ƃƖ Š–šƗƂƖ à ƃƖ š•ƗƂƗ á ×

á š•Ɩ

Ϛ•Ɩ Š–šƖ Š–šƗƂƖ à š•Ï Ɩ š•ƗƂƗ á ×

Ï

Ï

“• ç š •  Ɩ ç

Ÿ á ŒŸ—

ÏƖ šŒŠ Ɨ ƂƖá ƃ õć šŒŠ Ɨ

Ÿ á ŒŸ—

ÎáƁ

ÏƖ

Ɩ Ɨ Ɨ ƂƖâ ŋÞƗßá Ɩ à ć â ŋÞƗß õć Ɩ Ɩ

ŞƓ ÏƗ ÏƗ áà ć â ŋ���ÞƗßáà ć ć ŞƗ Ɩ Ɩ

Ɠá

Š–šƗƂƖâ ŋÞƗßá ƃÏƖ Š–šƗ â ŋÞƗß

ŞƓ áà ƃÏƖ š•Ɨ â ŋ���ÞƗßáà ƃÏƖ š•Ɨ ć ŞƗ

ƖÏ â ƗÏ ÏƗ ƂƖ à ć ƂƗ á × ć Ɩ ƖÏ â

õ Ïƃ

ƗÞ×ßá ×

Ş Ï Ş ÞƖ â ƗÏ ßá ÏƗ ì ć Þà ÏƖƗßáà ÏƗ ć ŞƗ ŞƖ

Ï

ŋÞƗßá Ɓ

ŋÞƗßá Ɓ

ƐƃÐľ á Ɓ

Ɠá

Ɩ

ŞƓ áà ƃƖ š•Ɨ â ŋ���ÞƗßáà ƃƖ š•Ɨ ć ŞƗ

Ɠá

Ðľ

ŞƓ á ÐƐƃÐľ â ŋ���Þľßá ÐƐƃÐľ ć Şľ

Ɩ

ÏƃÏƖ Š–šƗƂƖ à ƃÏƖ š•ƗƂƗ á ×

ƃÐľ ƂƐ â ÐƐƃÐľ Ƃľ á ×

Ɠá

õ ƃ Š–šƗƂƖâ ŋÞƗßá ƃ Š–šƗ â ŋÞƗß

ŋÞƗßá Ɓ

Š–šƖ Š–šƗ á Ɓ

Ðľ

Ɠá

Ɠá

õ Ϛ•Ɩ Š–šƖ Š–šƗƂƖâ ŋÞƗßá š• Ɩ Š–šƗ â ŋÞƗß Ï

ŞƓ áà š•Ï Ɩ š•Ɨ â ŋ���ÞƗßáà š•Ï Ɩ š•Ɨ ć ŞƗ ŋÞƗßá Ɓ š•Ï Ɩ Š–šƗ á Ɓ Ï

Ï

ÏƖƗƃƖ ƂƖ â ƃƖ ƂƗ á × Ï Ï Ş Ş ƖÏ ÞÏƖƗƃƖ ßá ÏƖƃƖ á ć Þƃ ß ć ŞƗ ŞƖ

Ɠá

õ ÞÏƖƗƃ

ƖÏ

ßƂƖâ ŋÞƗßá ƗƃƖ

Ï

Ï Ï ŞƓ á ƃƖ â ŋ���ÞƗßá ƃƖ ć ŞƗ

ÞÎ â ÏƖßƂƖ ⠚ŒŠÏ ƗƂƗ á ×

â ŋÞƗß Ɠá

ŋÞƗßá Ɓ

õ ÞÎ â ÏƖßƂƖâ ŋÞƗßá Ɩ â Ɩ â ŋÞƗß Ï

ŞƓ á ŋ���ÞƗßá šŒŠÏ Ɨ ć ŞƗ

ƖÏ

Ɨƃ á Ɓ

ŋÞƗßá ›ˆ•Ɨ Ɩ â ƖÏ â ›ˆ•Ɨ á Ɓ

ƃƖ â Ɨ

11

ƃƖ ƂƖ â ÞƃƗ à ÎßƂƗ á ×

Ɠá

õ

›ˆ•Ɨ áà ÞƖ â ƖÏ ßâ Ɓ

ŞƓ á ŋ���ÞƖßá ƃƗ à Î ć ŞƗ

ƃƖ ƂƖâ ŋÞƗßá ƃƖ â ŋÞƖß

ÞƖÏ â ƗÏ ßƂƖ à ÏƖƗƂƗ á ×

ŋÞƗßá ƃƗ à Ɨ ƃƖ â ƃƗ à Ɨ á Ɓ

ÏƗ â ÏƗ Î ƂƗ ጟ—Þà ϓ•Ɩßá ć õć à ÏƖƗ Ɩ

ŸÞƖßá ŒŸ—

ſ ƀ

ƖƗ

Ï

ƗÏ ÏƗ Îâ ć ƂƖ à ć ƂƗ á × Ɩ ƖÏ

Þ

Þſâ ÎßƖſƗƀ â Î ƂƖ â Þƀâ ÎßƖſ â Î ƗƀƂƗ á × Ş ã Þſâ ÎßƖſƗƀ â Î ä á Þſâ ÎßÞƀâ ÎßƖſƗƀ ć ŞƗ Ş á ć ã Þƀâ ÎßƖſ â Î Ɨƀ ä ŞƖ

Ɠá

õ Þſâ ÎßƖ Ɨ

ſ ƀâ Î

Ï

Ɠá

ƗÏ Ɨ ƂƖâ ŋÞƗßá Ɩ à ć â ŋÞƗß õ ÞÎ â ć ß Ɩ Ɩ Ï

ŞƓ ÏƗ ÏƗ áà ć â ŋ���ÞƗßáà ć ć ŞƗ Ɩ Ɩ

ƂƖâ ŋÞƗßá Ɩſ â Î Ɨƀ â Î â ŋÞƖß

ƖÏ

Ɩſ â Î Ɨƀ â Î á Ɓ

Ş Ş ÞſƖ â ƀƗßá ƀì ć ÞƉƖ â ƊƗßá Ɖ ć ŞƗ ŞƖ

ƀáƉ

ŋÞƗßá Ɓ

ƗÏ Ɩ à ćá Ɓ Ɩ

ŞƓ á Þƀâ ÎßƖſ â Î Ɨƀ â ŋ���ÞƖßá Þƀâ ÎßƖſ â Î Ɨƀ ć ŞƗ ŋÞƗßá Ɓ

ß

ƗÏ ÏƗ à ć Ɨ��� á × Îâ ć Ɩ ƖÏ

Þ

ß

Ɨ Ɣá ć Ɩ ÏƖƔƔ��� á Î à ƔÏ

Ɨ á ƖƔì Ɨ ��� á Ɣ â ƖƔ ��� Ɠá

õ ÞſƖ â ƀƗßƂƖâ ŋÞƗßá ćÎÏ ſƖ â ƀƖƗ â ŋÞƗß

ÏƔ Î ƂƔ á ć ƂƖ à “•çÎ à ƔÏ çá “•çƖçâ ƁÝ ć Ɩ Î à ƔÏ

Ï

ŞƓ á ƀƖ â ŋ���ÞƗßá ƉƖ â ƊƗ ć ŞƗ

Î ƉÞƗßá ć ƊƗÏ Ï

ƖÞÎ à ƔÏ ßá Ɓ ƗÏ ƗÏ á Ɓì Ɩ à ć á Ɓ Ɩ Îà ć Ï Ɩ Ɩ

Þ

Î Ï Î ſƖ â ƀƖƗ â ć ƊƗÏ á Ɓ ć Ï Ï

Ş Ɨ Ş Þƃ š•Ɩßá ƃƗ š•Ɩ á ć ÞƃƗ Š–šƖß ć ŞƗ ŞƖ

õ ƃ š•ƖƂƖâ ŋÞƗßá ƃ Š–šƖ â ŋÞƗß Ɨ

Ɨ

ŞƓ á ƃƗ Š–šƖ â ŋ���ÞƗßá ƃƗ Š–šƖ ć ŞƗ ƃ Š–šƖ á Ɓ

ƃƗ Š–šƖƂƗ áà ƃƗ š•ƖƂƖ ƂƗ áà ›ˆ•ƖƂƖ Ɨ áà “•ÞŠ–šƖßâ Ɓ ƂƗ ÞÎ â ÏƖߊ–šƗƂƖ â ć á × Š–šƗ

ÞÎ â ÏƖß š•Ɨ ŸÝ ÞƗßá ŒŸ— ć ƂƗ ÞÎ â ÏƖß Š–šƗ Î á ŒŸ—Þà “•ÞŠ–šƗßßá ć Š–šƗ

õ

Ï

Ö àć Ñ

Ï

à

ÐƖ ÎÏƖ Ö ƂƗ ጟ—Þà ć “•Ɩßá Ɩ õć Ñ ÑƖ

ŸÞƖßá ŒŸ—

Î àć Ñ

ÐƖ

Ɠá Ɨ

ŋÞƗßá Ɓ

ß

Ð

ÐƖ ƗƂƖ â ÑƖ ƂƗ á ×

ƃƗ ޚ•ƖƂƖ ⠊–šƖƂƗßá ×

Ɠá

Ï

Ð

Ð ć

ƗƂƖ â ÑƖ Ñ ƂƗ á ×

õ

Î àć Ñ

ÐƖ

Ð ć

ƗƂƖâ ŋÞƗßá ÑƖ Ñ Ɨ â ŋÞƗß

Ð

Ð

ŞƓ ć ć á ÑƖ Ñ â ŋ���ÞƗßá ÑƖ Ñ ć ŞƗ

ŋÞƗßá Ɓ

Ð ć

ÑƖ Ñ Ɨ á Ɓ ƂƗ Ð ÑƖÐ ƂƗ áà ÐƖÏ ƗƂƖ ć áà ć ƂƖ Ɨ ÑƖ Ð “•çƗçáà ć “•çƖçâ ƁÝ Ñ

Ð àć Ñ

Ɨ á ƁƖ

Ş Ş Þà ƗÏ š•Ɩßáà ÏƗ š•Ɩ ì ć ÞÎßá × ć ŞƗ ŞƖ

1.4 Exact ODEs. Integrating Factors

ƂƗ áà ÞÎ â ÏƖߊ–šƗƂƖ šŒŠÏ ƗƂƗ áà ÞÎ â ÏƖßƂƖ ć Š–šƗ

Ş Ɩ Ş Þƃ ßá × á ć ÞƃƗ à Îß ć ŞƗ ŞƖ

ƗÞ×ßá Î

Ɓá×

Ɨ á šŒŠƖ ÏƗ š•Ɩ ƂƗ á ƃ õć à Ɨ š•Ɩ

ŸÝ ÞƗßá ŒŸ—

àÏ

à š•ƖƂƖ â Ɨ

12 Ɠá

à ϓ• ç Ɨ ç

Ï

ņ Î Ɨ ć áX ć Ï Ï

Þ ß

á Ɨà Ï

Î Ɨá ć Š–šƖ YÏ

ƂƗ á ×

ņ Ð Ɨ ć áX ć Ï Ï Î Ɨá ć Ð Š–šƖ Y ć Ï

Î ŋÞƗßáà ć Ɨ Î Š–šƖ à ć á Ɓ Ɨ

ņ Ɨ ć áXÎ Ï

Þ ß

Ɨá×

Î Ɨá ć Š–šƖ à Ɓ

ſƀ “• Ɓ á Ɓƀ “• ſ ƃ

ãõ

Ɨ á ƃϓ• Ɩ

ä

ƆâƁ

à Ɓâ Ɓ à Ɔ

ƐƂƖâ Ɓ á ƃ

ƃ

ƃ

á ƃà Ɔ Ɨ á ƃƖ

ã õ ÒíÏƃ ƂƖâ Ɓ ä á ƃ ã õ à ÑƖƃ ƂƖâ Ɓ ä àƖ

Ɩ

ãõ

ãõ

Ɔ

ƃ ƐƂƖ â Ɓ

ƃƆ ƐƂƖâ Ɓ

ä

ã à ÒíÏƃà Ɩ â Ɓ ä á ƁƃƖ à ÒíÏ

ãõ ƃ ãõ ƃ

ƉƖ à ƉƖ

Ɨ á ƃà ÏƖ

õƃ

ƃ

ÏƖ

ÏƖ

ъ–šÏƖƂƖâ Ɓ

ÏƖ

ÏƖ

ãõ ƃ

ãõ ƃ

ãõ ƃ

à ϓ• Ɩ Ï Ɩ

ãõ

Ɩ ƃ ƂƖâ Ɓ

ä

ƃ

ƂƖ â Ɓ

à ×í×ÎƖ

ä

ƃ ƂƖâ Ɓ á ƖÏ ÞƃƖ â Ɓß Ɩ

“• Š–šƖ à ×í×ÎƖ

à ×í×ÎƖ

á Š–šƖÞà Î××ƃ

Š–šƖƂƖâ Ɓ

ä

ä

â Ɓß

ƗÞ×ßáà Î×× â Ɓ á ×ì Ɓ á Î××

ä

á Ïƃ Š–šÏƖ â Ïƃ

õƃ

Ɨ á ƃà “• Š–šƖ

ƂƖâ Ɓ á ÞƖ â Ɓßƃà ƉƖ

Ɨ á Î××ÞÎ à ƃà ×í×ÎƖ ߊ–šƖ

ä

õ à Ñƃ š•ÏƖ à õ Ñƃ

ъ–šÏƖƂƖ á ÏƃÏƖ Š–šÏƖ à ÏƖ

áƖ

á Š–šƖ

á ƃÏƖ ã ÏƖƃà ÏƖ â ƃà ÏƖ â Ɓ ä á ƁƃÏƖ â ÏƖ â Î Ɨ á ƃà ƉƖ

Ï

ä

à ÏƖ

Ɨ á ƃÏƖ

Ɓ áYÎ

Î Ɨá ć Š–šƖ YÎ

Î Î ƂƗ á š•ƖƂƖ à ć áà Š–šƖ â Ɓ ć Ɨ ƗÏ

à Þ Ɔ â Ɓß

Ð Ɓ áY ć Ï

Þ ß

õ à š•ƖƂƖâ ŋÞƗßá Š–šƖ â ŋÞƗß

ŞƓ á ŋ���ÞƗßá Ɨà Ï ć ŞƗ

Ɓ áYÏ

ÏƖ

š•ÏƖƂƖ

ÏƖ

Š–šÏƖƂƖ

ъ–šÏƖƂƖ á ƃÏƖ Š–šÏƖ â ƃÏƖ š•ÏƖ Ɨ á ƃà ÏƖ ã ƃÏƖ Š–šÏƖ â ƃÏƖ š•ÏƖ â Ɓ ä ņ Ɨ ć á Î â Ɓƃà ņ îÏ á Ð Ɓ á Ïƃņ îÏ Ñ

Þ ß

Ɨ á Š–šÏƖ ⠚•ÏƖ â Ïƃ

ņ à ÏƖ ć Ï

Ɨ á ƃŠ–šƖ

ãõ ƃ

Š–šƖ à Š–šƖ

ƃ

ÏíÒ ƗÞ×ßá Ɓƃ áà ÏíÒ Ɓ áà ć ƃ ÏíÒ Ɨ á Ɩ à ć ƃŠ–šƖ ƃ

Þ

Ï Ɨ��� à ć Ɨ á ƖÏ ƃƖ Ɩ

ä

ƂƖâ Ɓ á ÞƖ â ƁßƃŠ–šƖ

ß

Ɨ��� â ÐƗ šŒŠÏ Ɩ á šŒŠÏ Ɩ

ãõ ƃ

Ɨ á ƃà Лˆ• Ɩ

Лˆ• Ɩ

šŒŠÏ ƖƂƖâ Ɓ

ƌ Î ƎÞƖßáà ć ì ƐÞƖßáà Ɩƌ à Ï Š–š ć Ɩ Ɩ Î ƛ ƙ Ɨ á ƃƌ “• Ɩ ƚ à Ɩƌ à Ï Š–š ć _ƃà ƌ “• Ɩ ƂƖ â Ɓƞ Ɩ Ɲ Ɯ Î Î ƛ ƌƙ áƖ ƚ àć Š–š ć ƂƖâ Ɓƞ Ɩ ƖÏ Ɲ Ɯ Î Î ƌ ƌ á Ɩ š• ć â Ɓ á Ɩ š• ć â ƁƖƌ Ɩ Ɩ

õ õ

ä

ƚ Î ƃЛˆ• Ɩ â Ɓƞƛá Î â Ɓƃà Лˆ• Ɩ Ɯć Ɲ ć Ð Ð

à Лˆ• Ɩ ƙ

áƃ

Þ

ņ Î Ñ Ɨ ć á ć â Ɓƃà Ð á ć Ñ Ð Ð

ƌ

Î Ɨ á ć â ƃÐ à Лˆ• Ɩ Ð

Ɓ á ƃÐ

ß Ï Ï ƗÞ ć ßá Þ ć ß ņ ņ

ƗÎ

Ɓá×

ƗÎ ��� â ƎƗÎ á ×

ƗÏ

ƗÏ ��� â ƎƗÏ á ×

ÞƗÎ â ƗÏ ß��� â ƎÞƗÎ â ƗÏ ßá ƗÎ ��� â ƗÏ ��� â ƎƗÎ â ƎƗÏ á ÞƗÎ ��� â ƎÎ ßâ ÞƗÏ ��� â ƎƗÏ ßá ×ì ÞſƗÎ ß��� â ƎÞſƗÎ ßá ſƗÎ ��� â ſƎƗÎ á ſÞƗÎ ��� â ƎÎ ßá × ƗÎ â ƗÏ ƗÎ

ſƗÎ ƗÎ ��� â ƎƗÎ á Ɛ

ƗÏ

ƗÏ ��� â ƎƗÏ á Ɛ Ɨ á ƃ“• š • Ɩ á š•Ɩ

ã õ Ïƃ

à “• š • Ɩ

Š–›ƖƂƖâ Ɓ

ã õ à ϊšŠƖ Š–›ƖƂƖ â Ɓ ä

ÞƗÎ â ƗÏ ß��� â ƎÞƗÎ â ƗÏ ßá ƗÎ ��� â ƗÏ ��� â ƎƗÎ â ƎƗÏ ÞƗÎ ��� â ƎÎ ßâ ÞƗÏ ��� â ƎƗÏ ßá Ɛ â Ɛ á ÏƐ ì ÞſƗÎ ß��� â ƎÞſƗÎ ßá ſƗÎ ��� â ſƎƗÎ á ſÞƗÎ ��� â ƎÎ ßá ſƐ

ä

á š•ƖÞϊšŠƖ â Ɓßá Ï â Ɓš•Ɩ

ƗÎ â ƗÏ

Ñ Ɨ ��� â ć Ɨ á ÕƖÐ Ɩ

ſƗÎ

ƗÎ Ɨ á ƃà ѓ• Ɩ á Ɩà Ñ

ã õ ÕƖ ƃ

Ð à ѓ• Ɩ

ƂƖâ Ɓ

Þõ ÕƖ ƂƖâ Ɓßá Ɩ

àÑ

Ô

ƗÏ

ƗÎ ��� â ƎƗÎ á Ɛ

ä

ƗÏ ��� â ƎƗÏ á ×

ÞƗÎ â ƗÏ ß��� â ƎÞƗÎ â ƗÏ ß á ƗÎ ��� â ƗÏ ��� â ƎƗÎ â ƎƗÏ á ÞƗÎ ��� â ƎƗÎ ßâ ÞƗÏ ��� â ƎƗÏ ß

ÞƖÕ â Ɓßá ƖÑ â ƁƖà Ñ

á Ɛ â× á Ɛ ƗÎ â ƗÏ

ƗÞÎßá Î â Ɓ á Ïì Ɓ áà Î Ɨ á ƖÑ â Ɩà Ñ

ƗÎ

ƗÎ ��� â ƎƗÎ á Ɛ

ƗÏ

ƗÏ ��� â ƎƗÏ á Ɛ

ÞƗÎ à ƗÏ ß��� â ƎÞƗÎ à ƗÏ ßá ƗÎ ��� à ƗÏ ��� â ƎƗÎ à ƎƗÏ á ÞƗÎ ��� â ƎÎ ƗÎ ßà ÞƗÏ ��� â ƎƗÏ ßá Ɛ à Ɛ á × ƗÎ à ƗÏ ƗÎ ��� â ƎƗÎ á Ɛ

ƗÎ

ÞƁƗÎ ß��� â ƎÞƁƗÎ ßá ƁƗÎ ��� â ƁƎƗÎ á ƁÞƗÎ ��� â ƎƗÎ ßá ƁƐ Ɨ��� â ƎÞƖßƗ á ƁƐÞƖß

ƁƗÎ ƗÎ ��� â ƎƗÎ á ƐÎ Ɠ á Ɨ à ÏíÒ

Ɨ��� á Ɠ��� Ɠ á Ɓƃ

Ɠ ��� á ÓƓ ›ˆ•ÎíÒƖ

ѓ• Š–š ÎíÒƖ

Ñ

á ƁŠ–š ÎíÒƖ

ÞƗÎ â ƗÏ ß��� â ƎÞƗÎ â ƗÏ ßá ƗÎ ��� â ƗÏ ��� â ƎƗÎ â ƎƗÏ á ÞƗÎ ��� â ƎÎ ßâ ÞƗÏ ��� â ƎƗÏ ßá ƐÎ â Ɛ Ï ƗÎ â ƗÏ

Ñ

Ɨ à ÏíÒ á ƁŠ–š ÎíÒƖ Î Î Î ƎÞƖßáà ć ì ƐÞƖßáà ć Š–š ć Ɩ Ɩ Ɩ ƛ Î Î à ć Š–š ć _ƃà “• Ɩ ƂƖ â Ɓƞ Ɲ Ɯ Ɩ Ɩ ƙƚ Î Î ƛƞ áƖ àć Š–š ć ƂƖâ Ɓ Ɩ Ɯ ƖÏ Ɲ Î Î á Ɩ š• ć â Ɓ á Ɩ š• ć â ƁƖ Ɩ Ɩ “• Ɩ ƙ

õ õ

Ɨáƃ ƚ

Þ

ß

Ï Ï Ɨ ć áć ņ ņ

Þ ß

ƗÏ ��� â ƎƗÏ á ƐÏ

Ɓá×

ƗÝá ƃ

à

õ ƎÞƖ ßƂƖ

Ɨ��� â ƎÞƖßƗ á ƐÎ ÞƖßâ ƐÏ ÞƖß

Ɨ á ƓƗÝ

ƗÝ��� â ƎƗÝá ×

Ɨ��� á Ɠ���ƗÝâ ƓƗÝ��� Ɨ��� â ƎƗ á Ɠ���ƗÝâ ƓƗÝ��� â ƎƓƗÝ á Ɠ���ƗÝâ ƓÞƗÝ��� â ƎƗÝßá Ɠ���ƗÝá Ɛ Ɛ Ɠ��� á ć ì Ɠ á ƗÝ

Ɛ õ ƂƖ â Ɓ á õ Ɛƃ õć ƗÝ

Ǝ ÞƖ ßƂƖ

ƂƖ â Ɓ

13 1.5 Linear ODEs. Bernoulli Equation. Population Dynamics

Þ ß

à

Ɨáƃ

õ ƎÞƖ ßƂƖ

Þõ Ɛƃõ

Ǝ ÞƖ ßƂƖ

ƂƖ â Ɓ

Î Š–›ƗƂƗ á ć ƂƖ ƖàÎ

ß

Ɠ á Ɨà Î Î Ɨ ��� áà ć Ɠ ��� Ɠ ��� à Ɠ áà Î ƓÏ

“•çš•Ɨçá “•çƖ à Îçâ ƁÝ š•Ɨ á ƁÞƖ à Îß

Ɠ á ƁƃƖ â Î

Î áà Ɓ Ɓ áà Î š•Ɨ áà Ɩ â Î

Î Ɨá ć Ɩ Ɓƃ â Î

14

Î Î ƗÞ×ßá ć áà ć ì Ɓ áà Ñ Ɓâ Î Ð Î Ɨá ć Î à ÑƃƖ

à ƂƖ â ÞÓƃƗ à ÏƖßƂƗ á × Ş Ş Þà Îßá ×ì ć ÞÓƃƗ à ÏƖßáà Ï ć ŞƗ ŞƖ

õ ÏƂƗá ƃ

Ÿ á ŒŸ—

Ɠ á ƗÏ Î Ɨ ��� á ć Ɠ ��� Ɠ ��� â ÏƖƓ á ÏƖ ÏƗ Ɠáƃ

àƖ

Ï

ã õ ÏƖƃ

Ɩ

Ï

à ƃÏƗ ƂƖ â ÞÓƃÐƗ à ÏƖƃÏƗ ßƂƗ á × Ï

Ï

à à ƂƖâ Ɓ á ƃ Ɩ ã ƃƖ â Ɓ ä á Î â Ɓƃ Ɩ

ä

à ƗÏ á Î â Ɓƃ Ɩ

Ï

Ö á Î â Ɓì Ɓ á Õ à ƗÏ á Î â Õƃ Ɩ

ÏƗ

Ï

Ï

Ɠá

õàƃ

ÏƗ

ƂƖâ ŋÞƗßáà ƖƃÏƗ â ŋÞƗß

ŞƓ áà ÏƖƃÏƗ â ŋ���ÞƗßá ÓƃÐƗ à ÏƖƃÏƗ ć ŞƗ ŋÞƗßá ÏƃÐƗ à ƖƃÏƗ â ÏƃÐƗ á Ɓ Ƙ á ƗÏ Î ƖàÎ Ɨ ��� á ć Ƙ ��� Ƙ ��� â ć Ƙ á ƖƃƖ ÏƗ Ɩ Ƙáƃ

à

ƖàÎ ƂƖ ƙ õć ƚ Ɩ

õ Ɯõ Ɩƃ ƃ

á ƃ“• Ɩ à Ɩ

Ɩ

ã õ Ɩƃ ƃ

Ɩ Ɩ à “• Ɩ

ƖàÎ ƂƖ ć Ɩ

ƞƛ ƂƖâ ƁƝ

ä

ƂƖâ Ɓ á Ɩƃà Ɩ

ãõ ƃ

ÏƖ

ƂƖâ Ɓ

ƛ Î Î á Ɩƃ ƚ ć ƃÏƖ â Ɓƞ á ć ƖƃƖ â ƁƖƃà Ɩ à Ɩƙ

Ɲ

ƜÏ

Ɠ á ƗÏ Î Ɨ ��� á ć Ɠ ��� Ɠ ��� â ÏƓ áà ÏƖ ÏƗ Ɠáƃ

à ÏƖ

ã õ à ÏƖƃ

ÏƖ

ƂƖâ Ɓ

ä

ƛ ƙ Î Î á ƃà ÏƖ ƚà ƖƃÏƖ â ć ƃÏƖ â Ɓƞá Ɓƃà ÏƖ à Ɩ â ć Ɲ Ɯ Ï Ï Î ƗÏ á Ɓƃà ÏƖ à Ɩ â ć Ï Ɠ á Ɨà Î Î Ɨ ��� áà ć Ɠ ��� Ɠ ��� â ÐíÏÔƓ á Î× ƓÏ Ɠ á Ɓƃ

à ÐíÏƖ

â ÐíÎÏÒ

Î Ɨá ć à ÐíÏƖ â ÐíÎÏÒ Ɓƃ

Ï

Î ƗÏ á ć ƖƃƖ â ƁƖƃà Ɩ Ï Ɠ��� Î Ɨ á ² â ć ì Ɨ��� á ² ��� à ć Ɠ ƓÏ

Þ²

Ɠ��� ΠΠϲ âƎ ² â ć á ƅ ² Ïâ ćâ ć âƆ ���à ć Ï Ɠ Ɠ Ɠ ƓÏ

ß Þ

ß Þ

ß

² ��� â Ǝ² á ƅ² Ï â Ɔ Ɠ��� Ǝ Πϲ àć â ćá ƅ ćâ ć Ɠ ƓÏ Ɠ ƓÏ

Þ

ß

Ɠ��� à ƎƓ áà ƅÞϲƓ â Îß Ɠ��� â Þϲƅ à ƎßƓ áà ƅ Ɨ á ²âƔ

ƆÞƖß

ä

Î Ɣá ć Ɠ

ƉÎ œ ¤ ņ ņ ņ à ƉŠ–š ć ƒ â ć š• ć ƒ â ƁƃƉƒ ­ áà ć â ć Ï Ï Ɖ

Ɖ â ņ îÎÑÑ

Þ

ÎÏ

ÎÏ

ÎÏ

ß

Ɨ á ² á Ɩ ì Ɨ��� á ² ��� á Î Ɨ��� à ÞÏƖÐ â ÎßƗ á Î à ÞÏƖÐ â ÎßƖ áà ÏƖÑ à Ɩ â Î áà ƖÑ à ƖÑ à Ɩ â Î áà ƖÏ ƗÏ à ƖÑ à Ɩ â Î

š

Ɨ

Ɠ��� â Þà ÏƖ â ÏƖ â ÎßƓ á Ɩ Ð

Ð

Ɠ á Ɓƃ

àƖ

Ï

Ï

Ɠ��� â Ɠ á Ɩ

Ɨ��� á ƉƗÞÎ à Ɨß ì Ɖ ð ×í

Ï

â Ɩ à ÏƖ â Ï ÎàƗ

Î Ɨ á Ɩâ ć Ɓƃà Ɩ â ƖÏ à ÏƖ â Ï Ɨ���Ï à ƖƗ��� â Ɨ á ×

Ɨ��� á × Ɨá×

Ɨ��� á ×

ƗáÎ Ɨ ï×

Ɩ Ɨ��� á ć Ï

Ɨ��� á ×

Ɨ��� ï ×

Ɨ��� ð ×

Ɨ ðÎ

Ɓ à ƁƖ â ƁƖ â ſ á ×

ƂƗ Î á ƉƂƒ ì Ɨ á ć ć ƗÞÎ à Ɨß Î â Ɓƃà Ɖƒ

ƖÏ Ɨ á ćâƁ Ñ

ƒ Gt

ƒ Gt Ɨ ÎÔÒ Ǝ ÎÔÒ Ô Ô Ɨ��� á Ɨ¢ ƌ à Ɨ¨ Ɠ ƒ á ć ć à ć Ɨ ì Ɨ��� â ć Ɨ á ć Ǝ ÑÒ× Ñ ÑÒ× ÎÕ ÔÏ

Ɨ á ƁƖ â ƅÞƁß á ƖƗ��� â ƅÞƗ���ß

Ô

à ćƒ Î Ɨ á ć Ǝ â Ɓƃ ÎÕ Ñ

ƅ���ÞƑßáà Ɩ ì ƅ���ÞƑßƑ��� áà ƖƑ��� ì ƅ���ÞƑßƑ��� áà ƖƑ��� à Ƒ â Ƒ ì Ƃ Ƃ ÞƅÞƑßßá ć Þà ƖƑßâ Ƒ ì ƅÞƑßáà ƖƑ â ć ƂƖ ƂƖ

õ ƑƂƖ

ƅÞƗ���ßáà ƖƗ��� â Ɨ ƅ���ÞƑßáà Ɩ ì Ƒ á Ɨ���

Ô

Î Ð à ćƒ Ɨ á ć Ǝ â ć Ǝƃ ÎÕ Ñ Ñ

ƗÞ×ßá Ǝ

Î ć Ï

Ɨ

Ô

Î Î Ð à ćƒ Ǝ á ć Ǝ â ć Ǝƃ ÎÕ ì ƒ Ǝ á ÏíÕÏÒ× ć Ï Ñ Ñ Ɨá ć Ï

Ƃ­ á ƉÞ­ à Ó×ß ć Ƃƒ

­ÞÎ×ßá Ï×× Ɨ��� á šƗ à ›ƗÏ à ¡Ɨ á Ɨޚ à ¡ à ›Ɨß

Ƃ­ à Ɖ­ áà Ó×Ɖ ć Ƃƒ

­áƃ

ƗáÎ

Ɨ GÎ

ƖÏ Ɨá ć Ñ

Ɓá×

Ɨ á ƁƖ â ƅÞƁß ì Ɨ��� á Ɓ

Ɖƒ

Ɨá×

ſ áà Ɓ

Ɨ á ƁƖ à Ɓ

­Þ×ßá Ð××

Ɨ��� ï ×

Ï

Ï

ƖÏ ƖÏ ƖÏ à â âƁ á × ć Ñ ć Ï ć Ñ

× ïƗ ïÎ

ƗáÎ

Ɨ á ƁƖ â ſ Ï

Ƒ á Ɨ���

ƗÞÎ à Ɨß

Ɩ

ÏƗ��� Ɨ���à Ɨ��� à ƖƗ���â Ɨ��� á ×ì Ɨ���ÞÏƗ��� à Ɩßá ×

Ɩ Ɨ��� á ć Ï

š

Ɨ á ć ÞÎ à ƃà Ɖƒ ß Ɖ

ƗÞ×ßá ×

Î Ɨ á Ɩâ ć Ɠ

15

Ɨ á ć â Ɓƃà Ɖƒ Ɖ

ã õ à Ó×Ɖƃ

à Ɖƒ

ä

à Ɖƒ

Ƃƒ â Ɓ á ƃ ÞÓ×ƃ Ɖƒ

â Ɓßá Ɓƃ â Ó× Ɖƒ

Ɨ��� á ×

šà¡ Ɨá ć

šà¡ ð× ć ›

›

Ɨá×

¡Ɨ

­Þ×ßá Ɓâ Ó× á Ð×× Ɓ á ÏÑ× ­ÞÎ×ßá ÏÑ×ƃÎ×Ɖ â Ó× á Ï××

š á › á Îì ƗÞ×ßá Ïì ¡ á ×íÏ

Î Ô Ɖ á ć “• ć áà ×í×ÒÐÖ Î× ÎÏ

Ï

Ɨ��� á ×íÕƗ à Ɨ

Î Ɨá ć Ɓƃà ×íÕƒ â ÎíÏÒ

­ á ÏÑ×ƃà ×í×ÒÐÖƒ â Ó× ­ á ÓÎ

ÓÎ á ÏÑ×ƃà ×í×ÒÐÖƒ â Ó× ƒ á Î×ϔ• ņ ­ ��� á Ɖ­ â ¤ â ƉÎ œ Š–š ć ƒ ÎÏ

Þ ß

Ɖ á ƉÎ â ƉÏ ì ¤ áà ƉÎ š à ƉÏ ­ƕ â ©

ƗÞ×ßá Ï

Ɓ áà ×íÔÒ

Î Ɨá ć à ×íÔÒƃà ×íÕƒ â ÎíÏÒ

1.5 Linear ODEs. Bernoulli Equation. Population Dynamics

Ǝ áà ÞÏƖÐ â Îß ì ƅ áà ƖÏ ì Ɔ áà ƖÑ à Ɩ à Î

Ɨ��� á š à ƉƗì Ɖ ð ×

16

ƒ Gt

Ɨ G×íÕ

×íÏƗ

Ɨ

¡á×

×íÕ

Ɨ��� á ƉÎ ÞſƗßÞƀƗßà ƉÏ Ɨ á šƗÏ à ›Ɨ

ƀƗ

Ɨ��� á Ɨ à ƗÏ Î Ɨá ć à ×íÒƃà ƒ â Î

ƒ Gt

ƉÎ

› š

Þ

š á › á Îì ƗÞ×ßá Ïì ¡ á ×íÏ

Ñ ƗÎ á ć Ò à Ðƃà ×íÕƒ

› š

Ñ Ò à Ðƃ

Ɨ

ƄÞƗßð ×

› š

Ɓ ï×

Ɨ

ƄÞƗßï × Ñ à Ðƃ

Ó×× Ɨ��� á Ɨ¢ ƌ à Ɨ¨ Ɠ ƒ á Ó×× à ć Ɨ Ï××××

š á › á Îì ƗÞÓßá ć àÐ à ÒíÑ

Ó=ƒ =Ö

Ɨ á ×ì Ɨ á ć

Ɓ ð×

× ïƗ ï ć

Ñ ƗÏ á ć Ñ â ƃÐ à ƒ à Ðƃ×íÓ à ƒ

› š

ß

ƂƗ › á šƂƒ ì Ɨ á ć ć ƗÞƗ à ›îšß š à Ɓƃ› ƒ ƗÞ×ßð ć

ì ¡á× š á › á Îì ƗÞÐßá ć à ÏíÑ

Ð=ƒ =Ó

ƉÏ

š á ƉÎ ſƀì › á ƉÏ

Ɨ GÎ

ƄÞƗßá šƗ Ɨ à ć

×=ƒ =Ð

ſƗ

Ñâƃ

¡ á ×íÏ

Ɨ á Ɓƃà ×í×Ѓ â Ï××××

Ɨ��� á Ó×× à ×í×ÐƗ

Ñ ƗÐ á ć ÑíÕ à ×íÕƒ ÎíÕ à ×íÕƒ âƃ à Ðƃà ×íÓ à ×íÕƒ Òàƃ

ƗÞ×ßá × Ɨ á Ï××××ÞÎ à ƃ ƗÞƒßá ÎÕ×××

ĕ ĕ

Ɓ áà Ï×××× à ×í×Ѓ

ß

ƒ á ÔÓíÕޔ•ß

Ē

Ñ ×=ƒ =Ð ć Ò à Ðƃà ×íÕƒ Ñ Ð=ƒ =Ó Ɨ á ēć Ñ â ƃÐ à ƒ à Ðƃ×íÓ à ƒ Ñ Ó=ƒ =Ö Ĕć Ò à ƃÑíÕ à ×íÕƒ â ƃÎíÕ à ×íÕƒ à Ðƃà ×íÓ à ×íÕƒ

Þà Ðì×ß

ÞÐì×ß

ƗÏ ƖÏ âć áÎ ć Ï Ɓ â Ö ƁÏ

Ɨ á ƖÐ

ÞƁìƁÐ ß

Ï

ÞƖ à ƁßÏ â ÞƗ à ƁÐ ß á ƐÏ ƗÏ ƖÏ âć àÎá × ć Ï Ɓ â Ö ƁÏ

ƐÏ á ƁÏ â ƁÓ ƖÏ à ÏƁƖ â ƗÏ à ÏƁÐ Ɨ á ×

Ɩ

Ɓ

Ɨ

Ɓ

Ɨ à Ɓ á Š–šÞƖ à Ɓß

Ɩ Ā Ɨ��� á ć ÏĀ Ɨ

ÏƗ ÏƖƗ â ƖÏ Ɨ��� á ×ì Ɨ��� áà ć Ɩ

Š–šÞƖ à Ɓßà Ɨ â Ɓ á ×

Î Ā Ɨ Ï á ć ƖÏ â ƁÝ Ï

17

Î Î Ɨ��� á ć á ć ÏƗ Ïöć ƖâƁ

Î Ā Ɨáà ć “•çƖçâ ƁÝ Ï

Ā Ɨ��� áà ÏĀ Ɨ

Ā Ɨá ƁÝƃà ÏƖ

ƖƗ��� à Ɨ Ɨ Ɨ á ×ì Ɨ��� á ć á Ɓì ć ć Ɩ Ɩ ƖÏ

Ɩ Ā Ɨ��� áà ć Ā Ɨ

Î ĀÏ Î Ɨ áà ć ƖÏ â ƁÝ ć Ï Ï

Ɨ ƖƗ á Ɓì Ɨ â ƖƗ��� á ×ì Ɨ��� áà ć Ɩ Î ĀÏ Î Ɨ á ć ƖÏ â ƁÝ ć Ï Ï

Ɨ��� áà ÏƁƖƃ

à ƖÏ

Î Ā Ɨ��� á ć ÏƖĀ Ɨ

áà ÏƖƗ

Ā Ɨ Ï á “•çƖçâ ƁÝ

Ɩ Ā Ɨ��� á ć Ā Ɨ

ƖÏ â ƗÏ ƖÏ â ƗÏ à ÏƁƗ á ×ì ć á Ɓ ÏƗ ÏƗÞÏƖ â ÏƗƗ���ßà ÏƗ���ÞƖÏ â ƗÏ ß ÏƖƗ á ×ì Ɨ��� á ć ć ÑƗÏ ƖÏ à ƗÏ Ā Ɨ Ï à ƖÏ Ā Ɨ��� á ć ÏƖĀ Ɨ

Î Ɩ Ā Ɨ ��� à ćĀ Ɨ áà ć Ɨà Î ÏƖ Ï Ā ƗÏáƓ

ÏĀ ƗĀ Ɨ ��� á Ɠ���

Î Ɠ��� à ć Ɠ áà Ɩ Ɩ

Ɠ áà ƖÏ â ƁÝƖ

Ā Ɨ Ï áà ƖÏ â ƁÝƖ

1.6 Orthogonal Trajectories. Optional

Î Ā Ɨ��� áà ć ÏƖ

Ɨ��� á ÏƖ

ÞƁÝá ćÏƁ ß

ÞƖ à ƁÝßÏ â Ā Ɨ Ï á ÞƁÝßÏ à Î ÑƖÏ â ÖƗÏ á Ɓ

ÑƖ â ÖƗƗ��� á × Î Ā Ɨ��� áà ć ƄÞƖìĀ Ɨß

ÑƖ Ɨ��� áà ć á ƄÞƖìƗß ÖƗ Ā ÖƗ Ā Ɨ��� á ć ÑƖ

18

ƖÏ â ƗÏ á Ɓ

ÏƖ ÏƗƗ��� ƀÏ Ɩ âć á ×ì Ɨ��� áà ć ć Ï Ï ſ ƀ ſÏ Ɨ

Ɩ â ƗƗ��� á ×

Ā Ɨ Ā Ɨ��� á ć Ɩ

Ɨ ſÏĀ Ā Ɨ��� á ć ƀÏ Ɩ

Î Ā Ɨ��� áà ć ƄÞƖìĀ Ɨß

Ɩ Ɨ��� áà ć á ƄÞƖìƗß Ɨ

ſG× Ā ƗáƁ

ƖÏ à Î â Ɨ á ÏƁ ć Ɨ

ß

Ɩ àĀ ƗÏ àÎ Ā Ɨ��� áà ć ÏƖĀ Ɨ Ï

Î Ā Ɨ��� áà ć ƄÞƖìĀ Ɨß ÏƖĀ Ɨ��� Ɩ à Î â ćà Î á × ć Ā Ā Ɨ ƗÏ

ĀÏ

Ï

Ɨ ć ƖÏ ƗĀ Ɨ��� Ā ƗÏ Î ÏĀ àć àÎ áć ć Ɩ ƖÏ ƖÏ

ƗÏ Î Ƃ Ā àÎ áć ć ć ƂƖ Ɩ ƖÏ

Ā ƗÏ Î áà ć à Ɩ â Ɓ ć Ɩ Ɩ

Þ ß

Ï

ƔƖ ƂƖ â ƔƗ ƂƗ á ×

ƓƗ áà ƔƖ ì ƓƖ á ƔƗ ƃƖ š•Ɨ á ƁƍƌƑƒ ƓƖ á ƃƖ š•Ɨ á ƔƗ

ƓƗ á ƃƖ Š–šƗ áà ƔƖ

õ à ƃ Š–šƗƂƖ â ƉÞƗßáà ƃ Š–šƗ â ƉÞƗß Ɩ

Ɩ

ƉÞƗßá Ɓ

ƔÞƖìƗßáà ƃ Š–šƗ á Ɓ

ƀ ć ¤

Ş ƄÞƖìƗßáà ƎÞƖß ć ŞƗ

t

ƀ ķ á ”• ſì ć á ſ ¤

Þ ß

Ş ƄÞƖìƗß ć ŞƗ

çƖ à Ɩ× çï ſ

ƄÞƖìƗß

Ɩ

Ɖd× Ɖá×

Ɓ

ƄÞƖìƗßá ÏƗÏ ì ƀ× á Î

ƂƗ Î á ć ƂƖ ì “•çƗçá “•çƖ à Ïçâ ƁÝ ć Ɨ ƖàÏ Ɨ á ƁÞƖ à Ïß

ƓÞƖìƗßá ƃƖ š•Ɨ

Ɩ

çƖ à Ɩ× ç= ſ ƄÞƖìƗß

à ƓĀƗƂƖ â ƓƖ ƂƗ á ×

ƔƗ á ƃƖ š•Ɨ â Ɖ���ÞƗß á ƃƖ š•Ɨ

ƄÞƖìƗßá ƐÞƖßà ƎÞƖßƗ Ɛ

ƓĀƗ Ā Ɨ��� á ć ƓƖ

ƓƖ Ɨ��� áà ć ƓƗ

Ɣá

ÞƖ à ćÏƁ ß âĀƗ á Þ ćÏƁ ß à Î Ï

ƓƖ ƂƖ â ƓƗ ƂƗ á ×

ƓÞƖìƗßá Ɓ

ƔÞƖìƗßá ƁÝ

Ā ƗĀ Ɨ��� Î ƗÏ ÏĀ âÎà ć àć á× ć Ï Ɩ Ɩ ƖÏ

Ǝ

ƀG× Ɩá Ɓ

Ɩ àÎ ÏƖ ÏƖƗ à Î Ɨ��� á × Ɨ��� á ć à ć á ƄÞƖìƗß ć Ï Ï Ɨ Ɨ Ɩ à ƗÏ à Î

Ï

ſÏ á ÏƀÏ

Ā Ɨ á ƁƖÏ

ƖÏ â ÞƗ à ƁßÏ á Î â ƁÏ

Þ

Ï

ƗÞÏßá ×

Ɓ

ƗÞÏßá Î

Ɨ Ɨ��� á ƄÞƖìƗßá ć ƖàÏ

Ƅ

ƖáÏ

çƗ à Îç= ƀ

ƄÞƖìƗß= ÏÞƀâ ÎßÏ á ¤ Î ƀ ƀ á =ć ć Ï ¤ ć Õ ÏÞƀâ Îß ſ

Î ć Õ Î çƖ à Îçï ć Õ

ƂƗ Î Î á ƂƖ ì à ć á Ɩ â Ɓì à ÏƗ á ć ć Ï â ÏƗ Ɩ Ɓ ÏƗ

çƄÞƖìƗßç= ¤

ƀ

Ï

îƀ Ā Ɨ á ƁƖſ

Ā Ɨ á ƁƖ

ſÏ á ƀÏ

Ā Ɨá ƁƖ

Ï

Ā Ɨ Ñ á ƁƖÖ Ā Ɨá ƁƖÖîÑ ÞƁ ð ×ß

àÎ Ɨá ć ÏƖ â Ɓ

àÎ Ɨá ć ÏÞƖ â Ɓß àÎ ƗÞÎßá ć á Î ÏÞÎ â Ɓß

àÎ ƗÞ×ßá ć á Î Ɓ

Ð Ɓ áà ć Ï

àÎ Ɨá ć ÏƖ à Ð

Î Ɨá ć Î à ÏƖ

Î çƖ à Îçï ć Ï

öć Ɨ á ƖâƁ

ƗÞÎßá ÞÎ â ƁßÏ á ×

Ɩ× á ×ì Ɨ× á ×ì ƄÞƖ ì Ɨßá Ɩ â Ɨ ƗÎ ÞƖßá ƗÏ ÞƖßá ƗÐ ÞƖßá

õ

×

×

Ɩ

×

Ɨ á ÞƖ à ÎßÏ

Ɩ× á Îì Ɨ× á ×ì ƄÞƖ ì Ɨßá Ïöć Ɨ

ß

ƄÞƖìƗßá Î â ƗÏ ì ƀ× á ×

ƒÏ ƒÐ ƖÏ ƖÐ ƖÑ ƒ â ć â ć Ƃƒ á ć â ć â ć ì Ï Ó Ï Ó ÏÑ

ß

çƗç= ƀ ƀ ƀ Î á =ć ć Ï ¤ ć Ï Îâƀ

çƄÞƖìƗßç= Î â ƀÏ á ¤

ã õ Ɩƃ

àƖ

Ǝ

ä

ƂƖâ Ɓ áà Ɩ à Î â ƁƃƖ

çƖ à Ɩ× ç= ſ

çƄÞƖìƗÏ ßà ƄÞƖìƗÎ ßçá çƎÞƖßç çƗÏ à ƗÎ ç= ¦çƗÏ à ƗÎ ç

Ɨ áà Ɩ à Î â ƃƖ

Ɩ× á ×ì Ɨ× á Îì ƄÞƖ ì Ɨßá ÏƗÏ ƗÎ ÞƖßá Î â

õ

Ɩ

ƗÏ ÞƖßá Î â

õ

Ɩ

ÞƖÎ ìƗÎ ß

«

ƗÞƖÎ ßá ƗÎ

ÏƂƒ á Î â ÏƖ ì

×

×

Õ ÏÞÎ â σßÏ Ƃƒ á Î â ÏƖ â ÑƖÏ â ć ƖÐ ì Ð

Õ Ï Ï Î â σ â ÑƒÏ â ć ƒÐ Ƃƒ Ð × ÐÏ Ñ Ï Ð á Î â ÏƖ â ÑƖ â ÕƖ â ć Ɩ Ð ÐÏ ÓÑ ÎÏÕ â ć ƖÒ â ć ƖÓ â ć ƖÔ ì Ð Ö ÓÐ

ƗÐ ÞƖßá Î â

çƖ à Ɩ× ç= ſ ƄÞƖìƗßá ƐÞƖßà ƎÞƖßƗ

çƎÞƖßç= ¦

ƗÞ×ßáà Î â Ɓ á × ƁáÎ

Î ć Ï

ķ

Ɨ��� à Ɨ á Ɩ Ɨ á ƃƖ

ƗÎ ÞƖßá ×ì

ƗÏ ÞƖßá ×ì ƗÐ ÞƖßá ×

ƒÏ ƖÏ ƖÐ ƒ â ć Ƃƒ á ć â ć ì Ï Ï Ó

Þ õÞ õ

Ɓ áà Î

ƖÏ ƒƂƒ á ć ì Ï

Ɩ

Ɨ á ÞƖ â ƁßÏ

Ɩ

õ Þ

Î ƂƗ á ÏƂƖ ć ƗÏ

ß

ÏƖ à Î Î ƂƖì “•çƗçá “•çƖÏ à Ɩçâ ƁÝ ƂƗ á ć ć Ɨ ƖÏ à Ɩ ƗÞ×ßá Ɖd×

Ɨ á ƁƖÞƖ à Îß

ƗÞÎßá Ɖd×

ƗÞ×ßá ×

ƗÞÎßá × Ɨ×

ƗÞƖ× ßá Ɨ× ì Ɩ× d×

Ɩ× dÎ

Î à ć á ÏƖ â Ɓ Ɨ

ƖƗ

¦ÞƖìƗßƂƖ â §ÞƖìƗßƂƗ á × ƓÞƖìƗß

¦ÞƖìƗßƂƖ â §ÞƖìƗßƂƗ

ŞƓ ŞƓ ƂƓ á ć ƂƖ â ć ƂƗ ŞƖ ŞƗ

Ɨ��� â ƎÞƖßƗ á ƐÞƖß ƄÞƖßƂƖ â ƅÞƗßƂƗ á × Ɨ��� á ƄÞƖ ì Ɨß ì ƗÞƖ× ßá Ɨ×

ÞƖ× ì Ɨ× ß ÞƖ× ì Ɨ× ß

Ƅ ŞƄ ć ŞƗ

Ş Ş ƄÞƖßá × á ć ƅÞƗß ć ŞƗ ŞƖ

19 Chapter 1 Review Questins and Problems

Î ƂƗ á ƂƖ ć Ïöć Ɨ

Î Ɨá ć Ð à ÏƖ

Ɩ

Ɓ áà Î

Î ÑƗ à Î á Ɓƃà Ɩ Ɨ á ć ć Ɨ Ñ à Ɓƃà Ɩ

Ɩ

20

Ɨ

Ɩ

Ɨ

Î Ɨ��� à ć Ɨ á Ɩ Ɩ Ɨ á ƃ“• Ɩ

à

Ɨ á Ɓƃ

ã õ Ɩƃ

à “• Ɩ

ä

ƂƖ â Ɓ á ƖÞƖ â Ɓß

õ ÏƂƖ á Ɓƃà ÏƖ

Ɨ á ƃà Ɩ

ã õ Îí×Îƃ

Ɩ

Š–šÎ×ƖƂƖ â Ɓ

ä

ƛ Îí×Î á ƃ ƚ ć ƃƖ ފ–šÎ×Ɩ â Îך• Î×Ɩßâ Ɓƞ à Ɩƙ

Ɯ Î×Î á ×í×Ί–šÎ×Ɩ â ×íʐ•Î×Ɩ â Ɓƃà Ɩ

Ɲ

Î ƂƗ áà ƂƖ ć Ï Ɨ àÎ Î Î Î Î á ć ćà ć ć Ï à â Ï Ɨ Î Ɨ Î à Ɨ Î

Þ

ß

Πޓ•çƗ à Îçà “•çƗ â Îçßáà Ɩ â ƁÝ ć Ï Î â Ɓƃà ÏƖ ƗàÎ á Ɓƃà ÏƖ Ɨ á ć ć ƗâÎ Î à Ɓƃà ÏƖ

Î ƂƗ áà ƂƖ ć Ï ÑƗ à Ɨ Î Ñ Î á ćà ć ć Ï à ÑƗ Î Ɨ à ÑƗ Ɨ “•çÑƗ à Îçà “•çƖçáà Ɩ â ƁÝ

ƌ W X Y Z [ \ ] ^ _ ` XW

Ɩƌ

Ɨƌ

WUW WUX WUY WUZ WU[ WU\ WU] WU^ WU_ WU` XUW

WUYWW WUYX] WUYZZ WUY\X WUY^W WUY_` WUZXW WUZZX WUZ\Z WUZ^] WU[WW

Ɨ WUYWW WUYX] WUYZ[ WUY\Y WUY^Y WUY`Y WUZXZ WUZZ\ WUZ\^ WUZ_X WU[W\

ƃƐƐƍƐ WUWWW WUWWW WUWWX WUWWY WUWWY WUWWZ WUWWZ WUWW[ WUWW[ WUWW\ WUWW\

ņ Ɨ á š• Ɩ â ć Ñ

Þ

ß Ɠ á Ɨà Ï

Î Ɨ ��� áà ć ƗÐ Ɠ ��� Ɠ ��� à Ɠ áà Ï Ï Î ƗÏ á ć ƁƃƖ â Ï

Ɠ á ƁƃƖ â Ï

Ɨ á ƃà ÏíÒƖ

ã õ ÎíÓƖƃ

ÏíÒƖ

ƂƖ â Ɓ

Î ƗÏ á ć ÔƃƖ â Ï

ä

á ƃà ÏíÒƖ ã ×íÓÑƖƃÏíÒƖ à ×íÏÒÓƃÏíÒƖ â Ɓ ä á ×íÓÑƖ à ×íÏÒÓ â Ɓƃà ÏíÒƖ

Š–šƗƂƗ áà ֊–šƖƂƖ š•Ɨ áà ֚•Ɩ â Ɓ ×áƁ

Ɨ á ƃ×íÑƖ

ã õ ÏÖƃ

à ×íÑƖ

š•ƖƂƖ â Ɓ

š•Ɨ áà ֚•Ɩ

ä

š•Ɨ Î ƂƗ á ć ƂƖ ć Š–šƗ Ɩ

ƚ ÏÖ ƃà ×íÑƖ Þà ×íњ•Ɩ à Š–šƖßâ Ɓƞƛ ć

×íÑƖ ƙ

áƃ

Ɲ

Ɯ ÎíÎÓ áà Îך•Ɩ à ÏҊ–šƖ â Ɓƃ×íÑƖ

“•çŠ–šƗçá “•çƖçâ ƁÝ Š–šƗ á ƁƖ

ÏÒ ÏÒƗƂƗ á ÑƖƂƖ ì ć ƗÏ á ÏƖÏ â ƁÝ Ï ÏÒƗÏ á ÑƖÏ â Ɓ

Î Î á ÐƁ Ɓ á ć Ð Î Š–šƗ á ć Ɩ Ð

Ɠ á Ɨà Î Î Ɨ ��� áà ć Ɠ ��� Ɠ ��� â ſƓ á ƀ ƓÏ Ɠ á Ɓƃ

à ſƖ

Ɨ×

ƀ âć ſ

Ɨ á Ɨ× ƃƉƒ ƃƉ á ÎíÏÒ

Î ſ áć Ɨá ć Ɓƃà ſƖ â ƀîſ ſƁƃà ſƖ â ƀ Ş Ş ÞÐƖƃƗ â ÏƗßá ÐƖƃƗ â Ïì ć ÞƖÏ ƃƗ â Ɩßá ÏƖƃƗ â Î ć ŞƗ ŞƖ Ɨ

Ɩƃ â Î ƂƖá ƃ õć Ɩ ƃ âƖ

Ÿ á ŒŸ—

“• ç Ɩ ç

Ï Ɨ

ÏƗ× á Ɨ× ƃƉƒ

áƖ ÐƗ× á Ɨ× ƃƉƒ

Ð Ɨ

ŞƓ á ƖÐ ƃƗ â ŋ���ÞƗßá ƖÐ ƃƗ â ƖÏ ć ŞƗ Ð Ɨ

à ÏƖ Ï

ãõ

Ï

ƃÏƖ ƃ

ƗÞƒß

ƒ

ŋÞƗßá ƖÏ Ɨ

Î Ɨ��� á Ï× à ć Ɨ ÏÒ

Ï

Ɩ ƃ âƖ Ɨ á Ɓ

Ɨáƃ

ÞÎíÏÒ߃ á Ð

“•Ð ƒ á ć nÑíÖÏÐ “•ÎíÏÒ

õ ÞÐƖ ƃ ßƂƖâ ƉÞƗßá Ɩ ƃ â ŋÞƗß Ï Ɨ

ÞÎíÏÒ߃ á Ï

“•Ï ƒ á ć nÐíÎ×Ó “•ÎíÏÒ

ÞÐƖÏ ƃƗ â ÏƖƗßƂƖ â ÞƖÐ ƃƗ â ƖÏ ßƂƗ á × Ɠá

ƗÞÎßá ÎíÏÒƗ×

Ɨ��� á ƉƗ

à ÏƖ Ï

ƗÞ×ßá Õ×

ä

Ɨ á Ò×× à ÑÏ×ƃà ×í×у

Ï

à ƂƖ â Ɓ á ƃ ÏƖ ÞƖ â Ɓß

ƗÞ×ßá Ɓ áà ÑíÐ à ÏƖ Ï

Ɨáƃ

ÞƖ à ÑíÐß

Ò×× à ÑÏ×ƃà ×í×у á Ò×× Z×íÖÒ

Î ƂƗ á ƂƖ ì š•à Î Ɨ á Ɩ â Ɓ ć Ï öć ÎàƗ

Ô×íÒ

Ɨ á š•ÞƖ â Ɓß Î ņ ƗÞ×ßá š•Ɓ á ć Ɓ á ć Ñ öć Ï

Ɨ á ƁƃƉƒ ƗÞƒß Î á ć ƗÞ×ß ć Ï

ƗÞÎß á ×íÖ ć ƗÞ×ß

ƃƉ á ×íÖ Î ƃƉƒ á ć Þ×íÖ߃ á ×íÒ Ï

Chapter 1 Review Questins and Problems

Î Î á ƁáÔ ć Ö ć Ɓâ Ï

21

“•×íÒ ƒ á ć nÓíÓ “•×íÖ ƗÞƒß á ×í×Î ć ƗÞ×ß

22

“•×í×Î ƒ á ć nÑÐíÔ “•×íÖ

­ á ƁƃƉƒ â Î××

­ ��� á ƉÞ­ à Î××ß ­Þ×ßá Ï× ­ÞÎßá ÒÎíÒ Ɖ áà ×íÒ

à ×íÒ

­ áà Õ×ƃ

Ɓ áà Õ× â Î××

ÖÖíÖ à Õ×ƃ

à ×íÒ

â Î×× á ÖÖíÖ ƒ á ÎÐíÑޔ•ß