Adem Huskić Matematika III

Izdavač:

IP ’’SVJETLOST" d.d. Sarajevo Zavod za udžbenike i nastavna sredstva

Direktor:

Šefik ZUPČEVIĆ

Za izdavača:

Abduselam RUSTEMPAŠIĆ

Urednik:

Ante BANIĆ

Recenzenti:

Doc.. dr. Šefket ARSLANAGIĆ Nataša DŽUBUR, prof. Nadžija BEGOVIĆ, prof.

Lektor:

Nada JURIĆ

Korektor:

Nada BUTIGAN

Tehnički urednik:

Vanda BABOVIĆ

Naslovna strana:

Mira GOGIĆ

DTP:

Autor

Štampa: Tiraž:

5.000 primjeraka

CIP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo 51(075.3)(076.1) HUSKIĆ, Adem Zbirka zadataka iz matematike : za III razred srednjih škola / Adem Huskić, - Sarajevo : Svjetlost, 2000. - 352 str. : igraf. prikazi; 24 cm ISBN 9958-10-208-0 COBISS/BiH-ID 7908102

Strogo je zabranjeno svako kopiranje, umnožavanje i preštampavanje ovog udžbenika u cjelini ili pojedinih njegovih dijelova, bez odobrenja izdavača.

ISBN 9958-10-208-0

PREDGOVOR Zbirka zadataka je namijenjena učenicima trećeg razreda srednjih škola.Zadaci su odabrani tako da potpuno pokrivaju oblasti koje se kod nas izučavaju u trećem razredu ovih škola. Raspored zadataka u velikoj mjeri slijedi redoslijed u udžbenicima matematike i prirodan je slijed izlaganja u toku realizacije školskih programa matematike. Zadaci su birani sa namjerom da zadovolje interesovanja i zahtjeve svih učenika. Početni zadaci u svakom poglavlju su jednostavni i zahtijevaju samo neposredno računanje, uvrštavanje i slično,a zatim slijede zadaci koji traže nešto veće napore i na kraju su zadaci za čije uspješno rješavanje je potrebno kako obuhvatnije poznavanje određene oblasti,tako i određen stepen uvježbanosti. Mada je teško zadatke rangirati po težini (zbog velikog broja vrsta srednjih škole i razlika u programima matematike), u zbirci su “teži” zadaci,po mojoj procjeni, označeni zvjezdicom pored oznake broja zadatka. Zadaci su navedeni u prvom dijelu zbirke,a u drugom dijelu data su rješenja,upute ili samo rezultati.Za pojedine zadatke date su upute u cilju usmjeravanja pažnje rješavatelja.Za veliki broj zadataka u zbirci je dato kompletno rješenje.To se posebno odnosi na “teže" zadatke. Na početku svakog poglavlja navedene su osnovne formule, definicije, teoreme i tabele kako bi se olakšalo korištenje zbirke i omogućilo rješavanje zadataka i bez drugih udžbenika i priručnika.U pojedinim poglavljima na početku je naveden niz detaljno urađenih odabranih zadataka koji pokrivaju tipične zadatke cijelog poglavlja,a zatim slijede zadaci. U oblasti trigonometrije kada treba odrediti prirodnu vrijednost trigonometrijske funkcije nekog broja (ugla) ili broj (ugao) kada je poznata vrijednost trigonometrijske funkcije, preporučuje se upotreba kalkulatora koji raspolaže sa odgovarajućim funkcijama. Naravno, i dalje se može koristiti i priručnik “logaritamske tablice”, ali bi korištenje kalkulatora dalo poseban pečat pri rješavanju odgovarajućih zadataka. Nadam se da će Zbirka biti od koristi učenicima koji traže nešto više od onoga što nalaze u samim udžbenicima matematike za treći razred, i omogućiti kompletno utvrđivanje, ponavljanje i samostalno vježbanje. Na kraju zahvaljujem recenzentima koji su savjesno pregledali rukopis, a sugestije Dr. Šefketa Arslanagića su posebno doprinijele podizanju kvaliteta zbirke. Autor 3

1.

T R I G O N O M E T R I J A

__________________ Osnovni trigonometrijski identiteti:________________

. •> , sina cosa sin a+cos a - 1, tgcc=------ , ctga= ------- , cosa sina 1

7Z

1+ tg2a = — -— ,a * (2& + l)—, cos a 2

tgactga—1.

1+ ctg2a = — -— ,a * k n ,k e Z. sin a

Izražavanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija preko jedne od njih: Izraz za traženu trigonometrijs îu funkciju pomoću date Tražena Funkcija ctga cosa tga sina

1 sina sina cosa

tga

ctga

± V l-cos2a

ctga

sina

± ^ \ + ctg2a 1 ctga

± Vi -s in 2a

±^j\ + tg2a

±y]\ + Ctg2OC

± V i-sin 2a

± Vi -s in 2a sina

tga 1

cosa

±V l+tg2a

± V l-cos2a cosa cosa

ctga

± Vi-co s2a

tga

1 tga

Svođenje trigonometrijskih funkcija na prvi kvadrant: ARGUMEN1 TRIGONOMET]RIJSKE FUNKCIJE (p) K in 'in 71 "unkcija ----a n -a n+a 2n - a ----- a — +a —+ a 2 2 2 2 sina -sina -cosa -cosa -sina cosa sinp cosa -sina sina cosa -sina -cosa -cosa sina cosP tgP ctg(3

-tga tga ctga -tg a -tg a -ctga -tg a -ctga ctga tga -ctga -ctga tga Trigonometrijske funkcije zbira i razlike (adicione formule): sin(a+B)=sinacosB+cosasinB ; cos(a+B)=cosacosB-sinasinB ctga

sin(a-B)=sinacosfl-cosasinB

;

cos(a-B)=cosacosB+sinasinB

tga+tgB tga-tgB tg(a+B) = —— — ; tg(a-B) = 1-tgatgfi____________ ___________ 1+tgatgB 4

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla (kuta): sin2"a=2sinacosa

,

cos2a = cos2a-sin2a = 2cos2a -l = l-2sin2a

2tga „ ctg2a - \ . 1- t g 2a . „ 2tga tg2a = ---- , ctg2a = —f --------------- , cos2a = --------, sin2a = ------------— 1- t g 2a 2ctga l + tg a 1+ tg a Trigonometrijske funkcije nekih uglova: PRVI KVADRA NT 45° 60° 90° 30°

Funkcija 0°

sina

cosa

0

n

n ~4

0

~6 1 2

1

£

2

0

tga

A

A 2

A 2

7r

71

7 £

7

3

2

1

A

1 2

0

S

1

3

Nije def.

ctga

1

DRUGI KVADRANT 150° 135° 120° 180° 71 2n 57T 3n

A 3

Nije def.

0

2

~4~

A

2 %

1 ’2

-S

~6~ 1 2

0

VT

-1

2 .A

2 -1

0

3

Æ 3

-1

Nije def.

- s

’rigonometrijs ce fun ccije trostrukog ugla: cos3a=4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a , Trigonometrijske funkcije polovine ugla:

. a , 1-cos a sin—= ± , ---------- . 2

«

x=arcctga + kn , ke Z

Orijentirani ugao (kut).Radijan. 180° = 7t radijana, 1°= -^ — ~ 0,01745329 radijana 180 1 radijan - 57,295779° » 57° 17’ 44,8’

6

1.1. Stepeni i radijani Uglove date u stepenima (stupnjevima) izraziti u radijanima: 1.1.a) 90° b) 180° c) 270° d)360° 1.2.a) 30° b) 60° c) 45° d) 15° 1.3.a) 120° b) 135° c) 240° d)300° 1.4.a) 40° b) 100° c) 68° d) 56° Koliko stepeni (stupnjeva) ima ugao (kut) čija mjera je izražena u radijanima: 1.5. a) tc >

b)2rc

1.7.a)— 3 1.9.a)-4

b )— 6 b) -2

c)4n: c) — 3

d) -27t d )— 2 c )-1 8

1.2. Trigonometrijska kružnica

1.6.a) — 2

b) — 3

c) — 4

b)3

c) 5

1.8.a) 1

d )— 6 d) 11

d)-253 r

U trigonometrijsku kružnicu ucrtaj uglove: l.lO.a) 90° b) 180° c) 270° d)360° n , , 3k „11^ 1.11 .a) — b )— c) — d) —r 6 4 3 6 1.12.a) -150° b) -300° c ) -450° d ) -540° 1.13. Pronađi tačku na trigonometrijskoj kružnici koja odgovara datom broju: a) 2 b) 6 c) -3 d) 4 Nacrtaj na trigonometrijskoj kružnici dati ugao i odredi grafičke vrijednosti njegovog sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa: 1.14.a) 30°

b) 120°

c)210°

d) 300° 1.15.a) 2n

b) j

c )^

d )^

1.16.Konstruiši oštar ugao, a ako je: 1 2 a) sincc=0,7 b ) c o s a = - — c )s in a = — d)tga= 3 e) 4 5 ctga=5 Grafički odrediti vrijednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ako je: 1.17.a) cosa=0,5 b) sina=-0,5 c)co sa= -l d) sina=l 1.18 .a) tga=3 b) tga=-2 c) ctga=2 d) ctga=-1 1.19. U kojem kvadrantu se nalazi drugi krak ugla a ako je: a) a=200° b) a=350° c) a=645° d) a=1275° e) a=-855° ?

7

Izračunati vrijednost izraza: 1.20.a)3sin90o-78cos90°+55tgl80° 1.21 .a) 35sin 180°+9cos0° - 55tg360° 12sin270°+5ctg270° 1.22.a) 2sirwi + 5cos7t + 3tg2TC

b) 6cos0°-4sin90o+45tg360° b ) 11cos 180°b) 3cos5ti - sin3u+24ctg7c/2

1.3. Definicije trigonometrijskih funkcija oštrog ugla u pravouglom trouglu

1.23. Katete pravouglog trougla su a=6 i b=8.0dredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija oštrih uglova ovog trougla. 1,24.Izračunati vrijednosti svih trigonometrijskih funkcija oštrih uglova pravouglog trougla kod koga je:a) a=4,c=5 b) b=9,c=15 c) a=10,b=24 d) a=20,b=2 1. Izračunati vrijednost datog izraza: 1.25.a) sin30°+cos60° b) cos60°-sin60° c) sin45°-tg45° d) ctg30o+sin30° 1.26.a) sin30o-cos60°-tg45°-ctg60° b) 2sin60o+7ctg45°-6tg45°. 1.27. sin30°cos600+cos300sin600+2cos450sin45°-tg45°. .

~

.

ft

.

ft

ft

ft

1.28.a) 2sin — + 4cos-----tg — 6 3 4 , , . ft K 7t K 1.29.a) 4sm — ctg-----cos—tg — 3 3 3 6 2 s in 3 0 ° + 3 1.30.a ) —— 10sin30 - 1 j

j

^

2 cos 4 5 ° - s i n 45° b ) ------------- ----- -----1 + sin 45

3111 v ”r ili 2 45° sin 2 J30° + 2¿L, bsin

3 ccoo s2 30° - c co s 2 45° 6 sin 2 4 5 ° -Sctg260°

/g260°

ft

K

b) 4cos-----2sin— + tg — . 4 2 4 K K K ~,K b ) 8sin— cos— tg — +ctg:S— . 2 3 4 6 l + 2 ^ 260° c ) ------- —------ +2. l - 2 / g 260°

fg JU + i ctg245° M J5tg230°

i \

sin2 60° - 2 c o s 2 45°

-v

Odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija datih uglova (koristiti kalkulatore): 1.32.a)44° b) 53° c) 27° d) 42,34° e) 1457° 1.33.a) 42 b) 15 c) 32 d) -12 e ) -676,47 Odrediti ugao x u stepenima,minutama i sekundama ako je dato: 1.34.a) sinx=0,74327 b) cosx=0,95641 c) tgx=0,23458 d) ctgx=5 1.35.a) sinx=0,947 b)cosx=0,124 c)tgx=12,58 d)ctgx=-12,5 Odrediti ugao x u radijanima ako je dato: 1.36.a) sinx=0,53827 b) cosx=-0,53748 c>tgx= 3,143 d) ctgx=0,567 1.37.a) sinx=-0,88 b) cosx=0,48 c)tgx=-3,143 d )ctg x = ll. 1.4. Osnovni trigonometrijski identiteti 12 2 K , odrediti cosa, tg a i ctga. 1.38. Ako ie sm a= ------, a e 13 v 2 1.39. Ako je cosa= — , a e r — , 2n ,odrediti sina , tg a i ctga. V2 y 12 fK N , odrediti cosa , tg a i ctga . 1.40. Ako je sin a= — , a e 13 2 ,K v / A i TC , odrediti sina, ctga i tg a . , ae 1.41. Ako je cosa= 11 \ 2 ’ 71 K\ .odrediti ctga, sina i cosa. 1.42. Ako je tga=3, a e 0, / V 1.43.Ako je ctga=2, a e

.odrediti tga, sina i cosa..

1,44.0drediti vrijednosti ostalih trigonometrijskih funkcija pozitivnog oštrog ugla a ako je dato:

a) s m a = -3 ’

5

^ cosa - — 40 b) ;

41

V7 c) ctga = —

1.45.Ako je tg a = -2, odrediti vrijednost izraza 1.46. Ako je ctga = 3, odrediti vrijednost izraza

4 d) tg a - —

s in a + c o s a eos a - s i n a sin 2 a - c o s 2 a

sin 2 a - 2 co s2 a 1.47.0drediti vrijednost izraza tg a-tg asin. 2'a, ako je 4 . 3;r cosa= — i K < a < — . 5 2

1,48.0drediti vrijednost izraza t g 2a + — ■+ ctg a , ako je sm acosa tga+ctga=3. 1.49. Ako je tga+ctga=5, odrediti: a) tg a + ctg2a b) tg3a + ctg3a 1.50. Ako je sina+cosa=— ,izračunati sin aco sa. 2 s in a -3 c o s a , . 2 1.51. Izračunati----------------------, ako je tg a = —. 3 c o s a -4 s in a 3 Uprostiti date izraze: 1.52.a) l-cos2x b)tgxcosx c) sin2x-l d) 2-2sin2x 1.53.a) 3cos^x-3 b) l-cos2x+sin2x c) ctgxsinx-cosx d) 3-sin2x-cos2x 1 54 a) 1+ cos2a -s in 2a b) sm a c tg a + co sa ć) (l+sina)(l-sina) b) sin4x+2sin2xcos2x+cos4x d) 5-sin255°-cos255°

1.55.a) sin2x-cos4x-sin2x+cos2x c) 1 - cos2x + tg2xcos2x 1.56.a)

sin a cosa -1

tgcc + tgp

. tg a ctg2a - [ c) — ----------------- d) ctga + ctg/3 ctga tg 2a

b)

sin 2 x - c o s 2 x 1.57.a)sin x - cos x

r c)

1.58.a)

i 1

c)

10

v

1

1— COS X A 1 + cos X sin jc

c) ctgx + 1.59.a)

b)

1+

>

sin 2 x f l + co sx sin x

sin x

ctg 2x

co s2 X

sin xctgx d ) -------r-2— tgx sin x cos x , v co sx cosx b ) -----------+ -----------1 - sin x 1 + sin x d) tgx+

cosx l+ s in x

jl+ sin x + jl- s in x

b)

l+ c o s x

l-c o sx

i i - COSX

Vl + COSX

1-siruc V l+ siru v ( jl+ s ir u l+ co sx jl- s in x

l- c o s x

'l - c o s x

V l+cosx

Vl+sinx

l - 2 co s‘ a

1

l + cosx

l- s in x

2 sin 2a - l

yj\ + m - Vi - m . n , ... 1.60. Ako je sin x = ---------- ----------- , 0 < x < — , a < m < 1, odrediti cosx i m dokazati da je sinxcosx = — .

2

1.61.* a) (s in a + c o s a )2

-1

| 2

2 !l+ s in a

V1—sin«

Dokazati slijedeće identitete: 1.62. a) sin4a +sin2acos2a+cos2oc= 1 sin4a + 2sin2acos2a+cos4a= 1 1.63. a) sin4a-cos4a=sin2a-cos2a 1.64. a) (l-cos2a)(l+ tg 2a)=tg2a cos2a+cos2actg2a=ctg2a

b) b) (l+tg~a)cos2a= l b)

co s2 x - l 2 1.65. a) - r - ------ - = tg x sin" jc —1 5 c o sx -4 3 + 5 s in x =0 3 -5 s in x 4 + 5 c o sx 1 1 =1 c) s in 2 x tg 2x , „ x l - 2 s in 2 x 1.66.a ) --------—1 2 cos x —1 x s in x co sx 1.67.a ) f1 + ctgx 1 + tgx c)

b)

tg a + ctga

sinx + igx

b)

d)

b) 1 sin x + cos x

1- sin x

cos x

co sx

l + sin x

sin x - c o s

x

1 + sin * cos x

b)

• = sin x - cos x

s in 2 x - c o s 2 x

t g 2x - 1

sin x cos x

tgpc

tS 2x - \ _ ^ ^ 2 d) l+-^-r— — - = 2 sin2x

= l + cosx

tgx

t g 2x + 1

x x \" s in - + c o s - -1 l.68.a)

2

2

2X — = 2c t £ x 2 t g - - s i n - cos

2

b)

2

1

-------cosx cosx

2

Y1

\

-sinx = sin x co sx smx / 11

sin* cosx tg2x + 1 , , . , 2 -2 b) tg a - s m a=tg asm a 1.69.a ) = —-----sinjc+cosjc cosjc-sinjc tg~x- 1 1.70. Ako je sinx+cosx=m, odrediti sin3x + cos3x. 1.71. Ako je sin x 7 Cosx=m, odrediti: a) sin3x - c o s 3x b ) s in 4x + co s4x

Dokazati: 1.72.* a) 3(sin4a+cos4a ) - 2(sin6a+cos6a)= l b) sin3a(l+ctgcx) +cos3a ( 1+tga)=sina+cosa. k 2k 3n 4k 5k 6k ln 1 1.73.* c o s— c o s— c o s— c o s — co s— c o s— c o s — = —— 15 15 15 15 15 15 15 27

1.5. Periodičnost trigonometrijskih funkcija Odrediti osnovni period date funkcije: d) y=cosx-sinx 1.74.a) y=7sinx b )y = -llco sx c) y=sinx+cosx 1.75.a) y=4+5sinx b) y=12-cosx c) y=2sinx-5cosx d) y=4sinx+tgx 1.76.a) y=sin4x b) y=sin(x-7i) c) y=cos(2x-7i) d) y=5tg2x \ ^ ( KN b) y = tg 4 x - — c) y = t g ------x 1.77.a)>' = 2 sin x + —

4J

6J

,

^ Izračunati vrijednost datog izraza: 1.78. a) sin390° b)tg765° c) cos405° d) ctg750° 1.79. a) cos420°-2sin750° b) sin810°+15cosl 170° c) tg585°+ctg225° 1.80. a) 7sin6300+3cos990°-ctg7650 b) 6cosl500°-sin540°+tg900° Vrijednosti trigonometrijskih funkcija datog izrazi pomoću trigonometrijske funkcije oštrog ugla 1.81.a) sini 130° b) cos800° c) tgl510° d) ctg2405° 25n 197T 7n b) cos l.82.a) sin c) tgd)

\99n

ctg-

1.83. Izračunati vrijednost izraza: . _ . 1?>k . \7 n ,. Sn - 10r a) 2sin— +4ccs— b) cos----- 2lg—

6

12

6

3

3

c) tgT2jt+sm28n-ccsT7n+ctg

9n

1.6. Parnost i neparnost trigomnometrijskih funkcija Ispitati parnost slijedećih trigonometrijskih funkcija: 1.84.a) y=2sinx b)y=-3sinx c) y=4cos2x d)y=-8cosx 1.85.a)y=sinx+ll b)y=tgx+5 c) y=ctgx-4 d) y=sinx+2cosx 1.86.a) f(x)=3-xctgx b) f(x)=4+xcosx c) f(x)=ctgl0x+44 d)f(x)=125sin2x 1.87. Koja od slijedećih funkcija je parna,koja je neparna,a koja nije ni parna ni neparna: . . ^ -s in S * . cos4x . . . . sirfz+ sin * 2 C )/W =

CCS2*

1.7. Znaci trigonometrijskih funkcija U kojem kvadrantu se nalazi drugi krak ugla a ako je: 1.88. sina x = 45°+ k 9 0 °,k eZ . Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.343.a) tgx=l

b) tgx=0

c) tgx=0

d) tgx=VJ

SI.1.342.

1.344.a) tgx=- VJ b) tgx= — c) tgx= - — d) tgx= —

1.345.a) tgx=2

b) tgx=3

3

c) tgx=tg40°

3

V3

d) tg3x=tg33°

1.346.Riješiti jednačinu ctg(2x+l )= 1. Rješenje:Na osi kotangensa treba pronaći tačku kojoj odgovara broj 1.Neka je to tačka Q.Prava koja prolazi tačkom Q i koordinatnim početkom siječe SI.1.346. trigonometrijsku kružnicu u tačkama M i N. Tački M odgovara broj ^ i svi brojevi X oblika ^ +2kn, ke Z.Tački N odgovara beskonačno mnogo brojeva oblika + n +2kTt, ke Z. Svi navedeni brojevi imaju kotangens jednak jedinici. Opće rješenje jednačine ctg(2x+l)=l dobijamo na slijedeći način: 2x+l = —+k7t, k e Z => 2x=— -1+krc, keZ => x= — - —+ —kn, k eZ . 4 4 8 2 2 Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.347.a) ctgx=0 b) ctgx=-l c) ctgx=V3 1.348.a) ctgx=

V3

1.349.a) ctgx=2

b) ctgx= -

c) ctgx=—

d) ctgx=- —

b) ctgx=4

c) cosx=sinx

d) cosx=-sinx

1.350. Riješiti jednačinu: 2(l-sin2x) - 5(sinx-cosx) + 3 = 0. 32

d) ctgx=-V3

Navedeno opće rješenje može se napisati i u obliku x = (_])* •—+kK, keZ. v ' 6 Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.334.a) sinx=l b) sinx=0 c) sinx= -1 d) sinx=2 1.335.a) sinx= — b) sinx= - — 2

c) sinx= —

2

d) sinx=-----2

2

Jl 1.336.a) sinx=— b) sinx=— — c) sinx=sin20° d) sinx=sin50° 2 2 1.337.a) sinx=sin(-20°) b) sinx=sin7i c) sinx=sin(-120°) d) sinx=a, ae R 1.338. Riješiti trigonometrijsku jednačinu cos2x=

.

Rješenje:Odredimo na trigonometrijskoj kružnici tačke kojima odgovaraju brojevi y SI.1.338. sa datim kosinusom.Neka su to tačke M i N. Tački M odgovara broj 2K

x _ o blika

2K

i svi brojevi

+2kir, keZ.Tački N odgovara broj

JE 2tt ^ i beskonačno mnogo brojeva oblika: - — +2k7t, keZ. 1 2n Opće rješenje jednačine cos2x= — je:2x =±— +2k7t,

K ke Z, odnosno, x = ±— + kn, ke Z. 3 Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.339. a) cosx=0

b) cosx= 1

V2 1.340.a) cosx= —

,, ^2 . 73 b) cosx=----- c) cosx= —

2

c) cosx=-l

2

d) cosx= -

2

d)

cos2x= 1.341.a) cos3x=cosl2° b) cos4x=sinl0° cosx=m, me R.

c)cos2x=cos200°

d)

31

1.342. Riješiti jednačinu:

tg(2x-30°)= -JŠ .

Rješenje:Neka je T tačka na osi tangensa kojoj odgovara broj VŠ .Ovoj tački,na y ^ trigonometrijskoj kružnici odgovara broj 60° kao i svi

r71

i ( 0, V š ) jednačine 2x-30° = 60°+k-180°,ke Z X

=> x = 4 5 °+ k-90°,ke Z.

Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.343.a) tgx=l b) tgx=0 c) tgx=0 d) tgx= -J3

SI.1.342.

1.344.a)tgx=-V3 b) tgx=

1.345.a) tgx=2

b) tgx=3

3 c) tgx=tg40°

c) tgx= -

3

d) tgx=

V3

d) tg3x=tg33c

1.346.Riješiti jednačinu ctg(2x+1)= 1. Rješenje:Na osi kotangensa treba pronaći tačku kojoj odgovara broj 1.Neka je to tačka Q.Prava koja prolazi tačkom Q i S I. 1.346. , iy koordinatnim početkom siječe / trigonometrijsku kružnicu u tačkama M i N. Q / k r n Tački M odgovara broj — i svi brojevi \

\

K oblika — +2kft, keZ.Tački N odgovara

o /

beskonačno mnogo brojeva oblika

~ + 71 +2k7i, ke Z. Svi navedeni brojevi imaju kotangens jednak jedinici. Opće rješenje jednačine ctg(2x+l)=l dobijamo na slijedeći način: 2x+l = — +krc, k eZ => 2x=— -1+krc, keZ => x= — - —+ —kn, k eZ . 4 4 8 2 2 Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.347.a) ctgx=0 b) ctgx=-l c) ctgx=V3 ft ft ♦ ^2 1.348.a) c tg x = - y b) c tg x = --^ c)^ ctgx= — 1.349.a) ctgx=2

b) ctgx=4

c) cosx=sinx

1.350. Riješiti jednačinu: 2(l-sin2x) - 5(sinx-cosx) + 3 = 0. 32

d) ctgx= - V3 V2 d) ctgx=- — d) cosx=-sinx

Rješenje:Izraze u jednačini ćemo transformisati na slijedeći način: 2(l-sin2x) - 5(sinx-eosx) + 3 = 0 2(sin2x+cos2x-2sinxcosx) - 5(sinx-cosx) + 3 = 0 2(sinx-cosx)2 - 5(sinx-cosx) + 3 =0. Ako uvedemo smjenu sinx-cosx = t,dobijena jednačina postaje kvadratna po t: 2t2- 5t + 3 = 0.

3

Rješavanjem kvadratne jednačine dobivamo: tj = 1, t2 = —. Sada se vratimo uvedenoj smjeni i riješimo dvije,jednostavnije, trigonometrijske jednačine: s in x -c o s x = l sin x = l+ co sx

2sin —cos —=sin2—+cos2—+cos2—- sin2—



2sin —cos —= 2cos2—

2

2

2

i=>

2

2

f

X

V

2



X

cos—= 0 2

2



2

n

^

2

2sin —cos —- 2cos2— = 0

^

2

X

2

.

2

. X

X

0 cos—=0 v sin----cos—= 0

cos — sin— cos 2

2

2

2 / X

X

v sin —= cos—. 2

2

Dobili smo dvije nove trigometrijske jednačine.Riješimo ih redom: cos —= 0 2



—= - + krc,k6 Z



x = (2k+1)Ji,ke Z.

sin —= cos — => 2 2

2



2

sin —- sin 2 2

x = n + 2krc,ke Z

=> £ = - - i i + 2k7t,k6Z 2

2

2 2

=> x= -+ 2 k 7 C , k eZ => x = —(4k+i), keZ. 2 2 Uvrštavanjem druge vrijednosti za t, u gore uvedenu smjenu, dobivamo: 3 -\/2 . V2 3 V2 sinx - cosx = — — sin x ----- cosx = --------2 2 2 2 2 3V2 cos45°sinx -sin45°cosx = -----4

. 3-n/2 sin(x-45°) = ------ . 4

^ . 3V2 3V2 3V2 3 3 , .. J 4 . Kako ie ------ = -------= — ¡=— 7= = — > -------- = 1 , a vrnednost sinusa 4 2 -2 2 V 2 -V 2 2-v/2 2-1,5 3

sin(x-45°) može biti najviše l,to za t2 = —jednačina nema rješenja.

33

Opće rješenje jednačine je: x = (2k+l)n, x = -^-(4£ + l),k e Z . Riješiti date trigonometrijske jednačine (jednadžbe): 1.351. a)2sinx-l=0 b) sin2x=0 c) 2sin5x=V2

A-

1.352. a) sin— = 2 2

'x } sin —+ 2

v5

2x

-30°

A

2

c)

1 1

y

1.353. a) cos2x= ——

b) 2cosx-l=0

2

1.354. a) eos eos

b) sin

3x

A

2

b) 2cos

x + 10

c) 2cos5x=V3

= V2

c)

3x

v 2 / 1.355. sin2x + 2sinx = 0.

1.356. cos3x + cos5x = 0.

1.357. sinx+cosx = 1+sixcosx.

1.358, 2cos2x - 3cosx + 2 = 0.

1.359. sinx = cos2x. ( n—\ 1.361. sin 2x -

1.360. sin(x-20°) = sin35° .

1.363. tg

1.364. 1+ cos Y_ 3 1-COSX 1.366. tg3xcosx = 0.

~

~

1.362. c o s - = - — 3 2

v8 2 y 1.365. 8cos2x+6sinx-3=0 1.367. 5 tgx + 7ctgx = 12

1.368. tgx+tg2x=tg3x ; tgx?H;l ,tgx^ +

1.369.Riješiti datu homogenu trigonometrijsku jednačinu: a) 3 cos2x - sin2x - sin2x = 0 b) 4sin2x + sinx cosx - 3cos2x = 0 Riješiti date trigonometrijske jednačine: 1.370. cos2x + 3sin2x + 2-^3 sinxcosx =1 1.371. 3sin2x + 4 sinxcosx + 5cos2x = 6 1.372. 4sin2x - 5sin2x - 3cos2x = 0 1.373. sin4x + sinx = sin3x + sin2x 5 7 1.374. sin4x + cos4x = — 1.375: sin4x+cos4x= — sinxcosx. 8

1.376. cosx - 2cos3x + eos 5x = 0 34

2

1.377. -JŠ sinx + cosx = 1.

1.379.) sinx -

1.378. 2sin2x + 3cos2x = V llsin4x

VI c o s x

=

2

1

1.380; 2sinx + 5cosx = 4

1.381. sinx - cosx

1.382. sin3xcosx-sinxcos3x :

"— ^ 1 1.383. sinJx+cos3x = 1 - —sin2x

1.384. sin10x + cos10x = —

1.385 .* cosx2= —

16

cos42 x

VI

1.386.* logtgx + logtg2x = 0

1.387.* tg(T icosx)=ctg(7isinx).

1.388.* 3i+™*+ 2 .32+cos(*+90“) =21

1.389.* 4 sin2(OT) + 3 .4 cos2('a ) = 8

1.390.

1.391.* 2 sin2t+ 4 - 2 cos2jc= 6

16sinx= C0SV4

1.392.* logcos,4 .1 o g

1.393.* logsinx 4 ■log

, 2=1

2 2=4

1.394. Riješiti i diskutovati rješenja jednačine sin3x = msinx u zavisnosti od parametra me R. 1.395. Riješiti i diskutovati jednačinu sinx = asin3x. 1.396. Riješi i diskutuj rješenja jednačine cosx ctgx - sinx = a cos2x u zavisnosti od parametra ae R.

1.17.

TRIGONOMETRIJSKE NE JEDNAČINE (NE JEDNADŽBE)

VI

1.397. Riješiti trigonometrijsku nejednačinu: sinx > — . Rješenje:Posmatrajmo trigonometrijsku kružnicu (SI. 1.397.).

VI

Odredimo tačku M na y-osi kojoj odgovara broj — • Tačkom M povucimo pravu paralelno sa x-osom. SI.1.397. Ovći prava siječe trigonometrijsku kružnicu u JI tačkama A i B.Tački A odgovara skup brojeva —+2kK,k e Z , a tački B JI odgovara skup brojeva K - — + 2 k n ,k e Z .Svi brojevi koji odgovaraju (manjem) luku AB pripadaju skupu rješenja date nejednačine: K 71 _ — 1-2kn < x < n ----- vlkn, k e Z 3

3

Riješiti date trigonometrijske nejednačine (nejednadžbe): l.398.sinx> 0

[.399. sin x < 0

1.401. sinx <

1.402. sinx > -

1.400. sinx > — 2 1

1.403. sinx > 2 35

1.404. sinx <

VI

1.405. sinx >

VI

1.406. sinx <

VI

1.407. Riješiti trigonometrijsku nejednačinu cosx > —. Rješenje:Odredimo na trigonometrijskoj kružnici tačke kojima odgovaraju brojevi sa kosinusom — (S1.1.407).Neka su to tačke M i N.Tački M odgovara 7V

TC

skup brojeva —+2kn , a tački N skup brojeva -—+2kn , keZ.Datu nejednačinu zadovoljavaju brojevi kojima odgovaraju tačke kružnog luka NAM.Skup svih x ovih brojeva je: x |- — +2kn < x VI

1.408. cosx > 0

1.409. c o sx < 0

1.411. cosx < — 2

1.412. cosx > —

1.413. cosx > -3

1.414. cosx < —

F) 1.415. cosx> —

1.416. cosx<

2

2

2

VI 2

1.417. Riješiti nejednačinu tg x < 2 . Rješenje:Neka je M tačka na osi tangensa (t) kojoj odgovara broj 2.Prava koja sadrži tačku M i prolazi koordinatnim početkom siječe trigonometrijsku t lj/l(2) kružnicu u tačkama P i Q. Tački P odgovara skup brojeva arctg2+2k7c , a tački Q skup brojeva arctg2+(2k + l)7T.Kako je funkcija y=tgx negativna za sve vrijednosti varijable x iz drugog i četvrtog kvadranta,to su svi realni brojevi kojima odgovaraju tačke na trigonometrijskoj kružnici u drugom ili . 1.417. čertvrtom kvadrantu,rješenja date nejednačine.Datu nejednačinu zadovoljavaju još i brojevi između 0 i arctg2, odnosno, između n i arctg2+7i.

36

Opće rješenja date nejednačine je podskup skupa realnih brojeva M dat na slijedeći način:

M = - j x e R \ - ^ + k n < x < arctg 2 + kn, k& Z j - .

Riješiti date nejednačine (nejednadžbe): 1.418. tgx> -l 1.419. tgx > --JŠ

1.420. tgx < -1

1.421. tg2x< l 1.422. tg(x+l)>V 3 1.424. sinx > cosx 1.425. cosx - sinx < 0 1.427.Riješiti nejednačinu ctg2x < VŠ. Rješenje: Na osi kotangensa (k) odredimo tačku M

1.423. tg(x-l) < - VŠ 1.426. sinx+cosx>0

kojoj dgovara broj -JŠ .Neka prava koja sadrži tačku M i koordinatni početak siječe trigonometrijsku kružnicu u tačkama P i Q (SI. 1.427.) Skup brojeva kojima odgovaraju tačke kružnih lukova PBC i QDA predstavljaju skup vrijednosti od 2x, pa vrijedi 51.1.427. —+ k;r < 2x < n+kn, ke Z , odnosno, —+ krc < x < —+ — , ke Z , 3

6

2

2

Riješiti date nejednačine (nejednadžbe): 1.428. ctgx > 1

1.429. ctgx < 1

1.430. ctgx>

1.431. ctg(2x+l) < 1

1.432. ctg(3x+l) > - V3

1.433. ctg(x-l)< 3

1.434. sin4x + cos4x < — 4

1.435. cosx < sin2x

■Jl 1.437. 2 sinx cosx < —

1.439. tg(7t- x ) < - l

2

1.440. Isinxl < —

1.436. 2 sin (^ - - x)

1.441. sinx > cosx

1.442.

cosx > sin x 1.18. Sistemi (sustavi) trigonometrijskih jednačina (jednadžbi) sa dvije nepoznate cosx + cosy = -v/3 1.443 .Riješiti sistem jednačina:

K

x +y =—

37

K Rješenje: Iz druge jednačine imamo: y = — - x , pa uvrštavanjem u prvu dobivamo jednačinu sa jednom nepoznatom. cosx + eos — cosx + sin— sinx = -J3 3 3

cosx + cos(— - x) = V3 3

1------------------- . /r 3 V3 . rz cosx+ — c o s x + ---- sinx= V-3 — cosx + ---- sinx= V3 2 2 2 2 V3 ---- cosx + 2 = 1 7t => x ---- =

6

1 . K . 7 1 . , Tt — sinx = 1 eos— cosx + sin— sinx = 1 cos(x----- ) 2 6 6 6

2kn , ke Z,

=>

x = — + 2krc , y = — - 2kn , ke Z.

6

6

1.444.Riješiti sistem jednačina sin(x+y)=0 , sin(x-y)=0 pri čemu x i y zadovoljavaju relacije: 0 < x < tc, 0 < y < 7t . Riješiti dati sistem trigonometrijskih jednačina (jednadžbi): i cos(x + y) = 0 1.445. \ [x - y - 0

i sin(x + y) = 0 1.446.

1.447.

[sin(x - y) = 0

f sinx + cosy - 1 K x +y = •

[cosx cosy = 0,75

1.448.

Is in x sin y = - 0 ,2 5

í sinx siny = 0,75 ísinx + cosy = l 1.449. 1 1.450.J 3 [tgx tgy = 3 \c o s 2 x - cos2y = 1 cosx cosy =

1.451.

1

sinx + cosy = 0

1.452. s in 2 x + c o s 2 y =

tgx + tgy = 2 í tgx + tgy = 3 1.453. \

[3tg(x-y) = \

38

siny

1.454. |2 ( x + >0 =

k

II

POVRŠINA GEOMETRIJSKIH FIGURA U RAVNI

Pregled osnovnih formula za površinu nekih ravnih figura: FORMULA Elementi koji ulaze u NAZIV FIGURE formulu _ , „ d1 sina P =ab, P=---------PRAVOUGAONIK b 2 (PRAVOKUTNIK) a PARALELOGRA M

P=ah , P=absina a C p_ “K b /

TROUGAO (TROKUT)

_ bh„ _ chc

2

h b \\ ~N A B A c unutrašnji uglovi a + b +c , ,. S= ---- ------- poluobim

2

p _ aZ>sin 7 2

_ acsin (5

bc sin a

2

r-radijus upisane kružnice R-radijus opisane kružnice

Jednakostraničan TROUGAO Pravougli trougao

a - stranica

2

2

Heronova formula P = i]s(s ~a)(s ~ b)(s ~ c) n n abc P -rs; P - —

p_ ° 2V3 4

ab P= — 2

a b

R O M B

-X;d2

P - a 2sina, ? - d'dl 2

a-stranica; di,d2-dijagonale a - ugao među stranicama 39

2.1.Površina pravougaonika jednaka je proizvodu dužina dviju njegovih susjednih stranica. Dokazati! 2.2.0 drediti površinu pravougaonika ako su mu poznate dužine stranica a i b: a) a=l 0 cm, b=5 cm b) a=8 cm, b=6 cm c) a=25 , b=4 cm

40

2.3.Izračunati površinu kvadrata ako je data dužina njegove stranice a: a) a=4 cm b)a= 10cm c)a= 15m 2.4.Date su stranica i dijagonala d pravougaonika.Izračunati površinu: a) a=6 cm, d=10 cm b) b=5 cm, d=l 3 cm c) a=21 , d=29 cm 2.5.Poznata je dužina d dijagonale kvadrata.Odrediti površinu kvadrata ako je:a)d=5"\/2 cm b)d=10-\/2 cm c)d=Fl5V2 m 2.6.. Data je površina P kvadrata.Odrediti dužinu stranice i dijagonale, a) P=64 cm2. b) P= 25 cm2. c)P=100cm 2. 2.7. Poznata je dužina jedne stranice i obim O pravougaonika.Odrediti površinu pravougaonika ako je: a) a=6 cm, 0=18 cm b) a=21 cm, 0=60 cm c) b=7 m , 0=40 m 2.8. Površina pravougaonika je P=18 cm2,a dužina jedne njegove stranice je b=3 cm. Odrediti dužine druge stranice i dijagonale pravougaonika. 2.9. Stranice pravougaonika odnose se kao 12:5, a njegov obim je 68. Izračunati površinu i dužinu dijagonale pravougaonika. POVRŠINA PARALELOGRAM A 2.10. Površina paralelograma jednaka je proizvodu dužina njegove stranice i visine na tu stranicu.Dokazati! 2.11 .Poznata je dužina jedne stranice paralelograma i visine h na tu stranicu. Odrediti površinu paralelograma ako je: a) a=6 cm, h=4 cm b) a=l 0 cm, h=3 cm c) b=60 , h=2 cm 2.12.Udaljenost dviju paralelnih stranica paralelograma je 12 cm, a dužina svake od ovih stranica je 10 cm.Izračunati površinu paralelograma. 2.13.Paralelogram ABCD ima dužinu stranice AB =12 i dijagonale

AC =12.Vrh D udaljen je od dijagonale AC je 4. Koliko je rastojanje vrha D od prave AB? 2.14.Visina' rom baje h=10,a oštri ugao a=30°.Izračunati površinu romba. 2.15.Dijagonala rom baje d=15,a visina je h=12.Kolika je površina romba? 2.16.Površina pravougaonika je 144 m2,a njegove stranice se odnose kao v ^4:9. Odrediti stranice pravougaonika. 2.17.Površina pravougaonika je 10 m2,a obim je 14 m.Kolike su stranice? 2.18. Jedna stranica pravougaonika je 9 cm,a druga je za 3 cm manja od dijagonale.Izračunati dijagonalu i površinu pravougaonika. 2.19.Razlika dijagonale i stranice kvadrata je 2 m.Odrediti površinu kvadrata. 2.20.U pravougli trougao s katetama a i b je upisan kvadrat tako da im je vrh pravog ugla zajednički.Kolika je površina kvadrata? 1 O v d j e p o d " v i s i n o m " p o d r a z u m i j e v a m o n j e n u dužinu.

41

2.21 .Obim romba je 2.Dužine njegovih dijagonala odnose se kao 3:4. Odrediti površinu romba. 2.22.Površina paralelograma je 144 m2,a njegove visine jednake su 8m i 12 m. Odrediti obim paralelograma. 2.23.Naći površinu kvadrata upisanog u jednakostranični trougao čija je stranica a. 2.24.Kolika je visina romba čije su dijagonale 16 i 12 m? POVRŠINA TROUGLA (TROKUTA) 2.25.Površina trougla jednaka je polovini proizvoda dužina njegove stranice i visine koja odgovara toj stranici.Dokazati! 2.26.Izračunati površinu trougla ako je dato: a) a=6 cm, ha=8 cm b) a=10 cm, ha=2 cm c) b=8 m, hb=4 m 2.27.Izračunati površinu pravouglog trougla ako su poznate dužine kateta: a) a=12 cm, b=4 cm b) a=20 cm, b=5 cm c) a=4 m, b=9 m 2.28.Hipotenuza pravouglog trougla je c,a kateta b.Odrediti površinu: a) c=29 m, b=20 m b) c=13 cm, b=5 cm c) b=15 ,c=17 cm 2.29.Izračunati površinu jednakokrakog trougla osnovice a i kraka b: a) a=10 cm, b=13 cm b) a=40 cm, b=29 cm c) a=16, b=l 0 m 2.30.Izračunati površinu jednakokrakog trougla čija je osnovica a=12 cm, a visina na osnovicu jednaka rastojanju sredina osnovice i kraka. 2.31.Dvije stranice trougla su a=10 i b=8.Visinaje ha=2.Izračunati visinu hb. 2.32.Površina trougla jednaka je proizvodu poluobima i radijusa njemu upisane kružnice.Dokazati. 2.33.Obim trougla je 2s, a radijus upisane kružnice r.Odrediti površinu trougla ako je: a) 2s=12 cm, r=l cm b )2 s = 4 2 , r = 4 c)2 s = 3 0 , r = 2 2.34. Katete pravouglog trougla su a=12 m i b=12 m.Odrediti radijus upisane kružnice. 2.35. Sredine dviju susjednih stranica kvadrata spojene su sa četvrtim vrhom.Kolika je površina dobivenog trougla,ako je stranica kvadrata a? 2.36.Dokazati da za površinu trougla vrijedi formula: P = J s(s- a)(s - b)(s - c ) , gdje su a,b i c stranice, a s = a + ^ + c poluobim trougla (Heronova formula). 2.37. Date su stranice a, b i c AABC. Izračunati njegovu površinu ako je: a) a=39 cm,b=42 cm i c=45 cm b) a=13 cm,b=14 cm ic= 15cm 2.38.Stranice trougla su a=32 cm,b=18 cm i c=22 cm.Izračunati : a) visinu ha. b) visinu hb. c) visinu hc. 2.39. Stranice trougla su 26, 28 i 30. Odrediti radijus R opisane i radijus r upisane kružnice. 42

2.40. Stranice trougla su 25,29 i 36 cm. Odrediti radijuse upisane i opisane kružnice. 2.41.Date su stranice trougla:a=21, b=?17 i c=10.Izračunati: a) površinu trougla, b) sve tri visine, c) radij us opisane kružnice, d) radij us upisane kružnice . 2.42.Površina trougla ABC jednaka je 12 cm2.Njegove težišnice AD i BE sijeku se u tački O.Kolika je površina trougla AOE? 2.43. Izračunati površinu trougla ako su date dvije stranice i njima zahvaćeni ugao: a) b= 12, c=54 , a = 30° b) a=8 , b=15 , y = 60° c) a=10, c=12, p = 150° d) b=16, c=l 1 , a = 145° 2.44. Ako su dvije stranice trougla 3 cm i 8 cm, može li površina tog trougla biti: a) 10 cm2 b) 15 cm2 c) 12 cm2? 2.451 Dvije stranice trougla su a=7 ,b=9 i površina P=12 VŠ .Odrediti c. 2.46.Dijagonale paralelograma su 112cm i 78 cm,a manja stranica je 25 cm. Kolika je površina paralelograma? 2.47.Jednakokraki trougao ima osnovicu a=6 i krak b=5.Naći radijuse upisane i opisane kružnice. 2.48.*Neka je hipotenuzina visina pravouglog AABC jednaka h i neka se odsječci p i q na koje ova visina dijeli hipotenuzu razlikuju za m (p-q=m). Izračunati površinu AABC. 2.49. U pravouglom AABC , CA=b i CB=a su katete, CH je visina, AM je težišnica. Odrediti površinu ABMH. 2.50. Odrediti površinu pravouglog trougla ako njegova visina dijeli hipotenuzu na dijelove 32 i 18? 2.51. Težišnica pravouglog trougla jednaka je m i dijeli pravi ugao u omjeru 1:2. Izračunati površinu trougla. 2.52. Izraziti površinu jednakostraničnog trougla kao funkciju: a) od njegove stranice a b) od njegove visine h. 2.53.Izračunati površinu jednakostraničnog trougla ako je poznato: a )a = 12cm b) a=16cm c)h = 8 -\/3 cm 2.54. Izračunati površinu jednakostraničnog trougla ako je zbir stranice i visine 14+7 f i . 2.55. Obim jednakokrakog trougla je 36 m,a dužina visine koja odgovara osnovici je 12 m. Izračunati površinu trougla. 2.56.Katete pravouglog trougla su a i b.Kolika je visina koja odgovara hipotenuzi? 2.57.Izraziti visine ha, hb i hc trougla pomoću njegovih stranica a,b i c. 2.58.U AABC poznate su stranice AB =13 cm, B C =15 cm i AC =14 cm. 43

Izračunati dio površine trougla zatvoren težišnicom i visinom povučenim iz vrha B. 2.59.* Izračunati radijus kružnice upisane u jednakostranični trougao čija je dužina težišnice t = 1. 2.60.* Izračunati površinu trougla ako su njegove dvije stranice a=27 cm, b=29 cm, a težišna linija prema stranici c je tc=26 cm. 2.61.* Odrediti vezu između težišnice ta i stranica a,b i c trougla. 2.62.* Izračunati težišnice trougla čije su stranice: a) a=l lcm,b=T2cm,c=13cm b) a=10 cm,b=15 cm, c=18 cm 2.63.* Izračunati stranicu b trougla u kome je zadano a=4, c=5 i tc= -j . 2.64.* U trouglu je a=60m ,pripadna visina ha=T2m i pripadna težišnica ta=13cm. Izračunati nepoznate stranice. 2.65.* Stranice trougla su 55 m, 55 m i 66 m. Odrediti površinu trougla čiji su vrhovi podnožja bisektrisa uglova datog trougla. 2.66..* U AABC date su stranice AB=13 m,BC=15 m i AC=14 m. Iz vrha B povučene su visina BH,bisektrisa BD i težišnica BM.Odrediti: a) Površinu ABHD, b) Površinu ABMD, c) Površinu ABHM. 2.67.* Izračunati površinu trougla čije su dvije stranice a=10 m I b=12m i bisektrisa koja odgovara trećoj stranici lc=8 m. 2.68. U trougao čije su stranice 16 m, 30 m i 34 m upisana je kružnica. Odrediti površinu trougla čiji su vrhovi tačke dodira kružnice. 2.69.* Dokazati da za stranice a, b i c i površinu P trougla vrijedi p i ^ abc(a + b + c) 16

2.70.Dati su stranica c AABC i uglovi a i 13 na njoj.Izračunati površinu . 2.71 Ako su a,B i y uglovi trougla i a odgovarajuća stranica,dokazati da za .

.. .. -

.

_

a 2 sin B sin y

površinu trougla vrijedi formula: P = --------------- . 2 sin a

POVRŠINA TRAPEZA 2.72. Dokazati daje površina trapeza jednaka je proizvodu poluzbira dužina njegovih osnovica i dužine visine. 2.73. Izračunati površinu trapeza čije su osnovice a i c i visina h, ako je:, a) a=5, c=3, h=2 b) a=8, c=2, h=6 c) a=12, c=8, h=5 2.74.Izračunati površinu jednakokrakog trapeza ako su date njegove osnovice a i c i krak b: a)a=16, c=4, b=10 b) a=50, c=8, b=29 c) a=130, c=4, b=65 2.75. Izračunati površinu trapeza čije su osnovice a i c, a kraci b i d : a) a=60, c=20, b=13,d=37 b) a=20, c=6, b=15, d=13 c) a=36, c=4, b=25, d=29 d) a=16, c=3, b=14, d=15

44

2.76. Osnovice jednakokrakog trapeza su a=14 i c=8,a površina je P=44. Odrediti krak b. 2.77. U jednakokrakom trapezu dijagonale su uzajamno normalne,a visina je jednaka h. Kolika je površina trapeza? 2.78. U jednakokrakom trapezu dužine osnovica su 42 i 54 cm,a ugao pri većoj osnovi je 45°. Izračunati površinu trapeza. 2.79. U jednakokrakom trapezu dužine osnovica su 51 i 69 cm,a dužina kraka je 4 lem. Izračunati površinu trapeza. 2.80. Izračunati površinu jednakokrakog trapeza čije su dijagonale uzajamno normalne, a osnovice imaju dužine 12 i 20 cm. 2.81. Osnovice trapeza imaju dužine 142 i 89 cm,a njegove dijagonale 120 i 153 cm. Kolika je površina trapeza? 2.82. Dijagonale trapeza imaju dužine 20 i 15 cm,a njegova visina je 12 cm. Odrediti površinu trapeza. 2.83. Date su stranice trapeza a=30,b=15,c=16 i d=13.Stranice a i c su osnovice.Izračunati:a) Površinu trapeza, b) Dijelove trapeza na koje srednja linija dijeli trapez. 2.84.*Dijagonale trapeza su 3 m i 5 m,a duž koja spaja središta osnovica je 2 m. Izračunati površinu trapeza. 2.85.* Dvije prave paralelne sa osnovicama trapeza dijele njegove krake na tri jednaka dijela i trapez na tri trapeza.Izračunati površinu srednjeg trapeza, ako su površine krajnjih P] i P2. 2.86.* Paralelne stranice jednakokrakog trapeza su a=24cm i c=10cm, a visina iznosi 17cm.Izračunati radijus kružnice opisane oko trapeza. 2.87. Površina četverougla koji ima normalne dijagonale jednaka je polovini proizvoda dužina njegovih dijagonala.Dokazati! 2.88.Dvije stranice deltoida su a=13 i b=20.Dijagonala deltoida koja nije na osi simetrije je dj=24. Odrediti površinu deltoida. 2.89. Dvije stranice deltoida su 8 i 6 m,a ugao između njih je 150°.Izračunati površinu deltoida. 2.90.*Jedan kvadrat stranice a nastaje rotacijom drugog kvadrata oko njegovog vrha za 45°.Kolika je zajednička površina ovih kvadrata? 2.91 .Ako su di i d2 dijagonale četverougla koje zaklapaju ugao oc,dokazati da di . za površinu četverougla vrijedi formula: P=—^ -= -sin a. 2.92.Date su dijagonale dj i d2 četverougla i ugao a među njima.Odrediti površinu četverougla ako je: a) di =12 cm , d2 =8 cm, a=30° b) di=15 cm,d2 =28 cm, a=135°. 2.93. Dijagonale četverougla imaju dužine 10 i 20 m,a ugao među njima je 60°. Odrediti površinu četverougla čiji su vrhovi središta stranica datog četverougla. 45

2.94. Dijagonale konveksnog četverougla su a i b.Duži čiji su krajevi središta suprotnih stranica četverougla su jednake.Odrediti površinu četverougla. 2.95.Od kvadrata stranice a odrezani su vrhovi tako da se dobio pravilni osmougao. Kolika je površina ovog osmougla? 2.96.* U krug radijusa R upisan je kvadrat i jednakostranični trougao koji imaju zajednički vrh.Izračunati površinu zajedničkog dijela kvadrata i trougla. 2.97.* Na stranici AB trougla ABC uzeta je tačka M tako d aje A M =3 MB , a na stranici AC tačka N tako da vrijedi 2 A N = NC .Površina trougla je m. Izračunati površinu četverougla MBCN. 2.98.* Stranice paralelograma su a i b, a njima zahvaćeni ugao je a. Bisektrise uglova ovog paralelograma grade četverougao.Izračunati površinu tog četverougla. 2.99* U paralelogramu se nalaze dva kruga radijusa r=l cm koji se međusobno dodiruju i svaki dodiruje tri stranice paralelograma.Poznato je daje rastojanje jednog vrha paralelograma od tačke dodira sa kružnicom VŠ cm. Izračunati površinu paralelograma. 2.100. Odrediti površinu kruga ako je dužina kružnice (obim) jednaka 8 m. 2.101. Odrediti dužinu kružnice (obim) ako je površina odgovarajućeg kruga jednaka 1671 m2. 2.102. Odrediti površinu kružnog isječka radijusa R čiji je luk 67°30'. 2.103. Koliki je radijus kružnog isječka ako je njegova površina P i centralni ugao 72°? 2.104.Izračunati površinu kružnog odsječka ako je njegov radijus R i luk od 60°. 2.105. U kružni odsječak čiji je luk 120° i visina h, upisan je pravougaonik ABCD, tako da vrijedi AB:BC=1:4 , pri čemu se tačke B i C nalaze na tetivi. Izračunati površinu pravougaonika. 2.106. Stranice trougla su 13 cm, 14 cm i 15 cm.Odrediti površinu kruga upisanog u ovaj trougao i površinu kruga opisanog oko njega. 2.107. Kako se odnose površina opisanog i upisanog kruga u jednakostranični trougao? 2.108.* Svaki vrh pravilnog šestougla stranice a je središte kružnice radijusa ,¡2 - y - . Izračunati dio površine šestougla koji je izvan kružnica. 2.109.* Oko trapeza opisana je kružnica.Osnovica trapeza obrazuje sa krakom ugao a, a sa dijagonalom ugao B.Odrediti odnos površina kruga i trapeza. 2.110. U kružnicu je upisan kvadrat stranice a.Kolika je stranica kvadrata koji je upisan ujedan od nastalih kružnih odsječaka? 2.11 l..*Izračunati površinu kruga koji je upisan u kružni isječak površine 6n cm2 sa centralnim uglom 60°. 46

2.112.* U jednakostranični trougao stranice a upisan je krug.Drugi krug čiji je radijus jednak polovini stranice trougla opisan je oko jednog vrha. Odrediti odnos površina presjeka krugova i trougla. 2.113.* Nad stranicom a jednakostraničnog trougla kao nad prečnikom, konstruisanaje kružnica. Odrediti površinu onog dijela trougla koji je izvan kružnice. 2.114. Stranica jednakostraničnog trougla je a.Oko njegovog težišta je opisana kružnica radijusa

.Odrediti površinu onog dijela trougla koji

leži izvan kruga.

47

III

ANALITIČKA GEOMETRIJA U RAVNI (tačka i prava) NEKE OSNOVNE FORMULE : TAČKA I PRAVA

Rastojanje d između tačaka A(xi,yi) i B(x2,y2): A B = d = ^(x, —.X,) + (y2

Podjela duži A(xi,yO i B(x2,y2) tačkom M(x,y) tako da vrijedi A M : M B = X xi+Xx2 yi+Xy2

x

i+ x

’

y

\+X

Koordinate sredine S(x,y) duži A(xi,yi), B(x2,y2): xi+x2 x=-

yi+y2

Površina trougla P ako su poznate koordinate vrhova A(xi,yi), B(x2,y2) i C(x3,y3) 2P = Ix 1(y2-y3)+x2(y3-yi)+x3(yry2) I . __________________ JE D N A Č IN A PRAVE: IMPLICITINI (OPĆI) OBLIK: Ax+By+C=0 , A,B,C - realni brojevi EKSPLICITNI (GLAVNI) OBLIK: y=kx+n , k=tga-koeficijent pravca prave, n-odsječak koji prava gradi na y-osi s. y y i1 / / p (n X 0 m ya^) _ / tT o n / SEGMENTNI OBLIK : — + — = 1 , m-odsječak koji prava gradi na x-osi m n n-odsječak koji prava gradi na y-osi NORMALNI (HESSEOV) OBLIK: x-coscp+y sin ----------- = ---------- => X - 4X' - 3 = 0 . 1+A, 1+X,' 1+A, 1+X,’ yA+Xyc

yB+^'yD

12-4A. -4+8A.' => --------- = ---------- => r - 3 U ’ + 4 = 0 . \+X \+X'

\+X \+X' Rješavanjem sistema X - 4X' - 3 = 0 X - 3XX'+4 = 0

50

dobijamo A.- ^ . Znači dijagonala AC dijeli dijagonalu BD,računajući od tačke B,u odnosu 1:3. Predstavi u koordinatnom sistemu date tačke: 3.5..a)A (2,0),B(-5,0),C (0,3),D (0,-4) b) A(l,5), B(5,-2),C(3,-3). 3.6..a) A(-5,3), B(-2,-l), C(-2,6), D (-l,-l)

b) A(3,-5), B(5, V2 ),F(-V 2 ,3)

Odredi koordinate tačaka koje su simetrične,s obzirom na y-osu, datim tačkama: A(4,5), B(3,5), C(7,0) i D(4,8) b) A(-2,5), B(-3,l),C(-7,4). 3.8. a) A(0,5), B(5,0), C(3,3) i D(-4,-4) b) A(0,0), B(2,1), C(-7,-7). Koje tačke su simetrične datim tačkama u odnosu na x-osu: 1 A(5,-2), B(-3,7), C (2,l) i D(-l 1,21) ? b) A(5,0), B(3,17), C(-22,14)? 3.10. a) A(0,2), B (3,4), C(22,-l) i D (-l,l) ? b) A(0,0), B (7 ,l), C(-2,-4)? Odrediti dužinu duži čiji su krajevi date tačke: 3.11. a) A(-3,2), B(5,-4) b) A(-5,-2), B(7,3) 3.12. a) A (6,0), B(0,8) b) A (0,-4), B(3,0) 3.13. a) A (-l,-2 ), B(-4,-6) b) A( V Š, 11), B(0,4)

c) A (l,2 ), B(4,6) c) A(-20,0), B(0,21) c) A(-VŠ ,-2), B(0,6)

Odrediti dužine stranica trougla čiji su vrhovi date tačke: 3 j i ? a ) A(-3,0), B(0,4) i C(0,0). b) A(-6,0), B(3,4) i C(-l,-3). a) A(-3,3), B(6,15) i C(0,7) $)) A(2,l), B(5,-4) i C(l,-6). 3.16.Kolike su dijagonale četverougla sa vrhovima : A(-5,-7), B(9,-4), C( 15,14) i D(l,2)? ("$ Jj^fzračunati obim trougla čiji su vrhovi A(-4,-3), B(8,2) i C(5,6). 3.18.Susjedni vrhovi kvadrata su A(3,-7) i B(-1,4).Kolika je površina kvadrata? 3.19.Suprotni vrhovi kvadrata su M(3,5) i N(l,-3).Odrediti površinu kvadrata. 3.20.Stranica romba je a=5 - J l , a dva njegova suprotna vrha su A(4,9) i C(-2,l). Izračunati površinu romba. 3.21.Dva vrha jednakostraničnog trougla su A(-3,2) i B(l,6).Odrediti površinu trougla. 3.22.Dokazati da su tačke A(2,2),B(-l,6),C(-5,3) i D(-2,-l) vrhovi kvadrata. 3.23.Vrhovi trougla su A(5,0),B(0,1) i C(3,3).Odrediti uglove trougla. 3.24.Vrhovi trougla su A(-VŠ ,1),B(0,2) i C(-2 VŠ ,2).Odrediti ugao a. 3.25).a) Na x-osi naći tačku koja je udaljena od tačke A(2,-3) za 5 jedinica. -b) Na y-osi naći tačku koja je udaljena od tačke B(3, 5) za yf\3 jedinica. V3.26J Koja tačka x-ose je jednako udaljena od tačaka M(7,-4) i N(l,-2)? 51

3.27. Vrhovi trougla su A(-3,-2),B(0,-8) i C(5,y).Odrediti koordinatu y pod uslovom d aje trougao pravougli sa pravim uglom u vrhu A. 3.28,Odrediti središte pravilnog šestougla čija su dva susjedna vrha A(2,0) i B(5,3VŠ). 3.29.Tačke A(8,-3) i C(10,l 1) su suprotni vrhovi romba.Dužina stranice romba je A B = 10.Odrediti koordinate vrhova B i D. 3.30.Odrediti koordinate tačke M(x,y) koja je jednako udaljena od tačaka A(-l,-3), B(-4,6), C(3,-l) i naći to rastojanje. 3.31.Izračunati radijus i koordinate središta kružnice koja prolazi tačkom M (2,-l) i dodiruje obje koordinatne ose. Odrediti koordinate sredine duži duži čiji su krajevi: 3.32.» A(-l,-2), B(5,4) b) A(8, 5), B( 12,-3) c) A(-7,-6), B(l,10) 3.33.a) M(21,-14),N(11,6) b) A(-8, 3), B(2,-3) c) A(9,3), B(11,-5) 3.34. Odrediti koordinate središta stranica trougla čiji su vrhovi: a)A (4,l), B(2,3) i C(6,9). b) A(-l,5), B(3,7) iC (ll,-1 5 ). 3.35.Tačke A'(2,-1),B'(-1,4) i C'(-2,-2) su središta stranica AABC. Odrediti ...__koordinate vrhova . 3.36.Vrhovi trougla su A(-3,0), B(3,8) i C(13,-8).Odrediti dužine njegovih srednjih duži. 3.37.Vrhovi trougla su A(l,4), B(3,-9) i C(-5,2).Kolika je dužina težišnice tb? 3.38:lzračunati dužine svih težišnica trougla čiji su vrhovi: apA(5,0), B(-3,4) i C(l,10). b)A (l,6), B(3,-2) i C(-5,8). 3.39.Tačka S je središte duži AB.Odrediti koordinate nepoznate tačke ako je poznato: a) A(4,2), S(3,l) b) B(8,-5), S(6,-2) c) A (-3,-7), S(-4,3) 3.40.Date su tačke A(3,-l) i B(2,l).Odrediti koordinate tačke M koja je simetrična tački A u odnosu na tačku B. 3.41 .Odrediti koordinate tačke P koja je simetrična tački B u odnosu na tačku A. (Tačke A i B su iz prethodnog zadatka.) 3,4Ž.Tri vrha paralelograma su A(4,2),B(5,7) i C(-3,4).Odrediti koordinate vrha D koji je nasuprot vrhu B. 3.43.Tri vrha paralelograma su A(2,3),B(4,-1),C(0,5).Odrediti koordinate njegovog četvrtog vrha. Date su tačke A i B,odrediti koordinate tačke M koja datu duž dijeli u omjeru X: 3.44.a) A (-l,5 ), B(8,-10), X=AM : M B =2 b) A(4,2), B(-l,3), A M : MB=1:3 3.45.a) A (6,-2), B(-3,5), A.= AM :M B = 5 b) A(5,-6),B(-2,10),X= A M : M B=2:3 346.a)A(-3,-2),B(9,10)A= AM : M B=5:7 b)K(3,-2),B(9,8)A= A M : M B = 6:5. 52

3.47.*Vrhovi trougla su A(xi,yi), B(x2,y2 ), C(x3,y3).Odrediti koordinate njegovog težišta T(xT,yi). Odrediti koordinate težišta trougla ako su poznate koordinate njegovih vrhova: 3.48.a) A(2,-l), B(-3,7), C(13,3) b) A(-l,2), B(9,4), C(7,12) 3.49.a) A( 1,1), B(-9,9), C(-l,2) b) A(3,5), B(2,7), C(12,-3) 3.50.a)A (3,l),B (l,4),C (8,10) b) A(0,1), B(l,2), C(2,3) 3.51.Vrhovi trougla su A(5,-l),B(-3,0),C(7,13).Koliko je rastojanje težišta trougla od koordinatnog početka? 3.52.Dva vrha trougla su A(8,-6) i B(6,9),a težište je T(4,2).Naći dužinu stranice BC. 3.53,Odrediti koordinate tačaka koje duž čiji su krajevi A( 1,-3) i B(4,3),dijele na ^ tri jednaka dijela. 3.54'.Vrhovi trougla su A(2,-5),B(l,-2) i C(4,7).Odrediti koordinate tačke presjeka simetrale ugla iz vrha B i stranice AC. 3.55.Vrhovi trougla su A(3,-5),B(-3,3) i C(-l,-2).Odrediti dužinu simetrale ugla iz vrha A. 3.56)Vrhovi trougla su A(3,-5),B(l,-3) i C(2,-2).Odrediti dužinu simetrale njegovog vanjskog ugla iz vrha B. 3.57.Date su tri kolineame tačke A(l,-1), B(3,3) i C(4,5).Odrediti odnos u kome svaka od njih dijeli duž određenu drugim dvjema tačkama. 3.58.Na pravoj određenoj tačkama A(2,-3) i B(-6,5) pronaći tačku koja ima ordinatu jednaku -5. 3.59.Dati su vrhovi četverougla A(-2,14),B(4,-2),C(6,-2) i D(6,10). Odrediti tačku presjeka njegovih dijagonala AC i BD. Izračunati površinu trougla (trokuta) čiji su vrhovi: 3.60.a) A(-1Q,14), B(6,-10), C(2,-6) b) A(3,4), B(2,-3), C (-2,3). 3.61.a) A(-2,1), B(2,-2) i C(8,6) b) A(-3,2), B(-l,3), C (5,-4). 3.62.Vrhovi trougla su A(-2,5), B(3,5) i C(-3,-3).Izračunati površinu i visinu ha. 3.63.Vrhovi trougla su A(-3,5), B(5,11) i C(9,0).Izračunati visine ha, hb, hc. 3.64.Tačke A(-4,-2),B(2,4) i C(-3,y) su vrhovi trougla.Odrediti koordinatu y tako da površina trougla bude 21. 3.65.Kolika je površina četverougla čiji su vrhovi: A(3,-l), B(6,5), C(-3,6) i D(-2,-3)? 3.66. Izračunati površinu petougla čiji su vrhovi A(-2,0), B(0,-1), C(2,0), D(3,2) i E (-l,3). 3.67,Odrediti pvršinu paralelograma čija su tri vrha A(-2,3),B(4,-5) i C(-3,l). 3.68.Tri vrha paralelograma su tačke A(3,7),B(2,-3) i C(-l,4).Odrediti dužinu njegove visine spuštene iz vrha B na stranicu AC. 3.69.Da li su tačke A(3,-1),B(-1,1) i C(-9,5) vrhovi nekog trougla? 3.70.Pokaži da tačke A(3,-5),B(-2,-7) i C(18,l) pripadaju istoj pravoj. 53

3.71.Nađi nepoznatu koordinatu tačke pod uslovom da sve tri tačke leže na istoj pravoj: A (l,2), B(5,4), C (ll,y). 3.72.Prava određena tačkama A (4,l) i B(-2,4) siječe x-osu u tački M.Odrediti koordinate tačke M. 3.73.Prava određena tačkama A(5,2) i B(-5,7) siječe y-osu u tački N.Odrediti koordinate tačke N. 3.74.Zadane su tačke A(2,1),B(-1>3) i C(l,4).Odrediti koordinate ovih tačaka u koordinatnom sistemu koji nastaje translacijom datog tako da mu se početak nađe u tački C. 3.75.Translacijom za vektor 0 0 ' koordinatni sistem xOy je prešao u koordinatni sistem x'0'y' pri čemu tačka O' ima koordinate 0'(3,-4). U novom koordinatnom sistemu koordinate tačaka A,B i C su: A(l,3),B(-3,0) i C(-l,4).0drediti koordinate istih tačaka u starom koordinatnom sistemu. 3.76.Date su tačke A(2,1),B(-1,3) i C(-2,5).Odrediti koordinate ovih tačaka u koordinatnom sistemu koji nastaje translacijom datog tako da mu se početak nađe u datoj tački i to: a) tački A b) tački B c) tački C . 3.77.* U koordinatnom sistemu xOy zadane su koordinate tačaka A(3,l ),B(-1,5) i C(-3,-l). Nađi koordinate ovih tačaka u sistemu x'Oy' koji nastaje rotacijom sistema xOy za ugao a = - 45°. 3.78.* Odrediti koordinate tačaka A(2,-3), B(-l,5) i C(x,y) u novom koordinatnom sistemu koji nastaje rotacijom posmatranog koordinatnog sistema oko njegovog početka : a) za ugao +90° b) za ugao -90° c) za ugao 180° 3.79.*Koordinatni sistem rotira oko svog početka za ugao 60°.Koordinate tačaka A(2 V3 ,-4), B( V3 ,0) i C(0,-2 -JŠ ) su u novom koordinatnom sistemu. Odrediti koordinate ovih tačaka u starom koordinatnom sistemu. 3.80.*Koordinate skupa tačaka zadovoljavaju jednačinu x2+y2+2x-10y+22=0. Kako izgleda jednačina ovog skupa tačaka u drugom koordinatnom sistemu koji ima koordinatni početak u tački 0'(-l,5), a koordinatne ose su mu jednako usmjerene kao ose datog sistema? P R A V A 3.81.Nekaje data jednačina prave 2x + 3y - 6 = O.Napisati ovu jednačinu u eksplicitnom obliku.Odrediti koeficijent pravca prave i segment na y-osi. 2 Rješenje: 3y = -2x + 6 => y = - — x + 2. 2

Koeficijent pravca prave je k= - —, a segment na y-osi je n=2. 3.82. Odrediti segmente koje prava x-4y+l=0 odsijeca na koordinatnim osama. 54

Rješenje: Dovedimo jednačinu prave x-4y+l=0 na segmentni oblik. Prebacivanjem broja 1 sa lijeve na desnu stranu dobijamo x-4y=-l. Dijeljenjem X

V

dobijene jednačine sa -1 dolazimo do segmentnog oblika jednačine, —- + y = 1, 4

odakle čitamo segmente: m = -1, n = - i . 3.83.Neka je rastojanje koordinatnog početka O od prave a d0=3 i neka normala na pravu sa x-osom gradi ugao 60°.Napisati jednačinu prave a. Rješenje: Jednačina prave a, u normalnom obliku, je 1 x cos60° + ysin60° - 3 = 0 , odnosno, — x + — y - 3 = 0. Množenjem dobijene jednačine sa 2 ona prelazi iz normalnog u implicitni oblik x + VŠ y - 6 = 0 . 3.84. Pravu čija je jednačina 3x-4y-15=0 dovesti na normalni oblik. 3x _ 4 y _ 1 5

Rješenje: Data jednačina se može napisati u obliku —^

— = 0, odnosno u

3 4 . obliku, —- x - —-_y-3 = 0 , što je normalni oblik jednačine prave dobijen iz datog implicitnog oblika. 3.85.Odrediti ugao između pravih x-3y+6=0 i 2x-y-3=0 uzetih upravo ovim redom. Rješenje: Dovođenjem jednačina na eksplicitni oblik: y = - jx + 2, y=2x-3, određujemo koeficijente pravca kj= — i k2=2 i zamjenjujući ih u formulu za tangens ugla između dvije prave dobija se: t

2 -1 ž 1 , ____ 3_ = _ J _ = 2 =1 1+2!

i+ l 1 • 3 3 3 pa iz tg a= l zaključujemo d aje a=45°. 3.86.U jednačinama 3px-8y+13=0 i (p+l)x-2py-21=0 odrediti vrijednost parametra p tako da prave budu paralelne. Rješenje: Da bi prave bile paralelne njihovi koeficijenti pravca moraju biti jednaki,pa mora vrijediti:

55

3 jj j) _j_i 2 _ £ = £...... ; odnosno, 3p-2p = 8(p+l), odakle se dobija p=2 i p = — . 8

2p

3

3.87.Za koju vrijednost parametra m su prave 6x-y=13,2x+3my+8=0 normalne? 2

Rješenje:Kako je koeficijent prve prave ^ = 6 ,a koeficijent druge k2= -----,da bi 3m

2

prave bile normalne,mora biti: kjk2 = -1 = > ------ 6 = - l , odnosno, m = 4. 3m

3.88.Odrediti jednačinu one prave pramena 3x-2y-l+A.(4x-5y+8)=0 koja prolazi sredinom duži na pravoj x+2y+4=0, koju na njoj isijecaju prave 2x+3y+5=0 i x+7y-l=0. Rješenje: Odredimo,prvo,presječne tačke pravih 2x+3y+5=0 i x+7y-l=0 sa pravom x+2y+4=0.Zato riješimo sisteme x+2y+4=0 x+2y+4=0 2x+3y+5=0 x+7y-l=0 Rješenje prvog sistema je (2,-3), a drugog (-6,1). Središte duži ima koordinate S(-2,-l). Uvrštavanjem koordinata središta u jednačinu pramena dobijamo vrijednost parametra X: -6 + 2-1 + A.(-8 + 5 +8) = 0 => X=l. Dobijenu vrijednost za X uvrštavamo u jednačinu pramena i dolazimo do jednačine tražene prave: x - y + 1 =0. 3.89,Odrediti projekciju tačke M(-6,4) na pravu 4x-5y+3=0. Rješenje: Odredićemo pravu koja prolazi tačkom M i normalna je na datu pravu,a zatim ćemo naći presjek ovih dviju pravih.Presječna tačka M ’ će biti upravo tražena projekcija tačke M. 4

5

Koeficijent date prave je k i= — ,a normale kroz M na datu pravu k2= - — pa je jednačina normale

5 y - 4 = - — (x + 6 ),

odnosno,

^=

5

7

Zamjenom ove vrijednosti za y u datu jednačinu dobijamo: 4 x -5 (- —x - —) + 3 = 0 => 41x + 82 = 0 => x = -2 , 4 2 pa je y = -l.Tako smo dobili tačku M '(-2,-l) koja je projekcija tačke M na datu pravu. 3.90.Zadani su vrhovi trougla A(3,2), B(5,-2), C(1,0). Naći jednačine njegovih stranica i visina. 56

Rješenje: Odredimo,prvo,jednačinu stranice AB.Uvrštavanjem koordinata tačaka u jednačinu prave kroz dvije tačke (xi,yi) i (x2,y2 ), dobijamo: y - y , = yi - y i ( x - x , ) => y - 2= ———(x -3 ) => y - 2 = -2(x-3) 5 -3 X- , - x . => 2x + y - 8 = 0 . Dakle, stranica AB ima jednačinu: 2x + y - 8 = 0 . Na analogan način određujemo jednačine preostalih stranica i dobijamo: A C:x-y-l=0 i B C :x + 2 y - l = 0 . Pronađimo,sada,jednačinu visine ha.Tražena prava prolazi tačkom A(3,2) i normalna je na pravu BC.Koristeći uslov normalnosti dviju pravih i jednačinu prave kroz jednu tačku dobijamo: ha : y - 2 = 2(x - 3) , odnosno , ha : 2x - y - 4 = 0 . Slično se dolazi do jednačina visina: hb : x + y - 3 = 0 , hc : x - 2 y - l = 0 . 3.91.Kolika je udaljenost tačke A(6,3) od prave 5x+12y-l = 0 ? Rješenje:Neposrednim uvrštavanjem koordinata tačke A u formulu za udaljenost tačke od prave dobijamo: d = axl +byx +c

5-6 + 12-3-1

65 = 5. 13

V52 +122 ±-Ja2 +b2 3.92.Kolika je visina ha trougla čije su stranice date svojim jednačinama: AB: 3x-4y-3=0 ; AC: 5x+12y+2=0 i BC: 3x+4y+390=0 ? Rješenje: Visina hajednaka je udaljenosti tačke A od prave BC.Odredimo koordinate tačke A rješavajući slijedeći sistem jednačina: AC: 5x+12y+2 = 0 AB: 3x - 4y-3 = 0 . 1 3 Rješenje sistema je što su koordinate tačke A.Udaljenost tačke A od prave BC jednaka je visini ha: axj + byx + c + 4 a 1 +b2

3— 1-42 - V i +4

+39(

3 3 ---+ 3 9 0 2 2 -5

390, 78. 5

3.93.Odrediti jednačine simetrala uglova koji su određeni datim dvjema pravim: 25x-8y+40=0 i 17x+20y-68=0. Rješenje:Jednačine simetrala uglova između dviju pravih aix+biy+ci=0 i a2 X+b2y+c2= 0 imaju oblik: axx + h y + c, , a2x + b2y + c2 v , ... , v ■ , , •• •= + . pa se u našem konkretnom slučaju dobija: 2 +b, 2 ±yja2 + b 2 57

25x-8y + 40_17x + 20y —68 -V 625+64

25x-8y + 40 _ + 17x + 20_y-68

~ >/289+400

-V -( 25x-8y+40 ) = ± ( 17x+20y-68 ). Ako uzmemo znak "+" dobićemo jednačinu jedne simetrale -(25x-8y+40) = 17x+20y-68 O 42x+12y-28=0 O 21x + 6 y - 1 4 = 0. Drugu simetralu dobijamo uzimanjem znaka na desnoj strani: ( 25x-8y+40 ) = - ( 17x+20y-68 ) « 25x-8y+40 = 17x+20y-68 O 8x-28y+108=0 O 2 x - 7 y + 27 = 0. 3.94.Koje od tačaka A(-l,3), B(4,-l), C(2,-2), D(-l,9) pripadaju,a koje ne pripadaju pravoj 2x+y-7=0. 3.95.Tačke A, B i C pripadaju pravoj x-3y+2=0 i redom imaju ordinate 1, 2, -1. Kolike su apscise ovih tačaka? 3.96.Tačke A, B i C pripadaju pravoj 5x-2y+10=0 i imaju redom,apscise 0, -2 i 4. Odrediti ordinate ovih tačaka. U kojim tačkama data prava siječe koordinatne ose? 3.97.a) 2x-3y+12=0 b) x+8y+16=0 c) 12x-16y-l=0 ? Napiši jednačinu prave ako se zna njen koeficijent pravca k i odsječak n na yosi: 3.98.a) k = 2 , n =-3

b )k = - - j , n = 5

c) k=0, n=3 .

3.99. a )k = -5, n = -3

4 b)k= -,n= 10

c )k = 2 2 ,n = ll

Dovesti na eksplicitni oblik jednačinu prave: 3.100.a))2x-y-6=0 b)8x+2y-17=0 c) 13x+2y=0 3.101. a) 12x+y-3 33=0 b)-6x-l ly+22=0 , c) y + l = 0 . Odrediti koeficijent pravca i odsječak na y-osi prave: 3.102;a) 4x-y+l 1=0 b) 3x+2y-6=0 c) 2x+7y=0 3 . i03 .a) -x+2y+31=0 b)-6x-2y+12=0 c) y+8=0 3 .104.Napiši jednačinu prave ako su poznati odsječci m i n koje odsijeca na koordinatnim osama: a) m=3,n=4 b) m= -2, n=5 c) m= -l,n= -1 3.105.a) m= -2, n= -11 b)m=10, n = -20 c)m=-ll,n=2 . Jednačine datih pravih napisati u segmentnom obliku: 3.106.a) 3x+y+5=0 b)3x+4y-12=0 c) 8x-6y+24=0 3.107.a) -x+y-2=0 b)-2x+4y-15=0 c)4x-lly+2= 0 Napiši koeficijent pravca k i odsječke m i n prave,zadane jednačinom: 3.108.a) 2x+3y+12=0 b) y+2x=12 c)x-y+3=0 3.109.a) 8x+3y+l=0 b) 2y+x=2 c) 5x+y+l=0 Odredi ugao koji data prava zaklapa sa pozitivnim smijerom x-ose: 58

3.110.a) x-y-11 =0

b) x+y+22=0

c) x- S

y+98=0

U) U>¡ U)

3.111 .a) x V3 +y+65=0 b) x+ V3 y+5=0 c) 2x-y+1999=0 Kolika je površina trougla koji zatvara data prava s koordinatnim osama: .112.a) 3x-4y-12=0 b) 6x+8y-24=0 c) 3x+7y-21=0 ? .113.U jednačini 2x+my-m-4=0 nađi m tako da prava prolazi tačkom A(-l,3). .114.Pokazati da se tačke A(-2,-3) i B(l,-2) nalaze sa iste strane prave 2x-3y+6=0. U kojim tačkama data prava presijeca koordinatne ose: 3.115.a) 2x-3y-12=0 b) -5x+2y-33=0 c) 22x+l ly-10 = 0 ? 3.116.Stranice trougla ABC date su svojim jednačinama AB: 4x+3y-5=0, BC: x-3y+10=0, CA: x-2=0. Odrediti koordinate vrhova trougla. Odredi koja od slijedećih jednačina prave predstavlja normalni oblik:

3.117.a) x+l=0

b)3x+4y=l

c) j x + - j y - 5 =0

3.118.a) —x - —y+16=0 b) —x- —y+2=0 c) — x+ — y-2=0. 5 53 5 53 13 13 Dovedi na normalni oblik jednačine datih pravih: 3.1 19.a) 3x-4y+11 =0 ,b) 5x+12y-2=0 c) 6x+8y-21=0 3.120 .a) 4x+11 y-2=0 3.12 l.a) y=2x-1

b) x+2=0 b) y=6x+12 b) —+ —=1 7 5

c) 2x-y- VŠ =0 c) y= -x+8 2x 3y c) — + — =1 3 8

3.123.D ataje jednačina prave: a) x-y+2=0 b) x + y -J3 +2=0 c) x V3 + y - 6=0. Odrediti ugao koji zaklapa normala date prave sa x-osom i udaljenost koordinatnog početka od prave. 3.124.Utvrditi da li koordinatni početak i data tačka leže sa iste ili sa raznih strana date prave: a) M (l,-3), 2x-4y-l=0 b) A(2,3), 3x+y+l 1=0 c) B(-3,-l), x+y+5=0 Nađi rastojanje date tačke od date prave: 3.125 .a) (1,2) , x-y-4=0 b) (3,0) , 3x+4y-11 =0 3.126.a) (-1,1), 5x+12y-l=0 b) (2,-1) ,3x-4y+1=0

c) (-2,4), 6x-8y+9=0 c) (4,1),-6x-8y+5=0

3.127. Jedan vrh kvadrata je A(2,5), a stranica kvadrata je na pravoj , 2x+4y-5=0.Kolika je površina kvadrata. 3.128.Jednačine dviju stranica pravougaonika su 3x-2y-5=0 i 2x+3y+7=0 , a jedan njegov vrh je A(-2,1).Izračunati površinu pravougaonika. 59

3.129.Dokazati da prava 2x+y+3=0 siječe duž čiji su krajevi A (-5,l) i B(3,7). 3.130.Dokazati da prava 2x-3y+6=0 ne presijeca duž čiji su krajevi A(-2,-3) i B(l,-2). 3.131.Odrediti međusobno rastojanje paralelnih pravih 3x-4y+4=0 i 3x-4y-l=0. Izračunati rastojanje između dviju datih paralelnih pravih: 3.132.a)5x-12y+26=0 i 5x-12y-13=0 0>)> 4x-3y+15=0 i 8x-6y+25 =0 . 3.133.a) x-y+6=0 i x-y-17=0 b) 2x+3y+4=0 i 4x+6y+44 =0 . 3.134.Dvije stranice kvadrata su na paralelnim pravim: 5x-12y-65=0 i 5x-12y+26=0. Izračunati površinu kvadrata. Izračunati veličinu oštrog ugla između pravih: 3.133.a)' x-3y-6=0 , 2x-y+1=0 b) y= -3x-5, y=2x-2 3.136.a) 3x-2y+7=0 i 2x+3y-3=0 b) x-2y-4=0 i 2x-4y+3=0 . 3 .T37.a) x+4=0 i y+2=0 b ) x V 2 - y V Š + 15=0 i (3+V2 )x+(S )y+l 1=0 3.138.Koliki koeficijent pravca ima svaka prava koja je paralelna sa pravom 2x-3y-4=0 ? 3.139.0dredi koeficijent pravca prave koja je paralelna s pravom (a+3)x+(2-a)y+5a-l=0, (a^-3,a^2) ? 3.140.Dataje prava 2x-3y+3=0.Koliki je koeficijent pravca svake prave kojaje: a) paralelna sa datom pravom b) okomita na datu pravu? 3.141.Koliki koeficijent pravca ima svaka prava kojaje normalna na datu pravu: a) 5x+7y-10=0 b) 1lx+2y-33=0 ? Napiši jednačinu prave koja prolazi datom tačkom,a sa x-osom zatvara ugao a: 3.142.a) A(4,-3), a=135° h) A(-l,5), a=45° c)>B(-2,7), a=60°. 3.143.a) A(4,0), a=30° b) M(3,-5), a=0° c) B( 1,-4), a= 120°. 3.144.a) M(5,-2), a=150° b) N(4,2), a=90° c) B(2,l 1), a=20°. Napisati jednačinu prave koja prolazi datom tačkom,a paralelna je sa datom pravom: 3.145.a) M(-l,3), 7x-y+44=0 b) A(2,-3), 2x-y-12=0 c) B(8,-l),4x-2y+37=0 3.146.a) M (2,l) , 2x+3y+4=0 b) M (5,-6), x+3y+5=0 c>M (-7,l), x+9y+8=0 Napisati jednačinu prave koja prolazi datom tačkom i normalna je na datu pravu: 3.147.a) B(3,l), 3x+6y-l 1=0 b) B(2,-l), 4x-8y-9=0 c)B(-5,3),8x-y+999=0 3,148Ca):B(-6,2), -3x+y-8=0 b) B(0,-8), 44x-4y+11 =0 c) B(2,-3),7x-y+23=0 3.149.Date su jeđnačine dviju stranica pravougaonika x-2y=0, x-2y+15=0 i jednačina jedne njegove dijagonale 7x+y-15=O.Odrediti koordinate vrhova pravougaonika. Odrediti projekciju date tačke na datu pravu: 3.150.a)'P(-6,4), 4x-5y+3=0 b) P(3,-4), 2x+y-l=0 c) P(1,0), x-2y+2=0 3.151 .a) P(2,0), 5x-2y+l =0 b) P(-3,l), -x+y+4=0 c) P(l,-1), -x-5y+7=0 60

3.152.Koja tačka je simetrična tački A(-5,13) u odnosu na pravu 2x-3y-3=0? 3.153.Date su jednačine stranica trougla: AB:3x-y-7=0, AC: 7x+3y-l 1=0 i BC: x+5y-29=0. Odrediti: a) jednačine visina ha i hb . b) koordinate podnožja visine hc. _ Izračunati koeficijent pravca prave koja prolazi dvjema datim tačkama: 3.154.a) A(-3,l), B(7,8) b) M(5,-3), N (-l,6) (§)D (2,-5), E(-l,-4) 3.155.a) A(3,0), B(-4,2) b) M(-4,-2), N(-3,-3) c) D(-2,5), E(7,4) Napisati jednačinu prave koja prolazi datim dvjema tačkama: 3.156.a) A(4,2),B(-2,5) b) M(l,5),N(3,-2) c) C(3,4),D(-l,-5) 3.157.a) A(-3,l), B(l,8) b) M(-5,3), N (l,-6) c) D(-2,5), E(-4,-2) 3.158.Središta stranica trougla su A'(2,1),B'(5,3) i C'(3,-4).Odrediti jednačine stranica trougla. 3.159^Vrhovi trougla su A(2,1),B(-1,-1) >C(3,2).Odrediti jednačine njegovih visina. 3.160)Vrhovi trougla su A(4,l),B(-2,0),C(-l,-4). Odrediti: a) jednačinu stranice a b) jednačinu visine ha. c) jednačine visina hb i hc. 3.161.Dati su vrhovi trougla A(3,2),B(5,2) i C( 1,0).Odrediti jednačine: a) stranica AB, AC i BC b) težišnica ta, tb, tc. 3.162.Vrhovi četverougla su A(-3,l), B(3,9), C(7,6) i D(-2,-6).Odrediti tačku presjeka njegovih dijagonala. 3.163.Dva susjedna vrha kvadrata su A(-3,-l) i B(2,2), a presječna tačka __njegovih dijagonala je 0 (3 ,0).0drediti jednačine stranica kvadrata. 3 J,64,Jednačine dviju stranica pravougaonika su 5x+2y-7=0 i 5x+2y-36=0, a jednačina jedne njegove dijagonale je 3x+7y-10=0.Odrediti jednačine drugih dviju stranica i druge dijagonale. 3.165.Odrediti projekciju tačke P(2,-12) na pravu određenu tačkama : A(-2,3) i B(4,-l). 3.166;Tačka A(-4,5) je vrh kvadrata čija dijagonala leži na pravoj 7x-y+8=0. ^ Odrediti jednačine stranica i druge dijagonale kvadrata. 3.167.Date su jednačine stranica trougla: 4x-y-7=0, x+3y-31=0 i x+5y-7=0. Odrediti koordinate ortocentra H trougla. 3.168.Data su dva vrha trougla A(1,0) i B(5,5) i njegov ortocentar H(4,l). Odrediti koordinate trećeg vrha trougla. Napiši jednačine simetrala uglova između datih pravih: 3.169.a) x-y-3=0, x-7y-7=0 b) 4x+3y-2=0 , 5x-12y+4=0. 3.170.a) 2x+y+l=0, xV2 -y V Š-2=0

b) 2x-3y-l=0 , 7x+y V3 -5= 0. 61

3.171.Vrhovi trougla su A(2,-2),B(3,-5) i C(5,7).Odrediti jednačinu normale povučene iz vrha C na simetralu unutrašnjeg ugla iz vrha A. 3.172.Vrhovi trougla su A(1,-1),B(-2,1) i C(3,5).Odrediti jednačinu normale povučene iz vrha A na težišnicu iz vrha B. 3.173.Kroz presječnu tačku pravih 3x+y+10=0 i 4x+5y+6=0 prolazi prava koja je od koordinatnog početka udaljena za 4,Odredi jednačinu te prave. 3.174.0drediti koordinate vrha pramena 2x+y+1=A.(x-4y+23). 3.175.Date sujednačine stranica trougla:x+2y-l=0, 5x+4y-17=0 i x-4y+l 1=0. Ne određujući koordinate vrhova trougla odrediti jednačine njegovih visina. 3.176.U pramenu 2x+y+l+2i(x-3y-10)=0 naći pravu koja na koordinatnim osama odsijeca jednake odsječke. 3.177.U pramenu x+y-4+A(y-2)=0 odredi: a) pravu koja prolazi tačkom A(l,-1), b) jednačinu one prave koja zatvara ugao 45° s pravom iz zadatka pod a). 3.178.Data je jednačina pramena 3x+2y-9+A(2x+5y+5)=O.Odrediti vrijednost parametra m tako da prava 4x-3y+m=0 pripada ovom pramenu. 3.179.Data je jednačina pramena 5x+3y-7+A(3x+10y+4)=0.Za koje vrijednost parametra m prava mx+5y+9=0 ne pripada ovom pramenu? 3.180.U pramenu 21 x+8y-18+/\.( 1lx+3y+12)=0 naći pravu koju sa koordinatnim uglovima gradi trougao površine 9. 3.181.U pramenu 2x+y+4+A(x-2y-3)=0 naći pravu koja je od tačke P(2,-3) udaljena za d= VlO . 3.182.Data su dva pramena pravih: 5x+3y-2+A(3x-y-4)=0 x-v+ i +/.(2x-y-2)=0 . Odrediti jednačinu zajedničke prave ovih pramenova.

3.183.Na pravoj 4x+3y-12=0 nađi tačku podjednako udaljenu od tačaka (-1,-2) i (1,4). 3.184.Prava y=kx+5 prolazi kroz presječnu tačku pravih 2x+3y-12=0 i 3x-y-7=0. Koliki ugao ona zatvara s pozitivnim smjerom ose y? 3.185.Kolika je površina slike što je zatvaraju prave x-2y+4=0 i x+y-8=0 s koordinatnim osama? 3.186.Vrhovi trougla su A(-3,2),B(-l,-2) i C(l,4).Na stranici BC naći tačku M koja je jednako udaljena od vrhova A i B. 3.187.Površinu trougla čiji su vrhovi A(2,5), B(-4,2), C(8,-3) izračunati na 4 načina: a) pomoću formule 2P= lxi(y2-y3) + x2(y3-y0 + x3(yr y2) |,

62

ah b) pomoću formule P = —

,

c) pomoću Heronove formule P = s{s - a \ s - b \ s - c) i d) pomoću trigonometrijske formule P=-^- absiny. 3.188.0dredi jednačinu prave čiji odsječak između datih pravih 2x-y-2=0 i x+y+3=0 ima središte u tački P(3,0). 3.189.Zadane su stranice trougla AB: x+21y-22=0, BC: 5x-12y+7=0, CA:4x-33y+146=0 Izračunati rastojanje težišta trougla od stranice BC. 3.190.Na pravoj 2x-y-5=0 nađi tačku P tako da suma njezinih rastojanja od tačaka A (-7 ,l)i B(-5,5) bude minimalna. 3.191.Zadani su vrhovi A(3,-l) i B(5,7) trougla ABC i ortocentar H(4,-l). Napisati jednačine stranica trougla. 3.192.Jednačine dviju stranica trougla su 5x-4y+15=0, 4x+y-9=0,a njegovo težište pada u tačku T(0,2).Nađi koordinate vrhova trougla i jednačinu treće stranice. 3.193.Svjetlosni zrak ide po pravoj x-2y+5=0 i odbija se od prave 3x-2y+7=0. Odrediti jednačinu prave po kojoj se kreće odbijeni zrak. 3.194.Zadane su jednačine težišnih linija trougla x-2y+l=0, y-l=0 i vrh A(l,3). Odrediti jednačine stranica i nepoznate vrhove. 3.195.Jedan vrh trougla je B(-4,-5), a jednačine dviju njegovih visina su 5x+3y-4=0 i 3x+8y+l 3=0.Odrediti jednačine stranica trougla i koordinate nepoznatih vrhova. 3.196.* Odrediti jednačine stranica trougla ako je dato: vrh B(2,6) i jednačine visine x-7y+15=0 i bisektrise 7x+y+5=0 koje su povučene iz istog vrha. 3.197.* Odrediti jednačine stranica trougla (trokuta) ako je dato: vrh B(2,-l) i jednačine visine 3x-4y+27=0 i bisektrise x+2y-5=0, koje su povučene iz raznih vrhova. 3.198.* Odrediti jednačine stranica trougla ako je dato: vrh C(4,-l), jednačina visine 2x-3y+12=0 i jednačina težišnice 2x+3y=0, koje odgovaraju istom vrhu. 3.199.* Odrediti jednačine stranica trougla ako je dato: vrh B(2,-7) i jednačine visine 3x+y+l 1=0 i težišnice x+2y+7=0, povučenih iz raznih vrhova. 3.200.* Odrediti jednačine stranica trougla u kome je poznato: vrh C(4,3), jednačine bisektrise x+2y-5=0 i težišnice 4x+13y -10=0 koje su povučene iz istog vrha. 3.201.* Napisati jednačine stranica trougla u kome je poznat vrh A(4,-l) i jednačine dviju bisektrisa uglova: x-l=0 i x-y-l=0. 63

ANALITIČKA GEOMETRIJA U RAVNI - konusni presjeci K R U Ž N I C A Definicija: Skup tačaka u ravni koje su jednako udaljene od jedne tačke S te ravni nazivamo kružnica.Tačka S nazivamo centar ili središte kružnice. Udaljenost ma koje tačke kružnice od njenog središta zovemo radijus ili poluprečnik._______________________________________________________ Ako središte kružnice ima koordinate S(p,q), a radijus kružnice ako je r, tada jednačina kružnice ima oblik: (x-p)2 + (y-q)2 = r2 . Ukoliko je središte kružnice u koordinatnom početku 0(0,0), jednačina kružnice je: x2 + y2 = r2 . P x Jednačina tangente u tački T(xi,yi) kružnice: (X) - p)(x - p) + (y, - q)(y - q) = r2 ili X)X + y,y = r2 , ako je T=0. Uvjet dodira prave y=kx+n i kružnice (x-p)2 + (y-q)2 = r2 je: r2( 1+k2)=(q-kp-n)2 , odnosno, ako je p=q=0: r2(l+ k 2)=n2._______ 3.202.Napisati jednačinu kružnice čiji je centar S(-2,5) i radijus r=3. Rješenje:Uvrštavanjem datih podataka neposredno u jednačinu kružnice dobijamo: (x+2)2 + (y-5)2 = 32 , odnosno , (x+2)2 + (y-5)2 = 9 , ili x2+ y2+ 4x -10y + 20 = 0. 3.203.Odrediti koordinate središta i radijus kružnice date jednačinom (x-l)2 + (y+4)2 = 25. Rješenje: Iz date jednačine neposredno čitamo da su koordinate centra kružnice p—1 i q= -4, a radijus r je -Jl5 . S(l,-4), r=5. 3.204.Odrediti koordinate centra i radijus kružnice čija je jednačina x2+y2-4x+6y+12=0. Rješenje: Datu jednačinu dovedimo na oblik (x-p)2+(y-q)2=r2 i pročitajmo tražene elemente. x2+y2-4x+6y+12=0 O x2-4x+4 + y2+6y+9-1 = 0 O (x-2)2 + (y+3)2 = 1. Sada neposredno čitamo d aje S(2,-3) i r = 1. 3.205.Odrediti jednačinu kružnice koja prolazi tačkama A(-l,2), B(9,0) i C(-3,-8). Rješenje: Kako svaka od date tri tačke pripada kružnici,to njihove koordinate zadovoljavaju jednačinu kružnice.Tako se dobija sistem od tri jednačine sa tri nepoznate: (-1 -p)2 + (2-q)2 = r2 64

(9-p)2 + (0-q)2 = r2 (-3-p)2 + (-8-q)2 = r2 , čije rješenje daje koordinate središta (p i q) i radijus r tražene kružnice. Kvadriranjem binoma u jednačinama sistema,dobijamo: p2-2p+l + q2 -4q+4 = r2 p2- 18p + 81 + q2 = r2 p2+6p+9 + q2+16q+64= r2 . Oduzimanjem druge jednačine od prve i od treće i sređivanjem dobija se: 4p - q = 19 3p + 2q = 1 p2 - 18p+81 + q 2 = r2 odakle se dolazi do traženih vrijednosti: p=3, q= -4, r= V52 . Konačnoj ednačina tražene kružnice je: (x-3)2 + (y+4)2 = 52 3.206.Prava 7x-17y+169=0 siječe kružnicu x2+y2=169 u dvije tačke.Kolika je dužina nastale tetive? Rješenje: Odredimo prvo presječne tačke prave i kružnice.Koordinate tih tačaka dobijamo rješavanjem slijedećeg sistema: \ly-\6 9

X=• 7jc—17_y-hl 69 = 0



169

X 1 + y 2

+ y 2 = 1 69 \ly-\69

289_y2 - 2 - 1 7 - 1 6 9 . y + 1 6 9 2 + 4 9 / = 1 6 9 - 4 9 x =

1 7 ^ -1 6 9





y 1=5, x j = -12 ; y 2=12, x 2=5.

y 2 - 1 7 ^ + 60 = 0 Presječne tačke imaju koordinate (-12,5) i (5,12), pa je dužina tetive d =V(5 + 12) 2 + ( l 2 - 5 ) 2 = a/338 = 13V2 . 3.207.U jednačini y=kx-4 odredi k tako da prava dodiruje kružnicu x2+y2=8. Odrediti koordinate dodirne tačke. Rješenje:Da bi prava y=kx+n dodirivala kružnicu x2+y2 = r2 mora biti ispunjen uvjet dodira prave i kružnice: r2( 1+k2)= n2 => 8(l+k2) = 16 => k2 = 2 -1 => k2 = 1 = > k = ± l.

65

Kako koeficijent k ima dvije vrijednosti,to postoje dvije prave (y=x-4 i y = -x-4), koje ispunjavaju postavljene uvjete. Koordinate dodirnih tačaka pravih odredićemo rješavanjem slijedećih sistema jednačina: y = ±x-4 y = ±x-4 y = ±x-4 x2+y2=8 x2+(±x-4)2=8 x2 +x2+ 8x+16-8=0 y = ±x-4 y, = -2, y,=2. x2 + 4x+4=0 xi = -2, x2=2. Dodirne tačke pravih sa kružnicom su: T(-2,-2) i T'(2,-2). 3.208.Napisati jednačinu tangente kružnice (x-5)2 + (y-5)2 = 5 koja je paralelna sa pravom x - 2y - 4 = 0. R ješenje: Koeficijent pravca date prave je k=-^- , a zbog uslova paralelnosti dviju pravih, to je i koeficijent pravca tražene tangente jednak ^ .Iz jednačine kružnice određujemo koordinate središta p=5,q=5 i radijus r= V5 , pa koristeći uslov dodira prave i kružnice možemo odrediti nepoznati segment n na y-osi. Uradimo to praktično: r (1+k ) = (q-kp-n)

5 1+ 1

5 -------n 2

=> n, = 5, n1 —0.

Tako smo dobili dvije prave koje zadovoljavaju uslove zadatka i to: y=^-x + 5

i

y=

x , odnosno, u implicitnom obliku,

x - 2y + 10 = 0 i x - 2y = 0 . 3.209.Odrediti tangentu kružnice x2+y2-25 = 0 u tački T(3,y),y

24x + 10y - 207 = 0.

Tražena tangenta je 24x + 10y - 207 = 0. Koeficijent pravca ove tangente je k= - — , paje jednačina normale y - y,=(- —)(x-x,), odnosno, y - —= — (x-8) 5 k 2 12 => 5x-12y-22 = 0. 3.211.U presječnim tačkama kružnice x2+y2-10x-12y+36=0 i prave 7x+y-16=0 povući tangente, a zatim odredi njihov presjek i ugao pod kojim se sijeku. Rješenje: Presječne tačke određujemo rješavanjem sistema jednačina: 7x+y-16=0 y=-7x+16 x2+y2- 10x-12y+3 6=0 x2+(-7x+16)2-10x-12(-7x+16)+36=0



y=-7x+16 x2+49x2-224x+25 6-10x+84x-192+3 6=0

y=-7x+16 50x2-150x+100=0

y=-7x+16 y=-7x+16 y,=9,y2=2 x2-3 x+2=0 xi=1, x2=2. => X|=1,X2=2 . Presječne tačke su A (l,9) i B(2,2).Odredimo tangentu u tački A(l,9). Jednačinu kružnice transformišimo na slijedeći način: x2+y2- 10x-12y+3 6=0 (x-5)2+(y-6)2 = 25. Jednačina tangente je: (l-5)(x-5)+(9-6)(y-6) = 25 , odnosno, -4(x-5)+3(y-6) = 25 , 4x - 3yj + 23 = 0

=>

k,= -3.

Druga tangenta ima jednačinu: (2-5)(x-5)+(2-6)(y-6) = 25 , odnosno,

-3(x-5)-4(y-6) = 25 ,

3x + 4y - 14 = 0 => k2= . J 4 Izračunamo li sada k2^ dobićemo vrijednost -l,što znači da su tangente normalne. Presječnu tačku tangenata odredićemo rješavanjem sistema linearnih jednačina: 4x - 3y + 23 = 0 3x + 4y - 14 = 0 67

=>

x= -2, y=5 .

Presječna tačka je M(-2,5). 3.212.Grafički riješiti jednačinu x2+y2-4x+6y-l2=0. Rješenje: U datoj jednačini prepoznajemo kružnicu.Jednačina te kružnice može se napisati u obliku: (x-2)2 + (y+3)2 = 25, iz kojeg čitamo d aje središte kružnice u tački S(2,-3) i radijus r=5. Rješenje date jednačine je,dakle,skup svih tačaka ove kružnice,odnosno skup svih uređenih padova realnih brojeva koji su koordinate tacama ove kružnice.(Vidi sliku 3.1.).

SI.3.1. Rješenje nejednačine x2 + y2 - 25 < 0. 3.213.Riješiti nejednačinu x2 + y2 - 25 < 0. Rješenje: Znamo da jednačina x2+y2-25=0 predstavlja centralnu kružnicu radijusa r=5.Kružnica dijeli ravan na dva dijela.Jedan dio je unutrašnjost kruga sa centrom u koordinatnom početku radijusa r=5,a druga oblast je skup svih tačaka u vanjskoj oblasti navedene kružnice.Jedna od navedenih oblasti je rješenje naše nejednačine. Treba odrediti samo koja je to oblast.Naj lakše je da izaberemo pogodnu tačku u jednoj oblasti,recimo M (l,0),i neposredno provjerimo da li njene koordinate zadovoljavaju datu nejednačinu (Sl.3.2.): 1 + 0 - 25 = -24 < 0 . Koordinate tačke M(1,0) zadovoljavaju datu kvadratnu nejednačinu. Sve tačke one oblasti u kojoj se nalazi tačka M imaju koordinate koje zadovoljavaju nejednačinu.Znači,rješenje date nejednačine, grafički j e skup svih unutrašnjih tačaka kruga određenih kružnicom x2 + y2 = 25. Nacrtati kružnicu ako je data njena jednačina: 3.214.a) x2+ y2 = 9 b ) x 2 + y2 = 4 c ) x 2 + y2 = 36 3.215.a) (x-5)2 +(y-3)2 = 1 b) (x+4)2 + (y+2)2 = 9 c) (x-l)2 +(y+5)2 = 4 3.216.Koja tačka na datoj kružnici ima apscisu 3: a) x2 + = 25 b) x2 + y2 = 16 c) x2 + y2 = 4 ? 3. 217.Odrediti apscisu tačke M(x,-2) ako se zna da ona pripada datoj kružnici: a) x2 + y 2 = 4 b) x2 + y 2 = 100 c) (x-l)2 + (y + 3) 2 = 10? 3.218.Koja tačka na datoj kružnici ima ordinatu -1: a) x2 + y2 = 49 b ) x 2 + y2 = 37 c ) x 2 + y2 = 65? 3.219.Kolika je ordinata tačke M (-l,y) ako ona pripada datoj kružnici: 68

a) x2 + y2 = 17 b) x2 + y2 = 1 c) (x+2)2+(y-3)2 = 26? 3.220.Ako je c>0,u kojim tačkama kružnica x2+y2=c siječe koordinatne ose? 3.221 .Koja centralna kružnica prolazi datom tačkom M: a) M(3,4) b) M(5,-12) c)M (-20,21)? 3.222.Koje od tačaka A(l,2), B(0,11), C(3,0) i D(5,10) se nalaze unutar,koje su vani, a koje na kružnici x2+y2=121? 3.223.U kružnicu x2+y2=100 povučene su sve tetive dužine 6.Staje geometrijsko mjesto središta tih tetiva? 3.224.Napisati jednačinu kružnice čije je središte u datoj tački S i radijus r: a) S(2,5),r=3 b) S(-3,4), r=10 c) S(-l,-3), r=2 Odrediti središte i radijus date kružnice ako je: 3.225.a) x2 + y2 = 81 b) x2 + y2 = 5 c) 4x2 + 4y2 = 12 ? 3.226.a) (x-7)2 + (y-3)2 = 4 b) (x+5)2 + (y-2)2 =16 c) (x+4)2 + (y+6)2 = 9 3.227.a) x2+y2-6x=0 b) x2+y2+8x-l=0 c) x2+y2-10x-2=0 3.228.a) x2+y2+2y=0 b) x2+y2+4y+l=0 c) x2+y2-12y-4=0 3.229.a) x2+y2-4x+6y=0 b) x2+y2+8x+2y-1=0 c) x2+y2+10x-6y-3=0 3.230.a) 400x2+400y2-3 20x-600y+189=0 b) 100x2+100y2-200x-600y+951=0 3.23^>.Kako glasi jednačina kružnice čije je središte S(3,4), ako se zna da prolazi koordinatnim početkom? 3.232.Napisati jednačinu kružnice sa središtem u tački S(-3,2) ako se zna da sadrži tačku A (2,1). 3.23$.Prečnik kružnice je duž AB,pri čemu su koordinate tačaka A i B poznate: A(-l,3), B(5,-l). Napisati jednačinu kružnice. 3.234>Prečnik kružnice je odsječak prave x-3y+6=0 između koordinatnih osa. Napisati jednačinu kružnice. 3.235,Odrediti jednačinu one kružnice koja prolazi tačkom M(-3,4) a koncentrična je sa kružnicom x2+y2+3x-4y-l=0. 3.236.Kružnica prolazi tačkom A(4,2) i dodiruje obje koordinatne ose. Napisati njenu jednačinu. 3.237.;Središte kružnice koja dodiruje obje koordinatne ose nalazi se na pravoj 3x-5y+15=0. Odrediti jednačinu kružnice. 3.238.Šta je geometrijsko mjesto tačaka iz kojih se duž AB: A(1,1),B(7,3) vidi pod pravim uglom? 3.239.Kružnica prolazi kroz koordinatni početak a jednačine njena dva prečnika su x+y-14=0 i 2x-3y+12=0.Napisati jednačinu kružnice. 3.240.0drediti jednačinu kružnice koja prolazi kroz tri date tačke: a) A(-4,-2), B(-4,-6) i C(2,-2) b) A( 1,1), B( 1,-1) i C(2,0) 3.241.Središte kružnice je S(3,-l).Kružnica na pravoj 2x-5y+18=0 odsijeca tetivu jednaku 6.Napisati jednačinu kružnice. 3.242.Napisati jednačinu kružnice radijusa r=VŠ koja dodiruje pravu x-2y-l=0 u njenoj tački A(3,l). 69

3.243.Odrediti jednačinu kružnice koja prolazi tačkom A(1,0) i dodiruje dvije paralelne prave 2x+y+2=0 i 2x+y-18=0. 3.244.Napisati jednačinu kružnice koja dodiruje dvije prave koje se sijeku 7x-y-5=Q, x+y+13=0 i to jednu od njih u tački M (l,2). 3.245.Odrediti jednačinu kružnice čiji je centar na pravoj 4x-5y-3=0 i koja dodiruje prave 2x-3y-10=0 , 3x-2y+5=0. 3.246. Jednačine stranica trougla su: x-2y+4=0 , x+y-2=0 , 2x-y-l=0. Odrediti jednačinu kružnice opisane oko ovog trougla. 3.247.Date su jednačine stranica trougla : 7x+y-25=0 , x-2y+5=0 , x+3y+5=0. Naći: a) jednačinu opisane kružnice, b) odnos površina opisanog kruga i trougla. 3.248.Kružnica prolazi kroz tačke A(3,5) i B (l,7),a centar joj se nalazi na kružnici x2+y2= 10. Napisati jednačinu kružnice. 3.249,Odrediti jednačinu kružnice koja prolazi tačkama A(3,4) i B(4,5),a središte joj se nalazi na liniji x2+y2=50. 3.250.Dati su vrhovi trougla A(2,l ),B(-1,5) i C(-6,G).Odrediti jednačinu kružnice sa središtem u ortocentru trougla.koja dodiruje stranicu AB. 3.251.Zadan je trougao svojim vrhovima A(7,1),B(5,5),C(-2,4).Odrediti jednačinu kružnice koja: a) prolazi središtima stranica trougla, b) prolazi podnožjima visina trougla, c) prolazi sredinama odsječaka visina između vrhova A,B,C i ortocentra H. Šta se zapaža na osnovu dobijenih rezultata? (Fojerbahova kružnica). 3.252,Odrediti jednačinu kružnice koja prolazi tačkama A(-2,3) i B (-l,3), a središte joj je na pravoj 2x+3y+2=0. 3.253.Dva prečnika kružnice,koja prolazi tačkom A(5,0),pripadaju pravima x+2y-7=0 i y=3x. Napisati jednačinu kružnice. 3.254.1spitati uzajamni položaj kružnice x2+y2=5 i date prave: a) 3x+y-5=0 b) 3x+y-5 J l =0 c) 3x+y=9. 3.255.Nađi koordinate presječnih tačaka linija x2+y2=10 i y+3=0. 3.256.0drediti koordinate presjeka prave 7x-y+12=0 i kružnice (x-2)2+ (y -l)2=25. 3.257.Nađi rastojanje središta kružnice x'+y'-6x-2y-6=0 od date prave: a) 3x+4y-12=0 b) 3x+4y-33=0 c) 3x+4y-48=0 i na osnovu dobijenih rezultata zaključi kakav odnos imaju prava i kružnica. 3.258.Kolika je dužina tetive koju kružnica x2+y2+8x+6y=0 odsijeca na pravoj 3x+4y+24=0 ? 3.259.Zadana je kružnica x2+y2+6x-4y=0 i prava x-y+4=0.Naći jednačinu simetrale tetive koju kružnica odsijeca na pravoj.Utvrditi kakav je odnos središta kružnice i simetrale.

70

3.260.Napisati jednačinu one tetive kružnice x2+y2=10 koja prolazi tačkom A (l,3 ) kružnice, a paralelna je sa pravom 2x+y-2=0. 3.26] .Pod kojim se uglom iz koordinatnog početka vidi ona tetiva kružnice x2+y2-14x-2y+25=0 koja leži na pravoj 7x+y-25=0? 3.262.Za koje vrijednosti broja k prava y=kx i linija x2+y2-10x+16=0: a) se sijeku b) dodiruju c) nemaju zajedničkih tačaka ? 3.263.Odredi jednačinu kružnice radijusa r=Vl() koja sadrži tačku M (4,3) i dodiruje pravu x-3y-15=0. 3.264.Napiši jednačinu kružnice koja dodiruje prave 3x+4y-35=0, 3x-4y-35=0

1. je tačka kružnice x2+y2+6x+4y+3=0 najbliža,a koja najdalja od prave 3x+y-9=0 ? 3.266:Naći jednačinu tangente kružnice x2+y2-10x-12y+36=0 koja je paralelna sa pravom 4x-3y+10=0. 3.267,'Naći jednačinu tangente kružnice x2+y2+2x+4y+1=0 koja je normalna na pravoj 3x-4y=0. 3^268.Naći centar kružnice radijusa r= l, ako su prave 5x+12y+4=0 i 3x-4y-5=0 njene tangente. 3.269.Napisati jednačinu tangente kružnice x2+y2= 1 u tački T(1,0). 3.270-.U tački T(5,y4, 4). 3.27S.Napisati jednačinu normale u tački T (l,y 9 ^ 1 + ^ = 1. a 2 b2

Odnos rastojanja između fokusa i velike ose ( FXF2 : A A' =2e:2a=e:a) nazivamo num erički ekscentricitet elipse i označavamo sa e, pa vrijedi: e =— , a

Prave CC' i DD’ , nazivamo direktrise elipse. Jednačine direktrisa elipse: x = — , x = - — ( i l i x = ± — ). ____________________________ £_______ £_______________ e______ • • 2 2 2 2 222 2 2 Uvjet dodira prave y=kx+n i elipse b x'+a y“=a*b‘ je: a"k“+b = n~.

Jednačina tangente u tački T(xj,yi) elipse:b2X!X+a2yi y= a2b2 ili

72

= 1.

3.288.Odrediti poluosejinearni i numerički ekscentricitet elipse x2+4y2=16. x2

y2

Rješenje.’Dovođenjem jednačine elipse na oblik — + — = 1, neposredno određujemo a2=16, b2=4,pa su poluose a=4 i b=2. Linearni ekscentricitet je : e2=a2-b2 => e2=12 ,=> e=2-/3. Numerički ekscentricitet je e = —= a

4

= ^~ . 2

3.289.Elipsa prolazi tačkama A(6,4) i B(8,3).Napisati jednačinu elipse. Rješenje: Kako tačke A i B pripadaju elipsi,to njihove koordinate zadovoljavaju njenu jednačinu,pa vrijedi: 36b2+16a2 = a2b2 64b2+ 9a2 = a2b2 . Rješavanjem dobijenog sistema jednačina određujemo poluose tražene elipse: 28b2 - 7a2 = 0 => a2= 4 b 2 . Uvrštavanjem vrijednosti za a2 u jednu od jednačina sistema određujemo b~: 64b2+ 36b2 = 4 b V => 4b2 =100 => b2=25 => b=5. Tako dolazimo do jednačine elipse: 25x2+100y2=25-100 , odnosno, x2 + 4y2 = 100 . 3.290.U elipsu b2x2 + a2y2 = a2b2je upisan kvadrat.Odrediti koordinate njegovih vrhova. Rješenje:Neka je ABCD upisani kvadrat i neka tačka A, u prvom kvadrantu, ima koordinate (x,y) (nacrtaj sliku!).Dalje vrijedi B(-x,y), C(-x,-y) i D(x,-y). Kako je AB=AD,to mora biti x=y. S druge strane,tačka A pripada elipsi pa njene koordinate zadovoljavaju jednačinu elipse,tj. vrijedi: b2x2 + a2x2 = a2b2 =>

(a2+b2)x2 = a2b2 =>

x=

ab ■Ja2 + b2 '

Uvrštavanjem dobijene vrijednosti za x i koristeći uvjet x=y možemo napisati koordinate svih vrhova kvadrata: A(

D.

ab

ab

i'j. a ’ \a~ / 2 +b~ ,2 ■Jct+b

.

a^-. _ . , .

V7 +62

ab

ab

ijcr+tr

icr+tr

),

J a 2 +b2 ab

ab

i •> a2 ’’ V \cr+b~ cr+tr

3.291.Odrediti zajedničke tangente kružnice x2+y2=5 i elipse 4x2+9y2=36. Rješenje:Neka je prava y=kx+n zajednička tangenta date kružnice i date elipse. Tada parametri prave k i n moraju zadovoljavati uvjete dodira prave i kružnice, odnosno, prave i elipse,pa se može formirati sistem jednačina 73

r2( 1+k2) = n2 a2k2 + b2 = n2 Rješenja ovog sistema daju one vrijednosti za k i n za koje prava dodiruje i kružnicu i elipsu.Riješimo sistem: 5(1+k2) = n2 9k2 + 4 = n2 Izjednačavanjem lijevih strana gornjeg sistema dobijamo: 9k2 + 4 = 5(1+k2)

=>

4k2 = 1

=>

k , = | , k 2= - i .

Prepišimo prvu jednačinu sisetma: n2 = 5(1+k2) : v i 1 j u2 , 1 N 25 Za k i= — , dobijamo: n = 5(1 + —) = - => 7 1

1

*•

2



5 5 ni= — , n 2= - — ■ 5

5

n i= ~ - n 2= - — •

Tako smo dobili četiri zajedničke tangente kružnice i elipse i to: v =—x + —

2

ili

2

y=.i.x+ —

J

2

2

ili

x-2y+5=0, x+2y-5=0

i

y = —x -—

2 2

ili

x-2y-5=0,

y = -— x - —

ili

x+2y+5=0 .

2 2

3.292.U tački A(4,y>0) elipse x2+4y2=20 povučena je tangenta.Kako glasi jednačina ove tangente? Rješenje: Odredimo,prvo,ordinatu tačke A.Uvrštavanjem koordinata 4 i y tačke A u jednačinu elipse dobijamo: 16+4y2=20 => y2=l => y = l, (y>0). Jednačina tangente je: 4x+4y=20 => x+y-5=0. 3.293.U kojim se tačkama i pod kojim uglom sijeku prava y=2x-10 i elipsa 4x2+9y2=900? Rješenje: Presječne tačke prave i elipse određujemo rješavanjem sistema jednačina: y=2x-10 y=2x-10 y = 2x-10 y=2x-10 4x2+9y2=900 => 4x2+9(2x-10)2=900 => x2+9(x-5)2=225 .=> 10x2-90x=0 y=2x-10 => x2-9x=0

=> xi=0, x2=9, y,= -10, y2=8 .

Presječne tačke su M (0,-10) i N(9,8). Odredimo tangentu elipse u njenoj tački M(0,-10).Jednačina tangente je: 4 0 x + 9 (-10)y= 900, odnosno, y+10=0. Ugao između tangente i date prave je traženi ugao između elipse i prave. 74

Koeficijenti pravca su k|=0

i kr=2,pa za traženi ugao a vrijedi ki - ki 2 -0 tg a = ---------- = -----------= 2 . l+k2k, 1+2-0 Dakle,elipsa i data prava se u tački M(0,-10) sijeku pod uglom čiji je tangens jednak 2. Odredimo tangentu elipse u njenoj tački N(9,8).Kao i u prethodnom slučaju dobijamo 4-9-x + 9-8y = 900 ili x + 2y = 25. Koeficijent pravca tangente je k2= - j ,pa kako je k2k,=

-2 = -1 ,

to su tangenta i data prava normalne prave. Zaključujemo da se elipsa i data prava u tački N sijeku pod pravim uglom. 3.294.Napisati jednačine zajedničkih tangenata kružnice x2+y2=8 i elipse x2+3y2=12 i naći koordinate tačaka dodira na objema krivim. Rješenje:N eka je prava y=kx+n zajednička tangenta navedenih krivih.Tada moraju biti ispunjeni uvjeti dodira ove prave i svake krive,tj. mora da vrijedi: r2( 1+k2)=n2 8(l+ k2)=n2 8+8k2=12k2+4 k2=l k=±l a2k2+b2=n2 => 12k2+ 4 = n 2 => n2 = 1 2 k 2+4 => n2=16 => n= ±4' Zajedničke tangente su: y = x+4 , odnosno x - y + 4 = 0 ; y = x-4 , odnosno x - y - 4 = 0 ; y = -x+4 , odnosno x + y - 4 = 0 ; y = -x-4 , odnosno x + y + 4 = 0 . Svaka od ovih pravih ima po jednu dodirnu tačku i sa kružnicom i sa elipsom. Koordinate tih osam tačaka dobijamo rješavanjem osam slijedećih sistema jednačina: y=x+4 y=x+4 y=x+4 y = x+4 y=2 x2+y2=8 => x2+(x+ 4)2=8 => x2+4x+4=0 => x = -2 => x = -2 => Ki(-2,2). y=x+4 y=x+4 y=x+4 y=x+4 y= 1 x2+3y2=12 => x2+ 3( x+ 4)2=12 => ¿ + 6 2 + 9 = 0 => x= -3 => x= -3.

E ,(-3,l).

y=x-4 y=x-4 y=x-4 y=x-4 y=-2 x2+y2=8 => x2+(x-4)2=8 => x2-4x+4=0 => x = 2 => x= 2.

K2(2,-2).

y=x-4 y=x-4 y=x-4 y=x-4 x2+3y2= 12 => x2+3(x-4)2=12 => x2-6x+9=0 => x=3

E2(3.-l).

y=-l => x = 3 .

y=-x+4 y= -x+4 y= -x+4 y= -x+4 x2+y2=8 => x 2+ (- x+ 4)2=8 => x2-4 x+4=0 => x = 2

y=2 => x=2.

K3(2,2).

y=-x+ 4 y= -x+4 y=-x+ 4 y= -x+4 y=l x2+3y2=12 => x2+3(- x+4)2=12 => x2-6x+9=0 => x = 3 = > x= 3.

E3(3,l).

y= -x-4 y= -x-4 y= -x-4 y= -x-4 y= -2 x2+y2=8 => x2+(- x-4)2=8 => x2+4x+4=0 => x= -2 => x= -2.

K4(-2,-2).

y= -x-4 y= -x-4 y= -x-4 y= -x-4 y= -1 x2+3y2=12 => x2+3(-x-4)2= 12= > x2+6 x+9=0 => x = -3 = > x = -3 .

E4(-3,-l).

Dodirne tačke na kružnici su:Kj(-2,2), K2(2,-2), K3(2,2), K4(-2,-2), a na elipsi : Ei(-3,1), E2(3,-l), E3(3 ,l) i E4(-3,-l). 3.295.Poluose elipse su a=12 i b=5, a njeno središte je u tački S(3,4).Odrediti jednačinu elipse. Rješenje: Jednačina elipse je: (x-3)2 (y-4)2 ---------- + ------- = 1 . odnosno, 25(x-3)~ + 144(y-4)2 = 144-25 144 25 25x2-l 50x+225+144y2-l 152y+12304 = 144-25 25x2+ 144y2- 150x-1152y-1071 =0. 3.296.Elipsa je data jednačinom 25x2+169y2+200x+676y-3149=0.Kolike su poluose elipse? Rješenje: Transformišimo datu jednačinu na oblik iz koga se mogu neposredno pročitati poluose: 25x2+ 169y2+200x+676y-3149=0 25x2+ 200x+ 169y2+676y -3149=0 25( x2+ 8 x ) + 169(y2+4y) -3149=0 25( x2+8 x+ 16)-400 + 169(y2+4y+4)-676 -3149=0 25(x+4)2 + 169(y+2)2 = 4225 (x+4)~ !(y+2)2 _ 169 25 Poluose elipse su a= 13 i b=5. 3.297.Na SI.4.4. predstavljena je elipsa sa središtem u tački S(2,2) i fokusima Fj (l , l ) i F2(3,3).Za proizvoljnu tačku M(x,y) elipse vrijedi :F ,M + F tM = 4. Odrediti jednačinu elipse. Rješenje: Prema položaju fokusa Fi i F2 vidimo da se velika osa nalazi na pravoj y=x, što znači da sa x-osom gradi ugao od 45°.Translatirajmo koordinatni

76

sistem xOy za vektor OS, pri čemu je S(2,2) središte elipse.Tako ćemo dobiti novi koordinatni sistem XSY.Veze između koordinata u xOy i XSY su: x = X+2 , X=x-2 y = Y+2 , Y=y-2 . Rotirajmo sistem XSY oko S za 45°.Tako dobijamo sistem x'Sy' u kojem su koordinate vezane sa koordinatama sistema XSY relacijama: X = x'cos45° - y'sin45° Y = x'sin45° + y'cos45° , odnosno, V I,

Zamjenom koordinata X i Y,dobijamo: x’ = ^ - ( x + y - 4 )

y’ =

Sada koristeći gornje veze između koordinata određujemo koordinate fokusa Fi i F2 u sistemu x'Sy': S ,- ( 1 + 1 - 4 ) = -V 2

=>

2—V2 .

pa vrijedi: Fi(-V 2,0) i F2(V 2,0). Iz datog uvjeta |F1M| + |F2 M|= 4 , zaključujemo daj e poluosa a=2.0tudaje b2=a2-e2=4-2=2, t>a u koordinatnom sistemu x'Sy'jednačina elipse ima oblik x y'2 • — + — = 1 , odnosno, x ’2+2y’2=4. 4 2 Uvrštavanjem vrijednosti za x' i y' u posljednju jednačinu dobijamo: {x + y - 4) O

+2

,- 4 ) 2 + 2 ~ ( y - x ) 2 =4

O (x + y - 4 ) 2 + 2 ( y - x ) 2 =8, i konačno,sređivanjem, dobijamo traženu jednačinu elipse: 77

3x2-2xy+3y2-8x-8y+8=0 . 3.298.Riješiti nejednačinu x2 + 9y2 - 36 > 0. Rješenje: Kvadratna jednačina x2 + 9y2 - 36 = 0 predstavlja osnu jednačinu

Sl.3.5. y ' 7

:

O

6 /x

Neposrednim uvrštavanjem koordinata ove tačke vidimo da one ne zadovoljavaju datu nejednačinu.Zaključujemo da je skup rješenja date nejednačine skup svih tačaka koje leže u onoj oblasti ravni u kojoj nije tačka O. To je skup svih tačaka ravni izvan date elipse.

Napisati jednačinu elipse ako su date njene poluose a i b: 3.299.a) a=5, b=3 b )a= 1 3 ,b = 5 c) a=29, b=21 3.300.a) a=7 -/2 ,-4),iz kojih se velika osa vidi pod uglom od 45°. 3.359.Ne tražeći zajedničke tačke prave 7x-4y-l=0 i hiperbole 3x2-y2=3, ispitati da li je prava njena tangenta.

82

7 1 Rješenje: Iz jednačine prave određujemo k= — i n= , a iz jednačine hiperbole dobijamo poluose a=l i b=V3 .Uvrstimo li ove podatke u uvjet dodira prave i hiperbole a2k2-b2=n2 , dobijamo: 49 1 416 ~ 16 ’ što je istinita jednakost, pa je data prava tangenta hiperbole. 3.360.Napisati jednačinu tangente hiperbole 4x2-y2=36 koja je paralelna sa pravom 3x-y-17=0. Rješenje: Jednačinu tangente potražimo u obliku y=kx+n.Iz uvjeta paralelnosti dviju pravih zaključujemo daj e k=3.Poluose hiperbole su a=3 i b=6. Uvrštavanjem ovih podataka u uvjet dodira prave i hiperbole određujemo odsječak n, tj. a2k2 - b2 = n2 => 9-9 - 36 = n2 => n2=45 => n = ±3 S ■ Dobili smo dvije tangente koje ispunjavaju postavljeni uvjet i to: y=3x+3 y[Š i y=3x-3 ■JŠ . 3.361.U tački T(10,y>0) hiperbole x2-4y2=64 povučena je tangenta.Odrediti njenu jednačinu. Rješenje:Korištenjem apscise 10 i uslova da tačka T pripada hiperboli i daje y>0, određujemo y=3.Uvrštavanjam koordinata dodirne tačke T neposredno u jednačinu tangente u tački dodira, dobijamo: 10x-4-3y=64 => 5x-6y-32=0. 3.362.Kako glase jednačine tangenata koje se mogu povući iz tačke P( 1,0) na hiperbolu 2x2-9y2=18? Rješenje: Neka je jednačina tangente y=kx+n.Poluose hiperbole su a=3 i b= V2 . Uslov da tačka P(1,0) pripada tangenti daje jednu vezu između k i n i to: k= -n. Uvrstimo u uvjet dodira sve podatke koje znamo: a2k2 - b2 = n2 => 9k2-2=n2 => 9n2-n2=2 => 8n2=2 => n2= — = > n = ± —. 4 2 Tako smo dobili jednačine tangenata: y = ^ x ~ , y= - ^ x+^- , odnosno, x-2y-l=0

i

x+2y-l=0.

3.363.Odrediti ugao pod kojim se sijeku kružnica x2+y2=25 2x2-y2=2. Rješenje: Odredimo presječne tačke krivih.(Skiciraj krive u sistemu). x2+y2=25 -3y2=-48 y2= 16 2x2-y2=2 => 3x2=27 => x2=9 =>

i hiperbola koordinatnom y=±4 x=±3.

83

Presječne tačke su A(3,4), B(3,-4), C(-3,4) i D(-3,-4). Odredimo tangente na datu kružnicu i datu hiperbolu u presječnoj tački A(3,4): 3

ti (tangenta hiperbole): 6x-4y=2

=>

k]=—.

t2(tangenta kružnice): 3x+4y=25

=>

k2= - —.

3

Ako sa a označimo ugao između tangente ti i t2, tada vrijedi: _3_3 _9 _9 ♦____ k2 ~ *1

_

4

2 _

tg“ ~ u i j ; “

4 _

4 _ 1o

“ ^ T I T “ 4 2

8

8

tga=18 => logtga=l 1,25527-10 =>

k2- — .

3

Ako sa a'označim o ugao između tangenti ti' i t2', tada vrijedi: tg a -

t =18 => tg a -1 8 => logtga'=l 1,25527-10 => a'= 86°49’12"=a ' 3.364.Tačkom Ti(2,y 2b2=48 => b2=24. 14*

Jednačina hiperbole je 24x2-40y2=24-40,odnosno 3x2-5y2=120. b) Koordinate dodirne tačke tangente i hiperbole određujemo rješavanjem slijedećeg sistema jednačina: 84

x-y-4=0 3x2-5y2=120 =>

y=x-4 y=x-4 y=x-4 y= 6 3 x2-5(x-4)2=120 => x2-20 x+ 100=0 => x=10 => x=10.

Druga dodirna tačka je T2(10,6). c) Izračunajmo udaljenost između tačaka Tj i T2. 7 ^ = - N/(x2 - x ,) 2 +(y2 - ^ ])2 =V(lO-2)2 +(6+2)2 =V64 + 64 =8V2 .

3.365.Odrediti koordinate središta hiperbole date jednačinom 100x2-49y2- 1000x-392y-3184=0. Rješenje: Transformacijom date jednačine dobijamo: 100x2-49y2- 1000x-3 92y-3184=0 O 100(x2- 10x)-49(y2+8y)-3184=0 O 100(x2- 10x+25)-49(y2+8y+16)-4900=0 100(x-5)2-49(y+4)2 = 4900. Središte hiperbole je S(5,-4). 3.366.Jednačina hiperbole u koordinatnom sistemu xOy je x2-y2=4. Odrediti jednačinu ove hiperbole u koordinatnom sistemu koji nastaje rotacijom datog za ugao a=-45°. Rješenje:Prema formulama veze između koordinata (x,y) i (x',y'): x = x'cosa - y'sina y = x'sina + y 'c o sa , dobijamo: x = x'cos(-45°) - y'sin(-45°) y = x'sin(-45°) + y'cos(-45°) , F) F> odnosno, x = - y (x' + y') , y = — (-x' + y ') . Zamjenom ovih vrijednosti u jednačinu hiperbole x2-y2=4,dobijamo: x2-y2=4 => i (x' + y’f - i (-x’ + y')2 = 4 => x'2+2x'y'+y’2 - (x’2 - 2x'y’+y'2) = 8

=> x'2+2x'y'+y'2 - x'2 + 2x’y'-y'2 = 8 => x'y' = 2 . Vidimo d aje u novom koordinatnom sistemu jednačina date hiperbole x'y'=2. 3.367.Riješiti sistem nejednačina x2 - 9y2 - 36 < 0 a x2 + y2 - 16 > 0 . Rješenje: Kvadratna jednačina x2 - 9y2 - 36 = 0 predstavlja osnu jednačinu hiperbole čije su poluose a=6 i b=2.Rješenje prve nejednačine je oblast u kojoj je kooordinatni početak. Jednačina x2 + y2 - 16 = 0 predstavlja jednačinu kružnice. Rješenje druge nejednačine sistema je skup tačaka u vanjskoj oblasti kružnice. Rješenje sistema je presjek rješenja prve i druge nejednačine. Vidjeti i analizirati sliku 3.7.

85

Napisati osnu jednačinu hiperbole ako su date njene poluose a i b: 3.368.a) a=10, b=6 b)a=15,b=12 c) a=4, b=l 3.369.a) a=l 1, b=3 b)a=V Š,b=V 2 c) a=2 -JŠ, b=2 VŠ Napisati jednačinu hiperbole ako je data jedna njena poluosa (realna a ili imaginarna b) i linearni ekscentricitet e: 3.370.a) a=4, e=5 b)b=8, e=10 c)a=16, e=20 3.371.a) a=2, e=4 b) a= V2 ,e=5 V2 c )b = l,e = 4 Ako je data jednačina hiperbole,odrediti poluose,fokuse,tjemena i asimptote: 3 .3 7 2 » x2- y2= 1, 3 x2-4y2=4 j $ X 2- 18y2=72 3 .3 7 3 » 5x2-4y2=25 b) 25x2-144y2=3600 x2 - 4y2=16 3.374.»-,4x2-9y2=25 b) 25x2-16y2=l c) 16x2-25y2=400. 3 .375.Odrediti jednačinu hiperbole kojoj je 2e=8 i 2a=6. 3.376.0drediti koordinate lijevog fokusa hiperbole 4x2-y2=4. 3.377.Središte hiperbole je S(5,-4),ose su joj 2a=14,2b=20 i paralelne su sa __ koordinatnim osama. Napisati jednačinu hiperbole. 3,378j4apisati jednačinu hiperbole ako su joj zadane dvije tačke M (2,l) i N(10,7). 3.379.Napisati jednačinu hiperbole koja prolazi tačkama M(10,6), N(17,15). 3.3 80.Napisati jednačinu hiperbole ako su joj fokusi (0,±3),a glavna osa 2a=4. 3.381.Kako glasi jednačina jednakostrane hiperbole koja prolazi tačkom M(3,-l)? 3.382.Odrediti jednačinu hiperbole ako su date jednačine njenih asimptota y = ± |- x i jednačine direktrisa x=±^-- . 3.383.Zadana je jednakostrana hiperbola x2-y2=8.Nađi konfokalnu hiperbolu koja prolazi tačkom M(-5,3). 3.384.Ako je u hiperboli b x -a y =a b a konstantno,a b: A) sve više raste, B) sve se više umanjuje, šta se zbiva sa hiperbolom? 86

3.385.Tjemena elipse su u fokusima hiperbole,a tjemena hiperbole u fokusima elipse.Ako je jednačina elipse 9x2+16y2= 144,kako glasi jednačina hiperbole? 3.386.0drediti tačke hiperbole koje su za 7 udaljene od njenog lijevog fokusa. 3.387.*Odrediti ose i središte hiperbole kojoj je jednačina 9 x2-90x- 16y2-64y+17=0. 3.388.*Odrediti središte i fokuse hiperbole 9x2-4y2-36x-24y-36=0. 3.389. Odrediti uzajamni odnos prave x-y-3=0 i hiperbole 3x2-12y2=36. 3.390. Data je hiperbola x2-y2=8.Odrediti jednačinu njoj konfokalne elipse koja prolazi tačkom M(4,6). 3.391. Data je elipsa 9x2+25y2=l.Odrediti jednačinu njoj konfokalne jednakostrane hiperbole. 3.392. Asimptote hiperbole obrazuju ugao od 60°.Koliki je numerički ekscentricitet hiperbole? 3.393,Odredi tačke presjeka prave 2x-y-10=0 i hiperbole x2-4y2=20. 3.394?Kolika je dužina tetive koju hiperbola x2-4y2=20 odsijeca na pravoj 2x-y-10=0? 3.395.Odredi dužinu tetive koju hiperbola x2-2y2=2 odsijeca na pravoj 3x-4y=2. 3.396.U kakvom odnosu su prava 2x-3y-l=0 i hiperbola x2-3y2= l? 3.397.Pod kojim uglom prava 3x+y-9=0 siječe hiperbolu 3x2-y2=3? 3.398.Pod kojim uglom se sijeku prava 3x-2y-6=0 i hiperbola 3x2-4y2=12? 3.399.Za koje vrijednosti parametra m prava y = j •x+m : a) dodiruje hiperbolu b) siječe hiperbolu c) prolazi van hiperbole? 3.400.*Izvesti uvjet pod kojim je prava y=kx+n tangenta hiperbole b2x2-a2y2=a2b2. 3.401.Izračunati ugao pod kojim se iz tačke M(5,8) vidi tetiva koju na pravoj y=x-3 odsijeca hiperbola x2-3y2= 1. 3.402.Naći one tačke na hiperboli x2-y2=8 čije je rastojanje od centra hiperbole jednako linearnom ekscentricitetu. 3.403.Na hiperboli 9x2-7y2=63 odrediti tačku iz koje se njeno fokalno rastojanje vidi pod pravim uglom. 3.404.Pod koji se uglom vidi realna osa hiperbole 2x2-3y2=50 iz njene tačke M(7,4)? 3.405.Vrhovi četverougla su presječne tačke hiperbole x2-2y2=6 i koncentrične kružnice koja prolazi kroz fokuse hiperbole.Kolika je površina četverougla? 3.406.Odrediti površinu četverougla čiji su vrhovi presječne tačke kružnice x2+y2=25 i hiperbole 9x2-4y2=108. 3.407.Izračunati površinu kvadrata upisanog u hiperbolu 9x2-y2=9. 3.408.Odrediti jednačine asimptota hiperbole 4x2-25y2=100. 87

3.409.Jednačina hiperbole je 4x2-9y2=36.Konstruisati asimptote. 3.410.Koliki ugao zatvaraju asimptote hiperbole 20x2-25y2=500? 3.41 l.Naći osnu jednačinu hiperbole ako je rastojanje između fokusa 6,a 3 numerički ekscentricitet — . , 2 3.4123Mapisati jednačinu tangente koja dodiruje hiperbolu 4x2-5y2=20 u tački T(5,-4). 3.413.U tački T(1,0) hiperbole 4x2-y2=4 odrediti tangentu. 3.4 l4.Naći jednačine tangenata hiperbole x2-y2=16 koje su povučene iz tačke M (-1,-7). 3.415.Tačkom M (l,4) odrediti tangente na hiperbolu 4x2-y2=4. 3.416.Na tangenti elipse 4x2+5y2=20 , povučenoj u tački T(--^,y>0),leži tetiva hiperbole 4x2-y2=36.Kolika je dužina tetive? 3.4lXNapiši jednačinu tangente hiperbole 4x2-y2=64 koja je paralelna sa pravom 10x-3y+9=0. 3.41$.U jednačini (a+1)x-6y-4a=0 nađi a u slučaju ako je ta prava tangenta hiperbole x2-4 y 2=16. 3.419.Napisati jednačinu tangente hiperbole x2-2y2=4 koja sa pravom x+7y-9=0 obrazuje ugao od 45°. 3.420.U jednačini ax-3y-24=0 odrediti a,tako da ta prava bude tangenta hiperbole x2-y2=36. 3.421.Napisati jednačinu tangente i normale hiperbole 3x2-4y2=12 u tački T(4,m>0). 3.422.Sastaviti jednačinu hiperbole tako da prave 1lx-6y-7=0 i 3x-2y-l=0 budu njene tangente. 3.423)Sastaviti jednačinu hiperbole tako da prave 5x-6y-16=0 i 13x-10y-48=0 budu njene tangente. 3.424.Koja je tačka hiperbole 3x2-4y2=72 najbliža pravoj 3x+2y+l=0? Odrediti jednačine zajedničkih tangenata datih dviju linija: 3.425. 6x2+10y2= 15 i 6x2-10y2=60. 3.426, x2-2y2=4 i 7x2+3y2=21. C3.427-a) x2+y2= 1 i 23x2-25y2=575 x2-25y2=100 i x2+y2=100. 3.428.»Odrediti geometrijsko mjesto središta svih kružnica koje dodiruju obje kružnice x2+y2=9 i (x-5)2+y2=4 izvana. 3.429.Odrediti geometrijsko mjesto središta svih kružnica koje dodiruju kružnicu (x+5)2+y2=36 i prolaze tačkom M(5,0). 3.430.Kroz tačku T(2,y