adnen-cours_TNS

2 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

Faculté des sciences de Tunis Section : Electronique & Génie Electrique

COURS ET EXERCICES DE TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

Sections:

4ième année de Maîtrise Electronique 2ième année de Génie Electrique

Par :

CHERIF Adnène

2003

3 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

COURS DE TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

Table des matières

Introduction Chap I : Généralités sur les signaux et systèmes 1 - Définitions 2 - Classification des signaux. 3 - Représentation mathématique d'un signal 4 - Opérations sur les signaux ( convolution,filtrage,corrélation...) 5 - Systèmes linéaires 6- Analyse temporelle et fréquentielle ( Bode, Nyquist…)

Chap II : Numérisation et échantillonnage des signaux 1 - Principe de la numérisation 2- Echantillonnage d'un signal - T.Z - Théorème de Shanoon 3- Quantification - principe de conversion A/N - quantification uniforme - quantification par compression des données 4- Codage - différents types de codage - paramètres d'un codeur 5 – Transformée de Fourier discrète DFT - Algorithme FFT - Transformée en cosinus discrète DCT Chap III : Filtrage numérique 1 - Définition d'un filtre numérique 2 - Etude des filtres R.I.F 3 - Etude des filtres R.I.I 4 - Méthodes de synthèses des filtres numériques 5 – Exemples et applications

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Chap IV: Techniques de transmission numérique 1 - Constitution d'un système de transmission 2 - Modulation et démodulation analogique - modulations AM, SSB, DSB - modulations FM et PM - détection synchrone par PLL 3 - Modulation et démodulation numérique - modulation P.C.M - modulation ASK, FSK et PSK - techniques de multiplexage temporel des canaux FDM - techniques de multiplexage fréquentiel des canaux TDM 4 - Introduction à la transmission de données

Bibliographie

5 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

INTRODUCTION

Le signal est le support physique de l'information. Il se trouve sous la forme d'une grandeur observable de type électrique, mécanique, acoustique ou optique. Cette notion s'oppose à celle du bruit qui peut modifier l'information ou même la masquer. La description, la modélisation et l'analyse mathématique des signaux fait l'objet de la théorie du signal, alors que le traitement des signaux les interprète, en extrait ou y ajoute de l'information. Les champs d'application de cette discipline sont très vastes tels que : - la télécommunication - l'instrumentation - les radars et sonar - le traitement et la reconnaissance de la parole - le traitement d'image - la reconnaissance de forme - l'analyse des vibrations dans les machines outils. - La médecine et la biotechnologie. Ce cours qui est destiné essentiellement aux étudiants de deuxième année de la maîtrise Electronique et du cycle d’Ingénieurs est divisé en deux grandes parties représentant les signaux et les systèmes continus et discrets. Dans les deux premiers chapitres, nous sommes intéressés à permettre à l'étudiant de maîtriser les outils et les concepts de base de l'analyse d'un signal (Transformée de Fourier, analyse spectrale, analyse statistique,...) avant d’aborder les techniques d'analyse des systèmes et le filtrage linéaire. Le troisième chapitre est consacré à la présentation des signaux aléatoires, de leurs propriétés et de leurs méthodes d’analyse statistique. Les chapitres quatre et cinq représentent la partie numérique de ce cours et dans la quelle nous présentons en détails toutes les étapes de numérisation d’un signal ainsi que les conditions de réalisation de chacune. Cela permet d'aborder la dernière partie qui est la transmission analogique et numérique des signaux et dans la quelle on verra les techniques de modulation et de démodulation AM, SSB, FM, PM, PCM, QPSK ainsi que leurs applications.

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Chapitre 1

GENERALITES SUR LES SIGNAUX ET SYSTEMES 1- définition d’un signal Un signal est un support physique de l'information qui représente un phénomène physique qui peut être du type : - électrique ( courant, tension, champ électrique ou magnétique ) - mécanique ( vibration ) - optique, etc… Il peut prendre une représentation scalaire ( signal à la sortie d'un microphone) ou vectorielle ( champ électrique dans l'espace ). Pour illustrer ce concept, prenons le signal sinusoïdal x(t) de la figure 1 mélangé avec un bruit d’acquisition b(t). x(t) = sin(628.t ) b(t) : bruit uniforme. Dans le premier cas ( figure 3 ), nous avons choisi un faible niveau de bruit de façon que celuici ne masque ou ne modifie pas trop le signal original, soit : y(t) = x(t) + b(t) . Alors que dans le deuxième cas ( figure 4 ), nous avons choisi un niveau plus élevé du bruit de façon que celui-ci masque complètement le signal original, soit : y(t) = x(t) +10 b(t) . 1.5

1 0.9

1

0.8 0.7

0.5

0.6 0

0.5

signal bruité : x(t)+b(t)

signal bruité : x(t)+8 b(t)

90.4

2

-0.5

80.3 1.5

70.2

-1

60.1

1 -1.5

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.5

5

0

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

4

Figure 1: signal sinusoïdal

0

Figure 2 : signal bruit

3 2

-0.5

1 -1 -1.5

0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-1

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

7 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

Figure 3: signal faiblement bruité

Figure 4 : signal masqué par le bruit

2- Paramètres temporels et énergétiques Un signal est caractérisé par des paramètres temporels, énergétiques et statistiques qui caractérisent sa variabilité, sa dynamique, son intensité et sa puissance. 2-1- paramètres temporels: Ce sont des grandeurs physiques qui peuvent être explicitées par l’observation de la variation temporelle du signal ou suite à un traitement de ces données, telles que : - l’amplitude, la période et la phase pour les signaux déterministes - la valeur moyenne, la variance, la densité de probabilité et la fonction d’autocorrélation pour les signaux aléatoires. • Pour un signal discret, la valeur moyenne et la variance ont l’expression : 1 N

x moy = VarX =

1 N

N

∑ x(i) i =1

N

∑ (x(i) - x

moy

)2

i =1

• Dans le cas d'un signal continu périodique x(t) = A sin(ω t +ϕ), on définit : - la valeur moyenne par :

T/2

∫

1 T

Xm =

x(t) dt

où T désigne la période

-T/2

- la valeur efficace par :

T/2

∫

1 T

Xeff = [

|x|2(t) dt ]1/2

-T/2

- la puissance moyenne par: Pmoy = (Xeff )2 - l'amplitude par :

A = Xeff . √2

- la phase par :

ϕ

- la période par :

T = 2π/ω

où ω désige la pulsation

2-2- paramètres énergétiques: ! l’énergie : dans le cas d’un signal apériodique x(t) à énergie finie, l’énergie s’écrit : ∞

Ex =

∫ x(t).x*(t) dt

où x*(t) désigne le conjugué de x(t).

-∞

Si le signal x(t) est réel alors l’expression de l’énergie devient: ∞

Ex =

∫

-∞

| x(t) | 2 dt .

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! la puissance moyenne : elle est définie pour les signaux périodiques comme : Pmoy =

1 T

T/2

∫

|x(t)|2 dt

-T/2

La valeur de Pmoy est toujours nulle dans le cas des signaux à énergie finie. ! la distorsion harmonique : elle représente le pourcentage des harmoniques du signal ( généralement indésirables et se manifestent par des pertes énergétiques) par rapport au fondamental. Pour mieux comprendre ce phénomène, prenons l’exemple d’un moteur à courant alternatif fonctionnant normalement à 50 Hz, qui alimenté par le signal suivant : x(t) = 255 sin(2π.50.t) + 60 sin(2π.100.t) + 25 sin(2π.250.t) . Seule la première composante x1(t) = 255 sin(2π50.t) est utile pour le fonctionnement du moteur. Cependant les deux autres composantes sont indésirables puisqu’elles augmentent les pertes par effet Joule et par conséquent l’échauffement du moteur. Cela a pour effet de diminuer le rendement du moteur et même d’endommager ses enroulements. Dans ce cas , la valeur de la distorsion harmonique est égale à : σx = =

60 2 + 25 2 255 2

≈ 0.25

300

200

100

0

-100

-200

-300

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Figure 5 Prenons maintenant, le signal bruit uniforme de la figure 1, d’après le calcul des différentes valeurs du signal ,on obtient : ! ! ! !

valeur moyenne : bmoy = 0.505 variance = 0.084 écart type = 0.29 énergie = 0.34.

Cependant, pour le signal sinusoïdal de la figure 2, on a : ! valeur moyenne : xmoy = 0 ! variance = 0.50

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! écart type = 0.7 ! énergie = 0.50 . 2-3- exemple: Soit à calculer la valeur moyenne, la valeur efficace et la puissance moyenne du signal de la figure suivante : x(t) τ/2

0

τ/2

τ

Τ

t

figure 6 ! La valeur moyenne est donnée par : Xm =

1 T

T

∫ x(t) dt = ∫ 1 T

0

τ/2

t dt +

1 T

∫

τ

(τ - t ) dt =

τ/2

0

τ2 4T

! La puissance moyenne est égale à :

Pmoy =

1 T

T

∫ x (t) dt = ∫ 1 T

2

0

τ/2 2

t dt +

1 T

∫

τ

(τ - t ) 2 dt =

τ/2

0

τ3 12T

! La valeur efficace se déduit de Pmoy comme suit : 1/2 Xeff = (Pmoy ) =

τ3 12T

2- Représentation mathématique d’un signal 2-1- décomposition en fonctions orthogonales Un signal peut se décomposer en une combinaison linéaire de fonctions φ(k) complexes qui peut se définir à partir d’une base orthogonale [cos(2πfo t) ; sin(2πfo t)], tels que: x(t ) =

∞

∑a

k

. ϕ k (t)

où

ϕ k (t) = e j2πfk.t

k = -∞

Si cette fonction est de dimension unitaire alors le signal est du type scalaire si non on parle de signal vectoriel.

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• Exemple : Prenons le cas du signal suivant : sin

x(t) = cos 2t

ej2 t cos

Figure 7 Alors, on peut écrire x(t) sous la forme : e j .2t + e − j .2t 2 ce qui permet correspond aux coordonnées suivants dans la base orthgonale B1= [ej2 t, e-j2 t] : x(t) =

x(t) = (0.5

0.5)B1

2-2- décomposition en somme d’impulsions rectangulaires On peut approcher x(t) par une fonction en escalier (quantifiée) selon figure suivante : x(t)

kT

t

Figure 8 On peut dans ce cas faire l’approximation suivante : ~ x (t ) =

∞

∑ x(kT) Π T (t - kT) .

k = −∞

∏Τ(t) est la fonction fenêtre de largeur T. 3- Classification des signaux On peut classer les signaux selon les catégories suivantes : 3-1- Classification déterministe-aléatoire : Un signal déterministe est un signal dont la variation peut étre régie par une représentation mathématique ou une suite de données ( signal sinusoïdal, carré,...) . Par contre un signal aléatoire n'est pas modélisable mais il est plutôt caractérisé par ses propriétés statistiques ( moyenne, variance, loi de probabilité,...).Il peut être approché à des lois pseudoaléatoires ( poisson, binomiale,...).

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3-2- Classification énergétique : a- Signaux à énergie finie Ils sont caractérisés par une énergie finie (constante) et une puissance moyenne nulle. Cette catégorie comprend les signaux non périodiques . +∞

2

Ex = ∫ x(t) dt -∞

Px = 0 b- Signaux à puissance moyenne finie Ils sont caractérisés par une énergie infinie et une puissance moyenne constant. Cette classe comprend les signaux périodiques . Px =

1

lim T T→∞

∫

T/2

2

x(t) dt

-T/2

Ex = ∞ Cette catégorie comprend les signaux périodiques et les signaux aléatoires permanents . 3-3- Classification continu-discret Un signal discret n'est défini qu'à des instants réguliers dits instants d'échantillonnage. Malgré que la plupart des signaux rencontrés et mesurés dans la nature sont des signaux continus, on retrouve souvent ces signaux dans les systèmes numériques. discret

continu

t

Figure 9

4- Opérations sur les signaux 4-1-addition Prenons le cas des deux signaux suivants: x1(t) = A1 cos (2π f1 t) x2(t) = A2 cos (2π f2 t) • Si f1 = f2 , alors :

x1(t)+ x2(t) = (A1+A2) cos (2π f1 t).

• Si f1 ≠ f2 , alors il faut faire la somme instantanée terme à terme.

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4-2- Multiplication La multiplication de deux signaux revient à une transposition de fréquence. Prenons le cas des deux signaux suivants :

alors,

x1(t) = A1 cos (2π f1 t) x2(t) = A2 cos (2π f2 t) y(t) = x1(t) . x2(t) = 0.5 A1 A2 cos [2π (f1+f2 )t ] + 0.5 A1 A2 cos [2π (f1-f2 )t ].

x1(t)

y(t) x2(t)

f1-f2

f1

f1+f2

f

Figure 10 Le multiplieur de la figure 10 est très utilisé dans les modulateurs et les démodulateurs AM. 4-3- déphasage Le déphasage d’un signal conduit à un décalage temporel, en avant ou en retard selon la valeur de ce déphasage. Si celui-ci est positif alors le signal déphasé est en avance de phase par rapport au signal original et vice versa. Par exemple, dans le cas des signaux de la figure 6, le signal y1(t) est en avance de phase puisque le déphasage est positif par contre y2(t) est en retrad phase. y1(t) = y(t+ ϕ1) avec ϕ1> 0 y2(t) = y(t+ ϕ2) avec ϕ2 < 0 y(t) y1(t)

y2(t)

0

-ϕ1

−ϕ2

figure 11

4-4- produit scalaire Le produit scalaire de deux signaux continus à énergies finies est défini par : =

∞

∫ x(t).y*(t) dt -∞

Dans le cas discret, cette expression se ramène à : =

∞

∑ x(n).y * (n) n =0

t

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Pour les signaux périodiques, le produit scalaire a pour expression : T

∫ x(t) y*(t) dt .

1

= T

0

Si ce produit scalaire est nul, alors les deux signaux sont orthogonaux.

• Exemple Les deux signaux x(t) et y(t) suivants sont orthogonaux. x(t) = cos t et

y(t) = sin t

En effet, T

∫ cos t. sin t dt

1

= T

avec T=2 π .

0

T

∫ sin 2t dt = 0 .

= 1

2T

0

4-5- Convolution On appelle produit de convolution de deux signaux à énergie finie x(t) et y(t), la fonction définie par : ( x * y )(t ) = x(t ) * y (t ) =

∫

∞

x( θ ) y(t - θ ) dθ .

−∞

D'après l'inégalité de Schwartz, ce produit est toujours définie puisque les énergies 2 ||x|| et ||y||2 sont finies. a- Propriétés : • Commutativité : [x * y](t) = [y * x](t) . On peut démontrer cette propriété en utilisant la propriété suivante : posons u = t - θ

⇒

x(t ) * y (t ) =

∫

∞

x(t - u) y( u ) (-du ) .

−∞

• Distributivité :

[x * ( y + z)](t) = [(x * y) + (x * z](t)

• Associativité :

[x * ( y * z )](t) = [(x * y) * z](t)

• Elément neutre δ(t) : • Dérivation :

x(t) * δ(t) = x(t)

d ( x * y)(t ) dx(t ) dy (t ) = * y (t ) = x(t)* . dt dt dt

b- Exemples de convolution • Convolution d’un signal avec l'échelon de position Γ(t) :

14 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

∫

( x * Γ)(t ) =

∞

x( θ ) Γ(t - θ ) dθ =

−∞

∫

t

x( θ ) dθ .

−∞

A titre d’exemple, calculons la convolution de l’échelon de position avec lui même. Dans ce cas, reprenons la dernière expression et remplaçons x(t) par Γ(t) : (Γ * Γ)(t ) =

∫

t

Γ( θ ) dθ .

−∞

si t < 0 , alors : si t ≥ 0 , alors :

(Γ * Γ )(t) = 0 , (Γ * Γ)(t ) =

∫

t

dθ = t .

0

Γ(t)*Γ(t)

0

t

Figure 12 • Convolution d’un signal avec la fonction fenêtre ∏τ(t), τ > 0 t+

∫τ

( x * Π τ )(t ) =

t−

τ 2

x( θ ) dθ .

2

A titre d’exemple, calculons la convolution de l’échelon de position avec la fonction fenêtre de largeur τ. Dans ce cas, reprenons la dernière expression et remplaçons x(t) par Γ(t) : t+

(Γ * Π τ )(t ) =

∫τ

t−

si t < -τ/2, alors :

Γ( θ ) dθ .

2

(Γ * ∏τ)(t) = 0 , t+

si -τ/2 ≤ t < τ/2 , alors :

τ 2

(Γ * Π τ )(t ) =

∫

τ 2

Γ( θ ) dθ = t +

0

t+

si t ≥ τ/2 , alors :

(Γ * Π τ )(t ) =

∫τ

t−

2

τ 2

dθ = τ .

τ 2

15 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

Γ(t)* ∏τ(t)

τ

-τ/2

τ/2

0

t

Figure 13 4-6- Autocorrélation et Intercorrélation a- Intercorrélation de deux signaux Pour deux signaux à énergie finie x(t) et y(t), on peut associer une fonction d'intercorrélation Rx,y qui définie la dépendance entre les événements de chacun et la mesure de similarité entre eux. Elle est donnée par l’expression suivante :

∫

R x , y (τ ) =

∞

x( t ) y * (t + τ ) dt .

−∞

Dans le cas des signaux périodiques à énergie infinie, la fonction d'intercorrélation Rx,y est donnée par l’expression suivante : R x , y (τ ) = lim

T →∞

1 T

∫

T

x( t ) y * (t + τ ) dt .

0

• Propriétés

♦ Rx,y(τ) = R*y,x(-τ) : symétrie hermitienne .

En effet :

R y , x (−τ ) =

∫

∞

y( t ) x * (t − τ ) dt .

−∞

posons u= t-τ R y , x (−τ ) =

∫

∞

y( u + τ ) x * ( u ) du =

−∞

∫

∞

[ x(u) y * ( u + τ ) ] * du = R x, y * (τ ) .

−∞

♦ Rxy(τ) ≠ Ryx(τ) ♦ Rxy(τ) = x(τ) * y*(-τ) . On peut montrer cette propriété en utilisant la relation de la convolution :

∫

x(t) * y * (-t) =

∞

x( θ ) y * (-t − θ ) dθ .

−∞

=

∫

∞

−∞

x( θ ) y * (t + θ ) dθ = R xy (t )

16 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

b- Autocorrélation Pour un signal à énergie finie, on définie une fonction d'autocorrélation qui définie la similarité entre un signal et une version décalée de celui-ci. Elle a pour expression :

∫

R x , x (τ ) =

∞

x( t ) x * (t + τ ) dt .

−∞

Cette expression peut être obtenue de Rxy(τ) en prenant x(t) = y(t) . Dans le cas des signaux périodiques à énergie infinie, la fonction d'intercorrélation Rx,x s’écrit : R x , x (τ ) = lim

T →∞

1 T

∫

T

x( t ) x * (t + τ ) dt .

0

* Propriétés

♦ Rxx(τ) = R*xx(-τ) : symétrie hermitienne . ♦ si x(t) est réel alors Rxx(τ) est réelle et paire et possède un maximum en Rxx(0) En effet, si x(t) est réel, alors : R x , x (−τ ) =

∫

∞

x( t ) x(t − τ ) dt .

−∞

Posons u = t-τ, il vient : R x , x (−τ ) =

∫

∞

x( u + τ ) x( u ) du = R x,x ( τ ) .

−∞

ce qui montre que Rxx est paire. D’autre part, l’inégalité de Schwartz |Rx,y(τ)|2 ≤ Rx,x(0).Ryy(0) , montre que le maximum de la fonction d’autocorrélation est Rx,x(0) et ce, en posant simplement y(t)=x(t) , soit : |Rx,x(τ)|2 ≤ R2x,x(0)

soit

Rx,y(τ) ≤ Rx,x(0).

car Rx,x(0) ≥ 0 .

♦ Inégalité de Schwartz : |Rx,y(τ)|2 ≤ Rx,x(0).Ryy(0) . Cette propriété se démontre en utilisant la même propriété de la norme et du produit scalaire.

♦ Rxx(0) est l’énergie du signal et Rxx(τ) ≤ Rxx(0) . En effet, R x , x ( 0) =

∫

∞

−∞

x( t ) x * (t + 0) dt =

∫

∞

−∞

2

x(t) dt = E x .

17 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

♦ Si x(t) est périodique de période T , alors Rxx en est de même ( périodique de période T ) et possède un maximum à l’origine Rxx(0) .. 1 T

R x , x (τ ) = lim

T →∞

1 R x , x (τ ) = lim T →∞ T

∫

∞

T

[

∑

n =- ∞

0

Cn e

∫

T

x( t ) x * (t + τ ) dt .

0

+j

2π n t T

∞

∑ Cn

*

e

−j

2π n t T

e

−j

2π n τ T

] dt .

n =- ∞

soit : 1 R x , x (τ ) = lim T →∞ T

∞

∑

n =-∞

2

Cn

e

−j

2π n τ T

∫

T

dt =

0

∞

∑

n =-∞

Cn

2

e

−j

2π n τ T

.

Cette relation n’est que la décomposition en série de Fourier de Rxx(τ). Elle montre que celle-ci est périodique de période T et ayant pour spectre d’amplitude |Cn|2 . Cette propriété est très importante en analyse corrélatoire puisqu’elle permet de déterminer la périodicité d'un signal ainsi que son spectre d’amplitude. • Exemple 1 : Fonction d’autocorrélation du signal fenêtre x(t) = ∏τ(t), τ > 0

∫

R xx ( θ ) =

∞

Π τ ( t ) . Π τ (t + θ ) dt

−∞

♦ si |θ | > τ , alors :

Rxx(θ) = 0 , ∏τ(t+θ)

∏τ(t)

∏τ(t). ∏τ(t+θ)

1

-τ/2

1

τ/2

θ−τ/2

θ

0

θ+τ/2

t-τ/2

t

t

t+τ/2

θ

Figure 14 ♦ si |θ | ≤ τ , alors :

Rxx(θ) = τ − |θ | , puisque : ∏τ(t+θ)

∏τ(t)

∏τ(t). ∏τ(t+θ) 1

-τ/2

τ/2 θ

0 t

t-τ/2

t

t+τ/2

θ

18 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

Figure 15

∫

R xx ( θ ) =

R xx ( θ ) =

∞

−∞ τ 2

∫τ

θ−

Π τ ( t ) . Π τ (t + θ ) dt

dt = τ - θ ,

si θ > 0

2

et : θ+

R xx ( θ ) =

∫τ

−

τ 2

dt = τ + θ , si θ < 0

2

♦ En définitif, l’expression générale de la fonction d’autocorrélation est : Rxx(θ) = τ − |θ | , ∀ τ ∈ ℜ . Rxx(θ)

τ -τ

0

τ

θ

Figure 16

5- Les systèmes 5-1- définition Un système est un opérateur physique fonctionnel H ( fonction, application ) qui à une entrée e(t) lui associe une sortie s(t). e(t)

H

s(t)= H[ e(t) ]

figure 17

5-2- classification des systèmes Il existe plusieurs types de systèmes qui peuvent être classés selon leur représentation, leurs réponses, et leurs comportements. Chaque classe de système possède ses propres outils d’étude, d’analyse et de synthèse. A titre d’exemple, on peut citer: - les systèmes linéaires, non linéaires - les systèmes mono-variables, multi-variables - les systèmes continus, échantillonnés (ou discrets), - les systèmes déterministes, stochastiques.

19 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

5-3- systèmes linéaires Un système et dit linéaire s'il obéit au théorème de superposition. Ainsi, le système de la figure 12 est linéaire si : - pour des entrées e1(t) et e2(t) correspondent les sorties s1= H(e1 ) et s2= H(e2 ) alors : - pour une entrée A e1(t)+B e2(t) correspond une sortie S = A s1(t)+ B s2(t). D’autre part, un système linéaire est régi soit : a) par une équation différentielle : m

∑

b i.

d i e(t )

i =0

dt

i

n

=

∑ j =0

aj

d j s (t ) dt

j

b) par une fonction de transfert H(p) : C'est une représentation externe du sytéme qui relie la sortie à l'entrée du sytème et qui est définit par : m

∑

bi. pi S(p) H(p) = = i =0 E(p) 1 + n a j p j ∑

(m ≤ n et p est l'opérateur de Laplace)

j =1

D'ailleurs, celle-ci peut être déduite de l'équation différentielle ci-dessus pour des conditions initiales nulles. 5-4- systèmes linéaires invariants Un système est dit linéaire invariant s'il vérifie les deux propriétés : - la linéarité - l'invariance temporelle qui est définit telle que : si s(t) est la sortie du système pour une entrée e(t) alors s(t-θ) est la sortie du même système pour l'entrée e(t-θ) . Donc la variation temporelle de tel système est indépendante de l'origine du temps. a) Exemple : Soit le système H qui à toute entrée x(t) lui correspond une sortie y(t) = x(α t) avec |α|>R )

t

-Vcc

Figure 18 : sortie d'un montage comparateur • relais à hystérisis: C'est un système non linéaire dont la caractéristique est la suivante: Α

−ε

0

ε

Figure 19: caractéristique d'un relais • amplificateur à saturation : C'est un système linéaire dans un intervalle du temps mais il ne l'est pas dans le reste du temps.

21 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

y(t) +Vcc

y(t)=A e(t) si |t| ε

-Vcc

Figure 20 : caractéristique d'un amplificateur à saturation Certains capteurs en instrumentation possèdent de telles caractéristiques, tels que les capteurs de température, de débit, de pression ou de position. Il convient pour cela de limiter le fonctionnement dans la zone linéaire. 5-6-Les systèmes discrets Ce sont des systèmes linéaires ou non linéaires dont la sortie n'est définie qu'à des instants bien déterminés dits instants d’échantillonnage (figure 16) . y(k)

1

2

k

Figure 21 : sortie d'un système discret Un système linéaire discret d'entrée e(k) et de sortie y(k), peut être régi par une équation récurrente de la forme : m

∑

i =0

b i. e(i)

n

=

∑

a j y(j)

j =0

Ce système peut être aussi représenté par une fonction de transfert discrète appelée aussi transmittance échantillonnée.

5-7-Analyse temporelle d’un système linéaire L’analyse temporelle d’un système revient à étudier sa réponse temporelle à une entrée donnée ( impulsion, échelon de position, rampe de vitesse,...) et ses performances statiques et dynamiques, tels que la précision, la rapidité et la stabilité.

22 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

La réponse ou la sortie temporelle du système peut être déterminée à partir de la résolution de l’équation différentielle de celui-ci ou en utilisant sa fonction de transfert.

! Analyse par la résolution de l’équation différentielle Prenons le cas du circuit passif de la figure 17 et déterminons l’expression de sa sortie s(t) pour une entrée indicielle : e(t) = A Γ(t) ( échelon de position A ) : R e(t)

C

s(t)

figure 22 La loi des mailles permet d’écrire :

RC s’(t) + s(t) = e(t)= A. Γ(t) ,

La solution de cette équation différentielle est la somme de la solution générale sans second membre et la solution particulière avec second membre : soit : s(t) = A . K e- t/RC + A. Γ(t) avec K= -Γ(t) si on prend s(0)=0 s(t) = A (1 - e- t/RC ) Γ(t) .

Il vient alors :

! Analyse par la fonction de transfert Le circuit précédent peut être considéré comme un diviseur de tension, alors la fonction de transfert du circuit s’écrit :

H(jω) =

S(jω) 1 = E(jω) 1+ RC jω

où ω est la pulsation . En introduisant l’opérateur de Laplace de Laplace ( p=j ω ) et en remplaçant l’entrée E(p)=A/p , il vient : S( p ) = soit :

A p( 1 + RC p )

s(t) = A ( 1 - e- t/RC ) Γ(t) .

Ce qui donne la représentation graphique suivante : s(t) A

23 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

figure 23

t

! Performances statiques et dynamiques a) - précision : Elle définit l’écart entre l’entrée désirée et la sortie

ε(t) = e(t) - s(t) La précision statique est la valeur de l’erreur en régime permanent soit :

ε∞ = lim ε(t) = e∞ - s∞ . t→∞

b) stabilté : un système est mathématiquement stable si à toute entrée bornée lui correspond une sortie bornée. Cela implique que tous les pôles de la fonction de transfert sont à parties réelles négatives. De point de vue physique, la stabilité définit l’aptitude d’un système à revenir à sa position d’équilibre après une perturbation. c) rapidité : c’est l’aptitude du système à réagir rapidement à une entrée quelconque et de vaincre son inertie. Elle est donnée par la valeur de la constante de temps la plus lente du système.

• Exemple : Prenons le système de la figure 17 :

! L'erreur statique est nulle car :

ε∞ = e∞ - s∞ = A -A = 0.

! Le système est stable car le pôle est négatif po = -1/RC . ! Le système possède une constante de temps τ = RC et la rapidité dépend dans ce cas de la valeur de RC. 5-8- Analyse fréquentielle La réponse fréquentielle a pour but de déterminer le comportement et la variation fréquentielle de certains paramètres et performances du système. Pour cela, il suffit d’étudier la variation de la fonction de transfert H, généralement complexe, en fonction de la fréquence. Pour avoir une meilleure représentation et exploitation de H, celle-ci est souvent donnée par le gain (module de H) et le déphasage (argument de H) appelés diagrammes de Bode. a) calcul du gain et du déphasage ( diagrammes de Bode ) Prenons le cas général où : m

H ( p) =

∏(p − z ) i =1 n

∏(p − p ) j =1

où : z i : est le iième zéro de H(p) p k est le kième pôle de H(p).

i

j

(m < n)

24 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

Alors, on définit: • le gain par :

G(ω) = 20 log10(| H( jω)| )

Φ(ω) = Arg( H( jω) ) .

• le déphasage par :

.

5-9- systèmes élémentaires 5-9-1- système du premier ordre On se donne la fonction de transfert H(p) d'un système du premier ordre ayant un gain statique k et une constante de temps τ. k H ( p) = 1+τ p Les expressions du gain et du déphasage sont donnés par : - gain :

G(w) = 20 log10(| H( jω)| ) = 20 log k - 10 log(1+τ2ω2)

φ(ω) = - arctg (τω )

- déphasage : * diagrammes de Bode

La courbe du gain G(ω) présente deux asymptotes G1 et G2 respectivement en basses et hautes fréquences données par : quand ω → 0 : G1 = 20 log k quand ω → ∞ : G2 = 20 log k -20 log τω . De même la courbe de phase possède deux asymptotes φ1 et φ2 quand ω → 0 quand ω → ∞

.

: φ1 = 0 : φ2 = - π/2 .

A la pulsation de coupure ( ωc=1/τ ), le gain et la phase sont égales à : Gc = 20 log k - 20 log

G(ω)

2

= 20 log k - 3

et

φc = -π/4 .

φ(ω)

20 log k

ωc=1/τ

25 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

ωc

Log w

Figure 24 -π/2

5-9-2- système du second ordre Supposons la fonction de transfert d'un système du second ordre est la suivante : H ( p) =

k ωn 2 p 2 + 2 ξ ωn p + ωn 2

où : k : est le gain statique du système, ξ : est l’amortissement, ωn : est la pulsation propre. L’équation caractéristique du système s’écrit : p2 + 2ξ ωn p + ωn 2 = 0 . Le déterminant de celle-ci est :

∆ = 4 (ξ 2 − 1) ωn 2

• si ∆ = 0 ( ξ=1), alors l’équation caractéristique possède une racine double po , telle que : po = - ξ ωn • si ∆ > 0 ( ξ>1), l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes p1 et p2 : p1 = −ξ ω n + ω n ξ 2 - 1 p 2 = −ξ ω n − ω n ξ 2 - 1 • si ∆ 1 ), le régime est dit hyper-amorti et la réponse s’écrit : s (t ) = k [( 1 −

1 2 ξ -1 2

(p 2 e p1t − p 1 e p2t )

]

• si ∆ < 0 ( ξ < 1 ), alors le régime devient oscillant la réponse s’écrit : 1

s (t ) = k [ 1 −

1−ξ

2

e −ξ ω nt sin(ω o t + ϕ )

]

avec :

ω 0 = ω n 1 − ξ 2 et ϕ = Arc cos ξ .

ξ1

Figure 25 : réponse indicielle selon les 3 régimes d’un système du second ordre On remarque bien que le système possède trois régimes de fonctionnement qui dépendent de l’amortissement. Cependant, l’apparition du dépassement ne peut être visible que pour la valeur ξ=0.7. Cette valeur physique de l’amortissement sera par la suite remplacée par la valeur mathématique ξ=1, qui limite les trois régimes hyper-amorti, amorti et oscillant. b) réponse impulsionnelle : S ( p ) = H(p) E(p) =

k ωn 2 , p 2 + 2 ξ ωn p + ωn 2

• si ∆ = 0 ( ξ = 1 ), le régime est dit amorti ou amorti et la réponse s’écrit : 2

s (t ) = kω n t e pot • si ∆ > 0 ( ξ > 1 ), le régime est dit apériodique ou amorti et la réponse s’écrit : s (t ) = k

ωn

2

2 ξ -1 2

(e

p1t

−e

p 2t

)

27 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

• si ∆ < 0 ( ξ < 1 ), alors le régime devient oscillant la réponse s’écrit : s (t ) = k

ωn 1−ξ

2

]

e −ξ ω nt sin(ω o t)

avec :

ω0 =ωn 1 − ξ 2 . On remarque que, quelque soit le régime de fonctionnement, la réponse impulsionnelle tend asymptotiquement vers zéro, ce qui montre que le système est stable. D’autre part, on sait que le système est d’autant plus rapide qu’il atteigne le plus vite le régime permanent, ce qui correspond selon la figure à un amortissement unitaire.

ξ1

Figure 28 : courbe de phase selon les 3 régimes d’un système du second ordre.

5-9-3- système d’ordre supérieur à deux Dans ce cas le système peut se décomposer en systèmes élémentaires de premier et de second ordre. Le gain et le déphasage sont respectivement égaux à la somme des gains et des déphasages des systèmes élémentaires.

• Exemple :

29 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

Prenons le système suivant et déterminons sa réponse fréquentielle . H ( p) =

4 ( p + 5) ( p + 2)(p 2 + p + 1)

Ce système peut se décomposer en trois système élémentaires de la façon suivante : H ( p ) = ( p + 5)

4 1 2 p+ 2 p + p+1

H ( p) = 5(1 + 0.2 p ) . 2

1 1 . 2 1 + 0.5 p p + p + 1

H ( p ) = 10 (1 + 0.2 p )

soit encore :

• Gain :

1 1 2 1 + 0.5 p p + p + 1

G(w) = G1(w) + G2(w)+ G3(w) ,

G(w) = 20 log10 + 20 log(1+0.04ω2) - 20 log(1+0.25ω2) - 20 log [(1 -ω2 )2 + ω2] • Déphasage :

φ(ω) = arctg (0.2ω ) - arctg (0.5ω ) - arctg [ ω / (1 -ω2) ]

Le tracé du lieu asymptotique du gain des 3 systèmes est le suivant :

+20 dB/dec 20 log10

1

2

5

log w

-20dB/dec -40 dB/dec

figure 29. Le tableau suivant résume les variations des courbes du gain et de déphasage : w -∞ G1(w) en dB/dec G2(w) G3(w)

1 0 0 0

2 0 0 -40

5 0 -20 -40

+20 -20 -40

+∞

30 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

G(w)=G1+G2+G3

0

-40

-60

1

déphasage -∞ φ1(w) en rad φ2(w) φ3(w) φ (w)= φ1+φ2+φ3

-40

2

0 0 0 0

0 0 -π -π

+∞

5 0 -π/2 -π -3π/2

+π/2 -π/2 -π -π

Table 1 Ainsi, le tracé global devient: G(w) 20

-40 dB/dec

1

2

5

log w

-60 dB/dec

-40dB/dec figure 30 De même, on procède pour la courbe de déphasage :

Φ(w)

1

2

-π -3π/2 figure 31.

EXERCICES CORRIGES DU CHAPITRE 1

♦ Enoncé de l'exercice 1

5

log w

31 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

a) Calculer la valeur moyenne, la valeur efficace et la puissance moyenne d’un signal sinusoïdal redressé en simple alternance. b) Même question pour un signal double alternance.

♦Corrigé de l'exercice 1 1-a) Le signal simple alternance est exprimé sur une période [-To/2 , To/2] par : x(t) =  Uo cos ( 2πfo t)  pour | t | < To/4 , x(t) = 0

.

pour To/4 < | t | < To/2 .

x (t ) 1

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

0 0

200

400

600

800

1000

1200

t( m s )

figure 27 : signal redressé en double alternance • Sa valeur moyenne est donnée par la relation : 1 Xmoy = T0

To / 2

1 x(t ) dt = ∫ T0 −To / 2

soit :

To / 4

2 U 0 cos(2πFo t ) dt = ∫ T0 −To / 4

To / 4

∫U

0

cos(2πFo t ) dt =

0

U0 π

Xmoy = Uo /π .

• La puissance moyenne est donnée par : Pmoy = donc :

1 T0

To / 2

∫

2

x(t ) dt =

−To / 2

2 T0

To / 4

∫

2

U 0 cos 2 (2πFo t ) dt =

0

2U 0 T0

2 To / 4

∫ 0

1 [ 1 + cos(4πFo t ) ] dt = U 0 2 4

Pmoy = Uo2/ 4 .

• La valeur efficace se déduit de la puissance ainsi : 2

X eff = Pmoy =

b) Le signal simple alternance est exprimé par la relation :

U0 U = 0 . 4 2

2

32 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

x(t) =  Uo cos ( 2πfo t)  ∀ t ∈ ℜ • La valeur moyenne est égale à : 1 T0

Xmoy =

To / 2

∫ x(t ) dt =

−To / 2

soit :

4 T0

To / 4

∫

U 0 cos(2πFo t ) dt =

0

2U 0 π

Xmoy = 2Uo /π .

• La puissance moyenne est donnée par : 1 Pmoy = T0 donc :

To / 2

2 x(t ) dt = ∫ T0 −To / 2 2

To / 2

∫U 0

2 0

4U 0 cos (2πFo t ) dt = T0

2 To / 4

2

∫ 0

1 [ 1 + cos(4πFo t ) ] dt = U 0 2 2

2

Pmoy = Uo2/ 2 .

• La valeur efficace se déduit de la puissance ainsi : 2

X eff = Pmoy =

U0 U = 0 . 2 2

♦ Enoncé de l'exercice 2 Le synoptique de la figure 28 représente le principe de réalisation d’un modulateur d’amplitude utilisé dans la transmission des signaux radioélectriques.

x1=A1 cos(2π f1 t) x2=A2 cos(2π f2 t)

x1(t).x2(t) y(t) figure 28

a) Donner l’expression du signal de sortie y(t) . On supposera f2 >> f1 b) En déduire la valeur de la puissance moyenne du signal.

♦ Corrigé de l'exercice 2

alors :

x1(t) = A1 cos (2πf1 t) x2(t) = A2 cos (2πf2 t) y(t) = x1(t) x2(t) + x2(t) ,

33 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

y(t)= 0.5A1A2 cos [2π (f1+f2 )t ]+0.5A1A2 cos [2π (f2-f1 )t ]+A2 cos[2πf2 t ]. Donc le signal y(t) est composé de trois signaux dont les composantes fréquentielles sont données par : A2 0.5A1A2

0.5A1A2

f2-f1

f2

f1+f2

f

Figure 29. La puissance moyenne du signal y(t) est égale à : Pmoy = (0.5 A1A2 )2 + A2 2 + (0.5 A1A2 )2 = A12 A2 2 + A2 2 = A2 2 ( 1+ A12)

♦ Enoncé de l'exercice 3 Montrer que si les signaux x(t) et y(t) sont orthogonaux. x(t)

y(t)

1

1 t

t

T

T/2

T -1

Figure 30.

♦Corrigé de l'exercice 3

∫

1

= T

T/2

0

1

dt - T

∫

T

dt .

T/2

= T/2 - T/2 = 0 . Comme le produit scalaire des signaux x(t) et y(t) est nul alors ils sont orthogonaux.

♦ Enoncé de l'exercice 4 a) Calculer et représenter la réponse impulsionnelle d’un système dont la fonction de transfert est donnée par l’expression : H ( p) =

1+ a p , 1+ b p

a et b ∈ ℜ .

34 Cours et exercices de traitement du Signal CHERIF Adnene – FST 2001 __________________________________________________________________________________

b) Calculer et représenter les réponses fréquentielles ( gain et déphasage ) du système. On discutera selon les valeurs a et b. En déduire le type du système.

♦ Corrigé de l'exercice 4 Nous retenons dans ce qui suit les cas où b>0 qui correspondent à un système stable. Les réponses impulsionnelles et indicielles sont données par les figures ci-dessous: reponse impulsionnelle 0 -0.2

Cas : 0